Señales y Sistemas - Roberts - Cap8 by Juan José Nova

8 ^

Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia 8.1 INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS

P(0

E n el análisis de señales y sistemas las características individuales de aquéllas son, d e s d e l u e g o , i m p o r t a n t e s , p e r o t a m b i é n lo son las relaciones entre ellas. D i c h a s relaciones indican a m e n u d o si los f e n ó m e n o s físicos q u e las causan se relacionan o si u n a señal es u n a versión modificada de la otra. L a d T(í) relación entre dos señales en u n sistema p u e d e utilizarse p a r a m e d i r las características de este ú l t i m o . P o r ejemplo, en u n a corriente de líquido es p o - i ™ , sible c o l o c a r un calefactor aguas arriba de u n sensor de t e m p e r a t u r a (figura Flujo 8.1). D e s p u é s la p o t e n c i a del calefactor se m o d u l a con una señal de forma conocida. A l c o n o c e r el e s p a c i a m i e n t o d entre el calefactor y el sensor de temperatura y o b s e r v a n d o la señal p r o v e n i e n t e del sensor de t e m p e r a t u r a FIGURA 8.1 aguas abajo y e s p e r a n d o hasta ver u n a señal de la m i s m a f o r m a (o una simi- Medición del flujo examinando la relación entre lar) en u n t i e m p o posterior, es factible d e t e r m i n a r la r a p i d e z de flujo a partir dos señales, del e s p a c i a m i e n t o dy e\ retraso de t i e m p o entre las señales. E s t e es u n sistema m u y simple cuya relación excitación-respuesta es c o m o u n filtro con u n retraso de t i e m p o y cierta atenuación dependiente de la frecuencia, y la relación entre las dos señales indica c ó m o son los valores de la a t e n u a c i ó n y el retraso de t i e m p o . L a relación entre señales indica a m e n u d o si u n a d e p e n d e de la otra, si a m b a s d e p e n d e n de algún f e n ó m e n o c o m ú n o si son i n d e p e n d i e n t e s .

E n este capítulo se investigarán las técnicas m a t e m á t i c a s con las que se c o m p a r a n dos señales. Dichos m é t o d o s se aplican a t o d o tipo de señales: en t i e m p o c o n t i n u o y en t i e m p o discreto, d e t e r m i m'sticas y aleatorias. U n a exploración de las p r o p i e d a d e s de las señales aleatorias rebasa el objetivo de este libro, a u n q u e las ideas básicas d e c ó m o c o m p a r a r señales se p r e s e n t a r á n a q u í c o n e j e m p l o s q u e usan señales tanto aleatorias c o m o n o aleatorias. N o obstante, en los ejercicios sólo se recurre a señales no aleatorias. OBJETIVOS DEL CAPÍTULO 1.

Entender cómo se define matemáticamente la similitud entre dos señales en el dominio del tiempo. Desarrollar una comprensión de cómo definir matemáticamente la similitud entre dos señales en el dominio de la frecuencia. Relacionar entre sí los métodos en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia a través de la transformada de Fourier.

8.2 CORRELACIÓN Y CORRELOGRAMA • C ó m o d e t e r m i n a r si dos señales están c o r r e l a c i o n a d a s ? L a respuesta natural consiste en observarlas ;. tratar de detectar c u a l q u i e r similitud entre ellas. L o s seres h u m a n o s son m u y b u e n o s p a r a o b s e r v a r smiilitudes entre i m á g e n e s , e s p e c i a l m e n t e rostros. E s una i m p o r t a n t e habilidad de s o b r e v i v e n c i a e v o lutiva. E s p o s i b l e r e c o n o c e r u n g r a n n ú m e r o d e p e r s o n a s c o m o i n d i v i d u o s distintos. I g u a l m e n t e es

CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

p o s i b l e leer t e x t o esaitv a mano o i m p r e s o en diferentes f u e n t e s , en I ^ Y Ú S C U L A S o m i n ú s c u l a s Sin e m b a r g o , se necesita u n m é t o d o m a t e m á t i c o p a r a indicar en forma precisa y cuantitativa la corre lación entre señales.

L a s figuras 8.2 a 8.5 ilustran pares de señales. C a d a p a r se gráfica en función del t i e m p o , y des p u é s las dos señales se g r a n e a n una en función de la otra. E s t a tercera gráfica r e c i b e el n o m b r e de co rrelogmma y a y u d a a d e t e r m i n a r si d o s señales están c o r r e l a c i o n a d a s o n o . P o d r í a n o ser o b v i o a p r i m e r a vista q u e las dos señales en T D d e la figura 8.2 son m u y similares p e r o el c o r r e l o g r a m a ilustra esta relación de m a n e r a m u y clara. C u a n d o la s e g u n d a señal se gráfic contra la primera, el c o r r e l o g r a m a sigue u n a línea recta a través del origen con u n a p e n d i e n t e negati va. El c o r r e l o g r a m a indica q u e c u a n d o X j [ « ] se h a c e positiva a partir de cero, X2[n] s i e m p r e se hac n e g a t i v a d e s d e cero m e d i a n t e u n a c a n t i d a d p r o p o r c i o n a l , y viceversa. E n este e j e m p l o la pendient de la línea del c o r r e l o g r a m a es - 1 . E s o significa q u e c u a n d o X j [ « ] se desvía p o s i t i v a m e n t e a partir d c e r o , X 2 [ « ] se desvía n e g a t i v a m e n t e d e s d e cero en la m i s m a cantidad. E s t o indica q u e h a y u n a rela ción m a t e m á t i c a simple entre las dos señales. X2[n] =

x,[n]

2.4945 -i-

h ,

• 1

1.599 +

-1.599 +

-+2.4945

-1.599

-2.4945 + .ÍÍITTTTT i

TT . ü* h l

-2.4945 •

FIGURA 8.2 Un par de señales en TD y su correlograma.

(8.1

-xi[n]

Si u n c o r r e l o g r a m a tiende a formar u n a línea rec ta, o u n a similar, las dos señales utilizadas par formarla se dice q u e están a l t a m e n t e correlacio nadas. C u a n t o m á s c e r c a n o es el c o r r e l o g r a m a u n a línea, tanto m á s c o r r e l a c i o n a d a s están las se ñales. Si la línea tiene u n a p e n d i e n t e positiva, la señales están c o r r e l a c i o n a d a s p o s i t i v a m e n t e , y tiene u n a p e n d i e n t e negativa, las señales están co rrelacionadas de m a n e r a negativa. Las dos señales en T C en la figura 8.3 tiene características similares. Esto es, se desvían a k e d e dor de la m i s m a cantidad a partir de cero, sus valo res p r o m e d i o s parecen estar alrededor de cero tienden a variar c o m o una función del tiempo a m i s m a velocidad general. Sin embargo, ¿están co rrelacionadas? N o hay una similitud evidente sól a partir de examinarlas, y el correlograma confirm que n o hay u n a tendencia general de u n a que var en la m i s m a dirección que la otra o en la direcci opuesta. Puesto que no hay una aparente linealid en el correlograma, se concluiría, con base en es evidencia, que n o están correlacionadas.

C o m o en la figura 8.3, las d o s señales e n T de la figura 8.4 tienen características similare aunque n o son idénticas. c o r r e l o g r a m a conf\ m a q u e h a y u n a similitud d e b i d o a q u e los p u n g i a i k a d o ? , peTmatiecexv basVatíie p t ó ^ m o s a \ línea recta con u n a p e n d i e n t e positiva. E s t o -0.95535 + -0,95535

-0.90565

-0.90565 + FIGURA 8.3 Un par de señales en TC y su correlograma.

h a y m á s p u n t o s e n e l p r i m e r o y tercer cuadran q u e en el s e g u n d o y el cuarto. E l correlogra indica q u e estas señales n o están correlaciona del t o d o , p e r o t a m p o c o c a r e c e n d e cotrelac p o r c o m p l e t o . H a y una relación entre ellas, q u e n o es u n a p r o p o r c i o n a l i d a d simple c o m fue p a r a las señales de la figura 8.2. U n a s ción típica q u e causaría este tipo de relación q u e X 2 [ n ] fuera igual a alguna constante /sT m p l i c a d a p o r XJ[M] m á s u n a tercera señal, s i e m p r e r u i d o aleatorio n [ « ] . L a relación se cribiría m a t e m á t i c a m e n t e m e d i a n t e xjln]

= Kxi[n]

+ n[«].

(

L a figura 8.5 es diferente p o r q u e aun c u a n d o es posible darse cuenta al ver las dos señales en T C que sus formas son m u y similares, el c o r r e l o g r a m a indica q u e no son exactamente proporcionales entre sí p o r q u e n o dan origen a u n a línea recta (aunque la gráfica tiende a estar en el primero y tercer cuadrantes m á s q u e en el s e g u n d o y el cuarto). Sin e m b a r g o , tiene una forma interesante: formas p s e u d o elípticas centradas en una línea de p e n d i e n t e positiva. ¿ Q u é es lo q u e indica esta f o r m a ? Si usted observa con cuidado las dos gráficas de tiempo, notará u n pequeño desplazamiento en el tiempo entre ellas (figura 8.6). L a s e g u n d a señal es u n a v e r s i ó n d e s p l a z a d a en el t i e m p o de la p r i m e r a . E n este caso, la s e g u n d a señal se m u e v e en la m i s m a dirección q u e la p r i m e r a p e r o antes en el t i e m p o . D e m o do q u e existe u n a relación entre ellas, p e r o c o n desplazamiento de t i e m p o . E s t e tipo de relación se describe en forma m a t e m á t i c a m e d i a n t e X 2 ( í ) = Kxiit

- t).

(8.3)

donde, en este c a s o , = 1 y t < 0 . Si se d e s p l a z a la s e g u n d a señal u n p o c o d e s p u é s en el t i e m p o , se obtendría u n c o r r e l o g r a m a de línea recta con u n a p e n d i e n t e positiva q u e indicaría u n a fuerte correlación positiva.

1.3908 -f 31 ^2

1.5138 4

-1.5197 + X2ÍÍ7]

-1.5197

•

1.3908

•-0.99383 +

III

.ÍTT

Ti 1

-0.99383 + FIGURA 8.4 Un par de señales en TD y su correlograma. Xl(f)

0.76689 +

-0.906 0.76689 4--0.90616

-0.90616 + FIGURA 8.5 Un par de señales en TC y su correlograma.

8.2 Correlación y correlograma

CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

Xl(f)

10.62338 + 1 . 1 •

Xjin]

1--

•

• • ••

• • • 11 >'

•

i 31

-0.29936

-1 +

F I G U R A 8.6 Una vista amplificada de las dos señales de la figura 8.5.

F I G U R A 8.7 Un correlograma para las dos senoides en TD con una diferencia de fase de 45°.

U n a f o r m a de ver p o r qué el c o r r e l o g r a m a tiene esta f o r m a distintiva c u a n d o h a y u n retraso de tiempo entre las señales consiste en g r a n e a r u n c o r r e l o g r a m a p a r a dos señales en T D m u y simples, dos senoides de la m i s m a frecuencia con un desplazamiento de fase de 45° (un retraso de tiempo de un o c t a v o del p e r i o d o f u n d a m e n t a l ) entre ellas (figura 8.7). Si el d e s p l a z a m i e n t o de fase se c a m b i a a 90°, se o b t i e n e u n c o r r e l o g r a m a c o m o el de la figura 8.8. D o s t é r m i n o s que se u s a n de m a n e r a c o m ú n en las descripciones de relaciones entre señales son la correlación y la independencia. Ya se h a definido, al m e n o s cualitativamente, la correlación. L a correlación positiva significa la t e n d e n c i a de dos señales a m o v e r s e en la m i s m a dirección al m i s m o tiempo, y la correlación n e g a t i v a indica la t e n d e n c i a de dos señales a m o v e r s e en d i r e c c i o n e s opuestas al m i s m o t i e m p o . L a definición q u e se acepta en f o r m a c o m ú n d e i n d e p e n d e n c i a dice q u e si dos señales son i n d e p e n d i e n t e s n o hay algo c o m ú n entre ellas. E s t o es, n o existe relación m a t e m á t i c a entre la g e n e r a c i ó n de u n a y la g e n e r a c i ó n de la otra. P u e s t o que i n d e p e n d e n c i a y correlación p a r e c e n ser c o n c e p t o s o p u e s t o s , es t e n t a d o r en este punto p e n s a r q u e si dos señales n o son i n d e p e n d i e n t e s , están correlacionadas, p e r o eso p o r lo general n o es cierto. Este ú l t i m o c o r r e l o g r a m a (figura 8.8) es u n a b u e n a ilustración de la diferencia entre la c o r r e l a c i ó n y la d e p e n d e n c i a . Las dos señales en T C son de m a n e r a e v i d e n t e n o i n d e p e n d i e n t e s p u e s se trata de senoides de la m i s m a frecuencia y hay una relación m a t e m á t i c a simple entre ellas. C o n o c e r u n a y la diferencia de fase permitiría calcular l a otra. N o obstante, nc están correlacionadas. E s t o se indica m e d i a n t e la falta de c u a l q u i e r linealidad d i s c e m i b l e en el c o r r e l o g r a m a . Come se verá p r o n t o , lo anterior p u e d e d e m o s t r a r s e matemáticam e n t e a partir de la definición de correlación.

F I G U R A 8.8 Un correlograma para dos senoides en TC con una diferencia de fase de 90°.

L a figura 8.9 p r e s e n t a otro tipo interesante d e córreleg r a m a , las dos señales en T D se ven b a s t a n t e diferentes, > e^ c o r r e l o g r a m a en v e r d a d n o tiende a formar u n a línea reci2. | n o obstante, al o b s e r v a r l o , es irresistible la s e n s a c i ó n de que ahí existe a l g u n a relación m a t e m á t i c a entre las dos señaleí A u n c u a n d o éstas n o se relacionan l i n e a l m e n t e es claro ¿ partir del c o r r e l o g r a m a q u e lo h a c e n no linealmente. D; a c u e r d o con la defmición usual de correlación, estas señalenn o están m u y c o r r e l a c i o n a d a s , a u n q u e de m a n e r a e v i d e r n t l se hallan relacionadas p o r q u e el c o r r e l o g r a m a , a u n q u e d :

x,[»] 8.2 Correlación y correlograma

2.735 t 4•

. I T . I I

7.4804 —

-1.7869 -|-

7.4804 - h-^x, 2.735

-1.7869

31 F I G U R A 8.9 Un par de señales en TD y su correlograma.

j n e a l , f o r m a u n a sola c u r v a u n i f o r m e m u y definida. E n e s t e c a s o , la r e l a c i ó n m a t e m á t i c a real entre i m b a s s e ñ a l e s es X 2 [ « ] = x ^ [ n ] . L a c o r r e l a c i ó n se define casi s i e m p r e c o n b a s e e n u n a r e l a c i ó n lineal entre s e ñ a l e s . E n este c a s o , e s o p o d r í a d e m o s t r a r s e g r a f i c a n d o el c u a d r a d o d e x i [;í] en función de X 2 [ n ] . E n t o n c e s se o b t e n d r í a u n a línea recta y se afirmaría q u e x j [ « ] y X 2 [ « ] e s t á n a l t a m e n t e c o rrelacionadas. G r a n e a r c o r r e l o g r a m a s e n M A T L A B es bastante s i m p l e . P a r a señales e n T D se gráfica u n a señal :ontra la otra, dibujando sólo p u n t o s . P o r e j e m p l o .

asignan

plot

(xl,x2,'k.')

valores

una

señal

TD a

otra

señal

TD a

;

- : í señales e n T C se d e b e n m u e s t r e a r p r i m e r o las señales b a s t a n t e p o r arriba de la m á s alta de las • tasas de N y q u i s t , y d e s p u é s graficar u n a señal en función de la otra, dibujando líneas entre p u n Por e j e m p l o .

asignan

señal

rlot

muestras

TC a

(xl,x2,'k.')

x2.

