CAPITULO IV
Teoría de la Modulación Modulación Lineal de Onda Continua
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Señales pasabanda y sistemas (Convenciones de señales analógicas) (1) La condición esencial impuesta a una señal x(t) generada por una fuente de información es que debe tener un ancho de banda bien definido W. Por conveniencia matemática todas las magnitudes de cualquier señal mensaje serán normalizadas, por lo tanto, así mismo se establece un límite para la potencia promedio del mensaje.
El análisis de algunas señales arbitrarias puede tornarse complejo y algunas veces imposible, luego, en estos casos se recurrirá al caso específico de un tono de modulación
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Señales pasabanda y sistemas (Convenciones de señales analógicas) (2) El tono de modulación permite trabajar con un lado del espectro y simplificar los cálculos de potencia, y a la vez permite inferir la respuesta del sistema a cualquier frecuencia a partir de la respuesta a la frecuencia ; para revelar posibles efectos no lineales debe utilizarse señales multitonos como con
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Señales pasabanda y sistemas (Señales pasabanda) (1) Considérese una señal real de energía con espectro el espectro presenta simetría hermitiana pero no necesariamente es simétrico a la frecuencia , entonces se define una señal pasabanda como aquella en la cual
luego la señal en el dominio del tiempo luce como un sinusoide a la frecuencia y presenta cambios lentos de amplitud y fase
donde del tiempo. Universidad del Quindío
es la envolvente y
es la fase, ambas funciones
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Señales pasabanda y sistemas (Señales pasabanda) (2) La envolvente se muestra en líneas punteadas y se define no negativa , cuando se presentan amplitudes negativas son absorbidas por la fase adicionando
puede ser descrita como un vector en un plano complejo en el cual es la magnitud del vector y el ángulo de fase, luego la señal puede representarse como la suma de componentes en fase y cuadratura , donde
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Señales pasabanda y sistemas (Señales pasabanda) (3) luego
con en la descripción de envolvente – fase se tiene que
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Señales pasabanda y sistemas (Señales pasabanda) (4) Expresiones que no son Fourier transformables, y una condición que se debe cumplir es
luego, consta de dos espectros que han sido trasladados y en el caso de desplazado en fase, luego se puede hablar de un espectro equivalente pasabajo definido como
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Señales pasabanda y sistemas (Señales pasabanda) (5) Luego en el dominio del tiempo
sin embargo, representa una señal real pasabanda a pesar de su representación compleja, y su relación con es
resultado que muestra la transformación pasabajo a pasabanda en el dominio del tiempo, lo cual en el dominio frecuencia se representa como Universidad del Quindío
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Señales pasabanda y sistemas (Transmisión pasabanda) Una señal pasabanda entra a un sistema pasabanda con función de transferencia y produce una salida donde , sin embargo, usualmente es mas fácil trabajar con el espectro pasabajo relacionado por
luego y
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Ejemplo: Retardo de envolvente y portadora (1) Considere un sistema pasabanda con respuesta constante en magnitud y desplazamiento no lineal en fase en su banda pasante luego
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Ejemplo: Retardo de envolvente y portadora (2) Asumiendo que las alinealidades de fase son relativamente planas, se puede escribir la aproximación donde
aproximación que proviene de la expansión en series de Taylor de , para la interpretación de los parámetros y , cuando la señal de entrada tiene fase 0 si el espectro de la señal de entrada con la banda pasante del sistema
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cae completamente
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Ejemplo: Retardo de envolvente y portadora (3) Luego y la salida pasabanda será por lo tanto se puede concluir que es el retardo de portadora y y , es el retardo de envolvente producido por el sistema, siempre que sea independiente de la frecuencia la envolvente no sufre distorsión de retado, al retardo de la envolvente también se lo denomina retardo de grupo. Otra consideración importante es la relación existente entre la frecuencia central de respuesta del sistema y su ancho de banda, luego como regla se tiene el que el ancho de banda fraccional por lo tanto Universidad del Quindío
