Modelo transporte final by kevin423

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE INGENIERÍAS CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS. TEMA: MODELOS DE TRANSPORTE

DOC: ING. MARIO PINEDA

INTEGRANTES: ALEXANDER CÁRDENAS KEVIN NOGUERA DIEGO PÉREZ

SEMESTRE: NOVENO PARALELO: PRIMERO

MARZO 2017 – AGOSTO 2017

Contenido 1. OBJETIVOS............................................................................................................................2 2. INTRODUCCION...................................................................................................................2 3. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO........................................................................................2 4. ALGORITMO DEL TRANSPORTE.......................................................................................4 5. MÉTODOS DE SOLUCIÓN INICIAL....................................................................................6 5.1 REGLA DEL NOROESTE.................................................................................................6 5.1.1 METODOLOGÍA...........................................................................................................6 5.1.2 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA = DEMANDA).................................6 5.1.3 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA > DEMANDA)...............................14 5.1.4 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA < DEMANDA)...............................16 5.2 MÉTODO DEL MÍNIMO COSTO..................................................................................19 5.2.1 METODOLOGÍA..........................................................................................................19 5.2.2 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA = DEMANDA)...............................19 5.2.3 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA > DEMANDA)...............................22 5.2.4 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA < DEMANDA)...............................23 5.3 MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL...............................................................24 5.3.1 METODOLOGÍA..........................................................................................................24 5.3.2 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA = DEMANDA)...............................25 5.4 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN MODIFICADA (MODI)..........................................27 5.4.1 METODOLOGÍA......................................................................................................27 6. APLICACIONES...................................................................................................................31 6.1 APLICACIONES Y USOS DEL MODELO DEL TRANSPORTE..................................31 6.2 APLICACIÓN REAL.......................................................................................................32 7. CONCLUSIONES.................................................................................................................32 8. RECOMENDACIONES........................................................................................................34 9. BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................................34

MODELOS DE TRANSPORTE Consiste en el transporte de bienes o productos desde los centros de producción denominados orígenes a los centros de consumo llamados destinos. El objetivo de este problema es minimizar el costo del transporte, esto representará ventajas económicas y competitivas. Taha A., (2012). 1. OBJETIVOS Objetivos Generales. • •

Explicar la metodología de un método del modelo de transporte. Resolver un problema aplicando el modelo de transporte.

Objetivos Específicos. • • •

Investigar acerca del modelo de transporte. Conocer los métodos más comunes del modelo de transporte. Mencionar las aplicaciones que presenta este modelo

2. INTRODUCCION Una de las primeras aplicaciones de las técnicas de programación lineal ha sido la formulación y solución del problema de transporte. El problema de transporte básico fue planteado originalmente por Hutcholky y posteriormente presentado en detalle por Koopmans. La formulación de programación lineal y l método sistemático asociado de solución fue dada por primera vez por Dantring. Taha A., (2012). El modelo de transporte (o modelo de distribución) es un conjunto importante de un problema de optimización de redes. Ha sido aplicado a algunos problemas de negocios, tales como el control y diseño de plantas de fabricación, determinación de territorios de ventas, y localización de centros de distribución de territorios de ventas, y localización de centros de distribución y almacenaje. Tremendos ahorros de tiempo y costos se han logrado a través de la eficiente ruta de envío de mercancías desde los puntos de existencia hasta los puntos de demanda. Taha A., (2012). 3. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO En la construcción de todo modelo es necesario contar con información, por esto suponemos que conocemos: •

Los costos unitarios de transporte desde cada uno de los orígenes a cada uno de los destinos del problema de transporte.

•

La oferta (a) y demanda (d) de cada centro.

Con la información anterior es evidente que las variables de decisión son la cantidad de productos que se envían del origen i al destino j, lo cual denotamos por xij. Los costos unitarios por transportar un producto del i-ésimo origen al j-ésimo destino se

denotan como cij. Entonces, la función objetivo-asociada al problema de transporte representa el costo total de transporte. Erazo J., (2007). La función objetivo se obtiene de la suma de todos los productos del costo unitario por el número de bienes enviados desde cada origen a cada destino, es decir:

Para este modelo se supone que existe el equilibrio entre la oferta y la demanda, es decir, que se cumple la igualdad.

Si no se cumple esta igualdad, se anexa un origen o destino artificial, según sea el caso, donde se producirá o recibirá, según corresponda el exceso de productos, ya sea para la oferta en el primer caso o para la demanda en el segundo. También está presente en este modelo la condición de no negatividad, expresada como a continuación se presenta:

En resumen, el modelo de transporte de forma general se puede escribir como:

Este modelo tiene como objetivo minimizar el costo total de transportar los productos desde cada origen a cada destino, satisfaciendo la demanda en todo momento. Erazo J., (2007). De manera esquemática, el problema de transporte se puede representar como en la figura.

