Señales y Sistemas - Roberts - Cap7 by Juan José Nova

r Ap T Tu r o

El muestreo y la transformada de Fourier discreta 7.1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS C o m o se indicó en el capítulo 6, en la aplicación del procesamiento de señales reales en sistemas reales m u c h a s veces n o se tiene una descripción matemática de las señales. E s necesario medirlas y analizarlas p a r a descubrir sus características. Si se d e s c o n o c e la señal, el p r o c e s o de análisis se inicia c o n la adquisición d e la m i s m a . Adquisición significa m e d i r y registrar la señal en u n p e r i o d o , lo cual p o d r í a h a c e r s e c o n u n a g r a b a d o r a de cinta u otro dispositivo de registro, a u n q u e p o r m u c h o la técnica m á s c o m ú n de adquisición d e señales actual es el m u e s t r e o . C o m o se p r e s e n t ó p o r p r i m e r a vez en el capítulo 2, maestrear u n a señal es el p r o c e s o de adquirir sus valores sólo en p u n t o s discretos en el tiempo. L a principal r a z ó n p a r a h a c e r l o d e esta m a n e r a es q u e la m a y o r í a del p r o c e s a m i e n t o y análisis de señales en la actualidad se realiza m e d i a n t e c o m p u t a d o r a s digitales. U n a c o m p u t a d o r a digital requiere q u e t o d a la información esté en la f o r m a d e n ú m e r o s . P o r lo tanto, las m u e s t r a s se a d q u i e r e n y a l m a c e n a n c o m o tales. P u e s t o q u e la m e m o r i a y c a p a c i d a d de a l m a c e n a m i e n t o en m a s a de u n a c o m p u tadora son finitas, sólo p u e d e m a n e j a r u n n ú m e r o d e t e r m i n a d o de n ú m e r o s . E n c o n s e c u e n c i a , si se v a a utilizar u n a c o m p u t a d o r a digital p a r a analizar u n a señal, ésta sólo se p u e d e m u e s t r e a r d u r a n t e u n t i e m p o finito. L a p r e g u n t a q u e se p l a n t e a en este capítulo es, ¿ h a s t a q u é g r a d o las m u e s t r a s d e s c r i b e n con e x a c t i t u d la señal de la cual se t o m a n ? Se v e r á q u e la i n f o r m a c i ó n se pierde, y en q u é g r a d o , durante el m u e s t r e o , lo cual d e p e n d e d e la m a n e r a en q u e se t o m a n las m u e s t r a s . Se d e s c u b r i r á q u e dadas ciertas circunstancias toda, o p r á c t i c a m e n t e toda, la información d e la señal p u e d e a l m a c e n a r s e en u n n ú m e r o finito de m u e s t r a s . El p r o c e s a m i e n t o de señales (muestreadas) en T D es m á s importante c a d a día. C o m o las operaciones realizadas con señales en T D se efectúan m e d i a n t e c o m p u t a d o r a s q u e o p e r a n c o n b a s e en n ú m e r o s a l m a c e n a d o s c o m o dígitos, u n t é r m i n o q u e se h a h e c h o c o m ú n es el de procesamiento de señales digitales ( P S D ) . M u c h a s operaciones con filtros analógicos ahora utilizan filtros digitales q u e o p e r a n basados en muestras d e u n a señal, en vez de la señal en T C original. L o s m o d e r n o s sistemas de telefonía celular utilizan P S D p a r a mejorar la calidad de voz, separar canales y c o n m u t a r usuarios entre celdas. Los sistemas de c o m u n i c a c i ó n telefónica de larga distancia utilizan el P S D p a r a hacer m á s e n c i e n t e el e m p l e o de largas líneas troncales y enlaces de m i c r o o n d a s . E n los aparatos de televisión se u s a el P S D para mejorar la calidad de la i m a g e n . L a visión robótica se b a s a en señales de c á m a r a s q u e digitalizan (muestrean) u n a i m a g e n y l u e g o la analizan con técnicas de c o m p u t a c i ó n p a r a r e c o n o c e r rasgos. L o s m o d e r n o s sistemas de control en a u t o m ó v i l e s , plantas m a n u f a c t u r e r a s e i n s t r u m e n t a c i ó n científica suelen c o n t e n e r procesadores q u e analizan señales y t o m a n decisiones m e d i a n t e el P S D .

OBTF.TTVOS n F I , rAPTTUT.O 1. 2. 3. 4.

Entender cómo se muestrean las señales Determinar cómo debe muestrearse una señal en TC y en qué grado las muestras describen a la señal Aprender cómo reconstruir una señal en TC a partir de sus muestras Aplicar a las señales en TD todos los conceptos del muestreo desarrollados para las señales en TC

5. 6.

Aprender cómo usar la transformada de Fourier discreta y ver la forma en que se relaciona con otros métodos de Fourier Aprender cómo el algoritmo de la transformada de Fourier rápida incrementa la velocidad de cómputo de la transformada de Fourier discreta

7.2 MÉTODOS DE MUESTREO c(í) • Tiempo de apertura

El muestreo de señales eléctricas, u s u a l m e n t e voltajes, se efecttía de m a n e r a m á s c o m ú n con dos dispositivos, el de muestreo y retención (M/R) y el convertidor analógico-digital ( C A D ) . A veces estos dispositivos se acoplan en conjunto en un m ó d u l o electrónico. L a excitación del M / R es el voltaje analógico en su entrada, y c u a n d o se le agrega u n reloj, reproduce ese voltaj e a la salida c o m o respuesta y lo retiene hasta q u e se vuelve a activar el reloj pai-a adquirir otro voltaje (figura 7.1). E n la figura, c(í) es la señal del reloj. L a adquisición de la señal del voltaje de entrada del M / R ocurre durante el tiempo de apertura, que es el ancho de un pulso de reloj. D u r a n t e el pulso de reloj la señal del voltaje de salida se m u e v e con m u c h a rapidez desde su valor anterior para seguir la excitación. Al final del pulso de reloj la señal del voltaje de salida se mantiene en u n valor fijo hasta que ocurre el siguiente pulso de reloj.

U n C A D acepta u n a excitación de voltaje o corriente analógicas en su e n t r a d a y la convierte e n u n conjunto de bits binarios (un código) c o m o respuesta. L a respuesta del C A D p u e d e estar en serie o en paralelo. Si GURA 7.1 la respuesta es en serie, p r o d u c e sobre una terminal de salida u n solo voltaíeración de un dispositivo de muestreo y retención. j e o corriente de respuesta que es u n a s e c u e n c i a en el t i e m p o de voltajes altos y bajos q u e r e p r e s e n t a n los u n o s y los ceros del conjunto de bits b i n a rios. Si el C A D ü e n e u n a r e s p u e s t a en p a r a l e l o , hay u n voltaje o corriente de r e s p u e s t a p o r bit y c a d a u n o de éstos aparece en forma s i m u l t á n e a en u n a terminal de salida del C A D c o m o u n voltaje o c o rriente alto o bajo q u e r e p r e s e n t a a un u n o o u n cero en el conjunto de bits binarios (figura 7.2). Casi s i e m p r e un C A D es p r e c e d i d o p o r un M / R p a r a m a n t e n e r constante su excitación d u r a n t e el t i e m p o de c o n v e r s i ó n . L a excitación del C A D es u n a señal en T C , y la respuesta es u n a señal en T D . D i c h a r e s p u e s t a n o sólo es de t i e m p o discreto sino q u e t a m b i é n está c u a n t i z a d a y codificada. El n ú m e r o de bits binarios p r o d u c i d o s p o r un C A D es finito. E n c o n s e c u e n c i a , el n ú m e r o de p a t r o n e s de bits únicos q u e p u e d e p r o d u c i r t a m b i é n lo es. Si el n ú m e r o de bits que p r o d u c e el C A D es n, el n ú m e r o de p a t r o n e s de bits ú n i c o s que p u e d e p r o d u c i r es 2". L a cuantización es el efecto de convertir u n c o n t i n u m de valores de excitación (infinito) en u n n ú m e r o finito de valores de respuesta. P u e s t o q u e la r e s p u e s t a tiene u n error d e b i d o a la cuantización, se dice q u e la señal tiene ruido y éste recibe el n o m b r e de r u i d o de cuantización. Si el n ú m e r o de bits q u e se u s a p a r a representar la r e s p u e s t a es suficientemente g r a n d e , el ruid o de c u a n t i z a c i ó n es a m e n u d o d e s p r e c i a b l e en c o m p a r a c i ó n con otras fuentes de ruido. D e s p u é s de la c u a n t i z a c i ó n , el C A D codifica t a m b i é n la señal. L a codificación es la c o n v e r s i ó n de u n voltaje a n a l ó g i c o en u n patrón de bits binarios. D e m o d o q u e la excitación de u n C A D es u n voltaje analógico ( T C ) , y la r e s p u e s t a c o r r e s p o n d e a u n a s e c u e n c i a de n ú m e r o s binarios o c ó d i g o s . L a relación entre la excitación y la r e s p u e s t a de u n C A D c u y o intervalo de voltaje de señal de entrada es - VQ < v^^^ (r) < -t-Vp se ilustra en la figura 7.3 para un C A D de 3 bits. (Un C A D de 3 bits rara v e z se usa en realidad, p e r o ilustra bastante bien el efecto de c u a n t i z a c i ó n p o r q u e el n ú m e r o de p a t r o n e s de bits únicos es p e q u e ñ o y el r u i d o de c u a n t i z a c i ó n es grande.) L o s efectos de la c u a n t i z a c i ó n se o b s e r v a n con facilidad en u n a senoide c u a n t i z a d a m e d i a n t e 3 bits (figura 7.4). C u a n d o la señal se c u a n t i z a a 8 bits, el error de c u a n t i z a c i ó n es m u c h o m á s p e q u e ñ o (figura 7.5). L o o p u e s t o de una c o n v e r s i ó n analógica-digital es e v i d e n t e m e n t e la c o n v e r s i ó n digital-analógica, y el dispositivo q u e efectúa lo anterior recibe el n o m b r e de c o n v e r t i d o r digital-analógico ( C D A ) . U n C D A acepta p a t r o n e s de bits binarios c o m o excitación y p r o d u c e un voltaje a n a l ó g i c o c o m o respuesta. Puesto q u e el n ú m e r o de p a t r o n e s de bits únicos que acepta es finito, la señal de r e s p u e s t a del C D A es u n voltaje a n a l ó g i c o c u a n t í z a d o . L a relación entre la excitación y la r e s p u e s t a p a r a un C D A se p r e s e n t a en la figura 7.6. E n el material que sigue, no se considerarán los efectos de la cuantización. El m o d e l o p a r a analizar los efectos del m u e s t r e o será el del m u e s t r e a d o r ideal en el sentido de q u e el ruido de cuantización de la señal de respuesta es cero.

juunm

CAD en serie

7.2 Métodos muestreo

ji_n_nnnn_n _n r-u—in

CAD en paralelo

Código de respuesta 011 010 -

F I G U R A 7.2 Operación del CAD en serie y en paralelo.

001 •

_ Voltaje de excitación

000111 •

lio101 •

Senoide original Aproximación cuantizada a 3 bits

100 •

-Vn

F I G U R A 7.3 Relación excitación-respuesta del CAD.

Voltaje de respuesta

F I G U R A 7.4 Senoide cuantizada hasta tres bits.

- Código de excitación

Cuantización a 8 bits

— ——— o F I G U R A 7.5 Senoide cuantizada a 8 bits.

o o o

F I G U R A 7.6 Relación excitación-respuesta del CAD.

E n el capítulo 6 se p r e s e n t ó la i d e a d e m u e s t r e a r u n a señal m u l t i p l i c a n d o u n tren de pulsos p o r la señal y se le l l a m ó modulación de amplitud de pulsos ( M A P ) . Se aplicará a h o r a esa teoría al p r o c e s o de m u e s t r e a r u n a señal con un M / R . C o n s i d e r e u n a señal m u e s t r e a d a x^(0 igual a la señal x(f) q u e se está m u e s t r e a n d o d u r a n t e el t i e m p o de apertura de u n M / R y cero en c u a l q u i e r otro c a s o . S e a vv el t i e m p o de apertura del M / R y sea el t i e m p o entre las m u e s t r a s . E n ese caso, de a c u e r d o con el capítulo 6,

, t\ p ( r ) = rect I —

Xpit)

Xpif)

1 í t * — comb —

x ( í ) p ( í ) = x ( í ) rect

= wf,

¿ A'——ce

(7.1)

1 t \ — * — comb Ts

sinc(u;^/,) X ( / -

kf,).

—

(7.2)

(7.3)

410

1 X ( / ) |

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

Kif)\

M fs

Función sinc

F I G U R A 7.7 Magnitudes de las TFTC de las señales original y maestreada.

L a T F T C de x^it), X^if), es u n conjunto de réplicas de la T F T C de la señal original x(í) r e p e t i d a p e riódicamente a m ú l t i p l o s e n t e r o s de la tasa de m u e s t r e o y m u l t i p l i c a d a t a m b i é n p o r el valor de la función sinc c u y o a n c h o se d e t e r m i n a p o r m e d i o del t i e m p o de apertura w del M / R (figura 7.7). C u a n t o m á s corto sea el t i e m p o de apertura del M / R , tanto m á s a n c h a resulta la función sinc. U n M / R ideal tendría u n t i e m p o d e apertura d e c e r o a fin de adquirir la señal de m a n e r a i n s t a n t á n e a y p e r m i t i r u n m u e s t r e o m u y r á p i d o . C u a n d o el t i e m p o de apertura t i e n d e a cero, a u n a tasa d e m u e s t r e o c o n s t a n t e , la T F T C de x^(f) tiende a c e r o p o r q u e la p o t e n c i a de la señal M A P se a p r o x i m a a ese m i s m o valor. Si se m o d i f i c a a h o r a el p r o c e s o de m u e s t r e o p a r a c o m p e n s a r ese efecto h a c i e n d o q u e el área de c a d a p u l s o de m u e s t r e o sea u n o en lugar de la altura, se o b t i e n e

1 í t\ p ( í ) = — rect -

* — comb

í t —

(7.4)

y, al d e t e r m i n a r la T F T C de x^(í), oo

Xp(/)

= fsJ2

kf,).

sinc(u-í:/,) X ( / -

(7.5)

k=—cc

C u a n d o el t i e m p o de apertura w t i e n d e a cero, la función sinc se v u e l v e infinitamente a n c h a y se obtiene lím X ; , ( / ) = X 5 ( / ) = f s T X{f w-<-0 ¿ = — 00

kf,).

(7.6)

D e s d e l u e g o , en ese m i s m o límite,

l í m — rect ( )

1 / t lím p ( í ) = — c o m b —

lím Xp{t)

(7.7)

= 8(í),

= fs

comb(/jf).

= X8(f) = x ( f ) / , c o m b ( / s í ) -

(7.8)

(7.9)

D e ese m o d o p(í) se v u e l v e u n a s e c u e n c i a p e r i ó d i c a d e pulsos unitarios, e s p a c i a d o s p o r en el t i e m p o . E s t e límite del m u e s t r e a d o r ideal r e p r e s e n t a lo q u e se d e n o m i n a muestreo por impulsos o algunas veces modulación por impulsos (figura 7.8). A l utilizar este m o d e l o es p o s i b l e explorar la relación entre u n a señal y m u e s t r a s t o m a d a s de ella y descubrir q u é tan r á p i d o se d e b e m u e s t r e a r p a r a preservar la información en la señal.

Multiplicador

x(0

^ xs(0

Acombe//) A

7.3 REPRESENTACIÓN DE UNA SEÑAL EN TIEMPO CONTINUO MEDIANTE MUESTRAS F I G U R A 7.8 Un modulador de impulsos que produce una señal muestreada por impulsos.

CONCEPTOS CUALITATIVOS

Si se van a utilizar muestras de una señal en T C , en vez de la propia señal, la cuestión m á s importante y fundamental que debe resolverse es c ó m o muestrearla de m a n e r a que se retenga su información. Si la señal en T C puede reconstruirse exactamente a partir de muestras, entonces éstas contienen toda la información que hay en la señal. D e b e decidirse qué tan rápido muestrear la señal en T C y q u é tan largo debe ser el muestreo. C o m o u n a introducción a la pregunta implicada en la decisión relativa a c ó m o muestrear u n a señal, considere la señal x(í) en T C (figura 7.9a). S u p o n g a q u e esta señal se m u e s t r e a a la tasa ilustrada en la figura 1.9b) Tal vez, la m a y o r í a de la gente diga de m a n e r a intuitiva q u e h a y suficientes m u e s t r a s en este caso para describir la señal de m o d o a d e c u a d o dibujando u n a c u r v a u n i f o r m e a lo largo d e los p u n t o s . P a r e c e ser q u e se p i e r d e p o c a i n f o r m a c i ó n en el m u e s t r e o p o r q u e en apariencia se p o d r í a reconstruir la señal a partir de las m u e s tras. ¿ Q u é ocurre c o n la tasa de m u e s t r e o en la figura 7.9c)? ¿ L a tasa de m u e s t r e o es a d e c u a d a ? ¿ Q u é p a s a c o n la tasa en la figura 1.9dl L a m a y o r í a de las p e r s o n a s quizá coincidiría en q u e la tasa de m u e s t r e o en la figura 1.9d) x(r) es i n a d e c u a d a . L a r a z ó n intuitiva para afirmarlo es q u e u n a curva u n i f o r m e dibujada de m a n e r a natural m e d i a n t e el tíltimo conjunto m u e s t r e a d o n o sería m u y similar a la c u r v a original. a) Si b i e n la ú l t i m a tasa de m u e s t r e o resultó i n a d e c u a d a p a r a esta señal, quizá sea la mejor p a r a otra (figura 7.10). P a r e c e a d e x[n] c u a d o para la señal de la figura 7.10 p o r q u e es m u c h o m á s u n i forme y de variación m á s lenta. D e m o d o q u e hay u n a tasa m í n i m a a la cual es posible tomar las muestras para retener la información en la señal y depende de qué tan rápido varíe dicha señal con el tiempo. E s t o es, d e p e n d e del contenido de frecuencia de la señal. Se tiene u n a idea inmitiva en cuanto a q u é tanto es suficientemente rápido, pero sería deseable decidir de m a n e r a exacta y concreta con base en algún tipo de justificación matemática. L a pregunta de qué tan rápido deben tomarse las muestras para describir u n a señal fue respondida de m a n e r a definitiva p o r Claude S h a n n o n con su ahora famoso teorema de m u e s t r e o . Para mostrar el resultado de Shannon es necesario construir primero un marco de referencia matemático preciso de notación y téciúca para describir el proceso de muestreo y después mostrar sus capacidades y límites. Se ha llegado a este punto con m u y buenas técnicas de anáhsis para señales en T C y T D . Es tiempo de aplicarlas ahora al proceso de muestreo.

x[n]

—f—* '—n

F I G U R A 7.9 a) Una señal en TC, y b) &d) señales en TD formadas muestreando la señal en TC a diferentes velocidades.

TEOREMA DE MUESTREO DE SHANNON Hasta a h o r a se h a n c o n s i d e r a d o d e m a n e r a separada las señales en T C y T D . Se d e m o s t r ó en el capítulo 5 q u e si se m u e s t r e a u n a señal x(f) en T C p a r a formar u n a señal x[n] en T D , existe u n a e q u i v a l e n c i a d e i n f o r m a c i ó n entre x[n] y u n a señal Xg(í) en T C q u e consiste sólo en i m p u l s o s c u y a s intensidades son iguales q u e los valores de x [ « ] .

Claude Elwood Shannon

411

412

x[n]

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

1:1: F I G U R A 7.10 Una señal en TD formada al muestrear una señal que varía lentamente.

I I

T i

Equivalencia de información

T7 F I G U R A 7.11 Equivalencia de información entre una señal en TD formada muestreando una señal en TC y una señal de impulsos formada mediante el muestreo por impulsos de una señal en TC.

xs(0= donde/. =

x[«]8(r-«rj

= x(í)/, comb(/,r),

(7.10)

es la tasa de m u e s t r e o (figura 7 . 1 1 ) . E s t o se o b s e r v a en la r e l a c i ó n entre la T F T D de

x[«], X ( F ) , y la T F T C de Xg(í),

X8(/) =

XTFTD ( y

^ Js

(7.11)

E s t a e q u i v a l e n c i a d e i n f o r m a c i ó n es i m p o r t a n t e p o r q u e si p u e d e d e m o s t r a r s e q u e x[n] n o sólo c o n tiene t o d a la i n f o r m a c i ó n e n Xg(r) sino t a m b i é n en x(r), e n t o n c e s se c o n c l u y e q u e será p o s i b l e (al m e n o s e n principio) r e c o n s t r u i r x ( 0 a partir de sus m u e s t r a s . E n la siguiente e x p l o r a c i ó n del m u e s t r e o se u s a r á u n a señal en T C c o m o e j e m p l o de c o m p a r a c i ó n de los m é t o d o s y c o n c e p t o s , u n a función sinc,

x ( r ) = A sinc

—

(7.12)

P a r a e m p e z a r se d e t e r m i n a la T F T C de la señal.

XTFTC(/) =

Au;rect(u;/).

(7.13)

7.3 Representación de una señal en tiempo continuo mediante muestras

IXTFTCÍ/)!

F I G U R A 7.12 Ejemplo de señal en TC y la magnimd de su T I T C .

[En e s t a f o r m u l a c i ó n la T F T C d e x(í) se d e n o t a r á p o r m e d i o d e X^^pj.^, ( / ) y la T F T D d e x[n] m e d i a n te Xjppjj ( F) p a r a evitar confusión entre las d o s funciones. Cada u n a de ellas es de u n a variable independiente continua distinta pues ambas se usan y la t r a n s f o r m a c i ó n / — > / F se emplea para relacionar u n a con otra. L a T F T C de Xg(f) se denotará simplemente mediante

f) pues no h a y u n a T F T D c o n la cual

pueda confundirse.] L a señal en T C y la magnitud de su T F T C se ilustran en la figura 7.12. U n a razón p o r la cual se eligió esta señal c o m o ejemplo es q u e su T F T C es cero para frecuencias

> 1/2vv. Esto la ha-

ce u n a señal de b a n d a limitada. A continuación se m u e s t r e a x(f) p o r impulsos c o n un t i e m p o entre muestras

para producir la señal

enTD

x[n] = x{nTs)

(7.14)

— A sinc

y la señal d e i m p u l s o s en T C de i n f o r m a c i ó n e q u i v a l e n t e

X8(r) = A sinc (

comb(/jí) = A V

sinc f — ) 8(f - nT^).

(7.15)

P u e s t o q u e x [ « ] e s , en general, u n a señal e n T D n o periódica, el m é t o d o d e F o u r i e r a p r o p i a d o p a r a analizarla es la T F T D , q u e es X T F T D ( - P ' ) = Awfs

rect(Fu)/,) * comb(F).

(7.16)

L a señal en T D y su T F T D se ilustran e n la figura 7 . 1 3 p a r a d o s tasas d e m u e s t r e o diferentes. C u a n d o se c o m p a r a n la T F T C de la señal en T C y la T F T D d e l a señal e n T D f o r m a d a s m e d i a n t e m u e s t r e o , existen a l g u n a s similitudes e v i d e n t e s . P a r a esta señal de e j e m p l o , la T F T C es u n a función r e c t á n g u l o y la T F T D es u n a r e p e t i c i ó n p e r i ó d i c a de las funciones r e c t á n g u l o . L a T F T C es X T F T C ( / ) = Aw

(7.17)

rect(w/).

y la T F T D es

X T F T D ( ^ ) = Awfs

rect(Fio/) * comb(í')

X T F T D T ( F ) = AwfsY, k=~oo

rect((F -

k)wfs).

(7.18)

(7.19)

414

x[«]

CAPÍTULO 7

x[n] A7r

El muestreo y la transformada de Fourier discreta

IXTFTDÍ^)!

|4A 2A

- 2 - 1

J_ 4

- 2 - 1

F I G U R A 7.13 Ejemplo de una señal en TD y la magnitud de su TFTD, para dos tasas de muestreo diferentes.

Si se t o m a de la sumatoria en (7.19) el rectángulo con k = O, Awf^ rect {Fwf^), y se efectúa el c a m b i o de variable F -^f/L,

se obtiene la transformación funcional Awfs

Tect{Fwfs)

Awfs

rect(w/).

(7.20)

Si d e s p u é s se multiplica este resultado p o r T^, se obtiene T ; [Awfs

r e c t ( F w / , ) ] = Aw r e c t ( « ; / ) = X T F T C ( / ) -

(7.21)

Así, p o r lo m e n o s a partir de este e j e m p l o , p a r e c e q u e u n a f o r m a de recuperar la señal en T C a partir d e la señal en T D f o r m a d a p o r m u e s t r e o es seguir los siguientes c i n c o p a s o s : 1.

D e t e r m i n a r la T F T D de la señal en T D .

Aislar la función ^ = O del p a s o 1.

