Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου

cmyk

cmyk

YÐÏÕÑÃÅÉÏ ÅÈÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ ÊÁÉ ÈÑÇÓÊÅÕÌÁÔÙÍ ÐÁÉÄÁÃÙÃÉÊÏ ÉÍÓÔÉÔÏÕÔÏ

ô Ãõìíáóßïõ

ÄçìÞôñéïò ÁñãõñÜêçò Ðáíáãéþôçò ÂïõñãÜíáò Êùíóôáíôßíïò ÌåíôÞò Óôáìáôïýëá Ôóéêïðïýëïõ Ìé÷áÞë ×ñõóïâÝñãçò

ô Ãõìíáóßïõ

ISBN 960-06-2019-9

OÑÃÁÍÉÓÌÏÓ ÅÊÄÏÓÅÙÓ ÄÉÄÁÊÔÉ ÊÙÍ ÂÉÂËÉÙÍ ÁÈÇÍÁ ÅÑÃÏ ÓÕÃ×ÑÇÌÁÔÏÄÏÔÏÕÌÅÍÏ 75% ÁÐÏ ÔÏ ÅÕÑÙÐÁÚÊÏ ÊÏÉÍÙÍÉÊÏ ÔÁÌÅÉÏ ÊÁÉ 25% ÁÐÏ ÅÈÍÉÊÏÕÓ ÐÏÑÏÕÓ

cmyk

cmyk

°

(001-008)-∆∂§π√ ∫

3-11-06

00:30

™ÂÏ›‰·1

ª·ıËÌ·ÙÈο ° °Àª¡∞™π√À

(001-008)-∆∂§π√ ∫

3-11-06

00:30

™ÂÏ›‰·2

™À°°ƒ∞º∂π™

∫ƒπ∆∂™ - ∞•π√§√°∏∆∂™

∂π∫√¡√°ƒ∞º∏™∏

ºπ§√§√°π∫∏ ∂¶πª∂§∂π∞

À¶∂À£À¡√™ ∆√À ª∞£∏ª∞∆√™ ∫∞π ∆√À À¶√∂ƒ°√À ∫∞∆∞ ∆∏ ™À°°ƒ∞º∏

∂•øºÀ§§√

¢ËÌ‹ÙÚÈÔ˜ ∞ÚÁ˘Ú¿Î˘, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ µ/ıÌÈ·˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘ ¶·Ó·ÁÈÒÙ˘ µÔ˘ÚÁ¿Ó·˜, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ µ/ıÌÈ·˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘ ∫ˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˜ ªÂÓÙ‹˜, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ µ/ıÌÈ·˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘ ™Ù·Ì·ÙԇϷ ∆ÛÈÎÔÔ‡ÏÔ˘, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ µ/ıÌÈ·˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘ ªÈ¯·‹Ï ÃÚ˘ÛÔ‚¤ÚÁ˘, ™¯ÔÏÈÎfi˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ

∂ÌÌ·ÓÔ˘‹Ï ª·Ó·Ù¿Î˘, ∂›ÎÔ˘ÚÔ˜ ηıËÁËÙ‹˜ ¶ÔÏ˘Ù¯ÓÈ΋˜ ™¯ÔÏ‹˜ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ¶·ÙÚÒÓ ªÈ¯·‹Ï ™·Ï›¯Ô˜, ™¯ÔÏÈÎfi˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ¡ÈÎfiÏ·Ô˜ ¶··Â˘ÛÙÚ·Ù›Ô˘, ª·ıËÌ·ÙÈÎfi˜, ∂Î·È‰Â˘ÙÈÎfi˜ µ/ıÌÈ·˜ ∂Î·›‰Â˘Û˘ ¡ÈÎfiÏ·Ô˜ ª·ÚÔ˘Ï¿Î˘, ™ÎÈÙÛÔÁÚ¿ÊÔ˜ - ∂ÈÎÔÓÔÁÚ¿ÊÔ˜

∂˘ÁÂÓ›· µÂÏ¿ÁÎÔ˘, ºÈÏfiÏÔÁÔ˜

¢ËÌ‹ÙÚÈÔ˜ ∫ÔÓÙÔÁÈ¿ÓÓ˘, ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘

¶·Ó·ÁÈÒÙ˘ °Ú¿‚‚·ÏÔ˜, ∑ˆÁÚ¿ÊÔ˜

¶ƒ√∂∫∆À¶ø∆π∫∂™ ∂ƒ°∞™π∂™

° ∫.¶.™. / ∂¶∂∞∂∫ II / ∂Ó¤ÚÁÂÈ· 2.2.1. / ∫·ÙËÁÔÚ›· ¶Ú¿ÍÂˆÓ 2.2.1.·: «∞Ó·ÌfiÚʈÛË ÙˆÓ ÚÔÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ ÛÔ˘‰ÒÓ Î·È Û˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÒÓ ·Î¤ÙˆÓ» ¶∞π¢∞°ø°π∫√ π¡™∆π∆√À∆√ ¢ËÌ‹ÙÚÈÔ˜ °. µÏ¿¯Ô˜ √ÌfiÙÈÌÔ˜ ∫·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ ∞.¶.£., ¶Úfi‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘

¶Ú¿ÍË ÌÂ Ù›ÙÏÔ:

«™˘ÁÁÚ·Ê‹ Ó¤ˆÓ ‚È‚Ï›ˆÓ Î·È ·Ú·ÁˆÁ‹ ˘ÔÛÙËÚÈÎÙÈÎÔ‡ ÂÎ·È‰Â˘ÙÈÎÔ‡ ˘ÏÈÎÔ‡ Ì ‚¿ÛË ÙÔ ¢∂¶¶™ Î·È Ù· ∞¶™ ÁÈ· ÙÔ °˘ÌÓ¿ÛÈÔ» ∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎfi˜ À‡ı˘ÓÔ˜ ŒÚÁÔ˘ ∞ÓÙÒÓÈÔ˜ ™. ªÔÌ¤ÙÛ˘ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘ ∞Ó·ÏËÚˆÙ¤˜ ∂ÈÛÙËÌÔÓÈÎÔ› À‡ı˘ÓÔÈ ŒÚÁÔ˘ °ÂÒÚÁÈÔ˜ ∫. ¶·ÏËfi˜ ™‡Ì‚Ô˘ÏÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘ πÁÓ¿ÙÈÔ˜ ∂. ÷Ù˙Ë¢ÛÙÚ·Ù›Ô˘ ªfiÓÈÌÔ˜ ¶¿Ú‰ÚÔ˜ ÙÔ˘ ¶·È‰·ÁˆÁÈÎÔ‡ πÓÛÙÈÙÔ‡ÙÔ˘

ŒÚÁÔ Û˘Á¯ÚËÌ·ÙÔ‰ÔÙÔ‡ÌÂÓÔ 75% ·fi ÙÔ ∂˘Úˆ·˚Îfi ∫ÔÈÓˆÓÈÎfi ∆·ÌÂ›Ô Î·È 25% ·fi ÂıÓÈÎÔ‡˜ fiÚÔ˘˜.

(001-008)-∆∂§π√ ∫

7-11-06

16:06

™ÂÏ›‰·3

À¶√Àƒ°∂π√ ∂£¡π∫∏™ ¶∞π¢∂π∞™ ∫∞𠣃∏™∫∂Àª∞∆ø¡ ¶∞π¢∞°ø°π∫√ π¡™∆π∆√À∆√

¢ËÌ‹ÙÚÈÔ˜ ∞ÚÁ˘Ú¿Î˘ ¶·Ó·ÁÈÒÙ˘ µÔ˘ÚÁ¿Ó·˜ ∫ˆÓÛÙ·ÓÙ›ÓÔ˜ ªÂÓÙ‹˜ ™Ù·Ì·ÙԇϷ ∆ÛÈÎÔÔ‡ÏÔ˘ ªÈ¯·‹Ï ÃÚ˘ÛÔ‚¤ÚÁ˘ ∞¡∞¢√Ã√™ ™À°°ƒ∞º∏™ ∂§§∏¡π∫∏ ª∞£∏ª∞∆π∫∏ ∂∆∞πƒ∂π∞

ª·ıËÌ·ÙÈο ° °Àª¡∞™π√À

√ƒ°∞¡π™ª√™ ∂∫¢√™∂ø™ ¢π¢∞∫∆π∫ø¡ µπµ§πø¡ ∞£∏¡∞

(001-008)-∆∂§π√ ∫

3-11-06

00:30

™ÂÏ›‰·4

(001-008)-∆∂§π√ ∫

9-12-06

13:48

™ÂÏ›‰·5

Πρόλογος

∆Ô ‚È‚Ï›Ô Ô˘ ÎÚ·Ù¿˜ ÛÙ· ¯¤ÚÈ· ÛÔ˘, ¤¯ÂÈ ÛÎÔfi Ó· ‚ÔËı‹ÛÂÈ ÂÛ¤Ó· ÙÔ Ì·ıËÙ‹ Ù˘ ° °˘ÌÓ·Û›Ô˘, Ó· ηٷÓÔ‹ÛÂȘ Î·È Ó· ÂÌ‰ÒÛÂȘ ÙȘ ‰È¿ÊÔÚ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ Î·È Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÂȘ ÙȘ ·Ó·Áη›Â˜ ‰ÂÍÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ·Ó·Ï˘ÙÈÎfi ÚfiÁÚ·ÌÌ· Ù˘ Ù¿Í˘ ÛÔ˘. ∏ ‡ÏË ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ Â›Ó·È ÔÚÁ·ÓˆÌ¤ÓË Û ‰‡Ô ̤ÚË. ∆Ô ∞ ª¤ÚÔ˜ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ 5 ∫ÂÊ¿Ï·È· Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÕÏÁ‚ڷ, ÂÓÒ ÙÔ µ ª¤ÚÔ˜ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ 2 ∫ÂÊ¿Ï·È· Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ÛÙË °ÂˆÌÂÙÚ›· Î·È ÙËÓ ∆ÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚ›·. ∫¿ı ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ ¯ˆÚ›˙ÂÙ·È Û ÂÓfiÙËÙ˜ Ì·ıËÌ¿ÙˆÓ. ™Â οı ÂÓfiÙËÙ· ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È: 1. √È Î‡ÚÈÔÈ ÛÙfi¯ÔÈ. ™ÙËÓ ·Ú¯‹ οı ÂÓfiÙËÙ·˜ ·Ó·ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÔÈ Î‡ÚÈÔÈ ÛÙfi¯ÔÈ Ù˘, fiˆ˜ ‰È·Ù˘ÒÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ·Ó·Ï˘ÙÈÎfi ÚfiÁÚ·ÌÌ·, ÒÛÙ ӷ ͤÚÂȘ Ô‡ Û ԉËÁ› Ô Î·ıËÁËÙ‹˜ ÛÔ˘. 2. ∏ ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ·. √È ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Â›Ó·È ÌÈ· ÌÂÁ¿ÏË ÔÈÎÈÏ›· ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ, fiÛÔ ÙÔ ‰˘Ó·ÙfiÓ ÈÔ ÎÔÓÙ¿ ÛÙ· ÂӉȷʤÚÔÓÙ¿ ÛÔ˘, Ô˘ Ô‰ËÁÔ‡Ó ÛÙËÓ ·Ó·ÁηÈfiÙËÙ· Ù˘ ÂÈÛ·ÁˆÁ‹˜ ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Ô˘ ı· ‰È‰·¯ı›˜ ‹ ÛÙËÓ Â·Ó¿ÏË„Ë Î·È ‰È‡ڢÓÛË ¿ÏÏˆÓ Ô˘ ¤¯ÂȘ ‹‰Ë ‰È‰·¯ı› Û ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ Ù¿ÍÂȘ. ªÂ ηٿÏÏËÏ· ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· Á›ÓÂÙ·È ÚÔÛ¿ıÂÈ· Ó· ÂÈÎÂÓÙÚˆı› Ë ÚÔÛÔ¯‹ ÛÔ˘ Û ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂÓ¤ÚÁÂȘ Ô˘ ı· ÛÔ˘ ‰ÒÛÔ˘Ó ÙËÓ Â˘Î·ÈÚ›· Ó· ·Ó·Ù‡ÍÂȘ ÚˆÙÔ‚Ô˘Ï›·, Ó· ‰È·Ù˘ÒÛÂȘ ÙȘ ȉ¤Â˜ Î·È ·fi„ÂȘ ÛÔ˘ Î·È Ó· ÙȘ ·ÓÙ·ÏÏ¿ÍÂȘ Ì ÙÔ˘˜ Û˘ÌÌ·ıËÙ¤˜ ÛÔ˘. 3. ∆Ô Î˘Ú›ˆ˜ Ì¿ıËÌ·. ¶ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ÁÓÒÛÂȘ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÂȘ, Ó· Û˘ÁÎÚ·Ù‹ÛÂȘ Î·È Ó· ÌÔÚ›˜ Ó· ÂÊ·ÚÌfi˙ÂȘ, fiˆ˜ ÔÚÈÛÌÔ‡˜ Î·È È‰ÈfiÙËÙ˜, Ô˘ ı· ÛÔ˘ ÂÈÙÚ¤„Ô˘Ó Ó· ÂÈχÂȘ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Î·È Ó· ‰È·Ù˘ÒÓÂȘ Û˘ÏÏÔÁÈÛÌÔ‡˜. ™Â ÔÏϤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÂÈ ·ԉ›ÍÂȘ ‚·ÛÈÎÒÓ ÚÔÙ¿ÛˆÓ. 4. ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· - ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Ï˘Ì¤ÓˆÓ ·Û΋ÛÂˆÓ Î·È ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ, Ô˘ ÛÎÔÂ‡Ô˘Ó Ó· ÛÔ˘ ‰ÒÛÔ˘Ó ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· Ì¿ıÂȘ Ò˜ Ó· ·ÓÙÈÌÂÙˆ›˙ÂȘ ·Ó¿ÏÔÁ˜ ·Û΋ÛÂȘ, Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÂȘ ÙËÓ Â˘Ú‡ÙËÙ· ÙˆÓ ÂÊ·ÚÌÔÁÒÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Ù· ª·ıËÌ·ÙÈο, Ó· ·ÔÎÙ‹ÛÂȘ Ӥ˜ ÂÌÂÈڛ˜ ÛÙȘ ÌÂıfi‰Ô˘˜ Â›Ï˘Û˘ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ Î·È Ó· ‰È¢ڇÓÂȘ ÙÔ ‰›Ô ÙˆÓ ÁÓÒÛÂÒÓ ÛÔ˘. 5. ∂ÚˆÙ‹ÛÂȘ ηٷÓfiËÛ˘. ∂›Ó·È ·Ï¿ ÂÚˆÙ‹Ì·Ù· ‹ Û‡ÓÙÔÌ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù· ÔÔ›· Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚ›˜ Ó· ··ÓÙ‹ÛÂȘ, ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛË ÙÔ˘ Ì·ı‹Ì·ÙÔ˜.

(001-008)-∆∂§π√ ∫

27-12-06

16:27

™ÂÏ›‰·6

Πρόλογος

6. ¶ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓ˜ ·Û΋ÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·. π‰È·›ÙÂÚË ÚÔÛ¿ıÂÈ· ηٷ‚Ï‹ıËΠÁÈ· ÙË Û˘ÏÏÔÁ‹ Î·È ÙËÓ Ù·ÍÈÓfiÌËÛË ÙˆÓ ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓˆÓ ·Û΋ÛÂˆÓ Î·È ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ. ∞fi ÙȘ ÈÔ ·Ϥ˜ ·Û΋ÛÂȘ ˆ˜ Ù· ÈÔ Û‡ÓıÂÙ· ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù·, ¤ÁÈÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ· Ó· ·Ó·‰Âȯı› Ë ¯ÚËÛÈÌfiÙËÙ¿ ÙÔ˘˜ Û οı ÙÔ̤· ÂÊ·ÚÌÔÁ‹˜ ÙÔ˘˜, (º˘ÛÈ΋ - ÃËÌ›· - √ÈÎÔÓÔÌ›· Î.Ù.Ï.) Ô˘ ÂӉ›ÎÓ˘Ù·È ÁÈ· ÙËÓ ËÏÈΛ· Î·È ÙȘ ÁÓÒÛÂȘ ÛÔ˘, ·ÏÏ¿ Î·È Û ηٷÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘ ηıËÌÂÚÈÓ‹˜ ˙ˆ‹˜. ™Â ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂÓfiÙËÙ˜ ÂÚÈÏ·Ì‚¿ÓÔÓÙ·È Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈο: - £¤Ì·Ù· ·fi ÙËÓ πÛÙÔÚ›· ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Î·È ¢Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ Ô˘ ÛÙÔ¯Â‡Ô˘Ó Ó· ÎÂÓÙÚ›ÛÔ˘Ó ÙÔ ÂӉȷʤÚÔÓ ÛÔ˘ ÒÛÙ ӷ Û˘ÓÂÈÛʤÚÔ˘Ó ÛÙËÓ Î·Ù·ÓfiËÛË ÙˆÓ ÂÓÓÔÈÒÓ Î·È ÙˆÓ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ ÛÙ· ÔÔ›· ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È. - ¢È·ıÂÌ·ÙÈο Û¯¤‰È· ÂÚÁ·Û›·˜. ¶ÚfiÎÂÈÙ·È ÁÈ· ‰Ú·ÛÙËÚÈfiÙËÙ˜ ÔÈ Ôԛ˜ ı· ·ÔÙÂϤÛÔ˘Ó ı¤Ì·Ù· ÁÈ· ÔÌ·‰È΋ ¤Ú¢ӷ Î·È Û˘ÓÂÚÁ·Û›·. ™ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ οı ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ˘¿Ú¯Ô˘Ó: - °ÂÓÈΤ˜ ∂·Ó·ÏËÙÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Î·È ÌÈ· Û‡ÓÙÔÌË ∂·Ó¿ÏË„Ë - ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË Ì ÙȘ ‚·ÛÈÎfiÙÂÚ˜ ÁÓÒÛÂȘ Ô˘ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ÙÔÓ ˘Ú‹Ó· ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘. ∆Ô ‚È‚Ï›Ô ÎÏ›ÓÂÈ ÌÂ: ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ - Àԉ›ÍÂȘ ÙˆÓ ·Û΋ÛÂˆÓ Î·È ∂˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ. ¶ÈÛÙ‡ԢÌ fiÙÈ ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ·˘Ùfi ·ÓÙ·ÔÎÚ›ÓÂÙ·È ÛÙȘ ··ÈÙ‹ÛÂȘ Ù˘ Û‡Á¯ÚÔÓ˘ ·È‰·ÁˆÁÈ΋˜ Î·È fiÙÈ ÔÈ ÁÓÒÛÂȘ Ô˘ ı· ·ÔÎÙ‹ÛÂȘ ·fi ·˘Ùfi ı· Û ‚ÔËı‹ÛÔ˘Ó ÛÙ· ÂfiÌÂÓ· ‚‹Ì·Ù¿ ÛÔ˘. °È· Ó· ÂÈÙ¢¯ıÔ‡Ó ÔÈ ÛÙfi¯ÔÈ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘ ·˘ÙÔ‡ ÂÎÙfi˜ ·fi ÙË ‰È΋ ÛÔ˘ ÚÔÛ¿ıÂÈ·, ¯ÚÂÈ¿˙ÂÙ·È Î·È Ë ·ÚÌÔÓÈ΋ Û˘ÓÂÚÁ·Û›· Ì ÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹ ÛÔ˘.

√È Û˘ÁÁÚ·Ê›˜

(001-008)-∆∂§π∫√

27-12-06

14:59

™ÂÏ›‰·7

Περιεχόµενα ∞ ª∂ƒ√™ ñ ∞§°∂µƒ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - ∞§°∂µƒπ∫∂™ ¶∞ƒ∞™∆∞™∂π™ 1.1 ¶Ú¿ÍÂȘ Ì Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (Â·Ó·Ï‹„ÂȘ- Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ∞. √È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Î·È ÔÈ Ú¿ÍÂȘ ÙÔ˘˜ . . . . . . . . . . . . . . . . 12 µ. ¢˘Ó¿ÌÂȘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 °. TÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 ªÔÓÒÓ˘Ì· - ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÌÔÓÒÓ˘Ì· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ∞. ∞ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ-ªÔÓÒÓ˘Ì· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 µ. ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÌÔÓÒÓ˘Ì· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3 ¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· - ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ∞Ê·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ . . . . . . . . . 33 1.4 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.5 ∞ÍÈÔÛËÌ›ˆÙ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.6 ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.7 ¢È·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.8 ∂.∫.¶. Î·È ª.∫.¢. ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ . . . . . . . 68 1.9 ƒËÙ¤˜ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.10 ¶Ú¿ÍÂȘ ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 ∞. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ - ¢È·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ . . . . . . . . 75 µ. ¶ÚfiÛıÂÛË - ∞Ê·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . 78 °ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 1Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 ∂·Ó¿ÏË„Ë - ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË 1Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∂•π™ø™∂π™ - ∞¡π™ø™∂π™ 2.1 ∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.2 ∂ÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 ∞. ∂›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ·Ó¿Ï˘ÛË Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 µ. ∂›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù‡Ô˘ . . . 94 2.3 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.4 ∫Ï·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.5 ∞ÓÈÛfiÙËÙ˜ - ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì’ ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 ∞. ¢È¿Ù·ÍË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 µ. π‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 °. ∞ÓÈÛÒÛÂȘ ÚÒÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì’ ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ . . . . . . . . . . . . . . 113 °ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 2Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 ∂·Ó¿ÏË„Ë - ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË 2Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . 120 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô - ™À™∆∏ª∞∆∞ °ƒ∞ªªπ∫ø¡ ∂•π™ø™∂ø¡ 3.1 ∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.2 ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

(001-008)-∆∂§π∫√

27-12-06

15:00

™ÂÏ›‰·8

Περιεχόµενα 3.3

∞ÏÁ‚ÚÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 °ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 3Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 ∂·Ó¿ÏË„Ë - ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË 3Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . 141

∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô - ™À¡∞ƒ∆∏™∂π™ 4.1 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x2 Ì · 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.2 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x2 + ‚x + Á Ì · 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 °ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 4Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 ∂·Ó¿ÏË„Ë - ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË 4Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô - ¶π£∞¡√∆∏∆∂™ 5.1 ™‡ÓÔÏ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.2 ¢ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ - ∂Ӊ¯fiÌÂÓ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.3 ŒÓÓÔÈ· Ù˘ Èı·ÓfiÙËÙ·˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 °ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 5Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 ∂·Ó¿ÏË„Ë - ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË 5Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

µ ª∂ƒ√™ ñ °∂øª∂∆ƒπ∞ - ∆ƒπ°ø¡√ª∂∆ƒπ∞ ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô - °∂øª∂∆ƒπ∞ 1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 1.3 £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 1.4 √ÌÔÈÔıÂÛ›· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 1.5 √ÌÔÈfiÙËÙ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 ∞. ŸÌÔÈ· ÔχÁˆÓ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 µ. ŸÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 1.6 §fiÁÔ˜ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 °ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 1Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 ∂·Ó¿ÏË„Ë - ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË 1Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô - ∆ƒπ°ø¡√ª∂∆ƒπ∞ 2.1 ∆ÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÁˆÓ›·˜ ˆ Ì 0Æ ˆ 180Æ . . . . . . . . . . . . . 232 2.2 ∆ÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ . . . . . . . . . . . . 237 2.3 ™¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ . . . . . . . . . . . 240 2.4 ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ ËÌÈÙfiÓˆÓ - ¡fiÌÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÓËÌÈÙfiÓˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 °ÂÓÈΤ˜ ·Û΋ÛÂȘ 2Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 ∂·Ó¿ÏË„Ë - ∞Ó·ÎÂÊ·Ï·›ˆÛË 2Ô˘ ∫ÂÊ·Ï·›Ô˘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 ∆ÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ›Ó·Î˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 ∂˘ÚÂÙ‹ÚÈÔ fiÚˆÓ - ÔÓÔÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 ∞·ÓÙ‹ÛÂȘ – Àԉ›ÍÂȘ ÙˆÓ ÚÔÙÂÈÓfiÌÂÓˆÓ ·Û΋ÛÂˆÓ Î·È ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙˆÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

009-010 ∂•øºÀ§§√

3-11-06

00:31

™ÂÏ›‰·9

009-010 ∂•øºÀ§§√

3-11-06

00:31

™ÂÏ›‰·10

011-019

3-11-06

00:33

™ÂÏ›‰·11

1o

AΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (επαναλήψεις – συµπληρώσεις)

1.2 Μονώνυµα – Πράξεις µε µονώνυµα 1.3 Πολυώνυµα – Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύµων 1.4 Πολλαπλασιασµός πολυωνύµων 1.5 Αξιοσηµείωτες ταυτότητες 1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων 1.7 ∆ιαίρεση πολυωνύµων 1.8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.∆. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων 1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις 1.10 Πράξεις ρητών παραστάσεων Γενικές ασκήσεις 1ου κεφαλαίου Επανάληψη – Ανακεφαλαίωση

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ

011-019

3-11-06

00:33

1.1

™ÂÏ›‰·12

¶Ú¿ÍÂȘ Ì Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (Â·Ó·Ï‹„ÂȘ – Û˘ÌÏËÚÒÛÂȘ)

✔ Θυµάµαι τους πραγµατικούς αριθµούς, τις τεχνικές και τις βασικές ιδιότητες των πράξεών τους. ✔ Εµπεδώνω τις ιδιότητες των δυνάµεων. ✔ Γνωρίζω τις ιδιότητες των ριζών και µαθαίνω να τις χρησιµοποιώ.

∞

√È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Î·È ÔÈ Ú¿ÍÂȘ ÙÔ˘˜

¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ÁÓˆÚ›Û·Ì ÛÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ Ù¿ÍÂȘ. 3 5 5 2, 3, , , 4, –0,5, 1 + 3, 6,1010010001... ¶.¯. , – , 7,34, 4 2 3 √È Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ·fi ÙÔ˘˜ ÚËÙÔ‡˜ Î·È ÙÔ˘˜ ¿ÚÚËÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ƒËÙfi˜ ϤÁÂÙ·È Î¿ı ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‹ ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì , fiÔ˘ Ì, Ó ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Î·È Ó 0. Ó

3, 4 3=

-

5 -5 , = 2 2

3, 2 4 =2= , 1 1

ÕÚÚËÙÔ˜ ϤÁÂÙ·È Î¿ı ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ‰ÂÓ 2, π, Â›Ó·È ÚËÙfi˜. ∞ƒ¡∏∆π∫√π ∞ƒπ£ª√π

– 3,8

x

–4

–3

5, 1 + 3, 6,1010010001... 3 £∂∆π∫√π ∞ƒπ£ª√π

ª∏¢∂¡

5 – 2

2 –2

–1

0

734 , 100 -5 . -0,5 = 10

7,34 =

1

4,8



2

3

4

x

∫¿ı Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È Ì’ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ¿Óˆ Û’ ¤Ó·Ó ¿ÍÔÓ·. ∏ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ · Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì · Î·È Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ, Ô˘ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ·, ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ·. 3 3 2 = 2, 0 = 0, – °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: –2 = 2, = 4 4

√È Ú¿ÍÂȘ ÛÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ¶ÚfiÛıÂÛË ñ °È· Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÔÌfiÛËÌÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÙȘ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÛÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ ‚¿˙Ô˘Ì ÚfiÛËÌÔ, ÙÔ ÎÔÈÓfi ÙÔ˘˜ ÚfiÛËÌÔ.

12

+7 + 5 = +12 –7 – 5 = –12

011-019

22-12-06

16:33

™ÂÏ›‰·13

1.1 ¶Ú¿ÍÂȘ Ì Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜

ñ °È· Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÙÂÚfiÛËÌÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ·Ê·ÈÚԇ̠ÙËÓ ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ·fi ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Î·È ÛÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ ‚¿˙Ô˘Ì ÚfiÛËÌÔ, ÙÔ ÚfiÛËÌÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹.

+5 – 7 = –2 –5 + 7 = +2

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ñ °È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÔÌfiÛËÌÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ Î·È ‚¿˙Ô˘Ì ÚfiÛËÌÔ +

(+5) (+7) = +35 (–5) (–7) = +35

ñ °È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÂÙÂÚfiÛËÌÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘˜ Î·È ‚¿˙Ô˘Ì ÚfiÛËÌÔ –

(+5) (–7) = –35 (–5) (+7) = –35

√È È‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ °È· ÙËÓ ÚfiÛıÂÛË Î·È ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜: π‰ÈfiÙËÙ·

¶ÚfiÛıÂÛË

∞ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ¶ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÙÈ΋ √˘‰¤ÙÂÚÔ ÛÙÔȯ›Ô

·+‚=‚+· · + ( ‚ + Á) = (· + ‚) + Á ·+0=·

∂ÈÌÂÚÈÛÙÈ΋

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜

·‚ = ‚· · ( ‚Á) = (·‚)Á · 1=· 1 · + ( – ·) = 0 ·  = 1, · 0 · · ( ‚ + Á) = · ‚ + · Á

ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì ·ÎfiÌË fiÙÈ: ñ · 0 = 0. ñ AÓ ·‚ = 0, ÙfiÙ · = 0 ‹ ‚ = 0. ñ ¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· Ìˉ¤Ó, ϤÁÔÓÙ·È ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ . ñ ¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙË ÌÔÓ¿‰·, ϤÁÔÓÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ .

–3 , 3 4 5 , 5 4

∞Ê·›ÚÂÛË – ¢È·›ÚÂÛË √È Ú¿ÍÂȘ Ù˘ ·Ê·›ÚÂÛ˘ Î·È Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ Á›ÓÔÓÙ·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ñ °È· Ó· ‚Úԇ̠ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ, 5 – 7 = 5 + (–7) = –2 ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ÛÙÔ ÌÂÈˆÙ¤Ô ÙÔÓ ·ÓÙ›ıÂÙÔ ÙÔ˘ 5 – (–7) = 5 + (+7) = 12 ·Ê·ÈÚÂÙ¤Ô˘. · – ‚ = · + ( –‚) ñ °È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ ËÏ›ÎÔ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ (· : ‚, ‹ · Ì ‚ 0), ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ‚ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË. 1 · : ‚ = ·  ‚

‹

–5 : 15 = –5

1 5 1 =– =– 15 15 3

· 1  = ·  ‚ ‚

13

011-019

3-11-06

00:33

™ÂÏ›‰·14

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ:

1 –3 + 2 ‚) 1 2– 3

·) (– 3) – 3 – – 1 + 3 – + 1 – 1 2 3 3 2

( ) (

Λύση

) (

) ( )

·) (– 3) – 3 – – 1 + 3 – + 1 – 1 = + 9 + 1 – 3 – – 1 = 2 3 3 2 2 3 6 9 1 1 27 2 18 1 12 =+ + –3+ = + – + = =2 2 3 6 6 6 6 6 6

( ) (

) (

) ( )

( )

6 1 1 5 – – + –3 + 2 2 2 2 ‚) = = = – 15 = – 3 1 6– 1 5 10 2 2– 3 3 3 3

2

∞Ó · + ‚ = – 3 Î·È Á + ‰ = – 5, Ó· ‚ÚÂı› Ë ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ∞ = –(Á – 2·) + 2 ‚ – ‰ . 2

(

Λύση

)

∞ = –(Á – 2·) + 2 ‚ – ‰ = 2 = –Á + 2· + 2‚ – ‰ = (ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·) = 2· + 2‚ – Á – ‰ = (·ÓÙÈÌÂÙ·ıÂÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·) = 2(· + ‚) – (Á + ‰) = (ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·) = 2(–3) – (–5) = =–6+5= =–1

(

)

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ·˜ «x» ÛÙËÓ Î·Ù¿ÏÏËÏË ı¤ÛË. –3

1 2

6

0, 3

–0,8

3

16

3,14



22 7

∞ΤڷÈÔ˜ ƒËÙfi˜ ÕÚÚËÙÔ˜

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: ·) – 3 + 7 = ..... ‚) – 6 + 6 = ..... ‰) (–2) 1 = ..... 3 ˙)(–6) : – 12 = ..... 5

(

14

)

Â) 0 – 2 = ..... 7 Ë) – 8 : (+4)= ..... 5

( ) ( )

Á) – 2 – 9 = ..... ÛÙ) – 4 – 5 = ..... 5 4 ı) – 4 : + 4 = ..... 3 3

( ) ( ) ( ) ( )

011-019

3-11-06

00:33

™ÂÏ›‰·15

1.1 ¶Ú¿ÍÂȘ Ì Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜

3

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: ·) (–3 2 – 5)x = ........ ‚) –3(2 – 5x) = ........ ‰) –2(x ... .....) = ..... + 6 Â) (3 + x)(2 + y) = ........

4

Á) –3(2 – 5)x =........ ÛÙ) 4(... + ...) = 12x + 8

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË: i) AÓ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ, ÙfiÙÂ: ·) Â›Ó·È ÔÌfiÛËÌÔÈ ‚) ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ Á) ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ Ìˉ¤Ó ‰) ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙË ÌÔÓ¿‰·. ii) AÓ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ, ÙfiÙÂ: ·) Â›Ó·È ÂÙÂÚfiÛËÌÔÈ ‚) ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· Ìˉ¤Ó Á) ¤¯Ô˘Ó ›Û˜ ·fiÏ˘Ù˜ ÙÈ̤˜ ‰) ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙË ÌÔÓ¿‰·.

5

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜: ·) √È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Â›Ó·È ÔÌfiÛËÌÔÈ. ‚) ∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· ‰‡Ô ÔÌfiÛËÌˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. Á) ∏ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ οı Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ‰) ¢‡Ô ·ÚÈıÌÔ› Ì ÁÈÓfiÌÂÓÔ ıÂÙÈÎfi Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ·ÚÓËÙÈÎfi Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎÔ›.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

N· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: ·) 2 + 3 4 – 12 : (–4) + 1 Á) –3 (–2) – 5 + 4 : (–2) – 6

‚) 2 + 3 (4 – 12) : (–4 + 1) ‰) –8 : (–3 + 5) – 4 (–2 + 6)

2

∆· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ Ú¿ÍÂˆÓ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙÔ ¤ÙÔ˜ Ô˘ ¤ÁÈÓ ¤Ó· ÁÂÁÔÓfi˜ ÛÙË ¯ÒÚ· Ì·˜ Ì ·ÁÎfiÛÌÈÔ ÂӉȷʤÚÔÓ. –(5 – 4) – (+2) + (–6 + 4) – (–7) = 4 – (– 2 + 6 – 3) + (–9 + 6) = 14 + (–6 + 5 – 3) – (– 4 – 1) (–2) = (–3) (–2) + 4 – (+5) – (–1) : (–1) =

3

ŒÓ· ·˘ÙÔΛÓËÙÔ ÍÂΛÓËÛ ·fi ÙË ı¤ÛË √, ÎÈÓ‹ıËΠ¿Óˆ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ÛÙË ı¤ÛË µ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ ÛÙË ı¤ÛË °. ∞Ó Â›Ó·È √∞ = 5 km, ÙfiÙ ӷ ‚Ú›Ù fiÛÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ‰È‹Ó˘Û ÙÔ ·˘ÙÔΛÓËÙÔ Î·È fiÛÔ ÌÂÙ·ÎÈÓ‹ıËΠ·fi ÙËÓ ·Ú¯È΋ ÙÔ˘ ı¤ÛË. B x

–6

–5

–4

–3

–2

–1

O

A

0

1

° 2

3

4

5

6

x

15

011-019

3-11-06

00:33

™ÂÏ›‰·16

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

4

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 2 – – 1 + – 1 – + 1 3 4 2 12

‚) – – 1 + 3 – 5 + – 1 + 5 – 11 3 2 6 2 3 6

Á) –5 1 – 2 – 5 1 – 2 2 3 2 3

‰) 1 – 7 1 – 4 – 3 : – 2 + 2 2 2 5 5 5 3

(

) (

) (

(

5

)

(

)

(

) (

) (

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 1 2 1 – –2 3 – + –1 2 3 4 ·) ‚) 1 1 1 3 – + –2 3 – 6 2 4

(

)

)

(

)

)

1 –3 – 3 Á) –7 + 1 –2 + 3

6

√È ÂÏ¿¯ÈÛÙ˜ ıÂÚÌÔÎڷۛ˜ ÌÈ·˜ fiÏ˘ ÙÔ ÚÒÙÔ ‰Âη‹ÌÂÚÔ ÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜ ‹Ù·Ó: 1, – 3, 0, 2, 1, – 2, – 5, 0, – 3, –1. ¡· ‚Ú›Ù ÙË Ì¤ÛË ÂÏ¿¯ÈÛÙË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· Ù˘ fiÏ˘ ÙÔ ‰Âη‹ÌÂÚÔ ·˘Ùfi.

7

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ (+ ‹ –). ·) 12 ... 5 ... 20 = – 3 ‚) – 8 ... 9 ... 1 = 0 5 ... 3 ... 10 Á) ‰) – 0,35 ... 6,15 ... 8,50 = 2 =3 4 4 4

8

¡· ·ԉ›ÍÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜: ·) 8 – (· – ‚) + (· – 5 – ‚) = 3 ‚) 2 – (· + ‚ – Á) – (4 + Á – ‚) – (–2 – ·) = 0 Á) –2 (· – 3) + · (–7 + 9) – 3 (+2) = 0

9

∞Ó x + y = –5 Î·È ˆ + Ê = –7, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ∞ = 4 – (x – ˆ) – (y – Ê) µ = –(– 5 – x + Ê) + (– 8 + y) – (ˆ – 4)

10

∞Ó ·, ‚ Â›Ó·È ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ 56 Î·È Á, ‰ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ 32, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ∞ = · – (9 – 2Á) – (15 – ‚ – 2‰).

11

¡· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂÙ ηı¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ –7,

–6,

–5,

–3,

1,

2,

4,

5,

9

Û ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, ÒÛÙ ٷ ÙÚ›· ·ıÚÔ›ÛÌ·Ù· Ó· Â›Ó·È ›Û· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜.

16

+

+

=

+

+

=

+

+

=

011-019

3-11-06

00:33

™ÂÏ›‰·17

1.1 ¶Ú¿ÍÂȘ Ì Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜

B

¢˘Ó¿ÌÂȘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

∏ ‰‡Ó·ÌË Ì ‚¿ÛË ¤Ó·Ó Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi · Î·È ÂÎı¤ÙË ¤Ó· Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ó 2 Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ·Ó Î·È Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ Ó ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ›ÛˆÓ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ·. ·Ó = · · · ... · ¢ËÏ·‰‹

23 = 2 2 2 = 8 (–3)2 = (–3) (–3) = 9

Ó - ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ·1 = · ·0 = 1 ·–Ó = 1Ó ·

√Ú›˙Ô˘Ì ·ÎfiÌË:

ÌÂ

· 0

ÌÂ

· 0

°È· ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ì ÂÎı¤Ù˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÂÊfiÛÔÓ ·˘Ù¤˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È, ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜: π‰ÈfiÙËÙ˜

¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·

· Ì · Ó = · Ì+Ó · Ì : · Ó = · Ì–Ó

23 24 = 23+4 = 27 35 : 33 = 35–3 = 32

(·‚) Ó = · Ó‚Ó

(2χ) 2 = 22χ 2 = 4χ 2

Ó

( ·‚ ) =

3

( 32 ) =

·Ó Ó ‚

(2–3) –2 = 2 6 = 64

( · Ì ) Ó = · ÌÓ –Ó

( ·‚ ) = ( ·‚ )

23  8 3 = 27  3

Ó

–4

( 32 ) = ( 23 )

4

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·)

Λύση ·)

(–2)2 (–3)3 (3 2 2)2

(–2)2 (–3)3 22 (–33) 3 3 –22 33 = 2 = 2 4 =– 2 =– 2 2 2 2 2 4 3 (2 ) (3 2 ) 3 2

‚) x2(xy2)3 : (x2y3)2 =

2

AÓ

‚ ) x 2 (x y 2 ) 3 : ( x 2 y 3 ) 2

x2(xy2)3 x2x3(y2)3 x 5y 6 = = =x (x2y3)2 (x2)2(y3)2 x 4y 6

x 3 y2 = –3, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ∞ = x 2 (x 2 y3)2 (x –1 )–3 .

Λύση A = x2 (x2 y3)2 (x–1)–3 = x2 x4 y6 x3 = x2 x4 x3 y6 = x9 y6 = = (x3 y2)3 = (–3)3 = –27.

17

011-019

3-11-06

00:33

™ÂÏ›‰·18

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

3

N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: A = (–2) 2 (–3) + 2 32 – 5 2 (–2) : 5 – 6

B = (2 5 –3 2) + 2 (2 3 – 4) – 12 : (–3)

Λύση H ÚÔÙÂÚ·ÈfiÙËÙ· ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ ñ ¶ÚÒÙ· ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙȘ ‰˘Ó¿ÌÂȘ. ∞ = (–2)2 (–3) + 2 32 – 52 (–2) : 5 – 6 = ñ ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· οÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ = 4 (–3) + 2 9 – 25 (–2) : 5 – 6 = ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡˜ Î·È ÙȘ = –12 + 18 + 50 : 5 – 6 = ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ. = –12 + 18 + 10 – 6 = ñ ∆¤ÏÔ˜, οÓÔ˘Ì ÙȘ ÚÔÛı¤ÛÂȘ = 10 Î·È ÙȘ ·Ê·ÈÚ¤ÛÂȘ. ñ ŸÙ·Ó Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÂÚȤ¯ÂÈ Î·È µ = (2 5 – 32) + 2 (23 – 4) – 12 : (–3) = ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ, ÂÎÙÂÏԇ̠ÚÒÙ· ÙȘ = (2 5 – 9) + 2 (8 – 4) – 12 : (–3) = Ú¿ÍÂȘ ̤۷ ÛÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ Ì = 10 – 9 + 2 4 – 12 : (–3) = ÙË ÛÂÈÚ¿ Ô˘ ·Ó·Ê¤Ú·Ì ·Ú·¿Óˆ. = 1+8+4= = 9+4= = 13

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜: ·) °È· οı ·ÚÈıÌfi · ÈÛ¯‡ÂÈ · + · + · + · = ·4. ‚) °È· οı ·ÚÈıÌfi · ÈÛ¯‡ÂÈ · · · · = ·4. Á) √È ·ÚÈıÌÔ› (–5)6 Î·È –56 Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ. 8 8 ‰) √È ·ÚÈıÌÔ› 2 Î·È 3 Â›Ó·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ. 3 2

( )

( )

Â) °È· οı ·ÚÈıÌfi · ÈÛ¯‡ÂÈ (3·)2 = 9·2. ÛÙ) √ ·ÚÈıÌfi˜ –(– 5)2 Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜. ˙) √ ·ÚÈıÌfi˜ –3–2 Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜.

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ (= ‹ ). –1 ·) (–1)6 ... 1 ‚) 3–2 ... 9 Á) – 42 ... –16 ‰) 5 ... 2 2 5 0 5 ÛÙ) 2 ... 0 ˙) – 1 ... 1 Ë) (7 + 2)2 ... 72 + 22 Â) 5–2 ... 1 –25 5 2 32

( )

( )

3

( )

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. i) H ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ 2 3

( )

·) – 4 9

18

‚) – 9 4

Á) 9 4

–2

›ӷÈ:

‰) 4 9

011-019

3-11-06

00:33

™ÂÏ›‰·19

1.1 ¶Ú¿ÍÂȘ Ì Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜

ii) H ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ (–2)0 3 ›ӷÈ: ·) –23 ‚) –6 Á) 23 ‰) 1 iii) H ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ 23 + 32 ›ӷÈ: ·) 55 ‚) 17 Á) 56 ‰) 65

4

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞, ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ¿ Ù˘ ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞ ·.

4 –1

(2 )

‚.

(2–5)2 210

Á.

(–2)–2

‰.

(24 : 23) 22

™Ù‹ÏË µ 1. 2. 3. 4. 5. 6.

1 4 –2 4 4 23 2 –4 1

·

‚

Á

‰

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

N· ÁÚ¿„ÂÙ ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ˆ˜ Ì›· ‰‡Ó·ÌË: ·) 2 –5 28 Â) 3–2 (–3)4

2

Á) 2 3 53

‰) (5–2)–4

˙) 42 : 34

Ë) 27 34

1 35

N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÙÈÌ‹ οı ·Ú¿ÛÙ·Û˘: ·) (2 –2)3 28 Â) (2,5)4 (–4)4

3

‚) 34 : 3 –2 (–6)6 ÛÙ) 26

‚) (–3)2 (–3)–4 ÛÙ) 412 : 220

N· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) (x2)3 5x4 ‚) (xy3)2 x3y 3 ‰) – 2 x : x2 3

(

)

Â) (–3x2)3 (–2x3)2

Á) (0,75)–2 3 4

( ) ˙) (– 2 ) ( 2 ) 3 3 12

2

‰) 363 : (–12)3

–14

Ë) (0,01)3 105

Á) (–2x)2 (–2x2) 3 ÛÙ) 3 x : – 3 x –2 2

(

)

2

4

N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÙÈÌ‹ οı ·Ú¿ÛÙ·Û˘: ∞ = 3 (–2)2 + 4 – (–7)0 2 – 8 (2–1 – 1) – 2 32 µ = (– 4)2 : 2 – 5 – (–3) 22 – (–2)4 ° = (2,5)2 (1,25)3 (–4)2 (–8)3 ¢ = (257 84) : (57 404)

5

∞Ó ÙÚÈÏ·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ ÌÂÁ·ÏÒÓÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘;

19

020-024

3-11-06

00:35

™ÂÏ›‰·20

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

°

∆ÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ ∏ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· ÂÓfi˜ ıÂÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ x Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì x Î·È Â›Ó·È Ô ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ fiÙ·Ó ˘„ˆı› ÛÙÔ ÙÂÙÚ¿ ÁˆÓÔ Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x. ¶.¯. 25 = 5, ·ÊÔ‡ 52 = 25 √Ú›˙Ô˘Ì ·ÎfiÌË 0 = 0. 2 ŸÌˆ˜ Î·È (–5) = 25, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì (–5)2 = 25 = 5 = – 5 . ÕÚ·, ÁÈ· οı Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x ÈÛ¯‡ÂÈ:

(–7) 2 = –7 = 7,

x2 = xx

72 = 7

¢ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· ·ÚÓËÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡, ÁÈ·Ù› ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓfi ÙÔ˘ Ó· Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠·ÎfiÌË fiÙÈ: ( 9 )2 = 32 = 9, ‰ËÏ·‰‹ ( 9 )2 = 9. °ÂÓÈο ∞Ó x

≥ 0,

ÙfiÙÂ

( x )2 = x

I‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ Î·Ù¿ÏÏËÏÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ (= ‹ ) 4 ... 4 4 100 ... 4 100 Î·È 100

100

2. ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÛ¤˘ Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙÂ Î·È Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: 2 ... 2 2 5 ... 2 5 Î·È 5

5

°È· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 4 Î·È 100 ÌÔÚԇ̠‡ÎÔÏ· Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ÈÛ¯‡Ô˘Ó: 4 100 = 4 100

ηÈ

4

100

=

4 100

ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÛ¤˘ ÌÔÚԇ̠ӷ ηٷϋÍÔ˘Ì Û ·Ó¿ÏÔÁ˜ ÈÛfiÙËÙ˜ Î·È ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 2 Î·È 5. ŸÛ· fï˜ ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÎÈ ·Ó ÂÍÂÙ¿ÛÔ˘ÌÂ, ‰ÂÓ ·ÚÎÔ‡Ó ÁÈ· Ó· Ì·˜ ›ÛÔ˘Ó, fiÙÈ ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ·ÏËı›˜ ÁÈ· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ÌË ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ªfiÓÔ ÌÈ· ·fi‰ÂÈÍË ÌÔÚ› Ó· Ì·˜ ›ÛÂÈ.

Γενικά

°È· ‰‡Ô ÌË ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚ ÌÔÚԇ̠ӷ ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ: ñ ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÒÓ ÚÈ˙ÒÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È · ‚ = ·‚ Ì ÙËÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÙÔ˘˜. ñ ∆Ô ËÏ›ÎÔ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÒÓ ÚÈ˙ÒÓ ÙÔ˘˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘ ÙÔ˘˜.

20

·

 =

‚

·‚ 

ÌÂ

‚>0

020-024

3-11-06

00:35

™ÂÏ›‰·21

1.1 ¶Ú¿ÍÂȘ Ì Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜

°È· Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙËÓ ÚÒÙË ÈÛfiÙËÙ·, ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î¿ı ̤ÏÔ˘˜ Ù˘ ͯˆÚÈÛÙ¿. 2 2 2 2 ñ ( · ‚ ) = ( · ) ( ‚ ) = ·‚ ñ ( · ‚ ) = ·‚ · ‚ Î·È · ‚ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, fiÙÈ ÔÈ ‰‡Ô ÌË ·ÚÓËÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ·‚, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ›ÛÔÈ. ÕÚ· · ‚ = ·‚ . ªÂ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ·ԉ›ÍÔ˘ÌÂ Î·È ÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÈÛfiÙËÙ·. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠·ÎfiÌË fiÙÈ 16 + 9 = 4 + 3 = 7, ÂÓÒ 16 + 9 = 25 = 5 ‰ËÏ·‰‹ 16 + 9 16 + 9. °ÂÓÈο: ∞Ó ·, ‚ Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ · + ‚ ·+‚

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ 20 = 2 5 Î·È ÁÂÓÈο ÁÈ· ÌË ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚ fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ 2 · ‚ = · ‚.

Λύση ∂Âȉ‹ 20 = 4 5 = 22 5 ¤¯Ô˘Ì 20 = 22 5 = 22 5 = 2 5. 2 2 √ÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘Ì · ‚ = · ‚ = · ‚. ➤

√ ·ÚÈıÌfi˜ 20 ÌÔÚ› Ó· ·Ó·Ï˘ı› Î·È Ì ¿ÏÏÔÓ ÙÚfiÔ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ .¯. 20 = 2 10, ·ÏÏ¿ ÙfiÙ ηӤӷ˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ¿˜ ÙÔ˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÂÓfi˜ ıÂÙÈÎÔ‡ ·Î¤Ú·ÈÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡.

2

N· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ: ·) 3 3 + 2 3 = 5 3

‚) 3 24 = 6 2

Á) 50 – 18 = 2 2

Λύση ·) ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋˜ ȉÈfiÙËÙ·˜ ¤¯Ô˘ÌÂ: 3 3 + 2 3 = (3 + 2) 3 = 5 3 ‚) 3 24 = 3 24 = 72 = 36 2 = 36 2 = 6 2 Á) 50 – 18 = 25 2 – 9 2 = 25 2 – 9 2 = 5 2 – 3 2 = 2 2

3

5 , Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÚÚËÙÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹, Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ 3 ÎÏ¿ÛÌ· Ì ÚËÙfi ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹.

N· ÌÂÙ·ÙÚ·› ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·

Λύση ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ùo˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹.

5 5 3 5 3 5 3 = = = 2 3 3 ( 3 3 3)

21

020-024

3-11-06

00:35

™ÂÏ›‰·22

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

4

∆ · Ù Â Ù Ú ¿ Á ˆ Ó · ∞ µ ° ¢ Î · È ° ∑ ∏ £ ¤ ¯ Ô ˘ Ó Â Ì ‚ · ‰ fi Ó 1 2 m 2 Î·È 3 m 2 ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ µ∫∑° Î·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ µ£.

Λύση

µ

∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∞µ°¢ Â›Ó·È µ° 2 = 12 m2, ∞ ÔfiÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Â›Ó·È µ° = 12 m. TÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ °∑∏£ Â›Ó·È ° ∑ 2 = 3 m2, ÔfiÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Â›Ó·È ° ∑ = 3 m. ∂Ô̤ӈ˜ ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ µ∫∑° ›ӷÈ: ∂ = µ° °∑ = 12 3 = 12 3 = 3 6 = 6 m 2. ¢ ∆Ô Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ µ£ ›ӷÈ: µ£ = µ° + °£ = µ° + ° ∑ = 12 + 3= 4 3 + 3 = 2 3 + 3 = 3 3 m.

12 m2

∫

∂

°

∑

3 m2

∏

£

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: ‚) 5 ·) 3 3 + 3 = ..... 2 – 3 2 = ..... ‰) Â) 12 3 = ..... 18 : 2 = .....

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ÛÙÔÈ¯Â›Ô Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞

3

·.

25

‚.

–25

Á.

25 –

‰.

52

Â.

(–5)2

ÛÙ.

–52

™Ù‹ÏË B ·

‚

Á

‰

Â

ÛÙ

1. –5 2. ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È 3. 5

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔ˘˜ ›Ó·Î˜:

·

‚

4 1 9 16 64 36

22

Á) 5 + 4 5 – 5 5 = ..... ÛÙ) 3 2 8 = .....

· ‚

ÕıÚÔÈÛÌ·

°ÈÓfiÌÂÓÔ

· + ‚ · + ‚

·‚ · ‚

¶ËÏ›ÎÔ

·‚

· ‚

020-024

7-11-06

21:26

™ÂÏ›‰·23

1.1 ¶Ú¿ÍÂȘ Ì Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜

4

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) 2 3 = 6 ‚) 2 + 3 = 5 Á)

94 = 32

‰) (–3)2 = 3 Â)

( 12 – 1) = 12 2

–1

ÛÙ) ∆Ô ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 5 Â›Ó·È ÙÔ 10. ˙) ∆Ô ÌÈÛfi ÙÔ˘ 12 Â›Ó·È ÙÔ 3.

5

ŒÓ· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ 50 m2. ∂›Ó·È ÛˆÛÙfi Ó· ÈÛ¯˘ÚÈÛÙԇ̠fiÙÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ Â›Ó·È 5 2 m;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 3 5 – 7 5 + 2 5 Á)

2

‚) 5 7 – 8 3 –2 7 + 4 3

52 58 – 37 127

‰)

145 107 + 212 143

N· ·ԉ›ÍÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: ·) 3 2 – 50 + 32 – 6 8 = – 10 2 Á) 3 18 – 2 48 +

3

‰) 3,6 4,9 – 0,8 0,2 = 3,8

N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 12+ ·) 16

4

120 = 6 5

‚) 27 – 20 + 12 – 5 = 5 3 – 3 5

‚)

86+2 52– 9

Á)

6 12 3 9

N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ›Ó·Î· Ì ÙȘ ÂÚÈ̤ÙÚÔ˘˜ Î·È Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ∞µ°¢, ∂∑∏£ Î·È ∫§ª¡. ¶ÔÈÔ ·fi Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ¤¯ÂÈ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÂÌ‚·‰fiÓ; Ì ‹ Î Ô ˜  Ï ¿ Ù Ô ˜ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ Â Ì ‚ · ‰ fi Ó ∞µ°¢

5 2

2

E∑∏£

4 2

2 2

∫§ª¡

3 2

3 2

23

3-11-06

00:35

™ÂÏ›‰·24

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

5

N· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: ·) 2 ( 18 + 8)

‚) 6 ( 27 – 3)

Á) ( 75 + 45 – 300 ) : 15

‰) ( 7 – 5 )( 7 + 5)

6

N· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂÙ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ÚÚËÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜, Û ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜. 2 3 + 6 ·) 1 ‚) 4 Á) 5 ‰) 3 6 2 2 5

7

N· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 5 + x = 3 5–x Á) x = 32 2

8

‚) 6 x = 24 ‰) 3 3 – x = 27

N· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ( 3 – 1)( 3 + 1) = 2. ÃÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÈÛfi1 ÙËÙ· Ó· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂÙ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· , Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÚÚËÙÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹, Û ÈÛÔ‰‡ 3–1 Ó·ÌÔ Ì ÚËÙfi ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. B

∞

9

∞Ó Ù· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ∞µ°¢, °E∑∏ ¤¯Ô˘Ó ÂÌ‚·‰fiÓ 50 m2 Î·È 8 m2 ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ µ£π∂ Â›Ó·È 98 m2.

£

50 m2

¢

∏ ∑

° 8 m2 π

∂

10

™ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ∞µ = 3 cm Î·È ∞° = 6 cm ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°, Ó· ¿ÚÂÙ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ÛËÌ›· ¢, ∂, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ∞¢ = 2 cm Î·È AE = 1 cm. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ µ° = 3¢∂.

11

™ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° (∞µ = ∞°), ÙÔ ‡„Ô˜ ∞¢ = 4 cm Î·È Ë ÏÂ˘Ú¿ µ° = 4 cm. ·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞° Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Â›Ó·È 4 + 4 5 cm. ‚) ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÚÒÙËÛË 4 Ì·ıËÙ¤˜ ¤‰ˆÛ·Ó ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ··ÓÙ‹ÛÂȘ: 4 + 20 , 4 + 2 20 , 8 5 , 2(2 + 20). ¶ÔȘ ·fi ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜;

24

∞

4 cm

020-024

µ

¢ 4 cm

°

025-029

3-11-06

00:38

1.2

™ÂÏ›‰·25

MÔÓÒÓ˘Ì· – ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÌÔÓÒÓ˘Ì·

✔ ✔ ✔

Mαθαίνω τι είναι αλγεβρική παράσταση και πώς βρίσκεται η αριθµητική τιµή της. ∆ιακρίνω αν µια αλγεβρική παράσταση είναι µονώνυµο και προσδιορίζω το βαθµό του. Μαθαίνω να κάνω πράξεις µε µονώνυµα.

∞ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ - ªÔÓÒÓ˘Ì·

∞

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙˆÓ 5 5

ΛÙÚÈÓˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ.

8

‚

2. ™ÙÔ Ú¿ÛÈÓÔ Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È Ë Î¿ÙÔ„Ë ÂÓfi˜

5

· x x

x

y x

x

ηٷÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ÚfiÎÂÈÙ·È Ó· ÛÙÚˆı› Ì ϷοÎÈ·. ¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Ù· ϷοÎÈ· Ô˘ ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙÔ‡Ó ¤¯Ô˘Ó Û˘ÓÔÏÈÎfi ÂÌ‚·‰fiÓ 2x2 + xy. ∞Ó x = 5 Î·È y = 8, ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘˜;

AÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ ÁÈ· Ó· χÛÔ˘Ì ¤Ó· Úfi‚ÏËÌ·, ηٷ- 6 5 + 2 8, Ï‹ÁÔ˘Ì Û ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÌfiÓÔ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ. À¿Ú¯Ô˘Ó fï˜ Î·È ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÛÙ· ÔÔ›· ηٷϋÁÔ˘Ì Û ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ ÔÈ Ôԛ˜, ÂÎÙfi˜ ·fi ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÂÚȤ¯Ô˘Ó Î·È ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜. √È ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ϤÁÔÓÙ·È ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ .

4x,

2 52 + 5 8

2α + 2β, x2, αβ, 2x , 2x 2 + xy y3

∂ȉÈÎfiÙÂÚ· ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ï¤ÁÂÙ·È ·Î¤Ú·È· , fiÙ·Ó ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ Ù˘ ÛËÌÂÈÒ- 2x + 3χ2, 1 α + β 2 , 2 ÓÔÓÙ·È ÌfiÓÔ ÔÈ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ Î·È ÔÈ ÂÎı¤Ù˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ Ù˘ Â›Ó·È Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›.

4 πR 3 3

AÓ Û ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ, ı· ÚÔ·„ÂÈ ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ϤÁÂÙ·È ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ‹ ·Ï¿ ÙÈÌ‹ Ù˘ ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ 2x2 + xy ÁÈ· x = 5 Î·È y = 8, Â›Ó·È 2 52 + 5 8 = 90. 25

025-029

1-12-06

21:36

™ÂÏ›‰·26

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

ªÔÓÒÓ˘Ì· √È ·Î¤Ú·È˜ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ, ÛÙȘ Ôԛ˜ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÛËÌÂÈÒÓÂÙ·È ÌfiÓÔ Ë Ú¿ÍË ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡, ϤÁÔÓÙ·È ÌÔÓÒÓ˘Ì· .

4x,

x2,

2 αβ, 2 x 4y 2ω 3 3 Μονώνυµο

2x 3 y

™’ ¤Ó· ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ Ô ·ÚÈıÌËÙÈÎfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ϤÁÂÙ·È Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘, ÂÓÒ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÙÔ˘ Ì ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ÂÎı¤Ù˜ ÙÔ˘˜ ϤÁÂÙ·È Î‡ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘.

συντελεστής κύριο µέρος

√ ÂÎı¤Ù˘ ÌÈ·˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ ϤÁÂÙ·È ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙË ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ ·˘Ù‹, ÂÓÒ Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ fiϘ ÙȘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ÙÔ˘ ϤÁÂÙ·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÎıÂÙÒÓ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÙÔ˘.

∆Ô ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ 2x 3 y ›ӷÈ: 3Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ x 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ y 4Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ x Î·È y

∆· ÌÔÓÒÓ˘Ì· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Î‡ÚÔ˜ ̤ÚÔ˜ ϤÁÔÓÙ·È fiÌÔÈ· . °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· 2 x 3 yˆ 2, –5x3yˆ2, x3yˆ2, Â›Ó·È fiÌÔÈ·. 5 ∆· fiÌÔÈ· ÌÔÓÒÓ˘Ì· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ϤÁÔÓÙ·È ›Û· ÂÓÒ, ·Ó ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙ›ıÂÙÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜, ϤÁÔÓÙ·È ·ÓÙ›ıÂÙ· . °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· 2x 3 y Î·È –2x 3 y Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙ·. ™˘ÌʈÓԇ̠·ÎfiÌË Ó· ıˆÚÔ‡ÓÙ·È Î·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ˆ˜ ÌÔÓÒÓ˘Ì· Î·È Ù· ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÛÙ·ıÂÚ¿ ÌÔÓÒÓ˘Ì·. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, Ô ·ÚÈıÌfi˜ 0 ϤÁÂÙ·È ÌˉÂÓÈÎfi ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ Î·È ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi, ÂÓÒ fiÏ· Ù· ¿ÏÏ· ÛÙ·ıÂÚ¿ ÌÔÓÒÓ˘Ì· Â›Ó·È ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ‚·ıÌÔ‡. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ô ·ÚÈıÌfi˜ 5 Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ‚·ıÌÔ‡.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· ‚ÚÂı› Ë ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ·) –3x 2 y 3 , ÁÈ· x = –2 Î·È y = –1 ‚) 2· 2 – 3‚ + 6 ÁÈ· · = – 3 Î·È ‚ = 8.

Λύση ·) H ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ –3x 2 y 3 ÁÈ· x = –2 Î·È y = –1 ›ӷÈ: –3 (–2)2 (–1)3 = –3 (+4) (–1) = 12. ‚) ∏ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ 2·2 – 3‚ + 6 ÁÈ· · = –3 Î·È ‚ = 8 ›ӷÈ: 2 (–3)2 – 3 8 + 6 = 2 (+9) – 24 + 6 = 18 – 24 + 6 = 0.

26

025-029

3-11-06

00:38

™ÂÏ›‰·27

1.2 MÔÓÒÓ˘Ì· – ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÌÔÓÒÓ˘Ì·

2

TÔ È‰·ÓÈÎfi ‚¿ÚÔ˜ µ (Û ÎÈÏ¿) ÂÓfi˜ ÂÓ‹ÏÈη, ‡„Ô˘˜ ˘ (Û cm) ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô µ = Î ˘ – 100 + t , fi  Ô ˘ t  › Ó · È Ë Ë Ï È Î › · Ù Ô ˘ ( Û Â ¤ Ù Ë ) Î · È Î Ì È · Û Ù · ı Â Ú ¿ ( Á È · Ù Ô Ó 10 ¿Ó‰Ú· Î = 0,9 Î·È ÁÈ· ÙË Á˘Ó·›Î· Î = 0,8). ¡· ‚ÚÂı› ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ È‰·ÓÈÎfi ‚¿ÚÔ˜ ÁÈ· ¤Ó·Ó ¿Ó‰Ú· Î·È ÌÈ· Á˘Ó·›Î·, ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ Ô Î·ı¤Ó·˜ Â›Ó·È 30 ÂÙÒÓ Î·È ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ 1,77 m.

(

)

Λύση TÔ È‰·ÓÈÎfi ‚¿ÚÔ˜ µ (Û ÎÈÏ¿) ÂÓfi˜ ¿Ó‰Ú· ËÏÈΛ·˜ 30 ÂÙÒÓ Î·È ‡„Ô˘˜ 1,77 m = 177 cm, Â›Ó·È µ = 0,9 177 – 100 + 30 = 0,9 (177 – 100 + 3) = 0,9 80 = 72 ÎÈÏ¿. 10

(

)

TÔ È‰·ÓÈÎfi ‚¿ÚÔ˜ µ (Û ÎÈÏ¿) ÌÈ·˜ Á˘Ó·›Î·˜ ËÏÈΛ·˜ 30 ÂÙÒÓ Î·È ‡„Ô˘˜ 1,77 m = 177 cm, Â›Ó·È µ = 0,8 177 – 100 + 30 = 0,8 (177 – 100 + 3) = 0,8 80 = 64 ÎÈÏ¿. 10

(

3

)

¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂ÓÔ˘ ̤ÚÔ˘˜, ÙÔ ÔÔ›Ô ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Î·È ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘, ÙÔ Î‡ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ˘ Î·È Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÁÈ· Ú = 10 cm.

Ú

Λύση TÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ 2Ú, ÔfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È (2Ú)2 = 4Ú2. ∂Âȉ‹ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È Ú2, ÙÔ ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂ÓÔ Ì¤ÚÔ˜ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ 4Ú2 – Ú2. ªÂ ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË 4Ú2 – Ú2 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 4Ú2 – Ú2 = (4 – )Ú2 = (4 – 3,14)Ú2 = 0,86Ú2 ÕÚ· Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ 0,86 Î·È Î‡ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ú2. ∏ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÁÈ· Ú = 10 cm Â›Ó·È 0,86 102 = 0,86 100 = 86 cm2.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

2

¶ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘Ì·; x 3y ‚) 3 + x2y Á) ‰) 2x2yˆ3 Â) (3 – ·) –3x2y 2 )·‚3 ˆ2 ¶ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÌÔÓÒÓ˘Ì· Â›Ó·È fiÌÔÈ·: ‚) – 3 xy 3 Á) –x3yˆ ‰) –5y3x ·) 6x2y2 5 ˙)

xy 3 7

Ë) –x2y2

ı) yx3ˆ

Â)

ˆyx 3 4

ÛÙ) 2 ·‚Á3 3

ÛÙ) 5 y 2 x 2 2

È) 2xy3

27

025-029

3-11-06

00:38

™ÂÏ›‰·28

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

3

N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: ªÔÓÒÓ˘ÌÔ ™˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜

∫‡ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜

µ·ıÌfi˜ ˆ˜ µ·ıÌfi˜ ˆ˜ µ·ıÌfi˜ ˆ˜ ÚÔ˜ x ÚÔ˜ y ÚÔ˜ x Î·È y

5xy 4 –xy 2 1  x2y5 7 – 3 x4

4

ŒÓ· ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ – 1 Î·È Î‡ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜ xy2ˆ3. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ›ÛÔ ÙÔ˘ 3 Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ıÂÙÔ ÌÔÓÒÓ˘Ìfi ÙÔ˘.

5

¡· χÛÂÙ ÙÔ ÛÙ·˘ÚfiÏÂÍÔ. ➋

➏

➍

➊ ➌

➋ ➊

➌

➑

➍ ➎

➎ ➐

➏

➐ ➑ Oƒπ∑√¡∆π∞ 1. ŒÎÊÚ·ÛË Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Û˘Ó‰ÂfiÌÂÓ˜ Ì ٷ ۇ̂ÔÏ· ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ (‰‡Ô ϤÍÂȘ). 2. ∂›Ó·È Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· 8, –5, 0, 3. 3. ∂›Ó·È Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘ 3x2ˆ ˆ˜ ÚÔ˜ y. 4. ™ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ –2x2y Â›Ó·È ÙÔ –2. 5. ∂›Ó·È Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· – 6 x3y, –3x3y. 2 6. O Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘ xy. 7. ∂›Ó·È ÙÔ xyˆ2 ÛÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ 4xyˆ2 (‰‡Ô ϤÍÂȘ). 8. ∏ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË.

28

∫∞£∂∆∞ 1. ∆Ô ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ·˘Ùfi ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi. 2. ™ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ 7x4yˆ5 ˆ˜ ÚÔ˜ x Â›Ó·È 4. 3. ¶·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ Ù˘ ÛËÌÂÈÒÓÔÓÙ·È ÌfiÓÔ ÔÈ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ ÚfiÛıÂÛ˘ Î·È ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡. 4. ∂›Ó·È Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· 5xy2, – 25 xy2. 5. E›Ó·È Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· 4·2‚5, –·2‚5. 6. H ......... ÙÔ˘ ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘ –2x2y ÁÈ· x = 2 Î·È y = –1 Â›Ó·È 8. 7. ∂›Ó·È Ô ‚·ıÌfi˜ ÙˆÓ ÛÙ·ıÂÚÒÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ 6, –3, 7. 8. ∏ Ú¿ÍË ·˘Ù‹ ‰Â ÛËÌÂÈÒÓÂÙ·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÂÓfi˜ ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘.

025-029

3-11-06

00:38

™ÂÏ›‰·29

1.2 MÔÓÒÓ˘Ì· – ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÌÔÓÒÓ˘Ì·

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

N· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: ·) –2xy3 + x2y – 4 ÁÈ· x = –2 Î·È y = 1 ‚) 2 xˆ2 + 1 ˆ3 ÁÈ· x = 3 Î·È ˆ = –2 3 2

2

ŒÓ· ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ – 5 Î·È ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ·, ‚. ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙÔ 7 ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ, ·Ó Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ · Â›Ó·È 2 Î·È ˆ˜ ÚÔ˜ · Î·È ‚ Â›Ó·È 5.

3

¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Ê˘ÛÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Ó, ÒÛÙ ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ 3xÓy2 ·) Ó· Â›Ó·È ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ‚·ıÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ x ‚) Ó· Â›Ó·È ¤ÌÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ x Î·È y Á) Ó· ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ 48, ÁÈ· x = 2 Î·È y = –1.

4

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î. Ï, Ó, ÒÛÙ ٷ ÌÔÓÒÓ˘Ì· 4x3yÓ, ÏxÎy2 Ó· ›ӷÈ: ·) fiÌÔÈ· ‚) ›Û· Á) ·ÓÙ›ıÂÙ·

5

¡· ÁÚ¿„ÂÙ ٷ ÌÔÓÒÓ˘Ì· Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Î·È ÙÔÓ fiÁÎÔ ÌÈ·˜ ÛÊ·›Ú·˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· Ú. ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹, ÙÔ Î‡ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Î·È ÙÔ ‚·ıÌfi οı ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ οı ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘, fiÙ·Ó Ú = 10;

6

Ú ∫

ªÈ· ÔÌ¿‰· ηϷıÔÛÊ·›ÚÈÛ˘ ¤‰ˆÛ 9 ·ÁÒÓ˜. ¡· ÁÚ¿„ÂÙ ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ˘˜ ‚·ıÌÔ‡˜ Ô˘ Û˘ÁΤÓÙÚˆÛÂ, ·Ó Û οı ӛÎË ·›ÚÓÂÈ 2 ‚·ıÌÔ‡˜ Î·È Û οı ‹ÙÙ· 1 ‚·ıÌfi.

∂

7

¡· ÁÚ¿„ÂÙ ÙËÓ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ µ°¢∂. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ, fiÙ·Ó x = 12;

µ

x

∞

¢

5

°

29

030-032

3-11-06

00:45

™ÂÏ›‰·30

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

B

¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÌÔÓÒÓ˘Ì·

√È ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ÂÓfi˜ ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘ ·ÓÙÈÚÔÛˆÂ‡Ô˘Ó ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ÛÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ô˘ Á›ÓÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó fiϘ ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÛÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

¶ÚfiÛıÂÛË ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ ŒÓ· ¿ıÚÔÈÛÌ· ÔÌÔ›ˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ .¯. –5x3 + 2x3 Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋˜ ȉÈfiÙËÙ·˜ ÁÚ¿ÊÂÙ·È

–5x 3 + 2x 3 = (–5 + 2)x 3 = –3x 3

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: ∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· ÔÌÔ›ˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ fiÌÔÈÔ Ì ·˘Ù¿ Î·È ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ ÙÔ˘˜. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Î·ÓfiÓ·, ¤¯Ô˘Ì –12x2y – 3x2y = –15x2y. AÓ Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· ‰ÂÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·, fiˆ˜ Ù· 3x Î·È 5y, ÙfiÙ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ 3x + 5y ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ.

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ ŒÓ· ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ .¯. (–2x)(3x2y) Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡ Î·È ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÁÚ¿ÊÂÙ·È (–2x)(3x 2 y) = (–2)x 3x 2 y = (–2) 3(xx 2 )y = –6x 3 y . ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ÌÂ: ñ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ ÙÔ˘˜ Î·È ñ ·ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÙÔ˘˜ Ì ÂÎı¤ÙË Î¿ı ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÎıÂÙÒÓ Ù˘. ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Î·ÓfiÓ· ¤¯Ô˘Ì (–3x 4 y 3 ˆ) 2 xˆ3 = – 6 x 5 y 3 ˆ4. 5 5

(

)

¢È·›ÚÂÛË ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ ∏ ‰È·›ÚÂÛË ÌÔӈӇ̈Ó, fiˆ˜ Î·È Ë ‰È·›ÚÂÛË ·ÚÈıÌÒÓ Á›ÓÂÙ·È, ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÙÔ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, –12χ 4 yω 2 y 1 12 χ 4 ω2 – (–12x 4yω2) : (4x 2yω) = –12x 4yω 2 2 = = = – 3x 2ω. 2 2

4x yω

√ÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ: (7xy 4 ) : (–x 3 y) =

4x yω

4

χ

y

ω

7χ y 4 7y 3 = – x2 –x3y

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÛÙÔ ÚÒÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÙÔ ËÏ›ÎÔ ÙˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ, ÂÓÒ ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ. 30

030-032

3-11-06

00:45

™ÂÏ›‰·31

1.2 MÔÓÒÓ˘Ì· – ¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÌÔÓÒÓ˘Ì·

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: ·) –7·x 2 – 1 ·x 2 + 4·x 2 2

‚)

Λύση

(– 23 xy ) (– 2

1 x3 y2 4

Á) 3 ·3‚ : – 1 ·‚ 3 4 2

)

(

) (

)

·) –7·x2 – 1 ·x2 + 4·x2 = –7 – 1 + 4 ·x2 = – 14 – 1 + 8 ·x2 = – 7 ·x2 2 2 2 2 2 2

(

)

(

)

‚) – 2 xy2 – 1 x3 y 2 = 2 x4 y4 = 1 x4 y 4 3 4 12 6

(

) (

)

3

Á)

2

3

3

3

‚ =– ( 34 · ‚) : (– 12 ·‚ ) = 3·4 ‚ : (– ·‚2 ) = 3·4 ‚ (– ·‚2 ) = – 6· 4·‚ 3

3

3

∞fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ·Ê‹ÓÔ˘Ì ¤Ó· ÛÒÌ· Ó· ¤ÛÂÈ ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜. ∞Ó Ô ¯ÚfiÓÔ˜ t Û sec Ô˘ ÌÂÛÔÏ·‚› ̤¯ÚÈ Ó· ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ˜ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Ô˘ ı· ¤Î·ÓÂ, ·Ó ÙÔ ·Ê‹Ó·Ì ӷ ¤ÛÂÈ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ, Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ∞µ.

3

3·2 2‚2

∞

Λύση Afi ÙË º˘ÛÈ΋ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·ÛË ∞∂ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô ∞∂ = 1 gt2, fiÔ˘ g = 10 m/sec2 ÂÚ›Ô˘. ÕÚ· ∞∂ = 5t2. 2 AÓ ·Ê‹Ó·Ì ÙÔ ÛÒÌ· Ó· ¤ÛÂÈ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ, ÙfiÙ ı· ¤ÊÙ·Ó ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ Û ¯ÚfiÓÔ t sec Î·È ı· ‹Ù·Ó 2 µ∂ = 1 g t 2 2

2

( )=

µ ∂

1 10 t2 = 5 t2. 2 4 4

H ·fiÛÙ·ÛË ∞µ Â›Ó·È ∞µ = ∞∂ – µ∂ = 5t2 – 5 t2 = 20 t2 – 5 t2 = 15 t2. 4 4 4 4

3

MÈ· ÙÛÈÌÂÓÙ¤ÓÈ· ΢ÏÈÓ‰ÚÈ΋ ÎÔÏÒÓ·, Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· ‚¿Û˘ Ú Î·È ‡„Ô˜ ˘, ÂÓÈÛ¯‡ÂÙ·È ÂÚÈÌÂÙÚÈο Ì ÙÛÈ̤ÓÙÔ Î·È ·ÔÎÙ¿ ·ÎÙ›Ó· ‚¿Û˘ ‰ÈÏ¿ÛÈ· Ù˘ ·Ú¯È΋˜. √ Ì˯·ÓÈÎfi˜ ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ ÙÛÈ̤ÓÙÔ Ô˘ ÚÔÛÙ¤ıËΠ¤¯ÂÈ fiÁÎÔ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ fiÁÎÔ˘ Ù˘ ÎÔÏÒÓ·˜. ∂›Ó·È ÛˆÛÙfi˜ Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘;

Λύση √ ·Ú¯ÈÎfi˜ fiÁÎÔ˜ Ù˘ ÎÔÏÒÓ·˜ ‹Ù·Ó V1 = Ú2˘. ªÂÙ¿ ÙËÓ ÂÓ›Û¯˘ÛË Ù˘ ÎÔÏÒÓ·˜, Ô Û˘ÓÔÏÈÎfi˜ fiÁÎÔ˜ Ù˘ ¤ÁÈÓ V2 = (2Ú)2˘ = (4Ú2)˘ = 4Ú2˘. ÕÚ· ÙÔ ÙÛÈ̤ÓÙÔ Ô˘ ÚÔÛÙ¤ıËΠ¤¯ÂÈ fiÁÎÔ V2 – V1 = 4Ú2˘ – Ú2˘ = 3Ú2˘, Ô˘ Â›Ó·È Ú¿ÁÌ·ÙÈ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ˜ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ fiÁÎÔ˘ Ú2˘ Ù˘ ÎÔÏÒÓ·˜. ∂Ô̤ӈ˜ Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘ Ì˯·ÓÈÎÔ‡ Â›Ó·È ÛˆÛÙfi˜.

˘

Ú

Ú

31

030-032

3-11-06

00:45

™ÂÏ›‰·32

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§) ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) ∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· ÔÌÔ›ˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ. ‚) ∏ ‰È·ÊÔÚ¿ ‰‡Ô ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ. Á) ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ. ‰) ∆Ô ËÏ›ÎÔ ‰‡Ô ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ.

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: ·) –5x2 + 2x2 = .......... ‚) –5x2 2x3 = .......... ‰) 4x2y – yx2 = .......... Â) 2xy y2 = .......... –12x3 y 4x2 ˙) 5x4ˆ3 (.....) = –10x6ˆ4 Ë) = ........ y

Á) 3x – 2y + 2x = .......... ÛÙ) 6x3y : 3xy = .......... ı) 3x2y – ..... = –4x2y

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

N· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: ·) –7x2y + 4x2y ‚) 4·x2 – 6·x2 + ·x2 Á) 6x3 – 9 x3 2 ‰) 0,25·‚ – 0,35·‚ + 0,5·‚ Â) 2 xy2ˆ4 – 1,2xy2ˆ4 ÛÙ) –3 2x2 + 4 2x2 – 2x2 5 N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: ·) –3x 5x2 ‚) 6x2 3 x3 Á) 2xy3 (–3x2y) ‰) –3x2y (–2xy4ˆ) 4 Â) – 1 ·‚3 4·‚3 3

3

ÛÙ) 4 x3·2 – 1 x·3 3 4

(

¡· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: 2 ·) – 1 x2y (6xy3) 3

(

)

(

) ( ) ÛÙ) (0,5· ‚ ) : (– 7 · ‚ ) Â) (–x · ˆ) : (– 1 x ·) 4 10 3

(

4

2

‚) (–2x2y3)3 : (–8x3y4)

3 7

2 2

Á) (–2xy4ˆ3)2 (–x2y)3

y

x

x x

y

y

2x

x

x x

x

x

¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Ú¿ÛÈÓÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ Î›ÙÚÈÓˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ.

2x ∞

2x

∂

B y

¢

32

)

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ¶ÔȘ ·fi ÙȘ ÂÎÊÚ¿ÛÂȘ Ô˘ ‚ڋηÙÂ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘Ì·; Á) ·) ‚) ‰) y Â) x

6

)

Á) – 1 ·3‚5 : 6 ·2‚2 3 5

‚) 8x2y : (2xy2)

‰) (0,84x2ˆ5) : (–0,12xˆ3)

5

(

N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ Ëϛη: ·) 12·3 : (–3·)

4

˙) – 2 xy3 (–3x2ˆ) – 5 yˆ3 5 6

)

x

°

033-037

7-11-06

16:09

1. 3

™ÂÏ›‰·33

¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· – ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ∞Ê·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

✔ ✔

Mαθαίνω τι είναι πολυώνυµο, ποιος είναι ο βαθµός ενός πολυωνύµου και διακρίνω αν δύο πολυώνυµα είναι ίσα. Mαθαίνω να προσθέτω και να αφαιρώ πολυώνυµα.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤA 1. ¡· ÁÚ¿„ÂÙ ÙÚ›· fiÌÔÈ· ÌÔÓÒÓ˘Ì· Ì ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Î·È Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜. 2. ¡· ÁÚ¿„ÂÙ ÙÚ›· ÌÔÓÒÓ˘Ì· Ì ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ªÔÚ›Ù ÙÒÚ· Ó· ‚Ú›Ù ¤Ó· ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜;

3. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ‚·ıÌfi οı ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘ Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ÂÚÒÙËÛ˘, ˆ˜ ÚÔ˜ οı ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ Î·È ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜.

¶ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ›‰·ÌÂ, fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÔÌÔ›ˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ fiÌÔÈÔ Ì ·˘Ù¿. ∞Ó ‰‡Ô ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÌÔÓÒÓ˘Ì· ‰ÂÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÙfiÙ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ·ÏÏ¿ ÌÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, Ô˘ ϤÁÂÙ·È ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. .¯. 3x2y + 2xy4 – 5x3y3 K¿ı ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È Û ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ï¤ÁÂÙ·È fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘.

∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 3x2y + 2xy4 – 5x3y3 ¤¯ÂÈ ÙÚÂȘ fiÚÔ˘˜ Ô˘ Â›Ó·È Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· 3x2y, 2xy4, –5x3y3.

EȉÈÎfiÙÂÚ·, ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ fiÌÔÈÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ϤÁÂÙ·È ñ ‰ÈÒÓ˘ÌÔ, ·Ó ¤¯ÂÈ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ 3α 2 – 2β ñ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ, ·Ó ¤¯ÂÈ ÙÚÂȘ fiÚÔ˘˜. 2χ 2 – 3χ + 4 µ·ıÌfi˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ Ì›· ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ÙÔ˘, Â›Ó·È Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ˘˜ ‚·ıÌÔ‡˜ ÙˆÓ fiÚˆÓ ÙÔ˘.

∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 3x2y + 2xy4 – 5x3y3 Â›Ó·È 3Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ x, 4Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ y, 6Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ x Î·È y.

™˘ÌʈÓÔ‡ÌÂ, ·ÎfiÌ·, fiÙÈ Î¿ı ·ÚÈıÌfi˜ ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› Î·È ˆ˜ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, ÔfiÙ ϤÁÂÙ·È ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ. ∂ȉÈÎfiÙÂÚ·, Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ìˉ¤Ó ϤÁÂÙ·È ÌˉÂÓÈÎfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Î·È ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi, ÂÓÒ Î¿ı ¿ÏÏÔ ÛÙ·ıÂÚfi ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Â›Ó·È ÌˉÂÓÈÎÔ‡ ‚·ıÌÔ‡.

33

033-037

3-11-06

00:50

™ÂÏ›‰·34

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ –3x + 2x2 + 5 ¤¯ÂÈ Ì›· ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ ÙËÓ x Î·È ÁÈ· Û˘ÓÙÔÌ›· Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ƒ(x) ‹ Q(x) ‹ A(x) Î.Ù.Ï. ∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) = –3x + 2x2 + 5 Â›Ó·È ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Î·È ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ ÁÚ¿„Ô˘Ì ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ οı fiÚÔ˜ ÙÔ˘ Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ·fi ÙÔÓ ÂfiÌÂÓfi ÙÔ˘. ¢ËÏ·‰‹, ƒ(x) = 2x2 – 3x + 5. TfiÙÂ, ϤÌÂ, fiÙÈ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Î·Ù¿ ÙȘ Êı›ÓÔ˘Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ x. H ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ˘ ƒ(x) ÁÈ· x = 5, Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ƒ(5) Î·È Â›Ó·È: ƒ(5) = 2 52 – 3 5 + 5 = 50 – 15 + 5 = 40. ¢‡Ô ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Â›Ó·È ›Û·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó fiÚÔ˘˜ ›Û· ÌÔÓÒÓ˘Ì·.

∆· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· 3x2 – 5x + 1 Î·È ·x2 + ‚x + 1 Â›Ó·È ›Û·, ·Ó · = 3 Î·È ‚ = –5.

∞Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ ∞Ó Û ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ˘¿Ú¯Ô˘Ó fiÌÔÈ· ÌÔÓÒÓ˘Ì·, ‹ fiˆ˜ ϤÌ fiÌÔÈÔÈ fiÚÔÈ, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ˘˜ ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜. ∏ ÂÚÁ·Û›· ·˘Ù‹ ϤÁÂÙ·È · Ó · Á ˆ Á ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ .

2·2 – 3‚ + 4·2 – 5‚ = 2·2 + 4·2 – 3‚ – 5‚ = 6·2 – 8‚ ∏ ·Ú¯È΋ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, Ô˘ ›¯Â Ù¤ÛÛÂÚȘ fiÚÔ˘˜, Û˘ÌÙ‡¯ıËΠ̛۠· ¿ÏÏË Ì ‰‡Ô fiÚÔ˘˜.

¶ÚfiÛıÂÛË – ∞Ê·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ªÔÚԇ̠ӷ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ‹ Ó· ·Ê·ÈÚԇ̠ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙȘ ÁÓˆÛÙ¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ∞(x) = 3x3 – 2x2 – 7x – 5 Î·È µ(x) = 2x3 – x2 + x ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· ‹ ‰È·ÊÔÚ¿ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ˆ˜ ÂÍ‹˜: ∞(x) + B(x) = (3x3 – 2x2 – 7x – 5) + (2x3 – x2 + x) = (∞·Ï›ÊÔ˘Ì ÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ) = 3x3 – 2x2 – 7x – 5 + 2x3 – x2 + x = (∫¿ÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ) 3 2 = 5x – 3x – 6x – 5. √ÌÔ›ˆ˜, ¤¯Ô˘ÌÂ: ∞(x) – B(x) = (3x3 – 2x2 – 7x – 5) – (2x3 – x2 + x) = = 3x3 – 2x2 – 7x – 5 – 2x3 + x2 – x = = x3 – x2 – 8x – 5.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

34

·) ¡· ÁÚ·Ê› ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) = 4x 2 – 8x + ·x 3 – 5 ηٿ ÙȘ Êı›ÓÔ˘Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ x Î·È Ó· ‚ÚÂı› Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘. ‚) ∞Ó ÙÔ ƒ(x) Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Q(x) = ‚x 2 + Áx + ‰, ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·, ‚, Á, ‰;

033-037

7-11-06

16:10

™ÂÏ›‰·35

1.3 ¶oÏ˘ÒÓ˘Ì· – ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ∞Ê·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

Λύση ·) ∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) = 4x2 – 8x + ·x3 – 5, ηٿ ÙȘ Êı›ÓÔ˘Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ x ÁÚ¿ÊÂÙ·È ƒ(x) = ·x3 + 4x2 – 8x – 5. To P(x) Â›Ó·È ÙÚ›ÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡, ·Ó · 0 Î·È ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡, ·Ó · = 0. ‚) ∆· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ƒ(x) = ·x3 + 4x2 – 8x – 5 Î·È Q(x) = ‚x2 + Áx + ‰ Â›Ó·È ›Û·, ·Ó · = 0, ‚ = 4, Á = –8 Î·È ‰ = –5.

