Introducción El estudio de la geometría debe incluir experiencias y actividades que les permita a los estudiantes entender el significado de la geometría en sus vidas del diario vivir. Es importante que los estudiantes desarrollen habilidades inductivas usando manipulativos o programado de computadoras. Además es importante el aprendizaje en grupo que les permita discutir la solución de los problemas y las conexiones de la geometría con las otras disciplinas como álgebra y cálculo. La geometría es muy importante debido a que permite enseñar y aprender el arte de razonar, porque es abstracta, pero fácil de visualizar y tiene muchas aplicaciones concretas como por ejemplo, calcular el área de un lote a ser cercado, determinar el volumen de un lata que contiene refresco, construir puentes bien estructurados, estaciones experimentales en el espacio, grandes coliseos deportivos, etc. A continuación se muestra la iglesia de Santa Sofía construída en los años 300, pertenece a la arquitectura Bizantina y fue diseñada usando figuras geométricas, como semiesferas, rectángulos. La geometría elemental se divide en dos partes, geometría plana (estudia la figura plana, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho) y geometría del espacio (estudia las propiedades de los cuerpos geométricos provistos de largo, ancho y altura o profundidad).
Conceptos básicos Para el estudio de la geometría, es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto, recta y plano. Estos son términos no definidos que proveen el inicio de la geometría. Punto es el objeto fundamental en geometría, el punto representa solo posición y no tiene dimensión, es decir, largo cero, ancho cero y altura cero. Se representan por letras mayúsculas. Ejemplo: Tres puntos
Recta tiene solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto infinito de puntos que se extienden en una dimensión en ambas direcciones. Una recta se puede representar por:
Semirrecta la definimos como la porción de una recta que tiene principio pero no tiene fin. Segmento de recta es una porción de la recta con principio y con fin, es decir sabemos dónde empieza y donde termina por ende lo podemos medir. Plano tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos dimensiones.
Geometría euclidiana La geometría euclidiana, euclídea o parabólica es el estudio de las propiedades geométricas de los espacios euclídeos. Es aquella que estudia las propiedades geométricas del plano a fín euclídeo real y del espacio afín euclídeo tridimensional real mediante el método sintético, introduciendo los cinco postulados de Euclides. También es común (abusando del lenguaje) decir que una geometría es euclidiana si no es no euclidiana, es decir, si en dicha geometría se verifica el quinto postulado de Euclides. Ésta denominación está cada vez más en desuso, debido a la pérdida de interés que va teniendo el tema de la posibilidad de trazar paralelas a una recta desde un punto exterior a la misma. En ocasiones los matemáticos usan las expresiones geometría euclídea o geometría euclidiana para englobar geometrías de dimensiones superiores con propiedades similares. Sin embargo, con frecuencia son sinónimos de geometría plana o de geometría clásica.
Desde un punto de vista historiográfico, la geometría euclidiana es aquella geometría que postuló Euclides, en su libro Los elementos, dejando al margen las aportaciones que se desde Arquímedes hasta Jakob Steiner—.
hicieron
posteriormente
—
Según la contraposición entre método sintético y método algebraicoanalítico, la geometría euclidiana sería, precisamente, el estudio por métodos sintéticos de los invariantes de un espacio vectorial real de dimensión 3 dotado de un producto escalar muy concreto (el frecuentemente denominado «producto escalar habitual»).
Según la filosofía del programa de Erlangen (propuesto por el matemático Felix Klein), la geometría euclídea sería el estudio de los invariantes de las isometríasen un espacio euclídeo (espacio vectorial real de dimensión finita, dotado de un producto escalar), al aplicarles transformaciones ortogonales.
Axiomas La presentación tradicional de la geometría euclidiana se hace en un formato axiomático. Un sistema axiomático es aquél que, a partir de un cierto número de proposiciones que se presuponen «evidentes» (conocidas como axiomas) y mediante deducciones lógicas, genera nuevas proposiciones cuyo valor de verdad es también lógico.
Postulados Euclides planteó cinco postulados en su sistema:
1. Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une. 2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido. 3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio. 4. Todos los ángulos rectos son congruentes. 5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos (ver quinto postulado de Euclides).
Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como: 5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.
Este postulado parece menos obvio que los otros cuatro, y muchos geómetras, incluido el propio Euclides, han intentado deducirlo de los anteriores. Cuando intentaron reducirlo al absurdo negándolo, surgieron dos nuevas geometrías: la elíptica, también llamada geometría deRiemann o riemanniana (dada una recta y un punto exterior a ella, no existe ninguna recta que pase por el punto y sea paralela a la recta dada) y la hiperbólica o de Lobachevsky (existen varias rectas paralelas que pasen por un punto exterior a una dada).
