ГДЗ математика 7 клас Істер 2024 ч.2

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) (6m3 + 11 6m5)2 = (6m3 + 7 6m5)2 = 36m6 + 14m8 + 49 36 m10;

5) (7a2 + 8ap3)2 = 49a4 + 112a3p3 + 64a2p6;

6) (1 2 b2m3 − 1 3 b3m2)2 = 1 4 b4m6 –1 3 b5m5 + 1 9 b6m4.

32.28. Спростіть вираз:

1) (3a − 4b)2 − (3a + 4b)2 = 9a2 – 24ab + 16b2 – (9a2 + 24ab + 16b2) = = 9a2 – 24ab + 16b2 – 9a2 – 24ab – 16b2 = –48ab; 2) (2a + 3b)2 + (a − 6b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2 + (a2 – 12ab + 36b2) = = 4a2 + 12ab + 9b2 + a2 – 12ab + 36b2 = 5a2 + 45b2;

3) a(2a − 1)2 − 4a(a + 5)2 = a(4a2 – 4a + 1) – 4a(a2 +10a + 25) = = 4a3 – 4a2 + a – 4a3 – 40a2 – 100a = –44a2 – 99a; 4) 12m2 − 3(2m − n)2 − 12mn = 12m2 – 3(4m2 – 4mn + n2) – 12mn = = 12m2 – 12m2 + 12mn – 3n2 – 12mn = –3n2.

32.29. Виконайте дії:

1) (7a + 9b)2 − (7a − 9b)2 = 49a2 + 126ab + 81b2 – (49a2 – 126ab + 81b2) = = 49a2 + 126ab + 81b2 – 49a2 + 126ab – 81b2 = 252ab; 2) (10a − 3b)2 + (6a + 5b)2 = 100a2 – 60ab + 9b2 + 36a2 + 60ab + 25b2 = 136a2 + 34b2;

3) 18x2 − 12xy − 2(3x − y)2 = 18x2 – 12ху – 2(9х2 – 6ху + у2) = = 18x2 – 12xу– 18x2 + 12ху – 2y2 = –2у2;

4) a(9a − 1)2 − 81a(a − 2)2 = a(81a2 – 18a + 1) – 81a(a2 – 4a + 4) = = 81a3 – 18a2 + a – 81a3 + 324a2 – 324a = 306a2 – 323a.

32.30. Які

«зірочки», щоб утворилася тотожність: 1) (b + 2a)2 = b2 + 4ab + 4a2; 2) (2b – 3)2 = 4b2 – 12b + 9 = 4b2 + 9 – 12b; 3) (3a4 + 5)2 = 9a8 + 30a4 + 25; 4) (5x2 – 3m) = 25x4 – 30x2m + 9m2.

32.31. Замініть «зірочку»

тотожність: 1) (x – 7)2 = x2 – 14x + 49; 2) (4p3 + 3)2 = 16p6 + 24р3 + 9 = 16p6 + 9 + 24p3.

32.32. Подайте

1) (x − 2)(x + 1)2 = (х – 2)(x2 + 2x + 1) = x3 + 2х2 + х – 2x2 – 4x – 2 = x3 – 3x – 2; 2) (x + 1)(x − 5)2 = (x + 1)(x2 – 10x + 25) = x3 – 10x2 + 25x + x2 – 10x + 25 = = x3 – 9х2 + 15x + 25.

32.33. Доведіть тотожність:

1) (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2); (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2); 2) m2 + n2 = (m + n)2 − 2mn. (m + n)2 – 2mn = m2 + 2mn + n2 – 2mn = m2 + n2.

32.34. Доведіть тотожність:

1) −4ab = (a − b)2 − (a + b)2; (a – b)2 – (a + b)2 = a2 – 2ab + b2 – a2 – 2ab – b2 = –4ab; 2) (x − y)2 + 2xy = x2 + y2 (x – y)2 + 2xy = х2 – 2xy + y2 + 2xy = x2 + y2.

32.35. Розв’яжіть рівняння:

1) (3x − 4)2 − (3x + 2)2 = −24; 9x2 – 24x + 16 – 9x2 – 12x – 4 = –24; –36x = –24 – 12; –36x = –36; x = 1.

Відповідь: 1;

2) (2x − 3)2 + (1 − x)(9 + 4x) = 18. 4x2 – 12x + 9 + 9 + 4x2 – 9x – 4x2 = 18; –17x = 18 – 18; –17x = 0; x = 0.

Відповідь: 0.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

32.36. Розв’яжіть рівняння: 1) x(x − 2) − (x + 5)2 = −1; x2 – 2x – x2 – 10x – 25 = –1; –12x = –1 + 25; –12x = 24; x = –2.

Відповідь: –2;

2) (2y − 7)2 + (5 − 4y)(y − 7) = 3(y − 6).

4y2 – 28у + 49 + 5y – 35 – 4у2 + 28y = 3у – 18; 5y + 14 = 3у – 18; 5y – 3y = –18 – 14; 2y = –32; у = –16.

Відповідь: –16.

32.37. Використовуючи малюнок, поясніть геометричний

формули (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 для a > 0, b > 0, a > b. (a − b)2

32.38. Спростіть

= (((а2 + 2ab + b2

квадрата; a2, b2

a і b.

2ab)2 – 2a2b2)2 – 2а4b4)2 – 2а8b8 = = (((а2 + b2)2 – 2a2b2)2 – 2а4b4)2 – 2а8b8 = ((а4 + 2a2b2 + b

– 2a2b2)2 – 2а

4)2 – 2а

= = ((а4 + b4)2 – 2a4b4)2 – 2а8b8 = (a8 +2a4b4 + b8 – 2a4b4)2 – 2а8b8 = = (а8 + b8)2 – 2а8b8 = а16 + 2a8b8 + b16– 2а8b8 = а16 + b16.

32.39. Доведіть формулу скороченого множення для: 1) Куба суми: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; (a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + b2a + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 .

2) Куба різниці: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 (а – b)3 = (а – b)2(а – b) = (а2 – 2ab + b2)(а – b) = а3 – а2b – 2а2b + 2ab2 + ab2 – b3 = = а3 – 3a2b + 3ab2 – b3 .

32.40. Піднесіть до куба за формулами скороченого множення: 1) (2 + a)3 = (а + 2)2(a + 2) = (a2 + 4a + 4)(a + 2) = a3 + 2a2 + 4a2 + 8a + 4a + 8 = = а3 + 6а2 + 12а + 8; 2) (2b − 1)3 = (2b – 1)2(2b – 1) = (4b2 – 4b + 1)(2b – 1) = 8b3 – 4b2 – 8b2 + 4b + 2b – 1 = = 8b3 – 12b2 + 6b – 1.

32.41. Піднесіть до куба: 1) (x − 2)3 = (x – 2)2(x – 2) – (х2 – 4х + 4)(х – 2) = х3 – 2х2 – 4x2 + 8x + 4x – 8 = = x3 – 6x2 + 12х – 8; 2) (1 + 2m)3 = (2m + 1)2(2m + 1) = (4m2 + 4m + 1)(2m + 1) = = 8m3 + 4m2 + 8m2 + 4m + 2m + 1 = 8m3 + 12m2 + 6m + 1.

32.42. Знайдіть

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

32.43.

2n; 2n + 2; 2n + 4

2n(2n + 2) + 104 = (2n + 2)(2n + 4); 4n2 + 4n + 104 = 4n2 + 8n + 4n + 8; 4n − 8n − 4n = 8 − 104; −8n = −96; n = −96 : (−8); n = 12.

I число: 2n = 24; II число: 2n + 2 = 26; III число: 2n + 4 = 28.

Відповідь: 24; 26; 28.

32.44. Доведіть, що значення виразу: 1) 810 − 89 + 88 кратне числу 152; 810 – 89 + 88 = 88(82 – 8 + 1) = 88 ∙ 57 = 88 ∙ 19 ∙

1) 45 ∙ 30 = 1350 (грн) – вартість бензину;

2) 1350 + 20 = 1370 (грн) – вартість

3) 1500 – 1370 = 130 (грн) – решта.

Відповідь: 130 грн.

32.46. Подайте у вигляді

1) 1 = 12; 2) 9 = 32; 3) 25 = 52; 4) 64 = 82; 5) 100 = 102; 6) 121 = 112; 7) 196 = 142; 8) 900 = 302

32.47. Подайте у вигляді квадрата одночлен: 1) x4 = (х2)2; 2) y8 = (у4)2; 3) m6 = (m3)2; 4) p10 = (p5)2; 5) 16a2 = (4a)2; 6) 49b10 = (7b5)2; 7) m2n4 = (mn2)2; 8) 36c2a2 = (6ca)2 .

32.48. Доведіть, що

+ 2) ділиться на 6. (n2 + n)(n + 2) = n3 + 2n2 + n2 + 2n = n(n + 1)(n + 2); n3 + 2n2 + n2 + 2n = n(n2 + 2n + n + 2) = n((n2 + 2n)(n + 2) = n(n(n + 2)+(n + 2)) = = n(n + 2)(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) це

ділиться і на 6.

-

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

33.4. Розкладіть на множники: 1) a2 − 6a + 9 = (a − 3)2; 2) 64 + 16b + b2 = (8 + b)2;

3) 0,01m2 + 0,2m + 1 = (0,1m + 1)2; 4) 1 25 − 2 5p + p2 = (1 5 − p)2; 5) 4m2 − 12m + 9 = (2m − 3)2; 6) 9c2 + 24cd + 16d2 = (3c + 4d)2.

33.5. Подайте вираз у вигляді квадрата двочлена:

1) a2 + 4a + 4 = (a + 2)2; 2) 9m2 − 6m + 1 = (3m − 1)2; 3) b2 − 1,2b + 0,3b = (b − 0,6)2; 4) 1 49 m2 − 2 7m + 1 = (1 7 m − 1)2; 5) 81a2 + 18ab + b2 = (9a + b)2; 6) 25m2 − 60mn + 36n2 = (5m − 6n)2 .

33.6. Обчисліть зручним способом:

1) 362 + 2 · 36 · 14 + 142 = (36 + 14)2 = 502 = 2500; 2) 1172 − 2 · 117 · 17 + 172 = (117 − 17)2 = 1002 = 10000.

33.7. Обчисліть зручним способом:

1) 872 + 2 · 87 · 13 + 132 = (87 + 13)2 = 1002 = 10000; 2) 1372 − 2 · 137 · 47 + 472 = (137 − 47)2 = 902 = 8100.

33.8. Знайдіть значення виразу,

1) a2 − 2a + 1 = (a − 1)2; Якщо a = 91, то (91 − 1)2 = 902 = 8100.

Якщо a = −19, то (91 − (−19))2 = (91 + 19)2 = 1102 = 12100. 2) 4m2 + 28m + 49 = (2m)2 + 2 ∙ 2m ∙ 7 + 72 = (2m + 7)2. Якщо m = –3,5, то (2m + 7)2 = (2 ∙ (–3,5) + 7)2 = 0. Якщо m = 0, то (2m + 7)2 = (2 ∙ 0 + 7)2 = 49; 3) 16x2 – 40xy + 25y2 = (4x)2 – 2 ∙ 4x ∙ 5y + (5y)2 = (4x – 5y)2.

Якщо x = 5, у = 4, то (4x – 5у)2 = (4 ∙ 5 – 5 ∙ 4)2 = 0.

33.9. Знайдіть значення виразу:

1) a2 + 10a + 25 = (a + 5)2. Якщо a = −15, то (−15 + 5)2 = (−10)2 = 100.

Якщо a = 95, то (95 + 5)2 = 1002 = 10000. 2) 0,01x2 + 0,8x + 16 = (0,1x + 4)2. Якщо х = 10, то (0,1x + 4)2 = (0,1 ∙ 10 + 4)2 = 25.

Якщо х = –40, то (0,1x + 4)2 = (0,1 ∙ (–40) + 4)2 = 0;

3) 4m2 + 28mn + 49n2 = (2m + 7n)2.

Якщо m = –3, n = –1 7, то (2m + 7n)2 = (2 ∙ (–3) + 7 ∙ (–1 7))2 = (–6–1)2 = (–7)2 = 49.

33.10. Перетворіть тричлен у квадрат двочлена:

1) 1 4 m2 + 4n2 + 2mn = 1 4 m2 + 2mn + 4n2 = (1 2m + 2n)2;

2) −10mn + 0,25m2 + 100n2 = 0,25m2 − 10mn + 100n2 = (0,5m − 10n)2;

3) 9p2 + pq + 1 36q2 = (3p + 1 6q)2;

4) m6 + 4n2 − 4m3n = (n3)2 − 4m3n + 4n2 = (n3 − 2n)2; 5) 25m12 + p6 − 10m6p3 = 25m12 − 10m6p3 + p6 = (5m6 − p3)2.

6) 9 64 c6 − 3dc5 + 16d2c4 = (3 8c3)2 − 3dc5 + (4dc2)2 = (3 8 c3 − 4dc2)2.

33.11. Розкладіть на множники:

1) 1 9 a4 + 9b2 + 2a2b = (1 3a2)2 + 2a2b + (3b)2 = (1 3 a2 + 3b)2;

2) −6,4a2y4 + 0,16a4 + 64y8 = (0,4a2)2 − 6,4a2y4 + (8y4)2 = (0,4a2 − 8y4)2; 3) 16m20 + n12 − 8m10n6 = (4m10)2 − 8m10n6 + (n6)2 = (4m10 – n6)2; 4) 6a4b2 + a6 + 9a2b4 = (a3)2 + 6a4b2 + (3ab2)2 = (a3 + 3ab2)2.

33.12.

квадрата двочлена:

у

1) −1 + 4x − 4x2 = −(1 − 4x + 4x2) = −(1 − 2x)2; 2) −40a + 25a2 + 16 = 25a2 − 40a + 16 = (5a − 4)2;

3) 24xy − 9x2 − 16y2 = −(9x2 − 24xy + 16y2) = −(3x − 4y)2;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) −140x3y + 100x6 + 49y2 = 100x6 − 140x3y + 49y2 = (10x3 − 7y)2;

5) 4pq − 25p2 − 0,16q2 = −(25p2 − 4pq + 0,16q2) = (5p − 0,4q)2;

6) −0,64m6 − 1,6m3n2 − n4 = −(0,64m6 + 1,6m3n2 + n4) = −(0,8m3 + n2)2.

33.13. Подайте

квадрата двочлена:

1) −9 − 30x − 25x2 = −(9 + 30x + 25x2) = −(3 + 5x)2;

2) −36b + 81b2 + 4 = 4 − 36b + 81b2 = (2 − 9b)2;

3) 42xy − 49x2 − 9y2 = −(49x2 − 42xy + 9y2) = −(7x − 3y)2; 4) −0,36a4 − 25b6 + 6a2b3 = −(0,36a4 − 6a2b3 + 25b6) = −(0,6a2 − 5b3)2.

33.14. Розв’яжіть рівняння:

1) x2 – 10x + 25 = 0;

(x − 5)2 = 0;

x − 5 = 0; x = 5.

Відповідь: 5.

3) 9x2 + 1 = −6x; 9x2 + 6x + 1 = 0; (3x + 1)2 = 0;

3x + 1 = 0;

3x = −1;

x = − 1 3 .

Відповідь: 1 3 .

33.15. Розв’яжіть рівняння:

1) x2 + 16x + 64 = 0;

(x + 8)2 = 0;

x + 8 = 0; x = −8.

Відповідь: −8.

3) 4x2 + 9 = −12x; 4x2 + 9 + 12x = 0; (2x + 3)2 = 0;

2x + 3 = 0; 2x = −3; x = −1,5.

Відповідь: −1,5.

1) * − 2mn + n2 = m2 − 2mn + n2 = (m − n)2;

2) 64y2 + 16y + 1 = 0; (8y + 1)2 = 0; 8y + 1 = 0; 8y = −1; y = − 1 8 .

Відповідь: − 1 8 .

4) 16y2 − 56y = −49; 16y2 − 56y + 49 = 0; (4y − 7)2 = 0; 4y − 7 = 0; 4y = 7;

y = 7 4 = 1,75.

Відповідь: 1,75.

2) 36x2 − 12x + 1 = 0; (6x − 1)2 = 0; 6x − 1 = 0; 6x = 1;

x = 1 6 .

Відповідь: 1 6 .

4) x2 = 0,4x − 0,04; x2 − 0,4x + 0,04 = 0; (x − 0,2)2 = 0; x − 0,2 = 0; x = 0,2.

Відповідь: 0,2.

2) 25a2 + 20a + * = 25a2 + 2 · 2 · 5 · a + 4 = (5a + 2)2;

3) 64m2 + * + 49b2 = 64m2 + 112mb + 49b2 = (8m + 7b)2;

4) * −12mb3 + 9b2 = 4m6 − 12bm3 + 9b2 = (2m3 − 3b)2;

5) p2 −0,8p7 + * = p2 − 0,8p7 + 0,16p12 = (p − 0,4p6)2;

6) * + a2b2 + 1 4 a4 = b4 + a2b2 + 1 4 a4 = (1 2 a2 + b2)2.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

33.17.

1) * − 28x + 49 = * − 2 · 7 · x · 2 + 72 = 4x2 − 28x + 49 = (2x − 7)2; 2) 64a2 − 16a + * = (8a)2 − 2 · 8a + 1 = (8a − 1)2; 3) 25a2 + * + 1 25 b6 = (5a)2 + 2ab3 + (1 5 b3)2 = (5a + 1 5 b3)2; 4) 0,01a8 + 100b6 + * = (0,1a4)2 + * + (10b3)2 = 0,01a8 + 2a4b3 + 100b6 = (0,1a4 + 10b3)2

33.18. Розкладіть

1) (x − 2)2 + 2(x − 2) + 1 = (x − 2 + 1)2 = (x − 1)

≤ 0;

3) −x2 − 8x + 16 і 0; −(x2 − 8x + 16) = −(x + 4)2 ≥ 0; 4) 36 − 12x + x2 і 0; 36 − 12x + x2 і 0 = (6 − x)2 ≥ 0. 33.22.

-

x2 + 4x + 5 = (x2 + 4x + 4) + 1 = (x + 2)2 +

x2 + 4x + 5

(x2 + 6x + 9) + 2 = (x + 3)2 + 2

1) * − 48xy + *;

36x2 − 48xy + 16y2 = (6x − 4y)2; 9x2 − 48xy + 64y2 = (3x − 8y)2; 144x2 − 48xy + 4y2 = (12x − 2y)2; 2) * + 20ab + *; 4a2 + 20ab + 25b2 = (2a + 5b)2; 100a2 + 20ab + b2 = (10a + b)2; 1 4 a2 + 20ab + 400b2 = (1 2a + 20b)2 .

33.25. Подайте

1) x2 − 3x + 9, неможливо; 2) 49a2 − 140ab + 100b2 = (7a − 10b)2; 3) 4a2 − 9b2 − 12ab, неможливо; 4) 16y2 + 8y − 1, неможливо; 5) 1 16 x2 + 1 40xy + 1 25y2, неможливо. 6) −xy + 1 16y2 + 4x2 = (1 4y − 2x)2 .

33.26. Для яких значень x: 1) квадрат двочлена x + 2 на 225 більший за квадрат двочлена x – 3; (x + 2)2 = (x − 3)2 + 225; x2 + 4x + 4 = x2 − 6x + 9 + 225; 4x + 6x = 225 + 9 − 4; 10x = 230; x = 230 : 10; x = 23.

Відповідь: 23.

2) квадрат двочлена 2x – 6 у 4 рази більший за

x + 3? (2x – 6)2 = 4(x + 3)2; 4x2 – 24х + 36 = 4(х2 + 6х + 9);

4х2 – 24х + 36 = 4x2 + 24х + 36; 4х2 – 24х – 4х2 – 24х = 36 – 36; –48х = 0; х = 0.

Відповідь: 0.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

33.27. Спростіть вираз: 1) (m − 2)(m + 3)(m − 5) = (m2 + 3m − 2m − 6) (m − 5) = (m2 + m – 6)(m – 5) = = m3 − 5m2 + m2 − 5m − 6m + 30 = m3 − 4m2 − 11m + 30; 2) (p2 + 1)(p8 – p6 + p4 – p2 + 1) = p10 − p8 + p6 − p4 + p2 + p8 – p6 + p4 – p2 + 1 = p10 + 1.

33.28. Щосереди

ліків становить 580 грн?

580 ∙ 0,15 = 87 (грн) – заощадить пенсіонер.

Відповідь: 87 грн.

33.29. Подайте вираз у вигляді многочлена: 1) (х – 3)(х + 3) = x2 + 3x – 3x – 9 = x2 – 9; 2) (у + 2)(у – 2) = y2 – 2y + 2y – 4 = y2 – 4; 3) (1 + m)(1 – m) = 1 – m + m – m2 = 1 – m2; 4) (4 – а)(4 + а) = 16 + 4a – 4a – a2 = 16 – a2

33.30. Є піскові годинники двох

34.1. (Усно.) Які з рівностей є тотожностями: 1) (a − c)(a + c) = a2 − с2, тотожність; 2) (m + p)(m − p) = m2 + p2, ні; 3) (y − x)(y + x) = (y − x)2 ні; 4) (d + n)(d − n) = n2 − d2, ні.

34.2. Закінчіть запис: 1) (c − 5)(c + 5) = c2 − 52 = с2 − 25; 2) (b + 7)(b − 7) = b2 − 72 = b2 − 49.

34.3. Знайдіть добуток: 1) (c − d)(c + d) = c2 – d2; 2) (p + a)(p − a) = р2 – a2.

34.4. Виконайте множення двочленів: 1) (b + t)(b − t) = b2 – t2; 2) (a − t)(a + t) = a2 – t2.

34.5. Виконайте множення: 1) (p − 9)(p + 9) = p2 − 81; 2) (5 + x)(5 − x) = 25 − x2; 3) (3 − c)(3 + c) = 9 − c2; 4) (7 + y)(y − 7) = y2 − 49.

34.6. Перетворіть на многочлен: 1) (m − 2)(m + 2) = m2 − 4; 2) (7 + a)(7 − a) = 49 − a2; 3) (4 − x)(4 + x) = 16 − x2; 4) (11 + b)(b − 11) = b2 − 121.

34.7. Подайте добуток у вигляді многочлена:

1) (2x − 3)(2x + 3) = 4x2 − 9; 2) (3p + 8)(3p − 8) = 9p2 − 64; 3) (4 + 5a)(5a − 4) = 25a2 − 16; 4) (3m − 4p)(4p + 3m) = 9m2 − 16p2; 5) (7a + 10b)(10b − 7a) = 100b2 − 49a2; 6) �1 4 p 1

+

1 49 ����² .

34.8. Виконайте множення: 1) (p − 2m)(p + 2m) = p2 − 4m2 . 2) (2p + 7)(2p − 7) = 4p2 − 49; 3) (2c + 5)(5 − 2c) = 25 − 4c2; 4) (8a − 0,3x)(0,3x + 8a) = 64a2 − 0,09x2; 5) (0,1p + q)(q − 0,1p) = q2 − 0,01p2; 6) �2 7 a 3 5 b� �2

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3a b (3a – b)(3a + b) 9a2 – b2 5m 2n (5m – 2n)(5m + 2n) 25m2 – 4n2

7 c 1 3 d

34.10. Виконайте дії: 1) 16 + (3a + 4)(3a − 4) = 16 + (9a2 − 16) = 16 + 9a2 − 16 = 9a2; 2) (5m − 3)(5m + 3) − 25m2 = 25m2 − 9 − 25m2 = −9m2 .

34.11. Спростіть вираз: 1) (8x − 5)(8x + 5) + 25 = 64x2 − 25 + 25 = 64x2; 2) 9m2 + (5 − 3m)(5 + 3m) = 9m2 + (25 − 9m2) = 25; 3) (2b − 3)(2b + 3) − 4b2 = 4b2 − 9 − 4b2 = −9; 4) (4a + 7)(7 − 4a) − 49 = 49 − 16a2 − 49 = −16a2 .

34.12. Розв’яжіть рівняння: 1) 3x = (2x − 3)(2x + 3) − 4x2; 3x = 4x2 − 9 − 4x2; 3x = −9; x = −9 : 3; x = −3.

Відповідь: −3.

34.13. Знайдіть корені рівняння:

1) 8x = (5x − 4)(5x + 4) − 25x2; 8x = 25x2 − 16 − 25x2; 8x = −16; x = −16 : 8; x = −2.

Відповідь: −2.

34.14. Обчисліть зручним способом:

2) 9x2 + (8 − 3x)(8 + 3x) = 4x; 9x2 + 64 − 9x2 = 4x; 4x = 64; x = 64 : 4; x = 16.

Відповідь: 16.

2) (9 − 4x)(9 + 4x) + 16x2 = 3x; 81 − 16x2 + 16x2 = 3x; 3x = 81; x = 81 : 3; x = 27.

Відповідь: 27.

1) (40 − 1)(40 + 1) = 402 − 12 = 1600 − 1 = 1599. 2) 81 · 79 = (80 + 1)(80 − 1) = 6400 − 1 = 6399; 3) 1002 · 998 = (1000 + 2)(1000 − 2) = 10002 − 22 = 1000000 − 4 = 999996; 4) 1,03 · 0,97 = (1 + 0,03)(1 − 0,03) = 12 − 0,032 = 1 − 0,0009 = 0,9991.

34.15.

1) (80 + 2)(80 − 2) = 802 − 22 = 6400 − 4 = 6396;

2) 59 · 61 = (60 − 1)(60 + 1) = 602 − 12 = 3600 − 1 = 3599;

3) 108 · 92 = (100 + 8)(100 − 8) = 1002 − 82 = 10000 − 64 = 9936;

4) 12,3 · 11,7 = (12 + 0,3)(12 − 0,3) = 122 − 0,32 = 144 − 0,09 = 143,91

34.16. Подайте

1) (p2 + 3q)(3q − p2) = (3q)2 − (p2)2 = 9q2 − p4;

2) (2a − m3)(m3 + 2a) = (2a)2 − (m3)2 = 4a2 − m6;

3) (5a − b2)(b2 + 5a) = (5a)2 − (b2)2 = 25a2 − b4;

4) (0,7m + n2)(0,7m − n2) = (0,7m)2 − (n2)2 = 0,49m2 − n4;

5) (4t2 − p4)(4t2 + p4) = 16t4 − p8;

6) (3a3 − 4b4)(3a3 + 4b4) = (3a3)2 − (4b4)2 = 9a6 − 16b8

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

34.17. Виконайте множення:

1) (1,7a − 1,4p3)(1,4p3 + 1,7a) = 2,89a2 − 1,96p6;

2) (3a2 − 1 4 b3)( 1 4 b3 + 3a2) = (3a2 − 1 4 b3)(3a2 + 1 4 b3) = 9a4 − 1 16 b6;

3) (5m2n + 1 7p3)(1 7p3 – 5m2n) = (1 7p3 + 5m2n)( 1 7p3 – 5m2n) = 1 49p6 – 25m4n2;

4) (2 3 a7 + 1,2y8)(1,2y8 − 2 3a7) = (1,2y8 + 2 3 a7)(1,2y8 − 2 3 a7) = 1,44y16 − 2 3 a14 .

34.18. Виконайте множення:

1) (5a + b2)(b2 − 5a) = (b2)2 − (5a)2 = b4 − 25a2;

2) (4a3 − d2)(d2 + 4a2) = (4a3)2 − (d2)2 = 16a6 – d4;

3) (0,7p – m7)(m7 + 0,7p) = (0,7p)2 − (m7)2 = 0,49p2 – m14;

4) (1 5 m2 + 3b7)(3b7 − 1 5 m2) = (3b7)2 – (1 5m2)2 = 9b14 –1 25m4;

5) (0,2a2b − 0,3ab2)(0,2a2b + 0,3ab2) = (0,2a2b)2 − (0,3ab2)2 = 0,04a4b2 − 0,09a2b4;

6) (1,2p7 − 2 3a8)( 2 3 a8 + 1,2p7) = (1,2p7)2 – (2 3a8)2 = 1,44p14 4 9 a16

34.19. Подайте у

1) (−a2 + 7)(7 + a2) = 72 − (a2)2 = 49 − a4; 2) (−p2 − q7)(p2 − q7) = −(p2 + q7)(p2 − q7) – ((p2)2 − (q7)2) = −(p4 − q14) = q14 – p4; 3) (−8m − 5p)(−8m + 5p) = (5p − 8m)(−8m − 5p) = (8m − 5p)(8m + 5p) = = (8m)2 − (5p)2 = 64m2 − 25p2; 4) (−2a3 − 3b)(−3b + 2a3) = −(2a3 + 3b)(2a3 − 3b) = (3b − 2a3)(2a3 + 3b) = = (3b)2 − (2a3)2 = 9b2 − 4a6.

34.20. Спростіть вираз:

1) (a − b)(a + b)(a2 + b2) = (a2 − b2)(a2 + b2) = (a2)2 − (b2)2 = a4 − b4; 2) (2a + x)(4a2 + x2)(2a − x) = ((2a)2 − x2)(4a2 + x2) = (4a2 − x2)(4a2 + x2) = = (4a2)2 − (x2)2 = 16a4 − x4; 3) (c3 + d2)(c3 – d2)(d4 + c6) = ((c3)2 − (d2)2)(d4 + c6) = (c6 − d4)(d4 + c6) = (c6)2 − (d4)2 = c12 − d8; 4) (−x − y)(x − y)(x2 + y2)(x4 + y4) = −(x + y)(x − y)(x2 + y2)(x4 + y4) = = −(x2 − y2)(x2 + y2)(x4 + y4) = −(x4 − y4)(x4 + y4) = (y4 – x4)(x4 + y4) = (y4)2 − (x4)2 = y8 − x8 .

