Mécanique des structures et solides III
8. 8. Torsion Torsion uniforme uniforme
1
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Mécanique des structures et solides III TORSION pure en mécanique des structures
2
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Mécanique des structures et solides III TORSION pure en mécanique des structures On recherche : Seul et constant
T x
τxy
dA
τxz z
τ
y
a) STATIQUE Diagramme des contraintes tangentielles soit : τ xy ,τ xz ,τ (max?) b) CINÉMATIQUE L’angle de torsion par unité de longueur dθ x soit : χ ⇒ χ = (Khi)
dx
c) LOI CONSTITUTIVE Une relation de type Hooke G : module de glissement (N/cm2) soit : T = GJ χ
J : constante de torsion (cm4)
3
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Mécanique des structures et solides III TORSION pure en mécanique des structures Poutre à section lentement variable et/ou T(x) est variable :
dθ x χ= dx
et
T = GJ χ
Tdx dθ x = χ dx = ⇒ GJ L L Tdx θ x = ∫0 χ dx = ∫0 GJ 4
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Poutre prismatique de longueur L :
TL θx = χ L = GJ
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Mécanique des structures et solides III TORSION pure en mécanique des structures Analogies ! Loi constitutive (Hooke)
Cinématique
Déplacements
Contraintes-déformations
Traction-compression
N = EAε
5
M = EI
Torsion
1 r
T = GJ χ
N du = dx EA
1 dθ = r dx M dθ = dx EI
σ ,ε
σ ,ε
τ ,γ
EA
EI
GJ
N ,ε , u
M ,ψ ,θ
T , χ ,θ x
ε=
Constantes
Structure comparable
Flexion
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du dx
ψ =
χ= dθ x =
dθ x dx
T dx GJ
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Mécanique des structures et solides III TORSION (poutre à section circulaire "arbres") Hypothèse cinématique :
symétrie de révolution et conservation des sections planes (loi de Bernoulli) Les sections planes tournent rigidement
(Г)
ds
dx α
(Г´)
Génératrice ( Г ) → hélice ( Г’ ) , longueur de l’axe inchangée comme en flexion car :
α → petit → cos α = 1 − α 2 / 2 + ... ≅ 1 ⇒ ds ≅ dx ⇒ ε = 0 6
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Le rectangle abcd devient un parallélogramme abc’d’ Seuls les angles droits varient → glissement seul → cisaillement pur ! dθ x
rdθ x = γ dx ⇒ γ = r
dx
= rχ
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Mécanique des structures et solides III TORSION (poutre à section circulaire "arbres") Hypothèse loi constitutive :
le matériau obéit à la loi de Hooke
τ = Gγ ⇒ τ = G χ r
τ
en distribution linéaire selon le rayon
Cisaillement pur 7
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Mécanique des structures et solides III TORSION (poutre à section circulaire "arbres") Equations statiques : le principe d’équivalence (efforts intérieurs-contraintes)
T = ∫A rτ dA ⇒ T = ∫A r G χ r dA = G χ ∫A r 2 dA = G χ I p avec pour une section circulaire : I p = π R 4 / 2 seul cas !
χ=
8
T G Ip
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et τ =
T r avec τ max pour r = R Ip
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Mécanique des structures et solides III TORSION (poutre à section circulaire "arbres") Généralisation : Couronne ou section circulaire creuse
Ip =
π 2
(a − b ) 4
4
On retrouve les résultats selon St-Venant : sections planes contraintes linéaires constante de torsion J ≡ Ip inertie polaire
τ
En effet, on se souvient que :
T = GJ χ 9
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Mécanique des structures et solides III Essai de résistance à la TORSION Conditions :
Éprouvette cylindrique et calcul de "G " module de glissement ou dit de Coulomb
1. Matériaux ductiles (métaux)
τ τe
T L θx Ip
où θ x est l' angle de torsion t otal E (G = ⇒ calcul de υ ) 2 (1 + υ )
γ
G
Selon le critère de plastification de von Mises, on a :
τe ≅ σe / 3 10
G=
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τ ≤ τ adm = σ adm / 3 3 τ d ≤ σ dim ( = σ e ou bien σ 0,2 . . .) Laboratoire de simulation en mécanique des solides - LSMS
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Mécanique des structures et solides III Essai de résistance à la TORSION Conditions :
Éprouvette cylindrique et calcul de "G " module de glissement ou dit de Coulomb
G=
T L θx Ip
2. Matériaux raides (roches, béton, …) Selon le critère de type courbe intrinsèque (géotechnique), on a :
τ ≤ τ adm = τ u / γ τd ≤ τu ! 11
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γ est le coefficient de sécurité
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Mécanique des structures et solides III Essai de résistance à la TORSION Conditions :
Éprouvette cylindrique et calcul de "G " module de glissement ou dit de Coulomb
G=
T L θx Ip
3. Matériaux fibreux (bois)
τ sur la section et τ longitudinaux entre les fibres
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Mécanique des structures et solides III !!! Différence essentielle pour le fonctionnement torsionnel parois minces
TORSION : types de section droite
Sections massives
Sections fermées
Torsion uniforme domine (même si gauchissement empêché)