;

una

señal

TC a

y muestras

otra

x2 .

4 7 8

8.3 LA FUNCIÓN DE CORRELACIÓN BASES

CONCEPTUALES

El c o r r e l o g r a m a es útil c o m o u n a h e r r a m i e n t a d e v i s u a l i z a c i ó n , p e r o sería m á s a d e c u a d o tener u n a form a m a t e m á t i c a p r e c i s a de e x p r e s a r la relación entre d o s s e ñ a l e s . L a correlación

es la t é c n i c a m a t e m á -

tica q u e i n d i c a si d o s señales se r e l a c i o n a n y, e n u n a f o r m a cuantitativa precisa, en q u é m e d i d a lo hacen. El c á l c u l o m a t e m á t i c o d e la c o r r e l a c i ó n se b a s a en el análisis d e si dos señales t i e n d e n a m o v e r se j u n t a s . E s t o es, si dos señales se m u e v e n en la m i s m a d i r e c c i ó n al m i s m o t i e m p o , están correlacion a d a s , al m e n o s d u r a n t e ese t i e m p o . Si, d u r a n t e u n largo p e r i o d o , las señales t i e n d e n a m o v e r s e en la m i s m a d i r e c c i ó n al m i s m o t i e m p o , se dice q u e están c o r r e l a c i o n a d a s positivamente.

Si, d u r a n t e u n lar-

g o p e r i o d o , d o s señales t i e n d e n a m o v e r s e en d i r e c c i o n e s o p u e s t a s al m i s m o t i e m p o , t a m b i é n están c o r r e l a c i o n a d a s , p e r o en u n sentido negativo.

Si, d u r a n t e u n largo p e r i o d o , las d o s señales tien-

d e n a m o v e r s e e n la m i s m a d i r e c c i ó n a l r e d e d o r d e la m i t a d del t i e m p o y e n d i r e c c i o n e s o p u e s t a s la otra mitad, se dice q u e n o están c o r r e l a c i o n a d a s . (Esto es cierto p a r a las d o s s e n o i d e s m e n c i o n a d a s antes q u e estaban 9 0 ° fuera d e fase.) E s t o s e n u n c i a d o s n o son m a t e m á t i c a m e n t e p r e c i s o s , p e r o describ e n d e m a n e r a c o n c e p t u a l la f o r m a e n q u e se c a l c u l a la correlación. L a definición m a t e m á t i c a de c o r r e l a c i ó n d e b e i n c o r p o r a r d e algún m o d o estas ideas a c e r c a d e c ó m o se m u e v e n las señales u n a en relación c o n otra. E s t o se h a c e o b s e r v a n d o el valor p r o m e d i o del p r o d u c t o d e las funciones. C o n s i d e r e p r i m e r o dos señales, c a d a u n a de las c u a l e s tiene u n valor p r o m e d i o d e cero (figuras 8.10 y 8.11). Si a m b a s tienden a m o v e r s e e n conjunto en la m i s m a dirección, su p r o d u c t o t i e n d e a ser p o s i t i v o . Si a m b a s son positivas, el p r o d u c t o es p o s i t i v o , y si a m b a s son neg a t i v a s , su p r o d u c t o s i g u e s i e n d o p o s i t i v o . D e m a n e r a similar, si se m u e v e n e n d i r e c c i o n e s o p u e s t a s la m a y o r parte del t i e m p o , su p r o d u c t o t e n d e r á a ser n e g a t i v o la m a y o r parte del t i e m p o . Por lo tanto, el p r o m e d i o d e su p r o d u c t o d u r a n t e u n largo p e r i o d o es u n a b u e n a m e d i d a d e c ó m o se c o r r e l a c i o n a n y en q u é sentido. Si los valores p r o m e d i o de las señales son a m b o s distintos al p r o d u c t o , p e r o la variación

alrededor

de cero, e n t o n c e s u n sesgo se añadirá

de ese sesgo seguirá i n d i c a n d o si sus variaciones se m u e v e n

en direcciones iguales u opuestas (figuras 8.12 y 8.13). Si el p r o m e d i o del producto de las señales es mayor que el producto de los valores p r o m e d i o de las dos señales individuales, las señales se correlacionan p o s i t i v a m e n t e . Si el p r o m e d i o del p r o d u c t o es m e n o r q u e el p r o d u c t o d e los p r o m e d i o s , las señales están correlacionadas n e g a t i v a m e n t e . Si el p r o m e d i o del p r o d u c t o es igual al p r o d u c t o d e los p r o m e d i o s .

Señales correlacionadas positivamente Señales no correlacionadas x,[n]

x,[«]

1 .1.

.1.

48 , , I

Señales correlacionadas negativamente • Xi[;!]

1 + ,

* "

¡i

11 J l

f48'

,1.

i1 ,

.1, .1, f

,1 48

X2Í"]

' i t

- 1 4-

I 48

-1+

X,[»]X2[H] i

1 ' f

I *

I I

j f'

XlÍHlXjí/!]

'-lAAAi -1+ x,[;7]X2[«]

Promedio del producto

1 -lili

-1 +

1 1 11 11 11 I 11 I' -1 + Promedio del producto

FIGURA 8.10 Correlación de senoides en TD con valor promedio cero.

Señales correlacionadas positivamente

Señales correlacionadas negativamente

Señales no correlacionadas x,(í)

9.6079 --+

xi(f) 4.4878

4.5191 - 10 10

-4.9496 -f-

-X2(f)

-11.0783 -f X2(?)

X2(0

4.5191 - -

9.6079 —

4.4878 -t

-4.9496 -|-

-4.3836 X](í)X2(0

10 -11.0783 • XlWXjW

Xl(í)X2(0

I 9.6079 +

Promedio del producto

-4.3836 +

4.4878 +

-4.9496 +

-11.0783 - P

Promedio del producto

FIGURA 8.11 Correlación de señales aleatorias en TC con valor promedio cero. Señales correlacionadas positivamente Xi(í)

Señales no correlacionadas

Señales correlacionadas negativamente x,(í)

Xi(f)

Promedio 4 +

6.8301 +

Promedio

3.1213

Promedio

4 10

10 X2(í)

X2(f)

4--

6.8301 - -

Promedio

•r

-2.1049 +

10 X|(/)X2(f)

4 +

p Producto de promedios Promedio del producto-.

•t

Xi(f)x2(r)

-3-X2(0

Promedio

3.1213

Producto de promedios Promedio del producto

6.8301 +

-2.1049

-3 + x,(/)x2(r)

3.1213

- Producto de promedios Promedio del producto -i

-3

Ulo

10 F I G U R A 8.12 Correlación de senoides en TC con valor promedio distinto de cero.

:as señales n o están correlacionadas. U n a m i r a d a c u i d a d o s a del caso n o c o r r e l a c i o n a d o de la figura 8.13 r e \ e l a r í a q u e el p r o m e d i o del p r o d u c t o y el p r o d u c t o de los p r o m e d i o s no son exactamente

iguales, aun-

que son m u y c e r c a n o s . Esto ocurre p o r q u e el p r o m e d i o se t o m a durante un t i e m p o corto. C u a n d o se inc r e m e n t a el t i e m p o , estos d o s valores se a c e r c a n al m i s m o límite.

SEÑALES D E

ENERGÍA

La definición m a t e m á t i c a d e la c o r r e l a c i ó n d e p e n d e del tipo d e señal q u e se analiza. H a y d o s definiciones a c e p t a d a s d e m a n e r a c o m ú n , u n a p a r a las señales d e e n e r g í a y u n a p a r a las señales d e p o t e n -

4 7 9

Señales correlacionadas positivamente

4 8 0

Señales correlacionadas negativamente

Señales no correlacionadas

X,[,I]

Promedio 6.6412

16.9783 +

Promedio

6.0915 - 48

-0.9845 -j-

-8.4322 - -

-6.6285 - -

Xnln]

X2Ín]

X2Í"]

6.6412 -

16.9783 - -

Promedio

6.0915-jrt.

_ ]íl[WltiI1TmTTTtTlTTmTTTtfc^jtTffl4ltit|

1.-

0.9845 -

-8.4322 -f

Xi["]X2[n]

6.6412 \ -

Producto de promedios Promedio del producto

-0.9845 +

-6.6285 -|-

Producto de promedios Promedio del producto

16.9783 •

-8.4322 +

^ ^

X1MX2M

Producto de promedios Promedio del producto

6.0915 •

-6.6285

F I G U R A 8.13 Correlación de señales aleatorias en TD con valor promedio distinto de cero.

cia. P a r a d o s señales d e energía x(í) y y{t) e n T C , la correlación se define m e d i a n t e

x ( í ) y * ( í ) dt.

P a r a d o s señales d e energía x[n] y y[n] e n T D , la correlación se define m e d i a n t e J2T=-oo P a r a el c a s o comían e n el q u e a m b a s señales s o n reales, las definiciones /_~

^Wy*[n].

se simplifican e n

x(Oy(0¿ÍYER=-=cX[«]y[«L-

E s m u c h o m á s comirn e n el análisis de señales y sistemas referirse a \a función de correlación e n v e z d e sólo a la correlación. L a función d e correlación es u n a e x p r e s i ó n m a t e m á t i c a d e q u é tan correlacionadas están d o s señales c o m o u n a función de q u é tanto u n a d e ellas está d e s p l a z a d a . L a correlación entre d o s funciones es u n simple m í m e r o . L a función d e c o r r e l a c i ó n entre d o s funciones es u n a función d e la cantidad de desplazamiento. L a definición m a t e m á t i c a d e la función d e correlación R^^, entre d o s señales de energía x(f) y y(í) e n T C es oc

x(r)y*(r + T)Jr = j

.vy(T)- j

x{t - T)y*{t)

(8.4)

o, si a m b a s señales x(t) y y(f) s o n reales, 00 Rvv(T)= j

00 x(t)y(t

+ j) dt = j

xit-7)y(t)dt.

(8.5)

P a r a señales d e energía e n T D , R.vvíwi] =

'^[«]y*[« +m]=

x[n - m]y*[«]. (8.6)

o, si a m b a s señales x[n] y y[n], s o n reales, 00

R.IVN] =

X! x [ n ] y l n

+ m] =

x[n -

m]y[n].

(8.7 \

Los autores utilizan distintas definiciones de correlación. Las diferencias ocurren en la especificación de cuál es la señal que se va a desplazar, la dirección en que lo hará y el símbolo que se usará para la variable desplazada. Las definiciones usuales para las señales en TC son ce

R „ ( T ) =

x{t+

RXV(t) =

T)y{t)dt,

/ /

x{í)y(/-T)dr

(8.8)

X( T ) y ( T

(8.9)

(í +

R„(r) =

T)y(T)áT,

- í ) J t .

Desde luego, sería adecuado que se coincidiera en una definición común. Sin embargo, lo que en realidad es importante es que una definición se establezca y se use de manera consistente en cualquier texto. Las características fundamentales de la correlación y las implicaciones para el análisis de señales y sistemas son las mismas independientemente de la definición que se use.

O b s e r v e la similitud e n t r e la función d e correlación

p a r a las dos señales de e n e r g í a y la

ción d e d o s señales p r e s e n t a d a antes. L a c o n v o l u c i ó n d e d o s señales xy

convolu-

OO OO

x(í-T)y(T)dT

x[n]

*y[n] =

x[«

W7]y[m].

(8.10)

77Z = —ce

— OÜ

La ú n i c a diferencia es q u e en la c o n v o l u c i ó n u n a d e las s e ñ a l e s se invierte e n el t i e m p o antes de q u e ocurra el p r o c e s o d e desplazamiento y e n la c o r r e l a c i ó n se o m i t e el p r o c e s o d e inversión. P o r c o n s i guiente, p a r a el c a s o d e señales d e energía, existe u n a relación m a t e m á t i c a s i m p l e e n t r e la c o r r e l a c i ó n V la c o n v o l u c i ó n . RX.V(t) = x ( - t ) * y ( T )

Rvv[m] = x [ - m ] *

y[m].

(8.11)

Puesto q u e hay u n a estrecha relación entre la c o n v o l u c i ó n y la correlación para señales de energía, es posible utilizar la dualidad m u l t i p l i c a c i ó n - c o n v o l u c i ó n de la transformada de Fourier c o m o auxiliar e n íl cálculo d e correlaciones, c o m o se h i z o antes para las c o n v o l u c i o n e s . L a c o n v o l u c i ó n en el d o m i n i o j e l t i e m p o c o r r e s p o n d e a la multiplicación en el d o m i n i o d e la frecuencia. P o r lo tanto, m e d i a n t e x ( - r ) <—>

X*(/)

x[-«] «

(8.12)

X*(F),

la función d e c o r r e l a c i ó n p a r a señales d e e n e r g í a se e x p r e s a c o m o

SEÑALES DE

R..>(T) ^

X*(/)¥(/)

(8.13)

R,,[m]

X*(F)Y(F).

(8.14)

POTENCIA

La función d e c o r r e l a c i ó n entre d o s señales de p o t e n c i a x(?) y y ( f ) e n T C se define d e m a n e r a m a t e mática p o r m e d i o d e

R;,,,(t)=

l í m l:

í x{t)y\t

+ j)dt^

lím ^

í x{t - i)y*{t)

+ t) dt ^

lim ¿

dt.

(8.15)

Si x(f) y y(í) son r e a l e s ,

R,J,(t)=

l í m ]-

f x{t)y{t

x{t - j)y(t)

dt.

(8.16)

4 8 2

L a función d e c o r r e l a c i ó n entre d o s señales d e p o t e n c i a x[n] y y[n] en T D se define d e m a n e r a

CAPÍTULO 8

matemática mediante

Correlación,

densidad espectral

R.ylm]

lím

de energía y densidad .

—

x[n]y*[n

+ m] =

lím

N^<x> N

N-*co

— V N

n={N)

x[ n — m]y*[n].

(8.17)

x[n - m]y[n].

