Selectividad 2012

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Junio 2012 – Opción A Ejercicio 1.-

Sea : → la función definida por 2 . (a) [1 punto] Calcula las asíntotas de

(b) [1 punto] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de .

(c) [0’5 puntos] Determinan, si existen, los puntos de inflexión de la gråfica de f. Solución

(a) 2

A.V.: ∄ porque el dominio de la funciĂłn es A.H.:

$ ∙ 2 % ∙ ∞ ∞ ∙ ∞ →

→

∞∗ ⇒ ∄ A.H. en

& ' Ăł $ ∙ 2 % ∙ ∞ 0 ∙ ∞ & ' →

→ →

2

( )* → →

& ' Ăł 1 >

0 ,′.ô0 & → →

⇒

⇒ 1 2 es A.H. en ∞

Veamos la posiciĂłn de la grĂĄfica respecto de la asĂ­ntota:

Ă­ &4& : 0

5 100

Ăł :

Como ∄ A.H. A.H. en

A.O. en

→

∞: "

→

∞ ⇒ puede ∃ A.O. en

∙ 2

∞

∞∗ & ' Ăł

∙ 2 ,′.Ă´0 & → ∞ 1

∞ ⇒ ∄ 8. :. ;<

Selectividad 2012: Junio – Opción A

⇒ estå por debajo

∞

∙ 1

∞

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∞

∞

(b) 2 ⇒ ? ∙ 2

∙ 1 2

1 1

? 0 ⇒ 1 0 ⇒ 1 F4 G

F4 G &' 4 5 @4 4&4 Ă­ ≥ B 4 ′ C ? H 4 & âˆś ∄

(c) Los puntos de inflexiĂłn son puntos donde la funciĂłn cambia de curvatura:

∙ 1 ? 1 ⇒ ??

∙ 1 1

1 ∙

?? 0 ⇒ ∙ 0 ⇒ 0 F4 G F. .

5 D 'E & ' ≥ @4 4&4 Ă­ ′ ≥ B 4 ′′ C H 4 & ?? âˆś ∄

Selectividad 2012: Junio – Opción A

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Ejercicio 2.-

Sea una función continua en el intervalo $2,3% y J una función primitiva de tal que J 2 1 y J 3 2.. Calcula: (a) [0’75 puntos] LN M

(b) [0’75 puntos] LN 5 7 M

(c) [1 punto] LN QJ R M

N

Si J es una función primitiva de Solución M

⇒ J ?

a S $J %MN J 3 J 2 2 1 1 N

M

M

M

b S 5 7 5 S

S 7 5$J %MN $7 %MN N

N

$ 3 J 2 % $7 ∙ 3 7 ∙ 2% 5$2 1% $21 14% 5 7 2 5$J 3

c M

S QJ R N

N

N

D4 4 _` ab

TU VWX YWZ([\X] YWZ([\X] ZYcd cdZ(WeYX]

1 7 $2M 1M % 3 3

Selectividad 2012: Junio – Opción A

M M

QJ R 1 M M R QJ 2 R j f g hQJ 3 R 3 3 N

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0 0 1 Sea la matriz k l2 1 2n 1 m 1 (a) [1 punto] ¿Para qué valores del parámetro m no existe la inversa de la matriz k? Justifica Ejercicio 3.-

(b) [1’5 puntos] Para m 0 resuelve la ecuación matricial r la respuesta

matriz identidad y kZ la matriz traspuesta de k

∙ k kZ , donde denota la

Solución

(a) Una matriz k no tiene inversa ⇔ |k| 0

0 0 |k| p2 1 1 m

1 2p 0 1

0 1 0 0 2m 1 0 ⇔ m

2m

∄ q ⇔ ⇔ 0 0 1 (b) k l2 1 2n y |k| 2m 2 1 1 0 ⇒ ∃ k > 1 0 1

1 2

Multiplicando por la derecha por k > $ r

∙ k kZ % ∙ k > ⇒ r

Se calcula k >

1 k y Z ∙ k y k |k|

k>> 1 N ∙

r

∙ kZ ∙ k > ⇒ r

1 2 1 0 1

| { { Z k y k { k>N 1 M ∙ 2 1 { { } 2 zk>M 1 ∙ 1 k >

∙ k ∙ k > kZ ∙ k >

2 0 1

kZ ∙ k > ⇒ r kZ ∙ k >

0 kN> 1 M ∙ 0

1 0 1

0 kNM 1 ∙ 1

0 0 0

0 1 kNN 1 } ∙ 1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 1 1 1 ∙ k y k Z ∙ ~ 0 1 2 ~ 0 1 2 |k|

1

1 0 0 1 0 0

r k ∙ k Z

>

0 2

~0 1 1 2

1 0

1

0 ∙ ~ 0 1

2

~2 2

Selectividad 2012: Junio – Opción A

1

2

1 0

1

1

2 ~0

0

0

0 0

1 2

1 0 ~0 1 0 1

0 2

kM> 1 } ∙

0 1 1 1 2

kMN 1 ∙ kMM 1 ∙

4

1 0

2 ~0 1

3

0 0

1 2 2 0 0 1

0 2 0 2

0

0 1

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1,0 , De un paralelogramo kÂŒDH conocemos tres vĂŠrtices consecutivos: consecutivos k 2,

Π2,1,0 y D 0,1,2 Ejercicio 4.(a)

[1 punto ]

Calcula la ecuaciĂłn de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es

perpendicular al plano que lo contiene. Calcula el vĂŠrtice H

(b) [0’75 puntos ] Halla el årea de dicho paralelogramo. (c)

[0’75 puntos ]

SoluciĂłn

(a) En primer lugar se calcula el plano que contiene a los puntos y lo llamo � F &4 Œ 2,1,0 ŽŽŽŽŽ� 2, 1,0

2,1,0 4, 2,0 âˆĽ 2, 1,0 5 Â? ≥ ' Ăł ÂŒk ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? 0,1 ' Ăł ÂŒD 1,2 2,1,0 2,0,2 âˆĽ 1,0,1 2 Â?≥p 2 1

� ≥ 2"

" 1 Â

1 0p 0 ⇒ 0 1

� ≥

2 ∙ 1 " 1 ∙ 2

 0 ⇒ E &4' 4' ÂŽÂ?¢ 1, 2,1

 âˆ™1 0

En segundo lugar se calcula ell centro del paralelogramo es el punto medio del segmento ²²²² kD @ 2 @ �

0 1 1 0 2 , , ‘ 1 , 0 , 1 2 2 2

La recta ' pedida cumple:

'≥’

@ 1 , 0 , 1 ∈ '

5 ' ” 0 4 kÂŒD Â? ⇒ Â?\ ÂŽÂ?¢ 1, 2,1 — € ˜

• ≥ –1 ‚˜ ‚˜ 5 ∀ ˜ ∈ ¤ ™ €

˜

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? Âœ ÂŒD ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? › (b) Ă ' 0 ' 4 ' 4 ›Œk žÂ?

ŽŽŽŽŽ� œ ŒD ŽŽŽŽŽ� �4 Œk 2

Â&#x;Â?

2 0

mÂŽÂ?

ŽŽŽŽŽ� œ ŒD ŽŽŽŽŽ� › | 4, 8,4 | √16

8,4 ⇒ ›Œk 0� 4, 2

64

à à •§Â˜ ¨Â˜Â•Â˜Š§ŠªÂ•Â˜ÂŹÂŞ âˆš­Ž ÂŻ. ˜.

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? (c) En el paralelogramo se cumple que: ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? kH ÂŒD ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? kH , ", Â 2, 1,0 2, "

1,  5 ° ⇒ 2, " ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? ÂŒD 0,1,2 2,1,0 2,0 0,2 Âą ‡, €, ‚

Selectividad 2012: Junio – Opción A

16 √96

2 2 ⇒ 4

⇒ –" 1,  2,0,2 ⇒

1 0 ⇒ " 15

 2

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Junio 2012 – Opción B Ejercicio 1.- [2’5 puntos]

∙

→¡ 2

Sabiendo que lim

es finito, calcula el valor de

SoluciĂłn

∙ 0 IndeterminaciĂłn ∙ cos 1 ∙ lim hh j lim Regla →¡ →¡ N 2 0 Regla L′HĂ´pital ∙ cos cos 1 →¡ 2

lim

∙ 5

y el de dicho lĂ­mite.

∙

? 0

0 Indeterminación h j 0 Regla L′Hôpital

F ' Ă ĂŠ & Ă­ & ∃ 4 4

4 4' & 0 ⇒ ' 4' ' 4' G & ' 0 lim $ ∙ cos 1 →¡

∙ 5% 0 ⇒ ∙ 1 1 ∙ ¡ 1 0 ⇒ 1

Se calcula el lĂ­mite para ˜ € cos 1 lim →¡ 2

∙ 5

sen 5 2 →¡ 2

lim

0 IndeterminaciĂłn

sen 1 ∙ hh Regla L′HĂ´pital j lim →¡ 0 2

∙ 5

Selectividad 2012: Junio – Opción B

0 2 € 2

1

∙

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Ejercicio 2.-

Sea la funciĂłn definida por

2 para ƒ 1 y ƒ 1 2 1

(a) [1’25 puntos] Halla una primitiva de

(b) [1’25 puntos] Calcula el valor de m para que el årea del recinto limitado por el eje de abscisas y la gråfica de en el intervalo $2, m% sea ln 2 donde ln denota logaritmo neperiano.

SoluciĂłn (a) Es una integral racional: S S

2 N 1

grado del nunerador Ç grado del denominador ⇒ se descompone factorialmente el denominador

N 1 1 ∙

k 1

S

Œ

1

k

⇒ H 4 04 ó ' 4 0 : 1 ⇒

k 1 Œ 1 2 N ⇒ k 1 1 1 1

Π1 2

1 ⇒ 2k 2 ⇒ k 1 5 1 2 ⇒ ’ Œ 1 ⇒ 2Œ 2 ⇒ Œ Œ 1

‚ 1 1 ĂˆÂ— S Â?

‘ ln 1 ln —‚ € 1 1

(b) La funciĂłn

1

2 k N 1 1

— € 1 Ë< � ‘ — €

Œ

1

Ă?

' 4' ƒ 0 4 4'& y Ă?r 04'Ă ' 4' 2 5 4 4 ĂŒ 2 Â’ 2 1 4 & 4 & 0 ' 0 ' ĂŒ 2

por tanto

]X bVWeY bVWeYóW (U (W (UZ( YWZ(\ÎX]d Ê 2 2 1 Ê à ' ÉS N É S N �ln � ‘Ñ 1 N N 1 N 1 Ê

m 1 1 �ln � ‘‘ ��ln ‘ ln 2 m 1 3 m 1 1 ln � ‘ ln m 1 3

m 1 2 m 1 2 ln 2 ⇒ ⇒ ln � ‘ ln ⇒ ⇒ 3m 3 2m m 1 3 m 1 3

Selectividad 2012: Junio – Opción B

2 ⇒  Ò

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Ejercicio 3.Considera el sistema de ecuaciones

–

"

3

a) [1 punto] Resuelve para Ă“ 1

Â

3"

2Â

Ă“ 1 "

Â

Ă“

2 Ă“ Ă“

1

35

b) [1 punto] Halla los valores de Ó para los que el sistema tiene una única solución. c) [0’5 puntos] ¿Existe algún valor de Ó para el que el sistema admite la solución Solución

Previamente se discute el sistema

Matriz coeficientes 1

|k| Â?0 3

1 3

1

1

k ~0

2Â? 3

Ă“ 1 1

0

3

1 3

Ă“ 1

1

2† 1

1

Matriz ampliada k∗ ~0

1 3

3 Ă“ 1

6 9 2 Ó 1 0 2 Ó 1 0 ⇒ Ó 1

1

Ăš N , 0 , NĂ›? >

Ă“

2 2Ă“ 1

>

Ă“

1

3†

Ă“ ƒ 1 ⇒ |k| ƒ 0 ⇒ ' k ' ' k∗ 3 Âş Ăł & ⇒ B. D. H. 4 Ăł Ăş H 1

Ó 1 ⇒ Matrices asociadas: k ~0 3

1 1

3 2† 0 1

0 |k| 0 ⇒ ' k 2 porque el menor É 3

3 0

1 1

k∗ ~0 3

Ă‰Âƒ0

3 0

1 2

2 5† 1 1

Para calcular el ' k∗ se orla el menor anterior en k∗ 0 orlados de É 3

3 0

Ă‰Âƒ0

Ă— Ă•

Ă?' 4 Ă?' 4 4 J > " DM : |k| 0 1 1 2

Ă–Ă?' 4 4 J Ă?' 4 > " D} : Â?0 3 5Â? 3 Ă• Ă” 3 0 1

0

15 18 0 0 0

5

Por tanto ' k ' k∗ 2 ⇒ B. D. . 0 ' ĂŠ&' 4 & 4 4 4 4

Âş 0 'ĂĄ &'4 Âş Ăł & ' 4 ' 4 4 Ăş 3 2 1

Selectividad 2012: Junio – Opción B

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(a) Por lo anterior el sistema es compatible indeterminado uniparamĂŠtrico Para resolverlo se elimina la ecuaciĂłn que no forma parte del menor que da el rango y a la l columna que no forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico: 1

~0 3

1 1 2

3 2 5† 0 1 1

Ăł

 E 4' 0 ' Ê&' 4 E 4' &

 &

⇒ –3" 5 2&5 ⇒ 3 1 &

× — ü ü Ì €

€

1 ĂĽ ĂĽ ĂŚ âˆ€ĂŚ ∈ ¤ Ă– Ă” ™ ĂŚ Ă’

