Cálculo práctico de estructuras de hormigón armado con redistribución de esfuerzos by JULIO VAQUERO

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Orense, 58 - 10º C 28020 Madrid Tel: 915 61 87 21 - Fax: 915 62 45 60 e-mail: buzon@calsider.com www.calsider.com

CÁLCULO PRÁCTICO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO CON REDISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS PRACTICAL ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES WITH MOMENT REDISTRIBUTION

ubiertas Monog. 3

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CÁLCULO PRÁCTICO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO CON REDISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS PRACTICAL ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES WITH MOMENT REDISTRIBUTION

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MONOGRAFÍA

3 CÁLCULO PRÁCTICO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO CON REDISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS

PRACTICAL ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES WITH MOMENT REDISTRIBUTION

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 Calidad Siderúrgica S.R.L. Orense, 58 - 10º C 28020 Madrid. España. Tel.: 915 61 87 21 - Fax: 915 62 45 60 Reservados todos los derechos. Queda expresamente prohibida la publicación total o parcial de esta obra sin la autorización escrita de Calidad Siderúrgica. Diseño y Maquetación: Ramón Polo. Imprime: EPES, Industrias Gráficas, S.L. Printed in Spain. Depósito Legal: M-27861-2003 I.S.S.N.: 1576-2734

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La Marca ARCER de productos de acero para armaduras pasivas de hormigón tiene el objetivo fundamental de distinguir, potenciar y promover la utilización de armaduras con altos niveles de calidad y prestaciones y se utiliza exclusivamente en las armaduras fabricadas en las calidades B500S, B400SD y B500SD. Los productos de la Marca ARCER cumplen todos los requisitos que garantizan la conformidad con la Instrucción de Hormigón Estructural (EHE) y las correspondientes normas UNE que les son de aplicación. Las actuaciones promovidas por la Marca ARCER tiene como finalidad mejorar el conocimiento de los aceros para armaduras pasivas, desarrollar nuevas aplicaciones y promover innovaciones tecnológicas que mejoren sus prestaciones. Dentro de estas actuaciones se enmarca la publicación de estudios, trabajos y monografías de carácter técnico, destinadas a facilitar un mejor conocimiento de estos materiales y sus aplicaciones. Las actuaciones y publicaciones de la Marca están supervisadas y avaladas por la Comisión Asesora ARCER, formada por profesionales de reconocido prestigio en el campo del hormigón armado. La presente Monografía ha sido realizada por dicha Comisión, compuesta por: Presidente:

Andrés Doñate Megías Subdirector General de Normativa, Estudios Técnicos y Análisis Económico. Secretaría General Técnica. Ministerio de Fomento.

Vicepresidente:

José Calavera Ruiz Presidente de INTEMAC. Catedrático Emérito de Edificación y Prefabricación de la Escuela de Ingenieros de C.C.y Puertos Universdad Politécnica de Madrid.

Vocales:

José Manuel Gálligo Estévez Director del Centro de Estudios de Técnicas Aplicadas del CEDEX. Ministerio de Fomento.

Antonio Gómez Rey Director Gerente de Calidad Siderúrgica.

Antonio R. Marí Bernat Catedrático de Universidad. Dpto. de Ingeniería de la Construcción. E.T.S. de Ingenieros de C.C.y Puertos. Universidad Politécnica de Cataluña.

Bernardo Perepérez Ventura Catedrático de Universidad. Dpto. Construcciones Arquitectónicas de la E.T.S. de Arquitectos de Valencia. Universidad Politécnica de Valencia.

Secretaria:

Noelia Ruano Paniagua Ingeniero de C.C. y Puertos. Calidad Siderúrgica.

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The ARCER label for steel products used in concrete reinforcement aims primarily to distinguish, further and promote the use of high quality, high performance reinforcing steel, and is reserved exclusively to grade B500S, B400SD and B500SD reinforcement. Products bearing the ARCER label meet all requirements guaranteeing that they comply with applicable EHE (Structural Concrete Code) and UNE (Spanish) standards. The objective of the action sponsored by the ARCER label is to contribute to a better understanding of the various types of steel used in the manufacture of reinforcing bars for concrete, develop new applications and foster innovative technologies that improve their performance. Such action includes the publication of technical reviews, papers and monographs intended to provide a deeper knowledge of these materials and their applications. Actions and publications bearing the ARCER name are supervised and endorsed by ARCER's Advisory Committee of highly esteemed professionals in the field of reinforced concrete. The present monograph is authored by the Advisory Committee, whose membership is shown below: Chairman:

Andrés Doñate Megías Deputy Director General of Regulations, Technical Studies and Economic Analysis. Undersecretariat for General Services. Ministry of Public Works of Spain.

Vice Chairman:

José Calavera Ruiz 4

President of INTEMAC. University Professor. Head of Dept of Construction Engineering, School of Civil Engineering. Polytechnic University of Madrid.

Members:

José Manuel Gálligo Estévez Director of the Centre for Applied Techniques Studies of CEDEX. Ministry of Public Works of Spain.

Antonio Gómez Rey General Manager, Calidad Siderúrgica.

Antonio R. Marí Bernat Tenured University Professor. Head of Dept of Construction Engineering, School of Civil Engineering. Polytechnic University of Catalonia.

Bernardo Perepérez Ventura Tenured University Professor. Head of Dept of Architectural Construction, School of Architecture of Valencia. Polytechnic University of Valencia.

Secretary:

Noelia Ruano Paniagua. Civil Engineer. Calidad Siderúrgica.

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ÍNDICE 7

INTRODUCCIÓN

COMPORTAMIENTO Y CÁLCULO DE SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO EN 13 ESTADO LÍMITE ÚLTIMO 2.1. Evolución del comportamiento de las secciones de hormigón armado hasta rotura 2.2. Diagrama momento-curvatura 2.3. Tipos de rotura en flexión 2.4. Resistencia y ductilidad seccional. Parámetros significativos 2.5. Dimensionamiento de secciones en Estados Límite Últimos. Tensiones normales 2.6. Dimensionamiento seccional con ductilidad prefijada

COMPORTAMIENTO Y ANÁLISIS DE LAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO EN ESTADO LIMITE ÚLTIMO 31 3.1. Comportamiento bajo carga creciente hasta rotura de estructuras de hormigón armado 3.2. Carga última, redistribución de esfuerzos y reserva de resistencia en estructuras hiperestáticas 3.3. Rótula plástica. Rotación plástica y efectos estructurales 3.4. Capacidad de rotación plástica de una sección de hormigón armado 3.5. Tipos de cálculo estructural: ventajas, limitaciones y condiciones para su aplicación

5 4

CÁLCULO PRÁCTICO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO CON REDISTRIBUCIÓN LIMITADA DE LOS ESFUERZOS 41 4.1. Tratamiento de la redistribución limitada de los esfuerzos en las diversas normativas Conclusiones y propuestas 4.2. Consideraciones adicionales sobre las condiciones de anclaje y esbeltez 4.3. Conclusiones 4.4. Consideraciones adicionales y propuestas 4.5. Cálculo práctico de estructuras de hormigón armado con redistribución de esfuerzos

EJEMPLOS PRÁCTICOS

5.1. Pórtico plano sometido a acciones verticales 5.2. Pasarela peatonal continua 5.3. Forjado unidireccional con semiviguetas pretensadas 5.4. Pórtico plano de dos vanos bajo acciones sísmicas 6

ANEXO A: REQUISITOS DE DUCTILIDAD DE LAS ARMADURAS BIBLIOGRAFÍA

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CONTENTS 7

INTRODUCTION

BEHAVIOUR AND ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE SECTIONS UNDER ULTIMATE LIMIT STATE CONDITION 13 2.1. Behaviour of reinforced concrete sections under increasing loads up to failure 2.2. Moment-curvature diagram 2.3. Types of bending failure 2.4. Sectional strength and ductility. Significant parameters 2.5. Design of sections under Ultimate Limit State conditions. stresses 2.6. Design of sections with pre-established ductility

BEHAVIOUR AND ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES UNDER ULTIMATE LIMIT STATE CONDITION 31 3.1. Behaviour of reinforced concrete structures under increasing loads up to failure 3.2. Ultimate load, moment redistribution and reserve capacity in statically indeterminate structures 3.3. Plastic hinges Plastic rotation and structural effects 3.4. Plastic rotation capacity of a reinforced concrete section 3.5. Types of structural analysis: advantages, limitations and conditions for application

PRACTICAL ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES WITH LIMITED MOMENT REDISTRIBUTION 41 4.1. Limited moment redistribution in various concrete codes 4.2. Considerations about anchorage and slenderness 4.3. Conclusions 4.4. Additional considerations and proposals 4.5. Practical analysis of reinforced concrete structures with moment redistribution

PRACTICAL EXAMPLES

5.1. Planar portal frame subjected to vertical actions 5.2. Continuous pedestrian bridge 5.3. One-way floor slab with prestressed T-joists 5.4. Two-bay portal frame in an area of seismic risk

ANNEX A: THE SPECIFICATIONS OF SPECIAL DUCTILITY STEEL BIBLIOGRAPHY

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1 INTRODUCCIÓN

INTRODUCTION

radicionalmente, el cálculo de las estructuras de hormigón armado se ha realizado considerando un comportamiento elástico y lineal de sus materiales componentes. Este comportamiento ideal, junto con algunas otras hipótesis referentes a la deformación de la estructura, ha permitido desarrollar el análisis elástico-lineal, que es el normalmente utilizado para obtener los esfuerzos y, a partir de ellos, comprobar la resistencia estructural. El análisis elástico-lineal tiene enormes ventajas prácticas, ya que en él existe proporcionalidad entre la causa y el efecto, y además es válido el principio de superposición, lo que permite el cálculo de los esfuerzos bajo hipótesis de carga independientes, y la superposición de los efectos, utilizando secciones brutas, sin necesidad de conocer las armaduras de la estructura.

he structural analysis of reinforced concrete has traditionally assumed linear-elastic behaviour for the component materials. Such ideal behaviour, along with certain other assumptions relating to structural strain, led to the development of linear elastic analysis, which is normally used to compute forces and, with them, to verify structural strength. The proportionality between cause and effect and the validity of the superposition principle inherent in linear elastic analysis afford the method enormous practical advantages, since forces can be calculated for gross sections assuming independent loads and the superposition of effects, with no need to know the amount of the reinforcements to be used in the structure.

Sin embargo, este comportamiento elásticolineal se aleja mucho del observado experimentalmente en las estructuras de hormigón armado, especialmente bajo elevados niveles de carga, debido a la incidencia de fenómenos como la fisuración del hormigón en tracción, su respuesta tenso-deformacional no lineal en compresión, y la plastificación de las armaduras de acero. El planteamiento actual de la seguridad estructural está basado en la teoría de los Estados Límite, que se dividen en Últimos y de Servicio. Los primeros consisten en verificar que la estructura, considerando las resistencias de cálculo de los materiales minoradas, Ru, es capaz de resistir las acciones de cálculo mayoradas, Sd. Es decir Ru ≥ Sd. Ello permite garantizar un margen de seguridad frente a las situaciones habituales de uso de la estructura, conocidas como Estados Límite de Servicio, en las que las acciones y las resistencias son las características, es decir no están mayoradas ni minoradas, respectivamente. En el cálculo de Ru se tiene en cuenta, de modo idealizado, la respuesta de los materiales hasta el agotamiento; por ejemplo se desprecia la resistencia a tracción del hormigón, se utili-

Nonetheless, such linear elastic behaviour is rather far removed from the actual observed behaviour of reinforced concrete structures, particularly when subjected to very heavy loads, due to yielding phenomena such as concrete cracking under tensile stresses, its non-linear stress-strain response under compression and plastification of the reinforcing steel. The current approach to structural safety is based on limit state theory, divided into ultimate and serviceability limit states. The ultimate limit state method consists of verifying whether the structure, in which material strength, Ru, is duly reduced, is able to withstand the appropriately increased design loads, Sd: in other words, whether Ru ≥ Sd. This guarantees a margin of safety under circumstances of normal usage, known as serviceability limit states, in which structures respond to characteristic loads with characteristic strengths, i.e., not increased by specific load factors or reduced by specified strength reduction factors, respectively. In Ru calculations, account is taken, in an idealised manner, of material responses to limit state conditions; for instance, the tensile strength of concrete is ignored, stress-strain parabola-rectangle or rectangle models are

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1 σc

fsd

0,85 · fcd

σs

fyd

Ec 0,002

0,0035

a) Hormigón / Concrete

εc

Es = 2 · 106 N/mm2

εy

εmáx

b) Acero / Steel

Figura 1 Diagrama tensión-deformación de cálculo (σ-ε) para Estados Límite Últimos Stress-strain (σ-ε) diagram for Ultimate Limit State design

zan modelos tenso-deformacionales como el parábola-rectángulo o el rectángulo para el hormigón, y elasto-plásticos para el acero, etc. (Figura 1).

En la actualidad, sin embargo, la solicitación Sd se obtiene por métodos elásticos, a pesar de que, en los Estados Límite Últimos, el grado de deterioro que alcanza la estructura, es muy alto y la distribución de esfuerzos, en estructuras hiperestáticas, puede ser muy diferente a la que predice el análisis elástico-lineal. Existe, por tanto, una clara incoherencia en el proyecto de las estructuras de hormigón cuando se plantean de esta forma. Pero además de este argumento conceptual, existen razones de tipo económico para intentar evitar esta discrepancia, derivada de la constatación experimental de la mayor resistencia en las estructuras hiperestáticas de hormigón armado frente a lo que predice el análisis elástico-lineal. En efecto, cuando en la sección más solicitada de una estructura de este tipo se produce la plastificación de la armadura principal de flexión, su rigidez disminuye enormemente, convirtiéndose en lo que se denomina una rótula plástica. A partir de ese instante, la distribución de esfuerzos bajo un aumento de carga es totalmente distinta a la elásticamente predicha; la zona plastificada al no poder absorber más momento, lo traspasa a otras secciones contiguas menos solicitadas hasta que se generan otras rótulas plásticas y, en el caso más favorable, si hay suficiente ductilidad, un mecanismo de colapso, como predice la teoría de la plasticidad. La carga última y la capacidad de disipar energía reales pueden ser mucho mayores que las obtenidas con el análisis elástico-lineal, de ahí el interés económico y tecnológico por determinar con cierta

used for concrete whilst elastic-plastic models are applied for steel, etc. (Figure 1). By contrast, in present practice, design forces, Sd, is found using elastic methods, even though in ultimate limit states structures are able to reach very high degrees of deterioration and in statically indeterminate structures forces distributions may differ widely from linear elastic predictions. Concrete structural design is clearly inconsistent, then, under this approach. But in addition to this conceptual argument, there are economical reasons for attempting to avoid this discrepancy, deriving from the experimental observation of greater strength in statically indeterminate reinforced concrete structures with respect to linear elastic predictions. Indeed, when the main flexural reinforcement in the section supporting the greatest load in a structure of this type yields, its stiffness declines enormously, and it becomes what is known as a plastic hinge. From this moment on, force distribution under increasing loads differs entirely from elastic model predictions; unable to absorb any further bending moment, the plastified area transfers the load to less stressed adjacent sections, generating both further plastic hinges and, under the most favourable circumstances, i.e., assuming sufficient ductility, a collapse mechanism as predicted by the theory of plasticity. The real ultimate load and capacity to dissipate energy may be much greater than obtained with linear elastic analysis: hence the economical and technical interest in determining forces with some degree of accuracy, and of designing structures with enhanced ductility. Nonetheless, structural analysis of reinforced concrete structures under plastic conditions is only appropriate where the critical sections have an unlimited rotation capacity and none of the

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1 precisión las solicitaciones y proyectar estructuras dúctiles. No obstante, el cálculo de estructuras de hormigón armado en régimen plástico sólo resulta adecuado cuando las secciones críticas tienen una capacidad de rotación ilimitada, y la formación de las rótulas plásticas, hasta que se alcanza el mecanismo de colapso estructural, tiene lugar sin que se agote ninguna de ellas. La realidad no es así, ya que la capacidad de rotación plástica de las secciones de hormigón armado es limitada, fruto de la fragilidad del hormigón. A fin de obtener de forma rigurosa las leyes de esfuerzos y de aprovechar la capacidad de rotación plástica de las estructuras de hormigón, aunque sea limitada, nace el análisis no lineal. Éste consiste, básicamente, en determinar las leyes de esfuerzos que, satisfaciendo el equilibrio con las cargas y las reacciones, generan movimientos compatibles con las coacciones y, además, dan lugar a estados tenso-deformacionales de los materiales acordes con las curvas tensión-deformación observadas experimentalmente. El análisis no lineal tiene varios inconvenientes, entre los que destacan la necesidad de conocer “a priori” la armadura en cada sección de la estructura y de realizar iteraciones, puesto que no existe proporcionalidad entre la causa y el efecto. Generalmente el proceso se inicia con el cálculo de la ley de esfuerzos mediante un análisis elástico-lineal, y a partir de él, y en función del estado de los materiales (fisurado, comprimido, plastificado, etc.), se obtiene una nueva distribución de rigideces que a su vez altera la ley de esfuerzos, y así sucesivamente hasta alcanzar una distribución de los esfuerzos y de las rigideces coherentes. Con objeto de evitar tan tedioso procedimiento, con altas probabilidades de error en la práctica cotidiana del cálculo de estructuras, nace el análisis lineal con redistribución limitada. Éste consiste en obtener las leyes de esfuerzos a través del análisis elástico-lineal y modificarlas posteriormente reduciendo los momentos en las secciones más solicitadas, a costa de aumentarlos en otras zonas de la estructura que lo estén menos, de forma que siempre se satisfaga el equilibrio con las cargas exteriores. Se pretende así obtener unas leyes de esfuerzos que se asemejen a las que realmente tendría la estructura en los Estados

plastic hinges formed reaches its rotation capacity until structural collapse occurs. These conditions are not met in real situations, since the plastic rotation capacity of reinforced concrete sections is limited by concrete brittleness. Non-linear analysis arose to compute forces accurately and take advantage of the - admittedly limited - plastic rotation capacity of concrete structures. Such analysis consists, essentially, of determining the forces under which loads and reactions are balanced, movements compatible with constraints are generated and the stress-strain states in the materials are in keeping with the experimentally observed stress-strain curves. There are a number of drawbacks to nonlinear analysis, the most prominent being the need to know, a priori, the reinforcement amount for each section of the structure and to conduct iterations, as cause is not proportional to effect. The process usually begins by computing the forces involved with linear elastic analysis and from this starting point obtaining a new stiffness distribution which, depending on the state of the materials (cracked in compression, yielded, etc.), in turn alters the forces and so on successively until a consistent force and stiffness distribution is found. Linear analysis with limited redistribution arose to avoid a procedure that is both tedious and subject to a high likelihood of error in everyday structural engineering. Such analysis consists of obtaining forces from linear elastic analysis and subsequently modifying them by reducing the moments in the sections under greatest forces, at the expense of increasing them in other areas of the structure under lighter forces, so as to always maintain an equilibrium with external loads. The intention is to obtain forces similar to the ones to which the structure would actually be subjected in ultimate limit states, with no need to conduct non-linear analysis or to know the reinforcement ratio a priori. This method should be used with caution, however, since the structure must indispensably be sufficiently ductile, in other words, the moment redistribution considered must be compatible with the plastic rotation capacity of the critical sections which, as mentioned above, is always limited. To guarantee that this requirement is met, a series of criteria or recommenda-

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1 Límite Últimos, sin necesidad de hacer un análisis no lineal ni de conocer a priori las armaduras. Este método de cálculo debe plantearse, no obstante, con cautela, pues es imprescindible que la estructura posea la ductilidad suficiente, es decir, que la redistribución de los esfuerzos considerada sea compatible con la capacidad de rotación plástica de las secciones críticas que, como antes se ha mencionado, es siempre limitada. Para garantizarla conviene seguir una serie de criterios o recomendaciones establecidos en las normativas. Los más habituales son el uso de aceros con características especiales de ductilidad y la limitación de la profundidad de la fibra neutra.

La ductilidad del acero es de especial importancia si el agotamiento de la estructura se debe al de las armaduras; la profundidad relativa de la fibra neutra puede representar adecuadamente el efecto combinado de las relaciones entre las tensiones y las deformaciones de los materiales, de la geometría de la sección transversal de las piezas, y de la cuantía y disposición de las armaduras longitudinales y transversales, así como de la existencia o no de esfuerzo axil. Sólo el uso adecuado de estas variables, o lo que es lo mismo, sólo cuando se garantiza la existencia de una ductilidad suficiente, se puede hablar con propiedad de adaptación plástica y de reserva de resistencia en las estructuras de hormigón en las que, frente a los Estados Límite Últimos, la distribución de esfuerzos se adecua al armado de ellas. La aplicación práctica del análisis lineal con redistribución limitada de esfuerzos no es, sin embargo, obvia, surgiendo una serie de dudas que conviene aclarar, y que en algún caso son fruto de la aplicación de conceptos elásticos al comportamiento no lineal, para los cuales no fueron pensados. Por ejemplo, se plantean cuestiones como: • ¿Hay que efectuar la redistribución de los esfuerzos una vez obtenidas las envolventes o se debe realizar primero la redistribución de cada hipótesis de carga y después deducir las envolventes?

tions set out in the respective technical standards should be followed. The most common of these call for the use of special ductility steel and limiting the depth of the neutral axis. Steel ductility is of particular importance where the limit state of the structure is dependent on the reinforcement; the relative depth of the neutral axis can suitably represent the combined effect of the stress-strain relationships in the materials, the geometry of the cross-sections of the pieces and the amount and arrangement of the longitudinal and transverse reinforcement, as well as the existence or otherwise of axial forces stress. Only with the appropriate use of these variables - or in other words, only when sufficient ductility is guaranteed - can plastic adaptation and reserve capacity be assumed to exist in reinforced concrete structures in which, given ultimate limit state conditions, the distribution of forces is adequately accommodated by the reinforcement. The practical application of linear analysis with limited redistribution is not obvious, however: a series of doubts in this regard, arising in some cases around the application of elastic concepts to non-linear behaviour for which they were not designed, need to be addressed. Questions such as the following may be posed: • Should forces be redistributed after the envelope diagrams are obtained or should redistribution be computed for each load case and the envelopes be deduced afterwards? • Can forces generated by horizontal action be redistributed? • How can the depth of the neutral axis be lowered to small values? • What is the maximum redistribution and what conditions must be satisfied to reach it? • What effects does moment redistribution have on the serviceability behaviour of structures?

• ¿Es posible redistribuir los esfuerzos generados por las acciones horizontales?

• Is it cheaper to redistribute? Does it help or hinder construction?

• ¿Cómo conseguir que la profundidad de la fibra neutra alcance valores reducidos?

• How does steel ductility (S or SD) impact redistribution?

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1 • ¿Cuál es la redistribución máxima que se puede practicar y qué condiciones deben satisfacerse para alcanzarla? • ¿Qué efectos tiene la redistribución de esfuerzos en el comportamiento en servicio de la estructura? • ¿Es más barato redistribuir? ¿Facilita o dificulta la construcción de la estructura? • ¿Qué influencia tiene la ductilidad del acero (tipos S ó SD) en la redistribución? • ¿Se redistribuyen todos los esfuerzos, o sólo los momentos flectores? El objetivo de esta monografía es doble; por una parte, aclarar conceptos fundamentales del comportamiento no lineal del hormigón, entre ellos, la carga última, la reserva de resistencia, la redistribución de esfuerzos, las rotaciones plásticas y la ductilidad seccional, siendo esta última una característica fundamental para asegurar el diseño seguro y económico de las estructuras de hormigón. Por otra se pretende divulgar los principios del análisis lineal con redistribución limitada de esfuerzos, contribuyendo a facilitar la aplicación práctica del mismo, a través de ejemplos representativos y a la vez didácticos, así como al análisis de sus consecuencias tanto en la seguridad como en la funcionalidad y economía de la estructura.

• Are all forces or only bending moments redistributed? This monograph has a dual purpose: on the one hand, to clarify the fundamental concepts relating to non-linear behaviour in concrete, including ultimate load, reserve capacity, redistribution of forces, plastic rotation and sectional ductility, the last of which is a key characteristic to ensure the safe and economical design of concrete structures. On the other hand, the intention is to propagate the principles of linear analysis with limited redistribution, contributing to facilitate the practical application of this technique through representative and explicative examples, as well as the analysis of its consequences in terms of structural safety, functionality and economy.

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2. COMPORTAMIENTO Y CÁLCULO DE SECCIONES DE HORMIGÓN ARMADO EN ESTADO LÍMITE ÚLTIMO 2.1. Evolución del comportamiento de las secciones de hormigón armado hasta rotura

2. BEHAVIOUR AND ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE SECTIONS UNDER ULTIMATE LIMIT STATE CONDITION 2.1. Behaviour of reinforced concrete sections under increasing loads up to failure

Figura 2.1 Esquema de un ensayo a flexión Reinforced concrete beam subjected to flexure

Sea la viga de hormigón armado de la Figura 2.1, sometida a dos cargas puntuales crecientes hasta el agotamiento. Por tratarse de una pieza isostática, los esfuerzos pueden obtenerse directamente por consideraciones de equilibrio, a partir de las cargas, las reacciones y la geometría de la pieza. Si analizamos el estado de las tensiones y las deformaciones de la sección central, sometida a flexión pura, se observan tres estados claramente diferenciados hasta la rotura: - Fase elástica. El hormigón aún no se ha fisurado y por tanto, la sección trabaja íntegramente. La distribución de las tensiones responde al comportamiento elástico-lineal clásico y la fibra neutra pasa por el centro de gravedad de la sección homogeneizada del hormigón y del acero, al tratarse de una solicitación de flexión. - Fase fisurada. Se inicia cuando la tensión en la fibra más traccionada del hormigón alcanza su resistencia a tracción. A partir de ese momento la fisuración se propaga y las tracciones que deja de resistir el hormigón son absorbidas por el acero, que aumenta bruscamente su tensión. Para satisfacer el equilibrio de las fuerzas y los momentos, el eje neutro debe subir, produciéndose también un incremento de las tensiones en el hormigón. - Fase de prerrotura. Puede ser debida a tres causas: que el acero alcance la deformación plástica, que la deformación del hormigón sea la correspondiente a la tensión de pico, o que sucedan ambos hechos a la vez. El eje neutro continúa subiendo, especialmente si la armadura está plastificada, ya que para equilibrar cualquier incremento de momento es necesario aumentar el brazo mecánico de las fuerzas internas, porque éstas no pueden variar.

The reinforced concrete beam in Figure 2.1 is subjected to two point loads, which are increased until the beam fails. Since this is a statically determinate member, the forces can be computed directly from equilibrium considerations based on loads, reactions and member geometry. The stress-strain analysis of the central section subjected to pure bending reveals three clearly differentiated states as it approaches failure: - Elastic phase. In this phase, prior to cracking, the section works at full strength. Stress distribution conforms to conventional linear elastic behaviour and, as the action involved is flexural stress, the neutral axis runs through the centroid of the homogenised section of concrete and steel. - Cracking phase. This phase begins when the stress on the concrete fibre taking the greatest tensile stress reaches its tensile strength. Cracking starts to spread and the tensile stresses no longer taken by the concrete are absorbed by the steel, where stress levels rise abruptly. The neutral axis must rise to maintain the equilibrium of forces and moments, further raising the stress on the concrete. - Prefailure phase. This may be due to three causes: the steel reaches its yielding strain, the concrete strain matches the peak stress or both developments occur at once. The neutral axis continues to rise, in particular if the reinforcement yields, since the lever arm of the internal forces, which cannot change, must be increased to offset any rise in moment.

