Серія «Рятівник» заснована в 1998 р. Рецензенти: В. Я. Жихарев, доктор техн. наук, проф.; А. С. Савєлєв, канд. техн. наук, доцент; Т. О. Міхалін, канд. фіз.-мат. наук Видано за ліцензією ТОВ Видавництво «Ранок» Д36
Дергачов В. А. Геометрія у в и з н а ч е н н я х , формулах і таблицях: Довідковий посібник для учнів 7—11 класів.— X.: Веста: Видавництво «Ранок», 2006.— 96 с. Посібник містить основні положення шкільного курсу геометрії. Наочна форма викладення матеріалу допоможе школярам в узагальненні та систематизації знань з геометрії, скоротить час на повторення вивченого напередодні контрольної роботи. Призначено для учнів 7—11 класів загальноосвітніх шкіл, гімназій, ліцеїв, а також для абітурієнтів.
Навчальне видання Серія «Рятівник» ДЕРГАЧОВ Володимир Андрійович ГЕОМЕТРІЯ У ВИЗНАЧЕННЯХ, ФОРМУЛАХ І ТАБЛИЦЯХ Довідковий посібник для учнів 7—11 класів Редактор М. Т. Читова Технічний редактор В. І. Труфен Коректор О. Г. Неро
ТОВ «Веста». Свідоцтво ДК № 2540 від 26.06.2006 р. 61064 Харків, вул. Бакуніна, 8А. З питаннями та пропозиціями звертатися за тел. (057) 719-48-65, тел./факс (057) 719-58-67. Для листів: 61045 Харків, а/с 3355, «Ранок». E-mail: office@ranok.kharkov.ua Адреса редакції: 61145 Харків, вул. Космічна, 21а. З питань реалізації звертатися за тел.: у Харкові — (057) 712-91-44, 712-91-46, 712-91-47, 712-90-87; Києві — (044) 495-14-53, 417-20-80; Донецьку — (062) 304-67-02; Житомирі—(0412) 41-27-95; Дніпропетровську—(0562) 43-46-95; Львові — (032) 233-53-39; Сімферополі — (0652) 29-94-14; Тернополі — (0352) 43-42-72, 25-16-00. e-mail: commerce@ranok.kharkov.ua www.ranok.com.ua
© В. А. Дергачов, 2006 © ТОВ Видавництво «Ранок», 2006 © ТОВ «Веста», 2006
Зміст Кути і прямі на площині ................................................... 8 Кути .............................................................................. 8 Властивості кутів ........................................................ 9 Кути, утворені при перетині двох прямих січною ........... 10
Паралельні та перпендикулярні прямі ............................... 11 Паралельні прямі ............................................................ 11 Ознаки паралельності прямих ..................................... 11 Властивості паралельних прямих ................................. 11 Перпендикулярні прямі ................................................... 12 Перпендикуляр і похила ............................................. 12
Перетворення простору ................................................... 13 Рух ............................................................................... 13 Властивості руху ....................................................... 13 Паралельне перенесення ............................................. 13 Поворот .................................................................... 14 Подібність ..................................................................... 15 Властивості подібних фігур ......................................... 15 Перетворення подібності ............................................. 15
Трикутники .................................................................. 16 Основні означення ........................................................... 16 Властивості кутів і сторін трикутника ................................ 18 Рівність трикутників ....................................................... 19 Ознаки рівності трикутників ....................................... 19 Властивості рівних трикутників .................................. 19 Подібність трикутників ................................................... 20 Ознаки подібності трикутників .................................... 20 Властивості подібних трикутників ............................... 20 Медіани, бісектриси, висоти і середні лінії трикутника ........ 21 Властивості медіан трикутника ................................... 21 Властивості бісектрис трикутника ............................... 22 Властивості висот трикутника ..................................... 23 Властивості серединних перпендикулярів .................... 23 Вписане й описане кола .................................................... 24 Площа трикутника ......................................................... 25
3
Рівнобедрений трикутник ................................................ 26 Властивості рівнобедреного трикутника ........................ 26 Основні формули для рівнобедреного трикутника .......... 27 Рівносторонній трикутник ................................................ 27 Властивості рівностороннього трикутника ..................... 27 Основні співвідношення для рівностороннього трикутника ............................................................... 28 Прямокутний трикутник ................................................. 29 Ознаки рівності прямокутних трикутників ................... 29 Ознаки подібності прямокутних трикутників ................ 29 Теорема Піфагора ...................................................... 30 Співвідношення між елементами сторін прямокутного трикутника .......................................... 30 Формули зв’язку між тригонометричними функціями ............................................................... 31 Властивості катетів, медіан і висот прямокутного трикутника 31 Коло, вписане у прямокутний трикутник ...................... 32 Коло, описане навколо прямокутного трикутника ........... 32 Площа прямокутного трикутника ................................ 32 Розв’язання трикутників ................................................. 33
Чотирикутники ............................................................. 34 Основні означення і властивості ......................................... 34 Описані чотирикутники ................................................... 35 Коло, описане навкоко чотирикутника .......................... 36 Паралелограм ................................................................ 37 Властивості паралелограма ......................................... 37 Ознаки паралелограма ................................................ 39 Висота паралелограма ................................................ 39 Площа паралелограма ................................................ 39 Ромб ............................................................................. 40 Властивості ромба ...................................................... 40 Площа ромба ............................................................. 41 Коло, вписане в ромб .................................................. 41
4
Прямокутник ................................................................. 42 Властивості прямокутника .......................................... 42 Квадрат ......................................................................... 43 Властивості квадрата .................................................. 43 Трапеція ....................................................................... 45 Основні означення ...................................................... 45 Властивості трапеції .................................................. 46
Многокутники ............................................................... 48 Основні означення ........................................................... 48 Опуклі многокутники ...................................................... 49 Правильні многокутники ................................................. 50
Коло ............................................................................ 51 Основні означення ........................................................... 51 Властивості хорд, дотичних і січних .................................. 52 Дотична до кола .............................................................. 52 Властивості дотичної до кола ....................................... 53 Січна кола і її властивості ................................................. 53 Дотик двох кіл ................................................................ 54 Кути у колі .................................................................... 54 Кутова величина дуги ................................................ 54 Кругове (радіанне) вимірювання кутів .......................... 54 Вписані кути .................................................................. 55 Кут, утворений двома січними .................................... 55 Довжина кола і дуги ........................................................ 56 Площа круга і його частин ............................................... 56
Прямі і площини у просторі ............................................. 57 Спосіб задання площини .................................................. 57 Паралельність прямих і площин ........................................ 57 Взаємне розміщення прямої і площини у просторі ......... 58 Взаємне розміщення площин у просторі ....................... 58 Ознаки паралельності прямих і площин у просторі ......... 59 Ознака паралельності двох площин ............................... 59 Властивості паралельних прямих у просторі ................. 59
5
Паралельне проектування ................................................ 60 Властивості паралельних проекцій ............................... 61 Перпендикулярність прямих і площин ............................... 61 Перпендикуляр і похила до площини ........................... 61 Ознака перпендикулярності прямої і площини .............. 62 Теорема про три перпендикуляри ................................ 62 Відстань від точки до площини .................................... 62 Властивості перпендикулярів до площини .................... 63 Відстань між мимобіжними прямими .......................... 63
Кути у просторі .............................................................. 64 Кут між прямою і площиною ............................................ 64 Двогранні кути ............................................................... 65 Кут між площинами. Перпендикулярні площини ................ 66
Многогранники ............................................................. 67 Основні означення ........................................................... 67 Призма і паралелепіпед ................................................... 67 Паралелепіпед ........................................................... 68 Прямокутний паралелепіпед ....................................... 69 Площа поверхні і об’єм призми ................................... 69 Площа поверхні та об’єм паралелепіпеда ....................... 70 Правильні многогранники ............................................... 70 Основні формули ....................................................... 70 Піраміда ....................................................................... 71 Зрізана піраміда ........................................................ 71 Правильна піраміда ................................................... 72
Тіла обернення .............................................................. 73 Циліндр ........................................................................ 73 Конус ............................................................................ 74 Прямий круговий конус ............................................. 74 Зрізаний конус .......................................................... 75 Сфера і куля ................................................................... 76 Взаємне розміщення двох сфер .................................... 78
Декартова система координат ........................................... 79 Декартові координати на площині й у просторі .................... 79 Основні координатні формули ........................................... 80
6
Відстань між точками ................................................ 80 Координати точки ділення відрізка у даному відношенні .................................................. 80 Координати середини відрізка .................................... 81 Рівняння прямої ........................................................ 81 Окремі випадки рівняння прямої ................................. 82 Умова паралельності прямих ....................................... 83 Умова перпендикулярності прямих .............................. 83 Перетин прямих ........................................................ 83 Рівняння кола ............................................................ 84 Рівняння сфери ......................................................... 85 Рівняння площини ..................................................... 85 Окремі випадки положення площини відносно системи координат .................................................... 86 Взаємне розміщення двох площин ............................... 87
Вектори ........................................................................ 88 Основні означення ........................................................... 88 Координати вектора ........................................................ 89 Обчислення координат і модуля вектора ....................... 89 Лінійні операції над векторами ......................................... 90 Сума векторів ............................................................ 90 Різниця векторів ........................................................ 91 Множення вектора на число ......................................... 91 Кут між векторами ......................................................... 92 Скалярний добуток векторів ............................................. 92 Умова колінеарності векторів ....................................... 93 Координатні вектори ....................................................... 93 Розкладання вектора по координатних осях ................... 94
Література .................................................................... 94 Предметний покажчик .................................................... 95
7
Кути і прямі на площині
Кути і прямі на площині Кути Кут — геометрична фігура, що складається з двох різнома& нітних променів, що виходять з однієї точки. Промені називаються сторо нами кута, а їх спільний поча& ток — вершиною кута
Два кути називаються рівни ми, якщо вони можуть бути су& міщені так, що збігатимуться їх відповідні сторони і вершини
Ñòîðîíà êóòà
Âåðøèíà êóòà
α β
α=β
Кути, що мають спільну вер& шину й одну спільну сторону, на& зиваються прилеглими Два кути називаються суміж& ними, якщо у них спільні верши& на й одна сторона, а дві інші ут& ворюють пряму. Сума суміжних кутів дорівнює 180° Кути називаються вертикаль ними, якщо сторони одного є продовженнями за вершину сторін другого. Вертикальні кути рівні між собою
Кут, у якого сторони утворюють пряму, називається розгорнутим.
8
α + β = 180 ° β α 2 1
3 4
∠1 = ∠3; ∠2 = ∠4
Кути і прямі на площині
Кут, що дорівнює своєму суміж& ному, називається прямим
Кут, менший від прямого, на& зивається гострим
Кут, більший прямого, нази& вається тупим
Бісектриса кута — промінь, що виходить з вершини кута, проходить між його сторонами і ділить кут пополам
Бісектриса
Властивості кутів Кути з відповідно паралельними сторонами Або рівні
або їх сума дорівнює 180°
Кути з відповідно перпендикулярними сторонами Або рівні
або їх сума дорівнює 180°
9
Кути і прямі на площині
Кути, утворені при перетині двох прямих січною Відповідні
Внутрішні односторонні
Зовнішні односторонні
Внутрішні різносторонніЗовнішні різносторонні
10
Паралельні та перпендику лярні прямі
Паралельні та перпендикулярні прямі Паралельні прямі a
Прямі, що лежать в одній пло& щині і не перетинаються, нази& ваються паралельними
b a | | b
Ознаки паралельності прямих a
Внутрішні (зовнішні) різносто& ронні кути рівні
c
b
c
a
Відповідні кути рівні b
Сума внутрішніх (зовнішніх) од& носторонніх кутів дорівнює 180°
c
a
b
Властивості паралельних прямих Дві прямі, що паралельні тре& тій, паралельні а | | b; a | | c b | | c
a b c
11
Паралельні та перпендику лярні прямі
Теорема Фалеса Якщо паралельні прямі, які пе& ретинають сторони кута, відсіка& ють на одній його стороні рівні відрізки, то вони відсікають рівні відрізки і на другій його стороні
Паралельні прямі, що перети& нають сторони кута, відсікають від сторін кута пропорційні відрізки a b = c d
c a
b
d
Перпендикулярні прямі Дві прямі називаються перпен& дикулярними, якщо вони пере& тинаються під прямим кутом а⊥b
a
b
Перпендикуляр і похила Перпендикуляром до даної прямої називається відрізок прямої, перпендикулярної до даної, від заданої точки до точ& ки перетину цих прямих. ОА — перпендикуляр до b. А — основа перпендикуляра Похилою до даної прямої а на& зивається відрізок прямої, що пе& ретинає дану під кутом, відмінним від прямого, від заданої точки до точки перетину цих прямих. Перпендикуляр коротший від по& хилої, яка проведена з тієї ж точки. ОВ — похила
12
O
b A O
b
а A
В
Перетворення простору Рух Перетворення простору
Рух — це перетворення простору, що зберігає відстань між точками. Приклади руху: паралельне перенесення, поворот
Властивості руху 1. Два рухи, що виконуються послідовно, дають новий рух. 2. Точки, що лежать на прямій, під час руху переходять у точки, які лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення. 3. Під час руху зберігаються кути між півпрямими
Паралельне перенесення Паралельне перенесення — перетворення простору, при якому всі точки зміщуються в одному й тому ж напрямі на одну й ту ж відстань.