Efectuar el c a m b i o de variable F

Multiplicar el resultado del p a s o 3 p o r T^.

D e t e r m i n a r la T F T C inversa del resultado del p a s o 4.

flf^ en el resultado del p a s o 2.

E n las ilustraciones p r e v i a s , el t i e m p o entre m u e s t r a s

s i e m p r e fue m e n o r q u e w. ¿ Q u é sucede

si T es m a y o r q u e wl E n ese c a s o en la e x p r e s i ó n

XTFTD(F) =

Awf,

'•ect((F

-k)wf,)

(7.22)

k=-<yo

la función r e c t á n g u l o se traslapa en la sumatoria T F T D y la f o r m a de X^j-pj.^ y a n o es obvia c u a n d o se o b s e r v a X^^^ (figura 7.14). C u a n d o esto s u c e d e y a no es posible, al considerar s i m p l e m e n t e la T F T D , extraer la T F T C d e la señal en T C original y a partir d e ahí reconstruirla. E n este p u n t o la e q u i v a l e n c i a de i n f o r m a c i ó n entre [n] y Xg(f) se v u e l v e m u y útil. I m a g i n e q u e se f o r m a Xg(í) al m u e s t r e a r p o r i m p u l s o s x(r) c o m o se indica m e d i a n t e

X5(í) =

x [ « ] 8 ( / - nT,)

= x(f)/. comb(/,f).

(7.23)

x[n]

415

xgíf)

X8(0

Representación

7.3

de una señal en tiempo

<1 ^5

\|'

continuo

mediante

TJT—*-

muestras

|X8(/)|

|X8(/)I

-2

-1

11 4

2 ~2/, - /

F I G U R A 7.14 Una señal submuestreada y su TFTD,

2/,

F I G U R A 7.15 Ejemplo de señal muestreada por impulsos y la magnimd de su TFTC, para dos tasas de muestreo diferentes.

E n t o n c e s , p u e s t o q u e Xg(í) es u n a función e n T C , es p o s i b l e d e t e r m i n a r su T F T C , oc

= fsYl

X 8 ( / ) = X T F T C ( / ) * comb(r,/)

(7.24)

kf^).

XTFTC(/ -

k=-oo

d o n d e / = 1/7^. P a r a la señal d e e j e m p l o , XTFTC(/) =

rectCw/).

(7.25)

P o r l o tanto, X8(/) = /

rect(u;(/ -

(7.26)

fe/J),

í:=—co

y esto e s l o m i s m o q u e XTFTD(F)|f^^/^, -

Awfs

r e c t (J^^

wf^^

(7.27)

= Awfs

rect((/-fc/,)i(;)

(figura 7.15). Si O <

< w, e n el i n t e r v a l o d e frecuencia - (/j /2) < / < fJ2, Xj^^^

(f) y X g ( / ) s o n idénticas

salvo p o r u n factor d e e s c a l a m i e n t o / . P o r lo tanto, si Xg(Ose filtrara m e d i a n t e u n filtro pasabajas c u y a frecuencia d e corte está e n a l g u n a parte entre 1/2 w y / - ( 1 / 2 ^ ) y c u y a g a n a n c i a es T^, la salida d e l filtro s e n a e x a c t a m e n t e la m i s m a q u e la señal original x(r), p e r o sólo si O < 7^ < w (figura 7.16). Si T s w, l o s r e c t á n g u l o s e n

X8(/) = / . ^

rect(u.(/ -

(7.28)

kf^))

|XB(/)I p i , „

k = - x

/ pasabajas ideal

se traslapan y e n este c a s o n o es p o s i b l e r e c u p e r a r la señal original filtrándola c o n u n filtro pasabajas ideal.

Este análisis se hizo para u n a señal de ejemplo, u n a función sinc. A h o r a p u e d e n gene-

ralizarse los resultados. L a función sinc es de b a n d a limitada porque m á s allá d e cierta frecuencia m á x i m a su T F T C es cero. L a razón p o r la q u e fue factible recuperar la información

F I G U R A 7.16

se debió a q u e c u a n d o se muestrea p o r impulsos u n a versión d e la señal c o n u n tiempo entre

Recuperación de la señal en TC

muestras O < T^< w, la forma d e la T F T C de la señal muestreada por impulsos y la T F T C

original utilizando un filtro pasabajas

de la señal original resultaban idénticas e n el intervalo d e frecuencia -(fJ2)

ideal.

<f<

fJ2.

416

|X8(/)|

|X(/)|

CAPÍTULO 7

El muestreo y la transformada de Fourier discreta

... 1 fs

F I G U R A 7.17 Magnitud del espectro de amplitud de una señal de banda limitada.

fin

F I G U R A 7.18 Magnitud del espectro de amplitud de una señal estrictamente de banda limitada que se ha muestreado por impulsos a cuatro veces su frecuencia más alta.

L o anterior ocurrió d e b i d o a que las réplicas de la T F T C de la señal original q u e aparece en la T F T C de la señal m u e s t r e a d a p o r i m p u l s o s n o se traslapan. Dichas réplicas reciben el n o m b r e de alias. Si la señal en T C original n o es de banda limitada, los alias se traslaparán y n o se podrá recuperar la señal original a partir de las muestras con un nitro pasabajas ideal. El requerimiento O < T^< w equivale a/^ > 1/vv = , donde/^^ es la frecuencia m á s alta presente en la señal original. Por lo tanto, para ser capaces de recuperar una señal en T C a partir de muestras tomadas de ella, la tasa de muestreo debe ser m á s de dos veces m a y o r que la frecuencia m á s alta presente en la señal. E s t a d e s c r i p c i ó n de los efectos del m u e s t r e o se formuló en t é r m i n o s del m u e s t r e o p o r i m p u l s o s y la T F T C de la señal m u e s t r e a d a p o r i m p u l s o s . Se realizó u n a r g u m e n t o a n á l o g o antes en t é r m i n o s del m u e s t r e o de la señal en T C p a r a formar u n a señal en T D y l u e g o m a n i p u l a r la T F T D de esa señal. L o s dos m é t o d o s p a r a el análisis de los efectos del m u e s t r e o p r o d u c e n la m i s m a conclusión. S u p o n g a q u e la m a g n i t u d de la T F T C , i X ( / ) ¡ , de u n a señal x(f) en T C de b a n d a h i n i t a d a es c o m o se ilustra en la figura 7.17. E n t o n c e s se m u e s t r e a p o r i m p u l s o s x(r) para formar X g ( , ' ) . L a m a n e r a en q u e se v e r á X g ( / ) d e p e n d e r á de las relaciones e n t r e y / ^ , , . S e a / ^ = 4 / ^ . E n e s e c a s o ! X g ( / ) | se verá c o m o se ilustra en la figura 7.18. Estas versiones d e s p l a z a d a s del e s p e c t r o original q u e se p r e s e n t a n en m ú l t i p l o s enteros de la tasa de m u e s t r e o se d e n o m i n a n alias p o r q u e se o b s e r v a n similares al e s p e c tro original p e r o aparecen en u n lugar diferente. (En el uso m á s c o m ú n de la p a l a b r a alias, los criminales los utilizan c u a n d o a p a r e c e n t a m b i é n en diferentes lugares.) O b s e r v e q u e en este c a s o sería fácil (en principio) r e c u p e r a r la señal original a partir de la m u e s t r e a d a p o r i m p u l s o s m e d i a n t e el simple filtrado de esta ú l t i m a con u n filtro pasabajas de g a n a n c i a unitaria ideal c u y a frecuencia de corte se e n c u e n t r a entre/^^ y / 5 ~ f,n y d i v i d i e n d o d e s p u é s el r e s u l t a d o entre Considere ahora q u e / ^ = 2/^^,. Las porciones distintas de cero de los alias ahora apenas se tocan (figura 7.19), y el filtro pasabajas ideal aún podría recuperar la señal original de la señal en T D si su frecuencia de corte se fijara en e x a c t a m e n t e / ^ [y si n o hubiera impulso en X(/) en e x a c t a m e n t e / ^ ] . Si la tasa de muestreo tuviera cualquier valor inferior a 2/,^, los ahas se traslaparían y ningún filtro recuperaría la señal original de manera directa a partir de la señal muestreada por impulsos. (En la jerga de la teoría de muestreo, si se traslapan los alias, se afirma que la señal muestreada por impulsos tiene ahas. Esto p u e d e evitarse prefiltrando u n a señal con u n filtro analógico antialias que r e s ü i n g e el ancho de b a n d a de la señal a m e n o s de la mitad de la tasa de muestreo antes de que dicho muestreo ocurra.) A h o r a p u e d e e n u n c i a r s e la forma m á s c o m ú n del t e o r e m a de m u e s t r e o de S h a i m o n . Si una señal se muestrea para todo tiempo a una tasa mayor que el doble de la frecuencia más alta a ia cual su T F T C es distinta de cero, entonces puede reconstruirse exactamente a partir de las muestras.

|X5(/)I

íWvV fm

F I G U R A 7.19 Magnitud del espectro de amplitud de una señal de banda estrictamente limitada que se ha muestreado por impulsos al doble de su frecuencia más alta.

L a frecuencia m á s alta presente en una s e ñ a l / ^ se conoce c o m o la frecuencia de Nyquist. L a tasa m í n i m a a la cual es posible muestrear u n a señal y seguir reconstruyéndola a partir de sus muestras se conoce c o m o la tasa de Nyquist, y siempre es 2/^^. (Harry Nyquist de los laboratorios Bell fue pionero en el anáhsis de señales y sistemas.) Tanto la tasa c o m o la frecuencia describen algo que ocurre periódicamente. E n este texto, la palabm frecuencia se referirá a las frecuencias presentes en una señal, y la palabra tasa se referirá a la forma en que u n a señal se muestrea. U n a señal que se muestrea a una tasa m a y o r que la de Nyquist se dice que está sobremuestreada, y a una tasa m e n o r que la de Nyquist se afirma que está submuestreada.

ALIAS DE FRECUENCIA El f e n ó m e n o de f o r m a c i ó n de alias n o es un c o n c e p t o m a t e m á t i c o exótico q u e esté fuera de la e x p e r i e n c i a de las p e r s o n a s ordinarias. Casi cualquiera ha o b s e r v a d o la f o r m a c i ó n de alias, p e r o quizá sin saber c ó m o llamarlas. U n e j e m p l o m u y c o m ú n de la f o r m a c i ó n de alias o c u r r e m i e n t r a s u s t e d m i r a la televisión. S u p o n g a q u e ve u n a película de v a q u e r o s en la televisión y que hay u n a i m a g e n de un carretón tirado p o r caballos con ruedas q u e tienen r a y o s . Si las ruedas del carretón giran p o c o a p o c o c a d a vez m á s rápido, se a l c a n z a un p u n t o en el cual p a r e c e que las ruedas dejan de girar h a c i a adelante y e m p i e z a n a h a c e r l o hacia atrás aun c u a n d o el carretón evidentem e n t e se esté m o v i e n d o h a c i a adelante. Si se i n c r e m e n t a r a aún m á s la v e l o c i d a d de rotación, las r u e d a s a la larga parecerían detenerse y luego girarían de n u e v o h a c i a adelante. E l anterior es un e j e m p l o del f e n ó m e n o de f o r m a c i ó n de alias. A u n q u e no es claro para el ojo h u m a n o , la i m a g e n sobre la pantalla de televisión destella 30 veces por segundo (en Estados Unidos). Esto es, la i m a g e n se muestrea a una tasa de 30 Hz. L a figura 7.20 muestra las posiciones de u n a rueda de rayos en cuatro instantes de muestreo correspondientes a diferentes velocidades rotacionales, e m p e z a n d o con la m á s baja en la parte superior y avanzando hacia la velocidad rotacional m á s alta en la parte inferior. (Se ha agregado un p e q u e ñ o punto de índice en la rueda para que usted observe la rotación verdadera de la misma, en oposición a la rotación aparente.) Esta rueda tiene ocho rayos, por lo que mediante la rotación de un octavo de revolución completa la rueda se ve exactamente igual a c o m o estaba en la posición inicial. Por lo tanto, la imagen de la rueda tiene un periodo angular de TT/4 rad, o 4 5 ° , el espaciamiento angular entre rayos. Si la velocidad rotacional de la rueda es / g revoluciones por segundo (Hz) la frecuencia fundamental de la imagen es 8/Q Hz. L a i m a g e n se repite exactamente ocho veces en una rotación c o m p l e ta de la rueda. E n la fila de la parte superior la rueda rota de m a n e r a lenta, y en la segunda, tercera y cuarta imágenes de la fila superior los rayos han girado 5°, 10° y 15° en la dirección de las manecillas del reloj. El ojo y el c e r e b r o del o b s e r v a d o r interpretan la sucesión de i m á g e n e s c o m o u n a indicación de q u e la r u e d a gira en el sentido de las m a n e c i l l a s del reloj en virtud de la p r o g r e s i ó n de ángulos en los instantes de m u e s t r e o . E n este c a s o la r u e d a parece estar (y está) g i r a n d o a u n a frecuencia rotacional d e la i m a g e n de — (5/r^) grados/s. E n la s e g u n d a fila, los ángulos de rotación son 0°, 2 0 ° , 4 0 ° y 60° en la dirección de las manecillas del reloj. L a r u e d a sigue aparec i e n d o (correctamente) c o m o si girara en dirección de las m a n e c i l l a s del reloj, pero ahora a u n a frecuencia rotacional de —(20/7^) grados/s. E n la tercera fila, la r u e d a gira en dirección de las m a n e c i l l a s 22.5° entre m u e s t r a s . A h o r a e m p i e z a la a m b i g ü e d a d c a u s a d a p o r el m u e s t r e o . Si el p u n t o de índice no estuviera ahí, sería i m p o s i b l e

Lento

Rápido

/ = 0

t =

IT,

37,

F I G U R A 7.20 Posiciones angulares de la rueda de un vagón a cuatro tiempos de muestreo.

Harry Nyquist, 7 / 2 / 1 8 8 9 ^ / 4 1976

d e t e r m i n a r si la r u e d a gira a u n a frecuencia rotacional de —(22.5°/rp o +{22.5°IT^) d e b i d o a q u e las m u e s t r a s de la i m a g e n son idénticas para a m b o s casos. Es i m p o s i b l e , al ver s i m p l e m e n t e las i m á g e n e s de la m u e s t r a , d e t e r m i n a r si la rotación va en el sentido de las m a n e c i l l a s o en el sentido contrario. E n la cuarta fila la r u e d a gira 4 0 ° en la dirección de las m a n e c i l l a s del reloj entre m u e s t r a s . A h o r a (ignor a n d o el p u n t o del índice) la rueda a p a r e c e definitivamente r o t a n d o a +(5/T^) grados/s en vez d e la frecuencia rotacional real de —(40/7^) grados/s. L a p e r c e p c i ó n del c e r e b r o h u m a n o c o r r e s p o n d e r í a a q u e la r u e d a gira 5° en sentido contrario al de las m a n e c i l l a s del reloj entre m u e s t r a s en vez d e 4 0 ° en la dirección de las m a n e c i l l a s . E n la fila inferior la r u e d a gira en el sentido de las m a n e c i l l a s del reloj 4 5 ° entre m u e s t r a s . E n este c a s o la r u e d a p a r e c e m a n t e n e r s e fija aun c u a n d o gira en la dirección de las m a n e c i l l a s del reloj. Su v e l o c i d a d angular p a r e c e ser cero d e b i d o a q u e se m u e s t r e a a u n a tasa e x a c t a m e n t e igual a la frecuencia fundamental de la i m a g e n .

418

EJEMPLO 7.1

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

Determine la frecuencia y la tasa de Nyquist para cada una de las siguientes señales. a) x(f) = 25 eos (500-17 í) b) x(0 = 15 rect (^) c) x(í) = 10 sinc (5í) d) x(0 = 2 sinc (5 000/0 sen (500 000 TTÍ)

Solución (7.29)

X ( / ) = y [ 8 ( / - 250) + 8 ( / + 250)]

La frecuencia más alta (y única) presente en esta señal es 250 Hz. La frecuencia de Nyquist es 250 Hz y la tasa de Nyquist corresponde a 500 Hz.

(7.30)

X ( / ) = 30 s i n c ( 2 / )

Puesto que la función sinc nunca se hace cero y se mantiene ahí a una frecuencia finita, la frecuencia más alta en la señal es infinita y la frecuencia y la tasa de Nyquist también son infinitas. La función rectángulo no es de banda limitada. X ( / ) = 2 rect (

(7.31)

La frecuencia más alta presente en x(í) es el valor d e / a l cual la función rect tiene su nansición discontinua de uno a c e r o , / = 2.5 Hz. Por consiguiente, la frecuencia de Nyquist es 2.5 Hz y la tasa de Nyquist corresponde a 5 Hz.

X(/) =

rect

2 500

X(/) =

}

5 000

I * - [ 8 ( / + 250 kHz) - 8 ( / - 250 kHz)] 5 000/ 2

rect

-H

250 kHz

— rect

5 000

/ - 250 kHz 5 000

(7.32)

(7.33)

La frecuencia más alta en x(í) ocurre a

(7.34)

/ = 252.5 kHz.

Por lo tanto, la frecuencia de Nyquist es 252.5 kHz y la tasa de Nyquist corresponde a 505 kHz.

EJEMPLO 7.2 Suponga que se sabe que una señal que se obtendrá mediante un sistema de adquisición de datos tiene un espectro de amplitud que es plano más allá de 100 kHz y que decae repentinamente ahí hasta cero. Suponga además que la tasa más alta a la cual el sistema de adquisición de datos puede muestrear la señal es igual a 60 kHz. Diseñe un filtro pasabajas RC antialias que reducirá el espectro de la amplitud de la señal a 30 kHz hasta menos de 1 por ciento de su valor a frecuencias muy bajas de manera que la formación de alias se minimizará.

• Solución La función de transferencia del filtro pasabajas RC de ganancia unitaria está dada por

H(/) =

jl'ufRC

1 + 1

(735)

La magnitud al cuadrado de la función de transferencia está dada por |H(/)|^ =

1 {l-nfRCY-

+ 1

(736)

Se fija la constante de tiempo RC de manera que a 30 kHz la magnitud al cuadrado de H(/) sea (0.01)2. g^f^ gg

¡HdB(/)l

30 000

H(30 000) |- = (2iT X

30 000

RCY + 1

(7.37)

= (0.01)1

AI despejar RC,

RC = 0.0005305.

(7.38)

La frecuencia de corte (la de —3 dB) de este filtro pasabajas RC es 300 Hz, que es 100 veces inferior que la frecuencia de Nyquist de 30 kHz (figura 7.21). Dicha frecuencia debe fijarse en este valor bajo para cumplir con la especificación mediante un filtro de un polo porque su función de transferencia decae de manera muy lenta con la frecuencia. Por esta razón la mayoría de los filtros antialias se diseñan con atenuaciones progresivas mucho más rápidas.

F I G U R A 7.21 Diagrama de Bode de la respuesta en frecuencia del filtro pasabajas RC antialias.

SEÑALES D E TIEMPO LIMITADO Y D E BANDA LIMITADA R e c u e r d e q u e el e n u n c i a d o m a t e m á t i c o original d e la f o r m a e n q u e u n a señal se m u e s t r e a p o r i m p u l sos es

X8(0 =

x(«r,)8(í-nr,).

(7.39)

P u e s t o q u e la s u m a t o r i a es de « = — ^ a -l-oo, e n general, se necesita u n n ú m e r o infinito de m u e s t r a s para describir c o n exactitud x(í). El t e o r e m a d e m u e s t r e o d e S h a n n o n se b a s a e n m u e s t r e a r d e esta m a n e r a . A s í , a u n q u e ha sido e n c o n t r a d a la tasa d e m u e s t r e o m í n i m a , y tal v e z sea finita, es necesario (en general) seguir t o m a n d o infinitas m u e s t r a s p a r a reconstruir d e manera exacta la señal original a partir d e sus m u e s t r a s , incluso si es d e b a n d a limitada y se m u e s t r e a a u n a tasa m a y o r q u e el doble d e la frecuencia m á s alta. D e n t r o de p o c o se regresará al p r o b l e m a d e la n e c e s i d a d de m u e s t r a s infinitas. Es tentador pensar q u e si u n a señal es d e tiempo limitado (que tiene valores distintos d e cero sólo en u n p e r i o d o finito), entonces sólo sería posible muestrearla en ese tiempo, sabiendo q u e todas las d e m á s muestras son cero y q u e se tiene toda la información en la señal. El p r o b l e m a c o n e s a idea es q u e ninguna señal limitada e n tiempo p u e d e también ser limitada en b a n d a y, en consecuencia, n i n g u n a tasa de muestreo finita resulta adecuada. El h e c h o d e q u e n o sea posible q u e u n a señal sea tanto limitada en t i e m p o c o m o limitada en b a n da es u n a ley fundamental del análisis d e Fourier. L a validez d e esta ley se d e m u e s t r a m e d i a n t e el siguiente a r g u m e n t o . S e a u n a señal x(f) q u e n o tiene valores distintos de cero fuera del intervalo d e tiempo íj < f < Sea su T F T C igual a X ( / ) . Suponga p o r ahora que x(í) es también de banda hmitada, esto es, q u e la magnitud X ( / ) es cero para f r e c u e n c i a s / m a y o r e s en magnitud q u e / ^ donde / ^ es finita. Si x(r) está limitada e n t i e m p o en el intervalo d e tiempo f, < í < t^, e n t o n c e s e s posible multiplicarla p o r u n a función r e c t á n g u l o c u y a p o r c i ó n distinta d e cero a b a r q u e este m i s m o intervalo d e tiempo sin c a m b i a r la señal. E s t o e s .

x ( í ) — x ( f ) rect

(7.40)

d o n d e t^ = (íj + )/2 y ^t = t^ = t^ (figura 7.22). A l d e t e r m i n a r la T F T C e n a m b o s lados d e (7.40),

X(/)

= X ( / ) * A i sinc(A?/)e-^'2'"^'».

(7.41)

419

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

Esta última ecuación indica q u e X(/) no se ve afectada al convolucionarse con u n a función sinc. Puesto q u e (A//") tiene u n a extensión infinita, si se convoluciona con una X ( / ) q u e tiene u n a extensión finita, c o m o se supuso, la convolución de las dos tendrá u n a extensión infinita. E n consecuencia, ninguna X ( / ) que tenga una extensión finita satisface la última ecuación. L o anterior viola la hipótesis original, por tanto p r u e b a de ese m o d o que si u n a señal es limdtada en tiempo no p u e d e ser limitada en banda. L o inverso, que una señal limitada en b a n d a no p u e d a ser limitada en tiempo, se demuestra mediante un argumento similar. Es posible que u n a señal sea ilimitada tanto en tiempo c o m o en frecuencia, p e r o no es factible que sea limitada tanto en t i e m p o c o m o en frecuencia.

MUESTREO DE SEÑALES

PASABANDA

El t e o r e m a de m u e s t r e o de S h a n n o n , c o m o se e n u n c i ó antes, se b a s ó en u n a idea simple: si se m u e s t r e a suficientemente rápido, los alias no se traslapan y es posible r e c u p e r a r la señal original. Se e n c o n t r ó q u e si se m u e s t r e a m á s rápiF I G U R A 7.22 do q u e el doble de la frecuencia m á s alta en la señal es factible recuperarla a Función de tiempo limitado y un rectángulo partir de m u e s t r a s . E s t o es válido para todas las señales, a u n q u e en algunas limitado al mismo tiempo. p u e d e reducirse la tasa de m u e s t r e o m í n i m a . A l formular el a r g u m e n t o de q u e d e b e m u e s t r e a r s e a u n a tasa m a y o r q u e el doble de la frecuencia m á s alta en la señal, se s u p o n e de m a n e r a implícita q u e si se m u e s t r e a con cualquier valor m á s lento los alias se traslaparán. E n los espectros q u e se utilizaron antes para ilustrar las ideas, los alias se traslaparon. Sin e m b a r g o , eso no es cierto p a r a todas las señales. P o r ejemplo, s e a u n a señal en T C q u e tiene un espectro p a s a b a n d a q u e es distinto de cero sólo p a r a / , < j /1 < ¡2E n t o n c e s el a n c h o de b a n d a de la señal es / , - / j (figura 7.23). Si se m u e s t r e a la señal c o n / ^ < 2 / 2 se obtendrían los alias ilustrados en la figura 7.24. Estos a h a s n o se traslapan. P o r lo tanto, d e b e ser posible, con el tipo correcto de p r o c e s a m i e n t o de señales, recuperar la señal a partir de las m u e s t r a s . E n este caso el tipo correcto de p r o c e s a m i e n t o de señales sería filtrar la señal m u e s t r e a d a p o r i m p u l s o s con u n filtro p a s a b a n d a ideal que sólo abarque el i n t e r v a l o < ¡/j < / 2 . E n el e n u n c i a d o anterior del teor e m a d e m u e s t r e o se tenía q u e c o n o c e r la frecuencia m á s alta en la señal para saber q u é tan r á p i d o m u e s t r e a r y c ó m o filtrar la señal m u e s t r e a d a p o r i m p u l s o s para recuperar la original. E n este enunciado m á s general del teorema de muestreo se necesita conocer la b a n d a de frecuencias q u e ocupa la señal y utihzar un filtro ideal que abarque esa b a n d a para recuperarla. L a elección d e la tasa de m u e s t r e o en la figura 7.24 fue fortuita. Se p u d o h a b e r elegido u n a tasa diferente en la cual se traslaparan los alias. E s t o p o d r í a h a b e r ocurrido incluso con u n a tasa de m u e s treo un p o c o m á s alta. Si se m u e s t r e a a u n a tasa superior al d o b l e de la frecuencia m á s alta, e n t o n c e s n o h a y f o r m a de que los alias se traslapen. L a fórmula general para la tasa de m u e s t r e o m í n i m a posible sobre la cual es factible recuperar la señal p a s a b a n d a a partir de m u e s t r a s es 2/2

(7.42)

E n t e r o m á s g r a n d e que n o e x c e d a / j / í / , — / , ) O b s e r v e q u e s i / j = O, esto se r e d u c e al t e o r e m a de m u e s t r e o de S h a n n o n c o m o se e n u n c i ó antes. E n el c a s o especial en el q u e / 2 ~ "^^A ~ / i ^ ' d o n d e m es un entero, la fórmula se v u e l v e

f,>

—

= lUi

(7.43)

fi)

|X5(/)I

1X(/)1 •V

-/2

•

-/l

A-

F I G U R A 7.23 Un espectro de señal pasabanda.

