ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк 2018 поглиблене by sloven

ГДЗ Алгебра 10 клас Мерзляк 2018 поглиблене § 2. СТЕПЕНЕВА ФУНКЦІЯ 2. Степенева функція з натуральним і цілим показником 2.1. А(2; -12); -12 = а ∙ 24 12 3 3 𝑎𝑎 = − = − При а = − графік функції у = ах4 проходить через точку А. 4 4 2∙2∙2∙2 2 (−3)∙(−3) В(-3; -3) : - 3 = а ∙ (-3)4; а = = (−3)3 = −27. При а = −27 графік −3

.in .u a

функцій проходить через точку В. 2.2. y = ax3 20 4 1) A(-5; 20), 20 = a; (-5)3 : 20 = - 125a; a = − =− ; 125 25 1 1 4 1 2) 𝐵𝐵 = �2; � ; = 𝑎𝑎 ∙ 2 ; = 8𝑎𝑎; 𝑎𝑎 = = ; 24 24 24 24∙8 192 19 1

2.3. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ; 1) 𝑓𝑓(1,4) < 𝑓𝑓(1,8); 3) 𝑓𝑓(−6,9) < 𝑓𝑓(6,9); 2.4. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 21 ; 1) 𝑓𝑓(3,6) < 𝑓𝑓(4,2); 3) 𝑓𝑓(−2,4) < 𝑓𝑓(2,4); 1 2.5. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 16 , 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 16 ; 2) 𝑓𝑓(−4,5) < 𝑓𝑓(−3,6); 4) 𝑓𝑓(−18) < 𝑓𝑓(3). 2.6. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 19 ; 𝑓𝑓(𝑥𝑥)1 =

𝑥𝑥

1919

;

2) 𝑓𝑓(−7,6) > 𝑓𝑓(−0,8) 4) 𝑓𝑓(0,2) > 𝑓𝑓(−12) 2) 𝑓𝑓(−6,7) > 𝑓𝑓(−5,8) 4) 𝑓𝑓(−15) > 𝑓𝑓(2) 1) 𝑓𝑓(1,6) > 𝑓𝑓(2,2); 3) 𝑓𝑓(−3,4) = 𝑓𝑓(3,4);

1)𝑓𝑓(1,6) < 𝑓𝑓(2);

ko la

2) 𝑓𝑓(−5,6) < 𝑓𝑓(−6,5); 3) 𝑓𝑓(−9,6) < 𝑓𝑓(9,6); 4) 𝑓𝑓(0,1) < 𝑓𝑓(−10) 2.7. xn = 1600; 1) n – парне натуральне число; два корені; 2) n – непарне натуральне число; один корінь; 1 1 2.8. х-n = 2 500; 𝑛𝑛 = 2500; 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = ; 2500

𝑥𝑥

1) n - парне натуральне число, тому 𝑥𝑥 𝑛𝑛 =

2500

має два корені;

2) n – непарне натуральне число, тому рівняння 𝑥𝑥 𝑛𝑛 =

2.9. 1) х4 = х + 1 – два корені; 2) х4 = 3 – 2х – один корінь; у = х6 2.10. 1) � ; 2х − у − 3 = 0

1 −1

2.11. 1) у = (х ) , у = � � −1 −1

(−∞; 0) ∪ (0; +∞).

2500

має один корінь.

3) х4 = 0,5х – 2 – жодного кореня; у = х6 � у = 2х − 3

, у = х; 𝑥𝑥 > 0. Область визначення функції це 𝐷𝐷(𝑦𝑦) =

1 )−2 , 𝑥𝑥 − 2 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑦𝑦 = ((𝑥𝑥 − 2)−2 )−2 , 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 − 2)4 ), 2 (𝑥𝑥 − 2) 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (−∞; 2) ∪ (2; +∞) 2.14. 1) 𝑥𝑥 12 = 𝑎𝑎 − 6, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 12 − графік цієї функції симетричний відносно осі Оу, 𝑦𝑦 ≥ 0 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 − 6, графік цієїфункції пряма, яка проходить через точку (0; −6), то рівняння має два корені; якщо а − 6 > 0, тобто 𝑎𝑎 > 6, то рівняння має два кореня; якщо а − 6 > 0, тобто 𝑎𝑎 = 6, то рівняння має один корень; 2) ((𝑥𝑥 − 2)−2 )−2 , 𝑦𝑦 = (

2.20. 1) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥

−2

.in .u a

якщо а − 6 < 0, тобто 𝑎𝑎 < 6, то рівняння немає коренів; 2) х24 = а2 + 8а − 8 (1), у = х24 − графік цієї функції симетричний відносно осі Оу, у ≥ 0 Якщо а2 + 7а − 8 = 0, то а = −8, а = 1, тоді рівняння (1)має один корінь; якщо а2 + 7а − 8 > 0, тобто а 𝜖𝜖(−∞; −8) ∪ (1; +∞), тоді рівняння має два корені, якщо а2 + 7а − 8 < 0, тобто а 𝜖𝜖 (−8; 1) тоді рівняння (1)не має коренів. 2.15.х5 = 9а − а3 (1). Графік функції у = х8 симетричний відносно Оу, у ≥ 0; Якщо 9а − а3 = 0, тобто а(9 − а2 ) = 0, а(3 − а)(3 + а) − 0; а = 0, а = −3 і а = 3, то рівняння (1)має один корінь; Якщо 9а − а3 > 0, то а(3 − а)(3 + а) > 0, тобто а 𝜖𝜖(−∞; −3) ∪ (0; 3), тоді рівняння (1)має два корені; Якщо 9а − а3 < 0, то а 𝜖𝜖(−3; 0) ∪ (3; +∞), тоді рівняння (1) немає коренів; 1 2.16. у = х3 − 1, 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞), 𝑦𝑦 = 3 − 1; 𝑥𝑥

+ 2. 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 𝑦𝑦 =

+ 2; 1 2) 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 − 1)−3 , 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = (−∞; 1) ∪ (1; +∞) 𝑦𝑦 = (𝑥𝑥 − 1)3 2.21. 1) у = х−5 − 3, х ≠ 0; у = (х + 1)−4 ; х ≠ −1; 𝑥𝑥 −2 , якщо 𝑥𝑥 ≤ −1; 2.22. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � 𝑥𝑥 2 , якщо х > −1, Функція зростає, якщо х 𝜖𝜖(−∞; −1], 𝑥𝑥 𝜖𝜖 [0; +∞) . Функція спадає, якщо х 𝜖𝜖(−1; 0] 𝑥𝑥 3 , якщо х < 0; 2.23. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = � На проміжку (−∞; 0) функція зростає, а на проміжку −√𝑥𝑥, якщо х ≥ 0 [0; +∞) функція спадає 2.24. 1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 9 , х 𝜖𝜖 [0; 2]. На цьому проміжку функція зростає, тому найменше значення функція приймає, якщо х = 0, тобто 0𝑛𝑛 = 0, а найбільше − якщо х = 2, тобто 2𝑛𝑛 = 24 ∙ 24 = 16 ∙ 16 = 256; 2) 𝑥𝑥 𝜖𝜖 [−2; 1) На цьому проміжку функція спадає, тому найбільше значення функція приймає, якщо х = −2, тобто (−2)8 = 216, тобто 18 = 1; 3) 𝑥𝑥 𝜖𝜖 [−1; 1]. Якщо х = 0, то функція приймає найменше значення, 01 = 0, якщо х ± 1, то функція х = ±1, то функція приймає найбільше значення, тобто (−1)5 = 15 = 1, бо на проміжку [1; 0]функція спадає, а на проміжку [0; 1ї] − зростає 4) (−∞; −2]. На цьому проміжку функція спадає, найбільше значення вказати не можна, а найменше значення функція приймає, якщо х = −2, тобто (−2)8 = 216

ko la

𝑥𝑥 2

2.25. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 . 1) На проміжку � ; 2� функція 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 спадає, тому найбільше 3 𝑥𝑥 1 1 1 значення 𝑓𝑓 � � = 34 = 27, а найиенше значення 𝑓𝑓(2) = 3 = 2 8 3 1 2) На проміжку [−2; −1]функція 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 спадає, тому найбільше значення 𝑥𝑥 1 1 1 𝑓𝑓(−2) = = − , а найменше значення 𝑓𝑓(−1) = = −1 (−2)3 8 (−1)3 1 3) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3 , спадає тому найбільщого значення вона не набуває, а найменше 𝑥𝑥

1 = −27 (−3)3 2.26. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 1) 𝑓𝑓(−4) > 𝑓𝑓(−2), 𝑛𝑛 − парний показник; 2) 𝑓𝑓(−4) < 𝑓𝑓(2), 𝑛𝑛 − непарний показник; 3) 𝑓𝑓(−4) < 𝑓𝑓(−2), 𝑛𝑛 − непарний показник; 4)𝑓𝑓(4) > 𝑓𝑓(2), 𝑛𝑛 − може бути парним і непарним; 5) 𝑓𝑓(−4) > 𝑓𝑓(2), 𝑛𝑛 − парний показник; 6) 𝑓𝑓(4) > (𝑓𝑓(−2), 𝑛𝑛 − може бути парним і непарним; 1 2.27. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 −𝑛𝑛 , тобто при 𝑥𝑥 ≠ 0. 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑛𝑛 значення 𝑓𝑓(−3) =

𝑥𝑥

.in .u a

1) 𝑓𝑓(−2) < 𝑓𝑓(−1), тоді 𝑛𝑛 − парне число; 2) 𝑓𝑓(−2) < 𝑓𝑓(1), тоді 𝑛𝑛 − непарне число; 3) 𝑓𝑓(−2) < 𝑓𝑓(−1), тоді 𝑛𝑛 − парне число; 4) 𝑓𝑓(2) < 𝑓𝑓(1), тоді 𝑛𝑛 − парне число; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 −5 ′ 2.28. 1) � 2 система має чотири пари розв язків; 𝑦𝑦 = 4 − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 −3 2) � система має дві пари розв′ язків; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 + 3 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 −3 система має три пари розв′ язків; 2.29. 1) � 1 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 − 4 8 −2

ko la

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2) � система має дві пари розв′ язків; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 − 2

§ 3. ОБЕРНЕНА ФУНКЦІЯ

3.1. а)Оборотна, б)не є оборотною, в)оборотна, г)не є оборотною. 3.2. а)Оборотна, б)не є оборотною, в)оборотна, г)не є оборотною. 3.3. 1) 𝑦𝑦 = ⌊𝑥𝑥⌋ j—не є оборотною, бо для 𝛾𝛾 0 =5 є E(y) існує два значення 𝑥𝑥0 є D(y) такі, що х0 =5, це х0 =±5. 1 1 2) у= 4 не є оборотною, бо для у0 =1 𝜖𝜖 E(y) існує два значення 𝑥𝑥0 𝜖𝜖 D(y) такі, що 4=1, це 0

х0

х =±1. 3) у=5 не є оборотною, бо для будь-якого Х 𝜖𝜖 D(у) у=5. Тобто безліч х0 𝜖𝜖 D(у), для яких у0 =5. 4) у=[х] не є оборотною, бо для у0 =1 𝜖𝜖 Е(у) існує більше одного значення х0 =1 𝜖𝜖 D(у) такі, що [х]= 1, наприклад це х0 =√2 і х0 =1,1. х 1 3.4. 1) f(х) = + , g(х)=3х-1. 3

D(f) =R = E(g); D(g) =R = E(f). Нехай f(х0 ) = у0 , тобто у0 = 0 + х

1 3

. Доведемо, що

g(y0 ) = x0 . Маємо f(х) = + і g(х)=3х-1. – є взаємно оберненими.

2) f(х) =

х−2

, g(х) =

2x+1 х

D(f): х—2 ≠0 ≫ D(f)= (−∞; 2) ∪ (2; +∞).

Знайдемо E(f) – це всі значення а, при яких рівняння = а має розвязки. х−2 х≠2 х≠2 1 =а↔� �х = 1 + 2 х−2 а(х − 2) = 1 1

Тобто + 2 ≠ 2; ≠ 0 при а ≠ 0 рівняння а

х−2

= а має розвʼязки. Отже Е(f)= (−∞; 0) ∪

2−b

.in .u a

(0; +∞). D(g): х≠ 0 → D(g) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 2х+1 Знайдемо Е(g)—це всі значення b, при яких рівняння =b має розвʼязки. х 2х+1 2х + 1 = bx; =b ↔ � х x ≠ 0; 2x − bx = −1; .� x ≠ 0; (2 − b)x = −1 .� x≠0 1 x=− 2−b .� x≠0 1 2х+1 Тобто − ≠ 0 → при b ≠ 2 рівняння = b має розвʼязки. Отже Е(g)= (−∞; 0) ∪ (0; +∞). Маємо: E(g)=D(f) та D(g)=E(f). Нехай f(x0 )=y0 , тобто y0 = (

f(х)=

2x+1

та g(x)=

х−2

x0 −2

+ 1):

x0 −2

є взаємно оберненими.

2+x0 −2 x0 −2

x −2

+ 0

x0 −2

x −2

∙ 0

= x0 →

ko la

3)f(x)=√x + 2 , g(x)=x 2 - 2; D(g)=[0; +∞) D(f): x+2≥ 0; x ≥ −2 → D(f)= [2; +∞); E(f):y≥ 0 → E(f) = [0; +∞). Знайдемо E(g):x 2 ≥ 0| − 2 → x 2 − 2 ≥ −2 → g(x) ≥ −2 → E(g) = =[-2; +∞). Отже, маємо: D(f)=E(g) та D(g)=E(f). Нехай f(x0 ) = y0 , тобто y0 = �x0 + 2. Доведемо, що g(x0 )= x0 . Маємо: g(y0 )= y02 − 2 = (�x0 + 2)2 − 2 = x0 + 2 − 2 = x0 → f(x)=√x + 2 та g(x)=x 2 − 2, де D(g)= [2; +∞), є взаємно оберненими. x 1 3.5. 1) f(x)=4x+2; g(x)= − 4

D(f)=R=E(g); D(g)=R=E(f). Нехай f(x0 )=y0 , тобто y0 = 4x0 + 2. Доведемо, що g(y0 ) = x0 . Маємо: y 1 4x +2 1 2 1 x 1 g(y0 )= 0 − = 0 − = x0 + − = x0 . Отже f(x)=4x+2 та g(x)= − не є 4

оберненими. x x 2)f(x)= ; g(x)= . x+1

1−x

D(f):x+1≠ 0; x≠ −1 → D(f) = (−∞; −1) ∪ (−1; +∞). D(g):x-1≠ 0; x ≠ 1 → D(g) = (−∞; 1) ∪ (1; +∞). х Знайдемо E(f)—всі значення a, при яких рівняння = а має розвʼязки. х

=а x ≠ −1; .� x(1 − a) = a; х+1

х+1

x ≠ −1; x = ax + a; x ≠ −1; .� x − ax = a; x ≠ −1; .� x(1 − a) = a; x ≠ −1; .�x = a ;

.�

1−a а

.in .u a

Тобто ≠ −1; 1−a a ≠ −1 + a; .� a ≠ 1; х 0 ≠ −1; = а має розвʼязки → .� → при a≠ 1 рівняння х+1 a≠1 .→ E(f) = (−∞; 1) ∪ (1; +∞). х Знайдемо E(g)— це всі значення b, при яких рівняння = b має розвʼязки. 1−х

=b↔ x = b(1 − x); .� x ≠ 1; x + bx = b; .� x ≠ 1; x(1 + b) = b; .� x ≠ 1; b ; x= 1+b .� x ≠ 1; b ≠ 1; Тобто 1+b b ≠ 1 + b; .� b ≠ 1; 0 ≠ 1; х = b має розвʼязки → .� → при b ≠ −1 рівняння 1−х b ≠ −1; .→ E(g) = (−∞; −1) ∪ (−1; +∞). Маємо: D(f)=E(g) та D(g)= E(f). Нехай f(x0 ) = y0 . Доведемо, що g(y0 ) = x0 .

ko la

1−х

Маємо: g(y0 ) = y0 : (1 − y0 ) =

.→ f(x) =

x+1

таg(x) =

3) f(x)=(x − 3)2 ; D(f)= [3; +∞); g(x)=√x + 3. E(f): (x − 3)2 ≥0 E(f)= [0; +∞). D(f): x ≥0 D(g)= [0; +∞); E(g):√x ≥ 0|+3 .√3 + 3 ≥ 3

1−x

x0 +1

: �1 −

x +1−x

0 0 0 :� 0 : = x0 → � = x +1 � = x +1 x +1 x +1 x +1 0

- взаємно обернені функції.

