8. Користуючись рисунком 17: 1) визначне, чи перетинаються
9. Користуючись
1) Прямій a
MK.
точки C, D, E; прямій MK
належать точки M, K, E
2) Прямій a
точки B, F, K, P;
не належать точки C, D, B, F, P.
3) Прямі a і MK перетинаються в точці E.
4) Точки, які
прямій MK: B, P, F.
MK
p: C, D.
2) Точка А належить прямим m, p, k, AC; точка В належить прямим n і p; точка D належить прямим k і n, DE; точка E належить прямим p, EC, ED.
3) Через точку С проходять прямі: n, CE, CA; через точку В проходять прямі: n, p; через точку D проходять прямі: n, CA, CE; через точку Е проходять прямі: p, EC, ED
4) Прямі k і p перетинаються в точці
AE, EC, CD, AD, AC, ED.
MN, NE, EP, PQ, MQ, NP, ME, EQ
А і D, то справедлива рівність AD = AB + BD. 30. Точка D внутрішня точка відрізка ME.
1) відстань між точками M і E, якщо MD = 1,8 дм, DE = 2,6 дм
Якщо D – внутрішня точка відрізка МЕ, то виконується рівність МЕ = MD + DE, тоді МЕ = 1,8 + 2,6 = 4,4 (дм)
Відповідь: 4,4 дм. 2) довжину відрізка MD, якщо ME = 42 мм, DE = = 1,5 см.
Якщо D – внутрішня точка відрізка МЕ, то виконується рівність ME = MD + DE, тоді MD = ME – DE = 42 мм – 1,5 см = 4,2 см – 1,5 см = 2,7 (см) Відповідь: 2,7 см. 31. Точки A, B і C
5
дорівнювала б 20 – 5 = 15 (см), а
+ 5 = 7,5 + 5 = 12,5 (см)
Відповідь: ВС = 7,5 см; АС = 12,5 см. 2-й спосіб.
Нехай ВС = х см, тоді АС = х + 5 (см). Враховуючи, що точка С – внутрішня точка
АВ, маємо АС + ВС = АВ або х + х + 5 = 20, звідси 2х + 5 = 20; 2х = 20 – 5; 2х = 15; х = 15 : 2; х = 7,5. Отже, ВС = 7,5 см, АС = 7,5 + 5 = 12,5 (см)
ВС = 7,5 см;
= 12,5 см.
= х
= 4х
маємо: АС + ВС = АВ або х + 4х = 20, звідси 5х = 20; х = 20 : 5; х = 4. Отже, ВС = 4
см, а АС = 4 ⋅ 4 = 16 (см)
Відповідь: 16 см і 4 см.
3) AC : BC = 9 : 11.
Нехай АС = 9х см, тоді ВС = 11х см. Оскільки точка
АС + ВС = АВ, або 9х + 11х = 20, звідси 20х = 20; х = 20 : 20; х = 1, тоді 9х = 9 ⋅ 1 = 9 (см), 11х = 11 ⋅ 1 = 11 (см). Отже, АС = 9 см, ВС = 11 см.
Відповідь: 9 см і 11 см.
37. Точка K належить відрізку CD, довжина якого
1) відрізок CK на 4 см менший від відрізка KD.
Нехай СК = х см, тоді KD = х + 4 см. Оскільки точка К –
точка
і KD, якщо:
CD, то
маємо: CK + KD = CD або х + х + 4 = 28, звідси 2х + 4 = 28; 2х = 28 – 4; 2х = 24; х = 24 ; 2; х = 12, тоді х + 4 = 12 + 4 = 16. Отже, СК = 12 см, KD = 16 см.
Відповідь: 12 см і 16 см. 2) відрізок CK у 6 разів
KD. Нехай KD = х см, тоді СК = 6х см. Оскільки точка
маємо: CK + KD = CD або 6х + х = 28, звідси 7х = 28; х = 28 : 7; х = 4, тоді 6х = 6 ⋅ 4 = 24.
Отже, СК = 24 см, KD = 4 см.
Відповідь: 24 см і 4 см.
3) CK : KD = 3 : 4.
Нехай СК = 3х см, тоді KD = 4х см. Оскільки точка К –
= CD – BC,
CD, то
маємо СК + KD = CD або 3х + 4х = 28. Звідси 7х = 28; х = 28; 7; х = 4, тоді 3х = 3 ⋅ 4 = 12, 4х = 4 ⋅ 4 = 16. Отже, СК = 12 см, KD = 16 см. Відповідь: 12 см і 16 см. 38. Відрізки AB і CD рівні (рис. 40). Доведіть, що
AC і BD теж рівні.
39. Відрізки ME і FN рівні (рис. 41). Доведіть, що MF = EN.
AM + NB = AB – MN = 32 – 18 = 14 (см), тоді AC
1) 3 см; 2) 2 см; 3) 1 см?
1) Відкладемо
2)
13 см, тоді АВ = 5 ⋅ 3
53. Проведіть
1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) так; 5) так; 6) так; 7) ні; 8) ні.
На рисунку 70
AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠DOE = ∠EOF.
= ∠ABD + ∠CBD = 54° + 72° = 126°.
Відповідь: 126°. 2) кут CBD, якщо ∠ABC = 158° , ∠ABD = 93
ABD = 158° - 93° = 65°.
Відповідь: 65°.
172° , ∠POK = 85° . ∠МОР = ∠МОК - ∠РОК = 172° - 85° = 87°.
Відповідь: 87°.
65.
1) 28° : 2 = 14°
2) 162° : 2 = 81°
28° і 81° для кута 162°.
2) 65°.
1) 43° ⋅ 2 = 86°
2) 65° ⋅
4)
6)
тупий? - ні, може бути розгорнутим
68. Кут CEF дорівнює 152°, промінь EM проходить між
більший за кут FEM. Знайдіть кути CEM і FEM.
Нехай ∠FEM = х°, тоді ∠МЕС = х° + 18°, тоді маємо рівняння:
х + х + 18 = 152 (бо ∠FEM + ∠CEM = ∠CEF), звідси:
2х + 18 = 152
2х = 152 – 18
2х = 134
х = 134 : 2
х = 67
х + 18 = 67 + 18 = 85
Отже, ∠FEM = 67°, ∠CEM = 85°
Відповідь: 85° і 67°
69. Промінь AK належить куту
менший від кута DAK і ∠BAD = 72°.
Нехай ∠ВАК = х°, тоді ∠DAK = 7х°. За
х + 7х = 72
8х = 72
х = 72 : 8
х = 9
7х = 7 ⋅ 9 = 63
= 9°, ∠DAK = 63°
9° і 63°.
сторонами, кут CEM на 18°
BOM (рис. 73)
∠СОМ = ∠ВОМ - ∠ВОС = 90° - 74° = 16°.
∠АОС = ∠АОМ - ∠СОМ = 62° - 16° = 46°.
Відповідь: 46°.
72. Із вершини розгорнутого кута ACP (рис. 74) проведено два
CT і CF
що ∠ACF = 158°, ∠TCP = 134°. Знайдіть кут TCF
∠FCP = ∠ACP - ∠ACF = 180° - 158° = 22°.
∠TCF = ∠TCP - ∠FCP = 134° - 22° = 112°.
Відповідь: 112°.
73. Точки A, B і C розміщено
AB і AC доповняльними?
ВС = АВ + АС (8 см = 3,2
74. На рисунку 75 кут ABC прямий, ∠ABE = ∠EBF = ∠FBC,
кут DBK.
