Алгебра 8 клас Мерзляк 2021 поглиблене by sloven

Аркадій Мерзляк Віталій Полонський Михайло Якір

АЛГЕБРА підручник для 8 класу з поглибленим вивченням математики закладів загальної середньої освіти 2 ге видання, перероблене

Харків «Гімназія» 2021

Від авторів

ЛЮБІ ВОСЬМИКЛАСНИКИ ТА ВОСЬМИКЛАСНИЦІ!

Від авторів

ШАНОВНІ КОЛЕГИ ТА КОЛЕЖАНКИ!

Умовні позначення n n n n



§1

ПОВТОРЕННЯ ТА СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ З КУРСУ АЛГЕБРИ 7 КЛАСУ

Лінійне рівняння з однією змінною. Цілі вирази 1

ПРИКЛАД 1

= x=

0 =

x=1 

= 2x = x= 1  12

= 2

12 2 = 21 1

1 2

= 2

1 2

ПРИКЛАД 4 2 + 1 22 + 1 2

2x = 2x = 2 x= 1

ПРИКЛАД 3 1 12

x=1

= 12

a−3

ПРИКЛАД 2

a−3

0x = 0

 2 +1

2 +1

21 + 1

1 2 + 1 22 + 1 2 + 1 2 + 1 21 + 1 2 2 + 1 2 = = 22 1 22 + 1 2 + 1 2 + 1 21 + 1 2 2 + 1 2 =

Повторення та систематизація навчального матеріалу

= 2

2 + 1 2 + 1 21 + 1 2 = =2 1 2 = 1 1 

ПРИКЛАД 5

+ =

ПРИКЛАД 6

+1 +2 + +1= 2 +1= 2+ + +2 +1= + +1= 2+ +12 

x2 + 2x

y2 + 12y

x2 + 2x y2 + 12y = x2 + 2x + 1 y2 + 12y = = x+12 y2 12y + = x+12 y 22= = x+1 y+2 x+1+ y 2 = x y+ x + y 1 ПРИКЛАД 7 =

+22 =

+ +

ПРИКЛАД 8

= +

+ 2

2 +2

= =

+ 2

= +2 2

+ + 2 2 +2+2 +2 +2 

2 2

+ 2

= =

+ +

+ =

+ +

2 2

+2 + 

+ +

2x + x2 + x + 1

2x + x2 + x + 1 = x + x + x2 + x + 1 = = x + x + 1 = x + x + 1 x2 x x + 1 + x + 1 = 2x + 1 x2 x2 x + x2 + 2x + 1 = = 2x + 1 x2 + x + 1 



1. Лінійне рівняння з однією змінною. Цілі вирази

ПРИКЛАД 9

+ =

+1= + + + 2 + +1 = 2+

+1= 2 1 +

+ +1 + 2

+ +1= + + +1= +1 + 2+ +1= 2 +1 2

+ +1= 2 + +1 =

1 + + +1

+1 = 2 +1 

ВПРАВИ 1.1. 1

x 7

3x − 1 14

= ; 3

2x − 1 8

−

x+2 4

= x.

1.2. 1 1.3. 1 2 1.4. 1 2

2x + 3 5

3x − 1 2

= 2x;

8x − 5 3

−

4x + 3 4

2 − 9x 2

= −3.

x 1 x+ = + x x+ x 12 x + x = 10x + 1 2 2 2 x 1 x + x + 1 + x = x2 x + 1 2x x + 1 2x = 10x x+2 x+12 1 x 1+ x = x+2 x + 2 x2 2x + + x2 = x2 x +

1.5. 1 0 x 2x + 1 = 0 2 x2 1 = 0 x2 + 1 x = 0 1 x2 x+1=0 1.6. 1 0 x 2 x2 2 1 x 1 x

2 x+1 =0 =0 x2 = 0 + x2 = 0

x x+2 x 1 =0 x 1 2 2 x2 = 0 2x + 1 2 = x + 2 2 x 12+ x 22= =2 1 x

x x+ x =0 2x + 2 x2 = 0 2 x 22= x 2 2 x+ + x = =2 x

Повторення та систематизація навчального матеріалу

1.7. 1 2 1.8. 1 1.9.

x = x 1 = x

x+2 + = x =0

1 =2

x +

=0 2

1 (−a3b2 )3 æ 7a5b4 ;

2  1  −2 c6d11 æ  − cd2  ;   5 2

 1  2 (3m6n3 )4 æ  − m8n2  ;  81 

 1  −(−3m4n2 )5 æ  − mn3  .  3 

1.10. 2

 5  a7b2 æ  − a2b7  ;  6  25

 1 3 5 2  − ab  æ (−4a b) ; 2

2 (−0,2x y z ) æ 10y z;

 4 2  3 2   − xy   − x y . 3 2

1 1

1.11.

5 3 2

1.12. 1 x=1 1.13. 1 x=2 1.14. 1 1.15. 1.16.

x= 1 x=

+2 x=

x= +1 x=

1 =2 x+

1.17. 1 (*)2 æ (*)3 = 72m7n11; 2 (*)3 æ (*)4 = −81x10 y17 z13 ; (*)2 æ (*)5 = −288a9b11c12 . 1.18. x2y = 2 1 xy 2 x y2 1.19. 2 2= 2 1 2 2

1. Лінійне рівняння з однією змінною. Цілі вирази

xy=

1.20. 1 1.21. 1 1.22.

1.23. 1 2 1.24. 1 2 1.25. 1.26. 1.27. 1 2

2 2 2

x2 + xy + y2

x2 1 2

2 3

x yz;

= 2

= 2 10

10 2

x y x2

xn + 1 (xn + 6 − 1) − xn + 2 (xn + 5 − x3 ); x (4xn + 1 + 2xn + 4 − 7) − xn + 2 (4 + 2x3 − xn ). xn ( xn + 4 + 2x) + x (3xn − x2n + 3 ); xn + 2 (x2 − 3) − xn (xn + 2 − 3x2 − 1). 2 = + = x y

+ +2

+x y

=0 2 =0

5n + 4 + 2 æ 5n + 2 − 3 æ 5n + 1; 2

2 1.28. + 1 2 2 + 1.29. 1 x +2 + x x2 1.30. 1 x2 x+ 2 y2 + y + 2 2 1.31. 1 x2 + x 2 2 2 +1 1.32. x 1 x2 1.33. 1 x2

10x + 2 x+1 =0

3n + 3 − 5 æ 3n + 2 + 2 æ 3n ; +2 2 +2 + 1 +2 1

+ y +y

2 + + 12 2x2 x 1 x2 + x + 1

y2 2

x x2 + 12x + 2 x2

y+1 +1

2x2 x+1=0

x+1

Повторення та систематизація навчального матеріалу

1.34. x x 2 2 x 1 x2 2 +2 +2 +

x2 + x

1 1.35.

1.36.

1.37. 2 1 2 +1 2 10x2 + 2xy + y2 1.38.

1 2 1.39. 1 1.40. 1 2

2y +

2x2 + xy + y2 2 2+2 2 y

x2 + 4y2 + 2x − 4y + 2; 9x2 + y2 − 12x + 8y + 21? x x + y x2 + x+ x y2 x2

x2 +

2 x

x + x2 y + y2 2x y2 + y 2y x + 2y + 2 y + 2x2y x2 + x 12x + 2xy y2 +

1.41. 1 x + x + 1 x2 2 2 2 2+ + + + + x2 xy + y2 + x 1.42.

x + x2 + 1

y+1

1 (7k − p) (* + * + *) = 343k3 − p3 ;

(

)

2 (* + *) 25a4 − * + 36b2 = 125a6 + 216b3 ; (mn + *) (* − * + k ) = m3n3 + k9 . 1.43. 2 + + + 2+ 2 1.44. + = = 2 2 1.45. + = 1 = 6

+ 2

+ +

1. Лінійне рівняння з однією змінною. Цілі вирази

b2 +

1.46.

a2 4

= 1,

2 1.47. + 2= = 1.48. x1 x2 = x1x2 = 1 1 x1x22 x12x2 x1 + x2 2 2 x12+ x22 x1 x2 1.49. + = = 2 2 1 + 2 2 + 1.50. x y x2 + y2 = 1. x6 + 3x2 y2 + y6 . 1.51. x y x3 − y2 = 2. x9 − 6x3 y2 − y6 . 1.52. +2 =1 + =1 3 3 1.53. + =2 a + 27b = 8 − 18ab. 1.54. x + x2y + xy2+ 2y 2 2 1.55. 2 + 1.56. x +y = x2y + xy2 = x+y 2 2 1.57. = =1

1.58.

1 1

1.59. 1.60. 1 1.61.

200

2n æ 3n + 1 ?

1 1.62. 1 1.63.

100

3n + 2 æ 7n ?

1.64. 1.65.

200

2 12 12 2 1 x + y2 = 1 2x4 + 3x2 y2 + y4 + y2 . 2 2 =2 2 2 2 2

2 + 211 + 2

111

Повторення та систематизація навчального матеріалу

1.66.

999 æ 1001 æ 1003 æ 1005 + 16

1.67.

10002 + 10002 æ10012 + 10012

1.68.

+1 +

1.69. (1 − 2 + 22 ) (1 − 22 + 24 ) (1 − 24 + 28 ) (1 − 28 + 216 ) (1 − 216 + 232 ) = 1.70. 1 2 1.71. 1 2 1.72. 1 1.73. 1 1.74. 1.75.

+2 2 + 2+

x x

x+2 x2 + 2

x2 +

1.80. 1.81. 1.82. 1.83. 1.84.

1 2

= 2

+ 2

= 11 + 2 +

x2 + 1 + 210 + 12 a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc = 0. + 2 2 2 + = 1 x + y2 + 2 = 1 x+ y+ =y =

1.78. 1.79.

x4 − x + +

x +x +1

12x2 + 1

1.77. +

x + x2 + 1

+ =x

1.76.

x 2

1+ 2

=0 +

+ 2 + +

+ +2

2. Функція. Графік функції. Лінійна функція

Функція. Графік функції. Лінійна функція 12 1

ПРИКЛАД 1 x x x

1 2

x f ( x) x

x; x 2

1 x 2 = 0 =0

2 =

x < 1, x =0 x < 2, x =1 x < 3, x =2 x < 0, x = 1 x < −1, x = 2 m x < m +1, x =

1 0

ПРИКЛАД 2

x0 y0 x0

x0 = y0

x = x

 y=

y0 x0 y0

y= x x0 = y0

. 2.1

2 =

0 1 2 −1 −2

x = x0 x = x0

Повторення та систематизація навчального матеріалу

y 11 0

y= ПРИКЛАД 3 x

x = x+

f (−1) = a æ (−1) + b = b − a. 1 =0

. 2.2

=0 

ВПРАВИ 2.1. 2

1 2

120 0 0 0 0

2 . 2.3

2.2.

x0 x+

y0 

2. Функція. Графік функції. Лінійна функція

2 1 y=x

2.3.

2.4.

2 y= x

y= x

y = x2

2.5. 1 2 2 x =x

2.6. 1 2 2.7. x 2.8.

x = x y= x+2

y=x+2

2.9. 0 1 2 2.10.

1 2 y

x yyy

yyy

000

1000

xxx

000

. 2.

000

xxx

Повторення та систематизація навчального матеріалу

y x

2 y

x y 0

2.11. x

x x

0 0

. 2.5

. 2.

2.12. x

x 2.13.

x = x+1

2.14.

x = x2 + 1

−2x + 3, ÿêùî x m − 2,  f ( x) =  x 2 , ÿêùî − 2 < x < 4, 8, ÿêùî x l 4. 

2.15. 1

2. Функція. Графік функції. Лінійна функція

2.16. yy

x, ÿêùî − 3 x 1,  f (x) = 2x − 1, ÿêùî 1 < x < 2, x2 − 2, ÿêùî 2 x 3. 

2.17. 1 2

y x y

x y x

yy . 2.

2.18. 00 1 2

1 0

1 2 . 2.

Повторення та систематизація навчального матеріалу

2.19. 1 y= x 2 y= x

y= x + y=x

x2 y = 2

2.20.

2.21. 1 1 2.22. 1 1 2.23. 2.24. 2.25.

x0 y0 x0 y0

x0 y0 x0 2y0

y= x y=2

x0 y0

x y=

x x

x 1  y = f  x . 2 

2x0 y0 2.26. 2

y = − x+b

2.27.

1 y= x+

2.28. 2 y= x+

2.29. 2 0

0 y= x+

2.30. y= x+

2.31. 2.32.

x =

g (x) = 3x − 2 x

2. Функція. Графік функції. Лінійна функція

y = 2x

2.33.

y=x

y= x

y = 1

2.34. y=2 x+2 y= x+ 2.35. y= x 2.36. x − 3, ÿêùî x 0, 1 y= −2x − 3, ÿêùî x < 0;

4x − 2, ÿêùî x 2, 2 y= ÿêùî x > 2; 3, −1, ÿêùî x ≠ −1, y= 1, ÿêùî x = −1. 2.37. 1 2 2.38. 1 2 2.39.

y= x y= x

y = 2x + x x

y= x y= x +x

x = x+

2.40. y= x+

y= x

x +2 y

y= 2 + 0

2 0

. 2.

2.41.

y =

x +

y = x +

Повторення та систематизація навчального матеріалу

Рівняння з двома змінними. Системи лінійних рівнянь із двома змінними 10 1

2 ПРИКЛАД 1 1 x + y 2 =0 x

2 x2 + y y−2

0, 2=0

0 2

0 1

x =1

x2 + y = y + x2

x=0 y

x=0

y = x

x x = 1

1 = 0 1

x y

. 3.1

 ПРИКЛАД 2 1 1 12 2

1 0

y= x+ 3 = k + b,  −7 = −k + b. 2 =

= 2 x=12 x= 0

= y = 5 æ 1,2 − 2 = 4.

y= x

y = 5 æ (−0,6) − 2 = −5. 

3. Рівняння з двома змінними

ВПРАВИ 3.1.

x + 2y = 1

3.2.

x+y=1

3.3. 1 x+y=

x2 + y2 = 1

2 x3 − y = 1;

3.4. 1

x+ y=

x+ y=1

1 y=

11x

3.5.

x =

3.6.

3.7. + y+1

y + x+2

xy = 0

1 =0

3.8. 1

+ y2 = 0

2 xy = 0

+ y

xy + y = 0

3.9.

x+ y=2

3.10.

12x + 1 y = 100

3.11.

x+y=

x+ y=

3.12. x + y = 20 x + y = 21

3.13. 0

Повторення та систематизація навчального матеріалу

3.14. y

. 3.2

. 3.3

3.15. 3.16. ax + 2y = 26, 1  4x + by = 14; 3.17.

3.18.

5x + by = 6, 2  ax + by = 0. ax − 2y = −12,  7x + by = 1? x

1 2 3.19.

5x − 6y = 17, 1  5x − 6y = a 8x + ay = 6, 2  4x − 5y = 3

3.20.

1 2

x − 2y = 5,  ax + 4y = b :

3. Рівняння з двома змінними

3.21.  x − y = 0, 1  x + 3y = 4; 3.22. x y  − = 2, 1 2 3 5x − y = 34; 3.23.

x − y = 0, 2  2x − y = 3;

6x + 3 = 5x − 4 (5y + 4), 1  3 (2x − 3y) − 6x = 8 − y;

x2 − y2 = 0,  x + 2y = 3.

6y − 5x = 1,  2  x − 1 3y − x 3  2 + 4 = −4 4 . x + y x − y  8 + 6 = 4, 2   3x + y − 2x − 5y = 5.  4 3

3.24.

x + 2 y − 3  6 − 15 = 1, 2 (4x − 5) − 3 (3 + 4y) = 5, 1  2  7(6y − 1) − (4 + 3x) = 21y − 86;  x + 2,5 − y + 3 = 1 .  9 6 3 3.25. 15x − 3y 3x + 2y + = 3,  4 0,2x − 0,3 (2y + 1) = 1,5, 6 1  2  3 (x + 1) + 3y = 2y − 2;  3x + y − x − 3y = 6.  3 2 3.26. x+ y= 1 2 3.27. y = x + 1 2 1 2 3.28. 2 1 x+y2+ x =0 2 2 2 x + 2y +x xy + y2 = 0 x y + x+ y 22=0 2 2 x + y + 10x 12y + 1 = 0 2 x2 + 10y2 0xy + y + 1 = 0 3.29. 2 1 x 2y 2 + y =0 2 2 x + 2y + x y+ =0 0x2 + y2 2 xy + 1 x + =0

§2

МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

Множина та її елементи

x2 + y2 = 1

x y

4. Множина та її елементи

;

12 ∈ , −3 ∉ ,

2 3

∈ ,

2 3

; .

∉ .

= = 1 2

1000

. = мно ина однозначно визначаєть я во ми елементами

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

x = x x

{x | x = 3n, n ∈ } x x x2

1 =0

x x2 1 0 1

{x | x (x x

x =0

{x | x ∈ , x < 2}. − 1) = 0} = {x | x ∈ , x < 2}. 0

{x | [x] = 0} = {x | 0 x y x y

x y y = 2x y =

x < 1}.

1 x y = 2x

= 1

x < 1.

1 =0

4. Множина та її елементи

1 2

{x | 0x = 2} = {x | x ∈ , x < 1} = ∅. ПРИКЛАД x x

x=2

= 2 1 +1 x= 2 1 + 2 x=2 1+2 1=2

x=2 x 1 +

x =



1. Як позначають множину та її елементи? 2. Як позначають множини натуральних, цілих і раціональних чисел? 3. Як записати, що елемент належить (не належить) множині ? 4. Які множини називають рівними? 5. Які існують способи задання множин? 6. Яку множину називають порожньою? Як її позначають?

ВПРАВИ 4.1.

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

4.2. 4.3. 4.4. 4.5. −5* ;

1 5* ;

3,14 * ;

2 0* ;

π * .

− * ; 2

x = x2 + 1

4.6. 1

0 1

2 0

1 01 * E (f );

¿ 4.7. 1 1 1 2 2 1 1 4.8. 1 x x 1 =0 2 x 2 x2 4.9. 1 2

1 1

1 2 1

x=2 x2 + = 0

4.10. 1 A = {x | x ∈ , x2 − 1 = 0}; 2 B = {x | x ∈ , x < 3}; C = {x | x ∈ , x 15, x = 7k, k ∈ }. 4.11. 1 A = {x | x ∈ , x (2 x − 1) = 0}; 2 B = {x | x ∈ , − 3 x < 2}. 4.12. =

1 2 {M | OM 4.13.

5 ñì}? =

5. Підмножина. Операції над множинами

¿ 4.14. 1 2

= 1 2 = 2 1 = 1 = 1 = 1 0 = 0 1 A = {x | x 3, x ∈ }, B = {x | x < 4, x ∈ }; A = {x | x ∈ , x êðàòíå 2 i 3}, B = {x | x ∈ , x êðàòíå 6}; A = {x | x ∈ , x 15, x = 19k, k ∈ }, B = {x | x ∈ , 3 < x < 4}?

4.15. A = {x | x ∈ , x = 6n − 3, n ∈ }; B = {x | x ∈ , x = 3n, n ∈ }; C = {x | x ∈ , x êðàòíå 3 i íå êðàòíå 2}; D = {x | x ∈ , x = 6n + 3, n ∈ }. 4.16. 1 = x x x

{

}

2 B = x | x ∈ , x − 2 = 0 ; 2

C = {x | x ∈ , x < 1}; = x x + x2 + = x x x 4.17. 1 2

1 1 00

{x | x = 3k − 1, k ∈ } = {x | x = 3n + 2, n ∈ }. {x | x = 4n − 1, n ∈ } = {x | x = 4m + 3, m ∈ }.

4.18. 4.19.

Підмножина. Операції над множинами = 0

1 2

= 0 2 . .

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

⊂ , ⊂ , ⊃ ;

{

{x | 2x − 1 = 0} ⊂ x | x2 =

1 4

}

;

. 

 



. 5.1

. 5.2

. 5.3

2 1

10 10

5. Підмножина. Операції над множинами

10 =

. .

. =

ПРИКЛАД 1

2 x



x+y=

y = x + y = 5,  x − y = 3

. . A ∩ B. A ∩ B = {x | x ∈ A i x ∈ B}. 1 {(x; y) | x + y = 5} ∩ {(x; y) | x − y = 3} = {(4; 1)}. A ∩ B = ∅. A ∩ ∅ = ∅.

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

A ∩ B = A,

A ∩ A = A.

A ∩ B.

. 5.

= 0 1 1

x=0

x2 x x2 x2 1 = 0

1 0 1

. . A ∪ B. A ∪ B = {x | x ∈ A àáî x ∈ B}. A ∪ ∅ = A. A ∪ B = B,

A ∪ B.

A ∪ A = A.

1 =0 =

5. Підмножина. Операції над множинами

. 5.5

. 5.

x + y = 5,  x − y = 3, x2 + y2 = 17,  x

x2 + y2 = 1

x y

x+y=

x y

, .

. .

A \ B = {x | x ∈ A i x ∉ B}.

x y

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

= =

. 5.

ПРИКЛАД 2 1 A = {x | x = 5k, k ∈ }, B = {x | x = 3n, n ∈ }; 2 = x x B = {x | x 4}; A = {x | x ∈ , x = 2m, m ∈ }, 1 A∩B 1 2

A ∩ B = {x | x = 15k, k ∈ }. A∩B

A ∩ B = {x | 3 < x

4}.

A ∩ B = {2}.  ПРИКЛАД 3 1 A = {x | x = 2k − 1, k ∈ }, B = {x | x = 2n, n ∈ }; 2 A = {x | x = 2k − 1, k ∈ }, B = {x | x = 4n + 1, n ∈ };

5. Підмножина. Операції над множинами

A = {X | OX < 3}, B = {X | OX = 3},

1 A∪B A ∪ B = . 2 A ∪ B = A = {x | x = 2k − 1, k ∈ }. A ∪ B = {X | OX 

A∪B

3}.

ПРИКЛАД 4 1 A = {x | x = 2k − 1, k ∈ }, B = {x | x = 2n + 1, n ∈ }; 2 A = {x | x = 2k − 1, k ∈ }, B = {x | x = 4n + 1, n ∈ }; A = {X | OX 3}, B = {X | OX < 3},

1 1

= 1

2 1 1 A \ B = {x | x = 4n + 3, n ∈ }. A \ B = {X | OX = 3}.  1. Яку множину називають підмножиною даної множини? 2. Як наочно ілюструють співвідношення між множинами? 3. Яка множина є підмножиною будь-якої множини? 4. Яку множину називають власною підмножиною даної множини? 5. Що називають перерізом двох множин? 6. Що називають об’єднанням двох множин? 7. Що називають різницею двох множин? 8. Як за допомогою діаграм Ейлера ілюструють переріз, об’єднання та різницю двох множин? 9. Як знаходять переріз (об’єднання) трьох і більше множин?

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

ВПРАВИ 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 1 2

10 11 12

¿ 5.5.

1 x= 2 x= 5.6. 5.7. 5.8. 1 2 5.9.

x 10

10 2

5.10. 1

= 0

x= 1 x=

x=1 x= 12

5. Підмножина. Операції над множинами

5.11. A = {x | x = 2n, n ∈ }; C = {x | x = 10n, n ∈ }; B = {x | x = 50n, n ∈ }; D = {x | x = 5n, n ∈ }. 5.12. A = {x | x = 4n + 2, n ∈ }, B = {x | x = 8n + 2, n ∈ }? 5.13. 11 1 11 1 11 1

1 2

5.14. 5.15. x

. 5.

5.16. 1 2

5.17. 5.18. 1 {a, b} ∩ {a} = a; 2 {a, b} ∩ {a} = {a, b};

{a, b} ∩ {a} = {a}; {a, b} ∩ {a} = {b}?

¿ 5.19. 1

2 22

0 1

00 00

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

5.20. A∩B

11 0

5.21. 5.22. 1 2

5.23. 1 A = {x | x < 19}, B = {x | x ∈ , x > 11}; 2 A = {x | x = 4n, n ∈ }, B = {x | x = 6n, n ∈ }; = x y 2x y = 1 = x y x+y= 5.24. 1 2 5.25. 5.26. A ∩ B = A. 5.27. 1 {a, b} ∪ {b} = {a, b}; 2 {a, b} ∪ {b} = {b};

{a, b} ∪ {a} = {a}; {a, b} ∪ {b} = {{b}}?

5.28.

1 2 2 5.29. 1

2 5.30. 1 2

= x x2 1 = 0 = x x 1 x = x 2x + = 0 = x x2 + = 2 A = {x | x ∈ , x < 5}, B = {x | x ∈ , x < 7}.

2 =0

6. Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність

5.31. 1

5.32. 5.33. A ∪ B = B. 5.34. 1 = 2 = 5.35. 1 A = , B = {x | x = 2n, n ∈ }; 2

= =

5.36.

Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність

= 0

=0 A ∩ B = ∅. ∪ = A∩B≠∅

1 1

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

+ n ( A ∩ B).

n ( A ∪ B) = n ( A ) + n ( B) − n ( A ∩ B) A ∩ B = ∅, 1

n ( A ∩ B) = 0.

ПРИКЛАД 1

2 2

= 2

= 21 n ( A ∪ B) = 25. A ∩ B

2 n ( A ∩ B) = n ( A ) + n ( B) − n ( A ∪ B) = 23 + 21 − 25 = 19.  A ∪ B ∪ C,

A∩B∩C=∅

2 n ( A ∪ B ∪ C) = n ( A ) + n ( B) + n (C) − n ( A ∩ B) − n ( B ∩ n ( A ∪ B ∪ C) = n ( A ) + n ( B) + n (C) − n ( A ∩ B) − n ( B ∩ C) − n (C ∩ A ). A∩B∩C≠∅

n ( A ∪ B ∪ C) = n ( A ) + n ( B) + n (C) − n ( A ∩ B) − n ( B ∩ C) − n (C ∩ ∪ C) = n ( A ) + n ( B) + n (C) − n ( A ∩ B) − n ( B ∩ C) − n (C ∩ A ) + n ( A ∩ B ∩ C).

6. Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність

ПРИКЛАД 2 200 0

∪ ∪ 200 = 0

0 ∩

= 200

0 ∩

∩

= ∩

= 0

∩

∩ ∩

∩ ∩ ∩

= 0

1 

ПРИКЛАД 3 1

101

111

121

∩ ∩ 0 ∩

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

ab1 ab. =



1 2 1

ПРИКЛАД 4

6. Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність

= 0 1

 1. Як знайти кількість елементів множини A ∪ B? 2. Як знайти кількість елементів множини A ∪ B ∪ C ? 3. У яких випадках говорять, що між двома множинами встановлено взаємно однозначну відповідність?

ВПРАВИ 2

6.1.

6.2. 1

1 0

6.3. 1

1 10

6.4. 12

10 1

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

6.5.

6.6. 1

11 20

6.7.

6.8.

6.9. + 1

6.10.

0 1 2

¿ 6.11. (n

6.12.

¿ 6.13. 1000 1002 1

+ 2

n∈ ,

6. Скінченні множини. Взаємно однозначна відповідність

101

6.14.

6.15.

11 2

¿ 6.16. ¿ 6.17.

000 000

1 2

¿ 6.18. 1000 100

6.19.

100

6.20.

6.21.

x2 + y2 =

(n ∈ ),

x2 + y2 = 2

x y 6.22.

x y

100

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

Нескінченні множини. Зліченні множини

⊂ ,

. n∈

2 1

1 1

7. Нескінченні множини. Зліченні множини

. .

1 1

. .

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

2 1

2 .

, . 0 1

m n

1 2

2 1

m ∈ , n ∈ .

 1 −1 3 −3   , , ,  3 3 1 1 

=2 1

7. Нескінченні множини. Зліченні множини

{{ }} { } {{{

∪∪

1 −1

1 1

∪

}}} { { { {

1111−−−11−112222−−−22−22

,,, , ,,, ,,,, ,

2222 2222 1111 1111

}} } }

1 1 −11−11−31−31−33−33−3−3

, , ,, ,, ,,,, , ,

∪

33 33 1 3 13 1 1 1 1

10 

1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1

1 0 0 1 1

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

0 0 0 1 1

1 1 0 1 0

0 1 0 1 1

∪

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

1. Які множини називають рівнопотужними? 2. Яку множину називають зліченною?

ВПРАВИ 7.1. 7.2.

+ 1 (n ∈ ).

7.3. 7.4.

2 (n ∈ ) 1

7.5.

7.6.

(n ∈ )

2 (n ∈ )

0 01 0 001 7.7. 7.8. 7.9. 2

(n ∈ ) 1

7.10. 7.11. 1 7.12. 7.13. 1 2

«Я бачу це, але ніяк не можу цьому повірити!»

7.14. 7.15.

1 0 x y

7.16. x

7.17. 10 7.18. 1

«Я бачу це, але ніяк не можу цьому повірити!»

1 1

1 1 1

Георг Кантор (1845–1918)

§ 2. МНОЖИНИ ТА ОПЕРАЦІЇ НАД НИМИ

0 0

0 1

1 1

1 0 x y

x 1

x y 0 y 1.

x y

1 .

x=0 =0

1 2 3

x = 1 0

y = 1

y =0 x y

0 000

2 2

3 3

1 1

§3

ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

Подільність націло та її властивості

. 0

a b.

. 12 − 3,

0 1000, −2 − 1. a b, 2 2

{3k | k ∈ }

a a.

0 a.

a b, a b a m a c

a c

1 1

ka b. b c, b n, b c,

b c,

a c. ab mn. (a ± b) c.

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

(m ± n) ∈ ,

= (a ± b) c.

(a + b) c, ab c.

ПРИКЛАД 1 (a − b ) c. 3

= (a + b) c 2

ab c,

((a + b)2 − ab) c.  ПРИКЛАД 2

x2 + xy

x x+y

x+y =

x+y

x 1 = x+y x

x + y = 5, y = 3, 1   x − 1 = 1; x = 2; x + y = 1, y = −5, 2   x − 1 = 5; x = 6; x + y = −5, y = −5,   x − 1 = −1; x = 0; x + y = −1, y = 3,   x − 1 = −5; x = −4. 2



ПРИКЛАД 3

x2 x+y



y =1 2

y2 = 1

x+y

8. Подільність націло та її властивості

ПРИКЛАД 4 (x + 7y) 31.

(6x + 11y) 31.

x + 11y 31 (x + 2y) 31, 5 (6x + 11y) 31, 1 

x + y = 1 x + 2y

ПРИКЛАД 5

( P ( p) − P (q)) ( p − q). + +

x =

x +

2 1

+ +

k∈ .  1. Коли говорять, що ціле число ділиться націло на ціле число ? 2. Що означає запис a b ? 3. Яке число називають дільником числа ? 4. Яке число називають кратним числа ? 5. Сформулюйте властивості подільності націло.

ВПРАВИ 8.1.

8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. 8.7. 8.8.

8a 40. 6b 42. (m2 − 4m) 12. (n2 + 8n) 16. c 4, d 6. (6c + 4d) 24. p 5, q 8. (8 p − 5q) 40. a c (a + b) c, b c. + +2 1 1

+ +

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

8.9.

+ 1

(ab + ba) 11. (ab − ba) 9. (abc + bca + cab) 111. (abc − cba) 99.

8.10. 8.11. 8.12. 8.13. 8.14. 2

8.15. 8.16. x y 8.17. (m3 + n3 ) k. 8.18. (am − bn) (b − m). 8.19. (ad + bc) (a + c). 8.20. 1 x2 y2 = 2 x2 + 2xy = 2x + x2 + 2xy x 2y = 8.21. y2 = 1 x2 2 2 y + xy = 1 + y 8.22. 1 xy = x + y 8.23. 8.24. 1 +2 1 8.25. 1 1 8.26. 1 =1 = 8.27. ab − ba

am (a + b). xz (z − y). (m − n) k

bm (a + b). xy (z − y). mn k.

(ab − mn) (b − m). (ab + cd) (a + c).

x2 xy + y2 = 2 x + xy y2 = x2 2xy y2 + x + y = 1 x2 2y2 2 xy

+ 2

+2 + x

xy + y x = 10 xy x2 = 2 x 2y = 2xy + 2x

+ 10 +

100

8. Подільність націло та її властивості

abc,

8.28. abc − cba 8.29. abc + bca + cab 8.30. x y

abc,

8.31. x

8.32.

x+ y 1 2 + 1

1 x+ y

11 + 2 (3x + 10y) 13. (3x + 10y) (3y + 10x) 169. n2 (m + n). 3 m (m + n). a3 (a2 + b2 ). b4 (a2 + b2 ).

8.33. 8.34.

abc

8.35. bca

cab m = aba

8.36.

(a + b) 7.

m 7. 200

8.37. 8.38. 2 +1

n∈ ?

8.39.

A = abcde

8.40. B = bcdea

1 1

A = abcdef

8.41. B = bcdefa 8.42.

111 8.43. x0 ∈ ,

x = x0 = 0

= 1

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

Ділення з остачею. Конгруенції та їхні властивості

чи ла де 0

47 = 5 æ 9 + 2, 2

9.1. ля дь якого цілого чи ла a і нат рального і н є єдина ара ціли чи ел і таки , що a = + , . ≠0

−2 = 5 æ (−1) + 3. −8 = 4 æ (−2) + 0.

=2 =

= 2

2 = 7 æ 0 + 2. =

=2 = 1

= =

= 0

a b, =0

2 .1

+ 0 .

+ 0

2 =

9. Ділення з остачею. Конгруенції та їхні властивості

+  2

1 {2k | k ∈ }

{2k + 1 | k ∈ }. 0 1 2 = {3k | k ∈ } ∪ {3k + 1 | k ∈ } ∪ {3k + 2 | k ∈ }. 1

1 2

1 = {mk | k ∈ } ∪ {mk + 1 | k ∈ } ∪ ... ∪ {mk + m − 1 | k ∈ }. не чи ло =

9.2. Якщо цілі чи ла a і ри діленні на нат раль да ть однакові о тачі, то (a − b) m.

= = 1 + (a − b) m. 

0 r < m.

9.3. Якщо цілі чи ла a і такі, що (a − b) m, де m ∈, то чи ла a і да ть однакові о тачі ри діленні на .

(m ∈),

1 2

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

Карл Фрідріх Гаусс (1777–1855)

раці аусса справили значний вплив на розвиток алгебри, теорії чисел, диференціальної геометрії, теорії електрики та магнетизму, геодезії, теоретичної астрономії.

9.4. ля того що цілі чи ла a і ли конгр ентними за мод лем , де m ∈, нео ідно і до татньо, що різниця a ділила я націло на . 2

1 2

(c − d) m, =

(a − b) m, = + t2 ∈ . 2 = + + 1 2

= =

1 + 1 2 (ac − bd) m.

+ (a − b) m. 1

2 + + + n n (a − b ) m.

t1 ∈ . 1

1 2

9. Ділення з остачею. Конгруенції та їхні властивості

1 1

+ + + 1 + 2 + a1a2 æ ... æ an ≡ b1b2 æ ... æ bn (mod m). 2

ПРИКЛАД 1

0 1 2 +1

k∈ . + +

 ПРИКЛАД 2 +1

0 

ПРИКЛАД 3 n∈ ? 0 1

0 1 1 1 2 0

1 

1 1 1

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

ПРИКЛАД 4 24n + 3 + 13 æ 32n 24n + 3 + 13 æ 32n = 8 æ 16n + 13 æ 9n. 1

1 8 æ 16n + 13 æ 9n (mod 7), 8 æ 16n + 13 æ 9n ≡ 8 æ 9n + 13 æ 9n (mod 7), 8 æ 16n + 13 æ 9n ≡ 21 æ 9n (mod 7). 0  ПРИКЛАД 5

x<5

0 1

2 2

1 2

1 

+ 1

ПРИКЛАД 6 0 1

+ 1

1 

1. Сформулюйте теорему про ділення з остачею. 2. Яку властивість має різниця цілих чисел і , які при діленні на натуральне число дають однакові остачі? 3. Яку властивість мають остачі при діленні цілих чисел і на натуральне число , якщо (a − b) m ? ? 4. Які числа називають конгруентними за модулем , де m ∈ ? ? 5. Сформулюйте необхідну і достатню умову того, що цілі числа і конгруентні за модулем , де m ∈ . 6. Сформулюйте властивості конгруенцій.

9. Ділення з остачею. Конгруенції та їхні властивості

ВПРАВИ 9.1.

1 2 9.2.

=2 =

=1 =1

1 9.3. 9.4.

= 2 = 1

= 10

9.5.

A∪B∪X = . B = {3k + 2 | k ∈ }. 9.6. 9.7. 9.8.

= 11

A = {3k | k ∈ }, k∈ ? n∈ ? 11

2 1 1 1

2 2

9.9. 1

2 2

9.10. 1 9.11. 1 9.12. 1

12 2

9.13. 1

9.14. 12 9.15. 1 2 2

1 2

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

9.16. 1 2 9.17.

11 2 11 1

9.18.

9.19. 9.20. 0

9.21. 9.22. 1 9.23. 9.24. 9.25.

9.26.

0 9.27. 9.28. 9.29. 1 x2 2 x2 9.30. 1 x2 2 x2 9.31.

0 (a2 + b2 ) 3. (m2 + n2 ) 7.

(a2 + b2 ) 9. (m2 + n2 ) 49.

y= y = 11

=1 =1 2

y2 = 1 2 y=1

1 11n + 14 æ 6n 2 32n + 11 æ 5n 21 + 22 + 4 æ 13n + 37n + 1

x + y = 1 x y =1

+2 + +2 3 + 5 æ 23n + 1 + 2 +1 n+5 4n 2 æ 3 + 53n + 1 2 +1 3n + 2

2 1

9. Ділення з остачею. Конгруенції та їхні властивості

9.32. 1 17n + 25 æ 4n 2 1 + 2 +1 1 +2 0 9.33. 1 = = 2 = = 9.34. 1 = 11 = 2 =1 2 =1 9.35. 1 9.36.

= =

101

= 1

+ +

9.37. 9.38. 9.39. x2 + x + 9.40. x1 + 9.41. 1+ + 2

+ +2 + 11 2n + 1 2n + 1 17 æ 21 + 9 æ 43 25n + 3 + 5n æ 3n + 2 1 2

=0 x1 x2 x2 +

x +x

¿ 9.42.

n = aa5

¿ 9.43.

m = 2bb 1

9.44.

9.45. 1

¿ 9.46.

2 2

100

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

9.47. 1 2 9.48.

2 200

9.49. 1

+ + = + +

9.50.

10. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне двох натуральних чисел. Взаємно прості числа 1

b d1,

1 12 = 10.1. Якщо a , то a d b d, a d1.

=1 a = (a − b) d.

a . (a − b) d1

= ПРИКЛАД 1 = 1

+ 10 1 +



+ 

10. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне

a b,

1. Якщо a =

+ , де 0

, то

. 10 1

1 1

= = = 1 1 = 2

+ + 1 2 + +

0 0 0 0

1 2

b > r > r1 > r2 > r3 > ... 0.

= 1

rn − 1 rn ,

ПРИКЛАД 2

2 2 1 525 = 231 æ 2 + 63;

231 = 63 æ 3 + 42; 63 = 42 æ 1 + 21; 42 = 21 æ 2 + 0. 2 2 1 = 21  1

+ +1

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

ПРИКЛАД 3 2 1 x

y y=1

2 x

36 = 25 æ 1 + 11; 25 = 11 æ 2 + 3; 11 = 3 æ 3 + 2; 3 = 2 æ 1 + 1. 11 = 36 − 25 æ 1; 3 = 25 − 11 æ 2; 2 = 11 − 3 æ 3; 1 = 3 − 2 æ 1.

1 = 3 − 2 æ 1 = 3 − (11 − 3 æ 3) = 4 æ 3 − 11 = 4 (25 − 11 æ 2) − 11 =

1 = 4 (25 − 11 æ 2) − 11 = 4 æ 25 − 9 æ 11 = 4 æ 25 − 9 (36 − 25 æ 1) = 13 æ 25 − 9 æ 36. 2 x

13 æ 25 − 9 æ 36 = 1, y=1 

x+ y=

= x0 y0 x = x0

y = y0 +

12 = 2

t∈ .

10. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне

10.2. кратного чи ел a і .

є дільником =

дь якого

0 r a

r b,

ільного

1 1

 ab

10.3. Якщо a c і b c, то

cmcn c

ільне кратне

чи ел a і .

= cmn = an = bm.

 a

10.4.

=a .

a =

= 10 2

ab k. =

k a, =

b c. a c. d

c. k=

d ab

. 2

2 ab

2 . 1

1 2

= k.  a

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

10.5. Якщо

= 1, то

=a .

10 = 1, a b і a c, то a bc.

10.6. Якщо

10 2

a bc.  10.7. Якщо

= 1 і ac b, то c b.

= ac ab. c b. 

