เทคนิคการคิดโจทย์พหุนาม by Khruwe Bankanit

- เทคนิคการทําโจทยคูณ หาร และ แยกตัวประกอบ พหุนามแบบรวดเร็ว - การหารากที่สองของพหุนามดวยวิธีลัด - การนําคาของ b2-4ac มาประยุกตใช - แนวคิดโจทยเกี่ยวกับพหุนาม และ สมการกําลัง สองที่มีรูปแบบเฉพาะ ครูวี (บานคณิตฯ) สถ.บ.จุฬาฯ

เทคนิคการคิดพีชคณิต

คํา นํา หนังสือเลมนี้เหมาะสําหรับนักเรียนในระดับมัธยมตนที่ตองการ เตรี ย มตั วเพื่ อ ทํ า การสอบ ทั้ ง การสอบวั ด ผลในโรงเรี ย นและการสอบ คั ด เลื อ กเข า โรงเรี ย นที่ มี ก ารแข ง ขั น สู ง หรื อ การสอบแข ง ขั น ชิ ง ทุ น โครงการตางๆ นักเรียนผูที่จะใชหนังสือเลมนี้ใหไดประโยชนเต็มที่ควรมี ความรูพื้นฐานเกี่ยวกับพีชคณิตเบื้องตนในเรื่อง การบวก ลบ คูณ และหาร พหุนามเสียกอน เนื้ อ หาในหนั ง สื อ เล ม นี้ มุ ง เน นการคิ ด คํ า นวณโจทย เ กี่ ย วกั บ พีชคณิตที่มักจะถูกนํามาออกเปนขอสอบคัดเลือกหรือขอสอบแขงขันใน ระดับมัธยมตนอยู เปนประจํา โดยในแตละเรื่องจะพยายามใหนักเรียน เขาใจถึงที่มาของแนวทางการในแกปญหานั้นกอนจะนําไปใช และในทาย บทของทุกเรื่องก็จะมีแบบทดสอบทายบทไวเพื่อใหนักเรียนไดฝกฝนใชวิธี แกป ญหาในเรื่องนั้ นๆจนชํา นาญ พร อมทั้ง นัก เรี ยนสามารถตรวจสอบ วิธีการคิดของตัวเองไดทุกขอหากไดคําตอบไมตรง เพราะผูเขียนไดทํา เฉลยอยางละเอียดไวใหทุกขอแลว จึงหวังวาหนังสือเลมนี้จะทําใหนักเรียนสามารถศึกษาและทํา ความเขาใจเรื่องพีชคณิตระดับมัธยมตนไดดวยตนเองอยางแทจริง และ สามารถนําไปใชใหเกิดประโยชนแกตนเองในการสอบตางๆตอไป

เทคนิคการคิดพีชคณิต

สารบั ญ บทที่ 1 การคูณและหารพหุนาม แบบฝกหัดเรื่องการคูณและหารพหุนาม เฉลยแบบฝกหัด

1 9 11

บทที่ 2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม แบบฝกหัดเรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนาม เฉลยแบบฝกหัด

20 24 27

บทที่ 3 ทฤษฎีเศษเหลือ การหารสังเคราะห แบบฝกหัดเรื่องทฤษฎีเศษเหลือ เฉลยแบบฝกหัด

37 41 47 50

บทที่ 4 พหุนามกําลังสองสมบูรณ 4.1 การแยกตัวประกอบดวยวิธีกําลังสองสมบูรณ 4.2 พหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ 4.3 การหารากที่สองของพหุนาม แบบฝกหัดเรื่องการแยกตัวประกอบกําลังสองสมบูรณ เฉลยแบบฝกหัดการแยกตัวประกอบกําลังสองสมบูรณ แบบฝกหัดเรื่องพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ เฉลยแบบฝกหัดพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ

61 61 66 67 71 72 75 77

เทคนิคการคิดพีชคณิต

แบบฝกหัดเรื่องการหารากที่สองของพหุนาม เฉลยแบบฝกหัดเรื่องการหารากที่สองของพหุนาม

84 87

บทที่ 5 โจทยพหุนามที่มีลักษณะเฉพาะ 5.1 โจทยที่ใชสูตรมาพัฒนาในการคิด 5.2 โจทยท่ใี หหาคาของพหุนามหรือเศษสวนของพหุนาม แบบฝกหัดเรื่องพัฒนาการใชสูตรพหุนาม เฉลยแบบฝกหัด และ เฉลยอยางละเอียด แบบฝกหัดเรื่องการหาคาพหุนามหรือเศษสวนของพหุนาม เฉลยแบบฝกหัด

97 97 100 106 108 115 119

บทที่ 6 สมการกําลังสอง 6.1 คาของ b2- 4ac ในสูตรหาคําตอบของสมการกําลังสอง 6.2 ผลบวกและผลคูณของคําตอบของสมการกําลังสอง แบบฝกหัดเรื่องคาของ b2-4acในสมการกําลังสอง เฉลยแบบฝกหัด

136 139 142 148 150 แบบฝกหัดเรื่องผลบวกและผลคูณของคําตอบของสมการกําลังสอง 159 เฉลยแบบฝกหัด 165

เทคนิคการคิดพีชคณิต

1 การคูณและหารพหุนาม การคู ณ หาร และแยกตั ว ประกอบพหุ น ามนั้ น เป น พื้ น ฐานที่ สํ า คั ญในคณิ ตศาสตร ระดั บ มั ธ ยมต น และมั ก จะถู ก นํ า ไปออกข อสอบ คัดเลือกเขาโรงเรียนระดับมัธยมปลายอยูเสมอๆ จึงเปนสิ่งที่ดีหากเรามี วิธีการคิดโจทยบางลักษณะของเรื่องดังกลาวใหไดผลเร็วขึ้นซึ่งจะทําให ไดเปรียบในการสอบแขงขัน ในกรณีที่ขอสอบหรือแบบทดสอบที่เกี่ยวกับเรื่องการคูณและ หารพหุนามเปนแบบปรนั ย(มีตัวเลือกของคําตอบมาให) เราสามารถใช วิธีการตรวจผลคูณของพหุนามเพียงบางพจนก็อาจจะเพียงพอแลวในการ เลื อกคํ า ตอบข อที่ ถู ก ต องได อย า งไรก็ ต ามวิ ธี ดัง กล า วนี้ นั ก เรี ย นต องมี ความรูพื้นฐานเรื่องการบวก ลบ คูณ และหาร เอกนาม เรื่องเลขยกกําลัง และเรื่องจํานวนบวก จํานวนลบเปนอยางดีเสียกอนจึงจะนําวิธีนี้ไปใชได อยางมีประสิทธิภาพ ทั้งนี้วิธีการคูณและหารพหุนามตามขั้นตอนปกติก็ ยัง คงเป นสิ่ ง จํ า เปนที่ ล ะทิ้ ง ไม ไ ด เพราะยั ง มี โจทย อีก มากมายที่ ตองใช พื้นฐานดังกลาวในการคิดวิเคราะหหาคําตอบ อีกวิธีหนึ่งที่นักเรียนทั่วไปนิยมใชคือการแทนคาตัวแปรในพหุ นามที่โจทยกําหนดมาและในตัวเลือกดวยจํานวนที่เทากัน แลวตรวจวา ผลลัพธสุดทายเทากันหรือไม ซึ่งวิธีดังกลาวมีโอกาสที่จะมีผลลัพธเทากัน ไดมากกวา 1 ขอ และหากไมระวังรีบเลือกคําตอบที่ตรวจไดตรงอันแรกก็ อาจจะทําใหผิดพลาดได

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวอยางที่ 1 คาของ (x+4)(x2-x-1) ตรงกับขอใด 1. x3+5x2+3x+4 2. x3+3x2-5x-4 3. x3-3x2+5x+4 4. x3-3x2+5x-4 ตรวจผลคู ณพจน ท า ยของทั้ ง 2 พหุ นามที่ โจทย กํ า หนดมาต อ ง ไดผลลัพธเปน -4 ดังนั้นตัวเลือกที่เปนไปไดคือขอ2และ 4 ซึ่งในตัวเลือก 2 ขอนี้ตางกันตรงเครื่องหมายของพจนที่ 2 และ 3 คือ 3x 2 และ 5x ตรวจผลคู ณของพหุ นามที่ โจทย กํ า หนดมาอี ก ครั้ ง โดยที่ ส นใจ เฉพาะพจน x2 หรือ x -x2 (x+4)(x2-x-1) +4x2 จากขางตนนี้เปนการตรวจสอบพจน x2 ซึ่งจะเห็นวาผลรวมของ ผลคูณที่ถูกตองคือ +3x2 จึงสรุปไดวา ขอที่ถูกตองคือขอ 3 ตัวอยางที่ 2 ผลคูณของ (x4+81)(x2+9)(x-3)(x+3) ตรงกับขอใด 1. x8+81 2. x8-34 3. x8-36 4. x8-812 จากโจทยผลคูณของพจนทายในทุกพหุนามคือ 81 9  (-3) 3 = -812 จึงสรุปไดวา ขอที่ถูกตองคือขอ 4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวอยางที่ 3 (6x3+7x2+11x+6)(3x+2) ตรงกับขอใด 1. 2x2-x+3 2. 2x2+2x+3 3. 2x2+x+3 4. 2x2+3x+3 จากความรูที่วา ตัวหารผลหาร = ตัวตั้ง สังเกตไดวาตัวเลือกทั้ง 4 ขอที่ใหมานั้นมีพจนแรกและพจน ทายเหมือนกัน ตางกันเฉพาะสัมประสิทธิ์ของพจนกลางคือพจน x เทานั้น เราจึงสามารถตรวจหาคําตอบที่ถูกตองไดโดยนําตัวหารมาคูณกับตัวเลือก ในแตละขอ แตมุงเนนที่ผลคูณที่เกิดจากพจน x ในแตละตัวเลือกเทานั้น และอยาลืมวา ตองดูดวยวา มีผลคูณที่เกิดจากพจนอื่นคู ณกันที่เปนพจน คลายหรือไม ถามีก็ตองนําผลคูณที่ไดทั้งหมดนั้นมารวมกัน แลวตรวจดู วามีสัมประสิทธิ์ตรงกับพจนที่มีดีกรีเดียวกันในตัวตั้งหรือไม ตัวเลือกที่1 -3x2 (2x2-x+3)(3x+2) +4x2 ผลรวมของพจน x2 ที่เกิดขึ้น= +x2 ซึ่งไมตรงกับพจน x2 ในตัว ตั้ง แสดงวาตัวเลือกที่ 1 ไมถูกตอง ตัวเลือกที่3 +3x2 (2x2+x+3)(3x+2) +4x2 ผลรวมของพจน x2 ที่เกิดขึ้น= +7x2 ซึ่งตรงกับพจนx2ในตัวตั้ง แสดงวา ตัวเลือกที่ 3 คือขอที่ถูกตอง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวอยางที่ 4 (3x2+4x+1) หารดวย x-2 แลวคําตอบควรเปนเทาใด 1. 3x+10 2. 3x-2 3. 3x+10 เศษ 21 4. 3x เศษ 2 เนื่องจากโจทยขอนี้ เมื่อดูจากตัวเลือกแลวจะเห็นวาบางขอมี เศษของการหาร จึงตองใชความรูเรื่องการหารที่เหลือเศษที่วา ตัวตั้ง = ตัวหาร  ผลหาร + เศษ ใหตรวจผลคูณของพจนทายของตัวหารกับพจนทายของผลหาร ในตัวเลือกแตละขอ ถามีเศษก็ใหบวกเศษเขาไปดวย แลวดูวาตรงกับพจน ทายในตัวตั้งหรือไม จากการตรวจดังกลาวจะไดผลเปนดังนี้ 1. (-2)  (+10) = -20 2. (-2)  (-2) = +4 3. (-2)  (+10) +21 = +1 4. (-2)  0 +2 = +2 จะเห็ นว ามี เฉพาะตั วเลือกข อ3เท านั้ นที่ ได ผลคูณตรงกั บพจน ทายในตัวตั้งคือ +1 จึงสรุปไดวา ขอ 3 คือขอที่ถูกตอง ตัวอยางที่ 5 ผลสําเร็จของ x4-x3y+x2y2+2x2y-2xy2+2y3x2-xy+y2 ตรงกับขอใด 1. x2+y 2. y2+x 3. x2-2y 4.x2+2y

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตรวจผลคู ณพจน แ รกของตั ว หารกั บ พจน แ รกของผลหารใน ตัวเลือก มีขอที่ 1,3และ4 ที่จะไดผลลัพธตรงกับพจนแรกในตัวตั้งคือ x4 ตรวจผลคูณพจนทายของตัวหารคือ +y2 ตองคูณกับ +2y เทานั้น จึงจะไดผลลัพธเทากับ +2y3 ซึ่งเปนพจนทายของตัวตั้ง จึงสรุปไดวา ขอ 4 เปนขอที่ถูกตอง ตัวอยางที่ 6 จํานวนที่นําไปหาร 3x3-7x2+2x+4 แลวไดผลลัพธเปน 3x2+2x+8 และเหลือเศษ 28 ตรงกับขอใด 1. x-2 2. x+2 3. x-3 4. x+3 เนื่องจาก ตัวตั้ง = ตัวหาร  ผลหาร + เศษ ดังนั้น ตัวตั้ง - เศษ = ตัวหาร  ผลหาร จากโจทย ตัวตั้ง- เศษ คือ 3x3-7x2+2x+4-28 =3x3-7x2+2x-24 ตรวจสอบผลคูณพจนทายของผลหารกับพจนทายของตัวหารใน ตัวเลือกที่ใหม า เพื่ อใหได เท ากับ -24 ก็จะสรุปไดวา ข อ 3 เปนขอที่ ถูกตอง เพราะ +8  (-3) = -24 ตัวอยางที่ 7 พหุนาม x4+3x3-2x2+5x+1 เมื่อหารดวย f(x)แลวไดผลลัพธเปน x2+4x และเศษเปน 1-3x จงหา f(x) 1. x2-x-2 2. x2+x-2 3. x2-x+2 4. x2+x+2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

จากโจทย ตัวตั้ง - เศษ คือ (x4+3x2-2x2+5x+1) - (1-3x) = x4+3x3-2x2+8x ตรวจสอบผลคูณพจนทายของผลหารกับพจนทายของตัวหารใน ตัวเลือกที่จะไดเทากับ +8x ก็จะมีขอ 3 และขอ 4 ที่ไดตรง คือ +4x  (+2) = +8x นําตัวเลือกขอ 3 และ 4 มาตรวจผลคูณที่เกิดจากพจนที่ตางกัน ของทั้ง 2 ขอนี้ตอไป ตัวเลือกขอ3 -x3 (x2-x+2)(x2+4x) +4x3 ผลรวมของพจน x3 คือ +3x3 ซึ่งตรงกับพจน x3 ในผลลบของตัว ตั้งลบเศษที่คิดไว จึงสรุปไดวา ขอที่ถูกตองคือขอ 3 ตัวอยางที่ 8 6x6-5x5+11x4-3x3-6x2+x-4 หารดวย 2x3-3x2+5x-4 จะไดเทากับ ขอใด 1. 3x3+2x2+x-1 2. 3x3+2x2-x+1 3. 3x3-2x2+x-1 4. 3x3+2x2+x+1 ตรวจสอบผลคูณพจนทายของตัวหารกับพจนทายของผลหารใน ตัวเลือกที่จะไดเทากับ -4 จะมีขอที่ 2 และ 4 ที่ไดตรง คือ (-4)  (+1) = -4 นําตัวเลือกขอ 2 และ 4 มาตรวจผลคูณที่เกิดจากพจนที่ตางกัน ของทั้ง 2 ขอนี้ตอไป

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวเลือกขอ 2

+4x (3x +2x -x+1)(2x3-3x2+5x-4) +5x ผลรวมของพจน x คือ +9x ซึ่งไมตรงกับพจน x ในตัวตั้ง ขอ2 จึงไมถูกตอง ตัวเลือกขอ 4 -4x 3 2 (3x +2x +x+1)(2x3-3x2+5x-4) +5x ผลรวมของพจน x คือ +x ซึ่งตรงกับพจน x ในตัวตั้ง จึงสรุปได วาขอ 4 คือขอที่ถูกตอง 3

ตัวอยางที่ 9 5x3+29x2y+19xy2-5y3 หารดวย x+y ไดผลลัพธตรงกับขอใด 1. (5x-y)(x+5y) 2. (5x-y)(x-5y) 3. (5x+y)(x+5y) 4. (5x+y)(x-5y) พจนทายของตัวหาร คือ +y ตองคูณกับ -5y2 จึงจะไดผลลัพธ เทากับพจนทายของตัวตั้งตัวตั้งคือ -5y3 ดังนั้นพจนทายของผลหารที่ ถูกตองจึงตองเทากับ -5y2 ซึ่งจากตัวเลือกในขอนี้อยูในรูปพหุนามดีกรี 1 คูณกัน เราจึงตองดูผลคูณของพจนทายในตัวเลือกที่ได -5y2 ซึ่งมีที่ไดตรง อยู 2 ขอคือขอ 1 และ 4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

นําตัวเลือกขอ 1 และ 4 มาตรวจดูผลคูณที่เกิดจากพจนที่ตางกัน ของทั้ง 2 ขอนี้ ตัวเลือกขอ 1 +24xy2 (5x-y)(x+5y)(x+y) = (5x2+24xy-5y2)(x+y) -5xy2 ผลรวมพจน xy2 เทากับ +19xy2 ซึ่งตรงกับพจน xy2ในตัวตั้ง จึง สรุปไดวาขอ 1 คือขอที่ถูกตอง ..........................................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

แบบฝกหัดเรื่องการคูณและหารพหุนาม 1. คาของ (x-5)(2x2+x-4) ตรงกับขอใด 1. 2x3+9x2-9x-2 2. 2x3-9x2+9x+20 3. 2x3-9x2-9x+2 4. 2x3+9x2+9x-20 2. ผลคูณของ (2x2+x-1)(3x2-2x+1) ตรงกับขอใด 1. 6x4-x3+x2-x+1 2. 6x4+x3-x2+x+1 3. 6x4-x3+x-1 4. 6x4+x3+x-1 3. ผลคูณของ (x+2)(x-3)(x+4)(x-5) ตรงกับขอใด 1. x4-2x3+19x2-26x+120 2. x4-2x3-25x2+26x+120 3. x4-2x3-25x2+26x-120 4. x4-2x3+19x2-26x-120 4. (4a2+3)(16a4-12a2+9) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 16a6+27 2. 64a6+27 3. 64a8+27 4. 64a8+32a4+27 5. (7x2-5x+2)(x2+x-6) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 7x4-2x3+45x2-32x-12 2. 7x4+2x3-45x2+32x+12 3. 7x4-2x3+45x2-32x+12 4. 7x4+2x3-45x2+32x-12 6. (2x2+5x-4)(x-2) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 2x3-x2-6x-8 2. 2x3+x2+6x-8 3. 2x3+x2-14x+8 4. 2x3-x2+14x+8

เทคนิคการคิดพีชคณิต

7. จงหาสัมประสิทธิ์ของพจน x3 จาก (2+4x2-3x+5x3)(3x2-4+6x3) 1.-17 2. -8 3. 11 4. 30 8. ถาสัมประสิทธิ์ของ x2 ในการคูณ (x+a)(2x2-3x+1) เทากับ 5 จงหา a 1. -4 2. -1 3. 1 4. 4 9. จงหาผลคูณของ (1-a+b)(1+a-b) 1. 1+2ab+a2-b2 2. 1+2ab-a2+b2 3. 1+2ab-a2-b2 4. 1-2ab+a2+b2 10. จงหาผลคูณของ (a2+ab+b2)(a2-ab+b2) 1. a4-2a2b2+b4 2. a4-a2b2+b4 3. a4+b4 4. a4+a2b2+b4 11. จงหาคาของ b และ c ถาผลคูณของ x2+bx+c และ x2-2x+1 เทากับ x4- 5x3+5x2+x-2 1. b = 3 ,c = 2 2. b = 3 ,c = -2 3. b = -3 ,c = 2 4. b = -3 ,c = -2 12. จงหาผลคูณของ (x+2)(x-2)(x2-2x+4)(x2+2x+4) 1. x6+4x4+32 2. x6+64 3. x6-64 4. x6 13. จงหาผลหารของ (2a3-7a2-a+2)  (a2-3a-2) 1. -2a+1 2. 2a+1 3. -2a-1 4. 2a-1

เทคนิคการคิดพีชคณิต

14. x5+x3+2 หารดวย x2+2 ไดผลหารและเศษตรงกับขอใด 1. x3+3x เศษ 6x+2 2. x3-x เศษ 2x+2 3. x3-x เศษ 2-2x 4. x3+x เศษ 2-2x 15. จะตองนําคาใดมาหาร (2x2+5xy+3y2)2 ไดผลหาร 4(x2+5xy+2y2) เหลือเศษ y2(5x+y)2 1. x2-y2 2. x2+y2 3. x2+y2+xy 4. x2+y2-xy

.............................................................

เฉลยแบบฝกหัดเรื่องการคูณและหารพหุนาม 1) 3 6) 3 11) 4

2) 3 7) 1 12) 3

3) 2 8) 4 13) 4

4) 2 9) 3 14) 2

...........................................

5) 4 10) 4 15) 2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

เฉลยอยางละเอียด ขอ1. คาของ (x-5)(2x2+x-4) ตรงกับขอใด 1. 2x3+9x2-9x-2 2. 2x3-9x2+9x+20 3. 2x3-9x2-9x+2 4. 2x3+9x2+9x-20 -5x (x-5)(2x2+x-4) -4x ผลคูณพจนทายเทากับ+20 และรวมผลคูณพจน x เทากับ -9x จึงสรุปไดวา ตัวเลือกที่ถูกตองคือขอ 3 ขอ2. ผลคูณของ (2x2+x-1)(3x2-2x+1) ตรงกับขอใด 1. 6x4-x3+x2-x+1 2. 6x4+x3-x2+x+1 3. 6x4-x3+x-1 4. 6x4+x3+x-1 -4x3 (2x2+x-1)(3x2-2x+1) +3x3 ผลคูณพจนทายเทากับ -1 และรวมผลคูณพจน x3 ไดเทากับ -x3 จึงสรุปไดวา ตัวเลือกที่ถูกตองคือขอ 3 ขอ3. ผลคูณของ (x+2)(x-3)(x+4)(x-5) ตรงกับขอใด 1. x4-2x3+19x2-26x+120 2. x4-2x3-25x2+26x+120 3. x4-2x3-25x2+26x-120 4. x4-2x3+19x2-26x-120

เทคนิคการคิดพีชคณิต

+20x (x+2)(x-3)(x+4)(x-5) = (x -x-6)(x2-x-20) +6x ผลคูณพจนทายเทากับ +120 และรวมผลคูณพจน x เทากับ +26x จึงสรุปไดวา ตัวเลือกที่ถูกตองคือขอที่ 2 2

ขอ4. (4a2+3)(16a4-12a2+9) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 16a6+27 2. 64a6+27 3. 64a8+27 4. 64a8+32a4+27 + 64a6 (4a2+3)(16a4-12a2+9) ผลคูณพจนแรกเทากับ +64a6 จึงสรุปไดวา ตัวเลือกที่ถูกตองคือ ขอที่ 2 ขอ5. (7x2-5x+2)(x2+x-6) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 7x4-2x3+45x2-32x-12 2. 7x4+2x3-45x2+32x+12 3. 7x4-2x3+45x2-32x+12 4. 7x4+2x3-45x2+32x-12 +30x (7x2-5x+2)(x2+x-6) +2x ผลคูณพจนทายเทากับ -12 และรวมผลคูณพจน x เทากับ +32x จึงสรุปไดวา ตัวเลือกที่ถูกตองคือขอที่ 4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ6. (2x2+5x-4)(x-2) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 2x3-x2-6x-8 2. 2x3+x2+6x-8 3. 2x3+x2-14x+8 4. 2x3-x2+14x+8 -10x 2 (2x +5x-4)(x-2) -4x ผลคูณพจนทายคือ +8 และรวมผลคูณพจนx เทากับ -14x จึง สรุปไดวา ตัวเลือกที่ถูกตองคือขอที่ 3 ขอ7. จงหาสัมประสิทธิ์ของพจน x3 จาก (2+4x2-3x+5x3)(3x2-4+6x3) 1.-17 2. -8 3. 11 4. 30 3 +12x -20x3 2 3 (2+4x -3x+5x )(3x2-4+6x3) -9x3 คิดเฉพาะพจนที่คูณกันแลวไดพจน x3 นําผลคูณมารวมกันได เทากับ -17x3 จึงสรุปไดวา ตัวเลือกที่ถูกตองคือขอที่ 1 ขอ8. ถาสัมประสิทธิ์ของ x2 ในการคูณ (x+a)(2x2-3x+1) เทากับ 5 จงหา a 1. -4 2. -1 3. 1 4. 4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

-3x2 (x+a)(2x2-3x+1) +2ax2 คิดเฉพาะผลคูณของพจนที่ไดพจน x2 นํามารวมกันแลวตอง ไดสัมประสิทธเทากับ 5 ตามที่โจทยกําหนดมาให จาก 2ax2-3x2 = (2a-3)x2 ดังนั้น 2a-3 = 5 a = 4 ตัวเลือกที่ถูกตองคือขอที่ 4 ขอ9. จงหาผลคูณของ (1-a+b)(1+a-b) 1. 1+2ab+a2-b2 2. 1+2ab-a2+b2 3. 1+2ab-a2-b2 4. 1-2ab+a2+b2 -a2 (1-a+b)(1+a-b) -b2 คิดผลคูณพจนทายเทากับ -b2 และผลคูณพจน a2 ได -a2 สรุปวา ขอ 3 ถูกตอง ขอ10. จงหาผลคูณของ (a2+ab+b2)(a2-ab+b2) 1. a4-2a2b2+b4 2. a4-a2b2+b4 3. a4+b4 4. a4+a2b2+b4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