∠АВЕ = ∠EBF = ∠FBC = 90° : 3 = 30°.
∠ABD = 1 2 ∠������������ = 1 2 ∙ 30° = 15° (бо BD –
= 1 2 ∠������������ = 1 2 ∙ 30° = 15°) (бо
DBK = ∠ABC - ∠ABD - ∠CBK = 90° - 15° - 15° = 60°
кута CBF).
COD = ∠ DOF,
Нехай ∠АОС = ∠COD = ∠DOF = 2х°, тоді ∠АОВ = х°, ∠FOE = х°.
= ∠AOF - ∠AOV - ∠FOE, тоді:
72 = 6х – х – х
4х = 72
х = 72 : 4
х = 18
6х = 6 ⋅ 18 = 108 - ∠AOF.
Відповідь: 108°.
76. На рисунку 77 ∠AOB = ∠DOC.
Нехай ∠АОВ = ∠DOC = х°, тоді ∠АОС = ∠AOD - ∠DOC = 180° = х°,
= 180° - х°. Отже, ∠AOС = ∠DBO.
Відповідь:там, ∠AOС = ∠DBO.
77. Кути FOK і MOE рівні (рис. 78). Чи рівні кути FOM і KOE?
Нехай ∠FOK = ∠MOE = х°, тоді ∠FOM = ∠FOE - ∠MOE = ∠FOE - х°, ∠KOEE = ∠FOE∠FOK = ∠FOE - х°. Отже, ∠FOM = ∠KOE.
Відповідь: так, ∠FOM = ∠KOE.
78. Кут ABC розгорнутий, промінь BK є бісектрисою кута CBD, ∠ABK = 146° (рис. 79).
кут CBD
∠СВК = ∠АВС - ∠АВК = 180° - 146° = 34°
∠CBD = 2∠CBK = 2 ⋅ 34 = 68°
Відповідь: 68°.
79. Кут ABC розгорнутий, промінь BK є бісектрисою кута CBD, ∠CBD = 54° (рис. 79).
кут ABK
∠
∠
СВК = 1 2 ∠CBD = 1 2 ∙ 54° = 27°
АВК = ∠АВС - ∠СВК = 180° - 27° = 153°.
Відповідь: 153°.
80. На скільки градусів повертається за 1 хв: 1) хвилинна стрілка; 2) годинна стрілка? 1) За 1 годину хвилинна стрілка повертається на 360°, тоді
повертається на 360° : 60 = 6°.
Відповідь: 6°.
2) За 12 годин годинна стрілка повертається
30°,
Відповідь: 0,5°. 81.
3) 4 год; 4) 11 год; 5) 7 год.
1) Якщо
2)
3) Якщо стрілки годинника показують 4 год, то
4) Якщо стрілки годинника показують 11 год, то
5) Якщо стрілки годинника
120°.
30°.
утворюють кут 150°.
82. Кут ABC дорівнює 30°, кут CBD 80°. Знайдіть кут ABD. Скільки розв’язків
1
45°.
85. Як, маючи шаблон кута, що дорівнює 70°, побудувати кут, який дорівнює 40°? Побудувавши розгорнутий кут
∠ABN = 40°.
86. Як, маючи шаблон
2) Західний вітер має напрямок 270°.
Кут між південним та
Відповідь: вітер змінився на 90°.
3) Південно-східний вітер має напрямок 135°.
180° 135° = 45°
Відповідь: вітер змінився на 45°.
91. Дув північний вітер.
цього став вітер?
1) Північний вітер має напрямок 0°.
Якщо напрямок змінився на 90°, то: 0° + 90° = 90°
Відповідь: вітер став східним.
2) Якщо напрямок змінився на 45°, то: 0° + 45° = 45°
Відповідь: вітер став північно-східним. 92. Не відриваючи олівця
∠AOC i ∠COB; ∠COB і ∠BOD; ∠BOD i ∠DOA; ∠DOA i ∠BOC – суміжні.
∠AOC і ∠BOD; ∠AOD i ∠BOC – вертикальні.
98. Чи можуть два суміжних кути дорівнювати: 1) 24° і 156°; 2) 63° і 107°? Відповідь
обґрунтуйте.
1) 24° + 156° = 180°. Можуть.
2) 63° + 107° = 170° ≠ 180°. Не можуть.
Відповідь: 1) так; 2) ні.
99. Знайдіть кут, суміжний із кутом: 1) 29°; 2) 84°; 3) 98°; 4) 135°.
1) 180° - 29° = 151°
2) 180° - 84° = 96° 3) 180° - 98° = 82° 4) 180° - 135° = 45°
Відповідь: 1) 151°;2) 96°; 3) 82°; 4) 45°.
100. Чи може
2)
Відповідь: 1) ні; 2) ні; 3) ні; 4) ні.
101.
Якщо один із суміжних кутів прямий, то суміжний
Відповідь: прямий.
кут?
102. Знайдіть кут, суміжний із кутом ABC, якщо: 1) ∠ABC = 36°; 2) ∠ABC = 102°. 1) 180° - ∠АВС = 180° - 36° = 144° 2) 180° - ∠АВС = 180° - 102° = 78°.
Відповідь: 1) 144°; 2) 78°.
103. Знайдіть кути 2, 3 і 4 (рис. 89), якщо ∠1 = 42°.
2 = 180° - ∠1 = 180° - 42° = 138° (бо
3 = ∠1 = 42° (бо ∠1 і ∠3 –
∠2 = 138°; ∠3 = 42°; ∠4 = 138°.
х + 70 + х = 180
2х + 70 = 180
2х = 180 – 70
2х = 110
х = 110 : 2
х = 55° – ∠ВОС
х + 70 = 55 + 70 = 125° – ∠АОС.
Відповідь: 125° і 55°.
2)
Нехай ∠ВОС = х°, тоді ∠АОС = 8х°. Оскільки ∠
8х + х = 180
9х = 180
х = 180 : 9
х = 20° - ∠ВОС.
8х = 8 ⋅ 20 = 160° - ∠АОС.
Відповідь: 20° і 160°.
3) їхні градусні міри
2х + 3х = 180
5х = 180
х = 180 : 5
х = 36
2х = 2 ⋅ 36 = 72° - ∠ВОС.
3х = 3 ⋅ 36 = 108° - ∠АОС.
Відповідь:72° і 108°. 105. Знайдіть
х + 17х = 180
18х = 180
х = 180 : 18
х = 10° -
17х = 17 ⋅ 10 = 170° - ∠АОС. Відповідь:10° і 170°.
= 180°, то:
Нехай ∠ВОС = 19х°, тоді ∠АОС = 26х°. Оскільки ∠АОС + ∠ВОС = 180°, то:
19х + 26х = 180
45х = 180
х = 180 : 45
х = 4
19х = 19 ⋅ 4 = 76° - ∠ВОС.
26х = 26 ⋅ 4 = 104° - ∠АОС.
Відповідь: 76° і 104°.
106. Чи є правильним твердження:
1) для кожного кута можна побудувати тільки один вертикальний кут; Правильне твердження.
2) для кожного кута можна побудувати тільки
Неправильне твердження, бо для
3)
4) якщо кути не рівні, то вони не вертикальні; Правильне твердження.
5) якщо кути не
твердження.
6)
10)
11)
12)
107.
127°.
Відповідь: 53°, 127°, 53°, 127°.