4. ALGORITMO DEL TRANSPORTE El modelo de transporte es un caso particular de programación lineal, sin embargo, su solución por los métodos que hasta el momento hemos estudiado, representa una gran inversión de tiempo y poder de cómputo, motivo por lo que se han propuesto otros métodos para resolver el problema de transporte. Cualquiera que sea el método por el cual se resuelva el problema de transporte, primero es necesario construir lo que denominaremos Tabla inicial; En ésta se concentra la información de los costos unitarios de transporte de todos los orígenes a todos los destinos, así como la oferta y la demanda de cada uno de ellos; sobre la tabla inicial, se opera para determinar el valor de las variables de decisión. Los pasos a seguir para la construcción de la tabla se muestran a continuación. Taha A., (2012). ALGORITMO GENERAL MODELO DEL TRANSPORTE: 1. Construir la tabla inicial del problema de transporte. 2. Buscar una solución inicial y verificar que sea óptima mediante las herramientas matemáticas: • Método de la esquina noroeste. • Método de Costos Mínimos. • Método de Vogel. Y si se encontrara la solución óptima termina el proceso; en caso contrario, continúa. 3. Hacer los ajustes necesarios para encontrar una mejor solución y continuar desde el paso 2.

CONSTRUCCIÓN DE TABLA INICIAL: 1. Verificar que oferta total = demanda total. 2. Construir una tabla de r filas y s columnas. Donde r es el número de orígenes más dos y s es el número de destinos más dos. 3. En la primera fila, a partir de la segunda columna, escribir el nombre de todos los destinos o una etiqueta que los identifique claramente. En la última celda de esta fila escribir la etiqueta oferta. 4. En la primera columna, a partir de la segunda fila, escribir el nombre de todos los orígenes o una etiqueta que los identifique claramente. En la última celda de esta columna escribir la etiqueta demanda.

La meta de un modelo de transporte es MINIMIZAR el costo total de envío de un producto desde los puntos de existencia hasta los puntos de demanda bajo las siguientes restricciones: Función Objetivo n

∑ ∑ C ij X ij i=1 j=1

Restricciones n

∑ X ij =ai i=( 1,2,… , n ) j=1 n

∑ X ij =b j j=( 1,2, … ,n ) i=1

X ij ≥ 0 Para todos los i y j DONDE X ij =Cantidad asignada desde elorigen ( i ) hasta el destino ( j ) Cij =Costo o ganancia de asignar unaunidad desde el origen (i ) hasta eldestino ( j ) ai=Cantidadesdisponibles en cada origen.

b j=Cantidades requeridas en cada destino . Con frecuencia se hace referencia a estos valores como requerimientos de contorno. El problema de transporte puede enunciarse de la siguiente manera: Tiene un numero (m) de orígenes y (n) destinos, se trata de transportar al menor costo posible determinadas cantidades de artículos, mercancías, etc., entre dichos orígenes y destinos.

5. MÉTODOS DE SOLUCIÓN INICIAL 5.1 REGLA DEL NOROESTE 5.1.1 METODOLOGÍA  Algoritmo heurístico.  Solución básica inicial que cumpla las restricciones existentes en el problema.  Rápido de ejecutar.  Para problemas con un alto número de fuentes y destinos.  Empieza en la parte superior izquierda de la tabla (variable). Para la solución de es posible utilizar el siguiente procedimiento: 1 2 3 4 5

• Asignar valor más alto posible en la celda seleccionada y ajustar demanda y oferta. • Tachar fila o columna donde la oferta o demanda alcancen valores de cero. • Una fila o columna con oferta o demanda diferente de cero, repetir proceso. • Crear matriz de costos indirectos, y matriz de elección. • Iteración termina al encontrar valores negativos o ceros en la matriz de elección.

5.1.2 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA = DEMANDA) EJERCICIO 1 Una empresa industrial cuenta con 3 centros de distribución de sus productos, el C 1 dispone de 12 Tn, el C2 dispone de 17 Tn, y el C3 de 9Tn. Con estas existencias (38Tn), se debe abastecer a 4 centros de consumo ubicados a diferentes distancias, los mismos que requieren de las siguientes cantidades: el CC A demanda 6 Tn, el CCB demanda 7 Tn, CCc demanda 11 Tn, y CCD demanda 14 Tn. Erazo J., (2007). Los costos originales por unidad son los siguientes

Se trata de encontrar el plan óptimo de distribución al menor costo. FORMULACION DEL PROBLEMA 1) Funcion Objetivo Las variables de la función objetivo son las siguientes X1+X2+X3+X4 X5+X6+X7+X8 X9+X10+ X11+X12 Donde Xij representa la cantidad que debe enviar el centro de distribución (i) al centro de consumo (j). Los coeficientes de la función objetivo corresponden a los costos originales unitarios conocidos (Matriz de costos). Z (MIN) = COSTO TOTAL Z (MIN) = 4X1+6X2+5X3+2X4 3X5+7X6+4X7+5X8 6X9+5X10+ 2X11+7X12 2) Restricciones y limitaciones Para formar las restricciones o limitaciones nos guiamos por la oferta de los centros de distribución (12,17 y 9) y la demanda de cada centro de consumo (6,7,11 y 14). X1+X2+X3+X4

