EL CALCUL AL SEGLE XXI. Jubilem a la divisió.
Ja fa temps que quan preparo les activitats de càlcul dels meus alumnes i faig la fitxa d’operacions, per practicar els algoritmes, tinc la sensació que hi ha alguna cosa que no va bé. Nosaltres a classe, quan treballem el càlcul, no treballem únicament els algoritmes, fins i tot, jo diria, que els hem reduït a la mínima expressió, és a dir el necessari per a que cap dels estaments que formen l’entorn educatiu pugui dir que els nostres alumnes van poc preparats... com si els algoritmes fossin l’aspecte de les matemàtiques que interessa més de la seva avaluació i que el seu coneixement fos fonamental pel desenvolupament matemàtic dels nostres joves. Els darrers anys he llegit i escoltat diverses conferències i ponències sobre les dificultats que mostra l’escola a incorporar-se als canvis que li està demanant la societat del segle XXI, especialment pel que respecta a les eines de càlcul. Els algoritmes a l’escola He preguntat a alguns companys del Cicle Inicial i del Cicle Mitjà de diferents escoles quantes hores a la setmana dediquen al càlcul, les respostes que m’han donat m’han confirmat el què pensava: és dedica una mitjana de unes dues hores a la setmana. Aquest sondeig, pot ser encara no te validesa científica, però si que ens dona una idea del que s’està fent encara a l’escola. A més, els professors, explicaven, que mentre a la geometria, la mesura, l’estadística,... hi dedicaven un temps, (un trimestre, algunes setmanes...), al llarg del curs, el càlcul el treballaven durant tot l’any, fins i tot, si donaven als alumnes feina per a casa, aquestes, la majoria de vegades, era una fitxa de resolució d’algoritmes. Si agafem una calculadora i comptem que els nostres alumnes des que comencen la primària dediquem una hora a la setmana a l’aprenentatge i resolució d’algoritmes, en total dediquen unes 130 hores a l’escola i unes 50 o 60 hores a casa, només per aprendre i dominar els algoritmes de la suma, la resta, la multiplicació, la divisió i les taules de multiplicar... hores que segurament es podrien dedicar a la resolució de problemes i a millorar les seves capacitats matemàtiques, únicament ensenyant a fer servir una calculadora bàsica. El canvi que ha d’assumir l’escola Els defensors de l’aprenentatge dels algoritmes tradicionals, argumenten en el seu favor, i en contra de fer servir la calculadora, que si els alumnes han de fer un càlcul i no disposen de la calculadora... que fan? La resposta es evident, que passa si quan han de fer un càlcul no tenen llapis i paper?
Realment, avui dia, els mitjans tecnològics calculen més, més ràpid i més exacte que nosaltres. Això ens ha de fer pensar que el que s’hauria de fer a l’escola és treballar més el càlcul mental; l’estimació i l’aproximació dels resultats, a més de ensenyar a fer servir la calculadora que serà la que s’encarregui de fer els càlculs exactes. Per justificar aquestes afirmacions no més cal reflexionar una mica al voltant del que es fa habitualment al nostre entorn. Anem a comprar, i després, quan anem a pagar, la persona que hi ha a la caixa primer passa els productes per un lector de barres que li marca el preu i la quantitat... prem un botó a la caixa registradora i li fa el compta. Si paguem en efectiu la màquina calcula la diferència per saber quant s’ha de tornar de canvi, però si paguem amb targeta de crèdit, se’ns descompten els diners directament del nostre compte corrent. Actualment qualsevol càlcul precís l’hem deixat en mans de les màquines, podríem posar multitud d’exemples, des de la fabricació d’un producte fins a la financiació d’un electrodomèstic. La rentadora calcula l’aigua que necessita, la calefacció calcula la temperatura ambient... el rebut de la llum, el gas, l’aigua, els horaris del tren... Sembla que únicament l’escola es mostra reticent a assumir aquest canvi al que la societat ja s’ha incorporat i es mostra vacil·lant davant un fet que ja es irreversible: els algoritmes, ara, són destreses de supervivència escolar, especialment per alguns professors, els alumnes encara els han d’aprendre per progressar en l’àmbit educatiu, no per que els seran especialment útils en les seves futures ocupacions laborals. Si encara treballem els algoritmes és per que hi són als programes d’ensenyament, per tant, el que s’ha de propiciar, és un canvi que ens permeti adaptar-nos a les matemàtiques del segle XXI. Quin càlcul farem? La discussió ara la centrarem en decidir si volem trencar amb tot i deixar de banda completament la resolució d’algoritmes o bé deixarem de banda només aquells algoritmes dels quals considerem: •
Que la seva practica repetida ni millora ni aporta res conceptualment a la capacitat matemàtica dels alumnes.