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Modulación de amplitud de doble banda lateral (Señales y espectro de AM)(1) La característica principal de AM es que la envolvente de la portadora modulada tiene la misma forma de la señal mensaje, luego si Ac denota la amplitud de la portadora sin modular, modulando el mensaje x(t) se tiene la envolvente modulada donde la constante µ es denominada índice de modulación, por lo tanto la señal de AM es
desde que no existan variaciones de fase en la señal componentes en fase y cuadratura son
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las
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Modulación de amplitud de doble banda lateral (Señales y espectro de AM)(2) La envolvente reproduce claramente la forma del mensaje si cuando estas condiciones se cumplen, el mensaje x(t) puede ser extraído de la señal modulada mediante un detector de envolvente. Sobre modulación produce cambios de fase y distorsión de envolvente
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Modulación de amplitud de doble banda lateral (Señales y espectro de AM)(3) En el dominio de la frecuencia se tiene
La presencia de las bandas superior e inferior dan el nombre de AM de doble banda lateral al igual que establecen el ancho de banda de transmisión Otro elemento importante en la comparación de sistemas de modulación es la potencia promedio transmitida
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Modulación de amplitud de doble banda lateral (Señales y espectro de AM)(4) Calculando la potencia promedio de la señal modulada cuyo segundo término promedia a cero bajo la condición luego si y se tiene
el término representa la potencia de la portadora sin modular, y el término representa la potencia por banda lateral, luego la restricción de modulación requiere que y por lo tanto luego
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Modulación de amplitud de doble banda lateral (Señales y espectro DSB)(1) La potencia desperdiciada en la portadora de AM puede ser eliminada estableciendo y suprimiendo al componente de frecuencia de portadora no modulada, luego la señal modulada resultante será la cual es denominada modulación de doble banda lateral con portadora suprimida (DSB o DSB-SC o DSSC), por lo tanto la envolvente y fase de DSB son
luego la envolvente toma la forma de mas allá de que x(t) y la señal modulada invierten su fase cuando x(t) cruza cero. Universidad del Quindío
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Modulación de amplitud de doble banda lateral (Señales y espectro DSB)(2) Por lo tanto la recuperación del mensaje requiere conocimiento de estos cambios de fase y no se puede conseguir con un detector de envolvente, pero DSB hace que toda la potencia transmitida se concentre en las bandas laterales, luego
Los transmisores en la práctica imponen un límite a la potencia pico de envolvente , luego examinando la relación , bajo condiciones de máxima modulación Universidad del Quindío
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Modulación de amplitud de doble banda lateral (Señales y espectro DSB)(3) Luego la relación para AM se tiene que
con
para DSB y
,
Por lo tanto si es fija y los demás parámetros de la modulación son iguales, un transmisor DSB produce 4 veces la potencia de la banda lateral que un transmisor de AM.
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Ejemplo Considere un radio transmisor en el cual y y sea la señal mensaje un tono con , entonces si la modulación utilizada por el transmisor es DSB, la máxima potencia de transmisión posible por banda lateral será la menor entre Si la modulación en AM con
luego
De acuerdo a que la distancia de transmisión es proporcional a luego la longitud del camino de AM solo podrá ser un 25% de la longitud del camino DSB con un transmisor con iguales características de potencia
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Modulación de amplitud de doble banda lateral (Modulación de tono y análisis fasorial) Sea la señal luego la señal modulada
introducida a un modulador DSB
similar expansión produce la modulación de tono en AM
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Ejemplo Sea el caso de modulación de tono de AM con , el diagrama fasorial se construye sumando los fasores correspondientes a las bandas laterales a la punta del fasor horizontal de la portadora
suponiendo que es removida la banda lateral inferior, luego la envolvente es y la distorsión de amplitud está dada por
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Moduladores y Transmisores (Modulador de Producto) Se requiere implementar En este tipo de moduladores, la operación crucial es la multiplicación de dos señales analógicas.