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2 La Figura 2.2 muestra el estado de las tensiones y de las deformaciones en estas tres fases.

Fase elástica / Elastic phase

Figure 2.2 shows the stress-strain states in these three phases.

Fase fisurada / Cracking phase

Fase pre-rotura / Prefailure phase

Figura 2.2 Estado de tensiones en el hormigón y en el acero bajo una carga creciente Stress-strain states in concrete and steel subjected to increasing load

2.2. Diagrama Momento-Curvatura

2.2. Moment-Curvature diagram

La curvatura de la sección χ, es decir, la rotación por unidad de longitud de la pieza, puede obtenerse experimentalmente como

The curvature of section c, i.e., the rotation per unit of length of the piece, can be obtained experimentally as

|εc|+|εs| χ = ——— d

|εc|+|εs| χ = ———– d

[1]

siendo |εc| la deformación unitaria media del hormigón en la fibra más comprimida, en valor absoluto. |εs| la deformación unitaria media de la armadura de tracción, en valor absoluto. d el canto útil de la sección.

where |εc| is the absolute value of the mean unit strain on the concrete at the fibre taking greatest compression. |εc| is the absolute value of the mean unit strain on the tensile reinforcement. d is the effective depth of the section.

Si se representa en unos ejes el momento que solicita a la sección y la curvatura de la misma se obtiene un diagrama como el de la Figura 2.3 conocido como diagrama Momento-Curvatura, cuya pendiente en cada punto es la rigidez de la sección.

If the moment taken by the section and its curvature are plotted on a system of co-ordinate axes, the result is what is known as a MomentCurvature diagram such as the one in Figure 2.3, whose slope at each point gives the section stiffness.

Figura 2.3 Diagrama Momento-Curvatura Moment-Curvature diagram

En él se ven claramente diferenciadas las tres fases anteriores; en la primera la pendiente es la rigidez elástica, EI. En la segunda, se observa un salto brusco de la curvatura, fruto de la propagación dinámica de la fisura y de la caída notable de la rigidez, que queda dividida por un factor que puede oscilar entre dos y cua-

The three phases described above can be clearly distinguished on the diagram; in the first one the slope is the elastic stiffness, EI. In the second one the abrupt rise in curvature as a result of both the dynamic propagation of the crack and the sharp drop in stiffness, which is divided by a factor that may range from two to

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2 tro, en función de la cuantía de acero y de la geometría de la sección. En la tercera, la rigidez puede ser muy reducida, en cuyo caso se produce un aumento importante de la curvatura con un incremento pequeño del momento.

four depending on steel ratio and section geometry. In the third one stiffness may be small, in which case there is a substantial rise in curvature and a small increase in moment.

No obstante, el comportamiento descrito anteriormente corresponde al de una sección situada justo donde se produce la fisura. Sin embargo, entre las fisuras, existen zonas de hormigón traccionadas, que se encuentran en la fase elástica y que contribuyen a la rigidez de la pieza gracias a la adherencia con el acero, que transmite progresivamente sus tracciones al hormigón desde el labio de la fisura, tal y como se indica en la Figura 2.4.

The above behaviour, however, corresponds to a section located precisely at a crack. But between cracks there are areas where the concrete under tensile stress is in the elastic phase and which contribute to overall stiffness as a result of bonding with the steel, which gradually transmits its tensile stresses to the concrete from the lip of the crack, as shown in Figure 2.4.

a) Fisuración Cracking Crocking

h b

b) Tensiones en el acero Steel Stresses

Tensión media Mean Stress

15 c) Tensiones en el hormigón Concrete Stresses

d) Tensiones de adherencia Bond Stresses

e) Curvaturas Curvatures

Curvatura media Mean Curvature

Figura 2.4 Distribución de tensiones y curvaturas en un elemento fisurado Stress and curvature distributions in a cracked member

En consecuencia, para un determinado nivel del momento, se puede trabajar con unos valores medios de la tensión y de la deformación de la armadura, obteniéndose con ellos unas curvaturas inferiores a las que se producen justo en la fisura. Este fenómeno, conocido como tensorrigidez ("tension stiffening" en terminología inglesa), queda reflejado en el diagrama Momento-Curvatura de la Figura 2.3, por la diferencia de rigideces entre la línea de trazos y la continua en la fase fisurada.

Consequently, for a given moment level, mean reinforcement stress and strain values can be used, which yield smaller curvatures than identified at the crack itself. This phenomenon, known as tension stiffening, is reflected on the Moment-Curvature diagram in Figure 2.3 as the difference in stiffness between the dashed and solid lines in the cracking phase.

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2 2.3. Tipos de rotura en flexión Básicamente existen tres tipos de rotura en una sección solicitada a flexión, tal como se ilustra en la Figura 2.5 mediante los correspondientes diagramas Momento-Curvatura:

2.3. Types of bending failure There are essentially three types of failure in a section subjected to flexure, as the respective Moment-Curvature diagrams in Figure 2.5 show:

Figura 2.5 Tipos de rotura. Diagrama Momento-Curvatura Types of bending failure. Moment-Curvature diagram

1- Rotura frágil por insuficiencia de la armadura de tracción. Tiene lugar cuando el hormigón se fisura y la fuerza de tracción que se libera es superior a la capacidad mecánica de la armadura de tracción dispuesta. Este problema se resuelve disponiendo la cuantía mínima de armadura de tracción que establecen las instrucciones vigentes. 2- Rotura dúctil. Se produce si, previamente a que el hormigón haya alcanzado la deformación de agotamiento, εcu, el acero plastifica, es decir, alcanza la deformación correspondiente al límite elástico, εy = fyd/Es. En este caso la curvatura aumenta considerablemente a partir de la plastificación del acero, lo que confiere a la estructura una notable ”capacidad de aviso” mediante la aparición de grandes deformaciones y de numerosas y anchas fisuras. El aumento de momento, sin embargo, es muy reducido pues el incremento máximo de tensión de la armadura de tracción es ∆σs= fsd – fyd, siendo fsd y fyd la carga unitaria de rotura de cálculo y el límite elástico de cálculo, respectivamente, del acero. 3- Rotura frágil por compresión excesiva del hormigón. Tiene lugar cuando el hormigón alcanza su deformación última antes de que el acero haya plastificado. En esta situación, el punto de plastificación del diagrama M-χ no es tan marcado como en el caso anterior, pues aunque corresponda a la plastificación de la

1- Brittle failure due to insufficient tensile reinforcement. This takes place when the concrete cracks and the tensile force released is greater than the capacity of the tensile reinforcement used. This problem is solved by using the minimum ratio of tensile reinforcement established in the codes in effect. 2- Ductile failure. This occurs if the steel yields before the concrete reaches the ultimate strain, εcu, that is, the steel reaches the strain

corresponding to the yield strength, εy = fyd/Es. In this case curvature increases substantially after the steel yields, causing substantial deformation and many wide cracks, significant “warning signs” of structural weakness. The increase in moment, however, is small, since the maximum rise in tensile reinforcement stress is ∆σs= fsd – fyd, where fsd and fyd are the strength and yielding, respectively, of the steel.

3- Brittle failure due to compression of the concrete. This occurs when the concrete reaches its ultimate strain before the steel yields. Under these circumstances, the plastification point on the M- χ diagram is not as prominent as in the preceding case, because although it corresponds to the plastification of both the concrete fibre taking greatest compression and the compression reinforcement, the section continues to have sufficient capacity to withstand moment increments until the concrete reaches the limit state. The ultimate curvature is smaller

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2 fibra más comprimida del hormigón y de la armadura comprimida, la sección continúa teniendo capacidad para resistir incrementos de momentos hasta que el hormigón se agote. La curvatura última es menor que si la rotura fuera dúctil, manifestándose ésta de manera brusca, incluso explosiva, con poca fisuración y bajas deformaciones, es decir, con poca “capacidad de aviso". Es posible que se dé también una situación particular denominada rotura crítica, que consiste en que, simultáneamente, la deformación de la fibra de hormigón más comprimida sea la de agotamiento y la de la armadura de tracción la correspondiente a su límite elástico. Es decir, la rotura crítica se corresponde con el plano de deformación frontera entre los Dominios de deformación 3 y 4 (Figura 2.6).

than in ductile failure, and in this case failure takes place abruptly, with little cracking and slight deformation, in other words, giving “little warning". Another possible event is critical fracture, which occurs when the strain on the concrete fibre taking greatest compression stress reaches the ultimate strain at the same time as the strain on the tensile reinforcement coincides with its yield strength. In other words, critical fracture occurs along the plane delimiting the possible Strain distributions 3 and 4 (Figure 2.6).

Figura 2.6 Dominios de deformación Fields of strain

2.4. Resistencia y ductilidad seccional. Parámetros significativos

2.4. Sectional strength and ductility. Significant parameters

En una sección sometida a flexión simple, su resistencia se mide por el momento máximo que es capaz de resistir, que depende en gran medida, de la cuantía de armadura, de la geometría de la sección, y de las resistencias del acero y del hormigón, aunque esta última apenas tiene influencia en el momento último cuando la rotura es dúctil.

In a section subjected to flexure, strength is measured by the maximum moment it can take, which depends largely on the reinforcement amount, section geometry and steel and concrete strengths, although this final factor has scarcely any effect on the ultimate moment in ductile failure.

En una sección sometida a flexocompresión, el momento último depende, además, del esfuerzo axil; ambos esfuerzos crecen mientras la rotura es dúctil hasta que se alcanza la rotura crítica; posteriormente el momento disminuye con el aumento del esfuerzo axil. El lugar geo-

In a section subjected to combined flexural and compression stress, the ultimate moment depends additionally on axial force; both forces grow in ductile failure until critical failure is reached; subsequently the bending moment declines as the axial force rises. The envelope of the flexural-compression couples that induce the

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2 ultimate limit state in the section is known as the Interaction Diagram (Figure 2.7).

Momento, M (Tn.m) Bending moment, M (Tn.m)

métrico de los pares de esfuerzos de flexocompresión que agotan la sección se denomina Diagrama de Interacción (Figura 2.7).

Axil, N (Tn)

Axial, N (Tn)

Figura 2.7 Diagrama de interacción para una sección de hormigón armado Interaction diagram in a section subjected to combined flexural and compression stress

La ductilidad de una sección está relacionada con la capacidad de deformación de la armadura de tracción más allá del punto de inicio de la plastificación, siempre que ello no suponga una disminución de su resistencia. Puede medirse de diversas maneras; la más frecuente es a través del cociente entre la curvatura última, que es la correspondiente al momento máximo que puede resistir la sección, y la curvatura plástica, que se alcanza cuando la armadura de tracción plastifica.

Section ductility is related to the deformation capacity of the tensile reinforcement beyond the point when plastification begins, provided this does not entail a decrease in strength. It can be measured in a number of ways; the most common is by means of the quotient resulting from dividing the ultimate curvature, which concurs with the maximum moment that can be taken by the section, by plastic curvature, which is reached when the tensile reinforcement becomes plastic.

La ductilidad de la sección es una medida de la capacidad de rotación plástica a lo largo de una longitud determinada de la directriz de la pieza(1) . Es por tanto, una cualidad esencial que se ha de conferir a las secciones de hormigón armado si se desea aprovechar la reserva de resistencia de las estructuras hiperestáticas, redistribuir las fuerzas internas debidas a la acción del fuego, o evitar roturas frágiles derivadas de impactos, acciones cíclicas de elevada intensidad (como las sísmicas), u otras acciones accidentales.

Section ductility is a measure of its plastic rotation capacity along a given length of the member in question(1) . It is, therefore, an essential feature that must be present in reinforced concrete sections if the reserve capacity of statically indeterminate structures is to be turned to advantage, the internal forces due to fire action are to be redistributed or brittle failure due to impact, cyclic action of high intensity (such as seismic action) or other accidental events are to be avoided.

La ductilidad de una sección puede aumentarse de varias formas: 1- Reduciendo las tensiones de compresión en el hormigón. Ello se consigue: (1) Habitualmente, se entiende por rotación plástica la diferencia entre las rotaciones total y elástica existentes en los extremos de la longitud de la pieza plastificada, lo cual permite, a efectos prácticos, sustituir dicha zona por una rótula plástica perfecta situada en la sección de momento máximo.

Section ductility may be increased in a number of ways: 1- Reducing compression stress on the concrete. This is achieved by:

(1) Generally speaking, plastic rotation is defined to be the difference between total and plastic rotation at the ends of the plastic range, which, for all practical purposes, means that the region in question may be replaced with a perfect plastic hinge located at the section taking the greatest moment.

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2 a) Incrementando el canto útil de la pieza, pues para resistir un determinado momento de cálculo, cuanto mayor sea el brazo mecánico menor será la fuerza de compresión ejercida en el hormigón (Figura 2.8). Esto conduce a secciones con baja cuantía de armadura de tracción (cuantía infracrítica).

a) Increasing the effective depth of the piece, since, to withstand a given design moment, the greater the lever arm the smaller the compression force placed on the concrete (Figure 2.8). This leads to sections with a low tensile reinforcement ratio (undereinforce sections).

Figura 2.8 Influencia del canto en la ductilidad de la sección Influence of the effective depth of the section in the ductility

b) Disponiendo una armadura de compresión, que absorba parte de las compresiones del hormigón (Figura 2.9).

b) Providing for compression reinforcement, to absorb part of the compression stress on the concrete (Figure 2.9).

19 Figura 2.9 Influencia de la armadura de compresión en la ductilidad de la sección Influence of the compression reinforcement of the section in the ductility

c) Aumentando la anchura del bloque comprimido de la pieza, con lo que se puede reducir drásticamente la profundidad del bloque comprimido y alcanzar curvaturas últimas muy elevadas (Figura 2.10).

c) Increasing the width of the compressed block in the piece, to be able to drastically reduce the depth of the compression block and attain very high curvatures (Figure 2.10).

Figura 2.10 Influencia del tipo de sección en la ductilidad de la sección Influence of the width of the compressed block in the ductility

2- Aumentando la resistencia y la capacidad de deformación última del hormigón La capacidad resistente y la deformación última del hormigón pueden incrementarse confinándolo transversalmente, es decir, coaccionando la deformación debida al efecto Poisson para generar un estado triaxial de compresiones (Figura 2.11). Ello se consigue mediante la colocación de una cuantía suficiente de arma-

2- Increasing the concrete strength and ultimate deformation capacity Concrete strength and ultimate deformation capacity can be increased by confining the members transversally, i.e., constraining transverse deformation due to Poisson effect to generate a triaxial compression state (Figure 2.11). This is accomplished by providing for a sufficient ratio of longitudinal and transverse

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2 fc Hormigón confinado

TENSIÓN DE COMPRESIÓN

TENSIÓN DE COMPRESIÓN COMPRESSION STRESS

fcc

Rotura de los cercos

Hormigón no confinado

fco

Ec Hormigón del recubrimiento

εc

εsp εcc

εcu

εc

DEFORMACIÓN COMPRESIÓN STRAIN DEFORMACIÓN DE COMPRESIÓN DECOMPRESSION

Figura 2.11 Diagrama tensión-deformación (σ-ε) del hormigón confinado Stress-strain (σ-ε) relationship for confined concrete

Figura 2.12 Disposición de la armadura transversal Some forms of the transverse reinforcement

duras longitudinal y transversal adecuadamente dispuestas para que sean efectivas, tal como indica la Figura 2.12. De acuerdo con la Instrucción de Hormigón Estructural, EHE, el parámetro fundamental que define el grado de confinamiento, es la cuantía mecánica volumétrica de confinamiento, ωv, definida por la expresión Wsc fyd ωv = —— —– Wc fcd siendo Wsc el volumen de armadura de confinamiento Wc el volumen de hormigón confinado fyd el límite elástico de cálculo del acero fcd la resistencia de cálculo del hormigón confinado en compresión, que para cargas estáticas puede obtenerse por la ecuación c [2] f ccd = 0,85 · fcd · (1 + 1,6· α·ωv)

reinforcements, suitably arranged to be effective, as specified in Figure 2.12. Pursuant to the Spanish Code on Structural Concrete, EHE, the key parameter that defines the degree of confinement is the volumetric ratio of confinement reinforcement, ωv, defined as

El parámetro α viene definido en la Figura 2.13.

Parameter α is defined in Figure 2.13.

COEFICIENTE

Wsc fyd ωv = —— —– Wc fcd where Wsc is the volume of confinement reinforcment Wc is the volume of confined concrete fyd is the design yield strength of the steel fcd is the design compression strength of the confined concrete, which for static loads may be found from the following expression c f ccd = 0.85 · fcd · (1 + 1,6·α·ωv) [2]

PARAMETER

Figura 2.13 Factor α de confinamiento, según la EHE Parameter α of confinement of concrete, according to EHE

No obstante, la disposición de una cuantía alta de armadura de tracción y la presencia de un esfuerzo axil de compresión aumentan las compresiones en el hormigón y tienen un efecto fragilizador en el tipo de rotura.

Nonetheless, the use of a high tensile reinforcement ratio and the presence of axial compression increase the compression on the concrete and render failure more brittle.

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2 3- Disponiendo armaduras de acero con características especiales de ductilidad En efecto, como se verá en el apartado siguiente, la curvatura última de una sección y, por tanto su ductilidad, dependen, sobre todo para una cuantía baja de armadura, de la deformación última del acero. Por ello, el uso de aceros con características especiales de ductilidad (B400SD y B500SD), que tienen una deformación última muy superior a la de los de ductilidad media y baja, permitirá aumentar la curvatura última y la ductilidad de la sección, así como reducir el rango de cuantías mecánicas de las armaduras, o la profundidad del bloque comprimido. En el Anejo A se muestran las especificaciones de los aceros con características especiales de ductilidad.

3- Providing for special ductility steel reinforcement bars Indeed, as discussed in the following section, particularly when the reinforcement ratio is low, the ultimate section curvature and therefore ductility depend on ultimate steel strain. For this reason, the use of special ductility steel (B400SD and B500SD), which has a much higher ultimate strain than medium and low ductility steel, will provide for an increase in the ultimate curvature and section ductility. The specifications of special ductility steel can be found in Annex A. 2.5. Design of sections under Ultimate Limit State conditions. Normal stresses 2.5.1.Relative depth of the neutral axis, x/d

2.5. Dimensionamiento de secciones en Estados Límite Últimos. Tensiones normales 2.5.1. Profundidad relativa de la fibra neutra, x/d

The rectangular (for reasons of simplicity) reinforced concrete section in Figure 2.14, shows the force and strain diagrams for Ultimate Limit State conditions under uniaxial flexuralcompression stress.

Sea la sección rectangular (por simplicidad) de hormigón armado de la Figura 2.14, en la que se observan los diagramas de fuerzas y de deformaciones producidos en el Estado Límite Último por una solicitación de flexocompresión recta.

Figura 2.14 Tensiones y deformaciones en Estado Límite Último Force and strain diagrams for Ultimate Limit State conditions under uniaxial flexural and compression stress

[3]

Establishing sectional equilibrium for his member and taking account of the stress-strain diagrams at failure yields the following expressions [3] Nd = Cc + Cs + T

[4]

h Md + Nd · d – — = Nd · e = 2 = Cc ·(d – λ · x) + Cs· (d – d′)

Estableciendo el equilibrio seccional y teniendo en cuenta los diagramas tensióndeformación en rotura, se tiene Nd = Cc + Cs + T

h Md + Nd · d – — = Nd · e = 2 = Cc ·(d – λ · x) + Cs· (d – d′) siendo e la excentricidad del esfuerzo axil

Md h e = —– + d– — Nd 2 El bloque de compresiones en el hormigón

where e is eccentricity of the axial force

Md h e = —– + d– — Nd 2

[4]

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2 puede expresarse como: Cs = ψ · fcd · b · x

The concrete compression block may be expressed as follows [5]

siendo x la profundidad de la fibra neutra ψ un factor que depende de la deformación de rotura por flexión del hormigón, εcu; si se adopta el diagrama parábola-rectángulo y la discusión se restringe a los dominios de deformación 3, 4 y 4a, εcu = 0,0035 y ψ = 0,688, siempre que fck ≤ 50 MPa. En cambio si en rotura se adopta el diagrama rectangular, la profundidad de la fibra neutra y = 0,8·x, y el bloque de compresión Cc= 0,85·fcd·b·y = 0,85·0,8·fcd·b·x = 0,68·fcd·b·x. La compresión en la armadura comprimida es su capacidad mecánica, pues si el hormigón está en rotura (εc = εcu = 0,0035), la armadura se ha plastificado (ε’s ≥ 0,002)

Cs = A′s · σ′s = A′s · f′yd

T = As · σs = As · f yd

where x is the depth of the neutral axis ψ is a factor that depends on the concrete ultimate strain, εcu; if a parabola-rectangle diagram is adopted and the discussion is restricted to deformation domains 3, 4 and 4a, εcu= 0.0035 and ψ = 0.688, providing fck ≤ 50 MPa. If, on the contrary, a rectangular diagram is adopted, the depth of the neutral axis is y = 0.8·x, and the compression block Cc=0.85·fcd·b·y= 0.85·0.8·fcd·b·x = 0.68·fcd·b·x. The compressive stress on the compression reinforcement is equal to its capacity, because by the time the concrete fails (εc= εcu = 0.0035), the reinforcement has yielded (ε’s ≥ 0.002) Cs = A′s · σ′s = A′s · f′yd

[6]

The force in the tensile reinforcement for ductile failure, i.e, for x ≤ xlim, is

[7] T = As · σs = As · f yd

Con estas consideraciones, el equilibrio de fuerzas se convierte en Nd = ψ ·fcd · b · x + A′s · f′yd – As · f yd

[5]

[6]

La fuerza de tracción de la armadura, si la rotura es dúctil, es decir, para x ≤ xlím, es

Cs = ψ · fcd · b · x

[7]

Given these considerations, the equilibrium of forces can be expressed as

[8] Nd = ψ ·fcd · b · x + A′s · f′yd – As · f yd

[8]

Si transformamos esta ecuación en adimensional, dividiendo por la capacidad mecánica del hormigón, Uc = fcd·b·d se tiene

Dividing by the mechanical capacity of the concrete section, Uc = fcd·b·d, the resulting dimensionless equation is

x νd = ψ · — + ω′ – ω d

x vd = ψ · — + ω′ – ω d

siendo

[9]

Nd νd = ———— el axil reducido o adimensional fcd · b · d la cuantía mecánica de armadura As·fyd ω = ———— de tracción fcd · b · d A′ s·f′ yd la cuantía mecánica de armadura ω′ = ———— fcd · b · d de compresión Con ello, la profundidad relativa de la fibra neutra, x/d (suponiendo que fyd = fyd’) es x νd + ω – ω′ νd + ω – ω′

[9]

where Nd νd = ———— is the reduced or dimensionless fcd · b · d axial force is the mechanical ratio of tensile As·fyd ω = ———— reinforcement fcd · b · d A′ s·f′ yd is the mechanical ratio of comω′ = ———— fcd · b · d pression reinforcement From the above, the relative depth of the neutral axis, x/d (assuming fyd = f’yd )is

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2 x νd + ω – ω′ νd + ω – ω′ — = ————– = ———–— = d ψ 0.688

— = ————– = ———–— = d ψ 0,688

fyd =1,453· νd + (ρ – ρ′) · —– fcd

[10]

ρ y ρ’ representan las cuantías geométricas de tracción y compresión, respectivamente. Esta expresión indica que la profundidad de la fibra neutra aumenta con el esfuerzo axil y con la cuantía mecánica de tracción, y disminuye con la cuantía mecánica de compresión o, bien, que aumenta con νd y con la resistencia del acero y disminuye con ρ-ρ’ y con la resistencia del hormigón. El factor ψ para hormigones de hasta 50 MPa de resistencia a compresión es prácticamente constante. 2.5.2. Curvatura última

ε εs χu = —c = ——

[11]

d–x

[10]

ρ and ρ’ represent the geometrical tensile and compression ratios, respectively. This expression indicates that the depth of the neutral axis increases with axial compressive force and the mechanical ratio of tensile reinforcement, and decreases with the mechanical ratio of compression reinforcements or, in other words, that it increases with νd and steel strength and decreases with ρ-ρ’ and concrete strength. The ψ factor is practically constant for concrete with compression strength of up to 50 MPa.

Ultimate section curvature, χu, can be computed from the following formulas

ε εs χu = —c = —— x

o, en forma adimensional

εc

εs

x — d

x 1–— d

θu = χu · d = –— = ——–

εcu 0,0035 θu = χu · d = –— = ——–— x — d

[12]

[13]

x 1–— d

εc εs θu = χu · d = –— = ——– x — d

x 1–— d

[14]

Ambas curvas se muestran en la Figura 2.15, en la que se observa que: - Hay un pico, que corresponde a la rotura

[12]

When failure occurs because the concrete under compression reaches the limit state before the steel subjected to tensile stress reaches its ultimate strain (εs ≤ εsu), dimensionless ultimate curvature, θu, may be expressed as follows:

εcu 0.0035 θu = χu · d = –— = ——–—

En cambio, si la sección rompe por deformación excesiva del acero traccionado antes de que el hormigón en compresión haya llegado a su deformación de rotura (εc ≤ εcu), la curvatura última adimensional viene definida por

εsu θu = χu · d = ——–

[11]

d–x

or, dimensionlessly

Cuando la rotura se produce por agotamiento del hormigón comprimido, antes de que el acero en tracción haya alcanzado su deformación última (εs ≤ εsu), la curvatura última adimensional, θu, puede expresarse por

x — d

2.5.2. Ultimate curvature

La curvatura última de una sección, χu, puede calcularse por las fórmulas

fyd =1.453· νd + (ρ – ρ′) · —– fcd

x — d

[13]

On the contrary, if the section fails because of overstraining of the steel under tensile stress before the concrete in compression reaches its ultimate strain (εc ≤ εcu), dimensionless ultimate curvature is defined as follows

εsu θu = χu · d = ——– x 1–— d

[14]

Both curves are shown in Figure 2.15, where it is noted that:

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2 simultánea del hormigón en compresión por aplastamiento (εc = εcu) y del acero en trac-

Curvatura última adimensional ( u)

Dimensionless ultimate curvatura ( u)

ción (εs = εsu) por deformación excesiva. Lógicamente, cuanto mayor sea deformación última del acero, mayor será la curvatura pico. - En la rama ascendente (agotamiento del acero), la curvatura es directamente proporcional a la deformación última del acero, εsu. Se trata, pues, de una zona en la que la ductilidad del acero es de especial importancia. - En la rama descendente (agotamiento del hormigón), la curvatura es directamente proporcional a la deformación última del hormigón, εcu, aunque ésta se haya considerado aproximadamente constante en [13], lo que pone de manifiesto el interés de confinar adecuadamente el hormigón comprimido.