2

ªÈ· ‚ÈÔÙ¯ӛ· ÚÔ‡¯ˆÓ ÁÈ· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÈ x Ô˘Î¿ÌÈÛ· Íԉ‡ÂÈ ËÌÂÚËÛ›ˆ˜ 500 C Á È · Ì È Û ı Ô ‡ ˜ ˘  · Ï Ï ‹ Ï ˆ Ó , 1 0 C Á È · Ù · ˘ Ï È Î ¿  Ô ˘ ·  · È Ù Â › Î ¿ ı   Ô ˘ Î ¿ Ì È Û Ô 1 2 (‡Ê·ÛÌ·, ÎψÛÙ¤˜, ...) Î·È x C ÁÈ· Ù· ˘fiÏÔÈ· ¤ÍÔ‰¿ Ù˘ (ÌÂÙ·ÊÔÚÈο, 10 ËÏÂÎÙÚÈÎfi Ú‡̷ ...). ¶fiÛ· Íԉ‡ÂÈ ËÌÂÚËÛ›ˆ˜ ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ x Ô˘Î·Ì›ÛˆÓ; ¶ÔÈ· ı· Â›Ó·È Ù· ¤ÍÔ‰· Ù˘ ‚ÈÔÙ¯ӛ·˜, ·Ó ηٷÛ΢¿ÛÂÈ 50 Ô˘Î¿ÌÈÛ·;

Λύση ∆· ¤ÍÔ‰· ÙˆÓ ˘ÏÈÎÒÓ ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÂÓfi˜ Ô˘Î¿ÌÈÛÔ˘ Â›Ó·È 10 C, ÔfiÙ ÁÈ· Ù· x Ô˘Î¿ÌÈÛ· Ù· ¤ÍÔ‰· ÙˆÓ ˘ÏÈÎÒÓ ı· Â›Ó·È 10x C. ∆Ô Û˘ÓÔÏÈÎfi ÔÛfi Û C, Ô˘ Íԉ‡ÂÈ ËÌÂÚËÛ›ˆ˜ Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· Â›Ó·È ƒ(x) = 1 x2 + 10x + 500 10 °È· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ 50 Ô˘Î¿ÌÈÛˆÓ Ù· ¤ÍÔ‰· ›ӷÈ: ƒ(50) = 1 502 + 10 50 + 500 = 1 2500 + 500 + 500 = 1250 C 10 10

3

∞Ó ƒ(x) = x 2 – 3x + 4, Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Q(x) = P(2x) – P(–x).

Λύση ∆o ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(2x) ÚÔ·ÙÂÈ, ·Ó ÛÙÔ ƒ(x) ı¤ÛÔ˘ÌÂ, fiÔ˘ x ÙÔ 2x, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: ƒ(2x) = (2x)2 – 3(2x) + 4 = 4x2 – 6x + 4 ∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(–x) ÚÔ·ÙÂÈ, ·Ó ÛÙÔ ƒ(x) ı¤ÛÔ˘ÌÂ, fiÔ˘ x ÙÔ –x, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: ƒ(–x) = (–x)2 – 3(–x) + 4 = x2 + 3x + 4. ÕÚ·: Q(x) = P(2x) – P(–x) = (4x2 – 6x + 4) – (x2 + 3x + 4) = = 4x2 – 6x + 4 – x2 – 3x – 4 = 3x2 – 9x

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¶ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·; ‚) 3x4 – 7x2 – 12 ·) 4x3 – 5x2 + 2x – 1 x Á) ‰) x3 + 2x2y – 2 x2y – 5xy + y2 + 1 x y2 + 3y3 3

2

¶ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Â›Ó·È 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ˆ˜ ÚÔ˜ x; ·) 7 – 3x – 2x2 ‚) 3x2 – 5x – 3x2 + 10 Á) 4x3 + x2 – 3x3 + 2x – x3 + 6 ‰) 2xy – 3y + 9

35

033-037

3-11-06

00:50

™ÂÏ›‰·36

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

3

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ı¤ÏÔÓÙ·˜ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Î·È ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ 4x3 – 8x2 + x + 7 Î·È x3 – 6x + 2 ¤ÁÚ·„ ÕıÚÔÈÛÌ· ¢È·ÊÔÚ¿ 2 3 4x – 8x2 + x + 7 4x – 8x + x + 7 + x3 – 6x + 2 + –x3 + 6x – 2 3 2 3 2 5x – 8x – 5x + 9 3x – 8x + 7x + 5 E›Ó·È ÛˆÛÙfi˜ Ô ÙÚfiÔ˜ Ô˘ ÂÊ¿ÚÌÔÛÂ; ¡· ÙÂÎÌËÚÈÒÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜. 3

4

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. ∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ÛÙÔ 2x2 + 5x + 7 ÁÈ· Ó· ‚Úԇ̠¿ıÚÔÈÛÌ· 8x2 + 4x – 5 Â›Ó·È ÙÔ: ·) 6x2 + x – 2 ‚) 10x2 + 9x + 2 Á) 6x2 – x – 12 ‰) –6x2 + x + 12.

5

T· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ∞(x), B(x) Î·È °(x) ¤¯Ô˘Ó ‚·ıÌÔ‡˜ 2, 3 Î·È 2 ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ·) ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ˘ ∞(x) + B(x). ‚) AÓ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ∞(x) + °(x) ‰ÂÓ Â›Ó·È ÙÔ ÌˉÂÓÈÎfi, ÙÈ ‚·ıÌfi ÌÔÚ› Ó· ¤¯ÂÈ;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

N· ÁÚ¿„ÂÙ ٷ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ηٿ ÙȘ Êı›ÓÔ˘Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ x. ·) P(x) = 3x – 5x2 + x4 + 10 + 2x3 ‚) Q(x) = –6x + 2x3 + 1 Á) A(x) = –3x2 + 7 + 2x3 + 7x ‰) µ(x) = x – x4 – 5

2

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ∞ = –2xy2 + y3 + 2x3 – xy2. ·) ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÔ˘ ÙÈÌ‹ ÁÈ· x = 2 Î·È y = –1. ‚) ¡· ÁÚ¿„ÂÙ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Î·Ù¿ ÙȘ Êı›ÓÔ˘Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ y. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ x Î·È y;

3

AÓ ƒ(x) = 2x2 + 2x – 9, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ƒ(–3) = ƒ(2) ‚) 3ƒ(1) + ƒ(3) = 0

4

∏ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÛÙ·‰›Ô˘ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi ‰‡Ô ËÌÈ΢ÎÏÈÎÔ‡˜ ‰›ÛÎÔ˘˜ Î·È ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, Ô˘ ¤¯ÂÈ Ì‹ÎÔ˜ 100 ̤ÙÚ· Î·È Ï¿ÙÔ˜ 2x ̤ÙÚ·. ·) ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘. ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘, ·Ó ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 60 ̤ÙÚ·.

36

100 m

2x

033-037

3-11-06

00:50

™ÂÏ›‰·37

1.3 ¶oÏ˘ÒÓ˘Ì· – ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È ∞Ê·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

5

N· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: ·) (2x2 – x) – (x3 – 5x2 + x – 1) Á) (2·2 – 3·‚) – (‚2 + 4·‚) – (·2 + ‚2) Â)

( 12 x

2

– 3 x + 1 – 1 x + x2 – 1 4 6 3

) (

)

‚) –3x2y – (2xy – yx2) + (3xy – y3) ‰) 2ˆ2 – 4ˆ – 3 – (ˆ2 + 5ˆ) ÛÙ) (0,4x3 + 2,3x2) + (3,6x3 – 0,3x2 + 4)

6

AÓ ∞(x) = 2x3 – x2 + x – 4, B(x) = –3x3 + 5x – 2 Î·È °(x) = 4x2 – 3x + 8, Ó· ‚Ú›Ù ٷ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·: ·) ∞(x) – B(x) ‚) ∞(x) + °(x) Á) °(x) – A(x) + B(x)

7

N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜: ·) (... ..... – 4x ... .....) + (x2 ... ..... + 4) = – 6x2 – 8x + 7 ‚) (–x3 ... ..... + 8) – (... ..... + x2 ... .....) = x3 – x2 + 5x + 9

8

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È Ì·ÁÈÎfi. (∆· ÙÚ›· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÔÚÈ˙ÔÓÙ›ˆ˜, ηı¤Ùˆ˜ Î·È ‰È·ÁˆÓ›ˆ˜ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ¿ıÚÔÈÛÌ·). 2x2+2x–3 7x2+3x– 4 9x2–3x+2 4x2+4x–5

9

AÓ P(x) = (–5x2 + 4x – 3) – (x2 – 2x + 1) + (3x2 + x) Î·È Q(x) = ·x2 + ‚x + Á, Ó· ‚Ú›Ù ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·, ‚, Á, ÒÛÙ ٷ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ƒ(x) Î·È Q(x) Ó· Â›Ó·È ›Û·.

10

ŒÓ·˜ Ô‰ËÏ¿Ù˘ ÍÂÎÈÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Î·È Û ¯ÚfiÓÔ t sec ηÙ‚·›ÓÂÈ ÙÔ ‰ÚfiÌÔ ∞µ Ì ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË · = 2 m/sec2. ŸÙ·Ó ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ, Û˘Ó¯›˙ÂÈ Ó· ÎÈÓÂ›Ù·È ÛÙÔ ‰ÚfiÌÔ µ° ÁÈ· 10 sec Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ Ù·¯‡ÙËÙ·. ∞ ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ô˘ ‰È‹Ó˘ÛÂ Ô Ô‰ËÏ¿Ù˘. ¶ÔÈ· ·fiÛÙ·ÛË ‰È‹Ó˘ÛÂ Ô Ô‰ËÏ¿Ù˘, ·Ó t = 5 sec;

µ

°

37

038-041

7-11-06

16:11

1.4

™ÂÏ›‰·38

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

Μαθαίνω να πολλαπλασιάζω: ✔ Μονώνυµο µε πολυώνυµο ✔ Πολυώνυµο µε πολυώνυµο

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ¡· ÁÚ¿„ÂÙ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·(‚ + Á) Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Î·È Ì ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË 3x2(2x3 + 6x).

2. ¡· ÁÚ¿„ÂÙ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ (· + ‚)(Á + ‰) Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Î·È Ì ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË (3x2y + 2y)(2x2 + 5).

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘ Ì ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ∆ËÓ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË 3x2(2x3 + 6x) Ô˘ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘ 3x2 Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 2x3 + 6x, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·, ÌÔÚԇ̠ӷ ÙË ÁÚ¿„Ô˘Ì 3x2(2x3 + 6x) = 3x2 2x3 + 3x2 6x = 6x5 + 18x3 ¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ: °È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ Ì ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ Ì οı fiÚÔ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Î·È ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ· Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó.

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Ì ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ∆ËÓ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË (3x2y + 2y)(2x2 + 5) Ô˘ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ 3x2y + 2y Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 2x2 + 5, Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·, ÌÔÚԇ̠ӷ ÙË ÁÚ¿„Ô˘Ì (3x2y + 2y)(2x2 + 5) = 3x2y 2x2 + 3x2y 5 + 2y 2x2 + 2y 5 = = 6x4y + 15x2y + 4x2y + 10y = 6x4y + 19x2y + 10y ¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ: °È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ, ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì οı fiÚÔ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Ì οı fiÚÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Î·È ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ· Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó. ŸÙ·Ó οÓÔ˘Ì ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ÌÔÓˆÓ‡ÌÔ˘ Ì ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‹ ‰‡Ô ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ, ϤÌ fiÙÈ ·Ó·Ù‡ÛÛÔ˘Ì ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ· ·˘Ù¿ Î·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘.

38

038-041

7-11-06

16:12

™ÂÏ›‰·39

1.4 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: ·) – 2 x 2 y x – 1 y – 3 3 3 2 Á) 4x(– 2x + 3x – 1) – 3x 2 (–2x + 5)

(

Λύση

)

‚) (2x 2 – 5x + 6)(x – 2) ‰) – 2 x 2 (x + 4)(x – 1)

·) – 2 x 2 y x – 1 y – 3 = – 2 x 3 y + 2 x 2 y 2 + 2x 2 y 3 3 3 9

(

)

‚) (2x2 – 5x + 6)(x – 2) = 2x3 – 4x2 – 5x2 + 10x + 6x – 12 = 2x3 – 9x2 + 16x – 12 Á) 4x(–2x2 + 3x – 1) – 3x2(–2x + 5) = –8x3 + 12x2 – 4x + 6x3 – 15x2 = –2x3 – 3x2 – 4x ‰) –2x2 (x + 4)(x – 1) = –2x2(x2 – x + 4x – 4) = –2x2(x2 + 3x – 4) = –2x4 – 6x3 + 8x2 ➤

O ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ‰‡Ô ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ fiˆ˜ Î·È Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ô ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÙÔ˘ (‚) ÂÚˆÙ‹Ì·ÙÔ˜ (2x2 – 5x + 6)(x – 2) Á›ÓÂÙ·È Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜:

2x2 – 5x + 6 x – 2 2 2 –2 (2x – 5x + 6) ± –4x + 10x – 12 2 3 x (2x – 5x + 6) ± + 2x – 5x2 + 6 x 2x3 – 9x2 + 16x – 12

x

y

x x

2

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È Ë ÚfiÛÔ„Ë ÌÈ·˜ fiÚÙ·˜, Ô˘ Â›Ó·È Î·Ù·Û΢·Ṳ̂ÓË ·fi ·ÏÔ˘Ì›ÓÈÔ. ∞Ó ¤Ó· ̤ÚÔ˜ Ù˘ fiÚÙ·˜ Â›Ó·È ‰È·ÎÔÛÌËÙÈÎfi Ù˙¿ÌÈ, Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ·ÏÔ˘ÌÈÓ›Ô˘, ÙÔ ÔÔ›Ô ··ÈÙÂ›Ù·È ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ÚfiÛԄ˘ Ù˘ fiÚÙ·˜.

x+10

2x

Λύση H fiÚÙ· ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ 2x + y Î·È 4x + 10, ÔfiÙ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ (2x + y)(4x + 10). ∆Ô ‰È·ÎÔÛÌËÙÈÎfi Ù˙¿ÌÈ ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ y Î·È x + 10, ÔfiÙ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ y(x + 10). ∂Ô̤ӈ˜, ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ·ÏÔ˘ÌÈÓ›Ô˘ Ô˘ ··ÈÙÂ›Ù·È ÁÈ· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ Ù˘ ÚfiÛԄ˘ Ù˘ fiÚÙ·˜ ›ӷÈ: (2x + y)(4x + 10) – y(x + 10) = 8x2 + 20x + 4xy + 10y – xy – 10y = = 8x2 + 20x + 3xy

39

038-041

3-11-06

00:54

™ÂÏ›‰·40

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞, ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ¿ Ù˘ ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞ ·.

x(x + 1)

‚.

(x + 1)(x – 1)

Á.

x(x – 1)

‰.

(x + 1)(1 + x)

Â.

(x + 1)(x + 2)

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

™Ù‹ÏË B x2 – x x2 + 1 x2 + 2x + 1 x2 + 2x + 3 x2 + x x2 + 3x + 2 x2 – 1

·

‚

Á

‰

Â

2

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§) ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) ∞Ó ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi 3 Î·È ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Q(x) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi 2, ÙfiÙ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) Q(x) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi 6. ‚) ∞Ó ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) Q(x) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi 7 Î·È ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi 3, ÙfiÙ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Q(x) ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi 4.

3

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿: ·) x(2x + .....) = ..... + 4x ‚) 3x2(..... – 2) = 3x 3 y – ..... Á) (x + 5)(..... + 3) = 2x2 + ..... + 10x + ..... ‰) (x2 + y)(x – .....) = ..... – x2 y 2 + ..... – y3

4

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. i) O fiÁÎÔ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÂÈ¤‰Ô˘ ›ӷÈ: ·) 3x + 1 ‚) x3 + 1 Á) x3 + x2 ‰) x3 + x ii) TÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÂÈ¤‰Ô˘ ›ӷÈ: ·) 6x2 + 4x + 1 ‚) 4x2 + 6x Á) 6x2 + 4x + 2 ‰) 6x2 + 4x

5

O ηıËÁËÙ‹˜ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ˙‹ÙËÛ ·fi ÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ó ÙËÓ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ∞µ°¢ Î·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ ¤‰ˆÛ·Ó ÙȘ ÂÍ‹˜ ··ÓÙ‹ÛÂȘ: ·) (x + 2)(x + 3) ‚) 2x 3x 2 Á) x + 6 ‰) x2 + 5x + 6 ¶ÔȤ˜ ·’ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜;

40

x

x x+1

¢

°

2

x ∞

x

3

µ

038-041

3-11-06

00:54

™ÂÏ›‰·41

1.4 ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

N· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: ·) –3x 2 y(–5x + 2y) Á) –5x(2x – 3) – 3x(2– 3x)

N· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: ·) (2· – 3‚)(–4· + 2‚) Á) 3x2(–2x + 3)(5 – x) Â) (2x2 – 3x – 4)(–3x2 + x)

‚) 4x(2x 2 – x + 2) – 8x ‰) 2xy(x2 – 3y2) – 4x(x 2 y – 2y 3)

‚) (x 2 – 2x + 4)(x + 2) – 8 ‰) (4 – 3x)(5 – 2x) – 6x(x – 4) ÛÙ) (3x2 – 2xy – 5y 2)(4y – x)

3

N· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: ·) (3x – 2)(x2 – x)(4x – 3) ‚) –2x(x2 – x + 1)(x – 2)– (x – 1)(2x – 3)(x + 2) Á) (–2x + y)(x2 – 3xy) – (3x – y)(4x + y)(–2x – 3y)

4

N· ·ԉ›ÍÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: ·) (x2 – 4x + 4)(x2 + 4x + 4) – x2(x2 – 8) – 16 = 0 ‚) (3· + 8‚)(‚ – ·) – (· + 2‚)(‚ – 3·) = 6‚2

5

∞Ó ƒ(x) = –2x2 + 5x – 3 Î·È Q(x) = 4x – 5, Ó· ‚Ú›Ù ٷ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·: ·) ƒ(x) Q(x) ‚) P(x) –3Q(x) + 11x – 12 Á) P(x) – 2 Q(x) + 3

6

∞Ó P(x) = 3x(–2x + 4)(x – 1) Î·È Q(x) = ·x3 + ‚x2 + Áx + ‰, Ó· ‚Ú›Ù ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·, ‚, Á, ‰, ÒÛÙ ٷ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ƒ(x) Î·È Q(x) Ó· Â›Ó·È ›Û·. x

7

8

¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. y

x 2x y

y

ŒÓ· ÔÈÎfiÂ‰Ô ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì Ï¿ÙÔ˜ x ̤ÙÚ· Î·È Ì ̋ÎÔ˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ ηٿ 5 ̤ÙÚ·. ∞Ó ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÏ·ÙÙˆı› ηٿ 3 ̤ÙÚ· Î·È ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÂÏ·ÙÙˆı› ηٿ 1 ̤ÙÚÔ, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ı· ÌÂȈı› ηٿ 4x + 2 ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈο ̤ÙÚ·.

41

042-052

3-11-06

00:58

1. 5

™ÂÏ›‰·42

∞ÍÈÔÛËÌ›ˆÙ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜

✔ Θυµάµαι ποια ισότητα λέγεται ταυτότητα. ✔ Γνωρίζω ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες. ✔ Μαθαίνω να αποδεικνύω µια απλή ταυτότητα.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤA 1. ¶ÔȘ ·fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ 3x = 12, x + y = 7, 4· = 3· + ·, x(x + 2) = x2 + 2x, ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÁÈ· fiϘ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÙÔ˘˜; x

x

2. ·) ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ÂÌ‚·‰fiÓ ÙˆÓ Ú¿ÛÈÓˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. ‚) ¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ΛÙÚÈÓÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘; i) x2 + 9 ii) (x + 3)2 iii) x2 + 6x iv) 6x + 9 Á) N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ÂÌ‚·‰fiÓ ÙˆÓ Ú¿ÛÈÓˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ΛÙÚÈÓÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

3 3

x 3

3

x x

3

x

3

Y¿Ú¯Ô˘Ó ÈÛfiÙËÙ˜ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Î·È ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÁÈ· ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÙÔ˘˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ÈÛfiÙËÙ· 3x = 12, ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· x = 4 Î·È ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· ηÌÈ¿ ¿ÏÏË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x. OÌÔ›ˆ˜, Ë ÈÛfiÙËÙ· x + y = 7, ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· x = 1 Î·È y = 6, ‹ ÁÈ· x = 3 Î·È y = 4, ÂÓÒ ‰ÂÓ ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· x = 4 Î·È y = 5. Y¿Ú¯Ô˘Ó fï˜ Î·È ÈÛfiÙËÙ˜, Ô˘ ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÁÈ· fiϘ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÙÔ˘˜ fiˆ˜ ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÔÈ ÈÛfiÙËÙ˜: · + ‚ = ‚ + ·, 4· = 3· + ·, x(x + 2) = x2 + 2x. √È ÈÛfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ ϤÁÔÓÙ·È Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ .

Γενικά ∆·˘ÙfiÙËÙ· ϤÁÂÙ·È Î¿ı ÈÛfiÙËÙ· Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Î·È ·ÏËı‡ÂÈ ÁÈ· fiϘ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ Ù˘ . T·˘ÙfiÙËÙ˜ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏϤ˜, ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·fi ·˘Ù¤˜ ÙȘ Û˘Ó·ÓÙ¿Ì Ôχ Û˘¯Ó¿ Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ·Í›˙ÂÈ Ó· ÙȘ ı˘ÌfiÌ·ÛÙÂ. ∞ÍÈÔÛËÌ›ˆÙ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ›ӷÈ:

42

3-11-06

00:58

™ÂÏ›‰·43

1.5 AÍÈÔÛËÌ›ˆÙ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜

·) ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ∞Ó ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË (· + ‚)2 ÙË ÁÚ¿„Ô˘Ì (· + ‚)(· + ‚) Î·È ‚Úԇ̠ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘, ¤¯Ô˘ÌÂ: (· + ‚)2 = (· + ‚)(· + ‚) = = ·2 + ·‚ + ‚· + ‚2 = = ·2 + 2·‚ + ‚2 ∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ·

(· + ‚) 2 = · 2 + 2·‚ + ‚ 2

∆Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ÈÛfiÙËÙ·˜ ϤÁÂÙ·È ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (· + ‚)2. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (y + 4)2 ÚÔ·ÙÂÈ, ·Ó ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù·˘ÙfiÙËÙ· ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ · Ì ÙÔ y Î·È ÙÔ ‚ Ì ÙÔ 4, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: (y + 4)2 = y2 + 2 y 4 + 42 = y2 + 8y + 16. H ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù·˘ÙfiÙËÙ·, fiˆ˜ Î·È fiϘ ÔÈ ÂfiÌÂÓ˜, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î·È fiÙ·Ó Ù· ·, ‚ Â›Ó·È ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ, .¯.

±

(· + ‚)2 = ·2 +

±

±

±

±

(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2 2x 3y + (3y)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 2·‚

+ ‚2

‚) ∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ‰È·ÊÔÚ¿˜ ∞Ó ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË (· – ‚)2 ÙË ÁÚ¿„Ô˘Ì (· – ‚)(· – ‚) Î·È ‚Úԇ̠ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ·ԉ›ÍÔ˘ÌÂ Î·È ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ·

Γεωµετρική ερµηνεία ∏ Ù·˘ÙfiÙËÙ· (· + ‚)2 = ·2 + 2·‚ + ‚2 ÁÈ· ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ · Î·È ‚ ÌÔÚ› Ó· ÂÚÌËÓ¢ı› Î·È ÁˆÌÂÙÚÈο. ∆Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞µ°¢ ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ · + ‚, ÔfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ›ӷÈ: ∂ = (· + ‚)2 (1) ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ fï˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∞µ°¢ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÎfiÌË ÎÈ ·Ó ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ٷ ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ ÙÔ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó. ¢ËÏ·‰‹ ∂ = ·2 + ·‚ + ·‚ + ‚2 2

∂ = · + 2·‚ + ‚

2

‹ (2)

∞fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) Î·È (2) (· + ‚) 2 = · 2 + 2·‚ + ‚ 2 .

(· – ‚)2 = ·2 –

±

¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ ¤¯Ô˘ÌÂ: (· – ‚)2 = (· – ‚)(· – ‚) = ·2 – ·‚ – ‚· + ‚2 = ·2 – 2·‚ + ‚2 °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (y – 4)2 ÚÔ·ÙÂÈ, ·Ó ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ · Ì ÙÔ y Î·È ÙÔ ‚ Ì ÙÔ 4, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: (y – 4)2 = y2 – 2 y 4 + 42 = y2 – 8y + 16 OÌÔ›ˆ˜, ÁÈ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (3x – 4y)2 ¤¯Ô˘ÌÂ: (3x – 4y)2 = (3x)2 – 2 (3x) (4y) + (4y)2 = 9x2 – 24xy + 16y2

±

‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ

±

(· – ‚) 2 = · 2 – 2·‚ + ‚ 2

± ±

042-052

2·‚

+ ‚2

∞

B

·

·2

·‚

‚

·‚

‚2

·

‚

¢

°

43

042-052

3-11-06

00:58

™ÂÏ›‰·44

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

Á) ∫ ‡ ‚ Ô ˜ · ı Ú Ô › Û Ì · Ù Ô ˜ – ‰ È · Ê Ô Ú ¿ ˜ ∞Ó ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË (· + ‚)3 ÙË ÁÚ¿„Ô˘Ì (· + ‚)(· + ‚)2 Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙÔÓ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi ÙÔ˘ · + ‚ Ì ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (· + ‚)2, ¤¯Ô˘ÌÂ: (· + ‚)3 = (· + ‚)(· + ‚)2 = = (· + ‚)(·2 + 2·‚ + ‚2) = = ·3 + 2·2‚ + ·‚2 + ·2‚ + 2·‚2 + ‚3 = = ·3 + 3·2‚ + 3·‚2 + ‚3 ∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ·

(· + ‚) 3 = · 3 + 3· 2 ‚ + 3·‚ 2 + ‚ 3

ªÂ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ·ԉ›ÍÔ˘ÌÂ Î·È ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· (· – ‚) 3 = · 3 – 3· 2 ‚ + 3·‚ 2 – ‚ 3 ™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ: ñ (x + 2)3 = x3 + 3 x2 2 + 3 x 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8 ñ (2x – 5)3 = (2x)3 – 3 (2x)2 5 + 3 (2x) 52 – 53 = 8x3 – 60x2 + 150x – 125.

‰) °ÈÓfiÌÂÓÔ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ Â› ‰È·ÊÔÚ¿ ∞Ó ‚Úԇ̠ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ (· + ‚)(· – ‚) ¤¯Ô˘ÌÂ: (· + ‚)(· – ‚) = ·2 – ·‚ + ‚· – ‚2 = ·2 – ‚2 ∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ·

(· + ‚)(· – ‚) = ·2 – ‚2

∏ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù·˘ÙfiÙËÙ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÁÈ· Ó· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÁÚ‹ÁÔÚ· ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ‰‡Ô ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Â› ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ¤¯Ô˘ÌÂ: ñ (x + 2)(x – 2) = x2 – 22 = x2 – 4 ñ (3· + 2‚)(3· – 2‚) = (3·)2 – (2‚)2 = 9·2 – 4‚2

Â) ¢È·ÊÔÚ¿ ·‚ˆÓ – ÕıÚÔÈÛÌ· ·‚ˆÓ ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË (· – ‚)(·2 + ·‚ + ‚2) ÁÚ¿ÊÂÙ·È: (· – ‚)(·2 + ·‚ + ‚2) = ·3 + ·2‚ + ·‚2 – ‚·2 – ·‚2 – ‚3 = ·3 – ‚3 ∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ·

(· – ‚)(· 2 + ·‚ + ‚ 2) = · 3 – ‚ 3

ªÂ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ·ԉ›ÍÔ˘ÌÂ Î·È ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· (· + ‚)(· 2 – ·‚ + ‚ 2) = · 3 + ‚ 3 √È ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÁÈ· Ó· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÁÚ‹ÁÔÚ· ÁÈÓfiÌÂÓ· ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÌÔÚʤ˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ¤¯Ô˘ÌÂ: ñ (x – 2)(x2 + 2x + 4) = (x – 2)(x2 + 2x + 22) = x3 – 23 = x3 – 8 ñ (x + 3)(x2 – 3x + 9) = (x + 3)(x2 – 3x + 32) = x3 + 33 = x3 + 27 44

042-052

3-11-06

00:58

™ÂÏ›‰·45

1.5 AÍÈÔÛËÌ›ˆÙ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

·) ¡· ·Ô‰Âȯı› Ë Ù·˘ÙfiÙËÙ· (· + ‚ + Á) 2 = · 2 + ‚ 2 + Á 2 + 2·‚ + 2‚Á + 2Á·. ‚) ¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (3x + 2y + 4) 2.

Λύση

·

‚

Á

·2

·‚

·Á

·

·‚

‚2

‚Á

‚

·Á

‚Á

Á2

Á

2

·) (· + ‚ + Á) = (· + ‚ + Á)(· + ‚ + Á) = = ·2 + ·‚ + ·Á + ‚· + ‚2 + ‚Á + Á· + Á‚ + Á2 = = ·2 + ‚2 + Á2 + 2·‚ + 2‚Á + 2Á·. ‚) ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù·˘ÙfiÙËÙ·, ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (3x + 2y + 4)2 ›ӷÈ: (3x + 2y + 4)2 = = (3x)2+(2y)2+42+2 3 x 2y+2 2y 4+2 3x 4 = = 9x2 + 4y2 + 16 + 12xy + 16y + 24x.

(·+‚+Á)2 = ·2+‚2+Á2+2·‚+2‚Á+2Á·

2

·) ¡· ·Ô‰ÂȯıÔ‡Ó ÔÈ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ·2 + ‚ 2 = (· + ‚) 2 – 2·‚ Î·È · 3 + ‚ 3 = (· + ‚) 3 – 3·‚(· + ‚). 2 4 8 ‚) ∞Ó x + = 3, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ x2 + 2 Î·È x3 + 3 . x x x

Λύση ·) ∫¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì¤ÏÔ˜ οı ٷ˘ÙfiÙËÙ·˜ Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ: (· + ‚)2 – 2·‚ = ·2 + 2·‚ + ‚2 – 2·‚ = ·2 + ‚2 (· + ‚)3 – 3·‚(· + ‚) = ·3 + 3·2‚ + 3·‚2 + ‚3 – 3·2‚ – 3·‚2 = ·3 + ‚3. ‚) ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË x2 +

4 2 ÁÚ¿ÊÂÙ·È x2 + x2 x

( )

2

Î·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ·

·2 + ‚2 = (· + ‚)2 – 2·‚ ¤¯Ô˘ÌÂ: 4 2 2 2 2 2 x2 + 2 = x2 + = x+ – 2x = 32 – 2 2 = 9 – 4 = 5. x x x x

( ) (

)

8 2 3 ÁÚ¿ÊÂÙ·È x3 + Î·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· 3 x x ·3 + ‚3 = (· + ‚)3 – 3·‚(· + ‚) ¤¯Ô˘ÌÂ: 8 2 3 2 3 2 2 x3 + 3 = x3 + = x+ – 3x x+ = 33 – 3 2 3 = 27 – 18 = 9 x x x x x

( )

H ·Ú¿ÛÙ·ÛË x3 +

( ) (

3

)

(

)

™Â ¤Ó· ÔÈÎfiÂ‰Ô Ô˘ ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ·, ·Ó ÌÂȈı› Ë Ì›· ‰È¿ÛÙ·Û‹ ÙÔ˘ ηٿ ‚ Î·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· Ë ¿ÏÏË ‰È¿ÛÙ·Û‹ ÙÔ˘ ·˘ÍËı› ηٿ ‚, fiÛÔ ı· ÌÂÙ·‚ÏËı› ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘;

Λύση To ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·2. ∞Ó ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ó ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ

45

042-052

3-11-06

00:58

™ÂÏ›‰·46

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô ·

‚

ÔÈÎfiÂ‰Ô ı· Á›ÓÂÈ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ · – ‚ Î·È · + ‚, ÔfiÙ ı· ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ (· – ‚)(· + ‚) = ·2 – ‚2. ¢ËÏ·‰‹, ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ·fi ÙÔ ·2 ı· Á›ÓÂÈ ·2 – ‚2, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ı· ÌÂȈı› ηٿ ‚2. ‚

4

2 Ô˘ ¤¯ÂÈ ¿ÚÚËÙÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ Û ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ 5 3 – ÎÏ¿ÛÌ· Ì ÚËÙfi ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. ¡· ÌÂÙ·ÙÚ·› ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ·

Λύση

°È· Ó· ÌÂÙ·ÙÚ·› Ô ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ Û ÚËÙfi ·ÚÈıÌfi ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô 5 , ÁÈ·Ù› (3 – 5 )(3 + 5 ) = 32 – ( 5 )2 = 9 – 5 = 4. fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Ì 3 + ∂Ô̤ӈ˜ 2 2(3 + 5) 2(3 + 5) 3 + 5 = = = . 5 4 2 3 – 5 )(3 + 5) (3 –

5

·) ¡· ·Ô‰Âȯı› Ë Ù·˘ÙfiÙËÙ· (Ó – 1)(Ó + 1) + 1 = Ó 2. ‚) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 2007 2009 + 1 Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÂÓfi˜ ·ÎÂÚ·›Ô˘ ·ÚÈıÌÔ‡, ÙÔÓ ÔÔ›Ô Î·È Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙÂ.

Λύση ·) (Ó – 1)(Ó + 1) + 1 = (Ó2 –12 ) + 1 = Ó2 – 1 + 1 = Ó2. ‚) ∞Ó Ó = 2008, ÙfiÙÂ Ó – 1 = 2007 Î·È Ó + 1 = 2009. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù·˘ÙfiÙËÙ· ¤¯Ô˘ÌÂ: 2007 2009 + 1 = (Ó – 1)(Ó + 1) + 1 = Ó2 = 20082. ÕÚ·, Ô ·ÚÈıÌfi˜ 2007 2009 + 1 Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ·ÎÂÚ·›Ô˘ 2008. ➤ √ÚÈṲ̂ÓÔÈ ·ÚÈıÌËÙÈÎÔ› ˘ÔÏÔÁÈÛÌÔ› Á›ÓÔÓÙ·È ÈÔ Û‡ÓÙÔÌ· Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ Ù·˘ÙÔÙ‹ÙˆÓ .¯. 99 101 = (100 – 1)(100 + 1) = 100 2 – 1 2 = 10000 – 1 = 9999 1032 = (100 + 3) 2 = 100 2 + 2 100 3 + 3 2 = 10609

6

¡· Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: ·) (2x – 3) 2 – 2(3x – 1)(3x + 1)

‚) (x – 2y) 3 – (x – y)(x 2 + xy + y 2).

Λύση

·) (2x – 3)2 – 2(3x – 1)(3x + 1) = (2x)2 – 2 2x 3 + 32 – 2 (3x)2 – 12 = = (4x2 – 12x + 9) – 2(9x2 – 1) = = 4x2 – 12x + 9 – 18x2 + 2 = –14x2 – 12x + 11 ‚) (x – 2y)3 – (x – y)(x2 + xy + y 2) = x 3 – 3 x2 2y + 3 x (2y)2 – (2y)3 – (x3 – y 3)= = x3 – 6x 2y + 12xy 2 – 8y3 – x3 + y3 = = –6x 2y + 12xy 2 – 7y3

46

042-052

3-11-06

00:58

™ÂÏ›‰·47

1.5 AÍÈÔÛËÌ›ˆÙ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜

7

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ (· 2 + ‚ 2)( x 2 + y 2) = (·x + ‚y) 2 + (·y – ‚x) 2 ( T·˘ÙfiÙËÙ· Lagrange) .

Λύση ∆Ô 1Ô Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Ù·˘ÙfiÙËÙ·˜ ÁÚ¿ÊÂÙ·È: (·2 + ‚2)(x2 + y2) = · 2 x 2 + · 2 y 2 + ‚ 2 x 2 + ‚ 2 y 2 ∆Ô 2Ô Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Ù·˘ÙfiÙËÙ·˜ ÁÚ¿ÊÂÙ·È: (·x + ‚y)2 + (·y – ‚x)2 = (·x)2 + 2(·x)(‚y) + (‚y)2 + (·y)2 – 2(·y)(‚x) + (‚x)2 = = · 2 x 2 + 2·‚xy + ‚ 2 y 2 + · 2 y 2 – 2·‚xy + ‚ 2 x 2 = = ·2x2 + ·2y2 + ‚2x2 + ‚2y2 ÕÚ· (·2 + ‚2)(x2 + y2) = (·x + ‚y)2 + (·y – ‚x)2.

ñ ñ

Ÿˆ˜ ›‰·Ì ÛÙ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÁÈ· Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ̛· Ù·˘ÙfiÙËÙ· ∞ = µ, ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÚÁ·ÛÙԇ̠ˆ˜ ÂÍ‹˜: •ÂÎÈÓ¿Ì ·fi ÙÔ ¤Ó· ̤ÏÔ˜ Ù˘ Ù·˘ÙfiÙËÙ·˜ Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì ÛÙÔ ¿ÏÏÔ (·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· 1, 2, 5) ‹ – ∫¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÛÙÔ 1Ô Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Ù·˘ÙfiÙËÙ·˜ Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì Û ̛· ÈÛfiÙËÙ· ∞ = ° . – ∫¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÛÙÔ 2Ô Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Ù·˘ÙfiÙËÙ·˜ Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÔ˘Ì Û ÌÈ· ÈÛfiÙËÙ· µ = °. ∞ÊÔ‡ ∞ = ° Î·È µ = ° Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ ∞ = µ (·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 7).

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1 2

3

¶ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ˜; ‰) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 ·) 0x = 0 ‚) x + y = 0 Á) ·2· = ·3

Â) ·‚ = 0

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. i) ∆Ô ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (x + ·)2 ›ӷÈ: ·) x2 + ·2 ‚) x2 – 2x· + ·2 Á) x2 + x· + ·2

‰) x2 + 2x· + ·2

ii) ∆Ô ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (2· + 1)2 ›ӷÈ: ·) 2·2 + 4· + 1 ‚) 4·2 + 1 Á) 4·2 + 4· + 1

‰) 4·2 + 2· + 1

iii) ∆Ô ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (y – 2)2 ›ӷÈ: ·) y2 – 2y + 4 ‚) y2 – 4 Á) y2 – 4y + 4

‰) y2 + 4y + 4

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) (x – y)2 = x2 – 2x(–y) + (–y)2 ‚) (–· + ‚)2 = ·2 – 2·‚ + ‚2 Á) (5ˆ + 4)2 = 25ˆ2 + 16 ‰) (3x – y)2 = 3x2 – 2 3x y + y2 47

042-052

3-11-06

00:58

™ÂÏ›‰·48

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

4

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. i) TÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (x + 1)3 ›ӷÈ: ·) x3 + 3 x 1 + 13

‚) x3 + 13

Á) x3 + 3 x2 1 + 3 x 12 + 13

‰) x3 + x2 1 + x 12 + 13

ii) TÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (‚ – 2)3 ›ӷÈ:

5

·) ‚3 – 3 ‚ 2 + 23

‚) ‚3 – 23

Á) ‚3 – ‚2 2 + ‚ 22 – 23

‰) ‚3 – 3 ‚2 2 + 3 ‚ 22 – 23

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™) ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) (x – y)3 = x3 – 3x2y – 3xy2 – y3 ‚) (2x + 3)3 = 2x3 + 3 2x2 3 + 3 2x 32 + 33 Á) (3x – 1)3 = (3x)3 – 3(3x)2 1 + 3(3x) 12 + 13 ‰) (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

6

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. i) TÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (y – 3)(y + 3) ›ӷÈ: ·) y 2 – 3

‚) 9 – y 2

Á) y 2 – 9

‰) 3 – y 2

ii) TÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (y + x)(x – y) ›ӷÈ: ·) y 2 – x2

‚) x2 – y 2

Á) (x – y)2

‰) x2 + y 2

iii) TÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (ˆ – 2·)(ˆ + 2·) ›ӷÈ: ·) ˆ2 – 2·2

‚) ˆ2 + 4·2 Á) 4·2 – ˆ2

‰) ˆ2 – 4·2

iv) TÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (5 – x)(52 + 5x + x2) ›ӷÈ: ·) 53 + x3

‚) x3 – 53

Á) 53 – x3

‰) 25 – x3

v) To ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (x + 2·)(x2 – 2·x + 4·2) ›ӷÈ: ·) x3 + 2·3

7

‚) x3 – (2·)3 Á) x3 – 2·3

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞, ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ¿ Ù˘ ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. · ‚ Á ‰  ÛÙ ™Ù‹ÏË ∞ ·. (x + y)(y – x) ‚. (x + y)2 Á. (y – x)2 ‰. (x – y)(x2 + xy + y2) Â. (x + y)(x2 – xy + y2) ÛÙ. (x – y)3

48

‰) x3 + 8·3

™Ù‹ÏË B 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

2

x x3 x3 y2 x2 x2 x3 x3

– 2xy + y 2 – y3 – 3x 2 y + 3xy 2 + y3 – x2 + 2xy + y2 – y2 + y3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y3

042-052

3-11-06

00:58

™ÂÏ›‰·49

1.5 AÍÈÔÛËÌ›ˆÙ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

N· ‚Ú›Ù ٷ ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù·: ·) (x + 2)2 ‚) (y + 5)2 Â) (3y + 2‚)2 ÛÙ) (x2 + 1)2 ı) (x + 2)2

2

È) ( x + y )2

N· ‚Ú›Ù ٷ ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù·: ·) (x – 3)2 ‚) (y – 5)2 Â) (3y – 2‚)2 ÛÙ) (x2 – 2)2 ı) (x – 3 )2

È) ( x – y )2

Á) (2ˆ + 1)2 ˙ ) ( y2 + y)2 1 2 È·) · + 2

‰) (Î + 2Ï)2 Ë) (2x2 + 3x)2 4 2 È‚) ˆ + ˆ

Á) (3ˆ – 1)2 ˙) (y2 – y)2 3 2 È·) · – 2

‰) (2Î – Ï)2 Ë) (2x2 – 5x)2 2 2 È‚) ˆ – ˆ

(

(

)

)

(

(

)

)

3

XÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ Î·Ù¿ÏÏËÏË Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) ( ‚) ( Á) ( ‰) (1 – 3 + 1)2 6 + 5)2 2 – 3)2 7)2

4

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: ·) (x ... .....)2 = ..... + ..... + 9 Á) (..... – .....)2 = 16x2 ... 8x· ... .....

5

6

¡· ‚Ú›Ù ٷ ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù·: ·) (x + 1)3 ‚) (y + 4)3 Â) (x2 + 3)3 ÛÙ) (y2 + y)3 ı) (3· – 1)3 È) (2x – 3y)3

‚) ( ..... ... 4)2 = y2 – ..... ... ..... ‰) (..... ... 2ˆ)2 = ..... – 4x2ˆ ... .....

Á) (2· + 1)3 ˙ ) (x – 2)3 È·) (y2 – 2)3

¡· ‚Ú›Ù ٷ ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù·: ·) (x – 1)(x + 1) ‚) (y – 2)(y + 2) ‰) (x + 4)(4 – x) Â) (x – y)(–x – y) ˙ ) (2x + 7y)(2x – 7y) Ë) (x – 2 )(x + 2)

‰) (3· + 2‚)3 Ë) (y – 5)3 È‚) (ˆ2 – 2ˆ)3

Á) (3 – ˆ)(3 + ˆ) ÛÙ) (–x + y)(–x – y) ı) ( x + y )( x – y)

7

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) = (x – 3)2 + (3x + 1)2 – 10(x – 1)(x + 1) Â›Ó·È ÛÙ·ıÂÚfi.

8

·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ (· – ‚)(· + ‚)(·2 + ‚2)(·4 + ‚4) = ·8 – ‚8. ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ: 9 11 101 10001.

9

¡· ÌÂÙ·ÙÚ¤„ÂÙ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ÚÚËÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜, Û ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Ì ÚËÙÔ‡˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜. 1 6 5 12 ·) ‚) Á) ‰) 3 + 2 5–1 7 – 3 2 3 + 6

49

042-052

3-11-06

00:58

™ÂÏ›‰·50

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

10

11

12

¡· ‚Ú›Ù ٷ ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù·: ·) (x – 3)(x2 + 3x + 9) Á) (2ˆ + 1)(4ˆ2 – 2ˆ + 1)

‚) (y + 2)(y 2 – 2y + 4) ‰) (1 – ·)(1 + · + ·2)

¡· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: ·) (x – 4)2 + (2x + 5)2 Á) (x + y)2 – (x – 2y)(x + 2y) + (2x – y)2 Â) (2· + 1)3 + (2· – 1)3 ÛÙ) 2 3 2 3 ˙) (· + ·) – (· – ·) Ë)

‚) (x2 – 1)2 – (x2 – 3)(x2 + 3) ‰) (3x – 4)2 + (3x + 4)2 – 2(3x – 4)(3x + 4) (· + 2)3 – (· + 2)(·2 – 2· + 4) (4· – 1)3 – ·(8· + 1)(8· – 1)

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) (x – 2y)2 – (2x – y)2 + 3x2 = 3y2 ‚) (· – 3‚)2 + (3· + 2‚)(3· – 2‚) – (3· – ‚)2 = ·2 + 4‚2 Á) (x – 1)(x + 1)3 – 2x(x – 1)(x + 1) = x4 – 1 ‰) (·2 + ‚2)2 – (2·‚)2 = (·2 – ‚2)2 Â) (· – 4)2 + (2· – 3)2 = ·2 + (2· – 5)2 ÛÙ) (2x2 + 2x)2 + (2x + 1)2 = (2x2 + 2x + 1)2

13

AÓ x = 3 + 5 Î·È y = 3 – 5, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 2 2 ·) xy ‚) x – y Á) x2 + y2 ‰) x3 + y3

14

5 ·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ · + ·

) – (· – ·5 ) = 20 1 1 ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x = (2005 + – (2005 – 401 ) 401 ) (

2

2

2

15

16

17

50

AÓ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Î·È ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ µ°¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.

2

¢ 1 °

5x+2

ñ ñ ñ ñ

™ÎÂÊÙ›Ù ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó. µÚ›Ù ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·Ùfi˜ ÙÔ˘˜. 3x+2 µÚ›Ù ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ù˘ ‰È·ÊÔÚ¿˜ ÙÔ˘˜. ∞Ê·ÈÚ¤ÛÙ ·fi ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÙÔ ∞ µ 4x+1 ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ù˘ ‰È·ÊÔÚ¿˜. ñ ¢È·ÈÚ¤ÛÙ ÙÔ ÙÂÏÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ·Ú¯Èο ÛÎÂÊًηÙÂ. ñ ∆Ô ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ô˘ ‚ڋηÙÂ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 4 ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ÂÈϤͷÙÂ. ªÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ÂÍËÁ‹ÛÂÙÂ; ‚2 + Á2 – (‚ – Á)2 . 2 ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ô˘ ¤¯ÂÈ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· 10 cm, Î·È ÔÈ Î¿ıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó Î·Ù¿ 2 cm. ·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ‚Á =

042-052

3-11-06

00:58

™ÂÏ›‰·51

1.5 AÍÈÔÛËÌ›ˆÙ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜

18

ŒÓ·˜ ·Ù¤Ú·˜ ÌÔ›Ú·Û ¤Ó· ÔÈÎfiÂ‰Ô ÛÙ· ‰‡Ô ·È‰È¿ ÙÔ˘, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·. ∆· ‰‡Ô ÔÈÎfi‰· ›¯·Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ‹ οÔÈÔ ·fi Ù· ·È‰È¿ ·‰È΋ıËÎÂ; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

·+‚

·

·

‚ ‚

Το τρίγωνο του Πασκάλ και το ανάπτυγµα των δυνάµεων του α + β 1 (·+‚)0= 1 1 1 1· + 1‚ (·+‚) = 2 2 1· + 2·‚ + 1‚2 1 2 1 (·+‚) = 1‚ 3 1 3 3 1 1·3 + 3·2‚ + 3·‚2 +1 (·+‚)3= 1‚ 4 1 4 6 4 1 1·4+ 4·3‚ + 6·2‚2 + 4·‚3 +1 (·+‚)4= 1 1 (·+‚)5= .... + .... + .... + .... + .... + .... 1 1 (·+‚)6= .... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... ... .... .... ... 1

¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙ ٷ ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù· ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ · + ‚. 1. √È ·ÓÙ›ÛÙÔȯÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Û οı ·Ó¿Ù˘ÁÌ· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ÁÚ·ÌÌ‹ Û’ ¤Ó· ·ÚÈıÌËÙÈÎfi ÙÚ›ÁˆÓÔ, Ô˘ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi ˆ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ¶·ÛÎ¿Ï . ∆Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi ‹Ú ÙÔ fiÓÔÌ¿ ÙÔ˘ ·fi ÙÔÓ °¿ÏÏÔ Ì·ıËÌ·ÙÈÎfi Blaise Pascal (1623 - 1662) Î·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÙÔ˘ ÎÚ‡‚Ô˘Ó ÔÏϤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜. √ ÚÒÙÔ˜ Î·È Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˜ ·ÚÈıÌfi˜ οı ÛÂÈÚ¿˜ Â›Ó·È 1. ªÔÚ›Ù ӷ ·Ó·Î·Ï‡„ÂÙ Ì ÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ˘fiÏÔÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› οı ÛÂÈÚ¿˜; 2. ™˘Ó¯›ÛÙ ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ‚Ú›Ù ٷ ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù· (· + ‚)5 Î·È (· + ‚)6, ·ÊÔ‡ ÚÒÙ· ·Ó·Î·Ï‡„ÂÙ Ì ÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ÔÈ ‰˘Ó¿ÌÂȘ ÙÔ˘ · Î·È ÙÔ˘ ‚ Û οı ·Ó¿Ù˘ÁÌ·. 3. ¡· ‚Ú›ÙÂ Î·È ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ (· – ‚)6, ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂÙ fiÙÈ Î·È Ù· ·Ó·Ù‡ÁÌ·Ù· ÙˆÓ ‰˘Ó¿ÌÂˆÓ Ù˘ ‰È·ÊÔÚ¿˜ · – ‚ ÚÔ·ÙÔ˘Ó Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙÚfiÔ, ÌfiÓÔ Ô˘ ı¤ÙÔ˘Ì ٷ ÚfiÛËÌ· ÂÓ·ÏÏ¿Í, ·Ú¯›˙ÔÓÙ·˜ ·fi +. .¯. (· – ‚)2 = ·2 – 2·‚ + ‚2, (· – ‚)3 = ·3 – 3·2‚ + 3·‚2 – ‚3 4. ªÔÚ›Ù ӷ ‚Ú›Ù ÔȘ ¿ÏϘ ȉÈfiÙËÙ˜ ÎÚ‡‚Ô˘Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ¶·ÛοÏ;

51

042-052

3-11-06

00:59

™ÂÏ›‰·52

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ ∆∏¡ π™∆√ƒπ∞ ∆ø¡ ª∞£∏ª∞∆π∫ø¡ ¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ AÓ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·, ‚, Á ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ fiˆ˜ ÁÓˆÚ›˙Ô˘ÌÂ, ÈÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ·2 = ‚2 + Á2 (1) ¶fiÛ· fï˜ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ÌÔÚԇ̠ӷ ‚Úԇ̠Ô˘ Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘˜ ÂÎÊÚ¿˙ÔÓÙ·È Ì ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜; ªÈ· ÙÚÈ¿‰· ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·, ‚, Á, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË (1), ϤÌ fiÙÈ ·ÔÙÂÏ› ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÙÚÈ¿‰·. ∆ËÓ ·ÏÔ‡ÛÙÂÚË ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÙÚÈ¿‰· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 5, 4, 3 ·ÊÔ‡ 52 = 42 + 32. ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ À¿Ú¯Ô˘Ó, ¿Ú·ÁÂ, ÙÚfiÔÈ Ó· Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜; √ ¶˘ı·ÁfiÚ·˜ (6Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ .Ã.) ÁÓÒÚÈ˙ fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ Ì2 + 1 Ì2 – 1 , , Ì, fiÔ˘ Ì ÂÚÈÙÙfi˜ (Ì = 3, 5, 7, ...) 2 2 Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÙÚÈ¿‰·. ·) ªÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ·ԉ›ÍÂÙÂ; ‚) ¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔ˘ ¶˘ı·ÁfiÚ·.

¶Ï¿ÙˆÓ·˜

E˘ÎÏ›‰Ë˜

√ ¶Ï¿ÙˆÓ·˜ (5Ô˜ – 4Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ .Ã.) ÁÓÒÚÈ˙ fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ Ì2 Ì2 – 1, Ì, fiÔ˘ Ì ¿ÚÙÈÔ˜ (Ì = 4, 6, 8, ...) + 1, 4 4 Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÌÈ· ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÙÚÈ¿‰·. ·) ªÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ·ԉ›ÍÂÙÂ; ‚) ¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔ˘ ¶Ï¿ÙˆÓ·. O ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˜ (3Ô˜ ·ÈÒÓ·˜ Ì.Ã.) ÛÙËÚÈ˙fiÌÂÓÔ˜ Û ̛· Ù·˘ÙfiÙËÙ· ÙËÓ ÔÔ›· ÁÓÒÚÈ˙Â Î·È Ô ∂˘ÎÏ›‰Ë˜, ¤‰ˆÛ ÌÈ· ÁÂÓÈÎfiÙÂÚË Ï‡ÛË ÛÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ηٷÛ΢‹˜ ¶˘ı·ÁÔÚ›ˆÓ ÙÚÈ¿‰ˆÓ ·fi ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (¿ÚÙÈÔ˘˜ ‹ ÂÚÈÙÙÔ‡˜). ∞Ó·Î¿Ï˘„ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ Ï2 + Ì2, Ï2 – Ì2, 2ÏÌ, fiÔ˘ Ï, Ì ıÂÙÈÎÔ› ¿ÓÈÛÔÈ ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ›, Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ¶˘ı·ÁfiÚÂÈ· ÙÚÈ¿‰·. ·) ªÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ·ԉ›ÍÂÙÂ; ‚) ¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ¶˘ı·ÁfiÚÂȘ ÙÚÈ¿‰Â˜ Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔ˘ ¢ÈfiÊ·ÓÙÔ˘.

∆ΙΑΘΕΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕ∆ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΘΕΜΑ:

∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢

ñ ¢ÈÂÚ‡ÓËÛË ÙÔ˘ ÚfiÏÔ˘ Ù˘ ·fi‰ÂÈ͢ ÛÙËÓ Î·ıËÌÂÚÈÓ‹ ˙ˆ‹ (‰ÈηÛÙ‹ÚÈÔ, ÂÌÔÚÈΤ˜ Û˘Ó·ÏÏ·Á¤˜ Î.Ù.Ï.) ñ ∏ ·fi‰ÂÈÍË ÛÙ· ª·ıËÌ·ÙÈο Î·È ÛÙȘ ¿ÏϘ ÂÈÛً̘ (¢ı›· ·fi‰ÂÈÍË, ··ÁˆÁ‹ Û ¿ÙÔÔ Î.Ù.Ï.). 52

053-062

3-11-06

01:05

1. 6

™ÂÏ›‰·53

¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

✔ Μαθαίνω να µετατρέπω µια αλγεβρική παράσταση σε γινόµενο παραγόντων

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ¡· Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: ·) 7,32 25 + 7,32 75

‚) 347

7 1 – 347 6 6

R=32,50 m

2. ™Â ÌÈ· ΢ÎÏÈ΋ Ï·Ù›· ·ÎÙ›Ó·˜ R = 32,50 m ηٷÛ΢¿ÛÙËΠ¤Ó· ΢ÎÏÈÎfi Û˘ÓÙÚÈ‚¿ÓÈ ·ÎÙ›Ó·˜ Ú = 7,50 m. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ Ï·Ù›·˜ Ô˘ ·¤ÌÂÈÓ ÌÂÙ¿ ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÙÔ˘ Û˘ÓÙÚÈ‚·ÓÈÔ‡.

Ú=7,50 m

¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜, ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÂÓfi˜ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜, ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘, ÌÈ·˜ ·Ó›ÛˆÛ˘ ‹ ÁÈ· ÙËÓ ·ÏÔÔ›ËÛË ÂÓfi˜ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜, Â›Ó·È ¯Ú‹ÛÈÌÔ Ó· ÌÂÙ·ÙÚ·› Ì›· ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·fi ¿ıÚÔÈÛÌ· Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ. ∏ ‰È·‰Èηۛ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ÌÈ· ·Ú¿ÛÙ·ÛË, Ô˘ Â›Ó·È ¿ıÚÔÈÛÌ·, ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ, ϤÁÂÙ·È ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË . °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË R2 – Ú2 Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋˜ ȉÈfiÙËÙ·˜ ÁÚ¿ÊÂÙ·È (R2 – Ú2) Î·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· (R + Ú)(R – Ú) = R2 – Ú2, ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÂÍ‹˜:

πR 2 – πρ 2 = π(R 2 – ρ 2 ) = π(R + ρ)(R – ρ) ™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË (R + Ú)(R – Ú) ‰ÂÓ Âȉ¤¯ÂÙ·È ÂÚ·ÈÙ¤Úˆ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ϤÌ fiÙÈ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ¤¯ÂÈ ·Ó·Ï˘ı› Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ . ™ÙÔ ÂÍ‹˜, fiÙ·Ó Ï¤Ì fiÙÈ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈԇ̛̠· ·Ú¿ÛÙ·ÛË, ı· ÂÓÓԇ̠fiÙÈ ÙËÓ ·Ó·Ï‡Ô˘Ì Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ı· ‰Ô‡Ì ÙȘ ÈÔ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘ ÌÈ·˜ ·ÏÁ‚ÚÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘.

53

053-062

3-11-06

01:05

™ÂÏ›‰·54

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

·) ∫ÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜

παραγοντοποιούµε

∞Ó fiÏÔÈ ÔÈ fiÚÔÈ ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·, ÙfiÙÂ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ ÂÈÌÂÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·.

3α + 3β – 3γ =

3(α + β – γ)

αναπτύσσουµε

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ 3· + 3‚ – 3Á ˘¿Ú¯ÂÈ ÎÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ 3, ÔfiÙÂ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÂÍ‹˜:

3α + 3β – 3γ = 3(α + β – γ). √ÌÔ›ˆ˜ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË 2·2 – 2·‚ + 2·, ÁÚ¿ÊÂÙ·È 2· · – 2· ‚ + 2· 1, ÔfiÙ Û fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÎÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ 2· . ∫¿ı fiÚÔ˜ ̤۷ ÛÙËÓ ·Ú¤ÓıÂÛË Â›Ó·È ÙÔ ÕÚ·, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ËÏ›ÎÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ fiÚˆÓ ˆ˜ ÂÍ‹˜: Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ì ÙÔÓ ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·: 2·2 =· 2·

2α2 – 2αβ + 2α = 2α(α – β + 1).

(2· 2 ) : ( 2 · ) =

™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, ϤÌ fiÙÈ «‚Á¿˙Ô˘Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 2·».

(2·‚) : (2·) =

2·‚ =‚ 2·

(2·) : (2·) =

2· =1 2·

Παραδείγìατα N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 12x 2 y – 30xy 2 + 6 x 2 y 2 ‚) ·(ˆ – x) + 3‚(x – ˆ)

Á) 3(2x – 1) + x(4x – 2)

Λύση ·) ™Â fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ˘¿Ú¯ÂÈ ÎÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ 6xy,ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:

12x 2 y – 30xy 2 + 6x 2 y 2 = = 6xy(2x – 5y + xy)

‚) ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜, ÙÔ˘˜ ·(ˆ – x) Î·È 3‚(x – ˆ). °È· Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔÓ ˆ – x, ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ fiÚÔ Ù˘ ÙÔÓ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì –3‚(ˆ – x), ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:

·(ˆ – x) + 3‚(x – ˆ) = = ·(ˆ – x) – 3‚(ˆ – x) = = (ˆ – x)(· – 3‚)

Á) AÓ ·fi ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ fiÚÔ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ‚Á¿ÏÔ˘Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 2, ÙfiÙ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 2x – 1, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:

3(2x – 1) + x(4x – 2) = = 3(2x – 1) + 2x(2x – 1)= = (2x – 1)(3 + 2x)

‚) ∫ÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ηٿ ÔÌ¿‰Â˜ (√Ì·‰ÔÔ›ËÛË) ™ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·x + ·y + 2x + 2y, ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÎÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ Û fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘. ∞Ó fï˜ ‚Á¿ÏÔ˘Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·, ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ÚÒÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÙÔ · ηÈ

54

053-062

3-11-06

01:05

™ÂÏ›‰·55

1.6 ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ Î·Ù·ÛÙ¿ÛˆÓ

·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô˘˜ ÙÔ 2, ÙfiÙ ۯËÌ·Ù›˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô fiÚÔÈ Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔÓ x + y. ŒÙÛÈ, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÂÍ‹˜:

αx + αy + 2x + 2y = α(x + y) + 2(x + y) = (x + y) (α + 2) TËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÔÚԇ̠ӷ ÙË ¯ˆÚ›ÛÔ˘ÌÂ Î·È Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ÔÌ¿‰Â˜ . ∆Ô ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· fï˜ Ù˘ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛ˘ Â›Ó·È Î·È ¿ÏÈ ÙÔ ›‰ÈÔ. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ¤¯Ô˘ÌÂ:

αx + αy + 2x + 2y = χ(α + 2) + y(α + 2) = (α + 2) (x + y)

Παραδείγìατα N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ‚) ·‚ – 3· – 3‚ + 9 ·) 3x 3 – 12x 2 + 5x – 20

Á) 3x 2 + 5xy + 2y 2

Λύση ·) 3x3 – 12x2 + 5x – 20 = 3x2(x – 4) + 5(x – 4) = (x – 4)(3x2 + 5) ‚) ·‚ – 3· – 3‚ + 9 = ·(‚ – 3) – 3(‚ – 3) = (‚ – 3)(· – 3) Á) 3x2 + 5xy + 2y2 = 3x2 + 3xy + 2xy + 2y2 = = 3x(x + y) + 2y(x + y) = = (x + y)(3x + 2y).

MÂÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î·Ù¿ ÔÌ¿‰Â˜, ·Ó ‰È·Û¿ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ¤Ó·Ó ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ .¯. 5xy = 3xy + 2xy

Á) ¢È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ∞Ó ÂÓ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ì ٷ ̤ÏË Ù˘ Ù·˘ÙfiÙËÙ·˜ (· + ‚)(· – ‚) = ·2 – ‚2, ÙfiÙ ÁÚ¿ÊÂÙ·È Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜:

·2 – ‚2 = (· + ‚)(· – ‚)

™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· ·˘Ù‹, ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ, .¯. α 2 – 9 = α 2 – 3 2 = (α + 3) (α – 3).

Παραδείγìατα N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 4‚ 2 – 25

‚) (3x – 1) 2 – 81

Á) · 2 – 7.

Λύση ·) 4‚2 – 25 = (2‚)2 – 52 = (2‚ + 5)(2‚ – 5) ‚) (3x – 1)2 – 81 = (3x – 1)2 – 92 = = (3x – 1 + 9)(3x – 1 – 9) = = (3x + 8)(3x – 10)

°È· Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ì οı fiÚÔ ˆ˜ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘.

2 Á) ·2 – 7 = ·2 – ( 7 ) = (· – 7 )(· + 7)

55

053-062

3-11-06

01:05

™ÂÏ›‰·56

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

‰) ¢È·ÊÔÚ¿ – ¿ıÚÔÈÛÌ· ·‚ˆÓ √È Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ (· – ‚)(·2 + ·‚ + ‚2) = ·3 – ‚3 Î·È (· + ‚)(·2 – ·‚ + ‚2) = ·3 + ‚3 ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ·3 – ‚3 = (· – ‚)(·2 + ·‚ + ‚2)

·3 + ‚3 = (· + ‚)(·2 – ·‚ + ‚2)

™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ¿ ‹ ¿ıÚÔÈÛÌ· ·‚ˆÓ, .¯.

x 3 – 64 = x 3 – 4 3 = (x – 4) (x 2 + x 4 + 42) = (x – 4) (x 2 + 4x + 16) y 3 + 27 = y 3 + 3 3 = (y + 3) (y 2 – y 3 + 32) = (y + 3) (y 2 – 3y + 9)

Παραδείγìατα N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) x3 – 27

‚) x3 + 64

Á) 8· 3 – ‚3

Λύση ·) x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3)(x2 + x 3 + 32) = = (x – 3)(x2 + 3x + 9) ‚) x3 + 64 = x3 + 43 = (x + 4)(x2 – x 4 + 42) = = (x + 4)(x2 – 4x + 16)

°È· Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ‰È·ÊÔÚ¿ ‹ ¿ıÚÔÈÛÌ· ·‚ˆÓ ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ì οı fiÚÔ ˆ˜ ·‚Ô ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘.

Á) 8·3 – ‚3 = (2·)3 – ‚3 = (2· – ‚) (2·)2 + 2· ‚ + ‚2 = (2· – ‚)(4·2 + 2·‚ + ‚2)

Â) ∞Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ √È Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ (· + ‚)2 = ·2 + 2·‚ + ‚2 Î·È (· – ‚)2 = ·2 – 2·‚ + ‚2 ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ·2 + 2·‚ + ‚2 = (· + ‚)2

·2 – 2·‚ + ‚2 = (· – ‚)2

™‡Ìʈӷ Ì ÙȘ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ Â›Ó·È ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ (Ù¤ÏÂÈÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ), .¯. OÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ (x + 2)2 Î·È (y – 3)2 Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓ· x 2 + 4x + 4 = x 2 + 2 x 2 + 22 = (x + 2) 2 ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ, ·ÊÔ‡ y 2 – 6y + 9 = y 2 – 2 y 3 + 32 = (y – 3) 2 (x + 2) 2 = (x + 2)(x + 2) Î·È (y – 3) 2 = ( y – 3) ( y – 3)

Παραδείγìατα N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 4· 2 + 12· + 9 ‚) ·2 – 10·‚ + 25‚ 2

Á) – 4y 2 + 4y – 1

Λύση ·) 4·2 + 12· + 9 = (2·)2 + 2 2· 3 + 32 = (2· + 3)2 56

053-062

3-11-06

01:05

™ÂÏ›‰·57

1.6 ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ Î·Ù·ÛÙ¿ÛˆÓ

‚) ·2 – 10·‚ + 25‚2 = ·2 – 2 · 5‚ + (5‚)2 = = (· – 5‚)2 Á) – 4y2 + 4y – 1 = –(4y2 – 4y + 1) = = – (2y)2 – 2 2y 1 + 12 = = –(2y – 1)2

°Ú¿ÊÔ˘Ì οı ·Ú¿ÛÙ·ÛË ˆ˜ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ 2 · + 2·‚ + ‚ 2 ‹ ·2 – 2·‚ + ‚ 2

ÛÙ) ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÚȈӇÌÔ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x 2 + (· + ‚)x + ·‚ ∆Ô ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ (x + ·)(x + ‚) Â›Ó·È ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 + (· + ‚)x + ·‚, ·ÊÔ‡ (x + ·)(x + ‚) = x2 + ·x + ‚x + ·‚ = x2+ (· + ‚)x + ·‚. ∂Ô̤ӈ˜, ¤Ó· ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x2 + (· + ‚)x + ·‚ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Ù‡Ô

x2 + (· + ‚)x + ·‚ = (x + ·)(x + ‚)

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÁÈ· Ó· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 + 8x + 12 ·Ó·˙ËÙԇ̠‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÁÈÓfiÌÂÓÔ 12 (ÛÙ·ıÂÚfi˜ fiÚÔ˜) Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· 8 (Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x). Y¿Ú¯Ô˘Ó ÔÏÏ¿ ˙¢Á¿ÚÈ· ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ 12 (.¯. 1 12, 2 6, 3 4 Î.Ù.Ï.). ŸÌˆ˜, ÌfiÓÔ ÙÔ ˙¢Á¿ÚÈ 2 Î·È 6 ¤¯ÂÈ ¿ıÚÔÈÛÌ· 8. ÕÚ· ¤¯Ô˘ÌÂ:

χ 2 + 8χ + 12 = χ 2 + (6 + 2)χ + 6 2 = (χ + 6)(χ + 2)

Παραδείγìατα N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËıÔ‡Ó Ù· ÙÚÈÒÓ˘Ì·: ·) x2 – 8x + 12 ‚) x2 + 5x – 6 Á) –3y 2 + 12y – 9

Λύση ·) °È· Ó· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 – 8x +12, ·Ó·˙ËÙԇ̠‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÁÈÓfiÌÂÓÔ 12 Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· –8. √È ·ÚÈıÌÔ› ·˘ÙÔ› Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎÔ›, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ ıÂÙÈÎfi Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· ·ÚÓËÙÈÎfi. ªÂ ‰ÔÎÈ̤˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·˘ÙÔ› Â›Ó·È ÙÔ –2 Î·È ÙÔ –6. ÕÚ· ¤¯Ô˘Ì x2 – 8x + 12 = (x – 2)(x – 6)

(– 2)+( – 6)

↑ x 2 – 8 x + 12 = (x – 2)(x – 6) ↓ (– 2) ((– 6)

‚) °È· Ó· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 + 5x – 6, ·Ó·˙ËÙԇ̠‰‡Ô ÂÙÂÚfiÛËÌÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ –6 Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· 5. √È ·ÚÈıÌÔ› ·˘ÙÔ› Â›Ó·È ÙÔ 6 Î·È ÙÔ –1, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì x2 + 5x – 6 = (x + 6)(x – 1). Á) °È· Ó· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ –3y2 + 12y – 9, ‚Á¿˙Ô˘Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ –3, ÒÛÙÂ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ y2 Ó· Á›ÓÂÈ 1, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì –3y2 + 12y – 9 = –3(y2 – 4y + 3) °È· ÙËÓ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ÙÚȈӇÌÔ˘ y2 – 4y + 3, ·Ó·˙ËÙԇ̠‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÁÈÓfiÌÂÓÔ 3 Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· –4. √È ·ÚÈıÌÔ› ·˘ÙÔ› Â›Ó·È ÙÔ –3 Î·È ÙÔ –1, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì –3y2 + 12y – 9 = –3(y2 – 4y + 3) = –3(y – 3)(y – 1). 57

053-062

3-11-06

01:05

™ÂÏ›‰·58

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

·) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËı› Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË 3x 2 – 18x. ‚) ¡· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË 3x 2 = 18x.

Λύση ·) H ·Ú¿ÛÙ·ÛË 3x2 – 18x ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: 3x2 – 18x = 3x(x – 6). ‚) ∏ Â͛ۈÛË 3x2 = 18x ÁÚ¿ÊÂÙ·È 3x2 – 18x = 0 Î·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÂÚÒÙËÌ· ¤¯Ô˘Ì 3x(x – 6) = 0. °È· Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ 3x(x – 6) ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó, Ú¤ÂÈ 3x = 0 ‹ x – 6 = 0, ‰ËÏ·‰‹ x = 0 ‹ x = 6. x

2

1

1 y

AÓ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· Ù· Ù¤ÛÛÂÚ· Û¯‹Ì·Ù·, Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘.

x 1 1 y y

Λύση

∆Ô ÔÚıÔÁÒÓÈÔ Ô˘ ı· Û¯ËÌ·ÙÈÛÙ› ı· ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ∂, ›ÛÔ Ì 1 ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÙÂÛÛ¿ÚˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, ‰ËÏ·‰‹, ∂ = x 1 + y 1 + xy + 1 1 = x + y + xy + 1. x ŸÌˆ˜, x + y + xy + 1=(x + xy) + (y + 1) = = x(1 + y) + (1 + y) = (1 + y)(x + 1). ÕÚ·, ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È 1 + y Î·È 1 + x.

3

1

x

1 y

1

¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËı› ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹˜ ÙÛ¤˘: ·) 786 45 + 786 55 ‚) 2005 2 – 1995 2 Á) 565 499 + 565 66 – 435 2.

Λύση

·) 786 45 + 786 55 = 786(45 + 55) = 786 100 = 78600 ‚) 20052 – 19952 = (2005 – 1995)(2005 + 1995) = 10 4000 = 40000 Á) 565 499 + 565 66 – 4352 = 565(499 + 66) – 4352 = 5652 – 4352 = (565 – 435)(565 + 435) = 130 1000 = 130000

4

¡· ·Ó·Ï˘ıÔ‡Ó Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 3x 2 y – 12y 3 ‚) 5x 2 y + 1 0 x 2 + 5 x y + 10x ‰) 16· 3 ‚ – 54‚ Â) x 2 – 4x + 4 – y 2

Á) x 4 – 16y 4 ÛÙ) 3x 3 + 1 2 x 2 – 15x

Λύση

·) 3x2 y – 12y 3 = 3y(x2 – 4y2 ) = 3y x2 – (2y)2 = 3y(x – 2y)(x + 2y) ‚) 5x2 y + 10x2 + 5xy + 10x = 5x(xy + 2x + y + 2) = 5x y(x + 1) + 2(x + 1) = = 5x(x + 1)(y + 2)

58

053-062

3-11-06

01:05

™ÂÏ›‰·59

1.6 ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ Î·Ù·ÛÙ¿ÛˆÓ

Á) x 4 – 16y 4 = (x2)2 – (4y2 )2 = (x2 + 4y2)(x2 – 4y2 ) = (x2 + 4y2) x2 – (2y)2 = = (x2 + 4y2 )(x – 2y)(x + 2y) ‰) 16·3 ‚ – 54‚ = 2‚(8·3 – 27) = 2‚ (2·)3 – 33 = 2‚(2· – 3)(4·2 + 6· + 9) Â) x 2 – 4x + 4 – y 2 = (x2 – 2 x 2 + 22) – y2 = (x – 2)2 – y2 = (x – 2 + y)(x – 2 – y). ÛÙ) 3x3 + 12x2 – 15x = 3x(x2 + 4x – 5) To ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ x2 + 4x – 5 ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ›ٷÈ, ÂÊfiÛÔÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÚÈıÌÔ› Ì ÁÈÓfiÌÂÓÔ –5 Î·È ¿ıÚÔÈÛÌ· 4, Ô˘ Â›Ó·È ÔÈ 5 Î·È –1. ÕÚ·, 3x2 + 12x2 – 15x = 3x(x2 + 4x – 5) = 3x(x + 5)(x – 1).

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¶ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ; ·) 2(x – y)(x + y) ‚) 2 + (x – y)(x + y) Á) 4(· – ‚)2 ‰) 4 + (· – ‚)2 Â) (x + 2y)x – y ÛÙ) (x + 2y)(x – y) ˙) (· + ‚)(· + 3‚) Ë) (· + ‚)(· + 3‚) + 1.

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜. ·) 8x + 16 = 8(.............) ‚) 3·y – y 2 = y(.............) Á) 6x2 + 12x = .............(x + 2) ‰) –4x2 + 8x = –4x(.............) Â) ÛÙ) (x – 1)2 – (x – 1) = (x – 1)(.............) 2x + 2 = 2(.............)

3

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË 3x3 + 3x2 + x + 1 ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ·) 3x2(x + 1) ‚) (x + 3)(3x2 – 1) Á) (x + 1)(3x2 + 1) ‰) x(3x2 + x + 1).

4

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) x2 – 22 = (x – 2)(x + 2) ‚) x2 – 9 = (x – 9)(x + 9) Á) 1122 – 122 = 100 124 ‰) 4y2 – 1 = (4y – 1)(4y + 1) Â) 4x2 – ·2 = (2x – ·)(2x + ·) ÛÙ) ·2 – (‚ – 1)2 = (· + ‚ – 1)(· – ‚ – 1)

5

∞Ó ÈÛ¯˘ÚÈÛÙԇ̠fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Ú¿ÛÈÓÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ Â›Ó·È (x – y)(x + y), ·˘Ùfi Â›Ó·È ÛˆÛÙfi ‹ Ï¿ıÔ˜; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

x y x

6

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜. ·) ·3 – 23 = (· – 2)(................................) ‚) ·3 + 33 = (· + 3)(................................) Á) (2x)3 – 1 = (2x – 1)(................................) ‰) 1 + (5y)3 = (1 + 5y)(...............................)

y

59

053-062

3-11-06

01:05

™ÂÏ›‰·60

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

7

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) x3 – 53 = (x – 5)(x2 – 5x + 25) ‚) 8 + ·3 = (2 + ·)(22 – 2· + ·2) Á) (3y)3 + 1 = (3y + 1)(3y2 – 3y + 1) ‰) 1 – (2‚)3 = (1 – 2‚)(1 + 2‚ + 4‚2)

8

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜. ·) x2 + 6x + 9 = (.............)2 ‚) 4·2 – 4· + 1 = (.............)2 Á) y4 – 2y2 + 1 = (.............)2 ‰) 25 + 10x3 + x6 = (.............)2

9

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË √ ·ÎÏÔ˜ ÂÌ‚·‰Ô‡ ·2 + 2· + , Ì · > 0, ¤¯ÂÈ ·ÎÙ›Ó· ‚) ·2 + 1

·) · + 2

10

Á) · + 1

‰) (· + 1)

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ›Ó·Î·. x2 + (· + ‚)x + ·‚

·‚

· + ‚

·

‚

(x + ·)(x + ‚)

2

x + 3x + 2 x2 – 3x + 2 x2 + 5x – 6 x2 + 5x + 6 x2 – x – 2 x2 + x – 2

11

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜. ·) x2 + (· + 2)x + 2· = (x + .....) (x + .....) ‚) x2 + ( 2 + 3 )x + 6 = (x + .....) (x + .....)

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

60

N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙÂ ·) 3· + 6‚ ‰) –9x2 – 6x ˙) ·2‚ + ·‚2 – ·‚

ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ‚) 2x – 8 Â) 8·2‚ + 4·‚2 Ë) 2·3 – 4·2 + 6·2‚

N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) x(· – ‚) + y(· – ‚) ‚) ·(x + y) + ‚(x + y) 2 ‰) · (· – 2) – 3(2 – ·) Â) 4x(x – 1) – x + 1

Á) 8ˆ2 + 6ˆ ÛÙ) 2x2 – 2xy + 2x ı) 2 xy – 18 y + 8 y2

Á) (3x – 1)(x – 2) – (x + 4)(x – 2) ÛÙ) 2x2(x – 3) – 6x(x – 3)2

053-062

3-11-06

01:05

™ÂÏ›‰·61

1.6 ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ Î·Ù·ÛÙ¿ÛˆÓ

3

i) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) x2 + x ‚) 2y2 – 5y Á) ˆ(ˆ – 3) – 2(3 – ˆ) ‰) ·(3· + 1) – 4· ii) ¡· ÂÈχÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 + x = 0 ‚) 2y2 = 5y Á) ˆ(ˆ – 3) – 2(3 – ˆ) = 0 ‰) ·(3· + 1) = 4·

4

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·) x2 + xy + ·x + ·y ‰) 2x3 – 3x2 + 4x – 6 ˙ ) 12x2 – 8xy – 15x + 10y

5

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 7·2 + 10·‚ + 3‚2 ‚) 5x2 – 8xy + 3y 2

·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ‚) x3 – x2 + x – 1 Á) x3 – 5x2 + 4x – 20 Â) 4x2 – 8x – ·x + 2· ÛÙ) 9·‚ – 18‚2 + 10‚ – 5· Ë) x3 + 2 x2 + x + 2 ı) 6x2 + 2 2x – 3x – 2 Á) 3x2 – xy – 2y 2

6

·) ¡· ·Ó·Ï‡ÛÂÙ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·2‚ + ·‚2 – · – ‚. ‚) ∞Ó ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚ ÈÛ¯‡ÂÈ ·2‚ + ·‚2 = · + ‚, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·, ‚ Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ ‹ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔÈ.

7

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 2·2 – 2· + ·‚ – ‚ + ·x – x ‚) 2·‚ – 4‚ + 5· – 10 + 2·Á – 4Á

8

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) x2 – 9 ‚) 16x2 – 1 ‰) ·2‚2 – 4 Â) 36ˆ2 – (ˆ + 5)2 1 ˙ ) 2 – 16 Ë) x2 – 3 x

9 10

11 12 13 14

Á) ·2 – 9‚2 ÛÙ) 4(x + 1)2 – 9(x – 2)2 ı) x2 – 2y2

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 2x2 – 32 ‚) 28 – 7y2 Á) 2x3 – 2x

‰) 5·x2 – 80·

™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ Á, fiÙ·Ó: ·) · = 53, ‚ = 28 ‚) · = 0,37, ‚ = 0,12 Á) · = 26Ï, ‚ = 10Ï ¡· ÂÈχÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 – 49 = 0 ‚) 9x3 – 4x = 0

°

∞

µ

Á

‰) (x + 2)3 = x + 2

‰) 8x3 – 1

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 4 4 ·) 3x3 – 24 ‚) 16·4 + 2· Á) R3 – Ú3 3 3 ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: ·) x3 – ..... = (x – 3)(..... + ..... + 9) Á) ·3 – ..... = (· – 2‚)(..... + ..... + 4‚2 )

·

‚

Á) x(x + 1)2 = 4x

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) x3 – 27 ‚) y3 + 8 Á) ˆ3 + 64

Â) 2(x – 1)2 – 8

Â) 27y3 + 1

‰) ·4‚ + ·‚4

‚) ..... + y3 = (2x + y)(4x2 – ..... + .....) ‰) ·3 + ..... = (· + 5‚)(..... – ..... + 25‚2 )

61

053-062

3-11-06

01:05

™ÂÏ›‰·62

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

15

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) x2 – 2x + 1 ‚) y2 + 4y + 4 Á) ˆ2 – 6ˆ + 9 ‰) ·2 + 10· + 25 Â) 1 – 4‚ + 4‚2 ÛÙ) 9x4 + 6x2 + 1 ˙ ) 4y2 – 12y + 9 Ë) 16x2 + 8xy + y2 1 y2 ı) 25·2 – 10·‚ + ‚2 È) (· + ‚)2 – 2(· + ‚) + 1 È·) – 2y + 9 È‚ ) x2 + x + 4 9

16

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 3x2 + 24x + 48 ‚) –y2 + 4y – 4 Á) 2·2 – 8·‚ + 8‚2

17

18

19

20 21

¡· ‚Ú›ÙÂ: ·) ŒÓ· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ô˘ Ó· ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. ‚) ∆ËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

‰) 4·3 + 12·2 + 9·

x y

x 2x

y

°

¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘ ¢ ∞µ°¢.

x

1 ∂ x x+2

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ٷ ÙÚÈÒÓ˘Ì·: ·) x2 + 3x + 2 ‚) y2 – 4y + 3 Á) ˆ2 + 5ˆ + 6 Â) x2 – 7x + 12 ÛÙ) y2 – y – 12 ˙) ˆ2 – 9ˆ + 18

‰) · + 6· + 5 Ë) ·2 + 3· – 10

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ٷ ÙÚÈÒÓ˘Ì·: ·) x2 + (2 + ‚) x2 + (2· + 3‚)x + 6·‚ 3)x + 2 3

Á) x2 + (3 – 2)x – 3 2

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) 2ˆ2 + 10ˆ + 8 ‚) 3·2 – 12· – 15

Á) ·x2 – 7·x + 6·

∞

B

2

22

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·ÚÈıÌËÙÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ¯ˆÚ›˜ Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÙ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÙÛ¤˘. ·) 1453 1821 – 1453 821 ‚) 8012 + 199 801 Á) 9982 – 4 ‰) 999 1001 + 1 Â) 9992 + 2 999 + 1 ÛÙ) 972 + 6 97 + 9

23

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙÂ ·) x2y2 – 4y2 – x2 + 4 ‰) (x2 + 9)2 – 36x2 ˙) 1 – ·2 + 2·‚ – ‚2 È) (y2 – 4)2 – (y + 2)2

24

62

ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ‚) x4 – 1 + x3 – x Â) ·2 – 2·‚ + ‚2 – · + ‚ Ë) y2 – x2 – 10y + 25 È·) (·2 + ‚2 – Á2)2–4·2‚2

EÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ x, y ÌÂÈÒıËηÓ, ÂÂȉ‹ ¤ÚÂ ӷ ·˘ÍËı› ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙˆÓ ‰ÈÏ·ÓÒÓ ‰ÚfïÓ. ∞Ó ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ Ô˘ ·¤ÌÂÈÓÂ Â›Ó·È xy – x – 2y + 2, Ó· ‚Ú›Ù ÔÈ· ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ Â›Ó·È Ë Ì›ˆÛË Î¿ı ‰È¿ÛÙ·Û‹˜ ÙÔ˘.

Á) x3(x2 – 1) + 1 – x2 ÛÙ) x2 – 2xy + y2 – ˆ2 ı) 2(x–1)(x2–4)–5(x–1)(x–2)2 È‚) (x2+9)(·2+4) – (·x+6)2

y

x

063-067

3-11-06

01:08

1. 7

™ÂÏ›‰·63

¢È·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

✔ Μαθαίνω να βρίσκω το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου ∆(x) µε το πολυώνυµο δ(x). ✔ Μαθαίνω να γράφω την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης του ∆(x) µε το δ(x).

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. AÓ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì Û ÌÈ· ·›ıÔ˘Û· 325 ηı›ÛÌ·Ù· Û ÛÂÈÚ¤˜ Î·È Î¿ı ÛÂÈÚ¿ ÂÚȤ¯ÂÈ 19 ηı›ÛÌ·Ù·, fiÛ˜ ÛÂÈÚ¤˜ ı· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘ÌÂ Î·È fiÛ· ηı›ÛÌ·Ù· ı· ÂÚÈÛÛ¤„Ô˘Ó; ¡· ÁÚ¿„ÂÙ ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘.

2. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ¢(x) ÙÔ ÔÔ›Ô ‰È·ÈÚÔ‡ÌÂÓÔ Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰(x) = x2 – x, ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ (x) = 2x2 – 3x – 1 Î·È ˘fiÏÔÈÔ ˘(x) = 7x – 4. •¤ÚÔ˘Ì fiÙÈ, ·Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ¢ (‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜) Î·È ‰ (‰È·ÈÚ¤Ù˘) Ì ‰ 0 Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË ¢ : ‰, ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ‰‡Ô ÌÔÓ·‰ÈÎÔ‡˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜  (ËÏ›ÎÔ) Î·È ˘ (˘fiÏÔÈÔ), ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ: ¢ = ‰ + ˘

ÌÂ

˘<‰

∞Ó ˘ = 0, Â›Ó·È ¢ = ‰  Î·È ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ٤ÏÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË . ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ ·ÎfiÌ· fiÙÈ Ô ‰ ‰È·ÈÚ› ÙÔ ¢ ‹ fiÙÈ Ô ‰ Â›Ó·È ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ¢. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ¢ = 325 Î·È ‰ = 19, ÙfiÙ Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË 325 : 19, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜  = 17 Î·È ˘ = 2, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ 325 = 19 17 + 2 Ì 2 < 19

325 19 –19 17 135 –133 2

√ÌÔ›ˆ˜, ·Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ¢(x) (‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˜) Î·È ‰(x) (‰È·ÈÚ¤Ù˘) Ì ‰(x) 0 Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË ¢(x) : ‰(x) , ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi ˙‡ÁÔ˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ (x) (ËÏ›ÎÔ) Î·È ˘(x) (˘fiÏÔÈÔ), ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ: ¢(x) = ‰(x)(x) + ˘(x)

(T·˘ÙfiÙËÙ· ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘)

fiÔ˘ ÙÔ ˘(x) ‹ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì Ìˉ¤Ó ‹ ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ ‰(x). ™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô˘ ·ÎÔÏÔ˘ı›, ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÙ·È Ë ‰È·‰Èηۛ· Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ¢(x) = 2x2 – 5x3 + 2x4 – 4 + 8x Ì ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰(x) = x2 – x.

63

063-067

7-11-06

21:32

™ÂÏ›‰·64

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

°Ú¿ÊÔ˘Ì ٷ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˘ Î·È ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË Î·Ù¿ ÙȘ Êı›ÓÔ˘Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ù˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ ÙÔ˘ x. ¢È·ÈÚԇ̠ÙÔÓ ÚÒÙÔ fiÚÔ 2x4 ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˘ 2x4 Ì ÙÔÓ ÚÒÙÔ fiÚÔ x2 ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË = 2x2 x2 To ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· 2x2 Â›Ó·È Ô ÚÒÙÔ˜ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘.

(

)

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ 2x2, Ô˘ Â›Ó·È Ô ÚÒÙÔ˜ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘, Ì ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÙË x2 – x Î·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ 2x2(x2 – x) = 2x4 – 2x3 ÙÔ ·Ê·ÈÚԇ̠·fi ÙÔ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô. °È· Ó· Á›ÓÔ˘Ó Â˘ÎÔÏfiÙÂÚ· ÔÈ Ú¿ÍÂȘ, ·ÏÏ¿˙Ô˘Ì ٷ ÚfiÛËÌ· Î·È ·ÓÙ› ÁÈ· ·Ê·›ÚÂÛË Î¿ÓÔ˘Ì ÚfiÛıÂÛË Î·È ¤ÙÛÈ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ÚÒÙÔ ÌÂÚÈÎfi ˘fiÏÔÈÔ ˘1 = –3x3 + 2x2 + 8x – 4. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ‰È·ÈÚԇ̠ÙÔÓ ÚÒÙÔ fiÚÔ –3x3 ÙÔ˘ ˘ÔÏÔ›Ô˘ ˘1 Ì ÙÔÓ ÚÒÙÔ fiÚÔ x2 ÙÔ˘ 3x3 ‰È·ÈÚ¤ÙË – 2 = –3x . ∆Ô ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· –3x x Â›Ó·È Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘.

