Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática
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20 Las producciones matemáticas de estudiantes universitarios al extender modelos lineales a contextos no lineales1 Mónica Ester Villarreal Cristina Beatriz Esteley Humberto Raúl Alagia Resumen Con este trabajo presentamos un estudio realizado a partir de producciones matemáticas escritas de alumnos universitarios en las que está presente un fenómeno que denominamos extensión de modelos lineales a contextos no lineales. Cuando hablamos de modelo lineales nos referimos al modelo y=a.x+b, a las representaciones particulares de proporcionalidad directa, o al esquema de la regla de tres simple. La metodología de investigación es de tipo cualitativa. Se trata de un estudio descriptivo en el que se analizaron los dos tipos de problemas que los estudiantes resolvieron por extensión de modelos lineales, distintos 1
Este trabajo fue realizado con el apoyo de la Secretaría de Ciencia y Técnica de la Universidad Nacional de Córdoba y la Agencia Córdoba Ciencia de la Provincia de Córdoba, Argentina. La versión en portugués de este artículo fue publicado originalmente en la Revista Brasilera BOLEMA (Boletim de Educação Matemática) editada por el Programa de Pósgraduação de Educação Matemática de la Universidade Estadual Paulista. La referencia completa de la fuente original es: Villarreal, M., Esteley, C. & Alagia, H. (2005) As produções matemáticas de estudantes universitários ao estender modelos lineares a contextos não-lineares. BOLEMA - Boletim de Educação Matemática. Año 18, n. 23, p. 23-40.
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abordajes de los estudiantes en esas resoluciones, el texto de enseñanza y los ambientes de aprendizajes en los que participan los alumnos. A partir de este análisis, se constata la presencia y persistencia del fenómeno de extensión de modelos lineales a contextos no lineales, se realizan algunas propuestas cuyas implementaciones podrían ayudar a la superación del fenómeno. Introducción El trabajo que presentamos está relacionado con la comprensión matemática de estudiantes universitarios de carreras no matemáticas, centrándonos en la descripción y el análisis de un fenómeno que se produce entre estos estudiantes, al cual denominamos extensión de modelos lineales a contextos no lineales o sobregeneralización de modelos lineales. Tal fenómeno da cuenta de la resolución de ciertas cuestiones matemáticas que vinculan dos variables, empleando modelos lineales, aunque la situación planteada, desde la perspectiva del docente, sea obviamente no lineal. De Bock, Verschaffel & Janssens (1998a) se refieren, también, a este fenómeno indicando que para los estudiantes, el modelo lineal tiene una aplicación universal que los lleva a tratar relaciones numéricas como si fueran lineales. Cabe aclarar que la presencia de este fenómeno no implica necesariamente que los estudiantes sean conscientes de que están haciendo uso de modelos lineales en contextos no lineales. Al hablar de modelo lineal2, nos referimos en general a la representación algebraica y = a.x+b, a las representaciones particulares de proporcionalidad directa, o al clásico esquema de regla de tres simple trabajado en Argentina desde la escuela primaria: si a x1 le corresponde y1 , entonces a x 2 le corresponde y 2 = ( x2 ⋅ y1 ) / x1 . En el ámbito de la investigación en Educación Matemática este fenómeno ha sido estudiado con alumnos de la escuela elemental, centrándose en la representación particular de proporcionalidad directa y es conocido como "linear misconception", ilusión de proporcionalidad o de linealidad e inclusive trampa de la proporcionalidad (Behr, Hare, 2
Usamos la expresión “modelo lineal” para referirnos tanto a la función de proporcionalidad directa y = a.x como a la función afín y = a.x+b , pues esta es la denominación que comúnmente se utiliza en la escuela secundaria o primer año de la universidad en Argentina.