34.21. Перетворіть на многочлен:

1) (−a7 + b5)(a7 + b5) = (b5 − a7)(a7 + b5) = (b5)2 − (a7)2 = b10 − a14; 2) (−0,1m3 − p4)(0,1m3 − p4) = − (0,1m3 + p4)(−0,1m3 − p4) = (p4 − 0,1m3)(0,1m3 + p4) = = (p4)2 – (0,1m3)2 = p8 – 0,01m6; 3) (3x − 2p)(3x + 2p)(9x2 + 4p2) = (9x2 − 4p2) (9x2 + 4p2) = 81x4 − 16p4; 4) (−a2 − 5b3)(a2 − 5b3)(a4 + 25b6) = −(a2 + 5b3)(a2 − 5b3)(a4 + 25b6) = = −(a4 − 25b3)(a4 + 25b3) = (25b3 – a4)(a4 + 25b3) = (25b3)2 – (a4)2 = 625b6 – a8.

34.22. Замість «зірочок» запишіть такі

щоб утворилася тотожність: 1) (2a + 7b)(2a − 7b) = 4a2 − 49b2; 2) (0,5m2 − 9p)(0,5m2 + 9p) = 0,25m4 − 81p2; 3) 100a8 − 9b6 = (10a4 + 3b3)(10a4 − 3b3); 4) (4x − 3y)(4x + 3y) = 16x2 − 9y2 .

34.23. Знайдіть корені рівняння: 1) 8x(1 + 2x) − (4x + 1)(4x − 1) = 17; 8x + 16x2 − (16x2 − 1) = 17; 8x + 16x2 − 16x2 + 1 = 17; 8x = 17 − 2; 8x = 16; x = 16: 8; x = 2.

Відповідь: 2.

2) x − 12x(1 − 3x) = 14 − (5 − 6x)(6x + 5); x − 12x + 36x2 = 14 − (25 − 36x2); x − 12x + 36x2 = 14 − 25 + 36x2; −11x = −11; x = −11: (−11); x = 1.

Відповідь: 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (4x + 1)(4x − 1) + (2x − 3)2 = 5x(4x − 11); 16x2 − 1 + 4x2 − 12x + 9 = 20x2 − 55x;

−12x + 55x = 1 − 9; 43x = −8;

x = −8 : 43;

Відповідь: 8 43 .

34.24. Розв’яжіть рівняння:

1) 5x(4x − 1) − (6x − 1)(6x + 1) = (4x + 3)(3 − 4x);

20x2 − 5x − (36x2 − 1) = 9 − 16x2;

20x2 − 5x − 36x2 + 1 = 9 − 16x2; 20x2 − 5x − 36x2 + 16x2 = 9 − 1;

−5x = 8;

x = 8 : (−5);

x = −1,6.

Відповідь: −1,6.

2) (3x − 4)(3x + 4) − (5x − 2)(5x + 2) = 2x(1 − 8x);

9x2 − 16 − (25x2 − 4) = 2x − 16x2;

9x2 − 16 − 25x2 + 4 = 2x − 16x2;

−2x = 16 – 4;

−2x = 12;

x = 12 : (−2);

x = −6.

Відповідь: −6.

3) (5x − 4)2 − 2x(8x − 5) = (3x − 2)(3x + 2);

25x2 − 40x + 16 − 16x2 + 10x = 9x2 − 4;

9x2 − 40x − 9x2 + 10x = −16 − 4;

−30x = −20;

x = −20 : (−30);

x = 2 3

Відповідь: 2 3 .

34.25. Спростіть вираз:

1) (a + 3)2 − (a + 3)(a − 3) = a2 + 6a + 9 − (a2 − 9) = a2 + 6a + 9 − a2 + 9 = 6a + 18; 2) (8x − 3y)(8x + 3y) − (3x − 8y)2 = 64x2 − 9y2 − (9x2 − 48xy + 64y2) = = 64x2 − 9y2 − 9x2 − 48xy + 64y2 = 55x2 + 48xy − 73y2; 3) (b − 3)2(b + 3)2 = ((b − 3)(b + 3))2 = (b2 − 9)2 = b4 − 18b2 + 81; 4) (a + 5)2(5 − a)2 = ((5 − a)(a + 5))2 = (25 − a2)2 = 625 − 50a2 + a4.

34.26. Спростіть вираз: 1) (c − 2)2 − (c − 3)(c + 3) = c2 − 4c + 4 − (c2 − 9) = c2 − 4c + 4 − c2 + 9 = −4c + 13; 2) (9x − 2y)(9x + 2y) − (5x − 2y)2 = 81x2 − 4y2 − (25x2 − 20xy + 4y2) = = 81x2 − 4y2 − 25x2 + 20xy − 4y2 = 56x2 − 8y2 + 20xy; 3) (a + 6)2(a − 6)2 = ((a + 6)(a − 6))2 = (a2 − 36)2 = a4 − 72a2 + 1296; 4) (2 − m)2(2 + m)2 = ((2 − m)(2 + m))2 = (4 − m2)2 = 16 − 8m2 + m4.

34.27. Доведіть, що квадрат

34.28.

((x + y) +

2) (a + b + c)(a

3) (m

(b +

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

заасфальтувати ділянку площею 15х м2, а заасфальтували 18(х − 2) м2 .

Рівняння: 15х = 18(х − 2) + 12;

15х = 18х − 36 + 12;

15х − 18х = −36 + 12;

−3х = −24;

х = −24 : (−3);

х = 8.

8 годин мали асфальтувати ділянку площею 15 · 8 = 120 (м2). Відповідь: 8 годин; 120 м2 . 34.31.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

35.1. (Усно.)

рівностей є тотожностями:

1) c2 − d2 = (c − d)(c − d), не тотожність; 2) p2 − t2 = (p + t)(p − t), тотожність; 3) a2 + b2 = (a + b)(a + b), не тотожність;

4) 32 − b2 = (3 − b)(3 + b), тотожність.

35.2. Доберіть замість пропусків такий двочлен, щоб рівність перетворилася на тотожність:

1) a2 − 1 = (a − 1)(a + 1); 2) 4 − m2 = (2 − m)(2 + m).

35.3. Доберіть замість пропусків такий

1) p2 − 1 = (p − 1)(p + 1); 2) 9 − c2 = (3 − c)( 3 + c).

35.4. (Усно.) Розкладіть на множники:

1) a2 − 4 = (a − 2)(a + 2); 2) 36 − b2 = (6 − b)(6 + b); 3) 4x2 − 25m2 = (2x − 5m)(2x + 5m); 4) x2y2 − 1 = (xy − 1)(xy + 1).

35.5. Подайте многочлен у

1) a2 − 25 = (a − 5)(a + 5); 2) 16 − p2 = (4 − p)(4 + p);

3) d2 − 1,44 = (d − 1,2)(d + 1,2); 4) 0,09 − m2 = (0,3 − m)(0,3 + m);

5) b2 − 4 9= (b − 2 3)(b + 2 3); 6) 25 36 − c2 = (5 6− c)(5 6+ c).

35.6. Розкладіть на множники:

1) 36a2 − b2 = (6a − b)(6a + b);

2) −a2 + b2 = b2 − a2 = (b − a)(b + a);

3) 49x2 − 64 = (7x − 8)(7x + 8);

4) 9m2 − 16n2 = (3m − 4n)(3m + 4n);

5) −100m2 + 121k2 = 121k2 − 100m2 = (11k − 10m)(11k + 10m);

6) 0,25 − a2b2 = (0,5 − ab)(0,5 + ab);

7) 16m2a2 − 0,01 = (4ma − 0,1)(4ma + 0,1);

8) p2 − c2d2 = (p − cd)(p + cd);

9) 81p2m2 − n2 = (9pm − n)(9pm + n).

35.7. Подайте

1) a2 − 64 = (a − 8)(a + 8);

2) 0,25 − b2 = (0,5 − b)(0,5 + b);

3) −81 + 36x2 = (6x − 9)(6x + 9);

4) 169p2 − q2 = (13p − q)(13p + q);

5) 400a2 − 25m2 = (20a − 5m)(20a + 5m);

6) 49a2b2 − 16 = (7ab − 4)(7ab + 4);

7) 900 – a2b2 = 302 – (ab)2 = (30 – ab)(30 + ab);

8) c2d2 – 4m2 = (cd)2 – (2m)2 = (cd – 2m)(cd + 2m);

9) 100a2b2 – 0,16m2 = (10ab)2 – (0,4m)2 = (10ab– 0,4m)(10ab + 0,4m).

35.8. Обчисліть, застосовуючи

1) 672 − 572 = (67 − 57)(67 + 57) = 1240;

2) 432 − 532 = (43 − 53)(43 + 53) = 960;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) 1122 − 882 = (112 + 88)(112 − 88) = 200 · 24 = 4800;

4) 21,52 − 21,42 = (21,5 − 21,4)(21,5 + 21,4) = 0,1 · 42,9 = 4,29;

5) 0,7252 − 0,2752 = (0,725 − 0,275)(0,725 + 0,275) = 0,45 · 1 = 0,45; 6) (52 3)2 − (41 3)2 = (52 3 − 41 3)(52 3 + 41 3) = 11 3 · 10 = 4 3 · 10 = 40 3

35.9. Обчисліть зручним способом:

1) 432 − 332 = (43 − 33)(43 + 33) = 10 · 76 = 760; 2) 272 − 372 = (27 − 37)(27 + 37) = −10 · 64 = −640;

3) 0,972 − 0,032 = (0,97 − 0,03)(0,97 + 0,03) = 0,94 · 1 = 0,94.

35.10. Знайдіть значення виразу x2 − y2 ,

1) Якщо x = 55, y = 45, то (x − y)(x + y) = (55 − 45)(55 + 45) = 10 · 100 = 1000; 2) Якщо x = 2,01; y = 1,99, то (x − y)(x + y) = (2,01 − 1,99)(2,01 + 1,99) = 0,02 · 4 = 0,08.

35.11. Розв’яжіть рівняння:

1) x2 − 16 = 0; (x − 4)(x + 4) = 0; x − 4 = 0; x = 4 або x + 4 = 0; x = −4.

Відповідь: 4; −4.

3) y2 − 0,25 = 0;

(y − 0,5)(y + 0,5) = 0; y − 0,5 = 0; y = 0,5

або y + 0,5 = 0; y = −0,5.

Відповідь: 0,5; −0,5.

35.12. Знайдіть корені рівняння:

1) x2 − 36 = 0;

(x − 6)(x + 6) = 0; x − 6 = 0; x = 6 або x + 6 = 0; x = −6.

Відповідь: 6; −6.

3) 0,49 − x2 = 0;

(0,7 − x)(0,7 + x) = 0; 0,7 − x = 0; x = 0,7 або 0,7 + x = 0; x = −0,7.

Відповідь: 0,7; −0,7.

35.13. Розкладіть на множники:

1) c4 − m6 = (c2)2 − (m3)2 = (c2 − m3)(c2 + m3);

2) p8 − a10 = (p4)2 − (a5)2 = (p4 − a5)(p4 + a5);

2) 1 9 − x2 = 0; (1 3 − x)(1 3 + x) = 0; 1 3 − x = 0; −x = −1 3; x = 1 3;

або 1 3 + x = 0; x = −1 3 .

Відповідь: 1 3; − 1 3 .

4) 4x2 − 9 = 0; (2x − 3)(2x + 3) = 0; 2x − 3 = 0; 2x = 3; x = 1,5;

або 2x + 3 = 0; 2x = −3; x = −1,5.

Відповідь: 1,5; −1,5.

2) y2 − 1 16= 0; (y − 1 4)(y + 1 4) = 0; y = 1 4 або y = −1 4 .

Відповідь: 1 4; − 1 4 .

4) 64y2 − 49 = 0; (8y − 7)(8y + 7) = 0; 8y − 7 = 0; 8y = 7; y = 7 8;

або 8y + 7 = 0; 8y = −7; y = −7 8

Відповідь: 7 8; − 7 8

3) a6 − 9m4 = (a3)2 − (3m2)2 = (a3 − 3m2)(a3 + 3m2);

4) 100a6 − 25x8 = (10a3 − 5x4)(10a3 + 5x4);

5) 0,49 – m4p12 = (0,7)2 − (m2p6)2 = (0,7 – m2p6)(0,7 + m2p6);

6) 36x2c14 − 0,16d4 = (6xc7)2 − (0,4d2)2 = (6xc7 − 0,4d2)(6xc7 + 0,4d2);

7) 25 49 a8 − 36 49 b6c2 = (5 7a4)2 − (6 7 b3c)2 = (5 7 a4 − 6 7 b3c)(5 7 a4 + 6 7 b3c);

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

8) −0,01m2 + 0,81x6y8 = (0,9x3y4)2 − (0,1m)2 = (0,9x3y4 − 0,1m)(0,9x3y4 + 0,1m);

9) 17 9 t20a24 – 111 25 p16q18 = 16 9 t20a24 − 36 25p16q18 = (4 3 t10a12)2 − (6 5p8q9)2 = = (4 3 t10a12 − 6 5p8q9)( 4 3 t10a12 + 6 5p8q9).

35.14. Розкладіть на множники:

1) a8 − 16m6 = (a4 − 4m3)(a4 + 4m3);

2) 36c6 − 49a10 = (6c3 − 7a5)(6c8 + 7a5); 3) 0,25 − m12a2 = (0,5)2 − (m6a)2 = (0,5 − m6a)(0,5 + m6a);

4) −121p8c4 + 4a2 = (2a)2 − (11p4c2)2 = (2a − 11p4c2)(2a + 11p4c2);

5) 25 36 a2b4 + 36 49 c6 = 36 49 c6 − 25 36 a2b4 = (6 7c3)2 − (5 6 ab2)2 = (6 7 c3 − 5 6 ab2)(6 7 + 5 6 ab2);

6) 21 4 a2b8 − 1 9 16p6c18 = 9 4 a2b8 − 25 16p6c18 = (3 2 ab4)2 − (5 4p3c9)2 = (3 2 ab4 −

1)

1) (x + 2)2 − 1 = x2 + 4x + 4 − 1 = x2 + 4x + 3;

2) 4 − (y + 3)2 = 4 – y2 − 6y − 9 – y2 − 6y − 5;

3) (4m − 5)2 − 16 = 16m2 − 40m + 25 − 16 = 16m2 − 40m + 9; 4) 6,25 − (a − 3,5)2 = 6,25 − (a2 − 7a + 12,25) = = 6,25 – a2 + 7a − 12,25 = − 6 – a2 + 7a;

5) (2x − 5)2 − 49 = 4x2 − 20x + 25 − 49 = 4x2 − 20x − 24;

6) 1 − (2x + 1)2 = 1 − (4x2 + 4x + 1) = 1 − 4x2 – 4x – 1 = − 4x2 − 4x.

35.17. Розкладіть на множники:

1) 16x2 − (1 + 3x)2 = (4x − (1 + 3x)) · (4x + (1 + 3x)) = (4x − 1 − 3x)(4x + 1 + 3x) = = (x − 1)(2x + 1);

2) (3y − 5)2 − 16y2 = (3y − 5 − 4y)(3y + 5 + 4y) = (−5 − y)(7y − 5);

3) 49m2 − (a + 3m)2 = (7m − (a + 3m)) · (7m + (a + 3m)) = (4m − a)(10m + a);

4) (5a − 2b)2 − 25a2 = (5a − 2b – 5a)(5a − 2b + 5a) = −2b(10a − 2b).

35.18. Розкладіть на множники:

1) (p + 2)2 − 9 = (p + 2 − 3)(p + 2 + 3) = (p − 1)(p + 5);

2) 16 − (m − 3)2 = (4 − (m − 3))(4 + (m − 3)) = (7 − m)(1 + m);

3) (3x − 2)2 − 36 = (3x − 2 − 6)(3x − 2 + 6) = (3x − 8)(3x + 4);

4) x2 − (2x − 1)2 = (x − (2x − 1))(x + 2x − 1) = (−x + 1)(3x − 1);

5) (5a − 3b)2 − 9b2 = (5a − 3b − 3b)(5a − 3b + 3b) = (5a − 6b) · 5a;

6) (3x + 4y)2 − 100y2 = (3x + 4y − 10y)(3x + 4y + 10y) = (3x − 6y)(3x + 14y).

35.19. Знайдіть корені рівняння:

1) (x − 1)2 − 25 = 0; (x − 1 − 5)(x − 1 + 5) = 0; x − 6 = 0; x = 6 або x + 4 = 0; x = −4.

Відповідь: 6; −4.

2) 49 − (2x + 5)2 = 0; (7 − (2x + 5))(7 + (2x + 5)) = 0; (2 − 2x)(12 + 2x) = 0; 2 − 2x = 0; −2x = −2; x = 1 або 12 + 2x = 0; 2x = −12; x = −6.

Відповідь: 1; −6.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (5x + 3)2 = 64; (5x + 3)2 − 64 = 0; (5x + 3 − 8)(5x + 3 + 8) = 0; (5x − 5)(5x + 11) = 0; 5x − 5 = 0; 5x = 5; x = 1 або

5x + 11 = 0; 5x = −11; x = −11 5 .

Відповідь: 1; −11 5 .

35.20. Розв’яжіть рівняння:

1) (x + 2)2 − 36 = 0; (x + 2 − 6)(x + 2 + 6) = 0; (x − 4)(x + 8) = 0; x − 4 = 0; x = 4 або x + 8 = 0; x = −8.

Відповідь: 4; −8.

3) (2x + 7)2 = 49; (2x + 7)2 − 49 = 0; (2x + 7 − 7)(2x + 7 + 7) = 0;

2x(2x + 14) = 0;

2x = 0; x = 0 або

2x + 14 = 0; 2x = −14; x = −7.

Відповідь: 0; −7.

4) (0,1x − 0,5)2 = 0,36; (0,1x − 0,5 − 0,6)(0,1x − 0,5 + 0,6) = 0; (0,1x − 1,1)(0,1x + 0,1) = 0; 0,1x − 1,1 = 0; 0,1x = 1,1; x = 11 або 0,1x + 0,1 = 0; 0,1x = −0,1; x = −1.

Відповідь: 11; −1.

2) (5x − 4)2 − 81 = 0; (5x − 4 − 9)(5x − 4 + 9) = 0; (5x − 13)(5x + 5) = 0; 5x − 13 = 0; 5x = 13; x = 13 5 ;

або 5x + 5 = 0; 5x = −5; x = −1.

Відповідь: 13 5 ; −1.

4) (0,2x − 0,5)2 = 0,09; (0,2x − 0,5 − 0,3)(0,2x − 0,5 + 0,3) = 0; (0,2x − 0,8)(0,2x − 0,2) = 0; 0,2x = 0,8; x = 4 або 0,2x = 0,2; x = 1.

Відповідь: 4; 1.

35.21. Доведіть, що для будь-якого натурального

ділиться на 7.

(n + 7)2 − n2 = (n + 7 − n)(n + 7 + n) = 7 · (2n + 7) ділиться на 7.

35.22. Подайте вираз у вигляді добутку:

виразу (n + 7)2 − n2

1) a6 − (b − 5a3)2 = (a3 − (b − 5a3))(a3 + (b − 5a3)) = (a3 − b+5a3)(a2+b−5a3) = (6a3 − b)(b − 4a3); 2) (−3m2 + 4p)2 − 9m4 = (−3m2 + 4p − 3m2)(−3m2 + 4p + 3m2) = (−6m2 + 4p) · 4p; 3) (7x + 2y)2 − (2x − 7y)2 = (7x + 2y − 2x + 7y)(7x + 2y + 2x − 7y) = (5x + 9y)(9x − 5y);

4) (a + b + c)2 − (a + b − c)2 = (a + b + c + a + b − c)(a + b + c − a − b + c) = (2a + 2b) · 2c;

5) a2(a + 1)2 – c8 = (a (a + 1) − c4) (a (a + 1) + c4) = (a2 + a − c4)(a2 + a + c4);

6) (5a − b − 1)2 − (5a + b − 1)2 = (5a − b − 1 − 5a − b + 1)(5a − b − 1+5a+b−1) = −2b(10a − 2).

35.23. Розкладіть на множники:

1) (5a2 − 3b)2 − 16a4 = (5a2 − 3b − 4a2)(5a2 − 3b + 4a2) = (a2 − 3b)(9a2 − 3b); 2) m8 − (3c − 2m4)2 = (m4 − 3c + 2m4)(m4 + 3c − 2m4) = (m4 − 3c)(3c − m4);

3) (2a + 3b)2 − (4a − 5b)2 = ((2a + 3b) − (4a − 5b))((2a + 3b) + (4a − 5b)) = = (2a + 3b − 4a + 5b)(2a + 3b + 4a − 5b) = (8b − 2a)(6a − 2b); 4) (x − y + t)2 − (x − y − t)2 = ((x − y + t) − (x − y − t))((x − y + t) + (x − y − t)) = = (x – y + t – x + y + t)(x – y + t + x – y – t) = 2t(2x − 2y).

35.24. Розв’яжіть рівняння: 1) (3x − 4)2 − (5x − 8)2 = 0; ((3x − 4) − (5x − 8))((3x − 4) + (5x − 8)) = 0; (3x − 4 − 5x + 8)(3x − 4 + 5x − 8) = 0; (4 − 2x)(8x − 12) = 0; 4 − 2x = 0; −2x = −4; x = 2 або 8x − 12 = 0; 8x = 12; x = 12 8 ; x = 1,5.

Відповідь: 2; 1,5.

2) x4 − 81 = 0; (x2)2 − 92 = 0; (x2 − 9)(x2 + 9) = 0; (x − 3)(x + 3)(x2 + 9) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3; x2 + 9 > 0.

Відповідь: 3; −3.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) 16x4 − 1 = 0; (4x2 − 1)(4x2 + 1) = 0; (2x − 1)(2x + 1)(4x2 + 1) = 0; 2x − 1 = 0; x = 1 2 або 2x + 1 = 0; x = −1 2; 4x2 + 1 > 0.

Відповідь: 1 2; − 1 2 .

35.25.

більше число, дорівнює сумі цих чисел. n, n + 1 два послідовні числа; (n + 1)2 − n2 різниця квадратів двох

4) 81x2 + 4 = 0; 81x2 + 4 > 0; рівняння не

Відповідь: Не має коренів.

чисел; n + (n + 1) сума цих чисел. (n + 1)2 − n2 = n2 + 2n + 1 − n2 = 2n + 1; n + (n + 1) = 2n + 1, що й треба довести.

35.26. Спростіть вираз: 1) (t + 1)(t − 7) − (t − 1)(t + 7) = t2 − 7t + t − 7 − (t2 + 7t − t − 7) = = t2 − 7t + t − 7 − t2 − 7t + t + 7 = −12t. 2) (a3 − 2b)(a2 + 2b) − (a2 − 2b)(a3 + 2b) = a6 + 2ba3

2) = = a6 + 2a3b – 2a2b – 4b2 – a6 – 2a2b + 2a3b + 4b2 = 4a3b – 4a2b.

35.27. Обчисліть, використовуючи формулу

1) (100 − 1)3 = 100000 − 3 · 10000 + 3 · 100 − 1 = 970299; 2) 413 = (40 + 1)3 = 403 + 3 · 402 · 1 + 3 · 40 · 1 + 13 = 68921; 3) 293 = (30 − 1)3 = 303 − 3 · 302 · 1 − 3 · 30 · 1 − 13 = 24389; 4) 0,993 = (1 − 0,1)3 = 1 − 3 · 1 · 0,1 + 3 · 1 · 0,12 − 0,01 = 0,970299.

35.28. Корабель пливе

1) 11 вузлів = 11 ∙ 1,852 = 20,372 км/год

3) 60 : 3 = 20 (км) – подолає

35.29. Подайте у

1) 1 = 13; 2) 27 = 33; 3) 64 = 43; 4) 216 = 63 . 35.30. Подайте

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

36.2. (Усно.) Які з рівностей є тотожностями:

1) c3 + d3 = (c2 + d2)(c + d) не є тотожність; 2) x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2) тотожність; 3) m3 + n3 = (m + n)(m2 − mn + n2) тотожність; 4) p3 − t3 = (p − t)(p2 + 2pt + t2) не є тотожність.

36.3. Серед рівностей виберіть ті, що є тотожностями:

1) m3 − p3 = (m2 − p2)(m − p), ні; 2) x3 + a3 = (x + a)(x2 – xa + a2) тотожність; 3) c3 – d3 = (c – d)(c2 + cd + d2) тотожність; 4) x3 + y3 = (x + y)(x2 − 2xy + y2)ні.

36.4. Розкладіть на множники: 1) m3 − p3 = (m − p)(m2 + mp + p2); 2) a3 + d3 = (a + d)(a2 − ad + d3);

3) 8 − a3 = (2 − a)(4 + 2a + a2); 4) q3 + 27 = (q + 3)(q2 − 3q + 9);

5) n3 − 64 = (n − 4)(n2 + 4n + 16); 6) 0,001 + t3 = (0,1 + t)(0,01 − 0,1t + t2).

36.5. Подайте вираз у

1) 8a3 + 1 = (2a + 1)(4a2 − 2a + 1);

2) 27 − 1 27 c3 = (3 − 1 3c)(9 + c + 1 9c2);

3) y3 + 64x3 = (y + 4x)(y2 − 4xy + 16x2);

4) 0,125b3 − 64y3 = (0,5b − 4y)(0,25b2 + 2by + 16y2);

5) 1 + 1000m3 = (1 + 10m)(1 − 10m + 100m2);

6) 1 125 a3 − 1 216 b3 = (1 3 a − 1 6b)( 1 9 a2 + 1 18 ab + 1 36 b2).

36.6. Розкладіть на множники:

1) 1 27 + b3 = (1 3 + b)( 1 9 − 1 3 b + b2);

2) 1 8 x3 − 8 = (1 2x − 2)( 1 4 x2 + x + 4);

3) 1 + 125p3 = (1 + 5p)(1 − 5p + 25p2);

4) 0,064m3 − 1 1000 n3 = (0,4m − 1 10n)(0,16m2 + 1 25 mn + 1 100n2);

5) 27 8 a3 + 8 27 b3 = (3 2 a + 2 3b)( 9 4 a2 − ab + 4 9 b2);

6) 216p3 − 1 216q3 = (6p − 1 6q)(36p2 + pq + 1 36q2).

36.7. Подайте у вигляді многочлена:

1) (x − y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3; 2) (a + 3)(a2 − 3a + 9) = a2 + 27; 3) (1 − d + d2)(1 + d) = 1 + d3; 4) (m − 2)(m2 + 2m + 4) = m3 − 8.

36.8. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (m + n)(m2 − mn + n2) = m3 + n3; 2) (m − 1)(m2 + m + 1) = m3 − 1; 3) (b + 4)(b2 − 4b + 16) = b3 + 64; 4) (25 + 5q + q2)(5 − q) = 125 − q3 .

36.9. Знайдіть значення виразу: 1) (4p − 1)(16p2 + 4p + 1) = 64p3 − 1.

Якщо p = −0,25, то 64 · (−0,25)3 − 1 = 64 · (−1 4)3 − 1 = 64 · (− 1 64) − 1 = −1 − 1 = −2. 2) (2a + b)(4a2 − 2ab + b2) = 8a3 + b3

Якщо a = −1 2, b = 2, то 8 · (−1 2)3 + 23 = 8 · (−1 8) + 8 = −1 + 8 = 7.

36.10. Знайдіть значення виразу: 1) (3x + 1)(9x2 − 3x + 1) = 27x3 + 1.

Якщо x = 2 3, то 27(2 3)3 + 1 = 27 8 27 = 8 + 1 = 9. 2) (x − 2y)(x2 + 2xy + 4y2) = x3 − 8y3 .

Якщо x = −2, y = 0,5, то (−2)3 − 8 · 0,53 = −8 − 8 · 0,125 = −8 − 1 = −9.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) a3 – b6 = a3 – (b2)3 = (a – b2)(a2 + ab2 + b4);

2) t12 + c9 = (t4)3 + (c3)3 = (t4 + c3)(t8 − t4c3 + c6);

3) p18 + m24 = (p6)3 + (m8)3 = (p6 + m8)(p12 − p6m8 + m16);

4) −c3 + m15 = m15 − c3 = (m5)3 − c3 = (m5 – c3)(m10 + m5c3 + c6);

5) 1 8 − a24 = −(1 8 + a24) = − ((1 2)3 + (a8)3) = −(1 2 + a8)( 1 8 − 1 2 a8 + a16);

6) −c99 – d60 = −(c99 + d60) = −((c33)3 + (d20)3) = −(c33 + d20)(c60 − c33d20 + d40);

7) (x3y3 + 1) = (xy + 1)(x2y2 − xy + 1);

8) 27 − a3b9 = 33 – (ab3)3 = (3 – ab3)(9 + 3ab3 + a3b9);

9) x6y12 + m27 = (x2y4)3 + (m3)3 = (x2y4 + m3)(x4y8 − x2y4m3 + m6);

10) 64m6p21 − 125x3 = (4m2p7)3 − 5x = (4m2p7 − 5x)(16m4p14 + 20m2p7x + 25x2);

11) 1 27 c24m18 + 27t9 = (1 3 c8m6)3 + (3t3)3 = (1 3 c8m6 + 3t3)( 1 9 c16m12 + 9t6 – c8m6t3);

12) 343a18b33 − 0,001c36 = (7a6b11)3 − (0,1c12)3 = = (7a6b11 − 0,1c12)(49a12b22 + 0,7a6b11c12 + 0,01c24).