3.6. 1) y=3x-1 3x=y-1 𝑦𝑦−1 x= .

.in .u a

E(g)= [3; +∞). Отже маємо: D(f)=E(g) та D(g)= E(f). Нехай f(x0 )= y0 , тобто y0 = (x0 − 3)2 . Доведемо, що g( y0 )= x0 . Маємо: g( y0 )= � y0 +3=�(x0 − 3)2 + 3= |x0 − 3|+3 , оскільки x0 ≥ 3, то g( y0 ) = x0 − 3 + 3 = x0 f(x)= (x − 3)2 ; D(f)= [3; +∞) та g(x)=√x + 3 є взаємно оберненими.

𝑥𝑥−1

Введемо стандартні позначення y= 𝑥𝑥

Відповідь: y= − . 1

- обернена до функції y=3x-1. 1

2) y= → x= . Введемо стандартні позначення y= обернена до функції y= . 𝑥𝑥

𝑦𝑦

𝑥𝑥

Відповідь: y= . 1

3) y=

2𝑥𝑥+1 1

2x+1= 1

𝑦𝑦

2x= - 1= x=

1−𝑦𝑦 𝑦𝑦

ko la

𝑦𝑦 1−𝑦𝑦

𝑥𝑥

2𝑦𝑦

1−𝑥𝑥

Відповідь: y= 1

4) y= 𝑥𝑥+4 3

1−𝑥𝑥

. Введемо стандартні позначення y= 2𝑥𝑥

2𝑥𝑥

. x=y - 4 3

𝑥𝑥

обернена до функції y=

2𝑥𝑥+1

x=3y - 12. Введемо стандартні позначення y=3x - 12 обернена до функції y= 𝑥𝑥+4 . Відповідь: y=3x - 12 .

3.7 1)y=0,2x+3→ 0,2𝑥𝑥=y=y-3→x=5y-15. Введемо стандартні позначення: y=5x-15 – є оберненою до функції y=0,2x+3. Відповідь: y=5x-15. 2)y=

𝑥𝑥−1 𝑦𝑦+1

𝑦𝑦

→ x-1= → x=1+ ; 𝑦𝑦

𝑦𝑦

Введемо стандартні позначення: 𝑥𝑥+1 1 y= – є оберненою до функції y= . 𝑥𝑥

𝑥𝑥−1

𝑥𝑥+1

Відповідь: y= 3) y=

𝑦𝑦

→ x+2= → x= − 2;

𝑥𝑥+2 4−2𝑦𝑦

𝑥𝑥

𝑦𝑦

Введемо стандартні позначення: 4−2𝑦𝑦 4 – є оберненою до функції y= . y= 𝑥𝑥

4−2𝑦𝑦

Відповідь: y=

𝑥𝑥+2

.in .u a

𝑥𝑥

𝑦𝑦 5

4) y=4x-5→ 4𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 + 5 → 𝑥𝑥 = +

4 4

Введемо стандартні позначення: 𝑥𝑥 5

y= + – є оберненою до функції y=4x-5 . 4 4

𝑥𝑥 5

Відповідь: y= + . 3.8 1) y=

4 4

x−1

ko la

D(y): x-1≠ 0; x ≠ 1 → D(y) = (−∞; 1) ∪ (1; +∞); x E(y) – це всі значення а, при яких рівняння =a x−1 x = a(x − 1); x =а ↔ � має розвʼязки. x−1 x ≠ 1; x − ax = −a; .� x ≠ 1; x(1 − a) = −a; .� x ≠ 1; a ; x=− 1−a .� x ≠ 1. a Тобто ≠ 1; a−1 a ≠ a − 1; .� a ≠ 1; 0 ≠ −1; .� a ≠ 1. x = а має розвʼязки→ Тобто при a ≠ 1 рівняння x−1

E(y)= (−∞; 1) ∪ (1; +∞). Знайдемо обернену для y =

x−1

де х∈ (−∞; 1) ∪ (1; +∞). Звідси y ∈ (−∞; 1) ∪ (1; +∞), то y . (y-1) ≠ 1 → x = y−1

Скористаємось стандартними позначеннями: y = Відповідь: y = 2) y=√2x − 1; D(y): 2y-1≥0; 1

x−1

x ≥ → D(g) = � ; + ∞); 2

x−1

є оберненою для y =

x−1

E(y): √2x − 1 ≥0 →E(y)= [0 + ∞). Знайдемо обернену для y = √2x − 1. y=√2x − 1 |2 → y 2 = 2x − 1; 2x=y 2 + 1; y2 +1

. Скористаємось стандартними позначеннями:

2 x2 +1 2

є оберненою для y = √2x − 1 за умови, що D(y)= [0; +∞).

Відповідь: y=

x2 +1 2

, D(y)= [0; +∞).

.in .u a

3) 𝑦𝑦 = 2√x − 1. D(y): x ≥ 0 ⇒ D(y) = [0; +∞); E(y): √x ≥ 0| ⋅ 2 ⇒ 2√x ≥ 0| − 1 ⇔ 2√x − −1 ≥ −1 ⇒ E(y) = [−1; +∞) Зайдемо обернену для y = 2√x − 1. 2

y + 1 = 2√x� ⇒ ⇒ (y + 1)2 = 4x ⇒ x =

Введемо стандартні позначення: 𝑦𝑦 = 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [−1; +∞). Biдповідь: 𝑦𝑦 =

(𝑥𝑥+1)2 4

(y+1)2

(𝑥𝑥+1)2 4

; 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [−1; +∞).

− є оберненою до 𝑦𝑦 = 2√𝑥𝑥 − 1 за умови, що

𝟒𝟒) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 ; 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (−∞; 0]; 𝐸𝐸(𝑦𝑦): 𝑥𝑥 2 ≥ 0 ⇒ 𝐸𝐸(𝑦𝑦) = [0; +∞). Знайдемо обернену для 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 .

ko la

Maємo: �𝑦𝑦 = |𝑥𝑥|, оскільки 𝑥𝑥 ∈ (−∞; 0], то �𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 ⇒ 𝑥𝑥 = −�𝑦𝑦.

Введемо стандартні позначення: 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥, 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [0; +∞) − 𝜖𝜖 оберненою для 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 . Відповідь: 𝑦𝑦 = −√𝑥𝑥. 5) 𝑦𝑦 =

1−𝑥𝑥

1+𝑥𝑥

⋅

𝐷𝐷(𝑦𝑦): 1 + 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ −1 ⇒ 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (−∞; −1) ∪ (−1; +∞).

Знайдемо 𝐸𝐸(𝑦𝑦) − це всі значення 𝑎𝑎, при яких рівняння 𝑎𝑎 =

1−𝑥𝑥

1+𝑥𝑥

має розв'язки.

1−𝑥𝑥

1+𝑥𝑥

= 𝑎𝑎 ⇔

1 − 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑎𝑎𝑎; 1 − 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎(1 + 𝑥𝑥); ⇔� ⇒� ⇔ 𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 ≠ −1; 1 − 𝑎𝑎 1 − 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑥𝑥; ; 𝑥𝑥 = ⇒� ⇔� 𝑎𝑎 1 + 𝑥𝑥 ≠ −1; 𝑥𝑥 ≠ −1. 1 − 𝑎𝑎 1 − 𝑎𝑎 ≠ −1 − 𝑎𝑎; 1 ≠ −1 Тобто ≠ −1; � � 1 + 𝑎𝑎 ≠ 0; 𝑎𝑎 ≠ −1. 1 + 𝑎𝑎 1−𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 має розв' язки ⇒ 𝐸𝐸(𝑦𝑦) = (−∞; −1) ∪ (−1; +∞). Отже при 𝑎𝑎 ≠ −1 рівняння Знайдемо обернену до 𝑦𝑦 =

1+𝑥𝑥

1−𝑥𝑥

1+𝑥𝑥

, звідси 𝑦𝑦(1 + 𝑥𝑥) = 1 − 𝑥𝑥;

𝑦𝑦 + 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 1 − 𝑥𝑥; 𝑦𝑦𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 = = 1 − 𝑦𝑦; (𝑦𝑦 + 1) ⋅ 𝑥𝑥 = 1 − 𝑦𝑦.

Оскільки 𝑦𝑦 ∈ (−∞; −1) ∪ (−1; +∞), то 𝑦𝑦 + 1 ≠ 0 ⇒ 𝑥𝑥 =

Скористуємось стандартними позначеннями 𝑦𝑦 =

1−𝑥𝑥

1+𝑥𝑥

𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (−∞; −1) ∪ (−1; +∞) − 𝜖𝜖 оберненою для 𝑦𝑦 = Відповідь: 𝑦𝑦 =

1−𝑥𝑥

1+𝑥𝑥

6) 𝑦𝑦 = �√𝑥𝑥 − 2, якщо 𝑥𝑥 ≥ 3; 2𝑥𝑥 − 5, якщо 𝑥𝑥 ≥ 3

1−𝑦𝑦

1+𝑦𝑦

1−𝑥𝑥

1+𝑥𝑥

.in .u a

Розглянемо функцію 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 − 2; .𝐷𝐷(𝑦𝑦): 𝑥𝑥 ≥ 3 ⇒ 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [3; +∞) ⋅

𝐸𝐸(𝑦𝑦): √𝑥𝑥 − 2 ≥ 0, а за умови що 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [3; +∞), маємо 𝐸𝐸(𝑦𝑦) = [1; +∞). Знайдемо обернену для 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 − 2. 2

Маємо 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 − 2 � ⇒ 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 + 2 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 2 + 2.

Скористаємось стандартними позначеннями 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 + 2, за умови, що

𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [1; +∞) − є оберненою для функції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 − 2, 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [3; +∞). Розглянемо функцію 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 5;

ko la

𝐷𝐷(𝑦𝑦) : 𝑥𝑥 < 3 ⇒ 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (−∞; 3);

𝐸𝐸(𝑦𝑦) = (−∞; −1). Знайдемо обернену для 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 5.

Маємо 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 5 ⇒ 2𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 − 5 ⇒ 𝑥𝑥 =

𝑦𝑦+5 2

Скористаємось стандартними позначеннями 𝑦𝑦 = оберненою до

𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 5, 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (−∞; 3). Отже, для функції .𝑦𝑦 = �√𝑥𝑥 − 2, якщо 𝑥𝑥 ≥ 3 2𝑥𝑥 − 5, якшо 𝑥𝑥 < 3 оберненою є функція

𝑥𝑥 2 + 2, якщо 𝑥𝑥 ≥ 1;

.𝑦𝑦 = �𝑥𝑥+5 2

, якщо 𝑥𝑥 < 1.

𝑥𝑥 2 + 2, якщо 𝑥𝑥 ≥ 1; Відповідь: 𝑦𝑦 = �𝑥𝑥+5 якщо 𝑥𝑥 < 1. 2

𝑥𝑥+5 2

за умови, що 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (−∞; −1) − є

3.9 1) 𝑦𝑦 =

𝑥𝑥+2 𝑥𝑥

; 𝐷𝐷(𝑦𝑦): 𝑥𝑥 ≠ 0 ⇒ 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞).

Знайдемо 𝐸𝐸(𝑦𝑦) - це всі значення 𝑎𝑎, при яких рівняння 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥

𝑥𝑥 + 2 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ⇔ � 𝑥𝑥 ≠ 0

𝑥𝑥+2 𝑥𝑥

= 𝑎𝑎 має розв'язки.

𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 2; 𝑥𝑥(1 − 𝑎𝑎) = 2; 𝑥𝑥 = ; 1−𝑎𝑎 � � � Отже, 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 0.

1−𝑎𝑎

≠0⇔�

2 ≠ 0; 2 ≠ 0; � 1 − 𝑎𝑎 ≠ 0; 𝑎𝑎 ≠ 1.

Тобто при 𝑎𝑎 ≠ 1 рівняння

𝑥𝑥+2

Знайдемо обернену до 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥(𝑦𝑦 − 1) = 2.

= 𝑎𝑎 має розв'язки ⇒ 𝐸𝐸(𝑦𝑦) = (−∞)1) ∪ (1; +∞).

𝑥𝑥 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥

.in .u a

. Маємо 𝑦𝑦𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 2;

Оскільки 𝑦𝑦 ∈ (−∞; 1) ∪ (1; +∞), то (𝑦𝑦 − 1) ≠ 0 ⇒ 𝑥𝑥 =

Скористаємось стандартними позначеннями 𝑦𝑦 = 1

√𝑥𝑥

𝑥𝑥−10

𝑥𝑥

𝑦𝑦−1

, 𝐷𝐷(𝑦𝑦): 𝑥𝑥 > 0 ⇒ 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (0; +∞); 1

ko la

2) 𝑦𝑦 =

𝑥𝑥−1 𝑥𝑥+2

𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (−∞; 1) ∪ (1; +∞) − 𝜖𝜖 оберненою до 𝑦𝑦 = Відповідь: 𝑦𝑦 =

𝐸𝐸(𝑦𝑦): √𝑥𝑥 ≥ 0 ⇒

√𝑥𝑥

> 0 ⇒ 𝐸𝐸(𝑦𝑦) = (0; +∞);

Знайдемо обернену до 𝑦𝑦 = 1

Маємо √𝑥𝑥 = ; 𝑥𝑥 = 4

𝑦𝑦 2

√𝑥𝑥

Скористаємось стандартними позначеннями 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 =

√𝑥𝑥

Biдповідь : 𝑦𝑦 =

𝑥𝑥 2

, 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (0; +∞) − є оберненою до

, 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (0; +∞).

3)𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 2 − 4, 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [2, +∞).

𝐸𝐸(𝑦𝑦) : √𝑥𝑥 2 − 4 ≥ 0 ⇒ 𝐸𝐸(𝑦𝑦) = [0; +∞). Знайдемо обернену до 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 2 − 4. Маємо 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 2 − 4;

𝑥𝑥 2 = 𝑦𝑦 2 + 4; |𝑥𝑥| = �𝑦𝑦 2 + 4,

оскільки позначення 𝑥𝑥 = �𝑦𝑦 2 + 4, 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [0; +∞) є оберненою до 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 2 + 4, 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [2; +∞). Відповідь: 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 2 − 4, 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [0; +∞).

2 − 𝑥𝑥 2 , якщо 𝑥𝑥 ≥ 1; 4) 𝑦𝑦 = � 2 − 𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 < 1

Розглянемо функцію 𝑦𝑦 = 2 − 𝑥𝑥 2 ;

𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [1; +∞). 𝐸𝐸(𝑦𝑦) : 𝑥𝑥 ≥ 1 ⇒ 𝑥𝑥 2 ≥ 1|⋅ (−1) ⇒ −𝑥𝑥 2 ≥ −1| + 2 ⇒ 2 − 𝑥𝑥 2 1 ⇒ ⇒ 𝐸𝐸(𝑦𝑦) = (−∞; 1].

Знайдемо обернену до 𝑦𝑦 = 2 − 𝑥𝑥 2 .

то 𝑥𝑥 = �2 − 𝑦𝑦.

.in .u a

Маємо 𝑥𝑥 2 = 2 − 𝑦𝑦, оскільки 𝑦𝑦 ∈ (−∞; 1], то 2 − 𝑦𝑦 > 0 ⇒ |𝑥𝑥| = �2 − 𝑦𝑦 оскільки 𝑥𝑥 ∈ [1; +∞), Скористуємось стандартними позначеннями 𝑦𝑦 = √2 − 𝑥𝑥, 𝐷𝐷 (𝑦𝑦) = (−∞; 1] − є оберненою для 𝑦𝑦 = 2 − 𝑥𝑥 2 , 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = [1; +∞). Розглянемо функцію 𝑦𝑦 = 2 𝑥𝑥; 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (−∞; 1).