= 12 X5+X6+X7+X8

= 17 X9+X10+ X11+X12 = 9

+ X5 X2

+ X9 + X6

=6 + X10

+ X7 X4

=7 + X11

+ X8

= 11 + X12 = 14

No negatividad Xj ≥ 0

Hemos obtenido un sistema de 7 ecuaciones con 12 incógnitas, el mismo que puede resolverse mediante el método simplex, aunque resulta muy extenso y complejo, más aun cuando si se trata de mayor participación de ecuaciones o incógnitas. George Dantring plantea la solución a este problema aplicando el método de la Regla de Noroeste, la misma que consiste en lo siguiente: a) Iniciamos las asignaciones en la esquina Noroeste o sea la superior izquierda de la matriz, calculando o comparando los mínimos (aj) y (bj) (cantidades ofrecidas por los centros de producción y los requerimientos por los consumidores). b) Se debe asignar el máximo posible de unidades desde el centro de distribución 1 al centro de consumo A, luego si quedan disponibilidades se va asignando al centro de consumo B y asi sucesivamente hasta agotar las existencias. NÚMERO DE ENVIOS Para determinar el número de envíos aplicamos la formula siguiente: N. DE ENVIOS = M + N – 1 Donde: M = Número orígenes N = Número de destinos En el caso de nuestro ejercicio el número de envíos es igual a: N. DE ENVIOS = M + N – 1 N. DE ENVIOS = 3 + 4 – 1 N. DE ENVIOS = 6 En el caso de nuestro ejercicio la DEMANDA es igual a la OFERTA es decir las existencias son iguales a los requerimientos. DEMANDA = OFERTA PRIMERA SOLUCIÓN

MATRIZ DE EXISTENCIA Esta matriz se forma con las asignaciones que se van a enviar (6 en total)

El centro de distribución 1 envía al centro de consumo A, 6 unidades que es lo que requiere, de las 12 le quedan 6 que las envía al centro de consumo B que necesita 7, por lo tanto el centro de distribución 2 asigna 1 unidad al centro de consumo B para completar su demanda y le quedan a C y D 16 unidades del centro de distribución 2, de los cuales 11 envía al centro de consumo C que es lo que requiere y las 5 restantes asigna al centro de consumo D que necesita 14, para completar su demanda recibe las 9 unidades restantes del centro de distribución 3. Esta primera distribución es ya una respuesta, pero no necesariamente la óptima. Si a estas cantidades asignadas las multiplicamos por sus correspondientes costos unitarios de envió obtenemos la función costo total 1. COSTO TOTAL = Z (MIN) CT1= 4*6+6*6+7*1+4*11+5*5+7*9 CT1= 199 SEGUNDA SOLUCIÓN Para encontrar una nueva solución es necesario emplear la metodología de carácter iterativo, esto es, encontrar aproximaciones sucesivas mediante el algoritmo de la MATRIZ DE COSTOS INDIRECTOS. MATRIZ DE COSTOS INDIRECTOS Debemos obtener la matriz de costos indirectos partiendo de los costos unitarios originales correspondientes a las cantidades ya asignadas en la matriz de existencia de la primera solución.

En lugar de la cantidad enviada 6 del centro de distribución 1 al centro de consumo A colocamos su correspondiente costo unitario original 4, lo mismo hacemos con las restantes. De los costos unitarios originales reemplazados escogemos el menor (4) que actuara de pivote el mismo que ira siempre en la parte superior esquinera sin importar donde se encuentre el menor costo original, debemos encontrar los semipivotes, luego por

sumatorias en correspondencia a la fila y columna respectivamente hallamos los restantes. Partimos de la siguiente igualdad: A= B+C Donde: A = Valores de las filas y columnas interiores B = Resultados de las columnas C = Resultado de las filas Matriz de costos indirectos

Operaciones para llenar la matriz de costos indirectos

1. A11= B1+C1 4 = B1+4 B1=0 4. A23= B3+C2 4 = B3+5 B3= -1 7. A34= B4+C3 7 = 0+C3 C3= 7 10. A33= B4+C3 A33= 0+7 A33= 7

MATRIZ DE ELECCIĂ&#x201C;N

2. A12= B2+C2 6 = B2+4 B2= 2 5. A24= B4+C2 5 = B4+5 B4= 0 8. A31= B1+C3 A31 = 0+7 A31= 7

3. A22= B2+C2 7 = 2+C2 C2= 5 6. A21= B1+C2 A21 = 0+5 A21= 5 9. A32= B2+C3 A32 = 2+7 A32= 9

La matriz de elección nos permite ir seleccionando alternativas, se la obtiene de la diferencia entre la MATRIZ DE COSTOS INDIRECTOS y LA MATRIZ DE COSTOS ORIGINALES. ME = MCI – MCO

De la matriz de elección seleccionamos el mayor valor positivo de las cifras obtenidas, en este caso (4) (el de menor costo). Esto implica que debe asignarse una cantidad alfa (α) desde el centro de distribución 3 al centro de consumo C. Al asignar la cantidad α en la casilla A33 (nuevo envió), se alteran las sumas del reglón y columna al cual pertenece, por tanto es necesario restar, a fin de que no se altere el esquema general. Para encontrar el valor de alfa y arribar a una nueva solución, obviamente el valor será 9, pues no podemos restar una cantidad mayor a 9, es decir, se toma la menor de las restas.

El valor de alfa altera a 11,5 y 9

9–α=0

α=9

La cantidades asignadas multiplicamos por los costos originales y obtenemos la segunda función objetivo de costo total que será menor que el primer costo.

COSTO TOTAL = Z (MIN) CT2= 4*6+6*6+7*1+4*2+5*14+2*9 CT2= 163 TERCERA SOLUCIÓN

El procedimiento se repite hasta que en la matriz de elección todos los valores sean CEROS y/o NEGATIVOS.

De la matriz de elección elegimos el valor positivo 2, esto significa que el centro de distribución 2 debe asignar una cantidad alfa al centro de consumo A.

1 – α = 0 Menor Resta α=1 COSTO TOTAL = Z (MIN) CT3= 4*5+6*7+3*1+4*2+5*14+2*9 CT3= 161

CUARTA SOLUCIÓN

Tomamos el valor positivo 4, es decir el centro de distribución 1, asigna una cantidad alfa al centro de consumo D.