2) сума трьох із них дорівнює 305°. Нехай ∠4 + ∠2 + ∠3 = 305°. Оскільки ∠2 і ∠4 – суміжні, то
2 =
3 = 305° - 180° = 125°. Оскільки ∠3 і ∠4 – вертикальні, то ∠4 = ∠3 = 125°. Оскільки ∠2 і ∠4 – суміжні, то ∠2 = 180° - 125° = 55°. Оскільки
55°, 125°, 55°, 125°.
64°.
∠3 - ∠2 = 64°, ∠2 = х°, тоді ∠3 = х° + 64°. Враховуючи, що ∠2 і ∠3 –
+ х + 64 = 180
2х + 64 = 180
2х = 116
х = 116 : 2
х = 58° - ∠2 х + 64 = 58 + 64 = 122° - ∠3
111.
180°.
112.
∠АОМ = ∠АОС + ∠СОМ = 70° + 95° = 165°
∠AOD = ∠AOK + ∠KOD = 15° + 95° = 110°
Відповідь: 95°, 165°, 110°. 113.
M і ON –
= 95°
х + х + х + 18 = 180
3х + 18 = 180
3х = 180 – 18
3х = 162
х = 162 : 3
х = 54 ∠АОВ = 2 ⋅ 54° = 108° ∠ВОС = 54° + 18° = 72°
Відповідь: 72° і 108°.
Знайдіть суміжні
KF — бісектриса кута MKE.
Кути МКЕ і РКЕ – суміжні. KF
+ 24 + х + 24 + х = 180
3х + 48 = 180
3х = 180 – 48
3х = 132
х = 132 : 3
х = 44° - ∠РКЕ. ∠МКЕ = 180° - 44° = 136°
Відповідь: 44° і 136°.
Для випадку (а):
Точка O знаходиться на
точки C і D, то відстань від точки O до прямої
Для випадку (б):
рисунку 109 AC ⊥ DK, OB ⊥ BF, ∠DBO = 54°. Знайдіть
∠ABF = 360° - ∠FBO - ∠DBO - ∠ABD = 360° - 90° - 54° - 90° = 126°
Відповідь: 126°.
ABF.
138. Кут ABC дорівнює 160°, промені BK і BM проходять між сторонами
до них. Знайдіть кут MBK
АВС = 160°, ∠АВК = 90°, ∠МВС = 90°
МВК = ∠АВК + ∠МВС - ∠АВС = 90° + 90° - 160° = 20°
Відповідь: 20°.
139. На рисунку 110 BF ⊥ AC, BD ⊥ BK. Доведіть, що ∠ABD = ∠FBK.
∠ABD = 180° - ∠CBK - ∠KBD = 180° - ∠CBK - 90° = 90° - ∠CBK.
∠FBK = 90° - ∠CBK. Тому ∠ABD = ∠FBK. Що і треба було довести.
140. На рисунку 110 ∠ABD = ∠FBK, ∠DBF = ∠KBC. Доведіть, що BF ⊥ AC.
∠ABD = ∠FBK, ∠DBF = ∠KBC. Тому ∠ABF = ∠ABD + ∠DBF = ∠FBK + ∠KBC + ∠FBC,
але ∠ABF + ∠FBC = 180°; 2∠FBC = 180°; ∠FBC = 90°. Отже, BF ⊥ АС. Що і треба
141. Із
BA, BF ⊥ BC,
рисунку ∠
DBF і ABF.
= 70°, ∠FBC = 90°, ∠ABD = 90°. ∠DBF = ∠FBC - ∠CBD = 90° - ∠CBD = 90° - (∠ABD - ∠ABC) = 90° - (90° - 70°) = 90° - 90° + 70° = 70° ∠ABF = ∠ABD + ∠DBF = 90° + 70° = 160°.
Відповідь:70° і 160°.
142. Із вершини кута ABC
⊥ AB, BF ⊥ BC,
Знайдіть кут DBF
Розглянемо трикутник ABC, де
Оскільки BD ⊥ AB,
чином, кут ∠DBF = 180° 130° = 50° Відповідь:кут ∠DBF дорівнює 50° . 143.
5°; 2) 12°.
1) Побудуємо прямий кут АВС
2) Побудуємо
Не може
А7, А9, А11, А13
А6, А8, А10, А12 – по другу. Отже, сторона А1А13 не перетинає цю пряму.
6. Аксіоми
2.
А) 1; Б) 2; В) 3; Г) безліч.
3.
PM + MQ = PQ
PQ = PM – MQ;
В) MQ = PQ + PM; Г) PM = PQ + MQ Якщо М – внутрішня точка відрізка PQ, то PM + MQ = PQ.
4. Точки A, B і C лежать на одній прямій,
тверджень є правильним?
А) Точка A — середина відрізка BC; Б) Точка B — середина
мають спільний початок; Б) їхнім об’єднанням є пряма й вони мають спільний початок; В) вони належать одній прямій; Г) їхнім об’єднанням є пряма.
8. Яке позначення кута, зображеного на рисунку, є неправильним? А) ∠O;
9. Яке з поданих тверджень є хибним?
А) Суміжні кути мають спільну вершину; Б) суміжні
один із суміжних
В) вертикальні кути мають спільну вершину; Г) сторони вертикальних
тупий;
; 2)
1) ∠Е; 2) ∠С і ∠Е; 3) CF; 4) CF і EF
154.
задачі:
х + 5х + х + 25 = 74
7х + 25 = 74
7х = 74 – 25
7х = 49
х = 49 : 7
х = 7 (см) – одна сторона трикутника.
5 ⋅ 7 = 35 (см) – друга сторона трикутника.
7 + 25 = 32 (см) – третя сторона трикутника.
Відповідь: 7 см; 35 см; 32 см.
155. Сторони трикутника відносяться як 5 : 7 : 11, а сума
дорівнює 80 см. Обчисліть периметр трикутника.
Нехай сторони трикутника дорівнюють 5х см, 7х см, 11х см. За умовою задачі:
11х + 5х = 80
16х = 80
х = 80 : 16
х = 5
5 ⋅ 5 = 25 (см) – одна сторона трикутника.
7 ⋅ 5 = 35 (см) – друга сторона трикутника.
11 ⋅ 5 = 55 (см) – третя сторона трикутника.
Р = 25 + 35 + 55 = 115 (см) – периметр.
Відповідь: 115 см.
156. Периметр
трикутника.
+ 9х + 8х = 48
24х = 48
х = 48 : 24
х = 2
7 ⋅ 2 = 14 (см) –
9 ⋅ 2 = 18 (см) –
8 ⋅ 2 = 16 (см) – третя сторона трикутника.
Відповідь: 14 см, 18 см, 16 см.
157. Трикутники APK і MCE рівні, кути A і C відповідні, PK = 10 см. Знайдіть сторону
ME.
Оскільки МЕ = РК, то МЕ = 10 см.
158. Трикутники ABC і DEF рівні, сторони AB і DE, BC і DF відповідні, ∠B = 32°. Знайдіть
кут D.
Оскільки ∠D = ∠B, то ∠D = 32°.
159. Трикутники ABC і KTM рівні, кути A і M, B і K відповідні, ∠C = 40°, MK = 5 см.
Знайдіть кут T і сторону AB
Оскільки ∠Т = ∠С, то ∠Т = 40°. Оскільки АВ = МК, то АВ = 5 см.
160. Чи є правильним твердження:
1) якщо трикутники рівні, то їхні периметри теж рівні; 2) якщо периметри двох трикутників рівні, то й самі трикутники рівні? 1) Так; 2) Ні.