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Post & Lesh, 1992). La propensión a sobregeneralizar el empleo de modelos lineales más allá de su rango de aplicación está presente también en el nivel medio. Los estudios de De Bock, Von Doorem, Verschaffel & Janssens (2001) y De Bock, Verschaffel & Janssens (1998a, 1998b), realizados con estudiantes secundarios (12 a 16 años), revelan una tendencia fuerte y resistente al cambio, al aplicar modelos lineales para resolver situaciones problemáticas que involucran longitud y área de figuras planas semejantes. Estos autores realizaron un estudio basado en la resolución de pruebas escritas que son analizadas a través de técnicas estadísticas y también cualitativamente. En estas investigaciones han prevalecido las explicaciones de la ocurrencia del fenómeno desde el error como ignorancia del estudiante. Existen inclusive, trabajos en los cuales sin que la "ilusión de la linealidad" sea el foco del estudio se señala su presencia. Por ejemplo un artículo de Karrer & Magina (2000) que presenta una secuencia de enseñanza para la introducción de logaritmos señala que "houve uma tendência à utilização do pensamento linear" (p. 18) y muestra varios episodios donde puede apreciarse esa tendencia. Este fenómeno también ha sido observado informalmente por otros colegas en el ámbito de la enseñanza media o universitaria de diversos orígenes. En general, lo describen como persistente y la explicación de su ocurrencia ha sido buscada desde el error como ignorancia del que aprende. Sin embargo, dadas la persistencia y presencia de la sobregeneralización de modelos lineales en diversos tipos de problema y contextos en la enseñanza universitaria, consideramos necesario buscar explicaciones desde otras perspectivas. Analizar esta problemática considerando el error como deficiencia, no aporta elementos que la expliquen o permitan superarla. En este sentido, rescatamos la noción de error de Brousseau (citado por Balacheff, 1984) que expresa: Un error es no sólo consecuencia de ignorancia o de incertidumbre o de un accidente. Un error podría ser la consecuencia de un conocimiento previo que tiene su propio interés, su propio éxito, pero que aparece como falso bajo nuevas circunstancias, o más simplemente no adaptado. Así en el análisis didáctico los errores no son entendidos
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Capítulo 20 como meras fallas de los alumnos, sino más bien como síntomas de la naturaleza de las concepciones que subyacen en sus actividades matemáticas. (p. 36)
Al considerar las concepciones que subyacen las actividades matemáticas de los estudiantes, podemos destacar los trabajos de Confrey (1991a, 1994) y Confrey & Smith (1994), quienes a partir del análisis de sus “experimentos de enseñanza” plantean, además, cuestiones sobre el status epistemológico de ciertas construcciones matemáticas de estudiantes. En este sentido, Confrey (1991a) argumenta que comprender las acciones de los estudiantes implica introducirse en su problemática y no presuponer que ella coincida con la del docente/investigador. Las respuestas de los estudiantes que se desvían de la expectativa del docente/investigador, pueden ser legítimas como perspectivas alternativas o válidas y efectivas en otros contextos. Alentar al estudiante a mostrar sus puntos de vista implica una oportunidad para que el docente/investigador vislumbre las perspectivas de los estudiantes y pueda cuestionar las propias, examinándolas a la luz de las ideas de los estudiantes: "Mientras aprendemos a ser más y más conscientes de esta relación dual, podemos llegar a ver como, frecuentemente, lo que es rotulado como inadecuación del estudiante es realmente el resultado de nuestra propia inflexibilidad para considerar perspectivas alternativas" (Confrey, 1994). Si bien Confrey no hace referencia explícita a la extensión de modelos lineales a contextos no lineales, podemos encontrar pasajes de sus experimentos de enseñanza donde ocurre este fenómeno al trabajar con un estudiante universitario (Confrey, 1991b). El tratamiento del fenómeno de extensión de la aplicabilidad de modelos lineales a contextos no lineales en estudiantes universitarios no es frecuente en la literatura. En este sentido, coincidimos con De Bock, Verschaffel & Janssens (1998a) cuando indican que "el predominio de la linealidad en el razonamiento de los estudiantes ha sido frecuentemente descripto e ilustrado con respecto a diferentes dominios de la matemática en esta literatura, pero ha sido elicitada poca o ninguna investigación empírica sistemática" (p. 65). Es por ello que los objetivos generales de este trabajo son:
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• Estudiar y documentar el fenómeno de la extensión de la apli-
cabilidad de modelos lineales a contextos no lineales a partir de producciones escritas de alumnos universitarios. • Interpretar el origen y persistencia del fenómeno en el contex-
to de enseñanza donde los datos fueron recogidos. Realizar algunas sugerencias que podrían contribuir a superar la problemática de la persistencia. Metodología La metodología de investigación propuesta, es de tipo cualitativa ya que procuramos la comprensión profunda de un fenómeno y no su medición. El diseño metodológico fue emergente (Lincoln & Guba, 1985) ya que la decisión en la realización de algunas actividades fue tomada en base a resultados de actividades anteriores o con el fin de estudiar conjeturas que surgieron en el transcurso del trabajo. Se trata de un estudio descriptivo basado en el análisis del texto de enseñanza con los ambientes de aprendizaje que este genera, los problemas matemáticos planteados y las producciones escritas de estudiantes. Al analizar el texto de enseñanza nos referimos a las características de las clases teóricas o prácticas impartidas por los docentes y la bibliografía empleada o sugerida en los cursos de Matemática que cursaron los estudiantes de Agronomía. Los problemas analizados corresponden a: • Evaluaciones parciales o globales realizadas por 300 estudian-
tes de Matemática de la Facultad de Ciencias Agropecuarias (FCA) de la Universidad Nacional de Córdoba (UNC - Argentina) y 53 estudiantes de Matemática I para Agronomía en la Universidad de la Frontera (UFRO - Temuco – Chile) durante el año 2001. • Ejercicios específicamente diseñados para este estudio y que
fueron resueltos por grupos de estudiantes que eran alumnos de la investigadora que es docente en la FCA durante los años 2001 y 2002.