Euclidiano y euclídeo En la comunidad matemática de habla hispana no están unificados los criterios acerca del uso de los adjetivos «euclidiano» y «euclídeo». Así, algunos autores asignan significados específicos a cada uno de estos términos, sirviéndose de ellos para distinguir entre conceptos matemáticos diferentes; mientras que otros hacen uso exclusivo, ya sea de uno o del otro, en todos sus trabajos. Esta dualidad de criterios no se presenta en el idioma inglés, donde solo existe el término euclidean. Aunque desde el punto de vista lingüístico ambas formas tienen el mismo significado: hacer referencia a algo perteneciente o relativo al matemático griego Euclides, la Real Academia Española solo adopta como correcta la palabra «euclidiano», mientras que no recoge «euclídeo».
CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA Cuerpo Físico: Son las cosas que nos rodean y tienen forma, color, peso, pureza, y ocupan un lugar en el espacio, como por ejemplo: las sillas, autos, edificios, etc.
Cuerpo Geométrico: Son aquellos de los cuales la geometría considera solamente su forma y dimensiones, por ejemplo: los conos, esferas, prismas, etc; Los sólidos tienen tres dimensiones que son: largo, ancho y altura.
Superficie: Son los límites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea y solamente tiene largo y ancho, por ejemplo: la sombra de un árbol, de un poste, la cara de un cuerpo geométrico, etc.
EL ANGULO: El ángulo es una figura formada por 2 semirrectas que tienen el mismo punto inicial.
EL SEGMENTO: El segmento es una parte de una recta, comprendido entre dos puntos y todos los puntos que están entre ellos.
LA SEMIRRECTA O RAYO: La semirrecta es una porción de una recta que contiene un punto A y todos los puntos que estén del mismo lado de A, la semirrecta empieza en un punto A y sigue infinitamente.
PUNTOS COLINEALES: Los puntos colineales son lo puntos que están sobre una misma recta.
PUNTOS COPLANARES: Son todos los puntos que están en un mismo plano.
Figuras geométricas y sus propiedades La geometría del griego geo (tierra) y métrica (medida) es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo. La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes En la acogida de esta investigación vamos a estar definiendo barios tipos de ángulos tales como: Angulo Agudo, recto, llano, obtuso, cóncavo, Triángulos, entre otros.
Circunferencia
La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro. A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene. Área
El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
Ángulos en una circunferencia
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales. Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser: Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios. La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca. Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas. La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del angúlo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca. Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones. Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia Elementos de la circunferencia La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia. Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;
Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);
Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;
Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
Punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
Polígono Regular Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida. Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscritos en una circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el número de lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez más a la de una circunferencia.
En un polígono regular podemos distinguir: Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices. Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono. Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno.
Propiedades
Dadas las características de los polígonos regulares, podemos diferenciar algunas propiedades que se dan siempre, y que son de gran utilidad para determinar sus propiedades, y dimensiones geométricas.
Los polígonos regulares son equiláteros; todos sus lados tienen la misma longitud
Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es decir, son congruentes
El centro de un polígono regular es un punto equidistante de todos los vértices del polígono
Los polígonos se pueden dividir en triángulos cuyos lados son el lado del polígono y los dos segmentos que unen el centro y los vértices (radios)
El apotema es el segmento que une el centro y la mitad de cada lado del polígono
El radio es el segmento que une el centro y cada vértice
Área de los polígonos regulares
Para calcular el área, A, de un polígono debemos multiplicar el perímetro, P, por el apotema, a, y dividido entre dos. Lo que se resume con la siguiente formula matematica:
Numero de Lados de los Polígonos Regulares
Círculo
En geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia. En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la primera:[ una superficie geométrica plana contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se denomina circunferenciaa la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo posee longitud. "Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo (superficie). Elementos del círculo El círculo comparte con la circunferencia sus elementos principales: el centro, el radio, el diámetro, etc.
El círculo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos: Puntos Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta. Segmentos Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral. Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro y parte el círculo definido por ésta en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º, los radio se unen en el medio de la circunferencia. Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco. Rectas características Recta secante: es la recta que corta al círculo en dos partes. Recta tangente: es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de tangencia. Recta exterior: es aquella recta que no toca ningún punto del círculo.