para realizar la multiplicación se utiliza el circuito multiplicador de transconductancia variable, pero se limita a bajas potencias y frecuencias
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Moduladores y Transmisores (Modulador de Ley Cuadrada y Balanceado)(1) La multiplicación a altas frecuencias puede realizarse con un modulador de ley cuadrada
si se asume que la curva de trasferencia del elemento no lineal se aproxima a ley cuadrada se tiene que por lo tanto con
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Moduladores y Transmisores (Modulador de Ley Cuadrada y Balanceado)(2) En la ecuación anterior el último término es la señal deseada de AM con y aplicando transformada y graficando el espectro de salida se tiene
por lo tanto con un filtro pasabanda centrado en y con , se conseguiría la señal modulada en AM y haciendo se obtendría DSB y por consiguiente el modulador ley cuadrado perfecto desafortunadamente, los dispositivos de ley cuadrada perfectos son raros, luego se obtiene la señal DSB, Universidad del Quindío
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Moduladores y Transmisores (Modulador de Ley Cuadrada y Balanceado)(3) a partir de dos moduladores de AM en configuración balanceada, de tal forma que se cancela la frecuencia de portadora
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Modulación de amplitud con banda lateral suprimida SSB (Señales y espectro SSB)(1) Para obtener SSB se filtra una de las bandas laterales de una señal DSB conseguida de un modulador balanceado de AM
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Modulación de amplitud con banda lateral suprimida SSB (Señales y espectro SSB)(2) Luego la señal resultante tiene El comportamiento de SSB es fácilmente visualizado en el domino de la frecuencia, pero no es tan evidente en el dominio del tiempo, salvo para el caso de la modulación de un tono, luego si se remueve una banda lateral se tiene notese que la señal SSB se encuentra desplazada de y la envolvente es proporcional a obviamente detección de envolvente no funciona para SSB. Para analizar SSB para una señal mensaje arbitraria, se debe considerar que el filtro del modulador es un sistema pasabanda al cual entra una señal pasabanda obteniendose una salida pasabanda Universidad del Quindío
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Modulación de amplitud con banda lateral suprimida SSB (Señales y espectro SSB)(3) Dado que no posee componente en cuadratura (por el efecto de supresión de la frecuencia de portadora de DSB) se tiene y la función de transferencia del filtro para USSB será
y para LSSB
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Modulación de amplitud con banda lateral suprimida SSB (Señales y espectro SSB)(4) y ambas pueden ser representadas como luego recordando que tenemos por lo tanto y aplicando la transformación pasabanda
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Modulación de amplitud con banda lateral suprimida SSB (Señales y espectro SSB)(5) Se puede observar que la señal modulada tiene la forma de la suma de componentes en fase y cuadratura, luego y la envolvente de SSB es Ecuaciones en las cuales se vislumbra la complejidad de analizar la potencia pico de envolvente de señales SSB, por lo cual se debe inferir del estudio efectuado para un tono de modulación.
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Modulación de amplitud con banda lateral suprimida SSB (Generación de SSB)(1) Los filtros ideales son físicamente irrealizables, luego un filtro de banda lateral atenuará o permitirá el paso de algunas frecuencias indeseadas, afortunadamente, muchas de las señales prácticas a modular contienen “huecos” en su espectro alrededor de la frecuencia cero, lo cual en la señal modulada se refleja como una ausencia de componentes de frecuencia alrededor de la frecuencia de portadora
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Modulación de amplitud con banda lateral suprimida SSB (Generación de SSB)(2) Generalmente se establece como regla que el ancho de la región de transición no puede ser mucho menor que el 1% del valor nominal de la frecuencia de corte del filtro y está determinado por el ancho del hueco espectral, por lo tanto y se puede presentar que la portadora deba ser de muy alta frecuencia para transportar el mensaje, por ello se han planteado moduladores de dos pasos
Otra método para la generación de SSB se basa en analizar la señal modulada de la forma
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Modulación de amplitud con banda lateral suprimida SSB (Generación de SSB)(3) Expresión que suguiere que una señal SSB se puede obtener a partir de dos señales DSB con portadoras en cuadratura y que modulan las señales y
Un tercer método de generación de SSB se puede vislumbrar en el siguiente ejemplo. Universidad del Quindío
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Señales y Espectro VSB (1) VSB se obtiene a partir de DSB filtrando una de las bandas laterales y permitiendo pasar un vestigio de la otra, su clave es el filtro de la banda lateral, el cual tipicamente presenta una función de transferencia en la cual la forma de la respuesta no es lo mas importante, pero se debe garantizar que posee simetria impar y una respuesta igual a ½ a la frecuencia de portadora.
