Calculo ii integral alvaro pinzon by Kevin Camilo Ortiz

c รก l c u l o II - integral

co lecció n harper

c á lc u lo II integral te o ría 560 p rob lem as resueltos 4 85 e je rc icio s propuestos

á lv a ro p in zó n Maiemávco de lo Universidod Nacional de Colombia Miembro de la Mathemoticol Society o f America y de lo Malhem alical AssocioUon of America

m H A R L A , S. A . de C . V . H a rp e r & M éxico .

Row

L a tin o a m e ric a n a

Buenos A ire s.

Panam á,

Bogotá

C A L C U L O I I (IN T E G R A L ) Prim era edición C opyrighl © 1973 por H arper * R ow Latinoam ericana. H aría. S. A . de C. V .. A n tonio Caso. 142. M éxico. D . F ., M éxico. M iem bro de la Cám ara N acional de la Industria Ed ito rial. Registro N .* 723. Reservados todos los derechos. Queda terminantem ente prohibido reproducir este lib ro total o parcialm ente sin permiso expreso de los editores. Es propiedad. Standard Book Num ber 06-316989-3

Dirección editorial: Wenceslao O nega Preparación técnica: Jo sé M artínez Alaminos Cubierta e ilustraciones: Secos Lanchas

C u id a d o y d ire cció n técn ica de H E R O E S . S . A . E d ito r.— T o rrc la ra . 8.— M a d rid - 16

Printed in Sp ain — Impreso en Esparta

I S B N . 84-399-0514-9 Depósito legal: M . 5.131-1973 H E R O E S . S . A .-T o rrclara. 8.-M adrid-l6

C o n ten id o PR O LO G O

......................................................................................................................................

A x io m a d e p le n itu d . C o n tin u id a d u n if o r m e .......................................

M ayo ra n te s. m in oran tes, extrem os d e un c o n ju n to .....................................

A x io m a d e plenitu d o c o n tin u id a d .................................................................. C o n tin u id ad u n ifo rm e........................................................................................

10 20

L a in t e g r a l d e fin id a ........................................................................................

Propiedades de la in teg ral d e fin id a ..................................................................

F u n c io n e s d e fin id a s p o r u n a in t e g r a l. F u n c ió n p r im it iv a y a p li c a c io n e s . In t e g r a le s in m e d ia t a s ................................................................

Prim e r teorem a fun dam en tal d e l c á lc u lo ........................................................ Segund o teorem a fun dam en tal d e l cá lcu lo .....................................................

46 47

F ó r m u la d e l c a m b io d e v a r ia b le ..............................................................

C A P IT U L O S .

In t e g r a c ió n p o r p a r te s ..................................................................................

C A P IT U L O 6 .

In te g r a le s tr ig o n o m é tr ic a s ..........................................................................

C A P IT U L O 7 .

T e o r e m a d e s u s titu c ió n r e c ip r o c a p a r a in t e g r a le s ..........................

C A P IT U L O 8 .

F ra c c io n e s r a c io n a le s .....................................................................................

F a c to re s c u a d rá tic o s ........................................................................................... Pru eb as de la descom posición en fraccio nes p arciale s.................................

86 87

M éto d o de H e rm ite .............................................................................................

In t e g r a le s d e l tip o / = f /?(scn .y . eos .v) rf.r..............................................

105

In te g ració n d e ra d ic a le s ..................................................................................... In teg ració n d e ex p o n en ciales............................................................................ Fó rm u la s d e recu rre n cia....................................................................................

III 117 120

c a p i t u l o 10 . C á lc u lo d e in t e g r a le s d e fin id a s . M é to d o s ...............................................

124

C A P IT U L O 1 1 . A r e a .....................................................................................................................

137

A re a com p rendida en tre lo s g rafo s de d o s fu n cio n es...................................

137

12. V o lu m e n d e s ó lid o s d e s e c c ió n c o n o c id a .............................................

I47

V olú m enes de re v o lu c ió n ...................................................................................

I48

13. A p lic a c ió n d e in te g r a le s d e fin id a s a la r e s o lu c ió n d e p ro b le m a s d e f ís ic a ...............................................................................................................

I60

c a p i t u l o 1.

C A P IT U L O 2 .

C A P IT U L O 3 .

c a p it u l o

C A P IT U L O 9 .

c a p it u l o

C O N T E N ID O

C A P IT U L O 14.

L o n g itu d d e a r c o .........................................................................................

170

A rc a d e una superficie d e re v o lu c ió n .............................................................. L a s in tegrales com o lim ites de sum as.............................................................

171 172

A rc o s y cu rva s en e l p la n o ................................................................................

173

C A P IT U L O 15. M o m e n to s . C e n t r o d e g r a v e d a d .............................................................

182

T eorem as d e P a p p u s ..........................................................................................

183

C o o rd e n a d a s p o la r e s ...................................................................................

202

A rc a en coorden adas p o la re s............................................................................ L o n g itu d d e a rc o ................................................................................................ V o lu m en d e u n só lid o d e re v o lu c ió n .............................................................. A re a d e una superficie d e re v o lu c ió n ..............................................................

203 203 203 203

In t e g r a le s im p r o p ia s ....................................................................................

214

N o tacio n es O y o ................................................................................................

214

F u n c io n e s e x p o n e n c ia l, lo g a r ítm ic a e h ip e r b ó lic a ..........................

226

F u n c ió n exponencial n atu ral (o n e p e rian a)................................................... L o g a ritm o d e base c u a lq u ie ra .........................................................................

227 228

Fu n ció n ex p o n en cial.......................................................................................... Fu n ció n exponencial n a tu r a l............................................................................

229 229

19. F u n c io n e s h ip e r b ó lic a s ................................................................................

239

Fu n cio n es recíp ro cas d e las funciones circu lare s c h ip erb ó licas...................

241

20. A p r o x im a c ió n p o lin o m ia l d e la s fu n c io n e s . D e s a r r o llo s lim ita d o s .

251

P o lin o m io d e T a y lo r generado p o r una fu n ció n ........................................... D e sa rro llo s lim itad o s.......................................................................................... D e sa rro llo s generalizados..................................................................................

251 253 253

21. C ilc u lo n u m é r ic o ...........................................................................................

268

M éto d o d e las partes p rop orcionales. In te rp o la ció n lin e a l......................... M éto d o d e N c w to n ...........................................................................................

269 270

C á lcu lo ap ro x im ad o d e integrales d e fin id a s ................................................. R egla d e S im p s o n ..............................................................................................

271 273

F o r m u la r io . G e o m e t r ía a n a lít ic a ..............................................................

280

C u rva s y su p erficies............................................................................................ S e rie s .................................................................................................................... In tegrales..............................................................................................................

292 3<M 308

B IB L IO G R A F IA ....................................................................................................

325

IN D IC E ..................................................................................................................

326

c a p it u l o

16.

C A P IT U L O 17.

C A P IT U L O 18.

c a p it u l o

a p c n d ic c

P ró lo g o D esde e l p u n ió d e vista d e las aplicacio nes d e la m atem ática, puede decirse que lo s m étodos trad icio n alm cn te agrupados b ajo los nom bres d e cá lcu lo d iferen cia l y de c á lc u lo in teg ral tienen p o r ob jeto resolver lo s problem as del cam b io y del m o vim ien to . E n efecto, e l cá lcu lo d iferen cial se propone h a lla r la razón d e va ria c ió n entre dos m agnitudes va ria b le s dependientes una de o tra , y no ya en e l caso de variacio n es fin ita s solam ente, sin o tam bién cuando d ich a va riació n es in stan tánea. A s í, e l averig u ar la rapidez co n que se desplaza un cuerpo b ajo la acció n d e la gravedad p lan tea problem as d e velocidades m edias lim ite, cu ya d eterm in ació n com pete pre cisam ente a los m étodos d iferen ciales. Y a l c o n tra rio , si se conoce e l com p o rtam ien to in stan táneo d e una m agnitud va riab le , es asu n to de lo s m étodos d e in teg ració n el e n co n trar la m archa global d e las m agnitudes que in tervien en en e l fenóm eno. A s i, la d eterm in ació n de la trayecto ria d e un cu erp o d e l que se conocen, p o r ejem plo, las co o rd en ad as instantáneas, es cuestión que concierne a i cá lcu lo integral. So b ra d e cir que e l cá lcu lo d ife re n cia l, y co n m ás veras e l cá lcu lo in teg ral, son d om in ios de la m atem ática de in du dable refin am iento y que a veces plantean d ificu ltad e s d e c ie rta delicadeza en cu an to a su tratam ien to . P o r o tra p arte, el am p lio uso que hacen la cie n cia y la técnica m oder nas de estos m étodos d e cá lcu lo , com o lenguaje indispensable p ara expresar las leyes físicas co n esquem as m atem áticos adecuados, hace in elu d ib le p ara to d o estudiante de cien cias, de in g en iería, de econom ía, e tc., la ad q uisició n segura d e d ich o s m étodos, puesto que han d e ser e l instrum ento d e la b o r perm anente y puesto que e l d o m in arlo s sin vacilacio n es es condición p rim aria d e l trab ajo cie n tífic o eficaz y serio. Precisam ente, la co lecció n d e p rob lem as resueltos detalladam ente que co n stitu yen esta o b ra ha sido concebida co n e l ob jeto d e lle va r a l estudiante a una asim ilació n m ás rápida y segura de tales m étodos de lo que suele ser po sible co n lo s textos co rrie n te s; no se tra ta , por cie rto , d e una sarta de problem as d e ad iestram ien to m ecán ico, sin o de unas bases teóricas sólidas y su ficien tes q u e tienen com o c o ro la rio una serie cuidadosam ente graduada en d ific u l tad de e jercicio s que a p lic a n en seguida la te o ría expuesta. Y la reso lució n d etallad a tien e pre cisam ente p o r o b je tivo acostu m brar a l que aprende a tra b a ja r co rrectam en te, d an d o todos los pasos indispensables y fundam entando todas sus operacion es en la te o ría que se acab a d e ex p oner o que ya ha sid o expuesta en cap ítu lo s an teriores. A s í, etapa p o r e tap a, e l estudiante es co n d u cid o p o r m an o firm e hasta e l m om ento en que,sin siq u iera percatarse, ya sabe h acer los problem as solo, ya h a ap ren d id o . E s e l m om ento en que puede decirse plenam ente que la técnica de cá lcu lo p a rticu la r que se estudiaba ha sid o asim ilad a a la perfección. T am b ién se han tenido en cuenta a q u í las d iversas p o sib ilid ad es en cu an to a niveles de estudiantes que puedan ap ro vech ar esta o b ra, y p o r e llo es fa ctib le em plear el lib ro a cu alqu ier n iv e l eligiend o problem as d e tip o m ás « in tu itiv o » o m ás « fo rm a l» , según se p refiera d e acuerdo con e l in terés p a rticu la r d e aprendizaje. E n cu an to a l o rden d e d isp osición , ca d a c a p ítu lo d e sa rro lla , pues, en su serie d e problem as, o rden ado s p o r d ificu lta d crecien te, una n o ció n especifica a la c u a l se refieren las d efin iciones, p rin cip io s y teorem as que aparecen en lo s p relim inares d e l c a p itu lo , y es p o r e llo aconsejable atenerse escrupulosam ente a l o rden d e exposición que se d a y tra b a ja r lo s problem as d e acuerdo co n su n um eración c o rre la tiva . A l fin a l aparece un fo rm u L rio de geom etría a n a litic a y una relació n d e 381 integrales num eradas. T ra s un aten to estu d io de la teo ría que ab re ca d a c a p itu lo , recuérdese que, com o proceso d e asim ilació n m ás in d icad o , se ha d e tra ta r d e resolver p o r pro p ia cuenta lo s m ás posibles de 7

PR O LO G O

los problem as y co m p arar después los resultados obtenidos co n lo s que aparecen en e l lib ro ; y en ocasiones será m u y provechoso revisar previam ente lo s «tru co s» lóg icos, p o r así llam arlo s, que perm iten m uchas veces em prender la resolución d e un p ro b lem a de aq u ellos que co n sti tuyen e l «d o lo r de cabeza» d e to d o p rin cip ian te. E n sum a, la colección de problem as que aqu í se presenta obedece a la c la ra co n vicció n d e que todo curso d e m atem ática tiene p o r colum na verteb ral e l estu d io y so lu ció n de ejercicio s y problem as. E l au to r desea m anifestar su agradecim iento a l p ro feso r Jesú s M a ría C astañ o p o r la revisión c ritic a d e la o b ra y p o r sus va lio sas sugerencias, asi com o a lo s señores F ra n cisco G u tié rrez y W en ceslao O rteg a, d e H a rp e r & R o w Latin o am e rican a , p o r la co lab o ració n y estim ulo q u e en to d o m om ento m e brindaron. A . P in z ó n

C A P ITU LO

[)

A x io m a de p le n itu d . C o n tin u id a d u n ifo rm e E l ax io m a d e p len itu d d e lo s núm eros reales es m u y im p o rtan te en algu n as ap licacio n es y perm ite d istin g u ir lo s núm eros ra cio n ales de lo s reales, puesto que lo s ra cio n ale s n o cu m p len este axiom a. S in é l n o se puede d em o strar la ex isten cia d e J l . d ad es de las fu n d o n es con tin u as.

T am b ié n perm ite estu d iar algu n as prop ie

M a y o ra n te s , m in o r a n t e s , e x t r e m o s d e u n c o n ju n to D e fin ició n .

I . U n n ú m ero real M es e l m áx im o d e un c o n ju n to S d e nú m ero s reales s i, y

so lo si, M 6 S y x s M , p a ra to d o x e S . S e escribe M » m ax S . 2 . U n núm ero real m es e l m ín im o de un co n ju n to S d e núm eros reales si, y so lo s i, m e S y m ¿ x . p ara to d o x e S. S e escrib e m = m in S. A lg u n o s co n ju n to s tienen m ín im o y m á x im o ; o tro s u no de lo s d o s o n in g un o. P o r ejem p lo : а) б) c) d) e)

a - m in [o , b ] = m in [o , 6Í¿> ■ m ax [o . ¿>] = m ax Jo . b ). a , á [ n o tien e m im m o. a , b [ n o tien e m áxim o. a , b [ no tien e n i m áx im o ni m ínim o.

D e fin ició n . 1. E l n ú m ero real u es un m ayo ra n te (o c o ta su p e rio r) d e un co n ju n to S de núm eros reales; e q u iva le a q u e x £ u. p a ra lo d o x e S (e s d ecir, x e S im p lica x £ u ). 2. E l núm ero re a l I es un m in o ra n te (o co ta in fe rio r) d e un c o n ju n to S de núm eros re a les; e q u iva le a d e d r que

/£

x , p a ra to d o x € S (es d e d r, x e S im p lic a

Ejem pltt /-7.S i S = ] l , 2 [. c u a lq u ie r n ú m ero m a y o r o

q u e /á x). ig u al a 2 es m ayo ran te y c u a lq u ie r nú

m ero m en or o ig u a l a I es m in o ran te. Z n o es m ayo ra d o n i m in orado . U n co n ju n to S d e nú m ero s reales se d ice aco tad o si existe un núm ero c ta l que p ara lod o x e S . | x | £ c. D efin ició n . I . U n n ú m ero real c es el extrem o su p e rio r d e u n c o n ju n to S d e nú m ero s reales s i. y so lo si. c es d m ín im o d e todos lo s m ayo ran tes d e S. E n o tra s p alab ras,

c - su p S = m in (u : x e S im p lica x S u ¡ o ta l q u e x > c 9

V x 6 S . x £ c y V e > 0. 3x c S

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

1 U n núm ero real L e s d extrem o in fe rio r d e un co n ju n to S de núm eros reales si. y so lo si. L es d m áxim o del co n ju n to de todos lo s m inorantes. E n o tras palabras. /. - in f S - m ax { / : x t S im p lica / i

F ig u ra 1-1

Ejem plo 1-2.

S u p ja . f>{ - b - max ja . ¿>J; in f jo .

= a = mm [a , b [ ; su p J - c c , 0 [ - 0 -

■ in f ]0 , - c o [. Puede suceder q u e alg u n os co n ju n to s n o tengan ni m áxim o n i m ín im o n i ex trem o su p erio r n i in ferio r. P o r ejem plo, e l co n ju n to R de lo s núm eros reales no tien e extrem o su p erio r n i in fe rio r p orq ue R n o tiene m ayo ran tes n i m inorantes. A los co n ju n tos que carecen d e m ayorantes y m inorantes se les llam a no acolados. E l siguiente axiom a, llam ad o de plenitu d o co n tin u id ad , g aran tiza la idea in tu itiv a que se tien e de que si un co n ju n to es m ayo rad o . entonces tiene un m ayoran te m in im o. es d e cir, e l ex trem o su p erio r del co n ju n to . E n o tras p alab ras, este axiom a g aran tiza que el co n ju n to R de lo s núm eros reales no tien e vacío s o cortaduras.

A x i o m a d e p le n it u d o c o n t i n u i d a d S i S es un co n ju n to d e núm eros reales n o va cío y si S es m ayo rad o . entonces d extrem o superior d e S pertenece a R. L o s núm eros ra d o n ale s no poseen esta p ro p ie d ad ; p o r ejem plo, e l co n ju n to {x e Q : x J < 3J n o tien e un m ayo ran te m in im o que sea ra cio n a l, pero ^ 3 es e l núm ero real que es e l extrem o su p erio r d d co n ju n to {x € R : x * < 3 }. E l axiom a d e plenitu d g aran tiza la ex isten cia d e núm eros suficientes p ara poder efectuar con ellos todas las operacion es que se deseen.

PROBLEM AS R ES U E LTO S P r o b l e m a 1-1

M u estre que e l co n ju n to de núm eros reales ja.¿>[ n o tiene m inim o.

S o lu c ió n . Vamos a hacer la demostración por contradicción. Suponga que existe un número c lal que c - min Ja. fc[. Po r definición de minimo. c satisface las dos condiciones: a) c e Ja, ó {. es decir, a < c < b, y h) r S i para todo x e Ja. h[ . Observe que si la primera condición se cumple, la segunda no. (a 4- c)/2 e Ja , fc{ porque a < c •* a < (a + c)/2 < c. y. por lunto. (a + c)/2 < c contradice la con dición «Je que c £ x. Vx e ja. ft[. Entonces c no es el minimo de Ja. /»[. Los demás casos se demuestran en forma análoga.

P r o b l e m a 1 -2

S i 5 es un co n ju n to de núm eros reales co n un m áxim o, ese m áxim o

es único. S i M , = max S y M , - max S. entonces como M , c S y M , £ M ¡ y como M , € S «* «* A f, £ A f |. por tanto, M , - M ¡.

S o lu c ió n .

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

P r o b l e m a 1 -3

M u e stre q u e c u a lq u ie r co n ju n to fin ito 5 d e núm ero s reales tien e un m áxim o.

S o lu c ió n . Demostración por recurrencia. Sea S d conjunto de lodos los enteros positivos n tales que lodo conjunto de n números reales tenga un máximo. a) 1 6 S. Sea 7 , ¿ { x : x 6 R }. max 7 , = x, porque x e 7 , y x 5 x. Vx e 7 ,. b) Suponga que t e S. Sea 7 , . , = { x ,: i - 1 .2 .....* + I }. Sea 7 , = { x ,: i => 1 ,2 ....,* }. Entonces T h. t = T t \ j {x 4. ,}. 7 , es un conjunto de fcnúmeros reales y k c S . Sea max T , = m. además max ¡ x , . ,} - x ,,, . Entonces, o bien x ,. , < m, o bien xt . , — m, o bien m < x ,. |. En los dos primeros casos se tiene que xt 5 m para < = 1 .2 .... * + I . ... Asi max 7 » ., = m. En el tercer caso, x, 5 m para i = 1, 2, . ...* y m < x , . , ; .-. X, 5 X , , , para < = 1 .2 ....,* + I. En este caso, max 7 , . , = x » .,. Hemos mostrado que si * e S » * + I e S. De a) y ¿») se con duje que S = a los enteros positivos. Po r tanto, un conjunto finito de números reales * <j>tiene máximo.

P r o b l e m a 1 -4

M u e stre q u e m ax ]o . + x>[ n o existe.

Suponga que max Jo. + c o [ - c. Entonces c c ] u , + t [ y x S f , para todos x e Jo . + x [. c E Jo . + co [ im plica que c > a Pero c + I > c > a, .-. c + l > a Entonces c + I 6 Ja . + x [ y c + I > e, lo cual contradice a x 5 c para todo x c Ja . + » [ . Po r tanto. Ja , + a j[ no tiene máximo.

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -5

Se a S = {2 + l/n , n en tero p o s itiv o }, en to n ces m ax S = 3.

H ay que m ostrar que: a ) 3 e S, y b) x ¿ 3 . V x e S . a ) Para n = I. 2 + \/n = 2 + l/ l = 3. entonces 3 e S. b) Suponga que x e S. Entonces, para algún entero positivo n ,.x = 2 + l/n,. Com o n , es un entero positivo, n, ¿ I, entonces l/n, <. I, lo cual implica que 2 + l/n, 5 2 + 1 =* x = 2 + l/n, 5 3. Entonces, para todo x e S. x 5 3. De a ) y h) se concluye que 3 e S. y para todo x e S. x 5 3. .*. 3 - max S.

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -6

M u estre q u e e l co n ju n to S = { I -

l/n : n

Z ’ no tien e m áx im o }.

Demostración por contradicción, a) Suponga que JV = max S =N e S y x S N . Vx c S. b) S i N e S, entonces,para algún entero positivo n ,. N = I - l/n ,. Se puede hallar un elemento de S m ayor que iV de la siguiente m anera: como n, es entero positivo, entonces n, + I también lo es, y I - l/(n, + 1) e S . Ahora n , + 1 > n, porque I > 0 y l/(n,+ 1) < l/n, +l) > N y I - 1/fn, + l)c S . ^ - M n , + l)> - l/ n ,. Además I - l/fn, + l)> I - l/n, = N ~ I — l/fn, contrario a l hecho de que I - I/In, + I ) o S.

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -7

S i m ax S « s y c > 0 y c 5 = {e x : x e S } , entonces m ax c S = es.

max S - s equivale a que s f S y x S s , Vx e S : s e S im plica que es e cS. Ahora, r e cS a- z ~ ex para algún x e S. pero x S i y r ? 0 ^ ex 5 es, es decir, i 5 es. Vz e cS. De lo anterior tenemos que es e c S y z <, es. Vz e cS. . '. max c S = es.

S o lu c ió n ,

P r o b l e m a 1 -8 D e fin a S + T =

a ) max S ~ s y max T = i. entonces s e S y i e 7 y x 5 a. V x e S y x 5 i, V t e T . j f S y i e T = ( j + t ) e ( S + T).

S o lu c ió n , 6)

Sea n T y S co n ju n to s d e núm eros reales co n m ax S = s y m ax T = i. ¡ x + y : x e S y y e T } , entonces m ax (S + T ) = s + t.

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U IO A D U N IF O R M E

c) Suponga que z € ( f * + 7 * ) í » z - x + y. Pero x £ s y > £ i. por lanío, x + y á s + r, es decir, : £ j + i. Vz e (S + T ). </) De />)y c) se licnc que s + i e (S + 7 ) y z £ s + f. Vz e (S + T ). max (S + T ) = i + l.

P r o b le m a

¿tie n e n : a ) S n T, co n tracjcm p lo .

s i S y T son co n ju n to s de reales, tales q u e m ax S = s y m ax T = /, b ) S u T. necesariam ente un m áx im o ? S i es asi, ¿cu á l e s? S i no. d é un

S o lu c ió n , a) N a Sea S = [ 0, 1] y T = ]0, l [ u { 6 } => max 5 = 1, max T = 6, S n T = ] 0. l [ q u e no liene máximo. b) I. Sea c = max { s, t } c í { j , r } ; por tamo, c “ s y c € S o c •* t y c e T. 2. S i c e S ^ c e S u T y s i c e T . entonces c e S u T : por lanío, en cualquier caso, c e S u T . 3. Sea s e S u T ; x e S u T x e S o x e T . « f S » « S i s e (porque c = max { s, t J, sS cy tscX x e T x s i S c Emonces x e S u T *> x s c. max ( S u T ) - c. 4. De 2 y 3 se liene que c € S u T y x <. c. Vx e S u T .

P r o b l e m a 1 -1 0

P r o b l e m a 1-11

D e sa rro lle lo s problem as an terio res s i en vez d e m áxim o es m ínim o.

M u e stre que e l extrem o su p erio r d e un co n ju n to S es único.

Sea u, = sup S y u ¡ = sup S. a) Suponga que u, es el mínimo mayorante de S. Cualquier número menor que u, no es extremo superior de S ; por tanto, u , +: u , »* u, s u,. b) Suponga que u , es el mayorante mínimo de S. Cualquier número menor que u , no es extremo supe rior de S ; por tanto, u , < U j ■» u , í u,. D e a ) y b) se obtiene: u, = u2.

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -1 2

M u estre que s i u es un m ayo ran te d e S y u

*» u - su p S . Adem ás

q u e u = m ax S. a) u es extremo superior de S x <, u, Vx e S. S i c c, es decir. x = u e S y u > c . De ti) y b) tenemos que sup S - u. u f S y x ü x í x e S implica que max S ■ ii.

S o lu c ió n , b) c) J)

P r o b l e m a 1-13

M u estre que si

Se debe mostrar que: a) x £ I, Vx € S. y b) si c < 1 » 3x e S tal que x > c. S i x e S « * x - l - l/n, para algún entero positivo n ,. Entonces n , £ 0 ** l/n, > 0 ■* - l/n, < 0 » I — l/n, < 1 ; por tanto, 1 - l/n , = > f S » » S 1 Esto demuestra a). Para mostrar b) se desea hallar un entero positivo n, tal que 1 - l/n , > c con c < I. Tome a n , como un entero positivo tal que n, > l/(l - c) y l/ (l - c) > 0 => l/n, I - c > 0. Entonces - l/n, > c — 1 ^ I — l/n , > c. Po r tanto, 1 - l/n , = x e S y x > c.

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -1 4

S o lu c ió n . x > c.

Si S = { y

; n e Z * j , entonces su p S = - j .

De nuevo hay que m ostrar que: a )

x S y , V r í S, y

si c < -y =• 3x e S tal que

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

a) I 7

Se* x c S. x e S I

2 ÍT < T '*

a * « 4

- -=^— para algún en ie ro p o sitivo n ,. C om o c

‘

es positivo, **

v ,t S > x S T

•

7 . - - H T “ * n" > ‘" s « c *i «■ >

- -J- -

¿T e s ’ T -

& ; > «•

De a ) y fe) se concluye que sup 5 = y .

P r o b l e m a 1 15 D em uestre q u e :

Sea T

un co n ju n to m ayo rad o de núm ero s reales y 5 c T . S *

u ) s u p 5 e x is te ;

b ) su p T e x is te ;

<p.

c ) su p S s su p T.

S o lu c ió n , u ) S / í por definición Com o T es mayorado. existe u con x £ u. V x c T . Pero S f i T . por tanto, x e S » x c T . Entonces x £ u, Vx e S. Com o S es mayorado. por el axioma de plenitud S tiene extremo superior. fe) T es mayorado. A d o n is S A ó *> 3x e S. Pero S f i T *> x e T ** T # ó . Po r d axioma de plenitud tiene extremo superior. c) Sea sup S - s y sup T - t Suponga que r < í . Po r definición de sup S. si / < s •* 3x € S tal que x > L Pero x t S c T =» x e T . Así. se tiene que x e T con x > r. L o cual constituye una contradicción porque l « sup T «» x S l, » x e T . Entonces s s i.

P r o b le m a 1 -1 6 1

D em uestre lo s p rob lem as a n terio re s si en vez d e extrem o su p erio r se tien e extrem o in ferio r.

P r o b l e m a 1-17

Se a 5 un co n ju n to aco ta d o no v a c io d e núm eros reales. M u e stre que

in f S á su p S.

S o lu c ió n .

Com o S * ó . entonces existe x € S. in f S S x <, sup S ; por tanto, in f S S sup S.

------------------- Sea n 5 y T d o s co n ju n to s no vacío s d e núm ero s reales tales q u e para ca d a s e 5 y cada i e T , s S l. M u e stre q u e : a ) su p 5 existe, b ) su p S 5 r.V r e T c) in f T existe, d ) su p 5 á in f X a ) Sea r f I Por hipótesis i S i . Vs e S. Entonces t es extremo superior de S ** S * $ es mayorado. A si. sup S existe por d axioma de plenitud. fe) Sup S S cualquier mayorantc de S. En to n as sup S S l. Com o i es un demento arbitrario en T. entonces sup S s; l. V i e T. c) Por fe), sup S es un minorante de T . lo cual implica que T i* ó y o minorado. Po r tanto, in f T existe d) Po r c ) sup S es extremo inferior de T sup S £ inf T. puesto que el extremo inferior de cualquier conjunto es m ayor o igual que cualquier minorante d d conjunto.

S o lu c ió n ,

P r o b l e m a 1 -1 9

S i 5 es un co n ju n to aco tad o y n o v a c ío d e núm ero s reales, e in f 5

= sup S . entonces S tien e so lam ente un elem ento. Sea in f S =* 1c — sup S. Sea x 6 S. entonces in f 5 - k ¿ x y x £ * - sup 5. Pero x ¡ í * y ' S i , entonces x • k. Entonces para todo x e S. x = t

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1-20

Sea n S y T d o s co n ju n to s n o va cío s de núm ero s reales m ayorados. Pru e b e q u e s i x e S y y e T entonces x + y ^ su p S + su p T.

A X IO M A O E P L E N IT U D

C O N T IN U IO A O U N IF O R M E

a) Com o S / d y T 4 4 y son mayorados. por el axioma de plenilud sup S. tup T existen Po r definición, x e S iftip lici que x £ sup S y y e T » y S sup T . entonces « + y S sup S 4 sup T.

S o lu c ió n , b)

Sea n S y T su b co n ju n to s d e nú m ero s reales n o va cío s y cada u no con ex trem o su p erio r, y sea S + T * { x + y : x e S , y e 7’ }. Pru e b e q u e : a ) su p ( S + 71 existe, y b) su p (S + T ) = su p S + su p T. S o lu c ió n , a ) Po r .el problema anterior, x + y £ sup S + sup T . V(x ♦ y ) e (S + T \ Entonces S 4 T es m ayorado. Además, com o S 4 ó y l 4 ó . S 4 T 4 ó Entonces, según d axioma de plenitud, sup (S 4 7 ) existe. b) Sea sup S = s. sup T - r. sup (S 4 71 = u Po r a ) u £ s ♦ l Suponga que u < s 4 i Tom e a i + l-

K - t entonces J - y < * y í - y < r ; entonces existe s, c S con s , > s — y y r, * 7* con

r, > I - -y. Tenemos que s , + r, > j + t - t - u ** s , + i, c (S 4 7*) y s, -F f, > u = sup (S 4 T ). Esto con tradice el resultado de que u = sup (S 4 T \ A si, u = s + i, es decir, sup (S + T ) = sup S + sup T.

P r o b l e m a 1 -2 2 i

Sc a n s . T y U su b co n ju n to s de reales n o vacío s, m ayo ra d o s y tales

q u e Vs € S . ( € T, 3u e U ta l que s 4- I S u. E n to n ce s su p S 4- su p T <. su p U , S o lu c ió n .

Sea sup S - s. sup T - í, sup U - a Suponga q u c í 4 l > i * . S c a ( s 4 l ) - u - t E n -

tonccs i - y < i y i - y < i .

Po r tanto, existe s , c S con j , > j -

y i , € T con r, > l - -y. De

donde s , 4 f , > s + i — r. - u. Po r hipótesis, existe u, e 1/ con u, 2 s , 4 I,. Po r tanto, se tendrá que u, e U y u, ¿ u. Pero u » sup (/.

I r° <ma ~ Se a S un c o n ju n to d e nú m ero s reales, c una co n stan te. Se a S = {e x : x € S J . M u e stre que p a ra c £ 0 su p S existe, y q u e su p c S = c ■su p S . y que si existe in f S . entonces in f c S = c-in í S . S i c < 0 y si su p S existe, en to n ces in f c S = c •su p S . y si in í S existe, entonces su p c S = c in f S.

S o lu c ió n . S i c « 0 , d resultado es obvio. S i e > 0.

sea b - sup S. a ) Sea z e c S ; entonces i - es, x l S , x e S y h = sup S im plican que x £ ó. y como c > 0. entonces ex £ ch: por tanto, para todo z e cS, z - ex £ cb. b i Sea A: < c6 . Entonces fc/c < b. k/c k/e. Sen ex - z ; entonces ex e cS y ex > k. Asi. Vlc < cb, 3cx - z e c S con s > k. I)e ti) y ó) se tiene que sup c S • cb.es decir, sup c S » c sup S. Las demás demostraciones son análogas.

P r o b l e m a 1 -2 4

„

o ca K e l c o n ju n to d e lo s nú m ero s reales y x un re a l. M u e stre q u e el

c o n ju n to S *» R - { x } no es co m p le to en e l sentid o d e q u e existe un su b co n ju n to n o va cío d e S m ayo ra d o p o r un elem en to d e S y que no tien e ex trem o su p e rio r en S . S o lu c ió n . Sea A d conjunto de todos los números reales menores que x. Entonces A no es vacio (puesto que x - I es un demento de A ) y A es mayorado en S (x + I es un dem ento de S. que es mayorante de A\ Para mostrar que A no tiene extremo superior en S. sea y un dem ento de S que se supone d mínimo mayorantc de A. Se presentan dos casos: si x > y . entonces y < -y (x 4 y ) < x y y es menor que y ( x 4 y l d e mento de A . y y no es un m ayorante de A. S i y > x. entonces y > y (x 4 y ) > x , y j (x 4 y ) es un mayorantc de A menor que d supuesto, mínimo mayorante. lo cual es una contradicción.

A X IO M A D E P I E N I T U D

C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

M u e stre que lo d o c o n ju n to d e n ú m ero s rea le s m in o ra d o tie n e un m in o ra n te m áxim o. Sea A un conjunto no vacio de reales y B m - A - ¡ x : - x € A \ tí no es vado, puesto que A no lo ex S i >•es cualquier m inorante de A . entonces - y es un nía yorante de B (Ia desigualdad - y > x - - a es equivalente a la desigualdad y < —x - 11» Sea s - sup B y definamos / = —y Se quiere m ostrar que f es el extremo inferior de A. En primer lugar, l es un minorante de A. E n segundo lugar, si I es un minorante de A, entonces - 1 es un m ayorantc de B y. por tanto. - 1 ¿ s - - I. es decir. I 5 f. Entonces A tiene un extremo inferior.

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1-2Ó n o v a c io A d e num ere

M u e s tre q u e e l c o n ju n to d e todos lo s m in o ra n tes d e u n c o n ju n to reales es v a c io o u n in te rv a lo de la fo rm a ] - x . c ].

Sea B el conjunto de todos los minorantes de A y suponga que B no es vacio. S i c es el extremo inferior de A. se quiere m ostrar que B « J — x . c j. E n prim er lugar, todo elemento de B es un minorante de A y. por u n to , m enor o igual a c : por ta n ta B e J - x . c]. E n segundo lugar, todo elemento x de J - x . c] verifica U desigualdad i S r y . por tanto, es un m inorante de A ; x e B. por ta n ta ] - x . c ] e B

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -2 7

(P ro p ie d a d a rq u im e d ia n a .) existe un e n te ro p o s itiv o n ta l q u e b < na.

S i a y b son núm ero s reales p o sitivo s.

Demostracicm indirecta. Suponga que para todos los enteros positivos n, b > na. Sea S - ¡n a : n es un entero positivo}. Según la definición, S es m ayorado (ó es un mayoranteL Entonces, por el axioma de plenitud, S tiene un m ayorantc mínimo, digamos c. Com o c - a < c, c - a no puede ser un m ayorantc de S y. por tanto, existe un elemento de S. digamos n„a. tal que ngu > c - a Entonces (n0 + I to > c. Pero («o + 11 •a c S. Esto contradice el hecho de que c es el m ayorantc mínimo de S. Po r tanto, la hipótesis de que para lodo n, h ¿ na. no es verdadera. A si. existe un n tal que b < na.

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -2 8 S o lu c ió n .

P a ra c u a lq u ie r t > 0 e x iste un e n te ro p o s itiv o n ta l que l/ n < e.

Sea a = e y fc = I. en d problema anterior.

P r o b le m a

1-79 J

p a ra cu a |q u¡c r n ú m cro rca| f, existe un en tero m ta l que m -

I i

£ b < m. Vamos a m ostrar que existen enteros p y q tales que p 0. entonces, haciendo a - I. en el Problem a 1-27. existe un entero positivo q tal que b < q. Aplicando este resultado a l número - b se tiene que existe un entero positivo, que llamamos - p . tul que - b < - p . Po r tanto, existen enteren p y q tules que p < h < q. Asi parece que b está comprendido entre dos enteros consecutivos del conjunto |p. P + I ......... p + (q - p) = q ). Para m ostrar que esto es asi sea S el conjunto de los enteros positivos n tales que p + n > b. S / ó porque q - p « S y. según el principio de la buena ordenación. S tiene un ele mento mínimo, digamos n©. Entonces, haciendo m ■ p > «,>. se tiene que m — I £ b < m.

S o lu c ió n .

P r o b lt m a

1 30j

n ú m ero s ra cio n a le s son densos en lo s re ales.) S i a y ó so n d o s n ú

m eros reales tales q u e a < b. entonces ex iste un n ú m ero ra c io n a l r ta l q u e a < r < b. Po r d Problem a 1-28 existe un número entero positivo n tal que I In < b - a. Ahora, como La distancia entre dos racionales sucesivos de la forma m/n es l/n < b - a, parece que un número racional de esta forma está comprendido entre a y b. Po r el Problem a 1-29 sabemos que existe un entero m tal que

S o lu c ió n .

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U I D A D U N IF O R M E

m - I S an < m, es decir, (m — IV " Ü u < m/n A sí. a < m/n. y com o m/n - l/n S a. m/n S a + l/n P o r consiguiente, el número racional r = m/n está com prendido entre a y b.

M u e s tre q u e e l c o n ju n to S d e to d o s lo s n ú m ero s ra cio n a le s p o sitivo s

P r o b l e m a 1 31

c u y o s cu a d ra d o s so n m enores q u e 2 es rn a y o ra d o . p ero n o tie n e m a yo ra n te m ín im o en e l c o n ju n to d e lo s n ú m ero s racio n ales. S es m ayorado. 2 es un m ayorante de S. Según e l axioma de plenitud. S tiene un. y solo un, extrem o superior c en los reales. Vam os a ver que c 2 - 2. y com o ningún racional tiene por cuadrado a 2, S no tiene extrem o superior en d conjunto de los racionales. Vam os a establecer que c 2 ■* 2 m ostrando que c 2 < 2 y c 2 > 2 producen contradicciones. S i c = sup 5, entonces c debe ser positivo.

S o lu c ió n .

Caso 1. S i c2 < 2 se puede m ostrar que existe un racional r e S (es decir, r 2 < 2 ) tal que r > c. Esto con tradice la hipótesis de que c es d extremo superior de S. A hora, si c 2 < 2. entonces c 2 < 4 y . por tanto, c < 1

Tam bién para n ¿ 2 , 0 < -2 — — n

< — S I. n

Sea b m c + ——-— (n entero positivo ); entonces ó es un número real m ayor que c Eligiendo adecúaí» damentc a n se obtiene que b2 < 2. t . . c. + J c l ^ £ Í + ( i ^ £ Í ) , = ( . + l = £ ! ( 2c + 2 ^ £ Í ) < c. + B ^

i *5

S c2 + 12 - c1) = 2 . 2 —

A si. b - c + --- -—

para n £ 5

es un número real m ayor que c tal que b 2 < 2 .

P o r el problema anterior existe un racional r ta l que c < r < b. Entonces r 2 < 2 y r e S. Esto contra dice e l hecho de que c = sup S y. por tanto, c2 < 2 no se verifica. Caso 2. S i c 2 > 2, entonces se puede m ostrar que existe un número real b que es menor que c y que es un m ayorante de S. Esto contradice la hipótesis de que c es d sup S. S i c 2 > 2 . entonces c2 + 2 < c 2 + c 2 = 2c*

y . por tanto.

- < c. Haciendo b — c- ^ * se tiene que 0 < b < c. Tam bién b2 — 2 = ~~m +£ i

c4 - 4cl + 4

I c2 - 2 \ 2

- 2=

—

4? — " H H > 0 Entonces b2 > 2 y h es un m ayorante de S m enor que c. Esto contradice el resultado de que c = sup S y muestra que c2 > 2 no se verifica. P o r tanto, c 2 = 2 y S no tiene extremo superior en e l conjunto de los números racionales.

P r o b l e m a 1 -3 2

„

___________ ____________I M u e s tre q u e si S es un c o n ju n to d en so en un in te rv a lo /. y si a y b so n d o s elem en to s d e / co n a < b , e n to n ce s ex iste u n a in fin id a d d e ele m e n to s d e S e n tre a y b. P o r definición, un conjunto S de reales es denso en un intervalo / si. y solo si, entre dos puntos de I hay un elemento de S. P o r definición, d conjunto A de todos los elementos entre a y ó no es vacio. Su ponga que es finito. Entonces A tiene un elem ento máximo s : por tanto, todo elemento « d e ^ : a < * S j < f c . Com o S es denso en /. existe un elem ento x e S entre s y b y . por tanto, un elemento x e A entre s contradicción a la desigualdad x £ s. que se verifica para todos los elementos x e A.

S o lu c ió n .

P r o b le m a

1 33 i

M u e s tre q u e e l n ú m ero y/2 es u n n ú m e ro irra c io n a l.

S o lu c ió n . Suponga que y/2 - p/q, p y q enteros, irreducible. S i existen los enteros p y q, entonces existen enteros m y n tales que ambos son positivos y uno de los dos no es par. D e m/n = y/2 se deduce, a l elevar a i cuadrado, que m2 = 2 n2 y. por tanto, m es par. Haciendo m - 2k, k un entero positivo, se deduce que 4Je2 ■ 2n2 o 2k 2 = n \ es decir, que n es par. Esto contradice la hipótesis de que m y n son ambos pares. Es decir. J l no se puede expresar en la forma J 2 - p/q.

y b. en

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U IO A O U N IF O R M E

S i r- es u n n ú m ero ra c io n a l s un n ú m ero ra cio n a ! d is tin to d e cero, y si x es irra c io n a l entonces lo s siguientes nú m ero s son todos irra c io n a le s : x + r. x - r. r - x. X J. x/s. s/x. S o lu c ió n . Cada parte de la demostración se hace por contradicción y hace uso d d hecho de que los nú* meros racionales son un cuerpo. Vam os a dar dos casos de la demostración, los demás se dejan al lector Suponga que x + r es un numero racional l : x + r — I. talonees x - i - r. que es racional (contradicción) Suponga que s/x es un número racional l : s/x — I. talonees r * 0 y x - xs/l. que es un número mcionul (contradicción).

P r o b l e m a 1-35

E l co n ju n to S d e lo s núm eros irra c io n a le s es denso en R .

S o lu c ió n . Sean x y y. dos números reales distintos, con x < y . Entonces x - y / 2 < y - j 2 y existe un número racional t tal que x — >/ 3 < r < y - ,/ ! (.'orno v '2 + r es irracional por d problema anterior, se ha mostrado que entre dos números reales dis tintos hay un elemento de S. Es decir. S es denso en R

P r o b l e m a 1 -3 6 ,

Se d ice que un n u m ero x es casi m ayo ra n te d e S si existe un num ero fin ito d e núm eros y en S co n y £ x. A n álo g am en te se defin e casi m in oran te. H a lle lo s casi m ayo ran tes y casi m inorantes d e los siguientes co n ju n tos (según la d efin ició n d u d a ):

S o lu c ió n .

{ l /n: n e Z , n * 0 } ;

{x: 0 S x á

Casi m ayorante: a) b) c)

y ¡l,x r a c io n a l};

c) { x : x 2 + x - I < 0 }.

Casi m inorante:

todo a > 0. todo a ¿ y fí, lodo i í O.

a) b) c)

todo a < 0. lodo a i 0 . lodo a á [ - I +

P r o b l e m a 1-37

S i S es un co n ju n to in fin ito y aco tad o , m uestre q u e d co n ju n to B d e lo s casi m ayo ran tes d e S n o es va cío y es m in o rado . _____ S i B existe, este n ú m ero se lla m a lim ite su p erio r d e S . y se escribe lim S o lim su p S. A nálog am ente se defin e lim S . H a lle lim 5 y lim S p a ra lo s co n ju n to s d e l p ro b lem a an te rio r. I. Todo mayorante de S es casi m ayorante; por tanto. B * ó- Ningún minórame de S puede ser un casi minorante (porque S es infinito), puesto que H es acotado interiormente por cualquier minorante d cS.

S o lu c ió n .

0 ; b)

X z í- í- á ^ ., son los lim ites superiores.

Los lim ites inferiores so n : a)

P r o b le m a £ lim S ;

1 -3 8 ... _

Si S

0 ; h)

,, ,

es un co n ju n to in fin ito y aco tad o , m uestre q u e :

lim S £ su p S ;

lim S £

c ) s i lim S < su p S . entonces S co n tien e un elem ento m áxim o.

a ) S i x es un casi minorante de S y y un casi mayorante, entonces hay infinidad de números en S que son menores que x o mayores que y. Com o S es in fin ita entonces se debe tener que x £ y. Asi U m S s I i m í . _______________ b) Es evidente que hra S £ a para un can mayorante a y a * sup S es un casi mayorante. c) S i lim S E J m ayor de esta infinidad de elementos es d elemento máximo de S.

S o lu c ió n ,

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

P r o b l e m a 1 -3 9

(T e o re m a

del v a lo r in te rm e d io .)

Si /

es c o n tin u a so b re

[a , />] y

/ (a ) < f i b ) y si i es c u a lq u ie r n ú m ero ta l q u e / (a ) < i < f ib ), en to n ces existe un p u n to c e ]a , b [ ta l q u e / (c ) = t. Sea 5 el conjunto de puntos x 6 [a . 6 ] tales que / (x ) < i. S no es vacio porque a e S y es mayorado (b es un mayorantc). Entonces, por el axioma de plenitud. 5 tiene un mayorante mínimo, digamos c. Com o a e S y b es un m ayorantc de S. es evidente que c € [o , í>). Vamos a m ostrar que fie ) = i probando que la hipótesis f ie ) ¿ l lleva a una contradicción. Entonces, si f (c ) = l. c no puede ser ni a ni b ; luego c e Ja . b [.

S o lu c ió n .

Caso /.

S i f (c ) < l. entonces c € [a , b[ y existe un ¿ > 0 tal que f(x ) < l para todo x c ]c - 6, c + ¿ [ n [a . b ]

A si hemos mostrado que existe un punto x e ]c. 6 ] tal que / (x ) < / y esto contradice el hecho de que c = sup S. Caso 2.

S i fie ) > i, entonces c € Ja . b ] y existe ó > 0 tal que fix ) > I para todo x e Je - 6. c + á [ o [a , h ]

Asi no hay punto de S que esté a una distancia S de c y esto contradice el hecho de que c = sup S. L a hipó tesis fie ) / l nos llevó a una contradicción y . por tanto, concluim os que fie ) ■ l y c e ] < i , f c [ .

P r o b l e m a 1 -4 0

Si /

es c o n tin u a so b re [a . ¿»] y f i a ) y f ib ) son d e signos opuestos.

e n to n ces existe un n ú m ero c e Ja , b [ ta l que f ( c ) - 0 .

S o lu c ió n .

Es un caso especial del teorema anterior.

P r o b l e m a 1 -4 1

S i a es un n ú m ero real p o sitivo y n un en tero p o s itiv o , entonces existe

u n , y so lo un. n ú m ero real b, p o sitivo , ta l que b m— a.

b ) H a lle J a , a > 0.

a ) Sea p un entero tal que a < p ; entonces p ¿ 1 y se tiene que 0 < ¡ i < p S / . L a (unción x" es continua sobre [ 0 . p j y /(O) = 0 < a < p* = /(p). Po r tanto, según el teorema del valor intermedio (Problem a 1-39), existe un número b e ] 0 . p ( tal que fib ) - b" - a. Com o x* es creciente para x positivo. b es el único número. S i n es impar, la existencia de la raíz n-ésima de cualquier número real negativo se demuestra de manera

S o lu c ió n ,

b ) L a existencia de la raiz cuadrada de cualquier número positivo se demostró (Problem a 1-31). Vamos a considerar un procedimiento decimal de aproximación para obtener la rabr cuadrada de un número posi tivo a Considere la ecuación x 2 — a = 0 . Sea Ií0 el m ayor entero tal que lc¿ £ a. Entonces k0 £ y/a < k 0 + I. Sea k, d m ayor entero entre 0 y 9. inclusive, tal que (lc0 + fc,/l0>2 £ a. Entonces k0 + * ,/ 10 £ J a < k0 + ik t + !|/10. Sea k j el m ayor entero entre 0 y 9. inclusive, tal que (An + *,/IO + fc,/102)2 s a. Entonces * 0 + I¡,/ I0 + fc2/ l0 2 £ J a < k0 + *,/IO + (fc2 + I)/ I0 2; continuando este procedimiento se puede obtener una aproxim ación decim al para J a que sea tan aproximada com o se desee. Vam os a ilustrar este procedimiento para hallar una aproxim ación decim al de J 2 exacta hasta tres decimales. E n este caso. Ií0 = 1. Se quiere determinar el m ayor entero k entre 0 y 9 tal que

( I + *,/IO )2 S 2 o

* 2 - I - I. Ií,( 2 -10 + * ,) S I0 2

Asi. k , = 4. Ahora se quiere determinar el m ayorentero entre 0 y 9 tal que

( ' +

+ -f e -)

s 2 0 ^

(2 +

* T o ^ ) 5 2 ~ 1- -re - -

* j(2 - 102 + 8 -10 + k2) ¿ 4 ! 0 2

i ¡f

A X IO M A O E P L E N IT U D

C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

A s i kt = 1. E l siguiente esquema abrevia el procedimiento anterior: 1.4 I 4 2 v/2,00 00 00 00 1 24 rio o ~ 96 2 8 lJ 4 00 2 81 2824 | R 900 I 12 96 2 8282 1 6 0 4 00 5 65 64 Entonces 1.1414 es una aproximación decimal de y f¿ exacta hasta tres decimales.

P r o b le m a 1-42

U n conj u n to $ dc n (,m eros reales es un in te rv a lo s i y solam ente s i

tiene la pro p ied ad d c que p ara dos p un tos cu alesq u iera x , y x 2 en S co n x , > x 2, ] x , . X j [ c S.

S o lu c ió n . Es fácil comprobar que cada uno dc los tipos dc intervalos tiene esta propiedad. Suponga que el conjunto S tiene esta propiedad. S i S es vacio o está formado por un solo punto es un intervalo. Suponga entonces que S tiene por lo menos dos puntos. S i S es acotado, sea a = in í S y b = sup S. Vamos a mostrar que S es uno dc los intervalos Jo , 6 [ . [o . 6[ o [o. b\ Sea x tal que a < x < b. Com o a » in í S y b - sup S. existen puntos x , y x , en S tales que a < x , < x < x2 < b Po r consiguiente, x e S y S S S S

= » = =

]o. [o. Ja. [a ,

b [si u i S. ¿>[si a e S . b 6J si a i S. 6] si a. c S.

b * b b

i S

S cS e S

Si S no es acotada la demostración es análoga. Po r ejcm pla suponga que S es minorado, pero no mayorado. Sea a = inf S. Vamos a mostrar que S es ]a . + x [ o [a. + x [ . Tome x > a. Com o a •=in f S y S no es mayorad a existen puntos x , y x , en S tales que a < x , < x < x.

Po r tanto, x e S y S - } o . + x [ s i a * S y S = [a ,+ c c [s i< i e S.

P r o b l e m a 1-43

S i / es un in te rv a lo y f e s co n tin u a sob re /, entonces tenem os que J\ l) = {/ tx ): x 6 / } es un in terva lo . S i / (/ ) es vacio o contiene un solo punto, entonces es un intervalo. Suponga que/ (/ ) contiene por lo menos dos puntos. Tom e a / (x ,) y f ( x ,) en / (/ ) con / (x ,) < f(x ¡X S i 1 o f ix ¡) [. por el teorema d d valor interm edia existe un punto c € ]x ,. x ,[ tal que / (c ) = r. Po r tanto, r € /(/X Según el pro blema anterior,/(/) es un intervalo. Por ejcm pla x1 aplica d intervalo ]1 .3 [ sobre ]1 ,9 [.

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -4 4

D e fin ició n . U n a fa m ilia de in te rva lo s se d ice q u e recu bre a un co n ju n to S si ca d a p u n to d c S pertenece p o r lo m enos a u no dc lo s in te rva lo s ab ierto s, a ) Sea

S = ] 0 . 131 m uestre que la fa m ilia d e in te rva lo s { / „ } , recu bre a S.

co n / „ =

y n = 1 ,2 ....,

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

20 b)

S c a S = j y j con.n » 1 ,2 ,... M uestre que la fam ilia de in te rv a lo s / . = J y

- Ó.y

y S un núm ero p o sitivo , recubre a S. a) L a familia ¡/ .} recubre a 10. Ij. Para mostrar esto sea c e JO. Ij. Por el Problema 1-28 sabemos que para algún *u l/n < c. Asi, c e l r b) L a familia ¡/ ,¡ recubre a S porque l/n €

S o lu c ió n ,

Nota. Observe que en la parte a) no se puede elegir un número finito de elementos de { /. ) que recubran a JO. I]. Por ejemplo, si se considera la familia finita de intervalos /_ de /. c / „ con el índice máximo Entonces cualquier punto del intervalo JO, \¡m\ no está en ningún intervalo de esta familia finita. Entonces una familia finita de intervalos abiertos de { /,¡ no recubre a S. En la parte b) se puede elegir un número finito de intervalos abiertos de | /.) que recubra a S. Empleando la propiedad arquimediana de los números reales para algún entero positivo m. l/m < S. Entonces

¡ /.: n = 1, 2,.... /n¡ es una familia finita que recubre a S, puesto que para n > m. — - ó < 0 < — < — + ¿.

P r o b l e m a 1-45

(Teo rem a de H ein e-Bo rcl.) S i e l in terva lo cerrado [u , ó ] = / es recubierto p o r una fa m ilia de in tervalo s abiertos ¡ / „}, entonces un núm ero fin ito de intervalos abiertos de la fam ilia J l „ } se puede eleg ir de ta l m anera que recubren a [o . 6 ] , S o lu c ió n . Sea A d conjunto de todos los x e [a.¿>] tales que un número finito de intervalos abiertos de ¡ /. ¡ recubre a [a. x j. Como a pertenece a algún intervalo abierto de ¡ / .}. [a. a ] es recubierto por un nú mero finito de intervalos (un intervalo) de ¡ / .¡. Asi. a € A y A * 4>. También / es mayorado (h es un m ayo rante de <41 Entonces, por d axioma de plenitud, A tiene un mayorantc mínimo c E l punto c 6 [u. />] y. por tanto, pertenece a algún intervalo /, de ¡ / .¡. Por el Problema 1-44. existe un punto x „ e A tal que x0 o lr Como x0 e A. una familia finita de intervalos de ¡ / .[ recubre a [u , x „]. Si agregamos a /, esta familia finita de intervalos, se obtiene una familia finita de intervalos abiertos de ¡/ .) que recubren a [o. x ,] con x , e I, y x , > c. Como c = sup A. x , no puede estar en A y. por tanto, x, 4 [a. *>] Entonces, x , > h Asi tenemos que [a, b ] c fa . x ,] y [a. x ,J es recubierto por una familia finita de intervalos de la familia ¡ /. ¡. Esto muestra que [a. b l es recubierto por una familia finita de intervalos de ¡ /, ¡.

C O N T IN U ID A D

U N IF O R M E

L a función flx ) = 2x es co n tin u a en x 0 = I. D e c ir que la función es co n tin u a en x0 equivale a d e cir que p ara cu alquier r. > 0 existe un d > 0 tal que p ara todo x p ara e l cu al |x - x0 | < ó, entonces |yjx ) - / lx 0)| < e. E sta función es co n tin u a en x0 = 1 porque p ara todo c > 0 se puede tom ar S = y , entonces p ara to d o x que verifica la relació n ix - x „| < ó se tiene que [f[x ) - J[x 0)\ = |2x - 2x0 | = = 2 |x - x 0| < 2 •6 = 2 •y

= f.

O bserve que para to d o e > 0 e l 6 que se em pleó para x „ = I se puede em plear p ara cu al q u ie r Xq. E n efecto, p ara ó = y

si |x - x0 | < ó. entonces l/fx ) - _/lx0) 1 = |2x - 2x0 | =

= 2 | x - x 0 | < 2 -d = 2 ‘ - y = e. E s to m uestra que e l 6 que se necesita p ara la con tin u id ad en x „ depende únicam ente de c y es independiente del va lo r de x 0. A hora considerem os una función p ara la cu al e l 6 de la co n tin u id ad en x0 depende del valor de c y de x 0. E n o tras palabras, para un t dado no podrem os h a lla r un 5 que sirva para to d o x 0. Sea f{x ) = x 2 y x „ - 1 y e = y . Tom em os a 5 = y , entonces si |x — 11< ^ (y Ix + 11 < 3) tenem os que l/Jx ) - /|x 0)I = |xJ

11 =

|x +

11 |x

11 <

3 |x

—

11<

3•

«■

- -

A X IO M A D E P lE N t T U D . C O N T IN U ID A D U N IF O R M E

P e ro p ara r. = — « I 6 que se rvia p ara xc = I no sirv e p a ra x 0 = 3, p orq ue si se lo m a a x -

3.1. entonces |x - x „ | = |3 .l -

= | ( 3 . l)2 - 32 | = 0.61 > y

3| < 0.1 < y

- 6.

S in

em bargo,

\flx i - /(.x0)| =

= «- (V e a Fig s. 1-2 y 1-3.)

S e pu ede h a lla r p a ra t = y

un & d iferen te que sirv a p ara x 0 = 3 I p o r ejem p lo , ó = — j .

E s p o sib le h a lla r o tro v a lo r d e x 0 p ara e l cu al n o sirv a este ó. A co n tin u a ció n vam os a m o strar q u e si /\x) = x 2. d ad o e > 0 . n o es p o sib le h a lla r un ó ta l que p ara lo d o x 0, s i |x - x 0 | < ó. entonces l/ íx ) - ./ Ix 0)| < t E n efecto, p ara J\ x ) = x 2 y c > 0 dad o. Su p o n g a q u e existe un ó > 0 ta l que p ara todo x 0. si |x - x 0 | < 6. entonces |/(x ) - /<x0)| < r> T o m e x 0 = -y y x = x 0 + y . En to n ces < S , pero l/lx| - / lx 0)| = |x 2 - x ¿| = |x + x „|| x - x 0| = l l x 0 + y )

U - x0| - y =

c ó2 X0 Ó + —

ó2

(y ) -

A s i hem os h a lla d o un x y un x „ tales q u e |x — x 0 | < 6, pero l/ íx j - /(x 0)| > c. lo c u a l es una co n tra d icció n . E n to n ce s n o existe un ó > 0 ta l que |x — x „ | < ó siem pre im p liq u e que l/ íx ) - / ( x 0)| < c. L a pro p ied ad que ve rific a la fu n ció n / jx ) = 2x y que no posee la fu n ció n J [ x ) = x 2 la resu m im os en la sig u ien te d efin ició n . D e fin ició n .

U n a fu n ció n / es uniform em ente co n tin u a so b re un co n ju n to S , S S

eq u ivale

a d e cir q u e p a ra to d o c > 0 existe un S > 0 ta l que cu an d o x. x 0 e S y |x - x 0| < 6. entonces \ ftx ) - f x 0)\ < E. L a fu n ció n f [ x ) = x 2 es co n tin u a sobre R y . sin em b arg o , n o es uniform em ente co n tin u a so b re R . E s to m uestra que la co n tin u id ad un ifo rm e es una c o n d ició n m ás fuerte q u e la c o n d i ció n de co n tin u id ad . P e ro f [ x ) = x 2 si es u n ifo rm em ente co n tin u a en e l in te rv a lo ]0 .2 [. E n efecto, sea c > 0 dado. Iftx ) - y (x 0)| = |x 2 - xg| = |x + x 0 | |x - x 0 |. A h o ra , p ara |x + x 0 | < 4 (p o rq u e x e ]0 .2 [ im p lica que |x | < 2 y x0 e ] 0 . 2 [ » |x + x 0| < |x | + |x0| < 2 + 2 - 4 .

A sí,

p a ra

x , x o e ]0 .2 [.

to d o x . x 0 e ]0 .2 [, |x 0 | < 2». Entonces

|/(x ) - / (x „ )| = |x + x 0 | | .v - x „ | <

< 4 |x - x 0 |. T o m e a ó = y . E n to n ce s, p a ra to d o x , x 0 e ]0 ,2 [ p a ra los cu ales |x - x 0 | < ó. se tien e que |/(x ) - / (x 0)| ■ = |x + x 0 | |x -

x 0 | < 4 |x - x 0 | < 4 0 = 4 y

= E.

P o r ta n to , J\x) = x 2 e s u n ifo rm e m e n te c o n tin u a s o b r e ] 0 .2 [ .

A X IO M A D E P L E N IT U D . C O N T IN U I D A D U N IF O R M E

PROBLEM AS R ESU ELTO S M u e s tre

P r o b le m a 1 16

que

f(x ) = x3

u n ifo rm em en te

c o n tin u a

sob re

[0 .2 ]

e m p le a n d o e l sig u ie n te p ro c e d im ie n to : P a ra c u a lq u ie r r. > 0 d e te rm in e u n S > 0 ta l q u e p ara to d o x . x 0 e [ 0 , 2] p a ra lo s c u a le s |x - x 0 | < ó , en to n ces |/ (x ) - / (x „ )| < c. S o lu c ió n . |x* - x¿| - |x - x0| |x* + xx0 + x ||. Sea c > 0 dado. I/ M - / (*o )l - I* 1 - *ó l - I * - x0l |x* + X X 0 + X ¿ L Ahora, para x.x0 e [ 0 . 2J.|x * + xx0 + x¿| < 12 (porque \x* + xx0 + x*| <; Ix 'l + |xx0| + |x ¿| = 2 - 2 + 2 - 2 + 2 2 » A sí. para x. x „ e [0 .2 ], |/(x> - /(x o ll S 12 |x - x „|. Po r tanto, si se tom a a A - j y y si x. x0 € [0 .2 ] y si |x - x „| < ¿. se nene que l/ (x ) - /(xo)| = |X - x «||x * + xx0 ♦ x ¿| s 12 1x - x0| <

1 2 A - 12^ =

Po r consiguiente, / (x ) - x’ es uniformemente continua sobre [ 0 .2 ].

P r o b l e m a 1 -4 7

P ru e b e q u e si / es u n ifo rm em en te c o n tin u a sob re S y S 5 T , entonces f e s u n ifo rm em en te c o n tin u a so b re T. Sea e > 0 dado. Com o / es uniformemente continua sobre S, existe un A tal que si y. y 0 C S y I)' - >’ol < entonces |/ (y) - /(y 0ll < £ P l » el mismo A. sea x y x0 e T y |x - x0| < A. Pero T e S y. por tanto, x, x0 c 5 y |x - x „| < A. Entonces |/(x ) - /(x 0)| < c-

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -4 8 I

. .

P ru e b e q u e si / es u n ifo rm em en te c o n tin u a so b re o y c e s una co n s

ta n te . en to n ces c f es u n ifo rm em en te c o n tin u a so b re S.

S o lu c ió n .

Sea c > 0 dado S i c - 0. entonces c f es constante sobre S y |(c/X x ) - <o/Kx)| - 0 para

|/(x| - /{.x0)| <

- Ic | |/(x) - /(xo)| < |c|. - f- - t Po r consiguiente, c f es uniformemente continua sobre S.

P r o b l e m a 1 -4 9

S i / y g son u n ifo rm em en te c o n tin u a s so b re S , en to n ces / + g es

u n ifo rm em en te c o n tin u a so b re S.

S o lu c ió n .

Sea t > 0 dado. Entonces y

> 0. Com o f es uniformemente continua sobre S. existe un 6,

tal que cuando x. x0 6 S y |x — x0| < d ,. entonces |/(x) - /(x 0)| < y . Com o g es uniformemente conti nuasobre S, existe un A , > 0 tal que cuando x, x „ e S y |x - x| < 6 ¡ , entonces |p(x> -

fffx0)| < A,.

Tome a A = min (d ,. d ,l Entonces, si x. x0 e S y |x - x 0f < A, « tiene que x. x0 e S. |x - x „| < A, y |x - x0| < d ,; por tanto. |/(x| - /(x 0|| < y < if+ 9 * * ) ~ f +

y lg<x) - g(x0í | < y . Entonces

íK * o )l £ |/(x) - / (x 0)| + \g(x) -

* x 0)| < y + y

- c

Nena E l producto de funciones uniformemente continuas no es uniformemente continua. Po r ejemplo, /(x | - x y t»(x) = x ; /(x )g (x ) - x 1. que no es uniformemente continua sobre R

P r o b le m a 1 50 i ^

M u e s tre q u e f [ x ) = x 2 no es u n ifo rm em en te c o n tin u a so b re R.

M u e s tr e q u e la f u n c ió n x 1 e s u n if o r m e m e n te c o n t i n u a s o b r e ] 0 ,2 [ .

A X IO M A D€ P L E N IT U D . C O N T IN U I D A D U N IF O R M E

a) Vam os a demostrar por reducción a l absurdo que x 1 no es uniformemente continua so bre R Suponga que para c > 0 existe un 6 > 0 ta l que para todo x t R

S o lu c ió n ,

l/ W * / (*o )l - I* + * 0I I* - x0| < c cuando |x - x0 | < c Ahora tome a x - - j y x 0 Entonces |/(x) - / (x .)| - (x + x0l|x “ * o l - ( ¿ x + - y ) y

2x y -

’4

= *+ —

“ t

Esta contradicción muestra que la hipótesis no es verdadera, y. por tanto, / no es uniformemente con tinua sobre R. b ) Sea e > 0. Se quiere determ inar un 6 > 0 tal que para todo x e J0 .2 J y para lodo x0 e Jx — ó. + ¿ [ n ] 0 . 2[ . Ix 1 - x ¿| - |x + x0||x - x „| < c

E n este caso, como x y x0 pertenecen a JO .2 (. |x + x0| no se puede hacer arbilrariam cnic grande. Enton ces suponemos que se puede hallar un ó. S i x, x „ pertenecen a l intervalo J0 .2 [. entonces |x | < 2. |x0| < Z y |x 2 - x ¿| - |x x -f

x0 l |x - x«| < 4 |x - x0|. A si. si ó - ^ para todo x c J0 . 2[ y para todo x0 e ]x - 6.

r» J 0. 2 f ; Ix* - x¿| < 4 |x — Xol "

■ t Entonces / es uniformemente continua sobre d inter

valo J0 .2 (. (V ea Frg. 1-4.)

P r o b l e m a 1-51

M u e s tre q u e la so b re e l in te rv a lo ] 0 .2 [.

S o lu c ió n . xo e ] x - ó .x

fu n d ó n

f [ x ) = \/x n o es u n ifo rm em en te co n tin u a

Sea r. > 0 Queremos ver si existe o no un 6 > 0 ta l que para todo x * J 0 , 2( + « H n j0 .2 I ;|i- - - i.| -

parato

Com o l/x es continua sobre ]0 .2 [. para cada x de ]0 .2 [ existe un ó(x) > 0 tal que si x0

x + «Xx)[ rs J0 . 2f . entonces I —---- i- I - J- *° ~ ^ < c. I x x0 | xx0 Sin embargo, a medida que x se hace más pequeño se dehe elegir a <Mx) más pequeño (vea Fig. 1-5). Ahora, supongamos que / es uniformemente continua sobre J0 .2 [. Entonces para cada c > 0 existe un ó > 0 tal

que para todo x e J 0 . 2 [ . y todo r 0 c Jx

- S. x + ó [ r i J0. 2[ .

Tom e x e j o . - ¿ Jr v J0 .2 ( y x , t J0. 2[ tal que y

J -~ —y — | -

< *•

< |x - x .| < S.

Para aseguramos de que existe tal número suponemos que ó < I. Entonces.

á/2 -- — > . xx. ó .,

E sto co ntradice la hipótesis original y. por consiguiente. / n o es uniform em ente continua sobre J0 .2 [.

A X IO M A D i P L E N IT U D

C O N T IN U I D A O

U N IF O R M E

P r o b l e m a 1 -5 2

M u e s tre que s i / es c o n tin u a so b re e l in te rv a lo c e rra d o [a , h ], en to n ces / e s u n ifo rm e m e n te c o n tin u a so b re [a . /»].

S o lu c ió n . Sea e > 0. Querem os m ostrar que existe un ó > 0 la l que para lodo x e [u . b ] y lodo x 0 » J y - «I. x + á[/-> [ci. f { x ) - /(x 0>| < c. Com o / es continua sobre [a , 6 ], para cada x c [u . h] ex ilie un número positivo, que lo representamos por ófx) para hacer énfasis en su dependencia de x la l que cuando x0 e ]x - óix). x + «Xx)[ n [u . fcj. |/|x) - f(x 0)\ < Se puede pensar en tom ar a A com o d in í ¡á<x): x e [u . 6 ] ) . S in embargo, este número no sirve, puesto que el extremo inferior puede ser 0. L o que haremos es emplear d teorema de H eine-Bord para obtener un conjunto finilo de números p o sitito vy tomar a 6 com o d m inim o dem ento de este conjunto Sea /[x . Ó4x>] d intervalo Jx - ¿(x ). x + ó (x )[ e f j x

J =

Jx —

x +

F.I conjunto de intervalos abiertos J I | y . ^ y- J : x c [u .6 ] | recubre a [ti,6 ]. Entonces, por el teorema de H cinc-Borel. existe una fam ilia finita | / |.v4. Sea A e l m inim o de los números ^

< A ♦

- 1.2.

n j que recubre a [u .6 ].

. k - 1 .2 ..... n Entonces & es positivo. Ahora tome dos puntos

x . x0 en [a .h ] tales que |x - x0 | < ó Com o J / |x 4: — J * 1 ) para algún

: k - I. 2

* - I . 2.a | recubre a [a .h ].

Tam bién |x0 - x4| = |x0 - x ♦ x

x * / |x 4;

- x ,| á |xc - x| ♦ |x -

Ü ¿(x .K Entonces x y x0 están en /[x4; á(x ,)J y . por tanto. |/(x) - /(x 4)| <

| y

|/(x 0) -

- / U .H < -y Entonces </|x) - /|x0>| - |/|x) - / Jx .) + /|x4) - /fx 0)l í l/ U ) - /(x.H ♦ |/(x ,) - /(x 0N < <T

+ 2* " A si. para cualquier c > 0 . hemos m ostrado que existe un A > 0 tal que para todo x e [a , ó ], Ufx) - /(x 0)| < * cuando x0 € ]x - A. x •* ó [ r> [a . 6 ]

P r o b l e m a 1 -5 3

P ru e b e

que

fu n c ió n

f [ x ) = ax

b es

u n ifo rm em en te

c o n tin u a

so b re R . S o lu c ió n . Suponga que u # 0 . S i t > 0 se quiere h allar un número positivo A tal que para todo par de números reales x , y x a. |x , - x 2| < A im plique que |/ (x ,) - / (x ,)| < c. Com o / (x ,) - / (x 2) - (« x , + />) — (u X j + h¡ — ax , — ax ¡. |x , - X j| < 6

|x , - x 2||u | < t

¿Cóm o debe ser ó para que |x , - x ,| sea m enor que u)a\ cuando |x , - x 4| es menor que 61 E l número ó puede ser cualquier número entre 0 y </|<iL incluyendo a c/l<4 Se puede tomar por ó a c'|u | o c 2 |u L * 3|u|. o c u a lq u ie r núm ero p o s itiv o m enor o ig u a l a cAa\. S i tom am os a ó - c / i"l. entonces la im p licació n | x , - x , | < A • |/ (x ,) - f [ x j )| < * es equivalente a | x , - x 2| < A es uniformemente continua sobre R

P r o b le m a

1 54

•

|u| |x , - x 2| < c Po r un to . /

fcjueS|re q UC c | p o lin o m io 2 x 2 — 3x + 5 es u n ifo rm em en te c o n tin u o

so b re e l in te rv a lo [ - 3 , 6 ] ,

S o lu c ió n . -

Sean x , . x 2 c [- 3 .6 ]. A hora, / (x ,) - /(x 2>| - |(2 xf - 3x, + 5) - <2x í - 3 x , + 5)| «

|2 x { - 2 x ] - 3 x , + 3x2| -

12fx, - x 2)(x| + x 2) - 3<x, - x 2)|

| (x , - x2H 2x, ♦ 2x2 - 3)| -

- I* i - x2 | | 2x , + 2x 2 - 3| < c Según la desigualdad triangular, tenemos que |2x , + 2x a - 3| ¿ £ 2 | x , | + 2 | x 2 | + 3 S 2 - 6 + 2 -6 -» 3 - 2 7 . ¿C óm o debe ser |x , - x 2! para que 2 7|x , - x 2| sea menor que e l S i |X| - x 21 < t/27. entonces 2 7|x , - x 2| < c E n otra» palabras, hemos mostrado que |/ (x ,| - / (* jH < t cuando ó =

es decir, la función considerada es uniformemente continua.

x»|<

A X IO M A O E P L E N IT U D

P r o b le m a

1 55

M u e s tre

C O N T IN U I D A D U N IF O R M E

|a fu n d ó n f [ x ) ■ |x | es u n ifo rm em en te c o n tin u a so b re

to d o in te rv a lo /. Se quiere hallar una función A r) la l que para lodo número positivo c y lodo x, y x , en /, 1*1 - X jl < ¿fe ) » l U i l - l* j | | < cSabem os que ||x ,| - |x ,|| <. |x , - x ,| y. por tanto. A d se puede elegir como la función idéntica At» - c, puesto que |x | X j| < c -► | |x ,| - |x ,| | S |x , - x ,| < c.

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 -5 6

M u e s tre q u e la fu n ció n f [ x ) - l/ x es u n ifo rm em en te c o n tin u a en to d o in te rv a lo d e la form a [ 17. + < x [ co n 17 u n n ú m e ro p o s itiv o .

S o lu c ió n .

l>ado un número positivo c se quiere hallar un 6 tal que

|x , - xa| < ¿ Com o para x , 2 17 y Xa * 17.

)

1 *• £

x ,x 2

S i se elige a Ó - »yac se verifica que

x ,x *

1*1 ¿ Xi i . r\

-j----- rj- I < A es decir, la función es uniformemente continua x, x, |

sobre los intervalos de la forma [»j, + x

P r o b l e m a 1 -5 7

P ru e b e q u e la fu n ció n J x

es u n ifo rm e m e n te c o n tin u a so b re e l in

te rv a lo [ 0 . + « [ .

S o lu c ió n .

S i c es un número arbitrario y positivo se quiere hallar un ó la l que si x , y x ¡ son números no

negativos, | x, - x ,| < ¿

N/T, - y/xt

< c.

Vam os a m ostrar que |x , - x2| < e*

1,/xj -

m ostrar que se verifica la desigualdad |N/¿7 -

t Para establecer esta

desiguuldnd

vamos a

*/\x, — x2|.

Sea a m min [ J x „ y / x l ) , b = max { ^ fx], ,/ x ¡ ¡ . entonces com o %/x es estrictam ente crecien te en [ 0 . + » [ , o1

min ( X | . X j } y b ! = max ¡ x , . * , ) . Com o /x es estrictamente creciente, (ó - u )‘ £ h‘ - u2.

Entonces |x , - x ,| < t x ^ yj\xt - x ,| < c ■*

- x * ¡| < c

Esto muestra que la (unción es uniformemente continua sobre [ 0. + x [ .

P r o b l e m a 1 -5 8

M u e s tre q u e L i fu n ció n f [ x ) *

n o es

u n ifo rm em en te co n tin u a

so b re ] 0 . + c c [.

S o lu c ió n .

En este caso hay que elegir puntos lo suficientemente cercanos para que sus imágenes estén

m uy separadas. Sea f ■ I y á > 0 . Para hallar x , y x , en este caso se puede tom ar a X j ■ x , + y . Com o la desigualdad |x , - x ,| < 6 está garantizada, la desigualdad |/ (x ,) - / (x ,)| £ r. lom a la forma

| * í - ( * . ♦ j )* | • |x «á + x | * E l problema dc hallar un número positivo x , para que ( I) vea verdadera se puede remplazar por d problema m ás sim ple dc hallar x , ta l que x ,ó ¿ I . P o r tanto, definimos 1 x , y x , com o x , = - i, x , • -y ♦ consiguiente. » , y x , t ] 0 . ♦ x [ y |x , - x ,| < 6 y |/fx ,| - / (x ,|| ;* I.

y . por

A X IO M A O E P L E N IT U D . C O N T IN U ID A O U N IF O R M E

P r o b l e m a 1 -5 9

P ru e b e que la fu n ció n f [ x ) = sen c o n iin u a so b re e l in te rv a lo ] 0 . 1] .

l/x , x * 0 n o es u n ifo rm cm cn ic

E l grata de la función revela que hay una dificultad en el origen. Debido a que los valores de la función oscilan entre I y — I. parece que se puedan encontrar puntos arbitrariam ente cercanos de tal manera que los valores de la función estén separados por una distancia igual a 2. Sea c = 2 S i n es un entero positivo

S o lu c ió n .

lo suficientemente grande y si x , = -%-- —r—r— . x t —

-------—r-r— . entonces la desigualdad |/(x ,) —

F ^ F " "F U — / (x j)| ¡> í se convierte en sen ^2n + y j x

- sen ^2n —

Jx | = sen *—

sen

y J • 2 2 2 , ver

dadera para todo n positivo. S i & es un número positivo, la desigualdad |x , - x ,| < ó está garantizada por un valor de n lo suficientemente grande, puesto que |x , - x ,| S x , + x . < 2 x , < -pr— f¿n Ahora podemos asegurar que |x , — xa| < & si

5 á => n ¿

I +

- ----- — . (n - iw

. Com o existen enteros posi

tivos mayores o iguales a I + - ^ se puede obtener un valor especifico de n: in f j m : m e R *

I +

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S 1 . Verifique que:

a ) 1.42 in f { x : x 1 > 2 y x > 0 ¡. b )2 = sup { x : x ‘ < 4 y x > 0 }. c ) - 3 = sup |x : x ‘ > 9 y x < 0 }.

2 . Sea S elconjunto de los números irracionales ¿Cuáles son in f S y sup S ?

en [ 0. 1). M uestre que S no tiene máximo ni mínimo.

M uestre que si c = sup S. entonces para cualquier r > 0 existe un x e S tal que 0 S c — x < c. A s i si / es un intervalo abierto que contiene a c, existe un $ e S ta l que x e /.

H alle el sup e in f de los siguientes conjuntos. ¿Tienen los conjuntos elementos máximo y m inim o?: a)

iI —

n entero positivo j ;

¿>)

n entero positivo | .

jn+ < —

Resp.: a ) sup = I. in f = 0 . no tiene ni máximo ni mínimo, elemento máximo o minimo.

N o tiene sup, in f = 0 . no tiene

Construya un conjunto de números racionales que tenga a yj% como su sup. Verifique que sup S = y/3.

Desarrolle un procedimiento para obtener una aproxim ación decimal de la raiz cúbica positiva de un número real positivo.

Muestre que entre dos números reales distintos hay una infinidad de números irracionales.

M uestre que si existe un número real positivo A i tal que para cadax y x0 de S.|/|x ) - /(x0)| £ M |x - x0L entonces / es uniformemente continua sobre S.

M uestre que si / y g son funciones uniformemente continuas sobre un conjunto S. entonces / + g es uniformemente continua sobre S.

10.

Muestre que las siguientes funciones son uniformemente continuas en los intervalos indicados y halle 5 en términos de c. a) 5x — 7 . R ;

b) 7 x + 4 . R ;

IA * + 3 fcC 2.+ oo[;

g) i ± i . . R * ;

Resp.; a ) S m ^ i h) ó -

á) S -

4 *•

c) x J + 2x - 4 .[ 2 .5 ] ;

h) J y

di 3x* -

x + 5 . [ —2 . 1 ] ;

e) l / x . ] 3 . + o c [ ;

. [< > .+ *[.

; c) ó - - f e ; d ) 6 =

; e) ó = 9 t. f ) 6 — 25c; g ) ó = - £ C;

A X IO M A D E P I E N I T U O

11.

M uestre que las siguientes funciones no son uniformemente continuas sobre d intervalo especificado. H alle valores explícitos de x , y x ¡ para un 6 > 0 arb itrario y c - I. a)

1/x*, ] 0 . 2j ;

¡jjx .p .4 }:

R esp.: a ) X j •» m in (^ 3 .0 ). x , = d)

12.

C O N T I N U I D A D U N IF O R M E

x1 + x R * ;

;

x \R \

b ) x ¡ - m in { l . ¿ } , x , -

; c) x, -

x , - -y + - j;

x , = ^ r . x J - -3J ,

l x '.O S x S I M uestre que la función definida por / (x ) - < es uniformemente continua sobre el intervalo [0 ,2 ], | 5 - 4* . < , S 2

13. Em plee algunos de los teoremas dem ostrados en los problem as para m ostrar que las siguientes funciones son uniform emente continuas sobre los intervalos especificados a)

2x> + 4x + 7 + ( 3 x -S K / 5 . [O .I O ] ;

ó) x* + (5xJ - 8x -

ll)|xU [ - 2 . 3 ] :

c ) (x 2 + 4 } +

[ I . 8 [ ; d) (x + yfi)> - 7(x* - IxD + l /x . ( Z 5 J . 14.

Sean A y B conjuntos de números reales no vacíos y mas orados Pruebe que si a e 4 » b € B •> b £ 0. sup ( A B ) - sup A ■sup B.

a^ O y

Indicación. Sea x — sup A y y ■ sup B, y suponga que s u p M B ) ■ xy. Sea c ■* x y — s u p M B i Entonces. 3a c A tal que a > x - c/2y y 3h e B tal que h > y - cj2x. Pero esto significa que ah > x y - c.

15. Sean A y B conjuntos no vacíos de números reales minorados. S i a f ^ ' • a i 0 y h e B < » h > 0 . in f {A B ) - in f A •in í B. Indicación.

Sea x - in f A, y - in f B. y suponga que in f {A B ) > xy. Entonces x > 0 y y > 0. Sea

c = m in fin í {A B I - xy. 3x>]. Entonces 3a e A tal que a < x + e/3y y 3/> # B tal que b < y + t¡ 3x.

C A P ITU LO

L a in te g ra l d efin id a E l co n cep to d e «in te g ra l d efin id a» d e una fu n ció n so b re un in te rva lo de núm eros reales está relacio n ad a co n una g ran varie d ad d e p ro b lem as d e geom etría, estad ística, p ro b ab ilid ad es, física, eco n o m ía, e tc E s uno de lo s d o s co n cep tos fundam entales d e l c á lc u lo ; e l o tro es e l de d e riva d a. D efin ició n I .

U n c o n ju n to fin ito d e puntos P -

(x©. x ,

x .} es una p artició n d e [a . b]

si. y so lam ente s i, a = x 0 < x , £ x 2 £ . . . £ x . = b. a-x« i ■

x, ”

x, -

x, ”

* = *. i

F ig u ra 2-1

Ejem plo 2-1.

S i P , = { 0,1 /7 , 1 /3.1} y P 2 -

{0 , 1/7,1/4,3/4, 1 } son p articio n e s d e l in te rva lo

[0 .1 ]. A dem ás P , u P 2 = {0 ,1 /7 ,1 /4 ,1 /3 .3 /4 , 1} y P , n P , = {0 .1 / 7 .1 } son tam bién p ar ticio n es de [ 0 . 1] . A so ciad a a toda p a rtició n se tien e e l co n ju n to de n su b in tcrvalo s cerrad o s [x 0. x , ] , [ x , . x 2] ..... [x « - 1. x j co n n + 1 p u n to s de su b d ivisió n , □ in te rv a lo [ x , _ , . x , ] se lla m a el i-ésim o su b in tcrvalo . L a lo n g itu d del i-ésim o su b in te rv a lo se defin e com o A x , • x , - x ,_ O b se rve q u e em pleand o la pro p ied ad «telescó p ica» de la sum a se obtiene E ^ x , = E * x< - x , _ , ) = x . - x 0 = b - a 1*1 1*1 E n o tras p alab ras, la sum a de las lo n g itu des d e lo d o s lo s su b in tervalo s de una p a rtic ió n es igual a la lon g itu d d e l in te rv a lo dado. D efin ició n 2.

I-a n o rm a d e una p a rtició n se designa p o r ||P|| y se defin e com o | | P ¡ | - m ax {A x „ I -

Ejem plo 2-2.

1/2. 1/4} -

1 .2

E n e l E je m p lo 2-1. ||P , || - m ax (1/7.4/21.2/3} = 2 /3; ||P 2 || = m ax (1/7. 3/28.

1/2; ||P , v P J = 5/12; | | P , n P ,| | = 6/7. O b serve que ||P , u P , l| *

m in (||P ,IL

II /M I). D efin ició n 3.

Su p o n g a q u e / e s aco ta d a so b re [a , 6 ] y / : [a . 6 ] -* R y P = {x , } " . 0 u n a p artició n

de [a . b ]. Sea m, - in f (/ |x );x € [ x , . | , x f] } M , » su p t/ |x ); x € [ X | . | . X | ] }

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

Se define la sum a su p erio r de / p a r a P . representada p o r S (f. P ). por S t fP l- É M fo - x ,.,) i* i L a sum a in fe rio r d e/ p ara P se representa p o r /(/, P ) y se defin e com o M ñ - i m f a i -1

Aforo. E l hecho de que / sea aco tad a sob re [a , A] garan tiza que m, y M , estén siem pre definidos. L o s núm eros m, y M , se d efin iero n com o extrem o su p e rio r e in fe rio r, en vez de m áxim o y m ínim o, d eb id o a que n o se supuso q u e / fu e ra continua. Ejem plo 2-3.

S e a / u n a fu n ció n d efin id a p o r/ lx ) = x + 2. x.

- I ¿ x á 0 0 < x < 1

+ I.

1S X S 4

F ,« “ " M

Se a [a . A ] = [ - 1 . 4 ] y P - { - 1 . 0 . I . 3 .4 }./ e s a c o la d a sob re [ - 1 .4 ] p orq ue 0 < f lx ) £ 3 . V x e [ - 1 . 4 ] . S i M , » s u p / l[x ,.x ( . , ] ) y m, = in f/ l[x n x ,_ , ] ) . en to n ce s: a ) p a r a [ x „ .x ,J. m , - I y M , - 2 ; b ) p ara [ x , . x , ] . m ¡ = 0 y - 2 ; c ) p a ra [x 2. x , ] . m , = 2 y M , = v i + I ;

</) p a ra [ x , . x 4] , m4 - ^ 3 + I y M * - 3.

O b serve que 0 $

$ M , S 3 p ara / =• 1. 2 . 3 .4 .

Se a J\ x ) = x 2 p a ra x e [ 0 . 1] y P = {0 ; 0 2 ; 0 .5 ; 0 .8 : 1 }. / e s aco tad a so b re [0,1 ] porque 0 £ / [x ) £ 1. S i M , = su p „ x ,]) y m, - in f ( [ x , _ „ x j ) . en to n ces: a ) m , = 0.

Ejem plo 2-4.

M , = 0 .0 4 : A) m x = 0.04 y A/ 2 - 0 .2 5 ; c ) m , = 0.25 y M , - 0 .6 4 ; d ) m4 - 0.64 y M 4 = I. O b serve q u c 0 S m , ¿ Ejem plo 2-5.

Af S

I . p ara i = 1. 2 . 3.4.

S i / [x ) - x 2 sobre [0 . 1] y P = {0 ; 0 .4 ; 0 .5 ; 0 .7 ; 1 } . h a lle /(/. P ).

Solu ción . /(/. P ) . ¿

M ,A x , - 0 (0.4 -

0 ) + 0,16(0.5 - 0 .4 ) + 0.25 (0.7 - 0.5) + 0.49< I - 0.7) -

«= 0.213.

Figu ra 2-3

Figura 2-4

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

L a F ig u ra 2-3 m uestra q u e la s sum as in ferio res co rresp o n d en a l á re a d e lo s rectán gu lo s ra ya d o s p o r d e b a jo d e l g rafo d e / y lo s re ctá n g u lo s q u e so bresalen p o r e n cim a d e l g rafo d e / co rresp o n d en a las su m as su p erio res. N o ta . E l su b ín d ice i d ice q u e M , y m, son ex trem os su p e rio r e in fe rio r d e la re s tricc ió n d e / a l s u b in te rv a lo i-ésin io d e la p a rtic ió n . L o s va lo re s M t y m¡ so n lo s p u n to s ex trem o s d e la derech a

y la iz q u ie rd a d e l in te rv a lo m ás p eq u eñ o q u e co n tie n e la im ag en d e la re stricció n d e/ a l in te rva lo [x 4_ , . x j . I-a F ig u ra 2-4 m u estra e l m o d elo g e o m étrico d e M , A x , y m ,A x r co m o las áreas de lo s rectá n g u lo s d e base A x ( y a ltu ra s y m¡. A d em ás, la F ig u ra 2-4 m u estra e l té rm in o a que d a lu g a r e l in te rv a lo [ x , _ x j en /(/", P ). q u e está rep resen tad o p o r e l re ctá n g u lo P R E A . E l in te rv a lo [ x , _ , . x ,] d a lu g a r a d o s térm in o s en ¡( f , P ) o rig in a d o s a l in te rc a la r u, y están rep resen tad os p o r las áre as d e lo s rectá n g u lo s P Q B A y Q RD C. O b se rve q u e la sum a d e las á re a s d e esto s d o s ú ltim o s rectán g u lo s es m a y o r q u e e l á re a de P R E A y la d ife re n cia está rep resen tad a p o r e l á re a del re ctá n g u lo B E D C . E s to su g iere q u e si

u n a p a rtic ió n se re fin a , la s sum as in fe rio re s co rresp o n d ien te s a l re fin a m ie n to son m ayo res o ig u ales a la sum a in fe rio r de la p a rtic ió n o rig in a l. D e fin ic ió n 4 .

D a d a s d o s p a rticio n e s, P , y P 2. d e [a , />]. se d ice q u e P , es u n re fin a m ie n to d e P 2

si P , => P 2. Ejem p lo 2-6.

L a s p a rticio n e s P , = {0 , 1/4, 1/2 , 2/3, 1} y P 2 =» {0 , 1/3, 1/2» 3/4, 1} so n m ás finas

que la p a rtic ió n P = {0 , 1/2» 1 } p o rq u e P e P 2, P e P , . P , no es un re fin a m ie n to d e P 2. L a u n ió n P , u P 2 = {0 , 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1 } es m ás fin a q u e P , y P 2. S e a / u n a fu n ció n a c o ta d a so b re [u , b ] y P * el c o n ju n to d e to d as la s p a rticio n e s posibles d e [a , ó ]. Sea L * = {/(/, P ) : P e P * } e l c o n ju n to d e to d as la s p o sib les su m as in fe rio re s d e / so b re [a . b ] y U * = { S { f . P ) : P t P ' J e I c o n ju n to d e to d as las p o sib les sum as su p erio res d e / sob re [t i. ó ]. D e fin ic ió n 5 . S e a / u n a fu n ció n aco ta d a so b re [a , b] y P * e l c o n ju n to d e to d as la s p articio n es d e [a , ¿»], S e define

(* * / ■= su p {/ (/ , P ) : P e P * } r J

/ =

in f {S (/ P ):

P e P * }

£/ s e lla m a in te g ra l in fe rio r d e / , d e a a b. c J / . in te g ra l su p e rio r d e / . d e a a h. ex trem a d a so b re [a , ó ], J / e J / ex isten e i> j> D e fin ic ió n 6.

C o m o / es

Se d ice q u e u n a fu n ció n / d e fin id a so b re [a , ¿>] es in te g ra b le según R ic m a n n si /

es a c o ta d a so b re [o , b ] c J

/ = J

S i / es in te g ra b le so b re

[a , 6 ] ,

la in te g ra l d e fin id a de

R ic m a n n d e / d esd e a a b se rep resen ta p o r j* / y se defin e p o r T a m b ié n se e scrib e j* / = j * f [ x ) d x . L a v a ria b le « x » es a p a re n te y , p o r ta n to , se puede rep resen tar p o r c u a lq u ie r sím b o lo . L a in te g ra l J * / rep re se n ta e l á re a co m p re n d id a e n tre e l g ra fo d e la fu n ció n y e l in te rv a lo [a , b] so b re e l eje X , cu a n d o f [ x ) ¿

0 p a ra to d o x d e [a . fc].

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

P r o p i e d a d e s d e l a i n t e g r a l d e f in id a

'• t '- L ' +

|* /

A d iliv id a d co n respecto a l in te rv a lo d e in teg ració n . g . L in c a lid a d co n respecto a l in tegrand o .

y*| ¿

Si m S / S

í /

j* / =

\f\. A co ta c ió n m o d u lar. M .íx é

[ o . ó ] => m {b -

a) S J

M (b -

a ).

r ; f ( x - c). In v a ria n c ia p o r traslació n . E x p a n sió n o co n tra cció n del in te rv a lo d e in teg ra ció n .

J * * / ( y ) dx

PROBLEM AS R ESU ELTO S

s 1

- x + 3,

P r o b l e m a 2-1

x2 + I,

S i/(x ) =

3. y P =

- I 5 x < 0 0 ¿x < I I < x <; 2

{ - 1 . - 1 / 2 . 0 , 1/2. 3/2. 2 } h a lle /(/, P ).

S o lu c ió n .

/(/. P ) =

m.Ax, -

3 ^ [ -0.5

( — 1)]

01 i i ! - 1- 1/2 1/2 1 3/2 2

+ l[0 - (- 0 .5 )] + 1(0.5 — 0) -F 1.25(1.5 - 0.5) + 3(2 - 1,5) - 5.5.

F ig u ra 2-5

P r o b l e m a 2 -2

S i f [ x ) = x 2 so b re [0 .1 ] y P = { 0 ; 0 .5 ; 0 .7 ; 0 .9 ; I } . h a lle / (/ . P ) y

ser. p ). S o lu c ió n , ft)

S (f. P ) = ¿ M ,Ax, = 0.25(0.5 - 0) + 0.49(0.7 - 0.5) + 0,81(0.9 - 0.7) + 1(1 - 0.9) - 0.485. i -1

/(/. P ) « ¿ m £x, = 0(0.5 - 0 ) + 0.25(0,7 - 0.5) + 0.49(0.9 - 0 .7) + 0.81(1 - 0.9) - 0.229. i-1

P r o b l e m a 2 -3

S i f [ x ) = x + 3 so b re [0 .5 ] y P , = { 0 , 2 , 4 . 5 } . P , .

{0 . 1 ,2 , 3 . 4 . 5 } .

H a lle /(/, P .X S (f , P ,X l ( f , P 2\ S (/ . P 2). S o lu c ió n .

i /(/. P,> - X «■I

= - 3 (2 - 0) + 5(4 - 2 ) + 7(5 - 4) - 23.

S (/ , P , ) = ¿ Af,Ax, = 5(2 - 0) + 7(4 - 2) + 8(5 - 4) - 32. i-1 /</• P j ) -

i -1

S</. P ¡) = £

3(1 -

0) + 4(2 -

I ) -F 5( 3 -

2 ) + 6(4 - 3 ) + 7( 5 -

4 ) = 25.

M £ x ¡ “ 4(1 - 0 ) + 5(2 - I ) + 6(3 - 2) + 7(4 - 3) + 8(5 - 4) = 30.

Observe que /(/. P .) S ((/ . P * ) £ S(/. P 2) s 5 (/. P ,) con P , S P ,.

L A I N T E G R A L D E F IN ID A

P r o b l e m a 2 -4

|f l ^

y acotada y P = { x * } " - . ) una p a rtic ió n de [a , ó ].

M u e s tre q u e : a ) /(/. P ) £ S ( f , P ) ; S { J , P ) Z M (b - a).

¿>) m ^ / íx ) £ M so b re [a . ó ] :

m(6 - o ) ^ / (/ . P );

Las siguientes relaciones justifican la dem ostración:

S o lu c ió n . »)

m < m¿ £ A#, < M .

" ¡ A x ¡ s m<Ax, £

«o

•- 1

m Ax, S ¿

i- 1

rn(ft- a ) £ ¿

#•1

P r o b le m a 2 5 i

M ,A x , £ M A x , . <n(A x , S ¿

M ,Ax,

(- 1 m,Ax, 5 ¿

I- I

^ j

S ¿ M A x (.

i- i

M .Ax, S M (6 - a).

una funcj¿ n a c o ta d a y / : £ a , ó ] -* R y P 2 u n a p a rtic ió n m ás

fin a q u e P „ e n to n ce s /(/. P . ) S / (/ , P 2) y S ( f . P 2) <; S (/ . P , ) .

S o lu c ió n . >P ¡ “

!x* x

Considere el caso de la Figura 2-6 en que P 2 contiene un punto m is que P |. P , - {x 0. x , „ u, xr .... x . J.

Con a = x0 < x , < ... < X j _ , < u < Sea m¡ - in f {/ (x ): x ,_ , S x *; u } m/ = in f j/ (x ): i i S x S X j ).

x .}

x ¡ < ... < x . « b.

m A t. Entonces /(/. P . ) = ¿ m,Ax, e /(/, P 2) = m Ax, + m'Áu - x ._ ,) + m",{x. - u) + ¿ »-i i- i i-j.i Para m ostrar que /(/, P ,) £ /(/, P 2) es suficiente m ostrar que m,Ax, S m /u - x ^ .,) + m j'fxj — uL El conjunto {/ (x ) :x ,_ , £ x £ x ,} contiene lodos las números de {/ (x ) :x ¡ _ , 5 x £ u } y posiblemente algunos más pequeños; por tanto, in f del prim er conjunto es menor o igual a in f del segundo conjunto. A si. mt <. m] y m¡ £ m'j.

m/x, - u')",) ¿ Z ,

^ j ^ m¿X>~x¿-»>* m^u" X>*') +raí'(^ “ u)

P o r tanto, " i)A x> = m fu - x ,_ ,) + m ¿x , - u ) s m’/ u - x , ,) + m j'(x, - u). Esto demuestra el caso /</. P ,) 5 /(/, P 2j.L a demostración de S</.P , ) £ S (/ . P 2) es análoga. E l caso general se puede deducir fácilm ente L a partición P ¡ se puede obtener de P , agregando un punto cada vez; en otras palabras, existe una sucesión de particiones P , = Q i% Q ¡, Q , Q , » P 2 ta l que Q j. t contiene un punto más que Qr Entonces /(/. P . ) = /(/. Q t) 5 /</- Q ,) £ -

5 /</. Q ,) = /(/. P 2)

y « / . p ,i -

* »/.<m

•. . .

F ig u ra 2-6

* M / . y . i - .s»/.<?»

L A I N T E G R A L D E F IN ID A

P r o b l e m a 2-6 E n to n c e s ! { / , P ,) ¿ S o lu c ió n .

S e a n P , y P 2 p a rticio n e s d e [o , ¿>] y / u n a fu n ció n a c o ta d a so b re [a , 6 ]. S ( f , P 2).

Com o P , k j P ¡ es un refinamiento de P , y P ¡ . por el problema anterior. /</. P . ) S /(/. P , w P x) S S (/ . P , u P , ) s S</. P 2). entonces /</. P , ) S S (/ . P ,)

P r o b l e m a 2 -7

S e a /<x) = x J M u e s tre q u e /(/*. P , ) £ S (/ . P 2\ S o lu c ió n .

so b re [ 0 . 1] .

P , - { 0 . 1/3. 2 /3 } y

1 / P . ) - 0 2( 1/3) + (l/3 )2(l/3 ) + (2/3)2(l/3 ) = 5/27 < 5/8 = (l/ 2 )2(l/ 2 ) + ( l) 2^ ) - S i/ . P 2).

P r o b le m a 2 -6

/ (x ) = ^

(J]

y p^ _

{ 0 ; 0 , 5 ; l } y P 2 = { 0 ; 0 . 3 ; 0 .7 ; 1

p a rtic io n e s d e [ 0 . 1 ]. Ilu s tre la d e sig u ald ad /(/, P ,) <, / (/ , P , w P 2) í S o lu c ió n .

P 2 = {0 . 1/2 . I }.

S (/ . P , v.; P 2) í

S (/ . P 2).