-fl

F I G U R A 7.24 El espectro de una señal pasabanda muestreada por impulsos.

la cual indica q u e la tasa de m u e s t r e o m í n i m a absoluta e n la situación m á s favorable es el doble del a n c h o de b a n d a de la señal, n o la frecuencia m á s alta. Sin e m b a r g o , es necesario tener c u i d a d o . A l g u nas tasas de m u e s t r e o q u e s o n m á s altas p e r o atín m e n o r e s q u e el doble d e la frecuencia m á s alta p r o vocarán q u e los alias se traslapen. E n situaciones de diseño de ingeniería m á s reales, la solución práctica es elegir u n a tasa de m u e s t r e o q u e sea m a y o r al d o b l e de la frecuencia m á s alta e n la señal y, c o m o se verá dentro de p o c o , esa tasa suele estar m u y p o r arriba de la tasa de N y q u i s t p a r a simplificar la r e c o n s t r u c c i ó n de la señal.

7.3 Representación de una señal en tiempo continuo mediante muestras

INTERPOLACIÓN ¿ C ó m o p o d r í a reconstruirse e x a c t a m e n t e u n a señal a partir d e sus m u e s t r a s , s u p o n i e n d o q u e se h a m u e s t r e a d o de m a n e r a a p r o p i a d a ? L a descripción del p r o c e s o de r e c o n s t r u c c i ó n e n el d o m i n i o de la frecuencia consistió e n filtrar la señal m u e s t r e a d a p o r i m p u l s o s c o n u n filtro pasabajas ideal q u e corta arriba def^ y debajo d e / — /^^ y tiene u n a g a n a n c i a d e T^. (figura 7.25). S e a / ^ la frecuencia de corte del filtro. E n ese c a s o

X(f)

J _

= T, rect

X8(/)

2fc

fm < /. < (/

/,„).

(7.44)

¿Cuál es la operación equivalente en el d o m i n i o del t i e m p o ? T o m a n d o la transformada inversa.

x ( í ) = 2 / , r , s i n c ( 2 / , r ) * x^{t)

= 2 ^ sinc(2/,í) * X8(r) Js

(7.45)

y como J2

X8(í) =

x(«7:.)S(í -

nTs),

(7.46)

es posible afirmar q u e x(0 = 2 ^ f

xinTs)

smc(2f,{t-nTs)).

(7.47)

El p r o c e s o de r e c o n s t r u c c i ó n consiste en r e e m p l a z a r cada m u e s tra p o r u n a función sinc, centrada en el t i e m p o de la m u e s t r a y e s í f-

calada 2 =~

veces el valor de la m u e s t r a y s u m a n d o d e s p u é s

todas la funciones creadas de esa m a n e r a . El p r o c e s o de hallar los valores d e la señal entre m u e s t r a s se d e n o m i n a interpolación. S u p o n g a q u e la señal se m u e s t r e a e x a c t a m e n t e a la tasa de N y q u i s t / = 2 4 . A h o r a el r e q u e r i m i e n t o / , , < /^ < / - / „ n o p u e d e satisfacerse p u e s t o q u e / , , = / ~ / „ . E n estas c o n d i c i o n e s , debe permitirse q u e la frecuencia de corte del filtro y la frecuencia m á x i m a en la señal sean iguales. E s t o funcionará s i e m p r e y c u a n d o el espectro de la señal n o t e n g a u n i m p u l s o en/,^. (Si h a y un i m p u l s o en/^,, éste se verá e x p u e s t o a la f o r m a c i ó n de alias en el p r o c e s o de m u e s t r e o . ) E n t o n c e s el p r o c e s o de interpolación se describe m e d i a n t e la expresión m á s simple

t(í) =

x ( « r j ) sinc

t — nTs Ts

|Xs(/)l Filtro pasabajas ideal

F I G U R A 7.25 Rechazo de alias con un filtro pasabajas ideal.

(7.48)

A h o r a la interpolación consiste en multiplicar c a d a función sinc por su c o r r e s p o n d i e n t e valor de m u e s t r e o y e n sumar- d e s p u é s todas las funciones sinc escaladas y d e s p l a z a d a s c o m o se ilustra en la figura 7.26. Este m é t o d o de interpolación reconstruye la señal en forma exacta, pero se fundamenta en u n a suposición q u e n u n c a se justifica en la práctica: la disponibilidad de una cantidad infinita de m u é s -

F I G U R A 7.26 Proceso de interpolación de una señal muestreada a su tasa de Nyquist.

tras. E l valor interpolado en cualquier punto es la s u m a d e las contribuciones d e u n a cantidad infinita d e funciones sinc ponderadas. Sin embargo, puesto q u e en la práctica n o es posible adquirir u n a cantidad infinita de muestras, es necesario reconstruir la señal d e manera aproximada utilizando u n n ú m e r o finito de ellas. Existen m u c h a s técnicas que es posible utihzar, y la selección d e u n a d e ellas en cualquier simación depende d e la exactitud de la reconstrucción q u e se requiere y d e q u é tan sobremuestreada esté la señal. Quizá la idea de reconstrucción aproximada m á s simple corresponda a dejar q u e la reconstrucción sea siempre el valor d e la muestra m á s reciente (figura 7.27). Ésta es u n a técnica simple porque las muestras, en la forma de códigos numéricos, pueden ser la excitación d e un C D A que se maneja mediante un reloj para producir u n a nueva señal d e respuesta c o n cada pulso del reloj. L a señal producida mediante esta técnica tiene u n a ^ ' forma d e escalera q u e sigue (y retrasa) la señal original. Este tipo d e reconstrucción de señal puede modelarse (excepto p o r efectos d e cuantización) haciendo pasar la señal muestreada p o r impulsos a ttavés d e u n sistema d e n o m i n a d o retenedor de orden cero cuya respuesta al impulso es

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

x(í)

F I G U R A 7.27 Reconstrucción de la señal retenida de orden cero.

h(/) =

1 O

O< í < en otro caso

= rect

(7.49)

(figura 7.28). E s posible c o m p a r a r este sistema d e r e c o n s t r u c c i ó n c o n u n filtro d e r e c o n s t r u c c i ó n pasabajas ideal o b s e r v a n d o la función d e transferencia del r e t e n e d o r d e o r d e n c e r o .

H(/) =

sinc(r,/)e--'"^^^

(7.50)

(figura 7.29). h(í)

F I G U R A 7.28 Respuesta al impulso de un retenedor de orden cero.

|H(/)|

U n filtro d e r e c o n s t r u c c i ó n ideal incluiría el a n c h o d e b a n d a d e la señal sin distorsión y excluiría a t o d o s l o s alias. E l r e t e n e d o r d e o r d e n cero n o tiene u n a n c h o d e b a n d a a b s o luto c o m o el filtro d e r e c o n s t r u c c i ó n ideal p o r q u e la m a g n i t u d d e su función d e transferencia n o es cero p a r a todas las frecuencias m á s allá d e a l g u n a frecuencia finita. E n v e z d e e s o su función d e transferencia tiene u n p u n t o n u l o e n el centro d e c a d a alias y p o r lo general d i s m i n u y e c o n la frecuencia. L a s figuras 7 . 3 0 a 7 . 3 2 ilustran u n espectro d e la señal original d e s p u é s d e q u e se h a m u e s t r e a d o p o r i m p u l s o s , y los efectos d e la r e t e n c i ó n d e o r d e n cero e n la r e c o n s t r u c c i ó n d e la señal original a partir de las m u e s t r a s . E l r e t e n e d o r d e o r d e n cero r e d u c e el efecto de los alias, p e r o n o los e ü m i n a p o r c o m pletó; a d e m á s , n o tiene u n a parte superior p e r f e c t a m e n t e p l a n a a bajas frecuencias c o m o el filtro d e r e c o n s t r u c c i ó n ideal, d e m o d o q u e introduce cierta distorsión. U n a f o r m a p o p u l a r de reducir a ú n m á s los efectos de los ahas consiste en seguir la retención de orden cero c o n un filtro pasabajas práctico q u e suavice los escalones provocados p o r el retenedor de orden cero. Éste (7.49), causa d e m a n e r a inevitable un retraso c o n respecto a la señal original p o r q u e es causal. Otra idea d e reconstrucción natural es interpolar entre m u e s t r a s c o n líneas rectas (figura 7.33). É s t a es e v i d e n t e m e n t e u n a a p r o x i m a c i ó n m e j o r a la señal original, a u n q u e es u n p o c o m á s difícil d e p o n e r en práctica. C o m o se dibuja e n la figura 7 . 3 3 , el valor d e la señal interpolada e n cualquier tiemp o d e p e n d e del valor d e la m u e s t r a p r e v i a y del valor d e la siguiente. L o anterior n o p u e d e efectuarse e n t i e m p o real p o r q u e n o se c o n o c e el valor d e la siguiente muestra. N o obstante, si existe la disposición p a r a retrasar la señal reconstruida p o r u n t i e m p o d e m u e s t r e o T^, es posible h a c e r q u e el p r o c e s o de reconstrucción ocurra e n t i e m p o real y la señal r e c o n s t r u i d a aparecería c o m o e n la figura 7 . 3 4 .

F I G U R A 7.29 Función de transferencia de una retención de orden cero.

Esta interpolación p u e d e llevarse a c a b o siguiendo el r e t e n e d o r d e o r d e n cero (7.49), m e d i a n t e u n r e t e n e d o r d e o r d e n cero idéntica. L o anterior significa q u e la r e s p u e s t a al i m p u l s o d e u n filtro d e reconstrucción d e señales d e tal tipo sería la c o n v o l u c i ó n d e la r e s p u e s t a al i m p u l s o del r e t e n e d o r d e o r d e n cero c o n s i g o m i s m a .

Señal original

Función de transferencia del retenedor de orden cero

|X(/)|

|H(/)!

Señal muestreada

7.3 Representación de una señal en tiempo continuo mediante muestras

Señal reconstruida

|X,(/)|

1X,(/)H(/)|

nCURA 7.30 Los espectros de magnitud de la señal original y ie una versión muestreada por impulsos.

Original

F I G U R A 7.31 Magnitud de la función de transferencia de un retenedor de orden cero y el espectro de magnitud de la señal muestreada reconstruida utilizando el retenedor de orden cero.

Original

Reconstruida

f l G U R A 7.32 Comparación entre la señal original y la •áal reconstruida en el ancho de banda de la señal « g i n a l en donde se muestra el efecto de la parte «perior redondeada de la función de transferencia i éd retenedor de orden cero.

F I G U R A 7.33 Reconstrucción de señal mediante una interpolación de línea recta.

x(í)

.7.34 ucción de señal de línea recta retrasada por r 'áempo de muestreo.

.'í-(r,/2)_ h ( r ) = rect ( | * rect

F I G U R A 7.35 Respuesta al impulso de un retenedor de primer orden.

t-{TJ2)\

fenra 7.35). Este tipo de filtro se denomina un retenedor de primer

= tri

(7.51)

orden. Su función de transferencia es

H ( / ) = Ts sinc2(^,/)e-^•2"•^^^

(7.52)

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

E s t a función de transferencia es similar a la del r e t e n e d o r de o r d e n cero p e r o atenúa m á s los alias p o r q u e su m a g n i t u d d i s m i n u y e m á s r á p i d o con el a u m e n t o de la frecuencia. Si dos retenedores de orden cero son mejor que u n o , ¿tres son mejor que d o s ? L a respuesta es p o r lo general afirmativa si sólo se considera la uniformidad de la reconstrucción y se p a s a p o r alto cualquier otro criterio c o m o la complejidad del sistema, el costo o el retraso. Cualquier retenedor d e o r d e n e n é s i m o c o n v o l u c i o n a d o con u n retenedor de orden cero crea u n o de orden {n + 1-ésimo que uniforma m á s la señal p e r o q u e al m i s m o t i e m p o retrasa m á s la señal reconstruida. L a aceptación del retraso en la reconstrucción de la señal para obtener una reconstrucción m á s uniforme es un c o m p r o m i s o de diseño inherente y surge del m i s m o concepto que se aplica al diseño de los filtros casi ideales, en que cuanto m á s se tiende al filtro ideal, m á s t i e m p o debe esperarse para obtener la respuesta. U n e j e m p l o m u y familiar del u s o del m u e s t r e o y la reconstrucción de señales es la r e p r o d u c c i ó n de un disco c o m p a c t o de audio ( C D ) . U n C D a l m a c e n a m u e s t r a s de una señal musical q u e se h a n t o m a d o a u n a tasa de 44.1 k H z . L a m i t a d de dicha tasa de m u e s t r e o es 22.05 k H z . L a r e s p u e s t a en frec u e n c i a del o í d o h u m a n o se t o m a de m a n e r a c o n v e n i e n t e para q u e se e x p a n d a d e s d e a p r o x i m a d a m e n t e 20 H z hasta 20 k H z c o n a l g u n a variabilidad en ese intervalo. Así, la v e l o c i d a d de m u e s t r e o es un p o c o m a y o r q u e el d o b l e de la frecuencia m á s alta q u e p u e d e detectar el o í d o h u m a n o .

MUESTREO DE UNA SENOIDE E l p u n t o central del análisis de Fourier es q u e cualquier señal p u e d e d e s c o m p o n e r s e en senoides (reales o complejas). P o r lo tanto, se e x p l o r a r á el m u e s t r e o c o n s i d e r a n d o algunas senoides reales m u e s treadas p o r arriba, p o r abajo y a la tasa de Nyquist. E n c a d a e j e m p l o ocurre u n a m u e s t r a en el t i e m p o f = 0. E s t o fija u n a relación de fase definida entre u n a señal m a t e m á t i c a descrita e x a c t a m e n t e y la form a en q u e se muestrea. (Esto es arbitrario, p e r o s i e m p r e debe haber u n a referencia del tiempo de m u e s t r e o , y c u a n d o se obtiene un m u e s t r e o p a r a t i e m p o s finitos, la p r i m e r a m u e s t r a estará s i e m p r e en el t i e m p o ? = O, a m e n o s que se establezca de otra m a n e r a . )

Caso 1 U n coseno muestreado a una tasa que es cuatro veces su frecuencia o al doble de su tasa de Nyquist (figura 7.36). Es claro en este caso que los valores de la muestra y el conocimiento de que la señal se muestrea lo suficientemente rápido resultan adecuados para describir de m a n e r a única esta senoide. N i n g u n a otra senoide de esta o cualquier otra frecuencia por debajo de la mitad de la velocidad de muestreo podría pasar exactamente a través de todas las muestras en el intervalo de tiempo c o m p l e to < « < -l-x. D e hecho, ninguna otra señal de ningún tipo que sea limitada en b a n d a y esté por debajo de la mitad de la velocidad de m u e s t r e o pasaría exactamente a través de todas las muestras. Caso 2 U n coseno m u e s t r e a d o al doble de su frecuencia o en su tasa de Nyquist (figura 7.37). ¿Este muestreo es adecuado para determinar en forma única la señal? N o . Considere la señal senoidal en la figura 7.38, que es de la m i s m a frecuencia y pasa exactamente por las m i s m a s muestras. Éste es un caso especial que ilustra la sutileza m e n c i o n a d a antes en el teorema del muestreo. Para tener la certeza de reconstruir en forma exacta cualquier señal general a partir de sus muestras, la tasa de muestreo debe ser mayor, n u n c a igual, que la tasa de Nyquist. E n ejemplos anteriores eso no importaba p o r q u e la potencia de señal en la frecuencia de Nyquist era cero (sin impulso en el espectro de a m p l i m d correspondiente). Si hay u n a senoide en u n a señal, exactamente en su límite de banda, el muestreo debe exceder la tasa de Nyquist para la reconstrucción exacta, en general. Observe que no hay a m b i g ü e d a d con respecto a la frecuencia de la señal. Sin e m b a r g o , sí se presenta en cuanto a la amplitud y la fase, c o m o se ilusü-a en las figuras. Si se hubiera aplicado el procedimiento de la interpolación de la función sinc a las muestras de la figura 7.38 hubiera resultado el coseno de la figura 7.37 que se muestreo a sus valores m á x i m o s .

x[«l

x[«]

x(í)

1 \ \

1 1 1

\ ( \ / \ /

1í

t 1 1

; \ ; \ ¿ \

1 I

^ \ \

' '

1 1 1 1

\ \ \

\ \

1 \ 1

F I G U R A 7.36 Coseno muestreado al doble de su tasa de Nyquist.

/ 1

\ \ / \ / \ /

\ \ \

\ >

' 1 /

\ \

\ 1

F I G U R A 7.37 Coseno muestreado a su tasa de Nyquist.

7.3 Representación de una señal en tiempo continuo mediante muestras

F I G U R A 7.38 Senoide con las mismas muestras como un coseno muestreado a su tasa de Nyquist.

Cualquier senoide a cierta frecuencia p u e d e expresarse c o m o la s u m a de u n c o s e n o n o desplazados cierta amplitud a la m i s m a frecuencia. L a s amplitudes del seno y el coseno n o recorridos d e p e n d e n d e rase d e la s e n o i d e original.

A cosil-nfot

(7.53)

+ 0 ) = A cos(2'n-/oí) c o s ( e ) - A sen(2'TT/of) s e n ( e )

A c o s ( 2 7 T / o r + Q) = A c o s ( e ) c o s ( 2 T r / o í ) + [-A A,

s e n ( e ) ] sen(2'TTjíií)

(7.54)

(7.55)

A C O S ( 2 I T / O ? + 6 ) = A c C o s ( 2 T r / o í ) + A^ s e n ( 2 i T / o í )

Coando u n a s e n o i d e se m u e s t r e a e x a c t a m e n t e a la tasa d e N y q u i s t , la i n t e r p o l a c i ó n d e la función sinc j r o d u c e s i e m p r e la p a r t e c o s e n o y d i s m i n u y e la p a r t e seno, u n efecto d e alias. L a p a r t e c o s e n o d e u n a i«aioide g e n e r a l a m e n u d o r e c i b e el n o m b r e d e p a r t e en fase, r.?mo la p a r t e en cuadratura.

y la p a r t e s e n o m u c h a s v e c e s se c o n o c e

L a e l i m i n a c i ó n de la p a r t e en c u a d r a t u r a d e u n a s e n o i d e p u e d e v e r s e sin

j í ñ c u l t a d e s e n el d o m i n i o del t i e m p o m u e s t r e a n d o u n a función seno n o d e s p l a z a d a a la tasa d e N y inist. Todas las m u e s t r a s son c e r o (figura 7.39). Si se agregara u n a función seno de cualquier a m p h t u d a esta frecuencia (la mitad de la tasa d e m u e s T e o ) a cualquier señal y luego se muestreara d e n u e v o , las muestras serían iguales, c o m o si la función « a o no estuviera a h í p o r q u e su valor es e x a c t a m e n t e igual a c e T. en cada t i e m p o d e m u e s t r e o (figura 7.40). P o r lo tanto, la par-

X[í7]

= x(nr,)

s de cuadratura, o el seno, de u n a señal q u e está e x a c t a m e n t e a a mitad d e la tasa de m u e s t r e o n o se presenta c u a n d o se m u e s l e a la señal. Cmo

U n a senoide muestreada a u n a tasa u n p o c o m a y o r

ase la de Nyquist (figura 7.41). E n este caso, c o m o la tasa d e UBestreo

es m a y o r q u e la tasa d e Nyquist, n o todas las muestras

i r e n en cruces por cero y existe suficiente información en las

21 _

x(f)

1 1

~2 A senCirn)

stras para reconstruir la señal. Sólo hay u n a senoide c u y a ÍBOiencia es m e n o r q u e la mitad de la tasa d e muestreo; d e a m 1 fase y frecuencia únicas; y q u e pasa de m a n e r a exacta a wés d e todas estas muestras. x[n] + A sen(-n-«)

x[«l

x(f)

I l\ I \ I

-T—^ \ \

/ /

nCURA 7.39 > muestreado a su tasa de Nyquist.

^ /

V H' \/

F I G U R A 7.40 Efecto sobre las muestras de la adición de un seno a la mitad de la tasa de muestreo.

426

x[n]

CAPÍTULO 7

x(í)

El muestreo y la transformada de Fourier discreta

•

'./;

¡./V

F I G U R A 7.42 Dos senoides de frecuencia diferentes que tienen los mismos valores de muestra.

F I G U R A 7.41 Seno muestreado a un poco más de su tasa de Nyquist.

Caso 4 D o s s e n o i d e s d e frecuencias diferentes m u e s t r e a d a s a la m i s m a tasa c o n los m i s m o s v a l o r e s de m u e s t r a (figura 7.42). E n este c a s o , la s e n o i d e d e frecuencia inferior se s o b r e m u e s t r e a y la s e n o i d e d e frecuencia superior se s u b m u e s t r e a . E s t o ilustra la a m b i g ü e d a d c a u s a d a al submuestrear. Si sólo se tuviera a c c e s o a m u e s t r a s d e la s e n o i d e d e frecuencia m á s alta, es m u y p r o b a b l e q u e se interpretarían c o m o si p r o v i n i e r a n d e la s e n o i d e d e frecuencia m á s baja. R e c u e r d e q u e el e s p e c t r o d e u n a señal m u e s t r e a d a es el e s p e c t r o d e la señal original, sólo q u e m u l t i p l i c a d o p o r la tasa d e m u e s t r e o y r e p e t i d o a m ú l t i p l o s e n t e r o s d e la t a s a d e m u e s t r e o . Si é s e es el c a s o , y u n a s e n o i d e xi(í)

ACOS(2'IT/OÍ +

(7.56)

se m u e s t r e a a u n a v e l o c i d a d / . , las muesü:as serán i g u a l e s q u e las d e otra s e n o i d e X2(í) =

A COS(2TT(/O +

kf,)t

(7.57)

9).

d o n d e k es cualquier entero (incluso u n o negativo). E s t o se demuestira c o n m a y o r facilidad e x p a n d i e n d o el a r g u m e n t o de X2(í), X2(r) =

A cos(2TT/or +

2Tx{kf,)t

(7.58)

0).

L a s m u e s t r a s o c u r r e n e n los t i e m p o s nT^, d o n d e n es u n e n t e r o . P o r lo tanto, los v a l o r e s d e la m u e s tra e n é s i m a d e las dos s e n o i d e s s o n

y, p u e s t o q u e f^T^

xiinTs)

= A cos(27i

fonTs

X2{nTs)

= A cosilTTfonTs

+ 6)

+ 2'u{kf,)nT,

(7.59) +

= 1, la s e g u n d a e c u a c i ó n se simplifica e n XjinT,)

A C O S ( 2 ' I T / O « 7 ; -|- Ikrrn

+ 9).

(7.60)

E n ese c a s o , p u e s t o q u e kn es el p r o d u c t o d e e n t e r o s y, e n c o n s e c u e n c i a , t a m b i é n es u n e n t e r o , y p u e s t o q u e a g r e g a r u n m ú l t i p l o e n t e r o d e 2'IT al a r g u m e n t o d e u n a s e n o i d e n o c a m b i a su valor,

X 2 ( n r , ) = A c o s ( 2 T T / o n 7 ; + Ikfin

-H 9 ) = A cos(27rfonT,

+ Q) = XiinT,).