+a2b2 (a2+ab+b2)(a2-ab+b2) +a2b2 -a2b2 เนื่องจากตัวเลือกทุกขอมีพจน a4 และ b4 เหมือนกัน จึง ตรวจดูพจน a2b2จากผลคูณ ซึ่งรวมผลคูณแลวได +a2b2 จึงสรุปได วาตัวเลือกที่ 4 เปนขอที่ถูกตอง ขอ11. จงหาคาของ b และ c ถาผลคูณของ x2+bx+c และ x2-2x+1 เทากับ x4- 5x3+5x2+x-2 1. b = 3 ,c = 2 2. b = 3 ,c = -2 3. b = -3 ,c = 2 4. b = -3 ,c = -2 +bx 2 (x +bx+c)(x2-2x+1) = x4-5x3+5x2+x-2 -2cx จากผลคูณพจนทายของพหุนามทางซายเทากับ+c ดังนั้น c = -2 และ ตรวจพจน x ทางซายได +bx-2cx ดังนั้น bx-2cx =x (b-2c)x =x b-2c =1 แทนคา c = -2 ; b-2(-2) =1 b = -3 สรุป ตัวเลือกทึ่ถูกตองคือขอ 4 b = -3,c = -2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ12. จงหาผลคูณของ (x+2)(x-2)(x2-2x+4)(x2+2x+4) 1. x6+4x4+32 2. x6+64 3. x6-64 4. x6 -64 (x+2)(x-2)(x2-2x+4)(x2+2x+4) ตรวจผลคูณพจนท ายไดเท ากับ -64 ซึ่งมี เพีย งตัวเลือกที่3 ข อ เดียวที่มีพจนทาย เทากับ -64 จึงสรุปไดวาขอ 3 ถูกตอง ขอ13. จงหาผลหารของ (2a3-7a2-a+2)  (a2-3a-2) 1. -2a+1 2. 2a+1 3. -2a-1 4. 2a-1 3 +2a 2 (a -3a-2)(2a-1) +2 จากการตรวจดูผลคูณของพจนแรกและพจนทายของตัวหารกับ พจนแรกและพจน ทายของผลหารในตัวเลือกที่ 4 จะไดผลลัพธตรงกั บ พจนแรกและพจนทายในตัวตั้ง จึงสรุปไดวาขอ 4 ถูกตอง ขอ14. x5+x3+2 หารดวย x2+2 ไดผลหารและเศษตรงกับขอใด 1. x3+3x เศษ 6x+2 2. x3-x เศษ 2x+2 3. x3-x เศษ 2-2x 4. x3+x เศษ 2-2x

เทคนิคการคิดพีชคณิต

จากการตรวจผลคูณพจนทายของตัวหารคือ +2 กับพจนทายของ ผลหารและรวมกับเศษในแตละตัวเลือกไดผลดังนี้ 1. 23x+6x = 12x 2. 2(-x)+2x = 0 3. 2(-x)+(-2x = -4x 4. 2x+(-2x) = 0 จะเห็นว ามี เพีย งตั วเลื อกที่ 2 และ 4 เทานั้ นที่ มีผลลัพ ธพจน x เทากับ 0 ซึ่งตรงกับตัวตั้ง นําตัวเลือกที่ 2 และ 4 มาตรวจผลลัพธพจน x3 ที่ เกิดจากการคูณกับตัวหารไดดังนี้ ตัวเลือกที่ 2 +x3 (x2+2)(x3-x)+(2x+2) ตัวเลือกที่ 4 +3x3 (x2+2)(x3+x)+(2-2x) จึงสรุปไดวาขอที่ถูกตองคือขอที่ 2 ขอ15. จ ะ ต อ ง นํ า ค า ใ ด ม า ห า ร (2x2+5xy+3y2)2 ไ ด ผ ล ห า ร 4(x2+5xy+2y2) เหลือเศษ y2(5x+y)2 1. x2-y2 2. x2+y2 3. x2+y2+xy 4. x2+y2-xy โจทย ข อนี้ หากเราคิ ดด วยวิ ธี ก ารปกติ ค อนข า งจะใช เวลามาก เพราะเราตองทําการกระจายตัวตั้งและเศษที่อยูในรูปยกกําลังสองออกมา แลวนําตัวตั้งลบเศษออกกอนจะนําไปหารดวยผลหาร

เทคนิคการคิดพีชคณิต

วิธีที่จะชวยลดความยุงยากลงคือใหพิจารณาผลลัพธเพียงพจน ใดพจนหนึ่งซึ่งสามารถนํามาบงชี้ถึงคําตอบขอที่ถูกตองได ดังตัวอยางนี้ เปนการพิจารณาพจน x2y2 ในตัวตั้ง จากตัวตั้ง +6x2y2 (2x2+5xy+3y2)2 = (2x2+5xy+3y2)(2x2+5xy+3y2) +6x2y2 +25x2y2 รวมพจน x2y2 ในตัวตั้งไดเทากับ +37x2y2 เศษ y2(5x+y)2 = y2(25x2+10xy+y2) = 25x2y2+10xy3+y4 ผลหาร 4(x2+5xy+2y2) = 4x2+20xy+8y2 จาก ตัวตั้ง - เศษ = ตัวหารผลหาร 37x2y2-25x2y2 = 12x2y2 แสดงวา ผลหาร ตัวหารที่ถูกตอง ตองไดพจน x2y2 เปน +12x2y2 ซึ่งจากตัวเลือกขอที่ 2 จะไดดังนี้ +8x2y2 (4x2+20xy+8y2)(x2+y2) +4x2y2 รวมพจน x2y2 ไดเทากับ +12x2y2 พอดี จึงสรุปไดวาขอที่ถูกตอง คือขอที่ 2 ..............................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

2 การแยกตัวประกอบของพหุนาม นอกจากการคูณและหารพหุนามแลว วิธีการตรวจผลคูณของ บางพจนของพหุนามดังที่กลาวมาแลวในบทกอน ยังสามารถนํามาใชกับ เรื่องการแยกตัวประกอบไดเชนกัน เพราะการแยกตัวประกอบก็คือการ เขียนจํานวนใดๆอยูในรูปการคูณกันของจํานวนเฉพาะ การแยกตัวประกอบของพหุนามก็คือ การเขียนพหุนามนั้นใน รูปการคูณกันของพหุนามที่มีดีกรีต่ําลง หรืออาจกลาวไดวา การแยกตัว ประกอบของพหุนามจะกลับกันกับการคูณพหุนามคือ โจทยจะกําหนด พหุนามที่เปนผลคูณมาใหแลวใหเราหาพหุนามที่เปนตัวคูณทั้งหมด ดังนั้น หากขอสอบเปนแบบปรนัยเราสามารถตรวจสอบผลคูณเพียงบางพจนใน แตละตัวเลือกก็เพียงพอในการเลือกขอที่ถูกตองไดแลว ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1 จงแยกตัวประกอบของ 49x2+14x+1-4y2+4y-1 1. (7x+2y-2)(7x-2y) 2. (7x-2y+2)(7x+2y) 3. (7x+2y+2)(7x-2y) 4. (7x-2y-2)(7x+2y) ตรวจผลคูณพจนทายของพหุนามในตัวเลือกขอ 1และ 2ได +4y ขอ3 และ4ได -4y ซึ่งพหุนามที่โจทยกําหนดมาใหมีพจน y คือ +4y จึงมี โอกาสถูก 2 ขอคือขอ 1 และขอ 2 นําตัวเลือกขอ 1 และ 2 มาตรวจผลคูณที่ เกิดจากพจนอื่นๆ

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวเลือกที่ 1

-14x (7x+2y-2)(7x-2y) ตัวเลือกที่ 2 +14x (7x-2y+2)(7x+2y) จะเห็นวาผลคูณพจน x จากตัวเลือกที่ 2 จะตรงกับพจน x ใน พหุนามที่โจทยกําหนดมา จึงสรุปไดวาตัวเลือกที่ 2 คือขอที่ถูกตอง ตัวอยางที่ 2 จงแยกตัวประกอบของ 4(x2-y2)-12x+9 1. (2x-2y-3)2 2. (2x-2y-3)(2x-2y+3) 3. (2x+2y-3)(2x-2y-3) 4. (2x-2y+3)(2x+2y+3) ตรวจผลคูณพจนทายในตัวเลือกแตละขอจะมีขอ 1,3 และ4 ที่ ตรงกับพหุนามที่โจทยกําหนดมา นําตัวเลือกขอ 1,3 และ4 มาตรวจผลคูณ พจนอื่นที่แตกตางกัน ตัวเลือกที่1 -6x +6y (2x-2y-3)(2x-2y-3) (2x-2y-3)(2x-2y-3) -6x +6y รวมพจน x และ y ได -12x + 12y ตัวเลือกที่ 3 -6x ( 2x+2y-3)(2x-2y-3) -6x รวมพจน x และ y ได -12x + 0

-6y (2x+2y-3)(2x-2y-3) +6y

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวเลือกที่ 4 +6x -6y (2x-2y+3)(2x+2y+3) (2x-2y+3)(2x+2y+3) +6x +6y รวมพจน x และ y ได +12x + 0 ขอที่3จึงเปนขอที่ถูกตอง ตัวอยางที่ 3 ถา3x+y-5 เปนตัวประกอบหนึ่งของ 6x2-13xy -5y2-16x+23y+10 จงหาตัวประกอบที่เหลือ 1. 2x+5y+2 2. 2x+5y-2 3. 2x-5y+2 4. 2x-5y-2 ตรวจผลคูณพจนทายของตัวประกอบที่โจทยกําหนดมากับพจน ทายของพหุนามในตัวเลือก มีขอ 2 และ 4 ที่มีโอกาสถูกเพราะไดผลคูณ เทากับ +10 นําตัวเลือกขอ 2 และ 4 มาตรวจผลคูณที่เกิดจากพจนอื่นที่ แตกตางกัน ตัวเลือกที่ 2 -25y (2x+5y-2)(3x+y-5) -2y รวมพจน y ไดเทากับ -27y ตัวเลือกที่ 4

+25y (2x-5y-2)(3x+y-5) -2y รวมพจน y ไดเทากับ +23y ขอที่ 4 จึงเปนขอที่ถูกตอง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวอยางที่ 4 จงแยกตัวประกอบของ x3-6x2y+12xy2-8y3 1. (x-2)(x2+2xy-4y2) 2. (x+2)(x2-2xy+4y2) 3. (x-2y)3 4. (x+2y)3 ตรวจผลคูณพจนทายของพหุนามในแตละตัวเลือกพบวามีเพียง ขอที่ 3 เทานั้นที่มีผลคูณเทากับ -8y3 จึงสรุปไดวาขอที่3 ถูกตอง ตัวอยางที่ 5 (2x+1) และ (2x+3) เปนตัวประกอบของ 4x3+ax2+bx-6 ดังนั้น ตัวประกอบที่เหลือคือขอใด 1. x-1 2. x-2 3. x+2 4. x-6 ตรวจผลคูณพจนทายของตัวประกอบทั้ง 2 ที่โจทยใหมา แลว นําไปหารพจนทายพหุนามที่ตองแยกตัวประกอบจะได (-6)  (13) = -2 แสดงวาพหุนามที่เหลือตองมีพจนทายเปน -2 ซึ่งมีเพียงตัวเลือกที่ 2 ขอ เดียวเทานั้นที่ลงทายดวย -2 จึงสรุปไดวาขอที่ 2 คือขอที่ถูกตอง

...................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

แบบฝกหัดเรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนาม 1.ถา x+3 เปนตัวประกอบหนึ่งของ x3+7x2+7x-15 จงหาตัวประกอบที่เหลือ 1. (x-1)(x-5) 2. (x-1)(x+5) 3. (x+1)(x+5) 4. (x-1)(x-5) 2. จงแยกตัวประกอบของ x3-4x2+x+6 1. (x-1)(x+2)(x+3) 2. (x+1)(x-3)(x+2) 3. (x+1)(x-3)(x-2) 4. (x-1)(x+3)(x-2) 3. (x3+y3)(3x2-5xy+2y2) หารดวย (x2-xy+y2)(3x2+xy-2y2) ไดผลหาร ตรงกับขอใด 1. x-y 2. 2x-y 3. x+y 4. 3x+y 4. ตัวประกอบของ x4+4 ตรงกับขอใด 1. (x2+2)(x2-2) 2. (x2-2-2x)(x2-2+2x) 3. (x+ 2 )(x- 2 )(x2+2) 4.(x2+2-2x)(x2+2+2x) 5. จงแยกตัวประกอบของ 6x-ax-6y+ay 1. (6-a)(x-y) 2. (6-x)(a-y) 3. (6-y)(x-a) 4. (6+a)(x-y) 2 2 6. a x+ac-abx-b y-bc+aby 1. (ax+by+c)(a-b) 2. (ax+by-c)(a-b) 3. (ax-by+c)(a+b) 4. (ax-by+c)(a-b)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

7. ถา 4x2+4xy-35y2-12x-20y+15 = (2x+7y+a)(2x-5y+b) จงหาคาของ-ab 1. -15 2. -8 3. 2 4. 15 8. จงแยกตัวประกอบของ 4x4-21x2y2+y4 1. (2x2+5xy+y2)(2x2-5xy+y2) 2. (2x2-4xy+y2)(2x2+4xy+y2) 3. (2x2+3xy+y2)(2x2-3xy+y2) 4. (2x2+5xy+y2)(2x2-5xy-y2) 9. ขอใดตอไปนี้เปนการแยกตัวประกอบของ 2a9-2a 1. 2a(a4-1)(a2+1)(a+1)(a-1) 2. 2a(a4+1)(a2+1)(a+1)(a-1) 3. 2a(a4-1)2 4. 2a(a2-1)4 10. (x+3) และ(x+6)เปนตัวประกอบของ x3+8x2+9x-18 จงหาตัวประกอบ ที่ เหลือ 1. x-1 2. x+1 3. x+2 4. x-2 11. จงแยกตัวประกอบของ 10ab-cd+5bc-2ad 1. (2a+c)(5b-d) 2. (2a-c)(5b-d) 3. (2a-c)(d-5b) 4. (2a+c)(d-5b) 12. (a-b) และ (c-d) เปนตัวประกอบของขอใดตอไปนี้ 1. ac-ad+bc-bd 2. ac+ad-bc-bd 3. ac-ad-bc+bd 4. ac+ad+bc+bd 13. จงแยกตัวประกอบของ (x-y)2+4x-4y-12 1. (x-y-6)(x-y+2) 2. (x-y+6)(x-y-2) 3. (x+y+6)(x+y-2) 4. (x+y-6)(x+y+2)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

14. ถา 12x2-xy-6y2-33x+12y+18 = (4x-ay-6)(3x+by-3) จงหาคาของ ab 1. -6 2. 6 3. -18 4. 18 15. จงแยกตัวประกอบของ 1 -x3 x

1. (1-x)(1+x)(1+x )

2. 1 (1-x)(1+x+x2)

3. 1 (1+x)(1-x-x2)

x 1 (1-x)(1+x)(1+x2) x

16. x4+x2y2+y4 แยกตัวประกอบไดเปนดังขอใด 1. (x2-xy+y2)(x2+xy+y2) 2. (x2+2xy+y2)(x2-2xy+y2) 3. (x+y)(x3-xy+y3) 4. (x-y)(x3+xy+y3) 17. ตัวประกอบของ 4m2-4mn-6m+9n-3n2 คือขอใด 1. (2m-3n)(2m+n-3) 2. (2m+3n)(2m+n-3) 3. (2m+3n)(2m-n-3) 4. (2m-3n)(2m-n+3) 18. ตัวประกอบของ a4+2a3+a2-1 ตรงกับขอใด 1. (a2+a-1)2 2. (a2+a+1)(a2-a-1) 3. (a2+a+1)(a2+a-1) 4. (a2-a+1)(a2-a-1)

........................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

เฉลยแบบฝกหัดเรื่องการแยกตัวประกอบพหุนาม 1) 2 6) 1 11) 1 16) 1

2) 3 7) 1 12) 3 17) 1

3) 1 8) 1 13) 2 18) 3

4) 4 9) 2 14) 2

5) 1 10) 1 15) 4

................................................. เฉลยอยางละเอียด ขอ1. ถา x+3 เปนตัวประกอบหนึ่งของ x3+7x2+7x-15 จงหาตัว ประกอบที่เหลือ 1. (x-1)(x-5) 2. (x-1)(x+5) 3. (x+1)(x+5) 4. (x-1)(x-5) นําพจนทายของตัวประกอบ x+3 ไปหารพจนทายพหุนามที่ ตองการแยกตัวประกอบไดดังนี้ -15  3 = -5 แสดงวาผลคูณพจนทายของ พหุนามที่เปนตัวประกอบที่เหลือตองเทากับ -5 ซึ่งจากตัวเลือกมีเพียงขอ 2 เพียงขอเดียว จึงสรุปไดวาขอที่ 2 ถูกตอง -15 (x+3)(x-1)(x+5)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ2. จงแยกตัวประกอบของ x3-4x2+x+6 1. (x-1)(x+2)(x+3) 2. (x+1)(x-3)(x+2) 3. (x+1)(x-3)(x-2) 4. (x-1)(x+3)(x-2) ผลคูณพจนทายของตัวประกอบในตัวเลือกที่ไดเทากับพจนทาย ของพหุ น ามที่ โ จทย กํ า หนดมาคื อ +6 มี อ ยู 2 ข อ คื อ ข อ ที่ 3 และ 4 นํ า ตัวเลือกทั้ง 2 มาตรวจผลคูณที่เกิดจากพจนอื่นที่แตกตางกันไดดังนี้ ตัวเลือกที่ 3 +4x 2 (x+1)(x-3)(x-2) = (x -2x-3)(x-2) -3x ผลรวมพจน x เทากับ +x ซึ่งตรงกับพหุนามที่โจทยกําหนดมา ตัวเลือกที่ 4 -4x 2 (x-1)(x+3)(x-2) = (x +2x+2)(x-2) +2x ผลรวมพจน x เทากับ -2x ซึ่งไมตรงกับพหุนามที่โจทยกําหนด มา จึงสรุปไดวาขอที่ 3 ถูกตอง ขอ3. (x3+y3)(3x2-5xy+2y2) หารดวย (x2-xy+y2)(3x2+xy-2y2) ได ผลหารตรงกับขอใด 1. x-y 2. 2x-y 3. x+y 4. 3x+y

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ผลคูณพจนแรกของตัวตั้งหารดวยผลคูณพจนแรกของตัวหารได ดังนี้ (x33x2)  (x23x2) = 3x53x4 = x ผลคูณพจนทายของตัวตั้งหารดวผลคูณพจนทายของตัวหารได ดังนี้ (y32y2)  [y2(-2y2)] = 2y5(-2y4) = -y จากตัวเลือกที่มีพจนแรกเปน x และพจนทายเปน y มีเพียงขอที่ 1 เทานั้น จึงสรุปไดวาขอที่ 1 ถูกตอง ขอ4. ตัวประกอบของ x4+4 ตรงกับขอใด 1. (x2+2)(x2-2) 2. (x2-2-2x)(x2-2+2x) 3. (x+ 2 )(x- 2 )(x2+2) 4.(x2+2-2x)(x2+2+2x) ตรวจผลคูณพจนที่มีเฉพาะคาคงตัวของตัวเลือกแตละขอ จะมี เฉพาะขอที่ 2 และ 4 เทานั้นที่ได +4ตรงกับ x4+4 จึงนําตัวเลือกทั้ง 2 ขอนี้ มาตรวจผลคูณพจนอื่นที่แตกตางกันไดดังนี้ ตัวเลือกที่ 2 -2x2 -2x2 (x2-2-2x)(x2-2+2x) -4x2 รวมพจน x2 ไดเทากับ -8x2 ซึ่งไมตรงกับพหุนามที่ตองการ แยกตัวประกอบ ตัวเลือกที่ 4 +2x2 +2x2 (x2+2-2x)(x2+2+2x) -4x2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

รวมพจน x2 ไดเทากับ 0 ซึ่งตรงกับพหุนามที่ตองการแยกตัว ประกอบ จึงสรุปไดวาขอที่ 4 ถูกตอง ขอ5. จงแยกตัวประกอบของ 6x-ax-6y+ay 1. (6-a)(x-y) 2. (6-x)(a-y) 3. (6-y)(x-a) 4. (6+a)(x-y) จากการตรวจผลคูณพหุนามในตัวเลือกที่เกิด 6x และ +ay ซึ่ง เปนพจนแรกและพจนทายของพหุนามที่กําหนดมา จะมีเพียงขอ 1 และขอ 3 เท า นั้ น จึ ง นํ า ตั วเลื อกทั้ ง 2 ข อ มาตรวจผลคู ณที่ เ กิ ด จากพจน อื่ น ซึ่ ง ตัวเลือกที่ 1 จะไดผลคูณตรงกับพหุนามที่กําหนดมาทั้งหมด จึงสรุปไดวา ขอที่ 1 ถูกตอง ขอ6. a2x+ac-abx-b2y-bc+aby 1. (ax+by+c)(a-b) 2. (ax+by-c)(a-b) 3. (ax-by+c)(a+b) 4. (ax-by+c)(a-b) จากการดูผลคูณพจนทายของพหุนามขอ 1 และ 4 จะได -bc ซึ่งตรงกับโจทย ขอ 1 และ 4 ตางกันตรงพจน +by และ -by ในพหุนาม แรก จึงตรวจผลคูณที่เกิดจากพจนที่แตกตางกันนี้ ตัวเลือกที่ 1 -b2y (ax+by+c)(a-b) ตัวเลือกที่ 4 +b2y (ax-by+c)(a-b)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ซึ่ ง ผลคู ณ ขอตั ว เลื อ กที่ 1 ตรงกั บ โจทย จึ ง สรุ ป ได ว า ข อ ที่ 1 ถูกตอง ขอ7. ถา 4x2+4xy-35y2-12x-20y+15=(2x+7y+a)(2x-5y+b)จงหาคาของ -ab 1. -15 2. -8 3. 2 4. 15 เนื่องจาก ทั้ง a และ b เปนพจนที่ไมมีตัวแปรติดอยูดวย เมื่อมา คู ณ กั น ก็ ย อ มจะเป น พจน ที่ ไ ม มี ตั ว แปรเช น กั น ซึ่ ง ในพหุ น ามที่ โ จทย กําหนดมามีเพียงพจน +15 เทานั้นที่ไมมีตัวแปร x และ y ดังนั้น ab -ab ขอที่ถูกตองคือขอ 1

= =

15 -15

ขอ8. จงแยกตัวประกอบของ 4x4-21x2y2+y4 1. (2x2+5xy+y2)(2x2-5xy+y2) 2. (2x2-4xy+y2)(2x2+4xy+y2) 3. (2x2+3xy+y2)(2x2-3xy+y2) 4. (2x2+5xy+y2)(2x2-5xy-y2) มีตัวเลือกขอ 1 ,2 และ 3 ที่ผลคูณพจนทายไดเทากับ +y4 จึงตอง นําตัวเลือกทั้ง 3 มาลองหาผลคูณที่เกิดพจน x2y2 เพื่อดูวาขอใดที่ไดเทากับ 21x2y2 ซึ่งจะเทากับที่โจทยกําหนดมา

เทคนิคการคิดพีชคณิต

-25x2y2 (2x2+5xy+y2)(2x2-5xy+y2) +2x2y2 +2x2y2 รวมผลคูณพจน x2y2 ไดเทากับ -21x2y2 จึงสรุปไดวาขอที่ 1 เปน ขอที่ถูกตอง ตัวเลือกที่ 1

ขอ9. ขอใดตอไปนี้เปนการแยกตัวประกอบของ 2a9-2a 1. 2a(a4-1)(a2+1)(a+1)(a-1) 2. 2a(a4+1)(a2+1)(a+1)(a-1) 3. 2a(a4-1)2 4. 2a(a2-1)4 จากการตรวจผลคู ณ พจน แ รกและพจน ท า ยของพหุ น ามใน ตัวเลือกทุกขอ มีเฉพาะขอที่ 2 เทานั้นที่ไดพจนแรกและพจนทายเปน 2a9 และ -2a ตามลําดับ จึงสรุปไดวาขอที่ 2 เปนขอที่ถูกตอง ขอ10. (x+3) และ(x+6)เปนตัวประกอบของ x3+8x2+9x-18 จงหาตัว ประกอบที่ เหลือ 1. x-1 2. x+1 3. x+2 4. x-2 นําผลคูณพจนทายของตัวประกอบทั้ง 2 ที่โจทยกําหนดมาไป หารพจน ทายพหุนามที่ ตองการแยกตัวประกอบได -18  (36) = -1 แสดงว า พจน ท า ยของพหุ น ามที่ เ หลื อ ต อ งเป น -1 จึ ง สรุ ป ได ว า ข อ ที่ 1 ถูกตอง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ11. จงแยกตัวประกอบของ 10ab-cd+5bc-2ad 1. (2a+c)(5b-d) 2. (2a-c)(5b-d) 3. (2a-c)(d-5b) 4. (2a+c)(d-5b) จากการตรวจผลคูณพจน cd ของพหุนามในตัวเลือกมีเพียงขอ 1 และ 3 เทานั้นที่ได -cd ตรงกับพหุนามที่โจทยกําหนดมา แตขอ 3 มีผลคูณ พจน ab เปน -10ab ขณะที่ขอ 1 เปน 10ab ซึ่งตรงกับพหุนามที่โจทย กําหนดมา จึงสรุปไดวาขอที่ 1 ถูกตอง ขอ12. (a-b) และ (c-d) เปนตัวประกอบของขอใดตอไปนี้ 1. ac-ad+bc-bd 2. ac+ad-bc-bd 3. ac-ad-bc+bd 4. ac+ad+bc+bd จากพหุนามที่โจทยกําหนดมามีผลคูณพจนทายเปน +bd ซึ่งมีขอ 3 และ 4 ที่มีพจน bd ตรง จึงตรวจดูผลคูณพจน ad หรือ bc ดูเพราะเปน พจนที่แตกตางกันในตัวเลือกทั้ง 2 จากการตรวจสอบผลคูณของพหุนามที่กําหนดมาแลวไดพจน bc เปน -bc จึงสรุปไดวาขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง ขอ13. จงแยกตัวประกอบของ (x-y)2+4x-4y-12 1. (x-y-6)(x-y+2) 2. (x-y+6)(x-y-2) 3. (x+y+6)(x+y-2) 4. (x+y-6)(x+y+2)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

เนื่องจากขอนี้ผลคูณพจนทายขอตัวเลือกทุกขอเปน -12 จึงตอง ตรวจผลคูณพจนอื่น ซึ่งที่สามารถตรวจไดงายที่สุดก็คือพจน x และ y จาก การตรวจตัวเลือกขอที่ 2 ไดผลดังนี้ ตัวเลือกที่ 2 +6x +2y (x-y+6)(x-y-2) (x-y+6)(x-y-2) -2x -6y ซึ่งเมื่อรวมผลคูณพจน x และ y แลวได +4x -4y ตรงกับพหุนาม ที่โจทยกําหนดมา จึงสรุปไดวาขอที่ 2 ถูกตอง ขอ14 ถา12x2-xy-6y2-33x+12y+18 = (4x-ay-6)(3x+by-3)จงหาคาของ ab 1. -6 2. 6 3. -18 4. 18 จากการสังเกตตัวประกอบที่โจทยกําหนดมาทางขวามือมีพจนที่ คูณกันแลวมี ab เปนสวนประกอบของสัมประสิทธิ์คือ -ay คูณกับ +by ได ผลลัพธเปน -aby2 ซึ่งจากการเทียบสัมประสิทธิ์กับพหุนามทางซายมือแลว สามารถสรุปไดวา -ab = -6 ab = 6 ขอที่ถูกตองคือขอที่ 2 ขอ15 จงแยกตัวประกอบของ 1 -x3 2

1. (1-x)(1+x)(1+x ) 3.