(8.18)

—f,, n={N)

espectral de potencia

Si x[n] y y[n] s o n reales, Rxylm]

lím

—

x[n]y[n

+ m] =

lím

—

n={N)

n = {N)

U n c a s o especial i m p o r t a n t e de c o r r e l a c i ó n d e señales d e p o t e n c i a es la q u e existe entre d o s señales p e r i ó d i c a s c u y o s p e r i o d o s f u n d a m e n t a l e s son tales q u e el p r o d u c t o d e las d o s señales es t a m b i é n p e r i ó d i c o . L o anterior ocurrirá c a d a v e z q u e los p e r i o d o s f u n d a m e n t a l e s d e las d o s señales periódicas t e n g a n u n mínimo

común

múltiplo

finito ( M C M ) . ( R e c u e r d e q u e el M C M d e d o s ntímeros es el n ú m e -

ro m á s p e q u e ñ o q u e , c u a n d o se divide entre c a d a u n o d e los d o s n ú m e r o s , p r o d u c e u n e n t e r o . Por e j e m p l o , el M C M de 3 y 4 es 12, el M C M de 10 y 12 es 6 0 , y el M C M d e 6 y 9 es 18.) P a r a d o s funciones p e r i ó d i c a s c u y o p r o d u c t o tiene u n p e r i o d o T o N , la f o r m a general d e la función d e c o r r e l a c i ó n (para funciones de p o t e n c i a real) R;,y(T) =

lím -

/ x(í)y(r+T)Jr

R,,y[m] ^

lím

R^y[m] = -

x[n]y[« + m]

(8.19)

p u e d e sustituirse p o r R.,(T) = -

x(Oy(f+ T)dí

x[n]y[n + m]

(8.20)

d e b i d o a q u e la integral p a r a u n p e r i o d o del p r o d u c t o , d i v i d i d a entre el p e r i o d o (que es el p r o m e d i o del i n t e g r a n d o p a r a u n p e r i o d o ) es igual q u e el p r o m e d i o p a r a c u a l q u i e r n ú m e r o e n t e r o d e p e r i o d o s , i n c l u y e n d o u n a c a n t i d a d infinita de ellos. L o s l a d o s d e r e c h o d e las d o s e c u a c i o n e s en (8.20) son m u y similares a las c o n v o l u c i o n e s p e r i ó d i c a s . D e h e c h o es p o s i b l e e x p r e s a r la c o r r e l a c i ó n entre d o s señales p e r i ó d i c a s , p a r a c u a l q u i e r p e r i o d o q u e tengan e n c o m ú n , c o m o u n a c o n v o l u c i ó n periódica, P , , x(-T)®y(T) R.íj(T) = -

x[-m]®y[m] - - ,

R.,y[OT] =

(8.21)

p a r a e s e p e r i o d o c o m ú n o, u t i l i z a n d o la S F T C o S F T D y su p r o p i e d a d d e d u a l i d a d m u l t i p l i c a c i ó n convolución, x(r)®y(r)

> ToX[kmk]

(8.22)

) NoY[k]X[k],

(8.23)

o VT x[«]®y[n] R..y(T) <

> X*[^]Y[^]

R,,[m] <

> X*{k]Y[k],

(8.24)

d o n d e , e n c a d a caso, la r e p r e s e n t a c i ó n de la serie d e F o u r i e r se t o m a p a r a u n t i e m p o T o N, q u e es c u a l q u i e r p e r i o d o c o m ú n a a m b a s funciones. L a r a z ó n p o r la q u e e x i s t e n dos definiciones de la función d e correlación es q u e si se aplica la c o n c e r n i e n t e a las señales d e energía OC OO

x{t)yit

+ j)dt

R,,[m] =

x[n]y[n+m],

(8.25)

n=-Oü -OO

a u n a señal d e p o t e n c i a , el r e s u l t a d o s e n a infinito y si se aplica la definición p a r a señales d e potencia

R,y(7)=

lím

x(í)y(í + T ) á í

R,Am]

lím

x[n]y[n

+ m],

(8-26)

x(í) = COS(2-IT/„Í)

y(f) = sen(2TT/oO

4 8 3

8.3 La función de correlación

FIGURA 8.14 Ilustración gráfica de la correlación entre un coseno y un seno a diferentes desplazamientos.

a u n a señal d e e n e r g í a el r e s u l t a d o sería c e r o . E s natural p r e g u n t a r e n este p u n t o q u é u s a r si u n a señal es d e e n e r g í a y la otra es d e p o t e n c i a . L a r e s p u e s t a c o n s i s t e e n utilizar la d e f i n i c i ó n d e la señal de e n e r g í a .

Rvy(T) =

xit)y(t

+ 7)dt

R.v.v['"]=

x[m]y[n

m].

(8.27)

La energía finita d e la señal de energía evitará q u e la integral del p r o d u c t o sea infinita. C o m o se e s t a b l e c i ó antes, la función d e c o r r e l a c i ó n es m u c h o m á s general q u e sólo la c o r r e l a c i ó n debido a q u e es u n a función del g r a d o en q u e se r e c o r r e la s e g u n d a función. A l g u n a s funciones n o se correlacionan c o n u n desplazamiento p e r o lo h a c e n e n gran m e d i d a c o n otro, p o r e j e m p l o , u n s e n o y un c o s e n o e n T C d e la m i s m a frecuencia. Si n i n g u n a d e ellas se desplaza, n o están c o r r e l a c i o n a d a s . Si u n a se recorre 9 0 ° , están a h a m e n t e c o r r e l a c i o n a d a s , y a sea p o s i t i v a o n e g a t i v a m e n t e (figura 8.14).

Encuentre la función de correlación para las señales de energía de la figura 8.15. Solución Método I: x,(f) = 4 rect

X 2 ( í ) = rect

(t+\

RI2(T)

Xi(/) =

— rect

(8.28)

16sinc(4/)

í t - \

(8.29)

X t ( / ) X , ( / ) = 32 s i n c ( 4 / ) s i n c ( 2 / ) ( e ^ - " ^ - e"^^"^)

(8.30)

se usa a + b

tri

• tri

a —b '

\ab\ s i n c ( a / ) sinc(¿i/)

a > b >Q

(8.31)

4 8 4

Xi(í)

CAPÍTULO 8

Ri2(t)

X2(f) -1

Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

-4 "2

2/4

1 FIGURA 8.16 Función de correlación.

FIGURA 8.15 Dos señales de energía.

de acuerdo con el apéndice E, 12 tri ^ Y j - 4 tri(2í)

32 s i n c ( 4 / ) s i n c ( 2 / ) .

(8.32)

Utilizando después la propiedad de desplazamiento en el tiempo de la TFTC, 4 { 3 tri ( ^ ^ ^ - ^ ) - tri (2a + D) - 3 tri ( ^ ^ ^ y ^ ) + tri(2(r - 1)) [ 32 s i n c ( 4 / ) s i n c ( 2 / ) ( e ^ - ^ ^ -

(8.33)

e''-'^').

Por consiauiente,

R\2Í-^)

= 4

3 tri

2(T + 1 ) \

(8.34)

- tri(2(T + 1)) - 3 tri ( ^ ^ ^ - J - ^ ) + tri(2(T - 1))

La función 3 tri(2(f + l)/3) - tri(2(r + 1)) es un trapezoide de altura 2 cuya base inferior se extiende desde - 4 hasta 2 y cuya base superior se extiende desde - 2 hasta 0. Por lo tanto, está centrado en - 1 . La función 3 tri(2 (f - l)/3) - tri(2(í - D) es idéntica salvo en que está desplazada hacia la derecha en dos y está centrada en + L Cuando se resta la segunda función de la primera y se multiplica por 4, se obtiene la función de la figura 8.16. Método 2: La definición de la función de correlación para señales de energía es

R.>y(T) =

(8.35)

x{t)y{t+T)dt

-OO

o, en este caso, ce

Ri2(t) = j

(8.36)

X,(r)X2(/ +T)fiíí.

La integral depende de la cantidad de desplazamiento t como se ilustra en la figura 8.17.

x,(í)

Xi(í)

X2(í + t)

X2(í

Xl(í)

+ t) \

- T

X,(f+T)

-2;

;

f =

í=-T+2

x,(f

+ t)

í =

- T +

x,(0

Xi(í)

Xi(f)

- T

0 < T < 2

2 < T < 4

T>4

\ 4 ^ f

-2] t=

- r - 2 - 2 < T < 0

—2

r^x2(r+-

r= - T - 2 '

- 4

T <

FIGURA 8.17 Seis casos de la cantidad de desplazamiento t .

X2(í

— T

-2

T< - 4

+ t)

Caso 1.

T > 4. En este caso las señales no se traslapan y la función de correlación es cero.

Caso 2.

2 < T < 4. En este caso la función de correlación es -T +

R,2(T) =

Caso 3.

(8.37)

4 X ( - l ) í / f = 4(T - 4 ) .

O < T < 2. En este caso la función de correlación es 1-2

—T-

—T

Ri,(T) =

/ 4 X (-|-l)£/r +

= J 4 X {+l)dt+

-^r-

4x{-\)dt=4

-Al.

(8.38)

V i

Caso 4. — 2 < T < 0. Debido a la simetna par de la primera señal y a la simetría impar de la segunda, el resultado es el mismo que el del caso 3 , RJJCT) = —4T. Caso 5.

- 4 < T < 2. De nuevo, a partir de las consideraciones de simetría, Ri2(T) = 4 ( T + 4 ) .

(8.39)

Caso 6. T < - 4 . En este caso las señales no se traslapan y la función de correlación es otra vez cero. Cuando se gráfica este resultado, se observa exactamente como el resultado previo en la figura 8.16.

Ejemplo

Encuentre la correlación entre las señales de potencia en TD,

x[w] = 5 eos

(8.41)

y[n] = 2 eos •

(8.40)

V T '

Solución

Método 1:

Emplee la relación VT R.vv[m] <

(8.42)

X*[kmkl

.Antes de que pueda utilizar este resultado es necesario encontrar un periodo comiín para las dos señales. Los dos periodos individuales son 5 y 7. El mínimo comiín miíltiplo de esos dos periodos es 35. Las dos funciones armónicas de la SFTD son X[k] = - ( c o m b , 5 [ í : -1]

+ comh^Ak

+ 7])

(8.43)

Y[k] = (comb,5[Á' - 5 ] - f combas [-t + 5]).

(8.44)

Por lo tanto. VT Rx.v[m] <

5 > - ( c o m b a s - 5] -|- combasí^ -f 5 ] ) ( c o m b 3 5 [ ^ - 7] + c o m b j s í * -t- 7]).

(8.45)

El anterior es el producto de dos secuencias periódicas de impulsos en TD. Por lo tanto, el producto es cero salvo donde X[fe] y Y[k\ tienen un impulso distinto de cero que ocurre al mismo valor de k. Los impulsos distin::s de cero en X[k] y Y[k] nunca ocurren al mismo valor de k. Por lo tanto, la correlación es cero. R.vví'"] = 0.

(8.46)

8.2

486

Método 2:

La expresión general para la función de correlación correspondiente a las señales de potencia en TD es

CAPÍTULO 8

Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

1 V-^ \ím_ — 2_ x[n]y[n + m ] .

R,,[m] =

(8.47)

n = {N)

Al aplicar esto a x[n] y y[n] se obtiene

R,,[m] =

lím — Y"

5 eos

it={N)

/2TTn \

2 eos

/ 2 7 T (n + m)

(8.48)

;

Mediante (8.49)

cos(.r) eos (y) = -[cos(.v - y) + COS(A- + >•)] se obtiene

R.,,[m] =

5 lím —

eos I

2TTÍ3

2'n-(íi + m ) \

+ eos

/2'7Tn

2'n-(n + w5)

(8.50)

n = (N) ^

5 LVV[m] =

lím

—

eos I

I + eos 35

/ 24TT«

27rm \

(8.51)

Luego, si se utiliza (8.52)

cos(x + >•) = cos(x) c o s ( j ) — sen(x) s e n ( j )

R.,,[«¡] =

eos I

lím —

'4'7Tn

I — sen

sen

4TTn

/.=(iV)

eos

eos I

'24iTn\

- sen

24TTn

(1-, V

Y„Í-Í,

(8.53)

Puesto que el punto de inicio de la sumatoria es arbitrario, considere que sea íj = O en cada caso. Entonces

R.VVÍM] =

lím

—

+ eos ^

2'n-m\^' (A'nn\ /2TTm\í^' MtrnX > eos + sen > sen 7 7 ^ V35; \ 1 ) V35/

—j E

^=0^

- ^-i — j

[-^)

24TT«

(8.54)

Empleando las definiciones exponenciales del seno y el coseno / 2'TTm \

í—

eos

-J

sen

( ^ ) En=0( ^ - -

+ eos

N-i

2TTm

E('

7 ( 2 4 1 7 7 1 / 3 5 ) _|_ ^ - y ( 2 4 T T « / 3 5 ) \

n=0 / 2-TTm \ ;

7 sen

;V-1

^^y(24TT;!/35) _

G-j(24TTn/35)^

(8.551

n=0

Al utilizar después iV

E^" =

1 -r^

r = 1 EN OTRO CASO

(8.561

se obtiene

4 8 7

2TTm \

R,,[m] = -

sen

-J

1/1

/2TTm\

/ 1-

lím —

e^(4-A'/35)

] _

gj(4iT/35)

] _

lím —

+ eos -

gjm-nN/35)

1 _ g,/(4TT/35)

2-17»!

sen

ei(4-A'/35)

^ 1 _ g,;(24-7T]V/35)

lím —

1 _ eJ{4Tr/35)

g-;(4irA'/35)

1 _g-y(4.A'/35)' 1 _ g-i(4w35>

1 _

g-;(24,I^'/35)^^

1 _ e-j(4iT/35)

l _ g-./(24-ÑA'/35) 1 _

g-j(4T7/35)

(8.57)

.\hora examine uno de los términos fraccionarios en esta expresión: (1 - e./(4wiV/35)y(-| _ gj{4ir/35)y g j numerador nunca puede tener un valor mayor que dos, no importa qué valor tenga A' y el denominador es una constante finita. En consecuencia, cuando N tiende a infinito esta fracción está acotada. Lo mismo puede decirse de otras ífaceiones de la misma forma. El factor l/N que multiplica a cada fracción hace que la correlación tienda a cero cuando A' tiende a infinito. Por lo tanto, R..v[m] = 0.

(8.58)

stas dos señales de potencia en TD no tienen ninguna correlación. La falta de correlación es una consecuencia el hecho de que ambas tienen diferentes frecuencias y la correlación de una señal de potencia se calcula para to' tiempo discreto n.

El r e s u l t a d o del e j e m p l o 8.2 c o n d u c e a u n a i m p o r t a n t e c o n c l u s i ó n general. L a correlación entre i o s senoides d e frecuencias diferentes es c e r o . S e a Xj(f) = A j c o s ( 2 ' í t / q ¡ / -I- Gj) y X2(?) = A j cos(2Tr/Q2Í -

Gj). S u s funciones a r m ó n i c a s d e l a S F T C c o n s i s t e n e n i m p u l s o s e n diferentes lugares y e l p r o d u c -

•: es c e r o . P o r lo tanto, l a función d e c o r r e l a c i ó n t a m b i é n es c e r o . T a m b i é n es p o s i b l e d e m o s t r a r q u e - correlación es c e r o a partir d e la definición. L a c o r r e l a c i ó n e s

r/2 Í?i2(T)

lím -

A l cos(2'IT/oir + 0 i ) A 2 cos(2TT/o2(r + 7) + 02) dt.

(8.59)

-(7/2) ^e p u e d e utilizar l a identidad t r i g o n o m é t r i c a , 1 c o s ( x ) cos(>') = - [ c o s ( x - >') + c o s ( x + y)].

(8.60)

Tira escribir T/2 A1A2 /?12(T) =

lím r^oc

[cos(2tt(/oi -

/o2)f -

2 t t / o 2 T + 01 -

62)

-(T/2)

cos(2Tr(/oi + / o 2 ) í + 2tt/o2T +

+ 63)] dt.