Curvas Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo. Comparte con dicha circunferencia el arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia de radio máximo. Superficies
El círculo también puede compartir con la circunferencia exterior los siguientes elementos: Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los dos radios que contienen sus extremos. Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su cuerda. Semicírculo: es la superficie delimitada por un diámetro y media circunferencia exterior. Corona circular: es la superficie delimitada entre dos circunferencias concéntricas. Trapecio circular: es la superficie limitada por dos circunferencias y dos radios.
Ángulos del Círculo Existen diversos tipos de ángulos singulares en un círculo. Cuando un ángulo tiene su vértice en el centro del círculo, recibe el nombre de ángulo central, mientras que cuando los extremos y el vértice están sobre el círculo el ángulo se denomina inscrito. Un ángulo formado por una cuerda y una recta tangente se denomina semi-inscrito. En un círculo de radio unidad, la amplitud de un ángulo central coincide con la longitud del arco que subtiende, medido en radianes. Así, un ángulo central recto mide p/2 radianes, y la longitud del arco es p/2 si el radio es la unidad; si el radio mide r, el arco medirá r x p/2. La longitud de un arco de ángulo central a, dado en grados sexagesimales, medirá 2p x r x a / 360.
Un ángulo inscrito mide la mitad del arco que subtiende, sin importar la posición del vértice. Un ángulo semi-inscrito mide la mitad del arco que se encuentra entre la cuerda y la tangente (véase arco capaz). Área del círculo
Pirámide Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.
El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan.
Área de la pirámide
El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales. En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos isósceles. El área de cada cara es el semiproducto de su base (que es igual al lado de la base de la pirámide l ), por su altura (que es el apotema de la pirámide ap ). El área lateral de una pirámide regular resulta de multiplicar el área de una de sus caras laterales por el número de caras laterales.
Elementos de la Piramide La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice. Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales. La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.
Cilindro Circular Recto Un cilindro, en geometría, es la superficie formada por los puntos situados a una distancia fija de una línea recta dada, el eje del cilindro.
Como superficie de revolución, se obtiene mediante el giro de una recta alrededor de otra fija llamada eje de revolución. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también se llamado cilindro.
Área de la superficie
Elementos del cilindro
Eje: Es El lado fijo alrededor del cual gira el rectángulo. Generatriz: Es el lado opuesto al eje, y es el lado que engendra el cilindro. Bases: Son los círculos que engendran los lados perpendiculares al eje. Altura: Es la distancia entre las dos bases, esta distancia es igual a la generatriz.
Método deductivo El método deductivo consiste en la totalidad de reglas y procesos, con cuya ayuda es posible deducir conclusiones finales a partir de unos enunciados supuestos llamados premisas si de una hipótesis se sigue una consecuencia y esa hipótesis se da, entonces, necesariamente, se da la consecuencia. La forma suprema del método deductivo es el método axiomático El argumento deductivo se contrapone al método inductivo, en el sentido de que se sigue un procedimiento de razonamiento inverso. En el método deductivo, se suele decir que se pasa de lo general a lo particular, de forma que partiendo de unos enunciados de carácter universal y utilizando instrumentos científicos, se infieren enunciados particulares, pudiendo ser axiomático-deductivo, cuando las premisas de partida están constituidas por axiomas, es decir, proposiciones no demostrables, o hipotéticos-deductivo, si las premisas de partida son hipótesis contrastables
Método axiomático El método axiomático hace que la matemática sea un sistema de proposiciones absolutamente seguro e indiscutible, una deducción lógica a partir de axiomas (proposiciones fundamentales), sin tener ninguna relación con la realidad[16]Un axioma es todo enunciado inicial del que se deducen por inferencia lógica otros enunciados. Una teoría axiomatizada en una teoría deductivamente ordenada en axiomas y teoremas según reglas de inferencia y control. Este método se basa en el sistema axiomático que consta de cuatro ingredientes: una tabla de símbolos primitivos o alfabeto; un repertorio de reglas de formación de fórmulas; una lista de axiomas o postulados que son las fórmulas primitivas del sistema; un repertorio de reglas de inferencia.
Problema del método axiomático El principal problema de este método está en la dependencia que tiene de la formalidad matemática, lo cual al momento de hacer ciencia puede ser un gran limitante, no toda investigación requiere cumplir con todo el rigor de la matemáticas ni toda investigación debe reducirse a términos matemáticos, si bien la exactitud y la lógica de la matemática le da más veracidad al conocimiento, no todo conocimiento se puede matematizar, reducir todo a un análisis matemático es amenazar el mismo progreso de la ciencia en todos sus aspectos. En la explicación que el texto nos ofrece sobre el método axiomático aparece también el formalismo como uno de los métodos de la ciencia que consiste en hacer abstracción total del sentido eidético de los signos para operar con ellos a base de ciertas reglas de transformación que afectan a su forma gráfica. Como dice Mario Bunge: "la reconstrucción lógica o formalización equivale a poner las cartasencima de la mesa e invitar a un examen crítico perfeccionador se trata de obtener un lenguaje universal mejorado para encontrar la verdad".