1 (1+x)(1-x-x2) x

2. 1 (1-x)(1+x+x2) 4.

x 1 (1-x)(1+x)(1+x2) x

เทคนิคการคิดพีชคณิต

จากการตรวจดู ผ ลคู ณ พจน แ รกจะมี ข อ 2,3 และ 4 ที่ ไ ด

1 x

ตรวจผลคูณพจนทายของพหุนามทั้ง 3 ขอ จะมีเพียงขอที่ 4 เทานั้นที่ได -x3 เทากับที่โจทยกําหนดมา  1  ( x)  x  x 2  จึงสรุปไดวาขอที่ 4 ถูกตอง x



ขอ16 x4+x2y2+y4 แยกตัวประกอบไดเปนดังขอใด 1. (x2-xy+y2)(x2+xy+y2) 2. (x2+2xy+y2)(x2-2xy+y2) 3. (x+y)(x3-xy+y3) 4. (x-y)(x3+xy+y3) ตัวเลือกทุกขอมีผลคูณพจนแรกและพจนทายเทากับ x4 และ +y4 เหมือนกันหมด ดังนั้นจึงตรวจผลคูณพจน x2y2 ตัวเลือกที่ 1 +x2y2 (x2-xy+y2)(x2+xy+y2) -x2y2 +x2y2 มีผลรวมพจน x2y2 ไดเทากับ +x2y2 ตรงกับโจทย จึงสรุปไดวา ขอที่ 1 ถูกตอง ขอ17 ตัวประกอบของ 4m2-4mn-6m+9n-3n2 คือขอใด 1. (2m-3n)(2m+n-3) 2. (2m+3n)(2m+n-3) 3. (2m+3n)(2m-n-3) 4. (2m-3n)(2m-n+3)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

จากการตรวจผลคูณพจนทายของพหุนามในตัวเลือกทุกขอ จะ เห็นวามีเพียงตัวเลือกที่ 1 เทานั้นที่ไดเทากับ +9n ตรงกับพจน n ในพหุนาม ที่กําหนดมา จึงสรุปไดวาขอที่ 1 ถูกตอง ขอ18 ตัวประกอบของ a4+2a3+a2-1 ตรงกับขอใด 1. (a2+a-1)2 2. (a2+a+1)(a2-a-1) 3. (a2+a+1)(a2+a-1) 4. (a2-a+1)(a2-a-1) ตัดตัวเลือกขอที่ 1 ไปไดเพราะผลคูณพจนทายเปน +1 จากนั้น ตรวจผลคูณพจน a3 จากตัวเลือกที่ 2,3 และ 4 ตัวเลือกที่ 3 +a3 (a2+a+1)(a2+a-1) +a3 ผลรวมพจน a3 เทากับ +2a3 ซึ่งตรงกับโจทย จึงสรุปไดวา ขอที่ 3 ถูกตอง

......................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

3 ทฤษฎีเศษเหลือ ทฤษฎีเศษเหลือเปนเรื่องสําคัญเรื่องหนึ่งในพหุนามที่ควรจะรู เพราะสามารถนําไปใชประโยชนไดทั้งการหาเศษของการหาร และการ แยกตั วประกอบของพหุนามดวย แต พหุ นามตั วหารต องอยู ในรูป x-a ( เปนพหุนามดีกรี 1 และสัมประสิทธิ์ของตัวแปรเปน 1 ) ดังนี้

จากความรูเรื่องการหารเมื่อเหลือเศษไดสมการของการหารเปน ตัวตั้ง = ตัวหาร  ผลหาร + เศษ

ถาเราหารพหุนาม x4-3x3+8x2-12x-120 ดวย x-2 สมการของการ หารก็จะเปน x4-3x3+8x2-12x-120 = (x-2)  ผลหาร + เศษ จากสมการขางตนนี้ ถาเราแทนคา x ดวย 2 ซึ่งจะทําใหตัวหาร (x-2) เปน 0 ก็จะไดผลดังนี้ 24-3(2)3+8(2)2-12(2)-120 = (2-2) ผลหาร + เศษ 16 - 24 + 32 - 24 - 120 = 0  ผลหาร + เศษ ดังนั้นเศษของการหาร = -120 จากวิธีการหาเศษของการหารพหุนามขางตนทั้งหมดนี้จึงเปน ที่มาของนิยามที่วา “ถา f(x) หารดวย x-a จนเศษที่เหลือไมมีเทอมของ x เหลืออยู แลวเศษจะเทากับ f(a)”

เทคนิคการคิดพีชคณิต

f(x) หมายถึงพหุนามที่มี x เปนตัวแปร f(a) หมายถึงการแทนตัวแปรใน f(x) ดวย a การนําไปใช ในเรื่องการหารพหุนามโดยตรง 1. ใชในการหาเศษจากการหาร 2. ใชในการแสดงวาการหารนั้นๆลงตัว (เศษเทากับ 0) 3. ใชในการหาสัมประสิทธิ์ของตัวแปรหรือคาคงตัวที่อยูในรูป ตัวแปรอีกตัวหนึ่งซึ่งไมใชตัวแปรของพหุนาม ในเรื่องการแยกตัวประกอบพหุนาม ดวยหลักที่วาตัวประกอบ ของพหุนามใดๆตองหารพหุนามนั้นๆลงตัว (มีเศษเทากับ 0 ) 1. ใชในการพิสูจนวาพหุนามที่อยูในรูป x-a เปนตัวประกอบ ของ f(x) หรือไม 2. ใชในการหาตัวประกอบแรกในแยกตัวประกอบของพหุนาม ตัวอยางที่ 1 จงหาเศษจากการหาร 3x3-4x2-3x-4 ดวย x-2 ให f(x) = 3x3-4x2-3x-4 ถา x-2 = 0 , x = 2 f(2) = 3(2)3-4(2)2-3(2)-4 = 24 - 16 - 6 -4 = -2 เศษจากการหาร = -2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวอยางที่ 2 2x3-30x-44  x+2 ลงตัวหรือไม ให f(x) = 2x3-30x-44 ถา x+2 = 0 , x = -2 f(-2) = 2(-2)3-30(-2)-44 = -16 + 60 - 44 เศษจากการหาร = 0 แสดงวาเปนการหารลงตัว ตัวอยางที่ 3 เมื่อหาร x4-x3+3x2-x-1 และ 2x3+x2+75x+m ดวย x-5 แลวตางก็ เหลือเศษเทากัน จงหาคาของ m ถา x-5 = 0 , x = 5 ให f(x1) = x4-x3+3x2-x-1 f(5) = 54-53+3(5)2-5-1 = 625-125+75-5-1 เศษที่เหลือ = 569 ให f(x2) = 2x3+x2+75x+m f(5) = 2(5)3+52+75(5)+m = 250+25+375+m เศษที่เหลือ = 650+m โจทยกําหนดใหเศษที่เหลือจากการหารทั้ง 2 ครั้งนี้เทากัน

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ดังนั้น

650+m m m

= = =

569 569-650 -81

ตัวอยางที่ 4 ขอใดตอไปนี้มี x+1 เปนตัวประกอบ 1. x3-7x2-8x 2. x3+x2-4x-5 3. x3-2x2-5x+6 4. x3-5x2-9x+45 ขอใดที่มี x+1 เปนตัวประกอบ เมื่อแทน f(x) นั้นๆดวย f(-1) ผลลัพธตองเทากั บ 0 คือเปนการหารลงตัวนั่นเอง จากการตรวจสอบจะ ไดดังนี้ 1. (-1)3-7(-1)2-8(-1) = -1-7+8 = 0 3 2 2. (-1) +(-1) -4(-1)-5 = -1+1+4-5 = -1 3. (-1)3-2(-1)2-5(-1)+6 = -1-2+5+6 = 8 4. (-1)3-5(-1)2-9(-1)+45 = -1-5+9+45 = 48 จากข างตนจะมีตัวเลือกเพีย งข อ 1 ขอเดี ยวเท านั้ นที่ มีผ ลลั พ ธ ของ f(-1) เทากับ 0 จึงสรุปไดวาตัวเลือกที่ 1 ถูกตอง ตัวอยางที่ 5 ถา ax2+(b-3)x+b-a-3 เปนกําลังสองสมบูรณ และ a>0 จงหาคา a+b ให f(x) = ax2 +( b-3)x + b - a - 3 f(-1) = a-b+3+b-a-3 = 0

เทคนิคการคิดพีชคณิต

แสดงวา f(x) มี x+1 เปนตัวประกอบหนึ่ง แตโจทยกําหนดวา f(x) เปนกําลังสองสมบูรณ แสดงวา f(x) แยกตัวประกอบไดเปน (x+1)2 ดังนั้น ax2+(b-3)x+b-a-3 = (x+1)2 ax2+(b-3)x+b-a-3 = x2+2x+1 จากการเทียบสัมประสิทธิ์จะได a = 1 b-3 = 2 b = 2+3 = 5  a+b = 1+5 = 6

การหารสังเคราะห ในการแยกตัวประกอบของพหุนามบางกรฌีก็จําเปนตองใชการ หารพหุนามประกอบดวย โดยเฉพาะกรณีที่เราใชทฤษฎีเศษเหลือในการหา ตัวประกอบแรกของพหุนามไดแลว เมื่อเราตองหาตัวประกอบที่เหลือ เรา ตองนําตัวประกอบแรกนั้นไปหารพหุนามที่ตองการแยกตัวประกอบเพื่อ จะไดตัวประกอบที่เหลือ ดังนั้นเราจึงควรเรียนรูวิธีที่จะชวยในการหาร พหุนามดวยพหุนามที่อยูในรูป x-a ไดอยางรวดเร็ว เพื่อจะเปนประโยชน ในการแยกตัวประกอบพหุนามไดอยางสมบูรฌ การหารสังเคราะหเปนวิธีที่สามารถนํามาใชชวยในการหารพหุ นามดวยพหุนามรูป x-a ไดเปนอยางดี โดยแทจริงแลวการหารสังเคราะห นี้ก็คือการดัดแปลงวิธีการเขียนรูปการหารพหุนามจากวิธีปกติไปใหเขียน งายขึ้นเทานั้นเอง ดังตัวอยาง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

การหาร 2x4-x3-16x2-3x+18 ดวย x-1 2x3 +x2 -15x -18 x-1 ) 2x4 -x3 -16x2 -3x +18 2x4 -2x3 x3 -16x2 x3 - x2 -15x2 -3x -15x 2+15x -18x +18 -18x +18 0 หากเราสังเกตการหารขางตนนี้จะเห็นวาผลคูณของผลลัพธกับ ตัวหารพจนแรกจะตรงกับพจนแรกของตัวหารทุกครั้ง เราจึงอาจจะเขียน การหารนี้โดยสนใจเฉพาะการหารตัวตั้งดวยพจนทายของตัวหารก็ได และ ลองเขียนเฉพาะตัวเลขสัมประสิทธิ์โดยตัดตัวแปรออกทั้งหมดกอน เพราะ เราสามารถใสตัวแปรในผลหารภายหลังไดโดยลดดีกรีลงจากพหุนามตัวตั้ง ไป 1 เขียนการหารใหมไดดังนี้ ผลหารตัวแรกไดมาจากสัมประสิทธิ์ของพจนแรกตัวตั้ง 2 +1 -15 -18 เลื่อนผลหารมา 1 ตําแหนง -1) 2 -1 -16 -3 18 ตัวตั้ง  -2 -1 +15 +18 ผลคูณของผลหารกับตัวหาร 2 +1 -15 -18 0 ผลลบของ ตัวตั้ง กับผลคูณ ของผลหารกับตัวหาร เมื่อสังเกตตอไปจะเห็นวาตัวเลขแถวลางสุดจะสามารถใชเปน ผลหารแทนแถวบนสุดไดแตตองดึงเลขตัวแรกของตัวตั้งลงมาดวย

เทคนิคการคิดพีชคณิต

และเพื่อความสะดวกจึงจะเปลี่ยนตั วหารเปนจํานวนตรงขา ม เพื่อเปลี่ยนขั้นตอนการลบตัวตั้งกับผลคูณของผลหารกับตัวหารเปนการ บวกแทน ก็จะไดรูปการหารเปนดังนี้ 1) 2 -1 -16 -3 +18 +2 +1 -15 -18 2 +1 -15 -18 0  เศษของการหาร ซึ่งจากผลหารที่เปนตัวเลขแถวลางสุด ใหนํามาใชเปนตัวเลข สัมประสิทธิ์ของผลหารโดยตัวแปรตัวแรกตองมีดีกรีเทากับ x4  x = x3 จึงไดผลหารของพหุนามคือ 2x3+x2-15x-18 เศษ 0 ตัวอยางที่ 6 จงหาผลหาร x3+7x2+7x-15 ดวย x+3 -3) 1 +7 +7 -15 -3 -12 +15 1 +4 -5 0 ผลหารคือ x2+4x-5 ตัวอยางที่ 7 จงหาผลหารและเศษจากการหาร 2x4+3x3+x2-1 ดวย x-2 2) 2 +3 +1 0 -1 +4 +14 +30 +60 2 +7 +15 +30 +59 ผลหารคือ 2x3+7x2+15x+30 เศษ 59

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวอยางที่ 8 จงหาผลหารของ x4-16 ดวย x+2 -2) 1 0 0 0 -16 -2 +4 -8 +16 1 -2 +4 -8 0 ผลหารคือ x3-2x2+4x-8 ตัวอยางที่ 9 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม x3-3x2-10x+24 ให f(x) = x3-3x2-10x+24 f(2) = 23-3(2)2-10(2)+24 = 8-12-20+24 = 0 แสดงวา (x-2) เปนตัวประกอบของพหุนามนี้ นํา (x-2) ไปหาร x3-3x2-10x+24 เพื่อหาตัวประกอบที่เหลือ 2) 1 -3 -10 +24 +2 -2 -24 1 -1 -12 0 3 2  x -3x -10x+24 = (x-2)(x2-x-12) = (x-2)(x-4)(x+3) ขอสังเกต ในการหาจํานวนมาลองแทนคา x ใน f(x) นั้น ใหใช จํานวนที่เปนตัวประกอบของสัมประสิทธิ์พจนทายเมื่อเรียงดีกรีของพหุนาม

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ที่จะแยกตัวประกอบแลว ในตัวอยางที่ 9 นี้ก็ใหใชตัวประกอบของ 24 ใน การลองแทนคานั่นเอง ตัวอยางที่ 10 จงแยกตัวประกอบของ 2x3-11x2+12x+9 ให f(x) = 2x3-11x2+12x+9 จากการพิจารฌาพจนทายคือ 9 มีตัวประกอบคือ  1,  9,  3 f(3) = 2(3)3-11(3)2+12(3)+9 = 54-99+36+9 = 0 แสดงวา (x-3) เปนตัวประกอบของพหุนามนี้ 3) 2 -11 +12 +9 + 6 -15 -9 2 -5 -3 0 3 2  2x -11x +12x+9 = (x-3)(2x2-5x-3) = (x-3) (x-3) (2x+1) = (x-3)2(2x+1) ตัวอยางที่ 11 จงแยกตัวประกอบของ x3-7x-6 ให f(x) = x3-7x-6 ตัวประกอบของ -6 คือ  1,  2,  3,  6 f(-1) = (-1)3-7(-1)-6

เทคนิคการคิดพีชคณิต

= -1+7-6 = 0 แสดงวา (x+1) เปนตัวประกอบของ x3-7x-6 -1) 1 0 -7 -6 -1 +1 +6 1 -1 -6 0 3  x -7x-6 = (x+1)(x2-x-6) = (x+1)(x-3)(x+2) ..................................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

แบบฝกหัดเรื่องทฤษฎีเศษเหลือ 1.ถา 5x4+kx3+6x-4 หารดวย x+2 ลงตัว จงหาคา k 1. 4 2. 6 3. 8 4. 10 2. เศษจากการหาร 6x4-x3+4x2-3x+1 ดวย x-3 ตรงกับขอใด 1. 475 2. 487 3. 498 4. 517 3. ถา 2x3-10x2+2kx-12 หารดวย x-2 เหลือเศษ 20 จงหาคา k 1. 12 2. 14 3. -12 4. -14 4. ถา 2x-1 หาร 6x3-5x2+kx+1 ไดลงตัวแลว k เทากับขอใด 1. -3 2. -1 3. 1 4. 4 5. ถา 2x2-x+k หารดวย 2x+1 แลวเหลือเศษ -2 คาของ k ตรงกับขอใด 1. -3 2. -2 3. 1 4. 2 6. ถา x3+3x2+7x-b หารดวย x-2 เหลือเศษ 20 จงหาคา b ตรงกับขอใด 1. 14 2. -14 3. 4 4. -2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

7. เมื่อหาร x4-x3+3x2-x-1 และ 2x3+x2+75x+a ดวย x-5 แลวตางเหลือเศษ เทากัน จงหาคาของ a 1. -27 2. -36 3. -81 4. -96 8. เมื่อหาร x3-5x2+kx-6 ดวย x-2 ไดเศษ 8 จงหาคาของ k 1. 10 2. 13 3. 15 4. 16 9. เมื่อ x3+5x2+(a+3)x-3 หารดวย x+3 ลงตัว จงหาคาของ a 1. 0 2. -1 3. 1 4. 2 10. ถา x99-1 หารดวย x+1 เหลือเศษ a แลว จงหาคา k จากสมการ a2+25 = ka 1. 25 2. - 25 3.

2 29 2

2 29 4. 2

11. จงแยกตัวประกอบของ x3+7x2-21x-27 1. (x-1)(x+9)(x+3) 2. (x+1)(x+9)(x-3) 3. (x-1)(x-9)(x-3)

4 (x+1)(x-9)(x+3)

12. 3x2+4x+1 หารดวย x-2 แลวคําตอบควรเปนเทาใด 1. 3x+10 2. 3x-2 3. 3x+10 เศษ 21 4. 3x เศษ 2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

13. ขอใดไมมี x-1 เปนตัวประกอบ 1. (a-b)x2+(b-c)x+(c-a) 3. (b-c)x2+(a+b)x+(a+c)

2. ax2+(b+c)x-(a+b+c) 4. abx2-x+(1-ab)

14. x-1 เปนตัวประกอบหนึ่งของ x3+7x2+7x-15 จงหาตัวประกอบที่เหลือ 1. (x-3)(x-5) 2. (x+3)(x+5) 3. (x-3)(x+5) 4. (x+3)(x-5) 15. จงหาคาของ p และ q ถา x+2 และ x-3 เปนตัวประกอบของ x3+px2+qx-18 1. p = -9, q= 2 2. p = -2 , q = -9 3. p = 2 , q = -9 4. p = 2 , q = 9 16. จงแยกตัวประกอบของ x3-4x2+x+6 1. (x-1)(x+2)(x+3) 2. (x+1)(x-3)(x+2) 3. (x+1)(x-3)(x-2) 4. (x-1)(x+3)(x-2) 17. ขอใดตอไปนี้ไมมี a-b+2 เปนตัวประกอบ 1. (a-b)2-4(a-b)+4 2. (a-b)(a-b+4)+4 3. a2-b2+4a+4 4. a2+b2-2ab-4 18. ขอใดตอไปนี้มี b-c เปนตัวประกอบ ก. a(b-c)+c-b ข. a(b-c)-b-c ค. a(a+b)-a(a+c) 1. ขอ ก. และ ข. 2. ขอ ก. และ ค. 3. ขอ ข. และ ค. 4. ขอ ก.,ข .และ ค. ......................................................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

เฉลยแบบฝกหัดเรื่องทฤษฎีเศษเหลือ 1) 3 6) 2 11) 2 16) 3

2) 2 7) 3 12) 3 17) 1

3) 2 8) 2 13) 3 18) 2

4) 2 9) 4 14) 2

.....................................................................................

เฉลยอยางละเอียด ขอ1. ถา 5x4+kx3+6x-4 หารดวย x+2 ลงตัว จงหาคา k 1. 4 2. 6 3. 8 4. 10 = 5(-2)4+ k(-2)3 + 6(-2) - 4 = 80 - 8k - 12 - 4 = 64 - 8k จากที่โจทยระบุวาเปนการหารลงตัวนั่นคือเศษเทากับ 0  64-8k = 0 k = 8 จึงสรุปไดวาขอที่ 3 ถูกตอง f(-2)

5) 1 10) 4 15) 3

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ2. เศษจากการหาร 6x4-x3+4x2-3x+1 ดวย x-3 ตรงกับขอใด 1. 475 2. 487 3. 498 4. 517 f(3)

= = =

6(3)4 - (3)3 + 4(3)2 - 3(3) + 1 486 - 27 +36 - 9 + 1 487

ขอที่ 2 ถูกตอง ขอ3. ถา 2x3-10x2+2kx-12 หารดวย x-2 เหลือเศษ 20 จงหาคา k 1. 12 2. 14 3. -12 4. -14 = 2(2)3 -10(2)2 + 2k(2) -12 = 16 - 40 +4k -12 = 4k - 36 โจทยระบุวาหารเหลือเศษ 20  4k - 36 = 20 k = 14 ขอที่ 2 ถูกตอง f(2)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ4. ถา 2x-1 หาร 6x3-5x2+kx+1 ไดลงตัวแลว k เทากับขอใด 1. -3 2. -1 3. 1 4. 4 f  1  2

= = = =

6  1  -5  1  +k  1  +1 2

2 2 2 3 5 k - + +1 4 4 2 k 1 + 2 2 k 1 2

จากที่โจทยระบุวาเปนการหารลงตัวนั่นคือเศษเทากับ 0 k 1 2

k = ขอที่ 2 ถูกตอง

-1



ขอ5. ถา 2x2-x+k หารดวย 2x+1 แลวเหลือเศษ -2 คาของ k ตรงกับขอใด 1. -3 2. -2 3. 1 4. 2 f   1   2

= =

2   1   2 1 1 + 2 2

-   1  +k  2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

= 1+k โจทยระบุวาหารเหลือเศษ -2 = -2 1+k k = -3 ขอที่ 1 ถูกตอง ขอ6. ถา x3+3x2+7x-b หารดวย x-2 เหลือเศษ 20 จงหาคา b ตรงกับขอใด 1. 14 2. -14 3. 4 4. -2 f(2) = (2)3 +3(2)2 + 7(2) -b = 8 + 12 +14 -b = 34 + b โจทยระบุวาหารเหลือเศษ 20 = 20  34 +b b = -14 ขอที่ 2 ถูกตอง ขอ7. เมื่อหาร x4-x3+3x2-x-1 และ 2x3+x2+75x+a ดวย x-5 แลวตาง เหลือเศษเทากัน จงหาคาของ a 1. -27 2. -36 3. -81 4. -96

เทคนิคการคิดพีชคณิต

= x4 - x3 + 3x2 - x - 1 = 54 - 53 + 3(5)2 - 5 - 1 = 625 - 125 + 75 - 5 - 1 เศษ = 569 ให f(x2) = 2x3 + x2 + 75x + a f(5) = 2(5)3 + 52 + 75(5) + a = 250 + 25 + 375 + a เศษ = a + 650 โจทยระบุวาเหลือเศษเทากัน = a + 650  569 a = -81 ขอที่ 3 ถูกตอง ให f(x1) f(5)

ขอ8. เมื่อหาร x3-5x2+kx-6 ดวย x-2 ไดเศษ 8 จงหาคาของ k 1. 10 2. 13 3. 15 4. 16 f(2) = 23 - 5(2)2 + k(2) - 6 = 8 - 20 + 2k - 6 = 2k - 18 โจทยระบุวาเหลือเศษ 8  2k - 18 = 8 k = 13 ขอที่ 2 ถูกตอง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ9. เมื่อ x3+5x2+(a+3)x-3 หารดวย x+3 ลงตัว จงหาคาของ a 1. 0 2. -1 3. 1 4. 2 f(-3) = (-3)3 + 5(-3)2 + (a+3)(-3) - 3 = -27 + 45 - 3a - 9 - 3 = 6 - 3a จากที่โจทยระบุวาเปนการหารลงตัวนั่นคือเศษเทากับ 0  6 - 3a = 0 a = 2 ขอที่ 4 ถูกตอง ขอ10. ถา x99-1 หารดวย x+1 เหลือเศษ a แลว จงหาคา k จากสมการ a2+25 = ka 1. 25 2. - 25 3.