(8.61)

5-."11 ^ / n ? ' e n t o n c e s

A1A2 T^oc

sen(27r(/oi -

/pz)? -

2tt/o27

+ 6 1 - 6 2 )

2 t t ( / o i - /02)

Acotado

-,r/2 s e n ( 2 7 T ( / o i + fo2)t

+ 2 t t / o 2 T + 9, + 62)

2 t t ( / o i + /02)

Acotado

-(r/2)

(8.62)

E n el límite c u a n d o T t i e n d e a infinito, la división entre Tde u n a c a n t i d a d a c o t a d a es cero. E n c o n s e CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

cuencia, si/oj

RJ2(T) =

l^fQ2,

8.4 AUTOCORRELACIÓN RELACIÓN CON LA ENERGÍA DE SEÑAL Y CON LA POTENCIA DE SEÑAL U n caso especial m u y i m p o r t a n t e de la función de correlación es la c o r r e l a c i ó n de u n a función consig o m i s m a . R e c i b e el n o m b r e de función de autocorrelación.

Si x(í) es u n a señal de energía, su a u t o -

c o r r e l a c i ó n es OO OO

x ( f ) x ( í - h T ) í/f

R^^[m] =

R,,[0] =

(8.63)

x[n]x[« + m].

A u n desplazamiento de cero se t r a n s f o r m a en OO OO

x~{t)dt

(8.64)

n=-co

— OO

q u e es la energía de señal total. Si x(í) o x[n] es u n a señal de p o t e n c i a , la a u t o c o r r e l a c i ó n a desplazamiento c e r o es

R,,(0) =

q u e es la potencia

1 C lim - / x}(t)dt

de señal

R,,[0] =

lím -

x\n],

(8.65)

promedio.

PROPIEDADES DE LA AUTOCORRELACIÓN L a a u t o c o r r e l a c i ó n d e p e n d e de la elección de la cantidad de desplazamiento, p o r lo q u e n o es posible decir c ó m o se ve la función de a u t o c o r r e l a c i ó n hasta q u e se c o n o z c a la función. Sin e m b a r g o , es posible decir q u e el valor de la autocorrelación n u n c a p u e d e ser m a y o r q u e su valor a desplazamiento cero. E s t o es, Rv.v(O) >

R,,v[0] > R . , , [ m ]

(8.66)

d e b i d o a q u e en un d e s p l a z a m i e n t o c e r o la correlación c o n s i g o m i s m a es e v i d e n t e m e n t e la m á s grand e q u e p u e d e lograrse, p u e s c o i n c i d e n las versiones d e s p l a z a d a y n o d e s p l a z a d a . A p a r t e , r/2

R„(-T) =

f x(í)x(í - T)í/f J

R , , ( - T ) = l i m r^oc T

í J

x(t)x{t-T)dt

(8.67)

-(r/2)

E n t o n c e s si se efectiía el c a m b i o de variable t' ^

t -

dt'

dt,

(8.68)

se d e m u e s t r a q u e R.v.v(T) = R . v . v ( - T ) .

(8.69)

M e d i a n t e u n a técnica similar se d e m u e s t r a t a m b i é n q u e RxJm] =

R,A-m]

(8.701

o, e n p a l a b r a s , t o d a s las funciones d e a u t o c o r r e l a c i ó n (pero n o t o d a s las funciones de c o r r e l a c i ó n ) sor. pares.

Dcra característica d e la función de a u t o c o r r e l a c i ó n es q u e un desplazamiento e n el t i e m p o d e u n a _ no c a m b i a su a u t o c o r r e l a c i ó n . C o n s i d e r e q u e R-,.-,.[»í] es la función de a u t o c o r r e l a c i ó n d e la se. :E energía x[n] en T D . E n t o n c e s

(8.71) «=-C!C

i i o r a y[n] = x[n - Hq]. E n e s e caso ex:

Ryy[m]^

yín]y[n

+ m]=

n= -oo

x[n - no]x[n

- no +

m].

(8.72)

n=-oo

- síble efectuar u n c a m b i o de variable q = n — n^. E n t o n c e s

Ryy[m]

00 Yl

(8.73) x [ 9 ] x [ 9 +m]

Rxxím],

-c demuestra q u e las funciones d e a u t o c o r r e l a c i ó n d e x[n] y y[n] son iguales i n d e p e n d i e n t e m e n r ;uál sea el valor d e Mq. L a m i s m a regla se c u m p l e p a r a las señales de e n e r g í a en T C y p a r a las :- de p o t e n c i a en T C y T D . autocorrelación d e la s u m a d e s e n o i d e s d e diferentes frecuencias es la s u m a d e las a u t o c o r r e :ir> de las s e n o i d e s i n d i v i d u a l e s . P a r a d e m o s t r a r esta i d e a c o n s i d e r e u n a señal d e p o t e n c i a x(í) e n - :aio u n a s u m a de d o s s e n o i d e s X j ( í ) y X2Ít),

donde

xi(í) = A i c o s ( 2 i T / o i í + ei)

X i ( ? ) = A2 COS(2'IT/o2r + 62)

/oi /

(8.74)

fo2.

r-correlación d e esta señal es T/2

1 Í.. t ) = l í m — r^oo T

(8.75)

x ( f ) x ( f + T ) dj

-(r/2) < - 7) =

r/2

lím — r^oc T

[xi(r)xi(í + T ) + xi(í)x2(r + T )

j -(r/2)

+ X 2 ( í ) X i ( / + T ) -h X2(f)X2(í + T ) ] ¿ T

r/2

1 l í m r^oo 1

/ J -(T/2)

r/2 x i ( í ) x i ( r + T)Ú;T +

lím T^oo T

= ff,(T)

r/2 +

1í m r -^oc T

Xi(r)X2(í

+T)I¿T

J -(T/2) =Ru(-} T/2

X2(t)Xi(t

J -{T/2) =«21

+T)dj

+ lím r^oc T

(T)

X2(OX2(í + T ) < Í T

Í J -(T/2) =

«2(T)

:'?2J(T) son cero p o r q u e son c o r r e l a c i o n e s entre senoides de diferentes frecuencias. P o r c o n s i -

^ ; . ( T ) = ^ I ( T ) + /?2(T).

(8.76)

490

EJEMPLOS DE AUTOCORRELACIÓN

CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

L a s figuras 8.18 y 8.19 m u e s t r a n algunos e j e m p l o s gráficos d e algunas señales de energía y sus funciones d e autocorrelación. L a figura 8.18 es u n a ilustración d e las funciones d e a u t o c o r r e l a c i ó n para tres señales de energía en T D aleatorias. P u e s t o q u e son aleatorias, todas son diferentes, p e r o tienen p r o p i e d a d e s similares. U n a de ellas se o b s e r v a en sus funciones de autocorrelación. Las tres funciones de autocorrelación tienen u n p i c o a g u d o en m = O y l u e g o d e m a n e r a m u y r á p i d a p r e s e n t a n una p e q u e ñ a fluctuación aleatoria alrededor de cero incluso p a r a valores m u y p e q u e ñ o s distintos d e cero del desplazamiento m. L a función de autocorrelación describe u n a característica i m p o r t a n t e de estas señales. C a d a u n a de ellas c a m b i a m u y rápido c o n el t i e m p o a n u e v o s valores q u e p r á c t i c a m e n t e nc tienen correlación c o n los valores p a s a d o s o futuros, incluso a u n t i e m p o m u y corto en el p a s a d o o en el futuro. L a figura 8.19 es u n a ilustración de las funciones de autocorrelación p a r a d o s ráfagas senoidales en T C . Estas formas de o n d a son características de las señales de c o m u n i c a c i ó n q u e codifican dato? binarios para transmisión. O b s e r v e q u e aun c u a n d o u n a es u n a ráfaga de c o s e n o y la otra lo es de sen o , sus funciones de autocorrelación son casi idénticas. O b s e r v e t a m b i é n q u e aun c u a n d o la función seno es impar, su función de autocorrelación es p a r p o r q u e indica c ó m o se relaciona u n a función con-

X3ÍÍ!]

x¡[n]

illiliíi -16

16 16

-16 16

-16

+ -2

-2f

-2+

R,2[m]

R,,['«]

R,3[m]

26.5962 - -

21.1233 \ -

-32

V I

32 -8.6349

-5.999

FIGURA 8.18 Tres señales de energía en TD aleatorias y sus funciones de autocorrelación.

x(r)

x(í)

lÉl R,(T)

R,(T)

FIGURA 8.19 Ráfagas de coseno y seno y sus funciones de autocorrelación.

32 + ^6.5112

x(t)

x(í)

X ( í + T)

x(r + T)

x(í + T)

X ( í + T)

x ( í + T)

FIGURA 8.20 Relación de la cantidad de desplazamiento T con la autocorrelación.

-:go m i s m a c u a n d o se desplaza, n o c ó m o la p r o p i a función varía con el t i e m p o . P a r a estas dos seña'es la relación de c a d a una c o n u n a versión d e s p l a z a d a de sí m i s m a es casi e x a c t a m e n t e igual. ( C u a n d o se trate de señales de potencia, se o b s e r v a r á q u e u n c o s e n o y u n s e n o de la m i s m a frecuencia y amplitud tienen e x a c t a m e n t e la m i s m a función de autocorrelación.) E l h e c h o de q u e a m b a s funciones de autocorrelación estén tan cercanas p r o v i e n e de la m i s m a r a z ó n b á s i c a p o r la q u e c u a n d o u n a función está d e s p l a z a d a en el t i e m p o su función de autocorrelación no c a m b i a . E n el c a s o de dos ráfagas senoidales, la del seno n o es s i m p l e m e n t e u n a versión d e s p l a z a d a en el t i e m p o de la del c o s e n o , aunque casi lo es. E s t a es la r a z ó n p o r la q u e las dos funciones de a u t o c o r r e l a c i ó n son casi iguales. Trate de visualizar el p r o c e s o de d e s p l a z a m i e n t o inherente en la a u t o c o r r e l a c i ó n (figura 8.20). A un desplazamiento cero cualquier ráfaga senoidal y su versión d e s p l a z a d a c o i n c i d e n y el área bajo el producto es un m á x i m o . É s t a es la r a z ó n p o r la q u e las funciones de a u t o c o r r e l a c i ó n tienen u n valor niáximo en T = 0. E n t o n c e s c u a n d o se d e s p l a z a u n a v e r s i ó n de la señal a la m i t a d del p e r i o d o fundamental de la s e n o i d e s u b y a c e n t e , los picos positivo y n e g a t i v o se alinean y se obtiene u n a gran área negativa bajo el p r o d u c t o . C u a n d o se p r o d u c e u n desplazamiento de la m i t a d de otro p e r i o d o funda•Kntal, los picos p o s i t i v o s se alinean de n u e v o , p e r o a h o r a los picos e n los e x t r e m o s o p u e s t o s de las dos versiones se m u l t i p l i c a n p o r cero. P o r c o n s i g u i e n t e , a u n q u e el área bajo el p r o d u c t o a l c a n z a u n [»co positivo, éste es m á s p e q u e ñ o q u e el c o r r e s p o n d i e n t e al desplazamiento cero. C o n f o r m e contintía el desplazamiento los p i c o s , tanto positivos c o m o n e g a t i v o s , t i e n d e n a c e r o d e b i d o a la r e d u c c i ó n del traslape entre las p o r c i o n e s distintas de cero de las señales. L a correlación es la b a s e de u n a técnica m u y utilizada en los sistemas de c o m u n i c a c i o n e s d e n o m i n a d a filtrado acoplado. E n los sistemas de c o m u n i c a c i ó n digitales lo tínico i m p o r t a n t e es q u e los 1 y los O en la c a d e n a de datos sean distinguibles entre sí de m a n e r a q u e el receptor p u e d a r e p r o d u c i r el patrón de bits q u e se transmitió. U n 1 se e n v í a c o m o u n a señal de a l g u n a forma, y u n O se e n v í a c o m o una señal de a l g u n a f o r m a distinta, en el c a s o ideal u n a muy diferente. L o s 1 y los O p o d r í a n enliiarse c o m o diferentes p u l s o s de nivel de voltaje o c o m o ráfagas senoidales con diferentes fases o ftecuencias, o en u n a diversidad de otras formas. El objetivo del receptor es r e c o n o c e r los bits. El diseñador del sistema de c o m u n i c a c i o n e s c o n o c e las f o r m a s d e las señales q u e r e p r e s e n t a n a los bits, POR lo q u e el receptor se d i s e ñ a p a r a detectar de m a n e r a ó p t i m a dichas formas en la p r e s e n c i a de ruiD O de cierto nivel q u e siempre está presente en cualquier sistema. Se h a d e m o s t r a d o q u e en la p r e s e n c i a del tipo m á s c o m i í n de r u i d o aleatorio, la m e j o r f o r m a de detectar u n a señal de cierta f o r m a consiste en utilizar u n filtro q u e se a c o p l a a d i c h a forma. C o n s i d e l e q u e la señal q u e representa a 1 es X j ( / ) y q u e la señal q u e r e p r e s e n t a O es x^^t). U n filtro a c o p l a d o E S un sistema L I T c u y a r e s p u e s t a al i m p u l s o h(í) es una versión escalada, y q u i z á d e s p l a z a d a , de la inMERSA en el t i e m p o de la señal q u e se va a detectar. U n e j e m p l o d e formas típicas p a r a los 1 y los O y B S respuestas al i m p u l s o c o r r e s p o n d i e n t e s del filtro a c o p l a d o se ilustran en la figura 8 . 2 1 .

4 9 2

ho(í)

hi(í)

Xo(í)

xi(f)

CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

«0-7- % -A A

Xl(í)

hi(í)

XoW

ho(í)

A h-T

'o -A

-A+--

-B

k-T

hiW

ho(í)

FIGURA 8.21 Algunas señales que representan 1 y O y las respuestas al impulso de filtros acoplados diseñados para detectarla de manera óptima en la presencia de raido.

S u p o n g a q u e se está d i s e ñ a n d o la p a r t e del s i s t e m a q u e detecta a los 1. C o n s i d e r e q u e u n 1 transm i t i d o es x¡y(í) = X[(í) y q u e u n 1 r e c i b i d o c o r r e s p o n d e a x^¡¿t) c o n s t a n t e q u e r e p r e s e n t a la a t e n u a c i ó n en la t r a n s m i s i ó n y

= A x , ( í ~ í^), d o n d e A es alguna

es u n a c o n s t a n t e q u e r e p r e s e n t a el retra-

so d e la p r o p a g a c i ó n en la t r a n s m i s i ó n . L a r e s p u e s t a al i m p u l s o d e ese s i s t e m a sería \{t) (-t

= 5x,

+ íg), d o n d e B es u n a c o n s t a n t e arbitraria. L a r e s p u e s t a y^{t) del s i s t e m a es la c o n v o l u c i ó n d e la

e x c i t a c i ó n (la señal recibida) c o n la r e s p u e s t a al i m p u l s o . y i ( f ) = ^iR(t)

* hi(t)

= Axiit

- tu) * B x i ( - r -h íq),

(8.77)

yi(í) = A 5 y

XI(T- í o ) x i ( - ( r -

yi(í) = ^ 5 y

X I ( T - ÍO)XI(T - (í -

T)ro)¿ÍT,

ío))ü?T.

-00

R e a l i z a n d o el c a m b i o de variable T — t^ = X, oc

yi(í) = A 5

/ /

xi(X)xi(\-(í-fo-ío))í¿X.

(8.78)

A l aplicar la definición d e la a u t o c o r r e l a c i ó n y el h e c h o d e q u e se trata d e u n a función par. OÜ

R,(T)

X(r)x(í + T ) C ? T =

X(f)x(í

-T)¿fT,

(8.791

— oc

p a r a señales d e e n e r g í a e n T C , se o b t i e n e y i ( r ) = AB

R,,(í

^ t o -

to).