5 – α = 0 Menor Resta α=5

COSTO TOTAL = Z (MIN) CT4= 6*7+2*5+3*6+4*2+5*9+2*9 CT4= 141 QUINTA SOLUCIÓN

A pesar de haber dos valores positivos y por razones de formación de la matriz de existencia, elegimos el ubicado en A22, lo cual significa que el centro de distribución 2 asigna una cantidad alfa al centro de consumo B.

7 – α = 0 Menor Resta α=7 COSTO TOTAL = Z (MIN) CT5= 2*12+3*6+7*7+4*2+5*2+2*9 CT5= 127

SEXTA SOLUCIÓN

En vista que en la MATRIZ DE ELECCIÓN, todos los elementos son ceros y/o negativos, entonces el esquema óptimo de envió, es la matriz de existencia de la solución quinta y el costo mínimo total es de 127.

CT (MINIMO)= 127

SOLUCIÓN FINAL CD = COSTO DE DISTRIBUCIÓN CC = CENTRO DE CONSUMO

5.1.3 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA > DEMANDA) Partiremos del siguiente ejemplo: Matriz de costos originales CLIENTES Disponibilida d A B C D 4 1 2 6 100 6 4 3 5 120 5 2 6 4 120 340 Requiere: 50 70 90 90 300

Hacia Donde R1 R2 R3

Como la oferta es mayor que la demanda se debe crear un destino o cliente imaginario E; al cual destinaremos el exceso de la producción o cantidades no absorbidas por los lugares de destino o consumidores, lógicamente los costos asignados, e este destino imaginario, serán de cero, la nueva matriz Agregada ese destino imaginario: Hacia Donde R1 R2 R3

Matriz de costos agregados CLIENTES A B C D E' 4 1 2 6 0 6 4 3 5 0 5 2 6 4 0

Disponibilidad 100 120 120

Requiere:

340 340

La diferencia entre la oferta y demanda es de 40 unidades, por consiguiente, ese valor debemos asignar al centro o cliente imaginario para que la oferta sea igual a la demanda. Una vez equilibrada tanto la oferta como la demanda, para la resolución de este problema de transporte, se procede a idéntica forma a la ya expuesta, los resultados a las diferentes iteraciones son las siguientes: PRIMERA SOLUCION: Envíos 3 + 5 – 1 =7 Matriz de existencia 50

50 20

100 90 10 120 80 40 120 50 70 90 90 40 CT1= 50x4 + 50x1 + 20x4 + 90x3 +10x5 + 80x4 +40x0 CT1=970 SEGUNDA SOLUCION.

De la matriz de elección seleccionamos el mayor valor positivo 3, esto significa que R2 debe enviar al centro de destino imaginario, (E’) una cantidad alfa.

CT2= 50X4 + 50X1 + 20X4 + 90X3 10X0 + 90X4 + 30X0. CT2=960. TERCERA SOLUCIÓN.

De la matriz de elección seleccionamos el valor 2, lo cual significa que R3 debe asignar una cantidad alfa al centro de destino A.

CT3= 30X4 + 70X1+ 90X3 + 30X0 + 20X5 + 90X4+10X0. CT3=920. CUARTA SOLUCION.

Los elementos de la matriz de elección se han transformado en ceros y/o negativos, en consecuencia, la solución anterior es la óptima.

El mismo costo mínimo se hubiera tenido si seleccionábamos el valor 2 que corresponde a R3 y al centro de destino R. Las 30 unidades de la distribuidora de cemento 2, enviadas al centro de destino imaginario E’ y las 10 unidades de la distribuidora de cemento 3 enviadas al mismo centro de destino imaginario. 5.1.4 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA < DEMANDA) Partiremos del siguiente ejemplo: Matriz de costos originales CLIENTES Disponibilida d A B C D 4 1 2 6 80 6 4 3 5 100 5 2 6 4 120 300 Requiere: 70 90 110 70 340

Hacia Donde R1 R2 R3

Como la oferta es menor que la demanda se debe crear un centro de distribución imaginario que satisfaga el exceso de la demanda R4, lógicamente los costos asignados, e este destino imaginario, serán de cero, la nueva matriz Agregada ese destino imaginario: Hacia Donde R1 R2 R3 R4 Requiere:

Matriz de costos agregados CLIENTES Disponibilidad A B C D 4 1 2 6 80 6 4 3 5 100 5 2 6 4 120 0 0 0 0 40 340 70 90 110 70 340

SEGUNDA SOLUCION.

De la matriz de elección seleccionamos el mayor valor positivo 6, esto significa que el origen imaginario R4 debe enviar al centro de destino (A) una cantidad alfa.

CT2= 30x4 + 50x1 + 40x4 + 60x3 +60x6 + 50x6 +70x4 + 40x0 CT2=1060. TERCERA SOLUCIร N.

De la matriz de elecciรณn seleccionamos el mayor valor positivo 5, esto significa que el origen R3 debe enviar al centro de destino (B) una cantidad alfa.

CT3= 30X4 + 50X1+ 100X3 + 40X2 + 10X6 + 70X4+40X0. CT3=890. CUARTA SOLUCION.

De la matriz de elecciรณn seleccionamos el mayor valor positivo 3, esto significa que el origen R1 debe enviar al centro de destino (C) una cantidad alfa.