F′
При паралельному перене& сенні пряма переходить у пара& лельну пряму (або у себе). Для будь–яких двох точок М і М′ існує одне і лише одне пара& лельне перенесення, при якому точка М переходить у точку М′
F
13
Поворот
Перетворення простору
Поворот (обертання) — вид руху, при якому принаймні одна точка простору залишається нерухомою При повертанні на площині на& вколо даної точки (центра обер& тання) кожний промінь, що ви& ходить з даної точки, повертаєть& ся на один і той же кут в одному й тому ж напрямі. Повертання навколо точки О на кут 180° називається цент ральною симетрією відносно точки О (центра симетрії)
α O
X
Поворот навколо осі на кут ϕ — це перетворення, при якому: 1) є єдина пряма l, всі точки якої переходять самі в себе (вісь обертання); 2) будь–яка точка А, що не на& лежить l, переходить у таку точ& ку А′, причому точки А и А′ ле& жать у площині α, яка перпенди& кулярна до l, і ∠АОА′ = ϕ є ста& лим за величиною і напрямом
l
α A
O
14
A′
ϕ
O1 B
ϕ
Y
Поворот навколо осі на кут ϕ = 180° називається симетрією відносно прямої, вісь обертання — віссю симетрії, а фігура, яку отримали при перетворенні,— дзеркальним відбиттям
X′
B′
Y′
M ³ñü ñèìåòð³¿
l M′
Подібність
A
B A′
B′
C D C′
AB =k A' B' D′
Властивості подібних фігур 1. Кути між відповідними променями рівні. 2. Площі подібних фігур відносяться як квадрати їх лі& нійних розмірів. 3. Об’єми подібних фігур відносяться як куби їх лінійних розмірів
Перетворення подібності Будь–яке перетворення подібності — результат послідов& ного виконання гомотетії і руху. Гомотетія — перетворення простору, що ставить у відпо& відність кожній точці М точ& ку М′, яка лежить на прямій ОМ за правилом ОМ′ = k ⋅ ОМ, де k — стале, відмінне від нуля число, що називається коефіц& ієнтом гомотетії, О — фіксова& на точка, що називається цен& тром гомотетії
B′
B
A′ A
C′ C
O
15
Перетворення простору
Дві фігури F1 і F2 називаються подібними, якщо між їх точка& ми можна встановити взаємно однозначну відповідність, при якій відношення відстаней між будь–якими парами відповід& них точок дорівнює тій же сталій k, що зветься коефіцієн том подібності
Трикутники
Трикутники
Основні означення B
Трикутник — це фігура, що складається з трьох точок, які не лежать на одній прямій (вершин трикутника), і трьох відрізків з кінцями у цих точ& ках (сторін трикутника)
Кутами (внутрішніми кута& ми) трикутника називаються три кути, кожний з яких утворений двома променями, що виходять з вершини трикутника і проходять через дві інші вершини
A
À, Â, Ñ — âåðøèíè ÀÂ, ÂÑ, ÀÑ — ñòîðîíè
C
B
β α
γ
A
C
α, β, γ — êóòè òðèêóòíèêà B
Зовнішнім кутом трикутни& ка називається кут, суміжний внутрішньому куту трикутника
δ
α A
C δ — çîâí³øí³é êóò
Висотою трикутника називається перпендикуляр, опуще& ний з будь–якої вершини трикутника на протилежну сторо& ну або на продовження сторони B
B h
h A D C BD = h — висота, проведена на сторону АС
16
D
A
BD = h — висота, проведена на продовження сторони АС
C
Медіаною трикутника нази& вається відрізок прямої, що з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони
b
c ma
a ma — ìåä³àíà ñòîðîíè à
Бісектрисою трикутника на& зивається відрізок бісектриси внутрішнього кута трикутника, що з’єднує дану вершину з точ& кою на протилежній стороні
lb A
C
lb — á³ñåêòðèñà êóòà  òðèêóòíèêà B
Середньою лінією трикутни ка називається відрізок, що з’єднує середини двох сторін трикутника
K A
M C
KM — ñåðåäíÿ ë³í³ÿ B
Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно доти& кається до всіх його сторін
O A
C B
Описаним колом трикутника називається коло, що проходить через вершини трикутника
O A
C
17
Трикутники
B
Властивості кутів і сторін трикутника
Трикутники
Сума кутів трикутника дорів& нює 180° α + β + γ = 180°
Зовнішній кут дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, з ним не суміжних, і більший, ніж будь– який внутрішній кут, не суміж& ний з ним. δ = β + γ; δ > β; δ > γ
β α
γ
β δ
Нерівність трикутника Довжина кожної сторони менша, ніж сума, і більша, ніж різниця довжин двох інших сторін |a−b|<c<a+b
α
γ
a
b c
B
У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут (і навпаки) ∠B > ∠C ⇒ b > c
c
A
18
ÀÑ 2
b
C
B
Середня лінія трикутника пара& лельна одній з його сторін і до& рівнює її половині КМ | | АС; ÊÌ =
a
K A
M C
Рівність трикутників Трикутники називаються рів& ними, якщо у них відповідні сто& рони і кути рівні ∆ АВС = ∆ А′В′С′
B B′
A
C C′
Трикутники
A′
Ознаки рівності трикутників 1. Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорів& нюють відповідно двом сторонам і куту між ними іншого трикут& ника, то такі трикутники рівні A
B B′
C A′
2. Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні і прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники A рівні 3. Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють від& повідно трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники A рівні
C′
B B′
C A′
C′
B B′
C A′
C′
Властивості рівних трикутників У рівних трикутників усі відповідні елементи рівні (сторо& ни, кути, висоти, медіани, бісектриси). У рівних трикутників проти рівних сторін лежать рівні кути, а проти рівних кутів лежать рівні сторони
19
Подібність трикутників
Трикутники
B
Подібними називаються три кутники, у яких відповідні сто& рони пропорційні. Коефіцієнт пропорційності на& зивається коефіцієнтом подіб& ності ÀÂ ÂÑ ÀÑ = = = k À1Â1 Â1Ñ1 À1Ñ1
B1 A
A1
C
C1 ∆ ABC
∆ A1B1C1
Ознаки подібності трикутників Два трикутники подібні, якщо 1. Два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника. 2. Дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторо& нам іншого трикутника, і кути, утворені цими сторона& ми, рівні. 3. Сторони одного трикутника пропорційні сторонам іншо& го трикутника
Властивості подібних трикутників У подібних трикутників відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні ∠А = ∠А1; ∠В = ∠В1; ∠С = ∠С1;
ha hb hc ma l = = = =…= c = k . ha1 hb1 hc1 ma1 lc1 Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності. Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадра& ту коефіцієнта подібності
20
B
Пряма, що паралельна одній із сторін трикутника, відсікає три& кутник, подібний до даного KL | | AC; ∆ ABC ∆ KBL
K
L
A
C
K
L
A
M
C
Медіани, бісектриси, висоти і середні лінії трикутника Властивості медіан трикутника B
Три медіани трикутника пере& тинаються в одній точці, що ділить медіани у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. ВЕ : ЕМ = 2
K
E
A
L
M
C
B
Медіани ділять трикутник на рівновеликі трикутники S ∆АВК = S ∆КВС
mb
A
Довжина медіан до відповід& них сторін трикутника: 1 ma = 2b2 + 2c2 − a2 ; 2 1 mb = 2a2 + 2c2 − b2 ; 2 1 mc = 2a2 + 2b2 − c2 2
K
a
mb
C
b ma
mc c
21
Трикутники
B
Три середні лінії трикутника ділять його на чотири рівні три& кутники, подібні до даного з ко& 1 ефіцієнтом подібності 2
Властивості бісектрис трикутника B
Трикутники
Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці, що знаходиться все& редині трикутника, рівновідда& лена від трьох його сторін і є цен& тром вписаного кола
lñ là
Î lâ
A
C B
Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну куту сторону на відрізки, про& порційні двом іншим сторонам AD AB = DC BC
lb A
Бісектриси внутрішнього і су& міжного з ним зовнішнього кутів K перпендикулярні. Бісектриса зовнішнього кута трикутника ділить (зовнішньо) протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторо& B нам. BD — бісектриса кута В; ВЕ — бісектриса зовнішнього кута ВD ⊥ BE; AE AB = CE BC
Довжина бісектриси кута А A 2 bc ⋅ cos 2 ; la = b+c 1 la = bc (a + b + c) (b + c − a) b + c
22
D
C
E
C D A
A
la B
D
C
Властивості висот трикутника B
Висоти трикутника перетина& ються в одній точці, яка нази& вається ортоцентром трикутника
c
Висоти трикутника обернено пропорційні його сторонам 1 1 1 : : a b c
ha hc A
b
C
Довжина висоти до сторони а ha = b sin C = c sin B =
bc 2S = 2R a
,
де R — радіус описаного кола; S — площа трикутника
Властивості серединних перпендикулярів Серединний перпендикуляр — це пряма, що проходить через середину сторони трикутника перпендикулярно до неї B
Три серединних перпендику& ляри трикутника перетинаються в одній точці, що називається центром описаного кола
O A
C B
Точка перетину бісектриси кута трикутника з серединним перпен& дикуляром протилежної сторони лежить на колі, що описане навко& ло даного трикутника
O A
C E
23
Трикутники
ha : hb : hc=
a
hb
Вписане й описане кола Радіус вписаного у трикутник кола — відстань від центра до сторін трикутника A B C S r= = 4R sin ⋅ sin ⋅ sin = p 2 2 2 Трикутники
= ( p − a) tg
A = 2
B
K
( p − a) ( p − b ) ( p − c ) p
Точки дотику вписаного кола до сторін трикутника відсікають три пари рівних між собою від& різків
r
L
r O r
A
M
C
B
Радіус описаного кола
R
a b c abc R= = = = 2 sin A 2 sin B 2 sin C 4S
R
A
O
R C
У залежності від вигляду трикутника центр описаного кола може знаходитися: всередині трикутника
зовні трикутника
B
B A
O A
24
B
O
C
Гострокутний трикутник
на середині його сторони
Тупокутний трикутник
C
A
C O
Прямокутний трикутник
Площа трикутника За стороною і висотою, опуще& ною на цю сторону,
ha
1 S = aha 2 a
1 S = ab sin γ 2
За трьома сторонами (формула Герона) S=
Трикутники
За двома сторонами і кутом між ними
a
γ b
a
b
p ( p − a) ( p − b) ( p − c), ãäå p =
a+b+c 2
За півпериметром (р) і радіусом вписаного кола S=p⋅r
c
b
c r
a
За трьома сторонами і радіусом описаного кола S=
a
abc 4R
За трьома кутами і радіусом описаного кола
S = 2 R 2 sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ
b
R c
R
α
β γ
25
Трикутники
Рівнобедрений трикутник B
Трикутник називається рівнобедреним, якщо в нього дві сторони рівні. Рівні сторо& ни називають бічними сторона& ми, а третю — основою рівно& бедреного трикутника A
C
Властивості рівнобедреного трикутника B
У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні ∠ А = ∠С A
C B
У рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є бісектрисою і висотою BD — медіана, бісектриса, ви& сота A
D
B
C
³ñü ñèìåòð³¿
Рівнобедрений трикутник має одну вісь симетрії A
26
D
C
Основні формули для рівнобедреного трикутника
S=
b 4
4a2 − b2 =
b ; 2 cos α
a2 sin β ; 2
S = ( p − a) p ( p − b) , ãäå p = a +
β
a
a
R
b . 2
b
α
Трикутники
b2 = 2a2 (1 − cos β); a =
Рівносторонній трикутник B
Трикутник, у якого всі сторо& ни рівні, називається рівносто роннім або правильним трикут& ником
A
C
Властивості рівностороннього трикутника B
Всі кути рівні ∠А = ∠В = ∠С = 60° A
C B
Кожна медіана збігається з бісектрисою і висотою, що про& ведені з тієї ж вершини ma = la = ha = ... = hc
mb ma
mc
A
C B
Центри вписаного і описаного кіл збігаються
O r A
R C
27
Рівносторонній трикутник має поворотну симетрію (кут повер& тання — 120°)
O
Трикутники
B
Рівносторонній трикутник має три осі симетрії A
C
Основні співвідношення для рівностороннього трикутника Позначення: а — сторона, h — висота, Р — периметр, р — півпери& метр, R — радіус описаного кола, r — радіус вписаного кола, S — площа
а
2h 3 3
P 3
2p 3
R 3
2r 3
h
a 3 2
P 3 6
p 3 3
3R 2
3r
P
3a
2h 3
2p
3R 3
6r 3
2 3S 3
p
3 a 2
h 3
P 2
3R 3 2
3r 3
3S 3
R
a 3 3
2h 3
P 3 9
2p 3 9
2r
r
a 3 6
h 3
P 3 18
p 3 9
R 2
S 3 3
S
a2 3 4
h2 3 3
P2 3 36
p2 3 9
3R 2 3 4
3r 2 3
28
2 3
3S 3
S 3
2 3
S 3
Прямокутний трикутник B ó
Трикутник називається прямо кутним, якщо він має прямий кут. Сторони, прилеглі до прямого кута, називаються катетами. Сторона, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою.