Historia El primer intento se remonta a la axiomatización de los Elementos de Euclides (siglo IV-III a.C.), aplicado a la geometría plana. Euclides enuncia cinco postulados y cinco nociones comunes (axiomas), de los que deduce sus teoremas geométricos. Al mismo tiempo, Aristóteles aporta el primer enfoque de la lógica formal en el Órganon, recogiendo diversos axiomas de Platón y otros filósofos. En matemáticas, sin embargo, el primer intento de axiomatización llegó en 1888, cuando Richard Dedekind propuso un conjunto de axiomas sobre los números.2 Al año siguiente, Giuseppe Peano retoma los trabajos de Dedekind y expone sus axiomas aritméticos.
Gottlob Frege, en 1884, con su obra Die Grundlagen der Arithmetik y la posterior Grundsetze der Arithmetik, trata de reducir la aritmética a la lógica. Bertrand Russell en su intento de 1901 descubrió la paradoja del mismo nombre: «paradoja de Russell», y para resolverla trabajó con Alfred North Whitehead, en Principia Mathematica. En 1899, David Hilbert reformula los axiomas de la geometría, y también explica los conceptos que Euclides dejó implícitos, por ejemplo, Euclides no dice que hay al menos tres puntos en el plano, o que hay al menos un punto en el plano que no pertenece a la línea, etc. En el Congreso celebrado en 1900, David Hilbert planteó varios problemas, entre los que incluía la demostración de la consistencia de los axiomas de las matemáticas y la axiomatización de la física. En 1931, Kurt Gödel demostró que cualquier sistema axiomático equivalente a los axiomas de Peano es incompleto y que si este sistema es consistente, no se puede utilizar para probar su consistencia (teorema de incompletitud de Gödel).
Sistemas axiomáticos formales e informales Un sistema axiomático puede tener expresados sus axiomas de manera formal o de manera informal:
Una axiomatización formal usa un lenguaje formal y en él cada axioma es una cadena finita de signos en el alfabeto del lenguaje formal, siguiendo reglas combinatorias que hacen de la secuencia una fórmula bien formada.
Una axiomatización informal usa una lengua natural formalizada y definiciones no ambiguas, los libros de matemática y otras disciplinas formales normalmente redactan los axiomas de esta manera.
Los sistemas de axiomas formales son más sencillos de estudiar y son preferibles para caracterizar las propiedades de los sistemas matemáticos. En particular admiten una caracterización semántica muy clara en la teoría de modelos y sus propiedades deductivas pueden ser tratadas en la teoría de la demostración. Por el contrario, las axiomatizaciones informales sólo son útiles cuando se tiene un modelo concreto en mente y se pretenden buscar propiedades que se cumplen en el modelo.
Componentes de un sistema axiomático formal Un sistema axiomático formal consta de los siguientes elementos:
Un alfabeto S para construir expresiones formales que incluye:
Un conjunto de símbolos para conectivas lógicas, cuantificadores
Un conjunto de símbolos para designar variables
Un conjunto de símbolos para constantes (que tendrán en un modelo una interpretación fija).
Un conjunto de símbolos que serán interpretados como funciones.
Un conjunto de símbolos que serán interpretados como relaciones.
Una gramática formal que incluirá:
Reglas de buena formación, que reproducen la "morfología" del lenguaje formal.
Reglas de inferencia que permitirán deducir unas proposiciones de otras, estas reglas reproducen la "sintaxis" del lengua formal.
Un conjunto de axiomas inicial, o expresiones bien formadas son el punto de partida de cualquier deducción.
Para el conjunto de expresiones bien formadas expresadas en el lenguaje formal anterior puede definirse una S-estructura en la que a cada variable constante o cada ocurrencia libre de una variable reciba un valor dentro del modelo (es decir, las constantes y variables libres serán conjuntos pre asignados de la S-estructura). Las funciones y relaciones serán definidas como funciones y relaciones matemáticas dentro de la S-estructura. Una vez definidas las constantes, variables libres, funciones y relaciones resulta trivial atribuir un significado concreto a las expresiones del lenguaje formal en la Sestructura.