2 29 2

f(-1)

a จากสมการ 

ขอที่ 4 ถูกตอง

2 29 4. 2

= (-1)99 - 1 = -1 - 1 = -2 2 a + 25 = (-2)2 + 25 = k =

ka k(-2) - 29 2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ11. จงแยกตัวประกอบของ x3+7x2-21x-27 1. (x-1)(x+9)(x+3) 2. (x+1)(x+9)(x-3) 3. (x-1)(x-9)(x-3) 4 (x+1)(x-9)(x+3) 3 f(-1) = (-1) + 7(-1)2 - 21(-1) - 27 = -1 + 7 + 21 - 27 = 0 แสดงวา x+1 เปนตัวประกอบหนึ่งของ x3+7x2-21x-27 -1 ) 1 +7 -21 -27 -1 -6 -27 1 +6 -27 0 2 ตัวประกอบที่เหลือคือ x +6x-27 นั่นคือ x3+7x2-21x-27 = (x+1)(x2+6x-27) = (x+1)(x+9)(x-3) ขอที่ 2 ถูกตอง ขอ12. 3x2+4x+1หารดวย x-2 แลวคําตอบควรเปนเทาใด 1. 3x+10 2. 3x-2 3. 3x+10 เศษ 21 4. 3x เศษ 2 2 ) 3 +4 +1 +6 +20 3 +10 +21  ผลลัพธเทากับ 3x+10 เศษ 21 ขอที่ 3 ถูกตอง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ13. ขอใดไมมี x-1 เปนตัวประกอบ 1. (a-b)x2+(b-c)x+(c-a) 2. ax2+(b+c)x-(a+b+c) 3. (b-c)x2+(a+b)x+(a+c) 4. abx2-x+(1-ab) จากตั วเลื อกทุ กข อเมื่ อแทนค า x ด วย 1 แล วจะได คา เป น 0 ทั้งหมดยกเวนตัวเลือกที่ 3 เทานั้นที่ไดคาเปน 2a+2b ขอที่ 3 ถูกตอง ขอ14. x-1 เปนตัวประกอบหนึ่งของ x3+7x2+7x-15จงหาตัวประกอบที่เหลือ 1. (x-3)(x-5) 2. (x+3)(x+5) 3. (x-3)(x+5) 4. (x+3)(x-5) 1 )1 +7 +7 -15 +1 +8 +15 1 +8 +15 0 ตัวประกอบที่เหลือคือ x2+8x+15 = (x+3)(x+5) ขอที่ 2 ถูกตอง ขอ15. จงหาคาของ p และ q ถา x+2 และ x-3 เปนตัวประกอบของ 3 2 x +px +qx-18 1. p = -9, q= 2 2. p = -2 , q = -9 3. p = 2 , q = -9 4. p = 2 , q = 9

เทคนิคการคิดพีชคณิต

f(-2) = (-2)3 +p(-2)2 +q(-2) -18 เพราะวา x+2 เปนตัวประกอบของ x3+px2+qx-18  0 = -8 + 4p -2q -18 4p - 2q = 26 2p - q = 13.............................(1) f(3) = 33 + p(3)2 + 3q -18 เพราะวา x-3 เปนตัวประกอบของ x3+px2+qx-18  0 = 27 + 9p + 3q -18 9p + 3q = -9 3p + q = -3.............................(2) (1) + (2); 5p = 10 p = 2 แทนคา p ในสมการ (2); 6+q = -3  q = -9 ขอที่ 3 ถูกตอง ขอ16. จงแยกตัวประกอบของ x3-4x2+x+6 1. (x-1)(x+2)(x+3) 2. (x+1)(x-3)(x+2) 3. (x+1)(x-3)(x-2) 4. (x-1)(x+3)(x-2) f(-1) = (-1)3 - 4(-1)2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0

เทคนิคการคิดพีชคณิต

แสดงวา x+1 เปนตัวประกอบหนึ่งของ x3-4x2+x+6 -1 )1 -4 +1 +6 -1 +5 -6 1 -5 +6 0 ตัวประกอบที่เหลือคือ x2-5x+6 นั่นคือ x3-4x2+x+6 = (x+1)(x2-5x+6) = (x+1)(x-3)(x-2) ขอที่ 3 ถูกตอง ขอ17. ขอใดตอไปนี้ไมมี a-b+2 เปนตัวประกอบ 1. (a-b)2 - 4(a-b) + 4 2. (a-b)(a-b+4) + 4 3. a2 - b2 + 4a + 4 4. a2 + b2 - 2ab - 4 ให a-b+2 = 0 a-b = -2  พหุนามที่มี a-b+2 เปนตัวประกอบ เมื่อแทนคา a-b = -2 แลว ตองไดผลลัพธ เปน 0 ตัวเลือกที่1 (a-b)2 - 4(a-b) + 4 = (-2)2 -4(-2) + 4 = 16 ตัวเลือกที่2 (a-b)(a-b+4) + 4 = (-2)(-2+4) + 4 = -4+4 = 0 ตัวเลือกที่3 a2 - b2 + 4a + 4 = a2+4a+4 - b2 = (a+2)2 - b2 = (a+2+b)(a+2-b) แทนคา a-b = -2; = (a+2+b)0 = 0

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวเลือกที่4

a2 + b2 - ab - 4

แทนคา a-b = -2; ขอที่ 1 ถูกตอง

= = = = =

a2 - 2ab + b2 - 4 (a-b)2 - 4 (a-b-2)(a-b+2) (-2-2)(-2+2) (-4)0 = 0

ขอ18. ขอใดตอไปนี้มี b-c เปนตัวประกอบ ก. a(b-c) + c - b ข. a(b-c) - b - c ค. a(a+b) - a(a+c) 1. ขอ ก. และ ข. 2. ขอ ก. และ ค. 3. ขอ ข. และ ค. 4. ขอ ก.,ข .และ ค. พหุนามที่มี b-c เปนตัวประกอบ เมื่อแทนคา b = c แลวผลลัพธ ตองเทากับ 0 ก. a(b-c) + c - b = a(c-c) +c - c = 0+0 = 0 ข. a(b-c) - b - c = a(c-c) - c - c = 0 - 2c ค. a(a+b) - a(a+c) = a(a+c) - a(a+c) = (a+c)(a-a) = 0 ขอที่ 2 ถูกตอง ......................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

4 พหุนามกําลังสองสมบูรณ 4.1การแยกตัวประกอบดวยวิธีกําลังสองสมบูรณ เรื่องหนึ่งที่คอนขางจะยุงยากในการแยกตัวประกอบพหุนาม ดีกรีสอง ก็คือกรณีที่เราไมสามารถแยกตัวประกอบใหเปนพหุนามดีกรี หนึ่งสองพหุนามคูณกันโดยที่มีพจนทายเปนจํานวนเต็มได เชน x2+6x+1 , x2+x-3 ,-2x2+4x+7 ซึ่ ง พหุ น ามในลั ก ษณะเหล า นี้ ต องใช วิ ธี เ ฉพาะในการแยกตั ว ประกอบ โดยจะมีขั้นตอนอยูหลายขั้นตอนดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1. จงแยกตัวประกอบของ x2+6x+1 1. จัด x2+6x ใหอยูในรูปA2+2AB เพื่อดูวา B ตองเปนจํานวนใด x2+6x+1

(x)2+2(x)3+1

2. เพิ่มพจน B2 ซึ่งในที่นี้คือ 32 เขาไปทายพจนที่ 2 เพื่อใหไดรูป พหุนาม 3 พจนแรกเปนตามสูตรกําลังสองสมบูรณ (A2+2AB+B2) และ ตองนํา 32 หรือ 9 ลบออกจากพจนทายดวยเพื่อใหคาของพหุนามทั้งหมด คงเดิม จากนั้นแยกตัวประกอบ 3 พจนแรกดวยสูตรกําลังสองสมบูรณ x2+6x+1

= =

(x)2+2(x)3+32 +1-9 (x+3)2 - 8

เทคนิคการคิดพีชคณิต

3. จัดใหพหุนามที่เหลือเปนรูปผลตางกําลังสอง x2+6x+1 = (x+3)2 -  8  2

4. แยกตัวประกอบดวยสูตรผลตางกําลังสอง x2+6x+1 = (x+3- 8 )(x+3+ 8 ) หากเราสังเกตผลจากการแยกตัวประกอบแลวจะเห็นวา พจนที่ 2 ในแตละพหุนามก็คือตัวเลขสัมประสิทธิ์ของพจน x ในพหุนามที่จะ แยกตัวประกอบหารดวย 2 นั่นเอง(+6  2 = +3) จากนั้นนํา +3 มายก กําลังสองแลวลบออกจากพจนทายของพหุนามที่จะแยกตัวประกอบแลว ถอดรากที่สองกอนนํ ามาใสเปนพจนทา ยของพหุนามตัวประกอบ โดย เครื่องหมายหนาพจนทายนี้พหุนามหนึ่งจะเปนบวก อีกพหุนามหนึ่งจะ เปนลบ ตัวอยางที่ 2. จงแยกตัวประกอบของ x2+x-3 x2+x-3

= = = =

 1 1  1 1  x   3   x   3    2 4  2 4    1 13  1 13  x    x       2 4 2 4     1 13  1 13  x   x        2 2 2 2     1  13  1  13  x  x      2  2  

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวอยางที่ 3. จงแยกตัวประกอบของ -2x2+4x+7 -2x2+4x+7 = -2(x2-2x- 7 )

2    7 7  2  x  1   1   x  1   1  2 2     9  9   2 x  1  x  1  2  2    3 2   3 2   2  x  1  x  1  2   2    1 3 2    2 x  1  3 2  x   2  

= = =

= 



หากเรานํารูปมาตรฐานของพหุนามดีกรีสองมาทําการแยกตัว ประกอบดวยวิธีกําลังสองสมบูรณก็จะไดเปนสูตรดังนี้ 2

a x +bx+c

a (x +



b c x+ ) a a 2

= a  x 2  2x  

= = =

b   b  c  b       a  2a   2a   2a 

2   a  x  b   b  c  2 2

2a  a  4a  2 2   a  x  b   b  4 ac  2 2a  4a   2 2   b 2  4ac   b      a  x     2a   4a 2    

  

เทคนิคการคิดพีชคณิต

= a  x   

สูตร a x2+bx+c =

b  2a

b 2  4 ac 4a 2

  x  b   2a 

b 2  4 ac 4a 2

   

2 2    a  x  b  b  4 ac  x  b  b  4 ac 

 

 

 

ตัวอยางที่ 4. จงแยกตัวประกอบของ y2+10y+1 จากสูตร a x2+bx+c =

 b  b 2  4ac a x   2a 

2    x  b  b  4ac    2a  

แทนคา a =1, b=10, c=1ในสูตร = =

2    x  10  10  4  x  10    2       x  10  96  x  10  96   2 2  

10 2  4   2     

= (x+5+2 6 )(x+5-2 6 ) ตัวอยางที่ 5. จงแยกตัวประกอบของ x2+8x-2 แทนคา a =1, b=8, c=-2ในสูตร = = = =

2 2     x  8  8  4 (  2 )  x  8  8  4 (  2 )     2 2     8  64  8  8  64  8  x   x       2 2     8  6 2  86 2 x   x       2 2   

(x+4+3

)(x+4-3

)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวอยางที่ 6. จงแยกตัวประกอบของ -3x2+6x+12 แทนคา a =-3, b=6, c=12ในสูตร = = =

 6  6 2  4( 3)12  6  6 2  4( 3)12   3 x  x    2( 3) 2( 3)     6  36  144  6  36  144   x    3 x      6  6        66 5 66 5  x    3 x    6  6   

= -3(x-1- 5 )(x-1+ 5 ) = (-3x+3+3 5 )(x-1+ 5 ) ตัวอยางที่ 7. จงแยกตัวประกอบของ x2-5x+3 แทนคา a =1, b= -5, c=3ในสูตร = = =

2 2     x   5  (5)  4(3)  x   5  (5)  4(3)     2 2      5  25 12   5  25 12)   x  x     2 2     5  13  5  13  x  x      2 2   

......................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

4.2 พหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ จากวิธีการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองดวยการใชสูตร ที่ก ลา วไปแลวนั้ น สามารถนํา มาใชใ นการวิเคราะหพ หุ นามที่ส ามารถ แยกตัวประกอบแลวไดเปนรูปกําลังสองสมบูรณไดดังนี้ สูตร a x2+bx+c =

 b a x   

b 2  4 ac 2a

  x  b   

b 2  4 ac 2a

   

จากสู ตรแยกตั วประกอบข า งต นนี้ ถา พหุ นาม ax2+bx+c เป น กํา ลั ง สองสมบู รณ แล วแสดงว า พหุ นามในวงเล็ บ ทั้ ง สองต องเป นรู ป เดียวกัน ซึ่งหมายความวาคาของ b2-4ac ในเครื่องหมายราก ตองเทากับ 0 และรูปของตัวประกอบจะเปน a x2+bx+c =

 b  a x  2 a 

  

ดังนั้นสิ่งที่ไดจากเรื่องนี้ซึ่งควรจะจดจําเพื่อนําไปใชคือ ถาพหุนาม ax2+bx+c เปนกําลังสองสมบูรณแลวตองมีคาของ b2-4ac = 0 ตัวอยางที่ 8. จงหาคาของ k เมื่อ 4x2-6x+k เปนกําลังสองสมบูรณ โจทยกําหนดให 4x2-6x+k เปนกําลังสองสมบูรณ แสดงวา b2-4ac = 0 (-6)2-4(4)(k) = 0 k = 9 ....................................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

4.3 การหารากที่สองของพหุนาม โจทยอีกลักษณะหนึ่งที่เราอาจจะเคยพบคือการถอดรากที่สอง หรื อ กรณฑ ที่ ส องของพหุ น ามที่ มี ดี ก รี คู เช น x4+4x3-8x+4, x6-4x410x3+4x2+20x+25 วิธีการที่ใชหาคําตอบมีอยูหลายวิธีคือ วิธีที่ 1. ใชการตั้งหารคลายกับวิธีการหารากที่สองของจํานวน โดยทั่วไป แตไมตองมีการแบงหลัก วิธีที่ 2. ใหเขียนรูปพหุนามนั้นในรูปมาตรฐานของพหุนามยก กําลังสองแลวกระจายผลคูณออกมากอนจะใชหลักการเทียบสัมประสิทธิ์ เพื่อหาคาของสัมประสิทธิ์พจนตางๆของผลลัพธ วิธีที่ 3. ถาพหุนามนั้นมีจํานวนพจนเปน 4, 5 หรือ 6 พจนแลว คําตอบที่ไดจะมี 3 พจน และจะมีวิธีลัดในการคิดหาพจนทั้ง 3 นั้น ตัวอยางที่ 9. จงหารากที่สองของ 14x3-4x4+4x2+x6+49-28x วิธีที่ 1. x3-2x +7 x6-4x4+14x3+4x2-28x+49 x3 x6 2x3 = 2x3 -4x4+14x3+4x2-28x+49 -2x(2x3-2x) = -4x4 +4x2 2(x3-2x) = 2x3-4x 14x3 -28x+49 7(2x3-4x+7) = 14x3 -28x+49 3 4 2 6 3  รากที่สองของ 14x -4x +4x +x +49-28x =  (x -2x+7)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

วิธีที่ 2. เมื่อจัดพหุนามโดยเรียงดีกรีแลวไดเปน x6-4x4+14x3+4x2-28x+49 ซึ่งเมื่อถอดรากที่สองแลวจะตองเปน พหุนามดีกรีสามในรูป ax3+bx2+cx+d 6 4 3 2 3 2 2  x -4x +14x +4x -28x+49 = (ax +bx +cx+d) = (ax3+bx2)2+2(ax3+bx2)(cx+d)+(cx+d)2 = (a2x6+2abx5+b2x4)+(2acx4+2bcx3+2adx3+2bdx2)+(c2x2+2cdx+d2) = a2x6+2abx5+(2ac+b2)x4+(2bc+2ad)x3+(2bd+c2)x2+2cdx+d2 แสดงวา a2 = 1, a =  1 2ab = 0 , b = 0 จาก d2 = 49 , d =  7 และ 2bc+2ad = 14 , 2ad = 14 แสดงวา a และ d จะมีเครื่องหมายเหมือนกัน จาก 2ac+b2 = -4 , 2ac = -4 , c =  2 แสดงวา a และ cจะมีเครื่องหมายตางกันและ(a,b) = (1,-2),(-1,2) แทนคา a, b, c และ dใน ax3+bx2+cx+d จะได x3-2x+7 หรือ -x3+2x-7 วิธีที่ 3. จาก 2 วิธีขางตนจะเห็นวาคอนขางยุงยากมากจึงไดมีวิธี ลัดที่จะทําใหหาพจนในคําตอบไดงายขึ้น โดยขั้นตนตองเขาใจวารากที่ สองของพหุนามที่มี 4 ,5 หรือ 6 พจน จะมีคําตอบ 3 พจน และใชวิธีการ หาพจนทั้ง 3 ดังนี้ 1. พจนแรกของคําตอบ = พจนแรกของพหุนาม พจนที่สองของพหุนาม 2. พจนที่สองของคําตอบ= 2(พจนแรกของคําตอบ)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

3. พจนที่สามของคําตอบ = พจนสุดทายของพหุนาม แตมีเครื่องหมายเทากับเครื่องหมายของพจนที่สองหารดวย เครื่องหมายของพจนรองสุดทาย จากตัวอยางเมื่อจัดพหุนามโดยเรียงดีกรีแลวไดเปน x6-4x4+14x3+4x2-28x+49 ดวยวิธีลัดจะได พจนแรกของคําตอบ = x 6 = x3 พจนที่สองของคําตอบ

 4x 4 2x 3

= -2x

พจนที่สามของคําตอบ = 49 = 7 และมีเครื่องหมาย เทากับเครื่องหมายของ -4x2 หารดวยเครื่องหมายของ -28x จึงเปน +7 3 4 2 6 3  รากที่สองของ 14x -4x +4x +x +49-28x =  (x -2x+7) ตัวอยางที่ 10. จงหาคาของ

4x 2  5 

6 1  12x  2 x x

จัดพหุนามโดยเรียงดีกรีแลวไดเปน 4x2-12x+5+ 6 + พจนแรกของคําตอบ พจนที่สองของคําตอบ

= =

พจนที่สามของคําตอบ

4x 2  12 x 2( 2 x ) 1 x2

= 2x = -3 =

1 x

1 x2

มีเครื่องหมายเทากับ

เครื่องหมายของ -12x หารดวยเครื่องหมายของ + 6 จึงเปน - 1 x

 4 x 2  5  6  12 x  12 x

2x  3 

1 x

(ที่มีเครื่องหมายคาสัมบูรณเพราะโจทยใหหารากที่สองที่เปนบวก)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ตัวอยางที่ 11. จงหากรณฑที่สองของ 4x4-12x3+29x2-30x+25 พจนแรกของคําตอบ = 4x = 2x2 4

พจนที่สองของคําตอบ

 12 x 3 2( 2 x 2 )

= -3x

พจนที่สามของคําตอบ = 25 = 5 มีเครื่องหมายเทากับ เครื่องหมายของ -12x3 หารดวยเครื่องหมายของ -30x จึงเปน +5 4 3 2  กรณฑที่สองของ 4x -12x +29x -30x+25 = 2 x  3 x  5 2

ตัวอยางที่ 12. ถา 4x4+12x3+px2+6x+1 เปนกําลังสองสมบูรณ จงหา p 4x4+12x3+px2+6x+1 เปนกําลังสองสมบูรณ แสดงวา 4x4+12x3+px2+6x+1 =

p

= = = =

  12 x 3  4x 4   1  2 4x3   2 2

(2x +3x+1) 4x4+9x2+1+12x3+4x2+6x 4x4+12x3+13x2+6x+1 13

.....................................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

แบบฝกหัดเรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามดวยวิธกี ําลังสองสมบูรณ 1.จงแยกตัวประกอบของ 1.1) x2-6x+7 1.2) x2+14x-3 1.4) a2-16a-2 1.5) a2-2a-2 1.7) x2+3x+1 1.8) x2+6x-5 1.10) 2x2+8x+5 1.11) 5x2-2x-1 1.13) -2x2+3x+1 2. จงแยกตัวประกอบของ 2x2-2x-3 1. 2  x  1 

7  1 7   x   2  2   3. 2  x  1  7  x  1  7  2  2  

2. 2  x  1 

7  1 7   x   2  2   4. 2  x  1  7  x  1  7  2  2  

3. จงแยกตัวประกอบของ 3x2+ax-1 

1. 3 x  a  2. 3. 4.

1.3) y2-8y+3 1.6) x2+5x+1 1.9) x2+8x-2 1.12) 5x2-8x+2

a 2  12  a  a 2  12  x   6 6  

  a  a 2  12  a  a 2  12  3 x  x    6 6    2 2  a  a  12  a  a  12  3 x  x    6 6    2 2    a  a  12  a  a  12  3 x  x    6 6   

เทคนิคการคิดพีชคณิต

เฉลยแบบฝกหัดเรื่อง การแยกตัวประกอบพหุนามดวยวิธกี ําลังสองสมบูรณ ขอ1. 1.1) (x-3+ 2 )( x-3- 2 ) 1.2) (x+7+2 13 )(x+7-2 13 ) 1.3) (y-4+ 13 )(y-4- 13 ) 1.4) (a-8- 66 )(a-8+ 66 ) 1.5) (x-1+2 3 ) (x-1-2 3 ) 1.6)  x  5  1.7)

21  5  21   x   2  2    3  5  3 5  x  x    2  2  

1.8) (x+3+ 14 )(x+3- 14 ) 1.9) (x+4+3 2 )(x+4-3 2 ) หรือ  x  2 

6  2 

1.10) (2x+4+

 6  6 )x  2  2  

1.11) (5x-1+

 1 6   1 6   หรือ  x   (5x-1- 6 ) 6 )x     5  5   

1.12) (5x-4+

 4  6  หรือ  4  6  (5x-4 x  6 ) x  6)    5  5   

1.13)   2 x  3 



17  3  17   x   หรือ 2  4    3  17  3  17  x   2 x       4 2   

(2x+4-

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ2. จงแยกตัวประกอบของ 2x2-2x-3  1  7  1 7  7  1 7   x    x   2. 2  x       2 2 2 2       3. 2  x  1  7  x  1  7  4. 2  x  1  7  x  1  7  2  2  2  2    วิธีที่ 1. = 2  x 2  x  3  2  = 2  x  1  3  1  x  1  3  1  2 2 4  2 2 4  = 2  x  1  7  x  1  7  2 2  2 2  = 2  x  1  7  x  1  7  2  2  

1. 2  x  1 

วิธีที่ 2. แทนคา a = 2, b=-2, c=-3 ในสูตร =

  2  (2) 2  4(2)(3)   2  (2) 2  4(2)(3)  2 x  x    2(2) 2(2)    = 2 x   2  4  24  x   2  4  24  4 4    = 2 x   2  2 7  x   2  2 7  4 4    = 2 x  1  7  x  1  7  2  2  

ตัวเลือกที่ 1 ถูกตอง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ3. จงแยกตัวประกอบของ 3x2+ax-1 วิธีที่ 1.

= = = = =

วิธีที่ 2. = =

a 1  3 x 2  x   3 3   a 1 a 2  a 3 x    x     6 3 36  6   a 12  a 2  a 3 x   x     6 36  6   a a 2  12  a 3 x   x    6 6 6    a  a 2  12  a 3 x  x   6  

1 a 2   3 36      2 a  12   6  2  a  12   6  12  a 2 36

แทนคา a = 3, b=a, c=-1ในสูตร

 a  a 2  4(3)(1)  a  a 2  4(3)(1)  3 x  x    2(3) 2(3)    2 2  a  a  12  a  a  12  3 x  x    6 6   

ตัวเลือกที่ 2 ถูกตอง ........................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

แบบฝกหัดเรื่อง พหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ 1. จะตองนําจํานวนใดมาบวกเขากับ x2+10x จึงทําใหผลลัพธเปนกําลังสอง สมบูรณ 1. 1 10

2.  1  10 

1     10  2  

2



4. ถูกทั้งขอ ข และ ค

2. ถา 6x2+36x+k = 6(x+a)2 จงหาคา k 1. 12 2. 18 3. 36 4. 54 3. จงหาคา k ที่ทําให 9x2-24x-k เปนกําลังสองสมบูรณ 1. -4 2. 4 3. -16 4. 16 4. จะตองนําจํานวนอะไรมาลบออกจาก 4x2-10x+3 จึงทําใหผลลัพธเปน กําลังสองสมบูรณ 1. 3-  5  3.

2 13  4

2. 3+  5 

2

4. ถูกทั้งขอ ก และ ค

5. จะตองเติมตัวเลขใดลงในชอง เพื่อให x2+5x+ จัดอยูในรูปกําลัง สองสมบูรณได 1. 2.5 2. 6.25 3. 10 4. 25

เทคนิคการคิดพีชคณิต

6. จะตองเติมคาจากขอใดลงในชอง เพื่อให x2++9 จัดอยูในรูปกําลัง สองสมบูรณได 1. 18x 2. 9x 3. 6x 4. 3x 7. ถา 4x2-12x+h และ 1 x2+ 4

h+k เปนเทาใด 1. 5 3. 9 8. คา c ที่จะทําให 1. 9 3. 15

2 x+k

เปนกําลังสองสมบูรณแลว คาของ 2. 7 4. 11

x2 4

3 x+c เปนกําลังสองสมบูรณตรงกับขอใด

2. 12 4. 16

9. ถา a,b,c เปนจํานวนจริง และ a  0 พหุนาม ax2+bx+c จะแยกตัว ประกอบได 2 วงเล็บที่เทากัน เมื่อ a,b,c เกี่ยวของกันตามขอใด 1. b2-4ac = 0 2. b2-4ac > 0 3. b2-4ac < 0 4. b = 2ac 10. คาของ A ขอใดที่ทําให x2+x+A เปนกําลังสองสมบูรณ 1. 0.05 2. 0.5 3. 0.52 4. (0.5)2 ....................................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

เฉลยแบบฝกหัด เรื่องพหุนามดีกรีสองที่เปนกําลังสองสมบูรณ 1) 2 6) 3

2) 4 7) 4

3) 4 8) 2

4) 4 9) 1

5) 2 10) 4

............................................. เฉลยอยางละเอียด ขอ1. จะตองนําจํานวนใดมาบวกเขากับ x2+10x จึงทําใหผลลัพธเปน กําลังสองสมบูรณ 1. 1 10

2.  1  10 

1     10  2  

2



4. ถูกทั้งขอ 2 และ 3

ให A เปนจํานวนที่บวกเขากับ x2+10x แลวเปนกําลังสอง สมบูรณจะไดวา x2 +10x+A= 0 เปนกําลังสองสมบูรณ ซึ่งจะมีคา b2-4ac = 0 (10)2-4(1)(A) = 0 A =  100 A = ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 2.

4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ2. ถา 6x2+36x+k = 6(x+a)2 จงหาคา k 1. 12 2. 18 3. 36 4. 54 จาก 6x2+36x+k = 6(x2+6x+ k ) 6

แสดงวา x +6x+ k 6 ซึ่งทําให

= (x+a) หรือ เปนกําลังสองสมบูรณ นั่นเอง

b2-4ac

(6)2-4(1)  k  =

6

k = ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 4.

2 k 3

ขอ3. จงหาคา k ที่ทําให 9x2-24x-k เปนกําลังสองสมบูรณ 1. -4 2. 4 3. -16 4. 16 โจทยกําหนดให 9x2-24x-k เปนกําลังสองสมบูรณ ทําให b2-4ac = 0 (-24)2-4(9)(-k) = 0 36k = 242

เทคนิคการคิดพีชคณิต

k = ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 4.