36.12. Запишіть вираз у

1) x9 − y6 = (x3)3 − (y2)3 = (x3 – y2)(x6 + x3y2 + y4);

2) −p12 − 27 = –(p12 + 27) = − ((p4)3 + 33) = –(p4 + 3)(p8 − 3p4 + 9) = (p4 + 3)(–p8 + 3p4 – 9);

3) −a9b6 + 1 = 1 − (a3b2)3 = (1 – a3b2)(1 + a3b2 + a6b4);

4) 216p15 + 0,008t18 = (6p5)3 + (0,2t6)3 = (6p5 + 0,2t6)(36p10 – 1,2p5t6 + 0,04t12);

5) 64m21с3 − p30 = (4m7c)3 − (p10)3 = (4m7c − p10)(16m14c2 + 4m7cp10 + p20);

6) 512t24p27 − 729x33 = (8t8p9)3 − (9a11)3 = (8t8p9 − 9a11)(64t16p18 + 72t8p9a11 + 81a22).

36.13. Виконайте множення:

1) (b3 − d2)(b6 + b3d2 + d4) = b9 − d6;

2) (c3 + 2p)(c6 − 2pc3 + 4p2) = c6 + 8p3;

3) (9x2 + 3xy + y2)(3x − y) = 27x3 − y3; 4) (4c + 3d)(16c2 − 12cd + 9d2) = 64c3 + 27d3; 5) (a8 − 4a4 + 16)(a4 + 4) = a12 + 64; 6) (5m2 − 6p3)(25m4 + 30m2p3 + 36p6) = 125m6 − 216p9 .

36.14. Подайте у вигляді многочлена:

1) (a5 − m2)(a10 + a5m2 + m4) = a15 − m6; 2) (25a2 − 5ab + b2)(5a + b) = 125a3 + b3; 3) (2x − 7y2)(4x2 − 14xy2 + 49y4) = 8x3 − 343y6; 4) (3p2 + 4c3)(9p4 − 12p2c3 + 16c6) = 27p6 + 64c9 .

36.15. Виконайте дії:

1) (a + 2)(a2 − 2a + 4) − a(a2 − 5) = a3 + 8 − a3 + 5a = 5a + 8; 2) (b − 3)(b2 + 3b + 9) − b(b − 3)(b + 3) = b3 − 27 − b(b2 − 9) = b3 − 27 − b3 + 9b = 9b − 27; 3) (x + 4)(x2 − 4x + 16) − (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 + 64 − (x3 − 1) = x3 + 64 − x3 + 1 = 65; 4) (2b2 − 1)(4b4 + 2b2 + 1) − (2b3 + 1)2 = 8b6 − 1 − (4b6 + 4b3 + 1) = 8b6 − 1 − 4b6 − 4b3 − 1 = = −4b6 − 4b3 − 2.

36.16. Спростіть вираз: 1) (a − 4)(a2 + 4a + 16) − a(a − 2)(a + 2) = a8 − 64 – a(a2 – 4) = a3 − 64 – a3 + 4a = 4a − 64; 2) (x2 + 3)(x4 − 3x2 + 9) – (x2 – 2)(x4 − 2x2 + 4) = x6 + 27 – x6 + 8 = 35;

3) b(b − 1)2 − (b – 5)(b2 + 5b + 25) = b(b2 – 2b + 1) – (b3 – 125) = b3 − 2b2 + b3 +125 = = 125 + b – 2b2;

4) (a − 1)(a2 + a + 1)(a + 1)(a2 − a + 1) = (a3 − 1)(a3 + 1) = a6 − 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

36.17. Знайдіть значення виразу:

1) (2a + 1)(4a2 − 2a + 1) − 7a3 = 8a3 + 1 − 7a3 = a3 + 1.

Якщо a = −2, то

(−2)3 + 1 = −8 + 1 = −7.

2) (x2 + 5xy + 25y2)(x − 5y) + 25y3 − x3 = x3 − 125y3 + 25y3 − x3 = −100y3

Якщо x = −2015, то

−100y3 = −100 × (0,1)3 = −100 × 0,001 = −0,1.

36.18. Розв’яжіть рівняння:

1) (x − 4)(x2 + 4x + 16) = x3 − 8x; x3 − 64 = x3 − 8x; 8x = 64; x = 64 : 8; x = 8.

Відповідь: 8.

2) (x3 + 1)(x6 – x3 + 1) = x9 − 5x; x9 + 1 = x9 − 5x; 5x = −1; x = −1 : 5; x = −1 5 .

Відповідь: 1 5 .

3) (9x2 − 6x + 4)(3x + 2) = 3x(3x + 4)(3x − 4) + 32; 27x3 + 8 = 3x(9x2 − 16) + 32; 27x3 + 8 = 27x3 − 48x + 32; 48x = 32 − 8;

48x = 24; x = 24 48; x = 1 2 .

Відповідь: 1 2 .

4) 8(1 2x − 2)( 1 4 x2 + x + 4) − x(x − 3)2 = 6x2 − 46;

8(1 8 x3 − 8) − x(x2 − 6x + 9) = 6x2 − 46; x3 − 64 − x3 + 6x2 − 9x = 6x2 − 46; −9x = 64 − 46; −9x = 18; x = 18 : (−9); x = −2.

Відповідь: −2.

36.19. Розв’яжіть рівняння:

1) (x − 2)(x2 + 2x + 4) = 24x + x3; x3 − 8 = 24x + x3; −24x = 8; x = − 8 24; x = − 1 3 .

Відповідь: 1 3 .

36.20. Розкладіть на множники:

2) (2x + 1)(4x2 − 2x + 1) = 2x(2x − 3)(2x + 3) + 37; 8x3 + 1 = 2x(4x2 − 9) + 37; 8x3 + 1 = 8x3 − 18x + 37; 18x = 37 − 1; 18x = 36; x = 2.

Відповідь: 2.

1) (a + 3)3 − a3 = (a + 3 − a)((a + 3)2 + a(a + 3) + a2) = 3 · (a2 + 6a + 9 + a2 + 3a + a2) = = 3 · (3a2 + 9a + 9) = 9(a2 + 3a + 3);

2) (x − 4)3 + 8 = (x − 4 + 2)(x − 4)2 − 2(x − 4) + 4 = = (x − 2)(x2 − 8x + 16 − 2x + 8 + 4) = (x − 2)(x2 − 10x + 28).

3) 27p3 − (p + 1)3 = (3p − p − 1)(9p2 + 3p(p + 1)) + (p + 1)2) = = (2p − 1)(9p2 + 3p2 + 3p + p2 + 2p + 1) = (2p − 1)(13p2 + 5p + 1);

4) 64x3 + (x − 1)3 = (4x + x − 1)(16x2 − 4x(x − 1) + (x − 1)2) = = (5x − 1)(16x2 − 4x2 + 4x + x2 − 2x + 1) = (5x − 1)(13x2 + 2x + 1).

36.21. Розкладіть на множники:

1) (a + 1)3 + a3 = (a + 1 + a)(a2 + 2a + 1 + a2 + a + a2) = (2a + 1)(3a2 + 3a + 1);

2) (b – 2)3 − 8 = (b – 2 − 2)((b − 2)2 + 2(b – 2) + 4) = (b – 4)(b2 − 4b + 4 + 2b – 4 + 4) = = (b – 4)(b2 – 2b +4);

3) 125b3 − (b − 1)3 = (5b – (b – 1))(25b2 + 5b(b − 1) + (b − 1)2) =

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

= (5b −b + 1)(25b2 + 5b2 – 5b + b2 – 2b + 1) = (4b + 1)(31b2 – 7b + 1); 4) 64a3 + (a + 2)3 = (4a + a +2)(16a2 – 4a(a+2) + (a + 2)2) = = (5a + 2)(16a2 – 4a2 – 8a + a2 + 4a + 4) = (5a + 2)(13a2 – 4a + 4).

36.22. Доведіть, що дві

цифри значення виразу 4153 + 853 є нулями. 4153 + 853 = (415 + 85)(4152 − 415 · 85 + 852) = 500 · (4152 − 415 · 85 + 852). Останні дві

36.23. Чи ділиться число 1153 − 153 на 100? 1153 − 153 = (115 − 15)(1152 + 115 · 15 + 152) = 100(115

Рівняння:

90 − 2x = 5(30 − x);

90 − 2x = 150 − 5x;

−2x + 5x = 150 − 90;

3x = 60; x = 60 : 3; x = 20.

30 − 20 = 10 зошитів

Відповідь: 10 і 50. 36.27

1 2(���� 2 − 1 2) + 1 2 = ���� 4 − 1 4 + 1 2 = ���� 4 + 1 4 (курей):

Після цього

2 − 1 2 − ���� 4 − 1 4 = ���� 4 –3 4 (курей). Третій покупець купив: 1 2(���� 4 − 3 4) + 1 2 = ���� 8 − 3 8 + 1 2 = ���� 8 + 1 8 (курей):

Рівняння:

8 1; x = 7.

Відповідь: 7 курей. §37. Застосування кількох способів розкладання многочленів на множники

37.1. (Усно.) З формул виберіть ті, що є тотожностями:

1) (a + b)2 = a2 + ab + b2 ні;

2) a2 − b2 = (a − b)(a + b) тотожність;

3) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 тотожність;

4) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) тотожність;

5) a3 − b3 = (a − b)(a2 + 2ab + b2) ні; 6) a2 − b2 = (a − b)2 ні.

37.2. Які з формул є тотожностями:

1) (m − n)2 = m2 − mn + n2 ні; 2) x3 + y3 = (x + y)(x2 − 2xy + y2) ні; 3) p2 − q2 = (p − q)(p + q) тотожність;

4) (c + d)2 = c2 + 2cd + d2 тотожність;

5) m3 − n3 = (m − n)(m2 + mn + n2) тотожність; 6) a2 − b2 = (a + b)(a + b) ні.

37.3. Закінчіть розкладання на множники:

1) xa2 − 9x = x(a2 − 9) = x(a2 − 32) = x(a − 3)(a + 3);

2) bm2 − 2mb + b = b(m2 − 2m + 1) = b(m − 1)2 .

37.4. (Усно.) Розкладіть на множники:

1) ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y);

2) mp2 − m = m(p2 − 1) = m(p − 1)(p + 1);

3) b3 − b = b(b2 − 1) = b(b − 1)(b + 1).

37.5. Розкладіть на множники:

1) 5a2 − 5b2 = 5(a2 − b2) = 5(a − b)(a + b);

2) ap2 − aq2 = a(p2 − q2) = a(p − q)(p + q);

3) 2xm2 − 2xn2 = 2x(m2 − n2) = 2x(m − n)(m + n);

4) 7b2 − 7 = 7(b2 − 1) = 7(b − 1)(b + 1);

5) 16x2 − 4 = 4(4x2 − 1) = 4(2x − 1)(2x + 1);

6) 75 − 27c2 = 3(25 − 9c2) = 3(5 − 3c)(5 + 3c);

7) 5mk2 − 20m = 5m(k2 − 4) = 5m(k − 2)(k + 2);

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

8) 63ad2 − 7a = 7a(9d2 − 1) = 7a(3d − 1)(3d + 1);

9) 125px2 − 5py2 = 5p(25x2 − y2) = 5p(5x − y)(5x + y).

37.6. Подайте у вигляді добутку:

1) m3 − m = m(m2 − 1) = m(m − 1)(m + 1);

2) p2 − p4 = p2(1 − p2) = p2(1 − p)(1 + p);

3) 7a − 7a3 = 7a(1 − a2) = 7a(1 − a)(1 + a);

4) 9b5 − 9b3 = 9b3(b2 − 1) = 9b3(b − 1)(b + 1);

5) 81c3 – c5 = c3(81 – c2) = c3(9 − c)(9 + c);

6) 3a5 − 300a7 = 3a5(1 − 100a2) = 3a5(1 − 10a)(1 + 10a).

37.7. Розкладіть на множники:

1) ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y);

2) ma2 − 4mb2 = m(a2 − 4b2) = m(a − 2b)(a + 2b);

3) 28 − 7m2 = 7(4 − m2) = 7(2 − m)(2 + m);

4) p5 − p3 = p3(p2 − 1) = p3(p − 1)(p + 1);

5) b − 4b3 = b(1 – 4b2) = b(1 – 2b)(1 + 2b);

6) a5 – a3c2 = a3(a2 – c2) = a3(a – c)(a + c);

7) 15d − 15d3 = 15d(1 − d2) = 15d(1 − d)(1 + d);

8) 625b3 − b5 = b3(625 − b2) = b3(25 − b)(25 + b);

9) 500a5 − 45a3 = 5a3(100a2 − 9) = 5a3(10a − 3)(10a + 3).

37.8. Розв’яжіть рівняння:

1) 3x2 − 27 = 0;

3(x2 − 9) = 0;

3(x − 3)(x + 3) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3.

Відповідь: 3; −3.

37.9. Знайдіть корені рівняння:

1) 8 − 2x2 = 0; 2(4 − x2) = 0;

2(2 − x)(2 + x) = 0;

2 − x = 0; x = 2; або

2 + x = 0; x = −2.

Відповідь: 2; −2.

37.10. Розкладіть на множники:

2) 5 − 20x2 = 0; 5(1 − 4x2) = 0; 5(1 − 2x)(1 + 2x) = 0; 1 − 2x = 0; −2x = −1; x = 1 2;

або 1 + 2x = 0; 2x = −1; x = −1 2 .

Відповідь: 1 2; − 1 2 .

2) 75x2 − 3 = 0; 3(25x2 − 1) = 0;

3(5x − 1)(5x + 1) = 0;

5x − 1 = 0; 5x = 1; x = 1 5; або

5x + 1 = 0; 5x = −1; x = −1 5 .

Відповідь: 1 5; − 1 5

1) 3a2 + 6ab + 3b2 = 3(a2 + 2ab + b2) = 3(a + b)2; 2) −2m2 + 4mn − 2n2 = −2(m2 − 2mn + n2) = −2(m − n)2;

3) −a2 − 4a − 4 = −(a2 + 4a + 4) = −(a + 2)2;

4) 6a2 + 24ab + 24b2 = 6(a2 + 4ab + 4b2) = 6(a + 2b)2;

5) 2am2 + 4am + 2a = 2a(m2 + 4m + 1) = 2a(m + 1)2;

6) 8a4 − 8a3 + 2a2 = 2a2(4a2 − 4a + 1) = 2a2(2a − 1)2 .

37.11. Подайте

1) −4a2 + 8ab − 4b2 = −4(a2 − 2ab + b2) = −4(a − b)2;

2) −25by2 − 10by − b = −b(25y2 + 10y + 1) = −b(5y + 1)2;

3) a5 + 6a4m + 9a3m2 = a3(a2 + 6am + 9m2) = a3(a + 3m)2;

4) 6by2 + 36by3 + 54by4 = 6by2(1 + 6y + 9y2) = 6by2(1 + 3y)2 .

37.12. Знайдіть значення виразу:

1) 3m2 − 3n2 = 3(m − n)(m + n).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Якщо m = 41, n = 59, то

3(m − n)(m + n) = 3(41 − 59)(41 + 59) = 3(−18) · 100 = −5400;

2) 2x2 + 4xy + 2y2 = 2(x2 + 2xy + y2) = 2(x + y)2.

Якщо x = 29, y = −28, то

2(x + y)2 = 2(29 − 28)2 = 2 · 1 = 2.

37.13. Знайдіть значення виразу:

1) 5x2 − 5y2 = 5(x − y)(x + y).

Якщо x = 49, y = 51, то

5(x − y)(x + y) = 5(49 − 51)(49 + 51) = 5(−2)(100) = −1000.

2) 3a2 − 6ab + 3b2 = 3(a2 − 2ab + b2) = 3(a − b)2 .

Якщо a = 102, b = 101, то

3(a − b)2 = 3(102 − 101)2 = 3 · 1 = 3.

37.14. Подайте у вигляді добутку:

1) 3a3 − 3b3 = 3(a3 − b3) = 3(a − b)(a2 + ab + b2);

2) 7x3 + 7y3 = 7(x3 + y3) = 7(x + y)(x2 − xy + y2).

3) −pm3 − pn3 = −p(m3 + n3) = −p(m + n)(m2 − mn + n2);

4) 16a3 − 2 = 2(8a3 − 1) = 2(2a − 1)(4a2 + 2a + 1);

5) 125m + m4 = m(125 + m3) = m(5 + m)(25 − 5m + m2);

6) a7 − a4 = a4(a3 − 1) = a4(a − 1)(a2 + a + 1).

37.15. Розкладіть на множники:

1) bx3 − by3 = b(x3 − y3) = b(x − y)(x2 + xy + y2);

2) −2a3 − 2b3 = −2(a3 + b3) = −2(a + b)(a2 − ab + b2);

3) 8a – a4 = a(8 – a3) = a(2 − a)(4 + 2a + a2).

37.16. Розкладіть на множники:

1) a4 − 81 = (a2)2 − 92 = (a2 − 9)(a2 + 9) = (a − 3)(a + 3)(a2 + 9);

2) 16 − c4 = 42 – (c2)2 = (4 − c2)(4 + c2) = (2 – c)(2 + c)(4 + c2); 3) x8 − 1 = (x4)2 – 1 = (x4 − 1)(x4 + 1) = (x2 − 1)(x2 + 1) (x4 + 1) = = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1); 4) a4 – b8 = (a2)2 − (b4)2 = (a2 – b4)(a2 + b4) = (a – b2)(a + b2)(a2 + b4).

37.17. Доведіть: a8 – b8 = (a4)2 – (b4)2 = (a4 – b4)(a4 + b4) = (a2 – b2)(a2 + b2)(a4 + b4) = = (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4).

37.18. Розв’яжіть рівняння: 1) x3 − x = 0;

x(x2 − 1) = 0;

x(x − 1)(x + 1) = 0; x = 0 або x − 1 = 0; x = 1 або

x + 1 = 0; x = −1.

Відповідь: 0; 1; −1.

3) 64x3 + x = 0;

x(64x2 + 1) = 0; x = 0; 64x2 + 1 > 0.

Відповідь: 0.

2) 112y − 7y3 = 0;

7y(16 − y2) = 0;

7y(4 − y)(4 + y) = 0;

7y = 0; y = 0 або

4 − y = 0; y = 4 або

4 + y = 0; y = −4.

Відповідь: 0; 4; −4.

4) y3 + 4y2 + 4y = 0;

y(y2 + 4y + 4) = 0;

y(y + 2)2 = 0; y = 0

або (y + 2)2 = 0; y + 2 = 0; y = −2.

Відповідь: 0; −2.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

37.19. Розв’яжіть рівняння:

1) y − y3 = 0;

y(1 − y2) = 0;

y(1 − y)(1 + y) = 0; (y = 0) або

1 + y = 0; y = 1 або

1 + y = 0; y = −1.

Відповідь:0; 1; −1.

3) 16y3 + y = 0; y(16y2 + 1) = 0; y = 0 або 16y2 + 1 > 0.

Відповідь: 0.

37.20. Розкладіть на множники:

2) 5x3 − 180x = 0; 5x(x2 − 36) = 0; 5x(x − 6)(x + 6) = 0; x = 0 або x − 6 = 0; x = 6 або x + 6 = 0; x = −6.

Відповідь: 0; 6; −6.

4) x3 − 2x2 + x = 0; x(x2 − 2x + 1) = 0; x(x − 1)2 = 0; (x = 0 або x − 1 = 0; x = 1.

Відповідь: 0; 1.

1) 7ab + 21a − 7b − 21 = 7a(b + 3) − 7(b + 3) = (b + 3)(7a − 7) = 7(b + 3)(a − 1);

2) 6mn + 60 – 30m − 12n = (6mn – 30m) + (60 − 12n) = 6m(n − 5) + 12(5 − n) = = (n − 5)(6m − 12) = 6(n − 5)(m − 2);

3) −abc − 3ac − 4ab − 12a = −(ac(b + 3) − 4a(b + 3)) = −a(b + 3)(c − 4);

4) a3 – ab – a2b + a2 = (a3 − a2b) + (a2 − ab) = a2(a − b) + a(a − b) = (a – b)(a2 + a) = = a(a – b)(a + 1).

37.21. Подайте вираз у

1) 90 + 3ab − 45a − 6b = (90 − 45a) + (3ab − 6b) = 45(2 − a) + 3b(a − 2) = = (2 − a)(45 − 3b) = (2 − a) · 3(15 − b);

2) −3mn − 9m − 18n − 54 = − 3(mn + 3m + 6n + 18) = −3(m(n + 3) + 6(n + 3)) = = −3(n + 3)(m + 6);

3) a4x + a4 + a3x + a3 = a4(x + 1) + a3(x + 1) = (x + 1)(a4 + a3) = a3(x + 1)(a + 1);

4) p3a2 + pa2 − 3ap3 − 3ap = pa2(p2 + 1) − 3ap(p2 + 1) = (p2 + 1)(pa2 – 3ap) = (p2 + 1) · ap(a – 3).

37.22. Розкладіть на множники:

1) a2 + 2ab + b2 − 16 = (a + b)2 − 16 = (a + b − 4)(a + b + 4);

2) a2 − x2 − 2xy − y2 = a2 − (x2 + 2xy + y2) = a2 − (x + y)2 = (a + x + y)(a − x − y);

3) p2 − x2 + 10p + 25 = (p2 + 10p + 25) − x2 = (p + 5)2 − x2 = (p + 5 − x)(p + 5 + x);

4) p2 − x2 + 20x − 100 = p2 − (x2 − 20x + 100) = p2 − (x − 10)2 = (p + (x − 10))(p − (x − 10)) = = (p + x − 10)(p − x + 10).

37.23. Розкладіть на множники:

1) x2 + 2xy + y2 − 25 = (x + y)2 − 52 = (x + y + 5)(x + y – 5);

2) m2 − a2 + 2ab − b2 = m2 − (a2 − 2ab + b2) = m2 − (a − b)2 = (m − (a − b))(m + (a − b)) = = (m − a + b)(m + a − b).

3) m2 − a2 − 8m + 16 = (m2 − 8m + 16) − a2 = (m − 4)2 − a2 = (m − 4 − a)(m + 4 + a);

4) m2 − b2 − 8b − 16 = m2 − (b2 + 8b + 16) = m2 − (b + 4)2 = m2 − (b + 4)2 = = (m + b + 4)(m − b − 4).

37.24. Подайте вираз у вигляді

1) a2 − 81 + a − 9 = (a2 − 81) + (a − 9) = (a − 9)(a + 9) + (a − 9) = (a − 9)(a + 9 + 1) = = (a – 9)(a + 10);

2) m2 – a2 – (a + m) = (m − a)(m + a) + (a + m) = (a + m)(m − a + 1);

3) x2 − y2 – x + y = (x2 − y2) – (x − y) = (x − y)(x + y) – (x − y) = (x – y)(x + y –1);

4) x + x2 – y – y2 = (x − y)(x2 − y2) = (x − y) + (x − y)(x + y) = (x – y)(1 + x + y);

5) a − 3b + a2 − 9b2 = (a − 3b)(a2 − 9b2) = (a − 3b) + (a − 3b)(a + 3b) = (a − 3b)(1+ a + 3b);

6) 16m2 – 25n2 − 4m − 5n = (16m2 − 25n2) − (4m + 5n) = (4m – 5n)(4m + 5n) – (4m + 5n) = = (4m + 5n)(4m – 5n – 1).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

37.25. Розкладіть на множники:

1) a2 − b2 − (a − b) = (a − b)(a + b) − (a − b) = (a − b)(a + b − 1); 2) p2 − b − p − b2 = p2 − b2 − (b + p) = (p − b)(p + b) − (p + b) = (p + b)(p − b − 1); 3) 16x2 − 25y2 + 4x − 5y = (4x − 5y)(4x + 5y) + (4x − 5y) = (4x − 5y)(4x + 5y + 1); 4) 100m2 − 10m + 9n − 81n2 = (100m2 − 81n2) + (9n − 10m) = = (10m − 9n)(10m + 9n) − (10m − 9n) = (10m − 9n)(10m + 9n − 1).

37.26. Перетворіть вираз на добуток: 1) p2(m − 3) − 2p(m − 3) + (m − 3) = (m − 3)(p2 − 2p + 1) = (m − 3)(p − 1)2; 2) 1 − a2 − 4b(1 − a2) + 4b2(1 − a2) = (1 − a2)(1 − 4b + 4b2) = (1 − a2)(1 − 2b)2 = = (1 − a)(1 + a)(1 − 2b)2 .

37.27. Доведіть тотожність: c2(c − 2) − 10c(c − 2) + 25(c − 2) = (c − 2)(c2 − 10c + 25) = (c − 2)(c − 5)2 .

37.28. Подайте у вигляді добутку:

1) ab2 – b3 – a + b = b2(a − b) – (a − b) = (a − b)(b2 − 1) = (a − b)(b – 1)(b + 1);

2) ax2 – a3 + 7x2 – 7a2 = a(x2 – a2) + 7(x2 – a2) = (x2 – a2)(a + 7) = (x – a)(x + a)(a + 7);

3) p3 + p2q − 4p − 4q = p2(p + q) − 4(p + q) = (p + q)(p2 − 4) = (p + q)(p − 2)(p + 2);

4) a3 − 5m2 + 5a2 − am2 = (a3 + 5a2) + (−5m2 − am2) = a2(a + 5) − m2(a + 5) = = (a + 5)(a2 − m2) = (a + 5)(a − m)(a + m).

37.29. Розкладіть на множники:

1) m3 + n3 + m + n = (m3 + n3) + (m + n) = (m + n)(m2 − mn + n2) + (m + n) = = (m + n)(m2 − mn + n2 + 1);

2) a − b − (a3 − b3) = (a − b) − (a − b)(a2 + ab + b2) = (a − b)(1 − a2 − ab − b2);

3) a3 + 8 − a2 − 2a = (a3 + 8) − (a2 + 2a) = (a + 2)(a2 − 2a + 4) − a(a + 2) = = (a + 2)(a2 − 2a + 4 − a) = (a + 2)(a2 − 3a + 4); 4) 8p3 − 1 − 12p2 + 6p = (8p3 − 1) − (12p2 − 6p) = (2p − 1)(4p2 + 4p + 1) − 6p(2p − 1) = = (2p − 1)(4p2 + 4p + 1 − 6p) = (2p − 1)(4p2 − 2p + 1).

37.30. Подайте у вигляді добутку:

1) m3 + m2n − m − n = m2(m + n) − (m + n) = (m + n)(m2 − 1) = (m + n)(m − 1)(m + 1); 2) ba2 − 3a2 − 4b + 12 = a2(b − 3) − 4(b − 3) = (b − 3)(a2 − 4) = (b − 3)(a − 2)(a + 2);

3) a3 − b3 + a − b = (a − b)(a2 + ab + b2) + (a − b) = (a − b)(a2 + ab + b2 + 1); 4) (x3 + 1) + (−5x − 5) = (x + 1)(x2 − x + 1) − 5(x + 1) = (x + 1)(x2 − x + 1 − 5) = = (x + 1)(x2 − x − 4).

37.31. Розв’яжіть рівняння:

1) y3 − 5y2 − y + 5 = 0; y2(y − 5) − (y − 5) = 0; (y − 5)(y2 − 1) = 0; (y − 5)(y − 1)(y + 1) = 0; y − 5 = 0; y = 5 або y − 1 = 0; y = 1 або y + 1 = 0; y = −1.

Відповідь: 5; 1; −1.

2) x3 = 2x2 + 4x − 8;

x3 – 2x2 − 4x + 8 = 0; x2(x − 2) −4(x − 2) = 0; (x − 2)(x2 – 4) = 0; (x − 2)(x − 2)(x + 2) = 0; x − 2 = 0; x = 2 або x + 2 = 0; x = −2.

Відповідь: 2; −2. 37.32. Для якого значення x: 1) значення виразу x3 − x2 − x + 1 дорівнює

нулю;

x3 − x2 − x + 1 = 0;

x2(x − 1) − (x − 1) = 0; (x − 1)(x2 − 1) = 0; (x − 1)(x − 1)(x + 1) = 0; 2) значення виразів x3 − 9x і x2 − 9 між собою рівні?

x3 − 9x − x2 − 9 = 0;

x3 − 9x − x2 + 9 = 0; (x3 − x2) + (−9x + 9) = 0; x2(x − 1) − 9(x − 1) = 0;

x − 1 = 0; x = 1 або x + 1 = 0; x = −1.

Відповідь: 1; −1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

(x2 − 9)(x − 1) = 0; (x − 3)(x + 3)(x − 1) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3 або x − 1 = 0; x = 1.

Відповідь: 3; −3; 1.

37.33. Запишіть у вигляді добутку:

1) 9(a + b)2 − (a2 − 2ab + b2) = 9(a + b)2 − (a − b)2 = (3(a + b) − (a − b))(3(a + b) + (a − b)) = = (3a + 3b − a + b)(3a + 3b + a − b) = (2a + 4b)(4a + 2b) = 4(a + 2b)(2a + b). 2)25(3y − 2m)2 − 36(9y2 + 12my + 4m2) = (5(3y − 2m))2 − (6(3y + 2m))2 = = (5(3y − 2m) + 6(3y + 3m))(5(3y − 2m) − 6(3y + 2m)) = = (15y − 10m + 18y + 12m)(15y − 10m − 18y − 12m) = (33y + 2m)(−3y − 22m) = = −(33y + 2m)(3y + 22m).

