គណិតវិទ្យាអាហារូ បករណ៍ by Rath Kong

គណិតវិទយៃថងេនះ

គណិតវិទយ េ្រត ម

រ ូបករណ៍

រូបករណ៍ ជប៉ុន -សង ិ ្ហបុរ-ី ចន ិ -រុស ី នង ិ េវៀត េរៀបេរៀងេ

ម

យ លឹម ផលគន ុ

ភគ ២

www.mathtoday.wordpress.com

រក សិទ្ឋិ េ

យ លឹម ផលគន ុ

Tel: 017 768 246

www.mathtoday.wordpress.com

គណះកមមករនិពនធ និង េរៀបេរៀង លឹម ផលគន ុ

និង

អុឹង សំ

ង

គណះកមមករ្រតួតពិនិតយបេចចកេទស

េ

ក យ៉ង់ ធរ ី

េ

ក លឹម ឆុន ក ែសន ពិសដ ិ ្ឋ

គណះកមមករ្រតួតពិនិតយអកខ វិរ ុទ្ឋ េ

ក លឹម មិគគសរិ

ករ ិយកុព ំ យទរ ូ ័ េ

ក អុឹង សំ

ង

រមភកថ សួសី ម ្ត ត្ត ិ អនកសិក ជទ្រស ី

ញ់ ប់

ិ េសៀវេភ គណិតវទយេ្រជី សេរសែដលេ ី

កអនកកំពង ុ ែតកន់

ខប ំុ ញ ទបនេរៀបចំេឡើងស្រមប់ទក ុ ជឯក បំណងេ្រត ម្របឡងយក េ្រត ម្របឡង ្រពមទងមនលំ ំ ខនឯង។ ួ ្ល

រស្រមប់អនកសិក ែដលមន

ថ នឧត្តមសិក ននកនុង្របេទស។

ត់ពិេសសៗមកេធ្វដ ើ េំ

ះ្រ

ត់អនុវត្តនស ៍ ្រមប់អនកសិក ហ្វឹក

េយើងខស ំុ ញ ងឃមថ េសៀវេភមួយកបលេនះ នឹង ឹ

ិ ី គំនិត និង វធ

្រស្តថីៗ ម កនុងករេ

រូបករណ៍ ចំេពះេ

នេនះ

រូបករណ៍េទសិក េនបរេទស និង ស្រមប់

រូបករណ៍ចូល្រគឹះ

ំុ ញ នេ្រជីសេរសលំ ី េយើងខប

ន!

ះ្រ

យលំ

យ យ៉ងពិ

ត់េ

ះ្រ

យេ

្ត រ យ

ចចូលរួមផ្តល ់នូវ

ិ ត់គណិតវទយកំ រត ិ

កអនកសិក ជពុំខនេឡើយ ។

ជទបញ ច ប់ខប ំុ ញ ទសូមជូនពរចំេពះេ ី

កអនក សូមមនសុខភពល្អ

មន្របជញឈ្លសៃវ និង ទទួលបនេជគជ ័យកនុង្រគប់ភរកចច ិ ។

បត់ដំបងៃថងទី២៧ឧសភ ឆនំ២០១២ អនកនិពន្ឋ និង ្រ

វ្រជវ

លឹម ផលគន ុ Tel :017 768 246 Email: lim_phalkun@ymail.com Website: www.mathtoday.wordpress.com

iii

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

វិញ ញ

ទី០១

ស្រមប់រយះេពល២េម៉ង 

I-េគឲយសមីករ x 3  2x 2  x  7  0 មនឬសបី ចូរគណនតៃម្លេលខ A 

ងេ

យ ,  ,  ។

1 1 1   ។ 2 2 2 (1   ) (1   ) (1   )

II-ចូរេ្រប បេធៀបចំនួន a  3 3  3 3  3 3  3 3 និង b  2 3 3 ។ III-េគឲយ

ំងេត្រកល I n 

n



(n 1) 

e  x sin x.dx ែដល n  1, 2, 3,... ។

ក/ចូរគណន I1 ។ ខ/បង្ហញថ (I n )ជស្វីុតធរណីម្រតរួចទញរក I n ជអនុគមន៍ៃន n ។ គ/គណនផលបូក S n  I1  I 2  ...  I n ជអនុគមន៍ៃន n ។ ឃ/ទញរកលីមីតៃន S n កល IV-ចូរ្រ

n   ។

យថប៊ូលែដលមនកំ R មនមឌ V 

4 3 R ។ 3

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 1

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ដំេ I-គណនតៃម្លេលខ A 

ះ្រ

យ

1 1 1   (1   )2 (1   )2 (1   )2

ង f (x)  x 3  2x 2  x  7 មនឬសបី េគ

ងេ

យ ,  ,  ។

ចសរេសរ f (x)  (x   )(x   )(x   )

េគបន lnf (x)  ln(x   )  ln(x   )  ln(x   ) េធ្វើេដរ ីេវេលើអងគទំងពីរៃនសមភពេនះេគបន ៖ f '(x) 1 1 1    ។ f (x) x   x   x   េធ្វើេដរ ីេវម្តង់េទៀតេលើសមភពេនះេគបន ៖

f ''(x)f (x)  [f '(x)]2 1 1 1     f 2 (x) (x   )2 (x   )2 (x   )2 f ''(1)f (x)  [f '(1)]2 1 1 1 យក x  1 េគបន     f 2 (1) (1  )2 (1  )2 (1   )2

f ''(1)f (1)  [f '(1)]2 េគទញបន A   ។ f 2 (1) េគមន f (1)  1  2  1  7  7

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 2

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

f '(x)  3x 2  4x  1 េនះ f '(1)  3  4  1  0

េហើយ f ''(x)  6x  4 េនះ f ''(1)  6  4  2

(2)( 7)  02 2  េគបន A   ( 7)2 7 ដូចេនះ A 

1 1 1 2    ។ (1   )2 (1   )2 (1   )2 7

II-េ្រប បេធៀបចំនួន a  3 3  3 3  3 3  3 3 និង b  2 3 3 រេបៀបទី១ ៖

ង x  3 3  3 3 និង y  3 3  3 3

េគមន x  y េនះ x 2  y 2 េគបន x  y  0 (1) និង x 2  y 2  0 (2) គុណវ ិសមភព (1) និង (2) អងគ និង អងគេគបន ៖ (x  y)(x 2  y 2 )  0 សមមូល x 3  y 3  x 2 y  xy 2

គុណអងគទំងពីរនឹង 3 េគបន ៖ 3(x 3  y 3 )  3x 2 y  3xy 2  (x  y)3  (x 3  y 3 )

េគទញ 4(x 3  y 3 )  (x  y)3 ឬ x  y  3 4(x 3  y 3 ) (3)

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 3

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ជំនួស x  3 3  3 3 និង y  3 3  3 3 កនុង (3) េគបន ៖ 3

3  3 3  3 3  3 3  3 4(3  3 3  3  3 3)  2 3 3

ដូចេនះ a  b ។ រេបៀបទី២ ៖ ឧបមថ a  b ពិត េគបន

3  3 3  3 3  3 3  23 3 3

3 3 3 សមមូល 3 1   3 1 2 3 3

ងអនុគមន៍ f (x)  3 1  x  3 1  x េដរ ីេវ f '(x)  

1 3 3 (1  x)2

េបើ f '(x)  0 សមមូល  នំឲយ



1 3 3 (1  x)2 1

3 (1  x) 3

1 3 (1  x) 3

0

ឬ 1  x  1  x េនះ x  0 ។

(1  x)2  3 (1  x)2

េបើ f '(x)  0 សមមូល 



1 3 (1  x) 3



1 3 (1  x) 3

0

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 4

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

នំឲយ

ឬ 1  x  1  x េនះ x  0 ។

(1  x)2  3 (1  x)2

ងសញញៃន f '(x) ៖ 0

f '(x)

f (x)

ម

ងេនះេគបន x  0 : f (x)  2 3

3 3 3 យក x  េគបន f ( )  2 ឬ 3 3

3 3 3 3 1  3 1 2 3 3

ដូចេនះ a  b ។ III-េគឲយ

ំងេត្រកល I n 

n



(n  1) 

e  x sin x.dx ែដល n  1, 2, 3,... ។

ក/គណន I1 ៖ 

េបើ n  1 េនះ I1   e  x sin x.dx 0

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 5

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

u  e  x ង នំឲយ  dv sin x.dx 

du   e  x .dx   v   cos x

េគបន៖ 



I1   e cos x    e  x cos x.dx 0 x



I1  1  e



  e  x cos x.dx 0

u  e  x du   e  x .dx នំឲយ  ង dv  cos x.dx  v  sin x

េគបន

I1  1  e





 e sin x    e  x sin x.dx 0 x

I1  1  e    I1

1  e  1  e  ដូចេនះ I1  ។ 2 2e  ខ/បង្ហញថ (I n ) ជស្វីុតធរណីម្រត ៖ មន I n 

n



(n  1) 

e  x sin x.dx េនះ I n  1 

( n  1) 



e  x sin x.dx

n

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 6

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ង x    t េនះ dx  dt ចំេពះ x  n េនះ t  (n  1) និង x  (n  1) េនះ t  n េគបន I n 1 

n



  t

sin(   t).dt   e

(n 1) 



n



e  t sin t.dt

(n 1) 

I n 1  e   I n នំឲយ (I n ) ជស្វីុតធរណីម្រត ។ ទញរក I n ជអនុគមន៍ៃន n ៖ មរូបមន្ត I n  I1  q

n 1

1  e    (  e   )n  1 ។ 2

គ/គណនផលបូក Sn  I1  I 2  ...  I n ជអនុគមន៍ៃន n ៖

1  qn 1  e 1  (e )n 1  (e )n    េគបន Sn  I1   1 q 2 1 e 2 ឃ/ទញរកលីមីតៃន S n កល

n   ៖

1  (  e   )n 1 េគបន lim Sn  lim េ្រពះ lim( e   )n  0 ។  n  n  n  2 2

ដូចេនះ limSn  n 

1 ។ 2

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 7

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

យថប៊ូលែដលមនកំ R មនមឌ V 

IV-្រ

4 3 R ៖ 3

េយើងដឹងថប៊ូលកំគឺជសូលីដបរ ិវត្តន៍បងករពីរង្វិលៃផទ្រក េ

យរង្វង់ផិត ច O កំ R ជុំវ ិញអក ័

ខណ័្ឌ

ប់សុីស ។

សមីកររង្វង់ផិត ច O កំ R គឺ ៖

x2  y 2  R 2 ឬ y 2  R 2  x2

មឌរបស់ប៊ូលគឺ ៖ R

V

 y dx 2

R





(R 2  x 2 ).dx

R R

 2 x3    R x   3 R   3 R3 R 3  4 3 3   (R  )  ( R  )  R 3 3 3   ដូចេនះ V 

4 3 R ។ 3

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 8

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

វិញ ញ

ទី០២

ស្រមប់រយះេពល២េម៉ង 

I-េ

ះ្រ

យសមីករខងេ្រកមកនុង

x2  5x  5  x2  5x  2

៖

x2  5x  4 7  x2  5x  3 x2  5x  2

II-េគឲយអនុគមន៍ f (x) កំនត់េ

2 f (x  1)  f (

x2  5x  2 x2  5x  3

យ៖

x1 1 1 )  x  1 ចំេពះ្រគប់ x  និង x   1  2x 2 2

ចូរកំនត់រកអនុគមន៍ f (x) ។  2

III-េគឱយ

n 3 ំងេត្រកល In   sin xcos x.dx ែដល n  IN 0

ក. ចូរគណន In ជអនុគមន៍ៃន

។

ខ. ចូរគណនផលបូក S n    I k   I 0  I1  I 2  .........  I n k 0

ជអនុគមន៍ៃន n

Sn ។ ។ រួចទញរកតៃម្លៃនលីមីត nlim 

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 9

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ដំេ I-េ

ះ្រ

យ

យសមីករ

ង y  x 2  5x

សមីករ

ចសរេសរ ៖

y5 y4 7 y2   (1) y2 y3 y2 y3 សមីករ  1 មនន័យកល កនុងលកខ័ខ័ណ្ឌេនះសមីករ

y5 ។ ចសរេសរ ៖

(y  5)(y  3)  (y  4)(y  2)  7 y 2  2y  15  y 2  2y  8  7 (2) ង z  y 2  2y  8  0 សមីករ(2)