(7.61)

7.4 MUESTREO DE SEÑALES EN TIEMPO DISCRETO E n las s e c c i o n e s 7.1 a 7.3 t o d a s las señales q u e se m u e s t r e a r o n eran e n T C . E s p o s i b l e t a m b i é n m u e s trear señales e n T D . Al igual q u e en el m u e s t r e o d e señales e n T C , el p r i n c i p a l interés e n el m u e s t r e o d e señales e n T D es saber si la i n f o r m a c i ó n se p r e s e r v a . H a y d o s m e c a n i s m o s c o m p l e m e n t a r i o s q u e se utilizan en el p r o c e s a m i e n t o de señales e n T D para c a m b i a r la tasa d e m u e s t r e o d e u n a señal: e interpolación.

diezmo

E l p r i m e r o es u n p r o c e s o e n el q u e se r e d u c e el n ú m e r o d e m u e s t r a s , y e n el s e g u n d o

se i n c r e m e n t a el n ú m e r o d e las m i s m a s . C o n s i d e r e p r i m e r o el d i e z m o .

Se m u e s t r e a p o r i m p u l s o s u n a señal en T C m u l t i p l i c á n d o l a p o r u n tren d e i m p u l s o s en T C , u n a función c o m b en T C . D e m a n e r a análoga, es p o s i b l e m u e s t r e a r u n a señal en T D al multiplicarla p o r u n tren d e i m p u l s o s en T D , u n a función c o m b en T D . C o n s i d e r e q u e la señal en T D q u e se v a a m u e s t r e a r es x [ n ] . E n t o n c e s la señal m u e s t r e a d a sería Xs[n]

d o n d e A^^ es el t i e m p o discreto entre m u e s t r a s y la tasa de m u e s t r e o en T D es L a T F T D de la señal m u e s t r e a d a es

XsiF)

(7.62)

= x[n] c o m b i v . [ « ] ,

= X{F)®comh{N,F)

= l/N^ (figura 7.43).

(7.63)

= X(F)®comb ( —

(figura 7.44). E s evidente la similitud entre el muestreo en T D y en T C . E n a m b o s casos, si los alias n o se traslapan, la señal original p u e d e recuperarse a partir de las muestras y hay u n a tasa de m u e s t r e o m í n i m a para recuperar las señales. L a tasa de muestreo debe satisfacer la desigualdad F^ > 2F^, d o n d e F^^ es la frecuencia en T D p o r arriba d e la cual la T F T D d e la señal en T D original es cero (en el periodo fundamental b a s e , ! FI < j ) . E s t o es, para f < ! F I < 1 - F,,^ la T F T D de la señal original es cero. U n a señal en T D que satisface este requerimiento está limitada en b a n d a en el sentido en t i e m p o discreto. D e igual m o d o q u e c o n el m u e s t r e o en T C , si u n a señal se m u e s t r e a de m a n e r a a p r o p i a d a , es p o s i ble reconstruirla a partir de las m u e s t r a s utilizando interpolación. El p r o c e s o de r e c u p e r a r la señal original se describe e n el d o m i n i o de la frecuencia en T D c o m o u n a o p e r a c i ó n d e n i t r a d o pasabajas,

X(F)

=X,(F)

1 — rect F,

2F,

(7.64)

* comb(F)

donde F^ es la frecuencia d e corte en T D del filtro pasabajas ideal en T D . L a o p e r a c i ó n e q u i v a l e n t e en el d o m i n i o en T D es u n a c o n v o l u c i ó n en T D , 2F x[n] = Xs[n] * — -

(7.65)

sinc(2Fcn).

x[nl

comb4[nl

x,[n]

A A A A AJS-J\ AJK -1

nCURA 7.43 Un ejemplo de muestreo en TD.

F I G U R A 7.44 TFTD de una señal en TD y una versión muestreada de ella.

7.4 Muestreo de señales en tiempo discreto

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

E n la aplicación práctica del m u e s t r e o de señales en T D , n o tiene m u c h o sentido retener todos esos valores cero entre los p u n t o s de m u e s t r e o d e b i d o a q u e ya se sabe q u e son cero. E n c o n s e c u e n cia, es c o m ú n crear u n a n u e v a señal [«] q u e sólo tiene valores distintos de cero de la señal x^ [n] en T D para múltiplos enteros del intervalo de m u e s t r e o N^. E l p r o c e s o de formar esta n u e v a señal recibe el n o m b r e de diezmo. El d i e z m o se discutió en forma b r e v e en el capítulo 2. L a s relaciones entre las señales están dadas p o r X r f [ n ] = XsINsH]

(7.66)

= xlNsti].

Esta operación es u n e s c a l a m i e n t o en el t i e m p o en T D que, para A'^j > 1, c a u s a la c o m p r e s i ó n d e t i e m p o en T D , y el efecto c o r r e s p o n d i e n t e en el d o m i n i o de la frecuencia en T D es la e x p a n s i ó n d e frec u e n c i a en T D . L a T F T D de x^ [n] es oo

X,(F)=

^.ÁNsn]e-^'-"'

(7.67)

E s posible realizar un c a m b i o de variable m - N^n, lo q u e p r o d u c e oo

(7.68)

m=—oc m=múltiplo entero de ;V,

Ahora, aprovechando el h e c h o de que todos los valores adicionales de x^[n\ entre los valores permitidos, m - múltiplo entero de N^, son cero, pueden incluirse los ceros en la sumatoria, con lo q u e se obtiene

(7.69) D e m a n e r a q u e la T F T D de la señal con d i e z m o es u n a versión e s c a l a d a en frecuencia en T D de la T F T D de la señal m u e s t r e a d a (figura 7.45). O b s e r v e con c u i d a d o q u e la T F T D de la señal con diezm o no es u n a versión escalada en frecuencia en T D de la T F T D d e la señal original, sino m á s b i e n u n a versión e s c a l a d a en frecuencia en T D de la señal original m u e s t r e a d a en T D , í F \

(7.70)

A l g u n a s veces se utiliza el t é r m i n o muestreo reducido en lugar de d i e z m o . E l t é r m i n o p r o v i e n e de la idea de q u e la señal en T D se produjo m u e s t r e a n d o u n a señal en T C . Si esta ú l t i m a fue sobrem u e s t r e a d a en cierto factor, entonces la señal en T D p u e d e d i e z m a r s e e m p l e a n d o el m i s m o factor sin p e r d e r información acerca de la señal en T C original, lo que r e d u c e de esa m a n e r a la tasa de m u e s t r e o efectivo o de m u e s t r e o r e d u c i d o . x[n]

1X,(F)| AF,-

A A A A J ^ A A A A -1

Xj[nl

F I G U R A 7.45 Comparación de los efectos en el dominio en TD y en el dominio de la frecuencia en TD del muestreo y el diezmo.

ix/f)|

-1

1 1

L o o p u e s t o del d i e z m o es la interpolación o muestreo incrementado. E l p r o c e s o es s i m p l e m e n t e : inverso del d i e z m o . L o s p r i m e r o s ceros adicionales se u b i c a n entre m u e s t r a s , y luego la señal crea-

, ,

de ese m o d o se filtra m e d i a n t e un filtro pasabajas en T D ideal. Sea x[«] la señal en T D original y . nsidere q u e la señal creada al a g r e g a r A^^ ^ 1 ceros entre m u e s t r a s es x^[n]. E n t o n c e s

señales en tiempo discreto

429 TA Muestreo

— es u n entero

x,[«] =

en otro caso

Esta e x p a n s i ó n de x[n] en T D p a r a formar x^[n] es el o p u e s t o exacto de la c o m p r e s i ó n de x^[n] en T D para formar x^[n] en d i e z m o , p o r lo q u e d e b e esperarse q u e el efecto en el d o m i n i o de la frecuencia en T D sea t a m b i é n el o p u e s t o , u n a e x p a n s i ó n en T D p o r u n factor de A^^ crea u n a c o m p r e s i ó n de frecuencia en T D p o r el m i s m o factor Xs{F)

X{NsF)

(7.71)

Ifigura 7.46). L a señal x^,[n] p u e d e hacerse pasar por un filtro pasabajas para interpolar entre los valores distintos de cero. Si se recurre a un filtro pasabajas de ganancia unitaria ideal con una función de transferencia H ( F ) = rect(AfjF) * c o m b ( F ) ,

(7.72)

X,(F) = X,(F)[rect(Aí,F) * comb(F)],

(7.73)

i e obtiene u n a señal interpolada,

|X(F)i

-1 x.LnJ

|X.(F)|

F I G U R A 7.46 Efectos en los dominios en TD y de la frecuencia en TD, al insertar A^^ - 1 ceros entre muestras.

-mí -1

|X(F)| A,

-1 x,[n]

|X,(F)|

-1

-1 X;W

J_I_

TTTT!TTT>.^^,...,

ií1 1

' F I G U R A 7.47 Comparación de los efectos de la expansión y la interpolación en el dominio en TD y en el dominio de la frecuencia en TD.

430

y la e q u i v a l e n t e en el d o m i n i o en T D es

CAPÍTULO 7

1 x,[m] = x j « ] * —

El muestreo y la transformada de Fourier discreta

smc

y—

(figura 7.47). O b s e r v e q u e la interpolación m e d i a n t e el filtro pasabajas ideal de g a n a n c i a unitaria introduce u n factor de g a n a n c i a de l/N^, lo q u e r e d u c e la a m p l i t u d de la señal interpolada x¡[n] c o n resp e c t o a la señal original x[n]. E s t o p u e d e c o m p e n s a r s e si se utiliza u n filtro pasabajas ideal con u n a g a n a n c i a de A'^^, H ( F ) = Ns r e c t ( A f , F ) * c o m b ( F ) ,

(7.75)

= 5 sen(2 OOOiií) cos(20 OOOirí)

(7.76)

en vez de u n a g a n a n c i a unitaria.

E.IEMPLO 7 . 3 Maestree la señal DBLPS

x{t)

a 80 kHz en u n periodo fundamental para formar una señal \[n] en TD, tomando cada cuarta muestra de x[n] para formar x^[n], y diezme x^[n] para formar x¿n]. Despue's realice un muestreo incrementado en x^[n] por un factor de ocho para formar x-[n].

• Solución Vea las figuras 7.48 y 7.49.

h •lII

|X(f)|

5 4

L i l i Ii f •1 1 f

1 , ,

1 -1

lx,(f)|

f J

L r

|X/F)|

Xrfl"]

11 TT -5 +

-1

F I G U R A 7.48 Señales en TD original, muestreada y diezmada y sus TFTD.

7.5 Señales periódicas de banda limitada

F I G U R A 7.49 Señales en TD original, con muestreo incrementado y filtradas por pasabajas en TD.

7.5 SEÑALES PERIÓDICAS DE BANDA LIMITADA E n la sección 7.3 se v i o cuáles eran los r e q u e r i m i e n t o s p a r a m u e s t r e a r d e m a n e r a a d e c u a d a u n a señal. T a m b i é n se a p r e n d i ó q u e , en general, p a r a la reconstrucción perfecta de la señal se requiere u n a c a n t i d a d infinita de muestras. P u e s t o q u e u n a c o m p u t a d o r a tiene u n a c a p a c i d a d de a l m a c e n a m i e n t o finita, es i m p o r t a n t e investigar m é t o d o s de análisis de señales en T D utilizando u n ntimero finito de m u e s t r a s . U n tipo de señal q u e es p o s i b l e describir m e d i a n t e un ntimero finito de muestras es una p e r i ó d i c a de b a n d a limitada. El c o n o c i m i e n t o de lo que sucede en u n p e r i o d o es suficiente p a r a describir t o d o s los d e m á s , y u n p e r i o d o es de longitud finita (figura 7.50). E n c o n s e c u e n c i a , un n ú m e r o finito de muestras p a r a e x a c t a m e n t e u n p e r i o d o fundamental de u n a señal p e r i ó d i c a de b a n d a limitada t o m a d a s a u n a tasa superior a la de N y q u i s t constituye una descripción c o m p l e t a de la señal. C o n s i d e r e q u e u n a señal en T D f o r m a d a al m u e s t r e a r u n a señal p e r i ó dica x(í) de b a n d a limitada p o r arriba de su tasa de N y q u i s t es u n a señal

X[7J]

ílíL..iliL...í n n n =

N,o

F I G U R A 7.50 Señal en TC periódica de banda limitada y una señal en TD formada al muestrearla ocho veces por periodo fundamental.

F I G U R A 7.51 Señal en TC periódica de banda limitada, y una señal en TD y una señal de impulsos en TC creada al muestrearla por arriba de su tasa de Nyquist.

|X(/)1

CAPÍTULO 7

0.16

El muestreo y la transformada de Fourier discreta

TFTC

— 1 - ^ /

390

-390 |X(F)¡ 0.16

TFTD

i_t -3 \Mf)\

F I G U R A 7.52 Magnitudes de las transformadas de Fourier de las tres señales en el dominio del tiempo de la figura 7.51.

20.8

tlllltllllt

tllll lllll

TFTC

tlllltllllt

t 390

-390

x[n] p e r i ó d i c a e n T D , y q u e u n a versión m u e s t r e a d a p o r i m p u l s o s de x(f) m u e s t r e a d a a la m i s m a tasa sea XgíO (figura 7.51). E n la figura 7.51 sólo se muestra un periodo de muestras para subrayar q u e dicho p e r i o d o es suficiente para describir de m a n e r a c o m p l e t a a la señal periódica de b a n d a limitada. M e diante las relaciones de Fourier deducidas en el capítulo 5 se d e t e r m i n a n las transformadas de Fourier a p r o p i a d a s d e estas señales (figura 7.52). L a T F T C de x(f) consta sólo de impulsos porque es periódica y consiste en un ntimero finito de impulsos debido a q u e es de b a n d a limitada. A s í que u n ntimero finito de niímeros caracteriza p o r completo a la señal en los dominios tanto del tiempo c o m o de la frecuencia. Si se multiplican las intensidades del impulso en X ( / ) por la tasa de muestreo/^, se obtienen las intensidades del impulso en el m i s m o intervalo de frecuencias de Xg(/).

EJEMPLO 7 . 4 Determine la función armónica de la SFTC para la señal x(í) = 4 + 2 eos (20TTÍ) - 3 sen(40Trí) muestreando a una tasa mayor que la de Nyquist para exactamente un periodo fundamental y determine la función armónica de la SFTD de las muestras.

• Solución Hay exactamente tres frecuencias presentes en la señal: O, 10 y 20 Hz. Por lo tanto, la frecuencia más alta presente en la señal es 20 Hz y la tasa de Nyquist es 40 Hz. La frecuencia fundamental es el máximo común divisor de 10 y 20 Hz, que corresponde a 10 Hz. Así que se debe muestrear durante \^s. Si se fuera a muestrear la tasa de Nyquist por exactamente un periodo fundamental, se obtendrían cuatro muestras, si se fuera a muestrear de manera exacta un periodo fundamental por arriba de la velocidad de Nyquist, deben tomarse cinco o más muestras en un periodo fundamental. Para mantener simple el cálculo se muestreara ocho veces en el periodo fundamental. Esto es una tasa de muestreo de 80 Hz. Entonces, si se empieza el muestreo en el tiempo í = O, las muestras son { x [ 0 ] , x [ l ] , . . . , x [ 7 ] ) = 6, 1 -h V2, 4, 7 - V2, 2, 1 - V2, 4, 7 + V2

(7.77)

Al utilizar la fórmula para encontrar la función armónica de la SFTD de una función en TD,

XSFTD[^] = ~

^We-''^'"'

(7.78)

433

se obtiene 7.5 Señales

>[0],Xs

[l],....Xs

4, 1, i | , O, O,

.[7]} =

(7.79)

Éste es un periodo fundamental de la función armónica X^pj-j-, [le] de la SFTD de la función x[n] en TD. AI determinar la función armónica SFTC de x(f) = 4 + 2 cos(20"7Tf) — 3 sen(407Tr) de manera directa recurriendo a

[k] = — í x(í)e-''^<*''»" dt To Jto

(7.80)

se obtiene (Xs

.[-4],Xsftd[-3], ...,Xsftd[4])

3 3 0 . 0 . - j - , 1,4, 1, j - , 0 , O •^2 2

(7.81)

En los dos resultados, los valores {X[0], {X[l], {X[2],{X[3], {X[4]) son iguales, y aprovechando el hecho de que Xgp^p [K] es periódica con periodo fundamental 8, { X [ - 4 ] , X [ - 3 ] , X [ - 2 ] , X [ ~ 1]} son también iguales. Ahora se violará el teorema del muestreo tomando muestras a la tasa de Nyquist. En este caso hay cuatro muestras, {x[0],x[I],x[2],x[3]) = {6,4,2,4}

(7.82)

{X[0],X[1],X[2],X[3]} = {4,1,0,1}.

(7.83)

y la función armónica de la SFTD es

La función armónica de la SFTC es 3 3 - / - . 1.4. 1, j -

{X[-2].X(-1],...,XÍ2]} =

(7.84)

Faltan los valores j , s de la función armónica de la SFTD. Éstos son los coeficientes de la función seno a 40 Hz. Lo anterior es una demostración de que cuando se muestrea una función seno exactamente a la tasa de Nyquist, no es posible verla en las muestras porque éstas se toman de manera exacta en los cruces por cero.

E l lector atento q u i z á h a b r á n o t a d o q u e la d e s c r i p c i ó n de u n a señal b a s a d a en m u e s t r a s en el d o m i n i o del tiempo a partir de u n p e r i o d o f u n d a m e n t a l c o n s t a de un conjunto finito de n ú m e r o s x[n], ^ n <

+ A^Q, q u e c o n t i e n e n A^Q n ú m e r o s reales i n d e p e n d i e n t e s y q u e la c o r r e s p o n d i e n t e d e s c r i p -

ción de la función a r m ó n i c a de la S F T D de la señal en el d o m i n i o de la frecuencia i n c l u y e u n conjunto finito de n ú m e r o s X [ ^ ] , /TQ < A- <

+ N^, q u e c o n t i e n e A'Q n ú m e r o s c o m p l e j o s y, p o r lo tanto, 2Nq

n ú m e r o s reales (dos n ú m e r o s reales p a r a c a d a n ú m e r o c o m p l e j o , las partes real e i m a g i n a r i a ) . Así, parecería q u e la descripción en el dominio del tiempo es más eficiente q u e en el d o m i n i o de la frecuencia pues se lleva a cabo con u n a m e n o r cantidad de números reales. Sin embargo, ¿ c ó m o es posible q u e suceda esto c u a n d o el conjunto X[k], k^^

k <

+ Nq, se calcula directamente del conjunto x[«],

< «Q + Nq, sin ninguna información adicional? U n a inspección más cuidadosa de la relación entre los dos conjuntos de n ú m e r o s revelará que esta diferencia aparente es u n a ilusión. C o n s i d e r e p r i m e r o el coeficiente X [ 0 ] . Este se calcula m e d i a n t e la f ó r m u l a de la función a r m ó n i ca de la S F T D c o m o

(7.85) n = {Nn)

C o m o t o d a s las x [ n ] son reales, X [ 0 ] d e b e ser real p u e s es s i m p l e m e n t e el p r o m e d i o de t o d a s las x [ n ] . Hay dos casos p o r c o n s i d e r a r a c o n t i n u a c i ó n : A^Q par y A^Q impar. Caso 1

par. P o r s i m p l i c i d a d y sin p é r d i d a de g e n e r a l i d a d , en

X[^]

= — J2 ^ 0 ,M«„)

-j-!r(kn/No)

ko+No-1

-j-nikn/Na)

(7.86)

cas de banda

periódi-

limitada

434

sea

= ~-{NqI2).

Entonces

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

X[/:o] =

(7.87) n=(/Vo)

y se garantiza q u e X [ ^ Q ] es real. Todos los valores d e la función a r m ó n i c a d e la S F T D e n u n p e r i o d o , aparte d e X [ 0 ] y X[-{N^J2)],

ocurren e n pares X [ ^ ] y X[~k].

L u e g o r e c u e r d e q u e p a r a cualquier real

x[n], X[fc] = X * [ - f c ] . Esto es, u n a v e z q u e se c o n o c e X[k] t a m b i é n se c o n o c e X [ - ^ ] . D e tal m o d o , aunq u e c a d a X [ ^ ] c o n t i e n e d o s ntímeros reales, y c a d a X [ - ^ ] t a m b i é n , X [ - ^ ] n o agrega n i n g u n a información p u e s y a se sabe q u e X[k] = X*[-k\.

Esto es, X [ - ^ ] n o es independiente

tienen, c o m o números independientes, X [ 0 ] , X [ - (N^2)] {Nq¡2)]

- 1 p r o d u c e n u n total de 2{{N^2)

de X[k]. A s í q u e ahora se

para k positiva. Todas las X[fe] desde k = 1 hasta

- í) = Nq - 2 n ú m e r o s reales independientes. S e suman los

dos coeficientes reales garantizados X [ 0 ] y X[-{N^2)],

y finalmente se tiene u n total d e Nq n ú m e r o s rea-

les independientes e n la descripción del domirúo de la frecuencia de esta señal. Caso 2 Nq impar. P o r simplicidad, y sin p é r d i d a d e g e n e r a l i d a d , c o n s i d e r e k^^ = ~((-^o E n este c a s o , s i m p l e m e n t e se tiene X [ 0 ] m á s {Nq -

l)/2 pares conjugados complejos X [ ^ ] y

^y^)X[-k].

Ya se h a visto q u e X[k] = X * [ - ^ ] . D e m o d o q u e t e n e m o s el n ú m e r o real X [ 0 ] y d o s n ú m e r o s reales i n d e p e n d i e n t e s p o r p a r c o n j u g a d o c o m p l e j o o A'Q - 1 n ú m e r o s r e a l e s i n d e p e n d i e n t e s p a r a u n total d e Nq n ú m e r o s r e a l e s i n d e p e n d i e n t e s . E l c o n t e n i d o d e la i n f o r m a c i ó n en la f o r m a de n ú m e r o s reales i n d e p e n d i e n t e s se c o n s e r v a en el p r o c e s o d e c o n v e r t i r d e l d o m i n i o d e l t i e m p o al d e la frecuencia.

7.6 LA TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA Y SU RELACIÓN CON OTROS MÉTODOS DE FOURIER L a t é c n i c a d e análisis d e F o u r i e r q u e se u s a m á s c o m ú n m e n t e en el m u n d o es la l l a m a d a t r a n s f o r m a d a r á p i d a deT^ourier q u e es u n a l g o r i t m o eficieftte-^)aFa calcular la t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r discreta ( T F D ) , q u e es casi idéntica a la S F T D . L a s ú n i c a s diferencias r e a l e s s o n u n factor d e e s c a l a y la s u p o s i c i ó n d e q u e la p r i m e r a m u e s t r a d e la señal e n T C ocurre en el t i e m p o ? = 0. L a S F T D d e u n c o n j u n t o d e m u e s t r a s \[n] = x(nT^),

O ^ n < N^, a partir de la señal x(f) en T C se define m e d i a n t e el p a r

de transformadas

X[k]

^ " " ^ x[n]e-^'-^"''''^'>

k=0

d o n d e x [ n ] = x(nT^).

(7.88)

11=0

L a función a r m ó n i c a X [ ^ ] de la S F T D es p e r i ó d i c a c o n p e r i o d o f u n d a m e n t a l A^^,

y, e n g e n e r a l , la r e p r e s e n t a c i ó n X[n] E T . » ' X[k]e'^'"('^'^F>

e s sólo v á l i d a p a r a O ^ n < Np

Si x[n] es

p e r i ó d i c a c o n p e r i o d o f u n d a m e n t a l N^y Np= N^, e n t o n c e s la r e p r e s e n t a c i ó n x[n] 2"'.^' X[k]e'^'"<'''^'^F> es v á l i d a p a r a t o d a n. L a T F D d e e s e m i s m o c o n j u n t o d e m u e s t r a s se define m e d i a n t e el p a r d e t r a s f o r m a d a s

1 X n

[n] = —

Nf-I

k=0

Nr-l

t:fv

X[k]

^W'^'"'

x[«]<

-jlTiink/NF)

(7.89)

n=0

D e m o d o q u e la relación entre la función a r m ó n i c a d e la S F T D y la T F D e s

XTFDÍ^] =

NfXsFTDÍk].

(7.90)

U n a de las aplicaciones prácticas m á s importantes de la T F D es su u s o c o m o u n a aproximación d e la T F T C . E n el d e s a r r o l l o de la relación e n t r e la T F T C y la T F D q u e sigue, todas las e t a p a s d e p r o c e s a m i e n t o d e s d e la función e n T C original h a s t a la T F D se ilustrarán m e d i a n t e u n a señal d e e j e m p l o . C o n s i d e r e u n a señal x(f) en T C q u e se m u e s t r e a y q u e el n ú m e r o total d e m u e s t r a s q u e se t o m a n es Nf

Tpfs,

(7.91)

d o n d e Tp es el t i e m p o d e m u e s t r e o total y / m u e s t r a s es T d o n d e

435

es la frecuencia d e m u e s t r e o . E n t o n c e s el t i e m p o entre

7.6 La transformada de Fourier discreta y

su relación con otros

(7.92)

métodos

de Fourier

L a señal original del e j e m p l o tanto en el d o m i n i o del t i e m p o c o m o en el d e la frecuencia se m u e s t r a en la figura 7 . 5 3 . El p r i m e r p a s o del p r o c e s o e n la c o n v e r s i ó n d e la T F T C en la T F D consiste en m u e s t r e a r la señal x(í) en T C p a r a formar u n a señal x^[n] en T D . Xs[n]

(7.93)

x{nTs).