òå
Êàòåò
ïî íó
Трикутники
çà
A
C
Êàòåò
Ознаки рівності прямокутних трикутників ∆ АВС = ∆ А1В1С1 B
B1
A
C
A1
C1
За двома катетами За катетом і гіпотенузою За катетом і прилеглим гострим кутом За катетом і протилежним гострим кутом За гіпотенузою і гострим кутом
Ознаки подібності прямокутних трикутників ∆ АВС ∆ А1В1С1 B1
B
A
C
A1
C1
За одним гострим кутом За пропорційністю двох катетів За пропорційністю катета і гіпотенузи
29
Теорема Піфагора У прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи
a
c
c2 = a2 + b2
b
Трикутники
Висновки теореми Піфагора У прямокутному трикутнику будь–який з катетів менший, ніж гіпотенуза Якщо до прямої з однієї точки проведені перпендикуляр і похила, то похила більша, ніж перпендикуляр Рівні похилі мають рівні проекції З двох похилих більша та, проекція якої більша
Співвідношення між елементами сторін прямокутного трикутника Косинусом гострого кута пря& мокутного трикутника нази& вається відношення прилеглого катета до гіпотенузи. a
c
Синусом гострого кута нази& вається відношення протилеж& ного катета до гіпотенузи. Тангенсом гострого кута нази& вається відношення протилеж& ного катета до прилеглого. Котангенсом гострого кута на& зивається відношення прилегло& го катета до протилежного
30
α b
b ; tg α = c a sin α = ; ctg α = c cos α =
a ; b b a
Формули зв’язку між тригонометричними функціями sin 2 α + cos2 α = 1; cos α sin α ; tg α = ; ctg α = sin α cos α 1 2
cos α
;
1 + ctg 2 α =
1 sin 2 α
Властивості катетів, медіан і висот прямокутного трикутника A
Катет прямокутного трикут& ника є середнє пропорційне між гіпотенузою й проекцією цього катета на гіпотенузу a = ac c ; b = bc c . Висота прямокутного три& кутника, проведена з вершини прямого кута, є середнє про& порційне між проекціями ка& тетів на гіпотенузу
hc =
ac bc .
Висота може бути визначена через катети та їх проекції на гіпотенузу ab hc = ac + bc . Медіана, проведена з вершини прямого кута, дорівнює поло& вині гіпотенузи 1 mc = c. 2 Висота, проведена з вершини прямого кута трикутника, ділить його на два трикутники, подібні до даного ∆ АВЕ ∆ АЕС ∆ АВС
bc c b E hc ac C
a
B
ac = EB ; bc = AE ; ac + bc = c
a
c mc b B E
A
C
31
Трикутники
1 + tg 2 α =
Коло, вписане у прямокутний трикутник Радіус вписаного кола
r=
ab a+b−c = a+b+c 2
a
O
c r
Трикутники
b
Коло, описане навколо прямокутного трикутника Центр описаного кола збігаєть& ся з серединою гіпотенузи. Радіус описаного кола R=
a
c = mc 2
b
mc R
O
c
Площа прямокутного трикутника Площу можна визначити: — через катети S=
1 ab ; 2
α
— через катет і гострий кут S=
1 2 1 2 a tg β = a ctg α ; 2 2
b
c
— через гіпотенузу і гострий кут S=
32
1 2 1 2 c sin 2 α = c sin 2 β 4 4
β a
Розв’язання трикутників Теорема косинусів
γ
a β
c2 = a2 + b2 − 2 ab cos γ
b
Трикутники
Квадрат будь–якої сторони трикутника дорівнює сумі квад& ратів двох інших сторін без по& двоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними
α
Висновки: 1. Якщо c2 > a2 + b 2 , то кут γ — тупий ( cos γ < 0 ). 2. Якщо c 2 < a2 + b 2 , то кут γ — гострий ( cos γ > 0 ). 3. Якщо c 2 = a2 + b 2 , то кут γ — прямий. 4. У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторо& на, проти більшої сторони лежить більший кут
Теорема синусів
Сторони трикутника про& порційні синусам протилежних кутів. Коефіцієнт пропорційності до& рівнює діаметру описаного кола. a b c = = = 2R sin α sin β sin γ
a
γ
β
b α
c
33
Чотирикутники
Чотирикут ники
Основні означення і властивості Â Чотирикутником назива& ється фігура, яка складається з чотирьох точок (вершин) і чо& À тирьох відрізків (сторін), що по& слідовно сполучають вершини. При цьому ніякі три з даних то& чок не повинні лежати на одній D Ñ прямій, а відрізки, що їх сполу& чають, не повинні перетинатися À, Â, Ñ, D — âåðøèíè; ÀÂ, ÂÑ, ÑD, DA — ñòîðîíè Â
Чотирикутник називається опуклим, якщо він розміщуєть& ся в одній півплощині відносно прямої, що містить будь–яку його сторону
Ñ
D
À
ÀÂÑD — îïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê
Коло, яке дотикається до всіх сторін чотирикутника, нази& вається вписаним у цей чотири& кутник. (Чотирикутник описа& ний навколо кола)
Â
Ñ
O D
À
Коло, що містить усі вершини чотирикутника, називається описаним навколо цього чотири& кутника. (Чотирикутник вписа& но в коло)
 Ñ O D
34
 Ñ
Сума кутів опуклого чотири& кутника дорівнює 360° ∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 360°
D À
d d sin ϕ S= 1 2 , 2 де d1, d2 — діагоналі чотири& кутника; ϕ — кут між діагоналями
Â Ñ d1
d2
Чотирикут ники
Площа довільного опуклого чотирикутника
ϕ À
D
Описані чотирикутники c
Якщо в чотирикутнику суми довжин протилежних сторін рівні, то в нього можна вписа& ти коло a+c=b+d
b
O
d
a
Центр вписаного у чотири& кутник кола є точкою перети& ну всіх чотирьох бісектрис кутів цього чотирикутника. BO, CO, DO, AO — бісектри& си кутів
Â
Ñ O
À
D
35
Точки дотику вписаного кола відсікають рівні відрізки від кутів чотирикутника BK = BL; LC = CM; MD = DN; KA = AN
Â
Ñ
K
M O
À
Чотирикут ники
L
N
Площа описаного чотири& кутника S = pr, де r — радіус вписаного кола;
D
c b
a+b+c+d p= 2
O
d
r a
Коло, описане навкоко чотирикутника
Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорів& нює 180°, то навколо нього можна описати коло ∠А + ∠С = ∠В + ∠D = 180°
Центр описаного навколо чо& тирикутника кола є точкою перетину всіх чотирьох сере& динних перпендикулярів сторін цього чотирикутника
36
Â
Ñ O
À D
Ñ
Â
À
O D
b
Теорема Птолемея: Сума добутку протилежних сторін вписаного у коло чоти& рикутника дорівнює добутку його діагоналей
e
c
ac + bd = ef
d
b
S = ( p − a) ( p − b) ( p − c) ( p − d) , p=
a
a+b+c+d 2
O
c
Чотирикут ники
Площа вписаного чотирикут& ника
ãäå
f
a
d
Паралелограм Â
Чотирикутник, протилежні сторони якого попарно пара& лельні, називається парале лограмом AB | | CD ;
BC | | AD
Ñ
À
D
Властивості паралелограма Â
Середина діагоналі парале& лограма є його центром си& метрії
Ñ O
À
D Â
Ñ
Протилежні сторони рівні AB = CD ; BC = AD À
D
37
Â
Протилежні кути рівні ∠А = ∠С; ∠B = ∠D
Чотирикут ники
Сума кутів, прилеглих до до& вільної сторони, дорівнює 180°. ∠А + ∠В = ∠В +∠С = = ∠С + ∠D = ∠D + ∠A = 180°
Діагоналі паралелограма пере& тинаються і точкою перетину діляться навпіл: BO = OD; AO = OC
Кожна діагональ ділить пара& лелограм на два рівних трикут& ники ∆ ABD = ∆ BDC
À
D Â
Сума квадратів діагоналей па& ралелограма дорівнює сумі квад& ратів усіх його сторін
e2 + f 2 = 2 (a2 + b2 )
38
Ñ
À
D
Â
Ñ O
À
D
Â
Ñ
À
D
Â
Дві діагоналі паралелограма ділять його на чотири рівновели& ких трикутники
S ∆ ABO = S ∆ OBC = S ∆ OCD = S ∆ AOD
Ñ
Ñ O
À
D
b a
e
d
f
c
Ознаки паралелограма Якщо у чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник — паралелограм Якщо у чотирикутнику протилежні сторони рівні і па& ралельні, то цей чотирикутник — паралелограм Чотирикутник, діагоналі якого у точці перетину діляться навпіл,— паралелограм
Домовимося висотою пара& лелограма називати перпен& дикуляр, проведений із вер& шини цього паралелограма до неприлеглої сторони
Чотирикут ники
Висота паралелограма
b
ha
α a
ha = b sin α
Площа паралелограма Площу паралелограма можна визначити: через сторону паралелогра& ма і проведену до неї висоту
ha
S = aha
через дві сторони паралело& грама і кут між ними S = ab sin α через діагоналі паралелогра& ма і кут між ними S=
ef sin ϕ 2
a
b
α a e
f ϕ
39
Ромб Â
Паралелограм, у якого всі сто& рони рівні, називається ромбом
À
C
D
Чотирикут ники
Властивості ромба Â
Діагоналі ромба перетинають& ся під прямим кутом
À
C
D
Â
Діагоналі ромба є бісектриса& ми його кутів
À
C
D
Â
У будь–який ромб можна впи& сати коло з центром у точці пе& ретину його діагоналей
À
O
D
40
C
Площа ромба Площу ромба можна визначити: — через діагоналі S=
d1d2 ; 2
α a d2 d1 O
S = a2 sin α ;
r
Чотирикут ники
— через сторону і кут ромба
— через сторону і висоту S = ah ; — через сторону і радіус вписаного кола S = 2ar
Коло, вписане в ромб Радіус кола, вписаного у ромб, можна обчислити: — через висоту ромба r =
— через діагоналі ромба і сто& рону r =
B
h ; 2
a A
E d1
d2 C
O
d1d2 ; 4a
h D
— через відрізки, на які ділить сторону ромба точка дотику r = BE ⋅ EC
41
Прямокутник A
B
D
C
Прямокутник — паралело& грам, у якого всі кути прямі
Властивості прямокутника
Чотирикут ники
A
B O
Діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл D
C
Прямокутник має дві осі си& метрії, які збігаються з середин& ними перпендикулярами до його сторін
Навколо будь–якого прямо& кутника можна описати коло з центром у точці перетину діаго& налей і радіусом, що дорівнює половині діагоналі AC = 2R
A O D
Площу прямокутника можна визначити: — через його сторони S = ab ; — через діагоналі і кут між ними d2 sin γ S= 2
42
B R C
d
d
γ
a
b
Квадрат A
B
Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні AB = BC = CD = AD D
C
Чотирикут ники
Властивості квадрата
У квадрата всі кути прямі
Діагоналі квадрата рівні і пе& ретинаються під прямим кутом
Квадрат має чотири осі симет& рії — прямі, що проходять: — через його діагоналі; — через середини протилеж& них сторін
Квадрат має поворотну симет& рію. Центр симетрії — точка пе& ретину діагоналей, кут повер& тання 90°
90°
43
У квадраті центри вписаного і описаного кіл збігаються і роз& ташовуються у точці перетину його діагоналей.
a R
Радіус описаного кола r
O
Чотирикут ники
Радіус вписаного кола r =
a 2
a
Площа квадрата
S = a2 =
d2 2
Послідовно з’єднані відрізка& ми середини сусідніх сторін квадрата утворюють квадрат
44
d
Трапеція Основні означення Трапеція — це чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.