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Las producciones escritas son las resoluciones que los estudiantes dan a los problemas antes mencionados, y que muestran el fenómeno que nos ocupa. Los procedimientos utilizados para alcanzar los objetivos propuestos son: la realización de un listado con ejemplos de producciones escritas de los estudiantes que muestran la extensión de la aplicación de modelos lineales en contextos no lineales, el análisis de los distintos tipos de problemas presentados y soluciones encontradas, la descripción del contexto de enseñanza relacionado con las funciones, en particular con las funciones que describen modelos lineales, cuadráticos, exponenciales y logarítmicos. También, desarrollamos algunos procedimientos no previstos con anticipación en función de las conjeturas emergentes durante el estudio. El proceso de análisis seguido es de tipo inductivo/constructivo (Lincoln & Guba, 1985) ya que no partimos de hipótesis previamente establecidas, sino que, a partir de los datos recogidos se generan categorías y conjeturas cuya validez es puesta a prueba en el transcurso del trabajo. El análisis de las producciones escritas de los estudiantes no se realiza en términos de una valorización del tipo correcto/errado. Aunque puedan indicarse concepciones que no son aceptadas como correctas por los matemáticos, el énfasis está puesto en el proceso seguido por los estudiantes sin pretender hacer comparaciones, sino intentando "escuchar sus voces" (Confrey, 1991a, 1994). Así, nuestras perspectivas son cuestionadas, creando la necesidad de modificarlas para conseguir, a partir de una nueva perspectiva, una mejor comprensión, una nueva interpretación de las concepciones de los estudiantes, manifestadas en forma escrita. Resultados y Análisis Los resultados que aquí reportamos dan cuenta de lo que observamos acerca del texto de enseñanza y los ambientes de aprendizaje que este genera en las clases de Matemática, los problemas planteados a los estudiantes y sus producciones escritas al resolverlos.
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Texto de enseñanza y ambientes de aprendizaje Las clases de Matemática impartidas a los estudiantes cuyas producciones son analizadas en este estudio siguen el modelo clásico caracterizado por la secuencia: exposición - ejemplos - ejercicios (Alagia, 1994). En la Facultad de Ciencias Agropecuarias de la Universidad Nacional de Córdoba, el curso está dividido en clases teóricas y prácticas. De acuerdo al análisis realizado por Alagia (1999) acerca de la estructura de cursos universitarios de Matemática al referirse a la separación entre teoría y práctica indica: El contrato es diferente en cada caso, en la teoría se utiliza el discurso de la presentación de nociones y resultados matemáticos, mientras que en la práctica se establece, aunque sea parcialmente, un contrato de aprendizaje empirista. Al resolver problemas formalmente ligados al discurso de la teoría se supone que hay un proceso de adquisición directa de estrategias y destrezas matemáticas. Es comprobable empíricamente que los estudiantes perciben la diferencia, usualmente al no vincular ambos aspectos como integrantes del mismo dominio de conocimiento. (p.40)
Las clases teóricas se dictan semanalmente para una audiencia aproximada de 400 alumnos que son divididos en dos grupos. En estas clases, inicialmente el profesor presenta los conceptos centrales y algunas técnicas y ejemplos de aplicación de las mismas. La secuencia de contenidos sigue el orden que se describe a continuación: funciones (definición, correspondencia, dominio, imagen, formas de representación, cortes con los ejes de coordenadas, crecimiento, composición, inversa, transformaciones), estudio de funciones particulares: función lineal, función cuadrática, función exponencial, función logarítmica, funciones trigonométricas. En general se introduce el estudio de cada una de ellas a través de un ejemplo de aplicación. En particular, el ejemplo escogido para función lineal responde al modelo y= a.x. Posteriormente se extiende el modelo a su forma general y= a.x+b. Se hace explícito que la forma y= a.x representa una proporcionalidad directa con razón de proporcionalidad a. Sin embargo no se establecen relaciones con el esquema de regla de tres simple aprendido en la escuela pri-
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maria. Posteriormente se analiza el significado de los parámetros a y b de la función. Al estudiar funciones cuadráticas (y= a.x2+b.x+c) nuevamente se parte de una situación problemática cuya solución requiere del uso de este tipo de funciones y luego se construye su gráfico realizando un análisis del efecto de cada parámetro para finalmente llegar a las fórmulas que permiten calcular, a partir de dichos parámetros, las coordenadas del vértice y el valor de las raíces. El tratamiento de las funciones exponenciales se inicia con la construcción de una función exponencial particular que modeliza una dada situación. Se define la expresión que corresponde a este tipo de funciones realizando restricciones sobre su base. Para ello se recuerda cómo se calculan las potencias ax, comenzando con exponentes naturales, para luego extenderse a exponentes enteros no positivos y racionales, explicando esta extensión a partir de la