𝐸𝐸(𝑦𝑦): 𝑥𝑥 < 1| ⋅ (−1) ⇒ −𝑥𝑥 > −1| + 2 ⇒ 2 − 𝑥𝑥 > 1; 𝐸𝐸(𝑦𝑦) = (1; +∞). Знайдемо обернену до 𝑦𝑦 = 2 − 𝑥𝑥.

ko la

Маємо 𝑥𝑥 = 2 − 𝑦𝑦.

Скористуємось стандартними позначеннями 𝑦𝑦 = 2 - 𝑥𝑥; 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (1; +∞) − є оберненою для 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥, 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = (−∞; 1). Отже для функції

2 − 𝑥𝑥 2 , якщо 𝑥𝑥 ≥ 1; .𝑦𝑦 = � 2 − 𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 < 1

оберненою є функція

.𝑦𝑦 = �√2 − 𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 ≤ 1; 2 − 𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 > 1.

Відповідь: 𝑦𝑦 = �√2 − 𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 ≤ 1 2 − 𝑥𝑥, Якщо 𝑥𝑥 > 1

3.10. 1) 𝑦𝑦 = −0,5𝑥𝑥 + 2 :

𝑥𝑥

ko la

.in .u a

𝑦𝑦

𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥)− - обернена до 𝑦𝑦 = −0,5𝑥𝑥 + 2. Графіки функцій 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) та 𝑦𝑦 = −0,5𝑥𝑥 + 2 − симетричні відносно прямої 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥. 2) 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 + 1

ko la

.in .u a

Схема: 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 вліво на одну одиницю → 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 + 1.

𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) - обернена дофункції 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 + 1. Графіки функцій 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) та 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 + 1 симетричні відносно прямої 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥.

𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 ≥ 0 2𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 < 0

ko la

.in .u a

3)𝑦𝑦 = �

𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 ≥ 0; 2𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 < 0. Графіки цих функцій симетричні відносно 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥.

𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) обернена до 𝑦𝑦 = �

3.11 1)𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 − 1 :

𝑥𝑥

𝑦𝑦

−1

.in .u a

ko la

𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) - обернена до 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥 − 1.

.Графіки цих функцій симетричні відносно 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥. 2) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 − 4, якщо 𝑥𝑥 ≥ 0

Схема:𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 на чотири одиниці вниз ⋯ >

𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2 − 4

𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) - обернена для функцї (4 = 𝑥𝑥 2 , якщо 𝑥𝑥 ≥ 0. Графіки цих функцій симетричні відносно прямої 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥. √𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 ≥ 0; 3) 𝑦𝑦 = �1 𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 < 0.

ko la

.in .u a

√𝑥𝑥, якно 𝑥𝑥 ≥ 0 . 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) - обернена до 𝑦𝑦 = �1 𝑥𝑥, якщо 𝑥𝑥 < 0 2

Графіки цих функцій симетричні відносно прямої 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥.

3.12

.in .u a

ko la

.in .u a

3.13

3.15 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑏𝑏 − лінійна функція, 𝑘𝑘 ≠ 0. 𝐷𝐷(𝑦𝑦) = 𝑅𝑅; 𝐸𝐸(𝑦𝑦) = 𝑅𝑅. Знайдемо обернену функцію для 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑏𝑏. Маємо: 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑦𝑦 − 𝑏𝑏, оскільки 𝑘𝑘 ≠ 0, то 𝑥𝑥 =

𝑦𝑦−𝑏𝑏 𝑘𝑘

𝑦𝑦

𝑥𝑥

𝑘𝑘

𝑏𝑏

Скористуємось стандартними позначеннями 𝑦𝑦 = − ; 1

𝑘𝑘

𝑏𝑏

; 𝑥𝑥 = − . 𝑘𝑘

𝑘𝑘

𝑏𝑏

𝑦𝑦 = ⋅ 𝑥𝑥 − - обернена функція для 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘𝑘𝑘 + 𝑏𝑏 ⋅ 𝑦𝑦 = ⋅ 𝑥𝑥 − − 𝜖𝜖 лінійною, 𝑘𝑘

𝑘𝑘

𝑏𝑏

оскільки має вигляд 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘1 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏1 , де 𝑘𝑘1 = , 𝑏𝑏1 = . 3.16 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) - непарна функція;

𝑘𝑘

𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) оберчена до неї ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) = 𝑦𝑦0 , 𝑔𝑔(𝑦𝑦0 ) = 𝑥𝑥0 .

Тоді 𝑔𝑔(−𝑦𝑦0 ) = 𝑔𝑔�−𝑓𝑓(𝑥𝑥0 )� = 𝑔𝑔�𝑓𝑓(−𝑥𝑥0 )� = −𝑥𝑥0 = −𝑔𝑔(𝑥𝑥0 ).

Отже функція 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) - непарна.

𝑘𝑘

3.17 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 + 6𝑥𝑥 3 ; 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) - обернена до 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ⋅ 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 5 та 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 3 - зростаючі (доведено у №116) ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 5 + 6𝑥𝑥 3 - зростає (теорема 6.2).

Оскільки 𝑓𝑓(𝑥𝑥) та 𝑔𝑔(𝑥𝑥) - взаємно обернені, отже для будь-якого 𝑥𝑥0 ∈ 𝐷𝐷(𝑓𝑓) з piвності 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) = 𝑦𝑦0 випливає, що 𝑔𝑔(𝑦𝑦0 ) = 𝑥𝑥0 . 1) g(7) = 𝑥𝑥0 ⇒ 𝑦𝑦0 = 7, тоді 7(𝑥𝑥0 ) = 7.

.in .u a

Маємо рівняння відносно 𝑥𝑥0 : 𝑥𝑥05 + 6𝑥𝑥03 = 7,

𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − є зростаючою ⇒ за теоремою 6.3 рівняння 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) = 7 має єдиний ворінь, цей корінь 𝑥𝑥0 = 1.

Тобто 𝑔𝑔(7) = 1. Відповідь: 1 . 2) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 1. Оскільки 𝑔𝑔(у0 ) = 𝑥𝑥0 , то 𝑥𝑥0 = 1.

Оскільки 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) = 𝑦𝑦0 , то 𝑦𝑦0 = 𝑥𝑥05 + 6𝑥𝑥03 = −(1 + 6) = −7, тобто 𝑥𝑥 = −7. Biдповідь: 𝑥𝑥 = −7. 3) 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) є зростаючою ⇒ 𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) − є зростаючою (теорема 10.3) ⇒ рівняння 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐

ko la

має єдиний корінь при будь-якому с (теорема 6.3). Відповідь: один корінь.

3.18 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 3 + √𝑥𝑥 − 2; 𝐷𝐷(𝑓𝑓): 𝑥𝑥 − 2 ≥ 0 .𝑥𝑥 ≥ 2 ⇒ 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = [2; +∞).

𝑓𝑓(𝑥𝑥) - зростаюча, оскільки є сумою зростаючих функцій 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 3 та 𝑦𝑦 = √𝑥𝑥 − 2 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) приймає своє найменше значення в 𝑥𝑥 = 2.

𝑓𝑓(−2) = 8 + 0 = 8 ⇒ 𝐸𝐸(𝑓𝑓) = [8; +∞).

Оскільки 𝑔𝑔(𝑥𝑥) та 𝑓𝑓(𝑥𝑥) − взаємно обернені, то 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = (𝐸𝐸(𝑔𝑔) та 𝐷𝐷(𝑔𝑔) = 𝐸𝐸(𝑓𝑓).

Також для будь-якого 𝑥𝑥0 ∈ 𝐷𝐷(𝑓𝑓) з рівності 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) = 𝑦𝑦0 випливає, що 𝑔𝑔(𝑦𝑦0 ) = 𝑥𝑥0 .

1) 𝑔𝑔(28) = 𝑥𝑥0 ⇒ 𝑦𝑦0 = 28, тоді 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) = 28.

Маємо рівняння відносно 𝑥𝑥0 : 𝑥𝑥03 + �𝑥𝑥0 − 2 = 28.

Оскільки 𝑓𝑓(𝑥𝑥) - зростаюча, то рівняння 𝑓𝑓(𝑥𝑥0 ) = 28 має єдиний корінь,

цей корінь 𝑥𝑥0 = 3 (теорема 6.3 ). Тобто 𝑔𝑔(28) = 3.

Biдnовідь : 𝑔𝑔(28) = 3. 2) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 1 не має розв'язків, оскільки 𝐸𝐸(𝑔𝑔) = [2; +∞). 3) 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐. Оскільки 𝑓𝑓(𝑥𝑥) - эростає, то i 𝑔𝑔(𝑥𝑥) теж зростає ⇒

§ 4. Означення.кореня 4

4.1 2) (− √7)4 = 7; 7

1)(−√2)7 = −2; 6

1 6

1⋅48

3)� √48� = � � ⋅ 48 = 1

4) ⋅ √48𝑛𝑛 = ⋅ 48 = 24 2

4.2 1) (−√11)𝑏𝑏 = −11; 1 4 3

2) � (√45)3 = 1

.in .u a

рівняння 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐 може мати не більше одного кореня ⇒ 𝑐𝑐 ∈ ∅. Biдnовідь : 𝑐𝑐 ∈ ∅.

= = ; 8

⋅ 45 = = 1 ; 3

ko la

3) ⋅ √45𝑥𝑥 = ⋅ 45 = 9;

4) (−2√−5) = (−2)5 , (√−5)6 = −32 ⋅ (−5) = 160. 3

4.3 1) 0,3 ⋅ √1000 − 5 ⋅ √256 + 6 ⋅ (− √6)10 = 0,3 ⋅ 10 + 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 6 = 3 − 10 + 12 = 5; 6

2)√146 + (−2√10)2 − √128 = 14 + (−2)2 ⋅ 10 − 2 = 14 + 40 − 2 = 54 4.4 1) 200 ⋅ 3√0,001 − 5√0,00032 −

−(−4√2)2 = 200 ⋅ 0,1 − 9 − 0,2� − 16 ⋅ 2 = 20 + 0,2 − 32 = −11,8

2) √8000 ⋅ �7 5

58 81

= 20 − (−8) + 17 = 3 1

= 33 + 25 = 58 . 3

− (− √8)3 + √177 =

100 3

+ 8 + 17 = 3

4.11 1) 𝑥𝑥 5 = 9; 𝑥𝑥 = √9, оскільки ( √9)5 = 9; 7 7 2) 𝑥𝑥 7 = −2% 𝑥𝑥 = √−2; 𝑥𝑥 = −√2, оскільки 6 6 3) 𝑥𝑥 6 = 5; 𝑥𝑥 = √5, оскільки (±√5)0 = 5; 4 4) √𝑥𝑥 = 3; 𝑥𝑥 = 81;

5) √𝑥𝑥 = −2; 𝑥𝑥 ∈ ∅, оскільки √𝑥𝑥 ≥ 0; 3 3 6) √2𝑥𝑥 + 7 = 0; √2𝑥𝑥 = −7; 2𝑥𝑥 = (−7)3 ; 1 343 = −171 ; 2𝑥𝑥 = −343; 𝑥𝑥 = 2 2 |𝑥𝑥|−1 |𝑥𝑥|−1

4.14 1) � 2

𝑥𝑥 −9 𝑥𝑥 2 −9 2

≥0⇔

.in .u a

(|𝑥𝑥| − 1)(𝑥𝑥 − 9) ≥ 0 � 2 𝑥𝑥 − 9 ≠ 0

⇒ 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −3) ∪ [−1; 1] ∪ (3; +∞). Відповідь: 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −3) ∪ [−1; 1] ∪ (3; +∞). 6 − |𝑥𝑥| ≥ 0; |𝑥𝑥| ≤ 6 :� � √3−𝑥𝑥 3 − 𝑥𝑥 > 0; 𝑥𝑥 < 3 1

. 2) �6 − |𝑥𝑥| + 3

ko la

⇒ 𝑥𝑥 ∈ [−6; 3). Вiдповідь: 𝑥𝑥 ∈ [−6; 3). |𝑥𝑥|−4

� 2

|𝑥𝑥|−4

𝑥𝑥 −36 𝑥𝑥 2 −36

≥0⇔

(|𝑥𝑥| − 4)(𝑥𝑥 − 6)(𝑥𝑥 + 6) ≥ 0; � 𝑥𝑥 2 − 36 ≠ 0

4.15 1)

⇒ 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −6) ∪ [4; 4] ∪ (6; +∞). Відповідь: 𝑥𝑥 ∈ (−∞, −6) ∪ [4; 4] ∪ (6; +∞).

2) �|𝑥𝑥| − 3 − 3 10

√𝑥𝑥+4

:�

|𝑥𝑥| − 3 ≥ 0 |𝑥𝑥| ≥ 3 ;� 𝑥𝑥 + 4 > 0 𝑥𝑥 > −4

⇒ 𝑥𝑥 ∈ (−4; −3] ∪ (3; +∞). Вiдповідь: 𝑥𝑥 ∈ (−4; −3] ∪ (3; +∞).

𝑥𝑥 2 − 4 = 0 4.16. 1) − 4) √𝑥𝑥 + 1 = 0 ⇔ ��√𝑥𝑥 + 1 = 0 𝑥𝑥 + 1 ≥ 0 𝑥𝑥 2 = ±2 ⇒ 𝑥𝑥 = −1; 2. � ю� 𝑥𝑥 = −1; 𝑥𝑥 ≥ −1; Biдповідь: х=-1;2. 10

.in .u a

(𝑥𝑥 2

2) (𝑥𝑥 − 1) √𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0 ⇔ 𝑥𝑥 − 1 = 0; 𝑥𝑥 = 1; 2 �𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 − 3 = 0; ��(𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1) = 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 3 ≥ 0; (𝑥𝑥 − 3)(𝑥𝑥 + 1) ≥ 0; ю 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −1] ∪ [3; +∞); � 𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 = −1; � ⇒ 𝑥𝑥 = 3; −1. 𝑥𝑥 = 1; Biдповідь: х=3; -1.

4.17

|𝑥𝑥| − 3 = 0 � 1) (|𝑥𝑥| − 3) √2 − 𝑥𝑥 = 0 ⇔ � √2 − 𝑥𝑥 = 0 2 − 𝑥𝑥 ≥ 0; |𝑥𝑥| = 3 � 𝑥𝑥 = 2 ю�

ko la

𝑥𝑥 ≤ 2;

𝑥𝑥 = ±3; � ю� 𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 ≤ 2;

ю⇒ 𝑥𝑥 = 2; −3

Відповідь: 𝑥𝑥 = 2; −3. 6

2) (𝑥𝑥 + 2)√𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0 ⇔

𝑥𝑥 + 2 = 0; � 2 ю� 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 ≥ 0;

𝑥𝑥 = −2; � ю� (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 1) = 0; (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 1) ≥ 0;

ю⇒ 𝑥𝑥 = −3; 𝑥𝑥 = 1

Відповідь: 𝑥𝑥 = −3; 𝑥𝑥 = 1. 4

.in .u a

𝑥𝑥 = −3; � ю� 𝑥𝑥 = −2; 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −3] ∪ [1; +∞);

�

𝑥𝑥 = 1; ⇒ 𝑦𝑦 = 1.

ko la

4.18 𝑦𝑦 = ( √𝑥𝑥 − 1)4 + ( √1 − 𝑥𝑥 )4 + 1 ⇔ 𝑥𝑥 − 1 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≥ 1; ⇔ �1 − 𝑥𝑥 ≥ 0; �𝑥𝑥 ≤ 1; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1 + 1 − 𝑥𝑥 + 1; 𝑦𝑦 = 1; ⇒ Графіком функції є точка.