37.34. Розкладіть на множники:

1) a3 + 8b3 + a2 − 2ab + 4b2 = (a + 2b)(a2 − 2ab + 4b2) + (a2 − 2ab + 4b2) = = (a2 − 2ab + 4b2)(a + 2b + 1); 2) m3 − 8n3 + m2 − 4mn + 4n2 = (m3 − 8n3) + (m2 − 4mn + 4n2) = = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2) + (m − 2n)2 = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2 + m − 2n) = = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2 + m − 2n).

37.35. Перетворіть многочлен на добуток многочленів:

1) a3 − b3 + a2 − 2ab + b2 = (a3 − b3) + (a2 − 2ab + b2) = (a − b)(a2 + ab + b2) + (a − b)2 = = (a − b)(a2 + ab + b2 + a − b); 2) c2 + 2cd + d2 − x2 − 2xy − y2 = (c2 + 2cd + d2) − (x2 + 2xy + y2) = (c + d)2 − (x + y)2 = = (c + d + x + y)(c + d − x − y).

37.36. Розкладіть тричлен на множники, виділивши попередню квадрат двочлена:

1) x2 − 2x − 3 = x2 − 2x + 1 −

= = (x − 1 − 2)(x − 1 + 2) = (x − 3)(x + 1);

2) x2 + 8x − 9 = x2 − 2 · 4x + 42 − 42 − 9 = (x − 4)2 −

= (x − 4)2 − 52 = = (x − 4 − 5)(x − 4 + 5) = (x − 9)(x + 1);

3)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

x(x2 − 4x + 4 + 4x) = 64((1 4x)3 − 13);

x(x2 + 4) = 64( 1 64 x3 − 1);

x3 + 4x = x3 − 64; 4x = −64; x = −64 : 4; x = −16.

Відповідь: −16.

37.40. Супермаркет

Відповідно

(141 – 12х) шт., а смартфонів (95 – 10х) шт. Рівняння:

141 – 12х = 3(95 –10х); 141 – 12х = 285 – 30х; –12х + 30х = 285 – 141; 18х = 144; х = 8.

Відповідь: через 8 годин. 37.41.

за рік?

1) 15000 ∙ 0,2 = 3000 (грн) –

2) 20000 ∙ 0,08 = 1600 (грн) – прибуток з

3) 60000 – 15000 – 20000 = 25000 (грн) –

4) 25000 ∙ 0,1 = 2500 (грн) – збиток з акцій «Гама»;

5) (3000 + 1600) – 2500 = 2100 (грн) –

37.42.

shkola.in.ua

«Гама»

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1. Якому многочлену тотожно дорівнює

(m − n)2? (m – n)2 = m2 – 2mn + n2.

Відповідь: Г).

2. Знайдіть добуток (a − x)(a + x): (а – х)(а + х) = а2 – х2 .

Відповідь: Б).

3. Подайте вираз x2 + 2xy + y2 у вигляді квадрата двочлена: x2 + 2ху + y2 = (х + у)2 .

Відповідь: Г).

4. Перетворіть вираз (5x − 1)2 на многочлен: (5х – 1)2 = 25x2 – 10x + 1.

Відповідь: В).

5. Розкладіть двочлен −16 + 9a2 на множники: –16 + 9а2 = 9а2 – 16 = (3а + 4)(3а – 4).

Відповідь: В).

6. Подайте вираз m3 + 64 у вигляді добутку: m3 + 64 = m3 + 43 = (m + 4)(m2 – 4m + 16).

Відповідь: А).

7. Розв’яжіть рівняння: x(x + 2) − (x − 3)2 = 7:

х(х + 2) – (х – 3)2 = 7; x2 + 2х – x2 + 6х – 9 = 7; 2х + 6х = 7 + 9; 8х = 16; х = 2.

Відповідь: Г).

8. Спростіть вираз (m2 + 2p)(m4 − 2m2p + 4p2): (m2 + 2р)(m4 – 2m2р + 4p2) = (m2)3 + (2р)3 = m6 + 8p3.

Відповідь: Б).

9. Розкладіть многочлен 3ab − 3b + 6a − 6 на множники: 3аb – 3b + 6а – 6 = 3b(а – 1) + 6(а – 1) = (3b + 6)(а – 1) = 3(6 + 2)(а – 1).

Відповідь: Г).

10. Якого найменшого значення набуває вираз x2 + 4x + 3? x2 + 4х + 3 = x2 + 4х + 4 – 1 = (х + 2)2 – 1.

Вираз (х + 2)2 – додатний, тому найменше значення виразу (х + 2)2 – 1 дорівнює –1.

Відповідь: В).

11. Розв’яжіть рівняння x3 + 2x2 − x − 2 = 0: x3 + 2х2 – х – 2 = 0; x2(х + 2) – (х + 2) = 0; (x2 – 1)(х + 2) = 0; (х – 1)(х + 1)(х + 2) = 0; х – 1 = 0 або х + 1 = 0 або х + 2 = 0; х = 1 або х = –1 або х = –2. Відповідь: А).

12. Розкладіть вираз (b − 2)3 – b3 на множники: (b – 2)3 – b3 = (b – 2 – 6)((b – 2)2 + b(b – 2) + b2) = –2(b2 – 4b + 4 + b2 – 2b + b2) = = –2(3b2 – 6b + 4).

Відповідь: В).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1. 25х2 – 70х + 49 = (5х – 7)2 = (5 · 1,4 – 7)2 = (7 – 7)2 = 0.

2. (5х – 1)(25х2 + 5х + 1) – 125х3 = 125х3 + 1 – 125х3 = 1.

3. 72 – 120х + 50х2 = 2(25х2 – 60х + 36) = 2(5х – 6)2 = 2(7 – 6)2 = 2.

Відповідь: 1 – Б; 2 – В; 3 – Г.

1. Перетворіть вираз на многочлен:

x = 1,4 (А–

ДО §§ 32-37

1) (р + а)2 = р2 + 2ра + а2; 2) (с – m)(с + m) = с2 – m2.

2. Розкладіть на множники:

1) t2 – 2tb + b2 = (t – b)2; 2) d2 – n2 = (d – n)(d + n).

3. Які з рівностей є тотожностями:

1) (р – а)2 = р2 – 2ра + a2 ≠ p2 – ра + а2 не тотожність;

2) р3 + q3 = (p + q)(p2 – pq + q2) тотожність;

3) m2 – c2 = (m – с)(m + с) тотожність; 4) d3 – t3 = (d – t)(d2 + dt + t2) ≠ (d – t)(d2 + 2dt + t2) не тотожність.

4. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (3а – 5)2 = 9a2– 30а + 25; 2) (7 + 2b)(2b – 7) = 4b2 – 49.

5. Розкладіть многочлен на множники:

1) а2 + 6а + 9 = (а + 3)2; 2) –25 + 36х2 = (6х – 5)(6х + 5); 3) b3 + 64 = (b + 4)(b2 – 4b + 16); 4) 7c2 – 7d2 = 7(с – d)(c + d).

6. Спростіть вираз (2x + 3)2 + (7 − 2x)((7 + 2x)) та

(2х + 3)2 + (7 – 2х)(7 + 2х) = 4x2 + 12x + 9 + 49 – 4x2 = 12х + 58.

Якщо х = –1 12, то 12х + 58 = 12 ∙ (–1 12) + 58 = –1 + 58 = 57.

7. Розв’яжіть рівняння:

1) 2x3 – 50x = 0;

2х(х2 – 25) = 0;

2х(х – 5)(х + 5) = 0;

х = 0 або х – 5 = 0 або х + 5= 0;

х = 0 або x = 5 або х = –5;

значення, якщо x = –1 12

Відповідь: –5; 0; 5; 2) x3 – 10x2 + 25x = 0;

8. Спростіть вираз:

x(x2 – 10x + 25) = 0;

х(х – 5)2 = 0; х = 0 або х – 5 = 0; х = 0 або х = 5.

Відповідь: 0; 5.

1) (–4а + 3b)2 + (–4а + 5b)(5b + 4а) + 24аb = 9b2 – 24аb + 16а

+ 25b

– 16а

+

= 34b2; 2) (а – 2)(а2 + 2а + 4) – а(а – 3)(а + 3) = а3 – 8

+ 9а +

= = а3 + 9а2 + 27а + 27; 2) (2m – 5)3 = (2m – 5)2(2m – 5) = (4m2 – 20m + 25)(2m – 5) = = 8m3 – 20m2 – 40m2 + 100m + 50m – 125 = 8m3 – 60m2 +

1. Піднесіть двочлен до степеня:

1) (x − p)2 = x2 − 2px + p2; 2) (m + a)2 = m2 + 2ma + a2; 3) (b − k)2 = b2 − 2bk + k2; 4) (y + c)2 = y2 + 2yc + c2.

2. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (3a − 7)2 = 9a2 − 42a + 49; 2) (2b + 5)2 = 4b2 + 20b + 25; 3) (10m − 5k)2 = 100m2 − 100mk + 25k2; 4) (4p + 9q)2 = 16p2 + 72pq + 81q2;

5) (0,1m − 5p)2 = 0,01m2 − mp + 25p2; 6) (1 6 a + 6b)2 = 1 36 a2 + 2ab + 36b2

3. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (a − 1)2 − (a − 2)2 = a2 − 2a + 1 − (a

Якщо a = 1,5, то 2a − 3 = 2 · 1,5 − 3 = 3 − 3 = 0. 2) (3b + 2)2 + (3b − 2)2 = 9b2 + 12b + 4 + 9b2 − 12b + 4 = 18b2 + 8.

Якщо b = −1 3 , то 18(−

x число; x2 квадрат числа; (x + 3)2 = x2 + 159; x2 + 6x + 9 = x2 + 159; 6x = 150; x = 25.

Відповідь: 25.

5. Чи є рівність (a − b)2 = |a − b|2 тотожністю?

Нехай а – b ≥ 0, тоді |a – b| = a – b i |a – b|2 = (а – b)2 .

Нехай а – b < 0, тоді |а – b| = –(а – b), |а – b|2 = (–(а – b))2 = (а – b)2 .

Отже, рівність (а – b)2 = |a – b|2 є тотожністю.

6. Подайте у вигляді многочлена:

1) ((x + y) + a)2 = (x + y)2 + 2a(x + y) + a2 = x2 + 2xy + y2 + 2ax + 2ay + a2 2) ((b − c) − d)2 = (b − c)2 − 2d(b

(m + n + 2)2 = m2 + n2 + 4 + 2mn + 4m +

(a + 3 − c)(a + 3 − c) = ((a + 3) − c)2 = (a + 3)2 − 2c(a + 3) + c2 =

§ 33

7. Подайте

. Розкладіть на множники: 1) m2 + 20m + 100 = (m + 10)2; 2) 49 − 14b + b2 = (7 − b)2; 3) 0,09x2 + 0,6x + 1 = (0,3x + 1)2; 4) 1 36 − 1 3 p + p2 = ( 1 6 − p)2; 5) 4x2 + 20x + 25 = (2x + 5)2; 6) 14m2 − 12mp + 9p2 = (7m − 3p)2 . 9. Знайдіть значення виразу: 1) −100m2 + 20m − 1 = −(100m2 − 20m + 1) = −(10m − 1)2 .

Якщо m = 0,1, то (10 · 0,1 − 1)2 = (1 − 1)2 = 0;

якщо m = −0,9, то (10(−0,9) − 1)2 = (−10)2 = 100. 2) −4x2 − 12xy − 9y2 = −(4x2 + 12xy + 9y2) = −(2x + 3y)2

Якщо x = 0,03, y = −0,02, то − (2 · 0,03 + 3(−0,02)) = (−0,06 − 0,06) = 0.

10. Розв’яжіть

1) 3x2 − 2x + 1 3 = 0;

9x2 − 6x + 1 = 0; (3x − 1)2 = 0; 3x − 1 = 0; x = 1 3 .

Відповідь: 1 3 .

11.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) 5y2 + 2y + 1 5 = 0; 25y2 + 10y + 1 = 0; (5y + 1)2 = 0; 5y + 1 = 0; 5y = −1; y = −1 5 .

Відповідь: 1 5 .

1) 100m2 + 20mn + n2 = (10m + n)2; 2) 25a2 − 30ab + 9b2 = (5a − 3b)2 12

1) 4x(4x − 10) + 25 = 16x2 − 40x + 25 = (4x − 5)2 > 0;

2) (a − 2)((a − 2) + 2m) + m2 = (a − 2)(a − 2 + 2m) + m2 = = a2 − 2a + 2am − 2a + 4 − 4m + m2 = (a − 2 + m)2; 3) (a + b)(a + b + 8) + 16 = a2 + ab + 8a + ab + b2 + 8b = (a + b + 4)2 . До § 34

13. Які з рівностей є тотожностями:

1) (b − x)(b + x) = b2 + x2; b2 − x2 = b2 + x2, не є тотожністю; 2) (c − d)(c + d) = c2 − d2 тотожність;

3) (m + n)(m − n) = (m + n)2, не є тотожністю; 4) (p − q)(p − q) = p2 − q2 тотожність.

14. Виконайте множення:

1) (c + 7)(7 − c) = 49 − c2; 2) (0,5m − 3)(0,5m + 3) = 0,25m2 – 9; 3) (3k + 7)(3k − 7) = 9k2 – 49; 4) (2p – 9q)(9a + 2p) = 4p2 – 81q2; 5) (10m + 9n)(9n – 10m) = 81n2 – 100m2; 6) (2 3 c − 4 5 d)(2 3 c +

d) = 4

15. Подайте у вигляді многочлена:

1) 4(a − 1)(a + 1) = 4(a2 − 1) = 4a2 − 4; 2) b(b − 2)(b + 2) = b(b2 − 4) = b3 − 4b; 3) 7p(p + 3)(p − 3) = 7p(p2 − 9) = 7p3 − 63p; 4) −3x(x + 4)(x − 4) = −3x(x2 − 16) = −3x3 + 48x.

16. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (1,9x − 3)(3 + 1,9x) + 0,39x2 = 3,61x2 − 9 + 0,39x2 = 4x2 − 9 = 4 · 22 − 9 = 4 · 4 − 9 = = 16 − 9 = 7;

2) 9,99 − (5y − 0,1)(5y + 0,01) = 9,99 − (25y2 − 0,01) = 9,99 − 25y2 + 0,01 = 10 − 15y2 .

Якщо y = 1 5, то 10 − 25(1 5)2 = 10 − 25 1 25 = 9;

3) (2x − 3y)(2x + 3y) − (3x + 2y)(3x − 2y) = 4x2 − 9y2 − (9x2 − 4y2) = = 4x2 − 9y2 − 9x2 + 4y2 = −5x2 − 5y2;

Якщо x = 1,8, y = −1,8, то −5 · 1,82 – 5(−1,8)2 = −5 · 1,82 − 5 · 1,82 = −10 · 3,24 = −32,4.

4) (ab + 1)(ab − 1)(a2b2 + 1) = (a2b2 − 1)(a2b2 + 1) = a4b4 − 1 = 54 · (1 5) − 1 = (51 5)4 − 1 = 0.

17. Обчисліть: 740 · 340 − (2120 − 1)(2120 + 1) = 740 · 340 − (2140 − 1) = 740 · 340 − 2140 + 1 = 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

18. Які з рівностей є тотожностями:

1) m2 − p2 = (m + p)(m − p) тотожність; 2) a2 – 72 = (a − 7)(a + 7) тотожність; 3) c2 – d2 = (c – d)(c + d) тотожність; 4) 92 – a2 = (9 – a)2 не є тотожність.

19. Розкладіть на множники двочлен: 1) x2 − 49 = (x − 7)(x + 7); 2) 100 − p2 = (10 − p)(10 + p); 3) 0,04m2 − n2 = (0,2m − n)(0,2m + n); 4) 25x2 − 36y2 = (5x − 6y)(5x + 6y);

5) 16a2 − b2c2 = (4a − bc)(4a + bc); 6) 121m2a2 − 1 9 b2 = (11ma − 1 3b)(11ma + 1 3b).

20. Розв’яжіть рівняння, де x – змінна:

1) a2x2 − b2 = 0; (ax − b)(ax + b) = 0; ax − b = 0; ax = b; x = ���� ���� ;

або ax + b = 0; ax = −b; x = −���� ���� .

Відповідь: ���� ���� ; − ���� ���� .

21. Чи ділиться:

2) x2 − 0,09a2 = 0; (x − 0,3a)(x + 0,3a) = 0; x = 0,3a; x = −0,3a.

Відповідь: 0,3a; −0,3a.

1) 1382 − 1362 = (138 − 136)(138 + 136) = 2 · 274 = 4 · 137 ділиться на 4;

2) 3492 − 3472 = (349 − 347)(349 + 347) = 2 · 696 = 2 · 3 · 232 = 6 · 232 ділиться на 6.

22. Розкладіть на множники вираз:

1) 9 − (2x − 8)(3x + 2) − 2x(5x + 10) = 9 − (6x2 + 4x − 24x − 16) − 10x2 − 20x = = 9 − 6x2 + 20x + 16 − 10x2 − 20x = 9 − 16x2 + 16 = 25 − 16x2 = (5 − 4x)(5 + 4x).

2) (3x + 5)(4x − 5) − 2x(2,5 + 1,5x) = 12x2 − 15x + 20x − 25 − 5x − 3x2 = = 9x2 − 25 = (3x − 5)(3x + 5).

§ 36 23.

їх різниці:

2) m2 + 2mn + n2 = (m + n)2; неповний

суми виразів m і n; 4) m2 − 2mn + n2 = (m − n)2;

m і n.

24. Розкладіть на множники:

1) x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2); 2) p3 + k3 = (p + k)(p2 − pk + k2); 3) a3 − 64 = (a − 8)(a2 + 8a + 16); 4) 1 125 + b3 = (1 5 + b)( 1 25 − 1 5 b + b2); 5) 0,001m3 − 1 = (0,1m − 1)(0,01m2 + 0,1m + 1); 6) 8x3 + 27p3 = (2x + 3p)(4x2 − 6xp + 9p2).

25. Доведіть, що значення

373 + 133

на 50. 373 + 133 = (37 + 13)(372 − 37·13 + 132) = 50(372 – 37 · 13 + 132) ділиться на 50, один із множників є 50.

26. Доведіть тотожність: x6 − y6 = (x − y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x3 − xy + y2); (x − y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2) = (x − y)(x2 + xy + y2)(x + y)(x2 − xy + y2) = = (x3 – y3)(x3 + y3) = (x3)2 − (y3)2 = x6 − y6.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

27. Закінчіть розкладання

1) ym2 − 4y = y(m2 − 4) = y(m2 − 22) = y(m – 2)(m + 2) ;

2) ca2 + 2ac + c = c(a2 + 2a + 1) = c(a + 1)2 .

28. Розкладіть на множники многочлен:

1) mp2 − mq2 = m(p2 − q2) = m(p − q)(p + q);

2) 20a2 − 5 = 5(4a2 − 1) = 5(2a − 1)(2a + 1);

3) c − c3 = c(1 − c2) = (1 − c)(1 + c);

4) 64a2 − a4 = a2(64 − c2) = a(82 – a2) = a(8 – a)(8 + a);

5) 5x2 − 10xy + 5y2 = 5(x2 − 2xy + y2) = 5(x − y)2;

6) 2b + 4bn + 2bn2 = 2b(1 + 2n + n2) = 2b(1 + n)2 .

29. Подайте у вигляді добутку:

1) 9a3 − 9b3 = 9(a3 − b3) = 9(a − b)(a2 + ab + b2);

2) 2mn − 2bn + 6m − 6b = (2mn − 2bn) + (6m − 6b) = 2n(m − b) + 6(m − b) = = (m − n)(2n + 6) = 2(m − b)(n + 3);

3) 1 81p4 − 1 = (1 9p2 − 1)( 1 9p2 + 1) = (1 3p − 1)( 1 3p + 1)( 1 9p2 + 1);

4) m2 − 4mn + 4n2 − 25 = (m2 − 4mn + 4n2) − 25 = (m − 2n)2 − 52 = (m − 2n − 5)(m − 2n + 5);

5) b2 − 36 + b − 6 = (b2 − 36) + (b − 6) = (b – 6)(b + 6) + (b − 6) = (b − 6)(b + 6 + 1); 6) m2 − 4m – m2n + 4n = (m2 – m2n) + (−4m + 4n) = m2(m – n) – 4(m – n) = = (m – n)(m2 – 4) = (m – n)(m – 2)(m + 2).

30. Розкладіть на множники многочлен:

1) am4 − m4 − an2 + m2 = (am4 − m4) + (−am2 + m2) = m4(a − 1) − m2(a − 1) = = (a − 1)(m4 − m2) = m2(a − 1)(m2 − 1) = m2(a − 1)(m − 1)(m + 1); 2) a3b − a3 − ab + a = (a3b − a3) + (−ab + a) = a3(b − 1) − a(b − 1) = (b − 1)(a3 − a) = = (b − 1) · a(a2 − 1) = a(b − 1)(a − 1)(a + 1); 3) (b3 + 1) + (−b2 − b) = (b + 1)(b2 − b + 1) − b(b + 1) = (b + 1)(b2 − b + 1 − b) = = (b + 1)(b2 – 2b + 1) = (b + 1)(b − 1)2; 4) x3 − 27 + x4 − 9x2 = (x3 − 27) + (x4 − 9x2) = (x − 3)(x2 + 3x + 9) + x2(x − 3)(x + 3) = = (x − 3)(x2 + 3x + 9 + x2 (x + 3)) = (x − 3)(x3 – 4x2 + 3x + 9).

31. Доведіть тотожність: 1) (а + 1)3 – 4(а + 1) = (а + 1)((а+ 1)2 – 4 ) = (а + 1)(а + 1 – 2)(а + 1 + 2) = (а + 1)(а – 1)(а + 3) тотожність доведена; 2) (m2 + 9)2 – 36m2 = (m2 + 9 – 6m)(m2 + 9 + 6m) = (m – 3)2(m + 3)2

2)

1)

2)

1) ∠A = 180° - (43° + 54°) = 180° - 97° = 83°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) ∠A = 180° - (9° + 93°) = 180° - 102° = 78°.

3) ∠A = 180° - (83° + 89°) = 180° - 172° = 8°.

38.5.

Нехай ∠3 невідомий кут трикутника.

1) ∠3 = 180° - (15° + 38°) = 180° - 53° = 127°.

2) ∠3 = 180° - (28° + 105°) = 180° - 133° = 47°.

3) ∠3 = 180° - (7° + 91°) = 180° - 98° = 82°.

38.6.

1) якщо один з кутів трикутника тупий, то інші два

2) якщо

38.7.

∠3 = 180° - 126° = 54°.

38.8.

∠A + ∠B + ∠C = 180°,

∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 58° = 122°.

38.9.

Нехай ∠1 = 62°. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Звідси ∠2 + ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 62° = 118°.

38.10.

shkola.in.ua

38.11.

shkola.in.ua

38.12.

Нехай в ΔABC AB = BC. За властивістю кутів рівнобедреного трикутника ∠BAC = ∠BCA. AB = AC, тоді ∠ABC = ∠ACB. Отже, маємо ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC = 180° : 3 = 60°.

Відповідь: 60°.

Нехай ΔABC рівнобедрений, AC = AB, ∠ACB = ∠ABC = 70°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, маємо:

∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.

Відповідь: 40°.

CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°.

90°. 38.13.

shkola.in.ua shkola.in.ua

CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°,

ACB + ∠ABC = 180° - 80° = 100°.

∠ACB = ∠ABC = 100° : 2 = 50°.

50°.

38.14.

shkola.in.ua

38.15.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Нехай ΔABC рівнобедрений, AC = AB, ∠CAB = 50°.

∠ACB = ∠ABC як кути

∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°, ∠ACB + ∠ABC = 180° - 50° = 130°.

Отже, ∠ACB = ∠ABC = 130° : 2 = 65°. Відповідь: 65°.

shkola.in.ua

38.16.

38.17.

shkola.in.ua

38.18.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Мал. 1. ∠ABC = 70° (як вертикальний кут з кутом, який дорівнює 70°).

∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180°(80° + 70°) = 180° - 150° = 30°.

Мал. 2. ∠BCA = 180° - 135° = 45° (як суміжний кут з кутом, який дорівнює 135°).

∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠BCA) = 180°(75° + 45°) = 180° - 120° = 60°.

Мал. 1. ∠LMN = 50° (як вертикальний кут з кутом, рівним 50°).

∠LNM = 180° - (∠MLN + ∠LMN) = 180° - (70° + 50°) = 60°.

Мал. 2. ∠NML = 180° - 140° = 40° (як суміжний кут з кутом, рівним 140°).

∠MNL = 180° - (∠MLN + ∠NML) = 180° - (50° + 40°) = 180° - 90° = 90°.

У ΔABC ∠A = 50°, ∠B = 70°.

∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (50° + 70°) = 180° - 120° = 60°. Оскільки CP бісектриса кута C, то ∠ACP = ∠PCB = 60° : 2 = 30°. Відповідь: 30°.

У ΔABC ∠B = 65°, ∠ACP = 40°. Оскільки CP бісектриса

C, то ∠ACB = 2∠ACP = 2 × 40° = 80°.

Отже, ∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACP) = 180° - (65° + 80°) = 180° - 145° = 35°.

Відповідь: 35°.

38.19.

shkola.in.ua

38.20.

shkola.in.ua

38.21.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

У трикутнику MNL ∠M + ∠N = 120°, ∠M + ∠L = 140°.

∠M + ∠N + ∠L = 180° як сума кутів трикутника.

∠L = 180° - (∠M + ∠N) = 180° - 120° = 60°,

∠M = 140° - ∠L = 140° - 60° = 80°,

∠N = 120° - ∠M = 120° - 80° = 40°.

Відповідь: 60°, 80°, 40°.

У ΔABC ∠A + ∠B = 100°, ∠A + ∠C = 130°.

∠A + ∠B + ∠C = 180° як сума кутів трикутника.

∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 100° = 80°,

∠A = 130° - ∠C = 130° - 80° = 50°,

∠B = 100° - ∠A = 100° - 50° = 50°.

Відповідь: 80°, 50°, 50°.

Припустимо, що в трикутнику всі кути

від 180°, що суперечить теоремі про суму

не менший ніж 60°.

38.22.

Припустимо,

180°, що суперечить

є кут, не більший за 60°.

38.23.

Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді

A = 3x, ∠B = 4x, ∠C = 5x. ∠A + ∠B + ∠C = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника).

Складемо рівняння: 3x + 4x + 5x = 180°; 12x = 180°; x = 15°.

Отже, ∠A = 3 × 15° = 45°, ∠B = 4 × 15° = 60°, ∠C = 5 × 15° = 75°.

Відповідь: 45°, 60°, 75°.

38.24.

Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді кути трикутника дорівнюють 2х, 3х, 5х.

Складемо рівняння: 2х + 3х + 5х = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника).

10х = 180°; х = 18°.

Отже, кути трикутника дорівнюють: 2 × 18° = 36°, 3 × 18° = 54°, 5 × 18° = 90°.

Відповідь: 36°, 54°, 90°.

38.25.

shkola.in.ua

38.26.

Нехай ΔKLM рівнобедрений, ∠L = x, тоді ∠K = ∠M = x + 15°.

Складемо рівняння: x + (x + 15°) + (x + 15°) = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). 3x + 30° = 180°; 3x = 150°; x = 50°.

Отже, ∠L = 50°, ∠K = ∠M = 50° + 15° = 65°.

Відповідь: 50°, 65°, 65°.

shkola.in.ua

Нехай ΔKLM рівнобедрений, ∠K = ∠M = x, тоді ∠L = x + 24°. Складемо рівняння: x + x + (x + 24°) = 180° (за теоремою

суму кутів трикутника). 3x + 24° = 180°; 3x = 156°; x = 52°. Отже, ∠K = ∠M = 52°, ∠L = 52° + 24° = 76°.

Відповідь: 52°, 52°, 76°.

38.27

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

дорівнює 180° - (60° + 60) = 60°. Таким чином,

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Нехай ∠C = х, тоді ∠В = х + 14°. Маємо рівняння:

80° + х + х + 14° = 180°;

2х = 180° – 94°;

2х = 86°;

х = 86° : 2;

х = 43°.

Отже, ∠С = 43°; ∠В = 43° + 14° = 57°.

2) Нехай ∠B = х, тоді ∠C = 3х. Маємо рівняння:

80° + х + 3х = 180°;

х + 3х = 180° – 80°;

4х = 100°;

х = 25°;

Отже, ∠B = 25°; ∠C = 3 × 25° = 75°.

3) ∠В ∠С = 2 3. Введемо

∠В = 2х, ∠С = 3х:

80° + 2х + 3х = 180°;

2х + 3х = 180° – 80°;

5х = 100°; х = 20°;

20° ∙ 2 = 40° – ∠В; 20° ∙ 3 = 60° – ∠

x + 2x + 36° = 180°; 3x = 144°; x = 48.

38.31.

38.32.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Розглянемо ΔAOB і ΔDOC.

∠AOB = ∠DOC (як вертикальні кути).

∠A = 180° - (∠B + ∠AOB),

∠D = 180° - (∠C + ∠DOC).

Оскільки ∠B = ∠C і ∠AOB = ∠DOC, то ∠A = ∠D.