(

)

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ –3x, Ô˘ Â›Ó·È Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ fiÚÔ˜ ÙÔ˘ ËÏ›ÎÔ˘, Ì ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÙË x2 – x Î·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ –3x(x2 – x) = –3x3 + 3x2 ÙÔ ·Ê·ÈÚԇ̠·fi ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ˘1 Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÌÂÚÈÎfi ˘fiÏÔÈÔ ˘2 = –x2 + 8x – 4. ™˘Ó¯›˙Ô˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ Ì¤¯ÚÈ Ó· ηٷϋÍÔ˘Ì Û ˘fiÏÔÈÔ Ô˘ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì Ìˉ¤Ó (Ù¤ÏÂÈ· ‰È·›ÚÂÛË) ‹ Ó· ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË x2 – x (·ÙÂÏ‹˜ ‰È·›ÚÂÛË), ÔfiÙÂ Ë ‰È·›ÚÂÛË ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Û˘Ó¯ÈÛÙ›.

2x 4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 x2 – x

2x 4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 x2 – x 2χ2

2x 4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 x2 – x –2x 4 + 2x3 2χ2 – 3x3 + 2x2 + 8x – 4

2x 4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 x2 – x –2x 4 + 2x3 2χ2 – 3χ –3x3 + 2x2 + 8x – 4 2x 4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 x2 – x –2x 4 + 2x3 2χ2 – 3χ – 3x3 +2x2 + 8x – 4 3x3 – 3x2 – x2 + 8x – 4 2x 4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 x2 – x –2x 4 + 2x3 2χ2–3χ–1 – 3x3 + 2x2 + 8x – 4 3x3 – 3x2 – x2 + 8x – 4 χ2 – χ 7χ – 4

™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ ›ӷÈ: 2x4 – 5x3 + 2x2 + 8x – 4 = (x2 – x) (2x2 – 3x – 1) + (7x – 4) ¢È·ÈÚÂÙ¤Ô˜) = (‰ ‰È·ÈÚ¤Ù˘) ( ËÏ›ÎÔ) + (˘ ˘fiÏÔÈÔ) (¢ ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‚·ıÌÒÓ ‰È·ÈÚ¤ÙË Î·È ËÏ›ÎÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˘. 64

063-067

3-11-06

01:08

™ÂÏ›‰·65

1.7 ¢È·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

√ÌÔ›ˆ˜ Ë ‰È·›ÚÂÛË (8x4 + 8x3 + 17x – 5) : (2x2 + 3x – 1), Á›ÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ∞fi ÙÔ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô Ï›ÂÈ Ô fiÚÔ˜ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡, ÔfiÙÂ, fiÙ·Ó ÙÔÓ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ηٿ ÙȘ Êı›ÓÔ˘Û˜ ‰˘Ó¿ÌÂȘ Ù˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ ÙÔ˘, Û˘Ó‹ıˆ˜ ÙÔÓ Û˘ÌÏËÚÒÓÔ˘Ì Ì ÙÔ ÌˉÂÓÈÎfi ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ‹ ·Ê‹ÓÔ˘Ì ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ÎÂÓ‹ ÁÈ· Ó· Á›ÓÂÈ Â˘ÎÔÏfiÙÂÚ· Ë ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ.

8x 4 + 8x3 + 17x – 5 2x2+3x–1 –8x 4–12χ3 + 4χ2 4χ2–2χ+5 – 4x3 + 4x2 + 17x – 5 + 4x3 + 6x2 – 2χ 10χ2 + 15x – 5 –10χ2 – 15x + 5 0

™ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ‰È·›ÚÂÛË, fiÔ˘ ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó, Ë Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ ›ӷÈ: 8x4 + 8x3 + 17x – 5 = (2x2 + 3x – 1) (4x2 – 2x + 5) ¢È·ÈÚÂÙ¤Ô˜) = (‰ ‰È·ÈÚ¤Ù˘) ËÏ›ÎÔ) (¢ ( T· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ‰ = 2x2 + 3x – 1 Î·È  = 4x2 – 2x + 5 ϤÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ‹ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ¢ = 8x4 + 8x3 + 17x – 5.

Γενικά ŒÓ· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰ Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ‹ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ¢, ·Ó Ë ‰È·›ÚÂÛË ¢ : ‰ Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈ·, ‰ËÏ·‰‹ ·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ , Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡ÂÈ ¢ = ‰ .

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ·) ¡· Á›ÓÂÈ Ë ‰È·›ÚÂÛË (4x 4 + 3x 2 – 1) : (2x – 1). ‚) ¡· ·Ó·Ï˘ı› ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 4x 4 + 3x 2 – 1 Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.

1

Λύση ·)

4x4 + 3x2 –1 4 3 –4x + 2x 2x3 + 3x2 –1 3 2 –2x + x 4x2 –1 2 – 4x + 2x 2x – 1 –2x+ 1 0

‚) ∞fi ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘, ¤¯Ô˘ÌÂ: 2x – 1 4x4+3x2 –1=(2x–1)(2x3+x2+2x+1). 2x3+x2+2x+1 ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ËÏ›ÎÔ ÌÔÚ› Ó· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËı› ˆ˜ ÂÍ‹˜: 2x3 + x2 + 2x + 1 = = x2(2x + 1) + (2x + 1) = = (2x + 1)(x2 + 1). EÔ̤ӈ˜, ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 4x4 + 3x2 – 1 ·Ó·Ï‡ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ˆ˜ ÂÍ‹˜: 4x4 + 3x2 – 1 = (2x – 1)(2x + 1)(x2 + 1).

65

063-067

3-11-06

01:08

™ÂÏ›‰·66

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

2

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰ = 3x + 2· Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ¢ = 3x 3 – 4·x 2 – · 2 x + 2· 3 .

Λύση ∆Ô ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰ Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ¢, ·Ó ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ¢ : ‰ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. ∫¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË ¢ : ‰. ™‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ 3x3 – 4·x2 – ·2x + 2·3 3x + 2· ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ ¤¯Ô˘ÌÂ: –3x3 – 2·x2 3x3 – 4·x2 – ·2x + 2·3 = – 6·x2 – ·2x + 2·3 x2 – 2·x + ·2 = (3x + 2·)(x2 – 2·x + ·2), Ô˘ 6·x2 + 4·2x ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 3x + 2· + 3·2x + 2·3 Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ – 3·2x – 2·3 3x3 – 4·x2 – ·2x + 2·3 0

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

2

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË: i) ∆Ô ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Ì ÙÔ 4x + 7 Â›Ó·È ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ: ·) 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ‚) 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Á) 3Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ‰) ÛÙ·ıÂÚfi. 2 ii) To ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Ì ÙÔ x – 4x + 9 ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ›ӷÈ: ·) 5 ‚) 3x – 2 Á) x2 + 3 ‰) 4x. 2 iii) ∞Ó ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) ‰È·ÈÚÔ‡ÌÂÓÔ Ì ÙÔ 2x + x + 5 ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ x4 + x – 2, ÙfiÙÂ Ô ‚·ıÌfi˜ ÙÔ˘ ƒ(x) ›ӷÈ: ·) 4 ‚) 6 Á) 8 ‰) ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙÂ Ê˘ÛÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: µ·ıÌfi˜ ¢È·ÈÚÂÙ¤Ô˘ 8 7

µ·ıÌfi˜ ¢È·ÈÚ¤ÙË 3 6

3

66

µ·ıÌfi˜ ¶ËÏ›ÎÔ˘ 2 3

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜: ·) ∆Ô ËÏ›ÎÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÙÔ˘ (2x + 1)(x + 3) Ì ÙÔ 2x + 1 Â›Ó·È ÙÔ x + 3. ‚) ∆Ô ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Ì ÙÔ x + 6 Â›Ó·È ÙÔ x2 + 2. Á) ∞Ó ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 6Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó· ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡, ÙfiÙ ÙÔ ËÏ›ÎÔ Â›Ó·È ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ 3Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. ‰) ∆Ô x – 4 Â›Ó·È ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ x2 – 16. Â) To ËÏ›ÎÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ (x3 + 1) : (x + 1) Â›Ó·È ÙÔ x2 – x + 1.

063-067

3-11-06

01:08

™ÂÏ›‰·67

1.7 ¢È·›ÚÂÛË ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

3

N· οÓÂÙ ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ Î·È Ó· ÁÚ¿„ÂÙ ‰È·›ÚÂÛ˘ Û οı ÂÚ›ÙˆÛË. ·) (2x3 + x2 – 3x + 6) : (x + 2) Á) (6x4 – x2 + 2x – 7) : (x – 1) Â) (x5 – x4 + 3x2 + 2) : (x2 – x + 2) ˙) (8x4 – 6x2 – 9) : (2x2 – 3)

ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‚) ‰) ÛÙ) Ë)

(6x3 (4x3 (9x4 (3x5

– x2 – 10x + 5) : (3x + 1) + 5x – 8) : (2x – 1) – x2 + 2x – 1) : (3x2 – x + 1) – 2x3 – 4) : (3x2 – 1)

N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿, ÒÛÙ ӷ Â›Ó·È ÔÈ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ ÛˆÛÙ¤˜. ·) ‚) ..... + ..... + 2x + 20 x + ..... 6x2 + ..... + ..... ..... + 2 2 – 6x – ..... 2x + ..... ..... – 6x2 2x2 + ..... – ..... 18x + ..... 4x2 + ..... + 20 –18x – ..... ..... – ..... 0 –10x + ..... ..... + ..... ..... 2 ¶ÔÈÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ‰È·ÈÚÔ‡ÌÂÓÔ Ì ÙÔ x – x + 1 ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 2x + 3 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 3x + 2;

4

N· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Q(x) Â›Ó·È ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ˘ ƒ(x), fiÙ·Ó: ·) ƒ(x) = 6x3 – 7x2 + 9x – 18 Î·È Q(x) = 2x – 3 ‚) ƒ(x) = 2x4 – x2 + 5x – 3 Î·È Q(x) = x2 + x – 1.

5

·) ¡· οÓÂÙ ÙË ‰È·›ÚÂÛË (x4 – 2x3 – 8x2 + 18x – 9) : (x2 – 9) ‚) N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ x4 – 2x3 – 8x2 + 18x – 9.

6

·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ô x + 1 Â›Ó·È ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ˘ x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1. ‚) N· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1.

7

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ‹ıÂÏ ӷ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÈ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·3 + ‚3 Î·È ı˘Ì‹ıËΠfiÙÈ ·Ó·Ï‡ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ, ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ Ô ¤Ó·˜ Â›Ó·È Ô · + ‚. ∂Âȉ‹ ›¯Â ͯ¿ÛÂÈ ÙÔÓ ¿ÏÏÔ ·Ú¿ÁÔÓÙ·, Ò˜ ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÙÔÓ ‚ÚÂÈ;

8

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) = (x3 + 2)(x2 – 5) + 4x2 – 6x + 7. N· ‚Ú›Ù ÙÔ ËÏ›ÎÔ Î·È ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ·) ƒ(x) : (x3 + 2) ‚) ƒ(x) : (x2 – 5)

9

¡· οÓÂÙ ÙË ‰È·›ÚÂÛË (6x3 + ·) : (x – 1) Î·È Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·, ÁÈ· ÙËÓ ÔÔ›· Ë ‰È·›ÚÂÛË Â›Ó·È Ù¤ÏÂÈ·.

10

∞Ó ¤Ó·˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ˘ 2x3 – x2 – 4x + 3 Â›Ó·È Ô (x – 1)2, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔÓ ¿ÏÏÔ ·Ú¿ÁÔÓÙ·.

11

x

y

x

x

°È· ÙËÓ Ï·ÎfiÛÙÚˆÛË ÙÔ˘ ‰·¤‰Ô˘ ÂÓfi˜ ‰ˆÌ·Ù›Ô˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì 45 ϷοÎÈ· Ù‡Ô˘ ∞, 56 ϷοÎÈ· Ù‡Ô˘ µ Î·È 16 ϷοÎÈ· Ù‡Ô˘ °. ∞Ó ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ ‰ˆÌ·Ù›Ô˘ Â›Ó·È 5x + 4y, ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘;

y y

67

068-070

7-11-06

21:35

1.8

™ÂÏ›‰·68

∂.∫.¶. Î·È ª.∫.¢. ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

✔ Μαθαίνω να βρίσκω: Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο και Μέγιστο Κοινό ∆ ιαιρέτη ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ¡· ·Ó·Ï‡ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 12, 24, 300 Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Î·È Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·˘ÙÒÓ.

2. ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ 12x3y2, 24x2y3ˆ, 300x4y Î·È ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ 3(x – y)(x + y), 18(x – y)2, 9(x – y). ™Â ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË Ì¿ı·Ì ӷ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ıÂÙÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ï˘ı› Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 12, 24 Î·È 300, ·Ó ·Ó·Ï˘ıÔ‡Ó Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ, ÁÚ¿ÊÔÓÙ·È: 12 = 2 2 3 24 = 2 3 3 300 = 2 2 3 5 2 ÕÚ·, ∂.∫.¶.(12, 24, 300) = 23 3 52 = 600 (°ÈÓfiÌÂÓÔ ÎÔÈÓÒÓ Î·È ÌË ÎÔÈÓÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Ì ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ÂÎı¤ÙË). 2 ª.∫.¢.(12, 24, 300) = 2 3 = 12 (°ÈÓfiÌÂÓÔ ÎÔÈÓÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Ì ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÂÎı¤ÙË). ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ, ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ï˘ı› Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ¢ËÏ·‰‹: ∂Ï¿¯ÈÛÙÔ ∫ÔÈÓfi ¶ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ (∂ ∂.∫.¶. ) ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛÔÙ¤ÚˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ï˘ı› Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È, ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÎÔÈÓÒÓ Î·È ÌË ÎÔÈÓÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÙÔ˘˜ Ì ÂÎı¤ÙË Î·ıÂÓfi˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ˘˜ ÂÎı¤Ù˜ ÙÔ˘. ª¤ÁÈÛÙÔ˜ ∫ÔÈÓfi˜ ¢È·ÈÚ¤Ù˘ (ª ª.∫.¢.) ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛÔÙ¤ÚˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ó·Ï˘ı› Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È, ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÎÔÈÓÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÙÔ˘˜ Ì ÂÎı¤ÙË Î·ıÂÓfi˜ ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ˘˜ ÂÎı¤Ù˜ ÙÔ˘. ™ÙÔ ÂÍ‹˜ ı· ÂÚÈÔÚÈÛÙԇ̠۠·Î¤Ú·È˜ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Ì ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹, ˆ˜ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ˘ ∂.∫.¶., ı· ıˆÚԇ̠ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Î·È ˆ˜ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ˘ ª.∫.¢. ı· ıˆÚԇ̠ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ.

68

068-070

3-11-06

01:12

™ÂÏ›‰·69

1.8 ∂.∫.¶. Î·È ª.∫.¢. ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÏÁ‚ÚÈÎÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, – Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· 12x 3 y 2 ,

24x 2 y 3 ˆ,

300x 4 y ¤¯Ô˘Ó

4 3

Ε.Κ.Π. = 600x y ω και Μ.Κ.∆. = 12x 2 y ÂÓÒ 18(x – y)2,

– Ù· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· 3(x – y)(x + y),

9(x – y) ¤¯Ô˘Ó

2

Ε.Κ.Π. = 18(χ – y) (x + y) και Μ.Κ.∆. = 3(χ – y)

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· ‚ÚÂı› ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È Ô ª.∫.¢. ÙˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ 6 x 3 y ˆ , 9 x 2 y ˆ 2 , 3 x y 4 .

Λύση OÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ 6, 9, 3 ¤¯Ô˘Ó ∂.∫.¶. = 18 Î·È ª.∫.¢. = 3, ¿Ú· Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· ¤¯Ô˘Ó ∂.∫.¶. = 18x 3 y 4 ˆ 2 Î·È ª.∫.¢. = 3xy.

2

N· ‚ÚÂı› ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È Ô ª.∫.¢. ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ: ∞ = 12x 3 – 12x 2 , B = 18x 2 – 3 6 x + 1 8 Î · È ° = 9 x 2 – 9x.

Λύση ñ ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ٷ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ñ ÀÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ñ µÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ.

∞ = 12x2 – 12 = 12(x2 – 1) = 12(x – 1)(x + 1) µ = 18x2 – 36x + 18 = 18(x2 – 2x + 1) = 18(x – 1)2 ° = 9x2 – 9x = 9x(x – 1) √È ·ÚÈıÌËÙÈÎÔ› ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ 12, 18, 9 ¤¯Ô˘Ó ∂.∫.¶. = 36 Î·È ª.∫.¢. = 3. ∆· ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ∞, µ, ° ¤¯Ô˘Ó ∂.∫.¶. = 36x(x – 1)2(x + 1) Î·È ª.∫.¢. = 3(x – 1).

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ˙‡ÁÔ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞, ÙÔ ∂.∫.¶. ÙÔ˘˜ ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞ ·. x4(x + 2)2, ‚. x3(x + 2), 2

™Ù‹ÏË B 1. 6x2(x + 2)2

x(x + 2)3 x(x + 2)

2. x3(x + 2)3

3

Á. 6x (x + 2), 2x(x + 2)

2

3. 6x2(x + 2)

·

‚

Á

4. x4(x + 2)3

69

068-070

3-11-06

01:12

™ÂÏ›‰·70

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·, ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ Û οı ÎÂÓfi ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ∞, µ. ∞

B

4x 3

2 x(x – 1)

9(x – 1)2

6x 2 x 2(x – 1) 8x 5

3

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ˙‡ÁÔ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞, ÙÔ ª.∫.¢. ÙÔ˘˜ ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞ ·. 6x3(x + 1)2,

3x(x + 1)3

‚. 2x2(x + 1)3,

3x4(x + 1)2

2

Á. 3x (x + 1),

4

™Ù‹ÏË B

3

6x (x + 1)

2

1. 6x2(x + 1)2

·

‚

3. 3x2(x + 1) 4. x2(x + 1)2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ÁÚ¿ÊÔÓÙ·˜ Û οı ÎÂÓfi ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ∞, µ. ∞ B 6 x (x – 2) 2 2 x 3 ( x – 2) 3 x3 (x – 2) 3

3x 2

x 4 ( x – 2) 2

6 (x – 2)3

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: ·) 12x 3 y 2 ˆ 2 , 18x 2 yˆ 3 , 24x 2 y 3 ˆ 4 ‚) 15·xy 3 , 10·x 2 ˆ 2 , 5yˆ2 Á) 2x2(x + y)2, 3xy3(x + y)2, 8x2y(x – y)(x + y)

2

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ∂.∫.¶. Î·È ÙÔ ª.∫.¢. ÙˆÓ ·) 6(x2 – y2), 4(x – y)2, ‚) ·2 – 3· + 2, ·2 – 4, Á) ·3 – ·2 , (·2 – ·)(·2 – 1),

70

Á

2. 3x(x + 1)2

·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: 12(x – y)3 ·3 – 4· ·3 – 2·2 + ·

071-074

3-11-06

01:18

1. 9

™ÂÏ›‰·71

ƒËÙ¤˜ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ

✔ ✔

Γνωρίζω ποια αλγεβρική παράσταση λέγεται ρητή και πότε ορίζεται. Μαθαίνω να απλοποιώ ρητές αλγεβρικές παραστάσεις.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3 1. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ x + 4 ÁÈ· x = 0;

x–1 MÔÚ›Ù ӷ ‚Ú›Ù ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ÁÈ· x = 1;

2. ¶ÔÈÔ ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ·ÏÔÔÈ›ٷÈ; 6 2 + 7, 3 2

6 2 7 , 3+2

6 2 7 3 2

3. ¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ·ÏÔÔÈ›ٷÈ; 6x + y , 3x

6xy , 3+x

6xy 3x

xyˆ 2 x3 + 4 , , Ô˘ Â›Ó·È ÎÏ¿ÛÌ· Î·È ÔÈ fiÚÔÈ x + y x2 + 4 x–1 ÙÔ˘ Â›Ó·È ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·, ϤÁÂÙ·È ÚËÙ‹ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‹ ·ÏÒ˜ ÚËÙ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË . √È ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ÌÈ·˜ ÚËÙ‹˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¿ÚÔ˘Ó ÙÈ̤˜ Ô˘ ÌˉÂÓ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ Ù˘, ·ÊÔ‡ ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È ÎÏ¿ÛÌ· Ì ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ Ìˉ¤Ó. x3 + 4 °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÔÚ›˙ÂÙ·È, ·Ó x 1. x–1

(

MÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË .¯.

)

™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, fiÙ·Ó ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÌÈ· ÚËÙ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, ı· ÂÓÓÔÂ›Ù·È fiÙÈ ÔÈ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Ù˘ ‰ÂÓ ·›ÚÓÔ˘Ó ÙÈ̤˜ Ô˘ ÌˉÂÓ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. Ÿˆ˜ ÌÈ· ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, ¤ÙÛÈ Î·È ÌÈ· ÚËÙ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, ÌÔÚ› Ó· ·ÏÔÔÈËı›, ·Ó Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ Î·È Ô ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ Ù˘ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓ· Î·È ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·. 6x + y ‰ÂÓ ·ÏÔÔÈ›ٷÈ, ÂÓÒ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË 6 x y ·ÏÔÔÈ›ٷÈ, ÁÈ·Ù› 3x 3x ÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓ· Î·È ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 3x. AÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ŒÙÛÈ, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË

fiÚÔ˘˜ Ì ÙÔÓ ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·, ¤¯Ô˘ÌÂ

6χy 6χy : 3x 2y = = 1 = 2y 3x 3x : 3x

H ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·ÏÔÔ›ËÛË Á›ÓÂÙ·È Û˘ÓÙÔÌfiÙÂÚ·, ·Ó ‰È·ÁÚ¿„Ô˘Ì ÙÔÓ ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·, 3χ 2y 6χy ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì = = 2y 3χ

3x

71

071-074

7-11-06

21:36

™ÂÏ›‰·72

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

AÓ fï˜ Û ÌÈ· ÚËÙ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ ‹ Ô ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ, ÙfiÙ ÁÈ· Ó· ÙËÓ ·ÏÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ñ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÔ‡ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ Ù˘ Î·È ñ ‰È·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓÔ‡˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ÙˆÓ fiÚˆÓ Ù˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË

5x – 10 ·ÏÔÔÈÂ›Ù·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: x2 – 4

5x – 10 5(x – 2) 5(x – 2) 5 = 2 = = x2 – 4 x – 22 (x – 2)(x + 2) x+2

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

°È· ÔȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÙÔ˘˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ; x2 + 7x + 2 x2 + 6 x2 + y2 ·) ‚) Á) x x+2 x–y

Λύση

x2 + 7x + 2 ÔÚ›˙ÂÙ·È, ·Ó Ë ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ x ·›ÚÓÂÈ ÙÈ̤˜ Ô˘ ‰Â x ÌˉÂÓ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· x 0.

·) H ·Ú¿ÛÙ·ÛË

‚) OÌÔ›ˆ˜ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË

x2 + 6 ÔÚ›˙ÂÙ·È, ·Ó x + 2 0, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· x –2. x+2

x2 + y2 ÔÚ›˙ÂÙ·È, ·Ó ÔÈ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ x, y ·›ÚÓÔ˘Ó ÙÈ̤˜, Ù¤ÙÔȘ x–y ÒÛÙ x – y 0, ‰ËÏ·‰‹ ÁÈ· x y.

Á) ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË

2

N· ·ÏÔÔÈËıÔ‡Ó ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 12 x 3 y ˆ 2 3x 2 – 3 ·) ‚) 3 6x 2 – 6x 8xy

Λύση ·) ™ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË

Á)

x2 – 2 x y + y2 x3 – y3

12x 3 y ˆ 2 Î·È ÔÈ ‰‡Ô fiÚÔÈ Ù˘ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓ·, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì 8xy3

12x 3 y ˆ 2 3x 2 ˆ 2 = 8xy3 2y2 ‚) ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÔ‡ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Î·È ¤¯Ô˘Ì x+1 3(x – 1)(x + 1) 3x 2 – 3 3(x 2 – 1) = = = 2 6x(x – 1) 6x – 6x 6x(x – 1) 2x

Á) √ÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ

72

x–y x2 – 2 x y + y2 (x – y)2 = = 2 3 3 2 2 x + xy + y2 x – y (x – y)(x + xy + y )

071-074

8-11-06

15:41

™ÂÏ›‰·73

1.9 ƒËÙ¤˜ ·ÏÁ‚ÚÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙȘ ÙÈ̤˜ Ù˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ Ù˘ ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ, ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È.

·. ‚. Á. ‰. Â.

2

Â)

1. x 1 2. x 0 Î·È x 1 ·

3. x –1

‚

Á

‰

Â

4. x 1 Î·È x –1 5. ÔÔÈÔÛ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi˜ 6. x 0

(x + 2)(x + 1) x+2 = 4 4(x + 1)

‰)

x2 – y2 =x+y x–y

ÛÙ)

x+2 x + 2(x + 1) = 4 4(x + 1) (x – y)2/ =x+y x–y

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜: ·)

‰)

4

™Ù‹ÏË B

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. x (x + 1) x2/ + 1 ·) ‚) =x+1 =x+1 x x Á)

3

™Ù‹ÏË ∞ 1 x x–1 x+1 x 2 x –1 2(x – 1) x–1 3 2 x +1

7x 7 = x – 2 x(............) x(x + 1) ............

=x+1

‚)

(· + ‚)(............) =1 (· – ‚)(............)

Á)

Â)

............ 1 = 2 ·+‚ 2(·+‚)

ÛÙ)

x(x + 1) ............ 3(x + 2) ............

=x

=

3 x+2

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÁÈ· Ó· ‚ÚÂÈ ÙȘ ÙÈ̤˜ Ù˘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹˜ x, ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë x x 1 ·Ú¿ÛÙ·ÛË , ¤ÁÚ·„ = Î·È ·¿ÓÙËÛ fiÙÈ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË x (x – 4) x(x – 4) x–4 ÔÚ›˙ÂÙ·È fiÙ·Ó x 4. ∂›Ó·È ÛˆÛÙ‹ Ë ·¿ÓÙËÛ‹ ÙÔ˘;

73

071-074

3-11-06

01:18

™ÂÏ›‰·74

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 1 y+3 ˆ–2 6x + 1 ·) ‚) Á) ‰) 2 x–4 2y – 5 (ˆ + 1) x(x – 3)

2

¡· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 4x 3y2 ·) ‚) 6x 12y Â)

3

4

6

74

ÛÙ)

y–1 1–y

2xˆ2 8x 2 ˆ

‰)

5· 2 ‚Á 3 10·‚ 2 Á

˙)

ˆ–2 (2 – ˆ) 2

Ë)

(· – ‚)(‚ – Á) (‚ – ·)(Á – ‚)

Á)

x2 + xˆ ˆ 2 + xˆ

‰)

5· 2 – 20 (· – 2)2

˙)

6x2 + 3xˆ 4x 2 – ˆ 2

Ë)

· 2 + ·‚ + ‚ 2 ·3 – ‚3

Á)

ˆ3 – 2ˆ2 + ˆ ˆ3 – ˆ

¡· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·)

6x 2x + 4x

‚)

Â)

x2 – 16 x2 – 4x

ÛÙ)

2

3y – 9 y2 – 3y y2 – 1 y2 + 2y + 1

¡· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·)

5

x+4 4+x

Á)

x2 + 3x + 2 x2 + 4x + 4

‚)

y2 – 5y + 4 y2 – 6y + 8

¡· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·)

x(x – 1) + 4(x – 1) x2 + 2x – 3

‚)

y(y – 3) + y 2 – 9 4y 2 – 9

Á)

(2ˆ + 1)2 – (ˆ + 2)2 ˆ4 – 1

‰)

(· + 1)(· – 2)2 – 4(· + 1) ·3 + ·2

ŒÓ·˜ Ï·Ì·‰Ë‰ÚfiÌÔ˜ ηٿ Ù· ÙÂÏÂ˘Ù·›· ̤ÙÚ· Ù˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜ ÙÔ˘ ‰È‹Ó˘Û ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ∞µ Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ Ù·¯‡ÙËÙ· 5 m/sec. ºÙ¿ÓÔÓÙ·˜ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ ¤Ó·˜ ¿ÏÏÔ˜ Ï·Ì·‰Ë‰ÚfiÌÔ˜ ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ ‰È‹Ó˘Û ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË µ° Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË 4 m/sec2. ∞Ó Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ÎÈÓ‹ıËΠοı ·ıÏËÙ‹˜ ‹Ù·Ó t sec Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ‰È·Ó‡ıËΠ5 Ë ·fiÛÙ·ÛË ∞° ‹Ù·Ó t + m/sec 2

075-084

3-11-06

01:26

1 . 10

™ÂÏ›‰·75

¶Ú¿ÍÂȘ ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

✔ Μαθαίνω να πολλαπλασιάζω και να διαιρώ ρητές παραστάσεις. ✔ Μαθαίνω να προσθέτω και να αφαιρώ ρητές παραστάσεις.

∞

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ – ¢È·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤA

2 3, 2 4 : 1. ¡· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: 4 35 , 5 4 5 7 2. ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ Ó· οÓÂÙÂ Î·È ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ Ú¿ÍÂȘ: 2x

3xy , 5ˆ

3x 2 2· 2 ‚ , 9xy 2·‚

9x 3x 2 : y + 1 5y + 5

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ °È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi Ì ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ‹ ÁÈ· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ ηÓfiÓ˜. ‚ ·‚ ·  =  Á Á

ηÈ

· Á ·Á   =  ‚ ‰ ‚‰

ªÂ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È ÌÈ· ·Î¤Ú·È· Ì ÌÈ· ÚËÙ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‹ ‰‡Ô ÚËÙ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ. 5x2 15x3 3x 5x2 °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, 3x = = Î·È 2y 2y 2y (x2 – 1) 2x 2x x2 – 1 = = x–1 3x + 3 (3x + 3)(x – 1)

2x(x – 1)(x + 1) 2x = 3(x + 1)(x – 1) 3

Ÿˆ˜ ‚ϤÔ˘Ì ÛÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÌÂÙ¿ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ ÂÎÙÂÏÔ‡ÌÂ Î·È ÙȘ ‰˘Ó·Ù¤˜ ·ÏÔÔÈ‹ÛÂȘ.

¢È·›ÚÂÛË °È· Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÎÏ¿ÛÌ·Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ηÓfiÓ· · Á · ‰ ·‰  :  =   =  ‚ ‰ ‚ Á ‚Á ªÂ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ‰È·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È ‰‡Ô ÚËÙ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, x (x – 1)(x + 1) x(x2 – 1) x x x–1 2x 2 x2 – 1 : 2 = = = = 2 2x 2 (x + 1) x+1 x –1 x+1 2x (x + 1) 2x2 2x

75

075-084

3-11-06

01:26

™ÂÏ›‰·76

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

™‡ÓıÂÙ· ÎÏ¿ÛÌ·Ù· · ‚ Á · : ∆Ô Û‡ÓıÂÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· , ˆ˜ ÁÓˆÛÙfiÓ, ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙÔ ËÏ›ÎÔ ‰ ‚ Á  ‰ 

· ‰ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ ‚ Á

·  ‚ ·‰  = Á ‚Á  ‰

∆ÔÓ ›‰ÈÔ Î·ÓfiÓ· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ Î·È ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ. 2·2 ·x 2· 2 x 2 x °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, = = 2 4·x 4· x2

ÛÙȘ

ÚËÙ¤˜

Ô˘ Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ

Μνηµονικός κανόνας ·  ‚ ·‰  = Á ‚Á  ‰

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N · ‚ Ú Â ı Ô ‡ Ó Ù · Á È Ó fi Ì Â Ó · : · ) ( 5 x 2 + 5x)

Λύση ·) (5x2 + 5x)

‚)

2

3x (5x2 + 5x)3x = = 2x + 2 2x + 2

·)

76

x2 – 2x + 1 x2 + 2x 3x + 6 x–1

15x2 5x(x + 1)3x = 2(x + 1) 2

‚)

·2 – x2 ·2 2· + 2x ·

x2 – ·2 x3 – ·3 x2 – ·2 x2 (x 2 – · 2 )x 2 (x – ·)(x + ·)x 2/ : = = = = x x2 x x3 – ·3 x(x3 – ·3) x(x – ·)(x2 + x· + ·2) =

‚)

‚)

(x – 1)x x2 – 2x + 1 x2+2x (x2–2x+1)(x2+2x) x2 – x (x – 1)2/ x(x + 2) = = = = 3 3x + 6 x–1 (3x + 6)(x – 1) 3 3(x + 2)(x – 1)

N· Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: x2 – ·2 x3 – ·3 ·) : x x2

Λύση

3x 2x + 2

(x + ·)x x 2 + ·x = x2 + ·x + ·2 x2 + ·x + ·2

·2 – x2 ·(· – x)(· + x) ·(· 2 – x 2 ) ·–x ·2 = 2 = = / 2 2· + 2x 2· · (2· + 2x) 2· (· + x) ·

075-084

3-11-06

01:26

™ÂÏ›‰·77

1.10 ¶Ú¿ÍÂȘ ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. 1 x 1 x ·) x ‚) x = = y xy y y Á) 3x :

2

2 3 = x 2

‰) 3x :

2 3x2 = x 2

Â)

x–1 5 5 = y x–1 y

ÛÙ)

· x–2 ·x – 2 = x x x2

˙)

· ·2 + 1 =0 · +1 ·

Ë)

· · : =1 ‚+2 ‚+2

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: .......... x 1 1 6x2 ·) 3x ‚) = = 2 y y .......... y y x + 2 .......... =1 x – 1 ..........

‰)

Â)

Á)

x + 2 .......... : =1 x–1 ..........

ÛÙ)

4x .......... ˆ : = y ˆ y x x+2 x : = y .......... x+2

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: 1 9x 1 x ·) 2 ‚) y x 4y 3x ‰)

2

6‚ 2·3 3‚2 4·2

Â) (–5ˆ2)

¡· οÓÂÙ ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: 3 1 6 ·) 8x : ‚) 2 : – x y y

(

3

4

)

(

ÛÙ) –

(

Á) –

·+3 ·2 – 4 2 · +2· · +· – 6 2

Â)

· +1 (· + 1)2 : ‚2 ‚

Â)

x + y x2 + xy : x2 – xy x–y

3·‚ 4 – 2 2‚ ·

) (

·2 : 3·2 ‚3

)

x2 + x x2 + 5x+6 2 x –4 x2 + 3x

¡· οÓÂÙ ÙȘ ‰È·ÈÚ¤ÛÂȘ: 2y – 1 1 – 2y x+4 x+4 ·) : ‚) : 1+y 15 y+1 5 ‰)

5

3 10ˆ

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ÁÈÓfiÌÂÓ·: y–5 2+y 2x + 6 4x ·) ‚) 2 5–y x+3 y+2 x ‰)

)

(

(

)

‰) –

x3 x2 : – 2ˆ 4ˆ2

) (

)

Á)

x–ˆ x 3ˆ 2 2 3 x2 – ˆ2 x ˆ

ÛÙ)

4y2 – 9 y2 + 3y 4y – 12y+9 2y2 + 3y 2

(

ˆ+2 : (ˆ + 2) ˆ

ÛÙ)

x2 – 4 x–2 : x3+8 x2 – 2x+4

Á) –

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: x – 2 4x + 4 8x – 8 x + 2 2x + 6 x + 2 ·) : ‚) : x+2 x–1 x+3 x+1 x + 2 x–1

(

1 9x

Á) 12x2

)

)

Á)

( xx+– 12 : 2xx –+16 ) xx ++ 23 77

075-084

3-11-06

01:26

™ÂÏ›‰·78

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

B

¶ÚfiÛıÂÛË – ∞Ê·›ÚÂÛË ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂˆÓ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

1. ¡· οÓÂÙ ÙȘ Ú¿ÍÂȘ: 7 + 19 – 11 , 9

9

9

3 + 1 – 1. 2 6 3

2. ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ Ó· οÓÂÙÂ Î·È ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ Ú¿ÍÂȘ: 3x 2x – 1 7+x – + , x–2 x–2 x–2

3 + 1 – 1. 2· 6·‚ 3‚

°È· Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‹ Ó· ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÔÌÒÓ˘Ì· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ ηÓfiÓ˜

· Á · + Á +  =  ‚ ‚ ‚

ηÈ

· Á · – Á  –  =  ‚ ‚ ‚

ªÂ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ‹ ·Ê·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È ÚËÙ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, 3x + (2x – 1) – (7 + x) 3x 2x – 1 7+x – + = = x–2 x–2 x–2 x–2 =

3x + 2x – 1 – 7 – x 4(x – 2) 4x – 8 = = =4 x–2 x–2 x–2

AÓ fï˜ ÔÈ ÚËÙ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹, ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Î·È ÙȘ ÌÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì Û ÚËÙ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹, fiˆ˜ Î·È ÛÙ· ·ÚÈıÌËÙÈο ÎÏ¿ÛÌ·Ù·. 2 5 2 °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· + – 2

3x – 3x

ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

6x

ñ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜.

3x 2 – 3x = 3x(x – 1) Î·È 3x – 3 = 3(x – 1)

ñ µÚ›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ.

∂.∫.¶. = 6x(x –1) 2

x–1

3x – 3

2x

ñ MÂÙ·ÙÚ¤Ô˘Ì ٷ ÎÏ¿ÛÌ·Ù· Û ÔÌÒÓ˘Ì·.

2 5 2 5 – 2 = – 2 = + + 3x –3x 6x 3x – 3 3x(x – 1) 6x 3(x – 1)

ñ EÎÙÂÏԇ̠ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Î·È ÙȘ ‰˘Ó·Ù¤˜ ·ÏÔÔÈ‹ÛÂȘ.

=

78

2

4 + 5 (x–1) – 4x 4 + 5x – 5 – 4x x–1 1 = = = 6x(x–1) 6x(x–1) 6x(x–1) 6x

075-084

7-11-06

21:38

™ÂÏ›‰·79

1.10 ¶Ú¿ÍÂȘ ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Á›ÓÔ˘Ó ÔÈ Ú¿ÍÂȘ: ·)

9x + 6 15 – x2 – 1 2x – 2

‚)

4 2 1 – 2 – 2 x2 – ·2 x – ·x x + ·x

Λύση ·) ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) Î·È 2x – 2 = 2(x – 1) TÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È 2(x – 1)(x + 1). ÕÚ· 2 x +1 9x + 6 15 9x + 6 15 2(9x + 6) – 15(x +1) – – = = = 2 x –1 2x – 2 (x – 1)(x +1) 2(x – 1) 2(x – 1)(x +1) =

18x + 12 – 15x – 15 3x – 3 3(x – 1) 3 = = = 2(x – 1)(x +1) 2(x – 1)(x +1) 2(x – 1)(x +1) 2(x +1)

‚) ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: x2 – ·2 = (x – ·)(x + ·), x2 – ·x = x(x – ·), x2 + ·x = x(x + ·) ∆Ô ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È x(x – ·)(x + ·). ÕÚ· x x +· x –· 4 2 1 4 2 1 – 2 – 2 – – = = 2 x –· x – ·x x + ·x (x – ·)(x + ·) x(x – ·) x(x + ·) 2

=

2

4x – 2(x + ·) – (x – ·) 4x – 2x – 2· – x + · x–· 1 = = = x(x – ·)(x + ·) x(x – ·)(x + ·) x(x – ·)(x + ·) x(x + ·)

¶Ô‡ÏËÛ οÔÈÔ˜ Ù· ÔÈÎfi‰· ∞ Î·È µ Î·È ·fi ÙÔ Î · ı ¤ Ó · Â È Û ¤  Ú · Í Â 5 0 . 0 0 0  ˘ Ú Ò . ∞ Ó Ì Â Ù · x–1 ¯Ú‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ ·ÁfiÚ·Û ÙÔ ‰È·Ì¤ÚÈÛÌ· °, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı m 2 ÙÔ˘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÛÙÔȯ›˙ÂÈ fiÛÔ ¤Ó· m 2 ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ∞ Î·È ¤Ó· m 2 x ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ µ. (√È ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ‰›ÓÔÓÙ·È Û m).

Λύση

x

x

A x+1

x

B

° 1 1

Afi οı ÔÈÎfiÂ‰Ô ÂÈÛ¤Ú·Í 50000 ¢ÚÒ, ÔfiÙ ÁÈ· ÙËÓ ·ÁÔÚ¿ ÙÔ˘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ ¤‰ˆÛ 100000 ¢ÚÒ. ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ∞ Â›Ó·È x(x – 1) m2, ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ µ Â›Ó·È x(x + 1) m2 Î·È ÙÔ˘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ ° Â›Ó·È (x2 – 1) m2. ∫¿ı 50000 50000 m2 ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ∞ ÛÙÔȯ›˙ÂÈ Â˘ÚÒ, ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ µ ÛÙÔȯ›˙ÂÈ x(x – 1) x(x +1) 100000 ¢ÚÒ Î·È ÙÔ˘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ ° ÛÙÔȯ›˙ÂÈ Â˘ÚÒ. ÕÚ· ¤¯Ô˘ÌÂ: x2 – 1 – x+1 x 1 50000 50000 50000(x +1) + 50000(x – 1) 100000x 100000 + = = = x(x – 1) x(x +1) x(x –1)(x +1) x(x –1)(x+1) x2 – 1 ¢ËÏ·‰‹, οı m2 ÙÔ˘ ‰È·ÌÂÚ›ÛÌ·ÙÔ˜ ° ÛÙÔȯ›˙ÂÈ fiÛÔ ¤Ó· m2 ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ∞ Î·È ¤Ó· m2 ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ µ. 79

075-084

3-11-06

01:26

™ÂÏ›‰·80

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. x 1 1 1 2 ·) ‚) + =1 + = x+1 x+1 x y x+y Á)

·+4 4 – =1 · ·

‰)

x 1+x = ˆ ˆ

ÛÙ)

Â) 1 +

2

· ·+2 2 – = x x x

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ¤ÁÚ·„ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Î·È Ô Î·ıËÁËÙ‹˜ ÙÔ˘ › fiÙÈ Û οÔÈÔ ÛËÌÂ›Ô ¤Î·Ó ¤Ó· Ï¿ıÔ˜. ªÔÚ›Ù ӷ ÂÓÙÔ›ÛÂÙ ÙÔ Ï¿ıÔ˜ ·˘Ùfi; · ‚ · ‚ ·–‚ ·) + = – = =1 ·– ‚ ‚– · ·– ‚ ·– ‚ ·– ‚ ‚)

3

·+‚ ·+‚ + =0 ·–‚ ‚–·

3x + 2 2x – 1 3x + 2 – 2x – 1 x+1 – = = =1 x+1 x+1 x+1 x+1

N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: x x ·) ‚) – .......... = 0 +.......... = 1 x+6 x+6 ‰) .......... –

Á) ..........+

5 1 2x – 1 Â) = +.......... = 2 x+2 x+2 x

ÛÙ)

x 2x = x+1 x+1

3x + 8 – .......... = 3 x

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 1 1 3 2 – ·) ‚) + x y x+1 x

80

1 1 – 2 y y

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: 2x 3 y–6 4 – – ·) ‚) 2 2x – 6 x–3 y + 2y y+2 ‰)

3

Á)

1 x + 2x + 12 36 – x2

Â)

Á)

9x 3ˆ + 2 x – xˆ ˆ – xˆ

ÛÙ)

2

¡· ·ÏÔÔÈ‹ÛÂÙÂ Ù· ÎÏ¿ÛÌ·Ù·: 1 1 y–2+ x– y x ·) ‚) 1 1 y– 1+ y x

Á)

‰)

1 ˆ+1 + ˆ 1 1– ˆ3

1 2 – 2 2 ˆ ˆ +1

3ˆ + 6 4 – 2 ˆ –4 2ˆ – 4 ·+7 3 – · + 4· + 3 · + 1 2

1 1 – · ‚ ‰) ‚ · – · ‚

075-084

3-11-06

01:26

™ÂÏ›‰·81

1.10 ¶Ú¿ÍÂȘ ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

4

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: x–2 4 8 – 2 ·) + x x–2 x – 2x 2 3 y2 – 6 – + 2 y–2 y–3 y – 5y + 6

Á)

5

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: x 1 x+3 – ·) 1+ 2x + 1 2x – 1 4x – 3

(

Á)

6

(

)(

1–

2·‚ 2 · + ‚2

)(

)

· ·+‚ + ‚ ·–‚

·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ

·) ∞Ó ∞ =

3 2 2x + 16y – + 2 x + 2y x – 2y x – 4y2

‰)

x2 y2 2xy2 – 2 + x–y x+y x – y2

‚)

)

‰)

x–3 x2 – 3 x+3 : + x2 – 1 (x –1)2 (x –1)2

(

· ‚ ·2 ‚2 + –1 : + ‚ · ‚ ·

) (

)

x3 – y3 + xy = (x + y)2. x–y

‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË

7

‚)

563 – 443 + 56 44. 12

2x x2 – 1 Î·È µ = 2 , Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ∞2 + µ2 = 1. x +1 x +1 2

‚) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 1, ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

200 9999 , ·ÔÙÂÏÔ‡Ó Ì‹ÎË Ï¢ÚÒÓ 10001 10001

°∂¡π∫∂™ ∞™∫∏™∂π™ 1Ô˘ ∫∂º∞§∞π√À 1

¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ∫ = ·3 – (1 + ·)–2 + 4

(

‚ 1 + · 2

)

–1

+

(

‚ – 2004 ·

) , ·Ó Â›Ó·È · = – 32 Î·È ‚ = 3. 2004 0

(¢È·ÁˆÓÈÛÌfi˜ «£·Ï‹˜» ∂.ª.∂. 2002).

2

°È· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ Ó, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) (· – ‚ + 3Á)2Ó+1 + (‚ – · – 3Á)2Ó+1 = 0 ‚) (x – y – ˆ)2Ó – (y + ˆ – x)2Ó = 0

3

∞Ó ÈÛ¯‡ÂÈ ∞=

4

x = – 1 , Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙˆÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ: 2 y

4x2 – 6xy + y2 x2 + y2

B=

2x3 – 2xy2 + 3y3 x2y + y3

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) = –2x2 + 2x + 800. ·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ƒ(1 – x) = P(x). ‚) ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÚÈıÌËÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ƒ(100) Î·È ƒ(–99).

81

075-084

3-11-06

01:26

™ÂÏ›‰·82

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

5

·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ·3 + ‚3 + Á3 – 3·‚Á = (· + ‚ + Á)(·2 + ‚2 + Á2 – ·‚ – ‚Á – Á·). (∆·˘ÙfiÙËÙ· ∂uler). 3 3 3 ‚) ∞Ó · + ‚ + Á = 0, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ · + ‚ + Á = 3·‚Á. Á) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË (x – y)3 + (y – ˆ)3 + (ˆ – x)3.

6

AÓ · + ‚ = –

1 Î·È ·‚ = – 7 , ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: 3 3

·) ·2 + ‚2 = 43 9

‚) (3· + 1)2 + (3‚ + 1)2 + 9(· + ‚) = 40

7

AÓ ÁÈ· ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x, y ÈÛ¯‡ÂÈ ÌÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› x, y Â›Ó·È ›ÛÔÈ ‹ ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ. ·) x4 – 2y2 = x2(y2 – 2) ‚) x3 + y3 = x2y + xy2

8

·) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ٷ ÙÚÈÒÓ˘Ì· x2 + 4x + 3,

x2 + 2x – 3. 1 1 1 ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ∞ = 2 + 2 + 2 x + 4x + 3 x –1 x + 2x – 3

9

¢›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ∞ = x(x + 3) Î·È µ = (x + 1)(x + 2). ·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ µ = ∞ + 2 Î·È ∞µ + 1 = (∞ + 1)2. ‚) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1.

10

·) ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È 16x4 + 8x2 + . ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘. ‚) ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Ì ·ÎÙ›Ó˜ 4x Î·È 4x2 – 1.

11

·) AÓ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Î Â›Ó·È ·Î¤Ú·ÈÔ˜, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Î2 + Î Â›Ó·È ¿ÚÙÈÔ˜. ‚) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ·‚ˆÓ ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ, ·Ó ‰È·ÈÚÂı› Ì ÙÔ 6, ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ 1. Á) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ‰‡Ô ÂÚÈÙÙÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 8.

12

·) ¡· οÓÂÙ ÙË ‰È·›ÚÂÛË (x6 – 1) : (x – 1) Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 7 6 – 1 Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 6. ‚) ¡· οÓÂÙ ÙË ‰È·›ÚÂÛË (x5 + 1) : (x + 1) Î·È ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Ù˘ ∂˘ÎÏ›‰ÂÈ·˜ ‰È·›ÚÂÛ˘ Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 215 + 1 Â›Ó·È ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 9.

13

·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ

1 1 1 – = . (x – 1)x x–1 x

‚) ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÈÛfiÙËÙ· Ó· ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÂÙ ÙÔ x ‰È·‰Ô¯Èο Ì ÙȘ ÙÈ̤˜ 2, 3, 4, 1 1 1 1 2007 ..., 2008 Î·È Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ + + + ... + = 1 2 2 3 3 4 2007 2008 2008

82

7-11-06

21:40

™ÂÏ›‰·83

1.10 ¶Ú¿ÍÂȘ ÚËÙÒÓ ·Ú·ÛÙ¿ÛˆÓ

E¶∞¡∞§∏æ∏ – ∞¡∞∫∂º∞§∞πø™∏ 1o˘ K∂º∞§∞π√À Α . ΜΟΝΩΝΥΜΑ – ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÌÔÓÒÓ˘Ì·

ñ ∞ÏÁ‚ÚÈ΋ ¶·Ú¿ÛÙ·ÛË Â›Ó·È ÌÈ· ¤ÎÊÚ·ÛË Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ .¯. 2x 2 – 3χy + 4 ñ ∞ÚÈıÌËÙÈ΋ ∆ÈÌ‹ ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ, ·Ó ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙȘ ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Ù˘ Ì ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ. ñ ªÔÓÒÓ˘ÌÔ Ï¤ÁÂÙ·È ÌÈ· ·Î¤Ú·È· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÛÙËÓ ÔÔ›· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ Î·È ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ Ù˘ ÛËÌÂÈÒÓÂÙ·È ÌfiÓÔ Ë Ú¿ÍË ÙÔ˘ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌÔ‡. .¯. –3x 2y (–3 συντελεστής, x 2y κύριο µέρος του µονώνυµου). ñ ŸÌÔÈ· ϤÁÔÓÙ·È Ù· ÌÔÓÒÓ˘Ì· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Î‡ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜, .¯. –3x 2y , 7χ2y, –x2y – Ë ¶ÚfiÛıÂÛË Î·È Ë ∞Ê·›ÚÂÛË ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ ¤¯ÂÈ Û·Ó ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ, ÂÊfiÛÔÓ ·˘Ù¿ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ÕıÚÔÈÛÌ· ÔÌÔ›ˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ¤Ó· ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ fiÌÔÈÔ Ì ·˘Ù¿, Ô˘ ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ ÙÔ˘˜. .¯. 2x 2y + 3χ2y – χ2y = 4χ2y AÓ·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ Ï¤ÁÂÙ·È Ë ·ÓÙÈηٿÛÙ·ÛË ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜. .¯. 6x 2 + 2χ – 4χ2 + 3χ = 2χ2 + 5χ – Ô ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·ÛÌfi˜ Î·È Ë ¢È·›ÚÂÛË ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Á›ÓÔÓÙ·È Â›Ù ٷ ÌÔÓÒÓ˘Ì· Â›Ó·È fiÌÔÈ· ›Ù fi¯È. °ÈÓfiÌÂÓÔ ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È ¤Ó· ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ ÌÂ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ ÙÔ˘˜ Î·È Î‡ÚÈÔ Ì¤ÚÔ˜ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÙÔ˘˜, Ì ÂÎı¤ÙË Î·ıÂÌÈ¿˜ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÎıÂÙÒÓ ÙÔ˘˜. .¯. (3x 2y) (–2χy3) = – 6x3y4 ¶ËÏ›ÎÔ ‰‡Ô ÌÔÓˆÓ‡ÌˆÓ Â›Ó·È Ë ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ Â›Ó·È ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚÂÙ¤Ô˘ Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË. 1 –12x4y 4 2 4 .¯. (–12x y) : (3χ y) = –12x y = = – 4x2 3χ2y 3χ2y

ñ ¶ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ï¤ÁÂÙ·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÌÔӈӇ̈Ó, Ô˘ ‰‡Ô ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi ·˘Ù¿ ‰ÂÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. .¯. 3x 2y – 5χy + 2 (∆Ô ÌÔÓÒÓ˘Ì· 3x 2y,, 5χy,, 2 ϤÁÔÓÙ·È fiÚÔÈ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘).

¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·

075-084

– °È· Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì - ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ‚Á¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ. – °È· Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ·) ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ Ì ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ÙÔ ÌÔÓÒÓ˘ÌÔ Ì οı fiÚÔ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· οÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ. ‚) ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ Ì ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì οı fiÚÔ ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ Ì οı fiÚÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· οÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ. – ∞Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÔÏ˘ÒÓ˘Ì· ¢(x) Î·È ‰(x) Ì ‰(x) 0 Î·È Î¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰È·›ÚÂÛË ¢(x) : ‰(x), ÙfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¤Ó· ÌÔÓ·‰ÈÎfi ˙‡ÁÔ˜ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌˆÓ (x) Î·È ˘(x) ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ: ∆(x) = δ(χ)π(χ) + υ(χ) (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης) fiÔ˘ ÙÔ ˘(x) ‹ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì Ìˉ¤Ó ‹ ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ‚·ıÌfi ÙÔ˘ ‰(x). AÓ ˘(x) = 0, ÙfiÙÂ Ë ‰È·›ÚÂÛË Ï¤ÁÂÙ·È Ù¤ÏÂÈ· Î·È Ù· ‰(x) Î·È (x) ϤÁÔÓÙ·È ·Ú¿ÁÔÓÙ˜ ‹ ‰È·ÈÚ¤Ù˜ ÙÔ˘ ¢(x).

83

075-084

3-11-06

01:26

™ÂÏ›‰·84

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

Β. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ñ √È ÈÛfiÙËÙ˜ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ Î·È ÔÈ Ôԛ˜ ·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÁÈ· fiϘ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ÌÂÙ·‚ÏËÙÒÓ ÙÔ˘˜ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù·˘ÙfiÙËÙ˜. ∞ÍÈÔÛËÌ›ˆÙ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ ›ӷÈ:

∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜

(· + ‚)2 = ·2 + 2·‚ + ‚2

∆ÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ‰È·ÊÔÚ¿˜

(· – ‚)2 = ·2 – 2·‚ + ‚2

∫‡‚Ô˜ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜

( · + ‚ ) 3 = · 3 + 3 · 2‚ + 3 · ‚ 2+ ‚ 3

∫‡‚Ô˜ ‰È·ÊÔÚ¿˜

( · – ‚ ) 3 = · 3 – 3 · 2‚ + 3 · ‚ 2 – ‚ 3

°ÈÓfiÌÂÓÔ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ Â› ‰È·ÊÔÚ¿

(· + ‚)(· – ‚) = ·2 – ‚2

¢È·ÊÔÚ¿ ·‚ˆÓ

( · – ‚ ) ( · 2 + · ‚ + ‚ 2) = · 3 – ‚ 3

ÕıÚÔÈÛÌ· ·‚ˆÓ

( · + ‚ ) ( · 2 – · ‚ + ‚ 2) = · 3 + ‚ 3

Γ. ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ñ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË Â›Ó·È Ô ÌÂÙ·Û¯ËÌ·ÙÈÛÌfi˜ ÌÈ·˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ·fi ¿ıÚÔÈÛÌ· Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ. ∏ ·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË Á›ÓÂÙ·È Û ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ ˘¿Ú¯ÂÈ:

∫ÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ Û’ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜

·x + ‚x = x(· + ‚)

∫ÔÈÓfi˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ Û ÔÌ¿‰Â˜ fiÚˆÓ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘

·x + ·y + ‚x + ‚y = = ·(x + y) + ‚(x + y) = (· + ‚)(x + y)

¢È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ

·2 – ‚2 = (· + ‚)(· – ‚)

ÕıÚÔÈÛÌ· – ¢È·ÊÔÚ¿ ·‚ˆÓ

· 3 + ‚ 3 = ( · + ‚ ) ( · 2 – · ‚ + ‚ 2) · 3 – ‚ 3 = ( · – ‚ ) ( · 2 + · ‚ + ‚ 2)

∞Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘

·2 + 2·‚ + ‚2 = (· + ‚)2 ·2 – 2·‚ + ‚2 = (· – ‚)2

∆ÚÈÒÓ˘ÌÔ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x2 + (· + ‚)x + ·‚

x2 + (· + ‚)x + ·‚ = (x + ·)(x + ‚)

∆. ΡΗΤΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ñ ªÈ· ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ô˘ Â›Ó·È ÎÏ¿ÛÌ· Ì fiÚÔ˘˜ ÔÏ˘ÒÓ˘Ì·, ϤÁÂÙ· ÚËÙ‹ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‹ ·ÏÒ˜ ÚËÙ‹ ·Ú¿ÛÙ·ÛË. .¯.

2x 2 – 5 χ + 4

√È ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ÌÈ·˜ ÚËÙ‹˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ¿ÚÔ˘Ó ÙÈ̤˜ Ô˘ ÌˉÂÓ›˙Ô˘Ó ÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. °È· Ó· ·ÏÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÌÈ· ÚËÙ‹ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÔ‡ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ Ù˘ Î·È ‰È·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÔÓ ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ·. √È Ú¿ÍÂȘ Ì ÙȘ ÚËÙ¤˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ Á›ÓÔÓÙ·È fiˆ˜ Î·È ÔÈ Ú¿ÍÂȘ ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÈÎÒÓ ÎÏ·ÛÌ¿ÙˆÓ.

84

(085-088)

3-11-06

01:45

™ÂÏ›‰·85

2o ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ

EΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.1 Η εξίσωση αx + β = 0 2.2 Εξισώσεις 2ου βαθµού 2.3 Προβλήµατα εξισώσεων 2ου βαθµού 2.4 Κλασµατικές εξισώσεις 2.5 Ανισότητες – Ανισώσεις µε έναν άγνωστο Γενικές ασκήσεις 2ου κεφαλαίου Επανάληψη – Ανακεφαλαίωση

(085-088)

3-11-06

2.1

01:45

™ÂÏ›‰·86

∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0

✔

Θυµάµαι πώς λύνονται οι εξισώσεις πρώτου βαθµού.

✔

Αναγνωρίζω αν µια εξίσωση έχει µοναδική λύση ή είναι αδύνατη ή είναι ταυτότητα.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ŒÓ·˜ Ù·¯˘‰ÚfiÌÔ˜ ÍÂÎÈÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ ¯ˆÚÈfi ∞ Î·È ·ÊÔ‡ ÂÈÛÎÂÊı› ‰È·‰Ô¯Èο Ù· ¯ˆÚÈ¿ µ Î·È °, ÂÈÛÙÚ¤ÊÂÈ ÛÙÔ ¯ˆÚÈfi ∞. ∏ ‰È·‰ÚÔÌ‹ µ° Â›Ó·È 1 km ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ ∞µ Î·È Ë °∞ Â›Ó·È 1 km ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙË µ°. ∞ B ªÔÚ›Ù ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛÔ ·¤¯Ô˘Ó Ù· ¯ˆÚÈ¿ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂÙ fiÙÈ Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ ·fiÛÙ·ÛË Ô˘ ‰È‹Ó˘ÛÂ Ô Ù·¯˘‰ÚfiÌÔ˜ ‹Ù·Ó: ·) 15 km; ‚) ÙÔ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ Ù˘ ÚÒÙ˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜; Á) ÙÔ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜; ° ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË Ì¿ı·Ì ӷ χÓÔ˘Ì ÂÍÈÛÒÛÂȘ, fiˆ˜ 3x = 12, – 4y + 11 = 0, Î.Ù.Ï. ™ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ¿ÁÓˆÛÙÔ˜ Î·È Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÂÎı¤Ù˘ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1. ™Â ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì Â͛ۈÛË 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ (ÚˆÙÔ‚¿ıÌÈ· Â͛ۈÛË) . ∏ Â͛ۈÛË 3x = 12, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔ˜ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· Ì›· ÌfiÓÔ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘, ÙËÓ x = 4. O ·ÚÈıÌfi˜ 4, Ô˘ Â·ÏËı‡ÂÈ ÙËÓ Â͛ۈÛË 3x = 12, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ï‡ÛË ‹ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘. À¿Ú¯Ô˘Ó fï˜ Î·È ÂÍÈÛÒÛÂȘ, fiˆ˜ ÔÈ 0x = –3 ‹ 0x = 0, ÛÙȘ Ôԛ˜ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. ∏ Â͛ۈÛË 0x = –3 ‰ÂÓ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ηÌÈ¿ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ·ÊÔ‡ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ 0x Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó Î·È ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì –3. ªÈ· Ù¤ÙÔÈ· Â͛ۈÛË, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·‰‡Ó·ÙË . ∏ Â͛ۈÛË fï˜, 0x = 0 Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ù·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË . ∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ: ∏ Â͛ۈÛË fï˜, 0x = 0 Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x ‚Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ñ ∞Ó · ≠ 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = –  · Ù·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË . ñ ∞Ó · = 0 , ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 0x = –‚ Î·È ‚ ≠ 0, ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ·‰‡Ó·ÙÛ˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ Ë ), ÂÓÒ Ï‡ÛË (· ∞fi– Ù··ÓÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· fiÙÈ: – ·Ó ‚ = 0 , οı ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ (ÙÙ·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË ).

86

(085-088)

3-11-06

01:45

™ÂÏ›‰·87

2.1 ∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË

x–1 2x + 1 – =x+1 2 6

Λύση x–1 2x + 1 – =x+1 2 6

ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ. ñ ∞·Ï›ÊÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜.

6

x–1 2x + 1 –6 =6 x+6 1 2 6

ñ ∫¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Î·È ‚Á¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ.

3(x – 1) – (2x + 1) = 6x + 6 3x – 3 – 2x – 1 = 6x + 6 ñ Èڛ˙Ô˘Ì ÁÓˆÛÙÔ‡˜ ·fi ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜. 3x – 2x – 6x = 6 + 3 + 1 ñ ∫¿ÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ. –5x = 10 ñ ¢È·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ –5x 10 = Ì ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘. –5 –5 x =–2 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = – 2

2

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 3(x + 2) – 3 = 3x + 5

‚) 2(x – 1) – x = x – 2

Λύση ·) 3(x + 2) – 3 = 3x + 5 3x + 6 – 3 = 3x + 5 3x – 3x = 5 – 6 + 3 0x = 2 H Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· η̛· ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

‚) 2(x – 1) – x = x – 2 2x – 2 – x = x – 2 2x – x – x = 2 – 2 0x = 0 ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· οı ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ÔfiÙÂ Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂÙ Û οı Â͛ۈÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙÔ ÛˆÛÙfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞ ·.

3x = 7

‚.

0x = 0

Á.

0x = 5

‰.

5x = 0

™Ù‹ÏË µ ·

‚

Á

‰

1. Œ¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË 2. ∂›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË 3. ∂›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·

87

(085-088)

3-11-06

01:45

™ÂÏ›‰·88

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

2

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. 1 ·) ∏ Â͛ۈÛË x= 2 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = 6. 3 ‚) Á) ‰) Â)

∏ ∏ ∏ ∏

Â͛ۈÛË Â͛ۈÛË Â͛ۈÛË Â͛ۈÛË

4x = 0 Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË. 0x = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi. 0x = 6 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = 6. 5(x + 1) = 5x + 5 Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) –3(x + 2) – 2(x – 1) = 8 + x Á) 5(–ˆ + 2) – 4 = 6 – 5ˆ ¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: x–1 x+3 1 ·) – =x– 2 6 3 Á)

2(ˆ – 1) ˆ + 1 ˆ–5 – = 3 2 6

‚) 4y – 2(y – 3) = 2y + 1 ‰) (2x + 1)2 + 5 = 4(x2 – 10)

‚)

y+5 y 3y – =1– 5 2 10

‰) 0,2(3x – 4) – 5(x – 0,4) = 0,4(1 – 10x)

3

To ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ ÂÏ·ÙÙÔ‡ÌÂÓÔ Î·Ù¿ 5 Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ·˘ÍË̤ÓÔ Î·Ù¿ 10. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜;

4

ƒÒÙËÛ·Ó Î¿ÔÈÔÓ fiÛ· ¢ÚÒ ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ÔÚÙÔÊfiÏÈ ÙÔ˘ ÎÈ ÂΛÓÔ˜ ·¿ÓÙËÛÂ: «∞Ó Â›¯· fiÛ· ¤¯ˆ Î·È Ù· ÌÈÛ¿ ·ÎfiÌ· Î·È ‰¤Î· ·Ú·¿Óˆ, ı· ›¯· ÂηÙfi». ªÔÚ›, ¿Ú·ÁÂ, Ì ٷ ¯Ú‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ¤Ó· ·ÓÙÂÏfiÓÈ Ô˘ ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 65 C;

5

√ ηıËÁËÙ‹˜ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Â› ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘: – ™ÎÂÊÙ›Ù ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Î·È ‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛÙ ÙÔÓ. – ™ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ÚÔÛı¤ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 10. – ∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· Ô˘ ‚ڋηÙ ӷ ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÛÂÙ Ì ÙÔ 2 Î·È ·fi ÙÔ ËÏ›ÎÔ Ó· ·Ê·ÈÚ¤ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÛÎÂÊًηÙ ·Ú¯Èο. – ∫¿ı ̷ıËÙ‹˜ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ‚ÚÂÈ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 5, ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi ÛΤÊÙËΠ·Ú¯Èο. ªÔÚ›Ù ӷ ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ηıËÁËÙ‹;

6

µ ŒÓ·˜ Ô‰ËÏ¿Ù˘ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙËÓ fiÏË ∞ Î·È ÎÈÓÂ›Ù·È ÚÔ˜ ÙËÓ fiÏË µ Ì ̤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· 16 km/h. ªÈ· ÒÚ· ·ÚÁfiÙÂÚ·, ÌÈ· Ê›ÏË ÙÔ˘ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙËÓ fiÏË µ Î·È Ì ̤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· 12 km/h ÎÈÓÂ›Ù·È ÚÔ˜ ÙËÓ fiÏË ∞ ÁÈ· Ó· ÙÔÓ Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÂÈ. ∞Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‰‡Ô fiÏÂˆÓ Â›Ó·È 44 km, Û fiÛ˜ ÒÚ˜ ·fi ÙËÓ ÂÎΛÓËÛË ÙÔ˘ Ô‰ËÏ¿ÙË ı· Û˘Ó·ÓÙËıÔ‡Ó;

88

∞

(089-098)

7-11-06

16:16

2. 2

™ÂÏ›‰·89

∂ÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

✔ Λύνω εξισώσεις δευτέρου βαθµού µε ανάλυση σε γινόµενο παραγόντων. ✔ Βρίσκω το πλήθος των λύσεων µιας εξίσωσης δευτέρου βαθµού και υπολογίζω τις λύσεις της µε τη βοήθεια τύπου. ✔ Μετατρέπω ένα τριώνυµο σε γινόµενο παραγόντων.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ŒÓ·˜ Ì˯·ÓÈÎfi˜ ۯ‰›·Û ÌÈ· ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹ Î·È ÛÙËÓ ÚfiÛÔ„‹ Ù˘ ÚÔ¤‚Ï„ ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÌÈ·˜ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜ Î·È ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ 9 m Î·È 1 m. ™ÙÔ Û¯¤‰ÈÔ Ô˘ ·ÚÔ˘Û›·Û ÛÙÔÓ È‰ÈÔÎÙ‹ÙË Ù˘ ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹˜ Ë ‚ÂÚ¿ÓÙ· Î·È ÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ Â›¯·Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ. ·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ· ̤ÙÚ· ‹Ù·Ó Ë ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜. 9m

1m

√ ȉÈÔÎÙ‹Ù˘ fï˜, ıÂÒÚËÛ ÛÙÂÓfi ÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ Î·È ˙‹ÙËÛ ·fi ÙÔ Ì˯·ÓÈÎfi Ó· ·˘Í‹ÛÂÈ ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Î·È Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜ ηٿ Ù· ›‰È· ̤ÙÚ·, ÒÛÙ ӷ ¤¯Ô˘Ó Î·È ¿ÏÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ. ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ· ̤ÙÚ· ¤ÚÂ ӷ ·˘ÍËı› ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Î·È Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜. ªÂ ÙÔ ·›ÙËÌ· fï˜ ÙÔ˘ ȉÈÔÎÙ‹ÙË, ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜ Î·È ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ ÍÂÂÚÓÔ‡Û ÙÔ fiÚÈÔ Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ÔÏÂÔ‰ÔÌÈÎfi ηÓÔÓÈÛÌfi. ∆ÂÏÈο, ·ÔÊ·Û›ÛÙËΠӷ ÌÂÁ·ÏÒÛÂÈ Ë ‚ÂÚ¿ÓÙ· Î·È ÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ, fiˆ˜ ÙÔ ˙‹ÙËÛÂ Ô È‰ÈÔÎÙ‹Ù˘, Ì ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛË fï˜ Ó· ÌËÓ ¤¯Ô˘Ó È· ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ, ·ÏÏ¿ Ó· ηχÙÔ˘Ó Û˘ÓÔÏÈο 34 m2. Á) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ· ̤ÙÚ· ·˘Í‹ıËΠÙÂÏÈο ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Î·È Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜.

89

(089-098)

3-11-06

01:51

™ÂÏ›‰·90

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

À¿Ú¯Ô˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ Ë Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘˜ Ô‰ËÁ› Û Â͛ۈÛË Ì’ ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ Î·È ÛÙËÓ ÔÔ›· Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÂÎı¤Ù˘ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 2.

x2 = 9, χ2 – 3χ = 0, χ2 + 15χ – 16 = 0

™Â ηıÂÌ›· ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì Â͛ۈÛË 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ (‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ· Â͛ۈÛË) . ∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë ÁÂÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ x Â›Ó·È ·x 2 + ‚x + Á = 0 Ì Â · 0 √È ·ÚÈıÌÔ› ·, ‚, Á ÛÙ·ıÂÚfi˜ fiÚÔ˜ . OÈ x2 – 9 = 0 x2 – 3x = 0 x2 + 15x – 16 = 0

∞

ϤÁÔÓÙ·È Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘. √ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ Á ϤÁÂÙ·È Î·È Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ›ӷÈ: : ·=1 ‚=0 Á = –9 : ·=1 ‚ = –3 Á=0 : ·=1 ‚ = 15 Á = –16

∂›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ·Ó¿Ï˘ÛË Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ

£˘ÌfiÌ·ÛÙ fiÙÈ :

∞Ó · ‚ = 0 ÙfiÙÂ · = 0 ‹ ‚ = 0

E›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x 2 + ‚x = 0 Ì · 0 °È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 = 3x ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: x2 = 3x x2 – 3x = 0 x(x – 3) = 0

ñ ªÂٷʤÚÔ˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÛÙÔ · ̤ÏÔ˜. ñ ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ · ̤ÏÔ˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ñ °È· Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ x(x – 3) ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó Ú¤ÂÈ x = 0 ‹ x – 3 = 0.

x=0 ‹ x–3=0 x=0 ‹ x=3 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = 0 Î·È x = 3

E›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x 2 + Á = 0 Ì · 0 °È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 – 9 = 0, ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜: ñ ∆Ô · ̤ÏÔ˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ Î·È ÙÔ ‚ ̤ÏÔ˜ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. ñ ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ · ̤ÏÔ˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ñ °È· Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ (x – 3)(x + 3) ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó Ú¤ÂÈ x – 3 = 0 ‹ x + 3 = 0

90

x2 – 9 x2 – 32 (x – 3) (x + 3)

= 0 = 0 = 0

x–3=0 ‹ x+3=0 x = 3 ‹ x = –3 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = 3 Î·È x = –3

(089-098)

3-11-06

01:51

™ÂÏ›‰·91

2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

2Ô˜ ÙÚfiÔ˜: ñ ŸÙ·Ó · Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜, Ë Â͛ۈÛË x2 = · ¤¯ÂÈ · Î·È x = – · ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x =

x2 – 9 = 0 x2 = 9 9 ‹ x = – 9 x = x = 3 ‹ x = –3

°È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 16 = 0, ·Ó ÂÚÁ·ÛÙԇ̠fiˆ˜ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È x2 = –16. H Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË), ÁÈ·Ù› ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î¿ı Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‹ Ìˉ¤Ó Î·È ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì –16. ∞Ó · Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË x2 = · ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË) ∏ Â͛ۈÛË x2 = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = 0. H χÛË ·˘Ù‹ ϤÁÂÙ·È ‰ÈÏ‹ , ÁÈ·Ù› Ë Â͛ۈÛË x2=0 ÁÚ¿ÊÂÙ·È x x = 0, ÔfiÙ x = 0 ‹ x = 0 (‰ËÏ·‰‹ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ÙËÓ ›‰È· χÛË).

E›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x 2 + ‚x + Á = 0 Ì · 0 °È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 9x2 – 6x + 1 = 0 ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ñ ∆Ô ÚÒÙÔ Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· ·2 – 2·‚ + ‚2 = (· – ‚)2 ñ °È· Ó· Â›Ó·È (3x – 1)2 = 0 Ú¤ÂÈ 3x – 1 = 0

9x2 – 6x + 1 = 0 (3x) – 2 3x 1 + 12 = 0 (3x – 1)2 = 0 1 3x – 1 = 0 ‹ x = 3 2

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x =

1 3

°È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 15x – 16 = 0 Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÛÙÔ · ̤ÏÔ˜ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÂÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ ˆ˜ ÂÍ‹˜: x 2 + 15x – 16 = 0 ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ 4x 2 + 60x – 64 = 0 Â͛ۈÛ˘ Ì 4·, fiÔ˘ · Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x2. (2x) 2 + 2 2x 15 = 64 ñ MÂٷʤÚÔ˘Ì ÛÙÔ ‚ ̤ÏÔ˜ ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi fiÚÔ (2x) 2 + 2 2x 15 + 152 = 64 + 152 Î·È ÛÙÔ · ̤ÏÔ˜ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠·Ú¿ÛÙ·ÛË (2x + 15) 2 = 289 Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·2 + 2·‚ ‹ ·2 – 2·‚. 289 ‹ 2x + 15 = – 289 2x + 15 = ñ °È· Ó· Û˘ÌÏËÚˆı› ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·2x + 15 = 17 ‹ 2x + 15 = –17 ÁÒÓÔ˘ ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË ÙÔ ‚2. 2x = 2 ‹ 2x = –32 ñ ÃÚËÛÈÌÔÔÈԇ̛̠· ·fi ÙȘ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ x=1 ‹ x = –16 ·2 + 2·‚ + ‚2 = (· + ‚)2 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ ·2 – 2·‚ + ‚2 = (· – ‚)2 x = 1 Î·È x = –16 ∏ ̤ıÔ‰Ô˜ Ì ÙËÓ ÔÔ›· χ۷Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 15x – 16 = 0 Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ ̤ıÔ‰Ô˜ Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ .

91

(089-098)

3-11-06

01:51

™ÂÏ›‰·92

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 2x 2 = 7x

‚) 3x 2 – 75 = 0

Á) 2x 2 + 8 = 0

Λύση ·)

2x2 = 7x 2x2 – 7x = 0 x(2x – 7) = 0 x = 0 ‹ 2x – 7 = 0 7 x=0‹x = 2

2

3x2 – 75 = 0 3x2 = 75 x2 = 25

‚)

Á)

2x2 + 8 = 0 2x2 = – 8 x2 = – 4

25 ‹ x = – 25 x =

¢ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË

x=5

(·‰‡Ó·ÙË Â͛ۈÛË)

‹ x = –5

N· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË x 2(2x – 1) – 6x(2x – 1) + 9(2x – 1) = 0

Λύση 2 ñ BÁ¿˙Ô˘Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 2x – 1. x (2x – 1) – 6x(2x – 1) + 9(2x – 1) = 0 (2x – 1)(x2 – 6x + 9) = 0 ñ O ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ (2x – 1)(x – 3)2 = 0 Â›Ó·È ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. 2x – 1 = 0 ‹ x–3=0 1 x= ‹ x = 3 (‰ÈÏ‹ χÛË) 2

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) √ ·ÚÈıÌfi˜ 0 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 4x + 3 = 0. ‚) O ·ÚÈıÌfi˜ 3 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 4x + 3 = 0. Á) OÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (x – 2)(x + 1) = 0 Â›Ó·È x = 2 Î·È x = –1. ‰) ∏ Â͛ۈÛË x2 = 16 ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x = 4. Â) H Â͛ۈÛË x2 = –9 ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË. ÛÙ) ∏ Â͛ۈÛË (x – 2)2 = 0 ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ‹ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x = 2.

2

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) H Â͛ۈÛË 5x – 6 = x2 Â›Ó·È 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. ‚) ∏ Â͛ۈÛË x2 + 3x + 8 = x(x + 2) Â›Ó·È 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. Á) ∏ Â͛ۈÛË (Ï – 2)x2 + 5x + 3 = 0 Â›Ó·È i) 1o˘ ‚·ıÌÔ‡, fiÙ·Ó Ï = 2 ii) 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡, fiÙ·Ó Ï 2.

3

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ χÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 = 6x ·ÏÔÔ›ËÛ Ì ÙÔ x Î·È ‚ڋΠfiÙÈ ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙË x = 6. ¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ fï˜ ÙËÓ Â͛ۈÛË ‰È·›ÛÙˆÛ fiÙÈ Â·ÏËı‡ÂÙ·È Î·È ÁÈ· x = 0. ¶Ô‡ ¤ÁÈÓ ÙÔ Ï¿ıÔ˜ Î·È ¯¿ıËÎÂ Ë Ï‡ÛË x = 0;

92

(089-098)

3-11-06

01:51

™ÂÏ›‰·93

2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

3

4 5

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) (x – 4)(x + 1) = 0

‚) y(y + 5) = 0

‰) 7x(x – 7) = 0

Â) 3y

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 = 7x

‚) –y2 = 9y

‰) –2t2 – 18 = 0

Â) –0,2Ê2 + 3,2 = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) (2x – 1)2 – 1 = 0 (x – 9)2 ‰) = 27 3

( 3y – 2) = 0

‚) 3(x + 2)2 = 12 Â) (3x – 1)2 – 4x2 = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) (3x + 1)2 = 5(3x + 1)

‚) 0,5(1 – y)2 = 18

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x(x – 4) = – 4 ‰) 2t2 – 7t + 6 = 0

‚) y2 + y – 12 = 0 Â) 3Ê2 + 1 = 4Ê

Á) (3 – ˆ)(2ˆ + 1) = 0 ÛÙ)

( 12 – ˆ)(2ˆ – 1) = 0

Á) 2ˆ2 – 72 = 0 z2 ÛÙ) – 0,5z = 0 6 Á) (x + 1)2 = 2x ÛÙ) (x + 3)2 – 3 = 0

Á) (2ˆ2 + 1)(ˆ2 – 16) = 0

Á) ˆ2 – 2ˆ – 15 = 0 ÛÙ) 5z2 – 3z – 8 = 0

6

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 25x2 + 10x + 1 = 0 ‚) y2(y – 2) + 4y(y – 2) + 4y – 8 = 0 Á) ˆ2 + 2006ˆ – 2007 = 0

7

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 – (· + ‚)x + ·‚ = 0

‚) x2 – ( 3 – 1)x – 3=0

8 1 1 2 3 4

2

3

4

5

OÚÈ˙fiÓÙÈ·: 1. MË ÌˉÂÓÈ΋ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 = 12x – ƒ›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 + 225 = 30x 2. °ÈÓfiÌÂÓÔ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x(x + 4) + 8(x + 4) = 0 3. ÕıÚÔÈÛÌ· ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 10x + 9 = 0 4. ∏ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 = 25 – H ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 = 32x

∫¿ıÂÙ·: 1. ƒ›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 20x + 100 = 0 2. To ·Î¤Ú·ÈÔ ËÏ›ÎÔ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x(x – 15) = x – 15 3. To ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (x – 5)2 – (x – 5) = 0 4. MË ·ÚÓËÙÈ΋ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 144 = 0 5. ƒ›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2(x – 12) + 2007(x – 12) = 0

93

(089-098)

3-11-06

01:51

™ÂÏ›‰·94

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

B

∂›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù‡Ô˘

™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ÂÊ·ÚÌfiÛ·Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô «Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘» ÁÈ· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 15x – 16 = 0. ∆Ë Ì¤ıÔ‰Ô ·˘Ù‹ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘ÌÂ Î·È ÁÈ· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÛÙË ÁÂÓÈ΋ Ù˘ ÌÔÚÊ‹, ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · 0. Œ¯Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο: ·x2 + ‚x + Á = 0 ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ì 4·.

4· ·x2 + 4· ‚x + 4· Á = 0

ñ ªÂٷʤÚÔ˘Ì ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi fiÚÔ ÛÙÔ ‚ ̤ÏÔ˜.

4· 2x2 + 4·‚x = –4·Á

ñ ™ÙÔ · ̤ÏÔ˜ ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ·Ó·Ù‡ÁÌ· (2·x) 2 + 2 2·x ‚ = – 4·Á ÙÔ˜ (2·x + ‚)2. °È· Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÔ˘Ì ÙÔ (2·x) 2 + 2 2·x ‚ + ‚ 2 = ‚ 2 – 4·Á ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ 2·x + ‚ ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· (2·x + ‚) 2 = ‚ 2 – 4·Á ‰‡Ô ̤ÏË ÙÔ ‚2. ∞Ó Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‚2 – 4·Á Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· ¢, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È (2·x + ‚)2 = ¢ Î·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ñ ∞Ó ¢ > 0 , ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: 2·x + ‚ = ± ¢ 2·x = –‚ ± ¢ – ‚ ± ¢ x= 2·

ñ ∞Ó ¢ = 0 , ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: (2·x + ‚)2 = 0 2·x + ‚ = 0

2·x = – ‚ ‚

x = – 2· ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË,

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ, ÙȘ x =

– ‚ + ¢ – ‚ – ¢ Î·È x = 2· 2·

‚

ÙËÓ x = – 2·

·‰‡Ó·ÙË ). ñ ∞Ó ¢ < 0 , ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (· ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‚2 – 4·Á, fiˆ˜ ›‰·ÌÂ, ·›˙ÂÈ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÚfiÏÔ ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · 0, ÁÈ·Ù› Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï‡ÛÂÒÓ Ù˘. °È’ ·˘Ùfi ϤÁÂÙ·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· ¢, ‰ËÏ·‰‹ ¢ = ‚ 2 – 4·Á ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ: ∏ Â͛ۈÛË ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · 0. – ‚ ± ¢ ñ ∞Ó ¢ > 0 , ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ ÙȘ x = 2· ñ ∞Ó ¢ = 0 , ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË ÙËÓ x = – ñ ∞Ó ¢ < 0 , ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË).

94

‚ 2·

(089-098)

7-11-06

16:17

™ÂÏ›‰·95

2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 2x 2 + 5x + 3 = 0 ‚) 6x 2 – 5x + 2 = 0

Á) –16x 2 + 8x – 1 = 0

Λύση

·) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x2 + 5x + 3 = 0 Â›Ó·È · = 2, ‚ = 5, Á = 3, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = 52 – 4 2 3 = 25 – 24 = 1 > 0. – ‚ ± ¢ – 5 ± 1 –5 ± 1 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = = = , 2· 2 2 4 –5 + 1 –5 – 1 3 ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = = –1 ‹ x = =– 4 4 2

‚) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 6x2 – 5x + 2 = 0 Â›Ó·È · = 6, ‚ = –5, Á = 2, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (–5)2 – 4 6 2 = 25 – 48 = –23 < 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË). Á) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË –16x2 + 8x – 1 = 0 Â›Ó·È · = –16, ‚ = 8, Á = –1, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = 82 – 4 (–16) (–1) = 64 – 64 = 0. ‚ 8 1 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x = – =– = 2· 2 (–16) 4

2

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 9x 2 – (5x – 1) 2 = 2x

‚)

x(x + 3) x–6 1 – = 3 6 2

Λύση ·) 9x2 – (5x – 1)2 = 2x 9x2 – (25x2 – 10x + 1) = 2x 9x2 – 25x2 + 10x – 1 – 2x = 0 –16x2 + 8x – 1 = 0 1 x= (‰ÈÏ‹ χÛË) 4 (¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1Á)

x(x + 3) x–6 1 – = 3 6 2

‚) 6

x(x + 3) x–6 1 – 6 =6 3 6 2

2x(x + 3) – (x – 6) = 3 2x2 + 6x – x + 6 – 3 = 0 2x2 + 5x + 3 = 0 3 x = –1 ‹ x = – (¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1·) 2

3

·) ¡· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË 2x 2 – 8x + 6 = 0. ‚) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËı› ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x 2 – 8x + 6.

Λύση ·) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x2 – 8x + 6 = 0 Â›Ó·È · = 2, ‚ = –8, Á = 6, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (–8)2 – 4 2 6 = 64 – 48 = 16 > 0. 8±4 – ‚ ± ¢ – (–8) ± 16 , ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = ‹ x= = 4 2· 2 2 ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = 3 ‹ x = 1. ‚) 2x2 – 8x + 6 = 2(x2 – 4x + 3) = 2(x2 – 3x – x + 3) = 2 x(x – 3) – (x – 3) = = 2(x – 3)(x – 1) 95

(089-098)

3-11-06

01:51

™ÂÏ›‰·96

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÚȈӇÌÔ˘ ™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ: ñ √È Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 2x2 – 8x + 6 = 0 Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 3 Î·È 1. ñ ∆Ô ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 – 8x + 6 ·Ó·Ï‡ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ˆ˜ ÂÍ‹˜: 2 x2 – 8x + 6 = 2(x – 3)(x – 1)

Γενικά ∞Ó Ú 1 , Ú 2  › Ó · È Ô È Ï ‡ Û Â È ˜ Ù Ë ˜ Â Í › Û ˆ Û Ë ˜ · x 2 + ‚ x + Á = 0 Ì Â · 0 , Ù fi Ù Â Ù Ô Ù Ú È Ò Ó ˘ Ì Ô ·x 2 + ‚x + Á ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Ù‡Ô ·x 2 + ‚x + Á = ·(x – Ú 1)(x – Ú 2) °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë Â͛ۈÛË 2x2 + 5x + 3 = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛÂȘ ÙȘ –1 Î·È –

3 (·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1·). 2

ÕÚ· ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 + 5x + 3 ÁÚ¿ÊÂÙ·È

( 32 ) = 2(x + 1)(x + 32 )

2x2 + 5x + 3 = 2 x – (–1) x – –

OÌÔ›ˆ˜ Ë Â͛ۈÛË –16x2 + 8x – 1 = 0 ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x =

1 (·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1Á). 4

ÕÚ· ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ –16x2 + 8x – 1 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 1 1 1 x– = –16 x – –16x2 + 8x – 1 = –16 x – 4 4 4

(

)(

)

(

)

2

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

AÓ ¢ Â›Ó·È Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · 0, ÙfiÙ ӷ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂÙ Û οı ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ (∞) ÙÔ ÛˆÛÙfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË (µ). ™Ù‹ÏË ∞

2

™Ù‹ÏË µ

·.

¢>0

1. ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ï‡ÛË.

‚.

¢=0

2. ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ.

Á.

¢ 0

3. ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË.

‰.

¢<0

4. ∏ Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË.

·

‚

Á

N· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) ∞Ó Ì›· Â͛ۈÛË 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯ÂÈ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ıÂÙÈ΋, ÙfiÙ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË. ‚) ∞Ó Ì›· Â͛ۈÛË 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯ÂÈ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ıÂÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó, ÙfiÙ ¤¯ÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ï‡ÛË. Á) ∏ Â͛ۈÛË 2x2 + 4x – 6 = 0 ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1 Î·È –3, ÔfiÙ ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 + 4x – 6 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 2x2 + 4x – 6 = (x – 1)(x + 3).

