Este trabajo est´ a licensiado bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0. ´ MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACION Y ´ CURVATURA DE FLEXION EN POLARES ´ C. LOPEZ CAMEY
1. Movimiento en el espacio: Velocidad y aceleraci´ on 1.1. Deducci´ on de ~v (t) y ~a(t) en el espacio. En esta secci´ on se muestra de que manera se pueden usar vectores tangentes y normales y la curvatura en la f´ısica para estudiar el movimiento de un objeto, incluyendo su velocidad y su aceleraci´ on. Suponiendo que una part´ıcula en el espacio se desplaza de modo que su posici´on en el tiempo t est´ a dado por el la trayectoria que forma la curva ~r(t) ~ Si consideramos dos puntos P~ = r(t) y Q=r(t+h), para peque˜ nos valores de h podemos −→ afirmar que la siguiente ecuacion es la ecuacion del vector PQ que se aproxima mucho a definir la direcci´ on de la particula que se mueve en la trayectoria de ~r(t). ~r(t + h) − ~r(t) h Este vector da la velocidad promedio sobre un intervalo de longitud h. Si aplicamos limh→0 , tendremos el vector de velocidad ~v (t) para ´esta part´ıcula. (1.1)
(1.2)
~r(t + h) − ~r(t) = ~r 0 (t) h→0 h
~v (t) = lim
~ N´otese que ´este tambi´en es el vector tangente de la curva ~r(t) y su magnitud |r(t)| equivale a la r´ apidez promedio de la part´ıcula en el tiempo t. Podemos ahora calcular la aceleraci´ on de la part´ıcula ~a(t) sabiendo que ´esta se define como la derivada de la velocidad. (1.3)
~a(t) = ~v 0 (t) = ~r 00 (t)
Carlos Eduardo L´ opez Camey, Carn´e #08107, Universidad del Valle de Guatemala, http://kmels.net. 1
´ C. LOPEZ CAMEY
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1.2. Componentes Tangencial y Normal de la Aceleraci´ on. Con frecuencia se estudia la aceleraci´ om en funci´on de sus componentes tangencial y normal. El vector tangente unitario se calcula: 1 (1.4)
~r 0 (t) ~v (t) v T~ (t) = 0 = = =⇒ ν T~ (t) |~r (t)| |~v (t)| ν
Si se deriva ambos lados de la ecuaci´on (1.5)
a = v = ν 0 T~ + ν T~ 0
Usando la ecuaci´ on de la curvatura2 |T~ | |T~ | = =⇒ |T~ | = κν (1.6) κ= |~r| ν Sabiendo que el vector normal unitario se calcula ~0 ~ = T =⇒ T~ 0 = |T~ 0 |N ~ = κν N ~ (1.7) N |T~ 0 | Ahora podemos escribir una ecuaci´on para el vector aceleraci´on ~a del objeto en funci´ on de los vectores tangencial y normal de su trayectoria. ~ = aT T~ + aN N ~ (1.8) ~a = ν 0 T~ + κν 2 N Este material ayudo al matem´atico y astr´onomo Johannes Kepler (1571-1630) a formular las tres leyes siguientes: 3 (1) Un planeta gira alrededor del Sol siguiendo una ´orbita el´ıptica, uno de cuyos focos es el Sol. (2) La recta que une al Sol con un planeta, barre ´areas iguales en tiempos iguales. (3) El cuadrado del periodo de revoluci´on de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del eje mayor de su ´orbita. 2. Deducci´ on de K(θ) La curvatura de la curva dada por la funci´on vectorial r(t) se define (2.1)
κ(t) =
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|~r 0 (t) × ~r 00 (t)| |~(r) 0 (t)|3
1C´ alculo de James Stewart, Sexta Edici´ on, Cap´ıtulo 13, Funciones vectoriales, P´ agina 824 2C´ alculo de James Stewart, Sexta Edici´ on, Cap’itulo 13, Funciones vectoriales, P´ agina 832, Ecuaci´ on 9 3C´ alculo de James Stewart, Sexta Edici´ on, Cap’itulo 13, Movimiento en el espacio: velocidad y acel-
eraci´ on, P´ aginas 845-847 4C´ alculo de James Stewart, Sexta Edici´ on, Cap’itulo 13, Funciones vectoriales, P´ agina 833, Teorema 10
´ Y CURVATURA DE FLEXION ´ EN POLARES MOVIMIENTO EN EL ESPACIO: VELOCIDAD Y ACELERACION 3
La curva dada por el vector ~r(t) escrita en polares es ~r(θ) = [r cos(θ)]ˆi + [r sin(θ)]ˆj + 0kˆ Para (2.1) tenemos que (2.2)
ˆi ˆj kˆ
~r 0 (θ) × ~r 00 (θ) =
x0 (θ) y 0 (θ) 0
= [x0 (θ)y 00 (θ) − x00 (θ)y 0 (θ)]kˆ
x00 (θ) y 00 (θ) 0
Sustituyendo la ecuaci´ on (2.2) en la (2.1) tenemos que (2.3)
κ(θ) =
|x00 (θ)y 0 (θ) − x00 (θ)y 0 (θ)| |x00 (θ)y 0 (θ) − x00 (θ)y 0 (θ)| = 3 0 0 3 |x (θ) + y (θ)| [x0 (θ)2 + (y 0 (θ))2 ] 2
Calculando x0 (θ) = [r cos(θ)]0 = r0 cos(θ) − r sin(θ) y 0 (θ) = [r sin(θ)]0 = r0 sin(θ) + r cos(θ) 00 0 x (θ) = [r cos(θ) − r sin(θ)]0 = r00 cos(θ) − 2r0 sin(θ) + r cos(θ) y 00 (θ) = [r0 sin(θ) + r cos(θ)]0 = r00 sin(θ) + 2r0 cos(θ) − r sin(θ) =⇒ x00 (θ)y 0 (θ) − x00 (θ)y 0 (θ) = 2[r0 ]2 − rr00 + r2 [x0 (θ) + y 0 (θ)]2 = [r0 ]2 + r2 Con ayuda de los calculos anteriores es v´alido decir que la ecuaci´on (2.3) transformada es, la ecuaci´on para calcular la curvatura de flexi´on κ en polares y se escribe (2.4)
κ(θ) =
|2[r0 ]2 − rr00 + r2 | 3
[(r0 )2 + r2 ] 2