(8.80'

x(r) + n(f)

FIGURA 8.22 Un 1 seguido por un O, una respuesta al impulso de filtro acoplado para el 1, y la respuesta del filtro con y sin ruido.

La figura 8.22 es una ilustración de u n a señal, sin ruido y c o n ruido, y la respuesta de u n filtro :plado p a r a c a d a c a s o . L a respuesta del filtro a c o p l a d o p a r a un 1 es u n a versión e s c a l a d a de la fun. : n de autocorrelación de la señal q u e r e p r e s e n t a a 1, retrasada en el t i e m p o p o r el retraso de p r o p a . - ; : ó n íq. P o r esta r a z ó n otro n o m b r e c o m ú n p a r a el filtro a c o p l a d o es filtro de correlación. Una „:.?correlación es m á x i m a c u a n d o su a r g u m e n t o es cero, p o r lo que la r e s p u e s t a del filtro a c o p l a d o es - ^ x i m a c u a n d o r = í^, + íq, y si u n 1 está presente en la señal, el filtro a c o p l a d o será u n m á x i m o en tiempo. Si la señal q u e r e p r e s e n t a a O es el n e g a t i v o de la señal q u e r e p r e s e n t a a 1, es p o s i b l e utiel m i s m o filtro p a r a detectar a m b o s . Si al final de u n t i e m p o de bit la señal del filtro a c o p l a d o es - -riiiva, e n t o n c e s el bit es p r o b a b l e m e n t e u n 1, y si es negativa, es p r o b a b l e q u e sea u n 0. La figura 8.23 es u n a ilustración de las funciones de autocorrelación p a r a dos formas de señal fa- - - i r e s , u n r e c t á n g u l o en T D y un triángulo en T D . L a figura 8.24 ilustra las funciones de autocorre-

x[/¡]

y[n]

1--

-15

R,[m]

R,[/H]

ll -15

-15

FIGURA 8.23 Un rectángulo, un triángulo y sus funciones de autocorrelación.

x(í)

4 9 4

CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia R,(T)

R,(T)

FIGURA 8.24 Tres diferentes señales de potencia aleatorias y sus funciones de autocorrelación.

lación p a r a tres señales d e p o t e n c i a e n T C aleatorias. O b s e r v e c ó m o la t a s a d e v a r i a c i ó n d e las funciones d e a u t o c o r r e l a c i ó n c o n el t i e m p o indica p o r lo g e n e r a l q u é tan r á p i d o c a m b i a n las p r o p i a s señales c o n el t i e m p o . E n otras p a l a b r a s , la función d e a u t o c o r r e l a c i ó n i n d i c a algo a c e r c a del c o n t e n i d o d e frecuencia d e la señal. D e n t r o d e

R,(T)

R^(T)

p o c o se e s t a b l e c e r á la relación c o m p l e t a c u a n d o se defina la d e n s i d a d espectral d e e n e r g í a y la d e n s i d a d espectral d e p o t e n c i a . L a figura 8.25 ilustra las funciones de a u t o c o r r e l a c i ó n p a r a un c o s e n o y u n seno. C o m o se i n d i c ó a n t e s , p u e s t o q u e u n s e n o de la m i s m a frec u e n c i a y a m p l i t u d q u e u n c o s e n o , es sólo u n c o s e n o r e c o r r i d o e n el t i e m p o , las d o s funciones de a u t o c o r r e l a c i ó n d e b e n ser i g u a l e s .

FIGURA 8.25 Un coseno y un seno de la misma amplitud y frecuencia y sus funciones de autocorrelación idénticas.

EJEMPLO 8.3

Encuentre la autocorrelación de la señal de potencia en TC de la figura 8.26. •

Solución

Ésta es una señal de potencia, por lo que la autocorrelación es X*[m[k]

RV(T)

\X{k]\\

(8.811

La señal se describe por medio de

x(í) = A rect

— I * — comb ( —

(8.82)

y su función armónica de la SFTC es

X[^] = ^ smc

(8.83.

Por lo tanto, la autocorrelación es

R.(x)

A . — smc \2j 2

(8.84)

x(í) R,(T)

^ G U R A 8.26 , na señal de onda cuadrada.

FIGURA 8.27 Autocorrelación de la señal de onda cuadrada.

mediante , t\ tri I — -.wj

1 * — comb To

/t — \T(,

w , ^f w > — smc" — k

(8.85)

(8.86) ñgura 8.27).

l'JK.VllM.O 8 . 4

i^juentre la autocorrelación de la señal de energía en TD

x[n]

= cos(Trí!) sinc j —^

(8.87)

\-ura8.28). Soluciór

rosible utilizar R,[m]

X*(F)X(F)

(8.88)

- r a ayudar a encontrar esta autocorrelación. La TFTD de xln] es

X(F) =

- comb I ^ ~ ^ j + comb (^P + ^

X(F) =

®(2rect(2F)*comb(F))

(8.89)

* (rect(2f) * comb(F))

X ( F ) = rect ( 2 ( F - 0^

* c o m b ( F ) + rect ^ 2 ^ F + ^ j ) * c o m b ( F ) .

es la suma de dos funciones rectangulares periódicas, las cuales, debido a los dos desplazamientos de frecuent a en T D F — j y F + j , coinciden exactamente. Por lo tanto, la suma es exactamente el doble de cualquiera JE a s dos funciones periódicas rectangulares (figura 8.29). Puesto que X(F) es real por completo, X(F) = X*(F). Aunque es posible determinar de manera analítica la - - U inversa de (8.89), es mucho más simple observar sólo la figura 8.29 y escribir una expresión más simple X(F) antes de realizar la TFTD inversa de X*(F)X(F). X(F) es un rectángulo repetido de manera periódica - H jna altura de 2, ancho de ; y periodo fundamental de 1.

Tara

X ( F ) = 2 rect

F -

^ 2JJ

* comb(F).

(8.90)

CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

/ \ \ / \ ;

.1 -t^

~ A\ ^^ 1

-8

; / /

1 1

\ V

1 I

i -1

1 1 1

1 1

FIGURA 8.29 Magnitud de la TFTD de x[n] = cos(ir«) sinc( -

FIGURA 8.28 Una señal en TD.

Por lo tanto. 2 rect

R.v[m]

1\\ N F - ~\ \ * c o m b ( F )

(8.91)

Puesto que la función rectángulo al cuadrado es igual a sí misma,* (8.92)

rect-(F) = rect(f),

la transformada de Fourier inversa de la función rectángulo al cuadrado convolucionada con comb (/ ) es igual que la transformada de Fourier inversa de la función rectángulo convolucionada con comb (F), n

smc| —

(8.93)

lü rect"(u,'F) * c o m b ( F ) ,

y, utilizando la propiedad de desplazamiento en la frecuencia de la TFTD, ^

(8.94)

X ( F - Fo),

se obtiene \

/ R.v['«] = 2 sinc 5 ) ^ - = 2 s i n c ( -

cos(TRN) + i sen (trn)

R . J m ] = 2cos(TTN) sincj - ).

(8.95»

(8.96.

De modo que se llega al resultado por completo contrario a la intuición de que la función de autocorrelación pira eos (ira) sinc (n/2) es 2 eos (ir;;) sinc (nll). Salvo por un factor de dos, ¡ésta es su propia autocorrelación!

El u s o m á s i m p o r t a n t e de la a u t o c o r r e l a c i ó n está en el análisis del efecto de los s i s t e m a s L I T ; b r e señales aleatorias. C o n s i d e r e el siguiente a r g u m e n t o cualitativo p a r a ver c ó m o la a u t o c o r r e l a c i c o l d e s c r i b e u n a señal aleatoria. S e a u n a señal x(í) u n a c o m b i n a c i ó n lineal d e s e n o i d e s d e diferentes fre-J cuencias.

x(Í) = ¿

AiCos(2Tr/oií+ E I ) .

(8.'

* El cuadrado de la función rectángulo no es exactamente igual a sí misma porque el valor de \ en su discontinuidad se v ve un valor de \ cuando se eleva al cuadrado. Sin embargo, esta diferencia no tiene consecuencias prácdcas. Las transñ das de rect y de rect- son idénticas.

: - r o n c e s , p u e s t o q u e todas las senoides son de frecuencias diferentes,

londe /Í¿(T) es la correlación de Aj. eos + 9 ^ . A d e m á s Í?¿(T) es independiente de la elección d e - I m a g i n e a h o r a q u e se f o r m a n varias versiones de x(í) utilizando d e s p l a z a m i e n t o s d e fase 9^ elegi: - al azar, p e r o las m i s m a s a m p l i t u d e s y frecuencias. E n c a d a g r u p o d e cuatro señales en las figuras 8.30 y 8.31 todas son diferentes p e r o tienen fun. ?nes de a u t o c o r r e l a c i ó n idénticas. A l o b s e r v a r las señales en c a d a g r u p o de c u a t r o es claro q u e son j n i l a r e s p e r o n o e x a c t a m e n t e iguales. Sus características c o m u n e s (las a m p l i t u d e s y las frecuencias j í las senoides que las c o n f o r m a n ) se d e s c r i b e n m e d i a n t e la función de autocorrelación. Ésta descri:e en general u n a señal, a u n q u e n o de m a n e r a exacta. E s la m e j o r descripción de u n a señal aleatoria, ¿>reviatura de u n a d e s c r i p c i ó n e x a c t a q u e , c o m o u n a c u e s t i ó n práctica, m u c h a s v e c e s n o está d i s p o lible o n o se necesita.

x,(f)

X2(f)

X4(í)

HGURA 8.30 I'js ilustraciones de grupos de cuatro señales aleatorias con funciones de autocorrelación idénticas.

f l G U R A 8.31 ZX» ilustraciones más de grupos de cuatro señales aleatorias con funciones de autocorrelación idénticas.

8.5 CORRELACIÓN CRUZADA CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

PROPIEDADES DE LA CORRELACIÓN

CRUZADA

U n t é r m i n o comtin p a r a la función de correlación e n t r e d o s señales diferentes es correlación

cruzada

p a r a distinguirla de la a u t o c o r r e l a c i ó n . L a a u t o c o r r e l a c i ó n es s e n c i l l a m e n t e u n c a s o especial d e la función d e c o r r e l a c i ó n c r u z a d a . E s t a ú l t i m a es m á s g e n e r a l q u e la p r i m e r a , p o r lo q u e las p r o p i e d a d e s n o son tan n u m e r o s a s , a u n q u e h a y u n a q u e a l g u n a s v e c e s resulta útil. o

R,,(T) = RV.V(-T)

(8.99)

Rxv[m] = R v . . [ - W í ] .

O b s e r v e q u e c u a n d o y(f) = x ( 0 o y[«] = x[n] esta p r o p i e d a d se r e d u c e a la p r o p i e d a d d e las funciones de a u t o c o r r e l a c i ó n q u e s o n funciones p a r e s del d e s p l a z a m i e n t o .

EJEMPLOS DE CORRELACIÓN

CRUZADA

C o m o un e j e m p l o de la c o r r e l a c i ó n c r u z a d a , s u p o n g a q u e las d o s señales d e p o t e n c i a x(í) y y(í) e n T C son las q u e se ilustran en la figura 8.32. (Estas ilustraciones m u e s t r a n las señales p a r a u n tipo finito. S e s u p o n e q u e s o n señales d e p o t e n c i a similares p a r a otros intervalos de t i e m p o . ) Su función d e c o r r e l a c i ó n c r u z a d a se ilustra e n la figura 8.33. Q u i z á p o d r í a n o h a b e r sido o b v i o a p r i m e r a vista q u e las dos formas de o n d a están altamente correlacionadas, aunque una inspección en el pico m á s grande en la función d e correlación cruzada indica q u e lo son. El pico ocurre en u n d e s p l a z a m i e n t o que es igual a la cantidad de d e s p l a z a m i e n t o entre x(í) y y(r) al cual se alinea. Esto es, si la señal y ( 0 se corre hacia la izquierda en esa cantidad, t o d o s los p i c o s d e x(r) y y(t) c o i n c i d e n e n el t i e m p o y se p r e s e n t a u n a similitud o c o r r e l a c i ó n m á x i m a entre las d o s formas de o n d a . L a figura 8.34 es u n a gráfica d e las d o s señales c o n yit) d e s p l a z a d a p a r a s u b r a y a r el p u n t o . E n el análisis de señales a veces es m u y i m p o r t a n t e el q u e dos señales estén o n o correlacionad a s . C u a n d o se s u m a n dos señales, la p o t e n c i a de la señal en la s u m a d e p e n d e en f o r m a considerable d e si se c o r r e l a c i o n a n . C o n s i d e r e tres señales en T D x [ « ] , y[n] y z[«] (figura 8.35). Todas son senoidales c o n la m i s m a a m p l i t u d y frecuencia. C o n s i d e r e a h o r a las señales x[«] + y[n\ y x[n] -1- z[n] (fig u r a 8.36). L a señal x[«] - f y[«] tiene e n definitiva u n a a m p l i t u d m a y o r q u e la señal x[«] -I- z{n] y, en c o n s e c u e n c i a , c u e n t a c o n u n a p o t e n c i a d e señal p r o m e d i o m á s g r a n d e . E s t o o c u r r e b á s i c a m e n t e porq u e x[n] y y[n] se c o r r e l a c i o n a n p o s i t i v a m e n t e (son iguales) y x[n] y z[«] n o se c o r r e l a c i o n a n (tien e n u n a diferencia d e fase de 90°). A c o n t i n u a c i ó n c o n s i d e r e tres s e ñ a l e s aleatorias x ( 0 , y(í) y z(í) en T C (figura 8.37) graficadas sob r e la m i s m a escala, las c u a l e s tienen u n valor p r o m e d i o de cero y e x a c t a m e n t e la m i s m a p o t e n c i a de señal. L a s gráficas de x(í) + y{t) y x(f) -I- z(f) s o b r e la m i s m a e s c a l a se m u e s t r a n en la figura 8.38. D e b e ser claro q u e h a y u n a diferencia cualitativa entre x(í) - f y(/) y x ( 0 -I- z(í). E s t o es, x(í) -I- z(í) p o r lo g e -

R„(T) I

neral se d e s v í a m á s lejos de cero q u e x(f) -I- y(r).

x(í)

. ^. . .

FIGURA 8.33 Correlación cruzada de dos señales.

FIGURA 8.32 Dos señales en las que se encuentra una correlación cruzada.

FIGURA 8.34 Funciones originales con y(t) desplazadas para mostrar la correlación.

1 499

x[«]

8.5 Correlación cruzada

-1+ x[/!] +

y[n

y[n]

iiUIíi

-1 +

TTTTT

32 x[n]

z[n]

1 --

iilllii

zln]

2 +

.TÍllIÍT,

.TTÍTLTT,

-1 + FIGURA 8.35 Tres señales senoidales en TD.

FIGURA 8.36 Sumas de señales senoidales en TD.