96

‰

(089-098)

3-11-06

01:51

™ÂÏ›‰·97

2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

3

N· ‚Ú›Ù ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Â›Ó·È ÚÔÙÈÌfiÙÂÚÔ Ó· Ï˘ıÔ‡Ó Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ·) 2x2 = 7x ‚) 3x2 – 2x + 8 = 0 Á) –2x2 + 50 = 0 ‰) 5x2 + x – 4 = 0

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ʤÚÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ÚÒÙ˘ ÛÙ‹Ï˘ ÛÙË ÌÔÚÊ‹ ·x2 + ‚x + Á = 0 Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÛًϘ ÙÔ˘ ›Ó·Î·. ·x 2 + ‚ x + Á = 0

E͛ۈÛË

·

‚

Á

x (x – 1) = –2 3x2 + 4 = 2(x + 2) (x – 1)2 = 2(x2 – x)

2

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 – x – 2 = 0 ‰) 2z2 – 3z + 1 = 0 ˙) 3x2 + 18x + 27 = 0

‚) 4y2 + 3y – 1 = 0 Â) –25t2 + 10t – 1 = 0 Ë) x2 – 4x = 5

Á) –2ˆ2 + ˆ + 6 = 0 ÛÙ) 4x2 – 12x + 9 = 0 ı) x2 – 3x + 7 = 0

3

‚) x2 – 16 = 0 ¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 – 7x = 0 i) Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ii) Ì ·Ó¿Ï˘ÛË Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ

4

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 3x2 – 2(x – 1) = 2x + 1 Á) (2ˆ – 3)2 – (ˆ – 2)2 = 2ˆ2 – 11

5

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: x+3 x2 – 1 ·) – =x–2 5 3 Á) 0,5t2 – 0,4(t + 2) = 0,7(t – 2)

6

‚) (y + 2)2 + (y – 1)2 = 5(2y + 3) ‰) Ê(8 – Ê) – (3Ê + 1)(Ê + 2) = 1

‚)

6y + 1 y–2 y2 – = –2 4 6 3

‰)

ˆ ( 3ˆ – 7) = – 3 2

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ٷ ÙÚÈÒÓ˘Ì·: ·) x2 + 4x – 12 ‚) 3y2 – 8y + 5 ‰) x2 – 16x + 64 Â) 9y2 + 12y + 4

Á) –2ˆ2 + 5ˆ – 3 ÛÙ) –ˆ2 + 10ˆ – 25

7

∞Ó ·, ‚ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì · 0, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ï‡ÛË ·) ·x2 – x + 1 – · = 0 ‚) ·x2 + (· + ‚)x + ‚ = 0

8

¢›ÓÂÙ·È Ë Â͛ۈÛË (· + Á)x2 – 2‚x + (· – Á) = 0, fiÔ˘ ·, ‚, Á Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°. ∞Ó Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.

97

(089-098)

7-11-06

16:18

™ÂÏ›‰·98

∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ ∆∏¡ π™∆√ƒπ∞ ∆ø¡ ª∞£∏ª∞∆π∫ø¡ ™Â ÌÈ· ‚·‚˘ÏˆÓÈ΋ Ͽη (ÂÚ›Ô˘ 1650 .Ã.) ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¯·Ú·Á̤ÓÔ Î·È Ï˘Ì¤ÓÔ ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Úfi‚ÏËÌ·(*): « ∞Ó ·fi ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ·Ê·ÈÚ¤Ûˆ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, ı· ‚Úˆ 870. ¡· ‚ÚÂı› Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘». ∆Ô˘˜ Ï·Ô‡˜ Ù˘ ªÂÛÔÔÙ·Ì›·˜ ‰ÂÓ ÙÔ˘˜ ··Û¯ÔÏÔ‡ÛÂ Ë ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÔÛfiÙËÙ·˜, ·ÏÏ¿ Ë ›‰È· ÔÛfiÙËÙ·, fiˆ˜ ·˘Ù‹ ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Ì ÙÔ˘˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (°È’ ·˘Ùfi ÚfiÛıÂÙ·Ó Ì‹ÎÔ˜ Ì ÂÈÊ¿ÓÂÈ·). ∞Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÛËÌÂÚÈÓfi Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi Î·È ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È x, ÙfiÙÂ Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Ô‰ËÁ› ÛÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – x = 870. O B·‚˘ÏÒÓÈÔ˜ Áڷʤ·˜ Ù˘ Ͽη˜ Ì·˜ ÚÔÙ›ÓÂÈ Ó· χÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi ·ÎÔÏÔ˘ıÒÓÙ·˜ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ‚‹Ì·Ù·: ➤ ¶¿Ú ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ 1 Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ➤ ¶ÔÏÏ·Ï·Û›·Û ÙÔ ➤ ¶ÚfiÛıÂÛ ÙÔ ➤ ∆Ô 870

1. 2

1 1 1 Ì ÙÔ , ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· . 2 2 4

1 1 ÛÙÔ 870 Î·È ı· ‚ÚÂȘ 870 . 4 4

1 1 , Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ 29 . 4 2

➤ ¶ÚfiÛıÂÛÂ ÛÙÔ 29

1 1 ÙÔ (Ô˘ ‚ڋΘ ·Ú¯Èο) 2 2

Î·È ı· ‚ÚÂȘ 30.

ñ To 1 Â›Ó·È Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x. (√È µ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ‰Â ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜).

ñ √È µ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ÁÈ· Ó· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÙËÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· ·ÚÈıÌÒÓ Â›¯·Ó ηٷÛ΢¿ÛÂÈ ›Ó·Î˜ Ì ٷ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ñ ŒÎ·Ó·Ó ÚfiÛıÂÛË, fiÙ·Ó ÛÙËÓ Â͛ۈÛË ˘‹Ú¯Â ·Ê·›ÚÂÛË (.¯. x2 – x) Î·È ·Ê·›ÚÂÛË, fiÙ·Ó ÛÙËÓ Â͛ۈÛË ˘‹Ú¯ÂÈ ÚfiÛıÂÛË (.¯. x2 + x)

➤ ∞˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

ñ N· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ô˘ Ì¿ı·Ù ÛÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ·˘Ù‹ Î·È Ó· ÙË Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙËÓ Ú·ÎÙÈ΋ ̤ıÔ‰Ô Ì ÙËÓ ÔÔ›· ¤Ï˘Ó·Ó ÔÈ µ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. ∆È ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ; ñ ∞ÎÔÏÔ˘ıÒÓÙ·˜ Ù· ‚‹Ì·Ù· ÙˆÓ µ·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ Ó· χÛÂÙÂ Î·È ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Úfi‚ÏËÌ· Ô˘ Â›Ó·È ¯·Ú·Á̤ÓÔ ÛÙËÓ ›‰È· Ͽη. «∞Ó ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÚÔÛı¤Ûˆ ÙËÓ 3 ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, ı· ‚Úˆ . ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘;» 4

(*)(∞fi ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ £. ∂Í·Ú¯¿ÎÔ˘: πÛÙÔÚ›· ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, ∆· ª·ıËÌ·ÙÈο ÙˆÓ µ·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ∞Ú¯·›ˆÓ ∞ÈÁ˘Ù›ˆÓ, ÙfiÌÔ˜ ∞ , ∞ı‹Ó· 1997.

98

(099-102)

3-11-06

01:54

2. 3

™ÂÏ›‰·99

¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ÌÔÚԇ̠ӷ χÛÔ˘Ì ÔÏÏ¿ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù˘ ηıËÌÂÚÈÓ‹˜ Ì·˜ ˙ˆ‹˜, Ù˘ √ÈÎÔÓÔÌ›·˜, Ù˘ º˘ÛÈ΋˜ Î.Ù.Ï.

Πρόβληìα 1 ο ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÌÈ· ÎÔÏ˘Ì‚ËÙÈ΋˜ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È 400 m 2. N· ‚Ú›Ù ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘, ·Ó ·˘Ù¤˜ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 41 m.

Λύση ∞Ó Ë Ì›· ‰È¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È x, ÙfiÙÂ Ë ¿ÏÏË ı· Â›Ó·È 41 – x, ·ÊÔ‡ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È 41 m. ∂Âȉ‹ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È 400 m2, ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x(41 – x) = 400 ‹ 41x – x2 = 400 ‹ x2 – 41x + 400 = 0. ™ÙËÓ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È · = 1, ‚ = –41, Á = 400, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (–41)2 – 4 1 400 = 1681 – 1600 = 81 > 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x =

– ‚ ± ¢ 41 ± 41 ± 9 81 , = = 2· 2 2 1

‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = 25 ‹ x = 16. AÓ x = 25, ÙfiÙ 41 – x = 41 – 25 = 16, ÂÓÒ ·Ó x = 16, ÙfiÙ 41 – x = 41 – 16 = 25. EÔ̤ӈ˜, Î·È ÛÙȘ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È 25 m Î·È 16 m.

Πρόβληìα 2 ο ŒÓ·˜ ÔÈÎÔÓÔÌÔÏfiÁÔ˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ fiÙÈ ÌÈ· ‚ÈÔÙ¯ӛ· ÚÔ‡¯ˆÓ ÁÈ· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÈ x 1 2 Ô˘Î¿ÌÈÛ· Íԉ‡ÂÈ x + 20x + 500 ¢ÚÒ. ∞Ó Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· Ô˘Ï¿ÂÈ Î¿ı Ô˘Î¿ÌÈ10 ÛÔ 60 C,, fiÛ· Ô˘Î¿ÌÈÛ· Ú¤ÂÈ Ó· Ô˘Ï‹ÛÂÈ, ÒÛÙ ӷ ÎÂÚ‰›ÛÂÈ 3500 C;;

Λύση ∞Ó Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· Ô˘Ï‹ÛÂÈ x Ô˘Î¿ÌÈÛ·, ı· ÂÈÛÚ¿ÍÂÈ 60x C, ÔfiÙ ı· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ 1 2 x + 20x + 500 C. 60x – 10 ∂Âȉ‹ ı¤ÏÔ˘Ì ÙÔ Î¤Ú‰Ô˜ Ó· Â›Ó·È 3500 C ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 1 2 x + 20x + 500 = 3500 ‹ 60x – 10

(

)

(

)

1 2 x – 20x – 500 = 3500 10 600x – x2 – 200x – 5000 = 35000 x2 – 400x + 40000 = 0 60x –

99

(099-102)

3-11-06

01:54

™ÂÏ›‰·100

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

H ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (– 400)2 – 4 1 40000 = 160000 – 160000 = 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x =

–‚ 400 = = 200. 2· 2 1

∂Ô̤ӈ˜, ÁÈ· Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· 3500 C, Ú¤ÂÈ Ó· Ô˘Ï‹ÛÂÈ 200 Ô˘Î¿ÌÈÛ·.

Πρόβληìα 3 ο ∞fi ¤Ó· ·Î›ÓËÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ‡„Ô˜ h ·Ê‹ÓÂÙ·È Ó· ¤ÛÂÈ ¤Ó·˜ Û¿ÎÔ˜ Ì ¿ÌÌÔ ÁÈ· Ó· ÂÏ·ÊÚ‡ÓÂÈ. ∆·˘Ùfi¯ÚÔÓ·, ÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ÎÈÓÂ›Ù·È Î·Ù·ÎfiÚ˘Ê· ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË 0,5 m/sec 2. ∆Ë ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ Ô Û¿ÎÔ˜ ÊÙ¿ÓÂÈ ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜, ÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ‡„Ô˜ 84 m. ¡· ‚ÚÂı› fiÛÔ ‰È‹ÚÎËÛÂ Ë ÙÒÛË ÙÔ˘ Û¿ÎÔ˘. ™ËÌ›ˆÛË: ∞fi ÙË º˘ÛÈ΋ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ: ñ ∞Ó ¤Ó· ÛÒÌ· ·Ê‹ÓÂÙ·È Ó· ¤ÛÂÈ ·fi ‡„Ô˜ h m, ÙfiÙ ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ Û 1 ¯ÚfiÓÔ t sec, fiÔ˘ h = gt2 Î·È g = 10 m/sec2 ÂÚ›Ô˘. 2 ñ ∞Ó ¤Ó· ÛÒÌ· ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ÎÈÓÂ›Ù·È Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ·, ÙfiÙ Û ¯ÚfiÓÔ t ı· 1 ‰È·Ó‡ÛÂÈ ‰È¿ÛÙËÌ· s = ·t2. 2

Λύση ∞Ó Ë ÙÒÛË ÙÔ˘ Û¿ÎÔ˘ ‰È‹ÚÎËÛ t sec, ÙfiÙ ÛÙÔ ¯ÚfiÓÔ ·˘Ùfi Ô Û¿ÎÔ˜ ‰È‹Ó˘Û ·fiÛÙ·ÛË 1 1 h = gt2 = 10t2 = 5t2, ·ÊÔ‡ g = 10 m/sec2. 2 2 ™ÙÔÓ ›‰ÈÔ ¯ÚfiÓÔ ÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ ·Ó¤‚ËΠηٿ ‡„Ô˜ 1 2 1 1 0,5 t2 = t2 , ·ÊÔ‡ · = 0,5 m/sec2. h = ·t = 2 2 4 EÂȉ‹ h + h = 84, ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 1 5t2 + t2 = 84 ‹ 20t2 + t2 = 336 ‹ 21t2 = 336 4 ‹ t2 = 16, ÔfiÙ t = 4 ‹ t = – 4. ∂Âȉ‹ ÙÔ t ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ¯ÚfiÓÔ, Ú¤ÂÈ t > 0, ÔfiÙÂ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ ÙÒÛ˘ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ‹Ù·Ó t = 4 sec.

100

h 84 m h

h

(099-102)

3-11-06

01:54

™ÂÏ›‰·101

2.3 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ. ·)

‚)

Á)

‰)

‰ =

x

7

x

E = 20 m

2

x

‰=

10 m

2 m

E = 314 m2

x+1

x+2

x

2

¡· ‚Ú›Ù ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙÂ: ·) ∆Ô ÌÈÛfi ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÙÔ˘ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈfi ÙÔ˘. ‚) ∆Ô ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘ Ì’ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi, Ô˘ Â›Ó·È Î·Ù¿ 2 ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜, Ó· Â›Ó·È 24. Á) ∆Ô ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÙÔ˘, Ó· Â›Ó·È Î·Ù¿ 3 ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÂÓÙ·Ï¿ÛÈfi ÙÔ˘.

3

∏ ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÂÓfi˜ ‰Ô¯Â›Ô˘ Ï·‰ÈÔ‡ Â›Ó·È 10 Ï›ÙÚ·. ∞Ó ÙÔ ‰Ô¯Â›Ô ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÂÈ¤‰Ô˘ Ì ‡„Ô˜ 2,5 dm Î·È ‚¿ÛË ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘. (1 Ï›ÙÚÔ = 1dm3)

4

ŒÓ· ÔÈÎfiÂ‰Ô ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì ÂÌ‚·‰fiÓ 150 m2. ∞Ó ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È 5 m ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘, Ó· ‚Ú›Ù fiÛ· ̤ÙÚ· Û˘ÚÌ·ÙfiÏÂÁÌ· ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÊÚ·Í‹ ÙÔ˘.

5

¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ‡˜ ÂÚÈÙÙÔ‡˜ ·ÎÂÚ·›Ô˘˜, Ô˘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÙÔ˘˜ Ó· Â›Ó·È 74.

6

√ ηıËÁËÙ‹˜ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÚfiÙÂÈÓ ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ Ó· χÛÔ˘Ó ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·Û΋ÛÂȘ ÁÈ· Ó· ÂÌ‰ÒÛÔ˘Ó ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· Ô˘ ‰È‰¿¯ÙËηÓ. ŸÙ·Ó ·˘ÙÔ› ÙÔÓ ÚÒÙËÛ·Ó Û ÔÈ· ÛÂÏ›‰· Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤Ó˜ ÔÈ ·Û΋ÛÂȘ, ·˘Ùfi˜ ·¿ÓÙËÛÂ: «∞Ó ·ÓÔ›ÍÂÙ ÙÔ ‚È‚Ï›Ô Û·˜, ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÓÙÈÎÚ˘ÛÙÒÓ ÛÂÏ›‰ˆÓ ̤۷ ÛÙȘ Ôԛ˜ Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤Ó˜ ÔÈ ·Û΋ÛÂȘ, Â›Ó·È 506». ªÔÚ›Ù ӷ ‚Ú›Ù Û ÔȘ ÛÂÏ›‰Â˜ Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤Ó˜ ÔÈ ·Û΋ÛÂȘ;

7

™ÙÔ ÚˆÙ¿ıÏËÌ· Ô‰ÔÛÊ·›ÚÔ˘ ÌÈ·˜ ¯ÒÚ·˜ οı ÔÌ¿‰· ¤‰ˆÛ Ì fiϘ ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÔÌ¿‰Â˜ ‰‡Ô ·ÁÒÓ˜ (ÂÓÙfi˜ Î·È ÂÎÙfi˜ ¤‰Ú·˜). ∞Ó ¤ÁÈÓ·Ó Û˘ÓÔÏÈο 240 ·ÁÒÓ˜, fiÛ˜ ‹Ù·Ó ÔÈ ÔÌ¿‰Â˜ Ô˘ Û˘ÌÌÂÙ›¯·Ó ÛÙÔ ÚˆÙ¿ıÏËÌ·;

8

ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜ 4 cm, 6 cm Î·È 8 cm. ∞Ó Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Î·Ù¿ x cm, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ı· ‹Ù·Ó ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x.

101

(099-102)

7-11-06

16:20

™ÂÏ›‰·102

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

9

√È Ì·ıËÙ¤˜ ÌÈ·˜ Ù¿Í˘ ÚÒÙËÛ·Ó ÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹ ÙÔ˘˜ fiÛÔ ÂÙÒÓ Â›Ó·È Î·È ÔÈ· Â›Ó·È Ë ËÏÈΛ· ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ÙÔ˘. ∂ΛÓÔ˜ ‰ÂÓ ¤¯·Û ÙËÓ Â˘Î·ÈÚ›· Î·È ÙÔ˘˜ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙÈÛ ÁÈ· ÌÈ· ·ÎfiÌË ÊÔÚ¿, ·ÊÔ‡ ÙÔ˘˜ ›Â: «∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÙ ÙËÓ ËÏÈΛ· Ô˘ ›¯· ÚÈÓ 5 ¯ÚfiÓÈ·, Ì ÙËÓ ËÏÈΛ· Ô˘ ı· ¤¯ˆ ÌÂÙ¿ ·fi 5 ¯ÚfiÓÈ· ı· ‚Ú›Ù 1200. ŸÛÔÓ ·ÊÔÚ¿ Ù· ‰‡Ô ·È‰È¿ ÌÔ˘, ·˘Ù¿ Â›Ó·È ‰›‰˘Ì· Î·È ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÙ ‹ ÚÔÛı¤ÛÂÙ ÙȘ ËÏÈ˘ ÙÔ˘˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi». ªÔÚ›Ù ӷ ‚Ú›Ù ÙËÓ ËÏÈΛ· ÙÔ˘ ηıËÁËÙ‹ Î·È ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ÙÔ˘;

10

TÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ʇÏÏÔ˘ ÂÓfi˜ ‚È‚Ï›Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ ηٿ 6 cm. AÓ ‰ÈÏÒÛÔ˘Ì ¤Ó· ʇÏÏÔ ∞µ°¢, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ °¢ Ó· ¤ÛÂÈ ¿Óˆ ÛÙËÓ ∞¢, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ʇÏÏÔ˘ ÌÂÈÒÓÂÙ·È Î·Ù¿ Ù· 3 ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ‰È·ÛÙ¿8 ÛÂȘ οı ʇÏÏÔ˘ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘.

µ

∂

°

∞

°

¢

11

£¤ÏÔ˘Ì ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ¤Ó· ΢ÎÏÈÎfi Û˘ÓÙÚÈ‚¿ÓÈ Î·È Á‡Úˆ ·fi ·˘Ùfi Ó· ÛÙÚÒÛÔ˘Ì Ì ‚fiÙÛ·Ï· ¤Ó· ΢ÎÏÈÎfi ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ Ï¿ÙÔ˘˜ 3 m. ∞Ó Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ô˘ ηχÙÂÈ ÙÔ Û˘ÓÙÚÈ‚¿ÓÈ, Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ Û˘ÓÙÚÈ‚·ÓÈÔ‡.

12

°È· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÌÈ·˜ ÎÏÂÈÛÙ‹˜ ΢ÏÈÓ‰ÚÈ΋˜ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜ η˘Û›ÌˆÓ ‡„Ô˘˜ 6 m, ¯ÚÂÈ¿ÛÙËÎ·Ó 251,2 m2 Ï·Ì·Ú›Ó·˜. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ù˘ ‚¿Û˘ Ù˘ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜.

13

¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÙÒÛË ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜, Ô˘ ·Ê¤ıËΠӷ ¤ÛÂÈ ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∫ ÂÓfi˜ Ô˘Ú·ÓÔ͇ÛÙË, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÛÙ· ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›· ‰Â˘ÙÂÚfiÏÂÙ· Ù˘ ΛÓËÛ‹˜ ÙÔ˘ ‰È‹Ó˘Û ÌÈ· ·fiÛÙ·ÛË ¶∂ ›ÛË Ì ٷ 5 9 ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘ Ô˘Ú·ÓÔ͇ÛÙË. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ‰È‹ÚÎËÛÂ Ë ÙÒÛË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Î·È ÔÈÔ ‹Ù·Ó ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ Ô˘Ú·ÓÔ͇ÛÙË (g = 10 m/sec 2).

K

¶ h

∂

102

(103-109)

3-11-06

01:58

2. 4

™ÂÏ›‰·103

∫Ï·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ

✔

Μαθαίνω να λύνω κλασµατικές εξισώσεις, που µετασχηµατίζονται σε εξισώσεις πρώτου ή δευτέρου βαθµού.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ +8 1. ¡· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË x + 4 = x 12 4 3

2. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ x + 2, x, x2 + 2x Î·È Ó· χÛÂÙÂ Î·È ÙËÓ Â͛ۈÛË x 4 x+8 . + = 2 x+2 x x + 2x E·ÏËı‡ÂÙ·È Ë Â͛ۈÛË ·fi fiϘ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x Ô˘ ‚ڋηÙÂ; À¿Ú¯Ô˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ Ë Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘˜ Ô‰ËÁ› Û Â͛ۈÛË, Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ ÛÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ Î·È Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË.

χ 4 χ+8 , + = 4 χ 6 χ 4 χ+8 + = 2 x+2 χ x + 2x

°È· Ó· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ fiÚÔÈ ÌÈ·˜ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ Ú¤ÂÈ fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Ó· Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔÈ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜. ∆Ș ÎÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙȘ ÂÈÏ‡Ô˘Ì fiˆ˜ Î·È ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÁÓˆÛÙfi ·ÚÈıÌfi. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÈχÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

x + 4 = x2 + 8 x+2 x x + 2x

∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.

x+8 x 4 + = x x (x + 2) x+2

¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔÈ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜.

¶Ú¤ÂÈ x 0 Î·È x + 2 0 ‰ËÏ·‰‹ x 0 Î·È x – 2

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ.

∆Ô ∂∫¶ ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È x(x + 2 ) 0 Î·È Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È: x(x+2)

x+8 x 4 + x(x+2) = x(x + 2 ) x x (x + 2) x+2

103

(103-109)

3-11-06

01:58

™ÂÏ›‰·104

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

∫¿ÓÔ˘Ì ··ÏÔÈÊ‹ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Î·È ÂÈÏ‡Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ.

x 2 + 4(x + 2) = x + 8 x 2 + 4x + 8 = x + 8 ‹ x 2 + 3x = 0 ‹ x( x + 3 ) = 0 , ¿ Ú · x = 0 ‹ x = – 3 .

∞fi ÙȘ χÛÂȘ Ô˘ ‚ڋηÌÂ, ·ÔÚÚ›ÙÔ˘Ì ÂΛӘ Ô˘ ‰ÂÓ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜.

∏ χÛË x = 0 ·ÔÚÚ›ÙÂÙ·È, ·ÊÔ‡ Ú¤ÂÈ x 0 Î·È x – 2 , ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = – 3 .

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N · Ï ˘ ı Ô ‡ Ó Ô È Â Í È Û Ò Û Â È ˜ : ·)

x 8 – =1 x+1 x

‚)

1 1 – = x–2 x

2 x2 – 2x

Λύση ·) °È· Ó· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ú¤ÂÈ x 0 Î·È x –1. To E.K.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È x(x + 1) 0 Î·È Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È x 8 x(x + 1) – x(x + 1) = x(x + 1) 1 x+1 x 8 x2 – 8(x + 1) = x(x + 1) ‹ x2 – 8x – 8 = x2 + x ‹ –9x = 8 ‹ x = – 9 8 (ÈηÓÔÔÈ› ÙÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜). ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = – 9 ‚) ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Î·È Ë Â͛ۈ1 1 2 ÛË Á›ÓÂÙ·È – = (1). x–2 x x(x – 2) °È· Ó· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ú¤ÂÈ x 0 Î·È x 2. ∆Ô ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È x(x – 2) 0 Î·È Ë Â͛ۈÛË (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È 1 1 2 x(x – 2) – x(x – 2) = x(x – 2) x–2 x x(x – 2) x – (x – 2) = 2 ‹ x – x = 2 – 2 ‹ 0x = 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛË ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 0 Î·È 2.

2

ŒÓ·˜ Ì·Ú·ıˆÓÔ‰ÚfiÌÔ˜ ‰È‹Ó˘Û ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ 42 km Î·È ‰ÂÓ ÌfiÚÂÛ ӷ ÎÂÚ‰›ÛÂÈ Î¿ÔÈÔ ÌÂÙ¿ÏÏÈÔ. ŸÙ·Ó Ì ÙÔÓ ÚÔÔÓËÙ‹ ÙÔ˘ ·Ó¤Ï˘Û·Ó ÙËÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ¿ ÙÔ˘, ‰È·›ÛÙˆÛ·Ó fiÙÈ, ·Ó Ë Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó 1 km/h ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË, ı· ÙÂÚÌ¿1 ÙÈ˙ Û Ù˘ ÒÚ·˜ ÓˆÚ›ÙÂÚ· Î·È ı· ¤·ÈÚÓ ÙÔ ¯Ú˘Ûfi ÌÂÙ¿ÏÏÈÔ. ¶ÔÈ· ‹Ù·Ó Ë Ì¤ÛË 10 Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ¤ÙÚÂÍÂ;

Λύση ∞Ó Ë Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ¤ÙÚÂÍ ‹Ù·Ó x km/h, ÙfiÙ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ 42 km

104

(103-109)

3-11-06

01:59

™ÂÏ›‰·105

2.4 KÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ

ÙË ‰È‹Ó˘Û Û ¯ÚfiÓÔ

42 ÒÚ˜. ∞Ó Ë Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó 1 km/h ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË, ‰ËÏ·‰‹ x

(x + 1) km/h, ÙfiÙ ı· ¤Î·Ó ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Î·Ù¿

42 ÒÚ˜. √ ¯ÚfiÓÔ˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ x+1

1 42 42 1 Ù˘ ÒÚ·˜, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË = + (1). 10 x x+1 10

OÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È, ·ÊÔ‡ x > 0. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Ô˘ Â›Ó·È 10x(x + 1) 0 Î·È Ë Â͛ۈÛË (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È 42 42 1 10x(x + 1) = 10x(x + 1) + 10x(x + 1) x x+1 10 420(x + 1) = 420x + x(x + 1) ‹ 420x + 420 = 420x + x2 + x ‹ x2 + x – 420 = 0 H ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = 12 – 4 1 (– 420) = 1681 > 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x =

– 1 ± 41 – ‚ ± ¢ – 1 ± 1681 , + = 2 2· 2 1

‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = 20 ‹ x = –22. EÂȉ‹ x > 0, Ë Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ Ì·Ú·ıˆÓÔ‰ÚfiÌÔ˘ ‹Ù·Ó 20 km/h.

3

™Â ¤Ó· ËÏÂÎÙÚÈÎfi ·Îψ̷ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛٿ٘ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËÏ· ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· 4ø Î·È 9ø ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˜ ·fi ÙËÓ ÔÏÈ΋ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË. ¡· ‚ÚÂı› Ë ÔÏÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜. ™ËÌ›ˆÛË: ∞fi ÙË º˘ÛÈ΋ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ, ·Ó ‰‡Ô ·ÓÙÈÛٿ٘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ R1, R2 Û˘Ó‰ÂıÔ‡Ó ·Ú¿ÏÏËÏ·, ÙfiÙÂ Ë ÔÏÈ΋ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË RÔÏ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ 1 1 1 Ù‡Ô = + . (x + 9) ø RÔÏ R1 R2

Λύση ∞Ó Ë ÔÏÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Â›Ó·È x ø, ÙfiÙ ÔÈ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ ı· Â›Ó·È (x + 4) ø Î·È (x + 9) ø.

(x + 4) ø

1 + 1 = 1 (1) ÕÚ· ÈÛ¯‡ÂÈ x+4 x+9 x ∂ OÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È, ·ÊÔ‡ x > 0. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Ô˘ Â›Ó·È x(x + 4)(x + 9) 0 Î·È Ë Â͛ۈÛË (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È 1 + x(x + 4)(x + 9) 1 = x(x + 4)(x + 9) 1 x(x + 4)(x + 9) x+4 x+9 x 2 2 2 x(x + 9) + x(x + 4) = (x + 4)(x + 9) ‹ x + 9x + x + 4x = x + 4x + 9x + 36 ‹ x2 = 36 ‹ x = ± 36. ÕÚ· x = 6 ‹ x = –6. Afi ÙȘ ‰‡Ô χÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ÌfiÓÔ Ë x = 6 Â›Ó·È Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ÕÚ· Ë ÔÏÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È 6 ø.

105

(103-109)

3-11-06

01:59

™ÂÏ›‰·106

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜, ‹ Ì (§) ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. 6 4 ·) √È fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ + = 8 ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·Ó x 0 Î·È x 1. x–1 x ‚) √ ·ÚÈıÌfi˜ 0 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘

1 x + = 2. x+1 x

Á) ∞Ó ··Ï›„Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘

5 3 + 2 = 2, x x

ÙfiÙ ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È 5x + 3 = 2. x3 ‰) √È fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 2 = x ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÁÈ· οı Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi x +1 ·ÚÈıÌfi x Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 0 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘.

2

AÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi x Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ Â›Ó·È Î·Ù¿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì 3 . ¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ 4 ÚfiÙ·ÛË; ·) x = 3 ‚) x + 2 = 3 Á) x = 3 ‰) x = 3 2–x 4 x 4 x+2 4 x–2 4

3

H Â͛ۈÛË x + 2 + x + 4 = 6 ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x–1 x+1 ·) x = 1

4

‚) x = –1

Á) x = 0

‰) x = 2

1 , ¤Î·Ó ··ÏÔÈÊ‹ ·ÚԌӷ˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÁÈ· Ó· χÛÂÈ ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x – 1 = x–1 x–1 ÓÔÌ·ÛÙÒÓ Î·È Ï‡ÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x – 1 = 1 Ô˘ ÚԤ΢„Â, ‚ڋΠˆ˜ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x = 1. H ·¿ÓÙËÛ‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: 2 1 ·) ‚) = x–1 2 ‰)

106

7 3 2 + = 5· 10 ·

Â)

7 1 =– 2y – 3 3

Á)

4ˆ + 1 9 = ˆ–2 ˆ–2

2x + 1 7 =2– x–3 3–x

ÛÙ) 1 –

5 6–y = y–2 2–y

(103-109)

3-11-06

01:59

™ÂÏ›‰·107

2.4 KÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ

2

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: 4 3 ·) ‚) – 2 =1 x x ‰)

3

5

6

ˆ+5 1 ˆ2 + 5 – = ˆ–1 ˆ ˆ2 – ˆ

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: 1 1 ·) 1 – – 2 =0 y y –y Á)

1 2x – 1 = 2 x – 4x + 4 x –4 2

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: 4 x ·) = 4 3 x– x ¡· χÛÂÙ ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜: m ·) p = ˆ˜ ÚÔ˜ V V Á) R = Ú

7

Á)

4 3 6 x+2 x+1 – = 1 Â) = + (· – 2)2 · – 2 x(x + 3) x x+3

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: x+5 3 ·) 2 = x – 25 x+5 Á)

4

5 4 + =2 y y–1

l

S

ˆ˜ ÚÔ˜ S

Â)

1 1 1 = + ˆ˜ ÚÔ˜ R R1 R2 R

˙)

1 1 1 = 2 + 2 ˆ˜ ÚÔ˜ ˘2· 2 ˘· ‚ Á

ÛÙ)

7 3 6 – = 2 ˆ ˆ+2 ˆ y–1 2 y+3 – = y y+1 y(y + 1)

‚)

y+1 1 – =0 y –y–2 y–2

‰)

1 ·–1 · + = ·2 – 2· · ·–2

‚)

4 2ˆ2 =3– ˆ+2 ˆ + 2ˆ

2

2

3· ·+4 = 2 ·–2 · – 3· + 2

‰) 1 +

‚)

1 3 1+ x

‚) ∂ = ‰) ÛÙ)

–

2 x–6 = 2 x–3 x –9

·‚Á ˆ˜ ÚÔ˜ R 4R

P1V1 PV = 2 2 ˆ˜ ÚÔ˜ T1 T1 T2 1 1 2 = · + Á ˆ˜ ÚÔ˜ · ‚

Ë) S =

· ˆ˜ ÚÔ˜ Ï 1–Ï

·) ¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 17 . 4 ‚) ¶ÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi Ú¤ÂÈ Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ 3 ÁÈ· Ó· 5 ‚Úԇ̠ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 4 . 5 Á) ¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ‡˜ ¿ÚÙÈÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ 3 . 4

107

(103-109)

3-11-06

01:59

™ÂÏ›‰·108

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

8

∆· ¤ÍÔ‰· ÂÓfi˜ Á‡̷ÙÔ˜ ‹Ù·Ó 84 C. ªÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Ô˘ ÁÂ˘Ì¿ÙÈÛ·Ó ‹Ù·Ó Î·È 3 ·È‰È¿, ÔfiÙ ÔÈ ˘fiÏÔÈÔÈ ÂÓ‹ÏÈΘ Û˘ÌÊÒÓËÛ·Ó, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ηχ„Ô˘Ó Ù· ¤ÍÔ‰· ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ, Ó· ÏËÚÒÛÂÈ Î·ı¤Ó·˜ 9 C ·Ú·¿Óˆ ·fi ·˘Ù¿ Ô˘ ¤ÚÂ ӷ ÏËÚÒÛÂÈ. ¶fiÛ· ‹Ù·Ó Ù· ¿ÙÔÌ· Ô˘ ÁÂ˘Ì¿ÙÈÛ·Ó;

9

√ ‰È·¯ÂÈÚÈÛÙ‹˜ ÌÈ·˜ ÔÏ˘Î·ÙÔÈΛ·˜ ·ÁfiÚ·Û ˘ÚÔÛ‚ÂÛÙ‹Ú˜ ÁÈ· ÙËÓ ˘Ú·ÛÊ¿ÏÂÈ· ÙÔ˘ ÎÙÈÚ›Ô˘ Î·È ¤‰ˆÛ 240 C. ¶ÚÈÓ ·fi Ï›Á· ¯ÚfiÓÈ·, Ô˘ Ë ÙÈÌ‹ οı ˘ÚÔÛ‚ÂÛÙ‹Ú· ‹Ù·Ó 4 C ÌÈÎÚfiÙÂÚË, Ì ٷ ›‰È· ¯Ú‹Ì·Ù· ı· ·ÁfiÚ·˙ 2 ˘ÚÔÛ‚ÂÛÙ‹Ú˜ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔ˘˜ ˘ÚÔÛ‚ÂÛÙ‹Ú˜ ·ÁfiÚ·ÛÂ.

10

∞Ó·ÌÂÈÁÓ‡Ô˘Ì 12 gr ÂÓfi˜ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ∞ Ì 15 gr ÂÓfi˜ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ µ Î·È Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì 25 cm3 ÂÓfi˜ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ °. ¡· ‚ÚÂı› Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ∞, ·Ó Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ µ Â›Ó·È 0,2 gr/cm3 ÌÈÎÚfiÙÂÚË.

11

OÈ ˘¿ÏÏËÏÔÈ ÌÈ·˜ ‚ÈÔÙ¯ӛ·˜ ¤ÚÂ ӷ Û˘Û΢¿ÛÔ˘Ó 120 ÚÔ˚fiÓÙ· ÌÈ·˜ ·Ú·ÁÁÂÏ›·˜. ∞Ô˘Û›·Û·Ó fï˜ 2 ˘¿ÏÏËÏÔÈ, ÔfiÙ ηı¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜ ˘·ÏÏ‹ÏÔ˘˜ ˘Ô¯ÚÂÒıËΠӷ Û˘Û΢¿ÛÂÈ 3 ÚÔ˚fiÓÙ· ·Ú·¿Óˆ ÁÈ· Ó· Î·Ï˘Êı› Ë ·Ú·ÁÁÂÏ›·. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔÈ Â›Ó·È ÔÈ ˘¿ÏÏËÏÔÈ Ù˘ ‚ÈÔÙ¯ӛ·˜.

12

OÈ Ê›Ï·ıÏÔÈ ÌÈ·˜ ÔÌ¿‰·˜ Ù·Íȉ‡ÔÓÙ·˜ Ì ¤Ó· Ô‡ÏÌ·Ó ¤ÚÂ ӷ ‰È·Ó‡ÛÔ˘Ó ÌÈ· ·fiÛÙ·ÛË 210 km ÁÈ· Ó· ‰Ô˘Ó ÙËÓ ·Á·Ë̤ÓË ÙÔ˘˜ ÔÌ¿‰·. ÀÔÏfiÁÈ˙·Ó Ó· ÊÙ¿ÛÔ˘Ó ÛÙÔÓ ÚÔÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘˜ ÌÈÛ‹ ÒÚ· ÚÈÓ ·fi ÙËÓ ¤Ó·ÚÍË ÙÔ˘ ·ÁÒÓ·. √ Ô‰ËÁfi˜ fï˜, ÏfiÁˆ ÔÏÈÛıËÚfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘, Ì›ˆÛ ÙË Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· ηٿ 10 km/h Î·È ¤ÙÛÈ ¤ÊÙ·Û·Ó ÛÙÔ Á‹Â‰Ô ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙËÓ ÒÚ· Ô˘ ¿Ú¯È˙Â Ô ·ÁÒÓ·˜. ¡· ‚Ú›Ù ÙË Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ‰È‹Ó˘Û·Ó ÙÂÏÈο ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË.

108

(103-109)

3-11-06

01:59

™ÂÏ›‰·109

2.4 KÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ

∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ ∆∏¡ π™∆√ƒπ∞ ∆ø¡ ª∞£∏ª∞∆π∫ø¡ H ¯Ú˘Û‹ ÙÔÌ‹ ¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ¯ˆÚ›ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Û ‰‡Ô ¿ÓÈÛ· ̤ÚË, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ô˘ ı· ÚÔ·„ÂÈ ·fi ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ¯ˆÚÈÛÌfi Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÌÈ· ·›ÛıËÛË ·ÚÌÔÓ›·˜; ∏ ηٷÛ΢‹ ÙˆÓ ‰‡Ô ‰È·˙ˆÌ¿ÙˆÓ ÛÙÔ ı¤·ÙÚÔ Ù˘ ∂ȉ·‡ÚÔ˘ (Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ 4Ô˘ ·ÈÒÓ· .Ã.) ‰Â›¯ÓÂÈ Ò˜ ¤Ï˘Û·Ó ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi ÔÈ ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓ˜. ∆· ÛηÏÈ¿ ÙÔ˘ ı¿ÙÚÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ¯ˆÚÈÛÙ› Û ‰‡Ô ¿ÓÈÛ· ̤ÚË Ì ٤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ, Ô˘ ÙÔ ·ÈÛıËÙÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Â›Ó·È Â˘¯¿ÚÈÛÙÔ ÛÙÔ Ì¿ÙÈ. °È· Ó· ηٷϿ‚ÂÙ Ì ÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÙÔ ¤Ù˘¯·Ó: ·) ÀÔÏÔÁ›ÛÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ ÙˆÓ ÛηÏÈÒÓ 34 + 21 Î·È 34 . 34 21 TÈ ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ; √ ¯ˆÚÈÛÌfi˜ ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ ÌÂ Ù˘¯·›Ô ÙÚfiÔ; ∆Ô ÚÔ‚ÏËÌ· ·˘Ùfi ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: «¡· ¯ˆÚÈÛÙ› ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB = Ï Û ‰‡Ô ¿ÓÈÛ· ̤ÚË ∞∆ Î·È ∆µ, ÒÛÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÔÏfiÎÏËÚÔ˘ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘ ÚÔ˜ ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÙÌ‹Ì·». ÏÈ¿ η Û 21

ÏÈ¿ η Û 34

34 + 21 = 1,62 34

‚) ¡· ‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË Ù˘ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ Ï = ¯ (1). ¯ Ï–¯ Á) ¡· χÛÂÙ ÙËÓ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË (1) Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ Ï. 5+1 ‰) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ Ê = Ï Â›Ó·È ›ÛÔ˜ ÌÂ Ê = ≈ 1,618... 2 ¯

√ ·ÚÈıÌfi˜ 1,618... ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ‰ÈÂıÓÒ˜ Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· Ê ÚÔ˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÁχÙË ºÂȉ›·. √È ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓ˜ ›¯·Ó ‰È·ÈÛÙÒÛÂÈ fiÙÈ, fiÔ˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Ô ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ÌÈ· ·›ÛıËÛË ·ÚÌÔÓ›·˜. ∆Ô ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ Ê, ϤÁÂÙ·È «¯Ú˘Ûfi ÔÚıÔÁÒÓÈÔ» Î·È ÙÔ Û˘Ó·ÓÙ¿ÌÂ Û˘¯Ó¿ ÛÙËÓ ·Ú¯ÈÙÂÎÙÔÓÈ΋ Î·È ÙË ˙ˆÁÚ·ÊÈ΋. ÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·ÔÙÂÏ› Ô ¶·ÚıÂÓÒÓ·˜, ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ · = Ê ‚ 109

(110-120)

3-11-06

02:04

2. 5

™ÂÏ›‰·110

∞ÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

✔ Θυµάµαι πώς ορίζεται η διάταξη µεταξύ πραγµατικών αριθµών. ✔ Μαθαίνω να αποδεικνύω και να χρησιµοποιώ τις ιδιότητες της διάταξης. ✔ Θυµάµαι πώς λύνονται οι ανισώσεις πρώτου βαθµού µε έναν άγνωστο.

∞

¢È¿Ù·ÍË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

°ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Î¿ı Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ ¿ÍÔÓ·. ∞Ó ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÙfiÙ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ Â›Ó·È ÂΛÓÔ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ‰ÂÍÈfiÙÂÚ· .¯. –2 > –4, –3 < 2,  > 2. 2 x

–4

–3

–2

–1

0

1



2

3

4

5

x

¢‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ú·ÛÙ·ı› Ì ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ¿ÍÔÓ· Â›Ó·È ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔÈ , ÔfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ˘˜ Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ. ∂Ô̤ӈ˜: ñ ∫¿ı ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó. ñ ∫¿ı ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó. ñ ∫¿ı ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi οı ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi. ¶Ò˜ fï˜ ı· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ·Ú·ÛÙ·ı› Ì ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ·ÍfiÓ·; ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜. .¯. ÙÔ˘˜ 5 Î·È 3, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ 5 > 3, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚ¿ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ·ÊÔ‡ 5 – 3 = 2 > 0. √ÌÔ›ˆ˜, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –2 Î·È – 4, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ –2 > – 4, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚ¿ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ·ÊÔ‡ (–2) – (– 4) = –2 + 4 = 2 > 0. ∞ÓÙ›ıÂÙ·, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 3 Î·È 5 ‹ – 4 Î·È –2, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ 3 < 5 Î·È – 4 < – 2, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚ¿ ¤Ó·Ó ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ·ÊÔ‡ 3 – 5 = – 2 < 0 Î·È (– 4) – (–2) = –4 + 2 = –2 < 0. °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ: ∞Ó · > ‚ ÙfiÙ · – ‚ > 0

ÂÓÒ

∞Ó · < ‚ ÙfiÙÂ · – ‚ < 0

°È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ ‰‡Ô Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ · Î·È ‚, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ·Ú·ÛÙ·ı› Ì ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ¿ÍÔÓ·, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ · – ‚ Î·È ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ‹ ·ÚÓËÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó.

110

ñ ∞Ó · – ‚ > 0 ÙfiÙÂ · > ‚ ñ ∞Ó · – ‚ < 0 ÙfiÙÂ · < ‚ ñ ∞Ó · – ‚ = 0 ÙfiÙÂ · = ‚

(110-120)

7-11-06

16:21

™ÂÏ›‰·111

2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

B

I‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

∞ÊÔ‡ ‰È·Ù¿ÍÂÙ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 0, 8, –2, 4, –5, ÙfiÙÂ: 1. ¡· ‰È·Ù¿ÍÂÙÂ Î·È ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó, ·Ó Û ηı¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ·Ú·¿Óˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÚÔÛı¤ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 3 2. ¡· ‰È·Ù¿ÍÂÙÂ Î·È ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó, ·Ó i) ·Ê·ÈÚ¤ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 3 ii) ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÙ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 2 iii) ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÙ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi –2 ™Â ÔÈ· ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ë ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ·ÓÈÛÔÙ‹ÙˆÓ ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È Î·È Û ÔÈ· ·ÏÏ¿˙ÂÈ; O ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ÌÂٷ͇ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Î·È ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘. √È È‰ÈfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ ›ӷÈ: ·) ∞Ó Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË ÌÈ·˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‹ ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿. ¶.¯. Â›Ó·È 8 > 4, ÔfiÙ 8 + 3 > 4 + 3 Î·È 8 – 3 > 4 – 3. °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ: ∞Ó · > ‚ ÙfiÙ · + Á > ‚ + Á Î·È · – Á > ‚ – Á

Απόδειξη ñ °È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ · + Á Î·È ‚ + Á, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ Î·È ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ‹ ·ÚÓËÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂ: (· + Á) – (‚ + Á) = · + Á – ‚ – Á = · – ‚. ∂›Ó·È fï˜ · > ‚, ÔfiÙ · – ‚ > 0. ¢ËÏ·‰‹ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ (· + Á) – (‚ + Á) Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÔfiÙ · + Á > ‚ + Á. ñ ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ Î·È · – Á > ‚ – Á. ‚) ∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‹ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË ÌÈ·˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿. ¶.¯. Â›Ó·È 8 > 4, ÔfiÙ 8 2 > 4 2 Î·È 8 > 4 . °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ: 2 2 ∞Ó · > ‚ Î·È Á > 0 ÙfiÙ ·Á > ‚Á ηÈ

· ‚  >  Á Á

Απόδειξη ñ °È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·Á Î·È ‚Á, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ Î·È ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ‹ ·ÚÓËÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘Ì ·Á – ‚Á = Á(· – ‚) (1). ∂›Ó·È fï˜ Á > 0 Î·È · – ‚ > 0, ·ÊÔ‡ · > ‚. ÕÚ· ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Á Î·È · – ‚ Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ›, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ ıÂÙÈÎfi, ‰ËÏ·‰‹ Á(· – ‚) > 0. ∞fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (1) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ·Á – ‚Á Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÔfiÙ ·Á > ‚Á. ñ ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ Î·È · > ‚ Á Á 111

(110-120)

3-11-06

02:04

™ÂÏ›‰·112

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

Á) ∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‹ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË ÌÈ·˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ·ÓÙ›ıÂÙË ÊÔÚ¿. 8 < 4 . °ÂÓÈο ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ: ¶.¯. Â›Ó·È 8 > 4, ÔfiÙ 8 (–2) < 4 (–2) Î·È –2 –2 ∞Ó · > ‚ Î·È Á < 0 ÙfiÙ ·Á < ‚Á

ηÈ

· ‚  <  Á Á

‰) ∞Ó ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿. ¶.¯. Â›Ó·È 3 > 2 Î·È 7 > 4, ÔfiÙ 3 + 7 > 2 + 4. °ÂÓÈο ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ: ∞Ó · > ‚ Î·È Á > ‰ ÙfiÙ · + Á > ‚ + ‰ ∞fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÚÔ·ÙÂÈ Î·È Ë ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·: ∞Ó · > ‚ Î·È ‚ > Á ÙfiÙ · > Á ¶.¯. Â›Ó·È 3 > 1 Î·È 1 > –2,5 ÔfiÙ 3 > –2,5. Â) ∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿ Î·È ıÂÙÈο ̤ÏË, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿. ¶.¯. Â›Ó·È 3 > 2 > 0 Î·È 7 > 4 > 0, ÔfiÙ 3 7 > 2 4. °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ: ∞Ó ·, ‚, Á, ‰ ıÂÙÈÎÔ› Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì · > ‚ Î·È Á > ‰ ÙfiÙ ·Á > ‚‰

Απόδειξη E›Ó·È · > ‚ Î·È Á > 0, ÔfiÙ ۇÌʈӷ Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· (‚) ¤¯Ô˘Ì ·Á > ‚Á (1) E›Ó·È Á > ‰ Î·È ‚ > 0, ÔfiÙ ÁÈ· ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÏfiÁÔ ¤¯Ô˘Ì ‚Á > ‚‰ (2) ∞fi ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ (1), (2) Î·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙË ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ¤¯Ô˘Ì ·Á > ‚‰. ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ: 1) ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î¿ı Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ · Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ

·2

≥0

∂Ô̤ӈ˜: ∞Ó ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚ ÈÛ¯‡ÂÈ · 2 + ‚ 2 = 0, ÙfiÙ · = 0 Î·È ‚ = 0. 2) ¢ÂÓ ÂÈÙÚ¤ÂÙ·È Ó· ·Ê·ÈÚԇ̠‹ Ó· ‰È·ÈÚԇ̠·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ηٿ ̤ÏË, ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· Ô‰ËÁËıԇ̠۠ϷÓı·Ṳ̂ÓÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·. 6>4 ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‹ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ , ÙfiÙ 3>1 ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ 3 > 3 ‹ 2 > 4, Ô˘ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó.

112

(110-120)

3-11-06

02:04

™ÂÏ›‰·113

2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

°

∞ÓÈÛÒÛÂȘ ÚÒÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì’ ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

√È È‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î·È ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ·ÓÈÛÒÛˆÓ. 3x + 1 3 °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÂÈχÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ó›ÛˆÛË x – > , Ô˘ Â›Ó·È 2 4 ÚÒÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ, ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ. (™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ¤¯Ô˘Ì ∂.∫.¶. = 4 > 0, ÔfiÙÂ Ë ÊÔÚ¿ Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ ‰ÂÓ ·ÏÏ¿˙ÂÈ, ȉÈfiÙËÙ· ‚), A·Ï›ÊÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜. ∫¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Î·È ‚Á¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ Èڛ˙Ô˘Ì ÁÓˆÛÙÔ‡˜ ·fi ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ (ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi, ȉÈfiÙËÙ· ·).

x–

4 x–4

3x + 1 3 > 2 4 3x + 1 3 > 4 2 4

4x – 2(3x + 1) > 3 4x – 6x – 2 > 3 4x – 6x > 3 + 2 – 2x > 5

∫¿ÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ. ¢È·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ Ì ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘. (™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ Â›Ó·È –2 < 0 Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ·ÏÏ¿˙ÂÈ Ë ÊÔÚ¿ Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘, ȉÈfiÙËÙ· Á).

–2x 5 < –2 –2

x <–

5 2

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

¶ÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· · > 4 ÁÈ· Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜; ·) –3· + 2 < –10 ‚) 5· – 1 > 4 Á) –2(· + 2) < –12 4

Λύση ·)

·>4 –3· < –12 –3· + 2 < –12 + 2 –3· + 2 < –10

(ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ì –3) (ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÔ 2)

113

(110-120)

3-11-06

02:04

™ÂÏ›‰·114

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

‚)

· >4

(ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ÌÂ

5 ) 4

5 5 ·> 4 4 4 5· > 5 (·Ê·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È ·fi Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ ÙÔ 1) 4 5· – 1 > 5 – 1, ÔfiÙ 5· – 1 > 4 4 4 Á)

2

· >4 (ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ ÙÔ 2) ·+2 >4+2 ·+2 >6 (ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ Ì ÙÔ –2) –2(· + 2) < –2 6 –2(· + 2) < –12

°È· ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ·, ‚ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó 4 · 6 Î·È 2,5 ‚ 4,5. ‚ ¶ÔȘ ÙÈ̤˜ ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ ·) Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘; ‚) ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘;

·

Λύση ·) ∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ¶ = 2· + 2‚. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ٷ ̤ÏË 4 · 6 8 2· 12 ÙˆÓ ·ÓÈÛÔÙ‹ÙˆÓ Ì ÙÔ 2, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì 2,5 ‚ 4,5 5 2‚ 9 ¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Â˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Î·È ¤¯Ô˘Ì 8 + 5 2· + 2‚ 12 + 9 ‹ 13 2· + 2‚ 21 ‹ 13 ¶ 21. ÕÚ· ÔÈ ÙÈ̤˜ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ·fi 13 ¤ˆ˜ Î·È 21.

‚) ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ∂ = ·‚. √È ·ÓÈÛfiÙËÙ˜

6 2,54 ‚· 4,5

¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿ Î·È ıÂÙÈο ̤ÏË, ÔfiÙ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ ηٿ ̤ÏË ¤¯Ô˘Ì 4 2,5 ·‚ 6 4,5 ‹ 10 ·‚ 27 ‹ 10 ∂ 27. ÕÚ· ÔÈ ÙÈ̤˜ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ·fi 10 ¤ˆ˜ Î·È 27.

3

°È· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x, y, Ó· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ x2 + y 2 2xy. ¶fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ·;

Λύση °È· Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ x2 + y2 2xy, ·ÚΛ Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‹ ›ÛË ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜, ‰ËÏ·‰‹ x2 + y2 – 2xy 0 ‹ (x – y)2 0. H ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË Â›Ó·È ·ÏËı‹˜, ·ÊÔ‡ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î¿ı ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∏ ÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙ·Ó (x – y)2 = 0, ÔfiÙ x – y = 0 ‰ËÏ·‰‹ x = y.

114

(110-120)

3-11-06

02:04

™ÂÏ›‰·115

2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

4

OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÈ·˜ Ù¿Í˘ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ¿Ó ÌÈ· ÂΉÚÔÌ‹ ˙‹ÙËÛ·Ó ÚÔÛÊÔÚ¿ ·fi ‰‡Ô Ú·ÎÙÔÚ›·. – ∆Ô ÚÒÙÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô ˙‹ÙËÛ 15 ¢ÚÒ ÁÈ· οı ̷ıËÙ‹ Î·È ÂÊfiÛÔÓ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‹Ù·Ó ¿Óˆ ·fi 25 ı· ¤Î·ÓÂ Î·È ¤ÎÙˆÛË 10%. – ∆Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô ˙‹ÙËÛ 12 ¢ÚÒ ÁÈ· οı ̷ıËÙ‹ Î·È 45 ¢ÚÒ ÁÈ· Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ¤ÍÔ‰· (‰Èfi‰È·, Ó·‡Ï· ÊÂÚÈÌfiÙ Î.Ù.Ï.). ∞Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ô˘ Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó ÛÙËÓ ÂΉÚÔÌ‹ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ·fi 25, ÔÈÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô ¤Î·Ó ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË ÚÔÛÊÔÚ¿;

Λύση ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ô˘ ÙÂÏÈο Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó ÛÙËÓ ÂΉÚÔÌ‹ Â›Ó·È x, fiÔ˘ x > 25. 10 3 ™ÙÔ ÚÒÙÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô Ú¤ÂÈ Ó· ÏËÚÒÛÔ˘Ó 15x – 15x = 15x – x ¢ÚÒ, 100 2 ÂÓÒ ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô Ú¤ÂÈ Ó· ÏËÚÒÛÔ˘Ó 12x + 45 ¢ÚÒ. °È· Ó· Â›Ó·È Î·Ï‡ÙÂÚË Ë ÚÔÛÊÔÚ¿ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ Ú·ÎÙÔÚ›Ԣ, Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ 3 15x – x < 12x + 45 ‹ 30x – 3x – 24x < 90 ‹ 3x < 90 ‹ x < 30. 2 EÔ̤ӈ˜ ·Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ·fi 25 Î·È ÏÈÁfiÙÂÚÔÈ ·fi 30, ÙfiÙ ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË ÚÔÛÊÔÚ¿ ¤Î·Ó ÙÔ ÚÒÙÔ Ú·ÎÙÔÚ›Ô, ÂÓÒ ·Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ·fi 30, ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË ÚÔÛÊÔÚ¿ ¤Î·Ó ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ú·ÎÙÔÚ›Ô. ∞Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Â›Ó·È 30, ÙfiÙ ÔÈ ÚÔÛÊÔÚ¤˜ ÙˆÓ ‰‡Ô Ú·ÎÙÔÚ›ˆÓ Â›Ó·È ›‰È˜.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) ∞Ó · < 6, ÙfiÙ · – 6 < 0. ‚) ∞Ó · > ‚, ÙfiÙ –· < –‚. Á) ∞Ó · < 0, ÙfiÙ –· > 0. ‰) ∞Ó –3x > –12, ÙfiÙ x > 4. y x Â) ∞Ó > , ÙfiÙ x > y. –4 –4 ÛÙ) ∞Ó x > 0, ÙfiÙ x + 5 > 0. ˙) ∞Ó · > 6 Î·È ‚ > –4, ÙfiÙ · + ‚ > 2. Ë) ∞Ó x > 2 Î·È y > 3, ÙfiÙ xy > 6.

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ Ì’ ¤Ó· ·fi Ù· ۇ̂ÔÏ· >, <, , , ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó ·ÏËı›˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ. ·) ∞Ó · > 3, ÙfiÙ · – 3 ... 0 ‚) ∞Ó · < ‚ Î·È ‚ < Á, ÙfiÙ · ... Á

115

(110-120)

3-11-06

02:05

™ÂÏ›‰·116

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

Á) ∞Ó · > 0 Î·È ‚ < 0, ÙfiÙÂ

· ... 0 ‚

Â) ∞Ó · 0, ÙfiÙÂ ·2 ... 0

‰) ∞Ó Á < 0 Î·È ·Á ‚Á, ÙfiÙ · ... ‚ ÛÙ) ∞Ó · 0 Î·È ‚ 0, ÙfiÙ · + ‚ ... 0

3

¶ÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ, ÒÛÙ ·fi ÙËÓ ·Ó›ÛˆÛË 3x – 4 < 7 11 ; Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ì 3x < 7 + 4 Î·È ·fi ÙËÓ ·Ó›ÛˆÛË 3x < 11 Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ì x < 3

4

ªÂ ÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ·fi ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· x > 3 ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜; ·) x + 4 > 7 ‚) x – 2 > 1 Á) 5x > 15 ‰) –6x < –18

5

AÓ · > 12 Î·È ‚ > 3, ÙfiÙ ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘; · ·) · + ‚ > 15 ‚) · – ‚ > 9 Á) ·‚ > 36 ‰) >4 ‚

6

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÁÓˆÚ›˙ÂÈ fiÙÈ ÁÈ· Ó· ›ӷÈ

· Á = , ·ÚΛ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ ·‰ = ‚Á. µ·ÛÈ˙fi‚ ‰ · Á ÌÂÓÔ˜ Û’ ·˘Ùfi ÛΤÊÙËΠfiÙÈ ÁÈ· Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ > , ·ÚΛ Ó· ·ԉ›ÍÂÈ fiÙÈ ·‰ > ‚Á. ‚ ‰ ∏ ÛΤ„Ë Ô˘ ¤Î·ÓÂ Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

AÓ ÈÛ¯‡ÂÈ 3(· – ‚) > 2(· + ‚), ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ · > 5‚.

2

¶ÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· x > –6 ÁÈ· Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜; ·) –5x – 30 < 0

3

Á) 2(x + 4) > –4

AÓ 2 < · < 6, Ó· ‚Ú›Ù ÌÂٷ͇ ÔÈÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·) · – 2

4

‚) 3x + 18 > 0

‚) 2· – 5

Á) 1 – 3·

AÓ · < ‚, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ·) 5· – 3 < 5‚ – 3

‚) –2· + 4 > –2‚ + 4

Á) · <

·+‚ 2

‰)

5

AÓ 1 < x < 3 Î·È 2 < y < 5, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) 3 < x + y < 8 ‚) 4 < 2x + y < 11 Á) –4 < x – y < 1

6

AÓ x > 2 Î·È y > 3, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) xy > 6

7

116

‚) (x – 2)(y – 3) > 0

Á) (x + 2)y > 12

AÓ ·, ‚ ıÂÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì · > ‚, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ·2 > ‚2.

·+‚ <‚ 2

(110-120)

7-11-06

16:24

™ÂÏ›‰·117

2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

8

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ∞Ó · > 1, ÙfiÙ ·2 > ·

‚) ∞Ó x > 2, ÙfiÙÂ x3 > 2x2 1 1 < . · ‚

9

AÓ · > ‚ Î·È ·, ‚ ÔÌfiÛËÌÔÈ, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ

10

AÓ x > 3 Î·È y < 2, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) (x – 3)(y – 2) < 0 ‚) xy + 6 < 2x + 3y

11

°È· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x, y, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) x2 + 1 2x ‚) (x + y)2 4xy Á) x2 + y2 + 1 2y ™Â οı ÂÚ›ÙˆÛË Ó· ‚Ú›Ù fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ·.

12

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ∞Ó x > 0, ÙfiÙ x + 1 2 x

13

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ô˘ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 114 Î·È 135 Î·È Ô ÔÔ›Ô˜, fiÙ·Ó ‰È·ÈÚÂı› Ì ÙÔ 15, ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ 6.

14

∏ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ·ÓÙÂÏÔÓÈÔ‡ Î˘Ì·›ÓÂÙ·È ·fi 30 ¤ˆ˜ 35 C Î·È ÌÈ·˜ ÌÏÔ‡˙·˜ ·fi 22 ¤ˆ˜ 25 C. ∞Ó Î¿ÔÈÔ˜ ı¤ÏÂÈ Ó’ ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ 2 ·ÓÙÂÏfiÓÈ· Î·È 3 ÌÏÔ‡˙˜, ÙfiÙ ÌÂٷ͇ ÔÈˆÓ ÔÛÒÓ ı· Î˘Ì·›ÓÔÓÙ·È Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÏËÚÒÛÂÈ;

15

ª’ ¤Ó· Ô‡ÏÌ·Ó Ù·ÍÈ‰Â‡Ô˘Ó 51 ¿ÙÔÌ· (Ô Ô‰ËÁfi˜ Î·È 50 ÂÈ‚¿Ù˜). ∞Ó ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ οı ·ÙfiÌÔ˘ Î˘Ì·›ÓÂÙ·È ÌÂٷ͇ 60 kg Î·È 100 kg, ÔÈ ·ÔÛ΢¤˜ οı ÂÈ‚¿ÙË ˙˘Á›˙Ô˘Ó ·fi 4 kg ¤ˆ˜ Î·È 15 kg Î·È ÙÔ Ô‡ÏÌ·Ó ¤¯ÂÈ ·fi‚·ÚÔ 13,25 t, ÙfiÙ ӷ ÂÎÙÈÌ‹ÛÂÙ ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘ Ô‡ÏÌ·Ó. ∂›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÙÔ Ô‡ÏÌ·Ó Ó· ‰È·Û¯›ÛÂÈ ÌÈ· Á¤Ê˘Ú· Â·Ú¯È·ÎÔ‡ ‰ÚfiÌÔ˘ Ô˘ ÙÔ ·ÓÒÙ·ÙÔ ÂÈÙÚÂfiÌÂÓÔ ‚¿ÚÔ˜ ‰È¤Ï¢Û˘ Â›Ó·È 20 t;

16

¡· χÛÂÙ ÙȘ ·ÓÈÛÒÛÂȘ: ·) 11 – 3x < 7x + 1 3 – 4x 3x 6–x ‰) – > 5 10 2

17

18

‚) ∞Ó x < 0, ÙfiÙÂ x + 1 –2 x

‚) 2x – 9 > 5x + 6 2x + 1 3 – 2x Â) –x< 6 3

¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ÎÔÈÓ¤˜ χÛÂȘ ÙˆÓ ·ÓÈÛÒÛˆÓ: 7x – 1 < 8 + 6x 4x + 3 < 9 + 5x ·) ‚) 3x – 2 > x – 10 1 – x < 2x + 7

¡· ‚Ú›Ù ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi x, ÒÛÙÂ

Á)

Á) 4(3x – 5) > 3(4x + 5) 1 2 x+4 ÛÙ) 1 – x+ < 2 3 6

(

x 31 < x+1 40

2x + 5 <

)

x +2 2

x–1 1 +1>x+ 2 3

ηÈ

x+1 31 > x+2 40

117

(110-120)

3-11-06

02:05

™ÂÏ›‰·118

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

°∂¡π∫∂™ ∞™∫∏™∂π™ 2Ô˘ ∫∂º∞§∞π√À 1

AÓ · ‚, Ó· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) (x + ·)2 – (x + ‚)2 = ‚2 – ·2

‚)

x+· x+‚ · – = – 1. ‚ · ‚ ¢ 3y – 2

°

2

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È µ°¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ x, y.

x+2

x+1

∞

x

+ 2y

2

µ

3

To ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ıÂÙÈÎÒÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ·Ó ‰È·ÈÚÂı› Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜, ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 7 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 23. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

4

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ, ÁÈ· ÙȘ ‰È¿ÊÔÚ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ · 0. x 2x 3· 1 6x 2·2 + = 2 + 2 = 2 ·) ‚) 2 x–· x+· x – ·x x + ·x x – ·2 x – ·2

5

∞Ó ÌÈ· χÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 + (Ï – 5)x + Ï = 0 Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1, Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ¿ÏÏË Ï‡ÛË.

6

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) = x3 + 3x2 – 13x – 15. N· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË P(x) = 0, ·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ ÙÔ x – 3 Â›Ó·È ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ƒ(x).

7

N· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, Ù¤ÙÔÈÔ˘˜ ÒÛÙ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÚfiÊˆÓ ÙÔ˘˜ ·˘ÍË̤ÓÔ Î·Ù¿ ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÙÔ˘˜ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 1.

8

N· ‚Ú›Ù ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó Î·Ù¿ 2 m Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ Â›Ó·È 399 m2. °

9

∧

3

¢›ÓÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ( A = 90Æ) Î·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ∞¢. ∞Ó Â›Ó·È ∞¢ = x, µ¢ = 2x + 9 Î·È °¢ = 3, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x.

¢

x

∞

2x + 9

µ

10

N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (1 + ·)(1 + ‚) Î·È 1 + · + ‚.

11

·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ (· – ‚)2 + (‚ – Á)2 + (Á – ·)2 = 2(·2 + ‚2 + Á2 – ·‚ – ‚Á – Á·). ‚) ∞Ó ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚, Á ÈÛ¯‡ÂÈ ·2 + ‚2 + Á2 = ·‚ + ‚Á + Á·, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ · = ‚ = Á.

118

(110-120)

3-11-06

02:05

™ÂÏ›‰·119

2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

4 1 2 – > ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ Ó. Ó(Ó + 2) (Ó + 1)(Ó + 2) Ó(Ó + 1)

12

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ

13

∞Ó ·, ‚, Á Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ‚) ·2 + ‚2 < Á2 + 2·‚ ·) ·2 + ‚2 > Á2 – 2·‚ Á) ·2 + ‚2 + Á2 < 2·‚ + 2‚Á + 2·Á

14

¡· ‰È·Ù¿ÍÂÙ ÙÔ˘˜ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚, Á ·fi ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ, ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ 2007· = 2008‚ = 2009Á.

15

∞Ó · > 4, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË (· + 1)x2 – (3· – 2)x + · + 1 = 0 ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ ¿ÓÈÛ˜.

16

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚, Á Ô˘ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙË Û¯¤ÛË ¢È·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ∂.ª.∂. 1995 ). ·2 + ‚2 + Á2 – 2· – 4‚ – 6Á + 14 = 0. (¢

17

¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙËÓ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ∞ = ·2 – 10·‚ + 27‚2 – 8‚ + 8. ¢È·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ∂.ª.∂. 2001). °È· ÔȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·, ‚ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ∞ Á›ÓÂÙ·È ÂÏ¿¯ÈÛÙË; (¢

18

– √ ηıËÁËÙ‹˜: x – 19 x – 17 x – 15 x – 13 + + + = 4. ¡· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË 2001 2003 2005 2007 – O Ì·ıËÙ‹˜: ∫‡ÚÈÂ, ·˘Ù‹ Ë Â͛ۈÛË Ô‡Ù ̤¯ÚÈ ÙÔ 2020 ‰Â χÓÂÙ·È. ∂Û›˜ ÌÔÚ›Ù ӷ ÙË Ï‡ÛÂÙÂ; Àfi‰ÂÈÍË: ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙ fiÙÈ

19

N· χÛÂÙ ÙÔ ÛÙ·˘ÚfiÏÂÍÔ ➌ ➊ ➊ ➋ ➋ ➌ ➍ ➏

➐

x – 19 x – 2020 + 2001 x – 2020 = + 1, Î.Ù.Ï. 2001 = 2001 2001

➎

√ƒπ∑√¡∆π∞ 2 1 ➍ ➏ . ∂›Ó·È Ë Â͛ۈÛË ·x + ‚x + Á = 0 Ì · 0.. 2. √Ú›˙ÂÙ·È ÌÂٷ͇ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. 3. ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· οı ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘. 4. √ ·ÚÈıÌfi˜ 2 Â›Ó·È ................. Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 5x + 6 = 0. ➎ 5. ∂›Ó·È Ë Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (x – 1)2 = 0. 6. H Â›Ï˘ÛË ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Á›ÓÂÙ·È Î·È Ì .......................... ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. 7. ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ÂÚȤ¯ÂÈ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ ÛÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹.

∫∞£∂∆∞ 1. ∆Ô ÚfiÛËÌfi Ù˘ ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. 2. ∏ Â͛ۈÛË ·x2 + ‚x + Á = 0, · 0 Ì ‚2 – 4·Á > 0 ¤¯ÂÈ .................... χÛÂȘ. 3. π‰ÈfiÙËÙ· Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÛÙË ‰È¿Ù·ÍË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. 4. ∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 Ì · 0 ¤¯ÂÈ .................... χÛË. 5. §¤ÁÂÙ·È Î·È Ú›˙· ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘. 6. ∂›Ó·È Ë Â͛ۈÛË 0x = 7. 119

3-11-06

02:05

™ÂÏ›‰·120

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

E¶∞¡∞§∏æ∏ – ∞¡∞∫∂º∞§∞πø™∏ 2o˘ K∂º∞§∞π√À 1 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ñ ∏ ÁÂÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ ÚÒÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ Â›Ó·È ·x + ‚ = 0 Ì · 0, .¯. 3x + 18 = 0 ñ §‡ÛË ‹ Ú›˙· ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Ô˘ ÙËÓ Â·ÏËı‡ÂÈ. ¶.¯. Ô ·ÚÈıÌfi˜ x = –6 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 3x + 18 = 0, ·ÊÔ‡ 3 (–6) + 18 = 0. ñ ∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 ™˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ·fi ÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x + ‚ = 0 ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ‚ 3 4χ + 3 = 0 ή 4χ = –3 ή χ = –  ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = –  · 0 · 4 ·=0

‚ 0 ‚=0

‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË) ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË Î¿ı ·ÚÈıÌfi (Ù·˘ÙfiÙËÙ·)

0x = 2 (αδύνατη) 0χ = 0 (ταυτότητα)

2 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ∆ΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ñ ∏ ÁÂÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ Â›Ó·È ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · 0, .¯. 2x 2 – 5χ + 3 = 0 µε α = 2, β = –5 και γ = 3 ñ ∏ Â͛ۈÛË x 2 = · ™˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ·fi ÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x 2 = ·

¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·

·>0

¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ ÙȘ x = · Î·È x = – ·

x = 2 άρα x = 2 ή x = – 2

·<0

‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË)

x2 = –4 (αδύνατη)

·=0

¤¯ÂÈ Ì›· χÛË ÙË x = 0 (‰ÈÏ‹)

x2 = 0 άρα x = 0 (διπλή λύση)

2

ñ ∏ Â͛ۈÛË ·x 2 + ‚x + Á = 0 Ì · 0 ¢È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ¢ = ‚ 2 – 4·Á

(110-120)

¢>0 ¢=0 ¢<0

™˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ·fi ÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ · x 2 + ‚x + Á = 0 Ì · 0 –‚+ ¢ –‚ – ¢ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ, ÙȘ x =  Î·È x =  2· 2· ‚ ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x = –  2· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË)

ñ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÚȈӇÌÔ˘: ∞Ó Ú1, Ú2 Â›Ó·È ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì · 0, ÙfiÙ ·x2 + ‚x + Á = ·(x – Ú1)(x – Ú2)

3 . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ñ ∫Ï·ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë Â͛ۈÛË Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ ÛÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. ñ ŒÓ·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÌˉÂÓ›˙ÂÈ Î¿ÔÈÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÌÈ·˜ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Ï‡ÛË (‹ Ú›˙·) Ù˘.

4 . ΑNIΣΟΤΗΤΕΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ √ÚÈÛÌfi˜ ‰È¿Ù·Í˘:

∞Ó ∞Ó ∞Ó π‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘

· – ‚ > 0, ÙfiÙÂ · > · – ‚ < 0, ÙfiÙÂ · < · – ‚ = 0, ÙfiÙÂ · = ñ AÓ · > ‚, ÙfiÙÂ

‚ ‚ ‚ ·+Á>‚+Á

ηÈ

ñ AÓ · > ‚ Î·È Á > 0, ÙfiÙ ·Á > ‚Á Î·È ñ AÓ · > ‚ Î·È Á < 0, ÙfiÙ ·Á < ‚Á ηÈ

·–Á>‚–Á · ‚  > Á Á · ‚  < Á Á

ñ AÓ · > ‚ Î·È Á > ‰, ÙfiÙ · + Á > ‚ + ‰ ñ AÓ · > ‚ Î·È ‚ > Á, ÙfiÙ · > Á

(ªÂÙ·‚·ÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)

ñ AÓ · > ‚ > 0 Î·È Á > ‰ > 0, ÙfiÙ ·Á > ‚‰ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ:

120

ñ °È· οı Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi · ÈÛ¯‡ÂÈ ·2 0. ñ ∞Ó ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚ ÈÛ¯‡ÂÈ ·2 + ‚2 = 0, ÙfiÙ · = ‚ = 0. ñ ¢ÂÓ ÂÈÙÚ¤ÂÙ·È Ó· ·Ê·ÈÚԇ̠‹ Ó· ‰È·ÈÚԇ̠·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ηٿ ̤ÏË.

(121-127)

3-11-06

02:18

™ÂÏ›‰·121

3o ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

3.1 Η έννοια της γραµµικής εξίσωσης 3.2 Η έννοια του γραµµικού συστήµατος και η γραφική επίλυσή του 3.3 Αλγεβρική επίλυση γραµµικού συστήµατος Γενικές ασκήσεις 3ου κεφαλαίου Επανάληψη – Ανακεφαλαίωση

(121-127)

3-11-06

02:18

3.1

™ÂÏ›‰·122

∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘

✔

Μαθαίνω τι ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους και πώς παριστάνεται γραφικά.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ∞Ó ÛÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ x ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi y, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¿ıÚÔÈÛÌ· 6. ·) ¡· ‚Ú›Ù ÔÈ· Û¯¤ÛË Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x Î·È y. ‚) ¶ÔÈ· ·fi Ù· ˙‡ÁË (–1, 8), (0, 6), (–2, 7), (2, 2) (3, 0), (3, 5) Â·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Û¯¤ÛË; Á) ™’ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Ó· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÙ Ì ÛËÌ›· fiÛ· ·fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ˙‡ÁË Â·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙË Û¯¤ÛË. ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ¯¿Ú·Î· Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó fiÏ· ·˘Ù¿ Ù· ÛËÌ›· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ¿Óˆ Û ÌÈ· ¢ı›· Â. ‰) ¶¿Óˆ ÛÙËÓ Â˘ı›·  ӷ ¿ÚÂÙ ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ª Î·È Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ Â·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙË Û¯¤ÛË.

∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚y = Á À¿Ú¯Ô˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ Ë Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘˜ Ô‰ËÁ› Û Â͛ۈÛË Ì ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ x, y Î·È Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x + ‚y = Á. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë Â͛ۈÛË 2x + y = 6 Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·˘Ù‹˜, Ì · = 2, ‚ = 1 Î·È Á = 6. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÁÈ· x = 1 Î·È y = 4 Ë Â͛ۈÛË 2x + y = 6 Â·ÏËı‡ÂÙ·È, ·ÊÔ‡ 2 1 + 4 = 6, ÂÓÒ ÁÈ· x = 3 Î·È y = 5 ‰ÂÓ Â·ÏËı‡ÂÙ·È, ·ÊÔ‡ 2 3 + 5 = 11 6. ∆Ô ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (1, 4) Ô˘ Â·ÏËı‡ÂÈ ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x + y = 6, ϤÌ fiÙÈ Â›Ó·È Ì›· χÛË Ù˘.

Γενικά §‡ÛË ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ ·x + ‚y = Á ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ˙‡ÁÔ˜ ·ÚÈıÌÒÓ (x, y) Ô˘ ÙËÓ Â·ÏËı‡ÂÈ. ∏ Â͛ۈÛË fï˜ 2x + y = 6 ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÌfiÓÔ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (1, 4), ·ÏÏ¿ ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚ˜ χÛÂȘ. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x ÌÔÚԇ̠ӷ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y, ÒÛÙ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (x, y) Ó· Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Î·È ¤ÙÛÈ Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ›Ó·Î· ÙÈÌÒÓ. °È· °È· °È· °È·

x = –1 x=0 x=2 x=3

ÕÚ· Ù· ˙‡ÁË

122

¤¯Ô˘Ì ¤¯Ô˘Ì ¤¯Ô˘Ì ¤¯Ô˘ÌÂ

2 (–1) + y = 6, 2 0 + y = 6, 2 2 + y = 6, 2 3 + y = 6,

ÔfiÙÂ ÔfiÙÂ ÔfiÙÂ ÔfiÙÂ

y = 8. y = 6. y = 2. y = 0 Î.Ù.Ï.

x y

–1 8

0 6

2 2

(–1, 8), (0, 6), (2, 2), (3, 0), ... Â›Ó·È Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 2x + y = 6.

3 0

(121-127)

7-11-06

16:28

™ÂÏ›‰·123

3.1 ∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘

AÓ Û’ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· Ô˘ ηı¤Ó· ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÌÈ· χÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 2x + y = 6, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ù¿ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È Û ÌÈ· ¢ı›· Â.

y (–1, 8)

8

∞ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜, ·Ó ¿ÚÔ˘Ì ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜ Â, .¯. ÙÔ ª(4, –2), ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ Â·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x + y = 6, ·ÊÔ‡ 2 4 + (–2) = 6. ÕÚ· οı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ¢ı›·˜  ¤¯ÂÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ (x, y) Ô˘ Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ ·Ú·¿Óˆ Â͛ۈÛ˘. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË 2x + y = 6 ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙËÓ Â˘ı›· Â Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Â: 2x + y = 6.

(0, 6)

Â: 2x +y =6

2

(2, 2)

Γενικά ñ

AÓ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ·Ó‹ÎÂÈ Û ÌÈ· ¢ı›·, ÙfiÙ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ Â·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜.

ñ

AÓ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ Â·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ Â͛ۈÛË ÌÈ·˜ ¢ı›·˜, ÙfiÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹.

(3, 0) –1

0

–2

4 x

2

ª(4, – 2)

Â

∂ȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ∏ Â͛ۈÛË y = k. AÓ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 0x + 2y = 6, Ô˘ y Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x + ‚y = Á Ì · = 0, ÙfiÙ (1, 3) (–1, 3) 3 (3, 3) ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹Â:y=3 ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x ¤¯Ô˘Ì y = 3. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ˙‡ÁË (–1, 3), (1, 3), (3, 3), Î.Ù.Ï. Â›Ó·È Ï‡ÛÂȘ Ù˘. 1 ∂Ô̤ӈ˜, Ë Â͛ۈÛË 0x + 2y = 6 ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÌÈ· ¢ı›·  Ù˘ ÔÔ›·˜ fiÏ· Ù· ÛËÌ›· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ 0 –1 1 3 x ›‰È· ÙÂÙ·Á̤ÓË y = 3 Î·È ÙÂÙÌË̤ÓË ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi. ÕÚ· Ë Â Â›Ó·È ÌÈ· ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (0, 3). ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ë Â˘ı›·  ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË y = 3.

Γενικά H Â͛ۈÛË y = k Ì k 0 ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÌÈ· ¢ı›· Ô˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x xx Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y yy ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (0, k), ÂÓÒ Ë Â͛ۈÛË y = 0 ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x xx

123

(121-127)

7-11-06

16:29

™ÂÏ›‰·124

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô

∏ Â͛ۈÛË x = k y Â: x=2 3

(2, 3)

1

(2, 1)

0

–2

1

2

x

AÓ ıˆڋÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 3x + 0y = 6, Ô˘ Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x + ‚y = Á Ì ‚ = 0, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y ¤¯Ô˘Ì x = 2. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ˙‡ÁË (2, –2), (2, 1), (2, 3), Î.Ù.Ï. Â›Ó·È Ï‡ÛÂȘ Ù˘. ∂Ô̤ӈ˜, Ë Â͛ۈÛË 3x + 0y = 6 ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÌÈ· ¢ı›·  Ù˘ ÔÔ›·˜ fiÏ· Ù· ÛËÌ›· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÙÂÙÌË̤ÓË x = 2 Î·È ÙÂÙ·Á̤ÓË ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi. ÕÚ· Ë Â Â›Ó·È ÌÈ· ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (2, 0). ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ë Â˘ı›·  ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË x = 2.

(2, –2)

Γενικά H Â͛ۈÛË x = k Ì k 0 ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÌÈ· ¢ı›· Ô˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y yy Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x xx ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (k, 0), ÂÓÒ Ë Â͛ۈÛË x = 0 ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y yy

∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚y = Á Ì · = ‚ = 0 ñ ∏ Â͛ۈÛË 0x + 0y = 7 ‰ÂÓ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ Â˘ı›·, ·ÊÔ‡ ηӤӷ ˙‡ÁÔ˜ ·ÚÈıÌÒÓ (x, y) ‰ÂÓ ·‰‡Ó·ÙË Â͛ۈÛË ). Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ (· ñ ∏ Â͛ۈÛË 0x + 0y = 0 Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· οı ˙‡ÁÔ˜ ·ÚÈıÌÒÓ (x, y). °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ˙‡ÁË (–1, 0), (0, 1), ·fiÚÈÛÙË Â͛ۈÛË ). (2, 1), (2, 2), Î.Ù.Ï. Â›Ó·È Ï‡ÛÂȘ Ù˘ (· ∆· ÛËÌ›· fï˜, Ô˘ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË 0x + 0y = 0 ‰ÂÓ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ Â˘ı›·, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·.

y (2, 2)

(–1, 0)

(0, 1)

(2, 1)

(0, 0)

x (1, –1)

∂ÍÈÛÒÛÂȘ, fiˆ˜ ÔÈ 2x + y = 6, 0x + 2y = 6, 3x + 0y = 6, 0x + 0y = 7, 0x + 0y = 0, oÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÁÚ·ÌÌÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ì ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ x, y. Ÿˆ˜ ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì ÛÙ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÌfiÓÔ ÔÈ ÙÚÂȘ ÚÒÙ˜ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó Â˘ı›·. ™ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ¤Ó·˜ ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi ÙÔ˘˜ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙˆÓ x,y Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi˜ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó.

Γενικά °Ú·ÌÌÈ΋ Â͛ۈÛË Ì ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ x, y ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı Â͛ۈÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x + ‚y = Á Î·È ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ Â˘ı›· fiÙ·Ó · 0 ‹ ‚ 0.

124

(121-127)

3-11-06

02:18

™ÂÏ›‰·125

3.1 ∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

·) ¡· ۯ‰ȷÛÙ› Ë Â˘ı›·  : 2x – 3y = 12. ‚) ŒÓ· ÛËÌÂ›Ô ª ¤¯ÂÈ ÙÂÙ·Á̤ÓË –2. ¶ÔÈ· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Ë ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘, ÒÛÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ó’ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â;

Λύση ·) °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›·  : 2x – 3y = 12 ·ÚΛ Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· Ù˘. °È· x = 0 ¤¯Ô˘Ì –3y = 12, ÔfiÙ y =– 4. °È· y = 0 ¤¯Ô˘Ì 2x = 12, ÔfiÙ x = 6. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË 2x – 3y = 12 ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ Â˘ı›·  Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ∞(0, – 4) Î·È µ(6, 0).

y Â:

0

12

B(6, 0)

3

–2

2x

y= –3

x

M(3, –2) A(0, –4)

‚) ∆Ô ÛËÌÂ›Ô ª ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· Â, ·Ó ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ Â·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ Â͛ۈۋ Ù˘. ∞ÊÔ‡ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª ¤¯ÂÈ ÙÂÙ·Á̤ÓË y = –2 ÁÈ· ÙËÓ ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ x Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ 2x – 3(–2) = 12 ‹ 2x + 6 = 12 ‹ 2x = 6 ‹ x = 3. ÕÚ· Ë ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ª Â›Ó·È x = 3.

2

AÓ Ë Â˘ı›·  : ·x – y = 1 ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(2, 5), ÙfiÙ ӷ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ · Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Ó· ‚ÚÂıÔ‡Ó Ù· ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ù‹˜  Ì ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜.

Λύση ∏ ¢ı›·  : ·x – y = 1 ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(2, 5), ÔfiÙ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ Â·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ Â͛ۈÛË ·x – y = 1. ÕÚ· ¤¯Ô˘Ì 2· – 5 = 1 ‹ 2· = 6 ‹ · = 3. ∂Ô̤ӈ˜ Ë Â˘ı›·  ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË 3x – y = 1. °È· x = 0 ¤¯Ô˘Ì 3 0 – y = 1 ‹ –y = 1 ‹ y = –1, ‰ËÏ·‰‹ Ë Â˘ı›·  ٤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (0, –1). 1 °È· y = 0 ¤¯Ô˘Ì 3x – 0 = 1 ‹ 3x = 1 ‹ x = , ‰ËÏ·‰‹ Ë Â˘ı›·  ٤ÌÓÂÈ ÙÔÓ 3 1, ¿ÍÔÓ· x x ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô 0. 3

(

3

)

∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È 40 m. ·) ¡· ‚ÚÂı› Ë Û¯¤ÛË Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· x, y. ‚) AÓ Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y Â›Ó·È 10 m, ÔÈ· Â›Ó·È Ë Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x;

Λύση

y

y x x x

x x

·) ∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È 5x + y + 3x + y, ¿Ú· ÈÛ¯‡ÂÈ 5x + y + 3x + y = 40 ‹ 8x + 2y = 40 ‹ 4x + y = 20 (1). ‚) ∞Ó Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y Â›Ó·È 10 m, ÙfiÙÂ Ë ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ y ·›ÚÓÂÈ ÙÈ̤˜ ·fi 10 Î·È ¿Óˆ, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ y 10. Afi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (1) ¤¯Ô˘Ì y = 20 – 4x, ÔfiÙ Ú¤ÂÈ 20 – 4x 10 ‹ – 4x 10 – 20 ‹ – 4x –10 ‹ x 2,5. ÕÚ· Ë ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ x ·›ÚÓÂÈ ÙÈ̤˜ ·fi 2,5 Î·È Î¿Ùˆ, ÔfiÙÂ Ë Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ Ù˘ Â›Ó·È 2,5 m. 125

(121-127)

3-11-06

02:18

™ÂÏ›‰·126

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¶ÔÈ· ·fi Ù· ˙‡ÁË (3, 2), (1, 5), (0, 6), (–3, 10), (–2, 8) Â›Ó·È Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 4x + 3y = 18;

2

N· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) ∆Ô ÛËÌÂ›Ô (3, –2) ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›·  : 3x – y = 7. ‚) H ¢ı›·  : 5x + y = –10 Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (–2, 0). Á) ∏ ¢ı›·  : 2x + 5y = 0 ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. ‰) H ¢ı›·  : 3x + y = 6 Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô (0, 3).