Â
Непаралельні сторони назива& ються бічними сторонами.
Середня лінія трапеції — це відрізок, що з’єднує середини бічних сторін AK = KB ; CL = LD ; KL — середня лінія трапеції
À
D
ÂÑ, ÀD — îñíîâà; ÀÂ, CD — á³÷í³ ñòîðîíè; h — âèñîòà
Â
Ñ
K
L
À
D Â
Рівнобічна (рівнобедрена) трапеція — трапеція, у якої бічні сторони рівні АВ = СD
Ñ
À
D
Â
Ñ
Прямокутною називається трапеція, у якої одна бічна сто& рона перпендикулярна основам À
D
45
Чотирикут ники
h
Паралельні сторони назива& ються основами трапеції.
Домовимося висотою трапеції називати перпендикуляр, опу& щений з довільної точки основи трапеції на другу основу
Ñ
Властивості трапеції
Коло можна вписати у трапе& цію, якщо сума її бічних сторін дорівнює сумі основ AB + CD = BC + AD
Â
Ñ
O
Чотирикут ники
Центр вписаного у трапецію кола — точка перетину бісект& рис внутрішніх кутів.
h r
Радіус вписаного кола дорів& нює половині висоти r =
À
D
h 2 E
При продовженні бічних сторін трапеції утворюються два по&дібних трикутники
B
C
∆ ВЕС ∆ AED A
D
B
Трикутники, утворені основа& ми і відрізками діагоналей,— подібні. Коефіцієнт подібності дорівнює відношенню основ
C
E
∆ ВЕС ∆ DEА; k=
46
BC AD
A
D
Середня лінія трапеції пара& лельна основам і дорівнює їх півсумі KL ⎜⎜ BC; KL ⎜⎜ AD; KL =
BC + AD 2
Â
Ñ
K
L
À
D B
У рівнобічній трапеції:
C
— діагоналі рівні BD = CA
A
Площу трапеції можна визна& чити: — через півсуму основ (серед& ню лінію трапеції) і висоту
D
Â
S=
Ñ d2
a+b S= h ;' 2
— через діагоналі і кут між ними
Чотирикут ники
— кути при основі рівні, ∠A = ∠D; ∠B = ∠C;
d1
ϕ
h
À
D
1 d1d2 sin ϕ 2
Â
Навколо будь–якої рівнобічної трапеції можна описати коло.
Ñ O
Якщо трапеція вписана у коло, то вона рівнобічна
À
D
47
Многокутники
Многокут ники
Основні означення Многокутник — замкнена ламана лінія, яка утворюється, якщо взяти n будь–яких точок А1, А2, ..., Аn і з’єднати прямол& інійним відрізком кожну з них з наступною, а останню — з пер& шою. Точки А1, А2, ..., Аn називають& ся вершинами многокутника, а відрізки А1А2, А2А3, ..., АnА1 — його сторонами
A2 A1
A3 A4
An A6
A5
Плоским многокутником, або многокутною областю називаєть& ся скінченна частина площини, обмежена многокутником
Коло, що дотикається до всіх сторін многокутника, називаєть& ся вписаним у цей многокутник
Коло, що містить усі вершини многокутника, називається опи& саним навколо цього многокут& ника
48
O
O
Опуклі многокутники
Многокутник називається опуклим, якщо він лежить в одній півплощині відносно будь– якої прямої, що містить його сто& рону
A
C
Многокут ники
Кутом опуклого многокутника при даній вершині називається кут, утворений його сторонами, що збігаються у цій вершині. Сума кутів опуклого n–кутни& ка дорівнює 180° (n — 2)
B
D F E ∠À + ∠Â + ∠Ñ + ∠D + + ∠ E + ∠ F = 4·180°
Зовнішнім кутом опуклого многокутника при даній вер& шині називається кут, суміжний внутрішньому куту многокутни& ка при даній вершині. Сума зовнішніх кутів будь– якого опуклого n–кутника дорів&нює 360°
β1 β2
β5
β3 β4 β1 + β2 + ... + β n = 360 °
Кількість діагоналей опуклого n–кутника дорівнює n (n − 3) 2
49
Правильні многокутники Опуклий многокутник нази& вається правильним, якщо всі його сторони рівні і всі його внутрішні кути рівні. Внутрішній кут правильного n–кутника дорівнює
Многокут ники
αn =
n−2 ⋅ 180° n
Центри вписаного у правиль& ний многокутник кола і кола, описаного навколо нього, збіга& ються. Радіуси описаного і вписаного кіл:
R=
r=
a 180° 2 sin n
;
r
R O
a
a 180° 2 tg n
Площу правильного n–кутника можна визначити: — через сторону многокутника S = — через радіус описаного кола S =
180° na2 ctg ; 4 n 360° nR2 sin ; 2 n
2 — через радіус вписаного кола S = nr tg
50
180° n
Коло Основні означення
R O
Коло
Колом називається замкнена плоска крива, всі точки якої од& наково віддалені від даної точки (центра кола), що лежить у тій же площині, що й крива. Відрізок R, що з’єднує центр кола з будь–якою його точкою (а також довжина цього від&різка), називається радіусом
Відрізок, що з’єднує дві точки кола, називається хордою. Хор& да, що проходить через центр кола, називається діаметром. Діаметр — найбільша із хорд
Дуга — частина кола, розмі& щена між двома його точками. Вписаним кутом називається кут, утворений двома хордами, що мають спільний кінець. Центральним кутом нази& вається кут, утворений двома радіусами
α
β
51
Властивості хорд, дотичних і січних A
C
Рівні хорди стягують рівні дуги АВ = CD ⇒ ∪ AB = ∪ CD B
D A
Діаметр, що проходить через середину хорди, перпендикуляр& ний до неї
O B
Коло
C
Паралельні хорди відсікають на колі рівні дуги АВ ⎢⎢CD ⇒ ∪ AC = ∪ BD
Хорди, рівновіддалені від цен& тра кола, рівні. Більша з двох хорд знаходить& ся ближче до центра кола
A
B O
C
D
A
B O D
C
K E
Дотична до кола Пряма, що лежить в одній пло& щині з колом і має з ним тільки одну спільну точку, називається дотичною до цього кола
52
O B
a
Властивості дотичної до кола A
Пряма, що перпендикулярна до діаметра кола й проходить через його кінець, є дотичною до цього кола
O
C B
Дотична до кола перпендику& лярна до діаметра, що проходить через точку дотику
B O C
A
Коло
Кути, утворені дотичними, про& веденими з однієї точки, і пря& мою, що проходить через центр кола і цю точку, рівні ∠ВАО = ∠ОАС
B
Відрізки дотичних, проведе& них з однієї точки, рівні: АВ = АС
O C
A
Січна кола і її властивості A
Пряма, що перетинає коло у двох різних точках, називається січною Якщо з точки М поза колом проведена січна до нього, то до& буток відстаней від точки М до точок перетину з колом дорівнює квадрату довжини відрізка до& тичної з точки М до кола. МВ · ВС = МА2
B
O
A O
M
C
B
53
Дотик двох кіл Зовнішній
O1
Внутрішній
O1 O 2
O2
r
r
R
R О1О2 = r + R
O1O2 = R — r
Кути у колі Кутова величина дуги
Коло
Кутовою величиною дуги називається величина відпові& дного їй центрального кута Кутова величина дуги має такі властивості. 1. Кутова величина дуги невід’ємна. 2. Рівні дуги мають однакову кутову величину. 3. Якщо дві дуги одного кола (або двох рівних кіл) мають однакову кутову величину, то вони рівні
Кругове (радіанне) вимірювання кутів Радіан — кут, що відповідає дузі, довжина якої дорівнює її радіусу, містить приблизно 57°17′44,8″. Радіан приймається за одиницю вимірювання кутів при так званому круговому, чи радіанному, вимірюванні кутів. 180 Якщо кругова міра кута дорівнює α, то кут містить α π πn градусів; навпаки, кут в n° має кругову міру 180 . Наприклад, кутам у 30°, 45°, 60°, 90°, 180° відповідають π π π π , , , , π радіан. кути, що містять 6 4 3 2
54
Вписані кути
Вписаний кут вимірюється по& ловиною дуги, на яку він спи& рається, і дорівнює половині центрального кута, що спираєть& ся на ту ж дугу: ∠ABC =
A
α 2α
1 ∪ AC 2
B
O
C C B
Вписані кути, що спираються на одну дугу, рівні
β
α
∠α = ∠β A
Коло
D B
Вписаний кут, що спирається на діаметр (півколо),— прямий ∠ABC = 90°
C
A O
Кут, утворений двома січними C
Кут, утворений двома січними, вимірюється піврізницею дуг, що містяться між двома його сто& ронами ∠BAE =
O
1 ( ∪CD − ∪BE ) 2
D
B A
E
55
Довжина кола і дуги
Коло
Довжиною кола називається загальна границя периметрів вписаних і описаних правильних многокутників при необмежено& му подвоєнні числа їх сторін. Відношення довжини кола до його діаметра однакове для всіх кіл і позначається π. π = 3,14159... . Довжина кола радіуса R дорів& нює 2πR Довжина дуги, виражена в ра& діанній мірі, дорівнює добутку числа її радіанів на радіус кола l = α⋅R (α – êóò ó ðàä³àíàõ, ÿêèé ñïèðàºòüñÿ íà öþ äóãó)
R
l = 2 πR
R
α l
Площа круга і його частин Площа круга
Площа сектора S =
R
1 αR 2 2
R
(α – кут у радіанах)
α
Площа сегмента S=
56
1 (α − sin α ) R 2 2
R α
Прямі і площини у просторі Спосіб задання площини Площина у просторі однозначно визначається: трьома точками, що не лежать на одній прямій
прямою і точкою, що не лежить на прямій
α
B A
C
a
двома прямими, що перетинаються b
α
A
двома паралельними прямими α
b
α
a
Прямі і площини у просторі
a
Паралельність прямих і площин Взаємне розміщення прямих у просторі Дві прямі у просторі перетина& ються, якщо вони мають лише одну спільну точку
p
C
q
pIq = C
Дві прямі у просторі назива& ються паралельними, якщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок
p
q
57
p
Дві прямі у просторі назива& ються мимобіжними, якщо не існує площина, що містить ці прямі
q
Взаємне розміщення прямої і площини у просторі p
Пряма і площина перетина& ються, якщо вони мають одну спільну точку: (А називається слідом прямої р на площині α)
α A
p
Прямі і площини у просторі
Пряма називається паралель& ною площині, якщо вона лежить у цій площині або не має з нею спільних точок
α
Взаємне розміщення площин у просторі Дві площини у просторі можуть: перетинатися
збігатися
не мати спільних точок α
α β
α
β β
Дві площини називаються паралельними, якщо вони не ма& ють спільних точок або збігаються
58
Ознаки паралельності прямих і площин у просторі Для того щоб пряма р була па& ралельна площині α, достатньо, щоб ця пряма була паралельна хоча б одній прямій q, що лежить у площині α.