ПРИКЛАД 4 =

1 2

10 

2 ПРИКЛАД 5

12= y y≠1

x y

y 1

y 10

1 8 (y − 1)2 .

y∈ x= 1 2

x=1

y y=2

12=1 y=

a n, b n, a

≡

b n

=1 a n

≡

b n

12=



ПРИКЛАД 6

(mod m). 

a − b = n (k1 − k2 ) m. (k1 − k2 ) m, 1

10. Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне

1. Яке число називають найбільшим спільним дільником чисел і ? 2. Чому дорівнює НСД ( ; ), якщо ? 3. Опишіть алгоритм Евкліда. 4. Яке число називають найменшим спільним кратним чисел і ? 5. Чому дорівнює добуток НСK ( ; ) НСД ( ; )? 6. Які числа називають взаємно простими? 7. Чому дорівнює найменше спільне кратне взаємно простих чисел?

ВПРАВИ 10.1. 1 2 2 10.2. 1 10 10.3. 1 +1 =1 10.4. 1 2 +1 =1 10.5. 1 = = +2 10.6. 1 =2 +1 =2 + 10.7. 4n + 3

20n + 23

;

2 2

2 n∈ : 2 n∈ : 2 2 2 2

15n + 14

2 1 2 +2 =2

=2 +1 n∈ 12n + 1 30n + 2

n∈

10.8. 3n + 1

;

16n + 1 40n + 2

10.9. 12 10.10. 10.11. 1 2 10.12. 1 2

n ∈ 2

+ +

n ∈ 2

+ 11

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

10.13. 1 + + + 2 + + 10.14. 1

n (n + 1) (n + 2) (n + 3) 24

= 1001 = 100

;

n ∈

n5 − n 30

120

n ∈

10.15. 1

n5 − 5n3 + 4n

;

n3 + 5n 6

;

n (n + 1)2 (n + 2) 12

(n2 − 1) (n2 + 2n)

;

10.16. 1 2

m n m n

= , =

3 4

= 11

= 1001

10.17. 1

a b

13 5

a b

= , 2

10.18.

= 22

1 1

1 1 1 1

10.19.

100

=1 10.20. 1 10.21. 2 x y+1 +

10.22. 10.23. = + 10.24.

n∈

n4 + 4n2 + 3 n4 + 6n2 + 8

y =

11. Ознаки подільності

¿ 10.25.

2000

10.26. ÍÑÊ (m; n) − ÍÑÄ (m; n) =

mn 3

10.27.

+ 1 1

11. Ознаки подільності

11.1. an an − 1an − 2 ...a1a0 ≡ an + an −1 + ... + a1 + a0 (mod 9). 1 1 10 1 102 1 10 10 1

1 1 +1

2 0

10 1 1 102 æ a2 ≡ a2 (mod 9), 10n − 1 æ an − 1 ≡ an − 1 (mod 9), 10n æ an ≡ an (mod 9).

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

10n æ an + 10n − 1 æ an − 1 + ... + 10a1 + a0 ≡ an + an − 1 + ... + a1 + a0 (mod 9); an an−1an−2 ...a1a0 ≡ an + an − 1 + ... + a1 + a0 (mod 9). 9 . ат ральне чи ло ділить я націло на 9 тоді й тільки тоді, коли ма цифр його де яткового за и ділить я націло на 9. 11.2. an an − 1an − 2 ...a1a0 ≡ an + an − 1 + ... + a1 + a0 (mod 3). 3 . ат ральне чи ло ділить я націло на 3 тоді й тільки тоді, коли ма цифр його де яткового за и ділить я націло на 3. 11.3. an an − 1an − 2 ...a1a0 ≡ a0 − a1 + a2 − a3 + ... + (−1)n an (mod 11). 1 1 10 1 102 1 10 1 10

11 11 11 11 11

11 0 0 10 1 11 1 102 æ a2 ≡ a2 (mod 11), 103 æ a3 ≡ −a3 (mod 11), 10n æ an ≡ (−1)n . an (mod 11). 10n æ an + 10n − 1 æ an − 1 + ... + 10a1 + a0 ≡ ≡ a0 − a1 + a2 − a3 + ... + (−1)n an (mod 11); an an − 1an − 2 ...a1a0 ≡ a0 − a1 + a2 − a3 + ... + (−1)n an (mod 11).  11 . рон мер ємо цифри де яткового за и нат рального чи ла рава наліво чи лами 0 1 2 ... n. ат ральне чи ло ділить я націло на 11 тоді й тільки тоді, коли різниця мі мо цифр з арними номерами й мо цифр з не арними номерами ділить я на ціло на 11.

11. Ознаки подільності

= 11

0 11

ПРИКЛАД 1

1 000 00 000 001

2 0

20 

ПРИКЛАД 2

(a − b) 9.

0 1 2

2 = =

0 2

+ +

2 2

+ 2

+ + =

2 2

+ +

(a − b) 11. 11 = 1

11 11 11 (a − b) 99. 

1. Сформулюйте ознаку подільності на 3. 2. Сформулюйте ознаку подільності на 9. 3. Сформулюйте ознаку подільності на 11. 1

+ 2

1 1

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

ВПРАВИ 1

11.1. 1

11.2.

2 22 0

11 an an − 1... a1a0 ≡ a1a0 (mod 4).

11.3.

an an − 1... a1a0 ≡ a1a0 (mod 25).

11.4.

an an − 1... a2a1a0 ≡ a2a1a0 (mod 8).

11.5.

an an − 1... a2a1a0 ≡ a2a1a0 (mod 125).

11.6.

an an − 1... ak ak − 1... a0 ≡ ak − 1ak − 2 ... a0 (mod 2k ). an an − 1... ak ak − 1... a0 ≡ ak − 1ak − 2 ... a0 (mod 5k ). 0 1

11.7. 11.8. 1 ¿ 11.9.

1 1

¿ 11.10. ¿

11.11. 1

11.12.

¿ 11.13. 1

¿ 11.14. 2

¿ 11.15.

2 2

¿ 11.16. 1

11 2 11

11. Ознаки подільності

¿ 11.17. ¿ 11.18. 10 11.19. 1

11.20. 1

11.21. 0 11.22.

1 æ 2 æ 3 æ ... æ 99 æ 1000.

11.23.

11.24. 1 + 11.25. 1 +

= 1000

= 1001

101

+ +

11.27.

2 2

11.30.

= 2000

1 2

11.28.

11.29.

= 1000

11.26.

2000 2001

n∈ ,

2010

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

12. Прості та складені числа 1

1 1 2

11 1

. . 1 2 1 2 . . 1

1 1

+1 +

+1 +2

1 2

12.1.

но ина ро ти чи ел є не кінченно . 1

1 =1

3 ! = 1 æ 2 æ 3; 5 ! = 1 æ 2 æ 3 æ 4 æ 5. 0 =1

12. Прості та складені числа

p = p1 p2 æ ... æ pn + 1. 1

1 1 1

ро те чи ло 1



12.2. Якщо ро те чи ло 2, то 1 = 2.

ділить я націло на

≠1 2 = 1  12.3. ля дь якого нат рального чи ла n і даного ро того чи ла раведливе одне з дво тверд ень n а о n = 1. 1

=  12.4. Якщо a , де a то а о a , а о .

1 ,

ро те чи ло,

a p, 12 =1 10 b p.  . Якщо до ток a1a2 æ ... æ an нат ральни чи ел ділить я націло на ро те чи ло , то оча один із мно ників a1, a2, ..., an ділить я націло на

12.5 . дь яке нат ральне чи ло, відмінне від 1, а о є ро тим, а о мо е ти одано вигляді до тк ро ти чи ел. ва розклади нат рального чи ла на ро ті мно ники мо ть відрізняти я один від одного ли е орядком лід вання мно ників.

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

2 2 2k

n = p1 p2 æ ... æ pm n = q1q2 æ ... æ qt , m 2, t 2. p1 p2 æ ... æ pm = q1q2 æ ... æ qt . 1 1

12 2

1 1

p2 p3 æ ... æ pm = q2q3 æ ... æ qt . p3 p4 æ ... æ pm =

p3 p4 æ ... æ pm = q3q4 æ ... æ qt 1=1 

2940 = 2 æ 2 æ 3 æ 5 æ 7 æ 7 = 22 æ 3 æ 5 æ 72.

n = p1α1 p2α2 . ... . pkαk , 1

12. Прості та складені числа

П’єр Ферма (1601–1665) Французький математик, за фахом юрист.

одним із фундаторів теорії

чисел. Автор низки видатних праць з різних галузей математики, які справили значний вплив на подальший розвиток математики.

12.6 . Якщо нат ральне чи ло a не ділить я націло на ро те чи ло , то a 1 1 . 1 2 1 1

p − 1, 1 n

1 m (m − n) a p. 0

p − 1, =1

(ma − na) p, (m − n) p, 1

1 1

= 1 2

1 2

1 1 a æ 2a æ 3a æ ... æ ( p − 1) a ≡ r1r2 æ ... æ rp − 1 (mod p). 1 æ 2 æ ... æ ( p − 1) a p − 1 ≡ 1 æ 2 æ ... æ ( p − 1) (mod p); 1 1 

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

. ля дь якого нат рального чи ла a і ро того маємо a a

чи ла

1 n. 2

1 

k1 > n

= 1 k1 æ k2 > n.

k2 > n .

n. ПРИКЛАД 1 +1 + 11 +2

+ 11 = 1

+2 =2

 2 =

ПРИКЛАД 2 2

ПРИКЛАД 3

x=2

2y + 1



x ≠ 2 2

p1 <

p1 + p2 2

< p2 ,

xy + 1 =

2y + 1 =

y 1

x=2 y=2

y=2

= 22 + 1 =



ПРИКЛАД 4

102

101 100

101

12. Прості та складені числа

101

102

 ПРИКЛАД 5 1

(n8 − 1) 17, 1

(n8 + 1) 17. 1

(n16 − 1) 17, (n8 − 1) (n8 + 1) 17. 1 12



1. Яке число називають простим? 2. Яке число називають складеним? 3. Скінченною чи нескінченною є множина простих чисел? 4. Сформулюйте основну теорему арифметики. 5. Що називають канонічним розкладом натурального числа? 6. Сформулюйте малу теорему Ферма.

ВПРАВИ 12.1. 12.2. 12.3. 12.4.

12.5.

12.6.

a q 1

b q,

ab q. 1 =1

= 21

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

mn p. 1 =2

12.7. m p

n p,

12.8. 1 12.9.

1 k∈ .

12.10.

12.11.

+ 1

12.12. 1 12.13.

1 +1 12.14. 12.15. ( p2 − q 2 ) 24. 12.16.

1 ( p2 − 1) 24.

+2 2 +1

12.17. 12.18.

12.19.

= 2

+ 2

+1 +2 +2

1 1

+1 2

+2 800 ... 027 10 íóë³â

12.26.

+ 11

12.21.

12.25.

+1 +

12.20.

12.22. 12.23. 12.24.

12. Прості та складені числа

12.27. 2

12.28. 2

=2 +1

12.29. 2

12.30. 12.31.

+ 12

10 2

12.32. 2 +1 12.33. 12.34. 12.35.

+ =

+1 =

+ 2

12.36. (a + b + c) 13.

12.37. 1

12.38. 1 = 12.39. 12.40.

= 2 1

2 1

= 1 2

12.41.

989 æ 1001 æ 1007 + 320

12.42. 12.43. 12.44.

2 + +

2 + 11

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

Про проблеми, пов’язані з простими числами

F (n) = 22 + 1 2 =1

1 0 =

1 = 1 2

F (5) = 4 294 967 297 = 641 æ 6 700 417. 1

1 =

10 12

11 1 =2

k∈ ,

n = 2k æ p1 p2 æ ... æ ps ,

Леонард Ейлер (1707–1783) Математик, механік і фізик, член етербурзької і ерлінської академій наук, автор більш ніж 850 наукових праць, понад 100 з яких стосуються теорії чисел.

Про проблеми, пов’язані з простими числами 1

x x

= = 2

2 2

+1 + 1 + 1 01

1 1 2

+1 +1 +1

1 =0

=0 1 2

n∈ ,

+1 2

+1 2 2 +1 2 +1 +

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

2 (( p − 1)! + 1) p,

1 +1

1 1

ля того що нат ральне чи ло n 1 ло ро тим, нео ідно і до татньо, що чи ло n 1 + 1 ділило я націло на n. +1

n 3 2

1 =0

2 =1

10 =

100 = 2

π (n ) n

рій Володимирович Матіясевич (р. н. 1947)

озеф Луї Франсуа Бертран (1822–1900)

Про проблеми, пов’язані з простими числами

Пафнутій Львович Чебишев (1821–1894) осійський математик і механік, засновник петербурзької математичної школи, автор понад 70 наукових праць з теорії чисел, теорії ймовірностей, теорії функцій та інших галузей математики, фундатор теорії машин і механізмів. π (n ) n

100

1000

10 000

122

0 12

100 000

1 000 000

10 000 000

100 000 000

1 000 000 000

00 1 π (n ) n π (n ) n

=1+2+ 2 =1+2+ +

1 2

§ 3. ОСНОВИ ТЕОРІЇ ПОДІЛЬНОСТІ

+ 2 1 + + 2 + 22 + 1 + 2 + 22 + = 1+ 1 + 2 + 22 + +2 1 1 2 = 1+ 2 1 2 +2 + +2 = 1+ 2 1 =2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 =2 1 2 1 2 1 2 1 =2 2

= 2

2 2

1 = 12 1

1 =

= = 1

1 1

12 2 21 1 21 12 2 1

2 1 2

1 1

1 22

201 10

2 21

1 22

1 1

1= 1

+2 1 = = +1 =

§4

РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

13. Формули для розкладання на множники виразів виду an – n і an + n 2

= =

1 2

+ +

+ 2 +

2 2 2

2 2

+ +

= =

+ ... +

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

+ +

2 2

+ +

2 2

= 2 +

+ =

= an +

2 1

= a+

+ 2

= 2

+ an

3 2

...

ПРИКЛАД 1 2

32n æ 7n − 25n = (32 )n æ 7n − (25 )n = 9n æ 7n − 32n = = 63n − 32n = (63 − 32) (63n − 1 + 63n − 2 æ 32 + ... + 63 æ 32n − 2 + 32n − 1 ). 1 1  ПРИКЛАД 2 1+x+

1+x+

= 1+x+

1 1

x 1

1+x+ +x 1 x 1+x+ = 1 x 1+x+ +x 2 1 x 1 x = 1 x 2 1 x x + x1 = 1 2x + x1 x 2x + x = 0 x x 12=0 x=0 x=1

1 0 

13. Формули для розкладання на множники виразів виду

–

1. Запишіть формулу для розкладання на множники різниці -х степенів двох виразів. 2. Запишіть формулу для розкладання на множники суми непарних -х степенів двох виразів.

ВПРАВИ 13.1. 1 2 + 13.2. 1 + 13.3. 1 1 2 1 2 +1 + 1 13.4. 1 2 13.5. 1 2 13.6. 1 2 13.7. 1 13.8. 1

1 2

1 +1

x 1 x +1 2

22n æ 5n − 32n 212

x y1 + 1 10 + 1

2 +1

2 5 æ 25n + 13 æ 132n 21 + + 2 1

2 + 12 +1

2 +1

2 1

+1 2 3 æ 9n + 7 æ 72n

1 1 11

2 7n æ 33n − 22n 2 1000 01. ... 16 íóë³â

13.9. 1 x + x + x + x2 + x + 1 = x + 1 x2 + x + 1 x2 x + 1 2 x + x + x + x2 + x + 1 2 x = 1 + x + x2 + x + x 1+x+ + x2 + x + x + x + x 13.10. 1 399 + 398 æ 2 + 397 æ 22 + ... + 3 æ 298 + 299 + 2100 ; 2 420 − 419 æ 3 + 418 æ 32 − ... − 4 æ 319 + 320.

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

13.11. 1

n ∈.

2 +1

13.12. =1

13.13. 1 1 + x + x2 1 + x + x2 + x + x = 1 + x + x2 + x 2 2 1 + x + x2 + x 1 + x + x2 + + x = 1 + x + x2 + x + x + x 13.14. 1 7 æ 52n + 12 æ 6n +2 2 + 2 +1 +2 1 + 1 2 +1 2 +2 + 2 +1

1 1 11

14. Раціональні дроби

a+b 5

2x + , x b

1 3

x − 4, x

x+y

+ , x 7

b , 5. c x

14. Раціональні дроби

a+2

a −1

= 1

. . . 2+

a+2 a −1

x 7

x2 − 2xy x+y

12 a

a+b 5

1 1

. 1 .1

ПРИКЛАД 1

1 x

3 x −5

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

x 3

x=0

x −5

x x



0 x

1. Чим відрізняються дробові вирази від цілих? 2. Що називають областю визначення виразу? 3. Опишіть, що являє собою множина раціональних дробів. 4. Яка множина є об’єднанням множин цілих і дробових виразів? 5. Який многочлен не може бути знаменником раціонального дробу?

ВПРАВИ 3a2

1 6

5x2

, 3

14.1.

4b 4 1 m2 − 3mn

m3n5 , (y − 4)3 + , y

6n + 1

+ ,

, 3a −

t2 − 6t + 15

, 4

2 c2 − 4c

¿ 14.2. 1

2c + 1

2m − n

= 1

¿ 14.3.

3m + 2n

¿ 14.4. 1

a2 − 1

a −5

x+3 y

−

y x+2

14.5. 1 2

x −5 9 9 x −5

;

x −4 5

;

1 x2 + 4

x −4

;

2 x−2

x+4

;

x (x − 6) x

;

x +1 3x

x +1

;

7 x3 − 25x

x−2 x+2

14. Раціональні дроби

14.6. 1 2

9 y

m −1

;

m2 − 9

x +7 x+9

;

x −3

x−8

1 x −1

;

2x − 3

;

(x + 2) (x − 10)

14.7. 1

1 y=

4−

1 x−

2 y=

;

2 x +x

;

x 9

1 x +1

;

−

;

x +

x−2

14.8. 1

x x−

x+2

;

x −x

x 10 2 ; 6 2+ x

1 2

x −

1 x +1

;

14.9. 1 x x 2 y y 14.10.

1 x x 2 x x 14.11.

1 2

x x x

x 1 2

x2 + 2x + 2

2x − x2 − 2 x 2 + 6x + 9 2

x + x +1

14.12. 1 2

x2 + 1 6x − 9 − x 2

− x2

x 4 + 4x 2 + 4

x − 14x + 49 1

x− x

x +5 x 2 + 4x + 4 x − 2x + 1

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

1 x 2

1 y=1

14.13.

18y − 6x

y 8

2x − 6y

;

x − 6xy + 9y2

14.14. 1 2 +

= 10

5 a + 2b

a2 + 4ab + 4b2

;

2a + 4b

15. Основна властивість раціонального дробу 3a − 1 + 2a + 5 = 5a + 4 3a − 1 + 2a + 5 a +1

5a + 4 a +1

= 1

. . . . a−2 a−2

a b

am bm

, 0

15. Основна властивість раціонального дробу

якщо чи ельник і знаменник раціонального дро омно ити на один і той амий нен льовий многочлен, то отримаємо дрі , тото но рівний даном .

AæC Bæ C

AæC Bæ C A B

ПРИКЛАД 1 1

1 2

6a 3 b 2

3x + 15y

24a2b

; 2 4

;

6a 3 b 2 24a b

a æ 6a 2 b 2 4b2 æ 6a2b2

4b2

2 3x + 15y 3x

3 ( x + 5y ) 3x

x + 5y x

. y+2

y + 4y + 4 y 2 + 2y A B

y 2 + 2y 2 2

2 4

y2 + 4 y + 4

( y + 2)

y ( y + 2)

−A

−B

y+2 y A −B

.

100

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

−A B

=−

−B

A B

−A

−B

−

. 4a − 20

ПРИКЛАД 2

5a − a2 4a − 20 5a − a2

4 (a − 5) a (5 − a)

4 (a − 5)

− a (a − 5)

=− .  a

ПРИКЛАД 3 1

5n2

4 3

2 6

9a b

6a b

;

a+b

a−b

4a 2

;

a 2 + 6a

a − 36

1 1 1

18a4b6 = 9a2b6 æ 2a2 , 2m

9a2b6

18a4b6 = 6a4b3 æ 3a3 ,

5n2 6a 4 b 3 2m 9a2b6 5n2 4 3

6a b

= =

2m æ 2a2 9a2b6 æ 2a2 5n2 æ 3b3 6a b æ 3b 4 3

= =

4a 2 m 18a 4b6 15b3n2 18a 4b6

; .

2 1 a+b 1 a−b

= =

a−b ( a + b) ( a − b) a+b ( a − b) ( a + b)

= =

a−b a 2 − b2 a+b a 2 − b2

; .

A B

101

15. Основна властивість раціонального дробу

+ 4a 2 2

a − 36

(a + 6) (a − 6)

a + 6a

4a 2

a − 6/

a (a + 6)

a3 − 6a2b − ab2 + 12b3 3

4a 3 a (a + 6) (a − 6) 6 (a − 6)

a (a + 6) (a − 6) 3a + 4b

ПРИКЛАД 4 3

18b + a − 6a b

2a − b

4a 3 3

a − 36a

6a − 36

;

.

a3 − 36a

= 2.

. 3a + 4b

= 0

2a − b

3a 2a

= , 2

0 3

 a  a a −6  b  − b + 12 a3 − 6a2b − ab2 + 12b3  b  = . 3 2 18b3 + a3 − 6a2b  a  a 18 +  b −6  b

3a + 4b 2a − b

+ 3

6 − 6 æ 6 − 6 + 12 3

18 + 6 − 6 æ 6

ПРИКЛАД 5 y = x x

x −1

y=x+1

(x − 1) (x + 1) x −1

= 6.

= .  3

x −1 x −1

= x + 1,

y = x + 1

y 1

1 1



ПРИКЛАД 6

1 x2 − 1

+ . 15.1

102

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

0x =

0x = 0

a+3 (a + 3) (a − 3)

1 a−3

= x=

1 a−3

.

1. Які вирази називають тотожно рівними? 2. Що називають тотожністю? 3. Сформулюйте основну властивість раціонального дробу.

ВПРАВИ 15.1. 1 2

14a3

4abc

;

21a 24x2 y2 32xy

−10n10

;

16ab 56m5n7

;

5 10

42m n

5n 3 p4 q 6

;

−9 p8 q7

15.2. 1 2

3x 21y 5x2 6x

5c4

;

10c

63x5 y4

;

12a 8

;

4 5

42x y

−42a

;

−13a5b5

;

4 3

26a b

15.3. 1

−a −b

2 −

;

−a b

−

;

a −b

−

;

−a −b

15.4. 1

a 3

4a 2 c3

;

m n

mnp

15.5. 1

a b3

;

m 9n

3m4n3

103

15. Основна властивість раціонального дробу

x y2

7x y

6 p5

15.6. x

4m2n

11c

15d6

15.7. 1

2a + 2b 7 ( a + b)

4 (a − 6)2

(a − 6)

7x − 21y

;

5x − 15y a − 5b

;

12a + 18b 12a

a − 5ab y2 − 25

;

10 + 2y

a 2 + 4a + 4

;

9a + 18 c 2 − 6c + 9

;

c −9

;

m3 + 1

;

m − m +1

15.8. a−b

2 (b − a ) 3x − 6y

4y − 2x

m2 − 5mn

;

15n − 3m 7a 4 − a3b

;

b − 7ab

x2 − 25

;

5x − x

;

y2 − 12y + 36

;

36 − y2

15.9. 1 2

3m − 3n

7m − 7n 5a + 25b 2a2 + 10ab 4x − 16y 16y

x2 − 49

;

6x + 42 12a2 − 6a 3 − 6a 9b2 − 1 2

b5 − b 4

;

9b + 6b + 1

a a+2 m m − 3n x

;

3x − 24x

2x − y 5b 2a + 3b x +1 x2 + x + 1

+ 2

1 x 2

;

m −1 64 − x2

15.10. 1

b −b 7m 2 + 7m + 7

+ 12 1

;

104

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

15.11. 1 2

2 y2

b−4

1 15.13.

15.12. 20

2 x

2 12

1 2a

8ab

;

3x 3

7m n

4y 3

3m n

a+b

a−b

a 2 − b2

8p (m − n ) 2

2x + 1

3x − 2

;

a 2

a − b2

3a + 3b

;

m−n

x a−b

;

4a − 4

5 − 5a

b−3

9 − b2

;

15.14. 1

15x2 y2

10x3 y

6 a 4 b5

9ab2

y −5

;

y − 25

m+n

2m − 3n m2 − n2

y −1 xy − y2

a − 2b

a+b

1 + c2

;

m2 − mn

x +1 x2 − xy

c − 16

;

c 4−c

;

2m + 9

m2 + 5m + 25

m −5

15.15. 1 2

(3a + 3b)2

xy + x − 5y − 5

;

a+b

(6x − 18y)2 x 2 − 9y 2

4y + 4

;

a2 − ab + 2b − 2a

;

a − 4a + 4

15.16. 1

2m2 − 72n2

; 2

; 2n + 1

(4m + 24n)

a3 − 8 ab − a − 2b + 2

;

a3 + 2a2b + ab2 3

a − ab

15.17. 1

100n

22n + 3 æ 5

22n + 1 æ 7n + 1 6 æ 28n

;

5n + 1 − 5n 2 æ 5n

105

15. Основна властивість раціонального дробу

15.18. 18n

2n + 2

n +1

æ2

;

41 æ 9n n+2

15.19. 1

1 3

5 p − 15

p − 27

3a + 1

;

x −1

a−2

9a − 6a + 1 a a2 − 7a

9a − 1 a+3

x − 2x + 1

;

a2 − 14a + 49

x + 2x + 1 b

;

a − ab − ac + bc 2a − 2b

4a − 4c

;

15.20. 1

3a 3a − 2

9a + 6

9a b − 4b

;

15.21.

3xy + x2

2 8 a − 3b

ab + 14b

;

a + 7ac − 5ab − 35bc x

4a2 − ab

15.23.

a − 5b a + 7ac 2xy − y2

15.22.

a b

a2 − 9b2

0,5a + 1,5b 2m − 1,5n

15.24.

= 2.

32m2 − 18n2

= 5.

. 4m + 3n = 8.

15.25. 1

a2 − 3ab − b2 2

a −b

3a + 2b

4a − b

= 1;

m3 + 2m2n 3

n − mn 3m + 2n x3 − 2x2 + 4x − 8

15.26.

2 y=

¿ 15.28. 1 y=

x2 − 4 x+2 x−3 3−x

1 y=

x−4 x x

;

x2 − 8x + 16

¿ 15.29.

;

x2 − 10x + 25 x −5 2 x+4

−

2 y =x− ;

2 x+4

2 y=

x2 − 1 x −1

= 2.

x +4

¿ 15.27. 1 y=

5m − n

−

2x2 − 4x x

;

x2 − 3x x

−

2x2 − 2 2

x −1

106

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

15.30. x +1

x +1

= 1;

x2 − 25 x −5

x+6

= 10;

x −6

= 0.

15.31. x − 16 2

x+4

= −8;

x −7

15.32. 1 x=1 2 x= 15.33. 1 + x= 15.34.

x −7

x= x=

12 + 2

a3 − a2 − a + 1

= 0.

+ 1

(x − 1)3

a + a + a +1 2x − 4

x − x + 4x − 4 x2 − 4

x3 − 2x2 + x − 2

12 + x − x

15.35. x2 − 1

x −1

x − x + 2x − 2 (x − 2)3

4 − 3x − x

x − 2x + x − 2 a1

15.36. 1

a2 b2

= ... =

a1 + a2 + ... + an b1 + b2 + ... + bn

= k.

15.37. 1 2

2x + 4 2

n4 + 4n3 + 8n2

;

x + x−2 a 2 − 4a + 3 2

a + 2a − 3

n + 64 y 4 + y2 + 1

;

2b3 + 3b2 + 3b + 1 2b + 1 x+3

y2 − y + 1

x3 + 6x2 + 12x + 9 a4 + 4 2

a + 2a + 2

;

m2 + m + 3

;

m + 5m + 9 b47 + b46 + ... + b + 1

;

b + b + ... + b + 1 a38 − a37 + a36 − ... − a + 1 12

−a +a

− ... − a + 1

107

16. Додавання і віднімання раціональних дробів

15.38. 3y + 9

y + y−6

z4 + 7z2 + 16

;

z +z+4

x + 6x + 5

x + 3x + 2

;

2x3 − 9x2 + 27x − 27 2

4x − 9 x1

15.39.

a x2 x3

2a3 + 3a 11a − 18

+ ... + y + 1

;

−a

− ... + a − 1

 x1 + x2 + x3  x1  x + x + x  = x . 2 3 4 4

. =0

;

2 x5 + x + 1

15.41.

15.40.

a59 − a58 + a57 − ... + a − 1

;

x + x +1

2a 4 + 14a2 − 17a + 3 2a + 6

. +

15.42.

16. Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками a c

a+b

+ =

a c

a−b

− =

о додати раціональні дро и з однаковими знаменниками, тре а додати ні чи ельники, а знаменник зали ити той амий. о відняти раціональні дро и з однаковими знаменниками, тре а від чи ельника ер ого дро відняти чи ельник др гого дро , а знаменник зали ити той амий. ПРИКЛАД 1 1 2

y 2 + 2y 2

y − 25 4 2a − 1

−

12y − 25 y2 − 25

2a − 3 1 − 2a

;

108

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

y 2 + 2y 2

y − 25

−

12y − 25 y − 25

4 2a − 1

−

2a − 3

y − 25

y − 25 4 2a − 1

−

m n

= −3,

( y − 5)

y − 25

2a − 1

y −5 y+5

2a − 3 2a − 1

4 + 2a − 3 2a − 1

2m m

= 2+

m m 2m + n m

= 2+

n m

= 2− =1 . 

ПРИКЛАД 3 2n2 + 3n − 15 n

2n2 n

3n n

−

15 n

= 2n + 3 −

15 n

2 + 2n + 3 −

15 n

1 1

1 

ПРИКЛАД 4 3n2 + 5n − 13 n+2 3n2 + 5n − 13 n+2

3n2 + 6n − n − 2 − 11

n+2 3n (n + 2) 11 n+2

−1−

2a − 1 m

=− .

2n2 + 3n − 15

2a + 1

.

2m + n

= −3.

m 1

y2 + 2y − 12y + 25

( y + 5) ( y − 5)

−(2a − 1)

2m + n

2a − 3

ПРИКЛАД 2

1 − 2a

y2 + 2y − (12y − 25)

y − 10y + 25

= 2

n+2

3n (n + 2) − (n + 2) − 11

= 3n − 1 −

n+2 11 n+2

109

16. Додавання і віднімання раціональних дробів

11 n+2

1 1 1 1

11 11

1 

1 2

1. Як додати раціональні дроби з однаковими знаменниками? 2. Як відняти раціональні дроби з однаковими знаменниками?

ВПРАВИ 16.1. 1 2

x 6 a

m+n

6 b

6 2a − 3b

+ ; − ;

3 3 m 4m n

6ab 8m + 3

;

m − 2n

−

10m2

+ −

;

6 9b − 2a 6ab 2m + 3 10m2

;

16.2. 1

a−b

−

10a + 6b

;

2b 2b a − 12b a + 15b

2 −

27a

;

11a x2 − xy x2 y

−

6b − a

;

11a3 2xy − 3x2 x2 y

16.3. 1 2

a2 a+3

−

t t2 − 16

a+3

−

;

4 t2 − 16

(m − 5) b2

;

b + 10

−

25 (m − 5)

20b + 100 b + 10

16.4. 1 2

c2 c−9 a2

−

(a − 6)

81 c−9

−

3x + 5

;

36 (a − 6)

;

−

2x + 7

x − 4 x2 − 4 y2 4y − 4 y−2

−

y−2

;

110

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

16.5. a+b

81b2

;

c −7 7 − c 2x − 4y 4x − 14y

−

x − 3y

;

9b − a a − 9b y2 1 − 2y

;

3y − x

y −1

−

1− y

16.6. 3c

c−d

d−c

¿ 16.7.

a2 − 48

5x + 3

6x − 1

x − 16

= 2

a−8

¿ 16.8. 1

−

a−8

;

16 − x

1 2

b2 2b − 14

49 14 − 2b

c2 + 3c + 7 3

c −8 a2 + a

−

a −9

c+3 8−c

7a − 9

a −9

16.9. 1

5n − 1

20n 9m + 2

7n − 8

−

m2 − 4

8n + 7

−

20n m−9

4 − m2

;

20n 1 − 7m m2 − 4

k3 − 1

4k + 1 1 − k3

k2 1 − k3

;

16.10. 1 2

6a − 1

4a − 7

−2a − 2

;

16a − 8 16a − 8 8 − 16a 2a2 + 12a 8a − 9 a2 + 14a − 16

a − 25

25 − a

−

a − 25

16.11. 1

15 − 8a

(a − 1)

−

3b2 + 12 (b − 2)

14 − 7a (1 − a)

12b (2 − b)

m2 − 8n

;

(m − 2) (n − 5) x2

;

(x − 3)

−

2m − 8n (2 − m) (5 − n)

6x − 9 (3 − x)

16.12. 1 2

x2 − 16x ( x − 7)

a3 (a − 2b)

+ +

2x + 49

y2 + y

(7 − x)

( y − 6) ( y + 2)

; 4

3 8b

(2b − a)

y + 36 (6 − y) (2 + y)

;

16.13. 1

( a + b) 2 4ab

−

( a − b) 2 4ab

= 1;

( a + b) 2 2

a +b

( a − b) 2 2

a +b

= 2.

;

111

16. Додавання і віднімання раціональних дробів

16.14. 12x − 25

20x − 15

8x + 10

20x − 15

16.15. 17 y + 5 21y − 3

−

9 − 11y

21y − 3

16.16. a2 − 6 (a − 2)

−

7a − 4 (a − 2)

3a + 6 (a − 2)

16.17. 2 − b2 (b − 5)6

−

7 − 3b (b − 5)6

7b − 20 (b − 5)6

16.18. 1

x+3 x

;

a2 − 2a − 5

a−2

16.19.

4a − b a

; x

16.20. 1

y y x

; a

b a−b a

b +7

= 4. 2

16.21.

b 2 + 7b + 3

2x − 3y y

x 2 + y2

;

= −2.

;

4a + 5b b

a2 − 2ab + b2

;

16.22.

n+6 n

3n2 − 4n − 14 n

;

4n + 7 2n − 3

16.23.

8n − 9 n

;

n2 + 2n − 8 n

;

9n − 4 3n − 5

112

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

16.24. 1

n2 + n + 1 n +1

;

n3 − 2n2 + n − 1 2

n +1

16.25. 1

2n2 + 7n − 4 n+3

;

4n2 − 11n + 23 n−2

16.26. 1

n3 − 2n + 1 2

n + n −1

;

n3 − 4n − 3 2

n −n−3

. +

16.27.

ab + bc + ac a+b+c a 2 + b2 + c2 a+b+c

17. Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками

A B A B

C D

Aæ D Bæ D

Cæ B Dæ B

;

C D

Cæ B Dæ B

Aæ D+Cæ B Bæ D

17. Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками 113

ПРИКЛАД 1 b +1

abc m

1− a 2

a c

; n

−

7m + 7n 7m − 7n 10n + 14 6 n2 − 49

−

7−n

25 − 10a + a x x+2

;

x−4

−

x−2

1 3a − 15

;

1 2 a/

b +1

abc

1− a

ab + a + b − ab

a c

a bc

a+b a2bc

2 m 7m + 7n

7 (m + n ) (m − n ) 2

n − 49

25 − 10a + a

− 3/

1 3a − 15

(a − 5)

x − 2/

x−4 x (x − 2) − (x + 2) (x − 4)

(x − 4) (x − 2)

−

10n + 14 (n − 7 ) (n + 7 )

2a (5 − a)

3 (a − 5)

m + n/

x+2

−

m2 − 2mn − n2

n + 7/

7 (m 2 − n 2 )

n −7

5a + 5

3 (a − 5)2

x (x − 2) − (x + 2) (x − 4) (x − 4) (x − 2)

8 (x − 4) (x − 2)

7c − 2

−

7 c − 2/

21c2 − 21c2 + 6c 7c − 2

n +7

6c 7c − 2

x2 − 2x − x2 + 4x − 2x + 8 (x − 4) (x − 2)

. 

7c − 2

21c2

6a − a + 5 3 (a − 5)

21c2

1 − 3c =

(n − 7 ) (n + 7 )

3(a − 5)

10n + 14 − 6 (n + 7)

ПРИКЛАД 2

21c2

4 (n − 7 )

x − 2x − x + 4x − 2x + 8 (x − 4) (x − 2)

7 (m − n )

(n − 7 ) (n + 7 )

x−2

−

7 (m − n )

a − 5/

x − 4/

7 (m + n )

4n − 28

(n − 7 ) (n + 7 )

7−n

m − n/

m2 − mn − mn − n2

10n + 14 − 6n − 42 2a

7m − 7n

m (m − n ) − n ( m + n ) 10n + 14

−

. 

− 3c.

(x − 4)

114

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

1. Як виконати додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками? 2. Що є сумою та різницею двох раціональних дробів?

ВПРАВИ 17.1. 1 2

2b − 7c 6 3x − 2

5m − n 14m ab

3b + 2c 15

3y − 1

−

a+b

−

k x−y

;

m − 6n

a−c

k+4

;

−

3k − 4 k2 y − x2

−

m2n c+d

;

cd 4

−

;

x2 y

2m − 3n

;

7m − 2n mn2

c2 − 8d c3 d 3

;

17.2. 1 2

4d + 7 7d m−n mn

d−6

−

6d p−n

−

6a + 2

;

−

ab c2 − 16

;

2a + 4

−

a b c−9 5

;

−

1 + x2

;

x x5 1 − ab 1 − ad

;

−

abc

acd

17.3. 1

m n

−

m m+n

;

a−3

−

3 a+3

;

3c − 1

−

3c + 1

;

2y + 1

17.4. 1

a a−b

+ ;

4 x

−

5x + 4 x+2

;

b−2

−

2 b+2

17.5. 1 2

18 2

b + 3b 2 c +1

−

m − 2n

6m + 6n

− ; c −1 c2 + c

m +1 3m − 15

a2 + 2

;

1− m 2m − 10

a + 2a

;

−

3x − 4y x2 − 2xy

m − 3n

−

4m + 4n a+4

2a + 4

;

x − 3y xy − 2y2

−

x 3y − 2

17. Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками 115

17.6. 1 2

−

m m + 8m a−2 a −1 2a − 6

−

a 2 + b2

;

3a − 9

2a + 2ab a + b b+4 a+4

;

−

ab − b2

a2 − ab

;

17.7. 1 2

x+4

x+3 a2

x −9 a 2

a − 64 6b 9b2 − 4

−

3a + b

;

a−8 1

a −b m

;

3b − 2

m+5 b

;

−

a+b

;

a+b m2 2

m + 10m + 25 b2 2

a + b + 2ab

;

17.8. 1 2

4x − y

x 2 − y2 y2 y2 − 81

−

1 x−y y y+9

10a

;

25a2 − 9 n

;

n −7

−

5a + 3

;

n2 2

n − 14n + 49

17.9. 1 2

x y

− x;

−

3b + 4

+ 2;

b−2

+ 3;

6m −

12m2 + 1 2m

20b2 + 5

− 3;

2b − 1

− 10b.

17.10. 4

n3 n 2k2

1 a− ; 2

1 x

+ x − 2;

−

k−5

+ m;

9n2 − 2

3n −

− k;

5−

3n 4y − 12 y−2

;

17.11. 1 2

a2 + 1

a +1

a − 2a + 1 a − 1 a 2 + b2 a − b 2

a −b c +7 c −7

−

a+b

28c 49 − c2

5a + 3 2a2 + 6a

;

p −5 1

;

6 − 3a a2 − 9

a a 2 − 4a + 4 2p 5

;

−

p+5

y+8 16 − y2

2b − 1 4b + 2

a+4

−

;

a2 − 4 2 p2

25 − p2 2

y−4

4b 4b2 − 1

;

2b + 1 3 − 6b

116

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

17.12. m+n

m−n x−y

x+y

m2 + n2

−

b−2

;

m −n y2

2 2 2xy + x + y

a+4

−

4a 2 − 1

2a2 + a

−

;

b2 + 6b + 9 b2 − 9 x−6 x x−3

;

x2 + 3x y+2

;

y−2

x+3

y−2

−

y+2

−

16 y2 − 4

;

17.13. 2x + 1

2x − 4

2x − 1 6 − 3x

x +7

−

6x − 12

;

24 − 2a

−

a2 − 16

a 2a − 8

4 a+4

17.14. a2 − 2

1 1− a +

a+2

a 2 − b2

c2 + 9

;

c−3 8m2

+ 3a − b;

3a + b

− c − 3;

4m − 3

− 2m − 1.

