ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ (Προετοιμασία) ΑΝΑΛΥΣΗ Συναρτήσεις Επανάληψη πριν το διαγώνισμα Μιχάλης Μάγκος
Να προσέξεις: • Όταν σου δίνουν μια συνάρτηση θα βρίσκεις πρώτα το πεδίο ορισμού της ! • Στη σύνθεση συναρτήσεων πρώτα θα βρίσκεις το πεδίο ορισμού της σύνθεσης και μετά τον τύπο ! • Για να δείξεις ότι μια συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη, πρώτα θα δείχνεις ότι είναι 1-1 Μιχάλης Μάγκος
• ΠΡΟΣΟΧΗ: • Η g○f ορίζεται όταν Dg○f ≠ . Πρώτα λοιπόν θα βρίσκω το πεδίο ορισμού της σύνθεσης και μετά τον τύπο της. • Γενικά αν ορίζονται οι συναρτήσεις g○f και f ○ g , τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες. • Ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα: fo(goh) (fog)oh . • Αν δύο συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το R , τότε οι fog και gof έχουν πεδίο ορισμού το R. • Αν μια συνάρτηση έχει το ίδιο είδος μονοτονίας σε δύο διαστήματα Α και Β δεν έχει απαραίτητα το ίδιο είδος μονοτονίας και στην ένωση Α Β αυτών. Μιχάλης Μάγκος
• Στις ασκήσεις με σύνθεση όπου: • Α. Γνωρίζω την και την f και ζητάω τη g , τότε: • Θέτω f(x) = ω και παίρνω περιορισμό αν χρειαστεί. • Λύνω την f(x) = ω ως προς x. • Αντικαθιστώ στον τύπο της την f(x) και το x. • Β. Γνωρίζω την και τη g και ζητάω την f , τότε: • 1. Θέτω στον τύπο της g όπου x το f(x) . • 2. Λύνω ως προς f(x) και βρίσκω τον τύπο της f . • Π.χ Α6 σελ.148 σχολικού
Μιχάλης Μάγκος
• αν βρούμε δύο αριθμούς x1 , x2 με: x1 x2 ώστε f(x1) = f(x2) τότε η f δε θα είναι 1 – 1. • Αν η f είναι 1 – 1 τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο. • Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και 1 – 1. (Προσοχή: γενικά δεν ισχύει το αντίστροφο) • Να θυμάσαι ότι: f 1 f ( x) x , x A και f f 1 ( y ) = y , y f ( A) Μιχάλης Μάγκος
• Οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x. • Για να βρούμε την f -1 : α) Εξετάζουμε αν η f είναι 1 – 1 (αν δεν είναι δεν υπάρχει αντίστροφη) β) Θέτουμε όπου f(x) το y και λύνουμε τον τύπο της f ως προς x. γ) Κατά την επίλυση θέτουμε τους περιορισμούς που προκύπτουν για το y , από τη συναλήθευση των οποίων προκύπτει το πεδίο ορισμού της f -1. δ) Για να βρούμε και τον τύπο της f -1 : κάνουμε εναλλαγή των μεταβλητών x και y στον τύπο που έχουμε βρει ως προς x στο β) Μιχάλης Μάγκος
• ΠΡΟΣΟΧΗ: • Αν x = y τότε f(x)=f(y)
• Αν f(x) = f(y) και η f είναι 1-1 τότε x = y • Αν x > y και η f είναι γνησίως αύξουσα τότε f(x) > f(y)
• Αν f(x) > f(y) και η f είναι γνησίως αύξουσα τότε x > y. • Αν x > y και η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε f(x) < f(y) • Αν f(x) < f(y) και η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε x > y. Μιχάλης Μάγκος
Μιχάλης Μάγκος
Άσκηση 1 • Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ( - 1 , 2 ]. • Να βρείτε τα πεδία ορισμού: α. της f(2x – 1) και • β. της f(x2).
Μιχάλης Μάγκος
Άσκηση 2 • Δίνεται η συνάρτηση f: R→R με f(f(x))=2x-1 για κάθε x∈R. • α. Να αποδείξετε ότι: f(2x-1) = 2f(x) – 1. • β. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 1 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στοR.
Μιχάλης Μάγκος
Άσκηση 3 • Δίνεται η συνάρτηση: f g x και η g(x) = -x3. Να βρείτε τη συνάρτηση f.
Μιχάλης Μάγκος
1 x3
Άσκηση 4 • Δίνεται η συνάρτηση: g f x 2x 1 x g(x) και η : . x2 • Να βρείτε τη συνάρτηση f.
Μιχάλης Μάγκος
Άσκηση 5 • Δίνεται μια συνάρτηση f:R→R η οποία είναι 1 – 1. • Αν ισχύει : f f f (x 1) f f (x 1) για κάθε x∈R , να βρείτε τη συνάρτηση f.
Μιχάλης Μάγκος
Άσκηση 6 • Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 -2x + 3. Να εξετάσετε αν η f είναι «1-1»: α. στο R β. στο (-∞, 1).