p
β q
α
Якщо пряма р паралельна пло& щині α, то вона паралельна лінії перетину a з будь–якою площи& ною β, що проходить через р
γ p
Пряма р, яка паралельна кожній з двох площин α і β, що перетинаються, паралельна їх лінії перетину q
β q
α
p
Якщо дві прямі, що перетина& ються і лежать у площині α, відповідно паралельні двом пря& мим, які перетинаються і лежать у площині β, то ці площини па& ралельні
Прямі і площини у просторі
Ознака паралельності двох площин q
α p1
q1
β
Властивості паралельних прямих у просторі Прямі, одержані при перетині двох паралельних площин тре& тьою, паралельні між собою α ⎜⎜ β; q ⎜⎜р
γ β α
q p
59
p
Дві прямі, кожна з яких пара& лельна третій, паралельні між собою p | | q, l || q
α q
β l
⇒ p || l
Паралельне проектування
Прямі і площини у просторі
При паралельному проектуванні задаються: — площина проектування α, — напрям проектування (пряма l)
A
Паралельною проекцією точки А на площину α називається точ& ка перетину прямої р, що прохо& дить через точку А і паралельна напряму проектування, з пло& щиною проектування α
l
p α A1
A1 = ïðα A
A
B
Паралельна проекція на пло& щину α всіх точок фігури Ф ут& ворює фігуру Ф1, яка називаєть& ся паралельною проекцією фігу& ри Ф на площину α Ô1 = ïðα Ô
60
C
A1 α
l B1 C1
Властивості паралельних проекцій 1. Паралельна проекція прямої — це або точка, або пряма. 2. Паралельні проекції паралельних прямих р і q, що не паралельні напряму проектування l, паралельні. 3. Відношення довжин відрізків прямої дорівнює відно& шенню довжин їх проекцій
Перпендикулярність прямих і площин Перпендикуляр і похила до площини
Перпендикуляром, опуще& ним з даної точки на дану пло& щину, називається відрізок, що з’єднує дану точку з точ& кою площини і лежить на прямій, яка перпендикулярна до площини.
Прямі і площини у просторі
A
B α
C
AB — ïåðïåíäèêóëÿð äî ïëîùèíè α AC — ïîõèëà äî ïëîùèíè α
Похилою, проведеною з даної точки до даної площи& ни, називається будь–який відрізок, що з’єднує дану точ& ку з точкою площини і не є перпендикуляром до цієї пло& щини
61
Ознака перпендикулярності прямої і площини Для того щоб пряма була пер& пендикулярна до площини, до& статньо, щоб вона була перпен& дикулярна до двох будь–яких прямих, що перетинаються і ле& жать у цій площині
a α
p
q
Теорема про три перпендикуляри
Прямі і площини у просторі
Пряма теорема Пряма, що проведена на пло& щині перпендикулярно до про& екції певної похилої, перпенди& кулярна і до самої похилої
A
Обернена теорема Пряма, що проведена на пло& щині перпендикулярно до похи& лої, перпендикулярна і до орто& гональної проекції цієї похилої
B α
C p
Відстань від точки до площини A
Якщо з точки А, що лежить поза площиною α, провести до неї перпендикуляр і похилу, то: 1) перпендикуляр коротший за будь–яку похилу; 2) рівні похилі мають рівні про& екції і рівним проекціям відповідають рівні похилі;
62
B α
C
3) з двох похилих, що мають нерівні проекції, довша та, проекція якої довша Відстань від точки до площини, що не містить цю точку, дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з даної точ& ки на дану площину
Властивості перпендикулярів до площини p
q
Площина, що перпендикуляр& на до однієї з двох паралельних прямих, перпендикулярна і до другої прямої
a α b
p
q
A
Прямі, що перпендикулярні до однієї площини, паралельні між собою
r
Прямі і площини у просторі
α
Відстань між мимобіжними прямими
Відстань між мимобіжними прямими дорівнює довжині пер& пендикуляра, опущеного з будь– якої точки однієї прямої на пло& щину, що проходить через дру& гу пряму паралельно першій
A q
Xq
Y α
p B Õ
a
63
Кути у просторі Кут між прямою і площиною A
Кутом між похилою АС і пло& щиною α називається величи& на кута між похилою та її орто& гональною проекцією (ВС) на цю площину
α B
C A
Кути у просторі
Кут між похилою та її ортого& нальною проекцією менший, ніж кут між похилою і будь–якою іншою прямою, що проведена у цій площині через основу похи& лої
Пряма, перпендикулярна до однієї з двох паралельних пло& щин, перпендикулярна і до дру& гої Площини α і β, перпендику& лярні до однієї й тієї ж пря& мої р, паралельні між собою
α D B
p α
C
δ
γ
B
C
A C1
β B1
A1
γ
A
Похила до двох паралельних площин утворює з ними рівні кути
n
β p α
64
q m
Двогранні кути α
M
Двогранним кутом нази& вається фігура, утворена двома півплощинами α і β із спільною прямою MN, що їх обмежує. Півплощини α і β називаються гранями, а пряма MN — ребром двогранного кута
β
N
α
M
Перетинання двогранного кута з площиною, перпендикулярною до його ребра, називається ліній ним кутом двогранного кута
β
C γ
B A N
Куты у просторі
Усі лінійні кути двогранного кута рівні
За величину двогранного кута приймають величину його лінійного кута
α
M
Лінійні кути, що відповідають рівним двогранним кутам, рівні, і навпаки, рівним лінійним ку& там відповідають рівні двогранні кути
A
β B
B1 C
N
α1
M1
A1
β1
C1 N1
65
Кут між площинами. Перпендикулярні площини
Кутом між двома площинами, що перетинаються, нази& вається найменша з величин двогранних кутів, утворених цими площинами. Площини α і β, кут між якими дорівнює 90°, називаються перпендикулярними (α ⊥ β). Якщо дві площини паралельні, то кут між ними вважається рівним 0°
· ,β „ 890°0 0° „ α
( )
Кути у просторі
Площина α, що проходить че& рез перпендикуляр р до другої площини β, перпендикулярна до площини β Якщо дві площини α і β взаєм& но перпендикулярні, то пряма р, проведена в одній з цих площин перпендикулярно до їх лінії пе& ретину, перпендикулярна і до другої площини
α A p q
M B
c
β
N
α
Якщо α і β — дві взаємно пер& пендикулярні площини і з точки А площини α опущений перпен& дикуляр р на площину β, то він лежить у площині α
A p
M
66
N
β
Многогранники Основні означення Многогранником називається геометричне тіло, поверхня яко& го складається із скінченного числа плоских многокутників Многогранник називається опуклим, якщо він міститься по одну сторону площини кожного плоского многокутника на його поверхні
Âåðøèíà Ãðàíü
Відрізок, що з’єднує дві вер& шини многогранника, які не ле& жать на одній грані, називаєть& ся діагоналлю многогранника
Ðåáðî
Многогран ники
Многокутники, з яких складе& на многогранна поверхня, нази& ваються її гранями; сторони многокутників — ребрами, а вер& шини — вершинами многогран& ника
ijàãîíàëü
Призма і паралелепіпед
Призмою називається многогранник, поверхня якого є об’єднання двох рівних багатокутників, розміщених у па& ралельних площинах (основ призми), і паралелограмів (бічних граней), число яких дорівнює числу сторін основи
67
B
Об’єднання граней, що не є ос& новами призми, називається її бічною поверхнею
A
C E
D
B1
Призма називається прямою, якщо її бічні ребра перпендику& лярні до площин основ. Бічні грані прямої призми — прямо& кутники
A1
C1 E1 D1 Ïðÿìà ïðèçìà A
B C
Непряма призма називається похилою A1
B1 E
Висотою будь–якої призми на& зивається перпендикуляр, опу& щений з будь–якої точки верх& ньої основи на площину нижньої основи
α
C1
Ïîõèëà ïðèçìà ÂÅ — âèñîòà ïðèçìè
Многогран ники
Паралелепіпед Призма, в основі якої лежить паралелограм, називається па ралелепіпедом Середина будь–якої діагоналі паралелепіпеда є центром його симетрії Протилежні грані паралелепі& педа рівні і паралельні Усі діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл
68
B
C D
A
O C1 B1 A1
D1
Î — öåíòð ñèìåòð³¿
Прямокутний паралелепіпед a
Прямий паралелепіпед, в ос& нові якого лежить прямокутник, називається прямокутним
b
d
Довжини трьох ребер прямо& кутного паралелепіпеда, що ви& ходять з однієї вершини, назива& ються його вимірами
c
Прямокутний паралелепіпед, у якого всі три виміри рівні, на& зивається кубом У прямокутному паралелепі& педі квадрат довжини діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів
d 2 = a2 + b 2 + c 2
Площа поверхні і об’єм призми
де р — периметр перпендикуляр& ного перерізу (для прямої при& зми — периметр основи); l — довжина бічного ребра.
C D
A L
M
K
N
Повна поверхня S
ï
=S
á
B1
+ 2S î,
C1
P
де Sо — площа основи. Об’єм V = S · l, де S — площа перпендикулярно& го перерізу (для прямої призми — площа основи); l — довжина бічного ребра
Многогран ники
B
Бічна поверхня S á = p ⋅ l,
A1
D1
KLMN — ïåðïåíäèêóëÿðíèé ïåðåð³ç, ÂÐ — âèñîòà
69
Площа поверхні та об’єм прямокутного паралелепіпеда Бічна поверхня Sб = 2с (а + b).
c
Повна поверхня Sп = 2 (ac + bc + ab).
b
Об’єм V = abc
a
Правильні многогранники Опуклі многогранники, всі грані яких правильні много& кутники, називаються правильними многогранниками
Многогран ники
Тетраедр Куб
Октаедр
Додекаедр
Ікосаедр
Основні формули Правильні многогранники
Радіус опи? саної сфери
Радіус впи? саної сфери
Об’єм
Тетраедр
a 6 4
a 6 12
a3 2 12
a 3 2
a 2
a3
a 2 2
a 6 6
a3 2 3
Куб
Октаедр
а — довжина ребра многогранника
70
Піраміда S
Пірамідою називається много& гранник, однією з граней якого є многокутник (основа пірамі& ди), а інші грані (бічні грані) – трикутники із спільною верши& ною (вершина піраміди)
Áîêîâà ãðàíü
Перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину її основи, називається висотою піраміди
A3
A2 A1
Об’єм піраміди 1 So ⋅ h, 3 де SO — площа основи; h — висота
Âåðøèíà
O
A4
V =
A6
A5
À 1 À 2 À 3 À 4 À 5 À 6 — îñíîâà, SO — âèñîòà
Повна поверхня піраміди S
ï
=S
á
+ S î,
Многогран ники
де Sб — площа бічних граней, Sо — площа основи
Зрізана піраміда Площина, що перетинає піраміду і паралельна її основі, ділить її на дві частини: піраміду, подібну до даної (SA1B1C1D1), і так звану зрізану піраміду (A1B1C1D1ABCD). Основи зрізаної піраміди — подібні многокутники, а бічні грані
71
S
Висота зрізаної піраміди — це відстань між площинами її основ. Об’єм зрізаної піраміди 1 h (S1 + S1S2 + S2 ), 3 де S1 і S2 — площі основ, h — висота V =
B1 O1
A1
C1 D1
B
Повна поверхня зрізаної піраміди Sп = S1 + S2 + Sб, де S1 і S2 — площі основ, Sб — площа бічних граней
C O
A D
ÎÎ1 — âèñîòà
Правильна піраміда
Многогран ники
Піраміда називається пра вильною, якщо в її основі ле& жить правильний многокутник і висота піраміди проходить через центр основи
S
Бічні грані правильної пірамі&ди — рівні між собою рівнобедрені трикутники, висо& та кожного з цих трикутників називається апофемою Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпе& риметра основи на апофему
B
C O
K
A
D SK — àïîôåìà B
C O
A
Зрізана піраміда, яка утво& рюється з правильної піраміди, також називається правильною
D B1
C1 O1
A1
72
D1
Тіла обернення Циліндр
Циліндр — це тіло, обмежене замкнутою циліндричною по& верхнею і двома паралельними площинами, що перетинають її,— основами циліндра
Циліндр, у якого основи пер& пендикулярні до твірної і явля& ють собою круги, називається прямим круговим циліндром (часто називають просто цилін& дром).