ចសរេសរ ៖

z7  z 7 2z  7  2 z(z  7)  49 z 2  7z  28  z

(0  z  28)

z 2  7z  784  56z  z 2 49z  784  z  16

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 10

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

េ

យ 0  z  28 នំឲយ z  16 ( យក )

េគទញ y 2  2y  8  16 ឬ y 2  2y  24  0 មនឬស y 1  4 , y 2  6 េ

យ y  5 នំឲយេគទញបន y  6 ជឬសសមីករ(1)

េ

យ y  x 2  5x េគបន x 2  5x  6

ឬ x 2  5x  6  0 េគទញឬស x1  1 , x 2  6 ។ II-កំនត់រកអនុគមន៍ f (x) ៖ េគមន 2 f (x  1)  f ( យក x  1 

x1 1 )  x  1 (1) ចំេពះ្រគប់ x  1  2x 2

t 1 t នំឲយ x   ជួសកនុង (1) េគបន ៖ 1  2t 1  2t

t 1 t 1 t 2f ( )  f ( 1  2t ) 2 2t 1  2t 1  2t 1 1  2t t 1 2  5t 2f ( )  f (t  1)  (2) 1  2t 1  2t 

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 11

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

យក x  t ជួសកនុង (1) េគបន 2f (t  1)  f ( ឬ 4f (t  1)  2f (

t 1 ) t1 1  2t

t 1 )  2t  2 (3) 1  2t

បូកសមីករ (2) និង (3)េគបន ៖

2  5t 4t 2  t  2 3f (t  1)   2t  2  1  2t 1  2t 4t 2  t  2 យក t  1  x ឬ t  x  1 េគទញ f (t  1)  3(2t  1) 4(x  1)2  (x  1)  2 4x 2  7x  1  េគបន f (x)  3(2x  2  1) 3(2x  1) 4x 2  7x  1 ដូចេនះ f (x)  ។ 3(2x  1)

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 12

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

III-ក. គណន In ជអនុគមន៍ៃន

 2

I n   sin n xcos 3 x.dx 0

 2

  sin n xcos 2 x.cos x.dx   sin n x(1  sin 2 x)cos x.dx

 2

  (sin n x  sinn  2 x)cos x.dx 0

 x  [0, ] េនះ U [0 , 1 ] ង U  sinx េនះ dU  cos x.dx េបើ 2 1

I n   U (1  U ).dU   U .dU   Un 2 .dU n

 1   1    U n 1    Un 3   n1 0  n  3 0 1 1 n 3n1 2     n  1 n  3 (n  1)(n  3) (n  1)(n  3)

ដូចេនះ

In 

2 (n  1)(n  3)

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 13

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ខ. គណនផលបូក S n    I k   I 0  I1  I 2  .........  I n k 0

មស្រមយខងេលើេយើងមន៖ In 

2 1 1   (n  1)(n  3) n  1 n  3

1   1 1   1        n1 n 2 n 2 n 3  1 1   1 1     Sn     k  2   k  2 k  3  k 0  k  1 n

1  n  1 1   1        k  2  k0  k  2 k  3  k 0  k  1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1    (1  )  (  )  ....  (   )  (  )  (  )  ....  ( ) 2 2 3 n 1 n 2 2 3 3 4 n 2 n 3         n

1 (n  1)(3n  8) 1  1 1  3 1   1        n  2   2 n  3  2 n  2 n  3 2(n  2)(n  3)

ដូចេនះ

Sn 

(n  1)( 3n  8 ) 2(n  2 )(n  3 )

និង

lim Sn 

n 

3 2

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 14

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

វិញ ញ

ទី០៣

ស្រមប់រយះេពល២េម៉ង  a

I-េគឱយ

xn .dx ំងេត្រកល I n   3 ,a0 3 x  a 0

ក. ចូរកំនត់តៃម្លរបស់

េដើមបីឱយ In មិន

្រស័យនឹង

។

ខ. គណន I n ចំេពះតៃម្ល n ែដលបនរកេឃើញខងេលើ ។ II-េគឱយស៉ីត ្វ S n  1  ក‐ចំេពះ្រគប់

1 1  n 2 (n  1)2

n  IN

ែដល n  IN

ចូរបង្ហញថ S n  1 

។

1 1  n n1

។

ខ‐គណនផលបូក

n  1 

1 1 1 1 1 1   1    .....  1   12 22 22 32 n 2 (n  1)2

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 15

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

 x ] 0 ; [ េ III-ចូរកំនត់្រគប់តៃម្ល កនុងចេន្លះ 2

យដឹងថ ៖

3 1 3 1  4 2 sin x cos x

IV-ក. ចូរគណនតៃម្ល្របកដៃន sin ខ. ចូរ្រ

  និង cos 10 10

2 2 2 2 2 យថ x  ( x  y )  4( x  y ) sin

 10

្រគប់ចំនួន x, y  IR ។

ដំេ I-ក. កំនត់តៃម្លរបស់

ះ្រ

យ

n េដើមបីឱយ In មិន ្រស័យនឹង

xn .dx េយើងមន I n   x3  a 3 , a  0 0 េយើង

ង

x  a .t

នំឱយ dx  a.dt

េហើយចំេពះ x   0,a  នំឱយ t  0,1 

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 16

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

(a.t)n .a.dt t n .dt n 2 េគបន I n   (at)3  a 3  a .  t 3  1 0 0

មទំនក់ទំនងេនះ េដើមបីឱយ In មិន n  2  0 ឬ ដូចេនះ េដើមបីឱយ

n2

្រស័យនឹង

លុះ្រ

ែត

។

I n មិន ្រស័យនឹង a េគ្រតូវឱយ n  2 ។

ខ. គណន In ចំេពះតៃម្ល

ែដលបនរកេឃើញខងេលើ

x 2dx ចំេពះ n  2 េគបន I 2   x 3  1 0 3 2 ង U  x  1 នំឱយ dU  3x .dx



េហើយចំេពះ x   0,1  នំឱយ U  1 , 2



1 dU 1 1 2 I ln   | U |  ln 2   េយើងបន 2 3  U 3 1 3 1

ដូចេនះ

I2 

1 ln 2 3

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 17

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

1 1 S  1   II-ក.បង្ហញថ n n n1 1 1 S  1   េយើងមន n n 2 (n  1)2



n 2 (n  1)2  (n  1)2  n 2  2 2 n (n  1)



n 2 (n  1)2  2n(n  1)  1 [n(n  1)  1]2  n 2 (n  1)2 n 2 (n  1)2



ដូចេនះ

n 2 (n  1)2  n 2  2n  1  n 2 n 2 (n  1)2

n(n  1)  1 1 1 1  1  1  n(n  1) n(n  1) n n1

Sn  1 

1 1  n n1

។

ខ‐គណនផលបូក៖ n 1 1 1 1 1 1 េគបន  n  1  12  22  1  22  32  .....  1  n 2  (n  1)2   (Sk ) k 1

1 1  1 (n  1)2  1 n(n  2)     1  k  k  1   n  1  n  1  n(n  1)  n  1  k 1  n

ដូចេនះ

n 

n(n  2) n1

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 18

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

 x ] 0 ; [ III-កំនត់្រគប់តៃម្ល កនុងចេន្លះ 2 3 1 3 1   4 2 (1) sin x cos x

េគពិនិតយ sin

    sin   12  3 4

     sin cos  sin cos 3 4 4 3 3 2 2 1 6 2  .  .  2 2 2 2 4

េហើយ cos

    cos   12  3 4

     cos cos  sin sin 3 4 3 2 1 2 3 2 6 2  .  .  2 2 2 2 4

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 19

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

សមីករ (1)

ចសរេសរេទជ ៖

3 1 31 2 2  2 2 2 sin x cos x 6 2 6 2 4 4  2 sin x cos x   sin cos 12  12  2 sin x cos x   sin cos x  sin x cos  2 sin x cos x 12 12    sin   x   sin 2 x  12  េ

   យ 0  x  េនះេគទញបន  2  

េគទញ x 

  x  2x 12   x    2x 12

11  x  ឬ ( េផទ ងផទត់នឹងលកខខ័ណ្ឌែដលឲយ ) 12 36

ដូចេនះ x  {

 11 ; } ។ 12 36

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 20

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

IV-ក. គណនតៃម្ល្របកដៃន sin

2   3   10 2 10

េគមន

េគបន sin

  cos និង 10 10

2 3  3  sin(  )  cos 10 2 10 10

មរូបមន្ត្រតីេកណម្រត ៖

3 sin 2a  2 sin a cos a និង cos 3a  4 cos a  3 cos a

  3 cos  cos 10 10 10     2 sin cos  3 cos  4 cos 3 10 10 10 10  2  2 sin  3  4 cos 10 10   2 sin  3  4(1  sin 2 ) 10 10 2 sin

   2 sin  1  0 10 10

ង t  sin

  0 10

ឬ

2 េគបន 4t  2t  1  0 ,  '  1  4  5  0

4 sin 2

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 21

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

េគទញឬស t 1 

ដូចេនះ sin

េ

2 យ sin

នំឲយ cos

 1 5  ។ 10 4

   cos 2  1 10 10

 10  2 5 1 5 2  1 ( )  4 4 10

ដូចេនះ cos

ខ. ្រ

1 5 1 5  0 ( មិនយក ) , t 2  4 4

10  2 5   ។ 10 4

2 2 2 2 2 យថ x  ( x  y )  4( x  y ) sin

 10

2 2 2 2 2 ងអនុគមន៍ f ( x ; y )  x  ( x  y )  4( x  y ) sin

េគបន ៖

f ( x ; y )  x 2  x 2  2xy  y 2  4( x 2  y 2 )(

 10

1 5 2 ) 4

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 22

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

6 2 5 16 3 5  2x 2  2xy  y 2  ( x 2  y 2 ) 2 1 5 2 1 5 2 x  2xy   y 2 2  5 1 2 5 1 2     x  2xy  y  2 2    2x 2  2xy  y 2  4( x 2  y 2 )

    

5 1 x 2

5  1  y  0 , x, y  IR  2 

2 2 2 2 2 ដូចេនះ x  ( x  y )  4( x  y ) sin

 ។ 10

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 23

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

វិញ ញ

ទី០៤

ស្រមប់រយះេពល២េម៉ង 

I-េ

ះ្រ

យសមីករ ៖

2 3 3 log 6  x (54  x )  5 log 6  x (54  x )  6  0 .