161. Укажіть спільний елемент трикутників, зображених на рисунку 128. А) АВ – спільна сторона б) ∠А – спільний кут в) ВС – спільна сторона
162. Відрізок CH — висота трикутника ABC (рис. 129). Знайдіть градусні
AHC і BHC.
– висота
163. Відрізок AM — медіана трикутника ABC (рис. 130), BM = 8 см.
і BC.
– медіана → М – средина ВС → ВМ = МС = 8 см → ВС = 8 ⋅ 2 = 16 см
164. Відрізок BD — бісектриса трикутника ABC (рис. 131), ∠ABD = 42°.
міри кутів CBD і ABC. BD – бісектриса → ∠ABD = ∠DBC = 42° → ∠ABC = 42° ⋅
Нехай АВ + BD + AD = 32 см, ВС + BD + DC = 36 см, BD – медіана і BD = 10 см.
Оскільки АВ + BD + AD = 32 см і BD = 10 см, то АВ + 10 + AD = 32, звідси АВ + AD = 22. Оскільки ВС + BD + DC = 36 см і BD = 10 см, то ВС + BD + DC = 36 см, звідси ВС + DC = 26. Тоді Р∆АВС = АВ +
+
= АВ + ВС + (AD + DC) = (AB + AD) + (BC + DC) = 22 + 26 = 48 (см)
Відповідь: 13 см.
чином, AM = 13 см.
170. На рисунку 132 KP = PE = EF = FT = 1 см. Які рівні
Знайдіть їхні довжини.
КЕ = PF = ET = 2 см, KF = PT = 3 см.
171. Промінь BD розбиває кут ABC, який
∠ABD = 5∠CBD Промінь BK
Визначте градусну міру та вид кута DBK.
Нехай ∠CBD = х°, тоді
5х + х = 72
6х = 72
х = 72 : 6
х = 12° - ∠CBD.
∠ABD = 5 ⋅ 12° = 60°.
173.
174.
177.
178.
1) АС = А1С1 = 4 см 2)
1) ВС = В1С1
2) ∠В = ∠В1
180. На рисунку 143 AC = DC , BC = EC. Доведіть, що ∆ ABC = ∆ DEC
Оскільки АС = CD (за умовою), ВС = СЕ (за умовою), ∠АСВ = ∠ECD (як вертикальні), то
∆АВС = ∆DEC за двома сторонами і кутом між ними.
181. На рисунку 144 AB = AD, ∠ BAC = ∠ DAC. Доведіть, що ∆ ABC = ∆ ADC
Оскільки АВ = AD (за умовою), ∠ВАС = ∠DAC (за умовою), АС є спільною стороною, то ∆АВС = ∆DAC за двома сторонами і кутом між ними.
182. На рисунку 145 AB = CD, ∠1 = ∠2, AD = 7 см, ∠C = 34°. Знайдіть відрізок BC і кут A.
Оскільки АВ = CD (за умовою), ∠1 = ∠2 (за умовою), BD – спільна сторона, то ∆ABD = ∆CDB, тоді ВС = AD = 7 см, ∠А = ∠С = 34°.
Відповідь: 7 см; 34°.
183. На рисунку 146 AO = OD, BO = OC. Знайдіть сторону CD і кут OCD трикутника OCD, якщо AB = 8 см, ∠OBA = 43 °.
Оскільки АО = DO (за умовою), ВО = СО (за умовою), ∠ВОА = ∠COD (як вертикальні
кути), то ∆АОВ = ∆DOC, тоді CD = AB = 8 см, ∠ОВА = ∠OCD = 43°.
Відповідь: 8 см; 43°.
184. Дано: OA = OC, OB = OD (рис. 147). Доведіть, що ∠OAD = ∠OCB.
Оскільки ОА = ОС (за умовою), ОВ = OD (за умовою), а ∠BOD – спільний, то ∆ОAD = ∆OCB, тоді ∠OAD = ∠OCB.
185. Дано: AC = BD, ∠ BAC = ∠ ABD (рис. 148). Доведіть, що AD = BC.
Розглянемо ∆АСВ і ∆ADB
1) АС = BD – за умовою
2) ∠ВАС = ∠ABD – за умовою
3) АВ – спільна сторона → ∆АСВ = ∆ADB за двома сторонами і кутом між ними → AD = BC
186. Дано: ∠ ADC = ∠ ADB, BD = CD (рис. 149). Доведіть, що AB = AC.
Оскільки ∠ADC = ∠ADB = 90° (за умовою), BD = CD (за умовою), сторона AD – спільна, то ∆ABD = ∆ACD (за двома сторонами і кутом між ними), тоді АВ = АС.
187. На рисунку 150 AB ⊥ BD, CD ⊥ BD, точка O середина відрізка BD. Доведіть, що
∆ABO = ∆CDO.
Розглянемо ∆ABO і ∆CDO:
1) ВО = OD (так як т. О – середина BD)
2) ∠АВО = ∠CDO = 90° (за умовою)
3) ∠АОВ = ∠COD (як вертикальні)
Отже, ∆ABO = ∆CDO за ІІ ознакою рівності трикутників.
188. На рисунку 151 промінь OC бісектриса кута AOB, прямі AB і OC перпендикулярні.
Доведіть, що ∆ AMO = ∆ BMO.
1) ∠АОМ = ∠МОВ (ОС – бісектриса ∠О)
2) ∠АМО = ∠ОМВ = 90° (АВ ⊥ ОМ)
3) ОМ – спільний катет
∆ AMO = ∆ BMO за катетот і прилеглим гострим кутом.
189. На рисунку 152 ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, AB = 8 см, BC = 6 см. Знайдіть сторони AD і CD трикутника ADC.
Оскільки ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 за умовою, то ∆ADC = ∆CBA застороню
прилеглими кутами, тоді AD = BC = 6 см, CD = AB = 8 см.
Відповідь: 6 см; 8 см.
190. На рисунку 153 ∠B = ∠D, BM = DM, CD = 7 см, CM = 4 см. Знайдіть сторони AB і AM
трикутника ABM.
1) МВ = MD – за умовою
→ АМ = МС = 4 см АВ = CD = 7 см 191. На рисунку 154 ∠ABC = ∠DEF, BO = OE.
ACD, якщо ∠ABC = 64 °, ∠ACO = 56 °.
Відповідь: 120°. 195. На сторонах
точку D таку,
= ∠DCO = 64°. ∠ACD = ∠ACO + ∠DCO = 64° + 56° = 120°.
тоді AB = BC.
AOM = ∠COM (бо OM бісектриса
OMC = ∠AMO (бо OM ⊥ AC за умовою), OM
і двома прилеглими кутами, тоді AM = MB.
197. На рисунку 156 ∆ABC = ∆A1B1C1, ∠DBC = ∠D1B1C1. Доведіть, що ∆DBC = ∆D1B1C1. Оскільки ∆ABC = ∆A1B1C1, то BC = B1C1, ∠BCA = ∠B1C1A1. У трикутниках DBC і D1B1C1: BC = B1C1 (за доведенням),
∠DBC = ∠D1B1C1 (за умовою),
∠BCD = ∠B1C1D1 (за доведенням),
то ∆DBC = ∆D1B1C1 за стороною і двома прилеглими кутами.
198. На рисунку 157 ∆ABC = ∆A1B1C1, AD = A1D1. Доведіть, що ∆ABD = ∆A1B1D1
Отже, ∆ABD = ∆A1B1D1, оскільки
рівності трикутників).