24  24 36

ขอ4. จะตองนําจํานวนอะไรมาลบออกจาก 4x2-10x+3 จึงทําใหผลลัพธ เปนกําลังสองสมบูรณ 1. 3-  5  3.

2. 3+  5 

2 13  4

2

4. ถูกทั้งขอ ก และ ค

ใหจํานวนที่นํามาลบออกจาก 4x2-10x+3 แลวทําใหผลลัพธ เปน กําลังสองสมบูรณเปน k ดังนั้น 4x2-10x+3-k เปนกําลังสองสมบูรณ ซึ่งทําให b2-4ac = 0 2 (-10) -4(4)(3-k) = 0 -48+16k = -100 k =  52 k ซึ่ง

3-  5 

2

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 4.

16 13  4 3  25 4

=  13 ดวย 4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ5. จะตองเติมตัวเลขใดลงในชอง เพื่อให x2+5x+ จัดอยูในรูป กําลังสองสมบูรณได 1. 2.5 2. 6.25 3. 10 4. 25 ให k เปนตัวเลขที่เติมลงในแลวทําให x2+5x+จัดอยูในรูป กําลังสองสมบูรณได ดังนั้น x2+5x+k เปนกําลังสองสมบูรณ ซึ่งทําให b2-4ac = 0 25-4k = 0 k = 25 = 6.25 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 2.

ขอ6. จะตองเติมคาจากขอใดลงในชอง เพื่อให x2++9 จัดอยูในรูป กําลังสองสมบูรณได 1. 18x 2. 9x 3. 6x 4. 3x ให k x เปนจํานวนที่เติมลงใน แลวทําให x2++9 จัดอยูในรูป กําลังสองสมบูรณได ดังนั้น x2+kx+9 เปนกําลังสองสมบูรณ ซึ่งทําให b2-4ac = 0

เทคนิคการคิดพีชคณิต

k2-4(9) = 0 k2 = 36 k = 6 จากตัวเลือกจะมีเฉพาะคาของ 6x คาเดียวที่ใชได ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 3. ขอ7. ถา 4x2-12x+h และ 1 x2+ 4

2 x+k

เปนกําลังสองสมบูรณแลว

คาของ h+k เปนเทาใด 1. 5 2. 7 3. 9 4. 11 จาก 4x2-12x+h เปนกําลังสองสมบูรณ จะได (-12)2-4(4)(h) = 0 16h = 144 h = 144 = 9 16

จาก

1 2 x + 2 x+k 4

จะได

เปนกําลังสองสมบูรณ

-4  1  k 4

k =  คาของ h+k = ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 4.

0 2 9+2 = 11

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ8. คา c ที่จะทําให 1. 9 3. 15 แทนคา

x2 4

+2 3 x+c เปนกําลังสองสมบูรณตรงกับขอใด

b2-4ac (2 3 )2-4  1  c 4

2. 12 4. 16 = 0 = 0

12-c = c = ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 2.

0 12

ขอ9. ถา a,b,c เปนจํานวนจริง และ a  0 พหุนาม ax2+bx+c จะ แยกตัวประกอบได 2 วงเล็บที่เทากัน เมื่อ a,b,c เกี่ยวของกันตามขอใด 1. b2-4ac = 0 2. b2-4ac > 0 3. b2-4ac < 0 4. b = 2ac โจทยขอนี้ เปนการทดสอบความรูพื้นฐานโดยตรง พหุนามที่ แยกตั วประกอบได 2 วงเล็บ ที่ เท า กั นนั้ นก็ คื อพหุ นามที่ สามารถจั ดเป น กําลังสองสมบูรณไดนั่นเอง ซึ่งรูปพหุนาม ax2+bx+c ที่กําหนดมาใหก็เปน รูปมาตรฐานแลว ดังนั้นคาของ b2-4ac ในพหุนามนี้จึงตองเทากับ 0 เทานั้น จึงจะทําใหพหุนามนี้เปนกําลังสองสมบูรณได ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 1.

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ10. คาของ A ขอใดที่ทําให x2+x+A เปนกําลังสองสมบูรณ 1. 0.05 2. 0.5 3. 0.52 4. (0.5)2 แทนคา b2-4ac = 0 1-4A = 0 A = 1 A = จากตัวเลือกที่ 4 (0.5)2 = ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 4.

0.25 0.25

....................................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

แบบฝกหัดเรื่องการหารากที่สองของพหุนาม 1. จงหาคาของ

4 x 4  8x 3  4x  1

1. 2x2+2x+1 3. 2x2-2x-1

2. 2x2-2x+1 4. 2x2+2x-1

2. จงหารากที่สองของ x4-6x3+19x2-30x+25 1.  (x2-3x+5) 2.  (x2+3x-5) 3.  (x2-3x-5) 4.  (x2+3x+5) 3. จงหากรณฑที่สองของ x4-2 a x3+5 a 2x2-4 a 3x+4 a 4 1.  (x2- a x-2 a 2) 2. x2- a x+2 a 2 3.  (x2+ a x-2 a 2 4. x2+ a x-2 a 2 4. จงหาคาของ 9 x 4  12 x 3  28x 2  16 x  16 1. 3x2+2x-4 2. 3x2-2x+4 3. 3x2-2x-4 4. 3x2+2x+4 5. จงหารากที่สองของ 25x2 a 2-12x a 3+16x4+4 a 4-24x3 a 1.  (4x2+3x a -2 a 2) 2.  (4x2-3x a +2 a 2) 3.  (4x2+5x a -2 a 2) 4.  (4x2-5x a +2 a 2) 6. จงหากรณฑที่สองของ 4p4+8p3-4p+1 1. 1-2p-2p2 2.  (2p2+2p-1) 3. 2p2-2p-1 4.  (1+2p-2p2)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

7. จงหาคาของ 4x 1. 2x2-3xy-y2 3. 2x2+3xy-y2 8. จงหาคาของ 4 x 1. 2x3-3x+7 3. 7-2x3+3x

เมื่อ x และ y >0 2. 2x2+3xy+y2 4. 2x2-3xy+y2

 12x 3 y  13x 2 y 2  6 xy 3  y 4

 12 x 4  28 x 3  9 x 2  42 x  49

2. 3x-7-2x3 4. 2x3+3x-7



1. 3.



1   4a 4  9 a 2  2   12a a 2  1  18 เมื่อ a a   2 2. 2a 2  2a  3 2a 2  3a  a a 3 3 4. 2a 2  a  2a 2  3a  a a

9. จงหาคาของ

10. ผลสําเร็จของ

x2 

1 4  4x   6 2 x x

1. x- 1 -2

เทากับขอใดเมื่อ x > 0 2. x- 1 +2

x 3. x+ 1 -2 x

x 4. x+ 1 +2 x 1

11. จงหารากที่สองของ 9 x 2  12 x 4  10  4 x 1.  (3x

1 4

3.  (3x

1 4



1 4

2 x ) 1  4

 1  2x )



1 4

x

2.  (3x

1 4

4.  (3x

1 4



1 2



1 4

1 x ) 2 x



1 4

)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

12. จงจัด

a4 a3   a  1 อยูในรูปกําลังสองสมบูรณ 64 8 2

 a2 a     1  8 2 

 a2 a     1  8 2 

 a2 a     1  8 2 

 a2 a     1  8 2 

13. จงจัด 67x2+49+9x4-70x-30x3 อยูในรูปกําลังสองสมบูรณ 1. (7-5x+3x2)2

2. (5x-3x2+7)2

3. (3x2-5x-7)2

4. (3x2+5x-7)2

14. จงหาคา A ซึ่งทําให 25x4-30x3+49x2-24x+A เปนกําลังสองสมบูรณ 1. 1 2. 4 3. 16 4. 25 15. จงหาคาของ k ซึ่งทําให k a 3+ 25 + a 4-5 a + 67 a 2 เปนกําลังสอง 9

สมบูรณ 1. -3 3. 4

2. -2 4. 6 ..................................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

เฉลยแบบฝกหัด เรื่องการหารากที่สองของพหุนาม 1) 3 6) 1 11) 4

2) 1 7) 4 12) 3

3) 2 8) 1 13) 1

4) 2 9) 3 14) 3

5) 2 10) 4 15) 1

.......................................................

เฉลยอยางละเอียด ขอ1. จงหาคาของ 4 x 4  8 x 3  4 x  1 1. 2x2+2x+1 2. 2x2-2x+1 3. 2x2-2x-1 4. 2x2+2x-1 พจนแรกของคําตอบ = 4x = 2x2 4

พจนที่สองของคําตอบ

 8x 3 2( 2 x 2 )

= -2x

พจนที่สามของคําตอบ = 1 = 1 มีเครื่องหมายเทากับ 3 เครื่องหมายของ -8x หารดวยเครื่องหมายของ +4x จึงเปน -1 2  4 x  8 x  4 x  1 = 2x -2x-1 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 3. 4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ2. จงหารากที่สองของ x4-6x3+19x2-30x+25 1.  (x2-3x+5) 2.  (x2+3x-5) 3.  (x2-3x-5) 4.  (x2+3x+5) พจนแรกของคําตอบ = x = x2 4

พจนที่สองของคําตอบ

 6x 3 2( x 2 )

= -3x

พจนที่สามของคําตอบ = 25 = 5 มีเครื่องหมายเทากับ เครื่องหมายของ -6x3 หารดวยเครื่องหมายของ -30x จึงเปน +5 4 3 2 2  รากที่สองของ x -6x +19x -30x+25=  (x -3x+5) ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 1. ขอ3. จงหากรณฑที่สองของ x4-2 ax3+5 a 2x2-4 a 3x+4 a 4 1.  (x2- a x-2 a 2) 2. x2- a x+2 a 2 3.  (x2+ a x-2 a )2 4. x2+ a x-2 a 2 พจนแรกของคําตอบ = x = x2 4

พจนที่สองของคําตอบ

 2ax 3 2( x 2 )

= -ax

พจนที่สามของคําตอบ = 4a = 2 a 2 มีเครื่องหมาย เทากับเครื่องหมายของ -2 a x3 หารดวยเครื่องหมายของ -4 a 3x จึงเปน +2 a 2 4 3 2 2 3 4 2 2  กรณฑที่สองของ x -2 a x +5 a x -4 a x+4 a =x - a x+2 a  ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 2. 4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ4. จงหาคาของ 9 x 4  12x 3  28x 2  16x  16 1. 3x2+2x-4 2. 3x2-2x+4 3. 3x2-2x-4 4. 3x2+2x+4 พจนแรกของคําตอบ = 9x = 3x2 4

พจนที่สองของคําตอบ

 12 x 3 2(3x 2 )

= -2x

พจนที่สามของคําตอบ = 16 = 4 มีเครื่องหมายเทากับ เครื่องหมายของ -12x3 หารดวยเครื่องหมายของ -16x จึงเปน +4 2  9 x 4  12x 3  28x 2  16x  16 = 3x -2x+4 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 2. ขอ5. จงหารากที่สองของ 25x2 a2-12x a 3+16x4+4 a4-24x3 a 1.  (4x2+3x a -2 a 2) 2.  (4x2-3x a +2 a 2) 3.  (4x2+5x a -2 a 2) 4.  (4x2-5x a +2 a 2) จัดพหุนามโดยเรียงดีกรีไดเปน 16x4-24x3 a+25x2 a2-12x a3+4 a4 พจนแรกของคําตอบ = 16x 4 = 4x2 พจนที่สองของคําตอบ =  24 x a = -3 ax 3

2(4 x 2 )

พจนที่สามของคําตอบ = 4a = 2 a2 มีเครื่องหมาย เทากับเครื่องหมายของ -24x3 a หารดวยเครื่องหมายของ -12x a3 จึงเปน +2 a2 2 2 3 4 4 3 2 2  รากที่สองของ 25x a -12x a +16x +4 a -24x a =  (4x -3 ax+2 a ) ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 2. 4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ6. จงหากรณฑที่สองของ 4p4+8p3-4p+1 1. 1-2p-2p2 2.  (2p2+2p-1) 3. 2p2-2p-1 4.  (1+2p-2p2) พจนแรกของคําตอบ = 4p = 2p2 4

พจนที่สองของคําตอบ

8p3 2( 2 p 2 )

= 2p

พจนที่สามของคําตอบ = 1 = 1 มีเครื่องหมายเทากับ เครื่องหมายของ +8p3 หารดวยเครื่องหมายของ -4p จึงเปน -1 4 3 2  กรณฑที่ส องของ 4p +8p -4p+1 = 2p +2p-1ซึ่ งจะมีค า เทากันกับ -(2p2+2p-1)=1-2p-2p2 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 1. ขอ7. จงหาคาของ 4x  12x y  13x y  6xy  y เมื่อ x,y > 0 1. 2x2-3xy-y2 2. 2x2+3xy+y2 3. 2x2+3xy-y2 4. 2x2-3xy+y2 พจนแรกของคําตอบ = 4x 4 = 2x2 4

พจนที่สองของคําตอบ

 12 x 3 y 2( 2 x 2 )

= -3xy

พจนที่สามของคําตอบ = y = y2 มี เครื่ อ งหมาย เทากับเครื่องหมายของ -12x3yหารดวยเครื่องหมายของ -6xy3 จึงเปน +y2 3 2  4 x  12x y  13x y  6 xy  y = 2x -3xy+y ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 4. 4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ8. จงหาคาของ 4 x  12x  28x  9 x  42x  49 1. 2x3-3x+7 2. 3x-7-2x3 3. 7-2x3+3x 4. 2x3+3x-7 พจนแรกของคําตอบ = 4x 6 = 2x3 6

พจนที่สองของคําตอบ

 12 x 4 2( 2 x 3 )

= -3x

พจนที่สามของคําตอบ = 49 = 7 มีเครื่องหมายเทากับ เครื่องหมายของ -12x4 หารดวยเครื่องหมายของ -42x จึงเปน +7 3  4 x 6  12 x 4  28 x 3  9 x 2  42 x  49 = 2x -3x+7 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 1. ขอ9.



1. 3.



1   4a 4  9 a 2  2   12a a 2  1  18 เมื่อ a a   2 2. 2a 2  2a  3 2a 2  3a  a a 3 3 2 2 4. 2a  a  2a  3a  a a จากโจทยเทากับ 4a 4  9a 2  92  12a 3  12a  18 a

จงหาคาของ

เรียงดีกรีไดเปน

4a 4  12a 3  9a 2  12a  18 

พจนแรกของคําตอบ

พจนที่สองของคําตอบ

4a 4

= 2a2

12a 3 = 3 a 2( 2a 2 )

9 a2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

พจนที่สามของคําตอบ

9 a2

3 a

มีเครื่องหมายเทากับ

เครื่องหมายของ +12 a 3 หารดวยเครื่องหมายของ +18 จึงเปน + 3 a

 4 a 4  9a 2 

9  12a 3  12a  18 2 a

2a 2  3a 

3 a

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 3. ขอ10. ผลสําเร็จของ

1 4  4 x   6 เทากับขอใด เมื่อ x > 0 2 x x 1. x- 1 -2 2. x- 1 +2 x x 1 3. x+ -2 4. x+ 1 +2 x x จากโจทยเรียงดีกรีได = x 2  4 x  6  4  12 x x x2 

พจนแรกของคําตอบ พจนที่สองของคําตอบ

= =

พจนที่สามของคําตอบ

x2 4x 2x 1 x2

=x =2 =

1 x

มีเครื่องหมายเทากับ

เครื่องหมายของ +4x หารดวยเครื่องหมายของ + 4 จึงเปน + 1  x2 

1 4  4x   6 2 x x

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 4.

x x+2+ 1 x

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ11. 1

จงหารากที่สองของ 9 x 2 1

1.  (3x 4  2  x 3.  (3x

1 4



1 4

x

4.  (3x

 1  2x )

พจนที่สองของคําตอบ

1 4

2.  (3x 4  1  x

)

1  4

พจนแรกของคําตอบ



 12 x 4  10  4 x

= =

1 2

1 4

2 x

= 3x

 12 x

1 4



1 4

1 2

)

1  4

)

1 4

= -2

1 4

2(3 x )

พจนที่สามของคําตอบ



1 2



= x 4 มีเครื่องหมายเทากับ



เครื่องหมายของ  12x 4 หารดวยเครื่องหมายของ  4 x 4 จึงเปน  x 1

 รากที่สองของ 9 x 2  12 x 4  10  4 x 1



1 4

x

=  (3x 4  2  x ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 4.



1 4

1 2

)

ขอ12. จงจัด

a4 a3   a  1 อยูในรูปกําลังสองสมบูรณ 64 8

1.  a

a    1  8 2 

 a2 a     1  8 2 

 a   1  8 2 

 a2 a     1  8 2 

2.  a 4.



1 4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

การจัด

a4 a3   a 1 64 8

เขียนพหุนามดังกลาวใหอยูในรูป หาคาของ

ใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณก็คือการ

       

 a4 a3   a 1  64 8 

นั่นเอง

 a 4 a3   a  1  64 8 

พจนแรก

พจนที่สอง

พจนที่สาม

a4 64  a2 a3  2 8  8

=   

a2 8 a 2

= 1 มีเครื่องหมายเทากับ

เครื่องหมายของ  a หารดวยเครื่องหมายของ  a จึงเปน -1 8

3  4    a  a  a  1  64 8   

 a2 a     1  8 2 

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 3. ขอ13. จงจัด 67x2+49+9x4-70x-30x3 อยูในรูปกําลังสองสมบูรณ 1. (7-5x+3x2)2 2. (5x-3x2+7)2 3. (3x2-5x-7)2 4. (3x2+5x-7)2 การจัด 67x2+49+9x4-70x-30x3 ใหอยูในรูปกําลังสองสมบูรณก็ คือการเขียนพหุนามดังกลาวใหอยูในรูป  9 x  30 x  67 x  70 x  49  นั่นเอง หาคาของ  9 x  30 x  67 x  70 x  49  4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

พจนแรก

9x 4

= 3x2

พจนที่สอง

 30 x 3 2 (3 x 2 )

= -5x

พจนที่สาม = 49 = 7 มีเครื่องหมายเทากับ เครื่องหมายของ -30x3หารดวยเครื่องหมายของ -70x จึงเปน +7 2 2   9 x  30 x  67 x  70 x  49  = (3x -5x+7) ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 1. 4

ขอ14. จงหาคา A ซึ่งทําให 25x4-30x3+49x2-24x+A เปนกําลังสอง สมบูรณ 1. 1 3. 16 4

2. 4 4. 25 3

ให 25x -30x +49x -24x+A = =

3   25 x 4  30 x   2( 25 x 4 ) 

5x

 3x 

แทนคา x ดวย 1 จะได 25-30+49-24+A = 5  3  A 2 20+A = 4+4 A +A A = 4 A = 16 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 3.



 A  

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ15. จงหาคาของ k ซึ่งทําให k a 3+ 25 + a 4-5 a + 67 a 2 เปนกําลัง 9

สองสมบูรณ 1. -3 2. -2 3. 4 4. 6 ให k a 3+ 25 + a 4-5 a + 67 a 2 =  a 9

 

= = แทนคา a ดวย 1 จะได

 ka 3 

67 2 25 a  5a  12 9

3  4  a  ka   2( a 4 )  2  2 ka 5    a  2 3 

k+ 25 +1-5+ 67 =

k 5  1    2 3 

k+ 100 + 201 -4 =

 k 8     2 3 k 2 8k 64 + + 4 3 9

k+ 157 = 36

36k+157 2 9k +60k+99 3k2+20k+33 (3k+11)(k+3)

= = = =

9k2+96k+256 0 0 0 ; k =  11 , -3

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 1. ......................................................

25  9 

   

เทคนิคการคิดพีชคณิต

5 โจทยพหุนามที่มีลักษณะเฉพาะ 5.1 โจทยที่ใชสูตรมาพัฒนาในการคิด ในเรื่องพหุนามนั้นเราตองเรียนพื้นฐานเรื่องการบวก ลบ คู ณ หาร และการแยกตัวประกอบ ซึ่งในเรื่องการคูณ และการแยกตัวประกอบ พหุนามนั้นมีสูตรสําเร็จอยูหลายสูตรที่จะชวยใหเราทําการคูณและแยกตัว ประกอบได เ ร็ ว ขึ้ น สู ต รการคู ณ กั บ การแยกตั ว ประกอบนี้ ส ามารถใช รวมกั นได เพราะตามที่ ได เคยกล า วแล ววา การแยกตัวประกอบก็คื อการ เขียนกลับดานของการคูณนั่นเอง สําหรับสูตรที่เราควรจะตองจําใหไดนั้น มีดังนี้ (A+B)2 = A2+2AB+B2 (A-B)2 = A2-2AB+B2 (A+B)(A-B) = A2-B2 (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2+B3 (A-B)3 = A3-3A2B+3AB2-B3 (A+B)(A2-AB+B2) = A3+B3 (A-B)(A2+AB+B2) = A3-B3 (A+B+C)2 = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC สําหรับขอสอบคัดเลือกหรือสอบแขงขันนั้นจะเนนที่การใหนํา สูตรเหลานี้มาพัฒนาในการใชมากกวาการที่จะใหแทนคาAและBในสูตร

เทคนิคการคิดพีชคณิต

เทานั้น เราจึงตองฝกฝนการสังเกตโจทยใหดีวาสามารถใชสูตรในการคิด ไดหรือไม ตัวอยางที่ 1. จงหาคาของ(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2+2(a-b)(b-c)+2(a-b)(c-a)+2(b-c)(c-a) 1. a+b+c 2. -(a+b+c) 3. abc 4. 0 จากโจทย เ ราจะสั ง เกตเห็ น พหุ น ามที่ มี รู ป ซ้ํ า กั น อยู ห ลายจุ ด ดังนั้นใหเราลองแทนพหุนามที่มีรูปซ้ํากันนั้นดวยตัวแปรใหมดูวาจะไดรูป ใหมของพหุนามที่โจทยกําหนดมาเปนอยางไร แทน (a-b) ดวย A , แทน (b-c) ดวย B , แทน (c-a) ดวย C จะไดรูปใหมของพหุนามที่โจทยกําหนดมาเปน = A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC ตามสูตรจะมีคา = (A+B+C)2 แทนคา A,B,C กลับ = (a-b+b-c+c-a)2 = 0 ขอที่ 4 เปนขอที่ถูกตอง ตัวอยางที่ 2. จงหาคาของ (x+y)2-2(x+y)(x-y)+(x-y)2 1. 2x+2y 2. 2x-2y 2 3. 4x 4. 4y2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

แทน (x+y) ดวย A , แทน (x-y) ดวย B จะไดรูปใหมของพหุนามที่โจทยกําหนดมาเปน A2-2AB+B2 ตามสูตรจะมีคา = (A - B)2 แทนคา A,B กลับ = [(x+y)-(x-y)]2 = (2y)2 = 4y2 ขอที่ 4 เปนขอที่ถูกตอง ตัวอยางที่ 3. จงหาคาของ (a-b)3+3(a-b)2b+3(a-b)b2+b3 1. a3 2. b3 3. -8b3 4. 8b3 แทน (a-b) ดวย A , แทน b ดวย B จะไดรูปใหมของพหุนามที่โจทยกําหนดมาเปนA3+3A2B+3AB2+B3 ตามสูตรจะมีคา = (A + B)3 แทนคา A,B กลับ = (a-b+b)3 = a3 ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง ...............................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

100

5.2โจทยที่ใหหาคาของพหุนามหรือเศษสวนของพหุนาม โจทยอีกลักษณะหนึ่งที่เรามักจะพบอยูเปนประจําในการสอบ คัดเลือกหรือการสอบแขงขันก็คือการใหหาคาของพหุนามหรือเศษสวน ของพหุนามหนึ่ง โดยโจทยจะกําหนดคาของพหุนามหรือเศษสวนของพหุนาม หนึ่งมาใหกอนในรูปของสมการ หรือระบบสมการ โจทยลักษณะนี้ไมไดตองการใหเรามาแกสมการหาคาของตัว แปรแล วไปแทนค า แตตองการให เราหาวา สิ่ง ที่โจทยกํา หนดมาใหนั้น สัมพันธกับสิ่งที่โจทยถามอยางไร หรือจะมีวิธีใดในการแปลงรูปสิ่งทั้ง สองนี้ใหมาตรงกันไดโดยใชพื้นฐานความรูเรื่องพหุนามมาคิดนั่นเอง โจทยบางขอเราสามารถแปลงจากสิ่งที่โจทยกําหนดใหไปเปน รูปที่โจทยถามไดเลย แตในบางขอก็อาจจะตองคิดจากทั้งสองสิ่งโดยการ แปลงรูปใหมีบางสวนมาเหมือนกันเพื่อจะสามารถแทนคากันได ตัวอยางที่ 1. ถา x+ 1 = a จงหา x2+ 2

1 x2

1. a +2 2. a2-2 3. 2-a2 4. -a2-2 เมื่อพจน x ที่โจทยใหหาคามีดีกรีเปน 2 เราจึงควรจะลองนํา สมการที่โจทยกําหนดใหมายกกําลังสองดูวาผลที่ออกมาจะเปนอยางไร จาก ยกกําลังสองทั้งสองขาง

x+ 1 x

 1 x    x

เทคนิคการคิดพีชคณิต

101

x +2(x)  1   x x2+2+ 12 x x2+ 12 x

+  1  x

a2-2

r3 + 3r

ขอที่ 2 เปนขอที่ถูกตอง ตัวอยางที่ 2. ถา x- 1 = r จงหา x33

1. r +3r 3. -r3-3r

1 x3

2. r3-3r 4. - r3+3r

จาก

x- 1

ยกกําลังสามทั้งสองขาง

1  x   x 

2 1 

x -3(x)

1 1   +3x   -   x  x  x x3 - 13 - 3x + 3 x x x3 - 13 - 3  x  1  x x  x3 - 13 - 3r x x3 - 13 x

ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

102

ตัวอยางที่ 3. ถา x2+x-3 = 0 จงหา x4+2x3+x2 1. 3 2. 9 3. 18 4. 27 จาก x2+x-3 x2+x ยกกําลังสองทั้งสองขาง (x2+x)2 x4+2x3+x2 ขอที่ 2 เปนขอที่ถูกตอง ตัวอยางที่ 4. ถา 2 1 1. 3.

x  2x  5 13 2 33 2

จาก

0 3 32 9

= 2 จงหาคาของ 3x2+6x+5 2. 4.