្ល ពីរែដល | z 1 |  | z 2 |  1 II-េគឲយ z 1 និង z 2 ជចំនួនកុំផិច និង z 1 .z 2  1 ។ ចូរ្រ

z1  z 2 យថ 1  z z ជចំនួនពិតមួយ ។ 1 2 1

III-េគឱយស៉ីត ្វ

n 2 ំងេត្រកល I n   x 1  x .dx ែដល n  IN ។ 0

ក. ចូររកទំនក់ទំនងរ ង

និង In 2

ខ. គណនផលគុណ Pn  I n .I n 1 , n  1 ជអនុគមន៍ៃន គ. គណនផលបូក

S n    Pk   P1  P2  .........  Pn k 1

ជអនុគមន៍ៃន

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 24

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

Sn ។ រួចទញរកតៃម្លៃនលីមីត nlim  

ឃ. រករូបមន្តគណន In ជអនុគមន៍ៃន ដំេ ះ្រ

I-េ

ះ្រ

n ។

យ

យសមីករ ៖

log 62 x (54  x 3 )  5log 6 x (54  x 3 )  6  0 (1) .

 54  x 3  0  6x  0 ល័កខខ័ណ្ឌ  សមមូល 6  x  1 

x  3 3 2  x  3  x  6 ឬ   x  5 x  5 

ង y  log 6 x (54  x 3 ) សមីករ

ចសរេសរ ៖

(1)

y 2  5y  6  0 ,   25  24  1 េគទញឬស y 1  2 , y 2  3 3 ‐ចំេពះ y  2 េគបន log 6 x (54  x )  2

54  x 3  (6  x)2 54  x 3  36  12x  x 2

x 3  x 2  12x  18  0 (x  3)(x 2  2x  6)  0

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 25

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

េគទញឬស x1  3 , x 2  1 

7 , x3  1  7

‐ចំេពះ y  3 េគបន log 6 x (54  x 3 )  3 (54  x 3 )  (6  x)3 2 18x  108x  162  0

18(x  3)2  0

េគទញឬស x  3 II-្រ

។

z1  z 2 យថ 1  z z ជចំនួនពិតមួយ 1 2 z1  z 2 z1  z 2  Z Z  ង 1  z 1z 2 េនះ 1  z1 .z 2

េ

1 1 2 z  z  z . z  | z |  1 យ 1 1 េនះ 1 z េហើយដូចគន 2 z 1 1 2

1 1  z 2  z1 z1 z 2   Z Z េគបន 1 1 z 2z1  1 1 . z1 z 2 េ

z1  z 2 Z  យ Z  Z េនះ 1  z 1z 2 ជចំនួនពិត ។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 26

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

III-ក. រកទំនក់ទំនងរ ង I n និង 1

េយើងមន I n   x

In 2 1

 U  1  x 2 ង  n dV  x .dx

1  x .dx និង I n 2   xn 2 . 1  x 2 .dx 2

នំឱយ

x  dU .dx    2 1 x   V  xn .dx  1 xn1   n1

n 2 1 x  1 n 1  2   I x . 1 x .dx   n1 េយើងបន n  n  1 2  0 1 x 0 1

1 xn  (xn  xn  2 ) 1 xn  xn (1  x 2 ) In  .dx  .dx   2 2 n1 0 n1 0 1 x 1 x 1

1 xn .dx 1 n 2 In   x 1  x .dx   2 n  1 n  1 1 x 0 0 1

1 xdx 1 n 1 In  x . In  2 n  1 0 n 1  1 x

 U  xn1  ង dV  xdx  1  x2 

dU  (n  1)xn 2 .dx នំឱយ  2  V   1  x

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 27

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

1 1  1   n1 1 2  n 2 2 I x 1 x (n 1) x 1 x .dx In          េយើងបន n n  1    0 n 1  0  

េគទញ

n1

(n  1)In  (n  1)I n 2  In នំឱយ I n  I n 2 n2

ដូចេនះ ទំនក់ទំនងរ ង គឺ

In 

និង In 2

n1 In2 , n  2 n2

។

ខ. គណនផលគុណ Pn  I n .I n 1 , n  1 ជអនុគមន៍ៃន

Pn  I n .I n1

េយើងមន យ In 

េ

n1 I n  2 n 2

េគទញ Pn 1  នំេ

នំឱយ

នំឱយ I n 1 

n n I n 1 .I n  P n3 n3 n

Pn1  I n1 .I n n .I n  3 n 1

( េ្រពះ Pn  I n .I n1

Pn1 n n n1 n 2   . . យ P n  3 n  1 n  2 n3 n (n 1)

េយើងបន

 k 1

)

។

 Pk 1  (n1)  k k  1 k  2  . .      P k 1 k 2 k 3       k  k 1

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 28

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

 Pk 1  (n1)  k  (n1)  k  1  (n1)  k  2              P k 1 k 2    k 1   k 1  k  3  k 1  k 1  k  P2 P3 P n   3 4 n1  1 2 n 1  2 3   . .... . .... n   . .... . .... P1 P2 Pn1  2 3 n   3 4 n  1   4 5 n  2  (n 1)

Pn 1 2 3 .  . P1 n n  1 n  2

នំឱយេគទញ Pn 

យ I0  

3  1 1 2 2 2 I1   x 1  x .dx    (1  x )    3 0 3 0 1

និង

1  x  1  x .dx   1  x 2  arcsin x   2 2 0 4

េ

6 6 .P1  .I .I n(n  1)(n  2) n(n  1)(n  2) 0 1

6  1  1 P  . .  . េគបន n n(n  1)(n  2) 4 3 2 n(n  1)(n  2) ដូចេនះ

Pn 

 1 . 2 n(n  1)(n  2)

។

គ. គណនផលបូក Sn    Pk   P1  P2  .........  Pn k 1

េយើងមន៖

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 29

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

Pn 

 1 1   1 .    2 n(n  1)(n  2) 4  n(n  1) (n  1)(n  2) 

 1 1  n  S   េយើងបន n 4   k(k  1) (k  1)(k  2)  k 1   

   1 1 1 1 1 1 (  )  (  )  .....     n(n  1) (n  1)(n  2)   4  1.2 2.3 2.3 3.4  



  1 n(n  3)  1 .   4  2 (n  1)(n  2)  8 (n  1)(n  2)

ដូចេនះ

Sn 

 n(n  3) . 8 (n  1)(n  2)

lim Sn 

និង

ឃ. រករូបមន្តគណន In ជអនុគមន៍ៃន មស្រមយខងេលើេយើងមន I n 

n

 8

។

n1 I , n  2 n  2 n 2

‐ករណី n  2p  1 ( ចំនួនេសស )

2p  I េយើងបន 2p 1 2p  3 .I 2p 1

ឬ

I 2p 1 I 2p 1

2p  2p  3

I 2p 1 2 4 6 I3 I5 I7 2p . . ..... . . .....  េគទញ I I I I 2p 1 5 7 9 2p  3 1 3 5

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 30

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

I 2p1

I 1

2 4 6 2p  . . ..... 5 7 9 2p  3

2.4.6....2p  I នំឱយ 2p1 5.7.9....(2p  3) .I1 េ ដូចេនះ

I 2p1 

1 I  1 យ 3

2 .4 .6 ....2 p 1 . 5 .7 .9 ....( 2 p  3 ) 3

។

‐ករណី n  2p ( ចំនួនគូ ) េយើងបន

I 2p

2p  1  .I 2p  2 2p  2

ឬ

I 2p I 2p  2



2p  1 2p  2

I 2p I2 I4 I6 1 3 5 2p  1 . . ..... . . .....  េគទញ I I I I 2p  2 4 6 8 2p  2 0 2 4 1 3 5 2p  1 . . .....  I0 4 6 8 2p  2 I 2p

នំឱយ I 2p1  ដូចេនះ

1.3.5....(2p  1) .I 0 េ 4.6.8....(2p  2)

I 2p  1 

យ I0 

1.3.5....(2p  1)  . 4.6.8....(2p  2) 4

 4

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 31

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

វិញ ញ

ទី០៥

ស្រមប់រយះេពល២េម៉ង 

I-េ

ះ្រ

យសមីករ ៖

1 2 2 3 1  log (3 x)3 (9x  x )  log 3 b

II-ចូរបង្ហញថ

 f (x).dx   a

អនុវត្តន៍ ៖ ចូរគណន

2 3  (9x x ) . 3 x

f (a  b  x).dx

 3

ំងេត្រកល I   ln(1  3 tan x).dx 0

3 2 III-េគឲយសមីករ (E) : x  mx  7(m  5)x  14m  90  0

ក. េ

ះ្រ

យសមីករេនះចំេពះ m  6

ខ. កំនត់ m េដើមបីឲយសមីករមនឬសបី េផទ ងផទត់ទំនក់ទំនង

។

x1 , x 2 , x 3

x13  x 2 3  x 3 3  73

រួចគណនឬសទំងបីេនះ ។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 32

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

IV-េគេ

យ (n 1)a

In 



ំងេត្រកល៖

dx Jn  និ ង 2 cos x

(n 1) a

 a

dx ,n  IN,a  0 ។ 2 cos x

ក‐បង្ហញថ I1  I 2  I 3  ....  I n  J n ។ ខ‐គណន I n និង J n ជអនុគមន៍ៃន

។

គ‐េ្របើលទ្ឋផលខងេលើចូរប្រងួមផលបូក៖ S n 

1 1 1   .........  ។ cosacos 2a cos 2acos 3a cos  na  cos  n  1  a

ដំេ I-េ

ះ្រ

យ

យសមីករ ៖

1 2 2 3 . 1  log ( 3 x )3 (9x  x )  log 3  9x 2  x 3  0  ល័កខខ័ណ្ឌ  3  x  0 3  x  1 

3 x

(9x 2  x 3 ) (1)

x  3 x  0 , x  9   x0 x  3 សមមូល  ឬ  x  2 x  2  

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 33

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

សមីករ(1)