- There is a peak corresponding to the simultaneous crushing failure of the concrete (εc = εcu) and failure of the steel under tensile stress due to overstraining (εs = εsu). Logically, the greater the ultimate strain of the steel, the greater the peak curvature. - On the ascending branch (steel limit state), curvature is directly proportional to ultimate steel strain, εsu. In this zone, then, steel ductility is of particular importance. - On the descending branch (concrete crushing), curvature, although regarded to be approximately constant in expression [13], is directly proportional to ultimate concrete strain, εcu, providing an indication of the importance of suitably confining the compressed concrete.

Profundidad relativa de la fibra neutra (x/d) Relative depth of the neutral axis (x/d)

Figura 2.15 Curvatura última Ultimate curvature

2.5.3. Momento último El momento de agotamiento de la sección, Nd·e ó Md, puede expresarse por (suponiendo que la armadura en la zona de compresión haya plastificado) Nd · e = Md = ψ · fcd · b · x · (d – λ · x) + + A′s ·f′yd · (d – d′)

[15]

siendo λ·x la distancia de la resultante de las compresiones en el hormigón a la fibra más comprimida de la sección. En los dominios de deformación 3, 4 y 4a, adoptando para la deformación en la fibra más comprimida el valor εcu = 0,0035, se obtiene λ = 0,416 y ψ = 0,688, como se dijo anteriormente. El momento último adimensional, dividiendo la ecuación [15] por Uc·d= fcd·b·d2, resulta x

d′

2.5.3. Ultimate moment The ultimate moment of a section, Nd·e or Md, can be expressed (assuming that the reinforcement in the area subjected to compression has yielded) as follows Nd · e = Md = ψ · fcd · b · x · (d – λ · x) + + A′s ·f′yd · (d – d′)

[15]

where λ·x is the distance from the resultant of the compression forces on the concrete to the fibre taking the greatest compression stress in the section. In deformation domains 3, 4 and 4a, if a value of 0.0035 is adopted for εcu for the strain on the fibre taking greatest compression, then λ = 0.416 and ψ = 0.688, as noted above. For the dimensionless ultimate moment, dividing equation [15] by Uc·d= fcd·b·d2, gives

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x x d′ = 0.688· — 1 – 0.416 — + ω′ 1 – — d d d x x d′ µd = ψ · — 1 – λ — + ω′ 1 – — = d d d

x x d′ = 0,688· — 1 – 0,416 — + ω′ 1 – — d d d µd = ψ · — 1 – λ — + ω′ 1 – — = d d d

[16]

where

siendo Nd · e Md µd = ——–—— = ——–—— 2 fcd · b · d fcd · b · d2

el momento reducido o adimensional

2.6. Dimensionamiento seccional con ductilidad prefijada Generalmente, las secciones de hormigón armado se dimensionan comparando el momento de cálculo, Md, con uno de referencia, llamado momento límite, Mlím, que es el máximo que puede resistir la sección sin armadura de compresión. Dicho momento, aumenta con el valor de x/d (Figura 2.16) como se observa de la ecuación parabólica que lo define:

is the reduced or dimensionless moment.

2.6. Design of sections with pre-established ductility As a general rule, reinforced concrete sections are designed by comparing the design moment, Md, to a reference value known as the limit moment, Mlim, which is the maximum moment that the section can take without compression reinforcement. That moment increases with the value of x/d (Figure 2.16) as will be seen from the parabolic equation that defines it

Profundidad, x/d

x x x x µd = ψ · — 1 – λ — = 0.688· — 1 – 0.416 — [17] d d d d

Momento límite adimensional, µd Dimensionless limit moment, µd

x x x x µd = ψ · — 1 – λ — = 0,688· — 1 – 0,416 — [17] d d d d

Nd · e Md µd = ——–—— = ——–—— fcd · b · d2 fcd · b · d2

Depth, x/d

Figura 2.16 Momento límite adimensional en función de la profundidad relativa, x/d Dimensionless limit moment versus dimensionless depth of the neutral axis

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2 Normalmente se fija la profundidad relativa máxima, x/d, para que la rotura no sea frágil, denominada profundidad límite.

x — d

1 1 = ———–— = ———————– [18] εyd fyk lím 1+ ——— 1+ —————— 0,0035 γd · Es · 0,0035

The relative maximum depth, x/d, is usually fixed to ensure non-brittle failure; known as the limit depth, it is expressed as follows:

x — d

1 1 = ———–— = ———————– [18] εyd fyk lim 1+ ——— 1+ —————— 0.0035 γd · Es · 0.0035

Para el acero de calidad B400SD, εyd= 400/(1,15·200.000) = 0,00174 y (x/d)lím = 0,668. Sustituyendo estos valores en la ecuación [17] se obtiene el valor del momento adimensional µlím = 0,332.

Fo r B 4 0 0 S D q u a l i t y s t e e l , ε yd = 400/(1.15·200,000) = 0.00174 and (x/d)lim = 0.668. Substituting these values in equation [17] results in a value of 0.332 for the dimensionless moment µlim.

De la misma forma, en el acero de calidad B500SD, εyd = 500/(1,15·200.000) = 0,00217 y

(x/d)lím = 0,617 y µlím = 0,316.

Similarly, for B500SD quality steel, εyd = 500/(1.15·200,000) = 0.00217, (x/d)lim = 0.617 and µlim = 0.316.

Siempre que se verifique que Md < Mlím, no hará falta armadura de compresión, por razones de cálculo, siendo entonces x/d < (x/d)lím.

Wherever Md < Mlim, no compression reinforcement will be needed for reasons of resistance, whereby x/d < (x/d)lim.

El dimensionamiento de una sección se realiza despejando x/d de la ecuación de momentos y sustituyéndola en la de fuerzas, de la manera siguiente

Sections are dimensioned by solving for x/d in the moment equation and substituting this value in the force equation, as follows

x — = 1,20 · 1 – 1 – 2,42 · µd d

[19]

x — = 1.20 · 1 – 1 – 2.42 · µd d

x ω = ψ — – νd = d

= 0,826· 1 – 1 – 2,42 · µd – νd ; ω′ = 0 [20] En cambio, si Md > Mlím, se fija un valor de x/d = (x/d)lím, de la ecuación de momentos se despeja decir

ω’ y con la de fuerzas se obtiene ω, es µ –µ d′ 1– — d

d lím ω′ = ———–

x ω= ψ· — d

+ ω′ – νd = 0,460 + ω′ – νd lím

(Acero B400SD)

x ω= ψ· — d

(Acero B500SD)

= 0.826· 1 – 1 – 2.42 · µd – ν ; ω′ = 0 [20]

If, on the contrary, Md > Mlim, the value of x/d is fixed at (x/d)lim, the moment equation is sol-

ved for ω’ and tion, i.e.

ω is found from the force equaµ –µ d′ 1– — d

d lim ω′ = ———–

[21]

x ω= ψ· — d

+ ω′ – νd = 0.460 + ω′ – νd lim

(B400SD steel)

+ ω′ – νd = 0,424 + ω′ – νd lím

[19]

x ω= ψ· — d

(B500SD steel)

+ ω′ – νd = 0.424 + ω′ – νd lim

[21]

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2 Si en lugar de recurrir a la comparación del momento de cálculo frente al momento límite (aquel para el cual la rotura es la crítica), se utiliza un momento asociado a una profundidad x*/d cualquiera, menor que la límite, se tendrá:

x* x* µd* = ψ · — · 1 – λ — d d

and ’ y ’ Cuantías mecánicas,

x* x* µd* = ψ · — · 1 – λ — d d

[22]

En este caso, siguiendo la misma metodología anterior, pero utilizando µ* en lugar de µlím, se pueden dimensionar las secciones de hormigón armado para un valor prefijado de x/d, que es equivalente a definir un nivel determinado de la ductilidad, en función del tipo de acero. La Figura 2.17 muestra un ábaco adimensional para el dimensionamiento de secciones rectangulares de hormigón armado sometidas a flexión simple, en función del valor x/d prefijado.

Technical ratio of tensile and compression reinforcement,

If instead of resorting to the comparison between the design moment and the limit moment (moment at which critical fracture occurs), the moment used is associated with any given depth x*/d, lower than the limit depth, the result is: [22]

In this case, following the same methodology as above but using µ* instead of µlim, reinforced concrete sections can be dimensioned for a pre-established x/d value, which is tantamount to defining a given level of ductility, depending on the type of steel used. Figure 2.17 shows a dimensionless chart to design rectangular reinforced concrete sections subjected to simple bending, for a given pre-established value of x/d.

Armadura de tracción Tensile reinforcement Armadura de compresión Compression reinforcement

Momento adimensional,

µd / Dimensionless moment, µd

Figura 2.17 Ábaco de dimensionamiento de secciones rectangulares con x/d prefijada Dimensionless chart to design rectangular reinforced concrete sections subjected to simple bending stress, for a given pre-established value of x/d

EJEMPLO Sea una sección rectangular de hormigón armado de dimensiones b = 0,40m, h = 0,60m, d = 0,54m, d’ = 0,06m. Los materiales son hormigón HA-30/B/20/IIa, y armaduras de acero con características especiales de ductilidad, de calidad B500SD. Los coeficientes de seguridad son γc =1,5 y γs = 1,15. Se trata de efectuar el dimensionamiento sabiendo que los esfuerzos de cálculo son Md = 700 kN·m y Nd = 0.

EXAMPLE Given a rectangular reinforced concrete section with the following dimensions: b = 0.40m, h = 0.60m, d = 0.54m, d’ = 0.06m, in which the materials used are HA-30/B/20/IIa concrete and B500SD quality special ductility steel bars and the safety coefficients are γc = 1.5 and γs = 1.15, design the section for a design bending moment of Md = 700 kN·m and axial load of Nd = 0.

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2 En primer lugar, se ha de obtener el momento solicitación relativo, µd 700 · 106

d µd = ————= ——————–= 0,30< µlím = 0,316

fcd · b · d2 30 —– · 400 · 5402 1,5

1) Dimensionamiento con x/d ≤ (x/d)lím Dado que en este caso µd < µlím, aplicando las ecuaciones [19] y [20], resulta

First, the relative moment, µd, must be found as follows 700 · 106

d µd = ————= ——————–= 0.30< µlim = 0.316

fcd · b · d2 30 —– · 400 · 5402 1.5

1) Dimensioning with x/d ≤ (x/d)lim Since in this case µd < µlim, applying equations [19] and [20], results in:

x — = 1,20 · 1 – 1 – 2,42 · 0,30 = 0,572 d

x — = 1.20 · 1 – 1 – 2.42 · 0.30 = 0.572 d

ω = 0,826 · 1 – 1 – 2,42 · 0,30 = 0,394

ω = 0,826 · 1 – 1 – 2.42 · 0.30 = 0.394

2) Dimensionamiento con x/d = (x/d)* = 0,45

2) Dimensioning with x/d = (x/d)* = 0.45

ω′ = 0

Para poder realizar una redistribución de momentos de, al menos, un 15%, de acuerdo con la EHE, x/d no ha de ser superior a 0,45 (dominio 3). Aplicando la ecuación [22]

x* x* µ* = ψ · — · 1 – λ — = d d

= 0,688 · 0,45·(1 – 0,416 · 0,45) = 0,2516 < µd Se puede comprobar que la armadura de compresión se plastifica (ε’s= 0,264%), obteniéndose las siguientes cuantías mecánicas de armadura de compresión, ω’, y de tracción, ω µ – µ* d′ 1–— d

0,30 – 0,2516 0,06 1 – —— 0,54

d ω′ = ——— = —————— = 0,0544

x* ω = ψ · — + ω′ – νd = 0,688 · 0,45 + 0,0544 = 0,364 d 3) Dimensionamiento con x/d = (x/d)* = 0,368

ω′ = 0

To redistribute moments by at least 15%, according to the EHE, x/d may not be over 0.45 (domain 3). Applying equation [22]

x* x* µ* = ψ · — · 1 – λ — = d d = 0.688 · 0.45·(1 – 0.416 · 0.45) = 0.2516 < µd

The compression reinforcement is observed to yield (ε's= 0.264%), and the following mechanical ratios are found for compression, ω’, and tensile, ω, reinforcements µ – µ* d′ 1–— d

0.30 – 0.2516 0.06 1 – —— 0.54

d ω′ = ——— = —————— = 0.0544

x* ω = ψ · — + ω′ – νd = 0.688 · 0.45 + 0.0544 = 0.364 d 3) Dimensioning with x/d = (x/d)* = 0.368

Para poder realizar una redistribución de momentos de, al menos, un 10%, de acuerdo con los criterios del Código Modelo CEB-FIP 1990, x/d no ha de ser superior a 0,368 (dominio 3). Aplicando la ecuación [22]

To redistribute moments by at least 10%, according to the criteria set down in CEB-FIP Model Code 1990, x/d may be no higher than 0.368 (domain 3). Applying equation [22]

x* x* µ* = ψ · — · 1 – λ — = d d

= 0,688 · 0,368·(1 – 0,416 · 0,368) = 0,2144 < µd

= 0.688 · 0.368·(1 – 0.416 · 0.368) = 0.2144 < µd

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2 En este caso de nuevo se plastifica la armadura de compresión (ε's= 0,244%), obteniéndose las siguientes cuantías mecánicas de armadura de compresión, ω’, y de tracción, ω: µ – µ* d′ 1–— d

0,30 – 0,2144 0,06 1 – —— 0,54

d ω′ = ——— = —————— = 0,0963

x* ω= ψ · — + ω′– νd = 0,688·0,368+ 0,0963= 0,3495 d

Here also, the compression reinforcement yields (ε's= 0.244%), and the following ratios

are found for compression, ω’, and tensile, ω reinforcements µ – µ* d′ 1–— d

0.30 – 0.2144 0.06 1 – —— 0.54

d ω′ = ——— = —————— = 0.0963

x* ω= ψ· — + ω′– νd = 0.688·0.368+ 0.0963= 0.3495 d

En el primer caso se observa que aunque no hace falta armadura de compresión por razones de cálculo, se debe disponer de una cuantía mínima como armadura de montaje y para respetar la cuantía geométrica mínima establecida en la Tabla 42.3.5 de la EHE. Con este fin se necesitan al menos 2 φ12, que representan una cuantía mecánica ω = 0,0228.

It will be observed in the first case that whilst according to the engineering no compression reinforcement is needed, a minimum ratio of assembly reinforcement must be used to honour the minimum geometrical ratio established in EHE Table 42.3.5. This calls for at least two 12-mm bars, which represent a mechanical ratio of ω = 0.0228.

En los demás casos al limitar la profundidad x/d a valores menores que (x/d)lím, debe reducirse el termino ω-ω’.

In all other cases, as depth x/d is reduced to values of less than (x/d)lim, the term ω-ω’ must also be reduced.

La cuantía mecánica total ω+ω’ en los apartados 2) y 3) es de 0,4184 y 0,4458, que representan incrementos del 0,38% y 6,96%, respectivamente respecto al 1). Sin embargo el interés de lo hasta aquí expuesto no se debe analizar sólo como un problema estrictamente económico (de ahorro de acero), porque se trata de soluciones no comparables entre sí desde el punto de vista de la ductilidad.

The total mechanical ratios ω+ω’ in sections 2) and 3) amount to 0.4184 and 0.4458, for increases of 0.38% and 6.96%, respectively over section 1). Nonetheless the foregoing should not be viewed from a strictly financial perspective (savings on steel) only, because the solutions are not comparable from the standpoint of ductility.

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3. COMPORTAMIENTO Y ANÁLISIS DE LAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO EN ESTADO LÍMITE ÚLTIMO 3.1. Comportamiento bajo carga creciente hasta rotura de estructuras de hormigón armado En las estructuras isostáticas, para cualquier nivel de solicitación, los esfuerzos de cada sección pueden obtenerse únicamente por consideraciones de equilibrio, a partir de las cargas actuantes, de las reacciones en los apoyos y de la geometría de la estructura, sin que en el valor de los mismos intervengan las consideraciones de compatibilidad. Los esfuerzos que se obtienen no dependen del estado de los materiales (fisurado, plastificado, etc.) y son proporcionales a las cargas aplicadas, es decir, que no se produce la redistribución de los esfuerzos. En las estructuras hiperestáticas, sin embargo, la distribución de los esfuerzos depende de la variación longitudinal de la rigidez y ésta, a su vez, del estado tenso-deformacional de los materiales. Las secciones más rígidas tienden a absorber más solicitación que las menos rígidas. Es decir, cuando una sección se fisura, al perder rigidez, recibe, frente a los incrementos de carga, menores esfuerzos que si no se hubiera fisurado. Esto mismo, pero mucho más acusado, se produce cuando una sección se plastifica, pues su rigidez prácticamente se anula y no puede recibir incremento alguno de la solicitación. Por ello para mantener el equilibrio, los esfuerzos tienen que aumentar en las secciones con mayor rigidez, fenómeno conocido como redistribución de esfuerzos. Para ilustrar este fenómeno, consideremos una viga biempotrada de longitud l, sometida a una carga uniformemente distribuida, monótonamente creciente hasta rotura, de valor p kN/m, armada de modo que el momento positivo máximo sea igual a los momentos negativos máximos que puede absorber, tal como indica la Figura 3.1. La forma del diagrama momento-curvatura de la sección transversal más solicitada se representa simplificadamente en la Figura 3.2. La Figura 3.3 muestra la evolución de los momentos flectores en las secciones de apoyo, MA y en la de centro de vano, MC, en valor absoluto, en función de la carga p. Las líneas de trazos indican la solución elástica-lineal del

3. BEHAVIOUR AND ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES UNDER ULTIMATE LIMIT STATE CONDITION 3.1. Behaviour of reinforced concrete structures under increasing loads up to failure For any level of load in statically determinate structures, the forces on each section can only be obtained by computing the equilibrium, for the loads involved, between the reactions in the supports and structure geometry; no account should be taken of compatibility considerations in these calculations. The internal forces found do not depend on the state of the materials (cracked, yielded, etc.) and are proportional to the loads applied, i.e., there is no moment redistribution. In statically indeterminate structures, by contrast, moment distribution depends on the longitudinal variation in stiffness and this, in turn, on the stress-strain relationships of the materials. The most rigid sections tend to absorb more forces than the less rigid ones. In other words, when a section cracks, its stiffness declines and it takes smaller moments under increasing loads than it would have had it not cracked. This also occurs, but much more intensely, when a section becomes plastic, since its stiffness becomes practically nil and it is unable to receive any further increase in stress. To maintain equilibrium, therefore, the more rigid sections must take larger moments, in a phenomenon known as moment redistribution. In order to illustrate this phenomenon, consider a fixed-ends beam of length l, subjected, until it eventually fails, to a uniformly distributed, monotonically increasing load with a p value of kN/m; beam reinforcement is designed so that the maximum positive moment is equal to the maximum negative moments that it can absorb, as shown in Figure 3.1. A simplified form of the moment-curvature diagram of the critical crosssection critical is given in Figure 3.2. Figure 3.3 shows the evolution of bending moments in the sections over the supports, MA, and the span or central section, MC, in absolute value and in terms of load p. The dashed lines indicate the linear elastic solution to the problem, according to which the moments in the support and central sections are pl2/12 y pl2/24,

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3 problema, según la cual los momentos en las secciones de apoyo y vano son, pl2/12 y pl2/24, respectivamente. Por otra parte, independientemente del estado de los materiales y para cualquier nivel de carga, se debe satisfacer el equilibrio entre las cargas, los esfuerzos y las reacciones. Es decir, aislando media viga y estableciendo el equilibrio, tal como indica la Figura 3.4, se debe cumplir siempre que la suma de los momentos de vano y apoyo sean iguales al momento isostático, pl2/8.

respectively. Moreover, regardless of the state of the materials and for any load level, the loads, moments and reactions must be in equilibrium. In other words, considering half the beam and establishing equilibrium, as shown in Figure 3.4, the sum of the span and support moments must always be equal to the statically determinate moment, pl2/8.

Figura 3.1 Viga biempotrada bajo carga uniforme Fix-ends beam subjected to a uniformly distributed, monotonously increasing load, p(kN/m)

Figura 3.2 Diagrama momento curvatura, M-χ, simplificado Simplified moment-curvature, M-χ, diagram

Figura 3.3 Evolución de los momentos flectores bajo carga creciente Evolution of deflection moment over the supports and central span sections in terms of load

Figura 3.4 Equilibrio de la semiviga Equilibrium of a half-beam

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3 Lo que sucede en la realidad es que inicialmente, bajo niveles reducidos de carga, la distribución de los momentos coincide sensiblemente con la calculada mediante un análisis elástico-lineal (tramos OA y OA’). Cuando la sección de apoyo, que es la más solicitada, alcanza el momento de fisuración, (punto A), pierde rigidez, y a partir de ese instante la relación carga-momento reduce su pendiente, a la vez que aumenta la del centro de vano, que recibe más carga para satisfacer el equilibrio (tramos AB y A’B’). Esto continúa hasta que la sección de centro de vano se fisura también (punto B’). Para hacer frente a los nuevos incrementos de carga, la distribución de momentos vuelve a parecerse a la elástica-lineal (tramos BC y B’C’). En el punto C la sección de apoyo plastifica (formación de rótula), su rigidez cae enormemente y apenas recibe momento flector, que es absorbido principalmente por la sección de centro de vano (tramos CD y C’D’). En D la sección de apoyo se agota, pues alcanza su momento último y, por tanto, la estructura al no poder resistir más carga, se considera que ha alcanzado su capacidad límite. 3.2. Carga última, redistribución de esfuerzos y reserva de resistencia en estructuras hiperestáticas Si observamos la Figura 3.3, la carga última de la estructura que predice el análisis elásticolineal viene dada por la intersección de la recta que representa el momento elástico en el apoyo con la horizontal M=Mu. Este valor, que llamamos Puel, es considerablemente menor que el de la carga última, Pu obtenida considerando un análisis no lineal. La diferencia entre ambos valores, es decir, ∆Pu = Pu - Puel se denomina reserva de resistencia por adaptación plástica de la estructura. Por otra parte, en el instante del agotamiento, los momentos de las secciones de apoyo y de vano son las ordenadas de los puntos D y D’ respectivamente, mientras que los obtenidos por un análisis elástico-lineal son las ordenadas de los puntos E y E’. Se observa que ME es sensiblemente igual que MD mientras que M’E es mucho menor que M’D. Para cada sección, la diferencia entre el momento dado por el análisis elásticolineal y el momento real actuante de agotamiento, ∆M, se conoce como redistribución de esfuerzos (∆MA = ME-MD; ∆MC = M’E-M’D).

What actually occurs is that initially, under low loads, the moment distribution concurs substantially with the distribution as calculated with linear elastic analysis (segments OA and OA’). When the support section, which is the one subjected to highest stress levels, reaches the cracking moment (point A), it becomes less rigid and from that instant on the load-moment relationship acquires a flatter slope while the central slope becomes steeper as it takes greater loads to maintain equilibrium (segments AB and A’B’). This continues until the span section also cracks (point B’). To accommodate further load increases, the moment distribution again appears to behave as predicted in linear elastic analysis (segments BC y B’C’). The support section becomes plastic at point C (hinge development), its stiffness plummets and it receives barely any bending moment, which is primarily absorbed by the central section (segments CD and C’D’). The section over the supports reaches the limit state at point D, when it takes its ultimate moment and therefore the structure, which can resist no further loading, is regarded to have reached its limit state capacity. 3.2. Ultimate load, moment redistribution and reserve capacity in statically indeterminate structures As Figure 3.3 shows, the ultimate structural load predicted by linear elastic analysis is defined as the intersection between the line representing the elastic moment acting on the support and the horizontal line M=Mu. This value, here denominated Puel, is substantially lower than the value of the ultimate load, Pu, obtained from non-linear analysis. The difference between the two values, ∆Pu = Pu - Puel is what is known as the plastic reserve capacity of the structure. Furthermore, when the limit state is reached, the moments in the support and mid-span sections are the ordinates at points D and D’, respectively, while those obtained by linear elastic analysis are the ordinates at points E and E’. ME is observed to be ostensibly equal to MD whereas M’E is much smaller than M’D. For each section, the difference between the moment found with linear elastic analysis and the actual limit state moment, ∆M, is known as moment redistribution (∆MA = ME-MD; ∆MC = M’E-M’D).

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3 En todo lo anterior se ha supuesto que la ductilidad es suficiente para que las secciones de apoyo, una vez que plastifican (formación de dos rótulas plásticas), son capaces de deformarse lo suficiente para que bajo incrementos posteriores de carga se pueda producir la plastificación de la sección de centro de vano (tercera rótula plástica), antes del agotamiento, es decir, que la estructura presenta una redistribución total de los momentos por haberse creado un mecanismo de colapso. Puede suceder, sin embargo, que la estructura se agote antes de que la sección de centro de vano plastifique, produciéndose en este caso una redistribución parcial, aunque la estructura tenga cierta ductilidad. Si en cambio, las secciones de apoyo no muestran capacidad de rotación alguna, por estar dimensionadas, por ejemplo con armadura supracrítica, o de baja ductilidad, los tramos CD y C’D’ serían muy cortos y la redistribución de los esfuerzos muy reducida, debiéndose, casi en su totalidad, al proceso previo de inicio y de propagación de las fisuras.

All of the above assumes that ductility is sufficient to enable the support sections, once two plastic hinges have developed to deform far enough for the mid-span section, under further load increases, to yield as well (third plastic hinge) prior to reaching the failure; in other words, there is total moment redistribution in the structure as a result of the development of a collapse mechanism. Nonetheless, the structure may reach its ultimate capacity before the mid-span section becomes plastic, leading to only partial redistribution, even where the structure is moderately ductile. If, on the contrary, the support sections have no rotation capacity whatsoever, because, for instance, they are over-reinforced or with low ductility, segments CD and C’D’ would be very short and moment redistribution, which would be very restricted, would be due nearly entirely to the cracking process, a prior development.

