Derivadas Já definimos o coeficiente angular de uma curva y = f(x) no ponto onde x = x0.
f ( x0 h) f ( x0 ) lim h 0 h Chamamos esse limite, quando ele existia, de derivada de f em x0. Definição de Derivada – Função Derivada A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função f´ cujo valor em x é:
f ( x h) f ( x ) f ´( x ) lim h 0 h
desde que o limite exista.
Calculando f´(x) a partir da Definição de Derivada 1) Escreva expressões para f(x) e f(x + h). 2) Desenvolva e simplifique o quociente de diferença
f ( x h) f ( x ) h 3) Usando o quociente simplificado, encontre f´(x) calculando o Limite:
f ( x h) f ( x ) f ´(x) lim h 0 h
Notação
• Há vários modos de representar a
Figura 2.7: Derivadas em extremidades são limites laterais. Derivada à esquerda de b Derivada à direita de a +
+
-
-
Exemplo 1 – Aplicando a Definição Encontre a derivada de y x e x 0 1) f ( x)
e f ( x h)
x
2) f ( x h) f ( x ) h ( x h) x h( x h x )
1 xh
xh
xh h
x
x
3) f ´( x ) lim h 0
1 xh
x
1 2
x
m y ' (2)
1
Reta tangente que passa por (2, 2 )
2 2
y 2 m( x 2)
y x, x 0
y'
1 2 x
,x 0
Regra 1 – Derivada de uma Função Constante Se f tem o valor constante f(x) = c, então
df d (c ) 0. dx dx Exemplo 2 – Usando a Regra 1 Se f tem o valor constante f(x) = 8, então
df d (8) 0. dx dx De maneira similar,
d 0 dx 2
e
d dx
3 0.
Regra 2 – Regra de Derivação para Potências Inteiras Positivas Se n for um positivo inteiro, então
d n n 1 x nx dx Regra 3 – Regra da Multiplicação por Constante Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então
d du (cu ) c dx dx
Exemplo 4 – Usando a Regra 3 (a)
d (3 x 2 ) 3.2 x 6 x dx
Interpretação: Multiplicando-se cada ordenada por 3 para obter outra escala no gráfico y = x2, multiplica-se o coeficiente angular em cada ponto por 3. (b) Um caso especial útil: a derivada da oposta de uma função derivável é a oposta da derivada da função. A Regra 3 com c = - 1 fornece
d d d du (u ) (1.u ) 1. (u ) dx dx dx dx
Regra 4 – Regra da Derivada da Soma Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u + v é derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses pontos,
d du dv (u v) . dx dx dx Exemplo 5 – Derivada de uma Soma
y x 12 x dy d d 4 (x ) (12 x ) dx dx dx 3 4 x 12 4
Derivável em um Intervalo; Derivadas Laterais Uma função y = f(x) será derivável em um intervalo aberto (finito ou infinito) se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo. Será derivável em um intervalo fechado [a, b] se for derivável no interior (a, b) e se os limites
f ( a h) f ( a ) lim h 0 h
Derivada à direita em a
f (b h) f (b) lim h 0 h
Derivada à esquerda em b
existirem nas extremidades.
Derivadas à direita e à esquerda podem ser definidas em qualquer ponto do domínio de uma função. A relação usual entre limites laterais e bilaterais vale para essas derivadas. Uma função terá uma derivada em um ponto se e somente se tiver derivadas à direita e à esquerda nesse ponto e se essas derivadas laterais forem iguais. Exemplo 8 –
y = | x | Não é Derivável na Origem
Mostre que a função y = | x | é derivável em (,0) e (0, ) , mas não tem derivada em x = 0. Solução
À direita da origem,
d d d (| x |) ( x) (1.x) 1. dx dx dx
À esquerda
d d d (| x |) ( x) (1.x) 1. dx dx dx
É possível que não haja derivada na origem porque lá as derivadas Laterais são diferentes: Derivada de | x | à direita em zero:
|0h||0| |h| lim lim h 0 h 0 h h h lim lim 1 1. h 0 h h 0 Derivada de | x | à esquerda em zero:
|0h||0| |h| lim lim h 0 h 0 h h h lim lim 1 1. h 0 h 0 h
Teorema 1 – Diferenciabilidade (Derivabilidade) Implica Continuidade Se f tem uma derivada em x = c, então f é contínua em x = c. Teorema 2 – Propriedade do Valor Intermediário para Derivadas Se a e b são dois pontos quaisquer de um intervalo em que f é derivável, então f´ assume qualquer valor entre f´(a) e f´(b).
Como ler os símbolos de derivadas:
y´
“y linha”
y´´
“y duas linhas”
d2y dx 2
“d dois y d x dois”
y´´´
“y três linhas”
y
(n )
dny dx n
“n” ou “a derivada enésima de y” “d n y d x n”
A derivada da função seno é a função cosseno d (sen x) cos x dx
Exemplo 1 – Derivadas Envolvendo Seno (a) y x 2 sen x dy d 2 x (sen x) dx dx
2 x cos x
(b) y sen x x
d x (sen x) sen x 1 dy dx dx x2
x cos x sen x x2
A derivada da função cosseno é a oposta da função seno d (cos x) sen x dx Exemplo 2 – Revendo as Regras da Derivada (a) y sen x cos x dy d d sen x (cos x) cos x (sen x) dx dx dx
sen x( sen x) cos x(cos x)
cos 2 x sen 2 x (b) y cos x
1 sen x
dy dx
(1 sen x)
d d (cos x) cos x (1 sen x) dx dx (1 sen x) 2
(1 sen x)( sen x) cos x(0 cos x) 1 1 sen x (1 sen x) 2 (1 sen x) 2 1 sen x
Derivadas de Outras Funções Trigonométricas Básicas
d (tg x) sec 2 x dx d (sec x) sec x tg x dx
d (cotg x) cosec 2 x dx
d (cosec x) cosec x cotg x dx
Exemplo 5 – Derivadas da Função Tangente Encontre d(tg x)/d x Solução d d sen x (tg x) dx dx cos x cos x cos x sen x( sen x) cos 2 x
cos 2 x sen 2 x cos 2 x
1 2 sec x 2 cos x
cos x
d d (sen x) sen x (cos x ) dx dx cos 2 x