Señal aleatoria en TC

L a contraparte en el d o m i n i o d e la frecuencia d e la función e n T D es su T F T D . Si se e m p l e a n las r e l a c i o n e s entre los m é t o d o s d e F o u r i e r q u e se o b t u v i e r o n e n el capítulo 5, es p o s i b l e escribir la T F T D d e x^[n], X^( F), en t é r m i n o s d e la T F T C d e x(f), X ( / ) . É s t a es

X,(F) = / . X ( / , F ) * comb(F) = / , £

X ( / , ( F - «)),

x(f)

I \--

(7.94)

u n a versión e s c a l a d a e n frecuencia y r e p e t i d a p e r i ó d i c a m e n t e d e X(/) (figura 7.54). 0.381 Fase de X ( / )

F I G U R A 7.53 Señal en TC original y su TFTC.

Señal en TD formada muestreando la señal en T C

Señal en TD con ventana Xmvl"]

A tt63

tTTt, ..tttTTtt...^

'MT.i

tlU^ , „

-1 +

tnT...tttttttt., 63

-1 + |X,(F)|

V A"°l A

-2

Fase de X / f )

mmm Fase de X „ , ( F )

-2

— TT \

nOURA 7.54 Señal original, muestreada en el tiempo para formar una señal en TD, y la TFD de la señal en TD.

F I G U R A 7.55 Señal original muestreada en el tiempo y con ventana para formar una señal en TD, y la TFTD de esa señal en TD.

A c o n t i n u a c i ó n d e b e limitarse el n t i m e r o de m u e s t r a s a aquellas q u e o c u r r e n e n el t i e m p o de CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

m u e s t r e o A^^ e n T D total. C o n s i d e r e que el t i e m p o de la p r i m e r a m u e s t r a es n = 0. (Ésta es la suposic i ó n que se h a c e p o r regla e n la T F D . P o d r í a n utilizarse otras referencias de t i e m p o , p e r o el efecto de u n a referencia d e t i e m p o diferente es s ó l o u n d e s p l a z a m i e n t o d e fase q u e varía l i n e a l m e n t e c o n la frecuencia.) E s t o p u e d e llevarse a c a b o m u l t i p l i c a n d o x^.[«] p o r u n a función de ventana,

w[n] =

O <n

(7.95)

otro c a s o

c o m o se ilustra e n la figura 7 . 5 5 . E s t a función de v e n t a n a tiene e x a c t a m e n t e A^^ valores distintos de cero, el p r i m e r o de los cuales o c u r r e en u n t i e m p o discreto n = 0. L l á m e s e a la señal e n T D m u e s t r e a da y v e n t a n e a d a x^^^^.[n]. E n t o n c e s

x,„v[n] = w[«]x^[«] =

Xj[n]

O < n <

(7.96)

otro c a s o

El proceso de hmitar una señal a u n intervalo fmito Np- en tiempo discreto recibe el n o m b r e de ventaneo, porque sólo se considera una parte de la señal muestreada que p u e d e ser vista a través de una ventana en T D de longiUid finita. L a función de ventana no necesita ser un rectángulo. A m e n u d o se utilizan en la práctica otras formas de ventana para minimizar un efecto llamado fuga (que se describirá después) en el dominio de la frecuencia. L a T F T D de x^^ [n] es la convolución periódica de la T F T D de la señal x[n] en T D y la T F T D de la función de ventana w [ n ] , X„,v(F) =

(7.97)

W(F)®X,(F).

L a T F T D de la función de v e n t a n a es

(7.98) «=o

W(F)

I -

sen(TTF)

e-P--^

(7.99) o, e x p r e s a d a c o m o u n a función de Dirichlet, W ( F ) = ¿.-/•"^(^''-i'Aff d r c K f , A ' f ) .

(7.100)

Entonces X „ , , ( F ) = e-'^^-'^'-'^Nf

d r c K F , Nf)

® fs

^^fs^^

^^'^^^^

o, e m p l e a n d o el h e c h o de q u e u n a c o n v o l u c i ó n p e r i ó d i c a c o n u n a señal p e r i ó d i c a es e q u i v a l e n t e a u n a c o n v o l u c i ó n n o p e r i ó d i c a c o n u n p e r i o d o f u n d amen t al de la señal periódica,

X , „ . , ( f ) = / , [ í ? - ^ ' " ^ ' ' ^ ^ - " A f f d r c l ( f , Nf)]

X(fsF).

(7.102)

D e m o d o q u e el efecto e n el d o m i n i o d e la frecuencia en T D del v e n t a n e o en ü e m p o discreto es q u e la t r a n s f o r m a d a de F o u r i e r de la señal m u e s t r e a d a en el t i e m p o se ha c o n v o l u c i o n a d o de m a n e r a p e riódica c o n W ( f ) = e'^'^^^^'-^^Nf (figura 7.56).

drcl(F,

Nf)

(7.103)

L a c o n v o l u c i ó n t e n d e r á a dispersar X^{F) e n el d o m i n i o de la frecuencia e n T D , lo cual p r o v o c a q u e la p o t e n c i a de

TFTD de la ventana, w[«]

X^(F) a c u a l q u i e r frecuencia se fugue h a c i a frecuencias a d y a -

!w(f)|

centes e n X^.^ (F). D e a h í es de d o n d e p r o v i e n e el t é r m i n o fuga. El u s o de u n a función de v e n t a n a diferente c u y a T F T D esté

32--

m á s c o n f i n a d a en el d o m i n i o de la frecuencia en T D , m i n i m i -

za (pero n u n c a p u e d e e l i m i n a r p o r c o m p l e t o ) la fuga. C o m o p u e d e v e r s e en la figura 7.56, c u a n d o a u m e n t a el n i i m e r o de

iVp =

m u e s t r a s A^^, el a n c h o del l ó b u l o principal de c a d a p e r i o d o fundamental de esta función d i s m i n u y e , lo cual r e d u c e la fuga. D e m o d o q u e otra f o r m a de r e d u c i r la fuga es u s a r un c o n junto de muestras más grande. E n este p u n t o del p r o c e s o se tiene u n a secuencia finita de

= 16

n ú m e r o s de la señal en T D , a u n q u e la T F T D de la señal ventan e a d a es u n a función periódica e n la frecuencia F en T D contin u a y, p o r lo tanto, no es a p r o p i a d a p a r a su a l m a c e n a m i e n t o y

¡W(F)|

m a n i p u l a c i ó n e n c o m p u t a d o r a . El h e c h o de q u e la función en el d o m i n i o en T D se h a y a vuelto de t i e m p o limitado m e d i a n t e

el p r o c e s o de v e n t a n e o y el h e c h o de q u e la función en el d o m i n i o de la frecuencia en T D sea periódica p e r m i t e m u e s t r e a r

Aff = 32

e n el d o m i n i o d e la frecuencia en T D p a r a u n p e r i o d o fundamental c o n el fin de describir de forma c o m p l e t a la función en el d o m i n i o de la frecuencia en T D . Resulta natural en este p u n to p r e g u n t a r c ó m o d e b e m u e s t r e a r s e u n a función en el d o m i n i o de la frecuencia p a r a reconstruirla a partir de sus m u e s t r a s . L a respuesta es casi idéntica a la del m u e s t r e o de señales en el d o minio del t i e m p o salvo p o r q u e el tiempo y la frecuencia

F I G U R A 7.56 Magnitud de la TFTD de la función de ventana rectangular, w[n] = jo, O £ í! < Njr, para tres diferentes anchos de ventana, ll, en otro caso

h a n in-

t e r c a m b i a d o p a p e l e s . L a única diferencia es que las funciones en el d o m i n i o de la frecuencia son u n p o c o m á s generales pues suelen ser complejas y n o p u r a m e n t e reales c o m o las señales en el d o m i n i o del t i e m p o usuales. L a s relaciones entre los d o m i n i o s del tiemp o y la frecuencia son casi idénticas d e b i d o a la dualidad de las transformadas de Fourier directa e inversa. E n el capítulo 5 se e n c o n t r ó q u e el m u e s t r e o en el d o m i n i o de la frecuencia en T D c o r r e s p o n d e a la repetición p e r i ó d i c a en el d o m i n i o en T D a través de la relación. k

-Ax

X„[^] =

(7.104)

\NfJ

d o n d e x^[«] es u n a función p e r i ó d i c a en el d o m i n i o en T D f o r m a d a m e d i a n t e la repetición p e r i ó d i c a de u n a función x [ n ] , a p e r i ó d i c a en el d o m i n i o en T D X^[¿-], es la función a r m ó n i c a de la S F T D de X p [ n ] , y Np- es el p e r i o d o f u n d a m e n t a l de la r e p e t i c i ó n p e r i ó d i c a (figura 7.57). P o r lo tanto, si se f o r m a u n a r e p e t i c i ó n p e r i ó d i c a de x^,^,[«], oo

(7.105) c o n p e r i o d o f u n d a m e n t a l A'^, su función a r m ó n i c a de la S F T D es 1

k es un entero

(7.106)

o, a partir de (7.102),

X,,„[^] =

,-;TTF(/Vf-l)

d r c l ( F , Nf)

*X(/,F)

(7.107)

E l efecto de la ú l t i m a o p e r a c i ó n , m u e s t r e o en el d o m i n i o de la frecuencia en T D , a l g u n a s veces recibe el n o m b r e de cercado.

El efecto, e n el d o m i n i o en T D , consiste e n repetir de m a n e r a p e r i ó d i c a la

Señal en TD repetida periódicamente, Xp[n]

Señal en TD, \ln]

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

x[n]

x„[«]

1 --

1 +

|X(Í-)| 0.5--

-2

-32 Fase de XJk]

Fase de X(F)

íí

-32

F I G U R A 7.57 La equivalencia de muestrear en el dominio de la frecuencia y la repetición periódica en el dominio del tiempo.

-2

función en T D v e n t a n e a d a , c o n u n p e r i o d o f u n d a m e n t a l de Np (figura 7.58). P u e s t o q u e su l o n g i t u d distinta de c e r o es e x a c t a m e n t e A^^ ésta es u n a r e p e t i c i ó n p e r i ó d i c a de x^.j^,[n] c o n u n p e r i o d o fundam e n t a l igual a su longitud, p o r lo q u e las réplicas miíltiplos de x^.^^.[n] n o se traslapan sino q u e sólo se tocan. P o r lo tanto, x^^Jn] p u e d e r e c u p e r a r s e de x_^^.^[n] al aislar s i m p l e m e n t e u n p e r i o d o f u n d a m e n tal de X^J^,j[M] e n el i n t e r v a l o en T D O

n < Np

El r e s u l t a d o .

drcl(F, N f ) * X ( / , f )

F^klNe

(7.108)

es la función a r m ó n i c a d e la S F T D de u n a e x t e n s i ó n p e r i ó d i c a de la señal e n T D f o r m a d a al m u e s t r e a r la señal e n T C original d u r a n t e u n t i e m p o finito. P u e s t o q u e la T F D es igual q u e la función a r m ó n i c a de la S F T D salvo p o r el factor de e s c a l a de A^^, la e x p r e s i ó n e q u i v a l e n t e en t é r m i n o s d e la T F D es

Xíh..,,TDF[^] =

A/FXs„,,,SFTD[^] = / «

-j-ñF(NF-l)

TVf d r c K F ,

NF)*Xif,F)

F^k/Np'

(7.109) L a T F D d e m u e s t r a s de u n a señal e n T C p u e d e utilizarse p a r a a p r o x i m a r la T F T C de la señal. L a T F T C de u n a señal x(í) es

X(/)=

x{t)e-'^^f'dt.

(7.110)

— ce

C u a n d o se aplica esto a señales q u e son c a u s a l e s , se o b t i e n e oo X(/) = j

x(t)e'J^^^'dt.

(7.111)

439

Señal en TD ventaneada y muestreada en frecuencia

7.6 La transformada de Fourier discreta y su relación con otros métodos de Fourier

1 — TTTT.^.*ttTTTT*^TTTT.^.*ftTTTTt^TTTT.^.»ttTTTTt^TnT.^.«ttTTTTy * •«* t""'« 63 -1

2.9154 •

TlLTttttft*IIT

» T t M t t t »lll TII»TtftttT»IIT

•TtttttT*

-32 Fase de X „ , , M

F I G U R A 7.58 * * Señal original, muestreada en el tiempo con ventana y repetida periódicamente, para formar una señal en TD periódica y la función armónica de la SFTD de esa señal.

Win = s posible escribir esta integral e n la f o r m a

X(/) = ¿

(7.112)

xit)e-^'--f'dt.

7". es suficientemente p e q u e ñ o , la variación d e x(r) e n el intervalo d e tiempo nl^ < t < (n + \)T^ - pequeña y la T F T C p u e d e a p r o x i m a r s e m e d i a n t e (« + 1)7", ce

^x(«r,)

(7.113)

dt e-^^-f

(7.114)

\ / ) = ^x(«r,) n=0

X(/) =

i'T,

J2^f

11=0

' TMnTs)e-^'-f"^'

= Tse-^-f^'

sinc(r,/)

Yx{nTs)e-^'-f"'s n=0

(figura 7.59).

n = NF

F I G U R A 7.59 Una señal en TC e intervalos mtíltiples sobre los cuales la integral de TFTC puede evaluarse.

(7.115)

Si x(f) es u n a señal de energía, entonces m á s allá d e cierto t i e m p o su t a m a ñ o d e b e volverse desCAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

preciable y es posible sustituir el intervalo infinito de n en la sumatoria c o n un intervalo finito O ^ n < Np ,lo q u e p r o d u c e X(/)

sinc(r,/)

= T,e-^^-f^'

(7.116)

x(nT,)e-^^^-f"^'.

n=0

Si se calcula la T F T C sólo p a r a múltiplos enteros d e / ^ / N ^ ,

(7.117)

NfJ

\ N f J

L a s u m a t o r i a en (7.118) es la T F D de x[n] = x{nT^). P o r lo tanto, k Xikfp)

= r,e-^<"'--/'^^' sinc

(7.119)

XTFDÍ-fe].

P a r a los n ú m e r o s k d e a r m ó n i c a , p a r a los cuales k <K Np, XikfF)

(7.120)

= r.XTFDÍ^].

A s í que si se sobremuestrea mediante u n factor grande y se muestrea u n gran n ú m e r o de veces, la aproximación en (7.120) se vuelve exacta p a r a frecuencias m u y p o r abajo de la mitad d e la tasa d e muestreo. A c o n t i n u a c i ó n se c o n s i d e r a r á u n c a s o especial d e la aplicación de la T F D . S u p o n g a q u e la señal original x(í) es limitada e n b a n d a c o n frecuencia m á x i m a y periódica c o n p e r i o d o fundamental y q u e se m u e s t r e a A^^ veces a u n a tasa m a y o r que la N y q u i s t p a r a e x a c t a m e n t e u n p e r i o d o f u n d a m e n tal (figura 7.60). Si la señal se m u e s t r e a r a a e x a c t a m e n t e la tasa d e N y q u i s t p a r a u n p e r i o d o fundam e n t a l , el n ú m e r o de m u e s t r a s sería el entero p a r N^ = ^f^Jf^ (debido a q u e la frecuencia m á s a l t a / , , en u n a señal periódica d e b e ser u n múltiplo entero d e la frecuencia f u n d a m e n t a l / Q ) . P o r lo tanto, el n ú m e r o d e m u e s t r a s d e b e ser u n entero Np> N^y f^ = Np / Q . P u e s t o q u e la señal es periódica, tiene u n a r e p r e s e n t a c i ó n de la S F T C

x(r) =

(7.121)

Xs^icW^^'^f'^

q=-oc

y debido a q u e es de b a n d a limitada, XsFTDÍ?] = 0

\q\>

...llt

F I G U R A 7.60 Una señal periódica de banda limitada y una señal en TD formada muestreándola por arriba de su tasa de Nyquist.

(7.122)

— 2

,.t„llr,

lll1 1 1*'Iji 1 ni 1 1

,.t,ttli,

1 1 1''

y, p o r lo t a n t o .

441

]V„/2 (7.123) q=~(N„/2)

R e l a c i o n a n d o la T F T C c o n la función a r m ó n i c a de la S F T C , 'Vo/2

X ( / ) =

Y q=-(No/2)

XSFTD[?]8(/-

(7.124)

^/o)

(figura 7.61). (Se utiliza el índice q en lugar de k p o r q u e e s t e ú l t i m o será la variable i n d e p e n d i e n t e e n la función a r m ó n i c a de la S F T D de la señal \,„[k]

m u e s t r e a d a e n el t i e m p o , v e n t a n e a d a y m u e s t r e a -

d a e n la frecuencia e n T D . ) L a f o r m a en el d o m i n i o de la frecuencia de la T D de X^,^,^[ír] es NfdTcUF,

NF)*X(fsF)

(7.125)

F-^klNf'

d o n d e d e b e e n t e n d e r s e q u e X^pp[/r] es la T F D de las m u e s t r a s , n o la función a r m ó n i c a de la S F T D de las m i s m a s . S u s t i t u y e n d o e n X ( f ) = E^'l'li.Vij/j) Xj^j.^ [q\W f^f^F

~ IÍq) Y e f e c t u a n d o el c a m b i o de v a r i a b l e

c o m o se indica e n (7.125), XTFDÍ^] -j-ñFiNf-l)

No/2 Np d r c K F , Nf)

J2 q=-(No/2)

XsFTc[?]8(/.f -

qfo) -I

F^k/Nf

(7.126)

A l r e a c o m o d a r y utilizar la p r o p i e d a d de e s c a l a m i e n t o del i m p u l s o , XTFDÍ^] ^0/2

,-JTTFiNf~1)

XsFTCÍ?]

NpdidiF,

Nf)

*b[

U=-(/Vo/2)

U s a n d o A^^ = f/f^

(7.127)

F - q — Js /

y al efectuar la c o n v o l u c i ó n i n d i c a d a ,

XTFDÍ^] ,

^0/2

XsFTc[?]

Lq=-(No/2)

-J7T{F-(q/NF))(NF~l) e-^"'^

drcl [F

(7.128)

—.Nf Nf

F^k/Nf

!x(/)|

ix,(/)l

F I G U R A 7.61 Las TFTC de la señal original y la señal muestreada por impulsos.

7.6 La transformada de Fourier discreta y su relación con otros métodos de Fourier

IXsFTcWl SFTC

F I G U R A 7.62 Relación entre la función armónica de la SFTC de una señal periódica de banda limitada y la TFTD de muestras de un periodo fundamental de esa señal.

k TFD

A l realizar el c a m b i o d e v a r i a b l e F - ^ k/N^ c o m o se señala en (7.128), V

XsFTc[?]

(7.129)

. - ^ • - « ^ - ^ V A ' . ) ( A ' . - i ) ^ , ^ drcl

L a función d e D i r i c h l e t drcl(í, AO es c e r o c u a n d o t es u n m ú l t i p l o e n t e r o d e l/N, a m e n o s q u e t s e a u n a e n t e r o . C u a n t o t es u n e n t e r o , la función d e D i r i c h l e t es + 1 o - 1 . E n (7.129) p u e s t o q u e ky qson teros, k - q t a m b i é n es u n e n t e r o . P o r lo tanto, la función d e Dirichlet drcl ({k - q)/Np

en-

Np) es c e r o

p a r a t o d o v a l o r d e (k — q)INp s a l v o c u a n d o éste es u n e n t e r o . C u a n d o {k — q)INp es un entero, el val o r d e e - M « r - « ) / A ' f ( A ' f - i ) xA^^drcl((fc - q)l Np, Np) es A^^. P u e s t o q u e la s u m a t o r i a c o n r e s p e c t o a ^ e n (7.129) es p a r a el intervalo -{N^

/2) < ^ < A'Q / 2

p a r a v a l o r e s d e k en el intervalo - ( A / g /2) < ^ < A^Q / 2 , {k - q)Np = m, sólo p u e d e satisfacerse p a r a m = O, lo q u e significa q u e k = q. En c o n s e c u e n c i a , X T D F Í ^ ] = A^fXsFTDÍ^]

-{No/2)

< k <

(7.130)

No/2.

Para otros valores de k la relación es igual, excepto en q u e el múltiplo entero de A'^ d e b e agregarse a q. Esto es, Xj^lk]

es u n a repetición periódica de NpX^pj.f^[k]

c o n p e r i o d o fundamental A^^ y

(7.131)

X T F D [ ^ ] = A^fXsFTCÍ^] * c o m b / V J A : ]

(figura 7 . 6 2 ) . E n p a l a b r a s , si u n a señal x(í) es p e r i ó d i c a , d e b a n d a l i m i t a d a y se m u e s t r e a A^^ v e c e s a u n a tasa m a y o r q u e su tasa de N y q u i s t , e x a c t a m e n t e p a r a u n p e r i o d o f u n d a m e n t a l , la T F D d e e s e c o n j u n t o d e m u e s t r a s es Np m u l t i p l i c a d a p o r u n a r e p e t i c i ó n p e r i ó d i c a d e la función a r m ó n i c a X^pp^lA:] d e la S F T C d e la señal original x(f) c o n p e r i o d o f u n d a m e n t a l A^^. D e m o d o q u e e n el c a s o especial d e señales p e riódicas

d e b a n d a limitada m u e s t r e a d a s p o r arriba d e la tasa d e N y q u i s t p a r a e x a c t a m e n t e u n p e r i o d o

f u n d a m e n t a l , la T F D d e las m u e s t r a s p u e d e c o n v e r t i r s e e x a c t a m e n t e e n la S F T C (y, p o r lo tanto, e n l a T F T C ) de la señal original. A continuación se presenta u n p r o g r a m a en M A T L A B para calcular la S F T C d e u n a señal c o n b a s e e n m u e s t r a s d e ella d a d a la s u p o s i c i ó n d e q u e se m u e s t r e a e x a c t a m e n t e u n p e r i o d o f u n d a m e n t a l u n n ú m e r o e n t e r o d e v e c e s a u n a tasa m a y o r q u e l a d e N y q u i s t . Función (SFTC) n

para X[k]

O a

los

números se no

produce se

armónica es

cálculo

x(t)

-NF/2 < k se

basada

l a

en un

serie

conjunto

Fourier de

datos

tiempo

entrada

continuo x(n*Ts),

proviene

efectúa

donde de

un vector

NF e s

l a s de

X[k]

número l a

entrada

l a s

con base

l a

suposición

de un periodo

l a

señal

acuerdo

t o t a l

de muestras. l a s

que

k para

producen

El l a

vector función.

estarán

< NF/2.

efectúa

x(n*Ts)

un vector

proporciona

intervalo

una aproximación

-1

que Si

calcular

de una señal

con e l

teorema

del

periódica

muestreo.

x ( t )

conjunto

muestreo

que el

datos se

e l

Con b a s e

SFTC

en números

cero

NF/2 en valor

tener

esas

l a

[X,k]

cualesquiera

producirá

a r r i b a

para

vectores

= t(2) Si

cualquier

por

l a

a r r i b a

7.7 Ejemplos del uso de la transformada de Fourier discreta

columna

números

reales

deben

; el

t ( l )

;

vector

muestreo,

fundamental

fs k

1/Ts es

l a

;

frecuencia

muestreo

de x ( t ) .

fs/NF

entrada,

;

genera

uno para

tiempo

cubrir

NF/2 a NF/2.

nargin

Xper

= DTFS(x)

calcula

l a

intervalo

frecuencia

menos

= un

;

periodo

kvec

primera a

[-NF/2:NF/2]' l a

SFTC.

[0:NF-1]'

muestra

SFTC

manera

;

está

desplaza

= Xper.*exp(-j*2*pi*(kvec*fF)*t(1))

calcula

aquí

SFTC

end

suponiendo

l a

;

Xper

amplitud

CTFS(x,t,k)

calcula l a

componentes NF/2 tendrá

CTFS{x,t,k)

longitud.

length(x)

armónica

absoluto.

s e r

misma

[X,k] =

suposiciones, de

ese valor

X deben

function NF

l o s

que esto

l a

fase

correspondiente.

valores r e p i t e

; del

vector

manera

entrada

periódica

como

l a

SFTD. = Xper(mod{k,NF)+1)

fijan

SFTC

l o s cero

;

valores para

X(find(abs(k)>=NF/2))

l a s =

l a s

amplitudes

fuera

del

l a s

intervalo

armónicas

-NF/2 a NF/2.

O ;

7.7 EJEMPLOS DEL USO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA L o s s i g u i e n t e s e j e m p l o s i l u s t r a r á n a l g u n a s d e las c a r a c t e r í s t i c a s y l i m i t a c i o n e s d e la T F D c o m o u n a h e r r a m i e n t a d e a n á l i s i s de Fourier.