Μιχάλης Μάγκος
Άσκηση 7 • Δίνεται η συνάρτηση f:R→R για την οποία ισχύει: f(f(x)) = x3. Να αποδείξετε ότι: • α. η f αντιστρέφεται. • β. ισχύει: (f(x))3 = f(x3). • γ. Να λυθεί η εξίσωση: f(x) = x στο R. • δ. Να αποδείξετε ότι: [f(-1)]3 + [f(1)]3 = f(0). • ε. Αν f(8) =64 να υπολογίσετε το f(2). Μιχάλης Μάγκος
Άσκηση 8 • A. Δίνονται οι συναρτήσεις f:Α→R , g:B→R με f(A) B. Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα και η g f γνησίως αύξουσα, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. e 1 f (x) Β. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με: e και g(x) ln x 1 . α. Να βρείτε την g f και να δείξετε ότι g(f(x))=x για κάθε x∈R. β. Να βρείτε τη μονοτονία των g , και να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. γ. Να λύσετε την ανίσωση: e 1 e e 1 e . x
x
x2 1
Μιχάλης Μάγκος
x 1
x 1
x2 1
Άσκηση 9 x f (x) f (y) f y
• Δίνεται η συνάρτηση f: με: για κάθε x , y≠0, τέτοια ώστε η εξίσωση f(x) = 0 να έχει μοναδική ρίζα. α. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = 0. β. Να δείξετε ότι η f είναι 1 – 1. γ. Να δείξετε ότι: f (x) f 1x 0 για κάθε x≠0. δ. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) + f(x2+3) = f(x2+1) + f(x+1). R*→R
Μιχάλης Μάγκος
Άσκηση 10 • Δίνεται η συνάρτηση f:R→R για την οποία ισχύει: f f (x) 4x 9 για κάθε x∈R. Να δείξετε ότι: α. η f αντιστρέφεται. β.
f
1
1 (x) f x 9 4
.
γ. f(4x+9)=4f(x)+9. Μιχάλης Μάγκος
Άσκηση 11 • Δίνεται η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι γνησίως μονότονη. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 2) και Β(-1 , -2): α. να βρείτε τη μονοτονία της f. β. να λύσετε την ανίσωση: f(3x-1) + 2 < 0. γ. να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της f. δ. να λυθεί η εξίσωση: f(ex-1) = 2. ε. να λυθεί η εξίσωση:f(2+f-1(x+2))=2. kentromeletis@otenet.gr 2109311913
Άσκηση 12 • Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = x3 – 6. α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f. β. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και f-1.
Μιχάλης Μάγκος
Άσκηση 14 • Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = - x3 . x 1 0 ότι η f αντιστρέφεται και να f (x) δείξετε α. Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f. β. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και f-1. 5
5
Μιχάλης Μάγκος
Άσκηση 15 • Δίνεται η συνάρτηση f: R R τέτοια ώστε: 𝑓(𝑥 5 + 𝑥5 − 1 = 0 , x R. α. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η Cf τέμνει τον άξονα x΄x. β. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. γ. Να δείξετε ότι (f◦f)(x)=x ,για κάθε x R. δ. Να βρείτε την f -1 .
Μιχάλης Μάγκος
Άσκηση 16 • Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = x3+x+2. α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β. Να βρείτε, αν ορίζεται το f-1(4). γ. Να λύσετε τις εξισώσεις: f(x) = 12 και f-1(x) = -2. δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f-1 με τους άξονες και την ευθεία y = x. ε. Να λύσετε την εξίσωση: (2-ημ2x)3=ημ3x + ημ2x + ημx – 2. στ. Να λύσετε τις ανισώσεις: f-1(x)<3 και f-1(x+1) x+5. ζ. Να μελετήσετε την f-1 ως προς τη μονοτονία. Μιχάλης Μάγκος
Ερωτήσεις τύπου Σωστό - Λάθος Αν f , g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g◦f και f◦g, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες . Αν f , g , h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h ◦ (g◦f) , τότε ορίζεται και η (h ◦ g)◦f και ισχύει h ◦ (g◦f)= (h ◦ g)◦f . Μια συνάρτηση f : είναι συνάρτηση 1 – 1 , όταν για οποιαδήποτε x1 , x2 A ισχύει η συνεπαγωγή: αν f(x1) = f(x2) , τότε x1 = x2 . Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x. Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης με την ίδια τεταγμένη. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση 1-1. Μια συνάρτηση f που είναι γνησίως μονότονη έχει πάντα μία ρίζα. Έστω μια συνάρτηση f : A R . Τότε : f-1(f(x)) = x , x A. Έστω μια συνάρτηση f : A R . Τότε : f (f-1 (y)) = y , y f(A). Οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x. Οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 τέμνονται πάντα πάνω στην ευθεία y = x. Η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης f(x) = 10x είναι η g(x) = logx.
Αν μια συνάρτηση είναι συνάρτηση 1-1 τότε είναι γνησίως μονότονη. Αν μια συνάρτηση f είναι 1-1 , τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ μία ρίζα. Έστω μια συνάρτηση f :A R . Τότε : f (f-1 (y)) = y , y A. Μιχάλης Μάγκος
Μιχάλης Μάγκος