F1 B
L
A
N F2
β
K α
À — òâ³ðíà, F1 ³ F2 — îñíîâè, AKNLA — íàïðÿìíà
O
Тіла обернення
Циліндрична поверхня — це множина прямих (твірних) про& стору, паралельних заданому на& прямку і таких, що проходять через певну лінію (напрямну).
h
Об’єм такого циліндра 2
V = πr h; бічна поверхня
O1
r
S = 2πrh, де r — радіус основи, h — висота циліндра
73
Конус S
Конічна поверхня — це мно& жина прямих (твірних) просто& ру, що з’єднують всі точки пев& ної лінії (напрямної) з даною точ& кою (вершиною) простору, що не лежить у площині напрямної.
Конус — це тіло, обмежене замкненою конічною поверхнею і площиною, що містить напрям& ну (площину основи).
D A
α
F O
C
B
Перпендикуляр, опущений з вершини конуса на площину основи, називається висотою конуса.
S — âåðøèíà, F — îñíîâà, ABCDA — íàïðÿìíà, SA, SB, SC, SD — òâ³ðí³, SO — âèñîòà
Тіла обернення
Частина конічної поверхні, що розташована між верши& ною і площиною основи, називається бічною поверхнею конуса
Прямий круговий конус S
Конус називається прямим круговим, якщо його напрямна — коло, а вершина ортогонально проектується в його центр. (У курсі елементарної геометрії його називають просто конус)
h
l
r O
74
A
Основні властивості і формули Прямий круговий конус можна утворити обертанням пря& мокутного трикутника навколо одного з його катетів. При цьому обертанні другий катет опише основу конуса, а гіпо& тенуза — бічну поверхню конуса Довжина твірної l = Об’єм V =
h2 + r 2 .
1 π r 2 h. 3
Бічна поверхня Sá = πrl. Повна поверхня Sï = πr (l + r ), де r — радіус кола основи, h — висота конуса
Зрізаний конус
При перетині конуса площи& ною, що паралельна його основі, утворюється фігура, гомотетич& на основі, причому центром гомотетії служить вершина ко& нуса.
r l
O h
R
Висотою зрізаного конуса нази& вається відрізок перпендикуля& ра, опущеного з будь–якої точки верхньої основи на нижню
Тіла обернення
Частина конуса, обмежена його основою і січною площи& ною, паралельною основі, нази& вається зрізаним конусом.
S
O1
75
Основні властивості і формули Площі паралельних перетинів конуса відносяться до площі його основи, як квадрати їх відстаней до вершини конуса. Довжина твірної l = (R − r )2 + h2 ; об’єм V =
1 πh ( R 2 + r 2 + Rr ); 3
бічна поверхня Sб = π (R + r) l, де r — радіус кола верхньої основи, R — радіус кола нижньої основи, h — висота зрізаного конуса
Сфера і куля Сфера — це замкнена поверх& ня, що складається з усіх точок, однаково віддалених від однієї точки (центра сфери).
Тіла обернення
Відрізок, що з’єднує центр сфе& ри з будь–якою її точкою, нази& вається радіусом сфери.
O
R
O
R
Площа поверхні сфери S = 4πR2
Частина простору, що обмеже& на сферою і містить її центр, на& зивається кулею. Об’єм кулі V =
76
4 πR 3 3
O
R
Площина, що має з кулею (сферою) тільки одну спільну точку, називається дотичною до кулі (α), а та, що має більше, ніж одну спільну точку,— січною площиною
α A
O
Кульовий сегмент — це час& тина кулі, що відтинається січною площиною. Об’єм кульового сегмента V =
1 πh2 (3 R − h); 3
h
R
бічна поверхня S = 2πRh,
Кульовий шар — це частина кулі, що міститься між двома па& ралельними площинами, які проходять через кулю. Об’єм кульового шару 1 V = πh (3a2 + 3b2 + h2 ); 6 бічна поверхня S = 2πRh, де R — радіус кулі, h — відстань між площинами основ, a і b — радіуси основ
O
Тіла обернення
де R — радіус кулі, h — висота кульового сегмента
a h b
R O1
77
Кульовий сектор — це геомет& ричне тіло, що утворюється при обертанні кругового сектора навколо одного з радіусів, який обмежує круговий сектор. Об’єм кульового сектора V =
2 πR 2h ; 3
O1
h a
O
R
O2
поверхня кульового сектора S = πR (2h + a), де R — радіус сектора, h — проекція хорди, що стягує дугу сектора, на вісь обертання; a — відстань від кінців хорди до осі
h
a R O
Тіла обернення
Взаємне розміщення двох сфер Нехай є дві сфери з центрами відповідно О1 і О2 і радіусами R1 і R2. Тоді: 1) якщо O1O2 > R1 + R2 або O1O2 < | R1 — R2 |, то ці сфери не мають спільних точок; 2) якщо O1O2 = R1 + R2 або O1O2 = | R1 — R2 |, то вони дотика& ються; 3) якщо | R1 — R2 | < O1O2 < R1 + R2, то вони перетинаються по колу
78
Декартова система координат ³ñü — ïðÿìà ë³í³ÿ ³ç çàçíà÷åíèì íà í³é íàïðÿìîì ³ñü êîîðäèíàò — â³ñü, íà ÿê³é çàäàíî ïî÷àòîê â³äë³êó, îäèíèöÿ ìàñøòàáó, ³ êîæíîìó ä³éñíîìó ÷èñëó â³äïîâ³äຠïåâíà òî÷êà
O
A(2) 1
2
x 3
4
Ïî÷àòîê â³äë³òêó
Декартові координати на площині й у просторі Ó ïðîñòîð³
Íà ïëîùèí³ Äâ³ âçàºìíî ïåðïåíäèêóëÿðí³ îñ³ êîîðäèíàò (â³ñü àáñöèñ Îõ, â³ñü îðäèíàò Oó) ³ç ñï³ëüíèì ïî÷àòêîì â³äë³êó. Êîæí³é òî÷ö³ ïëîùèíè ñòàâèòüñÿ ó â³äïîâ³äí³ñòü ïàðà ÷èñåë (xÀ, yÀ, zÀ) — êîîðäèíàòè ïðîåêö³é òî÷êè íà â³äïîâ³äí³ îñ³ êîîðäèíàò
Òðè âçàºìíî ïåðïåíäèêóëÿðí³ îñ³ êîîðäèíàò (â³ñü àáñöèñ Îõ, â³ñü îðäèíàò Oó, â³ñü àïë³êàò Îz) ³ç ñï³ëüíèì ïî÷àòêîì â³äë³êó. Êîæí³é òî÷ö³ ïðîñòîðó ñòàâèòüñÿ ó â³äïîâ³äí³ñòü òð³éêà ÷èñåë (õA, óA, zÀ) — êîîðäèíàòè ïðîåêö³é òî÷êè íà â³äïîâ³äí³ îñ³ êîîðäèíàò
y
z
4 3 2 1 O
1
2
3
4
x
x
2
5 4 A(2;5;5) 3 2 1 Î y 1 2 3 4 5 1
Декартова система координат
A(3;5)
5
79
Основні координатні формули Відстань між точками Íà ïëîùèí³ y
Ó ïðîñòîð³ z
B (x2; y2)
A (x1, y1, z1)
A (x1; y1) O
B (x2, y2, z2)
x
x
y
O
AB = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
AB = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Координати точки ділення відрізка у даному відношенні Ó ïðîñòîð³
Íà ïëîùèí³
B (x2; y2; z2)
z y
AK m1 = KB m2
AK m1 = KB m2
B (x2; y2)
K (x, y, z)
K (x; y)
A (x1, y1, z1)
A (x1; y1) x
Декартова система координат
O
x
x= y=
80
y
O
x=
m2x1 + m1x2 ; m1 + m2
m2x1 + m1x2 ; m1 + m2
y=
m2 y1 + m1y2 ; m1 + m2
m2 y1 + m1y2 m1 + m2
z=
m2 z1 + m1z2 m1 + m2
Координати середини відрізка Ó ïðîñòîð³
Íà ïëîùèí³ y
z
B (x2; y2)
A (x1; y1; z1) C (x; y; z)
C (x; y) A (x1; y1) O
O x
x1 + x2 ; 2 y + y2 y= 1 2
x=
B (x2; y2; z2) y
x
x=
x1 + x2 ; 2 z=
y1 + y2 ; 2
y= z1 + z2 2
Рівняння прямої y
Çàãàëüíå ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿ ax + by + c = 0, äå a ≠ 0 àáî b ≠ 0
O
гâíÿííÿ ïðÿìî¿ ç êóòîâèì êîåô³ö³ºíòîì y = kx + b, äå k = tg α
y
гâíÿííÿ ïðÿìî¿ ó â³äð³çêàõ
y
α O
y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1
x
O y
a
x
M2 (x2; y2) M1 (x1; y1)
O
x
81
Декартова система координат
b
x y + =1 a b (à ≠ 0, b ≠ 0)
гâíÿííÿ ïðÿìî¿, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç äâ³ çàäàí³ òî÷êè
x
Окремі випадки рівняння прямої Âèä ð³âíÿííÿ ïðÿìî¿
Вид прямої
ax + by + c = 0 Ãðàô³ê ïðÿìî¿ ïðîïîðö³éíîñò³
ax + by = 0;
y
(a
≠
y = kx; (k ≠ 0)
x
Ïðÿìà, ïàðàëåëüíà îñ³ õ
by + c = 0;
y
c ; b 0; c ≠ 0)
y=− O
x
Ïðÿìà, ïàðàëåëüíà îñ³ y
O
(b
≠
ax + c = 0; c x=− ; a (a ≠ 0; c ≠ 0)
y
Декартова система координат
a x; b 0; b ≠ 0)
y=−
O
y = kx + b
y = b; (b ≠ 0)
x = m, äå m — áóäü-ÿêå ä³éñíå ÷èñëî, â³äì³ííå íóëÿ
x
гâíÿííÿ îñ³ õ by = 0; y = 0; (b ≠ 0)
y
O
82
x
y = 0
Умова паралельності прямих m1: a1x + b1y + c1 = 0; m2: a2x + b2y + c2 = 0; a1 b c = 1 ≠ 1 a2 b2 c2
y
m1
m1: k1x + b1: m2: k2x + b2; k1 = k2; (b1 ≠ b2)