A і A
199. На рисунку 158 ∆ABC = ∆ADC. Доведіть, що ∆ABK = ∆ADK. Оскільки ∆ABC = ∆ADC, то ∠BAK = ∠DAK. У трикутниках ABK і ADK: AK — спільна сторона, AB = AD (за умовою), ∠BAK = ∠DAK (за доведенням), то ∆ABK = ∆ADK за двома сторонами і кутом між ними.
200. На рисунку 159 ∆МКО = ∆МРО. Доведіть, що ∆КОЕ = ∆РОЕ. Оскільки ∆MKO = ∆MPO, то ∠MOK = ∠MOP, тоді ∠KOE = ∠POE (як суміжні
182. ∆AOM = ∆BOM за
ними (AM = BM, ∠AMO = ∠BMO = 90°, MO спільна сторона), тоді AO = BO.
∆AON = ∆CON за двома сторонами і
(AN = CN, ∠ANO = ∠CNO = 90°, ON спільна сторона), тоді AO = CO. Оскільки AO = BO і AO = CO, то AO = BO = CO.
204. Доведіть, що бісектриси рівних трикутників, проведені з відповідних кутів, рівні. Оскільки ∆ABC = ∆A1B1C1, то AB = A1B1, ∠B = ∠B1, ∠BAC = ∠B1A1C1, тоді ∠BAL = ½∠BAC = ½∠B1A1C1 = ∠B1A1L1. У трикутниках ABL і A1B1L1:
205. Доведіть, що в рівних
AB = A1B1 (за доведенням),
∠B = ∠B1 (за доведенням),
∠BAL = ∠B1A1L1 (за доведенням),
тоді ∆ABL = ∆A1B1L1, звідси AL = A1L1.
сторін, рівні. Оскільки ∆ABC = ∆A1B1C1, то AB = A1B1,
∠B = ∠B1, BM = ½BC = ½B1C1 = B1M1.
У трикутниках ABM і A1B1M1:
AB = A1B1 (за доведенням),
∠B = ∠B1 (за доведенням), BM = B1M1 (за доведенням),
тоді ∆ABM = ∆A1B1M1 за двома сторонами і кутом між ними, тоді AM = A1M1.
D. Знайдіть відрізок AD, якщо CD = 4 см, AB = 7 см.
Нехай BM = MC, MD ⊥ BC. ∆CDM = ∆BDM за двома сторонами і кутом між ними. Із рівності трикутників маємо: CD = BD.
Оскільки CD = 4 см, то BD = 4 см. Оскільки AB = 7 см, то AD = AB – BD = 7 см – 4 см = 3 см.
Відповідь: 3 см.
сторону BC у точці M. Знайдіть довжину сторони AC трикутника ABC, якщо BC = 16 см,
трикутника AMC дорівнює 26 см.
Нехай AD = DB, DM ⊥ AB. ∆AMD = ∆BMD за
AM = BM.
P∆АMC = 26 см, а P∆АMC = AC + AM + CM, то AC + AM + CM = 26, тоді AC + BM + CM = 26, AC + BC = 26, AC + 16 = 26, AC = 26 – 16 = 10 (см).
10 см.
209. Відрізки AB
1)
AC позначено точку M, а на відрізку BD — точку K так, що AM = BK. Доведіть, що: 1) OM = OK; 2) точки M, O і K лежать на одній прямій. ∆AOC = ∆BOD за двома сторонами і кутом між ними (AO = BO за умовою, CO = DO за умовою, ∠COA = ∠DOB — як вертикальні
і кутом
ними, тоді MO = KO і ∠MOA = ∠BOK. ∠AOB = 180°. ∠AOM + ∠MOB = 180°, звідси ∠MOB + ∠BOK = 180°, отже, точки M, O, K
трикутників випливає, що ∠OBC = ∠ODA, ∠OCB = ∠OAD, тоді ∠BCD = ∠DAB — як
∆ABM = ∆DCM за стороною і двома прилеглими кутами, тоді AM = CM. ∆OAM = ∆OCM за
(OA = OC за умовою, ∠AOM = ∠COM
Відповідь: 20° і 70°.
215. Розділіть
AOD : ∠FOC = 2 : 7. Оскільки OD і OF
AOB і BOC, то ∠AOB : ∠BOC = 4 : 14. Тоді ∠AOB = 180°·4 4 + 14 = 40°, а ∠AOD = ½∠AOB = ½·40° = 20°;
∠COB = 180°·14 4 + 14 = 140°; ∠COF = ½∠COB = ½·140° = 70°.
сторони трикутника.
1) PΔ = 13 + 2 × 8 = 29 (см).
Відповідь: 29 см. 2) Нехай x см бічна сторона, тоді 15 + 2x = 39, тоді 2x = 39 - 15 2x = 24 x = 24 : 2; x = 12
Відповідь: 12 см.
220. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 28 см, а бічна сторона — 10 см.
Знайдіть основу трикутника.
Нехай x см — основа, тоді 10 × 2 + x = 28, тоді x = 28 - 20; x = 8.
Відповідь: 8 см.
221. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, периметр якого дорівнює 32 см, а
основа на 5 см більша за бічну сторону.
Нехай x см — бічна сторона, x + 5 см — основа, тоді 2x + x + 5 = 32, звідси 3x + 5 = 32; 3x = 32 - 5; 3x = 27; x = 27 : 3; x = 9. Отже, бічна сторона дорівнює 9 см, а основа 9 + 5 = 14 (см).
Відповідь: 14 см, 9 см, 9 см.
222. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, периметр якого дорівнює 54 см, а
в 4 рази менша від бічної сторони. Нехай x см — основа, 4x см — бічна сторона,
9x =
x = 54 : 9; x = 6; 4x = 4 × 6 = 24.
6 см. 223. У рівнобедреному трикутнику ABC сторона AC —
трикутника ABD.
тому ∠ABD = 1 2 ∠ABC = 1 2 ⋅ 100° = 50°. Оскільки ∠BCA = 40°, то ∠BAD = 40°, ∠BDA = 90°. Відповідь: 40°, 50°, 90°
∠BCA = 40°, ∠ABC =100°,
224. На рисунку 170 AB = BC, відрізок BD медіана трикутника ABC, ∠ABD = 53°. Знайдіть кути ABC і ADE
Оскільки BD медіана трикутника ABC (AB = BC), то BD
бісектриса трикутника ABC і його висота, тому ∠ABC = 2 ∠ABD = 2 ⋅ 53° = 106°, ∠ADE = 90°.
Відповідь: 106°, 90°.
225. На рисунку 171 MK = KE, OE = 6 см, ∠MKE = 48°, ∠MKE = 48°, ∠POE = 90°.
Знайдіть сторону ME і кут MKO
Оскільки KO висота трикутника MKE (KM = KE), то KD
бісектриса і медіана трикутника MEK, тому ME = 2OE = 2 ⋅ 6 = 12 (см), ∠MKO = 1 2 ∠MKE = 1 2 ⋅ 48° = 24°.
Відповідь: 12 см, 24°.
226. На рисунку 172 AB = BC, ∠1 =140°. Знайдіть кут 2.
227. Кут, вертикальний
Оскільки ΔABC рівнобедрений, то ∠BAC = ∠BCA. Оскільки ∠1 = 140°, то ∠BAC = 180° - ∠1 = 180° - 140° = 40° (властивість суміжних кутів), ∠2 = ∠BCA = ∠BAC = 40°. Відповідь: 40°.
229. На рисунку 173 AB = BC, DC = DE.
230.
умовою AB = AC, тоді ∠ACB = ∠ABC (властивість рівнобедреного трикутника).