/(/. P ,) - 0(0.5 - 0) + 0,25(1 - 0.5) - 0,125. P . u P , - ( 0; 0.3; 0.5; 0.7; 1 }. / (/ .P , w P 2) = 0(0,3 - 0 ) + 0.09(0.5 - 0.3) + + 0.25(0.7 - 0.5) + 0.49(1 - 0.7) - 0.215

S i/ . P , u P , ) = 0.09(0.3 - 0 ) + 0,25(0.5 - 0 3 ) + 0,49(0.7 - 0.5) + 1(1 - 0.7) - 0,475. S i/ . P 2) - 0.09(0.3 - 0 ) + 0.49(0.7 - 0.3) + 1(1 - 0.7) = 0.523.

Entonces, /</. P . ) £ /(/. P , v P 2) *5 S i/ . P , v P 2>

P r o b le m a 2 9

S i/ . P 2>.

D é un e je m p lo d e u n a fu n ció n p a ra la c u a l la in te g ra l in fe rio r sea

ig u a l a la in te g ra l su p erio r,

b ) S i/ (x ) = I * irra c io n a l f I . x ra c io n a l

M u e s tre q u e f / n o es ig u a l a f / J 0 J 0

so b re e l in te rv a lo [ 0. 1] .

S o lu c ió n ,

Suponga que/Tx) - 3 para lodo x de [a . 6 J. S iP — { x ^ x , ...... x .} es una partición de [a . H],

entonces m, = M , = 3. P o r tanto, /(/. P ) = ¿ 3(x, - x , _ ,) = 3(6 - a ) y S { J. P ) = ¿ 3(x, - x , _ ,) = 3(6 - a\ i> i i-i En este caso, todas las sumas superiores son iguales a las sumas inferiores y sup { ¡i/ , P )} = in f {Si/, P )} - 3(6 - a ) S i P ■ |x 0. x ,. ...,x .) es una partición, entonces m, = 0 porque existe un número irracional en 6) fx ,.x ,_ ,] y M , ® 1 porque existe un número racional en [x „ x 4_ ,]. Po r lanto. '</. ñ -

i -1

Oíx, — X |_ ,) = 0 y S (/ . P ) = ¿ l(x , - x . . , ) = 6 - n i -1

E n este caso, sup ¡ /(/. P )} * in f |S (/ , P )} porque 0 * 1 . Esto muestra que a l área com prendida entre el grafó de la función y el intervalo [a . 6] puede asignársele un valo r comprendido entre 0 y 6 - a.

P r o b le m a 2 1 0 .

j ^ r -(erj {)

j n tCg ra b ilid a d .)

S i / es a c o ta d a so b re [a . 6 ] , en to n ces /

es in te g ra b le so b re [a , 6 ] s i, y so lam en te si. p a ra to d o c > 0 ex iste u n a p a rtic ió n P de [a . 6 ] ta l q u e |S (/ . P ) - ¡ i f , P )| < c. Suponga que para todo t > 0 existe una partición P con S if . P ) - /(/. P ) < r„ Como in f {S i/ . P,)> S S {/ . P ) y sup {/ (/ . P,)> £ /(/, P \ entonces in f {S i/ , P , ) } - sup {/ (/ . P , ) J < a Com o esta últim a relación es verdadera para todo e > 0. entonces sup {/(/. P , ) } inf { Si/. P , ) } ; por definición, enton ces/es integrable. L a demostración de la afirm ación recíproca es sim ilar.

S o lu c ió n .

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

S i / es integrable, entonces sup {/ (/ , P ) } = inf {S |/ . P»}. Esto quiere decir que para cada c > 0 existen particiones P , y P ¡ con S {f , P , ) - /(/, P ¡ ) < r. Sea P una partición que contiene a P , y P 2. Entonces, por d problema anterior. S(/. P ) S S (/ . P 2) ; /(/. P ) > H f. P,>; por consiguiente. S [f . P ) - H f. P ) <; S (f . P t ) - H f. P . ) < e.

P r o p ie d a d e s d e la in t e g r a l P r o b l e m a 2-11

S e a c e [a , b ]. S i / es in te g ra b le so b re [a . />]. en to n ces / es in teg rab le so b re [a , c ] y so b re [c . bj y . recip ro cam en te, si f e s in te g ra b le so b re [a , c j. y [c , 6 ] . en to n ces / es in te g ra b le so b re [a . /»]. S i / e s in te g ra b le so b re [a . b ], e n to n ce s

/ =

Suponga que/es integrable sobre [a . b]. S i c > 0 existe una partición P = [a = x0.x , x. = hJ dc [a . ó ] tal que S (/ . P ) - /(/. P ) < c. Suponga que c - x , para algún / [D c otra manera, sea Q la partición que contiene a x0. x , . .... x . y c. entonces Q contiene a P y. por tanto. S< / , 0 - H f . 0 5 « / . P ) - /(/. P ) < t ] Sea P •» { x0. x .......x ,} una partición dc [o .c ] y P ' = { x ,..... x .} una partición dc [c.fe ]. Com o H f. p ) - /</. n + H f, P " ) y S</. P ) = S(/. P ) + S</. P 'L entonces [S (/ . F ) - /(/. P*)] + [S (/ . P " ) - /(/. P ') ] - S (f . P ) - l ( f , P ) < e. Com o cada término d d paréntesis no es negativo, cada uno es m enor que r. Esto muestra que / es inte

S o lu c ió n .

grable sobre [a . c ] y [c. b ]. Observe tam bién que H f. P ) £ t / S S (/ . F ) c /(/. P ') £ f / S » / . P ) ; por

tanto. /(/, P ) £ l / + 1 / S S (/ . P \ Com o esto es verdadero para cualquier partición P. demuestra que

M Ahora M suponga / : que / es integrable sobre [a , c ] y sobre [c, ó ]. S i r. > 0 existe una partición F

dc [a . c] y

una partición P " dc [c, b ] la l que S|/ . F ) - H f. F ) < y

y S (/ . P 'J - /(/. P '| < y

S i P es una partición que contiene todos los puntos de F y P " . entonces /(/, P ) = /(/, P ) + /(/, P ") y S (/ . P ) - S if, F ) + S(/, P ) ; por tanto. S (/ . P ) - /(/. P ) = [S (/ . F ) - H f. F ) ] + [S (/ . F ) - H f. P " )] < c.

P r o b l e m a 2 -1 2

--------- — -------- 1 S i / y g so n in teg rab les so b re so b re [a , b ] e £ ( / + g ) = J / + j

[a . b ] . en to n ces f

+ g es in teg ra b le

S o lu c ió n . Sea P = {x o .x , x .} una partición de [o . 6]. Sea mt - in f { ( / + s X * ): * i- i á x á x , } ; m¡ - in í (/ (x ): x , _, S x S x J ; m " — in f (g fx ): x ,_ , S x S x ( ) y defina a Vf(, M ¡, M “ en forma sim ilar. + m ", pero si es verdad que m, ¿ m] + m " y M , S M ] + M 'i. P o r tanto, E n general no es verdad que m, = /(/. P ) + Ha •P ) £ '</ + 9. P ) y S</ + 9. P ) ¿ S {f , P ) + S(g, P>. A s i /(/. P ) + Hg, P ) < /(/+ a. P ) £ S (/ + g, P ) £ S(/. P ) » S|g. P ). Com o f y g son integrables existen particiones P y P " con S (/ . P ) - /(/. P » < y

y S {/ . P ) - /</. P ) < ±

S i P contiene a P y P 1, enton

ces S (/ . P ) + S(ff. P ) — [/ (/ , P J + Hg. P )] < r. y , por tanto. S (/ + g. P ) - H f + y, P ) < e. Esto demuestra que / + g es integrable sobre [a , 6 ]. Además, H f. P ) + Hg. P ) S H f + g. P ) s £ < / + g ) Z S { f + g, P ) ¿ S \ f, P ) + S {f . P ) H f . P ) + Hg. P ) 5

S « / . P) + % . P )

(I) (2)

Com o S {f . P ) — H f . p ) y S (?. P ) - Hg. P ) se pueden hacer tan pequeñas como se quiera, entonces S (/ . P ) + S(g, P ) - [/ (/ , P ) + /(o. P )1 se puede hacer tan pequeña como se quiera; luego de ( I >y ( 2) tenemos

L A I N T E G R A L D E F IN ID A

P r o b l e m a 2 -1 3

Si /

y g so n fu n cio n e s in te g ra b le s so b re

c a d a x e [ « , fe], e n to n ce s ^

S o lu c ió n .

[a , fe] y / (x ) ^ $ (x ) p ara

^ g.

Observe que para cualquier partición P = {x 0. x

x ,J y j =

sabemos que

/(x ) í fítx ) V x e [ x j - i. x J. Entonces sup f i [ x j . , . x t] ) 5 sup « rifo - |.* > ])e in f/ ( [* ;- | . * J ) s in fg ([x ; . , . x j X Asi, m //) S m/g) y M / / ) 5 M /ff). Entonces S (/ . P ) £ S(g. P ) c /(/, P ) £ l(g . P ) para cada partición P. E n to n c e s j / = sup {/</. P ) } <; sup { l(g . P ) } .

P r o b l e m a 2 -1 4

S o lu c ió n .

j / £ j

S i / e s in te g ra b le so b re [o . 6 ] , e n to n ce s |/ | es in te g ra b le so b re [a , fe] y

Definam os las funciones / ' y f

p o e / ' W - j { ¡ W ¡ j ^ j * J y / '( * ) - ! °(x ) ^

$ 0°-

E s evidente que f = f * + / " y l/l = / * — / ” . Vam os a ver prim ero que / integrable sobre [a . fe] implica que / * es integrable sobre [o . fe]. Com o / * (x ) £ 0 y / * (x ) £ / (x ) para cada x. entonces M f J * | - M / J ) > 0 y m X / *l & m ,(J) o M / J " ) - 0 y m f j * ) - 0 . E n cualquier caso. M / / * ) - m / J ') £ M ^ / ) — ” f/ .A Entonces, por cada partición P de [a . fe], S (/ ’ . P ) - / < / * . P ) á S (/ . P> - / ( / . P> y. según d criterio de integrabilidad. / * es integrable sobre [a . b ) . Según el Problem a 2-12, la diferencia de dos funciones integrables es integrable. S i / es integrable sobre [a . fe], entonces / * es integrable sobre [a , 6 ] y. por consiguiente, / = / — / * es integrable sobre [u , fe]. P o r tanto. |/| ■« / * - /~ es integrable sobre [a , 6]. C om o - / (x ) £ |/(x )| y / (x )

|/(x )| para cada x de [o./»], entonces

-£/ =

f <, j

l/ l

^ / S ^ l/ l. P o r tanto, l í / l s í >

P r o b l e m a 2 -1 5

Suponga

q u e / es in te g ra b le so b re

[a . fe] y q u e

m £ / <. M

p ara

to d o x e [ a . fe]. E n to n c e s m(fe - a ) < J / <, M (b - a ).

S o lu c ióón. n.

Si [a. fe]. S i fe(x) fefx) = = my m c e fo. fe], fe es integrable y fe(x) <, /(x ). Vx e [a , fe], entonces, por el Proble

m a 2-13. j*fe S £ // .. Pero Pero £ £ fe * = =* j mdx mdx = m(fe — a ); por tanto, se tiene la prim era desigualdad. L a segunda desigualdad se obtiene en form a análoga.

P r o b l e m a 2 -1 6 S o lu c ió n .

S e a / (x ) = x ; m u estre q u e e s in te g ra b le so b re [o , fe], a £ 0.

Considere e l intervalo [0 . fe] y sea P = {x 0, x ,

x „} una partición de [0 . fe]. Entonces

m, = x ,_ ,. M , = x ¡; p o r tanto.

a H / 'P ) = £ I- I S (/ . P ) =

- *<-!> = * 0<*l - *o ) + ... +

- * .- |)

i X, (X , - X ,- ,) = X ,(x , - x0) + x ,(x , - X ,) + ... + x jx . - x „ . ,) i -1

Para sim plificar e l problem a considere la partición P . en n subintervalos iguales de longitud fe/n. Entonces x 0 = 0 . x , = fe/n. X j = 2A /n..... x, = ife/n,... P o r tanto.

/</.M - ¿

-¿ j ^ j

| -t e - » £

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

Empleando U fórmula I + 2 + 3 + ... + n -

<i(n + IV Z se obtiene /(/, P J - (<l-— U ü

ÍL Z _ L . 4L

+ ‘h . b Mu + I) . b2 n + I . b2 M/. P .I - 2“ *f-i> “ A T T — ^ — *T i-1 i» i n •> í n n i 2 b* n x . S(f. P J = /(/. P.L es decir, fe s integrable, e l x dx SU . P J - /</ P J - ■=■ ' í • T Figuras 2-7 y 2-8.)

o, o.

v* _/_

IVea

£■

P r o b l e m a 2 -1 7

Pruebe que f ( x ) = x 2 es integrable sobre [o , 6 ]

si a ¿ 0, Calcule

su integral. S o lu c ió n . S e a P - { a - x ,,.* , x . - 6 } una partición de [u . b ] en 2* subintervalos iguales Entonces t i Ax, - (b - dV2“. como f es monótona creciente sobre [a . hJ. entonces m, - x ? _ , y M , = xf. Po r tanto, S t / .P ) - /</.P> =

t x f ó x . - £ x *_,óx, - £ <x? - x ? _ .* x , a £ (x f - x f . , ) ^ - í - <- * « •1 i- i i- i * - ^

¿ i« f - * ? .,) - «■) .- i ~ S i n - <x. 1/2" — 0 y S(/. P ) - /(/. P>« 0 . esto muestra que / es integrable. Ahora vamos a obtener su integral definida calculando el lim ite de las sumas superiores. Sea h - (b - a \ V =* Ax, - h y x, - a + Ih. Po r tanto, « / . P» - £

x2Ax, - £ (a + /b)'b - £ (a ‘h + 2ab2i + b»/1) - a*h 1 I + 2ab2 I f + b ’ I f2 -

♦ ab2W

.) + * * * + f - l '+

(■ + ^ r ) ( 2 + ^ ¿ )

- a ^b - a) ♦ u(b - a)2 + { I +

Se emplearon las fórmulas I ♦ 2 + ... + n » n(n ♦ IV 2 y I* + 2* + ... + n* Ahora, lim S(/. P ) = a 2(b - a) + ufó - a)2 + •-« oc. porque 1/2* -• 0 si n

P r o b l e m a 2 -1 8

**"

(3a2 + 3<4b-u) + (b - a )¡ ) -

•>

Pruebe q u e :

£ x 3 «/x = ¿»4/4 ;

£ x 4 d x = b 5/ 5 ;

£ * '< / * = b > ' 'H p + I )

+ i ) ..

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

S o lu c ió n ,

Sea P -

(x o .x ,

,</.n- i (X,-y *.-

x .} una partición con x, = íb/n; entonces

-i «■- ■ > ’ £ •¡¡ -£ s/ -4

Análogamente. S(/. P» - -jjr ¿

>J -

jjj-

]

+ -y- + y j .

S(/. P ) * /</. P ) se pueden hacer tan próximas a A4/"4 eligiendo a n suficientemente grande, y. por tanto, S(/« P ) - /(/. P ) se puede hacer lan pequeño com o se quiera, eligiendo a n suficientemente grande. Esto muestra que / es integrable. /(/. P ) S A4/4 S S (/ . PL y com o la diferencia es tan pequeña com o se quiera, este número existe, es único, y es ^ x s dx. P o r tanto. ^ x* dx >- A4/4. b)

Para este caso se tiene que / (/.P ) -

4- <n T_l>

Í!r _ !L jy

v-n-[t 4 4 - ¥ ] S(/, P ) e /(/, P ) se pueden hacer lan próximas a A5/5 como « quiera, eligiendo a n suficientemente grande. Po r tanto. ^ x* dx •> bs/5. c)

• (n + I P * * Para este caso hay que demostrar por inducción que Y kp = . — + términos que conticP +

»-1

nen potencias de n. menores que p + I ; X JK

= p"+ T +

+ Bn '~ * + ^

* + * " ¿ r •*« "

+ — + —r + .... que se puede hacer tan próxima a l/(p + I) como se quiera para n suficientemente grande. n n Ahora, /(/, P ) = ^ i- r T ¿

y se pueden hacer tan próximas a r» ff’ i A '* ’/(p + I ) com o se quiera, eligiendo a n suficientemente grande. Entonces. J xr dx = —— y

P r o b l e m a 2 -1 9 S o lu c ió n .

* '1 y S f f . P ) = y

í ¿

* '1

M u e s tre q u e sen x es in teg ra b le so b re [a , b \

Sea P una partición de [a . A] en 2* subintcrvalos iguales. S i x‘ y x " están en d mismo subinter-

valo, |x' — x "| <. B y a => |sen x ' - sen x "| <.

Entonces, si sen .í, = max sen x y sen x, = min

sen x en f x . _ x , l . se obtiene 0 £ S(scn x, P ) - /(sen x. P ) = ¿ (sen X, - sen x,)Ax, <. Y i- i i

h Z a A x, = *■

= ^ T . a Y Ax< = —- =¿a— . Esta diferencia se puede hacer tan pequeña com o se quiera para n suficicntc* i * mente grande. Po r tanto, sen x es integrable.

P r o b l e m a 2 -2 0

E m p le a n d o e l teo rem a d e m o n o to n ía (P ro b le m a 2-14). h a lle lo s p o li n o m io s d e T a y lo r p a ra sen x y eos x. S o lu c ió n .

Com o c o sx S I ■* í c t á x á x S i I *» sen r i 5 x| =» sen r á r. Jo

Com o eos i ¿ I — x 2/2

f* sen x dx 5 1 x Jo

eos x dx ¿ J

Com o sen x £ x — x J /3 í =- |^ scn x dx £ ^ P o r tanto, sen x — x - -y,- +

—

r x2 1' i2 —eos x I S -i I -> I — eos f < i—,

|l -

y - J dx ■» sen í £ / - -yp

|x - - yy

J dx => I

- c o s í ^ y , - -y,-.

... + ... y eos x = I - y ,- + * , - ...

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

funcjones ,jen cn ^

. ^

P r o b l e m a 2 -2 1

p ro p ie d a d de q u e to d a su m a in fe rio r

es ig u a l a (o d a sum a su p e rio r? b) ¿A lg u n a s sum as su p erio res son ig u ales a alg u n as sum as in fe rio re s? c ) ¿ Q u ¿ fu ncion es c o n tin u a s tien en la p ro p ied ad d e que to d as la s sum as in ferio res so n ig u a le s?

S o lu c ió n , a) S i /(/, P ) = S if , P ) para una partición P. entonces cada m, = M ,; por tanto, / escons tante en cada [x ,_ ,. x ,]. Com o estos intervalos se superponen./debe ser constante sobre [o. ó]. b) S i /</. P ) - S if. P ) y P contiene a P , y P ¡. entonces /(/, P t) s /(/. P ) s S if, P ) <1 S if . P , ) = = /(/. P ,). entonces /(/, P ) = S (/ , P). Po r a) se sigue que / e s constante sobre [a . ó]. c) Solam ente las funciones constantes. Porque si / no es constante sobre [a . h ] y si m es el valor minimo de/sobre [a . fc], com o /(x ) > m p a r a algún x y por ser/continua se puede elegir una partición P •• {x ,* .... x .} de fa . b ] tal que /(x ) > m sobre algún intervalo [ x , _ x j . entonces m, > m P o r tanto, /(/. P ) > mib — a i S i Q es la partición Q - { a. fc}. entonces /(/. Q) = mib — a).

P r o b l e m a 2 -2 2

Pru e b e q u e

Ja»c

/ (x - c).

Sea P - (x 0. x .} una partición de [a , ó ] la cual da lugar a la partición P = {x 0 + c ..... x . + c ) de [a + c, b + c ] y reciprocamente. S i H,x) = / (x — c), enton ces mt = in f {/ |x ); x ,_ , S i S x j ■ in f {h (x ): + cS 5 x x, + e } y algo análogo para M t; por tanto. /(/, P ) = /(*. n y S if, P ) = S(h, n . S i / es integrable para todo t > 0 se tiene que S if, P ) - /(/. P J < c para cada partición P . entonces h es integrable puesto que S{h. F ) - ¡{h , F ) < c. Además,

S o lu c ió n .

x,_,

j y *

sup {/ (/ . P ) } = sup i l(h , P ) J =

P r o b l e m a 2 -2 3

S o lu c ió n .

/(x - c)

P ru e b e q u e ^ -j-dr +

Toda partición P = { r„

= J^ - ~ d r .

r . J de [1 .a ] da lugar a la partición P

- { bi0

b¡m) de [a ,b ]

y reciprocamente. Ahora, b in f | -j-: l (_ , £ i ¿ i, | = in f J y : ¿»r,_, £ x ¿ bi, Se tiene que /(/. P ) - ¿ £

nflór, - b i,.,) = ¿

bm^t, - i , . , ) = ¿

= /(/. p ); por tanto.

y d i - sup { /(/. P ) J = sup { /(/. P ) J = j'- j- A .

P r o b l e m a 2 -2 4

S o lu c ió n .

P ru e b e q u e J

Sea P = {x 0

f { t ) d t = c J f ( c t ) dt.

x .J una partición de [a . ó ] y F

* {ex ,* ....e x ,}, entonces

m, - in f {/(e x ) : x ,_ | á x S x ,} * in f {/ (x ) : e x ,., í x S f i , ) - m\

por tanto, si hix) - /(ex), entonces r/(/. P ) = c ¿

m^x, + x<_, ) = ¿

m,<cx, - e x ,.,) • /(/. F )

Po r tanto.

/ (x )d x = sup { /(/, P ) ¡ = e sup l(h. P ) - e j* / (c x )d x

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

P r o b l e m a 2 -2 5

S i */ es una fu n ció n m o n ó to n a so b re [o , 6 ) . entonces / es in tegrable

so b re [o , b ].

S o lu c ió n . Suponga / crccienlc sobre [a . b ) Sea P = { x„. .... x .J una partición de [o. b ] en n submtcrvalos. cada uno de longitud (ft - a|/a Para cada J » 1 .2 ..... n se tiene que M ,(/> - / (* ,): m fj) - / ( x ,. Asi. /(/. P> - /<x0> i- Z _ ! +

str.f»)-

A r - 2 . + ... +

. [ j {Xo) + ... + /(x#. ()] *_= _£.

/ÍXj, b „- a

+... +

!/<*•>+ -

+ / M

-N r -

A l restar las expresiones se obtiene: X J . P ) - l / . P ) - t / ( * J - / (* „ )]

Sea c > 0 y como n > ^

porque x „ - a y x . - b

' J L

. entonces J f l S

Ili*

< t P o f la n la s< /.P ,-

- /(/. P ) < c Esto muestra que / es integrable.

P r o b l e m a 2 -2 6

Pnrui e.b e q u e

1 fI * /r - -r c ~ a 1 F 1 ; ----b - a J. b - a c - a j .

f ' /r , /r +. v* - c r 1 1 b - a b - c j /

s i/ e s co n tin u a so b re [a , ó ] y a ¿ c S 6 .

S o lu c ió n .

b —a

P r o b l e m a 2 -2 7

D e fin ició n . U n a fu n ció n es scccio n alm cn te m o n ó to n a so b re f« . b ] s i. y so lam en te si. existe una p a rtició n d e [a . ó ] ta l q u e / s e a m o n ó to n a en ca d a in te rv a lo ab ie rto

] * j - 1» x iÜ "

S o lu c ió n .

sen — , x / 0 x 0 .x - 0

1........«• V e a s i la fu n ció n f[x )

es in tegrable.

L a función / tiene los valores que indica la siguiente tabla para x dad o:

1/2

1/3

1/4

1/5

...

1/100

...

2/3

1/2

2/5

1/3

/(X )

...

-1

2 /T

-1

2J9

La función / es monótona sobre [2/3. 2 ] y scccionalmcnte monólonu sobre [1/4. 2 ] y en cualquier intervalo cerrado que no contenga a 0 . l a función / n o es monótona sobre [1/4, 2J y no es scccionalmcnte monótona sobre [ 0 . 2]. Cualquier intervalo cerrado que contenga a 0 contiene infinitos puntos l/n o — l/n. y / es cre ciente sobre [l/fn + I). l/n]. Entonces/es decreciente sobre [l/(n + 2 L l/n + I ] y creciente sobre [ I/(n -f 3k l/fn + 2 )J. etc Entonces / no es scccionalmcnte monótona sobre [ a I ]. Com o cualquier entorno de cero, al cual no pertenece cero, contiene números x para los cuales f(x ) - I. y números x para los cuales /(x ) - - 1 porque / (x ) - I para x - 2/1. 2/5. 2/9..... y f(x ) - - 1 para x - 2/3. 2/7.2/ 11. .... y todo enlom o de cero contiene infinidad de puntos de ambos tipos, entonces / no es continua en 0 Po r consiguiente / no es scccionalmcnte monótona ni continua sobre [ 0 . 1] : a pesar de esta / es integrable sobre [ 0 . 1] Esto no lo podemos concluir por ninguno de los problemas anteriores

P r o b le m a 2 28

gj y ^ co n tin u a sobre [a . b ], en to n ces / es in teg rab le sob re [o . b ].

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

S o lu c ió n . Sea/continua sobre [o . b ] y sea P - ( x * .x „ ..- x .) una partición de [o . b ] en n subm iervak* iguale» y de longitud (fe - tjV»l C om o/es continua en cada intervalo [ * ,_ , . Sé, = sup /( [ x , . x,]| - fíx ) para algún xj c [ x i . x j . Esto es debido a que s una función tiene un valor máximo / ( x j en un intervalo /. entonces /(x «) - sup de /(/» Análogamente, a i, - m í f [ [ x , . x j ) = /<xy~) para algún x ¡ 6 [x ,_ x j l)e lo anterior. S (/ . P ) - K f .P ) = ¿ , i • T . I/C*>) - /(*> )](*, - X j . , ) ; j = I

M /x , - x , . ,) - ¿

m /x, - x , . ,) - ¿ [M , - « J f X j - x ,_ ,) • • * Com o / es uniformemente continua sobre [a ,b j. para todo

i > 0 existe 6, > 0 tal que |fix ’) - /(x“ )| (b - a)¡6. Com o x). x'¡ e f x , . x ,) y n. Por tonto, para lal n y ó te tiene que |x} - x/| 0 y e r* ' - -r <b - a l - c"; por tamo. / es integrable. o —o

P r o b l e m a 2 -2 9 b)

Se a f [ x ) = x/(x -

¿ E s in teg rab le f [ x )=

I).

entonces Sf/. P ) - l( f . P ) < r(b - a ) -

¿ P o r qué n o es in tegrable

sobre [0 .2 ]?

* * * * * c l in te rv a lo [ - 5 . 1 5 ] ?

o ) / es continua sobre [ 0. 2 ^ excepto en x - I ; / no es integrable sobre [ 0. 2] porque no e» acotada en este intervalo. b) J lie s integrable sobre [ —5 .15J. puesto que es continua en este intervalo.

S o lu c ió n ,

P r o b l e m a 2 -3 0

(T eo rem a d e l v a lo r m edio p ara in tegrales.)

S i / es co n tin u a sobre

[a . b ]. entonces existe x e [a , b ] ta l q u e J / (x ) dx ■ / (x )(b - a).

S i a - b. el teorema es verdadero porque lodos los términos son cero. S i a < b. sea m - /x ,| y M - / (x ,)d minimo y máximo d e / sobre [a .b ]. respectivamente Com o / e s continua, los valore» extremos

S o lu c ió n .

existen. Entonces /(x.K b - o| £ 1 / £ /(x,Mb - a ) y como b - a > 0. entonces/(x,) S

Po r ser / continua, según cl T .V .M (teorema del valor mcdioL existe x X entre x x ,, y x x ,, tal que

P r o b l e m a 2-31 a G'(x) ■

(P rim e r teorem a fundam ental.)

i /(**>

f/ ■-• , /fx^

S i / es co n tin u a sobre [a , b ], defina

J / ( i) d f p a ra to d o x e [a . b ]. E n to n ce s G '(x ) - / (x ), V x

e [a . b ].

p *i p S o lu c ió n . Sea b > 0 . S i x y x + b están en [o. b j. entonces j /(») dt - J f[t)d ¡ + j

/ (t) di. Esto se

f(l)d l. Según cl T .V .M para integrales ^

/(») J l - b/(i)

puede escribir com o G(x + b ) - C (x) - £

para algún 7 e [x . x ♦ b ]. A si. para algún 7 € [x . x ♦ b ], - * — ^ análogo si b < 0. halle que

= /(?> Po r un razonamiento

- /(7) para algún 7 c [x . x + b ) Com o / o continua en x.

Iim / (l| - / (x l Po r tanto. s i < > 0 . 3 ¿ > 0 u l que 1/(1) - /(x )| < c a |f - x| < S. Ahora, si 0 < |b| < ó. entonces como 7 está entre x y x + b . | 7 - x | < ó y |/(7) — /(x )| < t E s decir. V i > 0. 30 > 0 tal que | -G<x— |im <& ..+ * ) -< ÍM *-o n

= / (x ); por tamo. G'(x) - /(x).

« y |x)j < £ H 0 < |b| < ó. que es la definición de

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

P r o b l e m a 2 -3 2

(Seg u n d o

teorem a

fundam ental.)

Sea /

in tegrable

so b re

[o , fe] y

F ( x ) = / (x X V x e [a , b] . entonces J * / *» F ( 6) - F (a ). (R e g la d c B a rro w .)

S o lu c ió n .

Sea P = {x 0. x ,

x .) una partición dc fu. b ]. Además.

F(ft)-F(a> = F(x.> - F(x 0>- [F (x ,)- F(x 0)] + [F (x a>- F(x,>] + ... + [F (x f)~ F (x ,_ ,) ] + ... + [F (x .» - F (x ._ ,)J Com o F es derivable en cada in te rv a lo fx ,.x ^ J. es continua también. Aplicando el T .V .M . a F en cada interva lo [ k „ x j. vemos que para c ad a; - 1 .2 ..... n existen números xt c [x ,_ ,. X j] tales que F(x ,l - F (x ,_ ,) = F {x f lx l - x ) ,) - /(xyMx, - x ,., ) porque F ’(x) - /(x). Para cada j, m, S /(x () £ M , porque /(x0) e / ([x ,.,. x j ) cuyo extremo inferior es m, y su extremo superior M r Asi. ¿

m fx, - x ,_ ,) i

i f C x f a - x ,.,) S ¿

M fiXj - Xj _, ) o

/(/, P ) S £

F(xy) - F (x y _,) 5

á S [f. P ) que equivale a /(/, F ) S F(ó> - F(a¡ £ S í/ . PX que es verdadera para todas las particiones P. F(b ) - F(u) es un extremo superior del conjunto /• dc todas las sumas inferiores de / sobre (o . b ] y un extremo inferior dd conjunto S* de todas las sumas superiores de/sobre [o, b]. Po r definición de infimum y supremum dc un conjunto in í /• s F(b ) - F (a ) £ sup S*. que equivale a £ / <; F(¿») - F(u ) s j y

P r o b l e m a 2 -3 3 entonces ~

S o lu c ió n .

y.por tanto. £ /

- F(¿») - F(u).

S i / es integrable so b re [a , 6 ] y si existe F ta l que F ' = f , V x e [a , 6 ],

j / (O d i = / (x ). V x e [ a , />). Sea C (x) - J f ( i) d i definida para Vx c [a . fc]. E l teorema fundamental aplicado a l intervalo

[o. x ] dice que G(x) - J /(») di - F(x ) - F(a). Com o

[F (x ) - F (a )J -

P r o b l e m a 2 -3 4

F(x ) - /(xX entonces ^

H a lle

( / _ , )'(0 )

j / (f) dt > /(xX

si / (x ) = j " sen (sen t) d i.

H a lle F ( x ) si

F { x ) = Jto > * I S o lu c ió n ,

( / " ) '« » -

I = « n [sen ( 1) ] "

F(x ) - x £ / (f ) di, por tanto, F (x ) - x /(x) + £ / ( » di.

P r o b l e m a 2 -3 5 ,

. . r Pru e b e que s i f e s co n tin u a , entonces

£ / (u )(x - u )d u - £

S o lu c ió n .

S i F (x ) = J*/(u «x - u) du =

J x/(u) du - J

[ £ / ( f ) d t j du

u/(u) du. entonces F (x ) - fx/(x) + J/ (u )d u ]-

- x/(xX p o r el problem a a n te rio r es igual a ^ /(u )du . P o r tanto, existe un núm ero c ta l que J /(uXx - u( du - £ ^ x - 0.

/ (t)d / J du + c. para todo x. c = 0, porque los otros dos términos son 0 para

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

P r o b le m a 2 - 3 6 ^

e| p ro k|ema a n i er¡o r para m ostrar que

£ /< u )(x “

S o lu c ió n .

“ )* d u = 2 £ [ £ ( ! >

* ) * ■

] * ■

Aplicando el problema anterior a <jiu) = /(uXx — u). se obtiene £/<uXx - u)2 du = £ [/(uXx - u)>x - u) du = £

[ £ / ( t X x - /) di ] Ju

Po r tanto, debemos m ostrar que

£ B > * - H * - l£ [E (S > * H * ' Para la primera integral de la derecha se tiene que £ /dX- - Ddi - £ [ £

/ d ) d f jd u ,

( 1)

Además, x — t = (u — ¡) + (x — u ); por tanto, ( 2)

£ / d X x - I) d i = £ / (* X “ - 0 * + £ / d X * L a segunda integral de b derecha se puede escribir £/dXx

U )d t = ( X -

(3)

U) £ / ( r ) dt

D e ( l ) , (2) y (3) se obtiene

£[£*> ■

■£[£(£/(,)‘" (■'“■Idu*£[<*■ J / (r) di se obtiene

Aplicando el problema anterior a g{u) -

í b - - M * ■£ [£ (£> -,)*,']*‘ P r o b l e m a 2 -3 7

. . . .

0 . x irra c io n a l *

\/q, x ra c io n a l y p/q irred u cib le .

M u e s tre q u e / e s in te g ra b le so b re [ 0 , 1] y q u e

S o lu c ió n .

J / =0 .

Sea c > 0 ; elija a n tal que I /n < y . Sea x0 < x , < ... < x , puntos racionales p/q en [ 0 . 1]

con q < n . E lija una partición P - {/«,. 11 una longitud total < dos los i de I, 2

M tal que los intervalos [ f q u e

contienen algún xt tengan

Sobre cada uno de estos intervalos se tiene que M , <, l/n < y . I , representa lo

n para los cuales [ f , _ f j contiene algún xy y sea l 2 los demás i de 1.2 ,.... n. C o m o / 5 I

se tiene que S</. P ) - £

M.<l, -

+ £

M (l, - I,- » ) AS I 2 (I, ~ h - i) + y ici,

S (í, •*/,

+ y •1 - c

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

P r o b l e m a 2 -3 8

H a lk d o s fu ncion es in te g ra b le s / y g y ta l q u e g o f n o lo sea. 0

S o lu c ió n .

S e / (x , -

)

. si x es irracional

| „ . „ , . , , n it r t d K Íh lc > H ‘ l 0. ^ '

0. x - 0 K x j t 0 . entonces

si x es irracional

1 1. si x es racional

P r o b l e m a 2 -3 9

(Se g u n d o teo rem a d e l v a lo r m ed io , g en eralizad o p a ra in tegrales.) S u p o n g a q u e / es co n tin u a so b re [o , fe] y g in teg ra b le y no n e g a tiva so b re [a , fe]. Pru e b e que J Í 9 = f ie ) J

S o lu c ió n . m

g p a ra alg ú n c e [a , b ].

De la desigualdad ra S / S M , entonces mg <, g f < M g porque g no es negativa. Entonces

$ 9s

c e [o, fe].

.-.

£ 9 p°r ,an,° ' í

9 í . y para aigún 9 000 m 5 9 s

su p o n g a q u e / y g son in teg rab les so b re [o , fe],

P r o b l e m a 2 -4 0

** =

para algún

£ / * - /(c)

Pru e b e la d esigualdad

d e C au ch y- Sch w artz. b ) S i se ve rific a la ig u ald ad , ¿e s ve rd ad q u e g = Á f p a ra a lg ú n ¿ ? ¿Q u é sucede si / y g so n c o n tin u a s? c ) M u e s tre q u e la d esig u ald ad d e S c h w a rtz es un caso esp e cial d e la d esig u ald ad d e C au ch y-

Sch w artz . d)

P ru e b e q u e | j * / j

<, | J

f 2j . ¿S ig u e sien d o verd ad ero e l resu ltad o si 0 y 1 se rem

p lazan p o r a y fe?

S o lu c ió n ,

S i g = 0 la igualdad se verifica De otra manera

fe) S i / - g, excepto en un punto, la desigualdad se verifica, aunque / - /g es falsa. S i / y g son con tinuas y g / 0 . entonces / — Xg para algún i . porque si f * /g para todo á. entonces ° < £ (/ - >g)x = £ / * - V- £ / f f + * £ g2 Com o ( / - ¿g j* es continua y no negativa es positiva en algún punto. Esto im plica la desigualdad estricta. c)

Dado x ,

x „ y, y

i x<* ~ ñ ~ ~ 5 * S ~n y ., sean / y y definidas sobre [0 . 1] por / (x ) - < ( 0. x = I

y,‘ n S x S n . Entonces ( f g ~ - p ¿ Xtf, y f f 1 = - ip ¿ *<*• í 9¡ • ~ r ¿ J ? • Jo n i- i Jo " i Jo n i 0 .x = I P o r tanto. (£ x jr,)1 s (£ x fK T y f), que es la desigualdad de Schwartz. d)

para [o. fe]

Aplique la desigualdad de Cauchy-Schwartz a f y g{x) - I sobre ( 0 . I]. E l resultado anterior correcto ( j /)

“ “ >j /*•

L A I N T E G R A L D E F IN ID A

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S 1.

M uestre q u e:

<i) O í

b) 5 í

10;

Haciendo un grafo aproxim ado d e / (x ) - l/x sobre papel m ilim etrado.

1/2 ^ ^

u ) calcule £

una tabla de inversos. Subdivida [ 0. 1] en 10 subintervalos iguales y aproxim e:

H alle la derivada d e : ')

• r-

b) rw-J;

a) ^

f | x ,- £ l V 5 4 - i 5 F r

xi)3x*; b ) --------v —

f - sen* c) sen* r dt J + | £ sen* r di

j + pT~ — r j

Para las siguientes funciones si F (x ) - j^ / , ¿en qué puntos x es F*(x| - / (* )? H ay casos en

R esp.:

1.8 .

* | V 7 ’ * b ) *" 2 " jo 'l~T x '

F [x ) - f[x \ aunque / no rea continua, a ) / (x ) = 0 si x < I . / (x ) ■ I l i x es irracional, / (x ) » I q si x - p q a irredu cible: c | / (x ) = 0 si x £ 0 y f{x )

d' «*»— (£-(£-■ '*)*) + sen6

b) apro

Resp.:

a ) (sen*

;

em pleando la partición P = { I ; 1 2 5 ; 1.5; 1 .7 5 :2 : 2 2 5 ; 2 ¿ : J . 4. 5 .6 } y

xime analíticam ente £

Resp.

dx £ 1.

a ) Todos los x A I ; b ) algún entero natural n.

todos los x irracionales;

que

l ¡ b ) / (x ) = 0 si — l/^ l/x ] « « 2 0 .

todos los x de la forma l/n para

Em pleando d prim ero y segundo teorema fundam ental d d cálculo integral, halle las siguientes integrales: a)

R esp.;

J *2f x> ♦ 4 | d x ;

a ) 72;

bi £

« « 2 xdx;

-2;

8 14

c| £ d , Jc o s s i } d i.

;

d) £ * ' ’ ***;

*) £

J/ x 'd x

e) la integral no está definida

7 . M uestre que si / es continua sobre [a . 6 ] y / = (F* • g)g sobre [a . ft], entonces £ / - JV -

(

. r+ x 1

Indicación

f 1*

—- - j d x — \

Sea F (r) - £

g)g■= F [/ (b ) - F (* a ))]

--- .

Ji.-«

l > 0. Entonces D ,[F (I + x 1) ] -

P3™ ,<K,° x-

H alle d valo r m edio de las siguientes funciones sobre los intervalos dados: h ) cosx/2, [ - * . « ] ; c) / (x ) - x<l ♦ x 2f . [ - 1 . 1 ] ; dt eos2 x. [0 .2 * ];

a l / (x ) - x2: [- 1 .4 ]; e) / (0 ) - A 2 eos w0.

[0.2x/a >1

c) 0 ;

Resp.:

;

sec* x dx - J

b, 2 ;

10.

¿Q u é bay equivocado en la siguiente in tegración?: J

Oftg x ) - tg x | - 0 .

11.

Suponga que / es continua sobre J- c o . » [ y que g es derivable sobre R a)

M uestre que D , [ j ^ / J - p W Íp f O ] = [(/ • fftoTU). » « ] - » . « © [ .

Con la hipótesis adicional de que g’ es continua sobre J - o c . » [ ; muestre que £ (/ •

O to’ = £ " / . »

e ] - » , co [

-J-;

e) 0 .

L A IN T E G R A L D E F IN ID A

M u c t r c q u c ^ - j- r jr * - ^

13.

S i / es una función continua sobre un iniervalo /. muestre que para cada f t / , l f(x ) dx " 1

! ,

f -l / ( —x )d x - — 1

J -» /.

14.

Pruebe que 1 |/| d i = - = - * |x| para todo x real.

15.

U n a fundón es continua en todas partes y satisface la ecuación I / (f)d f + - i eos 2x para todo x. Calcule / ( ^ - ) y / '( - j ) -

16.

/ ( - x ) dx.

—

* *

+ x sen 2x +

« « P - / ( -J ) - y ; / ( J

) = 2 - «-

Existe una función / , definida y continua para todo x real, y que satisface la ecuación 1 f(t)d t =

y I*

t’ f i t ) di + —g— + - y

+ e, con c una constante. H alle la fórm ula cxplidta que da a / (x ) y el

va lo r de c.

R esp.: / (x ) = 2xM ; c - - - i.

r«17.

S in calcular la

18.

H alle /(2 ) si / es continua y satisface la fórm ula para todo x ^ 0 . J

integral calcule / '(x ) si / e s tá definida por la fórm ula / (x ) ■ ^ 2xl i t t ?

"i +

r* 3xJ0 m * rr

f ( i) di Resp.: / (2 ) = 1

19.

Em pleando el teorema de linealidad calcule: a ) ^ sen 4x eos 3x d x ; 6) ^ sen* 4x d x ; c) J Resp.:

a) 0;

eos* 4x d x

6) a ;

e) n.

20. A plique j | / j £ M (b — a) para m ostrar que para cualquier entero positivo n: •os" x dx | S h /i “•r — i - x f - w £!«-■* 21. Sea / (x ) =

l 0 si u <; x < r . Pruebe que / (x ) es integrable y que 1 / (x )d x = b - c . independiente { k si x = c I si c < x 5 b

del valo r le. 22.

Pruebe que si / es integrable y no negativa sobre [ a . />]. entonces | / 2 0.

23.

D e un ejemplo de dos funciones cuya suma sea integrable y que ninguna de las dos sea integrable. R e s p .:

L a fundón / (x ) =

j ^ ^ racional*' * 50 ° P u e s , a no son integrables. Pero la suma de las dos

funciones es cero y . por tanto, integrable. 24.

Pruebe que si / es continua y par sobre [ - o. til. entonces í / » í / í J- . Jo 2

25.

Verifique que

26.

Pruebe que si / es continua sobre [0 .1 ]. entonces í

x "(l - x r = \ x ^ l - x r

/(sen x ) «* í** /(eos x). °

eos" x = / con / la del Ejercicio 25.

27.

Pruebe que si J

28.

Pruebe que si / es periódica y continua e n ] —se. ce[ de periodo io. entonces ^ mero arbitrario.

29.

Pruebe que si / es continua en [ 0 . 1] , entonces ^ * / (sen x ) = ~ ^ /(sen x).

J / . a un nú

CAPITULO

Fu n cio n es d efin id as p o r una in te g ra l. Fu n ció n p r im itiv a y ap licacio n es. In te g ra le s in m ed iatas S i nos hacem os la p re g u n ta: ¿Q u é debem os saber c o n relació n a la función / definid a en el in te rva lo [o . ó ] p ara que / sea la d eriva d a de alg u n a función F d efin id a sobre [a . ó ]? , y si con sideram os la función j /W = 0

(- 1

i / (x ) = I

(O í x <

í * < 0 ) .

vem os que no es la d eriva d a d e ning un a función d e fin id a en e l in te rva lo [ - 1. 1] . A co n tin u ació n vam os a m o strar que si f e s una función co n tin u a sobre e l in te rva lo entonces existe una función F sobre [a,¿>] tal que F ( x ) » J[x ) p ara to d o x 6 [a .fe ]. E s d ecir, la co n tin u id ad so b re [o . b] es una co n d ició n suficiente p a ra que una función tenga d eriva d a sobre e l in te rva lo [a,/>]. S in em bargo, existen funciones q u e son co n tin u as y cu ya d erivad a n o es c o n tin u a P o r ejem plo, la función g (x ) = x 2 sen y , x *

S<0) = 0 E s to n o s d ice que la co n tin u id ad no es una co n d ició n necesaria. E l siguiente teorem a d ice que to da función co n tin u a sobre un in te rva lo ad m ite p rim itiv a T am b ién perm ite expresar integrales d e una función co n tin u a p o r m edio de una fu n ció n p ri m itiva que n o siem pre se conoce.

P r i m e r t e o r e m a f u n d a m e n t a l d e l c á l c u lo S i / es u n a función co n tin u a en e l in te rva lo cerrad o y aco tad o [ti,ó ] y la ap licació n f(x ) = f

f U ) <¡t, entonces es d criva b le en [a , 6] . A dem ás, p ara to d o x de [a , b ], se tiene

F '(x ) = m D em ostración.

E n efecto, para to d o x y x + h en [ a . ó ] : F (x + h ) - F (x ) = £ 46

" A l) d t. h * 0

F U N C I O N E S D E F IN ID A S P O R U N A IN T E G R A L

A p lic a n d o la fó rm u la de la m e d ia , e x is ie £ € [ x , x + h \ ta l que F (x + h ) C u a n d o h tie n d e a ce ro . { tien d e a x y . p o r co n sig u ien te.

F(x) -

h f\£ \ .

P o r ta n to . F '( x ) - f[x ). D e fin ició n .

S e a / u n a fu n ció n real d e fin id a sob re un in te rv a lo c u a lq u ie ra [a . 6 ] ( a < b \ S c d ice que la fu n ció n real F d e fin id a y d c riv a b lc so b re [a .ó ] es p rim itiv a d e / s i p a ra to d o x ta l q u e a < x < b se tie n e F ( x ) - /Ix ). Ejem p lo .

S o b re e l in te rv a lo J - o o . + <x>[ la fu n ció n F ( x )

x J e s p rim itiv a d e la fu n ció n

j [ x ) = 2x. p o rq u e F es d c riv a b lc so b re ]- a > . + c c [ y ve rific a ( x J )' - 2x.

L a d e fin ic ió n im p lic a que la p rim itiv a F es una fu n c ió n c o n tin u a so b re [u . ó ], puesto q u e es d c riv a b lc en cada u no d e sus puntos. N o ta .

E l sig u ien te teorem a n o s d ice q u e fu n cio n es d e te rm in an e l c o n ju n to d e fu ncion es p rim itiva s d e una fu n c ió n / q u e a d m ite u n a p rim itiv a . T eorem a.

S i/ a d m ite una p rim itiv a g en e l in te rv a lo [a .ó j. en to n ces / a d m ite la fa m ilia de p ri

m itiv a s g + h, sien d o k una co n stan te. D em ostración.

E n efecto, s i g es una p rim itiv a ó e f y k u n a co n sta n te re a l, entonces

to-nr-^-/ E n co n secu en cia, g ♦ k es u n a p rim itiv a d e / p a ra lo d o k c R p rim itiv a c u a lq u ie ra d e / en to n ces h' - g ' r*. (/, - g y = 0 ;

R e c íp ro c a m e n te si h es una

h - g - k

k u n a co n stan te. E n to n c e s to d a p rim itiv a d e / p e rte n e c e a la fa m ilia g + k { k e R ).

S e g u n d o t e o r e m a f u n d a m e n t a l d e l c á lc u lo S i / es u n a fu n ció n c o n tin u a sob re e l in te rv a lo c e rra d o y a c o ta d o [ ü . ó j y si f ( x ) = M ( < i S x á 6)

(3-1)

e n to n ce s i : f lx )d x - U b ) - 4*a>.

D em ostración.

S i F (x ) - J

f t ) d t. en to n ces, según e l p rim e r teo rem a fu n d a m en tal d e l cá lcu lo .

(3-2) D e (3 - l)y (3 - 2 ) vem os q u e F '( x ) = ¿ '( x ) p a ra to d o x de [o .ó ]. E n to n c e s, según e l teorem a a n te rio r. F ( x ) » ¿ ( x ) + C , ( a S x S H C una c o n s ta n te P o r ta n to . F ib ) - F ia ) - ( ¿ ( ó ) + C ] - [> (a ) + C ] - 4>ib) - 4>ia\ P e ro F (a ) —

f [ t ) d t m 0 . A s í. F {b ) — <t>(6 ) — 4>(a ). C o m o F ib ) ■

f i t ) dt. e l teo rem a que-

d a d em ostrad o . E ste teo rem a p e rm ite c a lc u la r la in te g ra l d e / s i se co n o ce u n a p rim iliv u <¡> d e /

F U N C I O N E S D E F IN ID A S P O R U N A IN T E G R A L

Ejem p lo s. T o d a s la s fu n cio n es ele m en ta les estu d ia d as a n te rio rm e n te d efin en p rim itiv a s d e las fu n cio n es d e riva d a s co rresp o n d ien tes. Se d an en la sig u ie n te la b ia :

F u n c ió n d e riva d a

In te rv a lo d e d e fin ició n

] -co . +co[ ] - ce , 0 [ y ]0 , + c o [

)

j m + 1

x— Xa * 1

- I)

o + 1

x-'

In 1x |

] - X ), + c c [

] - x . + x [

(f{a > 0 . a *

] - x , +x [

sen x

—eo s X

] - x , + x [

eo s X

sen x

] — co. 0 [ y ]0 . + c o [

](2 A -

x "(m 2 0 y en tero ) x "(m < — 1 y en tero ) x *(a re a l *

]0 . + c o [

F u n c ió n p rim itiv a

In a

1 + tg 2 x = 1/co s2 X

l)y.(2 k + l ) y [

tg x cotgx

- ( 1 + c o tg 2 x ) = - l/ se n 2x

]k n .(k + 1 )ji[

ar e sen x

- x 1

]-M [

]-U [

a r e eos x

] - x . + x [

-i/V> - * J l / d + x 2)

] - x . + x [

senh x

co sh x

] - X. + x [

co sh x

sen h x

] - x . + x [

1 - tg h 2 x = 1/cosh2 x

] — x , 0 [ y ] 0, + x [

1 - c o tg h 2 x = - 1/senh2 x 1 /V ^ T T

] - x . + x [

ar e tg x

tgh x co tg h x A rg s e n h x = l n ( x + y jx 2 + I ) A rg c o s h x — ! n ( x + J x 2 — I )

] 1. + x [ ]- *> ,- ![

I n | x + y jx 2 -

i/ v / ^ n

]- ».![

1/(1

X 1)

l/ d

X 1)

A r g t g h x = ^ - ln ( y r f ) I ,

] - x , - 1[ y ] I . + x [

1 I + x I

,n h n ^ r

PROBLEM AS R ESU ELTO S

P r o b l e m a 3-1

S o lu c ió n .

1 |

í '" ’

H a lle I [a x 2 + b x + c ) dx.

J l " * 2 + bx + c)d x = " J * 2 dx + fc^x dx + c^ d x » -^jj— +

+ ex + d.

F U N C IO N E S D E F IN ID A S P O R U N A IN T E G R A L

P r o b l e m a 3 -2

f— *—

H a lle

J S o lu c ió n .

I (5x - 2) 1'1 r, I í(5 x - 2 )- '« <#5x - 2) = [ í I J /Sx - 2 5 J 5

♦c-

jy/sx -:

♦ C.

P r o b l e m a 3 -3

S o lu c ió n ,

S o lu c ió n .

[

2 3

♦ (x1)*

In !«■ + V T Í V |

+ C.

H a lle J x V ’ á * .

j x V ’rfx - y J í -' -Ax ») - | / + C .

[P r o b l e m a

3 -5

S o lu c ió n .

H a lle

- y

P r o b l e m a 3 -6 S o lu c ió n .

xdx

J ^T7

- |

3 ,/T T ?

P r o b l e m a 3 -4

H a lle

xdx

J xf r y

- y «" (* * - S | ♦ C.

I n t e g r a r J x e o s 3 x d x d e r iv a n d o u n p r o d u c to .

S i se considera a x sen 3x. entonces (x sen 3x)' • x<3 eos 3x) + sen 3x

Com o hay un factor 3 que no se necesita, entonces disidim os por 3: | y x sen .Vx )

= x eos 3x + y sen 3x

(I)

Para elim inar el termino y sen 3x se deriva una prim itiva de y sen 3x y se cam bia dc signo: ( l eos 3x) = - y sen 3x

Sum ando ( I ) y (2) se obtiene: * x sen 3x + -y eos 3x. que es una prim itiva de x eos 3x.

P r o b l e m a 3 -7

H a l l c J x 4 s e n 2 x dx.

12)

F U N C I O N E S D E F IN ID A S P O R U N A

IN T E G R A L

Derivando, leñem os que

S o lu c ió n .

(-T**-*)

- x4 sen 2x - 2 xJ eos 2 v

(x * sen 2xY

- 3x* sen 2x + 2x* eos 2x

X 1 C O S 2.X |

- - 3x: sen 2x + 3x eos 2c

— y x sen 2x |

• - y scn 2x - 3x eos 2x

- -J- sen 2x

eos 2 x

Sum ando, leñem os que la prim itiva pedida es

-i

eos 2x + x ’ sen 2x ♦ y x J eos 2x - y x sen 2x - ~ eos 2x + C

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S Em pleando la lab ia, halle las siguientes integrales y compruebe su respuesta por derivación: i.

j.-CTBF-

»• ÍT Íf* j

”

“ ■Í s W B 7

,S * Í •** T •***X * *

19.

J senhJ x dx.

x ? are eos

f j «

»■ x

(

33.

34.

2 2 . Jc o lg h x rfx .

24.

t x ' 7*' dx. J

11.

J sen (a -fr 6x) dx.

12.

Jse c * (ax + h )d x .

”

Í J sen -

14.

i- * * , . J eos X *

24.

27. 28.

f j g y / i f

~ *

« -

i ¿

sccxigx

rfx

J v/secJ x + I

„

37. .

“ 7

J sen X + cas x

./X — ^

[- S - . J x hí5 x .

j v J A Í 5 Í L rf*.

f - S * . . J sen x1

. J

J a*** * eos x dx.

25. f

—

» Í4 ;f" 11

\ —

senh x ‘

f e - — 21. I — j scniTxeosh x

K 10.

— ix . jx r n

« *•

J ? T T -

” •

xdx

r I

.5-

3 V ?

” 40.

¿ yje

- 2

f x* eosh (x * + 3) dx. 1

C A P ITU L O 3

F ó r m u la d e l c a m b io de v a ria b le L a s in te g r a le s c o m ú n m e n te s e p u e d e n c a l c u l a r p o r e l m é t o d o d e s u s titu c ió n o « c a m b io d e v a ria b le » . E l s ig u ie n te t e o r e m a e s ta b le c e l a f ó r m u la q u e p e r m ite h a c e r e s t e c a m b io . T e o r e m a . S e a g u n a fu n c ió n d e f in id a s o b r e e l in te r v a lo c e r r a d o y a c o t a d o [ a , 6] y g ' c o n tin u a s o b r e [a,¿>]. S e a A - g{a), B = g(b). E n to n c e s , si f e s u n a f u n c ió n c o n ti n u a s o b r e e l in te r v a lo s e tie n e £ f[x ) d x = J

D e m o s tr a c ió n .

f [ g ( u ) ] g '( u ) du

C o m o f e s u n a fu n c ió n c o n ti n u a s o b r e e l i n te r v a l o c e r r a d o y a c o l a d o 0< [a.ó ]),

s e g ú n e l p r i m e r t e o r e m a f u n d a m e n ta l d e l c á l c u l o e x is te u n a fu n c ió n F ta l q u e F (x) = A x ), x e j r t M ] ) S e a G (u ) = F [ 0(u )] p a r a a <, u ^ b. E n to n c e s , s e g ú n la d e r iv a d a d e u n a fu n c ió n c o m p u e s ta C 'fu ) = F '[ 0(u ) ]g ‘(u) «= /{ > (u )]g '(u ), a £ u £ b E m p le a n d o e l s e g u n d o t e o r e m a f u n d a m e n ta l d e l c á l c u l o se o b tie n e ^ f [ g { u ) ] g 'M d u = £

C '(u ) d u = G (b ) = £

G{a) = F [g (b )] -

F \x )d x = £ V M

F [g {a )J = F (B ) -

F (A ) =

L o c u a l d e m u e s t r a e l te o re m a . P o r e je m p lo , s e a / c u a lq u ie r f u n c ió n c o n ti n u a s o b r e [ 0 .1 ] . E n to n c e s , c o n g{u) = s e n u s e tie n e 0( 0) = 0 , 0( x / 2) = 1. C o m o g'{u) = e o s u es c o n ti n u a e n [ 0 , jt/2 ] y c o m o / e s c o n tin u a e n 0<[O. x / 2] ) = [ 0 , 1] , a p lic a n d o e l t e o r e m a a n t e r i o r se o b tie n e

J \x ) d x = J

/ (se n u) e o s u du

O b s e r v e q u e 0(jt) = 0, g {9 n /2 ) = 1. C o m o g ' e s c o n ti n u a s o b r e [ x , 9 x / 2] , t a m b ié n se t ie n e q u e

f { x ) d x = j" ' / (se n u ) e o s u du

si / e s c o n ti n u a s o b r e [ - 1 , 1], q u e e s l a im a g e n d e [ x , 9 x / 2 ] p o r g. 51

F O R M U L A D E L C A M B IO D E V A R IA B L E

Ejem p lo .

S i J [ x ) = y/x , la expresión

y/x d x = I o Jo

y/sen u eo s u du

es verd ad era. S in em b arg o,

Jf y/x d x ^ rJ 5 v 'sen

u e o s u du

n o lie n c sen tid o , p o rq u e y fx n o está d e fin id a en - I < x < 0 .

PROBLEM AS R ES U ELTO S P r o b l e m a 4-1

H a lle f ' v i Jo

— x 2'd x .

S o lu c ió n . Vam os a efectuar un cam bio de variable para remplazar la función que se va a integrar: f(x ) = y/\ - x [o . ft] = [ 0 , I ] por una función más sim ple y de la cual se puede obtener una prim itiva con facilidad. Para eso considere la función g {l) = sen f, y [A . f l] = £o. y j se obtiene con tfO» - 0 y

- y j j = [0 , I ]

J - I.

Además f o y{t) = J \ — sen1 / = eos /; g‘(i) * eos í. I-a fórm ula del cam bio de variables da

dx" Jó^cosí *dl

entonces la integral que se va a calcular es igual a

Com o eos3 r = * + *

I + c o s 2l . 2---- * "

I C "2 , J 0 A +

I f"1 , , r» I C 0 . 2 i 4 « - [ T + 7 ie n 2 fJ(i

P r o b l e m a 4 -2 3 a

ds — j —-— j- , a *

« - T

0 y fijo .

+ s

U na transformación posible es s « uf. de donde d$ = udt. L a función f -• s(l| adm ite una función reciproca sobre el intervalo J - * . + x [ y es s — i « s/a.la cual permite calcular los extremos del intervalo de integración

S o lu c ió n .

TÍV Com o se conoce una prim itiva de la función i -• j-

1 r o Jo

P r o b l e m a 4 -3

|a integral es

% - = 1 f arc ,g * . arc ,g o l = 1 are t g i I + i* a l a J a a

Se a F la p rim itiv a d e una fu n ció n / c o n tin u a so b re e l in te rv a lo cerrad o

a . /»]; f ( x ) = f / (x ) dx. S e a g un h om eom o rfism o d e riv a b le d e [A . B ] so b re [a . ó ]. M u e s tre que F = ( F o g) o g " 1 y h a lle u n a p r im itiv a d e F (x ) - J y j \ -

x 2 d x , [ o . fe] = [ — 1 .1 ].

F O R M U L A D EL C A M B IO D E V A R I A B L E

S o lu c ió n ,

L a compuesta F « g es dcnvahlc y además iF * g ) ' - i f ' g t f

En to n en #■'• g (i) = {(/•criUW 'tO dt. Vr e [ A . B ]. Com o g es un hom eom orfiuno. g ' 1existe, y. por consiguiente la prim itiva F está dada por F - (F • « » • « * ' . 6|

Sea 0 la función x • sen í. [A . B ] «• [ “

"5 ’ ’J ”] ' ** * * un ^omcon>or^l' ,no dcnvahlc de (-4. B ]

sobre fa . b]. Entonces F o g(t) - J* ,/ Í - sen7 / eos i dt • j*00** 1

di —

(r + sen i eos /)

L a función reciproca g 1 es f - are sen x. Entonces la prim itiva está dada p o r: F (x ) - F » g » g - '(x ) •

P r o b l e m a 4 -4

i2 U rc sen x + XyJ\ J

XJ I

H a lle u n a p rim itiv a d e F ( x ) - j V " * * < / x .

Sea 0 la función l « ux + b : entonces

S o lu c ió n .

F * g il) - J e *

por u n to . F tx ) »

^ r-”

P r o b l e m a 4 -S

■J* S o lu c ió n , f '•/* * _ n '— dx . 2 f (v' « + l | '" J

y/X

= 2

P r o b l e m a 4 -ó ,

S o lu c ió n .

Si se elige sen 0 -

eos0

c os

2 f (v * +

!»•'> * J i * ■» -

1- ¿ f - | . -

J i *

J— IJX

J i + 1 -

sen * 0

u. y eos 6 dO - du. entonces f du

-J"

N 4

sen 4 0

_r . f _

P r o b l e m a 4 -7

S o lu c ió n .

Haciendo la sustitución e* ♦ I = u. r* dx - du. entonces - b ila l + C - In le - + l| + C

4 -8 H a lle \ J I + sen x e o s x dx.

S o lu c ió n .

Sea I + sen x • u. eos x dx - du. Entonces / « J u 1'* du » j- uw ♦ C — - j ( I + sen x p ;l ♦ C.

F O R M U L A D E L C A M B IO D E V A R IA B L E

P r o b l e m a 4 -9

I f a lle /

Solución. Sea 4 f 5x - u. d x

‘

- J -y/4 =

du.

+ 5x

Entonce* I — - j J * = -y u l , t + C » y (4 ♦ 5x),/J + C.

P r o b l e m a 4 -1 0

S o lu c ió n .

Sea 2 + tgfl -

P r o b l e m a 4-11

S o lu c ió n .

H a lle / =

Entonces / “ J"“ d u

PL / 4

Sea I ♦ x4'* -

u. x

du.

- 7

Sea

- x4 -

du - -y u,/J + C -

Entonces + c: - - - ¿ - « i +

„

/- -

x’ dx =

* ) 171-

~ du ^

Ento Entonces

- - 4 “,,f + c - - T ( l - x4,,,, + c

P r o b l e m a 4 -1 S

S o lu c ió n .

Sea 1 - y a i . ^ - ó . Entonces

/- J . * * J (.- !}*+c P r o b l e m a 4 -1 6

S o lu c ió n .

Sea are tg x -

+ c

7x * d x

f "

S o lu c ió n .

♦ C - y (I + In x>* + C.

x l , i dx

%!i d x

= - j u¡

+ 3r* r* dx.

Sea 4 + 3c1- u. r1t/x= - j rfu. Entonces I - -y

P r o b l e m a 4 -1 4

= ln|w| + C - In|2+ tg0| + C.

H a lle / = J ( l + In *)*” ■“ •

P r o b l e m a 4 -1 3

S o lu c ió n .

sec1OdO = «fu. Entonces /

Sea I + In x • u.

P r o b l e m a 4 -1 2

S o lu c ió n .

du.

- Ju d u =

Entonces

— ■

♦ C - -y (aretg x ) 2 + C

(4 + 3r*)s" + C.

F O R M U L A D E L C A M B IO D E V A R IA B L E

Halle I =í scc-'0tg0dO . Sea scc0«*u, scc0tg0dO- du. Entonces /-J sec*0 •scc0 ■ tg0 dO=J u1du= y u* +C - y scc’

P r o b l e m a 4 -1 7 S o lu c ió n .

P r o b l e m a 4 -1 8

S o lu c ió n .

H a lle /

e 2*</x

“ Ju T 7

du — Sea I +«•** =u.c“d,x=-y. Entonces

- y In |u| + C = -y In |1 + e*-| + c

P r o b l e m a 4 -1 9

S o lu c ió n .

Halle / =Jf — —x) x(l— - In

Sea I - Inx=u.

— - du. Enttonces k — u| +C=-Inll - Inxl +C

secx(secx +tgx) dx. sccx +tgx Sea sccx-f tgx- m .(sec*x+sccxtgx)dx=du. Entonces /=^~ - ln|u| +C - Inlsecx +tgx| +C

P r o b l e m a 4 -2 0

S o lu c ió n .

Halle / =j*secx dx ~ j"

Halle / =J e5**' dx. Sea5x+ I = u,dx = y du. Entonces/ =y |í'ó r =-|

P r o b l e m a 4 -2 1 S o lu c ió n .

P r o b l e m a 4 -2 2

S o lu c ió n .

Seatgx=

P r o b l e m a 4 -2 3

S o lu c ió n .

2xdx Halle I ~ Jf scce"*

u,vx2xdx» du. Entonces/ = fe~"du= -e~m+ C— Halle /

/ ■JfI

H a lle ,

—

_ j*— n e ~ X—

Sea e~*= u, — e~‘dx=

P r o b l e m a 4 -2 4

^ +

du. Entonces / -

—j senu<iu= eosu+

1d ax. r sen— X

Solución. Sea — =ux. - — j- - du. Entonces /=jfsenudu—-cosu +Cx

F O R M U L A D E L C A M B IO D E V A R IA B L E

P r o b l e m a 4 -2 5

S o lu c ió n .

.H a lle / = J s c n 2 (5 x + l ) c o s ( 5 x -f l) d x .

Sea 5 * + I • u. dx •

Entonces / - y J r *

P r o b l e m a 4 -2 6

______________________ I

S o lu c ió n .

" ¡ y scn’ m

C — - jy sen* (5x

I ) + C.

H a lle / * J ln 2 eos x tg x dx.

. 4 . . , , H a lle / « J x J eos 5x4 dx.

Sea Sx4 - u Entonces / - ~

P r o b l e m a 4 -2 8 |

S o lu c ió n .

“ " j y r> + c “

Sea In eos x - u. - ig x dx - du. Entonces / - - j u 2 A » - j « 1 + C » - y ln2eos x + C.

P r o b l e m a 4 -2 7 i S o lu c ió n .

du Entonces / = y J s e n 2 u em u d u Ahora tea sen u - r.eos udu • di.

je o s u du =

sen u + C -

sen 5x4 + C.

f ln (ln x ) dx i x ln x

, , a ||c ^

Sea ln x ■ u, y - - du Entonces / " | - y — y sea ln u » i>. / - f e d e - -J- v * + C - i - (ln a ) 2 + C -

P r o b l e m a 4 - 2 » | |fi||e ,

— dv. Entonces

- i fin (ln x ) ] 2 + C

f 1 ~ “ s 1

‘i

" S o lu c ió n . sen 3. .

Sea x » 6r. dx - 6di. Entonces / = J * - ^ -

6df.

C om o

I - eos 2 í - 2 sen2 r y

• « f- .rT

con el cambio eos im u .d t ~ d u . ic convierte en

• ,2J

P r o b l e m a 4 -3 0

S o lu c ió n .

* 6^

. D e te rm in e / = | -------J sen 2 x ln tg x

Sea ln tg x - i o tg x - é ,

Sustituyendo: / - | f P r o b l e m a 4 -3 1 ,

lgh 2,1 * 6 arc ,gh [ 2 “ * * 6 ) * c

dx ~ S d t; entonces dx - i r « eos2 x dt •

" 4j* =í

„ -H B f _ ____ _______

_ -

' T 1"

•

v /< / d■ + > + X * 1) V5

S o lu c ió n .

Sea are tg x - f. - j - — *p

~ d t; sustituyendo

1 * J t S t T P * ' “ / " / F f ? = J ' eos , d, (vea el Problema 5-5) y/l * X*

* ♦ I

sen 2x di.

F O R M U L A D E L C A M B IO D E V A R IA B L E

P r o b l e m a 4 -3 2 i

<*)

H a c ¡en<j0 un c a m b io d e va riab le , h alle :

)

S o lu c ió n ,

ti)

dx;

arc scc

~ T T )T77;

u+ C =

du m -

y arc secx2

“ í B !^ r

P r o b l e m a 4 -3 3 J

+ c - í e

dx = — ^

- J- J

fu10 du

j*(x -

^ r

a p " '(x - b ) 'p~ 1dx - j " |

~ J

) ' + c

H a c jcntj0 un c a m b io d e va riab le, h alle:

J s c c ’ f llg ’ fld e ;

“j dx c f ~ T Í ~ ~ ~ ?X~ j

+ C.

r» du ™ (a - /»)/(x - fc)J dx c

" ' " *

1 dx, p 2: 0 . a * b.

l( x - b ) - ’

du - 2 , á , y. p o , tan,o.

Sea u —

J~ ^

Si u = ( I — x fyx 7

b ) Sea * = * ' -

=■ y

S o l u c i ó n , a) /scc’ 0 tgJ 0 dO = = Jlscc® 0 — scc* 0 ) s c c 0 Ig 0 dO.

eos2 X

jsec4 0 lg2 0 scc 0 tg fl d(> -

Jscc4 0(sec2 0 - I> s c c 0 tg 0 d 0 =

S ¡ Ü = SC C 0 = * d u = SCC 0 l g 0 d 0 c J s C c ’ O lg ’ O d O - a Jt U 6 - u * ) d u = y - - y - + C =

+ C.

i, Jf I +*eos — X - JfJI -- SeoPy: - n’A s1X rfx - J sen7x - Jf se 7x d x - Jfcosec1.<* Jfcnecaco.g,*cosec x + C.

- - cotg x +

c) f a W x + V co?7 g J ^

¿ ^ T P '

= f- a V T p - m

P r o b l e m a 4 -3 4 |

S o lu c ió n , 6)

j V 4* '

S i u - e*

dx;

Sea u = e* + e ‘ * ~

í») J p r +- f d x ;

c ) j V f c 2*es* d x , a > 0, fe > 0.

du - e*dx e J e * " * d x - J « * V dx = J e" du = e* + C « e'*

du = (e* + e~*)dx. Entonces

dx « J ^-+

dx " J “

* , n l“ l + c *

+ c

Jk O lk M lU

r t > V * « - J V - V - V - i . - p - - ..........*

P r o b l e m a 4 -3 5

™ * 8 ( F ‘* x ) + C

a rc ,g T “ + C " i

P o r cam bjo dc variab,Ct ha|,c :

S i u = ,g x • du = secJxdx. P o r u n to . J ¿ r g r ^ g r ■

P o r c am b io d e v a ria b le , h a lle :

f J

.ilx

* c - h ^

¿x x (4 - ln 2 x)*

J«

g g f > * C.

F O R M U L A D E L C A M B IO D E V A R IA B L E

S o lu c ió n .

Si u = In r

d u

■ ----

P r o b l e m a 4-3Ó

^ c = " CSC T( ' r - ) * c

f— —

P o r cam bio de variable, halle: a )

S o lu c ió n ,

- 2 J | l - ■£■I f>) -

Sea

(6 -

Sea

a )

d u

x -

<i) e o s 2

= (u - l)1

- 2u - 2 In |u| + u -

0 y. por

(fe - a ) s e n 1 0

-* C

- 2(u -

d x

l»c/u. u -

I +

= 2(1 + ^/x) - 2 In (I +

J \ m 2 ( b - a ) s e n 0 e o s 0 JO;

’

l ¿

—

« 2í J - 2 In (I +

~— M y f x )

b — x — (b ~ a )l\ -

I P r o b le m a 4 -37 I . . .. I-------------------1 H a lle u)

. f a, j 7

Sea x — 2 sec 0 =>

d x

é x _ _ _

_ 4)I 7 r .

= 2 sec 0 ig

+ C.

s e n 2 0) -

' 1 «. C '

¿x

Enionces

J O

J'xV^-~4 " í [2**°‘g0/8 °2'g01^ * *f "

d u

la n í o ,

= - * > = 2 ClO = 20 + C - 2 a rc s e n ( * ' ) f % = - f ----- 2(6 J y / ( i T - flK* - b ) J y / i S ~ - a ) sen1 0 ( b - a ) c o sH I J \ ®

S o lu c ió n ,

•

y j(* - « M * - b )

e fJ 1+

y f x

J x )

f —-

I + V *

= ^ i005' d°“ ^ í(l +C°*^ M"

R + i ? £ r + C ” - ^ + ÍS !T p ' 0 + r " T 6 " rCWC 2 + ‘r é ien ( a r c s e c y | c o s | a r c s e c - j ) > C * ,c le c T

+ ^

16----- + 6)

„

T 4

8x*

+ C

Sea [ I + ^ / T + x ] ,rt = u o x * (u2 j u , 4J (U- _ „ *

P r o b le m a 4 -38 S o lu c ió n .

l ?

I «*

d x

a. * c .

-J)¿ u c f[l +

t u iu 2

£ i* jr ±

Sea / u n polinom io y p un núm ero real. H a lle

Se nene que

f{g

= ¿

- p >• - 1 con

d x

* c.

x" '* ' * C

un cnlcro cnirc 0 y n. enlonccs

■

S o lu c ió n .

+ x ] ‘ ,/2

<j,x* '

. „ . J A

P r o b le m a 4 -3» ,

•

Sifc-pA - I para*-0.1.2....,x.eniOBeoBj^r^-£ o. Jx*-'rfx - ¿ Si

- 4 (1 ♦ y r r . r

3 r

+ ' * “■ ♦ .

♦ £ « , / * - ........*

**'■ ^ C

H a |k ^

Sea u = are sen x r fx y ¿ r — x (l - a 1 ) " 1 d

Entonces

y e * - - y (I - > í )1 '

F O R M U L A D E L C A M B IO D E V A R IA B L E

P r o b le m a ^ * 0 |

S o lu c ió n ,

H j| | c

r ,

Si x - a s e n 0 •

x :

j Jx + I

J ./X2 - I y.

dx = a eos OdO y 0 - are s e n —; J ( « i 2 - X2) 1' 2 dx =

Cm20) JO

= f ( a 2 - a 2 s e n 1 0 ) l/2 a e o s 0 dO - a3 f e o s 2 0 dO ■ a 2 f- -

..i - -y- 0 + y - sen 20 + C -

— -y - are sen í- + ^

sen

^arc seny j

eos

Haciendo la sustitución x + I ■ i i ' o « » ( « *

| [ x * A x + l)>'2] d x - J [ ( u 2 - I ? ,y ]d u - í j V -

0 -f -y- sen 0 eos 0 + C =

Sea x « sec 0

<X +

I)*'*

y (x

scc 0 ig 0 d0 - dx. 0

j^arcsen ~

I ) ,/2 •

J+C

x ■ a 1 - I => dx = 2u du.

- 2*2 + l)d w l ) 2' 2 + 2 (X +

are scc x. c

= -y- aresen y +

l ) ,/2

„> - - i «* + 2u «■ C +

^ -y —— - J |

= Js c c * 0 J 0 = js e c 2 0[lg2 0 + I j JO = J t g 1 0 sec2 0 J 0 A js e c * 0 J 0 + y

J scc 0 Ig 0 i/fl lg l 0 + ig 0 + C -

- y ig* (are scc x) + Ig (are sec x) + C = y <x2 - I) * '1 + (x2 - I»1'2 + C

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S Aplique el teorema de suslilución para calcular: 1.

J 3 sen 3x dx.

Resp.: - eos 3x

J 2x(x2 ♦ l ) í/2 Jx .

Resp.. y ( x 2 -f I)*'2

J eos* x( - sen x) dx.

Resp.: y eos* x

f 3 ig 3x Jx .

Resp.: In |sec 3x|

5. *.

f 2xe-‘ dx.

Resp.: e '‘

Jc o s x e - * J x

Resp.:

**•

D ¿ la función i<x) del integrando para que se verifique la igualdad. 7.

J e'1* t<x) J x *» e'* *.

Resp.:

scc2 x

•.

J eos(x2 + I M x ) J x « scn (x 2 + I).

Resp.:

J | ¿ *3x)r i<x) J x - are ig 3x.

Resp

10.

J sec2(x2 + IH * ) d x - lg (x 2 ♦ Ij.

Resp :

11.

J i<x>senh(In x) J x = cosh(In x).

Resp.:

l/x

Resp.:

- sen x

Resp.:

y/i

12 . 13.

eos X

* x ) J x - In Icos x |

I jt p - n

n(x) J x = are senh y jlx .

F O R M U L A D « l C A M B IO D € V A R IA B L E

D i las sustituciones que permitan calcular las siguiente» integrales: 14.

¡ x * - ‘ dx

Resp.;

2 (c o i 2 - eos 3)

Resp.:

y (sen x - eos x)1" + C

Resp.

2/ i T T T T P

R e sp

« - - X a

R e sp

u m

R e sp .

u -

Resp

« - I - x*

Rnp

In (In x|

+ C

Resp - y are t f (2x — I )

Resp

y (ice 4 * ♦ tg 4x) + C

Resp.

(I ♦ x p ' * - a i ♦x > + 6< l*x >* , - l 2 U i ( 2 * y i T 5 > * C

In |»ec x + tg x| + C , si scc x > 0

y In |»ec x - tg x| + C . si scc x < 0

26-

C O I* X

|T J 1 Z Z -

Resp.

ten x ♦ y sen' x ♦ C y In Iw c 2x| ♦ C

*• 2t.

c J (eos4 x - »en4 x) dx.

f I - c o i 2x .

J T ■TcoVJx'

Resp..

y icn 2x ♦ C

Resp.

tg x - x f C

Calcule las uguicnles integrales empleando las sustituciones indicadas: 31. í x 'y / T T P i x i Xa - 2 ♦ x*.

Resp

(2 ♦ x V " - y (2 ♦ x V " ♦ C

32.

* * ■ : I ♦ 2x = Xa. J 3 ♦ J í ♦ 2x

Resp

j | * 2x - 3 In |% l ♦ 2x ♦ j | ♦ C

33.

Resp

-£(*• -f l| v a — 2(e* ♦ l ) ,,a ♦ C

£ £ - ;e * - x .

F O R M U L A D E L C A M B IO

xdx 2 + x « z*. <2+ * ) * « •

34.

dx___

35. 36. i»-

r J o

R esp .:

; 2 + 3x = z1.

dx + * V 'J •

* .(2 + X)>'* + C

( / 2 T S + j = | = - í2 T ^ ¡ m +

Resp.;

+ e1 .

“ Íl7=^=; “-^ J K /T T ¡

+ C

R esp.:

In ( I + / T T P ) + In ( ,/ ! + e* - I ) + C

R esp.:

y ( sí i + I ) 1'* - 4(^/5 + I ) 1'1 + C

. . i

Resp.:

u ** sen i

I / P "- I are sen — + * ------

+ C

40.

J - i r a * xm -

Resp.:

2x, í J - 3x*'J + 6x>'6 - 6 In (x 1'6 + I ) + C

41.

J yr+ v^ d x .

Resp.:

i- (l +

Resp.:

2yJ2x + I - 2 are ig v '2x + I + 2-Jx - 2 are tg y fx + C

42.

- y d

+ v / i)3'2 + C

v^ r+ T - V 5

43. J -p r r ^ r -

Resp.

44.

Resp.:

f - 4 ±

- c

v/P^ T í

J / l + e*

* Jim *

- i (2 +

i x

D E V A R IA B L E

- 3 are ig ^ x + C 2 ” '| ^ 5 + I - 4 a re sen y ^ 1 - x - J T - 2x - x 1 + C

y ¡ - x

45. f — _ * _____ J J i i + i + v/FTf

R esp.:

2yJ2x + I + In

x / 2 x T í- l v/STT+ l

- 2 / x + I + In

■ S ille v/ x + l - I |

C A P IT U L O

Integración por partes T eorem a.

S e a n g y h d o s f u n c io n e s d e f in i d a s e n e l i n t e r v a l o [ a , 6 } y q u e a d m i t e n d e r iv a d a s

c o n t i n u a s c f y t í s o b r e [ a .b J . E n to n c e s p a r a t o d o x ta l q u e a <, x <, b s e t ie n e q u e £

t o m

- iiw m

g ( °< m

¿ m

n *

E n p a rtic u la r £

D e m o s tr a c ió n .

di = g

SU M O

i,m

|* -

g 'u m

D e l a f ó r m u l a d e l a d e r i v a d a d e u n p r o d u c t o d e d o s f u n c io n e s g y h s e o b t i e n e

*mt)l =

[0 W * f> ]' - [ f f ' m o +

a < ,t< .h

(5-1)

A l i n t e g r a r l a e x p r e s i ó n a n t e r i o r y t e n i e n d o e n c u e n t a q u e l a i n te g r a l d e l a f u n c ió n n u l a e s c e r o se o b tie n e j * { I X 0 M 0 ] ' - O ’Í M O + 9 (íV »'(0]} d t = 0 , C om o g y

a < x < b

h s o n d e r iv a b lc s , e n t o n c e s g y h ' s o n c o n t i n u a s s o b r e [ a , b ] y

(5-2) t a m b i é n g’h , g h '

s e g ú n l a i g u a l d a d (5 - 1 ) ; e n to n c e s c a d a u n a d e l a s t r e s f u n c io n e s e s i n t e g r a b l e s o b r e [a ,í> ] y la i g u a l d a d (5 -2 ) im p lic a

gimo di = £

[«dwn]' di - £

g'um *.

S e g ú n e l s e g u n d o t e o r e m a f u n d a m e n t a l d e l c á lc u lo ,

J OfOMO]' d t E je m p lo .

= 8 Í* M x ) -

g{a)h(a)

C o n s i d e r e p a r a x > 0 l a i n te g r a l d e l a f u n c ió n c o n t i n u a

In t d t . P a r a a p l i c a r la

i n te g r a c i ó n p o r p a r t e s s e p u e d e e le g ir, p a r a q u e s e v e r if iq u e n l a s h i p ó t e s i s p a r a t > 0, j g (t) = I n t , h '(t) = ft fo -

E n to n c e s ^

ln t

dt =

In f j

d t

\ / t ,m

= x In x 62

= t

x +

IN T E G R A C IO N P O R P A R T E S

H a lle p a r a x real cu a lq u ie ra la in teg ra l d e la fu n ció n c o n tin u a ^

Ejem p lo .

/ sen i d i.

P a r a q u e se verifiq u en las hipótesis del te o rem a se puede elegir j g il) = i .

h 'U ) = sen i

\ g ‘( i) = I . h it) =» - e o s /

^ i sen i di — |— i e o s ij

E n to n c e s

e o s i d i = — x eos x + sen x.

PROBLEM AS R ESUELTO S P r o b l e m a 5 -1

H a lle ( x

eos x dx.

Sea u = x 3, dv = eos x dx. Entonces / • x 3 sen x - 2 Jx sen x dx y elija u = x. da = sen x dx. P o r tanto. / = x 3 sen x - 2[ - x eos x + Jeos x d x ] = x 3 sen x + 2x eos x - 2 sen x + C.

S o lu c ió n .

„ . , % ,— — r . H a lle / = J x \ J x + I dx.

P r o b l e m a 5 -2 t

S o lu c ió n . Sea u = x \ y / T + 1 dx = dv. Entonces / = -y x3(x + I ) 3'3 - 2 j x 3(x + l ) 3' 3 dx. Elijamos a

(x + I ) 3' 3

dx = dv. x 1 = u. Po r tanto.

/ - y x 3(x + I ) 3'3 -

x 3(x

+ I ) 1'3 - A j . x

+ l)3 3 x d x ]

Elija (x + 1)3'3 dx ~ dv. x = u. Por tanto. / = y x 3(x + l ) 3'3 -

t x 3(x +

- i - x 3(x + I)3'3 -

P r o b l e m a 5 -3 S o lu c ió n .

* x3(x + I ) 3'3 +

+ l)7'3 X - y j l x + I ) 7'3 d x ] =

xfx +

I)7'3 - ^ - < x + i r

+ C

Sea dv = dx. ln x » u. Entonces / ~ x ln x - J x y dx = x ln x - x + C.

H a lle / -

J a re tg x dx.

Sea dv = dx, are tg x = a Entonces / = x are tg x - J * t V x 1 “ * arc tg * “ T ln 11 +

P r o b le m a 5 5 j S o lu c ió n .

J|(X

H a lle / = J ln x dx.

P r o b l e m a 5 -4

S o lu c ió n .

I ) 3'3 +

Sea

= - I c o s hx.

H a |jc

/, =

Je" "

m J p*» sen ó x d x ; l 2 = J

scn b x d x ;

u = e ".

Integrando por partes, /, = - y c " eos bx + ^ l¡. Análogamente. /¡ = y e“ sen bx —

e o s bx dx.

du = «■“ dx =

+ c-

dv = sen bx dx:

v -

J«:nbx dx

I N T E G R A C IO N P O R P A R T E S

Resolviendo el sistema se obtiene

11 =

l¡ = p

P r o b l e m a 5 -Ó | S o lu c ió n .

[6 sen ¿>x + a eos bx)

c a l c u l e / = J * « Ig . x dx.

/ = J*x " Ig. x d x ; dv — x“ dx, r

•T T T

P r o b l e m a 5 -7 S o lu c ió n .

fri [ " sen bx - h eos 6 x]

- T

J*x " dx

^ "+ ^ ; u — lg .x . du »

Í T p T 1 f e '*

. u - are tg x. du -

/=-£-,rc.g, = y x -a rc tg x -

S o lu c ió n .

T T T lf- 1 "

C a lc u le / = J x 3 • a r e tg x dx.

Sea dv = x 1 dx. c =

P r o b l e m a 5 -8

^ Ig. e. Entonces

. Entonces

- y [ p - »•<* * J Y í V ] [ - y

X + a re tg x J = y ( x * -

D a rc tg x -

-¡y x3 + y

x + i

H a lle / = J x 3 eos 2 x dx.

Sea du = eos 2x dx => u = y sen 2 x; v = x s => r ' = 3x2. Entonces. / = J x* cas 2x dx = -y- sen 2x - y J x 2 sen 2 x dx

Ahora J * x 2 sen 2 x dx = — -y- eos 2 x + J x eos 2x dx

J* x eos 2x dx — y sen 2x — y

.-. J " x J eos 2x dx = -y- sen 2 * + j

P r o b l e m a 5 -9 I

_ . f D e te rm in e / = I

j"scn 2X dx -

* sen 2x + -J- eos 2x

x ¿ eos 2 x — y x sen 2x + y eos 2x + C

x 2 dx ---------------- rj-. sen x y

J (x eo s x -

S o lu c ió n . . f ' ‘ ) i ^

M ultiplicando numerador y denominador por sen x. x2 senxdx ¡ r ¿ T -

,, . . Hac,cndo “ ‘

x . « n V - du

sen x — x eos x . -----i S 1" . • -

x sen x dx (.c o t~ x - s e n y )J

r — f . * SCn * — n - ; y con el cam bio x eos x — sen x — l , d i — (eos x — x sen x — eos x ) dx. j \x eos x sen x) r di i i t) ■ 1 — —y ■ — ■ —■ ■. Entonces / t x eos x — sen x ‘ J r

sen x — x eos x

x eos x - sen x

sen' x

---------------------------------------------- •---

1-------------------- =

x sen x

1 x eos x — sen x x

;--------------------------------------- — --------- C O t g X

sen x (x eos x — sen x)

, C~

I N T E G R A C IO N P O R P A R T E S

P r o b l e m a 5 -1 0 S o lu c ió n .

H a lle J x In x dx.

Sea x dx ■ do, In x = u. Entonces / = - y x 2 In x — y j x dx -

P r o b l e m a 5-11 S o lu c ió n .

- y x 1 In x -

x 2 + C.

H a lle / = J In 2 x dx.

Sea dv - dx. In2 x - u. Entonces / = x In2 x - 2 J In x dx = x In2 x — 2x In x + 2x + C.

P r o b l e m a 5 -1 2 S o lu c ió n .

H a lle / = J e2x sen 3x dx.

Sea do = sen 3x dx, u = e2‘ . Entonces / = -

y e2' eos 3x + - y J e ' 1 eos 3x dx. A h o ra.:

dv = eos 3x d x . u = e2‘ . Por tanto.

- y t 2‘ eos 3x + y e2‘ sen 3x -

/Entonces - y - j e 2* sen 3x dx -

-J j* * ^

3x dx

— y e2* eos 3x + - y r s e n 3x + C .

j e 2* sen 3x d x = — - j y e2* eos 3x + - j y e2* sen 3x + C.

P r o b l e m a 5 -1 3 S o lu c ió n .

H a lle / = f sec3 x dx.

Sea dv -

/ = s c c x tg x -

sec2 x dx, sec x « u. Entonces

Jtgxsccx tg x = s c c x tg x - J(scc* x -

11 sec x dx -

s c c x tg x -

jsec’ x d x + Jsecxdx.

Entonces 2 fsec2 x dx = sec x tg x + In |sec x + tg x| + C. j*secJ x dx -

P r o b l e m a 5 -1 4 S o lu c ió n .

sec x tg x + 4 I" l“ c x + tg x| + C.

H a lle / = f x * J \ + x 2 dx.

Sea x ^ l + x 1 dx ■» dv, x 2 « u. Entonces I •• ~ x 2( l + x 2) 112 — y J x ( l + x 2)2'2 dx

- | x 2( l + x 2)2' 2 - - ^ - ( 1 + x 2)5'2 + C.

P r o b l e m a 5 -1 5

H a lle I

S o lu c ió n .

Sea dv =

+ y In |4

x I + C.

P r o b l e m a 5 -1 6

-k

x 3 dx

M = **' ^ n,onccs * ~ ~4

+ y

C a lc u le I = J are sen x dx. dx

S o lu c ió n .

Sea dv « dx - » i» - x y u » are sen x

du -

—

. Entonces

v 1“

/ — x a re sen x - f ■ * *** ■: ■ — x are sen x + ^ 1 - x 2 + C J J l — x1

I N T E G R A C IO N P O R P A R T E S

P r o b l e m a 5 -1 7

C a lc u le / ■■ J x 3 a re tg x dx.

Sea de m x* dx

S o lu c ió n . /

c — ^

y n - are ig x. du « j

are ig x -

= - i« * a r c ,g , -

P r o b l e m a 5 -1 8 | Ha||c , = J r ' d

/ =j* d x

Ahora,

[f(x > - I )*> + J

T í V ] =

--- x + are tg x J = ^ (x4 - I ) are tg x -

x * are tg x - —

S o lu c ió n .

' ^ n,onccs

+ x In x)

+ C

dx.

Je* In x dx.

dx se conoce con el nombre de logaritmo inlcgral y no se puede expresar mediante funcio

elementales. Para integrar la segunda hagamos e, = r ' « * r » e ‘ y u = ln x

«“" ' ' “ PliT T F*'<* £ y

/ = p

- f '-

- 2J V

F V

* < -• * - J i r f V

Para calcular la segunda integramos por partes con u = xe*

= W T T ?

* Entonccs J x e * ( T ^ Sustituyendo.

/»

y ^ T

r "

du - (xe* + r*) dx y

x~TT

+ p T T T T dx =

T T T

+ r‘ <

H a lle / = f j - - - ---- Í5-. J (x eos x — sen s— x v “)2

¿t

J (x eos x — sen x)

, sen x • d u

• sc'\ x d x . Integrando por partes, con sen x

sen x - x eos x . . x sen x dx f x sen x dx scn *¿ J x ; d r = (x cos"x — scn x j7*' r " J Tx_ cbs x - sen x>»

Con el cambio x eos x - sen x = f. di = (eos x - x sen x - eos x» dx.

Entonces x

/ =

P r o b l e m a 5 -2 0

S o lu c ió n .

Entonces:

, / = I — dx — I — dx + r* In x = r* In x + C

P r o b l e m a 5 -1 9

S o lu c ió n .

J"e* In x dx = e* In x — Sustituyendo,

du =

dl _ -~F

I t "

I x eos x — sen x sen x - x eos x

IN T E G R A C IO N P O R PA R T ES

P r o b l e m a 5-21

H a lle :

S o lu c ió n , a) Haciendo ■ ¡0 sen2 0 eos 0 dO.

Jx2a re sen x d x ;

J -y 1"

* d~ ;

Jx4 In 2 xdx.

primero la sustitución x = sen 0 =* dx = eos 0 dO c

Haciendo u = 0 y dv = sen* 0 eos 0 dO » j* 0

sen2Q eos OdO = 0

du = dO y r =

Jsen30 dO -

— . c integrando por partes, entonces J j*(l - eos3 0)

sen3 0 eos 0 3 + 3

jx 2 are sen x dx =

eos3 6 9

senOdO =

_ + C

E s decir. . , . are sen x , (are sen x) , (are sen x) _ ^---- + eos ---- j — - - eos3 ^ L + C = x are sen x dx ** x3

+ (» - x 2) l, i _

m x >? L C« ! L *

/>) Sea u = In x y dv = xA/(l — x ¿ ) dx =* du =

(

x In x dx

(I - x*|M

+ c

y r = —v ' l - x*. c integrando por partes,

r¡------j ,

. f J l — x1

Si en laultimaintegral se hace x = sen 0. dx = eos 0 dO. entonces

f A~r x ~' dx“ j*eo^é° " í '

40 mj *cosoc0d0 ~j * * " 0 d0

=,n|coscc0 “ co,g +

+ eos 0 + C = In Icosec (are sen x) - cotg (are sen x)| + eos (are sen x) + C =

" ,n| Y " Po r tanto,f — -n-^— dx = J v' l - r c)

-^ /fl -

Sea u ■* In1 x y de - x* dx

In |x| + In 11 - J l

du -

- x 2 | - In

dx, v — -y- e

|x| + y/i - x 2 + C.

Jx4lnJ xdx - xJ

^Jx4 In xdx.

Calculando esta última integral por partes se obtiene j x4 In x dx »

- - |i + C

Po r tanto, f 4, . J x In x d x

P r o b le m a 5

S o lu c ió n .

x 5 In3 x 2x5 In x --------- 25

r 2x4 125 + C

H a lle f i + i S i * . J 1 + eos X

Sea u = x + sen x, de = l/ (l + co sx )d x »

du = ( I + c o s x )d x y c = cosccx — cotgx.

Entonces j* T T c o s ~ x " dx =

+ 50,1 xXcoscc x - cotg x) - j(c o se c x — cotg x)(l + eos x )d x -

= x(cosec x - cotg x) + (1 — eos x) — J [ ( l — eos xXl + eos x)/scn x j dx = - x(cosec x - cotgx) + (1 — eosx) — Jsen x d x = x(cosecx — cotgx) + ( I —eos x) + eos x + C — ** x(cosec x - cotg x) + C.

I N T E G R A C IO N P O R P A R T E S

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S Integrando por p a n a muestre que: 1. J x sen x d x — —x eos x + sen x + C . 2.

J x eos I x d x - y * K n 2 * + y - e o s 2 x

J x In 3x dx - —

\ x r " sen x d x - ?

Verifique q u e: a ) b)

Sea fAx) un polinom io de grado n M uestre por derivación que:

In 3x -

+ C.

|x* sen x dx — - x* eos x + n Jx “ ~ 1 eos x dx. Jx * c © s x d x x“ sen x - n Jx - ' 1 sen x dx.

jV 'p íx ) dx = ¿

( - I y 'a 'y 'H x í. con

la derivada >ésima de p(x)

A plican do e l ejercicio anterior calcule:

Jx V * * d x ;

J(x +

bfr*’ dx;

J(x* - x + I y * dx

Integrando por partes muestre que: i.

J x V * dx -

J x* sen x d x

X^ Y ~ - -t£- + c . - x* eos x + 2 x sen x + 2 eos

—

+ C.

10 .

J l n (In x )

11.

J e o s In x dx - x e o s (In x ) + £ x sen (In x ) — j" x co s(ln x ) - j - | + C.

12.

J x (In x )2 dx -

12.

j (In x f dx — x (ln x f — n J(ln x f ~ ' dx ♦ C.

14.

J* e n 4 x dx ■ y- x — y sen 2 x +

15.

J x sen* x dx «

= In x - In (In x ) - In x ♦ C.

* * * -

J x 2 se n 2 x ™ -g -x 2 +

17.

Jc o s * x d x — J -

dx -

20. J

♦ C.

sen 4 x ♦ C.

sen 3x -

x eos x +

^ x 2j sen 2 x -

— lf SeaX + n

y - x e o s 2 x + C.

Je o s * 1 xdx y muestre que Jc o s 'x d x = ^-senx + - jy sen 3x + C

-± 2 J x In x -

y* -f + ‘ + C.

«/*

21. J ln (x +

x eos 3x + C.

+ y- sen 2x + -y,- sen 4x -f C.

—

*■ í * ^

**£ *- ♦ 4

sen x -

14.

•

x *)d x = x l n ( x + y[\ + x 2) + C.

J * *-

C A P IT U L O

In te g r a le s t r ig o n o m é tr ic a s L a s sig u ien tes id e n tid a d e s trig o n o m é tric a s son ú tile s en e l c á lc u lo d c a lg u n a s in te g ra le s: 1.

se n * x + e o s* x -

7. sen x eos y

[s e n (x - y ) + sen ( x + y ) ] .

I + tg * x - scc* x.

8 . sen x s e n y

= y

[ e o s (x - y ) - e o s ( x + y ) ].

I + c o tg * x

9. e o s x e o s y

- y

[ e o s (x - y ) + eos ( x + y ) ] .

se n * x - 4 - ( I - C O I2 x ). 2 '’

c o sc c* x.

e o s* x -

1 sen x e o s x — 4 - s e n 2 x. 2

10. I - e o s x -

i - (( Il ++ c coo s 22xx). ).

I I I. .

se n * 4 r . 2

I + e c o ss x = 2 ceooss* * ■£. 2

12. 1 ± sen x = I ± eos

(H -

PROBLEM AS R ESU ELTO S P r o b le m a S o lu c ió n .

6 -1

H a lle Js e n * x c o s * x d x .

Jsen*xeos*x

dx -

(?*2* j | 1

•—

" i f i 1 “

P r o b le m a 6 -2 S o lu c ió n . +j V

dx -

|-J c o s 4 x 4 x -

....

-i

J(l -

co»*2x»

dx -

¿ - a a i 4 x + C.

H a lle J tg * x s e c * x dx.

Jig * x sec* x dx - [tg * x scc* x sec* x d x = Jtg * x ( I ♦ ig* x) scc* x dx - [tg* x scc* x dx *•

x sec* x dx -

| P r o b le m a S o lu c ió n .

6 -3 [

tg4 x + - i tg* x + C .

H a Ik j , g>x d x .

Jt g * x d x » J i g x t g * x d x - J t g x ( s e c * x -

+ ln |co sx | + C. 69

!) d x - J i g x scc* x d x - J i g x dx •

^ tg1 * +

I N T E G R A L E S T R IG O N O M E T R IC A S

P r o b l e m a 6 -4

H a lle / = J sen 7x eos 9 x dx. ^ eos I6x + y eos 2x 1 + C.

S o l u c i ó n . J s e n 7 x co s9 x d x « - ~ J[s c n I6x + sen ( —2x)] = -i.

P r o b l e m a 6 -5

S o lu c ió n .

H a lle / = J s e n | ^'

* ) *x '

Sea ^-y^- = u. dx = - 2 d u . Entonces / — — 2j*scn udu = 2 c o s u + C - 2cos

P r o b l e m a 6 -6 S o lu c ió n .

+ C.

H a lle í c o s 2/i 20 sen 20 dO.