2. 𝑦𝑦 = ( √𝑥𝑥 )6 + ( √1 − 𝑥𝑥 )6 ⇔ 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≥ 0; ю⇔ �1 − 𝑥𝑥 ≥ 0; �1 − 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 − 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 1

.in .u a

𝑥𝑥 ≥ 0 4 4.19 1) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥( √𝑥𝑥 )4 ⇔ � 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 2

ko la

2) 𝑦𝑦 = ( √2 + 𝑥𝑥 )8 + ( √2 − 𝑥𝑥 )6 ⇔ 2 + 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≥ −2; �2 − 𝑥𝑥 ≥ 0; �𝑥𝑥 ≤ 2; 𝑦𝑦 = 2 + 𝑥𝑥 + 2 − 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 4

4.28 1)

𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 0; � (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) √𝑥𝑥 + 1 = 0 ⇔ � −𝑥𝑥 + 1 = 0 𝑥𝑥 ≥ −1; 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; ю � � 𝑥𝑥 = −1; 𝑥𝑥 ≥ −1; 4

Вiдповідь: 1) якщо 𝑎𝑎 ≥ −1, то 2 кореня; 2) якщо 𝑎𝑎 < −1, то 1 корінь. 4

2) (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)� √𝑥𝑥 + 1� = 0 ⇔ 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 0; �4 ю� √𝑥𝑥 + 1 = 0; 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; � 𝑥𝑥 ∈ ∅; ю� 𝑥𝑥 ≥ 0;

Відповідь: 1) якщо 𝑎𝑎 ≥ 0 - один корінь; 2) якщо 𝑎𝑎 < 0 коренів не має. 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 − 0; �4 3) (𝑥𝑥 − 𝑎𝑎)( √𝑥𝑥 − 1) = 0 ⇔ � √𝑥𝑥 − 1 = 0; 𝑥𝑥 ≥ 0; 4

𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; �𝑥𝑥 = 1; ю� 𝑥𝑥 ≥ 0; 2) якщо �

.in .u a

𝑎𝑎 ≥ 0; Відповідь: 1) якщо � то два корені; 𝑎𝑎 ≠ 1, 𝑎𝑎 < 0; то один корінь. 𝑎𝑎 = 1,

𝑥𝑥 + 1 = 0; � 4.29. 1) (𝑥𝑥 + 1)( √𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) = 0 ⇔ю� 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 0; 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 ≥ 0; 4

ko la

𝑥𝑥 = −1; � ю� 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; 𝑥𝑥 ≥ 𝑎𝑎;

Відповідь : 1) Якщо 𝑎𝑎 ≥ −1, то один корінь; 2) якщо 𝑎𝑎 < −1, то 2 корені. 𝑥𝑥 − 1 = 0; �4 4 2)(𝑥𝑥 − 1)( √𝑥𝑥 − 𝑎𝑎) = 0 ⇔ю� √𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = 0; 𝑥𝑥 ≥ 0;

𝑥𝑥 = 1; �4 ю� √𝑥𝑥 = 𝑎𝑎; 𝑥𝑥 ≥ 0;

𝑥𝑥 = 1; � 1) якщо 𝑎𝑎 ≥ 0, то � 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎4 ; 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 = 1; � ю� 𝑥𝑥 ∈ ∅; 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 = 1; � 2)якщо 𝑎𝑎 < 0, то ю� 𝑥𝑥 ∈ ∅; 𝑥𝑥 ≥ 0;

𝑎𝑎 ≥ 0; Відповідь: 1) якщо � то два корені; 2) якщо 𝑎𝑎 < 0 або 𝑎𝑎 = 1, то 1 корінь. 𝑎𝑎 ≠ 1, 4

5.1 1)√2 ⋅ √8 = √16 = 2; 3

3) �6√3 + 10 ⋅ �6√3 − 10 = 3

.in .u a

5 1 3 4 1 √4 2) 5 =� =� = 128 32 2 √128

ю ��6√3 + 10��6√3 − 10� = √108 − 100 = 3

ю= √8 = 2 3

5.2 1) √25 ⋅ √5 ⋅ √53 = 5 4

√80

2) 4

√5

=�

80 5

= √16 = 2; 5

ko la

3) �2√17 − 10 ⋅ �2√17 − 10 = 5

ю= �(2√17 + 10)(2√17 − 10) = √68 − 100 = 5

ю= √−32 = − √32 = −2 4

5.3 1) √162 = √81 ⋅ 2 = √81 ⋅ √2 = 3√2; 3

2)√250 = √125 ⋅ 2 = 5√2; 3

3)√−𝑎𝑎2 = −√𝑎𝑎6 ⋅ 𝑎𝑎 = −√𝑎𝑎4 ⋅ √𝑎𝑎 = −𝑎𝑎2 √𝑎𝑎; 3

4) √54𝑎𝑎5 𝑏𝑏9 = −√27𝑎𝑎3 𝑏𝑏9 ⋅ 2𝑎𝑎2 = 3

ю= −√27𝑎𝑎3 𝑏𝑏 9 ⋅ √2𝑎𝑎2 = −3𝑎𝑎𝑏𝑏 3 √2𝑎𝑎2 4

5.4. 1) √80 = √16 ⋅ 5 = √16 ⋅ √5 = 2√5; 3

2) √432 = √216 ⋅ 2 = √216 ⋅ √2 = 6√2; 3

3) �54𝑦𝑦 8 = �27 ⋅ 𝑦𝑦 6 ⋅ 2𝑦𝑦 2 = �27𝑦𝑦 6 ⋅ �2𝑦𝑦 2 = 3

ю= 2𝑦𝑦 2 − �2𝑦𝑦 2 4

4) √243𝑏𝑏3 𝑐𝑐18 = √81 ⋅ 𝑏𝑏 8 ⋅ 𝑐𝑐 16 ⋅ 3𝑏𝑏 ⋅ 𝑐𝑐 2 = 4

ю= √81 ⋅ 𝑏𝑏 8 ⋅ 𝑐𝑐16 ⋅ √3𝑏𝑏𝑐𝑐 2 = 3𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 4 √3𝑏𝑏𝑐𝑐 2

5.5 1) 4√5 = √64 ⋅ 5 = √320 4 2) −10 4√0,271 = 4√10000 ⋅ 0,271 = − √2710 3 3 3) 5 3√0,04𝑥𝑥 = �125 ⋅ 0,04𝑥𝑥 = √5𝑥𝑥; 5 5 5 4) 𝑏𝑏 √3𝑏𝑏3 = √3𝑏𝑏 3 − 𝑏𝑏 5 = √3𝑏𝑏8 ; 3

8 3

3 9 3 3 5.7 1) �3√2 = � √27 ⋅ 2 = � √54 = √54 5 6 5 6 5 30 6 2) �𝑏𝑏 √𝑏𝑏 = � √𝑏𝑏6 ⋅ 𝑏𝑏 = � √𝑏𝑏 7 = √𝑏𝑏 7 ; 8

3) �𝑥𝑥 3 √𝑥𝑥 7 = � √𝑥𝑥 9 ⋅ 𝑥𝑥 7 = � √𝑥𝑥 16 = 3

.in .u a

ю= √𝑥𝑥 16 = √𝑥𝑥 2 ;

4) �2�2√2 = ��8√2 = ��√128 = 3 4

ю= � √128 = √128

5.8 1) �3√3 = �√27 = √27 = √33 = √3; 3 4 3 12 4 2) �𝑏𝑏 √𝑏𝑏 = � √𝑏𝑏5 = √𝑏𝑏 5 ; 5

5 6

3) �𝑥𝑥 2 √𝑥𝑥 13 = � √𝑥𝑥 12 ⋅ 𝑥𝑥 13 = � √𝑥𝑥 25 6

ko la

ю= √𝑥𝑥 25 = √𝑥𝑥 5 4

4 3 4 4 3 3 4) �𝑎𝑎 �𝑎𝑎 √𝑎𝑎 = � �𝑎𝑎5 √𝑎𝑎 = � � √𝑎𝑎16 = 16 3

а= � √𝑎𝑎16 = √𝑎𝑎16 = √𝑎𝑎 40

5.9 1) �1 + √𝑎𝑎 + √𝑎𝑎2 � = (1 − √𝑎𝑎) = 3

ю=�13 − ( √𝑎𝑎)3 � = 1 − 𝑎𝑎 4

2) �1 + √𝑎𝑎��1 + √𝑎𝑎��1 − √𝑎𝑎� = 4

ю= (1 + √𝑎𝑎)�1 − ( √𝑎𝑎)2 � = (1 + √𝑎𝑎)(1 − √𝑎𝑎) = 4

ю= 1 − ( √𝑎𝑎)2 = 1 − 𝑎𝑎 5.10

(√𝑚𝑚 + √𝑛𝑛)( √𝑚𝑚 + √𝑛𝑛)( √𝑚𝑚 + √𝑛𝑛) × 8 3 × ( √𝑚𝑚 − √𝑛𝑛) = (√𝑚𝑚 + √𝑚𝑚) × 8 8 4 4 × ( √𝑚𝑚 + √𝑛𝑛)�( √𝑚𝑚)2 − ( √𝑛𝑛)2 � =

ю 1) = (√𝑚𝑚 + √𝑛𝑛)( 4√𝑚𝑚 + 4√𝑛𝑛)( 4√𝑚𝑚 − 4√𝑛𝑛) = 4 4 = (√𝑚𝑚 + √𝑛𝑛)�( √𝑚𝑚)2 − ( √𝑛𝑛)2 � = = (√𝑚𝑚 + √𝑛𝑛)(√𝑚𝑚 − √𝑛𝑛) = =�(√𝑚𝑚)2 − (√𝑛𝑛)2 � = 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 4

√𝑎𝑎+ √𝑏𝑏

= √𝑎𝑎 − √𝑏𝑏 6

√𝑥𝑥−9

2) 12

√𝑥𝑥 +3

= 8

√𝑎𝑎− √𝑏𝑏

√𝑎𝑎𝑎𝑎 8

√𝑎𝑎+ √𝑏𝑏

√𝑥𝑥 +3

= 8

√𝑎𝑎− √𝑎𝑎𝑎𝑎+ √𝑏𝑏 6

2− √2 3

√𝑥𝑥−4

√2

√𝑎𝑎+1

√2

( √𝑎𝑎−1)( √𝑎𝑎+1)

√𝑚𝑚2 − √𝑚𝑚𝑚𝑚 √𝑚𝑚− √𝑚𝑚𝑚𝑚 = 4 = 4 √𝑚𝑚𝑚𝑚−√𝑛𝑛 √𝑚𝑚𝑚𝑚− √𝑛𝑛

2) 4

4 𝑚𝑚 √𝑚𝑚( √𝑚𝑚− √𝑛𝑛) √𝑚𝑚 =4 4 4 2 = 4 = � 𝑛𝑛 √𝑛𝑛 √𝑛𝑛( √𝑚𝑚− √𝑛𝑛)

3) 3 3

𝑎𝑎−𝑏𝑏 3

√𝑎𝑎− √𝑏𝑏 3

= 3

( √𝑎𝑎)2 −( √𝑏𝑏)2 3

√𝑎𝑎− √𝑏𝑏 3

( √𝑎𝑎− √𝑏𝑏)� √𝑎𝑎2 + √𝑎𝑎𝑎𝑎+ √𝑏𝑏2 � 3

√𝑎𝑎− √𝑏𝑏

=√𝑎𝑎2 + √𝑎𝑎𝑎𝑎 + √𝑏𝑏 2

√2( √4−1)

√𝑎𝑎+1

= 6

= √𝑎𝑎 + √𝑏𝑏

√𝑎𝑎−1

√𝑎𝑎− √𝑎𝑎𝑎𝑎+ √𝑏𝑏

√22 − √2

5.12 1) 3

( √𝑥𝑥)3 −4 3

( √𝑎𝑎)3 +( √𝑏𝑏)3

√𝑎𝑎− √𝑎𝑎𝑎𝑎+ √𝑏𝑏

= √4 − 1

( √𝑎𝑎+ √𝑏𝑏)( √𝑎𝑎− √𝑎𝑎𝑎𝑎+ √𝑏𝑏)

ko la √𝑎𝑎+√𝑏𝑏

5) 3 6)

√𝑎𝑎𝑎𝑎� √𝑎𝑎− √𝑏𝑏�

( √𝑥𝑥 −4)� √𝑥𝑥 2 +4 √𝑥𝑥+16�

= √𝑥𝑥 − 3

√𝑥𝑥 2 +4 √𝑥𝑥+16

−

√𝑥𝑥 2 +4 √𝑥𝑥+16 3

� √𝑎𝑎− √𝑏𝑏�� √𝑎𝑎+ √𝑏𝑏�

√𝑥𝑥 2 +4 √𝑥𝑥+16 𝑥𝑥−64

( √𝑥𝑥 +3)( √𝑥𝑥 −3)

√𝑎𝑎𝑏𝑏2 − √𝑎𝑎2 𝑏𝑏

( √𝑎𝑎− √𝑏𝑏)( √𝑎𝑎+ √𝑏𝑏)

.in .u a

√𝑎𝑎−√𝑏𝑏

5.11 1) 4

√𝑎𝑎−1

;

√𝑎𝑎𝑎𝑎

√𝑎𝑎𝑎𝑎(√𝑎𝑎−√𝑏𝑏)

5) 3 =3

√𝑎𝑎𝑎𝑎

√𝑎𝑎

3+ √3 4

√3

=√27 + 1

√𝑎𝑎( √𝑏𝑏+1) 3

√𝑎𝑎2 𝑏𝑏( √𝑏𝑏+1)

√𝑎𝑎𝑎𝑎 4

= √𝑎𝑎 − √𝑏𝑏;

√𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 + √𝑎𝑎2 𝑏𝑏

√𝑎𝑎2 𝑏𝑏

√𝑎𝑎𝑎𝑎+ √𝑎𝑎 3

√𝑎𝑎2 𝑏𝑏−√𝑎𝑎𝑏𝑏2

√34 +√3 4

√3

√3� √33 +1� 4

√3

.in .u a

𝑎𝑎√𝑏𝑏−𝑏𝑏√𝑎𝑎

5.13 1) �(𝑎𝑎 − 5)3 = |√𝑎𝑎 − 5|3 , 𝑎𝑎 ≥ 5 3

2)�(𝑎𝑎 − 5)4 = |√𝑎𝑎 − 5|4 , 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅. 6

5.14.1) √𝑎𝑎30 = 𝑎𝑎5 , 𝑎𝑎 ≥ 0; 6

2)√𝑎𝑎30 = −𝑎𝑎5 , 𝑎𝑎 ≥ 0; 4

3)√𝑎𝑎4 = | √𝑎𝑎|4 , 𝑎𝑎 ≥ 0; 4

4)√𝑎𝑎4 = | √−𝑎𝑎|4 , 𝑎𝑎 ≤ 0. 4

5.15 1) √𝑎𝑎𝑎𝑎 = √−𝑎𝑎 ⋅ √−𝑏𝑏, 𝑎𝑎 ≤ 0, 𝑏𝑏 ≤ 0 4 4 4 2) √−𝑎𝑎𝑎𝑎 = √𝑎𝑎 ⋅ √−𝑏𝑏, 𝑎𝑎 ≥ 0, 𝑏𝑏 ≤ 0; 3 4 3 3) √𝑎𝑎𝑎𝑎 = √−𝑎𝑎 √−𝑏𝑏, 𝑎𝑎 ∈ 𝑅𝑅, 𝑏𝑏 ∈ 𝑅𝑅.

ko la

5.161)√𝑥𝑥 2 − 4 = √𝑥𝑥 − 2 ⋅ √𝑥𝑥 + 2, якщо 𝑥𝑥 − 2 ≥ 0, 𝑥𝑥 − 2 ≥ 0 ю�𝑥𝑥 + 2 ≥ 0, �𝑥𝑥 + 2 ≥ 0 𝑥𝑥 ≥ 2, 𝑥𝑥 2 − 4 ≥ 0 �𝑥𝑥 ≤ −2

𝑥𝑥 ≥ 0

Рівність виконується, якщо 𝑥𝑥 ∈ [2 + ∞). 5 3 2) 5�(𝑥𝑥 − 3)(7 − 𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 3 ⋅ √7 − 𝑥𝑥 , якщо

(𝑥𝑥 − 3)(7 − 𝑥𝑥) ≥ 0, 3 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 0, ю�𝑥𝑥 − 3 ≥ 0, �𝑥𝑥 ≥ 3, 3 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 7. 𝑥𝑥 ≤ 7, 7 − 𝑥𝑥 ≥ 0; Рівність виконується, якщо 𝑥𝑥 ∈ [3; 7]. 5

5.17 1) √256𝑘𝑘 8 = 2|𝑘𝑘| = −2𝑘𝑘, якщо 𝑘𝑘 ≤ 0; 6 2) √𝑐𝑐 24 = |𝑐𝑐 4 | = 𝑐𝑐 4 , якщо 𝑐𝑐 ∈ 𝑅𝑅5 3) �81𝑥𝑥 4 𝑦𝑦 4 = 3|𝑥𝑥 2 𝑦𝑦| = 3𝑥𝑥 2 𝑦𝑦, якщо 𝑦𝑦 ≥ 0; 5 4) −1,2𝑥𝑥 √64𝑥𝑥 50 = −1,2𝑥𝑥 ⋅ 8|𝑥𝑥 5 | = = −9,6𝑥𝑥 ⋅ (−𝑥𝑥 5 ) ≅ 9,6𝑥𝑥 6 , якщо 𝑥𝑥 ≤ 0.