‚

(b) Por el estudio anterior realizado: Ă? ƒ € ⇒ |k| ƒ 0 ⇒ ' k ' k∗ 3 ⇒ Ăž. Ă&#x;. Âą. à ªŠ¯åâóã úãâå˜ ãâå˜

"

(c) – 3" 3

Ă“ 1 "

 Ă“

2Â 2 Ă“

1

35

 Ă“

soluciĂłn

Ăš N , 0 , NĂ› >

>

1 1 0 Ă“ 1 Ă— 2 Ă•2 0 Ă“ 1 Ă• Ă— Ă• Ă• 1 Ă? € â&#x;š 0 2 ∙ 2 Ă“ 35 ⇒ 1 2 Ă“ 35 (W ]XU Z\(U (eVXeYdW(U 2 Ă– Ă– Ă• Ă• Ă” 1 Ă“ Ă• 1 Ă• 3 Ă” 2 0 2 Ă“

Selectividad 2012: Junio – Opción B

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5

Ejercicio 4.Sean ' y las rectas dadas por " 6 5 ≡ 1 " 1 '≡

1 6 2 3 (a) [1’25 puntos ] Determina el punto de intersección de ambas rectas. rectas (b) [1’25 puntos ] Calcula la ecuación general del plano que las contiene. Solución Previamente se expresan ambas rectas en sus ecuaciones paramétricas '≡

" 6 3

5 ⇒ 5ç

3

1 6 \ 1,2,1 5 É ë5 ⇒ " 6 5 ⇒ " 3 2 5 ∀ ∀ ∈ ⇒ C 1 3 F\ 3,3,0 3

1 1 1 0

1 G ' ó U 1,6,2 5 1 " 1 ⇒ " 1 6G ∀ G ∈ 5 ⇒ C ≡

1 6 2 F &4 F FU 1, 1,0 2G

(a) El punto de intersección de ambas rectas tiene que cumplir las ecuaciones de las dos

rectas, por tanto es la solución del sistema que se obtiene igualando” , igualando” " , “ en ambas expresiones : 53

3 1 G

2G &4 6Gè ⇒

2 1

2G

3 2G 1 G ⇒ G 2

3

4G 1

6G ⇒ G 2

Sustituyendo en la recta ' (También puede ser: G en la recta )

5 ⇒ 2G 4

El punto de intersección de ambas rectas es , ,

(b) Sea el plano pedido, cumple:

4 & \ 1,2,1 5 × ' ⊂ ⇒ C 4 & Õ 4 &

4 & 0 &4 ': F\ 3,3,0

× ' ó \ 1,2,1 ≡ ≡ ' ó U 1,6,2 5 Ö Ö 4 & U 1,6,2 5 4 & Ô F &4 FU 1, 1,0 Õ ⊂ ⇒ C 4 &

4 & 0 &4 : FU 1, 1,0 Ô 1

≡ 1

1

"

2 6

1

1 0 2

ê ≡

Selectividad 2012: Junio – Opción B

⟹

ì(UX\\d]]XWíd cd\ ]dU XíîVWZdU í( ]X >ª bY]X

1

1 ∙ 2 "

å 2

1 ∙ 1

∙ 4 0

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Junio nio Específico 2012 – Opción A Ejercicio 1.-

1

Sea la funciĂłn : 0, ∞ → definida por logaritmo neperiano.

donde ln denota la funciĂłn

(a) [1’75 puntos] Halla los extremos absolutos de (abscisas donde se obtienen y valores que se 1

alcanzan) en el intervalo h , ej. e

(b) [07’5 puntos] Determinan la ecuación de la recta tangente a la gråfica de en el punto de abscisa e .

SoluciĂłn (a) Se aplica el TÂŞ de Weierstrass que dice

4 & $ , G% ⇒   &' 4 G 4 &4 ò4 & 'E 4 & 'E 4

",4 &' 4 G 4 &4

&' &' 4 &' 4 ' & E4 Ă

Ă &ĂĄ & 'E 4 o 4 &' 4 & 'E 4 & 'E 4"

1

La funciĂłn es continua y derivable en su dominio por tanto continua en el intervalo he , ej

1

?

⇒ ? > ⇒ ??

> Ăą

1 N

1

1 0 ⇒ N

1 1 0 ⇒ 1 N

0 ⇒ 1

F4 G &' 4

Ăł Ăą ⇒ ?? 1 >Ăł >Ăą ĂŒ 0 ⇒ 1 Ă­ 4 ' & E4 1 N

>

N

>

1 1 Â? ‘ ln ln 1 ln 1 1? 718 "4' E 4' Ăś €, € á

Ă• áíã⏪ ˜øà ªŠ¯Ìª: 1 1 5 5 ln 1 1? 368 – €

Ăľ áå—⏪ ˜øà ªŠ¯Ìª: á , § € 1 § Ă• 1 ln 1 1 4' 4' E 4' Ă´ 1

(b) La ecuaciĂłn de la recta tangente en es :

1

"

1

⇒

1 Ă— Ă—

Ă•

ln

Ă–

1 Ă• ? N Ă”

1

1

1

1 ⇒ ? N

e 1 1

⇒ " ∙ N

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción A

1

" ? ∙ 1 e 1 N

5

e 1 e 1 ; € ∙ N ∙ ⇒ 1 ‚ ∙ — N

§

‚

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Ejercicio 2.-

Sean , : → las funcion nes definidas por sen y cos cos respectivamente a) [0’75 puntos] Realiza un esbozo de las gråficas de y en el intervalo h0 ,

¢ N

j

b) [1’75 puntos] Calcula el årea total de los recintos limitados por ambas gråficas y las recta 0 y

SoluciĂłn

Â? . 2

(a) El esbozo de las grĂĄficas es:

(b) Previamente de calcula la intersecciĂłn de ambas funciones

⇔ cos ¢ }

à •§Â˜ S ÚúÝ Â— à §ã— à §ã— ¡

$ hĂš ýç

√2 2

Â? 4

¢ß }

cos %%¡

‚Q√‚ €R ÂŻ. ˜.

¢ N

S à §ã— åªà — ¢ }

¢ß

$ cos %¢ßN

Â? cos Ă› 0 4

√2 ĂŤ 0 2

Â? Â? h0. j 4 2

1 Ăž

cos 0 j

}

� � � � hÚ cos Û Ú cos Ûj 2 2 4 4

ý 0 1 ç

√2 √2

ĂŤĂž √2 1 2 2

1

√2

MĂĄs ĂĄs fĂĄcil si nos damos cuenta que: que

Â? Â? Â? Ă ' ' &4 & 'E 4 hh0. j Ă ' ' &4 & 'E 4 h , j ⇒ 4 4 2 ¢ }

⇒ à •§Â˜ 2 ∙ S ÚúÝ Â— à §ã— ¡

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción A

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1 2 0 0 1

1 2 0 Considera las matrices k l0 1 2n ÂŒ Ăš Ă› y D Ăš Ă› 1 0 1 1 2 1 2 1 Determina, si existe, la matriz r que verifica krÂŒ D Z , siendo D Z la matriz traspuesta de C Ejercicio 3.- [2’5 puntos]

SoluciĂłn

1 2 0

1

2 0

k ~0 1 2† ⇒ |k| Â?0 ÂŒ ç

1 2 1

0 1 1 0

ĂŤ

1

0 ⇒ |ÂŒ| É 1

1 0

k Z 1 2� 1 ƒ 0 ⇒ ∃ k > | | ∙ k y k >

2 1

É 1 ƒ 0 ⇒ ∃ ÂŒ > | | ∙ k y ÂŒ Z

Para resolver la ecuaciĂłn krÂŒ D

Z

>

se multiplica por Â’

k > ∙ $krŒ D Z % ∙ Œ > ⇒ k > ∙ krŒ ∙ Œ > k > ∙ D Z ∙ Œ > Se calculan las matrices inversas: k>> 1 N ∙ „

1 2 „ 3 2 1

| { { 0 Z k y k { k>N 1 M ∙ „ 1 { { } 0 zk>M 1 ∙ „1 q €

k y ΠZ

2 „ 2 1

1 „ 1 2

Œ>N 1 M ∙ 1 1 €

k

∙D ∙Œ Z

>

1 kNN 1 } ∙ „ 1

1 kNM 1 … ∙ „ 1

5 ' ò 04' 04' ÂŒ >

⇒

∙ a ∙ a

0 „ 2 1 0 „ 1 1 2 „ 0 2

r k > ∙ D Z ∙ Œ >

2 kM> 1 } ∙ „ 1

kMN 1 … ∙ „

1

ÂŒNN

1 }

∙0 0

2 € 2 € € ∙ qĂˆ ĂŚ ∙ç ĂŤ ç | |

€ € 2 €

3 2

~ 2

ŒN> 1 M ∙ 1 1

1 0

4

1 0

1 kMM 1 ˆ ∙ „ 0

ü ‚ ‡

ĂĽ ‚ ‡ € € ĂŚ ∙ qĂˆ q ∙~ ‚ € ‚† ~ ‚ € ‚† |q| €

€ 2 €

€ 2 €

Œ>> 1 N ∙ 0 0

>

2 kN> 1 M ∙ „ 2

 à '  à ' 04' k >

€ 2

0 „ 4 2

‹ Š Š 0 „ 2Š 2 Š Š 2 „ 1 ‰ 1

ĂŤ

1 3 ü €

1 1 0 1 0 1 ĂŤ ~ 0 1† ∙ ç ĂŤ ~ € 2 †

2† ∙ l 2 1n ∙ ç 1 0 1 0 0 2 1 1 1 € €

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción A

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Ejercicio 4.El punto @ 1, 1,0

es el centro de un paralelogramo y k 2,1, 1 y Π0, 2,3 son dos

vĂŠrtices consecutivos del mismo. a)

[1 punto ]

Halla la ecuaciĂłn general del plano que contiene al paralelogramo.

b)

[1’5 puntos ]

Determina uno de los otros dos vĂŠrtices y calcula el ĂĄrea de dicho paralelogramo. paralelogramo

SoluciĂłn (a) Observamos el siguiente dibujo

El plano pedido es

1 1,0 2,1, 1 1, 2,1 ' Ăł ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? k@ 1,

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? 0, 2 Â? ≥ – ' Ăł kÂŒ 2,3 2,1, 1 2, 3,4 5 0 &4 @ 1, 1,0

1

� ≥ � 1

2

"

1

2

3

Â

1Â? 0 4

â&#x;š

ĂŹ(UX\\d]]XWĂ­d cd\ ]dU XĂ­ĂŽVWZdU Ă­( ]X >ÂŞ bY]X

ê ≥ җ

‚1 ™

(b) @ es el punto medio del segmento kD

1 ∙ 5 "

2

2

1 ∙ 2

 âˆ™ 1 0

1 ⇒ 2 1 2 ⇒ 0 2 k 2,1, 1 2 1 " 1  1 " 5 , , ‘ 1, 1,0 ⇒ ⇒ @ � 1 ⇒ 1

" 2 ⇒ " 3 5 2 2 2 D , ",  Ö 2 Õ 1  0 ⇒ 0

1  0 ⇒  1 Ă” 2 Ă&#x; 2, ĂĽ, € ÂŽÂŽÂŽÂŽ ÂŽÂŽÂ? ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? Ă ' 0 ' 4 ' 4 ››ŒD Âœ ÂŒk› ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? 0, 3,1 0, 2,3 0, 0 1, 2 ÂŒD žÂ?

ŽŽŽŽŽ� œ Œk ŽŽŽŽŽ� �0 ŒD 2

Â&#x;Â?

Ă— Ă•

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? 2,1, 1 0, 2,3 2,3, 2 4 ÂŒk

mÂŽÂ?

ŽŽŽŽŽ� œ Œk ŽŽŽŽŽ�› | 10,4,2 | √100

1 2� 10,4,2 ⇒ ›ŒD 3

4

16

4 √120

à •§Â˜ ¨Â˜Â•Â˜Š§ŠªÂ•Â˜ÂŹÂŞ âˆšÂ€Â‚2 ÂŻ. ˜

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción A

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Junio nio Específico 2012 – Opción B Ejercicio 1.-

Sea la funciĂłn definida por

2 2 para ƒ 1 y ƒ 2 . 1 2

(a) [1 punto] Estudia y calcula alcula las asĂ­ntotas de la grĂĄfica de

(b) [1 punto] Determina los os intervalos de crecimiento y decrecimiento de .

(c) [0’5 puntos] Calcula, si existe, existe algún punto de la gråfica de donde Êsta corta a la asíntota horizontal.

SoluciĂłn

2 2 Q 1R 2 A.V.: 1 " 2 son posibles A.V.

(a)

→ >

→ >

→N

→N

2

1 : ∞ 2 N 2 0 5 ⇒ 1 k. ? ∞ –

. 2 2 0 1

1 : ∞ 0

8 2 : ∞ 2 N 8 0 5 ⇒ 2 ? ∞ –

k. . 8 1 2 0 2 : ∞ 0

A.H.: " G es A.H. si

→

→

G

→

2 N 2 N N 2 ⇒ " 2 k. .. 2 → 2 1

Aunque no se pide la posiciĂłn de la funciĂłn respecto de la asĂ­ntota horizontal es:

Ă­ &4& : 2

5 100 20000

Ăł : 1.98 10098

Ă­ &4& &4& : 2

5 100 20000

Ăł : 2.02 9898

(b)

′

2 2 2 2 2 Q 1R 2 2 2

4 N 2 2 2 N 2 1

2 N 8

2 4 N N N N 1 2 1 2 1 N 2 N

0 5 F4 G F4 G &' 4 4 5 @4 4&4 Ă­ ≥ B 4 ′ Ă– Ă• H 4 & ? âˆś 15 " ∄ ∄ 1 " ∄ 2 Ă” 2 Ă— ? 0 ⇒ 2 Ă•

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción B

4 ⇒

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? 5 ? 2

∙

∙

B 4 ?