ចសរេសរ ៖

1 2 log 23  x (9x 2  x 3 )  log 3  x (9x 2  x 3 ) 9 3 log 23  x (9x 2  x 3 )  6 log 3  x (9x 2  x 3 )  9  0 1

 log 3  x (9x 2  x 3 )  3   0 log 3  x (9x 2  x 3 )  3

9x 2  x 3  (3  x) 3 9x 2  x 3  27  27x  9x 2  x 3 27x  27  0

ដូចេនះសមីករមនឬស x  1 II-បង្ហញថ ង

។

 f (x).dx   a

f (a  b  x).dx

t  a  b  x  dt  dx

េបើ x  a  t  b និង x  b  t  a b

េយើងបន  f (x).dx   f (a  b  t)( dt)    f (a  b  t).dt   f (a  b  t).dt ដូចេនះ

 f (x).dx   a

f (a  b  x).dx

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 34

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

 3

គណន

ំងេត្រកល I   ln(1  3 tan x).dx 0

មរូបមន្តខងេលើេយើង

ចសរេសរ៖

 3

 3  tan x     I   ln 1  3 tan(  x)  .dx   ln  1  3.  .dx 3 1 3 tan x    0 0    3

 3

4   I   ln   .dx    ln 4  ln(1  3 tan x)  .dx 1 3 tan x    0 0  3

 3

I  ln 4  dx   ln(1  3 tan x).dx 

2I 

2 ln 2  I 3

 2 ln 2 នំឱយ I  ln 2 3 3  3

I   ln(1 

ដូចេនះ III-ក. េ

3 tan x).dx 

ះ្រ

 ln 2 3

។

យសមីករ

ចំេពះ m  6 សមីករ

ចសរេសរ ៖

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 35

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

x 3  6x 2  7x  6  0 x 3  3x 2  3x 2  9x  2x  6  0 x 2 (x  3)  3x(x  3)  2(x  3)  0 (x  3)(x 2  3x  2)  0

េគទញឬស x1  3 , x2 

3  17 3  17 ; x3  ។ 2 2

ខ. កំនត់តៃម្លរបស់ m 3 2 េគមន (E) : x  mx  7(m  5)x  14m  90  0

ែដល m ជប៉ ៉ ែម៉្រត ។ េបើ x1 , x 2 , x 3 ជឬសរបស់សមីករេនះ

ម្រទឹសីប ្ត ទែវយតេគមន ៖

(1)  x1  x 2  x 3  m   x1x2  x2x 3  x3 x1  7(m  5) (2)  x x x  14m  19 (3)  1 2 3 3 3 3 មបំ ប់េគមន x1  x 2  x 3  73 (4)

េ

យេគមន ៖

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 36

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

a 3  b 3  c3  3abc  (a  b  c)3  3(a  b  c)(ab  bc  ca)

េគ

ចសរេសរ 73  3(14m  90)  m 3  3m  7(m  5) 73  42m  270  m 3  21m 2  105m

3 2 m  21m  147m  343  0

(m  7)3  0

ដូចេនះេគទញបន m  7 ។ ចំេពះ m  7 សមីករសរេសរ ៖ x 3  7x 2  14x  8  0 x 3  x 2  6x 2  6x  8x  8  0 x 2 (x  1)  6x(x  1)  8(x  1)  0 (x  1)(x 2  6x  8)  0 (x  1)(x  2)(x  4)  0

េគទញឬស x1  1 , x 2  2 , x 3  4

។

IV-ក‐បង្ហញថ I1  I 2  I 3  ....  I n  J n 2a

dx dx   ...  I1  I 2  I 3  ....  I n   2 2  cos x 2a cos x a

(n 1)a



dx  2 cos x

(n 1)a

 a

dx cos 2 x

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 37

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ដូចេនះ I1  I 2  I 3  ....  I n  J n ។ ខ‐គណន In និង Jn ជអនុគមន៍ៃន

េយើងបន៖ (n1)a

In 



(n 1)a

dx    tanx  cos2 x  na

និង J n 

(n 1)a

ដូចេនះ

 a

 tan(n  1)a  tan(na) 

sina cos(na).cos(n  1)a

(n 1)a

dx    tan x  cos 2 x  a

In 

 tan(n  1)a  tana 

sin(na) cosa.cos(n  1)a

sina sin(na) , Jn  cos(na)cos(n  1)a cosa.cos(n  1)a

។

គ‐គណនផលបូក Sn 

1 1 1   .........  cosacos 2a cos2acos3a cos  na  cos  n  1 a

  1 1 n 1 sin(na)      I .J     sina  k  sina n sinacosacos(n  1)a k 1  coska.cos(k  1)a  k 1 n

ដូចេនះ Sn 

sinna sinacosacos(n  1)a

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 38

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

វិញ ញ

ទី០៦

ស្រមប់រយះេពល២េម៉ង 

I-េគឱយែខ េកង (H):y 

2(x  1) x2

និងចំនុច I ( 2 ; 2 ) ។

ចូរកំនត់រកសមីកររង្វង់ (C) មនផចិត I េហើយប៉ះនឹងែខ េកង (H) ។ II-េគឧបមថ S m និង S n ជផលបូក m តួដំបូង និង

តួដំបូង

Sm m 2 េរៀងគនៃនស៉ីត ្វ នព្វន្តមួយែដល S  n 2 ; ( m  n) ។ n

ង U m ជតួទី

Um 2m  1 n និង Un ជតួទី ។បង្ហញថ U  2n  1 n  2

III-េគមន

dx  I ំងេត្រកល  sin x 4

ក‐កំនត់ពីរចំនួនពិត a , b េដើមបីឱយ ខ‐គណន

ំងេត្រកល

 2

និង J  

dx 3  sin x 4

1 asin x bsin x   ។ sin x 1  cos x 1  cos x

I រួចទញរកតៃម្ល J ។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 39

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

IV-េគឲយស៉ីត ្វ ៃនចំនួនពិត (u n ) កំនត់េ

យ៖

u 0  1 និង un  1

un  ្រគប់ n  IN 3 2 4un  6u n  4un  1

ចូរបង្ហញថ 1 

1 un  1

 1   1   ្រគប់ n  IN un  

រួចគណន u n ជអនុគមន៍ៃន n ។ ដំេ

ះ្រ

យ

I-កំនត់រកសមីកររង្វង់ (C)

2(x  1)  (H):y េគមន និងចំនុច I ( 2 ; 2 ) x2 មរូបមន្តសមីកររង្វង់ (C) មនផចិត I( 2 ; 2 ) សរេសរ៖

ប់សុីសចំនុច្របសព្វរ ង (H) និង (C) សរេសរ៖

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 40

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

 2(x  1)   2  R 2 (x  2)    x2  2

 2x  2  2x  4  2 (x  2)2    R x2   4 2 2 (x  2)2   R , X  (x  2) (x  2)2 X

4  R 2 នំឱយ X

X 2  R 2 X  4  0 (1)

េដើមបីឱយរង្វង់ (C) ប៉ះនឹងែខ េកង (H) លុះ្រ

ែតសមីករ (1)

4 មនឬសឌុបេពលគឺេគ្រតូវឱយ   R  16  0

នំឱយ

R  4 16  2 ។ សមីកររង្វង់

(C)

ចសរេសរ៖

(x  2)2  (y  2)2  4

x 2  4x  4  y 2  4y  4  4  0

ដូចេនះ (C) : x  y  4x  4y  4  0 2

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 41

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

Um 2m  1 II-បង្ហញថ U  2n  1 n Sm m 2  េយើងមន Sn n 2

េ

យ Sm 

m(U1  Um ) n(U1  Un ) ; Sn  2 2

U1  U m m m(U1  Um ) 2 m2   នំឱយ U  U  n (1) េគបន 2 n(U1  Un ) n 2 1 n

េ

យ U m  U1  (m  1).d , U n  U 1  (n  1).d

ែដល d ជផលសងរួមៃនស៉ីត ្វ ។ យក Um  U1  (m  1).d , Un  U1  (n  1).d ជួសកនុង (1) េគបន 2U1  (m  1).d m  ឬ 2U1  (n  1)d n

េគទញ U1  េ្រពះ

mn

2U1n  n(m  1)d  2U1m  m(n  1)d

n(m  1)d  m(n  1)d d(mn  n  mn  m) d   2(m  n) 2(m  n) 2 ។ d 2

េយើងបន Um   (m  1)d 

2m  1 d 2n  1 .d. ;Un   (n  1).d  .d 2 2 2

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 42

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

េគបន

2m  1 .d 2m  1 Um 2   2n  1 Un .d 2n  1 2

ដូចេនះ

U m 2m  1  Un 2n  1

េបើ

d0 ។

។

III-ក‐/កំនត់បីចំនួនពិត a, b េយើងបន

1 asin x bsin x   sin x 1  cos x 1  cos x

1 asin x(1  cos x)  b sin x(1  cos x)  sin x 1  cos 2 x 1 sin x(a  acos x  b  b cos x)  sin x sin 2 x 1 (a  b)  (a  b)cos x  sin x sin x

a  b  1 1 នំឱយ a  b  េគទញបន  2 a  b  0 ដូចេនះ

a

1 1 ,b 2 2

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 43

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ខ‐គណន ចំេពះ a 

ំងេត្រកល I រួចទញរកតៃម្ល J

1 1 sin x 1 sin x 1 1   េគមន ,b sin x 2 1  cos x 2 1  cos x 2 2  2

1 sin x   1 sin x   I េគបន   2 1  cos x 2 1  cos x .dx 4



I

 2

1 sin x 1 sin x .dx .dx  2  1  cos x 2  1  cos x  2

1 (1  cos x)' 1 .dx  2  (1  cos x) 2 4

 2

(1  cos x)'  (1  cos x) .dx 4

  1 1 2   ln | 1  cos x |    ln | 1  cos x | 2 2 2 4 4

1 1  1 )   ln1  ln(1    ln1  ln(1  2 2  2 1 2 1 2 1  1 )  ln( )  ln(    ln( 2 2 2  2 ដូចេនះ

I  ln(1 

1  ) 2  2 1 )  ln( 2  1) 2 1

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 44

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

 2

dx 1 dx .  3  sin x sin2 x  sin x

ម៉យងេទៀត J  

1  u   sin x ង   dv  dx  sin 2 x

cos x  du    sin 2 x នំឱយ  dx cos x v  cot x      sin 2 x  sin x  2

 2

cos 2 x  cos x  .dx េគបន J    2    3   sin x   sin x 4

 2

4  2

 2

1  sin x dx dx .dx  2   3 3   sin x sin x sin x   

J  2  

J  2  J  I នំឱយ J  ដូចេនះ

J

2 1  ln(1  2 2

2 I  េ 2 2 2)

យ I  ln(1  2 )

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 45

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

 1 1   1   1  IV-បង្ហញថ  un  1  un  េយើងមន 1 

1 un  1

4u  6un  4u n  1  1 n 4 un 3

u  4u n  6u n  4u n  1  n 4 un 4

(u n  1)4  1      1 4  u un  n 

ដូចេនះ 1 

1 un  1

 1   1   ។ un  

គណន u n ជអនុគមន៍ៃន n េយើងមន 1 

1 un  1

 1   1   un  

  1 1         4 ln 1 ln 1 េគបន    un  un  1      1 1          v ln 1 v ln 1 នំឲយ n  1 ង n    un  un  1    េគបន v n  1  4 v n ។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 46

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ទំនក់ទំនងេនះបញ ជ ក់ថ ( v n ) ជស៉ីត ្វ ធរណីម្រតមន

 1    ln 2 ( េ្រពះ u 0  1 ) ។   v ln 1 េរសុង q  4 និងតួ 0  u0   n n មរូបមន្ត v n  v 0 .q  4 ln 2 ។