34 DISPOSICIÓN DE LAS ARMADURAS Y FISURACIÓN

PLACEMENT OF THE REINFORCEMENT AND CRAKING OF THE BEAM

LEY DE MOMENTOS FLECTORES

DEFORMACIONES EN LA ARMADURA DE TRACCIÓN

BENDING MOMENT CURVE

DEFLECTION OF THE TENSILE REINFORCEMENT CURVE

Figura 3.5 Rótula plástica Plastic hinge

3.3. Rótula plástica. Rotación plástica y efectos estructurales

3.3. Plastic hinges. Plastic rotation and structural effects

Una rótula plástica es un concepto teórico que idealiza el comportamiento de una sección de hormigón en la que la armadura de tracción ha alcanzado la plastificación y puede girar bajo incrementos de carga sin apenas aumentar el momento. La rótula plástica suele tener una longitud finita, lp, situada en la sección de momento máximo, tal como indica la Figura 3.5, y depende, entre otros factores, de :

Plastic hinge is a theoretical concept that idealises the behaviour of a concrete section in which the tensile reinforcement has yielded and may rotate under an increasing load with barely any rise in moment. The plastic hinge usually has a finite length, lp, located in the critical section as shown in Figure 3.5, and depends, among others, on:

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3 - La forma de la ley de los momentos flectores. Las rótulas plásticas abarcan una longitud mayor si disminuye el gradiente de la ley de momentos. Por esta razón, las rótulas plásticas debidas a cargas uniformemente distribuidas suelen tener mayor longitud que las correspondientes a cargas puntuales, y las que aparecen en los vanos son mayores que las de los apoyos. - La presencia de los esfuerzos cortantes concomitantes con el momento flector. El esfuerzo cortante, al provocar una inclinación de las fisuras, incrementa la tensión de la armadura principal de flexión a una cierta distancia del punto de momento máximo (decalaje), aumentando con ello la plastificación en otras secciones con un momento menor que el plástico en flexión. - El diámetro de la armadura de tracción. La pérdida de adherencia producida por los altos niveles de las tensiones tangenciales tiene un efecto similar al caso anterior, extendiendo la zona plastificada a puntos adyacentes. El uso de barras de menor diámetro es de esperar que incremente la adherencia acerohormigón y, en consecuencia, el efecto de la tensorrigidez, y disminuya las longitudes de transferencia, provocadas por los aumentos de tensión de las armaduras situadas en las secciones fisuradas, y de la rótula plástica. Sin embargo, puede suceder lo contrario si, por ejemplo, se produce la fisuración longitudinal del recubrimiento a partir de un determinado escalón de carga. Las barras de mayor diámetro necesitan mayores longitudes de anclaje y de la rótula plástica, que aumenta con el diámetro de la barra. Entre las expresiones empíricas para determinar lp, puede utilizarse la siguiente, propuesta por Priestley y Paulay lp = 0,08 · l + 0,022 · φ· fyd

[23]

siendo l la luz libre del elemento φ el diámetro menor de la armadura longitudinal principal de flexión en la zona plastificada fyd el límite elástico de cálculo de la armadura. El Eurocódigo EC-2 recomienda tomar, de forma simplificada, una longitud de la rótula plástica, lp, igual a 1,2 veces el canto total.

- The shape of the bending moment curve. Plastic hinges extend over a greater length if the slope of the moment curve tends to flatten. For this reason, plastic hinges due to uniformly distributed loads are generally longer than those formed in response to point loads and those over spans are longer than those over supports. - The presence of shear stress concomitant with the bending moment. Shear stress, which produces inclined cracking, increases the stress on the main flexural reinforcement at a certain distance from the point of maximum moment (shear lag), thereby increasing plastification in other sections taking a moment smaller than the plastic bending moment. - The diameter of the tensile reinforcement. The bond loss caused by high levels of stresses has an effect similar to the preceding case, extending from the plastic region to adjacent points. The use of bars with a smaller diameter would be expected to increase the steel-concrete bond and consequently the tensile-stiffness effect, while decreasing the lengths of both transfer - caused by the increased stress on the reinforcement located in the cracked sections – and the plastic hinge. However, the contrary occurs if, for instance, the cover begins to crack longitudinally when a certain load interval is reached. Bars with larger diameters call for longer anchorages and plastic hinges, which increase with bar diameter. A number of empirical expressions may be used to determine lp, one of which, proposed by Priestley and Paulay, is shown below lp = 0.08 · l + 0.022 · φ· fyd

[23]

where l is the clear span of the member φ is the smallest diameter of the main longitu dinal flexural reinforcement in the plastic region fyd is the reinforcement yield strength.

Eurocode EC-2 recommends a simplification consisting in taking the length of the plastic hinge, lp, to be 1.2 times the total depth.

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3 En la práctica, para las cuantías típicas de las vigas y de los soportes, la longitud, lp, oscila entre 0,75 y 1,5 veces el canto útil de la pieza. La rotación plástica es el giro producido al integrar la curvatura plástica, ∆χp, una vez formada la rótula plástica, entre las secciones extremas de dicha rótula, es decir lp

θpl = ∆χp(x) · dx

[24]

In practice, for the standard reiinforcement ratios used in beams and supports, the length lp ranges form 0.75 to 1.5 times the effective depth of the member. Plastic rotation is the rotation resulting from integrating the plastic curvature, ∆χp, after the plastic hinge is formed, between the sections bounding the hinge, i.e. lp

θpl = ∆χp(x) · dx

[24]

El efecto estructural de una rotación plástica en una estructura hiperestática es el mismo que el de una deformación impuesta, es decir, por una parte, desplazamientos y giros, y por otra, la aparición de los esfuerzos hiperestáticos necesarios para lograr la compatibilidad de deformaciones, que tienen una distribución longitudinal lineal entre los ejes de los apoyos. En efecto, en una viga continua de dos vanos iguales de luz l y de sección constante, con una rigidez elástica EI (Figura 3.6), al introducir una rotación impuesta de valor θ en un punto cualquiera situado a una distancia x del apoyo extremo, los giros en los extremos de la viga , si se produjeran libremente, serían

x θA = θ · 1 – — l

;

x θB = θ · — l

[25]

The structural effect of a plastic hinge in a statically indeterminate structure is the same as the effect of imposed deformation, i. e.: On the one hand, they produce displacements and rotation and on the other, the appearance of statically indeterminate forces required to reach strain compatibility, such secundary forces have a linear distribution along the longitudinal axis between the centrelines of the supports. Indeed, in a continuous beam spanning two equal bays with span length l, a constant section and elastic stiffness EI (Figure 3.6), when an imposed rotation with a value of θ is introduced at a point located at any distance x from the end support, the rotations at the ends of the beam, if unrestrained, would be

x θA = θ · 1 – — l

Figura 3.6 Viga continua con rotación plástica Continuous beam spanning with a imposed rotation

;

x θB = θ · — l

[25]

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3 Y para compatibilizarlos debe aparecer un momento hiperestático ∆M (en este caso es de signo negativo) cuyo valor es, igualando los giros en el apoyo central

For reasons of compatibility, a statically indeterminate moment ∆M (in this case with a negative value) must appear, whose value, where the rotations on the central support are equal, is:

x ∆M · l ∆M · l 3 · EI x θ · — – ——–= ——– ⇒ ∆M = – ——– · — · θ [26] l 3 · EI 3 · EI 2·l l

De forma análoga, si la rotación plástica es producida por un momento negativo, el momento hiperestático es positivo y, en el caso de que aparezca la rótula sobre la sección de apoyo central, valdría 3 · EI ∆M = ——– · θ 2·l

Similarly, if plastic rotation is caused by a negative moment, the statically indeterminate moment is positive and if the hinge is formed in the section over the central support, its value would be 3 · EI ∆M = ——– · θ 2·l

[27]

La superposición de las leyes de momentos elástica y debida a la rotación plástica, da lugar a la ley de momentos redistribuida, indicada en la Figura 3.7.

[27]

Superposition of the elastic moment and plastic hinge curves gives rise to the moment redistribution curve shown in Figure 3.7.

LEY ELÁSTICA ELASTIC MOMENT CURVE

ROTACIÓN PLÁSTICA PLASTIC ROTATION CURVE

LEY REDISTRIBUIDA MOMENT REDISTRIBUTION CURVE

Figura 3.7 Efecto estructural de una rotación plástica Structural effect due to a plastic hinge

3.4. Capacidad de rotación plástica de una sección de hormigón armado

3.4. Plastic rotation capacity of a reinforced concrete section

La capacidad de rotación plástica de una sección de hormigón armado está muy relacionada con la curvatura última y ésta, entre otras variables, con la profundidad relativa de la fibra neutra y con la ductilidad del acero.

The plastic rotation capacity of a reinforced concrete section is closely related to the ultimate curvature and this in turn is related, among other variables, to the relative depth of the neutral axis and steel ductility.

Numerosos ensayos realizados en los años 70, especialmente en Italia y Alemania, condujeron a proponer una curva que relaciona la capacidad de rotación plástica con la profundidad relativa de la fibra neutra, y que es muy parecida cualitativamente a la que hemos deducido teóricamente para la curvatura última (Figura 3.8).

A number of tests conducted in the seventies, particularly in Italy and Germany, led to proposing a curve that relates plastic rotation capacity to the relative depth of the neutral axis, which is very similar, qualitatively, to the expression theoretically deduced above for the ultimate curvature (Figure 3.8).

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Plastic rotation, ( pl)

Rotación plástica, ( pl)

Profundidad relativa de la fibra neutra (x/d) Relative depth of the neutral axis (x/d)

Figura 3.8 Capacidad de rotación plástica Plastic rotation capacity

No obstante, se ha comprobado que la capacidad de rotación plástica depende mucho, a igualdad del resto de las variables, de la ductilidad del acero, pues la deformación máxima de éste condiciona, entre otros, el valor pico de la curva de la Figura 3.8. Ello queda recogido en algunos códigos, que contemplan curvas diferentes en función de la ductilidad del acero. A modo de ejemplo, el Eurocódigo EC-2 considera dos curvas en función de que el acero sea de alta ductilidad (curva C) o de ductilidad normal (curva B), Figura 3.9. Análogamente el Código Modelo CEB-FIP 1990 (CM-90), recoge tres curvas distintas para aceros de ductilidad elevada, S, media, A, y reducida, B, Figura 3.10.

Nonetheless, plastic rotation capacity, like the other variables, has been shown to be highly dependent on steel ductility, since the maximum deformation of this material impacts the peak value of the curve in Figure 3.8, among others. This is reflected in some codes, which use different curves for different ductility grades of steel. By way of illustration, Eurocode EC-2 gives two curves, depending on whether high ductility steel (curve C) or standard ductility steel (curve B) is used: see Figure 3.9. Similarly, CEB-FIP Model Code 1990 (CM-90) considers three different curves for high, S, standard, A and low, B, ductility steel: see Figure 3.10.

Clase

Figura 3.9 Capacidad de rotación plástica según EC-2 Plastic rotation capacity according to Eurocode EC-2

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3 0,030

Plastic rotation, θpl

Rotación plástica, θpl

0,025

Tipo S

0,020

Tipo A 0,015 0,010

Tipo B 0,005

0,1

0,2

0,3

0,4

Profundidad de la fibra neutra, x/d

0,5

0,6

Depth, x/d

Figura 3.10 Capacidad de rotación plástica, según CM-90 Plastic rotation capacity, according to Model Code CM-90

3.5. Tipos de cálculo estructural: ventajas, limitaciones y condiciones para su aplicación Las condiciones que, en general, deben satisfacer los métodos de cálculo son: el equilibrio, la compatibilidad y la satisfacción del comportamiento tenso-deformacional de los materiales constituyentes. No obstante, la única condición exigible a todos los métodos es la del equilibrio. Los métodos de cálculo utilizables en general son cuatro, aceptados además por la Instrucción EHE: análisis lineal, análisis no lineal, análisis plástico y análisis lineal con redistribución limitada.

3.5. Types of structural analysis: advantages, limitations and conditions for application The conditions that, as a general rule, design methods should meet are: equilibrium, compatibility and suitability to the stress-strain behaviour of the constituent materials. Nonetheless, the only condition requisite to all methods is equilibrium. There are four generally accepted analysis methods, all approved by the EHE code: linear analysis, non-linear analysis, plastic analysis and linear analysis with limited redistribution.

a) Linear analysis a) Análisis lineal Se basa en la proporcionalidad entre las acciones y sus efectos (esfuerzos, reacciones y desplazamientos), como consecuencia de la linealidad en las hipótesis de partida. Es un método muy utilizado en el dimensionamiento ya que tiene la enorme ventaja de que no es necesario conocer a “priori” la cuantía de armadura de la estructura, pues las rigideces seccionales se basan únicamente en sus dimensiones y en el módulo de elasticidad del material. Incluso se admite su utilización para la comprobación de los esfuerzos a través de las secciones brutas. Se permite su uso para la obtención de los esfuerzos con los que comprobar los Estados

This method is based on the proportionality between actions (loads, imposed deformations) and effect (stresses, reactions and displacements) as a result of the initial assumption of linearity. It is a commonly used design method in which the enormous advantage is that it does not call for a prior knowledge of the reinforcement ratio of the structure, since sectional stiffness is based exclusively on the dimensions and modulus of elasticity of the material employed, using the gross sections for the calculation of forces. Its may also be employed to compute the internal forces for verifying serviceability and Ultimate Limit States, despite the fact that initially this method assumes linear-elastic beha-

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3 Límite de Servicio y Últimos, a pesar de que este método parte de las hipótesis de comportamiento elástico-lineal y de que no existe fisuración, que no responden al comportamiento real en las situaciones de agotamiento. Esta incoherencia teórica, sin embargo, no genera problemas de inseguridad.

b) Análisis no lineal Contempla la posibilidad de que el hormigón se fisure o de que las armaduras se plastifiquen. Este tipo de análisis requiere del conocimiento previo de las cuantías de armadura de la pieza y, por tanto, sólo se suele utilizar para efectuar las comprobaciones posteriores al dimensionamiento, aunque también puede realizarse el cálculo a través de un proceso de prueba y error, hasta lograr una disposición de armaduras coherente con los esfuerzos actuantes.

c) Análisis lineal con redistribución limitada

Parte de los resultados del análisis lineal para obtener una distribución de esfuerzos que tenga en cuenta los efectos de la plastificación de las secciones críticas. De esta forma, se pueden reducir los momentos en las secciones más solicitadas y aumentarlos en las menos, siempre que la solución obtenida cumpla con la condición de equilibrio. El campo de aplicación (estructuras traslacionales o intraslacionales) y la redistribución máxima permitida varían de unas Instrucciones a otras, como se verá más adelante.

d) Análisis plástico Admite la formación de las rótulas plásticas en vigas o placas y de los mecanismos de colapso. Con este método se obtienen los esfuerzos mediante planteamientos de equilibrio, si bien no siempre las secciones críticas tienen la capacidad suficiente de rotación plástica para alcanzar el mecanismo de colapso. Además, es preciso conocer el armado para evaluar el momento plástico en las zonas plastificadas y garantizar una ductilidad suficiente en las mismas. Se utiliza fundamentalmente en el cálculo de placas.

viour and the absence of cracking, neither of which reflects actual behaviour under limit state conditions. This theoretical inconsistency does not, however, detract from safety in any way.

b) Non-linear analysis This method envisions the possibility of concrete cracking or reinforcement yielding. This type of analysis calls for a prior knowledge of the reinforcement ratio in the member and is therefore usually only used for a posteriori design verification, although with a trial-anderror approach it can yield a reinforcement arrangement consistent with the forces involved.

c) Linear analysis with limited redistribution Taking the results of linear analysis as a starting point, this method purposes to find a stress distribution that takes account of the effects of plastification in critical sections. This allows for the reduction of moments on the most heavily loaded sections and the increase of moments on the least stressed sections, providing the solution obtained meets equilibrium conditions. The scope of application (sway frame and nonsway frame structures) and the maximum redistribution allowed vary from one code to another, as discussed below.

d) Plastic analysis This method accommodates the development of plastic hinges in beams or slabs and collapse mechanisms. Internal forces are computed from equilibrium-based approaches, although the critical sections do not always have sufficient plastic rotation capacity to reach the collapse mechanism. Moreover, the reinforcement ratio must be known in advance to evaluate the plastic moment in and guarantee sufficient ductility of the zones where plastification has taken place. It is the technique primarily used for analysis of slabs.

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4. CÁLCULO PRÁCTICO DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO CON REDISTRIBUCIÓN LIMITADA DE LOS ESFUERZOS

4. PRACTICAL ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE STRUCTURES WITH LIMITED MOMENT REDISTRIBUTION

4.1. Limited moment redistribution in various concrete codes.

4.1. Tratamiento de la redistribución limitada de los esfuerzos en las diversas normativas. Conclusiones y propuestas

The following is a comparative study of the approach to moment redistribution in CEB-FIP Model Code 1990, Eurocode EC-2, ACI Code and EHE Code, from which conclusions will be drawn and proposals put forward.

Abordamos aquí un estudio comparativo del tratamiento de la redistribución de esfuerzos que hacen el Código Modelo CEB-FIP 1990, el Eurocódigo EC-2, el Código ACI y la Instrucción EHE, y extraeremos conclusiones y propuestas al respecto.

4.1.1. CEB-FIP Model Code 1990 4.1.1. El Código Modelo CEB-FIP 1990 Moment redistribution can be applied only to flexural members and only where the equivalent slenderness ratio λ* does not exceed 15(2). The margin of redistribution allowed depends on the concrete strength, depth of the neutral axis, whether or not the structure is a sway frame and the type of steel, with a higher margin for high ductile steels, as shown in Figure 4.1.

La redistribución de los esfuerzos se puede aplicar sólo a las piezas sometidas a flexión si, además, la esbeltez equivalente λ* no es superior a 15(2). El margen de redistribución permitido depende de la resistencia del hormigón, de la profundidad de la fibra neutra, de si la estructura es o no traslacional, y del tipo de acero, siendo mayor en los aceros de alta ductilidad, tal como indica la Figura 4.1.

EHE

Aceros B 0,12

C 12

0,10

0,20

0,30

0,368

Aceros A y S (Translacional)

C 12

-C

0,10

0,20

0,30

Profundidad de la fibra neutra, x/d

0,45

EHE

Readaptación (%)

0,40

Depth, x/d

Profundidad de la fibra neutra, x/d

Readaptation (%)

5 0

-C

Readaptación (%)

Aceros A y S (Intranslacional) 0,248 0,152

Readaptation (%)

0,40

0,45

Depth, x/d

Figura 4.1 Redistribución plástica según el Código Modelo y EHE Plastic redistribution according to the Codes CM-90 and EHE (2) En un pórtico, la esbeltez equivalente se comprueba en el

(2) In a portal frame, equivalent slenderness is found for the

soporte más desfavorable desde el punto de vista de la carga y de la esbeltez, operando con la expresión

least favourable support from the standpoint of load and slenderness, from the following expression

siendo la esbeltez euleriana del soporte y la cuantía geométrica de la armadura longitudinal total del soporte.

where is the Eulerian slenderness of the support and the geometric ratio of the total longitudinal reinforcement in the support.

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4 Analíticamente, siendo δ el factor de redistribución o cociente entre los momentos redistribuido y elástico, el planteamiento es el siguiente:

Analytically, where δ is the redistribution factor or quotient between the redistributed and elastic moments, the approach is as follows:

a) Aceros de ductilidad alta o normal (S y A, respectivamente)

a) High or standard ductility steel (S and A, respectively)

x δ ≥ 0,44 + 1,25 · — d

Si 12 ≤ fck≤ 35 MPa

[28]

x δ ≥ 0.44 + 1.25 · — d

Si 12 ≤ fck≤ 35 MPa

[28]

x δ ≥ 0,56 + 1,25 · — d

Si 40 ≤ fck≤ 60 MPa

[29]

x δ ≥ 0.56 + 1.25 · — d

Si 40 ≤ fck≤ 60 MPa

[29]

La redistribución máxima permitida para pórticos intraslacionales y vigas continuas es del 25% (0,75 ≤ δ ≤ 1,0) y para pórticos traslacionales del 10%, (0,90 ≤ δ ≤ 1,0). b) Aceros de ductilidad reducida (B) x δ ≥ 0,75 + 1,25 · — d 0,90 ≤ δ ≤ 1,0

Si 12 ≤ fck≤ 60 MPa

The maximum redistribution allowed for nonsway frames and continuous beams is 25% (0.75 ≤ δ ≤ 1.0) while for sway frames the figure permitted is 10% (0.90 ≤ δ ≤ 1.0). b) Low ductility steel (B)

[30]

4.1.2. El Eurocódigo EC-2 (Borrador 2002)

x δ ≥ 0.75 + 1.25 · — d 0.90 ≤ δ ≤ 1.0

Si 12 ≤ fck≤ 60 MPa

[30]

4.1.2. Eurocode EC-2 (Draft 2002)

42 Como en el CM 90, la redistribución de los esfuerzos se puede llevar a cabo sin necesidad de verificar previamente la capacidad de rotación plástica de las secciones críticas, y sólo en los elementos sometidos, básicamente, a flexión. El margen de redistribución permitido depende de las mismas variables contempladas por el CM 90, más la deformación de rotura por flexión del hormigón, εcu. Analíticamente, asignando a δ el mismo significado que en el caso anterior, el planteamiento es el siguiente: a) Aceros de ductilidad alta (C)

As in code CM 90, moment redistribution may be performed without verifying the plastic rotation capacity of the critical sections, and only in members primarily subjected to bending. The redistribution margin allowed depends on the same variables considered in the CM 90, and on the concrete ultimate strain, εcu. Analytically, where δ is assigned the same meaning as in the preceding case, the approach is as follows:

a) High ductility steel (C)

x δ ≥ k1 + k2 · — ≥ 0,70 d

Si fck ≤ 50 MPa

[31]

x δ ≥ k1 + k2 · — ≥ 0.70 d

Si fck ≤ 50 MPa

[31]

x δ ≥ k3 + k4 · — ≥ 0,70 d

Si fck > 50 MPa

[32]

x δ ≥ k3 + k4 · — ≥ 0.70 d

Si fck > 50 MPa

[32]

b) Aceros de ductilidad normal (B)

b) Standard ductility steel (B)

x δ ≥ k1 + k2 · — ≥ 0,80 d

Si fck ≤ 50 MPa

[33]

x δ ≥ k1 + k2 · — ≥ 0.80 d

Si fck ≤ 50 MPa

[33]

x δ ≥ k3 + k4 · — ≥ 0,80 d

Si fck > 50 MPa

[34]

x δ ≥ k3 + k4 · — ≥ 0.80 d

Si fck > 50 MPa

[34]

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4 Los valores de k1, k2, k3, y k4 pueden ser diferentes de unos países a otros, aunque el EC-2 recomienda los siguientes valores, que para εcu = 0,0035 coinciden con los del CM 90:

εcu

The values of k1, k2, k3, and k4 may vary from one country to another, although EC-2 recommends the following values, which, for εcu = 0.0035, concur with the values set out in CM 90:

0,0014 k1 = 0,44; k2 = 1,25 · 0,6 + ——— ; 0,0014 k3 = 0,54; k4 = 1,25 · 0,6 + ———

εcu

0.0014 k1 = 0.44; k2 = 1.25 · 0.6 + ——— ;

0.0014 k3 = 0.54; k4 = 1.25 · 0.6 + ———

[35]

La redistribución máxima permitida es del 30 % (0,70 ≤ δ ≤ 1,0) si se utiliza acero de ductilidad alta o normal y del 20 % (0,80 ≤ δ ≤ 1,0) si el acero es de ductilidad baja.

The maximum redistribution allowed is 30 % (0.70 ≤ δ ≤ 1.0) if high or standard ductility steel is used and 20 % (0.80 ≤ δ ≤ 1.0) for low ductility steel.

El dimensionamiento de los soportes debe hacerse con los momentos obtenidos del análisis elástico-lineal del pórtico sin redistribución alguna.

Supports must be dimensioned with the moments obtained from linear elastic analysis of the portal frame, with no redistribution whatsoever.

4.1.3. El Código ACI (318-02)

4.1.3. Code ACI (318-02)

La redistribución de los esfuerzos sólo se puede aplicar a las vigas continuas y a las piezas sometidas a flexión de pórticos no traslacionales. El margen de redistribución permitido depende de la diferencia entre las cuantías geométricas de las armaduras de tracción y de compresión (ρ-ρ’) tal como se indica en la Figura 4.2. Analíticamente, el planteamiento es el siguiente: ρ – ρ′ (1 – δ )= 0,2 · (1 - –——) ; [36] ρb

Moment redistribution may only be applied to continuous beams and non-sway frames subjected to bending. The redistribution margin allowed depends on the difference between the tensile and compression reinforcement ratios (ρ-ρ’), as shown in Figure 4.2. Analytically, the approach is as follows:

ρ – ρ′ δ = 0,8 + 0,2 · ——— ρb

ρ – ρ′ δ = 0.8 + 0.2 · ——— ρb

;

(ρ – ρ′)≤ 0,5 ≤ ρb

ρ – ρ′ (1 – δ )= 0.2 · (1 - –——) ρb

1,00

l/d = 23 b/d = 1/5

fy 280 N/mm2 560

ρ−ρ´ ρb

( )

Curvas obtenidas en investigación

420 N/mm2

0,75

N/mm2

0,50 ACI 318-63

0,25

A PARTIR DE LA ACI 318-71

0 0

Figura 4.2 Capacidad de rotación plástica según el Código ACI Plastic rotation capacity, according to Code ACI

;

(ρ – ρ′)≤ 0.5 ≤ ρb

[36]

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4 siendo δ el factor de redistribución y ρb la cuantía crítica de la armadura de tracción, es decir aquélla para la que se produce la rotura crítica en flexión simple. Se puede obtener de la ecuación [10], haciendo ρ’= 0 y (x/d) = (x/d)lím; por ejemplo para un acero de calidad B500SD, un hormigón de fck = 30 MPa y un axil nulo, resulta ρb = 0,02.

reinforcement ratio producing balanced strain conditions, i.e., the reinforcement where critical failure occurs. It can be found from equation [10], making ρ’= 0 and (x/d) = (x/d)lim; for instance, for quality B500SD steel, concrete with f ck = 30 MPa and nil axial force, ρb = 0.02.

La redistribución máxima permitida es del 20%. Se observa que, conceptualmente, este planteamiento no difiere del de CM 90 y EC-2, habida cuenta de la relación entre x/d y de las cuantías geométricas de armadura expresadas en el apartado 2, aunque no tiene en cuenta la ductilidad del acero. No obstante, el límite superior de la redistribución permitida es inferior al de CM 90 y EC-2.

The maximum redistribution permitted is 20%. It will be noted that conceptually speaking, this approach is no different from the approach taken in CM 90 and EC-2, given the relationship between x/d and the reinforcement ratios set out in section 2 above, although the ACI code makes no provision for steel ductility. Nonetheless, the redistribution ceiling is lower than in CM 90 and EC-2.

4.1.4. Las Instrucciones españolas EHE y EFHE

where δ is the redistribution factor and ρb the

4.1.4. Spanish codes EHE and EFHE

Son aplicables a los dinteles de pórticos de edificación sensiblemente intraslacionales. Permiten una redistribución máxima del 15% del momento flector máximo en la sección crítica, limitando superiormente el valor de la profundidad relativa, x/d, a 0,45. Por otra parte, la Instrucción de Forjados Unidireccionales, EFHE, y su antecesora, EF-96, permiten considerar como envolvente de la ley de momentos flectores de cálculo, la que resulta de igualar, en valor absoluto, los momentos de vano y apoyo, sin necesidad de plantear alternancias de carga.

Under these codes, redistribution is applicable to ostensibly non-sway frames. They allow redistribution of up to 15% of the maximum bending moment in the critical section and limit the upper value of the relative depth, x/d, to 0.45. Furthermore, the EFHE code on one-way slabs and its predecessor, EF-96, allow designers to use the diagram resulting from equalling the span and support moments - in absolute value as the envelope diagram for the design bending moments, without having to consider alternating loads.