5.18 1)√625𝑎𝑎24 = 5|𝑎𝑎6 | = 5𝑎𝑎6 ; 4

2)�0,0001𝑏𝑏 20 = 0,1|𝑏𝑏 5 | = 0,1𝑏𝑏5 , якщо 𝑏𝑏 ≥ 0; 10

3) �𝑝𝑝30 𝑞𝑞 40 = |𝑝𝑝3 𝑞𝑞 4 | = 𝑝𝑝3 𝑞𝑞 4 , якщо 𝑝𝑝 ≥ 0; 12

4) √𝑚𝑚36 𝑛𝑛60 = |𝑚𝑚3 𝑛𝑛5 | = (−𝑚𝑚3 ) ⋅ (−𝑛𝑛5 ) = 𝑚𝑚3 𝑛𝑛5 якщо 𝑚𝑚 ≤ 0, 𝑛𝑛 ≤ 0;

ko la

.in .u a

5.26

.in .u a

ko la

sh 5.27

5.29

.in .u a

ko la

5.30.

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 5.31.

.in .u a

ko la

5.32

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

5.33

.in .u a

ko la

6.1

6.3

.in .u a

ko la

6.2

6.5

.in .u a

ko la

6.4

6.7

.in .u a

ko la

sh 6.6

6.9

.in .u a

ko la

sh 6.8

.in .u a

ko la

6.10

.in .u a

ko la

sh 6.11

.in .u a

ko la

sh 6.12

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 6.13

6.14

.in .u a

ko la

6.16

.in .u a

ko la

sh 6.15

sh .in .u a

ko la

6.17

.in .u a

ko la

sh 6.18

.in .u a

ko la

sh 6.19

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 6.20

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 6.21

sh .in .u a

ko la

6.22

.in .u a

ko la

sh 7.1

.in .u a

ko la

sh 7.2

.in .u a

ko la

sh 7.3

.in .u a

ko la

7.4

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 7.5

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 7.6

.in .u a

ko la

7.7

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 7.8

.in .u a

ko la

sh 7.9

7.10

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 7.11

7.12

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 7.13

7.14

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

7.15

.in .u a

ko la

7.16

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 7.17

.in .u a

ko la

7.18

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

7.19

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

8.1 3 6 6 3 2) √𝑥𝑥 + 3 √𝑥𝑥 = 4. Заміна: √𝑥𝑥 = 𝑡𝑡; 𝑡𝑡 ≥ 0; √𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 2

𝑡𝑡 2 + 3𝑡𝑡 − 4 = 0; 𝑡𝑡1 = −4; 𝑡𝑡2 = 1. 6

√𝑥𝑥 ≈ 1; 𝑥𝑥 = 1. 3

.in .u a

-4 - не задовольняє умову 𝑡𝑡 ≥ 0.

Перевірка: √1 + 3√1 = 4; 1 + 3 = 4; 4 = 4 - правильно. Вiдnовiдь: 1. 3 3) 2√𝑥𝑥 + 1 − 5 = ⋅ Заміна: √𝑥𝑥 + 1 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 > 0. 3

2𝑡𝑡 − 5 = ; 𝑡𝑡

√𝑥𝑥+1 2𝑡𝑡 2 −5𝑡𝑡−3 𝑡𝑡

= 0; 2𝑡𝑡 2 − 5𝑡𝑡 − 3 = 0; 𝐷𝐷 = 49; 𝑡𝑡2,2 =

− - не задовольняє умову 𝑡𝑡 > 0. 2

√𝑥𝑥 + 1 = 3; 𝑥𝑥 + 1 = 9; 𝑥𝑥 = 8. Перевірка: 2√8 + 1 − 5 =

√8+1

; 𝑡𝑡1 = 3; 𝑡𝑡3 = −

1 2

; 1 = 1 − правильно.

ko la

Відповідь: 8.

5±7

4)𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 9 + √𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 9 = 12. Заміна: √𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 9 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0.

𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 − 12 = 0; 𝑡𝑡1 − 4; 𝑡𝑡2 = 3.

-4 - не задовольняє умову 𝑡𝑡 ≥ 0.

�𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 9 = 3; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 + 9 = 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 1) = 0; 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = 1.

Перевірка: 𝑥𝑥1 = 0; 02 − 0 + 9 + √02 − 0 + 9 = 12; 12 = 12 - правильно; 𝑥𝑥1 = 1; 12 − 1 + 9 + √12 − 1 + 9 = 12; 12 = 12 - правильно. Відповідь: 0; 1 . 3

5) �𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 4 − 2√𝑥𝑥 − 2 − 3 = 0; �(𝑥𝑥 − 2)2 − 2√𝑥𝑥 − 2 − 3 = 0. Заміна: √𝑥𝑥 − 2 = 𝑡𝑡 𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 3 = 0; 𝑡𝑡1 = 3; 𝑡𝑡2 = −1. 3 √𝑥𝑥 − 2 = 3; 𝑥𝑥 − 2 = 27; 𝑥𝑥 = 29 3 √𝑥𝑥 − 2 = −1; 𝑥𝑥 − 2 = −1; 𝑥𝑥 = 1

Відповідь: 1,29. 6) 4

√𝑥𝑥 −1

√𝑥𝑥+1

= 2; ОДЗ: 𝑥𝑥 ≠ 1. Заміна: √𝑥𝑥 = 𝑡𝑡; 𝑡𝑡 > 0.

3 𝑡𝑡 + 1 + 3𝑡𝑡 − 3 − 2(𝑡𝑡 2 − 1) 𝑡𝑡 + 1 + 3𝑡𝑡 − 3 − 2𝑡𝑡 2 + 2 1 + − 2 = 0; = 0; =0 𝑡𝑡 − 1 𝑡𝑡 + 1 (𝑡𝑡 − 1)(𝑡𝑡 + 1) (𝑡𝑡 − 1)(𝑡𝑡 + 1) −2𝑡𝑡 2 + 3𝑡𝑡 −2𝑡𝑡 2 + 3𝑡𝑡 = 0, 𝑡𝑡(2𝑡𝑡 − 3) = 0, 𝑡𝑡 = 0; 𝑡𝑡 = 1,5, = 0; � � � (𝑡𝑡 − 1)(𝑡𝑡 + 1) ≠ 0; 𝑡𝑡 ≠ 1; 𝑡𝑡 ≠ −1 𝑡𝑡 ≠ 1; 𝑡𝑡 ≠ −1; (𝑡𝑡 − 1)(𝑡𝑡 + 1) 4 4 √𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = 0; √𝑥𝑥 = 1,5; 𝑥𝑥 = 5,0625.

Відповідь: 0; 5,0625. 𝑥𝑥+5 𝑥𝑥−1

+ 7�

Заміна: � 7. �

𝑥𝑥+5

𝑥𝑥−1

49;

𝑥𝑥+5

𝑥𝑥−1 𝑥𝑥+5

𝑥𝑥−1

= 1;

= 𝑡𝑡; 𝑡𝑡 > 0; �

𝑥𝑥+5

𝑥𝑥−1

𝑥𝑥+5−49𝑥𝑥+49 𝑥𝑥−1

= 1;

𝑥𝑥 √𝑥𝑥−1

√𝑥𝑥 2 −1

− 3

√𝑥𝑥 +1

𝑥𝑥−1

𝑥𝑥+5

𝑥𝑥−1

1 8

= ; → 𝑡𝑡 + = 8; 𝑡𝑡

= 0;

−48𝑥𝑥+54 𝑥𝑥−1

> 0; 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −5) ∪ (1; +∞).

𝑥𝑥−1

𝑡𝑡

�√𝑥𝑥 2 � 3

−1

−

√𝑥𝑥 − 1

= 0; 𝑡𝑡 2 − 8𝑡𝑡 + 7 = 0; 𝑡𝑡1 = 1; 𝑡𝑡2 =

= 0 - коренів немає; � 9

𝑥𝑥 = , 𝑥𝑥 = 1 , 8 � 8 = 0; � 𝑥𝑥 ≠ 1 𝑥𝑥 ≠ 1.

= 4; ОДЗ: 𝑥𝑥 ≠ 1; 𝑥𝑥 ≠ −1

( √𝑥𝑥 )2 − 1

𝑡𝑡 2 +7−8𝑡𝑡

�( √𝑥𝑥 )2 − 1��( √𝑥𝑥 )2 + 1�

ko la

( √𝑥𝑥 )4 − 1

𝑥𝑥+5

𝑥𝑥+5−𝑥𝑥+1

= 0; −

Відповідь: 𝑥𝑥 = 1 8) 3

= 8; одз:

.in .u a

7) �

= 4; 3

( √𝑥𝑥)2 − 1�

−

𝑥𝑥+5 𝑥𝑥−1

= 7;

𝑥𝑥+5 𝑥𝑥−1

( √𝑥𝑥 − 1)( √𝑥𝑥 + 1) 3

( √𝑥𝑥 + 1)

= 4;

( √𝑥𝑥)2 + 1 − √𝑥𝑥 + 1 = 4; ( √𝑥𝑥)2 − √𝑥𝑥 + 2 − 4 = 0; ( √𝑥𝑥)2 − √𝑥𝑥 − 2 = 0. Заміна: √𝑥𝑥 = 𝑡𝑡. 𝑡𝑡 2 − 𝑡𝑡 − 2 = 0; 𝑡𝑡1 = −1; 𝑡𝑡2 = 2. 3 3 √𝑥𝑥 = −1; 𝑥𝑥 = −1 − не задовольняє ОДЗ; √𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = 8.

Відповiдь: 8.

8.2

3 3 8 1) �𝑥𝑥 2 + 8 = 9 √𝑥𝑥 ; �𝑥𝑥 2 − 9 √𝑥𝑥 + 8 = 0. Заміна: √𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 𝑡𝑡 2 − 9𝑡𝑡 + 8 = 0; 𝑡𝑡1 = 1; 𝑡𝑡2 = 8 3 3 √𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = 1; √𝑥𝑥 = 8; 𝑥𝑥 = 512

2)√𝑥𝑥 −

√𝑥𝑥

= 1; одз: 𝑥𝑥 > 0. Заміна: √𝑥𝑥 = 𝑡𝑡; 𝑡𝑡 > 0.

2 𝑡𝑡 2 − 𝑡𝑡 − 2 𝑡𝑡 − = 0; = 0; 𝑡𝑡 2 − 𝑡𝑡 − 2 = 0; 𝑡𝑡1 = −1; 𝑡𝑡2 = 2. 𝑡𝑡 𝑡𝑡 1 - не задовольняє умову 𝑡𝑡 > 0; √𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = 4.

1 2 3 3) 3 +3 = 1; одз: 𝑥𝑥 ≠ −1, 𝑥𝑥 ≠ −27. Заміна: √𝑥𝑥 = 𝑡𝑡. √𝑥𝑥 + 1 √𝑥𝑥 + 3 2 𝑡𝑡 + 3 + 2𝑡𝑡 + 2 − (𝑡𝑡 2 + 3𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 + 3) −𝑡𝑡 2 − 𝑡𝑡 + 2 1 + − 1 = 0; = 0; =0 (𝑡𝑡 + 1)(𝑡𝑡 + 3) (𝑡𝑡 + 1)(𝑡𝑡 + 3) 𝑡𝑡 + 1 𝑡𝑡 + 3 𝑡𝑡1 = 1; 𝑡𝑡2 = −2, 𝑡𝑡 = −2, 𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 − 2 = 0, � � 𝑡𝑡 ≠ −1; 𝑡𝑡 ≠ −3; (𝑡𝑡 + 1)(𝑡𝑡 + 3) ≠ 0; 𝑡𝑡 = 1. 3 3 √𝑥𝑥 = −2; 𝑥𝑥 = −8; √𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = 1. 6

.in .u a

Відповідь: -8, 1.

4)√9 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 2 √3 − 𝑥𝑥 − 8 = 0; ОДв: 3 − 𝑥𝑥 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≤ 3 ⋅ �(3 − 𝑥𝑥)2 + 2 √3 − 𝑥𝑥 − 8 = 0. 6

Заміна: √3 − 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. 6 𝑡𝑡 2 + 2𝑡𝑡 − 8 = 0; 𝑡𝑡1 = −4; 𝑡𝑡2 = 2; −4 - не задовольняе умову 𝑡𝑡 ≥ 0; √3 − 𝑥𝑥 = 2 3 − 𝑥𝑥 = 64; 𝑥𝑥 = −61. Відповідь: -61 . 6)�

3𝑥𝑥+2

2𝑥𝑥−3

+�

Заміна: �

2𝑥𝑥−3

3𝑥𝑥+2

3𝑥𝑥+2 2𝑥𝑥−3

= 2,5; одз:

= 𝑡𝑡; �

2𝑥𝑥−3 3𝑥𝑥+2

3𝑥𝑥+2 2𝑥𝑥−3

= ; 𝑡𝑡 > 0. 𝑡𝑡

> 0; 𝑥𝑥 ∈ �−∞; − � ∪ (1,5; +∞). 3

�

ko la

1 2 1 5 𝑡𝑡 2 − 5𝑡𝑡 + 2 − 5𝑡𝑡 + 2 = 0, 𝐷𝐷 = 9; 𝑡𝑡 = ; 𝑡𝑡2 = 2. 𝑡𝑡 1 𝑡𝑡 + = ; = 0; � 2 𝑡𝑡 2 𝑡𝑡 𝑡𝑡 ≠ 0;

12𝑥𝑥 + 8 − 2𝑥𝑥 + 3 10𝑥𝑥 + 11 3𝑥𝑥 + 2 1 3𝑥𝑥 + 2 1 𝑥𝑥 = −1,1 = ; − = 0; = 0; = 0; � 𝑥𝑥 ≠ 1,5. 2𝑥𝑥 − 3 2𝑥𝑥 − 3 2𝑥𝑥 − 3 2 2𝑥𝑥 − 3 4

3𝑥𝑥 + 2 3𝑥𝑥 + 2 − 8𝑥𝑥 + 12 3𝑥𝑥 + 2 = 2; − 4 = 0; = 0; 2𝑥𝑥 − 3 2𝑥𝑥 − 3 2𝑥𝑥 − 3 −5𝑥𝑥 + 14 5𝑥𝑥 + 14 = 0, 𝑥𝑥 = 2,8, = 0; � � 2𝑥𝑥 − 3 ≠ 0; 𝑥𝑥 ≠ 1,5. 2𝑥𝑥 − 3 Bідповідь: -1,1; 2,8.

�

8.3 1) 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 16 − 3√𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 20 = 0. Заміна: √𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 20 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 20 = 𝑡𝑡 2 ; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 16 = 4 = 𝑡𝑡 2 ; 𝑡𝑡 2 − 5𝑥𝑥 + 16 = 𝑡𝑡 2 − 4; 𝑡𝑡 2 − 4 − 3𝑡𝑡 = 0; 𝑡𝑡 2 − 3𝑡𝑡 − 4 = 0; 𝑡𝑡1 = −1; 𝑡𝑡2 = 4. -1 - не задовольняє умову 𝑡𝑡 ≥ 0. �𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 20 = 4; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 20 = 16; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 4 = 0; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 4.