CT4= 30X4 + 40X1+ 10X2 + 100X3 + 50X2 + 70X4+40X0. CT4=860. QUINTA SOLUCION.

Los elementos de la matriz de elección se han transformado en ceros y/o negativos, en consecuencia, la solución anterior es la óptima.

5.2 MÉTODO DEL MÍNIMO COSTO 5.2.1 METODOLOGÍA.  Algoritmo.  Mejores resultados que el método anterior.  Usa rutas con menores costos de operación.  Asignar la mayor cantidad de unidades posibles a la celda menos costosa.  Mejor solución de inicio. Para la solución es posible utilizar el siguiente procedimiento: 1 2 3 4 5

• Asignar la mayor cantidad de unidades posibles a la celda con el costo unitario mínimo • Tachar fila o columna satisfecha, se ajusta oferta y demanda como corresponda. • Seleccionar celda no tachada con costo unitario mínimo, repetir proceso • Crear matriz de costos indirectos, y matriz de elección. • Iteración termina al encontrar valores negativos o ceros en la matriz de elección.

5.2.2 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA = DEMANDA) EJERCICIO 1 Una empresa industrial cuenta con 3 centros de distribución de sus productos, el C 1 dispone de 12 Tn, el C2 dispone de 17 Tn, y el C3 de 9Tn. Con estas existencias (38Tn), se debe abastecer a 4 centros de consumo ubicados a diferentes distancias, los mismos

que requieren de las siguientes cantidades: el CC A demanda 6 Tn, el CCB demanda 7 Tn, CCc demanda 11 Tn, y CCD demanda 14 Tn. Los costos originales por unidad son los siguientes

Se trata de encontrar el plan óptimo de distribución al menor costo. PRIMERA SOLUCIÓN ENVIOS = 3 + 4 – 1 = 6 Para formar la matriz de existencia procedemos de la siguiente manera: En la primera columna el menor costo es 3, por tanto C 2 envia a 6 unidades que cubren su requerimiento. En la segunda columna el menor costo es 5, lo cual significa que C 3 envia a B 7 unidades y se cubre la demanda de B. En la tercera columna el menor costo es 2, C3 debe enviar únicamente 2 unidades a C porque sus disponibilidades son 9, de esa tercera fila. Para cubir la demanda de C faltan 9 unidades que reciben de C2 en el costo 4 de la tercera columna. En la cuarta columna el menor costo es 2, C1 envia 12 unidades a D, que cubre las disponibilidades de esa fila pero no completa la demanda de D, para lo cual C 2 debe enviar 2 unidades a D, de esta manera completa también las disponibilidades de la segunda fila.

COSTO TOTAL = Z (MIN) CT (MINIMO) = 3*6+5*7+4*9+2*2+2*12+5*2 CT (MINIMO) = 127

Para saber si la matriz de existencia es la Ăłptima, debemos encontrar la matriz de elecciĂłn, que es la indicadora si la soluciĂłn es o no valida. Para esto primero nos armamos nuestra matriz de costos indirectos la cual se arma con los valores de costos de cada uno de los envĂos que tienen cantidades a enviar quedando de la siguiente manera

Luego sabiendo realizamos una serie de operaciones partiendo de la siguiente igualdad: A= B+C Donde: A = Valores de las filas y columnas interiores B = Resultados de las columnas C = Resultado de las filas Matriz de costos indirectos

Operaciones para llenar la matriz de costos indirectos

1. A14= B4+C1 2 = B4+2 B4=0 4. A33= B3+C3 2 = -1+C3 C3= 3 7. A11= B1+C1

2. A24= B4+C2 5 = 0+C2 C2= 5 5. A32= B2+C3 5 = B2+3 B2= 2 8. A12= B2+C1

3. A23= B3+C2 4 = B3+5 B3= - 1 6. A21= B1+C2 3 = B1+5 B1= -2 9. A13= B3+C1

A11 = -2+2 A11= 0 10. A22= B2+C2 A22= 2+5 A22= 7

A12 = 2+2 A12= 4 11. A31 = B1+C3 A31 =-2+3 A31 =1

A13 = -1+2 A13= 1 12. A34 = B4+C3 A34 =0+3 A34 =3

MATRIZ DE ELECCIÓN La matriz de elección nos permite ir seleccionando alternativas, se la obtiene de la diferencia entre la MATRIZ DE COSTOS INDIRECTOS y LA MATRIZ DE COSTOS ORIGINALES. ME = MCI – MCO

Efectivamente los elementos de la matriz de elección son todos ceros y/o negativos, en consecuencia la solución obtenida sobre la base de los costos mínimos es óptima COSTO TOTAL (MINIMO) = 127

5.2.3 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA > DEMANDA) Considerando el ejemplo anterior: Equilibramos los requerimientos y las disponibilidades creando un destino ficticio E’.

Solución: ENVIOS= 3+5-1 ENVIOS=7

Para formar la matriz de existencia, si se toma en cuenta el costo mínimo de cero (0). CT3= 30X4 + 70X1+ 90X3 + 30X0 + 20X5 + 90X4+10X0. CT3=920. Para saber si la matriz de existencia es la óptima, debemos encontrar la matriz de elección, que es la indicadora si la solución es o no valida, previamente encontramos la matriz de costos indirectos.

Si efectivamente los elementos de la matriz de elección son todos ceros y/o negativos, en consecuencia, la solución obtenida sobre la base de los costos mínimos es óptima.