4.2. Consideraciones adicionales sobre las condiciones de anclaje y esbeltez

4.2. Considerations about anchorage and slenderness

El valor del límite elástico real de los aceros suele ser mayor que el nominal y, además, el proyectista normalmente redondea por exceso la capacidad mecánica de las armaduras longitudinales obtenidas del dimensionamiento al transformarla en un número entero de redondos de uno o más diámetros distintos. Cuando esto sucede, el momento de la rótula plástica es mayor que el supuesto teóricamente (Figura 4.3), y entonces para poder asegurar la capacidad de rotación plástica, es conveniente no anclar las barras que se cortan, con la longitud de anclaje neta, lb,neta, puesto que puede resultar insuficiente y dar lugar a un fallo de anclaje, sino que parece más apropiado disponer de

The actual yield strength value of steel is usually greater than the nominal value and designers, besides, usually round the required capacity of the longitudinal reinforcement obtained from dimensioning calculations upward when they convert it to a whole number of bars of different diameters. When this is the case, the plastic hinge moment is greater than theoretically assumed (Figure 4.3), so to be able to ensure plastic rotation capacity, it is advisable not to use the net anchorage length, lb,net, to anchor the cut bars because this may be insufficient and give rise to anchorage failure; it would appear to be more appropriate, instead, to provide for

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4 una longitud de anclaje l que cumpla l ≥ lb ≥ d

[37]

an anchorage length l that satisfies the following condition: [37] l ≥ lb ≥ d where lb is the basic anchorage length.

siendo lb la longitud básica de anclaje.

2 barras 2 barras

M real final l+d

l < l b , n eta

M tteórico e rico M final / 2

M te

r i c /o2 teórico / 2

b , neta

Figura 4.3 Influencia del exceso de armadura o de su mayor resistencia, en la longitud de anclaje de las barras flotantes Influence in the anchorage length according to greater reinforcement or stronger strength steel than required

La ductilidad disminuye cuando se reduce la esbeltez de las piezas. En tal sentido, la variable más representativa es la llamada esbeltez a cortante, λq, dada por la expresión M [38] λq = —— V·d

Ductility decreases when member slenderness declines. In this regard, the most representative variable is shear slenderness, λq, defined as: M [38] λq = —— V·d

siendo M el momento flector y V el esfuerzo cortante.

where M is the bending moment and V the shear force.

Cuando la rotación plástica sea especialmente necesaria, por ejemplo en las situaciones accidentales y en las estructuras sometidas a acciones sísmicas, se debe evitar la existencia de vigas y pilares cortos, porque el esfuerzo cortante que se genera es de tal magnitud que la pieza suele fallar por las compresiones excesivas de las bielas de hormigón o por el agotamiento de la armadura transversal, con el consiguiente pandeo de la armadura longitudinal. En definitiva, es aconsejable proyectar piezas

When plastic rotation is particularly necessary, such as in accidental situations and in structures in seismic areas, short beams and columns should be avoided, because the shear force generated is so large that the member generally fails due to high compression stress on the concrete struts or because the transverse reinforcement reaches its limit capacity, causing the longitudinal reinforcement to buckle. In short, it is advisable to design members in which deformation due to shear force is negligi-

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4 en las que las deformaciones debidas a los esfuerzos cortantes sean despreciables frente a las desarrolladas por los momentos flectores.

ble compared to those developed by the bending moments. 4.3. Conclusions

4.3. Conclusiones

Una vez analizado el conjunto de prescripciones de los códigos analizados, los aspectos más relevantes de los mismos respecto a la redistribución de esfuerzos son los siguientes:

Further to the above analysis of the recommendations contained in the codes discussed, it may be concluded that the most relevant issues they address in connection with moment redistribution are as follows:

- El tipo de acero, la resistencia del hormigón, la profundidad relativa de la fibra neutra en rotura, x/d, y la traslacionalidad o no de la estructura, son los parámetros clave para definir el grado de redistribución. Cuanto mayor sea la ductilidad del acero y menor la resistencia del hormigón, menor será x/d y mayor la redistribución.

- The type of steel, concrete strength, relative depth of the neutral axis at failure, x/d, and whether or not the structure is a sway frame are the key parameters to define the degree of redistribution. The greater the steel ductility and the lower the concrete strength, the lower x/d and the higher redistribution.

- Para estructuras intraslacionales el código más permisivo es el EC-2 (hasta un 30% de redistribución) y la más conservadora es la Instrucción EHE (redistribución máxima del 15%).

- For non-sway frames, the most permissive of the codes is EC-2 (up to 30% redistribution) and the most conservative is code EHE (maximum 15% redistribution).

- No hay unicidad de criterios sobre el grado de redistribución de los pórticos traslacionales; el EC-2 no admite redistribución alguna; el ACI y la EHE aunque plantean prescripciones para las estructuras intraslacionales, no hacen una prohibición explícita en las traslacionales; el CM 90 sin embargo, permite hasta el 10% de redistribución pero establece para todo tipo de estructuras una salvaguarda de aplicación de sus criterios en función de la esbeltez equivalente con el fin de prevenir demandas locales de ductilidad excesivas.

- There is no single criterion on the degree of redistribution in sway frames; EC-2 allows no redistribution whatsoever; ACI and EHE, while establishing recommendations for non-sway frames do not explicitly prohibit redistribution in sway frames; and CM 90 allows up to 10% redistribution but subjects application of its criteria, for all types of structures, to a limitation in connection with the equivalent slenderness ratio to prevent unduly severe localised ductility demands on the structure.

- Todos los códigos coinciden en no permitir la redistribución de esfuerzos en los soportes, y en la necesidad de que las leyes de esfuerzos, tras la redistribución, estén equilibradas con las cargas exteriores y las reacciones. Ello implica redistribuir no sólo los momentos flectores, sino también los esfuerzos cortantes, los axiles y los torsores, si los hubiera. 4.4. Consideraciones adicionales y propuestas Para las estructuras intraslacionales, la propuesta del EC-2 resulta ser la más racional, porque tiene en cuenta las principales variables que intervienen en el problema y las relaciona con el grado de redistribución. Cabe destacar la inclusión de la deformación de rotura por flexión del hormigón, εcu, para obtener δ, que para

- All the codes concur in not allowing moment redistribution in supports and in the need for the redistributed forces to be in equilibrium with external loads and reactions. This entails redistributing not only bending moments, but any extant shear, axial and torsion stresses as well. 4.4. Additional considerations and proposals For non-sway structures, the EC-2 proposal is the most rational of all the codes, because it takes account of the main variables involved in the problem and relates them to the degree of redistribution. Attention is drawn in this respect to the inclusion of concrete ultimate strain, εcu,

to find δ, which, when εcu=0.0035, concurs with the expression put forward in CM 90. Furthermore, it addresses the effects of concre-

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4 εcu=0,0035 coincide con la expresión propuesta por el CM 90. Además considera los efectos del confinamiento del hormigón logrados mediante el zunchado, que al aumentar la deformación última del hormigón, ductiliza la sección. Por ello, sería deseable que la Instrucción EHE adoptara esta formulación. La EFHE permite una redistribución de esfuerzos elevada, bastante superior a la de otros códigos. Esto se debe, posiblemente, a que los forjados constituidos por piezas prefabricadas presentan, como consecuencia de su estandarización, una reserva de capacidad resistente a flexión positiva que no sería aprovechada sin un alto grado de redistribución. Además, las secciones de apoyo suelen estar constituidas por bajas cuantías de armadura (el macizado da lugar a secciones rectangulares), con gran capacidad de rotación. En cuanto a los pórticos traslacionales, las acciones horizontales generan momentos importantes en la base y cabeza de los soportes, y dado que estas secciones están además sometidas a esfuerzos axiles de compresión y a esfuerzos cortantes considerables, son más frágiles y por ello admiten redistribuciones menores o nulas. No obstante, siempre que se garantice una ductilidad suficiente en las secciones críticas, se eviten roturas frágiles por cortante-compresión, se tengan en cuenta los efectos de segundo orden que se ven aumentados por la formación de rótulas plásticas en pórticos traslacionales, y se garantice la correcta transmisión de esfuerzos entre las vigas y los soportes mediante el diseño adecuado de los nudos, no hay razón para prohibir la redistribución de esfuerzos, que podría alcanzar hasta un 10%.

te confinement achieved with transverse reinforcement which, by increasing ultimate concrete strain, enhances section ductility. It would be advisable, for this reason, for the EHE code to adopt this formulation. Code EFHE allows high moment redistribution, substantially higher than the other codes. This may be due to the fact that, as a result of their standardisation, slabs comprising precast pieces have a high reserve capacity in terms of positive flexural stress that would not otherwise be fully exploited. Moreover, the support sections are generally built with low reinforcement ratios (the drop panel gives rise to rectangular sections), with large rotation capacity. As far as sway frames are concerned, horizontal action generates large moments at the base and head of the supports, and since these sections are also subjected to substantial axial compression and shear forces, they are more brittle and therefore admit lesser or nil redistribution. Nonetheless, providing that sufficient ductility is guaranteed in the critical sections, brittle failure due to shear-compression is avoided, account is taken of the second order effects that are enhanced with the development of plastic hinges in sway frames, and due transmission of forces between beams and supports is ensured by suitable node design, there is no reason to prohibit moment redistribution of up to 10% in such structures. Moment redistribution corresponds to Ultimate, but not Serviceability, limit state behaviour of the structure. Consequently, Cracking and Deformation Serviceability Limit states should be verified with non-redistributed stress values.

Las leyes de esfuerzos redistribuidas corresponden al comportamiento de la estructura en Estado Límite Último, pero no en Servicio. En consecuencia, la comprobación de los Estados Límite de Servicio de Fisuración y de Deformaciones se debe realizar con las leyes de esfuerzos sin redistribuir.

4.5. Practical analysis of reinforced concrete structures with moment redistribution

4.5. Cálculo práctico de estructuras de hormigón armado con redistribución de esfuerzos

1- Find the design forces for each of the load cases with linear elastic analysis.

De acuerdo con todo lo visto anteriormente, los pasos a seguir, de forma resumida, para dimensionar una estructura de hormigón arma-

Pursuant to the foregoing, the steps to be followed, briefly, to dimension a reinforced concrete structure with moment redistribution, are as follows:

2- Decide the degree of redistribution on the grounds of steel ductility and type of structure (continuous beam, non-sway or sway frame, etc.) and, depending on the latter, the relative

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4 do con redistribución de esfuerzos, son los siguientes:

maximum depth of the neutral axis, x/d, at failure.

1- Obtención de las leyes de esfuerzos de cálculo, para cada una de las hipótesis de carga, mediante un análisis elástico-lineal.

3- Redistribute moments for each load case, as follows:

2- Decisión del grado de redistribución, de acuerdo con la ductilidad del acero y el tipo de estructura (viga continua, pórtico intraslacional o traslacional, etc.), y en función de esta última, la profundidad máxima relativa de la fibra neutra, x/d, en rotura. 3- Redistribución de los esfuerzos, para cada hipótesis de carga, de la siguiente manera: a) Reducción de los momentos máximos actuantes en las secciones críticas, aplicando el porcentaje establecido, o multiplicando los momentos máximos por el factor δ.

b) Obtención del resto de los esfuerzos en la estructura, estableciendo el equilibrio de éstos con las cargas aplicadas. Si la redistribución consiste en disminuir los momentos negativos en las secciones de apoyo, el equilibrio en la estructura se establece entre los esfuerzos extremos y las cargas (Figura 4.4). En cambio, si la redistribución se hace disminuyendo el momento máximo en el vano, el equilibrio se establece en cada uno de los dos tramos de la estructura que van desde un extremo de la misma al punto de momento máximo positivo, en el cual no hay esfuerzos cortantes, como se indica en la Figura 4.5. c) Cálculo de las nuevas leyes de esfuerzos redistribuidos a lo largo de la pieza Mr(x), Vr(x), Nr(x), y Tr(x), una vez que se conocen los esfuerzos en sus extremos. 4- Obtención de las envolventes de esfuerzos redistribuidos, con las cuales se dimensionan las cuantías de armaduras longitudinales y transversales. 5- Dimensionamiento de las cuantías de armaduras longitudinales con estas nuevas envolventes de esfuerzos redistribuidos. Para ello, se puede recurrir a dos procedimientos. El primero consiste en utilizar el método de cálculo de las armaduras con un valor de x/d prefijado, propuesto en el apartado 2.6, que satisfaga directamente la limitación impuesta.

a) Reduce the maximum moments on the critical sections by the percentage established or by multiplying the maximum moments by the δ factor. b) Find the rest of the forces on the structure, establishing the equilibrium between them and the loads applied. If redistribution consists of decreasing negative moments on support sections, equilibrium is established in the structure between the extreme forces and loads (Figure 4.4). If, on the contrary, redistribution is achieved by decreasing the maximum moment taken by the central section, equilibrium is established in each of the two regions that run from one end of the structure to the point of maximum positive moment, where there is no shear force, as shown in Figure 4.5. c) Compute new redistributed forces and moments along the entire member M r (x), V r (x), N r (x), and T r (x), after finding the forces on each end. 4- Obtain the envelope diagrams for the redistributed moments and forces for dimensioning the longitudinal and transverse reinforcement ratios. 5- Dimension the longitudinal reinforcement ratios with the new envelope diagrams for the redistributed moments. Two procedures can be used to do this. The first, pursuant to section 2.6 above, consists of the method for computing reinforcement ratios with a pre-established x/d value that directly satisfies the limitation imposed.

The second is based on direct dimensioning of the section and subsequent verification of the suitability of the x/d value. In this case, the relative depth of the neutral axis should be calculated from the following expressions, set out in the EHE code and derived from considerations similar to those discussed in section 2.5 above.

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Figura 4.4 Redistribuci贸n de esfuerzos, reduciendo los momentos sobre apoyos Moment redistribution by decreasing the moments on support sections

Figura 4.5 Redistribuci贸n de esfuerzos reduciendo el momento en vano Moment redistribution by decreasing the moment on central span section

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4 El segundo se basa en dimensionar directamente las secciones y verificar “a posteriori” que el valor de x/d es el adecuado. En este caso, el cálculo de la profundidad relativa de la fibra neutra debe hacerse según las expresiones que siguen, propuestas por la Instrucción EHE, derivadas de planteamientos similares a los del apartado 2.5. x — = 1,10 · (ω – ω′) + 0,06 d si 0,10 ≤ (ω – ω′) ≤ 0,18 x — = 1,45 · (ω – ω′) d si 0,18 < (ω – ω′) ≤ 0,42

[39]

[40]

Y si la profundidad de la fibra neutra resulta excesiva, se puede disminuir disponiendo una cuantía de armadura de compresión tal que la diferencia ω-ω’ sea tan pequeña como se necesite, de acuerdo con las ecuaciones [39] y [40] anteriores. No obstante, lo más correcto sería volver a dimensionar las armaduras utilizando el método propuesto en el apartado 2.6 o tener en cuenta, al menos, la armadura de compresión dispuesta en el cálculo de la armadura de tracción. Si se trata de secciones en T, en TT o en cajón, es necesario comprobar que las compresiones en el hormigón permanecen dentro de la cabeza comprimida, es decir, que se verifica la ecuación h (ω – ω′) ≤ 0,85 · —o [41] d

siendo h0 el espesor del ala (cabeza comprimida), y d el canto útil de la sección. Siempre que se cumpla la condición [41], se pueden aplicar los procedimientos para las secciones rectangulares utilizando el ancho b como ancho eficaz de la cabeza comprimida. En caso contrario, para conocer x/d (profundidad relativa del bloque comprimido) habría que establecer el equilibrio de fuerzas en cada sección, teniendo en cuenta su geometría. 6- Disposición y corte de las armaduras longitudinales de flexión, considerando para ello las envolventes de las leyes redistribuidas. Con ellas se deben obtener los puntos de corte de las armaduras y a partir de ellos, teniendo en cuenta el decalaje de la ley de momentos, las longitudes de anclaje.

x — = 1.10 · (ω – ω′) + 0.06 d if 0.10 ≤ (ω – ω′) ≤ 0.18 x — = 1.45 · (ω – ω′) d if 0.18 < (ω – ω′) ≤ 0.42

[39)

[40]

If the neutral axis is too deep, depth can be decreased by designing for a compression reinforcement ratio that ensures that the difference w-w’ is as small as necessary, pursuant to equations [39] and [40] above. However, the most appropriate procedure is to re-dimension the reinforcements using the method proposed in section 2.6 or at least taking account of the compression reinforcement used when computing the tensile reinforcement. Tee or double tee beams or box girders must be verified to ensure that the compression on the concrete remains inside the compressed flange, i.e., the following equation must hold

h (ω – ω′) ≤ 0.85 · —o d

[41]

where h0 is the flange (compressed flange) thickness and d the effective depth of the section. Where condition [41] is met, the procedures for rectangular sections can be applied using width b as the effective width of the compressed flange. Otherwise, the equilibrium of forces in each section, taking account of its geometry, would have to be established to determine x/d (relative depth of the compressed block). 6- Provide for arranging and cutting the longitudinal flexural reinforcement on the grounds of the redistributed envelope diagrams. The latter can be used to find the cutting points on the bars and these, in turn, to determine the anchorage lengths, taking account of the moment lag. 7- Calculate the transverse reinforcement from the shear force and redistributed tensile moments.

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4 7- Cálculo de las armaduras transversales a partir de las leyes de esfuerzos cortantes y de momentos torsores redistribuidos. 8- Diseño de los nudos, de los apoyos y de cuantos detalles resulten necesarios utilizando, si procede, el método de bielas y tirantes con los esfuerzos redistribuidos y con las consiguientes reacciones. 9- Verificación de los Estados Límite de Servicio considerando las leyes de esfuerzos, las tensiones, las deformaciones y las flechas sin redistribuir, pero con las armaduras obtenidas a partir de las leyes redistribuidas. De todo lo visto en este y en los capítulos anteriores se puede deducir que existen varias formas de conseguir ductilidad, por ejemplo, limitando superiormente la cuantía mecánica de armadura de tracción o disponiendo suficiente armadura de compresión. Esta última opción es muy interesante, ya que en el caso de las jácenas de pórticos de edificación, el hecho de prolongar la armadura de vano hasta los extremos apenas incrementa el coste y tiene, al menos, tres efectos positivos: a) Mejora sensiblemente la ductilidad de las secciones extremas. b) Reduce las deformaciones por fluencia y retracción del hormigón comprimido. c) Contribuye a resistir el momento de cálculo.

8- Design joints, supports and any other details required using the strut and tie method, as appropriate, with the redistributed moments and the resulting reactions. 9- Verify the Serviceability Limit States taking account of the non-redistributed forces, stresses, deformations and deflections, but with the reinforcement found using the redistributed moments. It may be deduced from the foregoing in this and the preceding chapters, that there are a number of ways to achieve ductility by, for instance, setting an upper bound to the mechanical ratio of tensile reinforcement or providing for sufficient compression reinforcement. This latter is a very attractive solution, since in the case of girders on building portal frames, extending the span reinforcement to the ends involves a scant increase in cost and produces at least three beneficial effects:

a) Considerable improvement in the ductility of the end sections. b) Reduction in deformations due to compressed concrete creep and shrinkage. c) Contribution to withstanding design moment.

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5. EJEMPLOS PRÁCTICOS 5.1. PÓRTICO PLANO SOMETIDO A ACCIONES VERTICALES

5. PRACTICAL EXAMPLES 5.1. PLANAR PORTAL FRAME SUBJECTED TO VERTICAL ACTIONS

Se considera un edificio de ocho plantas, constituido por cuatro pórticos de cinco vanos iguales de 5,5 m cada uno, separados 5,5 m entre sí. Los dinteles están formados por jácenas planas de 700 x 290 mm (bxh) en los dos pórticos interiores de todas las plantas, uno de los cuales será objeto de este estudio. El forjado es unidireccional de 290 mm de canto (240+50), siendo la altura libre entre ellos de 2,60 m. Los pilares son cuadrados, con una sección que se incrementa sucesivamente en 50 mm cada dos plantas, partiendo de una sección de 250 x 250 mm en la planta superior. El dimensionamiento de las armaduras del dintel de la planta baja, se realizará en los siguientes casos:

Assume an eight-storey building comprising four equal five-bay portal frames with a span length of 5.5 m, spaced at 5.5 m intervals. The lintels consist of flat 700 x 290 mm (bxh) girders in the two interior portal frames on all storeys, one of which is the object of the present exercise. The one-way slab is 290 mm deep (240+50) and the clearance between slabs is 2.60 m. The columns are square, with a section that increases in size at a rate of 50 mm every two storeys, starting from a 250 x 250-mm section on the upper storey. The lintel reinforcements on the ground storey are to be dimensioned for the following cases:

a) Sin la redistribución de esfuerzos

a) No moment redistribution

b) Con la redistribución máxima de esfuezos permitida por la EHE

b) Maximum moment redistribution allowed by code EHE

c) Con la redistribución máxima de esfuerzos permitida por el EC-2

c) Maximum moment redistribution allowed by code EC-2.

Las acciones a considerar son las indicadas en la Tabla 5.1, expresadas en kN/m2, todas de carácter gravitatorio.

Table 5.1 shows the actions to be taken into account, all of which are gravitational and expressed in kN/m2.

Tabla 5.1 Acciones características (kN/m2) Characteristic actions (kN/m2) Peso Propio Self weight

Cargas permanentes Dead loads

Sobrecarga Live loads

Planta Cubierta Roof

3,0

2,0

1,5

Planta Tipo Standard storey

3,0

1,2

3,0

Planta Baja Ground storey

3,0

2,0

3,0

Planta Sótano Basement

3,0

1,2

4,0

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

De acuerdo con lo anterior, las cargas características uniformemente repartidas en el dintel de la planta baja son: Peso propio =16,50 kN/m, Carga permanente = 11,0 kN/m, Sobrecarga = 16,50 kN/m.

According to the above, the uniformly distributed loads on the ground storey lintel are: Self weight =16.50 kN/m, Dead load = 11.0 kN/m, Live load = 16.50 kN/m.

Se aplica un control de ejecución a nivel intenso, siendo los coeficientes de mayoración de acciones γG = 1,35 ó γG = 1,0 y γQ = 1,5 ó

γQ = 0,0 según que el efecto sea desfavorable

With intensive control envisaged for construction, the load factors for the actions are γG = 1.35 or γG = 1.0 and γQ = 1.5 or γQ = 0.0, depending on whether effects are unfavourable or favourable. The material characteristics and

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5 safety coefficients to be taken into account are: concrete HA-25/B/20/I, γc = 1.5; steel B500 SD

o favorable, respectivamente. Las características de los materiales y los coeficientes de seguridad a considerar son: Hormigón HA25/B/20/I, γC = 1,5; Acero B500 SD γS = 1,15.

γS = 1.15.

The following load cases are considered: Se consideran las siguientes hipótesis de carga:

1- Self weight plus dead load plus live load applied in all bays.

1- Peso propio más carga permanente más sobrecarga aplicada en todos los vanos.

2- Self weight plus dead load plus live load in odd-number bays.

2- Peso propio más carga permanente más sobrecarga en vanos impares.

3- Self weight plus dead load plus live load in even-number bays.

3- Peso propio más carga permanente más sobrecarga en vanos pares.

The design moments taken by the critical sections for each of these three load cases are given in Tables 5.2. and 5.3., which show the values for half of the structure only, since the load cases considered are symmetrical.

Los esfuerzos de cálculo en las secciones críticas para cada una de estas tres hipótesis de carga se indican en las Tablas 5.2 y 5.3, donde sólo constan los valores de la mitad de la estructura, ya que las hipótesis de carga consideradas son simétricas.

Tabla 5.2 Momentos flectores (kN·m) Bending moments (kN·m)

Vano Bay

Vano extremo End bay

Vano intermedio Intermediate bay

Vano central Central bay

Hipótesis Case

Apoyo izquierdo Left support

Centro vano Mid-span

Apoyo derecho Right support

Apoyo izquierdo Left support

Centro vano Mid-span

Apoyo derecho Right support

Apoyo izquierdo Left support

Centro vano Mid-span

-152,70

90,00

-176,80

-169,90

84,40

-168,80

-169,10

84,60

-155,50

91,30

-170,70

-106,20

48,20

-106,20

-165,80

87,80

-90,30

53,70

-113,90

-166,60

87,70

-165,50

-106,40

48,30

*In these tables, commas are used to separate decimal points

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

Tabla 5.3 Esfuerzos cortantes (kN) Shear forces (kN) Vano Bay

Vano extremo End bay

Vano intermedio Intermediate bay

Vano central Central bay

Hipótesis Case

Apoyo izquierdo Left support

Centro vano Mid-span

Apoyo derecho Right support

Apoyo izquierdo Left support

Centro vano Mid-span

Apoyo derecho Right support

Apoyo izquierdo Left support

Centro vano Mid-span

181,65

4,40

190,42

186,23

2,00

185,83

186,03

0,00

183,27

0,20

188,80

113,44

0,00

113,44

186,03

0,00

109,15

0,00

117,72

186,23

2,00

185,83

113,43

0,00

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

Dada la gran similitud de los esfuerzos obtenidos, y por razones de espacio, se realizarán únicamente los cálculos en el vano extremo y se extrapolarán las armaduras al resto de los vanos.

Given the close similarity between the forces obtained, and for reasons of space, only the calculations for the end bay will be shown here; the reinforcement for the rest of the bays will be extrapolated from those results.

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5 a) Dimensionamiento de las armaduras sin redistribución de esfuerzos

a) Dimensioning reinforcement without moment redistribution

En este caso, la única limitación es que la profundidad relativa de la fibra neutra, x/d, sea inferior a la límite, es decir a 0,617, y que el momento límite, valga µlím=0,316. Siguiendo el procedimiento estándar de cálculo de secciones se obtienen los resultados de la Tabla 5.4. siguiente.

In this case, the only limitation is that the relative depth of the neutral axis, x/d, must be less than the limit, i.e., 0.617, and the value of the limit moment must be µlim=0.316. Calculating the section with standard procedures yields the results given in Table 5.4. below.

Tabla 5.4 Momentos y Cuantías obtenidos mediante el análisis elástico-lineal Moments and Ratios found with linear elastic analysis Apoyo izquierdo Left support

Centro vano Mid-span

Apoyo derecho Right support

155,50

91,30

176,80

Momento adimensional Dimensionless moment

0,232

0,136

0,263

Profundidad, x/d Depth, x/d

0,403

0,217

0,476

0,277

0,149

0,328

Área tracción (mm2) Tensile area (mm2)

1783

962

2111

Armadura tracción Tensile reinforcement

5 φ 20 + 4 φ 10

4 φ 16 + 2 φ 12

6 φ 20 + 4 φ 10

Sección Section Momento de cálculo (m·kN) Design moment (m·kN)

Cuantía tracción, Tensile ratio, ω

Cuantía compresión, ω’ Compression ratio, ω’

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

La disposición de las armaduras, una vez realizado el decalaje de la ley de momentos flectores y el corte, considerando la longitud de anclaje efectiva es la de la Figura 5.1.a.

The reinforcement arrangement, found after taking account of the flexural moment lag, shear and effective anchorage length, is shown in Figure 5.1.a.

A-A

C-C

B-B

Figura 5.1.a Armaduras obtenidas sin redistribución de esfuerzos Reinforcement arrangement without moment redistribution

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5 b) Dimensionamiento de las armaduras con una redistribución de esfuerzos del 15%, de acuerdo con la EHE

b) Dimensioning reinforcement with 15% moment redistribution, pursuant to code EHE

En primer lugar se redistribuyen las leyes de esfuerzos obtenidas por un análisis elásticolineal en cada hipótesis de carga y después se hace la envolvente de todos los esfuerzos redistribuidos. Se detalla aquí, a modo de ejemplo, la forma de conseguir la redistribución de esfuerzos de la primera hipótesis de carga, y los resultados del resto de las operaciones se resumen en la Tabla 5.5.