2 4 ? ∙ ? N N 1

2

? 0.5 ? 1

∙

∙

? 3

∙

§à¯¬â§ãȪ ß §áâ§ãæ§: , ∪ , 2

±§á §áâ§ãæ§: ∞, ∪ 2, ∪ , ∞ ÷á ⬪: 2, 2 2, 2

÷íã⬪: Q , R ,

® ­

(c) Los cortes, de existir, con on la asíntota horizontal son las soluciones de la ecuación:

5 " 2

2 N 1 2 è ⇒ ⇒

2 N 2 ⇒ 2 N 2 1 2

4 0 ⇒ 2

2

2 ⇒ 2 N 2 N 2 4 1

Aunque no se pide la gráfica de la función es:

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción B

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Ejercicio 2.- [2’5 puntos]

Sea la funciĂłn : → definida por N ∙ cos . Determina la primitiva de cuya grĂĄfica pasa por el punto Â? , 0 SoluciĂłn

Todas das las primitivas de la funciĂłn son: J S N ∙ cos Ă & ' 04' 0 '& : S E E S E N 5

E cos

⇒ 2

° ⇒ S N ∙ cos N ∙ sen S 2 ∙ sen ⇒ E S cos cos

La nueva integral tambiĂŠn se hace por partes: 2 2 ⇒ 2 E sen ⇒ E S sen cos 5 S 2 ∙ sen 2 ∙ cos S 2 ∙ cos 2 cos

J S N ∙ cos N sen $ 2 cos N sen

2 cos 2 sen

Se cumple que J � 0 ⇒

J Â? Â? N sen Â?

2Â? cos Â? Â? 2 sen Â?

2Â?

—‚ Ý;< — —

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción B

2 sen %

2� ∙ 1

0 ⇒ 2�

5 2 sen

0

‚— ÚúÝ Â— ‚ Ăť;< —

‚ê

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Ejercicio 3.m 2" 3 C 2m 1 5 3 " 7 m 1 (a) [1’75 puntos] Estudia el sistema para los distintos valores del parĂĄmetro m Dado el sistema de ecuaciones

(b) [0’75 puntos] ResuÊlvelo para m 1 Solución

Matriz coeficientes m

(a) |k| Â? 1

3

2

0

m

k ~ 1 1 0

2m Â? 0

0

2m †

0

3

1 7 0

1 7

 Âƒ 1  Âƒ €

2

m

Matriz ampliada k∗ ~ 1 1 3

12m 0 14 m N

2m N 2m N

6m 7 0 ⇒

2

0

0

2m

1 †

1 7 m

12m 14 2 m N

3

1

6m 7 0

1

6 6N 4 ∙ 1 ∙ 7 6 8 ’ 5 2∙1 2

7

⇒ |k|| ƒ 0 ⇒ • q • q∗ ĂĽ ĂŁÂş âãåóãâÌÂ˜à ãâÌÂ˜Ă â‡’ ⇒ Ăž. Ă&#x;. Âą.

7

 â‡’ k ~ 1 3

2 0

1

0

14†

7

7

k∗ ~ 1

7 2 ' k 2 04'Ă |k| 0 " É Ă‰Âƒ0

1 0

3

2 0

1

0

3

14 1†

7

6

Para calcular ' k∗ se e orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz k∗ Ă— Ă•

Ă?' 4 4 JM " DM : |k| 0

7 2

7 2 3 5 ⇒ ' k∗ 3 Orlados de É É ƒ 0 en k∗ Ă–Ă?' 4 4 JM " D} : Â? 1 0 1Â? 8

ƒ0

1 0 Ă• Ă” 3 1 6 Por tanto • q ‚ ƒ • q∗ ĂĽ ⇒ ⇒ Ăž. .

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción B

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1

 Â€ ⇒ k ~ 1 3

2

0

0

2†

1 7

1

k ~ 1 ∗

3

1 2 ' k 2 04'Ă |k| 0 " É Ă‰Âƒ0

1 0

2

0

0

2

1 7

3

1† 2

Para calcular ' k∗ se orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz k∗ Ă— Ă•

Ă?' 4 4 JM " DM : |k| 0 1 2

3 1 2 5 ⇒ ' k∗ 2 Orlados de É É ƒ 0 en k∗ Ă–Ă?' 4 4 JM " D} : Â? 1 0 1Â? 0

1 0 Ă• Ă” 3 1 2 • q • q∗ ‚ Ç 3 Âş Ăł & ⇒ ⇒ Ăž. Ă&#x;. ¯ãâ¨Â˜Â•Â˜ÂŹ ¯ãâ¨Â˜Â•Â˜ÂŹĂŠĂŚÂ•âåª

Âş 0 'ĂĄ &'4 Âş Ăł & ' 4 4 Ăş : 3 ' 4

2 1

(b) Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado y su soluciĂłn depende de

un parĂĄmetro. Para resolverlo se elimina la ecuaciĂłn que no forma parte del menor que da el rango y a la columna que no forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico:

1

~ 1 3

2

0

0

2

1 7

3

1† 2

 E 4' 0 ' Ê&' 4

ó — €

‚˜ –1 € ˜ 5 ∀ ˜ ∈ ¤

Â

⇒

2" 3

1 2

5 ⇒

™ ˜

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción B

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Ejercicio 4.- [2’5 puntos]

Calcula de manera razonada la distancia del y Ă?r a la recta ' de ecuaciones 2 3" 4 5 2 3" Â 0

SoluciĂłn

1Âş Previamente se pasa la recta a sus ecuaciones paramĂŠtricas " 2 2 3" 4 5 5 1ÂŞ forma ⇒ 2 4 3 ⇒ –" 2 3"  0 2  3  4 3 3 Ă— 2 2 5 Â? Â? , 1,0‘ âˆĽ 3,2,0 5 '≥ " ⇒ \ 2 Ă– F\ 2,0,4 Ô 4

M N

ž�

5 ∀ ∈

Â&#x;Â?

2ÂŞ forma:: La direcciĂłn se calcula: Â?\ 2, 3,0 Âœ 2, 3, 1 Â?2 3

mÂŽÂ?

0 Â? 3,2,0

2

3 1 2 4 Un punto se calcula resolviendo el sistema por ejemplo para " 0 ⇒ ⇒ Â’ 5 ⇒ F\ 2,0,4 2  0 ' Ăł žÂ? 1,0 0,0 5 y Ă?r Â’ F &4 Ă? 0,0,0 Â?\ , žÂ? , Ă?F ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ?\ › 0 4'& 4'& › 5 1 Como Â?\ 3,2,0 âˆŚ žÂ? 1,0,0 04'Ă 4 4 0'404' 4 ⇒ C Â?\ , žÂ? , Ă?F ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ?\ › ƒ 0 '  '  › 3 2 0 ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ?\ › Â?1 0 0Â? 8 ƒ 0 ⇒ ' & '  4 y Ă?r › Â?\ , žÂ? , Ă?F

2Âş Se e estudia la posiciĂłn de la recta y el eje

2 0 4 1ÂŞ forma: demostrando la siguiente fĂłrmula con el esquema

ŽŽŽŽŽŽŽ�\ › | 8| 8 › �\ , ž� , �F 5

ž�

�\ œ ž� �3 1

Â&#x;Â?

2 0

mÂŽÂ?

En este caso en particular: Ăś Ă•

Ăľ 0Â? 0,0, 2 ⇒ › Â?\ Âœ žÂ?› 2Ă• 0

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción B

Ă´

⇒ Ăˆ •, § § "

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ?\ › 8 ›› Â?\ , žÂ? , Ă?F ‡ ÂŻ. Š. 2 › Â?\ Âœ žÂ?›

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2ª forma: siguiendo el siguiente esquema: Calculando los puntos F y # que cumplen: \ ⇒ F# ∙ \ 0 F# 5 ▪C F# U ⇒ F# ∙ 0

▪ Se calculan por tanto los puntos F y # imponiendo la condición de pertenecer a las recta ' y y Ír respectivamente:

F ∈ ' ⇒ F 2 3 , 2 , 4 G, 0 , 0 2 5 ⇒ F# # ∈ y Ír ⇒ # G, 0 , 0 0

2 3 , 2 , 4 3 , 2 , 4 G

▪ Hacemos los cálculos:

F# ∙ \ G 2 3 , 2 , 4 ∙ 3,2,0 3G 6 9 4 0 ⇒ 3G 13 6 F# ∙ G 2 3 , 2 , 4 ∙ 1,0,0 G 2 3 0 ⇒ G 3 2 Se resuelve por tanto el sistema: F 2

3 , 2 , 4 2,0 ,, 4

y

G 3 2

3G 13 6

5 ⇒

M$ >MXa }Xa·

⇒ 0 ⇒ G 2

# G, 0 , 0 2,0 , 0 ⇒ F# 0 ,0 , 4

| 0 ,0 , 4 | √0 ▪ È , § § " F#

Otra forma de calcular los puntos & y ' es perpendicular a la recta ' y y Ír F#

0

16 ¯. ©.

∥ \ ⇒ coord. Proporcionales ⇒ F#

F# G 2 3 , 2 , 4 ∥ \ 0,0, 2 ⇒

Selectividad 2012: Junio Específico – Opción B

M$ %Xa

G 2 3 0

2 0

⇒ ⇒

0 G 2

5 5

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Septiembre 2012 – Opción A Ejercicio 1.-

Sea la función continua : → definida por m * 0 – ù 1 N

(a) [1’25 puntos] Calcula el valor de m

ĂŒ 0

5

(b) [1’25 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gråfica de la función f en el punto de abscisa 1 .

SoluciĂłn

(a) es continua en

⇒ continua en 0 ⇒ 0 )

0 →¡

) )

→¡

→¡

→¡

→¡

m m

→ →¡

1 ¡ 1 0 2 ∙ Ăą ? ) , .Ă´0 & ) ¡ 1 →¡) →¡ 0 2 N 0 Ăą

Ăą

Por tanto  Â€

(b) La r.t. a la grĂĄfica en 1 tiene de ecuaciĂłn: " 1 ? 1 ∙ 1 Ă— Ă•

1 ⇒ ′ 2 Ö 2

2 2 ∙

2 ∙ 2 2 ∙ Ăš

4

Õ Ô 1 1 ′ 1 2

1Ă›

∙ l2 2 ∙ 2 Ăš 1Ă›n 2

4

" 1 ? 1 ∙ 1 ⇒ " 1 2 ∙ 1 ⇒ 1 ‚—

Ejercicio 2.-

2

§ ü

2 2 ∙ 2 1 5 3 2

2

>

x 1 x 1 ¡

Sea S

(a) [1’75 puntos] Expresa la integral aplicando el cambio de variable & √1 (b) [0’75 puntos] Calcula el valor de

& N 1 5 Ă—) Ăł &' E ' G :: & √1 ⇒ Â’ Ă• 1 &N 5 ) Ăł &' ' ' : 2& & Ă– 0 ⇒ & √1 0 15 Ă•,Ă­ & & ' Ăł : Â’ Ă” 1 ⇒ & √1 1 0 1 & N 1 & ∙ 1 & 1 & 1 & ∙ 2& & 2& N 2& & 1 & 1 & 1 √1 1 √1 SoluciĂłn (a) y (b)

€

S

2

€

—

‚Ìü ‚ € ĂˆÂ— S QQ‚Ì ‚ÌRĂˆĂŚ Ă˝

̂ Ăž 2 2 Â? €‘ ĂĽ ĂĽ ĂĽ √€ — € € 2

‚

Selectividad 2012: Septiembre – Opc pción A

2

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m 2" 2 Considera el sistema de ecuaciones con dos incĂłgnitas C 2 m" m 5 " 1 Ejercicio 3.-

(a) [0’5 puntos] Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del paråmetro m . (b) [1 punto] Específica para que valores del paråmetro m es determinado o para cuales indeterminado.

(c) [1 punto] Halla las soluciones en cada caso. SoluciĂłn

m

2

k ~2

Matriz coeficientes

m†

1

1

m

Matriz ampliada k∗ ~2 1

2

2

m†

m

1 1

(a) Se comienza estudiando el determinante de la matriz cuadrada:

|k∗ |

m

Â?2 1

2

m

2

m

m Â? $J2 J2 J1 % Â?2 m

1 1 m 2

2 m ∙ �1 1

1

2

2

2

m 2 m 2Â?