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Señales y Espectro VSB (2) Donde y y el ancho de banda de transmisión es Cuando , lo cual usualmente es cierto, el espectro VSB luce como SSB, igualmente en el dominio del tiempo, por lo tanto se pude representar la señal VSB como donde con Si análoga si Luego Universidad del Quindío
VSB se aproxima a SSB y es grande VSB se aproxima a DSB y
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de manera
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Conversión de Frecuencia y Demodulación (Conversión de Frecuencia) La conversión de frecuencia inicia con la multiplicación por un sinusoide, luego considerando una señal DSB , multiplicada por se tiene lo cual muestra el traslado del mensaje hacia dos nuevas portadoras, y con el filtraje adecuado la señal es convertida hacia arriba o hacia abajo (up-converted o down-converted), el sistema mediante el cual se realiza esta operación es denominado Mezclador
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Ejemplo Un transponder satelital permite establecer la comunicación bidireccional entre dos estaciones terrenas, frecuencias diferentes son utilizadas en los dos enlaces (subida y bajada), típicamente en la banda C 6Ghz y 4Ghz, en el transponder un conversor traslada el espectro de la salida LNA del enlace de subida hacia la entrada del HPA del enlace de bajada
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Detección Síncrona (1) Todos los tipos de modulación lineal pueden ser detectados por un demodulador de producto
en este caso se presume que el oscilador local está exactamente sincronizado con la portadora tanto en frecuencia como en fase, lo cual da el nombre de detección síncrona o coherente. La señal de entrada es de la forma
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Detección Síncrona (2) La entrada al filtro es el producto
siempre que los términos de frecuencias dobles son rechazados por el filtro pasabajos, obteniendo la señal de salida donde es la constante de detección, la componente DC corresponde a la portadora trasladada si se encuentra presente en la señal modulada, y puede ser suprimida a través de un capacitor o un transformador a la salida del detector. El problema crucial de este tipo de detección es sincronización, para lo cual se inserta una pequeña cantidad de la frecuencia portadora en la señal modulada, y recuperada como OL. Universidad del Quindío
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Detección de Envolvente (1) Para la detección de AM casi nunca se utiliza un detector síncrono pues en complejo y el mensaje puede ser recuperado de la envolvente de la señal modulada
donde el voltaje vout es la versión rectificada de media onda y filtrada de la señal modulada, luego
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Detección de Envolvente (2)
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CAPITULO IV
Teoría de la Modulación Modulación Exponencial de Onda Continua
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Modulación de Fase y Frecuencia (Señales de FM y PM) (1) Considérese una señal con envolvente constante pero con fase variable en el tiempo, luego definiendo el ángulo total instantáneo como se puede expresar Si contiene la señal mensaje se tiene un proceso en el cual la relación existente entre y no es lineal, por ello a este tipo de modulación se lo denomina modulación angular o exponencial. Para un caso particular como la modulación de fase PM, se define
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Modulación de Fase y Frecuencia (Señales de FM y PM) (2) Luego ecuación el la cual se puede apreciar que la fase instantánea varía directamente con la señal moduladora; la constante representa el máximo desplazamiento de fase producido por , manteniendo la condición de normalización , y estableciendo como límite superior , se limita a al rango . La limitación es análoga a la restricción para AM, luego se lo denomina indice de modulación de fase o simplemente desviación de fase. En la siguiente gráfica se compone de una constante rotacional mas un desplazamiento angular relativo luego la tasa de rotación expresada en ciclos por segundo será
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Modulación de Fase y Frecuencia (Señales de FM y PM) (3) donde
y se denomina frecuencia instantánea de En el caso de modulación de frecuencia FM, la frecuencia instantánea de la señal modulada se define como
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Modulación de Fase y Frecuencia (Señales de FM y PM) (4) Luego varia de manera proporcional con la señal modulante, la constante de proporcionalidad se denomina desviación de frecuencia, y representa la máxima desviación de con respecto a la frecuencia de portadora El límite superior garantiza que y para preservar la naturaleza de señal pasabanda de se necesita que , de acuerdo a las ecuaciones anteriores se tiene que en una señal modulada en FM e integrándose se produce una señal modulada en fase
tomando
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de tal forma que
luego
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Modulación de Fase y Frecuencia (Señales de FM y PM) (5) Por lo tanto la señal modulada en FM se expresa como
luego al comparar la señal modulada en FM con la señal modulada en PM se visualizan unas diferencias muy pequeñas, y la diferencia esencial es la integración de la señal mensaje en FM
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Modulación de Fase y Frecuencia (FM y PM de Banda Estrecha) (1) Representando la señal modulada como la suma de componente en fase y cuadratura tenemos donde
estableciendo la condición
tenemos
lo cual facilita el calcular el espectro de la señal modulada en términos del espectro de la señal mensaje
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,
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Modulación de Fase y Frecuencia (FM y PM de Banda Estrecha) (2) Luego donde ecuaciones de las cuales se puede concluir que si la señal mensaje tiene un ancho de banda luego será una señal pasabanda con ancho de banda Lo cual es válido bajo la condición , para valores grandes de los términos no pueden ser ignorados, luego se incrementará el ancho de banda de . Por ello este tipo de señal modulada se denomina FM de banda estrecha (NBFM) y PM de banda estrecha (NBPM)