3

N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ¢ı›· Â ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Ì›· ·fi ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: 1. y = 1 2. x = –1 3. y = x 4. x = 1

y

0

x

1

·

4

1

0

x

‚

Á

1

x

(Û¯‹Ì· ‰)

OÈ Â˘ı›˜ ‰1, ‰2 ‰È¯ÔÙÔÌÔ‡Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. ¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. y ‰1

‰2

1

1

0

1

x

i) ∏ Â͛ۈÛË Ù˘ ‰1 ›ӷÈ: ·) x = 1 ii) ∏ Â͛ۈÛË Ù˘ ‰2 ›ӷÈ: ·) x = –1

126

0

x

‰

y

5

y 1

(Û¯‹Ì· Á)

(Û¯‹Ì· ‚)

(Û¯‹Ì· ·)

Â

1

1 1

Â

Â

1

0

y

y

Â

–1

‚) y = 1 ‚) y = –1

0

x

Á) y = x Á) y = x

‰) y = –x ‰) y = –x

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. i) H ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (4, –3) Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË: ·) y = 4 ‚) x = 4 Á) x = –3 ‰) y = –3 Â) 4x – 3y = 0 ii) H ¢ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (4, –2) Î·È Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË: ·) y = 4 ‚) x = 4 Á) x = –2 ‰) y = –2 Â) 4x – 2y = 0

(121-127)

3-11-06

02:18

™ÂÏ›‰·127

3.1 ∏ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÛÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ ÙȘ ¢ı›˜: ·) Â1 : 2x – y = 2 ‚) Â2 : –4x + 2y = 10 Á) Â3 : 10x – 5y = 20 TÈ ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ;

2

¢›ÓÂÙ·È Ë Â˘ı›·  : 6x + 2y = 8 – 2Ï. ·) ¡· ‚Ú›Ù ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ï, ÒÛÙÂ Ë Â˘ı›·  ӷ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ. ‚) °È· Ï = 4 Ó· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙËÓ Â˘ı›· Â.

3

∞Ó Ë Â˘ı›·  : 4x + 3y = 12 Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜ x x Î·È y y ÛÙ· ÛËÌ›· ∞ Î·È µ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÙfiÙÂ: ·) ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ∞ Î·È µ. ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ √∞µ, fiÔ˘ √ Ë ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ.

4

·) ™ÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Ó· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙȘ ¢ı›˜ Â1 : 2x = –4, Â2 : 3y = 6 Î·È Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÎÔÈÓÔ‡ ÙÔ˘˜ ÛËÌ›Ԣ. ‚) ¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ¢ı›˜ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÛËÌ›Ô; ˙1 : 2x – y = 6, ˙2 : 3x + y = 10 Î·È ˙3 : –5x + 3y = 16

5

·) ™Ùo ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Ó· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙȘ ¢ı›˜ Ì ÂÍÈÛÒÛÂȘ: x = –1, x = 5, y = –2 Î·È y=3 ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È.

6

¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Ï, ÒÛÙÂ Ë Â͛ۈÛË (Ï – 2)x +(Ï – 1)y = 6 Ó· ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ Â˘ı›· Ô˘ ›ӷÈ: ·) ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x ‚) ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y. N· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Â˘ı›· Û οı ÂÚ›ÙˆÛË.

7

∫¿ÔÈÔ˜ ÂÚ¿ÙËÛ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ Ì ٷ¯‡ÙËÙ· 4 km/h Î·È ÌÂÙ¿ ÎÔχÌËÛ Ì ٷ¯‡ÙËÙ· 2 km/h ̤¯ÚÈ Ó· ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô °. ∞Ó Ô Û˘ÓÔÏÈÎfi˜ ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ÌÂÛÔÏ¿‚ËÛ ̤¯ÚÈ Ó· ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° Â›Ó·È ÌÈ· ÒÚ·, ÙfiÙÂ: ·) ¡· ‚Ú›Ù ÙË ÁÚ·ÌÌÈ΋ Â͛ۈÛË Ì ÙËÓ ÔÔ›· Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ x, y. ‚) AÓ ÂÚ¿ÙËÛ 3 km, fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ÎÔχÌËÛÂ;

8

° y µ

x

∞

™’ ¤Ó· ÍÂÓÒÓ· ˘¿Ú¯Ô˘Ó x ‰›ÎÏÈÓ· Î·È y ÙÚ›ÎÏÈÓ· ‰ˆÌ¿ÙÈ·. ∞Ó Ô ÍÂÓÒÓ·˜ ¤¯ÂÈ Û˘ÓÔÏÈο 25 ÎÚ‚¿ÙÈ·, ÙfiÙ ӷ ‚Ú›Ù ÙË ÁÚ·ÌÌÈ΋ Â͛ۈÛË Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· x, y. ¡· ¯·Ú¿ÍÂÙ Û ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Â˘ı›· Î·È ·fi ÙÔ Û¯‹Ì· Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÂÙ fiÛ· ‰›ÎÏÈÓ· Î·È fiÛ· ÙÚ›ÎÏÈÓ· ‰ˆÌ¿ÙÈ· Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· ¤¯ÂÈ Ô ÍÂÓÒÓ·˜.

127

(128-132)

7-11-06

3. 2

16:32

™ÂÏ›‰·128

∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ Â›Ï˘Û‹ Ùo˘

✔ Mαθαίνω τι λέγεται γραµµικό σύστηµα και πώς επιλύεται γραφικά.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ™Â ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› Ó· ¯·Ú¿ÍÂÙ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Î·È Ó· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙȘ ¢ı›˜ Â1 : x + y = 5 Î·È Â2 : 2x + y = 8.

2. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜ Î·È Ó· ÂÍÂÙ¿ÛÂÙ ·Ó Â›Ó·È Ï‡ÛË Î·È ÙˆÓ ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛˆÓ. ∞Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÁÚ·ÌÌÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ì ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ x, y, .¯. x + y = 5 Î·È 2x + y = 8 Î·È ·Ó·˙ËÙԇ̠ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (x, y) Ô˘ Â›Ó·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· χÛË Î·È ÙˆÓ ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛˆÓ, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ӷ ÂÈχÛÔ˘Ì ¤Ó· ÁÚ·ÌÌÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ x Î·È y . ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ (3, 2) Â·ÏËı‡ÂÈ Î·È ÙȘ ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙÔ˘ x+y=5 3+2=5 ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ , ·ÊÔ‡ 2x + y = 8 2 3+2=8 ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (3, 2) Â›Ó·È Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜.

Γενικά §‡ÛË ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ x Î·È y ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ˙‡ÁÔ˜ (x, y) Ô˘ Â·ÏËı‡ÂÈ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙÔ˘. ¶Ò˜ fï˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÈχÛÔ˘Ì ¤Ó· ÁÚ·ÌÌÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ x, y; ¢ËÏ·‰‹ Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ˙‡ÁÔ˜ (x, y) Ô˘ Ó· Â›Ó·È Ï‡ÛË ÙÔ˘; ŒÓ· ÁÚ·ÌÌÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ x, y ÂÈχÂÙ·È ÁÚ·ÊÈο ·ÏÏ¿ Î·È ·ÏÁ‚ÚÈο.

°Ú·ÊÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ ™‡ÛÙËÌ· Ì ÌÔÓ·‰È΋ χÛË °È· ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÂÓfi˜ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ .¯. ÙÔ˘ ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

128

2x + y = 8 x+y=5

7-11-06

16:33

™ÂÏ›‰·129

3.2 ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘ y Â1

8

:x + y= 5

 2:

5

8 y= 2x+

™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÛÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ ÙȘ ¢ı›˜ Â1 : x + y = 5 Î·È Â2 : 2x + y = 8, ÔÈ Ôԛ˜ fiˆ˜ ·Ú·ÙËÚԇ̠ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞. ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ (3, 2) ÙÔ˘ ÎÔÈÓÔ‡ ÛËÌ›Ԣ ∞ ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ ·˘ÙÒÓ. ∂Âȉ‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(3, 2) ·Ó‹ÎÂÈ Î·È ÛÙȘ ‰‡Ô ¢ı›˜, ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ x = 3 Î·È y = 2 Â·ÏËıÂ‡Ô˘Ó Î·È ÙȘ ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, ¿Ú· ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (3, 2) Â›Ó·È Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜. √È Â˘ı›˜ fï˜ Â1, Â2 ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ¿ÏÏÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, ÔfiÙÂ Î·È ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ ¿ÏÏË Ï‡ÛË. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (3, 2) Â›Ó·È Ë ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜.

2

A (3, 2)

3 4

0

∞‰‡Ó·ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

4

x– :4

4 –2

= 6y

Â2

0

–6

– 2x  1:

y

= 3y

0

6

3

x

–2

6x– 2y= 12 3x – y=6

°È· Ó· ÂÈχÛÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· 3x – y = 6 6x – 2y = 12 ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ÙȘ ¢ı›˜ Â1 : 3x – y = 6 Î·È Â2 : 6x – 2y = 12, ÔÈ Ôԛ˜, fiˆ˜ ·Ú·ÙËÚԇ̠ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·, Û˘Ì›ÙÔ˘Ó (Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È) . ÕÚ· ¤¯Ô˘Ó fiÏ· Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘˜ ÎÔÈÓ¿ Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚ˜ χÛÂȘ . ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Â›Ó·È ·fiÚÈÛÙÔ .

x

y

∞fiÚÈÛÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

5

Â1 :

°È· Ó· ÂÈχÛÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· 2x – 3y = 6 4x – 6y = –24 ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ÙȘ ¢ı›˜ Â1 : 2x – 3y = 6 Î·È Â2 : 4x – 6y = –24, ÔÈ Ôԛ˜ fiˆ˜ ·Ú·ÙËÚԇ̠ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ . ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, ÔfiÙ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË . ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ .

Â2 :

(128-132)

2

x

–6

129

(128-132)

3-11-06

02:30

™ÂÏ›‰·130

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

2x + 3y = 14 x – 2y = 0 ‚) ¡· ‚ÚÂı› ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ Â˘ı›˜ Â1 : 2x + 3y = 14, Â2 : x – 2y = 0 Î·È Ô ¿ÍÔÓ·˜ x xx.

·) ¡· ÂÈÏ˘ı› ÁÚ·ÊÈο ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

Λύση

(™) :

y

·) °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ∞(1, 4) 4 Â1 : 2x + 3y = 14 ÚÔÛ‰ÈÔÚ›0 2y= – x ˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· Ù˘.  2: °È· x = 1 ¤¯Ô˘Ì 2 + 3y = 14 ‹ 3y = 12, ofiÙ y = 4. 2 ª(4, 2) °È· x = 7 ¤¯Ô˘Ì 2 7+3y = 14 Â1 : 2x +3 1 ° ( 2 , 1 ) ‹ 3y = 0, ÔfiÙ y = 0. y= 14 ÕÚ· Ë Â˘ı›· Â1 ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi 0 x B(7, 0) 1 2 Ù· ÛËÌ›· ∞(1, 4) Î·È µ(7, 0). ¢(4, 0) °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â2 : x – 2y = 0 ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· Ù˘. °È· x = 0 ¤¯Ô˘Ì –2y = 0, ÔfiÙ y = 0. °È· x = 2 ¤¯Ô˘Ì 2 – 2y = 0 ‹ –2y = –2, ÔfiÙ y = 1. ÕÚ· Ë Â˘ı›· Â2 ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· √(0, 0) Î·È °(2, 1). ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ Â˘ı›˜ Â1, Â2 ¤¯Ô˘Ó ¤Ó· ÌfiÓÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ ª(4, 2), ÔfiÙ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· (™) ¤¯ÂÈ Ì›· χÛË ÙËÓ (x, y) = (4, 2). ‚) ∆Ô ÙÚ›ÁˆÓÔ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÔÈ Â˘ı›˜ Â1, Â2 Î·È Ô ¿ÍÔÓ·˜ x x Â›Ó·È ÙÔ √ªµ, ÙÔ ÔÔ›Ô ¤¯ÂÈ ‚¿ÛË √µ = 7 Î·È ‡„Ô˜ ª¢ = 2. 7 2 ÕÚ· ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ∂ = = 7 ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈΤ˜ ÌÔÓ¿‰Â˜. 2

2

N· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙȘ ¢ı›˜:  1 : x – y = 0,  2 : x + y = 0, ¶fiÛ˜ χÛÂȘ ¤¯ÂÈ Î·ı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·: x–y=0 x–y =0 (™ 1) : (™ 2) : x+y=0 –x + y = 0

 3 : – x + y = –3.

Λύση °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â1 : x – y = 0 ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· Ù˘. °È· x = 0 ¤¯Ô˘Ì y = 0 Î·È ÁÈ· x = 1 ¤¯Ô˘Ì y = 1. ÕÚ· Ë Â˘ı›· Â1 ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· √(0, 0) Î·È ∞(1, 1). °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· Â2 : x + y = 0 ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· Ù˘. °È· x = 0 ¤¯Ô˘Ì y = 0 Î·È ÁÈ· x = –1 ¤¯Ô˘Ì y = 1. ÕÚ· Ë Â˘ı›· Â2 ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· √(0, 0) Î·È µ(–1, 1). 130

3-11-06

02:30

™ÂÏ›‰·131

3.2 ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘

™¯Â‰È¿˙Ô˘ÌÂ Î·È ÙËÓ Â˘ı›· Â3 : –x + y = –3. °È· x = 0 ¤¯Ô˘Ì y = –3 Î·È ÁÈ· y = 0 ¤¯Ô˘Ì x = 3. ÕÚ· Ë Â˘ı›· Â3 ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· °(0, –3) Î·È ¢(3, 0).

Â2

y

:x + y= 0

: Â1

0 y= – x

:–

y= x+

–3

∞(1,1) Â 3

µ(–1, 1)

∆Ô Û‡ÛÙËÌ· (™1) ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ (0, 0), ·ÊÔ‡ ÔÈ Â˘ı›˜ Â1 Î·È Â2 Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô √(0, 0), ÂÓÒ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· (™2) Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ, ·ÊÔ‡ ÔÈ Â˘ı›˜ Â1 Î·È Â2 Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ.

¢(3, 0)

0

x

°(0, –3)

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. x–y=5 ∆Ô Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛË ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ: 2x + y = 1

·) ∞(–3, 2)

2

‚) µ(1, –1)

Á) °(1, –4)

‰) ¢(2, –3)

∞Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÂÓfi˜ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔÓÙ·È Ì ÙȘ ¢ı›˜ Â1 Î·È Â2, Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ˙‡ÁÔ˜ ¢ıÂÈÒÓ Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞, ÙÔ ÛˆÛÙfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞

™Ù‹ÏË µ

·. √È Â˘ı›˜ Â1, Â2 Ù¤ÌÓÔÓÙ·È.

1. To Û‡ÛÙËÌ· Â›Ó·È ·fiÚÈÛÙÔ.

‚. √È Â˘ı›˜ Â1, Â2 Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. 2. ∆Ô Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ Ì›· ÌfiÓÔ Ï‡ÛË. Á. √È Â˘ı›˜ Â1, Â2 Û˘Ì›ÙÔ˘Ó. Á

ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ó· ‚Ú›Ù ÙË Ï‡ÛË Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·. ·)

Á)

–2x + y

‚)

‰)

2x – 3y = 0 =4

y=0 2x + 3y = 12

2x + 3y = 12 2x – 3y = 0

y 0 y= –3 x 2 2x +3 y= 12

4

3

‚

y=

·

3. ∆Ô Û‡ÛÙËÌ· Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ.

–2 x+

(128-132)

1 0

1

x

x=0 2x – 3y = 0

131

3-11-06

02:31

™ÂÏ›‰·132

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· χÛÂÙ ÁÚ·ÊÈο Ù· Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·: x=3 y=3 ·) ‚) x + 2y = 7 –2x + y = 1

‰)

2

x–y=0

3x – y = 2

2x + 4y = 6

3x + 6y = 9

ÛÙ)

x–y=0

x+y=0

4x – 2y = 1

2x – y = 10

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ù·¯‡ÙËÙ·˜ – ¯ÚfiÓÔ˘ ‰‡Ô ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙˆÓ ∞ Î·È µ. ¡· ‚Ú›ÙÂ: ·) ∆ËÓ ·Ú¯È΋ Ù·¯‡ÙËÙ· οı ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘. ‚) ™Â fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÂÎΛÓËÛ‹ ÙÔ˘˜ Ù· ‰‡Ô ·˘ÙÔΛÓËÙ· ı· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È ÔÈ· ı· Â›Ó·È ·˘Ù‹;

˘

A

m/sec

B 20 15 10 5 t

0

2

4

6

:1 0x –y + 60 = 0

Â2

132

8 10

sec

y ŒÓ·˜ ʛϷıÏÔ˜ ÁÈ· Ó· ·Ú·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÂÈ 300 Â3: y=300 ÙÔ˘˜ ·ÁÒÓ˜ ÌÈ·˜ ÔÌ¿‰·˜ ¤¯ÂÈ ÙȘ ÂÍ‹˜ ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ˜: 240 – ¡· ÏËÚÒÓÂÈ 20 C ÁÈ· ηı ·ÁÒÓ· Ô˘ ·Ú·ÎÔÏÔ˘ı›. 180 – ¡· ÏËÚÒÛÂÈ 60 C ˆ˜ ·Ú¯È΋ Û˘Ó‰ÚfiÌ‹ Î·È ÁÈ· οı ·ÁÒÓ· Ô˘ ·Ú·ÎÔÏÔ˘120 ı› Ó· ÏËÚÒÓÂÈ 10 C. – ¡· ÏËÚÒÛÂÈ 300 C Î·È Ó· ·Ú·ÎÔÏÔ˘ı› fiÛÔ˘˜ ·ÁÒÓ˜ ÂÈı˘Ì›. 60 ∏ Û¯¤ÛË Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ·ÁÒÓˆÓ Ô˘ ı· ·Ú·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÂÈ Ô Ê›Ï·ıÏÔ˜ 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 x Ì ÙÔ ¯ÚËÌ·ÙÈÎfi ÔÛfi Ô˘ ı· ÏËÚÒÛÂÈ Û οı ÂÚ›ÙˆÛË ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È Ì ÛËÌ›· ÌÈ·˜ ·fi ÙȘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3. ·) ¡· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂÙ οı ÂÚ›ÙˆÛË Û ÌÈ· ·fi ÙȘ ÙÚÂȘ ¢ı›˜. ‚) ¶fiÛÔ˘˜ ·ÁÒÓ˜ Ú¤ÂÈ Ó· ·Ú·ÎÔÏÔ˘ı‹ÛÂÈ ¤Ó·˜ ʛϷıÏÔ˜, ÒÛÙ ٷ ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ ı· ÏËÚÒÛÂÈ Ó· Â›Ó·È Ù· ›‰È· ÛÙË ‰Â‡ÙÂÚË Î·È ÙÚ›ÙË ÂÚ›ÙˆÛË; Á) ∞Ó Ô Ê›Ï·ıÏÔ˜ ·Ú·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ÙÂÏÈο 12 ·ÁÒÓ˜, ÔÈ· ÂÚ›ÙˆÛË ‹Ù·Ó Ë ÈÔ Û˘ÌʤÚÔ˘Û·; ‰) ∞Ó ·Ú·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ÌfiÓÔ 15 ·ÁÒÓ˜ Î·È ‰ÂÓ Â›¯Â ÂÈϤÍÂÈ ÙËÓ ÈÔ Û˘ÌʤÚÔ˘Û· ÂÚ›ÙˆÛË, fiÛ· ¢ÚÒ ˙ËÌÈÒıËÎÂ; Â) ¶fiÙÂ Â›Ó·È ÈÔ Û˘ÌʤÚÔ˘Û· οı ÂÚ›ÙˆÛË; 20 x–y =0

4

Â)

Á)

¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÁÚ·ÊÈο ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·: x + 2y = 5 x – 3y = 2 x+y=2 ·) ‚) Á) x + 2y = 1 2x – 6y = 4 x + 3y = 6

3

Â1 :

(128-132)

(133-142)

3-11-06

02:39

3. 3

™ÂÏ›‰·133

∞ÏÁ‚ÚÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜

✔

✔

Μαθαίνω να λύνω ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους µε τη µέθοδο: α) της αντικατάστασης β) των αντιθέτων συντελεστών Μαθαίνω να λύνω προβλήµατα µε τη βοήθεια συστηµάτων.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ∫·Ù¿ ÙË ‰È¿ÚÎÂÈ· ÂÓfi˜ Ô‰ÔÛÊ·ÈÚÈÎÔ‡ ÚˆÙ·ıÏ‹Ì·ÙÔ˜, ·fi ÙÔ˘˜ 30 ·ÁÒÓ˜ Ô˘ ¤‰ˆÛ ÌÈ· ÔÌ¿‰· ËÙÙ‹ıËΠÛÙÔ˘˜ 10, ÂÓÒ ÛÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜ ΤډÈÛ ‹ ¤ÊÂÚ ÈÛÔ·Ï›·. °È· οı ӛÎË Ù˘ ‹Ú 3 ‚·ıÌÔ‡˜, ÁÈ· οı ÈÛÔ·Ï›· ‹Ú 1 ‚·ıÌfi Î·È ÁÈ· οı ‹ÙÙ· ‰ÂÓ ‹Ú ‚·ıÌfi. ∞Ó ÙÂÏÈο Û˘ÁΤÓÙÚˆÛ 44 ‚·ıÌÔ‡˜, fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ Ó›ÎËÛÂ Î·È fiÛ˜ ¤ÊÂÚ ÈÛÔ·Ï›·; ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ‰ÂÓ Ô‰ËÁ› ¿ÓÙÔÙ ÛÙÔÓ ·ÎÚÈ‚‹ ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÌfi Ù˘ χÛ˘ ÙÔ˘, ·ÊÔ‡ Û ÔÚÈṲ̂Ó˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÎÔÈÓÔ‡ ÛËÌ›Ԣ ÙˆÓ ‰‡Ô ¢ıÂÈÒÓ ÙÔ˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Â‡ÎÔÏÔ Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙÔ‡Ó. ∏ ·ÏÁ‚ÚÈ΋ fï˜ Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘, fiˆ˜ ı· ‰Ô‡Ì ے ·˘Ù‹ ÙËÓ ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ, Ì·˜ ‰›ÓÂÈ ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ· ÙË Ï‡ÛË ÙÔ˘ (·Ó ˘¿Ú¯ÂÈ) Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÂÚ›ÙˆÛË. °È· Ó· ÂÈχÛÔ˘Ì ·ÏÁ‚ÚÈο ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ·, ÂȉÈÒÎÔ˘Ì ӷ ··Ï›„Ô˘Ì ·fi ÌÈ· Â͛ۈÛË ÙÔÓ ¤Ó· ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ Î·È Ó· ηٷϋÍÔ˘Ì Û Â͛ۈÛË Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ . ¢‡Ô ·fi ÙȘ ÌÂıfi‰Ô˘˜ Ì ÙȘ Ôԛ˜ ÂÈÙ˘Á¯¿ÓÂÙ·È ·˘Ùfi Â›Ó·È ÔÈ ÂÍ‹˜:

·) ª¤ıÔ‰Ô˜ Ù˘ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ °È· Ó· ÂÈχÛÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

xx ++ y3y == 4420

Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘

ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ñ §‡ÓÔ˘Ì ̛· ·fi ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ.

§‡ÓÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x + y = 20 ˆ˜ ÚÔ˜ x Î·È ¤¯Ô˘Ì x = 20 – y

ñ AÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÛÙËÓ ¿ÏÏË Â͛ۈÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔÓ ¿ÁÓˆÛÙÔ ·˘ÙfiÓ Ì ÙËÓ ›ÛË ·Ú¿ÛÙ·Û‹ ÙÔ˘, ÔfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ Â͛ۈÛË Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ, ÙËÓ ÔÔ›· Î·È Ï‡ÓÔ˘ÌÂ.

∞ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙÔ x Ì 20 – y ÛÙËÓ Â͛ۈÛË x + 3y = 44 Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ: (20 – y) + 3y = 44 20 + 2y = 44 2y = 44 – 20 2y = 24 ¿Ú· y = 12

ñ TËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Ô˘ ‚ڋηÌ ÙËÓ ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Â͛ۈÛË, ÔfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔÓ ¿ÏÏÔ ¿ÁÓˆÛÙÔ. ñ ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜.

°È· y = 12 ·fi ÙËÓ Â͛ۈÛË x = 20 – y ¤¯Ô˘ÌÂ: x = 20 – 12 x=8 ÕÚ· Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È x = 8, y = 12, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (x, y) = (8, 12)

133

(133-142)

3-11-06

02:39

™ÂÏ›‰·134

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô

°È· Â·Ï‹ı¢ÛË, ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙȘ ÙÈ̤˜ x = 8 Î·È y = 12 ÛÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹8 + 12 = 20 Ì·ÙÔ˜ Î·È ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (8, 12) Â›Ó·È Ï‡ÛË ÙÔ˘, ·ÊÔ‡ 8 + 3 12 = 44. ™ÙËÓ ›‰È· χÛË ı· ηٷϋÁ·ÌÂ Î·È ·Ó χӷÌ ̛· ·fi ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ y.

‚) ª¤ıÔ‰Ô˜ ÙˆÓ ·ÓÙÈı¤ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ AÓ ÛÙȘ ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂȘ, ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÂÓfi˜ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ›, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ χÛÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ÈÔ ÁÚ‹ÁÔÚ·, ·Ó ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙÔ˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÛÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

3x5x +– 2y2y ==124 ÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙÔ˘ y Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ›

Î·È ·Ó ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ÙȘ ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂȘ ηٿ ̤ÏË, ÙfiÙÂ Ô ¿ÁÓˆÛÙÔ˜ y ··Ï›ÊÂÙ·È. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂ: 3x + 5x = 12 + 4 ‹ 8x = 16, ÔfiÙ x = 2. ∞Ó ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x Û ÌÈ· ·fi ÙȘ ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂȘ, .¯. ÛÙËÓ ÚÒÙË, ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: 3 2 + 2y = 12 ‹ 2y = 6 ‹ y = 3. ÕÚ· Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È x = 2, y = 3, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (x, y) = (2, 3). ŸÙ·Ó fï˜ ¤¯Ô˘Ì ӷ χÛÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

2x3x ++ 7y5y == 81

ÛÙÔ ÔÔ›Ô ‰ÂÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÛÙÔÓ ›‰ÈÔ ¿ÁÓˆÛÙÔ ÙfiÙÂ: ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ٷ ̤ÏË Î¿ı Â͛ۈÛ˘ Ì ηٿÏÏËÏÔ ·ÚÈıÌfi, ÒÛÙ ӷ ÂÌÊ·ÓÈÛÙÔ‡Ó ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Û’ ¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÙÔÓ ··Ï›„Ô˘ÌÂ

°È· Ó· ··Ï›„Ô˘Ì ÙÔÓ ¿ÁÓˆÛÙÔ x, ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ٷ ̤ÏË Ù˘ ÚÒÙ˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ –2 Î·È Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Ì ÙÔ 3, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: 3x + 5y = 1 (–2) – 6x – 10y = –2 ‹ 2x + 7y = 8 3 6x + 21y = 24

ñ ¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂȘ, ÔfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ Â͛ۈÛË Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ ÙËÓ ÔÔ›· Î·È Ï‡ÓÔ˘ÌÂ.

–6x – 10y + 6x + 21y = –2 + 24 11y = 22, ofiÙÂ y = 2

ñ ∞ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Ô˘ ‚ڋηÌ Û ̛· ·fi ÙȘ ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, ÔfiÙ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙËÓ ÙÈÌ‹ Î·È ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘.

∞ÊÔ‡ y = 2, Ë Â͛ۈÛË 3x + 5y = 1 ÁÚ¿ÊÂÙ·È: 3x + 5 2 = 17 ‹ 3x + 10 = 1 3x = –9 ‹ x = –3

ÕÚ· Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È x = –3, y = 2, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (x, y) = (–3, 2) °È· Â·Ï‹ı¢ÛË ·ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙȘ ÙÈ̤˜ x = –3 Î·È y = 2 ÛÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ 3 (–3) + 5 2 = 1 Î·È ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (–3, 2) Â›Ó·È Ï‡ÛË ÙÔ˘, ·ÊÔ‡ 2 (–3) + 7 2 = 8 ñ ¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙË Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜.

134

(133-142)

3-11-06

02:39

™ÂÏ›‰·135

3.3 AÏÁ‚ÚÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· ‚ÚÂıÔ‡Ó ‰‡Ô ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜, ·Ó Ë Ì›· ·fi ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙÔ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ Ù˘ ¿ÏÏ˘ ηٿ 12Æ.

Λύση ∞Ó ˆ, Ê Â›Ó·È ÔÈ ‰‡Ô ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜, ÙfiÙ ˆ + Ê = 180Æ. ∞Ó ˆ Â›Ó·È Ë ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË, ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ Î·È ˆ = 3Ê + 12Æ. °È· Ó· ‚Úԇ̠ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ˆ, Ê Ï‡ÓÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛˆÓ.

ˆˆ += Ê3Ê=+180Æ 12Æ

‹

ˆ3Ê=+3Ê12Æ++12ÆÊ = 180Æ

‹

– 12Æ ˆ3Ê=+3ÊÊ=+180Æ 12Æ

= 168Æ 4Ê ˆ = 3Ê + 12Æ

‹

ˆÊ == 42Æ 3 42Æ + 12Æ

‹

ʈ == 42Æ 138Æ

‹

ÕÚ· ÔÈ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ˆ = 138Æ Î·È Ê = 42Æ.

2

N· Ï˘ı› ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

(x + 2y) + y = 7 x + 2y = 4

Λύση ∞ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙÔ x + 2y Ì 4 ÛÙËÓ ÚÒÙË Â͛ۈÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ:

4x ++ 2yy ==74

‹

xy += 2y7 –=4 4

‹

xy += 2y3 = 4

yx += 63 = 4

‹

xy == 43 – 6

‹

xy == –23

‹

xy += 23 3 = 4

ÕÚ· Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È x = –2, y = 3, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (x, y) = (–2, 3).

3 N· Ï˘ı› ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

3x – y x+y – =1 2 8 2x – 1 y–3 + =2 5 2

Λύση °È· Ó· ·ÏÔ˘ÛÙ¢ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜, οÓÔ˘Ì ··ÏÔÈÊ‹ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Î·È ÙȘ ··ÈÙÔ‡ÌÂÓ˜ Ú¿ÍÂȘ, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: 3x – y x+y 8 –8 =8 1 4(3x – y) – (x + y) = 8 2 8 ‹ ‹ 2x – 1 y–3 2(2x – 1) + 5(y – 3) = 20 10 + 10 = 10 2 5 2

– 4y – x – y = 8 12x 4x – 2 + 5y – 15 = 20

‹

4x12x––24y+ –5yx =– y20= 8

‹

4x11x+– 5y5y == 378 135

(133-142)

3-11-06

02:39

™ÂÏ›‰·136

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô

OÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ y Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ, ÔfiÙ ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ ηٿ ̤ÏË ¤¯Ô˘Ì : 11x + 4x = 8 + 37 ‹ 15x = 45 ‹ x = 3. ∞ÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙËÓ ÙÈÌ‹ x = 3 ÛÙË ‰Â‡ÙÂÚË Â͛ۈÛË Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ: 4 3 + 5y = 37 ‹ 12 + 5y = 37 ‹ 5y = 25 ‹ y = 5. ÕÚ· Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È x = 3, y = 5, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ (x, y) = (3, 5).

4

O ÎÂÚÌ·ÙÔ‰¤ÎÙ˘ ÂÓfi˜ Ì˯·Ó‹Ì·ÙÔ˜ ÒÏËÛ˘ ·Ó·„˘ÎÙÈÎÒÓ ‰¤¯ÂÙ·È Î¤ÚÌ·Ù· ÙˆÓ 50 ÏÂÙÒÓ Î·È ÙÔ˘ 1 ¢ÚÒ. ŸÙ·Ó ·ÓÔ›¯ÙËÎÂ, ‰È·ÈÛÙÒıËΠfiÙÈ ÂÚÈ›¯Â 126 ΤÚÌ·Ù· Û˘ÓÔÏÈ΋˜ ·Í›·˜ 90 ¢ÚÒ. ¶fiÛ· ΤÚÌ·Ù· ˘‹Ú¯·Ó ·fi οı ›‰Ô˜;

Λύση ∞Ó x ‹Ù·Ó Ù· ΤÚÌ·Ù· ÙˆÓ 50 ÏÂÙÒÓ Î·È y ‹Ù·Ó Ù· ΤÚÌ·Ù· ÙÔ˘ 1 ¢ÚÒ, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x + y = 126 (1). H Û˘ÓÔÏÈ΋ ·Í›· ÙˆÓ ÎÂÚÌ¿ÙˆÓ Û ¢ÚÒ ‹Ù·Ó 0,50 x + 1 y, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 0,50 x + 1 y = 90 (2). §‡ÓÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ (1) Î·È (2):

0,50 x +x1+ yy == 12690 (– 2)

‹

126 –xx +– 2yy == –180

M ÚfiÛıÂÛË Î·Ù¿ ̤ÏË ¤¯Ô˘Ì y – 2y = 126 – 180 ‹ –y = –54 ‹ y = 54. AÓÙÈηıÈÛÙԇ̠ÙËÓ ÙÈÌ‹ y = 54 ÛÙËÓ ÚÒÙË Â͛ۈÛË Î·È ¤¯Ô˘ÌÂ: x + 54 = 126 ‹ x = 126 – 54 ‹ x = 72. ÕÚ· ˘‹Ú¯·Ó 72 ΤÚÌ·Ù· ÙˆÓ 50 ÏÂÙÒÓ Î·È 54 ΤÚÌ·Ù· ÙÔ˘ 1 ¢ÚÒ.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ‚Ú›Ù ÔÈÔ ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ˙‡ÁË Â›Ó·È Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·) (2, 4)

2

‚) (7, –1)

°È· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜

Á) (6, 2)

xx +– yy == 46

‰) (5, 1)

3x2x ++ 2yy ==75

Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ Â›Ó·È ÚÔÙÈÌfiÙÂÚÔ Ó· χÛÔ˘ÌÂ: ·) ÙËÓ ÚÒÙË Â͛ۈÛË ˆ˜ ÚÔ˜ x; ‚) ÙËÓ ÚÒÙË Â͛ۈÛË ˆ˜ ÚÔ˜ y; Á) ÙË ‰Â‡ÙÂÚË Â͛ۈÛË ˆ˜ ÚÔ˜ x; ‰) ÙË ‰Â‡ÙÂÚË Â͛ۈÛË ˆ˜ ÚÔ˜ y;

3

AÓ ÛÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

3x2x +– 5y5y == –9–1

ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÙˆÓ ·ÓÙÈı¤ÙˆÓ

Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÚÔ·ÙÂÈ; ·) 3x = –1 ‚) 2x = –9 Á) 5x = –10 ‰) 5x = 10

136

(133-142)

3-11-06

02:39

™ÂÏ›‰·137

3.3 AÏÁ‚ÚÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜

4

M ÔÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ú¤ÂÈ Ó· ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ٷ ̤ÏË Î¿ı Â͛ۈÛ˘ ÁÈ· Ó· ÚÔ·„Ô˘Ó ·ÓÙ›ıÂÙÔÈ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ ÛÙÔÓ ¿ÁÓˆÛÙÔ y Û οı ۇÛÙËÌ·; 5x + 4y = 9 ..... –3x + 2y = 1 .....

..... 2x4x +– 3y5y==14 .....

5

M ÔÈ· ̤ıÔ‰Ô Â›Ó·È ÚÔÙÈÌfiÙÂÚÔ Ó· χÛÔ˘Ì ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·; 7x + 4y = 8 2x + 5y = 7 y = 3x + 2 5x + 3y = 2 ·) ‚) Á) ‰) y = 3x – 5 5x – 5y = 18 y = – 5x + 8 3x – 2y = 4

6

™Â ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· –2x + y = 5 5x – 7y = – 4 (™1) : (™2) : 2x – y = 3 –5x + 7y = 4 ·Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô ÙˆÓ ·ÓÙÈı¤ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ, ÙfiÙ ··Ï›ÊÔÓÙ·È Î·È ÔÈ ‰‡Ô ¿ÁÓˆÛÙÔÈ. ¶ÔÈÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÚÔ·ÙÂÈ ÁÈ· ηı¤Ó· ·fi Ù· Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

3

¡· χÛÂÙ ٷ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·: x – 2y = 1 x + 3y = –2 ·) ‚) y=4 2x + y = 0

¡· χÛÂÙ ٷ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·: 3x – y = 7 2x – y = 3 ·) ‚) –2x + y = 4 5x + 2y = 6

5

Á)

x4x+–3yy ==109

‰)

x3x++2yy == –– 34

Á)

2x3x +– 2y3y==00

‰)

6x–2x–+9y3y==35

Á)

¡· χÛÂÙ ٷ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·:

·)

4

2x + y =3 4 3x – y =4 2

‚)

x–1 –y=1 4 x y + = –1 6 4

¡· χÛÂÙ ٷ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·: 4x – 3(2x + 3y) = 20 – x + y ·) 2(x – 2y) + 5(x – 2) = 3y + 4

¡· χÛÂÙ ٷ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·: 1,3· – 0,8‚ = 2,1 ·) 0,9· + 0,4‚ = 0,5

‚)

‚)

x – 5 2y + 1 + =3 2 3 x+4 y–6 – =4 3 2

y(x – 6) – 15 + 3x (xx(y–+1)(x4) += 2y) = (x + y) – y(y + 1)

ˆ – 0,2Ê = 1,5 4 3ˆ + 1,4Ê = –1

2

Á)

2,5x + 3,2y = –1,8 1,6x – 2,4y = –5,6

137

7-11-06

16:35

™ÂÏ›‰·138

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô

6

¡· χÛÂÙ ٷ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·:

·)

1 2 – =0 x y

‚)

x+y=3

1 2 1 + = · ‚ 6 3 4 5 + = · ‚ 6

Á)

2 – ˆ –6 + ˆ

1 1 = Ê 3 9 =1 Ê

7

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô ÙˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â1 : 2x + 5y = 10 Î·È Â2 : x – y = 1.

8

OÈ Â˘ı›˜: Â1 : 2x – 3y = –14 Â2 : x + y = –2 Â3 : 3x – y = 14 Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ¤Íˆ ·fi ÙÔ ¯·ÚÙ› ۯ‰›·Û˘. ªÔÚ›Ù ӷ ‚Ú›Ù ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÈÓÒÓ ÛËÌ›ˆÓ ÙÔ˘˜;

y

x– y =14

4 –1 y= 3 x– :2

Â1

Â3 : 3

(133-142)

Â2

0 :x + y= –2

x

9

AÓ 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 5 + 5 + 5 + ... + 5 = 410 Î·È ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÚÔÛıÂÙ¤ˆÓ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ̤ÏÔ˘˜ Â›Ó·È 100, Ó· ‚Ú›Ù fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ıËÎÂ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 3 Î·È fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ Ô ·ÚÈıÌfi˜ 5.

10

AÓ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

·x2·x+–‚y‚y==78

¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛË x = 1 Î·È y = 2, Ó· ‚Ú›Ù ÙȘ ÙÈ̤˜

ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ·, ‚.

11

∏ ¢ı›· Ì Â͛ۈÛË ·x + y = ‚ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ∞(1, 2) Î·È µ(–3, –2). ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·, ‚.

12

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ï, Ì, ÒÛÙÂ Ë Â͛ۈÛË x2 + (Ï – Ì)x + Ì – 2Ï = 0 Ó· ¤¯ÂÈ Ú›˙˜ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ –1 Î·È 3.

13

™ÙÔ ¿Óˆ ̤ÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÙÔ›¯Ô˘ Ì‹ÎÔ˘˜ 180 cm ¤¯Ô˘Ó ÙÔÔıÂÙËı› Ú¿ÛÈÓ· Î·È Á·Ï¿˙È· ‰È·ÎÔÛÌËÙÈο ÙÔ‡‚Ï· Û ‰‡Ô ÛÂÈÚ¤˜. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ οı Ú¿ÛÈÓÔ˘ Î·È Á·Ï¿˙ÈÔ˘ ÙÔ‡‚ÏÔ˘. 180 cm

14

138

™˘Û΢¿Û·Ì 2,5 ÙfiÓÔ˘˜ ÂÏ·ÈfiÏ·‰Ô˘ Û 800 ‰Ô¯Â›· ÙˆÓ 2 Î·È 5 ÎÈÏÒÓ. ¡· ‚Ú›Ù fiÛ· ‰Ô¯Â›· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹Û·Ì ·fi οı ›‰Ô˜.

(133-142)

3-11-06

02:39

™ÂÏ›‰·139

3.3 AÏÁ‚ÚÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜

15

O ̤ÛÔ˜ fiÚÔ˜ Ù˘ ‚·ıÌÔÏÔÁ›·˜ ÂÓfi˜ Ì·ıËÙ‹ ÛÙË º˘ÛÈ΋ Î·È ÙË ÃËÌ›· ηٿ ÙÔ ÚÒÙÔ ÙÚ›ÌËÓÔ ‹Ù·Ó 16. ™ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ ÙÚ›ÌËÓÔ Ô ‚·ıÌfi˜ Ù˘ º˘ÛÈ΋˜ ÌÂÈÒıËΠηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜, Ô ‚·ıÌfi˜ Ù˘ ÃËÌ›·˜ ·˘Í‹ıËΠηٿ 4 ÌÔÓ¿‰Â˜ Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÔÈ ‰‡Ô ‚·ıÌÔ› Ó· Á›ÓÔ˘Ó ›ÛÔÈ. ¶ÔÈÔ˘˜ ‚·ıÌÔ‡˜ ›¯Â Ô Ì·ıËÙ‹˜ Û ηı¤Ó· ·fi Ù· ‰‡Ô Ì·ı‹Ì·Ù· ηٿ ÙÔ ÚÒÙÔ ÙÚ›ÌËÓÔ;

16

∆· ΤÓÙÚ· ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Ô˘ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È ÂÛˆÙÂÚÈο ·¤¯Ô˘Ó 12 cm. ∞Ó ÔÈ Î‡ÎÏÔÈ ÌÂÙ·ÙÔÈÛÙÔ‡Ó ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο, ÙfiÙ ٷ ΤÓÙÚ· ÙÔ˘ ·¤¯Ô˘Ó 58 cm. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ·ÎÙ›Ó˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ.

17

∞Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÂÓfi˜ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ηı›ÛÔ˘Ó ·Ó¿ ¤Ó·˜ Û οı ıÚ·Ó›Ô, ÙfiÙ ı· Ì›ÓÔ˘Ó fiÚıÈÔÈ 8 Ì·ıËÙ¤˜, ÂÓÒ ·Ó ηı›ÛÔ˘Ó ·Ó¿ ‰‡Ô ı· Ì›ÓÔ˘Ó ÎÂÓ¿ 4 ıÚ·Ó›·. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔÈ Â›Ó·È ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Î·È fiÛ· Ù· ıÚ·Ó›·.

18

ªÈ· ÔÙÔÔÈ›· ·Ú·Û··Û 400 Ï›ÙÚ· Ô‡˙Ô ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ·˜ 38% vol, ·Ó·ÌÂÈÁÓ‡ÔÓÙ·˜ ‰‡Ô ÔÈfiÙËÙ˜ Ì ÂÚÈÂÎÙÈÎfiÙËÙ˜ 32% vol Î·È 48% vol ·ÓÙ›ÛÙÔȯ·. ¶fiÛ· Ï›ÙÚ· ·fi οı ÔÈfiÙËÙ· ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛÂ;

19

ŒÓ· ·˘ÙÔΛÓËÙÔ ÌÂÙ¿ ÙËÓ ÂÓÂÚÁÔÔ›ËÛË ÙˆÓ ÊÚ¤ÓˆÓ ÙÔ˘ Û˘Ó¤¯È˙ ӷ ÎÈÓÂ›Ù·È Ì ٷ¯‡ÙËÙ· ˘ = ˘0 – ·t, fiÔ˘ t Ô ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ÌÂÛÔÏ¿‚ËÛ ·fi ÙË ÛÙÈÁÌ‹ ÙÔ˘ ÊÚÂÓ·Ú›ÛÌ·ÙÔ˜. ∞Ó 2 sec ÌÂÙ¿ ÙÔ ÊÚÂÓ¿ÚÈÛÌ· ÙÔ ·˘ÙÔΛÓËÙÔ Â›¯Â Ù·¯‡ÙËÙ· 12m/sec Î·È 2sec ·ÚÁfiÙÂÚ· ›¯Â Ù·¯‡ÙËÙ· 4 m/sec, Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·Ú¯È΋ Ù·¯‡ÙËÙ· ˘0 Î·È ÙËÓ ÂÈ‚Ú¿‰˘ÓÛË ·. ™Â fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ·fi ÙË ÛÙÈÁÌ‹ ÙÔ˘ ÊÚÂÓ·Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ ı· ÛÙ·Ì·Ù‹ÛÂÈ ÙÔ ·˘ÙÔΛÓËÙÔ;

20

∞fi ¤Ó· ÛÙ·ıÌfi ‰ÈÔ‰›ˆÓ ¤Ú·Û·Ó 945 ·˘ÙÔΛÓËÙ· Î·È ÌÔÙÔÛÈÎϤÙ˜ Î·È ÂÈÛÚ¿¯ÙËÎ·Ó 1810 C. ∞Ó Ô Ô‰ËÁfi˜ οı ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘ Ï‹ÚˆÛ 2 C Î·È Ô Ô‰ËÁfi˜ οı ÌÔÙÔÛÈÎϤٷ˜ Ï‹ÚˆÛ 1,2 C, Ó· ‚Ú›Ù fiÛ· ‹Ù·Ó Ù· ·˘ÙÔΛÓËÙ· Î·È fiÛ˜ ÔÈ ÌÔÙÔÛÈÎϤÙ˜.

21

™’ ¤Ó· ÙËÏÂÔÙÈÎfi ·È¯Ó›‰È Û οı ·›ÎÙË ˘Ô‚¿ÏÏÔÓÙ·È 10 ÂÚˆÙ‹ÛÂȘ Î·È ÁÈ· οı ۈÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË ÚÔÛÙ›ıÂÓÙ·È ‚·ıÌÔ›, ÂÓÒ ÁÈ· οı ϷÓı·Ṳ̂ÓË ·¿ÓÙËÛË ·Ê·ÈÚÔ‡ÓÙ·È ‚·ıÌÔ›. ŒÓ·˜ ·›ÎÙ˘ ¤‰ˆÛ 7 ÛˆÛÙ¤˜ ··ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È Û˘ÁΤÓÙÚˆÛ 64 ‚·ıÌÔ‡˜, ÂÓÒ ¤Ó·˜ ¿ÏÏÔ˜ ¤‰ˆÛ 4 ÛˆÛÙ¤˜ ··ÓÙ‹ÛÂȘ Î·È Û˘ÁΤÓÙÚˆÛ 28 ‚·ıÌÔ‡˜. ¶fiÛÔ˘˜ ‚·ıÌÔ‡˜ ·›ÚÓÂÈ ¤Ó·˜ ·›ÎÙ˘ ÁÈ· οı ۈÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË Î·È fiÛÔÈ ‚·ıÌÔ› ÙÔ‡ ·Ê·ÈÚÔ‡ÓÙ·È ÁÈ· οı ϷÓı·Ṳ̂ÓË ·¿ÓÙËÛË;

139

(133-142)

3-11-06

02:39

™ÂÏ›‰·140

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô

°∂¡π∫∂™ ∞™∫∏™∂π™ 3Ô˘ ∫∂º∞§∞π√À

xx ++ yy == 1k, fiÔ˘ k Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.

1

N· ÂÈχÛÂÙ ÁÚ·ÊÈο ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·

2

AÓ ÔÈ Â˘ı›˜ Â1 : (Ï + Ì)x + y = 7 Î·È Â2 : x + (Ï + 3Ì)y = 1 Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(2, 1), Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ Ï Î·È Ì.

3

∞Ó Ù· Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·

(™1):

2xx –+y y==3 9 ,

Î·È (™2) :

3x2x–+‚y·y==·‚

¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· χÛË, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚.

4

5

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ x, y fiÙ·Ó: ·) (x + y – 2)2 + (2x – 3y + 1)2 = 0

‚) 2x2 + y2 – 2xy + 4x + 4 = 0

¡· χÛÂÙ ٷ Û˘ÛÙ‹Ì·Ù·: ·)

(2x – 3y + 4)(x + y)=0 2x + y = 4

‚)

(3x – 4y)(x + 2y) = 8 x + y = –2 2

Á)

x2 + y2 = 2xy x+y=7

6

¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜, Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 100 Î·È ·Ó ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Ì ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ, ÙfiÙ ı· ÚÔ·„ÂÈ ËÏ›ÎÔ 4 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 15.

7

∞Ó Ë Â͛ۈÛË (2Ï – Î – 3)x = Î – Ï + 1 Â›Ó·È ·fiÚÈÛÙË, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Î, Ï.

8

∆· ΤÓÙÚ· ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ Ô˘ ÂÊ¿ÙÔÓÙ·È Â͈ÙÂÚÈο ·¤¯Ô˘Ó 18 cm. ∞Ó Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎÏˆÓ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó Î·Ù¿ 72 cm2, Ó· ‚Ú›Ù ÙȘ ·ÎÙ›Ó˜ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÎψÓ.

9

¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ËÏÈ˘ ‰‡Ô ·‰ÂÏÊÒÓ, ·Ó Û‹ÌÂÚ· ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó Î·Ù¿ 5 ¯ÚfiÓÈ·, ÂÓÒ ÌÂÙ¿ 4 ·fi 11 ¯ÚfiÓÈ· ÔÈ ËÏÈ˘ ÙÔ˘˜ ı· ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ . 3

10

™’ ¤Ó· Ù·Í›‰È Ì ÏÔ›Ô, ÙÔ ÂÈÛÈÙ‹ÚÈÔ Ù˘ ∞ ı¤Û˘ ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 18 C Î·È Ù˘ µ ı¤Û˘ ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 6 C ÏÈÁfiÙÂÚ·. ∞Ó Û’ ¤Ó· Ù·Í›‰È ÎfiËÎ·Ó 350 ÂÈÛÈÙ‹ÚÈ· Û˘ÓÔÏÈ΋˜ ·Í›·˜ 4500 C, Ó· ‚Ú›Ù fiÛ· ÂÈÛÈÙ‹ÚÈ· ÎfiËÎ·Ó ·fi οı ηÙËÁÔÚ›·.

11

¡· ‚Ú›Ù ¤Ó· ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi, Ô˘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ „ËÊ›ˆÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 10 Î·È ·Ó ÂÓ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ì ٷ „ËÊ›· ÙÔ˘, ÙfiÙ ı· ÚÔ·„ÂÈ ·ÚÈıÌfi˜ ηٿ 18 ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜.

12

∞Ó ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ¤Ó· ‰È„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ „ËÊ›ˆÓ ÙÔ˘, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ËÏ›ÎÔ 6 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 3. ∞Ó ÂÓ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ì ٷ „ËÊ›· ÙÔ˘ Î·È ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ÙÔÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ „ËÊ›ˆÓ ÙÔ˘, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ËÏ›ÎÔ 4 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 9. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·Ú¯ÈÎfi˜ ‰È„‹ÊÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜;

140

(133-142)

3-11-06

02:39

™ÂÏ›‰·141

3.3 AÏÁ‚ÚÈ΋ Â›Ï˘ÛË ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜

13

∞Ó ÂÏ·ÙÙÒÛÔ˘Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ηٿ 2 m Î·È ·˘Í‹ÛÔ˘Ì ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ ηٿ 5 m, ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ·˘Í¿ÓÂÙ·È Î·Ù¿ 94 m2. ∞Ó fï˜, ·˘Í‹ÛÔ˘Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ηٿ 4 m Î·È ÂÏ·ÙÙÒÛÔ˘Ì ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ ηٿ 6 m, ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÂÏ·ÙÙÒÓÂÙ·È Î·Ù¿ 104 m2. ¶ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘;

14

√È fiÏÂȘ ∞ Î·È µ ·¤¯Ô˘Ó 55 km. ŒÓ· 80 km/h 60 km/h ·˘ÙÔΛÓËÙÔ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙËÓ fiÏË ∞ Î·È Ì ̤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· 80 km/h ÎÈÓÂ›Ù·È ÚÔ˜ ÙËÓ fiÏË µ. ¢Âη¤ÓÙ ÏÂÙ¿ ÌÂÙ¿ ÙËÓ B A 55 km ÂÎΛÓËÛ‹ ÙÔ˘ ¤Ó· ¿ÏÏÔ ·˘ÙÔΛÓËÙÔ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙËÓ fiÏË µ Î·È Ì ̤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· 60 km/h ÎÈÓÂ›Ù·È ÚÔ˜ ÙËÓ fiÏË ∞. ¶fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ÎÈÓ‹ıËΠοı ·˘ÙÔΛÓËÙÔ Ì¤¯ÚÈ ÙË Û˘Ó¿ÓÙËÛ‹ ÙÔ˘˜;

15

¢‡Ô ·˘ÙÔΛÓËÙ· ÎÈÓÔ‡ÓÙ·È Ì ÛÙ·ıÂÚ¤˜ Ù·¯‡ÙËÙ˜ Î·È ·¤¯Ô˘Ó ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ 45 km. ∞Ó ÎÈÓÔ‡ÓÙ·È ÚÔ˜ ÙËÓ ›‰È· ηÙ‡ı˘ÓÛË ı· Û˘Ó·ÓÙËıÔ‡Ó ÌÂÙ¿ ·fi 3 ÒÚ˜, ÂÓÒ ·Ó ÎÈÓÔ‡ÓÙ·È Û ·ÓÙ›ıÂÙË Î·Ù‡ı˘ÓÛË, ı· Û˘Ó·ÓÙËıÔ‡Ó Û 20 ÏÂÙ¿. ªÂ ÔÈ· Ù·¯‡ÙËÙ· ÎÈÓÂ›Ù·È Î¿ı ·˘ÙÔΛÓËÙÔ;

16

ŒÓ· ÙÚ¤ÓÔ ÎÈÓÂ›Ù·È Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ Ù·¯‡ÙËÙ·. √ ¯ÚfiÓÔ˜, Ô˘ ÌÂÛÔÏ·‚› ·fi ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ ı· ÂÈÛ¤ÏıÂÈ Û ÌÈ· Û‹Ú·ÁÁ· Ì‹ÎÔ˘˜ 180 m ̤¯ÚÈ ÙË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ Î·È ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô ÙÔ˘ ‚·ÁfiÓÈ ı· ÂͤÏıÂÈ ·’ ·˘Ù‹, Â›Ó·È 12 sec. ™Â ÌÈ· ‰Â‡ÙÂÚË Û‹Ú·ÁÁ· Ì‹ÎÔ˘˜ 930 m Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯԘ ¯ÚfiÓÔ˜ Ô˘ ÌÂÛÔÏ·‚› Â›Ó·È 42 sec. ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ Ù·¯‡ÙËÙ· Î·È ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙÚ¤ÓÔ˘.

17

√È ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ R1, R2, ·Ó Û˘Ó‰ÂıÔ‡Ó ·Ú¿ÏÏËÏ·, ¤¯Ô˘Ó ÔÏÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË 2,4 ø. ∞Ó Ë ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R2 Û˘Ó‰Âı› ·Ú¿ÏÏËÏ· Ì ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË 12 ø, ÙfiÙÂ Ë ÔÏÈ΋ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Â›Ó·È R1. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ R1, R2.

E¶∞¡∞§∏æ∏ – ∞¡∞∫∂º∞§∞πø™∏ 3o˘ K∂º∞§∞π√À 1 . ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕ ∆ΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ñ °Ú·ÌÌÈ΋ Â͛ۈÛË Ì ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ x, y ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı Â͛ۈÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x + ‚y = Á, .¯. 3χ + 2y = 7. ñ §‡ÛË Ù˘ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ ·x + ‚y = Á ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜ ·ÚÈıÌÒÓ (x, y) Ô˘ ÙËÓ Â·ÏËı‡ÂÈ. ¶.¯. ÙÔ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜ (1, 2) Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 3χ + 2y = 7, ·ÊÔ‡ 3 1 + 2 2 = 7. ñ ∏ ÁÚ·ÌÌÈ΋ Â͛ۈÛË ·x + ‚y = Á ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ Â˘ı›· Â, ·Ó · 0 ‹ ‚ 0.

141

7-11-06

21:43

™ÂÏ›‰·142

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 3Ô

y = 5y – 4x Â:

5 2

0

y

y

10

Â: x=3

2 Â: y=2 1

1 0

x

0

x

2

1

1

2

3

x

–2 ∞Ó · 0 Î·È ‚ 0, ÙfiÙÂ Ë ÁÚ·ÌÌÈ΋ Â͛ۈÛË ·x+‚y=Á ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ Â˘ı›· Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ¿ÍÔÓ˜.

∞Ó ·=0, ÙfiÙÂ Ë ÁÚ·ÌÌÈ΋ Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y=Î Î·È ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ Â˘ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x ‹ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x.

∞Ó ‚=0, ÙfiÙÂ Ë ÁÚ·ÌÌÈ΋ Â͛ۈÛË Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ x=Î Î·È ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ Â˘ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y ‹ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y.

ñ ∞Ó ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ·Ó‹ÎÂÈ Û ÌÈ· ¢ı›·, ÙfiÙ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ Â·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ Â͛ۈÛË Ù˘ ¢ı›·˜. ¶.¯. ·Ó ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(3, 4) ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· ε : αχ – y = 0, ÙfiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ 3 α – 4 = 0. ñ ∞Ó ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ Â·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ Â͛ۈÛË ÌÈ·˜ ¢ı›·˜, ÙfiÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· ·˘Ù‹. ¶.¯. ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(0, –2) ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ Â˘ı›· ε : 4χ – 5y = 10, ·ÊÔ‡ 4 0 – 5 (–2) = 10.

2 . ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕ ∆ΥΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ñ ∏ ÁÂÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÂÓfi˜ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ Ì ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ x, y ›ӷÈ: · 1 x + ‚ 1 y = Á1 3χ + 2y = 4 .¯. (™) : · 2 x + ‚ 2 y = Á2 χ – 3y = 5

ñ §‡ÛË ÙÔ˘ ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ (™) Â›Ó·È Î¿ı ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜ ·ÚÈıÌÒÓ (x, y) Ô˘ Â·ÏËı‡ÂÈ Î·È ÙȘ ‰‡Ô ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙÔ˘. ¶.¯. ÙÔ ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔ ˙‡ÁÔ˜ (2, –1) Â›Ó·È Ï‡ÛË ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜

3 χχ +– 23yy == 45

,

·ÊÔ‡

2 (–1) = 4 3 22 –+ 3 (–1) = 5

ñ ŒÓ· ÁÚ·ÌÌÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Ì ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ x, y χÓÂÙ·È Ì ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ ÙÚfiÔ˘˜: ·) °Ú·ÊÈο ™ÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ì ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ì ‰‡Ô ¢ı›˜ Â1, Â2. 8

 2: 8 y= 2x+

5 y= + :x Â1

5

y

y

 2:

– 4x

6y

=–

y 4

24

0

3 –6

0

x 3 4

0

5

∞Ó ÔÈ Â1, Â2 Ù¤ÌÓÔÓÙ·È Û’ ¤Ó· ÛËÌ›Ô, ÙfiÙ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÙ·ÁÌ¤ÓˆÓ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ÙÔÌ‹˜ ÙÔ˘˜. ¶.¯. ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· x + y = 5 ¤¯ÂÈ 2x + y = 8 ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ (x, y) = (3, 2).

x

–2

∞(3,2)

2

x

2

Â2 : 6 x–2y =1 Â1 : 3 x–y= 2 6

(133-142)

x :2

–3

y

=6

–6

Â1

∞Ó ÔÈ Â1, Â2 Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ ÙfiÙ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛËÌ›Ô, ÔfiÙ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ.

∞Ó ÔÈ Â1, Â2 Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ó fiÏ· ÙÔ˘˜ Ù· ÛËÌ›· ÎÔÈÓ¿, ÔfiÙ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ¤¯ÂÈ ¿ÂÈÚ˜ χÛÂȘ. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Â›Ó·È ·fiÚÈÛÙÔ.

‚) ∞ÏÁ‚ÚÈο ÃÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ù˘ ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ ‹ ÙˆÓ ·ÓÙÈı¤ÙˆÓ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙÒÓ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ··Ï›„Ô˘Ì ÙÔÓ ¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· ηٷϋÍÔ˘Ì Û ÌÈ· Â͛ۈÛË 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ.

142

(143-149)

3-11-06

02:57

™ÂÏ›‰·143

4o ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

4.1 Η συνάρτηση y = αx 2 µε α 0 4.2 Η συνάρτηση y = αx 2 + βx + γ µε α 0 Γενικές ασκήσεις 4ου κεφαλαίου

Επανάληψη – Ανακεφαλαίωση

(143-149)

3-11-06

02:57

4.1

™ÂÏ›‰·144

∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x2 ÌÂ · 0

✔ Θυµάµαι τι ονοµάζεται συνάρτηση και τι λέγεται γραφική παράσταση µιας συνάρτησης. ✔ Μαθαίνω να σχεδιάζω τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx2 µε α 0. ✔ Μαθαίνω να βρίσκω τον τύπο της συνάρτησης y = αx2 από τη γραφική της παράσταση.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: – √ ·ÚÈıÌfi˜ y Ô˘ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ x Â›Ó·È y = ................ – To ÂÌ‚·‰fiÓ y ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì Ï¿ÙÔ˜ x Î·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ Ì‹ÎÔ˜ Â›Ó·È y = .......... – To ÂÌ‚·‰fiÓ y ÂÓfi˜ ΢ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘ Ì ·ÎÙ›Ó· x Â›Ó·È y = ..............

2. ™ÙËÓ ÚÒÙË ÚfiÙ·ÛË, fiÙ·Ó Ô x ¿ÚÂÈ ÙȘ ÙÈ̤˜ –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ y;

3. ™Â ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› Ó· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÙ Ì ÛËÌ›· Ù· ˙‡ÁË (x, y) Ô˘ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›Û·ÙÂ Î·È Ó· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙËÓ Î·Ì‡ÏË Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ·˘Ù¿.

∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x 2 Ì · > 0 ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË Ì¿ı·Ì fiÙÈ ÌÈ· ÈÛfiÙËÙ· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ ‰‡Ô ÌÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ x, y ηıÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· ‰È·‰Èηۛ·, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Û˘Ó¿ÚÙËÛË, fiÙ·Ó Û οı ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÙ·È ÌÈ· ÌfiÓÔ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë ÈÛfiÙËÙ· y = x2 ηıÔÚ›˙ÂÈ ÌÈ· Û˘Ó¿ÚÙËÛË, ·ÊÔ‡ Û οı ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÂÙ·È Ì›· ÌfiÓÔ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y. ¶.¯. °È· x = 1 ¤¯Ô˘Ì y = 12 = 1, y ÁÈ· x = 2 ¤¯Ô˘Ì y = 22 = 4 Î.Ù.Ï. 9 (–3, 9) (3, 9) ™’ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ, ·Ó ·Ú·ÛÙ‹ÛÔ˘Ì Ì 8 ÛËÌ›· Ù· ˙‡ÁË (x, y), fiÔ˘ y Â›Ó·È Ë ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ÁÈ· ÌÈ· ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ÙfiÙ ÙÔ 7 Û‡ÓÔÏÔ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ·ÔÙÂÏ› ÙË y M(–x, y) M(x, y) ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·Û‹ Ù˘. 6 °È· Ó· ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = x 2 ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó 5 ›Ó·Î· ÙÈÌÒÓ Ù˘ ÁÈ· ‰È¿ÊÔÚ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x. (–2, 4)

x y

–3 9

–2 4

–1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

™’ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ì Ì ÛËÌ›· Ù· ˙‡ÁË ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘ ›Ó·Î· Î·È Û¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙËÓ Î·Ì‡ÏË Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ·˘Ù¿. ∏ ηÌ‡ÏË ·˘Ù‹ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ú·‚ÔÏ‹ Î·È Â›Ó·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = x2. 144

(2, 4)

4

3

2 (–1, 1)

1

(1, 1) x

–3 –x –2

–1 √(0,0)

1

2

x

3

(143-149)

3-11-06

02:57

™ÂÏ›‰·145

4.1 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x 2 ÌÂ · 0

Afi ÙÔ Û¯‹Ì· ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: – ∏ ·Ú·‚ÔÏ‹ ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √(0, 0) Î·È ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x Î·È ¿Óˆ, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x ÈÛ¯‡ÂÈ y 0. – H Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = x2 ·›ÚÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ y = 0, fiÙ·Ó x = 0. – °È· x = –3 ‹ x = 3 ¤¯Ô˘Ì y = 9 Î·È Ù· ÛËÌ›· (–3, 9) Î·È (3, 9) Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y. °ÂÓÈο Û ·ÓÙ›ıÂÙ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ë ›‰È· ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = x2 ¤¯ÂÈ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y.

∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x 2 Ì · < 0 M ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ Û¯Â‰È¿˙Ô˘ÌÂ Î·È ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = –x2, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Â›Û˘ ÌÈ· ·Ú·‚ÔÏ‹. ∞fi ÙÔ Û¯‹Ì· ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: – ∏ ·Ú·‚ÔÏ‹ ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √(0, 0) Î·È ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x Î·È Î¿Ùˆ, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x ÈÛ¯‡ÂÈ y 0. – H Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = –x2 ·›ÚÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ y = 0, fiÙ·Ó x = 0. – ™Â ·ÓÙ›ıÂÙ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x ·ÓÙÈÛÙÔȯ› Ë ›‰È· ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = –x2 ¤¯ÂÈ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y.

–3 –x –2

–1 √(0,0)

y

–1

(–1, –1)

1

2

x

3 x

(1, –1)

–2

–3 (–2, –4)

(2, – 4)

–4

–5

–6 y

M ((–x, y)

M(x, y)

–7

–8

Γενικά

–9

(–3, –9)

(3, –9)

∏ Û ˘ Ó ¿ Ú Ù Ë Û Ë y = ·x 2 Ì Â · ≠ 0.

ñ Œ¯ÂÈ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ì›· ηÌ‡ÏË Ô˘ Â›Ó·È ·Ú·‚ÔÏ‹ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √(0, 0) Î·È ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y. ñ AÓ · > 0, ÙfiÙÂ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x Î·È ¿Óˆ Î·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·›ÚÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ y = 0, fiÙ·Ó x = 0.

ñ ∞Ó · < 0, ÙfiÙÂ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x Î·È Î¿Ùˆ Î·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·›ÚÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ y = 0, fiÙ·Ó x = 0. y

y

O (0, 0)

2

y=·x ·>0

x

x

y=·x2 ·<0

O(0, 0)

145

21-11-06

17:18

™ÂÏ›‰·146

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô

™Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ì ۯ‰ȿÛÂÈ ÙËÓ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = ·x2 ÁÈ· ‰È¿ÊÔÚ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ·. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: y

·) √ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ · ‰ÂÓ Î·ıÔÚ›˙ÂÈ ÌfiÓÔ ÙË ı¤ÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = ·x2 ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x, ·ÏÏ¿ ηıÔÚ›˙ÂÈ Î·È ÙÔ «¿ÓÔÈÁÌ¿» Ù˘. ŸÙ·Ó Ë ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ · ·˘Í¿ÓÂÙ·È, ÙfiÙÂ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ «ÎÏ›ÓÂÈ».

y

O

O

y=–2 2 x

y=– 2 x

y= –

1 x2

y = x2 y= 1 x2

x

y=2 2 x

(143-149)

x

y

‚) ∞Ó Û¯Â‰È¿ÛÔ˘Ì ÙȘ ·Ú·‚ÔϤ˜ y = 2x2 Î·È y = –2x2 ÛÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ, ÙfiÙ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔÓ x x. °ÂÓÈο: √È ·Ú·‚ÔϤ˜ y = ·x2 Î·È y = –·x2 Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙÔÓ x x.

y=2x2

O

x y=–2x2

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· ‚ÚÂı› Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·, ÒÛÙÂ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = ·x 2 Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ (–1, 3).

Λύση °È· Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = ·x2 ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(–1, 3), Ú¤ÂÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞, Ó· Â·ÏËıÂ‡Ô˘Ó ÙËÓ Â͛ۈÛË y = ·x2. ÕÚ·, ÁÈ· x = –1 Î·È y = 3, ¤¯Ô˘Ì 3 = · (–1)2, ÔfiÙ · = 3.

2

N· ۯ‰ȷÛÙ› Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = –2x 2 fiÙ·Ó –2 x 2 Î·È Ó· ‚ÚÂı› Ë Ì¤ÁÈÛÙË Î·È Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ Ô˘ ·›ÚÓÂÈ Ë ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ y. ¶ÔÈ· ÛËÌ›· Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙ·Á̤ÓË – 9 ; 2

Λύση

™¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ›Ó·Î· ÙÈÌÒÓ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = –2x2. x y

146

–2 –8

–1 –2

0 0

1 2 –2 – 8

21-11-06

17:19

™ÂÏ›‰·147

4.1 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x 2 ÌÂ · 0

M ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ ·˘ÙÒÓ Û¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙËÓ –2 –1 ·Ú·‚ÔÏ‹. ∞fi ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ, ÁÈ· fiϘ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x, ·fi ÙÔ –2 ¤ˆ˜ Î·È ÙÔ 2 (–2 x 2) ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ y Â›Ó·È ·fi ÙÔ – 8 ¤ˆ˜ Î·È ÙÔ 0 (– 8 y 0). (–1, –2) ÕÚ·, Ë Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y Â›Ó·È ÙÔ 0, fiÙ·Ó x = 0 Î·È Ë ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ y Â›Ó·È ÙÔ – 8, fiÙ·Ó x = –2 ‹ x = 2. °È· y = –

0

2

1

x

(1, –2)

–2

9 ¤¯Ô˘ÌÂ: 2

Â

9 9 3 – = –2x2 ‹ x2 = , ÔfiÙÂ x = ± . 2 4 2

(

ÕÚ· Ù· ˙ËÙÔ‡ÌÂÓ· ÛËÌ›· Â›Ó·È Ù· –

–9 2

3 9 3 9 Î·È ,– . ,– 2 2 2 2

)

(

)

∆· ÛËÌ›· ·˘Ù¿ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ‚ÚÂıÔ‡Ó Î·È ·fi ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È Ù· ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ù˘ 9 ¢ı›·˜  : y = – Î·È Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = – 2x2. 2 (–2, –8)

3

y

2 y = – 2x

(143-149)

–8

(2, –8)

Afi ÙË º˘ÛÈ΋ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ ·Ó ¤Ó· ÛÒÌ· οÓÂÈ ÂχıÂÚË ÙÒÛË, ÙfiÙ Û ¯ÚfiÓÔ t ‰È·Ó‡ÂÈ ‰È¿ÛÙËÌ· S, Ô˘ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô S = 1 gt 2 (g ≈ 10m/sec 2). 2 N· ۯ‰ȷÛÙ› ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ – ¯ÚfiÓÔ˘.

Λύση

S

∆Ô ‰È¿ÛÙËÌ· S ÁÈ· g = 10 m/sec2 ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ 1 Ù‡Ô S = 10 t2 = 5t2. 2

20

(2, 20)

15 2

∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ S = 5t Â›Ó·È ·Ú·‚ÔÏ‹ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √(0, 0) Î·È ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· (1, 5), (2, 20) Î.Ù.Ï. √ ¯ÚfiÓÔ˜ fï˜ ‰ÂÓ ·›ÚÓÂÈ ·ÚÓËÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜, ÔfiÙ ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÙÔ˘ ‰È·ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ – ¯ÚfiÓÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ ÙÌ‹Ì· Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙÔ 1Æ ÙÂÙ·ÚÙËÌfiÚÈÔ.

10 5

0

(1, 5)

1

2

t

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¶ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÛËÌ›· ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙËÓ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = –2x2; 1 1 ‰) ¢(–2, 8) ·) ∞(–1, 2) ‚) µ(2, –8) Á) ° ,– 2 2

(

)

147

(143-149)

7-11-06

16:39

™ÂÏ›‰·148

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô

2

¶oȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ·›ÚÓÔ˘Ó Ì¤ÁÈÛÙË Î·È ÔȘ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹; ·) y = –4x2 ‚) y = 4x2 Á) y = (–4x)2 ‰) y = –(4x)2.

3

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜: ·) H ·Ú·‚ÔÏ‹ y = 6x2 ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √(0, 0). ‚) √ ¿ÍÔÓ·˜ x x Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = x2. Á) √È ·Ú·‚ÔϤ˜ y = 8x2 Î·È y = –8x2 Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y. ‰) ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = 3x2 ·›ÚÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙËÓ y = 0. Â) ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = –2x2 ·›ÚÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙËÓ y = 0. ÛÙ) ∞Ó Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = ·x2 ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(–1, 2), ÙfiÙ ı· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È Î·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô §(1, 2).

4

5

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ ¤¯Ô˘Ì ۯ‰ȿÛÂÈ ¤Ó· ÙÌ‹Ì· Ù˘ ÁÚ·ÊÈ΋˜ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ù˘ 1 Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = – x2. 4 ·) ¡· ÔÏÔÎÏËÚÒÛÂÙ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. ‚) ™ÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Ó· ۯ‰ȿÛÂÙÂ Î·È ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ 1 y = x 2. 4

x

‚) · = –1

Á) · = –4

‰) · =

1 8

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ·Ú·‚ÔÏ‹ ÙËÓ Â͛ۈۋ Ù˘. 1 1 1) y = x2 2) y = –3x2 3) y = – x2 4) y = x2 3 3 ·)

‚)

y

√

y

Á)

y

x

x

·

√

‚

Á

‰)

x

√

148

O

AÓ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = ·x2 ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(2, –4), ÙfiÙÂ: ·) · = 2

6

y

‰

y

√

x

(143-149)

3-11-06

02:57

™ÂÏ›‰·149

4.1 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x 2 ÌÂ · 0

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

N· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙȘ ·Ú·‚ÔϤ˜: ·) y = 2x2

2

‚) y = –2x2

Á) y = –

3 2 x 4

2 2 x 3

‰) y =

N· ۯ‰ȿÛÂÙ ÛÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ ÙȘ ·Ú·‚ÔϤ˜: 1 3 2 3 ·) y = x2, y = x2 Î·È y = 3x2 ‚) y = x Î·È y = – x2 3 2 2 y

3

N· ‚Ú›Ù ÙËÓ Â͛ۈÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙË Û˘ÌÌÂÙÚÈ΋ Ù˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x Î·È Ó· ÁÚ¿„ÂÙ ÙËÓ Â͛ۈۋ Ù˘.

–2

–1

1

0

2 x

(–2, –1)

–1

4

N· ‚Ú›Ù ٷ ÛËÌ›· Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = – 4x2 Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙ·Á̤ÓË –9.

5

N· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Ï, ÒÛÙÂ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = (Ï + 2)x2 Ó· ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ

(

ÛËÌÂ›Ô ª –

6

1, 1 . 2 2

)

∞Ó Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË y =

1 2 x ·›ÚÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ Î·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‰È¤Ú¯ÂÏ

Ù·È ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(2, Ï), Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Ï.

7

∞fi ÙË º˘ÛÈ΋ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ Ë ÎÈÓËÙÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Ô˘ ÎÈÓÂ›Ù·È Ì 1 Ù·¯‡ÙËÙ· ˘ Î·È ¤¯ÂÈ Ì¿˙· m ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô ∂∫ = m˘2. 2 ·) ™ÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Ó· Á›ÓÂÈ ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ù·¯‡ÙËÙ·˜ - ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÁÈ· ÙÚ›· ÛÒÌ·Ù· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Ì¿˙˜ 1, 2 Î·È 4 ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ‚) ∞Ó Ù· ÛÒÌ·Ù· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÎÈÓËÙÈ΋ ÂÓ¤ÚÁÂÈ· ∂∫ = 2, ÙfiÙ ·fi ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÔÈÔ ·fi Ù· ÙÚ›· ÛÒÌ·Ù· ¤¯ÂÈ ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Ù·¯‡ÙËÙ·. 3 Á) ∞Ó Ù· ÛÒÌ·Ù· ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· Ù·¯‡ÙËÙ· ˘ = , ÙfiÙ ·fi ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ó· 2 ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙÂ, ÔÈÔ ·fi Ù· ÙÚ›· ÛÒÌ·Ù· ¤¯ÂÈ ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÂÓ¤ÚÁÂÈ·.

149

3-11-06

03:01

4. 2

™ÂÏ›‰·150

∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x2 + ‚x + Á ÌÂ · 0

✔ Μαθαίνω να σχεδιάζω τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = αx 2 + βx + γ µε α 0.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ÙÈÌÒÓ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = x2 – 4x + 3 Î·È Û’ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Ó· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÙ Ì ÛËÌ›· Ù· ˙‡ÁË ÙÔ˘ ›Ó·Î·: x y

–1

0

1

2

3

4

5

2. ™ÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Ó· ۯ‰ȿÛÂÙÂ Î·È ÙËÓ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = x2. 3. N· ·ÔÙ˘ÒÛÂÙ ÙËÓ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = x2 Û’ ¤Ó· ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Î·È Ó· ÙÔ ÌÂÙ·ÎÈÓ‹ÛÂÙ ÒÛÙÂ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô (2, –1) Î·È Ô ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Ù˘ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊË Â˘ı›· x = 2. ∂›Ó·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = x2 – 4x + 3 ·Ú·‚ÔÏ‹; √È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ y = x2 Î·È y = –x2, Ô˘ ÁÓˆÚ›Û·Ì ÛÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ·Ú¿ÁÚ·ÊÔ, fiˆ˜ Î·È ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ y = 3x2 – 1, y = –2x2 + 8x, y = x2 – 4x + 3 Î.Ù.Ï., ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ.

Γενικά TÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ıÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y = ·x 2 + ‚x + Á Ì · 0. ∞Ó ¤¯Ô˘Ì ̛· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Û˘Ó¿ÚÙËÛË, fiˆ˜ ÙËÓ y = x2 – 4x + 3 Î·È ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ۯ‰ȿÛÔ˘Ì ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ¤Ó·Ó ›Ó·Î· ÙÈÌÒÓ Ù˘ ÁÈ· ‰È¿ÊÔÚ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x. 1 0

2 –1

3 0

4 3

5 8

™ã ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ì Ì ÛËÌ›· Ù· ˙‡ÁË ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘ ›Ó·Î· Î·È Û¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÌÈ· ηÌ‡ÏË Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ·˘Ù¿. ™ÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Û¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = x 2, ÙËÓ ·ÔÙ˘ÒÓÔ˘Ì ے ¤Ó· ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Î·È ÙË ÌÂÙ·ÎÈÓԇ̠ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ Î·È Î·Ù·ÎfiÚ˘Ê· ÚÔ˜ Ù· οو ηٿ 1 ÌÔÓ¿‰·. ¢È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ ·˘Ù‹ Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = x2 – 4x + 3.

150

y 8

– 4x +3

0 3

y = x2

–1 8

y = x2

x y

x=2

(150-158)

3

–3 –2 –1 O –1

2 3 1 K(2, –1)

4

5

x

3-11-06

03:01

™ÂÏ›‰·151

4.2 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x 2 + ‚x + Á ÌÂ · 0

ÕÚ· Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ Ù˘ y = x2 – 4x + 3 Â›Ó·È Â›Û˘ ·Ú·‚ÔÏ‹, Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(2, –1) Î·È ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊË Â˘ı›· x = 2.

Γενικά

H ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = ·x2 + ‚x + Á Ì · 0 Â›Ó·È ·Ú·‚ÔÏ‹ ÌÂ:

‚ , ¢ – , fiÔ˘ ¢ = ‚2 – 4·Á Î·È 2· 4· ñ ÕÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊË Â˘ı›· Ô˘ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∫ Î·È ¤¯ÂÈ ‚ Â͛ۈÛË x = – 2·

(

ñ KÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ –

)

™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·fi ÙÔÓ ›Ó·Î· ÙÈÌÒÓ Î·È ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = x2 – 4x + 3 ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(2, –1) Î·È ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›· x = 2. ™ÙÔ ›‰ÈÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ηٷϋÁÔ˘ÌÂ Î·È ·fi ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÚfiÙ·ÛË, ·ÊÔ‡ ‚ (– 4)2 – 4 1 3 –4 ¢ – =– = 2 Î·È – =– = –1. 2· 4 1 2 1 4· y

OÌÔ›ˆ˜, Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = –x2 – 2x + 3 Â›Ó·È Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = –x2 ÌÂÙ·ÙÔÈṲ̂ÓË ·Ú¿ÏÏËÏ· ÚÔ˜ ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜, ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(–1, 4) Î·È ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›·

–

(– 2)2 – 4 (–1) 3 ¢ =– = 4. 4· 4 (–1)

2 1 –4

– 3 –2 –1 0

x = –1

‚ –2 =– = –1 Î·È 2· 2 (–1)

3

1

2

x

3

–

4

– 2x +

x = –1, ·ÊÔ‡

K(–1, 4)

y =–x2

(150-158)

–5

∞fi ÙȘ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ y = x2 – 4x + 3 Î·È y = –x2 –2x + 3, Ô˘ ۯ‰ȿ۷Ì ÛÙ· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·, ·Ú·ÙËÚԇ̠·ÎfiÌË fiÙÈ: – ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = x2 – 4x + 3 Ô˘ ¤¯ÂÈ · > 0 Î·È ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·Ú·‚ÔÏ‹ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(2, –1) ·›ÚÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ y = –1, fiÙ·Ó x = 2. – ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = –x2 – 2x + 3 Ô˘ ¤¯ÂÈ · < 0 Î·È ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ·Ú·‚ÔÏ‹ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(–1, 4) ·›ÚÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ y = 4, fiÙ·Ó x = –1.

Γενικά ñ AÓ · > 0, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x2 + ‚x + Á ·›ÚÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ y = –

¢ ‚ , fiÙ·Ó x = – 4· 2·

ñ AÓ · < 0, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x2 + ‚x + Á ·›ÚÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ y = –

¢ ‚ , fiÙ·Ó x = – 4· 2·

151

14-11-06

15:57

™ÂÏ›‰·152

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· ۯ‰ȷÛÙ› Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = x 2 – 2 Î·È Ó· ‚ÚÂıÔ‡Ó Ù· ÎÔÈÓ¿ Ù˘ ÛËÌ›· Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x xx.

Λύση H Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = x2 – 2 Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y = ·x2 + ‚x + Á Ì · = 1, ‚ = 0 Î·È Á = –2, ‚ 0 ¢ 02 – 4 1 (–2) ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì – =– = 0 Î·È – =– = –2. 2· 2 1 4· 4 1 y

ÕÚ· Ë ÁÚ·ÊÈ΋ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Â›Ó·È ·Ú·‚ÔÏ‹ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(0, –2) Î·È ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›· x = 0, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y. °È· ÙÔÓ ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚÔ Û¯Â‰È·ÛÌfi Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÌÂÚÈο ·ÎfiÌË ÛËÌ›· Ù˘. x y

–3 7

–2 2

–1 –1

0 –2

1 –1

2 2

3 7

y = x2

–2

7

2 2

- 2 -3 -2 -1 0 -1

1

2

3

x

°È· Ó· ‚Úԇ̠ٷ ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ -2 y = x2 – 2 Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x ı¤ÙÔ˘Ì y = 0 (Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· x x ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙ·Á̤ÓË 0) Î·È ¤¯Ô˘Ì x2 – 2 = 0 ‹ x2 = 2, ÔfiÙ x = 2 ‹ x = – 2. ÕÚ·, Ù· ÎÔÈÓ¿ ÛËÌ›· Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ Î·È ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· x x Â›Ó·È Ù· ∞(– 2, 0) Î·È µ( 2, 0).

y=x 2 –2

+2 ± +2 –2 ±

y=x 2 +2 y=x 2

0

–2

+2 ± ± –2

2

± ±

2

± ±

√ÌÔ›ˆ˜, Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = x2 + 2, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(0, 2) ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ Î·È Ì ηٷÎfiÚ˘ÊË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = x2 ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ (‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË, ÁÈ·Ù› Ë ÙÂÙÌË̤ÓË Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ Â›Ó·È 0).

y

+2

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË ∏ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = x2 – 2, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(0, –2), ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ Î·È Ì ηٷÎfiÚ˘ÊË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = x2 ÚÔ˜ Ù· οو ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ (‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË, ÁÈ·Ù› Ë ÙÂÙÌË̤ÓË Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ Â›Ó·È 0).

–2

(150-158)

x

-2

N· ۯ‰ȷÛÙ› Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = (x – 2) 2 Î·È Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ ÎÔÈÓfi Ù˘ ÛËÌÂ›Ô Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y yy.

Λύση H Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = (x – 2)2 ÁÚ¿ÊÂÙ·È y = x2 – 4x + 4 Î·È Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y = ·x2+ ‚x+ Á Ì · = 1, ‚ = –4 Î·È Á = 4, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: 152

3-11-06

03:01

™ÂÏ›‰·153

4.2 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x 2 + ‚x + Á ÌÂ · 0

‚ –4 ¢ (–4)2 – 4 1 4 =– = 2 Î·È – =– = 0. 2· 2 1 4· 4 1

y

x y

–1 9

0 4

1 1

2 0

3 1

4 4

x=2

– 2) 2

9

ÕÚ·, Ë ÁÚ·ÊÈ΋ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Â›Ó·È ·Ú·‚ÔÏ‹ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(2, 0) Î·È ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›· x = 2. °È· ÙÔÓ ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚÔ Û¯Â‰È·ÛÌfi Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÌÂÚÈο ·ÎfiÌË ÛËÌ›· Ù˘.

y = (x

–

4

5 9

1

-1 0 1 2 3 4 5 x °È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ 2 y = (x – 2) Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y, ı¤ÙÔ˘Ì x = 0 (Ù· ÛËÌ›· ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· y y ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙÌË̤ÓË 0), ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì y = (0 – 2)2 = 4. ÕÚ·, ÙÔ ÎÔÈÓfi ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y Â›Ó·È ∞(0, 4).

√ÌÔ›ˆ˜, Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ y = (x + 1)2, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(–1, 0), ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ Î·È Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = x2 ÚÔ˜ Ù· ·ÚÈÛÙÂÚ¿ ηٿ 1 ÌÔÓ¿‰· (‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·Ù·ÎfiÚ˘ÊË ÌÂÙ·ÙfiÈÛË, ÁÈ·Ù› Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ Â›Ó·È 0).

3

y

+2

±

± –1

± –1

– 2) 2

± +2 y = (x

9

y = x2

± –1

+ 1) 2

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË : ∏ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = (x – 2)2, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(2, 0), ÌÔÚ› Ó· ÚÔ·„ÂÈ Î·È Ì ÔÚÈ˙fiÓÙÈ· ÌÂÙ·ÙfiÈÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = x 2 ÚÔ˜ Ù· ‰ÂÍÈ¿ ηٿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ (‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹ ÌÂÙ·ÙfiÈÛË, ÁÈ·Ù› Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË Ù˘ ÎÔÚ˘Ê‹˜ Â›Ó·È 0).

y = (x

(150-158)

± +2

4

± ± –1 +2

–1

±

1

- 4 -3 -2 -1 0

+2

± 1

2 3 4

5 x

N· ۯ‰ȷÛÙ› Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = x 2 – 4x Î·È Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ Â›Ó·È y < 0.

Λύση H Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = x2 – 4x Â›Ó·È Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ y = ·x2 + ‚x + Á Ì · = 1, ‚ = – 4 Î·È Á = 0, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì –

‚ –4 ¢ (–4)2 – 4 1 0 =– = 2 Î·È – =– = –4. 2· 2 1 4· 4 1

ÕÚ·, Ë ÁÚ·ÊÈ΋ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Â›Ó·È ·Ú·‚ÔÏ‹ Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(2, –4) Î·È ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›· x = 2. °È· ÙÔÓ ·ÎÚÈ‚¤ÛÙÂÚÔ Û¯Â‰È·ÛÌfi Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÌÂÚÈο ·ÎfiÌË ÛËÌ›· Ù˘.

153

3-11-06

03:01

™ÂÏ›‰·154

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô

x y

–1 5

0 0

1 –3

2 3 –4 –3

4 0

y

5 5

x=2

5

y = x2

– 4x

™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ÙËÓ ·Ú·‚ÔÏ‹ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· Ù˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙ·Á̤ÓË y ·ÚÓËÙÈ΋ Â›Ó·È ÂΛӷ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÂÙÌË̤ÓË x ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 0 Î·È 4. ÕÚ·, Â›Ó·È y < 0, fiÙ·Ó 0 < x < 4. -1 0

1 2

3

4 5

x

-3 -4

K(2, – 4)

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ y 5 3

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ‰›ÓÂÙ·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = x2 – 2x – 3. N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ. ·) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Â›Ó·È ............................. Ì ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ........................ Î·È ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›· ....................................... ‚) ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·˘Ù‹ ·›ÚÓÂÈ .............................. ÙÈÌ‹ y = ................., fiÙ·Ó x = .................. Á) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x ÛÙ· ÛËÌ›· ................., ................... Î·È ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô .................. .