∠1 = ∠CBA = ∠ACB = ∠2. Отже, ∠1 = ∠2.
231. На рисунку 175 AO = CO, ∠AOB = ∠COB. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений. ΔAOB = ΔCOB (за двома сторонами і кутом між ними: AO = CO за умовою, ∠AOB = ∠COB за умовою, BO спільна сторона), тоді AB = AC. Отже, ΔABC рівнобедрений.
232. Трикутник ABC рівнобедрений з основою AC, BD його бісектриса, DM бісектриса трикутника BDC. Знайдіть кут ADM.
233.
1) Чи можуть
AB = BC, ∠ABD = ∠CBD, ∠BDM = ∠CDM,
∠CDM = 1 2 ∠BDM = 1 2 ⋅ 90° = 45°,
∠ADM = ∠ADB + ∠BDM = 90° + 45° = 135°.
Відповідь: 135°.
На рис. ME = MK, ∠E = ∠K, ∠KMF = ∠EMN, тому ΔKMF = ΔEMN за стороною і
трикутників випливає, що MF = FN, тож ΔMFN — рівнобедрений, тоді ∠MFN = ∠MNF.
237. На основі AC рівнобедреного трикутника ABC позначено точки M і K так, що точка M лежить між
На рис. AB = BC, AM = CK, ∠A = ∠C, тому ΔABM = ΔCBK за двома сторонами і кутом
ними. Тоді BM = BK, отже, ΔMBK — рівнобедрений.
238. На бічних сторонах CA і CB рівнобедреного трикутника ABC відкладено
рівні відрізки CK і CM. Доведіть, що: 1) ΔAMC = ΔBKC; 2) ΔAMB = ΔBKA. 1) Оскільки AC = BC, MC = KC, ∠C спільний, то ΔACM = ΔBCK. 2) Оскільки AK = AC - CK = BC - CM = BM, AB — спільна сторона, ∠KAB = ∠MBA, то ΔABM = ΔBAK.
239. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AC на медіані
точку M Доведіть, що: 1) ΔAMB = ΔCMB; 2) ΔAMD = ΔCMD
1) AB = CB, BM спільна сторона, ∠ABM = ∠CBM, тоді ΔAMB = ΔCMB за двома сторонами
2) Оскільки AD = DC, MD — спільна сторона, ∠ADM = ∠CDM = 90°, то ΔAMD = ΔCMD. 240. Доведіть, що
рівні. На рис. AB = BC, ∠BAL = 1 2 ∠BAC = 1 2 ∠BCA = ∠BCK, ∠B —
242.
243.
розв’язків має задача? Задача має два розв’язки.
4 см; а якщо основа дорівнює 4 см, то бічні сторони дорівнюють 7 см.
Відповідь: 7 см, 4 см, 4 см або 4 см, 7 см, 7 см. 244. Одна зі сторін рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см. Знайдіть
інші сторони, якщо периметр трикутника дорівнює 14 см.
Якщо основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, тоді бічна сторона цього трикутника дорівнює 14–4 2 = 5 см. Якщо
дорівнює 4 см, то основа дорівнює 14 - 4 - 4 = 6 см.
Відповідь: 5 см, 5 см і 4 см, 6 см. 245. Чи є правильним твердження:
1) бісектриса рівнобедреного
2)
246. На продовженнях сторін AB, BC,
трикутник DEK — рівносторонній. У трикутниках DBK, KCE, EAD маємо: KB = CE = AD за умовою; DB = KC = AE — як сума рівних відрізків AD + AB, KB + BC, AC + CE; ∠DBK = ∠KCB = ∠EAD — як суміжні
ABC, BCA, CAB, тому ΔDBK = ΔKCE = ΔEAD. Із рівності цих трикутників випливає, що DK = KE = DE, тож ΔDEK — рівносторонній. 247. На сторонах рівностороннього
AB = BC, AD медіана (BD = DC), AC = 20 см. Можливо два випадки:
1) PΔABD = 6 + PΔADC; 2) PΔADC = 6 + PΔABD.
1) Якщо PΔABD - PΔADC = 6, тоді AB + AD + BD – AD – DC – AC = AB – AC, тоді AB – 20 = 6; AB = 26 (см).
2) Якщо PΔADC - PΔABD = 6, тоді AC + AD + DC – AD – BD – AB = AC – AB, AC – AB = 6, тоді AB = AC – 6 = 20 – 6 = 14 (см).
Відповідь: 2 розв’язки: AB = 26 см або AB = 14 см.
249. На рисунку 178 a ⊥ b, ∠1 = 35°. Знайдіть кути 2, 3, 4.
∠3 = ∠1 = 35° (бо вертикальні кути рівні), ∠2 = 90° - ∠3 = 90° - 35° = 55° (бо ∠2 і ∠3 складають прямий кут),
∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 35° = 145° (бо ∠3 і ∠4 — суміжні).
Відповідь: ∠2 = 55°, ∠3 = 35°, ∠4 = 145°.
250. Точки C і D поділили відрізок AB, довжина якого
AC, CD і DB так, що AC = 2CD, CD = 2DB Знайдіть
між: 1) точкою A та серединою
CD; 2) серединами відрізків AC і DB Нехай AB = a, DB = x, тоді CD = 2x, AC = 2 × CD = 2 × 2x = 4x. Тоді x + 2x + 4x = a; 7x = a; x = а 7 .
1) M — середина CD, тоді AM = AC + CM = 4x + x = 5x = 5 ⋅
7 = 5а 7 Відповідь: 5а 7 . 2) N і K — середини
AC і DB
MK = NC + CD + DK = 2x + 2x +
Відповідь: 9а 14 . 251. Нарисуйте шестикутник,
∠C = ∠A = 17°. Відповідь: 17°.
254. У трикутнику ABC відомо, що ∠
AB, якщо CK = 7 см. AC = BC, тому BK — бісектриса, ∠ACK = 1 2 ⋅ 90° = 45°, ∠KCB = 45°. Тому △ACK і △CKB — рівнобедрені. AK = KB = CK = 7 см, отже, AB = AK + KB = 7 + 7 = 14 (см).
Відповідь: 14 см.
255. На рисунку 186 ∠AMK =∠AMK = ∠ACB, AK = MK. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.
Оскільки AK = MK, то △AMK рівнобедрений, тоді ∠A = ∠AMK = ∠ACB.
Оскільки ∠A = ∠ACB, то △ABC — рівнобедрений (AB = BC).
256. На рисунку 187 ∠1 = ∠2. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений. ∠BAC = ∠1 (як вертикальні). ∠BСA = ∠2 (як вертикальні
258.
259.
260. У
16 см і BK = 5 см. AB = BC, AK = KC. AB + BC + AC = (AB + AK + BK) + (BK + BC + KC) - 2BK = 16 + 16 - 2 × 5 = 32 - 10 = 22 (см).
трикутника ABC дорівнює 48 см, а
трикутника ABM — 30 см.
відрізок BM. Оскільки ВМ є одночасно і медіаною і бісектрисою, то △ABC рівнобедрений. Отже АВ = ВС, АМ = СМ.
Тоді АВ + АМ = Р△ABC : 2 = 48 : 2 = 24 (см). Р△ABМ = АВ + АМ + ВМ = 30 (см). Звідси ВМ = Р△ABМ – (АВ + АМ) = 30 – 24 = 6 (см).
Відповідь: 6 см.