Перевірка: 𝑥𝑥1 = 1; 12 − 5 ⋅ 1 + 16 − 3√12 − 5 ⋅ 1 + 20 = 0; 12 − 12 = 0; 0 = 0 правильно; 𝑥𝑥2 = 4; 16 − 20 + 16 − 3√16 − 20 + 20 = 0; 12 − 12 = 0; 0 = 0 - правильно.

Відповідь: 1; 4. 2) 𝑥𝑥 2 + 4 − 5√𝑥𝑥 2 − 2 = 0. Заміна: √𝑥𝑥 2 − 2 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0; 𝑥𝑥 2 − 2 = 𝑡𝑡 2 ; 𝑥𝑥 2 = 𝑡𝑡 2 + 2; 𝑡𝑡 2 + 2 + 4 − 5𝑡𝑡 = 0; 𝑡𝑡 2 − 5𝑡𝑡 + 6 = 0; 𝑡𝑡1 = 3; 𝑡𝑡2 = 2;

�𝑥𝑥 2 − 2 = 3; 𝑥𝑥 2 − 2 = 9; 𝑥𝑥 2 = 11; 𝑥𝑥1,2 = ±√11;

�𝑥𝑥 2 − 2 = 2; 𝑥𝑥 2 − 2 = 4; 𝑥𝑥 2 = 6; 𝑥𝑥3,4 = ±√6.

.in .u a

Перевірка: 𝑥𝑥3 = −√6; 6 + 4 − 5√6 − 2 = 0; 0 = 0; 𝑥𝑥4 = √6; 0 = 0; 𝑥𝑥1 = −√11; 11 + 4 − 5√11 − 2 = 0; 0 = 0; 𝑥𝑥2 = √11; 11 + 4 − 5√11 − 2 = 0; 0 = 0. Відповідь: ±√11; ±√6. 3)√𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 5 + 𝑥𝑥 2 = 3𝑥𝑥 + 7; √𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 5 + 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 5 − 12 = 0.

Заміна: √𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 5 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. 𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 − 2 = 0; 𝑡𝑡1 = −4; 𝑡𝑡2 = 3 -4 - не задовольняє умову 𝑡𝑡 ≥ 0; √𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 5 = 3; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 4 = 0; 𝑥𝑥1 = −1; 𝑥𝑥2 = 4. Перевірка: 𝑥𝑥1 = −1; �(−1)2 − 3 ⋅ (−1) + 5 + (−1)2 = 3 ⋅ (−1) + 7; 4 = 4 - правильно; 𝑥𝑥2 = 4; √42 − 3𝑥𝑥 + 5 + 43 = 3 ⋅ 4 + 7; 19 = 19 − правильно. 4) √3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 26 = 12 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 . Заміна: √3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 26 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0; 3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 26 = 𝑡𝑡 2 ; 3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 36 + 10 = 𝑡𝑡 2 ; 3(𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 12) = 𝑡𝑡 2 − 10 𝑡𝑡 2 −10

(𝑡𝑡 2 −10)

ko la

𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 12 =

3 2

; 𝑡𝑡 =

;

3𝑡𝑡 + 𝑡𝑡 2 − 10 = 0; 𝑡𝑡 + 3𝑡𝑡 − 10 = 0; 𝑡𝑡1 = −5; 𝑡𝑡2 = 2.

5 - не задовольняє умову 𝑡𝑡 ≥ 0.

�3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 26 = 2; 3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 26 = 4; 3𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 30 = 0; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 10 = 0; 𝑥𝑥1 = −2; 𝑥𝑥2 = 5.

Перевірка: 𝑥𝑥1 = −2; �3(−2)2 − 9(−2) − 26 = 12 + 3(−2) − (−2)2 ; 2 = 2 - правильно; 𝑥𝑥2 = 5; √3 ⋅ 52 − 9 ⋅ 5 − 26 = 12 + 3 ⋅ 5 − 52 ; 2 = 2 - правильно. Відповiдь: -2; 5. 5)2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 3√𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 3 = 5. ОДЗ: 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 3 ≥ 0; −3−√21

−3−√21

𝑥𝑥 ∈ �−∞; − � ∪ �− 2 ; +∞�. Заміна: √𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 3 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≧ 0; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 3 = 2 𝑡𝑡 2 ; 2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 6 = 2𝑡𝑡 2 ; 2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 = 2𝑡𝑡 2 + 6; 2𝑡𝑡 2 + 6 − 3𝑡𝑡 − 5 = 0 2𝑡𝑡 2 − 3𝑡𝑡 + 1 = 0; 𝐷𝐷 = 1 1; 𝑡𝑡1 = ; 𝑡𝑡2 = 1; 2

1 1 �𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 3 = ; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 3 = ; 4𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 − 13 = 0; 2 4

𝐷𝐷: 𝑥𝑥1 =

−12+4√22 8

−3+√22 −3−√22 ; 𝑥𝑥2 = не задовольняє ОДЗ; 2 2

�𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 3 = 1; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 3 = 1; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 4 = 0; 𝑥𝑥1 = −4; 𝑥𝑥2 = 1.

Перевірка: 𝑥𝑥1 = −4; 5 = 5 − правильно; 𝑥𝑥2 = 1; 5 = 5 - правильно. Відповідь: -4; 1. 6

6) �𝑥𝑥 √𝑥𝑥 + �𝑥𝑥√𝑥𝑥 = 72; √𝑥𝑥 6 + √𝑥𝑥 3 ≅ 72; � √𝑥𝑥 3 � + √𝑥𝑥 3 − 72 = 0. 5

Заміна: √𝑥𝑥 8 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0.

.in .u a

𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 − 72 = 0; 𝑡𝑡1 = −9; 𝑡𝑡2 = 8

-9 - не задовольняє умову 𝑡𝑡 ≥ 0; √𝑥𝑥 3 = 8; 𝑥𝑥 8 = (23 )10 ; 𝑥𝑥 = 210 = 1024. 6 5 Перевірка: �1024 √1024 + �1024√1024 = 72; 72 = 72. Відповідь: 1024.

8.4 1) 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 3√𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 20 + 10 = 0. Заміна: 3√𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 20 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0. 𝑡𝑡 2 − 3𝑡𝑡 − 10 = 0; 𝑡𝑡1 = −2; 𝑡𝑡2 = 5; −2 - не задовольняє умову 𝑡𝑡 ≥ 0; �𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 20 = 5; 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 + 20 = 25; 𝑥𝑥 2 − 4𝑥𝑥 − 5 = 0; 𝑥𝑥1 = −2; 𝑥𝑥2 = 5.

ko la

Перевірка: 𝑥𝑥2 = −1; 0 = 0 - правильно; 𝑥𝑥2 = 5; 25 − 4 ⋅ 5 − 3√25 − 4 ⋅ 5 + 20 + 10 = 0; 0 = 0 - правильно. відповідь : -1, 5 2) 2√𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 11 = 4 + 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 ; 2√𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 11 = −(𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 11) + 15. Заміна: √𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 11 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0.

2𝑡𝑡 = −𝑡𝑡 2 + 15; 𝑡𝑡 2 + 2𝑡𝑡 − 15 = 0; 𝑡𝑡1 = −5; 𝑡𝑡2 = 3.

-5 - не задовольняє умову 𝑡𝑡 ≥ 0.

�𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 11 = 3; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 11 = 9; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 ⇒ 0; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 2.

Перевірка: 𝑥𝑥1 = 1; 2√12 − 3 ⋅ 1 + 11 = 4 + 3 ⋅ 1 − 12 ; 6 = 6 - правильно; 𝑥𝑥2 = 2; 2√22 − 3 ⋅ 2 + 11 = 4 + 3 ⋅ 2 − 22 ; 6 = 6 - правильно. відповідь: 1, 2.

3)√2𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 40 = 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 8. Заміна: √2𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 40 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0

𝑡𝑡 2 2 𝑡𝑡 2 𝑡𝑡 2 2𝑥𝑥 − 6𝑥𝑥 + 40 = 𝑡𝑡 ; 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 8 + 12 = ; 𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 8 = − 12; 𝑡𝑡 = − 12; 2 2 2 2

2𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 2 − 24; 𝑡𝑡 2 − 2𝑡𝑡 − 24 = 0; 𝑡𝑡1 = −4; 𝑡𝑡2 = 6;

-4 - не задовольняє 𝑡𝑡 ≥ 0; √2𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 40 = 6; 2𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 + 40 = 36; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 = 0; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 2. Перевірка: 𝑥𝑥1 = 1; √2 ⋅ 12 − 6 ⋅ 1 + 40 = 12 − 3 ⋅ 1 + 8; 6 = 6 - правильно; 𝑥𝑥2 = 2; √2 ⋅ 22 − 6 ⋅ 2 + 40 = 22 − 3 ⋅ 2 + 8; 6 = 6 - правильно. Відповідь: 1, 2.

.in .u a

4) 5𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 + �𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 15 = 123. Заміна: �𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 15 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 ≥ 0; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 15 = 𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 = 𝑡𝑡 2 + 15; 5𝑥𝑥 2 + 10𝑥𝑥 = 5𝑡𝑡 2 + 75; 5𝑡𝑡 2 + 75 + 𝑡𝑡 − 123 = 0; 5𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 − 48 = 0; 𝐷𝐷 = 961; 𝑡𝑡1 = 3; 𝑡𝑡2 = −3,2. −3,2 − не задовольняє 𝑡𝑡 ≥ 0. �𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 15 = 3; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 15 = 9; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 24 = 0; 𝑥𝑥1 = −6; 𝑥𝑥2 = 4.

Перевірка: 𝑥𝑥1 = −6; 5 ⋅ (−6)2 + 10 ⋅ (−6) + �(−6)2 + 2(−6) − 15 = 123; 123 = 123 − пра

вильно; 𝑥𝑥2 = 4; 5 ⋅ 42 + 10 ⋅ 4 + �42 + 2 ⋅ 4 − 15 = 123; 123 = 123 − правильно. Відповідь: − 6; 4 8.5

√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 = 5 � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 4�𝑥𝑥𝑥𝑥 = 37; 𝑥𝑥 + 2�𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 2�𝑥𝑥𝑥𝑥 = 37; (√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦)2 + 2�𝑥𝑥𝑥𝑥 = 37 √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 = 5, √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 = 5, √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 = 5, � � � 2 Оскільки √𝑥𝑥 ≥ 0, �𝑦𝑦 ≥ 0, то 5 + 2�𝑥𝑥𝑥𝑥 = 37; 2�𝑥𝑥𝑥𝑥 = 12 �𝑥𝑥𝑥𝑥 = 6. 𝑥𝑥 = 4 √𝑥𝑥 = 3, √𝑥𝑥 = 2, 𝑥𝑥 = 9; або � Маємо: (9;4); (4;9). � або � � 𝑦𝑦 = 9. �𝑦𝑦 = 2; �𝑦𝑦 = 3; 𝑦𝑦 = 4; ; Відповідь: (9; 4); (4; 9). √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 = 5,

�

√𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 = 5,

ko la

1) �

2) �

√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦 = 1, √𝑥𝑥 − �𝑦𝑦 = 7 6

√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦 = 1

� 6 �� 6 3 6 ( √𝑥𝑥) − ( 6�𝑦𝑦)3 = 7; ( √𝑥𝑥 − 6�𝑦𝑦)�( √𝑥𝑥)2 + 6�𝑥𝑥𝑥𝑥 + ( 6�𝑦𝑦)2 � = 7 6

√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦 = 1,

√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦 = 1

�6 ;� � 6 �𝑥𝑥 2 − 2 6�𝑥𝑥𝑥𝑥 + 6�𝑦𝑦 2 + 3 6�𝑥𝑥𝑥𝑥 = 7; ( √𝑥𝑥 − 6�𝑦𝑦)2 + 3 6�𝑥𝑥𝑥𝑥 = 7 1 + 3 6�𝑥𝑥𝑥𝑥 = 7 6

√𝑥𝑥 − �𝑦𝑦 = 1, 6√𝑥𝑥 = 2, 𝑥𝑥 = 64, Отже, (64; 1). �6 � 6 � 𝑦𝑦 = 1. = 1; 𝑦𝑦 � = 2; 𝑥𝑥𝑥𝑥 �

Відповідь: (64; 1).

3 3 3 3 3 √𝑥𝑥 = 1, 𝑥𝑥 = 8 √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 = 3, √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 = 3, √𝑥𝑥 + �𝑦𝑦 = 3, √𝑥𝑥 = 2, або � , � 3) � � 3 ; aбо � � 3 3 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 8 �𝑦𝑦 = 1 �𝑦𝑦 = 2 𝑦𝑦 = 1 ( �𝑥𝑥𝑥𝑥)3 = 8; 3�𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2; 𝑥𝑥 = 1, Отже, (8; 1), (1; 8). � 𝑦𝑦 = 8. Відповідь: (8; 1), (1; 8). 3

4) �

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + �𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 4,

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + �𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 4

� 4 4 4 4 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − �𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 8 ( �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − �𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)( �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + �𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) = 8 4

4 4 4 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + �𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 4, 2 �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 6, �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 3, � � � � 4 ( �𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 4�𝑥𝑥 − 𝑦𝑦) ⋅ 4 = 8; 4�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 4�𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2; 2 4�𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 2; 4�𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 81, 2𝑥𝑥 = 82, 𝑥𝑥 = 41, Отже, (41;40). � � � 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1; 2𝑦𝑦 = 80; 𝑦𝑦 = 40.

�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + �𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 4,

Відповідь: (41; 40)

.in .u a

⎧ 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 2𝑥𝑥 ⎪� +� = 2� ⋅ � , одз. > 0, > 0. 5) 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 2𝑥𝑥 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 2𝑥𝑥 ⎨ ⎪ 𝑥𝑥 2 − 8𝑦𝑦 2 = 18 − 18𝑦𝑦 ⎩

2 2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 1 + �� ;1 + = 2� ; � = 2� 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 2

2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 − 2� + 1 = 0; �� − 1� = 0; � − 1 = 0; 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦

2𝑥𝑥 2𝑥𝑥 = 1; = 1; 2𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦; 2𝑦𝑦 = 𝑥𝑥. 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦

ko la

�

Тоді підставимо в друге рівняння системи: (2𝑦𝑦)2 − 8𝑦𝑦 2 = 18 − 18𝑦𝑦; 4𝑦𝑦 2 − 8𝑦𝑦 2 − 18 + 18𝑦𝑦 = 0; −4𝑦𝑦 2 + 18𝑦𝑦 − 18 = 0; 2𝑦𝑦 2 − 9𝑦𝑦 + 9 = 0; 𝑦𝑦1,2 =

9±√81−72

1,5; 𝑦𝑦2 = 3. Отже, 𝑥𝑥1 = 2 ⋅ 1,5 = 3, 𝑥𝑥2 = 2 ⋅ 3 = 6. Маємо: (3; 1,5), (6; 3).

, 𝑦𝑦1,2 =

9±3 4

, 𝑦𝑦1 =

Відповідь: (3; 1,5), (6; 3).

6) ��4 − 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + �9 − 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 7, 2𝑥𝑥 − 3 = 12 2𝑦𝑦 = 12 + 3𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 6 + 1,5𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 6 + 1,5𝑥𝑥 � � �10 + 0,5 + �15 − 0,5𝑥𝑥 = 7. �4 − 𝑥𝑥 + 6 + 1,5𝑥𝑥 + �9 − 2𝑥𝑥 + 6 + 1,5𝑥𝑥 = 7;

Розв'яжемо рівняння �10 + 0,5𝑥𝑥 + �15 − 0,5𝑥𝑥 = 7;

10 + 0,5𝑥𝑥 + 2�(10 + 0,5𝑥𝑥)(15 − 0,5𝑥𝑥) + 15 − 0,5𝑥𝑥 = 49

2�(10 + 0,5𝑥𝑥)(15 − 0,5𝑥𝑥) = 49 − 25; 2�150 − 5𝑥𝑥 + 7,5𝑥𝑥 − 0,25𝑥𝑥 2 = 24;

�150 + 2,5𝑥𝑥 − 0,25𝑥𝑥 2 = 12; 150 + 2,5𝑥𝑥 − 0,25𝑥𝑥 2 = 144; 0,25𝑥𝑥 2 − 2,5𝑥𝑥 − 6 = 0

𝑥𝑥 2 − 10𝑥𝑥 − 24 = 0, звідки 𝑥𝑥1 = 12, 𝑥𝑥2 = −2. Тоді 𝑦𝑦1 = 6 + 1,5 ⋅ 12 = 24, 𝑦𝑦2 = 6 + 1,5 ⋅ (−2) = 3. Отже, (12; 24), (−2; 3).