Отже, ΔAOB = ΔDOC за другою ознакою рівності трикутників.

shkola.in.ua

38.33.

shkola.in.ua

BC = B1C1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 У ΔABC: ∠C = 180° - (∠A + ∠B). У ΔA1B1C1: ∠C1 = 180° - (∠A1 + ∠B1).

Оскільки ∠A = ∠A1 і ∠B = ∠B1, то ∠C = ∠C1.

Отже, ΔABC = ΔA1B1C1 за другою

трикутників

розв'язанням).

у ΔABC ∠A = 46°, ∠C = 64°, AP

бісектриса ∠C. Розглянемо ΔAOC. Оскільки AP бісектриса ∠A, то ∠OAC = 46° 2 = 23°.

Оскільки СК бісектриса ∠C, то ∠OCA = 64° 2 = 32°.

Отже, за теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°.

∠A,

Звідси ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - (23° + 32°) = 180° - 55° = 125°.

Оскільки кут між прямими не перевищує 90°, то кутом між прямими, на яких лежать

бісектриси кутів A і C, буде кут, суміжний з кутом AOC.

Отже, цей кут дорівнює 180° - 125° = 55°.

Відповідь: 55°.

38.34.

shkola.in.ua

Нехай у ΔABC ∠A = 70°, ∠B = 80°. BM ⊥ AC, AK ⊥ BC.

У ΔABM: ∠A = 70°, ∠BMA = 90° (оскільки BM висота). ∠A + ∠ABM + ∠BMA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Звідси ∠ABM = 180° - (∠A + ∠BMA) = 180° - (40° + 90°) = 180° - 160° = 20°.

З ΔABK: ∠B = 80°, ∠AKB = 90° (оскільки AK ⊥ BC).

За теоремою про суму кутів трикутника

∠BAK + ∠B + ∠AKB = 180°.

Звідси ∠BAK = 180° - (∠B + ∠AKB) = 180° - (80° + 90°) = 180° - 170° = 10°. Розглянемо ΔAOB. ∠BAK + ∠ABM + ∠BOA = 180°. Звідси ∠BOA = 180° - (∠BAK + ∠ABM) = 180° - (10° + 20°) = 180° - 30° = 150°.

BOA,

AOM = 180° - 150° = 30°.

30°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38.35.

дорівнює 168° : 2 = 84°.

Відповідь: 12°, 84°, 84°.

180° - (12° + 12°) = 180° - 24° = 156°.

Відповідь: 12°, 12°, 156°.

2)

кутів в основі дорівнює 180° - 92° = 88°, а кожен з них дорівнює 88° : 2 = 44° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 92°, 44°, 44°.

38.36.

1) I випадок. Нехай кут 28° це кут у вершині рівнобедреного трикутника.

в основі дорівнює 180° - 28° = 152°,

152° : 2 = 76° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 28°, 76°,

дорівнює 28°,

кут

= 124°.

Відповідь: 28°, 28°, 124°.

2) Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 106°. Це може бути тільки кут

180° - 106° = 74°, а кожен з

сума

shkola.in.ua

106°, 37°, 37°. 38.37. Нехай a ∥ b, c січна. ∠DAB і ∠EBA внутрішні односторонні кути, AC бісектриса кута DAB, BC бісектриса кута ABE. ∠DAB + ∠EBA = 180° (за властивістю внутрішніх односторонніх кутів). Оскільки АС бісектриса ∠DAB, то ∠BAC = 1 2 ∠DAB.

Оскільки ВС бісектриса ∠EBA, то ∠ABC = 1 2 ∠EBA.

Отже, ∠BAC + ∠ABC = 1 2 ∠DAB + 1 2 ∠EBA = 1 2(∠DAB + ∠EBA) = 1 2 × 180° = 90°.

З ΔABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180° (за теоремою

∠BCA = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - 90° = 90°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2x + 2x + x = 180°; 5x = 180°; x = 36°. Отже,

72°, 72°, 36°. 38.39

3x + 30° = 180°; 3x = 150°; x = 50°. Отже, кут у

Відповідь: 50°, 65°, 65°.

II випадок. Нехай кут

+

=

x + 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + x + x + 15° = 180°; 3x = 165°; x = 55°. Отже, кожен

дорівнює 55° + 15° = 70°.

Відповідь: 55°, 55°, 70°.

38.40.

тоді кут у вершині

ΔKLM рівнобедрений. ∠K = ∠M = 72°, KP

∠K, KP = 5 см.

Оскільки KP бісектриса, ∠LKP = ∠PKM = 72° : 2 = 36°. Розглянемо ΔKPM.

∠PKM + ∠LMK + ∠KPM = 180° (за теоремою

трикутника).

Звідси ∠KPM = 180° - (∠PKM + ∠LMK) = 180° - (36° + 72°) = 180° - 108° = 72°.

Отже, ∠KPM = ∠LMK. За ознакою

. PK = PL - KL = 56 мм - 3 см 4 мм = 56 мм - 34 мм = 22 мм. 38.42.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38.44. ΔABC = ΔABD, оскільки AB = AC = CB, AB = AD = DB.

shkola.in.ua

38.45.

висотою, тобто AO ⊥ CD, O ∈ AB, отже, AB ⊥ CD.

1. 1) 20 ∙ 6 = 120 (м2) – площа клумби; 2) 120 ∙ 60 = 7200 (шт.) – цибулин потрібно заготовити.

2. 1) 28 ∙ 0,85 = 23,8 (грн) – ціна упаковки зі знижкою; 2) 7200 : 3 = 2400 (шт.) – стільки потрібно упаковок цибулин;

3) 2400 ∙ 23,8 = 57120 (грн) – потрібно заплатити за тюльпани.

Відповідь: 1) 23,8 грн; 2) 57120 грн.

38.46.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

39.6.

39.7.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

39.12.

shkola.in.ua

39.13.

shkola.in.ua

39.14.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

ΔABC

вершині В.

∠KBC = ∠BAC + ∠BCA (згідно з теоремою 1).

Отже, ∠BAC + ∠BCA = 100°,

∠BAC = ∠BCA = 50° (оскільки кути при основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 50°.

Нехай ΔMNK рівнобедрений. ∠M = ∠K = 55°.

∠DNK зовнішній кут

зовнішнього кута маємо:

∠DNK = ∠M + ∠K = 55° + 55° = 110°.

Відповідь: 110°.

shkola.in.ua

Нехай ∠CAP = 105° (зовнішній кут

CAP = ∠B + ∠C

вершині A), ∠C = 45°.

Звідси ∠B = ∠CAP - ∠C = 105° - 45° = 60°.

Відповідь: 60°.

39.15. Нехай ∠BCD

shkola.in.ua

39.16.

shkola.in.ua

39.17.

shkola.in.ua

C, ∠A = 18°, ∠BCD = 120°.

∠BCD = ∠A + ∠B (за властивістю зовнішнього кута

трикутника).

Звідси ∠B = ∠BCD - ∠A = 120° - 18° = 102°.

Відповідь: 102°.

Нехай ΔABC даний трикутник, ∠A = 45°, ∠C = 70°.

∠PBC = ∠A + ∠C = 45° + 70° = 115° (за властивістю зовнішнього кута трикутника).

∠BCM = 180° - ∠C = 180° - 70° = 110° (як кут суміжний з кутом C).

∠NAP = 180° - ∠A = 180° - 45° = 135° (як кут суміжний з кутом A).

Відповідь: 115°, 110°, 135°.

Нехай ΔKLM даний трикутник, ∠NKL = 110°, ∠LMP = 140°.

∠NKL + ∠LKM = 180° (як суміжні кути).

Звідси ∠LKM = 180° - 110° = 70°.

∠LMP + ∠LMK = 180° (як суміжні кути).

39.18.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Звідси ∠LMK = 180° - 140° = 40°.

∠L + ∠LKM + ∠LMK = 180° (як сума кутів трикутника).

Звідси ∠L = 180° - (70° + 40°) = 180° - 110° = 70°.

Відповідь: 70°, 70°, 40°.

55

shkola.in.ua

shkola.in.ua

112°

shkola.in.ua

1) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠BAD = 140°.

Нехай ∠B = x, тоді ∠C = x + 30°.

За властивістю зовнішнього кута трикутника: ∠BAD = ∠B + ∠C.

Складемо рівняння:

x + x + 30° = 140°;

2x = 110°; x = 55°.

Отже, ∠B = 55°, ∠C = 55° + 30° = 85°.

Відповідь: 55°, 85°.

2) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠BAD = 140°, ∠B = x, тоді ∠C = 4x. За

кута трикутника маємо: ∠BAD = ∠B + ∠C.

Складемо рівняння: x + 4x = 140°; 5x = 140°; x = 28°.

Отже, ∠B = 28°, ∠C = 28° × 4 = 112°.

Відповідь: 28°, 112°.

1) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠BCD = 120°, ∠B = x, тоді ∠A = x + 20°. За властивістю

зовнішнього кута трикутника маємо:

∠BCD = ∠A + ∠B.

Складемо рівняння: x + x + 20° = 120°; 2x = 100°; x = 50°.

Отже, ∠B = 50°, ∠A = 50° + 20° = 70°.

Відповідь: 50°, 70°.

2) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠A = x, ∠B = 3x.

За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо:

∠BCD = ∠A + ∠B.

Складемо рівняння: x + 3x = 120°; 4x = 120°; x = 30°.

Отже, ∠A = 30°, ∠B = 3 × 30° = 90°.

Відповідь: 30°, 90°.

.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

I випадок. Нехай ΔABC

BC), ∠A = ∠C. За властивістю

∠DBC = ∠A + ∠C = 118°,

∠A = ∠C = 118° : 2 = 59°.

∠ABC = 180° - ∠DBC = 180° - 118° = 62°.

Відповідь: 62°, 59°, 59°.

II випадок. Нехай ΔABC даний рівнобедрений трикутник (BA = BC). ∠DAB і ∠BAC суміжні, їх сума дорівнює 180°.

∠BAC = 180° - 118° = 62°.

Оскільки ∠BAC = ∠BCA (як кути при основі рівнобедреного

трикутника), то ∠BCA = 62°.

∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 124° = 56°.

Відповідь: 62°, 62°, 54°.

39.21.

shkola.in.ua

I випадок. Зовнішній кут при вершині.

Нехай ΔABC даний рівнобедрений трикутник (AB = BC).

∠A = ∠C (як кути в основі рівнобедреного трикутника).

∠BDC = ∠A + ∠C за властивістю зовнішнього кута трикутника.

42° = ∠A + ∠C, звідси ∠A = ∠C = 42° : 2 = 21°.

∠B = 180° - 42° = 138°.

Відповідь: 21°, 21°, 138°.

II випадок. Зовнішній кут при основі.

Цей випадок неможливий, бо тоді

а у трикутнику можливий тільки один тупий кут. 39.22. Нехай ΔKNL даний трикутник.

shkola.in.ua

RML =

shkola.in.ua

39.24.

shkola.in.ua

39.25.

shkola.in.ua

39.26.

shkola.in.ua

39.27.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

∠NLK = ∠K + ∠M = 7x + 9x = 16x.

∠PKL = ∠L + ∠M = 8x + 9x = 17x.

∠OMK = ∠K + ∠L = 7x + 8x = 15x. Отже, відношення

кутів 17 : 16 : 15.

Відповідь: 17 : 16 : 15.

Нехай ΔPLK даний трикутник. ∠PKL і ∠LKR суміжні. KM бісектриса кута LKP. ∠PKM = ∠LKM. KN бісектриса ∠LKR, ∠LKN = ∠NKR. ∠PKL + ∠LKR = 180°, ∠PKM + ∠LKM + ∠LKN + ∠NKR = 180°, 2∠LKM + 2∠LKN = 180°, 2(∠LKM + ∠LKN) = 180°, ∠LKM + ∠LKN = 90°. Отже, KM ⊥ KN.

Нехай ОК промінь, що проходить між сторонами ∠AOB, ∠AOK = x, ∠KOB = 90° - x. ∠KOB - ∠AOK = (90° - x) - x = 90° - 2x.

∠AOK + ∠KOB = 90°, 1 3(∠AOK + ∠KOB) = 30°.

Отже, 90° - 2x = 30°, 2x = 60°, x = 30°.

∠AOK = 30°, ∠KOB = 90° - 30° = 60°.

Відповідь: 30°, 60°.

39.28.

Нехай AB = 22,8 см, AC = x см, CD = 2x см, DB = (2x + 1,8) см.

Маємо рівняння: x + 2x + 2x + 1,8 = 22,8; 5x = 21; x = 4,2.

Отже, AC = 4,2 см, CD = 8,4 см, DB = 10,2 см.

Відповідь: 4,2 см, 8,4 см, 10,2 см.

1. 1) 2 ∙ (32 + 18) = 100 (м) – периметр прямокутної ділянки; 2) 32 ∙ 18 = 576 (м2) – площа ділянок; 3) S□ = a2; a2 = 576 = 24 ∙ 24 ⇒ a = 24 (м) – сторона квадратної ділянки; 4) 24 ∙ 4 = 96 (м) – периметр квадратної ділянки. 100 м > 97 м; 96 м < 97 м.

Відповідь: садівник зможе

2. 1) 100 + 96 = 196 (м) – всього потрібно паркану; 2) 196 – 97 = 99 (м) – потрібно докупити.

Відповідь: 99 м.

39.29.

shkola.in.ua

АВ = 6 см, ВС = 3 см.

АВ : ВС = 6 : 3 = 2 (рази)

Відповідь: сторона ВС у 2

39.30.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

40.2.

3)

shkola.in.ua

40.3.

1) PF гіпотенуза, PL і LF катети.

2) PF довша за PL, PF довша за LF, оскільки PF гіпотенуза.

shkola.in.ua

40.4.

shkola.in.ua

мал. 1 трикутники рівні за двома катетами.

Оскільки AC = ML, CB = LP, то ΔACB = ΔMLP.

мал. 2 трикутники рівні за катетом і прилеглим гострим кутом. Оскільки NF = DK, ∠N = ∠D, то ΔNFE = ΔDKO.

мал. 1 трикутники рівні за гіпотенузою і гострим кутом. Оскільки CM = BA, ∠C = ∠B, то ΔCMK = ΔBAP. На мал. 2 трикутники рівні за

і гіпотенузою. Оскільки EF = LN, DF = QN, то ΔEDF = ΔLQN.

40.5.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.6.

shkola.in.ua

1) Нехай ∠B = 18°, тоді

∠C = 90° - ∠B = 90° - 18° = 72°.

2) Якщо ∠L = 87°, тоді

∠M = 90° - 87° = 3°.

Відповідь: 1) 72°; 2) 3°.

1) Нехай ∠M = 75°, тоді ∠L = 90° - ∠M = 90° - 75° = 15°.

2) Нехай ∠R = 23°, тоді ∠P = 90° - ∠R = 90° - 23° = 67°.

Відповідь: 1) 15°; 2) 67°.

40.7. Нехай ΔABC прямокутний і рівнобедрений (∠B = 90°, BA = BC).

shkola.in.ua

∠A = ∠C як кути в основі рівнобедреного трикутника.

трикутника дорівнює 90° і вони рівні, то ∠A = ∠C = 90° : 2 = 45°.

90°, 45°, 45°.

40.8. Нехай ΔABC рівнобедрений, AB = BC, ∠A = 45°, тоді ∠C = 45° (оскільки

shkola.in.ua

40.9.

shkola.in.ua

40.10.

shkola.in.ua

трикутника дорівнює 180°, маємо: ∠A + ∠B + ∠C = 180°, ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180°90° = 90°. Отже, ΔABC прямокутний.

1) Згідно з властивістю 3, катет

Отже, BC = 1 2 AB = 1 2 × 14 = 7 (см).

2) AB = 2BC = 2 × 5 = 10 (дм).

Відповідь: 1) 7 см; 2) 10 дм.

1) PF = 1 2 PL = 1 2 × 12 = 6 (дм); 2) PL = 2PF = 2 × 4 = 8 (см).

Відповідь: 1) 6 дм; 2) 8 см.

40.11.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.12.

shkola.in.ua

40.13.

shkola.in.ua

Нехай ΔABC даний трикутник, ∠ABK = 36°, ∠KBC = 64°.

∠ABC = ∠ABK + ∠KBC = 36° + 64° = 100°.

З

прямокутного ΔABK маємо:

∠BAK = 90° - ∠ABK = 90° - 36° = 54°.

З прямокутного ΔCBK маємо:

∠BCK = 90° - ∠KBC = 90° - 64° = 26°.

Відповідь: 100°, 54°, 26°.

Нехай ΔKLM рівнобедрений, LK = LM. Оскільки LN медіана рівнобедреного трикутника, то LN бісектриса і висота ΔKLM. ∠KLM = 2∠KLN = 2 × 31° = 62°.

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то

∠K + ∠M + ∠L = 180°,

∠K + ∠M = 180° - ∠L = 180° - 62° = 118°.

∠K = ∠M як кути в основі рівнобедреного трикутника.

∠K = ∠M = 118° : 2 = 59°.

Відповідь: 62°, 59°, 59°.

40.14.

shkola.in.ua

40.15.

кутом.

shkola.in.ua

катет. Отже, ΔMPK = ΔMLK за

shkola.in.ua

1)

90°, то маємо рівняння: x + x + 28° = 90°; 2x = 90° - 28° = 62°; x = 62° : 2 = 31°.

Отже, ∠B = 31°, ∠A = 31° + 28° = 59°.

Відповідь: 31°, 59°.

2) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x°, ∠B = 5x°. Оскільки

90°, то маємо: x + 5x = 90°; 6x = 90°; x = 15°.

Отже, ∠A = 15°, ∠B = 15° × 5 = 75°.

Відповідь: 15°, 75°.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) Нехай в прямокутному

то маємо: 2x + 3x = 90°; 5x = 90°; x = 18°.

Отже, ∠A = 2 × 18° = 36°, ∠B = 3 × 18° = 54°.

Відповідь: 36°, 54°.

Відповідь: українська поетеса Ліна Василівна Костенко.

40.16.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

∠A = 2x°, ∠B = 3x°.

shkola.in.ua

1) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x°, ∠B = 4x°.

Оскільки в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90°, то маємо:

x + 4x = 90°; 5x = 90°; x = 18°.

Отже, ∠A = 18°, ∠B = 18° × 4 = 72°.

Відповідь: 18°, 72°.

2) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x, тоді ∠B = x + 16°.

Оскільки в прямокутному трикутнику сума

90°, то маємо:

x + x + 16° = 90°; 2x = 74°; x = 37°.

Отже, ∠A = 37°, ∠B = 37° + 16° = 53°.

Відповідь: 37°, 53°.

3) Нехай в прямокутному ΔABC ∠B = 5x, ∠A = 4x.

Оскільки сума гострих

90°, то маємо: 5x + 4x = 90°; 9x = 90°; x = 10°.

Отже, ∠B = 5 × 10° = 50°, ∠A = 4 × 10° = 40°.

Відповідь: 50°, 40°.

40.17. Нехай в прямокутному ΔKNM (∠M = 90°) MP бісектриса, ∠KMP = ∠NMP = 90° : 2 = 45°, ∠K = 26°.

shkola.in.ua

40.18.

shkola.in.ua

3 ΔKMP: ∠KPM = 180° - (∠K + ∠KMP) = 180° - (26° + 45°) = 109°.

Тоді ∠MPK = 180° - ∠KPM = 180° - 109° = 71°.

дорівнює 71°.

71°.

ΔCKB ∠CKB = 180° - (∠KCB + ∠B) = 180° - (45° + 68°) = 67° (за

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.19.

40.20.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

40.21.

shkola.in.ua

40.22.

BAC, MB ⊥ AB, MC ⊥

AC, BM = CM. Доведемо, що точка М належить

A, тобто ∠BAM = ∠CAM.

ΔABM = ΔACM за гіпотенузою і катетом (AM спільна гіпотенуза, BM = CM), тоді ∠BAM = ∠CAM.

Нехай в прямокутному ΔABC (∠B = 90°) BD ⊥ AC, ∠DBC = 32°.

З ΔBDC: ∠C = 90° - ∠DBC = 90° - 32° = 58° (оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°).

∠A + ∠C = 90°, ∠A = 90° - ∠C = 90° - 58° = 32°.

Відповідь: 58°, 32°.

Нехай ΔABC прямокутний (∠C = 90°).

CM і BN бісектриси, ∠BCM = ∠ACM = 90° : 2 = 45°,

∠CBN = ∠ABN, ∠COB = 115°.

З ΔCOB за теоремою

суму

∠OBC + ∠COB + ∠BCO = 180°.

трикутника маємо:

Звідси ∠OBC = 180° - 115° - 45° = 20°.

Тоді ∠B = 2∠OBC = 2 × 20° = 40°.

З ΔABC: ∠A = 90° - ∠B = 90° - 40° = 50°.

Відповідь: 40°, 50°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Нехай ΔABC рівнобедрений, AB = BC, ΔA1B1C1 рівнобедрений, A1B1 = B1C1, BK ⊥ AC, B1K1 ⊥ A1C1. ΔABK = ΔA1B1K1 (за гіпотенузою AB = A1B1 і катетом BK = B1K1).

З рівності трикутників маємо ∠A = ∠A1, AK = A1K1.

Оскільки висота рівнобедреного трикутника є медіаною, то AK = KC, A1K1 = K1C1. Враховуючи, що AK = A1K1, маємо AC = A1C1. Отже, ΔABC = ΔA1B1C1 за двома сторонами і

між

(AB = A1B1 за умовою, ∠A = ∠A1, AC = A1C1 за доведенням). 40.23. Нехай ΔABC прямокутний (∠C = 90°), ∠B = 60°, AB + CB = 30 см, СК медіана. ∠A = 90° - 60° = 30° (оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°). Нехай BC = x, тоді AB = 2x (оскільки катет прямокутного трикутника, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи). Складемо рівняння: x + 2x = 30; 3x = 30; x = 10, тоді 2x = 2 × 10 = 20. Отже, AB = 20 см. Оскільки СК медіана, проведена до гіпотенузи, то CK = 1 2 AB = 1 2 × 20 = 10 (см). Відповідь: 20 см, 10 см.

40.24.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Нехай ΔKMN прямокутний, ∠N = 90°, ∠M = 60°, MP = 4 см.

З ΔKMN: ∠K = 90° - ∠M = 30°. Оскільки MP бісектриса, то ∠KMP = ∠PMN = 60° : 2 = 30°. Отже, ΔPKM рівнобедрений, оскільки ∠K = ∠KMP, звідси PK = MP = 4 (см).

З ΔPMN: ∠PMN = 30°. Отже, PN = 1 2 MP = 1 2 × 4 = 2 (см).

KN = PK + PN = 4 + 2 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

40.25.

shkola.in.ua

40.26.

shkola.in.ua

40.27.

shkola.in.ua

Нехай у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), ∠PAB і

∠ABK - зовнішні кути при вершинах гострих кутів.

Нехай ∠PAB = x°, тоді ∠ABK = x° + 20°.

∠CAB + ∠PAB = 180° (як суміжні кути), звідси

∠CAB = 180° - ∠PAB = 180° - x°.

∠ABC + ∠ABK = 180° (як суміжні кути), звідси

∠ABC = 180° - ∠ABK = 180° - (x° + 20°) = 160° - x°.

Оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника

90°, маємо рівняння: 180° - х + 160° - х = 90°; 2x = 250°; x = 125°.

Отже, ∠CAB = 180° - 125° = 55°, ∠ABC = 160 - 125° = 35°.

Відповідь: 55°, 35°.

Нехай у прямокутному ΔKLM (∠M = 90°) ∠NKL і ∠KLP

зовнішні кути, ∠NKL = 2x°, ∠KLP = 3x°.

∠MKL = 180° - 2x°, ∠KLM = 180° - 3x° (за властивістю суміжних кутів).

∠MKL + ∠KLM = 90°;

Отже, 180° - 2x + 180° - 3x = 90°; 5x = 270°; x = 54°.

Отже, ∠MKL = 180° - 2 × 54° = 180° - 108° = 72°,

∠KLM = 180° - 3 × 54° = 180° - 162° = 18°.

Відповідь: 72°, 18°.

40.28.

shkola.in.ua

Нехай CM - медіана, PΔACM = PΔCMB. Оскільки PΔACM = AC + CM + AM, PΔCMB = BC + CM + MB і ці периметри рівні, то AC + CM + AM = BC + CM + MB.

Звідси AC + AM = BC + MB. Враховуючи, що AM = MB, матимемо AC = BC.

Отже, у трикутника ABC хоча б дві сторони рівні, а отже, рівні і хоча

Нехай в ΔABC ∠A = x°, ∠B = x° + 20°, ∠C = 3x°. За теоремою про суму

x + x + 20° + 3x = 180°; 5x = 160°; x = 32°.

Отже, ∠A = 32°, ∠B = 32° + 20° = 52°, ∠C = 3 × 32° = 96°.

Відповідь: 32°, 52°, 96°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.29.

40.30.

shkola.in.ua

Нехай у ∆ABC AB = BC = x см, тоді AC = (x + 3) см. За умовою задачі маємо: x + 3 + 4 = x + x; x + 7 = 2x; x = 7.

Отже, AB = BC = 7 см, AC = 7 + 3 = 10 (см).

PΔABC = AB + BC + AC = 7 + 7 + 10 = 24 (см).

Відповідь: 24 см.

1) 3,5 × 5,5 = 19,25 ≈ 20 (м2) – площа кімнати.

2) 130 × 20 = 2600 (грн) – потрібно заплатити за лінолеум.

Відповідь: 2600 грн. 40.31.

shkola.in.ua

АВ = 89 мм; ВС = 48 мм; АС = 66 мм.

(АВ + ВС) = 89 + 48 = 137 мм > АС = 66 мм; (AB + AC) = 89 + 66 = 155 мм > ВС = 48 мм; (AC + BC) = 66 + 48 = 114 мм > АВ = 89 мм.

Висновок: сума довжин двох сторін трикутника завжди більше

третьої сторони.

shkola.in.ua

40.32. § 41. Нерівність трикутника 41.1.

1) Трикутник зі сторонами 1 см, 2 см і 4 см

4 см > 1 см + 2 см. 2) Трикутник зі сторонами 7 дм, 6 дм, 5 дм існує,

7 дм < 6 дм + 5 дм.

3) Трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і 7 см не існує, бо не виконується

оскільки 7 см = 3 см + 4 см.

1) Трикутник зі сторонами 2 дм, 5 дм і 7 дм

оскільки 7 дм = 2 дм + 5 дм. 2)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

41.4.

Тоді 4,3 - 2,7 < a < 4,3 + 2,7, тобто 1,6 < a < 7. Оскільки а - найменше ціле число, що задовольняє умові 1,6 < a < 7, то a = 2 см.

Відповідь: 2 см.

41.5.

1) Нехай сторони трикутника дорівнюють 2m, 3m і 4m. Сторони трикутника

числам 2, 3, 4, оскільки 4m < 3m + 2m, тобто виконується нерівність трикутника.

2) Нехай сторони трикутника дорівнюють 7m, 8m, 15m.

Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 7, 8 і 15, оскільки 15m = 7m + 8m, тобто не виконується нерівність трикутника.

3) Нехай сторони трикутника дорівнюють 5m, 3m, 7m.

Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 5, 3 і 7, оскільки 7m < 5m + 3m, тобто виконується нерівність трикутника.

41.6.

1) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 5, 1 і 4, бо не виконується

нерівність трикутника, оскільки 5m = m + 4m, де 5m, m, 4m довжини сторін трикутника.

2) Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 5, 6 і 7, бо виконується

нерівність трикутника 7m < 6m + 5m, де 5m, 6m, 7m довжини сторін трикутника.

3) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 8, 2, 11,бо не виконується

нерівність трикутника 11m > 8m + 2m, де 8m, 2m, 11m довжини сторін трикутника.

41.7.

Якщо бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 3 см, тоді

дорівнює 3 см, а основа дорівнює PΔ - (3 + 3) = 12 - 6 = 6 (см).

Трикутника зі сторонами 3 см, 3 см і 6 см не

трикутника, оскільки 6 см = 3 см + 3 см.

Відповідь: ні, не може.

41.8.

Бічною стороною даного рівнобедреного трикутника

см. Отже, бічна сторона

41.9.

3,7.

a = 2 або a = 3.

Якщо a = 2, то PΔ = 2,5 + 1,2 + 2 = 5,7 (см). Якщо a = 3, то PΔ = 2,5 + 1,2 + 3 = 6,7 (см).

Відповідь: 5,7 см або 6,7 см.

41.10.

1) Якщо одна

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

30 см - 16

1)

2)

40 дм - 20 дм = 20

20

= 20 дм (одна сторона дорівнює сумі двох інших сторін).

3) Одна із сторін трикутника може дорівнювати

дорівнює 40 дм - 19 дм = 21 дм і виконується нерівність трикутника 19 дм < 21 дм (за умови, що ця сторона не менша за кожну з інших сторін).

41.12.

Припустимо, що такий трикутник існує. Тоді х см довжина

сторони, (х - 2) см довжина другої сторони, (х + 4) см

x + (x - 2) + (x + 4) = 20; 3x + 2 = 20; 3x = 18; x = 6.

Отже, сторони трикутника дорівнюють: 6 см, 4 см, 10 см. Але трикутника з такими сторонами не існує, бо

виконується нерівність трикутника 10 см = 6 см + 4 см. Відповідь: ні.

41.13.

Припустимо, що такий трикутник існує. Нехай х см довжина однієї сторони, (х + 6) см довжина другої сторони, (х - 1) см довжина третьої сторони.