conservación de las propiedades de las potencias. A partir de este análisis se deduce que la base de las funciones exponenciales y= ax debe ser positiva y distinta de uno, se indican dominio e imagen de estas funciones y se construyen gráficos con bases mayores o menores que uno. Este tratamiento tradicional de expresiones y funciones exponenciales ha sido también relatado por Confrey (1991b, p. 125-126) al describir la presentación de ese contenido en textos de Precálculo de uso frecuente en universidades, coincidente con la descripción antes presentada. La función logarítmica se introduce como operación y función inversa de la exponencial que permitirá "despejar" incógnitas que están en el exponente de alguna expresión. Al generar los gráficos de las funciones logarítmicas se emplea el recurso gráfico que permite generar funciones inversas. Finalmente se proporcionan las propiedades del logaritmo, asociadas a las propiedades de las potencias. En todos estos casos al realizar los gráficos de algunas funciones (por ejemplo y= x2, y=2x o y= (1/2)x) se emplea como recurso auxiliar una tabla con algunos valores particulares, aunque en ningún caso se realiza un estudio de diferencias, más allá de lo gráfico. Cabe notar que el texto de enseñanza sigue en general la estructura clásica de un curso de Precálculo, si bien es importante señalar que
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para introducir los contenidos, se presentan, como medio para motivar, problemas de aplicación a las Ciencias Agropecuarias. No obstante ello, luego se retorna a un tratamiento clásico con predominio del manejo algebraico. Además de las clases teóricas masivas, se desarrollan también las llamadas clases prácticas, organizadas en torno al trabajo de los estudiantes quienes resuelven, en grupo o individualmente, ejercicios y problemas que han sido preparados para cada una de las unidades que constituyen el programa y que forman parte de la "Guía de Ejercicios y Problemas". El total de estudiantes es separado en diez grupos de aproximadamente cincuenta alumnos. Cada uno de estos grupos está a cargo de un profesor y ninguno de ellos es quien dicta las clases teóricas. Cada docente a cargo de las clases prácticas, responde las preguntas de los estudiantes procurando que se establezcan relaciones entre la teoría y la práctica. Para cada uno de los temas se proponen ejercicios de cálculo, problemas de aplicación y ejercicios que demandan justificar la verdad o falsedad de ciertas afirmaciones matemáticas. Los ejercicios de cálculo tienen como objetivo afianzar el manejo de ciertas técnicas y fórmulas y adquirir habilidad en el uso de la calculadora. Los problemas de aplicación procuran mostrar el uso de la Matemática en la resolución de situaciones del ámbito agronómico. Los ejercicios que demandan justificaciones pretenden afianzar el uso de los conceptos matemáticos y desarrollar la capacidad de elaborar justificaciones que validen o refuten una proposición. Por otro lado, las clases de Matemática I en la UFRO estaban distribuidas en tres clases semanales para un único grupo de cincuenta y tres estudiantes. Dichas clases estaban a cargo de un único docente y se trabajaban simultáneamente aspectos teóricos y prácticos de los contenidos seleccionados. La secuencia de contenidos y tipos de ejercicios y problemas es equivalente al descripto anteriormente para las clases en la UNC. Esta forma de trabajo, estructurada en clases teóricas y prácticas responde a una educación matemática tradicional que puede encuadrarse en lo que Skovsmose (2000) denomina el paradigma del ejercicio, donde la preocupación central está puesta sobre los contenidos a ser enseñados y aprendidos para resolver los ejercicios formulados. La premisa
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central del paradigma del ejercicio es la existencia de una única respuesta para cada ejercicio. De acuerdo a la clasificación realizada por este autor, podríamos decir que los ambientes de aprendizaje generados tanto en las clases teóricas como prácticas están dominados por la presencia de ejercicios y problemas presentados en contextos de Matemática pura o de semi-realidades definidas por el propio problema. Los problemas que analizaremos en la próxima sección son un ejemplo de ello. Los problemas En relación con los problemas que resolvieron los estudiantes, observamos la presencia de dos tipos: (I) Problemas en los que se brinda en forma explícita un modelo no lineal a través de una expresión algebraica (funciones cuadráticas, exponenciales o logarítmicas). Ejemplos de este tipo de problema son: Problema 1: Después del primer mes de vida, el crecimiento de una cierta especie de árbol responde a la ecuación:
h(t ) = 12. log 3 (t ) + 7 [h en cm y t en meses] a) ¿Cuánto medirá el árbol a los 4 meses? b) ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el árbol alcance la altura de 1 m? Problema 2: En un experimento biológico se determinó que la población de una cierta especie de microorganismos está dada por la fórmula:
N ( x) = −2.x 2 + 360.x + 8000 donde N (x) es el número de microorganismos después de x días. a) ¿Cuántos microorganismos habrá después de 10 días? b) ¿En qué tiempo la población alcanza su máximo? c) ¿Cuál es el máximo número de microorganismos que alcanza la población?