•
Que si disposem d’una calculadora, no els faríem amb llapis i paper.
•
Que generen dependència a la distribució posicional de les xifres per resoldre’ls.
L’enfocament, serà doncs, ensenyar altres estratègies (algoritmes) que facilitin el desenvolupament del càlcul mental dels nostres alumnes. Estratègies que ens permetin desenvolupar el llenguatge simbòlic en el procés d’aprenentatge dels conceptes matemàtics. Des d’aquest punt de vista, el que haurem de deixar de fer ja a l’escola seran els algoritmes per aquells càlculs que no els fem mentalment de forma exacta, per exemple les divisions i les multiplicacions de dues o més xifres. Assumir que ja a primària es deixaran d’ensenyar els algoritmes que per tradició s’han ensenyat sempre, (els nostres avis ja els van aprendre tal i com s’ensenyen actualment), fa pensar que hi haurà d’haver un canvi radical en els continguts matemàtics establerts per aquesta etapa. Jo no crec, que de moment, això sigui necessari. Per començar el càlcul es únicament una part més dels diferents continguts que els alumnes han de conèixer, el fet de no tenir que aprendre, per exemple, l’algoritme tradicional de la divisió no vol dir que no s’hagin d’aprendre els conceptes de divisibilitat. El currículum de matemàtiques per a l’educació primària diu: TERCER CICLE... Llegir, escriure i ordenar nombres naturals, indicant el valor de posició de les seves xifres, i calcular sumes, restes, multiplicacions i divisions, comprovant el resultat obtingut mitjançant l’aplicació de propietats numèriques i relacions fonamentals de les operacions aritmètiques. El currículum no especifica, que s’hagi de fer amb llapis i paper únicament, ni que es facin servir uns algoritmes determinats. De fet, la tradició i les editorials son les que ens estan marcant com ho hem de fer a l’escola. Ens hem de creure que l’aprenentatge d’una operació ha de ser més que aprendre a saber fer, de forma mecànica, una resolució escrita, encara que això no vol dir que els nostres alumnes no han d’aprendre a produir resolucions escrites. El nostre treball de càlcul, a partir d’ara, l’hauríem de dedicar a ensenyar altres algoritmes i estratègies que facilitéssim el càlcul mental, no tan sols a produir resultats exactes si no a estimular habilitats de càlcul aproximat i estimat. Com ho farem? Per reflexionar Quan pensem en activitats de càlcul no hem de pensar en estratègies que de forma descontextualitzada ens permetin practicar per resoldre operacions de forma mental com si de calculadores vivents es tractés. Es tracta de considerar les etapes que segueixen els nostres alumnes en el procés d’aprenentatge dels conceptes matemàtics, es tracta de conèixer quins son els aspectes
fonamentals que faciliten l’aprenentatge operatiu, es tracta de que els nostres alumnes siguin capaços de generar els seus propis algoritmes. Estem parlant d’un aprenentatge constructivista de les matemàtiques aplicat al càlcul, de manera que marcarem l’àmbit de treball sota els següents paràmetres: • • • • •
disminuir la intensitat i el temps dedicats als algoritmes. potenciar el càlcul mental, especialment pel que fa als següents aspectes: estimar, aproximar, tempteig i previsió de resultats. Introduir la calculadora i fer-la servir d’una forma habitual i continuada, ja des de les primeres edats. Adquirir les estratègies bàsiques que li permetin decidir quan ha de resoldre un problema fent servir la calculadora, un càlcul mental o be fer servir llapis i paper. Aplicar les estratègies de càlcul en altres blocs matemàtics i en altres àrees del currículum.