Чи є правильним твердження: 1) якщо медіана й висота трикутника,
трикутник не є рівнобедреним; 2) якщо бісектриса трикутника
AOC рівнобедрений.
Нехай AB = BC, AM = CK. △AKC = △CMA за двома сторонами
між ними (KC = AM за умовою, AC — спільна, ∠KCA = ∠MAC, бо △ABC — рівнобедрений). Із рівності трикутників випливає, що ∠KAC = ∠MCA, тому △AMC — рівнобедрений.
264. На сторонах AB і BC трикутника ABC позначили відповідно точки D і E так, що ∠EAC = ∠DCA. Відрізки AE і CD перетинаються в точці F, DF = EF. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений. Нехай ∠FAC = ∠FCA, тоді △AFC рівнобедрений, AF = FC. △AEC = △CDA за двома сторонами і кутом між ними (AE = AF + FE = CF + FD = CD, AC — спільна, ∠EAC = ∠DCA). Із рівності трикутників випливає, що ∠ECA = ∠DAC, тобто △ABC — рівнобедрений.
Через середину D сторони AB трикутника ABC
звідси KB = DB. Оскільки AM = AD, BK = DB і AD = BD за умовою, то AM = BK. 266.
AB, якщо BC = 16 см.
рисунку: CM = MB, ∠ABK = ∠KBC,
На рисунку: AD = DC, BO = OD, AK ⊥ BD.
Оскільки AO — медіана і
трикутника ABD, то
△ABD — рівнобедрений і AB = AD = 1 2 AC.
Отже, AB : AC = 1 : 2.
268. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, ∠A = 67,5°, ∠B = 22,5°, відрізок CK — бісектриса трикутника ABC, відрізок CM — бісектриса трикутника BCK (рис. 188). Доведіть, що точка M — середина відрізка AB.
∠KCA = 1 2 ∠C = 1 2 ⋅ 90° = 45°, ∠BCK = 45°.
∠MCK = 1 2 ∠BCK = 1 2 ⋅ 45° = 22°30′ = 22,5°, ∠BCM = 22,5°.
Оскільки △ACM (∠BCM = ∠B = 22,5°) — рівнобедрений,
BM = MC.
Оскільки △CMA (∠MCK = 45° + 22,5° = 67,5°, ∠A = 67,5°) — рівнобедрений, то CM = MA.
Оскільки BM = MC, а MC = MA, то BM = MA, тобто M —
середина AB.
269. Довжини сторін трикутника, виражені
Нехай AB = n см, BC = (n + 2) см, AC = (n + 1) см. BM = MC, ∠ABL = ∠LBC, BL ⊥ AM.
△ABM — рівнобедрений, оскільки в ньому
B, тоді BM = AB = n, тоді MC = 2 см.
Отже, AB = 2 см, BC = 4 см, AC = 3 см.
Відповідь: 2 см, 3 см, 4 см.
270. У трикутнику ABC відомо, що AB = 3 см, AC = 6 см.
стороні
точку M таку, що CM = 1 см. Пряма, яка проходить через точку M
бісектриси кута ACB, перетинає відрізок AC у точці K,
яка
через точку K перпендикулярно
D
відрізок BD. △CKM рівнобедрений (бо CF бісектриса і висота), тоді KC = MC = 3 см. △ADK — рівнобедрений (бо AH — бісектриса і висота), тоді AK = AD = AC - KC = 6 см - 3 см = 3 см.
Відповідь: 2 см.
На
Тоді BD = AB - AD = 5 - 3 = 2 (см).
послідовно позначили точки A, B, C, D, E і F так, що AB = BC = CD = DE = EF. Знайдіть відношення AB : CF, AB : BF, BD : AE.
Відповідь: 1 : 2, 1 : 4, 1 : 2
На рисунку: AB = BC = CD = DE = EF = x см.
Тоді AB : CF = x : 2x = 1 : 2; AB : BF = x : 4x = 1 : 4;
BD : AE = 2x : 4x = 1 : 2.
272.
На рисунку: ∠1 - 42° = 1 2 ∠2.
Нехай ∠1 = x°, ∠2 = 180° - x°, тоді x - 42 = 90х 2, звідси
2x - 84 = 90 - x; 3x = 174; x = 58.
Отже, ∠1 = 58°, ∠2 = 122°.
∠3 = ∠1, ∠4 = ∠2 як вертикальні.
Відповідь: 58°, 122°, 58°, 122°.
273. Розріжте прямокутник розміром 4 × 9 на дві рівні частини, з яких можна скласти
квадрат.
11. Третя ознака рівності трикутників
274. На рисунку 196 AB = CD, BC = AD. Доведіть, що ∠B = ∠D.
Оскільки AB = CD, BC = AD за умовою, AC спільна сторона, то △ABC = △CDA за трьома сторонами. Із рівності трикутників маємо: ∠B = ∠D.
275. На рисунку 197 AC = AD, BC = BD. Знайдіть кут BAC, якщо ∠BAD = 25°. Оскільки AC = AD за умовою, BC = BD за умовою, AB спільна сторона, то △ABC = △ABD
AB = BC, A1B1 = B1C1, AB = A1B1, AC = A1C1.
Оскільки AB = A1B1, AB = BC, A1B1 = B1C1, то BC
Якщо AB = A1B1, то BC = B1C1, AC = A1C1, отже, △ABC = △A1B1C1 (за третьою
трикутників).
278. На рисунку 198 ΔABC = ΔDCB, причому AB = CD. Доведіть, що ΔABD = ΔDCA. Оскільки △ABC = △DCB, AB = CD, то із рівності трикутників випливає, що AC = BD. Оскільки у трикутниках ABD і DCA: AB = CD за умовою, AC = BD — за доведенням, AD — спільна сторона, то △ABD = △DCA (за третьою ознакою рівності трикутників).
279. На рисунку 198 AB = CD, AC = BD. Доведіть, що трикутник BOC рівнобедрений. △ABC = △DCB за трьома сторонами (AB = CD за умовою, AC = BD за умовою, BC — спільна сторона). Із рівності трикутників випливає, що ∠BCA = ∠DBC або ∠BCO = ∠OBC. Отже, △BOC — рівнобедрений.
280. Кожна з точок M і N рівновіддалена від
AB.
що пряма MN — серединний перпендикуляр відрізка AB. Оскільки AM = MB, AN = NB, то △AMB і △ANB рівнобедрені, тому їх
MK і NK співпадають з медіанами. Отже, MK ⊥ AB, NK ⊥ AB, K — середина AB, тоді MN — серединий
відрізка AB. 281. Усередині рівнобедреного трикутника ABC (AB = BC) позначили точку D так, що AD = CD. Доведіть, що прямі BD і AC перпендикулярні. Так як AD = DC, то т. D належить серединному перпендикуляру до AC, так як △ABC — рівнобедрений, то BD — висота і медіана, отже BD — серединний перпендикуляр до AC, звідси виходить, що BD ⊥ AC.
282. На рисунку 199 AB = KE, BC = KM, AM= EC. Доведіть, що ∠AMK = ∠BCE. △ABC = △EKM за трьома сторонами (AB = KE за умовою, BC = KM за умовою, AC = AM + BC = EC + MC = EM), звідси ∠BCA = ∠KME, тоді ∠AMK = ∠BCE (як суміжні кути до рівних кутів).
283. На рисунку 200 AB = CD, BC = AD, промінь BM — бісектриса кута ABC, промінь DK — бісектриса кута ADC. Доведіть, що ΔABM= ΔCDK.