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d) ¿En cuántos días la población desaparece? e) ¿Después de cuántos días el número de microorganismos en la población llega a 21000? f) De acuerdo al contexto del problema, ¿para qué valores de x tiene sentido considerar esta función? g) Realice el gráfico de la función, teniendo en cuenta los datos obtenidos en los ítems anteriores. (II) Problemas que representan una situación no lineal en los cuales no se presenta de forma explícita una expresión algebraica que la describa. Ejemplos de este tipo de problemas son: Problema 3: Indique si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifique su respuesta. Un insecto que pesa al nacer 30 gr. aumenta su peso mensualmente un 20 %. Entonces el peso, al cabo de dos meses es de 43,2 gr. Problema 4: Si una planta mide al comenzar un experimento, 30 cm y aumenta el 50 % de su altura mensualmente, ¿cuánto medirá al cabo de 3 meses? El porcentaje de estudiantes que realizan extensiones de modelos lineales en problemas de tipo (I) es de aproximadamente un 10%. Cabe señalar que en enunciados de problemas como el 1, el orden de los incisos podría estar influenciando la estrategia de resolución ya que con datos obtenidos previamente con facilidad (el cálculo de h(4) en el ítem a) se consigue una estructura de "tres datos conocidos y un cuarto por encontrar", lo cual podría estar induciendo al planteo del esquema de la regla de tres simple mostrado en la Introducción. Esta conjetura se estudió, presentando en exámenes del 2002 problemas similares al 1 en los que se invirtió el orden de los incisos. En esta oportunidad sólo en el 2,3 % del total de alumnos examinados (427) se pudo determinar la presencia del fenómeno de extensión, resultado inferior al del 2001.
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El porcentaje de estudiantes que realizan extensiones de modelos lineales en problemas de tipo (II) es de aproximadamente un 50%, en todos los grupos analizados. Con respecto a este tipo de problemas se puede conjeturar que la existencia de diferentes interpretaciones podría estar asociada con la claridad en la redacción de los enunciados. Por ejemplo, en el Problema 4 puede no estar claro si el incremento del 50% en la altura de la planta debe calcularse, en cada mes, sobre la altura que la planta tiene al iniciar ese mes o si el porcentaje de crecimiento del 50% debe calcularse siempre sobre la altura inicial de la planta.En el primer caso el modelo subyacente es exponencial y es el esperado por el docente. Una posible solución sería: 1er. mes: 30 +
50 30 = 45 cm 100
2do mes: 45 +
50 45 = 67,5 cm 100
3er mes : 67,5 +
50 67,5 = 101,25 cm 100
En el segundo caso, el modelo subyacente es lineal y la planta crecería constantemente 15 cm por mes y así, al cabo de tres meses su altura sería de 30 cm + 15 cm/mes. 3 meses = 75 cm. Para indagar si las diferentes interpretaciones del enunciado del problema están asociadas con una posible falta de claridad en su enunciado, en el año 2002 realizamos una reformulación del mismo, que entendemos podría mostrar más claramente la presencia de un modelo exponencial, según lo pretendido originalmente por el docente. Trabajamos con 85 estudiantes de los cuales un grupo de 42 de ellos resolvió el Problema 4 con el enunciado original y otro grupo, formado por 43 estudiantes, trabajó con el enunciado modificado: Si una planta mide al comenzar un experimento 30 cm y cada mes su altura aumenta un 50 % de la altura del mes anterior, ¿cuánto medirá al cabo de 3 meses? En esta oportunidad encontramos que en el primer grupo el 61,9 % resolvió el problema manifestando el uso de un modelo lineal mientras que este porcentaje bajó al 46,5 % en el segundo grupo.
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Si ahora analizamos en detalle los contextos de los problemas podemos señalar, como se indicó en la sección anterior, que se refieren a semi-realidades. Por ejemplo, un insecto no puede pesar al nacer 30 gr (ver Problema 3), tampoco puede aumentar su peso exponencialmente. Si bien ese modelo puede ser válido en un corto período de su vida esto no está informado en el enunciado del problema. Observemos, también, que el modelo para el crecimiento en altura de un árbol, propuesto en el Problema 1, tampoco resulta realista ya que, según el mismo, el árbol demoraría 415 años aproximadamente para llegar a medir 1 m, que sería la respuesta esperada para el ítem b), lo que se constituye en una respuesta absurda en términos biológicos. Según Skovsmose (2000) resolver ejercicios con referencia a una semi-realidad está basado en los siguientes principios: Una semi-realidad está totalmente descripta por el texto del ejercicio; ninguna otra inforormación es relevante para la resolución del ejercicio... el único propósito de presentar el ejercicio es resolverlo. (p. 76)
Los aspectos señalados por este autor se reconocen en los problemas antes mostrados ya que el propósito de los mismos no es estudiar modelos de crecimiento de un insecto o un árbol sino resolver un ejercicio. De esta forma el alumno no puede efectivamente contrastar sus respuestas con la realidad biológica ya que las respuestas a estos problemas solamente tienen sentido en el contexto de la clase de Matemática para la semi-realidad planteada en el problema. Las producciones de los estudiantes Presentamos a continuación algunos ejemplos de resoluciones en los diferentes problemas que dan cuenta de la presencia del fenómeno de extensión.