17.15. 14b

1 b +7 −

b +7

2 5c −

;

10 − 29c + 10c2 2c − 5

+ 2.

17.16. 7

2a − 4

−

2c + 3

2c2 − 3c

12 2

a −4

m2 + 16n2 2

m − 16n

−

a+2

2c − 3 2c2 + 3c

−

m + 4n 2m − 8n

, 16c

4c 2 − 9

= 0

, =

17.17. 1 2

6 5x − 20 2y − 1 2y

−

x −5 x2 − 8x + 16 2y 1

2y − 1

−

2y − 4 y

y = −2 .

17.18. 1

a+b a

−

a a−b

b2 2

a − ab

= 0;

a+3 a +1

−

a +1 a −1

6 2

a −1

2 2

a −1

17.19. 1

1 6a − 4b

−

1 6a + 4b

−

3a 4b2 − 9a2

1 3a − 2b

;

c+2 c2 + 3c

−

1 3c + 9

−

2 3c

= 0.

17. Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками 117

17.20. 1

a +1

−

a −1

1 2

a + a +1

;

b+3

−

b2 − 6b 3

b + 27

17.21. 1

9m2 − 3mn + n2

−

3m − n

9m2 + 3mn + n2

; 2 1−

3m + n 3a2 + 24

17.22.

a +8

−

2b − 1

−

a − 2a + 4

−

a+2

17.23. 1 2

4b 2

a −b 1 x−2 1

a−b

;

a + ab b2 − ab 1 x x2 + 4

x+2

(a − 5b)2

a+b

−

x2 − 4 2

a2 − 25b2

x2 + 9x + 18

−

xy + 3y − 2x − 6

8x − 2x3 1

x+5 y−2

(a + 5b)2

; ;

17.24. 1 2

a+3 2

a − 3a b−4 2a − 1

−

a−3 3a + 9

12 9−a

b2 − 2b − 24 2ab − 4 − b + 8a

1 a2 + 12a + 36

2 36 − a2

= +

a−3 3a

;

2 2a − 1

1 a2 − 12a + 36

144 (a2 − 36)2

17.25. 1 2

1 ( a − b ) ( a − c) a2 ( a − b ) ( a − c)

+ +

1 ( b − a ) ( b − c) b2 ( b − a ) ( b − c)

+ +

1 ( c − a ) ( c − b) c2 ( c − a ) ( c − b)

= 0; = 1.

17.26. 1 2

bc ( a − b ) ( a − c) a3 ( a − b ) ( a − c)

+ +

ac ( b − a ) ( b − c) b3 ( b − a ) ( b − c)

+ +

ab ( c − a ) ( c − b) c3 ( c − a ) ( c − b)

4b2 − 2b + 1 2b + 1 6 1 2

= 1; = a + b + c.

a+2

118

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

17.27. 2n + 1

n2 (n + 1)2 3 2

1 æ2

5 2

−

2 æ3

(n + 1)2 7 2

3 æ4

9 2

4 æ5

5 æ 62

17.28. 1 1æ 2

1 2æ 3

+ ... +

= 1− .

(n − 1) æ n

17.29. 1 2

1 (a − 1) (a − 2) 1 a (a + 3)

1 1

(a + 3) (a + 6)

(a − 2) (a − 3)

(a − 3) (a − 4) 1

(a + 6) (a + 9)

; 1

(a + 9) (a + 12)

17.30. 1 2

1 (a − 1) (a − 3)

(a − 3) (a − 5)

1 (a − 5) (a − 7)

;

1 1 1 1 1 + + + + . x (x + 1) (x + 1) (x + 2) (x + 2) (x + 3) (x + 3) (x + 4) (x + 4) (x + 5)

17.31. 2 2

x −1

x −4 1

x −9

x − 16 1

1 1   =5 + + + .  (x − 1) (x + 4) (x − 2) (x + 3) (x − 3) (x + 2) (x − 4) (x + 1) 

17.32. 1 1− a

1 1+ a

2 1+ a

4 1+ a

8 1+ a

16 16

1+ a

32 1 − a32

17.33. 3 1− a

17.34. 17.35.

3 1+ a

6 4

12 8

24 16

1+ a 1+ a 1+ a a−c b−a c−b

= 1,

b+c a+c a+b a+b+c a−b+c a+b−c

a−b−c

1 − a32 a+b b+c b+c

a+c

a+c a+b

= 4.

17. Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками 119

17.36. a b+c

b a+c

c a+b

( a + b) 2

( a + c) 2

b+c ( b + c) 2 a

b a+c+d

a+c+d 1

a 3 + b3 + c3

17.39.

x2 + 1

b+c+d a 1 1

1 y2 + 1

a−b

17.40.

a+b

2 b−c

x +

b+c

y2 + 1

xy + 1

c3 1

2 xy + 1

c−a c+a

= 0. 0

( a − b) (b − c) ( c − a )

17.41.

=−

( a + b) ( b + c) ( c + a ) b a+b

c b+c

a c+a

;

2 1

17.42. 1 ( a − b) 2

17.43. 17.44.

17.45. xy = 1

1 (b − c) 2 1 a

+ 1

a−b 1

a a+b 1

b−c

( c − a)2

b b+c 1

c−a

1 30

c c+a 3

= . 2

b c b+c−a

+ + = 0. =

a+c−b

a b ( a + b) ( b + c) ( c + a ) abc 1 1 + x + xy

c a b+a−c c

? 1

1 + y + yz

c a+b

+ + .

a+b+c a b 1 1 1

17.38.

x2 + 1

a+b+d a+b+c a+b+c a+b+d d

a+c

b+c+d

17.37. b+c+d

1 1 + z + zx

ca b2

= 3.

b a+c+d

a+b

120

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

18. Множення і ділення раціональних дробів. Піднесення раціонального дробу до степеня

a b

ac bd

a c

b d

ad bc

о тком дво раціональни дро ів є раціональний дрі , чи ельник якого дорівн є до тк чи ельників дани дро ів, а знаменник до тк ні знаменників. а тко дво раціональни дро ів є раціональний дрі , чи ельник якого дорівн є до тк чи ельника діленого та зна менника дільника, а знаменник до тк знаменника діленого та чи ельника дільника. ПРИКЛАД 1 1 2x

x − 12x + 36

a2 + 2ab a2 − 4b2

; 2

a+9

3a + 27

5c2 − 35c

;

c+2

: (c − 7).

1 4x

(2x − 12) æ 2

x − 12x + 36

a2 + 2ab a2 − 4b2 a+9

5c2 − 35c c+2

3a + 27

: (c − 7) =

A B

2x − 12

a (a + 2b) a+9

C D

c+2

P Q

x − 12x + 36

3 (a + 9) (a − 2b) (a + 2b)

5c2 − 35c c − 7

4x 2

AæC Bæ D

5c (c − 7) c+2

P Q

2 (x − 6) æ 4x (x − 6) 3a a − 2b 1

c −7

Aæ Cæ P Bæ Dæ Q

. 5c

c+2

. 

8x x−6

10b2

7c4

121

18. Множення і ділення раціональних дробів

2a5

ПРИКЛАД 2 2a5 3

9bc3 4a 2

15b

10b2 4

4a 2 3

2a5 3

10b2 4

10b2

9bc3

4a 2 9bc

2a5 æ 10b2 æ 9bc3 3

15b 7c 9bc 15b 7c 4a 15b æ 7c æ 4a 2a5 æ 10b2 æ 9bc3 2 æ 10 æ 9 æ a5b3c3 3a3 3 4 2 15b æ 7c æ 4a

15 æ 7 æ 4 æ a2b3c4

2 æ 10 æ 9 æ a5b3c3 15 æ 7 æ 4 æ a b c

. 

1 n ìíîæíèê³â

A A A A æ A æ ... æ A A  A = n.   = æ æ ... æ = B B B B B æ B æ ... æ B B n ìíîæíèê³â

n ìíîæíèê³â

A  A   = . B B

A  A   = n , B B

о ідне ти раціональний дрі до те еня, тре а ідне ти до цього те еня чи ельник і знаменник. ер ий рез льтат за и ати як чи ельник, а др гий як знаменник дро 3

 3a2   −  . 2bc4 

ПРИКЛАД 3 3

 3a2  (3a2 )3 27a6  3a2  = − = − = − .  −  4 3 4  2bc4  (2bc ) 8b3 c12 2bc  1. Що є добутком двох раціональних дробів? 2. Що є часткою двох раціональних дробів? 3. Як піднести раціональний дріб до степеня?

ВПРАВИ 18.1. 1 2

2a b x yz

æ æ

b 8a y4 5x

; ;

14m9 æ 15a 4 12

2 3

;

7m b6 10a

21c3

13 p2 25a2 c 64b

39 p

;

28c2 77b6

10ac

2 3 4

122

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

18.2. 1 2

4m2 k a

mk5

15x12 æ

;

7k 8

æ 2a;

9mp

;

5x 27m3

56k6 p2

18.3. 1 2

2mn + n2 6m 7 a + 7b

b m−2

;

2a + 8 2 4a − 4a + 1 a +1

;

m−2

(a + 4) æ

;

a+b m +7

m2 − 49

3a + 3 a2 − 25

;

2a − 1

4a 2 2

a − 5a

;

18.4. 1 2

ab − b2 8 5x − 5y x

æ æ

4a b

;

x3 x−y

m − 9n2 3c − 9

;

æ (m − 3n);

9c2 + 6c + 1

3c + 1 c−3

18.5. 1 2

3b 8 6a

−

: b; 3a2

5b 20b

9a 18a4 b

a2 :

; 2

a b2 c

36a

;

: (4a2c);

16x3 y8  12x2 

;

33z5

:− .  55z6 

18.6. 1

b9 8

b3 48

;

m6 m7 n

6x10

; 2

: (30x5 y2 ).

18.7. 1 2

x 2 − y 2 6x + 6 y 2

x c −5

c2 − 4c 5c − 20 x − y x 2 − y2 xy

3xy

;

a 2 − 4a + 4 a+2

: (a − 2);

( p2 − 16k2 ) :

p + 4k p

;

a2 − ab a2 − 2ab + b2

;

18.8. 1 2

p+3

p2 − 2 p 4 p − 8 a2 − 16 a + 4 a−3

a−3

;

y−9

y2 − 81

y − 8 y2 − 16y + 64

(x2 − 49y2 ) :

x − 7y x

; .

123

18. Множення і ділення раціональних дробів

18.9. 2

 5a6  2  5  ;  b 

 c 1   ;  2d  18.10. 10  a6  1  3 ; b 

 6a 6   − 7  . b

 2m3n2   kp8  .

 10c7   − 5  ; 3d

 4m  2 − 3 ;  9n  x

18.11. 1

 3m4   − 3  ; 2n

1 x

1 a

= b;

= . a

18.12. 1 2x −

m n

= 2;

1 m

−

= .

18.13. 1 2

33m8 88m4 21m6 34n

51n

36x6 24x 9

49y5 25y4

16n 7x2 30y

 2a5   4a6   y6  :  y8  ;

;

 27x3   8 y3   − 16y5  æ  9x2  .

;

18.14. 1 2

3a 4b3 . 4b4 c2

3a2

9ab

10c5

2 2

2b c

27a7

7c8 6b

5b7 9a3 c3 12

14c

 5a3  b18 ;  4  æ b 50a16

;

 3x7   3x6   y10  :  y8  .

; x

18.15. 2

 4a 2  6a 1  3  æx= 2;  b  b

 2b4  b6 2  :x = .   3c  12

18.16. 1 2

4c − d

2c2 − 2d2

c2 + cd 4c2 − cd 2 b − 6b + 9 b3 + 27

b − 3b + 9 5b − 15 a3 − 16a 12ab2 2

3a b a 3 + b3 2

a −b

m + 2n m2 + 4mn + 4n2

;

2 − 3m a3 + 8

;

a − ab + b

3m − 2m a2 − 2a + 4

;

3x + 21 3a + 15b 2

a − 81b

;

16 − a a +4 2 x − 12x + 36 x2 − 49

;

4a + 16 7 a − 7b

4x − 24

;

4a + 20b 2

a − 18ab + 81b2

124

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

18.17. a4 − 1

1 2

mn2 − 36m 2n + 12

;

a − a 1+ a a2 − 8ab 8b2 − ab

;

12b 24a 5m2 − 5n2 15n − 15m 2

m +n

4m + 4n

¿ 18.18. 1

4 x 2 − 4 y 2 6x + 6 y

2 (3a2 − 18a + 27) : a 6 + a5 (3a − 3)

m −8 a4 − 1

2 9a − 9a

a − a +1 a +1 4x2 − 100 2

;

: (2x − 20x + 50).

3a − 9

a5 + a 4

6m − 12 a −1

2 y= 2 =0

, =0

¿ 18.19. 1 2

a − 9b

2a − 6b

a=2 , b=− .

a2 − ab b2 − a2 a2 + 4ab + 4b2 3a + 6b

18.20. 1

a n + 4 b3n + 2 a n + 3b3 n + 1 c

n+5

n+8

;

( a n + b n ) 2 − 4a n b n a 3 n + b3 n

a 2n − b2n ( a n − b n ) 2 + 4a n b n

18.21. 1

xn + 3 y4n − 1 zn + 4

z2n + 5 xn + 1y

;2 3n − 2 1

18.22.

x−

18.23.

3x +

18.24.

x2 +

18.25.

x + 2

16 2

x 1

( x n − 2y n ) 2 + 8x n y n x 3n − 8 y3n

x 2n − 4 y2n ( x n + 2y n ) 2 − 8x n y n

= 9.

1 x

x2 +

= −4.

1 x2

9x2 +

1 x2

= 41.

x+ . x

= 6.

x− . x

18.26. 1

a2 − 36 2

a + ab − 6a − 6b

a2 + ab + 6a + 6b 2

a + 2ab + b

;

a2 + a − ab − b a2 − a − ab + b 2

a + a + ab + b a − a + ab − b

125

19. Тотожні перетворення раціональних виразів

18.27. 1 2

25 − 5a + 5b − ab

ab − 5a − 5b + 25

25 + 5a − 5b − ab ab + 5a + 5b + 25 a2 − 2ab + b2 a2 − ab + 4a − 4b 2

a − ab − 4a + 4b

;

a − 16

18.28. 1 2

8a 2

6a 3

a − 3b a − 9b a 4 − 1000ab3 2

a − 2ab + b

= 1;

4a + 12b a 2 − b2

a b − 100b

18.29.

a3 + 10a2b + 100ab2 2

ab + 10b 2 a +a 6a + 6 2a − 12

2a + 12

a+b

a−b 3 9a + 18a2 + 9a 2

a − 36

= . 6

18.30. 1 2

a2 + 2ab + b2 − 2a − 2b + 1 a + b − 1 2

a − 2ab + b + 2a − 2b + 1 a − b + 1 x2 − 4x − 21 x2 − 14x + 49

x + 4x − 21 x + 14x + 49

;

18.31. 1

n2 − 9 n2 + 4n + 3 2

n − 1 n − 4n + 3

;

a5 + 1 3

a + a + a +1

a 4 − a3 + a2 − a + 1 4

a −1

19. Тотожні перетворення раціональних виразів

6a  3a  a − 4 2a + 8a − − .  : a − 2 a 2 − 4a + 4  a 2 − 4 a−2

ПРИКЛАД 1

3a a−2

−

6a 2

a − 4a + 4

a − 2/

a−2

−

6a (a − 2)

3a2 − 6a − 6a (a − 2)

3a2 − 12a (a − 2)2

;

(a − 4)

− 2)2

126 2 æ

(a − 2) (a + 2) a−4

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

3a2 − 12a (a − 2)

a−4

a −4

3a (a + 2) a−2

3a2 + 6a a−2

−

3a2 − 12a (a − 2)

a2 − 4 a−4

3a (a − 4) (a − 2)

(a − 2) (a + 2)

a−4

3a (a + 2) a−2

3a + 6a a−2

2a2 + 8a a−2

;

3a2 + 6a − 2a2 − 8a a−2

a2 − 2a a−2

a (a − 2) a−2

= a.



ПРИКЛАД 2 3a a−3

3a a−3

a+5 18 − 6a

3a a−3

9 3−a

a+5 18 − 6a

54a 5a + a2

3a a−3

−

54a 5a + a2

3a a−3 9

a−3

a+5 6 (3 − a)

3a − 9

a−3

54a a (5 + a)

3 (a − 3) a−3

= 3.

 3a − 1 4  a −7 a −7 + = .  æ 3a − 1 a + 1  a2 − 7a a + 1

ПРИКЛАД 3

3a − 1 a −7 3a − 1 a − 7 3a − 1  a −7 a −7 + = æ + æ =  æ 3a − 1 a + 1  a2 − 7a 3a − 1 a2 − 7a a + 1 a2 − 7a

a + 1/

3a − 1 a (a + 1)

a + 1 + 3a − 1 a (a + 1)

4a a (a + 1)

 1

ПРИКЛАД 4

1 1 + + a b c . 1 1 1 + + ab bc ac

4 a +1

127

19. Тотожні перетворення раціональних виразів

1 1 + + a b c =  1 + 1 + 1 :  1 + 1 + 1  =     1 1 1  a b c   ab bc ac  + + ab bc ac bc + ac + ab c + a + b bc + ac + ab abc bc + ac + ab abc

abc

c+a+b

1 1 1 1 1  1 1 1 + + abc + + æ abc + æ abc + æ abc bc + ac + ab a a b c =  a b c b c = = . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c+a+b  + + æ abc + æ abc + æ abc + + abc ab bc ac  ab bc ac  ab bc ac bc + ac + ab 1

. 

c+a+b

ВПРАВИ 19.1. 1 2

a+2 2

a2 − 4

−

a − 2a + 1 3a − 3 a − 2 b2 + 3b  b − 3 b + 3  b3 + 9b

;

æ + ;  b + 3 b − 3 

1 1 2a   − ;  2 : a − 4ab + 4b2 4b2 − a2  a2 − 4b2 a−8 a  a − 20  − ;  2 : a − 10a + 25 a2 − 25  (a − 5)2 2

x−2  x +6  2x + 1 − .  2 : x + 6x + 9 x2 + 3x  x3 − 9x

19.2. 1 2

b+4 2

b − 6b + 9 2x 

b2 − 16 2b − 6 1

−

2 b−4

;

1  : − ; x2 − y2  x2 + 2xy + y2 y2 − x2  2

a −1  a − 2  2a − 3 − 2 .  2 : a − 4a + 4 a − 2a  a3 − 4a

128

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

19.3. 7−x  15  1  − x − 7 æ 2 ;  x −7  x − 16x + 64 2 ab 1 2 a  2  + + 2 æ 2 2 + ;  a b b  a −b b−a

 a a a2 + 1  a2 + a − − ; :  a − 1 a + 1 1 − a2  (a − 1)2  x + 2y x − 2y 16y2  4y  x − 2y − x + 2y − x2 − 4y2  : x + 2y ; 1 4a − 28  a2 − 4  3a − 8  a2 − 2a + 4 + a + 2 − a3 + 8  æ 4 .

19.4. 1

x2 + 14x + 49  13  : − x + 6 ;  x+6  x+6 2

2c − 9  c + 3c 24  2 c− + ; :  c + 8  c2 − 64 c 6 x − 3 3 + x  36 − − ;  :  2 x −9 x+3 3−x 3−x 9y + 6 1  y2 − 4  2y − 1 + + æ .  y2 + 2y + 4 y3 − 8 y − 2  18

19.5. b  a−b 2b  ab 1  2 2+ : = ;  a − b 2b − 2a  a2 − b2 4 a − 2 a + 2 2  8a 2  − : + = −1;  4 − a2 a + 2  a a−2 2 1 3c  3  (c − 6) + 2 + = 2.   æ 2 36 − c 2 c − 12c + 36 c+6

19.6. 2

2 a  a −b 4  b 1  2 − − : = ;  a − ab a − b b2 − ab  4ab a+b ( a − b) 2  a a  3a + b 2 æ + + = 3.  (a − b)2 b2 − a2  a + b a

19.7. 1  3a + 3  a+3 1  2 − : ;  a − 1 a2 + a  a2 − a

1  7a 2  a 2  2 − : − ?  a − 49 a + 7  a2 + 14a + 49 a − 7

19. Тотожні перетворення раціональних виразів

19.8. 3x2 − 27

4x 2 + 2 3

2a − 3

−

 6x + 1 6x − 1  æ + ;  x − 3 x + 3  8a3 − 18a 4a 2 + 9

2a 3   æ 2 − .  4a − 12a + 9 4a2 − 9 

19.9. a−

1 a−

a−

a2 a +1; a

1−

19.10. 1

1−

6a − 9 a 3

2a − b b 2a + b

;

a−b b + a+b a ; a a−b − a+b a

1 a +1

−1

1−

3− 3a b

a . −1

1−

;

1−

a +1

1−

1 a +1

19.11.  a2 a − b 1  a + b b − a 6a 2  1  3 + 2 −  : − + 2 2 ; 2  b − ab b b  b − a a + b a − b  2  a+2 2−a 4a2 + 2a + 1   1  8a − 1 2  3 − æ : − 2 ;    2  4a − 4a 2 + a 1 − 8a 3    2a + a 1 − 2a 2a + a 2 2  2a b + 2ab 7a + b a−b  ( a 2 − b2 ) æ  3 2 æ 2 2 + 2 2 . 2 3 a −b a +b   7a + a b + 7ab + b

19.12.  18y2 + 3y 3y + 1   3y − 1 5 − 6 y  1  − 2 : 1 − − ; 3   27 y − 1 9y + 3y + 1  y 3y − 1   ( a + b) 2   ( a − b) 2  a 3 − b3 2 3 + : 3+ æ 3 3. 2  2  ( a − b)   ( a + b)  a + b 19.13. 1

2 1  8a  1 : − 2 + − = 1; 2 2 (a − 2)  (a − 2) a − 4 (a + 2)  (a − 2)2 16

129

130

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ 2

a + 11  a + 5 a +7   a + 3 − +  :  = 1; a + 9  a2 − 81 a2 − 18a + 81   a − 9 

 2 2 4a2b − 4ab2   a b 2ab  − − 2 2  = (a − b)2 .  a − b −  :  a+b a+b b−a a −b  19.14. 2

b2 + 9

6 3   b + 3  1 + + −  æ   3b2 − b3  b − 3  b − 3 9 − b2 b2 + 3b 

19.15. x−a

1 2

x−b a − bx

b + ax

;

a+b a−b

a+b

a+x

−

bx b−x

ab a−b

;

19.16.  1 6a − 4 − a 2 2 − a  a 3 + 4a 2 + 8a + 8 1  + − ; æ 3 2 2−a 4 − 4a + a 2 − a 3 a −8 a + 2a + 4  2 2 y 2y 2  x − 2y  x +y : + ; 2  3 3+ 3 2  x + y x − x y + xy2  x3 − xy2 x3 + x2 y + xy2 + y3 1

−

2 2 2 b − c æ 1 − b + c − a  : b − a − c .    1 abc 2bc + a b−c

a 1

19.17. 1  1 1  1 1 æ + + 2 2 æ  2 + 2 ;   ( a + b) a b a + b + 2ab  a b  2

 a2 2   a 1 2  (a − 2b)2 + 8ab 2  3 +  : 2 − +  : .  4b a   2b b a  2a 4+

19.18.  3 (x + 2) 2x2 − x − 10   5 3 3  +  2(x3 + x2 + x + 1) 2(x3 − x2 + x − 1)  :  x2 + 1 + 2 (x + 1) − 2 (x − 1)  . 19.19.

 a3  a   (b − 1)3 + 1  b − 1 − 1 = 1.  a2   a2  a − − + 1 1  (b − 1)2   (b − 1)2 b − 1 

131

20. Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Раціональні рівняння

19.20. 1 ( a + b) 3

3 6  1 1  1 1  1 1 æ  3 + 3 + + + + .  a b  (a + b)4  a2 b2  (a + b)5  a b 

19.21. 2  1 1 æ  4 − 4 +   ( a + b) a b ( a + b) 4

2  1 1  3 − 3  + a b ( a + b )5

19.22. a

b+c

+ b

c+a

19.23. a

( b − c) 2

b ( c − a)2

b−c

c ( a − b) 2

a+b

b c−a

 1 1  2 − 2  . a b +

1 b+c

1 c+a

= 0,7.

. c

a−b

= 0.

= 0. 1

19.24. 1+ 3+

1 ... +

1 n

20. Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Раціональні рівняння y=

x x

x = .

x x = x .

x =

D (f ) ∩ D ( g ).

132

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

x2 − 4 x+2 x+3

x x

x −x

x x

2 0

x2 = 2 x x = x x ∈ D (f ) ∩ D ( g ). 20 1 4x2 + 12x +

12 x

4 x2

= 47. 0

2 .

x2 =

x =2

x2 = 1 x =

x =2 1 x

. 2 .1

x =

x .

1 2

x=0

2x = 0

2x = x =0 x2 = 1 x 1 x+1 =0 x 1=0 x2 + 1 x 1 = 0 100 x 1 =0 x 1 1000 = 0 x2 =

x =

20.1. Якщо до о о ча тин даного рівняння додати а о від о о ча тин відняти одне й те аме чи ло, то отри маємо рівняння, рівно ильне даном .

133

20. Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Раціональні рівняння

x = x +

x +

2 1

= =

2 2

2 1 1 2  20.2. Якщо який не дь доданок ерене ти з од ніє ча тини рівняння в др г , змінив и ри цьом його знак на ротиле ний, то отримаємо рівняння, рівно ильне даном . 20.3. Якщо о идві ча тини рівняння омно ити оділити на одне й те аме відмінне від н ля чи ло, то отри маємо рівняння, рівно ильне даном . 20 2 20 20 1 20 1

1 x −5

1 , 5−x

x =

1 x −5

x2 = 2 .

+ x2 = 25 +

x =

1 1

x2 = 2 1 x −5

20 2

+ x2 = 25 +

1 x −5

x x =

x = 1

134

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

1   x −  (x + 2) = 0 2

1=0

2x 1

x1 = , x2 = 2

x= .

x= 2

1=0

x2 = 4x2 + 12x +

12 x

= 47.

11 1

x2 − 4 x+2

= 0. =0

x2 2

2 2 x2 − 4

x+2

= 0,

x2 − 4 x+2

x= 2

20. Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Раціональні рівняння

x2 − 4 x +1

x+2 f (x) g (x)

= 0,

x2 x2 − 4

x2 − 4

x f (x) g (x)

x =0 f (x) g (x)

x +1

x = 0

135

f (x) = 0,   g (x) ≠ 0.

=0 x2 − 4 x+2

x2 − 4 = 0,  x + 2 ≠ 0.

2 2 . .

f (x) g (x)

= 0,

x 3x + 5

ПРИКЛАД 1

6x + 3 3x + 5 3 (2x + 1)

1 4x 2 − 1

1 (2x − 1) (2x + 1)

4x − 2 3 (2x − 1) (2x + 1)

−

x 2x − 1 x

2x − 1

= 0;

= 0. 4x − 2 = 0,  3 (2x − 1) (2x + 1) ≠ 0.

136

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

4x − 2 = 0,  x ≠ 0,5, x ≠ −0,5.  x = 0,5,  x ≠ 0,5, x ≠ −0,5.   2x2 − 4x − 16

ПРИКЛАД 2

x−4 2x2 − 4x − 16 − x2 + 4x x−4 x2 − 16 x−4

− x = 0.

= 0;

= 0.

x2 − 16 = 0,  x − 4 ≠ 0, x = 4 àáî x = −4,  x ≠ 4; x= 

ПРИКЛАД 3 2

0 2

x x+2

x 3 x+2

2 2

x−2

30 õâ =

1 2

ãîä,

3 x+2

2 x−2

= . 2

20. Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Раціональні рівняння

137

= ;

x+2 x−2 2 3x − 6 + 2x + 4 1

− = 0;

x2 − 4 2 2 10x − 4 − x + 4 2 (x2 − 4) 10x − x2 2 (x2 − 4)

= 0;

10x − x2 = 0,  2 2 (x − 4) ≠ 0;

x (10 − x) = 0,  x ≠ 2, x ≠ −2;  x=0

x=0

x = 10 10



1. Що називають областю визначення рівняння (x) = (x)? 2. Які два рівняння називають рівносильними? 3. За допомогою яких перетворень даного рівняння можна отримати рівняння, рівносильне даному? 4. Яке рівняння називають наслідком даного? 5. Які корені називають сторонніми коренями даного рівняння? f (x) 6. Опишіть, як розв’язують рівняння виду = 0, де (x) і (x) — мноg (x) гочлени. 7. Яке рівняння називають раціональним?

ВПРАВИ 20.1. 1 x + 2 = 10 2x =

2 x

x=2 1 3

x = 1;

x x

138

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

x 6 x

x+2 =0

x =1 x100 = 1 x

0 1x

x+1

x2 = x2 + 1

x+1=1+x

x +1

= 1;

x =1 x1000 = 1 x=x

10 x2 + 2x + 1 = 0 x+1=0 11 x + 1 x2 + 1 = 0 x+1=0 12 1

x2 − 1

= 10

x +1 x2 − 9 x+2

1=0 =0

20.2. 1 x+

2 x2 = x

x2 + x +

x +1

x −1 x2 + 1

x2 + 1 = 0 2

x−2

x=1

1   x −  (2x + 1) = 0 2

x +1

x−2

x +1

x2 − 9

1=0

x−3 x +1

= 0;

x +1

2x2 + =0 x+ x2 − 1 2

x −1

= 1;

20.3. =

1 2x 2

x+ x −1

x =1

20.4. 1 x 2 x2

−

2x + 1

x 6

x2 + 1 =

= 0;

=x+ x x= 1= x2 + =

3x − 5 2

x −1

x2 + 1

2x + 1 =

x −1 x −1

= 1.

=0 x+2 x −1

=0 = 0?

= 0;

139

20. Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Раціональні рівняння

20.5. 1

x2 +

x+2 =1

1 1 x −7

x2 − 1 x −1

−

1 x −7

= 49

x −7

−

1 x −7

+ 3x − 5 = 0 x =x x + 1 x2 +

x2 +

x2 x

x = x2 +

2x + 1 =

x+1

20.6. 1 x2 = x 2

x x

x=1

x−6

0x = 0

x =1

x2 −

x2 − 1 x +1

x =1

x2 =

x−6

x2 =

x2 = 1

x =1

= 0;

1 x+2

= 4−

1 x+2

;

1=0

20.7. 1

x2 x

x2 = x

2 x2 + 1 = 1

x+8

x x

1 =0

x2 +

x+8 1

x+3

x2 =

= 9+

1 x+3

x2 =

20.8. 1 2 20.9. 1 2

x =2

x f (x) x2 + 1

x =2 x

x+1

+ x =0

x =x+1

x =1

140

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

f (x)

x +1

g (x)

x =

x +1

x = x x+1

x = x+1

20.10. 1 2

5 2

x −4 2 6x + 1

+ +

6x + 14 x2 − 9 2y 2 + 5 1 − y2

2x x+2 3

6x − 1

+ +

2x − 1

= 2; =

30x + 9 36x2 − 1

x2 + 3x x − 3 y +1 4 y −1

y +1

2x + 1

2x + 1 2x − 1 7

;

(x + 2) (x − 3) 2x − 1

;

−

x+4 2x − 6

;

x2 − 36

−

3x − 1

4 1 − 4x 2 4

(x − 3)2

; =

6x + 64

3 (x + 2)2

+ 4;

4−x x2 − 16 x−3 x −1

−

x 2 − 6x

−

= 0.

x 2 + 6x

20.11. 1 2

x−2

−

x2 + 27 2

x +1 1− x x −1 3x + 1 3x − 1 6

−

3x − 1 3x + 1 1 − 9x2 4 1 5 x−3

x−2

2x2 − 2x

;

x −4 7

;

6 x+2 x +1

x+2

;

x−2 x+4

;

x − 5x

x −5

20.12. 1 2

20.13.

;

x2 + 2x x2 − 2x x2 − 4 x2 − 9x + 50 x + 1 x − 5

1 20.14. 1

20.15.

20.16. 2

;

141

21. Раціональні рівняння з параметрами

20.17. x+5

−

x2 − 5x 2

−

x −5 2x2 + 10x 1

x + 25 2x2 − 50 3

;

x2 − 9 2x2 − 12x + 18 2x2 + 6x 9x + 12 1 1

−

x3 − 64

x−4

x2 + 4x + 16

;

20.18. 1 2

4y + 24 2

5y − 45 y+2 3

8y + 1

−

y+3 2

5y − 15y 1

4y + 2

y−3 y 2 + 3y

y+3 2

8y − 4y + 2

;

21. Раціональні рівняння з параметрами x=1

0 1

x= . a

x x

x=1 1

x= . a

0 x= y= x+

1 12 1 1

2 1

142

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

x2 + ax − 2

ПРИКЛАД 1

= x − a.

x+2 x2 + ax − 2 − (x + 2) (x − a)

x2 + ax − 2 − x2 + ax − 2x + 2a x+2

= 0;

x+2

= 0.

x (a − 1) = 1 − a,  x ≠ −2.

2ax − 2x + 2a − 2 = 0,  x ≠ −2. =1

= 0;

x+2 2ax − 2x + 2a − 2

0x = 0 x 2 x x 2

1 1− a  , x = −1, x = a −1   x ≠ −2; x ≠ −2.

x= 1 2

=1 x= 1  b (x + 1)

ПРИКЛАД 2

b +1 x −1

= b.

b (x + 1) (x − 1) + x (b + 1) − bx (x − 1) x (x − 1) bx2 − b + bx + x − bx2 + bx x (x − 1)

= 0;

x (2b + 1) − b

x (2b + 1) = b,  x (x − 1) ≠ 0. 1

b=− , 2

b≠− , 2

b  , x = 2b + 1  x (x − 1) ≠ 0.

x (x − 1)

= 0.

= 0;

143

21. Раціональні рівняння з параметрами

2b + 1 b

1 =0

2b + 1

= 1 = 0

2b + 1

b=− ,

b≠− ,

{

b ∉ − , 0, − 1 , 2

b 2b + 1

{

}

b ∈ − , 0, − 1 ,

}

= 1

b 2b + 1

. 

ПРИКЛАД 3 (x − a) (x + 2) x −1

(x − a) (x + 2) = 0,  x − 1 ≠ 0. x = a àáî x = −2,  x ≠ 1. x= 2

x= = 2

= 2

ПРИКЛАД 4 x 1 =0 x+

=1  =1 1

144

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

1 + 2=1 +1 =0 = 1

1+ =0 = 1 x+1 1=1 =0

1 x 0 x

1 0 1 =

1 =0 x=1

= 1  1. У чому полягає подвійна природа параметра? 2. Під час опановування яких понять ви стикалися з параметрами? 3. У чому полягає процес розв’язування рівняння з параметрами?

ВПРАВИ 21.1. 1 2

x−a x −1 x+2 x−a

a (x − 1)

= 0;

x −1 a ( x − a)

= 0;

x − 2a

= 0; = 0;

x−3

= 0;

x+a a (x − 4) x−a

= 0.

21.2. 1 2

x+b x −5 x+4

x − 3b

= 0;

x − 2b

x+b+2 (b − 1) x

= 0;

x+b

= 0; = 0.

21.3. 1 2

x2 − 1 x−a

(x − 4) (x + 2)

= 0;

x ( x − a) x+2

x−a

= 0;

(x − a) (x − 6) x −7

x−a (x − 1) (x + 3)

= 0;

x2 − a2 x+4

= 0;

= 0; = 0;

x+a (x − 3a) (x + 5) (x − a) (x − 2) x − 2a

= 0;

= 0.

145

21. Раціональні рівняння з параметрами

21.4. 1 2

(x − 2) (x − 3) x+b x+b (x + 1) (x − 4)

x + 2b

= 0;

(x − b + 1) x

= 0;

(x + 2b) (x − 3)

= 0;

x−b

= 0.

21.5. 1 2

x−2

3x + 1

= a − 1;

x−a

ax − 2

(x − 1) (x + a)

x+3

= a+ ;

x −1

ax2 − 3 2

x −1

= a+

2 x −1

a2 − 1

;

x−2

3 x+2

−

1 x+a

3 x −1

a2 + 2a (x + 2) (x + 3)

a3 − x + 10 (x + a) (x − 2)

; ;

4 x+a

21.6. 1 2

bx + 3 x+2

=b−

bx2 − 2 2

x −4

1 x −1

= b +1+

;

x +1

1− x x+2

;

b2 x+4

+ −

2b − b2 (x + 1) (x − 2b) 2 3b + b + 39

(x + 4) (3 − x)

21.7. 1 2

x −1

(x − 2) (x − a)

= 0;

x−a (x + 1) (x − 5) x−a

x − 2a (x − 1) (x + 3)

= 0;

(x − a) (x + 3a) x−3

= 0;

(x − a) (x + 3a)

= 0;

x2 − a2 (x + 1) (x + 2)

= 0;

= 0?

21.8. 1 2

(x + 3) (x − 8) x+b

(x − 2) (x + 1)

= 0;

(x + 2b) (x − 4b) x−2

(x + b) (x − 2b)

= 0;

21.9. 1 2

x −1

x−a x ( x − a) x−2

x =0

1=0 x=0

(x + b) (x − 5b) (x − 3) (x + 5)

= 0; = 0?

= =

b 2b − x 9 x−3

;

146

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

(x − a) (x − 3)

x − 2a ( x + a ) ( x − 4a )

x −1 (x − a) (x − 2a + 1)

1 x=

x−a

1 =0

= 0;

x −1 x −1

x −1 2

= 1;

2 x+

21.10. 1 2

x−4

x+b (x − 1) (x + b)

x−3 (x + b) (x − 2b)

x − 3b (x − b) (x − 3b + 4) x−2

x+2 =0

1=0 x+b

= 0;

x − 3b x−b

x−2

= 0;

x+2 =

22. Степінь із цілим від’ємним показником 10

1,99 æ 1030

0 000 000 000 000 4,47 æ 1015 1 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000

0 000000000000000000000000001 1 0 00000000

147

22. Степінь із цілим від’ємним показником

10 0,000000000000000000000000001661 êã = 6,6

0,0000000066 ñì =

109 1 10

1,661 10

êã,

ñì. 1

109

10 1,661 1027 1 2

= 1,661 æ 10−27 ,

= 5−2 ,

1 ( −3)

= (−3) −5 ,

= 6,6 æ 10−9. 1

a a−n =

1 3

= , (−4) −2 = 8

1 ( −4)

 1 ,   16  2  1

−4

 1  2

= 16, (0,3) −1 =

1 0,3

10 3

a0 = 1.

= (0,7) −1.

0,7

n ∈

2−3 =

6,6 109

 4 = 1  −  = 1, π 0 = 1.  3

0 0 n∈  a−n =

= 2

1 an

a2 =

1 a −2

148

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

4,9 æ 1024 6,423 æ 1023

3,8 æ 107

. 1 a < 10

a æ 10n ,

n∈ .

0 2

171,25 = 1,7125æ102 ; 0,00958 = 9,58 æ 10−3.

m = a æ 103 , 10 m < 104.

1 a < 10,

−1

ПРИКЛАД 1

3−3 æ 15 + 6−2 æ 8 − 4,30.  4 1    7

a  12  2 1,2−2 =    10 

−2

−1

 6 =   5

−2

0 2

æ 15 +

1 62

æ 8 −1 =

1 27

æ 15 +

1 36

æ 8 −1 =

5 9

1 3

æ 15 +

( a − b)

b −a 2 2

a b

62 2

æ 8 −1 =

+ −1 = − .



(a − b) −2 (a −2 − b −2 ) = 1

= .

ПРИКЛАД 2

−1

 a   b

25  5 =  = .  6 36

3−3 æ 15 + 6−2 æ 8 − 4,30 = 33

1 7 = . 4 4 7

 4   ; 2 1 2 7

1 (b − a ) 2

1 ( a − b) 2

(b − a ) (b + a ) a 2b2

 1 1 æ  2 − 2 = a b  b+a

a 2 b 2 (b − a )

b+a a 2 b3 − a 3 b2

. 

149

22. Степінь із цілим від’ємним показником

ПРИКЛАД 3 1 000 000 2 0 00 1 564 000 000 = 5,64 æ 100 000 000 = 5,64 æ 108. 2 0,0036 = 3,6 æ 0,001 = 3,6 æ 1. Чому дорівнює

, якщо

–

1 1000

= 3,6 æ

1 103

= 3,6 æ 10−3. 

— будь-яке число, відмінне від нуля, і

2. Чому дорівнює нульовий степінь будь-якого відмінного від нуля числа? 3. Що називають стандартним виглядом числа? 4. У яких межах має знаходитися число , щоб запис стандартним виглядом числа? 5. Як у записі числа в стандартному вигляді

10 , де

, був

10 називають число ?