1

1

1 1

Â? 0 04'Ă J2 J3

1 1

Por tanto como |k∗ | 0 ∀ m ⇒ ' k ' k∗ ⇒ B & D4 0 & G

D4 0 & G

2

(b) y (c) Se considera el menor É

m

1 1

É 2 m 0 ⇔ m 2

m

' k∗ 2 Âş Ăł & ⇒ B. D. H. k∗ ~2 m ƒ 2 ⇒ ' k ⇒ Â’

2

m" m

" 1

à 4 ' E4 04' D' ' 04'à É

m m 2 É É É 0 1 1 0 " 1 2 m 2 Ê+ N

2 2 m É É É 1 1 1

2

m 2 ⇒ k ~ 2

1

ƒ ‚ ‚ 2

2 2†

1 1

2

y k∗ ~ 2 1

2

m

2

m

1 1 1

1

2

m

2

m†

1 1

É 2 m ƒ 05

É

1 1 ĂžªŠ¯åâó óã: 2, € ¨Â˜Â•Â˜  m É

1 2

2 2† Como las tres filas son proporcionales:

1 1

' k ' k∗ 1 Ç 2 Âş Ăł & ⇒ B. D. 0 ' ĂŠ&' 4 &' 4

⇒ " 1 ⇒ ’

Âş 0 'ĂĄ &'4 Âş Ăł & ' 4 4 4 Ăş : 2 1 1

— € 1 ˜

Selectividad 2012: Septiembre – Opc pción A

˜ ∀ ˜ ∈ ¤5

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Ejercicio 4.Sean los puntos k 0,0,1 , ΠΠ1,0, 1 , D 0,1, 2 y H 1,2,0 (a)

[1 punto ]

Halla la ecuaciĂłn del plano Â? determinado por los puntos k , k ÂŒ y D . Calcula la distancia del punto H al plano Â? .

(b) [0’5 puntos ] Demuestra que los cuatro puntos no son coplanarios. (c)

[1 punto ]

SoluciĂłn

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? 1,0, 1 0,0,1 1,0, 2 ' Ăł : kÂŒ ' 2 ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? 0,1, 2 0,0,1 0,1, 3 (a) El plano pedido es Â? ≥ – ' Ăł : kD ' 3 5

� ≥ �1 0

"

F &4 F &4 k 0,0,1

 1

â&#x;š ∙ 2 " ∙ 3

2 Â? 0 ĂŹ(UX\\d]]XWĂ­d cd\ ]dU ĂŹ(UX\\d]]XWĂ­d

0 1

3

 1 ∙ 1 0 ⇒ ‚—

XĂ­ĂŽVWZdU XĂ­ĂŽVWZdU Ă­( ]X >ÂŞ bY]X

ĂĽ1

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? , kD ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? , ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ?Â? , kD ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? , ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? (b) k , ÂŒ , D , H no no son coplanarios â&#x;ş coplanarios /kÂŒ kH 0 4 . . â&#x;ş ››kÂŒ kH › ƒ 0 ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? kH 1,2,0 0,0,1 1 1,2, 1

2

1 0

ŽŽŽŽŽ� , kD ŽŽŽŽŽ� , ŽŽŽŽŽ� kH › �0 1 ›kŒ

Â? 1

3

1 2

0

1

0

2

™ € 2

6 0 7 ƒ 0 ⇒ 4 0 &4 4 4 40 ' 4 4

(c) 1ÂŞ forma: utilizando la fĂłrmula

H, Â?

| & & " 44' H Â?| Ăł 4 E &4' 4'

Ăˆ Âą, ĂŞ

|2 ∙ 1

√2N

2∙3

3N

0 1| 1N

7

√14

√€‡ ÂŻ. Š. ‚

2ÂŞ forma: utilizando el siguiente esquema

Se calcula la recta & perpendicular al plano Â? que pasa por H :

1 ' Ăł ' & & E &4' 4' 0 4 Â?: Â?Z ÂŽÂ?¢ 2,3,1 &≥– ⇒ –" 2 F &4 ' & H 1,2,0 Â

Se calcula el punto # que es la intersecciĂłn de & y Â? # ∈ & ⇒ # 1

2 , 2

3 ,

# ∈ � ⇒ 0

Ăł : 2 1 # Â?1

1 2 ∙ , 2 2

2

1 1 7 1 3 ∙ , ‘ �2 , , ‘ 2 2 2 2

, > M > ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? H# Ăš2 , N , NĂ› 1,2,0 Ăš1 , N , NĂ›

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? › -1N Ăˆ Âą, ĂŞ ›H#

3N 2N

Selectividad 2012: Septiembre – Opc pción A

1N -1 2N

9 4

3 2

3

2

3 ∀ ∈ 5

1 0 ⇒ ⇒ 14 7 ⇒

1 2

1 14 √€‡ - ÂŻ. Š. 4 4 ‚

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Septiembre 2012 – Opción B Ejercicio 1.-

Sea la funciĂłn definida por

para ƒ 1 1

(a) [1’25 puntos] Estudia las asíntotas de la gråfica de la función .

(b) [1’25 puntos] Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de .

SoluciĂłn

(a) A.V.: 1 es una posible A.V.

Ă—

>> 0 lim lim ? ∞ 4 & 4 →> →> 1 0 Ă– Ă”0 A.H.: " G k. .. ⇔ lim G →

∞

1 ∞

1

⇒ — € §à q. 3.5

0 ∞: 0 ⇒ 1 2 §à q. 2. §ã

∞ ∞

Ă— ∞ Ă•

5 → 1 Ö

∞ 0

Ă• ∞: 0 Ă? ) ,′ .Ă´0 & Ă‘ ∞ ⇒ ∄ Ă” → 1 ∞ ∞ 0 1 A.O. en ∞: 1 — ĂŁ

∞ ∞ 0

1

′ � � ) , .ô0 & ё → → N → → 1 2

∞ ∞ 0

∞ ∞

0

Â? Ă? ) ,′ .Ă´0 & ё ∞ ⇒ ∄ k. Ă?. ∞ → 2 0 ∞ ∞

2

(b)

1

? ⇒ 1 2 1

1

1

1 2

∙

1 2

? 0: ∙ 0 ⇒ 0 04 G &' 4

&' 4

5 H 4 & ? : 1 N 0 ⇒ 1 " ∄ 1 H 4 &

(c) @4 4&4 í ≥ B 4 ′ ’

Ă&#x;•§å§ã̧: 2, € âˆŞ €, ∞ ¹§å•§åâ§ã̧: ∞. ¹§å•§åâ§ã̧ 2 §à ¯â§ãĂˆÂŞ áå—⏪: ∄ ∄ 2 2 2, € áíã⏪: 2,

No se pide pero un boceto de la grĂĄfica es:

Selectividad 2012: Septiembre – Opc pción B

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Ejercicio 2.-

Sea la funciĂłn continua : â&#x;ś definida por

9 2 4

(a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gråfica de en el punto de abscisa 1 .

(b) [1’75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gråfica de f , la recta eje de abscisas. Calcula el årea de dicho recinto.

2" 5 y el

SoluciĂłn

(a) La ecuaciĂłn es de la forma: " 1 ? 1 ∙ 1

1 1

1 9 N ? ∙ 2 ⇒ ? 1 ⇒ 25 4 2 4 2 1

1

1 5 " 2 ∙ 1 ⇒ " " ⇒ 2" 5 ⇒ 2" 5 2 2 2 (b) Por el apartado anterior se observa que la recta dada es la recta tangente a en 1 9 9 N 1 N 9 ĂŠ'&

'& : 0, 5 0 'åG4 4 ' ò G y4 4 4 4 4 F 04' 1,2 , 3,0

5 9 1 k> S Ă˝Â? ‘ ç ĂŤĂž S $ 2 2 4 4 > > M

N

Observando el dibujo: 1 M 10 9 N % S $ N 2 4 >

1 1 2 ∙ Ă? 9 9 3 Â? 1 1‘Ñ ‘Ñ . . 4 3 3 > 1 kN ĂĄ' &' ĂĄ 4

G 2 " & ' 1 ∙ 2 ∙ 1 1 . . 2 ‚ Ă’ à •§Â˜ q€ q‚ € ÂŻ. ˜. ĂĽ ĂĽ Otra forma:

1 1 M ∙ Ă? N 4 3

M

M

Ă‘

1%

M N M G 4 5 S 9 1 ∙ 4 ∙ 2 1 ýý9 Ăž à •§Â˜ ĂĄ' &' ĂĄ 4 Â’ 4 2 4 3 > & ' 2 >

1 1 1 28 7 Ă’ 4 Ă? 27 9 Â?9 ‘Ñ 4 ∙ 4 ÂŻ ÂŻ. ˜. 4 3 4 3 3 ĂĽ

Selectividad 2012: Septiembre – Opc pción B

M

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" Ă“

Ejercicio 3.-

Considera el sistema de ecuaciones – 2Ó"

"

Ă“Â Ă“ 5

Ă“ Â 0

(a) [1’25 puntos] Clasifícalo según los distintos valores del paråmetro Ó (b) [1’25 puntos] ResuÊlvelo para Ó 0 Ó 1 Solución

1

k ~ 0

(a) Matriz coeficientes

1

2Ă“

1 1

1

|k| Ă“ ∙ 2Ă“ Ă“

Ă“ 0 5 2 0 â&#x;ş Â’ Ă“ 1

∗

1 0

B 4 Ă“Â? $B 4 Ă“ &4' 4 Ăş D 3 % Ă“ ∙ Â? 0

Ă“

1

Matriz ampliada k ~ 0

ӆ

2Ă“

1 1 Ă“

1 0

|k| Â? 0

1 0

2Ă“

1

1

Ă“ 1Â? Ă“ ∙ 2Ă“

2Ă“

1 0

1 1 1

0

Ă“

Ă“

Ă“

ӆ

0

1 0 0

1

Ă? ƒ € 1 Ă? ƒ 2 ⇒ |k| ƒ 0 ⇒ ' k ' k∗ 3 Âş Ăł & ⇒ Ăž. Ă&#x;. Âą. 1

� € ⇒ k ~ 0

1

0

2 1†

1

k ~ 0 ∗

1

0

1

2 1 1†

1 1 1

1 1 1 0 1 0 ' k 2 porque É É ƒ 0 " |k| 0 0 1

Ă?' 4 4 JM " DN : |k|| 0 Ă— 1 0 1 Ă• 1 0 5 0 ' k∗ : Se orla el menor É É ƒ 0 en k∗ Ă–Ă?' 4 4 JM " D} : Â? 0 1 1Â? 0 1 Ă• Ă”

1 1 1 0 ∗ ' k ' k 2 Ç 3 Âş Ăł & ⇒ Ăž. Ă&#x;. ¯ãâ¨Â˜Â•Â˜ÂŹĂŠĂŚÂ•âåª 1

� 2 ⇒ k ~ 0

1 0 0

Âş 0 'ĂĄ &'4 Âş Ăł & ' 4 4 Ăş : 3 ' 4

2 1

1

k ~ 0

0†

∗

1 1 0

1 0 0 0

É 0 0† ⇒ JN '4 "

1 1 0 0

Evidentemente ' k ' k∗ 2 Ç 3 Âş Ăł & ⇒ Ăž. Ă&#x;. ¯ãâ¨Â˜Â•Â˜ÂŹ ¯ãâ¨Â˜Â•Â˜ÂŹĂŠĂŚÂ•âåª

1

1

1 1

Ă‰Âƒ0

Âş 0 'ĂĄ &'4 Âş Ăł & ' 4 4 Ăş : 3 ' 4

2 1

(b) � € ⇒ Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado uniparamÊtrico

Para resolverlo se elimina la ecuaciĂłn que no forma parte del menor que da el rango y a la columna que no forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico:

1

k∗ ~ 0

1

0

1

2 1 1†

1 1 1

0

" E 4' 0 ' ĂŠ&' 4

Ăł

Selectividad 2012: Septiembre – Opc pción B

⇒

"

1 1

 1

2

— €

5 ⇒ –1 

ÂŹ 5

™ € ‚

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� 2 ⇒ Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado uniparamÊtrico Para resolverlo se elimina la ecuación que no forma parte del menor que da el rango y a la columna que no forma parte de dicho menor se le da un valor paramÊtrico:

1

k∗ ~ 0

1 0 0 0

0 0†

1 1 0 0

Â

– " 0

" 0

Ăł

 E 4' 0 ' Ê&' 4

5a¡ 5a¡ â&#x;š N5a¡ â&#x;š

" 0 â&#x;š 0 â&#x;š 5

Selectividad 2012: Septiembre – Opc pción B

— 2

–1 25 ∀ ˜ ∈ ¤ ™ ˜

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Ejercicio 4.- [2’5 puntos]

 0 5 Halla el punto simÊtrico de F 2,1, F

5 respecto de la recta ' definida por " 2 0 SoluciĂłn

En primer lugar se pasa la recta a sus ecuaciones paramĂŠtricas:

 0 5 ⇒ " 2 5 ∀ ∈ ⇒ Los puntos de ' son de la forma , 2 , " 2 0 Â

1ÂŞ forma de calcular el punto # siguiendo el siguiente esquema:

# ∈ ' ⇒ , 2 , 5 Se calcula el punto # que cumple Â’ Â? ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? #F ” \ 1, 1,1 ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? 2,1, 5 , 2 ,, 2 , ܳܲ ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? ” Â?\ ⇔ ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? #F #F â‹… Â?\ 0 2 , 3

3

, 5

, 5 ∙ 1, 1,1

2 3 5 3 6 ⇒

3 6 0 ⇒ 2 , 2 , 2,0, 2 Q

2ÂŞ forma de calcular el punto # siguiendo el siguiente esquema:

El punto # que cumple

Ž� ∈ 0 4 � C #

0 '0 ' 0 '0 ' ': ÂŽÂ?¢ Â?\ 1, 1,1 ⇒ Â? ≥ " 0 04' F F 2,1, 5 âˆś 2 1 5

ê≥— 1

™

‡ 2

# ∈ ' ⇒ Q , 2 , ⇒

Se calcula ahora el simĂŠtrico:

2

H 0 ⇒ H 4

Â

H 0 5

4 0 ⇒ 2

Q , 2 , ‚, 2, ‚

F′ es el punto medio del segmento FF′

2 2 ⇒ 6 × 2 Õ F 2,1, 5 " 1 5 2,0, 2 ⇒ 0 &4 4 #

0 ⇒ " 1 5 ? F , ",  Ö 2 Õ 5 Ô 2 2 ⇒  1 &? Ž, €,

€

Selectividad 2012: Septiembre – Opc pción B

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Modelo 1 - 2012 – Opción A Ejercicio 1.-

Sea la funciĂłn : $1, % â&#x;ś definida por N 8 ln funciĂłn logaritmo neperiano.

donde ln denota la

(a) [0'75 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de .