េ

 1     v ln 1 យ n  un  

1  1 4n n 1   2 េគទញ ln  1    4 ln 2 នំឲយ un un   ដូចេនះ u n 

1 n

24  1

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 47

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

វិញ ញ

ទី០៧

ស្រមប់រយះេពល២េម៉ង 

I-ក‐កំនត់ចំនួនពិត a និង b េដើមបីឱយ

1 acos x bcos x   cos x 1  sin x 1  sin x

  ចំេពះ្រគប់ x   0,  ។  4 ខ‐គណន II-េគដឹងថ

 4

dx cos x 0

ំងេត្រកល I  

 f (2t  1).dt  4x 0

។

។ ចូររកអនុគមន៍ f (x) ។ n

2 2 4 2 2 IIIគណន Pn  (1  x  x )(1  x  x ).....(1  x  x

IV-េគឲយស៉ីត ្វ ៃនចំនួនពិត ( U n ) កំនត់េ

n 1

)

យ U n  2 . sin n

n 4

ែដល n  IN ។ ក‐ចូរបង្ហញថ

2 . cos

(n  1) n n  cos  sin 4 4 4

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 48

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

n ខ‐ទញឲយបនថ U n  ( 2 ) cos

n (n  1)  ( 2 ) n 1 cos 4 4

គ‐គណនផលបូក ៖

S n  U 1  U 2  U 3  .........  U n ជអនុគមន៍ៃន n ។ ដំេ

ះ្រ

យ

I-ក/កំនត់ចំនួនពិត a និង b េគបន

1 acos x bcos x   cos x 1  sin x 1  sin x

acos x  1  sin x   bcos x  1  sin x  1  cos x  1  sin x  1  sin x  cos x  a  asin x  b  bsin x  1  2 cos x 1 sin x  cos x  a  b    a  b  sin x  1  cos x cos 2 x  a  b    a  b  .sin x 1  cos x cos x

1   a  a  b  1 2 នំឱយ  េគទញបន  a  b  0 b  1  2

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 49

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ដូចេនះ ខ‐គណន

a

1 1 ,b  2 2

។  4

dx cos x 0

ំងេត្រកល I  

មសំ យខងេលើ ចំេពះ a 

1 1 និង b  េគមន៖ 2 2

1 acos x bcos x     ចំេពះ្រគប់ x   0,  ។ cos x 1  sin x 1  sin x  4  4

 4

dx 1  .dx cos x 0 cos x 0

I



  



 4

  cos x cos x 1 cos x 1 cos x .dx .dx    0  2  1  sin x  2  1  sin x   0 1  sin x 0 1  sin x .dx 2 2    4

 4

 1  1  sin x  ' 1   1  sin x  ' .dx .dx     2 0   1  sin x  2 1 sin x    0    1 1 4   ln 1  sin x  0   ln 1  sin x  04 2 2   1  1  2 2 ln 1 ln 1   ln 1   ln  1          2   2  2 2      1  2 2  1  2 2   ln    ln    ln( 2  1) 2  2  2  2 

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 50

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

II-រកអនុគមន៍ f (x)

េគមន

6 f (2t  1).dt  4x  0

ង g(t)  f (2t  1) និង G(t) ជ្រពីមីទីវៃន g(t) ។ េគបន

6 g(t).dt  4x  0

 G(t)0

 4x 6

G(x 2 )  G(0)  4x 6

េធ្វើេដរ ីេវេលើអងគទំងពីរៃនទំនក់ទំនងេនះេគបន៖ 2x.G '(x 2 )  24x 5 នំឱយ G '(x 2 )  12x 4 េ

េគទញ g(x 2 )  12x 4

យ G '(t)  g(t)

ែត g(t)  f (2t  1)

េគបន f (2x 2  1)  12x 4

ង 2x 2  1  y នំឱយ x 2 

 y 1 2  3(y  1) នំឱយ f (y)  12  ដូចេនះ   2  2

y1 2

f (x)  3(x  1) 2

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 51

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

III-គណន n

Pn  (1  x  x 2 )(1  x 2  x 4 ).....(1  x 2  x 2

n 1

)

2 4 2 2 2 2 2 េគមន 1  a  a  (1  a )  a  (1  a  a )(1  a  a )

1  a2  a4 2k 1  a  a  េគទញ យក a  x 1  a  a2 2

េគបន 1  x

x

2 k 1



1 x

 1  x 2 k 1  x 2 k  2 Pn    2k 2 k 1 k 0  1  x  x  n

n 1

1 x

IV-ក/បង្ហញថ

x x

2k 2

2 k 1

 1  x 2 n 1  x 2 n  2  2  1  x  x 

1  x2  x2 ដូចេនះ Pn  1  x  x2 2 . cos

2 k 1

n 2

។

(n  1) n n  cos  sin 4 4 4

មរូបមន្ត cos(a  b )  cos a cos b  sin a sin b េយើងបន ៖

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 52

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

2 cos

(n  1) n   2 cos(  ) 4 4 4 n  n   2 (cos cos  i sin sin ) 4 4 4 4 (n  1) 2 n 2 n n n sin )  cos  2 ( cos   sin 4 2 4 2 4 4 4

ដូចេនះ

2 . cos

(n  1) n n  cos  sin 4 4 4

n ខ‐ទញឲយបនថ U n  ( 2 ) cos

េយើងមន នំឲយ sin

2 . cos

។

n (n  1)  ( 2 ) n 1 cos 4 4

(n  1) n n  cos  sin 4 4 4

(n  1) n n  cos  2 cos 4 4 4

n គុណអងគទំងពីរនឹង ( 2 )

n េគបន ( 2 ) sin

ដូចេនះ

n n (n  1)  ( 2 ) n cos  ( 2 ) n 1 cos 4 4 4

U n  ( 2 ) n cos

n ( n  1)   ( 2 ) n  1 cos 4 4

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 53

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

គ‐គណនផលបូក S n  U 1  U 2  U 3  .........  U n េយើងបន

k (k  1)   S n   ( 2 )k cos  ( 2 )k  1 cos 4 4  k 1  (n  1)  2 cos  ( 2 )n  1 cos 4 4 n

ដូចេនះ

S n  1  ( 2 ) n  1 cos

( n  1)  4

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 54

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

វិញ ញ

ទី០៨

ស្រមប់រយះេពល២េម៉ង 

I-េគឲយ ( xn ) និង ( y n ) ជស៉ីត ្វ ចំនួនពិតកំនត់េលើ IN េ

យ x 0  5 , y 0  1 និងទំនក់ទំនងកំេនើន ៖

xn  1  xn  3xn y n និង y n  1  3xn y n  y n ្រគប់ n  IN 3

ចូរគណន xn និង y n ជអនុគមន៍ៃន n ។ II-េគឱយ f ជអនុគមន៍ជប់េលើ  0,1 ។ 



 ចូរបង្ហញថ  x.f (sin x).dx   f (sin x).dx ? 20 0 

xsin x.dx ។ 2 1 cos x  0

អនុវត្តន៍ៈ ចូរគណន I  

III-េ

ះ្រ

 1 1  x  y  9 យ្របព័ន្ឋសមីករ   ( 1  1 ) ( 1  1 ) ( 1  1 )  18 3 3 y  3 x 3 y x

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 55

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

2 IV-េគឲយអនុគមន៍ f ( x )  ln( x  1  x ) , x  IR

ចូរ្រ

ab a b )  f(  ) យបញ ជ ក់ថ f ( 1 a  b 1 a 1 b

ចំេពះ្រគប់ a  0 , b  0 ។ ដំេ

ះ្រ

យ

I-គណន xn និង y n ជអនុគមន៍ៃន n េគមន xn  1  xn  3xn y n (1) 3

និង y n  1  3xn y n  y n ( 2) 2

បូកសមីករ (1) និង ( 2) េគបន ៖

xn  1  y n  1  ( xn  y n )3 ln( xn  1  y n  1 )  3. ln( xn  y n ) ្វ ធរណីម្រតមន ទំនក់ទំនងេនះបញ ជ ក់ថ { ln( xn  y n ) } ជស៉ីត េរសុង q  3 និងតួដំបូង ln( x 0  y 0 )  ln 6 ។ n េគបន ln( x n  y n )  3 ln 6

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 56

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

3 េគទញ x n  y n  6

( 3)

ដកកសមីករ (1) និង ( 2) េគបន ៖

xn  1  y n  1  ( xn  y n )3 ln( xn  1  y n  1 )  3. ln( xn  y n ) ្វ ធរណីម្រតមន ទំនក់ទំនងេនះបញ ជ ក់ថ { ln( xn  y n ) } ជស៉ីត េរសុង q  3 និងតួដំបូង ln( x 0  y 0 )  ln 4 ។ n 3 េគបន ln( x n  y n )  3 ln 4 នំឲយ x n  y n  4 3 3 បូកសមីករ ( 3) និង (4) េគបន 2x n  6  4 n

63  43 េគទញ xn  2

63  43 ដូចេនះ xn  2

(4)

។

3 3 ដកសមីករ ( 3) និង (4) េគបន 2y n  6  4

63  43 េគទញ y n  2

។ n

63  43 និង y n  2

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 57

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍



 II-បង្ហញថ  x.f (sin x).dx   f (sin x).dx 20 0 ង x    t នំឱយ dx   dt និង ចំេពះ x   0,   នំឱយ t    ,0  



េគបន  x.f (sin x).dx    (   t).f  sin(   t).dt 



 x.f (sin x).dx   (   t).f (sin t).dt    f (sin t).dt   t.f (sin t).dt 



 x.f (sin x).dx    f (sin x).dx   x.f (sin x).dx 



 នំឱយេគទញបន  x.f (sin x).dx   f (sin x).dx 20 0

។



xsin x.dx 2 1 cos x  0

អនុវត្តន៍ៈ គណន I   



x.sin x.dx sin x.dx  sin x.dx  x.   េគមន I   2 2 2  1  cos x 2  sin x 2 2  sin x 0 0 0

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 58

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ង z  cosx នំឱយ dz   sin x.dx េហើយចំេពះ x   0,   េនះ z  1,  1 1

  dz       2 1 េគបន I   ។   arctan z 1      2 2 1 1 z 2 2 4 4 4 

x sin x.dx  2 I  2 1  cos x 4 0

ដូចេនះ ះ្រ

III-េ

។

យ្របព័ន្ឋសមីករ

 1 1  x  y  9  1 1 1 1 (  3 ) ( 1  3 ) ( 1  3 )  18 3  x y x y េ

យេ្របើឯកលកខណះភព

( a  b  c) 3  a 3  b 3  c 3  3( a  b)( b  c)( c  a ) (1 

1 1 3 1 1 1 1 1 1  )  1    3(1  )(1  )(  ) 3 3 3 3 3 3 x y x y x y x y

(1 

1 1 3  )  1  9  3(18)  64 3 3 x y

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 59

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

េគទញ 1 

1 1 1 1   4 ឬ  3 3 3 3 3 x y x y

1 1 3 )  27 េគបន ( 3  3 x y 1 1 3 1 1  3 (3  )  27 3 3 x y x. y x y 9

3 (3)  27 3 xy 1

1 3 3 xy xy 

1 8

 11 9 xy  9  x y  8 េគបន្របព័ន្ឋ  ឬ 1  xy   xy  1   8 8 បនទប់ពីេ

ះ្រ

9 1 យសមីករែវយត z  z   0 8 8 2

1 1 x  x  1 , y  , y  1 ) ។ ) ឬ ( េគទទួលបនគូចេម្លើយ ( 8 8

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 60

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

IV-្រ

ab a b )  f(  ) យបញ ជ ក់ថ f ( 1 a  b 1 a 1 b

2 េយើងមន f ( x )  ln( x  1  x ) , x  IR

េយើងបន

f ' (x)  េ

f ' (x) 