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (1) El estudio de FM y PM de un tono, puede ser llevado a la diferencia simple de 90°en los tonos de modulación, luego
por lo tanto de acuerdo a la forma de la señal modulada se tiene donde por lo tanto el parámetro sirve como índice de modulación para el caso de modulación de un tono, para PM es igual a la máxima desviación de fase y proporcional a la amplitud del tono de modulación. Para FM es inversamente proporcional a la frecuencia del tono de modulación porque al integrar Universidad del Quindío
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (2) se obtiene La modulación de un tono dado que es modulación de banda estrecha requiere que y la ecuación de la señal modulada se simplifica a
y observando el espectro y diagrama fasorial tenemos
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (3) Para determinar la línea de espectro con un valor arbitrario de índice de modulación, se realiza la aproximación de banda estrecha y se tiene
y aunque
no sea periódica, los términos y son periódicos y pueden ser expandidos en series de Fourier con luego
donde n es positivo Universidad del Quindío
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (4) y tenemos que
los coeficientes son las funciones de Bessel de primera clase de orden n y argumento . Sustituyendo y en la ecuación de la señal modulada se tiene
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (5) y dado que
se tiene que
expresión que representa una señal de amplitud constante cuya frecuencia instantánea varía senoidalmente. Analizando la expresión para la señal modulada de FM se tiene que el espectro de FM consiste de una línea correspondiente a la componente de frecuencia de portadora mas un número infinito de líneas correspondientes a las bandas laterales, donde todas las líneas se encuentran igualmente espaciadas, donde las componentes impares de bajo orden de las bandas laterales presentan inversión de fase de acuerdo a la frecuencia de portadora sin modular. Universidad del Quindío
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (6) La gráfica muestra el espectro de un tono modulado en FM
donde se observa que las componentes de frecuencia pueden ser despreciables siempre que
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (7) Las figuras muestran las funciones de Bessel de diferentes ordenes
Orden fijo y argumento variable Universidad del Quindío
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (8)
Orden variable argumento fijo Universidad del Quindío
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (9)
1.
2.
3.
De las gráficas anteriores se pueden deducir las siguientes propiedades. La amplitud relativa de la línea espectral correspondiente a la portadora varía con el índice de modulación por lo tanto depende de la señal modulante; sin embargo la línea de portadora del espectro puede ser cero , esto sucede cuando y así según la gráfica anterior. El número de líneas de espectro de las bandas laterales que presentan amplitud significativa depende de Valores grandes de implica un gran ancho de banda requerido para acomodar las bandas laterales, de acuerdo que mayor cantidad de líneas de espectro tendrán amplitudes significativas.
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (10) La siguiente tabla muestra valores de redondeados a dos cifras decimales, los espacios en blanco corresponden a valores en los que
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (11) La siguiente figura muestra las líneas de espectro de una señal modulada de acuerdo a las amplitudes dadas por la tabla anterior, la parte a de la figura presenta a incrementando mientras es constante y aplica tanto si la señal es modulada en FM o PM. La parte b aplica solamente para FM e ilustra el efecto del incremento de por decremento de mientras permanece constante. Las líneas punteadas muestran la concentración de líneas de espectro con amplitud significativa en el rango
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (12)
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (13) Una interpretación fasorial de envolvente y fase de la señal modulada a partir de la portadora y el primer par de líneas espectrales de las bandas laterales es
donde se observa que la variación de fase es aproximadamente la deseada, pero hay una variación adicional de amplitud a el doble de la frecuencia de la señal modulante, lo cual se corrige introduciendo las líneas espectrales de segundo orden de las bandas laterales, las cuales rotan hacia relativo a la portadora, pero se introduce distorsión de fase. Universidad del Quindío
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Modulación de Fase y Frecuencia (Modulación de un Tono) (14) La distorsión de fase puede corregirse introduciendo las líneas espectrales de tercer orden de las bandas laterales, pero se introduce nuevamente distorsión de amplitud y de esta manera hasta infinito, lo cual se ilustra en la siguiente figura.
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Ejemplo (1) Sea transmitida la señal modulada en FM de banda angosta para calcular la frecuencia instantánea
de
se puede concluir que
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se deriva
y
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Ejemplo (2) Hay dos formas para calcular modulación se conoce que
por NBFM con tono de
desde que luego se puede observar que La otra forma es calcular
por lo tanto de
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como
se obtiene que
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Ejemplo (3) y
, por lo tanto
luego las líneas de espectro tienen la forma en la siguiente figura
con
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y
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Modulación Multitono y Periódica (1) Sea donde f1 y f2 no son armónicamente relacionados, la señal modulada puede describirse como
donde y así sucesivamente, términos de la forma
son expandidos de la forma Universidad del Quindío
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Modulación Multitono y Periódica (2)
Llegando a una expresión para la señal modulada de la forma
para interpretar esta expresión, las líneas espectrales pueden ser divididas en cuatro categorías, 1. 2.
La portadora de amplitud Líneas de bandas laterales a frecuencias los dos tonos de la señal.