5.2.4 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA < DEMANDA) Considerando el ejemplo anterior: Equilibramos los requerimientos y las disponibilidades creando un centro de origen ficticio R’4. Matriz de costos originales

Hacia Donde R1 R2 R3

A 4 6 5

Requiere:

Hacia Donde R1 R2 R3 R4 Requiere:

CLIENTES B C 1 2 4 3 2 6 90

110

Disponibilida d 80 100 120 300 70 340 D 6 5 4

Matriz de costos agregados CLIENTES Disponibilidad A B C D 4 1 2 6 100 6 4 3 5 120 5 2 6 4 120 0 0 0 0 40 340 70 90 110 70 340

Solución: ENVIOS= 4+4-1 ENVIOS=7

80 100 120 40

110

Para formar la matriz de existencia, si se toma en cuenta el costo mínimo de cero (0).

CT4= 30X4 + 40X1+ 10X2 + 100X3 + 50X2 + 70X4+40X0. CT2=860. El costo mínimo obtenido, es el mismo que el costo mínimo cuando se aplicó el método de la esquina noroeste. 5.3 MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL. 5.3.1 METODOLOGÍA.  Este modelo ofrece una solución aproximada del modelo de transporte.  Método heurístico.  Solución básica inicial no artificial.  Mejores resultados iniciales. Para la solución es posible utilizar el siguiente procedimiento:

Paso 1

• Por fila y por columna se identifican los 2 costos mas bajos • Posteriormente se restan dichos valores y a ese resultad se le llaman “penalizaciones

Paso 2

• Se identifica el reglón o columna con la mayor penalización • De ese reglón o columna identificar el mínimo costo y asignarle la mayor cantidad posible de producción o material a transportar

Paso 3

• Reducir la tabla de transporte sombreando las columnas o filas satisfechas y repetir el proceso desde el paso 1.

5.3.2 PROBLEMA DE MINIMIZACION (OFERTA = DEMANDA). Partiremos del siguiente ejemplo: Una empresa industrial cuenta con 3 centros de distribución de sus productos, el C 1 dispone de 12 Tn, el C2 dispone de 17 Tn, y el C3 de 9Tn. Con estas existencias (38Tn), se debe abastecer a 4 centros de consumo ubicados a diferentes distancias, los mismos que requieren de las siguientes cantidades: el CC A demanda 6 Tn, el CCB demanda 7 Tn, CCc demanda 11 Tn, y CCD demanda 14 Tn. Erazo J., (2007). Los costos originales por unidad son los siguientes

Se trata de encontrar el plan óptimo de distribución al menor costo. Paso 1.

•

Por fila y por columna se identifican los 2 costos más bajos.

•

Posteriormente se restan dichos valores y a ese resultad se le llaman “penalizaciones”

El valor de la penalización siempre es positivo dado que se resta el valor mayor del valor menor Paso 2. •

Se identifica el reglón o columna con la mayor penalización.

•

De ese reglón o columna identificar el mínimo costo y asignarle la mayor cantidad posible de producción o material a transportar.

En el caso que se presenten penalizaciones igual de grandes ¿Cuál elegir? Las dos por separado se analizan y gana el caso que nos ofrezca el mínimo costo. Paso 3. •

Reducir la tabla de transporte sombreando las columnas o filas satisfechas y repetir el proceso desde el paso 1.

De la misma forma volvemos a asignar la mayor cantidad posible de producción o material a transportar. Y reducir la tabla.

El valor de la penalización siempre es positivo dado que se resta el valor mayor del valor menor.

Finalmente se procede asignar los recursos en cada celda que permitan cumplir con la demanda y oferta de cada fila y columna.

Y así se determina el mínimo costo de transporte. 5.4 MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN MODIFICADA (MODI). 5.4.1 METODOLOGÍA. Los métodos anteriores entregan una solución inicial del problema de transporte, por lo que los tres deben ser analizados a través de este método que parte de los valores iniciales obtenidos anteriormente. PROCEDIMIENTO 1. Calcular los coeficientes de la columna y fila empleando las celdas llenas: Costo en la celda = Coeficiente del renglón + Coeficiente de la columnas 2. Calcular el costo marginal de cada celda vacía: Costo marginal = Costo en la celda - (Coeficiente del renglón + Coeficiente de la columna 3. Seleccionar la celda vacía con el costo marginal más positivo, y realizar el circuito (trayectoria cerrada), alternar los signos 4. De los valores del circuito tomar el valor negativo más pequeño, y sumar esta cantidad a los valores que tienen signo positivo y restar a los que tienen valor negativo 5.4.2 EJERCICIO Una empresa industrial cuenta con 3 centros de distribución de sus productos, el C 1 dispone de 12 Tn, el C2 dispone de 17 Tn, y el C3 de 9Tn. Con estas existencias (38Tn),

se debe abastecer a 4 centros de consumo ubicados a diferentes distancias, los mismos que requieren de las siguientes cantidades: el CC A demanda 6 Tn, el CCB demanda 7 Tn, CCc demanda 11 Tn, y CCD demanda 14 Tn. Los costos originales por unidad son los siguientes

Se trata de encontrar el plan óptimo de distribución al menor costo.