Відповiдь: (12; 24), (−2; 3).

8.6

𝑥𝑥

.in .u a

3 3 3 3 √𝑥𝑥 − �𝑦𝑦 = 2, √𝑥𝑥 − �𝑦𝑦 = 2, √𝑥𝑥 − �𝑦𝑦 = 2, √𝑥𝑥 = 3, 𝑥𝑥 = 27 � �3 𝟏𝟏) � � 3 � 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 27 �𝑦𝑦 = 1 𝑦𝑦 = 1 ( �𝑥𝑥𝑥𝑥)3 = 27 3�𝑥𝑥𝑥𝑥 = 3 Отже, (27; 1). Відповiдь:(27; 1). 3

𝑦𝑦

𝑥𝑥 � + �𝑥𝑥 = 2,5 𝟐𝟐) � 𝑦𝑦 � ⋅ �𝑦𝑦, 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5

𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 �� + 1 = 2,5� , − 2,5� + 1 = 0. 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑥𝑥

Нехай � = 𝑡𝑡 > 0, тоді 𝑡𝑡 2 − 2,5𝑡𝑡 + 1 = 0, звідки 𝑡𝑡1 = , 𝑡𝑡2 = 2. Отже, маємо: 𝑦𝑦

𝑥𝑥

1 𝑥𝑥

𝑥𝑥

𝑦𝑦

ko la

�𝑦𝑦 = 2 , 𝑦𝑦 = 4 , 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥, �𝑦𝑦 = 2, 𝑥𝑥 ⇒ 4, 𝑥𝑥 = 4𝑦𝑦. Якщо:

1) �

𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 4, �� (1; 4); � � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5 𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 = 5; 𝑥𝑥 = 1; 𝑥𝑥 = 1;

2) �

𝑥𝑥 = 4𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 4𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 4𝑦𝑦, 𝑥𝑥 = 4, �� (4; 1). � � 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 5; 4𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 = 5 𝑦𝑦 = 1; 𝑦𝑦 = 1;

Відповідь: (1; 4), (4; 1) 3

�𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + �𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 2 = 3, 3) � 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 7 𝑦𝑦 = 7 − 2𝑥𝑥 �3 3 √14 − 3𝑥𝑥 + √3𝑥𝑥 − 5 = 3

Розв'яжемо рівняння √14 − 3𝑥𝑥 + √3𝑥𝑥 − 5 = 3. ( √14 − 3𝑥𝑥 + √3𝑥𝑥 − 5)3 = 32 ; 14 − 3𝑥𝑥 + 8 3 3𝑥𝑥 − 5 + 3 3�(14 − 3𝑥𝑥)(3𝑥𝑥 − 5)( √14 − 3𝑥𝑥 + √3𝑥𝑥 − 5) = 27 3

3�(14 − 3𝑥𝑥)(3𝑥𝑥 − 5) ⋅ 3 = 27 − 9; 9 �42𝑥𝑥 − 70 − 9𝑥𝑥 2 + 15𝑥𝑥 = 18; 3

√57𝑥𝑥 − 70 − 9𝑥𝑥 2 = 2; 57𝑥𝑥 − 70 − 9𝑥𝑥 2 = 8; 9𝑥𝑥 2 − 57𝑥𝑥 + 78 = 0, звідки 𝑥𝑥1 = 4 , 1

𝑥𝑥2 = 2, тоді 𝑦𝑦1 = 7 − 2 ⋅ 4 = −1 ; 𝑦𝑦2 = 7 − 2 ⋅ 2 = 3. отже, �4 ; −1 � , (2; 3). 8.7

√𝑥𝑥 − 1 + √𝑥𝑥 + 3 + 2�(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3) = 4 − 2𝑥𝑥;

√𝑥𝑥 − 1 + √𝑥𝑥 + 3 + 𝑥𝑥 − 1 + 2�(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3) + 𝑥𝑥 + 3 − 2 − 4 = 0;

(√𝑥𝑥 − 1 + √𝑥𝑥 + 3)2 + (√𝑥𝑥 − 1 + √𝑥𝑥 + 3) − 6 = 0. Нехай √𝑥𝑥 − 1 + √𝑥𝑥 + 3 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 > 0, тоді

𝑡𝑡 2 + 𝑡𝑡 − 6 = 0, 𝑡𝑡1 = −3 < 0, 𝑡𝑡2 = 2. Ураховуючи заміну, маємо: √𝑥𝑥 − 1 + √𝑥𝑥 + 3 = 2;

𝑥𝑥 − 1 + 2�(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3) + 𝑥𝑥 + 3 = 4; 2�(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3) = 2 − 2𝑥𝑥; �(𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 3) = 1 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 = 1 − 2𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 ; 4𝑥𝑥 = 4; 𝑥𝑥 = 1.

8.8 𝑥𝑥 + �(𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 2) =

= 2 + √𝑥𝑥 + 6 + √𝑥𝑥 − 2

Нехай √𝑥𝑥 + 6 + �𝑥𝑥𝑦𝑦 2 2 = 𝑡𝑡,

.in .u a

Відповідь; 1.

тоді 𝑥𝑥 + 6 + 2�(𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 2) + 𝑥𝑥 − 2 = 𝑡𝑡 2 ; 2�(𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 2) + 2𝑥𝑥 + 4 = 𝑡𝑡 2

�(𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 2) + 𝑥𝑥 =

𝑡𝑡 2 − 4 . 2

ko la

𝑡𝑡 = 4; 𝑡𝑡 2 + 2𝑡𝑡 − 8 = 0; �𝑡𝑡 = 2; � 𝑡𝑡 ≥ 0; 𝑡𝑡 ≥ 0;

Тоді: √𝑥𝑥 + 6 + √𝑥𝑥 − 2 = 4;

𝑥𝑥 + 6 ≥ 0 �𝑥𝑥 − 2 ≥ 0 𝑥𝑥 + 6 + 2�(𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 2) + 𝑥𝑥 − 2 = 16

𝑥𝑥 ≥ −6; 𝑥𝑥 ≥ 2; 2) � 2�(𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 2) = 16 + 4 − 2𝑥𝑥; 𝑥𝑥 ≥ −6; 𝑥𝑥 ≥ 2; � �(𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 2) = 6 − 𝑥𝑥;

𝑥𝑥 ≥ 2; 6 − 𝑥𝑥 ≥ 0; � (𝑥𝑥 + 6)(𝑥𝑥 − 2) = 36 − 12𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 ; 𝑥𝑥 ≥ 2; 𝑥𝑥 ≤ 6; � 2 𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 − 12 = 36 − 12 + 𝑥𝑥 2 ;

.in .u a

𝑥𝑥 ∈ [2; 6]; � 𝑥𝑥 ∈ [2; 6 𝑥𝑥 = 3 8.9

9√2𝑥𝑥 + 3 + √𝑥𝑥 + 1 = 3𝑥𝑥 + 2�2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 3 − 16;

√2𝑥𝑥 + 3 + √𝑥𝑥 + 1 = 2𝑥𝑥 + 3 + 2�2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 3 + 𝑥𝑥 + 1 − 4 − 16; √2𝑥𝑥 + 3 + √𝑥𝑥 + 1 = (√2𝑥𝑥 + 3 + √𝑥𝑥 + 1)2 − 20. Нехай √2𝑥𝑥 + 3 + √𝑥𝑥 + 1 = 𝑡𝑡, 𝑡𝑡 > 0, тоді 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 2 − 20; 𝑡𝑡 2 − 𝑡𝑡 − 20 = 0; 𝑡𝑡1 = 5, 𝑡𝑡2 = −4 < 0. Ураховуючи заміну, маємо:

√2𝑥𝑥 + 3 + √𝑥𝑥 + 1 = 5; 2𝑥𝑥 + 3 + 2�2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 3 + 𝑥𝑥 + 1 = 25; 2�2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 3 = 21 − 3𝑥𝑥; 4(2𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 3) = 441,126𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 2 ; 8𝑥𝑥 2 + 20𝑥𝑥 + 12 = 441 − 126𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 2 ;

𝑥𝑥 2 − 146𝑥𝑥 + 429 = 0; 𝑥𝑥1,2 = 73 ± �732 − 429; 𝑥𝑥1,2 = 73 ± 70; 𝑥𝑥1 = 143, 𝑥𝑥2 = 3.

ko la

Перевірка: 1) 𝑥𝑥 = 143: √286 + 3 + √143 + 1 = 17 + 12 = 29; 3 ⋅ 149 + 2 ⋅ √289 ⋅ 144 − 16 = 429 + 408 − 16 = 821; 29 ≠ 821, отже, 𝑥𝑥 = 143 — сторонній корінь; 2) 𝑥𝑥 = 3: √6 + 3 + √3 + 1 = 3 + 2 = 5; 9 + 2√9 ⋅ 4 − 16 = 9 + 12 − 16 = 5; 5 = 5, отже, 𝑥𝑥 = 3 - корінь рівняння. Відповідь: 𝑥𝑥 = 3. 𝟖𝟖. 𝟏𝟏𝟏𝟏

𝑥𝑥 2

√2𝑥𝑥+5

+ √2𝑥𝑥 + 5 = 2𝑥𝑥; ОДЗ: 2𝑥𝑥 + 5 > 0, 𝑥𝑥 > −2,5; оскільки √2𝑥𝑥 + 5 > 0,

помножимо обидві частини рівняння на √2𝑥𝑥 + 5, тоді 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 5 = 2𝑥𝑥√2𝑥𝑥 + 5; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥√2𝑥𝑥 + 5 + 2𝑥𝑥 + 5 = 0; (𝑥𝑥 − √2𝑥𝑥 + 5)2 = 0; 𝑥𝑥 − √2𝑥𝑥 + 5 = 0; √2𝑥𝑥 + 5 = 𝑥𝑥; 2𝑥𝑥 + 5 = 𝑥𝑥 2 ; 𝑥𝑥 2 − 2𝑥𝑥 − 5 = 0; 𝑥𝑥1,2 = 1 ± √6.

𝟖𝟖. 𝟏𝟏𝟏𝟏 4𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥√1 + 𝑥𝑥 = 27(1 + 𝑥𝑥). 𝑥𝑥 = 0 - не є коренем, бо 0 ≠ 27 ⇒ поділивши обидві частини на 𝑥𝑥 2 , отримаємо: 4 + 12 ⋅ 𝑥𝑥+1 √1+𝑥𝑥 = 27 ⋅ 2 . 𝑥𝑥 2

1+𝑥𝑥 √1+𝑥𝑥 = 𝑡𝑡, тоді 2 = 𝑡𝑡 2 , Маємо: 4 + 12𝑡𝑡 = 27𝑡𝑡, 27𝑡𝑡 2 − 12𝑡𝑡 − 4 = 0; 𝐷𝐷1 = 36 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥 6+12 18 2 6−12 6 2 = = ; 𝑡𝑡2 = =− =− . 108 = 144; 𝑡𝑡1 = 27 27 3 27 27 9

Нехай

1 + х ≥ 0; 𝑥𝑥 ≥ −1; 𝑥𝑥 ∈ (0, +∞); 2 √1+𝑥𝑥 Тоді: 1 ) = ; �𝑥𝑥 > 0; �𝑥𝑥 > 0; � 6 3 𝑥𝑥 1+𝑥𝑥 4 2 4𝑥𝑥 − 9𝑥𝑥 − 9 = 0. = ; ; 9 + 9𝑥𝑥 = 4𝑥𝑥 2 𝑥𝑥

Розв'яжемо рівняння 4𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 − 9 = 0 : 𝐷𝐷 = 81 + 144 = 225; 𝑥𝑥 =

9 + 15 = 3; 8

.in .u a

9 − 15 6 3 = 𝜎𝜎 = − ∉ (0; +∞). 8 8 4 1 + 𝑥𝑥 ≥ 0 2 √1 + 𝑥𝑥 4 1 + 𝑥𝑥 =− . 2) � 2 = 9 𝑥𝑥 81 𝑥𝑥 𝑥𝑥 < 0 1 + 𝑥𝑥 ⩾ 0; 𝑥𝑥 ∈ [−1; 0); 𝑥𝑥 < 0; � � 2 81 + 81𝑥𝑥 = 4𝑥𝑥 2 ; 4𝑥𝑥 − 81𝑥𝑥 − 81 = 0.

𝑥𝑥2 =

Розв' яжемо рівняння 4𝑥𝑥 2 − 81𝑥𝑥 − 81 = 0 :

𝐷𝐷 = 6561 + 1286; 81 − 9√97 81 + 9√97 𝑥𝑥1 = ; 𝑥𝑥2 = ∉ [−1; 0). 8 8 81−9√97

ko la

Відповідь:х= 𝟖𝟖. 𝟏𝟏𝟏𝟏

6𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥√𝑥𝑥 + 3 + 𝑥𝑥 + 3 = 0;

5 ОДЗ: 𝑥𝑥 + 3 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≥ −3,6𝑥𝑥 2 − 2 ⋅ 𝑥𝑥√𝑥𝑥 + 3 + 𝑥𝑥 + 3 = 0 2 2 5 1 25 2 1 2 5 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 2 ⋅ 𝑥𝑥√𝑥𝑥 + 3 + 𝑥𝑥 + 3 = 0; � 𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 + 3� − 𝑥𝑥 2 = 0; 4 2 4 4 2 2 1 5 1 5 � 𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 + 3� = 𝑥𝑥 2 ; 𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 + 3 = ± 𝑥𝑥 4 2 2 2 5

1) 𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 + 3 = − 𝑥𝑥; √𝑥𝑥 + 3 = 3𝑥𝑥; 𝑥𝑥 + 3 = 9𝑥𝑥 2 ; 9𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 3 = 0; 2 2 𝑥𝑥1,2 = 5

1 ± √109 ; 18

2) 𝑥𝑥 − √𝑥𝑥 + 3 = 𝑥𝑥; √𝑥𝑥 + 3 = 2𝑥𝑥; 𝑥𝑥 + 3 = 4𝑥𝑥 2 ; 4𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 3 = 0; 𝑥𝑥3,4 = 2

𝑥𝑥3,4 =

1 ± √7 3 ; 𝑥𝑥3 = 1, 𝑥𝑥4 = − 4 8

1±√49 8

;

Перевіркою встановлюемо, що 𝑥𝑥 = 8.13

1−√109 18

i 𝑥𝑥 = − - сторонні корені. 4

13�(𝑥𝑥 + 3)2 + �(6 − 𝑥𝑥)2 − �(𝑥𝑥 + 3)(6 − 𝑥𝑥) = 3 ∣⋅ (√𝑥𝑥 + 3 + √6 − 𝑥𝑥 ); 3

(√𝑥𝑥 + 3)3 + (√6 − 𝑥𝑥 )8 = 3(√𝑥𝑥 + 3 + √6 − 𝑥𝑥 ); 𝑥𝑥 + 3 + 6 − 𝑥𝑥 = 3(√𝑥𝑥 + 3 + √6 − 𝑥𝑥 ); 3

3(√𝑥𝑥 + 8 + √6 − 𝑥𝑥 ) = 9; √𝑥𝑥 + 3 + √6 − 𝑥𝑥 = 3.