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debidas a uno de
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Modulación Multitono y Periódica (3) 3.
Líneas de bandas laterales a frecuencias de los dos tonos de la señal. 4. Líneas de bandas laterales a frecuencias a los armónicos de las dos frecuencias. El espectro de una señal de dos tonos modulada para se muestra en la siguiente figura
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debidas a uno debidas y para
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Modulación Multitono y Periódica (3) Cuando los tonos están armónicamente relacionados, significa que en una forma de onda periódica, luego es periódica y también lo es , entonces puede ser expandido en series de fourier con coeficientes
donde
y
igual a la magnitud de las líneas espectrales en
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Ancho de Banda de Transmisión (1) De acuerdo a que cae rápidamente para mas si Presumiendo que el índice de modulación es grande se puede decir que es significativa solo para por lo tanto todas las líneas de espectro significativas se encuentran en el rango de frecuencias Pero, si el índice de modulación es pequeño, entonces todas las líneas de las bandas laterales serán pequeñas comparadas con la portadora, por ende cuando , pero se debe recordar que se deben mantener por lo menos el primer par de líneas espectrales de las bandas laterales, pues de lo contrario no se tendría modulación de frecuencia, luego para un valor pequeño de las líneas espectrales están contenidas en el rango de frecuencias
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Ancho de Banda de Transmisión (2) Luego, todas las líneas de espectro significativas tienen una magnitud relativa , donde se encuentra en el rango de 0.01 a 0.1 de acuerdo a la aplicación. Luego, si y hay M pares de líneas espectrales significativas de las bandas laterales; por lo tanto el ancho de banda de la señal modulada puede expresarse como siempre que las líneas espectrales se encuentren espaciadas y M dependa del índice de modulación , pero el ancho de banda B no es el ancho de banda de transmisión BT, más aún, es el mínimo ancho de banda requerido para un tono de amplitud y frecuencia específica.
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Ancho de Banda de Transmisión (3) Para estimar BT se debe calcular el máximo ancho de banda requerido cuando los parámetros del tono se encuentran restringidos por y para ello se requiere que luego
y el tono que produce el máximo ancho de banda es aquel en el cual y por consiguiente en el peor de los casos el ancho de banda de transmisión será igual a
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Ancho de Banda de Transmisión (4) Extrapolando los resultados obtenidos para modulación de un tono hacia la modulación de cualquier señal arbitraria, definiendo la tasa de desviación como la cual es igual a la máxima desviación dividida entre la máxima frecuencia modulante, luego en el peor de los casos teniendo para valores extremos de tasa de desviación que
luego
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Ancho de Banda de Transmisión (5) La anterior expresión es conocida como la regla de Carlson, sin embargo en la mayoría de los sistemas comerciales de FM se tiene que 2 < D < 10, para lo cual una mejor estimación es dada por Realizando un proceso análogo para PM se tiene que
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Distorsión Lineal (1) Sea una señal pasabanda modulada exponencialmente que es la entrada a un sistema lineal con función de transferencia produciendo la salida
la amplitud constante de la señal equivalente pasabajo como
permite escribir su
donde contiene la información del mensaje, luego en términos de el espectro de salida pasabajos es
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Distorsión Lineal (2) Luego la señal de salida del sistema es para casos en los cuales la función de transferencia del sistema lineal presenta ganancia igual a a la frecuencia , la cual se incrementa o decrementa linealmente con pendiente el desplazamiento de fase corresponde al retardo de la portadora y al retardo de grupo
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Distorsión Lineal (3) Luego el equivalente pasabajo de
es
por lo tanto
donde
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Distorsión Lineal (4) De donde se tiene que la señal de salida es de la forma con en el caso de una señal de entrada FM se tiene
expresion en la cual se observa que la envolvente de la señal de salida del sistema tiene la forma de una señal modulada en AM con
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Distorsión Lineal (5) Conversión de FM a AM no representa un problema considerable para señales moduladas en FM o PM, siempre que no sufra retardos en tiempo, mas si la distorsión es no lineal por ende debe ser ecualizada para mantener la información. Si varía lentamente comparada con luego, luce mas o menos como u sinusoide a la frecuencia y la salida del sistema es y dado que luego
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presenta una variación lenta de frecuencia,
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Distorsión Lineal (6) Para realizar la aproximación anterior se requiere que
expresión en la cual para un tono modulado con , si representa un filtro pasabanda con un ancho de banda en los puntos de 3dB igual a B, el segundo término de la expresión es igual a y la condición sería lo cual satisface Ahora, se supone que el retardo de fase es no lineal tal que donde
es constante, luego sustituyendo
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Distorsión No Lineal (1) Sea la señal