Складемо рівняння: x + (x + 6) + (x - 1) = 23; 3x + 5 = 23; 3x = 18; x = 6.

Але трикутника зі сторонами 6 см, 12 см і 5 см не існує, бо не виконується нерівність

трикутника 12 см > 6 см + 5 см.

Відповідь: ні.

41.14.

shkola.in.ua

41.15.

shkola.in.ua

Нехай у ∆ABC ∠A = x°, тоді ∠B = 3x°, ∠C = x° - 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + 3x + (x - 15°) = 180°; 5x = 195°; x = 39°.

Отже, ∠A = 39°, ∠B = 3 × 39° = 117°, ∠C = 39° - 19° = 24°.

Відповідь: 39°, 117°, 24°.

Нехай ∆ABC і ∆A1B1C1 - прямокутні. AB = A1B1, BH ⊥ AC, B1H1 ⊥ A1C1, BH = B1H1.

∆ABH = ∆A1B1H1 (за катетом і гіпотенузою: AB = A1B1, BH = B1H1), тоді ∠A = ∠A1.

∆ABC = ∆A1B1C1 (за катетом і гострим кутом: AB = A1B1, ∠A = ∠A1).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

41.17.

shkola.in.ua

1) 360° : 32 = 11,25° = 11°15´ - становить

румб; 2) 11°15´ × 4 = 44°60´ = 45° Відповідь: 4 румби становлять 45°.

Отже,

2) Розглянемо 2025. Це число непарне, тобто воно

не зможе опинитися у точці, віддаленій на 2025 см.

Відповідь: 1) зможе; 2) не зможе.

1.

6).

shkola.in.ua

shkola.in.ua

7.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

оскільки 8 см > 2,7 см + 4,2 см.

кута 30° і дорівнює 8 см : 2 = 4 см.

Правильна відповідь Б).

8.

9.

shkola.in.ua

AK бісектриса ∠A, ∠OAC = ∠BAK = 50° : 2 = 25°.

CM бісектриса ∠C, ∠MCA = ∠BCM = 60° : 2 = 30°.

З ∆AOC: ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180°(25° + 30°) = 125°.

Оскільки кутом між прямими є кут градусною мірою менше ніж 90°, то цим кутом буде кут, суміжний з

кутом AOC, який дорівнює 180° - 125° = 55°.

Правильна відповідь Г).

Довжина однієї з його

трикутника, оскільки 16 см - 8 см = 8 см (одна сторона дорівнює сумі двох інших).

Правильна відповідь А).

10.

shkola.in.ua

Нехай в ∆ABC AB = BC, AK бісектриса, ∠KAC = 1 2 ∠BAC. Нехай ∠KAC = x, тоді ∠A = 2x, ∠C = ∠A = 2x (як кути при основі рівнобедреного трикутника). Оскільки AK = AC, то ∆KAC рівнобедрений з основою KC. ∠K = ∠C (як кути при основі рівнобедреного трикутника), ∠K = 2x.

За властивістю суми

x + 2x + 2x = 180°; 5x = 180°; x = 36°.

∠A = ∠C = 36° × 2 = 72°. Правильна відповідь Б).

дорівнює 360°, маємо: 3x + 5x + 7x = 360°, 15x = 360°; x = 24°.

Отже, зовнішні кути дорівнюють 72°, 120°, 168°.

Тоді найменший

відповідь А). 12.

shkola.in.ua

вершині,

180° - 168° = 12°.

Нехай ∆АСВ прямокутний, ∠C = 90°, ∠B = 60°, CM медіана. ∠CAB = 30°, CB

CB = x см.

AB = 2x (за

30°), CM = 1 2AB = x (

Отже, CM + CB = 10 см, x + x = 10, 2x = 10. Отже, AB = 10 см.

В).

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1.

то

CMB = 90°.

∠MCB = 180° – (∠CMB + ∠MBC) = 180° – (90° + 40°) = 50°. 2. Оскільки

то ∠MCB = 45°.

∠CMB = 180° – (∠MCB + ∠MBC) = 180° – (45° + 40°) = 85°.

3. ∠РBС = 1 2 ∠B = 1 2 × 40° = 20°.

∠MCB = 1 2 ∠С = 1 2 × 90° = 45°.

Згідно теореми про суму кутів трикутника:

∠CОB = 180° – (∠ОCB + ∠ОBC) = 180° – (45° + 20°) = 115°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6.

shkola.in.ua

1) ∠ABC = 32° + 67° = 99°.

2) В прямокутному △ABP: ∠A = 90° − 32° = 58°.

3) В прямокутному △PBC: ∠C = 90° − 67° = 23°.

Відповідь: 99°; 58°; 23°

Нехай третя сторона дорівнює x см. Тоді |6,3 − 5,2| < x < 6,3 + 5,2; 1,1 < x < 11,5. x = 11 (см) найбільше ціле число, якому може дорівнювати третя

сторона.

Відповідь: 11 см.

7.

shkola.in.ua

1) Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 2x; ∠C = x − 16°.

2) Маємо x + 2x + x − 16° = 180°. 4x = 196°; x = 196° : 4; x = 49°.

3) Отже, ∠A = 49°; ∠B = 2 · 49° = 98°; ∠C = 49° − 16° = 33°.

Відповідь: 49°; 98°; 33°.

shkola.in.ua

1) Нехай ∠KCB = 112° зовнішній

трикутника.

2) Оскільки ∠B : ∠A = 3 : 5, то можна

позначити ∠B = 3x; ∠A = 5x.

3) Маємо за властивістю зовнішнього кута

трикутника: 3x + 5x = 112°; 8x = 112°; x = 14°.

4) Отже, ∠B = 3 · 14° = 42°; ∠C = 5 · 14° = 70°.

Відповідь: 42°; 70°.

shkola.in.ua

1) ∠CBM = ∠MBD = 60° 2 = 30°.

2) У △CBM за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо BM = 2 · CM = 2 · 8 = 16 (см).

3) В △CBM: ∠B = 90° − 60° = 30°.

4) Трикутник BMD рівнобедрений, оскільки ∠MBD = ∠D = 30°, тому MD = MB = 16 (см).

5) CD = CM + MD = 8 + 16 = 24 (см).

Відповідь: 24 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Нехай ∠KAB, ∠ABM, ∠NCA

трикутника.

∠KAB : ∠ABM : ∠NCA = 4 : 5 : 6.

Позначимо ∠KAB = 4x; ∠ABM = 5x; ∠NCA = 6x.

2) Маємо 4x + 5x + 6x = 360°.

15x = 360°; x = 360° : 15; x = 24°.

3) Тоді ∠CAB = 180° − 4 · 24° = 84°;

∠ABC = 180° − 5 · 24° = 60°;

∠BCA = 180° − 6 · 24° = 36°.

4) ∠CAB : ∠ABC : ∠BCA = 84° : 60° : 36° = 7 : 5 : 3.

1) Нехай AB = x см, тоді AC = (x − 3) см, BC = (x + 5) см.

2) Тоді x + x − 3 + x + 5 = 23; 3x − 5 = 23; 3x = 21; x = 7 (см).

3) Отже, AB = 7 см, тоді AC = 7 − 3 = 4 (см), BC = 7 + 5 = 12 (см).

4) Оскільки 7 + 4 < 12, то трикутника не існує.

Відповідь: Не існує.

Вправи для повторення теми 8 До § 38

1.

1) ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (65° + 29°) = 86°

2) ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (37° + 116°) = 27°

Відповідь: 1) 86°; 2) 27°.

2.

shkola.in.ua

1) Оскільки ∠KCB = 32° і СК - бісектриса, то ∠ACB = 2∠KCB = 2 × 32° = 64°.

∠B = ∠ACB = 64°, оскільки кути при основі рівнобедреного

трикутника рівні. Тоді ∠A = 180° - ∠ACB - ∠B = 180° - 64° - 64° = 52°.

2) ∠ACB = ∠B - оскільки ΔABC - рівнобедрений. ∠ACB = ∠B = 180° 56° 2 = 62°.

Оскільки СК - бісектриса, то ∠ACK = ∠KCB = 1 2 ∠ACB = 1 2 × 62° = 31°.

Відповідь: 1) 52°; 2) 31°.

shkola.in.ua

180° - 60° = 120°. Звідси 2x + 3x = 120°; 5x = 120°; x = 24°.

Отже, один із шуканих

Відповідь: 48°, 72°.

6.

shkola.in.ua

дорівнює 2 х 24° = 48°, другий - 3 х 24° = 72°.

Нехай ΔABC - рівносторонній, AB = BC = AC, AL, BH - медіани, AH = HC, BL = LC.

Оскільки ΔABC - рівносторонній, то ∠A = ∠B = ∠C = 60°. Оскільки AL і BH - медіани рівностороннього трикутника, то вони є бісектрисами і висотами, тоді ∠LAH = 60° : 2 = 30°, ∠BHA = 90°.

З ΔAOH: ∠AOH = 180° - ∠OAH - ∠OHA = 180° - 30° - 90° = 60°.

Відповідь: 60°. 7.

shkola.in.ua

Нехай в ΔABC: BL бісектриса, BK висота, BK ⊥ AC, ∠KBL = 16°, ∠BCA = 50°. З ΔBKL: ∠BLK = 180° - ∠BKL - ∠KBL = 180°90° - 16° = 74°. ∠BLC + ∠BLK = 180° як суміжні

∠BLC = 180° - ∠BLK = 180° - 74° = 106°.

З ΔBLC: ∠LBC = 180° - ∠BLC - ∠C = 180° - 106° - 50° = 24°.

Оскільки BL - бісектриса, то ∠ABC = 2 × 24° = 48°.

З ΔABC: ∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 48° - 50° = 82°.

Відповідь: 48°, 82°.

8.

1) Нехай x° - шуканий кут, тоді сума двох інших кутів дорівнює 5x. Звідси x + 5x = 180°; 6x = 180°; x = 30°. Отже, шуканий кут дорівнює 30°.

2) Нехай x° - шуканий кут, тоді маємо рівняння: x + 40° = 180° - x; 2x = 140°; x = 70°.

Отже, шуканий кут дорівнює 70°.

9.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Нехай △ABC - рівнобедрений, AC = CB, ∠A = ∠B, AK –бісектриса, ∠AKB = 60°. Нехай ∠KAB = x, тоді ∠CBA = 2x.

∠KAB + ∠CBA + ∠AKB = 180° (за властивістю суми кутів трикутника). x + 60° + 2x = 180°; 3x = 120°; x = 40°. Отже, ∠KAB = 40°, ∠KBA = 2 × 40° = 80°.

2) Нехай ΔABC - рівнобедрений, AC = AB, ∠A = ∠B.

AK - бісектриса, ∠CAK = ∠KAB, ∠AKC = 111°.

∠AKC + ∠AKB = 180° - як суміжні кути. ∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 111° = 69°.

Нехай ∠KAB = x, тоді ∠B = 2x.

З ΔAKB: ∠KAB + ∠AKB + ∠KBA = 180°, x + 69° + 2x = 180°; 3x = 111°; x = 37°.

Отже, ∠A = ∠B = 37° × 2 = 74°, тоді ∠C = 180° - 2 × 74° = 180° - 148° = 32°.

Відповідь: 1) 80°; 2) 32°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

∠1, ∠2, ∠3 – зовнішні кути трикутника MNK при вершинах M, N, K відповідно.

11. Нехай ΔABC - рівнобедрений, AB = BC, ∠A = ∠BCA. ∠BCK + ∠BCA = 180° - як суміжні кути. ∠BCA = 180° - 150° = 30°. ∠A = ∠BCA = 30°.

shkola.in.ua

За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠A + ∠B + ∠BCA = 180°.

Звідси ∠B = 180° - ∠A - ∠BCA = 180° - 30° - 30° = 180° - 60° = 120°.

Відповідь: 120°, 30°, 30°. 12.

1) Зовнішній

102° > 80°.

2) Зовнішній кут трикутника, не суміжний

80°, не

дорівнювати 80°, оскільки зовнішній кут трикутника більший за будь-який

3) Зовнішній кут трикутника, не суміжний з кутом 80°, не може дорівнювати 75°,

оскільки зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут, не суміжний з ним.

13.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

.

shkola.in.ua

Нехай ∠

NKM = 180° - ∠3 = 180° - 137° = 43°.

2 = ∠NMK + ∠NKM = 65° + 43° = 108°

∠CBD = 140°, ∠A = 2x, ∠C = 3x.

2x + 3x = 140°; 5x = 140°; x = 28°. Отже, ∠A = 2 × 28° = 56°, ∠C = 3 × 28° = 84°, ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 56° - 84° = 40°. Відповідь: 56°, 84°, 40°.

shkola.in.ua

100°, це неможливо

Нехай в ΔKMN ∠PMN = 80°, тоді ∠KMN = 180° - 80° = 100° (оскільки

За властивістю

зовнішнього кута трикутника маємо ∠K+∠L = ∠PMN, ∠K = ∠L = 1 2 ∠PMN = 1 2 × 80° = 40°.

Відповідь: 100°, 40°, 40°. 17.

Припустимо, що існує трикутник, у якого зовнішні кути при кожній

120°, тоді кожний внутрішній кут буде меншим 60° і сума внутрішніх кутів трикутника

буде меншою за 180°, це суперечить теоремі про суму кутів трикутника.

Отже, припущення невірне. Не існує трикутника, у якому зовнішні кути при кожній

вершин більші за 120°. 18.

shkola.in.ua

19.

shkola.in.ua

20.

shkola.in.ua

Нехай ∠CBF = ∠CAD = ∠C. ∠CBF = 180° - ∠CBA, ∠CAD = 180° - ∠CAB, тоді ∠C = ∠CBF - ∠CAD = 180° - ∠CBA - 180° + ∠CAB = ∠CAB∠CBA.

Звідси ∠CAB = ∠C + ∠CBA. ∠C + ∠CAB + ∠CBA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Оскільки ∠C + ∠CBA = ∠CAB, маємо ∠CAB + ∠CAB = 180°, 2∠CAB = 180°, ∠CAB = 90°. Отже, ΔABC – прямокутний. До § 40

1) Не слідує. На мал. ΔABC ≠ ΔDBC, проте BC ΔABC = BC ΔBCD.

2) Слідує.

3) Не слідує ΔABC ≠ ΔA1B1C1, проте ∠A = ∠A1 = 30°, ∠C = ∠C1 = 60°.

shkola.in.ua

1) ∠M = 90° - ∠K = 90° - 60° = 30°, оскільки сума

90°.

2) PK = �������� 2 = 24 2

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Нехай ΔKLM - прямокутний, ∠K = 3x°, ∠L = 7x°. Оскільки сума

кутів трикутника дорівнює 90°, маємо: 3x + 7x = 90°; 10x = 90°; x = 9°. Отже, ∠K = 3 × 9° = 27°, ∠L = 7 × 9° = 63°. Відповідь: 27°, 63°.

shkola.in.ua

ΔABC (∠B = 90°), BF ⊥ AC, ∠ABD = ∠DBC = 90° : 2 = 45°, ∠DBF = 15°. ∠FBC = ∠DBC -

∠DBF = 45° - 15° = 30°.

З прямокутного трикутника BCF: ∠BCF = 90° - ∠FBC = 90°30° = 60°.

З прямокутного ΔABC: ∠A = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°, оскільки сума гострих

трикутника дорівнює 90°.

24.

25.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

26.

Відповідь: 60°, 30°.

Нехай ΔABC - прямокутний, AC = BC, CD ⊥ AB, CD = 5 см.

Оскільки ΔABC - рівнобедрений, то CD - є медіаною.

Отже, AB = 2CD = 2 × 5 = 10 (см) за властивістю медіани

прямокутного трикутника.

Відповідь: 10 см.

Нехай в прямокутному ΔABC (∠C = 90°), ∠A = α, ∠B = β, α + β = 90°. ∠MAB = ∠���� 2 = ���� 2 , ∠MBA = ∠���� 2 = ���� 2 , тоді ∠AMB = 180° - ∠MAB - ∠MBA = = 180°���� 2���� 2 = 180°1 2(α + β) = 180°1 2 × 90° = 180° - 45° = 135°.

∠LMB - суміжний з кутом AMB. ∠LMB = 180° - 135° = 45°. Відповідь: 45°.

Нехай в ΔABC (∠A = 90°), ∠B = 30°, BA = 24 см, CD - бісектриса кута C;

∠BCD = ∠DCA. З ΔABC маємо: ∠C = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°.

BCD = ∠DCA = 60° : 2 = 30°. ΔBCD - рівнобедрений,

∠B =

shkola.in.ua

BCD, отже, CD = BD. З ΔDCA: DA = 1 2CD (оскільки ∠DCA = 30°).

маємо: BA = BD + DA = CD + 1 2CD = 24, 11 2CD = 24, CD = 24 : 11 2 = 24 : 3 2 = 48 3 = 16 (см). Відповідь: 16 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

29.

shkola.in.ua

Нехай ΔABC - рівнобедрений, AB = BC, AD ⊥ BC, ∠ABC = 120°, AD = a см.

З ΔABC: ∠A = ∠C = (180° - 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°.

З прямокутного ΔADC: AC = 2AD = 2 × a = 2a (см).

Відповідь: 2a см.

Нехай в прямокутному ΔABC CD - медіана, CD = 10 см, ∠ACD : ∠DCB = 1 : 2, отже, ∠ACD = 90° : 3 = 30°, ∠DCB = (90° : 3) × 2 = 60°.

Оскільки медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині

гіпотенузи, то AB = 2CD = 2 × 10 = 20 см, CD = DB, CD = AD. Отже, ΔCDB – рівнобедрений, оскільки ∠DCB = ∠DBC = 60°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠CDB = 180° - (∠DCB + ∠DBC) = 180° - 120° = 60°. Отже, ΔCDB – рівносторонній, CB = CD = DB = 10 см. Відповідь: 20 см, 10 см.

Нехай у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), CH - висота, CL - бісектриса, CM - медіана, ∠HCL = β. Доведемо, що ∠LCM = β. Оскільки CL - бісектриса, то ∠ACL = ∠LCB = 90° : 2 = 45°, тоді ∠ACH = ∠ACL - ∠HCL = 45° - β.

З прямокутного ΔACH: ∠A = 90° - ∠ACH = 90° - (45° - β) = 45° + β.

З прямокутного ΔABC: ∠B = 90° - ∠A = 90° - (45° + β) = 45° - β.

ΔCMB - рівнобедрений, оскільки CM = MB (за властивістю медіани, проведеної до

гіпотенузи), тоді ∠MCB = ∠B = 45° - β.

Отже, ∠LCM = ∠LCB - ∠MCB = 45° - (45° - β) = 45° - 45° + β = β.

Отже, бісектриса прямого

вершини прямого кута, навпіл. До § 41 30.

Нехай третя сторона

DA = AB : 2 = 21 : 2 = 10,5 (см).

< 6 + 4 = 10 (см).

shkola.in.ua

2)

см + 2 см. Отже, бічна сторона дорівнює 5 см

трикутника

5 см, 5 см, 2 см.

3) Бічною стороною рівнобедреного трикутника

сторона, що дорівнює 6 см, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 12 см = 6 см + 6 см. Отже, бічна сторона дорівнює 12 см і сторони трикутника дорівнюють 12 см, 12 см, 6 см. 34.

Нехай одна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 3m см, друга - 7m см. Сторона 3m см не може бути стороною рівнобедреного трикутника,

оскільки 7m > 3m + 3m. Отже, сторони трикутника дорівнюють 7m, 7m, 3m,

тоді 7m + 7m + 3m = 51, 17m = 51, m = 3.

Отже, сторони трикутника дорівнюють 7 × 3 = 21 (см), 3 × 3 = 9 (см).

Відповідь: 21 см, 21 см, 9 см.

ТЕМА 9. ФУНКЦІЇ §42. Функція. Область

42.1. Чи

3)

1)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

P

Р = 2(х + 6).

Якщо x = 2, то P = 2(2 + 6) = 2 ∙ 8 = 16 (дм);

якщо x = 4, то P = 2(4 + 6) = 2 ∙ 10 = 20 (дм);

якщо x = 5, то P = 2(5 + 6) = 2 ∙ 11 = 22 (дм);

якщо x = 15, то P = 2(15 + 6) = 2 ∙ 21 = 42 (дм).

42.8. Функцію

2) Якщо x = –3, то у = –2 ∙ (–3) = 6; якщо х = 0, то у = –2 ∙ 0 = 0;

якщо x = 8, то у = –2 ∙ 8 = –16.

42.9. Обчисліть значення функції,

що дорівнюють –2; 0; 5; 10.

Якщо x = –2, то у = 5 ∙ (–2) – 7 = – 10 – 7 = –17; якщо x = 0, то y = 5 ∙ 0 – 7 = 0 – 7 = –7;

якщо x = 5, то y = 5 ∙ 5 – 7 = 25 – 7 = 18;

якщо x = 10, то y = 5 ∙ 10 – 7 = 50 – 7 = 43.

42.10. Знайдіть

дорівнюють –40; –10; 4; 5.

Якщо х = – 40, то у = –20 40 = –1 2 = –0,5;

якщо x = –10, то у = –20 10 = –2;

якщо х = 4, то у = 20 4 = 5;

якщо х = 5, то у = 20 5 = 4.

42.11.

20

х = –12, то у = –6 12 = –0,5;

x = –5 , то у = –6 5 = –1,2; якщо х = –3 , то у = –6 3 = –2;

х = 2, то у = 6 2 = 3; якщо x = 4, то у = 6 4 = 1,5;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

якщо х = 8, то у = 6 8 = 0,75; якщо х = 10, то у = 6 10 = 0,6.

Якщо х = –7, то у = 4 ∙ (–7 ) + 3 = –28 + 3 = –25;

якщо х = –5, то у = 4 ∙ (–5) + 3 = –20 + 3 = –17; якщо х = –3, то у = 4 ∙ (–3) + 3 = –12 + 3 = –9;

якщо х = –1, то у = 4 ∙ (–1) + 3 = –4 + 3 = –1;

якщо х = 2, то у = 4 ∙ 2 + 3 = 8 + 3 = 11;

якщо х = 4, то у = 4 ∙ 4 + 3 = 16 + 3 = 19;

якщо х = 6, то у = 4 ∙ 6 + 3 = 24 + 3 = 27;

якщо х = 8, то у = 4 ∙ 8 + 3 = 32 + 3 = 35. x –7 –5 –3 –1 2 4 6 8

–25

значенням аргументу, що дорівнюють 1; 2,4; 3; 5,8.

Залежність S від t задається формулою S = 65t.

Якщо t = 1, то S = 65 ∙ 1 = 65;

якщо t = 2,4, то S = 65 ∙ 2,4 = 156;

якщо t = 3, то S = 65 ∙ 3 = 195;

якщо t = 5,8, то S = 65 ∙ 5,8 = 377.

42.16. Кожному

2; 7; 13; 20. N = 3n.

Якщо n = 2, то N = 3 ∙ 2 = 6;

якщо n = 7, то N = 3 ∙ 7 = 21;

якщо n = 13, то N = 3 ∙ 13 = 39;

якщо n = 20, то N= 3 ∙ 20 = 60.

42.17.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

в нуль. 42.19. Знайдіть значення аргументу, при якому: 1) функція у

6; 9; 15; 2) функція у = 5х – 1 набуває

–1; 4; 14. 1) у = –3х.

якщо y = –6: –6 = –3х; х = 6 : 3; х = 2; якщо y = 9: 9 = –3х; х = –9 : 3; х = –3 ; якщо y = 15: 15 = –3х; х = –15 : 3; х = –5; 2) y = 5х – 1. якщо y = –1: –1 = 5х – 1; 5х = 0; х = 0; якщо y = 4: 4 = 5х – 1; 5х = 5; х = 1; якщо y = 14: 14 = 5х – 1; 5х = 15; х = 3.

42.20. Знайдіть значення

1) функція у = 4х

0; 12; 2) функція у = 3 – 2х набуває значення –1; 3; 17. 1) у = 4х.

якщо у = –8: –8 = 4х; х = –8 : 4; х = –2; якщо у = 0: 0 = 4х; х = 0 : 4; х = 0; якщо у = 12: 12 = 4х; х = 12 : 4; х = 3; 2) у = 3 – 2х. якщо у = –1: –1 = 3 – 2х; 2х = 4 ; х = 2; якщо у = 3: 3 = 3 – 2х; 2х = 0; х = 0; якщо у = 17: 17 = 3 – 2х; 2х = –14; х = –7.

42.21. Функцію

2)

4)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) x2 – х = 0; х(х – 1) = 0; х = 0

2)

1) T = 20 + 5t;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

t = 7; 9; 10. 3)

T = 45; 60; 70. 4)

2) якщо t = 7, то T = 20 + 5 ∙ 7 = 20 + 35 = 55; якщо t = 9, то T = 20 + 5 ∙ 9 = 20 + 45 = 65; якщо t = 10, то T= 20 + 5 ∙ 10 = 20 + 50 = 70;

3) T = 45, якщо: 45 = 20 + 5t; 5t = 25; t = 5; T = 60, якщо: 60 = 20 + 5t; 5t = 40; t = 8; T = 70, якщо: 70 = 20 + 5t; 5t = 50; t = 10;

4) вода закипить, якщо T= 100, тому: 100 = 20 + 5t; 5t = 80; t = 16.

42.28. Велосипедистка

t, для якого s = 34; 55; 70. 1) S = 10 + 15t; 2)

якщо t = 1, то S = 10 + 15 ∙ 1 = 10 + 15 = 25; якщо t = 2, то S = 10 + 15 ∙ 2= 10 +30 = 40; якщо t = 5, то S = 10 + 15 ∙ 5 = 10 + 75 = 85; 3)

42.29. У таблиці

якщо S = 34: 34 = 10 + 15t; 15t = 24; t = 1,6; якщо S = 55: 55 = 10 + 15t; 15t = 45; t = 3; якщо S = 70: 70 = 10 + 15t; 15t = 60; t = 4.

х.

1) значення у, якщо х = –4; –1; 0; 3; 2) значення х,

то у =

х =

то у = 5; якщо х = 3, то у = –2; 2) у = –3, якщо x = –4 або х = – 1; у = –2, якщо х = –3 або х = 3; у = 5, якщо х = 0; 3) якщо х = 1, то у = 1;

числа –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4; 5) область значень функції складають числа

х = –8, то у = –1; якщо

х = –2; у = 2; 4)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

0. у = 0,6 – 0,3х.

x –2 –1 0 1 2 3 4 5

y 1,2 0,9 0,6 0,3 0 –0,3 –0,3 –0,9

1) якщо х = 0, то у = 0,6; 2) у = 0, якщо х = 2.

42.32. Знайдіть значення функції

1) y = �4x – 3, якщо х < 0, – 2x, якщо х ≥ 0,

Якщо x = –5, то y = 4(–5) – 3 = –23;

якщо x = 0, то y = –2 · 0 = 0;

якщо x = 3, то y = –2 · 3 = –6;

42.33. Знайдіть значення

1) y = �7x – 2, якщо х ≤ 0, – 3x, якщо х > 0,

Якщо x = –2, то y = 4(–2) – 2 = –16;

якщо x = 0, то y = 7 · 0 – 2 = –2;

х = –5; х = 0; х = 3, якщо:

2) y = � 7, якщо х ≤ 0, – x², якщо х > 0.

Якщо x = –5, то y = 7;

якщо x = 0, то y = 7;

якщо x = 3, то y = 32 = 9.

дорівнює –2; 0; 4, якщо:

якщо x = 4, то y = –3 · 4 = –12; 2) y = � 3, якщо х ≤ 2, – x², якщо х > 2.

42.34. Знайдіть найменше значення функції

= х2 + 2х + 5 = x2 + 2х + 4 + 1 = (х + 2)2 + 1.

Якщо x = –2, то y = 3; якщо x = 0, то y = 3; якщо x = 4, то y = –42 = –16.

2 + 2х + 5.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) y = x + 2, де –4 ≤ х ≤ 3;

shkola.in.ua

2) точка С(2; 5) не належить

3) якщо х = –3 , то у = –1; якщо х = 1, то y = 3;

4) y = 1, якщо x = –1; y = 5, якщо x = 3.

43.5. He виконуючи побудови графіка, знайдіть нулі функції:

1) y = 5х; у = 0, якщо: 0 = 5х; х = 0; 2) y = 3х – 6; y = 0, якщо: 0 = 3х – 6; 3x = 6; x = 2;

3) y = –���� 10 ; у = 0, якщо: 0 = –���� 10 ; х = 0;

4) y = 5 x 8 ; y = 0, якщо: 0 = 5 x 8 ; 0 = 5 – x; x = 5.

43.6. He будуючи графіка, знайдіть нулі функції:

1) y = –3x; y = 0, якщо: 0 = –3х; х = 0;

2) y = 12 – 4х; y = 0, якщо: 0 = 12 – 4x; 4x = 12; х = 3;

3) y = ���� 3 ; y = 0, якщо 0 = ���� 3 ; х = 0;

4) y = x + 2 4 ; y = 0, якщо: 0 = x + 2 4 ; х + 2 = 0; х = –2.

43.7. За графіком, знайдіть:

2)

1) Точка (1; –2 ) належить

–2 = 12 – 3 ∙ 1; –2 = –2 правильна рівність;

2) точка (–2; –2 ) не належить графіку функції у – у2 – 3х, бо: –2 = (–2)2 – 3 ∙ (–2); –2 = 10 неправильна рівність;

3) точка (0; –3) не належить графіку функції у = x2 – 3х, бо: –3 = 0 – 3 ∙ 0; –3 = 0 неправильна рівність;

4) точка (–1; 4) належить графіку функції у = х2 – 3х, бо:

4 = (–1)2 – 3 ∙ (–1); 4 = 4 правильна рівність.