First the moments obtained with linear elastic analysis are redistributed for each load case and then the envelope diagram for all the redistributed moments is found. The way to redistribute the moments for the first load case is discussed here by way of example, and the results of the rest of the operations are shown in Table 5.5.

La ley de momentos flectores redistribuida tendrá unos valores, en las secciones de apoyo de los vanos extremos, del 85% (δ ≥ 0,85) de los elásticos, es decir Mapoyoizq,r = -0,85·152,7= -129,80 kN·m, ∆Mapoyoizq = 22,9 kN·m Mapoyoder,r = -0,85·176,8= -150,30 kN·m,

∆Mapoyoder = 26,5 kN·m

The values of the redistributed bending moments are 85% (δ ≥ 0.85) of the elastic analysis values in the support sections of the end bays, or Mlftsup,r = -0.85·152.7= -129.80 kN·m ∆Mlftsup = 22.9 kN·m Mrghtsup,r = -0.85·176.8= -150.30 kN·m

∆Mrghtsup = 26.5 kN·m

The acting load is pd=1.35·(pp+cp)+1.5·sc = 61.88 kN/m.

La carga actuante será pd=1,35·(pp+cp)+1,5·sc = 61,88 kN/m La variación de los esfuerzos cortantes, en las secciones de apoyo de los vanos extremos, será ∆V=(∆Mapoyoder - ∆Mapoyoizq) / l = 0,65 kN. Los esfuerzos cortantes en estas secciones serán Vapoyoizq,r = Vapoyoizq + ∆V = 181,65 + 0,65 = 182,30 kN Vapoyoder,r = Vapoyoder - ∆V = 190,42 –0,65 = 189,77 kN y la expresión analítica de la ley de Momentos Flectores Redistribuida queda

The variation in shear forces in the support sections on the end bays is:

∆V=(∆Mrghtsup - ∆Mlftsup) / l = 0.65 kN. The shear forces on these sections are Vlftsup,r = Vlftsup + ∆V = 181.65 + 0.65 = 182.3 kN Vrghtsup,r = Vrghtsup - ∆V = 190.42 – 0.65 = 189.77 kN and the analytical expression for the Redistributed Bending Moments is M(x) = -129.8 +182.3·x –30.94·x2.

M(x) = -129,8 +182,3·x –30,94·x

El momento máximo se produce para x = 2,946 m. Con ello, el momento en el centro de vano será Mcvano,r = M(x = 2,75 m)=137,54 kN·m. Siguiendo el mismo proceso para las otras dos hipótesis de carga, se obtienen los momentos máximos redistribuidos de la Tabla 4.5. en los vanos extremos del dintel

The maximum moment occurs for x = 2.946 m. Under these conditions, the mid-span moment is Mm-span,r = M(x = 2.75 m)=137.54 kN·m. The maximum redistributed moments found following the same process for the other two load cases are as shown in Table 4.5. for the end bays.

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5 Tabla 5.5 Momentos máximos en los vanos extremos (kN·m) Maximum moments in end bays (kN·m) Vano extremo End bay

Hipótesis Case

Apoyo izquierdo Left support

Centro vano Mid-span

Apoyo derecho Right support

-129,80

137,54

-150,30

-132,30

117,13

-145,09

-76,75

69,43

-96,81

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

Las armaduras resultantes, con estos esfuerzos redistribuidos se muestran en la Tabla 5.6.

Table 5.6 gives the resulting reinforcements found with these redistributed moments.

Tabla 5.6 Momentos y Cuantías obtenidos mediante una redistribución del 15% (EHE) Moments and Ratios found with 15% redistribution (EHE) Apoyo izquierdo Left support

Centro vano Mid-span

Apoyo derecho Right support

-132,30

137,54

-150,30

Momento adimensional Dimensionless moment

0,197

0,205

0,224

Profundidad, x/d Depth, x/d

0,330

0,348

0,387

0,228

0,240

0,266

Área tracción (mm2) Tensile area (mm2)

1467

1543

1712

Armadura tracción Tensile reinforcement

4 φ 12 + 5 φ 16

8 φ 16

4 φ 12 + 4 φ 20

Sección Section Momento de cálculo (m·kN) Design moment (m·kN)

Cuantía tracción, Tensile ratio, ω

Cuantía compresión, ω’ Compression ratio, ω’

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

Como se observa, en todos los casos se cumple que x/d < 0,45, por lo que el dimensionamiento es correcto. La disposición de armaduras es la indicada en la Figura 5.1.b.

It will be noted that x/d < 0.45 in all cases, confirming that the dimensioning is correct. The reinforcement arrangement is as shown in Figure 5.1.b.

A-A

C-C

B-B

Figura 5.1.b Armaduras obtenidas con redistribución de esfuerzos (15%) Reinforcement arrangement with a 15% moment redistribution

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5 c) Dimensionamiento de las armaduras, con una redistribución de esfuerzos del 30%, de acuerdo con el EC-2.

c) Dimensioning reinforcement with 30% moment redistribution, pursuant to code EC-2.

Tal como se indicó anteriormente, de acuerdo con el EC-2, la redistribución de esfuerzos puede llevarse a acabo sin necesidad de verificar la capacidad de rotación plástica, siempre que se cumpla, para hormigones de fck ≤ 50 MPa, que x δ ≥ 0,44 + 1,25 — d La redistribución máxima permitida es del 30% (δ ≥ 0,70) si se utiliza un acero de ductilidad normal o alta, como es el caso. De la ecuación anterior se deduce entonces que el valor de la profundidad relativa de la fibra neutra ha de ser x/d ≤ 0,208, con lo que el momento límite, es decir, aquél para el cual no se precisa armadura de compresión, resulta x* x* µd* = ψ · — · 1 – λ — = d d

As noted above, under EC-2 moments can be redistributed without having to verify plastic rotation capacity, providing the following holds for concrete with fck ≤ 50 MPa: x δ ≥ 0.44 + 1.25 — d The maximum redistribution allowed is 30% (δ ≥ 0.70) if standard or high ductility steel is used, such as in this case. It may be deduced from the above equation, therefore, that the value for the relative depth of the neutral axis must be x/d ≤ 0.208, whereby the limit moment, i.e., the moment for which no compression reinforcement is required, would be: x* x* µd* = ψ · — · 1 – λ — = d d

= 0,688 · 0,208 · (1 – 0,416 · 0,208) = 0,1307

= 0.688 · 0.208 · (1 – 0.416 · 0.208) = 0.1307

Siguiendo con la metodología de los apartados a) y b), se procede a una redistribución del 30% de los momentos máximos negativos en las secciones de apoyos extremas de la pieza; después por equilibrio se obtiene el momento de vano redistribuido, para cada hipótesis de carga, y con estas leyes ya redistribuidas se extrae la envolvente. Los momentos máximos de la envolvente, así como las armaduras se presentan en la Tabla 5.7.

Following the methodology described in sections a) and b) above, 30% of the maximum negative moments on the end support sections of the member are redistributed for each load case and the envelope diagram is deduced from these redistributed moments. The maximum envelope diagram moments and the reinforcements are shown in Table 5.7.

Tabla 5.7 Momentos y Cuantías obtenidos mediante una redistribución del 30% (EC-2) Moments and Ratios found with 30% redistribution (EC-2) Sección Bay

Apoyo izquierdo Left support

Centro vano Mid-span

Apoyo derecho Right support

Momento de cálculo (m·kN) Design moment (m·kN)

108,90

141,60

123,80

Momento adimensional Dimensionless moment

0,162

0,211

0,184

Profundidad, x/d Depth, x/d

0,208

Cuantía tracción, ω Tensile ratio, ω

0,183

0,244

0,211

Área tracción (mm2) Tensile area (mm2)

1175

1572

1356

Armadura tracción Tensile reinforcement

3 φ 16 + 5 φ 12

5 φ 16 + 5 φ 12

4 φ 16 + 5 φ 12

0,0395

0,1012

0,0675

255

652

435

2 φ 16 + 2 φ 12

Cuantía compresión, ω’ Compression ratio, ω’ Área compresión (mm2) Compression area (mm2) Armadura compresión Compression reinforcement

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

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5 Cuando se efectúa la redistribución del 30%, la armadura de las secciones de apoyo disminuye considerablemente en cuantía y algo en longitud, pero aumenta mucho la de vano, como es lógico. Al calcular los puntos de corte de las armaduras y considerando la longitud de anclaje, se obtiene en la zona central una longitud de armadura inferior de refuerzo (3 φ16+3 φ12) de 4,95 m, que es casi la longitud total de la pieza. El peso total proporcionado por esta disposición de armaduras es de 108,1 Kg, que es un 8% superior a la de los dos apartados anteriores.

When moments are redistributed by 30%, the amount of the reinforcement for the support sections declines substantially and the length moderately, whilst both increase considerably in the central section, as may be expected. When calculating the reinforcement cutting points and taking account of the anchorage length, the length found for the additional bottom reinforcement in the central region (3 φ16+3 φ12) is 4.95 m, which is nearly the full length of the member. The total weight of this reinforcement arrangement is 108.1 kg, 8% higher than in the two preceding sections.

En este caso es más interesante, constructivamente, disponer la misma armadura inferior en toda la pieza, que estará constituida por 5 φ 20, lo que proporciona un peso total de acero de 113 kg., es decir, apenas 5 kg más que si se hubiera tenido en cuenta el corte de las armaduras. Además, con esta última disposición, la pieza será más dúctil, habida cuenta de la existencia en las secciones de apoyo de una cuantía alta de armadura de compresión.

In this case, it is more advantageous, from the standpoint of construction, to provide for the same bottom reinforcement along the entire member, consisting of five 20-mm bars, for a total steel weight of 113 kg., i.e. barely 5 kg more than if provision were made for cutting the reinforcement. Furthermore, the member is more ductile under this latter solution, given the presence of a high ratio of compression reinforcement in the support sections.

La disposición de este esquema se muestra en la Figura 5.1.c.

The reinforcement arrangement under this scheme is shown in Figure 5.1.c.

A-A

C-C

B-B

Figura 5.1.c Armaduras obtenidas con redistribución de esfuerzos (30%) Reinforcement arrangement with a 30% moment redistribution

5.2. PASARELA PEATONAL CONTINUA

5.2. CONTINUOUS PEDESTRIAN BRIDGE

Para cruzar una vía urbana se proyecta una pasarela peatonal de hormigón armado consistente en una viga continua de dos vanos de 12,0 m cada uno, de sección constante y 4,0 m de anchura, tal como se indica en la Figura 5.2.a.

A reinforced concrete pedestrian bridgeconsisting of a continuous beam 4.0 m wide, spanning two bays measuring 12.0 m each and with a constant section as shown in Figure 5.2.a is designed as a pedestrian crossing over an urban thoroughfarec.

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Figura 5.2.a Pasarela peatonal continua y sección transversal Continuous pedestrian bridge and transversal section

El dimensionamiento de las armaduras de la pasarela se realiza en los casos siguientes: a) No hay redistribución de esfuerzos

The reinforcement for the catwalk is dimensioned for the following cases: a) No moment redistribution

b) La redistribución de esfuerzos es la máxima permitida por la EHE

b) Maximum redistribution allowed by code EHE.

Las acciones a considerar son las indicadas en la Tabla 5.8.

Table 5.8 shows the actions to be taken into account.

Tabla 5.8 Acciones características Characteristic actions

Tablero Deck

Peso Propio (kN/m) Self weight (kN/m)

Cargas muertas (kN/m) Statics loads (kN/m)

Sobrecarga de uso (kN/m2) live load (kN/m2)

41,45

8,00

4,00* 4,00 (*)

(*) La sobrecarga de uso puede estar extendida sobre cual-

(*) The live load may extend over any area of the deck, logi-

quier superficie del tablero, en sentido longitudinal o transversal.

tudinally or transversally.

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

Se aplica un control de ejecución a nivel intenso, siendo los coeficientes de mayoración de acciones γG = 1,35 ó γG = 1,0 y γQ = 1,5 ó

γQ = 0,0 según que el efecto sea desfavorable o favorable, respectivamente. Las características de los materiales y los coeficientes de seguridad a considerar son: Hormigón HA25/B/20/IIb, γc = 1,5; Acero B500 SD, γs = 1,15.

SD, γs = 1.15.

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5 Se consideran las siguientes hipótesis de carga:

The following load cases are considered:

1- Peso propio más carga permanente más sobrecarga aplicada en un solo vano (vano 1).

1- Self weight plus dead load plus live load applied to a single bay (bay 1).

2- Peso propio más carga permanente más sobrecarga aplicada en ambos vanos.

2- Self weight plus dead load plus live load applied to both bays.

Los esfuerzos de cálculo en las secciones críticas se indican en las Tablas 5.9. y 5.10.

The design moments taken by the critical sections are shown in Tables 5.9. and 5.10.

Tabla 5.9 Momentos flectores (kN·m) Bending moments (kN·m) Hipótesis Case

Centro vano 1 Bay 1

Apoyo central Central support

Centro vano 2 Bay 2

1327,00

-1514,00

886,00

1327,00

-1728,00

1327,00

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

Tabla 5.10 Esfuerzos cortantes (kN) Shear forces (kN) Hipótesis Case

Apoyo izquierdo Left support

Centro vano 1 Bay 1

Apoyo central Central support

Centro vano 2 Bay 2

Apoyo derecho Right support

450,00

0,00

-702,20

18,20

-305,80

432,00

0,00

-720,00

0,00

-432,00

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

a) Dimensionamiento de las armaduras sin redistribución de esfuerzos

a) Design of reinforcement without moment redistribution

Tabla 5.11 Momentos y Cuantías obtenidos mediante el análisis elástico-lineal Moments and Ratios obtained with linear elastic analysis Sección Case

Centro vano Mid-span

Apoyo central Central support

1327,00

-1728,00

Momento adimensional Dimensionless moment

0,076

0,100

Profundidad, x/d Depth, x/d

0,074

0,280

Área tracción (mm2) Tensile area (mm2)

4911

6987

Armadura tracción Tensile reinforcement

16 φ 20

20 φ 12 + 10 φ 25

Momento de cálculo (m·kN) Design moment (m·kN)

Cuantía compresión, ω’ Cuantía compresión, ω’ *En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

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5 La disposición de las armaduras, una vez realizado el decalaje de la ley de momentos flectores y el corte, considerando la longitud de anclaje efectiva, es la de las Figuras 5.2.b y 5.2.c.

The reinforcement arrangement, found after taking account of the flexural moment lag, shear and effective anchorage length, is shown in Figures 5.2.b and 5.2.c.

Figura 5.2.b Disposición de las armaduras longitudinales obtenidas sin redistribución de esfuerzos Longitudinal reinforcement arrangement without moment redistribution

Figura 5.2.c Disposición de las armaduras transversales obtenidas sin redistribución de esfuerzos Transversal reinforcement arrangement without moment redistribution

b) Dimensionamiento de las armaduras con una redistribución de esfuerzos del 15%, de acuerdo con la EHE

b) Dimensioning reinforcement with 15% moment redistribution, pursuant to code EHE

En primer lugar se redistribuyen las leyes de esfuerzos obtenidas por un análisis elástico-lineal, en cada hipótesis de carga y después se hace la envolvente de todos los esfuerzos redistribuidos.

First, the moments obtained with linear elastic analysis are redistributed in each load case and then the envelope diagram is found for all the redistributed moments.

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5 Se halla la nueva ley de esfuerzos redistribuida, admitiendo un porcentaje de redistribución de la ley de momentos flectores igual al 15% del máximo momento negativo. Los nuevos esfuerzos de cálculo se indican analíticamente en la Tabla 5.12, y gráficamente en la Figura 5.2 d.

The new redistributed moments are found by accepting a redistribution for bending moments equal to 15% of the maximum negative moment. The new design moments are shown analytically in Table 5.12, and graphically in Figure 5.2 d.

Figura 5.2.d Disposición de las armaduras longitudinales obtenidas con redistribución de esfuerzos Longitudinal reinforcement arrangement with moment redistribution

Figura 5.2.e Disposición de las armaduras transversales obtenidas con redistribución de esfuerzos Transversal reinforcement arrangement with moment redistribution

Tabla 5.12 Momentos flectores redistribuidos (kN·m) Redistributed bending moments (kN·m)

Envolvente Envelope *En estas tablas, las comas son para separar decimales

Centro vano Mid-span

Apoyo central Central support

1401,33

-1468,80

*In these tables, commas are used to separate decimal points

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5 Las armaduras resultantes, con estos esfuerzos redistribuidos se muestran en la Tabla 5.13.

The reinforcement design calculated with these redistributed moments are shown in Table 5.13.

Tabla 5.13 Momentos y Cuantías obtenidos mediante una redistribución del 15% (EHE) Moments and Ratios found with 15% redistribution (EHE) Sección Section

Apoyo central Central support

Centro vano Mid-span

1401,33

-1468,80

Momento adimensional Dimensionless moment

0,081

0,085

Profundidad, x/d Depth, x/d

0,078

0,230

Área tracción (mm2) Tensile area (mm2)

5198

5820

Armadura tracción Tensile reinforcement

8 φ 20 + 6 φ 25

20 φ 12 + 8 φ 25

Momento de cálculo (m·kN) Design moment (m·kN)

Cuantía compresión, ω’ Compression ratio, ω’

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

Como se observa, en todos los casos se cumple que x/d < 0,45, por lo que el dimensionamiento es correcto. La disposición de armaduras es la indicada en las Figuras 5.2.d y 5.2.e.

It will be noted that x/d < 0.45 in all cases, confirming that the dimensioning is correct. The reinforcement arrangement is shown in Figures 5.2.d and 5.2.e.

5.3. FORJADO UNIDIRECCIONAL CON SEMIVIGUETAS PRETENSADAS

5.3. ONE-WAY FLOOR SLAB WITH PRESTRESSED T-JOISTS

Sea un forjado con semiviguetas de hormigón pretensado de tres vanos y 250 mm de canto (200 + 50), cuyas secciones longitudinal y transversal son las indicadas en la Figura 5.3.a.

Assume a slab comprising prestressed concrete three-bay T-joists with a depth of 250 mm (200 + 50), whose longitudinal and cross sections are as shown in Figure 5.3.a.

700 Armadura de reparto

40 h 0 = 50

4,00 0,40

5,00 0,40

4,00 0,40

250 200

0,40

b0 = 45

120

70 10 40

110

SECCIÓN LONGITUDINAL (cotas en mm) SECCIÓNES TRANSVERSALES (cotas en mm)

Figura 5.3.a Secciones longitudinal y transversales Longitudinal and transversal cross sections

Los valores característicos de las acciones son los siguientes: Peso propio del forjado: Solado: Tabiquería: Tendido de yeso: Sobrecarga de uso:

3,2 1,2 1,0 0,2 2,0

kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2

The characteristic values of the actions are as follows: Slab self-weight: Flooring: Partitioning: Plaster layer: Live load:

3.2 1.2 1.0 0.2 2.0

kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2 kN/m2

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5 Por lo tanto las cargas características son: Carga permanente = 5,6 kN/m2 y Carga variable = 2,0 kN/m2.

Consequently, the characteristic loads are: dead load = 5.6 kN/m2 and non-permanent load = 2.0 kN/m2.

Se prevé un control de ejecución a nivel normal, siendo los coeficientes de mayoración de las acciones γG = 1,5 ó γG = 1,0 y γQ = 1,6 (3) ó

With normal control over construction envisaged, the load factors for the actions are γG = 1.5

γQ = 0,0 según que el efecto sea desfavorable o favorable, respectivamente.

or γG = 1.0 and γQ = 1.6 (3) or γQ = 0.0, depending on whether effects are unfavourable or favourable.

Las características de los materiales y los coeficientes de seguridad a considerar son: Hormigón HA-25/B/20/IIa "in situ" (las viguetas tienen una resistencia característica a compresión de 40 MPa γc = 1,5; Acero B400 SD (la calidad del acero de la armadura de reparto es B 500 SD), γs = 1,15. El pretensado consiste en 4 alambres de calidad Y 1770 C, de 5 mm de diámetro y límite elástico, fy = 1.590 N/mm2. La tensión de las armaduras pretesas, descontadas todas las pérdidas, es de σp = 1.050 N/mm2.

The prestressing tendons are four 5-mm Y 1770 C quality wires with a yield strength of fy = 1,590 N/mm2. The stress in the prestressing tendons, deducting all losses, comes to σp = 1,050 N/mm2.

Se consideran las siguientes hipótesis de carga, indicadas en la Figura 5.3.b.

The following load cases are considered, as specified in Figure 5.3.b.

The material characteristics and safety coefficients to be considered are: cast-in-place concrete HA-25/B/20/IIa (the joists have a characteristic compression strength of 40 MPa, γc = 1.5; steel B400 SD (the quality of the distribution steel is B500 SD), γs = 1.15.

1- Carga permanente más sobrecarga aplicada en todos los vanos.

1- Dead load plus live load applied in all bays.

2- Carga permanente en todos los vanos más sobrecarga en vanos impares.

2- Dead load in all bays plus live load in oddnumber bays.

3- Carga permanente en todos los vanos más sobrecarga en vanos pares.

3- Dead load in all bays plus live load in even-number bays

g + q = 7,60 kN/m/m HIPÓTESIS I 2

1 g + q = 7,60 kN/m/m

4 g + q = 7,60 kN/m/m

g = 5,60 kN/m/m

HIPÓTESIS II 1

3 g + q = 7,60 kN/m/m

g = 5,60 kN/m/m

4 g = 5,60 kN/m/m HIPÓTESIS III

Figura 5.3.b Hipótesis de carga (por metro de ancho de forjado) Load cases (per meter of slab width) (3) Para la comprobación de los Estados Límite Últimos se ha optado por utilizar el mismo coeficiente de ponderación para todas las acciones.

(3) For the intents and purposes of verifying Ultimate Limit States the same weighting coefficient was used for all actions.

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12,48

9,60

19,00

9,60

11,27

Momentos flectores (kN·m/m) Momentos flectores (kN∑m/m) Bending moments (kN·m/m)

Ley redistribuida Ley sin redistribuir

18,32

12,08

12,08 18,32 1

19,00

Esfuerzos cortantes (kN/m) Esfuerzos cortantes (kN/m) Shear forces (kN/m)

Figura 5.3.c Hipótesis 1: Leyes de esfuerzos sin y con redistribución de los momentos negativos máximos del 20% Case 1: Bending moments and shear forces with and without maximum supporting moments redistribution (20%)

10,30

7,20 1

10,48

Momentos flectores (kN∑m/m) Momentos flectores (kN·m/m) Bending moments (kN·m/m)

10,48

Ley redistribuida Ley sin redistribuir

17,78

14,00

12,62

14,00 17,78

Esfuerzos cortantes (kN/m) Shear forces (kN/m) Esfuerzos cortantes (kN/m)

Figura 5.3.d Hipótesis 2: Leyes de esfuerzos sin y con redistribución de los momentos negativos máximos del 20% Case 2: Bending moments and shear forces with and without maximum supporting moments redistribution (20%) 11,37

11,37

6,24 1

12,38

Momentos flectores (kN∑m/m) Momentos flectores (kN·m/m) Bending moments (kN·m/m)

19,00

Ley redistribuida Ley sin redistribuir 14,04

8,36

8,36 14,04

Esfuerzos cortantes (kN/m) Shear forces (kN/m) Esfuerzos cortantes (kN/m)

19,00 3

Figura 5.3.e Hipótesis 3: Leyes de esfuerzos sin y con redistribución de los momentos negativos máximos del 20% Case 3: Bending moments and shear forces with and without maximum supporting moments redistribution (20%)

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5 Con estas hipótesis de carga, las leyes de momentos flectores y de esfuerzos cortantes derivadas del cálculo lineal, por metro de ancho de forjado, son las resumidas en las Figuras 5.3.c, 5.3.d y 5.3.e. Además, para obtener, aproximadamente, los mismos momentos flectores en los apoyos 2 y 3 y en el centro de vano 2-3, es decir, los mismos momentos máximos negativos y positivo, los momentos negativos máximos derivados de todas las hipótesis de carga se han redistribuido un 20%, dando lugar a las leyes de esfuerzos redistribuidos recogidos en las Figuras 5.3.c, 5.3.d y 5.3.e. Conviene señalar que:

The bending moments and shear stresses derived for these load cases from linear calculation per metre of slab width are summarised in Figures 5.3.c, 5.3.d and 5.3.e. Furthermore, to obtain approximately the same bending moments in supports 2 and 3 and at mid-span in bay 2-3, that is, the same negative and positive maximum moments, the maximum negative moments found under all the load cases were 20% redistributed, giving rise to the redistributed moments shown in Figures 5.3.c, 5.3.d and 5.3.e. Attention is drawn to the following:

a) La hipótesis 1 da lugar a los momentos negativos máximos (apoyos 2 y 3).

a) Case 1 gives rise to the maximum negative moments (supports 2 and 3).

b) Las hipótesis 2 y 3 generan los máximos momentos positivos y las mayores longitudes de las armaduras de momentos negativos correspondientes a los apoyos 2 y 3.

b) Cases 2 and 3 generate the maximum positive moments and longest negative moment reinforcement lengths for supports 2 and 3.

c) Para tener en cuenta el efecto de posibles empotramientos imprevistos, se ha supuesto que en los apoyos 1 y 4, puede actuar un momento negativo igual al 25% del momento máximo positivo del vano correspondiente, con lo que las envolventes de las leyes de esfuerzos, una vez redistribuidos todos ellos, son las recogidos en la Figura 5.3.f.

c) To take account of possible unforeseen restraints, it is assumed that in supports 1 and 4 a negative moment equal to 25% of the maximum positive moment may arise in the respective bay, whereby the envelope dia grams for the moments, after redistribution, are as shown in Figure 5.3.f.

12,48

2,62 2,62

10,48

12,38

10,48

Momentos flectores (kN·m/m) (kN∑m/m) Momentos flectores Bending moments (kN·m/m)

Hipótesis II HipÛtesis Hipótesis IIII HipÛtesis

19,00

18,32

Hipótesis III HipÛtesis III

12,62

12,62 18,32 1

19,00

Esfuerzos cortantes Esfuerzos cortantes(kN/m) (kN/m) Shear forces (kN/m)

Figura 5.3.f Envolvente de las leyes de esfuerzos redistribuidos Envelope diagrams bending moments and shear forces after redistribution

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5 a) Dimensionamiento a flexión Situando, como es lógico, las armaduras de momentos negativos por debajo de la armadura de reparto y considerando que ésta se encuentra ubicada en el centro de la capa de compresión, además de la tolerancia de ejecución, el recubrimiento mecánico de las armaduras pasivas en la zona de negativos es aproximadamente igual a 40 mm (Figura 5.3), y por tanto el canto útil, d, es de 210 mm en las secciones de apoyo. Al dimensionar a flexión simple las secciones de los apoyos (sin armadura de compresión), se obtiene que las capacidades mecánicas necesarias son de 14,24 kN, en los apoyos 1 y 4, y de 75,05 kN, en los apoyos 2 y 3, valores que hay que comparar, según la EFHE, con el siguiente 25 0,20 · b0 · d · fcd = 0,20 · 45 · 210 · —–· 10–3 = 31,5 kN 1,5 siendo b0 = 45 mm el ancho mínimo de la sección (Figura 5.3.a).