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à
ouvertes
Torsion non uniforme domine (si gauchissement empêché)
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections massives Sans solution analytique mais via l’analogie hydrodynamique, St-Venant a noté que pour une poutre à section elliptique :
T = JGχ = πa b 3
3
πa b 3
3
a +b 2
A
4
2
Gχ
(vol. 3, sect. 6.6)
4
A J= 2 = ≅ 2 2 a +b 4 π I p 40 I p A = π ab est l'aire et
14
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(a 2 + b2 ) Ip = A/ 4
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections massives Pour une section rectangulaire (b ≥ c) :
τ max = τ A = τB =
T
α b c2
T
β b c2
J = γ b c3 ( α, β et γ dans table via des développements en série )
15
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections massives Pour une section rectangulaire (b ≥ c) Analogie d’un écoulement hydrodynamique (Kelvin et Greenhill):
16
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections ouvertes à parois minces Considérons une section rectangulaire (b>>t, b ≥ 10 t)
Analogie de la membrane : surface cylindrique (sauf aux extrémités, effets négligés)
T
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en section transversale, cela correspond à l’équilibre d’un câble sous charge uniforme (comportement parabolique)
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections ouvertes à parois minces Considérons une section rectangulaire (b>>t, b ≥ 10 t) Lignes de cisaillement
T
1) p t2 p t2 t2 t2 a= = = 2G χ ⇒ la fct contrainte Φmax = G χ h 8 8h 8 4 (vol. 3, sect. 6.4)
18
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections ouvertes à parois minces Considérons une section rectangulaire (b>>t, b ≥ 10 t)
Φmax
T 2) On fait l’hypothèse (membrane
cylindrique) et que le moment de torsion T vaut le double du volume :
19
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t2 =Gχ 4
2 4 4 t2 T = 2 tΦmax b = tΦmax b ⇒ T = t G χ b 3 3 3 4
1 T = G χ J avec J = bt 3 3 Laboratoire de simulation en mécanique des solides - LSMS
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections ouvertes à parois minces Considérons une section rectangulaire (b>>t, b ≥ 10 t)
T 3) On a une pente maximale sur les bords, lieu des contraintes maximales :
τ max
2Φmax 4Φmax = = =Gχt t/2 t
τ max =
T T t sachant que G χ = J J
(répartition linéaire des contraintes tangentielles) 20
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections ouvertes à parois minces Comparaison section massive – section ouverte mince :
Section massive
T τ max = τ A = α b c2 T τB = β b c2 3 = γ J bc
Section ouverte mince
τ max =
T T t sachant que G χ = J J
1 3 χ = = T G J avec J bt 3
avec b/c >> 10 (∞) , γ =1/3 21
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections ouvertes à parois minces Sections ouvertes à parois minces quelconques :
Concentrations de contraintes
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections fermées à parois minces Différence fondamentale de comportement :
Section ouverte
Beaucoup plus résistante à la torsion
Section fermée
T
J fermée >> J ouverte 23
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections fermées à parois minces Section unicellulaire de forme quelconque : Si t petite (courbure ~ nulle) vis-à-vis des dimensions de la section
τ = constante sur t Résoudre avec l’analogie de la membrane (avec a constant et membrane peu bombée)
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections fermées à parois minces Section fermée à une cellule :
τ constant
Si on considère l’équilibre de la membrane :
v a = h t
Si s est l’abscisse curviligne le long de la ligne moyenne :
ah ds p Ω = v∫ v ds = v∫ ds = a h v∫ t t Ainsi, la flèche a vaut :
(membrane selon la ligne moyenne)
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pΩ a= =Φ ds h v∫ t
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections fermées à parois minces Section fermée à une cellule :
τ constant
pΩ a= =Φ ds h v∫ t p membrane ⇒ − ⇔ − 2G χ ⇐ torsion h
2G χ Ω Φ= ds v∫ t Ainsi, la moment de torsion T vaut :
4Ω 2 T = 2ΩΦ = G χ ds (surface cylindrique) v∫ t 26
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections fermées à parois minces Section fermée à une cellule : Ainsi, la constante de torsion J vaut : 2
4Ω J= selon Bredt (1876) ds v∫ t
τ constant
La pente donne la contrainte tangentielle:
τ =
Φ t
et
τ =
T 2Ω t
(τ max pour tmin )
Le flux de cisaillement est la résultante des contraintes tangentielles, noté f :
T Φ = f =τ t = = constante (N/m) 2Ω 27
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections fermées à parois minces Application au cas du TUBE d’épaisseur t << au Rayon R : Ainsi, la constante de torsion J vaut : 2
t
R
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4Ω J= selon Bredt (1876) ds v∫ t t 2 2 4(π ( R + ) ) t 3 2 = 2π t ( R + ) ≈ 2π t R3 J= 2π t 2 (R + ) 2 t Laboratoire de simulation en mécanique des solides - LSMS
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections - synthèse
En torsion ne jamais oublier l’importance de la forme de la section !