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En el ítem a) del Problema 1, un alumno calcula, erróneamente, h(4), que era el valor pedido en este caso, efectuando (log 3) ⋅ 4 en lugar de log 3 4 . Posteriormente divide el resultado (29,9 cm) por 4 para obtener el crecimiento mensual de la planta (7,47 cm).
Para resolver el ítem b), inicialmente plantea la ecuación 1 m = 12. log 3 (t ) + 7 . Notar que debería haber igualado a 100, ya que la altura está dada en cm. Realiza una manipulación algebraica con error 0 = 12. log 3 (t ) + 8 ), pero ( luego abandona este abordaje y se inclina por el planteo de proporciones utilizando el valor de crecimiento mensual (7,47 cm.) que obtuviera en el ítem a), y concluyendo que "a los 13,3 meses [el árbol] alcanza una altura de 1 metro". La resolución que se presenta a continuación corresponde a un examen en el que la función considerada para el crecimiento del árbol
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en el Problema 1 fue h(t ) = 8.log2 t + 70 y en el ítem a) se pedía la altura del árbol a los 6 meses. Veamos la producción escrita de una alumna.
En el ítem a) comete un error al calcular log 2 6 como log 2 / log 6 en vez de hacer log 6 / log 2 Posteriormente plantea y resuelve correctamente la ecuación 100 = 8. log 2 x + 70 , que permite obtener una respuesta correcta al ítem b), pero finalmente decide tacharla y hacer una regla de tres, utilizando el valor h(6)=73,09 cm, que obtuvo en el ítem a).
Entre las resoluciones del Problema 2, podemos destacar las siguientes: -Un estudiante, resuelve correctamente el ítem b) obteniendo como respuesta 90 días. Al resolver el ítem c), en el cual debe calcular N(90), comete un error de cálculo y obtiene como respuesta 40220, en lugar de 24200 microorganismos, que es la respuesta correcta. Al resolver el ítem e), que pregunta en cuántos días el número de microorganismos en la población llega a 21000, encontramos la siguiente resolución:
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El alumno plantea inicialmente la ecuación 21000 = −2 x 2 + 360 x + 8000 , pero al intentar resolverla y no lo conseguirlo decide utilizar las respuestas obtenidas en ítems anteriores ( N (90) = 40220 organismos) para plantear la regla de tres simple que se observa al final de la resolución escrita del alumno.
-Otro alumno, obtiene 12000 como respuesta al ítem a), que solicita la cantidad de microorganismos después de 10 días. Para resolver el ítem e) hace uso de esa información como vemos en su resolución:
Primero indica que si en 10 días hay 12000 microorganismos, entonces habrá 1200 por día. Posteriormente calcula la diferencia entre 21000 y 12000, obteniendo 9000 microorganismos. Al dividir 9000 por 1200, obtiene la cantidad de días en que aparecerán 9000 microorganismos y sabiendo que en 10 días hay 12000, concluye que en 17,5 días habrá 21000
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Con relación al Problema 3 la respuesta esperada por los docentes es que la afirmación es verdadera suponiendo que el porcentaje de aumento del peso del insecto en cada mes se calcula sobre el peso del mes anterior. Destacamos que este tipo de problema no demanda la creación de una función para su resolución. Sin embargo, algunos estudiantes generan una función (lineal). Esto podría estar relacionado con la necesidad de producir una explicación o justificación para la resolución del ejercicio desde los contenidos del curso de Matemática que están realizando. El modelo lineal que generan los estudiantes es y = ax + b , donde y estaría representando el peso del insecto y x el tiempo en meses o días. Así, el valor de la pendiente sería 6 gr./mes o 0,2 gr./día, respectivamente. El valor de b es 30 gr. en los dos casos. A continuación mostramos un ejemplo de resolución con este abordaje.