Sea 20 = u, sen 2 0 dO = -

-y- . Entonces

P r o b l e m a 6 -7 | H a lle , lg . 9 S o lu c ió n ,

j*tg* 0 dfl - J t g 4 0 tg1 OdO = J t g 4 0 sec* 0 dO “ J t g 4 0 dO = * lg 5 0 - J t g 4

- J t g 10 SCC10 + J t g 1 0 dO = y

P r o b le m a 6 -8 ------------------------------ 1

H a |.

tg50 - y

eos 0 dO = J[s e n * '3 0 - 2 sen31 0 + s e n " '3 0 ] eos 0 dO -

- \ sen1'3 0 - -1 sen»'3 0 + ~

P r o b l e m a 6 -9 S o lu c ió n . 10

tg’ 0 + JíSC C1 0 - 1) dO m y tg’ 0 - y tg» 0 + tg 0 - 0 + C

f e o s 5 0 dO J s c n ,/s 0 d 0 ‘

S o lu c ió n .

sen ,4'3 0 + C.

H a lle j tg 7 x sec4 ié'dx.

J t g ’ x sec4 x dx = J t g ’ x ( l + tg1 x) sec1x dx - J t g ’ x sec1 x + J t g " x sc c 1x dx = y t g * * +

t g 'wx + C.

P r o b le m a 6 -10

D e te rm in e j eos m x e o s n x dx.

S o lu c ió n .

J e o s m x eos nx —

sen (m - n)x + C , m i* n.

¿Km — n)

Je o s (m + n)x + y

Si m — n — J e o s 1 mx dx — y (eos 2mx +

P r o b l e m a 6 -1 1 | S o lu c ió n .

Je o s (m - n)x =

sen mx + C.

H a „ e / = J s e n " x dx.

J sen* x dx — f sen *"1 x sen x dx. Sea de = sen x dx.

*“

fm +

” ,x

I N T E G R A L E S T R IG O N O M E T R I C A S

/ - — sen*-1 x c o s x + (n - I ) Js e n '” * x co %' xdx = -sen* 'x c o s x + <n - I ) fscn* * x ( l - sen2x)dx - - sen *” ' x c o s x ♦ (n - u js c n * " , x«/x - (n - l)Js c n * x d x - - y sen*” ' x •eosx + — — ■Js c n * “ * x dx. r . Js e n * x d x m - -j- sen*” 1 x eos X + ~ ^-^-Jsen* 2 x dx.

P r o b l e m a 4 -1 2 , S o lu c ió n .

Ha|le j m . x J x

J c o ,‘ x * . j ( ^ t i ) ^ i J c

s e n 2* + - y * — - j 2 se n 4 x +

sen

S' 2 x + 4 J c o . 2 x + 4 J * , - 4 - C = - 4f ± i ^

+ -g- x + C .

In t e g r a le s q u e c o n d u c e n a f u n c io n e s t r ig o n o m é t r ic a s r e c íp ro c a s P r o b l e m a 6 -1 3 S o lu c ió n . -

y are Ig y

H a lle

■

s r -

Sea x - 5u. dx — 5 du. Entonces / - 5

- J J T í i 7’ • y are tg u + C —

+ C

P r o b l e m a 4 -1 4 | H a |lc f

g -

■

J .J 9/ « -- 7 7 xx ’J S o lu c ió n .

Se. J U

- > u .d * - ± d » . En ,o n ce, , - i

j L * _

_ J .„ c «

. ♦ C -

4-c. P r o b l e m a 6 -1 5

S o lu c ió n .

Sea r* -

[ P r o b l e m a 6 -1 6 |

S o lu c ió n .

H a lle / u. e* dx -

f — ---J x• V j xx -^ I

du Entonces / « J —

« are tg u + C - are ig c* + C.

Ha||c , = J _ ^ x _

Sea r* — u, r* dx • du Entonces / - [ - » are sen u + C - are ten (tg x) + C. J y/l - u '

E n los sig u ien tes p ro b le m a s se va n a c a lc u la r in te g ra le s q u e co n tie n e n a x * + b x + C . q u e se p u e d e e s c rib ir c o m o ( a , x + h ,)* + C f o J a x * + ft x + C . q u e se p u ed e e s c rib ir c o m o N/ t f - ( a , x + 6 ,)* .

P r o b l e m a 6 -1 7

H a lle / =

— _ . 3x2 + 6x + 5

u jl

dx - J 2 du

1 ,,a " e ' - J l ? V ó i T T -

S o lu c ió n .

Sen j ! ( x

t i ) ,

- T í f ^ r ■J * “ 181" * c ■ S o la .

i/ _ 2 . . Enconces / - j "

“J

2? V T

1‘ l'? 111* " * c

Una vez que el denominador ve ha convenido en la suma de dos cuadrados, la sustitución se halla haciendo 3<x ♦ I )2 ♦ 2 - 2(u3 + 1 ).

IN T E G R A L E S T R IG O N O M E T R IC A S

P r o b l e m a 6 -1 8

S o lu c ió n .

"H a lle / = f ' J2

^ • + 6x — x 2

Sea J l i x - I ) = J l u . dx = | / y

Entonces / « f —— * J ^ 5 - 3(1 - 2x + x2)

= - j r aresenu + C = — v/3 Aforo.

■ -g. - 3(x - 1)'

aresenl/-^- (x - 1) +

>/* También

f J

' V 5 - 5u'

f - * / 3 J v/1 - “

I - 2x + x1 = ( I - x)2, y el problema se puede resolver haciendo la sustitución

^3(1 - x ) - yftu . la cual conduce a la respuesta —— are eos | / y ( I - x) ♦ C. Observe que la diferencia v i entre las dos funciones trigonométricas en la respuesta es la constante — — , que se absorbe en la constante arbitraria.

V *

P r o b l e m a 6 -1 9

S o lu c ió n .

H a lle = u. f dx = du. Entonces / = J M,

Sea f

+ 3 - j7 ¿ r + ~ n T T T -

Sea u + 1 = ^/Üe, du = y/2 do. Entonces I . . A

“ rC >• ' + C "

" C '8 ^

+ C =

r , K > s ‘L L L . c . ■ fi

f i

P r o b l e m a 6 -2 0

S o lu c ió n .

H a lle /

‘ dx í ( 2(2x x + \ )j4 x 2 + 4x -

J ( 2x + l>,/4xl + 4x - 1

-f

J*—

J (2 x + l^/(2 x + l ) 1 - 2

Sea 2x + I - J l u , dx - - j - du. Entonces v* - - L v/2 J v/2iiv/2u1 - I

P r o b le m a 6 -21

S o lu c ió n ,

1— f - j f e --------- L ^ a r c s e c u + C = - i - a r e sec * ± L 2^2 sf l 2^2 J 2^2

Integre 1 ■- - dx y d é los v a lo res d e x para lo s cu ales es válida. f3 + 2 : x-x2 J Jy3

x2 — 2 x — 3 = (x 2 — 2 x + 1) — (3 + I ) = (x — I)2 — 4.

Entonces f — - ■ «. f ~ 11—— = are sen + C. L a integración es válida cuando J ^ 4 - (x - I)1 J V*» - (x - D 2 2 3 + 2x - x2 = 4 — (x — I ) 2 > 0. o cuando (x + lX x — 3) < 0, o cuando |x - 11 < 2, o cuando - I < x < 3.

P r o b l e m a 6 -2 2 S o lu c ió n .

In te g re J x a re tg x dx.

Sea u * a r c t g x , t>= -j-x2. Entonces / = j a r c t g x d | y x 2| =-~-x2 a rc tg x — y j" *

= -j-x 2are tgx —

j * ^ | ^ x2 " dx = T * * a rc,g x ” J x + y a rc,# x + C “ 'j l * * + l ) " c t g x - y X + C

IN T E G R A L E S T R IG O N O M E T R IC A S

P r o b l e m a 6-23

Sea u - are sen x. Entonces Jare sc n x d x = x a r c s e n x - fxtftarc sen x) dx = x are sen x -

S o lu c ió n . _ f

Integre J are sen x dx.

x dx

x aTC sen x +

J ( l - x 2) ' ,/2d<l - x *)d x = x are sen x +

- x2 + C.

J ./ r = ic 2

P r o b l e m a 6 -2 4

C a lc u le J* y jz - 3 x + 4 x J em pleando el teorem a dc sustitución.

J V 2 -3 X + 4X1

S o lu c ió n .

[2(X~ I)]¿ixa]fñ*W *)]1 •

con rfx) = 2 ( x -

= 1 ( x - - § ) s/2 - 3x + 4xJ + -g-arc

P r o b l e m a 6 -2 5

C a lcu le i —

■em pleando el teorem a d c sustitución. 3 x + 4 ?'

J J 2 S o lu c ió n

+ -— H ) I C

23 TS

T Jv ^ T ¡?

P r o b l e m a 6 -2 6

■■-«•i i . 8x — 3 are sen — = -^ are senh — — — + C. 2 41 | 2 v/23

I - ' " = _1_

= Jí s e*n 'x

C a lc u le /

‘

Es una integral dc la forma Js e n "x d x ; m impar. Haciendo eosx = I => -sen xdx - di.

S o lu c ió n .

Po r tanto. /

** “ J t T - ‘p j3’ ’' p jra ca*cu*ar 68,3 inlcgral escribimos I => 1 — í2 + I a;

entonces dl

Í - jr= w

Ia di

J (i -

Integrando esta última por partes con f = u = » u ' = l y p * -

1= J l T

rJ i t

1 f

- P F " "4 T T ^ p

“

-W

4 J (i f

Haciendo la descomposición anterior, I ^ Ahora, integrando por partes a entonces | ^

v " -y ■Tl-- ,^p~'x ,|cnc<iuc I

3 f

~ ~ T T n - “ P )T * T j { i - i v f

f I1 di + J 7| _ ( 2p~.

pjT- c o n t - u - » u ' * > l y O , =

(T-^T2)7 '

T ir r p jr

-Z ir -

3 f di t(S - 3r2) 3 I + 8 J t = F ” ~ m W “ Tó T ^ T

Rem plazando x en función de f , 1

eos x<5 - 3 eos2 x) F ¡S * x

3 . 1 + eos x ~ T 6 ln I - eos x + C

pm T T ^ F ‘

- -y • | *_ p- ~ T J ¡~ ^ 7 r ’ ^ 'na' mcn,c' r

i --y

. ^

I N T E G R A L E S T R IG O N O M E T R IC A S

se puede calcular descomponiendo el integrando en fracciones racionales.

N ota.

1 f

JfT + 'r V

2 J fr- rV

ÍT

I f

f di

- _

P r o b l e m a 6 -2 7 | C a ,cu|(¡ , _

I. 4

“

2 id i

( i - *1' J + c '•

J (i - í v

f J

S o lu c ió n .

2 id i

" t

(,)

_ <2 )

r- rrr + c

---------(e o s x + x sen x ) 2

Haciendo c o s x «f- x sen x = z => x eos x dx = dz. P o r tanto, f x eos x dx J (c o s x + i sen x )‘

f d; = _ I '' J P = z

, c = _

_ I c o s x + x sen x

Integrando a / por partes y teniendo en cuenta que (eos x + x sen x )' — x eos x. se hace * j S « * . ----------------(eos x + x sen x )'

I ------- y eos x + x sen x

í eos x

■ « » * ♦ « « "* cos¿ x

P o r consiguiente, 1

eos x(cos x + x sen x) + J " eos2 x

P r o b l e m a 6-28

eos xfeos x

x sen x) + *8 * + ^

C a lc u l e / = J x 2 a r e I g x d x .

S o l u c i ó n . Integrando por partes con are ig « • u » P o r consiguiente, / = - y - a r c t g x -

y x1 = r 1 =» v = - y .

= - p +*

y jy p ^ r -

Para calcular esta última integral, que es de la forma J[/ (x )]/ '(x ) dx, se hace I + x 1 - l -* 2x dx - dt.

Entonces J p p ?

« t J 1^

* = T J(* ~ Í )

dl “

2 ln (‘ “ ln f) + C

Remplazando x en función de r.

- " T ( l + x l) - T

Í t í ^

1,1(1 + x ,) + c

Finalmente, / = y - are tg x - y (1 + x 2) + ~ ln ( I + x2)

P r o b l e m a 6-29

S o lu c ió n .

C a lc u le / = J

Descomponiendo a •

| *

~y a r c *8 * d x .

■* -■3 - = 1 •

ajare tg x dx. por partes, con arc Ig x

Ahora, J - p j r p " are tg x dx = y

i : I = [

I 'T X

- u -> i r - - ~ r

J a r e tg x dx - x are tg x -

+ C.

arc tg x dx

- f J

dx. Integrando 1 *r X

l = ° ‘ => v = x,

entonces

J - p p ^ r - x arc tg x - y ln ( I + x 2) + C

(arc tg x>* + C.

Finalmente, / = x are tg x - y (are tg x)2 - y

ln (1 + x 2) + C.

IN T E G R A L E S T R IG O N O M E T R IC A S

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S Calcule las siguienies integrales y verifique su resultado por derivación:

Js e n 3 2 x d x ;

b) Jc o s 3 x d x ; c) Jc o s 4 3 x d x ;

Calcule [sen’ ax dx, expresándola com o sen3 = I - eos3 ax.

Verifique que fe o s " x sen* x dx = j

Em pleando la identidad tg* x -

ux -sen ax y después aplicando laidentidad sen1 ax =

—_ “ £ *cn — — aim * ni

tg *"3 x tg3 x -

i . fe o s "-3 ax sen* ax dx. m+ ij

tg*-3 x (sec3 x - 1). halle la fórm ula de reducción:

J t g * x dx 5.

di J (sen4 3x— eos4 3x) dx

lg "“ 1x - j*tg *-3 x dx

H alle Jtg 4 x dx: Jtg 5 x dx.

Obtenga las siguientes fórm ulas de reducción: (m y n enteros > 0). 6. J x* sen xdx = - x "c o s x + n J x " " 1 co sx d x . _ f sen x dx sen x . I --------------------- + n 7- } —

f eos x dx

. > 1

Je o s " x dx = y eos*-1 x sen x + n n - Je o s * -3 x dx.

Jse c * x dx - —

p tg x sec* 3 x + ^ ~ y Js c c * - 3 x dx.

10.

Jco s cc " x dx “

y- cotg X coscc*3 x + ^ ~ y- Jeosee* ~3 x dx.

11.

J x V d x = x"e* - n Jx * " V

12 .

Jx " (In x )" dx = n |

y J x " * 1(In x r - m Jx *

sen (m - n)x _ 2(m - n)

I sen mx sen nx dx

13.

sen (m + n)x 2(m + n)

x)“ ' 1 dxj.

m3 j* n2.

eos (m + n)x 2 (m ~ + ñr~

eos (m — n)x 2(m - n )

, , , m * n '

eos 2nx

— j¡¡— l

« 15.

f I eos mx eos nx dx =

sen (m - n)x 2(m - n)

1 xx

16.

(In

I x sen 2nx \ . I 2------ 4n ) 51 m D ± n

í sen mx eos nx dx

14 .

dx.

, sen sen 2 2/ix nx

m -

±n.

sen (m + n)x ~ 2(m + ñ )

* »

feos" x sen* x dx = COS" ~ >

m +

*•

+ J S ^ _ L fe o s " 3 x sen* x dx.

m +

Efectúe las siguientes integraciones y dé el dominio en el cual es válido:

J-

R tsp .:

y y / i are sen ^ x + C ,

18- J - ^ = y ^ = = r r .

R esp.:

aresen -*y-(x + 3| + C . ] - 3 - 2^2. - 3 + 2 / 2 [

1»-

R e s p .;

- 6 y + 5 ^ 4 Í - V - 7 a r c s e n - í4 - ? - + C.] - 5 .l[

f J

5)dX

-•

v/5 - 4 x - x 3

y ^3. y ^3

I N T E G R A L E S T R IG O N O M E T R I C A S

20. J a r e I g x d x .

Resp.:

x are Ig x - y

21. J x* are sen x dx.

R e sp .:

-J- * * arc so* * + 4 (2 + x * ) ^ ! - x * + C . ] - 1. I [

22. J(3 x * + I ) are tg x dx.

R esp.:

(x* + x) are tg x - y * * + C

23. J a r e sen (2x - l)d x .

R esp.:

24. J x are tg (x + l|dx .

Resp.:

- y a r c t g í x + I ) - - * - y i + y M * * + 2x + 2) + C . R

R esp.:

x - J\

are sen x dx.

25 f 26.

ln 0 +

+ C. R

(2x - 1) are sen (2x - I ) + J x

- x * + C . }0 .1 [

- x* a re sen x + C , ] - l , l [

>/le- *

Em pleando cl teorema de sustitución muestre que ln |o x a + ¿>x + c | j l o x ' + ¿>x + c f[2 a x + b )d x =

(o x *

¿»x +

P+

Verifique las siguientes integrales:

cY "

p - - 1

p A - 1

C A P ITU LO

T e o re m a d e s u stitu c ió n re c íp ro c a p a ra in te g ra le s Teorem a.

Se a n f y g fu ndon es derivables y suponga q u e existe g ~ l . En to n ces HU) = íf W O t f it )*

=»

H [ g - '{ x ) ]

J/ (x )d x

E s decir. J/ (x )d x - í / W i ) W ) A | - - - » D em ostración.

S e a H {t) = ¡J[g (t )]g \ t ) dt y F ( x ) - f/ fx ) dx. Seg ún el teorem a d e sustitución

d irecta tenem os q u e H {t ) =

S i hacem os en esta expresión t = g ~ ‘ (x ). entonces -

E [ t f [ f / ' ' ( x ) ] ] - F ( x ) - JyT x }d x

L a elecció n d e la fu n ció n q u e se debe su stitu ir e n los in tegrand os q u e contienen ecuacion es de segundo g rad o se basa e n expresar la s form as a 2 + x 2, a 2 - x 2, x 2 - a 2, c o m o cu ad rad o s per fectos d e las funciones básicas. L a siguiente tabla d a u n a lista d e sum as y diferencias d e cuadrados, q u e so n c u ad rad o s «perfectos» de las fu n d o n es d rc u la re s e hiperbólicas.

1 - « 2 - g2

1 111-

eos1 r sen1 1 Igh1 1 sech1 1

= sen1 1 = eos1 r - sech1 1 - tgh1 1

1 ♦ n1 - y 1

1 + tg1 I 1 + COtg1 1 1 + cosech1 r 1 + senh1 1

“ »

T e n ie n d o en cu enta esta tabla, se escribe:

a2 - x 2

a 2 + x2 =

x 2 - f l2

scc1 1 COSCC1 í cotgh1 1 cosh1 1

u¡ - 1 - g¡

sec1 / COSCC1 f coigh1 r cosh1 1

1= 1= 1 l m

ig 1 r COtg1 f cosech1 1 senh1 1

T E O R E M A D E S U S T IT U C IO N R E C IP R O C A P A R A IN T E G R A L E S

P a r a la p r i m e r a fila d e la t a b la l e ñ e m o s q u e : x - a eos i x - a ig /^

a 2 - x 2 = a 2[ I — e o s 2 f ] - a 2 sen2 I a 2 + x 2 = a 2[ .

♦ l g 2 f ] - a 2 s cc 2 I

x m a sec i =* x 2 — a 2 = a 2[s e c 2 l -

I ] - a 2 lg 2 l

A lg o s im ila r p a ra las d e m ás filas. C u a n d o el in te g ra n d o co n tie n e expresiones d e la form a a 2 — x 2, a 2 + x 2, x 2 — a 2, se h acen la s siguientes su stitu cio n es: a eos i si c l in te g ra n d o c o n tie n e a 2 — x 2

g il) —

g il) — a tg i

s i c l in te g ra n d o co n tie n e a 2 + x 2

g il I ■* a scc i s i c l in te g ra n d o c o n tie n e x 2 — a 2

E s ta s tres su stituciones se pueden rep resen tar p o r m ed io d e u n triá n g u lo c o m o se in d ica en las F ig u ra s 7-1. 7-2 y 7-3.

F i g u r a 7-1

F i g u r a 7 -2

F i g u r a 7-3

PROBLEM AS R ESU ELTO S P r o b l e m a 7 -1 I

-------

_ ,

C a lc u le

f dx

SC uc«6n.

P r o b le m a 7 -1 1 ^

J xaJx * + 4 S o lu c ió n .

Sea x - 2 tg r

Jx * + 4 - v

4lg7Y +

*! '«" !

Com o x •• 2 lg i «• sen i -

y 'fxr T~i

- ■¿J“ n ' ,e~ ' * - i/ " " " *'<— ’> 4 sen l

S o ta .

4 - 2 sec r e f — ----- Jx ^ jp n

tg l

4x I 2 X

T E O R E M A O E S U S T IT U C IO N R E C IP R O C A P A R A IN T E G R A L E S

P r o b l e m a 7 -3

S o lu c ió n ,

H a lle

f _____ J

a + b x + ex*

c o n 4a c — b 2 > 0.

u + bx + ex2 = c | x J + -^ x +

+ bx + ex1 «

J j + a —

. Sea x +

a + ¿ x + ex2 ■ j¡- (tg 2 1 + 1) *

Haciendo q = 4a c — b1, leñemos que

ig i. es decir, x =

= ^

ig r -

~ . P o r lamo.

sec2 r. Según la fórmula de sustitución recíproca tenemos que : i . •»i

f. J

dx a + bx + ex2

4c f I ,lJq . . q J sec1 1 ( 2c 8

b \ 2c )

f .

I \

_ _ L .

P r o b l e m a 7 -4

S o lu c ió n .

a + b x + ex*

h 2 > 0.

con 4ac -

Sea x = - ^ (b + 2 c x )- ~ y u = a + bx + ex 2. Entonces 2c

I f I . b Cdu I , i r j z du - ~ 2 ? J i r = i r

f J 7 T

xrfx

H a lle

. .

b — — are tg <V4

c* i ~

2íx + b) ---. según el v/9

problema anterior.

P r o b l e m a 7 -5

H a lle

Jf —a + b .v/x S o lu c ió n .

Sea t = o + b^/x. Entonces ^

- - ¿rO - . ) ' = p

P r o b l e m a 7-Ó

S o lu c ió n .

= ||i- u )y x =

» '« )

(r - a In |r|) I

p - (i - a )2. Por tanto, elegimos g {l)

(

l ) *

<** H a lle f J I +e*-

Sea i — I + r*

1 — I «* e* -> x » In (f — I >. Entonces, sea g {() — In (r — I) y g '(t ) -l.r-

In (r - I ) - In H '- 1* * ' - In

P r o b l e m a 7 -7

”

= -p- |u + b jx ) — a In |a + \ / x | + C

I r - I I + «'■

+ C

f ....* —

H a lle / j

S o lu c ió n .

¿ 4

Sea x = 2 tg 0, dx = 2 scc2 0 40. Entonces I scc

i f g £ Ü ig J v/4 + 4 Íg 2'

In |scc 0 + tg0| + C

T E O R E M A D E S U S T IT U C IO N R E C IP R O C A P A R A IN T E G R A L E S

P a ra co nvertirla al sistem a original em pleam os e l triá n g u lo d e la F ig u ra 7-4. SCC

P o r tanto.

" n l^

F i g u r a 7-5

F i g u r a 7-4

P r o b l e m a 7 -8 S o lu c ió n .

H a lle I = J V a * -

x 2 dx.

eos 0 dO. Entonces /

Sea i > ú s c n U r » a

= ti2

“

senr 0 eos 0 dO »

\yjal — a '

Jeos20

dO -

_ a2 (lsen20 + l o ) + C = a2 {lscnOcos0 + l o ) + C.

E l triángulo de la Figura 7-5 muestra que sen 0 -

Entonces / = j* J a 1 - x2 dx = a1 | y

P r o b l e m a 7 -9 S o lu c ió n .

c .

1 * M + c ■ 10

' I 7

... „ _ eos 0

—

Ja * - x1 „ ... x . 0 = arc sen — . a a

arc sen

I + C -

)

, ■arc sen — + C. a

H a lle / = J J x 1 — a 2 dx.

Sea x *■ a sec 0. dx - a scc 0 tg 0 dO. Entonces

I m a J v/tir ic c i 0 — o 1 scc 0 tg 0 dO = Jo2 tg2 0 scc 0 dO = a2 J(sec2 0 - I ) sec 0 dd = a 1 Jsec2 0 dO -

- a2 In Isec 0 + tg 0\. Según el Ejercicio 9 del Capitulo 7.

Según el triángulo de la Figura 7-ó. scc 0 - y

Entonces

Jn/x2 -

/ -

sec 0 tg 0 - ~

y tg 0 = v/* * g~ ° -

j +

o* - -y x^/x2 - a 2 - -y- In y

° | +C.

a F i g u r a 7 -4

F i g u r a 7-7

In |scc 0 + tg 0| + C.

T E O R E M A O E S U S T I T U C IO N R E C I P R O C A

P r o b le m a

S o lu c ió n . V n

7 ) 3 12

7 -1 0

H a lle

dx.

Se a v/ 2 x ■» v/ 7 i g 0, dx = ^

scc1 0 dO.

sec 0

P A R A IN T E G R A L E S

+ 7*'1Jsec

„

7»'*

Entonces / = 7 * »

tg 0 dO + 7»'1

sec* O + 7*'J sec 0 +

sec* 0 + 7S/* scc 0 + 7W ln | cosec 0 - cotg 0 1 + C.

Según el triángulo d e la Fig u ra 7-7. sec 0 = ' J 2* * + -7-. cosec V 7

- *- [ i ( ^ P r o b l e m a 7 -1 1

S o lu c ió n .

r ♦^

♦h ^

-£ i i ♦*

H a lle / =

ÍT iT v / í ) 3' 2

- tg* 0. x = lg4 0. dx = 4 tg* 0 scc* 0 dO. Entonces

Sea

»- i & O f c * -

-¿ ¡V * 4 sec 0 + 4 eos 0 + C .

Según el triángulo de la Fig u ra 7-8. ------- 4 ( V Í ~ ^ f J ( . + N /i)* '* \ r v

+ - ..-- l . - . U y n r j i 1

. 1/4

F i g u r a 7-9

F i g u r a 7 -6

P r o b le m a

7 -1 2

H a lle /

dx ______

^1 + 6x S o lu c ió n •

X dX — 7 - - f - ? =

J y f\ + 6 x — 3x*

JÁ

fr 3 (x -

3xl ‘

---■ • Sea ^ ( x

- I ) - 2 sen Q.

Entonces

Según el triángulo de la Fig u ra 7-9, eos 0 = Entonces f -

,/ ! + 6x - 3x* y 0 « arc sen ^

= ~ T ( V 1 + 6x ~ 3x* + ~ 7 ~ arc sen ^

3 J V

y /í

(x -

(x I) +

I).

T E O R E M A D E S U S T IT U C IO N

P r o b le m a

7‘ 13

¿p yu r

Sea x ♦ 2 «= ^ 5 Ig

Según el triángulo d e la Fig u ra 7•10. eos

2 x _

3 J ^

- - ' y eos 0 - y

fcnlonccs

2- "

T J ( '/ 3 i e n * “

7 -1 4

Se a x - y , d x -

S o lu c ió n .

Sea z - ig 0. J ; m En to n ces / -

— r + C. +1?

F i g u r a 7-11

S o lu c ió n .

f J

fJ -x J^\ = + H *r

- ■$ - En to nces /- J — ^ 5 —

- J * sec

0 di» -

sen x

H a lle /

+ ^

~ J

sen x

ln |sec 0 4-tg 0 | + C -

+ I + — ! + C -

4- C.

- In

t/x

c o tg x + e o s X

H a c ie n d o la sustitución s = tg

c——

■=- J ~^j~T

sec2 0 JO .

7 -1 5

0' d0

x + 2 . sen 0 ** ___ , / F + 4x +~x3 JT + 4 Z +

- In | yfz1 + I + x | ♦ C — — In j ^

P r o b le m a

H a lle /

2™

sen 0 + C

F i g u r a 7 -1 0

P r o b le m a

IN T E G R A L E S

XdX

s c c íf l‘/ 0 -

P o r la m o . í

PARA

1 H*lícl m31TT4Sm?Frm

/ - J

S o lu c ió n .

Hall*» I

R E C IP R O C A

dx___

se obtiene

P _ | + r7" T - T P

eos x<l 4- sen x~)‘ ' J I - /¡~

7 +"? ' \

4rdr (I - P j f l

2r T "+ :1 /

* jJ -_

J * d - xKI T 7 F

f \

J T T - x * )(l +

2.’ )

T E O R E M A D E S U S T IT U C IO N R E C I P R O C A P A R A IN T E G R A L E S

Desarrollando 4z/fl - r ) ( l +

en Tracciones parciales, se encuentra que

4z (1 - zMI + * F

I . I 2 I - ;

I . ____ I___ 2 1+ r

I (I +

2 ( I -f r ) 3

Entonces

j,n

1+W -í

« 8 -1

R II.

f _ f sen xd (sen x) J ( I - senT x )(l + sen x> J (|

f sen x eos x dx J eos3 x (l + sen x )

du 7¡— -rr " 11 + u)

Í N u la.

L a integral se puede escribir como u du

J _ T «/m - u )(l + u)‘ ”

I T du 4 J I - uI + u 4 J

I I I I - | I I | I I | + sen x - T i n I - n + t In I + u + -«- -j—-— = , In ------4 | | 4 | | 2 1+ u 4 | I — sen x I 2<l + sen x)

Verifique que los dos resultados son equivalentes.

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S Calcule las siguientes integrales empleando el teorema de sustitución reciproca. Verifique el resultado por de rivación. ,

x * dx

j — + C. x1 + ~ X J a 1 - x3

Ja * ~ * ' tí X

Calcule las siguientes integrales empleando el teorema de sustitución reciproca y las sustituciones indicadas 4-

f — dX~7= “ 2 v/x - 2 In | l + N/x).0 (r> = f 3. J I + Jx

í dx J a + b jx

6 .

J*s/x

7. J j r r y j 8.

= -X- [b ’ s/x - a In |a + fcy/xl]. g il) - i 2. ° dx

|X +

I ) » 13 -

- y (X

I )* '3.

ffil)

f* -

- 4 (x3'í " 3 x ,,i + l> + 3 ln Ix 1'3 + l | . 0( i ) = i \

Muestre que la sustitución f = (o + bxT * racionaliza el integrando de es entero.

H alle la s siguientes in tegrales:

si m *

TEO REM A

D E S U S T IT U C IO N

R E C IP R O C A

P A R A IN T E G R A L E S

a r e lg ^ n

R e sp .:

"• f l ^ T T T

. 3

-j +

R e sp .:

+ C

j o ln

R esp .:

J 7 + 8 eo s Q + sen 0 '

+ 2

a re lg

3 + tg y

d d ______

a re lg y

3 + 2 c o s x + senx '

7 1 '« T

13.

14.

f * ... J lg x + sen X

- b

J a * + b * - a lg

+ b

f 3 sen x + 2 e o s x

15>J Tseñ\ TTcwT J

f - L ± JL íI - »g*

J 3 sen* x + 5 c o s ^ x T ’

20.

+ C

í lnl ' * í | - { ,'’ f + c = T ta- r ; ^ 7 “

J a 1 + b 2 + a lg y

sen* x + 3 s e n x e o s x s e n x dx

,f* Jn-cosx?-

2(1 + e o s x j + C

R e sp .:

- | y x — j y ln |2 sen x + 3 e o s x | + C

R e sp .:

— - arcig

ln Ic o s x - s e n x | + C

eo s' x

I H

+ C

v 5

R e ,,..-

- L l n \H tü L + 3 - V g - L c V3 | 2 tg x + 3 + T U |

R « p ..

- —

R rs p .:

—

- —

jr + c

2 1 * 4 - I

21.

* ___________

J (2 - s e n xK 3 — sen x)

eos x J

I + sen x - e o s x

dx.

K esp .:

arcig

>/2

>/3

- x + 2 ln

+ C 'g y + 1

22 .

e o s 2x d x

J eos4 X

+ seni_ x

« « /> .:

- L - l n - ^ - * " 2* 2 ^

^ 2 - sen 2x

+ C

are l g •

3 ,8 2 " — Z J2

C A P IT U L O

F ra c c io n e s ra c io n a le s E n e sie c a p ilu lo se va n a c a lc u la r la s p rim itiv a s d c f\ x )J^ x \ con f [ x ) y g {x ) p o lin o m io s c o n coe ficientes reales y jrfx) e x p rc s a b k c o m o un p ro d u c to d e factores lin eales y c u ad rá tico s. S i e l g rad o t lc f lx ) es m e n o r q u e el d c 0<x), la d iv is ió n p e rm ite e s c rib ir la frac ció n f[x )/ g {x ) en la form a

/ W / f f W - ? ( * ) + Kx)/0<x)

(8-1)

sie n d o q (x ) el co cien te y r (x ) el residuo. C o m o el c á lc u lo d e u n a p rim itiv a d e i/(x) es fácil, el p ro b le m a dc h a lla r una p r im itiv a d c J[x )/ g {x ) se re d u ce a l d c h a lla r u n a p r im itiv a del c o cie n te dc p o lin o m io s c u y o n u m e ra d o r es d e m e n o r g ra d o q u e el d e l d en o m in ad o r.

P o r eje m p lo , el c o cie n te

x p u cd c cxP rc s a r c n la form a

2x4 — 3x + 5 V

m2x+ - l x 2

+ 1)

- 3x + 5

A P~ T ~ \)

S u p o n g a m o s q u e se q u ie r e h a l l a r u n a p r i m i t iv a d c j\ x )lg {x ), s ie n d o e l g r a d o d c j\ x ) m e n o r q u e e l g r a d o d c g {x ) y g {x ) u n p r o d u c t o d e f a c to r e s lin e a le s . E l c a s o m á s s im p le se p r e s e n t a c u a n d o e s t o s f a c to r e s lin e a le s s o n t o d o s d i s t i n t o s y d c la f o r m a x - a. M á s a d e l a n t e m o s t r a r e m o s q u e e n e s ta s c o n d ic io n e s , si g (x ) e s d e la f o r m a c ( x - a , ) ( x - a2) . . . ( x - a j , e n to n c e s e l c o c ie n te J { x )!g (x ) s e p u e d e e s c r i b i r c n l a fo rm a

—

s ie n d o A x, A 2

c ( x - t í,) ( x -

j ) ... (x -

o j

- *1 . . + x - fl,

- A I — + ... + _ 4 x - a2 x -

—

(8-2)

a m

A „ c o n s t a n t e s . El t é r m i n o d e l s e g u n d o m ie m b r o d c (8 -2 ) s e lla m a d e s c o m

p o s i c ió n c n fr a c c io n e s p a r c i a l e s d e l t é r m i n o d e l p r i m e r m ie m b r o d e (8-2). E l p r o c e d i m i e n to m á s s e n c illo p a r a h a ll a r la s A , e s m u ltip lic a r la i d e n t i d a d (8 -2 ) p o r e l d e n o m i n a d o r g {x ) p a r a o b te n e r l a id e n tid a d f [ x ) = c A |(x - a , ) . . . ( x - a .) + c A 2(x - a , ) ( x - f l , ) . . . ( x - a .) + . . . + c A Jx - a , ) . . . ( x - f l . _ ,)

(8-3) q u e e s v e r d a d e r a p a r a t o d o x . U n o d e lo s p r o c e d i m i e n to s e s i g u a l a r l o s c o e f ic ie n te s c o r r e s p o n d ie n te s d e lo s d o s m ie m b r o s d e ( 8 - 3 ) O t r o e s r e m p l a z a r p o r x l o s v a lo r e s fl,.* * ,. . . , f l . O t r o es u n a c o m b i n a c i ó n d c l o s d o s a n te r io r e s . 85

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

, P o r ejem plo.

x a - 23x + 60 _ *| ^ x _ 3 ^ +^ x* -

23x + 6 0

I )(x -

|x -

. ... x P u cd c esc rib ir com o A

x - 1

3 )(x + 2 )

x — 3

x + 2

M u ltip lic a n d o po r el d e n o m in a d o r del prim er m ie m b ro y h acien d o x - I. x ■ 3 y x = en la ex presió n resu ltan te se e n cuen tra q u e A - 2, B = - 5 y C — 4. E n to n ces X a - 23x + 60

(x -

3 )(x + 2 ) "

l)(x -

x -

-S

x -

-2.

x + 2

L a s factores lin eales repetidos se trata n c o m o sifu eran factores lineales distintos. L a diferencia está e n q u e si (x - a ) es un fa cto r lin e a l q u e se rep ite k veces en e l d en o m in ad o r, entonces en ve z d e tener u n so lo térm in o en el d e s a rro llo en fracciones p arciales c o rresp o n d ien te a x - a se tien en k térm inos

x 0 —l ~a

i B (x - ¡ a 7)

+ -

+ (x, -- ^ oHT r

I»-4 »

con 8 ,. B t B m constantes. S i h a y factores lin eales d istin to s d e lo s c u a le s alg u n o o to d o s * repiten, entonces los factores lin eales d istin to s se trata n d e la m ism a m anera y en form a in d e p endiente y los té rm in o s resultantes se sum an. x J — x a — X

P o r eje m p lo , ^

^ jT 86 P “ c d e e sc rib ir c o m o :

x3 - xa - x (x -

l ) 3(x - 2 F "

x -

lx -

1 )J

(x - W

V -

M u ltip lic a n d o po r el d e n o m in a d o r del p rim e r m iem b ro , y en la expresión resu ltan te haciendo x =

I y x = 2. se o b tien e C = Xa ~ X a -

(x - I p c T ^ F

-1

— I.

= 2.

- 2

x - I ^ í x - T F

-2.

-1

lx “

I y _

I,5

- 1. E n to n c e s

x - 2

lx - 2 )J

F a c t o r e s c u a d rá tic o s P o r fa cto r c u a d rá líc o rea l d e un p o lin o m io g {x ) se en tien d e u n a expresión d e la form a a x 2 + hx + c si su d isc rim in a n te b 2 — A ac < 0 ; es d ecir, n o se puede d esco m p o n er en pro d ucto

d e do s factores lineales reales. P o r ejem plo, x ’ — 3x + 4 no se puede fu cto riza r en factores lin eales reales. E l tra ta m ie n to d e los factores c u a d rá tic o s es p a re cid o a l d e los factores lineales, excepto en q u e los n u m erad o res de las fraccio n es ra cio n ales son p o lin o m io s de prim er g ra d o en vez de constantes. E l caso m ás sim p le es h a lla r una p rim itiv a del c o c ie n te / Ix V tK x h d e p o lin o m io s reales, con el g ra d o d e f ix ) m en o r que el g ra d o de </(x) y g (x ) c o n tie n e factores c u ad rá tico s. E s te tip o d e p ri m itiv a s d a lu g a r a do s c a s o s : a ) f[x \ !g ix \ co n / |x ) = cjy'fxl. r una con stan te, y h ) f(x )/ g {x l co n el g ra d o d e / lx ) m en or q u e el g rad o d e g (x ) y o) falsa. P a r a h a lla r las p rim itiv a s del cocien te f[x )ig {x \ . siendo el g ra d o de f [ x ) m e n o r q u e el g rad o d e £<x) y g (x ) u n p ro d u c to d e factores c u a d rá tic o s d istintos.

0(x ) - y ix 2 + b ,x + c , X x 2 + b tx + c 2) . . . ( x a + b jx + c j

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

E n csie caso la fracción J[x )lg {x ) se puede esc rib ir en la form a __________ /U_> _ " j f x ^ T í ^ x + c l ).T 7 (x T +f»1,.x + c j

¿ i* + g j_ " ? + 6 ,x + c ,

A 2x + B ¡ x* + 6 ,x + c ,

A^x _ f B . x * + f»irx + c.

(8*5) A „ f l , constantes. P a r a h a lb r las constantes A „ B r se em plean técnicas co n -4,. f l , . /4,. f l , sim ilares a las in d icad as anteriorm ente.

n P o r ejem plo.

2 x * — 3x2 — 36x — 67 . , 4: 2 x + 3) 50 Puedc descom poner ™

2 x * - 3x* - 36x - 67 (x 1 + 6 x + I 7 ) ( x r ^

Ax +

2¿ ‘ + 3 )

~ 7

. f la 1 °'™ *

(x + I)

x *~ ^ 2x + 3

+ 6x + I7~

P a ra h a lla r las constantes, se m ultip lica p o r el d en o m in ad o r del prim er m iem bro, se identifican los coeficientes correspondientes d e las m ism as potencias de x y se resuelve el sistem a resultante, d e do n de f l - 6 , /) - - 5 . C - 0 y /! = 2. Enton ces 3x* - 36x - 67

2xi -

2x + 6

-5

S i los factores cu ad rá tico s se repiten se m anejan en form a s im ila r al d e los factores lineales re p e lid o s: si x * + bx + c es un factor c u ad rá tico que se repite A; veces e n el denom inador, entonces el term in o d e (8-5), q u e contiene únicam ente el térm in o x * + b x + e. se rem plaza po r k térm in o s d e la form a C ,x + O ,

~ {x l ~

C 2x + D 2

+ ~ b x ~ + c ) r

+ -

C .x + D k t

sien d o C , . / > ,,.... C k. D k. constantes. P o r ejem plo,

— se puede escribir com o

x* -

3x2 - 2 + 4p ‘

A x+ _B

xJ + 2

XJ * L °

+ 7 ? + 4p

M u ltip lic a n d o p o r el d en o m in ad o r d el prim er m iem bro, id entifican d o coeficientes y resolviendo el sistem a resultante, se encuentra que A = I. 0 = - 3 , C — - 4 y 0 • 10, Entonces

1 - 3x* - 2

(xJ + 4)2 P ru eb as d e

la d e s c o m p o s ic ió n

x - 3 _

- 4 x + IO

7 + T

1 ?

en fr a c c io n e s

+ 4F

p a r c ia le s

V a m o s a d em o strar lo s d os resultados básicos, d o s lemas, u n o para los factores lineales y otro para los factores cuadráticos. E n la d em o stració n del Lem a I se hace uso d d teorem a del factor, que d ice que si ó ( * ) es un p o lin o m io y a un real, entonces x - a es u n fa cto r d e ¿ ( x ) ssi ifi(u ) - 0. Lem a /.

S i f[x ) y 0 ( x ) son p o lin o m io s reales, a e R . y si x — a es un factor de # (x ). entonces

existe u n a constante real A y un p o lin o m io real i¡> (x ) tal que

(x - M ( x )

+ m

0 m

“

A* M

+ {x '

a )* M

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

D e fin a A = J[a)/4> {a). E n to n ce s J[á ) - A<j>(a) = 0 y el p o lin o m io / (x ) - -4 #x) tiene a x — a co m o factor. S i >¡/{x) es el o tro factor, tal q u c / |x ) — A<tAx) = (x — a ) ip{x), entonces queda dem ostrada la segunda expresión. D em ostración.

C o n las m ism as hipótesis d el L e m a 1 y si n es un entero positivo, entonces existen n constantes re a le s 'A t, A 2 A n y un p o lin o m io real i/»(x) tal que C o ro lario .

.4 . + — — 2— _ + x - a ( x - a )1

M (x - a)*«b(x) Dem ostración.

+ _ 4 l _ + (x - a f

(8.7) 4>M

P o r el L e m a I existen A „ y ^ , tales que Ax) _ (x - a)4>{x)

tM x ) <p{x)

A. x - a

D c nuevo p o r el L e m a I , existen A „ . l y j i 2 tales que Ax)

(x - a )2$ ( x )

* ,(x )

( x - a )1’

(x - a ) ¿ ( x )

Y , d e n u evo po r el L e m a I , existen A „ . j y

Ax)

(x -

a)34>{x)

(x - a)2

m .

(x -

* 2(x )

tf»(x)

» 2(x )

(x -

x - a

a)<p{x)

A m. t

(x - a )1

(x -

¿(x )

repitiendo n veces, queda dem ostrada (8-7) con >¡/ (x ) » Lenta 2.

A m. t x - a

tales que

a)2

(x - a f

tM x ).

S i A x ) y <fiix) son po lin o m io s reales, x 2 + b x + c es un p o lin o m io cuadrático real con

ó 2 - 4 oc < 0. y si x 2 + bx + c n o es un fa cto r cu adrático d e ^ ( x ) , entonces existen constantes reales A y B y un p o lin o m io real ^ ( x ) la l que

? T

S T

+ w

° JW -

M * + W M

♦ (** -

t a + * t* W

D em ostración. P o r a n a lo g ía con la dem ostración del L e m a I , el problem a consiste en hallar constantes A y B tales que x 2 + bx + c es un fa cto r d el p o lin o m io J\ x ) - (A x + B)<¡>{x). D iv i

d iend o

4>{x) y / ( x )

p o r x 2 + bx + c, y escribien do: 4>(x) = <7,(x)(xJ + b x + c ) + px + r , co n p 2 + r 2 > 0

J\x) =

<h(x)(x2

+ bx + c ) + sx +

E l problem a eq u ivalen te es a h o ra h allar A y B p a ra q u e x 2 + bx + c sea un factor de {A x + B ){p x + r ) - (sx + i ) - (p A )x 2 + (rA + p B - s)x + (r B - í )

(8-9)

H a y do s casos: a ) p = 0, b ) p / 0. C a s o a ) S i p = 0, entonces r # 0, y si A x + B = (sx + í)/r, entonces el p o lin o m io (8-9) es el p o lin o m io nulo, del cual x 2 + bx + c es un factor. C aso b) S i p 0, m u ltip lican d o x 2 + bx + c p o r p/t se h allan las constantes A y B tales que p A x 2+ b p A x + cp A sea id éntico a (8-9); p o r tan to , rA + p B — s = bpA y r B — t = cp-4, o l (r - b p M + p B = s ( — cp-4 + r B = l

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

E s te siste m a tien e u n a s o lu c ió n ú n ic a según la re g la d e C r a m e r p a ra A y B s i r — bp _ cp

p r

= r 2 — b p r + cp 2 *

E s t a c o n d ic ió n la v e rific a la h ip ó tesis b 2 - 4o c < 0 y p ¿

r 2 - b p r + cp 2 «

|r -

bpj

0, p o rq ue

> 0

C o ro la rio . C o n la s m is m a s h ip ó te sis d e l L e m a 2, s i n e s u n e n te ro p o s itiv o , en to n ces e x iste n 2n c o n s ta n te * reales A t , B x, A ñ, B my u n p o lin o m io rea l <¡f ( x ) ta l q u e

/ (x )

A tx + B t

A .X + B .

* (x )

( x 2 + b x + cT<f>(x)

x 2 + bx + c

(x 2 + bx + c f

</>(x)

D e m o stració n . L e m a 1.

L a d e m o s tra c ió n es id é n tic a , e x c e p to d e ta lle s m en ores, a la del c o r o la r io del

L a in te g ra c ió n d e fu n c io n e s ra c io n a le s c o n d u c e a c u a t r o tip o s d e p r im itiv a s : I.

D e m o n o m io s , del tip o a „x ", c o n a K e R y n e N . P a r a la s c u a le s sab em o s que

Í* * * 2.

x "*1

“ “ ■7 T T

D e e le m e n t o s d e p r i m e r a e s p e c ie , d e l t ip o b a?

(x -

; b, a g R , n e N 1

E n to n c e s n >

I =*

h If —¡---------— dj x J (x — a y

n — I «o

b 1 —=-r -----------------------1 - n (x - á f 1

^ g d x = b l n \ x - a\

D e e le m e n t o s d e s e g u n d a e s p e c ie , d e l t ip o ax + b

...

P a r a c a l c u l a r l a p r i m i t iv a d e d i c h o e le m e n t o s e e s c r i b e e n l a f o r m a a ( x — u) [(x -

u)2 + u2] "

au + b

t +

u )2 +

[(x -

P a r a c l p r i m e r t é r m i n o s e t ie n e n ^

2( x - u ) d x

[(x -

u)1 +

2(1 -

____________I

[(x -

u ) 2 + v 2Y ~ l

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

Q u e d a p o r c a l c u l a r u n a p r i m i t iv a , d e l t ip o

: U 1 Vi' raiz d e m ulliPlicidad

+ v lY

I [(x - V

P o r re d u cció n .

u*x + bk

ak(x - u )

T ^ Y dx D y t { x - u ? + v * r dx +

= T ~TTk ,

' [(x

- u)' + C

áx

J [ ¡ X - u )5 +

+ [6 ‘ + fl‘ u ] f *

- J [ f 2 + t:J ] ‘ " P " 1 P

,k ~ '

f J

2 (x -

J"[F T P ]r

= P "

r 2</t

c o n d u c e a l a r e la c ió n r e c u r r e n te

2fc - 3

( V + t’ - f 2 ,.

T F + 7 T

q u e i n t e g r a n d o p o r p a r l e s | z = i, d w =

2, _

b , + a .u

J T b T ^ F T T T 4* =

Í T p + f 2] * " 1 +

2k -

2 ‘k- 1

C o m o s e c o m p r e n d e , e n e l c a s o d e e x is te n c ia d e ra íc e s c o m p l e j a s m ú ltip le s e s t e p r o c e d im ie n to , a u n q u e t e ó r i c a m e n t e p o s ib le , e s p r á c t ic a m e n t e i n a b o r d a b l e . E n e s t e c a s o s o b r e t o d o , y e n g e n e r a l, e s a c o n s e j a b l e e l s ig u i e n t e m é t o d o .

M é to d o

d e

H e rm ite

E l d e s a r r o l l o t e ó r i c o a n t e r i o r d e m u e s t r a q u e la p r i m i t i v a d e u n a f r a c c ió n r a c i o n a l p r o p ia A x )/g { x ) s e c o m p o n e d e u n a p a r t e r a c i o n a l ~ —

<p{X)

[ l a s r a íc e s d e <£(x) s o n l a s d e $ ( x ) c o n g r a d o s

r e s p e c tiv o s d e m u lt i p li c id a d d i s m in u i d o s e n u n a u n i d a d y el g r a d o d e tí»(x) e s . c o m o m á x im o , i n f e r i o r e n u n a u n i d a d a l d e # ( x ) ] y d e l a s p r i m i t iv a s q u e c o r r e s p o n d e n a l a s fr a c c io n e s s im p le s o r i g i n a d a s p o r t o d a s l a s r a ic c s , c o n s i d e r a d a s c o n m u lt i p li c id a d 1. E s d e c ir, f A x)

iH x )

M x + N

m + J ^ 7 * +- +J m * + J(x - ^ +^ * t +™ + f

P a r a d e te rm in a r A

Tx + U

L , M , M N , . . . , T , U y l o s c o e f ic ie n te s d e i¡/ (x), se d e r iv a n a m b o s m ie m b r o s

y s e p r o c e d e a id e n tif ic a r la s . S e o b t i e n e u n s i s t e m a c o n i g u a l n ú m e r o d e e c u a c io n e s q u e in c ó g n i ta s , q u e e s s i e m p r e c o m p a t ib l e y d e te r m i n a d o .

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

PROBLEM AS R ESU ELTO S P r o b le m a

8 -1

( F a c | o n H | l n c a t e d is tin to s ) H a ||c / =

Suponga que -(¡¡ _

S o lu c ió n . Enlonccs

■ _ ^

u y f y

2x + 7 = ¿ ( x + 2Xx - 3) + « x -

,2 a +

í (x

+ T T T

1 ) d x

l ) ( x + 2 )(x -

3) •

IX x - 3) + C (x - IK x + 2)

Com o la ¡denudad se debe verificar para lodos los valores de x. 7 = -l(3« — 2) =» A = -3/2 7 - « - 3 X - 5 ) => B = 1/5 7 = C(2X5) =*C = 13/10

x = l ^ 2 + x - - 2 ■* - 4 + x = 3 =• 6 +

•'

J2JL L M X

3 (X - IX x + 2Xx - 3)

+líxt-T +1 P r o b l e m a 8 -2

= ( | ^ 2_ + J L J \ x — I

x + 2

n _ 4. [ _ ^ _ +

2 J x - l

- -im * - " +y " " '+21*

( F a c t o r e s lin e a le s r e p e t id o s .) H a l l e / =

- J|-c

—

J x |x -

4 zT •

IJ(X + J J

S o lu c ió n . Correspondiente a (x + 1 ? se introducen fracciones con (x + 3)2 y todas las potencias me nores. Algo análogo para x*. x 2 + 2x + 3 — ¡^

E n to n c e

. +

. C . + _ + _

. E ¡- + — y

, +

3 - A (x - IX x + 3)2 + B x f x - IX x + 3)2 + C x 2(x - IX x + 3)2 + O x3(x + 3>2 + £ x 3(x - IX x + 3) + Fx *(x - 1) - A(x> + 5x2 + 3x - 9) + B (x 4 + 5x3 + 3x2 - 9 x) + + C (x 5 + 5x4 + 3x* - 9x2| + « x * + 6x4 + 9x3) + £ (x 5 + 2x4 - 3x3) + F (x 4 - x 3)

X 2 + 2x +

P o r tanto.

I. 2. 3. 4. 5. 6.

C + D + E » 0. /4 + 5 f l + 3 C + -4 + 5 B + 3C + 5A + 38 - 9 C = |. 3/1 - 9 8 = 2. -9/1 = 3.

9 0 - 3E - F = 0. 9 0 —3 £ —F = 0.

D e 6. /I = -1 /3; remplazando esle valor en 5 se obtiene B * en 4 se obtiene C = - 11/27. I . 2 y 3 se convierten en

D + E =

; 60 + 2£ + F - ~

-1/3. Remplazando estos dos valores

; 9 0 - 3£ - £ - - y

i» - 3 r 7 n _ 3 . F _ ° '8 ’ ~2Í6 •

„ . f P o r tanto.

(X 2

+ r 4

+ 2.x + 3) dx

I TS'

I f dx =

- - É *- + T T - -*-St

1 f dx ~

- #

11 f dx , 3 f ~ T7 ) ~ T + 8 J

101x1 + T t a | * - "

+ *6 '

7 +

f dx )T T 3

J' + c '

F R A C C I O N E S R A C IO N A L E S

x d x ___________

P r o b le m a 8 -3

( F a c t o r e s c u a d r á t i c o s d i f e r e n te s .) H a l l e I

x ( x + IKx- + 2x + 5)

S o lu c ió n .

+ l) ( x 2 + 2x + 5) '

C. f D . Entonces 2x + 5

A x + I

x = A (x 2 + 2x + 5) + C iC x + D Xx + I) - C , D - SC.

C = 0

2A +• C + D = I ; — 2C + C + 5C = I ;5 ,4 + D = 0 ; C

f xdx J (x ♦ I K i 3^ - 2x + 5)

Entonces

“

- T , n 'x +

I f dx , 1 f x + 5 4 ] x + I + 4 J x2 + 2x + 5

11 +

= - ¿ ; / l = - -1 ; í> - -y

I xV

2T ~ ¿ T T T "

" - i ln,x+ 11+t J xJ +2x+5 dx+í (x +%+4 “ “

- ~ In |x + 11 + g In |x J + 2x + 5| + y arc tg '■

P r o b l e m a 8 -4

( F a c to re s

d e segundo g rad o repetidos.) H a lle r _

(x 2 -

J (x -

X1 -

S o lu c ió n .

-+ C

+ 1

(x _ i Xxi + 2x + 5)1

x - T

x +

l)d x

l)(x 2 + 2x + ,

+ C

S )2 ' Dx + E

r^ + T T + T + 1 F V K T 1 F *

Igualando los coeficientes de las potencias de x. tenemos : 1.

2. 3. 4. 5.

A + B = 0.

4/t + B + C - 0. 14,4 + 3 B + C + D - I. 20/t — S B + 3C — D + E “ 25/1 5C -

D e 2 . /I -

- B. y d e 3. C =

-1. £ - I.

- 3 , 4 ; d e 6 . E = 4 0 ,4 -

|. y d e 4. D =

Remplazando en 5. 20A + 5A - 9 A + 8/1 - 1 + 4(M - 1 = - I ^

1 -8 ,4 .

4 =

' B "

~ 1a

' C ~ ~ ^4 '

Haciendo x = I en: x 2 - x + I - A (x 2 + 2x + S)2 + (B x -F£Xx - IK x * + 2x + 5) + (D x + £ Xx - I ) D) = /t(x4 + 4x» + 14xa + 20x + 25) + (B x + CXx» + x 2 + 3x - 5) + (Dx + £ X x se obtiene /I = ^ . y usando este valor en 1, 3 .4 y 5. se abrevia el trabajo.

f J

x2 — x + 1 ( * - IM *J + 2 x ~ + w

I f dx , f 64 J x - I + J

(

6 4 ‘ « ) dx , f x* + 2x + 5 J

- ■ ¿ f l n l x - «I - -¡4s ln | x 2 4 - 2 x + 11 - - ¿- a r e t g - ^ y 1 “ ~ k * x J +

dx ~ 8/ (xJ + 2x + :W

+ 5 ~ TT![(* + í

+ 4?

F R A C C I O N E S R A C IO N A L E S

Se a x ♦ I = 2

0. dx - 2 sec3 0 dO Entonces •

Jc c 'íá O

J T Í T + T F '+ 4 ? - “

“ J (4 « g ^ T Í- 4 F "

Por

consiguiente,

P r o b le m a

8 -5

In |x

- l| -

A fT T Jp

|£ ¡rjjr -

In |x2 +

2x + 5| -

X* I

are tg

x + I “ 2

3x + 19

l í

x TT 2 x + S

+ C.

+ W ~ -

+ T T T

+ T T T W

x 3 + 1 ■ .4 ♦ « x + 3) + Q x 1 + 6x + 9»

I - 4 + 3 8 ♦ 9C I - C 0 - B + 6C

. rcx' + Ddx inf

Entonces

m J )

f(x * + l)¿ x

H a lle / J

S o lu c ió n .

0 128

I f

dO ~scc1l f

T T j F - * l0 J l i W

r &

6J < 7 T T r ■ ' J l T T "

* T ^ v V t T i T ^ " ' ”

s> * c

Com pare este procedimiento con el cálculo de la integral por medio de la sustitución x + 3 = :. f ( x 3 + l)d x

f z 3 - 6 r + 10

J V + V)» ' J

Í7 I

■ h | l , + J | .+ 7 7 T _

P r o b le m a 8 -6

S o lu c ió n .

presenta un

. .

<* + » *

+C=

* c

D e te rm in e I

E l denom inador

10 \ .

( T - 7T + - ? - ) * - In|«| + y -

par de raíces triples conjugadas x • ±1 A plicando el método de

Hermitc.

f x* dx ’ J (T T P F

«ix3 * ¿>x3 + ex + d f Mx + N (T + “ x V +J"T T V “

D erivando ambos miembros con relación a x se obtiene x5 (I + x,F

“

(3«ix3 + 2Ax + c X I + x 3) - ( a x 3 + óx3 + ex + «/)4x + (A fx + ATK1 + x 3)3 (I + P p

c identificando los numeradores tenemos que a = 0 . b — I . c ■» 0 . d - ^ , M ■ I. M — 0 .

Po, un,o. / .

+ y J -p jy r -

P r o b l e m a 8 -7 D e te rm in e /

j r +

P T

+ T l" 11 * *'• + C

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

S o lu c ió n . ,4 . n ^

Las ralees del denominador son I + x 6 = 0 ■* x - * - I » x , ■ 1, * , ■ - i , x , ■ ^

- \ i. X , -

" ^

»• 4 i.

+ 4 '

L a facionzacion del denominador es ♦ y J - (I + x W

. . . .

f Mx + \

/ - J —

( f

+ v - ^

Px + ü

. f

♦J

- X y fÍ + I J ( X + X y/i + n

Rx + S

. í

r * "

J T + i

Derivando e identificando. a

I f

T j , ? ^

- j a r e <g x +

S o lu c ió n .

8 -8 |

- p

[ - 4 >"<** -

—T T [ 4

P r o b le m a

(x + — \d x _y/2 J _

In (x * ♦

„ al|e , = j

+ |

- X - jix ________ > / * _

V U { X _ 4 5 ) % !

+ II + 2

*^ 3 + I) + 2 (

T ”

) a r c t g ( 2x - v 3>]

^ 3 )arctg (2 x ♦ ^ 3 » ] * c

x ^ f

I ♦ x4 - I + x 4 + 2x2 - 2x‘ - ( I + x 2) 2 - 2x2 - ( I + x2 - . x ^ H I + x2 + x^23 , f x 'Jx I - I , . J 1+ *

P monees

f Ax + B . C Cx + D . — I ------- ---- -— — dx ♦ I —— — dx J x ( U j 2 - x ji) J ( I + x 2 + x / i)

Derivando c identificando se licnc que x2 - (A x + B ) { I + x 2 + x f i ) + (C'x + O K I + x 2 - x j l ) A + C - 0

*»

B = D - 0

A B + O + A y fi - C y / i - I

« V 2 - O y'2 = 0 « + D » 0 Sustituyendo: s¿Á f

4 J | ♦ X* -

x j2

* ÍE

4 j I ♦xJ ♦x

fF ? w K lfm

v lf f jí

£ * ----------------------

_ Ny j 2 ♦ |-LJ*

i ‘ 'si-- w

í F f ) ' % 7 ' ‘ *J F * f F ( 5 í r '‘1 - £ *

In x

t- L + ^ ♦ Xy/2 ♦ I *

are t g ( x v l - I ) + ^

X2 ♦ X y jl + 1

are I g ^ / S ♦ I ) *

1 “

* '

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

P r o b l e m a 8 -9 S o lu c ió n .

Calcule/

E sia inlcgral es de la forma J f\ ff(x )]g '{x ) dx con g{x) = x 2; entonces

1 = J t p f Í i f + t t Zx dx Haciendo x! = u => 2x dx = du se transforma en / ■ -y

+ ~¡“ du. que es una inlcgral de fracción

racional en u, de denominador con raíces imaginarias simples. Se hace aparecer en cl numerador la derivada del denominador escribiendo:

es decir. j “ - í

ÍT T

■ V

Para transformar la segunda integral en una de la forma cuadrados.

se debe descomponer u2 +

Po r tanto.

u1 + u '+ I

Finalmente.

2 . 2u -t- I + C = — are t g --s/5 v3

n . _ J ^ _ a r c lg 2 « i± _ L 2v-3 ,3

/ = ~4 ln(aí

= - i ln (x4 + x 2 + 1) -

+ C

are tg ^ v'3

P r o b le m a 8 -10 S o lu c ió n .

C a lc u le /

22xx * -- 3x + 7

J x (x - 3 K x - 4)

dx.

L a descomposición de la fracción es _2 x J - 3x + 7 _ = xtx - 3*x - 4)

B x - 3

C x - 4

de donde 2x2 - 3x + 7 - A [x - 3Kx - 4) + Bx {x - 4| «- Cx|x - 3K ■»

A «

x = 3. entonces 16 = —3B

B = —

x = 4. entonces 27 — 4 C

C -

Haciendo x = 0. entonces

7 » 12/4

jy 16

P o r consiguiente.

S i 3 < x < 4. / = ~

ln x

Si 0 < x < 3. / - - jy ,n x Si x < 0 . I

ln (x — 3) f

In |4 - x) + C.

1° (3 — x) + ^

ln (4 - x ) + C.

7, ln ( - x ) - - y ln (3 - x ) +

ln (4 - x) + C.

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

P r o b le m a 8 -11 S o lu c ió n .

Calculc/ - JV t t

E l denominador je puede descomponer como «c*-f I - ( * + l ) ( x * -

—

x ♦

Enionces

' p

+ ______ **±1----- + -----

x + .

_ \ +

E 2 JJL —

JÍ x + ,

+ ,

lo cual implica I » A (X* - x ’ + * * - x + I ) ♦ |px + itfx + I ) (x J Haciendo * ■

1, I ■ J / l •

x + I ) + </r x ♦

*x + I ) ( x * -

x + l)

4 - y ,

Identificando los dcmfts coeficientes se oblicnc 0 - A + p + p+ ± J_ > ¿ L p + q + -

o .

0 - -A + p + -

y v-

P ' + «'

♦ p’ + — ^

*1 ♦ 9 + 9*

D e lo cual deducimos

p - —

l+ v 'J 2 • '—

Entonces , .

i r t

ax t t t

, r J

, r x t_ i j ^

- L V

g , + T—

i + I

P a r a c a lc u la r lu se cu n d a in te g ra l y te n ie n d o c n cu e n ta q u e la d e riv a d a d el d e n o m in a d o r e s 2 x - —

- V a

) ^

Entonces

Para calcular e»U última integral descompongamos d denominador en cuadrados:

+ , „ ( , _ l + x £ ) ' * > írJ ¿ L P o r co n sig u ien te.

1 + J*

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

Entonces

i + n/5 . /

\ +Js

y i« -V 5

V io -

2~ x )

2/ s

l A

4x - ( i +

,rcl»

J5)

^ v i

. «

D e la misma manera se encuentra que

Finalmente. / —

In (x + I ) -

/J *, - L V In (x4 - x J + x 2 — x + I ) + ~ V r I n

VÍP..¿ a g „C „

'J - t -yg). +

C a lc u le I =

^ x + l

a,c ,g 4, - £ - y s ) ^ c J / l O + 2^5

J / 10 - Z j s

P r o b l e m a 8 -1 2

, . - U

¿?* + ' —------- +

— — — rrj-. J (x ¿ + x + l) 3

f ?

S o lu c ió n . P a ra calcular la integral que es de la forma - '*** encuadrados: J W* x

r hay que descomponer x2 + x + I c»

X , + X + l = (x + l ) 2 + 4

H aciendo x + y

z => dx =

dz. Entonces / = - y - • ( y ) J- p - y - jjr -

Com o I - I + z2 - z2 se puede escribir dz ¡• y

Í (i +

Integrando la última por partes con z = u, => u ’ = I ;

z1 dz o + * v

z2 dz

" J o + z * r J (i

+ ?*p" =

V , v= -

zZ jl • Entonces

z . 1 f dz 4 ,1 + _-’ )r + t J t t t ; ’ )'-

P o r otra parte.

Í (i +zj)s dz

Calculando esta última integral por partes con : = o, b ‘ = I, r

z2 dz

T T T W

D e lo anterior deducimos que

“

z2 dz

rrr? F = ( I +"z*)a ^

f dz ■ 2TTT1F + T j T + P -

v — —

| + ; r • En-

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

/ -

J «T + ~ *V

+ T a,C *® r ] + c y rcmP,a,am k* ; CT

de x ;

' - ^ ( í r p ^ 1 (^r

P r o b l e m a 8 -1 3 ,

Ha||c ,

X dx

J ir ^ T S o lu c ió n ,

l a integral es de la forma J / l 0 tx|]t/'(x| Jx . con 0<() = x*. Haciendo x 2 - u ** 2 x dx ~ Ju : Ju Mi _ I .

C o m o u’ — I - (u - IXu2 ♦ u + I). la fracción correspondiente es ■p í r r 5 i 4 Haciendo

■ I . I ■ 34 *

* j ' t t + t •

+ * + " + <'■' * « “ - "

4 ■ y .

Identificando coeficientes. 0 - . - t » p - > f > »

Entonces I -

1•

J JV~1----- í J ur T ^ T T T

- j - y I = A - n = » ^ = — j-. d lL

p*ni calculaf c' ta úl,,ma

teniendoen cuenta

que la derivada del denominador es 2u + I. entonces; « + 2 - - j (2u + I ) + 4 F.s decir.

u’

V"i du"

í J l ^ T i 1t

Para calcular J

+4JV Í T

T T

" T ,n,“' + “ + “ + 4 J i?"+1r+

descomponemos d denominador en cuadrados: * I

* 4 Finalmente. / -

In (u — I ) — -* In (u2 + u + I )

j — are tg — * - ■ + C . y en función de x. Va V*

/ - y l n f x 2 - l | - ¿ - l n ( x 4 + x 2 + I ) - - j j a rc tg - 2*

■ + C . si |x| > I

S i |x| < I se remplaza In (x2 - I I por In ( I - x2|

P r o b l e m a 8 -1 4 |

, .

«»• - ix + 7

J J l x 1 + 4x + 5 S o lu c ió n .

Sea / -

^ 3x + 7 ^ J v / 2 ^ ► 4x + 5

ambos miembros se obtiene

_ |d t t

+ 4x + 5 + c

f—

— — — — •A ld en var J y/2 x ^ T 4 x ♦ 5

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

Reduciendo a común denominador e identificando se obtiene el sistema de ecuaciones: 4a » I 6u + 2¿> 2b — - —3 5a + 2b + c - 7

Entonces

j(c-

)

« „

♦ 4, ♦ 5♦ « J —

Ahora /■ - f

- f

„

------------- L

4 a rg s cn h ( 4

x + 4

^ 3 ^ 2

P r o b l e m a 8-15

)

D eterm ine / -

- -±- , rg sc n h i

v^/

Sustituyendo. / = - l ( x - 9>v/ 2 x i + 4x + 5 +

v/5

f V

■

t X 3

^ v*

argsenh

S o lu c ió n .

- - J- . « - . - i L

+ * ±

+ x 2 Jy/> x *

1 . J x.

+ X + 1

Sea pfx) = J x ' + x + 1 ; entonces

< * 1 + lL+*efel . x

+ x * p (x )

í * 2 + . » * a£* -/ < * > ] ± * f e > L * -./ * * > ].» X 6 - X * p '( x ) I _

X* +

* + 1 iA n se m ultiplicó por la fracción

tX1 -

X ! p )

(X * -

x ‘p)

I-a descomposición de la fracción

x3 + x + I

* <x) = ' x ’f i ' T T ) " a ’x7' R (x | =

Identificando <4 = I . B - 0. C = 1

x\/P~+x +

(x3 +

+ X + T

V + * xx +T*

Sustituyendo en /.

Para determinar I , se hace el cambio x = -j- =» J x = ■

/, =

J ri

----------^ -------

, / p * + 2- » r r r

f ~

dz. sustituyendo

- -

^ v F T T T l + c f

J v " + - + i

Derivando c identificando numeradores. - 2 e = 2 A : + -4 + 2C\ M = - I. C = y

J v:

_J : _____

+ ; + 1

100

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

Sustituyendo. / , - - J z * + z + I + y f -- ¿ J v z* ♦ z ♦ I

- J z * + r + I. + -1 - f

- - V ? T 7 T í + y arg scnh *

d z-

'/3jm

+ 1 con X - I .

f J Z * ~*Z +

Finalmente, / • In (x + I ) —

■* dx - - -p dz. Sustituyendo.

con :

—

x/3

+ x + x * + y arg scnh x

—

arg scnh —

I - x

I +

P r o b l e m a 8 -1 6

H a lle /

x = Y T P / _ f

i j í

Hucicndo p<x) =* - x 3 + I . c - I > 0 y J l

=> - x - z3x + 2 ;

* ____

J (1 + X 2) y / l -

S o lu c ió n .

Par»

F R

determinar /, se hace el cam bio 1 + x - y

r +1 +

- y fz *

dx "

- x 3 = zx + I ; I - x 3 ** z3x 3 + 2zx + 1 =*

^ ( i V r V ^

( I * **) dz

dz = ~ (z * V~'l V *

Sustituyendo.

( I + z2) ¿ _____

J ( l + r T + 4 r2 “ J (.» + 3 + ^ ¿ z + 3 _ Descomponiendo en fracciones simples. I + z3

ÍT T P F + IF

M i + /V

A f.z 4- /V,

(x> + 3 + ^ 8 )

z3 + 3 - V S

Reduciendo n común denominador c identificando, I + z3 s (A íz + N f c 2 + 3 - ^ 1 ) + (A/,z + N (z 3 + 3 + que conduce a l sistema M ■ M, ■ 0

N + A f, - 0 N + /V, - I

A#(3 - ^ 8 ) + Af(3 + v '* ) “ 0 N<3 - y f í) + AT.C3 + ^/S) - I

Sustituyendo.

, -

f ------f -------------------------- - . J z3 + (3 + V 8 | 2^/2 J z3 + (3 -

2 J2

Com o z -

J i 4 I

2 JÍ

>/3 + V 8

~ *-

are tg \ T T ji

U i

J I - ■**p - - n

X______ l

y T R t

1 se obtiene

J j - x* •re if

y r - js

^ I + J2

+ arc *8 “

« J2

- I

V 1 - * * - 1 + sZ E Z ? _ l_

\ ~ 2 jl J

' a r c Ig ^ ^ Z ^ = J l 2^2 x3 - I + v ^ n ^ x 7

X ( l + y/2)________ X j j l .

« V ?

j i í

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

P r o b l e m a 8 -1 7

H a lle

xnxdx I + sen x + eos x

J S o lu c ió n , = 2 Ig y

Sea a - ig y

COS* y

" í i

f ) - —

wn x

+ Ig 1 y )

'+ ■ ■ « sen x<2 + eos x)

| + V

* " C°* * T " “ ^

+ a*)_____________ # ___ du

f ( I + «*V(I + «*) " Jia r + « w w 1

- J 7 r + S ¿ r + -i " f (

In ( ig * * - + | ) + i

du 7

- y In u + -* In (u* + 3) +

7 1"

~ T "

* -4

) i u " ■ ? h , “2 * " ♦

_ In |lg * - J ♦ l | ♦ C.

f <1 + «>* du f/ I " J- ¡íí* - íT r " J\ r « are ig

’•

f I + 2n/1l + u2) J [ 2 a /fl + u J)][2 ♦ ( I - ii* H I ♦ a * f l

E n ,onccs

2u /( l

t t

f I + *n« J sen x ( 2 - f e o s x )

,n |' * r I +

" J I + 2u/ll + a*) + ( I - u*V 0 + * * )

i -* *

" t

=> dx - 2 du/( I + a* l sen x - 2 sen y eos y

_ f

I +~*cn x + eos x

♦ are i g a - l n | a + l | ♦ C - y M

2 Ig y j | l

2 tg y ^ S C C * y -

= [l - „* ! ] / ( « ■

x = 2 a rc ig u

101

éi T T ?

, 2 /3 « + 2 \ + - ¡ m - ) dum

+ C =

( l« , y < 3 ) + ^ - a re ,*

[ ^ ,8 í ] * c

P r o b l e m a 8 -1 8

-J l f r i r * S o lu c ió n .

Sea Í - J y

x -

a* •

y -J-¡£ - ^

dx -

{ [ (I -

l- « *

^du - I y * dx ( f ^ T p • tn , o ~ J l T r r / —

■ j( r j - + y

u *l2a ♦ <1 + a* > 2 aj1 l * u du d-¿*p

a*)*} du

f4 aJ * '

¿ ¿ r ) da = l n | l + a | - l n | l - a| - 2 a r e ig a ♦ C -

* ( ^ r +cP r o b l e m a 8 -1 9

C a lc u le la s siguientes in tegrales red u cién d olas a u n a fu n ció n ra cio n al

q u e se p u e d a i n t e g r a r : » f

x dx

J S o lu c ió n ,

JTTÍ

Sea I

f ,

x ■ a“ *

-f V -

J N/ l + x - f T T x

= ^

+ - ~

+ -

’ J

x J3 x > + 2 x -

I : c| J (X + «)•" + u - «>"

J x - 6a5dx. y

, f J

~ !>J da“ - 1

+ - ^ * ^ - - f C

+ ( I + X) + - | ( l + X )* * + y ( I ♦ X)*'* ♦ C.

+ a4 + a» + a*

+ a +l * * d a -

= 4 < l + X)»'* ♦ 4 < I ♦ x r”

4 “ + * ,T* +

102

F R A C C IO N E S

S e lic n c q u e

x (3 x J + 2 x -

r a c i o n a l r l a l q u e (3 x -

I ) 1'* -

x lx ♦

I W * -* -!> — H fti) o x -

Tomemos a rlu) = u Entonces x - y — p f d x ________ J x j í x 1 + "2x

f JT 0 +

R A C IO N A L E S

l) ( ( 3 x -

I M * + I ) ] 1' 1

y *

S e q u i e r e h a lla r u n a fu n c ió n

A si r p u e d e s e r c u a l q u ie r fu n c ió n r a c i o n a l

y dx - £

~ **

I ________ _________ . - ? !» . - u *) + ij u

du «

PoT ,* n,°-

8udu (3 - u1?

C du - J I + S*"

c) Se quieren hallar funciones racionales r, y r , mies que x + a - rf(u) y x - a » rj(u | Esto implica que rj(u ) - a - rj(u ) + a. Si hacemos r\ - p , + q x y r , - p , + q2. la última ecuación se convierte cn P Í ( u | + 2p,(uto,lu> + q{lu) - a - pj + 2pJ (a^ ,(u ) + Si hacemos 2p,(u|9 l( u ) - a y 2pJ <u|</J(u) - - a. se obtiene pí(u» + q{ = p\(u) * qj(u) .j E n esta última ecuación hagamos p}(u| - pj(u) »

Entonces rf(u) = y

.>/>.! = _ qj(u) /.*/..» = — __ yv arf(u) - A - . Entonces ÜP

|u J + 2 + j , J y rj(u ) . ± | tf* - 2 + - p - } o

Como dx - -y ^2*/ - -jp-J du se tiene que

« Íu - - Jr)d u

/ 2 \,;a f

u4 — I

J 77 +a»>^T(7--5p--J | ü y ^ T j y v (uT^jy " u I Jarrardu P r o b l e m a 8-20 I

....

--------------- ¡— 1 HaBe J T + T • [x(x' + . + !>]■«

por mcd,° *

.....

lus" ,uc,6n

1 ■ X + I + — S o lu c ió n .

f x - I J x T T

Se tiene que 2u du m 11 — J y J dx ■

* ^7 * | j dx, entonces

f x - I I dx 1 * ? + * + i) T ^ * JT T r - 7 dx

f x1 - I

(T + , ♦ i ) " ‘

f x* - I (P T 1 P / T

+ V

(

♦

2udu

i ) ”

■2 Jt+u* “ 2arc,R“ +C" 2a,clg([* +1+"x] ) +C P r o b le m a

8-21

si las raíces a , . a 2

Se a n P y Q p o lin o m io s. G r a d o d e P < g ra d o d c Q . M u e s tre que a . d c Q son reales y d istin tas, entonces

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

S o lu c ió n .

Según (8-2) existe un desarrollo en fracciones parciales de la forma e <2W

A h o ra.

103

K& L x - a,

x - a*

C o m o (x — a .)

í “

P,X)

s i x - x,.

*.4. + ... + A . + ... + —--- — A „ entonces x — a, x — a.

y ix j

-Q

V A» _ ,4-, x - a.

" 'í í t r •

[ * - £

+ -

+ ^

+ -

+ iy

s : * •]= ^

P o r consiguiente.

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S Descomponga las siguientes fracciones en fracciones parciales: 1 '•

7x - 10 I (x T T- T4X2x w i r +m I )'

Kesp.,

4xa - x - 8

2, 3-

x ‘

4 x * + 2x + 8 x ix J + i ) 1 ‘

2 , 3 —— T ' 2x + I x - 4

„

* ' * ■ ■

Re5p :

2 V "

(y + 4 T -

8x xj + 4

* ‘,5 P :

x ~

R esp :

8<2 ¿_ Í t f

- 1

T + T

2x 7 T T

T ^ T

2 + (x i + 2)*

+ w

I6x r w

H a lle las siguientes integrales:

J i e Í V

4- f l ? 7-

J x‘

27-

R e 'p

f (x - I ) dx x( x

11.

J - 6* * x i * *

v * 2 . ' t

( 3x + 5) dx

R" '’ _

+V-

—2

, .

I x + I ,

2 ln | x (x -

f <SX2 x }3-f x !> ^ C ~-

Resp :

ln |x,<2 + 1)21 “

dx f • J lF + T

(Sx* + 6x + 17)

,4- J (xa + x + ¡ p t f T T

„

y y r +,nI“ y i+c

R esp.:

I)11 +

DH-c

4x + I

T 7 T I i + ^ f * r c ,f—

H-4‘ . c » u t

I 7x — I

*• J t t F T T T T F '

10- J

a re tg (x + I ) + C

Re'p : T T T * C

* ít + i ■

*■ ,

R esp.:

+ 2"

+ c

+ C

3 are tg x + C

+ c

104

F R A C C IO N E S R A C IO N A L E S

Muestre que:

«■ U ‘

^ {X ‘ +

Í x *+ 7 " ^

„

l7 ‘

J"< x r + ¡ í + " ' í ) r

3x d x

I" ^

-3

'*•

'4 ( i ? - + V + 1 7 “

- » * T ‘K I| ! ,- T

” • í -^ r r / v “ • í o ^ 3 Í & 21.

+ l) ~ ^

+« * * +C

J t t í T -jr

“ v/5x + O + ^ 8x + 4

< F T X + T)

‘ rc,gT

l2x + 6 - -pT x+

1[ T , I r

+ V T T + T

+ c

*"1*1 + * * " +

^ 5 , - T ta {*, + 3» + ^ * rc « ^

" I I S T J L + - ^ - I n (XJ + V 3 x + i» -

are tg<2x — ^3) + C.

a re t g ^ + l ) - ^ arc tg { - J í x + I».

+ C. + ^

“ re«

L- T

l n '2*1 + )I + 5 ' + c -

ln (x * - ^ 3 x + l ) + -¿-arctg(2x + ^ 3 ) +

C A P IT U L O

In te g ra le s d e l tip o /=

f R(sen x, eos x ) dx

C o m o se v e rá en los p ro b lem as q u e siguen, m u ch a s integrales se pueden s im p lific a r po r m ed io de la su stitu ció n t g y

sen y

= z, o c o m o se puede ver a p a r tir del triá n g u lo , p o r la su stitu ció n . A p a r tir de la re la c ió n sen 2x = sen x eos x se ob-

tiene sen x =

2,4

y eos x =

l- z > m

y tg x =

i + t g2 4

2z 1 - z

1 + *g2y

. C o m o x = 2 a r c tg z, en to n ces dx

2Az

•- tg* 4

E n resu m en , / — e n z. N o ta 1.

rI R

.r M lT F - T T f ) *

(sen x. eos x ) d x = 2 1 ----------- T + ? ----------', q u e es ra cio n a l

S i R (sen x , eos x ) es p a r en sen x, eos x (n o se a lte ra a l s u s titu ir sim u ltá n e a m en te

sen x p o r — sen x y eos x p o r - e o s x \ el c a m b io tg x = z la ra cio n aliza. N o ta 2 .

S i R (sen x, eos x ) es im p a r en e o s x (c a m b ia el sig n o al s u s titu ir eos x p o r - e o s x),

el c a m b io sen x = z la ra cio n a liz a . N o ta 3 .

S i R (sen x, eos x ) es im p a r en sen x (c a m b ia el sig n o al s u s titu ir sen x p o r - s e n x),

el c a m b io eos x = z la ra cio n aliza. 105

106

I N T E G R A L E S O E L T IP O I -

J R (se n * . eos * ) d x

PROBLEM AS R ESU ELTO S P r o b l e m a 9 -1

H a lle / =

sen x + eos x 2d:

S o l “ ' ió n -

- J\

- J I + rJ

t t t t

■

' 1 + « + c

I + r1

- In |ig y + I |+ C

P r o b le m a

S o lu c ió n .

9 -2

H a lle / = 1

=ÍT T 2dxe o s 3 x

Sea 3* -

+ c -

P r o b le m a

S o lu c ió n .

9 -3

i “>

= T

f 4 .T T Z I ^

a rc ,e

are,8 [ J r , g ( ^ ) ] + c

- - J* H a lle / = f J 12 + 5 « g * 2dz

Sea ,g * -

=. Entonce, I - j

" J (,■ + 0 (6 i’ - 1 » 12+ r

Az f f í

z1 - 1

v á á - i )

A h o ra

”

f (:2 - l)& J (zi + l)(3z + 2)(2z - 3)

z2 -

2dz

entonces I = - y J ^ r f W i T

„ y » = Ig i

‘

* T

+ 3F T T

+ IT ”

d 0 " dc

I = (A z + B)(6z2 - 5z - 6) + C (z 2 + IM2z - 3) + D(z2 + l)(3z + 2)

Haciendo en esta expresión z =

y ; C =

De : =

D e los términos constantes. - 6 B — 3 C + 2D = — 1. B =

D = -j^-^ 169

Tam bién de los términos de z \ 6A + 2 C + 3D = 0. A = —

- w

f - 10: + 24

+ I I * W

15 f

“ rctg.- t

10 f

In I 3e a- 2 1 + ^

* ! £ + T ¿ H Jlgí H

| P r o b le m a 9 - « ]

* W J 3T?y + w j 2 T = T "

C a , cu |c í = J

( dx ______

2 eos x '

In 12* - 3 1 + C = - - j ^ l n sec>

+ m ' n l2,g - ? - 3l + c

N|M

Entonces / -

I N T E G R A L E S D E L T IP O I =

S o lu c ió n .

Sea t g y = z =*. dx = y - r -

J R (se n * . c o i * ) d x

107

Entonces / = - 2

Teniendo en cuenta la fórmula. / = y J 3f i

ln ( — \ zz + + JJ lí \

/ I

+ C si I ~ L1 /^ 33

e I - ~

J i

— - + C si I ~ J i

I <

I x/3

Remplazando z en función de x, se obtiene , / -

ln n/3

Vv 3J

1 1 “

<g-f- + V 3 \ — + C si l g - y > > / 3 y t g y < - v/3 ig f - J í

“ Ti

+ tg 6

ln ~ -

------ 7

V + C

- V 3

v/3-«gy

P r o b l e m a 9 -5 | Ha|,e ,

f J

S o lu c ió n . i — I + sen x

< Ig - J <

y/5.

sen x dx I + sen ;x

sen x ___ , _____ . . . _.___, Descomponiendo la fracción j - j- — - en clcmcnios simples se obtiene

sen x sen x

Entonces / ■ f dx - f-r— — ---- . J J I + sen x

x , Para calcular la segunda integral hagamos I g y = z => ax ■

i:ntonc«J-|“

” y =

" - ¡

2d : j- +

+ C - " y j +-, + C

------ + C .

P o r tanto, / = x

tg y + 1

P r o b l e m a 9 -6

S o lu c ió n .

H a lle / =

— p r. f -------------------------------J a eos x + b sen x + C

Esta integral es de la forma J R (sen x . eos x. tg x ) dx.

Haciendo i g i = e -

dx = r “

Entonces / - j ,c _ g„ , ^

+- f

H ay que distinguir dos casos, según que el denominador tenga raíces reales o imaginarias. Prim er caso. Raíces reales, es decir, a 3 + b1 > c 3. se descompone la fracción racional en fracciones simples: para eso se determinan A y B tales que B

<c-a)z'+2ftz+«

E„ , _ 2_

¿ (

+ x |

). 8

c —a

b -f

L z ^ Z H Z ).

c —a

J a } + b* - " c 3

108

IN T E G R A L E S D E L T IP O I - J R (»en * . eos * ) d u

P o [ ,an, „ . , _

- J — —

c - u

ln (c - a)z +J> - J a 2 + fe3 - c 3 + c

J a 2 + b2 + c3

(c - a)z + fe + v/a3 + b 2 - c 2

(c - a) tg y + fe - v 'a 3 + fe3 - c 3 Remplazando r en función de x. / • — — -------- - In -------------------y/a2 + fe3 - c* (c - a) tg y + fe + v 'a 1 + fe3 - c 3

cn,° nCCS

Si j (c - a> tg y

+ fe j > J a 3 + fe3 —c3

S i j (c - a) tg y

+ fe I < ,/a3+ fe3 -

./ ti3 +W-~¿* _ (c _ d) ,g x _ fe

, In

N/ar "+ fe¿ + c 3 Segundo caso.

■* C ^ a 3 + fe3 —*c* + (c — a ) tg y

+ fe

El denominador tiene raíces imaginarias, es decir, a3 + fe3 < c 3. H ay que descomponer el

denominador en cuadrados para reducirlo a la forma I —j — j z +m (c - fl)r3 + 2¿z + c + a = (c -

a ) (z 3 + 2 — y c —a

i + * ’ a \ = c —a i

- Entonces

'• A 'lF 3 = 1 í W

' !' Í

(c — a)z + fe

. Remplazando z en función de x, / =

. ^

+ fe — + C. - a 3 — b2

(c - a) tg y

— are tg J e 1 - a1 - fe3

Integrales d e la form a / = J R (eo s3 x, sen x ) eos x t/x y J = f R (sen3 x. eos x ) so r x dx. Se hac* sen x = 2 p a ra / y eos x = t para J , y se obtienen fracciones racion ales e n z.

P r o b l e m a 9 -7

S o lu c ió n .

C a lc u le /

tg x t/x 1 + eos X ’

Sea eos x = z => —sen x dx = dz. Entonces / = —

Ahora * r +

l) " 4 + 7 T T

. , ; u 0 H acendó { . =

-*■ a ~ \ ^ B _

1- ^ —

+ *■) + »-*• i

- y

i - y y y .

4-C.

IN T E G R A L E S D E L T IP O I -

Esto supone que ■

109

> 0. es decir, e o s x > 0.

S i eos x < 0. / - lo 1 * -eos X Afolo.

f R ( u n « . co* » ) tf>

+ C.

H alle esla integral haciendo tg j- - ?.

j sen" x dx, J - J eos" x dx. Si m es un entero positivo, se expresan las potencias cn funciones lineales del seno y coseno dc ángulos múltiples. S i m es un entero par.

Integrales dc la form a / -

se hace tg x « z ; si m es im p a r se hace para /. eos x - z y para J . sen x ■* z, lo cual las reduce a una fracción racional cn z. Si / — J tg " x dx. se hace tg x - x ; si m es p a r se puede hacer eos x ■ : o sen x = z , según q u e m sea positivo o negativo.

^ , 6 . Calcu le / ® Jeos6 x dx.

P r o b l e m a 9 -8 i S o lu c ió n .

Cuando se va a integrar una potencia par del seno o coseno se debe expresar la potencia cn función lineal del seno y coseno dc arcos m últiplos. Para ello hagamos C O .. + I » . . - » eos x — I sen x ■ r

I |

= cosx . 2

P o r consiguiente. eos* x m 2 « (u “ * -

[ “ * + •>* + 6 u iV + » ’ ) + I5 « iV (u j «• v2) + 2 0 u V ]

Teniendo cn cuenta que 2 eos px eos6 x -

+ IS m V + 20u'«'‘ ♦ I5uj r 4 + 6ur6 + r 6) -

uf + * f y I = ur, entonces

(2 eos 6x ♦ 12 eos 4x ♦ 30 eos 2x ♦ 20) -

eos 6x +

eos 4x +y y eos 2x ♦ j y

D e donde

1 " ~ k j COibxdx ♦ ■ ¿ fC054x‘fJC + ■ eJ® *2*- * + = T52*

P r o b l e m a 9 -9 S o lu c ió n .

6x f

C a lc u le / -

4x +

** +

x + c

I ) are sen 2 x dx.

f (x a -

Integrando por partes, tenemos que u •

a re sen 2 x »

■ -

Xa — I •

P*. P ■

y/l - 4X1

Entonces / -

“

4- (x 2

3 ) are sen 2x

- i-f

x Z . M z-dx.

5 J V I - 4xJ

Para c a l c u l a r e s t a ú l t i m a integral h a g a m o s I

p “ '* mo Í 7 r = # - ^

' F

« —

2x ■

sen 0

2 dx -

eos

3 ... „

* ¡ ¡ r ----------- “

•*

y J “ "‘ 0* -

t J

- • *•

Para calcular Jsen3 0 dO. que es la forma J sen" 0 d6 . con m im par, se hace eos 0 =■ r =» - se n 0 dO Entonces J s e n 'O d O -

-J (l -

x*)dt - - y -

t + C - y eos* 0 - eos 0 + C

dz.

110

IN T E G R A L E S D E L T IP O I = f R (sen x . co» x ) d x

P o r consiguiente. f J l

^ x * dX = ^ ( y " 5’ 0 - c o s 0 ) + y « * ®

+ C « - ¿- c o s 0 (c o s 2 O + 33» + C

y remplazando 0 en térm inos de x. í^

" '< "

- ¿ - y r - 4 P (M

- 4x1 4 C

Finalm ente. / = - j (x 2 - 3 )are sen 2x - - ¿* (1 7 - 2x2) v/ l - 4x2 + C

P r o b l e m a 9 -1 0 S o lu c ió n .

H a lle I = J l g 5 x d x .

Haciendo eos x - z

- sen x d x = dz. Entonces

- - — U -------- K— + ln eos x + C 4 eos4 x eos4 x

I n te g r a le s d e la f o r m a / = f R { x , s e n m x , e o s m x , s e n n x , e o s n x , . . . » d x . e x p r e s a n l a s p o te n c ia s y l o s p r o d u c to s d e l s e n o y c o s e n o e n f u n c ió n lin e a l d e l s e n o y d e l c o s e n o d e a r c o s m ú ltip lo s , lo c u a l n o s c o n d u c e a in te g r a le s d e l t i p o f x " e o s b x d x y J x " s e n b x d x , q u e s e i n te g r a n p o r p a r te s h a c ie n d o x " = u y e o s b x = v ' o s e n b x = o".

P r o b l e m a 9 -1 1

S o lu c ió n ,

H a lle / =

t 500 3sen x

r* d x .

com o-g ü ^ -- a * " * - * * " * » sen x sen x

. 3 - 4 son' , - 3 - 4

- | . 2 c o . 2x.

Entonces / = f ( l + 2 eos 2x )r* dx = Je* dx + 2 feos 2x r* dx = r* + 2 feos 2x r* dx Para calcular la segunda integral hacemos e " = u => u

= e " ; eos 2x

= c’ =>

—y

sen 2x

Entonces J V eos 2x dx = y r* sen 2x — y - j e 1 sen 2 x dx

( I)

Para calcular esta últim a integral hacemos e* = u ^

u ' = e*; sen 2x = d1 ** i>*» — y

eos2x

P o r consiguiente.

Je*sen 2x dx =

- y e* eos 2x + y £ e * eos 2x dx

D e ( I ) y (2» obtenemos fe* eos 2x dx - 5c*(2 sen 2x + eos 2x) + C Finalm ente, / - e*(IO sen 2x + 5 co s2 x + l ) + C

( 2)

IN T E G R A L E S D E L T IP O I = J R (te n x. c o t x ) t»x

P r o b l e m a 9 -1 2

111

Ca lcu le / = J x eos2 x dx.

S o lu c ió n . Sea eos* x - — * ^°S2x . Entonces 1 » ~ j x dx + y J"k eos 2x dx. Calculando la segunda I y eos 2x = v -* v = y

w -

integral por partes, haciendo x = u

f x eos 2x t/x = y sen 2x — y J s e n 2x dx = y sen 2x +

sen 2x. entonces eos 2x + C

F in a lm e n te ,

I = ~

+ —- sen 2x + y eos 2x + C

In t e g r a c ió n d e r a d ic a le s

In te g ra le s d e l tip o j R (x , J a x

S i a > 0. e l c a m b io y/ax * + b x + c = y ja x + i ra c io n a liz a e l in te g ra n d o .

S i c > 0. e l c a m b io y ja x 2 + b x + c = tx + y/e ra c io n a liz a e l in teg ran d o .

S i a < 0 , c < 0 . e l c a m b io y ja x 1 ~+ b x + c = (x - a )r, sie n d o t

+ bx + c) j x

u n a d e la s ra íc e s de

a x 2 + b x + c , ra c io n a liz a e l in te g ra n d o .

L a s fu n cio n es ra c io n a le s a q u e co n d u cen esto s c a m b io s so n d e c ie rta c o m p lic a c ió n , p o r lo q u e se p re fie re e l m éto d o d e re d u cció n d ire c ta . A l h a c e r y = y ja x 2 + b x + c . e l in te g ra n d o se puede d e sco m p o n e r en ele m en to s sim p les, y q u e d a lu g a r a té rm in o s d e la fo rm a í* .— _'X” --- - 1 ------ -— . siendo H . . . . J y ja x * + b x + c J (x - x r > x J + b x + c /. u n a ra iz d e m u ltip lic id a d m. L a ú ltim a in te g ra l se c a lc u la h a cie n d o x - ) .= r. q u e la tra n sfo rm a en P a ra c a lc u la r

f J

x " dx — ^ m p ^ jjjy Q 0 n e g a tiv o , se p o n e en e v id e n c ia la d e riv a d a n/<íx* + b x + c ,

d e l d e n o m in a d o r, lo c u a l la tra n sfo rm a en - ■

1 --J - "y/A z 1^- B z + c

I * ___

{ ? =-=- q u e se in te g ra p o r p arte s h acie n d o

y ja x 2 ~+ b x + c

F in a lm e n te , e l p ro b le m a se red u ce a l c á lc u lo d e in te g ra le s de la fo rm a l — — C d v + bx + c I — - — . P a ra c a lc u la r I — se d esco m p o n e a x 2 + b x + c en J X y/ax 1 + b x + c J y ja x 2 + b x + c

c u a d ra d o s, q u e la tra n sfo rm a en

P a ra c a lc u la r J b)

f— , X y ja x

f - - r y 2 — — si a > 0 y en f f 2 J s/m J J yfz 1 + k

— se h ace x = -J-, q u e la tra n sfo rm a en + bx + c 2

s i a < 0.

I * J y/A ^ + Bz + c

S i / = f R ( x . y j a x + b )d x . se hace a x + b = z \ q u e da lugar a una fracción racional

en z. / = f R (x , y f a x + ~ b , y je x ~+~7) d x ; se hace a x + b = r 2, lo cual d a lugar a una fracción racional en z y yj~Azr + B z +~c. c)

Integrales del tip o j ( R . xalh. x “'•........ x "* ) dx.

H a cie ndo x = t“ co n u = m .c.m . (ó, d , ... . s).

112

IN T E G R A L E S D E L T IP O I -

In te g ra le s d e l

upo / = J* [x .

H a c ie n d o * * — . ex 4 a

f R <»en * . co* * ) d*

) " . ( ^ ±

= t". u = m .c.m . (fl. y

A ) ’ ....... ( ■ £ ± A ) ' ]

v). la tra n sfo rm a en una fra c ció n ra c io n a l en i.

In te g ra le s d e l tip o / = f x "(a 4 b x "Y d x . lla m a d a s b in o m ias, s o lo en lo s siguientes

caso s es po sible ra c io n a liz a r e l in te g ra n d o ; en lo s d em ás co n d u cen a fu ncion es trascendentes.

aso

| p > 0 . se d e s a rro lla (a + b x Y p o r N c w to n . p en e ro j ^ < ^ ^ d e s a rro lla (a + b e " ) ' p o r N c w to n en e l d e n o m in a d o r y

c e a u n a d e l tip o d.

— e n te ro ; ca m b ia n d o ( a 4 b x ") - I* (u = d e n o m in ad o r de p). w

C aso 2.

C a s o 3.

—

+ p e n te ro ; debe d iv id irs e (a + bx“ Y p o r x " y m u ltip lic a r x " p o r x*F. y se

redu ce en to n ces u l caso 2.

, , _ --f ----------- X ± 2 --------- d%

P r o b l e m a 9 -1 3 | Ca|cule ,a ¡n,

J (x S o lu c ió n . / .

D e s c o m p o n ie n d o ^

j s e o b n e n e * - j- | — I 4

— 4 í f

J >/5 r T T

—

— — | ■ E n to n c e »

In (x 4 >/ 5 T~ T T ) + 3 f

j (X - I K / F T T

P a r a c a lc u la r la seg un da in te g ra l h a g a m o s x — I ■ y

D e s c o m p o n ie n d o e n c u a d r a d o s . 2 z* 4 2 j 4

_ _

•

dx_____________ f

C J (X -

J _

I -

~ —=

J (x -

íx

■ — y

i» /^ T 7

, lo cu a l da

J y / Í P * 2l + Í

4 * 4 y

J = 2

ln ( J t - ; + - L v y ? T r 2 m

♦ ~ J .

P o r la n í o .

í)+ c

Remplazando ; en función de x.

■ - ^ ,n(^h- +T +^ l/ii?T Fr T ^ r» ,) +c -

Finalm cnie, / - In ( x 4 N/xr 4 _ í )

^=- In

j | X

4 - ^ jr y jx ‘ 4

I J 4 C.

IN T E G R A L E S D E L T IP O I -

P r o b le m a 9 -14

S o lu c ió n .

C a lc u le / = f — J I\ -- xx jJ\ I --

J R (san « . co» m) á *

113

dx.

x2 1

Sea x » sen 0 *> dx = eos OdO. Entonces / — f NCn ^ * cos & co% g jg j l — sen o eos u

H aciendo tg 0 - z - * d 0 -

¡ 7 ** obtiene /

+ |t d i.q u e es la integral de una

Tracción racional cuyo denom inador tiene raíces im aginarias simples, z + I 1P ~ ^- 2

+ 1X¿T + I) "

cz + d

az + b ~*r ~ -

z + I » (uz + ¿>Xz2 + I ) + |rz + d>(z2 - z + I)

F T T

Identificando coeficicnlcs se obtiene ( 0 » a

+ f

) 0 — fc + d — e J l - a + c - d \ I - b + d

Entonces / -

- J"

a -

—I

ó c d -

2 I -I

- dz ♦

‘

z ♦ 1 (z* - z + I * * ' + I )

-z + 2 ** - z + I

z — I r2 + I

dz. P a ra calcular j* ^ Z_ _ ^ -y- dz se hace aparecer en el

num erador la derivada del denom inador haciendo z — 2 - y (2z — I ) — y . D e donde

-> P a ra calcu lar la integral

—

^ y se descom pone en cuadrados

z* - z ♦ I.