la entrada al sistema
donde y es la amplitud, presumiendo que el elemento no lineal es sin memoria, lo cual significa que no almacena energía, entonces la señal de entrada y salida se relacionan por una función instantánea característica de transferencia y asumiendo por conveniencia que , a pesar que no es necesariamente una función periódica del tiempo, puede ser vista como una función periódica de con periodo , de la misma manera la salida es una función periódica de , luego puede ser expandida en series de trigonométricas de Fourier. Universidad del Quindío
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Distorsión No Lineal (2) Luego
donde
considerando el caso de una señal de FM no distorsionada a la entrada, y descomponiendo la serie se tiene que
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Distorsión No Lineal (3) La expresión anterior revela que la distorsión no lineal produce ondas adicionales de FM o armónicos de la frecuencia de la portadora, el n-ésimo armónico tiene amplitud constante y modulación de fase mas una constante de desplazamiento de fase Si las ondas resultantes no se traslapan en el domino frecuencia, la señal de entrada sin distorsión puede ser recuperada a partir de filtrado; retornando a la señal de FM con variaciones indeseadas de amplitud, las cuales pueden ser aplanadas con un limitador se tiene que
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Distorsión No Lineal (4) Su función característica de transferencia y circuito son
luego la salida se describe de la forma
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Distorsión No Lineal (5) y los coeficientes son calculados como
los cuales son independientes del tiempo porque tanto no afecta el signo de luego
por lo
posteriormente se puede realizar un filtrado pasabanda para obtener la señal de FM de amplitud constante deseada siempre y cuando las componentes de no traslapen su espectro.
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Generación y Detección de FM y PM (FM Directa y VCOs) (1) FM directa requiere solamente de un oscilador controlado por voltaje o VCO, cuya frecuencia de oscilación depende linealmente del voltaje de entrada, esto es posible de obtener introduciendo elementos de reactancia variable como parte de un circuito resonante LC y un oscilador como se muestra en la figura
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Generación y Detección de FM y PM (FM Directa y VCOs) (2) Si la capacitancia equivalente tiene una dependencia del tiempo de la forma y si es lo suficientemente pequeño y lento en sus cambios, luego el oscilador produce una salida de la forma donde
siendo y presumiendo que
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Generación y Detección de FM y PM (FM Directa y VCOs) (3) La expansión en serie binomial resulta en
lo cual resulta en una modulación de frecuencia con siempre que
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Generación y Detección de FM y PM (PM y FM Indirecta) (1) La figura muestra un modulador de fase de banda estrecha de acuerdo a la expresión de la señal modulada
El cual es depende de la aproximación y desviaciones de fase superiores a 10° derivan en distorsión de la señal modulada.
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Generación y Detección de FM y PM (PM y FM Indirecta) (2) Para grandes desplazamientos de fase puede utilizarse el modulador del siguiente diagrama
en este el integrador y el modulador de fase constituyen un modulador de FM de banda angosta, el cual genera una señal inicial NBFM con frecuencia instantánea
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Generación y Detección de FM y PM (PM y FM Indirecta) (3) Donde T es la constante de proporcionalidad integrativa, por consiguiente la desviación inicial de frecuencia es la cual se debe incrementar hacia el valor deseado por el multiplicador de frecuencia, dado que este multiplica la frecuencia instantánea por n luego donde el proceso de multiplicación afecta el rango de variación de frecuencia pero no la tasa, de acuerdo a que incrementa la frecuencia de la portadora y el índice de modulación pero no la frecuencia de la señal de entrada, por lo cual la amplitud de las líneas de espectro de las bandas laterales se afecta, mas no el espaciamiento entre ellas. Universidad del Quindío
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Detección de Frecuencia (1) Un detector de frecuencia también llamado discriminador, produce una salida de voltaje que puede variar linealmente con la frecuencia instantánea de la entrada, estos pueden ser implementados de acuerdo a una de las siguientes categorías • • • •
Conversión de FM a AM Discriminación de desplazamiento de fase Detección de cruce por cero Realimentación de frecuencia
Teniendo en cuenta que cualquier dispositivo cuya salida sea igual a la derivada de la entrada produce conversión de FM a AM.
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Detección de Frecuencia (2) Luego, sea con por lo tanto y un detector de envolvente con entrada una salida proporcional a
permite obtener
donde las señales a la salida de cada bloque son
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Detección de Frecuencia (3)
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Detección de Frecuencia (4) También se puede conseguir detección de FM a partir de circuitos discriminadores de desplazamiento de fase con respuesta lineal en fase, el principio fundamental de funcionamiento radica en la aproximación
asumiendo que es pequeño comparado con la variación de y conociendo que para una señal de FM luego el término puede ser obtenido a partir de un circuito de desplazamiento de fase lineal.