(b) [1 punto] Calcula los extremos absolutos y relativos de la funciĂłn f (abscisas donde se

obtienen y valores que se alcanzan).

(c) [0'75 puntos] Estudia los intervalos de concavidad y de convexidad.

SoluciĂłn

8 N 8 ln â&#x;š ? 2 â&#x;š ?? 2

(a) y (b)

8 N

N∉$>,(% 8 8 ? 2 0 â&#x;ş 2 â&#x;ş 2 N 8 â&#x;ş 2 â&#x;š 2 5 @4 4&4 Ă­ ≥ B 4 ′ ? $ % H 4 & H 4 & : ∄ & 'E 4 $1,

D' & : 2, H ' & : 1,2 2 ) 4 @ĂĄ 4 ' & E4 ' & E4: ∄ ' & E4: Q2, 2 R 2 , 4 8 ln 2 @Ă­ 4 ' & E4 Para calcular los extremos absolutos 8ÂŞ 9§â§Â•Ă ĂŚÂ•Â˜Ă Ă

4 & $1, % 5

 &' 4 G 4 &4 $1, % â&#x;š  ' E G 1,

&' 4 ' & E4 5 ,4 &' 4 G 4 &4 &'

&' &' Â’

&' 4 & 'E 4

Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión A

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2 4 8 ln 2 1.54

ย 1 1 8 ln 1 1

61 N 8 ln N 8 0.61

@รก 4 4 G 4 &4 1,1 5 โ น 4 8 ln 2 ร 8 ร 1 โ น ย 5 @รญ 4 G 4 &4 2 , 4 8 ln 2

8 ?? 0: 2 0 โ soluciรณn soluciรณn 5 c D 'E & ' โ ก @4 4&4 รญ โ ฒ โ ก B 4 โ ฒโ ฒ N H 4 & โ ฒโ ฒ: โ

& 'E 4 $1, %

Dรณ E : โ

) 4 ;D4 E : 1,

<

F &4 รณ : โ

Selectividad 2012: Modelo 1 โ Opciรณn iรณn A

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Ejercicio 2.-

Sea : ⟶ la función definida por M 4

(a) [0'75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en el punto de abscisa 1.

(b) [0'75 puntos] Esboza el recinto limitado por la gráfica d y la recta " 2 , determinando los puntos de corte de ambas gráficas.

(c) [1 punto] Calcula el área del recinto anterior. Solución

(a) La ecuación de la recta tangente en 1 es " 1 ? 1 ∙ 1

⟹ ? 3 N 4

M 4 5

1 1 4 3

? 1

3 4 1

°5 ⟹ "

3 1 ⟹ 1

(b) Por el apartado anterior la recta dada es la recta tangente a la función en 1

Puntos de corte de ambas gráficas: " M 4 5

" 2

2 ⟹ M 3 =5 ⟹ M 4

Se que un punto es común es 1 . Por Ruffini: 1

1

1

0

3

1

1

2

1

1

1 1

1 2

1

2

2

2 0

2

⟹ M 3

⟹ N

0

Por tanto los puntos en común son: M 3

2 1 ∙ N

2 1 ∙ N

2 1 ∙

2 1N ∙

Para dibujarlas:

2 0

2

2

2 0 ⟹

1

2

5

Ambas pasan asan por los puntos 1, 3 " 2,0

Además la función cumple: Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión A

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0 M 5 ร D4'& y ร r: D4'&

4 N 4 0 โ น ย 2 ร ร ร ?? 6 M 5 ร 4 โ น 2 ร ?? ร ? 2 ย ย รญ 4 5 N โ น โ 3 ร 3 4 0 โ น โ 3 ร ร

2 2 ร ร ?? ย ย รก 4 ร ร โ 3

(c) Observando la grรกfica se deduce

>

>

>

ร ' S รณ ' & ' & S $ M 4 2 % S M 3 N

1 3 ร } N 4 2

>

2 ร

N

1 3 ย

4 2

Selectividad 2012: Modelo 1 โ Opciรณn iรณn A

N

2 ย 4 6 4 8

N

5 27 . . 4 4

2

Pรกgina 33 de 61

Ejercicio 3.Considera el sistema de ecuaciones

–m

m

"

1 "

2"

2Â Â

Â

1

2 m

1

(a) [1’75 puntos] Clasifícalo según los distintos valores de m.

5

(b) [0'75 puntos] ResuĂŠlvelo para el caso m 2 . SoluciĂłn

(a) Las matrices asociadas al sistema son:

1

m

Matriz coeficientes k ~m 1

|k| Â?m

1

m

1

1

2

1

2

1

1

2

4 1 Â? 1 4m

m

1

1

2

Matriz ampliada k∗ ~m

1†

1

1

1 2

2

mN

m m N 2m 0 ⇒ ⇒ ’

m

1

1

2

m 0 m 2

2

1

1

1 m

2 † 1

5

 Âƒ 2 1  Âƒ ‚ ⇒ |k| ƒ 0 ⇒ ' k ' k∗ 3 Âş Ăł & ⇒ Ăž. Ă&#x;. Âą. à ªŠ¯åâóã úãâå˜ 1

 2 ⇒ k ~0

1 1

1

2

y k∗ ~0

1†

1 2 1

1 ' k 2 04'à |k| 0 " É 0

1 1

Ă‰Âƒ0

1

1 1

2 1

2 1

1

2†

1

Para calcular ' k∗ se e orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz k∗ Ă— Ă•

Ă?' 4 4 JM " DM : |k| 0

1 1 1 Orlados de É É ƒ 0 en k∗ Ă–Ă?' 4 4 JM " D} : Â?0 0 1 Ă• Ă” 1

1 1

2

1

2 � 8ƒ0

1

5 ⇒ ' k∗ 3

Por tanto • q ‚ ƒ • q∗ ĂĽ ⇒ ⇒ Ăž. ..

Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión A

PĂĄgina 34 de 61

1

 Â‚ ⇒ k ~ 2 1

1 1

1

2

y k∗ ~ 2

1†

2

1

1 1 ' k 2 04'Ă |k| 0 " É Ă‰Âƒ0

2 1

1

1 1

2

1

1

2†

2 1 1

Para calcular ' k∗ se e orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz k∗ Ă?' 4 4 JM " DM : |k| 0 Ă— Ă• 1 1 1

1 1 5 ⇒ ' k∗ 2 Orlados de É É ƒ 0 en k∗ Ă–Ă?' 4 4 JM " D} : Â? 2 1

2 1 2 Â? 0 Ă• Ă” 1 2 1

Por tanto • q ‚ • q∗ Ç 3 ⇒ ⇒ Ăž. Ă&#x;. . ¯ãâ¨Â˜Â•Â˜ÂŹĂŠĂŚÂ•âåª

Âş 0 'ĂĄ &'4 Âş Ăł & ' 4 4 4 Ăş : 3 2 1

(d) Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado y su soluciĂłn depende de

un parĂĄmetro. Para resolverlo se elimina la ecuaciĂłn que no forma parte del menor que da el rango y a la columna que no forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico:

1

~ 2 1

1 1

2

1

1

2†

2 1 1

 E 4' 0 ' Ê&' 4

Â

1 2 5 ⇒ ⇒ – " 1

2

Ăł

" 1 2

2 " 2 ⇒ 1

1 3

— €

3 ⇒ "

–1 ҏ ™ 

Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión A

ĂĽÂŹ

1

2 1

" 2 3

1

2 5

5 ∀ ÂŹ ∈ ¤

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Ejercicio 4.-

Dadas las rectas ' ≥ 6 4 4 3

" " 9

 8

y

≥ 3 2 2 3

" 9

 8

(a) [1 punto] Determina la posiciĂłn relativa de las rectas ' y . (b) [1'5 puntos] Calcula la distancia entre ' y . SoluciĂłn

Se expresan previamente las rectas en sus ecuaciones paramĂŠtricas

3

3 Â?\ 6,4,4 âˆĽ 3,2,2 5 3 " 9  8 ' ≥ ⇒ C ⇒ –" 9 2 ∀ ∈ 5

6 4 4 F\ 3,9,8  8 2 3 3G Â?U 3, 2, 2 5 3 " 9  8 ≥ ⇒ ⇒ C ⇒ –" 9 2G ∀ G G ∈ 5 3

2

2 FU 3,9,8  8 2G (a) Se cumple que Â?\ 3 3,2,2 âˆĽ Â?U 3, 2, 2 porque

M M

N

N

N N

' âˆĽ 5 ⇒ Â’ '

Para ver si son iguales o paralelas se sustituye un punto de la recta en la recta ' y se comprueba si se cumple la ecuaciĂłn: ?

FU 3,9,8 ∈ ' ⇒

3 3 ? 9 9 ? 8 8 ⇒ E & & 1 ƒ 0 ⇒ • âˆĽ Ă

6 4 4

(b) Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas se observa:

U , ' Por tanto basta calcular: ', F

1ÂŞ forma

Utilizando la siguiente fórmula: ŽŽŽŽŽŽŽ� F\ FU 3,9,8 3 3,9,8 6,0,0 ž�

Â&#x;Â?

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? Â?\ Âœ F \ FU Â? 3 2 Ăˆ &Ă , •

6

0

mÂŽÂ?

2Â? 0,12, 12 0

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽ ÂŽÂŽÂŽÂ? › Â?\ Âœ F √144 144 €‚√‚ \ FU › ÂŻ. Š. √9 4 4 √€ ›› Â?\ ›

Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión A

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De forma constructiva siguiendo el siguiente esquema:

2ÂŞ forma

1.º �≥

0 '0 ' r â&#x;š E &4' 4' Â? ÂŽÂ?¢ Â?\ 3,2,2 â&#x;š 3

0 04' FU 3,9,8 8 â&#x;š 3 ∙ 3

2∙9

� ≥ 3

2.Âş # Â? ∊ ' â&#x;š

2∙8

2"

H 0 â&#x;š H 25

2"

2Â

# ∈ ' â&#x;š # 3 3 , 9

Â’

# ∈ Â? â&#x;š 3 ∙ 3 3 ⇓

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? FU # Â?

2 , 8

2 � 3 3 ∙

3 117 100

48 36 36 , , ‘ 3,9,8 � , , ‘ 17 17 17 17 17 17

18 , 9 17

48 N

48

36 36 ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? Ăˆ •, Ă FU , ' ›F # , , ‘? › ?Â? U 17 17 17

Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión A

5

2Â 25 0 2 , 8

2 ∙ 9

2

2

2 ∙ 8

2 25 0

>A % %X >A }X >ˆ } X NÂ… a ¡ â&#x;š >,X a >A >A â&#x;š X a >,

# 3 3 , 9

H 0

2∙

18 , 8 17

36 N 17N

2∙

5

18 3 117 100 ‘ � , , ‘ 17 17 17 17

36 36 N

Â€Â‚âˆšĂĽÂ‡ ÂŻ. Š. €

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Modelo 1 - 2012 – Opción B Ejercicio 1.-

Sea la funciĂłn : â&#x;ś definida por N (a) [0'75 puntos] Calcula

lim y

→

lim

→

1

(b) [1'25 puntos] Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores

que se alcanzan), determinando si son mĂĄximos o mĂ­nimos.

(c) [0'5 puntos] Determina las abscisas de los puntos de inflexiĂłn de la grĂĄfica de .

SoluciĂłn

a Ă‹BC § Q— — —→ ∞

—

‚

€R

∞

lim →

∙ ∞ 0 ∙ ∞ & ' Ăł lim → ∞

N 1 ∞ & ' Ăł

∞ ) ,′.Ă´0 &

2 1 ∞ & ' Ăł 2 2 2 ) ,′.Ă´0 & lim 2 →

∞

∞

Por tanto esto significa que la recta " 0 es k. .. en ∞ Ă‹BC §Â— Q—‚ — —→

€R

b N

∞

∙ ∞

∞ ∙ ∞

1 â&#x;š ? N

∞

1

? 0 â&#x;š 2 @4 4&4 Ă­ ≥ B 4 ′ ? H 4 & H 4 & : ∄

2 1 2

1 0 â&#x;š Â’

0

04 G &' 4 55 1 1

Ă&#x;•§å§ã̧: ∞ ∞, € âˆŞ 2, ∞ ¹§å•§åâ§ã̧: €, 2 §à ¯â§ãĂˆÂŞ ĂĽ áå—⏪ •§ŠÂ˜ÌâEÂŞ •§ŠÂ˜ÌâEÂŞ: €, € Â? €, ‘ § •§ŠÂ˜ÌâEÂŞ: 2, 2 2, € áíã⏪ •§ŠÂ˜ÌâEÂŞ

Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión B

PĂĄgina 38 de 61

c Los posibles puntos de inflexión se encuentran entre las soluciones de la ecuación ′? 0 ? Q 2

′? 0 â&#x;š N ?? N

R â&#x;š ?? Q 2 3 3

R

1 N

3

3 √5 Ă— 0.38

3 √9 4 Ă• 2 5 1 0 â&#x;š 2

3

√5 Ă– 2.62 Ă• 2 Ă”

1 â&#x;š ??? N

??? 0.38 ƒ 0 â&#x;š — ??? 2.61 ƒ 0 â&#x;š —

2

3

1

ĂĽ √ âˆšĂ’ §à ¨¯ã̪ Ăˆ§ âã Š§Â—âóã ‚ 5 ĂĽ âˆšĂ’ ‚ §à ¨¯ã̪ Ăˆ§ âã Š§Â—âóã

2

1

3 N

5

4

Aunque no se pide la grĂĄfica de la funciĂłn serĂ­a:

Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión B

PĂĄgina 39 de 61

Ejercicio 2.-

N Sean , : â&#x;ś las funciones definidas por N 2 y respectivamente.