43.10. He будуючи графіка функції у = 2х + х2, з’ясуйте, чи належить йому точка:

1) Точка (1; 3) належить графіку функції у = 2х + х2, бо:

3 = 2 ∙ 1 + 1; 3 = 3 правильна рівність;

2) точка (–1; 3) не належить графіку функції у = 2х + х2, бо:

3 = 2 ∙ (–1) + (–1)2; 3 = –1 неправильна рівність;

3) точка (0; 0) належить графіку функції у = 2х + х2, бо:

0 = 2 ∙ 0 + 0; 0 = 0 правильна рівність; 4) точка (–2; 4) не належить графіку функції у = 2х + х2, бо: 4 = 2 ∙ (–2) + (–2)2; 4 = 0 неправильна рівність. 43.11. За графіком знайдіть: 1) значення у, якщо х =

–2; –0,5; 1,5; 4; 2) значення х, яким відповідає у = –2,5; –1,5; 1; 3) нулі функції; 4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; 5) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.

1) Якщо х = –3, то у = –2; якщо х = –2, то у = –2,5; якщо х = –0,5, то у = 1; якщо х = 1,5, то у = 2,5; якщо х = 4, то у = –1; 2) у = –2,5, якщо х = –2; у = –1,5, якщо х = –1,5 або х = 3,5; у = 1, якщо х = –0,5 або х = 2,5;

3) х = –1 і х = 3 нулі функції; 4) функція

додатних значень, якщо –1 < х < 3; 5) функція

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2; 0; 1; 2)

shkola.in.ua

у = 2; 4; 6. 1) Якщо х = –2, то у = 3; якщо x = 0, тo y = 5; якщо х = 1, то у = 6; 2) у = 2, якщо x = –3 і х = 3; у = 4, якщо x = –1 і х = 2; у = 6, якщо х = 1. 43.14.

М(–2; –1), N(2; 3), L(6; –1).

= –2; 0; 2; 5; 2)

у = –1; 1; 3. 1) Якщо х = –2, то у = –1; якщо x = 0, то у = 1; якщо х = 2, то у = 3; якщо х = 5, то y = 0; 2) у = –1, якщо x = –2 і x = 6; у = 1, якщо x = 0 і x = 4; у = 2, якщо x = 1 і x = 3.

shkola.in.ua

43.15. He будуючи графіка, знайдіть нулі функції:

1) у = x2 – 4x; у = 0, якщо: 0 = x2 – 4x; x(x – 4) = 0; x = 0 або x – 4 = 0; x = 0 або х = 4; 2) у = 16 – х2; у = 0, якщо: 0 = 16 – х2; (4 – x) (4 + x) = 0; 4 – x = 0 або 4 + x = 0; x = 4 або х = –4; 3) у = 2х2 + 10х; у = 0, якщо: 0 = 2x2 + 10x; 2x(x + 5) = 0; 2x = 0 або x + 5 = 0; x = 0 або x = –5.

43.16. He будуючи графіка, знайдіть

1) у = x2 + 2х; у = 0, якщо: x2 + 2x = 0; x(x + 2) = 0; x = 0 або x + 2 = 0; x = 0 або х = –2;

2) у = x2 – 25; у = 0, якщо: x2 – 25 = 0; (х – 5)(x + 5) = 0; x – 5 = 0 або x + 5 = 0; x = 5 або x = –5;

3) у = 12x – 3x2; у = 0, якщо: 12x – 3x2 = 0; 3x(4 – x) = 0; х = 0 або 4 – х = 0; x = 0 або х = 4.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

43.19

1)

якщо

43.21. Спростіть вираз:

1) (а – 5)(а + 5) – а(а + 7) = a2 – 25 – a2 – 7а = –7a – 25;

2) m(m – 4) + (9 – m)(m + 9) = m2 – 4m + 81 – m2 = 81 – 4m;

3) 2а(а – b) – (а – b)2 = (а – b)(2а – а + b) = (а – b)(а + b) = а2 – b2;

4) (q + 5р)(5р – q) – (p – 5q)2 – 10pq =

43.22. Доведіть,

трицифрове

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2, що можливо, лише коли n = 1, що суперечить умові. § 44. Лінійна функція, її графік та властивості 44.1. Чи є лінійною функція: 1) Функція, задана формулою у = 2х – 3, є лінійною;

2) функція, задана формулою у = 4х – х2, не є лінійною;

3) функція, задана формулою у = 3, є лінійною;

4) функція, задана формулою у = 4 ���� , не є лінійною функцією;

5) функція, задана формулою y = ���� 3 – 1, є лінійною;

6) функція, задана формулою у = х – 1 – х6, не є лінійною функцією.

44.2. Які з даних функцій є лінійними:

1) Функція у = 2х2 – 7 не є лінійною;

2) у = 3х – 1

3) функція у = 10 ���� не є лінійною функцією;

4) у = ���� 2 + 3

5) у = –4 лінійна функція; 6) функція у = 7х – x3 не є лінійною.

44.3.

1) y = 2х; 5) y = –���� 2 ; 6) y = ���� 2 .

44.4. Чи є

1) у = –3х; 5) у = ���� 3 ; 6) у = –���� 3 . 44.5. Назвіть коефіцієнти k і l

функцій: 1) у = –0,8х + 7. Коефіцієнт k дорівнює –0,8, а коефіцієнт b 7; 2) у = 6 – х. Коефіцієнт k дорівнює – 1, а коефіцієнт b 6; 3) y = ���� 3 . Коефіцієнт k дорівнює 1 3, а коефіцієнт b 0; 4) у = 2,4х. Коефіцієнт k дорівнює 2,4, а коефіцієнт b 0; 5) у = –15. Коефіцієнт k дорівнює 0, а коефіцієнт b –15; 6) у = 0. Коефіцієнт k дорівнює 0 і

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

12; 0; 18; 2)

2,5. 1) Якщо х = –12, то у = 0,5 ∙ (–12) + 3 = –6 + 3 = –3; якщо х = 0, то у = 0,5 ∙ 0 + 3 = 0 + 3 = 3; якщо х = 18, то у = 0,5 ∙ 18 + 3 = 9 + 3 = 12; 2) якщо у = –4: –4 = 0,5х + 3; 0,5х = –7; х = –14; якщо у = 8: 8 = 0,5х + 3; 0,5х = 5; х = 10; якщо у = 2,5: 2,5 = 0,5х + 3; 0,5х = –0,5; х = –1. 44.10. Дано лінійну функцію

shkola.in.ua

44.15.

1) y = x – 3;

x 0 3

y –3 0

44.16. Побудуйте

1) y = x + 2;

x 0 –2 y 2 0

shkola.in.ua

2) y = –3x + 1; x 0 2 y 1 –5

shkola.in.ua

3) y = 0,5x – 3; x 0 2 y –3 –2

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html  shkola.in.ua

shkola.in.ua

2) y = –3x + 4; x 0 1 y 4 1

shkola.in.ua

4) y = 2 3 x – 1; x 0 3 y –1 1

shkola.in.ua

5) y = –1; x 0 2 y –1 –1

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6) y = –x + 2,5. x 0 2,5 y 2,5 0 44.17.

shkola.in.ua

1) y = x – 1; x 0 1 y –1 0

shkola.in.ua

3) y = –0,5x + 3; x 0 2 y 3 2

shkola.in.ua

2) y = –2x + 5. x 0 1 y 5 3

shkola.in.ua

shkola.in.ua

4) y = 3 4x + 1; x 0 4 y 1 4

shkola.in.ua

5) y = 4;

6) y = x – 1,5;

 shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

44.18

у = –5; i у = 2х –7.

44.21. Серед

функції у = 4x

4 = 4 ∙ 1; –4 = 4 неправильна рівність;

2) графік функції y – 2x – 2 не проходить через точку (1; –4 =), бо: –4 = 2 ∙ 1 – 2; – 4 = 0 неправильна рівність;

3) графік функції у = 1 не проходить через точку (1; –4), бо: –4 = 1 неправильна рівність;

4) графік функції у = –4 проходить через точку ( 1; –4), бо: –4 = –4 правильна рівність;

5) графік функції у = –4x проходить через точку (1; –4), бо:

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2 = 1,8 ∙ 5 – 7; –2 = 2

4)

11 = 1,8 ∙ 10 – 7; 11 = 11

44.23. He

у = –3х + 7

–4 = –3 ∙ 1 + 7; –4 = 4 неправильна рівність;

2) графік функції у = –3х + 7 проходить через точку B(0; 7), бо: 7 = –3 ∙ 0 + 7; 7 = 7 правильна рівність;

3) графік функції у = –3х + 7 проходить через точку С(–1; 10), бо: 10 = –3 ∙ (–1) + 7; 10 = 10 правильна рівність;

4) графік функції y = –3х + 7 не проходить через точку D(10; –37), бо: –37 = –3 ∙ 10 + 7; –37 = –23 неправильна рівність.

44.24. He виконуючи побудови, знайдіть нулі функції:

1) у = 2х – 6; у = 0, якщо: 2x – 6 = 0; 2х = 6; х = 3;

2) y = –1 2x + 8; y = 0, якщо: –1 2x + 8 = 0; –1 2 х = –8; х = 16;

3) у = 7х; у = 0, якщо: 7х = 0; х = 0;

4) у = –5х; у = 0, якщо: –5х = 0; х = 0.

44.25. He будуючи

1) у = 4х + 12; у = 0, якщо: 4х + 12 = 0; 4х = –12; х = –3;

2) у = –8х; у = 0, якщо: –8х = 0; х = 0.

44.26. Побудуйте графік прямої пропорційності:

1) y = x; x 0 2 y 0 2 2) y = –2,5x; x 0 2 y 0 –5

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) y = –x; x 0 2 y 0 –2 4) y = 1 2 x. x 0 4 y 0 2

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

x 0 2

y 5 0

shkola.in.ua

1) Якщо х = 0, то у = 5; якщо х = 2, то y = 0; 2) якщо у = –5 , то х = 4; якщо у = 0, то х = 2; якщо у = 10, то

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Якщо х = –2, то у = –6; якщо х = 0, то у = –3; якщо х = 4, то у = 3;

2) якщо y = –3, то х = 0; якщо у = 0, то х = 2; якщо у = 6, то х = 6;

3) якщо у – 0, то х = 2 нуль функції;

4) функція набуває додатних значень, якщо х > 2;

5) функція набуває від’ємних значень, якщо х < 2; 6) точки перетину з осями координат: (2; 0) і (0; –3).

44.30. Графік функції у = kx – 2 проходить через точку (6; –11). Знайдіть значення k. Якщо графік функції у = kх –2 проходить через точку А(6; –11), то: –11 = k ∙ 6 – 2; 6k = –11 + 2; 6k = –9; k = –1,5.

44.31. Знайдіть значення l, якщо графік

М(10; –5), то: –5 = –1 5 ∙ 10 + l; –5 = –2 + l; l = –3.

44.32. He виконуючи побудови,

осями координат: 1) Координати точки перетину графіка функції у = 1,5х – 20: а) з віссю абсцис (131 3; 0), бо, якщо у = 0, то: 1,5x – 20 = 0; 1,5x = 20; х = 131 3;

б) з віссю ординат (0; –20), бо, якщо х = 0, то: у – 1,5 ∙ 0 – 20; у = –20; 2) координати точки перетину

абсцис (20; 0), бо, якщо у =

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

з віссю абсцис (54; 0), бо, якщо = 0, то: 18 –1 3х = 0; –1 3 х = –18; х = 54

б) з віссю ординат (0; 18), бо, якщо x = 0, то: у = 18 –1 34 ∙ 0; y = 18.

44.34. Точка А(0,7; 70) належить

функцію. Якщо точка A(0,7; 70) належить

то: 70 = k ∙ 0,7; k = 70 : 0,7; k = 100.

44.35

B(–

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

х = 4х – 6; –3х = –6; х = 2. Отже, шукана точка (2; 2);

2) якщо

числа, то: –х = 4х – 6; –5х = –6; х = 1,2. Отже, шукана точка (1,2; –1,2); 3) якщо

менша за ординату, то: 2х = 4х – 6; –2х = –6; х = 3, тоді у = 2 ∙ 3 = 6. Отже, шукана точка (3; 6).

44.44. Побудуйте графік функції: 1) y = x + 1, x ≤ 0 x 0 –2 y 1 –1 y = 1, x > 0 x 1 4 y 1 1 2) y = 2x, x < –2 x –3 –4 y –6 –8 y = 3x + 2, x ≥ –2 x 0 –2

shkola.in.ua

shkola.in.ua

44.45. Побудуйте графік функції: y = 2 – 3x, x < 1 x 0 –1 y 2 5

y = 2x – 3, x ≥ 1 x 1 2

y –1 1

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

44.46.

1) y = |x|;

x 0 3 –3

y 0 3 3

3) y = 4x – |x|;

x 0 2 –1

y 0 6 –5

shkola.in.ua

shkola.in.ua

44.47. Побудуйте

1) y = –|x|;

x 0 3 –3

y 0 –3 –3

shkola.in.ua

2) y = |x| + x; x 0 3 –3

y 0 6 0

shkola.in.ua

4) y = |2x| + 3x +1. x 0 1 –2 –1 y 1 6 –1 0

shkola.in.ua

2) y = |x| – x; x 0 3 –3 y 0 0 6

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) y = 2x + |x|; x 0 2 –2 y 0 6 –2

shkola.in.ua

4) y = |3x| – x – 1. x 0 2 –2 –1 y –1 3 7 3

shkola.in.ua

44.48. Розв’яжіть рівняння:

1) (2x + 5)2 – (2х – 3)2 = 16;

4х2 + 20х + 25 – (4х2 – 12х + 9) = 16;

4х2 + 20х + 25 – 4х2 + 12х – 9 = 16;

4х2 +20х – 4х2 + 12х = 16 – 25 + 9;

32х = 0; х = 0.

Відповідь: 0; 2) (7х + 1)2 – (49х – 2)(х – 1) = –66; 49x2 + 14х + 1 – (49х2 – 49х – 2х + 2) = –66; 49х2 + 14х + 1 – 49x2 + 49х + 2х – 2 = –66; 49х2+ 14х – 49х2 + 49х + 2х = –66 – 1 + 2; 65х = –65; х = –1.

Відповідь: –1.

44.49. Спростіть вираз: 1) (5m –2)(5m + 2) – m(10m – 1) + (m –1 2)2 = 25m2 – 4 – 10m2 + m + m2 – m + 1 4 = 16m2 – 33 4; 2) (a + 4y)2 – (a – 2y)(a + 2y) – y(4a – 5y) = a2 + 8ay + 16у2 – a2 + 4y2 – 4ay + 5y2 = = 25y2 + 4ay.

44.50. Ha столі

кількість

столі залишиться (73 – х) зошитів,

Рівняння: 73 – х = 2 ∙ (17 + х); 73 – х = 34 + 2х; –х – 2х = 34 – 73; –3х = –39; х = 13. Відповідь: 13 зошитів.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3200

2)

1)

2)

44.53. Накресліть коло із центром у точці O, радіус якого дорівнює 25

Проведіть діаметр кола AB та позначте точку M, що належить колу.

1) Виміряйте довжину діаметра AB та

2) Виміряйте градусну міру кута AMB.

1) AB = 50 мм; AB = 2OA = 2OB.

2) ∠AMB = 90°. 44.54

1) Мудрець додав до

2) 18 : 2 = 9 верблюдів

3) 18 : 3 = 6 верблюдів одержав середній син;

4) 18 : 9 = 2 верблюди одержав найменший син.

Відповідь: 9; 6; 2.

1. Яка з формул задає функцію?

Функцію задає формула у = 4 х – 3 Відповідь: Б).

2. Яка з функцій є лінійною?

є функція у = х – 2.

А).

3.

В).

4.

х = –4; y = –20 –4 = 5. Відповідь: Г).

№9 (§§ 42-44)

shkola.in.ua

5. He виконуючи

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

у = 1 3 x – 2. y = 0; 0 = 1 3 x – 2; 1 3x = 2; х = 6.

Відповідь: В).

6. На якому з малюнків зображено графік функції у = 3 – х?

Графік функції y = 3 – х зображено на рисунку А).

Відповідь: А).

7. Знайдіть область визначення функції

Областю визначення функції y = 3 x² + x є всі числа, крім тих, для яких; x2 + х ≠ 0; х(х + 1) ≠ 0; x ≠ 0 i x + 1 ≠ 0; x ≠ 0 i x ≠ –1.

Відповідь: Г).

8. Яка з точок належить графіку функції

Графіку функції y = x2 – 2х належить точка (1; –1), бо: –1 = 12 – 2 ∙ 1; –1 = 1 – 2; –1 = –1.

Відповідь: Б).

9. Укажіть точку, у якій графік функції у = 0,1х + 15 перетинає вісь абсцис. y = 0; 0 = 0,1х + 15; 0,1х = –15; х = –150; (–150; 0).

Відповідь: В).

10. Знайдіть для х = 2 значення функції

Значення х = 2 задовольняє умову 0 ≤ х < 3, тому значення функції обчислюємо за

формулою у = x2: y = 22; у = 4.

Відповідь: А).

11. Графік прямої пропорційності проходить

яку також проходить цей графік.

у = kх; –4 = k ∙ 2; k = –2.

Отже, у = –2х. Дане рівняння задовольняє лише точка (3; –6).

Відповідь: Г).

12. He будуючи графіка функції у = 3x – 8, знайдіть таку

ордината є протилежними числами. y = –х; –x = 3x – 8; 4х = 8; x = 2; у = –2; (2; –2).

Відповідь: Б).

13. Установіть відповідність між функціями (1–3) та точками,

перетинає осі координат (А–Г).

1. у = 4 – 2х. – В. (0; 4), (2; 0).

2. у = 4. – А. (0; 4).

3. у = х – 4. – Г. (0; –4), (4; 0).

1. Які з даних формул задають функцію: Функцію

формули 1) y = x2 + x; 3) y = 1 ���� 8 .

є функції 1) 3x – 7; 3) y = 4.

1) y = –2x + 6; k = –2; l = 6; 2) y = 7,4х; k = 7,4; l = 0.

4.

задано формулою у = –2х + 7. Знайдіть:

§§ 42-44

1)

у = –2х+ 7; х = 5;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2)

5;

у = –2 ∙ 5 + 7 = –10 + 7 = –3;

5.

3. у = –2х + 7; у = 3; 3 = –2х + 7; 2х = 7 – 3; 2х = 4; х = 2.

y = 2x – 5 x 0 2 y –5 –1

1) x = 4; y = 3; 2) y = –3; x = 1.

6.

1)

shkola.in.ua

у = 0; у = 0,8х – 7,2; 0 = 0,8х – 7,2; 0,8x = 7,2; х = 9; 2)

точку (10; 1). у = 0,8х – 7,2; 1 = 0,8 ∙ 10 – 7,2; 1 = 8 – 7,2; 1 = 0,8 хибна рівність. Отже, графік функції

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) Нулі функції: х = –3 ; х = 6; 2) у > 0, якщо –3 < х < 6; 3) у < 0, якщо х < –3 або х > 6.

shkola.in.ua

a) у = x + 2 x 3;

якщо х = –4 , то у = 4 + 2 4 3 = 2 7;

якщо х = –2, то y = 2 + 2 2 3;

якщо х = 0, то у = 0 + 2 0 3 = –2 3;

якщо х = 2, то у = 2 + 2 2 3 = –4;

якщо х = 4, то у = 4 + 2 4 3 = 6; б) g = x 4 5 ;

x –4 –2 0 2 4 y 2 7 0 –2 3 –4 6 g –1,6 –1,2 –0,8 –0,4 0

якщо х = –4, то g = 4 4 5 = –1,6;

якщо х = –2, то g = 2 4 5 = –1,2;

якщо х = 0, то g = 0 4 5 = –0,8;

якщо х = 2, то g = 2 4 5 = –0,4;

якщо х = 4, то g = 4 4 5 = 0.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

S = 48 – 14t.

1) Якщо t = 1,5,то S = 48 – 14 ∙ 1,5 = 48 – 21 = 27;

2) якщо S = 13, то : 13 = 48 – 14t; 14t = 48 – 13; 14t = 35; t = 2,5.

4. Знайдіть область визначення функції:

1) у = 12 9����² – 17���� .

9х2 – 17х = 0;

х(9х – 17) = 0;

х = 0 або 9х – 17 = 0;

х = 0 або х = 17 9 .

Областю визначення функції є всі числа,

в нуль;

2) у = x │x│ 1 .

– 1 = 0;

= 1; x = 1 або x = – 1. Областю визначення

3) у = x │x│+ 5 .

4) у = 9 3 │x 1│

3 – |x – 1| = 0;

|х – 1| = 3;

х – 1 = 3 або х – 1 = –3;

х = 4 або х = –2.

Областю визначення

в нуль;

5) у = 15 │2x 3│ – 5 . |2х – 3| – 5 = 0; |2х – 3| = 5;

2х – 3 = 5 або 2х – 3 = –5;

2х = 8 або 2х = –2; x = 4 або х = –1.

в нуль;

6) у = 2 1 1 x .

1 –1 x = 0; 1 x = 1; x = 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Якщо x = –3, то y = –1,5; якщо х = –1,5, то у = –0,5; якщо х = 0, то у = 1; якщо х = 1,5, то у = 3,5; якщо х = 3, то у = 2; 2) y = –1,5, якщо х = –2 або х = –3, або х = 4; у = 2, якщо х = 0,5 або х = 3; у = 3, якщо х = 1 або х = 2,5;

3)

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) y = |x + 3|, де –5 ≤ x ≤ 3. За

y = � – x – 3, якщо x + 3 < 0, тобто x < – 3, x + 3, якщо x + 3 ≥ 0, тобто x ≥ – 3. y = –x – 3, –5 ≤ x < –3 x –5 –4 y 2 1 y = x + 3, –3 ≤ x ≤ 3 x –3 3 y 0 6 До §

8.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Якщо х = –4, то у = 3; якщо х = 0, то у = 0; якщо х = 8, то у = –6; 2) якщо у = –6, то x = 8; якщо у = 3, то х = –4; якщо у = 6, то х = –8; 3) якщо у = 0, то х = 0 нуль функції; 4) функція набуває додатних значень, якщо х < 0; 5) функція набуває від’ємних значень, якщо х > 0. 11. Графіки функцій

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1)

2)

3)

4) Щохвилини виливається 5 л води.

V = 15 + 2,5t залежність

резервуару водою. V = 50 − 5t залежність об’єму води V у

резервуару від води.

13. Побудуйте графік функції.

1) y = 2|x|; x 0 2 –2 y 0 4 4 2) y = 5|x| + x; x 0 1 –1 y 0 6 4

shkola.in.ua

shkola.in.ua

3) y = |х|–3х 2 ; x 0 2 –2 y 0 –2 4

shkola.in.ua

4) y = |x| + |−2x|.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

45.2

45.3.

shkola.in.ua

1) 4 см; d = 2r = 2 ∙ 4 = 8 (см); 2) 3,7 дм. d = 2r = 2 ∙ 3,7 = 7,4 (дм). 45.4.

1) 7 мм; d = 2r = 2 ∙ 7 = 14 (мм); 2) 4,8 см. d = 2r = 2 ∙ 4,8 = 9,6 (см).

45.5. Знайдіть радіус

1) 8 дм;

r = ���� 2 = 8 2 = 4 (дм); 2) 2,6 см. r = ���� 2 = 2,6 2 = 1,3 (см);

1) 18 см;

r = ����

2 = 18 2 = 19 (см);

shkola.in.ua

shkola.in.ua

2) 3,8 дм.

r = ���� 2 = 3,8 2 = 1,9 (дм);

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

45.10

shkola.in.ua

45.11

1) 2 см; 2) 5 см; 3) 7 см; 4) 9,8 см; 5) 10,2 см; 6) 1 дм? Оскільки

1) Може; 2) може; 3) може; 4) може; 5) не може; 6) не може.

45.12. Радіус

1) 1 дм; 2) 4 дм; 3) 6,7 дм; 4) 7,95 дм; 5) 8,3 дм; 6) 1 м? Хорда

1) Може; 2)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

45.16.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

ΔOAB – рівнобедрений,

∠A = ∠B.

1) Якщо ∠A = 52°, то ∠B = 52°, ∠O = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 52° – 52° = 76°.

2) Якщо ∠O = 94°, то

∠B = (180° – ∠O) : 2 = (180° – 94°) : 2 = 43°.

Відповідь: 1) 76°; 2) 43°.

1) кута O, якщо ∠B = 48°; 2) кута A, якщо ∠O = 102°. ΔAOB – рівнобедрений, оскільки OA = OB – як радіуси

shkola.in.ua

45.17. На

shkola.in.ua

∠A = ∠B.

1) Якщо ∠B = 48°, то ∠A = 48°, ∠O = 180° – ∠A – ∠B = 180° – 48° – 48° = 84°.

2) Якщо ∠O = 102°, то

∠A = (180° – ∠O) : 2 = (180° – 102°) : 2 = 39°.

Відповідь: 1) 84°; 2) 39°.

точка O центр кола, ∠COA = 32°. Знайдіть ∠CBA.

ΔCOB – рівнобедрений, оскільки OC = OB – як радіуси кола, тоді

∠C = ∠B.

∠COB + ∠COA = 180° – як суміжні кути.

Звідси ∠COB = 180° – ∠COA = 180° – 32° = 148°.

Отже, ∠CBA = (180° – ∠COB) : 2 = (180° – 148°) : 2 = 16°.

Відповідь: 16°.

45.18. На малюнку точка O центр кола, ∠BCO = 18°. Знайдіть ∠AOC.

shkola.in.ua

ΔCOB – рівнобедрений, оскільки OC = OB – як радіуси

∠C = ∠B.

∠COB = 180° – (∠C + ∠B) = 180° – 18° – 18° = 144°.

∠COB + ∠COA = 180° – як суміжні кути.

Звідси ∠COA = 180° – ∠COB = 180° – 144° = 36°.

Відповідь: 36°.

45.19. Дано коло радіусом

shkola.in.ua

45.20.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

AB

діаметр з точки кола), ∠M = 90°.

∠MAB = 90° – 60° = 30°.

AB = 2MB = 2 ∙ 5 см = 10 см.

Відповідь: 10 см.

45.21. У колі на малюнку AB

shkola.in.ua

ABM = 60°, AB = 18 см.

ΔAMB – прямокутний (згідно з теоремою 2

яким видно діаметр з точки кола), ∠M = 90°.

∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°.

MB = 1 2 AB = 1 2 ∙ 18 = 9 см.

Відповідь: 9 см.

45.22. Доведіть, що коли хорди рівновіддалені від центра

shkola.in.ua

собою рівні. Нехай AB і CD – хорди. OM ⊥ AB, ON ⊥ CD і OM = ON. Доведемо, що AB = CD. Оскільки OM ⊥ AB; ON ⊥ CD, то AM = MB, DN = CD, тобто, щоб довести, що AB = CD, досить довести, що AM = CN.

ΔAOM = ΔCON (за гіпотенузою і катетом: OM = ON – за умовою, OA = OC – як радіуси кола), тоді AM = CN.

Отже, AB = 2AM = 2CN = CD.

45.23. Доведіть, що рівні хорди кола рівновіддалені від його центра.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Нехай AB = CD, OM ⊥ AB, ON ⊥ CD. Доведемо, що OM = ON.

Оскільки OM ⊥ AB, то AM = MB, оскільки ON ⊥ CD, то CN = ND. ΔOMA = ΔONC (за

OA = OC

радіуси, AM = CN – як

рівних відрізків). Тоді OM = ON.

Нехай CF ⊥ AB, DE ⊥ AB, ∠CKF = ∠EKD = 30°. CK = 4 см, KD = 7 см. З ΔKCF: ∠F = 90°, CF = 1 2KC (оскільки ∠CKF = 30°), CF = 1 2 ∙ 4 = 2 см.

ΔDEK: ∠E = 90°, ED = 1 2KD (оскільки ∠EKD = 30°), ED = 1 2 ∙ 7 = 3,5 см.

2 см, 3,5 см.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

45.26.

45.27

shkola.in.ua

проведеною

кутів.

Оскільки ∠CFD = 90°, то ∠CFA = ∠DFA = 90° : 2 = 45°, тоді ∠CFB = ∠DFB = 180° – 45° = 135°.

Відповідь: 135°.

сторони.

shkola.in.ua

1) 6,5 ∙ 0,3 ∙ 0,45 = 0,8775 (м3) – об’єм балки; 2) 810 ∙ 0,8775 = 710,775 ≈ 711 (кг) – вага

у рівнобедрених трикутниках KLM і K1L1M1 KL = LM, K1L1 = L1M1, KM = K1M1, KN ⊥ LM, K1N1 ⊥

shkola.in.ua

shkola.in.ua

46.2. (Усно.)

46.3.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

46.8. На

46.9. З точки A до

1) Оскільки KP

до кола, то ∠OMP = ∠OMK 90°. Тому ∠NMP = 90° – ∠OMN = 90° – 53° = 37°.

2) ∠OMN = ∠KMN – 90° = 130° – 90° = 40°.

Відповідь. 1) 37°; 2) 40°.

і

(B і C точки дотику). Доведіть, що промінь OA бісектриса кута BOC.

shkola.in.ua

PQ

46.11

QM ⊥ MP, QN ⊥

ΔQMP = ΔQNP за двома катетами (QM = QN – як

кола, PM = PN – як відрізки

shkola.in.ua

до кола).