Піднесемо обидві частини рівняння до кубу за формулою 3

.in .u a

(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3 = 𝑎𝑎8 + 𝑏𝑏 3 + 3𝑎𝑎𝑎𝑎(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏), тоді 3

𝑥𝑥 + 3 + 6 − 𝑥𝑥 + 3�(𝑥𝑥 + 3)(6 − 𝑥𝑥)(√𝑥𝑥 + 3 + √6 − 𝑥𝑥 ) = 27 3

9 + 3�(𝑥𝑥 + 3)(6 − 𝑥𝑥) ⋅ 3 = 27; 3

9 �6𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 + 18 − 3𝑥𝑥 = 18 3

�3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 + 18 = 2; 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 + 18 = 8; 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 − 10 = 0, звідки 𝑥𝑥1 = −2, 𝑥𝑥2 = 5, Відповідь: − 2; 5

𝟖𝟖. 𝟏𝟏𝟏𝟏 3

�(𝑥𝑥 + 4)2 + �(𝑥𝑥 − 5)2 + 3�(𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 5) = 3 ∣⋅ (√𝑥𝑥 + 4 − √𝑥𝑥 − 5) 3

ko la

(√𝑥𝑥 + 4)3 − (√𝑥𝑥 − 5)3 = 3(√𝑥𝑥 + 4 − √𝑥𝑥 − 5); 𝑥𝑥 + 4 − 𝑥𝑥 + 5 = 3(√𝑥𝑥 + 4 − √𝑥𝑥 − 5) 3

3(√𝑥𝑥 + 4 − √𝑥𝑥 − 5) = 9; √𝑥𝑥 + 4 − √𝑥𝑥 − 5 = 3 3

𝑥𝑥 + 4 − 𝑥𝑥 + 5 − 3�(𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 5)(√𝑥𝑥 + 4 − √𝑥𝑥 − 5) = 27; 9 − 3 �𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 20 ⋅ 3 = 27 3

−9 �𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 20 = 18; �𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 20 = −2; 𝑥𝑥 8 − 𝑥𝑥 − 20 = −8; 𝑥𝑥 2 − 𝑥𝑥 − 12 = 0 𝑥𝑥1 = −3, 𝑥𝑥2 = 4

9.1 1) √𝑥𝑥 − 1 > 4; Одз: 𝑥𝑥 − 1 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≥ 1. 𝑥𝑥 − 1 > 16; 𝑥𝑥 > 17. Відповідь: (17; +∞). 2) √𝑥𝑥 − 1 < 4; ОД3: 𝑥𝑥 ≥ 1; 𝑥𝑥 − 1 < 16; 𝑥𝑥 < 17. Відповідь: (1; 17). 3) √𝑥𝑥 − 1 > −4; оскільки корінь арифметичний, то 𝑥𝑥 - число, яке задовольняє ОДЗ, 𝑥𝑥 ∈ [1; +∞). Відповідь: [1; +∞). 4) √𝑥𝑥 − 1 < −4. Коренів немає.

9.2 1)√2𝑥𝑥 − 4 > √5 − 𝑥𝑥; ОДЗ: � 2𝑥𝑥 − 4 > 5 − 𝑥𝑥; 3𝑥𝑥 > 9; 𝑥𝑥 > 3.

2𝑥𝑥 − 4 ≥ 0, 𝑥𝑥 ≥ 2, � ; [2; 5]. 5 − 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≤ 5

Відповідь: 𝑥𝑥 ∈ (3; 5].

.in .u a

𝑥𝑥 ≥ 0, ; 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥 + 1; 0 < 1 - правильно. 𝑥𝑥 + 1 ≥ 0 Biдnoвiдь: 𝑥𝑥 ∈ [0; +∞). 3) √𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 < √𝑥𝑥 2 + 1 2)√𝑥𝑥 < √𝑥𝑥 + 1; ОДЗ: �

ОДЗ: 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 1) ≥ 0; 𝑥𝑥1 = 0; 𝑥𝑥2 = −1; 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −1] ∪ [0; +∞). 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 < 𝑥𝑥 2 + 1; 𝑥𝑥 < 1.

ko la

Відповідь: 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −1] ∪ [0; 1). 4) √𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 1 > √2𝑥𝑥 − 3

4)�𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 1 > √2𝑥𝑥 − 3

3+√5 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 1 ≥ 0, ОДЗ: � ; +∞�. , 𝑥𝑥 ∈ � 2 2𝑥𝑥 − 3 ≥ 0;

𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 1 > 2𝑥𝑥 − 3; 𝑥𝑥 2 − 5𝑥𝑥 + 4 > 0 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 4; 𝑥𝑥 ∈ (4; +∞).

Відповідь: (4; +∞). 5) √8 − 5𝑥𝑥 ≥ √𝑥𝑥 2 − 16;

.in .u a

8 − 5𝑥𝑥 ≥ 0, ОДЗ: � 2 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −4]. 𝑥𝑥 − 16 ≥ 0; 8 − 5𝑥𝑥 ≥ 𝑥𝑥 2 − 16; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 24 ≤ 0; 𝑥𝑥1 = −8; 𝑥𝑥2 = 3.

Відповідь: [-8;-4]. 6) √𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 < √2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 1;

1 𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 ≥ 0, ОДЗ: � 2 𝑥𝑥 ∈ �−∞; � ∪ [2; +∞). 2 2𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 + 1 ≥ 0;

ko la

𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 2 < 2𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥 + 1; 𝑥𝑥 2 − 1 > 0 𝑥𝑥1 = −1; 𝑥𝑥2 = 1

Відповідь: (−∞; −1) ∪ [2; +∞). 9.3

3𝑥𝑥 − 2 < 𝑥𝑥 + 6 1) √3𝑥𝑥 − 2 < √𝑥𝑥 + 6 ⇔ � 3𝑥𝑥 − 2 ≥ 0

2𝑥𝑥 < 8; 𝑥𝑥 < 4; 2 2 ⇒ 𝑥𝑥 ∈ � ; 4� 2 � � 𝑥𝑥 ≥ ; 𝑥𝑥 ≥ 3 3 3

Відповідь: 𝑥𝑥 ∈ � ; 4�. 3

.in .u a

2) √2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 3 ≥ √𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 ⇔ 2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 − 3 ≥ 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 ≥ 0; � � 2 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) ≥ 0; 𝑥𝑥 + 4𝑥𝑥 ≥ 0; (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 − 1) ≥ 0 � 𝑥𝑥(𝑥𝑥 + 4) ≥ 0 ⇒ 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −4] ∪ [1; +∞). Відповідь: 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −4] ∪ [1; +∞).

ko la

3) �𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 10 < √𝑥𝑥 − 2 ⇔ 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 10 < 𝑥𝑥 − 2; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 8 < 0; � � (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 2) ≥ 0 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 − 10 ≥ 0 (𝑥𝑥 + 4)(𝑥𝑥 − 2) < 0; � (𝑥𝑥 + 5)(𝑥𝑥 − 2) ≥ 0;

⇒ 𝑥𝑥 ∈ ∅.

Bідповiдь: 𝑥𝑥 ∈ ∅.

9.4 1) 𝑥𝑥 > √24 − 5𝑥𝑥; ОДЗ: 24 − 5𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≤ 4,8 : а) якщо 𝑥𝑥 ≥ 0, то 𝑥𝑥 2 > 24 − 5𝑥𝑥; 𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 − 24 > 0; 𝑥𝑥1 = −8; 𝑥𝑥2 = 3; 𝑥𝑥 ∈ (3; 4,8]; б) якцо 𝑥𝑥 < 0, немає розв'язків. Відповідь: (3; 4,8 ]. 2) √2𝑥𝑥 + 7 ≤ 𝑥𝑥 + 2; ОдЗ: 2𝑥𝑥 + 7 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≥ −3,5 : а) якщо 𝑥𝑥 + 2 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≥ −2; 2𝑥𝑥 + 7 ≤ 𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 4; 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 − 3 ≥ 0; 𝑥𝑥1 = −3; 𝑥𝑥2 = 1; 𝑥𝑥 ∈ [1; +∞). б) якщо 𝑥𝑥 + 2 < 0; 𝑥𝑥 < −2, коренів немає. Відповідь: [1; +∞ ). 3) √3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 < 4 − 𝑥𝑥;

ОДЗ: 3𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3 ≥ 0; 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 ∈ 3; 𝑥𝑥 ∈ [0; 3]. Якщо 4 − 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≤ 4, враховуючи ОДЗ, 𝑥𝑥 ∈ [0; 3]. Відповідь: [0; 3]. 4) 3 − 𝑥𝑥 > 3√1 − 𝑥𝑥 2 ; одз: 1 − 𝑥𝑥 2 ≥ 0; 𝑥𝑥1 = −1; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥 ∈ [−1; 1]. Якщо 3 − 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 ≤ 3; 9 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 ⩾ 9(1 − 𝑥𝑥 2 ); 3

.in .u a

9 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 > 9 − 9𝑥𝑥 2 ; 10𝑥𝑥 2 − 6𝑥𝑥 ⋗ 0;

(5𝑥𝑥 2 − 3𝑥𝑥) ⋅ 0; 𝑥𝑥(5𝑥𝑥 − 3) ⋅ 0; 𝑥𝑥 = 0; 𝑥𝑥 = .

Відповідь: [−1; 0] ∪ ( ; 1]. 5

5)√𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 3 < 2𝑥𝑥 + 3; ОДЗ: 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 3 ≥ 0; 𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅. 1

Якщо 2𝑥𝑥 + 1 ≥ 0; 𝑥𝑥 > ; 𝑥𝑥 2 + 3𝑥𝑥 + 3 < 4𝑥𝑥 2 + 4𝑥𝑥 + 1; 2

2 3

ko la

3𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 − 2 > 0; 𝑥𝑥1 = −1; 𝑥𝑥2 =

Відповідь: � ; +∞�. 3

6) √7𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 6 < 2𝑥𝑥 + 3; ОДЗ: 7𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 6 ≥ 0; 𝑥𝑥 2 − 7𝑥𝑥 = 6 ≤ 0; 𝑥𝑥1 = 1; 𝑥𝑥2 = 6;

𝑥𝑥 ∈ [1; 6]. Якщо 2𝑥𝑥 + 3 ≤ 0; 𝑥𝑥 ≥ −1,5;

7𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 6 < 4𝑥𝑥 2 + 12𝑥𝑥 + 9; 5𝑥𝑥 2 + 5𝑥𝑥 + 15 = 0 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 3 > 0; 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 + 3 = 0; 𝐷𝐷 = −11;

немає коренів; 𝑥𝑥 ∈ (−∞; +∞), враховуючи ОДЗ 𝑥𝑥 ∈ [1; 6]. Відповідь: [1; 6].

9𝑥𝑥 − 20 < 𝑥𝑥 2 9.5 1)√9𝑥𝑥 − 20 < 𝑥𝑥 ⇔ �𝑥𝑥 > 0 9𝑥𝑥 − 20 ≥ 0

𝑥𝑥 ∈ (−∞; 4) ∪ (5; +∞); 20 � 𝑥𝑥 ≥ 9 20 ⇒ 𝑥𝑥 ∈ � ; 4� ∈ (5; +∞). 9 20

.in .u a

𝑥𝑥 2 − 9𝑥𝑥 + 20 > 0; (𝑥𝑥 − 5)(𝑥𝑥, 4) > 0; 𝑥𝑥 > 0; 20 � � 20 ; 𝑥𝑥 ≥ 𝑥𝑥 ≥ ; 9 9

Відповідь: 𝑥𝑥 ∈ � ; 4� ∈ (5; +∞). 9

ko la

𝑥𝑥 + 61 < (𝑥𝑥 + 5)2 ; 2) √𝑥𝑥 + 61 < 𝑥𝑥 + 5 ⇔ � 𝑥𝑥 + 5 > 0; 𝑥𝑥 + 61 ≥ 0; 2 𝑥𝑥 + 61 < 𝑥𝑥 + 10𝑥𝑥 + 25; 2 𝑥𝑥 + 9𝑥𝑥 − 36 > 0; � � 𝑥𝑥 > −5 𝑥𝑥 > −5; 𝑥𝑥 ≥ −61; 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −12) ∪ (3; +∞); (𝑥𝑥 + 12)(𝑥𝑥 − 3) > 0; � 𝑥𝑥 > −5; � 𝑥𝑥 > −5 ⇒ 𝑥𝑥 ∈ (3; +∞)

Відповідь: 𝑥𝑥 ∈ (3; +∞).

4(4 − 𝑥𝑥 2 ) ≤ (𝑥𝑥 + 4)2 3) 2�4 − 𝑥𝑥 2 ≤ 𝑥𝑥 + 4 ⇔ � 𝑥𝑥 + 4 ≥ 0 4 − 𝑥𝑥 2 > 0 16 − 4𝑥𝑥 2 ≤ 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 + 16; 5𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥 ≥ 0 � � 𝑥𝑥 ≥ −4 𝑥𝑥 ≥ −4; (2 − 𝑥𝑥)(2 + 𝑥𝑥) ≥ 0; 𝑥𝑥 ∈ [−2; 2]

�𝑥𝑥(5𝑥𝑥 + 8) ≥ 0 𝑥𝑥 ∈ [−2; 2]

8 �𝑥𝑥 ∈ (−∞; − ] ∈ [0; +∞] 5 𝑥𝑥 ∈ [−2; 2]

8 𝑥𝑥 ∈ [−2; − ] ∪ [0; 2]. 5

Відповідь: 8 𝑥𝑥 ∈ [−2; − ] ∪ [0; 2]. 5

9.6

Відповідь: 𝑥𝑥 ∈ (−∞; 1).

.in .u a

𝑥𝑥 < 0 � 2 − 𝑥𝑥 ≥ 0; 1)√2 − 𝑥𝑥 > 𝑥𝑥 ⇔ � 𝑥𝑥 ≥ 0; � 2 − 𝑥𝑥 > 𝑥𝑥 2 ; 𝑥𝑥 < 0; { 2 𝑥𝑥 < 0; 𝑥𝑥 ≤ 2; 𝑥𝑥 ≥ 0; � � 𝑥𝑥 ≥ 0; � (𝑥𝑥 + 2)(𝑥𝑥 − 1) < 0; { 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 2 < 0; 𝑥𝑥 < 0; 𝑥𝑥 ≥ 0; 𝑥𝑥 < 0; � ⇒ 𝑥𝑥 ∈ (−∞; 1) � � 𝑥𝑥 ∈ (−2; 1); 0 ∈ [0; 1) 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 + 7 ≥ 0 2) √𝑥𝑥 + 7 ≥ 𝑥𝑥 + 1 ⇔ � 𝑥𝑥 + 1 ≥ 0 � 𝑥𝑥 + 7 ≥ (𝑥𝑥 + 1)2 �

𝑥𝑥 < −1; 𝑥𝑥 ≥ −7;

�

𝑥𝑥 ≥ −1; 𝑥𝑥 + 7 ≥ 𝑥𝑥 2 + 2𝑥𝑥 + 1;

𝑥𝑥 ∈ [−7; −1]; 𝑥𝑥 ≥ −1; 2 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 − 6 ≤ 0; 𝑥𝑥 ∈ [−7; −1); � 𝑥𝑥 ≥ −1; � 𝑥𝑥 ∈ [−3; 2]

�

ko la

�

𝑥𝑥 ∈ [−7; −1); 𝑥𝑥 ≥ −1; � � (𝑥𝑥 + 3)(𝑥𝑥 𝑥𝑥 ∈ [−7; −1]; ⇒ 𝑥𝑥 ∈ [−7; 2]. � 𝑥𝑥 ∈ [−1; 2] �

Biдповідь: 𝑥𝑥 ∈ [−7; 2].

𝑥𝑥 < 0 � 2 𝑥𝑥 − 1 ≥ 0 3) �𝑥𝑥 2 − 1 > 𝑥𝑥 ⇔ � 𝑥𝑥 ≥ 0; � 2 𝑥𝑥 − 1 > 𝑥𝑥 2

𝑥𝑥 < 0; � (𝑥𝑥 − 1)(𝑥𝑥 + 1) ≥ 0; � 𝑥𝑥 ≥ 0; � −1 ⩾ 0;

𝑥𝑥 < 0; � � ∪ [1; +∞); 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −1] � 𝑥𝑥 ≥ 0; � 𝑥𝑥 ∈ ∅;

𝑥𝑥 ∈ (−∞; −1]; ⇒ 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −1]. 𝑥𝑥 ∈ ∅ Biдпoвiдь: 𝑥𝑥 ∈ (−∞; −1].

�

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 9.12

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 10.17-10.18

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 11.13

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 13.7-13.8

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

14.6

14.7-14.8

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

sh 14.21-14.22

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la

.in .u a

ko la