23 2 43 2

1 x  2x  5 2

2x2+4x x2+2x เอา 3 คูณตลอด

= = = =

= = =

2x2+4x-10 11

3x2+6x

3x2+6x+5

11 2 33 2 33 +5 2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

103 

3x2+6x+5

ขอที่ 4 เปนขอที่ถูกตอง

43 2

ตัวอยางที่ 5. ถา xy = 5 และ 2x = y-3 จงหาคาของ y2-3xy+4x2 1. 10 2. 14 3. 16 4. 18 แมวาโจทยขอนี้จะเปนเรื่องระบบสมการ แตเราไมจําเปนตอง แกสมการหาคาตัวแปร เพราะเราสามารถสรางรูปพหุนามที่โจทยถามได จากโจทยกําหนดให 2x = y-3 2x-y = -3 ยกกําลังสองทั้งสองขาง (2x-y)2 = (-3)2 4x2-4xy+y2 = 9.............(1) และจากที่โจทยกําหนดให xy = 5............(2) 2 2 (1)+(2)  4x -3xy+y = 14 ขอที่ 2 เปนขอที่ถูกตอง ตัวอยางที่ 6. ถา 1 (x-y) = 1และ x2-3xy+y2 = 29 จงหาอัตราสวนที่เปนบวก 9

ของ xy : x+y 1. 52 :17 3. 52 : 9

2. 42 : 17 4. 42 : 9

เทคนิคการคิดพีชคณิต

104

โจทยใหหาอัตราสวนที่เปนบวกของ xy : x+y เราจึงควรจะ หาคา xy และ x+y จากสมการที่โจทยกําหนดมาให 1 (x-y) 9

จากโจทยกําหนดให

(x-y) = 9 2 ยกกําลังสองทั้งสองขาง (x-y) = 81 x2-2xy+y2 = 81............(1) และจากที่โจทยกําหนดให x2-3xy+y2 = 29............(2) (1)-(2) xy = 52 เอา 4 คูณทั้ง 2 ขาง 4xy = 208..........(3) 2 2 (1)+(3) x +2xy+y = 289 ถอดรากที่สองทั้ง 2 ขาง (x+y)2 = (±17)2 เนื่องจากโจทยตองการอัตราสวนที่เปนบวกจึงใชเฉพาะคา x+y = 17  xy : x+y = 52 : 17 ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง ตัวอยางที่ 7. ถา (a,b) เปนคําตอบของระบบสมการ 2x2-3xy+2y2 = 2 3 และ x2-4xy+y2+ 1 = 0 2

จงหาคาของ a +b 1. 0.5 3. 2.5

2. 1.5 4. 3.5

เทคนิคการคิดพีชคณิต

105

เนื่องจาก (a,b) เปนคําตอบของระบบสมการที่กําหนดให จึง สามารถแทนคา x ดวย a และแทนคา y ดวย b เขาไปในสมการทั้งสองจะได 11 2a2-3ab+2b2 = ............(1) 2

a -4ab+b (1)4 (2)3 (3)-(4)

8a2-12ab+8b2 3a2-12ab+3b2 2

5a +5b

4 - 1 ............(2) 2

= =

11..............(3) - 3 ............(4)

2 25 2

a2+b2 = 2.5 ขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง ตัวอยางที่ 8. ถา xy = 24 และ 2y = x-8 จงหาคาของ x2-3xy+4y2 1. 64 2. 78 3. 88 4. 94 จาก 2y = x-8 x-2y = 8 2 ยกกําลังสองทั้งสองขาง (x-2y) = 82 x2-4xy+4y2 = 64..............(1) และจากที่โจทยกําหนดให xy = 24..............(2) (1)+(2) x2-3xy+4y2 = 88 ขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง ................................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

106

แบบฝกหัดเรื่องพัฒนาการใชสูตรพหุนาม 1. จงหาคาของ (3a-2b-c)2+(b-a-2c)2+(4c-a+2b)2+2(3a-2b-c)(b-a-2c)+ 2(3a-2b-c) (4c-a+2b)+2(b-a-2c)(4c-a+2b) ถา a = 1.3425 , b = 0.1276 , c = 1.5299 1. 1 2. 4 3. 9 4. 16 2. ถา a = 2,b = 3 จงหาคาของ (3a-b)3+3(3a-b)2(b-a)+3(3a-b)(b-a)2+(b-a)3 1. 1 2. 27 3. 32 4. 64 3. จงแยกตัวประกอบของ (a+b)2-2c(a+b)+c2 1. (a+b-c)2 2. (a-b+c)2 3. (c+a-b)2 4. ถูกทุกขอ 4. ถาตัวประกอบของ 25(a+1)2+30(a+1)+9 = (h+k)2 จงหาคาของ h2-k2 ก. (5a+8)2 ข. (5a+8)(5a-8) ค. (8+5a)(8-5a) 1.ถูกเฉพาะขอ ก และ ข 2. ถูกเฉพาะขอ ข และ ค 3.ถูกเฉพาะขอ ค และ ก 4. ถูกทั้ง ก, ข และ ค 5. จงแยกตัวประกอบของ 4(a-b)2-4(a2-b2)+(a+b)2 1. (a+3b)2 2. (a-2b)2 3. (3b-a)2 4. (b-3a)(3a-b)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

6. จงแยกตัวประกอบของ (x-y)2+4x-4y-12 1. (x-y-6)(x-y+2) 2. (x-y+6)((x-y-2) 3. (x+y+6)(x+y-2) 4. (x+y-6)(x+y+2) 7. จงหาคาของ (3x+2y)3- (3x-y)3-3(3x+2y)2(3x-y)+3(3x+2y)(3x-y)2 1. y3 2. 8x3 3. 27y3 4. 81x3 8. จงแยกตัวประกอบของ (y2-3y)(y2-3y+2)+1 1. (y2-3y+1)2 2. (y2-3y-1)2 3. (y2-y-1)(y2-2y+1) 4. (y2+y+1)(y2-4y-1) 9. ขอใดตอไปนี้ไมมี a-b+2 เปนตัวประกอบ 1. (a-b)2-4(a-b)+4 2. (a-b)(a-b+4)+4 2 2 3. a -b +4a+4 4. a2+b2-2ab-4 10. คาของ (3a-b)3+3(3a-b)2(b-a)+3(3a-b)(b-a)2+(b-a)3 ตรงกับขอใด 1. 8a3 2. 9b3 3. 27a3+b3 4. 27a3-b3 ...........................................................

107

เทคนิคการคิดพีชคณิต

108

1) 3 6) 2

เฉลยแบบฝกหัดเรื่องพัฒนาการใชสูตรพหุนาม 2) 4 7) 3

3) 1 8) 1

4) 2 9) 1

5) 3 10) 1

.......................................... เฉลยอยางละเอียด ขอ1. จงหาคาของ(3a-2b-c)2+(b-a-2c)2+(4c-a+2b)2+2(3a-2b-c)(b-a-2c) +2(3a-2b-c)(4c-a+2b)+2(b-a-2c)(4c-a+2b) ถา a = 1.3425 , b = 0.1276 , c = 1.5299 1. 1 2. 4 3. 9 4. 16 แทน (3a-2b-c) ดวย A , (b-a-2c) ดวย B, (4c-a+2b) ดวย C จะไดรูปใหมของพหุนามที่โจทยกําหนดมาเปน = A2+ B2 + C2 +2AB + 2AC + 2BC ตามสูตรจะมีคา = (A + B + C)2 แทนคา A,B กลับ = (3a-2b-c+b-a-2c+4c-a+2b)2 = (a+b+c)2 = (1.3425+0.1276+1.5299)2 = (2.9990)2 = 9 ขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

109

ขอ2. ถา a = 2,b = 3 จงหาคาของ (3a-b)3+3(3a-b)2(b-a)+3(3a-b) (b-a)2+(b-a)3 1. 1 2. 27 3. 32 4. 64 แทน (3a-b) ดวย A , แทน (b-a) ดวย B จะไดรูปใหมของพหุนามที่โจทยกําหนดมาเปนA3+3A2B+3AB2+B3 ตามสูตรจะมีคา = (A + B)3 แทนคา A,B กลับ = (3a-b+b-a)3 = (2a)3 = 8a3 = 823 = 64 ขอที่ 4 เปนขอที่ถูกตอง ขอ3. จงแยกตัวประกอบของ (a+b)2-2c(a+b)+c2 1. (a+b-c)2 2. (a-b+c)2 3. (c+a-b)2 4. ถูกทุกขอ แทน (a+b) ดวย A , แทน c ดวย B จะไดรูปใหมของพหุนามที่โจทยกําหนดมาเปน A2-2AB+B2 ตามสูตรจะมีคา = (A - B)2 แทนคา A,B กลับ = (a+b-c)2 ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง

110

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ4. ถาตัวประกอบของ 25(a+1)2+30(a+1)+9= (h+k)2 จงหาคาของ h2-k2 ก. (5a+8)2 ข. (5a+8)(5a-8) ค. (8+5a)(8-5a) 1.ถูกเฉพาะขอ ก และ ข 2. ถูกเฉพาะขอ ข และ ค 3.ถูกเฉพาะขอ ค และ ก 4. ถูกทั้ง ก, ข และ ค จากโจทย 25(a+1)2+30(a+1)+9 = [5(a+1)]2+2[5(a+1)]3+32 แทน [5(a+1)] ดวย A , แทน 3 ดวย B จะไดรูปใหมของพหุนามที่โจทยกําหนดมาเปน A2+2AB+B2 ตามสูตรจะมีคา = (A+B)2 แทนคา A,B กลับ = [5(a+1)+3]2 = (5a+8)2 โจทยกําหนดให = (h+k)2 แสดงวา h = 5a , k = 8 หรือ h = 8 , k = 5a จากโจทย h2-k2 = (h+k)(h-k) = (5a+8)(5a-8) หรือ = (8+5a)(8-5a) ขอที่ 2 เปนขอที่ถูกตองคือ ถูกเฉพาะขอ ข และ ค ขอ5. จงแยกตัวประกอบของ 4(a-b)2-4(a2-b2)+(a+b)2 1. (a+3b)2 2. (a-2b)2 3. (3b-a)2 4. (b-3a)(3a-b)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

111

จากโจทย4(a-b)2-4(a2-b2)+(a+b)2=[2(a-b)]2-2[2(a-b)](a+b)+(a+b)2 แทน [2(a-b)] ดวย A , แทน (a+b) ดวย B จะไดรูปใหมของพหุนามที่โจทยกําหนดมาเปน A2 - 2AB + B2 ตามสูตรจะมีคา = (A - B)2 แทนคา A,B กลับ = [2(a-b)-(a+b)]2 = (2a-2b-a-b)2 = (a-3b)2 แตเนื่องจากคาของ (a-3b)2 = [-(a-3b)]2 2  (a-3b) = (3b-a)2 ขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง ขอ 6. จงแยกตัวประกอบของ (x-y)2+4x-4y-12 1. (x-y-6)(x-y+2) 2. (x-y+6)((x-y-2) 3. (x+y+6)(x+y-2) 4. (x+y-6)(x+y+2) จากโจทย (x-y)2+4x-4y-12 = (x-y)2+4(x-y)-12 แทน (x-y)ดวยAจะไดรูปใหมของพหุนามที่โจทยกําหนดมาเปน = A2+4A-12 = (A+6)(A-2) แทนคา A กลับ = (x-y+6)(x-y-2) ขอที่ 2 เปนขอที่ถูกตอง

112

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ7. จงหาคาของ (3x+2y)3- (3x-y)3-3(3x+2y)2(3x-y)+3(3x+2y)(3x-y)2 1. y3 2. 8x3 3. 27y3 4. 81x3 แทน (3x+2y) ดวย A , แทน (3x-y) ดวย B จะไดรูปใหมของพหุนามที่โจทยกําหนดมาเปนA3-3B3-3A2B+3AB2 = A3-3A2B+3AB2-3B3 ตามสูตรจะมีคา = (A - B)3 แทนคา A,B กลับ = (3x+2y-3x+y)3 = (3y)3 = 27y3 ขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง ขอ8. จงแยกตัวประกอบของ (y2-3y)(y2-3y+2)+1 1. (y2-3y+1)2 2. (y2-3y-1)2 3. (y2-y-1)(y2-2y+1) 4. (y2+y+1)(y2-4y-1) แทน (y2-3y)ดวยA จะไดรูปใหมของพหุนามที่โจทยกําหนดมาเปน = A(A+2)+1 = A2+2A+1 = (A+1)2 แทนคา A กลับ = (y2-3y+1)2 ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ 9. ขอใดตอไปนี้ไมมี a-b+2 เปนตัวประกอบ 1. (a-b)2-4(a-b)+4 2. (a-b)(a-b+4)+4 3. a2-b2+4a+4 4. a2+b2-2ab-4 แทน a-b ดวย A ใน a-b+2 จะไดเปน A+2 ตัวเลือกที่ 1 = A2-4A+4 = (A-2)2 ขอที่ 1 ไมมี A+2 หรือ a-b+2 เปนตัวประกอบ ตัวเลือกที่ 2 = A(A+4)+4 = A2+4A+4 = (A+2)2 ตัวเลือกที่ 3 = a2+4a+4-b2 = (a+2)2-b2 = (a+2+b)(a+2-b) ตัวเลือกที่ 4 = a2-2ab+b2-4 = (a-b)2-22 = A2-22 = (A-2)(A+2) ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง

113

เทคนิคการคิดพีชคณิต

114

ขอ 10. คาของ (3a-b)3+3(3a-b)2(b-a)+3(3a-b)(b-a)2+(b-a)3 ตรงกับขอใด 1. 8a3 2. 9b3 3. 27a3+b3 4. 27a3-b3 แทน 3a-b ดวย A , แทน b-a ดวย B จะไดรูปใหมของพหุนามที่ โจทยกําหนดมาเปน = A3+3A2B+3AB2+B3 ตามสูตรจะมีคา = (A + B)3 แทนคา A และ B กลับ

(3a-b+b-a)3

(2a)3

8a3

ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง ..................................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

115

แบบฝกหัดเรื่องการหาคาพหุนามหรือเศษสวนของพหุนาม 1. ถา x- 1 = r จงหา x2+ 2

1. r +2 3. -r2+2

1 x2

2. ถา x+ 1 = a จงหา x3+ x

1. a +3a 3. -3a3-3a 3. ถา x- 1 = 3 จงหา x2+ x

1. 9 3.13 1. 103 3. 108 5. ถา x- 1 = 3 จงหา x3x

1. 11 3. 36

1 x3

1 x2

4. ถา x+ 1 = 5 จงหา x3+ x

1. 0

3. x+ 1 x

2. a3-3a 4. -3a3+3a 2. 11 4. 15

1 x3

6. ถา (x+ 1 )2 = 3 จงหา x3+ x

2. r2-2 4. -r2-2

2. 105 4. 110 2. 18 4. 44

1 x3

2. (

4. x2+

)3 1 x2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

116

7. ถา x2+x =5 จงหาคา (2x+1)2 1. 15 3. 19

2. 17 4. 21

8. ถา (x+4)(x-8) = 28 จงหาคาของ (x-2)2 1. 25 2. 36 3. 49 4. 64 9. ถา xy = 6 และ

1 1  2 2 x y

13 36

จงหาคาของ (x+y)2

1. 13 3. 36 10. ถา

x 2  2 x

1. 10 3. 14

2. 25 4. 48 = 4 จงหาคาของ

 x    2

+  2   x

2. 12 4. 16

11. ถา x+y = 1 จงหาคาของ x3(y+1)-y3(x+1)-x+y 1. -2 2. -1 3. 0 4. 1 12. ถา 2x+3y = 1 จงหาคา (6x2+13xy+6y2+y-x)5 1. 1 2. 32 3. 243 4. 1024

เทคนิคการคิดพีชคณิต

117

13. ถา a+b = 6 และ ab = 4 จงหาคาของ a2+b2 1. 24 2. 26 3. 28 4. 30 14. ถา a-b = 3 และ ab = 10 จงหาคาของ a3-b3 1. 97 2. 107 3. 117 4. 127 15. ถา x2+x-2 = 3 จงหาคาของ 2x2+2x+1 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 16. ถา x+y = 10 และ xy = 2 จงหา 1 + 1 x

1. 3.

1 10 2 5

2. 2 4. 5

17. ถา xy = 8 และ x2+y2 = 9 จงหาอัตราสวนที่เปนบวกของ xy : (x+y) 1. 8:7 2. 8:5 3. 8:3 4. 8:1 18. จากระบบสมการ x2+y2 = 1 และ x2-1 = y จงหา y2+y+5 1. 0 2. 1 3. 3 4. 5

เทคนิคการคิดพีชคณิต

118

19. จากระบบสมการ x2+y2 = 74 และ xy = 35 ขอใดตอไปนี้ถูก 1. x+y = 12 2. x-y = 2 3. x2-y2 = 24 4. x2+2xy+y2 = 144 20. ถา (a,b) เปนคําตอบของระบบสมการ x+y = 17 และ x2+y2 = 185 จงหา a-b 1. 9 เทานั้น 2. -9 เทานั้น 3.  9 4. ไมมีขอถูก 21. ถา (a,b) เปนคําตอบของระบบสมการ x2-xy+y2 = 57และ x-y = -1 จงหา a2-b2 1.  15 2.  16 3. -15 และ 16 4. -16 และ 15 22. ถา

1 x

1. -ab 3. a b

- 1 = a และ xy = b จงหา x-y y

2. ab 4. - a b

23. ถา x+y = 5 และ x2+y2 = 13 จงหา (x-5)2+(y-5)2 1. 13 2. 18 3. 169 4. 324 24. ถา (a,b) เปนคําตอบของระบบสมการ x+y = 11 และ x2+xy+y2 = 91 จงหา a2+b2+ab+a+b 1. 80 2. 102 3. 108 4. 110

เทคนิคการคิดพีชคณิต

119

25. ถา xy = 12 และ x2+y2 = 25 จงหาอัตราสวนที่เปนบวกของ xy : (x-y) 1. 12 : 7 2. 12 : 5 3. 12 : 3 4. 12 : 1 26. จากระบบสมการ x2+3xy = 28 และ x2+y2 = 20 จงหา 2x2-15xy+7y2 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 ...............................................................

เฉลยแบบฝกหัดเรื่อง การหาคาพหุนามหรือเศษสวนของพหุนาม 1) 1 6) 1 11) 3 16) 4 21) 1 26) 1

2) 2 7) 4 12) 1 17) 2 22) 1

3) 2 8) 4 13) 3 18) 4 23) 1

4) 4 9) 2 14) 3 19) 4 24) 2

...........................................

5) 3 10) 3 15) 3 20) 3 25) 4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

120

เฉลยอยางละเอียด ขอ1. ถา x- 1 = r จงหา x2+ 2

1. r +2 3. -r2+2

1 x2

2. r2-2 4. -r2-2 x- 1

จาก

1  x   x 

ยกกําลังสองทั้งสองขาง

x2-2(x)  1  +  1 

ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง ขอ2. x

1. a +3a 3. -3a3-3a จาก ยกกําลังสามทั้งสองขาง

 x  x x2-2+ 12 x x2+ 12 x

ถา x+ 1 = a จงหา x3+ 3

1 x3

r2+2

2. a3-3a 4. -3a3+3a x+ 1 x

1  x  x 

เทคนิคการคิดพีชคณิต

121 2

x +3(x)  +3x  1  +  1   x  x   x x3 + 13 + 3x + 3 x x x3 + 13 + 3  x  1  x x  x3 + 13 + 3a x x3 + 13 x 3

2  1

a3 - 3a

9+2 = 11

ขอที่ 2 เปนขอที่ถูกตอง ขอ3.

ถา x- 1 = 3 จงหา x2+ 1. 9 3.13

1 x2

2. 11 4. 15 x- 1

จาก

ยกกําลังสองทั้งสองขาง

1  x   x 

ขอที่ 2 เปนขอที่ถูกตอง

 1    x x2-2+ 12 x 2 1 x+ 2 x

x -2(x)  1+  x 2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

122

ขอ4. ถา x+ 1 = 5 จงหา x3+ x

1. 103 3. 108

1 x3

2. 105 4. 110 x+ 1

จาก

1  x  x 

ยกกําลังสามทั้งสองขาง

x +3(x)  +3x  1 +  1   x  x  x  x3 + 13 + 3  x  1  x x  x3 + 13 x 3

2  1

125

125-15 = 110

ขอที่ 4 เปนขอที่ถูกตอง ขอ5.

ถา x- 1 = 3 จงหา x3x

1. 11 3. 36 จาก ยกกําลังสามทั้งสองขาง

1 x3

2. 18 4. 44 x- 1

x 3 1  x   x 

เทคนิคการคิดพีชคณิต

123 2

x -3(x)  +3x  1 -  1   x  x  x  x3 - 13 - 3  x  1  x  x x3 - 13 x 3

2  1

27+9 = 36



(



ขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง ขอ6.

ถา (x+ 1 )2 = 3 จงหา x3+ x

1. 0

1 x3

3. x+ 1

2. (

4. x2+

1  x   x  x+ 1 x

จาก

ยกกําลังสามทั้งสองขาง

1  x  x  2

x +3(x)  +3x  1 +  1   x  x  x  x3 + 13 + 3  x  1  x x  x3 + 13 +3 (  3 ) x x3 + 13  3 3 x 3

2  1

)3 1 x2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

124

x3 +

1 x3

ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง ขอ7. ถา x2+x =5 จงหาคา (2x+1)2 1. 15 2. 17 3. 19 4. 21 โจทยถามคาของ (2x+1)2 จากที่กําหนดมาให x2+x เอา 4 คูณตลอด 4x2+4x แทนคา 4x2+4x = 20 ในสมการที่ (1) 4x2+4x+1 ขอที่ 4 เปนขอที่ถูกตอง ขอ8. ถา (x+4)(x-8) = 28 จงหาคาของ (x-2)2 1. 25 2. 36 3. 49 4. 64 จาก (x+4)(x-8) x2-4x-32 x2-4x โจทยถามคาของ (x-2)2 แทนคา x2-4x = 60; (x-2)2 ขอที่ 4 เปนขอที่ถูกตอง

= = =

4x2+4x+1..(1) 5 20

20+1 = 21

= = = = =

28 28 60 x2-4x+4 64

เทคนิคการคิดพีชคณิต

125

ขอ9. ถา xy = 6 และ

1 1  2 2 x y

จงหาคาของ (x+y)2

13 36

1. 13 3. 36

2. 25 4. 48

จากที่โจทยใหหาคาของ (x+y)2 = x2+2xy+y2 แทนคา xy = 6; (x+y)2 = x2+y2+12..................(1) จะเห็นวาคงติดเฉพาะคาของ x2+y2 เทานั้น จากโจทยกําหนดให 12  12 = 13 x

x y x2 y2 2

13 36

เนื่องจาก x2y2 = 36;  x2+y2 = แทนคา x2+y2 ใน (1); (x+y)2 = ขอที่ 2 เปนขอที่ถูกตอง

13 13+12 = 25

ขอ10. ถา

x 2  2 x

= 4 จงหาคาของ

1. 10 3. 14 จาก ยกกําลังสองทั้งสองขาง

 x    2

+  2   x

2. 12 4. 16 x 2  2 x 2

 x 2     2 x

เทคนิคการคิดพีชคณิต

126  x    2

+2  x   2  +  2   2  x   x   x    2

+  2   x

 x    2

+  2   x

ขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง ขอ11. ถา x+y = 1 จงหาคาของ x3(y+1)-y3(x+1)-x+y 1. -2 2. -1 3. 0 4. 1 จากที่โจทยใหหาคาของ = x3(y+1)-y3(x+1)-x+y = x3y+x3-xy3-y3-x+y = (x3y-xy3)+(x3-y3)-(x-y) = xy(x2-y2)+(x-y)(x2+xy+y2)-(x-y) = (x-y)[xy(x+y)+x2+xy+y2-1] แทนคา x+y = 1; = (x-y)(x2+2xy+y2-1) = (x-y)[(x+y)2-1] แทนคา x+y = 1; = (x-y)0 = 0 ขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง ขอ12. ถา 2x+3y = 1 จงหาคา (6x2+13xy+6y2+y-x)5 1. 1 2. 32 3. 243 4. 1024

เทคนิคการคิดพีชคณิต

จาก (6x2+13xy+6y2+y-x)5 แทนคา 2x+3y = 1 ;

127

= = = =

[(2x+3y)(3x+2y)+y-x] (3x+2y+y-x) 2x+3y 1

ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง ขอ13. ถา a+b = 6 และ ab = 4 จงหาคาของ a2+b2 1. 24 2. 26 3. 28 4. 30 จาก a+b = ยกกําลังสองทั้งสองขาง (a+b)2 = a2+2ab+b2 = a2+b2 = a2+b2 = ขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง ขอ14. ถา a-b = 3 และ ab = 10 จงหาคาของ a3-b3 1. 97 2. 107 3. 117 4. 127 จาก a-b = ยกกําลังสามทั้งสองขาง (a-b)3 = 3 2 2 3 a -3a b+3ab -b =

6 36 36 36-2ab 36-8 = 28

3 27 27

เทคนิคการคิดพีชคณิต

128

แทนคาa-b = 3 และ ab = 10 ;

a3-b3-3ab(a-b) = a3-b3-3(10)(3) = a3-b3 = =

27 27 27+90 117

ขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง ขอ15. ถา x2+x-2 = 3 จงหาคาของ 2x2+2x+1 1. 9 2. 10 3. 11 4. 12 จาก x2+x-2 x2+x เอา 2 คูณตลอด 2x2+2x 2x2+2x+1 ขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง

= = = =

3 5 10 11

x y xy

ขอ16. ถา x+y = 10 และ xy = 2 จงหา 1 + 1 x

1. 3.