A partir de la solución inicial de cualquiera de los métodos antes mencionados, en nuestro caso MÉTODO NOROESTE, realizamos el siguiente proceso 1. Calcular los coeficientes de la columna y fila empleando las celdas llenas: Costo en la celda = Coeficiente del renglón + Coeficiente de la columnas

COSTO TOTAL (Z MINIMO) = 199 Donde: COSTO = COEFICIENTE DE COLUMA + COEFICIENTE DE RENGLON C i = Cci + Ri Cci = C i – Ri Ri = CI -cci Siempre se inicia colocando el valor R1 = 0, y así se va realizando cada calculo.

2. Calcular el costo marginal de cada celda vacía: Costo marginal = Costo en la celda - (Coeficiente del renglón + Coeficiente de la columna Son valores que se asignan a las celdas vacías para determinar si la solución es óptima o no, de no ser se puede mejorar al introducir valores en estas celdas vacías, para esto se usa el siguiente ecuación:

Como hay valores positivos, se puede mejorar la respuesta, esto similar al Método Simplex. Debo tener solo valores ceros y negativos

3. Seleccionar la celda vacía con el costo marginal más positivo, y realizar el circuito (trayectoria cerrada), alternar los signos Para introducir el valor en la celda se escoge el mayor coeficiente positivo y se le aplica una regla llamada REGLA DE LA TRAYECTORIA CERRADA. Esta permite cambiar los valores de las celdas ya llenas para así, mejorar la función objetivo. REGLA DE LA TRAYECTORIA CERRADA Puntos por cumplir de la regla  La trayectoria se puede trazar de forma vertical y horizontal, no en diagonales ni curvas.  Cada esquina de los ángulos rectos deben ser celdas llenas Creado el circuito, intercalar los signos de las cantidades empezando desde el costo marginal más positivo con signo (+). No olvidar que las aristas del circuito son celdas con valores llenos o conocidos.

4. De los valores del circuito tomar el valor negativo más pequeño, y sumar esta cantidad a los valores que tienen signo positivo y restar a los que tienen valor negativo De esta manera se llega a tener una nueva matriz, en la cual se deberá realizar nuevamente el mismo procedimiento, hasta que todos los valores de COSTO MARGINAL SEAN NEGATIVOS, indicando que se ha llegado a minimizar nuestra función objetivo SEGUNDA ITERACIÓN

TERCERA ITERACIÓN

Realizando todo el proceso se obtiene en la QUINTA ITERACIÓN

Se observa que los costos marginales son ceros y negativos por lo tanto esta es la solución óptima dando como resultado: Z (min) = 12*2+6*3+7*7+2*4+2*5+9*2 Z (min) = 127 6. APLICACIONES 6.1 APLICACIONES Y USOS DEL MODELO DEL TRANSPORTE. Una de las aplicaciones enfocadas en el modelo de transporte, se basa exclusivamente en la determinación de la estructura óptima de la financiación de la empresa. Esto significa que, se trata de obtener una mejor distribución del capital disponible de la empresa, para cubrir necesidades de ella, con el fin de minimizar costos. “Una empresa en funcionamiento es una combinación productiva de factores entre los que se encuentran las disponibilidades financieras necesarias para atender el desarrollo de su actividad.[CITATION FER \l 12298 ] Este se basa exclusivamente en dos fases: Primera fase: Determinación para cada periodo las necesidades de financiación. A partir de los programas y presupuestos de actividades y de inversiones, calcular el valor de los medios necesarios.[ CITATION Cué \l 12298 ]

Segunda fase: Definir para cada periodo de qué modo serán satisfechas las necesidades; analizando los medios de financiación disponibles, su capacidad y su costo.[ CITATION Cué \l 12298 ] El planteamiento general de estas dos fases que comprende el programa financiero, se desarrolla mediante la aplicación del modelo de transporte, por lo que se le considera como un instrumento de toma de decisión, pues expresa la mejor utilización de los medios de financiación de que la empresa dispone para cubrir las necesidades del coste mínimo. [ CITATION Cué \l 12298 ] 6.2 APLICACIÓN REAL. La Comisión de Turismo Australiana (ATC, por sus siglas en inglés) organiza eventos comerciales alrededor del mundo para que sirvan de foro donde se puedan reunir los vendedores australianos con los compradores internacionales de productos turísticos. [ CITATION HAM12 \l 12298 ] Durante estos eventos los vendedores se sitúan en cubículos y los compradores los visitan de acuerdo con citas programadas. Debido a la limitación de tiempo disponible en cada evento y al hecho de que la cantidad de compradores y vendedores puede ser muy grande, la ATC procura programar las citas entre vendedor y comprador con anticipación para maximizar las preferencias. El modelo ha resultado muy satisfactorio tanto para los compradores como para los vendedores. [ CITATION HAM12 \l 12298 ]

OTRAS APLICACIONES.

COMPAÑÍA MoveIt! Company

MKJ-Trade

DESARROLLO Uso exclusivo en el transporte de montacargas en sus centros de distribución Venta de artículos médicos quirúrgicos satisfaciendo las demandas de los servicios de salud.

AÑO 2001

1999

7. CONCLUSIONES CARDENAS ALEXANDER. 

De los tres métodos que entregan un valor inicial, el método de regla del noroeste, entre el valor menor preciso, a menos que sea corregido mediante el uso de matrices de costos.



El método de costos mínimos es el más didáctico y fácil de realizar ya que no conlleva un gran número de dificultad.



El método de Vogel es un método más preciso para poder llegar a un resultado más favorable en un modelo de transporte, pero aún no es suficiente.