L’entorn de treball
Els nostres alumnes, fan una utilització del càlcul mental, podrien dir que informal, encara que útil pels seus propòsits, ja tenen coneixements matemàtics amb els que proven de resoldre les situacions amb les que es troben, dintre i fora de la classe. Es tracta de formalitzar aquests coneixements i que a partir d’ells puguin controlar tant el procés com els resultats dels càlculs que fan. Partim de la base que els alumnes seran els principals actors de seu propi aprenentatge i que el professor deixarà de jugar el paper de transmissor de coneixements. D’aquesta forma, si el que volem es que el procés d’aprenentatge sigui significatiu, necessitem un alumne que estigui predisposat a experimentar, a fer preguntes, a observar i a proposar hipòtesis de solucions i resolucions per a construir els seus coneixements matemàtics. L’ambient de treball ja no es generarà a partir de la repetició mecànica dels algoritmes o la aplicació de fórmules matemàtiques on s’esperen respostes exactes i concretes. Els alumnes experimenten, es poden equivocar i aprendre dels seus propis errors. D’alguna forma, el que volem, és aconseguir que els nostres alumnes vagin, des d’un context de treball en petits grups, adquirint coneixements matemàtics de forma individual que els hi siguin útils per a la vida. Sabem que hi ha diferents formes de fer (tècniques) i diferents maneres d’arribar a conèixer les coses (con es fa). Però si únicament ens basem en les habilitats i tècniques no arribarem a tenir una bona comprensió dels fenòmens, i, si únicament volem comprendre els fenòmens, no podrem garantir el domini de les habilitats i tècniques necessàries. L’una sense l’altra no garanteixen un bon aprenentatge matemàtic.
Construcció de l’aprenentatge matemàtic Dues raons ens ajuden a fonamentar el treball en grups a l’aula d’una banda l’oportunitat que té el professor per experimentar destreses bàsiques en un context significatiu i la facilitat per produir treball cooperatiu. No obstant en l’elecció de les activitats s’ha de tenir en compte que aquestes estiguin a l’abast del nivell de l’alumne, i que l’esforç personal que aquest ha de posar en relació als altres membres del grup estigui clar. D’altra banda, plantejar els problemes de càlcul des d’un enfocament de treball individual, també pot ser un repte tant pel professor com per l’alumne, ja que si l’aprenentatge matemàtic avança en una direcció en la que el professor no ho ha previst l’alumne pot arribar a trobar camins per on el professor no ha anat mai. Volen, sobretot, treballar a partir d’aquelles situacions en les que de forma natural, a partir de la seva resolució, apareguin noves preguntes i per tant noves situacions que ens permetin estudiar aspectes matemàtics diferents. La gestió de classe en grups petits, pel treball de càlcul pot seguir aquestes indicacions: Quines són les condicions inicials de treball crear un entorn de treball que ens permeti trobar activitats que relacionin les matemàtiques amb la societat. saber una mica com es desenvolupa la vida dels nostres alumnes fora de l’escola, si no difícilment es podran crear activitats significatives que permetin posar de manifest i fer servir els coneixements que ja tenen i acomodar nous coneixements als esquemes que ja posseeixen. produir situacions d’aprenentatge fent servir principalment mètodes de treball en petit grup. utilitzar el context per estructurar el pensament i l’aprenentatge.
Quin ha de ser el paper del professor mediar entre els coneixements adquirits pels alumnes fora de l’escola i els que reben dintre. procurar diferents organitzacions grupals que permetin treballar amb enfocaments de resolució diferents. crear un context d’aprenentatge, en el que els problemes de càlcul es solucionen compartint coneixements previs i estratègies. planificar projectes que permetin aconseguir que tots els alumnes puguin beneficiar-se de l’ensenyament. Fent activitats en grup o individuals.