1 10 2 5

2. 2 4. 5

จากที่โจทยใหหาคาของ 1 + 1 x

เทคนิคการคิดพีชคณิต

แทนคา x+y = 10 และ xy = 2 ;

129

10 2

ขอที่ 4 เปนขอที่ถูกตอง ขอ17. ถา xy = 8และ x2+y2 = 9 จงหาอัตราสวนที่เปนบวกของ xy :(x+y) 1. 8:7 2. 8:5 3. 8:3 4. 8:1 จาก xy = 8 เอา 2 คูณตลอด 2xy = 16.............(1) จากโจทยกําหนด x2+y2 = 9...............(2) (1)+(2) x2+2xy +y2 = 25 (x+y)2 = 25 x+y = 5  อัตราสวนที่เปนบวกของ xy : (x+y) = 8:5 ขอที่ 2 เปนขอที่ถูกตอง ขอ18. จากระบบสมการ x2+y2 = 1 และ x2-1 = y จงหา y2+y+5 1. 0 2. 1 3. 3 4. 5 จาก x2+y2 = 1 2 y = 1-x2 และ x2-1 = y

เทคนิคการคิดพีชคณิต

130

คาของ

y2+y+5

= =

1-x2+ x2-1+5 5

ขอที่ 4 เปนขอที่ถูกตอง ขอ19. จากระบบสมการ x2+y2 = 74 และ xy = 35 ขอใดตอไปนี้ถูก 1. x+y = 12 2. x-y = 2 2 2 3. x -y = 24 4. x2+2xy+y2 = 144 จาก x2+y2 = 74.............(1) และ xy = 35 เอา 2 คูณตลอด 2xy = 70.............(2) (1)+(2) x2+2xy+y2 = 144  ขอที่ 4 ถูก (x+y)2 = 144 x+y =  12  ขอที่ 1 ผิด (1)-(2) x2-2xy+y2 = 4 2 (x-y) = 4 x-y =  2  ขอที่ 2 ผิด จากขอ 3; x2-y2 = (x-y)(x+y) = (  2)(  12)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

131



 ขอที่ 3 ผิด

ขอที่ 4 เปนขอที่ถูกตอง ขอ20. ถา (a,b) เปนคําตอบของระบบสมการ x+y = 17 และ x2+y2 = 185 จงหา a-b 1. 9 เทานั้น 3.  9

2. -9 เทานั้น 4. ไมมีขอถูก

แทนคา x ดวย a และแทนคา y ดวย b เขาไปในสมการทั้งสอง จะได a+b = 17.............(1) a2+b2 = 185...........(2) 2 2 (1) ยกกําลังสอง; a +2ab+b = 289...........(3) (3)-(2); 2ab = 104...........(4) (2)-(4); a2-2ab+b2 = 81 (a-b)2 = (  9)  a-b = 9 ขอที่ 3 เปนขอที่ถูกตอง

132

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ21. ถา (a,b) เปนคําตอบของระบบสมการ x2-xy+y2 = 57 และ x-y = -1 จงหา a2-b2 1.  15 2.  16 3. -15 และ 16 4. -16 และ 15 แทนคา x ดวย a และแทนคา y ดวย b เขาไปในสมการทั้งสอง จะได a2-ab+b2 = 57............(1) และ a-b = -1.............(2) โจทยตองการใหหาคาของ a2-b2 = (a+b)(a-b) ซึ่งคาของ a-b ทราบแลว ดังนั้นตองหาคาของ a+b ใหได (2) ยกกําลังสอง; a2-2ab+b2 = 1...............(3) (1)-(2) ab = 56 4ab = 224............(4) (3)+(4) a2+2ab+b2 = 225 (a+b)2 = (  15)2 a+b =  15 แทนคา (a+b)(a-b) = (  15)(-1) =  15 ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

133

ขอ22. ถา

1 x

- 1 = a และ xy = b จงหา x-y y

1. -ab 3.

2. ab

a b

จาก

แทนคา xy = b;

4. - a b

1 1 x y yx xy yx b

y-x x-y ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง

= =

ab -ab

ขอ23. ถา x+y = 5 และ x2+y2 = 13 จงหา (x-5)2+(y-5)2 1. 13 2. 18 3. 169 4. 324 จากที่โจทยใหหาคาของ = (x-5)2+(y-5)2 = x2-10x+25+y2-10y+25 = x2+y2-10(x+y)+25+25 แทนคา x+y = 5 และ x2+y2 = 13; = 13-10(5)+25+25 = 13 ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

134

ขอ24. ถา (a,b) เปนคําตอบของระบบสมการ x+y = 11 และ x2+xy+y2 = 91 จงหา a2+b2+ab+a+b 1. 80 2. 102 3. 108 4. 110 แทนคา x ดวย a และแทนคา y ดวย b เขาไปในสมการทั้งสอง จะได a+b = 11............(1) 2 2 a +ab+b = 91............(2) (1)+(2) a2+b2+ab+a+b = 102 ขอที่ 2 เปนขอที่ถูกตอง ขอ25. ถา xy = 12 และ x2+y2 = 25 จงหาอัตราสวนที่เปนบวกของ xy : (x-y) 1. 12 : 7 3. 12 : 3 จาก และ (2)-(1)

2. 12 : 5 4. 12 : 1 xy 2xy x2+y2 x2-2xy +y2 (x-y)2 x-y

= = = = = =

12 24..............(1) 25..............(2) 1 (  1)2 1

เทคนิคการคิดพีชคณิต  อัตราสวนที่เปนบวกของ

135

xy : (x-y) =

12 : 1

ขอที่ 4 เปนขอที่ถูกตอง ขอ26. จากระบบสมการ x2+3xy = 28 และ x2+y2 = 20 จงหา 2x2-15xy+7y2 1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 จาก x2+3xy เอา 5 คูณตลอด 5x2+15xy จาก x2+y2 เอา 7 คูณตลอด 7x2+7y2 (2)-(1) 2x2-15xy+7y2 ขอที่ 1 เปนขอที่ถูกตอง

= = = = =

...............................................................

28 140............(1) 20 140............(2) 0

136

เทคนิคการคิดพีชคณิต

6 สมการกําลังสอง ในบทนี้จะกลาวถึงเรื่องสมการกําลังสองที่เกี่ยวพันโดยตรงกับ การแยกตัวประกอบด วยการใช สูตรจากบทที่ 4 ซึ่ งจากสูตรการแยกตั ว ประกอบนั้นทําใหเกิดสูตรหาคําตอบของสมการกําลังสองตามมา และจากสูตรหาคําตอบของสมการกําลังสองนี้เองที่ไดทําใหมี ขอสอบในแนวที่ใหนําสูตรนี้มาพัฒนาในการคิดหาคําตอบ ซึ่งจะมีอยูสอง เรื่องใหญๆคือ 1. คาของ b2-4ac ในสูตร 2. ผลบวก และผลคูณของคําตอบของสมการ กอนที่จะกลาวถึงรายละเอียดใน 2 เรื่องดังกลาว เราควรจะมาทํา ความเขาใจพื้นฐานของเรื่องสมการกําลังสองกันกอน โดยความเปนจริงแลวสมการตั้งแตกําลังสองขึ้นไปก็ใชหลักการ เดียวกันในการแกสมการ กลาวคือใชหลักเกี่ยวกับจํานวนจริงที่วา “ ถ า a,b,c.....เป น จํ า นวนจริ ง และ abc............= 0 แลว a = 0 หรือ b =0 หรือ c = 0 หรือ.........” ตัวอยางเชน ถาเรามี (x-4)(x+2) = 0 จะได x-4 = 0 หรือ x+2 = 0  x = 4 หรือ x = -2 ดังนั้น 4 และ -2 จึงเปนคําตอบของสมการดังกลาว

เทคนิคการคิดพีชคณิต

137

รูปมาตรฐานของสมการกําลังสองคือ ax2+bx+c = 0 เมื่อ a,b,c เปนจํานวนจริงใดๆโดยที่ a  0 ดั ง นั้ น การแก ส มการกํ า ลั ง สองนั้ น ขั้ น แรกเราต อ งทํ า ให ด า น ขวามื อของเครื่ องหมายเท า กับ เปน0กอน หลัง จากนั้ นเราจึ ง ทํา พหุนาม กําลังสองทางซายใหอยูในรูปการคูณกันของพหุนามกําลังหนึ่งดวยวิธีการ แยกตัวประกอบ แลวจึงใชความรูเกี่ยวกับจํานวนจริงแกสมการตอไปดังที่ กลาวมาแลว ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 1. จงหาคําตอบของสมการ 15x2+26x = -8 จาก 15x2+26x = -8 15x2+26x+8 = 0 ทําการแยกตัวประกอบ (5x+2)(3x+4) = 0 จะได 5x+2 = 0 หรือ 3x+4 = 0  x = - 2 หรือ x = - 4 5

ดังนั้น

-2 5

และ - 4 3

จึงเปนคําตอบของสมการ

ในกรณี ที่ พ หุ น ามในรู ป ax2+bx+c ทางซ า ยของสมการไม สามารถหาวิธีอื่นมาแยกตัวประกอบไดแลว ก็จะตองใชวิธีการจัดใหเปน กําลังสองสมบูรณตามที่เราไดทํามาแลวในบทที่ 4 ซึ่งไดสูตรการแยกตัว ประกอบพหุนามดีกรีสองเปนดังนี้ สูตร a x2+bx+c = a  x  b  b  4 ac  x  b  b  4 ac  2

 

 

 

เทคนิคการคิดพีชคณิต

138

ดังนั้นจากรูปมาตรฐานของสมการกําลังสอง 2 =0 a x +bx+c 2  a  x  b  b  4 ac  2a 

2   x  b  b  4 ac  2a 

   

และตามรูปสมการกําลังสอง a



2     x  b  b  4 ac 



 b  b 2  4ac 2a



 b  b 2  4ac 2a

 

หรือ

2   x  b  b  4 ac  2a 

 

   

0 b  b 2  4ac 2a

b  b 2  4ac 2a

จึงไดสูตรหาคําตอบของสมการกําลังสองคือ 2 จากสมการ 0 จะได a x +bx+c = สูตร

 b  b 2  4ac 2a

จากสูตรขางตนนี้ไดมีการนําไปใชใน 2 เรื่องใหญๆ ดังที่เกริ่น ไวกอนหนานี้ ซึ่งเปนเรื่องที่ควรจะศึกษาเพิ่มเติมไวเพื่อเปนประสบการณ ดังรายละเอียดตอไปนี้

เทคนิคการคิดพีชคณิต

139

6.1คาของ b2-4ac ในสูตรหาคําตอบของสมการกําลังสอง ในสูตรหาคําตอบของสมการกําลังสองนั้นคาของ b2-4ac ที่อยู ในเครื่องหมายกรณฑสามารถบอกถึงลักษณะของคําตอบของสมการกําลัง สองแตละสมการไดดังนี้ เมื่อเราแทนคาของ a,b และ c เขาไปใน b2-4ac แลว ถาไดผลลัพธเปนจํา นวนบวก สามารถถอดกรณฑที่สองของ จํานวนบวกได   b  4ac ในสูตรจะมี 2 คา แสดงวาจะมีคําตอบของ สมการ 2 คาที่แตกตางกัน ถาไดผลลัพธเปนศูนย ถอดกรณฑที่สองได 0  b  4ac จะมีคาเดียวคือ 0 แสดงวาจะมีคําตอบของสมการเพียงคาเดียวคือ  b 2

ถ า ได ผ ลลั พ ธ เ ป น จํ า นวนลบ ไม ส ามารถถอดกรณฑ ที่ ส อง ได  b  4ac ไมเปนจํานวนจริง แสดงวาไมมีคําตอบของสมการ คือไม สามารถหาจํานวนจริงมาแทนคาของตัวแปรแลวทําใหสมการเปนจริงได จากรายละเอียดขางตนพอสรุปใหจดจําไดงายๆดังนี้ 1. ถา b2-4ac > 0 คําตอบของสมการมี 2 คา 2. ถา b2-4ac = 0 คําตอบของสมการจะมีคาเดียวคือ x =  b 2

3. ถา b -4ac < 0 จะไมมีคําตอบของสมการ ซึ่ง เรื่ องค า ของ b2-4ac นี้ ไ ด มีก ารนํ ามาเป นโจทย เพื่อทดสอบ ความเขาใจของนักเรียนโดยเฉพาะ จึงควรทําการศึกษาลักษณะของโจทย เหลานี้ไว

เทคนิคการคิดพีชคณิต

140

ตัวอยางที่ 2. จงหาคา m จากสมการ 4x2-mx+9 = 0 ซึ่งมีคําตอบเดียว จากที่โจทยระบุมาวาสมการมีคําตอบเดียวแสดงวา b2-4ac = 0 (-m)2-4(4)(9) = 0 m2-144 = 0 2 m = 144  m =  12 ตัวอยางที่ 3. จงหาคา k ซึ่งทําใหสมการ k2x2+2(k+1)x+4 = 0 มีคําตอบของ สมการเทากัน โจทยระบุวาคําตอบของสมการเทากันคือมีคาเดียวแสดงวา b2-4ac = 0 2 แทนคา a,b,c; 2(k  1)2 -4(k )4 = 0 (2k+2)2-16k2 = 0 4k2+8k+4-16k2 = 0 12k2-8k-4 = 0 3k2-2k-1 = 0 (3k+1)(k-1) = 0 



1 ,1 3

เทคนิคการคิดพีชคณิต

141

ตัวอยางที่ 4. จงหาคานอยที่สุดของ k จากสมการ x2-2x+5 = k เมื่อ x เปน จานวนจริง โจทยระบุวาคําตอบของสมการเปนจํานวนจริงแสดงวา b2-4ac  0 จากโจทย x2-2x+5 = k x2-2x+5-k = 0 แสดงวา a = 1, b = -2, c = 5-k แทนคา a,b,c;ในb2-4ac  0 (-2)2-4(1)(5-k)  0 4-20+4k  0 16 k  4

k  4  คาที่นอยที่สุดของ k ที่ทําให x เปนจํานวนจริงคือ 4 ตัวอยางที่ 5. จงหาคามากที่สุดของ k จากสมการ 7+10x-x2 = k เมื่อ x เปน จานวนจริง จากโจทย 7+10x-x2-k = 0 2 -x +10x+7-k = 0 โจทยระบุวาคําตอบของสมการเปนจํานวนจริงแสดงวา b2-4ac  0 แทนคา a,b,c; 102-4(-1)(7-k)  0

เทคนิคการคิดพีชคณิต

142

100+28-4k  0 -4k  -128 k  32  คาที่มากที่สุดของ k ที่ทําให x เปนจํานวนจริงคือ 32 .............................................

6.2 ผลบวกและผลคูณของคําตอบของสมการกําลังสอง จากสูตรหาคําตอบของสมการกําลังสอง สามารถนํามาวิเคราะห เกี่ยวกับคําตอบของสมการไดอีกลักษณะหนึ่งคือ การหาผลบวกและผล คูณของคําตอบของสมการกําลังสอง ซึ่งหลังจากที่เราสามารถหาผลลัพธ ทั้ ง สองนั้ น ในรู ป อย า งง า ยได แ ล วก็ นํา ไปใช เป น สู ต รในการคิ ด โจทย ที่ ตองการใหหาผลบวกหรือผลคูณของคําตอบของสมการกําลังสองโดยตรง ไดเลยโดยไมจําเปนตองไปหาคําตอบของสมการกอน 2 จากสูตรเมื่อ a x +bx+c = 0 =

 b  b 2  4ac 2a

ผลบวกของคําตอบ=

+b

b 2  4ac 2a

 b  b 2  4ac 2a  2b 2a b  a

ผลคูณของคําตอบ =

 b  b 2  4ac 2a

b

b 2  4ac 2a

จะได

เทคนิคการคิดพีชคณิต

143

= = =

b 2  (b 2  4ac) 4a 2 b 2  b 2  4ac) 4a 2 c a

สูตร จาก a x2+bx+c = 0 ; ถา  และ  เปนคําตอบของสมการ     

b a

c a

ตัวอยางที่ 6. จงหาผลบวกและผลคูณของคําตอบของสมการตอไปนี้ 1. 2x2-3x+1 = 0 2. 16x = 4x2+15 1. จาก 2x2-3x+1 = 0; a = 2, b = -3, c = 1  



2. จาก



c a

b a

3 2

= =

16x = 4x2+15 4x2-16x+15 = 0; a = 4, b = -16, c = 15  



3 2 1 2

b a



 16 4

c a

=4 15 4

เทคนิคการคิดพีชคณิต

144

ตัวอยางที่ 7. จงหาคา k เมื่อผลบวกของคําตอบของสมการ 3x2+k2x-5 = 0 มี คาเทากับ -3  



b a

-3



k2 k

= =

k2 3

3

ตัวอยางที่ 8. จงหาคา k เมื่อผลคูณของคําตอบของสมการ kx2-3x+k2-28 = 0 มีคาเทากับ 3 c =  3

k2-28 k2-3k-28 (k-7)(k+4) k

a k  28 k

= = = =

3k 0 0 7, -4

ตัวอยางที่ 9. จงหาคา k เมื่อคําตอบหนึ่งของสมการ 2x2+kx+x+16 = 0 เปน สองเทาของอีกคําตอบหนึ่ง

เทคนิคการคิดพีชคณิต

145

จากสมการ 2x2+kx+x+16 = 0 2x2+(k+1)x+16 = 0 แสดงวา a = 2, b = k+1, c = 16 ให m เปนคําตอบหนึ่ง  อีกคําตอบหนึ่งตองเปน 2m c = 

และจาก

m2m

m2 m

= =

 

m+2m

k+1 k แทนคา m; เมื่อ m = 2; k เมื่อ m = -2; k  k

= = = = =

a 16 2

4 2 b  a k 1  2

-6m -6m-1 -13 11 -13 และ 11

ตัวอยางที่ 10. จงหาคําตอบของสมการ x2-(4k+1)x+5k+8 = 0 โดยกําหนด ใหผลคูณของคําตอบเปนสองเทาของผลบวกของคําตอบ จาก x2-(4k+1)x+5k+8 = 0 แสดงวา a = 1, b = -(4k+1), c = 5k+8

เทคนิคการคิดพีชคณิต

146 

c a



5k+8

 



b a

= -[-(4k+1)] = 4k+1   จากที่โจทยกําหนดใหผลคูณของคําตอบเปนสองเทาของผลบวก ของคําตอบ = 2(    )   5k+8 = 2(4k+1) 5k+8 = 8k+2 3k = 6 k = 2 แทนคา k = 2 ในสมการ x2-(4k+1)x+5k+8 = 0 จะได x2-7x+18 = 0 (x-9)(x+2) = 0 x = 9, -2  

ตัวอยางที่ 11. ถา  และ  เปนคําตอบของสมการ x2-15x+c = 0 และ  :  = 2:3 จงหา c b a

 



 

15.......................(1)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

147

จากโจทยกําหนดให  



แทนคา  = 2



ในสมการ (1)

3 2  + 3 2    1 3 

 

แทนคา  กลับใน  =



15 3 = 9

2  3



2 9 3 c a

96 c

= =

c 54

 

จาก

2 3 2  3

..........................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

148

แบบฝกหัด เรื่องคาของ b2-4acในสมการกําลังสอง 1. ถาคําตอบของสมการ 3x2+kx+3 = 0 มีคาเทากัน จงหาคาของ k 1. 6 2. 6 3. 3 4. 9 2. ถาคําตอบของสมการ x2-(a-5)x+a2-5a+7 = 0 มีคาเทากัน จงหาผลบวก ของคําตอบของสมการ 1. -2,  14 2. -2, 14 3. 1,

3 7  3

4. -1,

3 7 3

3. คําตอบของสมการขอใดตอไปนี้ไมเปนจํานวนจริง 1. (x-1)2 = 0 2. (x-1)2 = 4 3. (x-1)2 = -4 4. (x-1)3 = -4 4. จงหาคานอยที่สุดของ k จากสมการ x2-2x-8 = k เมื่อ x เปนจํานวนจริง 1. -9 2. -1 3. 1 4. 9 5. จงพิจารณาลักษณะของคําตอบของสมการ 5x2-4x+3 = 0 1. เปนจํานวนจริง อตรรกยะ ไมเทากัน 2. เปนจํานวนจริง ตรรกยะ ไมเทากัน 3. เปนจํานวนไมจริง 4. เปนจํานวนจริง ตรรกยะ เทากัน

เทคนิคการคิดพีชคณิต

149

6. จงหาคามากที่สุดของ k จากสมการ 4x-3-x2 = k เมื่อ x เปนจํานวนจริง 1. -3 2. 1 3. 3 4. 4 7. กําหนด a,b เปนเลขเต็มบวก และสมการ x2+ax+b = 0 มีคําตอบที่เปน จํานวนจริงแลว คาของ a+b จะนอยที่สุดเทาที่จะเปนไปไดคือเทาไร 1. 6 2. 5 3. 4 4. 3 8. สมการในขอใดที่มีคําตอบไดเพียงคําตอบเดียว 1. x2-4 = 0 2. x2+2x+3 = 0 3. 4x2-4x+1 = 0 4. 9x2+6x-2 = 0 9. ถา 2x2-8x+11 = a(x-2)2+k จงหาคาของ k 1. -2 2. 0 3. 3 4. 5 10. จากสมการ 4x2+kx+5 = 0, k เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุดที่ทําให สมการมีรากเปนจํานวนจริง คา k ตรงกับขอใด 1. 7 2. 8 3. 9 4. 10 11. จงหาคา p จากสมการ x2-16x+1 = p(x2+1) ซึ่งมีรากสมการ 2 ราก เทากัน คา p เทากับขอใด 1. 1 , 3 2. -1 , -3 3. -7 , 9 4. 7 , -9

เทคนิคการคิดพีชคณิต

150

12. จงหาคา k ที่เปนบวกที่ทําให k(x2-10x-2)+(2x2+1) = 0 มีคําตอบของ สมการเทากัน 1. 1 2. 2 3

3. 3

9 9 2

....................................................................

เฉลยแบบฝกหัด เรื่องคาของ b2-4acในสมการกําลังสอง 1) 2 6) 2 11) 3

2) 1 7) 4 12) 2

3) 3 8) 3

4) 1 9) 3

...................................................................

5) 3 10) 3

เทคนิคการคิดพีชคณิต

151

เฉลยอยางละเอียด ขอ1. ถาคําตอบของสมการ 3x2+kx+3 = 0 มีคาเทากัน จงหาคาของ k 1. 6 2. 6 3. 3 4. 9 โจทยระบุวาคําตอบของสมการเทากันคือมีคาเดียวแสดงวา b2-4ac = 0 แทนคา a,b,c; k2-4(3)(3) = 0 2 k = 36 k = 6 |k| = |  6| = 6 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 2. ขอ2. ถาคําตอบของสมการ x2-(a-5)x+a2-5a+7 = 0 มีคาเทากัน จง หาผลบวกของคําตอบของสมการ 1. -2,  14 2. -2, 14 3. 1,

3 7  3

4. -1,

 คําตอบของสมการเทากัน

แทนคา a,b,c;

= (-a+5) -4(a -5a+7) = a2-10a+25-4a2+20a-28= 2

 b -4ac 2

3 7 3

0 0 0

เทคนิคการคิดพีชคณิต

152

3a2-10a+3 (3a-1)(a-3) a

= = =

0 0 1 ,3 3

แทนคา a = 1 , 3 ใน x2-(a-5)x+a2-5a+7 ไดพหุนามเปน 3

x2+ 14 x+ 49 และ x2+2x+1 3

จากผลบวกของคําตอบของสมการ =  ผลบวกของคําตอบของสมการ

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 1.

-b

a - 14 , -2 3

ขอ3. คําตอบของสมการขอใดตอไปนี้ไมเปนจํานวนจริง 1. (x-1)2 = 0 2. (x-1)2 = 4 3. (x-1)2 = -4 4. (x-1)3 = -4 ขอ1.(x-1)2 = 0  x2-2x+1 = 0; มีคา b2-4ac = 0 ขอ2.(x-1)2 = 4  x2-2x-3 = 0; มีคา b2-4ac > 0 ขอ3.(x-1)2 = -4  x2-2x+5 = 0; มีคา b2-4ac < 0 จากการพิจารณาคาของ b2-4ac ในสมการกําลังสองขางตนทั้ง 3 ขอ จะเห็นวาขอที่ 3. จะเปนขอที่มีคําตอบของสมการไมเปนจํานวนจริง หากใชความรูเรื่องจํานวนจริงก็สามารถพิจารณาไดวา(x-1)2  0 เทานั้น ซึ่งก็จะสรุปไดทันทีวาขอที่ 3 จะมีคําตอบไมเปนจํานวนจริง ดังนั้นขอที่มีคําตอบของสมการไมเปนจํานวนจริงคือ ขอที่ 3.

เทคนิคการคิดพีชคณิต

153

ขอ4. จงหาคานอยที่สุดของ k จากสมการ x2-2x-8 = k เมื่อ x เปน จํานวนจริง 1. -9 2. -1 3. 1 4. 9 จาก x2-2x-8 = k  x2-2x-8-k = 0 เมื่อ x เปนจํานวนจริง จะได b2-4ac  0 2 แทนคา a,b,c; (-2) -4(-8-k)  0 4+32+4k  0 4k  -36 k  -9  คานอยที่สุดของ k ที่ทําให x เปนจํานวนจริงคือ -9 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 1. ขอ5. จงพิจารณาลักษณะของคําตอบของสมการ 5x2-4x+3 = 0 1. เปนจํานวนจริง อตรรกยะ ไมเทากัน 2. เปนจํานวนจริง ตรรกยะ ไมเทากัน 3. เปนจํานวนไมจริง 4. เปนจํานวนจริง ตรรกยะ เทากัน พิจารณาคาของ b2-4ac ของสมการที่โจทยกําหนดไดคาของ b2-4ac < 0 แสดงวา คําตอบของสมการเปนจํานวนไมจริง ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 3.