m2
O
x
Умова перпендикулярності прямих m1: a1x + b1y + c1 = 0; m2: a2x + b2y + c2 = 0; a1 b =− 2 b1 a2
m1: y = k1x + b1; m2: y = k2x + b2; k1k2 = – 1
y m1
O
m2
x
Перетин прямих
m1
m2 À
óà
õà
O
m1: a1x + b1y + c1 = 0 m2: a2x + b2y + c2 = 0
m1: y = k1x + b1 m2: y = k2x + b2
x
83
Декартова система координат
y
Óìîâà ïåðåòèíó ïðÿìèõ
a1 b ≠ 1 a2 b2
Êîîðäèíàòè òî÷êè ïåðåòèíó
Êóò ì³æ ïðÿìèìè, ùî ïåðåòèíàþòüñÿ
k1
xA =
b1c2 − b2c1 a1b2 − a2b1
yA =
a2c1 − a1c2 a1b2 − a2b1
tg α =
a1b2 − a2b1 a1a2 + b1b2
xA =
≠ k2
b2 − b1 k1 − k2
k1b2 − k2b1 k1 − k2
yA =
tg α =
k2 − k1 1 + k1k2
Рівняння кола y
Ç öåíòðîì íà ïî÷àòêó êîîðäèíàò 2
2
x + y = R
R O
x
2
Декартова система координат
y
2
2
R
y0
Ç öåíòðîì ó òî÷ö³ (x0; y0) 2
(x – x0) + (y – y0) = R
O
84
x0
x
Рівняння сфери z
Ç öåíòðîì íà ïî÷àòêó êîîðäèíàò 2
2
2
x + y + z = R
R O
2
y
x z
Ç öåíòðîì ó òî÷ö³ (x0, y0, z0) 2
(x0,y0,z0) R
2
(x – x0) + (y – y0) + 2
2
+ (z – z0) = R
O
y
x
Рівняння площини z
Çàãàëüíå ð³âíÿííÿ ïëîùèíè ax + by + cz + d = 0, äå êîåô³ö³ºíòè a, b, c äîð³âíþþòü êîîðäèíàòàì âåêòîðà G n (a; b; c), ïåðïåíäèêóëÿðíîãî äî äàíî¿ ïëîùèíè (a, b, c íå äîð³âíþþòü íóëþ îäíî÷àñíî)
P
O
y
x
G n
z P
Ì0 (x0; y0; z0) O
y
x
85
Декартова система координат
гâíÿííÿ ïëîùèíè, ùî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó Ì0 (x0; y0; z0) ³ ïåðïåíäèêóëÿðíà äî âåêòîG ðà n (a; b; c) a (x – x0) + b (y – y0) + c (z – z0) = 0 àáî ax + by + cz + d = 0, äå d = – (ax0 + by0 + cz0)
G n
z
гâíÿííÿ ïëîùèíè ó â³äð³çêàõ
c
x y z + + = 1, a b c äå a, b, c — â³äð³çêè, ùî â³äòèíàþòüñÿ ïëîùèíîþ íà êîîðäèíàòíèõ îñÿõ (a ≠ 0; b ≠ 0; c ≠ 0) x
O
b
y
a
Окремі випадки положення площини відносно системи координат z
Ïëîùèíà ïðîõîäèòü ÷åðåç ïî÷àòîê êîîðäèíàò ax + by + cz = 0
P O y
x
Ïëîùèíà íàòí³é îñ³ Oz ax Oy ax Ox by
+ by + d = 0 + cz + d = 0 + cz + d = 0
α ⎜⎜ Oy
z
ïàðàëåëüíà êîîðäè-
α O x Oy ⊂ α
Декартова система координат
z
Ïëîùèíà ïðîõîäèòü ÷åðåç êîîðäèíàòíó â³ñü Ox by + cz = 0 Oy ax + cz = 0 Oz ax + by = 0 Ïëîùèíà ïàðàëåëüíà êîîðäèíàòí³é ïëîùèí³ xy cz + d = 0 xz by + d = 0 yz ax + d = 0
86
y
α y
O
x z
α ⎜⎜ xy
α
O x
y
Взаємне розміщення двох площин
α1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0; α2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0
Óìîâà ïàðàëåëüíîñò³ ïëîùèí: a1 b c = 1 = 1 . a2 b2 c2
α1
α2
a1 b1 c1 d1 Ïðè a = b = c = d 2 2 2 2
ïëîùèíè çá³ãàþòüñÿ
α1
Êóò ì³æ ïëîùèíàìè (ìåíøèé ç äâîõ ñóì³æíèõ):
cosϕ =
a1a2 + b1b2 + c1c2 a 12+ b 12+ c 12 ⋅ a 22+ b 22+ c 22
α2
α1
Декартова система координат
Óìîâà ïåðïåíäèêóëÿðíîñò³ ïëîùèí: a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
ϕ α2
87
Вектори Основні означення Ñêàëÿð (ñêàëÿðíà âåëè÷èíà) — âåëè÷èíà, êîæíå çíà÷åííÿ ÿêî¿ ìîæíà âèðàçèòè ä³éñíèì ÷èñëîì Âåêòîð — íàïðÿìëåíèé â³äð³çîê ïðÿìî¿, ó ÿêîãî îäèí ê³íåöü (òî÷êà À) íàçèâàºòüñÿ ïî÷àòêîì âåêòîðà, äðóãèé ê³íåöü (òî÷êà Â) — ê³íöåì âåêòîðà. Ïîçíà÷åííÿ âåêòîðà:
— äîâæèíà; — ïëîùà; — îá’ºì
Ñêàëÿðè:
B
→
AB A
G a
→ G AB, AB, a, a, a
Ìîäóëü âåêòîðà — ñêàëÿðíà âåëè÷èíà, ùî äîð³âíþº â³äñòàí³ ì³æ ïî÷àòêîì ³ ê³íöåì âåêòîðà (äîâæèí³ âåêòîðà). Ïîçíà÷åííÿ ìîäóëÿ âåêòîðà:
Íóëüîâèé âåêòîð — âåêòîð, ïî÷àòîê ³ ê³íåöü ÿêîãî çá³ãàþòüñÿ
Вектори
Äâà âåêòîðè íàçèâàþòüñÿ ð³âíèìè, ÿêùî âîíè ìàþòü ð³âí³ ìîäóë³ é îäíàêîâî íàïðÿìëåí³ Äâà âåêòîðè íàçèâàþòüñÿ êîë³íåàðíèìè, ÿêùî âîíè ëåæàòü íà îäí³é àáî íà ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ
88
A
B →
| AB | = 4
A
.
→
| AB | = 0
G a
G G a=b
G b
G a
G b
G a
G b
Äâà îäíàêîâî íàïðÿìëåíèõ êîë³íåàðíèõ âåêòîðè íàçèâàþòüñÿ ñï³âíàïðÿìëåíèìè
G a
G b
G G a↑↑b
G a
Äâà íåîäíàêîâî íàïðÿìëåíèõ êîë³íåàðíèõ âåêòîðè íàçèâàþòüñÿ ïðîòèëåæíî íàïðÿìëåíèìè
G b
G G a↑ ↓b
Координати вектора G a = OA
y
Êîîðäèíàòàìè âåêòîðà íàçèâàþòüñÿ êîîðäèíàòè ê³íöÿ ð³âíîãî éîìó âåêòîðà, â³äêëàäåíîãî â³ä ïî÷àòêó êîîðäèíàò
.
G (6; 2) a
A (6; 2)
2 1 O
1
2
3
4
5
6
x
Обчислення координат і модуля вектора Íà ïëîùèí³
B(xB;yB;zB)
B (xB; yB)
G a (ax ; ay )
yA
G a (ax ; ay ; az ) A (xA; yA; zA)
A (xA; yA) xA
xB
x
ax = xB – xA, ay = yB – yA, G a = ax2 + ay2
x
O
y
ax = xB – xA , a y = y B – y A, az = z B – z A,
G a =
Вектори
y yB
O
Ó ïðîñòîð³ z
ax2 + ay2 + az2
89
Лінійні операції над векторами Сума векторів
Ïðàâèëî ïàðàëåëîãðàìà G G ßêùî âåêòîðè a ³ b ïðèêëàäåí³ äî ñï³ëüíîãî ïî÷àòêó, òî ¿õ ñóìà º âåêòîð, ùî çá³ãàºòüñÿ ç ä³àãîíàëëþ ïàðàëåëîãðàìà, ïîG G áóäîâàíîãî íà âåêòîðàõ a ³ b
Ïðàâèëî ìíîãîêóòíèêà ßêùî äî ê³íöÿ êîæíîãî äîäàíêà ïðèêëàñòè ïî÷àòîê íàñòóïíîãî, òî âåêòîð, ùî éäå ç ïî÷àòêó ïåðøîãî â ê³íåöü îñòàííüîãî äîäàíêà, ³ º ñóìîþ âñ³õ öèõ äîäàíê³â
G a+ G b
G b
G a
G G a(ax ; ay ) + b (bx ; by ) = G = c (ax + bx ; ay + by ) G b
G G +b a
G a
G a
G b
G a+ G G b+ c+ G G d+ e
Ïðàâèëî òðèêóòíèêà G G G G Ñóìîþ a + b âåêòîð³â a ³ b íàçèâàºòüñÿ âåêòîð, ïðîâåäåíèé G G ç ïî÷àòêó a ó ê³íåöü b , ÿêùî G G ê³íåöü a ³ ïî÷àòîê b ñóì³ùåí³
G e G d
G c
G b
G a
Ïðàâèëî ïàðàëåëåï³ïåäà Вектори
G G +c G +b a G a
90
G b
G c
1. 2. 3. 4.
Âëàñòèâîñò³ îïåðàö³¿ äîäàâàííÿ âåêòîð³â G G G G a + b = b + a (ïåðåñòàâíèé çàêîí). G G G G G G (a + b ) + c = a + (b + c ) (ñïîëó÷íèé çàêîí). G G G a + 0 = a (íàÿâí³ñòü íóëüîâîãî åëåìåíòà). G G a + ( − a) = 0 (íàÿâí³ñòü ïðîòèëåæíîãî åëåìåíòà)
Різниця векторів G G G G гçíèöåþ a − b âåêòîð³â a ³ b G íàçèâàºòüñÿ âåêòîð c òàêèé, ùî G G G c+b =a
G G G c =a−b
G a G b
Íà ïëîùèí³: G G G a(ax ; ay ) − b (bx ; by ) = c (ax − bx ; ay − by ) .
Ó ïðîñòîð³: G G G a (ax ; ay ; az ) − b (bx ; by ; bz ) = c (ax − bx ; ay − by ; az − bz )
Множення вектора на число G G Äîáóòêîì λa âåêòîðà a íà G G ÷èñëî λ ó ðàç³ λ ≠ 0, a ≠ 0 íàçèG âàºòüñÿ âåêòîð, êîë³íåàðíèé a , G ìîäóëü ÿêîãî äîð³âíþº λ a
G a
G − 2a
ÿêèé ñïðÿìîâàíèé ó òîé æå á³ê, G ùî é âåêòîð a , ÿêùî λ > 0, ³ ó ïðîòèëåæíèé, ÿêùî λ < 0.
G 3a
.
G 0⋅ a
Вектори
G G G G ßêùî λ = 0 àáî a = 0, òî λa = 0 . Íà ïëîùèí³: λ ⋅ (ax ; ay ) = (λax ; λay ) . Ó ïðîñòîð³: λ ⋅ (ax ; ay ; az ) = (λax ; λay ; λaz )
91
Âëàñòèâîñò³ îïåðàö³¿ ìíîæåííÿ âåêòîðà íà ÷èñëî G G G G 1. λ (a + b ) = λa + λb (ðîçïîä³ëüíèé çàêîí â³äíîñíî ñêëàäàííÿ âåêòîð³â).
G G G 2. (λ + µ )a = λa + µa (ðîçïîä³ëüíèé çàêîí â³äíîñíî ñêëàäàííÿ ÷èñåë). G G 3. λ (µa) = (λµ ) a (ñïîëó÷íèé çàêîí). G G 4. 1⋅ a = a (ìíîæåííÿ íà îäèíèöþ)
Кут між векторами Êóòîì ì³æ âåêòîðàìè íàçèâàºòüñÿ êóò ì³æ âåêòîðàìè, ð³âíèìè äàíèì ³ òàêèìè, ùî ìàþòü ñï³ëüíèé ïî÷àòîê G G G∧ G α = ∠ (a, b ) = (a; b )
G b C G a A
D
G b
B
α
O G
a
Скалярний добуток векторів Ñêàëÿðíèì äîáóòêîì íåíóëüîG G âèõ âåêòîð³â a ³ b íàçèâàºòüñÿ ÷èñëî, ùî äîð³âíþº äîáóòêó äîâæèí öèõ âåêòîð³â íà êîñèíóñ êóòà ì³æ íèìè.
G a
G b
Вектори
G G Íà ïëîùèí³: a ⋅ b = ax ⋅ bx + ay ⋅ by . G G Ó ïðîñòîð³: a ⋅ b = ax ⋅ bx + ay ⋅ by + az ⋅ bz
92
( )
r r r r ·r r a ⋅ b =| a | ⋅ | b |cos a,b
Âëàñòèâîñò³ ñêàëÿðíîãî äîáóòêó
G G G G 3. (xa) ⋅ b = x (a ⋅ b ) G G G G G G G 4. (a + c ) ⋅ b = a ⋅ b + c ⋅ b
G G G 1. a ⋅ a = | a | 2 G G G G 2. a ⋅ b = b ⋅ a
Умова колінеарності векторів G a
G G Âåêòîðè a ³ b êîë³íåàðí³, ÿêùî ¿õ â³äïîâ³äí³ êîîðäèíàòè ïðîïîðö³éí³.