Que poden rebre els alumnes capacitació per aprendre unes tècniques i unes habilitats matemàtiques que a més les podran compartir i contrastar amb els seus companys. capacitació per fer servir els coneixements que tenen i assumir més responsabilitat sobre el seu propi aprenentatge.
Quines característiques ha de tenir la gestió en petits grups que proporcioni als alumnes l’oportunitat de desenvolupar solucions de formes diverses ... que promogui l’ús de gran varietat de recursos i materials ... que promogui activitat en un nivell reflexiu, és a dir, que faciliti la discussió, fins i tot, de valors i opinions. que les activitats en les que estigui basat facilitin l’avaluació de l’aprenentatge. que les activitats siguin molt pràctiques que exigeixin de l’alumne iniciativa i independència
Quines característiques ha de tenir la gestió de classe davant del fet de la diversitat. que estimuli l’esperit d’indagació. que permeti desenvolupar una gran varietat d’estratègies i destreses. que els problemes estiguin adaptats a l’entorn i s’hagi de recollir informació i fer deduccions. que hi hagi situacions susceptibles de ser investigades i que permetin utilitzar estratègies que ens portin a la recerca de pautes. que el propi interès de l’alumne generi una nova investigació. que hi hagi un espai per poder comunicar els resultats
Quines condicions han de complir les activitats per a ser útils. han de tenir valor per si mateixes, per la importància de les qüestions a estudiar i no per les matemàtiques que generin. han d’estar connectades amb la realitat dels alumnes. La finalitat es entendre la importància de les matemàtiques per entendre el seu entorn. ha de ser la situació la que determina quins aspectes de càlcul han de ser utilitzats. s’ha de procurar que les activitats que generen contemplin: com s’ha de treballar
com es farà l’anàlisi de les qüestions que apareguin de quina manera es produirà la comunicació dels resultats i s’elaboraran les conclusions. Quins aprenentatges s’han de garantir Elecció de símbols adequats al context Exploració de possibilitats d’aplicació Desenvolupar el pensament hipotètic Desenvolupar la capacitar d’emetre conjectures Aprendre a, argumentar i demostrar Voler ser precís en les respostes Desenvolupar el pensament lògic Ser capaç de reflexionar sobre tot l’anterior
Que s’ha de tenir en compte per avaluar els aprenentatges que s’estableixi una relació entre les solucions matemàtiques i les solucions del món real. que la resolució estigui mediada per consideracions del món real i es valorin positivament les implicacions pràctiques. que es tinguin en compte les eines culturals. que es tinguin en compte les eines que aporta l’escola la selecció d’aquestes eines i si es fan servir apropiadament Amb quines activitats? Fins ara hem après i practicat el càlcul a partir de la descomposició dels nombres decimals i l’anàlisi del valor posicional de cada xifra agrupant els nombres en unitats, desenes i centenes..., des d’un punt de vista constructivista això ja no serà necessari i en tot cas serà al final del procés quan l’alumne serà conscient de que cada xifra representa un valor diferent. La idea es generar juntament amb els nostres alumnes situacions engrescadores i pràctiques: projectes, petites investigacions i diferents activitats en les que la recerca i l’intercanvi d’informació els permeti jugar amb els nombres, dotant-los de significat i produint un entorn ric per construir la matemàtica. Aquest procés de construcció sembla més fàcil a les primeres edats, els elements amb els que treballen els nostres alumnes estan més fàcilment a l’abast i a més a més es tracta no tan sols d’iniciar la construcció matemàtica si no de sensibilitzar sobre el sentit numèric, creant situacions pràctiques que ens permeti treballar en petits grups per desenvolupar les activitats proposades.
• • • • • • • • • •
fer cartells amb nombres fer llistes de nombres fer simulacions de activitats reals: comprar, mesurar, comptar... fer relacions: les edats dels nens, les matrícules dels cotxes, els números del carrer... fer especulacions: quan mesura, quan pesa, quants hi caben... fer jocs de comptar trobar situacions numèriques: en un viatge, en un joc, en la TV, en el carrer... solucionar problemes sense haver après a fer les operacions. resoldre problemes de la vida quotidiana dels alumnes. ...