L a p o t e n c i a en u n a señal es p r o p o r c i o n a l a su c u a d r a d o . C u a n d o x(í) + y(r) y x(f) + z(r) están al c u a d r a d o , la diferencia se vuelve m á s clara. D e n u e v o se grafican sobre e x a c t a m e n t e la m i s m a escala (figura 8.39). L a p o t e n c i a p r o m e d i o de u n a señal es p r o p o r c i o n a l a la m e d i a de su c u a d r a d o . L a m e d i a del cuadrado d e x(r) + z(?) es m a y o r q u e la m e d i a del c u a d r a d o de x(r) -I- y(/) p o r un factor de dos. U n a gráfica de las funciones de correlación c r u z a d a entre las señales, en e x a c t a m e n t e la m i s m a escala, revela el p o r q u é (figura 8.40). Después de esto es claro que x ( 0 y z(í) están altamente correlacionadas en el desplazamiento cero (de h e c h o , son idénticas). Sin e m b a r g o , x(r) y y(r) n o se correlacionan b i e n en lo absoluto, a cualquier d e s p l a z a m i e n t o . C u a n d o se s u m a n x(f) y z(r), el resultado es 2x(r). D o n d e q u i e r a q u e x(f) es positiva también lo es z(t), y d o n d e q u i e r a q u e x(í) es n e g a t i v a t a m b i é n lo es z(r). L a o p e r a c i ó n de elevar al cuadrado h a c e positivas a las s u m a s positiva y negativa. ¿ Q u é pasaría con la p o t e n c i a p r o m e d i o de x(í) -I- z(r) si x(í) fuera igual al n e g a t i v o de z(?)? E s evidente en ese c a s o q u e x(r) + z(í) sería c e r o en todas partes y la p o t e n c i a p r o m e d i o t a m b i é n sería cero. L a correlación c r u z a d a entre x(r) y z(r) tendría e n t o n c e s la forma que se ilustra en la figura 8 . 4 1 .

v(í)

x(í)

y(f)

x(0 +

z(t)

H G U R A 8.37 Tres señales aleatorias.

FIGURA 8.38 Sumas de señales aleatorias.

R,,,(T)

5 0 0

[x(í) + y{t)f I

CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

>- T

F I G U R A 8.40 Correlaciones cruzadas entre señales.

F I G U R A 8.39 Cuadrado de sumas de señales aleatorias.

R«(T)

¿ Q u é ocurriría si z(í) estuviera desplazada en el tiempo un poco antes de sumarj^^^/^.'-J'Mt',»^'

> T se a x(f)? Observe q u e la correlación entre x(f) y z(í) es m u y alta a u n desplazamiento de cero pero rápidamente va a u n valor bajo incluso para u n desplazamiento p e q u e ñ o . C u a n d o z(r) se r e c o r r e incluso u n a p e q u e ñ a cantidad, la p o t e n c i a e n x(í) + z(r) d e i n m e d i a t o se v u e l v e igual q u e e n x(f) + y(f), d e b i d o a q u e la correlación tiende casi a c e r o . figuras 8.42 y 8.43 se p r e s e n t a n a l a u n o s e j e m p l o s d e pares d e seña^ correlaciones cruzadas,

F I G U R A 8.41 Correlación cruzada entre dos señales con correlación negativa perfecta a desplazamiento cero.

x(f)

y(í)

x(f)

n r n n---, - n

n n ••;,

y(í)

- n r n n ••;,

- n

R,,(T)

F I G U R A 8.42 Correlaciones cruzadas entre señales en TC no senoidales periódicas.

• -0.34375

F I G U R A 8.43 Correlaciones cruzadas entre señales en TD no senoidales periódicas.

n ~i n

8.6 CORRELACIÓN Y LAS SERIES DE FOURIER

5 0 1

R e c u e r d e las fórmulas p a r a la función a r m ó n i c a d e la S F T C trigonométrica de u n a señal p e r i ó d i c a pa-

^-^ Densidad

ra e x a c t a m e n t e u n p e r i o d o fundamental,

%EET^' * ^"^'^'^

X,[lc]

= — /

X.[^] = -

x(?) cos(2Tr(/t/o)r) dt

k ^ l, 2, 3 ,

x ( í ) sen(2T7(fc/o)r) dt

k=l,2,3,....

(8.100)

(8.101)

Cada valor d e X^[k] o X^[k] es simplemente el doble d e la correlación cruzada, a desplazamiento cero, entre la función x(í) y senos y c o s e n o s d e periodos fundamentales diferentes. E s t o e s .

X,[^] = 2R^,(0)

X,[^] = 2R„(0)

(8.102)

donde

c ( í ) = cos(2Tr(A:/o)í)

s(í) =

sen{2'rr{kfo)t).

(8.103)

D e m a n e r a similar

X[^] = — í

x(r)e^-'"2^<^'^"" ¿ í = Rv-(O),

(8.104)

donde Z(?) =

e+j2^(Vo)r_

(8.105)

(Observe q u e en la e c u a c i ó n p a r a X[k] d e b e u s a r s e la forma general d e la correlación c r u z a d a para funciones complejas. Esto es lo q u e h a c e q u e el signo en el e x p o n e n t e d e e en la última e c u a c i ó n sea positivo en v e z de negativo. A h o r a la representación d e u n a señal m e d i a n t e u n a serie de Fourier, q u e es u n p r o c e s o de desc o m p o n e r u n a señal en u n a c o m b i n a c i ó n lineal d e funciones senoidales, p u e d e verse c o m o u n proceso en el q u e se correlaciona la señal c o n las senoides para d e t e r m i n a r si cualquier senoide particular o e x p o n e n c i a l compleja está presente e n la señal y, si es así, en q u é p r o p o r c i ó n .

8.7 DENSIDAD ESPECTRAL DE ENERGÍA (DEE) En las secciones q u e restan d e este capítulo se discutirá la densidad espectral de energía ( D E E ) y después d e la d e n s i d a d espectral d e potencia ( D E P ) y su relación c o n la autocorrelación. D u r a n t e el d e sarrollo d e estos c o n c e p t o s es natural p r e g u n t a r p o r q u é la autocorrelación, la D E E y la D E P son necesarias y útiles, d a d o q u e lo q u e sucede a u n a señal p a r e c e estar c o m p l e t a y d i r e c t a m e n t e determinado p o r el u s o d e c o n c e p t o s d e sistemas lineales y d e la t r a n s f o r m a d a d e Fourier sin apelar a l o s conceptos d e autocorrelación D E E y D E P . Sin e m b a r g o , esto sólo es cierto si se tiene u n a descripción exacta d e la señal. C o m o se m e n c i o n ó antes, a u n q u e la m a y o r í a de las señales reales en los sistemas reales n o tienen u n a descripción exacta, la autocorrelación y la densidad espectral d e p o t e n c i a p u e d e n determinarse (o al m e n o s estimarse). Este tipo d e señal recibe el n o m b r e d e señal aleatoria. L a mejor manera d e analizar señales aleatorias c o n f o r m e p r o g r e s a n a través de los sistemas, es m e d i a n t e su autocorrelación, de D E E , de D E P o de a m b a s . P u e s t o q u e las variables aleatorias n o se a b o r d a n en este hbro, e n este capítulo se aplicarán las ideas d e autocorrelación, d e D E E y d e DEP, a señales d e t e r m i m'sticas para ilustrar los principios i m p l i c a d o s .

DEFINICIÓN Y DEDUCCIÓN D E L A DENSIDAD CAPÍTULO 8

ESPECTRAL D E ENERGÍA

El t e o r e m a d e P a r s e v a l r e l a c i o n a la energía de señal total en u n a señal x(f) o x[n] c o n su t r a n s f o r m a Correa lcó i n, d ense d in ad traelnsd de erga íesp yecd iad , ^•a d e F•o u r i^r,e r^ X(/) o X(f) m e d i a n t e espectral de potenca i E,= j \x{t)\-dt^ j \X{f)\-df o = ¿ \x[n]\^ = l^\X{FVdF (8.106)

L a cantidad símbolo

|X(/)|- o |X(F)p recibe el n o m b r e de densidad

espectral

de energía

y se r e p r e s e n t a c o n el

Esto es, *v(/) = |X(/)i'

*,(F) =

|X(F)|2.

(8.107)

R e c i b e el n o m b r e de d e n s i d a d espectral de energía d e b i d o a q u e describe d e m a n e r a m a t e m á t i c a la variación de la e n e r g í a de la señal c o n la frecuencia. Si x(r) o x[n] es u n a función real, i|),.(/) o i|;^.(F) es par, n o n e g a t i v a y real. P o r c o n s i g u i e n t e , es p o s i b l e escribir la energía d e la señal c o m o 1/2

£, = 2

(8.108)

^Af)df

EFECTOS D E LOS SISTEMAS SOBRE L A D E E

L a utilidad d e l c o n c e p t o d e d e n s i d a d espectral de e n e r g í a p u e d e o b s e r v a r s e si se a n a l i z a el efecto del filtrado p a s a b a n d a de u n a señal de e x c i t a c i ó n x(f) e n T C p a r a c r e a r u n a señal d e r e s p u e s t a y ( í ) . Si el filtro es ideal, c o n g a n a n c i a unitaria y fase lineal en su b a n d a d e p a s o , la parte d e la señal d e n t r o de d i c h a b a n d a d e p a s o n o se verá afectada ( e x c e p t o tal v e z p o r ú n d e s p l a z a m i e n t o e n el t i e m p o ) y la parte de la señal fuera de la b a n d a de p a s o se eliminará. L a e n e r g í a de u n a señal en T C se e n c u e n t r a int e g r a n d o la D E E para todas las frecuencias. Si la señal n o tiene D E E p a r a a l g u n a g a m a d e frecuencias, el i n t e r v a l o de la integral sólo necesita a b a r c a r los valores p a r a los cuales la señal es distinta d e cero. E n e s e c a s o la energía d e señal total d e y(f) se d e t e r m i n a i n t e g r a n d o su D E E , ex;

(8.109 E , = 2

^Andf

= 2 j

\Y(f)\"df^2

= 2J

|Hi/)X(/)pJ/

|H(/)|-*,(/)¿/ = 2j

^Af)df.

(8.110

E s t a integral t a m b i é n p u e d e p e n s a r s e c o m o la p a r t e de la e n e r g í a d e señal d e x ( 0 q u e se e n c u e n t r a c r : tro d e la b a n d a d e p a s o d e l filtro. E n g e n e r a l , la D E E d e la r e s p u e s t a de u n s i s t e m a e n T C lineal se - I - J l a c i o n a c o n l a D E E d e la excitación m e d i a n t e *v(/) = |H(/)|- * , ( / ) -

H(/)H*(/)*,(/)

(8.11

y la D E E de la respuesta d e un sistema en T D lineal se relaciona c o n la D E E d e la excitación m e d i i i vj>,,(F) = | H ( F ) | - * , ( F ) =

H(F)H*(F)^AF).

(8.1

L a s u n i d a d e s d e la D E E d e p e n d e n d e las u n i d a d e s d e la señal a la cual se aplica y d e si l a : es d e t i e m p o c o n t i n u o o d e t i e m p o discreto. P o r e j e m p l o , si la u n i d a d d e la señal es el volt ( V Í ] u n a señal e n T C , su t r a n s f o r m a d a de F o u r i e r tiene u n i d a d e s d e V / H z y las d e su D E E son ( V / (V-s)2. E s t a s u n i d a d e s p u e d e n arreglarse en u n a f o r m a m á s útil c o m o V^-s/Hz, la cual e x p r e s a !_ c o m o u n a e n e r g í a de señal en V^-s p o r frecuencia unitaria en H z . Para señales en T D , la un;c_ D E E e s s i m p l e m e n t e el c u a d r a d o d e l a u n i d a d d e la señal, c u a l q u i e r a q u e ésta sea.

1 EL CONCEPTO DE LA DEE

5 0 3

La D E E d e u n a señal es u n a descripción d e la distribución d e la energía d e la señal en función de la frecuencia. E n la disciplina del p r o c e s a m i e n t o d e señales hay dos m a n e r a s de c o n c e b i r la D E E : de d o b l e b a n d a lateral y d e b a n d a lateral única. M a t e m á t i c a m e n t e , las D E E de d o b l e b a n d a lateral son m á s c o n venientes e n el análisis de sistemas c o m p l i c a d o s , p e r o , d e b i d o a la dificultad c o n c e p t u a l de i m a g i n a r una frecuencia negativa, las D E E se analizan m u c h a s v e c e s c o n s i d e r a n d o q u e toda la energía de la señal reside e n el e s p a c i o de frecuencia positivo. P u e s t o q u e la D E E d e doble b a n d a lateral (que se d e dujo antes) es u n a función par, la relación entre las D E E d e doble b a n d a lateral y de b a n d a lateral única es simple. L a D E E d e b a n d a lateral ú n i c a de u n a señal es el d o b l e d e la D E E d e d o b l e b a n d a lateral d e la m i s m a señal para frecuencias positivas y cero p a r a frecuencias n e g a t i v a s . Definida d e esta forma la energía total en u n a señal es la integral p a r a t o d o el e s p a c i o d e la frecuencia d e c u a l q u i e r D E E . El n o m b r e d e n s i d a d espectral d e e n e r g í a p r o v i e n e del h e c h o d e q u e la D E E es u n a d e s c r i p c i ó n funcional m a t e m á t i c a d e c ó m o la e n e r g í a d e señal se distribuye en la frecuencia. L a figura 8.44 es u n d i a g r a m a d e b l o q u e s c o n c e p t u a l e s d e c ó m o la D E E d e u n a señal en T C p o d r í a m e d i r s e u t i l i z a n d o un arreglo d e filtros, e l e v a d o r e s al c u a d r a d o , i n t e g r a d o r e s y divisores p a r a e s t i m a r la D E E en función de la frecuencia. E s r a r o , si es q u e es p o s i b l e , m e d i r en realidad esta f o r m a , p e r o el d i a g r a m a a y u d a a c o m p r e n d e r lo q u e es la D E E .

RELACIÓN DE LA DEE CON LA AUTOCORRELACIÓN Para s e ñ a l e s d e energía, la c o n t r a p a r t e e n el d o m i n i o del t i e m p o d e la D E E es la a u t o c o r r e l a c i ó n . L a autocorrelación d e u n a señal d e e n e r g í a x(í) o x[n] es la t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r i n v e r s a d e su D E E ,

Rv(0

RGURA

*v(/)

R.v[«]

(8.113)

*.v(^).

.V Elevador cuadrático .v-

Integrador

Dividir entre \ f

.X Elevador cuadrático .v-

Integrador

Dividir entre A /

.V Elevador cuadrático .í"

Integrador

Dividir entre A /

X Elevador cuadrático x-

Integrador

Dividir entre A /

^.v(/,)

%(fN-l)

8.44

Diagrama de bloques conceptual que ilustra el concepto de la densidad espectral de energía de una señal en TC.

8.7 Densidad espectral de energía (DEE)

5 0 4

CAPITULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

L o anterior p u e d e d e m o s t r a r s e m e d i a n t e la siguiente lógica. A partir d e la definición d e la D E E , *v(/) = iX(/)|'

^ A F ) = ^ \ X ( F ) \ \

(8.114)

RAn]

(8.115)

se p u e d e escribir R,(í) ^

X*(/)X(/)

X*(F)X(F).

Al traducir la multiplicación e n el d o m i n i o d e la frecuencia a la c o n v o l u c i ó n en el d o m i n i o del t i e m p o , y v a l i é n d o s e d e la p r o p i e d a d d e la t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r q u e relaciona las conjugadas c o m p l e j a s ,

OO T ) x ( f — T ) CÍT

(8.116)

x[-OT]x[M-m],

(8.117)

R,(í) = x ( - í ) *x(í)

R^[«] = x [ - « ] * x [ n ] =

E m=—cc

las cuales p u e d e n simplificarse e n

OO R,(í) =

Rx[«]

(8.118)

x{j)x(7+t)dT

X[OT]X[W +

(8.119)

n],

q u e son e x a c t a m e n t e las definiciones d e la a u t o c o r r e l a c i ó n p a r a las señales d e e n e r g í a e n T C y en T D J ( L o s d o s s í m b o l o s í y T, o « y m, h a n i n t e r c a m b i a d o l u g a r e s , p e r o eso n o i n v a l i d a el resultado.)