( x  1  x 2 )' x  1  x2

1  x2  x ( x  1  x 2 )( 1  x 2 )

យ f ' (x) 

1 1 x



1

2  2 1 x  x  1  x2

1 1  x2

 0 , x  IR

ដូចេនះអនុគមន៍ f ( x ) ជអនុគមន៍េកើនជនិចចេលើ IR ។ ម៉យងេទៀតចំេពះ្រគប់ a  0 , b  0 េគមន ៖

a a b b   និង 1 a  b 1 a 1 a  b 1 b a b a b    េគទញ 1 a b 1 a b 1 a 1 b ab a b   ឬ 1 a  b 1 a 1 b

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 61

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

េ

យ

រែតអនុគមន៍ f ( x ) ជអនុគមន៍េកើនជនិចចេលើ IR

េហតុេនះ

មលកខណះអនុគមន៍េកើនេគបន៖

ab a b   1 a  b 1 a 1 b ab a b )  f(  ) នំឲយ f ( 1 a  b 1 a 1 b ដូចេនះ f (

ab a b )  f(  ) 1 a  b 1 a 1 b

ចំេពះ្រគប់ a  0 , b  0 ។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 62

គណ ណិតវិទយ

រ ូូបករណ ណ៍

វិញ ញ

ទី០៩

ស្រមប់រយះេពល រ ល២េម៉ង   

a 2  bx xc  0 , a  0 , a  c ។ I--េគឲយស សមីករ ax

t  និង tan  ជឬស ង tan សរបស់ស សមីករខ ខងេលើ ។ ចូរគណ ណនតៃៃម្លៃនកេន ម ៖

A  a sin 2 (   )  b sin(   ) cos(   )  c cos 2 (   ) III-េគឱយ f ជអនុគមន៍គូ គេលើ   a ,a  ។ a

f (x)..dx ក ក. ចូរបង ង្ហញថ    f (x).dx , q  0 , q  1 ។ x 1  q 0 a

ខ ខ. អនុវត្តន៍ ៖ គណន I 

 2

co os x  1  3x .dx



េរៀបេរៀង ងេ

យ លឹ លម ផលគ លគន ុ

Paage 63

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

III-ចំនួនគត់វ ិជជមន n ែចកនឹង 8 ឱយសំណល់ 1 ។ ចំនួន n េនះែចកនឹង 5 ឱយសំណល់ 2 ។ ក‐េបើចំនួន n េនះែចកនឹង 4០ ឱយសំណល់ប៉ុនមន ? ខ‐រកចំនួន n េនះេ

យដឹងថ 3940  n  4000 ។

IV-ចូរកំនត់រកអនុគមន៍ f ( x ) និង g( x) េបើេគដឹងថ៖

f ( 2x  1)  2g( 3x  1)  x 2 2 និង f (4x  3)  g(6x  2)  2x  2x  1 ចំេពះ្រគប់ x  IR ។

ដំេ

ះ្រ

យ

I-គណនតៃម្លៃនកេន ម ៖

A  a sin 2 (   )  b sin(   ) cos(   )  c cos 2 (   ) េ

យ tan  និង tan  ជឬសរបស់សមីករេគបន ៖

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 64

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

b  tan   tan     a  c tan  . tan    a b tan   tan  a  b  b tan( )      េយើងបន c 1  tan  tan  ac ca 1 a 

េយើងបន

A  a sin 2 (    )  b sin(    ) cos(    )  c cos 2 (    )





A  cos 2 (   ) a tan 2 (   )  b tan(   )  c 1 a tan 2 (   )  b tan(   )  c  2 1  tan (   )





  (c  a)2   ab 2 b2   c    2 2  2  c a  ( c a ) b ( c a )       (c  a ) 2 ab 2  b 2 (c  a )  c(c  a )2   c 2 2 2 (c  a )  b (c  a ) 2 2 ដូចេនះ A  a sin (   )  b sin(   ) cos(   )  c cos (   )  c a

f (x).dx II-ក.បង្ហញថ    f (x).dx , q  0 ,q  1 ។ x 1 q 0 a a

f (x).dx f (x).dx f (x).dx េគមន     1 x x x   1 q 1 q 1 q    0 a a

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 65

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ង x  t នំឱយ dx   dt និងចំេពះ x   a,0 នំឱយ t   a ,0 f (x).dx f (  t).dt q t .f (  t)dt q xf (  x).dx េគបន      t x t 1 q 1 q 1 q 1  qx a 0 0 a 0

យ f (x) ជអនុគមន៍គូេនះ f (  x)  f (x) , x   a ,a 

េ

f (x).dx q x .f (x) េគទញបន  .dx  2   x x 1 q 1 q 0 a

យក (2) េទជួសកនុង (1) េគបន៖ f (x).dx q x .f (x).dx f (x).dx (q x  1)f (x).dx   f (x).dx  a 1  q x  0 1  q x  0 1  q x  0 1  q x 0 a

f (x).dx ដូចេនះ    f (x).dx , q  0 ,q  1 x 1 q  0 a

ខ. អនុវត្តន៍ ៖ គណន I 

។

 2

cos x  1  3x .dx



េ

យ cosx ជអនុគមន៍គូេនះេគបន៖  2

 2 0

I   cos x.dx   sin x   1  0  1 ។ ដូចេនះ 0

I 1

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 66

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

III-ក. េបើចំនួន n េនះែចកនឹង 40 ឱយសំណល់ប៉ុនមន ? ឧបមថ n ែចកនឹង 8 ឱយផលែចក q 1  IN និងសំណល់ 1 និង ចំនួន n េនះែចកនឹង 5 ឱយផលែចក q 2  IN និងសំណល់ 2

 n  8q 1  1 ( 15) មអឺគី្លត េយើងបន   n  5q 2  2 (16 )   15n  120q 1  15 (1) ឬ  ( 2)  16n  80q 2  32 បូកសមីករ (1) និង (2) េយើងបន n  80q 2  120q 1  17  40 q  17 ែដល q  2q 2  3q 1 ។

មទំនក់ទំនង n  40q  17 បញ ជ ក់ថ

េបើចំនួន n េនះែចកនឹង 40 ឱយសំណល់ r  17 ខ. រកចំនួន n េនះេ

យដឹងថ 3940  n  4000

េយើងមន n  40q  17 េ

យ 3940  n  4000

េគទញ 3940  40q  17  4000

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 67

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ឬ 98  េ

3 17  n  100  40 40

យ q  IN នំឱយេគទញបន q  { 99 , 100 }

េហើយ n  { 3977 , 4017 } ។ IV-កំនត់រកអនុគមន៍ f ( x ) និង g( x) 2 េគមន f ( 2x  1)  2g( 3x  1)  x

និង េយើង

(1)

f ( 4 x  3 )  g ( 6 x  2 )  2 x 2  2 x  1 ( 2 ) ង 2x  1  4t  3 នំឱយ x  2t  1

យក x  2t  1 ជួសកនុង (1) េគបន ៖

f 2( 2t  1)  1  2g3( 2t  1)  1  ( 2t  1) 2 f (4t  3)  2g(6t  2)  4t 2  4t  1

( 3)

េបើេគយក x  t ជួសកនុង(2) េគបន

f (4t  3)  g(6t  2)  2t 2  2t  1 (4)

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 68

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ម (3) និង (4) េគបន្របព័ន្ឋ

f (4t  3)  2g(6t  2)  4t 2  4t  1 ( 3)  f (4t  3)  g(6t  2)  2t 2  2t  1 (4) ដកសមីករ(3)និង(4)េគបន

3g(6t  2)  6t 2  6t នំឱយ g(6t  2)  2t 2  2 យក x  6t  2 នំឱយ t  េហើយ g( x)  2(

x2 6

x2 2 ( x  4)( x  8) ) 2 6 18

2 2 ម (4)នំឱយ f (4t  3)  ( 2t  2)  2t  2t  1

នំឱយ f (4t  3)  2t  1 យក x  4t  3 នំឱយ t  េគទញ f ( x )  2( ដូចេនះ

f (x) 

x3 4

x3 x1 )1 4 2

x1 ( x  4 )( x  8 ) , g(x)  2 18

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 69

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

វិញ ញ

ទី១០

ស្រមប់រយះេពល២េម៉ង 

x 2  4mx  4m 2  1 I-េគឲយែខ េកង (Cm ) : y  f m ( x )  mx ចូរបង្ហញថមនែខ េកងពីរៃន្រគួ ែដលកត់

រែខ េកង (Cm )

2 មចំនុច M 0 ( x 0 ; y 0 ) ចំេពះ្រគប់ x 0 ; y 0   IR ។

m ជប៉ ៉ ែម៉្រត ។  

II-កនុងប្លង់កុំផិច ្ល (O , i , j ) េគឱយបួនចំនុច A , B , C , D ែដលមន

ហ្វិកេរៀងគន

Z A  1  6i , Z B  4  5i , Z C  5  4i និង Z D  2  3i ។

ចូរ្រ

យថចតុេកណ ABCD ចរ ិកកនុងរង្វង់មួយែដលេគនឹង

បញ ជ ក់ផិត ច និង កំរបស់

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 70

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

III-េ

ះ្រ

1  x y  4 . 5  400  យ្របពន្ឋ័សមីករ  5x .6 y  1  900

x 3  3x 2  3x  1 IV-េគឲយអនុគមន៍ f ( x )  3x 2  3x  1 កំនត់ចំេពះ្រគប់ x  IR ។ ចំេពះ្រគប់ចំនួនពិតវ ិជជមន a និង b ចូរ្រ

យបញ ជ ក់ថ ៖

 1  a  b  ab  1 a  b f   ។   f  2  2ab   

ដំេ

ះ្រ

យ

I-ករបង្ហញ ៖ x 0 2  4mx 0  4m 2  1 េបើ M 0  (Cm ) េគបន y 0  m  x0

សមមូល y 0 (m  x0 )  x0 2  4mx0  4m 2  1

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 71

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

my 0  x 0 y 0  x 0  4mx 0  4m 2  1 2

4m 2  ( y 0  4x 0 )m  x 0  x 0 y 0  1  0 (1) 2

ឌីស្រគីមីណង់ៃនសមីករ (1) សរេសរ ៖   ( y 0  4x 0 ) 2  16(  x 0  x 0 y 0  1) 2

 y 0  8x 0 y 0  16x 0  16x 0  16x 0 y 0  16 2

 ( y 0  8x 0 y 0  16x 0 )  16( x 0  1) 2

 ( y 0  4x 0 ) 2  16( x 0  1)  0 ; x 0 , y 0  IR 2

េ

យ   0 នំឲយសមីករ (1) មនឬសពីរេផ ងគនជនិចច ។

ដូចេនះមនែខ េកងពីរៃន្រគួ

រែខ េកង (Cm ) ែដលកត់

ម

2 ចំនុច M 0 ( x 0 ; y 0 ) ចំេពះ្រគប់ x 0 ; y 0   IR ។

II-្រ

យថចតុេកណ ABCD ចរ ិកកនុងរង្វង់

េយើង

2 2 ង (c) : x  y  ax  by  c  0

ជសមីកររង្វង់ចរ ិកេ្រក្រតីេកណ ABC ។ េយើងបន A  (c) នំឱយ 1 2  6 2  a  6b  c  0

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 72

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ឬ a  6b  c  37 (1) B  (c) នំឱយ 4 2  5 2  4a  5b  c  0 ឬ 4a  5b  c  41 ( 2) 2 2 C  (c) នំឱយ ( 2)  ( 3)  2a  3b  c  0