Jíji:.MPi.o 7.5 La señal periódica de banda limitada x ( 0 = 1 + cos(8irT) + sen(4'TrO

(7.132)

se muestrea a la tasa de Nyquist (figura 7.63). Encuentre los valores de la muestra para un periodo fundamental y determine la TFD de los valores de la muestra. Encuentre la función armónica de la SFTC de la señal.

2.1249

F I G U R A 7.63 Una señal en TC y una señal en TD formada muestreándola a su tasa en Nyquist para un periodo fundamental.

l a

• Solución CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

La frecuencia más alta presente en la señal es 4 Hz. Por consiguiente, las muestras deben tomarse a 8 Hz. El periodo fundamental de la señal es 0.5 s. Por lo tanto, se requieren cuatro muestras. Suponiendo que la primera muestra se toma en el tiempo t = O, las muestras son

(7.133)

{ x [ 0 ] , x [ l ] , x [ 2 ] , x [ 3 ] } = {2, 1 , 2 , - 1 ) . De acuerdo con la definición,

(7.134) ;,=0 3

XTFD[0] = ^ x [ n ] = 4, n=0

XTFD[1] = E

^[n]e-"^""^

(7.135)

= 2 - j - 2 - j = -j2,

;i=0 3

(7.136)

XTFD[2] = E

= 2 - 1 + 2 - H = 4,

XTFD[3] = E

(7.137)

= 2 + j - 2 + j = j2.

En consecuencia, la T F D es {X[0],X[I],X[2],X[3]}TFD =

(7.138)

{4,-72,4,72}

La T F T C de la señal original es X ( / ) = 8 ( / ) + - [ 8 ( / - 4) + 8 ( / + 4)] + ^ [ 8 ( / + 2) - 8 ( / - 2)]

(7.139)

o, al ordenar los impulsos con base en la frecuencia creciente, X ( / ) = U(f

+ 4) + ^ 8 ( / + 2) + 8 ( / ) - ^ 8 ( / - 2) + ^ 8 ( / - 4)

(7.140)

la cual es de la forma. No/2

Xif)=

(7.141)

XsFTc[í:]8(/-n/o),

donde Xgpj.^, [=] es la función armónica de la S F T C / Q = \/Tq y es el periodo fundamental de la señal. De tal modo, la función armónica de la S F T C de la señal periódica de banda limitada a partir de la cual se toman las muestras (para un periodo fundamental) es { X [ - 2 ] , X [ - l ] , X [ 0 ] . X { l ] , X [ 2 ] } s F T C = \ \'+^2'

^'~2'

(7.142)

Si se dividen los resultados de la T F D entre el número de puntos, 4, se obtiene ^{X[0],X[1],XÍ2],X[3]}TFD =

(7.143) •

Utilizando la periodicidad de la TFD, se ve que se obtienen los valores correctos para X[—1], X[0] y X [ l ] , pero no para X[2] y X [ - 2 ] . Están equivocados por un factor de dos debido a la formación de alias. No se muestreo por arriba de la tasa de Nyquist; se hizo a esa misma tasa. ^

E n el e j e m p l o 7.5 la señal se m u e s t r e o de m a n e r a e x a c t a a la tasa d e N y q u i s t d u r a n t e u n p e r i o d o f u n d a m e n t a l . ¿ Q u é h a b r í a o c u r r i d o si el m u e s t r e o se h u b i e s e e f e c t u a d o a d o s v e c e s la tasa d e N y q u i s t p a r a e x a c t a m e n t e u n p e r i o d o f u n d a m e n t a l o a la tasa de N y q u i s t p a r a dos p e r i o d o s f u n d a m e n t a l e s ?

E,IEMPLO 7.6 La señal periódica de banda limitada x(f) = 1 -H cosíSiTf) -I- sen(4TT/)

(7.144)

se muestrea al doble de la tasa de Nyquist (figura 7.64). Determine los valores de las muestras para un periodo fundamental y encuentre la TFD de los valores de las muestras. Obtenga también la función armónica de la SFTC de la señal.

2.1249

• Solución La frecuencia más alta presente en la señal es 4 Hz. Por lo tanto, las muestras deben tomarse a 16 Hz. El periodo fundamental de la señal es 0.5 s. Por consiguiente se requieren ocho muestras. Suponiendo que la primera muestra se toma en el tiempo f = O, las muestras son

{x[0],...,x[7]} =

2, 1 -I-

1, 1 +

, 2, 1 -

(7.145) V la TFD de esas muestras es (7.146)

La función armónica de la SFTC de la señal original es la misma que antes,

¡X[-2],X[-l],X[0],X[l],X[2]}sFTC

1 2

y 1

- F - , I, 2

i --

{X[0],...,X[7]}TDF = { 8 , - y 4 , 4 , 0 , 0 , 0 , 4 , 7 4 } .

xln]

, .

F I G U R A 7.64 Una señal en TC y una señal en TD formada muestreándola al doble de su tasa de Nyquist para un periodo fundamental.

(7.147)

y al dividir el resultado de la TFD entre 8,

Í{X[0],...,X[7]}Dpr =

(7.148)

L - 4 - . 0 . 0 . 0 . i + ^

2 2

Utilizando la periodicidad de la TFD se observa que estos resultados concuerdan. En este caso, se muestreo dos \'eces más rápido que en el ejemplo 7.5. Lo que se obmvo en el problema fue información acerca de frecuencias más altas que las que podrían haber estado presentes en la señal y ninguna formación de alias debido a que se muestreo por encima de la tasa de Nyquist. Desde luego, puesto que se usó la misma señal, no se presentó ninguna frecuencia más alta y todas las X[k], {X[3], X[4], X[5]}^p^, adicionales fueron iguales a cero.

EjEAíPrx) 7.7 La señal periódica de banda limitada x(t) = 1 + cos(8-ñr) + sen(4iTí)

(7.149)

se muestrea a la tasa de Nyquist (figura 7.65). Determine los valores de la muestra para dos periodos fundamentales, encuentre la TFD de los valores de las muestras y compare con la TFC de la señal. Obtenga también la función armónica de la SFTC de la señal.

• Solución La frecuencia más alta presente en la señal es 4 Hz. Por lo tanto, las muestras deben tomarse a 8 Hz. El periodo fundamental de la señal es 0.5 s. Por lo tanto, se requieren ocho muestras. Si se supone que la primera muestra se toma en el tiempo t = O, las muestras son {x[0], . . . , x [ 7 ] } = {2, 1,2, - 1 , 2 , 1,2,

-1¡

(7.150)

V" la TFD de dichas muestras es

{X[0],...,X[7]}TFD = { 8 , 0 , - j 4 , 0 , 8 , 0 , j 4 , 0 ¡ .

(7.151)

CAPÍTULO 7

2.1218

El muestreo y la transformada de Fourier discreta

F I G U R A 7.65 Una señal en TC y una señal en TD formada muestreándola a su tasa de Nyquist para dos periodos fundamentales. La función armónica de la SFTC de la señal original sigue siendo la misma, {X[-2],X[-l].X[0],X[l],X[2]}sFTc

(7.152)

Al comparar la función armónica de la SFTC y la TFD, AX[0],...,X[7]}TFD =

(7.153)

O, 1, 0 , + ^ ,0

La fundamental de la SFTC corresponde a la segunda armónica de la TFD debido a que se muestreo para dos periodos fundamentales. En consecuencia, los resultados corresponden correctamente, de nuevo excepto para la armónica más alta que está errada debido a la formación de alias. Como en el ejemplo 7.5 se muestreo a la tasa de Nyquist y no por encima de ella. Como en el ejemplo 7.6 se obtuvo información adicional acerca de la señal. Al muestrear al doble, fue posible reconocer frecuencias dos veces más bajas (periodos fundamentales dos veces más grandes) que los que podrían haberse presentado en la señal. Eso hizo que la frecuencia distinta de cero más baja en la TFD fuera la mitad de lo que era antes. Además, puesto que X^j-p^}/:] ocurre en múltiplos enteros de la frecuencia distinta de cero más baja, la gráfica completa en el dominio de la frecuencia tiene el doble de la resolución que tenía en los ejemplos 7.5 y 7.6. La tasa de muestreo es igual que en el ejemplo 7.5; por lo tanto, la frecuencia más alta que puede encontrarse es la misma que en el ejemplo 7.5 y la mitad de la del ejemplo 7.6.

EJEMPLO 7.8 Muestree la señal x(í) = 5 sen(Trí) rect

r - 2

(7.154)

empezando en el tiempo / = O, fl) 16 veces a 4 Hz b) 32 veces a 4 Hz c) 64 veces a 4 Hz d) 32 veces a 8 Hz e) 64 veces a 8 Hz En cada caso determine la TFD de las muestras y grafíque las comparaciones de la señal y sus muestras en el dominio del tiempo, y las comparaciones de la magnitud de la TFTC de la señal y la magnitud del producto de la TFD de las muestras y el intervalo de muestreo 7"^.

• Solución La TFTC de x(r) es X ( / ) =

jlO

„-j4Tr(/ + (l/2)) _

^ + 2

„-J4IT(/~{1/2))

(7.155)

Np = 16, / , = 4 7.7 Ejemplos del uso de la transformada de Fourier discreta

x(í) y x[n]

5 -

Iv /í 1/ ^

t o nT,.

|X(/)|y7-,|XM| JO'

fokf,

F I G U R A 7.66 Señal muestreada 16 veces a 4 Hz.

La señal que se muestrea 16 veces a 4 Hz se muestra en la figura 7.66. La TFD se repite de manera periódica con periodo fundamental iV^ = 16 o, en términos de la frecuencia, con periodo fundamental = Np-fp, pero en el intervalo de frecuencia — (/^/2) < / < / ^ / 2 la TFD (multiplicada por el intervalo de muestreo T^) parece aproximarse a muestras de la TFTC a mííltíplos enteros de la frecuencia fundamental fp = f^lNp de la TFD. La resolución de la TFD no es muy buena. Puesto que todas las muestras excepto dos en el intervalo de frecuencia — (/./2) <f<fjl ocurren en ceros de la TFTC, si sólo se considera el resultado de la TFD sin conocer la TFTC, se concluiría que la TFTC tuvo dos impulsos a frecuencias positivas y negativas iguales y que, en consecuencia, la señal original era una senoide. Recuerde que la TFD se aplica exactamente a señales periódicas y el conjunto de muestras que se utiliza aquí proviene de manera exacta de dos periodos fundamentales de una senoide. Ante la falta de otra información, la conclusión lógica para las muestras es que el patrón de éstas se repite de manera periódica y que la señal es consecuentemente una senoide, en vez de la señal real que es la versión de tiempo limitado de una senoide. Al tomar más muestras se resolvería este problema.

La señal que se muestrea 32 veces a 4 Hz se ilustra en la figura 7.67. En este caso se tomaron dos veces más muestras que en la parte a). Todas las muestras adicionales fueron cero. Este tipo de extensión del muestreo de una señal con ceros adicionales se conoce como relleno de ceros. La inclusión de ceros adicionales duplica el tiempo total de muestreo y la resolución de la T I D . Ahora se cuenta con valores de la TFD que caen entre cruces por cero de la TFTC, y es posible empezar a ver, al considerar sólo la TFD, que la señal original no es simplemente una senoide. La concordancia entre la TFD y la TFTC Np = 32, / , = 4 parece muy buena a bajas frecuencias, pero observe que en x(r)> X[«] las cercanas a la mitad de la tasa de muestreo, la concordancia entre la TFD y la TFTC no es tan apropiada. Esta dife5rencia se observa con mayor facilidad en una gráfica de magnitud logarítmica (figura 7.68). La diferencia la provoca 1 la formación de alias. La señal original no es de banda limi1 2 tada por lo que los alias se traslapan y, en este caso, eso provoca un error importante cerca de la mitad de la tasa de -5 muestreo. |X(/)| y 7-JXMl La señal que se muestrea 64 veces a 4 Hz se presenta en la

1 h

figura 7.69. En este caso el número de muestras volvió a duplicarse. Esto duplica nuevamente la resolución de la T I D pero no ayuda con el problema de la formación de alias. Una tasa de muestreo más alta reduciría errores debidos a la formación de alias. La señal que se muestrea 32 veces a 8 Hz se ilustra en la figura 7.70. Aquí la tasa de muestreo se duplica y el número de muestras es igual que en la parte b). De nuevo, como en la parte a) la TFD parece indicar que la señal era una senoide pura porque se muestrearon exactamente dos ciclos de una senoide. Si ahora se incrementa el número de muestras

tonT,

lO'

•f^kfp

F I G U R A 7.67 Señal muestreada 32 veces a 4 Hz.

lx(/)ldByrJxwidB CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

20 ' -4í

FIGURA 7.68 Gráfica de magnitud logarítmica; señal muestreada 32 veces a 4 Hz.

-50

= 64,

fokfp

= 4

|X(/)lyr,lXM¡

FIGURA 7.69 Señal muestreada 64 veces a 4 Hz.

..Jr.tfr.ifr.<tWMVftfTO -4

Ne = 32, / , =

tonT,

|X(/)|yr,lX[i:l| lOlii

FIGURA7.70 Señal muestreada 32 veces a 8 Hz.

a esta tasa de muestreo, se obtendrá una mejor resolución en el dominio de la frecuencia y se tendrá un error de formación de alias reducido. La señal que se muestrea 64 veces a 8 Hz se presenta en la figura 7.71. Los errores de formación de alias se reducen y la resolución en el dominio de la frecuencia es lo suficientemente buena para ver que la señal no es una senoide (figura 7.72).

449

64, / , = 8

x(í) y x[n]

7.7 Ejemplos del uso de la transformada de Fourier discreta

]—>- t o nT,

!x(/)|yr,jxM| 10

F I G U R A 7.71 Señal muestreada 64 veces a 8 Hz.

liSMMM

íx(/)Ly7'.|xwldB 20 A - - A

• /o

-50

F I G U R A 7.72 Gráfica de magnitud logarítmica; señal muestreada 64 veces a 8 Hz.

Este ejemplo refuerza el principio general establecido antes con respecto a que el muestreo más largo mejora la resolución en el dominio de la frecuencia y el muestreo a una velocidad más alta reduce errores debidos a la formación de alias. De modo que una buena regla general al usar la TFD para aproximar la TFTC es muestrear lo más rápido posible el mayor tiempo posible. En el límite teórico en el que se muestrea infinitamente rápido durante un tiempo infinito, se preserva toda la información en la TFTC en la TFD. Esta última se aproxima a la TFTC en ese límite. Desde luego, en cualquier situación práctica existen límites impuestos por los muestreadores reales. Éstos sólo pueden muestrear a una tasa finita, y las memorias de las computadoras reales sólo almacenan un número finito de valores de datos.

L o s e j e m p l o s 7.5 a 7.8 a n a l i z a r o n m u e s t r a s de funciones m a t e m á t i c a s c o n o c i d a s p a r a p r e s e n t a r algunas características de la T F D . El e j e m p l o 7.9 es m á s realista e n c u a n t o a q u e la señal n o es u n a función m a t e m á t i c a c o n o c i d a .

Suponga que se toman 16 muestras de una señal a intervalos de 1 ms y que las muestras son las que se granean en la figura 7.73 (con la suposición usual de que la primera muestra ocurre en el tiempo t = 0). La razón para tomar las muestras es obtener información acerca de la señal. ¿Qué se conoce hasta ahora? Se saben los valores de la señal en 16 puntos. Si se van a obtener más conclusiones es necesario tener más información o efectuar algunas suposiciones.

• Solución ^.Qué pasó antes de la primera muestra y después de la última? ¿Qué sería razonable suponer? Podría suponerse que la señal varía de manera similar fuera de este intervalo de muestras. Dicha variación podría tomar muchas formas diferentes. De modo que la suposición no es matemáticamente precisa. Una forma posible sería la señal de la figura 7.74a). Podría confirmarse que la señal es cero fuera de este intervalo de muestras (figura 1 .lAb). Sin embargo, si ése es el caso, se sabe que no es posible muestrear de manera adecuada porque una señal que está limitada

1.3356 —

JJL

-1.496 +

F I G U R A 7.73 Una señal en TD formada al muestrear una señal en TC desconocida durante un tiempo finito.

en el tiempo no está limitada en banda. La suposición usual es que el conjunto de muestras que se toman es razonablemente representativa de la señal total. (Si esto no es cierto, el análisis no será muy significativo.) Esto es, se supone que la señal fuera de este intervalo de tiempo es similar a la señal dentro de él. Para hacer precisa dicha suposición, se considerará que la señal antes y después de las muestras es lo más similar posible a la señal durante el muestreo. Se supone que si se muestrea un poco más, se repetirá el conjunto de muestras obtenido, una y otra vez (figura 7.74c). Esto es muy probable que no sea del todo cierto. Sin embargo, ¿habría una mejor suposición? Si el conjunto de muestras que se toma es característico, entonces la suposición de que la señal mantiene el mismo comportamiento una y otra vez es lo mejor que puede considerarse. Mediante esa suposición es posible afirmar que las muestras se toman de un periodo fundamental de una señal periódica. Se supone que si se mantiene el muestreo, se repetirían las muestras una y otra vez.

La siguiente pregunta lógica es, ¿qué sucede entre las muestras? De nuevo, en realidad no se sabe. A continuación se presentan algunas ilustraciones de cómo podría haberse observado la señal que se muestreo (figura 7.75). En cada una de las tres señales de la figura, los valores de la muestra son los mismos, pero las señales son diferentes. A menos que se sepa algo más, cualquiera podría ser la señal real muestreada. No obstante, si la señal se muestreo de manera apropiada de acuerdo con el teorema del muestreo de Shannon (a una tasa a más del doble que su máxima frecuencia), sólo una de estas señales candidatas sería la muestreada, la última en la figura 7.75. De tal modo, ahora se han reducido a una sola las señales posibles a partir de las cuales podrían provenir las muestras: una señal periódica de banda limitada que pasa a través de los puntos. Después de esto sería posible tomar el conjunto original de muestras y a partir de él realizar la mejor estimación (con base en las suposiciones) de la señal en TC de la cual proviene. Esta es la manera exacta en la cual se creó la señal en TC de la figura 7.75c). En lugar de tratar de reconstruir la señal original a partir de sus muestras, es más común utilizar la TFD para analizar el contenido de frecuencia en las señales. Se sabe cómo determinar la función armónica de la SFTC utilizando la TFD. ¿Cuál es la relación entre la función armónica de la SFTC y la TFTC de la señal original? Se demostró antes que iVo/2

X(/)=

(7.156)

XsFTcW8(/-¿/o).

t=-(A'o/2)

x[n]

2 — -32 1

tII-.TTTI?.

f -2

.Tt Tvííl.

+ a) x[ n] 2-

IT -32

,„

i . 48

~2 -

xln] 2 - -

F I G U R A 7.74 Tres posibles extensiones de las muestras originales.

.Tt

7.7 Ejemplos del uso de la transformada de Fourier discreta

F I G U R A 7.75 Tres señales, todas tienen los valores de muestreo originales.

Esto es, la TFTC para la supuesta señal periódica de banda limitada es un conjunto finito de impulsos espaciados mediante la frecuencia fundamental/q. Mediante la relación entre la función armónica de la SFTC y la TFD que se obtuvieron antes para señales periódicas de banda limitada. Nf/2

X(/) = —

A < , < A

XTFD[^]8(/-¿/O)

2 "

k=-(NFl2)

X(/)

•^TFD

Nf'

(7.157)

H f -

M / - ( - í ^

+ ^TFD[0]8(/) + -.- + XT

i)/o

- 1 J

+ z™

[ f ] 8 ( / - f / o )

f -

+ •

\ 2

/ o

(7.158)

(Observe que siempre son cero los componentes de la función armónica de la SFTC en los mímeros de armónica —(Npl2) y Npll si la señal se muestrea de manera apropiada a más del doble de la frecuencia de Nyquist porque en ese caso no hay potencia de señal a la mitad de la tasa de muestreo. Cuando se incrementa la tasa de muestreo, más y más de ios componentes cercanos a la mitad de la tasa de muestreo también serán cero.

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

EJEMPLO 7 . 1 0 Muestree una función senoidal y determine la TFD de las muestras y la función armónica de la SFTC de la repetición periódica.

•

Solución

Esta descripción del problema, al igual que muchos problemas reales de ingeniena, se define en forma ambigua. Se deben realizar selecciones razonables en cuanto a las tasas y tiempos de muestreo de manera que los resultados sean útiles. Considere que la señal en TC es un coseno de amplitud unitaria, que el periodo fundamental es igual a 10 ms, que el tiempo total de muestreo es de 20 ms y que se toman 32 muestras en ese tiempo. El coseno se describe por medio de X ( 0 = COS(200'7Tf)

(7.159)

X ( / ) = - [ § ( / - 1 0 0 ) - F 8 ( / + 100)].

(7.160)

y su TFTC es

Puesto que la frecuencia del coseno es 100 Hz y la tasa de muestreo es 1.6 kHz, la señal en definitiva estará sobremuestreada y no se presentarán alias. Los resultados se ilustran en la figura 7.76. En este caso la señal es de banda limitada y periódica y el muestreo se efectúa para un número entero de periodos fundamentales. Por consiguiente, debe esperarse una correspondencia exacta entre la TFTC de la señal en TC y la TFD de las muestras. La TFTC de la senoide original tiene dos impulsos, uno en -K/q y el otro en - / g , donde/q es la frecuencia del coseno. Para una senoide de amplitud unitaria como ésta, cada una de las intensidades de los impulsos sena igual a , . La frecuencia del coseno es 100 Hz. La resolución en el dominio de la frecuencia de la TFD es el recíproco del tiempo de muestreo total, o 50 Hz. En consecuencia, la TFD tendrá valores distintos de cero sólo en la segunda armónica de 50 Hz, como es el caso. Cuando el resultado de la TFD se divide entre el número de muestras A'^, los impulsos de números de armónica discretos en la TFD tienen la = 32, / j = 1 600 misma intensidad que los impulsos de frecuencia x(í) y x[n]

continua en la TFTC de la senoide en TC. Para la señal no periódica de energía del ejemplo 7.8, la TFD se escaló multiplicando por el intervalo de muestreo y la TFD de las muestras se aproximó a las muestras de la TFTC de la señal en TC r o nT^ (s) que se muestreo. Para esta señal periódica, el escalamiento de la TFD se efectuó dividiéndola entre el -0.01 número de muestras N^. ¿Por qué estos factores son diferentes? M m e r o , reconozca que como la TFTC de una señal periódica consta sólo de impulsos, no !X[A-1| es posible muestrearla en ningún sentido. De tal modo, la TFD de una señal periódica debe escalarse para producir las intensidades de los impulsos, 0.5 no sus amplitudes, que son indefinidas. En el caso de señales de energía no periódicas, la TFTC es una función de frecuencia continua sin impulsos. En este caso es necesaria una correspondencia entre las intensidades de los impulsos de la TFD y las muestras de la TFTC. Una manera de ver la corres•4-^(Hz) pondencia es observar que la TFTC es una fun-1 600 1 600 ción de densidad espectral y, por lo tanto, tiene las unidades de la transformada de la señal dividida entre la frecuencia. Por ejemplo, si la señal en TC F I G U R A 7.76 tiene unidades de volts, su TFTC tiene unidades de Un coseno muestreado para dos periodos fundamentales y la magnitud de su TFD, volts por hertz. La TFD se calcula formando varias dividida entre el número de muestras TV.

combinaciones lineales de muestras de la función en TC; por lo tanto, sus unidades serían las mismas que las de la señal, en este caso, volts. Para convertir eso en una aproximación de la TFTC es necesario dividir por cierta frecuencia para obtener las unidades correctas. Sin embargo, ¿a qué frecuencia? Si se iguala la amplitud en cada intervalo de resolución de la TFD a la densidad espectral de la amplitud de la TFTC, el factor de división apropiado es el ancho de banda de la resolución de la TFD, que esfJNp. Así es que si se toma el factor divisor para funciones periódicas A'^ y se multiplica povfJNp para formar un nuevo factor de división correspondiente a señales de energía no periódicas f^, el efecto es el mismo que multiplicar por el intervalo de muestreo debido a que/^. = l/T^.

7.7 Ejemplos del uso de la transformada de Fourier discreta

E,TEMPLO 7 . 1 1 Muestree una senoide para un niimero no entero de periodos fundamentales y observe el efecto sobre la TFD.