ВПРАВИ 22.1. 1

a −6

;

22.2. 1 2

−

;

2x +

1 1

22.3. 1 1

1 a6

22.4. 1 2

1 7

1 x

;

( a + b )5

; 7

(c − d)8 ( x − y)2

;

x+y

; .

22.5. 1

1 11

;

1 k

;

x2 y

;

m6 n

;

(2x − y)3 ( x − 2y ) 9

150

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

22.6.

1 2

2 1

1 2 2

1 8

1 32

1 64

22.7. 1

;

1 216

;

625

;

128

22.8. 1 01

2 0 01

0 0001

22.9. 1

1 3

1 9

1 27

0 000001 ,

1 81

22.10. 1

−3

 2   ; 3

−2

2 2

22.11.

−2

1 20 22.12. 1

 7   ; 8

2 2  2   7

2 0

 4   ; 7

−3

 1  −  ; 6

9 æ 0,1−1; 0,5−2 æ 4−1;

 1 10  −1  .  6

−1

22.13. 1 22+21 2 1 2 22.14. 1 12 æ 104 ; 22.15. 1 00 2 1 0 00

(2−1 − 8−1 æ 16) −1.

+ (−2,3)0 − 5−2 ;

00 0+0 0 (9 æ 3−3 − 12−1 ) −1 ? 2 1,2 æ 104 ;

0 00000 0 250 æ 102 ;

0,12 æ 104 ?

0,86 æ 103 ; 0,23 æ 104 ; 9300 æ 105.

−2

 1  3  . 3

151

22. Степінь із цілим від’ємним показником

22.16. 1 2

00 000 20 1 0

1 00 2

100 0 0000002 22.17. 1 000 2 2 0 22.18.

0,59 æ 108 ; 526 æ 104.

0 0002 00 2

1 1,6 æ 103 ; 22.19.

2 5,7 æ 106 ;

2,1 æ 10−2 ;

1,1 æ 10−5.

1 2,4 æ 102 ;

2 4,8 æ 105 ;

1,4 æ 10−3 ;

8,6 æ 10−4.

 a   b

22.20.

−n

 b =  .  a

22.21. −1 −2  1  2 −1 0 3 1  −  æ 10 + 9 − (−2) +   æ (−1,5) −3 ;  3  9  2 2 (2,5) −2 − (85 )0 +  1   3 22.22. 3  1 1   ,  2

−1

−3

+ 0,1−1. −2

 1  1  1   ,   ,   ; 2 2 2

22.23.

−3

22.24. 1 120 2 02

 1   3

−1

 1   4

−2

22.25. 2

−1

 1  1  1  1 2   ,   ,   ,   .  3  3  3  3

21 2

1 1

 1 +   2

−1

 1 1  +  . 3 2

−1

 1 −   5

−2

 1 1  −  . 4 5

−2

152

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

22.26. 1 2

1 1

+ +

(a + b) −1 æ (a −1 + b −1 ); 2 2 +

1 2

−1

22.27. 1 2 22.28. 1 2 22.29. 1 22.30.

 x2 − xy + y2  (xy −2 + x −2 y) æ   .  x (c −1 − d −1 ) æ (c − d) −2 ; (x −2 + y −2 ) æ (x2 + y2 ) −1.

+ 0 0

0 0

1 n ∈ ;

0 2 0

1 n ∈ ?

22.31. 22.32. 1 9,7 æ 1011 2 3,6 æ 10−5 22.33. 1 6,1 æ 1019 22.34.

1,2 æ 1012 ; 4,8 æ 10−6 ; 6,15 æ 1018 ;

2,34 æ 106 42,7 æ 10−9 2 1,5 æ 10−9

1,082æ108 1,495æ108 2,280æ108 5,790æ107 4,497æ109 1,427æ109 2,871æ109 7,781æ108

0,23 æ 107 ; 0,072 æ 10−7 ? 0,9 æ 10−8 ?

153

22. Степінь із цілим від’ємним показником

1 2

22.35.

2,32æ10

3,27æ10

4,48æ10

1,05æ10

1,66æ10

3,81æ10

6,64æ10

1,97æ10

9,28æ10

3,95æ10

1 2

22.36.

1 2

1,1æ109

6,8æ107

1,3æ106

4,76æ106

8,8æ1010

1,15æ105

1,1æ104

1,98æ1010

6,35æ108

4,4æ109

2,8æ109

1,12æ108

154

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

23. Властивості степеня із цілим показником

ля дь якого a рівно ті

0 та

дь яки ціли

і n викон

ть я

am æ an = am + n ; ля дь яки a рівні ть

(a ) = a . 2 0 та дь якого цілого n викон єть я m n

0і

= an n.

= a æa = m

1 a−m

1 a−n

a−m æ a−n

1 a−m − n

1 a − (m + n)

= am + n .

2 для рівні ть

дь якого a

0 та a

a :a = m

дь яки ціли an = a

=a æ a m

−n

і n викон єть я

m + ( −n)

= am − n .

2 для дь яки a якого цілого n викон єть я рівні ть n

0і

a  a   = n . b b n

a  a −1 n −1 n −n n n   = (a æ b ) = a æ (b ) = a æ b = n . b b

0 та

дь

155

23. Властивості степеня із цілим показником

1 ПРИКЛАД 1 2

2 −4 −2

−7

(a ) æ a : a = a 6

−4 æ ( −2)

1 æ a : a = a æ a −7 : a6 = a8 + ( −7 ) − 6 = a −5 . −7

ПРИКЛАД 2 −9

1 16 æ 8 ; 2

6 −3 18

−3

 11   1  25

;

−8

−5

  5 3 æ    .   6 

16−9 æ 812 = (24 ) −9 æ (23 )12 = 2−36 æ 236 = 20 = 1. 2 −3 −3 6 −3  6  1 3 = =   = 3 = 27.   18 −3  18  3  11   1  25  6 =   5

−16

−8

  5 3 æ      6 

 5 æ   6

−15

−5

 36  =   25 

 5 =   6

−8

 5 æ   6

 5 æ   6 −15

−15

  6 2  =      5 

−8

 5 æ   6

−15

= .  6

1 0,6m2n −6 æ m −4n3 ;

ПРИКЛАД 3 2

1 1  1 0,6m2n −6æ m −4n3 =  0,6æ  æ (m2æ m −4 )æ (n −6æ n3 ) = 0,2m −2n −3 .  2 3 3 2 2 2 2 + + = 2 2 2 = + + =  ПРИКЛАД 4

(3,4 æ 1014 ) æ (7 æ 10−8 )

(3,4 æ 1014 ) æ (7 æ 10−8 ) = (3,4 æ 7) æ (1014 æ 10−8 ) = 23,8 æ 106 = 2, 4 æ 10−8 ) = 23,8 æ 106 = 2,38 æ 10 æ 106 = 2,38 æ 107.  Сформулюйте властивості степеня із цілим показником.

156

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

ВПРАВИ 23.1.

−3

 2 3−3 æ   ;  3

1 95 æ 9−7 ;

2−9 æ 2−12 : 2−22 ;

2 10−8 æ 1012 ;

(174 ) −12 æ (17 −6 ) −8 ;

6−5 æ (6−3 )4

(6−7 )2 æ 6−3

14 −5 7

−5

;

23.2. −4

 1 0,8−4 æ  1  ;  4

1 5−7 : 5−6 æ 53 ; 2

4 −7 æ (4 −5 )3 (4 −3 )7

11−2

;

23.3. 1 3a −3 æ 4a −4 ; 2

10b −4 15b

−5

−2

abc −1 æ ab −1c; kp −6

;

k4 p 4

2 1

m −2n æ mn −2 ;

0,2c −3d5 æ 1,5c −2d −5 ;

;

10 4x8 æ (−3x −2 y4 ) −2 ;

a −3b −6 æ

6 7

a7b4 ;

13m −10 −8

27n 2

12n 26m 18 p −6k2 15k −2

;

23.4. 1 2a −5b2 æ 3a −2b −5 ;

3,6a2b 3 −3

0, 9a b

25x −3

;

−4

y4 5x −7

;

−2

1  2  mn −3  ; 2 

0,8a −6b8 æ 5a10b −8 ;

23.5. 1 8−3 æ 27 ; 2 2

( −36) −3 æ 68

216−5 æ ( −6)18

100−2 : 1000−5 æ 0,016 ;  1  2  4

28c3d −2 æ (2cd −1 ) −2 .

−4

−3

  2 3  æ    ;   3 

6 −10 −2

æ 16−3

145 æ 2−7 28 −2 æ 78

;

157

23. Властивості степеня із цілим показником

23.6. 1 9−4 æ 272 ;

22 æ 2−8 6

44 −3 æ 119

 7  2  9

−7

  3  −3  æ    ;   5 

;

10 −2 æ 15−4 30

−6

23.7.  1 −3 −6   − a b  6

1 −2,4a −4b3 æ (−2a −3c −5 ) −3 ; −2

−8 −2

−4 −2

2 (−10x yz ) æ (0,1yz ) ; −3

 1  1 m n æ  1 m −1n −4  ;  3  9 7

−6

 7 p −3   −1  5k

−2

 4x −5   3y −2 

−3

æ (−6a2b9 ) −2 ;

æ 49m −6n4 ; æ (16x −6 y4 )2 .

23.8. −8 4

 5m −4   −1  6n

−3 −7 −2

1 3,6a b æ (−3a b ) ; −3

 7a −6   5  b

 1  2 1 x y æ  1 x −1y −3  ;  4  16 23.9. 9

1 23.10.

−6

1 + 2 23.11. 2 1 2 1 2 x y 12 23.12. 1 x 2 2 ¿ 23.13.

−3

æ 125m −10n2 ;

−2

æ (a −4b)4 .

+ 2 2

1 (1,8 æ 104 ) æ (6 æ 103 );

2 (3 æ 106 ) æ (5,2 æ 10−9 );

158

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

5, 4 æ 105 9 æ 108

1,7 æ 10 −6

;

3, 4 æ 10 −4

23.14. 7 æ 10 −4

1 (1,6 æ 10−5 ) æ (4 æ 107 );

1, 4 æ 10 −6 6, 4 æ 103

2 (5 æ 10−3 ) æ (1,8 æ 10−1 );

8 æ 10 −2

;

. 1,5 æ 108

23.15. 3 æ 10

8,9 æ 103 2,5 æ 10−1

23.16.

0 02 6æ1024

23.17.

7,4æ1022

23.18. =

23.19. +

1 2

2x −2 + y −2

−

−1 −1

− 3x y

x −1 x

−1

− y −1

a −5 + b −5 a −3b −5 + a −8

m −2 − n −2 m −1 + n

−2

; −1

−6

−4

;

23.20. 1 2

a −2 − 10a −1b −1 + 25b −2 a

−1

− 5b

−1

5m −2 + n −2

−3

−1

+ 4m n

b −1 + 3c −1

;

c −2

−2

−

m −1 m

−2

bc b −2 c −1 + 3b −1c −2

23.21. 0

1 y= x+

0 −1

 1  2 y= ;  x − 2 

 x + 1 y= ;  x − 1 

−1

 x  y=xæ  ;  x + 3 

−1

 x+2  y= 2  ;  x − 4

−2

(x2 − 1)0 x −1

; .

159

23. Властивості степеня із цілим показником

23.22.

−1

1 y= x+2

23.23. 1 100 x < 1000; 2 10 000 x < 100 000;

23.24. 1 10

 x − 1 y = (x − 1)  .  x 

0,01 x < 0,1; 0,0001 x < 0,001.

x < 100;

23.25. 1 10 23.26. 1 10 23.27.

−1

 x−3  2 y= 2  ;  x − 9

2 0,001 x < 0,01.

2 01

100

0 001

2 0 01

10 000

0 0001

1 000 000 1000

−1

 a −1 a −1 − b −1   b  1  −1 −1 −  :  ; a +b a −1   a2  b −2 − 2

−2

5c −3 c

−3

− −

b −4 − 4 b

−2

c −3 + 6 2c

−3

1 b

−6

−2

;

90 c

−6

+ 6c

−3

;

−4 −4  m −4  16 − m −8 3m 8m − −8 æ + ;  −4  m − 4 m − 8m −4 + 16  m −4 − 7 m −4 − 4

(a + b − 1) −1 + (a − b + 1) −1 2 ( a + b)

1  1  æ  −2 − . a (b − 1) −2 

23.28. 1

a −2 + 5 a

−4

− 6a

−2

a −4 − 25

+ 9 4a

−2

− 12

−

2 a

−2

−5

; −1

−1 −1  5b − 36   −1 2b  2  b −1 − −1 æ  2b + −1  ;   b −7   b −7

(x − 1) (x + 1) −2 − 2x (x2 − 1) −1 + (x + 1) (x − 1) −2 8x (x 4 − 1) −1

23.29. 1

+ 10

10 + 0 1

160

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

23.30. 1 23.31. 1 2

2 0 01 (xy −1 + 1)2 xy −1 − x −1y

x3 y −3 − 1

a −1 + (b + c) −1 a −1 − (b + c) −1

x3 y −3 + 1

x2 y −2 + xy −1 + 1 xy −1 + x −1y − 1

ПРИКЛАД 1

= 1;

00 y

x y

500

ПРИКЛАД 2 2 1

y = xk та її графік

y= x

0 01

−1 2   2bc   ( a + b + c) æ 1 +  2 2 2   = .  b +c −a   2bc

24. Функція

100

. 

y y=

18 x

24. Функція y =

k .та її графік x

161

x y y



x k

y= . x

y= ,

. 0

. k

x x

y= y = x x

k x

0 6

y= . x

x y

2 1

1 x y

2 1

. 2 .1

. 2 .2

162

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

y= , x

y= .

2 2

0 y=

6 x

> 0,

6 x

y= , x

2 k

y= , x

y0 = − y0 =

k − x0

k x0

24. Функція y =

k .та її графік x

163 k

y= ,

x0 y0 x0

y0 6

y= .

y

y= − x

1 0

1 1

. 2 .3

.2 .

0 0 6

y=− .

2 y=−

6 x k

y= , x

y y

0 k

y= , x

y = x x

y = y y

164

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

0 x0 y0 k x

y= , x0

k x

ПРИКЛАД 3

= x + 3. y=

4 x

y=x+ 2

1 4

= 4 x

x+ 4

= −4 + 3. 

= x + 3. 4

1 x

−4

y=x+

= 1+ 3 . 2 .5

24. Функція y =

k .та її графік x

165

1. Поясніть, яку залежність між величинами називають оберненою пропорційністю. 2. Яку функцію називають оберненою пропорційністю? k 3. Яка множина є областю визначення функції y = , де 0? x 4. Як називають фігуру, що є графіком оберненої пропорційності? 5. Як називають частини, з яких складається гіпербола? k 6. Яка множина є областю значень функції y = , де 0? x k 7. У яких координатних чвертях розміщений графік функції y = , якщо x > 0? якщо < 0? 8. Поясніть, у чому полягає графічний метод розв’язування рівнянь.

ВПРАВИ 10

24.1. 1 24.2.

12 0

1 24.3.

2 0 1

1 24.4.

12 2 3

24.5.

2 0

1 3

166

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

24.6. 12

24.7.

24.8. 2

y= ;

1 y = 2x

y=−

2 y= ;

y=− ;

x 24

24.9.

0, 8

2x 3

;

y= y=

1 2x 2 3x

; .

1 02 2 12

100 y=−

24.10.

36 x

1 0

2 0 8

y=− .

24.11.

1 2

24.12. 1

10 x

. 2

10 2 2

24. Функція y =

k .та її графік x

24.13. 1

y=−

24.14. 1 24.15.

167

02 1 0

, 0

120

1 2 2

12 10

2 0

12 1 20 2 2

.2 .

24.16. 0 2 1

168

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

12 10

.2 .

2 24.17. y=

k x

1  2 B  ; − 2 ; 6 

24.18. 1

10 1

2 y=

24.19. y=x 24.20. 1

4 x

= 4 − x;

2 x −2 = ;

= 6 − x;

2 2x = ;

x+2 = − . x

24.21. 1

8 x

= −x.

4 x

24. Функція y =

k .та її графік x

y =

24.22.

x =0

x =x

x =1

x = x

1 0

x =2 y

1 0

y =

x =0

x = 1

x =1

x =x

24.25. 24.26. xy = −1, 1  x + 3y = 0; 24.27. xy = −8, 1  2x + 3y = 6;

. 2 .1

2 10

24.24. xy = 4, 1  4y = x;

.2 .

24.23.

f ( x) = ;

24.28.

169

x = x 1

g ( x) = . x

x − y = 1, 2  xy = 2. xy = 5,  y − x = 4. xy = −1, 2  x − 3y = 0;

xy = 6,  3x − 2y = 6.

xy = −3, 2  x − 2y − 2 = 0. y=

64 x

170

§ 4. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

y=−

24.29.

24.30.

= a,

25 x

24.31. 1 y=

6 x

2 y=−

;

6 x

;

24.32.  2 − , ÿêùî x − 1, 1 y= x x + 3, ÿêùî x > −1;

−2x + 10, ÿêùî x m 2, 12  ÿêùî 2 < x < 4, 2 y= , x ÿêùî x l 4. 3,  4 − x , ÿêùî x < −2,  y = 2, ÿêùî − 2 x 4  , ÿêùî x > 2. x

24.33.

24.34. 1 y=

9x − 18 x2 − 2x

;

2 y=

;

2 y=

5x2 − 5 x−x

24.35. 1 y=

x−3 x2 − 3x

10x2 − 40 3

x − 4x

24.36. 1

2 =0

xy + 1

1 =0

xy − 1 x−y xy + 1 x−y

= 0; = 0.

24.37. 1 x xy

1 =0

2 x2y2

1=0

xy − 1 x −1

= 0.

24. Функція y =

171  1 y = −f  −  .  x

24.38.

x =x

24.39.

f ( x) = − .

24.40.

k .та її графік x

 1 y = −f  −  .  x

f ( x) = . x 1

f (x + 1) − f (x − 1) = − f (x + 1) æ f (x − 1). 2

24.41. 2

3f (x) + 2f (x) = − . x

24.42. 2

 1  3x − 6 2f (x) + f  −  = .  x x

§5

НЕРІВНОСТІ

25. Числові нерівності та їхні властивості 0 1

20 1 0

0 011 =

11 23

. a

= 0

173

25. Числові нерівності та їхні властивості

2 1

. 25.1

= =

a a 7 7, 7 15, −3

25.1. Якщо a

b. b.

−5

, то a

 якщо a

. 25.2

, то a

2 1

2 2 a+

+ .

чи ло, то a + =

25.2. Якщо a

дь яке чи ло, то +

+ + .

 якщо a 2 2

дь яке

174

§ 5. НЕРІВНОСТІ

Якщо до о о ча тин равильно нерівно ті додати а о від о о ча тин равильно нерівно ті відняти одне й те аме чи ло, то отримаємо равильн нерівні ть. . Якщо дь який доданок ерене ти з одніє ча тини равильно нерівно ті в др г , замінив и знак доданка на ротиле ний, то отримаємо равильн нерівні ть. +

 Якщо a

25.3. Якщо a і додатне чи ло, то a від ємне чи ло, то a .

. =

= 0 0  чи ло, то a

якщо a

1   a : c = a æ  , c

якщо a і додатне від ємне чи ло, то a . 2

Якщо о идві ча тини равильно нерівно ті омно ити а о оділити на одне й те аме додатне чи ло, то отримаємо равильн нерівні ть. Якщо о идві ча тини равильно нерівно ті омно ити а о оділити на одне й те аме від ємне чи ло та оміняти знак не рівно ті на ротиле ний, то отримаємо равильн нерівні ть. . Якщо a

0іa

, то

1 a

< . b

a ab 1 b

> .

< . b

b ab

175

25. Числові нерівності та їхні властивості

0 1 5

<−

1 3

a+c

b −4

a < −2.

−4 −12 3a < −6. −7 3a + 5 < −1. 1 1 − > −1, 7 3a + 5

a < −2.

ПРИКЛАД

−7 <

7 3a + 5

b + c.

−7 <

7 3a + 5

− 1.

2 2 2 2

−1 <

1 3a + 5

1 − . 7

− 1. 

1. У якому разі число

вважають більшим за число ?

2. У якому разі число

вважають меншим від числа ?

3. Як розташована на координатній прямій точка, яка зображує число , відносно точки, яка зображує число , якщо > ? 4. Який символ використовують для вислову «не більше»? для вислову «не менше»? 5. У якому разі є правильною нерівність a b ? 6. У якому разі є правильною нерівність a

7. Поясніть, які знаки називають знаками строгої нерівності, а які — нестрогої. 8. Яке із чисел і більше, якщо > і > ? 9. Сформулюйте теорему про додавання одного й того самого числа до обох частин нерівності. 10. Сформулюйте наслідок з теореми про додавання одного й того самого числа до обох частин нерівності. 11. Сформулюйте теорему про множення обох частин нерівності на одне й те саме число. 12. Сформулюйте наслідок з теореми про множення обох частин нерівності на одне й те саме число.

176

§ 5. НЕРІВНОСТІ

ВПРАВИ 25.1. 1 25.2. 1 25.3. 1 x 25.4. 1 25.5. 1 25.6.

=0 2

2 2

0 x

y 2 y

=0 2

1 2

25.7. 1 2 25.8.

1 2

b 2 a

> 1;

1 a

< 2;

> 2;

1 2

a−3

4−a

25.9. 1 25.10. 1 25.11. 1 25.12. 1 25.13.

2 +

2 2

= 2 0

25.14. 1 2 2

x = 10

2 (a − 4) (a − 2) 3−a

;

177

25. Числові нерівності та їхні властивості

25.15. 1 +2 2 1

1 +2

2 1

25.16. 1 +

2 1

;

1 m < 2.

25.17.

−1 − m > −2;

1 −1 m < −2; 2 −2 < m − 1;

−2 > m

− 1?

25.18. 5

− b

− a;

2 7

+ 10 25.19. +

25.20. 1 +

25.23. 1

+ 2

25.22. 1 2

25.21. 1

+ 10

a 2

< ;

0 02

2 + 10

25.24. b 10. 1 5b − 9 41;

2 2 1

10 2

2 +

178

§ 5. НЕРІВНОСТІ

25.25. 1 2

2 2 +1 b a a b

> 1; 0

+2 2 2

25.26. 1

a 3

a 1

< 1; < 1; > 1; 1

2 1

−1 <

1 3

1 2a − 1

<− ;

a 2 1 1

− < 25.27.

;

< ? 3

< 1;

2 1<

4 3a − 2

< 4.

25.28. 1 2 25.29. 1 2 25.30. 1 2

1 a−2

> 1;

1 2 1

2 2 2

1 a +1

<− . 2

179

26. Додавання і множення числових нерівностей

26. Додавання і множення числових нерівностей. Оцінювання значення виразу 1

0 0

2 00

26.1 Якщо a

+ +

, то a +

+ .

. +

 якщо a

+ .

, то

2 1 ри очленном додаванні равиль ни нерівно тей однакового знака рез льтатом є равильна нерівні ть того амого знака 2 1 2

26.2 Якщо a

, =

. і a, , , +

додатні чи ла, то a =

+ 0

0 

180

§ 5. НЕРІВНОСТІ

якщо a

і a, , ,

додатні чи ла, то a 2 2 ри очленном мно енні равиль ни нерівно тей однакового знака, яки ліві та раві ча ти ни додатні чи ла, рез льтатом є равильна нерівні ть того амого знака 2

1 2 2

1 1 2

1 2

. Якщо a нат ральне чи ло

і a,

додатні чи ла, то an

, де

a > b a > b   ...  a > b  

якщо a і якщо a , якщо a і a, ральне чи ло

, то a + + і a, , , додатні чи ла, то a n додатні чи ла, то an , де n

нат

x 2

181

26. Додавання і множення числових нерівностей

2 2 x y

2 1 10 2

ПРИКЛАД

11 1

2 2

12 a

3a − b.

;

1 +

12 +

2 =

12 +

10 10

10 2

0 10 a b

1 10

1 b

=aæ , b

1 12 1 2

1 b

a b

1 10

4 5

1 b

1 10

182

§ 5. НЕРІВНОСТІ

− .

−5 > − b > −6.

2 1

−6 < − b < −5 2

12 < 3a − b < 19. 2

1 1 1

a b

20 2

< ;

12 < 3a − b < 19. 

1. Сформулюйте теорему про почленне додавання нерівностей. 2. Поясніть, які нерівності називають нерівностями однакового знака, а які нерівності — нерівностями протилежних знаків. 3. Сформулюйте теорему про почленне множення нерівностей. 4. Сформулюйте наслідок з теореми про почленне множення нерівностей.

ВПРАВИ 26.1. 1 2 2

a 3

+2 ;

1 2

26.2. 1

1 2

b; 2

26.3.

2 +

1 . x

26.4. 1

26.5. 10

183

26. Додавання і множення числових нерівностей

26.6. 15 a 19 26.7. 1 2

6 b 11. + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

10 11 26.8.

1 +2 1 2 2

1 a+ b

2 2 + 1 3

<x<

x+1 y

1 a

26.12. 1

2 26.9. 26.10. 26.11.

;

<y< . 4

2 2 y

12x

y x

26.13. 26.14. 26.15. 26.16. 1 2 26.17. 1

0 0 =1

0 2

2 2

184

§ 5. НЕРІВНОСТІ

26.18. 1

1 a

>b+ ? b

27. Нерівності з однією змінною

1 + 2x

1 + 2x x

1 1

1 + 2 1 + 2x

. . 1 1 20 101

1 + 2x

озв язати нерівні ть означає знайти в і дове ти, що розв язків немає.

розв язки а о

розв язати нерівні ть означає знайти мно ин

розв язків x2 0 x

. .

185

27. Нерівності з однією змінною

x 0 x=0 1 x

2 x

1. Що називають розв’язком нерівності з однією змінною? 2. Що означає розв’язати нерівність? 3. Що утворюють усі розв’язки нерівності? 4. Коли множиною розв’язків нерівності є порожня множина? 5. Які нерівності називають рівносильними?

ВПРАВИ 0

27.1. 1 x 5;

0 x

;2 x

27.2. 1 27.3.

2 2

2 1 x 0 2 2 (x − 3) 0; 27.4. 1 0x 2 0x 27.5.

2 0x

1 x2 27.7.

2 x

−x2

x2 + 1 x

x2 + 1 2

x +1

> 1?

22 x 1

2 x 0 2 (x − 3) 0?

1 0x 27.6.

x2 − 9 0;

< 1;

x2 − 1 2

x −1

x+1

x2 2

x +1

186

§ 5. НЕРІВНОСТІ

27.8. 2

+ 2 > 0;

x+2

x+3

> ;

x+2

(x + 2)2 x+2

> −2;

x x x

x x 1;

x2 − 4

− x2 ;

x +x

− x2 ;

x > − x2 ;

x −x

− x2 .

> 1;

 x + 2   > 0; x − 2  x + 2   x − 2

27.9. 1

1 x

x x

x +x

>− x ;

x +x

− x2 ;

< 1;

x −x

− x2 .

x 1

> −2; x

27.10. 1

1 x

2 x2 x

x 1

x 2

1 x 1; 0 x

x 0 (x − 2)2

0; (x −1)2

0 0?

28. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною. Числові проміжки

187

28. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною

20 2

1 + 2x 1 2x 2x

0 2 x

1 1

1 1 x

1 1

2 1

2 1 2 1

1 1

. 2 .1

188

§ 5. НЕРІВНОСТІ

ПРИКЛАД 1

x 2

7 + x.

−x + − x

x 2 x 2

7 − 3; 4. 2

− 8.

+ x x

2 2

− 8.  1 . 2 .2

. 2 .3

ПРИКЛАД 2

2 2 x

x+1 x+1 x +1 x x 1 x

1 1 x

1 

28. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною x −1

ПРИКЛАД 3

6æ

x −1 2

+6æ

m6 æ ; 6

3x − 3 + 2x 1; 5x

4; 4

4 5

4   − ;  5 4 5

2 4   − ;  5 4   − ;  5

.2 .

ПРИКЛАД 3 (2x − 1) + 7 2 (3x + 1).

4 5

. 

6x − 3 + 7 6x + 2; 6x − 6x 0x

2 − 4; − 2. 0x

− 2.  +

189

190

§ 5. НЕРІВНОСТІ

ПРИКЛАД 5 x x

x x

x 0x

2 1

2 2x

1 x 0

 ax

. x

b, ax

a . . . x

. 2 .5

.2 .

x ПРИКЛАД 6

x>−

a 2

2x + x+1 x

0 0 x>−

1 x −

2 7

. 

a 2

3a − 1,

2 7

1 .

a 2

191

28. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною

1. Сформулюйте теореми, за якими можна отримати нерівність, рівносильну даній. 2. Які нерівності називають лінійними нерівностями з однією змінною? 3. Як записують, читають, називають і зображують проміжок, який є множиною розв’язків нерівності виду: x > ? x < ? x a ? x a ? 4. Розв’язком нерівності є будь-яке число. Як у такому випадку записують, читають і називають проміжок, який є множиною розв’язків нерівності?

ВПРАВИ 28.1. 1 + 28.2. 1 ¿ 28.3. 1 −2x 10; 2

1 3

x < 9;

10x

2 x

1 1

1 x

x 0

5 + 8x

2x 2x

x+2 5

< 2.

1 x

192

§ 5. НЕРІВНОСТІ

28.4. 1 −4x 2

− 16;

−3x > ; x−3

−12x

9−x

28.5. 1 0x 10 0x 2 0x 1 0x 28.6. 1 5x 40; 2 x 28.7. 1 8x − 16; 2 x 28.8. 28.9. 28.10. 1 x+2 x 2 6y + 8 10y − 8; 28.11. 1 + 11x + 12x 2 35x − 28 32x + 2; 28.12.

0x 1; 0x 2; 0

0x 0x x

2x x +1 2

3 − 11y − 3y + 6; 3m − 1 1,5m + 5. x 10 x+2 6x − 3 2x. 2

+ 11 1

28.14. 4x 3 2x 3

+ −

< 11;

2 3x

− x > −4;

7 x 1

;

−

28.15. 1

> −1.

2x;

28.13.

y 6

−

5y 4

< 1;

28.16. 1 3 − 5 (2x + 4) 7 − 2x; 2 x − 2 (x − 1) 10 + 3 (x + 4); 2 2x 2 x (4x − 3)2 + (3x + 2)2 (5x + 1)2 ;

x 10

−

x 5

> −2.

0; 0 1 2

28. Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною 2x − 1

3x − 5

;

(x − 5) (x + 1) 3 + (x − 2)2 ; x +1 2

−

x−3 3

> 2+ ; 6

(6x − 1)2 − 4x (9x − 3) 1; x−3 9

−

x+4 4

x−8

28.17. 1 (2 − y) (3 + y) 2 y+ y 2x

−

x −1

−

4x + 13 10

−

< 0;

− y < 2.

28.18. 1 x+2 2 x x+ 28.19. 1

(4 + y) (6 − y); y 12 1

x+2

3 6 2 y − 1 2y + 1 2

5 + 2x 4

10 x 1

x >

6 − 7x 20

− 2;

2 (x − 1) (x + 1) − (x − 4) (x + 2) 28.20. x−

x +7 4

−

0. 11x + 30 12

x −5 3

28.21.

28.22. 1 x 28.23. 1

y +7 y +7

2 − 3x

−

5x + 6

2x + 1

y = 1;

28.24.

6−y y−6

= 1?

= 2x

193

194

§ 5. НЕРІВНОСТІ

28.25.

28.26.

28.27.

28.28. 1

1 x> ;

2 x< ;

x< ;

3 1 3

1 x

2 y= x

1 +2

0 0

y= x y = 2x

2 ( a 2 + a) x

x2 + 1 x+1

2 y= x+

x +1 0 x+1 2 x + 2x + 1 0 1

28.30. 1 y= x 2 28.31. 1 y= x+ 28.32. 1 x+ =2 2 + x= 1 x= 28.33. 1 2+ x= 2 x= 2 28.34. 1 x 28.35.

1 2x 0 6 − 5x 0;

x< ;

;

28.29. 1 2x + 1 0 2 3x − 5 0 x

3 1

2 (a2 − 16) x

a + 4?

1 +x x

29. Системи та сукупності лінійних нерівностей з однією змінною

28.36. 1 x 0 2 x 1 28.37. 1 a2x 0; 28.38. 1 2x 2 x+

x+2 2x +

0 0

a; 2 x

x 2

(a + 3) x 2 x

x 1 x 0

0 0

195

a2 − 9; x x

x x

1 1

+ a − 1 0;

28.39. 1 2x 0 2 3x + a 0 3x − a 0

x+2 2x + x − a −1 0;

3x − a 0 ax − 3 0; ax 1 2 x 2 ax 1 2ax 3?

0 0

29. Системи та сукупності лінійних нерівностей з однією змінною 2x − 1 0

5−x

2x − 1 0,  5 − x 0. . . 2 ин

озв язати и тем нерівно тей розв язків

це означає знайти мно

196

§ 5. НЕРІВНОСТІ

0x   x

− 1, 0 x m 5,  x l 5

x > 5,  x < 5

1  2x 1, x l , 2   −x − 5; x m 5.  1 2 1 2

x 5.

1  ;5  2 

1 2

 1 A   2 2 1

1 2

1  ;5  2 

. 2 .1

2x − 1 0 1   2 ; 5

1 2

5−x

x 5.

29. Системи та сукупності лінійних нерівностей з однією змінною

197

 1  2 ; + 

1   2 ; 5

2 2  1  2 ; + 

1   2 ; 5  1  2 ; +  1  2 ; +

1 2

1  ∩ (− ; 5] =  ; 5 . 2   

x 5.

1  x l , 2  x m 5

що розв язати и тем нерівно тей, тре а знайти ереріз мно ин розв язків нерівно тей, які клада ть и тем ПРИКЛАД 1 3x > −6, x > −2,   −4x > −12; x < 3. 2 +

3x − 1 > −7,  3 − 4x > −9.

2 x

2 2 2

2 x



1 2

2 . 2 .2

2 . 2 .3

1 .2 .

198

§ 5. НЕРІВНОСТІ

4x − 3 < 1,  3 − x 5.

ПРИКЛАД 2 4x < 4, x < 1,   −x 2; x − 2. 1

2 + 2 2 x 2 1

1 2

2 2 1

1  x ≤ 1,  x > −2.

ПРИКЛАД 3

2 + 2 1

1  x+

ПРИКЛАД 4

11 x+

x+ 11 3x + 5 > −7,  3x + 5 < 11. x > −4,  x < 2. 2

 x2 x + 1

ПРИКЛАД 5

0 x=0

x2 x

x+1 0

0 1

x + 1 > 0,  x ≠ 0.

1 +

29. Системи та сукупності лінійних нерівностей з однією змінною

199

1 0

0 +

2 1

(−1; 0) ∪ (0; + ); x 0 

ПРИКЛАД 6

0 . 2 .5

x (x −1) 0. x 0 x −1 0.

1 +

0 x −1 0.

x =0 {0} ∪ [1; + ). 

x (x −1)

 x = 0,  x − 1 0. (x + 2) (x − 1)2

ПРИКЛАД 7 x + 2 0, x − 1 = 0.  x − 2, x = 1.  (− ;− 2] ∪ {1}.  ПРИКЛАД 8 (x − a)2 (x − 2) x − 2 0, x − a = 0.  2

x 2, x = a.  2 {a} ∪ [2; + ).

200

§ 5. НЕРІВНОСТІ

a 2 2 +

2 

2 .2 .

a<x

x<b

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

У яких випадках говорять, що треба розв’язати систему нерівностей? За допомогою якого символу записують систему нерівностей? Що називають розв’язком системи нерівностей з однією змінною? Що означає розв’язати систему нерівностей? Поясніть, що називають перерізом двох проміжків. Опишіть алгоритм розв’язування системи нерівностей. Як записують, читають, називають і зображують проміжок, який є множиною розв’язків нерівності виду: a x b ? < x < ? a < x b ??

x < b?

8. У яких випадках говорять, що треба розв’язати сукупність нерівностей (рівнянь)?

201

29. Системи та сукупності лінійних нерівностей з однією змінною

ВПРАВИ 0 2 x − 2 < 0,  −2x 10?

29.1.

29.2.

x > −4, 1  x < 8; 29.3.

1 6

1 2

x + 1 > −1,  x − 2 < 0 ?

0,2 x < 102; 1

−2,4

2 ; 7

29.4. 1 29.5. 1 29.6.

x − 3,  x 6;

1 0 2

x < −4, 2  x < 8;

2 1

1 2

− 1.

2 2

2 11 2

2 x > −1,  x 6.

29.7.

.2 .

+ + 1

202

§ 5. НЕРІВНОСТІ

29.8.

−4

2 x

.2 .

29.9.

x > −1,  x > 2:

1 29.10.

1 29.11.

1 29.12.

x 2, 1  x − 1; x 2, 2  x > −1; 29.13. x − 4 < 0, 1  2x − 6; x − 2 > 3, 2  −3x < −12; x + 6 > 2,  x  4 < 2;

1 2

x < 2,  x − 1; x 2,  x < −1;

2 +

x > 2,  x − 1; x > 2,  x − 1;

1 +

x l 2,  x m 2; x 2,  x < 2.

6x + 3 0,  7 − 4x < 7; 10x − 1 3,  7 − 3x 2x − 3;

3x − 6 x − 1,  11x + 13 < x + 3; 5x + 14 18 − x,  1,5x + 1 < 3x − 2;

x − 2 < 1 + 3x,  5x − 7 x + 9;

4x + 19 5x − 1,  10x < 3x + 21.

29. Системи та сукупності лінійних нерівностей з однією змінною

29.14.

8 − x l 5, 2  x − 7 m 2; 29.15. 1 x

2 − 3x < 4x − 12,  7 + 3x 2x + 10;

0,8 6 − 2x < 1,4;

2 −2,4 3x + 0,6 3;

29.16. 1 2 < x + 10 14; 2 10

x + 3 8,  x +1  3 < 6; 5x − 2 l 2x + 1,  2x + 3 m 33 − 3x.

3x − 3 < 5x,  7x − 10 < 5x;

−4x −12, 1  x + 2 > 6;

203

x 5

− 2 5;

1 1

29.17.

1 x +1 4

< 1,5. −2x − 15,  3x > −10?

29.18. x + 8 l 4,  5x + 1 m 9. −3 7x − 5 < 16?

29.19. 29.20. x + 8 17,  x  2 > 4,5. 29.21. 2x + 1 < −4,  3x − 6 − 12. 29.22. 8 (2 − x) − 2x > 3, 1  −3 (6x − 1) − x < 2x;  x + 1 2x + 3 − > 1,  2  4 3 6 (2x − 1) < 5 (x − 4) − 7; 2 (x − 3) 3x + 4 (x + 1),  2 (x − 3) (x + 3) (x − 4) − 1;

2 (x + 11) 3 (6 − x),  (x − 3) (x + 6) (x + 5) (x − 4); x +1 x +1  m , 2x − 2 3  (x + 5) (x − 3) + 41 l (x − 6)2 ;  5x + 4 m 2x − 8,  (x + 2) (x − 1) l (x + 3) (x − 2);

204

§ 5. НЕРІВНОСТІ

x + 2 x +1 < ,  4  7 (x − 6) (x + 2) + 4x < (x − 7) (x + 7);  6x + 1 5x − 1 − > −1,  5  6 2 (x + 8) − 3 (x + 2) < 5 − x. 29.23.  2x − 3 4x − 9 − > 1,  1  5 6 5 (x − 1) + 7 (x + 2) > 3;  x + 1 x + 2 x + 12 − < ,  2  2 3 6 0,3x − 19 1,7x − 5;

(x − 6)2 < (x − 2)2 − 8,  3 (2x − 1) − 8 < 34 − 3 (5x − 9);  3x − 2 4x + 1 − 1,  4  3 (x − 1) (x − 2) > (x + 4) (x − 7).

29.24. 2x − 1 < 1,7 − x, 1  3x − 2 x − 8; 29.25. 4x + 3 6x − 7, 1  3 (x + 8) 4 (8 − x); 29.26. 1 −3 <

2x − 5 2

x x  3 − 4 < 1, 2  2x − x 10.  2 x +1 x −2  x − 3 − 6 < 2, 2   2x − 5 − 3?  3

< 4;

2 −4 1 −

< 4;

2 1,2 <

x−2 3

− 3.

29.27. 1 −2

6x + 1 4

7 − 3x 5

1,4.

29.28. x < 4,  1 x > 2, x < 3,6;  29.29. −x < 2,  1 2x 7, x < −4; 

2x − 6 < 8,  2 4 − 4x < 10, 8x − 9 > 3; 

0,4 − 8x 3,6,  1,5x − 2 < 4, 4,1x + 10 < 1,6x + 5.  3x − 1 < 2x + 2,  2 2x + 1 > 8 − 5x, 5x − 25 0. 

205

29. Системи та сукупності лінійних нерівностей з однією змінною

29.30.