4

– 2x –

1

3

y = x2

(150-158)

2 1 -2 -1 0 -1

1

2

3 4

-2 -3 -4

2

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. ∏ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = 4x2 + 2 ¤¯ÂÈ: i) ∫ÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ·) (4, 2) ‚) (0, 4) Á) (0, 2) ‰) (2, 0) ii) ÕÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›· Ì Â͛ۈÛË ·) x = 2 ‚) y = 0 Á) x = 0 ‰) y = 2

3

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜: ·) ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = –2x2 – 5x + 4 ·›ÚÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹. ‚) ∏ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = x2 – x + 2 Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(0, 2). Á) √ ¿ÍÔÓ·˜ y y Â›Ó·È ¿ÍÔÓ·˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = 3x2 – 7. ‰) ∏ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = (x + 1)2 Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· x x. Â) H ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ y = x2 + 2 Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ¿ÍÔÓ· y y.

154

x

(150-158)

3-11-06

03:01

™ÂÏ›‰·155

4.2 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x 2 + ‚x + Á ÌÂ · 0

4

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ·Ú·‚ÔÏ‹ ÙËÓ Â͛ۈۋ Ù˘. 1. y = (x + 1)2 2. y = x2 – 1 3. y = x2 + 1 4. y = (x – 1)2 ·)

‚) y

–1 0 –1

Á) y

1

y

y

1

1

x

–1 0

1

2

·

5

‰)

–3 –2 –1 0

3 x

‚

Á

1 1 x

–1 0

1

x

‰

OÚÈṲ̂Ó˜ ÙÈ̤˜ Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = ·x2 + ‚x + Á Ì · < 0 Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ›Ó·Î·. x y

–2 –5

–1 0

0 3

1 4

2 3

3 0

4 –5

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: ·) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Â›Ó·È ·Ú·‚ÔÏ‹ Ì ¿ÍÔÓ· Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ÙËÓ Â˘ı›· ........................... Î·È ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ........................... ‚) ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·˘Ù‹ ·›ÚÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ y = ....................., fiÙ·Ó x = .................. Á) ∏ ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x ÛÙ· ÛËÌ›· ............., ........................... Î·È ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ...........................

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙȘ ·Ú·‚ÔϤ˜: ‚) y = –2x2 + 4x + 6 ·) y = x2 + 2x – 3

2

¡· ‚Ú›Ù ÙË Ì¤ÁÈÛÙË ‹ ÙËÓ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ οıÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘: ·) y = 3x2 – 12x + 11 ‚) y = – 4x2 –8x + 1 Á) y = –2(x – 6)2 + 7

3

¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = x2 + 2x ÁÈ· –4 x 2 Î·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ·˘Ù‹˜ Ó· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x, ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ ÈÛ¯‡ÂÈ x 2 + 2x = 3.

4

¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ y = x2 – 2x + 2 Î·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ·˘Ù‹˜ Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ x2 + 2 > 2x ÁÈ· οı Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi x.

155

(150-158)

3-11-06

03:01

™ÂÏ›‰·156

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô

5

¢›ÓÂÙ·È Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = x2 + 3x + Ï. ·) °È· ÔÈ· ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Ï ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(1, 6) ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘; ‚) ∞Ó Ï = 2, Ó· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ÁÈ· –4 x 1 Î·È Ó· ‚Ú›Ù ٷ ÎÔÈÓ¿ Ù˘ ÛËÌ›· Ì ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜.

6

¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙËÓ ·Ú·‚ÔÏ‹ y = x2 – 6x + 5. ∞Ó ∞, µ, ° Â›Ó·È Ù· ÎÔÈÓ¿ Ù˘ ÛËÌ›· Ì ÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°.

7

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ‚ Î·È Á, ÒÛÙÂ Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = x2 + ‚x + Á ÁÈ· x = 4 Ó· ·›ÚÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ ÙËÓ y = –7. y

8

ŒÓ·˜ Ô‰ÔÛÊ·ÈÚÈÛÙ‹˜ ¤‰ÈˆÍ ÙËÓ Ì¿Ï· ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √, Ë ÔÔ›· ·ÊÔ‡ ‰È¤ÁÚ·„ M 10 ÌÈ· ·Ú·‚ÔÏÈ΋ ÙÚԯȿ Ì ̤ÁÈÛÙÔ ‡„Ô˜ 5 A 10 m ¤ÊÙ·Û Û ·fiÛÙ·ÛË 40 m. x 0 20 30 40 5 1 0 ·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ·Ú·‚ÔÏ‹ 1 2 ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË y = – x + x, Ì 40 0 x 40. ‚) ¶ÔÈ· ‹Ù·Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË Ù˘ Ì¿Ï·˜ ·fi ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜, fiÙ·Ó ·˘Ù‹ ‚ÚÈÛÎfiÙ·Ó ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÌË̤ÓË 30 Î·È Û ÔÈÔ ¿ÏÏÔ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÙÚԯȿ˜ Ë Ì¿Ï· ·›¯Â ·fi ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ ÙËÓ ›‰È· ·fiÛÙ·ÛË;

°∂¡π∫∂™ ∞™∫∏™∂π™ 4Ô˘ ∫∂º∞§∞π√À 1

N· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË 9y2 = 4x4 ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ‰‡Ô ·Ú·‚ÔϤ˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x, ÙȘ Ôԛ˜ Î·È Ó· ۯ‰ȿÛÂÙ ÛÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ.

2

N· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·, ÒÛÙ ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ y = (2· – 1)x2 Î·È y = (1 – 4·2)x2 Ó· ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ó ·Ú·‚ÔϤ˜ Û˘ÌÌÂÙÚÈΤ˜ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x x.

3

™ÙÔ ›‰ÈÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Ó· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙȘ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ y = –x2, y = 2x – 3 Î·È Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÈÓÒÓ ÙÔ˘˜ ÛËÌ›ˆÓ.

4

¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ Â͛ۈÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜, Ô˘ ¤¯ÂÈ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(2, –3) Î·È Ù¤ÌÓÂÈ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞(0, 5).

156

(150-158)

14-11-06

15:59

™ÂÏ›‰·157

4.2 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x 2 + ‚x + Á ÌÂ · 0

5

∧

∆Ô ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ Î·ı¤ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ( ∞ = 90Æ) Â›Ó·È 10 cm. ·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ y ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ù˘ 1 2 ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘ ∞µ = x Â›Ó·È y = – x + 5x, Ì 0 < x < 10. 2 ‚) ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘. Á) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Á›ÓÂÙ·È Ì¤ÁÈÛÙÔ, fiÙ·Ó ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Â›Ó·È Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜.

6

ŒÓ· ηٿÛÙËÌ· Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú¯Èο ۯ‰ȿÛÙËÎÂ, Ó· ηٷÛ΢·ÛÙ› Ì ̋ÎÔ˜ 6 m Î·È Ï¿ÙÔ˜ 3 m. ∏ ·Ú¯ÈÙ¤ÎÙˆÓ fï˜, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÌÂÁ·ÏÒÛÂÈ ÙË ‚ÈÙÚ›Ó· ÙÔ˘ ηٷÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÛΤÊÙËΠӷ ÌÂÈÒÛÂÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Î·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· Ó· ·˘Í‹ÛÂÈ ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ ηٿ Ù· ›‰È· ̤ÙÚ·. ¶ÔÈ· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È Ë ÌÂÙ·‚ÔÏ‹ οı ‰È¿ÛÙ·Û˘, ÒÛÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ó· Á›ÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙÔ;

6m

7

™Â ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 10 cm ·›ÚÓÔ˘Ì ÛËÌÂ›Ô ª 3m Î·È Î·Ù·Û΢¿˙Ô˘Ì ٷ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ∞ª°¢ Î·È µª∂∑. ¶Ô‡ Ú¤ÂÈ Ó· ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª, ÒÛÙ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ Ó· Á›ÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙÔ;

8

∞fi ÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ ÂÓfi˜ ÛÈÙÈÔ‡ Î·È ·fi ‡„Ô˜ 6 m ·fi ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ ÂÙ¿Ì ̛· Ì¿Ï·, Ë ÔÔ›· ‰È·ÁÚ¿ÊÂÈ ·Ú·‚ÔÏÈ΋ ÙÚԯȿ Ì ̤ÁÈÛÙÔ ‡„Ô˜ ·fi ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ 8 m, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·. ∞Ó Ë Ì¿Ï· ÚÔÛÎÚÔ‡ÛÂÈ ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ Û’ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ·¤¯ÂÈ 6 m ·fi ÙÔ Â˙Ô‰ÚfiÌÈÔ, ÙfiÙÂ: ·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ÙÚԯȿ˜ Ù˘ Ì¿Ï·˜ ÛÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì· Â›Ó·È 1 2 y=– x + 2x + 6, Ì 0 x 6. 2 ‚) ¶ÔÈ· ‹Ù·Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË Ù˘ Ì¿Ï·˜ ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô Ú›„˘ fiÙ·Ó Î·Ù¿ ÙËÓ Î¿ıÔ‰fi Ù˘ ‚ÚÈÛÎfiÙ·Ó Î·È ¿ÏÈ Û ‡„Ô˜ 6 m ·fi ÙÔ ¤‰·ÊÔ˜;

9

y

8 6

0

2

6

x

B

x

y

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È Ë Î¿ıÂÙË ÙÔÌ‹ ÌÈ·˜ Û‹Ú·ÁÁ·˜ Ô˘ ηٷÛ΢¿ÛÙËΠ۠ۯ‹Ì· ·Ú·‚ÔÏ‹˜ Ì ̤ÁÈÛÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ∞µ = 16 m Î·È Ì¤ÁÈÛÙÔ ‡„Ô˜ √° = 6 m. ·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË Ù˘ ·Ú·‚ÔÏ‹˜ ÛÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È 3 2 y= – x + 6, Ì – 8 x 8. 32

° 6m ∞

O 16 m

‚) ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÁÈÛÙÔ ‡„Ô˜ ÂÓfi˜ ÊÔÚÙËÁÔ‡ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ‰È·Û¯›ÛÂÈ ÙË Û‹Ú·ÁÁ·, fiÙ·Ó ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ ÊÔÚÙËÁÔ‡ Â›Ó·È 3,2 m Î·È Ô ‰ÚfiÌÔ˜ Â›Ó·È ÌÈ·˜ ηÙ‡ı˘ÓÛ˘. 157

(150-158)

3-11-06

03:02

™ÂÏ›‰·158

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 4Ô

E¶∞¡∞§∏æ∏ – ∞¡∞∫∂º∞§∞πø™∏ 4o˘ K∂º∞§∞π√À ·)

∏ Û ˘ Ó ¿ Ú Ù Ë Û Ë y = · x 2 Ì · 0 ∫ÔÚ˘Ê‹

ÕÍÔÓ·˜ ™˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜

ª¤ÁÈÛÙË ‹ ∂Ï¿¯ÈÛÙË ∆ÈÌ‹

°Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË y

∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·›ÚÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ y = 0, fiÙ·Ó x = 0

·>0

√ (0, 0)

x

x=0 y √

∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·›ÚÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ y = 0, fiÙ·Ó x = 0

x

·<0

‚)

∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË y = ·x 2 + ‚x + Á Ì · 0 ∫ÔÚ˘Ê‹

ÕÍÔÓ·˜ ™˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜

y ·>0

O

–

‚ ¢  , – ) (– 2· 4·

‚ x=– 2·

¢ 4·

‚ 2·

∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·›ÚÓÂÈ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ ¢ y = –  , fiÙ·Ó 4· x ‚ x=– 2·

K K

¢ – 4·

O

158

–

y ·<0

ª¤ÁÈÛÙË ‹ ∂Ï¿¯ÈÛÙË ∆ÈÌ‹

°Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË

–

‚ 2·

x

∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ·›ÚÓÂÈ Ì¤ÁÈÛÙË ÙÈÌ‹ ¢ y = –  , fiÙ·Ó 4· ‚ x=– 2·

(159-166)

3-11-06

03:13

™ÂÏ›‰·159

5o

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5.1 Σύνολα 5.2 ∆ειγµατικός χώρος Ενδεχόµενα 5.3 Έννοια της πιθανότητας Γενικές ασκήσεις 5ου κεφαλαίου Επανάληψη – Ανακεφαλαίωση

ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ

(159-166)

3-11-06

5.1

03:13

™ÂÏ›‰·160

™‡ÓÔÏ·

✔ ✔ ✔

Μαθαίνω την έννοια του συνόλου και πώς παριστάνεται ένα σύνολο. Κατανοώ πότε δύο σύνολα είναι ίσα και πότε ένα σύνολο είναι υποσύνολο ενός συνόλου. Μαθαίνω να βρίσκω την ένωση ή την τοµή δύο συνόλων καθώς και το συµπλήρωµα ενός συνόλου.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ™ÙËÓ ÔıfiÓË ÂÓfi˜ ˘ÔÏÔÁÈÛÙ‹ ÁÚ¿„·Ì ÙȘ ϤÍÂȘ ÂÏ¢ıÂÚ›· – Â˘Ù˘¯›· . 1. ¶ÔÈ· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÏËÎÙÚÔÏÔÁ‹Û·Ì ÁÈ· οı ϤÍË; 2. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ù· ʈӋÂÓÙ· Î·È ÔÈ· Ù· Û‡Ìʈӷ οı Ϥ͢; 3. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ù· ÎÔÈÓ¿ ʈӋÂÓÙ· ÙˆÓ ‰‡Ô Ϥ͈Ó; 4. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ù· ÎÔÈÓ¿ Û‡Ìʈӷ ÙˆÓ ‰‡Ô Ϥ͈Ó;

∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ™Â ÔÏϤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Û˘ÓËı›˙Ô˘Ì ӷ Û˘ÏϤÁÔ˘Ì ‹ Ó· ÂÈϤÁÔ˘Ì ‰È¿ÊÔÚ· ·ÓÙÈΛÌÂÓ· Î·È Ó· Ù· Ù·ÍÈÓÔÌԇ̠۠ÔÌ¿‰Â˜ ‹ ηÙËÁÔڛ˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ‚È‚Ï›· ÌÈ·˜ ‚È‚ÏÈÔı‹Î˘ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ ÂÚȯfiÌÂÓfi ÙÔ˘˜ Ù·ÍÈÓÔÌÔ‡ÓÙ·È Û ÈÛÙÔÚÈο, ÏÔÁÔÙ¯ÓÈο, È·ÙÚÈο Î.Ù.Ï. ™Â ηÙËÁÔڛ˜ Â›Û˘, Ù·ÍÈÓÔÌԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (Ê˘ÛÈÎÔ›, ·Î¤Ú·ÈÔÈ, ÚËÙÔ›, ¿ÚÚËÙÔÈ, Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ›, ıÂÙÈÎÔ›, ·ÚÓËÙÈÎÔ› Î.Ù.Ï.), Ù· ÁÚ¿ÌÌ·Ù· Ù˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘ (ʈӋÂÓÙ·, Û‡Ìʈӷ, ÌÈÎÚ¿, ÎÂÊ·Ï·›· Î.Ù.Ï.) Î·È Î¿ı ÔÌ¿‰· ·ÓÙÈÎÂÈÌ¤ÓˆÓ Ù· ÔÔ›· ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Ì ·fiÏ˘ÙË Û·Ê‹ÓÂÈ·. √Ì¿‰Â˜ ‹ ηÙËÁÔڛ˜, fiˆ˜ ÔÈ ·Ú·¿Óˆ, ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ÛÙ· ª·ıËÌ·ÙÈο, Û‡ÓÔÏ· . ∫¿ı ·ÓÙÈΛÌÂÓÔ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È Û’ ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘.

¶·Ú¿ÛÙ·ÛË Û˘ÓfiÏÔ˘ ∫¿ı ۇÓÔÏÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì’ ¤Ó· ÎÂÊ·Ï·›Ô ÁÚ¿ÌÌ· Ù˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘ (∞, µ, °, ...) Î·È ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È Ì ÙÔ˘˜ ÂÍ‹˜ ÙÚfiÔ˘˜:

·) ªÂ ·Ó·ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ °Ú¿ÊÔ˘Ì ̛· ÌfiÓÔ ÊÔÚ¿ ηı¤Ó· ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Î·È Ì ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÛÂÈÚ¿ Ù· ÙÔÔıÂÙԇ̠·Ó¿ÌÂÛ· Û ‰‡Ô ¿ÁÎÈÛÙÚ·. ¶.¯. ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ Ù˘ Ϥ͢ ÂÏ¢ıÂÚ›· Â›Ó·È ∞ = Â, Ï, ˘, ı, Ú, È, · , ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ „ËÊ›ˆÓ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 2004 Â›Ó·È µ = 2, 0, 4 , Î.Ù.Ï. ªÂÚÈΤ˜ ÊÔÚ¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠·ÚfiÌÔÈÔ Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi ÁÈ· Ó· ·Ú·ÛÙ‹ÛÔ˘ÌÂ Î·È ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÔÏÏ¿ ‹ ¿ÂÈÚ· ÛÙÔȯ›·. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÌÂÚÈο ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Î·È ÁÈ· Ù· ˘fiÏÔÈ·, Ô˘ ı· Ú¤ÂÈ Ó· ÂÓÓÔÔ‡ÓÙ·È Ì ۷ʋÓÂÈ·,

160

(159-166)

3-11-06

03:13

™ÂÏ›‰·161

5.1 ™‡ÓÔÏ·

¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠·ÔÛȈËÙÈο. ¶.¯. ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÌÈÎÚÒÓ ÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ Ù˘ ∂ÏÏËÓÈ΋˜ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘ Â›Ó·È ∞ = ·, ‚, Á, ..., x, y, ˆ , ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Ê˘ÛÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Â›Ó·È ¡ = 0, 1, 2, 3, 4, ... . ™Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ‚ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ∞, ÂÓÒ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ¡. ∞˘Ùfi Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ˆ˜ ÂÍ‹˜: ‚ ∞

ηÈ

‚ ¡

.

‚) ªÂ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ∞ = 0, 2, 4, 6, 8, ... , Ô˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ¿ÚÙÈÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ ·Ú·ÛÙ‹ÛÔ˘ÌÂ Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ∞ = ¿ÚÙÈÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ‹ ∞ = x N, fiÔ˘ x ¿ÚÙÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÚ›ÙˆÛË Ï¤Ì fiÙÈ ·ÚÈÛÙ¿ÓÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Ì ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘.

Á) ªÂ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Venn ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ ·Ú·ÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÂÔÙÈο Î·È Ì ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÌÈ·˜ ÎÏÂÈÛÙ‹˜ ÁÚ·ÌÌ‹˜. ¶.¯. ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ÊˆÓˤÓÙˆÓ Ù˘ ∂ÏÏËÓÈ΋˜ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·, ÙÔ ÔÔ›Ô ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Venn.

∞ ñ· ñË

ñ ñÈ

ñ˘

ñÔ ñˆ

ÿÛ· Û‡ÓÔÏ· ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ Û‡ÓÔÏ· ∞ = ·, Â, È, ˘ Î·È µ = ʈӋÂÓÙ· Ù˘ Ϥ͢ Â˘Ù˘¯›· , ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ µ Ì ·Ó·ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ ÁÚ¿ÊÂÙ·È µ = Â, ˘, È, · Î·È ¤¯ÂÈ Ù· ›‰È· ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙÔȯ›· Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ∞. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ù· Û‡ÓÔÏ· ∞, µ Â›Ó·È ›Û· Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ∞ = µ.

Γενικά ¢‡Ô Û‡ÓÔÏ· Â›Ó·È ›Û·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó Ù· ›‰È· ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙÔȯ›·.

ÀÔÛ‡ÓÔÏÔ Û˘ÓfiÏÔ˘ ∞

µ

ñÏ ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ Û‡ÓÔÏ· ñ· ñ ∞ = ·, Â, È, ˘ Î·È µ = Â, Ï, ˘, ı, Ú, È, · , ñı ñÈ ˘ ñ ñÚ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Î¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ∞ Â›Ó·È Î·È ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ µ. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ∞ Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ µ Î·È ÙÔ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ∞ µ.

Γενικά ŒÓ· Û‡ÓÔÏo ∞ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ µ, fiÙ·Ó Î¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ∞ Â›Ó·È Î·È ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ µ. 161

(159-166)

3-11-06

03:13

™ÂÏ›‰·162

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô

ÕÌÂÛ˜ Û˘Ó¤ÂȘ ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘ ÔÚÈÛÌÔ‡ Â›Ó·È Î·È ÔÈ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: – °È· οı ۇÓÔÏÔ ∞ ÈÛ¯‡ÂÈ ∞ ∞. – ∞Ó ∞ µ Î·È µ °, ÙfiÙ ∞ °. √È ÁÓˆÛÙÔ› Ì·˜ ·ÚÈıÌÔ› Î·È Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· Û‡ÓÔÏ¿ ÙÔ˘˜ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÔÓÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: º˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› = 0, 1, 2, 3, 4, ...

∞ΤڷÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› = ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...

ƒËÙÔ› ·ÚÈıÌÔ› =

¶Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›

Eίναι ∞

ñ0

ø

µ ñ1 ñ3

ñ2 ñ4

ñ6

ñ5

ñ8

ñ7

ñ9

·‚ , fiÔ˘ ·, ‚ ·Î¤Ú·ÈÔÈ, Ì ‚ 0 = ÚËÙÔ› ‹ ¿ÚÚËÙÔÈ ·ÚÈıÌÔ›

T· Û‡ÓÔÏ· Ì ٷ ÔÔ›· ·Û¯ÔÏԇ̷ÛÙ οı ÊÔÚ¿ Â›Ó·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· ÂÓfi˜ ¢ڇÙÂÚÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘, Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‚·ÛÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ. ∞˘Ùfi ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È Ì ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ø. ¶.¯. Ì ‚·ÛÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ ø = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ÌÔÚԇ̠ӷ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÔ˘Ì ‰È¿ÊÔÚ· ˘ÔÛ‡ÓÔÏ¿ ÙÔ˘, fiˆ˜ A = 1, 2, 3, 4, 5 , B = 2, 4, 6 Î.Ù.Ï.

∫ÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ∞ = Ë̤ڷ Ù˘ ‚‰ÔÌ¿‰·˜ Ô˘ ·Ú¯›˙ÂÈ ·fi ª ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÛÙÔȯ›Ô, ·ÊÔ‡ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ë̤ڷ Ù˘ ‚‰ÔÌ¿‰·˜ Ô˘ Ó· ·Ú¯›˙ÂÈ ·fi ª. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ∞ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È .

Γενικά ∫ÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ‰ÂÓ ÂÚȤ¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È . ¢Â¯fiÌ·ÛÙ fiÙÈ ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÔÔÈÔ˘‰‹ÔÙÂ Û˘ÓfiÏÔ˘.

¶Ú¿ÍÂȘ Ì ۇÓÔÏ· ·) ŒÓˆÛË Û˘ÓfiÏˆÓ ø

µ ∞

ñ4 ñ2 ñ1

ñ3

ñ5

∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ Û‡ÓÔÏ· ∞ = 1, 2, 3 , µ = 2, 3, 4, 5 , ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ¤Ó· Ó¤Ô Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· Ù· ÎÔÈÓ¿ Î·È ÌË ÎÔÈÓ¿ ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ ‰‡Ô Û˘ÓfiψÓ. ∆Ô Ó¤Ô ·˘Ùfi Û‡ÓÔÏÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¤ÓˆÛË ÙˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ ∞ Î·È µ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ∞ µ. ÕÚ· ∞ µ = 1, 2, 3, 4, 5 .

∞fi ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÔÚÈÛÌfi ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ¤ÓˆÛË ‰‡Ô Û˘ÓfiÏˆÓ ∞, µ, ·Ó ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ∞ ‹ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ µ , ‰ËÏ·‰‹ ·Ó ·Ó‹ÎÂÈ Û’ ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi ·˘Ù¿. 162

(159-166)

3-11-06

03:13

™ÂÏ›‰·163

5.1 ™‡ÓÔÏ·

‚) ∆ÔÌ‹ Û˘ÓfiÏˆÓ ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ Û‡ÓÔÏ· ∞ = 1, 2, 3 , µ = 2, 3, 4, 5 , ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ¤Ó· Ó¤Ô Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· Ù· ÎÔÈÓ¿ ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ ‰‡Ô Û˘ÓfiψÓ. ∆Ô Ó¤Ô ·˘Ùfi Û‡ÓÔÏÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔÌ‹ ÙˆÓ Û˘ÓfiÏˆÓ ∞, µ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ∞ µ. ÕÚ· ∞ µ = 2, 3 .

ø

µ ∞

ñ4 ñ2 ñ1

ñ3

ñ5

∞fi ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÔÚÈÛÌfi ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙËÓ ÙÔÌ‹ ‰‡Ô Û˘ÓfiÏˆÓ ∞, µ, ·Ó ·Ó‹ÎÂÈ Î·È ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ∞ Î·È ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ µ.

Á) ™˘Ìϋڈ̷ Û˘ÓfiÏÔ˘ ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ∞ = 1, 2, 3, 4 Î·È ˆ˜ ‚·ÛÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ ø ıˆڋÛÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ø = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ Û¯ËÌ·Ù›ÛÔ˘Ì ¤Ó· Ó¤Ô Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ø Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ø ∞ ñ6 ÛÙÔ ∞. ∆Ô Ó¤Ô ·˘Ùfi Û‡ÓÔÏÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ ñ 0 ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ ø Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ∞ . ÕÚ· ñ2 ñ1 ñ7 ∞ = 0, 5, 6, 7, 8, 9 . ñ8 ñ3 ñ4 Ÿˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È Î·È ·fi ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ñ5 Venn, ÈÛ¯‡Ô˘Ó: ñ9 ∞ A A = ø Î·È ∞ ∞ =

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· ·Ú·ÛÙ·ıÔ‡Ó Ì ·Ó·ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘˜ Ù· Û‡ÓÔÏ·: ∞ = xx ,, fiÔ˘ –3 x < 2 ,, µ =   Â Ú È Ù Ù Ô › Ê ˘ Û È Î Ô › · Ú È ı Ì Ô › Î·È 3 ° = x ,, fiÔ˘ x = x ..

Λύση T· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ∞ Â›Ó·È ÔÈ ·Î¤Ú·ÈÔÈ ·ÚÈıÌÔ› x, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ –3 x < 2, ÔfiÙ ∞ = –3, –2, –1, 0, 1 . ∆· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ µ Â›Ó·È ÔÈ ÂÚÈÙÙÔ› Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ›, ÔfiÙ µ = 1, 3, 5, 7, ... . ∆· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ° Â›Ó·È ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x3 = x ‹ x3 – x = 0 ‹ x(x2 – 1) = 0 ‹ x(x – 1)(x + 1) = 0. ÕÚ· x = 0 ‹ x = –1 ‹ x = 0, ofiÙ ° = –1, 0, 1 .

2

ªÂ ‚·ÛÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ ø = 0 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ıˆÚԇ̠ٷ Û‡ÓÔÏ· ∞ = xx ø ø, fiÔ˘ x ¿ÚÙÈÔ ˜ Î·È µ = xx ø ø, fiÔ˘ x „ËÊ›Ô ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 182 1 .. ·) ¡· ·Ú·ÛÙ·ıÔ‡Ó Ù· Û‡ÓÔÏ· ∞, µ Ì ·Ó·ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘˜ Î·È Ó· Á›ÓÂÈ ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Venn.

163

(159-166)

3-11-06

03:13

™ÂÏ›‰·164

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô

‚) ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙÔ‡Ó Ù· Û‡ÓÔÏ· ∞ µ, ∞ µ, ∞ Î·È µ .. Á) ¡· Â·ÏËı¢Ù› fiÙÈ (∞ µ) = ∞ µ Î·È (∞ µ) = ∞ µ ..

Λύση ·) ∆· Û‡ÓÔÏ· ∞, µ Ì ·Ó·ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘˜ ›ӷÈ: ∞ = 0, 2, 4, 6, 8 Î·È µ = 1, 8, 2 . ∆Ô ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Venn Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·. ‚) Œ¯Ô˘Ì fiÙÈ: ∞ µ = 0, 1, 2, 4, 6, 8 , ∞ µ = 2, 8 , ∞ = 1, 3, 5, 7, 9 Î·È µ = 0, 3, 4, 5, 6, 7, 9 .

µ

∞

ñ5

ñ0

ñ2

ñ4 ñ3

ø ñ1

ñ8

ñ6 ñ7 ñ9

Á) ∂Âȉ‹ ∞ µ = 0, 1, 2, 4, 6, 8 , ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ (∞ µ) = 3, 5, 7, 9 . ∂›Û˘ ∞ µ = 3, 5, 7, 9 , ÔfiÙ (∞ µ) = ∞ µ . ∂Âȉ‹ ∞ µ = 2, 8 , ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ (∞ µ) = 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9 . ∂›Û˘ ∞ µ = 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9 , ÔfiÙ (∞ µ) = ∞ µ .

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜: ·) ∆· Û‡ÓÔÏ· ∞ = 1, 2, 3 Î·È µ = 3, 2, 1 Â›Ó·È ›Û·. ‚) ∆· Û‡ÓÔÏ· ∞ = 6, 7 Î·È µ = 67 Â›Ó·È ›Û·.

Á) ∞Ó ∞ = ·, ‚ Î·È µ = ·, Á, ‰,  , ÙfiÙ ∞ µ.

‰) ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ∞ = x , fiÔ˘ 0x = 2 Â›Ó·È ÙÔ ÎÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ. Â) ∞ ∞ = ø. ÛÙ) ∞ ∞ = .

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ۇÓÔÏÔ Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞, ÙÔ ›ÛÔ ÙÔ˘ Û‡ÓÔÏÔ ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞

164

·.

x , fiÔ˘ x2 = 4

‚.

x , fiÔ˘ x2 = 4

Á.

x , fiÔ˘ 3x = 4

‰.

x , fiÔ˘ x 2

™Ù‹ÏË µ 1. 0, 1, 2 2. 3. –2, 2 4. 2 5. 1, 2

·

‚

Á

‰

(159-166)

3-11-06

03:13

™ÂÏ›‰·165

5.1 ™‡ÓÔÏ·

3

4

∞

ñ4 ñ2 ñ1

ñ3

ñ5 ñ7

ñ6

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ۇÓÔÏÔ Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞, ÙÔ Û˘Ìϋڈ̿ ÙÔ˘ ˆ˜ ÚÔ˜ ø = ·, ‚, Á, ‰,  ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞ ·. ‚ ‚. ·, ‚,  Á. ·, ‚, Á, ‰,  ‰. ÁÚ¿ÌÌ·Ù· Ù˘ Ϥ͢ ‰¿‰· Â.

5

ø

µ

Afi ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Venn ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ Ì ·Ó·ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘˜ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û‡ÓÔÏ·: ø = ............................................................................ ∞ = .................................. µ = .................................. ∞ = ................................. µ = ................................. ∞ µ = ........................... ∞ µ = ...........................

™Ù‹ÏË µ 1. ·, ‚, Á, ‰, Â 2. 3. ‚, Á, Â

·

‚

Á

‰

Â

4. ·, ‰ 5. ·, Á, ‰, Â 6. Á, ‰

ªÂ ‚¿ÛË ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Venn Ó· ηıÔÚ›ÛÂÙ ÙÔ ¯ÚÒÌ· ‹ Ù· ¯ÚÒÌ·Ù· ÙˆÓ ·Ú·Î¿Ùˆ Û˘ÓfiψÓ: ·) ∞ µ: .................................................................. ‚) ∞ µ: .................................................................. Á) ∞ : ........................................................................ ‰) µ : ........................................................................ Â) (∞ µ) : ............................................................... ÛÙ) (∞ µ) : ...............................................................

∞

µ

ø

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÙ Ì ·Ó·ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘˜ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û‡ÓÔÏ·: ·) ∞ = x , fiÔ˘ x2 = 25 ‚) ∞ = x , fiÔ˘ x2 = 25 Á) ° = x , fiÔ˘ –2 < x 4 ‰) ¢ = x , fiÔ˘ x ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ 12

2

¶ÔÈÔ ·fi Ù· Û‡ÓÔÏ· ∞ = 0, 2, 4 , µ = –1, 0 , ° = 1, 2, 3 , ¢ = (1, 2), (4, 5) Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ ∫ = 0, 1, 2, 3, 4, 5 Î·È ÔÈÔ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ §= ¿ÚÙÈÔÈ Ê˘ÛÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÌÈÎÚfiÙÂÚÔÈ ÙÔ˘ 6 ‹ Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ª= x , fiÔ˘ x2 + x = 0 ;

165

(159-166)

3-11-06

03:13

™ÂÏ›‰·166

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô

3

N· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÙ Ì ·Ó·ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ: ∞ = „ËÊ›· ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ 2123 Î·È Ó· ‚Ú›Ù fiÏ· Ù· ˘ÔÛ‡ÓÔÏ¿ ÙÔ˘.

4

N· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÙ Ì ·Ó·ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ: ∞ = (x, y), fiÔ˘ x, y Î·È x + y = 4

5

N· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÙ Ì ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘˜ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û‡ÓÔÏ·: ·) ∞ = 1, 3, 5, 7, 9, ... ‚) µ = È, Û, Ù, Ô, Ú, · Á) ° = 0, 2

6

ªÂ ‚·ÛÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ ø = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , ıˆÚԇ̠ٷ Û‡ÓÔÏ· ∞ = 1, 2, 4, 5 Î·È µ = 2, 4, 6 . ¡· Ù· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÙ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Venn Î·È Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ٷ Û‡ÓÔÏ·: ·) ∞ µ ‚) ∞ µ Á) ∞ ‰) µ

7

¢›ÓÔÓÙ·È Ù· Û‡ÓÔÏ·: ∞ = ÁÚ¿ÌÌ·Ù· Ù˘ Ϥ͢ ¿ÏÁ‚ڷ , µ = ÁÚ¿ÌÌ·Ù· Ù˘ Ϥ͢ ÊÚÂÁ¿Ù· Î·È ° = ÁÚ¿ÌÌ·Ù· Ù˘ Ϥ͢ ÂÏ¿ÊÈ . ·) ¡· ÁÚ¿„ÂÙ ٷ Û‡ÓÔÏ· ∞, µ, ° Ì ·Ó·ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘˜ Î·È Ó· Ù· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÙ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Venn. ‚) ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ٷ Û‡ÓÔÏ· µ °, ∞ µ, ∞ °. Á) ¡· Â·ÏËı‡ÛÂÙ fiÙÈ ∞ (µ °) = (∞ µ) (∞ °).

8

£ÂˆÚԇ̠ٷ Û‡ÓÔÏ·: ∞ = ı·٤˜ Ù˘ ÙÂÏÂÙ‹˜ ¤Ó·Ú͢ ÙˆÓ √Ï˘ÌÈ·ÎÒÓ ∞ÁÒÓˆÓ ÙÔ˘ 2004 . µ = ı·٤˜ Ù˘ ÙÂÏÂÙ‹˜ Ï‹Í˘ ÙˆÓ √Ï˘ÌÈ·ÎÒÓ ∞ÁÒÓˆÓ ÙÔ˘ 2004 . ™Â ÔÈÔ Û‡ÓÔÏÔ ·Ó‹ÎÂÈ ÂÎÂÈÓÔ˜ Ô˘: ·) ¶·Ú·ÎÔÏÔ‡ıËÛÂ Î·È ÙȘ ‰‡Ô ÙÂÏÂÙ¤˜. ‚) ¶·Ú·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ̛· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÙÂÏÂÙ‹. Á) ¶·Ú·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ÙËÓ ÙÂÏÂÙ‹ ¤Ó·Ú͢ Î·È fi¯È ÙËÓ ÙÂÏÂÙ‹ Ï‹Í˘. ‰) ¢ÂÓ ·Ú·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ÙËÓ ÙÂÏÂÙ‹ ¤Ó·Ú͢ ·ÏÏ¿ Ô‡ÙÂ Î·È ÙËÓ ÙÂÏÂÙ‹ Ï‹Í˘.

9

¢›ÓÔÓÙ·È Ù· Û‡ÓÔÏ· ∞ = ·ıÏËÙ¤˜ ÛÙ›‚Ô˘ Î·È µ = ÊÔÈÙËÙ¤˜ ¶·ÓÂÈÛÙËÌ›Ô˘ ∆È Û˘ÌÂÚ·›ÓÂÙ ÁÈ· ÂΛÓÔÓ Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ: ·) ∞ µ ‚) ∞ µ Á) ∞ ‰) µ Â) ∞ µ ÛÙ) ∞ µ ˙) ∞ µ

166

(167-173)

3-11-06

11:21

5. 2

™ÂÏ›‰·167

¢ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ – ∂Ӊ¯fiÌÂÓ·

✔ ✔ ✔

Μαθαίνω τι ονοµάζεται πείραµα τύχης, ποιος είναι ο δειγµατικός χώρος του και πώς αυτός προσδιορίζεται. Μαθαίνω τι ονοµάζεται ενδεχόµενο ενός πειράµατος τύχης, πότε πραγµατοποιείται και πότε είναι βέβαιο ή αδύνατο. Γνωρίζω πώς γίνονται οι πράξεις µεταξύ ενδεχοµένων και ποια ενδεχόµενα ονοµάζονται ασυµβίβαστα.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ™Â ÔÈÔ ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÈÚ¿Ì·Ù· ÌÔÚ›Ù ӷ ÚԂϤ„ÂÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ¿ ÙÔ˘ Ì ·fiÏ˘ÙË ‚‚·ÈfiÙËÙ·; ·) ƒ›¯ÓÔ˘Ì ¤Ó· ˙¿ÚÈ. ¶ÔÈ· ı· Â›Ó·È Ë ¤Ó‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘; ‚) ªÂÙÚ¿Ì ÙË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÌÈ·˜ ÔÛfiÙËÙ·˜ ηı·ÚÔ‡ ÓÂÚÔ‡ Ô˘ ‚Ú¿˙ÂÈ. ¶ÔÈ· ı· Â›Ó·È Ë ¤Ó‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıÂÚÌÔ̤ÙÚÔ˘; Á) ƒ›¯ÓÔ˘Ì ¤Ó· ÓfiÌÈÛÌ·. ¶ÔÈ· ı· Â›Ó·È Ë ¿Óˆ fi„Ë ÙÔ˘; ‰) ∂ÈϤÁÔ˘Ì ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ¿ÚÙÈÔ ·ÚÈıÌfi Î·È ÙÔÓ ‰È·ÈÚԇ̠̠ÙÔ 2. ¶ÔÈÔ ı· Â›Ó·È ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘; Â) ∂ÈϤÁÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó· ÙÚÈ„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi Ô˘ Ù· „ËÊ›· ÙÔ˘ Â›Ó·È 1 ‹ 2. ¶ÔÈÔ˜ ı· Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜; ÛÙ) ƒ›¯ÓÔ˘Ì ¤Ó· ˙¿ÚÈ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜. ¶ÔÈÔ ı· Â›Ó·È ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ ÂӉ›ÍˆÓ; 2. ™Â ηı¤Ó· ·fi Ù· ÂÈÚ¿Ì·Ù· Ô˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ›Ù ӷ ÚԂϤ„ÂÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ¿ ÙÔ˘, ÁÓˆÚ›˙ÂÙ ٷ ‰˘Ó·Ù¿ ÙÔ˘ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·; ¶ÔÈ· Â›Ó·È ·˘Ù¿;

¶Â›Ú·Ì· Ù‡¯Ë˜ – ¢ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ™Â ÔÏϤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ, fiÙ·Ó Î¿ÓÔ˘Ì ¤Ó· ›ڷ̷, ÌÔÚԇ̠̠‚‚·ÈfiÙËÙ· Ó· ÚԂϤ„Ô˘Ì ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ¿ ÙÔ˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·: – AÓ ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘Ì ÙË ıÂÚÌÔÎÚ·Û›· ÌÈ·˜ ÔÛfiÙËÙ·˜ ηı·ÚÔ‡ ÓÂÚÔ‡ Ô˘ ‚Ú¿˙ÂÈ, ›̷ÛÙ ‚¤‚·ÈÔÈ fiÙÈ Ë ¤Ó‰ÂÈÍË ÙÔ˘ ıÂÚÌÔ̤ÙÚÔ˘ ı· Â›Ó·È 100Æ KÂÏÛ›Ô˘. – ∞Ó ÂÈϤÍÔ˘Ì ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ¿ÚÙÈÔ ·ÚÈıÌfi Î·È ÙÔÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì Ì ÙÔ 2, ›̷ÛÙ Â›Û˘ ‚¤‚·ÈÔÈ fiÙÈ ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Ù˘ ‰È·›ÚÂÛ˘ ı· Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. À¿Ú¯Ô˘Ó fï˜ Î·È ÂÈÚ¿Ì·Ù·, Ù· ÔÔ›· fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ Î·È ·Ó Ù· Â·Ó·Ï¿‚Ô˘ÌÂ, ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÚԂϤ„Ô˘Ì ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ¿ ÙÔ˘˜ Ì ·fiÏ˘ÙË ‚‚·ÈfiÙËÙ·. ŒÓ· Ù¤ÙÔÈÔ ›ڷ̷ ϤÁÂÙ·È ›ڷ̷ Ù‡¯Ë˜ . °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, – ∞Ó Ú›ÍÔ˘Ì ¤Ó· ˙¿ÚÈ ‰ÂÓ Â›Ì·ÛÙ Û ı¤ÛË Î¿ı ÊÔÚ¿ Ó· ÚԂϤ„Ô˘Ì ÙËÓ ¤Ó‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘, ·Ó Î·È ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ‰˘Ó·ÙÒÓ ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÙÔ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ·˘Ùfi Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ø Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜.

Γενικά ¢ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Ù‡¯Ë˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ ‰˘Ó·ÙÒÓ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ø.

167

(167-173)

3-11-06

11:21

™ÂÏ›‰·168

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ηٿ ÙË Ú›„Ë ÂÓfi˜ ÓÔÌ›ÛÌ·ÙÔ˜ Ù· ‰˘Ó·Ù¿ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÎÂÊ·Ï‹ (∫) Î·È ÁÚ¿ÌÌ·Ù· (°), ÔfiÙÂ Ô ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ø = ∫, ° . ∆Ô Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÂÓfi˜ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ø Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì N ( ø ) . ¶.¯. ÛÙË Ú›„Ë ÂÓfi˜ ˙·ÚÈÔ‡ Â›Ó·È ¡(ø) = 6, ÂÓÒ ÛÙË Ú›„Ë ÂÓfi˜ ÓÔÌ›ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ¡(ø) = 2.

∂‡ÚÂÛË ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ÂÓfi˜ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Ù‡¯Ë˜ ™Â ÔÏÏ¿ ÂÈÚ¿Ì·Ù· Ù‡¯Ë˜, fiˆ˜ ÛÙË Ú›„Ë ÂÓfi˜ ˙·ÚÈÔ‡ ‹ ÂÓfi˜ ÓÔÌ›ÛÌ·ÙÔ˜, ÌÔÚԇ̠ӷ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ Â‡ÎÔÏ· Î·È ¿ÌÂÛ·. À¿Ú¯Ô˘Ó fï˜ Î·È ÂÈÚ¿Ì·Ù· Ù‡¯Ë˜ ÛÙ· ÔÔ›· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ¢ÎÔÏfiÙÂÚ· ÙÔ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi ÙÔ˘˜ ¯ÒÚÔ, ·Ó ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÂȉÈΤ˜ Ù¯ÓÈΤ˜ ‹ ÌÂıfi‰Ô˘˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ÂÈϤÍÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó· ÙÚÈ„‹ÊÈÔ ·ÚÈıÌfi Ô˘ Ù· „ËÊ›· ÙÔ˘ Â›Ó·È 1 ‹ 2, ÁÈ· Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: °Ú¿ÊÔ˘Ì ÔÈÔ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÚÒÙÔ „ËÊ›Ô Î·È Û οı ÂÚ›ÙˆÛË ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÔÈÔ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ „ËÊ›Ô Î.Ô.Î. 1 Ô „ËÊ›Ô

2 Ô „ËÊ›Ô

3 Ô „ËÊ›Ô ∞  Ô Ù ¤ Ï Â Û Ì ·

1

111

2

112

1

121

2

122

1

211

2

212

1

221

2

222

1

M ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·, Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‰ÂÓÙÚԉȿÁÚ·ÌÌ· , ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¢ÎÔÏfiÙÂÚ· fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘. O ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ø ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÙÚÈ„‹ÊÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì „ËÊ›· 1 ‹ 2, ‰ËÏ·‰‹ ›ӷÈ: ø = 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222 , Î·È ÂÚȤ¯ÂÈ 8 ÛÙÔȯ›· (¡(ø) = 8).

1 2

1 2 2

AÓ Ú›ÍÔ˘Ì ¤Ó· ˙¿ÚÈ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ Î·È ÛËÌÂÈÒÛÔ˘Ì οı ÊÔÚ¿ ÙËÓ ¤Ó‰ÂÈÍ‹ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÁÈ· Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ¢ÎÔÏfiÙÂÚ· ÙÔ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î·. √ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ø ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi fiÏ· Ù· ‰È·ÙÂÙ·Á̤ӷ ˙‡ÁË ÙÔ˘ ›Ó·Î·, ‰ËÏ·‰‹ ›ӷÈ: ø = (1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 5), (6,6) , Î·È ÂÚȤ¯ÂÈ 36 ÛÙÔȯ›· (¡(ø) = 36).

168

2Ë Ú›„Ë 1 Ú›„Ë Ë

1

2

3

4

5

6

1

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

(167-173)

3-11-06

11:21

™ÂÏ›‰·169

5.2 ¢ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ – ∂Ӊ¯fiÌÂÓ·

EӉ¯fiÌÂÓ· ∞Ó Ú›ÍÔ˘Ì ¤Ó· ˙¿ÚÈ, ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Ô ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Â›Ó·È ø = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . ∆Ô Û‡ÓÔÏÔ ∞ = 2, 4, 6 , Ô˘ Â›Ó·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ø, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Î·È Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ Â›Ó·È ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ʤÚÔ˘Ì ¿ÚÙÈÔ ·ÚÈıÌfi. √ÌÔ›ˆ˜, ÙÔ µ = 1, 2, 3 Â›Ó·È ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ʤÚÔ˘Ì ·ÚÈıÌfi ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 4.

Γενικά ∂Ӊ¯fiÌÂÓÔ ÂÓfi˜ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Ù‡¯Ë˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ø. ∞Ó Ú›ÍÔ˘Ì ¤Ó· ˙¿ÚÈ Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 6, Ô˘ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ∞ = 2, 4, 6 , ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ∞ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È . ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ fï˜ ∞ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ·ÎfiÌË Î·È ·Ó ηٿ ÙË Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ ÂÎÙfi˜ ·fi 6 ʤÚÔ˘Ì 2 ‹ 4. °È’ ·˘Ùfi Ù· ÛÙÔȯ›· 2, 4, 6 ÙÔ˘ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ ∞ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Â˘ÓÔ˚Τ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÁÈ· ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔ›ËÛ‹ ÙÔ˘. °È· ¤Ó· ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ∞, ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Â˘ÓÔ˚ÎÒÓ ÙÔ˘ ÂÚÈÙÒÛˆÓ, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘, Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ¡(∞). °È· ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ∞ = 2, 4, 6 Â›Ó·È ¡(∞) = 3.

µ¤‚·ÈÔ – ∞‰‡Ó·ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ∞Ó Ú›ÍÔ˘Ì ¤Ó· ˙¿ÚÈ, ÙfiÙ ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ʤÚÔ˘Ì ¤Ó‰ÂÈÍË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ÙÔ˘ 7 Â›Ó·È ÙÔ ø = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ·˘Ùfi Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‚¤‚·ÈÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ . ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ fï˜ Ó· ʤÚÔ˘Ì ¤Ó‰ÂÈÍË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÙÔ˘ 6 Â›Ó·È . ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ·˘Ùfi ‰ÂÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È Û η̛· ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·‰‡Ó·ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ .

¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÂӉ¯fiÌÂÓ· Ÿˆ˜ ›‰·ÌÂ, ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Â›Ó·È Û‡ÓÔÏÔ, ÔfiÙ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È Î·È Ì ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Venn. √È Ú¿ÍÂȘ ÌÂٷ͇ ÂӉ¯ÔÌ¤ÓˆÓ Á›ÓÔÓÙ·È fiˆ˜ Î·È ÔÈ Ú¿ÍÂȘ ø µ ÌÂٷ͇ Û˘ÓfiψÓ. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂ: ñ ŒÓˆÛË ‰‡Ô ÂӉ¯ÔÌ¤ÓˆÓ ∞, µ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ∞ µ Ô˘ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ›ٷÈ, fiÙ·Ó Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi Ù· ∞, µ. ¶.¯. ·Ó ∞ = 2, 4, 6 Î·È µ = 1, 2, 3 , ÙfiÙ ∞ µ = 1, 2, 3, 4, 5, 6 . ñ ∆ÔÌ‹ ‰‡Ô ÂӉ¯ÔÌ¤ÓˆÓ ∞, µ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ∞ µ Ô˘ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ›ٷÈ, fiÙ·Ó Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ÙÔ ∞ Î·È ÙÔ µ. ¶.¯. ·Ó ∞ = 2, 4, 6 Î·È µ = 1, 2, 3 , ÙfiÙ ∞ µ = 2 .

∞

ñ1

ñ4 ñ2

ñ3

ñ6 ñ5

ø

µ ∞

ñ1

ñ4 ñ2

ñ3

ñ6 ñ5

169

(167-173)

3-11-06

11:21

™ÂÏ›‰·170

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô

ñ ™˘Ìϋڈ̷ ÂÓfi˜ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ ∞ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ∞ Ô˘ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ›ٷÈ, fiÙ·Ó ‰ÂÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ÙÔ ∞. ¶.¯. ÛÙÔ ›ڷ̷ Ù‡¯Ë˜ «Ú›„Ë ÂÓfi˜ ˙·ÚÈÔ‡» ·Ó ∞ = 2, 4, 6 , ÙfiÙ ∞ = 1, 3, 5 .

ø

ñ1

∞ ñ4

ñ3

ñ2 ñ6 ñ5

∞

∞Û˘Ì‚›‚·ÛÙ· ÂӉ¯fiÌÂÓ· ™’ ¤Ó· ›ڷ̷ Ù‡¯Ë˜ ‰‡Ô ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞, µ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ÌËÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛÙÔȯ›Ô, ‰ËÏ·‰‹ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ ∞ µ = . ¶.¯. ÛÙË Ú›„Ë ÂÓfi˜ ˙·ÚÈÔ‡, Ù· ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞ = 1, 3 Î·È µ = 2, 4, 6 ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ηӤӷ ÎÔÈÓfi ÛÙÔȯ›Ô, ÔfiÙ Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈËıÔ‡Ó Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ·. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ù· ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞ Î·È µ Â›Ó·È ·Û˘Ì‚›‚·ÛÙ·.

∞

ø

µ ñ2

ñ1

ñ4

ñ3

ñ6 ñ5

Γενικά ¢‡Ô ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞ Î·È µ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ·Û˘Ì‚›‚·ÛÙ·, fiÙ·Ó ∞ µ = .

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

™’ ¤Ó· ÙÔ˘ÚÓÔ˘¿ ÛηÎÈÔ‡ ¤Ó·˜ ·›ÎÙ˘ ·ÔÎÏ›ÂÙ·È ·fi ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÙˆÓ ·ÁÒÓˆÓ, ·Ó ËÙÙËı› Ì›· ÊÔÚ¿ ‹ ʤÚÂÈ ‰‡Ô ÈÛÔ·Ï›Â˜. ∞Ó ¤Ó·˜ ·›ÎÙ˘ ¤‰ˆÛ ÙÔ Ôχ ÙÚÂȘ ·ÁÒÓ˜, ÔÈ· Â›Ó·È Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ¤¯ÂÈ Ê¤ÚÂÈ Ì¤¯ÚÈ ÂΛÓË ÙË ÛÙÈÁÌ‹;

Λύση To Èı·Ófi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÂÓfi˜ ÛηÎÈÛÙ‹ ÁÈ· οı ·È¯Ó›‰È Â›Ó·È ‹ÙÙ· (∏), ÈÛÔ·Ï›· (π) ‹ Ó›ÎË (¡). ∆· ‰˘Ó·Ù¿ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ¤ÊÂÚ ¤Ó·˜ ·›ÎÙ˘ Ô˘ ¤‰ˆÛ ÙÔ Ôχ ÙÚÂȘ ·ÁÒÓ˜, ÚÔ·ÙÔ˘Ó Â˘ÎÔÏfiÙÂÚ· ·fi ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ‰È¿ÁÚ·ÌÌ·. To Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È: ø = ∏, π∏, ππ, π¡∏, π¡π, π¡¡, ¡∏, ¡π∏, ¡ππ, ¡π¡, ¡¡∏, ¡¡π, ¡¡¡

1Ô ·È¯Ó›‰È

2Ô ·È¯Ó›‰È

Η

H ΙΗ

Η I

I N

H I N

II INH INI INN

H I N H I N

NH NIH NII NIN NNH NNI NNN

H N

I N

170

3Ô ·È¯Ó›‰È ∞ÔÙ¤ÏÂÛÌ·

(167-173)

3-11-06

11:21

™ÂÏ›‰·171

5.2 ¢ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ – ∂Ӊ¯fiÌÂÓ·

2

™’ ¤Ó· ÎÔ˘Ù› ˘¿Ú¯Ô˘Ó 4 Ì¿Ï˜ ·ÚÈıÌË̤Ó˜ ·fi ÙÔ 1 ¤ˆ˜ ÙÔ 4. ∂ÈϤÁÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ÌÈ· Ì¿Ï·, ηٷÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ù˘, ÙËÓ Â·Ó·ÙÔÔıÂÙԇ̠ÛÙÔ ÎÔ˘Ù› Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· Â·Ó·Ï·Ì‚¿ÓÔ˘Ì ÙË ‰È·‰Èηۛ· ¿ÏÏË ÌÈ· ÊÔÚ¿. ·) ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙ› Ô ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Ù‡¯Ë˜. ‚) ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚÈÛÙÔ‡Ó Ù· ÂӉ¯fiÌÂÓ·. ∞. √È ‰‡Ô Ì¿Ï˜ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi. µ. √ ·ÚÈıÌfi˜ Ù˘ ÚÒÙ˘ Ì¿Ï·˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ Ì¿Ï·˜. °. √ ·ÚÈıÌfi˜ ÌÈ·˜ ÌfiÓÔ Ì¿Ï·˜ Â›Ó·È 3.

Λύση ·) √ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi Ù· 16 ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ ›Ó·Î·, ÔfiÙ ›ӷÈ: ø = (1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (4, 3) (4, 4) .

2Ë Ì¿Ï· 1Ë Ì¿Ï·

1

2

3

4

1 2 3 4

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1)

(1,2) (2,2) (3,2) (4,2)

(1,3) (2,3) (3,3) (4,3)

(1,4) (2,4) (3,4) (4,4)

‚) ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ∞ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· ÂΛӷ Ù· ˙‡ÁË ÙÔ˘ ø ÛÙ· ÔÔ›· Ô ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ›‰ÈÔ˜ Ì ÙÔÓ ‰Â‡ÙÂÚÔ. ÕÚ·: ∞ = (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) . ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ µ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· ÂΛӷ Ù· ˙‡ÁË ÙÔ˘ ø ÛÙ· ÔÔ›· Ô ÚÒÙÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ ‰Â‡ÙÂÚÔ. ÕÚ·: µ = (2, 1) (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2) (4, 3) . ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ° ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· ÂΛӷ Ù· ˙‡ÁË ÙÔ˘ ø ÛÙ· ÔÔ›· ÌfiÓÔ ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ Â›Ó·È ÙÔ 3. ÕÚ·: ° = (3, 1), (3, 2), (3, 4), (1, 3), (2, 3), (4, 3) .

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¶ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Â›Ó·È ÂÈÚ¿Ì·Ù· Ù‡¯Ë˜: ·) ƒ›¯Óˆ ¤Ó· ˙¿ÚÈ Î·È Î·Ù·Áڿʈ ÙËÓ ¿Óˆ fi„Ë ÙÔ˘. ‚) ∞Ê‹Óˆ ¤Ó· ‚·Ú‡ ÛÒÌ· Ó· ¤ÛÂÈ Î·È Î·Ù·Áڿʈ ÙË ÊÔÚ¿ Ù˘ ΛÓËÛ‹˜ ÙÔ˘. Á) µÁ¿˙ˆ ¤Ó· ʇÏÏÔ ·fi Ì›· ÙÚ¿Ô˘Ï· Î·È ÛËÌÂÈÒÓˆ ÔÈÔ Â›Ó·È. ‰) ∞ÓÔ›Áˆ ¤Ó· ‚È‚Ï›Ô Î·È ÛËÌÂÈÒÓˆ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙË ‰ÂÍÈ¿ ÛÂÏ›‰· ÙÔ˘.

2

∂ÈϤÁÔ˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο ‰‡Ô Ì·ıËÙ¤˜ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ Î·È Î·Ù·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙËÓ Ù¿ÍË fiÔ˘ ÊÔÈÙÔ‡Ó. ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÁÈ· Ó· ‚ÚÂÈ ÙÔ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ ¤ÊÙÈ·Í ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î·. ª‹ˆ˜ ¤Î·Ó οÔÈÔ Ï¿ıÔ˜;

2Ô˜ Ì·ıËÙ‹˜

∞

µ

°

∞∞ ∞µ °∞

∞µ µµ °µ

∞° µ° °°

1Ô˜ Ì·ıËÙ‹˜

∞ µ °

171

(167-173)

3-11-06

11:21

™ÂÏ›‰·172

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô

3

∆Ô ‰ÂÓÙÚԉȿÁÚ·ÌÌ· Ì ÙÔ ÔÔ›Ô ¤Ó·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ‹ıÂÏ ӷ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÈ fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ÙÚÈ„‹ÊÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì „ËÊ›· 2, 3, 5, Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ì›· ÌfiÓÔ ÊÔÚ¿, ¤ÌÂÈÓ ËÌÈÙÂϤ˜. ªÔÚ›Ù ӷ ÙÔ Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙÂ;

1 Ô „ËÊ›Ô

2 Ô „ËÊ›Ô

3 Ô „ËÊ›Ô

∞ÔÙ¤ÏÂÛÌ·

2 3 5

4

∞Ó Ô ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Ù‡¯Ë˜ Â›Ó·È ø = 0, 2, 4, 6, 8, 10 , ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û‡ÓÔÏ· Â›Ó·È ÂӉ¯fiÌÂÓ· ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜; ·) ∞ = 4, 8, 10 ‚) µ = 0, 2, 3, 6 Á) ° = 4, 7, 8, 10 ‰) ¢ = 6

5

ƒ›¯ÓÔ˘Ì ¤Ó· ˙¿ÚÈ Î·È Ê¤ÚÓÔ˘Ì 6. ¶ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÂӉ¯fiÌÂÓ· Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÔ‡ÓÙ·È: ·) ∞ = 2, 4, 6 ‚) µ = 1, 3, 5 Á) ° = 4, 5, 6 ‰) ¢ = 1, 2, 3

6

‘∂Ó· ÔÈÔ ·) ∏ Á) ∏

7

∂ÈϤÁˆ ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó· Ì‹Ó· ÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜. ¶ÔÈÔ ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÂӉ¯fiÌÂÓ· Â›Ó·È ‚¤‚·ÈÔ; ·) √ Ì‹Ó·˜ ¤¯ÂÈ 31 Ë̤Ú˜. ‚) √ Ì‹Ó·˜ Â›Ó·È ıÂÚÈÓfi˜. Á) ∆Ô fiÓÔÌ· ÙÔ˘ Ì‹Ó· ·Ú¯›˙ÂÈ ·fi ª. ‰) √ Ì‹Ó·˜ ¤¯ÂÈ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·fi 27 Ë̤Ú˜.

8

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ (∞) ÙÔ ÛˆÛÙfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË (µ).

ÎÔ˘Ù› ÂÚȤ¯ÂÈ ÎfiÎÎÈÓ˜, ΛÙÚÈÓ˜ Î·È Ì·‡Ú˜ Ì›ÏȘ. ∞Ó ÂÈϤ͈ ÌÈ· Ì›ÏÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÂӉ¯fiÌÂÓ· Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙÔ; ‚) ∏ Ì›ÏÈ· Â›Ó·È Î›ÙÚÈÓË. Ì›ÏÈ· Â›Ó·È ÎfiÎÎÈÓË. ‰) ∏ Ì›ÏÈ· ‰ÂÓ Â›Ó·È Ì·‡ÚË. Ì›ÏÈ· Â›Ó·È Ú¿ÛÈÓË.

™Ù‹ÏË ∞

172

·.

∞ µ

‚.

∞ µ

Á.

∞

™Ù‹ÏË µ 1. ¢ÂÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ÙÔ ∞. 2. ¶Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi Ù· ∞, µ. 3. ¢ÂÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ÙÔ µ. 4. ¶Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· Î·È ÙÔ ∞ Î·È ÙÔ µ.

·

‚

Á

(167-173)

3-11-06

11:21

™ÂÏ›‰·173

5.2 ¢ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ – ∂Ӊ¯fiÌÂÓ·

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

∆Ô Î˘ÏÈÎÂ›Ô ÂÓfi˜ Û¯ÔÏ›Ԣ ‰È·ı¤ÙÂÈ ÁÈ· Ê·ÁËÙfi Û¿ÓÙÔ˘˚Ù˜ (Û), Ù˘ÚfiÈÙ· (Ù), ÁÏ˘Îfi (Á) Î·È ÁÈ· ·Ó·„˘ÎÙÈÎfi ÔÚÙÔηϿ‰· (), ÏÂÌÔÓ¿‰· (Ï). ∂ÈϤÁÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó· Ì·ıËÙ‹ Ô˘ ·ÁfiÚ·Û ¤Ó· ›‰Ô˜ Ê·ÁËÙÔ‡ Î·È ¤Ó· ›‰Ô˜ ·Ó·„˘ÎÙÈÎÔ‡ Î·È Î·Ù·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙËÓ ÚÔÙ›ÌËÛ‹ ÙÔ˘. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜;

2

ƒ›¯ÓÔ˘Ì ¤Ó· ÓfiÌÈÛÌ· ÙÚÂȘ ÊÔÚ¤˜. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜;

3

™’ ¤Ó·Ó ÚÔÎÚÈÌ·ÙÈÎfi fiÌÈÏÔ ÙˆÓ ¶·ÓÂ˘Úˆ·˚ÎÒÓ ·ÁÒÓˆÓ ª¿ÛÎÂÙ ÎÏËÚÒıËÎ·Ó Ó· ·›ÍÔ˘Ó Ù¤ÛÛÂÚȘ ÔÌ¿‰Â˜ ∞, µ, °, ¢ ‰›ÓÔÓÙ·˜ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ·fi ‰‡Ô ·ÁÒÓ˜ (ÂÓÙfi˜ Î·È ÂÎÙfi˜ ¤‰Ú·˜). ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ›Ó·Î· Ó· ‚Ú›Ù fiÏ· Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ·ÓÙÈ¿ÏˆÓ.

4

™’ ¤Ó· ÎÔ˘Ù› ˘¿Ú¯Ô˘Ó ÙÚÂȘ fiÌÔȘ Ì¿Ï˜, Ì›· ÎfiÎÎÈÓË, Ì›· ¿ÛÚË, Ì›· ÌÏÂ Î·È ÂÈϤÁÔ˘ÌÂ Ù˘¯·›· Ì›· Ì¿Ï·. ·) ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜. ‚) ªÂ fiÛ˜ ÙÔ Ôχ ÎÈÓ‹ÛÂȘ ı· ¿ÚÔ˘Ì ÙËÓ ÎfiÎÎÈÓË Ì¿Ï·; Á) ªÂ fiÛ˜ ÎÈÓ‹ÛÂȘ ÌÔÚԇ̠ӷ ·Ó·ÁÓˆÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ¯ÚÒÌ· οı Ì¿Ï·˜;

5

™’ ¤Ó· ÙËÏÂÔÙÈÎfi ·È¯Ó›‰È Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó 4 ¿ÓÙÚ˜ (¢ËÌ‹ÙÚ˘, ∫ÒÛÙ·˜, ªÈ¯¿Ï˘, ¶·Ó·ÁÈÒÙ˘) Î·È 3 Á˘Ó·›Î˜ (∂ÈÚ‹ÓË, ∑ˆ‹, ™Ù·Ì·Ù›Ó·). ∂ÈϤÁÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó·Ó ¿ÓÙÚ· Î·È ÌÈ· Á˘Ó·›Î· ÁÈ· Ó· ‰È·ÁˆÓÈÛÙÔ‡Ó Î·È Î·Ù·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ٷ ÔÓfiÌ·Ù· ÙˆÓ ·ÓÙÈ¿ÏˆÓ. ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙÂ: ·) ∆Ô ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi ¯ÒÚÔ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜. ‚) ∆· ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞: ‰È·ÁˆÓ›ÛÙËÎ·Ó Ë ∂ÈÚ‹ÓË ‹ Ë ∑ˆ‹. µ: ¢Â ‰È·ÁˆÓ›ÛÙËÎÂ Ô ªÈ¯¿Ï˘.

6

√ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Ù‡¯Ë˜ Â›Ó·È ø = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . ¡· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÙ Ì ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Venn Ù· ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞ = x ø, fiÔ˘ x ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ 9 Î·È µ = x ø, fiÔ˘ x < 6 Î·È Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ô˘ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ›ٷÈ, fiÙ·Ó: ·) ¶Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi Ù· ∞, µ. ‚) ¶Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· ÙÔ ∞ Î·È ÙÔ µ. Á) ¢ÂÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ÙÔ µ.

7

√È ‰Ú¿ÛÙ˜ ÌÈ· ÎÏÔ‹˜ ‰È¤Ê˘Á·Ó Ì’ ¤Ó· ·˘ÙÔΛÓËÙÔ Î·È ÌÂÙ¿ ·fi ÙËÓ Î·Ù¿ıÂÛË ‰È·ÊfiÚˆÓ Ì·ÚÙ‡ÚˆÓ ¤ÁÈÓ ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ Ô ÙÂÙÚ·„‹ÊÈÔ˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ù˘ ÈӷΛ‰·˜ ÙÔ˘ ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘ ›¯Â ÚÒÙÔ Î·È Ù¤Ù·ÚÙÔ „ËÊ›Ô ÙÔ 2. ∆Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ „ËÊ›Ô ‹Ù·Ó 6 ‹ 8 ‹ 9 Î·È ÙÔ ÙÚ›ÙÔ „ËÊ›Ô ÙÔ˘ ‹Ù·Ó 4 ‹ 7. ·) ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ ÙˆÓ Èı·ÓÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ Ù˘ ÈӷΛ‰·˜ ÙÔ˘ ·˘ÙÔÎÈÓ‹ÙÔ˘; ‚) ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ٷ ÂӉ¯fiÌÂÓ·: ∞: ∆Ô ÙÚ›ÙÔ „ËÊ›Ô ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Ù˘ ÈӷΛ‰·˜ Â›Ó·È ÙÔ 7. µ: ∆Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ „ËÊ›Ô ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ Ù˘ ÈӷΛ‰·˜ Â›Ó·È 6 ‹ 8. 173

(174-182)

3-11-06

11:23

5. 3

™ÂÏ›‰·174

ŒÓÓÔÈ· Ù˘ Èı·ÓfiÙËÙ·˜

✔ ✔

Μαθαίνω τον κλασικό ορισµό της πιθανότητας. Γνωρίζω τους βασικούς κανόνες λογισµού των πιθανοτήτων.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ∂ÈϤÁÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó· ·˘ÙÔΛÓËÙÔ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ô ·ÚÈıÌfi˜ ΢ÎÏÔÊÔÚ›·˜ Â›Ó·È ˙˘Áfi˜ Î·È Î·Ù·ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô „ËÊ›Ô ÙÔ˘. – √ °ÈÒÚÁÔ˜ ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È fiÙÈ Â›Ó·È Èı·ÓfiÙÂÚÔ Ó· Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 6 ·Ú¿ Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ÙÔ˘ 6. ∂›Ó·È ÛˆÛÙfi˜ Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘;

∫Ï·ÛÈÎfi˜ ÔÚÈÛÌfi˜ Èı·ÓfiÙËÙ·˜ ∞Ó ÂÈϤÍÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó· ¿ÚÙÈÔ ÌÔÓÔ„‹ÊÈÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙÂ Ô ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ø = 0, 2, 4, 6, 8 . ∞Ó Î¿ı ·ÚÈıÌfi˜ ÂÈϤÁÂÙ·È ÛÙËÓ Ù‡¯Ë Î·È ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÏÂÔÓ¤ÎÙËÌ· ¤Ó·ÓÙÈ ÙˆÓ ¿ÏψÓ, ÙfiÙ fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· ÂÈÏÔÁ‹˜ Î·È Ï¤Ì fiÙÈ Ù· ‰˘Ó·Ù¿ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ÙÔ˘ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ Â›Ó·È ÈÛÔ›ı·Ó· . ™ÙÔ ÂÍ‹˜, fiÙ·Ó Ï¤Ì fiÙÈ Ë ÂÈÏÔÁ‹ Á›ÓÂÙ·È ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ı· ÂÓÓÔÂ›Ù·È fiÙÈ fiÏ· Ù· ‰˘Ó·Ù¿ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÈÛÔ›ı·Ó·. ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ÂÈϤÍÔ˘Ì ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ø ·ÚÈıÌfi ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 6, Â›Ó·È ÙÔ ∞ = 0, 2, 4 Î·È Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ·Ó ÂÈϤÍÔ˘Ì 0 ‹ 2 ‹ 4, ÂÓÒ ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ÂÈϤÍÔ˘Ì ·ÚÈıÌfi ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ÙÔ˘ 6 Â›Ó·È µ = {6, 8} Î·È Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ·Ó ÂÈϤÍÔ˘Ì 6 ‹ 8. µÏ¤Ô˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ ·fi ÙÔ˘˜ 5 ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔ˘ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ø, 3 ·ÚÈıÌÔ› ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙Ô˘Ó ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ ∞ Î·È 2 ·ÚÈıÌÔ› ÂÍ·ÛÊ·Ï›˙Ô˘Ó ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ µ. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ú·ÁÌ·ÙÔÔ›ËÛ˘ ÙÔ˘ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ ∞ Â›Ó·È 3 ‹ 60% Î·È 5 3 Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ƒ(∞) = ‹ 60%, ÂÓÒ Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ù˘ Ú·ÁÌ·ÙÔÔ›ËÛ˘ ÙÔ˘ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ 5 µ Â›Ó·È ƒ(B) = 2 ‹ 40%. ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ Û οı ÂÚ›ÙˆÛË Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ 5 Â›Ó·È ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Â˘ÓÔ˚ÎÒÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ ÁÈ· ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔ›ËÛË ÙÔ˘ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘, ·ÊÔ‡ ¡(∞) = 3 Î·È ¡(µ) = 2, ÂÓÒ Ô ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰˘Ó·ÙÒÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜, ·ÊÔ‡ ¡(ø) = 5.

Γενικά ™’ ¤Ó· ›ڷ̷ Ù‡¯Ë˜, Ì ÈÛÔ›ı·Ó· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·, Èı·ÓfiÙËÙ· ÂÓfi˜ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ ∞ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ï‹ıÔ˜ ¢ÓÔ˚ÎÒÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ ¡(∞) ƒ(∞) = = Ï‹ıÔ˜ ‰˘Ó·ÙÒÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ ¡(ø) °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·fi ¤Ó· ÎÔ˘Ù› Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ 25 fiÌÔȘ Ì¿Ï˜, ·fi ÙȘ Ôԛ˜ ÔÈ 11 Â›Ó·È Ú¿ÛÈÓ˜ Î·È ÔÈ 14 Â›Ó·È ÎfiÎÎÈÓ˜, ·Ó ‚Á¿ÏÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë Ì›·, ÙfiÙ ÔÈ Èı·ÓfiÙËÙ˜ 174

(174-182)

14-11-06

16:01

™ÂÏ›‰·175

5.3 ŒÓÓÔÈ· Ù˘ Èı·ÓfiÙËÙ·˜

ÙˆÓ ÂӉ¯ÔÌ¤ÓˆÓ ¶: µÁ¿˙ˆ Ú¿ÛÈÓË Ì¿Ï· Î·È ∫: µÁ¿˙ˆ ÎfiÎÎÈÓË Ì¿Ï· ›ӷÈ: ƒ(¶) =

¡(¶) 11 = ‹ 44% Î·È ¡(ø) 25

ƒ(∫) =

¡(∫) 14 = ‹ 56%. ¡(ø) 25

∞fi ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÔÚÈÛÌfi ÚÔ·ÙÂÈ ·ÎfiÌË fiÙÈ: ¡(ø) ¡( ) ƒ(ø) = = 1 Î·È ƒ( ) = =0 ¡(ø) ¡(ø) ∏ Èı·ÓfiÙËÙ· οı ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ ∞ Â›Ó·È ·ÚÈıÌfi˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ‹ ›ÛÔ˜ ·fi ÙÔ 0 Î·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ‹ ›ÛÔ˜ ·fi ÙÔ 1, ·ÊÔ‡ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Â˘ÓÔ˚ÎÒÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ·fi ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰˘Ó·ÙÒÓ ÂÚÈÙÒÛˆÓ. ¢ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ: 0

≤ ƒ(∞) ≤ 1

µ·ÛÈÎÔ› ηÓfiÓ˜ ÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ Èı·ÓÔÙ‹ÙˆÓ ∞ ∞Ó Ú›ÍÔ˘Ì ¤Ó· ˙¿ÚÈ, ÙfiÙÂ Ô ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ø = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ù· 6 ‰˘Ó·Ù¿ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÈÛÔ›ı·Ó·. ŒÙÛÈ Ë Èı·ÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ ∞ = 1, 2 Â›Ó·È ¡(∞) 2 1 ƒ(∞) = = = . ∆Ô Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈÎfi ÙÔ˘ ∞ Â›Ó·È ÙÔ ¡(ø) 6 3 4 2 ¡(∞ ) ∞ = 3, 4, 5, 6 Î·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ¿ ÙÔ˘ Â›Ó·È ƒ(∞ ) = = = . 6 3 ¡(ø) 1 2 ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ƒ(∞) + ƒ(∞ ) = + = 1. 3 3

ø

ñ3

ñ1

ñ6

ñ2 ñ5

ñ4

∞

Γενικά °È· ‰‡Ô Û˘ÌÏËڈ̷ÙÈο ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞, ∞ ÈÛ¯‡ÂÈ ƒ(∞) + ƒ(∞ )) = 1. ∞Ó ÙÒÚ· ¿ÚÔ˘Ì ٷ ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞ = 1, 2 , µ = 2, 3, 5 Î·È ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÓˆÛË Î·È ÙËÓ ÙÔÌ‹ ÙÔ˘˜, ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: ∞ µ = 1, 2, 3, 5 Î·È ∞ µ = 2 . 2 3 4 1 Î·È P(∞ µ) = . ÕÚ· ƒ(∞) = , ƒ(B) = , P(A µ) = 6 6 6 6 ¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: ƒ(A µ) + P(∞ µ) =

µ A

ñ3

∞

ñ1

ø

ñ2 ñ5

ñ4

ñ6

4 1 5 2 3 5 + = Î·È ƒ(∞) + ƒ(B) = + = , 6 6 6 6 6 6

‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ ƒ(A µ) + P(∞ µ) = ƒ(∞) + ƒ(B).

Γενικά °È· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞, µ ÈÛ¯‡ÂÈ ƒ (A µ ) + P( ∞ µ ) = ƒ ( ∞ ) + ƒ ( B) ∆Ș ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ Û˘¯Ó¿ ÁÈ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì Èı·ÓfiÙËÙ˜ Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ϤÌ fiÙÈ ·ÔÙÂÏÔ‡Ó ‚·ÛÈÎÔ‡˜ ηÓfiÓ˜ ÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ Èı·ÓÔًوÓ. 175

(174-182)

3-11-06

11:23

™ÂÏ›‰·176

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

∂ÈϤÁÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó· Ì‹Ó· ÙÔ˘ ¤ÙÔ˘˜. ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ Èı·ÓfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÂӉ¯Ô̤ӈÓ: ∞: √ Ì‹Ó·˜ ·Ú¯›˙ÂÈ ·fi ª. µ: √ Ì ‹ Ó · ˜  › Ó · È ı Â Ú È Ó fi ˜ . °: √ Ì‹Ó·˜ ¤¯ÂÈ 31 Ë̤Ú˜.

Λύση √ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ø ÂÚȤ¯ÂÈ 12 ÛÙÔȯ›·, ÔfiÙ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰˘Ó·ÙÒÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ Â›Ó·È ¡(ø) = 12. ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ∞ Â›Ó·È ∞ = ª¿ÚÙÈÔ˜, ª¿˚Ô˜ , ÔfiÙ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Â˘ÓÔ˚ÎÒÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ ÁÈ· ÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔ›ËÛ‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È ¡(∞) = 2. ÕÚ· ƒ(∞) =

¡(∞) 2 1 = = ‹ ÂÚ›Ô˘ 16,7%. ¡(ø) 12 6

∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ µ Â›Ó·È µ = πÔ‡ÓÈÔ˜, πÔ‡ÏÈÔ˜, ∞‡ÁÔ˘ÛÙÔ˜ , ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ¡(µ) = 3. ¡(B) 3 1 ÕÚ· ƒ(B) = = = ‹ 25%. ¡(ø) 12 4 ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ° Â›Ó·È ° = π·ÓÔ˘¿ÚÈÔ˜, ª¿ÚÙÈÔ˜, ª¿˚Ô˜, πÔ‡ÏÈÔ˜, ∞‡ÁÔ˘ÛÙÔ˜, √ÎÙÒ‚ÚÈÔ˜, ¢ÂΤ̂ÚÈÔ˜ , ¡(° ) 7 ÔfiÙ ¡(° ) = 7. ÕÚ· ƒ(° ) = = ‹ ÂÚ›Ô˘ 58,3%. ¡(ø) 12

2

MÈ· ÔÌ¿‰· ‰›ÓÂÈ ‰‡Ô ·ÁÒÓ˜. ∞Ó Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ ÙÔÓ ÚÒÙÔ ·ÁÒÓ· Â›Ó·È 45%, Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ ÙÔÓ ‰Â‡ÙÂÚÔ ·ÁÒÓ· Â›Ó·È 60% Î·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÁÒÓ˜ Â›Ó·È 27%, Ó· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ Èı·ÓfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÂӉ¯Ô̤ӈÓ: ·) ¡· ÌËÓ ÎÂÚ‰›ÛÂÈ ÙÔÓ ÚÒÙÔ ·ÁÒÓ·. ‚) ¡· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ ¤Ó·Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÁÒÓ˜.

Λύση √ÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ∞ ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ Ë ÔÌ¿‰· ÙÔÓ ÚÒÙÔ ·ÁÒÓ· Î·È µ ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ ÙÔÓ ‰Â‡ÙÂÚÔ ·ÁÒÓ·. ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ Î·È ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÁÒÓ˜ Â›Ó·È ∞ µ, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: 45 60 27 ƒ(∞) = , ƒ(µ) = Î·È ƒ(∞ µ) = . 100 100 100 ·) ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ÌËÓ ÎÂÚ‰›ÛÂÈ ÙÔÓ ÚÒÙÔ ·ÁÒÓ· Â›Ó·È ÙÔ Û˘Ìϋڈ̷ ÙÔ˘ ∞, ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ∞ . °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fï˜ fiÙÈ ƒ(∞) + ƒ(∞ ) = 1, ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: 45 55 45 + ƒ(∞ ) = 1 ‹ ƒ(∞ ) = 1 – ‹ ƒ(∞ ) = . 100 100 100 ÕÚ· Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÌËÓ ÎÂÚ‰›ÛÂÈ ÙÔÓ ÚÒÙÔ ·ÁÒÓ· Â›Ó·È 55%.

176

(174-182)

3-11-06

11:23

™ÂÏ›‰·177

5.3 ŒÓÓÔÈ· Ù˘ Èı·ÓfiÙËÙ·˜

‚) ∆Ô ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ Ë ÔÌ¿‰· ¤Ó·Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÁÒÓ˜ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ›ٷÈ, fiÙ·Ó Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi Ù· ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞, µ, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ÙÔ ∞ µ. °ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fï˜ fiÙÈ ƒ(∞ µ) + ƒ(∞ µ) = ƒ(∞) + ƒ(µ), ÔfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: ƒ(∞ µ) +

27 45 60 = + 100 100 100

‹ ƒ(∞ µ) =

45 60 – 27 78 + = . 100 100 100 100

ÕÚ· Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ ¤Ó·Ó ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi ÙÔ˘˜ ‰‡Ô ·ÁÒÓ˜ Â›Ó·È 78%.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

™Â ÔÈÔ ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÈÚ¿Ì·Ù· Ù· ‰˘Ó·Ù¿ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Â›Ó·È ÈÛÔ›ı·Ó·; ·) ∞fi ¤Ó· ÎÔ˘Ù› Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ 12 fiÌÔȘ Ì¿Ï˜, ·fi ÙȘ Ôԛ˜ 4 Â›Ó·È Ú¿ÛÈÓ˜, 4 ÎfiÎÎÈÓ˜ Î·È 4 ¿ÛÚ˜, ÂÈϤÁÔ˘Ì ̛· Î·È ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙÔ ¯ÚÒÌ· Ù˘. ‚) ∞fi ¤Ó· ÎÔ˘Ù› Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ 12 fiÌÔȘ Ì¿Ï˜, ·fi ÙȘ Ôԛ˜ 5 Â›Ó·È Ú¿ÛÈÓ˜, 5 ÎfiÎÎÈÓ˜ Î·È 2 ¿ÛÚ˜, ÂÈϤÁÔ˘Ì ̛· Î·È ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÙÔ ¯ÚÒÌ· Ù˘. Á) ∞fi ÙË ÏÂÍË «¯·Ú¿» ÂÈϤÁÔ˘Ì ¤Ó· ÁÚ¿ÌÌ· Î·È ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÔÈÔ Â›Ó·È. ‰) ∞fi ÙË Ï¤ÍË «¯ÒÚ·» ÂÈϤÁÔ˘Ì ¤Ó· ÁÚ¿ÌÌ· Î·È ÛËÌÂÈÒÓÔ˘Ì ÔÈÔ Â›Ó·È.

2

∞Ó ÂÈϤÍÔ˘ÌÂ Ù˘¯·›· ¤Ó· ÁÚ¿ÌÌ· Ù˘ ·ÏÊ·‚‹ÙÔ˘, ÙfiÙÂ Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· Â›Ó·È ÊˆÓ‹ÂÓ Â›Ó·È: 1 1 7 17 ·) ‚) Á) ‰) 2 24 24 24 N· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË.

3

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) ∏ Èı·ÓfiÙËÙ· ÂÓfi˜ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ ∞ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ƒ(∞) = 1,02. ‚) ∞Ó Ë Èı·ÓfiÙËÙ· ÂÓfi˜ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ ∞ Â›Ó·È 80%, ÙfiÙ ÁÚ¿ÊÔ˘Ì ƒ(∞) = 80. Á) ∆Ô ‚¤‚·ÈÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ¤¯ÂÈ Èı·ÓfiÙËÙ· 1 Î·È ÙÔ ·‰‡Ó·ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ¤¯ÂÈ Èı·ÓfiÙËÙ· 0. ‰) ∞Ó Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ‚Ú¤ÍÂÈ Â›Ó·È 32%, ÙfiÙÂ Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÌË ‚Ú¤ÍÂÈ Â›Ó·È 68%.

4

3 ∞Ó Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈËı› ¤Ó· ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ∞ Â›Ó·È , ÙfiÙÂ Ë Èı·ÓfiÙËÙ· 5 Ó· ÌËÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈËı› ÙÔ ∞ ›ӷÈ: 5 1 2 4 ·) ‚) Á) ‰) 3 5 5 5 N· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË.

5

4 5 1 , ƒ(µ) = Î·È ƒ(∞ µ) = . 11 11 11 6 ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ fiÙÈ ƒ(∞ µ) = . ∂›Ó·È ÛˆÛÙ‹ Ë ·¿ÓÙËÛ‹ ÙÔ˘; 11 ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi Û·˜. °È· ‰‡Ô ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞, µ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ƒ(∞) =

177

(174-182)

21-11-06

17:21

™ÂÏ›‰·178

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

∂ÈϤÁÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó·Ó ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi ·fi ÙÔ 1 ¤ˆ˜ Î·È ÙÔ 13. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ›ӷÈ: ·) ¿ÚÙÈÔ˜ ‚) ÔÏÏ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ 4;

2

™Â ÌÈ· ÎÏ‹ÚˆÛË ˘¿Ú¯Ô˘Ó 1200 Ï·¯ÓÔ› ·fi ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÎÂÚ‰›˙ÂÈ Ô ¤Ó·˜. ¶fiÛÔ % Èı·ÓfiÙËÙ· ¤¯ÂÈ Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ Ô˘ ·ÁfiÚ·Û 6 Ï·¯ÓÔ‡˜;

3

™Â ÌÈ· ÙÚ¿Ô˘Ï· 52 ʇÏÏˆÓ ˘¿Ú¯Ô˘Ó 12 ÊÈÁÔ‡Ú˜. ∞Ó ÂÈϤÍÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó· ʇÏÏÔ, ÔÈ· Â›Ó·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÌËÓ Â›Ó·È ÊÈÁÔ‡Ú·;

4

™Â ¤Ó· ÎÔ˘Ù› ˘¿Ú¯Ô˘Ó 20 fiÌÔȘ Ì¿Ï˜, ·fi ÙȘ Ôԛ˜ ÔÈ 8 Â›Ó·È Á·Ï¿˙Ș, ÔÈ 7 Â›Ó·È Î›ÙÚÈÓ˜ Î·È ÔÈ 5 Â›Ó·È ¿ÛÚ˜. µÁ¿˙Ô˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ÌÈ· Ì¿Ï·. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ Èı·ÓfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÂӉ¯Ô̤ӈÓ: ∞: ∏ Ì¿Ï· Ó· Â›Ó·È Î›ÙÚÈÓË. µ: ∏ Ì¿Ï· Ó· ÌËÓ Â›Ó·È ¿ÛÚË. °: ∏ Ì¿Ï· Ó· Â›Ó·È Á·Ï¿˙È· ‹ ¿ÛÚË. µ·ıÌfi˜ ª·ıËÙ¤˜

5

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î· Ê·›ÓÂÙ·È Ë ‚·ıÌÔÏÔÁ›· ÙˆÓ 25 Ì·ıËÙÒÓ ÂÓfi˜ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÛÙ· ª·ıËÌ·ÙÈο. ∞Ó ÂÈϤÍÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó· Ì·ıËÙ‹, Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ¤¯ÂÈ ‚·ıÌfi: ·) 15 ‚) ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙÔ˘ 14 Á) ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ‹ ›ÛÔ ÙÔ˘ 16 ‰) 19 ‹ 20

9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 2 3 2 4 3 2 2 3 2 1

6

ƒ›¯ÓÔ˘Ì ¤Ó· ÓfiÌÈÛÌ· ÙÚÂȘ ÊÔÚ¤˜. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ʤÚÔ˘ÌÂ Î·È ÙȘ ÙÚÂȘ ÊÔÚ¤˜ ÙËÓ ›‰È· ¤Ó‰ÂÈÍË;

7

ƒ›¯ÓÔ˘Ì ¤Ó· ˙¿ÚÈ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ Èı·ÓfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÂӉ¯Ô̤ӈÓ: ∞: º¤ÚÓÔ˘ÌÂ Î·È ÙȘ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ 6. µ: º¤ÚÓÔ˘Ì ÙËÓ ›‰È· ¤Ó‰ÂÈÍË Î·È ÙȘ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜. °: º¤ÚÓÔ˘Ì ̛· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÊÔÚ¿ 5.