P o r consiguiente.

J i ^ T T T

Entonces

- Í p

^ 2 *1

+ T

( #

*r * — 1 *

" T

Para calcular

)

‘

* c ■ ' ^

~ >/5arc tg ^

,r e ,,' V

* + C.

dz se descom pone en elem entos sim ples y

Í 7 T T

^ T

D e donde / = — j- ln (z1 — z + I ) + ^ 5 are tg ^

- i

t a «' ■ +

+ C

+ -1- ln (z* + I ) - are lg z + C — >/3

y ln

Rem plazando z en función d e x. z = lg 0 -

/ - - y

+ >/* are *« —

-, — y i - sen1 0

- are tg z + C

-* ^ 1 - x1

lo cual d a. finalmente.

- are sen x ♦ C

ln (1 - x /1 - x1) ♦ ^ 3 are tg — v^ O “

x )

' +

114

IN T E G R A L E S D E L T IP O I = f R ( t e n x . c o t x) d x

P r o b l e m a 9 -1 5

C a lc u l e /

f J J x ( x - a)

S o lu c ió n .

Para reducir la integral a la forma f ^ — hay que descomponer a x(x - a) en cuadrados. J y/P + k x(x

P o r consiguiente.

P r o b l e m a 9 -1 6

C a lc u l e I =

f J

+ 3x - 9 x 2

Com o a < 0 hay que reducirla a la forma f ■■ *** — . para lo cual hay que descompon 4 + 3x - 9x2 en cuadrados. •» y jm‘ — T‘

S o lu c ió n .

--•[(■-i ) *

) ' ]

P o r consiguiente,

(

' % - M

' í i F r F T 7 ' 4‘" “ y - 4 - are sen 3

P r o b l e m a 9 -1 7

S o lu c ió n . dz f

C a lc u le /

1 + C Jtf

*** v/x2 + 2 x eos a +

Esta integral es de la forma f

I a > 0 ; es necesario reducirla a la forma

v/ox3 + b x - c

l ■■ . —. para lo cual hay que descomponerla en cuadrados. J fz 1 + k x 2 + 2x eos a + 1 = (x + eos a )2 + sen2 a Entonces / “

I- = In (x + eos a + J ( x + eos a>r ^- senr a + C J ,/(x + eos a)2 + sen2 a = In (x + eos a + N/xi + 2x eos a 4- I + C

P r o b l e m a 9 -1 8

C a lc u le 1 = f — x j\

J x./l + x2 + x J

S o lu c ió n .

dx . se hace x = — ^ Com o es de la form a f — J x ja j i x 2 + bx + c 2

/ -

- f

xz> J/ P? n n ‘

dx = -

Entonces

IN T E G R A L E S D E L T IP O I -

( A(m

*. cw

115

S i x > 0 . z > O y 7 ? - x ; por consiguiente.

= - *í yJZ* ^ +r I ‘ - tah + ^

rTl + c

Remplazando z en función de x / - - In ( y

+ j / y - + I ) + C - In f

+ ** - 1 + c

S i x < 0. l < 0 y y / P = - z. Entonces

Remplazando z en función de x , -

P r o b l e m a 9 -1 9

b ( ^

) + c - h ^

Calcu le 1 = f V 4 + 3x -

+ c

9 x a </x.

S o lu c ió n . Esta integral es de la forma \ Ja x * + fex -f c con a < 0. E l m ejor método para resolverla con siste en reducirla a una integral trigonom étrica. para lo cual hay que descomponer 4 + 3x - 9x3e n cuadrados.

-„. +* +4-9[-£-(,-i)‘] Entonces

Hagamos x - y

/ - 3j

Com o sen 0 - ^

/ -

- (> - ¿

sen 0 •» dx -

- JJ V

(* "

T )" *

eos 0 dO. L o cual da

co s0 d 0 - 3 - ^ je o s 2 OdO -

- 3 ^- sen3 0 '

) ']

- . 0 - are sen

+ eos 0 sen 0 )

y eos 0 - 1/ 1 — " n ~ r 17

■ 1 L y ií

>/*~+ 3* - 9x3 v

Finalm ente, remplazando 0 en función de x. obtenem os: - « re * m — y/n

P r o b l e m a 9 -2 0

C a lcu le la integral / -

f x 4 / l - x * dx.

S o lu c ió n . E l método más simple consiste en reducirla a una integral trigonom étrica, haciendo x - sen 0 • Entonces / -

sen4 0 eos3 0d0

Com o j*sen320dO

= j*y (1 -

eos 20)

dx — eos

* sen320 d0 - y

- y (20 - sen20 eos 20) + C

- z - 2eos 20dO - d z . Entoncesj*scn320eos20 d0

y j z 1dz

/ = - ¡y

(20 -

0 dO

para calcular

Js e n 30d0

la segunda integral se hace sen

- y - ♦ C - y sen3 20 + C ; por

sen

20eos 20) -

sen’

- y jsen320eos 20d0.

20 +

unto.

116

IN T E G R A L E S D E L T IP O I = J R («en * . eos * ) d*

Remplazando 9 cn función xlc x I =

2x^/1

[2 are sen x -

- ’x 1 (1 - 2x2) ] -

o la .

forma

/^ -^ 1

+ C = y are sen x

(dx* + 2x3 - 3K/1 - x 3 + C

- 8x3( l - x2) ^

Si se escribe f — ' - * * dx- f —— J y/l - X 2 J J\

- f - X*

—7 ———

. hay quecalcular dosintegrales

dc la

J V 1~ *'

x^dx____

yjax 2 + bx + C

P r o b l e m a 9 -2 1 |

D c ,c l m i n c

, _

•» v * - « + \/3C -

S o lu c ió n . Se puede descomponer la integral cn dos más simples, m ultiplicando numerador y denomi nador por yfx — a — y/x — b. __________ 1_________ — ___________ J x jr ^ ~ a + j r ^ b

Entonces / -

— a —Jx

< v r^ ¡ + j r ^

— b____________

j r ^

_ jr ^ b )

( j V * “ fl dx - J v x - b ) dx =y

— a - Jx

—b

* - « - <* - b)

[ y (x - a)3'2 - y (x - fc)3’ 2J + C =

B * ~ a y j x - a - (x - b \ fx ~ ^ b ] + C

Nora. Esta descomposición es posible únicamente cn casos particulares. Dc lo contrano. hay que aplicar e l método general relativo a las integrales de la forma |R (x . J a x + b. y/ex + d) dx, haciendo, por ejemplo, x — a = u2. Este método reduce la integral a la forma | ----— —. que se debe integrar descomponiendo J u + Jir + a - b u~ cn suma de elementos de la forma

u + Jüs + a —b

P r o b l e m a 9 -2 2 ,

Jul + a —ó

f ———.

t a)cu|c # = ,

C a lc u le I =

J Jx J x + + ^¿ xx

E l m étodo consiste cn hacer desaparecer los radicales por medio dc un cam bio de variable. Sea x s : 6 ■» J x = 6z* dz.

S o lu c ió n .

Entonces / - 6

que es la integral de una fracción racional. Com o z3 = (z + I)

(z1 — z + I ) - I. Entonces I - ó jf z 2 - i + l)d z - é j y y - p + C - ó |- y - _

-f z ) - 6 ln (z + 1) + C

Remplazando z cn función de x, entonces / =

P r o b l e m a 9 -2 3 , S o lu c ió n .

i -

Ca|cu|c , _

x + 6 ^ x - 6 ln (V * -*• 1) + C

+ h x ¡ ) „ . dx

Com o es una integral binom ial hacemos 6x3 = <ij =>

« - ( f )“ * " » * ■ - 4

( t ) ,' V w ' "

IN T E G R A L E S D E L T IP O

Entonces / = y a '1 '*

J R (sen x. eos x)

117

+ z)11* dz. que es una integral de la forma j ' R [ x ,( c í T j )

Sustituyendo I 4 z » u* => dz = 4u3 du. Po r consiguiente, / « y a ,(4 - ^ J( u 4 - l ) V du = l a 1'4 4 = T

a3 / u 13 fe5" ( Í F

- 2u* -f u4)d u -

, u* T ’

u5 \ ^ r T ’)

Remplazando u en función de x y recordando que u - ( I + 2)1/4 = a ~ u*{a + fex311'4, finalmente tenemos que ! = -p- (a + fex3)5'4 [ ~ (o + fex3) 3 -

P r o b l e m a 9 -2 4 S o lu c ió n .

y (A<¡ + fex3) + | f l J J + C

C a lc u le / = \ x \ a + fex5)- ,8' 5 + C .

Com o se va a integrar un diferencial binom ial, se hace bxí = ax => x = | ^ J

E ntonces / = ± que es de la forma j*R Jx .

Sea

( f ) ’”

J,-«„ +

„ " » *

= i

zv i

. . . . J dx.

= u5 ~ z - -¿5-^-p y dz -

Po r tanto. I = - a - '*> ( y ) ' ’ J ’^

-z , y ¿u.

( t ) ^

¿U =

j ( J* - “ P " +

) ^

“

..... Remplazando u en íunción de x y recordando que u = | 1 * * J / - J j . (fl + fex5) - '3'5 [ y (a + fex5)* -

= 6 “ 1,9(a + fex5) 1'5, entonces

fe(a + fex5) + -1-fc3] 4- C

I n t e g r a c i ó n d e e x p o n e n c ia le s 1.

S i / = j R (e "* )d x . se hace e"“

= z. la cu al tran sfo rm a e l in te g ra n d o en u n a fracció n

ra cio n a l en z. 2.

S i / = J p (x . e“ . sen m x. eo s m x, sen x . eo s nx , . _ ) d x , se expresan la s p o ten cias y los

p ro d u cto s d e l sen o y cosen o en fu n ció n lin e a l d e l seno y d e l coseno d e lo s a rco s m ú ltip les, que la reducen a J x " e °' eos b x d x y \ x * e " sen hx dx. P a ra c a lc u la r J x *V “ d x se in teg ra p o r p artes, h acie n d o x " = u y e“* = v'. P a ra c a lc u la r J e“

P r o b l e m a 9 -2 5 S o lu c ió n .

eos b x dx o f e " sen bx dx, se in teg ra p o r partes.

H a lle I = J(f lx + fe)3' 2, a > 0.

Es una integral binomia con m - 0 . n = 2 ,p = 3/2.

C lasificación: p - y

/ entero, m

= y

/ entero, —

* p = y

+ 2 ” “ entonces se trata

de una integral binomia en d tercer caso. / = Jíu x 1 + fe)3'1 dx = \x \ a + fex-3)3'3. que está en e l segundo caso

118

IN T E G R A L E S D E L T IP O I - J R (* * n * . c o i x ) d x

H aciendo a + bx '

2zdz

= z1;

= - 2b x '

1 dx.

Sustituyendo, resulta / -

S i a > 0. e l denom inador tiene las ralees z *= ± Ja , triples: t f 1

Azs + B z 2 + Cz + D

~ h ,‘ -

, f

-------------------

Edz

Fd z

, f

+ J <*

+ ,/«> + } ü ~ T f i

D erivando e identificando, resulta que E - 0. B = 0. D = 0. A = - A b1 - 5z* + 3az o----- jt j — <** " «)*

_ , Entonces /

A/ora.

3 b2 , z - J a T a “ 7 ^ ln -----V 16 ^ 5 * +

F -

con * =

Resuelva e l ejercicio con el cam bio de variable x —

P r o b l e m a 9 -2 6 S o lu c ió n .

D" erraine' - I d +

A. G Ja x

+ fc

7 x

senh 0.

Integral binom ial en su tercer caso, m — I. n — 3. p ■ — j

■■ + p = 0.

/ - fx (i + x * )- * * - Jx ~ '(x - 1 + I)- * * dx. con lo cual se reduce a l segundo caso. Haciendo I + x _ i - z- J ■» - 3 x “ ‘ dx = - iz ~ * dz. Sustituyendo.

zdz

I f

,= J -n r? -- _ T j T ^ T ,

P o , u n ,o . / -

In r/ V

S o lu c ió n .

I ,

« '8

(Í í ^

...

I f(2 z + I) -

” ~ T ln(' ~ ” + 1 J F + . + i

+ u ,9 l . + , + | _ ^

T v íW

P r o b l e m a 9 -2 7

z - l

T J 'F T T + T

V j.

)- d°ndt 1 “

y f = T '

D e te rm in e / = J x 2( I - x 2) ,/2 dx.

Integral binom ial en su tercer caso, m = 2, n = 2, p = 4-, m — ■■ + p = 3. M ultiplicando y ¿ n

dividiendo el integrando por x * ' = x J . / ■ j* x 5|--*—

dx = J*x s(x “ * — l),/2 dx. que está en e l segundo

H aciendo x -2 - I - z 2 ** - ~ y dx = 2 : d :. dx ^ - z x 1 dz. Sustituyendo.

Sustituyendo z - tg fl, dz =

» - - i =J-

■

I 5

N ota.

sen4

[e o s 0 sen *0 + j * ** ~^.e—

iOsen’ O +

entonces

. cosO

- J l F W

0 cosO dO

- j —

- - - j eos 0 sen5 0 - y Js c n 6

—

0 dO =

- - y [co s0 se n *0 + - ~ j* í- c o s 60 4- 6 eos 40 - I5 co s2 0 + 10)

| y sen 60 — ^ sen 40 + -y-sen 20 + 100J con 0 = are tg

Resuelva esta in teg ral haciendo x = eos z.

1^ X

IN T E G R A L E S D E L T IP O I -

P r o b le m a 9-28

S o lu c ió n .

\ R (sen x. eos x ) dx

119

H a lle I = J x " 4( l + x 2r , , 2 d x .

Binom ia en el (creer caso, m = - 4 . n » 2. p - — j , -m-^ ■ + />= —2.

M ultiplicando y dividiendo por t** = ( x " 2) " ,/2 = x. I m Jx - ,(x -1 + I ) -1'2 dx. reducida a l segundo caso

H acien d o -íy + I = z~ 2 => - 2 x 'i dx = -

, . j . V

» *

2 z ' 1 dz. Sustituyendo.

= $ P - j *

- -

o sen bx = p‘ .

f “ - u y eos bx = v

Para calcular Jx “ c*” eos 6x dx o Jx * V * sen fcx dx se expresa + e-*. <^’ - «-** j • scn 6x “ -----2-----

eos bx =

la cual la transform a en Jx V * * dx. A imaginario.

P r o b le m a 9-29

S o lu c ió n .

C a lc u le / = J x 2e ~ * e o s 3 x dx.

Com o eos 3x » y [e‘s‘ + e~ 3,,>. entonces / = y J x V ~ ‘ *3 n,dx + y J x V - , " w *dx.

Integrando por partes con x 2 = u, e * ' = & . u' = 2x. o = - y r 4'. Entonces

/ = Jx V

dx = 1 x V

Jx e 4* dx

De nuevo integrando por partes, la últim a integral se obtiene X = u. e*‘ m v-. U- - I. v - y - e4* ; entonces Jx e 4* dx = y xe4* - y J e 4' dx - y

D e donde f x V * dx = I

XV * * ---- ^ xe*‘ + A

xe4' - y j - e4* + C

«r4* + C. Po r consiguiente. A

I - f " |- y - [ ( - l - 3f>3“ + ( - 1 + 3,y JÍ‘ ] - -£■ [ ( - 1 - 3 0 V ‘* + (- 1 4 - 3f)2c _3 a]

+ ¿

[ ( - 1 - 30V * + ( - 1 + 3 / )V 3a] j + C

P o r otra parte, ( - 1 - 3i)2 - - 8 + 6i ; (- 1 + 3/)J = - 8 - 6/. ( - 1 - 30J = 26 + I8 i; ( - 1 + 30» = 26 - I8r.

Entonces I = t * [ y

[- (e 3" + e~ iu ) - 3«*s“ - e~iU ) + I8r(e3u - e _3a) ] J + C.

Además, com o i - — j- y sen 3x = y r (e3‘* — . , [ x2 / . ‘ - e I t I

e3" + e - J<* . f 3a - r - ,a \ I / , e3'* + c * 31* , , 3‘*- , 3‘* \ . 2-----+ ------2 T — ) - T x ( ‘ 4 ---- 5------- 3 ----- 2¡-----J

( l 3 -f>— Y ~ —

- 9 e*—

-e- ~

) ] +-

= y e~ *|x2(3sen 3x - eos 3x) + x (3 se n 3 x +

+ 4 eos 3x) — y (9 sen 3x - 13 eos 3x1 J + C

120

I N T E G R A L E S D E L T IP O I -

F ó r m u la s d e

f R (t e n « . co» * ) d x

r e c u rr e n c ia

P r o b l e m a 9 -3 0 | H a |jc u n a fó rm u la d c re c u rre n c ia p a ra

f— x1

J J 1 -

S o lu c ió n .

Se a / . - f

x“ _l

Entonces

v/ 1l ~ - *x '' V

- f- * " _ L *z ~ ~ . Integrando p o r partes, con jV< T -- r JJ

=■ u. u .ddu u - <m (m -- l)X l l x— " '1 J dx.

d r

- — X v/l — *

d x .

v / l

/ „ - [x " ~ * , / l - x * - (m - I ) } « “ ' J yf\ - x 1 d x ] « - x " -1 + (m -

» J

,.[!

m - I ] = - x - ' y r r ? + (m -

m /. - - x T ~ 1 v/l - x * + (m -

9 -3 1 |

H a „ c

y n a fó rm u la dc rcCu rre n c ia p a ra l m = | -

x mJ T

S o lu c ió n .

I. •

u = — i- r

I) / . .

v 'l- J I 7

es d ecir.

P r o b le m a

- x* +

- l?

Integrando por partes, con

x - « - * ";d u - — (m + l] x " " " * a ,d x : de -

- / l ^

v/l - Xa Entonces l m =

“ J < * * D - p r r r N / T ^ P d x ■* / , ■ ■ r» / „[1 — m — 1 ] — — - ^ . r r - — (m + I ) l m.

- tm ♦ ! « / . . , -

D espejando a l m. ¡ y llam ando m a m ♦ 2 se obtiene (« - !) / „ = -

P r o b le m a

9 -32

- r - ♦ (m - 2 | / . _ j

S i p (x ) es u n p o lin o m io d e g ra d o m en x . halle u n a fó rm u la de recurren*

p a ra l m = J p í x l r - d x . S o lu c ió n .

Integrando p o r partes, con u = p(x>. du - p*(x) dx, dv — e*“ dx. / .- • ip f x y -

Llam an d o

- JV (x * “ dx

P r o b le m a 9 -33 S o lu c ió n .

A jp W

=» — r*’*. Entonces

d *

/— ,

H a lle una fó rm u la de re currencia pa ra / . =

J(2 -

2 x 2r /2 d x . n im p a r.

C am biando x = sen l. dx « eos r d i y sustituyendo / . - v / ? Jc o s " i eos i d i = v '2" / cos" * ‘

1 dl

v 2" / cos“ » eos i di

Integrando por paites, con u ■ eos" i => du — n e o s*-1 I ( - s e n i ) d i y d r — eos f d i => r - c o s í, entonces / . = v/2“[c o s " i sen i ♦ n jc o s * * 1 i senJ l d i] = v a le o s * i sen I + « / , . , - n / . . , ]

I N T E G R A L E S D E L T IP O I = f R (se n x. c o i x ) dx

Despejando

121

y haciendo n + I = n se licn c que I. «

Í-T- e o s ""' i sen f +

—

', “ I

(n - 1K/2- - 1

y sustituyendo i / . = , ' i ( I - x2) 7 ' x + n ~ 1

(n -

lj^ b = IK/2-

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S 1.

H alle la siguiente in teg ral: J

^ i^ Jíx ^ T ~ í) ‘

Su stitu ya

*8 I2 x +

I ) — r.

R e sp .:~ In [ I + sen2 (2x

H alle / -

C am bio tg x = z.

Resp.:

+ I) ]

- p a re tg [ v r2 Ig x ] >J2

H alle las siguientes integrales y verifique la respuesta p o r derivación.

1 f l+fccx - 7f% ~*rC'g( *■ \ 5. . *

° J ^

l ^ l|!^ ) * C (0<“ < a ü b *°-

i a a r e ' 8 ( i r 18* ) + c

^ In (2V * 1 + ~ í + 2x + 1) + C.

— ¿ X- - =

f v/ 2 - x - x 2 J x2

— x — xl i

2 , 4~ (

I J 2 - x - x1 v 2 \ ------ í -------- 4 ~ ) ”

„ se*1 1

/ 2x + I \ 2 ) + C.

M uestre que J * e ~ 'l 2 = e--* |e * - I - x - - y - J + C .

J ó '" , * "

3 !e ' ' (*■ “

I “ * - ■ §! - - f r ) + C

M uestre que: e J 9.

f x a re tg x dx _ - a re tg x I ( I + 'X a? 4(1 + x7? - + 6(1 + x 7)J f In |VT + ? dx = x In x/rT+ ~x2- 2x + 2 are ig x + C.

Í x ’ + T

•7 r % f T -

11.

“ re

(

¡)'

x ’- l

u“

««¡««io n - y -

= X (tg X - sec X) + In (eos x ) + In (sec x + tg x ) + C.

12.

Je - * •

13.

Jv 'Ü T x 4x +

“ ■ J T r ^

= X í- . — secxe*™ ” + C.

— 4

* ln <«8x * v 2 ’g * + ■> +

are tg ( v/2 tg x + I ) -

r T

f ^

are tg ( - J

+ C .,,- ,g x L

In (tg x - tg x + 1> +

Ig x + I ) + C .

(u = v tg x j.

£ = 4 -. u -

y‘-

122

IN T E G R A L E S D E L T IP O I = J * ( u n » . c o i * ) 4 *

C a lc u le la s sig u ie n te s in te g ra le s:

i -f '< 2x-' 17 “

,é - f <2(a^

3CJ F » ~ -

” • ír r H

2x2 4 x 4 I

X og

J -

ÍV

20-

j"v/tg * d x .

T a rc ,R (2 x - , J + C

R eSp :

* C

,s* J (x 1+ «2? + * +TT

Resp

íw

“

'* * ' + c " ' * "

i In (** + 3) 4- - —r- a r e i g - y 4- - — r- a r e ig <X^ - - y y 3 y 3 y 39 y 39

In (2 x 2 4- x 4- 5) 4- C

In (sen x - /sen 2x 4 e o s x ) 4 a r e ig

R «/> .

J + c*

( t g x - y 2) In te g ra le s b in o m ia s. H a lle : » .

Jx - * n + . v « o .

22. J-(2x**

1)2/1 dx.

R«/>..

y (2 x4 + I)* '» + y

24.

a r e t g -2 Q < 4 t

Resp.:

J x 2(x 2 + 3 ) - 1/2 d x .

f --------------«. 7 -- r —

“ frraprJ e o s x e o s 2 x e o s 3x d x .

R « p .:

»•

ÍT T T ÍS 7

*•*■■■ T

" * J x a rc tg y -3 -p -d x .

11 Í t T T T F 13.

i s 1!

1 + C

/ x ^ T S (x 2 -

6) 4- C

- ¿ 1

- X

Reip ;

Kr,f

[ 2 s e n 6 x 4- 3 s e n 4 x 4 6 s e n 2 x ] 4 - y

“ T *f" 8 ( “ I 1 )

( D

a re tg y y y

+ ^ 4- y

4 C

* C

+ c (x 4

I) -

In ( x 2 ♦ 2 x 4 2 ) 4- C

« i1? ? )- + T to' - T l ° " * *’>* c > , « c o . P ,? Ü L

Jy r r p

?>-

Í * '" 'R R

24.

30.

4- C

** —* ■ : ----------V i , - . «r er cs e«n e n - ^ T 4 C J l x

K /x r -- 44 xx 44 1 I J (x - 22k/x3

” ■

In f ( 2x4 4 I ) 1'1 - »3 — ¿ 'n [<2x4 4 I ) 2'* 4

4 (2x4 + I)1'» + I J 4-

23.

,2x‘ - ' & +

*»■ -

ly m

p J

Ü S Ü -1 * C

L y r r p J

IN T E G R A L E S O E L T IP O I -

J R (te n w . eos ■) d *

123

Pruebe que:

4oc

- b* >

para q - 4oc - b ‘ =

para q >/j 53

V fl

-2 2 ¿rn r

J ax 1 +dj¡¡x T e “

2ax + b - J ^ q

para q - 4oc - fc' < 0.

2ax + b + y f- q Verifique las «guíenles fórmulas de recurrencia: coa“ 'x d x

f eos" x dx sen* x “

W 34

f wn“ x dx

(m -

n - m + 2 f eos* x dx

I ) se n " ' *

sen"• 1x

-----Ü ¡ " = T “

|lg “ xdx =

37.

Jc o ig * x dx - -

J ig ¡ *

n-1

¿¿?^ x

>" 14 1

* x d x . n »• I. - Je o lg *

» xdx. n *

3*-

J x*sen x d x

= — x * c o s x + n x * '1 sen x - n(n — I ) ¡X a ' 1 sen x dx.

37.

| x* eos x ¿ x

= x* sen x ♦ a x * ' 1 eos x - n(n - 1) J x * _ , c o s x d x .

n - i + 2 f sen" x Jx

3s- J - W * " “ <W ~ ' tyc o i- »x “ 34.

. .

J ~«cn -*¿ ‘ m *

J x T x ♦ d f ix ,

J x * _ lU - *

H alle:

71. f

***

#«/».: 2arcig>/x + 1 + C

J >/ r T T + >/ £ r r í p 42.

43.

i/x + I +

(X + ¡ f - y / x +

ff J

** + í + X y / Í3 -

„ „

R e ,p

J x »y ? ^ n aa

Resp.

h l V ^ - g l + c | X + V x + I I ¿ r

+ gp- V * ' ~ I - 4 - r c s e n l + C

** “ 1 V * * ~ * -H +

ln (2x - H - 2 Jx * - x + I ) » C

X + 1

45. f J ^ r r ?

* e v . . ^ |n

44.

* * ,.

f * -. J x V T T ?

v/x

' . rc ,g ^ - * V T + C

+1 — 1

« £ L = ^ L V Z .c

~rébA V fi * 4 IIII|^ í t C ” ,. jT77 -

ÍW

^ P P T .

“ T

x<2 + x V ”

* C

d x ______

* y ¿ y \ + $ ?'

50. J e 2‘ sen1 x dx.

Resp.:

-g- (2 - sen 2x - eos 2x) + C

51. |x r * c o s x ¿ x .

Resp.:

-y- [x(sen x ♦ eos x) - sen x ] + C

C A P IT U L O

Cálculo de integrales definidas. Métodos 1. P a r a c a lc u la r u n a in te g ra l d e fin id a se a p lic a la fó rm u la I / d x = F (h ) F (x ) u n a p r im itiv a d c / {x ).

F {a \ sien d o

2 . P o r d e s a rro llo en se rie . S e d e s a rro lla en s e rie d e p o te n c ia s e n te ra s la fu n c ió n q u e se v a a in te g ra r, y d esp u és se in te g ra . 3.

C u a n d o se e m p le a u n a s u s titu c ió n p a ra c a lc u la r u n a in te g ra l

P o r a r tific io s d e c á lc u lo .

d e fin id a h a y d o s m a n e ra s d e h a lla r s u v a lo r. P r im e r a : lo s lim ite s d e in te g ra c ió n se c a m b ia n e m p le a n d o la s u s titu c ió n , y u n a ve z c a lc u la d a la in te g ra l se re m p la z a n d ic h o s v a lo re s en la fu n c ió n a s i c a lc u la d a p a r a h a lla r s u v a lo r . E l se g u n d o p ro c e d im ie n to es re m p la z a r lo s lim ite s o rig in a le s u n a ve z c a lc u la d a la in te g ra l. C u a n d o la in te g ra c ió n c o n d u c e a fu n c io n e s trig o n o m é tric a s re c í p ro c a s , se d e b e te n e r c u id a d o c n e le g ir lo s v a lo re s p rin c ip a le s d c la in te g ra l. N o ta .

S i la fu n c ió n J [ x ) es d is c o n tin u a en x = a , a c o m p re n d id o e n tre a y b, e n to n ce s

f d x = lim

J [ x ) d x + lim

Jt i

J lx ) d x

*Tff+ c'

si c y e' tie n d e n a cero . S i lo s lim ite s d e in te g ra c ió n so n in fin ito s se d e fin e : J *

/ (x ) d x = lim J* f [ x ) d x s i x -• co.

PROBLEM AS R ES U ELTO S P r o b le m a

10 -1

H a lle I

í "

1/2

dx ax

S o lu c ió n .

y j I ~ X*

H aciendo x = sen 0. dx = co sO dO . C uando x = 0. I = p Jo

V* —

-1'2

dc a re sen ( -

| )

= -

. y / l - scn2 0

— - = are sen x

“ ,/J

p J„

= 0 ; si x = -

m oP

■ 7*/6. Entonces

. 6

I | \ n *» a re sen I — _ I ■» — , , puesto que e l va lo r principal

*. 124

CALCULO

D E I N T E G R A L E S D E F IN ID A S . M E T O D O S

125

Este ejem plo ilustra la im portancia de los valores principales cuando se eligen los nuevos lim ites de in tegración para una sustitución trigonom étrica. | S i se hubiera empezado con x - 0 .0 - 0 : i ■ - — 0 = — . . l a solución coincide con la segunda, que es la correcta.

P r o b le m a S o lu c ió n .

10 -2

H a lle /

Sea x + I - z2, dx

y fx + I dx.

-£■

2z dz. S i x = 0, z

I ; x = 2, z = y¡3. Entonces

• 2z dz = J '

/ = J ' iy[ P

\ 2 dz

N o se elige r = — I y —N/3 porque se está usando la raíz positiva en la integración.

P r o b le m a

10 -3

H a lle I =

-r

S o lu c ió n .

3 + 5x '

Sea 3 + 5x - w, dx - dw. S i * = I . w = 8 ; x = 9 . w = 48. Entonces 1 I 48 I I 1 f 48 dw / - y j g V = T ln t v |8 = y (|n 4f* - In 8 ) = - i In 6

P r o b le m a

J*/ 3

10 -4

H a lle /

x/( I + sen x ) •dx.

S o lu c ió n .

Sea tg *- = z. sen x = - p + r p ": *8 *

I -“

T . dx m

S i x - 0. r = 0 ; x = -y-.

: m y/ 2. Entonces

f\» .»

2z ~^p

¡n

2 dz p p

, +

Ahora.

zdz

( I - : 2K\ + 2 2 + : 3)

TT- T

( I - -'XI +

c j

J 0

+TT+IF + I

zdz

(1 - z X I + *> D + z•

D e donde

4 Entonces

P r o b le m a

, .

10 -5

“

T *c "

4 '• D "

« £

’

j *

¿ Q u é h a y d e in c o rre c to en e l c á lc u lo d e la sig u ie n te in te g ra l?

. I

a - e*

2xi

a + e*

“ S o lu c ió n .

= T -B "

T2a"

M l

ln«*

| tl +I " t2í *! | “

I 2u

f I tí - f lJ I ln --- -— y-1 - In \ | a + a2 |

, i , ||- tÍLT í +tl | I J1

tí — I tí + I

= 0

E l dom inio del intégrando es ] — co, In | a | [ u ]ln |o|, + x>[. C om o In |a | está en e l intervalo [0 .2 log |ti|] y no está contenido en el dom inio del integrando, la integral es im propia y. p o r tanto, el cálculo de la integral no es correcto.

126

C A L C U L O O E I N T E G R A L E S D E F IN ID A S . M E T O D O S

P r o b le m a

1 0 -6

C a lc u le la in te g ra l /

Jo S o lu c ió n .

Se calcula de antem ano la integral

y (vea e l Problem a 8-11). Entonces .1 ^ 3

- j V r r “ i-1"'* * 11- ir"’'**-*’ + *’ - *+ '»* 4 -'°—

x + 1 + I

+ c . Flx) 10

P o r consiguiente,

V io - 2 / s

/ - F ( l) — F (0 ) •• -y In 2 +

In f + ^ 20

1^10 + 2 7 5 / + ' ---- (a re tg

V io + 2 / 5

arc tg -:-

3 -75

^ > 0^

3 + Js . - \ + Js V----------- are tg - - - -V -

V 10 + V 5

V 10 + 2>/5

a - b Se puede hacer una sim plificación observando que arc tg a — arc tg b = are tg -j ^ - Entonces

, . i m2 + 4

P r o b le m a

S o lu c ió n .

1 0 -7

„c „ i y

C a lc u le la in te g ra l d e fin id a / = J

x4 ^

r s

4~~j~ •

Hagam os x2 = t. 2x dx = di. Los nuevos lim ites son para x - 0, 1 - 0, y para x — I, t ■ I.

P o , consiguiente. / -

-i £

■

Haciendo aparecer en d num erador la derivada del denom inador y escribiendo f — -y (2t + I ) — y .

entonces

P _

2 L ± 1 _ a. _

4 j 0 7rT 7 + T

i f

4 J o r* + r + l *

Tam bién

l ' - F T f r T ‘" - ' " ' ' , + ' + , > l ! - 1" 3 P a ra calcu lar la segunda integral se descom pone I 2 + I + I en cuadrados: 1. + , + l _ ( I + | ) ’ + . J ;

l o

l T

+ 3

=[ ^ arC,8i7T~ -Í # (*rc,,^ - ,rc,* 'j5 )- ^ (T - f) '2 Finalm ente.

P r o b le m a

o , -

1 0 -8

l l n

J -

í*«/6

H a l l e l a i n te g r a l d e f in id aa / = J

e o s2 x sen x dx.

C A L C U L O O E IN T E G R A L E S D E F IN ID A S . M E T O D O S

127

Sea eos - l. —sen x dx = d i Para h allar lo» nuevos lím ites de integración para x - 0. l - I

S o lu c ió n .

y x - - j- * * ■S2^- Entonces

í;':—

K -r — W

P r o b le m a 1 0 -» | C a k u k „ ;

, , .

- ) - ^

P J

* J 4 -- 9 (x - 2 )s v/4

Jv j S o lu c ió n .

' ‘

* [ ■" ”

[

rf **

P r o b l e m a 1 0 -1 0 | C a la j| e ,

[ - c

- * 'c -

r 1] ,

" TT

í ) ] -

] - T

9 + 16(x - W

S o lu c ió n . ' = ^ - - jy • — =

• T6 [ 4

x -

U r c '8 1 " * rc ,8 0 )

Aquí se tomó la determ inación del arco tangente com prendido entre —

P r o b l e m a 10-11

C a lc u le I =

I *

-y.

a e o s* x + b sen * x

Sea tg x - I ■» dx - y — p .

S o lu c ió n .

*r c , í “

de integración se hallan haciendo x - 0 y

. D e donde l ■ 0 y l ■ I.

Entonces I -

fl-y gp- "

J o

—

denom inador sean reales o complejas.

H ay que considerar dos casos, según que las raíce» dd

y- > 0 (raíces im aginarias^ Entonces

Prim er caso.

Segundo caso.

’ T

- - J3

< 0 (raíces reales). S í - y

H * Kí -

*r e , g 0 ) ’

> I el denom inador se anula en d intervalo de integración

y . por consiguiente, la función es discontinua en ese intervalo. S i - -j- > 1. se tiene que

L - f O - L '! '

128

C A L C U L O D E I N T E G R A L E S D E F IN ID A S . M E T O D O S

S i — ->

I, e n to n c e *

di a T

”

/ — —

lim |

ln F 1/ r -

■ — ■*—

►|

:* •

t y « ' tienden a cero

♦ F ílv

___ > id E ± \ .

* te

lim ln — —

ln b _ - ¿£ ¿b _ b + y- a;

-as

*=* Si

( >

f m

( >

----- —

y c' lleuden a cero. —

f m

—

— - crece indefinidam ente. Po r consiguiente. / es

(* F M * F M P r o b le m a

10-12

C a lc u le /

-r

s e n " x d x . m e n te ro p o s itiv o .

S o lu c ió n . Integrando por partes, con s e n "* 1 x - u *> u = (m - I ) sen " 1 x co» x y sen x = V •> r - — co* x. Entonces

- sen”

1«J f« /J ■x eos x I + (m - 1) 1 sen”

1 x eosJ

x dx = (m - l ) l m 2 - (m - I ) /_ «►

( I)

C om o /

i«ti

Í mi „ *

“ * |.

„

f« / i

• »**• -

t«/a

c“

« J0

Según ( I ) se obtiene que

/, = I

/ » - i

h =

I» “

-3- / 1

1% =

~ 1 f 2^ '«a-**

M ultip lican d o m iem bro a m iem bro se obtiene ,

’ 4

**•*

2p - I -

“

2 . 4 2n_ 7 7 ~ > T 7

« ' T "

I - 3 . . . (2g» — l> Í - 4 .7 ¿ p

2 •4 . . . 2p T * $ ” (2 p + íi)

x ' T

C A L C U L O D E IN T E G R A L E S D E F IN ID A S . M E T O D O S

P r o b le m a

Íal2 -----------

10 -13

o S o lu c ió n .

129

eos x + 2 ' sen x + ce

Sea ig — — z «• dx —

Lo s lím ites de integración son: para x = 0 . z = 0 K , X = y ,

2 = I.

</~ - a— —y . Las raíces del denom inador son im aginarias y. descom poniéndolo <

o 2 2 2 + 2z + 3 - (r + I ) 2 + 2

P o r co n s ig u ió m e .

, -

2 £

„

+ *

+ ¿

l [ J L « e

« ¿ A

L ] ;

L - J

(a re tg s /2 - are tg -^r-) - J

are tg

s/2 ' , a —b puesto que are ig a - are tg o * arc*4g -j— ^ .

P r o b le m a

are tg - J —

l+ > /2 - p \/2

V 2

■/*

10 -14

(

H a lle /

tg3 x dx.

S o lu c ió n . Sea e o sx - : -sen x d x - dr. Los nuevos lim ites de integración son: para x - 0 . z » 1

«11 _ p / - - £ "*

Entonces

P r o b le m a

10 -15

- £

( “* r "

”

[ " T

u - ..

2x 3

S o lu c ió n . Com o x4 + I = (x 2 + l ) 2 sición en fracciones da I

X* + 1

= (x2 + y[2x + IX x* - y/2x + IX entonces la descompo

x + J

2____________ x

V 2 \ x J + ^/2x +- I

- J¿

x2 - V2x + I /

Entonces a l integrar se obtiene /-

>n l

+ J + & x2 — J l x + I + ^

Com o

In 2 + ^

arc ,g (s/2x + I ) - ^ 4

[ arc «g (>/& + I ) - are tg I j -

- In

are tg [ J i x - I>T - ^ Jo 8

( In - ln I ) + \ I 2 - v/2

[a re tg 1^ 2 - 1) - arc tg ( - I) ]

* *** - In (3 + 2^2X a r e t g ^ + 1) - arc tg (/ 2 - I ) = . a,c ,g - .^ - ± ± Z 1 >J2 - J ) _ I + L/2 + 1Xv/2 - I)

. ^

,g ,

C A L C U L O D E I N T E G R A L E S D E F IN ID A S . M E T O D O S

130

Tom ando los valores de b función inversa, are ig x , entre — -y y y

P r o b le m a

1 0 -1 6 ]

„

se n 3 0 dO

. __ f * 7 2

2a b

~ 3o

Sea a 1 + b1 — 2tth eos

S o lu c ió n .

para / -

J ' "

- - w -

[<i*2 - b ^ ^ J P T V

“

0 0

f t l >* ~

S o lu c ió n .

10-17 |

C om o J*

. z ~ a - b : - ^ / « P T ’P .

2 (ti2 + />2b 2 + * 4] d z -

[« “ ■ - *■»'• - 1 ' - ’ +

T - i;:';* 1-

- 4 (a 2 +

+ i

(^ ¿ ^ T T i1)» - (a 2 - fc V fa - b) +

+ £ (a2 + ft2Xa - ft)3 - y (a - Ó ) 'J - ¡ ¿ g r W ® -

P r o b le m a

eos

» i ' ■* la b x n O d Q =■ 2i d i.

Lo s nuevos lim ites de integración so n : para

E n to n c e s

se obtiene

D e |c rm m c , =

In sen x dx =

«yj

ln ^

iab *

h‘ » “

Jo 1~TP(2aA- 11a2b3*2ó4)]

x ^

In eos x dx. se tiene que

/ — -j-

In sen x dx + y J " In eos x dx - y- j* * (In sen x

+ In eos x ) dx • -y j**

In sen x eos x d x =

—^

In -y sen 2x dx » y J* " | In •y + In sen 2x j dx —

—

dxf ^ J " In sen2x dx =

— — í ,n ^ ’ T Para calcu lar la últim a intcgrul se hace 2x — u

T 3

In sen 2x dx

2 dx — du. y los lim ites de integración son:

para x - 0 . u = 0 para x = y . u — n

Entonces J*

In sen 2x dx — y j** In sen u du. C om o sen x tom a los mismos valores entre * > * . y en

tre 0 y -y. entonces J

In sen 2x dx = J

In sen 2x dx

Po r consiguiente.

ln sen u du - f

In sen u du +

f In sen u du — 2 f Jvz Jo

Entonces / - - i

In 2 + y

/ =* / -

— y In 2

In sen u du

C A L C U L O O E IN T E G R A L E S D E F IN ID A S . M E T O D O S

131

P r o b l e m a 1 0 -1 8 H a" ' ' “

f•o T =

Com o la iniegral definida no se puede calcular es necesario emplear un desarrollo en serie. Sea 1 - x - u * * - d x ~ du. Los nuevos lim ilcS son: para x — 0, u - 1 x - I, u - 0.

S o lu c ió n .

Entonces

f°

/ = -

*L -

“

Jü IL lA * “

Com o In ( I — u| = —u — ^ ---- ^ ---- .... se puede escribir .

p jo

/ r

« u2 u1 \ . r 7 " T - T "■ ) du =

“ - ¿r

-p-

i uj i u1 - T ~2 - T T

+ " j

puesto que la suma de la serie es

P r o b le m a t O -l » ,

Ha||c , _

(fc_

-£ S o lu c ió n .

Sea are sen x = z => x = sen z

dx => eos z dz.

L a s nuevos lim ites de integración son: para x - 0. z - 0 para x = I, z = - j. Entonces / - |

e ' eos z dz.

Integrando por partes, con «r = u => u ' = r y eos : = d' =* V = -sen z. Entonces / »

sen z j

—

sen z dz.

C alculando esta nueva integral por partes, con r

- u

u' = é > sen z = 1' => v = - co sz .se obtiene

cu r íw J c*n J e *s c n z d z = ^ - e : c o s x J + J r eos z dz

Po r tanto. / -

r ' sen z j

- | - r eos ; J

— /. Entonces

- 1)

P r o b l e m a 1 0 -2 0

S o lu c ió n . =- f

P ru e b e q u e £ f { x ) d x =

Sea g<x) = a -f b — x. Entonces J

í>

+ b - x ) dx.

f ( a + b - x )d x = - j" í\ g {x )] ■ff’(x) -

flx ) dx = - f J{x ) dx - f f[x ) dx. ( Se empleó el teorema f

P r o b l e m a 10-21 |

f{x ) dx -

JV-p» »•)

E m p|c a n ij 0 in te g ra ció n y re c u rre n c ia m u estre que

-•)

]

dum

132

C A L C U L O D E IN T E G R A L E S D E F IN ID A S . M E T O D O S

S o lu c ió n .

La fórmula, es verdadera para n = I. por el problema anierior. Suponga que es verdadera

para n. y sea F(u ) - J^ / (O d f. Entonces F es una prim itiva de / con F (0 ) • 0. Po r tanto. f* / M * - u r 1 , Jo

F M x - U f " I" " * _

<" + O I

(n + I)?

f ■_

F ju'jx - u r ,

" 0+íó [C (■••(£■'"*)*'“•) ;]*■ ■íó[í: ( (íó(!> '“")*■) )"“■] que también se puede escribir como

JTOT” (■ P r o b l e m a 10-22

xa Í" J j- .i j 2 4 6 M u c s lre q u e I s e n " 1 x d x = -=- •- r • Jo 3 o /

c o n clu y a que n

S o lu c ió n .

™

£ " s .n -',J x

2n -* ... = -i 2n+l

f*/2 scn2" x dx J 0___________ ____

7 ■ " 2n -

2/t . . . -----r y de e ,l° ¿n + i

2u + I ’ P ; í .... . J sen 2" x dx

= ^

,fa

2/i - 2 2 f 1" ,, . 2n - I I f ,/í . 2/i - 1 I n • -= r ... -=- 1 sen x dx = — =----... 1 sen x dx — — — ... - r 1 t . 2/t— l 3 Jo 2/i 2 J0 * 2 2

A l hacer el cociente de las dos integrales se obtiene el resultado pedido 2

‘ ~í ' 7

" T

P r o b l e m a 10-23

* 5 ' 5 ' T •" 2n -

2/i + I

s e n " '1x dx

M u c s lre que el co cie n te d e las d o s in teg rales en e l p ro b lem a a n te rio r ; p artien d o de la s desig u ald ad es 0 < sen 2" * 1 x <■ in 0 < x < n/2. E ste resu ltad o m uestra que lo s p ro d u cto s

está co m p re n d id o e n tre 1 y 1 + £ sen 2* x S sen2* -1 x.

p ara 2/i 2n . 2 2 4 4 6 6 n i t — r- •-x- •-j- •-=*■-=•... -=-----:-- : — — r- se p ueden a p ro x im a r a -x- ta n to co m o se qu iera, 1 3 3 3 0 / ¿n — l z / l + 1 i

y se escrib e co m o e l p ro d u cto in fin ito d e W a llis : ~

S o lu c ió n .

O c j

sen5* " x S

sen" x d x á j •n

d. £ ' s e n " x ■dx I 5 -TÜ?,----------- 5 dx

P r o b l e m a 1 0 -2 4 |

= *7" ‘ T

x tm a r t a n t o c o m o s e q u i e r a a J n .

" *T *T

’”

sen2* -1 x dx. Po r tanto.

r«/2

v ./v

«7J------------ = ser-- A.71----------- = 1 + — " F f 1 2ñ x dx V— ?-T I s e n " -1 x dx * r + ~ T Jo

M u e s tre q u c c j pr<x|u c to .

^■r 'i V * J •5 ... (¿ it + l )

puede apro-

C A L C U L O O E I N T E G R A L E S D E F IN ID A S . M E T O D O S

S o lu c ió n .

S i n es lo suficientem ente grande, entonces

133

está próxim o a

___________________________ 1/

1/ ü r

2-2-4-4 2 -2-4-4 ..72*1*2»___________________ ... 2 n - 2 n __________ 2 2-4 j4 ... ... 2 2/1 n

K 1 - 3 - 3 - í ... < 2n- l*2 /i + I) “

^ / S m i - 3 - 5 . . . (2/t -

10-25

f* Jo b)

I e ~ %‘ d x . p e r o se

e ~ ‘‘ d x .

2k-J

* f

3 ' 5 -

2n + 1 C J o

(1 - x Y

’

2 .' 2

2n — 3 2n - 2

P ru e b e , e m p le a n d o la d e riv a d a , q u e x 2 £ e '*

p a ra 0 $ x S

I y e -** £ f l T x 3" p a ra 0 5 x

In te g re la s p o te n c ia s n -é sim a s d e la s d e s ig u a ld a d e s e n tr e 0 y I y d e 0 a x , re s p e c tiv a

m e n te . D e s p u é s e m p le e la s u s titu c ió n y - J n x p a r a m o s t r a r q u e J n • y

s r« '- ^ s d)

2 ... 2/i___

I *3 ... ( 2» -

M u e s tre q u e

I -

J i

N o e x is te u n a f ó r m u l a e l e m e n t a l p a r a c a l c u l a r

J~2

I) =

x aproxim a a I para n lo suficientem ente grande, con lo que se tiene e l resultado.

C om o

P r o b le m a

_______ ________= \ V2n 2n+ + I . J _1

^ s f VS •T •I - I c

•y

... 2ñ~+ ~T ^

t e d y

E m p le e l a p a r t e a ) d e e s t e p r o b l e m a p a r a m o s t r a r q u e J

Solución, a) Sea x = eosu, dx - —senudu. EntoncesJ o1(1 - x2r dx ~J-i«/í(sen*' uX-senu)du = = j* sen1**1udu = -y •y ... . porel Problema 10-22. Ahora sea x » cotg u.dx » -cosecJ udu. Entonces jp-yzp- - J ^(scn2‘ u) )du = - Jío" \sen2n - I udu -2 -5-2•~ *?*4 ■4-0—¿nÜ"— ~2~j . por el Problema 10-22. b) Si /(y) - I - y y 00') - f ’/(O) -9(0)y A>) - - I £ paray¿ 0.Portanto, /(y) S 0<>) para y £ 0.es decir. 1 — y S t~f paray & 0.Por consiguiente, enparticular, 1—x1S e"‘ . Vx. Lasegundadesigualdadesconsecuenciadeladesigualdad I + y £ e\quesedemuestraenformaanáloga.

c £ (1- * r dx * JV-

sj;

•

Por tanto, y ... £ J *-«’ dx s e-«* á t S - j ' y ... ^. Empleando la sustitu jz-dy. seobtiene 1* «--«‘dx = — L j*-r*dy; fJ 0e—«’ dx - — ción y « yjnx.dx =— — 1e"'Jdy.de -Jn J 0 y/n J0 >/ñ J0 lo cual se obtienen las desigualdades pedidas. d) Es consecuencia dela partea) deesteproblema paran suficientementegrande. ■

LOS n ú m e r o s y

n /-

Vñ -

2n — 3

- y ... y j ^ y

= y

n l/~ n ( /—

f /----¿

|y n

I . y

•y

2fl - J 1

...y j - y - J

• y

•

•— ... —— — «=-2/i -f— •—3 ... —— — 1 se pueden aproximar tanto como se quiera a 5 2n + I + 1 LVS 2/i - I J n , I J x .. I r z J *

134

C A L C U L O D E I N T E G R A L E S D E F IN ID A S

P r o b le m a

S o lu c ió n .

* sen I n +

1 0 -2 6

M i x d, x sen /I n + -y j sen 2

P r o b l e m a 1 0 -2 7

]

J x dx

' -------- *-------= ti p a ra io d o n.

scnln + y l x ---- ¡-----—*—

4 - + eos x + eos 2x + ... + ce» nx

ílt ü

S i / ,< x ) =

sen - j

para sen -*• / 0. Entonces

lMní

J#[l

+ 2 eos x + ... + 2 eos nt] dx - ... - k

£ / ( f ) d t y / , ( ! ) - £ f , U ) d i . m u e stre q u e / ,(x ) •rv vv

= J * (x - t ) f ( t ) d t . E n g e n e ra l. s i / J x ) = j* / » - 1 (0 d i

M ETO D O S

p a ra

e n to n ces

k = 2, 3

/ t (x ) =

S i m y n so n e n te ro s p o s itiv o s , m u estre q u e

S o lu c ió n ,

Integrando p o r partes a £ /i< *> d l. con u = / ,(r ) y do - d i ^

du - /,(l> dl y r - t.

Entonces

J 7 , ( l) d í - i/ ,(i) | ' - £ l

JM di

- x/,(x) - £ i /¿0 )d» - * £ / < 0 dr - £

U n a integración por partes análoga produce b fórm ula / J x ) — £

—

— ~

dt.

Continuando este proceso se obtiene

S i f[x ) - x“ . entonces, según b parte a). £ m

£ x “ dx -

r"ü m

= m ! r * a/(m + 2 )!

( I - x fx “ dx = n ! / . . ,| U Ahora

U / , ( t ) - £ m l x - * ,A « +

l>!

dx -

/ J l ) - m ! f“ *V(m + * )!

A si. n '/ . . , ( l ) - m !n!Am + n + 1)!

P r o b le m a

1 0 -2 B

f M u e s tre q u e

dx , ( , _- ^

^ -g , )1 7 r =

i J i * ú \ m \ > l . •

S o lu c ió n .

S i a • 0. entonces L

7T=

+ i T)

“

DfiDdi

- /)2/ „ _ 3< 0 /2 d t = £

Integrando dc nuevo p o r partes se obtiene / J x ) - £

- £ |x -

(x — t )/ .. J l ) d». E n esta ecuación

u - /„-,(!> y dv - (x - l)d f. Entonces du - /.-,< !) dt, v = £ < * - D fm.,U )d t = - (X - f )V .- * (0 / 2 [ + £ ( X

i/ti) d i

|a|

2 0 0 ° ,r a m ancrA

C ALCULO

f .. o + * • -

D E IN T E G R A L E S D E F IN ID A S

2“ ) " ’ r . . -

" ♦

-1 ( 1 + a) - 1 ( 1 - ot) . 2 1 ( I + c r) 9 9

si a > 1

,/ J

S i 0 < x < l ^ ( l -

" + •’ - * * -

( I — e> = — — si a < — I. a

P r o b l e m a 1 0 -2 9

S o lu c ió n .

+ w '' - t

si |a| £ I

— (a — 1) = -1 9

(1 + a ) --

135

M ETO D O S

(1 _ Xa-)W < 0<524

x 2")1' 2 (1 - x 2) 1'2. A si. I < l/ (l — x2-)1' 2 <

< l/ tl — x 2) 1' 2 y . por tamo. I

f» « .

f 1' 2

dx<L

2 -Jo

P r o b l e m a 1 0 -3 0 | ,

M u cstrc f Jo

q u e si 0 < a < y

dx ( I - sen 2 a sen2 x )f/2

S i 0< x < Ó < y .

S o lu c ió n .

f '2

< J 0 TT = x >TiiTT ) -

(i - 7 * )™

entonces

«n

( í ) — T < 0,524

0 < </> < y . entonces

<t> ( I - sen 2 a sen 2 4>)', T ’

- sen2 9 sen2d»)1'2 < ( I - sen2 9 sen2 x )1'2 < 1

I < l/ (l — sen2 a sen2 x ) < 1/(1 - sen2 9 sen2 <£),;2. Entonces

* ’ f >

" £

l l - « n

P r o b l e m a 1 0 -3 1

S o lu c ió n . “

<“ ~

_ i

T-®

|a | A l/ Jl. £

2 5 rV «

< [W

M u c s lrc q u c ljm

1010 e s e l lim ite s i |a | = |/?|? , -i

*>‘ '‘ 1J ' *

sen « x

sen ax sen/J dx = 1 J

' * + f)x C = 2 ¡ ¿ n ^ r

* 4/11 -

sen p x dx = 0 si |ct| *

'* “ f ) T ~ a i T i r s c n la + Í) T -

sen2 |a| x d x si *p > 0

S i |9| = O I A 0. j* sen ax sen px dx — —^

Ahora £

sen2 |a| x dx = 1 ^

sen2 19 1x dx si 9P < 0 .

[ I - eos 2 |*| x j dx - -y- - — 1

I fr lim -=r I sen «x sen /Jx dx r — ‘ Jo

\P\. ¿C u á l

[eos (a - p)x - eos (9 + p )x ] dx =

P o r tanto, lim 1 í sen ax sen px dx = 0 si |9| A \P\. r- « 1 Jo J

’ *“ * 4 I" '

y* P ° r ,am o-

-1 si 191 = |/?| y 9 p > 0 . 1 2 < . f _ > si |9| = |/}| y ap < 0

CALCULO

P r o b le m a 10 -3 2

D E IN T E G R A L E S D E F IN ID A S . M E T O D O S

S i a e s u n e n t e r o p o s i t iv o , m u e s t r e q u e l im f * -o J - «

S o lu c ió n ,

S egún a \

~T¡—; n

r f { x ) d x = n /(O ).

+ x

l i m j ' > l x A _ r l l x . , t a [ ar c , g A - , r c . g ( - | ) ] = i -

. dx “

= 7T. "

f.. F

lira

[ / w ~ /(0 |) ix + ' i01

h¡ * x , f í x ) d < - nflO ) + lim J

£ . H TT H T d x '

[ / l < l - /1 0 |] dx.

S i se h ace x = hy, entonces

L T F T x r[/W

- / |0 |] *

TT" j T

/|0 )ld y

C o m o / es c o n tin u a en [ - a , a ], se puede h a lla r M > 0 tal q u e \f ( : ) - / |0 ) | ^ M . V : e [ - a , a ] , y d a d o > 0 se p u ed e h a lla r S tal que 0 < ó < a, y si | r | < ¿

Así-

•J- « ,*

7 +F

í/|»l

•4*1

I f« *

1 + >

V{hy) ~ M ] i * J - * i * i r

T *+ rr [/(M - /X0>] ^ 2- | 1+ )

|/ ( r ) — /{0)l <

TTF 1 + >

U{hy) ~ m

. . r +MI .

J-*/i»i 1 + >

Jiíim

1+ y

Ji/ w

TTF

" /,0,] +

1 + >

f- M *1

M I~r+ F = J- « 'i*!

1+ y

" ir [arc18w " arc118('i r )] +m [arc,gW " arc,gw ] F inalm ente, s e p u ed e h a lla r H > 0 ta l q u e si |/ i| < H , entonces

arc,gT

> T

o 0 < a r c l g | 5 r - ,rc,gW

< T

- f

+ W

- 4 Í T

y, p o r ta n to , si |fc| < H,

2M ¿

+ TM •= 2?" +T =t E s decir.

í 5 L ' P T ? - [ / M " / r a *‘ ‘ o-

••

— n ,- lili A re a E l á r e a e s u n a fu n c ió n q u e a s o c ia a p a r e s d e n ú m e r o s r e a le s ( d e te r m i n a d o s s u b c o n j u n io s d e l p l a n o o fig u r a s g e o m é tric a s ) u n n ú m e r o re a l. L a fu n c ió n á r e a A . p a r a q u e d é r e s u lta d o s ú tile s , d e b e v e rif ic a r lo s s ig u ie n te s a x i o m a s : A x io m a I . A x io m a 1 A x io m a 3. A x io m a 4.

/I(S ) e R y A ( S ) 2 0. S i S , c S 2 A ( S , Í £ A ( S 2l S i S , = S 2, e n to n c e s <4(S,) = /<(S2). / ! ( $ , \ j S 2) - < 4 ( S ,) u 4 ( S 2) s i. y s o l a m e n t e s i, S , n S . = <t>.

D e fin ic ió n . S e a / : X — R c o n X = { x : a < x £ b \ y s u p o n g a q u e f l x ) > 0 s o b r e X . E n to n c e s e l á r e a lim ita d a p o r e l g r a fo d e la fu n c ió n y = f x \ , e l eje d e la s X d e a a b, e s t á d a d a p o r la inte-

A r e a c o m p r e n d id a e n t r e lo s g r a f o s d e d o s fu n c io n e s D e fin ic ió n .

E l á r e a c o m p r e n d id a e n tr e lo s g r a f o s d e la s f u n c io n e s / y g y l a s r e c ta s v e rtic a le s

x ® a . x o b . e s t á d a d a p o r l a in te g r a l d e f in id a ¿ ( S ) =

\f -

g\ d x . f £ g o g £ /.

P a r a h a ll a r e l á r e a c o m p r e n d id a e n tr e lo s g r a f o s d e la s d o s fu n c io n e s y l a s r e c ta s v e rtic a le s x - a y x • b. s u p o n g a q u e / y g s o n a c o t a d a s s o b r e [a .b ]. S e a P = {x „ , x , x „} u n a p a r tic ió n d e [ í í . ó] . (V e a F ig . 11-1.) E n to n c e s

"».(/) = i n f { / W : x

6 [ x ,_ ,.x j}

n t¿g ) = i n f Jg (x ) : x

€ [x ,_ ,.x ,]}

- x ,.,)

F ig u ra 11-1

M , U ) y M t{ g ) lo s e x tr e m o s s u p e r io r e s , y S { f , P \ S { g , P \ la s s u m a s s u p e r io r e s c o rre s p o n d ie n te s . S i / y g s o n in te g r a b le s s o b r e [ n . f tj. s e s a b e q u e p a r a c a d a e > 0 e x is te n p a r tic io n e s P , y P 2 de fu ./» ] ta l q u e

137

138

AREA

Se a P -

P , u P 2. C o m o P es un re fin a m ie n to d e P , y P

-t </(/.P )

se o b tie n e

£/ *«/. P ) - jy <£

(1 1-1) - e < l(g . P ) - £

0 £ S (* . P ) - £

0 < t

A s í h em o s m o stra d o q u e p a ra c a d a £ > 0 ex iste u n a p a rtic ió n P ta l q u e (1 1*1) se ve rific a . Su p o n g a q u e / fx ) <, g (x ) p a ra lo d o x € [o .b ]. E l g ra fo d e / e s tá p o r d e b a jo d e l g rafo d e g so b re [a . 6 ] . S e a S = { ( x . y ) : a < x < b ) , f [ x ) i

y Ü 0 <x). S está lim ita d a p o r lo s g ra fo s d c / y g

y la s re c ta s x «» o. y x = b. S e a P u n a p a rtic ió n d e [ a ,b ] . (V e a F ig . 11-2.) ^9

•Xít

w >

/ {

s, -

{(x , y ) : V ,

S, -

« * . >'): * , - i ^ x £ x , - „ M ,< /) S y £

s x < x j x ) s y s

tfx )} , S, «

* .

{ ( x .y ) : x , _ , <; x <; x „ r o (< /) S y í

M t(^)}

E s e v id e n te q u e S , c S , c S , ; /4(S) - £ ¿ ( S . ) y ¿ ( S . ) £ <4(SJ S v4 (S.) S i M / J ) > m ¿g ) — esto pu ede su c e d e r— , S , es v a c ío y -4(S.) = 0 . D e o tra m an era, ^ ( S , ) - [ " t l( p ) - M . ( / ) ] ( x . - x . _ I ) E n to n c e s h it o ) -

M X / )](x , - x , _ . ) s

¿ ( S () s

/1(S) <; A (S .) -

[M ,{g ) - m (< / )]fx 4 - x , _ , )

S u m a n d o so b re to d o s lo s s u b in te rv a lo s d e P se o b tie n e

X ,.,) s

E s d e c ir, l{ f , g ) - S {f, P ) <; ¿ ( S ) £ S {g , P ) -

R e s ta n d o £ ( / — g ) = j * /

A (S )^ ^ [M ,{g ) -

m .(/ )](x , - x , _ , )

/ (,. P ).

y se o b tie n e

n "*f ^ ]"i/(/p)" r /i

E s ta d e sig u a ld a d se v e rific a p a ra c a d a p a rtic ió n P d e [a .ó ]. E n to n c e s, según (1 l - l ). p a ra c a d a c > 0. - 2 c < ¿ (S I - j

< 2c.

A (S ) = J ‘ ( 9 - y )

AREA

139

PROBLEM AS R ESU ELTO S P r o b le m a

11-1

e l e je d e la s X

H a lle e l á re a co m p re n d id a p o r lo s g ra fo s d e la s sig u ie n te s fu n cio nes,

y lo s in te rv a lo s in d ic a d o s :

a ) / (x ) = se n x en [0 , « ] ;

b) / (x ) = sen 2 x en

[0 .2 a ]. S o lu c ió n ,

A rca = I / (x ( dx = I sen x dx ^ —eos x I - 2. J. Jo lo

I x sen 2x , f* , , f 2* , . f 2" I - c o s 2 x . A rca . j J { x ) d x « n X dx = | ¿ dx = - - j —

P r o b l e m a 1 1 -2

H a lle e l á re a d e la reg ió n lim ita d a p o r lo s g rafo s d e la s fu n cio n es f { x ) = 2x

y 0 (x ) = x 2 y sus p u n to s d e in te rsecció n . S o lu c ió n , / (x ) = g(x) o 2x = x 1 o x(x — 2 ) = 0 » x = 0 o x = 2 Los puntos de intersección son (0.0) y (2,4). E l área pedida es la diferencia de las áreas determ inadas por f y g con el eje .V en el intervalo ( 0.

2 ).

Arca

lx dx - f x2 « x 2 I

P r o b le m a b)

11-3

xJ I 2 -- i •» llo o

■*

H a J|c c( á fe a Iim ¡(a d a

,o s g ra fo s d e / (x ) = ^ x y g (x ) = x 2.

y = x s (p a rá b o la sc m ic ú b ic a ) y la p a rá b o la y ■ 2 x - x 2. (V e a F ig s. 11-3 y 11-4.)

S o lu c ió n ,

^ - « ' « O »

» 2 0 y * - x ‘ = 0 «

son las raíces de / - g. Po r tanto. /1(S) = J* b)

px —

Las curvas se cortan ssi x * = x(2 - x ) o

x ¿ 0 y x(x* - | ) a 0 «> x ■ O o x ■ 1, que

x 2j dx ■ j* (^ x — x 2)d x

------ ) |

-y.

x(x2 + x - 2 ) = x(x - IK x + 2 ) = 0. Los puntos de

intersección son (- 2 , - 8 ). (0.0 ) y ( I, I). Entonces r4(S) = J

|xs — 2.x + x 2|d x -

(x* - 2.x + x 7)d x -

A REA

140

P r o b le m a b)

11-4

H a lle e l á re a lim ita d a p o r lo s g ra fo s d c / (x ) = x s y g {x ) - x.

<rfx) = - x * + 4 x 2 - 3x y / (x ) = x J -

S o lu c ió n , a ) xJ - x - 0 <* x(x* - l ) - 0 ® dc / - g. Po r tanto.

3 x 2 + 2 x.

x > 0 o » -

±1. A si. -1 y I son los puntos extremos

b) Según la Fig u ra I l-ó. / (x ) i ¿ x ) sobre [ 0. 1] y * x | ^ /<x> en [ I . 5/2]. / = *7 «* x* - 3x2 ♦ 2 x - - x * + 4x2 - J » o x(x - l)(2x — 5) « 0 . entonces x - O o x - l o x = 5/2-

Entonces e l área buscada es

A(s)"

g)i=§ y ~ g) * í*1(a■^ =Íóí2xí ■7x1*5 x ) d x + *7**” 5x,rfx“ 7x*

IX *

P r o b le m a 1 1- 5

7x*

5x* \ I '

( r - -r -T-) L

3253 %

H a lle e l á re a co m p re n d id a e n tre e l g rafo d e la p a rá b o la x ■ 4 — y 2 y el

e je Y. S o lu c ió n . S i x = 0. entonces y 2 - 4 y - +2. que son los puntos donde corta a l eje Y. S i y = 0. entonces x - 4. punto en el cual corta a l eje X . E l área es

4<S> - j ^ l ^ T - x U

í >

id x

* £

n/4 - x d x

y <4 - x)» 2

* o "

?2 3

E l área también se puede calcular expresando los dos grafos com o x - / ly ly x = g iyty lim itándola entre las das rectas y ■ a y y = 6. A tS) - £

l/ ly ) - <*y)\dy - £ j 4

- y 2|dy = - £ < 4 - y ’ jd y + £ ( 4 - y 2)d y = 2 £ ( 4 - y * )d y - ^

AREA

P r o b l e m a 1 1 -6

141

^ pará bola y 3 = 4 x y su «la iu s rcctum ».

H al|c cJ ¿rca |¡m |la da ^

b) H a lle e l á re a c o m p re n d id a e n tre lo s g rafo s d e las fu n c io n e s y - 3 x - x 2 y y = 3 x * - x 1 y x - 0 . x = 3 . (V e a F ig s . 11-7 y 11-8.)

F ig u ra 11-7

S o lu c ió n ,

E J foco de U parábola está en (1.0 ) y x - I es la re c u que coincide con d -latus rcctum»

Com o d ¿ta fo es sim étrico con respecto a l eje X se tiene que 2£

4 (S )

2x,/2 dx =

£ x 1' 2 d

- 4 - J x *'2 |^ - j

L a s dos curvas se cortan en los puntos (0.0). (1 .2) y (3 .0 ) Entonces A IS ) -

|/, - / ,| dx - | * |3x - x 2 - 3x2 ♦x*| dx - j * |3x - 4x2 + x*| dx - J ' (3x - 4x2 ♦ x *|dx + /

3x2

4x*

- ( *2

P r o b l e m a 1 1 -7

x4 1 1 1

~ 3 x)dx x*

4x*

3x2 \ | »

r - + -r)lo + l ’ - r + - r "

i - ) l , = -T2

H a lle e l á re a co m p re n d id a c n lr c lo s g rafo s d e x y = I y y {x 2 + I ) - x

u la d e re c h a d e la re c ia x — I.

S o lu c ió n .

Com o el área se extiende hasta infinito, y com o / (x ) - p(x) " ~

|‘ =

+ T ) < x1 *

la integral existe com o el lim ite de una función estrictam ente creciente y acotada d d lim ite superior. (Vea Fig u ra 11-9.) Entonces

v - *

■ í ’ f - -

Ahora ln fl — g ln ( B 2 + I ) - ln - * 2 V if +

- '"8 -

- ~ ln —L — - i y r + B ~3

‘ ln I - 0.

* 7 h2 .-.

\ [ J - g) dx J'

i 2

ln 2.

AREA

142

F i g u r a 11*10

P r o b l e m a 1 1 -8

S o lu c ió n .

H a lle e l á re a d e la s reg io n es A , B y C q u e se m u estran en la F ig u ra 11-10.

E l área de A a la región lim itada por el gralb de y = —x 2 ♦ 2x y por debajo del graío de

y = x*. Entonces cl área está dada por J 1[ ( - x 2 + 2x) — xJ ] dx -

E l área de R está lim itada por el graío de y ■ x* en la parte superior y por cl graío de y - - x J + 2x en la parte inferior. Entonces cl área está dada por

- , _ x> + 2x j]d x = J V

+ X a - 2x )d x -

E l área de C se debe descomponer en dos partes. L a prim era lim itada superiormente por cl graío de y -* x* e inferiorm ente por c l eje X . y a la derecha de la recta x — I. Entonces cl área es ^ x* dx — -^*. L a segun da parte está lim itada superiormente por el graío de y - - x 1 + 2x c inferiormente por el eje X . y a la izquierda de la recta x — I. Entonces su área es J

( — x2 +

Po r consiguiente, e l área total de la región es

P r o b le m a 11-9

2x )d x

= -y.

+ -y = - Jy .

c | ¿ rca co m p re n d id a p o r d e b a jo d e l g rafo d e y - r* y p o r en cim a

d e l g rafo d e >• - ( I + x 2) ' \ e n tre e l eje X y la re cta x = I. (V e a F ig . I l- l I. ) S o lu c ió n . la integral

j*' [ f

Com o e l graío de > -

- ( I + x V '] dx -

e*está por encima d d graío de y - (I

r* dx - J

( I + x 2) - ' dx m (e -

*■

x1)" '.e l área está dada por

I ) - (are tg I - are tg 0 >

A REA

| P r o b le m a J 1 -1 0 J y m (X -

143

—x + 2 y la c u r v a

i r e a lim ita d a p o r la s r e d a s y = x . y =

I ) 1. (V e a F .g . 11-12.) Vamos a hallar los intervalos donde una de las funciones lom a valores mayores que las demás

S o lu c ió n .

Haciendo x - (x - l>2 - xJ - 2x 4- I « * x* - 3x ♦ I - 0 * * x = <3 ± ^51/2 Para hallar e l olro punto de intersección hacemos - x + 2 - (x — I ) 1 - x* - 2x ♦ I <* x* 4- x - U O o x « | - l ± y/51/2. Las dos redas se cortan en ( I. I). E l área está dada por

“ í ’ - s » (X " ÍX “ l)i,<íx +

P r o b le m a

11-11

(-x +

Despejando y =

S/2 - ^

1 I di 1/ (2p)T

y T

j ~

| l

f '

—

xJ.

u-'udu

P r o b le m a 11 1 2

¡n n ?r

con flO) » 0 y

j — I

f * i* '* di

™ *4 p* J

~ 7 |—

' • * lu c 0

u n a i n l c P r a l b i n o m ia e n

s u te rc e r

+ p - 2.

Con la sustitución l/f - I - u2. í = -|

*7 Jo

U descompone en las dos ramas simétricas representadas

caso: m - 3/2. n - l. p - -1/2, —

P, ,

l ) V x - 4 >/5 -

dx. haciendo 2p x • I . x •

5 /2 "

(x -

D e te rm in e e l á re a lim ita d a en tre la c is o id c d e D io c le s y su u sin to ta.

1.a c is o id c d e D io c le s tie n e p o r ecu ació n x J S o lu c ió n .

f”

di du

= 2^ J „ í r t p f “

2udu - y

f I

I r

. con u(0) = x . u (l| - 0. Entonces iu ¡ + 5u .

jm .T

. 1 *

3»

+ t arc ,g “ J 0 " w

D e te rm in e e l á re a lim ita d a p o r e l eje A’ y la cu rva d e ecu ació n

y m «• •* sen h x (<r > I I I en tre x — 0 y x -• <x>. ht In te rp re ta n d o las áre as co m o la cn crg ia q u e un p u n to m ate rial so m etid o a m o vim ien to arm ó n ico am o rtig u a d o in te rcam b ia co n e l m ed io e x te rio r, d eterm in e la cn crg ia co nsu m id a p o r e l m o vim ien to . (V e a F ig . 11-13.)

AREA

144

S o lu c ió n .

L a forma de la curva corresponde a la elongación de un m ovim iento arm ónico amortiguado.

F.l área de una onda cualquiera S t |(/ -

■*»

1)-^

< x <j

-~-J,

con la condición j =

.-•*

r ' “ sen bx dx - I - t~ — r r ( —a sen bx — b eos 6 x )l

mi- u .

I a

É IS .I -

J « , II»

1.2.

.... es

— y - —a

[«?' ■*'* + |1

+ b

lin i |S ,| - bfta2 + b2) -¿¡jp =■ — j - r colgh - l~ . puesto que los módulos i- ® j- i i —e a *■ n ¿d de S j forman una progresión geométrica decreciente de razón t < I. a)

i -1

¿ S . - lim T S . m b/{a2 + h2) t -1 •-« /-1 .* + * progresión geométrica decreciente de razón —e h)

P r o b l e m a 11- 13

■ - j- ^ - rr. puesto que los térm inos S forman una a + o con | — < I.

D e te rm in e e l á re a co m p re n d id a e n tre lo s g rafo s d e las fu n cio n es y = x 1

, (V e a F ig . 11-14.)

F ig u ra 11-14 S o lu c ió n .

Las curvas se cortan en ( I, I). Entonces d área está dada por

-•-

->')dx- £, ( í 4 t -*’)*-

- r ) I!,

145

A REA

Tomando bandas horizontales, el área está dada por A

Haciendo 2/y - I - í* . y = E n la segunda ,n ,e g „l »

Jy -

■enloncee / = J

= . g i l . 4 « e , ( l t 4 j ”_ * £ » £ ■ - a + d £ | “ 5 f ± i) d 0

P r o b le m a

S o lu c ió n .

p ^ y + <£ fF T T Jr -

- 7'

8a^ H a lle e l á re a lim ita d a p o r la c u rv a y = - p - { ^

11-14

y e l e je X .

Com o la curva es sim étrica con respecto al eje Y se puede escribir

1 ' - P T Í P - - \ * ? ¿ •«* i

— 8aJ lim arc Ig

xr T T ñ r -

* -ír C -

= 4naJ

S i la integración se toma a lo largo del eje V se encuentra de nuevo una integral impropia A - 2 p j / - 4 a 2 + ~ ~ d y = 2 lim J* * j/ - 4 a J +

P r o b le m a

11-15

D e te rm in e e l á re a to ta l co m p re n d id a e n tre las c u rva s y = a s e n x .

y = b e o s x . (V e a F ig . 11-15.)

S o lu c ió n . A l d ivid ir miembro a miembro las dos ecuaciones se encuentra que x = arc tg los puntos de intersección de las dos curvas están dados por: - are tg •£- e

|o.

~ J y xB - x + arc tg £ e [ * . -y- J

«*•*'«£

Entonces A

(

(a sen x — b eos x ) dx

F i g u r a 11-15

; entonces

AREA

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S 1.

H alle d área com prendida entre la recta x - y - I = 0 y d grafo de la ecuación y* - 2x + I. R esp .

2. H alle e l área encerrada p o r la cu rva y* = ( I — x 2)*.

16/3 * a

Resp..

3. ¿C u ál es d área com prendida entre las curvas >•- ln x/4x y y - x ln x ? R esp.:1/16(3

2 l n 2 - 2 ln 221

4. H alle las áreas de las dos regiones en que la curva y - 4-x2d ivid e a l in terio r d d círcu lo x 2 + y 2 = & R e sp 2.t + 4,-3 5.

H alle c l úrea de las tres regiones que determ ina el grafo de - i x 2 — y 2 — I en c l interior de la región I * determ inada por ^ x 2 + y * - I. Dos regiones tienen por área A = n

Resp.:

ln 3 - 2 are sen

H alle c l área de la figura com prendida entre la curva de Agncsi y *

y la otra A = 2(ir - A) - r y cl egr de las X . + " R esp .:

xa 1

7 . C alcule cl área de la figura com prendida entre las parábolas y - x 2. y - -y- y la recta y - 2x. Resp.:

0. C alcu le el área de la figura lim itada por las curvas y = e*. y = e~‘ y la recta x — I. Resp. 1 / 2 - 2 - 2 (cosh I - I) Resp. • 3 ;S na2

9 . H alle e l área lim itada por la astroidc x 2'* + y 2'2 ■ o2'*.

10. H alle e l área de la figura com prendida entre la catenaria y y =

a cosh j .

d eje f

(e2 + I).

y la recta

R esp.:

2a ¡ e ' x

11- C alcu le el área de la figura com prendida entre la hipérbola equilátera x 2 - y 2 ■ 9, el eje X y d diám etro que pasa por el punto (5 .4|. Resp.: 9 2 ln 3 x2 _ x Y su asíntota x - 2a. a > 0.

12-

H alle e l área de la figura lim itad a por la dsoide y 2 =

13.

H alle c l área de la figura com prendida entre el estroíoide y 2 = *1^ _

3.TU*

R esp.: y su asíntota (u > 0) R e s p .:

14.

2^2 + -y j

Escriba las integrales que se necesitan para calcular las áreas de las regiones lim itadas por las siguientes cu rva s: a)

y — 4x2 — x4.

.. '

y ™

R e s p .:

. x - I si x < 0 ‘ 2x - 3 si x ¿ 0

yy “

S "

r si i < I -isi I

* "

v '4x*

—

x4 dx

x 1i 2 2x si x < < 0. jj 4x - v si x £ ¿ 0

Resp :

[2 x - (x -

I »] dx + £

((2 x - 3» - (4x -

5 )J dx

1 1/3 si r < I. | 2 - r 2 si r 2 I.

*» í : ’(- t - -i * +£,(•* -t )* ♦j> -«•>-‘-*o* d)

y - |x| - I y y - I - |x |.

y - |scn x| y y -

x 2 - 2x.v.

y = |4 - v2| y y - 2.

Resp

R esp.:

2(1 - |x|)rfx (|sen x| - (v 2 - 2 xx)] dx

C A P IT U L O

V o lu m e n d e s ó lid o s d e s e c c ió n c o n o c id a S u p o n g a q u e e x iste u n c o n ju n to S d e p u n to s d e R 3, q u e lla m a m o s c o n ju n to s m e d ib le s, y u n a fu n c ió n V, lla m a d a fu n c ió n vo lu m e n , q u e a s ig n a a c a d a c o n ju n to m c d ib lc S u n n ú m e ro re a l K (S ), lla m a d o v o lu m e n d e S . L a fu n c ió n v o lu m e n p a r a q u e sea ú til d e b e v e rific a r lo s a x io m a s q u e se d a n a c o n tin u a c ió n . D e fin ic ió n a x io m á tic a d e volum en.

S u p o n g a q u e e x is te u n a c la s e . &

d e s ó lid o s y u n a fu n c ió n V

d e d o m in io .<y. y q u e v e rific a lo s sig u ie n te s a x io m a s : A x io m a I .

P o s itiv id a d . P a r a c a d a c o n ju n to S e s / , V 'fS ) ¿

A x io m a 2. A d itiv id a d . S i S , T e s f . c n io n c e s S u T y S o T + V [T ) - K ( S n T ). co n S c

7 ; e n to n c e s T -

0. e Y

y K (S u 7 )=

A x io m a 3.

S i S ,T e &

A x io m a 4 .

P r in c ip io d e C a v a lie ri. S i S y T so n s ó lid o s d e C a v a lie r i (e s d e c ir, s i S es un

S e

y K (S -

^ (S ) +

7*) = V [T ) -

K (S).

s ó lid o y L u n a r e c ta ; F u n p la n o p e rp e n d ic u la r a L ; F n S e s u n a se cció n tra n s v e rs a l p e rp e n d ic u la r a L , lla m a m o s a S u n s ó lid o d e C a v a lie r i) c o n á re a (S r p e rp e n d ic u la r a u n a re c ta d a d a , e n to n c e s P ( S ) <> V {T ). A x io m a 5.

F ) <> á re a ( T n F ) p a ra to d o p la n o F

T o d o p a ra le le p íp e d o p erte n e ce a .< V. S i a , b y e so n la d o s d e B , e n to n c e s V {B ) =

= ab e. A x io m a 6 . C o n se cu e n cias.

T o d o c o n ju n to c o n v e x o p e rte n e ce a M . Se g ú n e l A x io m a 3, V(<ft) = 0 . Se g ú n e l A x io m a 3, F ( S ) < V {T \ S . T e

T eo rem a d e l volum en p o r á re a se ccio n a l.

S u p o n g a q u e S es u n s ó lid o d e C a v a lie r i c o n u n a secció n

tra n s v e rs a l d e te rm in a d a p o r la fu n c ió n a r in te g ra b le en [a . ¿>] y c e ro fu era d e [a . b ]. E n to n c e s e l v o lu m e n d e S es ig u a l a la in te g ra l d e l á re a d e la se cció n tra n s v e rs a l.

P (S ) = £

D e m o stració n .

a ¿ u ) du

S e a P = [ a = z0 < 2 , < . . . < z „ = b ) u n a p a rtic ió n d e [a ,/ » ]. C o m o a , es

c o n tin u a so b re [a ,b ] y , p o r c o n s ig u ie n te , so b re c a d a u n o d e lo s s u b in te rv a lo s , según e l teo re m a d e l v a lo r e x tre m o ex isten p u n to s z¡, z{ e [z ( _ | , z j ta l q u e a fiz ,) = m ax {a £ z ): z e [ z , _ , , z ¡ ] y a ¿ z ¡) = m in { a t(z ): z e [ z , _ „ z ,]. S e a n c , y c , lo s c ilin d r o s q u e tie n e n a a ¿ i , ) y a ¿ z ¡) p o r área 147

148

V O L U M E N D E S O L ID O S D E S E C C IO N C O N O C ID A

dc la base y A z , co m o - a ltu ra; p o r la n ío , £¡ y c, se obtien en d e S p o r p lan o s que pasan p o r r, y Z j _ S e g ú n e l ax io m a d e C a v a lie ri, £ i

a ^ íA z , S

F (S ) £ ¿ i

C o m o a ,(z ) es in teg rab le, tenem os q u e V (S ) *

a ^ JA z ,

a / z ) dx.

V o lú m e n e s d e r e v o lu c ió n S e pu ede h a lla r el volu m en de determ inadas figu ras p artien d o d e l volu m en dc un cu b o dc lado a, d efin id o p o r a*. A co n tin u a ció n vam os a c a lc u la r e l volu m en d e só lid o s cu yo volu m en se puede h a lla r p o r m edio de u n a in teg ral definid a.

L o s elem entos d c volu m en son c ilin d ro s rectos c irc u la re s. E l volum en d e un c ilin d ro es e l área dc la base m u ltip licad a p o r la a ltu ra . Se a / u n a fu n ció n co n tin u a y n o n eg ativa sobre |a,¿>], a < b. (V e a Fig . 12-1.) A l g ira r e l á re a lim ita d a p o r e l g rafo d e / y las rectas x = a, x = b y e l eje X , alre d e d o r del eje X se o b tien e un só lid o de revo lu ció n . Se a P = {a = x „. x , x . = b} una p a rtició n d e [o , 6 ]. D e fin a m ,(f) = in f {/ (x ) :x e [x ,_ „ x , J y M ,{f ) - su p { / ( x ) : x e [x ,_ „ x , ] j . Em p lean d o la pro p ied ad d c in clu sió n y ad itivid a d d c la fu n ció n volu m en y sum ando lo s v o lú m enes d c lo s c ilin d ro s in scrito s y c ircu n scrito s se obtiene ¿ * / n ? (/ X x , - x ,_ ,) á

V ^ ¿ n M ? ( / ) ( x ( - x ,_ ,)

C o m o / ¿ 0. m f iZ = in f J / 2(x ) :x e [x ,_ „ x (] } = m ¿ f 2) y M f { J ) = su p | / 2(x ) :x e [x ,_ „ x ,]} M Á f 2).

< V <, n J

/ 2.

C o m o / es co n tin u a so b re [a , ó ] , / 2 tam bién lo es

y / 2 es in teg rab le so b re [a . ó ]. En to n ces

í z Ñ o la .

-í

-í z

■ '" j y

S i se h ace g ira r una reg ió n alred ed o r del eje Y se o b tien e un só lid o d e re vo lu ció n que se

d eterm in a en fo rm a an álo g a a la a n te rio r, siem pre y cuando la fu n ció n / sea m o n ó to n a y biy c c tiv a p ara que ten g a una in v e rsa g{y). En to n ces e l volum en generado está d eterm in ad o p o r CéKv)]2 d y

(12-2)

VO LUM EN

D E S O L ID O S D E S E C C IO N C O N O C I D A

149

PROBLEM AS R ES U ELTO S P r o b le m a

12-1 |

H a lJe d v o |u m cn ^

un c o n o

c irc u la r d e a ltu ra 10 y d iá m e tro d e la

base 20. (V e a F ig . 12-2.) S o lu c ió n . E l cono se genera a l girar la recta y - x alrededor d d eje X . x e [0 .1 0 ]. Em pleando la fórm ula que da este upo de volúm enes se obtiene

F ig u ra 12-3

P r o b le m a

12-2

d a rc o d e p a rá b o la y - x * . x c [0 .1 ]. H a lle d vo lu m e n K d e l

s ó lid o d e re v o lu c ió n o b te n id o a l h a c e r g ira r d a rc o p a ra b ó lic o a lre d e d o r d e la re c ta x = I. (V e a F ig . 12-3.) S o lu c ió n .

t il

Sea P - ( y * y , . .... y . ) una partición de [0 .1] sobre d eje Y. Se tiene que

* 0 - s/7«)*(yi - y , - , ) * y s ¿

1-1

£ * j #' ( l - J f r d y y V m « £ ( l

em a

d i - ^ / > ^ ) , (y« - y«-i> ■* * f 0 — yfy ) ‘ d y s t ' s ¿o

- f y f dy -

a j\ l -

“ * ( ' - T

+ T

X j y ♦ y ) 4y - * [ y - y * * ' * +

= l ) ’ í

h a c e r g ira r u n a c irc u n fe re n c ia a lre d e d o r d e u n a re cta se o b tie n e

un lo ro . (V e a F ig . 12-4.) H a lle e l vo lu m e n d e l to ro g e n e ra d o a l h acer g ira r un d is c o d e ra d io r a lre d e d o r d e u n a re c ta a u n a d is ta n c ia a > r d d c e n tro d e l «circulo. S o lu c ió n . Tom e d eje Y com o eje d e g iro E l disco que genera el toro tiene centro en (o. 0 ) y radio r. E l m edio disco de la parte superior es d conjunto de ordenadas de / (x ) - y jr* - (x - a ? sobre [a - r. a + rj. puesto que {(x . y ): (x — u)1 + y* - r 2 } es la ecuación de una circunferencia. P o r sim etría, d volum en d d

150

V O L U M E N D E S O L ID O S D E S E C C IO N C O N O C ID A

toro es e l doble del volum en del sólido de revolución generado por el m edio disco superior. Em pleando la fórm ula ( 12-1) se obtiene F (S ) -

2 n

f x f[x )d x -

J« -r

X y jr 2

- (x - a )1 dx - 4n f

[(íx - a ) + a )s/r* - (x

[r 2 — (x - a )2] 1'2 (- 2 X x - a )d x + Ana J

■

- 0 + Ana

o) ' ] dx «

,/ r2 — (x — a)2 dx -

~ 2x2a r2

puesto que la última integral es el área de un semicírculo de radio r y , según d teorema fundamental del cálculo. ( ‘" ' [ r 2 - (x - a)2] 1'2 (- 2 X * - a )d x = \ [ r 2 - (x - a,2] 2'2 [ * ' = 0 Jm -r J !■-»

P r o b l e m a 1 2 -4

H a lle e l vo lu m e n g en erad o d e l á re a co m p re n d id a e n tre y = x 2 + 1 y x = I , x = 3 a lre d e d o r d e l eje X . S o lu c ió n . E l radio de una sección es x2 + I y su área es itfx2 + l ) 2. E l volum en de un elemento de vo lumen. nfx2 + l ) 2 dx. E l lim ite de la suma de estos elementos de x ® 1 a x « 3 es ¡dx 1 + I ) 2 dx = n J ’ íx4 + 2x2 + \)dx =

+ x ) || = 67.73

P r o b l e m a 1 2 -5

H a lle e l vo lu m e n g e n e ra d o a l h a c e r g ira r la c u rv a y = x 2 + 1 a lre d e d o r d e l e je Y d esd e y = 1 a y = 5. S o lu c ió n . E l radio de una sección es el valo r de x sobre la curva. D e y - x 2 + 1 se obtiene x - yfy~- I ■ = (y — I ) 1'2, que es e l radio, y d área de una sección es tdy — I). y el volum en rt(y - I ) dy. Entonces

P r ^ .b l e ™ * I S e h a ce g ira r la re cta y = 2 x a lre d e d o r d e l eje X d esd e x - 0 a x = 4. G e n e ra un c o n o re cto c irc u la r. H a lle e l vo lu m e n d e e ste c o n o e m p lea n d o tu b o s c ilin d ric o s . (V e a F ig . 12-5.)

V O L U M E N D E S O L ID O S D E S E C C I O N C O N O C I D A

151

Se genera un tubo típ ico al hacer girar d área rayada alrededor del eje X Su radio es e l valor de y sobre la curva, y su circunferencia 2xy. Su a llu ra es 4. menos e l valo r de .t sobre la cu rva, que es y ,2. Su área lateral es 2*>14 - y/2) y su volum en 2x><4 - y/2| dy. Entonces d volum en es

S o lu c ió n .

P r o b le m a

12 -7

H a lle e l vo lu m e n g e n e ra d o a l h a c e r g ir a r a lre d e d o r d e l e je Y la p a rle 4 q u e e s lá p o r e n c im a d e l e je X . a ) E m p le a n d o d isco s, h ) E m p le a n d o

d e l g ra fo d e y + x 1

tu b o s . S o lu c ió n ,

V - J

V - £ XX 2 d y “

*14 - y ) dy - n ^4>- -

2x x yd x - 2 : r j .t|4 - x 2)d x - i c

P r o b le m a

12-8

) |0 = 8**

— -y-J |

• 8*.

cJ v o | u m c n <jc | e s f e r o id e g e n e r a d o p o r la e li p s e A o

. w a > h . a l h a c e rla g ira r a lre d e d o r d e l e je X .

+ ¿

■ I,

Em pleando discos se obtiene d volum en d c » - O a » = a , y com o la curva es sim étrica, es

S o lu c ió n . el doble. K

i j y

* -

[< - - ¿ ] ; -

( i - . £ ) * .

( . . * ) .

* ^

Em pleando tubos, el volum en está dado por K - 2j o * 2 „ . dy - 4 , £ „ ) / . - £

- y é , . 4 .™ ( -

- -*-»•£ (' - £ p j 1-£ )--* -»* ■ P r o b le m a

12 -9 |

h‘ ) £

(i - £

) ' ' ' (- #

(•- ^ r C -

) dy -

f « - " - 5 «**

H a lle e l v o lu m e n d e u n seg m en to d e esfera d e r a d io a y h la a ltu ra d e l

seg m en to . Suponga que la esfera se genera a l hacer girar el círcu lo x 2 + y 2 = a 2 alrededor del eje X. I-a base del segmento está generada a l hacer girar la recta x — a - h. Em pleando discos perpendiculares a l eje X . se obtiene

S o lu c ió n .

V B J

P r o b le m a

12 -10

«>’* dx ■ J

n(a 2 - X a) í /.x - n

= nh2

(- 5)

A u n a e sfera d e ra d io a se le h a h e ch o u n h u e co e s fé ric o q u e p a sa p o r

e l c e n tro y d e ra d io h. H a lle e l vo lu m e n V re stan te. (V e a F ig . 12-6.)

S o lu c ió n . E l sólido se puede generar a l hacer g irar un segmento de circu lo alrededor de un diám etro del circu lo que es paralelo a la cuerda del segmento. E l elem ento de volum en es un tubo cilin d rico generado a l hacer g irar e l área rayada. E i circu lo es x2 ♦ y 2 • a 2. V - ^ 2 n y i2 x )d y Nota.

= - 2 * j* V

- y*>, / , ( - 2 y d y) -

- 2 * •y

fe» -

|" -

- * V 'J

Verifique este problem a sum ando e l rcsultudo obtenido a l de la porción de la esfera que queda.

VO LUM EN

152

D E S O L ID O S D E S E C C IO N C O N O C I D A

___________________ I ____ U n le ñ a d o r c o rta u n á rb o l d e ra d io a. L a base d e l c o rte es u n sem i c írc u lo h o riz o n ta l, y la p a rte s u p e rio r fo rm a un á n g u lo a co n la base. H a lle e l vo lu m e n V d e la m a d e ra q u ita d a . (V e a F ig . 12-7.) S o lu c ió n . I j i madera quitada es una cuña. D ivíd ala por planos perpendiculares a su borde. C ada uno de tales planos form a una sección triangular L a base del triángulo es y ^ v /or - x J . L a altu ra d d triángulo es v'f l1 - x 7 tg x Entonces e l área del triángulo es ^ */•? ~

v m

__________________1 —

2£4 <a* ~

y/o 1 ~

*g «•

■( a>x - ■t) ,g*L“ ?

* * *

S e g e n e r a u n a s u p e r f ic ie p o r m e d i o d e u n a r e c ta q u e s ie m p r e s e m u e v e

p a ra le la a l p la n o x z y tie n e p u n to s en co m ú n c o n la re c ta y + z = o . x - 0 , y l a re c ta x = b, z = 0. H a lle e l vo lu m e n en e l p rim e r o c ia n te q u e d e te rm in a esta su p erficie.

S o lu c ió n . D ivid a d volum en pedido en elem entos del gados por planos perpendiculares a l eje K L a sección m odelo es un triángulo rectángulo de base b y altu ra z - a - y y su volum en , Wu - y ) dy.

y - £ T * -* * > - T [<*- 4 ) I'.- J-‘‘b Observe que el elem ento de volum en no es exactamente un prism a triangular, sino una cuña, com o se muestra en la Fig u ra 12-8. Verifique que esta diferencia es j

bAzAy o

« A >)*

P r o b l e m a 1 2 -1 3 d e d o r d e l e je X .

H a lle e l v o lu m e n c u a n d o la c u rv a y

8o* x

+ ~4ar

se h a ce g ira r aire-

V O L U M E N D E S O L ID O S D E S E C C IO N C O N O C ID A

153

F ig u ra 12-9

Eligiendo el elem ento cn forma dc anillo, el volumen del elem ento de ¿rea que se muestra en

S o lu c ió n .

la Fig u ra 12-9. r - y . h - 2x. V - 4n j*

y j / —4a 2 + — ~ d y.

— z1 cam bia esta integral cn la que se emplea a continuación. Eligiendo

La sustitución - 4 a 2 +

el elemento como el volum en del disco generado por el elemento de área y dx.

Sea x - 2a tg 0. Cuando x = 0. 0 = 0 ; cuando x = co. eos2 0 dO «» I6 *a 3 (

= I6 a3n ^

P r o b l e m a 1 2 -1 4 X2

) p

= y

y V = 4ax |

| j +^tg*0 ) **** ^ ^

“

= 4 «V .

H a lle e l vo lu m en d c la F ig u ra 12-10 q u e se genera cu a n d o se hace y2

g ira r la elip se - p - + -p- = I a lre d e d o r d c la re cta y « b. Em pleando el tubo que genera el elemento de área que se muestra cn la figura, h = 2x. r — h — y.

S o lu c ió n . V = 2,1 j *

2x( f>- > K -d y) = - 4 * £

Sea y — b sen 0 . Entonces V

-«>2 —4xob2 f J./2

» —2 nah! 1 - * ^ - + y ) I '" * =

(

*•12

P r o b le m a

(6 - y)a j / l - p ! dy

2« , abi

12-15

H a lle e l vo lu m e n g en erad o a l h a c e r g ira r a lre d e d o r d e l eje X un arco d e la c ic lo id e y «= a ( l - eo s 0 ), x = a (0 — sen 6 ).

S o lu c ió n .

Em pleando discos se encuentra que d volumen V es

V - x J y 2dx = xa 2 j*^» (1 - e o s # )3¿0 = na3 J

| l - 3 cos0 + y (c o s 2 0 + l ) - c o s 0 + co sflsen 2 y j dO-.

= x a * 0 — 4 sen 0 + -^-sen20 + y sen3 0 J |

- 5n2a3

154

V O L U M E N D E S O L ID O S D E S E C C IO N C O N O C ID A

P r o b l e m a 1 2 -1 6

l-a e lip se x = a e o s

y = b sen 0. se h a ce g ira r a lre d e d o r d e l eje X .

H a lle e l vo lu m e n q u e genera. Em pleando discos, el volum en generado es

S o lu c ió n .

y * dx — nb2 J

V <* x J

sen* <K-a sen

P r o b l e m a 1 2 -1 7

. .

dO = —xah 1 j " I I - eos1 0 ) sen 0 dO

....

--------- ----------- H a lle el vo lu m en d e l so lid o d e re v o lu c ió n q u e g en era a lre d e d o r d e l eje X ; el á re a p o r d e b a jo del g rafo d e y = — x 1 + 4 . p o r e n cim a d e l g rafo d e y = x 2, en tre e l eje Y y la re c ia x -

J 2 . (V e a F ig . 12-11.)

E l volum en pedido es la diferencia entre los volúm enes de los dos sólidos de revolución determinados a l girar alrededor del eje X el área por debajo del grafo de y = — x 1 + 4, entre x = 0 y x = J 2 . y después girando alrededor del eje X únicam ente la región por debajo de y = x 1, entre x - 0 y x - y j 2 Las integrales resultantes son

S o lu c ió n .

a J jV

* 1 ♦ 4|» dx - a

- 8x» + 16)dx =

Entonces e l volum en pedido es k J 2 | ~ y - - j

J-

y *

tty fi |~ y " •

V o l u m e n d e s ó lid o s d e s e c c ió n c o n o c id a P r o b l e m a 1 2 -1 8

H a lle e l vo lu m e n d e u n a esfera d e ra d io r.

Suponga colocado e l centro de la esfera en el centro de un sistema de coordenadas. Sea R(z) el radio del disco y u,(z) se obtiene como la intersección de la esfera con el plano que pasa por <0.0, r) y paralelo z2\ por tanto, el úrea del disco está dada al plano X Y. Entonces, según el teorema de Pitágoras, R ?(r) - r ‘ por A [a ¿z )J - n R H *) - n (r 2 - z2l E l volum en se obtiene, según el teorema del volumen por área seccional, por medio del área de la sección com o sigue:

S o lu c ió n .

Y {S )

« r»

d i - *

- < * » * - * (r» x - 4

) L

" T ,r *

P r o b l e m a 12 -1 9 J | | a ||c ^ f6rrn u |a d e| vo lu m e n d e u n a c u ñ a fo rm a d a a p a rtir d e u n c ilin d ro r e d o c irc u la r, p asa n d o un p la n o p o r e l d iá m e tro d e la base y a 45 c o n la m ism a.

S o lu c ió n .

Las secciones que se determ inan por planos perpendiculares a la cuña son triangulares. (Vea

Figura 12-11) Entonces para z c- [ - r , r ] los lados del triángulo son v 'r* — í 5 y . por tanto, el área es l/2(r2 Según el teorema que determina el volum en por m edio de un área seccional, tenemos que

1SS

V O L U M E N D E S O L IO O S D E S E C C IO N C O N O C ID A

F ig u ra 12-13

P r o b l e m a 1 2 -2 0

S i V es c l vo lu m e n d e u n só lid o d e re v o lu c ió n o b te n id o a l h ace r g ira r e l á re a d e term in ad a p o r d e b a jo d e l g ra ío d e /, e n tre x » a y x = b y e l eje Y. S i / n o es n eg ativa

en [o . ¿>] y si b £ a £ 0. muestre que

V -

2n J

x / (x )¿ x . (Y ea F ig . 12-13.)