29.31. x < 1, 1  x > 3;

x < 1, 2  x < 3;

x > 1, x > 3; 

x > 1, x < 3. 

x 7, 2  x > 7;

x 7, x > 7; 

x > 7, x < 7. 

1 < x < 2, 2  x 1;

1 < x < 2, x 1; 

1 < x < 2,  x 2. 

29.32. x 7,

1  x < 7;

29.33. 1 < x < 2, 1  x 2; 29.34.

x ≠ 2, x ≠ 7. 

29.35. x < 4, x > −3, x > 2,    2  x = 1, 1  x = 1,  x > 1,  x = 3;  x = 3;  x < 0;    29.36. 1 x2 x + 2 0 x2 (x − 2) 0; 2 x2 (x + 2) 0; x2 x 2 0 29.37. 1 x 1 x+ 0 x − 1 (x − 3) 0; 2 x − 1 (x + 3) 0; x 1 x 0 29.38. 1

x x −1

> 0;

x x −1

x x +1

x > 4, 1  x < a;

x m 3, 2  x l a ? x m 1, x l a ?

2 

x2 (x + 2) 0; x2 (x − 2) 0.

< 0;

29.39. x 3, 1  x < a; 29.40.

x < 4,   x > 2,  x < −2. 

x − 1 (x + 3) 0; x − 1 (x − 3) 0. x x +1

206

§ 5. НЕРІВНОСТІ

29.41.

x > −1,  x a

1 1 + 29.42.

1 +

x < 2,  x a.

29.43.

x < −3,  x > a.

29.44.

x 7,  x < a

29.45.

x < 5,  x b

29.46.

x 6,  x > a

29.47.

x b,  x < −2

29.48. a m x m a + 8,  x l 4 29.49. a − 7 x  x 3

29.50. 1

2 (x − a) (x − 1) 0; 29.51. 1 x+ x+1 0 2 x + a (x + 1) 0; 2

(x − a) (x −1)

1 2

x+ x+1 0 (x + a) x +1 0.

30. Рівняння та нерівності, які містять знак модуля

207

30. Рівняння та нерівності, які містять знак модуля a

. a

a, ÿêùî a 0, a = −a, ÿêùî a < 0. = = x2 + 1 = x2 + 1

x2 + 1

ПРИКЛАД 1

0 2x

1  2x − 1, ÿêùî x 2 , 2x − 1 =  1 − 2x, ÿêùî x < 1 .   2

1 2

0; = = =

= 0

= = 01

. 3 .1

208

§ 5. НЕРІВНОСТІ

ПРИКЛАД 2

1 =2

x − 1 = 2, x − 1 = −2.  x = 3, x = −1.  1

1 . 3 .2



1 02

ПРИКЛАД 3

1 = x+1

2x − 1 = 3x + 1, 2x − 1 = −3x − 1,  x

3x + 1 0,   1  − 3 ; +  .

3x + 1 0,   2x − 1 = 3x + 1,  2x − 1 = −3x − 1,  x=0 

− . 3

2 1

30. Рівняння та нерівності, які містять знак модуля

 g (x) 0,   f (x) = g (x),  f (x) = − g (x).  f (x)

x x

0 =

 f (x) 0,   f (x) = g (x),  f (x) < 0,   −f (x) = g (x). 2x

1 = x+1

 2x − 1 0,   2x − 1 = 3x + 1,  2x − 1 < 0,   −2x + 1 = 3x + 1;  1  x 2 ,   x = −2,   x < 1 ,  2  x = 0.   x=0 x+1 + x

ПРИКЛАД 4 1

x + 1 x 2

1 2 x+1 x

x+1

2 = 2 2 +

209

210

§ 5. НЕРІВНОСТІ

x < −1,  x = −1. −1 x 2,  0x = 0.

x < −1, 1  −(x + 1) − (x − 2) = 3. −1 x 2, 2  (x + 1) − (x − 2) = 3. 1 2 x > 2, x > 2,   (x + 1) + (x − 2) = 3; x = 2. 1 2 

 x < −1,   −x − 1 − x + 2 = 3,  −1 x 2,   x + 1 − x + 2 = 3,   x > 2,  x + 1 + x − 2 = 3. 

2 0

2 . 3 .3

30.1.

ерівні ть вид x x < a,  x > −a. a

0  x 0,   x < a,  x < 0,   −x < a.

a рівно ильна и темі

30. Рівняння та нерівності, які містять знак модуля

0 x < a,  − a < x < 0; 

211

x < a,  x > −a.  0 x < a,  x > − a

ПРИКЛАД 5

x < 1, 3x < 3,    1 3x > −1; x > − . 3   1   − ; 1 .  3 30.2.

3x − 1 < 2,  3x − 1 > −2.

01 ерівні ть вид

x рівно ильна

и темі  f (x) < g (x),   f (x) > − g (x). 30.3. но ті нерівно тей

ерівні ть вид

01 a рівно ильна к

 x > a,  x < −a.  = 0 (− ; 0) ∪ (0; + ).

212

§ 5. НЕРІВНОСТІ

0  x 0,   x > a,  x < 0,   −x > a. x > a, x < − a.   0 x > a, x < −a 

ПРИКЛАД 6

x > 2, 4x > 8,  1 4x < −2;  x<− .  2 

4x − 3 > 5, 4x − 3 < −5. 

1   − ; −  ∪ (2; + ).  2 0

30.4. ерівні ть вид x но ті нерівно тей  f (x) > g (x),   f (x) < − g (x).

x рівно ильна

0 ПРИКЛАД 7 x < 1, 1  1 − x − x + 2 > x + 3;

x x < 1, x  x < 0;

1 + x

213

30. Рівняння та нерівності, які містять знак модуля

1 x 2, 2  x − 1 − x + 2 > x + 3; x > 2,  x − 1 + x − 2 > x + 3;

1 x 2,  x < −2. x > 2, x  x > 6;

(− ; 0) ∪ (6; + ).  1. 2. 3. 4.

Сформулюйте означення модуля числа. Що потрібно знати, щоб розкрити модуль числа? Сформулюйте властивості, які випливають з означення модуля. Сформулюйте теореми про розв’язування нерівностей, які містять знак модуля.

ВПРАВИ 30.1. 1

π 3

−1 ;

2 30.2. 1 2 1 2

2−

4 π 4

x−

;

x2 + 1

1 π

− 0,7 ;

= 2

a b

x +2

;

x2 + x + = − a

0 2

−1 ;

x2 + x +

30.3. ab = a æ b ; a

x2 + 2x + 2 1

− 0,8 ;

a .

30.4.

30.5.

30.6. x

1 2

m − n

x + y

y 2

+ 2

m + n 2

−

m + n m − n

214

§ 5. НЕРІВНОСТІ

30.7. 1 x+ 30.8. 1 x

=2 1 =

2x =

x =

1 =

30.9. 1

f ( x)

g ( x)

f ( x)

g ( x)

f (x) m g (x),  f (x) l − g (x); f (x) l g (x), f (x) m − g (x). 

30.10. 1 x+ 2 2x 1

3x + 2 5x − 1

30.11. 1 x − 3 6; 2 3x − 2 3;

1 x x+2

1 2

30.12. a+b a + b ; a−b a − b ; + = + + = + = +

30.13. 1 x + x −3

30.14. 1 x + x+

1; 4. 2

ab 0; a 0 b 0; ab 0. 2

x −1 + x − 3

x+2 + x  x + y − 4 = π,   x − 3 + y − 1 = 3.

30.15. 30.16. 1 x

2 =2

x +2 =1

30.17. 1 x

x +1 =1

30.18. 1 2x

1 =

x+2

x = 2x + 1

30. Рівняння та нерівності, які містять знак модуля

30.19. 1 x+2 = x 1 2 x + 2 = 2x 1

30.20. 1 x+2 =2 x 2 x 1 =x+1 30.21. 1 x+ 2 1 − 2x 30.22. 1 x+2 2 5x + 3

1 = x+

x+1 = x

2x + x + 1; 2x 1 x +1 ;

215

x+ 2x − 7

x x − 2.

3x − 2 x

2x + 1; x+1

30.23. 1 x 2 x

2 + x = 2 x +x=0 x + 2x 2 = 2x x 2 x+1 = x + x + 2 + 2x 1 = x + x = x+2 x = x 2 x + 2x = 1 x−2 x −1 −1

= 1;

x − 3 + x −1

x−2 + x−4

30.24. 1 x+1 + x 2 x+ x x x+

= 1.

= 20 2x = 2

+ x

2 = x =1

x 12

x−6

+2 x+1 = 1 + x

x x

3− x−3

2 =2 x 11 = 1 = 1;

x + x +1 −1 x − x−2 +2

= 1.

216

§ 5. НЕРІВНОСТІ

30.25. 1 x+1 + x+2 2 2 x − 3 + x +1 30.26. 1 2 x+1 2

3x + 1;

x −1 + x + 3

2 y=2 x

y= x+2 +2 x

30.28.

2 2x

x + x

1 =

30.30. 1

1 + x+1 =

30.31. x

1 + x

+ x

30.32. =

30.29. 1

2x.

x − 2 x +1 + 3 x + 2

+ x

x −2 x −2 +3 x +5

2 x+

30.27. 1 y= x+

x +1 + x −1

2x +

x+2 =

§6

КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

31. Функція

= x2 та її графік

y x

y = x2

y x y y = x2

x y

2 2

1 22

1 0 1 02

x y

y = x2

0 0

0 02

1 1

1 22

2 2

y = x2

1 0

. 31.1

1 x0

. 31.2

218

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

y = x2

0 0 x

y = x2

0, y = x2

x =

x 0 y0

x0 y0

12 y = x2

y=x

1 0

. 31.3

0 0 y = x2

x=0 0 x0 y 0 y = x2 x0 y0

x2 = x + 2

ПРИКЛАД y = x2 x = 1

219

= x2 та її графік

31. Функція

y=x+2 1

22 = 2 + 2

x=2 2

2 1 x2 x + 2 x2 = x + 2 = 1+2 

y y=x

2 y

1 10

1 2

. 31.

Яка множина є областю визначення функції y = x2? Яка множина є областю значень функції y = x2? При якому значенні аргументу значення функції y = x2 дорівнює нулю? Порівняйте значення функції y = x2 при протилежних значеннях аргументу. 5. Яка фігура є графіком функції y = x2?

1. 2. 3. 4.

ВПРАВИ y = x2

31.1. 1 0

12 1 0

2 0 2 00 0 0 y = x2

31.2. 1

0 1 0 01

220

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

31.3.

y = x2

y= x

31.4. 1 x2 = x

2 x2

x2 = .

x2 +

31.5. 1 x2 =

2 x2

1 x

= 0.

31.6.  y = x2 , 1  y = 2; 31.7.

 y = x2 , 2  y = −2;

y − x2 = 0,  x − y + 6 = 0;

 y = x2 , 1  3x + 2y = −6;

 y = x2 , 2  x − 3y = −3. ÿêùî x m − 2, 4,  2 f (x) = x , ÿêùî − 2 < x < 1, 2x − 1, ÿêùî x l 1. 

¿ 31.8. 1 2

2x + 3, ÿêùî x m − 1,  f (x) = x2 , ÿêùî − 1 < x < 2, 4, ÿêùî x l 2. 

¿ 31.9. 1 2

x2 , ÿêùî x 0, f ( x) =  x + 1, ÿêùî x > 0. 0 2

¿ 31.10. 1 2

¿ 31.11. 1 2

y − x2 = 0,  2x + 5y = 10.

 6 − , ÿêùî x − 1, f ( x) =  x x2 , ÿêùî x > −1.  1 0 0

31. Функція

221

= x2 та її графік

. 31.5

31.12. 1 y=

x3 + x2 x +1

2 y=

;

x 4 − 4x 2 2

x −4

31.13. 1 y=

x3 x

2 y=

;

x3 − 2x2 x−2

31.14. y = x2 31.15. y = x2 31.16. y = x2 31.17.

y= x 2 y= x+

1 31.18.

1 31.19. 1 y 2 y2

x2 y x =0

x =0

y − x2 2

(x − 1) + ( y − 1) y−x

y−x

= 0.

= 0;

1 0

. 31.

222

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

31.20. 1

y + x2

31.21. 1 y

y+x =0

+ y

x2 − y 2 2 (x + 2) + ( y − 4)

= 0.

+ y + x2

32. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь x

x2 =

. a.

2 2

− . 2

25  5  25  5   = ,  −  = . 2 4 2 4

0 0

x2 =

. a

223

32. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь

a. x a

b −5 ідкореневий вираз мо е на

вати тільки невід ємни зна b −5

чень +

9 = 3, 25 4

3 0

= , 2

0 = 0,

0 0 рівні ть

25  5   = ; 2 4 02 = 0

a = b викон єть я за мови, що b

для

невід ємного чи ла a 4

(

5,2

)

раведливо, що

( 4 )2 = 4,

( a ) = a. ( 2 ) = 2, 5,2 2

0 і

= 5,2. x2 =

=a дь якого

0 і

x2 =

x2 = y =

2 2

y = x2 21

1 2

. 32.1

224

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

y= 0

y= =0

y= 0 . 32.2

x2 =

0 y = x2

x2 =

x=0 y = x2 y = 0 22

x2 = 0

y = x2 22 x =

(− a )

( a)

− a.

= a,

= a. x2 =

− 5.

(−8 2 ) . 2

ПРИКЛАД 1

( a)

(−8 2 )

= a,

= (−8) æ ( 2 ) = 64 æ 2 = 128. 2

ПРИКЛАД 2 1

1 2

x − 3 = 0;

2 1

1 2

x = 3;

1 + x + 2 = 2; 1 + x + 2 = 22 ;

1 + x + 2 = 2. x = 6.

x + 2 = 3; x + 2 =

x= 2

x= 

225

32. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь

ПРИКЛАД 3

=1 =

x − 5 = 4, x − 5 = −4. 

x = 9, x = 1.  1



ПРИКЛАД 4

;

 1− 2 3x = 1 − 2, x = 3 ,   1+ 2 3x = 1 + 2;  . x = 3 

3x − 1 = − 2,  3x − 1 = 2. 1− 2

1+ 2 3

. 

ПРИКЛАД 5 1

x −1 2

x −4

;

3− x +

1 x +1

1 x

 x − 1 0,  2 x − 4 ≠ 0.  x l 1,   x m − 1,  x ≠ 2, x ≠ −2.

2 (− ; − 2) ∪ (−2; − 1] ∪ [1; 2) ∪ (2; + ).

1 . 32.3

226

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

2 3 − x 0,  x + 1 > 0.  x 3,  x > −1;

−3 x 3,  x > −1.

. 32.

2 

1 ПРИКЛАД 6 1

−x + x − 2 = 2; 2 1

x2 − 2x + x − 2 = 0;

(x2 − 9) x − 2 = 0.

−x 0,  x − 2 0.

x2 − 2x = 0

x − 2 = 0.

 x2 − 2x = 0,   x − 2 = 0. x2 − 2x = 0,  x − 2 = 0;

 x = 0, x (x − 2) = 0,    x = 2,  x = 2; x = 2. 

2 2 2 +

227

32. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь

x = 2,    x = 3,   x = −3,   x 2;

 x − 2 = 0,  2  x − 9 = 0,  x − 2 0. 



2 ПРИКЛАД 7

x = 2, x = 3. 

y = ( x) + ( 1− x) . 2

x 0,  1 − x 0. y= 2

( x) +( 2

y = 0 1

1 − x ) = x + 1 − x = 1. 2

. 32.5



ПРИКЛАД 8 (x − a) ( x − 1) = 0  x − 1 = 0,   x − a = 0,  x 0. 

0 +

x=1 =1

0 

1. Що називають квадратним коренем із числа ? 2. Що називають арифметичним квадратним коренем із числа ? 3. Як позначають арифметичний квадратний корінь із числа ?

? ? 5. Як читають запис a ?? 4. Як називають знак

6. Як називають вираз, який стоїть під радикалом? 7. Яких значень може набувати підкореневий вираз?

228

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА 8. Як називають дію знаходження арифметичного квадратного кореня із числа?

( )

a для будь-якого невід’ємного 9. Чому дорівнює значення виразу значення ? 2 10. Скільки коренів має рівняння x = a при > 0? Чому вони дорівнюють? 11. Чи має корені рівняння x2 = при = 0? при < 0? ВПРАВИ 32.1. 1

25 = 5;

36 = −6;

0,81 = 0,9;

0 = 0;

0,4 = 0,2;

10 = 100?

225;

1,21;

0,25;

3600;

2 32.2.

0,01;

4 9

; 9

;

0,0004.

;

32.3. 4

64;

0,49;

5 ;

144;

2500;

0,0009;

0,04;

121

0,0196.

;

32.4. 1

2 − 2;

−2;

(−2)2 ;

(

−2 ) ? 2

32.5. 1

2 0

2 ; 4

32.6. 1

( 7) ;

(

(−

)

4,2 ;

2 11 ) ;

− ( 10 ) ; 2

 3  −  ; 2 2

1  14  .   2

229

32. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь

32.7. 1

( 6) ; 2

32.8. 1 2

(−

 6  −  . 3 

(−4 5 ) ;

2 21 ) ;

16 + 9;

−2 0,16 + 0,7;

16 + 9;

(

13 ) − 3 æ ( 8 ) ; 2

2 1  æ ( 18 ) −  24  ; 2  6

36 − 49;

4 æ 52 − 62 .

36 æ 49; 0,81 + 0,01; 32.9. 1

72 − 64 ;

16 æ 225;

900 + 0,2 1600;

(2 6 )

− 3 ( 21 ) . 2

32.10. x = 9;

x= ;

x − 0,2 = 0;

x + 7 = 0.

32.11. 1

x = 20;

x = −16;

32.12. 1 x2 = 2 2 x2 = 0 32.13. 1 x2 = 100 2 x2 = 0 1 32.14. 1 −0,06 æ 10000 + 2

8 256

x2 = x2 = − 2,5 3,24;

64 æ 6,25 + 23 + 17; 1

11 25

+ 3 7 − 0,6 3025; 9

1

 75  + 262 − 242 ;   5

(3 8 ) + (8 3 ) 2

− 2 ( 24 ) ; 2

144 : 0,04 − 2,56 æ 2500;

x − = 0. 3

x2 = 2 x2 =

230

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА b3 − a3b − b2 c + ca3 (b − c)

1 a = − , b = −0,19, c = 0,18, d = 0,04. 2

+ d,

¿ 32.15.

(

)

1 0,15 3600 − 0,18 400 + 10 0,08 ; 95

361

−

27 169

+ 82 + 152 ;

2   1 1, 44 + æ 12,25  : 0,1 13 .  −8  4 3

(

)

32.16. 1

−x;

−x2 ;

(x − 8)2 ;

x2 ;

x2 + 8;

2y;

y3 ;

−y4 ;

−3y;

−y3 ;

x .

32.17.

32.18. x +1

1 y = x +1;

2 y = 1 − 3x ;

y = 2 − x + 3x + 1;

y= y=

1 2x + 1 x−3 x+5

4x − 1

;

y = x − 3 + 3 − x;

;

1 2 − 3x

− 2x + 1.

32.19. 1 y=

1 x −1

x−2 æ

x−4

2x − 9

2 y = x + 3 + 3x + 1; 32.20. 1

5x − 4 = 0;

5x − 4 = 6; 42 x

= 6;

18 x+3

= 9;

x2 − 36 = 8.

231

32. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь

32.21. 1

x − 2 = 0;

2 2x + 3 = 11; 32.22. 1 x+ 2=0 2 32.23. 2 1 2x =2 32.24. 2

130 − x2 = 9. x+ 2

(x − 8) 1 x −3

x+ 2

1 x +3

x − x2 − ; 1

= 6;

x −5

xæ

− x ;

;

−x

= − x;

;

− −x ;

x +1;

−

;

x æ −x ;

;

1 x

32.25. 1

y −1

32.26. 1 y=

;

1 y +1

y2 − y + ;

;

y−

x − 2;

x − x;

2 y = 1− x ;

y = x− x ;

x −4 x − 25

y2 4

− 1.

;

y = 5− x +

1 2−x

32.27. 1 y = 7− x ;

2 y=

x −2 −

1 x+3

32.28. 1 3 + 2 + x = 4; 32.29. 1 17 + 32.30. 1

x − 6 = 5;

x2 − 4x + 4;

2 + 3 + x = 3; 2

4 − 10 + x = 2.

1 + 2 + x = 1. x

x2 − 4x + 5 ?

232

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

32.31. −x + 6x − 12. 32.32. 1 x2 + 8x + 15; 32.33. 1 x = −x; 2

( x)

x 2

x − 10x + 27 ? 2

(x − 1) x + 1 = 0; (x + 1) x − 1 = 0;

= x;

x + 3 x − 2 = 0;

x = −x ;

x + x − 1 = 0;

11 (x2 − 4) x − 1 = 0;

x − 1 + −x − 3 = 0;

12 (x − 1) ( −x − 1) = 0;

x2 − x + x − 1 = 0;

(x + 1) ( −x − 1) = 0.

x2 + 2x + x2 − 4 = 0; 32.34. 1 x + −x = 0;

(x − 2) x − 3 = 0;

(x − 1) ( x + 1) = 0;

x =− x ;

( x)

(x + 1) ( x − 1) = 0;

= x ;

(x2 − 16) x − 3 = 0;

x + −x = 1; x2 − 2x + 1 + x2 − 1 = 0; 32.35. 1 2 32.36. 1 2x + 1 > −2; 2 2x + 1 0; 32.37. 1 x − 1 > −1; 32.38.

10 (x + 2) ( −x − 1) = 0. x2 = + 1

2x + 1 < −2;

− x;

x > − x;

− x.

x −1

− 1;

1 y = − x2 ;

y = −x æ −x ;

2 y = −x2 − 4x − 4 + 2;

y = ( 1 − x ) + 1;

− x − 1.

y = ( x) ;

y = ( x ) + ( −x ) + 2;

y = x æ −x ;

y = ( 3 − x ) + ( x − 1 ) + x − 1.

233

32. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь

32.39. 1 y = 2x − 1 − x2 − 1;

y = x æ x;

2 y = ( x ) + 3 − x;

y = x ( x) ;

y = ( −x ) + 1; 32.40.

y = ( x + 2 ) − 1.

x y

x − 2 + y + 3 = 0;

x + 4 + y2 − 1 = 0;

2x − 1 + y − 2x + 3 = 0;

x2 − 25 + y2 − 16 = 0.

4x + y − 5 + x − 2y + 6 = 0; x y

32.41. 1 x + 1 + y − 3 = 0; 2

x2 − 4 + y + 1 = 0.

x − y + x + y − 2 = 0;

¿ 32.42. x y 1

x + y;

32.43. 1 ab; 32.44.

2 2

x (x + 1) > 0;

x (x +1)

x (x + 1) < 0;

x + − y; −ab;

ab2 ; x (x +1) x x +1 x x +1

x2 y .

xy;

−a2b ?

a 2b2 ; x

x +1 x

> 0;

< 0; 0.

x +1

32.45. 1

x (x − 1) > 0;

x (x −1)

x (x − 1) < 0;

x (x −1) x x −1 x x −1

x −1 x

> 0;

< 0; 0.

x −1

32.46.

y = x3 −

32.47.

(

)

x2 (x − 1) .

(x + 1)2 x

)

− x3 − x2 − x.

234

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

32.48. 1 (x − a) ( x + 1) = 0; 32.49. x−a

x −1

= 0;

2 (x − a) ( −x + 1) = 0? 2

x−a x −1

= 0?

32.50.

( x − a) ( x − 2) = 0

32.51. 1   1 −  x − a = 0? x

1 (x + a) ( x − 3) = 0; 1  2  1 −  ( x − a ) = 0;  x

(

32.52.

x − 4 ) ( x − a) = 0

32.53. 1 a x − 1 = 0; 2

x − 2 = a;

(a − 1) x = 0;

(x − 1) x − a = 0;

a x − 1 = a;

(2 − a) x − 2 = 0.

Чи ростуть у городі радикали?

x x Рене Декарт (1596–1650)

Перша задача першої математичної олімпіади в Україні

R 7

235 x

Перша задача першої математичної олімпіади в Україні 21

236

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

33. Множина дійсних чисел m n

−3

5 = , −3 =

, 1

0,2 = , 0 = , 5,3 =

m n

5 8

= 0,625;

5 11

= 0,454545... .

5 8 5 11

= 0,(45).

0 2 = 0 2 0000 = 0 2 0 2 = 2 000 = 2 0 ко не раціональне чи ло мо на одати вигляді не кінченного еріодичного де яткового дро ко ний не кінченний еріодичний де ятковий дрі є за и ом деякого раціонального чи ла

237

33. Множина дійсних чисел

(5 − 7) ∉ .

5 7

∉ .

, , .

? x2 = 2 2

− 2

1 y

y = x2

y=2 1 2

. 33.1

2 m n

( 2 )2 =  m  n

; 2=

m2 n

;

m n

. 2

238

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА 2

=2 2

m n

2 2

− 2 .

m n

m ∈ , n ∈ ,

2 = 1,4142135623730950488016887242097... .

− 2

1 1

0 10100100010000100000 10

239

33. Множина дійсних чисел

⊂ ⊂

⊂ ⊂ ⊂ .

ій ні чи ла

. 33.2

= +

240

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

211

2 2 ≈ 1,414

2 ≈ 1,415. 2

0 001 2

0 001

. 1. Які числа утворюють множину раціональних чисел? 2. У вигляді якого відношення можна подати кожне раціональне число? 3. Як пов’язані між собою раціональні числа та нескінченні періодичні десяткові дроби? 4. Як називають числа, що не є раціональними? 5. Об’єднання яких множин утворює множину дійсних чисел? 6. Якою буквою позначають множину дійсних чисел? 7. Як взаємозв’язані множини , , і R?

ВПРАВИ 33.1. 1 1 ∈ ; 2 1 ∈ ;

1 ∈ ; 1 ∈ ;

0 ∈ ; 0 ∉ ;

0 ∈ ; −2,3 ∈ ;

241

33. Множина дійсних чисел 3

−2,3 ∈ ;

11 − ∉ ;

9 ∈ ;

7 ∉ ;

9 ∈ ;

10 − ∈ ;

9 ∈ ; π 3

∈ ?

33.2. 1 2

33.3. 1 0 2 0

2 2 2 2

2 1

33.4. 1 2 33.5. 1 02 33.6. 1 2 33.7. 1

0 22

2 0

2 1 1 x2 =

2 2

2 1

1 33.8. 1

7 9

1 1

33.9. 00

1 2

2 1 1

33.10. 1

π 2

242

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

33.11. 33.12. 33.13. 1 2

33.14. a+b 2

33.15. 33.16. 1

(3 −

2 ) = a + b 2; 2

(

3 − 2) = a − b 3. 2

33.17.

0 12

33.18. 2 +1

33.19. 33.20.

(

33.21.

1+ 2

x + x+

33.22.

2 −1

x2 + x + − 2 −1

2 − 1; − 2

)

x+ y+ =0 =

33.23.

a+ b

33.24. 33.25.

x + 2 x3 + 2

243

Коли таємне стає явним

33.26. 1 x+ 3

1 x

− 3;

2 x+ 3

1 x

+ 3

33.27.

Коли таємне стає явним x2 = 2

. 33.3

AB CD

= .

Піфагор (бл. 570 бл. 500 р. до н. е.)

. 33.

244

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

= CD

CD =

m n

me ne

m n

=1 2

2 AC = 2.

Про зліченність числових множин ,

0 1

34. Властивості арифметичного квадратного кореня

0 1

0 000

1 2

= = = =

0 0 0 0

7 1

2 0

1 4

1 0 1

1 2 1

= 0 1211

0 1 0 1

34. Властивості арифметичного квадратного кореня 52 = 5, 1,42 = 1,4,

02 = 0. a2 = a.

(−5)2 = −5

245

246

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

(−5)2 = 25 = 5.

(−7)2 = 7, 34.1.

ля

(−2,8)2 = 2,8. дь якого дій ного чи ла а викон єть я

рівні ть a2 = a .

a = b, b

0 a

= a2 . 

34.2 . ля дь якого дій ного чи ла а та т рального чи ла n викон єть я рівні ть

дь якого на

a2n = a n .

1 34.3 . ля дь яки дій ни чи ел а і викон єть я рівні ть ab = a æ b . a

(

aæ b

) = ( a) æ ( b) 2

таки , що a 0 і b

a æ b l 0.

= ab.

aæ b  a

0, b

abc = (ab) c = ab æ c = a æ b æ c. a 0 b 0, ab = −a æ −b. 34.4 . ля дь яки дій ни чи ел а і викон єть я рівні ть a b

a b

таки , що a 0 і

247

34. Властивості арифметичного квадратного кореня

a a b

−a

−b

S1 > S2 .

. 3 .1

34.5. Якщо a > b a

( a) ( b) , 2

0, то

a > b.

a >0



b, a > b , то a

34.6. Якщо

( a) > ( b) , 2



ПРИКЛАД 1 1

(−7,3)2 ;

0,81 æ 225;

1,24 ;

(−7,3)2 = − 7,3 = 7,3.

1,24 = 1,22 = 1,44. 0,81 æ 225 = 0,81 æ 225 = 0,9 æ 15 = 13,5. 16 49

= . 7

ПРИКЛАД 2

1 1 18 æ 2 = 18 æ 2 = 36 = 6.

2 24 150

24 150

4 25

= . 5

18 æ 2; 2

24 150

248

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

ПРИКЛАД 3

1 6 = 36

1 6 > 31.

(3 7 )

31; 2 3 7

= 63,

65.

36 > 31,

9a6 ,

63 < 65.

3 7 < 65. ПРИКЛАД 4 2

mn ,

a14 ; 2

1 m

0, n

y + 4y + 4,

a ;

−2;

(x − 3) . 6

1 7 a , ÿêùî a 0, a14 = a7 =  7 −a , ÿêùî a < 0.

9a6 = 3 æ a3 .

9a6 = 3 æ a3 = −3a3 . n

m 2n 2 = m æ n . 0, = a36 = a18 .

m 0, = m æ n = m æ (−n) = −mn. a18

a36 = a18 = a18 .

y2 + 4y + 4 = (y + 2)2 = y + 2 . y y+2 = y 2 (x − 3)3 , ÿêùî x 3, 3  (x − 3)6 = x − 3 =  3 (3 − x) , ÿêùî x < 3. y=

ПРИКЛАД 5

−2,

x+ x+

(x + 1)2

x (x + 1) x

−

(x − 1)2 x (x − 1)2

y = 0 +

1 x 1 x

y+2

+2 − x+ +2 + x+

1 x 1 x

−2

. −2

249

34. Властивості арифметичного квадратного кореня x +1 x x +1

x+1

0 < x 1, x

x +1 − x −1 x ; y= . x −1 x +1 + x −1

x −1

−

y= y=

x +1+ x −1

x +1− x −1

= x.

x +1+1− x x +1− x +1 1 x +1+ x −1

x +1+ x −1

= . x

x, ÿêùî 0 < x 1,  y = 1  x , ÿêùî x > 1.

. 3 .2

2  ab + b . ab

ПРИКЛАД 6

0 ab + b ab ab + b ab

= x

b+ bæ

aæ

−a æ

−b −

−a æ

( −b

−b )

b ( a + b) aæ

a+ b a

−b ( − a − −b ) −a æ

−b

− a − −b −a

0 0 0 y 0 y ( x − y) x æ y −y x− y ab + b − a − −b = = = = .  = y

1. 2. 3. 4. 5.

xæ

−a

Якому виразу тотожно дорівнює вираз a2 ? Сформулюйте теорему про арифметичний квадратний корінь із степеня. Сформулюйте теорему про арифметичний квадратний корінь з добутку. Сформулюйте теорему про арифметичний квадратний корінь із дробу. Відомо, що невід’ємні числа 1 і 2 такі, що 1 > 2. Порівняйте значення виразів a1 і a2 .

250

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

ВПРАВИ 34.1. 1

0,42 ;

64 ;

5 (−10)4 ;

(−1,8)2 ;

(−2)10 ;

−4 (−1)14 ?

34.2. 1

a2 ,

b ,

= 2

0,1 c6 ,

34.3. 1

16 æ 2500;

72 æ 28 ;

400 æ 1,44;

0,01 æ 0,81 æ 2500;

0,09 æ 0,04;

49 256

1 16

æ2

169 36 æ 81

14 25

;

121 æ 256

;

25 æ 100

34.4. 1

16 æ 0,25;

2,25 æ 0,04 æ 1600;

0,36 æ 1,21;

13 ;

52 æ 36 ;

1 æ

34.5. 2

12 æ 3;

200 æ 0,18;

18 æ 50;

13 æ 2 æ 26;

0,009 æ 1000;

2,4 æ 1 ;

27 æ 3;

10 æ 12,1;

1 æ 2,8;

18 æ 2;

0,5 æ 50;

5 æ 23 æ 53 æ 23 .

æ 8æ

;

23 æ 3 æ 25 æ 33 .

34.6. 3

;

251

34. Властивості арифметичного квадратного кореня

34.7. 1 2

75 3

3,2

;

3 48

0,2 72

;

6æ

;

3 æ 15

34.8. 1

48 3

;

6,3 0,7

;

242

6æ

;

34.9. 1

17 4

2 34.10. 1 33

2 3;

2 10.

− 48;

26;

2 3 5

3 2

42;

2 7;

20. 62;

34.11.

38;

34.12.

65; 1

35;

34.13. 5; 7;

13; 0,98;

− 10; − 115?

19;

29;

− 30,5 ?

1 2; 2 3; 34.14. 1 6; 34.15. 1 34.16.

68;

1 3 13; 34.17. 1 a2 = a; 34.18. 1 ab = a æ b;

− 31

77;

− 145

90; 2

− 42

− 47.

a2 = − a ?

ab = −a æ −b;

−ab = a æ −b ?

252

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

34.19. 1

18 æ 32;

75 æ 48;

2,7 æ 1,2;

8 æ 98;

288 æ 50;

80 æ 45;

3,6 æ 14,4;

4,5 æ 72;

33 æ 297 .

14,4 æ 0,9;

12,5 æ 32;

13 æ 52;

108 æ 27 .

34.20. 1 18 æ 200;

2 3,6 æ 0,4; 34.21. 1

412 − 402 ;

21,82 − 18,22 ;

6,82 − 3,22 ;

98,52 − 97,52 ;

1392 − 862 98,52 − 45,52

34.22. 1

98 2282 − 1642

34.23. 2 −0,4 c2 ;

1 b2 ; 34.24. 1 1,2 x2 ;

a6 ;

m8 .

y4 ;

n10 .

34.25.

2) ;

)

(1 −

(

6 − 7) ;

(

3 − 2) +

(3 −

(

5 − 4) ;

(

8 − 3) − 2

(

2 − 3) ;

(

10 − 11 ) ;

6) −

(

6 − 1) .

5 −3 ; 2

3) . 2

34.26. 2

(2 −

x6 = x

34.27. 34.28. 1 m2 , 2

n2 ,

0 2

16 p , 0,36k2 ,

0; k 0;

c12 ; 0,25b14 ,

81x y , 0,01a6b10 ,

0, b

34. Властивості арифметичного квадратного кореня

9) −1,2x 64x18 , якщо x m 0; a12b22 c36

10)

4 8 10

a b c

11)

, якщо b < 0;

3,3a 4

b24

121a26

, якщо a < 0;

12) −0,5m5 1,96m6n8 , якщо m m 0. • 34.29. Спростіть вираз: 1) 9a16 ; 0,81d6 , якщо d l 0;

3) −5 4x2 , якщо x m 0; 4) −0,1 100z10 , якщо z l 0; 5)

p6 q 8 , якщо p l 0;

25m34n38 , якщо m m 0, n m 0;

7) ab2 a4b18 c22 , якщо b l 0, c m 0; 8) −

8m3 p4 k

625k30 p40

144m6

, якщо m < 0, k > 0.

•

34.30. Спростіть вираз: 1) (a − 4)2 ; 2)

(b −15)2 , якщо b l15;

(c +1)2 , якщо c m −1; 400

4) (12 − m) 5) 6)

(m − 12)2

n2 − 6n + 9

(n + 3)4

n+3

(n − 3)2

, якщо m > 12; , якщо n > 3;

p2 − 1

p2 + 4 p + 4

( p + 2)2

( p + 1)2

, якщо p < –2.

•

34.31. Спростіть вираз: 1) (a − b)2 , якщо b l a; 2) 3)

c2 + 6c + 9, якщо c l − 3; (m − 5)4 m2 − 10m + 25

253

254

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

34.32. 1 a2 = a; 2

(a + 3)6 = (a + 3)3 ;

a 4 = a2 ;

(1 − a)4 = (a − 1)2 ;

a6 = a3 ;

a − 3 æ a − 3 = a − 3;

a =a ;

a (a − 1) = a æ a − 1;

a6 = − a3 ;

a (a − 1) = −a æ 1 − a ;

(a − 2)2 = 2 − a;

34.33. 1 a10 = a5 ; 2

a −1 2−a

(1 − a)10 = (1 − a)5 ;

a10 = −a5 ;

a4 + 2a2 + 1 = a2 + 1;

a2 = ( a ) ;

(a − 2) (a − 3) = 2 − a æ 3 − a ;

a = ( −a ) ;

a (a + 1) = a æ a + 1 ?

(a + 1)2 = −a − 1; 34.34. 1 y = x2 − x, 2 y = 2x + x2 ; 34.35. 1 y = x2 + x,

+ 3;

y = (x + 3)2 + x. x

y = (x − 2)2 − x;

2 y = (x − 3)2 ; 34.36. 1 x2 = x − 4;

y = (x + 4)2 − x − 4. 2 x2 = x + 3;

2 x2 = 6 − x; 34.37. 1 x2 = 6x − 10; 2 x2 = x + 8; 34.38. 1 x2 + 6x + 9 < 2; 34.39. 1 9x2 + 6x + 1 1;

x2 − 4x + 4 = 2x − 5. 4x2 − 4x + 1 = x + 1; 9 − 6x + x2 = 2x − 1. 2

x2 − 2x + 1

x2 − 10x + 25 > 4.

35. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

255 x y

34.40. 1

xy = x æ y ;

xy = −x æ y ;

xy = −x æ − y ;

xy = x æ − y .

34.41. 1

a + ab b + ab

≠0

b + ab −b

a + b + 2 ab

− a + −b

34.42. 1

a2 − 2a + 1 + 4a2 − 12a + 9 ,

b2 + 9b + 17 − b2 + 2b + 1 ,

a b

;

−1;

b2 + 4b + 9b4 + 6b2 + 1 . 34.43. 1

a2 − 11a + 26 + 1 − 2a + a2 ,

7b2 + 6b + 4b4 + 4b2 + 1 .

35. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені 48. 48 = 16 æ 3 = 16 æ 3 = 4 3. 48 вине

3. енням мно ника з ід знака кореня

4 3 = 16 æ 3 = 16 æ 3 = 48. вне енням мно ника

ід знак

кореня ПРИКЛАД 1 1

72a8 ;

b35 ; 1

−b35 ;

a 2b3 ,

72a8 = 36a8 æ 2 = 6a4 2.

a6b .

256

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

2 b

0. b35 = b34b = b17 b 0.

b = b17 b.

−b35 = b34 æ (−b) = b17 2 0

−b = −b17 −b.

ab = abb= a æ b =0 ≠0 a6b = a3 b 2 3

2 2

0 b = −ab b. 0 0

a6b = − a3 b a b =0

0 =0 

ПРИКЛАД 2 1 −2 7;

3b − ;

2 a 7;

c c7 .

1 −2 7 = − 4 æ 7 = − 28. a

a 7 = a2 æ 7 = 7a2 ;

a 7 = − a2 æ 7 = − 7a2 . b 3b −

b 3

= − 9b2 æ −

b 3

ПРИКЛАД 3 54a + 24a − 600a ;

 b = − 9b2 æ  −  = − 3b3 .  3

c c7 = c2 æ c7 = c9 . 

(7 − 3 2 ) − ( 2

10 + 5 ) ( 10 − 5 ).

54a + 24a − 600a = 9 æ 6a + 4 æ 6a − 100 æ 6a =

= 3 6a + 2 6a − 10 6a = 6a (3 + 2 − 10) = 6a æ (−5) = −5 6a . 2

(7 − 3 2 ) − ( 2

−

((

(

)

10 + 5 ) ( 10 − 5 ) = 72 − 2 æ 7 æ 3 2 + 3 2 −

)

10 ) − ( 5 ) = 49 − 42 2 + 18 − (10 − 5) = 62 − 42 2.  2

35. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

ПРИКЛАД 4 b 0;

1 6 5c + 5; 1

a + a;

257

2 2

3 + 6.

a2 − 2 = a2 − ( 2 ) = (a − 2 ) (a + 2 ). 2

(

b − 4 = ( b ) − 4 = ( b − 2) ( b + 2). 2

)

(

)

9c − 6 5c + 5 = 3 c − 2 æ 3 c æ 5 + ( 5 ) = 3 c − 5 . 2

a + a = ( a ) + a = a ( a + 1).