ឬ  2a  3b  c  13 ( 3) a  6b  c  37  េយើងបន្របព័ន្ឋសមីករ 4a  5b  c  41   2a  3b  c  13 

បនទប់ពីេ

ះ្រ

យ្របព័ន្ឋេនះេគបនចេម៉ើយ ្ល

a  2 , b  2 , c  23 ។ សមីកររង្វង់ចរ ិកេ្រក្រតីេកណ ABC

ចសរេសរ ៖

2 2 (c) : x  y  2x  2y  23  0 2 2 ឬ (c) : ( x  1)  ( y  1)  25

ម៉យងេទៀតេ

យយកកូអរេ

េន D ជួសកនុងសមីករ

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 73

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

យបួនចំនុច A , B , C , D សថិតេនេលើរង្វង់មនសមីករ

ះ្រ

យ្របពន្ឋ័សមីករ ៖

1  x y  4 . 5  400   5x .6 y  1  900 x y េយើងមន ln (4 .5 )  ln(

1 ) 400

ឬ x ln 4  y ln 5  2 ln 4  2 ln 5 (1) x y េហើយ ln( 5 .6 )  ln(

1 ) 900

ឬ x ln 5  y ln 6  2 ln 6  2 ln 5 ( 2)

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 74

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ម (1) & ( 2) េគបន្របពន្ឋ័ ខងេ្រកម  x ln 4  y ln 5  2 ln 4  2 ln 5   x ln 5  y ln 6  2 ln 6  2 ln 5

(  ln 6) ( ln 5)

  x ln 4. ln 6  y ln 5. ln 6  2 ln 4. ln 6  2 ln 5. ln 6 ( 3)  2 2 ( 4)  x ln 5  y ln 5. ln 6  2 ln 6. ln 5  2 ln 5

បូកសមីករ ( 3) & (4) េគបន

(ln 2 5  ln 4. ln 6) x  2(ln 4. ln 6  . ln 2 5) នំឱយ x  2 x y មសមីករ 4 .5 

1 1 2 y  4 . 5 េគទញ 400 400

នំឱយេគទញ y  2 ។ដូចេនះ x  2 , y  2 ។ IV-្រ

 1  a  b  ab  1 a  b  f f     យបញ ជ ក់ថ 2  2ab   

x 3  3x 2  3x  1 េយើងមន f ( x )  កំនត់ចំេពះ្រគប់ x  IR 2 3x  3x  1 ( 3x 2  6x  3)( 3x 2  3x  1)  (6x  3)( x 3  3x 2  3x  1) f ' (x)  ( 3x 2  3x  1) 2 3x 4  6x 3  3x 2 3x 2 ( x  1) 2    0 , x  IR 2 2 2 2 ( 3x  3x  1) ( 3x  3x  1)

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 75

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ដូចេនះ f ( x ) ជអនុគមន៍េកើនេលើ IR ។

1  a  b 1  a  b  ab  ម៉យងេទៀតេយើងសនមតថ 2 2ab 2 2ab  េគបន 1  a  b 1  a  b  ab

េ

2 (1  a )  (1  b )  1 a  b (1  a )(1  b ) 2 1 1   1 a  b 1 a 1 b

យ

1 1 1 1   និង ្រគប់ a និង b ។ 1 a  b 1 a 1 a  b 1 b

េគទញ

2 1 1   1 a  b 1 a 1 b

1  a  b 1  a  b  ab  នំឲយ ពិត។ 2 2ab ដូចេនះ

មលកខណះអនុគមន៍េកើនេគទញបន ៖

1 a  b  1  a  b  ab  f   f  ។ 2   2ab  

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 76

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

វិញ ញ

ទី១១

ស្រមប់រយះេពល២េម៉ង 

I-េគឲយ P(x) ជពហុធដឺេ្រកទីបី ។ េគដឹងថ P( x )  2 ែចក

2 ច់នឹង ( x  1) េហើយ P( x )  2 ែចក

ច់

2 នឹង ( x  1) ។ចូរកំនត់រកពហុធ P( x ) ។

II-ចូរេ

4 x .3 y 1  27 y  171 យ្របពន្ឋ័សមីករ  x 8  2 x .31 2 y  172

ះ្រ

an  5  2(a n  2) 2

III-េគឲយ a 0 

2  3  6 និង a n  1

ចំេពះ្រគប់ n  0 ។ ចូរ្រ

 2n 3     2 ចំេពះ្រគប់ n  IN ។ យថ a n  cot  3 

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 77

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ដំេ

ះ្រ

យ

I-កំនត់រកពហុធ P( x ) ៖ មបំ ប់េគ

 P( x )  2  ( x  1) 2 (ax  b ) (1) ចសរេសរ   P( x )  2  ( x  1) 2 (cx  d ) ( 2)

 P( 1)  2  0 េគបន  នំឲយ  P(1)  2  0

េ

 P( 1)  2   P(1)  2

យេធ្វើេដរ ីេវេលើ (1) និង ( 2) េគបន ៖

 P' ( x )  2( x  1)(ax  b )  a( x  1)2   P' ( x )  2( x  1)(cx  d )  c( x  1)2  P' ( x )  ( x  1)[ 2(ax  b )  a( x  1)] ( 3)  ( 4)  P' ( x )  ( x  1)[2(cx  d )  c( x  1)

ម ( 3) នឹង (4) បញ ជ ក់ថ P' ( x ) ែចក

ច់នឹង ( x  1)( x  1)

េគទញ P' ( x)  k ( x  1)( x  1) ( េ្រពះ P( x ) ជពហុធដឺេ្រកទី៣ )

x3 េគបន P( x)  k  ( x  1).dx  k (  x)  r 3 2

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 78

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

2    P ( 1 ) k  r  2  3 ចំេពះ x  1 េគបន   P(1)   2 k  r  2  3

េ

ះ្រ

យ្របព័ន្ឋេនះេគបន k  3 , r  0

x3  x )  x 3  3x ។ ដូចេនះ P( x )  3 ( 3 II-េ

ះ្រ

យ្របពន្ឋ័សមីករ ៖

 4 x .3 y 1  27 y  171 (1)  x  8  2 x .31 2 y  172 ( 2) េ

យបូកសមីករ (1) និង (2) អងគនិងអងគេគបន ៖

8x  4x .3y 1  2x .31 2y  27 y  343 (2x )3  3(2x )2 (3y )  3(2x )(3y )2  (3y )3  343 (2x  3y )3  343 2x  3y  7

(3)

ម៉យងេទៀតដកសមីករ (1) និង (2) អងគនិងអងគេគបន ៖

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 79

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

27 y  2x .31 2y  4x .3y 1  8x  1 (3y )3  3(3y )2 (2x )  3(3y )(2x )2  (2x )3  1 (3y  2x )3  1 2x  3y  1

(4)

ម  3  និង  4  េយើងបន្របពន្ឋ័ ៖

 2 x  3 y  7 ( 3)  x  2  3 y  1 (4) បូកសមីករ 3  និង 4  េគបន 2.2 x  8 នំឲយ ដកសមីករ 3  និង 4  េគបន 2.3 y  6 នំឲយ y  1 ។ ដូចេនះ x  2 , y  1 ។ III-្រ

 2n 3     2 យបញ ជ ក់ថ a n  cot  3 

ចំេពះ n  0 េគបន a 0  cot

 2 24

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 80

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

   2 cos 2 1  cos  24  24  12 cot      24 sin 2 sin cos sin 24 24 24 12   6 2 1  cos(  ) 1  4 6 2 3 4  4     6 2 6 2 sin(  ) 3 4 4 cos

 4( 6  2 )  ( 6  2 ) 2 cot  24 4 4( 6  2 )  8  4 3  4  2 2 3 6 េគទញ a 0 

2 3 6

 2n 3     2 ពិតចំេពះ n  0 ។ េហតុេនះ a n  cot  3   2k  3     2 ពិត សនមតថ ពិតដល់តួទី k គឺ a k  cot  3 

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 81

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

េយើងនឹង្រ

a k 1

យថ ពិតដល់តួទី k  1 គឺ ៖

 2k  2     2 ពិត ។  cot  3  a 5  k េ 2(a k  2) 2

េយើងមន a k  1

 2k  3     2 យ a k  cot  3  2

េនះ a k  1

  2k  3      2  5 cot  3      2k  3    2 cot  3 

 2k  3    2k  3     1   4 cot cot  3  3      2k  3    2 cot  3  2

a k 1

k3  2  2   1 cot   3  2  k3 2   2 cot  2 

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 82

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

េ

cot 2 a  1 យេ្របើរប ូ មន្ត cot 2a  2 cot a

េគបន a k  1

 2k  2     2 ពិត ។  cot  3 

 2n 3     2 ។ ដូចេនះ a n  cot  3 

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 83

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

វិញ ញ

ទី១២

ស្រមប់រយះេពល២េម៉ង  n

 1   1  I-េគឱយ A    i    i  , n  IN  3   3 

2n  1 n  A i . .sin ចូរបង្ហញថ 3 ( 3)n

។

ចំេពះ្រគប់ n  IN ។

II-េគឱយចំនួនគត់វ ិជជមន n ។ េគដឹងថ

ែចកនឹង 7 ឱយសំណល់ 5 េហើយ

ែចកនឹង

ឱយសំណល់ 3 ។ ក. េតើចំនួន n េនះែចកនឹង 56 ឱយសំណល់ប៉ុនមន ? ខ. រកចំនួន

េនះេ

យដឹងថ 5616  n  5626

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 84

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ំងេត្រកល

III-េគឱយ 1

1 dt tn I 0   1  t  t 2 និង I n   1  t  t 2 .dt , ( n  IN ) 0 0

ក. ចូរគណនតៃម្លៃន I 0 រួច ្រ ខ. ្រ

យថ (I n ) ជស៉ីត ្វ ចុះ។

យបញ ជ ក់ថ I n  I n 1  I n  2 

គ. ទញឱយបនថ

1 ។ n1

1 1 , n  2 ។  In  3(n  1) 3(n  1)

(n I n ) ។ ទញរកលីមីត nlim 

IV-េគឲយ

a1 ,a 2 ,a3 ,a4 ,a5 ជចំនួនពិតែដលេផទ ងផទត់សមីករ

a3 a5 a1 a2 a4 1      2 2 2 2 2 2 k 1 k  2 k  3 k 4 k 5 k ចំេពះ k  1, 2, 3,4,5 ។ ចូរកំនត់តៃម្ល

a1 a 2 a 3 a4 a5 ។     37 38 39 40 41

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 85

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ដំេ 2n  1 n A i . .sin  I-បង្ហញថ 3 ( 3)n

ះ្រ

យ

ចំេពះ្រគប់ n  IN ។

 1   1   i    i  , n  IN េយើងមន A    3   3    1 1  i. 3 2  1 3  2  i   i cos  i.sin      2  3 3 3 3 3 2 3

ង Z

2n  n n   1  n Z i cos i.sin     មរូបមន្តដឺមរ ័េគបន    3 3  ( 3)n   3  2n  n n   cos i.sin េហើយ Z   3 3  ( 3 )n  n

2n  n n  2n  n n  cos i.sin cos i.sin    េគទញ A   3 3  ( 3)n  3 3  ( 3)n  2n  n n n n  2n  1 n cos  i.sin  cos  i.sin  i. .sin    3 3 3 3  3 ( 3 )n  ( 3 )n

ដូចេនះ

2n 1 n A  i. .sin 3 ( 3 )n

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 86

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

II-ក. េតើចំនួន

n េនះែចកនឹង 56 ឱយសំណល់ប៉ុនមន ?