4

(a) [0'75 puntos] Halla los puntos de corte de sus grĂĄficas y realiza un esbozo del recinto

que limitan. (b) [1'75 puntos] Calcula el ĂĄrea de dicho recinto.

SoluciĂłn (a) Â’

N 2

N

4

GrĂĄfica de

â&#x;š 0 &4 0 &4 4'& : N 2 N

ĂŠ'& : ĂŽ

0 5 4 â&#x;š 2 N 6 0 â&#x;š Â’ 3

0 'åG4 ' ò '' G

$ NX

5 N N 1 "ĂŽ 1 F 04' 0 &4 0,0

0 'åG4 ' ò G y4

GrĂĄfica de $ } ĂŠ'& : ĂŽ N 2 "ĂŽ 4 NX

5 F 04' 0 &4 0 0,0

(b) Observamos el dibujo:

M

à •§Â˜ S $ N ¡

18

M

4 N 2 % S 2 N

27 0 ­ ÂŻ. ˜.

Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión B

¡

6 Ă?

2 M 3

M

3 NĂ‘ ¡

PĂĄgina 40 de 61

Ejercicio 3.- [2'5 puntos]

Encuentra la matriz r que que satisface la ecuación rk 0 0 1

k ~ 0 1 0 y 1 0 0

Solución

kM k , siendo

2

1

~ 0

0

1

2

1

0

2

Veamos si la matriz k tiene inversa 0

|k| 0 rk

1

0 1

1 0 0 0 0

0

0 1 0 0 1 0 ⟹ ∃ k >

k k ⟹ rk k kM M

⟹ r kM k >

Se calcula k >

1 k y Z ∙ k y k |k|

k>> 1 N ∙

1 0 0 0 0

| { { Z k y k { k>N 1 M ∙ 0 1 { { } 0 zk>M 1 ∙ 1 k >

0 0

k k ~0 1 1 0

a

0 0 0

0 kNN 1 } ∙ 1

0 kNM 1 ∙ 1

1 1 0

1

k > ∙ k ∙ k

2

1 1

1

0 0

0 ∙ ~ 0 0

1

k k ~0 0

2

0

∙ a ∙ a

0

0

1 ∙ ~0 2

2

1 0 ~ 1 0 1

Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión B

0

k > rk ∙ k > k kM k

0 kN> 1 M ∙ 0

0 0 1 0 0 1 ∙ k y k Z ~ 0 1 0 ~0 1 |k|

1 0 0 1 0

kM k ∙ k ∙ k

⟹

FV]ZYc]YeXWíd cd\ ]X YGíX.cd\

1

1

0 k

0 0

1

0 0 0

0 1 1 1 0

0 1 kMN 1 ∙ 0 0 0 0 0 kMM 1 ∙ 0 0 1

0

1

1 0 ~ 0

2

1 1 0

kM> 1 } ∙

I ∙ A A ⟹ r kM k > k k

0 1

0

1 0 0

⟹

IVYZXWíd cX\éWZ(UYU 5 ∙ a

1

2

0 ~

2

2

0

2

1

2

2

0

1 ∙ ~0 0

1

0 1

2

1 0 ~ 1 0 0

0

0

2

1

2

Página 41 de 61

1

0

2

Ejercicio 4.- [2'5 puntos]

,2 son vértices consecutivos de un rectángulo Los puntos k 1,1,5 y 1,1, k DH . El vértice D,, consecutivo a , está en la recta

vértices D y H .

" 6 1 . Determina los

2 2

Solución

Sea ' la recta dada

" 6 1 0 " 6 1 \ 1, 2,2 5 ' ≡ ⟹ ⟹ C ⟹ " 6 2 ∀ ∈ 5 1

2 2

2 2 F\ 0,6, 1 1 2 Tenemos el siguiente esquema

D ∈ ' ⟹ D , 6 2 , 1

2

1,1,5 1,1,2 0,0,3 k

D , 6 2 , 1

1,5 2 , 3 2 1,1,2

D ⟺ k ∙ D 0 k ∙ D 0,0,3 ∙ 1,5 2 , k 2 3

9 3 ⟹ D , 6 2 , 1 6 2

2 9

6 0

3 3 2 , 6 2 ∙ , 1 2 2

Para determinar el vértice H se tiene en cuenta que:

2

å 3 2 ∙ ⟹ ß ß , å , 2

kH , ", 1,1,5 1, " 1, 5 5 ° ⟹ 3 1 D ,3 ,2 1,1,2 , 2,0 2 2

1 3 × 1 ⟹ 2 2 Õ å D ⟹ ⟹ kH D 5 ⟹ ± , å , Ò "

1 2 ⟹ " 3 Ö Õ Ô 5 0 ⟹ 5

Selectividad 2012: Modelo 1 – Opción ión B

Página 42 de 61

Modelo 2 - 2012 – Opción A Ejercicio 1.-

[2’5 puntos] Modelo5A

Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el rimero se forma un rectĂĄngulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las ĂĄreas del rectĂĄngulo y el cuadrado rado resultantes sea mĂ­nima. SoluciĂłn RelaciĂłn entre las variables: perĂ­metro del rectĂĄngulo y del cuadrado

6

4" 2 ⇒ 3

2" 1 ⇒ "

1 3 2

FunciĂłn a minimizar: suma de las ĂĄreas del rectĂĄngulo y del cuadrado B 2

N

1 3 2 " 2 � ‘ ⇒ B 2 N 2 N

N

1 17 N 3 1 3 N 4 4 2

1 4

Extremos relativos B ?

17 3 3 0 ⇒ 2 2 17

Para ver que este valor es mínimo relativo se estudia el signo de B′′ B ??

1 3

1 3 ⇒ B ?? � ‘ Ç 0 ⇒ í 4 ' & E4 2 17 2 17

Es mĂ­nimo absoluto porque la funciĂłn B es una parĂĄbola con las ramas hacia arriba por tanto el vĂŠrtice que es lo calculado es un mĂ­nimo absoluto

9 8 1 17 3 4 17 ⇒ " 17 2 2 17 Las dimensiones son:

3 €J •§åÌå㍯Šª: Ž— ÂŹ € 17 5 ⇒ – 5 , 4 4 &'4 4  4 : – 4 €Ž " ĂĄÂŻÂ˜ĂˆÂ•Â˜ĂˆÂŞ: ‡1 ÂŹ 17 €

Selectividad 2012: Modelo 2 – Opción ción A

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Ejercicio 2.Se considera el recinto del plano situado en el primer cuadrante limitado por las rectas " 4 , " 8 4 y la curva " 2 N . (a) [0'5 puntos] Realiza un esbozo del recinto. (b) [2 puntos] Calcula su ĂĄrea. (a)

(b) Para calcular el ĂĄrea se considera:

à ' ' L¡ ' & 4' 0 'åG4 >

>

S 4 2 N ¡

>

S N ¡

1 Ă? M 3

2 >

Ă‘ N

¡

N

N

>

1 Ă? M 3 N 3

1 �� 1‘ 0 0 Ñ 3 4 4 8 . . 3 3 3

N

S Q 8 4 2 N R

S N 6 >

' &

0 'ĂĄG4 L> ' & E '

8 N

8 Ă‘

8 Ă?Â? 12 3

>

1 16‘‘ � 3 3

8‘Ñ

Se podrĂ­a simplificar lo anterior observando regiĂłn azul = regiĂłn verde.. Otra forma serĂ­a:

=

-

N G 2 1 1 M N 4 8 N N 5 Ă ' ĂĄ' &' ĂĄ 4 Â’ S 2 ∙ 2 ∙ 4 Ă? Ă‘ 4 . . 2 3 3 3 ¡ & ' 4 ¡

Selectividad 2012: Modelo 2 – Opción ción A

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Aclaraciones:

1º Se calculan los puntos de corte de cada dos funciones:

" 4

" 8 4 " 4

⟹ 4 8 4 5 ⟹ 8 8 ⟹ 1

" 2 N

" 8 4 " 2 N

⟹ 4 2 N 5 ⟹ N

2 0 ⟹ 0 " 2

⟹ 8 4 2 N 5 ⟹ N 6

8 0 ⟹ 4 " 2

2º El recinto que se pide es el sombreado en amarillo y verde porque es el que está en el 1er cuadrante

Selectividad 2012: Modelo 2 – Opción ción A

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Ejercicio 3.–

Considera el sistema de ecuaciones

m

m"

2Â

2"

1

mÂ

"

1

m

Â

3

2

m

5

(a) [1’25 puntos] Determina los valores de m para los que el sistema tiene mås de una solución. solución (b) [0'5 puntos]¿Existe algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución (c) [0'75 puntos] Resuelve elve el sistema para m 0 . Solución Previamente se discute el sistema: Las matrices asociadas al sistema son: 1 m 2 Matriz coeficientes k ~ 1 1

|k| Â? 1 m

1

K([]X LX\\VU

m

2

1

2

mÂ? 1

_Ăą a_Ăą _

m 2 ∙ 1

m

1

1

Â? 0

mN

m

m

1

1

Matriz ampliada k∗ ~ 1

m†

2

1

m

2 m

2m

1

1

2

m 2Â? 1

ĂŠ N bXeZd\ edMĂşW Ă­( _Ăą

2 1 m 2 ∙ m N

m

1

m

2

1

2

m

1

1

m 2 ∙ � 0 m

m

m

1

3m m 2 ∙ m ∙ m

1

3 † m

2

2

1 1Â? 1

1

3 0 –m 0 5

m ƒ 0 m ƒ 2 m ƒ 3 â&#x;š |k| ƒ 0 â&#x;š ' k ' k∗ 3 Âş Ăł & & ⇒ B. D. H. 1 2

m 2 â&#x;š k ~1 2 3 1

2

1 2 2

k∗ ~1 2 2

2† 1

3 1 1

m 2

m 3

3

3† 4

1 2 Como J> JN y É É ƒ 0 â&#x;š ' k ' k∗ 2 Ç 3 Âş Ăł & & ⇒ B. D. 0 ' ĂŠ&' 4 3 1

m 0

1

â&#x;š k ~1 1

0 2

1

k ~1

2 0† 1 1

0 ' k 2 04'à |k| 0 " É 2

∗

2 0

1

Ă‰Âƒ0

Âş 0 'ĂĄ &'4 Âş Ăł & & ' 4 4 Ăş : 3 2 1

0 2 1

2 0 3† 1 1 2

Para calcular ' k∗ se e orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz k∗ Ă— Ă•

Ă?' 4 4 JM " D> : |k| 0

0 2 0 Orlados de É É ƒ 0 en k∗ Ă–Ă?' 4 4 JM " D} : Â?2 2 0 Ă• Ă” 1 Selectividad 2012: Modelo 2 – OpciĂłn ciĂłn A

2 1

0 3Â? 0 1 2

5

⇒ '' k∗ 2

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&' 4 Por tanto ' k ' k∗ 2 Ç 3 Âş Ăł & ⇒ B. D. 0 ' ĂŠ&' 4 m 3

1

â&#x;š k ~ 1

2

3 2 1

Âş 0 'ĂĄ &'4 Âş Ăł & & ' 4 4 Ăş : 3 2 1

2

3† 1

1 ' k 2 04'à |k| 0 " É 1

1

3 2

k∗ ~ 1

Ă‰Âƒ0

2

3 2

1

2

3 1

2

3†

1

Para calcular ' k∗ se e orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz k∗ Ă— Ă•

Ă?' 4 4 JM " DM : |k| 0

1 3 1 3 2 5 Orlados de É É ƒ 0 en k∗ Ă–Ă?' 4 4 JM " D} : Â? 1 1 2 2 3 Â? 0 Ă• Ă”

2 1 1

⇒ ' k∗ 2

Por tanto ' k ' k∗ 2 Ç 3 Âş Ăł & ⇒ B. D. 0 ' ĂŠ&' 4 &' 4

Âş 0 'ĂĄ &'4 Âş Ăł & & ' 4 4 Ăş : 3 2 1

m 2

(a) Por lo anterior la respuesta es para –m 0 5

m 3

(b) Por lo anterior la respuesta es ∄ m que haga el sistema incompatible (c) Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado y su soluciĂłn depende

de un parĂĄmetro. Para resolverlo se elimina la ecuaciĂłn que no forma parte del menor que da el rango y a la columna que no forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico: 1

~1 1

0 2 1

2 0 3† 1 1 2

E 4' 0 ' 0 ' ĂŠ&' 4

Ăł

— ÂŹ Ă— ĂĽ € Ă•1 ÂŹ ‚ ‚ 5 ∀ ÂŹ ∈ ¤ Ă– € € ՙ ÂŹ Ă” ‚ ‚

Selectividad 2012: Modelo 2 – Opción ción A

⇒ –2 1 5 ⇒ 2" 3

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Ejercicio 4.-

Se consideran los vectores ÂŽÂ? m , 1 , 1 , EÂ? 2 , 1 , 2 y N ÂŽÂŽÂ? 1 , 1 ,, m donde m es un nĂşmero real

(a) [0'75 puntos] Determina los valores de m para los que ÂŽÂ? , EÂ? y linealmente dependientes.