Els projectes que es desenvolupen a partir de la elaboració d’activitats amb els elements anteriors ens han de portar a trobar: • • • • •
la regularitats dels nombres i del sistema de numeració les propietats dels nombres i de les operacions l’equilibri intern entre els nombres i entre els nombres i les operacions els recursos que utilitzen els nostres alumnes per calcular: des dels dits fins a la calculadora. la manera de formalitzar el càlcul informal
Des d’un punt de vista constructivista, no es el mateix treballar amb nombres grans que amb nombres petits i fins i tot ens hem d’adonar que els nombres petits no ens porten als grans. Hi ha una diferència, però, que cal remarcar, mentre que amb nombres petits no cal fer servir xifres i es poden resoldre les operacions fent servir càlcul mental, al fer servir nombres grans es fa necessari utilitzar un algoritme per fer les operacions, abans d’arribar a ell hem de treballar amb aquests nombres i reflexionar sobre les xifres a partir de problemes reals. Es, quan comencem a utilitzar nombres grans i operacions tradicionalment reeixides per un algoritme, quan als professors ens falla la confiança i sembla que l’aprenentatge d’aquests algoritmes tradicionals es fan necessaris, si mes no útils i preferim dedicar el temps a l’ensinistrament en l’aprenentatge i el seu ús, renunciant al treball matemàtic que representa el diàleg i l’explicació dels problemes resolts numèricament, i a la reflexió i producció matemàtica significativa. A més de refusar l’ús de la calculadora com a instrument útil per a la resolució d’operacions amb nombres grans. Ja al començament de l’article donem algunes de les línies de treball amb nombres grans, a partir, sobre tot, del Cicle Mitjà i Cicle superior de primària. En primer lloc, els mestres hem de se valents i renunciar de forma explícita a la utilització dels algoritmes de la divisió i de la multiplicació per a nombres grans i en operacions que no siguin significatives.
Aquest es el punt de partida, mes aviat el punt i seguit, a partir del qual es poden continuar les activitats i els supòsits fets en els cursos anteriors. Ara procurarem fomentar: • la realització de càlculs mentals, investigant sempre que sigui possible diferents maneres d’arribar a la solució. • la recerca de les solucions per aproximació. • el tempteig. • l’exploració i desenvolupament d’estratègies, a partir de les que coneixem, pensar-ne de noves. • el debat sobre les diferents propostes de resolució. • la necessitat de crear algoritmes o procediments que ens facilitin la solució de problemes semblants. Es a dir, que abans de fer servir els algoritmes, primer han d’entendre quina solució li demana el problema, investigar quina es la millor solució i fer servir el millor instrument per executar-la. Tot i que hi ha bons materials, que ens permeten exercitar el procés d’aprenentatge del càlcul numèric, tenint en compte el context real, sense necessitat de fer servir llapis i paper, aquests s’han d’entendre com a eines que milloren les estratègies i models que han construït els alumnes desprès d’una experimentació, debat i exposició del treball cooperatiu que en petits grups s’ha fet a l’aula. Els materials, no son un objectiu en si mateixos. D’una forma pràctica. D’entre alguns llibres de text de diferents editorials he escollit les activitats que proposen treballar per millorar les habilitats de càlcul al Cicle Superior: Sumar primer les desenes i després les unitats Calcula diferencies en la recta
Multiplicar dos nombres acabats zeros Restar nombres acabats en zeros
El doble
Aproximar
Sumar o restar cent
Sumar o restar nombres de diverses xifres Multiplicar per desenes ,centenes i milers complerts. Multiplicar un nombre per 11
Estimació de productes Multiplicar un nombre d’una xifra per un altre de dues xifres Multiplicar un nombre per 9
Descomposar per sumar Multiplicar un nombre per una fracció La meitat d’un nombre de dues xifres Sumar o restar 99 Multiplicar diversos nombres Multiplicar per 101
Multiplicar un nombre per 99
Multiplicar per 15
Dividir un nombre parell entre 2
Dividir un nombre acabat en zeros per 10,100,1000. Multiplicar per 5
Dividir un nombre per la unitat seguida de zeros Multiplicar per 50
Dividir per quatre
Multiplicar un nombre per 25
Dividir un nombre acabat en 2 zeros per 25 Multiplicar per 1,5
Multiplicar un nombre per 0’1 i per 0’01. Multiplicar per 0’25
Dividir un nombre acabat en zero per 5 Multiplicar un nombre per 0’5
Multiplicar per 21, 31, 41...