8.8 DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA (DEP) DEFINICIÓN Y DEDUCCIÓN D E LA DENSIDAD DE

ESPECTRAL

POTENCIA

L a D E P tiene la m i s m a relación c o n las señales d e p o t e n c i a q u e la D E E c o n las señales de ener M u c h a s señales en sistemas se c o n s i d e r a n y analizan c o m o si fueran señales d e p o t e n c i a aun cua n o lo sean, y a q u e n i n g u n a señal real p u e d e d u r a r u n t i e m p o infinito. Sin e m b a r g o , a m e n u d o s o n : n a l e s estables q u e h a n e s t a d o activas d u r a n t e largo t i e m p o y se e s p e r a q u e continiíen así. P u e s t o q u e la energía de señal total d e u n a señal d e p o t e n c i a n o p u e d e determinai-se, se encon r á p r i m e r o la D E E d e u n a

versión

d e u n a señal

truncada

Xj{i)

en T C .

x(r)

= rect ( -

xr(í) = O

) x(r),

e n otro caso

(84 donde r/2 XTÍÍ)

XT{t)e-J"^f'dt

x(t}e-J'^^'dt.

-(r/2)

L a p o t e n c i a d e señal p r o m e d i o

Xjí,t)

en este intervalo de t i e m p o es la e n e r g í a de señal en este ;

lo d i v i d i d a entre la longitud d e d i c h o intervalo. P o r lo tanto, es a n á l o g o y l ó g i c o definir la DE señal t r u n c a d a c o m o su D E E dividida entre el t i e m p o .

, .

C o n r o r m e el i n t e r v a l o d e t i e m p o T se v u e l v e m a s g r a n d e , la D E P d e esta señal t r u n c a d a se a p r o x i m a a la d e la señal original. P o r c o n s i g u i e n t e .

GAf)

lím G , , ( / ) =

lím ^

lXr(/)|l

(8.124)

D e m a n e r a a n á l o g a a la d e d u c c i ó n de la D E E , la p o t e n c i a d e u n a señal d e p o t e n c i a d e señal finita e n u n a n c h o d e b a n d a d e / ^ a / ^ está d a d a p o r fH

Potencia = 2 J

G{f)df.

(8.125)

h E l r e s u l t a d o e q u i v a l e n t e p a r a la D E P d e u n a señal en T D es G,-(F)=

l í m G,AF)=

lím

(8.126)

|X^(F)|^

EFECTOS D E LOS SISTEMAS SOBRE LA DEP

L a relación entre la D E P de u n a e x c i t a c i ó n y la D E P de la r e s p u e s t a d e u n s i s t e m a lineal es similar a la relación entre la D E E d e u n a e x c i t a c i ó n y la D E E d e u n a r e s p u e s t a d e u n s i s t e m a lineal. L a D E P d e la r e s p u e s t a d e u n sistema lineal se r e l a c i o n a con la D E P de la excitación m e d i a n t e GAf)

= | H ( / ) | ' G , ( / ) =: H ( / ) H * ( / ) G , ( / )

(8.127)

H(/)

2 A/

X Elevador cuadrático .v"

Prome diador de tiempo

Dividir entre A /

Gv(0)

X Elevador cuadrático .v"

Promediador de tiempo

Dividir entre A /

• G,(/i)

X Elevador cuadrático x'-

Promediador de tiempo

Dividir entre A/

G,(/2)

Promediador de tiempo

Dividir entre A /

G,(/^-i)

H(/)

•A/ -/i

H(/)

x(í)-

•A/ -f2

FIGURA 8.45 Diagrama de bloques que ilustra el concepto de densidad espectral de potencia.

8.8 Densidad espectrai de potencia

(DEP)

CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

= |H(F)pG,(F) =

Gy{F)

(8.128)

H(F)H*(F)G,(F).

É s t e es u n r e s u l t a d o m u y i m p o r t a n t e y es el p u n t o d e p a r t i d a d e la m a y o r í a d e los análisis a c e r c a d e c ó m o se p r o p a g a el r u i d o a través d e u n s i s t e m a L I T . L a s u n i d a d e s d e D E P d e p e n d e n otra vez d e las u n i d a d e s d e la señal s u b y a c e n t e a la cual se aplic a y d e si es e n T C o T D . Si la u n i d a d d e u n a señal e n T C es el a m p e r e ( A ) , las u n i d a d e s d e la D E P son A^/Hz. Si la unidad d e la señal es el volt, las unidades de la D E P son V^/Hz. C o m o la potencia de la señal es la integral de la D E P p a r a u n intervalo d e frecuencia los H z se i n t e g r a n fuera. P o r lo tanto, la p o t e n c i a d e la señal d e u n a señal d e corriente tiene u n i d a d e s d e A^ y la p o t e n c i a d e la señal d e u n a señal d e voltaje tiene u n i d a d e s de V^. P a r a señales e n T D , la u n i d a d es s i m p l e m e n t e el c u a d r a d o d e la u n i d a d d e la señal. P o r c o n v e n i e n c i a , e n m u c h o s análisis en los cuales las u n i d a d e s d e la señal s o n c o n s i s t e n t e s a través d e u n sistema, el análisis se realiza sin utilizar u n i d a d e s . Sin e m b a r g o , e n c u a l q u i e r análisis e n el q u e el r e s u l t a d o final d e b e r e l a c i o n a r s e d e n u e v o c o n la c a n t i d a d física, las u n i d a d e s d e b e n c o n s i d e r a r s e al final y m o s t r a r que son consistentes.

EL CONCEPTO DE LA DEP U n a m a n e r a de visualizar el c o n c e p t o d e la D E P es i m a g i n a r u n a señal e n T C q u e se p r o -

0.05 0.1

c e s a m e d i a n t e el s i s t e m a q u e se ilustra e n la fig u r a 8.45. L a señal d e p o t e n c i a d e la señal x(í) e n T C se d i v i d e p r i m e r o en intervalos d e frec u e n c i a p e q u e ñ o s m e d i a n t e filtros p a s a b a n d a

20 10 -

5--

-0.1 -0.05 -5 +

ideales, c a d a u n o c o n a n c h o d e b a n d a A/. C a d a

0.05 0.1

—2

íi^.ír-

señal f o r m a d a d e esa m a n e r a se e l e v a d e s p u é s al c u a d r a d o (para f o r m a r la p o t e n c i a de señal A

-0.1 -0.05

instantánea)

0.05 0.1 xf

después

se d i v i d e e n t r e A / p a r a formar la p o t e n c i a de

señal p r o m e d i a d a en el t i e m p o p o r la frecuencia unitaria. E n t o n c e s las salidas G^(/'^) son es-

20 -

t i m a c i o n e s d e la D E P a frecuencias discretas.

10 -

5 -

y se p r o m e d i a en el t i e m p o (para

formar la p o t e n c i a d e señal promedio),

t i e n d e a infinito, las salidas G^(4)

abarcan

t o d o el e s p a c i o d e frecuencia. L a D E P d e ban-

-0.1 -0.05

-5 +

0.05 0.1

-0.1 -0.05

d a lateral tánica e x a c t a d e x(t) es s i m p l e m e n t e

0.05 0.1

el límite d e este p r o c e s o c u a n d o A / t i e n d e a cero y Ai" t i e n d e a infinito, p o r lo q u e la cobertura

x l (í)

es u n i f o r m e y c o n t i n u a p a r a t o d o el e s p a c i o de frecuencias.

20-

X2(f)

C o m o u n e j e m p l o d e cuál sería la aparien-

10 -

cia d e las señales e n el s i s t e m a d e la

figure

8.45, c o n s i d e r e q u e la señal d e e n t r a d a es x(r

-0.1 -0.05

0.05 0.1

y que

-5-

= 4 . A l g u n a s d e las señales se ilustrai

e n la figura 8.46. X5(f)

X3(í)

4 AltliyiMA*A<i«Mili]MlitM

-5 +

0.05 0.1

-0.1 -0.05

20--

RELACIÓN DE LA DEP

10 --

LA AUTOCORRELACIÓN

0.05 0.1

FIGURA 8.46 Señales comunes en el sistema conceptual de la figura 8.45 con N = 4.

CON

P a r a señales d e p o t e n c i a , la c o n t r a p a r t e en i d o m i n i o del t i e m p o d e la D E P es la a u t o c o m lación. L a a u t o c o r r e l a c i ó n d e u n a señal d e p t e n c i a es la t r a n s f o r m a d a d e F o u r i e r inversa i la D E P . E s t o es,

R(í) ^

[G(/)]

R[n]

G(F). 8.8 Densidad espectrai de potencia (DEP)

L a p r u e b a es similar a la q u e se p r e s e n t ó antes p a r a señales de energía.

KjKMPLO

Determine la DEP de la señal de potencia de la figura 8.47. •

Solución

Ya se encontró la función de autocorrelación (figura 8.48) para esta señal en el ejemplo 8.3. Esta función se describe de manera compacta por medio de A2 Í2t\ R.,(0 = — tri , —

1 í t \ * — comb \ToJ

(8.130)

Ahora la DEP se encuentra mediante la transformada de Fourier de la autocorrelación.

G.v(/) =

A G,(/) = —

sinc-

n \

(8.131)

) comb ( J o / )

(8.132)

sinc-(^)8(/-,!/o)

(figura 8.49). La DEP indica que la señal tiene una potencia importante a frecuencias de cero y a la frecuencia fundamental de la s e ñ a l / q = I / F q . Suponga que se decide usar el otro método para determinar la DEP, el directo, utilizando la definición

G.(/) =

lím r-^3c

(8.133)

HXr(/)|-. T

La señal de tiempo x(0 es ,'2í\ 1 / t x(f) = A rect ( — * — comb I — ,7o/ To \To

(8.134)

x(í)

R,(f) A- _

As.

7 TO

FIGURA 8.47 Una señal de onda cuadrada.

FIGURA 8.48 Autocorrelación de la señal de onda cuadrada.

G.v(/) 2

-/o

FIGURA 8.49 DEP de la señal de onda cuadrada.

8.5

5 0 8

CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

La señal de tiempo truncada es /2A 1 / t x r ( 0 = A \ rect ( — * — comb — 1 rect 1

Su transformada de Fourier Xj(f) es ^° sinc I

Xr(/)= A

) comb(7"o/)

* T

Ánc{Tf).

(8.136)

sinc(r/)

(8.137)

Entonces G,(/)=

lím T -^oo

GAf)

= lím

G,(/)=

lím

— smcl

combCTo/)

^ s i n c ( ^ 0 8 ( / - n / o ) * T sinc(r/)

- Y £

—j

(8.138)

(8.139)

sinc^^y sinc[r(/-n/o)]

A medida que T se vuelve más grande, las funciones sinc en la sumatoria se vuelven más delgadas y se traslapan menos, y en el límite no lo hacen en absoluto. En ese límite, el cuadrado de la sumatoria es igual a la sumatoria de los cuadrados de las funciones individuales puesto que éstas no se traslapan. En consecuencia, G,(/)=

^sinc-(^)r-sinc-[r(/-n/o)].

lím ] - ¿

(8.140)

Tomando el límite inteiior,

G.(/)=

^sinc^í^j^lím {rsinc-[r(/-n/o)]}.

(8.141)

Para interpretar de manera apropiada el proceso de límite en la función sinc- considere lo siguiente: (8.142)

s i n c ' í a / ) ] = tri ( - ) .

Entonces, utilizando el hecho de que el área bajo una función en el dominio de la frecuencia es su transformada inversa evaluada en r = O, el área bajo la función sinc^ es uno. Si se permite que a tienda a infinito, el área bajo la función sinc- permanece constante en uno debido a que la función triángulo sólo se vuelve más ancha y su valor en ? = O se mantiene igual. Al mismo tiempo el ancho de la función sinc- decrece hacia cero. Una función cuya área es constante mientras su ancho tiende a cero es un impulso (en el límite). Por lo tanto, G.,(/) = ^

sinc^(0

8(/ -

n/o),

(8.143)

que concuerda con el resultado previo después de un esfuerzo considerableinente más matemático y conceptual.

EJEMPLO 8 . 6

Encuentre la DEP de la señal en TD x[n]

•

comb,V(,[/í].

(8.144)

Solución

Determine primero la función de autocorrelación de esta señal periódica utilizando comb,v„[/7]

'DJ

(8.145)

Rxím]

> X*[k]X[k]

(8.146)

8.9 Resumen de puntos importantes

Después utilice de nuevo (8.145). (8.147)

R.ví'w] = — comb A/oí"! ] • No La DEP es la TFTD de la función de autocorrelación que es

(8.148)

G , ( F ) = — comb(A^of)No

Es posible verificar qué tan razonable es este resultado al determinar la potencia de señal promedio a partir de la DEP. Ésta es

=- í

/ GAF)dF Ji '

HNoF -

= — í combiNoF) No Ji

n)dF -

h i t ^0 •'^„=-^

(8.149)

f - -

, dF.

(8.150)

Es posible elegir cualquier intervalo en TD de longitud uno para la integración. Sin importar cuál se escoja, hay exactamente N^ impulsos en él, por lo que la integral vale A'q. Entonces la potencia promedio es

P.v =

(8.151)

Este resultado implica que el periodo fundamental aumenta, y que la potencia promedio disminuye. Puesto que cada impulso en la función contiene la misma energía, lo anterior es razonable. Cuando los impulsos ocurren con menos frecuencia, la potencia promedio disminuye. Esto también concuerda con la función de autocorrelación evaluada en m = 0. Por lo tanto, la respuesta parece razonable.

8.9 RESUMEN DE PUNTOS IMPORTANTES 1. Las relaciones entre señales son a m e n u d o tan i m p o r t a n t e s c o m o las m i s m a s señales. 2 . El c o r r e l o g r a m a es u n a b u e n a m a n e r a de ilustrar si dos señales se correlacionan y en q u é m e d i d a lo h a c e n . 3 . L a correlación y la i n d e p e n d e n c i a n o son c o n c e p t o s e x a c t a m e n t e opuestos a u n q u e p a r a m u c h a s señales parecen serlo. 4 . L a función de correlación indica q u é tanta correlación tienen dos señales c o m o u n a función del g r a d o de d e s p l a z a m i e n t o en el t i e m p o de u n a de ellas. 5 . H a y d o s definiciones de la función de correlación, u n a para señales de energía y otra p a r a señales de potencia. 6. L a correlación y la c o n v o l u c i ó n son p r o c e s o s m a t e m á t i c o s q u e se r e l a c i o n a n de m a n e r a estrecha. 7. L a correlación de u n a señal c o n u n a versión d e s p l a z a d a de ella m i s m a recibe el n o m b r e de autocorrelación. 8 . L a autocorrelación se relaciona de m a n e r a estrecha con la energía o p o t e n c i a de la señal y contiene i n f o r m a c i ó n i m p o r t a n t e acerca de qué tan r á p i d o varía u n a señal en el t i e m p o . 9 . L a función a r m ó n i c a de la serie de F o u r i e r p u e d e considerarse c o m o la correlación de u n a señal con u n a sucesión de senoides, c o m p l e j a s o reales. 1 0 . L a d e n s i d a d espectral de e n e r g í a y la d e n s i d a d espectral d e p o t e n c i a son las c o n t r a p a r t e s en el d o m i n i o de la frecuencia de la a u t o c o r r e l a c i ó n , y se r e l a c i o n a n a t r a v é s de la t r a n s f o r m a d a de Fourier. 1 1 . L a d e n s i d a d espectral de energía y la d e n s i d a d espectral de p o t e n c i a indican c ó m o varía la energía o p o t e n c i a de u n a señal con la frecuencia.