• Solución Considere que la senoide es un coseno cuyo periodo fundamental es 6 6 | m s y muestréelo 32 veces en 100 ms. Los resultados se ilustran en la figura 7.77. El coseno en TC original tiene una TFTC con exactamente dos impulsos en -I-15 y —15 Hz. Sin embargo, la TFD tiene componentes distintos de cero en cada armónica de su frecuencia fundamental que es igual a 10 Hz pues el tiempo de muestreo total c o i T e s p o n d e a 100 ms. Puesto que 15 Hz no es un múltiplo entero de 10 Hz, no existe un componente de frecuencia resuelto en la TFD a exactamente la frecuencia del coseno. No obstante, los dos componentes más intensos se ubican en 10 y 20 Hz, valores que se ubican en el mismo intervalo que la frecuencia real de 15 Hz del coseno. En consecuencia, es posible afirmar que la TFD intenta reproducir la naturaleza de la señal de la cual provienen las muestras lo mejor que puede dada la pobre elección de muestreo. Esta dispersión de la potencia de la señal a partir de la ubicación exacta hacia localizaciones adyacentes es u n ejemplo de fuga. Esto es, la potencia a 15 Hz se ha fugado a las componentes a 10, 20, 30 Hz, etc., ya que la señal original no se muestreo para un número entero de periodos fundamentales. Este problema se resolvena muestreando para un número entero de periodos fundamentales. Sin embargo, es posible reducirlo de manera considerable al muestrear durante un tiempo mucho más largo, incluso aunque no sea un múltiplo entero del periodo rundamental del coseno, debido a que con un tiempo de muestreo más largo, la resolución en el dominio de la frecuencia se vuelve mejor y el grueso de la potencia de la señal puede situarse de manera más próxima a la frecuencia real de 15 Hz. La figura 7.78 muestra los resultados de muestrear sobre seis y medio periodos fundamentales con todos los demás parámetros iguales. En estas condiciones, aun cuando todavía no hay un componente resuelto a la frecuencia de la señal en TC, 15 Hz, debido al mayor número de puntos y a la consecuente resolución más alta de la TFD, hay componentes mucho más cercanos a 15 Hz que en el caso anterior y la fuga se dispersa con menor amplitud.

Np = 32,

= 320

]—*-

t o nljís)

-0.066667'

0.36307T +

• kfp (Hz)

-320

320

F I G U R A 7.77 Un coseno muestreado para uno y medio periodos fundamentales y la magnitud de su TFD dividida entre el número de muestras N,-

454

Np = 138,./; = 320

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta 0.43333 1

-0.066667

t o nT^

FIGURA 7.78 U n c o s e n o m u e s t r e a d o s o b r e seis y m e d i o p e r i o d o s f u n d a m e n t a l e s y la m a g n i t u d d e su T F D , d i v i d i d a entre el n i í m e r o d e muestras

-320

N^.

7.8 LA TRANSFORMADA DE FOURIER RÁPIDA L a T F D directa se define p o r m e d i o de

(7.161) n=0

U n a f o r m a directa de calcular la T F D s e n a m e d i a n t e el siguiente a l g o r i t m o (escrito en M A T L A B ) q u e p o n e e n p r á c t i c a de m a n e r a directa las o p e r a c i o n e s indicadas en (7.161).

%(Se

adquieren

los

datos

entrada

arreglo

"x",

con

"NF"

elementos.)

columna

asignan de

valores

i n i c i a l e s

arreglo

TD p a r a

vector

ceros.

% X=zeros(NF,l)

;

% %

calculan

las

doble

lazo

anidado

"for".

% for

n=0:NF-1 for

k=0:NF-l X(n+1)=X(n+1)+x(k+1)*exp(-j

*2*pi*n*k/NF)

;

end

(En realidad n o d e b e escribirse este p r o g r a m a en M A T L A B p o r q u e la T F D ya está i n c o r p o r a d a c o m o u n a función intrínseca l l a m a d a f f t . ) El c á l c u l o de u n a T F D m e d i a n t e este a l g o r i t m o r e q u i e r e o p e r a c i o n e s de multiplicación-adición c o m p l e j a s . P o r lo tanto, el n ú m e r o de cálculos a u m e n t a en función del c u a d r a d o del n ú m e r o de

e l e m e n t o s en el v e c t o r d e e n t r a d a q u e se está t r a n s f o r m a n d o . E n 1965 C o o l e y y T u k e y p o p u l a r i z a r o n un a l g o r i t m o q u e es m u c h o m á s eficiente e n c u a n t o al tiempo d e c ó m p u t o p a r a g r a n d e s arreglos d e e n t r a d a c u y a l o n g i t u d es u n a p o t e n c i a e n t e r a d e 2. E s t e a l g o r i t m o p a r a calcular la T F D r e c i b e el n o m bre de transformada de Fourier rápida (TFR). L a o p e r a c i ó n del a l g o r i t m o T F R p u e d e ilusttarse m e d i a n t e un e j e m p l o , c a l c u l a n d o la T F D d e u n conjunto d e c u a t r o m u e s t i a s d e d a t o s u t i l i z a n d o el a l g o r i t m o . D e s i g n e el c o n j u n t o d e m u e s t r a s d e u n a señal c o m o la señal x ^ l n ] en T D de m a n e r a q u e el c o n j u n t o d e datos d e e n t r a d a p a r a el a l g o r i t m o es Q[0], XQ[1], XQ[2], XQ[3] }. L a f ó r m u l a d e la T F D c a l c u l a é s t a d e a c u e r d o c o n NF-I

X[k]

(7.162)

-jl-nikn/NF)

^Me'-i

n=0

Es c o n v e n i e n t e u s a r la n o t a c i ó n

(7.163) P a r a este caso d e c u a t r o p u n t o s de d a t o s , es p o s i b l e escribir la T F D e n f o r m a d e m a t r i z c o m o ^ 0 -

X[0]"

•xo[0]

X[l] X[2]

xo[l] xo[2]

iy4

14/9

V(/3

X[3]

(7.164)

xo[3]

Efectuar la multiphcación usual de matrices directa requeriría A^^ multiplicaciones complejas y A'(A'^ -

adiciones complejas. P u e d e reescribirse (7.164) en la forma.

debido a q u e W" =

"X[0]"

X[l] X[2]

X[3]

xo[0]'

Xo[l]

1^2

(7.165)

xo[2]

^yl

xo[3]

d o n d e m es u n e n t e r o . El siguiente p a s o n o es tan o b v i o . E s p o s i b l e fac-

torizar la m a t r i z e n el p r o d u c t o d e d o s m a t r i c e s . "X[0]"

X[2]

X[l]

o o

X[3]

1^0

o o

1 1

o • o w2 o

•xo[0] xo[l]

xo[2]

(7.166)

xo[3]

L a p r u e b a d e esta factorización n o se p r e s e n t a r á aquí, pero es p o s i b l e e n c o n t r a r l a e n B r i g h a m ( 1 9 7 4 ) . N o t e q u e el o r d e n del r e s u l t a d o d e la T F D se h a m o d i f i c a d o . L o s e l e m e n t o s " 1 " y " 2 " h a n i n t e r c a m biado p o s i c i o n e s en el v e c t o r del l a d o i z q u i e r d o . E s suficiente p a r a los p r o p ó s i t o s q u e a q u í se b u s c a n verificar q u e esta factorización es correcta m u l t i p l i c a n d o las m a t r i c e s . S e invita a q u e el lector lo haga. C u a n d o se m u l t i p l i c a n las m a t r i c e s , los r e n g l o n e s " 1 " y " 2 " t a m b i é n se i n t e r c a m b i a r á n h a c i e n d o q u e la e c u a c i ó n m a t r i c i a l sea e q u i v a l e n t e a la v e r s i ó n original en (7.165). D e s p u é s de esto se c a l c u l a el n ú m e r o de m u l t i p l i c a c i o n e s y a d i c i o n e s q u e se r e q u i e r e n . P r i m e r o se identifica el r e s u l t a d o d e m u l t i p l i c a r la s e g u n d a matriz c u a d r a d a p o r el c o n j u n t o d e datos d e entrada c o m o xi[0]

xi[l] xi[2]

0 1

xi[3]

W/0

'xo[0]

0 0

xo[l] xo[2]

iy2

xo[3]

(7.167)

El p r i m e r e l e m e n t o es xi[0] = x o [ 0 ] - f - W ° x o [ 2 ] . Este cálculo requiere u n a multiplicación y u n a adición. ( A u n q u e tiplicación

(7.168) es uno, se dejará esto c o m o u n a m u l -

para llegar a una conclusión general.) D e m a n e r a similar x j l ] requiere u n a multiplicación y

7.8 La transformada de Fourier rápida

xo[0]

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

\ /

Xo[l]

x,[0]

Xo[0]

Xo[2] X|[l]

xi[2]

Xo[2]

Xo[3]

Xo[l]

Xo[3]

x,[3]

F I G U R A 7.79 Gráfica del flujo de señales para una TFR de cuatro puntos.

u n a adición. Sin embargo, Xj[2] requiere sólo una adición debido a que W ° = -

y el producto W°XQ[2]

y a se h a obtenido en el cálculo del primer elemento y puede, en consecuencia, sólo almacenarse hasta q u e se necesite y luego restarse en vez de sumarse. D e m a n e r a similar, Xj[3] sólo requiere u n a adición m á s . Hasta ahora se tienen dos multiplicaciones y cuatro sumas. A p e l a n d o a condiciones de simetrías similares en la segunda multiplicación de matrices se encuentra q u e se requieren dos multiplicaciones y cuatro sum a s m á s . Así, en total, se necesitan cuatro multiplicaciones y ocho adiciones. C o m p a r e eso con las 16 m u l tipUcaciones y las 12 adiciones requeridas en el cálculo de la T F D directa en (7.164). Puesto que, computacionalmente, las multiplicaciones requieren por lo general m u c h o m á s tiempo de c ó m p u t o q u e las adiciones, el algoritmo de la T F R para cuatro puntos es alrededor de cuatro veces m á s rápido q u e la T F D directa. El vector que resulta de este tipo de cálculo es codificado

en relación con el vector original, pero

la operación de decodificación es bastante rápida e n cuanto al tiempo de c ó m p u t o , por lo q u e n o afecta e n realidad el cociente de velocidades. Es instructivo observar el proceso de cálculo de la T F R en u n a forma gráfica de flujo de señales. r r

figura . ^ ^ B

El algoritmo de la T F R de cuatro puntos se muestra

7.79. Esta gráfica de ñ u j o de señales ilustra c ó m o se efectúan los cálculos utilizando la factorización de matrices para u n a T F R de cuatro puntos. L a figura 7.80 es la gráfica del flujo de señales para u n a T F R de 16 puntos. Al contar el n ú m e r o de m u l t i p l i c a c i o n e s p a r a c a d a l o n g i t u d de vector dato q u e es u n a p o t e n c i a e n t e r a de 2, es p o s i b l e d e t e r m i n a r de m a n e r a i n d u c tiva u n a fórmula para el n ú m e r o total de m u l t i p l i c a c i o n e s q u e se r e q u i e r e n y c o m p a r a r l o c o n el n ú m e r o r e q u e r i d o p a r a la T F D directa. El n ú m e r o de m u l tiplicaciones p a r a u n a T F R de l o n g i t u d A'^ = 2^, d o n d e p es u n entero, es

James W. Cooley

A'p/2. P o r c o n s i g u i e n t e , el c o c i e n t e de v e l o c i d a d e s p a r a la T F R e n o p o s i c i ó n a la T F D directa es a p r o x i m a d a m e n t e

(7.169)

Np/2 c o m o se tabula en la tabla 7 . 1 .

Estos factores de m e j o r a m i e n t o de la v e l o c i d a d n o se aplican si p no es u n entero. T^or esta r a z ó n , e n \ a p í á t \ i c a \?i

toUMíid

tos

íaíifev'i d a l a T E Q

reales se efectúan c o n la T F R u t i l i z a n d o l o n g i t u d e s de vectores d e datos que son u n a p o t e n c i a entera de 2. ( E n M A T L A B si el vector de e n t r a d a es u n a p o tencia entera de l o n g i t u d igual a 2, el a l g o r i t m o q u e se u s a e n la función f f t es el q u e a c a b a de e x p l i c a r s e . Si su l o n g i t u d n o es u n a p o t e n c i a entera de 2. la T F D se sigue c a l c u l a n d o , p e r o se afecta la v e l o c i d a d d e b i d o a q u e se recuJohn Wilder Tukey

rre a u n a l g o r i t m o m e n o s eficiente.)

XoíO]

xo[2] Xo[3] Xo[4]

\ \ \ \ / ./

X w ° \

/ X

X A \

^\^

XO[5] Xo[6]

X[0]

x°x^

/ / X x / X XX /

XVy

X[4]

X'X/^

XX'"

\ \ X X X )/

^X[12]

/X»X>

,X[2] X[10]

^X[6]

XO[7]

,1/»

XX Xw°

X[14]

Xo[8]

/ ^""^x ^ j ^ x \ \ \^ \ \ X x ^ x c Xo[10] / / x x x ^ x \ \ xX"X \»x^ Xo[ll] X W ' X X Xo[12] X W ' X XX X ' ^ ^ \ Xo[13] x x x < r Xv" Xo[14] ~\¿'X^ XO[15] 7 Xo[9]

7.9 X[8]

///

sT* \

X' XX''

4 ^

X[l] X[9]

_X[5] X[13]

<X^'

_X[3] X[ll]

^X[7] X[15]

F I G U R A 7.80 Gráfica del flujo de señales para una TFR de 16 puntos.

TABLA 7.1 Cociente de velocidades entre la TFR y la TFD directa en función del número de puntos. N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

4 8 16 32 64 128 256 512 1 024 2 048 4 096 8 192 16 384 32 768 65 536

Cociente de velocidades T F R / T F D 4.00 5.33 8.00 12.80 21.33 36.57 64.00 113.78 204.80 372.36 682.67 1 260.31 2 340.57 4 369.07 8 192.00

7.9 RESUMEN DE PUNTOS IMPORTANTES 1.

U n a señal m u e s t r e a d a tiene u n e s p e c t r o de F o u r i e r q u e es u n a versión r e p e t i d a de m a n e r a p e r i ó dica del e s p e c t r o de la señal m u e s t r e a d a . C a d a r e p e t i c i ó n r e c i b e el n o m b r e de alias.

Si los alias e n el e s p e c t r o de la señal m u e s t r e a d a n o se traslapan, la señal original p u e d e r e c u p e rarse de las m u e s t r a s .

Si la señal se m u e s t r e a a u n a tasa m a y o r q u e el d o b l e de la frecuencia m á s alta, los alias n o se traslaparán.

U n a señal n o p u e d e ser a la v e z de t i e m p o l i m i t a d o y de b a n d a limitada.

Resumen

puntos

importantes

458 CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

E n el c a s o de señales p a s a b a n d a la tasa de m u e s t r e o m í n i m a absoluta n e c e s a r i a p a r a r e c u p e r a r la

L a función de interpolación ideal es la función sinc, p e r o c o m o es n o causal, en la práctica d e b e n

L a s señales e n t i e m p o discreto p u e d e n m u e s t r e a r s e casi de la m i s m a m a n e r a q u e las señales de

señal original es el d o b l e del a n c h o de b a n d a . utilizarse otros m é t o d o s . t i e m p o c o n t i n u o , y las c o n s e c u e n c i a s son a n á l o g a s . 8.

E s p o s i b l e describir p o r c o m p l e t o u n a señal p e r i ó d i c a de b a n d a l i m i t a d a m e d i a n t e u n conjunto finito de m í m e r o s .

L a transformada de Fourier discreta (TFD) es casi exactamente la m i s m a que la S F T D , c o n el factor de escala c o m o única diferencia real.

10. L a T F T C de u n a señal e n T C y la T F D de m u e s t r a s de ella se r e l a c i o n a n a través de las o p e r a c i o nes d e m u e s t r e o en el t i e m p o , v e n t a n e o y m u e s t r e o e n frecuencia. 11. E s p o s i b l e utilizar la T F D p a r a a p r o x i m a r la T F T C o la S F T C , y c o n f o r m e se i n c r e m e n t a la tasa de m u e s t r e o y / o el n ú m e r o de m u e s t r a s , la a p r o x i m a c i ó n se v u e l v e mejor. 12. L a transformada de Fourier rápida ( T F R ) es u n algoritmo m u y eficiente p a r a calcular la T F D q u e a p r o v e c h a las simetrías que se presentan c u a n d o el n ú m e r o de puntos es u n a p o t e n c i a entera de 2.

EJERCICIOS CON RESPUESTAS 1.

M u e s t r e e la señal x ( í ) =3 10 s i n c ( 5 0 0 í ) m u l t i p l i c á n d o l a p o r el tren de pulsos p ( f ) = rect(10'*r) * 1 0 0 0 c o m b ( l OOOí) p a r a formar la señal x^(?). Dibuje la m a g n i t u d de la T F T C , X^if),

x^it).

Respuesta: !X(/)|

JLJl

innillllllllllm n

20 000

- 2 0 000

Sea x ( f ) = 10 s i n c ( 5 0 0 r ) c o m o en el ejercicio 1 y forme u n a señal. x„(t)

= [1 OOOx(r) c o m b ( l OOOf)] * rect(lO'^í).

Dibuje la m a g n i t u d d e la T F T C , X^{f), 3.

d e xjf)

y c o m p á r e l a c o n el r e s u l t a d o del ejercicio 1.

D a d a u n a señal e n T C x ( í ) = tri(lOOf),

f o r m e u n a señal x[«] e n T D m u e s t r e a n d o x(f) a u n a tasa d e / ^ = 8 0 0 y f o r m e u n a señal de imp u l s o X g ( í ) e n T C de i n f o r m a c i ó n e q u i v a l e n t e m u l t i p l i c a n d o x(f) p o r u n a s e c u e n c i a p e r i ó d i c a d e i m p u l s o s unitarios c u y a frecuencia f u n d amen t al es la m i s m a / Q = / j = 8 0 0 . Dibuje la m a g nitud de la T F T D d e x[n] y la T F T C de

Xg(í).

b) C a m b i e la tasa de m u e s t r e o a/^ = 5 0 0 0 y repita la parte a).

fs = 800

fs = 5 000

|Xs(/)|

|X5</)i

1 600

-1600

|X(f)i

—t-

-2

10 000

- 1 0 000

|X(F)|

Ejercicios con respuestas

-2

D a d a u n a señal en T C de b a n d a l i m i t a d a x ( r ) = sinc y - ) c o s ( 2 T T f ) ,

forme u n a señal x[n] en T D m u e s t r e a n d o x(í) a u n a t a s a / ^ = 4 y f o r m e u n a señal d e i m p u l so Xg(f) en T C de i n f o r m a c i ó n e q u i v a l e n t e m u l t i p l i c a n d o Xg(í) p o r u n a s e c u e n c i a p e r i ó d i c a de i m p u l s o s unitarios c u y a frecuencia f u n d a m e n t a l es la m i s m a , / Q = / j = 4. D i b u j e la m a g nitud de la T F T D de x[n] y la T F T C de Xg(í). b)

C a m b i e la tasa de m u e s t r e o a /

= 2 y repita la parte a).

Respuestas: fs = * |Xs(/)!

|X5(/)I

|X(F)|

iX(F)| si

-2 D e t e r m i n e las tasas d e N y q u i s t p a r a las siguientes s e ñ a l e s . a)

x(f) = sinc ( 2 0 0

x(í) = 4 sinc2 (lOOí)

x(í) = 8 sen ( 5 0 T T Í )

x(f) = 4 sen (SOiTf) + 3 eos (VOTTÍ)

x(í) = rect ( 3 0 0 0

x(í) = 1 0 sen ( 4 0 I T 0 eos ( 3 0 0 - I T O

Eespuestas: 3?!}. 340, 7 0 , 50, infinito, é.

Dibuje las siguientes señales limitadas en t i e m p o y e n c u e n t r e y grafique la m a g n i t u d de sus T F T C y c o n f i r m e q u e n o s o n de b a n d a limitada. a) b)

x ( 0 = 5 rect

^^^^j

x(0=10tri(50

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

x(í) = rect(f)[l + eos

(l-nt)]

x ( 0 = r e c t ( í ) [ l + e o s (l-nt)] eos ( l ó i r í )

Respuestas:

x| (t)l -1 -2H-'

-0.4

|X(/)|

-12

D i b u j e las m a g n i t u d e s de las siguientes T F T C d e señales d e b a n d a limitada, y e n c u e n t r e y grafíque sus T F T C inversas y c o n f i r m e q u e n o son d e tiempo l i m i t a d o . a)

X(f)

Ka{f)e-i^f

X ( / ) = tri(100/)6''*^-^

X(/) = 8 ( / - 4 ) + 8 ( / - 4 )

X ( / ) = j [ 8 ( / + 4) - 8 ( / - 4)] * r e c t ( 8 / )

Respuestas:

|X(/)|

1X(/)|

|X(/)|

-0.02

0.02

-4

-1

|x«)i

400

„

400

-0.005-

-0.25

M u e s t r e e la señal en T C x(?) = s e n ( 2 T T r )

a u n a tasa d e m u e s t r e o / ^ . D e s p u é s , m e d i a n t e M A T L A B , dibuje la interpolación e n t r e m u e s t r a s en el intervalo de t i e m p o — 1 < í < 1 u t i l i z a n d o la a p r o x i m a c i ó n f

x(r)

= 2fYl

sinc(2/,(f -

nT,))

c o n las siguientes c o m b i n a c i o n e s d e / ,Ly

461

f^ = 4,f.

2,N=l

/, = 4,/, =

2,iV=2

/ , = 8,/^ = 4 , T V = 4

f^ = S,f^ =

2,N=4

/ , = 16,/, =

/ , = 1 6 , / , = 8 , A f = 16

8,7V=S

Ejercicios con respuestas

Respuestas: x(í)

X(I)

x(í)

x(t)

x(í)

-1

P a r a cada señal y tasa de m u e s t r e o especificada, grafique la señal original y u n a interpolación entre m u e s t r a s de la m i s m a utilizando un r e t e n e d o r de o r d e n cero, p a r a el intervalo de t i e m p o - 1 < f < 1. (En este caso la función s t a i r s de M A T L A B p o d r í a ser útil.) a)

x(r) = sen(2iT í),

x(í) = rect(í),

/, = 8

/^=8

x(í) = sen(2TT í), fi = 3 2

x(f) = tri(í),

/, = 8

Respuestas: x(r)

x(0

x(f)

10.

Para cada señal en el ejercicio 9, haga pasar a la señal interpolada con el retenedor de orden cero por un filtro pasabajas de u n solo polo cuya frecuencia de - 3 dB sea u n cuarto de la tasa de muestreo.

Respuestas: x(í) 1

-1-

II.

x(f) 1-

-1

x(f)

Repita el ejercicio 9 p e r o u s e u n r e t e n e d o r de p r i m e r o r d e n en lugar de retención de o r d e n cero.

Kespuestas: X{r)

-1

462

12.

M u e s t r e e las d o s señales

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

xi(í) = e'

X 2 ( í ) = e ' + senCS-TTí)

e n el intervalo - 3 < í < 3 a 8 H z y d e m u e s t r e q u e los v a l o r e s de la m u e s t r a son los m i s m o s . 13.

P a r a c a d a p a r d e las siguientes señales, m u e s t r e e a la tasa especificada y d e t e r m i n e la T F T D de las señales m u e s t r e a d a s . E n c a d a c a s o , e x p l i q u e , e x a m i n a n d o las T F T D de a m b a s , p o r q u é son iguales las m u e s t r a s . a)

x(0 = 4COS(16TTÍ)

x(í) = 6 sinc (80

x(0 = 9 eos (14iT i)

x(f) = 4 eos (76IT r),

= 30

x(r) = 6 sinc (8í), eos (4007: f) f^ = 100 y

x(í) = 9 eos (9877/), / , = 5 6

Respuestas:

/25 —F

) *comb(F),

c o m b \F

+ comb

75 rect

(

14.

comb

8 \

.comb|F +

30/

- ^ j

1 -

F +

P a r a c a d a senoide, d e t e r m i n e las otras dos c u y a s frecuencias son m á s cercanas a la frecuencia de la s e n o i d e dada, y las cuales, c u a n d o se m a e s t r e a n a la tasa especificada, tienen e x a c t a m e n t e las mismas muestras.

x ( 0 = 4cos(87Tí),

x ( 0 = 2sen(-207Tí),

/ , = 20 i = 50 IT

x ( f ) = 5 c o s ( 30iTí + -

x(r) = 4sen(8TTr),

x(r) = 2 C O S ( - 2 0 T T Í ) ,

/ , = 20 = 50

/ . = 50

Respuestas: -2sen(-80TTr)

5 e o s I 130TTÍ +

2 sen(-120'rr0, y

5 eos

4sen(487Tf)

- 4 sen(3277r),

4COS(48TTÍ)

4cos(32TTr)

15.

-7077. + 2cos(80TTf)

2cos(-1207Tf),

P a r a c a d a señal e n T D , dibuje la señal original y la señal m u e s t r e a d a en el intervalo de m u e s treo especificado.

/27rn x [ « ] — seni V 24

x[«] = rectgín],

X[K] = C O S ( ^ — j c o s ( ^

x[n]

—

\ 10/

A^j = 2

2 ' n n \

/ 9 \" =

A^j

u[«],

iTin

— = 6

A^. = 2

xln]

1--

x[n]

4 24

-24

lUTUTTtmti—-

-20

-n

I , 40

—f -24 ^1

-1 +

Xjíl]

'Hi*

x,[n]

4 .