S o lu c ió n . Sea P » { x0, x „ .... x . J una partición de [a . 6 ]. Sea J[x \) y /(x ¡'| los valores máximo y mínimo, respectivamente, de / sobre [x ,_ „ x j. L a continuidad de / sobre [x ,_ ,. x j asegura que los puntos x,. x " t r [x 4_ |, x ,j existen. Sea Vt cl volum en del sólido de revolución obtenido a l girar el área que queda por debajo del grafo de / . entre x = x( . , y x - x,. alrededor del eje Y. Entonces (« x f - **'- ,)/(*;> £ V, £ (« X ? - *x * .,)/ (x ;‘) y 2 * ¿ S 2*

«• i *

2 (X , +

- x, ,) i

V «;

(X , ♦ X ..,)/ (x ¡')íx ( - x ,., |

Tom ando g — x en el teorema d d volum en

por área seccional, hallam os que (l/2tx, +

lim ite de lo s d o s lad o s d e la d esig u ald ad

a n te rio r es 2* J

í (x ,_ ,. X ,)L d

x /(x ) Jx . P o r ta n to , si||P I| — 0. entonces

V m l * £ x / (x )« fx . N oia.

S i c l eje de revolución es la recta x - c, c t (o . ó ], entonces V = 2a j * | f - x |/|x | Jx . Piense en

|c - x| com o d radio de un tubo de altu ra flx ) y espesor Jx . E l volumen de este tubo es 2n |r - x \ f[x )Jx .

V O L U M E N D E S O L ID O S D E S E C C I O N C O N O C I D A

P r o b le m a

1 2 -2 1

S e a C e l a r c o d e p a rá b o la y ■= x 2, x e [0 ,1 ]. H a lle e l v o lu m e n del s ó lid o d e re v o lu c ió n o b te n id o a l g ir a r e l a rc o p a r a b ó lic o C a lre d e d o r d e la re c ta x = 1. (V e a F ig u r a 12-14.)

S o lu c ió n .

Em pleando e l m étodo de los tubos obtenem os que

«i* * * -

P r o b le m a

12 2 2

- * * * -

\ Í -

c o n s i<lere u n s ó lid o , c o n e l á r e a d e c a d a se cció n tra n s v e rs a l, p e rp e n

d ic u la r a u n a re c ta d a d a . S e a h la a ltu r a d e l s ó lid o m e d id a a lo la rg o d e la re c ta y A {z ) e l á re a de la s e c c ió n tra n s v e rs a l a la a ltu r a z. M u e s tre q u e s i A e s in te g ra b le so b re [0 , f i] , e l v o lu m e n V d e l s ó lid o e s V

A {z ) dz.

S o l u c i ó n . Sea P = {z ^ z ^ ••••*•} una partición de [O ./i]. Se a V el volum en del sólido com prendido entre z = z,_, y z = z,. Sea m ¿A ) = in f {A {z ): z e [ * , - „ * , ] } . Sea M ¿ A ) el correspondiente sup. Entonces - * ,- ,) £ y , Z M ¿A * z , - * ,_ ,). Sum ando sobre todos los subintervalos de P se obtiene HA. P ) - ¿

■

M ¿A * z , - r , _ , ) = S (A . P ).

C om o se supuso que A es integrable en [0 . á ], entonces V =

P A < . V <. Jo

A . (V e a F ig 12-15.)

d e la e s fe ra h u e ca .

S o l u c i ó n . Suponga que el só lid o se co rta en discos p o r planos perpendiculares a l eje Y ; cada disco es ^ d e espesor A y y radio in terio r r , — a f l y ra d io exterior r 2 = x = y ja * — y*. E l área del disco es * r j — n r j — n

y e l va lo r exacto V ^ lim £

a* ~ ^

- y 2J . e l volum en aproxim adam ente V * ¿

“ J

* j

a’ ~

na>-

—y 1 j A y

V O L U M E N D E S O L ID O S D E S E C C IO N C O N O C IO A

P r o b le m a

12 2 4

base d e un só lid o es un triá n g u lo e q u ilá te ro d e la d o 5, c o n un vértice

en e l o rig e n y la a ltu ra a lo la rg o d e l eje X . C a d a sección p lan a p erp en d icu lar a l eje X es u n cu a d ra d o ; un la d o está sob re la base d e l só lid o . H a lle e l volu m en del cuerpo. S o lu c ió n . L a Figura I2-I6(a) représenla h base d d sólido con una franja de ancho Ax que corresponde a un dem ento de volumen d d sólido \ V a ¿(x)Ax. con 4(x) = (2 yf* - 4y 1. d área d d elemcnio. Este ele mento se extiende hacia arriba a partir d d plano d d pap el Figura I2-I6(b» Com o d triángulo de la base es equilátero, su altura h está dada por

- - (i)' Po r semejan/a de triángulos tenemos que 2y/x =

----------------1

- f / J

2fh

= 2/^/3 »

y - x/^/J. Po r tanto.

H a lle e l volu m en d e l só lid o co m p re n d id o en tre lo s p lan o s : - 0 y

z = I si la sección tran sversal p ara ca d a z es d á re a d eterm in ad a p o r la cu rva y - z 2 — x 2 para - z £ x £ 2.

S o lu c ió n .

Para hallar d volumen, primero se debe hallar d área de la sección transversal que es ¿I-’ )

Entonces

-í> -4 J > -4

H a lle e l volu m en d e l só lid o g en erad o cu an d o e l área lim ita d a p o r la c ic lo id e x - a {0 ■» sen 0). y = o ( l - eos 0 \ e l eje X y la s rectas x - 0. x - 2xa, se hace g ira r alred ed o r d e l eje Y.

S o lu c ió n .

E l volumen está d a d o p o r la integral V « 2s

» 2xay j**" (0 — ten « | l - 2 c o s « ♦ c o i1 0)d8 - 2xa'

alO - sen « M I - e o s « M i - eos 0» d 6 -

[0 -

20COS0

+ 0CO »' 0 - s e n 0 + 2 se n 0

cosO - senOco»10 ]d 0 m 4 nat + 2x a 'c o s 0 j * --V- eos’ d

*"ir *2na>ír*en2®‘w"w r

+ 2rttí’

0 eos*

0 dO.

L a segunda y tercera expresión son nulas, y J* 0 c o s * 0 d 0 - -y j^ "(0 + 0 eos20 |dO » n1 + Entonces V - 4 n V + 2 n V - 6 r V .

|*" _ i . J^ s e n

2 0 dO

0 c a t0 J 0 +

158

V O L U M E N D E S O L ID O S D E S E C C IO N C O N O C I D A

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S 1.

A plicando el teorema del volum en por área seccional justifique el volum en de los siguientes sólidos: a ) cilin d ro recto circu lar itr 2h-, b) segmento esférico de una base l/3nA2(3r - />); c) tronco de cono recto circu lar y - (r f + r , r , + r j) ;

d ) segmento esférico de dos bases y - (3 r f + 3 r| + A2).

U n sólido tiene una base circu lar de radio r. H alle el volum en del sólido si toda sección plana perpen dicular a un diám etro fijo es un triángulo equilátero.

R esp.:

H alle el volum en de revolución engendrado por los siguientes conjuntos alrededor del eje a)

v/4 — x3 sobre [ 0 . 2] ;

b) sen x/x sobre

.r j :

c) sen x sobre [0 . x ].

R esp.:

-y %/3rJ

l6rt/3;

b) 2 x |l

D eterm ine el volum en de revolución engendrado a l g irar la curva y ■=

alrededor del eje X .

D eterm ine e l volum en del cuerpo de revolución engendrado a l g irar la cisoide de D ioclcs x 3 - y 2(a — x) alrededor del eje X , entre 0 y a/2 . R esp.: V = xa’ <12 - 2/3)

6. H alle el volum en del cuerpo engendrado a l girar alrededor del eje X la superficie lim itada por la catenaria y = a cosh

el eje X y las rectas x - ± a.

Resp.:

(e2 + 4 - e~ 2)

7 . H alle el volum en del cuerpo engendrado a l girar la superficie lim itada por la parábola scm ícúbica y 2 = x \ el eje X y la recta x = I alrededor del eje X . 8.

H alle e l volum en d d cuerpo engendrado a l girar alrededor de la recta y = - p la figura lim itada por la parábola y 1 = 2px y por la recta x = p/2 .

•*

Resp.:

np3

x¡

H alle el volum en del cuerpo que se engendra a l girar la cisoide y 2 - -= alrededor de su asíntota ¿a — x R esp.: 2x2« 2

x » 2a.

10. Dem uestre que el volum en de la parte del cuerpo de revolución, engendrado al girar la hipérbola equi látera x 2 — y 2 = a2 alrededor del eje A*, que intercepta el plano x = 2a. es igual a l volum en de una esfera de radio a. 11.

H alle los volúm enes de los cuerpos engendrados a l g irar la figura lim itada por un arco de la cicloide x = <i(f - sen t ). y = 4 1 - eos í ) y por el eje X . alrededor: <i) del eje X ; b ) del eje Y. y c) del eje de sim etría de la figura.

12.

Resp.:

a) 5 x V ;

b) 6x V ;

H alle e l volum en del obelisco cuyas bases paralelas son rectángulos de lados A . B y a. b y la altu ra h. R ',p .:

13.

c ) - ^ - (9 ¡t2 - 16)

( ¿ a + / » ■+ « « ■+ a h )

Sobre las cuerdas de la astroide x 2/J + y 2'* - a 2li, paralelas a l eje X . se han construido unos cuadrados cuyos lados son iguales a las longitudes de las cuerdas y los planos en que se encuentran son perpen diculares a l plano X O Y . H alle e l volum en del cuerpo que form an estos cuadros. Resp.:

14.

128

U n circu lo dcform ablc se desplaza de tal form a que uno de los puntos de su circunferencia descansa x2 v2 sobre e l eje Y ; el centro describe la elipse -p- + -p- = I . m ientras que el plano del círculo es perpen d icular a l plano X O Y . H alle e l volum en del cuerpo engendrado por dicho circulo. Resp.:

y n a2b

159

V O L U M E N D E S O L ID O S D E S E C C IO N C O N O C ID A

15.

E l plano de un triángulo m óvil permanece perpendicular al diám etro fijo de un circulo de radio a. L a base d d triángulo es la cuerda de dicho circulo, m ientras que su vértice resbala por una recta paralela a l diáme tro fijo, que se encuentra a una distancia h del plano del circulo. H alle el volumen del cuerpo (conoide) engendrado por d movimiento de este triángulo desde un extremo del diám etro hasta el otro.

Resp.: 16.

H alle el volumen d d cuerpo lim itado por los d lin d ro s x2 + z2 - a 2 y y 2 + z2 - a 2.

*a2h

Resp.: 4^- oJ

17.

L a sección transversalde determinado sólido por cualquier plano perpendicular al eje X es un circulo de diám etro A B con A sobre la curva y — 4x y B sobre la curva x = Ay. H alle el volumen del sólido com prendido entre los puntos de intersección de las curvas.

18.

Considere las regiones A. B y C del Problem a 11-8: a) H alle el volum en de los sólidos de revolución que se generan a l girar cada una de las tres regiones alrededor d d eje X ; h) A y C alrededor del eje Y ; c) A y C alrededor de la red a horizontal y - 1; d) B alrededor de la recta vertical x = I y después alrededor de x = 2.

nesp.. a i 19.

41* 1849* 71* |Q5 . |05 ’ 105 *

, '

13* 67* . 30 * 30 ’

31* 81* . 70 ’ 70 ’

22* 53* 5 * 30

Em plee d método de los tubos para h allar e l volum en que se obtiene a l hacer girar alrededor d d eje X los siguientes conjuntos: a) {(x ,y ): 0 S x S 2 0 S y 5 4 - 2 x ); b) {(x . y ): 0 S x S 1. 0 ¿ <; y S I - > /x).

20.

. ’

Resp.:

y it ;

b) ~

E l sólido W tiene una base en el plano X Y que es un disco circu lar de radio a > 0. y toda sección de W por medio de un plano perpendicular a l eje X es un triángulo. H alle el volumen de IV si el triángulo es: « ) isósceles. La altura el doble de la base; b) isósceles rectángulo, la hipotenusa coincide con la base; c) equilátero; d) iósceles. la altura es igual al cubo de la base.

Resp.: a) -ípo*;

M y ai:

d>nT"0*

C A P ITU L O

Aplicación de integrales definidas a la resolución de problemas de física E l co n cep to físico d e tra b a jo re a liz a d o p o r u n a fuerza se defin e, en c l c a s o d e u n a fuerza cons ta n te a p lic a d a en la d ire c ció n d d m o vim ie n to y después de h a b e r re c o rrid o u n a d eterm in ad a d is ta n c ia , c o m o p ro d u cto d e la fuerza p o r la d ista n cia. L a s u n id ad es d e l tra b a jo son la s unidades q u e se em p lean p a ra la fuerza y la d ista n cia . E n e l caso d e u n a fuerza v a ria b le , e l tra b a jo se define d e ta l m an era que sea co n sisten te la d e fin ic ió n en e l caso de la fuerza co n sta n te y ad em ás la fu n ció n fu erza debe v e rific a r lo s sigu ien tes a x io m a s: A x io m a I. A d itivid a d . E l tra b a jo h ech o p o r u n a fu erza a l m o verse d e a a fe m ás e l tra b a jo h ech o a l m o verse d e fe a c es ig u a l a l tra b a jo to ta l q u e la fuerza re a liz a a l m o verse d e a a c. A x io m a 2. M o n o to n ía. S i F , y F 2 so n d o s fu n cio n es fuerza y si F t <, F 2 sob re e l in te rv a lo [a , fe], en to n ces e l tra b a jo T h ech o p o r la fu erza F , es m en o r c ig u al q u e e l tra b a jo hecho p o r la fuerza F 2: F , s F 2 => T , 5 T 2. S i / es u n a fu n ció n c o n tin u a d e fin id a en e l in te rv a lo [n , fe] c o n la p ro p ied ad d e que la fuerza a p lic a d a a la p a rtíc u la P en c l p u n to x e [a . fe], e l tra b a jo T q u e h ace p a ra m o v e r P de D e fin ic ió n .

a a fe se d e fin e c o m o T = j* f [ x ) d x . L a fu n ció n / se lla m a fu n ció n fuerza.

E n m u ch o s d e lo s p ro b lem as d e las cie n cia s física s y so ciales sus so lu cio n e s se pueden h a lla r p o r a p ro x im acio n e s d e la f

— x ^ _ ,). S i las a p ro x im acio n e s so n m ás exactas

a m ed id a que la n o rm a d e las p a rticio n e s se a p ro x im a a cero , es co stu m b re e m p le a r c l lim ite

f d x co m o s o lu c ió n exacta.

E l sig u ie n te teo rem a fo rm a liz a lo d ich o a n te rio rm e n te . Teo rem a d e D arb oux.

S i/ c s in teg ra b le so b re [a .fe ], en to n ces

r P

A x ) d x = lim X A S jM x , - X j - ¡)

e P * . sien d o P * e l c o n ju n to d e to d as la s p a rtic io n e s de [o ,fe ] y x ¡ e [ x ; _ ,. x ,]. 160

A P L I C A C IO N D E IN T E G R A L E S D E F IN ID A S A L A R E S O L U C IO N D E P R O B L E M A S D E F IS IC A

161

PROBLEM AS R ESU ELTO S P r o b l e m a 1 3 -1

g j

p a ra e s tira r un re so rte I cm se n e ce sita una fu erza d e I kg f. ¿q u é

tra b a jo h a b rá q u e a p lic a r p a ra e s tira rlo 6 c m ?

S o lu c ió n . Según la ley dc H ooke, La fu e ra F que estira el resorte x m es igual a f ■ kx. siendo k una constante del resorte. S i x » 0.01 m y F = I kgf. entonces K = 100 y. por consiguiente. F = lOOx. Entonces d trabajo pedido es 1006

lOOx dx = 50x2

- r

= 0 .1 8 kgf m

P r o b l e m a 1 3 -2

E l tra b a jo q u e se n ecesita p a ra c a rg a r u n c o n d e n sa d o r e lé c tric o es a n á lo g o a l d e l p ro b le m a a n te rio r en e l c a m p o e lé c tric o . E l v o lta je V (q ) q u e se n e ce sita p a ra c o lo c a r u n a c a rg a q so b re las p la c a s d c un c o n d e n sa d o r e s p ro p o rc io n a l a la c a rg a V {q ) =* — q. V (q ) es la d ife re n c ia d e p o te n c ia l e n tre la s p la c a s q u e c o rre s p o n d e a la fu erza F (x ). L a co n sta n te C

e s la c a p a c ita n c ia d e l c o n d e n sad o r. D e te rm in e e l tra b a jo re a liz a d o p a ra c o lo c a r la c a rg a Q c n e l co n d e n sad o r.

I =J

*. VdV =

V{q)dq. Entonces d trabajo que hay que realizar para colocar una carga Q cn un condensador des

cargado es

T-£ •'<»>*-i Se dice entonces que la energía alm acenada en e l condensador con carga Q sobre sus placas es

2 ? - -J- v ’ M - 4

P r o b le m a 13 3

p ^ u z c a la fó rm u la d e l tra b a jo q u e se n e c e sita p a ra b o m b e a r ag u a a

u n ta n q u e d c h cm d c a ltu ra si e l á re a d c la se cció n tra n sv e rsa l a x c m p o r d e b a jo d c la p arte su p e rio r e s -4(x), c o n A u n a fu n c ió n c o n tin u a .

S o lu c ió n . Vam os a hacer cálculos del trabajo necesario, por exceso y por defecto, suponiendo que el agua se transporta cn discos m uy delgados. E l eje X está d irig ido hacia ahajo dc tal m anera que el origen está cn la parte superior del tanque y el punto h cn la base. Sea P una partición dc [a . ó], P = {0 = x0 < x , < x ¡ < ...... < x . = h )

S i T e s e l trabajo que se hace para bom bear d agua, se tiene que a

p x ,.,A (c ,)A x , S p S

£ p x ^ (c ,)A x P c¡ e [ x ,_ ,. x ,]

<-1

Lo s factores pA (ctl&x, en las sumas dan d peso del i-ésimo disco dc la parte superior, con p la densidad dd agua. A {c.) el área seccional m edia y Ax, la altura del disco. Entonces lim

|P 1 l- o i- i

p X i- .A ic,)

Ax, -

lim

im ii- o i- i

px,A(cA Ax,

= l p x A (x )d x = p f x A [x ) dx - trabajo Jo

162

A P L I C A C IO N

P r o b le m a

D E I N T E G R A L E S D E F IN ID A S A L A R E S O L U C IO N

1 3 -4

¿Cuál ^

D E P R O B L E M A S D E FIS IC A

cj t r a b a j o q u e h a y q u e h a c e r p a r a b o m b e a r c l agua d e u n r e

c ip i e n te s e m ie s f é r ic o d e r a d i o r a u n a a l t u r a h, p o r e n c i m a d e l r e c ip ie n te ? La Fig u ra 13-1 muestra las coordenadas y la m anera en que se d ivid e cl volum en por discos determ inados, por planos perpendiculares a l eje X . entre x - 0 y x « r. E l disco com prendido entre los puntos x y x + A x es de volum en AV. que es aproxim adam ente A F * n y 2A x ® M r2 - x 2)Ax. L a Tuerza F requerida para bom bear c l agua de este volum en es igual a su peso: p A F i xp<r2 - x 2)Ax. siendo p c l peso de un dm * de agua. L a distancia en la cual actúa esta fuerza es f/i + x. h + x + A x J ; por tanto, cl trabajo A T realizado para elevar este volum en es

S o lu c ió n .

A T ¡s np(r2 — x 2X<i + x)Ax E l trabajo to tal es

lim

rrp(r2 - x 2)(/i + x|Ax = 1 npih + x jfr2 — x2) dx = hp T (r 2 — x 2| dx +

Ai «O O

+py

n x (r2 - x 2J dx - h p V + x p F -

itr * |h + | r ) . E n este caso, p F e s cl peso del volum en de agua F,

y la segunda integral se puede interpretar físicam ente com o el trabajo requerido para bom bear toda el agua del recipiente, desde cl nivel x • 0 a una distancia h cm.

F ig u ra 13-2

P r o b le m a

1 3 -5

. . .

U n tra p e z o id e se su m erg e v c rtic a lm e n tc en c l a g u a c o n su la d o s u p e rio r a 4 d m p o r d e b a jo d e la su p e rficie y c l o tro la d o a 10 dm . S i la lo n g itu d d e lo s d o s la d o s es de 6 d m y 8 d m . re sp e ctiva m e n te , h a lle la fu e rz a to ta l e je rc id a so b re la c a ra d e l trap ezo id e. S o lu c ió n .

L a Fig u ra 13-2 m uestra que por semejanza de triángulos / -

h - 4

h_+_\±

Entonces la fuerza es F - j ; ph

) dh = 300 kgf. p =

E l p eso d e u n a p a rtíc u la es k / R 2 Ib f, c o n R la d is ta n c ia a l c e n tro d e la T ie r r a . H a lle c l tra b a jo re a liz a d o p o r la p a rtíc u la d e sd e la su p e rficie d e la T ie r r a ( R = 4000 m illa s ) a u n p u n to s itu a d o a 2000 m illa s d e la su p e rficie. S o lu c ió n .

Fds -

f* f6 0 0 0

16 0 0 0

(k/R2) d R = - A / K

J/a4 0 0 0

m illas •Ib - 5280/12 000 k lb •pie = 0.44 k lb •pie.

-<41/6000 - 1/4000) m illas -Ib = 1/12 000 * 14000

A P L IC A C IO N D E IN T E G R A L E S D E F IN ID A S A L A R E S O L U C IO N D E P R O B L E M A S D E FIS IC A

163

jq q lib ra s fuerza p a ra a la rg a r un reso rte 2 pies. ¿C u án to

P r o b l e m a 1 3 -7

tra b a jo es n ecesario p a ra a la rg a rlo 3 p ie s? ¿C u á l es e l tra b a jo re a lizad o p ara a la rg a rlo d e 3 a 5 p ies?

S o lu c ió n .

T - f

kx dx — k[9/2i L a constante del resorte se puede hallar cuando x = 2. puesto que la

función fuerza tiene un valor de 100. Entonces, k - 50 y T = 225 Ib •p ie L a respuesta a la segunda pregunta se obtiene de (fc/2XaJ = 25(25 - 9) = 400 Ib •pie.

------------------U n gas se g u ard a en un c ilin d ro . Su p o n ien d o que la ley de B o y le se v e rific a , es d e c ir, que si e l gas se com p rim e iso térm icam en te y p «■ presión, v = vo lu m en, p v = k, h a lle e l tra b a jo re a lizad o p a ra co m p rim ir e l gas p o r m ed io d e u n p istó n m ó vil en e l c ilin d ro de 200 p u lg3 a 20 p u lg3 si e l volu m en o rig in a l está a la p resió n atm o sférica (14,7 lb/pulg2).

S o lu c ió n .

Com o v = hA. siendo A el área constante de la sección transversal

= Ah

h varia de 200/A a 20/4; k = 14,7 x 200. Entonces r

f 2 00 *4

T = \Fds = I J

JiO /A

1 200.14

f}0 0 *

Fdh = k I JXtHA

■ k In h\ n

= k In 10 = 2940 In 10 Ib pulg = 564 Ib

pie

120*

P r o b l e m a 1 3 -9

U n a cistern a c ilin d ric a de 10 p ies d e ra d io y 20 pies d e a ltu ra está llen a d e a g u a ; ¿cu á l es e l tra b a jo re a liz a d o p ara su b ir el ag u a a la p arte su p erio r? Se supone que d agua se transporta como discos m uy delgados. E l volumen de un disco, según la Figura 13-3 es n x 100 x A y y su peso 62,4 x ji x 100 x Ay. Entonces

S o lu c ió n .

7 - = £ °(2 0 - y >62,4 x a x 100 x dy - 6240* (20y - - £ ) | * ° - 6240n x 200 Ib-pie = I 248 000* Ib •pie

1 U n tan q u e c ilin d ric o d e 10 dm d e la rg o y 4 dm de ra d io en posición h o riz o n ta l está llen o d e aceite d e densidad 1,2 kg/dm J . H a lle e l trab ajo p a ra b o m b earlo a la p arte su p erio r.

164

A P L I C A C IO N OC I N T E G R A L E S D E F IN ID A S A L A R E S O L U C IO N D E P R O S L E M A S D E FIS IC A

S o lu c ió n . Se considera el aceite transportado por lám inas m uy delgada y según la Fig u ra 13-4. de peso |U N I0 K 2 x M ó y); x* ♦ y 1 - 8 y - 0. Entonces

T - 24

Jty

- y* i y - 800 f "

7 - 24 f " ’1 16 eos1 ü dfl — 384 |

---------------b ase ra d io r m . a ) (V e a F ig . 13-5.) b)

**> Sea y — 4 sen 26

4 sen 0

- I 9 j n k g í ni

1S u p o n g a q u e se lic n e un (a n q u e c ilin d ric o d e ag u a d e a ltu ra / i m y d c ¿ C u á l es e l tra b a jo n e c e sa rio p a ra b o m b e a r to d a e l ag u a a la p a rte s u p e rio r?

R e p ita e l p ro b le m a a n te rio r si d ta n q u e es c ó n ic o , d e a ltu ra h y ra d io d e b p a rte su p e rio r

r m . (V e a F ig . 13-6.)

c ) R e p ita d p ro b le m a a n te rio r si e l ta n q u e es u n p a ra b o lo id e d e re v o lu c ió n d e a ltu ra h m y ra d io d e b p a rte s u p e rio r r m . (V e a F ig . 13-7.) d)

R e p ita e l p ro b le m a a n te rio r s i e l ta n q u e es u n h ip e rb o lo id e d e re v o lu c ió n d e 10 d m de

O -------

F i g u r a 1J-S

S o lu c ió n ,

F i g u r a 1 J-6

E n este caso tenemos que $<>•) = r ; por tanto.

C alculando la integral se obtiene

g (y)

my/m. m

la pendiente de U recta que genera d cono. Pero m ■ h/r. Entonces gty) » (r / % .

A l rem plazar este valo r en la integral que da el trabajo se obtiene T - T i

A P L I C A C IO N

D E I N T E G R A L E S D E F IN ID A S A

L A R E S O L U C IO N D E P R O B L E M A S D E F IS IC A

F i g u r a 13-7

165

F i g u r a 13-8

c) E l grafo que genera el sólido licn e una ecuación de la form a y = kx1 y pasa p o r el pum o (r. h). Entonces h = kr¡ . k = h/r2 y . finalm ente, x 2 = [g íy í]* = - (r 2/h)y. Rem plazando en la integral que da el trabajo

y/k

se obtiene T =

p n r2h ¡ . com o el trabajo necesario para vaciar el tanque.

d) E n este caso se tiene que g {y) * (a/fc)v/(yT + ó 1) si la hipérbola que genera el sólido tiene por ecuación a x 2/a2 - y 2/b2 ■* I. E s necesario determ inar las constantes a y b. A hora. (2.0) es un vértice / de la h ip érb o la; entonces a = 2 y (2V'2 ,I0 ) es un punto sobre e l grafo. Rem plazando x , y y a se obtiene 8/4 — 100/b2 = I. E s decir, h = 10. P o r tanto. £(>) ■ l/5 (y2 + I00)w l. Rem plazando esto en la fórm uLi que d a e l trabajo se obtiene

T m p T s £ ih ~ yty 1 + 100)d y =

P ro b le m a

1 3 -1 2

+ 6<)0,

,, „ , r .. . . . . . H a lle la fu erza e je rc id a so b re un triá n g u lo su m e rg id o en e l a g u a , co m o

se m u e stra en la F ig u ra 13-9. c o n un v é rtic e to c a n d o la su p e rficie y c o n u n a base h o riz o n ta l d e 9 d m y u n a a ltu ra d e 4 d m ,

S o lu c ió n .

= J

p h l dh

Según la Fig u ra 13-9. h/\ = 4^9 o I = (9/4)b. Entonces 48 kgf

F i g u r a 1 3 -9

P ro b le m a

1 3 -1 3

„ „ . . t , H a lle la fu e rz a e je rc id a so b re u n tria n g u lo su m e rg id o en e l a g u a , c o m o lo m u e stra la F ig u ra 13-10. c o n u n v é rtic e a 5 d m p o r d e b a jo d e la su p e rficie , u n a a ltu r a d e 4 dm y u n a b ase d e 9 d m .

166

A P L IC A C IO N D E IN T E G R A L E S D E F IN ID A S A L A R E S O L U C IO N D E P R O B L E M A S D E FIS IC A

S o lu c ió n .

En eslc casov según la Figura 13-10, (fi - 5)1 - 4/9, I = 9/4-(h - 53 Entonces

F m P£

*4 (h - S )d h = T ( - T " 4 , 2 ) I I " T t 40-5 - ( - ,5 -9,l = ,01-52

Se eligieron los lim ites 5 y 9. puesto que h varia d c 5 d m a 9 d m y p = 1.

H a lle la fu e r a q u e el ag u a e jerce so b re un triá n g u lo su m erg id o, co m o lo in d ic a la F ig u ra 13-11, s i la a ltu ra es 4 dm , la base 9 dm y la p ro fu n d id a d d e l v é rtic e 6 dm . S o lu c ió n .

Según la figura, (6 - h )Jl = 4/9. / = 9/4(6 - h).

F i g u r a 13-11

Entonces

P r o b l e m a 1 3 -1 5

c. ,

--------------------- S i lo s ex trem o s d e u n re cip ie n te so n triá n g u lo s e q u ilá te ro s, co m o lo m u estra la F ig u ra 13-12, d e la d o 2 d m y su la rg o d e 10 d m , h a lle la fu e r a q u e a c tú a so b re los lados si se lle n a d e agua.

F i g u r a 13-12

S o lu c ió n .

Las bandas son de 10 dm de largo y As

A F m ph- 10

2M V3

2Ah s/S

n/ 3

P r o b l e m a 1 3 -1 6

H a lle la fu e r a to ta l q u e se e jerce so b re un re cip ie n te h em isférico lle n o d e ag u a si su ra d io es d e 2 dm . (V e a F ig . 13-13.)

F i g u r a 13-13

A P L IC A C IO N D E IN T E G R A L E S D E F IN ID A S A L A R E S O L U C IO N D E P R O B L E M A S D E FIS IC A

S o lu c ió n .

167

L a fuerza que se ejerce sobre d anillo que indica la figura es •

A F - 2ax A sp y,: x* ♦ y* - 4 ; ds - j / l +

- 2ps f

j -— ydy - 2*py31 =8*pkgf - 8akgí. p -

V* ~ >

P r o b le m a 1 3 - 1 7

r e p re s a v e rlic a l tie n e l a fo r m a d e u n tr a p e z o id e d e 30 m d e la rg o

e n su p a r te s u p e r io r , 10 m e n la p a r t e in fe r io r y 6 m d e p r o f u n d id a d . H a lle la fu e rz a q u e a c tú a s o b r e e lla . (V e a F ig . 13-14.) S o lu c ió n .

Según la Figura 13-14,

que 9/30 =

Entonces

-y^=—íp

a =

3.Em pleando la semejanza de triángulos setiene

- « i *. 4® («*>--£) i;

F ig u ra 13-14

P r o b le m a 13 - 18

p ^ j,^

q ^

s o p o r t a u n s e m ic irc u lo d e r a d io r , s u m e rg id o

v e rtic a lm e n te en a g u a , d e t a l fo r m a q u e s u d i á m e tr o c o in c id e c o n la s u p e rfic ie l ib r e d e a q u é lla . (V e a F ig . 13-15.) Dividam os la superficie d d sem icirculo en elementos. Cajas, paralelas a la superficie del agua. E l área de uno de estos elementos» situado a la distancia h de la superficie del agua, es igual a dS •* Ix dh = 2^'r1 - h1 dh L a presión que soporta este elemento es igual a d P m phds P dh, siendo

S o lu c ió n .

2pAv -P

el peso específico del agua, igual a la unidad. Entonces b presión total es P - 2 j \ / r 3 -~ fPd h = - y ( r * - 1.a) * " | ' - |

168

A P L I C A C IO N

D E I N T E G R A L E S D E F IN ID A S A L A R E S O L U C I O N D E P R O B L E M A S D E FIS IC A

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S 1.

L a f u c r /a g ra v ita c io n a l q u e a c tú a s o b re u n a m a s a m , a u n a d is ta n c ia r d e u n a m u s a m ¡ e s u n a a tra c c ió n q u e a c t ú a a l o l a r g o d e l a r e c t a q u e la s u n e . L a m a g n i t u d d e la f u e r / a e s t á d a d a p o r F = k s i e n d o k la c o n s t a n t e d e g r a v i t a c i ó n u n iv e r s a l . S i a r = 4 6 . 4 x n e c e s ita p a r a m o v e r n i, d e s d e :

1 0 ''m . F -

I S k g . ¿ q u e t r a b a j o e n k g f - m se

1 0 ft m ( r a d i o d e la T i e r r a ) h a s t a u n p u n t o s i t u a d o a r = 7 , 4 x

<i)

r = 6 ,4 x

h) c)

1 0 0 m c u a n d o in i c i á l m c n t e r ■ 6 ,4 x I0*1 m . ¿ E n c u á l d e lo s c a s o s a n te r io r e s s e p u e d e c o n s id e r a r c l c a m p o g r a v ita c io n a l c o n s ta n te ? R e s p .:

I0 6 m.

15r 0/ r f r — r 0 ) k g f • m

C a l c u l e c l t r a b a j o n e c e s a r i o p a r a s a c a r , p o r c l o r if ic io s u p e r i o r , c l a c e i t e c o n t e n i d o e n u n a c i s t e r n a d e f o r m a c i l i n d r i c a , c o n c l e j e h o r i z o n t a l , si c l p e s o e s p e c if ic o d e l a c e i t e e s p , la l o n g i t u d d e l a c i s t e r n a h y c l r a d i o d e la b a s e r. R e s p .:

T = ¡ m r 'h

¿ Q u e t r a b a j o h a y q u e r e a l i z a r p a r a l e v a n t a r u n c u e r p o d e m a s a m d e la s u p e r f ic ie d e la T i e r r a , c u y o r a d i o e s r . a u n a a l t u r a h ? ¿ A q u é s e r á i g u a l e s t e t r a b a j o si h a y q u e l a n z a r c l c u e r p o a l i n f i n ito ? R e s p .:

I n d ic a c ió n .

L a fu e rz a q u e a c tú a s o b r e el c u e r p o d e m a s a m e s ig u a l a F — k

d is ta n c ia a l c e n tro d e la T ie r ra . C o m o p a r a r — R . F s e b u s c a te n d rá la fo rm a T = £

k mJ ¥ ~ d r -

m g , re s u lta k M

k m M [ \/R -

d o n d e r e s la

g R 2. E n t o n c e s c l t r a b a j o q u e

= m g h /( l + h /R ).S i h

1 /(R + h ) ]

= a i.

e n t o n c e s T — n tg R .

D o s c a r g a s e l é c tr ic a s e 0 = 1 0 0 u .c .s . y e2 = 2 0 0 u .e .s . s e e n c u e n t r a n e n c l e j e X e n lo s p u n t o s x = 0 y x ® I c m . r e s p e c t i v a m e n t e . ¿ Q u é t r a b a j o s e r e a l i z a r á s i la s e g u n d a c a r g a s e t r a s l a d a a l p u n t o x , = 10 c m ? R e s p .:

In d ic a c ió n .

L a T u erza d e a c c i ó n m u t u a d e la s c a r g a s s e r á F =

- 4 > - d in a s . P o r c o n s i g u i e n t e , cl

tr a b a jo n e c e s a rio p a r a tra s la d a r la c a r g a e x d e s d e c l p u n to x , a l p u n to x 2 será T = « v , J

-p - .

|- J _

J _ | -

U n c i l i n d r o c o n u n é m b o l o m ó v il, d e d i á m e t r o d = 2 0 c m y d e l o n g i t u d I = 8 0 c m . e s t á l l e n o d e v a p o r a p r e s i ó n d e p = 10 k g f / c m 2. ¿ Q u é t r a b a j o h a c e f a lta r e a l i z a r p a r a d i s m i n u i r c l v o l u m e n d e l v a p o r d o s v e c e s s i la t e m p e r a t u r a e s c o n s t a n t e ? R e s p .:

In d ic a c ió n .

P a r a c l p r o c e s o is o té r m ic o , p e = p „ u». E l t r a b a j o r e a l i z a d o e n la e x p a n s i ó n d e l g a s

d e s d e d v o l u m e n t-0 h a s t a c l v o l u m e n r , e s i g u a l a T = L J .. 6.

In d ic a c ió n .

D e donde T = J '’

= HOOn l n 2 k g f - m . *o 10 m \

P a r a e l p r o c e s o a d i a b á t i c o e s v á lid a l a le y d e P o is s o n . p v ‘ — p 0i%, d o n d e k % 1.4. dv -

(

) '

]

15 000 k 8 f

¿ Q u e tr a b a jo e s n e c e s a rio re a liz a r p a r a d e te n e r u n a b o la d e h ie rro d e ra d io r « 2 m q u e g ira a lre d e d o r d e s u d i á m e t r o c o n u n a v e l o d d a d a n g u l a r a i = 1 0 0 0 v u e l t a s p o r m i n u t o ? E l p e s o e s p e c if ic o d d h ie r r o e s p - 7 .8 g f/c m * . R e s p .:

In d ic a c ió n . L a c a n t i d a d K = M / 5 r 2a i2 = 2 .3 ■ 1 0 " k g f - m . 8.

p d v = p 0v 0 ln

D e t e r m i n e d t r a b a j o r e a l i z a d o e n la e x p a n s i ó n a d i a b á t i c a d d a i r e , h a s t a o c u p a r u n v o l u m e n V t = si e l v o l u m e n in ic ia l e s V0 = 1 m * y la p r e s ió n p 0 - I k g f / c m 2. R e s p .:

| , 8 • | 04 e r g io s

tra b a jo

n e c e s a rio

e s ig u a l a

re se rv a d e

e n e r g ía

c in é tic a .

U n t r i á n g u l o d e b a s e b y a l t u r a h e s t á s u m e r g i d o v e r t i c a l m c n t c e n a g u a , c o n e l v é r tic e h a c i a a b a j o , d e f o r m a q u e s u b a s e c o i n c i d e c o n la s u p e r f ic ie d e l a g u a . H a l l e l a p r e s i ó n q u e e l a g u a e j e r c e s o b r e el.

R e s p .:

P =

bh2 -6-

A P L I C A C IO N D E IN T E G R A L E S D E F IN ID A S A L A R E S O L U C IO N

D E P R O B L E M A S D E F IS IC A

169

U na presa vertical tiene la form a de un trapecio. Calcule la presión total del agua sobre dicha presa sabiendo que la base‘superior tiene u = 70 m. la base inferior b = 50 m y su altu ra h - 20 m. R esp.:

P = {a *

as 113* 10J ton

10. H alle la presión que ejerce un liquido, cuyo peso especifico es p, sobre una elipse verticaL de ejes 2a y 2b. cuyo ccn iro está sum ergido hasta una profundidad h. E l eje m ayor2a de la elipse es paralelo a la superficie d e l liqu id o (h £ b).

R , , p. ;

p , a h f„ h

11. H alle la presión que ejerce el agua sobre un cono cilin d rico vertical, con radio de la Wasc r y altura h, sum ergido en ella con el vértice hacia abajo, de forma que la base se encuentra a l nivel del agua. Rnesp.:

12.

Un hom bre tiene una bom ba que puede realizar un trabajo m áxim o de 31 250 Ib •pie por hora. a) Q uiere construir un tanque cilindrico de 10 pies de altura. ¿C u ál es el radio de la base del tanque máximo que se puede construir para que quede vacio al cabo de una hora? b ) Desea construir un tanque cónico con un radio de 6 pies en la parte superior. ¿A qué altura puede construir el tanque para poderlo vaciar en una h o ra? Resp.:

13.

r> ffr3^ P = — j—

a) y j 10/n p ies:

6 ) ,¿500/3 n pies

D esarrolle una fórm ula que le de el trabajo que hay que realizar para vaciar un tanque lleno de agua, bom beándola a la parte superior, si el tanque es: a ) un hem isferio de radio r m ; ó ) una pirám ide de base cuadrada s m y altura h m : c) un hiperboloide de revolución de altura h m. radio de la base circu lar s m y radio circu lar de la parte superior Syj2 m. R esp .:

;

* s2lt*

14. U na fuerza de 5 kgf alarga un resorte a p arlir de su posición original en 7 cm a 10 cm. ¿Q u e trabajo se realizó para alargar el resorte de su posición original a una longitud de 15 cm ? Resp.:

53 -y kgf •cm

15. U n cable cuelga en un pozo de 100 m de profundidad y pesa 5 kgf por m etro, y de la parte inferior tiene adherido un peso de 200 kgf. H alle el trabajo total realizado para subir el cable con el peso a la boca del P0*0,

Resp.:

45 000 kgf m

C A P IT U L O

Longitud de arco S e a C u n a c u rv a d e fin id a p o r la s ecu a cio n e s p a r am é tric a s J * mA 0 c S e a R lt ) -

i > = *

)

" 4 -|)

[/ IrK j j( í) ] . R (t ) es d p u n ió so b re la c u rv a co rre s p o n d ie n te a l p a rá m e tro t.

P a ra ca d a p a rtic ió n P d e [a ,ó ], sea

Lr - ¿ l* ( 0 -

K ( r , - i ) |;

m ,) -

R { t , - t )I - v / t / t f . )

+ [o < 0 -

E l n ú m e ro L , es la lo n g itu d d e la p o lig o n a l q u e u n e lo s p u n to s R (r0) = R {a \ , .... R { t J • R {b ) de la c u rv a C . L a d e fin ic ió n d e la lo n g itu d d e la c u rv a C se b asa en d o s id e a s: 1.

U n a re c ta e s la d is ta n c ia m ín im a e n tre d o s pu n to s.

P a ra p a rtic io n e s P

lo su ficien te m e n te fin as d e [ a ,b ] d ebem os p o d er

a p ro x im a r la

lo n g itu d d e la c u rv a C ta n to c o m o se q u ie ra , p o r m e d io d e la lo n g itu d d e la a p ro x im a ció n p o lig o n a l d e la c u rv a . A s i. si L e s la lo n g itu d d e C , L r <, L p a ra to d as la s p a rtic io n e s P d e [a .ó j. D e fin ició n . L a c u rv a C d e fin id a p o r (14-1) se d ic e re c tific a b le s i [ L ? : P í P ' j tie n e un extrem o su p e rio r y P * es e l c o n ju n to d e to d a s la s p a rtic io n e s d e [a . ó ]. S i C es re c tific a b le , se d e fin e la

lo n g itu d L d e C c o m o L = su p { L , : P € P * } . S i/ y l-ema.

tien en d e riva d a s en to d o s lo s p u n to s d e

se d ice q u e la c u rv a C es suave.

S i P , es un re fin a m ie n to d e P . e n to n ces L r £ L r .

D em o stración . E s co n se cu e n cia d e la d e sig u a ld a d tria n g u la r. S e a a t e l p rim e r p u n to d e P , q u e n o está en P . E n to n c e s , p a ra a lg ú n i, í , _ , < ak < t „ y

IK (0 -

« ( * ,- ,) ! ¿ IR (t,) -

I« (* ,) -

R(<*J + R ( * J -

R<*t ) l + I R h i ) -

* ( ! ,- ,)| £

R ( t,- ,) l

E n un n ú m ero fin ito d e p aso s se p u eden ag re g a r to d o s lo s p u n to s d e P , a P y o b te n e r Lr < L r . T eo rem a I .

S i / y g tie n e n d e riv a d a s c o n tin u a s so b re

[a ,b j. e n to n ce s la c u rv a C d e fin id a p o r (14-1) es re c tific a b le y L - J

v /(/*)i + (i/')5 d i. 170

L O N G IT U D D E A R C O

D em o stració n .

= / W

Seg ú n el te o rem a d e l v a lo r m e d io p a ra d e riva d a s, ex isten j[ t ¡ ) - f [ t , . ,) =

. - íi- i) Y M

= ÍI« (0

M*i -

p a ra a lg ú n t¡, t "

« ('< - .)! = Í ^ L W . ) = ¿ V L / W i- i

Com o f

171

P o r tan to .

+ W O -

+ [ f f '( 0 ] a<*. -

y g ’ so n c o n tin u a s so b re [ a .ó ] . e n to n ces son a c o ta d a s so b re [a .ó ]. S e a |/ '(r )| <, K y

I0 X O I S M p a ra to d o t e [ a ,ó ] . E n to n c e s L P s ¿ \ / K J + M 2U , — t , . , ) = (b - a )y / K 2 + M 2 1-1 p a ra ca d a p a rtic ió n P d e [ a , 6 ]. E n to n c e s { L f : P e P “ } es m a y o ra d a y , p o r ta n to . C es re ctifica b le . F a lt a m o stra r q u e L

J í f ' ) 2 + <^')J dt.

Se g ú n e l T e o re m a 2. sab em o s q u e lim L P = 1 J ( f ) 2 + ( g ) 2 dt. E n to n c e s p a ra c a d a c > 0 lld l- o J. existe S > 0 ta l q u e | P | < <5

| l.r -

- J { f ) 2 + (g 1) 2 d t

< c.

C o m o L = su p { L P : P e P * } , sab em o s q u e p a ra ca d a e > 0 existe u n a p a rtic ió n P , d e [ a,b ] ta l q u c O á L - L r , < c. E lija P . c o n | P | < S y sea P = p , v j P 2. C o m o P 2 es un refin am ien to d e P . | P 2| 5

| P | < S . e n to n ce s | l Pi - J * J { f ) s + (g 7)7 d i | < c y . según e l lem a, c o m o

un re fin a m ie n to d e P |t 0 ¿

P 2 es

/ . — L r¡ <, L — L Fi < c. P o r ta n to . L Pi 1 +

j L f¡

£ v/ ( /') J

+ ( g V dt

< 2c

C o m o es v á lid a p a ra c a d a c > 0 , e n to n ces L = ^ - j if ') 2 + ig ')1 dt.

N o ta .

S i C es | y

, x e [a . ó ], e n to n ce s L = ^ J 1 + ( f ') ¡ dt.

A r e a d e u n a s u p e rf ic ie d e r e v o lu c ió n S e a C u n a c u r v a s u a v e -d e f in id a p o r x = J [ t \ y = g (t), a á t ¿ b , g n o n e g a tiv a en el i n te r v a l o [ o , ó ] , y s e a S e l c o n j u n t o q u e s e o b t i e n e a l h a c e r g i r a r a C a l r e d e d o r d e l e je X . E n to n c e s s e d i c e q u e S e s u n a s u p e rfic ie d e r e v o lu c ió n d e á r e a -4(S): D e fin ic ió n .

M S) = 2

F ig u r a

= 2n ^ g iO - ^ d t = 2 n j V k / l / W

14-2

+ [ g 'U ) Y d t

F i g u r a 14-3

(14-2)

172

L O N G IT U D D E A R C O

E n p a rtic u la r, s i e l p a rá m e tro es la v a ria b le x . co n C d a d a p o r y «* (/(x), entonces <14-3)

A (S ) = 2n £ s r f x )V l + [g '(x ) Y d x

y si e l p a rá m e tro es y , co n C d a d a p o r x = f [ y ) entonces A (S ) = 2 n J V / L / W

+ I dy

(14-4)

S e tien en fó rm u las sim ila re s a (14-2)-( 14-4), q u e d an e l á re a d e la su p erficie de re v o lu c ió n cu an d o C se h a ce g ira r a lre d e d o r d e l eje Y. 2 n ^ J\ t)d s {i) = 2 7 r £ V » v '[r < / )]J + f c 'Í O ? d i

(14-5)

2jt j x V l + f9 '( x ) p d x

(14-6)

2 n fy y U U X v )V + • dy

(14-7)

L a s in te g r a le s c o m o lim it e s d e s u m a s Ex isten m u ch as ap lica cio n e s d o n d e e s im p o rtan te reco n o cer q u e lo s lim ite s d e d eterm in ad as su m as so n in te g ra le s defin id as. H a y situ acio n es g eo m é tricas y físicas q u e n o a d m ite n a p ro x im acio n e s su p erio res e in fe rio re s d e m an era c la ra . V am o s a tra d u c ir e l co n cep to d e in te g ra l d e fin id a a o tro que em plee su m as de p ro d u cto s d e va lo re s a rb itra rio s d e la fu n ció n , p o r e l p ro d u cto d e la s lo n g itu d es d e los su b in tc rv a lo s co rresp o n d ien tes. Sea f :

D e fin ic ió n .

c 0. c

[ a .b ] — R , /

aco ta d a y P = { x „ . x „ . . . . x „} u n a p a rtic ió n d e [« . ¿>] y

u n a su cesión d e p u n to s c o n x\ e [ x , _ x j . D e fin im o s la su m a c o m o : S if. P , { x ¡}) = ¿ / Ix ííA x ,

A h o ra se v a a tra b a ja r co n la n o rm a d e u n a p a rtic ió n , ||P ||, q u e se d e fin e co m o la lo n g itu d del su b in tc rv a lo m áx im o de P . en ve z d e re fin a m ie n to d e una p a rtic ió n . E ste tip o d e su m as n o siem pre perm ite d e te rm in a r a q u e p ro x im id ad está la sum a d e la in te g ra l d e fin id a . C o n e l p ro ce so d e sum as p o r exceso y p o r d efecto, siem p re se pu ede a c o ta r e l e rro r q u e se com ete. Teorem a 2. Se a n f g : [ a .b ] -• R . / y g c o n tin u a s. E n to n c e s :

lim S (f. P , { x ¡}) = IIH I- 0

lim

/ (x ííA x , =

IIA II- O .- I

f/ (x )d x . J.

lim S {fg , P , {x ¡ }, { x " } ) = lim ± j{x \ )g {x \ ")b x , = f / (x fe fx ) dx. 11* 11 -o lim - O i- l J. lim

11*11-0

D em ostración /.

( v

P . « > . {* » "}) =

||>*||-Oi-I

^ ( x ' ) + g ‘ [x \ )A x . -

Pj7

* ~ T ?d x .

P a ra ca d a p a rtic ió n P , e lija x ¡ e [ x , . , . x j . H f. P ) <. t f íx 'M x , - X |_ | ) £ S(/, P ) r-nI

c o m o / e s c o n tin u a so b re [ a .b ], e n to n c e s / e s in te g ra b le so b re [ a .b ] e /(/, P ) ¿ j * / £

S if .P ).

L O N G IT U D D E A R C O

P o r ta n to , P / ( x ) d x - . ¿ / (x ^ x , - x ,_ , ) <; S (/ . P ) J .

173

¡(J, P ) y

t-i

¿ /(x¡Xx, - X , . , ) - f / ( x ) d x <; S(/. P) - /(/ P) i-1 E n to n c e s

J-

0 á | y . / lx ) d x - ¿ / í x ¡ ) ( x é - x , _ , ) j < S(/. P ) - /(/. P ) <

P o r ta n to ,

lim

D em o stració n 2.

( x , - x 4_ , ) = e.

¿ / I x J K x , - x , _ , ) = I / (x )d x . JC o m o / e s c o n tin u a so b re [a .fe ], e s a c o ta d a so b re [ a , 6 ] . E n to n c e s p a ra alg ú n

k > 0 . l/ lx )| < k p a ra to d o x e [a .6 j . C o m o g es u n ifo rm e m e n te c o n tin u a , e n to n ces p a ra ca d a

r . > 0 existe ó > 0 la l q u e | x " - x '| < ó. lo c u a l im p lic a q u e |ff(x ") - g {x ')\ < y X .X

p a ra to d o

€ [ x , _ |, X ,]. P o r ta n to . 0 < x ¡ - x ( _ , < ó im p lic a q u e \ f\ x ')g [x ) - J\ x ')g {x ")\ - l/ Jx 'H \g(X ” ) - g {x ')\ <

< ‘ T

L a c o n tin u id a d d e f y g so b re [a .fc ] im p lic a n q u e f g e s c o n tin u a so b re [a ,/ » ], en to n ces lim ¿ y íx ¡^ íx " )A x ( = f f(x )g {x )d x lir ii- o .- i J a g c o n tin u a s o b fc [ti.b ] im p lic a q u e g 2 es c o n tin u a so b re [o ./»] y . p o r tan to , u n ifo rm em en te c o n tin u a so b re [c i,6 J . E n to n c e s p a ra ca d a c > 0 ex iste u n <5 > 0 ta l que

D em o stración 3 .

|x ‘ - x ” | < ó => 102(x " ) - 0 2(x )| < r } p a ra to d o x ’. x " e [ íi,6 ] . A d em ás n e ce sitam o s la d esig u ald ad 11>*| - |r || <, ^ /jy5 - z2|. C o m o y 2 - 2 |>•11r| + z2 < y 2 - 2 z2 + z1 = y * - : 2, si |y | > |z | y + z2 S y 2 - 2 y 2 + r 2 - z2 - y 2 si |r| > |y |

(|y | - |z |) 2 <; |y 2 -

y 2 - 2 |y ||z | +

z2l ~

||y | -

\z\\ <

z V I y J - *T i-

E m p le a n d o la d e sig u ald ad o b ten em o s que Iv//2(x ') + g * {x ") - V 7 W + F ( V ) | < sj\g l { x " ) -

= t

cu a n d o 0 < x 4 - x , _ , < ó. C o m o y/x es c o n tin u a so b re [0 . + c c [ y / y g c o n tin u a s so b re [a , b ], en to n ces y f x o ( / 2+ g 2) = y j í 2 + g 1

es c o n tin u a so b re [ a , 61. P o r co n sig u ie n te , lim

iim - o i- i

J f 2{x ,) + <y2(x ¡')A x i = I J j 1 + g 2 dx. Jo

A r c o s y c u r v a s e n e l p la n o D e fin ició n .

U n a rc o c n e l p la n o es la im ag en d e l in te rv a lo a <, t <, b p o r u n a a p lic a c ió n de

la fo rm a x = M

“

g(‘ )

0 4 -8 >

c o n / y g c o n tin u a s so b re [ a . 6 ] . L a v a ria b le í se lla m a p a rá m e tro ; la rep resen tació n d e (14-8) es u n a p a ra m e triz a c ió n d e l a rc o , y la s fu n cio n e s / y g se lla m a n la s fu n cio n es p a rá m e tro . U n a rc o es u n a c u rv a c e rra d a p a ra u n a d e te rm in a d a p a ra m ctriz a c ió n s i. y so lam en te si, la s im ágenes d e lo s p u n to s ex trem os a y b d e l in te rv a lo so n ig u a le s :/ ( « ) = / (6 ) y g\u ) = g{b). U n a rc o es sim ple p a ra u n a d e te rm in a d a p a ra m ctriz a c ió n si, y so lam en te s i, la a p lic a c ió n es b iy e c liv a . U n arco

174

L O N G IT U D D E A R C O

es u n a c u rv a sim p le c e rra d a p a ra u n a d e te rm in a d a p a ra m e triz a c ió n si, y so lam en te s i. lo s p u ntos ex trem o s d e l in te rv a lo d e d e fin ic ió n fo rm a n e l ú n ic o p a r d e p u n to s d is tin to s q u e tien en la m ism a im agen. (V e a F ig . 14-4.)

F i g u r a 14-4

N o ta I . U n a rc o pu ede ten er d iferen tes p a ra m ctriz a cio n cs. P o r e je m p lo , e l segm ento de recta q u e une lo s p u n to s ( I . 0 ) y (0 . I ) tie n e la s sig u ien tes p a ra m e triz a c io n c s :

x - l, y -

I -

f . 0 <, t £

6) x -

3 - l. /

—

2 +

f c 2 s i S

c) x -

sen 2 i,

y - eo s2 r. 0 £ i 5 8 x , etc. N o ta 2 . U n a rc o pu ede se r c u rv a ce rra d a en una p a ra m e triz a ció n y n o se r una c u rv a cerrad a en o tra p a ra m e triz a ció n . P o r e jem p lo , e l segm ento q u e u n e lo s p u n to s (1 .0 ) y (0 . I ) es una cu rva

ce rra d a en la p a ra m e triz a c ió n c ) y n o es una c u rv a e n c e rra d a en a). N o ta 3. U n a rc o pu ede ser sim p le en una p a ra m e triz a ció n co m o en la d e l caso a ) y no ser sim ple en o tra p a ra m e triz a ció n co m o en e l caso c).

PROBLEM AS R ES U ELTO S f r. _ . e ,n a

1 L a s e cu a cio n e s p a ra m é !rica s d e l c írc u lo so n x = a c o s f l. y - a s e n 0-

■0 e [0 . 2 * ]. H a lle su lo n g itu d .

S o lu c ió n .

x ' = —a sen 0. y -

cm 0 ; (x V ♦ (/ )* = a*. Entonces L —

- 2xa.

II. > •- Ja*- x*.dy/dx=-x/yfiri~Py I +(y)2—I +-¿t*xi - y j y . l a derivada no es continua en x =■ ± a Pero *c puede m ostrar que la integral es im propia y que

/ l ♦ (y7? dx = P — converge y es la longitud de un semicírculo. J - . -Ja* - x 2

P r o b l e m a 1 4 -2 S o lu c ió n .

D e te rm in e la lo n g itu d d e la c u rv a y * « x 2 desde ( — 1 ,1 ) u (2 N/2. 2).

D e la ecuación y - x 2/‘ se obtiene / - 2/3x' ,,J y L -

j/ l +

dx. F j una inte

gral im propia, lo cual sugiere que se obtenga una m ejor representación analítica de C. Sea x — l\ entonces y m i ‘, es decir, las ecuaciones paramétricas de la curva son x y y - i : . f 6 ) - x . » [ . E l valo r f ■ - 1 corresponde a l punto ( — 1.1) y r - y/2 corresponde a (2^2.2). Entonces L “

f !

C2Í Pdr = £

t J& T A t 1 ♦

= 2£

J 9 F + 2 P di +

por ser la integral una función par. Para l ¿ 0. sÍ9 t* + * P ® t f í P + 4 — tonces L -

(9r* + 4)*J2 1| + - jy <9i2 + 4)»'2

( I 3 1' 2 + 22w

v 9 r * V ip

J 9 l 2 + 4 D/91* ♦ 4). E n

16).

L O N G IT U D D E A R C O

P r o b l e m a 1 4 -3

175

e cu acio n es p arcm étricas d e la h ip o c iclo id c son x = a eo s1 0, y = a

sen 1 0. H a lle la lo n g itu d to ta l d e la cu rva . S o lu c ió n . Cuando 0 varia de 0 a jt/2, P recorre la parte de la curva correspondiente al prim er cuadrante. Tam bién x2' 1 + y 1' 1.- a 2' 2 (eos2 0 + sen2 0) = a1'*. Com o la curva es sim étrica, entonces L = 4J

Jd x 2 + dy1. Com o j*- ■ —3a eos2 0 sen 0.

- 3a sen* 0 eos Ü

Po r tanto. —3aeos1 0 sen0)1 + (3asenJ 0 cos0)2d0 = 4 J *

/-= 4

P r o b l e m a 1 4 -4

3acos 0scn OdO = 12a | y sen2 o j

= 6a

V e rifiq u e q u e J V c T ) * + tó ’ )* d i d a la lo n g itu d co rre cta de un seg-

m entó d e recta. S o lu c ió n . L a recta que une los puntos (a ,.fe ,) y (a ¡.b ¡) tiene por ecuaciones paramétricas a * - a ,(l - t) + + ti¡l. y = ¿»,(1 — l) + b2l. O S l S 1. que es de longitud I - J ( a ¡ — a ,)2 + (fc, - b ,)2. También ' = r

[a ,(I -/> + a 2 * ])a + (- ¿ T [h 'i l -

1/1 £

dt = £

7 - a ,)‘ + (6 , - h ,)1d , =

= yj(a2 - a ,)2 + (b2 - b ,)*

P r o b l e m a 1 4 -5

H a lle

lo n g itu d

cu rva x = i 2 + 2/ + 3. y = i 2 - 2/ + I.

Osrsl. S o lu c ió n . x (i) - 2i + 2 ; >(r) - 2f - 2 ; [x '(0 ]2 » 4/2 + 8r + 4 ; [/ (» )]* - 4r2 - 8r + 4 y [ x ’ÍO ]2 + + [/ (* )]* = 8r2 + 8 = 8(1 + l 2). Entonces la longitud de arco es L = Z j2

+ r2) 1' 2d i =

+ J2

In (I

+ v 3>

P r o b l e m a 1 4 -6

H a lle la lo n g itu d d e un arco de la c ic lo id e y = a ( 1 - eo s 0X x = a (0 - sen 0).

S o lu c ió n .

L -

dx/dO = a<l - eos 0). dy/dO ■ a sen 0 y

J a 2{ 1 - cosO)2 + a1 sen20 dO - u í Jo

,/2 - 2 eos Ó dO - 2a í Jo

sen

dO — - 4a eos ~ I = 8« l lo

Observe que sa se quiere hallar la longitud de dos arcos, lim ites 0 y 4ir. se debe tener cuidado en hacer negativo a sen 0/2 entre 2x y 4a. D e esta manera,j/ 1

P r o b l e m a 1 4 -7 S o lu c ió n .

j ’ * U

es positivo sobre el dom inio de integración.

H a lle la lo n g itu d d e la cu rva y = x 2 desde x = 0 h asta x = I.

L = j " v T + O O 1 dx = j*1 yj\ + 4x2 dx. Sea x = 1/2 tg 0 ; entonces

t i L ^ y

J T + tg2 0 sec2 0 dO = - j J

=—

•2 + ~ In 1^3 + 2| -

(are tg 2 = are scc

L O N G IT U D D E A R C O

176

P r o b le m a

1 4 -8

. H a ,Je ^ ,o n g ilu d dc (a curva y =

|n sec x d esd e x = 0 h a s la x = n t 6.

>•'= tg x ; entonces

S o lu c ió n .

n»

_______ /••;» |« * vyI + tg ' x d x = J secx d x = ln |s e c x + lg x ||o = In

H a I)c ^ |ongi|ud dc ^ curva x m

P r o b l e m a 1 4 -9

/3 I | = In y/i

<,1/2 co m p re n d id a c n irc los

+ y t/2 .

p u n to s en lo s cu ale s c o rta lo s d o s ejes.

/ — — ' f

S o lu c ió n .

;

o C O S ^ IT

+ | ^

cos>

0 s e n

0 d O

4<i J**

dx. Sea >• = aco<¡4 0 ; entonces

v/ C O S 4

sen4 0

- eos

sen I I dO

Haciendo eos 26 = tg z ; - 2 sen 20 dO - SCC4 z dz: 6 = 0 ; z = r/4; 0 - n/2, z - - * / 4 D c donde L = 2

u f ./ I + igJ z sec: z dz « J- n *

a [ 2

+ 2 J2 J- 1 & -

P r o b l e m a 1 4 -1 0

scc1 z dz = v a— (sec z tg z + In |sec z + tg z|) I 4 I* ' (In 1^/2 + I |a + 2^/2) — -S^ ÍL (In [ y j i + I ] + y/2)

. . . . .

___________ _____________ D e te rm in e la lo n g itu d d e l a rc o dc p a rá b o la y = 2p x 2 e n tre e l vó rtice y e l p u n to en e l c u a l la tangente es p a ra le la a la b isectriz d e l p rim e r cu ad ra n te .

S o lu c ió n .

L a tangente tiene pendiente 1 en el punto (x . y),

dy/dx = I = 4px. x - l/4p. y = 2p y ¿ ^ r ~ l *P

L a longitud es L - J 4' n/T+ 16/Px4 dx. Haciendo el cam bio 4px = senh /, x - senh i/4p » dx = cosh f/4p ■di. Entonces -----„

^ lT ^ = gy

= —

co sh , —

J y senh 21 + t j " *

| y 2y/2 + A rg senh I J ■»

P r o b l e m a 14-11

r .n ~ h \

cosh 2 /+ I

d ' - l F j o ------------------------------=

2--- "

senh 2 [A rg senh I ] + A rg senh l j = In ( I + ^ 3 ). Porque arg senh I - In ( I + .^2)

D e te rm in e la lo n g itu d dc la c u rv a y *» I + In x en tre lo s p u n to s 1 y 2.

L O N G IT U D D E A R C O

S o lu c ió n ,

ds -

+ .(? v ¿x = 1 /| + - - T ^

+ f

J, Jx1+ I

=> * -

S o lu c ió n ,

xV^r T 7

+ ^ (I + J l ) - lll - j - ( ] +

14-12 J

s ■=

jx » + JM X

xJx¡ + I

- , . / p ~ + ~ í ) | ‘ «.

P r o b le m a

1 «** -

= J l — J l + [a rg senh /] I = ,/5 - J l + arg senh I I 1/2

177

^ =

T -

J 1/2 v ^ í^ n 3

arg senh - i *

yfl).

^ lo n g itu d d e x = 2 sen x en tre 0 y

^1 + 4 eos2 x dx - 2

•f 4(1 - senT’x) dx — 2

jt.

- 4 senr x dx -

- 2 £ '* V 5 - 4 sen2 x = i J S j* '* j / l - ^ - ^ s e n ^ dx = 5.2 se irala de una inlcgral elíptica, del segundo tipo de Legendre. Consulte el cálculo de este tipo de integrales en cl C apítulo 21.

P r o b le m a

14-13

Pru e b e q u e c l g ra fo C d e la fu n ció n co n tin u a J x eo s — . si 0 < x S V

/<x) =

s i x «=> 0

n o es u n a cu rva rectificab le. S o lu c ió n .

Inscriba una curva poligonal P 0, P „ .... P . en C de longitud t

i* i

IP / - .P / I

i* i

E lija a x 0 - 0. x , - l/n, x , = /(x,> ■=

J{x , -

eos

i.,

(/ (* / ) - 7 G

j —

7 - T ÍP

i- i

t / ( x ()

- cos(n - i + l)x = ( - i r

|/(x,) - / (x ,_,H = --—

----- +

l/ (X j) — /< x,_ , ) | - - p

+ - J= - -

v/n

, . , ) !

1 J n

“ •+ 1

Jn - i + 2

*— . i * 0. Entonces

- f- ir - f... + _ L

—I

- 1 + 24 t + 2~ F + v/2 ^3

- / ( x

*- Entonces /(x 0| - 0 y

N/n - i + I

y/n - ¡ + 1

— ...... x ._ , - 4"- *« " n — I ¿

** Si /

x ,- ,) 2

s/2

•+ 2~ T > n~ T = V” v "

+ _ L

+ - L

+ ^ -

J i

v'2

¿ |P '- ,P ^ «-i

Agregando otros puntos de subdivisión, x „ . ,, x „. 2 x „ .p se puede hacer 2 ■ max { x , — Xg. x ¡ — x , . .... xm, r — x . , r _ , } . tan pequeño com o se quiera, y a la vez

iflP r - .P .I a

l- l

Í \ P

l- l

, - , P

, \ >

Com o a l agregar vértices no dism inuye la longitud de la curva poligonal inscrita en C, entonces, siendo n arbitrario, se puede hacer prim er miembro de la acotación tan grande com o se quiera, con /. menor que cualquier e > 0 dado. E s decir, la longitud de la curva poligonal inscrita no se aproxim a a un lim ite finito cuando k — 0. Po r tanto. C no es rectificable.

178

L O N G IT U D D E A R C O

P r o b l e m a 1 4 -1 4 .

U n a rc o d e la c ic lo id e x ■ <i(0 — sen 0 ), y = « ( I — eo s 0 ) se hace g ira r a lre d e d o r del e je X . H a lle e l á re a gen erada. =■ (I - eos 0 );

S o lu c ió n .

=* a sen 0.

ds = aN/(l — eos 01' + sen3 0 dO - a j2 ~ — 2 eos3 dO. S = 2nJ*y ds = 2n £ '« < 1 - co sO Ja/2 - 2 eos 0 dO - i j l n a 2 J " * ( | - eos 0) 1'1

sen* ~ dtí - 8*0 *

= Sita* J - W

(- 2 c o . 4

| l - cos; — j sen

* 4 eos- • ) |“

d0 =

“ H l

\ H a lle e l á re a g en erad a cu a n d o -y,- +

P r o b l e m a 1 4 -1 5

v p - = 1 se h a ce g ira r alre d e d o r

d e l e je Y. U se la s e cu acio n es p a ra m é tric a s x = a eo s 0. y = b sen 0. - a sen 0 ;

S o lu c ió n . /I = 2 ¡r (*"