154

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ6. จงหาคามากที่สุดของ k จากสมการ 4x-3-x2 = k เมื่อ x เปน จํานวนจริง 1. -3 2. 1 3. 3 4. 4 จาก 4x-3-x2 = k  -x2+4x-3-k = 0 2  x เปนจํานวนจริง  b -4ac  0 2 แทนคา a,b,c; (4) -4(-1)(-3-k)  0 16-12-4k  0 4k  4 k  1  คามากที่สุดของ k ที่ทําให x เปนจํานวนจริงคือ 1 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 2. ขอ7. กําหนด a,b เปนเลขเต็มบวก และสมการ x2+ax+b = 0 มีคําตอบ ที่เปน จํานวนจริงแลว คาของ a+b จะนอยที่สุดเทาที่จะเปนไปไดคือเทาไร 1. 6 2. 5 3. 4 4. 3 2  x เปนจํานวนจริง  b -4ac  0 แทนคา a,b,c; a2-4b  0 a2  4b......................(1)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

155

จากโจทยกําหนดให a,b เปนเลขเต็มบวก และตองการใหคา ของ a+b นอยที่สุดเทาที่จะเปนไปได แสดงวาตองมีจํานวนหนึ่งเปนเลข เต็มบวกที่นอยที่สุดคือ 1 และจากสมการ (1) a2  4b ; ถา a = 1,b  1 ซึ่งใชไมได 2

แสดงวา b = 1, a  4 จะไดคา a นอยที่สุดคือ 2  คาของa+b นอยที่สุดเทาที่จะเปนไปไดคือ 1+2 = 3 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 4. ขอ8. สมการในขอใดที่มีคําตอบไดเพียงคําตอบเดียว 1. x2-4 = 0 2. x2+2x+3 = 0 3. 4x2-4x+1 = 0 4. 9x2+6x-2 = 0 จากการแทนคา b2-4ac ในสมการทั้ง 4 ขอมีเพียงขอ 3 เทานั้นที่ ไดเทากับ 0 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 3. ขอ9. ถา 2x2-8x+11 = a(x-2)2+k จงหาคาของ k 1. -2 2. 0 3. 3 4. 5 จาก 2x2-8x+11 = a(x-2)2+k  2x2-8x+11-k = a(x-2)2 แสดงวาพหุนาม 2x2-8x+11-k เปนกําลังสองสมบูรณซึ่งจะมีคา b2-4ac = 0

เทคนิคการคิดพีชคณิต

156

แทนคา a ,b,c;

64-8(11-k) = 0 11-k = 8 k = 3 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 3. ขอ10. จากสมการ 4x2+kx+5 = 0, k เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุดที่ ทําใหสมการมีรากเปนจํานวนจริง คา k ตรงกับขอใด 1. 7 2. 8 3. 9 4. 10 สมการ 4x2+kx+5 = 0; เมื่อ x เปนจํานวนจริง  จะได b2-4ac 0 แทนคา a,b,c; k2-4(4)5  0 2 k  80 k  4 5 k   8.94  คา k ที่เปนจํานวนเต็มบวกที่นอยที่สุดคือ 9 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 3. ขอ11. จงหาคา p จากสมการ x2-16x+1 = p(x2+1) ซึ่งมีรากสมการ 2 รากเทากัน คา p เทากับขอใด 1. 1 , 3 2. -1 , -3 3. -7 , 9 4. 7 , -9

เทคนิคการคิดพีชคณิต

157

x2-16x+1 x2-16x+1-px2-p (1-p)x2-16k+(1-p) มีรากเทากันแสดงวา b2-4ac แทนคา a,b,c; (-16)2-4(1-p)(1-p) 256-4(1-2p+p2) 64-1+2p-p2 p2-2p-63 (p-9)(p+7) p ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 3. จาก

= = = = = = = = = =

p(x2+1) 0 0 0 0 0 0 0 0 9 , -7

ขอ12. จงหาคา k ที่เปนบวกที่ทําให k(x2-10x-2)+(2x2+1) = 0 มีคําตอบ ของสมการเทากัน 1. 1 2. 2 3

3. 3

9 9 2

k(x2-10x-2)+(2x2+1) = 0 kx2-10kx-2k+2x2+1 = 0 (k+2)x2-10kx-2k+1 = 0 โจทยกําหนดวามีคําตอบของสมการเทากันแสดงวา b2-4ac = 0 จาก

เทคนิคการคิดพีชคณิต

158

แทนคา

(-10k)2-4(k+2)(-2k+1) = 100k2+8k2+12k-8 = 27k2+3k-2 = (9k-2)(3k+1) = k =

โจทยใหหาคา k ที่เปนบวก ดังนั้นขอที่ถูกตองคือ ขอที่ 2.

0 0 0 0 2 1 , 9 3

....................................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

159

แบบฝกหัดเรื่อง ผลบวกและผลคูณของคําตอบของสมการกําลังสอง 1. ถา -2 และ 4 เปนคําตอบของสมการ x2+(a-5)x-b+1 = 0 แลวจงหาคา a และ b 1. a = -3, b = -9 2. a = 3, b = 9 3. a = -3, b = 9 4. a = 3 , b = -9 2. ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ 6x2-2x-8 = 0 จงหาคาของ a+b 1.  1 2. 1 3.

3 4  3

3 4 3

3. คําตอบของสมการ x2-2x-5 = 0 คือ p และ q จงหาคาของ pq 1. -2 2. 2 3. -5 4. 5 4. ถา  และ  เปนคําตอบของสมการ 2x2+2x-1 = 0 จงหาคาของ  2   2 1. 4 2. 3 3. 2 4. 1 5. ถา p  q แต p2+2p = 5 และ q2+2q = 5 จงหาคา p+q 1. -5 2. -2 3. 2 4. 5

เทคนิคการคิดพีชคณิต

160

6. กําหนดให 0 เปนคําตอบหนึง่ ของสมการ 8x2+6mx+m2-4m+3 = 0จงหาคา m 1. m = -1หรือ -3 2. m =1หรือ 3 3. m = -1หรือ 3 4. m = 1 หรือ -3 7. ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ 4x2+3x+2 = 0 จงหาคา a2+2ab+b2 1. 4 2. 9 3. 9 4. 4 16

8. ถา  และ  เปนรากของสมการ 2x +5x+4 = 0 จงหา( -2)(  -2) 1. -3 2. 3 3. 1 4. 11 9. ถาคําตอบของสมการ ax2+bx+c = 0 เปนสวนกลับซึ่งกันและกัน ขอใด ตอไปนี้ถูก 1. a = b 2. a = c 3. b = c 4. a = -c 2 10. ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ x -100x+2532 = 0 และ a และ c เปนคําตอบของสมการ x2+50x-1989 = 0 จงหาคาของ b-c 1. 150 2. -150 3. 50 4. -50 11. ถาคําตอบของสมการ x2-(a-5)x+a2-5a+7 = 0 มีคาเทากัน จงหาผลบวก ของคําตอบของสมการ 1. -2 ,  14 2. -2 , 14 3

3. 1 ,  7

4. -1 ,

3 7 3

เทคนิคการคิดพีชคณิต

161

12. ถา (b-c)x2+(c-a)x+(a-b) = 0 แลว x มีคาเทาใด ก. 1 ข. a  b ค. -1 1. ขอ ก. เทานั้น 3. ขอ ค. เทานั้น

bc

ง.

2. ขอ ก. และ ขอ ข. 4. ขอ ค. และ ขอ ง.

bc ab

13. 3+ 5 และ 3- 5 เปนคําตอบของสมการใด 1. x2+6x+4 = 0 2. x2-6x+4 = 0 3. x2+6x-4 = 0 4. x2-6x-4 = 0 14. ถา 1 ,3 เปนคําตอบของสมการ ax2-(a+7)x2+b-1 = 0 แลวจงหาคา a และ b 3

1. a = 3, b =

1 3

3. a = -3, b = -4

2. a = 3, b = 4 4. a = -3, b =



1 3

15. คําตอบของสมการ x2-3x-15 = 0 คือ p และ q จงหาคา (pq)2+6pq+9 1. -12 2. 12 3. -144 4. 144 16. ถา a, b เปนคําตอบของสมการ x2-( 3 3 )x = 6 3 9 จงหาคา a3+3a2b+3ab2+b3 1. -3 2. 3 3. -27 4. 27 17. ถา b และ 2b เปนคําตอบของสมการ x2-3x+a = 0 จงหาคา a 1. -2 2. 0 3. 2 4. 3

เทคนิคการคิดพีชคณิต

162

18. ถา  และ  เปนคําตอบของสมการ x2+px+p2 = 0 และ  จงหาคา  1. 4 2. 9 3. 16 4. 25

+

= 2p-6

19. กําหนดให 1 เปนคําตอบหนึ่งของสมการ a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b) = 0 จงหาอีกรากหนึ่งของสมการ 1. c(a  b) 2. b(c  a) 3.

a(b  c) a(b  c) c ( a  b)

a(b  c) c ( a  b) b( c  a )

20. p และ q เปนคําตอบของสมการ 3x2-4x-5 = 0 จงหาคา (p-q)2 1. 8 1 2. 8 4 3.

9 2 9 9

9 4 9 9

21. a และ b เปนคําตอบของสมการ (x2-11x-10)+k(x+2) = 0 โดยที่ a+b = ab จงหาคาของ k 1. -7 2. -5 3. 5 4. 7 22. 5 เปนคําตอบหนึ่งของสมการ

x 3 1   3 x p

จงหาคําตอบของสมการที่เหลือ

1.  3

2. 3

5 9  5

5 9 5

เทคนิคการคิดพีชคณิต

163

23. ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ x2-32x+48 = 0 และ a และ c เปน คําตอบของสมการ x2+43x+96 = 0 จงหาคา b c

1.  1

3. -2

4. 2

1 2

24. ถา  และ  เปนคําตอบของสมการ ax2+bx+c = 0 และ  ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. a+b = 0 2. b = 0 3. a = 0 4. a = c

+

25. ถา  และ  เปนคําตอบของสมการ x2-px+q = 0 จงหาคาของ  3   3 1. p(p2-3q) 2. q(q2-3p) 3. p(p2+3q) 4. q(q2+3) 26. ถา (b-c)x2+(c-a)x+(a-b) = 0 มีคําตอบของสมการเทากัน จงหาคาของ a ในพจน b และ c โดยที่ a,b,c เปนคาคงตัว 1. a = 2b-c 2. b = 2c-a 3. c = 2a-c 4. a = b  c 2

27. จากสมการ x( x  2a) = 1. 2a 3. 6a

8a 4  7a 2 2 x  2ax

ผลบวกรากสมการตรงกับขอใด

2. 4a 4. 8a

เทคนิคการคิดพีชคณิต

164

28. ให  และ  เปนรากของสมการ x2-3x+4 = 0 จงหาคาของ m จาก สมการ 14(  2   2 )m2+6(    )m+  = 0 1. -1, -2 2. 1, 2 3.  2 , -1 4. 2 , 1 7

29. กําหนด 5  3 และ 5  1. x2-10x+22 = 0 3. x2+16x+16 = 0

เปนรากสมการในขอใด 2. x2+10x-22 = 0 4. x2-16x-23 = 0

30. จงหาคา k จากสมการ 4x2+kx+12 = 0 ซึ่งมี a, b เปนรากสมการ และ a = 3 คา x ตรงกับขอใด 1. -12 3. 16, -16

2. 16 4. -12, 12

31. ถาสมการ x2+(k+4)x+k2-4 = 0 มีผลบวกของคารากเทากับ 6 แลว ผลคูณของ คารากจะมากกวาผลบวกของคารากเทากับเทาใด 1. 50 2. 76 3. 90 4. 96 .............................................................

เทคนิคการคิดพีชคณิต

165

เฉลยแบบฝกหัดเรื่อง ผลบวกและผลคูณของคําตอบของสมการกําลังสอง 1) 2 6) 2 11) 1 16) 2 21) 4 26) 1 31) 3

2) 2 7) 3 12) 2 17) 3 22) 4 27) 1

3) 3 8) 4 13) 2 18) 1 23) 2 28) 3

4) 3 9) 2 14) 2 19) 1 24) 2 29) 1

5) 2 10) 1 15) 4 20) 2 25) 1 30) 3

.........................................................

เฉลยอยางละเอียด

ขอ1. ถา -2 และ 4 เปนคําตอบของสมการ x2+(a-5)x-b+1 = 0 แลวจง หาคา a และ b 1. a = -3, b = -9 2. a = 3, b = 9 3. a = -3, b = 9 4. a = 3 , b = -9 = -2+4 = 2   

b a

= -a+5

= 2

= 3

เทคนิคการคิดพีชคณิต

166 

c

= -2(4) = -b+1

= -8 = -8

= 9

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 2. ขอ2. ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ 6x2-2x-8 = 0 จงหาคาของ a+b 1.  1 2. 1 3.

3 4  3

4.  

a+b

b a 2  6

3 4 3



1 3

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 2. ขอ3. คําตอบของสมการ x2-2x-5 = 0 คือ p และ q จงหาคาของ 1. -2 2. 2 3. -5 4. 5 = c  a

pq = -5 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 3.

เทคนิคการคิดพีชคณิต

ขอ4. ถา  และ

ของ  2   2 1. 4 3. 2

167



เปนคําตอบของสมการ 2x2+2x-1 = 0 จงหาคา 2. 3 4. 1

 



สมการ(1)ยกกําลังสอง   2   แทนคา  =  1 ;  2   2 -1 2



b a

c a

2 2

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 3.

-1...................(1) 

= =

1 ..................(2) 2

1 1

ขอ5. ถา p  q แต p2+2p = 5 และ q2+2q = 5 จงหาคา p+q 1. -5 2. -2 3. 2 4. 5 จากสมการ p2+2p = 5 และ q2+2q = 5 เปนสมการกําลังสอง เดียวกันจะไดคาของ p และ q ตัวละ 2 คาและตรงกัน แตโจทยกําหนดวา p  q แสดงวา p และ q เปนคําตอบคนละตัวที่มีคาไมซ้ํากัน ดังนั้น

p+q

=  

p+q = -2 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 2.



b a

เทคนิคการคิดพีชคณิต

168

ขอ6. กําหนดให 0 เปนคําตอบหนึ่งของสมการ 8x2+6mx+m2-4m+3 = 0 จงหาคา m 1. m = -1หรือ -3 3. m = -1หรือ 3

2. m =1หรือ 3 4. m = 1 หรือ -3

 





b a

c a

6m ..................(1) 8 m 2  4m  3 8



จากโจทยกําหนดให 0 เปนคําตอบหนึ่งของสมการ ดังนั้น m2-4m+3 = 0 (m-3)(m-1) = 0 m = 3 ,1 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 2.

a2+2ab+b2

ขอ7. ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ 4x2+3x+2 = 0 จงหาคา 1. 4 3. 9

2. 9 4. 4

a+b (1)ยกกําลังสอง;

a2+2ab+b2 =

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 3.



3 .........................(1) 4 9 16

เทคนิคการคิดพีชคณิต

169

ขอ8. ถา  และ  เปนรากของสมการ 2x2+5x+4 = 0 จงหา( -2)(  -2) 1. -3 2. 3 3. 1 4. 11 จาก (  -2)(  -2) =  - 2 - 2 +4 =  -2(    )+4 = b = 5   

c a

= 2

แทนคา    และ  ใน  -2(    )+4  (  -2)(  -2) = 2-2   5  +4 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 4.

 2

ขอ9. ถาคําตอบของสมการ ax2+bx+c = 0 เปนสวนกลับซึ่งกันและกัน ขอใดตอไปนี้ถูก 1. a = b 2. a = c 3. b = c 4. a = -c จากที่โจทยระบุวาคําตอบของสมการเปนสวนกลับซึ่งกันและ กันแสดงวาจะมีผลคูณของคําตอบเปน 1นั่นเอง = c = 1  a

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 2.

c = a

เทคนิคการคิดพีชคณิต

170

ขอ10. ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ x2-100x+2532 = 0 และ a และ c เปนคําตอบของสมการ x2+50x-1989 = 0 จงหาคาของ b-c 1. 150 2. -150 3. 50 4. -50 จากสมการที่ 1 a+b = 100 ......................(3) จากสมการที่ 1 a+c = -50 ......................(4) (3)-(4) b-c = 150 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 1. ขอ11. ถาคําตอบของสมการ x2-(a-5)x+a2-5a+7 = 0 มีคาเทากัน จงหา ผลบวกของคําตอบของสมการ 1. -2 ,  14 2. -2 , 14 3

3. 1 ,  7

4. -1 ,

โจทยกําหนดใหสมการมีคําตอบเทากัน b2-4ac แทนคา (5-a)2-4(a2-5a+7) 25-10a+a2-4a2+20a-28 3a2-10a+3 (3a-1)(a-3) a

3 7 3

แสดงวาคาของ =0 =0 =0 =0 =0 = 1,3 3

เทคนิคการคิดพีชคณิต

171

แทนคา a เฉพาะสัมประสิทธิ์ของพจน x2 และ xในสมการเพราะ โจทยถามผลบวกของคําตอบ ไดสมการเปน x2+ 14 ...... และ x2+2......... 3

จาก

 

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 1.



b a

=  14 , -2

ขอ12. ถา (b-c)x2+(c-a)x+(a-b) = 0 แลว x มีคาเทาใด ก. 1 ข. a  b ค. -1 ง. bc

bc ab

1. ขอ ก. เทานั้น 2. ขอ ก. และ ขอ ข. 3. ขอ ค. เทานั้น 4. ขอ ค. และ ขอ ง. จากสมการถาแทนคา x ดวย 1 จะทําใหสมการเปนจริง แสดงวา 1 เปนคําตอบหนึ่งของสมการ และจาก = c = ab   

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 2.

a ab bc

ขอ13. 3+ 5 และ 3- 5 เปนคําตอบของสมการใด 1. x2+6x+4 = 0 2. x2-6x+4 = 0 3. x2+6x-4 = 0 4. x2-6x-4 = 0

bc

เทคนิคการคิดพีชคณิต

172

จากโจทย

 

(3+

b a

= =

(3+ 4



จากโจทย



c a

จากตัวเลือกสมการขอที่มีคาของ  b = 6 และ ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 2.

5 )+(3- 5 )

5 ) (3- 5 )

= 4 คือขอที่ 2

c a

ขอ14. ถา 1 ,3 เปนคําตอบของสมการ ax2-(a+7)x2+b-1 = 0 แลวจง 3

หาคา a และ b 1. a = 3, b = 1

2. a = 3, b = 4

3. a = -3, b = -4

4. a = -3, b =

จากโจทย

 

b a



3a+21 a 

1 +3 3 a7 a



1 3

= =

= 10a = 3 = 1 3 = 3 b 1 a

c a

b-1

= a

10 3 10 3

1 1

เทคนิคการคิดพีชคณิต

173

= 3+1

a=3,b=4

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 2. ขอ15. คําตอบของสมการ x2-3x-15 = 0 คือ p และ q จงหาคา (pq)2+6pq+9 1. -12 2. 12 3. -144 4. 144 ผลคูณของคําตอบของสมการคือ pq = c = -15 a

(pq) +6pq+9 = (-15)2+6(-15)+9 = 225-90+9 = 144 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 4. โจทยถามคาของ

ขอ16. ถา a, b เปนคําตอบของสมการ x2-( 3 3 )x = 6 3 9 จงหาคา a3+3a2b+3ab2+b3 1. -3 2. 3 3. -27 4. 27 จัดสมการใหมจาก x2-( 3 3 )x = 63 9 ได เปน x2-( 3 3 )x-6 3 9 = 0 ผลบวกของคําตอบของสมการคือ a+b = 3 3

174

เทคนิคการคิดพีชคณิต

โจทยถามคาของ a3+3a2b+3ab2+b3 = (a+b)3 แทนคา a+b = 3 3 จะได a3+3a2b+3ab2+b3 = ( 3 3 )3 = 3 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 2. ขอ17. ถา b และ 2b เปนคําตอบของสมการ x2-3x+a = 0 จงหาคา a 1. -2 2. 0 3. 2 4. 3 เพราะวา b และ 2b เปนคําตอบของสมการ จะได b+2b = -(-3) = 3 b = 1 และ b(2b) = a 2 2b = a  a = 2 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 3.



ขอ18. ถา  และ  เปนคําตอบของสมการ x2+px+p2 = 0 และ +  = 2p-6 จงหาคา  1. 4 2. 9 3. 16 4. 25 จากสมการจะได    = -p แตโจทยกําหนดให = 2p-6

เทคนิคการคิดพีชคณิต

แสดงวา

175

2p-6 p

= -p = 2 = p2

จากสมการ  ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 1.

= 4

ขอ19. กําหนดให 1 เปนคําตอบหนึ่งของสมการ a(b-c)x2+b(c-a)x+ c(a-b) = 0 จงหาอีกรากหนึ่งของสมการ 1. c(a  b) 2. b(c  a) 3.

a(b  c) a(b  c) c ( a  b)

จากโจทย

4. 

a(b  c) c ( a  b) b( c  a ) = c ( a  b) a(b  c)

โจทยกําหนดให 1 เปนคําตอบหนึ่งของสมการ ให  = 1 =



c ( a  b) a(b  c)

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 1. ขอ20. p และ q เปนคําตอบของสมการ 3x2-4x-5 = 0 จงหาคา (p-q)2 1. 8 1 2. 8 4 3.

9 2 9 9

จากโจทย

4. p+q

9 4 9 9

4 .............................(1) 3

เทคนิคการคิดพีชคณิต

176

โจทยใหหาคาของ(p-q)2 (1) ยกกําลังสอง; p2+2pq+q2

(2) คูณดวย 4;

4pq

(3) - (4);

p2-2pq+q2



5 ..........................(2) 3

= p2-2pq+q2

16 ............................(3) 9 20 ........................(4)  3 16 20  9 3 76 = 84 9 9

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 2. ขอ21. a และ b เปนคําตอบของสมการ (x2-11x-10)+k(x+2) = 0 โดยที่ a+b = ab จงหาคาของ k 1. -7 2. -5 3. 5 4. 7 จากสมการ (x2-11x-10)+k(x+2) = 0 x2+kx -11x+2k-10 = 0 x2+(k-11)x+(2k-10) = 0 จากสมการ a+b = -k+11 ab = 2k-10 โจทยกําหนดให a+b = ab -k+11 = 2k-10  k = 7 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 4.

เทคนิคการคิดพีชคณิต

177

ขอ22. 5 เป นคํ าตอบหนึ่ งของสมการ สมการที่เหลือ 1.  3 3.

จงหาคํ าตอบของ

2. 3

5 9  5

จากสมการ

x 3 1   3 x p

5 9 5

x 3  3 x x2  9 3x

px2+9p px2-3x+9p

= 3x = 0 = 9p

1 p 1 p



= 9

โจทยกําหนดให 5 เปนคําตอบหนึ่งของสมการ ให  = 5 = 9  5

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 4.

ขอ23. ถา a และ b เปนคําตอบของสมการ x2-32x+48 = 0 และ a และ c เปนคําตอบของสมการ x2+43x+96 = 0 จงหาคา b c

1  2

3. -2

1 2

4. 2

เทคนิคการคิดพีชคณิต

178

จากสมการที่ 1 ab จากสมการที่ 2 ac b (3)  (4)

= 48.............................(3) = 96.............................(4) = 1

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 2.

ขอ24. ถา  และ  เปนคําตอบของสมการ ax2+bx+c = 0 และ  ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. a+b = 0 2. b = 0 3. a = 0 4. a = c จาก ax2+bx+c = 0;  โจทยกําหนดให ดังนั้น

+

 + 

b a

b ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 2. 



= 0 = 0

+

b a

= 0

ขอ25. ถา  และ  เปนคําตอบของสมการ x2-px+q = 0 จงหาคาของ 3  3

1. p(p2-3q) 3. p(p2+3q)

2. q(q2-3p) 4. q(q2+3)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

จากสมการ

179  + 

(1)ยกกําลังสาม ( 

+

 3  3 2   3 2   3

 3   3  3 (   ) 3  3

แทนคา

 

= p และ



3  3

= = = = = =

p................................(1) q................................(2) p3 p3 p3 p3- 3 (   )

= p3-3pq = p(p2-3q)

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 1. ขอ26. ถา (b-c)x2+(c-a)x+(a-b) = 0 มีคําตอบของสมการเทากัน จงหา คาของ a ในพจน b และ c โดยที่ a,b,c เปนคาคงตัว 1. a = 2b-c 2. b = 2c-a 3. c = 2a-c 4. a = b  c 2

จากสมการเมื่อแทนคา x ดวย 1 จะทําใหสมการเปนจริง แสดง วา 1 เปนคําตอบของสมการซึ่งมีคาเทากันทั้ง 2 คําตอบ จากสมการ = ab   ดังนั้น

ab bc

a-b a ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 1.

bc

= 1 = b-c = 2b-c

เทคนิคการคิดพีชคณิต

180

ขอ27. จากสมการ

x( x  2a ) =

8a 4  7a 2 2 x  2ax

ผลบวกรากสมการ

ตรงกับขอใด 1. 2a 2. 4a 3. 6a 4. 8a แทนคา x(x-2a) ดวย M ในสมการที่โจทยกําหนดมาจะไดเปน M

M2 = M2-7a2M-8a4 = (M-8a2)(M+a2) = M = แสดงวา x(x-2a) = x2-2ax-8a2, x2-2ax+a2 = =   ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 1.

8a 4  7a 2 M

8a4+7a2M 0 0 8a2 ,-a2 8a2,-a2 0 2a

ขอ28. ให  และ  เปนรากของสมการ x2-3x+4 = 0 จงหาคาของ m จากสมการ 14(  2   2 )m2+6(    )m+  = 0 1. -1, -2 2. 1, 2 3.  2 , -1 4. 2 , 1 7

จากสมการจะได

 

= 3...............................(1)

เทคนิคการคิดพีชคณิต

181

= = = =

4 (1) ยกกําลังสอง   2   9 แทนคา  = 4;   8   9 1   แทนคา    = 3 ,  = 4 ,    = 1 ใน 14(  2   2 )m2+6(    )m+  = 0 14m2+18m+4 = 0 (7m+2)(2m+2) = 0 m =  2 , -1  2

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 3. ขอ29. กําหนด 5  3 และ 5  1. x2-10x+22 = 0 3. x2+16x+16 = 0 จากโจทย   

จากโจทย

เปนรากสมการในขอใด 2. x2+10x-22 = 0 4. x2-16x-23 = 0 = (5+ 3 )+(5-

b a



c a

= =

(5+ 22

3 ) (5- 3 )

จากตัวเลือกสมการขอที่มีคาของ  b = 10 และ c = 22 คือขอที่ 2 ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 1.

เทคนิคการคิดพีชคณิต

182

a b

ขอ30. จงหาคา k จากสมการ 4x2+kx+12 = 0 ซึ่งมี a, b เปนรากสมการ และ = 3 คา x ตรงกับขอใด 1. -12 3. 16, -16 จากสมการในโจทย แตโจทยกําหนด

2. 16 4. -12, 12 ab = 3..............................(1) a = 3 b

แทนคา a = 3b ใน (1) ; แทนคา b =  1 ใน (2) ; ดังนั้น แตจากสมการในโจทย 

ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 3.

a 3b2 b a a+b a+b

= = = = = =

3b...........................(2) 3 1 3 4 ,-4

k 4

4 ,-4

16 -16



k 4

ขอ31. ถาสมการ x2+(k+4)x+k2-4 = 0 มีผลบวกของคารากเทากับ 6 แลวผลคูณของ คารากจะมากกวาผลบวกของคารากเทากับเทาใด 1. 50 2. 76 3. 90 4. 96

เทคนิคการคิดพีชคณิต

จากโจทยกําหนด    k จากสมการ 

= = = =    -(    ) = ดังนั้นขอที่ถูกตองคือขอ 3.

183

-k-4 = 6 -10 k2-4 100-4 = 96 96 - 6 = 90