-24 -24

T r .

— -20 16.

P a r a c a d a señal del ejercicio 15, dibuje la m a g n i t u d de la T F T D de la señal original y de la señal m u e s t r e a d a . Respuestas: |X{F)|

|X(F)i

iX(;íl)|

to4

0.25m4-

-1

20-

0.5*

Ix/jíi)!

|X/F)|

iX/F)i

20-

O.5I

.ol

1I1

tt # tt *

VAAAAAÁAAAAAy -1

17.

-1

-2TT

ÍM

-1

P a r a c a d a señal en T D , dibuje la señal original y la señal d i e z m a d a para el intervalo de m u e s treo especificado. Dibuje t a m b i é n las m a g n i t u d e s de las T F T D de a m b a s señales. a)

x W = t n ( ^ ^ , yv, = 2

/2'IT«\ x [ « ] = ( 0 . 9 5 ) " s e n ! — j u [ « ] , iV, = 2

/ 2'nn c)

x[n] — eos

= 7

Respuestas:

x[«]

ÍX(F)Í

|X(F)|

x[«]

4. 1•••

-5 Al

-20

-1

•F

-1

2lT

-2-77 |X/F)[ 0.25

1X(F)|

-1 +

lOOl

ll [l. .tITt. M . .. f W '^0

f*F

464

iX/F)l

.(F)|

100

-20

-1

|X(F)|

xln]

0.5^

-20

1 |X¿(f)l 0.5^

-20

-'1

18.

-1

E n c a d a señal del ejercicio 17 inserte el n ú m e r o especificado de ceros entre m u e s t r a s , aplique u n filtro e n T D pasabajas a las señales con la frecuencia de corte especificada y grafique la señal resultante y la m a g n i t u d de su T F T D . a) Inserte 1 cero entre los p u n t o s . L a frecuencia de corte es F^, = 0 . 1 . b) Inserte 4 ceros entre los p u n t o s . L a frecuencia de corte es F^ = 0.2. c) Inserte 4 ceros entre los p u n t o s . L a frecuencia de corte es F^ = 0.02.

Respuestas:

0.-4

0.4,.

tilLlÍT...,.

.t.. tTlT..TTt

-5 -20

-0.5 + |x,(í-)l 200-

lil Cero,

19.

iiU

iJJ

2lT

-1

M u e s t r e e las siguientes señales x(f) e n T C p a r a f o r m a r señales x[n] en T D . M u e s t r e e a la tasa de N y q u i s t y l u e g o a la siguiente superior p a r a la cual el n ú m e r o de m u e s t r a s p o r ciclo es u n entero. Grafique las señales en T C y en T D y las m a g n i t u d e s de las T F T C de las señales en T C y las T F T D de las señales en T D . a)

x(r) = 2sen(30iTr)-F

x(r) = 6 sen(6TT0 cos(247Tf)

5cos(18iTí)

|X(/)| 3-

x(f)

s i

1.25

1 -15

-0.25'

0.25 4—'

-0.25,

! ' 15

-8 +

IXNyqíí')!

|XNy,(F)| .1.51

3 ^

XNyql"!

•

-8

I, ,1

I, ,1 1 '1 8

-H-f

-1

|x,,(f)l

|X„(f)|

X||l"]

X|,[/ll

3 4

5Í T

-1

-5 +

20.

P a r a c a d a u n a d e las siguientes señales d e t e r m i n e la función a r m ó n i c a de la S F T D p a r a u n p e r i o d o f u n d a m e n t a l y d e m u e s t r e q u e X[Nq/2] a)

x[n] = r e c t 2 [ « ] * C O M B N Í H ]

x[n] = r e c t 2 [ « + 1] * c o m b i 2 [ « ]

/14TÍ7¡\ x[n] = c o s ^ eos

x[n] = e o s I

es real.

—j

12Tr«\

I eos / V

Respuestas: 1 - ( c o m b i6[k 1 12

+ c o m b ^^Ik -6]

+ c o m b i6[^ + 6] + c o m b lelk +

sen(5(fc7T/12))^^,.(^,^,) sen(yt'TT/12)

^ ( c o m b i 4 [ Á : -7]

+ c o m b u í / : -5]

+ c o m b ^ í / t -f- 5 ] -f- c o m b u í A ' + l])e^''^^''''^\

1 sen(5(;t'iT/12)) I2

21.

sen(ytTT/12)

Inicie c o n u n a señal x ( 0 = 8cos(30TTr)

y m u e s t r e e , v e n t a n e e y repítala d e m a n e r a p e r i ó d i c a u t i l i z a n d o u n a tasa de m u e s t r e o d e

= 60 y un

i n c h o d e v e n t a n a d e A^^ = 3 2 . P a r a c a d a señal en el p r o c e s o , dibtíjela j u n t o c o n su t r a n s f o r m a d a , y a >¿a la T F T C o la T F T D .

!x(/)| 4 4

x(í)

-15

15 Fase de X ( / )

-0.3

-16

17i-^ 15

—\ -15

—TT -

lx/f)l

4^ , 1 FasedeX,(F) -16

Algunas veces se utilizan otras formas de ventana distintas a un rectángulo. M e d i a n t e M A T L A B encuentre y dibuje las m a g n i m d e s de las T F D de las siguientes funciones de ventana, con a)

W[M] = b)

1 -

eos

Bartlett

w[n] =

O< n <

N - 1 2 -

2n N

- l

< n < N

- l

Hamming 217?!

w [n] = 0 . 5 4 - 0.46 eos d)

O < n <

-\J1

- 32.

Von H a n n o H a n n i n g

Af - 1

O <n

< N

Blackman

2TTn Win] = 0 . 4 2 - 0.5 eos ( j ^ — - ^ ) + 0.08 eos

O <n

< N

Respuestas: IXfflI 16 4

A 31

|xmi •

x[«] I

-32 i

16 ,

-32

IXffll

¡XMl

164

-32

23.

467

M u e s t r e e las siguientes señales a las tasas especificadas p a r a los t i e m p o s especificados y dibuj e las m a g n i t u d e s d e las T F D e n función del n ú m e r o d e a r m ó n i c a e n el intervalo -Npll<k<{Npl2)

respuestas

x(f) =

COS(2TTÍ),

/. =

2,Nf

= 16

X(í) =

C0S(2lTí),

fs = 8,Nf

= 16

x(í) =

COS(2TTÍ),

fs = 16, NF == 2 5 6

x ( 0 = cos(3TTf),

x(t) =

Ejercicios

= 2,NF

= 16

fs = ?,,NF

= 16

COS(3TTO,

x ( í ) — cos(3Trr),

= 16, NF == 2 5 6

Respuestas: 1X1*11

|XWi

xln]

i 4

' 7' |X[<rl|

|XW| 256Í

256-t

-128

|xw|

x[„]

i 4

127

-128

127

24.

M u e s t r e e las siguientes señales a las tasas y en los tiempos especificados y dibuje las m a g n i t u d e s y fases d e las T F D e n función del n ú m e r o d e a r m ó n i c a e n el intervalo —{N12) < k < {N — 1) / 2. d)

x ( r ) = tri(f - 1), f

x ( í ) = tri(í - 1), fs = 16, NF = 2 5 6

=2,NF=

x ( í ) = tri(r - 1), / , = %,NF = 16

x ( í ) = t r i ( í ) + tri(í - 4 ) , / , = 2, ATf = 8

x(í)

x ( 0 = tri(í) + tri(í - 4 ) , f =

= t r i ( í ) + in{t

4),

/ , = S,NF=

6 4 , Nf

= 256

Respuestas:

/ , = 1 6 , ^ ^ = 256 |XM|

/, = 8,ÍVf-=16 IXMI

IXMI 4

- ^ k

-+^k -128

Fase de Xffl

I,"

*k -128'

—X -

"T27 *

Fase de X[/t]

Fase de X M

Ii,

127

con

f, = &.Nf

iXWi

2 -,

2Í '—U

/ , = 64,A'f- = 256 Fase de X[*]

= 32

IX[t]l

128

4 r

X -

-16

127

128 —X -

—A -

25.

Muestree cada una de las señales e n T C , x(í), A^^ veces a la t a s a c r e a n d o la señal x[n] e n T D . Dibuje x(f) e n función d e t y x[n] e n función d e nT^ para el intervalo d e t i e m p o O < í < N^T^. Determine la X[k] de la T F D de las A^^- muestras. D e s p u é s dibuje la magnitud y fase d e X(f) e n función d e / y d e Tpí[k] en función de k A / p a r a el intervalo de frecuencias -{fJ2) <f<fJ2, d o n d e Af = f^/Np~ Grafique T^X[k] c o m o u n a función e n T C continua utilizando el c o m a n d o p l o t de MATLAB. a)

x ( í ) = 5 rect(2(í - 2)),

'f - 2 0 \

/ , = 1 6 , Np = 6 4 ,

f, =

x(t) = 3 sinc

x ( f ) = 2 r e c t ( í - 2) sen(8TT?),

x ( f ) ^ 10

;

t - 2 \ I — 2 j

1,NF

/ , = 3 2 , NF = 128

. í t - 6 \ -

tri V

x ( r ) = 5 cos(2Tr/) cos(16TTf),

8,NF

y j

/ , = 6 4 , Np = 128

Respuestas:

1X(/)1

|x(ni

X(0 5+

127

Fased

Fase de Xlt]

Fase de Xlk]

1.25 j

2.5J

X(0

Fase de X{/)

Fase de X(J) 4

IrAWl 2.5 . 1 •

11,111.1111

X,(/IR,)

Fase de r,XJ*]

rfrn

|X(/)I

X(R) • -0.5

0.5 Fase de X(/)

i1 II

|R,X,ral l-5KIS^ +

-0.5

0.5 Fase de T,X¿k]

|'iii'"'t|l

iir 'ii'i' 1

0.5

11 . II

469 Ejercicios con respuestas

26.

M u e s t r e e c a d a señal en T C , x(í), A'^^ veces a u n a tasa d e / . , c r e a n d o la señal x[«] en T D . Dibuje x(í) en función de t y x[n] en función de nT^ para el intervalo de t i e m p o O < í < N^-T^. Determ i n e la X[k] de la T F D de las m u e s t r a s . Grafique d e s p u é s la m a g n i t u d y fase de X(f) en función d e / y de X[Ic]/Np en función de k A / p a r a el intervalo de frecuencias -(f^ 12) <f< fJ2, d o n d e A / =fJNp. Dibuje X[kyNp c o m o u n a función de i m p u l s o s en T C utilizando el c o m a n d o s t e t t i d e M A T L A B p a r a representar los i m p u l s o s . a)

x ( 0 = 4COS(200TTÍ),

= 8 0 0 , A^f = 32

x(í) = 6 rect(2f) * c o m b ( í ) ,

x(í) = 6 sinc(4r) * comb(r),

x(f) = 5cos(2TT?)cos(16'r7r),

= 16, Nf

= 128

= 16, Nf

= 128

/ = 6 4 , TV/r = 128

Respuestas:

IXCOI

|X(/)|

2Í

1.5 '

1 » 8

1 400

Fase c e X ( / )

i -8

•

1 ' 400 Fase c e X ( / )

• • • • • • i k

í'

-4 +

-400

—.

h*400

— IT -

]/WfI x,(«r,)

1-5. IWfl

-8

ll ll

Fase de

rrpryrrnonTTr

4 |

400

1 * 400

Fase de X,lA-]/iVf.

:o.04 - ir

-8

1 400 — IT -

11 1 ' 400

|X(/)|

x(/)

1.25

x(f) 54

-32 Fase de X ( / )

Fase de X ( / )

-5+'

1 -32

1 . 32 — IT |X,W/Wf]

1.25,1

Fase de XJ,kyNf

FÍFI f 1! ^1

-32 - «r^

Fase de X^ikVNp

-+*kf/NF

-32

EJERCICIOS SIN RESPUESTAS 27.

M e d i a n t e M A T L A B (o u n a iierramienta de c o m p u t a d o r a m a t e m á t i c a equivalente) dibuje la señal x(í) = 3cos(20'n-í) -

2sen(30TTr)

p a r a el intervalo d e t i e m p o d e O < í < 4 0 0 m s . D i b u j e t a m b i é n la señal e n T D f o r m a d a al m u e s trear esta función e n los siguientes intervalos de m u e s t r e o :

lio ^

7; =

t; = i

i s s

C o n b a s e e n lo q u e o b s e r v e , ¿ q u é p u e d e decir acerca d e q u é tan r á p i d o esta señal d e b e m u e s trearse p a r a r e c o n s t r u i r l a a partir d e las m u e s t r a s ? 28.

U n a señal xit) = 20 cos(l OOO-n-r) se m u e s t r e a p o r i m p u l s o s a u n a tasa d e m u e s t r e o d e 2 k H z . D i buje d o s p e r i o d o s f u n d a m e n t a l e s d e la señal m u e s t r e a d a p o r i m p u l s o s

Xg(í).

( C o n s i d e r e q u e la

m u e s t r a e s t á e n el t i e m p o t = 0.) D e s p u é s dibuje c u a t r o p e r i o d o s f u n d a m e n t a l e s , c e n t r a d o s e n O H z , d e la X g ( / ) d e la T F T C d e la señal m u e s t r e a d a p o r i m p u l s o s

Xg(f).

C a m b i e la tasa d e m u e s -

treo a 5 0 0 H z y repita. 29.

U n a señal x(í) = 10 rect(í/4) se m u e s t r e a por i m p u l s o s a u n a tasa d e m u e s t r e o d e 2 H z . Dibuje la señal m u e s t r e a d a p o r i m p u l s o s Xg(f) e n el intervalo - 4 < ? < 4 . D e s p u é s grafique tres p e r i o d o s f u n d a m e n t a l e s , c e n t r a d o s e n / = : O d e la X g ( / ) d e la T F T C d e la señal m u e s t r e a d a p o r impulsos

Xg(í).

C a m b i e la tasa d e m u e s t r e o a } H z y repita.

U n a señal x(r) = 4 sinc(lOf) se m u e s t r e a p o r i m p u l s o s a u n a tasa de m u e s t r e o d e 2 0 H z . Grafiq u e la señal m u e s t r e a d a p o r i m p u l s o s Xg(?) p a r a el i n t e r v a l o - 0 . 5 < f < 0 . 5 . D e s p u é s dibuje tres p e r i o d o s f u n d a m e n t a l e s , c e n t r a d o s e n / = O, d e la X g ( / ) d e la T F T C d e la señal m u e s t r e a d a p o r impulsos

31.

Xg(í).

C a m b i e la tasa d e m u e s t r e o a 4 H z y repita.

U n a señal x[«] e n T D se f o r m a m u e s t r e a n d o u n a señal x{t) = 2 0 COSÍSTTÍ) e n T C a u n a tasa de m u e s t r e o d e 2 0 H z . Grafique x[«] p a r a 10 p e r i o d o s f u n d a m e n t a l e s e n función del t i e m p o discreto. D e s p u é s h a g a lo m i s m o p a r a frecuencias de m u e s t r e o d e 8 y 6 H z .

32.

S e f o r m a u n a señal x[n] e n T D m u e s t r e a n d o u n a señal x(t) = - 4 sen(200'TTí) e n T C a u n a tasa de m u e s t r e o d e 4 0 0 H z . G r a ñ q u e x [ « ] p a r a 10 p e r i o d o s f u n d a m e n t a l e s e n función d e t i e m p o discreto. D e s p u é s realice lo m i s m o para frecuencias d e m u e s t r e o d e 2 0 0 y 6 0 H z .

33.

34.

x(0

= 15 r e c t ( 3 0 0 í ) cos(10'*iTr)

x ( í ) = 7 s i n c ( 4 0 f ) cos(150TTf)

x ( f ) = 1 5 [ r e c t ( 5 0 0 r ) * 100 c o m b ( l O O í ) ] COSÍIO^^TTÍ)

x(f) ^ 4[sinc(500r) * c o m b ( 2 0 0 r ) ]

x(í) = - 2 [ s i n c ( 5 0 0 f ) * comb(200r)]cos(10'*'iTf)

S o b r e u n a gráfica dibuje la señal en T D f o r m a d a al m u e s t r e a r las siguientes tres funciones e n T C a u n a tasa d e m u e s t r e o d e 30 H z .

35.

xi(r) = 4sen(207Tí)

x2Ít)

X2(/) = 4sen(80'7Tr)

= - 4 sen(40'n-f)

G r a f i q u e la señal x[«] en T D f o r m a d a al m u e s t r e a r la señal e n T C x(í) =

8rect(3f)

al d o b l e de la tasa d e N y q u i s t y la p r o p i a x(r). L u e g o e n la m i s m a gráfica dibuje al m e n o s otras d o s s e n o i d e s e n T C q u e p r o d u c i r í a n e x a c t a m e n t e las m i s m a s m u e s t r a s si se m u e s t r e a r a n a los mismos tiempos.

36.

D i b u j e la m a g n i t u d de la T F T C d e x ( ? ) = 25 sinc^

(V6.

S e requeriría u n a c a n t i d a d infinita d e m u e s t r a s p a r a reconstruir de m a n e r a e x a c t a x(t). Si se e s tableciera un c o m p r o m i s o en el cual el m u e s t r e o se efectuara sobre el m í n i m o t i e m p o p o s i b l e q u e p u d i e r a c o n t e n e r 99 por ciento d e la e n e r g í a de esta f o r m a d e o n d a , ¿ c u á n t a s m u e s t r a s se requerirían" 37.

D i b u j e la m a g n i t u d d e la T F T C d e x(r) =

8rect(3r)

E s t a señal n o es d e b a n d a limitada, d e m o d o q u e n o p u e d e m u e s t r e a r s e d e m a n e r a a d e c u a d a p a ra construir e n f o r m a e x a c t a la señal a partir de las m u e s t r a s . C o m o u n c o m p r o m i s o p r á c t i c o , s u p o n g a q u e u n a n c h o de b a n d a q u e c o n t i e n e 9 9 p o r c i e n t o de la e n e r g í a d e x(f) es lo suficient e m e n t e g r a n d e p a r a reconstruir en f o r m a práctica x(r) a partir de sus m u e s t r a s . ¿ C u á l es la tasa d e m u e s t r e o m í n i m a r e q u e r i d a en este c a s o ?

38.

U n a señal x(f) es p e r i ó d i c a y u n p e r i o d o f u n d a m e n t a l d e la m i s m a se d e s c r i b e m e d i a n t e

x(0 =

5.5 < r < 8

< f < 5.5

E n c u e n t r e las m u e s t r a s d e esta señal p a r a u n p e r i o d o f u n d a m e n t a l m u e s t r e a d a s a u n a tasa d e 1 H z ( e m p e z a n d o en el t i e m p o ? = 0). Grafique d e s p u é s , sobre la m i s m a escala, d o s p e r i o d o s f u n d a m e n t a l e s d e la señal original y dos p e r i o d o s f u n d a m e n t a l e s d e u n a señal p e r i ó d i c a q u e es d e b a n d a l i m i t a d a a 0.5 H z o m e n o s y la cual tendría estas m i s m a s m u e s t r a s . 39.

¿ C u á n t o s valores d e m u e s t r a se r e q u i e r e n p a r a p r o d u c i r suficiente i n f o r m a c i ó n q u e d e s c r i b a d e m a n e r a e x a c t a las siguientes señales p e r i ó d i c a s d e b a n d a l i m i t a d a ?

4t.

471

D e t e r m i n e las tasas d e N y q u i s t p a r a las siguientes señales.

x(r) = 8 - I - 3 cos(8'iT/) + 9 sen(4iTr)

x ( í ) = 8 -f 3 0 0 8 ( 7 1 7 0 + 9 sen(4'TTí)

M u e s t r e e la señal e n T C

x ( í ) = 15

sinc(5í) * - comb ( 2 V2

sen(32'n-í)

Ejercicios sin respuestas

CAPÍTULO 7 El muestreo y la transformada de Fourier discreta

41.

p a r a formar la señal x[n] en T D . M u e s t r e e a la tasa de N y q u i s t y l u e g o a la siguiente tasa m á s alta p a r a la cual el n ú m e r o de muestras p o r ciclo es un entero. Dibuje las señales en T C y en T D y la m a g n i t u d de la T F T C de la señal en T C y la T F T D de la señal en T D . Sin usar u n a c o m p u t a d o r a , e n c u e n t r e la T F D directa de la siguiente s e c u e n c i a d e datos y determ i n e d e s p u é s la T F D inversa de esa s e c u e n c i a y verifique que obtiene de n u e v o la s e c u e n c i a original {3,4,

42.

V u e l v a a realizar el ejemplo 7 . 5 p e r o esta vez utilice x(f)

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

1, - 2 } .

1 +

s e n ( 8 i T 0 -|- C O S ( 4 I T ?

c o m o la señal que se d e b e muestrear. E x p l i q u e cualquier d i s c r e p a n c i a q u e se presente. M u e s t r e e la señal periódica d e b a n d a limitada x(f) = 1 5 COSÍSOOTTÍ) + 4 0 sen(200TTf) a exactam e n t e su tasa d e N y q u i s t p a r a u n p e r i o d o fundamental e x a c t o de x(í). D e t e r m i n e la T F D de esas m u e s t r a s . A partir de la T F D e n c u e n t r e la función a r m ó n i c a de la S F T C . Dibuje la representación de la S F T C de la señal q u e resulta y c o m p á r e l a con x(f). E x p l i q u e cualquier diferencia. R e pita p a r a una tasa de m u e s t r e o del d o b l e de la tasa de N y q u i s t . Dibuje la señal periódica de b a n d a limitada x(í) = 8 cos(50iTr) - 1 2 sen(80TT0 a e x a c t a m e n t e su tasa d e N y q u i s t p a r a u n p e r i o d o fundamental e x a c t o de x(í). D e t e r m i n e la T F D de esas m u e s tras. A partir de la T F D e n c u e n t r e la función a r m ó n i c a de la S F T C . Dibuje la r e p r e s e n t a c i ó n de la S F T C de la señal q u e resulte y c o m p á r e l a c o n x ( 0 . E x p l i q u e cualquier diferencia. R e p i t a para u n a tasa de m u e s t r e o del d o b l e de la tasa de N y q u i s t . Mediante MATLAB, a) G e n e r e u n a secuencia p s e u d o a l e a t o r i a de 2 5 6 p u n t o s datos en u n vector x , utilizando la función r a n d n q u e está i n c o r p o r a d a en M A T L A B . b) E n c u e n t r e la T F D de esa s e c u e n c i a de datos y p ó n g a l a en el vector X. c) Iguale el vector X l p f a X. d) I g u a l e a c e r o t o d o s los valores en X l p f e x c e p t o el p r i m e r o y los ú l t i m o s o c h o p u n t o s . e) T o m e la parte real de la T F D i n v e r s a de X l p f y p ó n g a l a en u n vector x l p f . / ) G e n e r e u n conjunto de 2 5 6 t i e m p o s de m u e s t r e o t , que e m p i e c e con O y estén u n i f o r m e m e n te separados por 1 . g) Grafique x y x l p f en función de t sobre la m i s m a escala y c o m p a r e . ¿ Q u é tipo de efecto tiene esta o p e r a c i ó n sobre el conjunto de datos? ¿ P o r q u é el arreglo de sah d a recibe el n o m b r e x l p f ? M u e s t r e e la señal x(í) = rect(í) a tres frecuencias diferentes: 8 , 1 6 y 3 2 H z p o r 2 s. Dibuje la m a g n i t u d de la T F D en c a d a caso. ¿ C u á l de estas frecuencias de m u e s t r e o p r o d u c e u n a gráfica de m a g n i t u d q u e se ve m u y similar a la m a g n i t u d de la T F T C de x(f)? M u e s t r e e la señal x(f) = r e c t ( 0 a 8 H z p a r a tres t i e m p o s totales diferentes: 2 , 4 y 8 s. Dibuje la m a g n i t u d de la T F D en c a d a caso. ¿ C u á l de estas frecuencias de m u e s t r e o p r o d u c e u n a gráfica de m a g n i t u d q u e se ve m u y similar a la m a g n i t u d de la T F T C de x(í)? M u e s t r e e la señal x(í) = cos(7rf) a tres diferentes frecuencias: 2 , 4 y 8 H z p o r 5 s. Dibuje la m a g nitud de la T F D en c a d a c a s o . ¿ C u á l de estas frecuencias de m u e s t r e o p r o d u c e la gráfica de m a g n i t u d q u e se o b s e r v a m á s similar a la m a g n i t u d de la T F T C de x(r)? M u e s t r e e la señal x(í) = cosCirr) a 8 H z para tres t i e m p o s totales diferentes: 5 , 9 y 1 3 s. Dibuje la m a g n i t u d de la T F D en c a d a c a s o . ¿ C u á l de estos t i e m p o s de m u e s t r e o totales p r o d u c e una gráfica de m a g n i t u d similar a la m a g n i t u d de la T F T C de x(í)?