(

)

3 + 6 = 3 + 2 æ ( 3) = 3 1+ 2 3 .  2

ПРИКЛАД 5

b −1

b +1

; 2

2−3 2 2

1 b −1 b +1

2−3 2 2

( b )2 − 1 ( b +1

b − 1) ( b + 1)

( 2 )2 − 3

b +1

= b − 1.

2 ( 2 − 3) 2

= 2 − 3. 

ПРИКЛАД 6 1

15 2 3

; 2

14 5 2 −1

1 3 15 2 3

2 5 2 + 1,

15 3 2 3æ

15 3 2 2 ( 3)

15 3 2æ 3

(

5 3 2

) = 14 (5 2 + 1) = 14 (5 2 + 1) = 50 − 1 ) ( 2 −1 2 − 1 5 2 + 1) (5 2 ) − 1 14 (5 2 + 1) 2 (5 2 + 1) 10 2 + 2 = = = . 

14 5

14 5 2 + 1

258

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

ПРИКЛАД 7  

a a+ b

a− b

−

 

 ab + b  æ a−   = a + b. b−a   a + b a

a+ b

a− b

−

2 ab 

 ab + b  æ a−  = b−a   a + b

a ( a − b ) + b ( a + b ) + 2 ab

= =

2 ab 

(

 b ( a + b ) æ a− =  a+ b 

a + b)( a − b)

æ ( a − b) =

a − ab + ab + b + 2 ab a−b

( (

a + b)

( b) ( 2

a − b)

ПРИКЛАД 8

(a + 2

ab + b

a − b)

a−b

= a + b. 

12 + 6 3 ; 2

)(

2 − 3.

1 12 + 6 3 = 9 + 2 æ 3 3 + ( 3 ) = 2

4−2 3

2− 3 =

1−2 3 + 3

(3 +

3 ) = 3 + 3 = 3 + 3.

(1 −

2b + 2 b2 − 4

ПРИКЛАД 9

b −4 +b+2

1− 3 2

3 −1

.

b 2.

b2 − 4 = b − 2 æ b + 2,

b 2, b + 2 = ( b + 2) , b − 2 = ( b − 2) . 2

2b + 2 b2 − 4 2

b −4 +b+2

(

b − 2) + 2 b − 2 æ 2

b − 2 + 2 b2 − 4 + b + 2 (b − 2) (b + 2) + ( b + 2 )

b + 2 + ( b + 2)

b − 2 ⋅ b + 2 + ( b + 2)

(

b−2 + b+2

b + 2 ( b − 2 + b + 2)

b − 2 + b + 2)

b + 2 ( b − 2 + b + 2) 1 b+2

.

259

35. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

ВПРАВИ 35.1. 1 2 35.2. 1

2 3

32;

490;

275;

0,48;

54;

500;

0,72;

450.

45;

1 2

128;

−0,05 4400.

200;

35.3. 1

27;

20;

1 8

96;

−2 0,18; 4

125;

98;

10 0,03; 0,7 1000.

63;

35.4. 1 7 2;

6 a;

2 −2 17;

−

2 3

54;

1 8

128a;

;

−0,3 10b;

−7 3c;

−

35.5. 1 −11 3;

2 12 b;

35.6. 1 4 a + 3 a − 5 a; 2 5 c + 3 d − c + 3 d; 35.7. 1 c + 10 c − 14 c; 35.8. 1

9a + 25a − 49a ;

1 3

18 p.

5 + 7 5 − 4 5.

2 9 6 − 2 3 + 8 3 − 3 6. 2 2 0,04c − 0,3 16c +

1 3

0,81c.

35.9. 1 2 4x + 6 16x − 625x ; 35.10. 1 8 2 − 32; 2 6 3 − 27;

2 3 0,09y − 0,6 144y +

121

2 500 − 8 5; 2 20 −

1 3

45 − 0,6 125.

260

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

35.11. 1 48 − 6 − 4 3; 35.12. 1 75 − 6 3;

3 72 − 4 2 + 2 98; 1

2 2 50 − 8 2;

(

(3 (4

2 ( 18 + 72 ) æ 2; 35.15. 1 ( 2 + 5) 2 2 − 5 ;

(

(a + b ) (a − b ); ( b − c ) ( b + c ); (4 + 3 ) (4 − 3 );

(

)

( (

p −q

(

)

600 + 6 − 24 ) æ 6.

)(

)

2 −2 3 2 3 +4 2 ; 6 + 2) ; 2

a − b) ; 2

)

19 − 17 );

p +q ;

(3 − 2

(3 +

)

3 − 75 + 4 æ 3 3;

( 19 + 17 ) ( (m + n ) ;

1 (2 + 7 ) − 4 7; 35.18. 1

)

5 − 4 3 æ 5;

5 − x ) ( 5 + x );

¿ 35.17. ¿

)(

243.

(2 − 3 3 ) .

35.16. 1 4 2 − 3 2 2 +5 3 ;

( (

1   2 2  3 18 − 2 + 32  .   4

3 − 12 ) æ 3;

35.14. 1 7 ( 7 − 28 );

108 + 363 −

35.13. 1 2 ( 50 + 8 ); 2

162 − 9 2 + 27 ?

5 ) − 6 5; 2

)

15 .

(

6 − 3) + 6 2?

(

12 − 2 2 + 8 6.

)

35.19. 1

4 2

;

18 5

;

5 15

;

5 3

35.20. 1

a 11

;

5 10

;

30 15

;

2 3 x

261

35. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

35.21. 1 2

b + 6 b + 9; 10 3 + 2 3c + c; 11 2 + 2; 12 6 7 − 7; 1 a − a; 1 b + 3b; 1 15 − 5.

1 x 2 y a − 2 a + 1;

a 0; m 0, n 0; x 0, y 0;

4m − 28 mn + 49n, m 0, n 35.22. 1 1 x2 2 2 x 2 p 0, q 0; c

100

0; m + 2 mn + n, m 0, n a − 4 a + 4;

5 + 5;

a − 8b a + 16b ;

3p − p;

12 + 32.

35.23. 1 2

a2 − 7 3 −b 3−b

c−9 c −3

5 a −7 b

;

a+ 7

25a − 49b 100a2 − 9b

;

10a + 3 b 2 −1

;

a−b a+ b

6− 3

5 − 10

;

35 + 10

;

15 − 6

;

7+ 2

;

13 − 13 13

;

a + 2 ab + b a+ b

;

4b2 − 4b c + c 2b − c

35.24. 1 2

x − 25 x −5 a +2 a−4

5 23 − 23

;

a−3 a+ 3

35.25. 1 3a2 ,

10 + 5

;

54 − 63

0; 2

5b2 ,

a − 2 ab + b b − 8 b + 16

;

24 − 28

;

a− b

;

b −4

; .

;

12a4 ;

c5 .

262

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

35.26. 1 18x12 ; 35.27. 1 98 − 50 + 32; 2 3 8 + 128 −

1 3 3

0,7 300 − 7

y9 .

5a − 2 20a + 3 80a ; a 3b −

162; +

a5b ,

c5 + 4c c3 − 5c2 c.

108;

35.28. 1 0,5 12 − 3 27 + 0,4 75; 2 2,5 28b +

81a7 − 5a3 a +

a9 .

63b − 10 0,07b;

35.29. 1 11 + 4 7 = 7 + 2; 35.30.

(

)(

3 −1

(

5 − 2) − (3 + 5 ) ; 2

17 − 4 æ 35.31. 1

(7 + 4 3 ) (2 − 3 ) ;

27 + 2);

14 + 8 3 = 8 + 6.

)

6+2 5 − 6−2 5 .

17 + 4;

(3 2 + 1) ( 8 − 2); (3 − 2 7 ) + (3 + 2 7 ) ; 2

(10 − 4 6 ) (2 + 6 ) ; 2

(

)

9−4 2 + 9+4 2 .

35.32. 1 2

4a + 4 5 2

a −5

x2 − 6y

;

28 − 2 2a 6a − 21

x + 6y − x 24y a+ b

;

a + 4 ab + 4b a − 4b

a + b

;

m m − 27

m −3

35.33. 1 2

a−b 11b − 11a

a−2 a +4

;

2a + 10 2ab + 25b 6a − 75b

a a +8

;

263

35. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

35.34. 2

2 +1

;

2 5 −1

;

a− b

3 +1

;

3 −1

35.35. 5

5 −2

;

10 − 2

;

9 x+ y

2− 2

;

2+ 2

35.36. 1

5−2 6

−

3 2 +4

2 +1

= 10;

5+2 6 2

2 −1

2 −1 2 +1

= −8;

3 2 −4

−

3 +4 +2

= 4 2; 3

−

3 +4 −2

= −4.

35.37. 1

3+2 3

6 3−2 3

;

11 + 6 11 − 6

11 − 6 11 + 6

35.38. 1 2

a a −2

m +1 m −2 y +4

a +4

a −2

ab − b

−

m +3

−

xy + y a

4 a −4

−

b 2 a +2

c − 5 c − 25

x −4 a

;

x + xy

a − 16

a+ a

;

b b− a

;

a  a  ;  a − : a + 1 a − 1

 a+ b + 

;

b a− b

 a ;  : b

 x − 3 12 x  x +3 10  + : .  x + 3 x − 9  x − 3 x

35.39. 1 2

a −3 a +1

a +1 a − ab x

a −4

−

− :

 m+ n n  : + ; m− n  n m − n m

;

b +1 ab − b

;

y−2 y 3 y −6

;

 x +1 4 x  x + x − æ ;  x − 1  x −1

a − 64 a +3

x −1

1 a+8 a

−

a +8 a−3 a

264

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

35.40. 1 −m9 ;

45x3 y14 ,

≠0

a4b13 , 4x6 y,

mn ,

242m11b18 , 10

−m2n2 p15 ,

−1; 11

x (y − 1) ,

(a + 1) (a + 1) , 6

64a b ,

96(a − 3)

2 9

0, n

0 0

− y (x + 2) , 7

y≠1

x≠ 2

35.41. 1

−m19 ;

a 9b 9 ;

48 (x − 1)7 ;

27x15 y34 , ≠0

23 24

a b , 49a2b,

(b + 3) (b + 1) , 10

−8c n p , 6

− 3; 10

0 0

a9 (b + 2)8 ,

≠ 2

−x (y − 3) ,

y≠

35.42. 1 a 3;

(x − 1)

2 b −b ;

(y + 3)

m n,

xy2 xy , p 2

5 2

y + 6y + 9 1

10 (m + 1)

c c5 ;

1 x2 − 2x + 1

;

11 (2 − c)

0; x

m +1 2c − 4

12 (−x − y) 1

ab2

a b

;

2 x+y

;

2p − ; 2

35.43. 1 m 7,

p p3 ;

2 3n 6,

x 4 y x5 y ,

35. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

3 a

(y − 4)

;

(3 − a) (b + 6)

2 a 2 − 6a + 9 1 b+6

5ab −

0 a+ b =

a− b =

a7 5b

;

35.44. 1

1 12 − 3y

a + a2 − b 2 a + a2 − b 2

+ −

a − a2 − b 2 a − a2 − b 2

; .

35.45.  8 a  8 a + 41 7 a − 49 15 a − = a − 7; 1   : a − 49 +  a + 7 a + 14 a + 49  a +7 2

 a −3 ab − 9  æ −  = a;  a − 3 a + 9 a a + 27  a− b

a a + 27

 xy + y   y 2 xy  x + − = x + y;  x−  : x − y  x + y  x + y x− y    x x x − 12 2 : − − = .  4x − 16 x + 16  2 x − 4 2x − 8 x + 2 x  4 ( x + 2) x −2

35.46.  a− b 1 − æ 1   a + ab a − b

(

2 b − a) 

a− b

; : a + b  a + ab

 2 ab   a − b b 2  a+ b− : +  ;  a + b  a + b a  

a +1 ab + 1

a a +b b a+ b

  a +1  ab + a − 1 :  − + 1 ;   ab + 1  ab − 1 ab − 1

ab + a

: (a − b) +

2 b a+ b

;

a+b 1 1    +   :  1 + a − b  ; a − a−b a + a+b

265

266

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

 a   b  a b b − + − 2  :  1 +  :  ,     b a b a a  1+ 2− a 

35.47.

2−a+ 2−a

−

1− 2− a 

æ 2−a− 2−a

− 1,

2 2a 1 + x2

35.48.

x + 1+ x

1 a

b −  , 2 b a

0 35.49. 3 + 2 2;

11 + 2 30 ;

37 − 5 48 ;

2 7 + 4 3; 35.50.

10 − 2 21 ;

28 − 108 .

7 + 2 10 ;

18 + 2 45 ;

6 − 2 5;

91 − 40 3 .

8 + 2 7;

2 15 + 6 6 ; 35.51. 1 2

1 2 +1 1

5+ 2

3+ 2 1

8+ 5

4+ 3 1

11 + 8

1 5+ 4

+ ... +

1 100 + 99

1 50 + 47

;

35.52. 1 3 +1

1 5+ 3

1 7+ 5

+ ... +

1 91 + 89

91 − 1 2

35.53. 1

2 æ 2 + 2 æ 2 + 2 + 2 æ 2 − 2 + 2 = 2;

2 + 3 æ 2 + 2 + 3 æ 2 + 2 + 2 + 3 æ 2 − 2 + 2 + 3 = 1.

35.54. 1

10 + 8 2 + 9 + 4 2 ;

8 − 28 − 8 + 28 ;

22 + 6 3 + 13 + 48 ;

4 + 15 − 4 − 15 .

35.55. 1

5 − 3 − 29 − 12 5 ;

3 + 8 − 3 − 8.

35. Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені

35.56. 1 2

6+4 2 2 + 6+4 2 2+ 3 2 + 2+ 3

6−4 2

2 − 6−4 2 2− 3 2 − 2− 3

= 2 2;

= 2.

35.57. 1

a + 2 a − 1;

a + 1 + 4 a − 3; x+4 4

+ x;

2x − 2 x2 − 1 , x + 2 x − 3 − 2 −1 x−3

x 1; ;

x2 + 2 + 2 x2 + 1 − x2 + 2 − 2 x2 + 1 ; 2a + 3 − 2 a2 + 3a + 2 + a + 1. 35.58. 1

a + 4 a − 4;

x + 2 2x − 4; a +1 4

a 2

;

2x + 2 x2 − y2 ,

2a + 2 a2 − 4b2 − a − 2b a + 2b

2 − 4 − a2 , 3a − 1 + 2 2a2 − a ,

y > 0;

;

a 2;

1 2

267

268

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

36. Функція y = x та її графік x y = x.

y x

y x y

y= x x y= x

y = 0 + x y= x b2 = b = b. x=

y = x,

x = b. y= x y=0

x=0

y = 0 +

y = x,

y = x. x

2 2

2 x y

1 y = x, y= x

y= x y = x2

269

36. Функція y = x та її графік

. 3 .1

. 3 .2

y= x

x1 x2 x1 x2

x1 < x2 . y= x x1 < x2 ,

y x2 x1

1 0

. 3 .3

.3 .

y = x,

y = 0 + y = 0 +

x=0

270

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА

x = 6 − x.

ПРИКЛАД 1 y= x

x 

1 0

. 3 .5

ПРИКЛАД 2 x + 2 > 1 − 3x .

x < 3; 2

x − 1 > 2; x < 9.

1 y= x x x

x x < 9,  x 0.

0, 0

x < 9.

0 2

x − 1 > 4; x +

1  x>− , 4x > −1,  4   3x 1; x 1 .  3  1 1  − ;  .  4 3

x x + 2 > 1 − 3x,  1 − 3x 0.

271

36. Функція y = x та її графік

A = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1.

ПРИКЛАД 3

A = x −1+ 2 x −1 +1 + x −1− 2 x −1 +1 = =

− 1 − 1) = 2

(

x −1 +1 +

x − 1 + 1) + 2

(

x − 1 − 1) = 2

x −1 −1 = x −1 +1 +

x −1 +1 +

x −1 −1 = x −1 +1 +

x −1 −1 .

x −1 1. x − 1 m 1,  x − 1 l 0.

1 x

1 x x

A = x − 1 + 1 − x − 1 + 1 = 2.

x − 1 > 1. x 1 A = x − 1 + 1 + x − 1 − 1 = 2 x − 1.

1 x

2; A = 2 x − 1,

2 x

2 

ПРИКЛАД 4 x + 2 − 2 x + 1 + x + 5 − 4 x + 1 = 1. x + 1 − 2 x + 1 + 1 + x + 1 − 4 x + 1 + 4 = 1;

(

x + 1 − 1) +

(

x +1 −1 +

x + 1 − 2) = 1; 2

x + 1 − 2 = 1.

0 x + 1 < 1, −1 x < 0,  x + 1 < 1, 1    − x + 1 + 1 − x + 1 + 2 = 1;  x + 1 = 1; x = 0. 1 x + 1 2, 2   x + 1 − 1 − x + 1 + 2 = 1;  x + 1 > 2,   x + 1 − 1 + x + 1 − 2 = 1; 0



1 x + 1 4, 0 x 3, 0   0x = 0; 0x = 0; x + 1 > 4,   x + 1 = 2;

x > 3,  x = 3.

x −1 −1

272

§ 6. КВАДРАТНІ КОРЕНІ. ДІЙСНІ ЧИСЛА 1. Яка область визначення функції y = x ? ? ? 2. Яка область значень функції y = x ? ? 3. Чому дорівнює нуль функції y = x ? ? 4. У якій координатній чверті розташований графік функції y = x ? 5. Яка фігура є графіком функції y = x ? ?

ВПРАВИ y = x.

36.1. 1 01

2 02

120

36.2. y = x: 0 1 0

2 1

1 y=1 36.5. 1 x 2; 6

2 36.7. 1 2 36.8. 1

y= x 2 y=0 x+2

y = 00

2x + 1

1 − 2x < 2;

x −1

x < 9;

x + 3 > 1 − 4x ;

x − 2 < 1.

x 4x − 3 1;

x − 3 > 1;

3x − 1 > x + 2;

x +1

x < 4;

2 36.6. 1

1 1

y = x:

36.3. 1 36.4.

2x + 1 > 2; x = x; x = x2 ; x = −x −1;

x = x + 2; x = 1,5 − 0,5x. 2

x = 2 − x;

x= . x

x − 5; 2;

273

36. Функція y = x та її графік

4  , ÿêùî x < 0, f ( x) =  x  x , ÿêùî x 0. 

36.9. 1 2

0 2 x , ÿêùî x 1, f ( x) =   x , ÿêùî x > 1. 2 0 1

36.10. 1 2 36.11. y = −x. 36.12.

36.13. 1 x = y;

(x + y ) (y − x ) = 0. x = a−x

36.14.

(

36.15.

(

36.16. 36.17. 1 2

a + 1) − 4 a +

(

a − 2) + 8 a .

a − 6) + 24 a −

(

a + 6) − 24 a .

2x − 2 x2 − 1 + x − 1;

x + 2 2x − 4 − x − 2 2x − 4;

x−4 x−4 +2

a +1

x+4 x−4 −2

;

a 2

a +1 4

−

a 2

36.18. 1

a + 1 − 4 a − 3;

x+4 4

2 2a + 2 + 2 a2 + 2a − a ; 36.19. 1

x + 6 + 2 x + 5 + x + 6 − 2 x + 5 = 6;

2 x + 2 + 2 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 2. 36.20. x − 2 + 2x − 5 + x + 2 + 3 2x − 5 = 7 2.

+ x+

x+4 4

− x.

§7

КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

37. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь x=

x ≠0

x= 2x =

x = 0

1 3

x = −7

0x = 0 0x = 2 x=

. 3 .1

x 2 = 0 x2

ax2 + x + 0.

1 = 0 x2 + x = 0 x2 x2 + x + = 0 x

2x + 1 = 0

37. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь 275

= 2

2x2 + x +

=0 1

x2 + 2x − 1 = 0, x2

= 0 x2 + x = 0 x2 + x +

x2 + x +

= 0

x2 + x +

= 0.

x2 + x +

= =0 =0 ≠0 =0 ≠0

1 2

= 0

x2 = 0 x2 + x = 0 x2 + = 0

≠0 x2 + x = 0

1 2

x2 = 0

x = 0,  x = − b . a 

x=0 x x + = 0 x = 0,  ax + b = 0.  x1 = 0

x2 = − . a

x2 +

x2 = − .

− <0

− > 0.

x1 = −

c a

x2 = − − . a

≠0

276

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

x2 + x + =

=0 x2 = 0

x=0 x1 = 0

x2 + x = 0

c a

= 0 0

x2 +

=0 c a

x1 ,

c a

x2 +

= 0 0

ПРИКЛАД

+1 x+

= 1 = 1 =1 

2x = 0

c a

1=0

0 =1

b a

1 = 0

x=0 x=0 x=2

1. Яке рівняння називають лінійним? 2. Яке рівняння називають рівнянням першого степеня? 3. Наведіть приклад лінійного рівняння, яке є рівнянням першого степеня, і приклад лінійного рівняння, яке не є рівнянням першого степеня. 4. Яке рівняння називають квадратним? 5. 6. 7. 8.

Як називають коефіцієнти квадратного рівняння x2 + x + = 0? Яке квадратне рівняння називають зведеним? Яке квадратне рівняння називають неповним? Які існують види неповних квадратних рівнянь? Скільки коренів може мати рівняння кожного виду?

37. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь 277

ВПРАВИ 37.1. 1 x=0 2 x2 = 0 x2 + x = 0 x2 + 1 = 0 37.2. 1

x2 x+2=0 x x2 + = 0 2 2x + x =0 x x =0

x2 + x = 0 x 2x + = 0 2

2 2

1 1

− ; 3

2 2

37.3. 1

2 0 x2 + x +

37.4. 1 37.5.

x =

2x2

1 x x + 10 = x + 37.6. 1 x2

2 2x2 + x + 37.7. 1

1 6

37.8. 1 x2 =0 2 x2 + x = 0

x2 − 2x − 3 = 0;

12= x+ x x2 + x + = 0

x+2

x2 + x − 5 = 0; x + x2 = 0 x2 + 20x

2x2 2x2

10 = 0 10x = 0

= 0

1 =0

= 2x2 +

x2 + x

0 2x2 + 0 x + 1 = 0 x2 + x + 2 = 0 x2 =0 x2 + 1 = 0

278

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

37.9. 1 x2 + 2 2x2 37.10. 1 x 2 2x x+ 37.11. 1 x 2 2x 37.12.

x=0 11x = 0 x+

1 1

x2 =0 x2 = 0 =

x = 2x x x+

x+2 + x x+ x 1

2 1

= x2

= 10x + 21 x+1 =1 x 2

37.13. 0 37.14. 1

x 2 − 8x

= x;

x2 − 3

−

x2 − 1 2

= 2.

37.15. 1

x2 + x 7

−

x 3

= 0;

x2 + 1

−

x2 + 2 4

= −1.

37.16. 1 1 2 37.17. 1 2

x2 + x =0 2x2 x+ =0

x2 + 1 x

37.18.

1 37.19. 1 2 37.20.

x2 0

=0 x + 10 = 0 1

37.21. 1

37. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь 279

37.22. 1 2

x2 + x + = 0 + x2 + + x + 10 = 0 1 x2 x+ =0

2 2

37.23. 1 37.24. 1 37.25. x2

2x +

1 0 37.26. x2 + x

0 0

=0 2

1 0 37.27.

2 x2 −

x =0

1 x2 2 x2 + x x2 −

x2 + x = 0 0 0 2 x + =0 0 0 0

2x = 0

= 0;

2x2 +

x =0

= 0;

x2 +

1 x2

x =0

2x2 −

2 x2

x +x=0

x2 +

= 0.

37.28.

37.29.

2 x2 + 2

1 x+

9 x

= 0; = 0. =0

1 2

37.30. 0 1 x2 + x + 2 x2 +

=0 x+ 2+

x2 +

280

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

37.31. 1 x2 + 2 x2 +

2 x+ + x+

=0 =0

x2 +

1 x+

38. Формула коренів квадратного рівняння x = b

x= . a

x2 + x +

≠0

x2 +

x2 + x+ 2 2 x+ 2= 2

1 =0

=0 2

x2 + x +

2 x+ 0

= =0

0 x якщо =0

2 x+

рінь x = −

1 2

0, то квадратне рівняння коренів не має. 2 x+

= 0 x=−

якщо b

2 x+

b 2a

= 0, то квадратне рівняння має один ко

281

38. Формула коренів квадратного рівняння

(2ax + b)2 = ( D ) . 2

2ax + b = − D x=

−b + D 2a

2ax + b = D .

−b − D 2a

. якщо

0, то квадратне рівняння має два ко

рені x1 і x2 x1 =

−b − D 2a

x2 + x +

−b + D

, x2 =

−b ± D 2a

=0 x=

−b ± 0 2a

=−

b 2a

0 0,

= 2

D1 x=

=0 2

0, −2k ± 4 D1

x2 + 2 x +

−2k ± 2 D1 2a

(

2 −k ± D1 2a

) = −k ±

282

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

−k ± D1 a

ПРИКЛАД 1 1 x2 2x 1 = 0 2 0 x2 + 2x 2 = 0 x2 + x =0 1

x + 11 = 0 1 x+ =0

x2 x2

= 2

= 1

D = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 æ 3 æ (−16) = 4 + 192 = 196. x1 =

2 − 196 6

2 − 14 6

= −2, x2 =

2 + 14 6

8 3

=2 . 3

2 2 . 3

D = 22 − 4 æ (−0,5) æ (−2) = 4 − 4 = 0. x=

−2 ± 0 −1

= 2.

=0 x 22=0 x 2 D = 52 − 4 æ 1 æ (−3) = 25 + 12 = 37. x1 = −5 ± 37

−5 − 37 2

2=0

, x2 =

2 x=2

−5 + 37 2

D = (−6)2 − 4 æ 1 æ 11 = 36 − 44 = −8 < 0.

5x2 + 2 æ (−8) x + 3 = 0 x2 + 2 x + = 0 2 D1 = (−8) − 5 æ 3 = 49; x1 = 1 5

;



8 −7 5

8+7

= , x2 =

= 3.

283

38. Формула коренів квадратного рівняння

ПРИКЛАД 2 1 x2 + 6 x2 − 16 = 0;

9x2 − 8x +

2 x2 − 10 ( x ) − 24 = 0;

5 x −1

= 1+

5 x −1

x2 + 6 x − 16 = 0.

1 x 0,  2 x + 6x − 16 = 0.

2 x 0,   x = 2,  x = −8. 

x=2

x < 0, x < 0,   x = −2,  2 x − 6 x − 16 = 0 ;   x = 8. 

x= 2

2 2 0 +

2 x 0,  2 x − 10x − 24 = 0. x = 12 12 9x2 − 8x = 1,  x − 1 ≠ 0. 9x2 − 8x − 1 = 0,  x ≠ 1;

 x = 1,  1  1  x=− , x=− . 9 9  x ≠ 1; 1

− .  9

ПРИКЛАД 3 1 x2 x

= x

x + 1 = x2 + x + 1

x 0,   x = −2,  x = 12; 

284

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

1 x 0,  x 0,  x = 2 2,  2   x − 8 = 0,  x = −2 2,  2  x − x − = ; 2 8 0   x = 4,  x = −2.

− x 0,  2  x − x − 8 = −x,  2  x − x − 8 = x. x = −2 2

x= 2 −2 2;

2  x − 1,  2  x + 2x = 0,  x < −1,   x2 + 4x + 2 = 0;

 x + 1 0,  2  x + 1 = x + 3x + 1,  x + 1 < 0,   −x − 1 = x2 + 3x + 1.

 x − 1,  x = 0,  x = 0 àáî x = −2,   x < −1, x = −2 − 2.    x = −2 + 2 àáî x = −2 − 2; 0 −2 − 2.  ПРИКЛАД 4 x+1 =0 1

1 2x2

2 x+1=0

D = b2 − 4 æ 2 æ 18 = b2 − 144; 2 1 =0 = 12 = 12 = 12 = 12 2 =

x+1=0

≠ =

2 =

285

38. Формула коренів квадратного рівняння 2

20 = 0 = 2

ПРИКЛАД 5

= 2 =

= 10

x2 + 2 +

= 10  =0

= +

0x = 0 ≠0

≠

x2 + 2x

1+ 1+  1   − ; +  3

=0 1

a>− .

− < a < 0, 3

0 

1. Значення якого виразу називають дискримінантом квадратного рівняння? 2. Як залежить кількість коренів квадратного рівняння від знака дискримінанта? 3. Запишіть формулу коренів квадратного рівняння. 4. Яким алгоритмом зручно користуватися під час розв’язування квадратних рівнянь? Кілька поколінь учителів і вчительок математики набували педагогічного досвіду, а їхні учні та учениці поглиблювали свої знання, користуючись чудовою книжкою «Квадратні рівняння» блискучого українського педагога й математика Миколи Андрійовича Чайковського. М. А. Чайковський залишив велику наукову й педагогічну спадщину. Його роботи відомі далеко за межами України.

М. А. Чайковський (1887–1970)

286

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

ВПРАВИ

38.1. 1 2 38.2. 1 2 38.3. 1 2 38.4. 1 2

x2 + 2x x2 x+

=0 =0

2x2 x2

x =0 2x + 0 2 = 0

x2 + x + x2 x

=0 1=0

x2 2x2

12x + = 0 x+1 =0

x2 x2

x+ =0 10x + = 0

x2 + x 2 = 0 0 0 x2 0 x + 1 = 0

x2 x+ =0 x2 + x =0 2 x x 21 = 0 x2 + x =0 2 x x + 12 = 0 x2 + x + = 0 x2 + x + =0 2x2 x =0

x2 10 10x2 11 x2 12 x2 2 1 x 1 2x2 1 x2

38.5. 1 x2 x+2=0 2 2 x + 12x 1 = 0 x2 x + 10 = 0 2 x x 2=0 2x2 x+2=0 2x2 x =0 38.6. 1 2

38.7. 1 2

x2 x 1=0 2 2x + x + 1 = 0 x2 + x =0 2 10 1 x x =0 11 x2 x + 11 = 0 12 x2 x + 12 = 0 2

y 2

20 = 0 x =0 + x 2=0 + x+ =0 x+1=0 x =0 x + 20 = 0 x

x+ 10 2 + 10 +

x y2 2

y+ + 10

x2 + x 10 2 10 + 11

287

38. Формула коренів квадратного рівняння

38.8. 1 2x x+2 =1 2 + x 1 x+1 = 2 x x+ 2 2x 1 2 = 1 2 x 2x x + = 0 12x x+ x x + 1 x 2 = 21x 2x 1 2x + 1 x 1 x = 2x x + 1 38.9. 2 1 x = x 11 2 2 x+ + x x+ = x 1 x 1 x+ = 2x + x+ 1 38.10. 4x 2 + x

1 2x2 + x 5 − 15 = 0;

2 x2 − x ( 6 − 1) − 6 = 0; x2 − 4 8

−

2x + 3 3

2x2 3

−

x2 + 17

−

x2 + 2 2

−

x+2 4

5x − 1 6

;

= 3.

= −1;

38.11. 2x2 + x

1 x2 + 3x 2 + 4 = 0; 2 x2 − x ( 3 + 2) + 2 3 = 0;

3 3x2 + x 4

− −

x+3

10 1

38.12. 2

38.13. x2 0 38.14.

x 2

2 − 7x 5

=0 2

38.15. 38.16. 0 38.17.

x2 +

= x − 1;

4 3x2 + 17

¿ 38.18. ¿ 38.19.

288

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

38.20. 0

38.21. 2

38.22.

38.23.

38.24.

38.25.

38.26. 0 38.27. 1 2x2 + x =0 38.28. 1 x2 1 x + = 0 38.29. 1 x2 + x = 2 x2 x =1 x2 x 21 = 0 2 x x + =0 x x + x x2 +

4x x

− 12 = 0;

x + 12 = 0

x2 + x + 2 = 0

x2 + x + =0 x2 x = x 2x + 1 x 2 2 10 x − 8 x + 15 = 0;

11 x2 + 4 x2 − 12 = 0; 12

289

38. Формула коренів квадратного рівняння

38.30. 1

x2 + 10x x +

2 x2 x2

2x2 −

= 20

3 x−8

2 x + 8 ( x ) − 33 = 0; x2 + 38.32.

(

− 14x − 15 = 0;

2x2 + 9 ( x + 1 ) − 27 = 0;

+ 80;

+ 6 = 0;

10 x2 + 7 x2 + 12 = 0; 11 x2 + x + = 12 x x 2 x+ =0

x x + 12x =0 x x 1 x+1 =0 x2 + x =0 38.31. 1 x2 + 2x +

x2 − 8 x2 − 9 = 0;

1 =1

13x

x2 − 5x

x − 2 ) − 5 = 0;

x−2 x−2

− 14 = 0.

1 6x2 + 5x −

1 x +1

= 1−

1 x +1

x2 − 4 ( x + 2 ) − 13 = 0; 2

;

2 5x2 − 14 ( x ) − 3 = 0; 2

x2 + 2x + 3

x2 − ( x + 3 ) − 8 = 0. 38.33. 1 x2 + 2x + x2 − 8x − 20 = 0; 2

x −1 x −1

= 0.

2 x2 − 9x + 8 + x2 − 16x + 64 = 0. 38.34. 1 x2 + 2x − 3 + 8x2 − 7x − 1 = 0; 2 x2 + x + + x2 + x =0 36 − x2 + x2 + 5x − 6 = 0. 38.35. 1 ( x − 2) (x2 + 2x − 24) = 0;

2 (x2 + 2x) ( x − 5) (3x2 − 11x − 4) = 0.

(

38.36. 38.37. 1

x − 3) (x2 + 4x − 21) = 0.

2 x2 + x +

2=0

290

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

38.38. 1 x2 + x + 2 + 1 = 0 2 x2 2 x + 2 2 + = 0 38.39. x2 + x =0 38.40. 1 x2 + x + = 0 2 x2 + 2 x + 2 +1=0 38.41. 1 x2 + x =x x 2 = x2 2x 2 x2 + x 1 = 2x 1 2x + 1 = x2 x 1 38.42. 1 x2 2x = 2x 2 x = x2 x+ 38.43. 1 x2 + +1 x+2 2+ =0 2 x2 2 + x+ =0 2 2 x 2 x 2 =0 2 1 x2 2 +1 x+1=0 38.44. 2 1 x2 2 x + =0 x2 +1 x+1=0 2 2 x + x 12 = 0 38.45. 1 2

x =0 x2 + x+ =0 x2 + 2 x+1 =0 + 2 x2 + 2 + 2 x + + 2 = 0

x2 +

38.46. 1 2

x2 + x + = 0 + x2 + +1 x 2=0 2 x2 + 2 x+ =0 x2 + x +

38.47. 38.48.

2 +

+2 x

10 = 0

291

39. Теорема Вієта

39. Теорема Вієта . Якщо x1 і x2 = 0, то

39.1 ного рівняння ax2 + x +

корені квадрат

x1 + x2 = − , x1x2 = .

0 x1 = x1 + x2 = x1x2 =

−b − D 2a

−b − D

−b − D 2a −b + D 2a

+ =

, x2 =

−b + D 2a

−b − D − b + D

( − b) − ( D )

b −D 4a

=− ,

b − (b − 4ac)

x1 = x2 =

4a −b 2a

= . a

b  −b  x1 + x2 = 2 æ   = − ,  2a  a

x1x2 =

4ac 4a

= . a

Французький математик, за фахом юрист. У 1591 р. упровадив буквені позначення не лише для невідомих величин, але й для коефіцієнтів рівнянь, завдяки чому стало можливим виражати властивості рівнянь та їхні корені загальними формулами. Серед своїх відкриттів сам Вієт особливо високо цінив установлення залежності між коренями й коефіцієнтами рівнянь. Франсуа Вієт (1540–1603)

292

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

. Якщо x1 і x2 корені зведеного квадратного рів няння x2 + x + = 0, то x1 + x2 = x1x2 = .

. Якщо чи ла

39.2 і

такі, що α + β = −

αβ = , то ці чи ла є коренями ква

дратного рівняння ax2 + x +

= 0. x2 + x + b

x2 + x + +

= 0

= 0.

=0 x

2 2

+ +

= =

+ +

=0 =0

x2 + x + = 0  . Якщо чи ла і такі, що + = і = , то ці чи ла є коренями зведеного квадратного рівняння x2 + x + = 0.

ПРИКЛАД 1 x2 1 x + 2 = 0

D = (−15)2 − 4 æ 3 æ 2 = 225 − 24 > 0. x2 x1 + x2 = −

−15 3

= 5, x1x2 = .  3

x2 + x +

ПРИКЛАД 2 =

c = −7 æ 4 = −28. 

293

39. Теорема Вієта

ПРИКЛАД 3 6− 7

6+ 7

x2 = − .

x1 =

7 5

− ; 2

20  5 x1 + x2 = 4 − = , x1x2 = 4 æ  −  = − .   7 7 7 7 5

x1 x − 2

23 7

x−

20 7

= 0.

x2 x1 =

x1 + x2 = x1

6− 7

6− 7 2

6+ 7 2

20 = 0

2 x

x2 =

6+ 7 2

= 6, x1x2 =

6− 7 2

x2 − 6x +

6+ 7

2 29 4

36 − 7

ПРИКЛАД 4

x1 x2

2x2

1 x2

2 x12 + x22 . 3

x1 + x2 = , x1x2 = − .

1 x1

x1 + x2 x1x2

3  9 1 = :−  = − .   2 2 3 2

45  3  9 9 2 x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1x2 =   − 2 æ  −  = + 9 = .  2  2 4 4 1

1 − ; 2 ПРИКЛАД 5

= 0.

2 x+2 =0 

.  x2

10x +

1 x1

;

294

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

x1 x2 x1 + x2 =

x1 = n 3

= x1x2 = − ;

10 3

x2 =

10 3

−4 = − . 3

x2 = − , n = −8.  3

ПРИКЛАД 6

x2 + x x1

1 =0

x1′

x2′ x1′ = x1 + 4, x2′ = x2 + 4. x1 + x2 = x1x2 = 1 x1′ + x2′ = x1 + 4 + x2 + 4 = (x1 + x2 ) + 8 = −6 + 8 = 2; x1′x2′ = (x1 + 4) (x2 + 4) = x1x2 + 4 (x1 + x2 ) + 16 = −14 + 4 æ (−6) + 16 = 22. x2

22 = 0 x2 2x

ПРИКЛАД 7

22 = 0 

x2 + x +

=0 x1 x2 x1 + x2 2

x12 + x22 = 3,

= 1

2x1x2 = 2 =

= 0

D 0; = 1 =

a2 − 4a

= 1 = 1  1. Сформулюйте теорему Вієта. 2. Сформулюйте наслідок з теореми Вієта. 3. Сформулюйте теорему, обернену до теореми Вієта. 4. Сформулюйте наслідок з теореми, оберненої до теореми Вієта.

295

39. Теорема Вієта

ВПРАВИ 39.1. 1 x2 + x 2=0 2 x2 10x + = 0 39.2. 1 =0 =0

1 x2 12x 2 x2 + 2x 39.3. 1 x2 2 x2 + x2 x2 39.4.

2x2 x+ =0 10x2 + 2x + 2 = 0

x2 + x + 2 = 0 x2 x+2 =0

x + 12 = 0 x =0 1 x+ 2=0 20x =0

1 39.5. 1 39.6.

x2 + x +

= 0

x2 + x +

= 0

1 2 2 −

02 1 3

2− 3

0 − 7

2 + 3;

39.7. 1 39.8.

2 2

5 − 10

;

x2 + x

39.9. 39.10.

1 3

=0 2=0

5 + 10.

296

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

39.11. 39.12.

39.13.

=0 x 1 =0 x1x2 x1 x2

2x2

x2 + x 1 = 0 x1x2 x1 x2 x2 + x

39.14.

= 0

39.15. 1 x2 x+ =0 2 2 x + x+ =0 x2 x + 20 = 0

x2 + 2x =0 2 2x + x + = 0 x2 1 x + 2 = 0

39.16. 1 x2 x =0 2 x2 + x =0 2x2 x+ =0

x2 x 2 = 0 x2 x 1 =0 2 1 x 2 x+ =0

39.17. 1 x2 12x + 1 = 0 2 x2 + x + 2 = 0 x2 x 0=0

x2 + 1 x 10 = 0 x2 2 x + 0 1 = 0 x2 + 20x + = 0

x2 + 20x +

39.19. x1 x2 x2 = 2 x1 x 2 x2 =

39.20. 2x1 39.21. x1 39.22. 1

10x +

39.18.

x1 1

1 x2

;

2 x12 + x22

=0 x+

x2 + x +

x2 x1

x2 x2

x1x2 + x2x1

x1 + x2

x +

= 0

297

39. Теорема Вієта

39.23. 1 x12x2 + x22x1

x2 +

x2 2

x2 x1

x1 x2

;

39.24.

x2 + x

39.25.