EJERCICIOS CON RESPUESTAS CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

1. Grafique los c o r r e l o g r a m a s d e los siguientes pares d e señales en T C y T D . a)

x i ( r ) = COS(2TTÍ), X 2 ( Í ) =

f 2'rin\ (l'nn X][n] = s e n i 1, X 2 [ n ] = 2 c o s l

xi(r) ^ e 'u(r), X2(r) = e ^'u(í)

xi[«] =

2COS(4TT?)

2lT«\

í'-"'/'0>cos

'2'IT« \ u[«] u [ n ] , Xi[«] _= e^ - ( n / l O ) sen 10

Respuestas: ^2

J=2

2Í

-+-

-1+

2 . Grafique los c o r r e l o g r a m a s de los siguientes pares de señales e n T C y T D .

xi(r) = cos(2Trf), X2(?) = cos-(2'n-í)

x i [ n ] = n, X2[n] = n^,

x i ( í ) = r, X 2 ( í ) =

- 1 0 < « < 10

- f-,

- 4 < r < 4

Respuestas: -4 20-

loooJ-

-10

-1^ 10

.•

-H

.V,

1 -1-

-20-

-1000 +

3 . E n M A T L A B genere los vectores x l y x 2 q u e representen señales en T D utilizando el siguiente fragmento de c ó d i g o ,

x l

r a n d n í 1 0 0 , 1 )

;

x 2

r a n d n ( 1 0 0 , 1 )

;

x 3

r a n d n ( 1 0 0 , 1 )

;

Dibuje c o r r e l o g r a m a s d e los siguientes pares d e señales en T D . a)

x l

x 2

x l y xl-i-x2

xl-i-x2 y xl-i-x3

x l + x 2 / 1 0 y - x l + x 3 / 1 0

Respuestas: , ^3

3-- •

-3f

-3 4 -

34'.

4 . Dibuje la función d e correlación d e c a d a u n o d e los siguientes pares de señales d e energía. a)

xi(r) = 4 rect(r), X2(í) = - 3 rect(2í)

x i [ n ] = 2 r e c t 3 [ n ] , X 2 [ « ] = 5 rectg[n]

xi(r) = 4 e - ' u ( f ) , X2(í) =

xi[n] =

Ejercicios con respuestas

4e-'u(0

2.~(«/'«'senf^')u[«], \ 8

X2[n] = - 3 e - ( " / > ' ^ '

s e n f — - - ) u W V 8 4

Respuestas: Rp[m]

R|,[m]

.70+

-80

-4

, -15

1,5

;

5 . Dibuje la función de correlación p a r a c a d a u n o d e los siguientes pares de señales de potencia.

6sen(12TTr), X 2 ( r ) =

xi(í)

ScosiUirt)

x i [ n ] = 6 sen

X](?) = 6sen(12TTf), X2(r) = 5 sen( 12TTr -

2 t t « \

T i )

, XI[;Í1 =

5 sen

/2Tr«

vlY -

Respuestas: R,,(T)

A 1-^

-0.5 -0.5

0.5

.1)

^15

6. D e t e r m i n e las autocorrelaciones d e las siguientes señales d e energía y p o t e n c i a e n T C y T D y d e m u e s t r e q u e , a d e s p l a z a m i e n t o c e r o el valor de la autocorrelación es la e n e r g í a o potencia de la señal y q u e se satisfacen todas las p r o p i e d a d e s d e las funciones de autocorrelación. a)

x(t) =

x[n] — rectjí;? - 5]

x(0 = rect

e~^'uit)

-íiH

11 tri

"^W t

V V

Respuestas:

-g-^l", 6

í 2

/ ni \ — , Vil/

í rect

í 2

3 \ \ r

V V

4 / /

tri(20-^ t r t , 2 | . - i ) ) + t r t ( 2 ( . +

iy^

7. D e t e r m i n e las funciones d e autocorrelación de las siguientes señales d e potencia. a)

x(r) = 5 sen(24'iTí) -

x[«] — - 4 s e n |

2cos(18iTr)

/2'rTn\ 36

fl'nn \ - 2 eos

V 40

5 1 1

CAPÍTULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

/ 2 t t « \

— cos(24'n-í) + 2 0 0 8 ( 1 8 1 7 0 ,

8 eos ( —rr 36

I + 2cos

/2'tt«\

8. Se envía u n a señal d e s d e u n transmisor a u n receptor y se altera p o r efecto del m i d o a lo largo d c a m i n o . L a señal tiene la f o r m a funcional x ( í ) = A s e n ( 2 i T / o f ) rect(^ j

¿ C u á l es la función d e transferencia del filtro a c o p l a d o para esta señal? Respuesta: H(/) = i

.-72t7/(ío-(1/2/„)) Sinc I

4 ( / + /o) , I -

sinc

/ 4 ( / - / o ) \ /o

9 . D e t e r m i n e la p o t e n c i a d e señal d e las siguientes s u m a s o diferencias d e señales y c o m p á r e l a c la p o t e n c i a en las señales individuales. ¿ C ó m o se relaciona la c o m p a r a c i ó n c o n la correlación e tre las d o s señales q u e se s u m a n o se restan?

x ( f ) = sen(2TTf) -f cos(2'TTf)

x(í)

x [ n ] = rect2[n] * c o m b i o [ « ] - t r i ( - ) * c o m b i o [ n ]

x [ n ] = rect2[«] * c o m b io[;!] + tri

sen(2TrO + c o s | ^ 2 t t í

n - 5 \ 2

* combio[n]

Respuestas: 0.65 = 0 . 6 5 .

0.5 = 0 . 5 .

0.25 < 0 . 6 5 .

1.707 > 1

1 0 . D e t e r m i n e las funciones de correlación c r u z a d a de los siguientes pares d e señales periódicas. a)

x i ( r ) = rect

Xiit)

rect

* comb

—

V24;

,/ 27in\ -,( 2 ' r r n \ x i [ « ] = s e n - | - y - I. X 2 [ n ] = s e n - | - j ^ 1

x i ( í ) = e"^'"'^', X 2 ( r ) = cos(10-7Tr)

Respuestas: 1

-/IOttt

1 -, 4

6 tri

/T -

* comb ( —

V24

1 1 . D e t e r m i n e las D E E de las siguientes señales d e energía. a)

x[/i] = A 8 [ n — «ol

x(r) =

x[n]

x(í)

e-iO«'u(f) ( l y

/2tt«

u[«]

(Awf

100-

smc\wf),

Ejercicios con respuestas

10^ + w 2 ' (0.458)-

[1 -

1.515 e o s (Í2) + 0 . 7 6 5 6 eos i2í2)f

+ [ 1 . 5 1 5 sen (Q) - 0 . 7 6 5 6 sen ( 2 Í 2 ) ] -

1 2 . E n c u e n t r e la D E E de la r e s p u e s t a y(í) o y[n] de c a d a s i s t e m a c o n r e s p u e s t a al i m p u l s o h(f) o h[n] a la excitación x(f) o x [ « ] . a)

x[n] = 8 [ « ] , h[n]

^ [ - J ^ ]

x ( í ) = e"'""'u(0. h ( f ) = e - ' " " ' u ( r )

x [ n ] = rect3[«], h[n] = rect2[« — 2]

x{t)

= 4e~'cosilTTt)

h ( í ) = rect

u(t),

V " 2

Respuestas:

[(2Tr)2

1 - tó^]- -h4ü)2

1 \, 1 0 4 - f wV '

s e n - (7'TTF)sen^ ( 5 7 t F )

sinc V2.T

sen" ( t t F )

sen" ( i i F ) '

100 181 - f 180 eos (f2)

1 3 . E n c u e n t r e las D E P de las siguientes señales. a)

x ( í ) = A c o s ( 2 T T / o r + 9)

x(0

= 3 rect(lOOí) * c o m b ( 2 5 r ) /2t7«\

x[«] = 8 s e n ( ^ — j

í¿) x[n] — 3 r e c t t [ « ] * comb2o[n] Respuestas: 9 sinc^

100;

comb

V25

sen-(97TF) s e n - ( 7 T F ) c o m b (20 F ) ,

c o m b ( F — — ^ -H c o m b ^ F -|-

A— [ S ( / - / o ) + 8 ( / + /o)] 4

1 4 . E n c u e n t r e la D E P de la r e s p u e s t a y(f) o yin] de c a d a s i s t e m a con r e s p u e s t a al i m p u l s o h(f) o h[n] a la excitación x(f) o x[n]. ) , h ( r ) = e,-(í/10) U ( f )

x(0

= 4 c o s ( 327rr

¿)

x(0

= 4 c o m b ( 2 r ) , h(r) = rect(r -

x[n] = 2 c o m b g í n ] . h [ ; 7 ] =

x[n] = ( - 0 . 9 ) " u[n], h[n] = ( 0 . 5 ) " u [ « ]

/11\" — u[/7 \12/

Respuestas: O,

8(/400-

8 comb

A V2;'

1 6 ) - + • § ( / + 16)

1 + (320Tr)9

sincl/),

1 - comb(8F)

EJERCICIOS SIN RESPUESTAS CAPITULO 8 Correlación, densidad espectral de energía y densidad espectral de potencia

1 5 . Dibuje c o i r e l o g r a m a s d e los siguientes pares d e señales e n T C y en T D . a)

xi(r) = tri ( 4 I í - - I I - tri ( 4 t 4

* comb(0.

X 2 ( í ) = sen(2'iTf) b)

xdn]

X2[n]

tri

/n - 8

eos

1\\ 4 / /

tri I 4 I í -

X2(í)

t r i ( 4 í ) - tri

Xi[«]

rect

= sen

* comb32[«],

Itrn

Xi(í)

X2[«]

« - 24

- tn

)

tri I 4 I ? -

f -

— rect

* comb(r),

* comb(í)

n - 24\ 16

* comb32[«],

32 J

1 6 . Dibuje u n c o r r e l o g r a m a p a r a los siguientes conjuntos de m u e s t r a s de dos señales x y y. E n c a d a caso, a partir d e la naturaleza del c o r r e l o g r a m a d e t e r m i n e q u é relación existe entre los d o s conj u n t o s de datos. a)

X = {6, 5, 8, - 2 , 3 , - 1 0 , 9, - 2 , - 4 , 3 , - 2 , 6, O, - 5 , - 7 , 1, 9, 9, 4 , - 6 } ; y = { - 1 , - 1 0 , - 4 , 4 , 5, - 2 , - 3 , - 5 , - 9 , 2, 6, - 5 , - 1 , - 1 0 , - 9 , O, 4 , - 1 0 , 9, - 1 } X = {4, 6, O, O, 5, - 6 , 8, - 9 , O, 8, 7 , 2, - 5 , - 3 , - 4 , - 4 , 8, O, 4, 7 } ; y = { - I L - 1 3 , 3 . - 1 . - 8 , 10, - 1 6 , 16, 1, - 1 7 , - 1 4 , - 3 , 9, 7, 12, 9, - 1 7 , 1, - 8 , - 1 7 }

X = {O, 6, 1 1 , 16, 19, 2 0 , 19, 16, 1 1 , 6, - O , - 7 , - 1 2 , - 1 7 , - 2 0 , - 2 0 , -20, -17, -12, - 7 } ; y = {19, 15, 10, 8, 3 , - 9 , - 1 2 , - 1 9 , - 1 9 , - 2 5 , - 1 9 , - 1 7 , - 1 2 , - 5 , - 1 , 5 , 8 , 12, 1 7 , 2 0 }

1 7 . D i b u j e la función d e correlación p a r a c a d a u n o de los siguientes pares d e señales d e energía. a)

xi(f) = rect(f) sen(lO'rTí), X 2 ( í ) = r e c t ( f ) cos(I07Tí)

x i [ n ] = 8 [ n - 1] X2[n] = - 8 [ n -

x i ( í ) = e-'\

8[«-M],

l] +

?>[n +

X2(r) =

e~-''

1 8 . Dibuje la función d e correlación p a r a c a d a u n o de los siguientes pares d e señales d e potencia.

( '20' 2'7T«

X2[«] = 8senl b)

—

xi(f) — rect(4í) * c o m b ( í ) , X2(í) = rect(4í) * comb(í)

1 /f\ xi(/) = 4 rect(f) * - comb 2

V2 /

Ejercicios

/ f\

X2(í) = 4 rect(í -

5 1 5

sin

1) * - comb ( 2 ) ~ ^

19. E n c u e n t r e las a u t o c o r r e l a c i o n e s d e las siguientes señales d e e n e r g í a y p o t e n c i a en T C y en T D y d e m u e s t r e q u e , a d e s p l a z a m i e n t o c e r o , el valor d e la a u t o c o r r e l a c i ó n es la e n e r g í a o la p o t e n c i a d e la señal y q u e se satisfacen t o d a s las p r o p i e d a d e s d e las funciones d e a u t o c o r r e l a c i ó n . a)

x [ « ] = b[n] + b[n -

x(í)

x[n] — combi2[«]

1] + 8[« - 2J + 5[n -

Acos(2'n-/or + 9)

20. D e t e r m i n e y dibuje la función de a u t o c o r r e l a c i ó n de

x ( í ) = 10 r e c t ( 2 ? ) * ^ c o m b Cerciórese de q u e su valor a d e s p l a z a m i e n t o cero es igual q u e el de la potencia de señal p r o m e d i o d e x(f). ; i . D e t e r m i n e t o d a s las funciones d e c o r r e l a c i ó n c r u z a d a y de a u t o c o r r e l a c i ó n p a r a estas tres señales: xi(í) =

COS(2TTÍ)

X2(r) =

sen(2-Hr)

X3(f) =

cos(4TTf)

Verifique sus r e s p u e s t a s d e a u t o c o r r e l a c i ó n al d e t e r m i n a r la p o t e n c i a p r o m e d i o d e c a d a señal. '.1.

E n c u e n t r e y dibuje la c o r r e l a c i ó n c r u z a d a entre un c o s e n o de 1 H z de a m p l i t u d unitaria y u n a onda c u a d r a d a c o n ciclo d e trabajo d e 5 0 por ciento q u e tiene u n a a m p l i t u d de p i c o a pico de dos, un p e r i o d o f u n d a m e n t a l d e u n o , u n valor p r o m e d i o de cero y es u n a función par. : E n c u e n t r e y dibuje la D E E de c a d a u n a d e las siguientes señales: a)

x ( í ) = A rect ( —

x ( í ) = A rect ( ^ - ^ " ^

/ t \ x ( í ) — A sinc I — Vio/

x(í)

= - L e - " ^ / 2 ) x/27T

2 4 . D e t e r m i n e las D E P d e a)

x(0 = A

x ( f ) = ACOS(2T7/OÍ)

c) x ( í ) = A sen(2'n-/of) 2 5 . ¿ C u á l d e las siguientes funciones n o s e n a la función de a u t o c o r r e l a c i ó n d e u n a señal real y por qué? a)

R(T) =

tri(T)

R(T)=

Asen(2'iT/oí)

R ( T ) = rect(T)

R(T)=

Asinc(ST)

respuestas