— fe eos 0 ; ds = N/a1 scñr 0 + " P eos1 I) dO. r = x = a eos 0. Entonces

a eo s 6 J{ á r - fe2ís é n 3 f t í fc’ dO. Sea J a 3-^ P

= 6 sec1 r dz. S Í 0 — — -y - are tg y ;: r —

2n-ob

eos 0 dO -

~~~— ; y;0 * y71 i - = are tg v “

sec' -v b* tg r + P d ; V

/ l . I , , t - v i* ,.1- *'* l y s c c r ig * + ,- ln |>ecx + tg 2|l ' 2 2 /-r. I*

2trufe* =■ 7 = =

L a Figura 14-7 muestra que are tg ±

trufe*' v a

____

f u c i f c V - V * ___________ _______________

A — ———--- - k Ja ^ b 2

■4 =

sen 0 = fe I r í =»

-t- P

I 2a JP ^ P . . I T “ • v — . ---- + In \ fc fc

P r o b l e m a 1 4 -1 6

are sec

P '

J a 1 - ! ? |\

T a

b J a 2 —~ P

U 1 1/

J P - P

u + V/ P ^ P „ _ J jr z p

H a lle e l á re a g en erad a p o r x í,s + y 2' 3 = a 213 cu a n d o a se h a ce g ira r

a lre d e d o r d e l eje X . S o lu c ió n .

A - 4r: f Jo

Ñ o la.

- - C .

. t

V f .

y J T T W ? d x = 4n f Jo

I + - C

(aM -

Entonces

•—

l/ J

dx = - -L2* " ! ! ! < „*» <

Se empleó el hecho de que la curva es sim étrica y se tom a dos veces la integral de 0 a a.

I _

I 2**!<

L O N G IT U D D E A R C O

P r o b l e m a 1 4 -1 7

179

H a g a g ira r a y = af2 (eM,‘ +

a lre d e d o r d e l eje X . desde x — —a

h asta x - ti. y h a lle e l á re a generada. I

S o lu c ió n .

J w

y ’ - y (e"* - r " * > ; I + ( / ) ' = I + ' y - -

,4 -2 »

l* í*

T i

- l - J - <e** + r " ) I

<e“ + « — ) (r*- + r ‘*)4x = ^ j “ (r>M

t (t — P r o b le m a

♦ 2 + r _aw0 4 * ( f í - e ~* + 4)

4u»

—

1 4 -1 8

H a lle e l área g en erad a cu a n d o e l a rc o d e la p a rá b o la y 2 « x en tre y = 1 y — I se h ace g ira r a lre d e d o r d c b re cta x = 1. (V e a F ig . 14-8.)

Solución, r « 1 — x - I - y*; y A - 2x j*

- 2y .

( I — y * \ J\ + Ay3 dy. Sea y = -y tg 0. Entonces

4 - 2 « r ,,Í

( i - - > . g a0 ) v ^ W 7 ^ ' s c c a0 d 0 . n ^ ,,,,, [ l - U > e \ * c > 0 d

Com o j*sec’ 0 dd -

* 2 Js « > 0 dO. se obtiene

+ \

l w

1 (1 -2 »

í í ■“ < " * e +

[

« >

»i* ) ( i -1 »

0 +

) -

S e g ú n e l t r i á n g u l o d e la F i g u r a 1 4 -9 , a r e tg ± 2 = s '$.

- -.(--3*♦ ^

F i g u r a 14-0

+-£*1^*>i- ' V * " f - S - i* ->')

F i g u r a 14-9

F i g u r a 14-10

180

L O N G IT U D D E A R C O

P r o b le m a

S o lu c ió n .

14-19

D e te rm in e e l á re a la te ra l d e u n to ro d e re v o lu c ió n .

L a ecuación de la circunferencia generatriz es - a - s s rz rp

(x - Ü)* ♦ y* - R : . R < a - x - ti ±

= X m «| +

que son las ecuaciones de los dos arcos en que se descompone e l circulo. (V ea Fig. 14-10.» u)

F J ¿rea lateral engendrada por el giro de c ,. A t - 4 * j * x ty )j/ l + (y/^ ÍR 1 - y * )' dy - 4n J

■" í

7 ^

(a - J R 1 - y 2»

iy- 4* J / " '

dy -

^H .') -

— (* - * • )- H ó)

-*)

E l área lateral engendrada por el giro de c*.

*a" 4nío<a+^ ~

dy“ 4,tR[ ir +Rj

Y e l área total. ,4 - X , + A 2 = 4itJ aR.

I P r o b le m a m é tric a s x

14-20

D e te rm in e e l área e n g en d ra d a, a l g ira r la c ic lo id e , d e ecu a cio n e s para-

- K ( l - sen t\ y = K ( l - eo s í ) a lre d e d o r d e l eje X .

S o lu c ió n . A m 2« j " Sustituyendo,

- 2* £ A = 2n J

y (r)N/[4 x (0 lT +

«W») = R U - c o a II d i,d y {i) ~ R sen

t d t.

R (l - eos rK /R 'O - coslT^ + R 7 sen5 1 d i -

2n R 1 £ * ( I - eos I)yj2 - 2 cóa~f d i - 2 J2 n R ¡ £ " ( l - eos I)* '1 di

Teniendo en cuentaque I - eos l

= 2 sen* - y . resulta A = 8n R 2

sen’ y d i - !6 n R J £ sen* u du -

- (2 )^I6 j«K 2 £ J sen» u du ) - 2 5x * J y jj- -

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S 1.

H alle la longitud de arco de y = In (eos x ) entre x - 0 y « - */3.

H alle la longitud de arco de la parábola x * - 2py desde e l vértice a un extrem o del «latus rectum».

Resp.:

In (2 + 3 1' 2)

+ p In ( I + J IV 2

R esp.:

\ 2 3.

H alle la longitud entre x = a y x « / > d e la curva e> - (r* + l^ lr* - I ) ; b > a > 0. Resp.:

Las ecuaciones de la involuta de un circulo son

la longitud de un arco entre 0 - O y 0 = a > O .

In f(e 2* - IH r 2- - l) J ♦ o - b

(eos 0 ♦ 0 sen 0K y — u (sen 0 - 0 eos 0 l H alle _ Resp.:

*2 a~Y

L O N G IT U D D E A R C O

181

H alle la longitud de |a catenaria y - a cosh — desde d vértice .4(0.a) hasta el punto B {b M - o*

Resp.:

H alle la longitud del arco de la curva y - ln x desde x = ^/3 hasta x ■> J i .

H aUc La longitud del arco y - arc sen (e~*) desde x = 0 hasta x - I, In ( r ♦ j e * — I)

Resp.:

H alle la longitud del arco de la curva x - -y y 2 — ^ ln y, desde y - I hasta y - r. ^ - (^ + 1 )

R esp.

10.

H alle la longitud del arco de la rama derecha de la tractriz x - yja‘ - y * a ln j 0 * desde y - u hasta y - b ( 0 < b < a). Resp.:

a ln

H a lle la lo n g itu d d e l a r c o d e la e v o lv e n te d e c ir c u lo x >• u ( e o s I + I s e n

l eos 0

d esd e f -

0 h a sta r -

a (se n l R f$ p

H a l l e la lo n g itu d d e l a e v o lu ta d e la e lip s e x — —

12.

H a lle la lo n g itu d d e l a c u r v a

12.

H a lle la lo n g itu d d e a r c o d e

e o s* i : y -

a (2 e o s I — e o s 2 ¡ l y -

J e ° -

s e n * I . ( c 2 — a* -

a (2 s e n i -

él.

a £ x £ fc

y -

f lT *

fr2|.

R e s p .:

s e n 2/»

£ K/4; c ) x - I 2. y - ¿ (4r 4 l ) V2. 4 $ ( s 6

16a

£ ,/m c * I - T é . O í x S a ) r* - *•;

6) I ;

c ) 22

D e te r m in e l a lo n g itu d e n t r e 0 y x d e u n a r c o d e la c u r v a y — r* .

* » : 15.

y -

11.

14.

. ln 2

I *

Resp

, - v ^ * - í - ^

♦»< «K

H a lle d i r c a d e la s u p e r f ic ie e n g e n d r a d a p o r la r o ta c ió n d e la p a r t e d e la t a n g c n io id c y -

prendid. c m r c > . 0 , x . - J . a l c e d o , d d c jo *

K t¡p

+ ,

tg x , c o m -

M ± J 1 y 5 + I

16.

H a lle e l A rca d e la s u p e r f ic ie e n g e n d r a d a p o r la r o ta c ió n a lr e d e d o r d e l e j e -V d e l a r c o d e la c u r v a y c o m p re n d id o e n tre x -

17.

0 y x -

+ « ,

R f$ p ;

a co sh ~

a lr e d e d o r d e l e j e X . e n t r e l o s lim ite s x — 0 y x -

a. R esp.

H a lle e l á r e a d e la s u p e r fic ie d e re v o lu c ió n d e la a s t r o i d c x 2'* ♦ y 2'* -

-5 Í—( r 2 + e ~ 2 + 4)

a 2" a lr e d e d o r d d e x YR esp :

19.

H a l l e d i re a d e b s u p e r fic ie d e re v o lu c ió n d e b c u r s a x = y*¡A p re n d id a e n tre

y ■ I y y ■ r.

H a lle e l á r e a d e la s u p e r f ic ie e n g e n d r a d a a l g i r a r l a d i p s c b ) d e l e je 7 ( a > fc).

12 , - y xa2

1 /2 lo g y a lr e d e d o r d d e je X c o m R esp :

20.

e '

+ |n(| +

H a lle e l á r e a d e la s u p e r fic ie ( d e n o m in a d a c a te n o id e ) e n g e n d r a d a p o r la r o ta c ió n d e la c a t e n a r ia y -

18.

-J(* -

— I a lre d e d o r:

IX e2 + r + 4) a)

d e l e je X ;

Momentos. Centro de gravedad I.

S e d e n o m in a m om en to e stá tico d e un p u n to m a te ria l A , d e m asa m,

M om ento estático .

situ ad o a una d ista n cia d d e l eje l, c o n respecto a este m ism o eje I, la m agn itu d

M¡ =rnd R e cib e e l no m b re de m o m en to e stá tic o d e un sistem a d e n p u n to s m ateriales, de m asas /n,. m2....... mm situ a d o s en e l m ism o p la n o q u e e l eje /, co n resp ecto a l c u a l se to m a n , y separad o s d e e l p o r

las d ista n cia s d ,. d 2

d „ la sum a

(15-1)

i -1

d eb ien d o lo m a rse las d ista n cia s d e lo s p u n to s que se en cu en tren a un la d o d e l eje / co n signo m ás (+ X y lo s q u e estén a l o tro , c o n sig n o m enos ( - ) . E n fo rm a a n á lo g a se d e te rm in a el m o m ento e stá tico d e un sistem a d e p u n to s co n respecto a un p lan o . S i la m asa o cu p a co n tin u a m en te to d a u n a lin e a o u n a fig u ra d e l p la n o X Y , lo s m om entos e stá tic o s M , y M y respecto a lo s ejes co o rd e n ad o s, en lu g ar d e la sum a (15-IX se expresan por la s co rresp o n d ien tes in teg rales. C u a n d o se tra ta d e fig u ras g eo m étricas, la d en sid ad se co n sid era ig u a l a la u n id ad . E n p a rtic u la r: E l p rim e r m om ento d e u n a rc o de u n a c u rv a está d ad o por

M om ento de una cu rva.

M om en tos d e á re a s y volúm enes.

S i e l á re a lim ita d a p o r y = f[x \ e l eje X , x = a

y x = b. se d iv id e en fra n ja s d elg ad as p o r rectas p a ra le la s a l eje Y y que pasan p o r lo s puntos a = x 0 < x , < . . . < x „ = b, sea

la ab scisa d e l c e n tro d e g raved a d d e la í-ésim a fra n ja , y

x ¡ — x , _ , = A x ,. E l m o m en to de un elem en to d e á re a respecto a l eje y 'e s £ l/ (£ ()A x i, y e l m o

m en to d e l á re a to ta l M r respecto a l eje Y, es M , - H m Z ^ lA x , = A.-O

J a

x f[x ) d x = A x

sien d o A la in te g ra l j * / ( x ) dx y x la ab scisa d e l ce n tro d e l área.

182

M O M EN TO S

CEN TRO

DE G RAVED A D

183

2. M o m en to de in e rcia . S e d a c l n o m b re d e m o m e n to d e in e rc ia , re sp e cto a u n eje f, de un siste m a d e n p u n to s m a te ria le s, d e m asa s m ,.m 2....... / n „ a la sum a I, - Z i* i

d o n d e d t, d 2 en

d „ son la s d is ta n c ia s d esd e lo s p u n to s a l eje /. C u a n d o la m asa es c o n tin u a .

lu g a r d e la su m a o b te n d re m o s la in te g ra l c o rre s p o n d ie n te : j*

x *yd x .

E l á re a lim ita d a p o r y « f lx ), e l eje X , y x = a . x = b. su m o m en to d e in e rc ia respecto a l eje Y e stá d a d o p o r ! , 3.

j* x 2y dx.

C e n tro de g raved ad .

L a s c o o rd e n a d a s d e l c e n tro d e g ra ve d a d d e u n a fig u ra

p lan a

(y a sea a rc o o s u p e rficie ) d e m asa M se c a lc u la n p o r la s fó rm u la s

d o n d e M , y M , so n lo s m o m en to s e s tá tic o s d e la s m asas. C u a n d o se tra ta d e fig u ra s geom é tric a s . la m asa M es n u m é ricam e n te ig u a l a l co rre s p o n d ie n te a rc o o a l á re a L a s c o o rd e n a d a s (x , y ) d e l c e n tro id e se d e fin e n p o r x s - M y ys - M . resp e ctivam en te , sie n d o s la lo n g itu d d e a rc o d e (u .c ) a (b .d ). A n á lo g a m e n te , e l seg u n d o m o m e n to d e l a rc o está d ad o por

s / iR t r * E l ra d io d e g iro R a lre d e d o r d e l e je A* y d e l e je Y está d e fin id o p o r R 2s -

/ , y R * s = l r respec

tiva m e n te. 4.

M om entos c<m respecto a lo s plan os.

L o s m o m en to s d e u n vo lu m e n c o n re sp e cto a l

p la n o x y e stá n d a d o s p o r M „ « J * z A {z )d z . sie n d o A (z ) c l á re a d e la se cció n p a ra le la a l p la n o x y . E x p re sio n e s a n á lo g a s se p u eden e s c rib ir p a ra lo s m o m en to s c o n resp ecto a lo s p la n o s xz y yz. P a ra una su p e rficie g en erad a p o r ro ta c ió n a lre d e d o r d e l eje X . c l m o m en to c o n re la ció n a l p la n o yz e stá d a d o p o r N „ - 2 n

x y d s . P o r sim e tría , c l c e n tro id e d e e sta su p e rficie está

so b re e l eje X .

Te o re m a s d e Pappus T eo rem a I . E l á re a d e la su p e rficie en g en d rad a p o r la ro ta c ió n d e l a rc o d e u n a c u rv a p la n a a lre

d e d o r d e u n eje. situ a d o en e l m ism o p la n o que la c u rv a , p ero q u e no se c o rta co n e lla , e s ig u a l a l p ro d u c to d e la lo n g itu d d e d ic h o a rc o p o r la lo n g itu d d e la c irc u n fe re n c ia q u e d e scrib e e l c e n tro d e g ra ve d a d d e l m ism o . (V e a F ig . 15-1.) T eo rem a 2.

E l vo lu m e n d e l c u e rp o e n g e n d ra d o p o r la ro ta c ió n d e u n a fig u ra p la n a alre d e d o r

d e u n e je . s itu a d o en c l m ism o p la n o q u e la fig u ra , p e ro q u e n o se c o rta c o n e lla , es ig u a l a l p ro d u c to d e l á re a d e d ic h a fig u ra p o r la lo n g itu d d e la c irc u n fe re n c ia q u e d e scrib e c l c e n tro d e g ra ve d a d d e la m ism a.

M O M EN TO S. C EN T R O D f G RAV ED A D

184

PROBLEM AS R ESU ELTO S P r o b le m a

15-1

H a lle

la s c o o rd e n a d a s d e l c e n tro id e

d e l á re a

lim ita d a

p o r y = x 2.

x = 3 . y = 0 . (V e a F ig . 15-2.) A = j* x 2 dx = -y-1

S o lu c ió n .

x •x

= 9; 5 «

P a ra h allar y se debe lo m ar el prim er m om ento con respecto a l eje X . E l área de una fran ja vertical es

x2 dx. E l centroide d e esta fran ja vertical está aproxim adam ente a la m itad de su longitud, o - y - por encim a del eje X . Entonces d prim er m om ento con relación a l eje X es - y . Sum ando todos los m om entos elem entales y pasando a l lim ite se obtiene

I f* x4 .

9 T o L " W

T dx-

x 5 I3

O tro m étodo de h allar y es usar franjas horizontales. Sea (x . y) un punto de la cu rva. E l área aproxim ada de una fran ja horizon ta l es (3 - x ) d y = (3 - J y ) dy, porque y = x 2. E l centroide de esta fran ja está aproxim adam ente a una distan cia y del eje X . Su m om ento con respecto a l eje X es y(3 — - Jy )d y . Tom ando el lim ite de la sum a de todos los m om entos elem entales de y = 0 a y ■ 9 , se obtiene

>" 4

£ >« - ^

P r o b le m a S o lu c ió n .

- 9 £

1 5 -2

P o r sim etría, x = 0 ; 4 ■* 2

= -h £

«** -

y d x — 2 J** ( — x 2 + 4 )d x = 2

- j y dx =

8*‘ + ' « *

Em pleando franjas horizontales, y =

1 5 -3

- x 2 + 4 . y = 0.

H a lle e l c e n tro id e d e l á re a lim ita d a p o r y =

Em pleando franjas verticales. y - 2 •

P r o b le m a

t ( t > ’ - t >’" ) C ” i ( í '91 - i 9’" ) - 17

y 2 dx -

T í ( 4

J * 2y •x J y " i r £

-y- + 4 x J

( - x 2 + 4 )2 dx =

1 + ,6* ) I I ’

’ -6

2><4 - y ),/J dy.

E l á re a d e l p ro b le m a a n te rio r se h a ce g ira r a lre d e d o r d e l e je Y p a ra

o b te n e r u n p a ra b o lo id e d e re v o lu c ió n . H a lle e l c e n tro id e d e e ste vo lu m e n . P o r sim etría, e l centroide está sobre e l eje Y. D ivid a el volum en en franjas por m edio de planos perpendiculares a l eje Y.

S o lu c ió n .

V = j " rtx2 dy = J " n<4 - y )d y = a ^4y -

Í-

! £ , - « ■ 4- -

- 8a

y)“y - - ¿ ” (2y‘ - 4

) [ - 4

puesto que e l centroide de una franja está sobre e l eje Y aproxim adam ente a una distancia y del origen.

185

M O M EN TO S. C E N T R O D E G R A V ED A D

P r o b l e m a 1 5 -4

H a lle e l ce n tro id e d c un co n o re cto c irc u la r d c ra d io r y a ltu ra h. (V e a

F ig u ra 15-3.)

S o lu c ió n .

Com o un cono se genera al girar la parte de la recta y -

x desde x - 0 hasta x = h, alre

dedor del eje X , V => -y n r1 h.

| ,'T

E l centroide está sobre el eje X .

P r o b l e m a 1 5 -5 S o lu c ió n .

H a lle e l cen tro id e d e un á re a se m icircu lar d c ra d io a (V e a F ig . 15-4.)

Sea y «■ J a 1 - x 1 la ecuación del semicírculo. Em pleando franjas verticales, el área de una

dc ellas es y dx = J a 2' - x 2 dx, y su momento con respecto a l eje A' es J a 2 - x2 dx ■ ~ J a 2 - x* • ,1a2 — x1 dx = y (a* — x 2) dx

Entonces A -

na 2; A y = 2

*a >

~ (a2 - x 2) dx - | a2x - y - J

^ “ "x a 7- “ 'J * '" *>or sim etría, x - 0.

P r o b l e m a 15-Ó

M u e stre que e l ce n tro id e dc un triá n g u lo está situ ad o en e l p u n to dc

trise cció n d e la s m edianas. (V e a F ig . 15-5.) D ivida el triángulo A B C en dos triángulos rectángulos dibujando una altura a la base AC. Supongamos que la base y la altura coinciden, respectivamente, con el eje X y el eje Y. L a ecuación dc BC es x/a ♦ y/h - I. E l área del triángulo O B C » ahfL, y

S o lu c ió n .

E l mismo resultado se obtiene para d triángulo A O B y. por tanto, para el triángulo A B C , y - h/3.

M O M EN TO S. C E N T R O D E G R A V ED A D

186

H centroide dc A B C está sobre una recta paralela a A C y pasa por d punto dc trisección dc las medianas. (Recuerde que las mediañas de un triángulo son concurrentes en un punto.) E l mismo resultado es verdadero para cualquiera de los otros dos lados del triángulo A BC . Entonces el centroide dc A B C debe estar en el punto dc trisección dc las medianas.

P r o b l e m a 1 5 -7 S o lu c ió n .

H a lle e l c e n tro id e d e l á re a lim ita d a p o r y = x s, y = x 2. (V e a F ig . 15-6.)

Las curvas se cortan en (0,0) y (1.1).

j V -*•>*-(-£--£) ||--nA x - £ * > ' - * ’ >*■ - ( t

P r o b l e m a 1 5 -8

- T - ) II =

H a lle e l m o m en to de in e rc ia y e l ra d io

d c g iro d e u n re ctá n g u lo d e d im en sio n es a y b c o n resp ecto a l la d o u. (V e a F ig . 15-7.)

S o lu c ió n .

/, =

P y*(a dy) =

f = i

M 3

S i M representa e l área, R 2M — / ,; R 1 = - y - ; R =

F ig u ra 15-7

P r o b l e m a 1 5 -9

H a lle : a ) e l m o m en to dc in e rc ia , y b ) e l ra d io d e g iro c o n resp ecto a l

eje X d e l á re a lim ita d a p o r y 2 = 4x, su « la tu s re ctu m » y e l eje X .

M O M EN TO S. C E N T R O D E G R A V ED A D

S o lu c ió n ,

o) A = £ < l ~ x U y - £

(l - ¿ - )d y - (.' - 4

187

) |’ = 3 "

ü 15 Para verificar / , se usan franjas verticales y el resultado del Problem a 15-8. E l área de una franja c s y d x y R 2 - >-J /3. Entonces 16 15

.5 / 2

R 2A = l t ; R 2

P r o b le m a

15-10 | ^

H a lle e l m o m c n io d e in e rc ia d e u n c ilin d ro re c io c irc u la r co n

respecto a su eje si su ra d io es a y su a ltu ra h. b ) H a lle e l m o m en to d e in e rc ia d e un c o n o re cto c ir c u la r c o n resp ecto a su eje s i su ra d io es a y su a ltu ra h.

F ig u r a 15-8

S o lu c ió n , a) Suponga que e l cilindro se genera a l hacer girar un rectángulo alrededor del eje X . Un tubo con I , = y 22nyh dy está generado por el área rayada en la Figura 15-8. Entonces para el cilindro nha* 2

- J > ‘dy b)

M a1 2

Suponga que el cono se genera a l hacer g irar a >• = ^ x desde x — 0 hasta x - h alrededor del

eje X . Em plee tubos generados por la franja rayada en la Fig u ra 15-9.

'■ ■ £ * 2' * ‘ - *>0- - 2” £ >'■ (* - 7 ) « - - * * ( 7 - £ ) i; - To *•* M - V -

¡ta2h

P r o b le m a

15-11

c o n resp ecto a :

ne,2h I **•** - T ~ \ - W

3 / l o M a -R M ~

r»

R1 > * a2 R m1 5 a ~

R R -

H a lle e l m o m en to d e in e rc ia d e la s áreas lim ita d a s p o r y 2 = x 3, x = 4 e l eje X ;

x = 4;

e l eje Y.

M O M EN TO S. C EN T R O OE G RA V EO A O

188

S o lu c ió n ,

Em pleando elem entos paralelos a l eje X .

A - M = 2£

(4 - x )d y - 2 £

(4 - y ¡ '* )d y - 2^4 y - - J y 5'» ) | " -

- -2 y

E J m om ento de inercia de un elem ento es A / . - y * ( 4 - x )d y ; / , - £ #y*<4 - x ) dy - £ >y*<4 - y*'*> dy 2 ** "

/ 5

”5 5 " \ 2 T

2 ‘M I T

320

2’ /

“5T

( y y* - n ' " ' * )

Em pleando elem entos paralelos a l eje Y y e l resultado del Problem a 15-8.

*'■-Tr*■*■ = ;'■-4£»*-»-4£ * -T-nb)

.11/1

>»»

320 “5T

Em pleando elem entos paralelos a l eje Y . el área de un elem ento es 2y dx.

Entonces A / ,„ 4 = 214 - x)*ydx. / , .« - 2 £

(4 - x )»y dx - 2 £ 32

(4 - x f x » 2 dx - 2 £

- 2 j f x » - f x «

,„ V | 4 .

(1 6 » " - 8x5'» ♦ x 7"> dx 214 3T5

128 63

Em pleando elem entos paralelos a l eje X , A / ..* - y (4 - x )*(4 - x )d y . / . . * = - i £ < 4 - x)» d y - y

- 4r .|Me)

- «■>*■- 1

f ,<4 - / '* ) * <*y -

♦ “ •«” - - h r..- 4ít - -s -

Em pleando elem entos paralelos a l eje Y. A l, = x * •2y dx. X* X » " dx

£ X 7"

dx - 2

*/i

2048

M O M EN TO S. C E N T R O DE G R A V ED A D

Usando elem entos paralelo» a l eje X . E n este caso se debe tom ar la diferencia de los momentos de inercia de los dos rectángulos que se'm uestran en la Fig u ra 15-11.

U ' _ - J.4 -

- !« ■

« d y. I, -

iy -

- T

i S - / dy ‘

O bserve que lo s rectángulos perpendiculares a l eje de rotación, pero quitados, dan lugar al cálculo separado de dos m om entos de inercia.

P r o b le m a h a lle :

1 5 -1 2

(x , y ) ;

S o lu c ió n ,

. y,,2 / 3 P a ra e l a rc o q u e v a d e (0 . a ) a (a . 0 ) d e la c u rv a x 1/1 +

/ , y e l c o rre s p o n d ie n te R ;

Según el Problem a 14-16. ds = a l l >

-2/3

/ , y e l c o rre s p o n d ie n te R . dx, y e l va lo r de s entre los dos puntos dados

es 1.5a. M , - J * x al, ix ~ %l* d x « 0.6a2: x(1.5a) - 0.6a2

S - 0,4a

P o r sim etría, y — S — 0.4a. 2 . . t 2 . l a » ; R 2 1 a = | aJ : R - 0.5a.

/ , - £ x 2a w* x " •'» dx -

P o r sim etría. / , • / .■ » -j-a1; R = 0.5a.

P r o b le m a

1 5 -1 3

H a lle e l c e n tro id e d e l s e m ic írc u lo s u p e rio r d e l c írc u lo x J + y 1 = a 2.

2x + y / - 0 ; y* -

S o lu c ió n .

-x /y; M , - £

y j / l + | - y j * dx - J >

—

- M ,;

yx a - 2a2 -» y - -y- - 0,367a; x - 0

P r o b le m a

1 5 -1 4

H a lle e l ra d io d e g iro a lre d e d o r d e x - 0 d e l a rc o q u e v a d e x = I

x2 a x = 4 d e la c u r v a y — ~

In x .

H a lle e l m o m e n to d e in e rc ia c o n

d e l a rc o q u e v a d e | y . I J a | - j y , 2 J d e la c u r v a y 4 -

S o lu c ió n , /, = £

ds -

| x -f y

y = b sen 0.

1 5 -1 5

6 x y + 3 « 0.

)d x y s = -y- + In 2.

x1 y ( x ♦ ~ )d x - - i | £

P r o b le m a

re sp e cto a y = 0

+ - £ ) |* = 35.62: R 2. - / ,; R 2(- 1 -5 ♦ In 2 ) - 35.62 ^

R - 2.83

H a lle e l c e n tro id e d e u n c u a d ra n te d e l á re a d e la e lip s e x - a e o s 0.

190

M O M EN TO S. C E N T R O D E G R A V ED A D

Po r un problem a anterior. A = nab/A. Entonces

S o lu c ió n .

f * '1 xyd y- J a eos 6b sen Ob eos 0 dO

t J > -£

M, -

|«* ah‘ j — e o s' 0 | ■

- A

ti eos Ob sen 6 ( - a sen 0) dO

x - (a’b/Mxab/4) -

; y -

{abln^xab/A) -

— . i « I*

Lo s cálculos tam bién se habrían podido hacer de la siguiente m anera:

**■ ■ 4 £

^ *

- t

£ , *■

9 <■-a “

* • '"

e - • a f i ) C, * t "

F i g u r a 1 S -1 J

P r o b le m a

1 5 -1 6

H a lle c l c e n tro id e d e l á re a lim ita d a p o r la c u rv a y — x e * en e l p rim e r

c u a d ra n te . (V e a F ig . 15-13.)

S o lu c ió n .

“ x * " 'á x

M, - £

x y dx -

- « - » - * — £

1 ; M , -

- y

y1 dx -

x ’ e '^ d x

x ’ e - 'd x - ( - x J 2 '* - 2 x r * - 2 e' •) |" - 2 X « 2. y

P r o b l e m a 1 5 -1 7

H a lle c l c e n tro id e d e l á re a c o m p re n d id a p o r u n a rc o d e la c ic lo id e x = a (0 - sen 0 ). y - <i(l - e o s 0).

S o lu c ió n .

A - o * J * ( I — eos f f f dO = a2 j**" ^ I — 2 eos 0 y

^ )ir M . - j J * y ’ rfx - y « * J % - ( I - sen1 (?) eos f lj

- eos 0 ) 'dO -

- -y- | y 0

J *

1 t j 0* 2? J ¿0 -

< r„;

[ l - 3 co s0 + 3 { 1 ± ® 2 Ü * J -

- 3 s e n 0 + - Js c n 2 0 - s e n 0 +

|* - J

5nal

M O M EN TO S. C EN T R O D E G R A V ED A D

V i, = j*

191

xy dx = a ‘ j ? " (0 - sen 0X1 - eos 0X1 - eos 0 ) dO - a 5 J

- lo d O

( I - eos 0)2(- s e n 0) dO +

+a3^' 2 0+—*~J0 ~--£(1 eos

|”

3 a V — o* ( 2 e o s 0

= 3 a * ,'; X -

- «

- c o s 0 )J | *

w 2 _ ~JñaT

+ 5a 6

Se habría podido obtener x em pleando la sim etría de .curva. Observe que no se ha calculado M , por medio si de j* xy dy. E l área de la franja no es xAy, sino

dA - a 2[(2 n - 0 - sen (2n - 0 )] - <0 - sen 0)]

sen 0 dO = a 2(2s — 20 + 2 sen 0) sen

P r o b l e m a 1 5 -1 8

„

---------

„

H a lle e l c e n tro id e del

á re a lim ita d a p o r e l eje X , la s c u rv a s y = sen x, y = eo s x d e 0 a n/2. (V e a F ig . 15-14.) F ig u ra 15-14 /*

í* «»i

11/4

sen x dx + I

eos x dx = - eo s x

J l/ 4

|*/2

+ sen x lo

= 2 - J 1 Eligiendo franjas paI b /4

ralelas a l eje X de área (x 2 — x ,)A y. tenemos que sus momentos con relación a l eje X son

r%w* r j» 1 yd A *» J y ( x j- x , ) d y = J y (are eos y — are sen y) dy = -y y 1 (are eos y — are sen y) f ^ Jo

Sea y = sen 0. 24 sen2 0 eos 0 dO

M , -

Tam bién

>/ n r Senr Ó

4 1 2

______ !_____________ L _ ) d y - H j í^ y 1 Jo

1 - eos 20 dO 2----------

M . = - J- Jy 2dx - y £ '* sen2 x dx +

10 \ 2

j "

- íl* L jr - - y

sen 2 0 \ I1'4 4 ) lo

n 8

1 4

\ ¡n 4 \ 2

A I

- eos 20 - i- ^ ¡

eos2 x dx = i-

sen 2 x \ |w2 « . '4

id - )

í*»/* r * ;j l«/4 .«/» xy dx = 1 x sen x dx + I x eos x dx = ( - x eos x + sen x ) + (x sen x + eos x)

(

J l/4

x tam bién se habría podido h allar em pleando la sim etría de la curva con respecto a la red a x = n/4.

1.14

1 *2

M O M EN TO S. C E N T R O D E G R A V ED A D

H a lle c |

P r o b l e m a 1 5 -1 9

c n cj p r im cr cu ád ra m e d e l a rc o lim ita d o p o r lo s dos

ejes, d c x 2'3 + y 2/i - a 2'3. S o lu c ió n .

Po r un problema anterior, i = 3/2a. ds - N/ l + y '2 dx « M ‘ " £ y is " £

" x 1 ,i)i'2 ^

M , = £ x d s - aui J V

P r o b l e m a 1 5 -2 0

H a lle

ix = “ T ^

’ * * = T f l , , v 's |* = T

e l ce n tro id e

py- dx.

‘ x“ >l # v ' 3 f0 “ { fll: s = 4 ú ; 7 = 4 ü

a rc o

x = a (0 — eos 0).

c ic lo id e

y = a l I - eos 0).

S o lu c ió n ,

d i - V ® 3!* “ eos O)1 + a5 sen1! ) dO = a j 2 — 2 eos

En el Problem a 14-é se determinó que la longitud del arco es 8a. M , =>

«,■ j*

>•ds - a2

j* (I - eos 0\^2 — 2 eos 0 dO = 4o3j*

- r t 1- c“‘ 4i” 4 m x d .v - ü '

(~2m

J 10- sen 0\yf2- 2eos OdO=2u*J

= 2o1 | - 2 0 eos y + 4 sen y

sen* -y dO »

4 +1 c“ *i) ir ■ t **

Osen-ydO

- a2y/i (I- cosO )'’2 senOdO 8xa3

= -a*y/2 -y ( I - eos O)1' 1

x - no; y ~ -y a

P o r consideraciones dc sim etría, también se habría podido hallar x.

P r o b l e m a 15-21 S o lu c ió n .

H a lle e l ce n tro id e de la c a rd io id e r - <i(l + c o s 0 ). (V e a F ig . 15-15.)

Po r semejanza dc triángulos, tenemos que = -y r, eos 0, ; y , = j

r, sen 0,

E l momento dc este triángulo se puede escribir como 2

M , - -y r, sen 0, A A ,-. M , - ~ r, eos 0, A ¿ ( ; & A , = -y r f AO, '3

i c*r* eos OdO

M ,( = y r 3sen 0, AO, ; M , = -y r,3 eos 0, A 0,; M x - y J A f - y j* r 3sen OdO. Entonces /4 = -y- j "

( ‘ + 2 eos 0 + 1 + ^

( I + eos 0)1dO = -y - J*

| * = 3xa>/2.

) dO = -y- (- y 0 + 2 sen 0 +

-y Ita2X = -y a* J 2" (1 + eos 0)J eos 0 dO « -y ti3 ^ + -y | l + 2 eos 20 + j + y ? 4^

| l + 2 eos 0 + -J—t-508-?® J dO =

^COS 0 + 3 | * + 2 ^ ~ ~

^ 0 ~ SCní ^ °0® ® +

dO -■ i . a3|- y - 0 + 4 sen 0 + sen 20 - sen’ 0 + y y sen 4 fl) | * - l « 0>

-1 *a3y -

-y

a1 J**" ( I + eos O)3 sen 0

= —

jy -

a3( I + eos 0)*

- la ;

y = 0

M O M EN TO S. C E N T R O D E G R A V ED A D

P r o b le m a 15-22

H a lle e l c e n lro id e d e un a rc o d ad o en co o rd e n ad a s p o la re s y h a lle el m o m en to d e l a rc o d e la c a rd io id c r = </{I + eo s 0). (V e a F ig . I5 - I6 .) S o lu c ió n .

E l momento dc un elemento de arco es M ,t = r, sen 0,As,.

M‘ " J

+ (w )

ds = a ,/ (l + eos O f + sen2 0 dO =

dñ’

M’ "

dtí

r 008

1 + eos 0 dO; s = 2

+ eos 0 )1'2 110 =

4a f eos -ir dO = 8a sen -íj I = 8 a Jo ¿ ¿ lo 4ax = v ^ 2 £ ( l + eos Ojeos 0 (1 + eos 0 )1'2 d0 = 4a2 £ eos2 y

- *> ’ £ (>

- s e n 2 | - ) ( l - 2 sen2

) e o s- y d0 = 4a2 £

( l - 2 sen2 y ) eos y dO =

( 2 sen4 - y - 3 sen2 - | + l)c o s - y d 0 =

...

= 4 »

Habríam os podido aprovechar la sim etría de la figura y escribir M , - 2 J

r eos 0 ds com o eos y

•

— | / - - * ^ ? , que es verdadera únicamente para 0 < 0 < n. Po r sim etría, se tiene que y — 0 o M , - v 'Ia 2 £ " (I + eos O)312sen 0 d0 = 0.

P r o b le m a

15-23

r * a e o s nO, d e s d e 6 =

S o lu c ió n . JM 2

x =

H a lle e l c e n t r o id e d e l á r e a —

¿n

a 0 =

lim ita d a

por

p é ta l o d e

la c u rv a

¿n

E n el Ejercicio 5 del C apítulo 16 se demuestra que su área es

na2

P o r sim etría, y = 0.

I (tS Cmllm y J eos1 nfí eos 0 dO; eos1 n0 eos 0 = eos2 nO eos nO eos 0 - y eos2 nO feos (n + 1)0 + + eos (n - I ) 0 ] =

eos nO [eos (2n + 1 )0 + 2 eos 0 + eos (2n - 1 )0 ]-

[eos (3n + I ) 0 + 3 eos (n + 1 ) 0 + 3 eos (n - I ) 0 + eos (3n — 1)0]

194

M O M EN TO S. C E N T R O D E G R A V ED A D

" '2 Í J

[ “ s<3" + 1 ,0 + 3 co M " * 1 ,0 * 3cos<" “

o» f sen (3n + 1)0 3 sen in ♦ 1)9 + — 7TT1 + 24 l S T + l —

3 sen (n - 1)9 _

-T íf 5 r 7 T “ " ( r

1 ,0 + c° 5,3í' “

l ) 0 l ‘w ~

sen (3n - I * l * * " 3 ¡ T- T J- „* .

+ s )

+7TT*"(f+3r) +TrTM" ( í- á ) * i r W “"( r - - ¿ )J“ - - T í e“

( - ■5rl+ T + T T í T + T = T - 3 ^ t ) -

1 - 1S¡?

I P r o b le m a

15-24 |

x1 e lip so id e -p- +

S o lu c ió n ,

~ lí

S . ; . 'í f 1 - í í r

ej m o m cn j 0 d d vo lu m e n c o m p re n d id o en e l p rim e r o c ía m e del

z* + -p- -

I co n resp ecto a l p la n o xy. H a lle e l ce n tro id e . (V e a . F ig . 15-17.)

*«A lim p ia n d o lám inas paralelas a l plano xy. d área de una de d ías es — ~ M „ - £ *4 < x )4 z

Cuando y - 0. x - ti,, a, - a | / l -

: fe, - fcj/l -

nab -

E n forma análoga se puede hallar que -

aa 2bc : 16

«a6*c : r 16

- -

KObc

: x

-g a : y - -g b : z -

F ig u ra 15-17

P r o b le m a

15-25 J

H a j|c c J m o m cn lo c o n rc |a ció n a l p la n o x y d e l vo lu m en g en erad o al

h ace r g ira r e l á re a d e l p rim e r c u a d ra n te d ete rm in a d a p o r y = e ~ * y e l eje X . a lre d e d o r d e l eje X . (V e a F ig . 15-18.)

M O M EN TO S. C E N T R O DE G R A V EO A D

S o lu c ió n ,

195

¿ (x ) = xy2.

-.(-4

r »

u -

I * 2'

o “

n e '2‘ dx =

x -

| P r o b le m a 15-26

y e l c e n t r o id e e s ( - y - 0 - 0 )

— I , z • 0.

H a lle e l ce n tro id e d d só lid o lim ita d o p o r

z - c. (V e a F ig . 15-19.)

S o lu c ió n .

Po r sim etría, M „ - M „ - 0 ; M „ = £

xA(r)<fc.

E l área de una sección elíptica transversal es x a Ji, con a, - u l/ l + r M „ .

(l + £ ) « * -

= M/1 +• % . r

« » ( f + - £ r ) | ' - 4 “ *■

r - » * £ (■

4 **^

r« c

F i g u r a 15-20

P r o b le m a

15-27

H a lle e l ce n tro id e d e la p a rte d e x 2 ,i + y 2,s + z2' 2 = a 2 ,i q u e está p o r en cim a d e l p la n o xy. S o lu c ió n .

En este caso, x - ? - 0 ; x m + y 2li = c 2' 2 - z}/2 para cualquier zt.

Además. A M = í « c » 2 - z 2'V .

„

- 3 ^ »**» +

3 c2j2z *n - z 2) z d z - ? ±

-g- j V - it^z222+3c,'*^4', - x2)dz “ X (^ '“ T . T - 21c ••• ~Í28

- £ c"V » ♦

ixe4

c ^ V ™ - £ ) [ “ * 320

+T ^ V /*" 4) I*.■Ws r*

M O M EN TO S. C E N T R O D E G R A V ED A D

r°

Cm a

I ______

A la p a n e de la esfera

+ y 2 + z2 = 4 a2. que está p o r en cim a del

x 2

p la n o x y , se le h ace un hueco c ilin d ric o de ecu ació n restante. (V e a F ig . 15-20.)

+ y 2 = a 2. H a lle e l cen tro id e d e l volum en

X - y m 0. A{z,) - xr‘ - na 1 = «(4a1 — z ¡)

S o lu c ió n .

M „ = x£

— na1 = irf3a2 - rf).

(3a2 - z¡ ) : dz = - y (3a1 - í 2) 2

V - n j ^ ( 3 a 2 - z ')d z = >r (3a2r -

= y na4 " W

* 2*

••• 2 "

P r o b l e m a 15-29

H a lle e l cen tro id e d e la su p erficie gen erada p o r un arco d e la c iclo id e x = a [0 - sen 0). y = a ( l - eo s 0 ) cu a n d o se hace g ira r alre d e d o r d e l eje X . S o lu c ió n .

7 = 7 = 0. N f, = J

x •2ny ds = 2na1 j*

(0 - sen OKI - eos 0)y/(Í - eos O)2 + scnr 0 dO -

- 2nN/2a3 J^ O f l - eos 0)il2 dd + 2nV2a3 £ " ( I - eos 0)3'2<- sen 0 ) dO = - W

£ * 0 sen1 ~ dO - In y fia * y (1 - eos 0)*'2 | * = 8na2 £ " o (l - eos2 y ) sen y dO Una2 0 (- 2 -

^ - 2xa2 J

COS

+ y

COS3

y ) ] * - 8n«3 £ * | - 2 eos y

2 , j ) » ‘ - 8 „ ,' [ - 4 * „ |

( I - eos 0)^2 - 2 eos 0 dO • 8na2 £ 64n

P r o b l e m a 15-30

+ y eos* y ) di) =

( 2 sen 4 - 4 sen ' - ? ) ] “

sen3 y dO • 8na2 |- 2 eos y

fl‘ .

- ~

+ y eos3 y J

H a lle e l m om ento d e in e rcia co n re la ció n a cada u no de los ejes d e l área

lim ita d a p o r y a e ~ ‘ y e l eje X en e l p rim er cu ad ran te. I, mJ

S o lu c ió n .

y 2x d y = - J

/, - J

Com o A

y 2 Inyd y »

mx 3yd x - J J ' x V d x

In y +

| » y .

= ( - x 2e“ * - 2 x f'* - 2*-*)|

* e - dx = I ; / , - - y ; / , - 2A.

P r o b l e m a 15-31

. . .

v j 1 •

r _ -. j

H a lle e l m om ento d e in e rcia co n respecto a l eje X d e l a rc a lim ita d a por

un a rc o de la c iclo id e x = a (0 - sen 0 ), y = a ( l - eos 0). S o lu c ió n . U n elem ento de área está dado p o r (xta _# - x ,)A y « [a(2n - 0 - sen (2n — 0) — - <*0 - sen 0 )]A y - o(2n - 20 + 2 sen 0)Ay. f. =

j*y2 4A

= a* J

--—

(1 - eos 0)3(2n - 20 + 2 sen 0) sen OdO

£ ( 1 - co s0)3(co s0 - l)d 0 = - ~ £

( I - eo s0 )3(2 n - 2 0 + 2 sen.

( l6 s c n * y jd 0 =

sen* u du

M O M EN TO S. C E N T R O D E G R A V ED A D

197

Em pleando los resultados del Problem a 6 -11.

, . / sen7 u eos u 7 . 7-5 , . sen’ u eos u — sen" udu = | ------ o-------- o—¿- sen’ u eos u — p 8 8 -6 8-6-4 7 . 5 .3 8 •6 •4 •2

A ho ra / , — —

sen u eos u +

na4, y com o A - 3na2, entonces I , =

P r o b l e m a 1 5 -3 2 |

c j

7 \\ |!•'* 7 .5<-. 7 3 . 11 T ^ 4 T 2 - U)| a2^ .

m o m c n lo d c ¡ncrcja d cj ¿rca *

+ JL_ -

\ con respecto

a‘

e je X . S o lu c ió n .

/ , = J y 2 dA =

/, =

2ab* J

P r o b l e m a 1 5 -3 3

y 2 ■2 x d y - 2a

y 2| / l — £7 dy. Sea y = b sen 0 ; entonces

sen2 0^ 1 - sen1 Ó eos 0 d0 = 2a¿>’ J

sen2 0 eos2 0 d0 =

H a lle e l m o m en to d c in e rc ia d e l a rc o s e m ic irc u la r d c x 2 + y 2 = a 2.

situ a d o p o r e n cim a d e l eje X co n resp ecto a l m ism o eje.

S o lu c ió n .

- j v

7 7 * - 'Z j g

Sea y = a sen 0. !

---------------------

H a lle e l m o m en to d c in e rc ia d c u n a rc o d c la c ic lo id e x = a ( I - eo s 0), b ) H a lle e l m o m e n to d c in e rc ia d e l á re a lim ita d a p o r >' = s e n x d e x - O a x = n c o n resp ecto a l eje Y. a)

y = a s (l - e o s 0 ) co n respecto a l eje X .

S o lu c ió n ,

= 8a’ £ ' sen*

I, =

Jy2ds = a* J

dO - 8a’ J *

l r m J x 2 dA - £

( I - co s0 ) \ / (P - cos0 jJ + sen2 0 d0 = J i a * £ " ( 1 - eos 0 ),,2 d0 -

( 1 - 2 eos2 y

+ eos4

x 2y dx — J " x 2 sen x dx -

) sen

dd - 8a’ ( - 2 eos

—x 2 eos x |

+ ~ eos’ y

-f 2 j*" x eos x dx “

( —x 2 eos x +

II + 2x sen x + 2 eos x )

= x 2 - 4.

/ , - J y 2 dA - j* y 2(x — 2x) dy = J " + - y £ J J sen’ x d x -

(sen2 xXn - 2x) eos x dx - — y - “

“ cos2 x »scn x d x *

{- c o s x + -??*—

2 n2 - 4 sen x dx =■ 2 ; ¡ „ = -^ A ; / , — j — /I

* | )

- ~

= -y

M O M EN TO S. C EN T R O D E G R A V ED A D

198

P r o b le m a 1 5 J5

H a lle c l m o m en io d e in e rc ia co n respecto a l eje X d e l vo lu m e n g en erad o

cu an d o c l á re a lim ita d a p o r y = e ~ x, en e l p rim e r c u a d ra n te , se h ace g ira r a lre d e d o r d e l eje X .

/, - 2* j % » x dy = - 2 * £

S o lu c ió n .

y 2 ln y d y = ( - - ^ - y 4 ln y + - jg - / ) \q -

-f P r o b le m a

1 5 -3 6

n a llc e l m o m en to d e in e rc ia

c u a n d o la c ic lo id e x = a {0 -

co n resp ecto a l e je A’ d e l volu m en g enerad o

sen 0), y = a ( l

- eo s

0 ) se h a ce g ira r a lre d e d o r d e l eje X , x - 0

x = 2n. S o lu c ió n .

Em pleando discos, se tiene que / , - -y

l sen10 udu = 32izas I -

y* dx - y a*

9 sen9 u eos u - -¡QTg ^

9-7-5-3 10-8 6 -W ' i

P r o b l e m a 1 5 -3 7

. +

( I - eos 0)4( l - eos 0 ) <¡B =

9 7 |Q . g . ¿ sen’ u eos u -

^ eos u -

9-7- 5- 3 - 1 10• 8■ 6• 4 - y

\ I"

63 , , - T " *

H a lle c l m om ento d e in e rc ia co n respecto a l eje d e re v o lu c ió n d e l vo-

x2 i’2 lu m en g en erad o cu a n d o —r + -j-j- = I se h a ce g ira r a lre d e d o r d e l eje X . a n

S o lu c ió n .

Em pleando discos.

P r o b l e m a 1 5 -3 8

n a ||c ^ m o m c n lo d c in e rc ia co n respecto a l eje X

d e la su p erficie

generadacuandose hacegirar unarco dela cicloide x =a(\ - sen 0\ y =a{l - eos0), alre dedor del eje X. /, =2jijVd5 =2jlxa*J* (I - eos O )1'1dO » 32na4 J sen’ —dO = S o lu c ió n . - 32xa* j* 1 1- 3 eo s' -j +3 eos4 ~ . / _ 0 . _ ,0 = 32aa4 | - 2 c o s 2- + 2 coS* T

P r o b l e m a 15-39

- eos®

-yJ sen y dO =

6 . 0 , 2 , 0 VI** , , , 64 - T eos»T + y eos T j | o = 32*a -^

2048*a4 g

96 ■ , -55-a A

H a lle c l m o m en to d e in e rc ia co n respecto a l eje d e g iro cu a n d o y = v 'x

se h ace g ira r alre d e d o r d e l e je X d e x = 0 a x = 2.

S o lu c ió n .

/, * 2* j " y* ds = 2n J ’ *“ * V ' + , ™

2 /

( * " ? ( *

I \>l2 "4 " )

f /

Í5 ( x

\i,2 \ \ ¡ "4*)

149n

) lo —

x + T a x m T n \x + 1 í

149 136A

dx •

I3n |0 = " 3 "

M O M EN TO S. C E N T R O D E G R A V E D A D

P r o b l e m a 1 5 -4 0

199

c a rd io id e r = a {\ + eo s 0 ) se h ace g ira r a lre d e d o r d e la re cta que

p asa p o r O . H a lle e l volu m en g enerad o . (V e a F ig . 15-21.) Se elige com o elemento de volumen d tubo cónico determinado por el elemento de área que se muestra. E l volumen del tubo cónico se puede h allar empleando el teorema de Pappus. Entonces P M = r sen 0,

S o lu c ió n .

y T L , la distancia del centroide a la recta, por semejanza de triángulos, es -y r sen 0.

A F = 2nyAA = A A y- n r sen 0 = -y n r ' sen 0 A 0

- f “ 'J>

P r o b l e m a 15-41 0 -

- y

a 0 - y

S o lu c ió n .

2 , ( I + eos 0 í* I ' + eos 0) 'se n 0 dO ■» — f so

H a lle e l vo lu m en g en erad o cu a n d o un p e ta lo d e la cu rva r = eo s 20 de se h ace g ira r a lre d e d o r de la re cta q u e m u estra la F ig u ra 15-22.

D e nuevo, el radio del centroide es ^ r sen 0. V = y J^ V s e n O d O

- y J " *

(2 e o s * 0 -

= y - J^4(8 eos60 - 12eos40 + 6eos¡ -

-y-

( -

T t - V5" + V

eos7 0 1

C O S7 0

Ip s c n 0 dO =

- l)sen 0 dO =

2 C O s’ 0 + COS 0 J

+ V5 + T - - r + 2' , ) - l - l é - - 3 5 )

P r o b l e m a 1 5 -4 2

E m p le a n d o e l teo rem a d e P a p p u s. h a lle e l c e n tro id e d e l a rc o se m icircu lar d e x 2 + y 2 = a 2 p o r en cim a d e l eje X . S o lu c ió n . P o r sim etría, sabemos que * - 0. E l área generada a l hacer girar el arco alrededor del eje X es 4na¡ ; la longitud del arco es na. Em pleando el teorema de Pappus, A = 2nys; 4^0* = 2nyna; y =■ ~ .

U n a la m b re d elg ad o y hom ogéneo se d o b la p a ra q u e fo rm e un se m ic írc u lo d e ra d io r. H a lle e l ce n tro d e m asa.

M O M EN TO S

200

S o lu c ió n ,

C EN TRO DE GRAVED AD

dm = pds, ds es un elem ento de arco del alam bre y p = ~

= -jj— es la masa por unidad de

longitud del alambre. F.n términos del ángulo central 0 se tiene que ds = rdO y x = r eos 0, tonces \ re o s 0 prdO

í - . J o -

p r2I sen 0 I

= — Y r

í " r sen 0 p r dO

° ^

y= r sen 0. E n

p r2 I - eos 0 J

L n - J l' ~ y r

"rio

“r l

E l centro de masa está sobre el eje Y a una distancia 2/jí, medida desde e l origen hasta la intersección (0, r).

P r o b l e m a 1 5 -44

H a lle ^ c e n lro d c m asa ¿ c u n h em isferio só lid o d e ra d io r si su den sidad

en c u a lq u ie r p u n to P es p ro p o rc io n a l a la d ista n cia d e P a la base d e l hem isferio. E l hemisferio se descompone en discos de espesor dy por planos perpendiculares a l eje Y y se toma dm = p d V con d V » A {y) dy, que es el volumen de un disco situado a una distancia y por encim a de la base del hemisferio, que es el plano xz, y donde p = k y (k = cte.) p es la densidad del sólido en e l disco. E l área de la c a ra del disco es -4(y) = j i x 2, con x3 + y 2 = r 2, es d e cir, dV - A [y ) iy - x<r3 - f ) i y \ dm = kid r1 - y*)y dy. E l centro de masa del disco se puede tom ar como su centro geométrico, es decir, ( * . * « - <0.jr,0); .-. Z - z - O y

S o lu c ió n .

M r2- y V M r 2 - y 2)y dy

P r o b l e m a 15-45

H a lle e l ce n tro id e d e un c a sc a ró n esférico d e ra d io in te rio r r y esp eso r i.

Sean A i,, M 2 y A i; V2 y V representan, respectivamente, los momentos con respecto al plano xz y los volúmenes d d hemisferio sólido de radio r ; el hemisferio sólido de radio r + i y el cascarón esférico de espesor r y radio interior r. Com o e l momento de la suma de dos masas es la suma de sus momentos, y V , + V = V2, se tiene'que A i, + A i = A í2 o A i, = A í2 - A i. Según el problema anterior,

S o lu c ió n .

W , - - J ( r + t )\ A i, = | r * .

Ai = j

[(r + l)‘ - r4] - ~ [4 r sl + 6r h 2 + 4rt> + r4] y

■i

P r o b l e m a 1 5 -4 6

S o lu c ió n .

, (r*+-ir*i +rl*+4-1*1

H a lle e l ce n tro d e g raved a d d e l á re a d e un sem icírcu lo .

Se genera una esfera a l hacer girar d sem icírculo alrededor de su diám etro. Entonces el eje

de rotación no intercepta el área; por tanto, se puede aplicar d prim er teorema de Pappus.

M O M EN TO S. C E N T R O D E G R A V ED A D

20!

E J E R C IC IO S P R O P U E S T O S 1.

H alle el centroide de las siguientes figuras planas: a) un rectángulo; b) un sem icírculo; c )la rc g ió n lim itada por la curva x » 2 eos t - sen r, y = 2 sen í, 0 S f S 2 it; d) el rectángulo con vertio s <± I.OK (± 1. 2 ) combinado con un triángulo con vértices en (± 1.2) y (0,3). Resp.: a ) En el punto donde se corlan las diagonales;

a una distancia —

del diám etro;

b) sobre el radio perpendicular al diámetro

c) (0 ,0 ); d ) (0,19/151.

Halle el momento de inercia con relación a la recta indicada; a ) un triángulo rectángulo alrededor de un lado; b) un sem icírculo alrededor de su diám etro; c) un sector circular de radio a y ángulo 0 alrededor de su bisectriz; d ) un rectángulo alrededor de su diagonal.

Em pleando el teorema de Pappus calcule:

Resp.:

o) M 0h2/b. h la altura sobre el lado ; c) M 0a2Q ¡í - sen 2ff)/Ífi. a) el volumen de un toro;

e l área de untoro.

Resp.: 4.

b ) (0 ,- 2 /n)

A 1/4 de la base sobre la altura

H alle los momentos estáticos respecto a los ejes coordenados y las coordenadas del centro de gravedad del triángulo lim itado por las rectas x + y = a, x = 0 y y = * 0. Resp.:

a) (0,2d/n);

H alle el centroide de una pirámide cuadrada, rectangular. Resp.:

b) 4n2ab

H alle el centroide del sólido de revolución especificado: a ) un hemisferio; b) el sólido obtenido al hacer girar la región lim itada por >• = a2 - x2, 0 S x < a alrededor del eje X . Resp,:

a) 2n2a2b :

M, = M, =

: x = y = -y

H alle el momento estático de la circunferencia r - 2o sen 0 respecto al eje polar. Resp.:

2na2

H alle las coordenadas del centro de gravedad del arco de la catenaria y = a cosh ■ — comprendido en-

H alle las coordenadas del centro de gravedad del arco de circunferencia, de radio a, que subtiende el Resp.:

in e u l° 2 ,‘ 10.

» J5 ü £ ; j í _ 0 Cl

H alle las coordenadas del centro de gravedad de la figura lim itada por las curvas y = x2. y = yfx. Resp.:

11.

9 20

H alle el centro de gravedad de un cono circular recto, homogéneo, si el radio de la base es r y la altura es h. Resp.:

12-

5 “ ^ “

de la altura, a partir del vértice del cono

H alle el momento de inercia de un segmento parabólico recto, respecto a su eje de sim etría, si la base es 26 y U altura fc.

13.

H alle el momento de inercia de un cono circular recto, homogéneo, respecto a su eje, si el radio de la base es R y la a l u n a » .

14.

; - - i „R - l,p

u) H alle el centro de gravedad del sem icirculo aplicando d teorema de Pappus. h ) Aplicando el teorema de Pappus demuestre que d centro de gravedad de un triángulo dista de su base a un tercio de la altura. „ _ _ _ 4 r Resp.: a) x = 0 ; >• = -y —

« P .T U .C

Ü Q

C o o r d e n a d a s p o la re s L a p o s i c ió n d e u n p u n t o P c n e l p l a n o s e p u e d e in d ic a r m e d i a n te c o o r d e n a d a s p o l a r e s q u e se d e f in e n d e l a s ig u ie n te m a n e r a : C o m o m u e s t r a l a F i g u r a 16-1, s e a / u n a s e m ir r e c ta fija, l l a m a d a e je p o la r , d c o r ig e n O , q u e s e l la m a p o lo . S e a r — | O P | l a d i s t a n c i a e n t r e O y P , y 0 e l á n g u l o q u e f o r m a n / y O P . m e d id o d e s d e / h a c ia P e n s e n t i d o c o n t r a r i o a l a s m a n e c i l la s d e l r e lo j. E n to n c e s d e c i m o s q u e e l p u n t o P t ie n e p o r c o o r d e n a d a s p o l a r e s a r y 0. y e s c r i b i m o s P = (r.O). D a d o u n p a r (r.0 ), e l p u n t o c o n c o o r d e n a d a s p o l a r e s r y O e s ú n ic o . P o r o t r a p a r t e , l a s c o o r d e n a d a s p o l a r e s d c u n p u n t o P n o s o n ú n ic a s , c o m o s u c e d e c o n s u s c o o r d e n a d a s r e c ta n g u la r e s , p u e s t o q u e n o e x is te u n ú n i c o á n g u lo e n t r e O P y l a d ir e c c ió n p o s i t iv a d c /. E n r e a l i d a d , si P = ( r . 0). e n to n c e s P - (r.O ± 360") n - 1 , 2 , 3 , . . . S i r = 0 , 0 e s i n d e t e r m i n a d o . A si e l p o l o 0 t ie n e p o r c o o r d e n a d a s (0 ,0 ), 0 a r b i t r a r i o . N o ta .

P o r s e r r u n a d i s t a n c i a , e s p o s i t i v a : p e r o a v e c e s e s c o n v e n ie n te q u e r t o m e v a lo r e s

n e g a t i v o s . E s t o s e l o g r a d e f in i e n d o P = ( - r , 0 ) c o m o e l s im é tr ic o r e s p e c t o a l o r i g e n d e l p u n t o P ' = (r.0 ). L a s c o o r d e n a d a s p o l a r e s , c u a n d o se a c e p t a q u e r s e a p o s i t iv a o n e g a t i v a , s e l la m a n g e n e r a liz a d a s .

L a F i g u r a 16-2 m u e s tr a q u e si P = ( - r . 0), e n to n c e s P -

(r.O +

180°).

L a F i g u r a 16-3 m u e s t r a l a r e la c ió n q u e e x is te e n t r e l a s c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s y la s p o l a r e s . E n e fe c to . x ■ r e o s 0 ; y ■* r s e n 0, r = E s t a s f ó r m u la s p e r m i t e n p a s a r d e u n s i s t e m a a l o t r o . 202

+ y ', tg 0 -

x/y. x * 0

C O O R D E N A D A S PO LA R ES

203

A r e a e n c o o r d e n a d a s p o la r e s E l á r e a d e u n s e c to r c ir c u la r d e á n g u lo c e n t r a l 0 (e n r a d ia n e s ) y r a d io r e s y r 28. S e a C l a c u r v a d e e c u a c ió n r = F (0 ) e n c o o r d e n a d a s p o la re s , F (0 ) n o n e g a tiv a y c o n tin u a p a r a 0 e [ a , /?], 0 ¿ 0 - a < 2n). S e a S e l c o n ju n t o d e p u n t o s d e l p l a n o d e c o o r d e n a d a s p o la r e s (r .0 ) y q u e s a tis f a c e n 0 e [a ,/ f] y r e [ 0 , F(0)]. V e a la F ig u r a 16-4. S e a P = {0o, 0 „ . . . . 0 ,} u n a p a r tic ió n d e [ a , 0 ] y d e fin a m ¿ F ) = s u p (F (0 ) : 0 e [ 0 , _ „ 0 ,]} M |( F ) = i n f (F (0 ) : 0 e [ 0 | - i , 0 J }

E l s e c to r c ir c u la r d e 0 , _ , a 9, d e r a d io m / F ) e s t á e n e l in te r io r d e S y e l s e c to r d e ra d io M ¿ F ) s e e x tie n d e h a c ia a fu e ra . E n to n c e s y j í > ? ( W , - 0 ,- ,) S á rea (S ) 5 y ¿ M f ( F ) ( 0 , -

0 ,_ ,)

A h o r a , c o m o F ( 0) £ 0. p a r a 0 e [ a ./f ] m f(F ) = s u p { F 2(0) : 0 6 [ 0 , _ „ 0 ,]} = m ¿ F 2) M 2{ F ) = i n f ¡ F 2(0 ) : 0 e [ 0 , _ „ 0 , ] } = M,<F*)

y y

1 (F 2. P ) £ á r e a (S ) £ y

S ( F 2, P ). E n to n c e s , c o m o F 2 es c o n tin u a y, p o r t a n t o , in te g ra b le ,

•. á r e a (S) - y

^ F 2(O)d0

L o n g itu d d e a r c o S i r = f[0 ) r e p re s e n ta u n a fu n c ió n e n c o o r d e n a d a s p o la re s , e n to n c e s la lo n g itu d d e a r c o e s tá d a d a p o r la e x p re s ió n £ v P > ) ] ! + í r m Y do

V o lu m e n d e u n s ó lid o d e r e v o lu c ió n S e a r = J[0 \ x <> 0 <, f í. E l v o lu m e n d e l s ó lid o d e r e v o lu c ió n q u e se o b tie n e a l h a c e r g i r a r e s ta á r e a a lr e d e d o r d e l e je X e s t á d a d o p o r 7i £ / * ( 0 ) s e n 2 0 { / W ) e o s 0 - f[ 9 ) s e n 0 ] dO

A r e a d e u n a s u p e r fic ie d e r e v o lu c ió n S e a r = J[0 ). a <, 0 <. p . E l á r e a d e la s u p e rfic ie d e l s ó l i d o d e re v o lu c ió n s e o b tie n e p o r m e d io d e l a fó rm u la 2 n £ y ( 0 ) s e n 0 [ [ / ( 0 ) ] 2 + C /X 0)j2] dO

204

C O O R D E N A O A S PO LA R ES

PROBLEM AS R ES U ELTO S P r o b le m a

16-1

D ib u je e l g rafo d c la fu n ció n r = 4 eos 0.

S o lu c ió n . Com o eos 0 es una función periódica de periodo 2s, es necesario considerar únicamente los valores dc 0 comprendidos entre 0 y 2ir. Po r ser la función par. el grafo es sim étrico con respecto a l eje polar y. por consiguiente, podemos restringim os a valores entre 0 y jr. L a siguiente tabla muestra los valores dc r para algunos valores dc 0 .

ir 6

ir 4

ir 3

¡T 2

2x 3

3it 4*

5ir T

2>/3

2 J2

-2

- 2 J2

- 2 J3

-4

D ibujando estos puntos cn papel de coordenadas polares y uniendo los puntos por una curva suave se obtiene la Fig u ra I6-5. por ser la función continua sobre su dom inio.

F ig u ra 14-5

P r o b le m a

16-2

D ib u je e l g rafo d c r = 2 ( I - eo s 0).

S o lu c ió n . L a función es par y , por tanto, su grafo es sim étrico con respecto a l eje polar. L a tabla de va lores dc r y 0 es:

¡r 6* 2 -% /3

s 4 2 -

n/2

ir 3

n 2

2n 3

3ir ~4

5ir 6

2 + J í

2 + n/3

C O O R D EN A D A S PO LARES

205

Conectando los puntos por una curva suave y usando el hecho de que es sim étrica y continua se obtiene d grafo, llam ado cardioide. de la Fig u ra 16-6.

F ig u ra 16-6

P r o b l e m a I Ó -3 S o lu c ió n .

D ib u je e l g rafo d e la c u rv a r = e o s 30 y h a lle e l á re a d e u n a d e su s hojas.

L a función es p ar y, por tanto, sim étrica con respecto a l eje polar. L a tab la de valores de 0

y re s :

Com o 0 varia de 0 a

30 va ria de 0 a y . S i

< 0 < ” . entonces y < 3 0 < - y y c o s 3 0 c s nega

tivo en este intervalo. C om o r = eos 30 y r ¿ 0. esto quiere decir que e l intervalo j dom inio de la función. L o mismo sucede con los intervalos

y | no pertenece a l

r - ir

dr/dO = - 3 sen 30 c indica que en e l intervalo £o. - ^ J. r es decreciente y creciente en

el punto máximo en

y ,

es 0 y e l m ínim o se presenta en los puntos extrem os - y

se llam a trébol. (V ea F ig 16-7.) E l área d e una d e las hojas es A = y

, J ^

, r* dO - y J ^

eos2 30 dO = - y .

L a derivada es y . o j. Entonces y y . L a curva

206

C O O R D EN A D A S PO LA RES

P r o b l e m a 1 6 -4

S o lu c ió n .

A » y

H a lle e l á re a lim ita d a p o r la c a rd io id e r = 2(1 - eos 01 0

r* dO. Entonces

A - 1 j * M I - eos 0 )J dO -

P r o b l e m a 1 6 -5

£ * 4 [( I - 2 eos 0 ) + eos20 ] JO - y

Ñ o la .

[*> - 8 sen 0 + 4 ( £ +

* , 6n

H a lle d á re a d e la reg ió n ra ya d a en la F ig u ra I6-9. lim ita d a p o r e l eje

p o l a r y la p r im e r a v u e lta d e la e s p ir a l d c A r q u im e d e s r =

S o lu c ió n .

0 £ 2a.

—

E n e s te c a s o , a = 0 t

aO .

- ; í : (o®)* J 0 - - 1

- if lV

a 26 i o

" T

O b s e r v e q u e A e s u n t e r c io d e l á re a l im it a d a p o r d c ir c u lo in d ic a d o , d c r a d i o | O f l | -

2jk i.

F i g u r a 16-9

P r o b l e m a 1 6 -6

S o lu c ió n .

A -

H a lle e l á re a d c una h o ja d e l g rafo p o la r d e r = |4 sen 20|. (V e a F ig . I6-10.)

U n a h o j a d c l a c u r v a c o r r e s p o n d e a 0 c Jo .

1 6 s e n 2 2 0 JO - 4 £ " (1 -

P r o b l e m a 1 6 -7

eo s 40) ¿ 0 -

E n to n c e s

* JO -

<1 r

e o s 4 0 dO ■ 4

— d J » 2r

H a lle e l á re a lim ita d a p o r la c u rv a r * = eo s 20. (V e a F ig . 16-11.)

C O O R D EN A D A S PO LARES

207

i f 1' i ru E s tentador escribir su área com o A = -x- I r J dO = I eos 20 dO = 0. ¿ Jo a 2 J 0

S o lu c ió n .

Sin embargo, se debe recordar que la integral es lim V eos 20,00,. Los 0, comprendidos entre y • * i- | 4 por ejemplo, contribuyen con términos dc esta serie (si se divide el intervalo ]0 . 2u[ cn n partes) y la curva no existe cn y

< 0 <

1 r 1 es negativo cuando y

< 0 < -y-J

Entonces

i r«/* i ■«« 2 -5-1 eos 20 dO = 4 sen 20 ¿

P r o b le m a 16-6

- m JA

I -«M

H a lle e l á re a lim ita d a p o r la c u rv a r = sen y .

S o lu c ió n . Exam inando los valores de 0 entre 0 y 4a se obtiene d grafo que m ucsl.a la Figura 16-12 Si se integra dc 0 a 4 * se cubre d área de la figura interior en forma de 8. dos veces. L a de la parte superior entre 0 y jt y 3ir y 4x se recorre dos veces, m ientras que d área restante por encim a del eje p olar se recorre una v e t Entonces

I I 4* l", J -r a = - ( ( ) - sen 0 ) — (0 - sen 0 ) — x — -x- + 1 =»-*-+ I ** lo o * *

P r o b le m a

16-9

H a lle e l á re a co m p re n d id a e n tre la s c u rva s 4 I -

. r

4 I + eos

(V e a F ig . 16-13.) i«;2

—

* -

*i j r T H & -C . M f|- - í.»/2

■C , --4-* 4--c (■+«•■4H4-* +2JT (' *co,8‘4)“s'c'4*- 4(184+t 4)C ' 4 (1 + 4

F i g u r a 16-13

) . 4 ( . 2 _ 4

F i g u r a 16-14

) . «

208

C O O R D IN A D A S PO L A R E S

P r o b le m a

16-10 , u g iie e| á re a co m p re n d id a en e l in te rio r d e l c irc u lo r = eo s 0 y p o r fu era

d e la c a rd io id c r ■> I - e o s 0. (V e a F ig . 16-14.) S o lu c ió n .

= y (r f - r ] )d 0 ; I - eos 0 - eos 0 cuando 0 = 4j- o - y

a -

”

P r o b le m a

16-11

~ 005

" i

~ ])d° -

—

r . - *

- *

M u e s tre q u e la fó rm u la q u e d a e l á re a en c o o rd e n a d a s p o la re s es c o m

p a tib le c o n la fó rm u la q u e d e te rm in a e l á re a en c o o rd e n a d a s re cta n g u la re s. (V e a F i g

I6 - I5 .)

S o lu c ió n . Suponga que la curva en forma p olar r - riO) tam bién tiene una representación de la forma y - ,<i|. a < x < b. Entonces hay dos expresiones que dan d área de la región O B C D : una igual a área (A O B C ) + área IO C D ) -

y r*(a ) eos a sen a + área (O C O );

la otra es ÍRual a área (AO /tD l *■ área tA B C D )

y r :(/i)co s (t sen fi ♦ J

Entonces área (OC£>) - J * > 4x + y r*(/f) eos 0 sen/» - y H (a ) eos a sen a - J

y dx

y dx + y

Jr^ O ) sen 2oj

( I)

Pero x = ii0 ) eos 0, y — r<0) sen 0 y . por tanto, J

y dx = £

riO) sen U [r'(0 ) eos 0 - * 0 ) sen 0 ) dO - y

- 4

] >

j ' r<0)r'(0) sen 20 dO - £ r 2(0 »sen1 0 dO -

sen

se n ' OdO

Integrando por partes se obtiene J * y ix - y

- -

J r ’ (0) sen 20J " - -* J ' r ¡ (0) eos 20 dO - £ ^ (0 ) sen1 0 dO =

J r ’ lO) sen 20J ' + j J # * H lÍ [eos 20 + 2 sen1 0 | 40 - - y

[r 'fO ) sen 2 f l] ' + y £

R em plazando (2) e n (I ) se o b tie n e : á re a (OC'D) - y J

r 1 40.

r 2{0 ) dO

(2)

C O O R D E N A D A S PO LARES

L o n g itu d d e

arco

P r o b le m a 16 -12

S o lu c ió n .

209

+ I f W

D e te rm in e la fó rm u la L =

Rem plazando 0 por / en la fórm ula

] 1'2 dO.

¡[x '(f )]2 + [ / ( i ) ] 2! 1' 2. se obtiene que

¡[x '(0 )]2 +

+ r/ íO )]2: 1'2 dO. Pero xffl) - / (0 )c o s 0 ; entonces’x'(0) - ~ /(0 ) sen 0 + /*(0) eos 0 y [x*(0 )j2 = [/ (0 )]3 sen- 0 - 2/(0)/’(0) sen 0 eos 0 + [/ (0 )]2eos20. Po r otra parte, ><0) = 0) sen 0 ; entonces y'(0) = f(0 )eos 0 + + /*(0) sen 0 ; entonces [/ (0 )]2 - f/ (0 )]2 eos2 0 + 2/|0)/’(0) sen 0 eos 0 + [/'(O )]2 sen2 0. P o r lanto, [x '(0 )J2 + [>-(0)J2 = [/ |0 )J2 (sen2 0 + eos2 0 ) + [/'(O )]2 (eos2 0 + sen2 0 ) = [/ (0 )]2 + [ f ( 0 ( ] 2

P r o b le m a 16 -13 ó)

H a lle la lo n g itu d d e l a rc o d e te rm in a d o p o r r = sen 0 . 0 < 9 < n.

H a lle la lo n g itu d d e l a rc o d e te rm in a d o p o r r = 20, 0 < 0 <, 2n.

S o lu c ió n ,

r = f{0 ) = sen 0 ; entonces flO ) = cosO y [/T0)]2 + (/ (0 | J2 = sen2 0 + eos2 0 = 1 . Po r

tanto, la longitud de arco es J

i/0 = ».

ft) r = /Tí») = 20; entonces /-<0) = 2 y [/-(0 )]2 + [/ '(O )]2 = 4fl2 + 4 = 4(1 + O2). P o r tanto, la Iongitud de arco es

2 íl + 02) 1'2 dO = [0(1 + 02) 1' 2 + In (0 + [ I + 02] 1'2)] | J" = [2 s (l + 4a2) 1' 2 + In (2 s + [ I + 4ji2] ' ' 2)1 lo

P r o b le m a 16 -14

H a lle la lo n g itu d d e l a rc o d e te rm in a d o p o r r = 1 + eos 0 , 0 í

0 < 2n.

Com o el grafo es sim étrico se necesita únicam ente calcular la longitud de arco desde 0 = 0 hasta 0 = a y duplicarla. A hora /(0) = I + eos 0. f { 0 ) = - s c n 0 y [/ (0 )]2 + [/'(O )]2 = I + 2 eos 0 + + eos2 0 + sen2 0 = 2 + 2 eos 0 = 2(1 + eos 0).

S o lu c ió n .

Entonces la longitud d e arco 0 entre 0 y n. Entonces /. = 2

P r o b le m a

S o lu c ió n .

2j"* ^2(1 + eos O)1'1dü. P e ro ( I ¿ 2 y/2 eos y dO = 4

+ eos 0 )1'2 =

eos y dO = 8 |scn 4

eos (0/2) para todo

= 8.

1 6 - 1 5 | j | a ||c ja |o n g iiu d d e la e s p ira l r = uO e n tre 0 y 2n.

L = a j*

J O * + I dO. Sea 0 = tg z ; entonces

arei ( 2*

___ _

t t t g !>

V tgJ : + I sec2 : d : = « |

Según el triángulo

sccJ re/; - y (sec z Ig z + In |sec z + Ig z|) o

. arc tg 2n = arc sec / 4 n* + I.

I L m ~ [2x(4x2 + I ) 12 + In |v 4n2 + I + 2n|].

P r o b le m a 16 -16 ( V e a F i g . 16-16.)

H a lle la lo n g itu d d e la c is o id c r = 2<t tg 0 sen 0 desde 0 = 0 a ü = jt/3

210

C O O R D E N A D A S PO LA RES

S o lu c ió n .

dr/dO -

L - 2a 2a £

2a (sen 0 sec1 0 + tg 0 eos 0) = 2a sen 0 (scc2 0 + 1 ) . Entonces

0 tg1 0 + sen5 0(secJ 0 + I ) 1 40 = 2a J

sen

sec4 0 + 3 sec3 © dO ■» 2o £

Sea scc1 0 + 3 » u 1

sen O j l f O

sen 0 scc 0,/sec1 0 + 3 40 = 2a £

udu

2 sec10 tg 0 40 = 2u 4 u ; tg i

ú1 - 3 '

P r o b le m a S o lu c ió n .

^ ,+ $ f i ) . | .

1 6 -1 7

/ ic e 1 0 + 1 tg 0 40

0. u * 2 ; 0 ™ - y , u «s N/7. Entonces

,U W ,/ 7 - 2 ) + , / J . J j / L = - > 5 . . I >/7 + V 3 “ - ^3 |

+ J 3 a In | J 7

+ sec4 0 + 2 scc1 0 + i dO

JÍ~ 2 ) +

20(^7 - 2) + V 3 a In [ | ( 5

- V 2 Í)f7 + 4 ^ 3 )]

0 H a lle la lo n g itu d d c la c u rv a r = a se n 3 - y . (V e a F ig . 16-16.)

A m edida que 0 varia dc 0 a 3n/Z se recorre la m itad dc la curva. Entonces

L - 2a £ " ’ j/sen * y + sen4^ y e o s 1 -y 40 » 2a £ " ’ sen1 -y 40 - a £ * * ( I - eos - y - 1 40 = la 3 20 \ I 3"'* 3na = a ( 0 - T sen y ) |o = -y-

P r o b l e m a 1 6 -1 8 p = N/co s

S o lu c ió n .

D e te rm in e la lo n g itu d d c la le m n isc a ta d c B e rn o u illi. d e e cu ació n

20. E l grafo es sim étrico; entonces L - 4£ 4Jto W

T W

. 4 r

1^ K

? - 4 £ * J/£os 2 o T ^ ^

5 ^ eos 20

40 - 4 r Jo

40 -

7 ¿ 5 ¿ l0

H aciendo e l cam bio eos 20 « r 1' 1 -> — 2 sen 20 40 •» - y l " M1, con sen 20 = ,/ T •- r ; sustituyendo

L = 4

r_ J.

. r v

5.26

C O O R D EN A D A S PO LARES

211

A r e a d e u n a s u p e r fic ie d e re v o lu c ió n

P r o b le m a

16 -19

H a lle e l á re a g e n e ra d a p o r la c a rd io id c r « a ( 1 + eos 0 ) c u u n d o se

h ace g ira r a lre d e d o r d e l eje p o la r.

S o lu c ió n ,

^ r2 + | ^

a y f \

+ i eos O + eos2 0 + sen* Ó -

a / 2 + 2 eos ~Ó.

A - 2xaJ J " J 2 + 2 c o T á jl ♦ c o i 0 ) sen OdO - 2 / 2 jw 2 £ ( I + eos 0)i ¡ sen 0 dO -

- ly f ia * ( -

P r o b le m a

16 -2 0

( I + c o s 0 )’ '2 |* -

3- ^

H a lle e l á re a g e n e ra d a c u a n d o r 1 — e o s 20 se h a ce g ira r a lre d e d o r

d e l e je p o la r. %

S o .u c .in ,

; i. v' ^ 2 0

2» + r

00520

/eos 20

,4 - 2 - 2 * £ 4 r s e n 0 ¿ j - 4 * £ 4 s « n 0 J0 - - 4 n c o s í? | ^ - 4 k || -

P r o b le m a

16 -2 1

= 2/ 2 1 4 /5 - I )

H a lle e l á re a g e n e ra d a c u a n d o la c u rv a r - a e o s 0 se h a ce g ira r a l

re d e d o r d e l e je Y.

S o lu c ió n .

E l área que determ ina un elem ento de arco es 2x r eos O dt. Entonces

A « 2* £

r eos 0 d t - 2 * £

P r o b le m a

2* a 2 £

a eos2 6 J a 1 eos7 0 + a2 sen1 0 dO — 2xa* £ eos1 0 dO m

( L + ^ g -j

d e

- na1 ( o + - J sen 2o ) £ - * V

16 -2 2

D e te rm in e e l vo lu m e n g e n e ra d o p o r la le m n isc a ta d e B c r n o u illi. de e c u a c ió n p 1 = r 2 eo s 20. c u a n d o se la h a ce g ira r a lre d e d o r d e l eje p o la r.

S o lu c ió n .

V = 2 * f ° y2 dx • 2 * f p 2 sen2 0(/>' eos 0 - p sen 0 ) JO = J«/« *

— 2j i f

r ‘ eos 20 sen2 0 ( —r ■ 8C°

J-M

— r/ c o s 20 sen o ) dO =

/ r o s 20

= -2 *r> P co s2 0 sen 2 0 ,C n 2 fl-f C 0 8 g ^ C O ,2 f,,g ^ - JO = J"/ « ,/COS 20 - 2»rl ^ £

N/cos 20 sen2 0 sen 20 eos 0 JO +■ £

I , - y £ 4 j c S T i ó sen2 20 sen 0 JO = y £ "

/ e o s 20 sen2 0 eos 20 sen 0 j o j

sen2 20

212

C O O R D EN A D A S PO LARES

que m edíanle d cam bio eos 20 = i -* - 2 sen 20 JO * d i se transform a en:

-175

- ' V l ~

"■jT "

■ 1^5 í í " -

«j?

V 7 ' dl -

[ £

/j - J "

[ ( - T * * + ~TS' * ¿ ) - / r r '’ -

, 7

o" , “ !h{2' *

- B

21 -

" U

« 7

v eos 20 sen1 0 eos 20 sen 0 dO - J *

■

- - ¿ j i ' " " * *

sen* 0 (eos 20)y ’2 dO

^ . Entonces que m ediante e l cam bio eos 20 = l •* - 2 sen 20 dO - di. JO - — 2 /n ^ p

■ (*' ( - L 7 I V a ,* >

T j o \

7 ^ y

[ -

+ i r

j_ y jx - p

+ Í

f * - ( L z *l* I | a *L

4 /2 Jo

c° 8 h ( 2 / +

— ^ 9 6 /2

64v 2

L _ f* Ü J l i f c *

v ír n $ r = is

l,]o "

7 ^ T

4/ 2 J 0 / F + 1

[ t

+ T ¿ l n <3 ♦ v » > ] -

In (3 + V *»

P o r tanto.

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S 1.

e ) la rosa D eterm ine d área de la región lim itada p o r: a ) d circu lo r • o ; 6) r - |2 a c o s 0 |; r • u sen 2 0 ; </) d caraco l r » b -* a eos 0(a > b > 0 ); e) d caracol r - b + o eos U[h > a con dos hojas, una dentro de la o tra ; / ) determ ine d área de cada hoja. R esp..

u ) x a2;

—y

b ) 2x a2;

"y - :

— (2¿>* + a2) — 2ah sen a -

y(26*+a*): sen a eos a -

e ) e l área de la ho ja m enor e s.

(2b2 4 a 2) — j b<a2 - b 2) 1' 2

de la hoja m ayor: y ( 2b 1 + fl*) + y h (a2 - b2) ,f2 con y 2.

< a < a y eos a = - y

S i S es la región lim itada por d grafo de r - F(0X r = G i0\ 0 - a 0 á P(0 ) S <*<0) p ara 0 e [a . fi]. M uestre que

y 0 - í C oo O s í - a S a

área <S) - y j * <G2 - F 2)

D eterm ine el área de intersección de las regiones lim itadas por las r - 2a sen 0 ; b> r = a sen 0 y r - a (l + eos 0 ). Resp :

cu rva s:

a i y ( j r - 2 k i 2:

r • 2a eos 0 h)

^ I* - 2W

H alle el área com prendida entre la prim era y segunda espira de la espiral de Arquim edes r » a 0. Resp.. 8 Jt’a2

H alle e l área de una de las hojas de la cu rva r - a eos 20.

Resp. .*

>0 )

C O O R D EN A D A S PO LARES

213

H a lle cl área lim itada por la curva r = a sen 30.

H alle cl área lim itada por cl caracol de Pascal r = 2 + eos 0.

H a lle e l área de la figura lim itad a p o r la elipse r = »■ ■^ jr | 0 á r < I *r c eos U

R esp.: - y —

y n

R esp.:

I ).

j nP n - f W

H alle e l área de la figura lim itada por la curva r ■» 2a eos 30 y que está fuera del circu lo r - a. Resp.:

10.

H alle la longitud del arco de la parte de la parábola r =. a sec2 y . co rlad a de la m isma por la recta vertical que pasa p o r c l polo.

11.

2 a [^ 2 + ln

H alle la longitud del arco de la espiral hiperbólica r0 = I desde c l punto (2. 1/2) hasta c l punto (1/2.2* R esp.:

12.

+ 11]

- &

+ \n ± ± 2 ¿ Í

H alle la longitud del arco de la espiral logarítm ica r = a e * (m > 0), que se encuentra dentro del circulo

m 13.

H alle la longitud del arco de la cu rva 0 ■ y

| r + --

desde r = 1 hasta r = 3. Resp.:

14.

H alle d área de la superficie engendrada a l g irar la lem niscata r 2 = a 2 eos 20 alrededor del eje polar. R esp.:

15.

poU’ r

Resp.:

D eterm ine c l área engendrada por la lem niscata de B cm o u illi p = r 2 eos 20 a l g ira r: del eje p o la r: fe) alrededor del eje perpendicular trazado por el polo. R esp.:

17.

2na2Q - / 2 )

H alle cl área de la superficie engendrada por la rotación de la cardioide r = 2 a(l + eos ü) alrededor dd

16.

y [4 + ln 3]

a ) A - 2nr2(2 - J 2 ) \

a) alrededor

h ) A - 2v/2irri

D ad a una curva en coordenadas polares r = fl0 \ a S 0 á P- C o n las hipótesis adecuadas, deduzca las fórm ulas que dan el área de las siguientes superficies de revolución obtenidas a p artir de la cu rva s , = 2 * 1 % “ n 0 j r T + (r')J dO

18.H alle c l área

r eos O y jr 2

generada por r = a 2 eos 2 0 + b2 sen2 0. b < a, 0 S 0 S R esp.:

19.

4- (r')2 dO y .

a l g irar alrededor del eje X .

na2 + afe4(a4 - fe4) ' " 2 ln \b~2[a 2 + (a* - fe4) ] " 2 }

H alle cl área generada por r 2 = a 2 eos2 0 - b 2 sen2 0. b < a. 0 S 0 < a =* are l g a l dor del eje X . Resp.: n { a 2 - M

g irar alrede

' 1 + f c V 1 ln [(a 2 + c*aó - cjfe" ’< Tl ] } ; ó - {a 2 + fe2) " 2, t = (u4 - fe4) " 2

C A P ITU L O

Integrales impropias S e v a a e x te n d e r l a d e fin ic ió n d e in te g r a l d e f in id a p a r a q u e e l s ím b o lo I J { x ) d x t e n g a s ig n ific a d o si e l i n te r v a l o d e in te g r a c ió n o la f u n c ió n n o s o n a c o t a d o s .

D e fin ic ió n 1.

L a in te g r a l d e f in id a J * / ( x ) d x s e d i c e im p r o p i a s i a ) la f u n c ió n / ( x ) t ie n e u n o o

m á s p u n t o s d e d i s c o n ti n u i d a d e n [ a , 6] o ó ) p o r lo m e n o s u n o d e l o s d o s lim ite s d e in te g r a c ió n e s in f in ito . S i / e s i n te g r a b l e s o b r e [ a , ó ] p a r a t o d o b < co, e n to n c e s J

f ( x ) d x se lla m a u n a

in te g r a l i m p r o p i a d e p r i m e r a e sp e c ie . S i l im I f ( x ) d x e x is te , s e d ic e q u e la in te g r a l im p r o p ia p Ja r f [ x ) d x = lim I f [ x ) d x . 6-eo J a S i e l l im ite n o e x is te s e d ic e q u e l a in te g r a l i m p r o p i a e s d iv e r g e n te . E n f o r m a a n á l o g a si /

e s i n te g r a b le s o b r e [ a , 6 ] p a r a c a d a a > - c o . J *

f { x ) d x s e l la m a in te g r a l im p r o p i a d e fin id a '

por r / ( x ) d x = lim T / ( x ) d x . J -a i a - - «oJ a D e fin ic ió n 2 ,

S i / e s i n te g r a b l e s o b r e [ a , ó ] p a r a t o d o e > 0 y n o a c o t a d a e n [a ,f> [. e n to n c e s se

d ic e q u e j " / ( x ) d x e s u n a in te g r a l im p r o p i a d e s e g u n d a e s p e c ie . S i l im J * d i c e q u e l a in te g r a l i m p r o p i a e s c o n v e r g e n te e j * f ( x ) d x = l im J *

f\x ) d x

e x is te , se

f { x ) d x . S i e l lím ite n o e x is

t e , l a in te g r a l s e l la m a d iv e rg e n te . C u a n d o / e s i n te g r a b l e s o b r e [ a + e, b ] p a r a c a d a e > 0 y n o se d e f in e j* / ( x ) d x = lim £

es a c o ta d a e n

D e fin ic ió n 3. J

Si j *

/(x ) d x e

f[ x ) dx.

/ ( x ) d x s o n a m b a s c o n v e r g e n te s p a r a a lg ú n c, s e d ic e q u e

/ ( x ) d x e s c o n v e r g e n te y s u v a lo r s e d e f in e p o r l a s u m a J *

= J*

+ J

D iv e rg e

s i a m b a s s o n d iv e rg e n te s .

N o t a c io n e s O y ó D e fin ic ió n J .

L a n o t a c i ó n / = 0 { g ) e n a s e le e « / e s ig u a l a O d e g e n a c u a n d o x t ie n d e a a » ;

s ig n ific a q u e e n u n e n t o r n o V *{a) d e a , a l c u a l n o p e r te n e c e a , g (x ) n o e s c e r o y e l c o c ie n te f{ x ) / g { x ) es a c o ta d o : e x is te K > 0 t a l q u e x e V * (u ) => ^ (x ) * 0 y l/fx )/g (x )| £ K 214

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S

215

E s d e c ir, d e n tro d c V ( a ) , k\g\ d o m in a a / S i sim u ltá n e a m e n te / = 0 {g ) y g = O lf ) c n a, se d ice que las d o s fu n c io n e s / y g so n d e l m ism o o rd e n d c m a g n itu d . D e fin ic io n e s a n á lo g a s cu a n d o a se re m p la z a p o r a * , a ~ , + c o , - c o .

L a fu n ció n / d o m in a a la fu n c ió n g so b re un c o n ju n to A sig n ific a que am bas

D e fin ic ió n 2.

están d e fin id a s eñ A , y g {x ) £ 0 so b re A . y q u e : x g A

\fix)\ < g (x )

P o r e je m p lo , la fu n ció n x d o m in a a la fu n c ió n sen x en e l in te rv a lo ]0 , + c c [ p o rq u e sen x < x.

L a n o ta c ió n / = o {g ) en a , q u e se le e « / es ig u a l a o d e g en a », s ig n ific a q u e en un

D e fin ic ió n 3.

e n to rn o V * (a ) d e a, a l c u a l n o p e rten ece a, g {x ) n o es c e ro y e l c o cie n te fix )/ g {x ) tie n e p o r lim ite 0 ;

lim [fix )/g {x )\ = 0 x 'a D e fin ic io n e s s im ila re s se a p lic a n c u a n d o a se re m p la z a p o r a * , a ~ , - co, + co.

E l sig u ien te te o re m a m u e stra q u e / = o {g ) en a => f = O íg ) en a. P o r e jem p lo , si

N o ta .

X -*

+ co, sen X = 0 (1 ), p o rq u e sen x/1 es a c o ta d a y lo g x = o (x ) p u esto q u e lim

= 0

y , p o r ta n to , lo g x = O (x ).

S u p o n g a q u e g es u n a fu n c ió n d is tin ta d c ce ro y q u e e l lim ite

T eo rem a.

lim |/(x )/^ (x )| = L x-a

existe. Entonces a)

L < + c o => f =

0 (g ) en

L < , + c o => g = O íf i en

I . < + co => / y g so n d e l m ism o o rd en

d e m a g n itu d c n a.

E n u n c ia d o s sim ila re s ex iste n s i a se re m p la z a p o r a * . a ~ , + c o , — c c .

D e m o s tr a c ió n ,

A*) , v = L e s f in ito , e n to n c e s e x is te u n e n t o r n o d c a d e n tr o 9 ix ) b ) S i lim f ix ) / g { x ) \ = L > 0, e n to n c e s e x is te u n e n t o r n o d e a,

S i e l l ím i te lim

d e i c u a l [ A x )/g { x )\ e s a c o t a d a ,

a l c u a l n o p e r te n e c e a , y d e n t r o d e l c u a l e s a c o t a d a a p a r t i r d e 0 : l/íx ) /f /(x )| £ p > 0 ; e n to n c e s f i x ) * 0 y \g { x ) /A x ) \ 5

1 /p .

c ) E s c o n s e c u e n c ia d e a ) y b) p o r d e fin ic ió n .

E je m p b .

Si X -

+ co,

= 0 (

p o rq u e

± ] X

lim

-X

x- +a> x +

= 1 <

-x X + I

+ X ). L a p r i n c i p a l a p li c a c ió n a l a s in te g r a le s i m p r o p i a s d e la s n o t a c i o n e s

« O m a y ú s c u la » y « o m in ú s c u la » s e d a e n e l P r o b l e m a 17-11.

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S

216

PROBLEM AS R ESU ELTO S P r o b le m a

17-1

M u e s tre q u e I

—

d x c o n ve rg e s i r > 1 y d iv e rg e s i r £

A ,

Í. i r - ^

x " '* '

r + T l . - ^ r r T -

t t t

S i r > I. tenemos que - r ♦ I < 0 y y " ' * 1 — 0 si y — ao. S i r < I. entonces - r + I > 0 y y ' ” 1 — co si y — ao.

¿x - y converge a -

P o r dcrm ición

si r > 1 y diverge si r < I.

> | " . f ' dx -rf-dx — lim log y = x . E s decir. I — diverge, i *

P r o b le m a

!Z ± I

»*»

~ T ~ (>

“

H a lle J V - d * .

Integrando por partes, se obtiene

S o lu c ió n .

j ' x e 'r f x -

Com o * t * — 0 r

P r o b le m a

si i -* x . entonces [

1 7 -3

M u e s tre q u e j*

1“ “ *

x e "* dx - lim f x e ' dx - I . Jo

e -1* 1d x co n ve rg e .

E s necesario m ostrar que

S o lu c ió n .

') "

e ' 1*1dx convergen para algún a

Por

nicncia. en este caso sea a • 0. Ahora. e ' ,M,dx ■

e * w dx — lim L r* dx ® lim ( I — t>) — I J*

D e la misma m anera.

P r o b le m a

lim

•

! • - « J»

- I. Po r tanto.

1 7 -4 [

P ±

v - „

J J

-j- sen -- dx

e " u ldx converge a 2.

± J x conyerge X

l-a integral es im propia, puesto que

S o lu c ió n ,

-• x

» x - * 0 ‘ . A hora.

I I I I 1 lim I -jsen — dx = lim eos - 1 *

I I —j sen — dx diverge.

n X

I* * «

.- 0 ‘

■■

I \

- lim Ic o s I - eos — I e-0’ \

“

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S

P r o b l e m a 1 7 -5

217

D e te rm in e la c o n ve rg e n

c ia d e la s sig u ien tes in te g ra le s :

“> j T o r V : w £ t í= S o lu c ió n .

„

T V T W

~ ¡í¡

IT Íx V

. . . f* dx ces la integral es convergente c J '('| + xyT “

F ig u ra 17-1

— - 2^1 + x I* - %y/\~+~b - I). P o r u n to , lim P v/ l ♦ x !• *— Jo

r Jo

—£ v/ l

= ♦

-■ - lim 2i J T + b - I). v | ♦ x

•» d 'vcr«cm c

E l grafo de a ) m u e s t r a que la altu ra d d grafo tiende a 0 si b -• x ; en cam bio, el área de b) no es acotada

P r o b l e m a 1 7 -6

S o lu c ió n .

E s tu d ie la in te g ra l

Tiene discontinuidades en x » 0 y x - I ; luego podemos escribir:

f[x )d x -

« lim | * * • '

7 (x )

7(x>|

I a/a

lo-

/ (x )d x + £ ^/ |x )d x + £ fix )d x + £

f[x )d x ♦ lim f

J»

- FU>

A h o ra:

dx.

• *'

J l

/( x )d x -

/ (* ) dx + lim f f(x )d x - lim f f[x )d x 12

e -l"

J l

I* ' ♦ 7 (x ), + 7 (x )| I + f íx ) | co n f ( x ) - x*'*/{x - l| llI a/a ■■ la

- 7(1/2) - lim 7(x) -

-2™; 7(x)

I u»

- lim F [x ) - 7(1/2) - - X ♦ 21" - - x ; «-i

- « 2 ) - lim 7 (x ) - 2 ,/l - x - - ® ; 7 U > |* - lim 7(x> - 7(2) -

2 1'» - - 2 1'»

« -•

P o r ser la segunda y tercera integral infinitas, la integral diverge.

P r o b l e m a 1 7 -7

T e o re m a d e d o m in a c ió n .

Se a n / y g fu n cio n e s d e fin id a s en ]o , + c o [

c o n 0 S / (x ) £ ff(x ) p a ra lo d o x > a . S i T <t( x ) d x c o n ve rg e , e n to n c e s T / ( x ) d x co n ve rg e . S i

p « .

/ (x ) dx d ive rg e , e n to n c e s I

J *

J o

$ (x ) d x d ive rg e . S i 0 5 / (x ) S rtfx ) p a ra “ >d0 * en ] « . * [ y

p# pf pá lim / (x ) - lim jrfx ) ** oo. e n to n ce s J / (x )d x c o n ve rg e si J g ix )d x co n ve rg e , c J g {x )d x d ive rg e s i J7 (x > d x d iverg e . P ro p o s ic io n e s a n á lo g a s se v e rific a n p a ra lo s d em ás tip o s d e in te g ra le s im p ro p ia s.

218

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S

Supongam os que 0 5 / (x ) S g{x) para todo x > a. Entonces, para cada t > a,

Demostración.

( I)

^ m * x £ ^ g ( x )d x

C aso I .

lin i J

0(x) dx = A, es decir, j** 0(x) dx converge. Com o g (x ) £ 0, sabemos que G (f) = j" g {x ) dx

es una función creciente y esto significa que G(x) s A. A ho ra, sea FU ) = J f[x ) dx es creciente y, según (I). F (f) S A para todo t > a. Sea f l = sup { F U ): i > a }. Vam os a ver que lim F (r) = B . E n electo, si V ¿ B ) es un entorno de B , entonces V ^ B )n B / <f>. Suponga que F (r0) e V,[B ); como F es creciente, si í € Ir©, co[. entonces f ( r 0) S F (t) S B y , por tanto. F (l) e K,(B). A hora, Jr0, c o [ es un entorno del infinito y se aplica en F ,(B ) por F . P o r tanto, J Caso 2.

f[x ) dx converge.

J* * f[x ) dx diverge. Según e l caso anterior es evidente que si f{x ) 2 O y FU ) — j** f[x ) dx es acota

da. entonces | II) . G (|) - J

f[x ) dx converge. Com o J*” f(x )d x diverge; esto quiere decir que F (f) -• c o si r -• c o . Según g{x) dx — a : si t -» c o . Entonces j*

P r o b l e m a 1 7 -8 c u rv a y = ^ J

S o lu c ió n .

g(x) dx diverge.

H a lle c l á re a lim ita d a p o r la . x ¿

1, e l eje X y la re cta x = 1.

Com o para cada r S I . £

‘f— y

repre

senta el área rayada, parece razonable definir e l área pedida

com o la integral

® 0516 número existe. Este nú F ig u ra 17-2

m ero existe porque 0 S ^

Ahora' Í T í

existe.

■p- = are tg ( — are lg I = are tg t —

irea "

P r o b l e m a 1 7 -9

S o lu c ió n ,

-^r e

T T T P- “

P ru e b e q u e

S i l -» c o , are tg — -y, por tanto,

H '8' - t

) - f - T - f

- y -- d x co n verg e.

integrando por partes, se obtiene eos x ) — —

eos X

:-í

eos x dx — —

y lim | — C(y-£- + eos I J = eos I, y queda por m ostrar que la integral de la derecha converge. N o podemos decir que C-^rX <, —T e I —i- converge, porque c l teorema exige que las dos funciones no deben ser x x j, x negativas. Para x S I defina (vea Figs. 17-3 y 17-4); eos x si eos x ¿ 0 / to

sí eos x < 0

- e o s X si eos X < 0

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S

219

Entonces/lx) ¿ 0, g(x) s 0 y f[x ) - q{x) «= eos x para x í O . Por consiguiente, 0 £ ^ y. por tanto. f ^

= J- f ^ Z ^ d x

= £

- £

S- ^ yO í

<, X .

« W ¿X

Resultado correcto, puesto que las dos integrales de la derecha convergen, entonces

Í'scnx.

, f “■eosxI ,

—3 — ax -• eos 1 —

(

“

P r o b l e m a 1 7 -1 0

-— j — dxsi

á’ yscnx. -• oc e I Ji

— »— dxconverge

---------------—---------- c o n v e rg e .

, x2 + S j i + \ l

S oconvergente. lu c ió n . Para x ¿ 1,-------es

P r o b l e m a 17-11 p a r a / > a, y si / »1

< -X, la convergencia dc f * 4 í implica que P * ------ ~ z ----x2 4 5 7 * + 1 7 * J ' x

S ¡ / y 9 s o n f u n c io n e s n o n e g a tiv a s e n [o , + c o [ e in te g ra b le s s o b r e [ a , / ]

0 (g )

e n + co , e n to n c e s la c o n v e rg e n c ia d c 1

g {x ) dx im p lic a

la d e

/ ( x ) dx. P r o p o s k i o n e s s im ila re s s e e n u n c ia n p a r a la s in te g r a le s im p r o p ia s s o b r e lo s re s ta n te s

in te rv a lo s. S o lu c ió n .

Sea fe un número mayor que a y K un número positivo tal que K g domina a / sobre el intervalo

[fe, +co[. Como J

gix)dx converge y

lim f

Kg(x ) dx - K lim f

l-* « J »

g{x) dx - K | g(x) dx

i• • « Ji

la función K g es integrable sobre [fe, + <*[. Entonces, según el Problema 17-7, / también es integrable sobre [fe, + <*[. Finalmente, como lim P /(x) dx = (**/(x) dx + lim f f[x ) dx ■- • « J a

/ e s integrable sobre [a , + ao[.

Já

I - * n>J»

IN T É G R A L E S IM P R O P IA S

220

_ .. , . . Cl dx E s tu d ie la co n ve rg e n cia d e I -i r .

1 7 -1 2

P r o b le m a

Jo I -

E l integrando /|x) ■>

S o lu c ió n .

f [ x ) - 1/(1 - x * | -

no es localm cm c acolado en x -

- l1! ? 7 T V T - ? - — lim I — In ( I — x ) l !

-r—

^ I —*

..o*

3 > 0 - » - O 3 A C o m o £ „ d , . c , gc = lim ( - In t ) -

P r o b l e m a 1 7 -1 3

+ % ) , e n t o n c e s f / d iv e rg e

d x — -:

S o lu c ió n .

x > l + x +• x 2) y c o m p a r á n d o l a c o n (rfx ) - M I - x) s e o b tie n e

1/11 -

!T Í S

= -<

yj x* + 2 x + 2

E l inicgrando. cuando x — ♦ x . e s d d mismo orden de magnitud que I i * 2. porque

J _____ l,m J P

T p \ / J?

Í P r o b l e m a 1 7 -1 4 j ^

_ „ „ If ~ * . M - ..V * * + 2 * + 2

dx —j r r converge y. por tanto, la integral dada converge.

fu n c ió n bcia. D e te rm in e los va lo res d e /» y q p a ra los cuales la s i

g u i e n t e in te g r a l c o n v e rg e . s u » .* ) = j V - ' o

- x r

‘ dx

E J integrando licnc discontinuidades c n * = 0 y « - I . S i x - 0 * . f\x) - x * ' ' ( I - *)• 1 es d d mismo orden de magnitud que x’ x. porque lim 1 ■ lim ( I - x f 1 - I y 0 < I < + x . «-*■ •*•' Análogamente, á x — I J\x) es d d mismo orden de magnitud que ( I - x f ' . l a convergencia de

S o lu c ió n .

/ . para 0 < c < I . es equivalente a la convergencia de

J„ *

ydc J, .

Tí

J, (| _ x)H t r

d (l- x )

f *

„r=7 du

y. por consiguiente, según cl Problema 17-1. a las desigualdades I - p < I y I — q < I. Por tanto, la inte gral converge si. y solamente % i,p y q son positivos.

P r o b l e m a 1 7 -1 5 H a) = J

S o lu c ió n .

fu n ció n

g a m m a.

D e te rm in e lo s v a lo re s dc a

para

los cuales

x 1" '* ■ * d x converge.

Si x — 0 *. flx ) m x * " V ‘ " es d d mismo orden dc magnitud que x-* '. Cuando x — + x .

f\x ) = Od/x*), puesto que lim x * * 'r -“ = 0. Com o J*" x*- ' dx = J *

I — a 0 , y com o j*

converge s l y solamente si.

converge, b integral converge si. y sobmentc si. a es positivo.

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S

*® f* * P r o b l e m a 1 7 - 1 6 ...............................

v e rg e n ( c „ c 2 €

/•*<» ..................................... y so n con verg en tes, entonces <i) I ( c , / + c¡fi) con-

/ e l

p**

R).

/»)

S o lu c ió n .

221

(c j + c 2g ) - c ,

( c , / + *v/) = lim J

| * '®

/ + c2

(«-,/ + c ^ ) = lim

- c, lim 1 / + c ¡ lim f y - c, f »-*• J .

/ + c¡ f

J t

P r o b le m a 17 -17

Í S o lu c ió n .

S i |/| es in teg ra b le en to d o s u b in tc rv a lo c e rra d o y a c o ta d o d e [a . + » [ . r* * i r ,o c j r*® l / l co n verg e, im p lic a q u e | / con verg e, h) I / 5 I |/|.

Para demostrar La parte al observe que 0 *£ / + |/| S 2 |/1. Por tanto, si f - .

l/l converge, lo

J«

( / + l/l). según el problema anterior. Pero / - ( / + |/|) -

\ f \ .

/* .«

Por tanto, I

converge, puesto que es la diferencia de dos integrales convergentes. h) Se deja como ejercicio.

P r o b le m a

17 -18

*® / c o n v e r g e ab s o lu ta m e n te o

verge. p ero n o ab so lu tam ente, d e c im o s q u e f J a

,»

c*® p* ® I |/| converg e. S i I / co n

f co n ve rg e c o n d ic io n a lm c n tc . M u e s tre que

sen x.'X co n ve rg e c o n d ic io n a lm cn tc.

S o lu c ió n . -

Para cualquier s > a (empleando integración por partes) tenemos que

co sx f ‘ eos x . Icos .vi I , -— + I —p — dx. Ahora. p £ - p (a á x < Com o J**

converge absoluiamente. entonces r

converge. Asi lim f •- 1 J »

dx -

—

x.%

~ ~p ~ dx converge absolutamente, y. por tanto.

*- dx converge.

. M u e s tre q u e la in teg ra l im p ro p ia

P r o b le m a 17 -19 S o lu c ió n .

dx existe y

f dx I — ;-----... 1 J o x/ n n ?

es convergente.

L a integral es impropia porque l/N/l - x 2 no es acotada en ( 0 . 1]. Primero vamos a mosirar

que la integral impropia |

.1 I

- es convergente (y. por tanto, absolutamente convergente, porque —x

v I - x 2 0). S i 0 < c < I. entonces

Í Entonces f

1'*

dv f ,_ * ,1x — —— - 2 - . ------** 2 — 2»/e y. por tanto, lim 1

/ l - x

_____ . entonces I

vi - X

convergente.

- '

V l _ x

— converge absolutamente. Pero para 0 S x < I , —

v I “ x £,

J o v | _ p

* = v/l ~ x 2

v/TTx

— *■ < ^ I - x

es absolutamente convergente, lo cual implica que f

—- ***— — es

--- •

x l

222

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S

P r o b l e m a 1 7 -2 0

S o lu c ió n .

Para x — b. -jg

— X si n > 0. L a primitiva es

dt 1B---W m "

Í y. por «amo.

d - £ - ¡* 4 ^

- * r “* 1 - = ¡¡T 1 - "

S i 0 < n < I , entonces A -

i O T- T M 5 ^ r - T - “

- * '

1 » ^ ¿ T 1" "

| • ^ _ fly * T >Muc existe y es finito; luego la integral es conver

gente. Si n > I . entonces A — co y la integral es divergente. Si n - I. <4(x) - ln

E n «al caso.

- J

x “

l,nJ

r_ *

Resumiendo;

y1 ‘»" - x xT '

P r o b l e m a 17-21

[ln¿

] “

converge I diverge

La f

P jo

Estudie la convergencia dc f

* v*

dx-

v y / rl -— x

P J ( . r _ '‘ F ~ 2 + J o [<! - x * l + r»j* 4 Jo <| - x),,a

que coincide para n - 1/2 con d i

* ¿ 1

~ - * 1 dx tiene un integrando que se hace infinito para x y/l - X*

y n r ?

V * - 2 * ¿ T

- oo; U integral es divergente.

\ 0 < n < I

' ” i

S o lu c ló n .

ln b

- - l n (fc - x) -

„

< P Jo ^1 - *

problema anterior; luego es convergente Consecuencia de que

- una función continua y permanece finita en [0 .1 ]: luego está acolada por un nú

mero M.

P r o b l e m a 1 7 -2 2

Determ ine cuáles dc las siguientes integrales son convergentes y cuáles divergentes. Calcule las que son convergentes. sen x ••

—

j \ lo g xdx

3- £ («■

T T iT

J T

'" " - ^

f‘

xdx

Jo I + xl

7 £ v+

,j-

10.

II.

,2 -

^7T ó ( X + IX x ‘

r .

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S

S o lu c ió n .

223

C o m o sec x es discontinua en -y.

—

I "

’r

lim

”

* -

igi|

In |sec r 4

lim In |sec x + tg x |

—

- In | lim (scc t 4- i r i)|

" i

y el limite no existe L a integral es divergente. 2.

C o m o In 0 no existe, x In x dx -

lim £

x In x dx = lim

ln x |

I i -

•

|> t ¡j . T t o ..O - T .

l a integral es discontinua en a ; entonces

«.

^ - .

i™ .

* ,- *

”

-4 In e-

*•

¡- — 4- In -f

+ I

--!

| "

s - .- *

r -

I ✓ - I ‘2 ' " T T r i

C + l

,n x “

i - T

- 1».

I | u - | II' I r - I “ T ,n | - Í T T | L " T ln - 7 + T ”

r udu , « ¡^ T T

‘

“ T j j * dx J ™ ’jjjí [ ' V

lim In 4 —

,.0-

y com o el limite no existe la in-

4- I

tcgral es divergente. 5. - y

Tenemos que P

e ' * sen x dx - lim f i- «

e~M sen x dx - lim ( - - 4 )(e ~ * eos x 4 r ’ J sen x) I t-m

‘ /

- -y lim ( * '* eos t 4 e " ' sen ( ) - y .

jT t V

üm i o

* * +~ |

I,m T 10 ( l + *** |# "

I*™ -y ,n <* + ‘ *1 fjX c

00 e*«*e:

p o r ta n to , la in teg ral n o ex iste

ndtda.

7. 8. 9. 10.

II. 12 13. 14.

L a integral es divergente. 9a ¡,t. L a integral es divergente

,1 7 - 2 3 I C o m p r u e b e s i :

*. L a integral diverge. L a integral diverge. n/2

]

J -é

/>)

d x — l im i*

("* J

1 + *

lo g | x | I *

ln | o | -

In | - „ |

I -«

^ -4 d x = l im l n ( I + x 4) I 1 + x »-* I -»

= lim[ln (I + f4) - ln(I +(-rj4)] =0 »-•

a ) H razonamiento es falso porque no tiene en cuenta que d integrando es discontinuo en 0. L a proposición verdadera es:

S o lu c ió n .

lim | |.0

J_ |

lim P ~ ».o* J .

lim ln |x| I (.0

y c o m o n in g u n o dc los lim ites e x is te la integral es divergente.

4- lim ln |x | I

- lim ln |r| 1-0

lim ln |u| .-o*

224

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S

b) E n cslc casp. la falacia está en que / y - f no se aproximan a + x y —00. independientemente. La proposición es:

t t t -'*

- ! 't £

-n n r *

l n “ + , 4 |l l +

+ lim ln (1 + x4) | = lim ln (I + r4) - lim ln (I + u4| ■V * I» t- •T> « Como ninguno de los limites cxislc, la integral diverge.