Multiplicar per 0’75
Cada una d’aquestes activitats ens permet incidir en algun aspecte concret de millora de la capacitat de càlcul dels nostres alumnes, la seva repetició i pràctica automatitzarà l’aprenentatge, però ningú ens garanteix que el nen faci servir aquest coneixements fora
de l’escola. Únicament si ha hagut una reflexió, s’han desenvolupat estratègies personals i s’ha prioritzat la comprensió dels significats matemàtics podrem dir que l’alumne ha adquirit un aprenentatge funcional del càlcul i es troba preparat per generar els seus propis algoritmes o bé fer servir els que te al seu abast. Les activitats que proposem nosaltres pretenen donar resposta a la resolució de problemes, bé amb algoritmes, mentalment o amb la calculadora. Les denominarem cercles d’aprenentatge i seran situacions en les que els nostres alumnes investigaran, experimentaran i jugaran amb qualsevol tipus de material que permeti diferents nivells de resolució ja sigui manipulativa o mental. Les activitats Les activitats les traurem en la mida que sigui possible de la realitat del nen, amb objectes i instruments que estiguin al seu abast i que ens ajudaran a fer-lo conscient de la realitat que l’envolta. • • • • • • • • • • • •
investigar la factura d’una compra al supermercat investigar factura d’un restaurant, pizzeria, burguer, entrepans... operar amb el resguard del banc Analitzar la factura d’una reparació de cotxe fer el pressupost d’una feina llegir la factura d’un viatge investigar el rebut de la llum investigar el rebut del gas investigar el rebut del telèfon investigar el rebut de l’aigua jugar a diferents jocs: de taula, de carrer, d’entreteniment matemàtic... ...
El material La presentació del material és important, explicar el context, deixar que el manipulin i que siguin objectes coneguts o puguin torbar-los en el seu entorn mes proper fa que l’interès augmenti i faciliti l’aprenentatge. • fer servir instruments de mesura: un regle, un rellotge, una balança... • fer servir instruments per comptar: un àbac,... • fer servir instruments per orientar-se: una brúixola,... • fer servir elements estadístics: daus, monedes,... • fer servir jocs: de taulell, de pista... • ... Assimilació d’estratègies Assaig – error, analogies, començar pel final, comprovar els resultats... la utilització d’aquestes i altres estratègies ens permetrà desenvolupar unes habilitats de càlcul adequades als diferents nivells i estils d’aprenentatge. Que cada alumne assimilarà al seu ritme per construir adequadament el coneixement matemàtic del càlcul que li donarà autonomia en el seu dia a dia.
Conclusions Com veiem el camí del càlcul es troba en una cruïlla: per una banda continua per la senda dels algoritmes tradicionals i un càlcul mental basat en activitats que incideixen en algun aspecte concret per millorar instruments de càlcul inalterables i d’una alta banda, un nou camí que li permet construir el seu propi coneixement matemàtic i que es variable, s’adapta als ritmes no tan sols dels alumnes i professors que el recorren si no que també acull les eines culturals que la societat li posa a la seva disposició, un camí en el que ja no ha de preocupar-se dels càlculs repetitius i que la precisió del resultat la donarà l’instrument que utilitzi en funció de la demanda que se li faci. Els algoritmes tradicionals han arribat ja al final del seu camí. Donem-los un merescut descans, ha arribat ja el moment de la seva JUBILACIÓ.