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⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ τ =⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
T r Ip T t J T 2Ω t
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Mécanique des structures et solides III TORSION : Plusieurs cellules adjacentes Problème hyperstatique de d° (n-1), n étant le nombre de cellules
Bonne approximation : en calculant avec la plus grande des cellules et en négligeant les parois internes Les flux de cisaillement concourants sont en équilibre :
∑f
noeud
=0
(analogie hydrodynamique) 30
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections fermées Entretoisement, pourquoi? :
On veut conserver la forme de la section (théorie de St-Venant, section tourne en bloc!)
Entretoises ou diaphragmes
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections fermées Exemples d’entretoisement ou de raidissement
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections composées En torsion, différentes formules : section droite, type massif
Système d’entretoises ou de diaphragmes
section droite, type ouvert section droite, type fermé
Nouvelles formules si composition
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections composées de type quelconque Hyperstaticité de d°1
a) Équilibre statique :
T = T1 + T2 b) Cinématique (rotation en bloc) :
χ = χ1 = χ 2 c) Loi constitutive (Hooke) :
T = GJ χ
34
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T1 = GJ1 χ1
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T2 = GJ 2 χ 2
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Mécanique des structures et solides III TORSION : sections composées de type quelconque Hyperstaticité de d°1
T = T1 + T2
et
χ = χ1 = χ 2
T = GJ χ = GJ1 χ1 + GJ 2 χ 2 = GJ1 χ + GJ 2 χ J = J1 + J 2 de même,
T1 T2 T = = GJ GJ1 GJ 2 J1 T1 = T J 35
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J2 T2 = T J
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Mécanique des structures et solides III TORSION : section ouverte en multi rectangles
J = J1 + J 2 =
∑J i
i
Ji Ti = T J
τ max i 36
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Ti T = ti = ti Ji J
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Mécanique des structures et solides III TORSION : section fermée à paroi d’épaisseur modérée
On est dans une situation de superposition : Section fermée plan (§ 8.7.2)
37
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+
section rectangulaire mince (§ 8.6.1)
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Mécanique des structures et solides III TORSION : section fermée à paroi d’épaisseur modérée
4Ω J= ds v∫ t 2
38
J
=
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Jf
+
Jo
1 J = bt 3 3
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Mécanique des structures et solides III TORSION : section fermée à paroi d’épaisseur modérée Application à une section de pont en caisson creux
1 3 b t ∑ i i 3 i
J = J f + Jo 39
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4Ω 2 J= ds v∫ t
1 3 b t ∑ i i 3 i
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Mécanique des structures et solides III TORSION : section fermée à paroi d’épaisseur modérée 1) Calcul sans tenir compte de l’épaisseur des parois (t concentrée à la ligne moyenne)
acceptable si t mince
~ exact
sinon approximation !!!
contraintes plus précises, surtout dans paroi d’épaisseur modérée
calcul simplifié
40
2) Calcul en tenant compte de l’épaisseur des parois (section composée)
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Mécanique des structures et solides III TORSION : Poutre composée de deux matériaux
γa = γb m=
Ga Gb
X
X
coefficient d'équivalence
T = Ta + Tb Section ouverte
Section fermée
GJ = Ga J a + Gb J b = Ga ( J a + 1 J = J a + Jb ~a m T τ max a = ta J ~a
41
1 J b ) = Ga J ~a m
Le flux = f = τ a ta = τ b tb J =
τ max b
T = tb mJ ~a
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~a
4Ω 2 ds ds + m v∫ t v∫ t s a s b a
b
τ=
(formule 8.21)
T 2Ω t
t : épaisseur à l’endroit où l’on veut τ .
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Mécanique des structures et solides III Exemple de rupture d’ouvrage
Pont de Tocama (USA, 1940)
Novembre 1940
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Mécanique des structures et solides III Exemple de rupture d’ouvrage
Nouveau pont de Tocama (USA, 1950)
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