En los apoyos 1 y 4 resulta que el valor de la EFHE es mayor que la capacidad mecánica necesaria, y por tanto hay que disponer en éstos la siguiente capacidad mecánica mínima

Us Us,mín = 1,5 – 2,49 · ————– · Us = b0 · d · fcd

14,24 = 1,5 – 2,49 · ———–—— · 14,24 = 21,358 kN 40 45 · 210 · —– 1,5 Con todo ello, las capacidades mecánicas, Us, necesarias de las distintas armaduras de tracción, así como las soluciones adoptadas, son recogidas en la Tabla 5.14.

a) Dimensioning for flexure Placing the negative moment reinforcement underneath the additional reinforcement, considering the latter to be located in the centre of the topping and taking account also of construction tolerances, the mechanical cover over the mild reinforcement in the negative moment region is approximately equal to 40 mm (Figure 5.3), and consequently the effective depth d is 210 mm in the support sections. When dimensioning the support sections for simple flexure (with no compression reinforcement), the required capacities come to 14.24 kN in supports 1 and 4, and 75.05 kN in supports 2 and 3, values which must be compared, according to code EFHE, to the following 25 0.20 · b0 · d · fcd =0.20 · 45 · 210 · —–· 10–3 = 31.5 kN 1.5 where b0 = 45 mm is the minimum section width (Figure 5.3.a). In supports 1 and 4 the EFHE value is greater than the required capacity, so the following minimum required capacity must be provided in both cases

Us Us,min = 1.5 – 2.49 · ————– · Us = b0 · d · fcd

14.24 = 1.5 – 2.49 · ———–—— · 14.24 = 21.358 kN 40 45 · 210 · —– 1.5 The resultant required capacities, Us, needed for the different tensile reinforcements and the solutions adopted are given in Table 5.14.

Tabla 5.14 Cuantías en los apoyos obtenidos por flexión Ratios for supports found by dimensioning for flexure Sección Section

Apoyos 1 y 4 Supports 1 and 4

Apoyos 2 y 3 Supports 2 and 3

Us (kN) por ﬂexión Us (kN) for ﬂexure

14,24

75,05

Us (kN) mínima Minimun Us (kN)

22,07

Profundidad, x/d Depth, x/d

0,05

0,25

1 φ 10

2 φ 12

Armadura tracción Tensile reinforcement *En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

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5 b) Cálculo de las longitudes de las barras

b) Calculating of bar length

Barras de 10 mm de diámetro nominal (apoyos 1 y 4)

Bars with a nominal diameter of 10 mm (supports 1 and 4)

Son barras que, de acuerdo con la EFHE, han de tener una longitud total, l:

These are bars which, pursuant to EFHE, must have a total length, l:

l ≥ B + 0,1 · L = 0,40 + 0,1 · 4 = 0,80 m

l ≥ B + 0.1 · L = 0.40 + 0.1 · 4 = 0.80 m

siendo B la anchura de los apoyos (0,40 m) L la luz de los vanos (4 m en ambos vanos extremos)

where B is the support width (0.40 m) L is the bay span length (4 m in both end bays).

Barras de 12 mm de diámetro nominal (apoyos 2 y 3)

Bars with a nominal diameter of 12 mm (supports 2 and 3)

Se encuentran en Posición II, por lo que la longitud de anclaje será lb,II

As they are in Position II, the anchorage length must be lb,II

lb,II = 1,4 · m · φ2 = 1,4 · 12 · 1,22 = fyk 400 = 0,24 m < —– · φ = —– · 1,2 = 0,34 m 14 14 lb,II = 0,34 m Sin embargo, estas barras van a anclarse a partir de la sección de momento nulo, por lo que es suficiente disponer la longitud de anclaje reducida, lred lb 0,34 = —— < 10 · φ = 10 · 0,012 < 0,15 m lred ≥ — 3 3 lred = 0,15 m con lo cual la longitud total de estas barras, ltot, teniendo en cuenta la ley de momentos y el fenómeno del decalaje, queda ltot =(xM +d+lred)·2=(1,06+0,21+0,15)·2 2,90 m

lb,II = 1.4 · m · φ2 = 1.4 · 12 · 1.22 = fyk 400 = 0.24 m < —– · φ = —– · 1.2 = 0.34 m 14 14 lb,II = 0.34 m These bars, however, are to be anchored starting from the nil moment section, so the reduced anchorage length, lred, suffices lb 0.34 = —— < 10 · φ = 10 · 0.012 < 0.15 m lred ≥ — 3 3 lred = 0.15 m

whereby the total length of these bars, ltot, considering both moments and lag, would be ltot =(xM +d+lred)·2=(1.06+0.21+0.15)·2 2.90 m

(simétrica respecto al eje del apoyo)

(symmetrical around the support centreline).

c) Dimensionamiento a cortante

c) Dimensioning for shear

De acuerdo con la EFHE, el esfuerzo cortante de agotamiento por compresión oblicua del alma, Vu1, es, por metro de ancho

Pursuant to the EFHE, the limit state shear due to oblique compression on the web, Vu1, is, per metre of width

40 0,3 · —– · 45 · 210 · 10–3 0,3 · fcd · b0 · d 1,5 — = ————–——————– = Vu1 = —————— 0,7 0,7

40 0.3 · —– · 45 · 210 · 10–3 0.3 · fcd · b0 · d 1.5 — = ————–——————– = Vu1 = —————— 0.7 0.7

= 108 kN/m

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5 El esfuerzo cortante de agotamiento por tracción oblicua del alma, Vu2, es, por metro de ancho (suponiendo que el forjado cumple con lo establecido al respecto en el Anejo 5 de EFHE)

0,3 2 · fcd · b0 · d = Vu2 = ———————— 0,7 40 0,3 2· —– · 45 · 210 · 10–3 1,5 = ————–———————–– = 0,496 kN/m 0,7

The ultimate state shear due to tensile stress on the web, Vu2, is, per metre of width (assuming that the slab is compliant with the provisions in this regard laid down in Annex 5 to code EFHE)

0.3 2 · fcd · b0 · d = Vu2 = ———————— 0.7 40 0.3 2· —– · 45 · 210 · 10–3 1.5 = ————–———————–– = 0.496 kN/m 0.7

40 adoptando para fcd = —– MPa la resistencia 1,5 de cálculo del hormigón de la vigueta.

40 adopting fcd = —– MPa for the design con1.5 crete strength of the joist.

El cortante pésimo de agotamiento por compresión del alma, Vrd1, se produce en los bordes internos de los apoyos 2 y 3, de valor

The most severe shear force due to web compression, Vrd1, appears on the internal edges of supports 2 and 3, with a value of

Vrd1 = 27,36 kN < Vu1

Vrd1 = 27.36 kN < Vu1

y por tanto se satisface la comprobación.

therefore satisfying the code requirement.

En los vanos 1-2 y 3-4 el cortante pésimo por tracción oblicua del alma, calculado a una distancia de un canto útil de la cara interna de los apoyos 2 y 3 vale, respectivamente Vrd23 = 24,17 kN > Vu2 Vrd21 = 24,23 kN > Vu2 Al ser estos valores mayores que Vu2, es necesario efectuar macizados a izquierda y derecha de los apoyos 2 y 3 de 0,58 m y 0,67 m de anchura, respectivamente, desde los ejes de los apoyos (Figura 5.3.g). Ahora bien, dado que el semiancho de las vigas es de 0,20 m, el ancho real de los macizados pasa a ser de 0,40 m en los vanos (1-2) y (3-4), y de 0,50 m en el vano (2-3), respectivamente, contados a partir de la cara interna de los correspondientes apoyos.

The most severe shear force due to tensile stress on the web in bays 1-2 and 3-4, calculated from a distance of one effective depth from the internal face of supports 2 and 3, amounts, respectively, to Vrd23 = 24.17 kN > Vu2 Vrd21 = 24.23 kN > Vu2 Since these values are higher than Vu2, drop panels need to be built at the left and right of supports 2 and 3, with widths of 0.58 m and 0.67 m, respectively, from the support centrelines (Figure 5.3.g). Given, however, that the halfwidth of the beams is 0.20 m, the real width of the drop panels will be 0.40 m in bays (1-2) and (3-4) and 0.50 m in bay (2-3), respectively, counting from the internal face of the respective supports.

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1 10 0,80

19,97

1 10 0,80

2 lred

4,19 4,19

19,97

2,90

1ø10 0,80

2,90

16,77

19,80 Momentos flectores ponderados (kN∑m/m) Momentos flectores (kN·m/m)

Bending momen (kN·m/m)

0,67

Hipótesis II HipÛtesis HipÛtesis Hipótesis IIII

30,40

Hipótesis III HipÛtesis III

29,31

Vu 2 = 22,31 20,19

Vu 2 = 22,31

20,19

29,31 0,58

30,40

Esfuerzos cortantes (kN/m) Esfuerzos cortantes ponderados (kN/m)

Shear forces (kN/m)

Figura 5.3.g Comparación de secciones transversales Comparison between transversal cross sections

d) Dimensionamiento a rasante

d) Dimensioning for shear-friction

El esfuerzo rasante de agotamiento, Vur, es, por metro de ancho

The ultimate shear-friction capacity Vur, per metre of width is 3

0.21· 252 0.5 · 120 · 210 · ———–—– β · p · d · fctd 1.5 = ———————————— · 10–3 = Vur = ————— 0.7 0.7

0,21· 252 0,5 · 120 · 210 · ———–—– β · p · d · fctd 1,5 = ———————————— · 10–3 = Vur = ————— 0,7 0,7

= 21.55 kN/m < Vrd1

= 21,55 kN/m < Vrd1 siendo β factor que, en este caso, se puede tomar igual a 0,5, según EHE p perímetro crítico a rasante, igual a 120 mm (Figura 5.3.h) fcv resistencia virtual a cortante del hormigón “in situ”

where β is a factor which, in this case, may be taken to be equal to 0.5, according to code EHE p is the critical perimeter under shear-fric tion, equal to 120 mm (Figure 5.3.h) fcv is the virtual shear strength of the cast-inplace concrete

71 p

30 p 180 120

110 p = 120 mm

110 (cotas en mm)

(Cotas enmm) mm) (units in

p = 185 mm

Figura 5.3.h Comparación de secciones transversales Comparison between transversal cross sections

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5 Al ser Vur < Vrd1 en los dos vanos, la comprobación no resulta satisfactoria por un estrecho margen. Sí lo sería si se hubiera efectuado la comprobación en el borde de los macizados. No obstante, el margen de seguridad puede ser mucho mayor, y disminuye la sensibilidad de la solución constructiva respecto a los defectos de ejecución (por ejemplo, de hormigonado), utilizando viguetas completas en lugar de semiviguetas, ya que de este modo, y a igualdad de las demás variables geométricas, se incrementa de modo importante el perímetro crítico, p (Figura 5.3.h), además, de conseguir otras ventajas, como la disminución del número de sopandas y el incremento de la rigidez del forjado, es decir, se disminuye el coste y las flechas. e) Cálculo de la armadura de reparto Las áreas mínimas, en cm2/m de ancho, que han de tener las dos familias de barras de la armadura de reparto, se obtienen con las expresiones de EFHE 50 · 5 50 · h A1 ≥ ———0 = ———— = 0,58 cm2/m 500/1,15 fyd

25 · h 25 · 5 A2 ≥ ———0 = ———— = 0,29 cm2/m 500/1,15 fyd

Since Vur < Vrd1, albeit slightly, in both bays, the results of the verification exercise are unsatisfactory. The design would have proved to be acceptable had the verification been conducted for the forces on the edge of the drop panels. Nonetheless, the margin of safety will be much higher and the sensitivity of the construction solution to faulty workmanship (in concreting, for instance) much lower if I-beams are used since, all other things being equal, the critical perimeter, p, is substantially enlarged (Figure 5.3.h); other beneficial effects of using I-beams include the decrease in the number of knee braces needed and greater slab stiffness: in other words, reduced cost and less deflection.

e) Calculation of additional reinforcement The minimum area requirement, in cm2/m of width, for both families of additional reinforcing bars is obtained from the EFHE code formulas: 50 · 5 50 · h A1 ≥ ———0 = ———— = 0.58 cm2/m 500/1.15 fyd 25 · h 25 · 5 A2 ≥ ———0 = ———— = 0.29 cm2/m 500/1.15 fyd where A1 is the area perpendicular to the slab ribs

siendo A1 el área perpendicular a los nervios del forjado A2 el área paralela a los nervios del forjado

A2 is the area parallel to the slab ribs.

En consecuencia, se opta por una solución compuesta por paneles de mallas electrosoldadas estándar con la designación ME 30 x 30 A φ 5-5 B500SD 6 x 2,2 UNE 36092:1996

Consequently, the solution adopted consists in standard electro-welded wire fabric panels with the following designation: ME 30 x 30 A φ 5-5 B500SD 6 x 2.2 UNE 36092:1996

f) Comprobación del Estado Límite de fisuración por tracción

f) Verifying the tensile Cracking Limit State

De manera simplificada(4) la abertura característica de las fisuras, wk, si se quiere tener en cuenta el efecto combinado de las cargas directas y de las acciones indirectas, se puede obtener, en milímetros, mediante la siguiente expresión

The characteristic width of cracks in millimetres, wk, account taken of the combined effect of direct loads and indirect actions, can be obtained in simplified terms(4) from the following expression

φ wk = (1,40 + 1,3 · εcs) · 2 · c + k · — ·10–3 ρ1

(4) Esta fórmula se ha obtenido de la “Guía de Aplicación de la EHE”.

φ wk = (1.40 + 1.3 · εcs) · 2 · c + k · — ·10–3 ρ1

(4) This expression is taken from the book “ Guía de Aplicación

de la EHE”.

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5 siendo c el recubrimiento neto de la armadura de tracción, en mm k un coeficiente tabulado en función del canto total de la pieza y del diámetro de la armadura de tracción φ el diámetro máximo de la armadura de tracción, en mm ρl la cuantía geométrica de la armadura de tracción respecto a la sección bruta de hormigón, en tanto por 1000 εcs la retracción libre del hormigón, en tanto por 1000, que, de modo aproximado, está tabulada en función del canto total de la pieza En el caso presente, para las secciones que pasan por los ejes de los apoyos 2 y 3, los datos son los siguientes: c = 39,4 mm k = 25,78 φ = 12 mm

b = b0 = 45 mm h = 250 mm

where c is the net cover of the tensile reinforce ment in mm k is a coefficient tabulated vs the total depth of the member and diameter of the tensile reinforcement φ is the maximum diameter of the tensile reinforcement, in mm ρl is the geometrical ratio of the tensile rein forcement with respect to the gross con crete section, in per cent εcs is unrestrained concrete shrinkage in per mil which is tabulated, approximately, vs the total depth of the member. In the present case, for sections that pass through the centrelines of supports 2 and 3, the figures are as follows: c = 39.4 mm k = 25.78 φ = 12 mm

2·π·122

εcs = 0,42

——— 4 ρ1 = ——— · 103 = 20,106 45·250

εcs = 0.42

b = b0 = 45 mm h = 250 mm

2·π·122 ——— 4 ρ1 = ——— · 103 = 20.106 45·250

73 from which it may be deduced that

quedando

wk = (1.40 + 1.3 · 0.42) ·

wk = (1,40 + 1,3 · 0,42) ·

12 · 2 · 39,4 + 25,78 · ——— ·10–3 = 0,18 mm 20,106

12 · 2 · 39.4 + 25.78 · ——— ·10–3 = 0.18 mm 20.106

valor que es un 3,5 % menor que el obtenido con un cálculo “más exacto" como el que figura en la EHE(5).

a value that is 3.5% less than obtained with a “more accurate" calculation such as given in code EHE(5).

g) Comprobación del Estado Límite de deformación

g) Verification of the Deformation Limit State

Según la EFHE, para luces no superiores a 7,0 m y sobrecargas no mayores de 4 kN/m2, no es necesario comprobar la flecha si el canto total no es inferior al canto mínimo dado por la expresión δ1 · δ2 · L — hmín = ——— C

According to code EFHE, for span lengths of no more than 7.0 m and live loads no larger than 4 kN/m2, deflection need not be verified if the total depth is not less than the minimum depth found from the expression

(5) Es habitual que la fisuración del hormigón traccionado de los apoyos interiores de los forjados sea significativa. Se trata por tanto de una comprobación que conviene no obviar y que puede aconsejar la disposición de un área de armadura de tracción superior a la obtenida en el dimensionamiento a flexión, que constituye uno de los mejores modos de disminuir la abertura característica de las fisuras.

δ1 · δ2 · L — hmin = ——— C (5) Tensioned concrete cracking in interior slab supports is

usually significant. This verification should not, therefore, be overlooked and may indicate the advisability of providing for a larger tensile reinforcement area than obtained when dimensioning for flexural tension stresses, one of the best ways to decrease characteristic crack width.

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5 siendo δ1 un factor que viene dado por la expresión [(g + q)/7]0,5, con las cargas en kN/m2

δ2

un factor que viene dado por la expresión

(L/6)0,25,

con la luz L en m

L la luz de cálculo, en m C un coeficiente tabulado en función del tipo de forjado, de las condiciones de enlace del vano y de la vulnerabilidad de los elementos no estructurales En este caso, los datos concretos son:

δ1 = 1,042 δ2 = 0,9036 en los vanos de 4 m δ2 = 0,9554 en los vanos de 5 m

C = 23 en los vanos de 4,0 m (forjado pretensado y vano extremo) C = 26 en el vano de 5,0 m (forjado pretensado y vano interior) Con estos datos, resulta, para los vanos de 4,0 m

where δ1 is a factor defined as [(g + q)/7]0.5 , where loads are given in kN/m2 δ2 is a factor defined as (L/6)0.25, where the span length L is given in m L is the design span length, in m C a coefficient tabulated vs type of slab, bay connection conditions and vulnerability of the non-structural elements In this case, the specific figures are: δ1 = 1.042

δ2 = 0.9036 in 4-m bays δ2 = 0.9554 in 5-m bays

C = 23 in 4.0-m bays (prestressed slab and end bay) C = 26 in 5.0-m bays (prestressed slab and interior bay) Using these figures, the results for 4.0-m bays are 1.042·0.9036·4 hmin = ——————— ·1000 =163.75mm < 250 mm 23

1,042·0,9036·4 hmín =———————·1000=163,75 mm < 250 mm 23

and for the 5.0-m bay

y para el vano de 5,0 m

1.042·0.9544·5 hmin = ——————— ·1000 =191.25mm < 250 mm 26

1,042·0,9544·5 hmín =———————·1000=191,25 mm < 250 mm 26 por lo que no es necesario comprobar las flechas. La experiencia demuestra que, en general, cuando se elige en cada vano el tipo de vigueta pretensada en función del momento máximo ponderado de vano, el momento en servicio no supera al de descompresión. En caso contrario, es recomendable escoger la vigueta con este criterio, pues no suele ser conveniente más que tomar el tipo de vigueta inmediatamente superior y, con ello, la rigidez en la zona de momentos positivos es la de la sección del forjado sin fisurar, sin que por ello el incremento de coste sea significativo.

Therefore, deflections need not be verified. Experience shows that, generally speaking, when the type of prestressed joist is chosen in each bay on the grounds of the weighted maximum moment in the bay, the serviceability moment does not exceed the decompression moment. Otherwise, it is recommendable to choose the joist with on the basis of this criterion, since usually the only advisable course of action is to opt for the immediately larger joist, which ensures that the stiffness in the positive moment region concurs with the stiffness of the non-cracked slab section, without any significant increase in cost.

5.4. TWO-BAY PORTAL FRAME IN AN AREA OF SEISMIC RISK 5.4. PÓRTICO PLANO DE DOS VANOS BAJO ACCIONES SÍSMICAS Se ha proyectado un edificio de una sola planta de 4,0 m de altura, con forjado unidireccional de 250 mm de canto (200+50), cuyos

A one-storey building, 4 m high, is designed with a 250-mm (200+50) deep one-way slab, whose ribs run in the long direction (Figure 5.4.a). The dimensions of all the beams running in the short direction are (b x h) = (450 x 500)

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5 nervios discurren en dirección paralela al lado mayor (Figura 5.4.a). Las dimensiones de todas las vigas paralelas al lado menor son (b x h) = (450 x 500) mm; las de las paralelas al lado mayor, (b x h) = (300 x 450) mm; las de los pilares, (b x h) = (400 x 400) mm; las de los voladizos paralelos al lado menor (b x h) = (450 x 250) mm, y las de los voladizos paralelos al lado mayor, (b x h) = (300 x 250) mm. El valor característico de las acciones es el recogido en la Tabla 5.15 y la aceleración sísmica de cálculo ac /g = 0,10.

mm; the beams running in the long direction measure (b x h) = (300 x 450) mm; the column dimensions are (b x h) = (400 x 400) mm; the cantilevers in the short direction measure (b x h) = (450 x 250) mm, and in the long direction (b x h) = (300 x 250) mm. The characteristic value of the actions is shown in Table 5.15 and the design seismic acceleration is ac /g = 0.10.

0,50 1

6,00

4,00 3

0,50 0,50

5,00

(Cotas en m)

5,00

0,50

(Units in m)

Figura 5.4.a Planta de la estructura Plan of the two-bay portal

Se trata de dimensionar el pórtico (7-8-9) respecto a los Estados Límite Últimos y para las situaciones persistente y sísmica, considerando: hormigón H-30/B/20/IIa, acero B400SD y control de la ejecución a nivel normal.

The exercise consists of dimensioning portal frame (7-8-9) for Ultimate Limit States for general and seismic conditions, given: concrete H-30/B/20/IIa, steel B400SD and normal control of construction works.

Los cerramientos están desconectados de la estructura, de modo que no modifican la respuesta sísmica de ésta.

The enclosures are not connected to the structure and therefore do not impact its seismic response.

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5 Se proyecta con ductilidad baja (µ=2, según NCSE-94). El local queda diáfano, y el subsuelo es de Tipo I (C =1,0, según NCSE-94).

The building is designed for low ductility (µ=2, according to NCSE-94). The premises are unobstructed and built on subgrade type I (C =1.0, in NCSE-94).

Tabla 5.15 Acciones características Characteristic actions Acción Action

Cargas permanentes Dead loads (kN/m2)

Sobrecarga Live loads (kN/m2)

Peso Propio Forjado Slab self weight

3,3

Peso Propio Cubierta Roof self weight

2,4

Peso Propio Cielo-raso Ceiling self weight

0,2

Nieve Snow

0,4

Uso Use

1,5

Cargas permanentes Dead loads (kN/m)

Sobrecarga Live loads (kN/m)

Carga total Total load (kN/m)

2,0

Otros elementos Other elements Antepecho Apron

Carga total Total load (kN/m2)

7,8

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

Los coeficientes de mayoración de las acciones considerados figuran en la Tabla 5.16 y los coeficientes de minoración de las resistencias de los materiales son los siguientes:

The load factors for the actions considered are given in Table 5.16 and the material strength coefficients are as follows: - Under general conditions concrete, γc = 1.5; steel, γs = 1.15 - Under seismic conditions concrete, γc = 1.3; steel, γs = 1.00.

- En la situación persistente hormigón, γc = 1,5; acero, γs = 1,15 - En la situación sísmica hormigón, γc = 1,3; acero, γs = 1,00

Tabla 5.16 Coeficientes de ponderación de las acciones Load factors for actions Tipo acción Type of action Permanente Permanent Permanente de valor no constante Permanent variations in value Variable Non-permanent Accidental Accidental

Situación persistente General conditions

Situación accidental Accidental conditions

E. favorable Favourable E.

E. desfavorable Unfavourable E.

E. favorable Favourable E.

E. desfavorable Unfavourable E.

γG =1,0

γG =1,6

γG =1,0

γQ =0,0

γQ =1,6

γQ =0,0 γA =1,0

γQ =1,0 γA =1,0

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

En la situación persistente, el pórtico (7-8-9) queda sometido a una carga uniformemente distribuida de 39,0 kN/m, más el peso propio de las vigas o de los voladizos, y a una carga puntual de

Under general conditions, portal frame (7-89) is subjected to a uniformly distributed load of 39.0 kN/m, plus the self weight of the beams or cantilevers and a point load of 10 kN at the edge

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5 10 kN en el extremo de cada voladizo debida al peso propio de los antepechos. En consecuencia, las leyes de momentos flectores y de esfuerzos cortantes lineales son las de la Figura 5.4.b.

of each cantilever induced by the self weight of the aprons. The resulting linear bending moments and shear forces are as given in Figure 5.4.b. 228,14 205,33

178,56 160,70

101,44 91,30 40,00 36,00 16,30

16,30 41,90

51,25

Ley el·stica-lineal Ley redistribuida un 10 %

159,62

Momentos flectores (kN.m) Bending moments (kN.m)

175,53

Momentos flectores (kN-m)

195,20 193,08

177,44 173,98

49,40 = = 49,40 16,00 = = 16,00

49,40 = = 49,40

49,40 = = 49,40 108,16 111,63

Esfuerzos cortantes (kN)

233,20 235,32

Esfuerzos cortantes Shear forces (kN)(kN)

Figura 5.4.b Leyes de esfuerzos ponderadas, lineales y redistribuidas, debidas a las cargas gravitatorias Lineal and redistributed design bending moments and shear forces diagrams due to dead loads

En la situación accidental (sísmica), como la carga permanente total es de 2211,86 kN y la sobrecarga total es de 103,95 kN (dado que la nieve no se considera y que de la sobrecarga de uso sólo hay que tener en cuenta el 30%), resulta una masa total de 2315,81 kN, con lo que, teniendo en cuenta los datos de partida y el método simplificado de cálculo de la norma NCSE, se obtiene una fuerza sísmica de 53,3 kN en cada pórtico de dos vanos, y de 88,8 kN en cada pórtico de cuatro vanos. De todo ello se deriva que las leyes de momentos flectores y de esfuerzos cortantes lineales del pórtico (7-8-9) son las de las Figuras 5.4.c y 5.4.d.

Under accidental conditions (earthquake), since the total permanent load is 2211.86 kN and the total live load is 103.95 kN (the snow load is disregarded and only 30% of the use load needs to be considered) the total mass amounts to 2315.81 kN, whereby, given the initial figures and the simplified method of calculation provided by code NCSE, a seismic force of 53.3 kN is found for each two-bay frame and of 88.8 kN for each four-bay portal frame. It may be concluded from all the foregoing that the linear bending moments and shear forces on portal frame (7-8-9) are as given in Figures 5.4.c and 5.4.d.

137,20 71,70 9,30

52,30

26,00

9,30 13,00

Momentos flectores (kN.m) Bending moments (kN . m)

91,20

93,60

Momentos flectores (kN- m)

79,60 27,30

10,00

27,30 69,90

Esfuerzos cortantes (kN) Shear forces (kN)

130,70

Esfuerzos cortantes (kN)

Figura 5.4.c Leyes de esfuerzos sin redistribuir debidas al sismo en dirección 7-9 Lineal bending moments and shear forces under seismic action without redistribution (7-9)

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101,30

115,20

80,60 9,30

9,30 10,20 35,30 77,40

108,70

Momentos flectores (kN.m) Bending moments (kN m)

Momentos flectores (kN-m) .