P r o b l e m a 17-24

S i a > 0. ¿p a ra que v a lo r d e a e s convergente la integral

1 S o lu c ió n .

(11

(*+ i))dx?

£ ( - ^ f ^ - ^ ) ,,x=^ ,nlx+K ¿ +x1 "a,nlx+ - - i — |n i r <f l / — + t1 1 — a ln (r + I ) ---p |n —L - — Ja L r a J Ja Ja

" ln ¡ [ ' +

+ , r j + - j =■ln S

t \ l + l± + A ' Y ‘ \ L a integral converge si. y solamente si. li lim 1 *»- ¡ r j — -------- / existe; si a > —

.... \ si <x <

I' * i r

d llmi limite es cero;

no existe. Vo

Sin embargo, cuando a ■= l/ J a , se nene que

lim r-a

iV 1 / 1 + ( t + 1 í r + 1

UJ2

!• *

Po r tanto. la integral converge únicamente cuando

l o 2 ttJ¡+

P r o b l e m a 17-25

S o lu c ió n .

■ a lllll llfTI a

1 +

. \,,a

1 L L 37

*1I j i y/ó

■ —- ■ y su valor es Ja

, n ^

¿ P a r a q u é va lo res d e n. J "

= _ \ - l n 2 J-a Ja

x *e~ * d x es co nverg ente?

Aplicando la regla de L ’Hospital repetidamente, se tiene que para cualquier entero n: lim S = lim «" ...

= ... = lim

= 0

Entonces para cualquier entero n se puede hallar x. > I lal que si x > x . >♦ — Como

converge, según el Problema 17-1. j *

—

I < -^7-.

x"e~‘ dx converge. Debido a que el integrando 1

continuo sobre [0. x .J . podem os concluir q u e J * x“e “* dx converge para lodo entero positivo n.

IN T E G R A L E S IM P R O P IA S

225

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S 1.

Diga por que las siguientes integrales son impropias y determine la convergencia o divergencia de la inlcgral:

- j>

r .«"¡

j>•*"*=*

Resp.: a ) 1/2, integral impropia de primera clase; b) l/r„. integral impropia de primera clase; c) x , integral impropia de primera clase; d) 2. integral impropia de primera clase; r ) x . integral impropia de segunda clase; f ) 4, integral impropia de segunda clase.

I f* dx = 5 J q ¡ T T 7 P ''

xdx ,r í w

, 2.

.. . f“ Muestre que ^

Pruebe que

Pruebe que f J.)

Determine la convergencia o divergencia y de cl valor cuando la integral converja.

T^ . **x es convergente si. y solamente si. 0 < s < I. * + *

« rV ttp

* í>

« r — Resp.;

J, W

cv f ® 2 + sen x ,

T ? r ;

4x1

¿Para qué valor de r converge la integral J

C) J ,

xJ + 2

| —*% “! —

integral. 8.

b) I ;

u> In 2 ;

r| y l

e/)

e) 0

Determine la convergencia o divergencia de las siguientes integrales: , f’

41 í ó ^ t

Resp.:

Sea R s ) "

+ I)

dx-

u> convergente;

Resp.:

b) divergente

Determine c y calcule la

"E T T t) ^

c - 1/2, el valor de la integral es 1/4 log 5/4

r'~ 'e 1di. s > 0 (función gamma). Integrando por partes muestre que I~(s + I ) = sr[s)

y muestre por inducción que H n + I ) = n!. n entero positivo. 9.

Diga cuáles de las siguientes integrales son convergentes o divergentes. D é sus razones. N o calcule la integral: dx

4-1 f ‘ "

JV f 1 (x - l|d x

w n

Resp.: a) Convergente; f) convergente.

10.

d)l

b) convergente;

convergente;

f—

—

* » Jo r -yF r +* I-) * « f x lx

e) convergente;

—(X + 1) Jr« - ?V^ X Resp.:

a) 0;

h) 0;

c) 0;

Emplee cl criterio de comparación para establecer la convergencia de las siguientes integrales: r * *. J„ ' ”

12.

—

d) convergente;

Use un limite de la forma lim x * ln x ■ 0 o lim x 'l n x ■ 0 ; a > 0, para establecer la convergen* ■••« >-o* cía de las siguientes integrales:

*> Jrn - PX T+ r1 ! 41 jr " 11.

75 ln x dx

Pruebe que la integral

j ,4 x :

r * Jo

eos1 x dx

TTT-

— — converge si. y solamente si. 1 - q < p < I.

J) 0

„ P , T U LO Ü Q

Funciones exponencial, logarítmica e hiperbólica R e c u e rd e q u e los lo g a r itm o s s e e s tu d ia r o n e n m a te m á tic a s e le m e n ta le s c o n e l fin d e tr a n s fo rm a r p r o b le m a s d e m u ltip lic a c ió n e n p r o b l c n v u m á s s e n c illo s d e a d ic ió n . E s t o se h iz o p o r m e d io d e la e c u a c ió n lo g io x y -

l o g l0 x + l o g l0 y

(18-1)

E s to n o s p e r m ite p la n te a r u n p r o b le m a m á s g e n e ra l y es h a lla r to d a s la s fu n c io n e s / d e f i n i d a s e n lo s re a le s p o s itiv o s y q u e v e rific a n la e c u a c ió n fu n c io n a l /(x y ) - J[x) + J[y) C o m o e s ta m o s in te r e s a d o s e n fu n c io n e s q u e s e a n d c riv a b le s , s u p o n d r e m o s a d e m á s d e riv a b lc . S i e n la e c u a c ió n (18-2) se h a ix x — y - 2/11). D e d o n d e se sig u e q u e / U ) - 0.

( 18- 2) q u e / se a

1, e n t o n c e s / ( I ) = j \ \ • I) ■ / ( I ) -f / ( I ) ■

A h o r a , fija n d o u n y y d e r iv a n d o (18-2) c o n r e s p e c to a x. s e o b tie n e y /\x y ) • J \x )

(18-3)

/ W - / U )y

118-*)

S i h a c e m o s x = I e n (18-3). s e o b tie n e

C o m o y •/ I y . p o r h i p ó t e s i s . / 'e s c o n ti n u a e n t o d o in te r v a lo [ o .x ] c o n 0 < a < x , a p lic a n d o el t e o r e m a fu n d a m e n ta l d e l c á lc u lo y la e c u a c ió n (18-4) se o b tie n e

- fla ) =

jV ly )iy = /I I ) £ y dy

(18-5)

F in a lm e n te , h a c ie n d o a = I y e m p le a n d o la e c u a c i ó n / I I ) = 0. se o b tie n e

A*)-ÍW J y ')

C8-6)

E n re s u m e n , h e m o s m o s tr a d o q u e t o d a fu n c ió n d c r i v a b k q u e v e rific a l a p r o p ie d a d « lo g a rítm ic a » A x y ) ■ J i x ) + j [ y ) d e b e t a m b ié n v e rific a r la e c u a c ió n ( 18-6 ).

226

F U N C IO N E S E X P O N E N C IA L

L O G A R IT M IC A E H IP E R B O L IC A

227

L a fu n ció n / - * ! / / « c o n tin u a e n lo d o in te rv a lo d e la fo rm a [ I , x ] o [ x . I ] , x > 0. E n to n c e s es in tegrable en u n o d c tales in te rva lo s . S e lla m a lo g a ritm o n a tu ra l (o neperiano) d c x > 0 c l n ú m e ro , e scrito lo g , x o In x. y se d efin e po r D efin ició n .

In x

E s d ecir, se rep resen ta p o r x -* In x la a p lic a c ió n d e riv a b le d e R ? a n u la p a r a x = I y c u y a d e riv a d a es l/x. G ra fo de y = In x.

= R * -

{0 } en R . q u e se

L a fu n ció n In x es estrictam e n te crecien te y es un h o m eo m o rfism o dc

R \ = R * - { 0 } en R . ( E s un iso m o rfism o d el g ru p o m u ltip lic a tiv o R ! en el g ru p o a d itiv o R .) E l grafo d c la fu n ció n se m uestra en la F ig u r a 18-1.

L o s siguientes resu ltados son útiles p a ra su tra z a d o : la recta x = 0 es una a s ín to ta porque lim In x = — oo. L a d e riv a d a I/ x d c la fu n ció n In x p erm ite h acer el tra z a d o d c la c u rv a u tiliz a n d o ta n g e n tes; p o r eje m p lo , la tangente en x = I tiene p o r p en d ie nte a I. E n c l p u n to x = e la tangente a la cu rva en c l p u n to m (x , In x ) pasa po r e l o rig en y su p en d iente es In x/x. T a m b ié n lim In x /x = 0 m u e stra q u e la p en d iente d c la recta ta n g en te a la c u rv a en ñ x , ln x ) tien d e a c e ro si x tien d e a in finito. P o r esta razón d e c im o s que c l g ra fo tiene u n a ram a p a ra b ó lic a in fin ita e n la d ire c c ió n d c Ox.

F ig u r a 18-2

F u n c ió n e x p o n e n c ia l n a t u r a l ( o n e p e r ia n a ) L a fu n ció n y = In x es un h o m e o m o rfism o estrictam en te crecien te d c R * so b re R . L a función re c ip ro c a es un h o m e o m o rfism o crecien te estrictam e n te d e R sobre R ? D efin ició n . L a fu n ció n re c ip ro c a d c y = In x se lla m a fu n c ió n ex p o n e n cia l n e p e rian a y se representa po r x -* e x p ( x ) o e*.

(y e R t )

x = In y <> y = e x p ( x )

(x 6 R)

G ra fo d e y = e* E l g ra fo d c y = é ' se dedu ce a p a r tir del grafo d c la a p lic a c ió n re cip ro ca, por sim e tría c o n relació n a la bisectriz d e los ejes. H a c ie n d o tal sim etría a l grafo d e la F ig u r a 18-1, se o b tie n e la F ig u r a 18-2.

228

F U N C IO N E S E X P O N E N C IA L

L O G A R IT M IC A E H IP E R B O L IC A

L o g a r i t m o d e b a s e c u a lq u ie r a D efinición.

Se lla m a lo g aritm o en base b{b > 0 y b ¿ x -

, log* X

I ). y se escribe log*. la función

In x In h

S o l a . E l lo g a ritm o nepertano c o in c id e con d lo g a ritm o d e hasc e. puesto q u e b = t ^ C u a n d o b - 10. se obtiene el lo g aritm o d ecim al.

In h - I.

C u a n d o h = 2. se obtiene el lo g a ritm o en base dos. Estud io de y = log* x. L a función y = log* x es u n isom orfism o del g ru p o m u ltip lic a tiv o R * sobre el g ru p o a d itiv o R :

Ver. p c- R ' ,

log* (a • p ) = log* a + lo g „ p

L a fu n ció n es d c riv a b lc e n R t y su d e riv a d a está d a d a p o r / b > I *> y > 0 < ¿> < I ^ y' <

O b s e rv e

q u e la ap lic a c ió n

log(l//>)

- — ~ .-. P o r consiguiente. x in o

0 =» lo g * es e stric ta m cn ic creciente 0 » log» e s estrictam ente decreciente

In b, se dedu ce que l o g , « x

es una b iycc c tó n d e J l , + x ( sobre ]0 .1 [. A d e m á s co m o

= - lo g * x . V x e R .

L a F ig u ra 18-3 co ntiene el grafo d e y = lo g * x p a ra b > I. S e deduce a p a r tir del grafo d e y • In x ( F i g 18-1) m u ltip lic á n d o la po r la co n sta n te l/ ln h, puesto que

E l grafo d e y = lo g ll% x se dedu ce po r sim e tría respecto del e je X (F ig . 18-3). C am bio de base.

S i a y h son dos bases d istin tas, se tien e

In a ded u ce que la fó rm u la d e c a m b io d e base p a ra lo s lo g a ritm o s es

In a

In b

lo g . x ■* lo g . b •log* x

F i g u r a 18-1

F i g u r a 18-4

. d e do nde se

F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L L O G A R IT M IC A E H IP E R B O L IC A

229

F u n c ió n e x p o n e n c ia l D e fin ic ió n .

L a a p lic a c ió n re c ip ro c a d e y « log* x se lla m a la fu n ció n ex p o n en cial d e base b. (V y e R * )

Propiedades.

x = lo g t y

(x € R )

y = b'

L a s siguientes p ro p ie d ad e s son co n se c u e n c ia in m ed iata d e las d e y = lo g * x.

y = b ' es un h o m e o m o rfism o d e R so b re R t . E s estrictam en te crecien te si b > 1, y

estrictam e n te d e crecien te si 0 < b < 1. 2. y = b " es u n is o m o rfism o d el g ru p o a d it iv o R so b re c l g ru p o m u ltip lic a tiv o d e R } . E s d e cir, es una b iy c c c ió n d c R so b re R ! q u e v e rific a la p ro p ie d a d iV x . x 'e R )

x - ^

b * '* - = b*

y = b" o

L a d e riv a d a d c la fu n ció n y ■= b* es y

L a F ig u r a 18-4 m uestra el g ra fo d e y = ó* p a ra b > I . S e d e d u c e a p a r tir del grafo

\ny = x l n b o y

= e ■ **. E n to n c e s, (V x e R I b ' =

= In

= b* • In b.

F u n c ió n e x p o n e n c ia l n a t u r a l D e fin ic ió n .

P a ra to d o x e R ! y to d o a e R se d efin e x * =

M o n o to n ía.

L a fu n ció n J\ x ) - x* es la co m p uesta d c la s fu ncion es g {x ) =

aInx. q u e ap lica

R * so b re R , y d e la fu n ció n /ifa) ■ «**, q u e a p lic a R so b re R ! . E n co n secu encia, c o m o h es estrictam en te c recien te, si a > 0. g es estrictam en te crecien te y, p o r co n sig u ien te. / ■ h • g es estrictam en te crecien te. S i a < 0, g es estrictam en te decreciente y , p o r t a n t o . / es estrictam en te decreciente. D e riva d a .

A p lic a n d o la fó rm u la de la d e riv a c ió n d c u n a fu n ció n co m p uesta se o b tie n e que

(x*)’ -

= x’

- « *

F i g u r a 18*5

230

F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L . L O G A R IT M I C A E H I P E R B O L I C A

G ra fo .

L a F ig u r a 18-5 m u e s tra e l g r a fo d e la s c u a t r o fu n c io n e s d e l tip o J [ x ) = x * p a ra

x* lo s v a lo r e s in d ic a d o s d e a . P a r a a > 0. la ta n g e n te e n 0 tie n e p o r p e n d ie n te lim -— • .0’

= li m x* «-O1

E n to n c e s la ta n g e n te e n 0 es e l e je X p a r a a > I y e l e je Y p a r a 0 < a < I. G e n e ra liz a c ió n .

S i u y v s o n d o s fu n c io n e s , se p u e d e d e fin ir p a r a to d o x ta l q u e i/(x) > 0

la fu n c ió n / ( x ) = u (x ) * x> p o r u (x )* '» = S i u y v so n d e riv a b lc s , lo m is m o es ur , y su d e r iv a d a se o b tie n e d e la d e r iv a c ió n d e la s fu n c io n e s c o m p u e s ta s

( u 'T = (*’ * " ) ' = e " " - i r ' ln u +

PROBLEM AS R ESU ELTO S P r o b le m a

1 8 -1 ai

1 O

L* >■

«)

y - [ ln (x2 +

—

~ a V

,, h

I)]' = p

^ t

c ) y *• ln

x — a

x + a

(x * + I ) ' = - p y - ¡ - sobrc R

= — ^

= — tg x, sieos x /

(x + a * x + a) - l * + a ) n - ¡ r — •

1 8 -2

, , ,,

. Cl

H a l,c :

S o lu c ió n ,

b ) y = ln |c o s x | ;

I);

[ln |cos x |]’ —*cos

ln í * -

P r o b le m a

y = ln (x * +

S o lu c ió n .

H a lle la d e r iv a d a d e :

x 'T T

, Jx -

f * secJ x + s e c x tg x

b) .1.

sec x + i ¡ x

f * SCC2 x + sec x tg x . . . . . ,1* I -------- — -- * — J x =- ln sec x + tg x . Jsec x + tg x * |.

P r o b le m a « ) ln ( I ) = 0 ;

1 8 -3 h )

M u e s tr e q u e la

( ln x )’ =

d e g ru p o m u ltip lic a tiv o

l/ x , x >

fu n c ió n

lo g a r itm o

c ) ln ( x y ) =

ln x +

tie n e la s sig u ie n te s p ro p ie d a d e s : ln y . x > 0.

0 (is o m o rfis m o

R t en c l g r u p o a d it iv o R ).

L a parte u) es consecuencia de la definición. b) C o m o ln x es una integral indefinida de una función continua, aplicando cl primer teorema Tunda mental del cálculo se obtiene cl resultado. t ) E s consecuencia de la propiedad aditiva de la integral. E n efecto.

S o lu c ió n .

H a cie n d o la su stitu ció n u = l/ x

du - d/.'x. e n la ú ltim a in te g ra l se o b tie n e

F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L . L O G A R IT M IC A E H IP E R B O L IC A

231

S a i <t e R ! y considere la aplicación f ( x ) = ln (ax) dc R ! en R La derivada dc la función

Otra solución.

cs „ ■ -- = —. Entonces ln (ax) y ln x son dos prim itivas dc I x y. por consiguiente, existe una constante k tal que ln (ax) = ln x + k. P a ra determinar k. sea x - 1; entonces ln a - k. dc donde ln a x = ln x + ln a.

P r o b le m a S o lu c ió n .

1 8 -4

P ru e b e q u e ln (x / y ) = ln x — ln y.

S x.. y > 0. entonces ln x = ln | ~ - >•J = ln (x/y) + ln y , Sii x

P r o b le m a

1 8 -5

C a lc u le

ln 2 e m p le a n d o

ln (je/y) = ln x — ln y.

la defi

n ic ió n y el c o n c e p to d c su m a s s u p e rio re s e inferiores.

S o lu c ió n .

In 2 “

t . = 2 ¡ una

j ^ y •Sea / * = { ! = i 0. i ,

partición de [1 .2 ] en subintervalos iguales. Com o el integrando cs una (unción monótona decreciente tenemos que ,

- H

(

> ±

( - £

y. por tanto. (2 )

Com o aproximación inmediata se tiene que 1/2 £ ln 2 £ I. porque 1/2 £ I// £ I sobre [1 .2 ]. entonces (1/2X1) £ £

-y- £ (IK D . (V ea Fig. 18-6.)

Para fijar las ideas supongamos que P , es una partición dc [1 .2 ] cn 10 subintcrvalos iguales. Entonces Ar, =

para i = 1.2...... 10 y i, = 1 + M 0 "

=» P , = 11; l . l ; 1.2; 1.4; 1,5; 1.6; 1.7; 1.8; 1.9; 2 |. ( I ) y

(2) para P = P , son:

o . s ( | . , , ) . ( y + J r + ... + ^ . ) 1 L

141

)-(

+ ♦- f )

4 > . ) - '( H = "

I . I I 10

1 ,1 2 ■ Í0

(5)

I 20

Según (5) se puede aceptar a (3) o (4) como aproximantes dc ln 2. cometiendo un error de 1/20. Generalizando el procedimiento anterior a una partición P , de [1 .2 ] dividido cn 10* subintcrvalos iguales, i l0. - 2 \. y : entonces P * - { I - r0 (6)

Ar, = 10'* y t, = I + i - 10'*

s ( . ' -'*•)= % 7T7 - 1 . i + « - V t r » •To*-

i 1"-) I 10*

Se puede aceptar a (6) o (7) com o una aproximación de ln 2. cometiendo un error dc (0.5)10'*.

I "2

F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L . L O G A R IT M IC A E H IP E R B O L IC A

232

P r o b le m a

M u e s tre q u e p a r a lo d o h o m o m o rfis m o del g ru p o (G . x ) en el g ru p o |G '. + ) la fu n c ió n In x v e rific a la sig u ic n ie p r o p ie d a d : V</ e R * . V p e Z . In a p = p In a. I. Recurrencia sobre p. luí operación es verdadera para p ■> 0; si se supone que es verdadera para p. entonces:

S o lu c ió n .

In « ' ' 1 = In a ' + In a = p •In a + In u ■ (p + I ) In u L o cual demuestra que la propiedad se cumple para todo p e N. 2. Vamos a demostrar que la propiedad también se cumple para - p e N. S i ah - I •* In « + In b - 0. entonces In (l/a> — - In a . Si - p e N . por I : a* =

P r o b le m a

18 -7

** In u ' - - l n u p = p In tt L o cual demuestra la propiedad.

D e m u e s tre q u e lim ln x = f* < D

+ c c y lim In x = - c o . * ' O*

Sea fe 2 2 la base de un sistema de numeración. Para todo número real x sea n + I el número de cifras de la representación de x en la base fe. Entonces li’ s x r 1. Com o la función In x es creciente, se tiene que ln fe* á In x < In fe** \ y aplicando el Problem a 18-3. n •In b ¿ In x. Cuando x -* + x . Entonces n ■ln b -• + x (porque fe S 2 => fe > 0L L a desigualdad anterior muestra con más ra/ón que lim In x - + x . S i en esta relación se hace l/x - y. entonces cuando x — + x . y -• 0 *. Además. m •♦m In x = — ln y, lo cual muestra que lim In y = — x . i -0*

S o lu c ió n .

P r o b le m a S o lu c ió n .

1 8 -8

M u e s tre q u e la im ag en ln ( R T ) es R .

E n efecto, com o lim ln x = + x . entonces, para todo y 0 > 0. existe un x0 e R *

tal que

x > x0 => ln x > y 0. D e la misma manera, com o lim ln x ^ - x . para todo y 0 < 0 existe un x0 e R*. tal que 0 < x < x0 ■-0’ ln x < y 0. C o m o In x es un homeomorfismo de R ! sobre ln < R U el problema queda demostrado. L a función y — ln x es un homeomorfismo de R t sobre R y un isomorfismo del grupo m ultiplicativo de R ! sobre el grupo aditivo de R.

P r o b le m a S o lu c ió n .

1 8 -9

M u e s tre q u e si x -• + x , en to n ces ln x /x -• 0.

Sea x > I. Vam os a m ayorar la integral ln x - ^ ~ . E n efecto, com o l > I

1/í < l/ ./ T E n consecuencia, para x > I. 0 < f

—

entonces ü < ln x < 2(^/x - I ) < 2 j x , de donde 0 < ln derecha tiende a 0 y. por tanto, ln x/x -• 0 si x -• + X .

P r o b le m a S o lu c ió n . ces ( e

18 -10

< 1- Í - . Com o una primitiva de Ji

1/^7 es2yjt.

x/x < 2/y/x. Cuando x -* + x . la función de b

M u c s l r c q u e ( e * ) '= e 1.

Tenemos que la derivada de la función reciproca f ~ 1 está dada p o r (/ ‘ ')* =

Enton

- - a - J — r . C o m o la derivada de y ■ ln y es l/v. entonces — . = r*. (in ) o r (in> o (

P r o b le m a

18-11

M u e s tr e q u e : a ) l i m ,- 0

e* — 1 e* — =* I ; ó ) lim — = + s e ; c ) lim x e* = 0. X »-*!«. * *-*-*'

F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L . L O G A R IT M I C A E H I P E R B O L I C A

t* — I p * __ gf* lim — ■— — = l i m «'O x ,- o x

S o lu c ió n ,

g°

de f * e n x ■ 0 es I, entonces lim ------* »-o b)

que es la derivada de y = e“ para * - 0. y com o la derivada

« I.

S i x — + ce la expresión e'/x lom a la form a

si x - » t X , I -

233

Sea x = ln l => e" = t. Entonces eM/x = í/ln l y

+ x . de donde lim <r“ 1 * ln /) =* 0 .

e ) Si x — — x . la expresión x •e" lom a la forma - x •0. Sea e* — ( y * - - ® l = c* -• 0 * . de donde lim / •ln l = 0 ‘ . f-0•

P r o b le m a

1 8 -1 2

x *■ ln I. Entonces x •r* *» I ln t

S i u es u n a fu n c ió n d e r iv a b lc en lo d o in t e r v a lo d o n d e n o se a n u la ,

m u e stre q u e la fu n c ió n F ( x ) = ln |u (x )| e s d e r iv a b lc y su d e r iv a d a e s ~

C o m o se supone que u es derivablc. entonces es continua, y en dicho intervalo, com o no se anula, u es positiva o negativa. Supongamos que u(x) > 0. Entonces, por la regla de derivación en cadena, F"(x ) — (ln u)' •u'(x). S i u(x) < 0. sea — u<x) = i<x); entonces i<x) > 0 y |u(x)| = i<x). Entonces P ( x ) = (ln v)' •r'(x ) —

S o lu c ió n .

¿ [ -

w h

P r o b le m a

p m

1 8 -1 3

S e lla m a d e r iv a d a lo g a r ítm ic a d e u n a fu n c ió n u (x ) la r e la c ió n u / u . H a lle la d e r iv a d a d e la s sig u ie n te s fu n c io n e s : y = u (x )- i {x );

ü)

S o lu c ió n ,

y = I / ti;

Se a y = u(x) •i<x)

y = l/u •* ln y = - l n u

c),

. . . . i |scn x | | v/x} + 2 | ln |y| = ln { L

sen x

2x 2(xz + 2)

sen x v / x ^ j+ 2 y = — j=(3 - - ^ 7 T -

ln y * ln u(x) + ln r<x) ^

D JL m -------------~ 2iL +

<<*>

y -

u f x r ->

y / y = u/u + v/v.

y / y = -u/u.

ln |scn x| + y 5<-3x2) 3(3 - x 1)

=* / -(x ) =

ln (x 2 + 2) - - j ln |3 — x J |

<ln | y I)'

Sx2

eos X

'y ' = -y ) sen x

sen x J x 2 + 2 l c o s x , ~ “ (3 - x ' 5)” r ¡ senT + d) / (x ) «= m x) -

;

x1 +

, +3 - ^

5x2

|V<x) ln i*x) + .<x) ^

] = «H*)™’ [ r '( x ) ln u(x)

] = u c x r v < x ) in m x) + m x r “ - •u m

P r o b le m a

1 8 -1 4

M u e s tr e q u e to d o s lo s h o m o m o r íis m o s d e r iv a b le s d e l g r u p o m u ltip lic a

tiv o R * e n el g r u p o a d it iv o d e R son d e la fo r m a y = k ln x . c o n k e R . Sea / u n a de tales aplicaciones, es d e c ir,/e s derivablc y para todo a . x e R “../ (a x ) — J\a) + /(x). H aciendo a = x = I se obtiene que f [ I ) - 0. D erivando la función y • /(ax) tenemos que x / (u x ) ■ f ( a \ Remplazando en esta expresión a po r I y haciendo / ‘( I ) = k tenemos que x /'(x ) = k. Entonces J\ x ) es una prim itiva de k/x y además / ( I ) = 0. Po r consiguiente. f ( x ) = k In x.

S o lu c ió n .

F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L . L O G A R IT M IC A E H IP E R B O L IC A

P r o b l e m a 1 8 -1 S

M u c s ir c q u e p a r a c u a lq u ie r p a r d c n ú m e ro s re a le s n, /f e s tric ta m e n te

p o s itiv o s

b) lim x * |ln x | # - 0 : lim = 0; , -4 , * '-o* y b > I ) => lim | x\Mb ' = 0 . M• —

r ) ( a > 0 y h > I ) =» lim —T = x - . a , **

S o lu c ió n .

<j)

L a fu n ció n se puede e s c r ib ir :

In x = - - In u. C o m o — > 0. entonces lim u = + x . a a cuenta que lim • ••* b)

*« 0

lim { \

) x I

Com o y

*^/Í

• H a c ie n d o x * ' = u, entonces

Además ( \ = \ V ' )

(— \3

*n u ) u I

teniendo en

/>> I

=» In h > 0 y

- 0.

Sea x = I tu. Entonces lim u = + x y x * | In x |fl = «■a»-

Según u) se obtiene que lim )*n .... “

+ x , (a >

*=0

lim x* |ln x j* = 0. '-0'

m r 1* * . (eí )te*. si se hace e* = u se obtiene />*”

= u**. *

Para la primera implicación tenemos que u — r 1 »» — * = (|'n ¿p-- Com o lim u « + co. basta con aplicar la parte u>. *- •® P a ra la segunda implicación se tiene que u - c 1

|x|* />' — |ln u|* u * “. C o m o In b > 0 y lim u = 0

es suficiente aplicar la parte by

P r o b le m a

S o lu c ió n , bl

1 8 -1 6

H a l le :

lim a " = lim

lim a ' = lim ... Unxr

a ) lim a ‘ . 0 < a < I ; .. .

h ) lim . . . ( In x )

c ) lim x \ ,-<>•

C o m o In a < 0 se tiene que lim (x In a ) = - c o ;

-5 y

.-.

l i m r ’ *, ' = 0 .

cc.

lim x " = lim e * h *. C om o lim x In x = 0 . entonces lim x‘ = I. según h) del problema anterior, «•o* «.o* ..0 ‘ ••O'

P r o b le m a a)

1 8 -1 7 e =

Pru eb e que:

lim(1

X-*®

S o lu c ió n ,

u»

l/x)*;

b) e“ =

lim(1

+ a/xY\

lim

c ) In b = x {b l,x x~1: X-®

e » c x p (l) - expI lim x In ( I + l/ x )| = lim exp [x In ( I + l/ x )] = lim ( I L''*

+ l/x|‘ . por

x -m

ser continua la función exponencial. b)

e*= I l i m ( I +

I / X ) 'l J

= lim ( I + |/ x j “ * -*

l i m ( I + I ¡ x f M = l i m f l + a /y ) '. •< ** » •*

Si f l x ) = e*‘ =» /"(0) c b ; por tanto, lim — ----~ = b. Asi, lim x fe *' -

I ) = b. Entonces In/» =

= lim xf<*‘ " - I ) - lim x ( b '" - I).

P r o b l e m a 1 8 -1 8

Pru eb e q u e s i:

a ) f i x ) = j * /(/)</(, en to n ces / =

la s fu n cio n e s q u e sa tisfacen la re la c ió n / ’(/) = / ( / ) + J

f(t)d t.

0 ;

b) h a lle

todas

F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L . L O G A R IT M IC A E H IP E R B O L IC A

tí»

S o lu c ió n ,

C o m o /lx» = J

f i n di, entonces / es continua y por tanto. /*(x) = / lx ) y existe c tal

que / lx ) = ce*. Pero /(O) - 0 ** c - 0 : fe)

Se tiene que f " ( i ) = / ”(r);

A hora, ce1 - (u + ce') + I

P r o b le m a

1 8 -1 9

235

/ = 0.

/'(/) - ce* para algún c ; entonces / lí) = o + cer para algún tí.

la + ce1) df = a f ce* + tí + ce - c

tí - d i - e)/2.

E s decir.

x2 x" D e m u e s tre p o r re c u rre n c ia q u e 1 + x + -yy- + . . . +• -^-¡ < c * . V x £ 0.

Para n = 0 se tiene que I < c*. V x > 0. que es verdadera porque e ° = I. Suponga que la

S o lu c ió n .

x 1

desigualdad se verifica para n. Sea /(x) = I + x + -yy- + ... +

x '”

■» / lx ) = I + x + ... + fll- S e *

y /10) = e ° = I. Entonces /(x) <?<*■. tfx 2 0.

P r o b le m a

1 8 -2 0

M u e s tr e q u e lim * - »

3 - = ce e m p le a n d o la d e sig u a ld a d d e l p ro b le m a x

a n t e r io r y d esp u é s a p lic a n d o la re g la d c L 'H o s p it a l.

x“‘1

S o lu c ió n .

L'H o sp ital. lim «-* x

P r o b le m a

18-21

p a ra m o s tr a r q u e

S o lu c ió n ,

= lim — n t

j i 1- >

+ ? 't

X* \

y » -

)

P° r

lim —«. , . j n.

H a lle lo s m á x im o s y m ín im o s d c y = ln x/x. y e m p le e este resu lta d o e*.

x ln x y - ln x/x •* y « — *— j a

Ahora y

♦ ••+ J í f w

i _ i

= 0 -a- I - I " < = 0 ■> ln x = I =» x = e.

x ) ~ ( l ” ,n xí2x —x — 2 x(l — ln x ) — 1 — 2(1 — ln x) ---- ^ --------- ------------ i 4----------x3

— 3 -f 2 ln e - y -— —

-3+1 y —

-I = -p

- 3 + 2 ln x x5

<o.

P o r tanto, en x = e hay un máximo. Por tener / un máximo en r. entonces ln jt ln e > ---a e

P r o b le m a

/o0o/lx)

1 8 -2 2

, . , . e ln n > x ln e =* n ' > e*

p ru c b c q u e s i/ e s u n a fu n c ió n c o n tin u a y / ( x + y ) = / ( x ) / ( y ) . en to n ces

= [ / ( ! ) ] - . Vx.

Suponga que / / 0 . D c / ( x + 0) = / (x )- / (0 )^ / (0 ) = I . Entonces dc I —/ ( 0 ) —/ [ x + ( —x )J — = / (x )/ (- x ) se obtiene quc/(x> / 0. V x. C om o / lx ) = /lx/2 + x/2) - /(x/2)1 »■ / lx ) > 0. V x. Si n es un nú mero n a tu ra l entonces fin ) = / ( I + I + ... + I ) = /(!»*-

S o lu c ió n .

P r o b l e m a 1 8 -2 3

H a lle la v id a m e d ia d e l r a d io si se sabe q u e 0.5 °/ 0 se p ie rd e p o r ra d ia c ió n

en 12 a ñ o s . Sabemos que / (í) = he*, siendo /lr) la cantidad que queda al cabo dc / años. Entonces / H 2 ) = k - 0.005k =* 0.9951c = k e 'lk ^ e* = (0.995)” ' 2. E s decir. /(/) = (0.995)"12 •k. Si l representa la

S o lu c ió n .

vida media en años, se tiene k/2 = k(0,995f 1’ =» f = |n |q 9 9 $) = l 660 años.

236

F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L . L O G A R IT M IC A E H IP E R B O L IC A

P r o b l e m a 1 8 -2 4

Se tien en 10 g d e u n a su stan cia ra d ia c tiv a y a l c a b o d e u n a ñ o h a y 5 g. ¿ Q u e c a n tid a d q u e d a al c a b o d e d os añ o s?

S o lu c ió n . Sea f { i) la cantidad que hay en un tiempo l : estamos interesados f\2\ Com o la razón de descomposición es proporcional a la cantidad que queda, se tiene que /~(í| = kfti). Resolviendo esta ecuación para k e integrando ambos lados con respecto a l se obtiene ln/<») = k i + c. Como /(O) =. 10.entonces ln 10 » c. P o r tanto. ln /(f) - ki + ln 10 o ln

= ki. Com o / Jl| = 5. remplazando enla ecuación ante

rior se obtiene ln - ¡y = k Entonces f{2 ) = 10

em a

I o k = ln 1 . ln ¿j-jj

- t

ln ~

o /(O - 10e' 8 - 10c

= 10/4 * 5/2 g.

j ^

jc y d c c n fr ja m ic n lo <je N c w to n d ice q u e la razón d e c a m b io d e la

te m p e ra tu ra d e u n cu e rp o (in m ó v il) es p ro p o rc io n a l a la d ife re n c ia entre su te m p e ra tu ra y la d el m ed io q u e lo rodea. S i / (/) y A [t ) representan la te m p e ra tu ra del cu e rp o y c l m e d io q u e lo ro d e a , resp ectivam en te, entonces la le y d e N e w to n s e esc rib e : / '( 0 » k \ J U ) - A U ) ]

(1)

S u p o n g a q u e u n a b a rra d e m e ta l se sum erge en u n recip iente c o n agua c u y a tem p eratu ra se c o n se rv a co n sta n te a 2 0 ° C . S u tem p era tu ra c a m b ia d e 50 a 4 0 ' C en 2 m in u to s. H a lle la te m p e ra tu ra a l c a b o d e 6 m inutos. 20. y se quiere hallar f i 6). Resolviendo ( I ) para k c integrando se S o l u c i ó n . /(0) = 50, f[2 ) — 40. A U ) encuentra que ln [/ (f) - 20] = kt + c Se halla que c = ln 30. Asi, ln [/ (í) - 20] = ki + ln 30 o ln - ^ o

J \ t )

20 = kl. Remplazando f [ 2) = 40 en ( I ) se obtiene * = y ln y . entonces ln = 3 0*^)

! + 20. C o m o r ^

f l t )

’ •

— y j - — = 4 ln T

. tenemos que °C

- 30 ( y ) " * + 20 y /T6) - 30 ( y )* + 20 - ^

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S 1.

Verifique que: a) (ln1 uY = 2 ln u/u, u > 0 ; = In c. u > 0 ; d) D , ln scc x = tg x ; v n i ri „ ) P ,ln [ln (ln D ]=

I h fl.^ i

b) D ,[ln (s + 2 )] = - y ^ y , s >

2 ; c)

D,(u ln n - r ) «

e) D, ln(cosec( — cotgf) = cosccf; / ) D , ln tg x = tg x + colgx; *)

Lt n ■

008 x — I

x sen *

Verifique que:

01 D ,í , T - f - * - " :

« A

Calcule:

M £ " '* * • '< 1

Aplique el teorema de acotación para integrales definidas (Problema 2-13)y verifique que:

al £

x < x

lim — fc-o

+^ n

| I

— I s ix > l;

r í - S

b) si x

=> I + h,

f — £

T ln T

entonces y +" y

ln (I

a) l - l / x <

-f h) < h, y,

- I. Relacione este resultado con la derivada de ln x en I.

po r tanto.

F U N C I O N E S E X P O N E N C I A L . L O G A R IT M I C A E H I P E R B O L I C A

237

Suponga que / es una función definida en R — { 0 } la l que fia b ) = f ia ) + fib ), para todo ti, fr e R. Muestre q u e: a ) f i 1) - 0 ; b) f i a ~ l ) - - f ia )', c) f i t f ) = rfia).

Suponga q u e / es una función aditiva, es decir, q u e / (u + b) - /(a) + fib ). Muestre que: a ) / I0 ) ~ 0. / ( - I ) = - .f ll) y fin ) = n f[ 1). para todo n entero. b) fiM n ) = 1/fl/ll). para todo n * 0 . c) fim/n ) - m fil/ n ) = m/nfi I). m y n entero y n * 0. ti) /Cx) continua sobre R im plica que f i x ) - / ( I)*.

Si 1/2 < I n 2 < I muestre que:

M uestre q u e :

Resuelva para fix ), teniendo en cuenta que ln u - 0 »

1 < In 4 < 2;

a ) 2 ln v 'x7 — í = ln (x + I ) + ln (x — I ) si x >

+ ln (x - I ) + ln (x * + I ) s i x > I ;

a ) ln / (x ) = ln x 2 - ln (x b)

c) 10.

b) n/2 < ln 2" < n ;

- 100 < ln 2 “ 100 < -50.

I ;h) ln (x4 — 1) = ln (x +

ln a 2 = 2 ln |a| si a f 0 .

c) ln V/Tai < ln |a| si |a| > I ;

1) +

u = I:

1) + 3 ln (x J + 1). para x > I.

ln f i x ) «■ ln sen x — ln eos x + ln c, x e

j 0,

J. c > 0.

ln f i x ) = ln 0<x). gix) > 0.

Verifique las siguientes identidades: a)

ln (x + y jx 1 + 1) = - l n ( v/xI _ +-í - x).

ln |

^ *n sen * — ln x — ln (1 + cos x).

11.

Resuelva para x : a ) x = ln (ln " 1 2 *): b) ln ' 1 (ln 2 - ln 3) = l n " ' x ; c) ln ~ '0 / ln 1 x « l n “ ' 3 ; d) ln ln - 1 x - ln " 1ln I ; e) ln l n " '( x 1 + 2x - 2) = 5; f ) ln f i n " 1(sen 2 x )J = 1/2.

12.

Em pleando c * ‘ — x sobre ] 0 . + c o [ y cl álgebra de los logaritmos muestre que: = ± ;

b) ( t > J )I = 9 ;

c ) e J ^ 5" J * J -

;

d) e " '2" ” * = |a|.

13. Calcule la derivada de las siguientes funciones en los puntos donde exista: a ) y = eos <i*; h) y - l n a " ' ;

c ) y = x *(l + ln x );

d) y - x ' * ;

14.

ffc i f* » M uestre que I tf d t — l e í e* dr = ó — a. J* . J» . ¡

15.

H a lle la derivada, donde exista, de las siguientes funciones: y = lg . x J ; b) y - Ig n e o s x | ; c) y - a1* "* ; d) y = x * 3 "; «-) y = I g j d - s e n x ); j ) y » 2 ’ ';

y - ln ln x ;

y = ln J x * + a1.

a ) / - 3 x " 1 Ig . e ; b) y ’ - - i g x l g ^ e ;

*» * -

'*• ^

>" - i * ' 2 "

Resuelva las siguientes ecuaciones:

c) y - ln a eos e * " * : «> *

, i~ -

H alle

Resp.:

Kesp. :

las siguientes integrales:

a ) 3**/2 ln 3 ;

+ 2 x - y e - J' ;

a) J 3 ’ ' d x ;

2^/(1 + In 2 );

-g- ln (3 + 2e41) ;

ó)

b) J V * d x ;

S ~ "*/1 n S ;

d) y <= (2x + x 2 ln 3)3’ ;

*» / “

a) ln (1 + x ) - ln (1 - x) = 1:

- ln J x * + I = 0. 17.

y = 2 ' + 2 ?\

R esp.:

16.

e) y - (eos x)” " * ;

b) ln yjx + I + ln ( I — x ) —

;

c) j* c o s 5 '4n‘ d x ;

d )2 e '\

ó) 0 ; I - v/2

d) J V

ln (1 + e*); f )

’ x " 1/1 d x ;

j f 1' +

j x 1.

di — ; x > 0.

b) Sea / (x ) » ln [(1 + x)/(l — x )J si x > 0. S i a y ó son números dados con ab * — 1 halle todos los x tales que / (x ) - f i a ) + fib ). Resp.: a ) 1; b) (ti + /»)/(! + ah)

19.

Si x > 0. sea / (x ) — x - 1 - In x .^ (x ) - ln x — l + l/x. Estudie los signos d e f I — l/x < ln x < x — I. si x > 0. x * I.

y g‘ para mostrar que

238

F U N C IO N E S E X P O N E N C I A L . L O G A R IT M IC A E H IP E R B O L IC A

20.

Muestre que lim .-o

21.

Determine las constantes a y b tales que r* • b ♦ J** r* di.

22.

Emplee derivación logarítmica para hallar las derivadas de las siguientes funciones: + « '* + a*‘ ; Resp.:

y -

- = 1. empleando d eycrocio anterior, y la definición de [ln (1)1

fe) y - x ’* ;

y = a*x " ' +

c) y -

;

Resp.:

b - e*. a arbitrario

a) y • x^ ■ f

d) y - (sen x f ' + feos x f ma.

a x ' ' ' a ‘‘ ln a + a*a*‘ (ln a)1 ;

^ l í i r r - [x - 2(ln x>* + x ln x ln(ln x )]¡

fe) y' = x’ x ’* y - (sen x )1

+ ln x + (lnx)1 J ; [cotg1 x - ln(scn

_______

- (eos x )' ’ * * ■[tg3 x - ln (eos x)J.

______

23.

Determine x definido por: 2 ln x - ln 2 + ln<2 + ^ 2 ) + ln ( 2 + J / 2 + ^ 2 ) + ln ( 2 - ln

24.

Muestre que

25.

Resuelva en R las ecuaciones

Resp.:

ln (3 + 2^/2) - ^

x )J -

x - 2

ln (^ 2 - I ) ♦ 4 ln { J l *■ I). ln(1S0 - 2Sx - x*) - 3 ln (5 - x ); ln (x1 - I ) - ln (x - 2) ♦ ln (x - 3).

a )

fe) 24.

Resuelva en R el sistema { ¡ J ^

J " ^

. ,

27.

Muestre que Ig, 7 - Ig, 7 + Ig , 7 • Ig, 7 ♦ Ig, 7• Ig, 7

28.

Resuelva en R la desigualdad Ig, x > Ig, (3x - 2).

' ±‘ 1

27.

Resuelva en R el sistema:

30.

¿Para qué valores reales de a tiene la siguiente ecuación soluciones 2 '* " ***4 = a?

a ) xy - 2 5 4 . fe) 7 (Ig, x ♦ Ig, y ) - 50.

31. Resuelva en R las siguientes ecuaciones: a ) x" - («/í)* *1 ;

fe) x ' ’ » f^/x)*;

c) 2“ "* * - eos x.

32. Resuelva en R d sistema o* = y* y o * * 1 - y** '. 33. Muestre que para todo x > 0 log x S x/e. 34. Muestre que para x > - 1. — ~ 35.

< ln ( I * x) S

Muestre que para todo par de números a y fe tales que 0 < fe í a se tiene que

|nT á_ _a _* _b

o —b , , _ a

34.

Compare cuando « -• -c las funciones definidas po r: x — a " (a > 1) y * -• x* x-x** y x -• ln ( x f y x- x x - (x*)’

37.

Determine la forma general de las aplicaciones continuas de R en R * — { 0 } que verifican la relación

/(AT¿ ) " 38.

Si n c N.determine la forma general de las aplicaciones continuas de R * en R ' que verifican la relación flx ) + /fy) = /t(x * + /)•'*]. fe) Determine la forma general de las aplicaciones continuas de R * en R * — { 0 } que verifican la re lación /(x|/<y) = /t(x- + y ) 1'"].

37.

Se consideran las funciones/ , . / , ...... / , definidas de la siguiente manera:

/,<x) - x. /|(x ) - x*. / ,(x ) - x 1*

40.

f j x ) - x 1*

Determine d limite de cada una de las funciones cuando x -• 0

fe)

Muestre por recurrencia que lim

”

I y que b n

= •• 0> £ U

Se considera la ecuación a \ * a ¡ * . . . * f l ¡ - n 1. " ( N . y k « a , números reales positivos e inferiores a n. y ordenados como sigue: a , ¿ a , £ ... i a,, a ) Muestre que la ecuación tiene una ral/ única x, positiva, fe) S i n -• + <x>. entonces x , - 0 y x. ln n -• ln p.

« P .T U .O

Q £ )

F u n c io n e s h ip e r b ó lic a s D efin ició n .

S e l la m a s e n o h i p e r b ó l i c o y s e e s c r i b e x — s e n h x la f u n c ió n d e f in id a p o r

. e* — e ~ * s e n h x — ------- ^ ------D c la m is m a m a n e r a s e d e f in e n la s f u n c io n e s c o s e n o h i p e r b ó l i c o , t a n g e n t e h i p e r b ó l i c a y c o t a n g e n t e h i p e r b ó l i c a d e f in i d a s p o r . co sh x =

e* + e ~ M = ; tg h x -

D c l a d e f in ic ió n s e d e d u c e q u e s e n h 0 - 0 .

e* + e ~ *

e~a . — — ; c o tg h x

r* -

co sh 0 = I, tg h 0 - 0 .

sen h ( - x ) =

- s e n h x.

c o s h ( - x ) = c o s h x. S e l l a m a n f u n c io n e s h i p e r b ó l i c a s p o r q u e s e p u e d e n d e s c r i b i r c o m o l a s p r o y e c c io n e s , s e g ú n c l e je X y c l e je Y. d c l o s p u n t o s s o b r e u n a h ip é r b o la . (V e a F ig . 19-1.) S u s p ro p ie d a d e s a lg e b ra ic a s so n a n á lo g a s a l a s d c l a s f u n c io n e s t r i g o n o m é t r i c a s . P o r e je m p lo , d c l a s d e f in i c i o n e s r e s u l t a q u e c o s h x + s e n h x — r ‘. c o s h x - s e n h x = e ~ M, y m u lt i p l i c á n d o l a s o b t i e n e c o s h 2 x - s e n h 2 x « I , e tc .

se F ig u r a 19-1

PROBLEM AS R ES U ELTO S P r o b l e m a 1 9 -1

D e m u e s t r e la s s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s :

a) c o sh 2 x + se n h 2 x — c o sh 2 x ;

h ) c o s h (x ± >•)= c o s h x c o s h y ± s e n h x s e n h >•; c ) s e n h ( x + >•)- s e n h x c o s h y ± e o s x s e n h y ; J) se n h 2 x = 2 senh x c o s h ;

Solución, i» =

a )

e ) ( c o s h x + s e n h x)* = c o s h n x + s e n h n x .

cosh*x +senh2x=

c os h ( x + y, -

- J* ♦ .

coshx coshy + senhx senh y. cl. J) y cK vcrifiqucbv 239

f J* - — +^

~ S

+ «

-^ - =

cosh2x. .

F U N C I O N E S H IP E R B O L IC A S

240

P r o b l e m a .1 9 -2 a)

M u e s tr e q u e la s d e riv a d a s d c la s fu n cio n e s h ip e rb ó lic a s e stá n d a d a s p o r :

(co s h x )' = sen h x ;

h ) (co s h x )’ = scnh x ;

= - c o s e c h x c o tg h x ;

a) (senhx)' =|——^ —| = ^

S o lu c ió n , w

(

c ) (sech x )’ = - sech x ig h x ;

e ) (tg h x )' = sech 2 x ; / ) (co tg h x )' -

d ) (co sech x ) ' =

- c o s e c h 2 x.

— —cosh x\

senh x.

C). d). e) y / ). verifiq uctos.

P r o b le m a

S o lu c ió n .

o (r1)2

H a lle j * ' tg h x dx.

C o m o tgh x =

P r o b le m a S o lu c ió n ,

19-3

1 9 -4

R e s u e lv a c o sh x = 2 p a r a x.

cosh x = 2 o

_ 4 r, + l=

- j í e " + e~ ‘ ) - 2 ~

0 ~ e , =

P r o b l e m a 1 9 -5 S o lu c ió n ,

entonces

y ( 4 ± J\ 2 ) o

e* + e M - 4 ~ e 2* + 1 = 4 S o e 2' - 4 ^ + I = 0 ~ x =

ln(2 ±

D é lo s g rafo s d e la s fu n cio n es h ip e rb ó lic a s y an a líc e la s.

cosh x tiene las siguientes propiedades:

minio. [ I . + c o [ . porque cosh 0 -

ti) es positivo;

I . cosh x > 1 y c o s h x 2 y f > * ;

b) su dom inio es R ; d) es

una

función

c) su codopar

porque

e~ ‘ + *-<-*» - c ’ + e~ ‘ . es decir, su grafo es simétrico con relación al eje Y ; e ) (cosh x)" - cosh x > 0 en R y. por tanto, su grafo es cóncavo hacia arrib a; f ) (0 .1) es el punto m ínimo del grafo porque cosh 0 = l y (cosh x f - O e n x - 0 y (cosh x)" > 0 sobre R. Los demás casos se dejan al lector. Vea las Figuras 19-2 y 19-3.

F ig u r a

19-2

F ig u r a

19-3

241

F U N C I O N E S H IP E R B O L IC A S

F u n c i o n e s r e c i p r o c a s d e la s f u n c i o n e s c i r c u l a r e s e h i p e r b ó l i c a s P a r a d e fin ir la fu n c ió n re c ip ro c a d e u n a fu n c ió n c ir c u la r es n e c e s a rio c o n s id e ra r d ic h a fu n ció n so b re u n in te rv a lo d o n d e sea c o n tin u a y m o n ó to n a .

F u n c ió n a r c o seno.

L a f u n c ió n / d e f in id a so b re

la m e n te m o n ó to n a c re cien te . y / | | —

£— y , - y j p o r y —* sen y e s c o n tin u a , estnc-

"y ])

= [ — 1 .1 ]. E s d ecir, es u n a b iy e cc ió n y. po r

ta n to , tie n e u n a re c ip ro c a q u e se escrib e y = a r c sen x.

n - n ~ ~2 y ~2

y = a r c sen x

x = sen y

L a fu n c ió n g (x ) = a r c sen x e stá d e fin id a so b re el seg m en to [ - 1 .1 ], m o n ó to n a c re cie n te , y $ ( [ - 1 , 1 ]) =

F u n c ió n a r c o coseno.

[ -

esc o n tin u a , estrictam e n te

-y, — ] .

L a f u n c ió n / d e fin id a so b re [ 0 . x ] p o r y

eos y e s c o n tin u a , estrictam en te

m o n ó to n a c re cie n te , y / {[ 0 ,7 i] ) - [ - 1 . 1 ] . E s d e c ir, es u n a b iy e c c ió n . y la fu n c ió n re c íp ro c a se rep resen ta p o r g fx ) = a r c eos x. O íy O r a re eos x x = eos y L a fu n c ió n g [x ) = a re c o s x se d efin e so b re el seg m en to [ — 1 .1]. es c o n tin u a , e s tric ta m e n te decrecien te, y 0< [ - l . l ] ) = [ 0 . x ] .

F U N C I O N E S H IP E R B O L IC A S

242

F ig u ra 19-6

Fu n ció n a r c o tangente.

F ig u ra 19-7

fu n ció n / , d e fin id a cn e l in te rv a lo a b ie rto

y — tg y, cs c o n tin u a , estrictam ente m o n ó to n a crecien te, y / | J -

= + cc y

lim f ( y ) = n*

y . y

— ^

[ po r

£ j = R . lim f [ y ) =

- c o . C o m o es u n a b iye cc ió n . se puede d efin ir la función re c ip ro c a g

q u e se escribe g {x ) = a r e tg x.

~ - 2 < y < i

y = a re ig x

x = tg y

L a fu n ció n g (x ) = a re tg x se define so b re R y sus v a lo re s están en

y , y^

| . es c o n tin u a .

estrictam ente m o n ó to n a creciente, y lim a r e tg x = — , lim a re tg x = — tt >-*•>~ i - - (H ¿ Fu n ció n a r c o cotangente.

I-a fu n ció n / d e fin id a e n el in te rv a lo ] 0 , n [ p o r y - * c o tg y cs c o n tin u a

estrictam ente m o n ó to n a decreciente, y / l ] 0 . n [ ) = R . P o r tan to, b iy c c tiv a . S u fu n ció n recip ro ca se escribe y = a re c o tg x. 0 < y < n x = c o tg y

y = a re c o tg x

L a fu n ció n g (x ) = a r e c o tg x se define sobre R y tiene sus va lo res en ] 0 ,r r [, es c o n tin u a , e stric tam en te m o n ó to n a creciente, y lim a re c o tg x = 0, lim a re c o tg x = n.

F U N C I O N E S H IP E R B O L IC A S

243

PROBLEM AS R ESU ELTO S P r o b le m a

19-6

Sea A u n su b c o n ju n to d e R y / una fu n c ió n estrictam en te m o n ó to n a

d e A e n R . en to n ce s/ es in y c c liv a .

S o lu c ió n .

E n efecto, como en R d orden estricto es total. X # X' => ( x < x' o x ' < X)

S i / es estrictamente creciente. x<x:

f l x ) < flx )

flx ) * f l x ’)

La demostración para el caso en que / es decreciente es consecuencia del resultado anterior remplazando / p o r -/. Consecuencia: S i / e s estrictamente monótona de A en R. cntonccs/cs una biyección de A sobre f l A ) = B. La función reciproca f ~ l existe: [ x e A y y = f lx ) ]

Además, f ~ 1

[ * = / * '( y ) y y 6 B ]

esestrictamente monótona sobre B.

P r o b l e m a 1 9 -7

. .

r a r a to d a lu n c io n J c o n tin u a y e s tric ta m e n te c o n tin u a so b re u n c o n

ju n t o / d e reales, la fu n ció n re c ip ro c a f ~ l es c o n tin u a s o b re / ( / ) y e s tric ta m e n te m o n ó to n a. S o lu c ió n . Suponga que / es estrictamente creciente y sea ]a , b [ un intervalo abierto de /. Entonces a < x < fe =» f ia ) < f l x ) < /(fe). Com o / e s continua, la imagen del intervalo cerrado (u . fe] es un intervalo cerrado (vea el Problema 1-43); y por ser / creciente, es d intervalo cerrado [fia ). flb )]. Como existe en [n. fe] un único punto o de imagen H a ) por ser / inyccliva (lo mismo se puede decir para fe), entonces la imagen del intervalo abierto ]u . fe[ es el intervalo abierto ]/(ü). L a función 1 es continua en todo punto puesto que a todo intervalo abierto ]u. fe[ que contiene a / " '(y), c incluido en /. Ic corresponde un intervalo abierto ]/(a). /(fe)[. que con tiene a y y cuya imagen por / " 1 es ]u, fe[.

/(fe)[.

P r o b le m a m o rfism o s i :

19-8

D e fin ic ió n .

y e/(/),

U n a a p lic a c ió n / d e u n in te rv a lo / en R se lla m a homeo-

a ) f es u n a b iye cc ió n . y b ) f y / " 1 son co n tin u a s. M u e s tre q u e si / es un homeo-

m o rfism o so b re un in te rv a lo /. en to n ces / es estrictam en te m o n ó to n a s o b re /. S o l u c i ó n . Sean o. fe e / tales que a < fe. Suponga que /(a) < /(fe). Vam os a mostrar que a < x < fe ^ - fia ) < f l x ) < flb). Com o / es inyeetiva, no se tiene que flx ) = fia ) ni flx ) = /(fe). Tam poco puede suceder que f l x ) < fia ) m flx ) > /(fe), porque si f l x ) < f ia ) < flb ) existiría un y 6 ]x , fe[ tal que f l y ) = fia), lo cual es contrario al hecho de que / es inyccliva para y * a. Esto demuestra la implicación anterior. Cam biando los papeles de a y de x en lo que precede, se halla que (x e / y x < a < fe)

f l x ) < f ia ) < flb )

D e la misma manera, cambiando los papeles de fe y x, se halla que (x 6 / y a < b < x)

=* f ia ) < flb ) < flx )

E n consecuencia, / es estrictamente creciente sobre /. L a demostración para el caso en que / decreciente es análoga.

esestrictamente

244

F U N C IO N E S H IP E R B O L IC A S

P r o b l e m a 1 9 -9

M u e s tre q u e las funcion es sen x es estrictam en te creciente e n £ — ^

eos x es estrictam ente d ecrecien te en [0 . n ] ; tg x es estrictam ente creciente en

] -

’ [:

co tg x es estrictam ente d ecrecien te e n ]0 , n [. E n efecto, — |

S o lu c ió n .

S t < »' S y

— í- <

y —

< y =» 0 < — y ~

la fórmula dc transformación sen x - sen x ■ 2 sen - ■^ * - eos

se obtiene que sen x' — sen x > 0. de donde - y estrictamente creciente en £—

^ y -Aplicando

y teniendo en cuenta que

S x < x’ 5 y

sen x < sen x'. Po r tanto, sen x es

j . Los demás casos se dejan al lector.

P r o b l e m a 1 9 -1 0 | S i f c $ d e r¡v a b le en , y f {x ) > 0 ( o y-(x ) < 0) p a ra , o d o x e /t entonces f - 1 e s d e riv a b le e n / ( / ) y ( / " ' ) ’ - J T ^ T

s o b re / (/ ).

Si / e s creciente (o decreciente) sobre /. según cl Problema 19*7. / " 1es creciente (o decreciente» Sea y0 6 /(/) y x0 = / ' '(y0). Para cada k tal que y 0 + k G /(/» defina H k ) - / ' '(y ■»• *) - f ~ '(y0) Como / ' 1es creciente (o decreciente), k * 0, entonces h(lc) * 0. Ahora f ~ '(y 0 + k) - h(k) + / '(yo) “ a h(k) + x0 y y 0 + k « f[x 0) + W *). entonces

S o lu c ió n .

¡m / - ' ( n - w - r - w lim «. *^

,¡ra m . nra_■ t - ...... á-n ^ i-o *l » - 0 «v h(i¿)

4 .0

L. K m

_ _ J . .

4-0 W

)

4-0

mK)

si cl limite del denominador existe y no es cero. Aplicando el teorema del límite dc una función compuesta y f ~ l continua en y 0 y. por hipótesis, f ‘(x0) * 0. como lim Ji(fc) = üm / _ , (y0 ♦ * ) - f~'(y<>) ■ 0 P ° r entonces

',-Vo)1 “

P r o b l e m a 19-11

lim/ t ( L ± ^ j

= 7 T r Ti y ¡ j I = I r » / ^ ) ^ )

H a lle / p a r a la s siguientes fu n cio n es:

a ) / ( x ) = (x -

S o lu c ió n ,

= 7 W

-J S xA

I)J ;

- x 2. x £ 0

6 > /(x ) =

— X 3, x < 0 ’

a) / ‘ ‘(x ) ■ x ,/3 + 1. Si y - / ' '(x) ** x » f[y ) - (y - l ) 3;

/ - ■<«> = ¡ ¡

si , = r

'< » -

. . a h - 1 r

+ y = 1 + x 1'3. y v i 2

Com o —y 2 < 0 si y £ 0 y 1 - y 3 > I si y < 0. se tiene y = ( - x ) 1'2 para x S 0 y y =■ (I - x)1'3 x > I.

Si y - / - '(x ) » Asi

x - f ly ) - y + [ y ] = y + n: para n £ y < n + I.

2ns x<2n+1y y - x- n- x- j y

F U N C I O N E S H IP E R B O L IC A S

M u e s tre

P r o b l e m a 1 9 -1 2

245

fu n c ió n y = a r e sen x cs d c riv a b lc c n

[- 1 . I]

D . are sen x — — - J v I - X

S o lu c ió n .

Sabemos que /|y) — sen > cs un homeomorfismo de j -

j •" J

reciproca y — are sen x es un homeomorfismo dc [ — 1.1] sobre valo

J—

y .

la función eos x

y la función sen x

J 'of'rc [ — 1.1}- L a aplicación

* 1 . Si nos restringimos al inter

no se anulan a i dicho intervalo y entonces podemos

aplicar el Problema 19-10; are sen * es dcrivablc cn l - l . l [ y (arco en x l' -

J _

Queda por estudiar la compuesta eos o are sen x cn J - 1.1[. Sabemos que y Entonces eos • are sen x - eos y. Com o eos2 y « I - sen2 y - I - x 2 y x

are sen x implica x = sen y.

c J-

y ,y

eos y > 0 . se

tiene que eos o are sen x • ^ 1 - x s. Entonces D , are sen x

P r o b l e m a 1 9 -1 3

I j n r p

L a fu n ció n y = a r e e o s x es d c riv a b lc c n ] — I . I [ y

D , a re e o s x = — — v * “

-— —. x

S o lu c ió n , eos y es un homeomorfismo de [0. x J sobre [ — 1.1 J. y su reciproca are eos x un homeomorfismo de [ - 1.1] sobre [0 . x|. Si nos restringimos al intervalo JO. it[. la derivada ven x dc eos x no se anula en dicho intervalo; are eos x csdcrivublc cn [ — 1. I j y. además. (a rc c o s x )’ -

* eos’ o are eos

* sen o are eos

Sabemos que para todo x d ] - 1.1[ se tiene que y = are eos x «• x - eos >. Entonces sen » are eos x sen y > 0 ; por tanto. = sen y. C o m o sen2 y - I - eos2 y - I - x2 y x e ]0. x[ sen o are eos x = . / 1 — x

P r o b l e m a 1 9 -1 4

S o lu c ió n .

1.a fu n c ió n a r e tg x c s d c riv a b lc c n R y D a re tg x - - j ~

tg y es un homeomorfismo dc J — y . y

p -

£ sobre R . y su reciproca are tg x es un homeomor-

fismo de R sobre j - - y , y í . En dicho intervalo la derivada de la función tangente no ve anula, entonces, según el Problem a 19-10. cs dcrivablc y |,rc tgl -

o arc —

= (| + lgi , a a r c | ,

Com o para todo x ( R . ( I + tg2) o are tg x = I + (tg » are tg x)2 - I + x2. Entonces

“ rc,“ ' - T T 7

246

F U N C I O N E S H IP E R B O L IC A S

P r o b l e m a 1 9 -1 5

- I La funciónarccotgx esderivable en Ry (arccotgx)' =- + ~xy

S o lu c ió n . L a aplicación arc cotg x es un homcomorfismo dc R sobre ]0. n[. E n dicho intervalo, la deri vada dc la fundón cotangente no se anula; entonces arc cotg x es derivable en R y (arc cotg X)’ -

(co(g jy . „ arc cotg X = ( I + co tg ' x ) \ are cotg x

C o m o ( I + cotgJ x) o are cotg x = 1 + (cotg x o arc cotg x)1 = I + x*. entonces (arc cotg x)' =

-I I

R e c í p r o c a s d e la s f u n c i o n e s h i p e r b ó l i c a s P r o b l e m a 1 9 -1 6

Defina y estudie la reciproca de la función seno hiperbólico.

S o lu c ió n . L a aplicadón senh y es un homeomorfismo estrictamente crcdcntc dc R sobre R ; la aplicación reciproca tiene las mismas propiedades. D efin ició n

L a aplicación reciproca de senh y se llam a argumento seno hiperbólico y se escribe arg senh x. x, y e R

x = senh y

y & arg senh x

Su grafo se deduce a partir d d grafo dc senh x por simetría con respecto a la bisectriz y - x.

Grafo.

*-r _ ■ da (arg senh x)' = --- ¡— ,— f o f 1 6 senh x’ • arg senh x Vamos a calcular cosh y con y - arg senh x. Derivada.

L a fórmula ( / "

y - arg senh x =» senh y = x

cosh* y — 1 + x 2 •»

cosh y ■ yf\

= --- ,---- *----- ¡— . cosh x «arg senh x

+ x J . porquepara todo y e R,

- . cosh y > 0. Entonces (arg senh x)‘ = — V I + x3 Ñ ola.

Se puede expresar arg senh x con la ayuda de la función logarítmica. E n efecto, y * arg senh x

=* (senh y = x y cosh y ■ y / T + x 7).P o r consiguiente, e’ = cosh y + senh y arg senh x = ln (x + y j l + x ').

= x +V 1 +

donde

F U N C I O N E S H IP E R B O L I C A S

| P r o b le m a

p eg n a y

247

^ rc c ip r0c a d e la fu n ció n c o se n o h ip e rb ó lic o .

S o lu c ió n . L a aplicación continua co sh )' no es monótona en R . Su restricción a R * es estrictamente creciente; dicha restricción es un homcomorlismo de R ’ sobre [ I . ■+* [ . Definición. 1.a aplicación reciproca de la restricción de cosh y a R * se llama argumento coseno hiperbólico y se escribe arg cosh x. y e R*

x - cosh y

y « arg cosh x

s 2 I

Grafo. 1a Figura 19*8 muestra c l grató de arg cosh x. que se deduce a partir d d grafo de cosh x por simetría con respecto a la bisectriz y = x, x e R ‘ .

Dr,'íada L* ,4,mula ( r '1' - y - W y m arg cosh x y 2 0 Nota.

cosh y »

x •

senh y i O

da "• ‘° 'h' “

senh1 y — x 1 — I. L a ral/ existe si x ¿ I. *

senh y — ♦

y/x *

- I . entonces (arg cosh x f

---!— — \ ' I

Se puede expresar arg cosh x con la ayuda del logaritmo. y = arg cosh x *» (cosh y - x y senh y - y/x3 — I)

Entonces r* — cosh y + senh y = x + *Jx ‘ - 1. de donde arg cosh x - ln (x + v/xT -~1).

P r o b l e m a 1 9 -1 8

D e fin a y estudie la re c ip ro c a d e la fu n c ió n la n g c n lc h ip erb ó lica.

Solución. L a aplicación continua tgh y es estrictamente creciente sobre R : por tan ta es un homeomorfismo de R sobre ] — I . If. l a aplicación reciproca de tgh y se llama argumento tangente hiperbólica y se escribe arg tgh x.

Definición.

ye R

x «= tgh y

y - arg tgh x

(x e ]- l.l[)

L a aplicación arg tgh x es un homcomorfismo cstnetamente creciente de ] — I . I f sobre R . Grafo.

Su grafo se deduce a partir del de tgh x por simetría con respecto a la bisectriz y — x.

( r ' r - r 'l ^ 41 '*," * h*r - ijm friiih -x p .

Entonces V x e J - 1.1[, (arg tgh x)’ -

Nota. Se puede expresar tgh x por medio de un logaritmo. E n efecto, y = arg tgh x «*

x - tgh y -

** - T - T

D e donde V x e 1 - 1.1[. arg tgh x -

^ ln ~

X -

F U N C IO N E S H IP E R B O L IC A S

P r o b l e m a 19-19.

D e fin a y estudie la

c cíp ro c a de la (unción co tan g ente hiperbólica.

L a función continua colgh y es estrictamente decreciente en los intervalos J - x . 0( y ]0. +oc[. donde se define l a restricción a R ' es un homcomorftsmo de R * sobre J - x . - 1[ y su restricción a R ! es también un homcomorfismo de R ! sobre J l . + x f .

S o lu c ió n .

Definición. L a aplicación reciproca de colgh y se llama argumento cotangente hiperbólica y se escribe arg colgh t Arg colgh * es un homeomorfismo de J — x . — l { vz J l . + * [ sobre R* Grafo. E l grafo de arg colgh x se muestra en la Figura 19-9; se obtiene a partir d d grafo de cotgh x por simetría respecto a la bisectriz y — x. Derivada,

(arg cotgh x f -

De donde para todo

x € R - [ - 1 .1 ], arg cotgh'x - y — y . S o la .

Se puede expresar arg cotgh x por medio de un logaritmo. E n efecto, y - arg colgh x *» -

e1' + I . . - cotgh y = y , —

D e donde para todo x e R - [ - 1.1], arg cotgh x *=

P r o b l e m a 1 9 -2 0 d ) sec2 (a rc tg x ) ;

C a lc u le :

,, x + I e " “T - T ln * *

a ) e o s 2 (a rc sen x ) ;

e ) cos (a rc sen x ) ;

ó ) sen2 (a rc c o s x ) ;

f ) sen (a rc cos x ) ;

c ) tg 2 (a rc s e c x );

g ) tg (a rc sec x).

S o lu c ió n , a ) eos2 (arc sen x) - I - sen2 (arc sen x ) - I - (sen are sen x»2 b) sen2 (arc cos x) ■ I - eos2 (arc cos x) ■ 1 — (cos arc cos x)2 • I - x2. c) tg2 (arc sec x) - sec2 (arc sec x ) - 1 I. dt sec2(are tg x ) « tg2 (are Ig x ) + I = x2 + I. ______

I - x 2.

x2-

e) cos (arc sen x) - ± J | - sen (arc sen x) = J \ primer y cuarto cuadrante.

P r o b le m a

S o lu c ió n . •»

19-21

- x 2. puesto que arc sen x tiene su codominio en cl

M u e s tre q u e a re sen x + a rc co s x

Com o are sen x —

arc cos x

sen (arc sen x) ■ sen | - j---arc cos x

cos (arc cos x) - x.

II. Sea arc sen t • arc cos x - «\ t una constante Derivando la expresión se obtiene (arc sen x f - -la rc cos x f. Adcnúx c = arc sen 0

arc c o s 0 ■ 0 ♦

por tanto, a rc sen x ♦

♦ arc cos x - 4-.

P r o b l e m a 1 9 -2 2

S i $ (x ) representa el án g u lo b ajo

c l c u a l se ve un in te rva lo [ a . b ] sobre la p a rle p o s itiv a del eje Y. co n un p u n to x en la p a rte positiva del eje X . halle c l v a lo r m á x im o d e ^ (x ).

F ig u r a

19-10

249

F U N C I O N E S H IP E R B O L IC A S

S o lu c ió n .

D e la Figura 19-10 se ohncnc que <fiix) - are .g |

- are «g J

- W x 2 + a 2) + <*x2 + b 2)

*'<x) =

, +

“ T T f á i?

x2(a - fc) - a fta - ¿>)

(x ^ T P ilx 2 + 7 ]

(b - a la h - x 2l

( x 2 + 6 2Kx7 ~ + a 1)

( x 3 + « Tj( 3 ? +

6*7

C o m o ó ’(x ) > 0 para x < /üfc y <£‘(x> < 0 para x > yjüb. <fiiah) es el máximo global. Ahora <¡><ah) -

- « * ] / £

- a r e ,E j / “ . P „ o , o q uc „

P r o b le m a

19-23 |

= t / |—. c n l o n c c s tíHuM « a r e I g ^ J L ZyJaB 2siab

* / * -

H a Jf c d ¿|>ea lim ¡| a d a ^

ju c u r v a y

x y jx 2 e n tre lo s p u n to s x = S o lu c ió n . ~ | x | / ¿ 3

cj c

dx. E n el intervalo [ - 2 . - / 3 ] . --E l área está dada por f — j- i x / x ^ n x vj 'xX 1 X dx dx I -' 3 — , ■— _ . = - II ------- . - - a re sec x I — *: Ppor V ' lanío. ■I * -- Ií J-i Ix* l1 J/x3 *? — I I xx /j x x 3 1

- *3

y are sec ( - 2 ) - are eos I

.2 x / ^ T

“

\ 6

j -

2x \ _______ a

3 r

Verifique que: eos (2 are sen x) = 1 — 2 x*; sen (2 are sen x ) = 2 x / l — x 2; tg (2 are tg x ) = 2x/tl - x 2): sen (are sen x + are eos x l x ig (are sen x| = . y/T^P

cosec3 (are cotg x) = I + x 3.

Verifique q u e: D , are eos — = — * a y/a2 - x *

|x| < a ;

■ *-.1x1 > a: D . - a re se c — = “ 13 |x|N/ ^ - a 3 D , j- are cosec ¿

|x|/x3—a

. |x| > u.

Em pleando el criterio de convergencia para integrales definidas, muestre que dx

f ‘J

. se tiene que

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S

d e la s X

—2 y x — — /3 .

Com o are seo ( - / 3 ) = are eos (

250

F U N C I O N E S H IP E R B O L IC A S

Verifique las siguientes derivadas: a) fe)

u are tg u —

ln ( I +

■= arc tg u;

are cotg ~ * j = —

sobre R — [ —a, a ] ;

[are sen (tgh x )]' = |scch x | ;

r ui «V l scc x si tg x > 0 J ) [a ,g cosh (scc x |) . j _ t K x t ¡ * x < # ; e)

[arg tgh (eos x )]’ = - cosec x.

Pruebe q u e:

ti)

arg senh x = cosh v/xr + í ;

arc eos x - arg senh J x * — I ;

, X)V,eR.

Compruebe las siguientes igualdades indicando en cada caso las condiciones que las hacen verdaderas: a)

are tg a

arc tg fe - are tg

fe) arc sen a + arc sen i =* are sen { a j 1 — b* + b j i c ) arc eos a + are eos fe ■ arc eos lab - J l

Resuelva la ecuación are tg 2x + arc tg x »

Sim plifique:

9. 10.

J i -"fe3).

—a 7

4 '

a ) y - arc sen (2 sen x eos x) para — ~

fe) y - arc Sim plifique arc tg

—"o 3):

< x <

;

para 0 < x < 2 x.

— -

Indicación.

H aga x = tg <í». — y

T-

Demuestre las siguientes fórmulas: a)

cosh p +

cosh q

= 2 cosh — y — cosh—

fe)

cosh p -

cosh q

- 2 senh % t 9 . senh &

senh p +

senh q

senh p —

senh q

= 2 senhcosh - y —

—

senh - y - ? - cosh— y -

tgh *

11.

Pruebe que x - ln tg | ^ + y J implica

- tgh ^ y tgh x = sen >• cosh x

12.

Resueva el

13.

Simplifique la función y = arg coshj/^-*- y * - — - y •

14.

Calcule las sum as:

15.

Resuelva y discuta el sistema:

cosh x + cosh y ■* a ; senh x + senh y = fe.

16.

Resuelva y discuta el sistema:

cosh x + senh y - a ; senh x + cosh y — fe.

17.

Calcule la derivada n-ésima de y •

. 1 arg senh x = 2 arg senh y ; sistema: < , , _ . ° | 3 ln x = 2 ln y.

+ cosh 2x + ... + cosh nx S - cosh S ' • senh x + senh 2 x + ... + senh nx

cosh (x cosh a).

C A P IT U L O

Aproximación polinomial de las funciones. Desarrollos limitados E l o b j e t o d c e s t e c a p i t u l o e s m o s t r a r q u e l a s f u n c io n e s s e p u e d e n a p r o x i m a r p o r m e d i o d e p o l i n o m i o s e n e l e n l o m o d e u n p u n t o . E x is te n m u c h a s m a n e r a s d c a p r o x i m a r u n a f u n c ió n / p o r m e d io d c u n p o lin o m io . V a m o s a e s tu d ia r lo s p o lin o m io s q u e c o in c id a n c o n / y a lg u n a s d c su s d e riv a d a s e n u n p u n to d a d o . P o r e je m p l o , s i J \ x ) = e x, e l s ig u i e n t e g r a f o m u e s t r a l a a p r o x i m a c i ó n p o l i n o m i a l d e l g r a f o d e l a f u n c ió n e* e n e l p u n t o (0 . IX A m e d i d a q u e a u m e n t a e l n ú m e r o d c s u m a n d o s e n l o s p o l i n o m io s se o b tie n e u n a m e jo r a p r o x im a c ió n d e y ix ) e n u n e n to r n o d e l p u n to 0 .

L o s p o l i n o m i o s y s u s d e r i v a d a s c o i n c i d e n c o n e* e n e l p u n t o x = ( 0 . 1).

P o lin o m io

T a y lo r g e n e ra d o

p o r u n a fu n c ió n

T o d o p o l i n o m i o d c g r a d o n (n e N ) p u e d e e s c r i b i r s e e n f u n c ió n d e l a s p o t e n c i a s , h a s t a d c g r a d o n, d e x - a , e n l a f o r m a P .(x ) = a Q + a ,( x -

a ) + a 2( x -

a )2 + . . . + a„{x -

a )". V a e R

c o m o p u e d e c o m p r o b a r s e p o r l a a p l i c a c i ó n r e i t e r a d a d c l a r e g la d c R u ffin i. 251

(2 0 -1 )

252

A P R O X I M A C I O N P O L IN O M IA L D E L A S F U N C I O N E S

D e r iv a n d o su ce siva m en te P j x ) y c a lc u la n d o la s d e riv a d a s e n x — a . se o b tie n e n los coefi cie n te s a© .. . . . a m c u y a fo rm a es a , -

P jx ) -

P ia l +

í a

~~¡ T ^ 1 =

+■ n

)

1....... *■ , *uc g °

+ ... +

P “

t a

)

l - ~ —

L a e x p re sió n a n te rio r se p u ed e exten der, b a jo d e te rm in a d a s c o n d ic io n e s , a fu n cio n es q u e no sean a lg e b ra ic a s y e n te ras, re c ib ie n d o en ta l caso e l n o m b re d c fó rm u la d c T a y lo r . L a a p lic a c ió n d e la m is m a a ta le s fu n cio n es c o n d u c iría a un a b s u rd o , p uesto q u e en n in g ú n c a s o d ic h a s fun cion es p u e d e n ser id é n tic as a u n p o lin o m io y. p o r ta n to , h a y q u e ag reg a r a l seg u nd o m ie m b ro u n te r m in o q u e e stab le zca la id en tid a d , lla m a d o té rm in o c o m p le m e n ta rio . F ó rm u la d e T a y lo r . S i / e s c o n tin u a y tie n e d e riv a d a s hasta d c o rd en p en u n in te rv a lo [ a . ó ] , y s i el c o n ju n to X m { x „ + Oh. 0 ] 0 . 1 [ } c [ a . b j . en to n ces

Ax) -

* o) + y u o ) ~ ~ y r ~

R p( x , x 0) « ~

Con

•+ n ^ x . x o ) l ) ! ~^ —

“

x o ) l k e n tero , q u e es la e x p re sió n dc

S c h ló m ik h d el té r m in o c o m p le m e n ta rio . Pa ra k •

I se o b tie n e la ex p resió n , según C a u c h y . del té rm in o c o m p le m e n ta rio

R ^x.x.) -

—

. ' f » [ x, + Oíx -

X.)]

P a r a k - n se o b tie n e el té r m in o c o m p le m e n ta rio d c L a g ra n g e . q u e es el d c m a y o r u tilid a d e n la p r á c t ic a : R ^ x .x .) -

+ O t x - X .H

E x p re s ió n c o m ú n d c la fó rm u la d c T a y lo r :

J[x + h) - A x ) + y y /T x ) + ~ f \ x ) + . .. + J * ’- ' — / ' - *fx) + R j x . h ) S c h ló m ilc h :

Rjx.h) =

L ag ra n g e:

R /x .h ) -

C auchy:

« ^ x ./ r ) =

f ’ \ x + Oh) + 0 /i)

/ * ( x + Oh)

F ó r m u la d c M c L a u r in . S i en la fó rm u la d c T a y lo r se h a c e x „ - 0 resu lta JW N o ta .

- AO) *

jy / io i + —

f m

"">» + R ^ ° ' l

L o s p o lin o m io s d e T a y lo r (o p e ra d o re s ) P . v e rific a n la s sig u ien tes p ro p ie d a d e s:

1. 2.

L in c a lid a d : P j t , I + c 2g ) ■= c , P „ l / ) + c . P . i g ) . c , . c , e R . D e r iv a c ió n : ( P . / f - P . _ , ( / ).

In t e g r a c ió n : P . * , f f ( x ) - J

S i (rfx) ™ / {e x ), c una c o n sta n te , en to n ces P ^ x . a ) = P J l c x . ca).

P JID d i.

A P R O X I M A C I O N P O L IN O M IA L D E L A S F U N C I O N E S

253

S i P es un p o lin o m io d e g ra d o n > I y f . g d o s funcion es c o n d e riv a d a s h a s ta de

Pro p ie d a d .

o rd e n n e n 0. y si se su p o n e q u c / lx ) ■ P J x ) -f x "g íx ). c o n frfx) — 0 si x -• 0. en to n ces P mes d p o lin o m io d e T a y lo r g e n e ra d o p o r f e n 0. E n efecto, sea h (x ) » f [ x ) - P J x ) = x“ ^(xX D e r iv a n d o c l p ro d u c to re ite ra d a m e n te se o b tie n e q u e h y sus n p rim e ra s d e riv a d a s son 0 en x = 0. P o r c o n s ig u ie n te ./ c o in c id e co n P . y sus p rim e ra s n d e riv a d a s en 0. en to n ce s P „ es c l p o lin o m io d e T a y lo r . E l e rr o r q u e se co m ete a l a p ro x im a r una fu n c ió n / p o r mc<l i o d e un p o lin o m io

D e fin ic ió n .

de T a y lo r P me n u n p u n to a se d efin e c o m o la d ife re n c ia E J x ) - f ( x ) -

P Jix ).

N o ta . S i / tien e u n a d e riv a d a c o n tin u a d e o rd e n (n + I >e n un in te rv a lo q u e c o n tie n e a l p u n to a. y si x e [ ü — c. a + c ] , e n t o n c e s / " * 11 es a c o ta d a en este in te rv a lo y. p o r co n sig u ien te, verifica

la d esigu ald ad l / " * " ( 0 | £ V f. M

> 0. P o r tanto, la m a g n itu d d e l e rr o r es Ix - t i l * * 1

“ T71T S i x * o, d iv id ie n d o la d esig u ald ad a n te rio r p o r | x - a | " se o b tien e

0 s '

l s ( í T ü r l*

- ‘"

L a c u a l d ice q u e s i x -• a . E J x ) / { x — a f -* 0. E n to n c e s d e c im o s q u e c l e rro r fc',(x) es d e m e n o r o rd e n q u e (x - a f c u a n d o x a.

D e s a r r o llo s

lim ita d o s

S e v a a p ro fu n d iz a r c l c á lc u lo d e lim ites c o m p a ra n d o fu n cio n e s en u n e n to r n o d e un punto. S e a / u n in te rv a lo d e R d e la fo rm a ]ti. x 0[ o ] x 0. ftf. S e a n / y y fu n cio n es d efin id as en I y * > 0 tal q u e p a r a to d o x € I se tiene q u e [/ (x )| < ^ fe |0<x)|. P o r d e fin ic ió n se escrib e / = O ig i.

S i p a ra to d o c > 0 existe un in te rv a lo / ta l q u e p a ra todo-x 6 / se tien e q u e |/ (x )| £ r | <x)|. se e scrib e p o r d e fin ic ió n / — o(g). P o r eje m p lo , si / ( x ) - x * y g ix ) - x. en to n ce s / = oig). S e d ice q u e dos fu n cio n es / y g d efin id as en u n e n to r n o d e x son e q u iv a le n te s á

D e fin ic ió n . f~ g

= <*g).

D e fin ic ió n .

S e d ic e q u e / a d m ite un d e s a rro llo lim ita d o d e o rd e n n en u n e n to r n o d e 0 s i/ ( x ) =

= a0 + u , x + . . . + tí.x * + ofx"). L a fu n ció n p o lin o m ia l se lla m a la parte p rin c ip a l o reg ular y o(.x") c l te rm in o co m p le m e n ta rio . L a d e fin ició n a n te rio r se puede ex ten d er a l caso x 0 = + X (0 — x ) . Se d ice q u e / a d m it e un d e s a rro llo d e o rd e n n en c l e n to rn o d e + */. 10 - x ) s i existe un p o lin o m io p (x ) d e g ra d o , a lo m ás ig u al a n. tal que m

= P (J-) + „ ( . i . ) = „0 + i - + í , + ... t £ + „ ( l j

D e s a r r o llo s g e n e r a liz a d o s S i p a r a u n a fu n c ió n f { x ) d e fin id a en un e n to r n o d e 0. ex cep to p o sib lem en te 0. se su p o n e que existe u n re a l p o s itiv o r tal q u e la fu n c ió n x 'f ( x ) a d m ita u n d e s a rro llo lim ita d o d e o rd e n n > r en c l e n to rn o d e 0. E n t o n c e s /(x )

= ~

<u0 + u ,x + ... + u j x 't + « f x " ') .

Se d ic e

que

254

A P R O X IM A C IO N

P O L IN O M IA l D E L A S F U N C IO N E S

o b te n id o u n d e s a rro llo g e n e ra liz a d o e n u n e n to r n o d e 0. P o r eje m p lo , e l d e s a rro llo g en e ra lizad o d e c o tg x e n u n c n to fn o d c x = 0 es

cosx c o ig 1 -

*rx - -

- r

■*cI )

120

— 6~

H a c ie n d o r = I se o b tien e

x c o .g x -

~ " T +7 *

p -

—

+ 'Hx>) .

+ T20 + +

= I x-2 _

x* _ — +, o ,lx )

P o r c o n sig u ie n te , su d e s a rro llo g e n e ra liz a d o d c o rd e n 4 d c c o tg x es I

c o tg x = —

- y

x J

4 5 + o (x

PROBLEM AS R ESUELTO S P r o b l e m a 20-1

S o lu c ió n .

H a lle e l p o lin o m io d e T a y lo r p a ra / ( x ) = sen x en x „ = 0.

Com o D ¡ s c n x = sen | x + A y J.entonces(£>í s e n x ) = senfc y

■

{

0 si k = 0 . 2. I si k — - I1.. .... . 1 - I si k - 3...

Remplazando en (20-1) se obtiene P Jx )

P r o b le m a 2 0 -2 S o lu c ió n .

+ (¿

con n =

o n *> 2m + I

H a lle c l p o lin o m io d c T a y lo r d e / ( x ) = e’ en x „ = 0 y x = 2.

Tenemos que f k\x ) = e* para todo x. entonces / '“ (O) = e ° = I . Remplazando en (20-1) se

obtiene P JX )

P ¿X . 2) - £ - £ ( x *-/ *•

P r o b l e m a 2 0 -3

— y

...

1 4- y

-^r

1)*

I sea d o s.

C o m o P ( ! ) = a. P ( l ) = o. P"(l> = 2a2. / ( I ) = y / l -

( I ) -1'2 =

A S Í. P { X ) -

D e t e r m in e l o s c o e f ic ie n te s d c P (x ) = aQ + a , ( x — 1) + a 2( x — i ) 2 p a r a

q u e el o rd e n d c c o n ta c to c o n / ( x ) = J x e n x 0 = S o lu c ió n .

y |-

— y .

I g u a l a n d o /**<I ) a / ' “ ( I )

(X -

I) -

(X -

l ) 2.

para

A «

I . 2.

I. / ”( ! ) - 1/2(1)"*'* - 1/2. / " ( I ) -

se obtiene a0

I. a , =

1/2. a 2 -

— 1/8.

A P R O X I M A C I O N P O U N O M I A L D E L A S F U N C IO N E S

P r o b l e m a 2 0 -4

255

T a y lo r .) S e a / = [o , />] un in te r v a l o c e r r a d o e / = j a , b [

(T eo re m a

e l in te r v a lo a b i e r t o c o r r e s p o n d i e n t e ./ , (n + 1) v e c e s d e r iv a b lc e n [ a . 6 ] y f , f " , s o b r e ]a , h [ ; e n to n c e s e x is te u n c 6 / ta l q u e

+/'(«) + - 72t-¡"\°) *...'+ ^ r ~ r ¡«.»+ (*

m =m *

c o n tin u a s

r-v )

con f*m* " ( r l

R¿x) = ^

+ *■, ( x -

K Jx) « —

(x -

R Jx ) - J

S o lu c ió n .

p a r a a lg ú n c e [ a , 6 ] ( L a g ra n g c )

x 0) " * 1

cH x -

p a r a a lg ú n c e [ a , h] (C a u c h y )

(x - c y s i y 1" * 11 es in teg ra b le sobre [ a , b ]

Sea g la aplicación definida sobre T por gfx) = A x ) -

¿ una constante y g{a) = 0

Determinemos A por la condición g{b) = 0. L a constante

está definida por la relación

Según las hipótesis p ara/ g es n veces derivablc sobre [a. b] y continua sobre Ja. b[. Entonces podemos aplicar el teorema de Rolle a la función g : existe c, e ]u, b[ tal que / ( c , ) = 0. L a función g es derivablc en ]«. c ,[ y g'(c,) = 0 y g'(ti) ■ 0. Entonces podemos aplicar el teorema de Rolle a g‘ : existe o, e tal que (/"(«. 1= 0. Razonando por recurrencia sobre n, se tiene que existe un cn e ]o. c._ ,1 tal que g " \ c j = 0. f/""(x) es = 0 ; y como continua en [a. c „] y dcrivable en Ja. c.[. Además ^ “Hx) = / “ (x) - / “ (a) ~ (x - o)A y = 0, se puede aplicar el teorema de Rolle a g '" cn el intervalo [a. c j : existe c e Ja, c . [ c Ja. h [ tal que / - ' " ( c ) = 0. es d e c ir,/ * * l \c) - A - 0. Remplazando el valor de A cn (20-1) queda demostrado el resultado. Ñola. (Fórm ula de M cLaurin.) Si en la fórmula de Taylor se hace h = b se obtiene A o + h )- Ao) + ~

f í o ) + ... + -£/■'(<!) + - J ^ L . / * *

- u y c ■ a ♦Oh. 0 € 10. If . + Oh)

(20-2)

El término complementario se llama resto de Taylor. Si cn (20-2) se rcm plaai a por 0. se obtiene /</»>=/(o> + j r m

+ . . . + - ^ r \ o ) + - J £ L ' - r ' ' ' i 0h)

que se llama fórmula de McLaurin.

P r o b l e m a 2 0 -5

„

r w S o lu c ió n .

P ru e b e que si / (x 0) c x islc . c n lo n c cs

= i™ »-0

Empleando el polinomio de Taylor de grado 2 con x = x0 + / i y x = x 0 - á s e obtiene /(x 0 + h) = A x 0) + f ( x 0)h + ¿ M

/ (x „ - h) - /(x 0) - / ( x 0V. + ¿ - M *

+ «,(/.) + R a (—#i)

A P R O X I M A C I O N P O l I N O M I A l D E L A S F U N C IO N E S

C o m o lim

k-0

lim

4 -0

/(* o ) + f M

0 . e n to n c e s lim

~ »> “ W

+ r(v o ^ /2 +

« , ( / . ) + /< x 0) - / " ( x 0v» + r

= lim --------------------------------------- ET *-o n -2 f !(y 0-

= lim

ÍXy ^ - + « , ( - * > -

2/ ( x „ í

------- 1------------------

- R ¿- h ) r , ------------- = n x ol + lim "

4- 11

+ lim * 4 * - ^ - /"<*o> "

k -0

4 -

P r o b l e m a 2 0 -6

D e m u e s tr e c l t e o r e m a d e T a y l o r c o n c l r e s i d u o d a d o e n f o r m a d e in te g r a l y d e d u z c a l a s o t r a s f o r m a s q u e e x is te n p a r a e l r e s id u o .

T e o re m a . S e a / = [ a , h ] u n in te rv a lo c e r r a d o e / = ] a . b [ e l in te rv a lo a b ie r to c o r re s p o n veces d c r iv a b lc e n [ o , fr] y / d c r i v a b l e n v e c e s e n ] a , f e [ ; e n to n c e s e x is te d ie n te ; f, (n + I) x„ e / ta l q u e Ax)

= ¿ £ ^ í » l ,x * o

«!

r - " u )ix

- i r di

J,.

S o lu c ió n . Com o el número necesario de derivadas de / existe en x0, entonces /(x ) se puedo escribir de esta manera y R . se define a s i:

4-0

* •

Sea «(/) = ¿ / ,4\r) * * 7, -** =» *Kx) = /t.vl y $(x0) = ¿ ^ ,(f 9* ( x - x 0)* y. por tanto. R .| x | - ^ x )- y ( x o )4-0 *• 4-0 a: = J

tf‘. Com o / tiene derivadas continuas hasta de orden (n + I ) en [o . 6 ], entonces g es continua en cl

intervalo cerrado con extremos x 0 y x y, por consiguiente. I

g'U ) = m

+ ¿

Entonces K .(x ) -

[ - / tt1í>

f "f

+ Z1** '* >

‘h l l x -

g existe.

Í U ) - f U ) ” 4? / ‘ ( ' ' V - O i '

r|* J l .

Form a de Lagrange. Com o Ix - rF en b intcgral.no cambia de signo en cl intervalo de ¡n lcg racióa y co m o /’* ' 11 es continua en este intervalo.

J> - w

"<odi - r ' 'Vi j > - n-d, = r ' "io <x

Entonces c l residuo se puede escribir como R j x | ”

c e [o.x]

O» • IV .) S T + T T Í i * - a f '•

' es continua en Con las siguientes hipótesis, f m' " existe en cl intervalo ] * . * [ . al cual pertenece a. J ' m [/». k \ E lija a x * a en [fi. fc] y x > a F ije a x y defina a F en c l intervalo [o. x ] de la siguiente manera:

F W - / I0 +

Observe que F (x ) = /(x ) y F ía ) = P„(x. en ]a. x [. Además F U ) » —

4-1

-0*

a); por tanto. F (x ¡ - Fia) =

f t j x l F es continua en

[a. x ] y dcrivable

A P R O X IM A C IO N P O U N O M IA l D E L A S F U N C IO N E S

257

Sea G o lía función continua sobre [o . x J y dcrivablc cn Jo . x[. Entonces se puede aplicar d teorema dd valor medio de Cauchy y obtener <7(c)[F(xl - f f o lj - F ( r )[ G ( x ) - G(a)J. para cualquier c e Ja . x [ Si G ' no es cero en Ja . x f se obtiene R J x ) -

[C (x ) - G<a)].

Este error se puede expresar de distintas maneras según la elección de G. P o r ejemplo, si G (i ) se obtiene la forma dc Lagrangc:

“

(x - fp*

ú í T T ) ! (x ~ ° r ' '• 0 < f < X

Si G (f) — x — l. se obtiene la forma de C au ch y: (x - í f l x _ a l a < c < x

R jx ) m

Si G {i) - (x - i f , p ¿

I , se obtiene:

R Jx ) "

P r o b l e m a 2 0 -7

* (X ~

-ü /.a< c< x

M u e s tre q u e e l p o lin o m io d e T a y lo r d c g ra d o n p a ra / ( x ) = ( I + x J"

c n 0 c s P i x) «= £ ( J ) x \ D é a l té r m in o c o m p le m e n ta rio la fo rm a d c la g r a n g c y la d e C a u c h y . *-o S o lu c ió n .

Tenemos que/*(x) ■ irim - I ) ... (m — k + IH I + x p " 4; por tanto.

i /

** -

. i —

- ^ 1 " ~

-* - + - 1 « * -

¿ c

i ^

l a forma de Cauchy para el término complementario cs

K jx ).

. ir —

'( * - . * « - o

l-a forma dc Lagrangc para d término complementario es

KJ¡x).

± - - ■) „ + i r - - . „ . or

P r o b l e m a 2 0 -8 o ) P ru e b e q u e si x 5 0 -

b ) s í — ! < * s o «-

S o lu c ió n , f»)

'- if r l

,« - . r | - £ £

S ÍT T T Í!-

IX - « r £ £

Para - 1 < x S I J 0. se tiene q u c O < l + x £ l + f £ l . 0 £

poi que c- s I. « « s 0 £

| | g ; por tanto.

258

A P R O X IM A C IO N

P r o b le m a

S o lu c ió n .

20-9

P O L IN O M IA L D E L A S F U N C IO N E S

C a lc u le sen 10° c o n 5 d e c im a le s exactos.

C o m o seno y todos sus derivadas son 0, y

x sen x en 0 es sen x - x - y

- 10 . « m - U . ü fórmula de Taylor

+ -jj- + ... + R „ .

E n o t e problcnu. ic n

(- £ - )

♦ ... + R . „

C o m o se pide exactitud hasta con cinco decimales, d error debe ser menor que 1 1 0 en c | / * \-“ <n + l ) T \ 7 T /

R ..

que depende de si n es par o im par E n cualquier caso,

' Ahora

Icosc| / a (n + Í) T \ T I" /

j R „ . , | < ^ ^ |p .

Si n - 8. entonces ^ ^ |>r - - ¿r = 0.0000027 < I - 10" *. Asi. sen

■ - £ .- .< • ( £ .) ’ + ¿

) es exacto hasta 5 decimales si d

valor de it que se emplea es apropiado.

| P r o b le m a

2 0 -1 0

Su p o n g a q u c / , ■, es c o n tin u a en un in te rv a lo [ a . A>] a l c u a l perten ece x 0

y P k,{x 0) = 0. p a ra k -

I . . . . . n — I . n £ I . a ) S i n e s p a r y f m,i x ) / ( x 0) e s un m ín im o lo c a l d e / s o b r e [ a . /*]. b ) S i n es p a r y

£ 0. V x 6 [ a . />]. entonces £ 0. V x e [o . b ], entonces

/ ( x 0) e s un m á x im o lo c a l d e / e n [ a . b ]. S o lu c ió n .

Empleando la forma de 1-agrangc para d término complementario en d teorema de Taylor

se obtiene Vx c {o. 6]:/(x> - / (x 0) ♦

a) Si es par y f \ x ) ¿ 0. Vx c [a . bJ de / en [a, h].

(x - x „ r .

x < c < x*.

** ^~Zr~ ~ Ko f ^ 0. A si f

[ x )

* /(x 0) y /(x 0) es

d mínimo

L a demostración de b) es análoga

P r o b le m a

20-11

Suponga que

es c o n tin u a en un e n to r n o d e Xq. y P kHx0) = 0.

k = I—

. n - I y / , " '( x 0) / 0 , n 2 I . a ) S i n es p a r y f " { x 0) > 0. c n io n c c s / t ic n c un m áx im o en x 0. b ) S i n es p a r y / ^ N x ,,) < 0. en to n ces / t ie n e u n m á x im o en x „ . c ) S i n es im p a r / n o tien e n in g ún v a lo r e x tre m o en x 0.

S o lu c ió n .

E l teorema de T aylo r con el término complementario de Lagrange es

/(X) - /|x 0> +

(X - x o í + ... +

(x - x . r 1 ♦

A p l i c a n d o la s h i p ó te s is s e o b t i e n e / ( x ) • / ( x 0 ) +

ú)

Si P ’ Hxo ) > 0. entonces como P m \x0) = lim - -

(x -

x * J * ' x < c .< x *

- lim

IX - x or - ' V x e F ( x 0 ).

existe un entorno

]o. b [ de x „ tal q u e / * - " ( x j < 0 para x € ]u. x 0[ y f ~ ‘ I x ) > 0 para x e Jx0. b[. ¿ P o r qué"» S i n es par. entonces pura x e ]a .x 0[./ (x ) = / (x 0| + — "¡y¡ (x - x0f ' > /(x 0) y para x € ]x 0.b [. A l - IV-» /(x ) - / (x 0) + j p (x - x0r _ l > /|x„). E s decir. / tiene un m ínimo en x0. b) S i/ 'V x o ) < 0 y n es par. entonces - / tie n e un mínimo en x * según el problema anterior a ); por tanto,/tiene un máximo en x0,

A P R O X IM A C IO N

P O lIN O M IA l D E L A S F U N C IO N E S

259

Si / * * !* ,) > 0 y n es jm par. en to n ce para * c Jo. X o [./ (x ) - /(*<»> + fo~

y para x e ]x „.

¿»[./(x> - /(x .)

x0r ~ ' > /(x<¿

A s i/ n o licnc un valor extremo en x „ ¿ P o r qué? S i / ,,*(x0) < O y n o impar, e n to n c e —/ n o tiene un valor extremo en x „ ; por tan to ./n o tiene un valor extremo en x0.

P r o b le m a

2 0 -12

H a l l e lo s m á x i m o s y m ín i m o s d e / ( x ) -

x 2( I -

eos x) + x 5 cos2x.

S o lu c ió n , f i x ) - x2 sen x 4 2 x (l - eos x ) - 2x’ sen 2x + 5x4 eos 2 x; x - 0 e unu raí/ y / (O ) = 0; /*’<x) - x 2 eos x 4 4x sen x 4 2<l - eos x ) - 20X4 sen 2x - 4x’ eos 2x 4 20x* eos 2 x ;/ "(0 ) - 0 ; / “ (x ) = = —x 1 sen x 4 6x eos x 4 6 sen x - 120x* sen 2x - 60x4 eos 2x 4 8x’ sen 2x 4 60x2 eos 2 x ; / "(0) - 0; / " ( x ) - —x 2 eos x - 8x sen x 4 12 eos x + I20x eos 2x - 480xJ sen 2 x - 480» ' eos 2x + 160»4 sen 1 » 4 + I6 x ’ eos 2 x; /'*’(0) • 12 Entonces. por d problema anterior. / tiene un minimo local en x «■ 0. Halle los demás puntos. .x > 0 0 .x = 0 .

.x < 0 r * \ x 9) = 0 para todo k y. sin embargo, no tiene máximo ni minimo en x0 — 0 .

P r o b l e m a 2 0 -1 3 S o lu c ió n .

lis c rib a x * — 3x + 5 en p o te n c ia s d e x -

Sea /(x ) - x2 - 3x 4 5. Entonces / ( I ) = 3. f

de T aylo r se obtiene/(x) - x2 - 2x 4 3 -

P r o b l e m a 2 0 -1 4

{ \ )

^ - 4 -^y- (x - I )

- 1 y / ' ( I ) - 2. Aplicando cl teorema - j f (x -

I ) 2 - 3 - (x - I ) 4 (x - I ) 2.

P a r a n «* I . c l te o re m a d e T a y lo r es u n a fó rm u la d e a p r o x im a c ió n po r

d ife re n cia le s c o n u n a e x p resió n p a r a e l e r r o r : / ( x ) = / ( x 0) 4 / '( x 0Mx - x 0) 4 J * / ” (r)(x - r )d r = = A * o ) + d f i x o. * d e te rm in e c l erro r.

* 0) + J

/ " O X x - 1). H a lle y/265 p o r el m é to d o d e lo s d ife re n cia le s y

260

A P R O X I M A C I O N P O L IN O M I A L D E L A S F U N C I O N E S

S o lu c ió n .

/(x ) - y/x »

* -^

= y x~

y / ” - - - ^ x _ , 'a. C o m o / " » continua sobre )0. + * [ . entonces

-4 í :

- ■*r

E l número xc se debe tomar próximo a 265 para que sea fácil el cálculo dc v/265 Sea x0 - 256. Entonces v/365 — ^

— y ^ I

“ 7

# ' * *(26$ - i ) di. A si y y - es una aproximación dc % *265 con un error

f Jí5 L

” 065 -

0 S Ü

fi* »

í V

I 06® -

" -

T í®

• 4

< 000'

C o m o — 0.003 < R t < 0 y 16.281 < y y - < 16.282 => 16.2782 < ^265 < 16.282 E s decir. v '265 -

16.28

es exacto hasta dos decimales. Si se desea una m ayor aproximación para >/26S> se elige x0 — (I6.28)2, d cuadrado dc la aproximación anterior, y se prosigue como antes. E m e ™ * ^265 -

265 t g * 0 ” * - ‘ f ' * ’ - ,2 6 5 - ,> * . JZ.56 4 530 0384 A si -j¿ 5 6 — * * una aProx'mac'ó n d e v 265 con e rro r:

£--

* L

’ . . . . r ” (“ 5 - °

1 E

. 06» - o -

C o m o -0.00000005 < R , < 0 y 16.728 82063 <

• = 000000,105

< 16.278 82064 se obtiene

16.17882058 <

< ^265 < 16.27882064. Entonces v/265 - 16.2788206. resultado exacto para siete decimales.

P r o b le m a

2 0 -1 5 | «jc a n

x ^ _ 0 . / ( x ) * a x ',

g (x ) -

bx *.

con

a e R \

b c R*.

n e Z.

p f Z , n í : p . a ) M u e s tr e q u e en u n e n to r n o d c x = 0 : n 2 p =» b x " = O ia x ') . b ) F n un e n lo m o d c + x (W. — x ) : n > p =» a x ' = id a x "). c ) E n u n e n to r n o d e x - x 0 : |/ (x )| = O ix - x 0f . S o lu c ió n ,

x 6 / -* | £ Xa L a fu n c ió n

gix) -

|^ — x*

xT~’ f[x\. Sea / - [ - 1.1]. L a s funciones / y g están definidas en / y además

| -^ j

|«(x)| i

| |/lx)|. Entonccs.cn un entorno de x - 0 ,n ¿ p ■» bx* — O io x "l

' e s c o n t i n u a e n c l p u n t o 0 . E s d e c i r , para t o d o c > 0 e x i s t e u n i n t e r v a l o / t a l que

(s i n > pt %e t i e n e x e I => | — x- * * | s í t h) c)

Sea x 0 — 4 - a , . n > p => l i m

a jx -

x 0 >' [ l +

X o ^ J I 4- / i l x ) ) , c o n l i m /»(x) • f.

I/Ix )| S |x -

< Aax't.

x ' ~ * = 0 ; p o r t a n t o . c n t o d o e n t o r n o d e + » . » > » • a x ' — o(f>x*l

S e a x0 u n n ú m e r o r e a l y / ( x ) -

y o ( * 0 . E n to n c e s /(x ) = a ¿ x -

E n to n c e s , e n to d o e n to r n o d c x = 0 . n > p •» h x * -

a^x -

X o ^ + a , . ,(x -

*o) +

... + ~

x0K * 1 + ... + o j x (* -

x0f

d e c ir,

con p S n /(x ) -

0 . P o r u n t o , e n t o d o e n t o r n o d c x = x 0.

X o P I ^ K I 4- |/ * x ) |) ;

f{ x ) - 0 [ ( x

X<tr ]

---------------1S e a n / y q d o s fu n c io n e s q u e a d m ite n d e s a rro llo s lim ita d o s en u n e n to rn o d c 0 ; se a n / ( x ) = p (x ) + o (x " ) y g (x ) - </(x) 4- o(x “ > E n t o n c e s : a ) f + g a d m ite , en u n e n to r n o d c 0, c l d e s a rro llo lim ita d o p + q d c o rd e n n. b ) L a fu n c ió n f g a d m ite en u n e n to r n o d c 0 un d e s a rro llo lim ita d o d c o rd e n n ig u a l a l p r o d u c to d c lo s d o s p o lin o m io s pq, s u p rim ie n d o lo s té rm in o s d c g r a d o s u p e r io r a n. c ) I/ / a d m ite e n u n e n to r n o d e 0 u n d e s a rro llo lim ita d o d e o rd e n n. ig u a l a l c o c ie n te d c la d iv is ió n , h a s ta c l o rd e n n. seg ú n la s p o te n c ia s c re c ie n te s d e I a p. d ) f / y a d m ite e n u n e n t o r n o d c 0 un d e s a rro llo lim ita d o d c o rd e n o b te n id o h a c ie n d o la d iv is ió n según la s p o te n c ia s c re c ie n te s d e l p o lin o m io p p o r q.

A P R O X IM A C IO N P O U N O M IA L O E L A S F U N C IO N E S

S o lu c ió n ,

L n cíccio. al sumar /(x ) = p (x ) + <*x*|

261

f x ) + •* » * i ve obtiene:

( / ♦ i/M x) = p f.x ) + q i x t + tí<X*)

b) L a s funciones p(x) y 4 («) son acoladas en un enlom o de 0 : entonces p u(.\“ ) - o(x*|. q •«(x“ ) = - d x " ): o t O o(x-| -. oix’ l. M ultiplicando término u término a />• 0 se obtiene (/gH*) = p(xV/tx> -♦ o(x“ ). Sea d x ) cl resto ríe la división <lc pq por x " 1; es un polinom io de grado a. lo más igual a n, que se obtiene al suprimir en cl producto pq todos los términos de grado estrictamente superior a n Entonces p<x(q(x) — «= d x ) + o<x"> M x ) - d x ) ♦ ofx"). c ) Sea J ( x ) - pfxl ♦ cíx"). Suponga que la valuación del polinom io p es nula, es decir, c l menor entero k tal quccrt A 0 : p<x) - tí0 + a ,x +■ ... + a,x“. tío * 0 Sea qfx) - ba ♦ ^ i * ♦ ••• ♦ 6_x*. F.l cociente hasta d orden n de I por p. según las potencias crecientes, da lugar a la expresión I «- j4x)0(x) ♦ d x ). con e<r) > n <2 ) Entonces d x )

oLx*L C o m o ptx) - /<x) + «Ir*», se obtiene al remplazar en (2l que I -

I /í x ) + o (x -)]^ x ) +

iA x

y com o x -• t/f x) es colada. I ■ /(xk/(x) + ofx*|. y por ser I / / acotada en un entorno de 0 (por ser an / 0 ). se obtiene: = qix) + of.x*) i/)

E s consecuencia de las dos propiedades anteriores.

P r o b le m a

2 0 -1 7

a ) f ( x ) = e’ : S o lu c ió n ,

H a lle c l d e s a rro llo lim it a d o d e o rd e n n p a r a la s sig u ien tes fu n c io n e s : c ) / ( x ) = c o s x ; d ) / ( x ) - s c n x ; e ) / ( x ) - (I + x f . <x e R .

b) / ( x ) — o * ;

u) / “ \x > • r \ / '"lO ) - I. E n consecuencia, para todo i ( R .

6 ) . Sea a c R ! y com o a ‘ - e " * * . entonces para todo i r R ; fl. .

, + J» - x +

c ) / '" ( x ) a eos | x + n - y ) .

d e d o n d e

+ ... + (,n^ x -