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Detección de Frecuencia (5) La siguiente figura muestra el diagrama de un discriminador de desplazamiento de fase llamado detector de cuadratura, para el cual el retardo de grupo es y el retardo de portadora es tal que
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Detección de Frecuencia (6) Luego el desplazamiento de fase es proporcional a multiplicando por seguido de un filtrado pasabajos se obtiene una salida proporcional a si es lo suficientemente pequeña tal que entonces donde la constante de detección incluye a , a pesar de las aproximaciones, el detector en cuadratura proporciona mejor linealidad que el detector por conversión de FM a AM.
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Interferencia (Interferencia de Sinusoides) (1) Considere la señal recibida sintonizada a la frecuencia de portadora, donde la señal total recibida es donde el primer término representa la señal deseada como una portadora no modulada, mientras el segundo término es una portadora interferente. Representando de la forma envolvente fase tenemos con
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Interferencia (Interferencia de Sinusoides) (2) Donde dada la representación fasorial
por lo tanto dos sinusoides interferentes producen modulación tanto de amplitud como de fase.
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Interferencia (Interferencia de Sinusoides) (3) De hecho si
lo cual hace lucir a la señal total como una señal modulada en frecuencia o fase con índice de modulación y a la vez modulada en AM a la frecuencia con Por otra parte si
donde la envolvente continua presentando modulación de tono, pero la fase corresponde a una portadora desplazada en frecuencia mas una constante Universidad del Quindío
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Interferencia (Interferencia de Sinusoides) (4) Ahora, introduciendo la señal recibida a un demodulador ideal de AM, FM o PM para el caso de
si , el término constante en la señal recibida de AM puede ser removido utilizando un circuito de bloqueo de DC, el factor multiplicador en el caso de FM, proviene de la desviación instantánea de frecuencia Por lo tanto, una interferencia débil en un sistema de modulación lineal o de fase, produce un tono de salida espúrea con amplitud proporcional a independiente de , pero la amplitud del tono es proporcional a en un sistema de FM. Universidad del Quindío
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Interferencia (Interferencia de Sinusoides) (5) Por lo tanto, FM es menos vulnerable a la interferencia co-canal, en la cual las frecuencias de portadora son las mismas y pero mas vulnerable a la interferencia de canal adyacente en la cual
La gráfica muestra la amplitud de la interferencia demodulada vs donde el punto de cruce se encuentra a Universidad del Quindío
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Red de Pre-énfasis De-énfasis (1) Dado que una señal recibida de FM es mas afectada por la interferencia si es grande, luego se requiere mejorar el desempeño del sistema a través de un filtrado postdetección llamado filtrado de de-énfasis. Para ilustrar esto, supóngase que el demodulador es seguido por un filtro pasabajos con una tasa de amplitud que decrementa gradualmente por debajo de W, luego el detector tendrá la forma
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Red de Pre-énfasis De-énfasis (2) Luego, dado que el filtro de de-énfasis atenúa las componentes de alta frecuencia del mensaje y esto causa distorsión, se debe compensar a través de una red de predistorsión o red de preénfasis después de haber modulado la señal. Las características de los filtros de pre-enfasis y de-enfasis deben estar relacionadas por
para producir transmisión sin distorsión. El filtro de de-énfasis de FM es usualmente un filtro de primer orden en el cual
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Red de Pre-énfasis De-énfasis (3) Donde el ancho de banda de 3dB es mucho menor que el ancho de banda del mensaje, dado que la interferencia aumenta linealmente con , en ausencia de filtrado la respuesta en frecuencia de la interferencia al salir de la red de de-énfasis es
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Red de Pre-énfasis De-énfasis (4) En el extremo transmisor, el filtro de pre-énfasis debe tener una respuesta en frecuencia de la forma
el cual presenta un efecto despreciable para las bajas frecuencias, sin embargo a altas frecuencias el filtro se comporta como diferenciador y el espectro de salida es proporcional a para .
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Ejemplo (1) Redes de pre-énfasis y de-énfasis típicas para FM comercial, al igual que sus diagramas de bode se muestran en la siguiente figura
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Ejemplo (2) La constante de tiempo RC en ambos circuitos es igual a luego El filtro de pre-énfasis tiene una frecuencia de corte superior de la cual es usualmente escogida para operación en la banda de audio por lo tanto
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