(b) [1 punto] Determina los valores de m para los que ÂŽÂŽÂŽÂ?

N ÂŽÂŽÂ? ÂŽ son

EÂ? y EÂ? N ÂŽÂŽÂ? son ortogonales.

(c) [0'75 puntos] Para m 1 ,, determina aquellos vectores que son ortogonales a N ÂŽÂŽÂ? y tienen mĂłdulo 1 .

EÂ? y

SoluciĂłn

P 4 . . â&#x;ş | (a) Se cumple que O ÂŽÂ? , EÂ? , N ÂŽÂŽÂ? P ÂŽÂ? , EÂ? , N ÂŽÂŽÂ?| 0 m

| ÂŽÂ? , EÂ? , N ÂŽÂŽÂ?| Â?2 1

1

1

2Â?

1 1

m

K([]X K([]X LX\\VU

mN

2 2 1 2m

SoluciĂłn:  Â€ Šªà E§å̪•§à E§å̪•§à à ªã Š. Ăˆ.

(b) ÂŽÂŽÂŽÂ?

ÂŽÂŽÂŽÂ? 5

EÂ? ” EÂ? N ÂŽÂŽÂ? â&#x;ş ÂŽÂŽÂŽÂ?Â? EÂ? m , 1 , 1

E� ∙ E� N ŽŽ� 0

2 , 1 , 2

m

2 , 2 , 1

= ÂŽÂŽÂŽÂ? N E ÂŽÂŽÂ? 2 , 1 , 2 1 , 1 , 1 m 1 , 0 , 2 m ÂŽÂŽÂŽÂ?

E� ∙ E� N ŽŽ� m

â&#x;š ÂŽÂŽÂŽÂ?

2 , 2 , 1 â‹… 1 , 0 , 2 m m

 Â‚

(c) Sea Â? el vector pedido

� ” E� 5

� ” N ŽŽ�

ÂŽÂŽÂ?Â? = â&#x;š Â? âˆĽ EÂ? Âœ N

|E� œ N ŽŽ�| 1N

0

2m m N 1 0 â&#x;š m 1

2

E� ∙ E� N ŽŽ� 0 0

2

m 0 â&#x;š 2m

4 0

Ž�› 1 ›Ž

â&#x;š Â? ›ŽEÂŽÂ? 1 EÂ? Âœ N ÂŽÂŽÂ? ÂŽÂŽÂŽÂ?› ÂœN žÂ?

Â&#x;Â?

E� œ N ŽŽ� �2 1

1N √2 √

1 1

mÂŽÂ?

1,0,1 1

2Â? ĂŹ(UX\\d]]XWĂ­d cd\ ]dU

1

XĂ­ĂŽVWZdU Ă­( ]X >ÂŞ bY]X

€ € € ÂŽÂ?€ €, 2, € Â? , 2 , ‘ ח √‚ √‚ √‚ Ă• 5 Ă–

€

€

€ Վ—Â?‚ €, 2, € Â? , 2 , ‘ Ă” √‚ √‚ √‚

Selectividad 2012: Modelo 2 – Opción ción A

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Modelo 2 - 2012 – Opción B Ejercicio 1.-

Sea la funciĂłn : â&#x;ś definida por ln N funciĂłn logaritmo neperiano.

3

3 donde ln denota la

relativos de (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). alcanzan).

(a) [1'5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos (b) [0'75 puntos] Determina la ecuaciĂłn de la recta normal a la grĂĄfica de en el punto

de abscisa 2

SoluciĂłn

ln N

3

3 â&#x;š ?

N

2

3

3

3

1

N N 3 3

0 Ă— ? 0 â&#x;š N 0 â&#x;š Â’ 04 G &' 4 5 Ă• 1 5 @4 4&4 Ă­ ≥ B 4 ′ Ă– M √% >N Ă• ? H 4 & : N 3 3 0 â&#x;š ∄ Ă”H 4 & N

(a) Para calcular la monotonĂ­a se tiene en cuenta que:

¹§å•§åâ§ã̧ ∞, € âˆŞ 2, ∞ ¹§å•§åâ§ã̧: Ă&#x;•§å§ã̧: €, 2 §à ¯â§ãĂˆÂŞ áå—⏪ •§ŠÂ˜Ìâ •§ŠÂ˜ÌâEÂŞ: Q2, 2 R 2, Ă‹< ĂĽ •§ŠÂ˜ÌâEÂŞ: Q €, € €, € R áíã⏪ •§ŠÂ˜Ìâ

(b) La ecuaciĂłn de la recta normal a la grĂĄfica de es:

"

Xa N

1

1 ∙ â&#x;š " 2 ∙ ′ ′ 2

ln N

⇓

3

3

2 ln 1 2 2

€ ∙ — ‚

‚

â&#x;š ?

Selectividad 2012: Modelo 2 – Opción ción B

N N 3 3 ⇓

? 2

2 2 1

2

â&#x;š 1 ‚

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Ejercicio 2.- [2'5 puntos]

Calcula los valores de y G sabiendo que la funciĂłn N

: 0, ∞ â&#x;ś

definida por

G ln , donde ln denota la funciĂłn logaritmo neperiano, tiene un extremo

relativo en 1 y que

}

S 27 8 ln 4 >

SoluciĂłn

N

2 G ln â&#x;š ′

G

tiene extremo en 1 â&#x;š ? 1 0 â&#x;š 2 }

}

S 27 8 ln 4 â&#x;š S N >

>

G 0

∗ G ln h M 3

}

G ln j 27 8 ln 4 >

04' 0 '& " 0 : S E E S E S ln & ' 04' S ln ln S ln ∗ 1 ln â&#x;š E â&#x;š E S h M 3

} 64 G ln j Â? 3 >

1 G 4 ln 4 4 ‘ � 3

21 3G

Selectividad 2012: Modelo 2 – Opción ción B

64 1 3

4G ln 4 4G

G

21 3G 27 4G ln 4 27 8 ln 4 â&#x;š Â’ â&#x;š 15 4G 8 â&#x;š G 2

Por Ăşltimo se comprueba la 1ÂŞ ecuaciĂłn 2

G 0 1 ‘

G 0: 2 ∙ 1

SoluciĂłn Â’

˜ €

2 0

ø ‚

5

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Ejercicio 3.-

Dada la matriz k ç

3 2 5

2 1 ĂŤ sea ÂŒ la matriz que verifica que kÂŒ ç ĂŤ , ĂŤ 1 7 3

(a) [1 punto] Comprueba que las matrices k y ÂŒ poseen inversas. (b) [1'5 puntos] Resuelve la ecuaciĂłn matricial k > r ÂŒ ÂŒk

SoluciĂłn

(a) Q &' Â & E ' â&#x;ş & ' & 4 4

|k| É

3 2 5

1

É 3

10 13 ƒ 0 â&#x;š ∃q €

Se utiliza la siguiente propiedad:

∗ & ' & 0'4 &4 0'4 &4 0'4 &4 4 & ' & & ' &

2 1 É É

2 1

2 1 ∗

13 7 3 kÂŒ ç É â&#x;š | ÂŒ| 1 ƒ 0 ĂŤ â&#x;š |kÂŒ|| |k| ∙ |ÂŒ| É |k| 13 7 3 7 3 Por tanto ∃ €

(b) k > r Œ Œk

â&#x;š r kÂŒk

â&#x;š

FV]ZYc]Yed YGĂ­X YGĂ­X cd\

kÂŒ ç

2 2 1 7

3

ĂŤâˆ™k

A ∙ k > r ÂŒ k ∙ ÂŒk â&#x;š r kÂŒ kÂŒk â&#x;š

1 1 5 ç Í 36 11

2 1

2 1 3 2 ç ĂŤ ç ĂŤâˆ™ç ĂŤ 7 3 7 3 5 1 ç

2 1 7

ĂĽ ÂŽ ç ĂŤ ‡ü ­

Selectividad 2012: Modelo 2 – Opción ción B

3

Í ç

3 43

6

9

ĂŤ

2 1 ç Í 7 3

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' ≥ 4 2  3 cuya distancia al plano 2 1 vale 4 unidades.

Ejercicio 4.- [2'5 puntos]

1

Encuentra los puntos de la recta � ≥ 2"

2 "

Solución Se estudia studia previamente la posición del plano y la recta: ' ≥

1 2 " 1 " 2  3 ' Ăł ' & ' & Â?\ 4, 2,1 5  3 â&#x;š ' ≥ â&#x;š C 4 2 4

2 1 F &4 ' & ' & F 1,2,3

� ≥ 2"

\

2 1 â&#x;š E &4' E &4' 4' 0 4 ÂŽÂ?¢ 1, 2,2

ÂŽÂ?¢ ∙ Â?\ 1, 2,2 ∙ 4, 2,1 4

4

2 ƒ 0 â&#x;š ÂŽÂ?¢ ĂŁÂŞ ” Â?\ â&#x;š ' & ' & 4'& 0 4

ÂŽÂ?¢ 1, 2,2 âˆŚ Â?\ 4, 2,1 âˆś } ƒ N ƒ > â&#x;š ' & 4'& 0 4 4 4 0 '0 ' & >

N

N

Se observa que hay dos soluciones

Como los puntos son de la recta ' tienen la forma de su ecuaciĂłn paramĂŠtrica:

1 4 4 Â?\ 4, 2,1 5 â&#x;š –" 2 2 C 2 ∀ ∈ 5 â&#x;š 0 &4 Ă ' "'" F\ 1,2,3  3 La condiciĂłn que deben cumplir los puntos de ' es: k, Â? 4 k 1

4 , 2 2 ,3 | 1 5 â&#x;š k, Â? Â? ≥ 2" 2 1 |10 2| 4 â&#x;š |10 3 k 1

4 , 2 2 ,3

10 2| 12 â&#x;š C 10

â&#x;š

Ă— Ă•

4 2 2 2 √1

4

4

2 3

2 12 â&#x;š 1

75 2 12 â&#x;š 5

1|

|10 2| 4 3

1 â&#x;š q€ Ă’ , 2 , ‡

5 Ă–

7

‚ü ‚‡ J Ă• â&#x;š q‚ Â? , , ‘ Ă” 5 Ă’ Ă’ Ă’

Selectividad 2012: Modelo 2 – Opción ción B

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Modelo 3 - 2012 – Opción A Ejercicio 1.- [2’5 puntos]

Se considera la funciĂłn derivable : â&#x;ś definida por 2 G Ă– Ă• √ Ă” Ă—1 Ă•

Calcula los valores de y G

Ç1

R1

4 & 1 5 Como es derivable en ⇒ ’ ' E G 1

5

SoluciĂłn

Ă—1 Ă• 2 G Ă– Ă• √ Ă”

× 2 N Ç1 Õ

G 5 ⇒ Ă– 2√ M R1 Ă• Ă” ∃

Ç1

1

ĂŒ1

es continua en 1 ⇒ 1 ⇒ ) ⇒ →>

es derivable en 1

˜

? 1 ? ) ? ⇒ →>

→>

Se resuelve el sistema:

Selectividad 2012: Modelo 3 – Opción ción A

→>

ø € ˜ ⇒ ⇒

Ă— Ă•

5

1

G

) Ăš

Ö Õ Ú1 Ô →> →> →>)

→>

$

√

Ă›

X Ă› N

G5

1

? ? 1

× →> 1 2 N

G ⇒ 5 ⇒ ø ‚˜

G 2 Ă– ? 1 2 Ă” →¡>) 2√1M

G

Ă—Â˜ € Ă• 2 G 1 ‡5 5 ⇒ 4 1 ⇒ Â’ € Ă– G 2 Ă•ø ‚ Ă”

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Ejercicio 2.- [2'5 puntos]

Sea la funciĂłn : â&#x;ś

definida por 1 N .. Determina la primitiva

de cuya grĂĄfica pasa por el punto 1,0 SoluciĂłn Todas las primitivas de la funciĂłn son:

J S 1 N Ă & ' 04' 0 '& : S E E S E S 1 N 1 N 2 S 1 N 2 Â?Â? ∗

Ă˝ ∗

1 N

E

1 N J N

2

∗∗

â&#x;š 2 2

â&#x;š E L

2 1

2 N

D

â&#x;š

_ > a¡

2

1

1 N

— —‚

Selectividad 2012: Modelo 3 – Opción ción A

Ăž Ă˝ ∗∗

‚—

D

2 1

S ‘

â&#x;š

1 >

D 0 0 â&#x;š D 0

E

€ § — —

â&#x;š E L

€ ‚ ∙ § ——

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Ăž

Ejercicio 3.-

Un estudiante ha gastado 57 '4 57 en una papelerĂ­a por la compra de un libro, una calculadora y

un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos. (a) [1'25 puntos] ÂżEs posible determinar de forma Ăşnica el precio del libro?ÂżY el de la calculadora?. calcul (b) [1'25 puntos] Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubieran sufrido un 50 % , un

Razona las respuestas.

20 % y un 25% de descuento respectivamente, el estudiante habrĂ­a pagado un total de 34 '4 .. Calcula el precio de cada artĂ­culo.