El método de distribución modificada (MODI), es el método más idóneo para el análisis de un problema de programación lineal referente a modelos de transporte, ya que este nos indica la solución óptima para dicho problema.



Al realizar el análisis mediante TORA, del método de Noroeste, se puede evidenciar que este en su primera iteración no proporciona la solución óptima y para llegar a este, el software, realiza una serie de iteraciones, tales que permiten llegar a obtener dicho resultado.



Para realizar cualquiera de estos métodos se requiere que las sumas de los valores de Oferta sean iguales a la suma de los valores de la demanda, en caso que esto no se cumpla se deberán incrementar orígenes o destinos ficticios según se necesite para cumplir esta condición.

NOGUERA KEVIN. 

De los métodos analizados se ha comprobado que el método de la esquina noroeste es el más sencillo para lograr la distribución inicial, sin embargo, este método no da el costo de la matriz inicial muy elevado.



El método de los costos mínimos es un método mejorado en comparación del anterior, pese a ello tampoco da buenos resultados ya que busca asignar aquellas casillas de menor costo.



El método de aproximación de Vogel produce mejores resultados iniciales ya que utiliza mayor número de iteraciones optimizando su respuesta.



Del análisis de los métodos mencionados se establece que los mismos solo son un camino para llegar a una solución inicial luego de ello se debe encontrar una solución óptima con otros métodos como el de distribución modificada o el método del cruce de arroyo.

PÉREZ DIEGO.



El método de la Esquina Noroeste en función del Modelo de Transporte, presenta gran facilidad y rapidez cuando se requiere encontrar una solución que en definitiva cumpla con las restricciones estipuladas en el problema que se plantee.



El método de la esquina Noroeste se basa primordialmente en la realización de varias iteraciones que vayan satisfaciendo las ofertas deseadas en base a la demanda provista en las solicitaciones del problema, lo cual lo vuelve uno de los más fáciles de emplear para este tipo de problemas.



El programa Tora emplea para la solución de problemas por medio del Modelo de Transporte el método de Aproximación de Vogel, que cumple con todas las restricciones y condicionantes proporcionadas en el problema y brinda una solución óptima en comparación al método de la esquina Noroeste.

8. RECOMENDACIONES. CÁRDENAS ALEXANDER. 

El modelo de transporte se puede representar a partir de la tabla característica de transporte, que permite una mejor visualización y función de sus parámetros y sirve de tabla inicial para el proceso de cálculo.

NOGUERA KEVIN.  

Antes de resolver un ejercicio de transporte se debe revisar que la oferta y demanda se encuentre balanceada. Antes de formular el modelo de transporte se ofrece una representación gráfica en la que se resaltan todos los parámetros que intervienen en el método, para que



después no existan inconvenientes en la aplicación y resolución del método. El método Voguel es el que mejor maximiza los recursos en cuestión de exactitud. Puede considerarse como ventaja el que es un método preciso y muy imparcial, pues no se deja afectar por factores de preferencia.

PÉREZ DIEGO. 

El modelo de transporte debe estar balanceado para que pueda ser solucionado por medio de la herramienta de transporte. El balance consiste en agregar una

restricción en la que se debe cumplir que las cantidades totales ofrecidas deben 

ser iguales al total de las unidades demandadas. Los métodos de la esquina norte y el método de costos mínimos son muy parecidos buscando cada uno el mayor y el menor valor respectivamente para dar solución al problema,

9. BIBLIOGRAFÍA.   

Taha A., (2012). “Investigación de operaciones”. Novena Edición. Pearson Erazo J., (2007). “Investigación Operativa 1”. Segunda Edición. Universidad Central del Ecuador. López F. (2002). Nuevos métodos para la obtención de soluciones iniciales en el



problema de transporte. Revista de dirección y administración de empresas. Investigación de operaciones Univia: (s.f). Disponible

https://investigaciondeoperacionesunounivia.wordpress.com/2015/05/21/tipos

de-modelos-de-transportes/ Salazar, B.. (2012). Método de la Esquina Noroeste. julio 09, 2016, de Ingenieros

Industriales

Sitio

web:

http://www.ingenieriaindustrialonline.com/herramientas-para-el-ingenieroindustrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/m%C3%A9todo-de-la-esquina

noroeste/ Manual Práctico de Investigación de Operaciones I 3ª. Edición. Ángel León



González Ariza. Ediciones Uninorte. Barranquilla 2003. Página 204-207 Fundamentos de INVESTIGACION DE OPERACIONES para Administración/ Juan Manuel Izar Landeta/ Universidad Autónoma de San Luis Potosí) Unida Zona Media/ San Luis - 147Potosí, S. L. P., México, 1996, página 145=



Páginas de internet http://investigaciondeoperacionesind331.blogspot.com/p/metodo-de-



transporte.html http://gc.initelabs.com/recursos/files/r157r/w13212w/Invg



%20operaciones_2aEd_07.pdf http://www.authorstream.com/Presentation/luismaldonado779-1588997-modelo-

  

transporte-sus-variantes/ http://es.slideshare.net/MariaQuentaPari/modelos-de-transporte http://148.206.107.15/biblioteca_digital/capitulos/359-4997nef.pdf https://www.youtube.com/watch?v=wmEM1np-89o http://ninive.uaslp.mx/jspui/bitstream/i/3133/2/ceu0073.pdf http://tesis.uson.mx/digital/tesis/docs/8167/Capitulo1.pdf http://hemaruce.angelfire.com/cruce_arroyo.pdf