△ABC = △CBA за трьома сторонами (AB = CD за умовою, BC = AD за умовою, AC — спільна сторона). Із рівності трикутників ∠BAC = ∠DCA, ∠ABC = ∠CDA, тоді ∠ABM = 1 2 ∠ABC = 1 2 ∠CDA = ∠CDK.
△ABM = △CDK за другою ознакою (AB = CD за умовою, ∠BAM = ∠DCK — за доведенням, ∠ABM = ∠CDK — за доведенням).
284. Рівні відрізки AB і CD перетинаються в точці O так, що OA = OD. Доведіть, що ΔABC = ΔDCB.
На рисунку: AB = CD, OA = OD, OC = CD - OD = AB - AO = OB. △COA = △BOD за першою ознакою рівності трикутників (AO = DO за умовою, CO = BO — за доведенням, ∠COA = ∠BOD — як вертикальні), звідси AC = BD. Отже, △ABC = △DCB (за третьою ознакою).
285. Відрізки BD і B1D1 — бісектриси трикутників ABC і A1B1C1
AB = A1B1, BD = B1D1, AD = A1D1. AD = A1D1.
286. Відрізки
1 = M1C1, то BC = B1C1. △ABM = △A1B1M1 за трьома сторонами, тому ∠B = ∠B1.
між ними. 287. Оксана стверджує, що їй вдалося зробити рисунок, на якому
A належить серединному перпендикуляру до відрізка BC.
△ABM = △CDM (за першою ознакою),
Нехай AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AM = MC, A₁M₁ = M₁C₁, BM = B₁M₁. На променях BM і B₁M₁
від точок M і M₁ відкладаємо відрізки MD і M₁D₁ такі, що MD = AM, M₁D₁ = A₁M₁.
△A₁B₁M₁ = △C₁D₁M₁ (за першою ознакою), тоді маємо: AB = CD, A₁B₁ = C₁D₁.
Враховуючи, що AB = A₁B₁, одержимо OD = O₁D₁.
△BDC = △B₁D₁C₁ за трьома сторонами, тоді ∠BDC = ∠D₁B₁C₁.
△BMC = △B₁M₁C₁ за першою ознакою рівності трикутників, звідси MC = M₁C₁, тобто AC = A₁C₁. І тоді △ABC = △A₁B₁C₁ за трьома сторонами.
290. На відрізку AB позначили точки C і D так, що AC : BC = 7 : 8, AD : BD = 13 : 17. Знайдіть довжину
294. Із теорем 4.1, 8.2, 9.1, 10.3, 11.2 виберіть:
1) теореми-властивості; 4.1; 8.2; 9.1; 11.2.
2)
1)
2)
3)
3)
4)
промені ОА і ОВ є доповняльними;
5) відрізок має тільки одну середину; відрізок має більше однієї середини або не має жодної середини.
298. Сформулюйте твердження, що заперечує дане:
1) кут ABC не є прямим;
Кут ABC є прямим;
2) трикутник MKE є рівнобедреним; трикутник MKE не є рівнобедреним;
3) через точку на прямій можна провести тільки
через точку
не є рівнобедреним. Припустимо, що трикутник є рівнобедреним.
Нехай AB = A₁B₁, AD = BD, A₁D₁ = B₁D₁, CD = C₁D₁.
ΔBCD = ΔB₁C₁D₁ за трьома сторонами
(CB = C₁B₁, BD = 1 2 AB = 1 2 A₁B₁ = B₁D₁, CD = C₁D₁). Із рівності трикутників випливає, що ∠B = ∠B₁
Отже, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ за першою ознакою (AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁). 304.
і куту між медіаною та цією стороною
Доведення:
трикутника.
Доведення:
Нехай
трикутники,
трикутника, то ці трикутники рівні.
Нехай BC = B₁C₁, BM = MC, B₁M₁ = M₁C₁, AM = A₁M₁, ∠AMC = ∠A₁M₁C₁ ΔAMC = ΔA₁M₁C₁
рівності трикутників (AM = A₁M₁, MC = M₁C₁, ∠AMC = ∠A₁M₁C₁). Із
цих трикутників
що AC = A₁C₁, ∠C = ∠C₁.
A
AM
A₁M₁
∠BAM = ∠B₁A₁M₁, ∠CAM = ∠C₁A₁M₁. На продовженнях відрізків
і M₁ відкладаємо відрізки відповідно MD = MA, M₁D₁ = M₁A₁.
ΔAMC = ΔDMB за першою ознакою рівності (AM = MD, MC = BM, ∠AMC = ∠DMB). Із рівності трикутників маємо: ∠MAC = ∠BDA, AC = BD. ΔA₁M₁C₁ = ΔD₁M₁B₁ за першою ознакою рівності (A₁M₁ = M₁D₁, M₁C₁ = B₁M₁, ∠A₁M₁C₁ = ∠D₁M₁B₁). Із рівності трикутників маємо: ∠M₁A₁C₁ = ∠B₁D₁A₁, A₁C₁ = B₁D₁.
306.
1) AB + BC ... AC; AB + BC = AC; 2) AB + AC ... BC; AB + AC > BC; 3) AC + BC ... AB. AC + BC > AB.
ΔABD = ΔA₁B₁D₁ за другою ознакою рівності (AD = A₁D₁, ∠BAD = ∠B₁A₁D₁, ∠BDA = ∠B₁D₁A₁). Із рівності трикутників маємо: AB = A₁B₁, BD = B₁D₁, тоді, враховуючи, що AC = BD і A₁C₁ = B₁D₁, маємо: AC = A₁C₁. ΔABC = ΔA₁B₁C₁ за першою ознакою
трикутників (AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁).
рис. ∠COD = ∠DOB, ∠AOC = 3∠COD. Нехай ∠COD = x° , тоді ∠BOC = 2x° , ∠AOC = 3x° . 2x + 3x = 180, звідси 5x = 180; x = 36.
Отже, ∠COD = 36° × 2 = 72°; ∠AOC = 3 × 36° = 108°
Відповідь: 72°, 108°. 308. Сторони
відрізків, що містяться всередині прямокутника (рис. 203). Нехай AB = 3 см, BC = 4 см. Сума довжин горизонтальних відрізків
1.
2.
3.
BC, а сума довжин вертикальних відрізків подвоєній довжині сторони AB. Отже,
2 × AB + 2 × BC = 2 × 3 + 2 × 4 = 6 + 8 = 14 (см).
ΔABM = ΔCEM (за
CE = AB = 4,2 см.
А) 2,1 см; Б) 4,2 см; В) 4,8 см; Г) 8,4 см.
6. Яке з поданих тверджень є правильним?
А) Рівнобедрений трикутник окремий вид різностороннього трикутника; Б) рівносторонній трикутник окремий вид різностороннього трикутника; В) рівносторонній трикутник окремий вид рівнобедреного трикутника; Г) рівнобедрений трикутник окремий вид рівностороннього трикутника. 7. Яке з поданих тверджень є хибним? А) Якщо висота трикутника ділить
8.
на рівні відрізки, то цей трикутник є рівнобедреним; Б) якщо медіана й бісектриса трикутника, проведені
не
якщо трикутник рівносторонній,
його бісектриси рівні.
9. Периметр рівнобедреного трикутника
10.
PΔABM + PΔMBC + PΔABC + 2BM. 12 + 12 = 16 + 2BM, тоді 2 × BM = 24 − 16; 2 × BM = 8; BM = 8 : 2; BM = 4. А) 4 см; Б) 6 см; В) 2 см; Г) 5 см.