SoluciĂłn

0' 4 G'4

∗ B ò & 4 47 '4 â&#x;š

"

4G 4' –" 0' 4 4' 5 –∗ 0' 4 G'4  0' 4 & ò

1 Sus matrices asociadas son k ç 1 1

2

&

& ò â&#x;š

 â&#x;š 2" 2 0 Â

â&#x;š 2 "

(a) El sistema resultante del enunciado del problema es: Â’

1 Como É 1

 57

1

1

2 2

"

 57

2" 2Â 0

ĂŤ y k∗ ç

1

1

1

5

57

1 2 2

0

5

ĂŤ

É ƒ 0 â&#x;š ' k ' k∗ 2 Ç 3 Âş Ăł & â&#x;š B. D. D 0 ' ĂŠ&' 4

Âş 0 'ĂĄ &'4 Âş Ăł & ' 4 4 Ăş : 3 ' 4

2 1

No es posible determinar de forma Ăşnica el precio del libro ni el de la calculadora porque el sistema resultante aunque es compatible es indeterminado luego existen infinitas soluciones. G'4 &4 50 % â&#x;š 0 & â&#x;š N 0.5 Ăś (b) 5 4' &4 0.5 20 % â&#x;š 0 80 % â&#x;š 0.8 " â&#x;š 0 Ăľ

& ò &4 25 % % â&#x;š 0 75 % â&#x;š 0.75  ô >

0.5

0.8"

â&#x;š 10

0.75Â 34 â&#x;š

16"

15Â 680

50 100

"

80 " 100

75 Â 34 â&#x;š 50 100

 57

5 como |k| Â? 1

Se resuelve el sistema – 2" 2 0

Â…,

� ¡

ˆA¡

>

>

N NÂ?

>ˆ | |

SoluciĂłn:

>Â…

10 10

38 "

16" >

Â?>

Â…, ¡

15Â 680

>¡ ˆA¡ | |

ĂĽJ §¯Â•ªà ¨Â•§å⪠Šâø•ª

>

NÂ? >Â…

1

15 Â

5 ¨Â•§å⪠–€Ò §¯Â•ªà ¨Â•§åâª ĂĄÂ˜Šå¯ŠÂ˜ĂˆÂŞÂ•Â˜

10 >

Â?>

>¡

0.8"

80 80" 1

0.75Â 34

75Â 3400 1

2 2 2Â? 3 sistema Cramer 16

>

N

Â…,

15

¡ �

>ˆ ˆA¡ | ||

4

‡ §¯Â•ªà ¨Â•§å⪠§à ̯åT§ ¨Â•§åâª

Selectividad 2012: Modelo 3 – Opción ción A

PĂĄgina 55 de 61

Ejercicio 4.- [2'5 puntos]

Determina el punto F de la recta 3,2,1 coordenadas y del punto k 3

' ≥

3 " 5 Â 4 que equidista del origen de 2 3 3

SoluciĂłn

En primer lugar se expresa la recta en sus ecuaciones paramÊtricas: ' ≥

2

3

"

3

5

Â

' Ăł ' & Â?\ 2,3,3 5 â&#x;š C 3 F &4 ' & F\ 3, 5, 4 4

,4 0 &4 ' & 4 4' 3

2 , 5

1ÂŞ Forma

3 , 4

∀ ∈ 3 ∀

Sea F el punto pedido que cumple:

1.Âş

²²²² " 4 4 F, k F, 4' Ă? â&#x;š F F ∈ 0 4 &'  &4 Ă?k 4 Â?

0,0,0 3,2,1 â&#x;š 3 2"  ' Ăł 4' ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? Ă?k 3,2,1 Â?C ¡ ¡ N ¡ > M > M ²²²²² : ÚÚ¡ M F 0 &4 4 Ă?k , N , N Ă› ĂšN , 1, NĂ› â&#x;š 3∙N 2∙1 N Â? ≥ 3

F ∈ ' â&#x;š El punto es de la forma F 3

2.Âş

F ∈ Â? â&#x;š Cumple su ecuaciĂłn: 3 3 ∙ 3

9

2

6 10

& 3

2 ∙ 5

6 4

2 , 5

3 3

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? kF 3

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ? 3 Ă?F

2 , 5

2 , 5

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ?› ›Ă?F ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ?› â&#x;š ›kF

36 24

 7 0

3 , 4

H 0

H 0 â&#x;š H 7

5

3 3

3 7 0

3 3

4 , 5

6 , 4

6 €, €, € ‚

ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ?› ›Ă?F ÂŽÂŽÂŽÂŽÂŽÂ?› Se cumple: F, k F, Ă? â&#x;š ›kF

3 ,, 4

3 ,, 4

3 3,2,1 6

3 0,0,0 3

2 , 7

2 , 5

3 , 5

3 , 4

3

3

3 5 N 2 3 N 3 5 N 3 4 N ⇓ 2 6 N 3 7 7 N 3 5 N 2 3 N 3 5 N 3 4 N ⇓ 9 N 49 42 9 9 N 25 30 4 N 9 12 9 N 25 30 9 N ⇓ 110 42 50 12 â&#x;š 2

2 6 N

4 N

 7 0

2 , 5

3 7 0 â&#x;š 2

3 , 4

2ÂŞ forma de calcular ÂŹ

4

2"

2"

> N

3 7 7 N

Selectividad 2012: Modelo 3 – Opción ción A

16 24

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Modelo 3 - 2012 – Opción B Ejercicio 1.- [2'5 puntos]

De entre todos los triĂĄngulos rectĂĄngulos de hipotenusa 10 ,, determina las dimensiones del de ĂĄrea mĂĄxima. SoluciĂłn RelaciĂłn entre las variables: Teorema de PitĂĄgoras N

" N 100 â&#x;š " N 100 N â&#x;š " 100 N

FunciĂłn a minimizar: ĂĄrea triĂĄngulo rectĂĄngulo 1 1 N 100 N B ∙ " ∙ 100 N 2 2 4 Se cumple que N 100 N N 100 N @  ' @  ' ≥ @  ' 4 4 k

N 100 N 1 100 N } 100 4 4

Extremos relativos

0 4 EĂĄ 04' ' 4 & 1 5 k? 200 4 M 0 0 C N 50 â&#x;š √50 5√2 5 4 VĂĄ]YĂ­X ]X Ud]VeYĂłW W ¡

Para ver que este valor es måximo m relativo se estudia el signo de k′′ ′′

1 1 k?? 200 12 N ⇒ k?? Q√50R 200 12 ∙ 50 Ç 0 ⇒ √50 √ ĂĄ 4 ' & E4 4 4

Es mĂĄximo imo absoluto porque la funciĂłn k tiene de grĂĄfica:

Las dimensiones son: √50 â&#x;š " 100 N √100 50 √50 Â’

— âˆšĂ’2 ÂŻ ÂŻ. Š. 5 §à ¯ã ̕âå㍯Šª •§åÌå㍯Šª âà óà 姊§à à 姊§à 1 âˆšĂ’2 ÂŻ ÂŻ. Š.

Selectividad 2012: Modelo 3 – Opción ción B

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Ejercicio 2.-

Sean las funciones : ⟶ y : $0, ∞ 5 ⟶ definidas por

ñ

}

2√ respectivamente.

y

(a) [0'75 puntos] Halla los puntos de corte de las gráficas de y . Realiza ealiza un

esbozo del recinto que limitan.

(b) [1'75 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

Solución

Eé'& 0,0 5 (a) La función es una parábola con lar ramas hacia arriba 0 &4 2,1 La función es una parábola con lar ramas hacia la derecha Puntos de corte:

N 2√ ⟹ N 8√ 4

(](ÎXWíd X] eVXí\Xíd

⟹

Eé'&

'& 0,0 5 0 &4 1,2

} 64 ⟹ } 64 0 ⟹

0

64 ⟹ 4 M

(b)

>

}

N > 1 M 4 M 1 M } Á § S ç √ ë X2 ∙

Y Ï Ñ 1 12 3 12 · · 1 2 · 4 16 ® Ï ∙ 8 0 0 Ñ ¯. . 3 3 å }

Selectividad 2012: Modelo 3 – Opción ción B

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5

Ejercicio 3.-

Considera el sistema de ecuaciones –2

"

m"

"

mÂ

2Â

1

15

m

(a) [1’75 puntos] Clasifica el sistema según los valores del paråmetro m. (b) [0'75 puntos] ResuÊlvelo para m 1 .

(c) [0'75 puntos] ResuĂŠlvelo para m 1 . 1

SoluciĂłn

(a) Matriz coeficientes k ~2

1

1

|k| Â?2 m 0

1

 ÂƒÂ€ â&#x;š

m

0Â? 2m 2

2m

0

1

m

1

m

0† 2

1

Matriz ampliada k∗ ~2 0

0 0 0 4 4m 4 0 â&#x;š m 1

1

m

1

m

0

2

1

1†

m

|k| ƒ 0 ⇒ ' k ' ' k∗ 3 Âş Ăł & â&#x;š Ăž. Ă&#x;. Âą. à ªŠ¯åâóã úãâå˜ Âą 1 1

 Â€ ⇒ k ~2 1 0 1

1

0† 2

1

y k∗ ~2

2 ' k 2 04'à |k| 0 " É 0

0 2

0

Ă‰Âƒ0

1 1 1 0 1 2

1

1† 1

Para calcular ' k∗ se orla el menor anterior (que es no nulo) en la matriz k∗ Ă— Ă•

Ă?' 4 4 J> " DN : |k| 0

2 0 1 1 Orlados de É É ƒ 0 en k∗ Ă–Ă?' 4 4 J> " D} : Â?2 0 0 2 Ă• Ă” 0 2

1

1Â? 0 1

5 â&#x;š '' k∗ 2

Por tanto • q ‚ • • q∗ Ç 3 â&#x;š Ăž. Ă&#x;. . ¯ãâ¨Â˜Â•Â˜ÂŹĂŠĂŚÂ•âåª

Âş 0 'ĂĄ &'4 Âş Ăł & ' 4 4 4 Ăş : 3 2 1

Selectividad 2012: Modelo 3 – Opción ción B

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(b) Por el apartado anterior rior el sistema es compatible determinado y su soluciĂłn depende de un

paråmetro. Para resolverlo se elimina la ecuación que no forma parte del menor que da el rango y a la columna que no € €

 ח " 1 1 1 ‚ ‚

Ăł Ă• 5 ∀ ÂŹ ∈ ¤ 1 0 1† â&#x;š 2 1 5 â&#x;š 1 ÂŹ Ă– € € 2 1 1 2 1 Ă• ™

 Ô " E 4' 0 ' Ê&' 4 E 4' ‚ ‚

forma parte de dicho menor se le da un valor paramĂŠtrico: paramĂŠtrico: 1

~2 0

(c) Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado (puesto que m 1 ƒ 1

Se resuelve por Cramer: 1

k ~2 0

"

Â

1

1

Matriz ampliada k ~2

0†

1 1

2

1

Â?1

1

1

|k | 1 1 |k|

8

1

1

1

1

1

1

0Â?

›k5 › 0 1 2 |k|

8

1 1

0

1

1

1 1

2

1†

1

0 1 0 2 4 1

8

8 2

0 0 0 4 0

8

1 1 1

8

2

0 0 1

8

1Â?

0

1

2

2

1

0 Â? 4m 4 8

2

Â?2 1

|kG | 0 |k|

0

1

2 2 1

1 1

|k k| Â?2

0Â?

1

Â?2

1

∗

2

4

1

8 2

€

€ ĂžªŠ¯åâóã: Â? , 2 , ‘ ‚ ‚

Selectividad 2012: Modelo 3 – Opción ción B

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Ejercicio 4.Considera el punto F 1,0,2 y la recta ' dada por las ecuaciones Â’

2 " 4 0 "

2Â 8 0

5

(a) [1 punto] Calcula la ecuaciĂłn del plano del plano que pasa por F y es perpendicular a ' . (b) [1'5 puntos] Calcula el punto simĂŠtrico de F respecto de ' . SoluciĂłn

Ecuaciones paramĂŠtricas de ' Â’

2 " 4 0 "

2Â 8 0

" 2

5 â&#x;š –2 4

 4

Â? 1 , 2 , 1 1 5 5 â&#x;š C \ F\ 2,0,4

Â? ” ' â&#x;š E &4' 4' 4' Â? ÂŽÂ?¢ Â?\ ' Ăł ' 1 , 2 , 1 1 â&#x;š Â? ≥ 0 04' F 1,0,2 â&#x;š Â? Â?≥1

Se calcula el punto Â’

2 5 â&#x;š –" 2

2Â 8 2

Sea Â? el plano pedido C

2

# ∈ ' â&#x;š # 2 # ∈ Â? â&#x;š 2

# 2

2

0 2

� ≥ 2

, 2 , 2 4

2 ⋅ 2 4 ⇓ 4 4 1 0 ⇓ 6 1 ⇓ > ˆ

, 2 , 4 Â?Â?2

H 0 â&#x;š H 1 " Â

1 0

2" Â

1 0

5

1 2 1 13 2 23 , , 4 ‘ � , , ‘ 6 6 6 6 6 6

# 0 &4 4 &4 &4 FF?

1 13 20 10 â&#x;š 6 6 26 â&#x;š Ă— 6 6 3 Ă• 2 Ă• Ă• F 1,0,2 0 " 2 4 2 5 5 â&#x;š â&#x;š 6" 4 â&#x;š " ? 6 6 3 F , ", Â Ă– 2 Ă• Ă• 34 17 Ă•2 Â 23 Ă” 2 6 â&#x;š 12 6Â 46 â&#x;š Â 6 3

Selectividad 2012: Modelo 3 – Opción ción B

€2 ‚ € &′ � , , ‘ ü ü ü

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