8

∞fi ÙÔ˘˜ 25 Ì·ıËÙ¤˜ ÌÈ·˜ Ù¿Í˘ ÌfiÓÔ ÔÈ 12 ¤Ï˘Û·Ó ÌÈ· ¿ÛÎËÛË. ∞Ó ÂÈϤÍÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó· Ì·ıËÙ‹, ÔÈ· Â›Ó·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÌËÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛÂÈ ÙËÓ ¿ÛÎËÛË;

178

(174-182)

14-11-06

16:02

™ÂÏ›‰·179

5.3 ŒÓÓÔÈ· Ù˘ Èı·ÓfiÙËÙ·˜

∞Ó Ô ÚÒÙÔ˜ Ì·ıËÙ‹˜ Ô˘ ÂÈϤͷÌ ‰ÂÓ ¤Ï˘Û ÙËÓ ¿ÛÎËÛË Î·È ·fi ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜ ÂÈϤÍÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó· ‰Â‡ÙÂÚÔ Ì·ıËÙ‹, ÙfiÙ ÔÈ· Â›Ó·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ¤¯ÂÈ Ï‡ÛÂÈ ÙËÓ ¿ÛÎËÛË;

9

10

∏ Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÌËÓ ¿ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ ÛÙÔ ı¤·ÙÚÔ Â›Ó·È ÙÚÈÏ¿ÛÈ· ·fi ÙËÓ Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ¿ÂÈ. ¶ÔÈ· Â›Ó·È ÙÂÏÈο Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ¿ÂÈ ÛÙÔ ı¤·ÙÚÔ; 7 3 5 °È· ‰‡Ô ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞, µ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ƒ(∞) = , ƒ(µ) = Î·È ƒ(∞ µ) = . ¡· 10 10 10 ‚Ú›Ù ÙËÓ Èı·ÓfiÙËÙ· ƒ(∞ µ). 1 5 11 , ƒ(µ ) = Î·È ƒ(∞ µ) = , Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ Èı·ÓfiÙËÙ· ƒ(∞ µ). 14 14 2

11

∞Ó ƒ(∞) =

12

∏ Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÁÓˆÚ›˙ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ ∞ÁÁÏÈο Â›Ó·È 42%, Ó· ÁÓˆÚ›˙ÂÈ °·ÏÏÈο Â›Ó·È 21% Î·È Ó· ÁÓˆÚ›˙ÂÈ Î·È ÙȘ ‰‡Ô ÁÏÒÛÛ˜ Â›Ó·È 15%. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ÁÓˆÚ›˙ÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi ÙȘ ‰‡Ô ÁÏÒÛÛ˜;

13

√ ηıËÁËÙ‹˜ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ‰È·›ÛÙˆÛ fiÙÈ ÛÙÔ Ì¿ıËÌ· Ù˘ °ÂˆÌÂÙÚ›·˜, ·fi ÙÔ˘˜ 24 Ì·ıËÙ¤˜ ÂÓfi˜ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, 18 ›¯·Ó ηÓfiÓ·, 14 ›¯·Ó ‰È·‚‹ÙË Î·È 20 ›¯·Ó ηÓfiÓ· ‹ ‰È·‚‹ÙË. ∞Ó ÂÈϤÍÔ˘Ì ÛÙËÓ Ù‡¯Ë ¤Ó· Ì·ıËÙ‹, ÔÈ· Â›Ó·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ¤¯ÂÈ Î·ÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË;

∆ΙΑΘΕΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕ∆ΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΘΕΜΑ:

∏ ÌÂÙ·‚›‚·ÛË ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎÒÓ ·fi ÁÂÓÈ¿ Û ÁÂÓÈ¿ – √ ª¤ÓÙÂÏ Î·È ÔÈ ÓfiÌÔÈ Ù˘ ÎÏËÚÔÓÔÌÈÎfiÙËÙ·˜

∏ ÌÂÙ·‚›‚·ÛË Û˘ÁÎÂÎÚÈÌ¤ÓˆÓ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎÒÓ ·fi ÁÔÓ›˜ Û ·ÔÁfiÓÔ˘˜, ÌÂÏÂÙ‹ıËΠÛÙ· Ê˘Ù¿ ·fi ÙÔÓ °. ª¤ÓÙÂÏ. ∞Ó ‰È·ÛÙ·˘ÚÒÛÔ˘Ì ‰‡Ô ÚÔ˙ ÏÔ˘ÏÔ‡‰È· ÌÔÛ¯ÔÌ›˙ÂÏÔ˘, ˘‚Ú›‰È· ÚÒÙ˘ ÁÂÓÈ¿˜, ÙfiÙ ÛÙ· 4 ÏÔ˘ÏÔ‡‰È· Ô˘ ı· ¿ÚÔ˘Ì ÛÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÁÂÓÈ¿, 1 ı· Â›Ó·È ÎfiÎÎÈÓÔ, 2 ÚÔ˙ Î·È 1 Ï¢Îfi. ¢ËÏ·‰‹ Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ¿ÚÔ˘Ì ÛÙË ‰Â‡ÙÂÚË ÁÂÓÈ¿ ÎfiÎÎÈÓÔ ÏÔ˘ÏÔ‡‰È ›ӷÈ

1 2 1 ‹ 2 5 % , Ú Ô ˙ Ï Ô ˘ Ï Ô ‡ ‰ È ‹ 5 0 % Î · È Ï Â ˘ Î fi Ï Ô ˘ Ï Ô ‡ ‰ È 4 4 4 ‹ 25%. – ¶Ò˜ Û˘Ó¤‚·ÏÂ Ë ıˆڛ· ÙˆÓ Èı·ÓÔÙ‹ÙˆÓ ÛÙË ‰È·Ù‡ˆÛË ÙˆÓ ÓfiÌˆÓ Ù˘ ÎÏËÚÔÓÔÌÈÎfiÙËÙ·˜ ;

179

(174-182)

3-11-06

11:23

™ÂÏ›‰·180

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô

°∂¡π∫∂™ ∞™∫∏™∂π™ 5Ô˘ ∫∂º∞§∞π√À 1

¢›ÓÔÓÙ·È Ù· Û‡ÓÔÏ· ø = x , fiÔ˘ x 8 , A = x ø, fiÔ˘ x ¿ÚÙÈÔ˜ Î·È µ = x ø, fiÔ˘ x ‰È·ÈÚ¤Ù˘ ÙÔ˘ 8 . ·) ¡· ÁÚ¿„ÂÙ ٷ Û‡ÓÔÏ· ø, ∞, µ Ì ·Ó·ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘˜ Î·È Ó· Ù· ·Ú·ÛÙ‹ÛÂÙ ÛÙÔ ›‰ÈÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Venn. ‚) ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ٷ Û‡ÓÔÏ· ∞ µ, ∞ µ Î·È Ù· ∞ , µ ˆ˜ ÚÔ˜ ‚·ÛÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ ø. Á) AÓ ÂÈϤÍÂÙÂ Ù˘¯·›· ¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ø, Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ Èı·ÓfiÙËÙ·: i) Ó· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ∞ ii) Ó· ÌËÓ ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ µ iii) Ó· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ∞ Î·È ÛÙÔ µ iv) Ó· ·Ó‹ÎÂÈ ÛÙÔ ∞ ‹ ÛÙÔ µ.

2

™’ ¤Ó· ηٷ„‡ÎÙË ˘¿Ú¯Ô˘Ó 12 ·ÁˆÙ¿, ·fi Ù· ÔÔ›· 3 Â›Ó·È ‚·Ó›ÏÈ·, 3 ÛÔÎÔÏ¿Ù·, 3 ÊÚ¿Ô˘Ï· Î·È 3 ÊÈÛÙ›ÎÈ. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ¿ÚÂÈ Ë ª·Ú›· Ù˘¯·›· ¤Ó· ·ÁˆÙfi Ì Á‡ÛË ÊÚ¿Ô˘Ï·˜ Ô˘ ÌfiÓÔ ·˘Ùfi ‰ÂÓ Ù˘ ·Ú¤ÛÂÈ; ¢‡Ô ̤Ú˜ ·ÚÁfiÙÂÚ· 1 ·ÁˆÙfi ‚·Ó›ÏÈ·, 2 ·ÁˆÙ¿ ÛÔÎÔÏ¿Ù· Î·È 1 ·ÁˆÙfi ÊÚ¿Ô˘Ï· ¤¯Ô˘Ó ηٷӷψı›. ¶ÔÈ· Â›Ó·È ÙÒÚ· Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ¿ÚÂÈ Ë ª·Ú›· Ù˘¯·›· ¤Ó· ·ÁˆÙfi Ô˘ Ó· Ù˘ ·Ú¤ÛÂÈ;

3

∆· 80 ·È‰È¿ Ù˘ ° Ù¿Í˘ ÂÓfi˜ °˘ÌÓ·Û›Ô˘ Â¤ÏÂÍ·Ó Ó· ‰È‰·¯ÙÔ‡Ó ÌÈ· ‰Â‡ÙÂÚË Í¤ÓË ÁÏÒÛÛ· ·Ó¿ÌÂÛ· ÛÙ· °·ÏÏÈο Î·È Ù· °ÂÚÌ·ÓÈο. ∆· 18 ·fi Ù· 30 ·ÁfiÚÈ· Â¤ÏÂÍ·Ó Ù· °ÂÚÌ·ÓÈο, ÂÓÒ 36 ÎÔÚ›ÙÛÈ· Â¤ÏÂÍ·Ó Ù· °·ÏÏÈο. ·) ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ›Ó·Î·: ∞ÁfiÚÈ· ∫ÔÚ›ÙÛÈ· °·ÏÏÈο °ÂÚÌ·ÓÈο ‚) ∂ÈϤÁÔ˘ÌÂ Ù˘¯·›· ¤Ó· ·È‰›. ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ Èı·ÓfiÙËÙ·: i) Ó· Â›Ó·È ·ÁfiÚÈ ii) Ó· ¤¯ÂÈ ÂÈϤÍÂÈ Ù· °ÂÚÌ·ÓÈο iii) Ó· Â›Ó·È ·ÁfiÚÈ Î·È Ó· ¤¯ÂÈ ÂÈϤÍÂÈ Ù· °·ÏÏÈο iv) Ó· Â›Ó·È ÎÔÚ›ÙÛÈ ‹ Ó· ¤¯ÂÈ ÂÈϤÍÂÈ Ù· °ÂÚÌ·ÓÈο.

4

∞fi ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ 25Æ, 36Æ, 65Æ, 92Æ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· ̤ÙÚ· ÁˆÓÈÒÓ, ÂÈϤÁÔ˘ÌÂ Ù˘¯·›· ‰‡Ô ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ∞Ó ·˘ÙÔ› ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó Ù· ̤ÙÚ· ‰‡Ô ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÔÈ· Â›Ó·È Ë Èı·ÓfiÙËÙ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi Ó· Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ;

5

∞fi ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ 8, 12, 16, 20 ÂÈϤÁÔ˘ÌÂ Ù˘¯·›· ÙÚÂȘ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ¶ÔÈ· Ë Èı·ÓfiÙËÙ· ÔÈ ÙÚÂȘ ·˘ÙÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ó· ÂÎÊÚ¿˙Ô˘Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘;

6

∞fi ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ 1, 2, 3, 4 ÂÈϤÁÔ˘ÌÂ Ù˘¯·›· ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙÔÓ ¤Ó· ÌÂÙ¿ ÙÔÓ ¿ÏÏÔ

180

(174-182)

3-11-06

11:23

™ÂÏ›‰·181

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô

Î·È Ì ·˘ÙÔ‡˜ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ·. √ ÚÒÙÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ Î·È Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜. ¡· ‚Ú›Ù ÙËÓ Èı·ÓfiÙËÙ· ÒÛÙ ÙÔ ÎÏ¿ÛÌ· ·) Ó· ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi ‚) Ó· Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ Ù˘ ÌÔÓ¿‰·˜.

7

7 ∞Ó ÁÈ· ‰‡Ô ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞, µ ÂÓfi˜ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ø ÈÛ¯‡Ô˘Ó ƒ(∞ µ) = Î·È 10 11 ƒ(∞ ) + ƒ(µ ) = , Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ Èı·ÓfiÙËÙ· ƒ(∞ µ). 10

8

√ ¡›ÎÔ˜ ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È fiÙÈ, fiÙ·Ó Ú›¯ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ˙¿ÚÈ·, Ë Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 8 Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 7. ∂›Ó·È ÛˆÛÙfi˜ Ô ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi˜ ÙÔ˘;

Το τρίγωνο του Πασκάλ και οι Πιθανότητες √ ¶·ÛÎ¿Ï ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ÙÔ ·ÚÈıÌËÙÈÎfi ÙÚ›ÁˆÓÔ (ÙÚ›ÁˆÓÔ ¶·ÛοÏ) ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰˘Ó·ÙÒÓ ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ Î·Ù¿ ÙË Ú›„Ë ÂÓfi˜ ÓÔÌ›ÛÌ·ÙÔ˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó Ú›ÍÔ˘Ì ¤Ó· ÓfiÌÈÛÌ· Ì›·, ‰‡Ô, ÙÚÂȘ ÊÔÚ¤˜, ÙfiÙ ٷ ‰˘Ó·Ù¿ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Î·È ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙÔ˘˜ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: ¶Ï‹ıÔ˜ ‰˘Ó·ÙÒÓ ∞ÚÈıÌfi˜ Ú›„ÂˆÓ ¢˘Ó·Ù¿ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· ∆Ú›ÁˆÓÔ ¶·ÛÎ¿Ï ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ 1

∫

1

°

2 = 21

1

∫° 2

∫∫

°°

1

2

4 = 22

1

°∫ ∫∫° ∫∫∫ ∫°∫ °∫∫

3

°°∫ °∫° ∫°°

°°° 1

3

3

1

8 = 23

N· ‚Ú›ÙÂ: ·) ∆Ô Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ‰˘Ó·ÙÒÓ ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ Û 5 Ú›„ÂȘ ÙÔ˘ ÓÔÌ›ÛÌ·ÙÔ˜. ‚) ∆ËÓ Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ ›‰È· ¤Ó‰ÂÈÍË Î·È ÙȘ 5 ÊÔÚ¤˜. Á) ∆ËÓ Èı·ÓfiÙËÙ· Ó· ʤÚÔ˘Ì fiϘ ÙȘ ÊÔÚ¤˜ ÁÚ¿ÌÌ·Ù·, ·Ó Ú›ÍÔ˘Ì ÙÔ ÓfiÌÈÛÌ· 6 ÊÔÚ¤˜.

E¶∞¡∞§∏æ∏ – ∞¡∞∫∂º∞§∞πø™∏ 5o˘ K∂º∞§∞π√À Α . ΣΥΝΟΛΑ ñ ™‡ÓÔÏÔ Â›Ó·È Î¿ıÂ Û˘ÏÏÔÁ‹ ·ÓÙÈÎÂÈ̤ӈÓ, Ô˘ ηıÔÚ›˙ÔÓÙ·È Ì ·fiÏ˘ÙË Û·Ê‹ÓÂÈ· Î·È ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È ÙÔ ¤Ó· ·fi ÙÔ ¿ÏÏÔ. ñ ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ ÌÔÚ› Ó· ·Ú·ÛÙ·ı› Ì ·Ó·ÁÚ·Ê‹ ‹ Ì ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ÙÔ˘ Î·È Ì ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Venn . ñ ÿÛ· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô Û‡ÓÔÏ·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó Ù· ›‰È· ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÛÙÔȯ›·. ñ ŒÓ· Û‡ÓÔÏÔ ∞ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ µ, fiÙ·Ó Î¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ∞ Â›Ó·È Î·È ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ µ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ∞ µ. ñ ∫ÂÓfi Û‡ÓÔÏÔ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Î·Ó¤Ó· ÛÙÔÈ¯Â›Ô Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È .

181

3-11-06

11:23

™ÂÏ›‰·182

¶Ú¿ÍÂȘ Ì ۇÓÔÏ·

M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 5Ô ñ ŒÓˆÛË ‰‡Ô Û˘ÓfiÏˆÓ ∞, µ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¤Ó· Ó¤Ô Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· Ù· ÎÔÈÓ¿ Î·È ÌË ÎÔÈÓ¿ ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ ‰‡Ô Û˘ÓfiÏˆÓ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ∞ µ. ñ ∆ÔÌ‹ ‰‡Ô Û˘ÓfiÏˆÓ ∞, µ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¤Ó· Ó¤Ô Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· Ù· ÎÔÈÓ¿ ÛÙÔȯ›· Î·È ÙˆÓ ‰‡Ô Û˘ÓfiÏˆÓ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ∞ µ. ñ ™˘Ìϋڈ̷ ÂÓfi˜ Û˘ÓfiÏÔ˘ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ¤Ó· ‚·ÛÈÎfi Û‡ÓÔÏÔ ø ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¤Ó· Ó¤Ô Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ˆ˜ ÛÙÔȯ›· fiÏ· Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ø Ô˘ ‰ÂÓ ·Ó‹ÎÔ˘Ó ÛÙÔ ∞ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ∞ .

Β . ∆ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ – ΕΝ∆ΕΧΟΜΕΝΑ ñ ¶Â›Ú·Ì· Ù‡¯Ë˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ›ڷ̷ Ô˘ fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ Î·È ·Ó ÙÔ Â·Ó·Ï¿‚Ô˘ÌÂ, ‰ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÚԂϤ„Ô˘Ì ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ¿ ÙÔ˘ Ì ·fiÏ˘ÙË ‚‚·ÈfiÙËÙ·. ñ ¢ÂÈÁÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ ÂÓfi˜ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Ù‡¯Ë˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ fiÏˆÓ ÙˆÓ ‰˘Ó·ÙÒÓ ·ÔÙÂÏÂÛÌ¿ÙˆÓ ÙÔ˘ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ø. ñ ∂Ӊ¯fiÌÂÓÔ ÂÓfi˜ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Ù‡¯Ë˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î¿ı ˘ÔÛ‡ÓÔÏÔ ÙÔ˘ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ø. ñ ŒÓ· ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ›ٷÈ, fiÙ·Ó ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Û ÌÈ· Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓË ÂÎÙ¤ÏÂÛ‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘. ñ µ¤‚·ÈÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ÂÓfi˜ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Ù‡¯Ë˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ô˘ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜. ñ ∞‰‡Ó·ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ÂÓfi˜ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜ Ù‡¯Ë˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ Ô˘ ‰ÂÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È Û ηÌÈ¿ ÂÎÙ¤ÏÂÛË ÙÔ˘ ÂÈÚ¿Ì·ÙÔ˜.

∞ µ

∆ÔÌ‹

ŒÓˆÛË

™˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi˜ EӉ¯fiÌÂÓÔ

∞ µ

™˘Ìϋڈ̷

¶Ú¿ÍÂȘ Ì ÂӉ¯fiÌÂÓ·

(174-182)

∞

« ∞ ‹ µ»

« ∞ Î·È µ»

« Ÿ¯È ∞»

™ËÌ·Û›· ∆Ô ∞ µ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È fiÙ·Ó Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ·fi Ù· ∞, µ.

¶·Ú¿ÛÙ·ÛË

µ

∆Ô ∞ µ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ∞ fiÙ·Ó Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Ù·˘Ùfi¯ÚÔÓ· Ù· ∞ Î·È µ. ∆Ô ∞ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È fiÙ·Ó ‰ÂÓ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈÂ›Ù·È ÙÔ ∞.

ø

∞

ø µ ø

∞ ∞

ñ ∞Û˘Ì‚›‚·ÛÙ· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ‰‡Ô ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞ Î·È µ, fiÙ·Ó ∞ µ = .

Γ . ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ñ ∫Ï·ÛÈÎfi˜ ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ Èı·ÓfiÙËÙ·˜ ™’ ¤Ó· ›ڷ̷ Ù‡¯Ë˜ Ì ÈÛÔ›ı·Ó· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Èı·ÓfiÙËÙ· ÂÓfi˜ ÂӉ¯Ô̤ÓÔ˘ ∞ ÔÓÔÌ¿˙Ô˘Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi ƒ(∞) =

Ï‹ıÔ˜ ¢ÓÔ˚ÎÒÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ ¡(∞) = Ï‹ıÔ˜ ‰˘Ó·ÙÒÓ ÂÚÈÙÒÛÂˆÓ ¡(ø)

– °È· οı ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ∞ ÂÓfi˜ ‰ÂÈÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ¯ÒÚÔ˘ ø ÈÛ¯‡ÂÈ 0 ƒ(∞) 1. – πÛ¯‡Ô˘Ó ƒ(ø) = 1 Î·È ƒ( ) = 0. ñ µ·ÛÈÎÔ› ηÓfiÓ˜ ÏÔÁÈÛÌÔ‡ ÙˆÓ Èı·ÓÔÙ‹ÙˆÓ ™’ ¤Ó· ›ڷ̷ Ù‡¯Ë˜ – ÁÈ· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÂӉ¯fiÌÂÓÔ ∞ ÈÛ¯‡ÂÈ ƒ(∞) + ƒ(∞ ) = 1 – ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÂӉ¯fiÌÂÓ· ∞, µ ÈÛ¯‡ÂÈ ƒ(∞ µ) + ƒ(∞ µ) = ƒ(∞) + ƒ(µ).

182

(183-184) ∂•øºÀ§§√ (°∂øª∂∆ƒπ) ∞

3-11-06

11:25

™ÂÏ›‰·183

(183-184) ∂•øºÀ§§√ (°∂øª∂∆ƒπ) ∞

3-11-06

11:25

™ÂÏ›‰·184

(185-197)

3-11-06

11:29

™ÂÏ›‰·185

1o

Ο Ι Α Λ Α ΚΕΦ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1.1 Ισότητα τριγώνων. 1.2 Λόγος ευθυγράµµων τµηµάτων. 1.3 Θεώρηµα του Θαλή. 1.4 Οµοιοθεσία. 1.5 Οµοιότητα. 1.6 Λόγος εµβαδών οµοίων σχηµάτων

Γενικές ασκήσεις 1ου Κεφαλαίου Επανάληψη – Ανακεφαλαίωση

185

(185-197)

3-11-06

11:29

1.1

™ÂÏ›‰·186

πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

✔ Θυµάµαι ποια είναι τα στοιχεία ενός τριγώνου (κύρια – δευτερεύοντα) και τα είδη των τριγώνων. ✔ Μαθαίνω πότε δύο τρίγωνα είναι ίσα και ποια είναι τα κριτήρια ισότητας τριγώνων. ✔ Μαθαίνω ποια είναι τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ AÓ ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ¯ˆÚ›˜ ·˘Ùfi Ó· ÌÂÙ·‚ÏËı›, ÙfiÙ ı· Ù·˘ÙÈÛÙ› Ì ¤Ó· ·fi Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∆1, ∆2, ∆3, ∆4. ¢ ∆1

∆2

∑

∆3

∂

∆4

ª ƒ

§

£

∞

N

K

I

H

°

B

™

1. ¡· ·ÔÙ˘ÒÛÂÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Û ‰È·Ê·Ó¤˜ ¯·ÚÙ› Î·È Ó· ‚Ú›Ù Ì ÔÈÔ ·fi Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∆1, ∆2, ∆3, ∆4 Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È. 2. ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: ∧ ∞µ = ....., µ° = ....., °∞ = ....., ∞ = .....,

∧

∧

µ = ..... ηÈ

° = .....

∫‡ÚÈ· Î·È ‰Â˘ÙÂÚ‡ÔÓÙ· ÛÙÔȯ›· ÙÚÈÁÒÓÔ˘ – ∂›‰Ë ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∞

™Â οı ÙÚ›ÁˆÓÔ ÔÈ Ï¢ڤ˜ Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î‡ÚÈ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘. √È Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∧ ∧ ∧ ∞µ° Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ∞, µ, ° µ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÔÓÙ·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ·, ‚, Á. ∧

∧

‚

Á

°

·

∧

°È· ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ οı ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ÈÛ¯‡ÂÈ ∞ + B + ° = 180Æ ∏ ÁˆÓ›· ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÙ·È ÌÂٷ͇ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ Ï¤ÁÂÙ·È ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ∧ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ·˘ÙÒÓ, .¯. ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞µ, ∞° Â›Ó·È Ë ÁˆÓ›· ∞. √È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÚ˘Ê¤˜ Ù· ¿ÎÚ· ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ϤÁÔÓÙ·È ÚÔÛΛÌ∧ÂÓ˜ ∧ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ·˘Ù‹˜ .¯. ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ µ° Â›Ó·È ÔÈ µ Î·È °. ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ Â›‰Ô˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È: °

∞

µ

°

Οξυγώνιο, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ fiϘ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÍ›˜. 186

°

∞

µ

µ

∞

Aµβλυγώνιο, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ

Ορθογώνιο, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ

ÌÈ· ÁˆÓ›· ·Ì‚Ï›·.

ÌÈ· ÁˆÓ›· ÔÚı‹.

(185-197)

3-11-06

11:29

™ÂÏ›‰·187

1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

™Â οı ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ë ÏÂ˘Ú¿ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙËÓ ÔÚı‹ ÁˆÓ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·, ÂÓÒ ÔÈ ¿ÏϘ ‰‡Ô ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Î¿ıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜. ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È: ∞

∞

∞

µ

°

µ

°

µ

°

Σκαληνό, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ Î·È ÙȘ

Ισοσκελές, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ

Ισόπλευρο, fiÙ·Ó ¤¯ÂÈ Î·È

ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ¿ÓÈÛ˜.

‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜.

ÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜.

™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ì ∞µ = ∞° Ë ÏÂ˘Ú¿ µ° ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ‚¿ÛË ÙÔ˘ Î·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘. ™’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ, ÂÎÙfi˜ ·fi Ù· ·ÚÈ· ÛÙÔȯ›·, ˘¿Ú¯Ô˘Ó Î·È Ù· ‰Â˘ÙÂÚ‡ÔÓÙ· ÛÙÔȯ›·, Ô˘ Â›Ó·È ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ, ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ Î·È Ù· ‡„Ë. ∞

µ

∞

M

°

µ

∞

∏

°

∆ιάµεσος ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘

∆ιχοτόµος ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘

ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ÂÓÒÓÂÈ ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿˜.

ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ʤÚÔ˘Ì ·fi ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹, ¯ˆÚ›˙ÂÈ ÙË ÁˆÓ›· Û ‰‡Ô ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ Î·È Î·Ù·Ï‹ÁÂÈ ÛÙËÓ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿.

µ

¢

°

Ύψος ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ ʤÚÔ˘Ì ·fi ÌÈ· ÎÔÚ˘Ê‹ Î·È Â›Ó·È Î¿ıÂÙÔ ÛÙËÓ Â˘ı›· Ù˘ ·¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿˜.

ÿÛ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞Ó ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Û ÌÈ· ¿ÏÏË ı¤ÛË ∞ Î·È ıˆڋÛÔ˘Ì fiÙÈ Î·Ù¿ ÙË ÌÂÙ·ÙfiÈÛ‹ ÙÔ˘ ·˘Ùfi ‰Â ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È, ÙfiÙ ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ ÙÔ˘ ∞, µ, ° ı· ¿ÚÔ˘Ó ÙȘ ı¤ÛÂȘ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ ∞ , µ , ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Î·È ÙÔ µ ° ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ı· ¿ÚÂÈ ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞ µ ° . ∞ ∞ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÙfiÙ ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ı· Â›Ó·È ›Û˜, ·ÊÔ‡ Î·È ·˘Ù¤˜ Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂ: ° B ∞µ = ∞ µ , µ° = µ ° , ∞° =∧∞ ° Î·È ∧ ∧ ∧ ∧ ∞ = ∞ , µ = µ , ° = ° . ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° , ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÈÛfiÙËÙ˜, ϤÌ fiÙÈ Â›Ó·È ›Û·. ¢ËÏ·‰‹ ñ ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·. 187

3-11-06

11:29

™ÂÏ›‰·188

M¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

IÛ¯‡ÂÈ ·ÎfiÌË Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ. ¢ËÏ·‰‹ ñ ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÙfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. ™ÙÔ ÂÍ‹˜ Û οı ÌÂÙ·ÙfiÈÛË ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ı· ıˆÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ùfi ‰Â ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, ·Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· Î·È ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ÙÔ ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿, ÙfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È. °È· Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û· ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó fiϘ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ·, ı· Ì¿ıÔ˘Ì ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì ÙȘ Ôԛ˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Î·È Ì ÏÈÁfiÙÂÚ· ÛÙÔȯ›· Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ·Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·. √È ÚÔÙ¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ¤˜ ˆ˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ .

∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ 1Ô Î Ú È Ù ‹ Ú È Ô È Û fi Ù Ë Ù · ˜ ( ¶ – ° – ¶ ) °È· ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ·Ú·Î¿Ùˆ ‚·ÛÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ۯ‰ȿ˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° Ô˘ Ó· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ ∞µ = ∞ µ , ∞° = ∞ ° Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ∧ ∧ ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË ∞ = ∞ . ∞Ó ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ë ∧

∞

∞

µ

°

°

B

∧

ÁˆÓ›· ∞ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÁˆÓ›· ∞ Î·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ∞µ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿ ∞ µ , ÙfiÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ ∞° ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿ ∞ ° Î·È ÔÈ ÎÔÚ˘Ê¤˜ µ, ° ı· Û˘Ì¤ÛÔ˘Ó Ì ÙȘ ÎÔÚ˘Ê¤˜ µ , ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.

∧

∧

∧

∞ E

5 cm

∑

70Æ m 4c

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ¢∂∑ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ (∞µ = ¢∂ = 4 cm, µ° = ∂∑ = 5 cm) ∧ ∧ Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË ( µ = ∂ = 70Æ). ∂Ô̤ӈ˜, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· µ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ‰ËÏ·‰‹

4 cm

(185-197)

70Æ 5 cm

°

¢

∧

∞° = ¢∑, ° = ∑ Î·È ¢ = ∞. ∧

∧

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ °, ∑ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ∞µ, ∂¢. °ÂÓÈο: ™Â ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ .

188

7-11-06

16:42

™ÂÏ›‰·189

1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

2Ô ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ (° – ¶ – ° ).

∞

∞

™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° Ô˘ Ó· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË µ° = µ ° Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂ∧ ∧ ∧ ∧ Ó˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ µ = µ Î·È ° = ° . µ ° µ ° ∞Ó ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ë ∧ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ µ° Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿ µ ° Î·È Ë ÁˆÓ›· µ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ∧ ∧ ∧ ÙË ›ÛË Ù˘ ÁˆÓ›· µ , ÙfiÙÂ Ë ÁˆÓ›· ° ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ›ÛË Ù˘ ÁˆÓ›· ° Î·È Ë ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ . ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° Ù·˘Ù›˙ÔÓÙ·È, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·. ∂Ô̤ӈ˜ ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ¢∂∑ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË (∞° = ¢∂ = 8 cm) Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ∧ ∧ ∧ ∧ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ ( ∞ = ¢ = 60Æ, ° = ∂ = 40Æ). ∂Ô̤ӈ˜ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ‰ËÏ·‰‹ ∧ ∧ µ = ∑, ∞µ = ¢∑, µ° = ∂∑.

∞ 60Æ

∂

µ 8 cm

40Æ

8 cm

¢

60Æ

40Æ

°

∑ ∧

∧

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ÔÈ ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ∞µ, ¢∑ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ °, ∂. °ÂÓÈο: ™Â ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ Ï¢ڤ˜.

3Ô Î Ú È Ù ‹ Ú È Ô È Û fi Ù Ë Ù · ˜ ( ¶ – ¶ – ¶ ) . ∞

∞

™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° Ô˘ Ó· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ (∞µ = ∞ µ , µ° = µ ° , ∞° = ∞ ° ). ∞Ó ÌÂÙ·ÙÔ›ÛÔ˘Ì ηٿÏÏËÏ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ÙfiÙ ·˘Ùfi Ù·˘Ù›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞ µ ° , ÔfiÙ ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·. EÔ̤ӈ˜

µ

µ

°

°

∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·. ∞

∑ m 6c

6 cm

¢ µ 5 cm

3

°

5c m

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ¢∂∑ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, ∞µ = ¢∂ = 3 cm, A° = ¢∑ = 6 cm Î·È µ° = ∂∑ = 5 cm. ÕÚ· ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ‰ËÏ·‰‹ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∞ = ¢, µ = ∂ Î·È ° = ∑.

3 cm

(185-197)

cm

∂

189

(185-197)

3-11-06

11:29

™ÂÏ›‰·190

M¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∆· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÌÔÚԇ̠ӷ Ù· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·. °

°

∞

µ

™¯‹Ì· 1

∞

°

°

∞

µ

µ

∞ ™¯‹Ì· 2

µ

™ÙÔ Û¯‹Ì· 1 Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË, ·ÊÔ‡ ·˘Ù‹ Â›Ó·È ÔÚı‹. ™ÙÔ Û¯‹Ì· 2 Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· Î·È ÌÈ· οıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È fiˆ˜ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘˜ ›ÛË. ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ı· Â›Ó·È ›Û·, ·ÊÔ‡ ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÙÚÂȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. √È ‰‡Ô ·˘Ù¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Û˘ÓÔ„›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂÍ‹˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ∞Ó ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·.

™¯‹Ì· 3

™¯‹Ì· 4

™¯‹Ì· 5

™ÙÔ Û¯‹Ì· 3 Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. ™Ù· Û¯‹Ì·Ù· 4 Î·È 5 Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÔfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË, ·ÊÔ‡ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È 180Æ. ÕÚ· Â›Ó·È ›Û· ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. √ ÙÚÂȘ ·˘Ù¤˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Û˘ÓÔ„›˙ÔÓÙ·È ÛÙÔ ÂÍ‹˜ ÎÚÈÙ‹ÚÈÔ ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ∞Ó ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·. ∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ÎÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ: ¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ñ ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· ‹ ñ Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË.

190

(185-197)

3-11-06

11:29

™ÂÏ›‰·191

1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° (∞µ = ∞ ° ) ʤÚÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ ∞¢. ·) ¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ¢ Î·È ∞¢°. ∧ ∧ ‚) ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ µ = ° Î·È fiÙÈ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ∞¢ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Î·È ‡„Ô˜. ∞

Λύση ·) ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ¢, ∞¢° Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó: ñ ∞¢ = ∞¢, ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ ñ ∧∞µ =∧∞° ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛË ∧ ñ ∞1 = ∞2, ·ÊÔ‡ ∞¢ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ∞. ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË.

1 2

1 2

µ

°

¢

‚) ∂Âȉ‹ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ¢ Î·È ∞¢° Â›Ó·È ›Û·, ı· ∧ ¤¯Ô˘Ó fiÏ· Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ∧ ∧ ∧ ÙÔ˘˜ ›Û·, ÔfiÙ µ∧= °, µ¢ = ¢° Î·È ¢1 = ¢2. ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∞ÊÔ‡ Â›Ó·È ¢1 = ¢2 Î·È ¢1 + ¢2 = 180Æ, ı· ¤¯Ô˘Ì ¢1 = ¢2 = 90Æ, ÔfiÙÂ Ë ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ∞¢ Â›Ó·È Î·È ‡„Ô˜. ∏ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ ∞¢ Â›Ó·È Î·È ‰È¿ÌÂÛÔ˜, ·ÊÔ‡ µ¢ = ¢°. ∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ fiÙÈ: ™Â οı ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ: ·) √È ÁˆÓ›Â˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜. ‚) ∏ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜, ÙÔ ‡„Ô˜ Î·È Ë ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Ô˘ ʤÚÔ˘Ì ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ÚÔ˜ ÙË ‚¿ÛË ÙÔ˘ Û˘Ì›ÙÔ˘Ó.

2

∧

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞ = ¢ = ˆ Î·È ∞° = °¢. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ ∞µ = ¢∂.

Λύση

∂

∞

∧

ˆ

µ

1

°

2

ˆ

¢

™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ°, °¢∂ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó: ñ ∞° = °¢ ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛË ∧ ∧ ñ ∞=¢ ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛË ∧ ∧ ñ °1 = °2 ÁÈ·Ù› Â›Ó·È Î·Ù·ÎÔÚ˘Ê‹Ó ÁˆÓ›Â˜ ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È °¢∂ Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ Û ·˘Ù‹ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. ∞ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È fiÏ· Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ÔfiÙ ∞µ = ¢∂.

3

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘.

Λύση º¤ÚÔ˘Ì ÙË ÌÂÛÔοıÂÙÔ Â ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ Ô˘ ÙÔ Ù¤ÌÓÂÈ ÛÙÔ

191

(185-197)

3-11-06

11:29

™ÂÏ›‰·192

M¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô (Â)

™

∞

ª

µ

ÛËÌÂ›Ô ª. ∞Ó ™ Â›Ó·È Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘, ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ™∞ = ™µ. ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞ª™, µª™ Î·È ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó: ñ ™ª = ™ª, ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ Î·È ñ ∞ª = ªµ,·ÊÔ‡ ÙÔ ª Â›Ó·È Ì¤ÛÔÓ ÙÔ˘ ∞µ. ÕÚ· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·˘Ù¿ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. ∞ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ÔfiÙ ™∞ = ™µ.

÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞fi ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ: ∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘. ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÎfiÌË fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ‰ËÏ·‰‹ ∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ¿ÎÚ· ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜.

4

¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Î¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÁˆÓ›·˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘.

Λύση

∧

º¤ÚÓÔ˘Ì ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ √z Ù˘ ÁˆÓ›·˜ xOy Î·È ¿Óˆ Û’ y ·˘Ù‹Ó ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô ∞. ∞Ó ∞µ, ∞° Â›Ó·È ÔÈ ·ÔÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ∞ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜, ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ ∞µ = ∞°. ° z ™˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· √∞µ, √∞° Î·È A ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó: 2 1 ñ √∞ = √∞ ÎÔÈÓ‹ ÏÂ˘Ú¿ Î·È √ x ∧ ∧ µ ∧ ñ √1 = √2, ·ÊÔ‡ Ë √z Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ xOy. ÕÚ· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ·˘Ù¿ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ Î·È ÌÈ· ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË. ∞ÊÔ‡ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ÔfiÙ ∞µ = ∞°.

÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ∞fi ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ: ∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜. ∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÎfiÌË fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ, ‰ËÏ·‰‹ ∫¿ı ÛËÌÂ›Ô Ô˘ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ Â›Ó·È ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘ Ù˘.

192

7-11-06

16:44

™ÂÏ›‰·193

1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¢

∂

¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞∂¢ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ∧ ∧ µ = ....., ° = ..... Î·È µ° = ...... .

∞ °

µ ¢

cm

45Æ

45Æ

¢

∞

3

¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ ∞µ = ..... Î·È ∞° = .....

70Æ

70Æ

80Æ

80Æ

B

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜. B

∑

8 cm

° ∂

8 cm

¢

∞

4

∑

° ∂

7 cm

B

6 cm

6

cm

∞

¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ‰ÂÓ Â›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, ·Ó Î·È ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Î·È ÌÈ· ÁˆÓ›· ›ÛË.

7

2

∫

60Æ 60Æ

75Æ

45Æ

60Æ

45Æ

°∂

7 cm

∑ §

7 cm

ª

7 cm

∞ ¢

∂›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

70Æ

B

70Æ

50Æ 5 cm

°

∞

6

7

¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ›Û· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ∧ ∧ ∧ ÈÛfiÙËÙ˜ ∞ = ..... , µ = ..... Î·È ° = ..... µ

60Æ

7 cm

¢

cm 8

8 cm

°

∑

5 cm

∂ 7

50Æ

∂

5 cm

5

60Æ

5 cm

(185-197)

cm

∑

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜: ·) ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·. ‚) ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û·. Á) ™Â ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ Ï¢ڤ˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜. ‰) ™Â ‰‡Ô ›Û· ÙÚ›ÁˆÓ· ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ›Û˜ Ï¢ڤ˜. Â) ∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÙÔ˘˜ ÁˆÓ›· ›ÛË. ÛÙ)∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÙÔ˘˜ ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË. 193

3-11-06

11:29

™ÂÏ›‰·194

M¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô µ

8

∂›Ó·È ›Û· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

∂ 55Æ 8 cm

∞

8 cm

35Æ

° ¢

∑

50Æ

∞

40Æ

40Æ

B ¢

5 cm

∂ ∫ E

B

¢

°

8 cm

cm

∞

§

5 cm

8

∆· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜. ¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ‰ÂÓ Â›Ó·È ›Û·.

ª

6 cm

10

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ˙‡ÁÔ˜ ÙˆÓ ›ÛˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

∑

5 cm

°

9

6 cm

Z

11

¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ›Û· Ù· ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞°¢.

4c m

B

∞

° m 4c

(185-197)

¢

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ∂

1

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞µ = ∞° Î·È ∞¢ = ∞∂. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ µ¢ = °∂.

B

∞ ° y

¢

2

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ë √‰ Â›Ó·È ‰È¯ÔÙfiÌÔ˜ Ù˘ ∧ ÁˆÓ›·˜ xOy. ∞Ó √∞ = √µ Î·È ™ Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ™∞ = ™µ.

µ ™

O

‰

A x

3

™ÙË ‚¿ÛË µ° ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Ó· ¿ÚÂÙ ÛËÌ›· ¢, ∂, ÒÛÙ µ¢ = °∂. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ∞¢ = ∞∂. ¢ y

4

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È √∞ = √° Î·È √µ = √¢. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ µ° = ∞¢.

194

° √

∞

µ

x

3-11-06

11:29

™ÂÏ›‰·195

1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

5

∞

K¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÈÛÔχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Â›Ó·È 8 cm. ∞Ó Â›Ó·È ∞∑ = µ¢ = °∂ = 3 cm, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢∂∑ Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ.

3c m

(185-197)

∑ ∂ m 3c

µ

3 cm

°

¢ ∞

6

™ÙȘ ÚÔÂÎÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ›ÛˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞µ, ∞° ÂÓfi˜ ÈÛÔÛÎÂÏÔ‡˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Ó· ¿ÚÂÙ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÌ‹Ì·Ù· µ¢ = °∂. ∧ ∧ ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ¢ = ∂.

B

°

¢

∂

∧

∧

7

™’ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ Ë ‰È·ÁÒÓÈÔ˜ ∞° ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ∞ Î·È °. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ∞µ = ∞¢ Î·È µ° = °¢.

8

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜.

9

∆· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ‰È¯ÔÙfiÌÔ˘˜ ∞¢ Î·È ∞ ¢ ›Û˜. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ∞µ = ∞ µ B ‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° Â›Ó·È ›Û·.

10

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ÈÛ·¤¯ÂÈ ·fi Ù· ÛËÌ›· µ Î·È ° ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ Î¤ÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô √. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· √∞µ Î·È √∞° Â›Ó·È ›Û·.

∞

∞ 30Æ

30Æ

70Æ

70Æ

B

°

¢

°

¢

µ √

∞ °

B

11

∞Ó √, ∞ Â›Ó·È Ù· ΤÓÙÚ· ÙˆÓ Î‡ÎÏˆÓ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ∞√ ∧ ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙË ÁˆÓ›· µ ∞ °.

O

A ° ∞

12

∆· ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ¢µ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ‹ ‚¿ÛË µ°. ¡· ∧ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë ∞¢ ‰È¯ÔÙÔÌ› ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ∞ ∧ Î·È ¢.

°

B

¢

195

(185-197)

3-11-06

11:29

™ÂÏ›‰·196

M¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

13

™Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÈ ‰È¿ÌÂÛÔÈ ∞ª Î·È ∞ ª Â›Ó·È ›Û˜. ∞Ó ∞µ = ∞ µ Î·È µª = µ ª , ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ∧ ∧ B ·) µ = µ . ‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° Â›Ó·È ›Û·.

∞

∞

° B

ª

ª

°

∞

14

15

™ÙÔ ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª Â›Ó·È Ì¤ÛÔ Ù˘ ‚¿Û˘ µ°. ∞Ó Â›Ó·È µ¢ = °∂, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ª¢∂ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢ª Î·È ∞∂ª Â›Ó·È ›Û·.

¢ B

°

M

¢

™Â ÈÛÔÛÎÂϤ˜ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° (∞µ = ∞°) Ó· ʤÚÂÙ ∞¢ ⊥ ∞µ Î·È ∞∂ ⊥ ∞°. ∞Ó Â›Ó·È ∞¢ = ∞∂, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ µ¢ = °∂. ∧

E

E

∞

B

°

M

∧

16

™Â ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ Â›Ó·È µ = ¢ = 90Æ Î·È ∞µ = ∞¢. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ µ° = °¢ Î·È fiÙÈ Ë ∞° Â›Ó·È ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ µ¢.

17

™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ( ∞ = 90Æ) Ó· ʤÚÂÙ ÙË ‰È¯ÔÙfiÌÔ µ¢. ∞Ó ¢∂ ⊥ µ°, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ∞µ = µ∂.

18

ªÈ· ¢ı›· (Â) ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ª ÂÓfi˜ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÛËÌ›· ∞, µ ÈÛ·¤¯Ô˘Ó ·fi ÙËÓ Â˘ı›· (Â).

∧

∞

∞

19

∧

∧

∆· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° ¤¯Ô˘Ó ∞ = ∞ Î·È ∞µ = ∞ µ . ∞Ó Ù· ‡„Ë ÙÔ˘˜ ∞¢ Î·È ∞ ¢ Â›Ó·È ›Û·, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ∧ ∧ ·) µ = µ µ ‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° Â›Ó·È ›Û·.

° µ

¢

¢

¢ ¡

20

∞Ó ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ ∞µ, °¢ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Î·È Ù· ·ÔÛÙ‹Ì·Ù¿ ÙÔ˘˜ √ª, √¡ Â›Ó·È ›Û· Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜.

√

° ∞

µ

ª °

21

196

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ë ∞µ Â›Ó·È ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘. ∞Ó ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ ∞° Î·È ∞¢ Â›Ó·È ›Û˜, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Î·È ÔÈ ¯ÔÚ‰¤˜ µ° Î·È µ¢ Â›Ó·È ›Û˜.

∞

µ

√ ¢

°

(185-197)

3-11-06

11:30

™ÂÏ›‰·197

1.1 πÛfiÙËÙ· ÙÚÈÁÒÓˆÓ

∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ ∆∏¡ π™∆√ƒπ∞ ∆ø¡ ª∞£∏ª∞∆π∫ø¡ ÀÔÏÔÁÈÛÌfi˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÂÓfi˜ ÏÔ›Ô˘ ·fi ÙË ÛÙÂÚÈ¿ AÓ ¤Ó· ÏÔ›Ô ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË ∞ ÛÙË ı¿Ï·ÛÛ·, ÂÌ›˜ ÛÙÂÎfiÌ·ÛÙ ÛÙË ı¤ÛË µ ÛÙË ÛÙÂÚÈ¿ Î·È ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ∞µ, ÙfiÙÂ: ñ •ÂÎÈÓ¿Ì ·fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô µ Î·È ÂÚ·ÙÒÓÙ·˜ ¿Óˆ ÛÙËÓ ·Ú·Ï›· οıÂÙ· ÛÙËÓ ∞µ ‰È·Ó‡Ô˘Ì ÌÈ·Ó ·fiÛÙ·ÛË µ°. ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ° ‚¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ÛËÌ¿‰È, .¯. ÛÙÂÚÂÒÓÔ˘Ì ¤Ó· Ú·‚‰› Î·È Û˘Ó¯›˙ÔÓÙ·˜ ¿Óˆ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· ‰È·Ó‡Ô˘Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË °¢ = µ°. ñ ™ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ¢ ·ÊÔ‡ ‚¿ÏÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌ¿‰È, .¯. ÌÈ· ¤ÙÚ·, οÓÔ˘Ì ÛÙÚÔÊ‹ Î·È ÂÚ·ÙÒÓÙ·˜ οıÂÙ· ÛÙË µ¢ ÛÙ·Ì·Ù¿Ì fiÙ·Ó ‚ÚÂıԇ̠ے ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∂, ·fi ÙÔ ÔÔ›Ô Ù· ÛËÌ›· ∞ Î·È ° Ê·›ÓÔÓÙ·È Ó· Â›Ó·È ¿Óˆ ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›·. ∏ ˙ËÙÔ‡ÌÂÓË ·fiÛÙ·ÛË ∞µ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ¢∂ ÙËÓ ÔÔ›· ÌÔÚԇ̠ӷ ÌÂÙÚ‹ÛÔ˘ÌÂ, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È ¿Óˆ ÛÙË ÛÙÂÚÈ¿.

∞

¢

°

B

E

∆Ë Ì¤ıÔ‰Ô ·˘Ù‹, ϤÁÂÙ·È, fiÙÈ ÂÊ¿ÚÌÔÛ ÚÈÓ ·fi 2.500 ¯ÚfiÓÈ· ÂÚ›Ô˘ Ô £·Ï‹˜ Ô ªÈÏ‹ÛÈÔ˜.

¶Ò˜ ‹Ù·Ó Û›ÁÔ˘ÚÔ˜ Ô £·Ï‹˜ fiÙÈ ∞µ = ¢∂; ªÔÚ›Ù ӷ ÙÔ ·ԉ›ÍÂÙÂ; µÚ›Ù ÙȘ ¤ÓÙ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ô˘ ·¤‰ÂÈÍÂ Ô £·Ï‹˜ Î·È ÛËÌÂÈÒÛÙ ÔÈ· ·’ ·˘Ù¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛ ÁÈ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ ·fi ÙË ÛÙÂÚÈ¿.

197

(198-205)

3-11-06

1. 2

11:32

™ÂÏ›‰·198

§fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ

✔ Μαθαίνω πότε παράλληλες ευθείες ορίζουν ίσα τµήµατα σε µια ευθεία που τις τέµνει. ✔ Μαθαίνω να διαιρώ ένα ευθύγραµµο τµήµα σε ν ίσα τµήµατα. ✔ Μαθαίνω τι ονοµάζεται λόγος δύο ευθυγράµµων τµηµάτων και πώς υπολογίζεται. ✔ Mαθαίνω πότε δύο ευθύγραµµα τµήµατα είναι ανάλογα προς δύο άλλα τµήµατα.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ¡· ¯·Ú¿ÍÂÙ ÌÈ· ¢ı›·  οıÂÙË ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘ Û·˜ Î·È Ó· ‰È·ÈÛÙÒÛÂÙ fiÙÈ ÙÚÂȘ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›·  ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·.

2. ∞Ó ¯·Ú¿ÍÂÙ ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›·  Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘, ÙfiÙ ÔÈ ÙÚÂȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ‰È·‰Ô¯ÈΤ˜ ÁÚ·Ì̤˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ Â ;

ÿÛ· ÙÌ‹Ì·Ù· ÌÂٷ͇ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â˘ıÂÈÒÓ Â Â ¶·›ÚÓÔ˘Ì ÙÚÂȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3 Ô˘ ∞ ∞ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ Â˘ı›·  ÛÙ· ÛËÌ›· ∞, µ, ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, Â1 1 ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ, µ° Ó· Â›Ó·È ›Û· B 2 µ Â2 ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ¢ 1 ∞Ó ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›·  ٤ÌÓÂÈ ÙȘ Â1, Â2, Â3 ÛÙ· ÛËÌ›· ∞ , 2 ° Â3 ° µ , ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÙfiÙ ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î·È Ù· ∂ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞ µ , µ ° Â›Ó·È ›Û· ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜. ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ʤÚÔ˘Ì ∞ ¢ // Â, µ ∂ // Â Î·È Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞ µ ¢ Î·È µ ° ∂ ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó: ñ ∞ ¢ = µ ∂ ÁÈ·Ù› ∞ ¢ = ∞µ, µ ∂ = µ° ˆ˜ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ ∞∞ ¢µ, µµ ∂° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Î·È ·fi ÙËÓ ˘fiıÂÛË ¤¯Ô˘Ì ∞µ = µ°. ∧ ∧ ñ µ 2 = ° 2 ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ Â2, Â3 Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ Â . ∧ ∧ ñ ∞ 1 = µ 1 ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ∞ ¢, µ ∂ Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ Â . ∆· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó ÌÈ· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. ÕÚ·, ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È Ù· ˘fiÏÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ ›Û·, ÔfiÙ ∞ µ = µ ° . ∞ԉ›ͷÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ:

∞Ó ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Û ÌÈ· ¢ı›·, ÙfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¿ÏÏË Â˘ı›· Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÂÈ.

198

(198-205)

3-11-06

11:32

™ÂÏ›‰·199

1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û’ ¤Ó· ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞µ°¢ (∞µ // °¢) ·Ó ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ª Ù˘ ∞¢ ʤÚÔ˘Ì ¢ı›· ª¡ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘, ÙfiÙ ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ∞µ, ª¡, ¢°, ·ÊÔ‡ ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙËÓ ∞¢, ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ µ°. ÕÚ· µ¡ = ¡°. √ÌÔ›ˆ˜, Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ·Ó ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ ʤÚÔ˘Ì ¢ı›·  // µ° Î·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ª Ù˘ ∞µ ʤÚÔ˘Ì ª¡ // µ°, ÙfiÙ ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ Â, ª¡, µ° ·ÊÔ‡ ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙËÓ ∞µ, ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ ∞°. ÕÚ· ∞¡ = ¡°. ∞ԉ›ͷÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ:

∞

µ

ª

¡

¢

° ∞

ª

(Â)

¡ °

µ

∞Ó ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ʤÚÔ˘Ì ¢ı›· ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ Ì›· ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, ÙfiÙ ·˘Ù‹ ‰È¤Ú¯ÂÙ·È ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ÙÔ˘.

¢È·›ÚÂÛË Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ÛÂ Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 5 cm Î·È ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì Û ÙÚ›· ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÙfiÙ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ı· Â›Ó·È 1,66... cm, ÔfiÙ ηı¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ ‰ÂÓ ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·. ° ¢ µ ªÔÚԇ̠fï˜ Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ∞ ÙÌ‹Ì· ∞µ Û ÙÚ›· ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Ì ·ÎÚ›‚ÂÈ·, ·Ó y ÂÚÁ·ÛÙԇ̠̠ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË ˆ˜ ∂ ÂÍ‹˜: ∞fi ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ ʤÚÔ˘Ì ÌÈ· Ù˘¯·›· ËÌÈ¢ı›· ∞x ∑ Î·È ¿Óˆ Û’ ·˘Ù‹Ó ·›ÚÓÔ˘Ì Ì ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ÙÚ›· ‰È·‰Ô¯Èο ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞∂, ∂∑, ∑∏. ∏ x ∂ÓÒÓÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· µ, ∏ Î·È ·fi Ù· ÛËÌ›· ∑, ∂, ∞ ʤÚÓÔ˘Ì ∑¢, ∂°, ∞y ·Ú¿ÏÏËϘ ÚÔ˜ ÙË µ∏. √È ·Ú¿ÏÏËϘ ·˘Ù¤˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙËÓ ∞x ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÔfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ ∞µ. ÕÚ· ¤¯Ô˘Ì ∞° = °¢ = ¢µ. ªÂ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÙÚfiÔ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ∞µ Û 4, 5, 6, ..., Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·.

H ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ ñ ∞Ó ¤¯Ô˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Î·È Û ÌÈ· ¢ı›·  ¿ÚÔ˘Ì ٤ÛÛÂÚ· ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÙÔ Î·ı¤Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ∞µ, ÙfiÙ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢, ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô Ï¤Ì fiÙÈ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 4 ∞µ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘Ì °¢ = 4 ∞µ. ∏ ÈÛfiÙËÙ· ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È Î·È ˆ˜ ÂÍ‹˜:

°¢ = 4. ∞µ

199

(198-205)

3-11-06

11:33

™ÂÏ›‰·200

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 4.

∞

B

°

¢

(Â)

4 AB

ñ ∞Ó ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Û ÙÚ›· ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞°, °¢, 1 ¢µ, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ ÙÌ‹Ì· ∞° Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ∞µ Î·È ÁÚ¿ÊÔ˘ÌÂ: 3 1 ∞° 1 ¢ ∞ ° µ ∞° = ∞µ ‹ = . 3 ∞µ 3 §¤Ì ·ÎfiÌË fiÙÈ: ∞¢ =

2 ∞¢ 2 ∞µ ‹ = . 3 ∞µ 3

¢ËÏ·‰‹ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞° ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Â›Ó·È 1 , 3 2 ÂÓÒ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞¢ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Â›Ó·È . 3 ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ: √ ÏfiÁÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ °¢ Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Î·È Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ï, ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ °¢ = Ï ∞µ . ∞µ ñ ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ = 3 cm Î·È °¢ = 6 cm, ÙfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ° 1 ∞µ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· °¢ Â›Ó·È , 2 ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ˘˜

∞

3 cm

µ

6 cm

¢

3 cm 1 = 6 cm 2

Γενικά √ ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÌËÎÒÓ ÙÔ˘˜, ÂÊfiÛÔÓ ¤¯Ô˘Ó ÌÂÙÚËı› Ì ÙËÓ ›‰È· ÌÔÓ¿‰· ̤ÙÚËÛ˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ¤¯Ô˘Ì ¢∂ = 120 cm Î·È ZH = 1,5 m, ÙfiÙ ¢∂ 120 cm 120 cm 4 = = = 1,5 m 150 cm 5 ∑∏ ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ¤Ó·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· Ì‹ÎË ÙÔ˘˜. ∞µ ∞Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÏÔÈfiÓ ÙÔ ÏfiÁÔ ‰‡Ô ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ .¯. = 2, ·˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ °¢ fiÙÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ∞µ Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ °¢, ·ÏÏ¿ ‰Â ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· Â›Ó·È ∞µ = 80 cm Î·È °¢ = 40 cm ‹ ∞µ = 18 cm Î·È °¢ = 9 cm Î.Ù.Ï.

200

(198-205)

3-11-06

11:33

™ÂÏ›‰·201

1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ

∞Ó¿ÏÔÁ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· 9 cm

∞ 6 cm

∂

B

° ∏

∑

¢

3 cm

£

2 cm

∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ = 9 cm Î·È °¢ = 3 cm, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ∞µ ∞µ ÚÔ˜ ÙÔ °¢ Â›Ó·È = 3. √ÌÔ›ˆ˜, ·Ó ¿ÚÔ˘Ì ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∂∑ = 6 cm Î·È °¢ ∂∑ ∏£ = 2 cm, ÙfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ∂∑ ÚÔ˜ ÙÔ ∏£ Â›Ó·È = 3. ∏£ ∞µ ∂∑ = = 3, ‰ËÏ·‰‹ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘ ∞µ ÚÔ˜ ÙÔ °¢ Â›Ó·È °¢ ∏£ ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ ∂∑ ÚÔ˜ ÙÔ ∏£. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ϤÌ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ

ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ, ∂∑ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· °¢, ∏£.

Γενικά ∆· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, Á Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ‚, ‰, fiÙ·Ó Á · ÈÛ¯‡ÂÈ = . ‰ ‚ Á · = ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·Ó·ÏÔÁ›· Ì fiÚÔ˘˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, ‚, Á, ‰. ‰ ‚ ∆· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, ‰ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È ¿ÎÚÔÈ fiÚÔÈ , ÂÓÒ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ‚, Á ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ì¤ÛÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ ·Ó·ÏÔÁ›·˜. ™Â ÌÈ· ·Ó·ÏÔÁ›· Ì fiÚÔ˘˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, ‚, Á, ‰ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈԇ̠ÙȘ ÁÓˆÛÙ¤˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÛÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ˆ˜ ·, ‚, Á, ‰ ıˆÚԇ̠ٷ Ì‹ÎË ÙˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ.

∏ ÈÛfiÙËÙ·

√È ÛËÌ·ÓÙÈÎfiÙÂÚ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ Â›Ó·È: ñ ™Â οı ·Ó·ÏÔÁ›· ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ¿ÎÚˆÓ fiÚˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ Ì¤ÛˆÓ fiÚˆÓ. ñ ™Â οı ·Ó·ÏÔÁ›· ÌÔÚԇ̠ӷ ÂÓ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ̤ÛÔ˘˜ ‹ ÙÔ˘˜ ¿ÎÚÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Î·È Ó· ÚÔ·„ÂÈ ¿ÏÈ ·Ó·ÏÔÁ›·. ñ §fiÁÔÈ ›ÛÔÈ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È Î·È ›ÛÔÈ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ Ô˘ ¤¯ÂÈ ·ÚÈıÌËÙ‹ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌËÙÒÓ Î·È ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ.

· ‚

Á ‰

∞Ó  =  ÙfiÙÂ ·‰ = ‚Á

· ‚

Á ‰

· Á

‚ ‰

· ‚

Á ‰

· ‚

Á ‰

‰ ‚

Á ·

∞Ó  =  ÙfiÙÂ  =  ‹  = 

·+Á ‚+‰

∞Ó  =  ÙfiÙÂ  =  = 

201

(198-205)

3-11-06

11:33

™ÂÏ›‰·202

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

™Â ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› ¤¯Ô˘Ì ¯·Ú¿ÍÂÈ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ. ·) ¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞°, °¢ Î·È ¢µ. ∞µ ∞¢ ‚) ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ ÏfiÁÔÈ ∞° , , . ∞µ ∞¢ µ°

˙3

µ ¢

˙2 ° ˙1

∞ Â1

Â2

Â4

Â3

Λύση ·) OÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3, Â4 ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· ÛÙËÓ Â˘ı›· ˙1, ÔfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ ∞µ. ÕÚ· ∞° = °¢ = ¢µ. ‚) ∞ÊÔ‡ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞°, °¢, ¢µ Â›Ó·È ›Û·, ¤¯Ô˘ÌÂ: A° 1 Aµ 3 A¢ 2 = , = , = =1 ∞µ 3 ∞¢ 2 µ° 2

2

∞Ó ¢ Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞µ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°, ¢∂ // µ° Î·È ∂∑ // ∞µ, Ó· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ: ·) ∑ ÙÔ Ì¤ÛÔÓ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ µ° ‚) ¢∂ = µ° 2

∞ ∂

¢

µ

°

∑

Λύση ·) ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ¤¯Ô˘Ì ¢ ̤ÛÔ ∞µ Î·È ¢∂ // µ°, ÔfiÙ ∂ ̤ÛÔ Ù˘ ∞°. ∂Âȉ‹ ∂ ÙÔ Ì¤ÛÔ Ù˘ ∞° Î·È ∂∑ // ∞µ, ¤¯Ô˘Ì ∑ ̤ÛÔ µ°. ‚) ∆Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ¢∂∑µ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ, ·ÊÔ‡ ¤¯ÂÈ ÙȘ ·¤Ó·ÓÙÈ Ï¢ڤ˜ µ° µ° ÙÔ˘ ·Ú¿ÏÏËϘ, ¿Ú· ¢∂ = µ∑. ŸÌˆ˜ µ∑ = , ÔfiÙÂ Î·È ¢∂ = . 2 2 ÕÌÂÛ· ÏÔÈfiÓ ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ: ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ̤۷ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏÔ ÚÔ˜ ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÏÂ˘Ú¿ Î·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘.

3

°

∧

∞Ó ∞¢ ‰È¿ÌÂÛÔ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ( ∞ = 90Æ) Î·È ¢∂ // ∞µ, Ó· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ: ·) ∂ ̤ÛÔ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ ∞° ‚) ∞¢ = µ° 2

Λύση

∂

∞

¢

B

·) ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ¤¯Ô˘Ì ¢ ̤ÛÔ Ù˘ µ° Î·È ¢∂ // ∞µ, ÔfiÙ ∂ ̤ÛÔ Ù˘ ∞°. ‚) ∂Âȉ‹ ¢∂ // ∞µ Î·È ∞µ ⊥ ∞°, ı· Â›Ó·È ¢∂ ⊥ ∞°. ÕÚ·, ¢∂ ÌÂÛÔοıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ ∞° Î·È ·fi ÙË ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· Ù˘ ÌÂÛÔηı¤ÙÔ˘ ¤¯Ô˘Ì ∞¢ = ¢°.

202

(198-205)

3-11-06

11:33

™ÂÏ›‰·203

1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ

ŸÌˆ˜ ¢° =

µ° µ° , ÔfiÙÂ Î·È ∞¢ = . ∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ fiÙÈ: 2 2

∏ ‰È¿ÌÂÛÔ˜ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ ÌÈÛfi Ù˘ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·˜.

4

∞Ó ∞, µ, °, ¢ Â›Ó·È ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· ÌÈ·˜ ¢ı›·˜  ٤ÙÔÈ· ÒÛÙ ∞µ = 2 cm, µ° = 4 cm Î·È °¢ = 3 cm, Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ, °¢ Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· µ°, ∞°.

Λύση

2 cm

4 cm

∞

E›Ó·È

∞µ 2 cm 1 = = µ° 4 cm 2

ÕÚ· ¤¯Ô˘ÌÂ

3 cm

µ

Â

°

ηÈ

¢

°¢ 3 cm 1 = = . ∞° 6 cm 2

∞µ °¢ = Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ, °¢ Â›Ó·È µ° ∞°

·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· µ°, ∞°.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Â

Â

1

Â1

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1 // Â2 // Â3. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.

4

Â3

x

°

∞

2

5

4

Â2

AÓ µ µ // °° // ¢¢ Î·È Ë ‰È¿ÌÂÙÚÔ˜ °¢ ÙÔ˘ ‰Â‡ÙÂÚÔ˘ ËÌÈ΢ÎÏ›Ô˘ Â›Ó·È 4 cm, ÙfiÙ ӷ ‚Ú›Ù ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ.

¢

B

° ¢ µ

3

4

∞

™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞µ°¢ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ë ∂∑ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

∞µ = µ°

‚)

∞µ = ∞°

‰)

5

4 ∂

∑

4

6 °

µ° = ∞µ ∞

Á)

B

¢

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: ·)

x

4 cm

B

12 cm

°

µ° = ∞°

203

(198-205)

3-11-06

11:33

™ÂÏ›‰·204

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

5

∞Ó ∞µ = µ° = °¢ = ¢∂ Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: ·)

6

∞µ = ∞¢

‚)

µ¢ = µ∂

∞

Á)

µ

∞° = ∞∂

‰)

°

¢

∞∂ = µ°

Â)

∂

∞° = °∂

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ∞µ 2 ·) ∞Ó ∞µ = 8 cm Î·È °¢ = 12 cm, ÙfiÙ = . °¢ 3 ∞µ 2 ‚) ∞Ó = , ÙfiÙ ∞µ = 2 Î·È °¢ = 3. °¢ 3 Á) √ ÏfiÁÔ˜ ‰‡Ô Ï¢ÚÒÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì 1. ∞µ 2 ‰) ∞Ó = , ÙfiÙ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ °¢. °¢ 5 Â) √ ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ ÚÔ˜ ÙË ‰È¿ÌÂÙÚfi ÙÔ˘ Â›Ó·È 2. ÛÙ) ∞Ó ª Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔ ÙÔ˘ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ, ÙfiÙÂ

∞ª 1 = . ∞µ 2

˙) √ ÏfiÁÔ˜ ÌÈ·˜ ÏÂ˘Ú¿˜ ÈÛfiÏ¢ÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ÚÔ˜ ÙËÓ 1 ÂÚ›ÌÂÙÚfi ÙÔ˘ Â›Ó·È . 3

7

µÏ¤ÔÓÙ·˜ ÙËÓ ·Ó·ÏÔÁ›·

∞µ 1 = Ë ª·Ú›· ÈÛ¯˘Ú›ÛÙËΠfiÙÈ ∞µ = 1 Î·È °¢ = 4, °¢ 4

ÂÓÒ Ë ∂ϤÓË ÈÛ¯˘Ú›ÛÙËΠfiÙÈ ÙÔ °¢ Â›Ó·È ÙÂÙÚ·Ï¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ∞µ. ¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ‰‡Ô ¤¯ÂÈ ‰›ÎÈÔ;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ °

1

∞

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞µ // ¢∂ // ∏£ Î·È µ° // ∂∑ // £π. ∞Ó ∞¢ = ¢∏, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x Î·È ÙÔ y.

¢

204

3

4 π

∏

2

y ∑

B

∂ x £

·) ªÂ ηÓfiÓ· Î·È ‰È·‚‹ÙË Ó· ‰È·ÈÚ¤ÛÂÙ ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ = 7 cm Û ¤ÓÙ ›Û· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ¿Óˆ Û 2 ÌÈ· ¢ı›·  ӷ ۯ‰ȿÛÂÙ ٷ ‰È·‰Ô¯Èο ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· °¢ = ∞µ, 5 4 6 ¢∑ = ∞µ Î·È ∑∏ = ∞µ. 5 5 ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜: °¢ ¢∑ AB ZH °¢ i) ii) iii) iv) v) ∞µ °¢ ZH ¢∑ ZH

7-11-06

16:46

™ÂÏ›‰·205

1.2 §fiÁÔ˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ

™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜: ∞µ µ° ∞° ·) ‚) Á) ∞° ∞µ µ°

°

1 cm

3

∞

B

2 cm

∧

4

™Â ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ( ∞ = 90Æ) Â›Ó·È ∞µ = 6 cm Î·È µ° = 10 cm. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜: ∞µ ∞° ∞µ ·) ‚) Á) µ° µ° ∞°

5

¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ¤Ó· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ Ì ÏÂ˘Ú¿ 4 cm. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘ ÚÔ˜ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘.

6

∞fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ª Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ ∞° ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞µ°¢, Ó· ʤÚÂÙ ∂∑ // ∞¢. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ∆· ÛËÌ›· ∂, ∑ Â›Ó·È Ì¤Û· ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞µ, ¢° ¢ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. ‚) ∆· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ, ∞° Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞∂, ∞ª.

∂

∞

B

ª °

∑

∞ ¢

7

∧

∧

™Â ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ Â›Ó·È µ = ¢ = 90Æ. AÓ ª Â›Ó·È ÙÔ Ì¤ÛÔÓ Ù˘ ‰È·ÁˆÓ›Ô˘ ∞°, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ µª = ª¢.

µ ª

°

ŒÓ· ·ÁÚfiÎÙËÌ· ¤¯ÂÈ ÙÔ Û¯‹Ì· ÂÓfi˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ∞µ°¢. √ ȉÈÔÎÙ‹Ù˘ ÙÔ˘ ı¤ÏÂÈ Ó· ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÙËÓ ÂÚ›ÌÂÙÚfi ÙÔ˘, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÙÔ ÂÚÈÊÚ¿ÍÂÈ ·ÏÏ¿ ÙË µ° ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÙË ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÁÈ·Ù› ·ÚÂÌ‚¿ÏÏÂÙ·È ¤Ó·˜ ÓÂÚfiÏ·ÎÎÔ˜ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›ÛÙËΠ·fi ÙËÓ ÙÂÏÂ˘Ù·›· ‚ÚÔ¯fiÙˆÛË, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·. ¶Ò˜ ı· ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÙËÓ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ;

∞

µ

ÌÈ

8

ÔÙ¿

(198-205)

ÓÂÚfiÏ·ÎÎÔ˜

¢

°

205

(206-209)

3-11-06

1. 3

11:35

™ÂÏ›‰·206

£ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹

✔ Μαθαίνω το Θεώρηµα του Θαλή και πώς να το χρησιµοποιώ για τον υπολογισµό του µήκους ενός ευθυγράµµου τµήµατος και του λόγου δυο τµηµάτων.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ¡· ¯·Ú¿ÍÂÙ ÌÈ· ¢ı›·  οıÂÙË ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘ Û·˜ Î·È Ó· ÂÈϤÍÂÙ ÙÚÂȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘ Ô˘ Ó· ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙËÓ Â ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ÙÔ ¤Ó· ·fi ·˘Ù¿ Ó· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘.

2. ∞Ó ¯·Ú¿ÍÂÙ ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›·  Ô˘ ‰ÂÓ Â›Ó·È Î¿ıÂÙË ÛÙȘ ÁÚ·Ì̤˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·‰›Ô˘, ÙfiÙ ÔÈ ÙÚÂȘ ÁÚ·Ì̤˜ Ô˘ ÂÈϤͷÙ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜ ÔÚ›˙Ô˘Ó Î·È ÛÙËÓ Â ‰‡Ô ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù·, Ô˘ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘;   ¶·›ÚÓÔ˘Ì ÙÚÂȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3 Ô˘ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ÙËÓ Â˘ı›·  ÛÙ· ÛËÌ›· ∞, µ, ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ∞ ∞ Â1 ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ∞µ = 2 µ°. ª ª ‰ ∞Ó ÌÈ· ¿ÏÏË Â˘ı›·  ٤ÌÓÂÈ ÙȘ Â1, Â2, Â3 ÛÙ· ÛËÌ›· B µ ∞ , µ , ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÙfiÙ ı· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Î·È ÁÈ· Â2 ° ° Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞ µ , µ ° ÈÛ¯‡ÂÈ ÌÈ· ·Ó¿ÏÔÁË Â3 Û¯¤ÛË. ¢ËÏ·‰‹ ∞ µ = 2 µ ° . ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ·fi ÙÔ Ì¤ÛÔ ª ÙÔ˘ ∞µ ʤÚÔ˘Ì ÙËÓ Â˘ı›· ‰ ·Ú¿ÏÏËÏË ÚÔ˜ ÙȘ ¢ı›˜ Â1, Â2, Â3, ÙfiÙ ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â1, ‰, Â2, Â3 ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙËÓ Â˘ı›·  ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù·, ÔfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È ÛÙËÓ Â˘ı›·  . ¢ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ ∞ ª = ª µ = µ ° Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ∞ µ = 2 µ ° . ¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÏÔÈfiÓ fiÙÈ, ·Ó ∞µ = 2 µ° ı· ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ∞ µ = 2 µ ° , ÔfiÙÂ: ∞µ ∞µ B° . 2 B° = ‹ = ∞ µ ∞ µ µ ° 2 µ °

∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞µ, µ° Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ∞ µ , µ ° .

Γενικά ∞Ó ÙÚÂȘ ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Ù¤ÌÓÔ˘Ó ‰‡Ô ¿ÏϘ ¢ı›˜, ÙfiÙ ٷ ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙË Ì›· Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ¿ÏÏË. ¢ËÏ·‰‹: ∞µ B° ∞° · Ó Â 1 //  2 //  3 Ù fi Ù Â = = ∞ µ µ µ ° ° ∞ ° ° ∏ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÚfiÙ·ÛË Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ . ∞fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ÏfiÁˆÓ ÙÔ˘ £ÂˆÚ‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜ ∞µ B° ∞µ ∞° . = Î·È = ∞ µ µ ° ∞ µ ∞ ° 206

(206-209)

3-11-06

11:35

™ÂÏ›‰·207

1.3 £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹

∞Ó ÛÙȘ ·Ó·ÏÔÁ›Â˜ ·˘Ù¤˜ ÂÓ·ÏÏ¿ÍÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ̤ÛÔ˘˜ fiÚÔ˘˜, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÔ˘Ó Î·È ÔÈ ÂÍ‹˜ ∞µ ∞µ ∞ µ ∞ µ . ·Ó·ÏÔÁ›Â˜ = Î·È = µ° ∞° µ ° ∞ ° °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Û’ ¤Ó· ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, ·Ó ¢∂ // µ° Î·È ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ ʤÚÔ˘Ì ¢ı›·  // µ°, ÙfiÙ ÔÈ ·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜ Â, ¢∂, µ° ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ÛÙȘ Ï¢ڤ˜ ∞µ, ∞° ÙÌ‹Ì·Ù· ·Ó¿ÏÔÁ·. ∞¢ ¢µ ∞¢ ∞∂ . ¢ËÏ·‰‹, = , ÔfiÙÂ Î·È = ∞∂ ∂° ¢µ ∂°

∞

(Â)

∂

¢

µ

∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·ÎfiÌË fiÙÈ, ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ

°

∞¢ ∞∂ = , ÙfiÙ ¢∂ // µ°. ∂Ô̤ӈ˜: ¢µ ∂°

°È· ‰‡Ô ÛËÌ›· ¢, ∂ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞µ, ∞° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ÈÛ¯‡Ô˘Ó: ∞¢ ∞∂ ñ ∞Ó ¢∂ // µ° ÙfiÙ = . ¢µ ∂° ñ ∞Ó

∞¢ ∞∂ = ÙfiÙÂ ¢∂ // µ°. ¢µ ∂°

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ∞µ = 9, ∞∂ = 4 Î·È ∂° = 6. ∞Ó ¢∂ // µ° Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· x, y.

∞ x

Λύση ™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ¢∂ // µ°, ÔfiÙ ·fi ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤¯Ô˘ÌÂ: ∞¢ ∞µ x 9 = ‹ = ‹ 10x = 36 ‹ x = 3,6. ∞∂ ∞° 4 10

9

4 ∂

¢

y

6 °

µ

ÕÚ· y = 9 – 3,6 ÔfiÙÂ y = 5,4. ∞

2

Λύση

¢

B

H m 60

M¤Û· ·fi ¤Ó· ÔÈÎfiÂ‰Ô ∞µ°¢ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÙÚ·Â˙›Ô˘ Ì ∞¢ = 50 m Î·È µ° = 60 m ¤Ú·Û ¤Ó·˜ 22 m ‰ÚfiÌÔ˜ ·Ú¿ÏÏËÏÔ˜ ÚÔ˜ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ∞µ, °¢ Ô˘ ›¯Â Ï¿ÙÔ˜ 10 m Î·È ¯ÒÚÈÛ ÙÔ ÔÈÎfiÂ- E ‰Ô ÛÙ· ‰‡Ô, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·. 10 m ∞Ó Â›Ó·È ∞∂ = 22 m Î·È ∑¢ = 18 m, Ó· ˘ÔÏÔÁÈ- Z ÛÙÔ‡Ó Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌˆÓ ÙÌËÌ¿ÙˆÓ µ∏, 18 m £°, ∏£.

£

°

∂Âȉ‹ ∞µ // ∂∏ // ¢° ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· £·Ï‹ ¤¯Ô˘ÌÂ:

207

(206-209)

3-11-06

11:35

™ÂÏ›‰·208

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

µ∏ µ° = ∞∂ ∞¢

µ∏ 60 = 22 50

‹

‹ 50 µ∏ = 1320 ‹ µ∏ = 26,40 m.

EÂȉ‹ ∞µ // ∑£ // ¢° ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤¯Ô˘Ì £° µ° £° 60 = ‹ = ‹ 50 £° = 1080 ‹ £° = 21,60 m. ∑¢ ∞¢ 18 50 ÕÚ· ∏£ = 60 – (26,40 + 21,60) ‹ ∏£ = 12 m.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

2

AÓ ∞µ, ∂∑, ∏£, ¢° Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ, Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜: µ∑ ∑£ µ£ ·) ‚) Á) = = = £° ∑° µ°

∞ ∂

∑

4

∏

£

6 °

¢ ∞

AÓ ¢∂ // µ°, Ó· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜: ¢µ ∞µ ∞¢ ∂° ·) ‚) = = ∂° ∞° ¢µ ∞∂ ∞µ ∞° Á) = ∞¢ ∂°

µ 3

∂

¢ µ

∞¢ ∞∂ ‰) = ∞µ ∞°

° µ

∞

3

4

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÈÛ¯˘Ú›ÛÙËΠfiÙÈ ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞µ°¢ Ë ∂∑ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘. ∂›¯Â ‰›ÎÈÔ; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜. ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1 // Â2 // Â3. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜: ·)

√µ µ°

‚)

µ° √°

Á)

ð õ

‰)

4

5

∂

7

6

°

¢

3 √

∞µ µ°

4

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞µ //  // °¢. ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ÏfiÁÔ Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙÔÓ ›ÛÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌfi ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞ ™Ù‹ÏË µ BK ·.  K° ∫° ‚.  µ° µ° Á.  µ∫

208

2 1.  3 1 2.  3 1 3.  2 4. 3

 ∞

 ∞

Â1

µ

Â2

5

∑

Â3

°

µ

2

°

A

B 3

 ∫ 6

·

‚

Á °

¢

3-11-06

11:35

™ÂÏ›‰·209

1.3 £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

∞

™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞µ°¢ Ë ∂∑ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙȘ ‚·ÛÂȘ ÙÔ˘. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· µ∑.

∂

18

B

6

∑ 14

¢

2

° ∞ 4

™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞µ°¢ Ë ∂∑ Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏË ÛÙȘ ‚¿ÛÂȘ ÙÔ˘. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· µ∑ Î·È ∑°.

B

∂

∑ 8

6 ¢

° A 18

x

3

™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ¢∂ // µ°. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.

∂

¢ 8 µ

x ° √ 18

21

4

™Ùo ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Â1 // Â2. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· √° Î·È ∂∑.

∞ 14 µ

Â1

∂

° 10 ¢

Â2 ∑

∞

5

x

5

™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Â›Ó·È ¢∂ // µ°, ∂∑ // ∞µ. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.

∂

¢

6

4 µ

°

∑

6

12

™Ùo ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∞µ // ∫§ // °¢. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· √∫ Î·È ∫°.

§

∞

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ∂∑ // ¢° Î·È ∂∏ // µ°. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ x, y.

10

√

18

B

7

y ∏

6

9

18

µ

∂ 12

¢

34 cm

28 cm

∞

°

√ cm

K¿ÔÈÔ˜ Û˘Ó·ÚÌÔÏfiÁËÛ ÌÈ· Ù˘ÛÛfiÌÂÓË ÛȉÂÚÒÛÙÚ·, fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Î·È ‰È·›ÛÙˆÛ fiÙÈ Ë Û·Ó›‰· ‰ÂÓ ‹Ù·Ó ÔÚÈ˙fiÓÙÈ·. ¶Ô‡ ¤ÁÈÓ ÙÔ Ï¿ıÔ˜;

¢

8 ∑ x

8

°

∫

∞

65

(206-209)

¢

° 68 cm

µ

209

(210-214)

3-11-06

1. 4

11:40

™ÂÏ›‰·210

√ÌÔÈÔıÂÛ›·

✔ Μαθαίνω να βρίσκω το οµοιόθετο ενός σχήµατος. ✔ Γνωρίζω µε ποιες σχέσεις συνδέονται τα οµοιόθετα σχήµατα.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1. ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ Î·È ÛÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÔ˘ Ó· ¿ÚÂÙ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô √. 2. ¶¿Óˆ ÛÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √∞, √µ, √°, √¢ Ó· ¿ÚÂÙ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÌ‹Ì·Ù· √∞ , √µ , √° , √¢ ‰ÈÏ¿ÛÈ· ÙˆÓ √∞, √µ, √°, √¢. ¡· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞ µ ° ¢ Î·È Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Ì ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘.

3. ¶¿Óˆ ÛÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √∞, √µ, √°, √¢ Ó· ¿ÚÂÙ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ ÙÌ‹Ì·Ù· √∞ , √µ , √° , √¢ , ÌÈÛ¿ ÙˆÓ √∞, √µ, √°, √¢. ¡· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞ µ ° ¢ Î·È Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ Ì ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘. ∆È ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ;

∆Ô ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÛËÌ›Ԣ ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ÛËÌ›· √, ∞ Î·È ÛÙËÓ ËÌÈ¢ı›· √∞ ¿ÚÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∞ , Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ √∞ = 2 √∞, ÙfiÙ ϤÌ fiÙÈ ÙÔ O ÛËÌÂ›Ô ∞ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2. 1 ∞Ó ∞ ÛËÌÂ›Ô Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ √∞, Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ √∞ = √∞, 2 1 ÙfiÙ ÙÔ ∞ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = . 2

O

∞

∞

∞

∞

∏ ‰È·‰Èηۛ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÌÔÈÔıÂÛ›·. ∆Ô ÛËÌÂ›Ô √ ϤÁÂÙ·È Î¤ÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜, ÂÓÒ Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ï ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜. ∂›Ó·È Ê·ÓÂÚfi fiÙÈ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ ¤¯ÂÈ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔÓ Â·˘Ùfi ÙÔ˘.

∆Ô ÔÌÔÈfiıÂÙÔ Â˘ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜

∞

∞ ™ÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2 ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ∞ ÂÓfi˜ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ Â›Ó·È ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞ µ , fiÔ˘ ∞ , µ Ù· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÙˆÓ ¿ÎÚˆÓ ÙÔ˘ √ ¢ı˘ÁÚ¿ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞µ. ∂Âȉ‹ √∞ = 2 √∞ Î·È µ µ √∞ √µ √µ = 2 √µ, ı· ¤¯Ô˘Ì = = 2, ÔfiÙ ∞µ // ∞ µ . √∞ √µ µ ∂Ô̤ӈ˜ ∆· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ·.

∞Ó Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ٷ ÙÌ‹Ì·Ù· ∞ µ Î·È ∞µ, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ∞ µ = 2 ∞µ ‹

210

A µ = 2. Aµ

(210-214)

3-11-06

11:40

™ÂÏ›‰·211

1.4 OÌÔÈÔıÂÛ›·

1 AÓ ∞ µ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = , ÙfiÙÂ: 2 ∞ µ 1 1 ∞ µ = ∞µ ‹ = . 2 2 Aµ

∆Ô ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÁˆÓ›·˜

x ∧

µ

°È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ x ∞y Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ï (.¯. Ï = 2), ·›ÚÓÔ˘Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô µ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞x, ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ° ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞y Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· µ , ∞ , ° Ô˘ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÙˆÓ µ, ∞, °. √Ú›˙ÂÙ·È ¤ÙÛÈ Ë ÁˆÓ›· ∧ ∧ x ∞ y , Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙË Ù˘ ÁˆÓ›·˜ x ∞y. ∞Ó Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ∧ ∧ ›Û˜, ‰ËÏ·‰‹ x ∞y = x ∞ y . ∂Ô̤ӈ˜

µ ∞

∞

x

√ °

y

° y µ

√È ÔÌÔÈfiıÂÙ˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜ . ∞

∆Ô ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘

µ µ

∞

∞ ™ÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2, ÙÔ ÔÌÔÈfiO ıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘ ∞µ°¢ Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ° ∞ µ ° ¢ , fiÔ˘ ∞ , µ , ° , ¢ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ÔÌÔÈfi° ¢ ¢ ıÂÙ· ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘ ∞, µ, °, ¢. √È Ï¢ڤ˜ Î·È ÔÈ Áˆ° ӛ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘ ∞ µ ° ¢ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙ˜ Ì ÙȘ ¢ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ∞µ°¢, ÔfiÙ ÈÛ¯‡Ô˘Ó: ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ A µ µ ° ° ¢ ¢ ∞ = = = = 2 Î·È ∞ = ∞, µ = µ, ° = °, ¢ = ¢. Aµ µ° °¢ ¢∞ ∆Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ°¢ Ì ÏfiÁÔ Ï = 2 Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ∞µ°¢. 1 ∞Ó ∞ µ ° ¢ Â›Ó·È ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = , ÔÌÔ›ˆ˜ ÈÛ¯‡Ô˘Ó: 2

A µ µ ° ° ¢ ¢ ∞ 1 = = = = 2 Aµ µ° °¢ ¢∞

∧

∧

∧

∧

∧

∧

Î·È ∞ = ∞, µ = µ, ° = °,

∧

∧

¢ = ¢.

1 ∆Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞ µ ° ¢ Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ°¢ Ì ÏfiÁÔ Ï = Â›Ó·È ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË 2 ÙÔ˘ ∞µ°¢.

Γενικά ñ ¢‡Ô ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜. ñ √È ·Ó¿ÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ‰‡Ô ÔÌÔÈfiıÂÙˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ Ô˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËϘ. ñ ∞ Ó Ù Ô  Ô Ï ‡ Á ˆ Ó Ô ¶  › Ó · È Ô Ì Ô È fi ı Â Ù Ô Ù Ô ˘ ¶ Ì Â Ï fi Á Ô Ï , Ù fi Ù Â Ù Ô ¶ Â›Ó·È – ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ¶, fiÙ·Ó Ï > 1 – ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¶, fiÙ·Ó 0 < Ï < 1 Î·È – ›ÛÔ Ì ÙÔ ¶, fiÙ·Ó Ï = 1. 211

(210-214)

3-11-06

11:40

™ÂÏ›‰·212

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

∆Ô ÔÌÔÈfiıÂÙÔ Î‡ÎÏÔ˘

∞

°È· Ó· ‚Úԇ̠ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ Ú ∞ ·ÎÏÔ˘ (∫, Ú) Ì ΤÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ √ Ú ∫ Î·È ÏfiÁÔ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ï ∫ O (.¯. Ï = 2), ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ΤÓÙÚÔ˘ ∫ Î·È ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ∞ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘, Ô˘ Â›Ó·È Ù· ÛËÌ›· ∫ Î·È ∞ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. √Ú›˙ÂÙ·È ¤ÙÛÈ ¤Ó·˜ ·ÎÏÔ˜ (∫ , Ú ), fiÔ˘ Ú = ∫ ∞ , Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ˜ ÙÔ˘ ·ÎÏÔ˘ (∫, Ú). ∆Ô Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∫ ∞ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∫∞ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2, ÔfiÙ ∫ ∞ = 2 ∫∞, ‰ËÏ·‰‹ Ú = 2Ú.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

M ΤÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ ¤Ó· ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô √ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∞µ°¢, ÏÂ˘Ú¿˜ 1,5 cm Î·È ÏfiÁÔ Ï = 3, Ó· ۯ‰ȷÛÙ› ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙfi ÙÔ˘ Î·È Ó· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ.

Λύση ™ÙȘ ËÌÈ¢ı›˜ √∞, √µ, √°, √¢ ·›ÚÓÔ˘Ì ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· √∞ = 3 √∞, √µ = 3 √µ, √° = 3 √°, √¢ = 3 √¢. To ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞ µ ° ¢ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 3, ÔfiÙÂ:

B

∞ ∞

1,5 cm

µ

√ ¢

°

A µ µ ° ° ¢ ¢ ∞ = = = = 3. Aµ µ° °¢ ¢∞

¢ ° ÕÚ·, ∞ µ = 3 ∞µ = 3 1,5 = 4,5 cm. OÌÔ›ˆ˜ ¤¯Ô˘Ì µ ° = ° ¢ = ¢ ∞ = 4,5 cm EÂȉ‹ Ù· ÔÌÔÈfiıÂÙ· Û¯‹Ì·Ù· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ›Û˜, ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞ µ ° ¢ Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ°¢ ı· ¤¯ÂÈ ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚı¤˜. ∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞ µ ° ¢ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, ·ÊÔ‡ ¤¯ÂÈ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ›Û˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ ÔÚı¤˜. ÕÚ· ∆Ô ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ .

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

212

√ A µ ° ¢ ∂ ¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿. ™ÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ ·) Ï = 5 ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞ Â›Ó·È ÙÔ ....... ‚) Ï = 2 ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ µ Â›Ó·È ÙÔ ....... 1 3 Á) Ï= ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ° Â›Ó·È ÙÔ ....... ‰) Ï = ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∂ Â›Ó·È ÙÔ ....... 3 5

(210-214)

3-11-06

11:40

™ÂÏ›‰·213

1.4 OÌÔÈÔıÂÛ›·

2

™Â ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· Ù· ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙ·;

(Σχ. 1) 3

(Σχ. 2)

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î·: E˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ∫¤ÓÙÚÔ §fiÁÔ˜ OÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÌ‹Ì· ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∫ƒ ∞ 3 ƒ¡ ° ™ª ™ª ∞¢ µ° ∞ ∫ƒ µ§ µ 3

(Σχ. 3)

∞

K

§

µ

ƒ ™ ¢

¡

ª

°

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ¤Ó· ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞µ°¢ Ì ÏÂ˘Ú¿ 3 cm. 1 ·) ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ ∞ Î·È ÏfiÁÔ: i) Ï = ii) Ï = 2. 2 ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ Ô˘ ۯ‰ȿ۷ÙÂ.

2

¡· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°, Ì οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ∞µ = 12 cm Î·È 2 Ó· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ 3 ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. ∞° = 9 cm. ªÂ ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∞ Î·È ÏfiÁÔ Ï =

∞

3

4

N· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ì ΤÓÙÚÔ ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô √ ÂÎÙfi˜ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 3. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ Ï¢ڤ˜ Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘ Ó¤Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘.

2c m

° 45Æ

µ

¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ·ÎÏÔ˘ (√, Ú) Ì ΤÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 3. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ô Ó¤Ô˜ ·ÎÏÔ˜ ı· ¤¯ÂÈ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ Ì‹ÎÔ˜ Î·È ÂÓÓ·Ï¿ÛÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ.

213

(210-214)

3-11-06

11:40

™ÂÏ›‰·214

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

5

6

¡· ÙÔÔıÂÙ‹ÛÂÙ ÛÙÔ Û¯‹Ì· Ù· ÛËÌ›· ∫, §, ª, ¡, ƒ ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂÙ fiÙÈ: 1 ∞ – ∆Ô ∫ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞ Ì ΤÓÙÚÔ ° Î·È ÏfiÁÔ . 3 – ∆Ô ∞ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ § Ì ΤÓÙÚÔ ∫ Î·È ÏfiÁÔ 2. 2 – ∆Ô §ª Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ Ì ΤÓÙÚÔ ° Î·È ÏfiÁÔ . 3 – ∆Ô ∞µ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∫¡ Ì ΤÓÙÚÔ ° Î·È ÏfiÁÔ 3. B

°

√È ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞µ°¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫. ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ°¢ Ì ÏfiÁÔ 2 Î·È Î¤ÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜: ·) ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫ ‚) ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Á) ¤Ó· Â͈ÙÂÚÈÎfi ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ٷ ÙÚ›· ÔÌÔÈfiıÂÙ· Û¯‹Ì·Ù· Î·È Ó· ‰ÈηÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

7

™’ ¤Ó· ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈṲ̂ÓÔ ¯·ÚÙ› Ó· ¯·Ú¿ÍÂÙ ¤Ó· Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Î·È Ó· ¿ÚÂÙ ٷ ÛËÌ›· ∞(–1, 1), µ(2, 2) Î·È °(0, –2). ·) ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞ µ ° ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ° Ì ΤÓÙÚÔ ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘. ªÂ ÔÈ· Û¯¤ÛË Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ÙÚÈÁÒÓˆÓ; ‚) ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞ µ ° ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ° Ì ΤÓÙÚÔ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫(1, 1), ÏfiÁÔ Ï = 2 Î·È Ó· ‚Ú›Ù ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ÙÔ˘. πÛ¯‡ÂÈ Ë ·Ó¿ÏÔÁË Û¯¤ÛË ÁÈ· ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ;

8

™ÙȘ Ï¢ڤ˜ ∞µ, ∞° ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Ó· ÔÚ›ÛÂÙ ٷ ÛËÌ›· ¢, ∂ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÒÛÙ 1 1 1 ∞¢ = ∞µ Î·È ∞∂ = ∞°. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ¢∂ // µ° Î·È ¢∂ = µ°. 3 3 3

9

¡· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ÙÔ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ÂÓÙ·ÁÒÓÔ˘ ∞µ°¢∂ ÛÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· ηٿ ÙËÓ ÔÔ›· Ù· ÛËÌ›· ∞ , µ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÙˆÓ ÎÔÚ˘ÊÒÓ ∞, µ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜.

A A B ∂

° ¢

214

µ

(215-219)

7-11-06

16:47

1. 5

™ÂÏ›‰·215

OÌÔÈfiÙËÙ·

✔ Μαθαίνω πότε δύο πολύγωνα είναι όµοια. ✔ Μαθαίνω πότε δύο τρίγωνα είναι όµοια.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì·, ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘ ∞ µ ° ¢ (‹ ¶ ) ¤¯Ô˘Ó ‰ÈÏ¿ÛÈÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ ·fi ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘ ∞µ°¢ (‹ ¶) Î·È ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÏÂ‡ÚˆÓ Â›Ó·È ›Û˜.

¢ O

° ¶

∞

∞

1. ¡· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞ µ ° ¢ (‹ ¶ ) Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï = 2. 2. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Ô˘ ۯ‰ȿ۷Ù Ì ÙÔ ¶ . 3. ¶ÔÈÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ÚÔ·ÙÂÈ ÁÈ· Ù· ·Ú¯Èο ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ¶ µ Î·È ¶ ;

∞

µ

¶

¢ °

ŸÌÔÈ· ÔχÁˆÓ·

∞Ó ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ·, ÙfiÙ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ‹ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. ¢‡Ô ÔχÁˆÓ· ¶ Î·È ¶ Ô˘ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ‹ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘ Ù· ϤÌ fiÌÔÈ· Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì ¶ ≈ ¶ . ∞fi ÙÔÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ÔÚÈÛÌfi ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ: ∆· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ∞Ó fï˜ ¤Ó· ÔχÁˆÓÔ ¶ , ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶ ‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È Â‡ÎÔÏÔ Ó· ÂÍËÁ‹ÛÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶, ÙfiÙ Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ‰È·ÈÛÙÒÛÔ˘Ì fiÙÈ Â›Ó·È fiÌÔÈfi ÙÔ˘; ∞˜ ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞µ°¢ (‹ ¶) Î·È ∞ µ ° ¢ (‹ ¶ ), ÒÛÙ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ¶ Ó· Â›Ó·È ‰ÈÏ¿ÛȘ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÔ˘ ¶ Î·È ÔÈ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ Ó· Â›Ó·È ›Û˜. ∞Ó Û¯Â‰È¿ÛÔ˘Ì ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞ µ ° ¢ (‹ ¶ ) ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶ Ì ÏfiÁÔ Ï = 2, ÙfiÙ ٷ ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ¶ Î·È ¶ Â›Ó·È ›Û·, ÁÈ·Ù› ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ Î·È ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜. ∆Ô ¶ ˆ˜ ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ¶, Ì ÏfiÁÔ 2 Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘, ¿Ú· Î·È ÙÔ ›ÛÔ ÙÔ˘ ÔÏ˘ÁÒÓÔ ¶ Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ÙÔ˘ ¶, ÔfiÙ ٷ ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ¶ Î·È ¶ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ∆Ô ›‰ÈÔ ı· Û˘Ó¤‚·ÈÓ ·Ó ÙÔ ¶ ‹Ù·Ó ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¶. ∆· ·Ú¯Èο ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞µ°¢ Î·È ∞ µ ° ¢ Ù· ۯ‰ȿ۷ÌÂ, ÒÛÙ ӷ ÈÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ Û¯¤ÛÂȘ: ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ A µ µ ° ° ¢ ¢ ∞ = = = = 2 (1) Î·È ∞ = ∞, µ = µ, ° = °, ¢ = ¢ (2) Aµ µ° °¢ ¢∞ Î·È ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

Γενικά

AÓ ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. 215

(215-219)

3-11-06

11:44

™ÂÏ›‰·216

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

¢‡Ô ÔÔÈÂÛ‰‹ÔÙ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ÔÌÔ›ˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ ¤¯Ô˘Ó ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÏfiÁÔ A µ .¯. = 2 , ÁÈ’ ·˘Ùfi ϤÁÔÓÙ·È ÔÌfiÏÔÁ˜ Î·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘˜ ϤÁÂÙ·È ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ . Aµ ∂›‰·Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ·Ó Â›Ó·È ‹ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÔ˘Ó ÔÌÔÈfiıÂÙ· Î·È ÂÔ̤ӈ˜ ı· ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È ÁÈ’ ·˘Ù¿ ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ ÙˆÓ ÔÌÔÈÔı¤ÙˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ, ‰ËÏ·‰‹: ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜.

(

)

Afi ÙË Û¯¤ÛË (1) Î·È ÁÓˆÛÙ‹ ȉÈfiÙËÙ· ÙˆÓ ·Ó·ÏÔÁÈÒÓ ¤¯Ô˘ÌÂ: Ï=

A µ µ ° ° ¢ ¢ ∞ A µ + µ ° + ° ¢ + ¢ ∞ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ¶ = = = = = . ÕÚ· Aµ µ° °¢ ¢∞ ∞µ + µ° + °¢ + ¢∞ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ¶

√ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ‰‡Ô fiÌÔÈˆÓ ÔÏ˘ÁÒÓˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ oÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.

§fiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ – ∫ϛ̷η √È ¯¿ÚÙ˜ Û˘Ó‹ıˆ˜ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ÌÈ· ÁˆÁÚ·ÊÈ΋ ÂÚÈÔ¯‹ Û ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË, ‰ËÏ·‰‹ ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙Ô˘Ó ¤Ó· Û¯‹Ì· fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi. ∆Ô Ì¤ÁÂıÔ˜ Ù˘ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛ˘ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙËÓ Îϛ̷η ÙÔ˘ ¯¿ÚÙË Ô˘ ·Ó·ÁÚ¿ÊÂÙ·È ¿Óˆ Û’ ·˘ÙfiÓ. ∏ Îϛ̷η Â›Ó·È Ô ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ·fiÛÙ·Û˘ ÛÙÔ ¯¿ÚÙË ÚÔ˜ ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ ·fiÛÙ·ÛË, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È Ô ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙˆÓ ‰‡Ô Û¯ËÌ¿ÙˆÓ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Îϛ̷η 1 : 2000000 ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ, Ô ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÛÙÔ 1 ¯¿ÚÙË ÚÔ˜ ÙÔ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi Â›Ó·È Ï = , ÔfiÙ 1 cm ÛÙÔ ¯¿ÚÙË Â›Ó·È 20 km ÛÙËÓ 2000000 Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ·.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ ‰‡Ô ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

Λύση √È Ï¢ڤ˜ ÂÓfi˜ ηÓÔÓÈÎÔ‡ ÔÏ˘ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ›Û˜. ÕÚ· Ù· ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ· ∞µ°¢∂ Î·È ∞ µ ° ¢ ∂ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ∂ Ê ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ: Aµ µ° °¢ ∂∞ ¢∂ = = = = A µ µ ° ° ¢ ∂ ∞ ¢ ∂

∞

∞

Ê

Ê Ê µ

∂ Ê

Ê µ Ê

Ê

Ê

¢

Ê

°

° ¢ ·ÊÔ‡ Î·È ÔÈ ·ÚÈıÌËÙ¤˜ Î·È ÔÈ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜ ›ÛÔÈ. ∆· ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙȘ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ ÂÊfiÛÔÓ Î·ıÂÌÈ¿ ·fi ·˘Ù¤˜ 360Æ Â›Ó·È Ê = 180Æ – = 180Æ – 72Æ = 108Æ. 5

216

3-11-06

11:44

™ÂÏ›‰·217

1.5 OÌÔÈfiÙËÙ·

ÕÚ· Ù· ηÓÔÓÈο ÂÓÙ¿ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜, ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

Γενικά ¢‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ Ï‹ıÔ˜ Ï¢ÚÒÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

2

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ê·›ÓÂÙ·È Ë ·ÂÚÔʈÙÔÁÚ·Ê›· ÂÓfi˜ ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Î·È ¤¯ÂÈ ÂÚÈÊÚ·¯Ù› ÌÂ Û˘ÚÌ·ÙfiÏÂÁÌ· Ì‹ÎÔ˘˜ 270 m. ¡· ‚ÚÂıÔ‡Ó ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ · Á Ú Ô Î Ù ‹ Ì · Ù Ô ˜ . ª   Ô È · Îϛ̷η ¤¯ÂÈ ÊˆÙÔÁÚ·ÊËı› ÙÔ ·ÁÚfiÎÙËÌ·;

∞

µ

4 cm

(215-219)

¢

5 cm

°

Λύση TÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∞µ°¢ Ù˘ ·ÂÚÔʈÙÔÁÚ·Ê›·˜ Â›Ó·È ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·ÙÔ˜ ∞ µ ° ¢ , ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÚÔ˜ ·˘Ùfi. A¢ ¢° ÕÚ· ÈÛ¯‡ÂÈ = = Ï (1). A ¢ ¢ ° √ ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜. ∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ∞µ°¢ Â›Ó·È 2 4 + 2 5 = 18 cm, ÂÓÒ ÙÔ˘ ∞ µ ° ¢ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Û˘ÚÌ·ÙÔϤÁÌ·ÙÔ˜, ‰ËÏ·‰‹ 270 m ‹ 27000 cm. A¢ ¢° 18 1 1 ÕÚ· Ï = = ÔfiÙ = = . 27000 1500 1500 A ¢ ¢ ° ∂Ô̤ӈ˜ ¤¯Ô˘ÌÂ: A ¢ = 1500 ∞¢ = 1500 4 = 6000 cm ‹ A ¢ = 60 m. ¢ ° = 1500 ¢° = 1500 5 = 7500 cm ‹ ¢ ° = 75 m. ¢ËÏ·‰‹, ÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ·ÁÚÔÎÙ‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È 60 m Î·È 75 m. ∏ ÎÏ›1 ̷η ʈÙÔÁÚ¿ÊÈÛ˘ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï = ‰ËÏ·‰‹ 1 : 1500. 1500

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) ¢‡Ô ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ‚) ¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·. Á) ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ‰) ¢‡Ô ÚfiÌ‚ÔÈ Â›Ó·È Û¯‹Ì·Ù· fiÌÔÈ·. Â) ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ÛÙ) ¢‡Ô ηÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·. 217

3-11-06

11:44

™ÂÏ›‰·218

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

2

¶ÔÈ· ·fi Ù· ÔχÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ¶1

Â›Ó·È fiÌÔÈ·;

¶2

¶4

¶3

¶5 ¶6

¶7

3

™Â ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·Ù· Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ›Ó·Î· Ì ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆÓ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌˆÓ Î·È Ó· ‚Ú›Ù ÔÈ· ·’ ·˘Ù¿ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. M

§ ∑

∂

∫

µ

∞

¢È·ÛÙ¿ÛÂȘ ¢ £

∫

¢È·ÛÙ¿ÛÂȘ

°

∞µ°¢ AEZH

∞

π∫§ª

£

∂

B

A£π∫

1 ÌÔÓ

1 ÌÔÓ

B ∞ AÓ Ù· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞µ°¢ Î·È ∞ µ ° ¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ·, Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: ·) √ ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ∞µ°¢ ÚÔ˜ ÙÔ ¢ ° ∞ µ ° ¢ Â›Ó·È ...................... ¢ ‚) √ ÏfiÁÔ˜ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ∞ µ ° ¢ ÚÔ˜ ÙÔ ∞µ°¢ Â›Ó·È ...................... ∧ Á) ∞Ó Ë ÁˆÓ›· µ Â›Ó·È 110Æ, ÙfiÙÂ Î·È Ë ÁˆÓ›· ....... Â›Ó·È 110Æ.

µ

∞

m 15 c

12 cm

8

cm

4

Z

∂∑∏£

∏

π

π

H ¢

∞µ°¢

°

°

A µ + µ ° + ° ¢ + ¢ ∞ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ....... ∞µ + µ° + °¢ + ¢∞ Â) ∏ ÏÂ˘Ú¿ µ° Â›Ó·È ›ÛË Ì ....... cm. ‰) √ ÏfiÁÔ˜ Ï =

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ™Â ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ù· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌ· ∞µ°¢ Î·È ∂∑∏£ Â›Ó·È fiÌÔÈ·; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜. 6 cm ∞ ∞ B µ ·) ‚) 3 cm

1

£

218

5 cm

∑ 60Æ

4c m

° ∂

∂

9c m

¢ 2 cm

(215-219)

∑ 12 0Æ

∏

¢

6 cm

° £

6 cm

∏

3-11-06

11:44

™ÂÏ›‰·219

1.5 OÌÔÈfiÙËÙ·

2

∞Ó Ù· ÙÂÙÚ¿Ï¢ڷ ∞µ°¢ Î·È ∂∑∏£ Â›Ó·È fiÌÔÈ·, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ x Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ·) ‚) µ

∞

B

∂

£ 6,3 cm

A

E

130Æ

£ x

∏

¢ 9 cm

x

∏

6 cm

∑

∑ °

°

¢

3

ŒÓ· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜ 24 cm Î·È 18 cm. ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ı¤ÏÔÓÙ·˜ Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÈ ¤Ó· ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ fiÌÔÈÔ Ì’ ·˘Ùfi ·ÏÏ¿ Ô˘ Ó· ¤¯ÂÈ ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ÏÂ˘Ú¿ 20 cm, ÛΤÊÙËΠӷ ÌÂÈÒÛÂÈ Î·È ÙËÓ ¿ÏÏË ÏÂ˘Ú¿ ηٿ 4 cm. ◊Ù·Ó ÛˆÛÙ‹ Ë ÛΤ„Ë ÙÔ˘; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

4

√È ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ∞µ°¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∫. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·Ó ÂÓÒÛÔ˘Ì ٷ ̤۷ ÙˆÓ ∫∞, ∫µ, ∫°, ∫¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ∞µ°¢.

5

1 ™ÙÔ ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞µ°¢ Â›Ó·È ∞∫ = ∞°, ∂∑ // ∞¢ Î·È ∏£ // ∞µ. 4 ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ∂ ∞ ·) ∆Ô ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞∂∫∏ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ∏ ∫ ÙÔ ∞µ°¢. ‚) ∆Ô ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ ∞∂∫∏ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ∫£° ∑. ¢

6

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÍÂΛÓËÛ ÙÔ Úˆ› ·fi ÙÔ Û›ÙÈ ÙÔ˘ ª Î·È ·ÊÔ‡ ·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ÙË ‰È·‰ÚÔÌ‹ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯¤‰ÈÔ, ¤ÊÙ·Û ÛÙÔ Û¯ÔÏÂ›Ô ÙÔ˘ ™. ∆Ô ÌÂÛË̤ÚÈ Â¤ÛÙÚ„ Û›ÙÈ ÙÔ˘ ·fi ¿ÏÏÔ ‰ÚfiÌÔ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÚ¿ÛÂÈ Î·È ·fi ÙÔ Û›ÙÈ ÂÓfi˜ Ê›ÏÔ˘ ÙÔ˘ Ô˘ ‚ÚÈÛÎfiÙ·Ó ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô º. ∞Ó Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ ‰È·‰ÚÔÌ‹ Ô˘ ¤Î·ÓÂ Ô Ì·ıËÙ‹˜ ‹Ù·Ó 640 m, Ó· ‚Ú›Ù fiÛÔ ·¤¯Ô˘Ó Ù· Û›ÙÈ· ÙˆÓ ‰‡Ô ʛψÓ. ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Îϛ̷η ÙÔ˘ ۯ‰›Ô˘;

∑

B £

°

M 1cm 1cm

(215-219)

º ™

219

3-11-06

11:46

™ÂÏ›‰·220

M¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

ŸÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ·

¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ°, ¢∂∑, fiˆ˜ Î·È ‰‡Ô ÔχÁˆÓ·, Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜. ¢ËÏ·‰‹ ·Ó ¤¯Ô˘Ó

∞µ ∞° µ° = = ¢∂ ¢∑ ∂∑

∞ ¢ °

µ

2c m

B

3c m

(220-224)

∂

°

B ∧

∧

∧

∧

∧

Î·È ∞ = ¢, µ = ∂,

∑

∧

° = ∑.

°È· Ó· Â›Ó·È ÏÔÈfiÓ ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· fiÌÔÈ· Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡Ô˘Ó fiϘ ÔÈ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÈÛfiÙËÙ˜; ∂˘Ù˘¯Ò˜ fi¯È. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·˜ ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ¢∂∑ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ ∧ ∧ ∧ ∧ ( ∞ = ¢ Î·È µ = ∂). ∧ AÓ ÙÔÔıÂÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢∂∑ ¿Óˆ ÛÙÔ ∞µ°, ÒÛÙÂ Ë ÁˆÓ›· ¢ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ∧ ∧ ∧ ›ÛË Ù˘ ÁˆÓ›· ∞, ÙfiÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ ∂∑ ı· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙË µ ° Î·È ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ µ, µ ı· Â›Ó·È ›Û˜. ÕÚ· µ ° // µ° Î·È ·fi ÙÔ £ÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ £·Ï‹ ¤¯Ô˘ÌÂ: 2 2 2 ∞µ ∞° = = ‹ ∞µ = ∞µ Î·È ∞° = ∞µ 3 3 3 ∞µ ∞° ÕÚ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ ° Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ° ÛÙËÓ ÔÌÔÈÔıÂÛ›· Ì ΤÓÙÚÔ ∞ Î·È ÏfiÁÔ 2 , ÔfiÙ ∞µ ° ∞µ°. ∂Âȉ‹ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ¢∂∑, ∞µ ° Â›Ó·È ›Û·, ı· Â›Ó·È Î·È ¢∂∑ ∞µ°. 3 ∂Ô̤ӈ˜

≈

≈

∞Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ∂›‰·Ì ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ ·Ó ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÔfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó Î·È ÙËÓ ÙÚ›ÙË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË Î·È ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

Œ Ó · ˜  Ú Ô ‚ Ô Ï ¤ · ˜ ¶ ‚ Ú › Û Î Â Ù · È Û Ù Ô ¤ ‰ · Ê Ô ˜ Î · È Ê ˆ Ù › ˙ Â È ¤ Ó · ‰ ¤ Ó Ù Ú Ô µ ° . ∏ ÛÎÈ¿ ÙÔ˘ ‰¤ÓÙÚÔ˘ ÛÙÔ ·¤Ó·ÓÙÈ ÎÙ›ÚÈÔ ÊÙ¿ÓÂÈ Ì¤¯ÚÈ ÙËÓ ÔÚÔÊ‹ ÙÔ˘ 4Ô˘ ÔÚfiÊÔ˘. ∞Ó ÙÔ ÈÛfiÁÂÈÔ Î·È Î¿ı fiÚÔÊÔ˜ ¤¯Ô˘Ó ‡„Ô˜ 3 m Î·È Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ‰¤ÓÙÚÔ˘ ·fi ÙÔÓ ÚÔ‚ÔϤ· Â›Ó·È 8 m, ÂÓÒ ·fi ÙÔ ÎÙ›ÚÈÔ Â›Ó·È 12 m, Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ‰¤ÓÙÚÔ˘.

Λύση ∆· ÙÚ›ÁˆÓ· ¶µ° Î·È ¶µ ° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·, ∧ ∧ ∧ ·ÊÔ‡ µ = µ = 90Æ Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙË ÁˆÓ›· ¶ ÎÔÈÓ‹. ∂Ô̤ӈ˜, ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜, ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È ı· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜, ‰ËÏ·‰‹ µ° ¶µ ¶ = (1). µ ° ¶µ 220

°

°

8m

µ

12 m

µ

(220-224)

3-11-06

11:46

™ÂÏ›‰·221

1.5 OÌÔÈfiÙËÙ·

∏ ÛÎÈ¿ ηχÙÂÈ ÙÔ ÈÛfiÁÂÈÔ Î·È 4 ÔÚfiÊÔ˘˜, ÔfiÙ ı· ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ µ ° = 5 3 = 15 m. µ° 8 ÕÚ· Ë ÈÛfiÙËÙ· (1) Á›ÓÂÙ·È = ‹ 20 µ° = 120, ÔfiÙ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ 15 8 + 12 ‰¤ÓÙÚÔ˘ Â›Ó·È µ° = 6 m.

2

™’ ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ì ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· µ° = 10 cm Î·È ∞° = 8 cm Ó· ¯·Ú·¯ı› ÙÔ ‡„Ô˜ ∞¢. ¡· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞°¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È Ó· ÁÚ·ÊÔ‡Ó ÔÈ ›ÛÔÈ ÏfiÁÔÈ. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó Ù· ÙÌ‹Ì·Ù· ¢° Î·È ¢µ.

Λύση

∧

∧

∆· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞¢° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·, ·ÊÔ‡ ∞ = ¢ = 90Æ Î·È ¤¯Ô˘Ó ÙË ÁˆÓ›· ∧ ° ÎÔÈÓ‹. ¢ËÏ·‰‹, ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È ı· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜. √È ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ Â›Ó·È ÔÈ Ï¢ڤ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ·¤Ó·ÓÙÈ ·fi ÙȘ ›Û˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜. ∧

ÿÛ˜ ÁˆÓ›Â˜

∧

∧

∧

µ

∧

∞ = ¢ = 90Æ ° ÎÔÈÓ‹ ˆ = Ê

ˆ ¢

∞¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°

B°

∞µ

∞°

∞¤Ó·ÓÙÈ ÏÂ˘Ú¿ ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ A¢°

∞°

∞¢

¢° ∞

ÕÚ· ¤¯Ô˘ÌÂ

µ° ∞µ ∞° = = ∞° ∞¢ ¢°

∞fi ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ (1) ¤¯Ô˘ÌÂ

10 cm

Ê 8 cm

°

(1).

µ° ∞° = ∞° ¢°

‹

10 8 = . 8 ¢°

ÕÚ· 10 ¢° = 64, ÔfiÙ ¢° = 6,4 cm. ∂Âȉ‹ µ° = 10 cm Î·È ¢° = 6,4 cm ¤¯Ô˘Ì µ¢ = 10 – 6,4 ‰ËÏ·‰‹ µ¢ = 3,6 cm.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¶ÔÈ· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ˙‡ÁË ÙÚÈÁÒÓˆÓ Â›Ó·È fiÌÔÈ·; ·) ‚) Á) 50Æ

50Æ

60Æ

60Æ

50Æ 60Æ

60Æ

80Æ

30Æ

60Æ

221

3-11-06

11:46

™ÂÏ›‰·222

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô ∞

2

¢

N· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

30Æ

µ

3

∂

°

75Æ

∑

N· ÁÚ¿„ÂÙ ÙÔ˘˜ ›ÛÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ ÛÙ· ·Ú·Î¿Ùˆ ˙‡ÁË ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ·) ‚) Á) A ∂

µ

∂

∑

∞

∂

¢ ∑

B

°

∑ ¢

=

°

∞

=

=

°

B ¢

=

=

=

4

N· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) ¢‡Ô ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ‚) ∞Ó ‰‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË, Â›Ó·È fiÌÔÈ·. Á) ¢‡Ô fiÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜. ‰) ¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· Î·È ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·. Â) ∞Ó ‰‡Ô ÈÛÔÛÎÂÏ‹ ÙÚ›ÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÁˆÓ›· 40Æ, Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ÛÙ) √ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ‰‡Ô ÔÌÔ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.

5

·) ¡· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ¢ Î·È ∂∑∏ Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ‚) ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· ·ÔÙÂÏÔ‡ÓÙ·È ·fi ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi ÔÌÔ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ, Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ fiÌÔÈ·;

¢

° £

∞

B

∏

∑

∂

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ∞ ·) ‚) Á) x

6

B

4

∞

cm

6c m

∞

¢

cm

9 cm

°

¢

x

B

222

¢

∂

8 cm

∂

x

∂

12 c m

1

4 cm

(220-224)

° 8 cm

B

12 cm

°

(220-224)

14-11-06

16:04

™ÂÏ›‰·223

1.5 OÌÔÈfiÙËÙ· ∧

2

¢›ÓÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ( ∞ = 90Æ) Î·È ∞¢ ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢µ Î·È ∞¢° Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ∞Ó ¢µ = 4 cm Î·È ¢° = 9 cm, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ ∞¢.

3

™ÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ∞µ = 8 cm Î·È ∞° = 12 cm ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Ó· ¿ÚÂÙ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ÛËÌ›· ¢ Î·È ∂, ÒÛÙ ∞¢ = 2 cm Î·È ∞∂ = 3 cm. N· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ¢∂ // µ° ‚) Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢∂, ∞µ° Â›Ó·È fiÌÔÈ·.

4

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ∞µ ÙÔ˘ ÔÙ·ÌÔ‡, ·Ó ∞° = 12 m, °¢ = 28,8 m, E¢ = 60 m Î·È ∧

∞

µ

∧

∞ = ¢ = 90Æ.

° ∂ ¢ ¢ µ

5

8

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞∂°, µ∂¢ Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.

x ∂ 6

3x ° ∞

6

MÚÔÛÙ¿ ÛÙÔ Ì¿ÙÈ Ì·˜ Î·È Û ·fiÛÙ·ÛË 0,4 m ÎÚ·Ù¿Ì ηٷÎfiÚ˘Ê· ¤Ó· Ú·‚‰› ∞µ = 0,5 m. ∞Ó ÌÂÙ·ÎÈÓËıÔ‡ÌÂ Î·È ÛÙ·ıԇ̠۠¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ∑ Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ ÔÈ Â˘ı›˜ √∞, √µ Ó· ηٷϋÁÔ˘Ó ÛÙË ‚¿ÛË Î·È ÛÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ ÎÂÚ·›·˜ ÂÓfi˜ Ú·‰ÈÔʈÓÈÎÔ‡ ÛÙ·ıÌÔ‡, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ·fiÛÙ·Û‹ Ì·˜ ·fi ÙËÓ ÎÂÚ·›· Â›Ó·È °∑ = 16,8 m. ªÔÚ›Ù ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ÎÂÚ·›·˜;

¢

µ 0,5 m

∞

7

™ÙÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞µ°¢ Â›Ó·È ∂∑ // ¢°, µ∏ // ∞¢ Î·È ∂£ // ∞¢. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· µ∏∂, ∂£° Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x.

∑

∂

° 16,4 m

∞

√

0,4 m

B

12 cm

9 cm x

∑

∏

∂ 15 cm

°

¢ 28 cm

£

223

(220-224)

3-11-06

11:46

™ÂÏ›‰·224

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

8

√ ÁÈÔ˜ ¤¯ÂÈ ‡„Ô˜ 1,36 m. ¶ÔÈÔ Â›Ó·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ·Ù¤Ú· ÙÔ˘;

∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ ∆∏¡ π™∆√ƒπ∞ ∆ø¡ ª∞£∏ª∞∆π∫ø¡ ∏ ıˆڛ· ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ ‹Ù·Ó ÁÓˆÛÙ‹ ·fi Ù· ̤۷ ÙÔ˘ 7Ô˘ ·ÈÒÓ· .Ã. ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù˘ ıˆڛ·˜ ·˘Ù‹˜ Ô £·Ï‹˜ Ô ªÈÏ‹ÛÈÔ˜ (624 - 547 .Ã.), ¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ÂÙ¿ ÛÔÊÔ‡˜ Ù˘ ·Ú¯·ÈfiÙËÙ·˜, ηÙfiÚıˆÛ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÈ ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ÌÂÁ¿Ï˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ÙÔ˘ äÔÔ˜ ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÛÎÈ¿˜ Ù˘, ·ÔÛÒÓÙ·˜ ÙÔ ı·˘Ì·ÛÌfi ÙÔ˘ ‚·ÛÈÏÈ¿ Ù˘ ∞ÈÁ‡ÙÔ˘, ÙÔ˘ ÕÌ·ÛÈ. ¢Â ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙȘ Ù¯ÓÈΤ˜ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔ›ËÛÂ Ô £·Ï‹˜ Û’ ·˘Ùfi ÙÔ Â›Ù¢ÁÌ¿ ÙÔ˘. √ ¶ÏÔ‡Ù·Ú¯Ô˜, ˆÛÙfiÛÔ, Ì·˜ ‰ÈËÁÂ›Ù·È Ù· ÂÍ‹˜:

B

·Î Ù›Ó Â˜ ÙÔ˘ ‹Ï ÈÔ˘

µ

∞

¢

∞

°

«∞ÊÔ‡ ¤ÛÙËÛ ÙÔ Ú·‚‰› ÙÔ˘ Ô £·Ï‹˜ ÛÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ÛÎÈ¿˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ·fi Ù· ‰‡Ô fiÌÔÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙËÓ Â·Ê‹ Ù˘ ·ÎÙ›Ó·˜ ÙÔ˘ ‹ÏÈÔ˘, ·¤‰ÂÈÍ fiÙÈ o ÏfiÁÔ˜ Ô˘ ›¯Â Ë ÛÎÈ¿ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ÚÔ˜ ÙË ÛÎÈ¿ Ù˘ Ú¿‚‰Ô˘ ‹Ù·Ó Ô ›‰ÈÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ Ô˘ ›¯Â ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ Ú¿‚‰Ô˘».

√ ¢ÈÔÁ¤Ó˘ Ô §·¤ÚÙÈÔ˜, Ì¿ÏÈÛÙ·, ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È fiÙÈ Ô £·Ï‹˜ ̤ÙÚËÛ ÙË ÛÎÈ¿ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜, fiÙ·Ó ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ Ú¿‚‰Ô˘ ¤ÁÈÓ ›ÛÔ Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÛÎÈ¿˜ Ù˘.

ªÔÚ›Ù ӷ ÂÍËÁ‹ÛÂÙÂ, Ò˜ Ô £·Ï‹˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ ÙÂÏÈο ÙÔ ‡„Ô˜ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜, ·ÊÔ‡ ÌÔÚÔ‡Û ӷ ÌÂÙÚ‹ÛÂÈ ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ Ù˘ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ ‚¿Û˘ Ù˘ ˘Ú·Ì›‰·˜ Î·È Ù˘ ÛÎÈ¿˜ ¢∞ ;

224

(225-230)

3-11-06

11:49

1. 6

™ÂÏ›‰·225

§fiÁÔ˜ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ

✔

Mαθαίνω τη σχέση που συνδέει τα εµβαδά οµοίων πολυγώνων.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ŒÓ·˜ Ì˯·ÓÈÎfi˜ ۯ‰›·Û ¤Ó· Á‹Â‰Ô Ì¿ÛÎÂÙ Ì Îϛ̷η 1 : 50. ∆Ô Û¯¤‰ÈÔ Â›¯Â ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ 60 cm x 30 cm. 1. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ Ú·ÁÌ·ÙÈΤ˜ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÁË¤‰Ô˘. 2. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ ۯ‰›Ô˘ ÚÔ˜ ÙÔ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ÂÌ‚·‰fi ÙÔ˘ ÁË¤‰Ô˘. 3. ¡· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ Ô˘ ‚ڋηÙ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Ù˘ Îϛ̷η˜ ÙÔ˘ ۯ‰›Ô˘. ™¯Â‰È¿˙Ô˘Ì ¤Ó· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∞µ°¢ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ·, ‚. ∞Ó Û¯Â‰È¿ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ∞ µ ° ¢ Ì ÙÚÈÏ¿ÛȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ, ÙfiÙ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ·˘Ùfi Â›Ó·È fiÌÔÈÔ ÚÔ˜ ÙÔ ·Ú¯ÈÎfi Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï = 3. ∞ ∆· ÂÌ‚·‰¿ ∂ , ∂ ÙˆÓ ‰‡Ô ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ›ӷÈ: ∂ = 3· 3‚ Î·È ∂ = · ‚ ÔfiÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙÔ˘˜ ›ӷÈ: ∂ 3· 3‚ = = 32 ∂ · ‚

∞

B ‚

¢

°

·

B

3‚

¢

°

3·

¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÏÔÈfiÓ fiÙÈ, Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ·˘ÙÒÓ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜. √ÌÔ›ˆ˜, ·Ó ÛÙȘ οıÂÙ˜ Ï¢ڤ˜ ∞µ, ∞° ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ¿ÚÔ˘Ì ٷ ÛËÌ›· ¢, ∂ ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÒÛÙ ∞¢ = 3 ∞µ Î·È ∞∂ = 3 ∞°, ÙfiÙ 5 5 Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÙ·È ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞¢∂, Ô˘ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ° Ì ΤÓÙÚÔ ÔÌÔÈÔıÂÛ›·˜ ∞ Î·È ÏfiÁÔ 3 . ÕÚ· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞¢∂ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ 5

B

¢

∞

∂

°

ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï = 3 . 5 °È· Ù· ÂÌ‚·‰¿ (∞¢∂) Î·È (∞µ°) ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ·˘ÙÒÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ÈÛ¯‡ÂÈ: 1 ∞¢ ∞∂ 2 (∞¢∂) ∞∂ ∞¢ 3 3 3 2 . = 1 = = = 5 5 5 ∞µ (∞µ°) ∞° ∞µ ∞° 2

( )

225

(225-230)

7-11-06

16:49

™ÂÏ›‰·226

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

¶·Ú·ÙËÚÔ‡ÌÂ, ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙˆÓ ÔÌÔ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ ∞¢∂, ∞µ° Â›Ó·È Î·È ¿ÏÈ ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.

Γενικά √ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ‰‡Ô ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÛÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÙÔ ÔχÁˆÓÔ (¶) Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ÔχÁˆÓÔ (¶ ) Î·È ‰‡Ô ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È 2 cm Î·È 4 cm ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜. √ ÏfiÁÔ˜ 2 1 ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ (¶) ÚÔ˜ ÙÔ (¶ ) Â›Ó·È Ï = = , 4 2

¶ ¶

∂ 1 2 1 ÔfiÙ ÁÈ· Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙÔ˘˜ ∂ Î·È ∂ ÈÛ¯‡ÂÈ = = . 2 4 ∂

( )

4 cm

2 cm

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

∞

™ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ∞µ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ·›ÚÓÔ˘Ì ÛËÌÂ›Ô ¢, 2 Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙ ∞¢ = ∞µ. ∞fi ÙÔ ¢ ʤÚÔ˘Ì ·Ú¿Ï3 ÏËÏË ÛÙË µ° Ô˘ Ù¤ÌÓÂÈ ÙËÓ ∞° ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∂. ∞Ó ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Â›Ó·È 18 cm 2, Ó· ‚ÚÂı› ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚ·Â˙›Ô˘ ¢∂°µ.

Λύση

∧

∧

¢

1

∂

B

°

∧

∆· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞¢∂ Î·È ∞µ° ¤¯Ô˘Ó ÙË ÁˆÓ›· ∞ ÎÔÈÓ‹ Î·È ¢1 = µ, ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ÂÓÙfi˜ ÂÎÙfi˜ Î·È Â› Ù· ·˘Ù¿ ̤ÚË ÙˆÓ ·Ú·ÏÏ‹ÏˆÓ ¢∂, µ° Ô˘ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ·fi ÙËÓ ∞µ. ¢ËÏ·‰‹, Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ·˘Ù¿ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·, ÔfiÙÂ Â›Ó·È fiÌÔÈ· ∞¢ 2 Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜ Ï = = . ÕÚ· ÁÈ· Ù· ÂÌ‚·‰¿ (∞¢∂) Î·È (∞µ°) ÈÛ¯‡ÂÈ 3 ∞µ (∞¢∂) 2 = 3 (∞µ°)

( )

2

‹

(∞¢∂) 4 = ‹ (∞¢∂) = 8 cm2. 9 18

TÔ ÙÚ·¤˙ÈÔ ¢∂°µ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ (¢∂°µ) = 18 cm2 – 8 cm2 = 10 cm2. ∏

2

™Â ¤Ó· ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ ÚÔÂÎÙ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ∞µ, ∞°, ∞¢ ηٿ ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞∂∑∏. ¶fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Â›Ó·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·χÚÔ˘ ∞∂∑∏ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ∞µ°¢;

Λύση

¢ ∞ B

°

∂

∆o ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞∂∑∏ Â›Ó·È ÔÌÔÈfiıÂÙÔ ÙÔ˘ ∞µ°¢ Ì ΤÓÙÚÔ ∞ Î·È ÏfiÁÔ 2. 226

∑

3-11-06

11:49

™ÂÏ›‰·227

1.6 §fiÁÔ˜ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ

ÕÚ· ∞∂∑∏

≈ ∞µ°¢, ÔfiÙÂ

(∞µ°¢) ∞µ = (∞∂∑∏) ∞∂

( )

2

=

( 12 )

2

=

1 . 4

EÔ̤ӈ˜, (∞∂∑∏) = 4(∞µ°¢), ‰ËÏ·‰‹ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞∂∑∏ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÚ·Ï¿ÛÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ·fi ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

∞Ó Ù· ÔχÁˆÓ· ¶1, ¶2 Â›Ó·È fiÌÔÈ·, Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ Û˘Ó‰¤ÂÈ Ù· ÂÌ‚·‰¿ ÙÔ˘˜ ∂1, ∂2. 2 cm

¶2 ¶1

4 cm

¶1

¶1 ¶2

4 cm

E1 = ...E2

¶2

2 cm

E1 = ...E2

E1 = ...E2

2

N· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: ·) ∞Ó ÙÚÈÏ·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì οı ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Á›ÓÂÙ·È ....................... ÊÔÚ¤˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ. ‚) ∞Ó ‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì οı ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÈÛoχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Á›ÓÂÙ·È ....................... ÊÔÚ¤˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ. Á) ∞Ó ¤Ó·˜ ÚfiÌ‚Ô˜ ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ 6 cm Î·È ¤Ó·˜ ¿ÏÏÔ˜ fiÌÔÈfi˜ ÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˜ ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ 3 cm, ÙfiÙÂ Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ÚfiÌ‚Ô˜ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ....................... ÊÔÚ¤˜ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ ÚfiÌ‚Ô˘.

3

ŒÓ· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ¶1 Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ¶2 Ì ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ·˜

2 . 5 √ °È¿ÓÓ˘ ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ¶1 Â›Ó·È ÙÔ 16% ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ ¶2. Œ¯ÂÈ ‰›ÎÈÔ;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ∞

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ¢∂ // µ°. (∞¢∂) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ (∞µ°)

3c m

1

¢

∂

2c m

(225-230)

B

2

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È ¢∂ // B°. ∞Ó ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞¢∂ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ 18 cm2, ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°.

° ∞

¢ B

3 cm 5 cm

∂ °

227

21-11-06

17:22

™ÂÏ›‰·228

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

™Â ÙÚ·¤˙ÈÔ ∞µ°¢ Ì ‚¿ÛÂȘ ∞µ = 1 cm Î·È °¢ = 5 cm, ÔÈ ‰È·ÁÒÓȘ ∞° Î·È µ¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ √. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ˜ ÊÔÚ¤˜ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ √°¢ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ √∞µ.

4

∞Ó ¢, ∂, ∑ Â›Ó·È Ù· ̤۷ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ µ°, °∞, ∞µ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜: (∞∑∂) (¢∂∑) ∞ ·) ‚) (∞µ°) (∞µ°)

5

∞Ó ∂ Â›Ó·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°, ¢∑ // µ° Î·È ¢∏ // ∞°, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÁÈ· Ù· ÂÌ‚·‰¿ ∂1, ∂2, ¢ 4 1 ∂2 ∂3 ÈÛ¯‡Ô˘Ó: ∂1 = ∂ , ∂2 = ∂ Î·È ∂3 = ∂1. 9 9 B

8 cm

3

∂1 ∑

4 cm

∂3 °

∏ B

6

™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ó· ʤÚÂÙ ÙÔ ‡„Ô˜ ∞¢ Ô˘ ·ÓÙÈÛÙÔȯ› ÛÙËÓ ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û·. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜: (∞µ¢) (∞µ¢) ·) ‚) (∞°¢) (∞µ°)

4 cm

(225-230)

¢

∞

7

™ÙÔ ÂÛˆÙÂÚÈÎfi ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Ó· ¿ÚÂÙÂ Ù˘¯·›Ô ÛËÌÂ›Ô √. ∞Ó ¢, ∂, ∑ Â›Ó·È ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜ Ù· ̤۷ ÙˆÓ √∞, √µ, √°, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¢∂∑ Â›Ó·È fiÌÔÈÔ Ì ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ°. ‚) ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ¯ÚˆÌ·ÙÈṲ̂Ó˘ ÂÈÊ¿ÓÂÈ·˜ 3 Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ٷ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ°. 4

°

3 cm

∞

¢

√ ∂

∑

°

B

8

ŒÓ· ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ 40 cm2. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ô˘ ı· ÚÔ·„ÂÈ, ·Ó ʈÙÔÙ˘Ëı›: ·) ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË 120% ‚) ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË 75%.

9

∞Ó Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ·˘ÍËı› ηٿ 30%, ÙfiÙ ӷ ‚Ú›Ù fiÛÔ % ı· ·˘ÍËı› ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘.

10

√È ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ ÌÂÈÒıËÎ·Ó Î·Ù¿ 20%, ÁÈ·Ù› ·˘Í‹ıËΠÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙˆÓ ‰ÈÏ·ÓÒÓ ‰ÚfïÓ. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔ % ÌÂÈÒıËΠÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘.

∞

ª ¢

228

K

µ

§ °

(225-230)

3-11-06

11:49

™ÂÏ›‰·229

1.6 §fiÁÔ˜ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÔÌÔ›ˆÓ Û¯ËÌ¿ÙˆÓ

°∂¡π∫∂™ ∞™∫∏™∂π™ 1Ô˘ ∫∂º∞§∞π√À ∞

1

∞Ó Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞¢∂ ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂÏ‹, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ µ¢ = °∂. B

¢ Z

∞

2

°

∂ B

¢›ÓÂÙ·È ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞µ°¢ Î·È ÛËÌ›· ∑, ∂ ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ∞µ Î·È µ° ·ÓÙÈÛÙÔ›¯ˆ˜, Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙ ∞∑ = µ∂. ‚) ¢∑ ⊥ ∞∂. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ¢∑ = ∞∂

E

¢

°

3

™Â ¢ı›·  ӷ ¿ÚÂÙ ٷ ‰È·‰Ô¯Èο ÛËÌ›· ∞, µ Î·È °. ¶ÚÔ˜ ÙÔ ›‰ÈÔ Ì¤ÚÔ˜ Ù˘ ¢ı›·˜ Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÙ ٷ ÈÛfiÏ¢ڷ ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ∑ Î·È µ°∏. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ∞∏ = °∑.

4

™Â ‰‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° Â›Ó·È µ° = µ ° , µ = µ Î·È ÔÈ ‰È¯ÔÙfiÌÔÈ µª Î·È µ ª Â›Ó·È ›Û˜. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞µ° Î·È ∞ µ ° Â›Ó·È ›Û·.

∧

∧

y

¢

5

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È µ¢ // ∞° Î·È ¢∂ // °µ. ·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ٷ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· √¢ Î·È √∂. O ‚) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ √µ2 = √∞ √∂.

° 6 cm 5 cm

A 3 cm

B ∂

6

ŒÓ· ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ ÏÂ˘Ú¿ 6 cm. N· ‚Ú›Ù ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÂÓfi˜ ¿ÏÏÔ˘ ÈÛÔχÚÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ. 8 cm

∞

7

∂

√È ‰È·ÁÒÓÈÔÈ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∞µ°¢ Ù¤ÌÓÔÓÙ·È ÛÙÔ ÛËÌÂ›Ô √. ∞fi ÙÔ Ì¤ÛÔÓ ª ÙÔ˘ √µ Ó· ʤÚÂÙ ª∂ ⊥ ∞¢ Î·È ª∑ ⊥ °¢. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ª∂¢∑.

B ª

O

¢

∑

°

∑

8

x

ªÂ ÏÂ˘Ú¿ ÙË ‰È·ÁÒÓÈÔ ∞°, ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ∞µ°¢ ÏÂ˘Ú¿˜ x, Ó· Û¯ËÌ·Ù›ÛÂÙ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ∞°∂∑. (∞°∂∑) ·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ . ∞ (∞µ°¢) ‚) ∞Ó (∞°∂∑) = 200 cm2, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ x. x ¢

x

µ

∂

x

x

°

229

3-11-06

11:49

™ÂÏ›‰·230

M¤ÚÔ˜ B - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 1Ô

9

3c m

∞

™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ¢∂ // µ° 9 Î·È (∞¢∂) = (∞µ°). ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x. 16

∂

¢ x

°

B

10

™ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ¢∂ // µ°, ¢∑ // ∞° Î·È ∂∏ // ∞µ. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: 16 ·) µ∑ = °∏ ‚) (¢∂∏∑) = (∞µ°) 49

5c m

∞

¢

∂

2c m

(225-230)

B

Z

H

°

E¶∞¡∞§∏æ∏ – ∞¡∞∫∂º∞§∞πø™∏ 1o˘ K∂º∞§∞π√À Α . IΣΑ ΤΡΙΓΩΝΑ ñ ÿÛ· ÙÚ›ÁˆÓ· ϤÁÔÓÙ·È Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜. ñ ∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û· fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó: – ¢‡Ô Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Î·È ÙËÓ ÂÚȯfiÌÂÓË ÁˆÓ›· ÙÔ˘˜ ›ÛË (¶ – ° – ¶). – ª›· ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È ÙȘ ÚÔÛΛÌÂÓ˜ ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ÁˆÓ›Â˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· (° – ¶ – °). – ∆Ș Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· (¶ – ¶ – ¶). ñ ∫ÚÈÙ‹ÚÈ· ÈÛfiÙËÙ·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›ˆÓ ÙÚÈÁÒÓˆÓ. ¢‡Ô ÔÚıÔÁÒÓÈ· ÙÚ›ÁˆÓ· Â›Ó·È ›Û· fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó: – ¢‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ Ï¢ڤ˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›·. – ª›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÏÂ˘Ú¿ ›ÛË Î·È Ì›· ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ë ÔÍ›· ÁˆÓ›· ›ÛË.

Β . ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ – ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ñ ¶·Ú¿ÏÏËϘ ¢ı›˜, ·Ó ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Û ÌÈ· ¢ı›· Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÂÈ, ÙfiÙ ı· ÔÚ›˙Ô˘Ó ›Û· ÙÌ‹Ì·Ù· Î·È Û ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ¿ÏÏË Â˘ı›· Ô˘ ÙȘ Ù¤ÌÓÂÈ. ñ §fiÁÔ˜ ÂÓfi˜ ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ˘ ÙÌ‹Ì·ÙÔ˜ °¢ ÚÔ˜ ÙÔ Â˘ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· ∞µ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ Ï ÁÈ· ÙÔÓ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ °¢ = Ï ∞µ. · Á ñ ∆· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ·, Á Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· ‚, ‰, fiÙ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ = . ‚ ‰ ñ £ÂÒÚËÌ· £·Ï‹. ∆ÚÂȘ ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ¢ı›˜, ·Ó Ù¤ÌÓÔ˘Ó ‰‡Ô ¿ÏϘ ¢ı›˜, ÙfiÙ ٷ ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙË Ì›· Â›Ó·È ·Ó¿ÏÔÁ· ÚÔ˜ Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÛÙËÓ ¿ÏÏË.

Γ . ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ – ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ñ √ÌÔÈfiıÂÙÔ ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ∞ ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Î¤ÓÙÚÔ √ Î·È ÏfiÁÔ Ï ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ∞ Ù˘ ËÌÈ¢ı›·˜ √∞ ÁÈ· ÙÔ ÔÔ›Ô ÈÛ¯‡ÂÈ √∞ = Ï √∞. ñ ∆· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌ· ÙÌ‹Ì·Ù· Ô˘ ‰Â ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÛÙËÓ ›‰È· ¢ı›· Â›Ó·È ·Ú¿ÏÏËÏ·. ñ √È ÔÌÔÈfiıÂÙ˜ ÁˆÓ›Â˜ Â›Ó·È ›Û˜. ñ ¢‡Ô ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜. ñ ŸÌÔÈ· ÔχÁˆÓ· ϤÁÔÓÙ·È Ù· ÔχÁˆÓ· Ô˘ ÙÔ ¤Ó· Â›Ó·È ÌÂÁ¤ı˘ÓÛË ‹ ÛÌ›ÎÚ˘ÓÛË ÙÔ˘ ¿ÏÏÔ˘. ñ ¢‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜ Î·È ÙȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ˜ ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Î·È ·ÓÙÈÛÙÚfiʈ˜. ñ ∆· ÔÌÔÈfiıÂÙ· ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·. ñ ¢‡Ô ÙÚ›ÁˆÓ· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ÙÔ˘˜ ›Û˜ Ì›· ÚÔ˜ Ì›· Â›Ó·È fiÌÔÈ· Î·È ı· ¤¯Ô˘Ó ÙȘ ÔÌfiÏÔÁ˜ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ˜. ñ ∞Ó ‰‡Ô ÔχÁˆÓ· Â›Ó·È fiÌÔÈ·, ÙfiÙÂ: – √ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÚÈ̤ÙÚˆÓ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜. – √ ÏfiÁÔ˜ ÙˆÓ ÂÌ‚·‰ÒÓ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ ÏfiÁÔ˘ ÔÌÔÈfiÙËÙ¿˜ ÙÔ˘˜.

230

(231-236)

3-11-06

11:53

™ÂÏ›‰·231

2o Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο

TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 2.1 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ω µε 0° ω 180°. 2.2 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί παραπληρωµατικών γωνιών. 2.3 Σχέσεις µεταξύ τριγωνοµετρικών αριθµών µιας γωνίας. 2.4 Νόµος ηµιτόνων Νόµος συνηµιτόνων.

Γενικές ασκήσεις 2ου Κεφαλαίου Επανάληψη – Ανακεφαλαίωση

(231-236)

3-11-06

2.1

11:53

™ÂÏ›‰·232

∆ÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÁˆÓ›·˜ ˆ Ì 0Æ ˆ 180Æ

✔ Θυµάµαι πώς ορίζονται οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου. ✔ Γνωρίζω πώς ορίζονται οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ω µε 0° ω 180°. ✔ Μαθαίνω να υπολογίζω τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς µιας γωνίας µε τη βοήθεια ενός ορθοκανονικού συστήµατος αξόνων.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ™Â ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ʤڷÌ ÙËÓ ËÌÈ¢ı›· √ª, Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙ÂÈ Ì ÙÔÓ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x ÁˆÓ›· ˆ.

y

1. ¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª ηÈ

3

M

2 1

Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ √.

2. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

ˆ

√

1

2

3 4

x

™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË Ì¿ı·Ì Ò˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÌÈ·˜ ÔÍ›·˜ ÁˆÓ›·˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘. ™˘ÁÎÂÎÚÈ̤ӷ, ° Ì¿ı·Ì fiÙÈ: ·¤Ó·ÓÙÈ Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ∞° Ë̈ = = ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· µ° Û˘Óˆ =

ÚÔÛΛÌÂÓË Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ∞µ = ˘ÔÙ›ÓÔ˘Û· µ°

Âʈ =

·¤Ó·ÓÙÈ Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ∞° = ÚÔÛΛÌÂÓË Î¿ıÂÙË ÏÂ˘Ú¿ ∞µ

ˆ

µ

∞

OÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÌÈ·˜ ÔÍ›·˜ ÁˆÓ›·˜ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È Î·È Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÂÓfi˜ ÔÚıÔηÓÔÓÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÍfiÓˆÓ. y ∞Ó Û’ ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ¿ÚÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(4, 3) Î·È Ê¤ÚÔ˘Ì ª∞ ⊥ x x Î·È B M(4, 3) 3 ªµ ⊥ y y, ÙfiÙ ¤¯Ô˘Ì √∞ = 4 Î·È √µ = ∞ª = 3.∧ √È ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = xOª 2 5 = Ú ˘ÔÏÔÁ›˙ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ √∞ª. 1 ˆ A ∞fi ÙÔ ¶˘ı·ÁfiÚÂÈÔ ıÂÒÚËÌ· ÛÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ·˘Ùfi ÁÈ· √ 2 2 2 1 2 3 4 x ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ú = √ª ¤¯Ô˘ÌÂ Ú = 4 + 3 , ÔfiÙ 2 2 Ú = 4 + 3 = 25 = 5. ÕÚ·

232

Ë̈ =

ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ª 3 = ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙÔ √ 5

Û˘Óˆ =

ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ª 4 = ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙÔ √ 5

Âʈ =

ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ª 3 = ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ª 4

(231-236)

3-11-06

11:53

™ÂÏ›‰·233

2.1 ∆ÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÁˆÓ›·˜ ˆ Ì 0Æ ˆ 180Æ

ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· fï˜ ÂÓfi˜ ÔÚıÔηÓÔÓÈÎÔ‡ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÍfiÓˆÓ ÌÔÚԇ̠ӷ ÔÚ›ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜ ˆ Î·È fiÙ·Ó ·˘Ù‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È ÔÍ›·. ∞Ó ¤¯Ô˘Ì ̛· ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ˆ, ÙfiÙ ÙËÓ ÙÔÔıÂÙԇ̠ے ¤Ó· ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ë ÎÔÚ˘Ê‹ Ù˘ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙËÓ ·Ú¯‹ √, Ë Ì›· ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ Ó· Û˘Ì¤ÛÂÈ Ì ÙÔÓ ıÂÙÈÎfi ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x Î·È Ë ¿ÏÏË Ù˘ ÏÂ˘Ú¿ Ó· ‚ÚÂı› ÛÙÔ 2Ô ÙÂÙ·ÚÙËÌfiÚÈÔ. ∞Ó ÛÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ·˘Ù‹ ¿ÚÔ˘Ì ¤Ó· ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ÛËÌÂ›Ô ª(x, y), ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi ÙÔ √, ÙfiÙ ÁÈ· ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ú = √ª ÈÛ¯‡ÂÈ Ú = x2 + y2

y

M(x, y)

Ú

ˆ

ˆ

√

x

OÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ ›ӷÈ: Ë̈ =

ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ª y = ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙÔ √ Ú

Û˘Óˆ =

ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ª x = ·fiÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ª ·fi ÙÔ √ Ú

Âʈ =

ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ª ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ª

=

y x

¶·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ: ñ ∞Ó Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ÔÍ›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È x>0, y>0, Ú>0, ÔfiÙÂ: Ë̈>0, Û˘Óˆ>0, Âʈ>0. ñ ∞Ó Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·, ÙfiÙÂ Â›Ó·È x<0, y>0, Ú>0, ÔfiÙÂ: Ë̈>0, Û˘Óˆ<0, Âʈ<0. √È ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔÈ Ù‡ÔÈ ÁÂÓÈ·ÔÓÙ·È Î·È fiÙ·Ó ˆ = 0Æ ‹ ˆ = 90Æ ‹ ˆ = 180Æ. ŒÙÛÈ, ÌÔÚԇ̠ÙÒÚ· Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ 0Æ, 90Æ Î·È 180Æ. y

y

y

M(0, 1) M(1, 0) √

M(–1, 0)

ˆ

x

√

ˆ = 0Æ

AÓ ª ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x ∧ .¯. ÙÔ ª(1,0), ÙfiÙ ˆ=x√M=0Æ Î·È Ú=√ª=1. ÕÚ·:

x ˆ = 90Æ

AÓ ª ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √y ∧ .¯. ÙÔ ª(0,1), ÙfiÙ ˆ=x√M=90Æ Î·È Ú=√ª=1. ÕÚ·:

ˆ

√

x ˆ = 180Æ

AÓ ª ÛËÌÂ›Ô ÙÔ˘ ËÌÈ¿ÍÔÓ· √x ∧ .¯. ÙÔ ª(–1,0), ÙfiÙ ˆ=x√M=180Æ Î·È Ú=√ª=1. ÕÚ·:

ËÌ0Æ =

y 0 = =0 Ú 1

ËÌ90Æ =

y 1 = =1 Ú 1

ËÌ180Æ =

y 0 = =0 Ú 1

Û˘Ó0Æ =

x 1 = =1 Ú 1

Û˘Ó90Æ =

x 0 = =0 Ú 1

Û˘Ó180Æ =

x –1 = = –1 Ú 1

ÂÊ0Æ =

y 0 = =0 x 1

ÂÊ180Æ =

y 0 = =0 x 1

ÂÊ90Æ ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È (ÁÈ·Ù› x=0)

233

(231-236)

7-11-06

16:51

™ÂÏ›‰·234

M¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘ÌÂ Î·È ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ 30Æ, 45Æ Î·È 60Æ Ô˘ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙÔÓ ‰ÈÏ·Ófi ›Ó·Î·.

ˆ

30Æ

45Æ

60Æ

Ë̈

1  2

2  2

3  2

Û˘Óˆ

3  2

2  2

1  2

Âʈ

3  3

1

3

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

™ Â Ô Ú ı Ô Î · Ó Ô Ó È Î fi Û ‡ Û Ù Ë Ì · · Í fi Ó ˆ Ó √ x y  · › Ú Ó Ô ˘ Ì Â Ù Ô Û Ë Ì Â › Ô ª ( – 4, 3). ∧ ¡ · ˘  Ô Ï Ô Á È Û Ù Ô ‡ Ó Ô È Ù Ú È Á ˆ Ó Ô Ì Â Ù Ú È Î Ô › · Ú È ı Ì Ô › Ù Ë ˜ Á ˆ Ó › · ˜ ˆ = x Oª.

Λύση °È· ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË √ª = Ú ¤¯Ô˘ÌÂ: Ú = x 2 + y 2 = (– 4)2 + 32 = 25 = 5. ÕÚ·: Ë̈ =

Ú

x y 3 –4 4 = , Û˘Óˆ = = =– Ú Ú 5 5 5

ˆ

™Â oÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ʤÚÔ˘Ì ∧ ËÌÈ¢ı›· √z, ÒÛÙ x Oz = 135Æ. ¶¿Óˆ ÛÙËÓ √z ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª Ì ÙÂÙÌË̤ÓË –1. ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ∧ ÁˆÓ›·˜ x Oª = 135Æ.

Λύση

√

–4

y 3 3 Î·È Âʈ = = =– . x –4 4

2

y 3

M(– 4, 3)

x

y

z M

° Ú 135Æ

B(–1,0)

∧

√

x

∧

º¤ÚÓÔ˘Ì ªµ ⊥ x x Î·È ª° ⊥ y y. ∂Âȉ‹ xOª = 135Æ Î·È xOy = 90Æ ı· Â›Ó·È ∧ °Oª = 45Æ, ÔfiÙ ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ √ª° Â›Ó·È Î·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. ÕÚ· √° = ª° = √µ = 1 Î·È Ë ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª Â›Ó·È y = 1. ¢ËÏ·‰‹ ¤¯Ô˘Ì ª(–1, 1) Î·È Ú = x 2 + y 2 = (– 1)2 + 12 = 2. ÕÚ· ËÌ135Æ=

x y y 2 2 1 = 1 = , Û˘Ó135Æ= = –1 =– Î·È ÂÊ135Æ= = = –1. Ú 2 2 Ú x –1 2 2

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

234

∧

°È· ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(5, 12) Â›Ó·È Ú = √ª = 13. ∞Ó ˆ = xOª Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜: Ë̈ = ....... Û˘Óˆ = ....... Âʈ = .......

(231-236)

3-11-06

11:53

™ÂÏ›‰·235

2.1 ∆ÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ÁˆÓ›·˜ ˆ Ì 0Æ ˆ 180Æ ∧

2

∞Ó Ë ÁˆÓ›· ˆ = xOª Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·, ÙfiÙ ӷ Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ·Ú·Î¿Ùˆ ÎÂÓ¿ Ì ÙÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ > ‹ <. Ë̈ ... 0 Û˘Ó ... 0 Âʈ ... 0

3

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙÔÓ ›ÛÔ ÙÔ˘ ·ÚÈıÌfi ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞ ·. ‚. Á. ‰. Â. ÛÙ. ˙. Ë.

4

ËÌ90Æ Û˘Ó180Æ ÂÊ0Æ Û˘Ó90Æ ËÌ0Æ ÂÊ180Æ Û˘Ó0Æ ËÌ180Æ

™Ù‹ÏË µ

1.

0

2.

–1

3.

1

·

‚

Á

‰

Â

ÛÙ

˙

Ë

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) °È· οı ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ –1 Û˘Óˆ 1. ‚) ∞Ó Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ·Ì‚Ï›·, ÙfiÙ Âʈ < 0. Á) ∞Ó ÁÈ· ÙË ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë̈ > 0, ÙfiÙÂ Ë ˆ Â›Ó·È ÔÍ›·. ‰) ∆Ô ËÌ›ÙÔÓÔ ÔÔÈ·Û‰‹ÔÙ ÁˆÓ›·˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ∧

1

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = xOª, fiÙ·Ó: ·) ª(3, 4) ‚) ª(–5, 12) Á) ª(0, 3)

2

ªÈ· ¢ı›·  ¤¯ÂÈ Â͛ۈÛË y = –2x. ·) N· ۯ‰ȿÛÂÙ ÙËÓ Â˘ı›· Â Î·È Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙËÓ ÙÂÙ·Á̤ÓË ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ Ù˘ ª Ô˘ ¤¯ÂÈ ÙÂÙÌË̤ÓË –1. ∧ ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = x Oª.

3

ŒÓ· ÏÔ›Ô ¶ ·Ó·¯ÒÚËÛ ·fi ÙÔ ÏÈÌ¿ÓÈ √ Î·È ÎÈÓ‹ıËΠ‚ÔÚÂÈÔ·Ó·ÙÔÏÈο ÚÔ˜ Ì›· ηÙ‡ı˘ÓÛË Ô˘ Û¯ËÌ¿ÙÈ˙ Ì ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· √x ÁˆÓ›· 30Æ. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÏÔ›Ô˘ ÌÂÙ¿ ·fi ‰È·‰ÚÔÌ‹ 10 ÌÈÏ›ˆÓ.

y

È· Ì›Ï 10

¶

30Æ O

x

235

(231-236)

3-11-06

11:53

™ÂÏ›‰·236

M¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

4

y

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ √µª Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂ: ·) ÙȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ª. ‚) ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ 120Æ.

M

120Æ

60Æ

√

B( – 2, 0)

x y

5

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ √µª Â›Ó·È ÈÛÔÛÎÂϤ˜. ·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ª Â›Ó·È (– 3, 1). ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ 150Æ.

M 2 15 0Æ

30Æ

B

O

x

y

6

3 ™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Â›Ó·È Âʈ = – . ∞Ó Ë 4 ÙÂÙÌË̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª Â›Ó·È –1, ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙÂ: ·) ÙËÓ ÙÂÙ·Á̤ÓË ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª. ‚) ÙÔ Ë̈ Î·È ÙÔ Û˘Óˆ.

M ˆ

0

–1

x

y

7

ŒÓ· ˘ÚÔ‚fiÏÔ fiÏÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ÛÙË ı¤ÛË √ Î·È ¤¯ÂÈ ÛÙÚ¤„ÂÈ ÙËÓ Î¿ÓÓË ÛÙÔ ÛÙfi¯Ô ™1. ∞Ó Ô ÛÙfi¯Ô˜ ™1 ÌÂÙ·ÎÈÓËı› ÛÙË ı¤ÛË ™2, ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ˜ ÌÔ›Ú˜ Ú¤ÂÈ Ó· ÛÙÚ·Ê› Ë Î¿ÓÓË ÙÔ˘ ˘ÚÔ‚fiÏÔ˘ fiÏÔ˘ ÁÈ· Ó· ÛËÌ·‰Â‡ÂÈ ÙÔ ÛÙfi¯Ô ÛÙË Ó¤· ÙÔ˘ ı¤ÛË;

20

(¡· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÂÙ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ›Ó·Î˜).

4

™2

16 12 8

™1

0

236

4

8

12

16

20

x

(237-239)

3-11-06

11:57

2. 2

™ÂÏ›‰·237

∆ÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ

Γνωρίζω ποια σχέση συνδέει: ✔ Τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς παραπληρωµατικών γωνιών. ✔ Τις γωνίες που έχουν το ίδιο ηµίτονο.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ™Â ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy Ó· ¿ÚÂÙ ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(3, 4). 1. ¶ÔȘ Â›Ó·È ÔÈ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ÙÔ˘ ÛËÌ›Ԣ ª , Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ª ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y; ∧ ∧ 2. N· ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÁÈ·Ù› ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ xOª = ˆ Î·È xOª = Ê Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. 3. N· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ˆ Î·È Ê Î·È ÙË Û¯¤ÛË Ô˘ ÙÔ˘˜ Û˘Ó‰¤ÂÈ. ™Â ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ √xy ·›ÚÓÔ˘Ì ÙÔ ÛËÌÂ›Ô ª(3, 4) Î·È ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙÔ Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ÙÔ˘ ÛËÌÂ›Ô ª (–3, 4) ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· y y. ∧ AÓ ÔÓÔÌ¿ÛÔ˘Ì ˆ ÙË ÁˆÓ›· xOª, ÙfiÙ ÏfiÁˆ Û˘ÌÌÂÙÚ›·˜ ∧ ∧ y Â›Ó·È x Oª = ˆ, ÔfiÙ ÁÈ· ÙË ÁˆÓ›· Ê = xOª ÈÛ¯‡ÂÈ ª ((– 3, 4) ª(3, 4) Ê = 180Æ – ˆ, Ô˘ ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ 4 ˆ Î·È Ê Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ·ÊÔ‡ ˆ + Ê = 180Æ. 3 Œ¯Ô˘Ì ·ÎfiÌË fiÙÈ Ú Ú 2 Ú = √ª = √ª = 9 + 16 = 25 = 5, ÔfiÙÂ: 1 Ê 4 3 4 ˆ ˆ Ë̈ = , Û˘Óˆ = , Âʈ = Î·È 5 5 3 x –3 –2 –1 0 1 2 3 x ËÌÊ =

4 3 4 , Û˘ÓÊ = – , ÂÊÊ = – . 5 5 3

¶·Ú·ÙËÚԇ̠ÏÔÈfiÓ, fiÙÈ: √È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ˆ, Ê = 180Æ– ˆ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ËÌ›ÙÔÓÔ Î·È ·ÓÙ›ıÂÙÔ˘˜ ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

Γενικά

°È· ‰‡Ô ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ ˆ Î·È 180Æ – ˆ ÈÛ¯‡Ô˘Ó: ñ ËÌ(180Æ – ˆ) = Ë̈ ñ Û ˘ Ó ( 1 8 0 Æ – ˆ ) = – Û˘Óˆ ñ ÂÊ(180Æ – ˆ) = – Âʈ

ªÂ ÙÔ˘˜ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜, ·Ó ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈ΋˜ Ù˘. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, 1 ËÌ150Æ = ËÌ(180Æ – 30Æ) = ËÌ30Æ = 2 Û˘Ó150Æ = Û˘Ó(180Æ – 30Æ) = –Û˘Ó30Æ = – ÂÊ150Æ = ÂÊ(180Æ – 30Æ) = –ÂÊ30Æ = –

3 2

30Æ

150Æ

3 3 237

(237-239)

14-11-06

16:05

™ÂÏ›‰·238

M¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‚ϤÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜ ÁˆÓ›Â˜ 150Æ Î·È 30Æ, ·Ó Î·È ‰ÂÓ Â›Ó·È ›Û˜, ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ËÌ›ÙÔÓÔ. ∂Ô̤ӈ˜: ∞Ó ‰‡Ô ÁˆÓ›Â˜ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ËÌ›ÙÔÓÔ Î·È Â›Ó·È ·fi 0Æ Ì¤¯ÚÈ Î·È 180Æ, ÙfiÙÂ Â›Ó·È ›Û˜ ‹ ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ËÌx = ËÌ35Æ Î·È 0 x 180Æ, ÙfiÙÂ Â›Ó·È x = 35Æ ‹ x = 180Æ – 35Æ, ‰ËÏ·‰‹ x = 35Æ ‹ x = 145Æ.

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ∞ = ËÌ140Æ + Û˘Ó170Æ – ËÌ40Æ + Û˘Ó10Æ.

Λύση √È ÁˆÓ›Â˜ 140Æ Î·È 40Æ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ÔfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ËÌ›ÙÔÓÔ, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È ËÌ140Æ = ËÌ40Æ. √È ÁˆÓ›Â˜ 170Æ Î·È 10Æ Â›Ó·È ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈΤ˜, ÔfiÙ ı· ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙ›ıÂÙ· Û˘ÓËÌ›ÙÔÓ·, ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È Û˘Ó170Æ = –Û˘Ó10Æ. ÕÚ·: ∞ = ËÌ140Æ + Û˘Ó170Æ – ËÌ40Æ + Û˘Ó10Æ = ËÌ40Æ – Û˘Ó10Æ – ËÌ40Æ + Û˘Ó10Æ = 0.

2

∧

∧

∧

∧

∧

∞Ó ∞, µ, ° Â›Ó·È ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞µ° Ì ∞ = 80Æ Î·È µ = 70Æ Ó· ·Ô‰Âȯı› fiÙÈ: ·) ËÌ(∞ + µ) = ËÌ° ‚) Û˘Ó(∞ + µ) = – Û˘Ó°

Λύση

∧

∧

∧

√È ÁˆÓ›Â˜ ∞, µ, ° ÙÔ˘ ÙÚÈÁÒÓÔ˘∧¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 180Æ, ‰ËÏ·‰‹ ›ӷÈ: ∧ 80Æ + 70Æ + °= 180Æ, ÔfiÙ ° = 30Æ. ÕÚ·: ·) ËÌ(∞ + µ) = ËÌ(80Æ + 70Æ) = ËÌ150Æ = ËÌ(180Æ – 30Æ) = ËÌ30Æ = ËÌ°. ‚) Û˘Ó(∞ + µ) = Û˘Ó(80Æ + 70Æ) = Û˘Ó150Æ = Û˘Ó(180Æ – 30Æ) = –Û˘Ó30Æ = –Û˘Ó°.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÈÛfiÙËÙ˜ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜: ·) ËÌ150Æ = ËÌ30Æ ‚) Û˘Ó135Æ = Û˘Ó45Æ Á) ÂÊ100Æ = ÂÊ80Æ Â) Û˘Ó110Æ = –Û˘Ó70Æ

2

238

‰) ÂÊ75Æ = –ÂÊ105Æ ÛÙ) ËÌ140Æ = –ËÌ40Æ

∞Ó ÁÈ· ÙË ÁˆÓ›· x ÈÛ¯‡ÂÈ 0 x 180Æ, Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: ·) ∞Ó ËÌx = ËÌ60Æ, ÙfiÙ x = ............... ‚) ∞Ó Û˘Óx = –Û˘Ó20Æ, ÙfiÙ x = ............... Á) ∞Ó ÂÊx = –ÂÊ30Æ, ÙfiÙ x = ...............

3-11-06

11:57

™ÂÏ›‰·239

2.2 ∆ÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› ·Ú·ÏËڈ̷ÙÈÎÒÓ ÁˆÓÈÒÓ

3

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙÔÓ ·Ú·Î¿Ùˆ ›Ó·Î· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›˙ÔÓÙ·˜ Û οı ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙÔÓ ›ÛÔ ÙÔ˘ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎfi ·ÚÈıÌfi ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË µ. ™Ù‹ÏË ∞ ·.

ËÌ140Æ

‚.

Û˘Ó140Æ

Á.

ÂÊ140Æ

™Ù‹ÏË µ 1. 2. 3. 4. 5. 6.

ËÌ40Æ Û˘Ó40Æ ÂÊ40Æ –ËÌ40Æ –Û˘Ó40Æ –ÂÊ40Æ

·

‚

Á

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ: ·) 120Æ ‚) 135Æ Á) 150Æ

2

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ËÌ108Æ + Û˘Ó77Æ – ËÌ72Æ + Û˘Ó103Æ = 0 ‚) ÂÊ122Æ – ÂÊ58Æ ÂÊ135Æ = 0

3

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) Û˘Ó245Æ + Û˘Ó2135Æ = 1

‚) ËÌ230Æ + ËÌ260Æ + ËÌ2120Æ + ËÌ2150Æ = 2

4

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ËÌ(140Æ + x) = ËÌ(40Æ – x) Î·È Û˘Ó(158Æ – x) = –Û˘Ó(22Æ + x).

5

¡· ‚Ú›Ù ÙË ÁˆÓ›· x, fiÙ·Ó: 2 ·) ËÌx = ‚) ËÌx = 1 – ËÌx 2 1 ‰) Û˘Óx = – 2

Á) Û˘Óx =

3 2

ÛÙ) 2ÂÊx = 1 + ÂÊx

Â) ÂÊx = – 3

6

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ÁˆÓ›Â˜ ÂÓfi˜ ·Ú·ÏÏËÏÔÁÚ¿ÌÌÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ËÌ›ÙÔÓÔ. πÛ¯‡ÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ Î·È ÁÈ· Ù· Û˘ÓËÌ›ÙÔÓ· ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ÙÔ˘; °

7

¢›ÓÂÙ·È ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ ∞µ°¢ Ì µ = ¢ = 90Æ. ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ËÌ∞ + Û˘Ó∞ – ËÌ° + Û˘Ó° = 0 ‚) ÂÊ∞ + ÂÊ° = 0

8

™ÙÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° ÙÔ˘ ‰ÈÏ·ÓÔ‡ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ˆ Î·È Ê.

∧

∧

8 cm

(237-239)

Ê

ˆ

∞

6 cm

B ∞

9

¢›ÓÂÙ·È ÈÛfiÏ¢ÚÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞µ° Ì ÏÂ˘Ú¿ 6 cm Î·È ÛËÌÂ›Ô ¢ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ µ° Ù¤ÙÔÈÔ, ÒÛÙ µ¢ = 2 cm. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÙˆÓ ÁˆÓÈÒÓ ˆ Î·È Ê.

6 cm

µ

Ê 2 cm

ˆ

°

¢

239

(240-243)

3-11-06

11:59

2. 3

™ÂÏ›‰·240

™¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜

✔ Γνωρίζω ποιες είναι οι βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες και µαθαίνω πώς αποδεικνύονται. ✔ Χρησιµοποιώ τις βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες για την απόδειξη άλλων απλών τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων.

∆ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ™Â ÔÚıÔηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· ·ÍfiÓˆÓ Ó· ¿ÚÂÙ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ª ÛÙÔ 1Ô ‹ ÛÙÔ 2Ô ÙÂÙ·ÚÙËÌfiÚÈÔ Ì fiÔȘ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜ ı¤ÏÂÙÂ. ∧ 1. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ = xOª. 2. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË (Ë̈)2 + (Û˘Óˆ)2 Î·È Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ô˘ ‚ڋηÙ Ì ٷ ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù· Ô˘ ‚Ú‹Î·Ó ÔÈ Û˘ÌÌ·ıËÙ¤˜ Û·˜. Ë̈ 3. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ ÏfiÁÔ Û˘Óˆ Î·È Ó· ÙÔÓ Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙËÓ Âʈ. ™Â ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· Ì¿ı·Ì fiÙÈ ÁÈ· ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË Ú ÂÓfi˜ ÛËÌ›Ԣ ª(x, y) ·fi ÙËÓ ·Ú¯‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ ÈÛ¯‡ÂÈ

y ª(x, y)

Ú = x 2 + y 2 ‹ Ú 2 = x 2 + y 2.

Ú

AÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ì ÙÔ Ú2, ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: Ú2 x2 y2 = + ‹ Ú2 Ú2 Ú2 EÂȉ‹ Ë̈ =

x Ú

( )

2

y + Ú

( )

2

ˆ

=1

(1).

0

x

y x Î·È Û˘Óˆ = , Ë ÈÛfiÙËÙ· (1) Á›ÓÂÙ·È Ú Ú (Û˘Óˆ)2 + (Ë̈)2 = 1 ‹ Û˘ÓÙÔÌfiÙÂÚ· ËÌ2ˆ + Û˘Ó2ˆ = 1.

∞ԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ ËÌ2ˆ + Û˘Ó2ˆ = 1 y x AÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ÈÛfiÙËÙ˜ Ë̈ = Î·È Û˘Óˆ = , Ì ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛË Ú Ú fiÙÈ Û˘Óˆ 0, ¤¯Ô˘ÌÂ: y  Ú Ë̈ Ë̈ yÚ Ë̈ y = ‹ = ‹ = = Âʈ Û˘Óˆ Û˘Óˆ xÚ Û˘Óˆ x x  Ú Aԉ›ͷÌ ÏÔÈfiÓ fiÙÈ ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÁˆÓ›· ˆ ÌÂ Û˘Óˆ 0 ÈÛ¯‡ÂÈ Ë̈ Âʈ =  Û˘Óˆ √È ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÈÛfiÙËÙ˜ ϤÁÔÓÙ·È ‚·ÛÈΤ˜ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈΤ˜ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ , ÁÈ·Ù› Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ¿ ÙÔ˘˜ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ Î·È ¿ÏϘ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜. 240

(240-243)

3-11-06

11:59

™ÂÏ›‰·241

2.3 ™¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

3 ∞Ó ÁÈ· ÙËÓ ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë̈ = , ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ¿ÏÏÔÈ ÙÚÈÁˆ5 ÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

Λύση Afi ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· ËÌ2ˆ + Û˘Ó2ˆ = 1 ¤¯Ô˘Ì 3 2 Û˘Ó2ˆ = 1 – ËÌ2ˆ ‹ Û˘Ó2ˆ = 1 – 5

( )

Û˘Ó2ˆ = 1 –

4 9 16 ‹ Û˘Ó2ˆ = ‹ Û˘Óˆ = ± . 5 25 25

∂Âȉ‹ Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ·Ì‚Ï›· ¤¯Ô˘ÌÂ Û˘Óˆ < 0, ÔfiÙÂ Û˘Óˆ = –

4 . 5

3  Ë̈ 3 5 , ÔfiÙ Âʈ = – . ∞fi ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· Âʈ = ¤¯Ô˘Ì Âʈ = 4 Û˘Óˆ 4 – 5

2

∞Ó ÁÈ· ÙËÓ ÔÍ›· ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Âʈ = 2, ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ ¿ÏÏÔÈ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

Λύση Œ¯Ô˘Ì Âʈ = 2 ‰ËÏ·‰‹

Ë̈ = 2, ÔfiÙ Ë̈ = 2Û˘Óˆ (1). Û˘Óˆ

∞Ó ÛÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· ËÌ2ˆ + Û˘Ó2ˆ = 1 ·ÓÙÈηٷÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ Ë̈ Ì ÙÔ 2Û˘Óˆ ¤¯Ô˘Ì (2Û˘Óˆ)2 + Û˘Ó2ˆ = 1 ‹ 4Û˘Ó2ˆ + Û˘Ó2ˆ = 1 ‹ 5Û˘Ó2ˆ = 1 ‹ Û˘Ó2ˆ =

1 , 5

5 ¿Ú· Û˘Óˆ = ± 1 ‹ Û˘Óˆ = ± . 5 5 ∂Âȉ‹ Ë ÁˆÓ›· ˆ Â›Ó·È ÔÍ›· ¤¯Ô˘ÌÂ Û˘Óˆ > 0, ÔfiÙÂ Û˘Óˆ = ∞fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (1) ¤¯Ô˘Ì Ë̈ = 2

3

N· ·Ô‰ÂȯıÔ‡Ó ÔÈ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜: ·) (ËÌx – Û˘Óx) 2 + 2ËÌxÛ˘Óx = 1

5 . 5

5 2 5 ‹ Ë̈ = . 5 5

‚) 1 + ÂÊ 2ˆ =

1 Û˘Ó2ˆ

Λύση ·) Œ¯Ô˘Ì (ËÌx – Û˘Óx)2 + 2ËÌxÛ˘Óx = ËÌ2x – 2ËÌxÛ˘Óx + Û˘Ó2x + 2ËÌxÛ˘Óx = ËÌ2x + Û˘Ó2x = 1 ‚) Œ¯Ô˘Ì 1 + ÂÊ2ˆ = 1 +

(

Ë̈ 2 ËÌ2ˆ Û˘Ó2ˆ + ËÌ2ˆ =1+ = = Û˘Óˆ Û˘Ó2ˆ Û˘Ó2ˆ

)

1 Û˘Ó2ˆ 241

(240-243)

3-11-06

11:59

™ÂÏ›‰·242

M¤ÚÔ˜ µ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. 3 2 ·) ∞Ó ËÌ2ˆ = , ÙfiÙÂ Û˘Ó2ˆ = . 5 5 ‚) ∞Ó Û˘Óˆ = 0, ÙfiÙ ‰ÂÓ ÔÚ›˙ÂÙ·È Ë Âʈ. Á) °È· οı ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ ËÌ2ˆ = Û˘Ó2ˆ – 1. 5 12 5 ‰) ∞Ó Ë̈ = Î·È Û˘Óˆ = , ÙfiÙ Âʈ = 13 13 12

2

O ™Ù¤Ê·ÓÔ˜ ÈÛ¯˘Ú›˙ÂÙ·È fiÙÈ ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ ÁˆÓ›· ˆ, Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙ Ë̈ = 0 Î·È Û˘Óˆ = 0. Œ¯ÂÈ ‰›ÎÈÔ; ¡· ·ÈÙÈÔÏÔÁ‹ÛÂÙ ÙËÓ ·¿ÓÙËÛ‹ Û·˜.

3

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ ÛÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ: ·) ∞Ó Ë̈ = 1, ÙfiÙÂ Û˘Óˆ = ............. ‚) ∞Ó Ë̈ = 0, ÙfiÙÂ Û˘Óˆ = .............

4

¡· ÂÈϤÍÂÙ ÙË ÛˆÛÙ‹ ·¿ÓÙËÛË. ∞Ó Ë̈ = ·)

2 5

‚)

4 5

Á)

2 5

‹ –

2 5

3 , ÙfiÙ ÙÔ Û˘Óˆ Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ: 5 ‰)

4 5

‹ –

4 5

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

∞Ó ÁÈ· ÙËÓ ÔÍ›· ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë̈ =

5 , ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚÈ13

ÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

2

∞Ó ÁÈ· ÙËÓ ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Û˘Óˆ = –

1 , ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ 3

ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

3

∞Ó ÁÈ· ÙËÓ ÔÍ›· ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Âʈ =

3 , ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ ¿ÏÏÔ˘˜ ÙÚÈ4

ÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ù˘ ÁˆÓ›·˜ ˆ.

4

∞Ó ÁÈ· ÙËÓ ·Ì‚Ï›· ÁˆÓ›· ˆ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë̈ = ∞=

242

1 2 1 Ë̈ + Û˘Óˆ – Âʈ. 3 3 10

4 , ÙfiÙ ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË: 5

(240-243)

3-11-06

11:59

™ÂÏ›‰·243

2.3 ™¯¤ÛÂȘ ÌÂٷ͇ ÙÚÈÁˆÓÔÌÂÙÚÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÌÈ·˜ ÁˆÓ›·˜

5

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ËÌ3ˆ + ËÌˆÛ˘Ó2ˆ = Ë̈

‚) Û˘Ó2ˆ – Û˘Ó4ˆ = ËÌ2ˆÛ˘Ó2ˆ

6

∞Ó Â›Ó·È x = 3Û˘Óˆ Î·È y = 3Ë̈, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) xÛ˘Óˆ + yË̈ = 3 ‚) x2 + y2 = 9

7

N· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) Û˘Ó2· – ËÌ2· = 2Û˘Ó2· – 1

‚) ËÌ2·Û˘Ó2‚ + ËÌ2·ËÌ2‚ + Û˘Ó2· = 1

8

N· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) (Ë̈ + Û˘Óˆ)2 + (Ë̈ – Û˘Óˆ)2 = 2 ‚) (·Ë̈ + ‚Û˘Óˆ)2 + (‚Ë̈ – ·Û˘Óˆ)2 = ·2 + ‚2

9

N· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) Û˘Ó2x ÂÊ2x + Û˘Ó2x = 1

10

N· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: Û˘Ó2x ·) = 1 – ËÌx 1 + ËÌx

‚)

ËÌx + Û˘Óx = Û˘Óx 1 + ÂÊx

‚) ÂÊx +

Û˘Óx 1 = 1 + ËÌx Û˘Óx

11

N· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ: ·) ËÌ50ÆËÌ130Æ – Û˘Ó50ÆÛ˘Ó130Æ ‚) ËÌ214Æ + ËÌ2114Æ + Û˘Ó2166Æ + Û˘Ó266Æ

12

N· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ÂÊ70ÆÛ˘Ó70Æ – ÂÊ110ÆÛ˘Ó110Æ = 0 ‚) ÂÊ240ÆÛ˘Ó240Æ + Û˘Ó2140Æ = 1

13

∞Ó Â›Ó·È · = 30Æ Î·È ‚ = 60Æ, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: 3 ËÌ2x ËÌ· ËÌ‚ + Û˘Ó2x Û˘Ó· Û˘Ó‚ = 4 ¡· ÙÔ

Ì·ÚÙ˘Ú‹Ûˆ;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΑΙΝΙΓΜΑ

14

∂›Ó·È ÁˆÓ›·, fi¯È ÔÍ›·, ËÌ›ÙÔÓÔ ¤¯ÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi

Ï+1 Î·È Ï+2

Û˘ÓËÌ›ÙÔÓÔ ¤¯ÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi

Ï . Ï+2

¶ÔÈ· ÁˆÓ›· ›ӷÈ;

243

3-11-06

12:02

2. 4