12x +

x2 39.26.

2x2 39.27. 2x2 39.28. 46 9

= 0

x1 2

=0 =0 1 x+

1 x+ =0 x2 + x

=0 2 =0

. x1

39.29. x1 x2

x2 x1

= .

39.30. 1

x2 + x

x2 + x +

1=0 2

39.31. 1 x2 + x + 39.32.

2 x2 + x

12 = 0

1 x2 + x + 39.33.

2 x2 + x x2 + x + = 0

1 =0

39.34. x2 + 2 + 2 x+ =0 39.35. x2 + +2 x+ 2 =0 39.36. 2x2 +1 x+ 1=0 39.37. x2 x+ =0 1

298

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

39.38.

x+2 =0

x2 39.39.

x2 39.40. 39.41. 39.42.

x2 +

=0 2 =0

1 x

x2 + 2 x

1 12 2

x2 + x +

2=0

40. Квадратний тричлен ax2 + x +

. x

a x+

2x2

x2 + x

x2 + x + = 0

. . x2 x2 + x + x2 + x + = 0

2 = 2 ax2 + x +

0 x2 x2 =x x x2

x+2

x + 2

x + 2 = x2 x 2x + 2 = 2 x 1 = x 1 x 2 x

299

40. Квадратний тричлен

40.1. Якщо ди кримінант квадратного тричлена ax2 + x + додатний, то даний тричлен мо на розкла ти на лінійні мно ники ax2 + x + = a x x1 x x2 де x1 і x2 корені квадратного тричлена. x1 x2 x2 + x + x

x1 + x2 = − , x1x2 = .

x x2 = x2 x1 + x2 x + x1x2 = c  2 b = a  x + x +  = ax2 + bx + c.   a a

40.2. Якщо ди кримінант квадратного тричлена ax2 + x + дорівн є н л , то його розклад на мно ники має такий вигляд 2 b   ax2 + bx + c =  x +  .  2a 

2 2  b c b b c b   ax2 + bx + c = a  x2 + x +  = a  x2 + x + 2 + − 2  =   a a a a 4a  4a 2 2 2   b  4ac − b  b  D  = a x +  + = a x +  − 2 .  2        2a 4a 2a 4a  2

b   ax2 + bx + c = a  x +  .   2a 

40.3. Якщо ди кримінант квадратного тричлена ax2 + x + від ємний, то даний тричлен не мо на розкла ти на лінійні мно ники. x2 + x + x2 + x +

x 

40.4. Якщо ди кримінант квадратного тричлена ax2 + x + від ємний, то ри в і x значення цього тричлена ма ть той амий знак, що й чи ло a, а аме якщо a 0 то ax2 + x + 0 ри в і x якщо a 0 то ax2 + x + 0 ри в і x.

300

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ 2  b  D  ax2 + bx + c = a   x +  − 2  .  2a  4a 

−

D 4a 2

b  D   x +  − 2 > 0 2a 4a

> 0.

2  b  D  a x +  − 2    2a 4a 

ПРИКЛАД 1 1 x2 1 x

 2 1

x2 + 1 x

1 x

2 x2 + 1 x

x+2

x2 1 x 2=0 x1 = 2 x2 = 1 2= x+2 x 1 x2 + 1 x 0=0 2 x 1 x+ 0=0 x1 = 2 x2 = 1 0= x 2 x 1 x2 x+2=0 1

x1 = , x2 = 2 3

1  3x2 − 7x + 2 = 3  x −  (x − 2) = (3x − 1) (x − 2).  3

ПРИКЛАД 2 1 2x2 + x

0 1

2x2 + x R

x (x2 − 2x + 3) > 0.

x 0 +

2x + 2x + 0 x > 0. x2

x 0

 6a 2 − a − 1

ПРИКЛАД 3

9a − 1

. 2

1=0

a1 = − , a2 = .

301

40. Квадратний тричлен

1  1 1 1    6a2 − a − 1 = 6  a +   a −  = 3  a +  æ 2  a −  = (3a + 1) (2a − 1).    3  2 3 2 6a 2 − a − 1 9a2 − 1 2a − 1 3a − 1

(3a + 1) (2a − 1) (3a + 1) (3a − 1)

2a − 1 3a − 1

. 

ПРИКЛАД 4 2x2 + x +

x+ x + 2 æ (−5)2 + 9 æ (−5) + m = 0; = =  2x2 + xy

ПРИКЛАД 5 x

− y + 7y  x= ;  − y ± y + 48y 4 y2 = 0 x = ;  4 x = − y − 7y ;  4 2

2x2 + xy

3  x = 2 y;  x = −2y.

3y   2x2 + xy − 6y2 = 2 (x + 2y)  x −  = (x + 2y) (2x − 3y).  2

ПРИКЛАД 6 x2 2x + 0

= 0

2x + 0 . ≠ 0

x a > 0,  4 − 12a < 0.

a> . 3

a > . 3

302

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Який многочлен називають квадратним тричленом? Що називають коренем квадратного тричлена? Що називають дискримінантом квадратного тричлена? У якому випадку квадратний тричлен не має коренів? має один корінь? має два корені? У якому випадку квадратний тричлен можна розкласти на лінійні множники? За якою формулою квадратний тричлен можна розкласти на лінійні множники? У якому випадку квадратний тричлен не можна розкласти на лінійні множники? Яких значень набуває квадратний тричлен з від’ємним дискримінантом?

ВПРАВИ 40.1. x + 12

1 x2

2 x + x+1 x2 x 10 x2 x 40.2. 2

1 x2

2 x2 + x 1 x2 + x + 40.3. 1 2

3x − 15 2

x − x − 20

x2 − 7x + 12 2

x − 3x x 2 + 4x 2

x + 2x − 8

x x 1 x2 + x 22 2 + +

2a − 9a − 18 2b2 − 7b + 3 2

4b − 4b + 1 c2 − 5c − 6

;

10 2x 11 0 x2 12 1 2

0 x+1 2x + 2 2 +2 1

b2 − b + 1;

− x2 − 2x − 3;

x2 + x

;

4a 2 − 9

;

x2 + x + 2

c − 8c + 12

; ;

;

+ 0 x2 + x + 1 2

m3 − 1 2

m + 9m − 10 x2 − 16 32 − 4x − x

4n2 − 9n + 2 2 + 9n − 5n

;

; .

40.4. 1 2

2x + 12 2

x + 3x − 18 x2 + 9x + 14 2

x + 7x

; ;

4x 2 + x − 3 2

x −1

2y 2 + 3y − 5 2

a2 + 5a + 4

;

y − 2y + 1

a − a − 20

;

3 + 20b − 7b2 2

7b − 6b − 1

303

40. Квадратний тричлен

40.5. 1 x2 + x + 1 0 2 −x2 + x − 1 0;

2x 1 2x2 x+ 0 x − 1 (−5x2 + 8x − 5) 0.

40.6. 1 7x2 − 9x + 3 0;

(2x + 3) (3x2 − 8x + 6)

y + 11y

x + 1 (4x − 5x + 2) 2

0; 0.

40.7. x2 − 3x + 4

1 y=

x+2

2 y=

;

1 2

5x − 4x + 1

40.8. 1 2x2 x+ 2 x2 + x + 2 x2 x+ 40.9. x+ x+

1 2x2 2 x2 40.10.

9a2 − 4

x x+1 x 2

2a − 5a + 2

x 2x + 1 æ

a−2 3a + 2

a −1 1 − 2a

;

b−4  b −1 1  : − ; b3 − b  2b2 + 3b + 1 b2 − 1 

2c  c+2  c + 3c − 2 ;  2 : c − c − 6 c − 6c + 9  (2c − 6)2 2m 4m − 6  . 4m − 16  3 + + .   m − 4 m + 1 m2 − 3m − 4  2m − 3

40.11. 1

25a2 − 36 2

5a + 6

9a − 8

;

10a − 9a + 2 5a − 2 1 − 2a 1 4  2a  2a + 1 2  + − : .  a + 3 a − 1 a2 + 2a − 3  a + 3

40.12. 1 y=

x 2 − 6x + 5 x −1

;

2 y=

3x2 − 10x + 3 x−3

−

x2 − 4 x+2

304

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

40.13. x2 − 2x − 8

1 y=

x−4

40.14. 1 x2 2 2+ 40.15. 1

xy + y2

x +1

−

x2 − x − 30 x+5

+ 0

2 12

xy + y2

x2 − x − 2

2 y=

;

40.16. 1

2a2 + ab − 15b2

6x2 − 13xy − 5y2

;

x y xy + y2 = 0 xy y2 2x + y

2=0

−2a + 9ab − 10b

12x2 − 5xy − 3y2

40.17. 1

3n2 + mn − 4m2 2

8m + 18mn + 9n

12u2 − 4ut − 5t2 2

−5t + 21ut − 18u

40.18. 1 2 40.19. 1 2

x x2

2 2

x= 2 x=2

40.20. 2

40.21. 1 2 40.22.

x 1 x2 2

x+2 1 x+

0 +1

0 x12

40.23.

x3 − ( 2 + 1) x2 + 2 = 0.

40.24.

x4 − 2 3x2 + x + 3 − 3 = 0.

41. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь

41. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь x2 + 2x

ПРИКЛАД 1

x−6

5x + 18 x−6

x2 + 2x = 5x + 18,  x − 6 ≠ 0.  x = −3, x2 − 3x − 18 = 0,    x = 6, x =  x ≠ 6; x ≠ 6;   5

ПРИКЛАД 2 5 (x − 2)2

−

x 2 − 4x + 4 4 (x − 2) (x + 2)

5 (x + 2) − 4 (x − 2) − (x − 2)2 (x − 2)2 (x + 2)

−

x+2

= 0.

5 (x + 2) − 4 (x − 2) − (x − 2)2 = 0,  x ≠ 2, x ≠ −2.  5x + 10 − 4x + 8 − x2 + 4x − 4 = 0,  x ≠ 2, x ≠ −2;  x − 5x − 14 = 0,  x ≠ 2, x ≠ −2;  2

x= 

 x = 7,   x = −2,  x ≠ 2, x ≠ −2;

4 x2 − 4 1

= 0;

1 x+2

305

306

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

ПРИКЛАД 3 1−

3 x + a −1

5a (x + a − 1) (x + 1)

(x + a − 1) (x + 1) − 3 (x + 1) − 5a (x + a − 1) (x + 1)

= 0.

(x + a − 1) (x + 1) − 3 (x + 1) − 5a = 0,  x ≠ 1 − a, x ≠ −1.  x2 + x (a − 3) − 4a − 4 = 0,  x ≠ 1 − a, x ≠ −1.  x1 =

= x2 ≠0

x1 = 1 x1 1 = 2 x2 = 2 x2 = 1 x1 = ≠

≠ 1

x1 ≠ 1 =1

x1 ≠ 1 x2 ≠ 1 1≠1 = =

1= 1 =

x2 =

x=2 1 

1 x2 ≠ 1 = x2 =

=0 =0

ПРИКЛАД 4 x2 − (3b − 1) x + 2b2 − 2 x2 − 3x − 4

x2 − (3b − 1) x + 2b2 − 2 = 0,  x ≠ 4, x ≠ −1.  x1 = 2 =

2 x2 =

+1 x1 = x2 2 x1 = x2 =

41. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь

x1 x2 ≠

x1 ≠

x1 = 4,  1 x2 ≠ 4, x ≠ −1;  2

x1 = −1,  2 x2 ≠ 4, x ≠ −1;  2

b= , b=

x1 ≠

x2 = 4,  x1 ≠ 4, x ≠ −1;  1

= 2 

ВПРАВИ 41.1. 1 2

x2 + 3x − 4 x +1 3x2 − x − 2 1− x x2 − 14 x+2 x 2 + 4x x −5

= −

x 2 − 6x

= 0;

x−3 5x + 18

= 0; 5x

x+2

x−2

x −5

15 − 2x x−3

= 0;

= x; 6

x +1 = ;

;

9x + 50

= 0;

5−

8 x

18 x

41.2. 1 2

x2 − 5x − 6 x−6

4x 2 − 7 x − 2 x−2 2x2 + 6 x+8 x 2 + 4x x +7

= =

x2 + 12x

= 0;

x+4 x2 − 3x

= 0;

13x x+8

x+6 2 − 33y

;

5x + 56 x +7

y−4

;

y−

39 y

1 x2 ≠

x2 = −1,  x1 ≠ 4, x ≠ −1.  1

= 2

−

5x − 12 x+4

= 6; = 7y;

= 10.

= 0;

307

308

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

41.3. 1 2

x2 − 9x + 18

x2 − 12x + 35

= 0;

x −9

3x2 − 14x − 5

x − 10x + 25 x2 − 7x + 6

= 0;

3x + x

= 0;

= 0.

x + 2x − 3

41.4. 1

x2 − 9x − 10

= 0;

x −1

x2 + 5x − 14 2

x − 6x + 8

= 0.

41.5. 1 2

2y y−3

3y + 3

3x + 4

x−3

5x + 2

;

x −1

2x − 9 x +1

4x + 13 x +7

2x2 − 3x + 1

;

x −1

;

= 3x − 4.

41.6. 1

2x − 13

x−6

x+6 x

;

3x2 − 4x − 20 x+2

= 2x − 5.

41.7. 1 2

x −1 x+2 x −1

+ +

x x−2 x +1

= =

x+3 x−3 x2 − 9 1 10 3−x x

−

x − 5x 4x

x + 4x + 4

−

;

x2 − 4 2x + 18

;

x +7

x −7

;

x −5 x−2

−

x − 12

x2 − 36 x2 − 6x x2 + 6x x x + 7 63 − 5x

x − 10x + 25

x2 − 49 1

−

x+5

= 0;

;

10 2

x − 25

= ;

x + 2x

41.8. 1 2

x+2

x + 2 x − 2 x2 − 4 2y + 3 y + 1 1 2y + 2

−

2y − 2

;

y2 − 1

−

x−3

x2 − 10x + 25 x2 − 5x x − 20 10

= 0;

x2 + 10x

x2 − 100

−

= ; x 5

x2 − 10x

= 0.

41.9. 1 2

24 x−2

16 x+2 42 1 x

36 x + 20

309

41. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь

41.10. 1 2

x+3 20

x 20 x + 18

; ?

41.11. 1 2

2x − 10

x +1 6

5x − 1

x +1 x − x +1 5 − 2x 3

x 2 − 4x + 3

x −1

4x − 6

;

x−3

x+2 x

;

x2 − 4

− −

14 2

x + 1 x + 3x + 2 3x − 1 2 x2 + x − 6

;

x2 + 5x + 6

41.12. 1

3x + 2 2

x + 2x + 4

x2 + 39

x3 − 8

;

x−2

x x −1

x +1 x+3

x2 + 2x − 3

41.13. 1 2

2x − 1 x +1

3x − 1 x+2

x 2 + 4x + 4

−

x −7 x −1

2x + 6

x+4 x+2 x −1 x − 2 x − 4 x+2

−

x+3

x+5

= −

+ 4; x2 + x + 1 x +1 x −5 x+6

−

2x + 9 x+3

;

41.14. 1 2

x+4 x −1 x −1 x +1

+ −

x−4 x +1 x−2 x+2

x2 + 2x + 2

x +1

= =

x+8

x−8

x−2 x+2 x−3 x−4 x+3

−

x+4

x2 + 8x + 20 x+4

;

x 2 + 4x + 6 x+2

x2 + 6x + 12 x+3

41.15. 1 2

x 2 − 8x + 7

x2 − (3a + 2) x + 6a

= 0;

x−a x−a

x−6

= 0.

= 0;

x 2 − 8x + 7

41.16. 1 2

x 2a

x x−a

2 x−2

−

2a x+a

3x − 2a 2 (x − 2)

8a 2 2

;

x −a

x+2

;

x x+a

− −

2a − 1 2

x − 2x + 4 a−2 x−a

6 − 4a x3 + 8

4a − 2a2 2

x −a

;

310

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ 2a2 + x2 3

a −x

−

2x 2

ax + a + x

1 x−a

= 0.

41.17. x+2

a +1

2x − a − 1 x−2

x2 − (2a + 1) x + a + a2

;

x (x − 2)

x2 + (3a + 1) x + 2a + 2a2

(x − 1) (x + 2)

(a − 2) x

= 0;

−1 =

a −1

a+2 a −1

−

= 0;

2x2 + a + 1 (a − 1) x

41.18. x2 − ax + 5

x −1

x2 − (a + 4) x + 3a + 3

= 0;

x−2

x2 − (3a + 1) x + 2a2 + 3a − 2

x − 6x + 5

= 0?

= 0;

41.19. 1 2

x2 − ax + 1 x+3

x2 − ax + a − 1

= 0;

x +1

x2 + (3 − 2a) x + 4a − 10 2

x − 4x + 3

= 0.

= 0;

42. Розв’язування рівнянь методом заміни змінної ПРИКЛАД 1

x 1 x2 + x = 2

x = 2

x2 = 4,  2 x = 9. x1 = 2 x2 = 2 x = x = 

=0 1

= x2

2 2

311

42. Розв’язування рівнянь методом заміни змінної

ax4 + x2 + a 0

. a . x2 = 2 + +

2x 1 + 2x 2x 1 2 = 2

= 2

2=0

(2x − 1)2 = −2,  2 (2x − 1) = 1. 2x − 1 = −1, 2x − 1 = 1.  x1 = 0 x2 = 1 0 1  6x + 5 x + 1 = 0.

ПРИКЛАД 3

x = t. x= 2 + +1=0 1

t1 = − , t2 = − . 1   x = − 3,   x = − 1.  2

ПРИКЛАД 2

= 0

0, 

2=0

312

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ x2 − 3x − 6

ПРИКЛАД 4

x x2 − 3x − 6 x

t−

−

8x 2

x − 3x − 6 8x

= t.

= −2.

x − 3x − 6

= . t

= −2.

t2 + 2t − 8 = 0,  t ≠ 0. 1

=2  x2 − 3x − 6 = −4,  x   x2 − 3x − 6 = 2.  x 

1 2 ПРИКЛАД 5

2x2 + x

2x2 + x 1 2 2x2 + x 1 2 2 2x + x 1 = 1 = 1 2 = 2x2 + x 1 = 1 2 ПРИКЛАД 6

2 =2

1 2

10x2

1 x+

10x2 1 x + + 2x2 + x 1 + 2 + =0 2x2 + x

1 x x+1

1 x+2 x x+1 =2 2 x2 + x = 2 2 2 =0 1= 2 = x2 + x = −4,  2 x + x = 6. 2 

=0 =0

; − ; 1  x

x2 + x

x+2 =2

x2 + x =

313

42. Розв’язування рівнянь методом заміни змінної

+ x2 +

x+ x + +

x2 + x=

ПРИКЛАД 7

x + 1 x2 + x

x + 1 x2 x2 + x 2 = 0 x x2 x2 x 2=0 2 x x= 2 t = 2, x − 4x = 2,  t = −1; 2  x − 4x = −1. 2 + 6; 2 − 6; 2 + 3; 2 − 3. 

2=0

ПРИКЛАД 8

x+1

2x2

2=0

2x2 + x + 1 = x2

0 x2 2

2x − 3x + 1 x

2x2 + 5x + 1 x

= 9.

1  1   2x − 3 +   2x + 5 +  = 9. x x

2x + 2

1 x

− 3 = t.

= 1 2x + 2 2x +

1 x 1 x

− 3 = 1; − 3 = −9. 2± 2 2

;

−3 ± 7 2

. x2 + x +

x2 + x +

= x2

314

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ c c     ax + + b  ax + + d = k, x x

≠0

ax +

x+ 1 x2

= t.

1 1   7  x +  − 2  x2 + 2  = 9.    x x 

ПРИКЛАД 9

x2 + 2 +

= t2 ; x2 +

1 x2

1  2  x +  = t . x

= t.

= t2 − 2. 2 2

2 = =0

= 1 t2 = . 2

1 x

=1 1 2

1 x

= . 2

;2  x + x + x2 + x + = 0 ≠0 x x x ax2 + bx + c +

b x

a x2

= 0.

1 1   a  x2 + 2  + b  x +  + c = 0.   x  x

1 x

= t.

П Р И К Л А Д 10

x2 + 12x + 1 = 0

0 x2 x2 − 3x − 8 + x2 +

16 x2

12 x

16 x2

= 0;

4  − 3  x −  − 8 = 0.  x

315

42. Розв’язування рівнянь методом заміни змінної

x−

4 x

= t.

x2 +

16 x2

2 2 x+

4  x − x = 0, x2 − 4 = 0,   2 x − 4 = 3; x − 3x − 4 = 0.  x

t = 0, =0  t = 3.

+ x + x2 +

= t2 + 8.

x+ П Р И К Л А Д 11 x2

x +

2x + 2

k x

= t.

+ x x2

2x + 2 = 10x2

0 x2 (x2 − 2x + 2)2 x x2 − 2x + 2 x

3 (x2 − 2x + 2) x

= 10.

=t 2

2 − 2; 2 + 2;

10 = 0 1

2  x2

x= 2

=0 ≠0

u  u   − 3 − 10 = 0. v v u v

2x + 2 =

316

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

x+1 −1 + (−5) t =x− , 2

П Р И К Л А Д 12

x+1=

2 x+

+ x+

= 2

x =

+2 +

2 +2 

= 2

+ x

x= t =x−

П Р И К Л А Д 13

x − 4x + 2

a+b 2

3x 2

x +x+2

=− . 4

0 x 2 x−4+

2 x

x +1+

2 x

= t.

5 =− . 4

t−4

3 t +1

5 4

= 0;

t2 + t − 12 4 (t − 4) (t + 1)

t2 + t − 12 = 0, t = −4,  t = 3. t t ( − 4 ) ( + 1 ) ≠ 0 ;   2  x + x = −4, x2 + 4x + 2 = 0,   2 x + 2 = 3; x − 3x + 2 = 0.  x −2 + 2; −2 − 2; 1 2  x2 +

П Р И К Л А Д 14

x2 −

18x

x+9

81x

(x + 9)

18x

x+9

81x

(x + 9)

= 40;

= 40.

= 0;

42. Розв’язування рівнянь методом заміни змінної 2

317

9x  18x  = 40;  x −  + x + 9 x+9 2

 x2  18x2 = 40.  +  x + 9 x+9 x2 x+9

= t.

0=0

= 20

 x2  x + 9 = −20, x2 + 20x + 180 = 0,   2  x2 x − 2x − 18 = 0.  x + 9 = 2; 1 + 19; 1 − 19. 

1 1 x + x + x2 + x + = 0 ≠0 =0 ≠0 =0

ВПРАВИ 42.1. 1 x 2 x x 42.2. 1 x 2 x x

x2 + x2 + x2

=0 =0 =0

2 x2 + 100 = 0 x2 + 20 = 0 2x2 2 = 0

x + 1 x2 2=0 x x2 + 2 = 0 x + x2 =0 x + x2 0=0 x 10x2 + 1 = 0 2x x2 + 2 = 0

318

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

42.3. x+ 2 =0 1 x+ 2 2x + 1 10 2x + 1 2 + = 0 2 x + x + =0 2 x +2 x =0 42.4. 1 x 1 20 x 1 2 + =0 2 2x + 2 2x + 2 2 = 0 42.5. 1 x − 3 x + 2 = 0; 8 x + x + 7 = 0; 2 x − x − 12 = 0;

8x − 10 x + 3 = 0.

42.6. 1 x − 6 x + 8 = 0;

2 x − 5 x − 50 = 0;

2x − 3 x + 1 = 0.

42.7. 1 x2 2 2 x2 2 + = 0 2 2 2 x + x 2 x2 + x 2 =0 2 x x + 1 x2 x+ = x2 + 2x + 2 x2 + 2x = 42.8. 2 3x − 1 x + 1 1  2x − 1 6 (2x − 1) − + 5 = 0; 1  2 + =3 .   x  x x + 1 3x − 1 3 42.9. x

+ x2

x2 + x +

x2 − x 2

x − x +1

−

x2 + 2x + 1 2

x + 2x + 2 x2 + 2x + 7 2

x + 2x + 3

x2 − x + 2 2

x −x−2

x−3 3x2 − 9x

= 1;

x2 + 2x + 2 2

x + 2x + 3

2 7

x (x + 2)

= ;

= 4 + 2x + x2 ;

42.11. 1 2

1 2

x − 2x + 2 24 x2 + 2x − 8

+ −

2 2

x − 2x + 3 15 x2 + 2x − 3

6 2

x − 2x + 4

= 2;

− 5 = 0;

2 x−2 (x − 2) x+4 x−3 3

42.10. 1

−

;

− −

−

12 2

x − 3x 1 (x + 1)2

x+4

= 3; =

1 12

= . 2

319

42. Розв’язування рівнянь методом заміни змінної 3 1 + x + x2 x2 + x − 3 2

= 3 − x − x2 ; −

3 2

2x + 2x − 6 8

(x + 1) (x + 2)

42.12. 1 x2 2 x2

(x − 1) (x + 4)

x + 1 2 = 2x2 x+ x 2 x

42.13. 1 x2 + x + 1 2 2 x2 x x+ 42.14. 1 x 2 x x+ 42.15. 1 x 2 x+

x2 x

x x+

x+2 x+ x+1 x+

42.17. 1 2x2 x+2 2 x+2 x+

12 x

1=0 + 10 = 0 x =1 = 100

x + 1 = 120 x+ = 1

2 x+ =0 2 x 1 =0 x2 + x 2 2 2x2 + x + 2 = 20x2 x+ x + 12 = x2

x+ x+

1 4x2 + 12x +

= 1. 12x + 1 =2

42.16. 1 x + x + 10x2 2 x + x 10x2 10x2 x 2 2 =

42.18. 1 x+ 2 x 42.19.

= 1;

x + 10 x + 12 x2 = 0 x + 10 x 2 = 1 x2 +

4 x2

= 47;

x (x − 1)2 (x2 − x + 1)2

= ; 9

 2 x 2 x 4 2 2 −  = 2 + + ;  x 3  x 18 3 12x2 +

1  + 10  2x +  + 11 = 0;  3x 3x  1

1 x2

320

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

42.20. 1 3x2 + 5x + 2 x2 +

36 x

3 x

(x2 + 1)2

= 16;

x (x + 1)2

112  x

3  −  ; 5 2 x

625 112

;

x + x2

42.21. 1 2 x2 + x + 1 2 x 12=1 x 2 2 2 x −4  x − 2  x + 2 −5  + 48 2 = 0. 2 20     x + 1  x − 1 x −1

42.22. 1 x + x2 x + 1 = x+12 2 2 2 x x+1 + x 1 x2 x+1 = x 1 42.23. 1 x+ + x+1 =1 2 x + x 1 = 42.24. 1 x 2 + x =1 2 x + x 42.25. 1

4x − 8x + 7 2

x − 10x + 15 2

x − 6x + 15

3x 2

4x − 10x + 7

= 1;

4x 2

x − 12x + 15

x2 − 3x + 1 x

= 2

2x x2 − 2x + 1

= . 2

;

42.26. 1 2

3x 2

−

x + 1 − 4x 2x x − 2x + 5

2x 2

x +1+ x 3x 2

= ;

x + 2x + 5

x2 + 5x + 4 2

x − 7x + 4

x2 − x + 4 2

x +x+4

= ; 8

42.27. 2

 x   x    +   = 90; x − 1 x + 1

 x  1 x2 +  = 8;  x − 1 2

 x  2 x2 +  = 2;  2x − 1

x2 +

25x

(5 + 2x)

= 104.

42.28. 2

 x  1 x + = 3;  x + 1

x2 +

40  x − 1  x − 1  + = ; 2   x   x − 2  9

(x + 2)

= 5.

= 0.

321

Таємна зброя Сципіона дель Ферро

x + x2 = 0

x=0 x + x2 + x + ≠ 0 x + x=

1 2

1 22 1

Нікколо Тарталья (1499–1557)

Джероламо Кардано (1501–1576)

Нільс Хенрік Абель (1802–1829

322

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

1 22

43. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій 20

ПРИКЛАД 1 1 1 x

x+1 1 15 x

−

x + 18

1 3 4 15 x

−

15 x + 18

= . 4

15 x 5 x

− −

15 x + 18 5 x + 18

= ; 4 1

= ; 4

43. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій 323 20x + 360 − 20x − x2 − 18x 4x (x + 18)

= 0;

x2 + 18x − 360 = 0,  x ≠ 0, x ≠ −18.  x=

x = 12 0 0

12 + 1 = 0 0

12 

ПРИКЛАД 2 2

1 9

x−4

x 2 x−4

9 x

2 x−4

x1 = 12

= 1.

x2 =

= 1 12 

12 ПРИКЛАД 3

120 10

324

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

x + 120 x x + 120

10 x + 10

x+1 0 x + 10 x + 130

x x + 120

20 x + 10

x + 130

−

x x + 120

x1 = 0

1 20

x2 = 2 0

0 0



ВПРАВИ 1 0

43.1.

2 0

43.2.

1 10

2 0

43.3. 20 1 10

43.4. 0 1 43.5. 1 1

43. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій 325

43.6. 1 0

43.7.

100

43.8.

43.9.

0 1

43.10.

1 2 43.11. 1 12 2

43.12. 1 5

43.13.

20 1 1 0 2

43.14. 2 12

43.15.

326

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

0 20 1 0 43.16.

1 0

2 1

43.17.

1 1

43.18. 1 6

43.19. 1 3

43.20. 20

43.21. 2 0 43.22.

43.23.

100 10

43. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій 327

43.24. 10

43.25.

1 12 2 43.26. 1 0 43.27. 2

43.28. 00

2 20

10 0

43.29.

2 43.30. 12

328

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

44. Ділення многочленів

≠ 0

= x

x x ∈

x A (x) = B (x) æ Q (x). x

x x x A (x) B (x).

x +1= x+1 x2 x + 1 2x

x+1

x +1 x2 x + 1 x

x+1

x + x2 x x x + x2

x+1 x +1 x + x2 x2 x + 1 x2 + 1 x2 x x+1 x+1 0

x x

x = 2x2

x x 2x 2x

+ + + +

x+1

x2 x x2 x2 x x2 x 0

2x2 x2

x+1 x

A (x) = B (x) æ Q (x),

A (x) B (x),

x x

x x +1 x

x ∈

329

44. Ділення многочленів

x +1= x 1 +1=0

x=1

44.1. ля дь якого многочлена x і нен льо вого многочлена x і н є єдина ара многочленів x і x таки , що A (x) = B (x) æ Q (x) + R (x), де те інь многочлена x мен ий від те еня многочлена x а о x н льовий многочлен x x

= x2

x = 2x

x+2

x =

x + x2 1 x2 x+2 2 x + x 2x2 + x + 12 x x2 1 x 1 x2 10x 12x2 10x 1 12x2 x 2 2 x 2

2x 2x

x + x2

1 = x2

x+2

2x2 + x + 12 + 2 x 2x 4 − x3 + x2 − 1 2

x − 3x + 2

1 2x 4 − x3 + x2 − 1 2

x − 3x + 2

= 2x2 + 5x + 12 +

26x − 25 2

x − 3x + 2

330

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ 1. У якому випадку говорять, що многочлен (x) ділиться націло на многочлен (x)? 2. Яка необхідна умова ділення многочленів націло? 3. Сформулюйте теорему про ділення многочленів з остачею. 4. Як називають многочлени (x) і (x) у записі

A (x) = B (x) æ Q (x) + R (x), якщо степінь многочлена (x) менший від степеня многочлена (x)? 5. Подання в якому вигляді раціонального дробу називають виділенням цілої частини з раціонального дробу?

ВПРАВИ 44.1. 1 2 44.2. 1 2

x =x x = x

x x =x 1 x = x + x2 + x + 1 x + 2x2 + x 1 x =x

x =x x = x x = 2x

x 1 x =x +x+1 2 x + x 1 x = 2x2 x+1 2 2 x + 2x + 1 x =x x+1

x = x2

2x2 + 1 x

44.3.

1 2

x = 2x + x + x x =x +x x =x +x+1 x = x2 + x + 1 x = x + x2 + 1 x =x+ x

44.4. 1 2 44.5. 1 2 44.6.

x =x x + 2x2 x = x2 x + 1 x =x 1 x =x +x+1 x = x + x2 x x =x 2 x x x = x2 + 1 x =x 1 x =x +x 1 x =x+1 x = 2x x x+1 x = x2 x+2 n n k (x − a ) (x − ak ), n k, n ∈ , k ∈ .

331

45. Корені многочлена. Теорема Безу

44.7. x3 − x + 2

x +1 4

x 4 − 2x3 + 3x2 + 4x + 1

;

x + x−2

2x − 3x + 4x + 1 2

x −1

;

44.8. 1 2

2x 4 + x3 − 5x2 − x + 1 2

x −x 5x 4 − 3x5 + 3x − 1 x +1− x

x5 − 3x3 + x2 + 2x − 1

;

x + x −1

;

45. Корені многочлена. Теорема Безу = 0.

. x

x =0 x+1

x 0x

x +

x2 +

x+1 =0

x+ x =0 x = x

x x

1 x 45.1 x на двочлен x

члена

. тача від ділення много дорівн є . x

1 x



R x = x x= =

x + +

332

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

45.2. ля того що чи ло ло коренем много члена x , нео ідно і до татньо, що многочлен x ділив я націло на двочлен x . =0 A (x) (x − α). A (x) (x − α).

x A (x) (x − α).

A (x) (x − α),

0 =0  1. Якщо 1 2 ... n мно ина коренів много члена x , то A (x) = (x − α1 ) (x − α 2 )æ ...æ (x − α n )æ Q (x), де x деякий многочлен x 1 2 x = x x= 2 1 1 x 2 1 1 2 = 0 2 1 x 2 1 x = x 2 2 x x = x x 1 1 x = x 1 2 2 x x

A (x) = (x − α1 ) (x − α 2 )æ ...æ (x − α n )æ Q (x).  2. но ина коренів многочлена те еня n мі тить не іль е ні n елементів. x

A (x) (x − α1 ) (x − α 2 ) æ ... æ (x − α n+1 ) æ Q (x).



Етьєн Безу (1730–1783) Французький математик, основні роботи якого стосуються вищої алгебри. Викладав математику в училищі гардемаринів, Королівському артилерійському корпусі. Автор шеститомної праці «Курс математики».

333

45. Корені многочлена. Теорема Безу

3. Якщо мно ина коренів многочлена anxn + an 1xn 1 + + ... + a1x + a0 мі тить іль е ні n елементів, то an = an 1 = = ... = a1 = a0 = 0, то то цей многочлен тото но дорівн є н л . ПРИКЛАД 1 1 = x2 x+2  ПРИКЛАД 2 x 2 x

2 =0 x 1 x

x = x 2 100 + x x = x2 x+2 x = x2 x+2= x 1 2 2

x2 x+ x = x2 x+ x = x 2

2 x

x + x+ x + x+ x=2 x= = + 2 =

2a + b = 5,  3a + b = 7. =1 2x + 1 

ПРИКЛАД 3

( x − b ) ( x − c) ( a − b ) ( a − c)

2x + 1 x =x +

x+ x+

ПРИКЛАД 4

2 =2 +

x x

( x − c) ( x − a ) (b − c) (b − a)

( x − a ) ( x − b) ( c − a ) ( c − b)

≠

=0 

− 1 = 0.

≠

x =

2 

334

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ 1. Що називають коренем многочлена? 2. Сформулюйте теорему Безу. 3. Сформулюйте необхідну і достатню умови для того, щоб число було коренем многочлена (x). 4. Яку найбільшу кількість елементів може містити множина коренів многочлена -го степеня? 5. Що можна сказати про многочлен степеня , якщо множина його коренів містить більше ніж елементів?

ВПРАВИ 45.1. 1 2

x = x + 2x + x + 1 x = 2x x x 1

45.2. 1 2

x = 2x x = x

x =x 1 x =x+2

x +x+ x x2 +

x =x x

x =x+1

45.3. 1 2

x x x x

45.4.

= = = =

2x + x + x + 2 x =x+2 x x + 2x2 + x 2 x =x 2 2 x x x +x+1 x =x 1 x x x + 2x + x2 + x x =x 2

x x+1

2x + 1

x+12 x2 n ∈ .

45.5. x2

x2 + x x

1 2 + x2 n ∈ .

1 x+1

45.6. x 1 2

x =x x =x x =x

x + 1 x2 + x 20 x = x2 x 2 x + x2 + 1x 2 x = x2 + x 2 2 x +2 x 1 x 2 x+2 x = x2

45.7. 1 x + x 2 2x x

2x2 + x 1 x2 x 2

1 x+1

335

45. Корені многочлена. Теорема Безу

45.8.

x + x2

x+2

45.9. x x2 + x + x = x2 1 x + x2 + x + x = x2

x = 2x x = x

1 2

x =

45.10. = x + x + x 2 + x + 10 x = x2 + x 2 45.11. x + x2 + x +

x+1

45.12. x + x2 + x + x+1

0 x

45.13. x

45.15. 1

2 45.16.

( a − b ) ( a − c)

( x − b ) ( x − c) ( a − b ) ( a − c)

45.17. + +

x +y +

( x − b ) ( x − c)

2 a2

1 x + 2010 1 x0

+ x+y+

xy ( x − c) ( x − a ) (b − c) (b − a)

+ b2

45.14.

1 a

1 x+2

( x − c) ( x − a ) (b − c) (b − a)

( x − a ) ( x − b) ( c − a ) ( c − b)

= x;

( x − a ) ( x − b)

+ c2

( c − a ) ( c − b)

x = 1

x0 = 1000

= x2 . x +

336

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

46. Ціле раціональне рівняння anxn + an

. a0 a1 ... an .

+ ... + a1x + a0 = 0

46.1. Якщо ціле раціональне рівняння із цілими коефіцієнтами має цілий корінь, то він є дільником вільного члена. x0

x + 0

an x0n + an − 1x0n − 1 + ... + a1x0 + a0 = 0. a0 = − an x0n + an − 1x0n − 1 − ... − a1x0 ; a0 = x0 (−an x0n − 1 − an − 1x0n − 2 − ... − a1 ). x0

a0 x0 . 

1 x2

2=0

2 2 1

337

46. Ціле раціональне рівняння

ПРИКЛАД x

2x2

1 2

x= 1 x x

x+1

x = x+1

x+1 x

x x = x+1 x+1

x x

x+1

3 3 2 x − 7 x x2 + x − 6 x −6 = 2x4 − 5x3 − 2x2 − x − 6 = 2x4 + 2 5x − 7 +5

= −5x3

= −2x2

= −x

x2 x + 1 + x x + 1 x+1 = = 2x x + 1 = x + 1 2x x2 + x x = 2x x2 + x 2x x2 + x 1 1 2 2 x = x

x x x + x −6 = 2x3 − 7x2 + 5x − 6 = 2x3 − 6x2 − x2 + 3 2

= −7x2

= 2x x x x +2 x x = 2x2 x + 2 x =0 1 1  2

= x

= 5x

2x2

x+2

1. Яке рівняння називають цілим раціональним? 2. Яку властивість мають цілі корені цілого раціонального рівняння із цілими коефіцієнтами? 3. Яке співвідношення між множиною дільників вільного члена цілого раціонального рівняння із цілими коефіцієнтами та множиною його цілих коренів?

338

§ 7. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

ВПРАВИ 46.1. 1 x + x2 + 2 x + 1 = 0 2 2x x2 x 2=0 x + x x2 x 2=0 x + x 2x2 x =0 2x x x2 + x + = 0 x + x +2 x + x2 + 2 x + 12 = 0 46.2. 1 x + x2 x+2=0 x + x 2 x x2 x + 12 = 0 x + 2x x + x2 + x + 2 = 0 x + x 46.3. x +

2x2 x+1=0 11x2 + x + = 0 x2 x + 10 = 0

46.4. x +

x0 = , 0

339

ДРУЖИМО З КОМП’ЮТЕРОМ

.2 2.3 2.4.

∫

Понад 70 років у нашій державі діє Мала академія наук України (МАН), у наукових відділеннях і численних секціях якої учні та учениці можуть проводити дослідницьку та практичну роботу за найрізноманітнішими напрямами. Ви можете брати участь у роботі її секцій та позашкільному навчанні, турнірах і конкурсах фахової майстерності, всеукраїнських учнівських олімпіадах з базових і спеціальних дисциплін, представляти свої роботи на Всеукраїнському конкурсі-захисті науководослідницьких робіт учнів і учениць — членів МАН.

∫ ∫

∫

2.16.

340

Дружимо з комп’ютером

4.7. 4.14. .5

5.5. 1

5.19 5.28. 1 2 .6 . 6.11 6.13 6.16 6.17 6.18 6.20. .7

Дружимо з комп’ютером

341

9.42 9.43. 9.45 9.46.

