Equações diferenciais área 1, resumo

PROF. GUSTAVO VIEGAS MATEMĂ TICA

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – Ă REA 1 RESUMO TEĂ“RICO Problema de valor inicial Teorema Considere o problema de valor inicial (PVI) y´ = đ?‘“(x, y) { y(x0 ) = y0 EntĂŁo existe um intervalo aberto ď ‰ que contĂŠm x0 e uma Ăşnica função y definida em ď ‰ que ĂŠ solução do PVI. (Desde que f tenha derivadas parciais de primeira ordem contĂ­nuas).

Fator integrante Se F(x, y) = C, pela regra da cadeia, d đ??š(x, y) = 0 dx dy Fx + Fy =0 dx Fx dx + Fy dy = 0

Equação de Bernoulli A EDO y´ + đ?‘“(x)y = đ?‘”(x)y n com n ďƒŽ â„? – {0, 1} ĂŠ transformada em uma EDO linear de 1ÂŞ ordem atravĂŠs da substituição z = y1−n .

Equação autĂ´noma Uma equação diferencial de 2ÂŞ ordem sem a variĂĄvel x ĂŠ resolvida com a substituição y´ = đ?‘? y´´ =

dđ?‘?(y) dđ?‘? dy dđ?‘? = = đ?‘? dx dy dx dy

MÊtodo de D´Alembert Conhecida uma solução y1 de �(x)y´´ + �(x)y´ + ℎ(x)y = 0

Fazendo as contas de trås para frente, concluímos que a solução da equação (exata) Fx dx + Fy dy = 0

procuramos uma segunda solução no formato y2 = v(x)y1 .

ĂŠ F(x, y) = C. Todavia, em geral, uma expressĂŁo M(x, y)dx + đ?‘ (x, y)dy = 0

EDO linear de 2ÂŞ ordem com coeficientes constantes A EDO homogĂŞnea y´´ + đ?‘Žy´ + đ?‘?y = 0

nĂŁo ĂŠ exata. O que se faz ĂŠ procurar um fator integrante ď ­ que a torne assim. ď ­M(x, y)dx + ď ­đ?‘ (x, y)dy = 0

tem solução no formato y(x) = elx , em que l ĂŠ determinado na equação caracterĂ­stica l2 + đ?‘Žl + đ?‘? = 0

Para descobrir ď ­, fazemos (ď ­M)y = (ď ­N)x

(Caso 1) Raízes reais distintas Com l1  l2 raízes da equação característica, y(x) = C1 el1x + C2 el2x

Equação linear de 1ÂŞ ordem A EDO y´ + đ?‘“(x)y = đ?‘”(x) admite o fator integrante ď ­ = eâˆŤ đ?‘“(x)dx .

Multiplicando a EDO por seu fator integrante, eâˆŤ đ?‘“(x)dx y´ = đ?‘“(x)eâˆŤ đ?‘“(x)dx y = eâˆŤ đ?‘“(x)dx đ?‘”(x)

(Caso 2) RaĂ­zes reais iguais Com l raiz dupla da equação caracterĂ­stica, y(x) = C1 elx + C2 xelx (Caso 3) RaĂ­zes imaginĂĄrias Com l = đ?‘Ž ď‚ą đ?‘?i, đ?‘? ≠0, raĂ­zes da equação caracterĂ­stica, y(x) = eax [C1 cos(bx) + C2 sen(bx)]

(eâˆŤ đ?‘“(x)dx y)´ = eâˆŤ đ?‘“(x)dx đ?‘”(x) basta integrar para encontrar a solução.

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MĂŠtodo dos coeficientes a determinar A solução da EDO nĂŁo- homogĂŞnea y´´ + đ?‘Žy´ + đ?‘?y = h(x) ĂŠ y(x) = yH (x) + yp (x) em que y = yH (x) ĂŠ a solução da EDO homogĂŞnea associada.

(Caso 1) đ??Ą(đ??ą) = đ??žđ??Śđ??ą Procuramos yp (x) = Aemx (Caso 2) đ??Ą(đ??ą) = đ??Źđ??žđ??§(đ??Śđ??ą) ou đ??Ą(đ??ą) = đ??œđ??¨đ??Ź(đ??Śđ??ą) Procuramos yp (x) = Acos(mx) + Bsen(mx) (Caso 2) đ??Ą(đ??ą) = đ???đ??§ (đ??ą) (polinĂ´mio de grau n) Procuramos yp = Q n (x) (polinĂ´mio de grau n) (Caso 3) đ??Ą(đ??ą) = đ???đ??§ (đ??ą)đ??žđ??Śđ??ą Procuramos yp = Q n (x)emx Em qualquer caso, se o candidato a solução particular jĂĄ for solução da homogĂŞnea, o multiplicamos por x.

MĂŠtodo da variação dos parâmetros A solução da EDO nĂŁo- homogĂŞnea y´´ + đ?‘Žy´ + đ?‘?y = h(x) ĂŠ y(x) = yH (x) + yp (x) em que y = yH (x) = C1 y1 (x) + C1 y2 (x) ĂŠ a solução da EDO homogĂŞnea associada e yp (x) = u(x)y1 (x) + v(x)y2 (x) em que as funçþes u e v satisfazem đ?‘˘Â´y1 + đ?‘ŁÂ´y2 = 0 { ´ đ?‘˘Â´đ?‘Ś1 + đ?‘ŁÂ´đ?‘Ś2´ = â„Ž

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