106,10

27,30 10,00

10,00 27,30

43,40

115,60

Esfuerzos cortantes (kN) Esfuerzos cortantes Shear forces (kN) (kN)

Figura 5.4.d Leyes de esfuerzos sin redistribuir debidas al sismo en dirección 9-7 Lineal bending moments and shear forces under seismic action without redistribution (9-7)

Para comprobar los Estados Límite Últimos de tensiones normales y de esfuerzos cortantes, se ha optado por no redistribuir los esfuerzos derivados de la acción sísmica, por redistribuir un 10% los momentos máximos negativos de las vigas correspondientes a la situación persistente(6), y por dimensionar los pilares con los esfuerzos del cálculo lineal, es decir, sin redistribución. En todo caso, hay que tener en cuenta que efectuar una redistribución del 10% en una estructura traslacional con hormigón de fck = 30

The moments deriving from seismic action are not redistributed, the maximum negative moments on the beams under general conditions(6) are 10% redistributed, and columns are dimensioned using linear analysis, i.e., with no redistribution, to verify the ultimate limit states of normal stresses and shear forces. In any event, it should be borne in mind that, pursuant to code CM-90, a 10% distribution in a sway structure with fck = 30 MPa concrete implies that(7)

MPa, implica, de acuerdo con CM-90, que(7) x x 0,9 = 0,44 + 1,25 · — ⇒ — = 0,368 d d

x x 0.9 = 0.44 + 1.25 · — ⇒ — = 0.368 d d

El paso siguiente es obtener las envolventes de las leyes de esfuerzos, teniendo en cuenta que los debidos a la situación persistente hay que ponderarlos con un coeficiente γf = 1,60 y los correspondientes a la situación

The next step is to obtain the moment envelope diagrams, bearing in mind that the moments due to the general conditions must be weighted by a load factor of γf = 1.60 and the moments deriving from accidental conditions by a factor of γf = 1.00, to reach the results for the bending moment and shear force envelope diagrams given in Figures 5.4.e and 5.4.f, respectively.

(6) Por existir acción sísmica, se ha de considerar, obviamente,

que la estructura es traslacional, con lo que la redistribución máxima que se puede realizar es del 10%, según el CM 90.

(6) Since seismic action is involved, the structure must obviously be regarded to be a sway frame, and therefore the maximum allowable redistribution, according to code CM 90, is 10%.

(7) Obsérvese la importante ventaja que tiene proyectar con

(7) Attention is drawn to the substantial advantage to designing

un acero con características especiales de ductilidad, pues se puede llegar a una profundidad de la fibra neutra de 0,368d, en tanto que, con ductilidad reducida, dicha profundidad no tendría que ser superior a 0,12d para el mismo grado de redistribución.

for special ductility steel, as this allows for neutral axis depths of up to 0.368d, compared to a depth of 0.12d for low ductility steel under the same redistribution conditions.

accidental con γf = 1,00, obteniéndose, respectivamente, las envolventes de momentos flectores y de esfuerzos cortantes de las Figuras 5.4.e y 5.4.f.

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l+d

3,00

0,41

Cargas gravitatorias (redistribuida) Cargas gravitatorias (redistribuida)

l+d

Sismo en 7-97-9 (no(no redistribuida) Sismo en dirección direcciÛn redistribuida) Sismo en 9-79-7 (no(no redistribuida) Sismo en dirección direcciÛn redistribuida)

1,55

45 x 25

45 x 50

7 0,95

2 4

45 x 50

45 x 25

0,95

2,90 4

16 ; 5,55

16 ; 6,35 0,168

0,168 0,40

16 ; 5,25

0,40

16 ; 6,05

0,90

6 c/0,14 0,50

4 0,50

6 c/0,14 1,88

16 ; 4,90

6 c/0,20

2,24

6 c/0,14

1,88

6 c/0,20

6 c/0,14

4,00

Figura E4-5.Corte de barras, anclaje y plano de ferralla de las vigas a partir de la envolvente de las leyes de esfuerzos

Figura 5.4.e Corte de barras, anclaje y plano de ferralla de las vigas a partir de la envolvente de las leyes de esfuerzos Detail plan for a girder (7-8-9) as a result of the bending moment and shear force envelope diagrams

195,20

173,98 Vs u , m Ì n= 79,66 kN

49,40

V cu = 77,08 kN

16,00 16,00 Vcu = 77,08 kN

49,40

111,62

Vs u , m Ì n = 79,66 kN

Cargas gravitatorias Cargas gravitatorias Sismoenen direcciÛn Sismo dirección 7-9 7-9

Sismoenen direcciÛn Sismo dirección 9-7 9-7

233,20 8

Figura 5.4.f Envolvente de las leyes de cortantes ponderados (kN) Design shear force envelope diagram

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5 En la situación accidental, como se ha optado por no redistribuir, la solución es obvia; en cambio, en la situación persistente, se ha procedido del modo siguiente:

Under accidental conditions, since moments are not redistributed, the solution is obvious; under general conditions, however, the following procedure is followed:

1- Cálculo de los momentos negativos máximos redistribuidos (Tabla 5.17).

1- Calculation of redistributed maximum negative moments (Table 5.17).

Tabla 5.17 Momentos negativos máximos redistribuidos (kN·m) Redistributed maximum negative moments (kN·m)

Momento flector Bending moment

Vano 7-8 Bay 7-8

Vano 8-9 Bay 8-9

Apoyo dorsal Left support

Apoyo frontal Right support

Apoyo dorsal Left support

Apoyo frontal Right support

Lineal Linear

63,40

142,60

111,60

25,00

Redistribuido Redistributed

57,10

128,30

100,40

22,50

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

2- Cálculo de los esfuerzos cortantes máximos redistribuidos (Tabla 5.18) que, en términos algebraicos, responden a la siguiente ecuación genérica

2- Calculation of redistributed maximum shear forces (Table 5.18) which, in algebraic terms, can be found from the following generic equation

q · L2 Mf + Md Vi = —–— + ———– 2 L

siendo q la carga uniformemente distribuida L la luz de cálculo de vano Md el momento hiperestático del apoyo dorsal

where q is the uniformly distributed load L is the design span length of the bay Md is the statically indeterminate moment of the rear support Mf is the statically indeterminate moment of the front support

Mf el momento hiperestático del apoyo frontal

Tabla 5.18 Esfuerzos cortantes máximos redistribuidos (kN) Redistributed maximum shear forces (kN) Esfuerzo cortante Shear force

Vano 7-8 Bay 7-8

Vano 8-9 Bay 8-9

Apoyo dorsal Left support

Apoyo frontal Right support

Apoyo dorsal Left support

Apoyo frontal Right support

Lineal Linear

120,70

144,08

110,90

67,60

Redistribuido Redistributed

122,00

145,80

108,70

69,80

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

3- Obtención de las leyes redistribuidas de momentos flectores y de esfuerzos cortantes

3- Finding redistributed bending moments and shear forces

Vano 7-8

Bay 7-8

44,625 M(x) = – ——— x2 + 122 · x – 57,1 2

44.625 M(x) = – ——— x2 + 122 · x – 57.1 2

V(x) = – 44,625 · x + 122

V(x) = – 44.625 · x + 122

y el momento máximo de vano es Mv,máx (x = 2,734 m) = 109,7 kN·m

and the maximum moment taken by the bay is Mb,max (x = 2.734 m) = 109.7 kN·m.

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5 Vano 8-9

Bay 8-9

44,625 M(x) = – ——— x2 + 108,7 · x – 100,4 2

44.625 M(x) = – ——— x2 + 108.7 · x – 100.4 2

V(x) = – 44,625 · x + 108,7

V(x) = – 44.625 · x + 108.7

y el momento máximo de vano es Mv,máx (x = 2,436 m) = 32,0 kN·m

a) Dimensionamiento a flexión de las vigas

and the maximum moment taken by the bay is Mb,max (x = 2.436 m) = 32.0 kN·m.

a) Dimensioning beams for flexure

Como la Clase de Exposición es IIa, el recubrimiento mínimo es de 25 mm, según EHE, y el recubrimiento nominal, de 35 mm (25+10), pues el control de la ejecución es a nivel normal. Por lo tanto, se va a considerar un recubrimiento mecánico de 50 mm y un canto útil de 200 mm en los voladizos y de 450 mm en los vanos.

Given an Exposure Class of IIa, the minimum cover pursuant to EHE is 25 mm, and, since normal control of construction works is envisaged, nominal cover is 35 mm (25+10). Therefore, a mechanical cover of 50 mm and effective depths of 200 mm and 450 mm will be assumed for cantilevers and bays, respectively.

La anchura de las vigas es de 450 mm (mayor que 400 mm), por lo que la armadura transversal estará compuesta por estribos de 4 ramas, obligando a que la armadura continua longitudinal, en ambas caras, esté formada por no menos de 4 barras.

The above beam depth, 450 mm (greater than 400 mm), calls for transverse reinforcement consisting of rectangular stirrups, whereby the continuous longitudinal reinforcement on both faces must consist of at least four bars.

Además, la cuantía geométrica mínima, de acuerdo con EHE, para el acero B400SD, es

3,3 As ≥ ——– · 450 · 500 = 742,5 mm2 1000 400 Us ≥ 742,5 · —— = 258,3 kN 1,15

Moreover, the minimum geometrical ratio, according to code EHE, for B400SD steel is

3.3 As ≥ ——– · 450 · 500 = 742.5 mm2 1000 400 Us ≥ 742.5 · —— = 258.3 kN 1.15

por lo que se adopta una armadura continua, en ambas caras de las vigas, de 4 φ 16, que actúa como armadura de compresión tanto en las secciones de los apoyos como en las de los vanos.

Hence, the solution adopted consists of providing for four continuous 16-mm reinforcement bars on both faces of the beams, which act as compression reinforcement in both the support and central sections.

El momento relativo límite (x/d = 0,368), es

The limit relative moment (x/d = 0.368), is

µlím = 0,688 · 0,368 · (1–0,416 · 0,368) = 0,214

µlim = 0.688 · 0.368 · (1–0.416 · 0.368) = 0.214

y el momento relativo máximo que se da en la sección de apoyo central

and the maximum relative moment, which appears in the central support section is

Md 205,33 · 106 µd = ———– —2 = —————–— = 0,1127 < µlím fcd · b · d 30 –— · 450 · 4502 1,5

Md 205.33 · 106 µd = ———– —2 = —————–— = 0.1127 < µlim fcd · b · d 30 –— · 450 · 4502 1.5

por lo tanto la armadura de compresión prevista no es estrictamente necesaria.

therefore the compression reinforcement envisaged is not strictly necessary.

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5 En la Tabla 5.19 se recogen las cuantías de armaduras de tracción. En la sección frontal del vano (7-8), la más solicitada, x/d = 0,1784 (Dominio 2), por lo que es admisible la redistribución efectuada.

Table 5.19 shows the tensile reinforcement ratios. In the front section of the bay (7-8), the one under greatest stress, x/d = 0.1784 (Domain 2), confirming that the redistribution used is valid.

Tabla 5.19 Cuantía de armadura de tracción Tensile reinforcement ratio VoladizoV-7 Cantilever V-7

Vano 7-8 Bay 7-8

Vano 8-9 Bay 8-9

Apoyo dorsal Left support

Centro vano Mid-span

Apoyo frontal Right support

Mínimo 4φ16

415 kN 4φ16 + 2φ16

491 kN 4φ16 + 2φ20

378 kN 4φ16 + 2φ20

Mínimo 4φ16

(*) Es consecuencia de simetrizar las dos barras flotantes de 20 mm de diámetro nominal

(*) This results from the symmetry envisaged for the two floating bars with a nominal diameter of 20 mm

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

Por otro lado, se han considerado unas longitudes de anclaje no inferiores a la longitud básica, y tampoco al canto útil, resultando

Moreover, the anchorage lengths considered may not be shorter than the basic length or than the effective depth, whence

Barras de φ 16 mm

fyk lI ≥ m · φ2 ≥ —– · φ ≥ 450 mm 20 82

Centro vano Apoyo frontal* Mid-span Right support

VoladizoV-7 Cantilever V-7

16-mm Bars

lI = 450 mm

fyk lII ≥ 1,4 · m · φ2 ≥ —– · φ ≥ 450 mm lII = 460 mm 14 Barras de φ 20 mm

fyk lI ≥ m · φ2 ≥ —– · φ ≥ 450 mm 20 lII

≥ 1,4 · m · φ2

fyk lI ≥ m · φ2 ≥ —– · φ ≥ 450 mm 20

lI = 450 mm

fyk lII ≥ 1,4 · m · φ2 ≥ —– · φ ≥ 450 mm lII = 460 mm 14 20-mm Bars

lI = 450 mm

fyk ≥ —– · φ ≥ 450 mm lII = 570 mm 14

El despiece de las armaduras queda reflejado en las Figuras 5.4.e y 5.4.g; se ha tenido en cuenta el fenómeno de decalaje de la ley de momentos (desplazamiento de un canto útil en el sentido más desfavorable), observándose que: - Por simplicidad constructiva y de control, se han simetrizado las barras flotantes de momentos positivos, respecto a la sección de centro de vano, y las del apoyo central, respecto al eje del mismo. - Los empalmes por solapo de las armaduras continuas se han realizado fuera de las previsibles longitudes de las potenciales rótulas plásticas y en torno a las secciones con momento nulo.

fyk lI ≥ m · φ2 ≥ —– · φ ≥ 450 mm 20

lI = 450 mm

fyk lII ≥ 1,4 · m · φ2 ≥ —– · φ ≥ 450 mm lII = 570 mm 14 The reinforcement detailing is shown in Figures 5.4.e and 5.4.g; these schemes were designed taking account of the moment lag phenomenon (displacement by one effective depth in the least favourable direction); attention is drawn to the following: - To simplify construction and control, the positive moment floating bars were made symmetrical with respect to the mid-span section, and the central support bars, with respect to the centreline of the support. - The lap splices in the continuous reinforcement are designed to fall outside the foreseeable lengths of the plastic hinges and in the vicinity of the sections with nil moments.

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4 16

2 20

35 90

500 4 16

450

Figura 5.4.g Sección A-A de las vigas Transversal cross section A-A

b) Dimensionamiento a cortante de la viga (7-8)

b) Dimensioning beam (7-8) for shear The maximum shear force is on the front end.

El esfuerzo cortante máximo se encuentra en el extremo frontal.

83 Vr1d = 218.92 kN < Vu1 = 1215 kN

Vr1d = 218,92 kN < Vu1 = 1215 kN

Vr2d = 186.79 kN < Vcu = 77.08 kN

Vr2d = 186,79 kN < Vcu = 77,08 kN queda por tanto satisfecha la comprobación de las tensiones de compresión en las bielas.

Therefore, the results of strut compression stress verification are satisfactory.

siendo el esfuerzo cortante de cálculo actuante Vr1d en la cara del apoyo el esfuerzo cortante de cálculo actuante Vr2d a un canto útil de la cara del apoyo el esfuerzo cortante de agotamiento por Vu1 compresión de las bielas el esfuerzo cortante absorbido por el Vcu hormigón (teniendo en cuenta únicamente la cuantía de armadura continua, para simplificar)

where is the design shear force on the sup Vr1d port face is the design shear force acting on the Vr2d effective depth of the support face is the limit state shear force due to Vu1 strut compression is the shear force absorbed by the Vcu concrete (taking account of the continuous reinforcement only, for the sake of simplification)

Por otra parte, como Vrd < Vu1/5, la separación de los estribos en los vanos no ha de ser superior a

Moreover, since Vrd < Vu1/5, stirrup spacing in the bays should not be greater than:

st = 0,8 · d = 0,8 · 450 = 360 mm > 300 mm

st = 0.8 · d = 0.8 · 450 = 360 mm > 300 mm

Además, se ha de cumplir que

Since the following must also hold

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5 4 · π · 62 400 ———– · —— 4 1,15 Ust st ≤ ————— = —————— = 218,55 mm 30 0,02 · b · fcd 0,02 · 450 · —– 1,5 con lo que, como mínimo, habrá una armadura transversal consistente en 4 φ 6 c/200mm, capaz de absorber un cortante Ust Vsu,mín = 0,9 · d · —– = 79,66 kN st No obstante, y dado que con estos estribos mínimos más la colaboración del hormigón, se obtiene un cortante inferior a Vr2d, es necesario que los estribos estén más próximos en esta zona, resultando Vsu = Vr2d – Vcu = 186,79 – 77,08 = 109,71 kN st ≤ 145,22 mm

Se opta por disponer 4 φ 6 c/140 mm en una distancia de 1,88 m, contada desde el eje del apoyo central, que es superior a la estrictamente necesaria, y que permite que toda la longitud de solapo quede dentro de la zona más confinada, es decir, de la sección con mayor cuantía de armadura transversal, dando lugar a la solución ilustrada en la Figura 5.4.e, en la que se ha simetrizado la armadura de cortante respecto a la sección de centro de vano.

c) Dimensionamiento a cortante de la viga (8-9) El esfuerzo cortante máximo se encuentra en el extremo dorsal

4 · π · 62 400 ———– · —— 4 1.15 Ust st ≤ ————— = —————— = 218.55 mm 30 0.02 · b · fcd 0.02 · 450 · —– 1.5 the transverse reinforcement must consist of at least four 6-mm stirrups every 200mm, able to absorb a shear force of: Ust Vsu,min = 0.9 · d · —– = 79.66 kN st Nonetheless, since with these minimum stirrups plus the contribution of the concrete, the shear found is under Vr2d, the stirrups need to be set closer in this region, whereby

Vsu = Vr2d – Vcu = 186.79 – 77.08 = 109.71 kN st ≤ 145.22 mm

The solution chosen is to provide for four 6-mm stirrups every 140 mm over a distance of 1.88 m, counting from the central support centreline, which is greater than strictly necessary and keeps the entire lap within the most confined region, i.e., in the section with the greatest transverse reinforcement ratio; the resulting solution is illustrated in Figure 5.4.e, in which the shear reinforcement is symmetrical with respect to the mid-span section.

c) Dimensioning beam (8-9) for shear The maximum shear force is in the rear

Vr1d = 159,7 kN < Vu1 = 1215 kN

Vr2d = 127,57 kN < Vcu = 77,08 kN

Vr2d = 127,57 kN < Vcu = 77.08 kN

con lo que queda satisfecha la comprobación de las tensiones de compresión en las bielas.

Therefore, the results of strut compression stress verification are satisfactory.

Por otra parte, como Vrd < Vu1/5, la separación de los estribos en los vanos no ha de ser superior a

Moreover, since Vrd < Vu1/5, the stirrup spacing in the bays should not be greater than:

st = 0,8 · d = 0,8 · 450 = 360 mm > 300 mm

st = 0.8 · d = 0.8 · 450 = 360 mm > 300 mm

Además, se ha de cumplir que

The following must also hold

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5 4 · π · 62 400 ———– · —— 4 1,15 Ust st ≤ ————— = —————— = 218,55 mm 30 0,02 · b · fcd 0,02 · 450 · —– 1,5

4 · π · 62 400 ———– · —— 4 1.15 Ust st ≤ ————— = —————— = 218.55 mm 30 0.02 · b · fcd 0.02 · 450 · —– 1.5

y como mínimo, habrá una armadura transversal consistente en 4 φ 6 c/200mm, capaz de absorber un cortante Ust Vsu,mín = 0,9 · d · —– = 79,66 kN st

and at the same time the transverse reinforcement must consisting of at least 4 6-mm stirrups every 200 mm, able to absorb a shear of Ust Vsu,min = 0.9 · d · —– = 79.66 kN st

Con estos estribos, más la colaboración del hormigón, se obtiene un cortante mayor que Vr2d, por lo que en el vano (8-9) basta con disponer a lo largo de toda la pieza los estribos mínimos, es decir, 4 φ 6 c/200 mm.

With these stirrups and the contribution made by the concrete, the shear found is greater than Vr2d, so in bay (8-9) it will suffice to provide for the minimum density of stirrups throughout the member, i.e. four 6-mm stirrups every 200 mm.

d) Dimensionamiento de los soportes

d) Dimensioning supports

Para la situación persistente (sólo cargas gravitatorias) los esfuerzos en servicio de los pilares son los indicados en la Tabla 5.20.

Under general conditions (gravitational loads only) the serviceability forces on columns are as specified in Table 5.20.

Tabla 5.20 Esfuerzos obtenidos en los pilares Forces found for columns Pilar 7 Column 7

Pilar 8 Column 8

Pilar 9 Column 9

My = 53,2 kN·m

My = 30,8 kN·m

My = 14,7 kN·m

N = 151,6 kN

N = 258,0 kN

N = 98,5 kN

Vy = 19,0 kN

Vy = 12,5 kN

Vy = 6,5 kN

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

Para la situación accidental (sísmica), se han obtenido los esfuerzos en las dos direcciones principales utilizando dos modelos planos ortogonales; por tanto, hay que tener en cuenta en cada dirección, una excentricidad adicional de la acción sísmica igual a 1/20 del lado correspondiente de la planta, además de la compatibilidad en planta a torsión, de acuerdo con los apartados 3.2 y 3.7.5 de NCSE-94. Con ello, los esfuerzos combinados más desfavorables, respetando en todo caso su compatibilidad, son los recogidos en la Tabla 5.21.

Under accidental (seismic) conditions, the forces for the two main directions are found using two planar orthogonal models; account must therefore be taken of additional seismic action eccentricity action, equal, in each direction, to 1/20 of the respective face of the slab, along with the compatibility in the slab when under torsion stress, pursuant to paragraphs 3.2 and 3.7.5 of code NCSE-94. In view of this, the least favourable combinations of forces are as given in Table 5.21.

Tabla 5.21 Esfuerzos pésimos de los pilares Most severe forces on columns Pilar 7 Column 7

Pilar 8 Column 8

Pilar 9 Column 9

My = 71,2 kN·m Mx = 33,8 kN·m

My = 65,5 kN·m Mx = 33,8 kN·m

My = 46,3 kN·m Mx = 40,8 kN·m

N = 120,9 kN

N = 210,3 kN

N = 113,2 kN

V = 34,2 kN (V’y = 31,3 kN; V’x = 29,3 kN)

V = 25,9 kN (V’y = 30,8 kN; V’x = 19,0 kN)

V = 30,8 kN (V’y = 22,3 kN; V’x = 26,9 kN)

*En estas tablas, las comas son para separar decimales

*In these tables, commas are used to separate decimal points

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5 Aún mayorando los esfuerzos de la Tabla 5.20 por un coeficiente de ponderación igual a 1,6, son más desfavorables los de la Tabla 5.21, que son los que se van a utilizar para efectuar las distintas comprobaciones. El dimensionamiento a flexocompresión se ha basado en los criterios siguientes: - Disposición de 3 redondos por cara, a fin de incrementar el confinamiento del núcleo de hormigón, y por tanto, la ductilidad. - Colocación de una cuantía de armadura igual en todas las caras. - Los coeficientes de ponderación de las acciones y de minoración de la resistencia del acero son iguales a 1, y el de reducción de la resistencia del hormigón igual a 1,3. Las capacidades mecánicas totales obtenidas son:

Soporte 7: 382 kN Soporte 8: 305 kN Soporte 7: 305 kN No obstante, dada la escasa diferencia entre ellas, se ha decidido finalmente, armar los 3 soportes con la mayor de las capacidades mecánicas obtenidas. Despreciando la colaboración del hormigón (Vcu = 0) y adoptando el "patrón" de cercos que se muestra en la Figura 5.4.h, que es uno de los recomendados por el Eurocódigo 8, EC-8, se dimensiona a esfuerzo cortante el soporte 7, que es el que tiene el esfuerzo cortante máximo, y se obtiene

Even where a load factor of 1.6 is applied to the forces in Table 5.20, the internal forces shown in Table 5.21 are less favourable and should be the ones used for verification purposes.

Flexural compression design is based on the following criteria: - Provision of 3 bars per face to increase con finement of the concrete core and therefore ductility. - Provision for the same ratio of reinforcement on all faces. - The load factors for actions and strength r eduction factors for materials are equal to 1, and the reduction factor for concrete strength is equal to 1.3. The total required capacities obtained are:

Support 7: 382 kN Support 8: 305 kN Support 7: 305 kN However, given the scant differences found, the three supports are reinforced to accommodate the greatest of the required capacities computed. Ignoring the contribution of the concrete (Vcu = 0) and adopting the tie pattern given in Figure 5.4.h, one of the ones recommended in Eurocode 8, EC-8, the support taking the highest shear, namely support 7, is dimensioned for shear stress. The results are set out below:

Ust Ust st,máx = 0,9 · d · —– = 0,9 · d · —– = Vsu Vrd

Ust Ust st,max = 0.9 · d · —– = 0.9 · d · —– = Vsu Vrd

45,24 = 0,9 · 350 · ———= 417 mm 34,2

45.24 = 0.9 · 350 · ———= 417 mm 34.2

Ast · fyd,90 st ≤ ————— = 245,86 mm 0,02 · fcd · b

Ast · fyd,90 st ≤ ————— = 245.86 mm 0.02 · fcd · b

st ≤ 15 · φd,mín = 15 · 12 = 180 mm

st ≤ 15 · φd,min = 15 · 12 = 180 mm

por lo que finalmente se adopta la solución de disponer 4 φ 6 c/150 mm en los 3 soportes, como se aprecia en la Figura 5.18.

The solution finally adopted is to provide for four 6-mm ties every 150 mm in the 3 supports, as shown in Figure 5.18.

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4 O 16

44 O12 12

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Figura 5.4.h Secciones de los pilares Cross section of the supports

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5 ANEXO A: REQUISITOS DE DUCTILIDAD DE LAS ARMADURAS

EUROCÓDIGO, EC-2 (prEN 1992-1-1, Julio 2002)

ANNEX A: THE SPECIFICATIONS OF SPECIAL DUCTILITY STEEL

Clase A: (fs / fy)k ≥ 1,05; εmáx,k ≥ 2,5% Clase B: (fs / fy)k ≥ 1,08; εmáx,k ≥ 5,0% Clase C: 1,15 ≤ (fs / fy)k < 1,35; εmáx,k ≥ 7,5% Clase B:

CÓDIGO MODELO CEB-FIP 1990

(fs / fy)k ≥ 1,05; εmáx,k ≥ 2,5% Clase A: (fs / fy)k ≥ 1,08; εmáx,k ≥ 5,0% Clase S: (fs / fy)k ≥ 1,15; εmáx,k > 6,0% Aceros de baja ductilidad, B 500 T: (fs / fy)k ≥ 1,03; εu,k ≥ 8,0% Aceros de ductilidad normal:

INSTRUCCIÓN EHE

B 400 S: (fs / fy)k ≥ 1,05; εu,k ≥ 14,0% B 500 S: (fs / fy)k ≥ 1,05; εu,k ≥ 12,0% Aceros con características especiales de ductilidad: B 400 SD: 1,20 ≤ (fs / fy)k ≤ 1,35; εmáx,k ≥ 9,0%; εu,k ≥ 20,0% B 500 SD: 1,15 ≤ (fs / fy)k ≤ 1,35; εmáx,k ≥ 8,0%; εu,k ≥ 16,0%

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