. 10 .

10.18. 10.25. . 11 11

2 10 11.9 11.18. 11.20 11.28.

342

Дружимо з комп’ютером

. 12

. 14

14.2 14.4. . 15 15.27 15.29. y=x

y=x

. 16 16.7 16.8.

. 18 18.18 18.19.

. 21

Дружимо з комп’ютером

. 22

22.34 22.36.

. 23 23.1.

23.13 23.14.

. 24 24.4 24.5.

. 25

k x

343

344

Дружимо з комп’ютером

. 26

. 28

28.3. 2

. 29

. 31 31.8 31.11.

. 32

= x2

32.15. 2

Дружимо з комп’ютером

345

32.42. . 33

0 01 1

. 34 34.21.

. 35 1 1

1 y= x

. 36

y = x. . 37

. 38 x2 + x +

346

Дружимо з комп’ютером

38.18 38.19. 22 . 39

. 40

. 42

. 43

. 44

. 46

347

Відомості з курсу алгебри 7 класу ЦІЛІ ВИРАЗИ 1. Тотожно рівні вирази. Тотожності

9 9 9 9

2. Степінь з натуральним показником

9 9

= 9

9 = 9 = 3. Одночлени

348

Відомості з курсу алгебри 7 класу

9 9 9

9 4. Многочлени

9 9 9

9 9

349

Відомості з курсу алгебри 7 класу 5. Формули скороченого множення

(a − b) (a + b) = a2 − b2 ; a2 − b2 = (a − b) (a + b); (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ; a3 + b3 = (a + b) (a2 − ab + b2 ); a3 − b3 = (a − b) (a2 + ab + b2 ). a2 − ab + b2 a2 + ab + b2

МОДУЛЬ ЧИСЛА 6. Модуль числа

a, ÿêùî a 0; a = −a, ÿêùî a < 0. РІВНЯННЯ 7. Рівняння з однією змінною

9 9 8. Лінійне рівняння з однією змінною

0 x=

9. Рівняння з двома змінними

b a

350

Відомості з курсу алгебри 7 класу

9 9

9 1 2 10. Властивості рівнянь

9 9 9 9

11. Схема розв’язування задач на складання рівнянь

1 2

ФУНКЦІЇ 12. Функція. Область визначення і область значень функції

351

Відомості з курсу алгебри 7 класу

x y

y x y=

9 9 x

9 9

13. Графік функції

9 x0

f (x0 ) (x0 ; f (x0 ))

2 x0

(x0 ; y0 ) y0 y0 =

352

Відомості з курсу алгебри 7 класу

14. Лінійна функція, її графік і властивості

y= x x

9 y = kx,

k ≠ 0,

9 y = kx + b

k = 0,

9 15. Лінійне рівняння з двома змінними та його графік

x+ y=

x+ y= x+ y=

= =

16. Системи рівнянь із двома змінними

9 9 9

y = b.

Відомості з курсу алгебри 7 класу

17. Методи розв’язування систем лінійних рівнянь

9 1 2

9 1

353

354

ВІДПОВІДІ ТА ВКАЗІВКИ ДО ВПРАВ 19

1.2. 1 1 2

1.23. 1 x

. 1.16.

2 x2 + 2 x 1.24. 1 x + 1 2 x 1.38. 1 x = 1 y = 0 2 1.46. 1.50. 1 + y + x2y2 1.51. 1.54. 1.56. 1.58. 21

+ 2+ 1.45. x + x2y2 + y = x2 + y2 x x2

1.59. 171 =

+ x 1.37.

(1719 )9 (1718 )10

. 1.61. 1

x2y2 +

2 1

111 1 1 111 211 = 2 2 1.63. 2 4 2 2 4 2 4 2 2 2 2 4 2x + 3x y + y + y = 2x + 2x y + x y + y + y2 = 2x2 (x2 + y2 ) + = 2x2 (x2 + y2 ) + y2 (x2 + y2 ) + y2 . 1.64. 1.66. 1002 = 1.62.

+ 1

+ 1 2

1.67. 2

+ 1 2

1000 = + 12 + 1 2 1.69.

1 + 2 + 22 1.70. + +1 = + + + 1 1.71. x + +x + 1 = x + x + x x x x +x +x +x x + 1 1.72. 1 x x2 + = x x2 + x2 1.75. 0 2 2 2 + + = 0 1.76. 2 2 2 x + y + 1.77. 1 b ( 4 ; 9 ; 9 − 3n; − 1 ) 2 2− 3n; − 1b x x+ =x x + +x x + ) (41.78. 1.80. 2 2 2

+ + 1.83. 2.4. 2

2 2

x = 100

= +

+ x

= =

+ 2 2 +

3.9. 3.12.

1 2 3.10. 3.13. = =

3.11. 3.16. 1

2 1.81. +2 + + + = x = 0 0 x 2

2.11. x 0

x x 0 x 2.13. y = x + 1 2.14. y = x + x 2.22. 2.40. 2.12.

y 1 0

12 =

До задачі 2.22

355

Відповіді та вказівки до вправ

2 = = 3.17. = = 3.19. 1 ≠ 1 = 10 3.21. 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 3.22. 1 2 3.23. 1 1 1 2 1 2 3.24. 1 2 2 2 3.25. 1 0 2 2 1 3.26. = = 0 3.27. 1 y = 0 x + 1 2 y = x + 2 3.28. 1 2  2 3.29. 1 10 2 1 0  4; −  ; 3 =

0 1 4.13.

1+ 5.29. 2

1 +2

4.15. = +2=

4.18. +2

= 1

1= 1

2 6.4. 6.13.

6.11.

B ⊆ A.

6.14.

C ∩ B = ∅ C ∪ B = A. 6.16.

999 − abc,

abc 6.17. abcdef 999999 − abcdef.

6.18. 1000

1 1000

6.19. 1

1 1 1

356

Відповіді та вказівки до вправ

6.20.

a1a2a3a4 a5

a1 (a2 − 1) (a3 − 2) (a4 − 3) (a5 − 4). 6.21. x2 + y2 = x1 y1

x0 y0

y0 x0 + y0

x +y =2  x1 + y1 y1 − x1  ;   2 2  2

y1 x2 + y2 =

x2 + y2 = 2 x1

6.22. C = B ∪ {a}.

1 7.6.

7.8.

7.10. 1

7.11.

10 7.12.

До задачі

7.13. 1 x0  1 N   x0 

.12

До задачі

7.15. 7.16.

357

Відповіді та вказівки до вправ

7.17.

8.15.

8.18. 8.20. 1 1 1 2 1 2 xy + 1 1 x2 1 1 1 x2 2xy y2 + x + y = x y + 1 8.21. 1 1 1 1 1 8.22. 1 0 0 2 2 x 1 y 1 =1 2 2 2 8.24. + + + + + +

2 1 1 0 2 1 0 1 0 1 + y2 = x y x y 1 11 1 1 = x+y x y + x+y = x+y 1 1 1 2 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0

8.23. 2 0 1 1 + + 2

8.26. ( P (9) − P (1)) (9 − 1)

8.27.

10 0 =1 = 8.28. abc + bca + cab = 3 æ 37 (a + b + c). a + b + c 27. 8.30.

8.29. a + b + c 27.

x+y

x + y = 1 x + y 8.32.

(3x + 10y) + (3y + 10x) = 13 (x + y) 13.

(abc + bac + cab) 37.

(3y + 10x) 13. 8.35.

8.36.

aba = 101a + 10b = 10 (a + b) + 91a. 8.37. 2 +1

+1=

8.38. 22

8.39.  n2   d;  , d

8.9.

d≠

n2 d

99999 41.

8.42. 1 x0 = 0

x0 ∈ = x0

= x0

=1 1

8.43. x0

= x0

358

Відповіді та вказівки до вправ

9.10. 0

12 9.12.

2 +12= 9.23. 0 1

9.14. 0 1 2 9.19. 1 9.22. +1 0

+1 +1 9.24. 0 1 9.29.

2 20

9.30. 21 2 1 =

2 1

r1 + r2 + r3 2

15. =

+ 20 9.37. 21 9.38. 22 9.39.

9.45. 0

= 1+

0 n

13.

+ 2+ 2+ 2+ =2 +1 =2 +1 +1 +1 + 9.41. 1+ 2 9.43. 2 9.44. 1 + 100 = 10 1 q1 8, = 1 2 + 2 = 1 2 2

n 30. 9.46. 2 0

9.47. 1

+ 22 2 11 ... 1 .

9.36.

9.40. 1+ + 9.42.

0 9.34. 1 = 2+ 2

2 9.33. 1 2 1 2 1 1 9.35. 2 = + r1 2, r2 5, r3 8.

2 2

9.48.

22010 9.49.

1 11 111

n + 1 öèôðà

9.50. 10.1. 1 2 10.13. 2

10.16. 1 = = = = 1 =

10.2. 1 2

=1 2 = 1001 10.18.

2 10.5. 1 1 (a3 − a) 6. 10.14.

= 22

ÍÑÊ (a; b) = 24 æ ÍÑÄ (a; b), 10.22. x =

y=2

= 1

2 2 1

+1 = 1001

+2 = =

1 1 10.19. 10.20. a = 2k æ ÍÑÄ (a; b), b = 2m æ ÍÑÄ (a; b). x=2

359

Відповіді та вказівки до вправ

y y+1

243

10.23.

( y + 1)2

ÍÑÊ (m; n) æ ÍÑÄ (m; n) = mn, +

x2 4

n + 4n + 3 n4 + 6n2 + 8

(n + 1) (n + 3)

(n2 + 2) (n2 + 4)

2 2 = + + 2 2 ÍÑÄ (n + 1; n + 4) 3. 2

x +

= 0

= 1

+2 = 2

ÍÑÊ (m; n) ÍÑÄ (m; n) 3

x66 101

+ 1 =

+2 =

= 122 12

y = xy 10.27.

11.17. 1 11.18. 1 02 11.20. 11.21. x06 2 11.23. 1 11.24. 1 S (n) 27. 2

11.25. 1 0

ÍÑÊ (m; n) − ÍÑÄ (m; n) =

. x

11.14. 2

= ÍÑÊ (m; n) æ ÍÑÄ (m; n),

10.25.

n 121. 10.26.

ÑÄ (m; n) =

10.24.

2 2 11.26. 0

2 2

11.27.

+ 2

n = a5a4 a3a2a1a0

11.28.

P (n) = (a0 + a2 + a4 ) − (a1 + a3 + a5 )

a = 111 ... 12 n −2 öèôðè

(4 + 5 + 6) − (1 + 2 + 3) = 9. 11.29. 11 11.30. 1 b = 111 ... 121,

= =

n −3 öèôðè

= =

12.10. 1 12.11. 2 12.12. 1 2 2 2 + 1 12.13. 1 1 2 2 1 12.14. 12 12.16.

21 =

ÍÑÊ (m; n) ÍÑ 3

360

Відповіді та вказівки до вправ

+2 12.17. 12.20. 12.23. 12.25.

12.22.

+2 2

2 + 2= + 11 800 ... 027 = (2 æ 104 )3 + 33. 10 íóë³â

= 10 12.28.

12.26. 1 ( p2 + 2) 3. 12.29. 2 2

≠

+ 12 2 =2

12.36.

1 1

2 2 1= 2 1 + 12

=2 2

12.30. 12.31. 12.32. 2 ≠2 + = 2+2

1 =2

1 2 2 + 1 12.33. 1

12.27. = = 11 +1=

12.37. + 1 + 1 1= 2 1 12.41. (( p2 − 1) + 12) 12

12.39. 2 + 11 = 12 1

12.42. 991 æ 997 æ 1009.

989 æ 1001 æ 1007 + 320 = (x − 8) (x + 10) (x + 4) + 32

0 = (x − 8) (x + 10) (x + 4) + 320 = x + 6x − 72x. 12.43. 3

12.44.

5 æ 25n + 13 æ 132n = 52n + 1 + 132n + 1;

13.5.

21n + 4n + 2 = 21n − 4n + 17 æ 4n. 13.8. 1

= 2 13.13. 1 0 2 0

212

+ 1 = 22

13.9. 1 x

1 13.10. 1

2=1 2

100

4 +3

. 13.11.

7æ52n + 12æ6n = 7æ25n + 12æ6n = 7æ25n − 7æ6n +

13.14. 1 + 19æ6n. 14.7. 15.21. 0

y = x x≠ 1 15.22.

15.24. 1 2

15.31. 1 ≠0

. 15.25. 1 − ; 2

15.32. 1

x= ; 2 a

x≠0 1

15.30. 1 x

361

Відповіді та вказівки до вправ

≠0 x=

≠

x=1

= = 2

≠

1 =0

≠ 0

≠

a−9

≠ 2

1 a+2 3

a+3

. 15.33.

. 15.37.

+ 1

2 +2

1 (b − 1) (b47 + b46 + ... + b + 1)

(b − 1) (b23 + b22 + ... + b + 1)

b48 − 1

= b244 + 1. 15.38.

b24 − 1

15.41. x

−1

a −1

(a5 − 1) (a5 + 1) (a − 1) (a + 1)

3 b−2

;

16.20. 2

17.15. 2 2

3 2

b − 3b + 9

15.40. 1

+ 10

a 8 + a 6 + a 4 + a2 + 1 =

15.42.

−1

a −1

m+2

m n −5

;

1− k

. 16.10. 1

1 16.12. 1

1 ( x − 7)

3 4

17.16. 1 . 17.21. 1

16y − y3 1 6

;

; 2 2

a2 + 2ab + 4b2 (a − 2b)2

; 2

2 − 2b 8b3 + 1

1− a y+6

;

y+2

; .

1 2 2

. 17.23. 1 −

. 17.12.

0 1 17.17. 1 0

2n3 9m − n

2b + 1 12b − 6

. 16.11. 1

16.23. 1 1 2 1 2 2 1 1 1 16.26. 1 2 + 1 16.27. 2 16

;

a −5 a+5

16.22. 1

p −5

; 2

; 2 2

4 . 16.21. 2

2 1 2 1 1 2 16.25. 1 10 2 2 +1= + 2 = + + 2 2 2 17.11.

x +x+1

16.9. 1 − ; 2 2

x2 + 1

x2 + x2 + x + 1

x =

+ 1

15.39. 1

;

y+2 7

a+b ab

. 17.20.

; 2

1 2x

;

(a5 − 1) (a5 + 1) (a − 1) (a + 1)

362

Відповіді та вказівки до вправ 100b2 2

2 2

(a − 25b )

;

y−2 1

(a − 1) (a − 2) 5

x (x + 5)

. 17.27.

1 a−2

−

35 36 1

a −1

. 17.29. 1

(a − 1) (a − 4)

a (a + 12)

. 3

. 17.30. 1

(a − 7) (a − 1)

;

. 17.34. 1

17.35. 17.36. 12

=0 1

17.37. 12 17.38. + =0 + =0

1 2

x +1 x ( y − x) 2

(x + 1) (xy + 1)

xy = 1 +

b−c b+c

c−a c+a

=−

y ( y − x) 2

( y + 1) (xy + 1)

( a − b) (b − c) ( c − a ) ( a + b) ( b + c) ( c + a )

9 4

1 xy + 1

= 0 17.39. 2

−

1 2

y +1

x≠y

a−b 89

. 17.41. 1

b−c

a+b

b+c

a−b

a+b 91 60

b−c b+c

c−a c+a

1 30

=−

1 2 ab

17.43.

c−a c+a

1 17.42.

xy + 1

17.40.

−

bc a2

ca b2

abc c3

bca a3

cab b3

 1 1 1 = abc  3 + 3 + 3  . a b c  1 17.44. 1 2

17.45.1 +

1 + x + xy xy

xy + xyz + x2 yz

1 1 + y + yz

1 1 + z + zx

1 1 + x + xy

x x + xy + xyz

( a − b) (

( a + b) (

363

Відповіді та вказівки до вправ

18.18. 1 0 2

an − bn a

n n

−a b +b

18.23. 10 18.24. (a − 5)

18.27. 1

. 18.21. 1 x2y

. 18.20. 1

x n + 2y n

. 18.22.

+ 2x n yn + 4y2n

2 18.26. 1 1 2 1

a + b −1

; 2 1 18.30. 1

; 2

18.25. 2

(a + 5)2

2 18.19. 1

a − b +1

(x + 3) (x + 7)

; 2

(x − 3) (x − 7)

. 18.31.

 n − 3 1  ;2  n + 1  3

19.1. 1 2

1− a

; 2

b−3

a+2

x + y 2 19.4. 1

a−2 7+x 7−x

19.11. 1 − a2 b

;2 1

19.18.

x+2 2

. 19.20.

;

a − 2b

;

19.3.

a+b 2ab

1 a

;

6 a

;

a+2 b−a a 4b4

1 b

a −1 a

2 3−b

;

. 19.7. 1 a+b

;

. 19.2. 1

;

1 x+y

;

a 2 + b2

. 19.10. 1 y 2

19.12. 1

(a − 2) (a − 1)

. 19.21.

x+3

a +1 1

x−3

;

y+2

19.16. 1 1

a+5 x+8

; 2

a 3 b3

x−8

19.9. 1

2 1

a+b a−b

;

. 19.15.

. 19.22. 1

1 1   1 (a + b + c)  + + . 19.23.  a + b b + c c + a  1 1   a b c   1 + + + +   æ   . 19.24. 1 b−c c−a a−b b − c c − a a − b 1 1+

20.9.

x= 1

1 2+a

1+ a

1 =1 −1 ∈ D (f ) ∩ D ( g ), 1 =

x= 1 ≠

−1 ∉ D (f ) ∩ D ( g ) 20.10. 1

13 4

1 ≠

364

Відповіді та вказівки до вправ

0 2 20.11. 1 10 2 0 20.12. 2 20.13. 2 0 20.16. 20.18. 1 0 2 0 21.1. 1 = 1 2 = 2 =0 x = 0 = x=

=1 = x =

20.14. 1 20.17. 1

b=− ,

≠ x=

x= 1 = 1 x=1 ≠1 x= 1 2 ≠ 2 x= x=0 ≠ x= x= = ≠ ≠ 2 x= x= 2 = = 2 x= = =0 ≠ ≠0 x= =0 x=2 x=1 ≠0 ≠1 x= x = 2 21.4. 2 =1 ≠ ≠1 x= =0 x= = x= ≠0 ≠ x = 2 21.5. 1 = 2 x=2 ≠2 x= +1 2 =2 = x=1 x=0

≠

≠ 1

= 2 5

a= ,

≠ 2

x= 1 2

a−2

; x=

≠0

2 x

b≠− , 2

; x =

≠1 ≠ x=2 5

≠2 a≠ , 2

. 21.6. 2 5

a −5

≠ 0

3−a

a≠

≠

= 0

= 1

b≠− ,

x =

b≠

20.15. 10 2

≠ 1 ≠ 2 x= 2 ≠0 ≠ =0 x ≠ 0

≠2

21.2.

21.3. 1 ≠ 1 = 2 x= x= 2

4 (b + 1) 3

b=− ,

= 0

; ≠0

≠1

≠

≠ 1

= x=

b2 − b b +1

;

365

Відповіді та вказівки до вправ 8

b= ,

13 4

, ≠

x 1

3−b

. 21.7.

b= ;

b=− ,

22.21. 1 2

2 9

125 4

− ;

23.16.

4 7

≠

= 1

b= ,

≠

=1 = 1

22.31. 1

23.6.

23.17.

= 2 = 0 = 1 21.10. 1

. 22.30.

;

= 1

= 0 =0 =2

21.9. 2 =0 =0

23.5.

= 2

= = 1 =

= 0 21.8. 1

= 1

a=− ;

= 2

b≠ , b≠

23.15.

23.21.

1 0

До задачі 23.21 (3)

23.25. 1 1 23.28. 1

23.27. 1 2a2 2

3a − 1

; 2

24.20. 1 2 2

a+b

1 − 6b 2

До задачі 23.21 (5)

2 1

; 2

;

x2 + 1 x2 − 1

24.30.

−

. 23.29. 1

23.30. 1 1

2 23.26. 1

1 m4

2 1 a

;

a+b

0 2

2 = 0

24.21. 1 2

366

Відповіді та вказівки до вправ

≠ 0 24.37.

24.36. y

y 1

До задачі 2 .3

(3)

До задачі 2 .3

(3)

1 2  1 f  −  = − . 24.41. f (x) = − .  x x x x x 12 2  3f (− x) + 2f (x) = ; f (− x) =  − 2f (x) .  x 3x x

24.38.

24.42. f (x) = − . x

25.20. 26.17. 1 a 1; 2 a 2;

−1 a 1.

6   − ;  ; 11  + + 0 28.17. 1 + 2 + + 28.18. 1 2 1 28.19. 1 2 28.20. 28.21. 28.24. 12 28.25. 28.26. 1 28.27. 21 28.32. 1 ≠ 1 28.33. 2 ≠ 0 28.34. 1 = 2 = 1 28.35. 1 = 2 = = 28.36. 1 0 x 0 0

28.16. 2

x> ;

0 x

x x

a − 3; 2

= 2

2 x x a − 3;

x x

x< ;

x 1;

0 2

x +2 2

= 2

367

Відповіді та вказівки до вправ

≠0

28.37. 1

x 1

a+4

1 x> 2 a

2−a a +1 12 5

;

a+4 2−a a +1

a 3

a=− ;  1 13  29.22. 1  ;  ; 2  7 10 

29.29. 1 +

4; 2 x

[0; 1) ∪ (1; + );

1 +

a 1, [1; + ) ∪ {a}; 1 +

(− ; − 1) ∪ (−1; 0);

a 3. 29.40. 1

−1; 2

= 1 29.42.

2 29.43.

− 3,

10 < a 11.

29.44.

a < 9. 29.47.

29.50. 1

a 1,

2 a 1,

1 a 1,

1 < b 2. 29.46. = 1 29.49.

29.34. [2; + ); ∪ {0};

(− ; − 3] ∪ {1};

a 2, a

29.45. 29.48.

(− ; 2]. 29.37. 1 (−3; 1) ∪ (1; + );

(− ; 1) ∪ (1; 3);

1 29.41. 1

a 1, 1

−6 b < −5. (1; a) ∪ (a; + );

1 + 1

(− ; a] ∪ {1};

;

10 +

(0; 1) ∪ (1; + ); 2

10 11 29.25. 1 2 14 x 17.

(− ; − 1) ∪ (−1; 0]. 29.39. 1

x < . 29.28. 2

(− ; − 2] ∪ {0};

{1} ∪ [3; + );

29.38. 1 a

2 1 29.30. 29.36. 1 (−2; 0) ∪ (0; + ); 2 [−2; + );

(− ; 0) ∪ (0; 2);

a= .

2 1 0 2 29.26. 1 0

29.27. 1 −1,5 x < 2,5; 2 0

;

29.24. 1

 1 3 29.23. 1  − ; −  ; 2  2 8 + 2

0. 28.39. 1 a = ; 2

28.38. 1 a a

;

1 (− ; − 1) ∪ (1; a);

29.51. 1

(−1; − a) ∪ (−a; + ); 2

a 1,

368

Відповіді та вказівки до вправ

1 +

[−1; + ) ∪ {−a};

(− ; − 1) ∪ (−1; − a);

a 1,

(− ; − a] ∪ {−1}.

1 30.13. 30.14. 1

30.15.

x 2

30.17. 1 1

2 2

30.22. 1 3 9

2 2

; ;2

 3  7 ; +  ;

30.24. 1

11    − ;  ; 7

2 3

;

1 1

a>− , 3

2 = 30.31. −2 < a

= 2

x 2 30.30. 1

≠1

x= 2 2

− 1.

30.32. 4

1 31.15. 0 0 1 1

;

1   − ;  . 30.23. 3

a<− ,

a=− ,

31.4. 1

; 2 0 1

0 2 30.25. 1

2  30.26. 1 (− ; − 6) ∪  ; +  ; 2 3 

1 1

− ;

(− ; 3] ∪ [5; + ).

12 2

(− ; − 4] ∪ [−1; + ). 30.29. 1

2 + 3  2  ;+ ;  2

1   − ;  ∪ [3; + ); 5

1 10

0 1

2 0 30.18. 1

0 2

 1  2 − ; +  ;   2

2 +

30.16. 1

− . 30.20. 1

2 +

;

1 =

2 2

. 30.19. 1 1 2

2 30.21. 1

a 1,

a < 6.

1 2 31.5. 1 31.21. 1

1 2 0 0

369

Відповіді та вказівки до вправ

32.14. 1 10 2 2 2 1 21 20 0 2 + 0 32.15. 1 1 2 21 20 32.16. 1 + 32.17. 2 0 0 + 0 0 0 + 1    1 32.18. + 32.19. 1 1 + 2 − ; +  ;  ; +  ;  4  3 [4; 4,5) ∪ (4,5; + ). 32.20.

10 10 32.21.

32.24. 1

[0; 9) ∪ (9; + ); 2 (− ; 8) ∪ (8; + ); 0 + 0 (− ; 0) ∪ (0; + ); 11 0 32.25. 1 [0; 1) ∪ (1; + ); 2 + 2 32.26. + 2 32.27. 1 2 (−3; − 2] ∪ [2; + ). 32.28. 1 1 2 211 32.29. 1 00 2 32.30. 2 x2 = x 2 2 + 1 32.31. x 2 + x 12 = x 32.32. 2 32.33. 1 0 2 0 + 0 1 2 1 1 1 10 2 11 2 1 1 1 32.34. 1 0 2 0 0 + 1 1 10 2 1 32.35. 1 1 2 = 1 32.36. 1 0 + 2 0 0 + 0 + 32.37. 1 1 + 2 1 32.38.

{} 1

;

0 0 +

12 1

1 1 0

2 1 1 0

До задачі 32.3

x (3)

=0 0 +

1 0

До задачі 32.3

( )

32.40.

До задачі 32.3

( )

32.42. 32.43. 1 =0 ≠0

≠ 0 ≠0 b

32.44. 1 0 + 2 0 + 1 0 1 0 32.45. 1 1 +

≠ 0 a

0; =0

0 0 + 2 [1; + ) ∪ {0};

370

Відповіді та вказівки до вправ

0 1

1 + 1 + D (y) = {0} ∪ [1; + ). 32.47.

0 1

32.46.

y = x2

1 1 0

1 0

До задачі 32.

32.48. 1

0 2

a 1. 32.52. ≠0 x=0

x=1 2 =0 a 1,

x x=

mq + np nq

≠0

=0 x 1; ≠1 0

x=2

33.11.

32.53. 1

=1 x 1; a

0 2 a =1

a<4

= 1 2 a 1. 32.50. 0

До задачі 32.

0 32.49. 1

32.51. 1

x=1

1 x

≠2

x=2

s ∈ , t ∈ .

33.12. 3 + ( − 3 ) = 0; 2 3 æ 0 = 0. 33.15. a ∈ , 2

33.13. 1

3 æ 3 = ( 3 ) = 3; = 0 33.16. 1 = 11 = 2

= = 33.20. 2 (a − b) = a − c. 33.21. = 2 = 1 2 (2 + p) = − p − q − 3. 33.23. a− b=

a−b

a ∈ , b ∈ .

33.24. a+

b−a 2

a− b

a+ b

. 33.25.

x + 2 = a, a ∈ .

a+b 2

x = a − 2.

371

Відповіді та вказівки до вправ

x3 + 2 = a3 + 6a − (3a2 + 1) 2, + 1 ≠ 0 33.26. 1 x = 2 − 3; 2 1

x + 3 = n, 1 x

(n −

= m − 3.

+ 3 = m, n ∈ , m ∈ .

x =n− 3

3 ) (m − 3 ) = 1. 33.27.

y = 2x. 5 − 2 3. 34.26.

34.25.

− 2. 34.27. 0

34.36. 1

34.37. 1 2 2

34.40. a

34.41. 1 0

0 2

−a − −b. 34.42. 1 2

− . 34.43. 1

a 5; 2

b<− ;

1 −6 3; 2 6 7b;

6 m−2 m a a− b 22 9−a

;

; 10

4 xy

9 5a;

−a ab;

0 35.28.

10a3 a. 35.30. 1 16 + 3; 2 −10 5 − 5;

35.31. 1 10 − 4 2; 2

− .

10 3;

35.27. 1 6 2; 2 11 2;

b<− ; 2 + 1 2

0 −

;

4 a 16 − a

x. 35.39. 1

b 4 a+ a

. 35.40. 1 m4 −m ;

−3xy7 5x;

8ab4 b;

35.41. 1 −m9 −m ;

a11b12 a ;

−2c3n3 p3 −2 p. 35.42. 2

a − 2;

2 35.38. 1 a+ b

;

;2 −

a 2b6 b ;

2 1 ab

;

c +5 3 y

;

−2x3 y;

−11m5b9 2m; −7a b;

3 c

;

a4b4 ab;

a −1;

; n m

;

m3n3 mn ; mnp7 − p . −3x7 y17 3x; b

372

Відповіді та вказівки до вправ

b − b = − − b3 ;

− −5a9b. 35.46. 1 a a− b

− x 3 y5 ; 1

c7 ;

a+ b 2 a

. 35.47.

6 + 5;

7 − 3;

5 + 2;

5 − 1;

+ 1;

5 − 2 3;

3 3 − 1. 35.50. 1

35.49. 1

36.17. 1

4− x−4 x−4

a. 36.18. 1

x2 =

x2 = 2 37.31. 1

3 a 7, x

a 36.

0 x

;

2 2;

8, 0

1 a < 1,

2 − a − 3; x.

36.20. 1

37.12. 37.13. 10 37.14. 1 0 1 4 1 0 ; 2 −2 2; 2 2. 37.20. 2 3 37.22. 1 2 0 37.27. 1 0 2 0 37.28. 1 0 37.29. 1 2 2 0 2 37.30. 1

2 a

2 x − 2;

1 0

36.15. 2 a + 1

a − 3 − 2; 36.19. 1

4 2

1 36.14.

a 1,

6 + 3;

a − 4 + 2;

a 1. 36.16. 12

7 + 1; 2

2a − 1 + a .

x +1; 2 2 x

3 + 2;

a + 2. 35.58. 1

0 0

;

a − 3 + 2;

36.7. 1 0 1 2 0 1 1

a − 1 + 1; 2

2 35.57. 1 1

a−b

;

5 3 − 4. 35.51. 1

15 + 3;

p5 ;

2 + 1; 2

+ ;

a−b

; 35.48.

x + 1 − x − 1;

x − 2 + 2;

a − b + ab

− ab;

35.54. 1 4 + 2; 2 3 3 + 1; 2

a3b3 . 35.43. 2 − 54n2 ;

2 37.21. 1 0 2 0 1

= 1 x2 = ; 4

0 1 1 1

2 0

= 0 x2 = 2

= 2 x1 = 2 x 2 = 2 2

37.15.

2 1 =

x1 = − 2, x2 = 2;

373

Відповіді та вказівки до вправ 7

3 − 21

38.6. 1 1 − ; 2 1 1 7

2 1 −

. 38.8. 1 3 − 21 6

3 + 21

;

38.10. 1

1 25

;

. 38.9. 1

−3 5 2

38.11. 1 − 2; −2 2; 2 2 4

38.13. 1 − . 38.15.

38.18. 10 11 38.19. 1 1 38.22. 11 1 38.23. 38.25. 38.26. 1 = 12 38.28. 1 =1 2 1 − 17

;

1 + 17 2

38.30. 1

12 2

1 −

;

38.35. 1

1 6

3 + 17

1 2

;

1 3

2 2

38.41. 1

≠0 2

12 0 1 −3 + 14;

2 10

2 3

; − ;

. 38.44. 1 x =

− ;

;

11 0 1

38.34. 1 1 2

a= , 2a − 1

10 2

0 ;

=0 x=

−1 + 41

; 1 38.42. 1 − 3; 1 2 0

2 x=2

. 38.12.

−8 − 79;

1 1

38.36.

;

3 − 7; 3 + 7; 3 − 3; 3 + 3.

38.33. 1

2 0 2

1 1 0

31 22

38.20. 38.21. 10 38.24. 1 38.27. 1 = 2 2 = = 38.29. 1

1 12 −2 − 2 3; −2 + 2 3; 4 + 2 2. 38.31. 1 38.32. 1

;

38.17.

−7 − 34; −7 + 34;

−2 + 14

; 2

−1 − 41

− ;

;

2 2 11

. 38.7. 1 2 − ; 2

−3 − 15; −3 + 15;

;

38.16.

−2 − 14

; 2

3 + 21

;

3; 1 2

−3 − 17 2

38.43. 1 x = 2 x=

25 a 1

x= ; 3

; 1 1 1

x=− ; a 1

a≠ , 2

2 x=

374

Відповіді та вказівки до вправ

=0 9

b=− ; 2

= 0

38.45. 1 =1

= 2 38.46. 1

≠0

x=1

b = 2 6,

= 0

b = −2 6;

0<a< .

38.47.

x= .

x=1

39.8. x2 = 10 = 20 39.9. x2 = = 1 39.10. x2 = 2 =1 39.11. x2 = 1 = 1 2 39.12. 20 39.13. 39.18. x1 = 1 x2 = = 39.19. x1 = 1 x2 = = 39.20. x1 = x2 = 2 = 1 39.21. x1 = 1 x2 = = 39.22. 1 1 2 x12 + x22 = x1 + x2 2 2x1x2 1 39.23. 1 0 2 −

57 16

x2 − x1 = (x2 − x1 )2 . 39.24. x2 + 12x +

89.

;

+1 = 0 39.25. x2 1 x + =0 39.26. x2 1 x + = 0 2 39.27. x 1 x + = 0 39.28. = 2 = 2 39.29. = = 39.31. 1 2 11 11 1 1 39.32. 1 2 1 1 39.33. = = 0 =1 = 2 39.34. = 39.35. = 39.36. = 2 39.37. = 39.38. = = 1 39.39. 1 = 2 2 39.40. = 2 39.41. = 0 39.42. = 0 2a − 3

40.3.

a−6 4x − 3

40.4.

x −1

;

b−3

;

2b − 1 2y + 5 y −1

c +1

;

c−2 a +1

;

a −5

;

m2 + m + 1 m + 10 3−b

;

b −1

40.10. 1 1 2

2b + 1 b

− ;

; +

40.15. 1 40.17. 2

10 2u + t t − 3u

2x =

4 3

y + 1 = 0 2x + y y+2 x x2 ≠

a+3 a+2

5n + 1

; 2

x=1

. 40.9. 1

y = 2x

x ≠

1 − 4n

;

y a + 3b

40.16. 1

. 40.18. 1

2 40.19. 1

x+8

40.14. 1

x+4

1   − ;  ; 2

. 40.5.

40.7. 1 (− ; − 2) ∪ (−2; + ); 2 . 40.8. 1 2

−

;

2b − a

y =

2=0 y2 + y 2 = 0 = 2 =

375

Відповіді та вказівки до вправ

≠

= 1

x x=

≠ 1

2a + 1 a −1

. 40.20.

x ≠

= 1 9

40.21. 1 a > ; 2

( 2 )2 − x2

a+8 a −1

40.22.

40.23.

≠ 1

1− 1+ 4 2

1+ 1+ 4 2

;

2 + x3 − x2 = 0. 2. 40.24.

1− 4 3 −3 2

;

1+ 4 3 −3 2

;

−1 − 1 + 4 3 −1 + 1 + 4 3 ; . 2 2 2

1 2 − ;

41.1. 1 0 1

2 7

41.2. 1 ;

1 2

41.3. 1

41.5. 1 3 − 3 2; 3 + 3 2; 2 2

41.7. 1

2 2

20 2

≠ 2

a≠ ,

41.16. 1

1 2

41.8. 1

0 41.10. 1

4 5

−5 − 3

;

− ; 0 41.15. 1 =

x = 2 ≠0

x=2

−5 + 3

x=1

x= ≠1

2 2

1 1

a= ,

= 2 x=

− .

;

1 41.12. 1

x = ≠1

41.6. 1

3 ;

≠1 ≠ =1

x=1 x=

≠

− ;

41.14. 1 0 2 − ; 0

41.9. 1 − ; 1

41.4. 1 10 2

41.13. 1

20 2 41.11. 1

x = 2 =1

376

Відповіді та вказівки до вправ

=0 x= 2 =0 x=0 x=2 +1 x=

x= = 1 ≠2 =1 x=

= 1

x=0

1 2 = 2

1 x= x=1

a +1

= 1

a= ;

x=1

42.8. 1 − ; 1 2 0 3

2 42.9. 1

−1 ± 5

−3 ± 73 2

; 2

−2 ± 54 2

. 42.12. 1 0 5 ± 97

3 8

;

3 ± 73 16

42.15. 1 −5 ± 95; 2 −4 ± 5. 42.16. 1

2 42.19. 1

2 1 2

; 2

. 42.18. 1

−11 ± 105 4

−

15 2

;

10 3

;

1 0 1

; 2

5± 5 2

2x =

−35 ± 265

; 2 −3 ± 15;

1 1 2 2 1

. 42.13. 1 2

1 1

2 − ;

42.17. 1

−5 ± 3 5.

1 − ;

−4 ± 21.

−2 ± 5; 1 2

x2 −15 ± 129

. 42.14. 1

= −

2 −4 − 2 5; −4 + 2 5;

1 1

1 42.11. 1 1 2 0

= 2

− ; 10 42.10. 1 0 1 2 0

2 1

a = −2 5,

1 41.19. 1 7

≠ 1 = 1 ≠1 x= 2 x= 0 1 ≠ 1 ≠ 0 1 =0 ≠0 ≠ 1 ≠1

= 1

41.18. 1 a = 2 5,

42.7. 1 − 3;

x= ,

≠

41.17. 1 = x= ≠ 2 ≠ 0 x= = 0 ≠ +1 = 1 x= =2 x=

x=1

x= 1 ≠ 1

≠ 0

≠0 ≠

1 2

; 2 ± 3;

377

Відповіді та вказівки до вправ

1 2

−11 ± 85

3 ± 6. 42.20. 1 1

−1 ± 13 2 1

42.25. 1

2 1

;

; 2

1 2 1

9 ± 66;

11 ± 55

43.2. 43.4. 0 2 43.8. 43.12. 2 43.14. 0 2

43.17.

43.18.

1 4

3 ± 159 5

42.24. 1 2

;

7 1± 5 2

; ;

2 5 ± 21

; 2 3 ± 2 2. 42.26. 1 −1 ± 3

;

. 42.22. 1 −3 ± 3;

42.27. 1 2 −1 ± 3; 2 1

1± 5

43.1. 0 43.7. 0 43.11. 0

. 42.23. 1

; 2

42.28. 1

; 2 5 ± 31;

1 − ; 2

; 2 42.21. 1 2

2 2 ± 2;

5 2

; ±

3 11 11

; .

1 2

0 43.5. 12 43.9. 1 22 43.15. 0

. 43.19.

7 12

43.3. 0 43.6. 12 43.10. 10 43.13. 0 43.16.

. 43.20.

43.21. 1 10 43.22. 21 2 43.23. 0 43.24. 0 43.25. 43.26. 43.27. 12 43.28. 0 43.29. 2 43.30. 12 45.6. 1 x2 x 2 = x 2 x + 1 2 1 x 45.7. 1 = 45.8. = 45.9. 1 = 2 =1 2 = 2 = 45.10. = = 45.11. = = = 45.12. = 1 =1 = = 1 45.13. x + 45.14. 45.17. x 46.1. 1 1 ± 33 4

;

1 2

1 − 5 − 2;

1 2 − ;

1 − ;

46.2. 1 1 − 3 − 1; 5 − 2;

1 2

± 17 − 5 2

3 − 1; 2 2 ;

2 − . 3

378

ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК

0 2

2 2

2 2 2

2 1 2

2 22

21 2 0 1

1 2 2 2

1 2

222 222

2 1 2 0 2

379

Предметний покажчик

2 11 2

2 21 1 1

2 2

2 1

2 2

20 1 1

2 0 2

11 2

1 1 1

1 0 1 0 1

2 2 2 1

1 1

1 1 0

1 1 2 1

2 1

1 1 2 2

380

Предметний покажчик

1 2 1 0 1 2 1 2 2

2 2 2

112

2 1

1 1

2 1

1 1

2 2

381

ЗМІСТ

§ 1. Повторення та систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 7 класу 1 2

1 20

§ 2. Множини та операції над ними

2 2 2

1 § 3. Основи теорії подільності

11 12 § 4. Раціональні вирази 1

1 1

1 1 1 10

382

Зміст

1 112 1 120 12

1 20 21 22 2 2

k x

§ 5. Нерівності

1 1 1 1 1 1 1 0 1 2

2 2

1 2 1 1

2 2

1 2 1 20

0 § 6. Квадратні корені. Дійсні числа 1 2

y = x2

21 21 222 2 2 2 2 2 2

Зміст

y= x § 7. Квадратні рівняння

0 1 2

383

2 2 2 2 2 0 2 1 2 0 10 21 22 2 1