Primeramente el estudiante calcula, utilizando una fórmula conocida, la pendiente de la recta que pasa por los puntos (0, 30) y (30, 36), donde x estaría representando número de días e y peso del insecto en gr. Obtiene así 0,2. Determina el valor de b como 30 y escribe la ecuación y = 0,2 x + 30 . Una vez obtenido este modelo lineal el alumno no concluye nada acerca de la validez de la afirmación presentada en el enunciado del problema. Por otro lado, hay alumnos que no buscan un modelo general sino que simplemente trabajan con una regla de tres simple suponiendo que el aumento de peso es constantemente de 6 gr. (20% de 30 gr.) en cada mes y así la afirmación del enunciado sería falsa. Presentamos aquí una de las resoluciones encontradas:
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El alumno calcula el 20% de 30 gr. y obtiene 6 gr. como respuesta. Indica que para 2 meses corresponden 12 gr. y concluye que la afirmación es “falsa ya que en dos meses sólo aumenta 12 gr. más del peso inicial. (42 gr.)” Finalmente, otros estudiantes optaron por concatenar dos reglas de tres o plantear sucesivas proporciones, de tal modo que el peso aumentado era recalculado en base al último peso obtenido. Mostramos algunas de las resoluciones encontradas:
Cabe destacar que si bien las dos resoluciones permiten arribar a la misma solución, la segunda brinda elementos para llegar, de modo recursivo, al modelo esperado, en caso que se solicitara una generalización. Notamos que el recurso del esquema de la "regla de tres simple" es aplicado para resolver tanto problemas de tipo (I) como (II). Además en el grupo chileno aparece con más frecuencia el planteo de proporciox x nes del tipo 2 = 1 , mientras que en el grupo argentino es muy fuerte y 2 y1 la presencia del esquema de la "regla de tres simple" adquirido en la escuela primaria.
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Respecto a las producciones de los alumnos, los resultados que presentamos no son definitivos, sino que se constituyen en conjeturas que requieren de estudios más profundos. Algunas conclusiones preliminares se presentan a continuación. Las producciones analizadas son casos de sobregeneralización del modelo lineal, pero es necesario notar que existen diferencias en la elección de la representación simbólica del modelo, esto es, funcional, de relación de proporcionalidad directa o el esquema de regla de tres. Esta diferencia que se manifiesta en la notación podría estar informando acerca de diferencias conceptuales. En tal sentido cabe señalar que aquellos estudiantes que utilizan el esquema de la regla de tres simple podrían no ser conscientes de la relación de proporcionalidad directa que ésta involucra y, en consecuencia, de la función lineal subyacente, y= a.x. Del mismo modo, el planteo de proporciones no asegura que los estudiantes sean conscientes de la existencia de una proporcionalidad directa, ni de la función lineal antes mencionada. En relación a estas cuestiones se hace necesario un estudio más profundo del proceso seguido por los estudiantes a través de entrevistas personales. Conclusiones Presentamos a continuación una discusión de algunos de los resultados e intentamos establecer conexiones y contrastes con la literatura estudiada para finalmente dejar planteadas algunas conjeturas que consideramos merecen ser estudiadas. Conjeturas éstas que tienen que ver tanto con la enseñanza como con el aprendizaje. Al analizar el texto de enseñanza y los ambientes de aprendizaje donde están inmersos los estudiantes participantes de nuestro estudio notamos la ausencia parcial o total de ciertos objetos matemáticos o el establecimiento de relaciones entre algunos conceptos, cuya presencia explícita, como objetos de enseñanza, podría resultar beneficiosa para superar la sobregeneralización del uso de modelos lineales. Primeramente nos referiremos al empleo de tablas como medio con potencialidad para el análisis de funciones. Notamos que si bien las tablas están presentes como un recurso para enseñar no lo están como un objeto de enseñanza en sí mismo, siendo a lo sumo mencionadas como una forma de representación de pares ordenados de una relación. Con
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esto queremos decir que las tablas son utilizadas como un conjunto de pares ordenados que una vez representados en el sistema de coordenadas cartesianas contribuirán a la obtención del gráfico de la función que se pretende trazar. Una vez introducidas las herramientas del Cálculo Diferencial que nos permiten determinar los puntos extremos de una función, el cálculo de límites o el estudio de continuidad, no sólo que no se vuelve a ellas sino que además se desvaloriza su empleo frente a las nuevas herramientas, sin discutir las posibilidades que una tabla brinda como instrumento que contribuye a la comprensión de los patrones de comportamiento de ciertas funciones. En este sentido, cabe señalar que, por ejemplo, los estudios de Confrey (1991a, 1991b) y Confrey & Smith (1995) contienen propuestas que apuntan a un tratamiento nuevo de las funciones exponenciales, dándole un status diferente al empleo de las tablas. Un segundo aspecto que consideramos importante sería generar en las clases teóricas o prácticas una discusión acerca de aquellos fenómenos que pueden ser mejor descriptos con modelos lineales y diferenciarlos de aquellos que no pueden serlo, analizando semejanzas y diferencias, más allá de las evidentes disparidades gráficas o algebraicas entre funciones. Por otro lado, señalamos la necesidad de mostrar las relaciones entre la estructura de la