មសមមតិកមមេគដឹងថ n ែចកនឹង

ឱយសំណល់ 5 នំឱយមន

q1  IN ែដល n  7q1  5 (1) េហើយម៉យងេទៀត

n ែចកនឹង

8 ឱយសំណល់ 3 េនះនំឱយមន

q 2  IN ែដល n  8q 2  3 (2)  n  7q1  5 (1) ម (1) និង (2) េគបន្របពន្ឋ័  n  8q  3 (2) 2  ឬ

 8n  56q1  40 (3)   7n  56q 2  21 (4)

ដកសមីករ (3 ) និង (4) េគបន n  56(q1  q 2 )  19 ង

q  q1  q 2 , q  IN

េគបន n  56q  19 ។ ទំនក់ទំនងេនះមនន័យថចំនួន

េនះែចកនឹង 56 ឱយសំណល់ 19

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 87

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ខ. រកចំនួន

េនះេ

យដឹងថ 5616  n  5626

េគមន n  56q  19 នំឱយ 5616  56q  19  5626

5597 5607 53 7  q  99   q  100  ឬ 56 56 ឬ 56 56 នំឱយ q  100 ។ ចំេពះ q  100 េគបន n  5600  19  5619 ។ III-ក. គណនតៃម្លៃន I 0 រួច ្រ 1

យថ (I n ) ជស៉ីត ្វ ចុះ

dt dt I   េយើងបន 0  1  t  t 2  3 1 2 0 0  (  t) 4 2

ង U

1  t នំឱយ dU  dt 2

  េហើយចំេពះ t   0,1 េនះ U   ,   2 2 1 3

3 2

 2  2U   arctan    3 2 3  3  1 1  2 ( ) U 2 2 2

េគបន I 0  

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 88

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍



2 2 1 2     arctan 3  arctan ។ 3  6 3 3 3 3  3 3

dt    I ដូចេនះ 0  1  t  t 2 3 3 0 1

។

tn ម៉យងេទៀតេគមន I n   1  t  t 2 .dt 0 ចំេពះ្រគប់ t   0,1  េគមន t

n 1

t n 1 tn .dt   .dt េគទញ  2 2 1 t t 1 t t     0 0 1

្វ ចុះ ។ ដូចេនះ (In ) ជស៉ីត ខ. ្រ

t n 1 .dt និង In1   2 1 t t   0 1

t

t n 1 tn  នំឱយ 1  t  t2 1  t  t2

ឬ I n 1  I n , n  IN ។

1 I I I    n 1 n 2 យបញ ជ ក់ថ n n1

េយើងបន I n  I n1  I n 2

t ndt t n1dt t n 2dt    2 2 2 1 t t 1 t t 1 t t       0 0 0 1

(t n  t n 1  t n  2 )dt t n (1  t  t 2 ).dt   2 1 t t 1  t  t2   0 0 1

1  1 n 1  t     t dt   n  1 0 n  1 0 1

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 89

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

ដូចេនះ I n  I n 1  I n  2

1  n1

។

1 1   I , n  2 គ. ទញឱយបនថ n 3(n  1) 3(n  1)

្វ ចុះ ។ េយើងមន (I n ) ជស៉ីត

មលកខណៈៃនស៉ីត ្វ ចុះេយើងមន៖

I n  I n1  I n 2  3I n  I n 2  I n1  I n េ

យ I n  I n 1  I n  2 

1 n1

នំឱយ I n 2  I n1  I n 

1 n1

1 1 1 1  3I  I , n  2 ។   េគទញ នំឱយ n n 3(n 1) 3(n 1)   n1 n1 1 1  I  , n  2 ។ ដូចេនះ 3(n  1) n 3(n  1)

(n I n ) : ទញរកលីមីត nlim  1 1  I  , n  2 មន n 3(n  1) 3(n  1)

នំឱយ

1 n n nI n    nI n   ។ ដូចេនះ nlim  3(n  1) 3(n  1) 3

។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 90

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

IV-កំនត់តៃម្ល

a1 a 2 a 3 a4 a5     37 38 39 40 41

ងអនុគមន៍ a3 a5 a2 a4 1 5  a1 f (x)          (x  p) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x  p0      

 1

ែដល x  x  1 , 4 , 9 , 16 , 25 េគបន f (1)  f (4)  f (9)  f (16)  f (25)  0 នំឲយអនុគមន៍ f

ចសរេសរមួយែបបេទៀតជ ង

f (x)  c(x  1)(x  4)(x  9)(x  16)(x  25)  2  ម (1) េគទញបន៖ limf(x)  1 2 3 4 5 (0  1)  120 x0

ម (2) េគទញបន៖

lim f (x)  c.( 1)( 4)( 9)( 16)( 25)   (120)2 c x 0

1 េគបនសមីករ (120) .c  120  c  120 2

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 91

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

េគបន f (x) 

1 (x  1)(x  4)(x  9)(x  16)(x  25) 120

េបើ x  36  f (36) 

35.32.27.20.11 (3) 120

ម (1) េបើ x  36 េគបន

a5 1 a1 a 2 f (36)  36.37.38.39.40.41(   ...   ) (4) 37 38 41 36 ម (3) និង (4) េគទញបន

a a1 a 2 1 35.32.27.20.11   ...  5   37 38 41 36 120.36.37.38.39.40.41 a1 a 2 a 3 a4 a5 187465      ។ ដូចេនះ 37 38 39 40 41 6744582

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 92

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

វិញ ញ

ទី១៣

ស្រមប់រយះេពល២េម៉ង 

I-គណនផលបូក

Sn  1.1!2.2!3.3!.....  n.n! ែដល n!  n(n  1)(n  2)....3.2.1 ។ II-េ

ះ្រ

x  y  3 a  b យ្របព័ន្ឋសមីករ  4 4  x  y  ax  by

ែដល a និង b ជចំនួនពិតែដល a  b  0 ។ III-េគឲយស៉ីត ្វ { a n } កំនត់េ

យ៖

a 0  1 និង an  1  a 0 .a1 ....an  4 ចំេពះ្រគប់ n  1 ។ ចូរបង្ហញថ an  an  1  2 ចំេពះ្រគប់ n  1 ។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 93

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

 4

ំងេត្រកល I n   tann x.dx ែដល n  0 , 1 , 2,...

IV-េគឲយ

ក/្រ

យថ (I n ) ជស្វីុតចុះ រួចគណន I n  I n  2 ជអនុគមន៍ៃន n ។

ខ/បង្ហញថ

1 1  In  ្រគប់ n  2 ។ 2(n  1) 2(n  1)

គ/គណនលីមីត lim (nI n ) ។ n 

ដំេ

ះ្រ

យ

I-គណនផលបូក

Sn  1.1!2.2!3.3!.....  n.n! េគមន k .k!  [(k  1)  1 ] .k!

k .k!  (k  1).k!k! k .k!  (k  1)!k! េគបន S n  ( 2!1! )  ( 3!2! )  (4!3! )  ...  (n  1)!n! ដូចេនះ S n  (n  1)!1 ។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 94

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

II-េ

ះ្រ

យ្របព័ន្ឋសមីករ

x  y  3 a  b  4 សមមូល 4 x  y  ax  by 

a  b  ( x  y ) 3 y  4 4 1 ax by x y    

ay  by  y ( x  y )3   4 4 ax  by  x  y a( x  y )  y ( x  y ) 3  x 4  y 4 េ

យ a  b  0 េនះ x  y  0

y ( x  y )3  x 4  y 4  x 3  3xy 2 េគទញ a  xy 3 2 3 េហើយ b  ( x  y )  a  3x y  y

 x 3  3xy 2  a នំឲយ េគបន្របព័ន្ឋ  2 3 3 x y  y  b 

x  y  3 a  b  3 x  y  a  b

3 ab3 ab ab 3 ab ; y ដូចេនះ x  ។ 2 2 3

III-បង្ហញថ an  an  1  2 េយើងសេងកតេឃើញថ្រគប់ k  IN េគមន ak  0 ។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 95

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

េគមន an  1  a 0 .a1 ....an  4 េគបន an  2  a 0 .a1 .....an  1  4

an  2  (a 0 .a1 .....an )(a 0 .a1 .....an  4)  4 2 an  2  (a 0a1 .....an )  4(a 0 .a1 ....an )  4 an  2  (a 0a1 .....an  2)2

េគទញ

an  2  a 0a1 .....an  2

an  2  (an  1  4)  2 ឬ an  1  an  2  2 ដូចេនះ an  an  1  2 ។ IV- ក/្រ

យថ (I n ) ជស្វីុតចុះ  ្រគប់ x  [0, ] េគមន 0  tan x  1 4  4

 4

េគបន n  IN : cot n 1 x  cot n x នំឲយ  tan n 1 x   tan n x.dx ដូចេនះ (I n ) ជស្វីុតចុះ ។

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 96

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

គណន I n  I n  2 ជអនុគមន៍ៃន n ៖  4

េគបន I n  I n  2   (1  tan 2 x ) tan n x.dx 0

ង u  tan x  du  (1  tan 2 x).dx

 ចំេពះ x  [0, ] េនះ u  [0 , 1] 4 េគបន I n  I n  2

ដូចេនះ I n  I n  2  ខ/បង្ហញថ

1 ។ n1

1 1  In  ្រគប់ n  2 ៖ 2(n  1) 2(n  1)

មន I n  I n  2  េ

1  1 n 1    u ndu   u   n  1 0 n  1 0 1

1 1 េនះ I n  2  I n  ្រគប់ n  2 ។ n1 n1

យ (I n ) ជស្វីុតចុះេនះេគបន I n  2  I n  I n  2

េគទញ ដូចេនះ

In  In 2 I  In  In  n2 2 2

1 1  In  ្រគប់ n  2 ។ 2(n  1) 2(n  1)

េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 97

គណិតវិទយ

រ ូបករណ៍

គ/គណនលីមីត lim (nI n ) ៖ n 

េ

យ

1 1  In  ្រគប់ n  2 2(n  1) 2(n  1)

គុណអងគទំងពីរៃនវ ិសមភពនឹង n េគបន ៖

n n  nI n  េ 2(n  1) 2(n  1) ដូចេនះ lim (nI n )  n 

n n 1  lim  n  2(n  1) n  2(n  1) 2

យ lim

1 ។ 2



េរៀបេរៀងេ

យ លឹម ផលគន ុ

Page 98