/""tO) - eos

+ **•)

P o r consiguiente,

n - 2 P ~ P , r \0 ) - eos pn » ( - I f ; n - 2p + I ~ /•*'• "(0 ) - eos J - J + p x ) - 0

E n consecuencia, para lodo p e N . eos x ~ I — ~

« n x

4 ....

( -

+ ~

I l ' -

- -gy ► . . . ♦ ( - \ f

+ ofx2' * ' )

♦

t ) / '“f x ) - d a - iMa - 2 ) . . . (a - m + I X I + x f \ d e donde / “ \0> « a t a - l ) . . . ( a - i i + l l E n consecuencia, para todo x í ) - l , t x [ ,

(I ♦

,r - I .

♦ « ‘ , 7 11 -■ ♦ . . . .

S i* — » 1 ± !¡L = .I * i>

A P R O X I M A C I O N P O L IN O M I A L D E L A S F U N C I O N E S

P r o b l e m a 2 0 -1 8.

S o lu c ió n ,

H a lle el d e s a rro llo lim ita d o d c o rd e n n d c senh x y c o sh x.

senh x »

* COT*1 x ™

—

— • P°r olra P*ne, s e g ú n e l p r o b l e m a a n te r io r .

r- = 1 + -¡y + -jí- + ... + ~ r + °*x"> y * " " 1 ~ T T + T* “ •" * Entonces, sumando, se obtiene cosh x ■ 1 + f r +

+—

+ ‘j ^ i

+ ^

+ «'I*1' ' ’ ) V

senhx — x + -y¡- + -j|- + ... + y 3 " n y r ♦ o í* 1' * 1)

P r o b l e m a 2 0 -1 9

H a lle el d e s a rro llo lim ita d o d c o rd e n 3 d c la fu n ció n / ( x ) = N/ l + x

S o lu c ió n ,

f ' - l + x + y

+ y

ofx*).

I - -y + j

*1 -

ofx’ i Según d

Problem a 20-16. m ultiplicando se obtiene

" 1+ (‘ - | ) x + (t -

>/«

P r o b l e m a 2 0 -2 0

+ I ) * ,+ ( i - 4 + | -

r c ) J‘, + °(*’,=

H a lle el d e s a rro llo lim ita d o d c o rd en 5 en un e n to r n o d e 0 p a ra la

f u n c ió n tg x. S o lu c ió n ,

sen x - x — g

+ o ís ’ ) y eos x = I — y

♦

■» o(x’ |.

Efectuando U división hasta el orden 5 se obtiene, según las potencias crecientes, que x* 2x ’ . tg X - X + - y + - J j - + Cíx’ l

P r o b le m a

2 0 -2 1

---------------------

...

. .

/ (x )

M u e s tre q u e p a r a q u e d o s f u n c io n e s / y g verifiq u e n q u e lim — r- — I ■-«. ¡flxj es n e ce sario y suficien te q u e / - g — o{g). — I. Entonces, para todo « > 0. existe un intervalo J e 0W x e J => |/(x)/y(x| - 11 < í. lo cual implica que |/(x> - y(x>| < c |y(x)|. es decir. / - g = o(g).

I tal que

Reciprocamente, si esta relación se verifica, entonces paru todo r. > 0 existe un intervalo J e

I tal que

S o lu c ió n .

x e J

Supongamos que lim

o- ¡/lx) - 0<x)| < r. |tfx)| -* |/(xj/y<x) - 11 < t y. por tanto, lim

P r o b l e m a 20-22 b ié n

gtx»

- I.

y atj m j,c u n d e s a rro llo lim ita d o d e o rd e n n e n u n e n to r n o d e 0. ta m

a d m ite en ese e n to r n o un d e s a rro llo d c o rd e n r p a ra to d o n ú m e ro n a t u r a l r £ n.

S o lu c ió n .

P o r hip ótesis, ex iste un polinom io Y

u,x* tal que / (x ) ■ u0 ♦ u ,x + ... + u,x‘ + o<x*L

1 -0

k > r

a,x* - u ix 'l Por otra p a rte sabemos que o(g) + o(g) - c*y); entonces, para todo r < u.

a , . xx r " + f l , . / * 1 ♦ - ♦ a-»- - «><*0 ♦ o ix ') + ... + aixT) - ofx'* P o r consiguiente. f [ x ) • ti® ♦ a ,x +• ... + a j ? + «(x*).

A P R O X IM A C IO N P O L IN O M IA l D E L A S F U N C IO N E S

P r o b le m a

20-23

263

S i f a d m ite un d e s a rro llo lim ita d o d c o rd e n n c n u n e n to r n o d c 0 . ese

d e s a rro llo e s ú n ic o .

S o lu c ió n .

Supongamos que / nene dos desarrollos limitados cn un entorno de 0: f i x ) = «lo ♦ u ,x + ... + a ^ + o«x-) f [ x ) ** b0 + b ,x + . . . + 6 .x " + of*“)

y demostremos que para todo i € [ 0 . n ] se nene a, -

b,. Haciendo la diferencia se encuentra que

0 = a0 - b0 4 (a, - h ,)x

+ ... + (a. - 6 Jx * + o<x“ |

II)

y ra/onemos por recurrencia sobre n. a ) I j » propiedad cs verdadera para n - 0. E n efecto, la función nula 0 admite un desarrollo limitado dc orden 0 . deducido dc ( I ). suprimiendo lodos los términos dc grado superior a 0. Entonces 0 - a0 - b0 + + <4*°) Oo m b0. b ) Suponga que a, - b, para 0 S i < n, y demostremos que a . = f t . P o r hipótesis dc recurrencia,la relación ( I ) da 0 • (a. - b jx ’ + o<x*) =>*».= bm.

P r o b l e m a 2 0 -2 4

S e a / u n in te rv a lo c e rra d o c o n 0 e /. S u p o n g a m o s q u e la fu n c ió n g E n to n c e s J " g {t)d t — o (x m* *).

es in te g ra b le s o b re / y q u e c n to d o e n to r n o d c 0 se tiene £ =

P o r hipótesis para todo t > 0. existe un intervalo J que contiene a 0 tal que í c J •* I4 l)| < < t |l|". C o m o g cs integrable cn /, con más razón cs integrable cn I r , J . E n consecuencia, para todo x f l r \ J

S o lu c ió n . y X a 0:

Pa ra x f i n J

y x < 0 se escribe j

[ P r o b le m a

2 0 -2 5 , 5 u p o n g a

¡ S £

1401 d i S e ^ U P d í - c

■

^ fu n c j ¿ n / a d m i t e u n d e s a rro llo lim ita d o p d e o rd en n

cn u n e n to r n o d c 0 y q u e a d e m á s / e s in te g ra b le c n un in t e r v a lo c e rra d o q u e c o n tie n e a 0. E n to n ce s j V ( 0

a d m ite c n e l e n to r n o d e 0 u n d e s a rro llo lim ita d o d e o rd e n

+ I id é n tic o a

£ p ( f ) di.

Po r hipótesis, existe un polinom io p. dc grado a lo más n, tal que f [ x ) — plx) + o(x"L y un intervalo cerrado /. que contiene a 0. y cn el cual cs integrable /(x). Com o el polinomio p(x) cs integrable, entonces la función /|x ) — p(x) — oix") es integrable cn /. .Según el problema anterior se obtiene

S o lu c ió n .

j '/ lO d r -

__________________________

S o lu c ió n .

H a lle

- 4 X - 1)

el d e s a rro llo lim ita d o d c ln ( I

+ x ) ; a r g tgh x ; a r e tg x ; a re sen x.

Haciendo la división según las potencias crecientes, hasta el orden n. de I por I - x. se halla que I - r- í

I -

, X

X J

** * 1 +

... +

X " +

I -

264

A P R O X IM A C IO N

P O Ü N O M IA L D E L A S F U N C IO N E S

E n consecuencia, en lodo intervalo I que contiene a 0, y al cual no pertenece I. se tiene x e 1 ** T ^ T

■ i + * + ... + x " + <'<*’ )

A plicando el problema anterior. I — í ( I + x + . . . + x") + o<x"). Jo 1 — x Jo a) Cam biando x por —x se obtiene para todo intervalo /' tal que 0 e /' y ln (1 + x ) = x - ~ - + -~- - ... + ( — i r

- 1 i V la relación

+ C4X-*').

Sum ando miembro a miembro se obtiene arg tgh x = y b)

= x + ~

ln ¡

+ ... + 2p"-¡. T

+ <Ax2* ' a)

P a ra todo x e R . y + y r = I - x a + x4 - ... + ( - I f x 3* + o(xa" ' ' ) y. según el problema an I - ... + (- ir- . + o(x a 2n + I P a ra todo x e J ( J es un intervalo que verifica 0 e J . — I i J , I i J ) .

terior. are Ig x ■» x — c)

I y n r p

. 4I » .I + - ■ 2

, +. 4 113 4 . ^ + ... + . L

+ o{X ‘ "

•)

2 - 4 . . . 2/t

2 -4

Integrando para todo x c J se obtiene

■«— P r o b le m a

« * Í t 4T T T

20-27

I •3 ... (2 n — I ) 2 • 4 . . . 2/i

xJ 2/i

+ <Ax2" 2)

fu n c j o n e s y y g tien en d e s a r r o llo s lim ita d o s p y q d e o rd e n n e n un

e n to r n o d e 0 . y s i lim f ( x ) = 0 . e n to n c e s < 7 0 / a d m ite , en u n e n to r n o d e 0 . u n d e s a rro llo d e s •«> o rd e n n, o b te n id o s u p rim ie n d o d el p o lin o m io c o m p u e s to q o p los té rm in o s d e g r a d o s u p e rio r a n. S o lu c ió n . P o r hipótesis, J { x ) = p(x) + ofx") = a ,x + a ,x 2 + ... + a j T + oix*). g{u) - q(u) - o(u“> = h0 + h ,u + b ¡u 2 + ... + fc.u* + o(u*). Según el Problem a 20-16. para todo k e [ l , n ] la función J \ x ) admite un desarrollo lim itado de orden n obtenido al suprimir del polinomio p*(x) = [u ,x + a ,x 2 + ... + . + a X Y los términos de grado superior a n. Según el Problem a 20-16. la suma q o p(x) = ¿ 6 ,[u,.v + ,t .\ : + ... + a.x*]‘ admite un desarrollo *»o.

rfx). de orden n. obtenido al suprimir de q »/> los términos de grado superior a n. Entonces q o pix) = r(x) + m

+ o(x"). Según los desarrollos d e / y y se obtiene y o /(x ) = ]T bk[ a ,x + ... + a„x" + íH V |]‘ + c / J/ fx )]. A• O

L a diferencia y o f — q o p es el producto de <4x*l por un polinom io y. por tanto, por una función acotada en un entorno de 0. P o r consiguiente, y » f x ) ■ « » p(x) + o(x*), de donde y o/(x ) - r<x) + o(x'J.

P r o b le m a scn h [ l n ( I S o lu c ió n ,

20-28

C a lc u le e l d e s a rro llo lim ita d o d e o rd e n 5, en u n e n to r n o d e 0. d e

+ x )]. ln (1 + x ) = x

X a

x4 ■ — + - y - + o(x5) y scnh u = u

+ y

Remplazando el desarrollo de ln ( I + x) es necesario calcular u* y u5. X

' -1

Entonces scnh [ln (1 + x )J = x

I 5

i " '

120

I 120 -------------- + o<x5).

U 1 6

+ 120

A P R O X IM A C IO N

P O L IN O M I A L O E L A S F U N C I O N E S

. 12 c o sh X - - - _

P r o b l e m a 2 0 -2 9

5x2 ■

C a lc u le l i m ----------- ¿ se n * x

x-o

S o lu c ió n .

265

1.a función dada en un entorno de 0 es de la forma 0/0. Lo s desarrollos de orden 2 para las fun

ciones sen x y cosh x son cosh x = I +

-y-

+ o(x2) y sen1 x — x 2 + ofx2). H aciendo la división según

las potencias crecientes da

. JL„a

12 _ 5x7- = I + -6

+ <**’ *

Entonces c o sh x =

12 + 5x2 12— ^ =

x2 , ,, - _ + o(x ) - y

+ tí(X 2)

E n un entorno d e x = 0. la función propuesta se puede escribir com o — j p -f~o(x3)

. = — 3 +

decir, el limite buscado es - 1/3.

P r o b l e m a 2 0 -3 0

S o lu c ió n .

— --- — ------ , a > 0. a r c tg x - a r e tg a

C a lc u le l i m

E n un entorno de x = a. la función propuesta es d e la forma 0/0. L a fórmula de T aylo r para

x - a da arc tg x = arc tg a + — ~ °

¡ + -y + o(x - a).

P a ra obtener el desarrollo lim itado d c x ' - o ' s c a x = a + /t. Entonces {a + h r = a - | l + A ) ‘ .

o»

+ -2_ A

+ *„> ] y

= ü- •a* = ü*

- a-[l + h ln

+ o(h)]

Restando miembro a miembro se obtiene (a + h f — t í " * = tí*(I - ln a)h + o(h) Entonces

* -& & & * ■ ■

V J -

-ln°’

P r o b l e m a 2 0 -3 1 C a lc u le :

S o lu c ió n ,

a ) lim

b ) lim

S i |x| está próximo a x , entonces l/x está próxim o

definida. Además, ln y »

11 +

^ |l

a0. y la función y

~ <’‘,J c o , g ~ *

= 11 + y J

está

A J .

S u desarrollo lim itado de orden 2 es ln | l

+ “ j = A — i-

|n y ■ a _

+ o | - J j j. Por consiguiente,

(I)

lim

de donde lim ln y = a y y = «•*. 1*1'" 1*1'» ¿»)

Según ( I ) se tiene que

11 +

-A

= exp

—

"( )J“ ,"'CXP <

do cn cuenta que un entorno de u ■ 0, e* = I + u + o(u), se obtiene

+0<l/*)J

Tenien

266

A P R O X IM A C IO N

P O L IN O M I A L D E L A S F U N C I O N E S

P o r consiguiente, en un enlom o de |x| « x ; .

cos-L

coig

Para un enlom o de |x| - » pedido vale — ~

( • ♦ y )

“ í * = f* | -

+ °( x ) j

Adcmás’

| + o ( I )

= - j -- 7 T T = x + ° — + o( — I x \x/

f sen — x

se obtiene £ | l +

(i)

- e "J col

+ o(l>: por lanío, cl limite

E JE R C IC IO S P R O P U E S T O S 1.

H alle los polinomios de T aylo r para las siguientes funciones:

" T Xr TX - g,ado n cn 0 I -

Resp.: a ) «x > = I + x -l- ~

H alle

los desarrollos limitados de orden 4 para i„ J2 L * . ;

a ) f [ x ) - e * " \ grado 3 en 0;

6) / - (| + sen x ) ' " ;

;

6) P (x ) -

las siguiente

I -

x2- ... + ( -

funciones cnun

f = ln

entorno de x

d) f - j / l - / ! “ -“ ? ;

f = x(2 + cos x) - 3 sen x.

Establezca las siguientes desigualdades: a)

(I + x Y

(I + x f S I + rx +

- 4

I + rx, x £ - I

+ 7

r - 4

y r ¿

I ;

x\ x ¿ 0 y

rf)

X1 X - - J| s sen x S x -

s “ s* s , X*

r£

+ T r - ít£ [ - f - T ] '

x’ + - Jj- , X e [0 .3 ]

Calcule con 4 decimales, empleando polinomios de T a y lo r : a ) sen 0.13;

b) co s0,13;

Escriba la

fórmula de T a y lo r con término complementario U|-*« + . x € R y a » 0. Muestre que | R a. ,(x)| <

cnforma de integral para /(x ) ■ sen

Escriba la fórmula de T aylo r con residuo cn la forma de Lagrange para: a ) f { x ) = ln ( I + x ): - 1 < x < + x . a = 2, n = 4; h) /fx ) = arc tg x ; -

^ 5 !5 í.

< x < y . a » 0. n - 3.

Escriba la fórmula de T a y lo r con residuo cn forma de C auchy para f ( x ) = ( I - x ),/2 - I < x < I y a ® 0.

H alle que arc tg x = U n a fu n ció n / lim ( l + x + Indicación.

+ R , J x ) . I R j J x J I <; tiene una d e riv a d a c o n tin u a cn to d a s ' - e». H aU e /(0 X m

T ÍO » y lim ( l +

S i lim g ix) = A => pfx) = A + o ( I J si x -• 0. R esp.: m »*°

. O S x S l . partes y verifica la relació n *

- 0, / ( 0 ) - 0. / ‘(0) = 4. lim = e2 *-o H alle c l polinomio de grado m ínimo tal que sen (x - x 2) - P(x ) + o(x6) si x — 0. x * . x4 59x' . x6

A P R O X IM A C IO N

10.

P O U N O M IA L D E L A S F U N C IO N E S

Empleando la notación <«»> halle los siguientes lim ites: o) b)

e* - r*“ * lim —--- ——

« -o x X X

sen x

lim l—■ 2xJ ~

sen^r /

«f> lim ( * - ) *-o \ sen x / 11.

267

Resp.:

6)0;

c ) --3v/3

H alle los siguientes limites si x -• 0: . a)

ln (co so x ) In (eos fix) ' senh x + sen x - 2x _ x(cosh x + eos x - 2 ) * ( « + y r +- 7 f " ; (sen x )' —J _ _ (o“ ’* - I Via* - a ); m - w in sen á r" ), •*

‘

ir * h)

Resp.:

(tg x + sec x — I ) In («r* — I). sen 1 i J T V x

- J2 - x

Resp.:

lim (x- - a'J/dg. x - Ig, a); * ••

li m l^ x - y ¿ V ( l f c x - I);

lim [ x ( l + 1/x)* - exJ In (1 + 1/x )];

lim [x — In cosh (cosh x ) ] ; M*tO

lim [ ( X + f l ) ' * , w - x ‘ * * « " • » ] ;

lim [senh J x 2 + x - senh s/x2 — x J;

lim e-" * " senh x ; * * «O

lim [ ^ ln senh x — ^ x j ;

lim im

lim cotg x = —

i- e o s ( v r r í ^ D

I - '8 “ k)

0 m)

12.

lim

- i - f x - y x ^ i

Í X±

X o d );

«r*“ ‘ + eos mt

y> ; ”

lim ( r * '' ‘ - e^í/cos ~ . ; «*i 2 ,1 VMjZt)

[

- (

)* ]:

x - are sen x l i m ------ 1 ----

6‘

K (2 - 1 )

Calcule cl limite dc las siguientes funciones: a)

lim (tg x r * ' -

_ U m [x - x M n (l+ 4 ) ] - i - ;

lim | l - - j J 1* - = I ;

S( - ^ n

■ * ” 4

b) ! S ( ' + 1 )" c)

13.

lim (sen x^* * «-o

Sea g(x) = x V * y /(x) - £ **(3 ra

. es finito I ) 1' 4 di. P a ra un determinado valor dc c. el lim £ ¿r*• • « 9

y ¿ 0. Determine c y halle cl límite.

14.

a) b)

Resp.:

c = I , lim = -y v/3

Pruebe que si las funciones f y g tienden a U D o a O c u a n d o x -• x0(tía ± c o ) y son equivalentes, las funciones In / y In g son también equivalentes. S i x -• + x , las funciones definidas por In («r* — I ) y In e ' son equivalentes, determine el limite d c l a fu n c ió n / d e fin id a p o r f { x ) =

In | *** ~

* J.

C A P IT U L O

Cálculo numérico E n e ste c a p itu lo s e va n a d a r a lg u n a s a p lic a c io n e s del c á lc u lo p a r a a p r o x im a r la s ra íces d c una e c u a c ió n / ( x ) = 0 p o r v a r io s m é to d o s y el c á lc u lo a p r o x im a d o d c u n a in te g ra l p o r m e d io del m é to d o d c lo s tra p e c io s . D e fin ic ió n .

S e a / u n a fu n c ió n n u m é ric a , d e fin id a y c o n tin u a y c o n d e riv a d a s su fic ie n te s en

u n in te rv a lo l e

R . U n n ú m e r o a es u n c e ro o ra íz d e la e c u a c ió n si f ( a ) = 0. S e p a r a r lo s c e ro s

d e la fu n c ió n f e s d e te rm in a r lo s s u b in te rv a lo s J e

I ta les q u e / a d m it e a lo m ás u n c e r o en J .

E l p r im e r m é to d o co n siste en e s tu d ia r la s v a ria c io n e s d e / e n / ; se d e te rm in a el sig n o d e / '. S i se c o n o c e n lo s c e ro s d c f e l p ro b le m a q u e d a resuelto. D c lo c o n t r a r io se re p ite el m is m o p ro c e s o c o n / ’.

S e p a r a c ió n

g r á fic a d e

la s ra fe e s

S i la e c u a c ió n q u e se v a a e s tu d ia r es d e l tip o f ( x ) - g lx ) = 0, es ú til c o n s tr u ir el g ra fo d c las fu n c io n e s y = f ( x ) y y = y (x ). L a s a b scisa s d c lo s p u n to s c o m u n e s a los d o s g ra fo s son la s ra íces d c la e c u a c ió n p r o p u e s ta ; d e c im o s q u e h e m o s s e p a ra d o g rá fic a m e n te la s ra íces d c la e cu a c ió n .

C á lc u lo d e r a fe e s p o r s u s titu c ió n S i se h a d e te r m in a d o u n in t e r v a lo / = ]a .f e [ d o n d e la fu n c ió n / tie n e u n a ra íz r, y u n a s o la , y en el c u a l es m o n ó to n a . P a r a fija r la s id eas su p o n g a q u e f e s c re c ie n te e n I. E lija m o s a r b it r a r ia m e n te a x , e l y c a lc u le m o s / ( x , ) . S i / ( x , ) < 0. e n to n c e s r e ] x , . b [ y se a / , = ] x „ b [ . S i / ( x , | > 0. e n to n c e s r e ]</. x , [ y sea / , = ]< / .x ,[. A s i h e m o s d e te r m in a d o u n in t e r v a lo / , ta l q u e r g / , c

R e ite r a n d o el p ro c e d im ie n to p a r a /, se o b tie n e u n in te rv a lo l 2 q u e v e rific a r e / 2 «= / , c

A s i h e m o s c o n s tr u id o u n a su c e sió n d e in te rv a lo s e n c a ja d o s c u y a s e x tre m id a d e s e n c a ja n la r a iz r : la se m isu m a d c la s e x tre m id a d e s d e /„ es u n v a lo r a p r o x im a d o d e r c o n u n e r r o r in ferio r a 1 ^ 2 ; 1„ es la lo n g itu d d e /„. L a s m á q u in a s e le c tró n ic a s u tiliz a n el s is te m a b in a r io y e sto h a c e q u e u tilic e n e l m éto d o a n t e r io r , b is e c a n d o lo s in te rv a lo s . S i el in t e r v a lo d c p a r tid a es / = ] a . b [ . a y b so n e n te ro s c o n s e c u tiv o s . S e e lig e x , «= (u + b )/Z d esp u é s la m ita d d c / ,, y as i s u c e siva m e n te . S e h a n o b te n id o a s í in te rv a lo s e n c a ja d o s c u yas e x tre m id a d e s s o n lo s n ú m e ro s b in a r io s y e n la e ta p a n-ésim a la lo n g itu d d e / , e s 1/2". L a m ita d d e l „ es u n v a lo r a p r o x im a d o d e r. 268

CALC ULO

N U M E R IC O

L fm it e d e la u tiliz a c ió n d e l m é to d o E n la m a y o ría d c lo s ca so s el c á lc u lo d c / ( x ) e s lá c o n d ic io n a d o p o r el u so d e la s la b ia s n u m éricas y el e rr o r q u e se c o m e te d ep en d e d e la a p r o x im a c ió n d c la s ta b la s q u e se em pleen.

M ET O D O

D E L A S P A R T E S P R O P O R C IO N A L E S . IN T E R P O L A C IO N L IN E A L

E n l a s t a b l a s d e f u n c io n e s s e le e n l o s v a l o r e s d c u n a d e t e r m i n a d a f u n c ió n / ( s e n o , c o s e n o , e tc .) p a r a d e t e r m i n a d o s v a lo r e s e s c a l o n a d o s d c l a v a r ia b le . S e a n a y b d o s d e t a l e s v a lo r e s c o n s e c u t iv o s d c l a v a r ia b le . S i s e q u i e r e d e t e r m i n a r / ( x ) p a r a x e J u , h [ . s e u t il i z a e l m é t o d o d e la i n t e r p o l a c ió n l in e a l q u e c o n s i s t e c n s u p o n e r q u e f i x ) - f i a ) c s p r o p o r c i o n a l a x — a c u a n d o x r e c o r r e el i n t e r v a l o / = [ u . ó ] . M á s e x a c t a m e n t e se r e m p l a z a la fu n c ió n / " p o r la f u n c ió n y d e f in i d a p o r ffix ) - / j a )

= f(b ) - f [ a )

x — a

b — a

c s d e c ir , g (x ) = f i a ) + ( m h ~ {f

) (* - a )

(21-1)

L a F i g u r a 21-1 m u e s t r a e l g r a f o d e / ( a r c o A B ) e n el i n t e r v a l o /. g e s t á r e p r e s e n t a d a p o r la c u e r d a A B . P a r a to d o x

/ . y l o s p u n t o s m : ( x ,/ ( x ) ) y p : (x . </(*)). s e tie n e

q u e /(x ) -

é/(x) = pm.

E r r o r p ro d u c id o

p o r la

in te r p o la c ió n

E l e r r o r c o m e t i d o p o r e s t e m é t o d o e s t á d a d o p o r s u p [ f ( x ) - g [ x ) |. tri

E s t u d ie m o s la f u n c ió n h = f - g. S u p o n g a q u e / e s d o s v e c e s d e r iv a b le e n / y l a d e r iv a d a s e g u n d a a c o ta d a en / . E n to n c e s h " = f " . L a f u n c ió n |/ i| e s c o n t i n u a e n e l i n t e r v a l o c e r r a d o / y , p o r t a n t o , t ie n e u n e x t r e m o s u p e r i o r . e s d e c ir , e x is te c g / t a l q u e |/i(c )| =

s u p | / i ( x ) | . E n t o n c e s h { c ) = 0 . C o m o a y h d e s e m p e ñ a n el u(

m is m o

p a p e l, se

puede

suponer que

e stá

m ás

p ró x im o

A p lic a n d o la fó rm u la d c T a y lo r a l in t e r v a lo [ a . c ] , existe

/H</> = h (c ) + ia - c )h 'ic ) +

dc a

que dc

£e] a . c [ ta l que

- h ' U ) ; h {a ) = 0 ; h \ c ) = 0 ; h "(x ) = / " ( x )

y , p o r tanto. h (c ) = - —

h , c s d e c ir.

d c d o n d e /i(c) 5

s u p |/ "(x )| >ci

A s í h e m o s o b te n id o u n m a y o ra n te p a r a el e rr o r d e b id o a la in te rp o la c ió n

( b

a > '

s u p 1/~ 'U ) I

C A L C U L O N U M E R IC O

270

M é to d o d e

la s p a r t e s p r o p o r c i o n a l e s

S i / c s u n a fu n c ió n q u e tiene u n a ú n ic a ra iz r en I = ] « , b [ , r e s la ab scisa del p u n to d e in tersec c ió n d el a r c o A B c o n c l eje X . C a lc u la r r seg ú n c l m é to d o d e la s p a rte s p ro p o rc io n a le s (m é to d o d e L a g ra n g e ) e s to m a r p o r v a lo r a p ro x im a d o d e r la a b s c is a x „ del p u n to d e in te rse c c ió n del e je X c o n la c u e rd a A B . E s d ecir, se re m p la z a / p o r la fu n c ió n g d e la in te rp o la c ió n lin e a l a n t e r io r ; se to m a p o r v a lo r a p r o x im a d o d e r la ra íz x 0 d e g ; la re la c ió n (21-1) d a

ttn\ b ~ ° n ) m -f(a)

afih) ~ b m m - m

E r r o r d e b id o a l m é to d o E l e r r o r q u e se c o m e te es |r — x 0 |. S i en ! , f y / " c o n s e rv a n c l m is m o s ig n o , e n t o n c e s / / " > 0 im p lic a q u e « x es u n a p r o x im a n te d e r p o r d efecto». S i / ' / " < 0 im p lic a q u e « x es u n a p ro x im a n te d e r p o r exceso».

R e ite ra c ió n d e l m é to d o S u p o n g a q u e / tien e u n a ra íz ú n ic a r en c l in te rv a lo / = ] a , b [ y q u e / 1 > 0 . / " > 0. E n to n c e s c l g ra fo d e / e n / es d e l tip o q u e m u e stra la F ig u r a 21-1. U n a p rim e ra a p lic a c ió n del m é to d o de L a g ra n g e d a u n v a lo r x „ a p ro x im a d o d e r p o r d e fe c to : a < x 0 < r < b. A p lic a n d o d e n u e v o el m é to d o a l in t e r v a lo / , = ] x 0. I>[. se o b tie n e u n v a lo r a p ro x im a d o x , d e r p o r d e f e c t o : x 0 < x , < r < b. R e ite r a n d o el p ro c e d im ie n to , se c o n s tru y e u n a su c e sió n c re c ie n te { x . } q u e co n ve rg e a r. L o s in t e rv a lo s e n c a ja d o s / „ = ] x m. b [ tien en el e x tre m o fijo y su lo n g itu d n o tien d e a c e ro . E l e r r o r q u e se c a lc u la en c l p rim e r in te rv a lo p e rm ite c o n s tr u ir c l in te rv a lo J 0 = ] x „ , x ó [ c /. ta l q u e r e J 0, a l c u a l se le v u e lv e a a p lic a r c l m é to d o . A s í h em o s c o n s tru id o u n a sucesión de in te rv a lo s e n c a ja d o s Jo<= Ji< = */2 c

...

c u y a s e x tre m id a d e s e n c u a d ra n c a d a vez m á s a r„. L a re ite ra ció n se lim ita a la a p ro x im a c ió n d e l c á lc u lo d e x „ y x'..

M E TO D O

D E

N E W TO N

C o n s id e re u n a f u n c ió n / q u e tie n e u n a ra íz ú n ic a e n el in te rv a lo / = ] a , b [ . S u p o n g a q u e / ’ y / " c o n se rv a n c l sig n o c o n s ta n te en /. E n t o n c e s / e s m o n ó to n a en esc in te rv a lo y su g ra fo tiene su c o n c a v id a d d irig id a h a c ia la s y > 0 o h ac ia las y < 0, según q u e / " sea p o s itiv a o n e g a tiv a . L a F ig u r a 21-2 m u e stra el g ra fo d e u n a fu n c ió n / c o n / ' < 0 y f " > 0 en /. E l m é to d o d e N c w t o n c o n s is te en to m a r p o r v a lo r a p r o x im a d o d e r la ab scisa x 0 del p u n to d e in te rse c c ió n del e je X c o n la a ta n g e n te a l a r c o A B en u n a d e su s e x tre m i dades. L a ta n g e n te e n A tiene p o r e c u a c ió n y — f i a ) = / '( f l)( x - tí). C o r t a c l e je X en cl

p u n to d e a b s c is a x 0 -

u -

F ¡ g u r a 21. 2

C A L C U l O N U M E R IC O

271

S e lo m a x 0 p o r el v a lo r a p ro x im a d o d e la ra iz r d e / E n c a d a c a s o c s iu d ia d o es c o n v c n ie n ic asegurarse q u e x 0 este e n tr c ’a y r p a r a q u e el m éto d o sea ven tajoso. E l m éto d o es ven tajo so c u a n d o se a p lic a a u n a e x tre m id ad del in te rv a lo I s i / y / " son del m is m o signo. L a F ig u r a 21-2 m uestra q u e el m é to d o se p u ed e a p lic a r a l e x tre m o A y n o a B .

E r r o r d e b id o a l m é to d o S u p o n g a q u e se p u e d e a p lic a r ven tajo sam e n te el m éto d o a l e x tre m o a d e / y sea r = a + h. C o m o r es ra iz d e / en to n ces f a + h) = 0. A p lic a n d o la fó rm u la d e T a y lo r se obtiene 0 = f { a + h) = f ( a ) + h f ( a ) + —

E n to n c e s . h = — que x0 - a -

—i r 2

fia )

/ (u)

f ia

+ Oh), 0

e]0. I f

¡ su m a n d o a a los dos m ie m b ro s y te n ien d o en cuenta

se o b tie n e r = x 0 -

h 2

f \ a

+ Oh)

j-•

Com o / ' y f so n d e l m is m o s ig n o /, se c o n o ce el s ig n o del e rr o r r - x 0 y. p o r ta n to , el se n tid o d e l e r r o r c o m e tid o ; x 0 es v a lo r a p ro x im a d o p o r d efecto d e r o p o r exceso, según que

r r < o or r

> o.

U n m a y o ra n te d e l e rr o r es r - x „ <

^ 2 [ f ( a )\ ~ SUP ^

A p l i c a c i ó n s i m u l t á n e a d e lo s m é t o d o s d e

L a g ra n g e

y N e w to n

S i / e s u n a fu n c ió n q u e a d m ite u n a r a iz ú n ic a r en e l in te rv a lo / y tien e d e r iv a d a s / ' y f d e signos opuestos en /. el m é to d o d e L a g ra n g e a p lic a d o a / d a u n v a lo r x 0 q u e a p ro x im a a r p o r defecto < 0. E l m é to d o d e N e w to n d a u n v a lo r xó q u e a p ro x im a o p o r exceso, según q u e / ' / " > 0 o f f a r p o r d efecto o p o r exceso, según q u e f f < 0 o f f > 0. P o r co n sig u ien te, la ap lic a c ió n sim u ltá n e a d e los d o s m é to d o s d a d o s va lo re s a p ro x im a d o s x 0. q u e e n c u a d ra n a r. T o m a n d o

~ ~+2

P o r v a lo r a p ro x im a d o d e r

se c o m e te

u n e rr o r in fe rio r a | x °

— - °- j . S e puede re

p e tir el p ro c e d im ie n to a l n u e v o in te rv a lo o b te n id o d e e x trem id ad es x 0 y xó y o b te n e r u n n u e v o c n c u a d ra m ic n to m ás p ró x im o a r. R e ite ra n d o el p ro c e d im ie n to , se o b tie n e u n a su cesió n d e in te rv a lo s e s tric ta m e n te encajados. V e a e l P r o b le m a 21-8.

C A L C U L O

A P R O X IM A D O

A lg u n a s in te g ra le s, c o m o ^ v ' l T 7

D E

IN T E G R A L E S

D E F IN ID A S

o ^ v l + s e n 2 x dx, n o se pu eden e x p re s a r p o r fu nciones

elem en tales. S in e m b a rg o , estas in tegrales se p u ed en c a lc u la r n u m é ric a m e n te p o r v a r io s m étodos. C o m o lo s p o lin o m io s so n la s fu n cio n es m ás fáciles d e in te g ra r, se v a a a p r o x im a r el in te g ra n d o d e u n a in te g ra l d e fin id a po r m e d io d e u n p o lin o m io a d e c u a d o , y a a c e p ta r la in teg ra l del p o lin o m io a p ro x im a n te c o m o la in teg ra l pedida.

M é t o d o d e lo s r e c t á n g u l o s Se a/ u n a fu n c ió n in te g ra b le en un in te rv a lo / = [ a . />]. V a m o s a c a lc u la r los v a lo re s a p ro x im a d o s d e la in te g ra l a =

I / ( x ) dx.

C A L C U L O N U M E R IC O

272

T o d a su m a d c R ic m a n n se p u ed e c o n s id e ra r c o m o u n va\oT a p ro x im a d o d c a . C o n s id e re ú n ic a m e n te la s p a rtic io n e s d e l in t e r v a lo / en partes ig u a le s ; a lo d o n ú m e ro n a t u r a l n e N * se a s o cia la p a r tic ió n p . d e fin id a p o r : a - x „ < x , < x , < . . . < x . _ , < b ■= x „ c o n k e [ 0 . n -

I j . x , . , - x , - — -—

C o n s id e re la su m a d c R ic m a n n : - (x , -

u )/ (a ) + ( x , - x , J / ( x , ) + . . . + (fc - x . _ , ) / ( x . _ , ) -

“ S a b e m o s q u e lim «7. -

bZ °

is w +/<x«>+—+/<x->1

S i / ( x ) 2 0 e n /, o rep resenta el á r e a del c o n ju n to A : a g x £ h , 0 ^ y £ / (x ). a . es la su m a d c la s á r e a s d e lo s re c tá n g u lo s q u e tienen p o r bases lo s in te rv a lo s d c la p a rtic ió n , c u y a s a ltu ra s se in d ic a n e n la F ig u r a 21-3. L a sum a d e la s á re a s d c lo s re c tá n g u lo s se to m a c o m o el v a lo r a p ro x im a d o d el á r e a d e A. L a s m ism a s c o n s id e ra c io n e s se pu eden a p lic a r a la o tra su m a d c R ic m a n n a s o c ia d a a la p a rtic ió n p „ : b - a

iy < x ,) + / (x ,> + . . . + / ( & ) ]

E n to n c e s lim a . » a e s u n a su m a d c la s á re a s d c lo s re c tá n g u lo s q u e d a n u n v a lo r a p ro x im a d o d el áre a d e A. D e fin ic ió n . U t i li z a r el m é to d o d c los re c tá n g u lo s p a ra c a lc u la r la in teg ra l a es t o m a r p o r v a lo r a p r o x im a d o d c a . a „ o a ‘m.

M é to d o

lo s tra p e c io s

T o m a n d o p o r v a lo r a p r o x im a d o d e la su m a a la se m isu m a sH d c o „ y a'u ,

+ a'

„

h ~ tf

+/<*>

+ / ( x , ) -f . . . + / ( x . .

e l n ú m e ro s . rep resen ta en la F ig u r a 21-3 la su m a d e la s á r e a s d c lo s tra p e c io s re cta n g u la res, c o m o m ’2m 2m ,m ’,. D e fin ic ió n . U t iliz a r e l m é to d o d e lo s tra p e c io s p a ra c a lc u la r la in te g ra l a es to m a r p o r v a lo r a p r o x im a d o d c la in te g ra l a e l n ú m e ro sr

E r r o r d e b id o

al m é to d o

P a r a to d o in t e r v a lo [a . p ] ' d c p a rtic ió n pmse re m p la z a la in teg ra l d e fin id a J d e l tra p e c io (p -

f ( i ) d i p o r el áre a

C o n s i d e r e la f u n c ió n g . d e [ a . p ] e n R , d e f in id a p o r

C A L C U L O N U M E R IC O

gix) -

j*f ( t ) d t

- (x — a )

273

- . E l e r r o r c o m e t id o e n e l i n te r v a l o [ x x ] e s |$(x)|. S u

p o n g a q u e / e s d o s v eces d e r iv a b lc e n / = [ a . b] ; e n to n c e s g e s t a m b i é n d e r iv a b lc e n e sc i n te r v a l o y s e t ie n e q u e g '( x ) =*

[/(x ) - /( a ) -

( x - a )/" (x ) ]. A p lic a n d o l a f ó r m u la d e T a y l o r a la

f u n c i ó n / e n e l i n te r v a l o [ a , x ] e x is te u n c c ] x x [ ta l q u e

g(x) = Sea m -

(21-2)

-l * y g £ /V )

s u p |/ " ( x ) |. i«l

S e g ú n (2 1 -2 ). r e s u l ta la d e s ig u a ld a d ( x - a )2 - m - — y — £ tf’( x ) ¿ m

in te g r a n d o c o n r e s p e c t o a l i n te r v a l o [ a . x ] y t e n ie n d o e n c u e n t a q u e J**g ' U ) d t =• jyfx). se o b tie n e

(x - *>’

C ■

(X “ a)1

E n to n c e s , p a r a t o d o i n te r v a l o [ x P \ e l e r r o r q u e se c o m e t e \ g i p ) \ e s t á m a y o r a d o p o r

iP -

«)J _ _ ( / » - fl)J m”

TSñ5

E l e r r o r t o ta l q u e s e c o m e t e a l r e m p l a z a r a p o r sm e s t á a c o t a d o p o r e l p r o d u c t o d e l n ú m e r o a n te rio r y n :

k - O. | £

S i f " > 0 c n / . la r e la c ió n (2 1 -2 ) m u e s tr a q u e g £ 0 y g <, 0. D e e s t o r e s u l t a q u e s . e s u n v a lo r a p r o x i m a d o p o r e x c e so . S i / " <, 0 c n / . a„ e s u n v a lo r a p r o x i m a d o p o r d e f e c to d e a .

R EG LA

D E

E l m é t o d o s e b a s a e n a p r o x i m a r la in te g r a l

S IM P S O N

f [ x ) d x p o r el á re a , c o m p re n d id a p o r d e b a jo

d e l a p a r á b o l a q u e p a s a p o r lo s p u n t o s ( x , _ y , _ ,). | x

. yt ,

J y (x„ y X con x

274

C A L C U L O N U M E R IC O

«*

X| ; I -

n . q u e e s e l p u n ió m e d io d e l in te rv a lo

0 , 1. 2 , 3

v a lo r c o rre s p o n d ie n te d e f

S i la p a r á b o la tie n e p o r e c u a c ió n F ( x ) =

+ «* + O d x =

J W

B x 4 CxJ * = - j A t f 2 -

+ y

[2 v 4 (« * 4 a / l 4

3 « a 4 0) + 6 C ]=

/Ia) 4

+ 4 C + A0* + B 0 + c ]

+ 4 0

S i s e e lig e a a -

x ,_ „ 0 =

<*a ) + y

[ x , _ „ x j y y ,.«

A x2 +

« £ a -

Bx +

|f < « ) 4 4 F

C . e n to n c e s

a a ) 4 Q f i - ot) -

[¿ a t1 4 B x + C + 4 4

e s cl

( ^ y ^ J

j^ y ^ - ) + w

x (, s e h a l l a q u e c l á r e a c o m p r e n d i d a p o r l a p a r á b o l a , c l e j e X

y que

p a s a p o r lo s tr e s p u n to s e s tá d a d a p o r

[/ (,- ,) +

p u e s to q u e / (x ) y F (x )

4/< xi)J =

[ y , _ , 4 4y._j 4 y , J

c o in c i d e n s i x — x , _ , . x , _ j , x , . A p r o x i m a n d o p o r l a s u m a d e l a s n

á r e a s d e e s t e t i p o , s e o b t i e n e l a r e g la d e S i m p s o n :

jV (x ) d x -

^Vi_ x + 4y,_| 4 y,) - —¿p - (y0 + y.) + 2 ( y , + y2 + ••• +

+ y - i) + 4

+ — + > .-})

E r r o r d e b id o a l m é to d o

S e a F. -

J /(x )¿ x -

y su p o n g a q u e /

* ~ ,a

| y , - , 4 4 y ,_ i 4 y , J

e l e r r o r a s o c i a d o a la r e g la d e S im p s o n

t i e n e d e r i v a d a s h a s t a d e o r d e n c u a t r o e n [ a . />]. E n to n c e s

E ~

( 2 8 ¿ó í£

/ ,“ K>- 4 6 [ a - 6 ]

í2 , -3 )

PROBLEM AS R ESU ELTO S P r o b le m a 2 1-1 S o lu c ió n . r a íc e s d e f

S e p a re

la s

ra le e s

re a le s d e

e c u a c i ó n / ( x ) ■= 3 x 5 — 5 x 4 4

V e a m o s la s v a r ia c io n e s d e / . E n e f e c t o . f ( x ) -

I 5 x '( x -

l |i 4

T A B L A 21-1

/•< * ) fix )

-0 0

-1

-C D

4 1

/•

0 -1

4 ce 4 /*

I I E s t o m u e s t r a q u e la s

s o n 0 .1 y - I . L a T a b l a 2 1 -1 e s d e v a r i a c i o n e s d e / .

4ao

C A L C U L O N U M E R IC O

275

Entonces la ecuación tiene una, y solo una. raíz cn los intervalos ]- c o , —1 [, J 0 ,I[ , J l . + o c[. Com o f l —2) = — 55 < 0 y f(2 j = 57 > 0, la ecuación tiene una, y solo una, raiz real en los intervalos siguientes: ] - 2 . - I [ . ] 0 . l [ . ] l.2 [.

P r o b l e m a 2 1 -2

S o lu c ió n .

S e p a r e l a s r a íc e s d e la e c u a c i ó n / ( x ) = ( x + 1) a r e tg x -

= 0.

¡ + are tg x y / " ( x ) = ^ + ~ J í p • La tabla de variacio

L a derivada dc / es / '( x ) =

nes de la función está expuesta en la Tabla 21-2. T A B L A 21-2 X

— co

Í'M

n ~ 2

Ax)

-feo

•v

f [ 0) = —

/•

K 2

/■

a 2

y /"(O) = I > Q muestran que f

+ <©

Com o / * (- 1) - - | < 0 f [ — |) = —

-1

/■

T -feo

tiene una ral/ cn ] - l. 0 [ . Además,

/ J l ) = 0. Entonces I es la única raíz de la ecuación cn e l intervalo ] —co, — I [.

F i g u r a 21-5

C A L C U L O N U M E R IC O

P r o b l e m a 2 1 -3 S o lu c ió n .

S e p a r e la s r a k e s d e x e o s x = 2 s e n x .

O bserve que toda raíz de c m *

no es ral/ de la ecuación; la ecuación es equivalente

a tg x - - y . I j i Fig u ra 21-5 muestra lo s graío* de y — tg x y >• — - y . E J dibujo muestra que la ecuación propuesta tiene una. y solo una. raíz en cada uno de los intervalos ] "

P r o b l e m a 2 1 -4

2 + * « • -y

C a lc u l e la r a í z r d e l a e c u a c i ó n f [ x ) -

3x* -

5x3 + 1 = 0

q u e e s tá en

e l in te rv a lo ] 0 .1 [ . S o lu c ió n .

/ es creciente en /. Adem ás.

/ (I/ 2 ) - 3/32 - 5/K + I - 15/32 > 0. entonces r e / , - jl/ 2 . I [ /I3/4) - 3*/4* - (5 - 3*1/4* + I - -407/4* < 0 . entonce* r e / , /I5 /*> -

| r + I - 2143,-8* > 0. entonces r e / , -

JI/2 .3 /4 J

l5 * .3 / 4 [

Tom ando la semisuma de lo s extrem os de / , se obtiene 11/16, valo r aproxim ado de r. E n cl sistema binario, la representación de esc va lo r aproxim ado es 0.1011. E n ese sistema. 0,1010 < r < 0.1100.

P r o b l e m a 2 1 -5

D e t e r m i n e la r a í z d e l o g x + x -

0 u tiliz a n d o u n a ta b la d e lo g a ritm o s

c o n c i n c o d e c im a le s . E n la tabla con cinco decim ales, c - 5 • 10 * Observe que la función es creciente en R ‘ y. por tanto, tiene una raíz única en c l intervalo )0 . 1 [. puesto que / (0 ) < 0 y / ( I ) > 0. O bserve la T ab la 21-3.

S o lu c ió n .

TA BLA

X log X ñx)

21-3

0.5

0.25

0.4

0.399

0.39901

0.39902

1,69897

í . 39794

¡.60206

T.60097

T.600981

1.600992

0,19897

¡.64794

0.00206

T.99997

1.999991

0.000012

Ensayando con 0.5 y después con 0.25. en valo r absoluto, c l prim er resultado es inferior a l segundo. Por esta razón tom am os a 0.4 que está m ás próxim o de 0.5 que de 0.25. /|0.4) es m uy pequeño, y, por tanto, ensayam os con 0.399 próxim o a 0.4. /J0.399» es negativo y casi n u lo (3 • 10**). Ensayem os co n 0.39901 y 0.39902 utilizando la interpolación tabular. E l m étodo queda entonce* lim itado a esos números. Tom ando por valor aproxim ado la semisuma se obtiene r - 0.399015. con un erro r de 5 • 1 0 '*.

P r o b l e m a 2 1 -Ó

S o lu c ió n .

C a lc u l e l a r a í z d e / ( x ) = 3 x 5 -

relación x . -

x0 =

5x* +

a - fia )

( f H m 4ffJ

-V

— 5TO

1 - 0

e n c l i n t e r v a l o J 5 / 8 , 3 /4 [ .

<■*

. s o

_ X

407

3 *

2143

“ 4(407 4, x 2* ♦ 2145)

60668

C A L C U L O N U M E R IC O

277

que es el valo r exudo de x „. Para calcular el error |x „ - r | observe que b - . .

« ... o» 1/8 , I W - 7 W

407 x 2’ + 2143 15167 . . . g>---------------- ' dC d ° " d*

Po r 01ra parle, f~ {x ) - 30x<2x* - U L a función f r<5/*> - — — dedonde Com o f

y n m

(h - u>* 8 «171», r 7 f . i 1 " 15,67

es crccicnlc en /. puesto que

- 45/16; entonces sup |/ ~ W I -

|x „ - r| £

< 2J

35- ¿ ^

I0 *

no conserva el signo en /. no se conoce e l sentido del erro r Además. 0.6426 < x „ < 0.6427 ^

P r o b l e m a 2 1 -7

0.6401 < r < 0.6449

R e s u e lv a l a e c u a c i ó n / ( x ) = x 3 + 8 x -

2 -

S o lu c ió n . I j i derivada es / ‘(x) - 3x* + 8. que es positiva en R ; por consiguiente, es estrictam ente crc cicnlc en R . Adm ite una ral/, y una sola, que pertenece a l intervalo ]0 , l ( porque /|0| < 0 y / ( I) > 0. Tam bién /|l/4) — 1/4* > 0 y /(1/8) — 1/8* - I < 0. P o r consiguiente, la ral/ de / pertenece a l inter valo / = J 1/8. |/4[. L a derivada f es positiva en I y |/” (x )l £ 3/2. Entonces, según la regla, se puede aplicar el método de N ew ton a l punto 1/4. Se obtiene e l valo r de xa (por exceso, porque f f ~ > 0). 65 262 E l erro r que se comete es Ix . - r| S ---

1---x 1

8>x2 x f

S 1.5 10 *

E n to n e n el valor aproxim ado por exceso de x0 es x0 - 0.248!. con un error de 10"4. Sum ando los errores por exceso se obtiene 1.6- 10 * ; entonces podemos afirm ar que 0.2465 < r < 0.2481.

P r o b l e m a 2 1 -8

/ ( * ) = x J + 8 x — 2 = 0 . A p liq u e el m é to d o d e N e w to n y L a g ra n g e

p a ra c a lc u la r u n a d e sus ralees en e l in te rv a lo ]l/ 8 , l/ 4 [.

S o lu c ió n .

Aplicando el m étodo de lagran g e se halla que un valo r x ¿ que aproxim a a r por defecto es

515 1676

Entonces tenemos. considerando d resultado obtenido por d m étodo de New ton. que 515 2076 < r <

65 262

C alculando los dos valores, la prim era la aproxim a hasta IO -€* por defecto y la segunda hasta 1 0 "* por exceso: entonces 0,248073 < r < 0.248092 Tom ando b semisuma se halla que el valor aproxim ado de r es 0.248083. con un error inferior a 10 -í

C A L C U L O N U M E R IC O

P r o b l e m a 2 1 -9

E m p le e la r e g la d e S im p s o n p a r a c a lc u la r f

S o lu c ió n .

—

L a derivada cu arta de la integral es 24/x5 y . por tanto, el erro r E es tal que

E < 0 ' |£| á w

" w

(21-3)

- por

Elig iend o n - 5 se obtiene |£ | S 14 x 1 0 "6

(2 1 - 1)

E n este caso, la regla de Sim pson tom a la forma + 4( y „ a + y SlJ + y J ( í + y 7/2 + >*9/a)J [(y o + y j) + 2(y-i + y , + y , + y «j) +

a lcu lando todos los números con cinco decim ales se obtiene: X 0

>0 =

- 1 = 2 .0

+ y>

suma *1 *2 = -

*4 =

1 .0 0 0 0 0 0 ,5 0 0 0 0

1 ,5 0 0 0 0

* 1/2

1 .4

1,6

suma 2 x suma

1.5 1 .7 1.9

yw 2 = y j/2 a y s/j r .

0 .9 0 9 0 9

y?/2 yg,2 *=■

0 ,5 8 8 2 4

sum a 4 x suma

y i = 0 ,6 2 5 0 0 y 4 ~ 0 ,5 5 5 5 6

1 .8

l.l

x -,,2 = X9,2 =

y» = 0 ,8 3 3 3 3 y j = 0 ,7 1 4 2 9

i a

= =

0 ,7 6 9 2 3 0 ,6 6 6 6 7 0 ,5 2 6 3 2 3 ,4 5 9 5 5

= 13 ,8 3 8 2 0

= 2 ,7 2 8 1 8 = 5,45636

Entonces r *

a t 3t (1.5 + 5,45636 + 13.83820) = 0,693152 -3 0

Em pleando (21-1) y e l hecho del erro r redondeado es m enor que 5 x 10 '

0,693152 - 0,000019 < £

se h alla que

< 0,693152 + 0,000005

es decir. - * 0.69315

(21-2)

exacta hasta 2 x 1 0 "5. S i (21-2) se com para con e l valo r conocido, P — ta hasta 3 x 1 0 '* x

= log 2 = 0,69314718... es exac-

P r o b l e m a 2 1 -1 0 H a lle

í:

una

a p r o x im a c ió n

p a ra

v a lo r

+ x s d x , e m p l e a n d o l a r e g la d e l t r a p e z o i d e c o n n = 10.

S o lu c ió n .

Lo s cálculos y resultados se resumen en la T ab la 22-4.

Com o la sum a dc la últim a colum na es 22.24682, entonces el valo r de la integral es

<y<> + 2 y , + . . . + y j A x =

11,12341 10

= 1. 112, co n tres decim ales

i n te g r a l

e líp tic a

279

C A L C U L O N U M E R IC O

T A BLA 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0,5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.

0 0,001 0.008 0.027 0,064 0,125 0.216 0,343 0.512

S o lu c ió n .

1. 1,00050 1,00399 1,01341 1.03150 1.06066 1,10272 1,15888 1.22963 1.31491 1.41421

1. 1.001 1.008 1.027 1.064 1.125 1.216 1.343 1.512 1,729 2.000

0.729 1.

P r o b l e m a 21-11

21-4 1. 2,00100 2,00798 2,02682 2.06300 2,12132 2.20544 2,31776 2,45926 2,62982 1,41442 22,24682

H a lle e l g ra d o d e a p ro x im a c ió n q u e se o b tu v o c n e l p ro b le m a a n te rio r.

Sea / (x ) = (1 + x 3) 1'2. / ’(x ) = J ( I + x 3r ,/J(3x2>. / ” <*> = 4 <4* + * 4X1 + x ’ r * * 7. P °r

consiguiente, si 0 < ( < I, + í 4k> +

0 < fU ) =

< - !f

P o r tanto, para e l intervalo [a . ¿>] = [0.1 ] y tom ando 10 subdivisiones iguales. A x = 0.1, y

‘g

S i T (n ) representa la sum a para n subintcrvalos iguales c / =

-0,0032 < -

s s r <

jio

f{x ) dx, entonces

< / - T (IO ) < 0

D e los cálculos del problem a anterior obtenemos 1,1123 < T (1 0 ) < 1.1124 y. por consiguiente, 1,1091 < 7 (1 0 ) - 0.0032 < / < T (I0 ) < 1.1124 Entonces, para dos decimales. / = 1,11.

| P r o b le m a ^

21-12

H a J(e

una

a p r o x ¡ m a c ¡6 n

p a ra

v a |o r

<je la

in te g ra l

e líp tic a

^ T T ? d x , e m p le a n d o la re g la d e Sim p so n .

S o lu c ió n .

Em pleando los valores dc la últim a colum na dc la T abla 21-4 tenemos que, para la suma.

J /|x)dx 3; b-f a -a [Cko+ y.) + 2(yi + y ¡ +

... + y m. t) +

4{y„, + >•„, + ... +

(1.0 + 4,004 + 2,00798 + 4.05364 *■ 2,063 + 4,24264 + 2^0544 + 4,63552 + 2,45926 + 5.25964 + 33 34354 + 1.41442) = — ---

= 1,11145. aproxim ada con cinco decimales.

A P E N D IC E Formulario. Geometría analítica P u n to » in c lin a c ió n » ¿ n g u lo

Dados un sistemadecoordenadas cartesianasenel plano y dos puntos siguientesfórmulas:

Distanciade P, a P2: - x j +(y, - y,)* Lascoordenadasdel puntoP quedivideel segmentoP,P2enla razónr/s: \ r +s * r +s

Coordenadasdel puntomediode P,PX: |_xJ _+ _xL

Pendiente mde P,P2:

m=tga

+ J SL |

?2 ~ >’i x¡ -

Angulo0 queforman las rectas /, y l¡ dependientesm, y m,. respectivamente: Si las rectasson paralelas: Si las rectasson perpendiculares: Lospuntos P„ P2 y P, soncolincalcs

• 2

*. y, i *2

i >j i

280

y P,(x,. y,), se tienen las

F O R M U L A R IO

G E O M E T R I A A N A L I T IC A

281

A r e a s p o lig o n a le s H área del triángulo con vértices en los puntos P if X i.y ,), /*2(x a, y 2) y J*j(X j.> 'j) x, y, I x2 y ¡ I yy I

dada p o r:

=■ - j i x i y t * x jy> + x y y i - >’i * í - y j x i - y»x i)

P mestá dada p o r:

E l árc3 dc un polígono con vértices en los puntos /*,. P

x xy* + w » + ••• + *.-■ y- + *.>’« - y , x ¡ - -

- y .- .x . - y«x,)

R e cta

La La La La

ecuación dc una recta paralela a l eje Y e s: x = a. ecuación dc una recta paralela a l eje X e s: y = fe. ecuación dc la recta de pendiente m está dada p o r: y = mx 4- fe. ecuación de la recta que co rta a los ejes coordenados en los puntos (0 . fe) y (a . 0 ) está dada p o r:

“a + fíe-

L a ecuación dc la recta que pasa por cl punto P ,(x ,, y ,), y es dc pendiente m. está dada p o r: y - y , « M x - X ,)

L a ecuación dc la recta que pasa por dos puntos es: x - j z s - m y ¿ ^ y±_ x - X, x2 - x ,

*i yi 1 x, y, I

La ecuación norm al de la recta está dada p o r: x eos <o + y sen <o = p. L a ecuación general dc la recta está dada p o r: A x + B y + C ■= 0. Su pendiente es m — M /B y las intersecciones con los ejes a = —C/A, fe = —C/B.

Nota. P a ra reducir ^ x + B y + C = 0 a l a forma norm al d ivid a la ecuación p o r J A * + B 1. eligiendo cl signo del radical opuesto a l signo dc C cuando C es diferente de 0 y lo m ism o con c l signo dc B cuando C = 0.

E l ángulo 0 que form an las rectas /t,x + B ,y + C , = 0 y A ,x + B ¡ y + C , = 0 está dado en función de los coeficientes por la expresión:

,g o « A *

? » T ..4 A . +

B ,B ,

F O R M U L A R IO . G E O M E T R I A A N A L IT IC A

282

L a s dos recias son paralelas si A , B ¡ — A , B t . Las dos recias son perpendiculares si A , A ¡ ■ — B , B ¡ . L a s recias A ,x + B , y 4 C , - 0. A 2x + B ¡ y + C , - 0 y A } x 4 B ty + C> - 0 son concurrentes si. y solam ente si.

C ,

I A 3 B 2 Ct = 0 I A , B ¡ C> |

C ir c u lo L a ecuación del circulo con centro en el origen y radio r es: X a + y* - r*. L a ecuación del circu lo con centro cn (h , k) y radio r cs:(x - A)a 4 (y — k)’ - r*. L . ecuación general d e un circu lo o

* * °

Las coordenadas del centro son : ( —d, - e ) y su radio r — yfd3 + c1 - f. L a ecuación de un circulo que pasa por tres puntos está dada p o r: Xa *í *1

+ y2x + Y2 , x, y\ « i A

y, I yi i y» i

S e c c io n e s c ó n ic a s U n a sección cónica es e l lugar geom étrico que describe un punto P, que se m ueve cn d plano con respecto a un punto fijo F (foco) y a una recta fija d (llam ada directriz), F n o está sobre d. y ta l que la razón de la dis tancia dc P i f sobre la distancia de P a d es una constante e (llam ada excentricidad). S i e — I . d lug ar geom étrico es una p aráb o la ; si e I . una hipérbola. S i d foco está cn (0 .0 ). la directriz e s x — —a y x a 4 y a — e 'f x 4 a Ia.

P a r á b o l a (e = » 1 ) Sea p la distancia que hay d d vértice al foco, e = excentricidad. V : vértice F\ foco d: directriz L R : «latu s rcctum » recta V F : eje p : distancia del vértice a la directriz

L a ecuación de b parábola para las siguientes posiciones está dada p o r: Xa - - 4p ,

F O R M U L A R IO

G E O M E T R IA A N A L IT IC A

283

L a ecuación dc la parábola cuando: el el el el

vértice es (/i. *> y elfoco (h + p .k ) es (y vértice es (A. k ) y el foco (h - p .k ) es (y vértice o (A. k) y elfoco (/». fc + p ) es (x vértice es (A. k ) y d foco (A. * - p) es (x -

Form a general eje paralelo a l eje X :

L»a k)1 A)* h)2

• * = -

4p<x - A) -4p<x - A) 4p(y - k) -4p<y - A)

C y2 + D x + E y + F m 0.

, . , , . . „ | Ax2 + Dx + E y + F = 0 Form a general, eje paralelo a l eje F : j y . + + c Form a general, cuando d eje no es paralelo a los ejes coordenados: A x2 + B x y + C y 2 + Dx + E y + / - 0. B 2 - 4 A C - 0

E l i p s e (e <

Sea 2a = eje m ayor. 2h -• cje m enor, e - excentricidad. O : centro K F*: vértices F F ': eje m ayor - 2a l/ l/ ’ : eje m enor - 2A F . T : focos d. ^ : directrices L R , L R ' : «latus rectum»

Excentricidad Distancia del centro ul foco: y/a2 - b2. D istancia del centro a la directriz: a/c. Sum a de las distuncias de cualquier punto a los focos: 2 a x2 y* 1.a ecuación dc la elipse, si e l cje m ayor coincide con el eje X , es --r + — I. y2 x* L a ecuación de la elipse, si el eje m ayor coincide con e l cje Y, es -jp- + -p- - I. l a ecuación dc la elipse, con centro en (/i, A) y eje m ayor paralelo a l eje X . es

(x - A)a + ( y - * ) *

_ ,

L a ecuación dc la elipse, con centro en (A. k) y cje m ayor paralelo a l cje Y. es lx - k f — ir -

Cy - *>’ + - - ¿r-

L a forma general dc la ecuación dc una elipse cuando los ejes son paralelos a los ejes coordenados es: A x 2 +• B y 2 + Dx + £/-♦- F » 0

L a forma general dc la ecuación dc una elipse cuando los ejes no son paralelos a los ejes coordenados es ax2 + by2 + cx y + dx + f y + e - 0

Para un círcu lo : a - 6.

F O R M U L A R IO . G E O M E T R I A A N A L IT IC A

284

H i p é b o l a (e >

2a = longitud del eje transversal, 2b = longitud del eje conjugado, c • excentricidad. O : centro V. V : vértices V V ': eje transversal — 2a U U ‘ : eje conjugado ■* 2b F . F : focos directrices I . R . L R ‘ : «latu s rectum » iVfM ’ y N N ': asíntotas

Ex cen tricid ad : e =

+ ^ a

D istan cia del centro a l foco: y j a 2 + i 1. D istancia del centro a una de las directrices: a/e. D iferencia de las distancias de un punto sobre la hipérbola a los focos: 2a. Ecuación de la hipérbola con centro en cl o rigen :

j j

— -p- = I.

Pendientes d e las asíntotas: ±b/a. x1 l a ecuación de la hipérbola, si c l eje m ayor coincide con c l eje V. es ^ -

x2 p - ■ I.

Pendientes d e las asíntotas: ±a/b. L a ecuación de la h ip érb o la con centro en (h, k ) y eje transversal paralelo a l eje X , es (x - ó )*

ly - k )2

----------- b , —

Pendientes de las asíntotas: ±b/a. Ecuación de la hipérbola, con centro en (/i, k ) y eje transversal paralelo a l eje Y, es (>• - k)1 —

(x - h)2

¿ P -------------------- P

Pendientes de las asíntotas: ±a/h. l a ecuación de la hipérbola, con centro en cl origen y por asíntotas los ejes coordenados, es y x - c. Ecuación de la hipérbola, con centro en (/i, k) y asíntotas p aralelas a los ejes coordenados, es (x - h l y - A) = c L a form a general de la ecuación de una hipérbola cuando los ejes son paralelos a los ejes coordenados A x 2 + C y 2 + D x + E Y + F = 0. A C < 0

L a form a general de la ecuación de una hipérbola cuando sus ejes son inclinados es A x 2 + B x y + C y * + D x + E y + F ~ 0. B 2 — A A C > 0

P a ra una hipérbola rectan gu lar: a = h. e = y/2. L a s asíntotas son perpendiculares.

E c u a c ió n

g e n e ra l

segundo

g ra d o

L a naturaleza del grafo de la ecuación general de segundo grado en las variables v y y: ax2 + 2hx y + by2 + 2gx + 2f y + c = 0

F O R M U L A R IO . G E O M E T R IA A N A L IT IC A

está descrita cn la T abla A l cn térm inos de los salores dc:

A -

a h

h b

K-|° *I♦I* f

. I

I 9

c |

I /

T A B L A A -l

Caso 1 2 3 4 5 6 7 8 9

*0 *0 1*0 0 0 0 0 0

AIJ

>0 >0 <0 0 <0 >0 0

<0 >0

Cónica

Elipse real. Elipse im aginaria Hipérbola. Parábola. D os rectas que se corlan. Dos rectas com plejas conjugadas que se corlan. Rectas paralelas, diferentes. D os rectas com plejas conjugadas paralelas Recias concurrentes

<0 >0 0

0 0

E n los casos I. 2 y 3 d centro (x«>. y0| está dado por las soluciones dc las ecuaciones ax - h y + g = 0, hx + by + / - 0

l-as ecuaciones dc los eje* son y - >•«, - n ix - x „). y - >0 lun2 + (</ — h)m - h - 0.

T r a n s fo r m a c ió n

--- (x - x 0». siendo m la raíz positiva dc m

co o rd en ad as

Para obtener la ecuación dc una curva dada con relación a un sistema original dc coordenadas ( X . Y l en un nuevo sistema lA f', V"K se em plean las siguientes relaciones: Traslación { * ~ * * * J . Lo s ejes nuevos son paralelos a los originales y tienen centro en Ib, *L B M in A n

( * ■ *’ eos tí - y sen Ü \ I y ■ / sen 0 ♦ / eos 0 I

Lo s orígenes coinciden y los nuevos ejes forman un ángulo 0 con los originales

Para elim inar el térm ino xy dc la ecuación ax 1 + 2hx y + by2 + 2gx + 2 f y ♦ c - 0 gire los ejes coordenados un ángulo 0 • are tg m. siendo m la-raíz positiva dc hrn* -f (o - b)m - h - 0

C o o rd en ad as

p o la r e s

L a distancia entre los puntos P , y P . está dada por r j Tres puntos P , . P , y son colm cales si. > solamente si. r , r , sen ( 0 , -

0,1

♦ r , r , sen ( 0 , -

0, )

r i - 2r , r . c o stó , - 0,1

+ r , r , sen 1 0 , - 0 , | » 0

286

F O R M U L A R IO . G E O M E T R IA

A re a

d e

fig u r a s

A N A L IT IC A

p o lig o n a le s

E l á re a d e l triá n g u lo P , P 2P 2 está d a d a p o r: y

( r , r , sen (0 , -

0 ,) + r , r , sen (0 , - 0 , ) + r , r , sen (0 , - 0 ,)

R e c ta L a e cu ació n n o rm al d e la re cta es r eo s (0 — o») = p. L a ecu ació n d e la recta que p asa p o r d o s p u n to s es r ir , sen (0 - 0 ,) + r 2 sen (0 - 0 2) ) - r , r 2 sen ( 0 ¡ - 0 ,)

C ír c u lo L a e cu ació n d e l c irc u lo co n ce n tro en e l p olo y ra d io a e s

r = a.

L a ecu ació n d e l c irc u lo c o n ce n tro en (a , 0 ) y q u e pasa p o r e l p o lo es r -

2 a eos 0.

L a e c u a c ió n d e l c irc u lo c o n ce n tro en | a , ~ j y que p asa p o r e l p o lo es r - 2a sen 0. L a ecu ació n d d c irc u lo c o n c e n tro en (h. a ) y ra d io a es r 1 — 2 hr eo s (0 - a ) + h 2-

S e c c io n e s

c ó n ic a s

S e a 2p ■ la d ista n cia d e la d ire c triz a l fo co , e *

ex cen tricid ad .

L a ecu ació n d e la c ó n ic a co n la d ire c triz a la iz q u ierd a d e l p o lo y fo co en e l p o lo es 2ep_ I — e eo s 0

L a ecu ació n d e la c ó n ic a c o n fo co en e l p o lo y d ire c triz a la d e re c h a d e l p o lo es r =

?£ £ _ I -f e c o s 0

L a ecu ació n d e la có n ica co n fo co en e l p o lo y d ire c triz p o r d e b a jo d e l p o lo es

2*2__

I — e sen

L a ecu ació n d e la c ó n ic a co n d ire c triz p o r e n cim a d e l p o lo y fo co en e l p o lo es r „

2eP . I + e sen 0

L a e cu ació n d e la p a rá b o la co n vé rtice en e l p o lo y d ire c triz a la iz q u ierd a d e l p o lo es 4 p eo s 0 r “

~señnr

L a ecu ació n d e la elip se c o n c e n tro en e l p o lo y sem iejes a y b es

ri =

______

a 1 sen3 0 + b 3 c o s 3~G

L a ecu ació n d e la h ip é rb o la c o n c e n tro en e l p o lo y sem iejes a y b es

a2b2 __

a T scñ 2l T ^ b 3 c o s *~0

a 2 = 0.

F O R M U L A R IO . G E O M E T R I A A N A L I T IC A

R e la c io n e s q u e e x is t e n

e n tre

287

la s c o o r d e n a d a s r e c ta n g u la r e s y

p o la r e s

L a figura de la derecha m uestra las relaciones que existen entre los dos sistemas de coordenadas y que permiten pasar de las coordenadas rectangulares a las polares y viceversa x — r eos 0 . y ■ r sen í»

r - y / p - r y . o ■ are tg *

° " COS

“T í — T n /SFT P —

—

C o o rd en ad as en

r e c ta n g u la r e s

e l e s p a c io

E n 8 * se dibujan tres rectas m utuam ente perpcrpcndiculares que se corten cn un solo punto. L a s tres recias se llnm un e l eje X . Y y Z . respec tivam ente. y e l pum o de intersección e l origen. C ada p u n ió de 8 * licn c tres coordenadas; la prim era indica su posición con respecto al eje X . la segunda con respecto a l eje Y y la tercera con respecto al eje Z.

L a distancia entre los puntos P , ( x „ y ,. r , ) y P 2(x j. y*. -*l >/(*. “ * * )* + (T i “

Ja d a por

Pa l* + <*. ~ 2a)*

L a s coordenadas del punto P (x y . i), que divide e l segmento P , P , cn b ra/ón r/s, están dadas por

/ r ,i f “ i \

r+ s

3 i± S b . *

r+ s

+ *

r+ s

Las coordenadas del punto m edio de P , P 2 son / *

± *

JN J

2 u t£ a \

Lo s puntos P ,. P 2. P , y P 4 son coplanares si. y solam ente si, *1

-i

X»

y»

E l área d d triángulo P . P j P , está dada p o r:

-CITT

1 + 1

*2 x»

X, x2

X ,

1— +■

1x*■a 1X,

y% ya y»

i i i

288

F O R M U L A R IO

G E O M E T R I A A N A L I T IC A

E l volum en del tetraedro P xP ¡ P y P * está dado por yi yz

Xa'

P a r á m e tr o s d ire c to r e s y

1 1

c o se n o s d ire c to r e s

S i o. p y y son los ángulos que determ ina la recta que pasa p o rP , y P 2,co n los ejes coordenados, a estos ángulos se les llam a ángulos directores. Lo s cosenos directores dc dichos ángulos están definidos por eos a -

. eos y =

^ L , eos p =

~ Z| ; eos2 a + eos2 P + eos2 y « I

S i ti, h y c son lo s parám etros directores de P , P 2, entonces se tiene que a : b : c = (x2 - x ,) : (y2 - y ,) : ( z2 - z ,) - eos a : eos p : eos y ; c o s a = ---- . eos p = ----------------------------- r- eos y — C ± y/a3 + b3 + c 2 ± N/ór + b ¡ + c 2 ± J a * + b* + c* S i los ángulos directores dc dos rectas son a ,. /*,. y , y a ,. p 2, y * cl ángulo fí que form an está dado por eos 0 = eos a , eos a 2 + eos p , eos p 2 + eos y , eos y2. S i las rectas son paralelas, a , — a 2, 0 , = p 2, y , = y2. S i las rectas son perpendiculares, eos a , eos a2 + eos p , eos p 2 + eos y , eos y2 = 0. S i ( a p á , . ^ ) y (<j2, b2, c 3) son los parám etros directores dc dos rectas, entonces cl ángulo que forman está dado por eos 6 =

tí,tí2_± bl 6 L +_£ le2

- c x6 t? + (c ,a a - <i,ca)* -i- (q ,¿»7r M z F

v/aT + ¿ i +~c? V ó j + b i + c i

J a \ + b { + c i y / á f + b ¡ + c\

S i las rectas son paralelas, a , : b, : c , = a 2 :b 2 : c 2. S i las rectas son perpendiculares, a xa2 + b xb2 + c ,c 2 = 0.

R e cta L a ecuación dc la recta que pasa por el punto P,< x,. y ,, z ,) y dc parám etros directores tí, b y c es x - x.

2 ~

L a ecuación dc una recta que pasa por los puntos P , y P 2 es x - x x2 - xx

_£ _z _ÍL z , - z,

ya - >1

L a ecuación param élrica dc una recta es x = x , + ra. y - y , + /6. z - z, + fe. L a form a general dc la rectaque pasa por los puntos P , y P ¡ está dada por A ,x + B , y + C xz + D , = 0

>4ax + B jy + C 2z + D 2 = 0 Sus números directores son ( S ,C , - C , B ¡ . C , A ¡ - A C 2, A , B ¡ L a distancia que hay del punto P 0 a la recta que pasa por P , y dc dirección {o, b. c) está dada por

J/E

“ C

*0 ~ X , +

*0 -

xo -

tí

+ ó2 + c2

y0 - y , 1 6

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L a distancia que hay entre la recta que pasa por P , cn la dirección ( a „ P j cn la dirección (a 2, b 2\ c 2) está dada por X j - X,

- >',

:2 -

| V i 1l ó' .

c, +

¿2

c2 a 2

y la recta que pasa por

L a recta que pasa por P , en la dirección (a ,. />,. c ,) y la recta que pasa por P ¡ cn la dirección (a2, b2, c 2) se cortan si. y solam ente si.

P la n o s La La La La La La La La La presión

form a general de la ecuación de un plano es Ax + B y + C z + D ** 0. dirección norm al a l plano es (A . B , C). ecuación del plano perpendicular a l plano Y Z es B y + Cz + D = 0. ecuación del plano perpendicular a l plano X Z es A x A- B y + D = 0. ecuación del plano perpendicular a l plano Z Y es A x + B y + D = 0. ecuación del plano perpendicular a l eje X es Ax + D = 0, ecuación del plano perpendicular a l eje y es B y •*■/> — 0. ecuación del plano perpendicular a l eje Z es Cz + D — 0. ecuación del plano que co rta los ejes coordenados a las distancias a. b y c tiene por ecuación a la ex

l a ecuación del plano que pasa por P , y es perpendicular a la dirección (a . b. c) es a(x - x , ) + b (y - y , ) + d z - r ,) = 0

L a ecuación del plano que pasa por c l punto P , y es paralelo a las direcciones (a ,, ó ,, c ,) y (a*, h,. C j) es x - x, a, a2

y - y, b, b2

z - r, c, c2

L a ecuación del plano que pasa por los puntos P , y P 2 y es paralelo a la dirección (a, h. c) es x - x, *2 ~ x , a

y - y , z - z, y 2 - y , z2 - z, b e

L a ecuación del plano que pasa por tres puntos P ,. P , y P j es X x, X2

y yi >'2 y¡

*1 Zl

1 1 1 1

X - X, = 0

y - yi

z - i,

X j - x,

y ¡ - >-i

z2 - z,

x s - X,

y ¡ ~ y.

zJ -

-1

L a form a norm al de la ecuación del plano (p = la distancia del origen al p lan o ; a. /f. y. los ángulos directores de la norm al a l plano desde cl origen) es x cos a + y cos ¡I + : cos y = p

F O R M U L A R IO

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P a ra reducir A x + B y + C s + d = 0 a la form a norm al d ivid a p o r ± J A 2 + B 1 ♦ £ * ; e l signo del rad ical se elige o p u esto a l de D cuando D * 0 ; e l signo de C cuando Z> = 0 y C * 0 ; d signo de B cuando C - D - 0. C x, + D

<4 * , + f l y , »

± fÁ ' + B * * C1

E l ángulo 0 que form an los planos .4 .x + « , y + C ,z + D , dad o por

0 y <4]X + B ,y + C ¡x + D , - 0 está

'M i V ^ r r B r r r ? Lo s dos planos son paralelos s i. y solam ente si. -4, : B , : C , « A , : B ¡ : C 2. Lo s dos plan os son perpendiculares « . y solam ente si, .4,«42 ♦ B , B 2 + C ,C 2 — 0.

E s fe r a L a ecuación dc la esfera con centro en e l origen y ra d io r e s

x1 ♦ /

+ r1 -

r 2.

I j i ecuación dc la esfera co n cen tro en (/». k, /) y radio r es (x — h)2 + (y — k )1 + ( r — l ) 1 «■ r a. , .. , . , , < A x 1 + A y 2 + A i 2 + B x + E y + F z + // - 0. A + 0 U « u » c , ín general de la c íe n , « ¡ x r + y . . + j j , + 2, y + 2/ g + m - 0 Su cen tro es (- d . - c . -/>. I .a ecuación dc la esfera que tiene a lo s puntos P , y P ¡ com o diám etro es

(x - x,*x - x2) + (y - y,Xy - y2) + (r - r,X* -

- 0

L a ecuación de la esfera que pasa p o r cu atro puntos está dada p o r:

x* + y * ♦ ¡ 2 x A*, —i + ■ y í • ♦-i A A

+ A + ñ

+ *í + A

*» *»

A + yi +A x 4 S u p e r fic ie s 1. 2. 3. 4. 5. 6 7.

8 9. 10. II.

12. 13.

14. 15. 16. 17.

y, y¡ y»

zt zs

• i

c u a d rá tic a s

E lip se re a l: Elip se im ag in aria: H ip erb o lo id e dc una sección: H iperbolo ide dc d o s secciones: C o n o re a l: C o n o im ag in ario : Parab o lo id e e líp tico : C ilin d ro e líp tico real: C ilin d ro e líp tico im ag in ario : C ilin d ro h ip erb ó lico : Parab o lo id e h ip erb ó lico : Plan o s reales que se co rta n : Plan o s im aginarios que se co rta n : C ilin d ro purabólico: Plan o s paralelo s reales: Plan o s paralelo s im aginarios: Plan o s que co in cid e n :

E c u a c ió n

g en eral d e

xa/aa + y 2/b2 *■ x2/c2 - 1. x 2/a2 + y a/*»a ♦- * a/ca - - 1. x 2/a2 + y 2/b2 - rV c 3 - 1. x a/aa + y a/óa - * a/c* - - 1. x 2/a2 ♦ y2/b2 - x2/ ^ = 0. x a/aa + y 2Ib 2 + x2fe2 = 0. x 2/a2 ♦ y 2/b2 x a/aa + y 1/*1 x a/aa + y a/fta x 2/a2 - y a/6a x a/aa - y 2/b2 x a/aa - y 2/b2 x a/aa + y 1//»1 Xa + 2rx - 0. X a - a2. xa - - a a. X a - 0.

2x ■» O - 1. - - 1. ------- L + 2z - 0. - 0. = 0.

segu n d o g rad o

L a naturaleza del grafo de la ecuación general de segundo grado en tres variables, x. y . x, ax 2 + b y 2 + c : 2 + 2f y x + 2gxx + 2áxy +

2px

2q y

+ 2rz ♦ d - 0

F O R M U L A R IO . G E O M E T R IA A N A L IT IC A

291

está determinada en la T abla A*2 en términos de p j. p4. A , 4 „ 42, 4 ,. donde:

e "

a h

h g b f

E -

a h

h g p b / q

9 p

f q

P> ■> e, pA = E , A = determinante de E

e r r d

4 ,, k2, 4 , las raíces de

a - x h

g h - x

g f

- 0

e - x

T A B L A A -2

Caso

P»

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1

4 4 4 4 3 3 4 4 4 3 3 2 2 3 2 2 1

Signo de A _

+ + —

Superficies cuadráticas

sí sí no no no

Elipsoide real. Elipsoide im aginario. H ipérbola de una sección. Hiperboloide de dos secciones. Cono real. Cono imaginario. Paraboloide elíptico. Paraboloide hiperbólico. C ilin d ro elíptico real. C ilin dro elíptico im aginario. C ilin d ro hiperbólico. Planos reales que se cortan. Planos im aginarios que se cortan. C ilin d ro parabólico. Planos paralelos reales. Planos paralelos imaginarios. Plan os coincidentes.

si no sí sí no no si

—

T ra n s f o rm a c ió n d e c o o rd e n a d a s Para cam biar la ecuación de una superficie dada en un sistema de coordenadas (x, y, z) a un nuevo sistema (x\ y', z"X cuando se trasladan los ejes paralelam ente a los originales, se utiliza la relación que se da a con tinuación:

x = x* + h y = / +4 z = r* + I

Traslación

Rotación con respecto a l origen

S i se gira un sistema de coordenadas con respecto a l origen y si los números directores de los nuevos ejes son (A,. P | . y iX (A ,. p 2, y2\ (A ,. P y y j . respectivamente, con respecto a l sistema original, cntonpes x = A,x* + A ,/ + A ,/ y = P|X* -l- p2y + p ,r ‘ z = y ,x ‘ + y2/ + y ,z '

x ' = A ,x + p ,y + y,z / - A ,x + p2y + y 2z z' - Apc + p ,y + y,z

F O R M U L A R IO . G E O M E T R I A A N A L I T IC A

292

C U R V A S

S U P E R F IC IE S

L a s cu rva s y superficies que se dan a continuación son de uso frecuente en e l estudio del cálculo. En un sistema de coordenadas rectangulares: 1. 1.a cu rva es sim étrica con respecto a l eje Y si a l cam b iar x por —x la ecuación no cam bia. 2. L a curva es sim étrica con relación a l eje X s a l cam biar y por ->• la ecuación no cam bia. 3. L a curva es sim étrica con respecto a los dos ejes si a l cam b iar x p o r - x y y por - y la ecuación no cam bia. E s sim étrica con relación ul origen. 4. S i una cu rva es sim étrica con respecto a la recta » x , Li nueva ecuación se o b licn c de la original cam biando x por y. 5. S i una curva se gira 9 0 '. la nueva ecuación se obtiene de la o rig in al rem plazando x p o r y y > p o r - x .

E n coordenadas p o lares: 1. Se dice que una curva es sim étrica con respecto a l eje p olar si la ecuación no ca m b a a l rem plazar r por —r y O por k — 0 . 2. S i una cu rva dada es sim étrica co n respecto a l polo, la nueva ecuación se obtiene de la o rig in al cam b ian d o 0 por x + 0 o r p e r —r. 3. S i la cu rva se g ira un ángulo s. con respecto a l eje p o lar, la nueva ecuación se obtiene de la original rem plazando 0 por 0 - a.

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293

Cardioide

C u r v a s p la n a s Asociada a la cicloide

t y = <i(l - eos d>) [O B - A B ]

r = a lco s O + I) o r = <i (eos 0 — 1J IP / I - A P = u ]

Caracol de Pascal ( I)

a > b

Catenaria, coseno hiperbólico

S i a = 2b. la curva se llam a iriscctri/, porque e n to n c e s

O O P D » -J- <) OCD.

Cicloide (vértice cn el origen) y

(2)

a » b. Cardioide

A C A kPA

(3) a < b x =

are sen / 'y f la + J l a y - y 1 ( x f sen <¿») ( y - <HI - eos d»>

C ic lo id e

x O r - h + a eos 0 [ F A = A P - 6]

\ 2añ

i x = a i y = a — b eos r¡> a >b

F O R M U L A R IO

G E O M E T R IA A N A L IT IC A

C n o i d r t f r D io c le s

C ic lo id e

y - <41 - c o » 4 ) ( P a r a u n a r c o : l o n g i t u d d e a r c o - S u . á r e a - 3 * a* ) .1*1*1 - c ) « í j

r — a sen 0 Ig 0

C ic lo id e

IO P - ¿ B ] C o c le o id e

( y = a - heos * a

C irc u lo (a )

rO - a s e n

C o n c o id e d e M c m n r d r * r m ,1

<c>

■ a i ♦ *>•

r » o c o t f l ♦ ftw n9

r •

0 ± 6 - 6 ]

F O R M U L A R IO

G E O M E T R IA A N A L IT IC A

295

C urva de la secante

C u a d r a triz d e H ip p itt

C u rv a d e b

ta n g e n te

C urva enarcante

C o rv a d e A g m i

x - a c o tg tf> y - a$cnÂĄ <t>

x - a a r c w x h (y /a ) - y/a* x - I - a tg h (l/a ) y m a sc c h (l/a ) t '. - ÂŤJ C u r v a d e p ro b a b ilid a d

y -

c o lg *

296

F O R M U L A R IO . G E O M E T R I A A N A L I T IC A

C urva del arco coseno

y - sen x C u rva exponencial ( I)

o > 0

y — are eos x C urva d d arco seno

y ■= are sen x

C u rva logarítm ica ÍD

a > I

y = are lg x

C urva d d coseno

y — eos x

y = l°8* x

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Curvas rosa (1) Rosa dc dos pétalos. V ea: Lem niscata dc Bernouilli. (

(7)

(x 1 + y 2)2 - a x 2y r = a sen 0 eos2 6

Rosa dc n pétalos

Las rosas r & a sen n fly r ■ u eos nü tienen, para n entero par. 2n pétalos; para n un entero impar, n petalos. Las rosas r = a sen nfl y r » n eos nO tienen, para n par. n pétalos; para r impar. 2n pétalos.

+ y'/b 1 = i l x — a eos 4> > y = b sen 4>

[ B F - B F = a. P F + P F = 2a]

Epicicloide

y = a eos 30 (5)

Rosa dc cuatro pétalos

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298

F a tr o fo id c

K a fir a l d e A

F a p ir a l h ip e rb ó lic a o re c ip ro c a

r — a eos sec [ F A - A P - 0 ,4 }

Fvolula de la elipse

F a p i r a l lo g a r í m i c a o e q u ia a p u la r

l * - 4 eos* <P $ y • B sen’ ^ [A -

(a* -

b 2V a . B -

(a* -

i d e Daarmrte*

lo g r m a O F a p lr a l p a r a b ó lic a

,x - 3a¿/(l + . y - w

4 l)

’ / n ♦ ♦ ')

3o acn 8 coa O « n * 0 ♦ etn1 U

#**)//»]

F O R M U L A R IO

Función

G E O M E T R IA A N A L IT IC A

(4 )

299

Pa ráb o la cubica

y - x *'J

n «* - £ H n) -

(S )

M ita d d e u n a p a rá b o la

(6)

Paráb ola semicúbica

x - 'e - * d x (B > 0) (0 > " )>

- 1 . - 2 .- 3 . ... )

y - * * '* Fundones exponenciales

(7 )

M ita d de una parábola semicúbica

(8)

Paráb ola

(9)

Paráb ola cúbica

( I)

(2)

H ipérbola equilátera

y - *-i (3)

F O R M U L A R IO

300

G E O M E T R IA A N A L IT IC A

F n c i o o r s M p rrb i l i o n

senh x

cosh x

cosech x r* ♦ #-*

scch x

COtgh X - ~

H ip érb o la

- y1/ * - i

[ F P - F P « 2u]

+ e- : t

F O R M U L A R IO . G E O M E T R IA A N A L IT IC A

301

I Jluus

Nefroldc

In ic ía la del círculo

x = a cos <t> + a(p sen 4> y = a sen - a # eos <fi [BP - BA]

Ovalos de C asslni b> k

Ixm niscala de BemouilU

n-fe. oí r 2 « ,i2 eos

(2)

b = k

(3)

h < k

Fib.0)

(x* + y 2 + b 2} 2 - 4A V = fc4 r4 + b* - 2r 2h 2 cos = 20 = k* [ F P F P = Je1]

r2 - a2 sen

(Esia s curvas son secciones de un loro por planos paralelos a l eje del loro.)

F O R M U L A R I O . G E O M E T R I A A N A L I T IC A

P a rá b o b cúbica (espcc ..!)

x 2 - — sec*

+ Ig 0 . a > 0

P a rá b o b cúbica (general)

(3)

y - ax * -f bx2 + e x + i . a > 0 [A R - B C ) (abscisa de fl — — 6/3a)

P a r á b o la

(4)

(abscisa del vértice

fc/2o)

y ■ - r « i1 0 !

F O R M U L A R IO

G IO M C T R IA A N A L IT IC A

y - u »cn (h* ♦ r|

T í i j n I m I i (una parábola)

S u p e r f ic ie s c u a d r á tic a s x* 4 r 1 + * Hlperbotoéde de do* hoja*

- **

304

F O R M U L A R IO . G E O M E T R IA A N A L IT IC A

S E R I E S Ld expresión cnlrc paréntesis a continuación de las series indica la región de convergencia. Dc lo contrario, indica que converge pura todos los valores finitos dc x.

B in ó m ic a

(x 4 y r = x- + nx- ‘, 4 ^ 4 7 — (I

± xf

I ± «

( , ± x )-

= , í

(I ± * r '

“

(I ± x )"1 -

^ "-y 1 —

V ♦ — “ y r-- —

* J& L + p L ,

V + -

4 ....e tc ,

± 1 * > + J}* ± +

(x i < „ (X 1 <

I 4 2x 4 3 x 2 4 4x* 4 5x* 4 6x5 ♦ ...

(x 2 <

Sea una de las series representada por y - * i,x 4 O j x 2 + a , x 2 4 a 4x 4 4 a 5x ’ + a * x 6 4 . . . ( a , * 0 )

encuentre los coeficientes dc la serie X = A ty 4

At - — ■

A ,y * 4 A y y * 4 A ^ y * .. .

124,2 “

(S a .a ja , - a\a4 - 5aj> (6afa2a 4 4 3 ajfl{ 4 14a\ - a ja , - 2l< i,uja,) , (Tajaba* 4 7 a fa ,a , 4 M a .a ja , - afa* “ 2H aJa¡a4 - 2 8 a }a ,a i - 42aj|

—

(x 2 <

I + X + X 1 ♦ X* + X4 4 X * + ...

R e v e rs ió n d e s e r ie s

■

0J < **1

j (S a ^ a ^ 4 8 a ja ,a , 4 4a ?a 2 4 120a fu Ja . 4 4 I8 0 a fa ja j 4 IJ2 a ? - a ja , - V ia ja b a , - 72 aJa jü ,a . - I ^ J a J - 330a ,a ja ,)

F O R M U L A R IO . G E O M E T R IA A N A L IT IC A

305

T a y lo r 1.

/( X ) = f ia ) + <x -

am a) 4 —

~ 2 T - f 'M

4- ... + {X

2 . / (x + h) - /jx» + /./‘(x) +

FII

r w

° r f " \ a ) + ... (series de T aylo r)

/ " '(x) + -

= /(A.) 4 x f f h ) + ~ 3.

/ " '( « > +

/"(Ai) +

/ " (Ai) + . ..

S i / (x ) es una función con derivadas de lodos los órdenes en cl intervalo a £ x ^ b, entonces hay un valor x. con a < x < b, tal que

A b ) ~ / ( a ) + ( b - a )f'(a ) +

/" (o ) + ... .

f ia + A.) = f ia ) + A / ( a ) 4 ^

/ »

f ~ " (o ) 4

+ ... +

r io

+ 6h). b ~ a + h .O < 0 < 1

o fix ) - f ia ) + (x - a )/-(fl) 4- <* y , a -)- r w

+ -

+ (* - « r •- ^ " ¡ y r + R ~

de donde R_ _

f f r

+ « » - j l l , x _ o r. o < 0 < I n!

I.as formas anteriores son conocidas com o las series de T aylo r, con term ino complementario.

M d a u r in /(x> = /«oí + x n o ) 4 £

n o» 4- -fí- r m

+ ... +

+ R-

de donde 0 < 0 <

A?. -

E x p o n e n c ia le s e = l + 7 í + T T +‘ 7 T + l Y X2 xJ x4

e* = I + X 4- = T 4

t t

4 -r, 4!

o* = 1 + X log , a + i * + * _ «

+ "‘ 4 ...

+ {x lc^ r fl>> + ...

+ Í- i | £ . + ¿ ¿ £

(todos los valores reales de x) ]

L o g a rítm ic a s ,

log' x -

X - I

I /(X - if

+ 2 \—

)

+ 7

lo g ,X = (x - l ) - - (x - l ) 2 4 -y <x -

/x - 1 Y

1— 5— /

x > 72 . (2 ir x > 0)

306

F O R M U L A R IO

j [t t t

♦t ( í r r ) ’ + ? (t

G E O M E T R IA A N A U T IC A

t t

),+

]

<*>01

lo g ,(l + x ) - x - | x J t j x ’ - y X* + ... lo g ,(n + I ) - 1og,(n - I ) - 2 1 " + - ¿j- +

(- 1 < X < I) + ...J

+ lot | ±

i. 2

[ , + -r

lü > 0. - f l < x < + ®>

+ ^ . + -

ir * . -

+ ^

r +.

]

- K * « l

0 < « S2o

T r i g o n o m é t r ¡ca s X»

X»

• i!‘ + 3 r “

*’ 7T

( lodos los valores reales de x) (lodos los valores reales de x)

i r * 4 6 + X» 2x» ^ l7xT ig x - x + -r T + “ Í5 “ * _5 i T

y B , representan lo* números de Bem ouilli

cotg X

I x x* 2x* ________________________ 3

945

4725

2U B .

H ñ ¡T [x * <

s e c x - l+ ^ + ¿ x 4+ ^ x - t

x* ♦ ... +

y B . representan los números de Bem ouilli]

Es"

[x « < j

c o w x " 7 + i + m * s + i r m xi + w + ^

sen x

— ~ B s lm~ l + —

*’ + - + l * 1 < x 1 y B , representan lo* números de Bem ouilli)

( ' “ T 5 r ) (l _ w

)

•

are sen x - x + - y y - + y j y y - x* + y !^ T j7 7 * * ’ + — árceos x - ^f

"— |x (, + 7 7 *

2 1i 2 s * ’ + T T T T t • )

a r e Ig X - X - - y - ♦ y - - - y - + ...

are cotg * = y

* - ±

+ 1- + ^ , - - - ^

- x+ y -

l o g .s e n x - lo g .x - ^ -

y +

+ - ^ - . . .

-^--- ...

(**<«)

|x * < I, - - j < are sen x < -y

|jt* < i j ) <

co* * < «i (x * < I)

•rc,BX" T “ T + ‘¿ r ~ - ¿ T * 17r ~ a r e Ig x — -

y £ , representan los números de E u lcrJ

-...

( x>, ) (x < - I)

(x* < I)

(x1 < a 1)

F O R M U L A R IO . G E O M E T R IA A N A L IT IC A

I7x *

/ .

- ~ ¡5 ~

2520

_ «

307

l« * . ‘* * - i " » . * + T - + T S - + ' S f f + -

* 1 TT

X1 2r

3x4 4!

. 4x4 +I T "

s e n x » s e n a + ( x - a ) eos

( ' ’ •= X )

4 É -S É +

9x4 4!

(-< *)

{x - a ?

a --------- y ,

sen a -

(x - a l*

(x -

- i S ! —

H ip e r b ó lic a s e

...

31x4 6r

3x* j ÍT

Xa u 7T

**■* - I + X

8x5 5!

Xa \

< X /

ai* —

h ip e r b ó lic a s r e c ip r o c a s

T abla de expansión de algunas funciones en serie de potencias: X*

* n h , = x + -jj- + Xa

,* * .1

|x| < CC

+ T j- + . . . + T í r r n r + -

coshx-, + í r +4T + 6T +-" +is jr +-

|x| < X

^ X - X - | x ’ + ^ x ’ - ^ X 7+ y g _ X - - 1(( w <7 . 1

+ « .

+ * L

* ... +

o < |,| < „

61 6~ *

sech x - 1

cosech x ■

1 x T ~ 6

7xa 360 “

A rg senh x - X - - J y X a

3 lx* 15120

«I»

<2n)'

13 2-4-5

1 -3-5 2 -4 6~7 *

, +

. , _ ] r ____ 1-3-5(2w - I ) + (

arg cosh x — t

2 *4

± '"

6 . . . 2n(2n + 1 )

[ in f e ) -

~ í I h

0 < |x| < x

',- ]

x | <

*=*'

_1 _s _7 - J.« l arg tgh x ■ x + -y- + - j- + -y- + ... + 2 ÍT + T +

,X | < 1

" * “

1x1 = •1

l 'l (*)

*h x ' 7 ♦ -5 ?- + i ?

+ -S T + -

B . represenla los números de Beraouille £ . representa los números de Euler.

+ (S T ÍT )? ^ - + -

INTEGRALES

308

I N

FO R M U LA S

■

adx

•f [ x ) d x =

x"(d x

iir -

J p

W -

í 'd x

ELEM EN T A LES

J vdx,

dy/dx.

d o n d e u y i so n u n a d e la s fu n c io n e s d c

rdu.

■

x**1 v n rr^ *

>•' -

d y. d o n d e

“ Vx

J J\ x )d x .

— f udx

v )d x

* I»

udr

ax.

<W » V * — f (u

du dx -

x > - / • < * * * ]•

lo g x o lo g < - x ) .

r M.

e "d x - e "/ a . 1

- T lo g T

lo g x d x

a ' lo g a d x dx

I — j—+

J 1

a*.

I . I X \ I , /X \ T ■ — 3rc ‘8 I6—\ I« o/ aarc COlg I — I • .a \ a I

x ^

X lo g X —

‘

’~

j v

arc,* U

) °

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j X \

, X — a l » í T t T

° -

c“

(

* x? *

“

)• /

j ¡

f -

”

■ Jf f

“

arcscn ( " )

108l x + v V t n r ? ’-

- g .

- L a .e c o s

x ^ /a * ^ " ^

^«

dx -

( “

)

'0 8 \ ( —

1 ra ' * re,8V —

—2

+T>x

. . l / a

hx ■

IN T E G R A L E S

309

F O R M U L A S Q U E C O N T I E N E N <a ♦ bx) 24.

J ( fl ♦ b x rd x -

25.

j* M u .+ b x rd x -

26.

27.

J ^

2* . 29.

- T

35. 36. 37. 38.

T>- <fl ♦ **>■* ' . ( » » # - 1 . - 2 1 s*

r - -

¡ r

♦

_ =

± &

+ .. ^

T T i ^

+ far

]

'* .

1 0 8 (0 ■f 6 x )

___1

dx (a + fex)5 ”

2M a

J "¿ T ^ fe í

34.

6 (a + b x ) '

31.

33.

(a ♦ i « j r

32.

30.

í t

[i- : ^

- O-

+ h x r‘ * -

+ ^

f J

. (« *

= p [a

+ bxj1**

+ bx - a \ o » (a + b x )]

í (a ^ i ) 5 " - F f ,08,fl + bx) + T + feTj f ( f l + bx)T JT T b T

61 [

I b5

X 2(/X

a + bx - 2a lo g (a + b x ) -

ix x (a ♦“ f e ií

.o g (a + bx) + fl % T x

- T ¡r + - b w \

v kx«— I

a<a+bx) b

a + bx

b i f = - ^a x + a^5 lo»-

40.

I . a ♦ bx - - lo g — x -

J *(u +bxF

39.

(a ♦ fex)* * ~b*

Í 7 * 2(a + l a p j

= fer [ t ífl + h x )í ~ 21411 + 6x) + * * ,og (ü + hx)]

f _*!rfx J (a + fex) J

a + 2bx . 2b , a + bx T i j a + bx ) + -1 (og

b iP

F O R M U L A S Q U E C O N T I E N E N c 2 ± x 2. x 2 - c 2 41 .

41.

J- ;I^

c1 * xr

j r

* c

f J

.«re «en

ff l + x2

ab‘ — a’fe

E T - 3 T - .T [ i

8 \ a + bx j

«' ♦ ta *- f

______ rfx____ _ ( a -f b x rtfl’ + b x ) ”

I / I ab ' — a 'b \ a + b x

xdx b x ) V + b'x) “

—a b<ub' - /i'bHa + bx )

47 h

. ^ . | o g f J f o - - i. r c , g h ( i)

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270.

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319

IN T E G R A L E S

320

271.

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272.

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273.

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274.

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x (a re eos x ) a

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275.

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276.

277.

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F O R M U L A S L O G A R IT M IC A S 281. 282.

283.

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IN T E G R A L E S

321

F O R M U L A S E X P O N E N C IA L E S 2*6.

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301. 302.

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314.

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315.

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31*. •

320.

x cosh xdx = x senh x - cosh x

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322.

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J coscch x cotgh xdx - - coscch x.

322

INTEGRALES IN T E G R A L E S D E F IN ID A S

323 í ’

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324.

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1.25 126 127 128 129

0.90640 0.90440 0.90250 0.90072 0.89904

1.50 1.51 1.52 123 124

0.88623 0.88659 0.88704 028757 0.88818

1.75 1.76 1.77 1.78 1.79

0.91906 0.92137

1.05 1.06 1.07 1.08 1.09

0,97350 0.96874 0.96415 0.95973 0.95546

120

122. 123 124

0.89747 0.89600 0,89464 0,89338 0.89222

125 1.56 127 1.58 129

0,88887 0.88964 0.89049 0.89142 0,89243

121 122

0.93138 0.93408 0.93685 0.93969 P.9426I

1,10 1.11

1.12

125 126 127 128 1.39

0,89115 0,89018 0.88931 0,88854 0.88785

1.60 1.61 1.62 1.63 1.64

0,89352 0,89468 0.89592 0.89724 0,89864

125 126 1.87

1.13 1.14

0,95135 0.94739 0.94359 0.93993 0.93642

1.89

0,94561 0.94869 0,95184 0.95507 0.95838

1.15 1.16 1.17 1.18 1.19

0,93304 0.92980 0.92670 0.92373 0.92088

1.40 1.41 1.42 1.43 1.44

028726 0.88676 0.88636 0.88604 0.88580

1.65 1.66 1.67 1,68 1.69

0.90012 0.90167 0.90330 0.90500 0.90678

1.90 1.91 1.92 1.93 1.94

0.96177 0.96523 0.96878 0.97240 0.97610

1.20 U l

0.91817 0.91558 0.91311 0,91075 0,90852

1.45 1.46 1.47 1.48 1.49

0.88565 0.88560 0.88563 0.88575 0.88595

1.70 1.71 1.72 1.73 1.74

0.90864 0.91057 0.91258 0.91466 0.91683

1.95 1.96 1.97 1,98 1.99 2,00

0.97988 0.98374 0.98768 0.99171 0.99581 1.00000

1.22 1.23 1.24

1.80

U3 1.84

1.88

0.92376 0.92623 0.92877

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325

Indice Angulo. 280 Aproxim ación polinom ial de las fundones. 251 A rco . 173 longitud de. 203 simple, 174 Arcos y curvas en e l plano. 173 A rca, 137 axiomas, 137 de una superfide de revolu ción. 203 en coordenadas polares, 203 entre los grafos de dos funcio nes. 137 Areas poligonales. 281 C álculo aproxim ado de integrales definidas. 271 C á lc u lo de in teg rales d e fin i das. 124 C álculo de raíces por sustitu ción, 268 C álculo num érico. 268 Cam bio de variable, 51 Centro de gravedad, 182 C ircu lo . 282 en polares. 286 Conjunto, acotado. 10 denso, 16 Continuidad uniform e, 20 Coordenadas polares. 202 C riterio de integrabilidad, 33 C u rva, cerrada. 174 rectificable, 17o suave. 170. 174 C urvas planas. 293 caracol de Pascal. 293 cardioide, 293 catenaria, 293 cicloide, 293 circulo. 294 cisoide de D ioclcs. 294 coclcoidc, 294 concoide de Nkom edes, 294 cosecante, 295 cuadratriz de H ippias, 295 de Agnesi. 295 de la cotangente. 295 de persecución. 295

Curvas planas, de probabilidad. 295 del arco coseno. 296 del arco seno, 2 % del arco tangente, 296 del coseno. 296 del seno. 296 elipse, 297 epicicloide, 297 espiral de Arquim edes. 298 espiral hiperbólica o recípro ca, 298 espiral logarítm ica o cquiangular. 298 espiral parabólica. 298 Cstrofoide. 298 evoluta de la elipse. 298 exponencial, 296 • fo liu m d e Descartes. 298 función gamma, 299 funciones exponenciales, 299 funciones hiperbólicas, 300 hipérbola, 300 hipocicloidc de cuatro vértices. 300 hipocicloidc de tres vértices. 301 involura del circulo, 301 lamniscata de B cm o irilli, 301 lituus, 301 logarítm ica, 296 nefroide. 301 óvalos de C assini, 301 parábola, 302 rosa. 297 serpentina. 297 sinusoide. 303 C urvas y superficies. 292 D esarrollos, generalizados, 253 lim itados, 251. 253 Dcscom poskión en fracciones par ciales. 87 Ecuación general de segundo gra do. 290 Elipse. 283 E rro r producido por la interpola ción, 269 Esfera, 290 326

Factores cuadráticos, 86 Form ulario de geometría an alí tica, 280 Fórm ulas de recurrencia. 120 Fracciones racionales, 85 Función, continua, 20. 21 exponencial natural (o neperiana). 227 hiperbólica. 239 logarítm ica. 226, 227 prim itiva. 47 reciproca de las funciones c ir culares c hiperbólicas, 24 scccionalmcnte m onótona, 39 H erm itc. método de. 90 Hipérbola. 284 Identidades trigonom étricas. 69 Integración, de exponenciales, 117 de radicales, 111 p o r partes, 62 Integral, de Riem ann, 30 definida. 28, 30 im propia, 214 inferior. 30 inmediata, 48 superior. 30 Integral com o lím itede sumas. 172 Integrales, tabla de, 308 Integrales de tipo / J R (sen x . eos x ) dx. 105 Integrales definidas aplicadas a la física. 160 Integrales trigonom étricas. 69 Lim ite superior c inferior. 17 Logaritm o de base cualquiera, 228 Logaritm o en base b, 228 Longitud de arco. 170, 203 M áxim o, 9 M ayorante, 9 M étodo, de Herm itc, 90 de las partes proporcionales, 269 de los rectángulos. 271 de los trapecios, 272 de New ton, 270

IN D IC E

M ínim o. 9 M inorante. 9 Momentos. 182 ck áreas y volúmenes. 182 de inercia. 170 de una curva. 182 Newton. método de. 270 Notaciones O y o. 214 Número irracional. 16 Parábola, 282 Parám etros directores. 288 Partición. 28 norm a, 28 refinamiento. 30 Planos. 289 Plenitud o continuidad, axioma de, 10 Polinom io de T aylo r. 251 Prim er teorema fundamental del cálculo. 46 Recta, 281, 286, 288 Recubrim iento, 19

Regla, de Barrow . 41 de Sim pson, 273 Relación entre coordenadas rec tangulares y polares, 287 Secciones cónicas. 282 Segundo teorema fundamental del cálculo, 47 Separación gráfica de raíces. 268 Series. 304 binóm ica. 304 exponencial. 305 hiperbólicas. 307 logarítm icas, 306 M claurin. 305 reversión, 304 Taylor. 305 trigonométricas. 306 Simpson, regla de. 273 Sum a, inferior. 29 superior. 29 Superficies cuadráticas. 303 cilindro elíptico, 303 cono elíptico, 303 elipsoide. 303 esfera, 303

327

hiperboloide de dos hojas. 303 hiperboloide de una hoja. 303 paraboloide elíptico. 3(M paraboloide hiperbólico. 304 T aylo r. polinom io de. 251 Teoremas: de Darboux, 160 de Pappus, 183 de sustitución inversa para inte grales, 77 del valor intermedio, 18 del valor medio para integra les. 40 Heinc-Borel, 20 primer teorema fundamental del cálculo. 46 segundo teorema fundamental del cálculo. 47 Transform ación de coordenadas, 291 Volumen de sólidos de sección conocida. 147 axiomas. 147 Volúmenes de revolución, 148

Colección Harper T í t u l o s p u b lic a d o s

C O N JU N T O S Y E S T R U C T U R A S C A L C U L O I.

D iferencial

C A L C U L O II. Integral F IS IC A I.

C o n c e p to s fundam entales y su aplicación

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Sucesivamente irán apareciendo nuevos títulos.