regla de tres que los alumnos aprendieron en la escuela primaria (y que continúan usando intensivamente) con las expresiones algebraicas y los gráficos que representan proporcionalidad directa vistas en el curso de Matemática, explorando que alcances y limitaciones tiene esta estructura. Por último cabe destacar la necesidad de controlar cuidadosamente la selección y el enunciado de problemas e intentar mirar esos problemas desde la perspectiva del estudiante que los resolverá, sin presuponer que sus estrategias y abordajes coincidirán necesariamente con las del docente que los plantea. Creemos que el presente trabajo contiene evidencia empírica que marca la presencia y persistencia del fenómeno de extensiones de modelos lineales a contextos no lineales al resolver diversos problemas y en países diferentes pero con textos de enseñanza similares. A partir de lo anteriormente señalado con respecto a la enseñanza, conjeturamos
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que: a) el empleo de tablas como instrumento para analizar diversidad de patrones de comportamiento, b) reflexionar sobre la existencia de mundos lineales y no lineales y analizar semejanzas y diferencias, c) establecer y analizar relaciones entre la regla de tres aprendida en la escuela primaria y las diversas representaciones de las relaciones de proporcionalidad directa, serían acciones que contribuirían a la superación del fenómeno de sobregeneralización de modelos lineales. Consideramos que estas conjeturas merecen ser estudiadas en el futuro tanto desde la perspectiva del aprendizaje como de la enseñanza, debido a la escasa producción de investigación relacionada con este fenómeno de sobregeneralización de modelos lineales en el nivel universitario. Sin embargo, desarrollar las acciones indicadas arriba, dentro de una estructura curricular que se enmarca en el paradigma del ejercicio, puede pasar a ser de carácter informativo o anecdótico, sin producir modificaciones relevantes. Las clases teóricas y prácticas de las cuales participaron los estudiantes involucrados en este estudio generan, como ya lo indicáramos anteriormente, ambientes de aprendizaje compatibles con el paradigma del ejercicio en los cuales los estudiantes resuelven ejercicios o problemas con referencias a la Matemática pura o a semi-realidades. Skovsmose (2000) contrapone el paradigma del ejercicio a abordajes investigativos que promueven procesos de exploración que este autor asocia con el trabajo con proyectos. Para promover este tipo de actividad es necesaria la creación de “escenarios para investigación”, esto es, ambientes que den soporte al trabajo investigativo. Tales escenarios se constituyen en ambientes de aprendizaje cuando invitan a los estudiantes a formular preguntas y buscar explicaciones y ellos asumen la responsabilidad en los procesos de exploración y explicación. Consideramos que sería deseable, tal como lo indica Skovsmose (2000), movernos entre diferentes ambientes de aprendizajes tanto dentro de un contexto de ejercicios como de escenarios para investigación transitando desde referencias a la Matemática pura hacia referencias a la realidad. Sin embargo, el pasaje hacia ambientes de aprendizaje investigativos implica cambios estructurales en lo curricular u organizativo que resultan difíciles en la tradición de nuestra educación matemática universitaria y donde no parece haber lugar, tiempo, ni cantidad suficiente de docentes para el desarrollo de actividades investigativas. ¿Qué hacer en este contexto? Consideramos que una posibilidad sería caminar, aún dentro del
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paradigma del ejercicio, cuya superación parece difícil en el contexto en el que trabajamos, hacia ambientes de aprendizaje con referencias a la realidad en donde el peso de un insecto no sea absurdo o el crecimiento de una planta no sea exponencial; donde haya espacio para discutir la pertinencia de los modelos planteados contrastándolos con la realidad que pretende modelizar y donde, como profesores, seamos flexibles para considerar las perspectivas alternativas de los alumnos. Referencias bibliográficas Alagia, H. Mathematicians, Mathematics Teachers and Mathematical Discourse. The Mathematics Educator, V. 9, n.2, p.38-41, 1999. Alagia, H. El proceso de algoritmización en la Enseñanza-Aprendizaje de la Matemática. Córdoba: Facultad de Matemática, Astronomía y Física/ Universidad Nacional de Córdoba. Informe académico de proyecto de investigación CONICOR, 1994, 17 p. Balacheff, N. French research activities in Didactics of Mathematics some key words and related references-. In: International Congress On Mathematical Education, 5., 1984, Australia. Actas del Group Theory of Mathematics Educations. Bielefeld: Institut für Didaktik der Mathematik der Universität Bielefeld. p.33-38, 1984. Behr, M.; Hare, G.; Post, T. & Lesh, R. Rational Number, Ratio and Proportion. In: Grouws, D. (Ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Simon & Schuster Macmillan, p. 296-333, 1992. Confrey, J. Learning to listen: a student's understanding of powers of ten. In: Von Glasersfeld, E. Radical Constructivism in Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. p.111-138, 1991a. Confrey, J. The Concept of Exponential Functions: a student's perspective. In: Steffe, L. (Ed.) Epistemological Foundations of Mathematical Experience. New York. Springer-Verlag. p. 124159, 1991b. Confrey, J. (1994). Voice and perspective: hearing epistemological innovation in students' words. In Bednarz, N., Larochelle, M. ,
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