G G a||b G G b = ka
G b
by bx = = k. ax ay by b b = z =k Ó ïðîñòîð³: x = ax ay az
Íà ïëîùèí³:
Координатні вектори Âåêòîð íàçèâàºòüñÿ îäèíè÷íèì, ÿêùî éîãî àáñîëþòíà âåëè÷èíà äîð³âíþº îäèíèö³. Îäèíè÷í³ âåêòîðè, ùî ìàþòü íàïðÿìëåííÿ äîäàòíèõ êîîðäèíàòíèõ ï³âîñåé, íàçèâàþòüñÿ êîîðäèíàòíèìè âåêòîðàìè, àáî îðòàìè. Êîîðäèíàòí³ âåêG G G G G G òîðè îñåé Îõ, Oy, Oz ïîçíà÷àþòü i , j , k àáî e1, e2 , e3 , â³äïîâ³äíî:
y
G i (1; 0) G j (0; 1)
2 1
G j O
Ó ïðîñòîð³: z 1
G i
G i 1
2
x
G k
G j O
G i (1; 0; 0); G j (0; 1; 0); G k (0; 0; 1). 1
Вектори
Íà ïëîùèí³:
y
1 x
93
Розкладання вектора по координатних осях Íà ïëîùèí³:
Ó ïðîñòîð³:
y
z
ay
G j O
G a G i
G k
G i O ax x
G G G a (ax ; ay ) = ax i + ay ⋅ j
x
az
G aG j
y ay
ax
G G G G a (ax ; ay ; az ) = ax i + ay j + az k
Література 1. Ìàòåìàòè÷åñêèé ýíöèêëîïåäè÷åñêèé ñëîâàðü/ Ãë. ðåä. Þ. Â. Ïðîõîðîâ; Ðåä. êîë.: Ñ. È. Àäÿí è äð.— Ì.: Ñîâ. Ýíöèêëîïåäèÿ, 1988.— 847 ñ. 2. Ïîãîðåëîâ À. Â. Ãåîìåòðèÿ: Ó÷åá. äëÿ 7—11 êë. ñðåä. øê.— Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1992—1997. 3. Ïîãîðåëîâ À. Â. Ãåîìåòðèÿ. 10—11 êë.: Ðåøåíèå çàäà÷ èç ó÷åáíèêà Ïîãîðåëîâà À. Â. «Ãåîìåòðèÿ. 7—11».— Ì.: Äðîôà, 1996.—112 ñ. 4. Çá³ðíèê çàâäàíü äëÿ åêçàìåíó ç ìàòåìàòèêè íà àòåñòàò ïðî ñåðåäíþ îñâ³òó. — Ëüâ³â: ÂÍÒË, 1977.— ×. ²².— 78 ñ. 5. Àëåêñàíäðîâ À. Ä., Âåðíåð À. Ë., Ðûæèê Â. È. Íà÷àëà ñòåðåîìåòðèè —Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1981.— 224 ñ. 6. Áîðîäèí À. È., Åâäîêèìîâ Ä. Ê., Êàìåíñêàÿ Ì. Â., Ïàëàíò Þ. À. Ìàòåìàòèêà.— Ê.: Âûùà øêîëà, 1974.— 256 ñ. 7. Íåëèí Å. Ï. Ãåîìåòðèÿ â òàáëèöàõ. — Õàðüêîâ: Ìèð äåòñòâà, 1997. 8. Êà÷åíîâñêèé Ì. È., Êîëÿãèí Þ. Ì., Ëóêàíêèí Ã. Ë., ßêîâëåâ Ã. Í. Ãåîìåòðèÿ. — Ì.: Íàóêà, 1978.— ×. 1 — 176 ñ. 9. Ãóñåâ Â. À., Ìîðäêîâè÷ À. Ã. Ìàòåìàòèêà: Ñïðàâ. ìàòåðèàëû.— Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1988.— 416 ñ.
94
Предметний покажчик Á Á³ñåêòðèñà — êóòà 9 — òðèêóòíèêà 17 Á³÷íà ïîâåðõíÿ — êîíóñà 75 — ï³ðàì³äè 71 — ïðèçìè 69 — öèë³íäðà 73  Âåêòîð 88 — íóëüîâèé 88 — îäèíè÷íèé 93 Âåêòîðà — êîîðäèíàòè 89 — ìîäóëü 88 Âåêòîðè — êîë³íåàðí³ 88 — ïðîòèëåæíî íàïðÿìëåí³ 89 — ð³âí³ 88 — ñï³íàïðÿìëåí³ 89 Âèñîòà òðèêóòíèêà 16 ³ñü 79 — êîîðäèíàò 79 — îáåðòàííÿ 14 — ñèìåò𳿠14 Âëàñòèâ³ñòü — á³ñåêòðèñè òðèêóòíèêà 22 — âåðòèêàëüíèõ êóò³â 8 — âèñîòè òðèêóòíèêà 23 — ìåä³àíè òðèêóòíèêà 21 — ñåðåäíüî¿ ë³í³¿ òðèêóòíèêà 17 Âëàñòèâîñò³ — çîâí³øíüîãî êóòà òðèêóòíèêà 18 — êóò³â, âïèñàíèõ ó êîëî 55 — ïàð âíóòð³øí³õ ð³çíîñòîðîíí³õ ³ âíóòð³øí³õ îäíîñòîðîíí³õ êóò³â 11 — ïåðïåíäèêóëÿðà ³ ïîõèëèõ 14 — ðóõó 13 — ñêàëÿðíîãî äîáóòêó âåêòîð³â 93 à óïîòåíóçà 29 Ãîìîòåò³ÿ 15 Ãðàíü ìíîãîãðàííèêà 67 Ä Äåêàðòîâ³ êîîðäèíàòè — íà ïëîùèí³ 79 — ó ïðîñòîð³ 79 Äçåðêàëüíå â³äáèòòÿ 14 ijàãîíàëü ìíîãîêóòíèêà 49 ijàìåòð êîëà 51 Äîâæèíà êîëà 56 Äîòèê äâîõ ê³ë 54 Äîòè÷íà ïðÿìà äî êîëà 52 Äóãà êîëà 51
Ê Êàòåò 31 Êâàäðàò 43 Êîåô³ö³ºíò ïîä³áíîñò³ 15 Êîëî — âïèñàíå ó òðèêóòíèê 17 — îïèñàíå íàâêîëî òðèêóòíèêà 17 Êîíóñ 74 — çð³çàíèé 75 — ïðÿìèé 74 Êîîðäèíàòè âåêòîðà 88 Êîñèíóñ 30 Êóëüîâèé — ñåãìåíò 77 — ñåêòîð 78 — øàð 77 Êóëÿ 76 Êóò — âïèñàíèé ó êîëî 51 — ãîñòðèé 9 — äâîãðàííèé 65 — çîâí³øí³é 16 — ì³æ âåêòîðàìè 92 — ì³æ ïëîùèíàìè 66 — ïðÿìèé 9 — ðîçãîðíóòèé 8 — òóïèé 9 — öåíòðàëüíèé 51 Êóòè — âåðòèêàëüí³ 8 — â³äïîâ³äí³ 11 — âíóòð³øí³ îäíîñòîðîíí³ ³ âíóòð³øí³ ð³çíîñòîðîíí³ 10 — ïðèëåãë³ 8 — ñóì³æí³ 8 Êóòîâà âåëè÷èíà äóãè ê³ë 54 Ë Ëàìàíà 48 Ì Ìåä³àíà òðèêóòíèêà 17 Ìíîãîãðàííèê — îïóêëèé 67 — ïðàâèëüíèé 70 Ìíîæåííÿ âåêòîðà íà ÷èñëî 92 Ìíîãîêóòíèê 48 — âïèñàíèé ó êîëî 48 — îïóêëèé 49 — îïèñàíèé íàâêîëî êîëà 48 — ïðàâèëüíèé 50 Í Íåð³âí³ñòü òðèêóòíèêà 18 Î Îá’ºì — êîíóñà 76 — êóë³ 76
95
— êóëüîâîãî ñåãìåíòà 77 ñåêòîðà 78 øàðó 77 — ïàðàëåëåï³ïåäà 70 — ï³ðàì³äè 71 — ïðèçìè 69 — ïðÿìîêóòíîãî ïàðàëåëåï³ïåäà 70 — öèë³íäðà 73 Îáåðòàííÿ íàâêîëî îñ³ 14 Îá’ºìè ïîä³áíèõ ò³ë 15 Îçíàêà — ïàðàëåëüíîñò³ ïëîùèí 59 ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè 59 — ïåðïåíäèêóëÿðíîñò³ ïëîùèí 66 ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè 62 Îçíàêè — ïàðàëåëüíîñò³ ïðÿìèõ 11 — ïîä³áíîñò³ òðèêóòíèê³â 20 — ð³âíîñò³ òðèêóòíèê³â 19 Îðò 93 Îñíîâà ïåðïåíäèêóëÿðà 12 Ï Ïàðàëåëåï³ïåä 68 — ïðÿìîêóòíèé 69 Ïàðàëåëîãðàì 37 Ïàðàëåëüíå ïåðåíåñåííÿ 13 Ïàðàëåëüí³ñòü — ïëîùèí 59 — ïðÿìèõ 57 — ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè 58 Ïåðåòâîðåííÿ ïîä³áíîñò³ 15 Ïåðåòâîðåííÿ ïðîñòîðó 13 Ïåðïåíäèêóëÿð 12 — äî ïëîùèíè 61 — äî ïðÿìî¿ 12 Ïåðïåíäèêóëÿðí³ñòü — ïëîùèí 66 — ïðÿìî¿ ³ ïëîùèíè 62 ϳðàì³äà 71 — çð³çàíà 72 Ïëîùà — êðóãà 56 — ïàðàëåëîãðàìà 39 — ïðÿìîêóòíèêà 42 — ïîâåðõí³ ñôåðè 76 — òðàïåö³¿ 47 — òðèêóòíèêà 25 Ïëîù³ ïîä³áíèõ ô³ãóð 15 Ïîâîðîò 14 Ïîä³áí³ñòü 15 Ïîõèëà 12 Ïðàâèëî — ìíîãîêóòíèêà 90 — ïàðàëåëîãðàìà 90 — ïàðàëåëåï³ïåäà 90 — òðèêóòíèêà 90 Ïðèçìà 67 — ïîõèëà 68 — ïðÿìà 68 Ïðîåêö³ÿ âåêòîðà íà â³ñü 89
96
Ïðîì³íü 8 Ïðÿìà 11 Ïðÿì³ — ïàðàëåëüí³ 11 — ïåðåõðåñí³ 58 — ïåðïåíäèêóëÿðí³ 12 Ïðÿìîêóòíèê 42 Ð Ðàä³àí 54 Ðàä³óñ — êîëà 51 — êóë³ 76 гâí³ñòü òðèêóòíèê³â 19 гâíÿííÿ — êîëà 84 — ïðÿìî¿ 81 гçíèöÿ âåêòîð³â 91 Ðîìá 40 Ðóõ 13 Ñ Ñåðåäíÿ ë³í³ÿ — òðàïåö³¿ 45 — òðèêóòíèêà 17 Ñèìåòð³ÿ 14 Ñèíóñ 30 ѳ÷íà 53 Ñêàëÿðíèé äîáóòîê âåêòîð³â 92 Ñóìà âåêòîð³â 90 Ñôåðà 76 Ò Òàíãåíñ 30 Òåîðåìà — êîñèíóñ³â 33 — ϳôàãîðà 30 — ïðî òðè ïåðïåíäèêóëÿðè 62 — ñèíóñ³â 33 — Ôàëåñà 13 Ò³ëî îáåðòàííÿ 73 Òðàïåö³ÿ 45 — ð³âíîáåäðåíà 45 — ïðÿìîêóòíà 45 Òðèêóòíèê — ïðÿìîêóòíèé 29 — ð³âíîáåäðåíèé 26 — ð³âíîñòîðîíí³é 27 Ô Ô³ãóðè ïîä³áí³ 15 Ôîðìóëà Ãåðîíà 25 Õ Õîðäà 51 Ö Öåíòð — ãîìîòåò³¿ 15 — êîëà 51 — ñèìåò𳿠14 Öèë³íäð 85 × ×îòèðèêóòíèê 34