рівності трикутників маємо ∠MPQ = ∠NPQ. Отже, PQ – бісектриса кута MPN.

MON = 82°. Оскільки MK -

shkola.in.ua

shkola.in.ua

∠NMK,

то OM ⊥ MK, ∠OMK

MON) : 2 = (180° – 82°) : 2 = 49°. ∠NMK = 90° – ∠OMN = 90° – 49° = 41°.

46.13.

M,

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

МК і МN – дотичні. OK ⊥ MK, ON ⊥ MN.

З прямокутного ΔOKM: оскільки OM = 2OK, то ∠KMO = 30°.

З прямокутного ΔOMN: оскільки OM = 2ON, то ∠OMN = 30°.

Отже, ∠KMN = ∠KMO + ∠OMN = 30° + 30° = 60°.

Відповідь: 60°.

46.14. Прямі MN і MK дотикаються до кола із центром O в точках N і K. Знайдіть NK, якщо ∠OMN = 30°, MN = 7 см.

shkola.in.ua

ΔONM = ΔOKM за двома катетами (ON = OK – як радіуси кола,

MN = MK – як відрізки дотичних, проведених з однієї точки

кола). Отже, ∠NMO = ∠KMO = 30°. ΔKMN – рівнобедрений, оскільки MN = MK,

∠MNK = ∠MKN = (180° – 60°) : 2 = 120° : 2 = 60°.

Отже, ΔKMN – рівносторонній і NK = NM = 7 см.

Відповідь: 7 см. 46.15.

що

shkola.in.ua

Нехай ∠A = 1 2 ∠DCB, тоді ∠B = 1 2 ∠DCB, оскільки

суміжних з ним.

оскільки ∠B = ∠A, то трикутник ABC – рівнобедрений згідно з ознакою рівнобедреного трикутника.

46.16. На малюнку: ∠C = 90°, ∠ABC = 30°, ∠ADB = 15°, AC = 6 см. Знайдіть BD.

shkola.in.ua

З прямокутного ΔABC: AB = 2AC = 2 ∙ 6 = 12 (см) (за властивістю прямокутного трикутника з кутом 30°). ∠ABC – зовнішній кут трикутника ADB. ∠BAD + ∠D = ∠ABC (

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

∠IBK = 35°, ∠MCI = 25°.

shkola.in.ua

∠CBK = 2∠IBK (оскільки BI – бісектриса кута A), ∠CBK = 2 ∙ 35° = 70°.

∠ACB = 2∠MCI (оскільки CI – бісектриса кута C),

∠ABC = 2 ∙ 25° = 50°.

∠B = 180° – ∠A – ∠C = 180° – 70° – 50° = 60°. Відповідь: 60°. 47.5. У △ABC

CAB = 70°, ∠CBA = 60°. Знайдіть ∠MCI. ∠C = 180° – ∠CAB – ∠CBA = 180° – 70° – 60° = 50°, CI

shkola.in.ua

C. Отже, ∠MCI = ∠C : 2 = 50° : 2 = 25°. Відповідь: 25°.

.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

ΔCMI = ΔCLI (CM = CL, MI = IL).

ΔAMI = ΔAKI (AM = AK, MI = IK).

ΔKIB = ΔLIB (KB = LB, KI = LI).

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

47.12. У △ABC вписано коло, яке дотикається

сторін AB, AC і BC у точках P, F і M

відповідно. Знайдіть AP, PB, BM, MC, CF і FA, якщо AB = 8 см, BC = 6 см, AC = 12 см. Складемо систему рівнянь: � x − z = 2

shkola.in.ua

z + x = 12

x + z = 12 ⇒ � x z = 2 x + z = 12

2x = 14, x = 7.

Отже, AP = FA = 7 см, PB = 8 – 7 = 1 см, BM = PB = 1 см, MC = 6 – 1 = 5 см, FC = MC = 5 см.

Відповідь: AP = 7 см, PB = 1 см, BM = 1 см, MC = 5 см, CF = 5 см, FA = 7 см.

47.13.

shkola.in.ua

Нехай BK = 4 см, CL = 6 см, AM = 8 см.

BK = 4 см,

CM = CL = 6 см, AK = AM = 8 см.

AB = AK + BK = 8 см + 4 см = 12 см,

BC = BL + CL = 4 см + 6 см = 10 см,

AC = AM + CM = 8 см + 6 см = 14 см. Відповідь: 12 см, 10 см, 14 см. 47.14. Коло, вписане

shkola.in.ua

shkola.in.ua

ΔABC – рівнобедрений (AB = BC), AK = 3 см, KB = 4 см.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

кути прямокутного трикутника відносяться як 2 : 3. Знайдіть

бісектрисою й висотою, проведеними

shkola.in.ua

вершини прямого кута. Нехай ΔABC – прямокутний (∠B = 90°), BK ⊥ AC, BM –бісектриса, ∠ABM = ∠CBM. Оскільки сума

трикутника

90°, маємо: ∠BCA = 90° 5 ∙ 2 = 18° ∙ 2 = 36°, ∠BAC = 90° – 36° = 54°.

Оскільки BM – бісектриса, то ∠ABM = ∠CBM = 90° : 2 = 45°.

З прямокутного ΔBKC маємо: ∠CBK = 90° – ∠BCK = 90° – 36° = 54°.

Тоді ∠KBM = ∠CBK – ∠CBM = 54° – 45° = 9°.

Відповідь: 9°.

47.18. Яка швидкість поїзда (у км/год),

робить 360 обертів

1) C = π ∙ d = 3 ∙ 1,2 = 3,6 (м)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

48.3. 1)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) AB = 4,6см.

2) CA = CB.

shkola.in.ua

ΔCKO = ΔAKO (за

ΔAMO = ΔBMO (за

ΔCLO = ΔBLO (за

AM = MB, OM

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

ΔABC – рівносторонній, ∠A = ∠B = ∠C = 60°. Оскільки в рівносторонньому трикутнику медіани перпендикулярні до сторін і одночасно є бісектрисами, то центр вписаного і описаного кола співпадають і лежать на бісектрисі.

∠OAD = 1 2 ∠BAD = 60° : 2 = 30°.

ΔAOD - прямокутний, тоді AO = 2OD. OD – радіус вписаного кола, AO – радіус

48.14. LM діаметр кола,

KLM.

shkola.in.ua

48.15. I точка

прямим кутом, то ∠LKM = 90°.

LKM - прямокутний, KL = KM

∠L = ∠M = 90° : 2 = 45°.

Відповідь: 90°, 45°, 45°.

AB. Доведіть, що IN = IM. ΔAMB = ΔANB за стороною

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

48.18

shkola.in.ua

1) ∠COB, якщо ∠CAO = 50°; 2) ∠CAO, якщо ∠COB = 110°.

shkola.in.ua

48.19. Точка O

NMB, якщо

1) ∠АОС = 180° – (50° + 50°) = 80°; ∠COB = 180° – 80° = 100°.

2) ∠АОС = 180° – 110° = 70°; ∠CAO = (180° – 70°) : 2 = 55°.

MON = 140°; 2)

MON, якщо

BMN = 65°.

shkola.in.ua

1) ∠OMN = (180° – 140°) : 2 = 20°;

∠NMB = 90° – 20° = 70°.

2) ∠OMN = 90° – 65° = 25°.

∠MON = 180° – (25° + 25°) = 180° – 50° = 130°.

48.20. Відрізок 32 см

середнього відрізка.

Нехай AB = 32 см, EF = 20 см. AE + FB = 32 см – 20 см = 12 см, тоді EC + DF = AE + FB = 12 см.

Отже, CD = EF – (EC + DF) = 20 см – 12 см = 8 см.

Відповідь: 8 см.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

49.2.

1) 70°; 2) 190°. 1) 70° : 2 = 35°; 2) 190° : 2 = 95°.

49.3. Визначте

1) 20°; 2) 100°. 1) 20° ∙ 2 = 40°; 2) 100° ∙ 2 = 200°.

49.4. Точки A і

shkola.in.ua

49.5. Точки A і B

shkola.in.ua

shkola.in.ua

◡MBN + ◡MAN = 360°.

∠MAN + ∠MBN = 1 2 ◡MBN + 1 2 ◡MAN = = 1 2(◡MBN + ◡MAN) = 1 2 ∙ 360° = 180°.

◡AMB = 70° ⋅ 2 = 140°.

◡ANB + ◡AMB = 360° ⇒

◡ANB = 360° – ◡AMB = 360° – 140° = 220°.

∠ANB = ◡ANB : 2 = 220° : 2 = 110°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

CPD = 126°.

49.8.

shkola.in.ua

∠CPD = 1 2 ◡CKD. ◡CKD = 2∠CPD = 2 ∙ 126° = 252°.

◡CPD = 360° – ◡CKD = 360° – 252° = 108°.

∠COD = ◡CPD = 108°.

Відповідь: 108°.

LOK = 128°.

shkola.in.ua

∠LOK = ◡LAK = 128°.

∠LAK = 1 2 ◡LPK = 1 2(360° – ∠LOK) = 1 2(360° – 128°) = 116°. Відповідь: 116°.

Сума градусних мір двох дуг 360°:

х + 2х = 360;

3х = 360; х = 120.

Отже, градусні

120° : 2 = 60°; 240° : 2 = 120°.

Відповідь: 60°, 120°.

49.10. Хорда AB

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

49.11.

shkola.in.ua

49.12. Хорди AB і CD перетинаються в точці M. ∠ABC = 35°, ∠BAD = 55°. Доведіть, що хорди AB і CD взаємно перпендикулярні. Вписані

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

спираються

дугу, а значить, вони рівні: ∠ВСD = ∠ВАD = 55°. У △ВСМ ∠СМВ = 180° – (∠ВСD + ∠АВС)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

має дуга, на яку

спирається, а вписаний кут АСВ, що спирається на ту ж дугу, вдвічі менший:

∠АСВ = 1 2 ∙ 80° = 40°.

∠ВАС = ∠АСВ = 40° як кути при основі.

∠АВС = 180° – (∠АСВ + ∠ВАС) = = 180° – (40° + 40°) = 100°.

Відповідь: 40°, 40°, 100°.

II випадок. ∠АОВ = ◡АСВ = 80° (∠АОВ центральний), ◡АКВ = 360° – ◡АСВ = = 360° – 80° = 280°.

∠АСВ вписаний.

∠АСВ = 1 2 ◡АKВ = 280° : 2 = 140°.

∠CAB = ∠CBA = (180° – ∠АСВ) : 2 = = (180° – 140°) : 2 = 20°.

Відповідь: 140°, 20°, 20°.

III випадок. ∠АОВ = ◡AРВ = 80°, ∠АСВ = 1 2 ◡АРВ = 1 2 ∙ 80° = 40°.

∠САВ = ∠СВА = (180° – ∠АСВ) : 2 = = (180° – 40°) : 2 = 140° : 2 = 70°.

Відповідь: 40°, 70°, 70°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

МОК = ◡МРС = 100°. ∠МNК = 1 2 ◡МРК = 1 2 ∙ 100° = 50°. ∠NMК = ∠NKM = (180° – ∠МNК) : 2 = = (180° – 50°) : 2 = 130° : 2 = 65°.

Відповідь: 50°, 65°, 65°.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

49.17.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

= 240° : 2 = 120°; ∠АВС = 40 : 2 = 20°; ∠

= 80 : 2 = 40°.

120°, 20°, 40°.

II випадок. ∠МОК = ◡МNK = 100.

◡МРK = 360° – ◡МNK = 360° – 100° = 260°.

◡МNK = 1 2 ◡МРК = 1 2 ∙ 260° = 130°.

∠NМК = ∠NКМ = (180° – 130°) : 2 = 50° : 2 = 25°.

Відповідь: 130°, 25°, 25°.

III випадок. ∠МОК = ◡МРК = 100°.

∠МNК = 1 2 ◡МРК = 1 2 ∙ 100° = 50°.

∠КМN = ∠МNК = 50° як кути при основі.

∠МКN = 180° – (∠КМN + ∠МNК) = = 180° – (50° + 50°) = 180° – 100° = 80°.

Відповідь: 50°, 50°, 80°.

◡AC : ◡AB : ◡BC = 1 : 2 : 6.

х

тоді ◡АС = x; ◡AB = 2x; ◡BC = 6x. Складемо рівняння:

х + 2х + 6х = 360;

9х = 360;

х = 40° – ◡АС.

2 ∙ 40° = 80° – ◡AB.

6 ∙ 40° = 240° – ◡ВС.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

49.20.

1) l = 3

shkola.in.ua

32 = 96 (см)

2) 12 ∙ 96 = 1152 см = 11 м 52 см.

11 м 52 см.

49.21. Накресліть відрізок MN завдовжки 6 см.

1)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

= 7 см

5см = 2см. OM = 7 см, O1M = 5 см, OO1 = OM + O1M = 7 см + 5 см = 12 см.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

50.7.

1)

OM = 3 см, O1M = 8 см.

OO1 = O1M + OM = 8 см + 3 см = 11 см.

shkola.in.ua

50.8.

shkola.in.ua

50.9.

2) внутрішній дотик. OM = 8 см, O1M = 3 с, OO1 = OM – O1M = 8 см – 3 см = 5 см.

shkola.in.ua

як 2 : 5. OO1 = 12 дм, O1M : OM = 2 : 5.

Нехай O1M = 2x, OM = 5x, тоді OO1 = 5x – 2x = 3x; 3x = 12; x = 12 : 3 = 4.

Отже, O1M = 2 ∙ 4 = 8 (дм), OM = 5 ∙ 4 = 20 (дм).

Відповідь: 20 дм, 8 дм.

2 : 3.

15 см.

50.10.

shkola.in.ua

OM = 2x, O1M = 3x.

OO1 = OM + O1M = 2x + 3x = 5x.

За умовою OO1 = 15см.

Отже, 5x = 15; x = 3.

OM = 2 ∙ 3 = 6 (см), O1M = 3 ∙ 3 = 9 (см).

Відповідь: 6 см, 9 см.

і 7 см. Позначимо відстань між центрами кіл O1O2, радіуси

1) Оскільки 9 см + 3 см = 12 см, тобто O1O2 = r1 + r2, то

кіл).

2) Оскільки 5 + 2 < 12, тобто O1O2 > r1 + r2, то

3) Оскільки 13 см – 1 см = 12 см,

дотик).

4) 9 см – 7 см < 12 см < 9 см + 7 см, тобто r1 – r2 < O1O2 < r1 + r2, то кола

1) 7 см + 5 см < 14

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

.

O1O2 ⊥ AB.

shkola.in.ua

ΔAO1O2 = ΔBO1A2 (за трьома сторонами (O1A = O1B – як радіуси, O2A = O2B – як радіуси, O1O2 – спільна сторона). З рівності трикутників маємо: ∠AO1O2 = ∠BO1O2.

O1A = O1B, O1M –

отже, O1M – висота, тобто O1M ⊥ AB, а звідси O1O2 ⊥ AB (так як O1O2 містить O1M).

50.13. Два кола перетинаються в точках C і D. Точки

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

O1O2 = 5

O2O3 = 7 см,

2 = 8 см. Нехай O1A = r1, O2A = r2, O2B = r3, тоді O1O2 + O2O3 + O1O3 = r1 + r2 + r2 + r3 + r3 + r1 = = 2(r1 + r2 + r3).

Тоді r1 + r2 + r3 = O₁O₂+O₂O₃+O₁O₃ 2 = 5+7+8 2 = 10 (см). r1 = (r1 + r2 + r3) – O2O3 = 10 – 7 = 3 (см);

r2 = (r1 + r2 + r3) – O1O3 = 10 – 8 = 2 (см); r3 = (r1 + r2 + r3) – O1O2 = 10 – 5 = 5 (см).

Відповідь: 3 см, 2 см, 5 см.

O1O2 = 14 см, O3B = O3C = 6 см.

O1B + O2C = O1A + O2A = O1O2 = 14 см.

PΔО1О2О3 = O1O2 + O1B + O2C + O3B + O3C = = 14 см + 14 см + 6 см + 6 см = 40 см.

Відповідь: 40 см.

50.16.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

50.17. На малюнку коло

= 1 2 AB = 20 2 = 10 (см) (за

трикутника з кутом 30°).

Відповідь: 10 см.

сторін). Доведіть, що AB + CD = AD + BC.

shkola.in.ua

Нехай K, L, M, N точки дотику. Тоді за властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо:

AK = AL, BL = BM, CM = CN, DN = DK.

Додавши почленно

AK + BM + CM + DK = AL + BL + CN + DN; (AK + DK) + (BM + CM) = (AL + BL) + (CN + DN); AD + BC = AB + CD.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

2(a + b) = 12; a + b = 6; (1)

2(a + c) = 13; a + c = 6,5; (2)

2(b + d) = 16; b + d = 8. (3)

Отримаємо: c – b = 0,5.

c + d = 0,5 + 8 = 8,5.

2 ∙ 8,5 = 17 (см).

17 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

2) Знаходимо точку M перетину прямої FN

4) Проведемо дугу кола

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1)

2)

3)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

2)

3) Дуга з центром у точці В і з радіусом r = с = 5 см.

4) Дуги з п. 2) і п. 3) перетинаються

1) AC = 7 см.

2) Дуга з центром у точці A із радіусом AB = 4 см.

3)

4)

з п. 2) і п. 3) перетинаються у точці В.

5) ∆ABC шуканий.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) KL = AB.

2)

3)

4) Дуги з п. 2) і п. 3) перетинаються у точці М. 5) ∆KLM = ∆ABC.

1) AB довільний відрізок.

2)

3)

BA.

4) Дуги з п. 2) і п. 3) перетинаються у точці С.

5) ∆ABC рівносторонній і шуканий.

1) KL = а.

2)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.25. Побудуйте ∆DEF, якщо DE = 6 см, ∠D = 40°, ∠E = 80°.

shkola.in.ua

1) DE = 6 см.

2) ∠ADE = 40°.

3) ∠DEB = 80°.

4) Промені DA i EB перетинаються у точці F. 5) ∆DEF шуканий.

shkola.in.ua

51.26. Побудуйте ∆NPT, якщо NP = 4 см, ∠N = 50°, ∠P = 100°.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) NP = 4 см.

2) ∠ANP = 50°.

3) ∠BPN = 100°.

4) Промені NA і PB перетинаються у точці Т. 5) ∆NPT – шуканий.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) ΔABC шуканий. 51.29.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Будуємо AB = 4 см.

2) Будуємо ∠BAC = 70°.

3) Будуємо ∠BAC = 70°.

4) ΔABC шуканий.

51.32. Побудуйте рівносторонній трикутник зі стороною 5 см і впишіть у нього коло.

shkola.in.ua

1) Будуємо відрізок AC = 5 см, який дорівнює стороні рівностороннього трикутника. 2) За

3) Оскільки центр

shkola.in.ua

1) Знайдемо середини відрізків

AB і AC.

2) Побудуємо перпендикуляри до сторін трикутника AB і

перетину серединних перпендикулярів центр описаного кола.

shkola.in.ua

BD = 6 2 = 3 (см) і AD = 4 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.35.

51.36.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

AM = AN; MF = NF; FA ⊥ MN; FA дотична.

shkola.in.ua

теоремою

трикутника: ∠A = ∠B = (180° − 80°) : 2 = 50° Щоб отримати кут 50° для побудови, проведемо в умові PC⊥CD → ∠PCD = 90°.

Побудуємо бісектрису ∠MCD:

∠KCM = 40°; ∠MCP = 10°

∠KCP = 40° + 10° = 50°

Будуємо △

50°.

Сторони кутів A і B

перетинаються в т. C. △АВС шуканий.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1)

2)

CA.

3) CM бісектриса прямого

бісектрисі CM.

5) Промінь AK перетинає пряму

точці В.

6) ∆ABC шуканий.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

2)

3)

shkola.in.ua

2)

3)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

6)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1)

AB.

2) ∠MAB = ∠A.

3) AL -

4)

5) Промінь BK

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.46.

51.47.

shkola.in.ua

кути 30° і 60°. 1) Накреслити коло; 2) від довільної т. А відкласти радіус; AB = OA; ∠BOA = ∠OBA = ∠BAO = 60°;

3) поділити відрізок AB навпіл: BL = LA; OL медіана, бісектриса і висота; ∠BOL = ∠LOA = 30°.

15°.

1) Накреслити коло; 2) від т. А відкласти OA = AB; ∠BOA = 60°;

3) поділити відрізок AB навпіл: BL = LA; OL медіана, бісектриса і висота; ∠LOA = 30°;

4) поділити кут LOA навпіл: ON бісектриса; ∠NOM = ∠NOL = 15°.

51.48. Побудуйте без транспортира ∆ABC, у якого:

1) AB = 5 см, ∠A = 60°, ∠B = 45°; 2) AB = BC = 4 см, ∠B = 150°.

shkola.in.ua

1) 1) Накреслити AB = 5 см; 2) із т. А і т. В радіусом циркуля 5 см опишемо дуги і отримаємо т. М; 3) провести промінь AM; ∠MAB = 60°;

4) продовжити відрізок AB і

NB = BK;

5) з точок N і K провести рівні

з'єднати т. L з т. B; LB ⊥ AB; 6) побудувати бісектрису ∠LBN; ∠NBF = ∠FBL = 45°;

7) продовжити відрізок BF

AM; т. C вершина

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

2) Якщо AB = BC, то трикутник рівнобедрений.

∠A = ∠C = (180° – 150°) : 2 = 15°.

1) Побудувати рівносторонній

трикутник APB;

2) поділити AP і PB навпіл:

AM = MP, PN = NB;

∠NAB = ∠MBA = 30°;

3) відкласти AK = AB і BM = AB, з'єднати т. A і т. М, т. B і т. K;

4) поділити KB і AF навпіл:

AE = EM, KL = LB; ∠LAB = ∠EBA = 15°;

∠ACB = 150°.

ACB шуканий трикутник.

51.49. Побудуйте без

1) KM = 4 см, ∠K = 30°, ∠M = 45°;

2) KM = MP = 5 см, ∠M = 120°.

1) 1) Накреслити KM = 4 см;

2) побудувати рівносторонній ΔKMF;

3) поділити бісектрису KN (вона також медіана і висота) ⇒ ∠NKM = 30°;

4) продовжити відрізок KM і відкласти від т. М рівні відрізки: CM = MD;

5) з точок C і D провести рівні дуги; з'єднати т. L і т. М; LM ⊥ KM; 6) побудувати бісектрису ∠LMC; ∠CME = ∠EML = 45°;

7)

shkola.in.ua

2) KM = MP, ∠M = 120° ⇒ ∠K = ∠P = 30°.

1)

3)

5) відкласти FP = KF.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

5

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Побудувати рівносторонній трикутник ABC, AC вдвічі більша за дану медіану;

2) поділити навпіл AB і BC; 3) позначити точку F

3) з т. F

AC

shkola.in.ua

1) Коло з радіусом R.

2)

3)

5)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Нехай у ∆ABC: ∠A = 15°; ∠B : ∠C = 7 : 8.

Позначимо ∠B = 7х; ∠C = 8х.

2) Маємо 15° + 7х + 8х = 180°; 15х = 165°; х = 11°.

Отже, ∠B = 7 ∙ 11° = 77°; ∠C = 8 ∙ 11° = 88°.

3) Найменший із зовнішніх кутів

кутом трикутника. ∠KCA = 180° – 88° = 92°.

Відповідь. 92°.

51.53. Доведіть,

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) Нехай ∆ABC = ∆A1B1C1; CK і C1K1 бісектриси. 2) Оскільки ∆ABC = ∆A1B1C1, то BC = B1C1; ∠B = ∠B1. 3) Оскільки ∠ACB = ∠A1C1B1 та CK і C1

∆KCB = ∆K1C1B1 (за другою ознакою). Тому CK = C1K1, що й треба

shkola.in.ua

∠C = 90°; ∠A = 30°; AB = 60 см; CK

2) ∠B = 90° – ∠A = 60°.

3) У ∆CKB: ∠KCB = 180° – (60° + 90°) = 30°.

KB = �������� 2 = 30 2 = 15 (см).

5) AK = AB – BK = 60 – 15 = 45 (см).

15 см і 45 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

51.55. 1)

S = π ∙ r2 = 3,14 ∙ 15 = 47,1 (м2)

47,1 ∙ 40 = 1884 (л)

2)

35 ∙ 1884 = 65940 (грн).

51.56.

України.

∠ABC = 120°;

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) ∠ABK = x°; ∠KBC = (x + 20)°; x + x + 20 = 120; 2x = 100; x = 50; x + 20 = 70;

2) ∠KBC = x°;

∠ABK = 3x°; x + 3x = 120; 4x = 120; x = 30; 3x = 90;

3) ∠ABK = 3x°; ∠KBC = 5x°; 3x + 5x = 120; 8x = 120; x = 15; 3x = 45; 5x = 75.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

Відповідь:

4.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

6. Кола, радіуси яких 6 см і 2 см, мають

Б) 40°.

центрами. А. 2 см; Б. 4 см; В. 6 см; Г. 8 см O1O2 = O1A – O2A = 6 – 2 = (см). Відповідь: Б).

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

OO1 = 14 см, O1A = x, OA = x + 4.

Тоді x + x + 4 = 14; 2x = 10; x = 5.

Отже, O1A = 5 см, OA = 5 + 4 = 9 (см).

Відповідь: Б). 9. Хорди MN і KL перетинаються

точці A. ∠MKL = 30°, ∠KLN = 70°. Знайдіть

міру кута KAM. А. 30°; Б. 70°; В. 80°; Г. 100° Вписаний кут MKL спирається на хорду ML. Також, на цю хорду, спирається вписаний кут MNL. Отже, ці

shkola.in.ua

рівні: ∠MKL = ∠MNL = 30°. Розглянемо трикутник ANL. В ньому нам відомі

В) 80°

дорівнює 10 см. А. 10 см; Б. 15 см; В. 20 см; Г. 25 см

shkola.in.ua

Нехай OB = OA = 10 см, ∠MBA = 60°.

З ΔBKM: ∠K = 90°,

∠OMB = 90° – 60° = 30°.

З ΔOMB: ∠B = 90°.

Згідно властивості катета, що лежить

навпроти кута 30° маємо:

OM = 2OB = 2 ∙ 10 см = 20 см. Відповідь: В) 20 см.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

52 мм.

2.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

1) Будуємо пряму, позначаємо точку

2) Визначаємо кути при основі: ∠A = ∠B = 180° – 50° 2 = 65°.

3) Будуємо ∠KAB = 65°.

4) Будуємо ∠LBA = 65°.

5) Промені AK і BL перетинаються у точці С.

6) ∆ABC шуканий.

AK = AL = 5 см, LB = MB = KC = MC = 2 см.

PΔABC = AB + BC + CA = AL + LB + MB + MC + KC + KA = = 5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 5 = 18 (см).

Відповідь: 18 см.

10. З точки A, що лежить

точки дотику, ∠BAC = 60°.

кола дорівнює 8 см.

shkola.in.ua

3)

Нехай AB і AC

∠BAC = 60°, OA = 8 см.

AB і AC, де B і C

точки

ΔABO = ΔACO (за катетом і гіпотенузою: OC = OB – як радіуси

рівності трикутників: ∠BAO = ∠CAO = 1 2 ∠BAC = 1 2 ∙ 60° = 30°.

BAO = 30°) маємо: OB = 1 2 OA = 1 2 ∙ 8 = 4 (см).

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

AKB, якщо ∠KOB = 130°.

shkola.in.ua

∠AOK = зовнішній кут до кута KOB.

AOK = 180° – 130° = 50°.

ΔAOK – рівнобедрений, оскільки OA = OK –

радіуси, тоді ∠OAK = ∠AKO = (180° – 50°) : 2 = 130° : 2 = 65°.

ΔKOB – рівнобедрений, оскільки OK = OB – як радіуси, тоді ∠OKB = ∠OBK = (180° – 130°) : 2 = 25°.

ΔAKB – прямокутний,

∠AKB = 90°. Отже, ∠A = 65°, ∠K =

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

7.

shkola.in.ua

Нехай AB = BC = OC = OA, тоді ΔAOB і ΔBOC – рівносторонні.

∠A = ∠AOB = ∠ABO = 60°, ∠C = ∠OBC = ∠OCB = 60°.

∠ABC = ∠ABO + ∠OBC = 60° + 60° = 120°.

Відповідь: 120°.

8. AB

shkola.in.ua

ABK, якщо

AKB = 90°,

90°. Нехай ∠KAB = x°, тоді ∠KBA = 4x°. x + 4x = 90°; 5x = 90°; x = 18.

Отже, ∠A = 18°, ∠B = 18° ∙ 4 = 72°.

Відповідь: 18°, 72°, 90°.

трикутника MON.

shkola.in.ua

Нехай ОК = АК, MN ⊥ OA.

З ΔOMK: ∠OMK = 30°, оскільки OK = 1 2 OM.

ΔMON – рівнобедрений, оскільки OM = ON – як радіуси, тоді ∠ONM = ∠OMN = 30°, ∠MON = 180° – ∠ONM – ∠OMN = 180° – 30° – 30° = 120°.

Отже, в ΔMON ∠MON = 120°, ∠OMN = 30°, ∠MNO = 30°. Відповідь: 30°, 30°, 120°. 1.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

12.

і кола, якщо: 1) OK = 12 см, r = 14 см; 2) r = 7 см, OK = 70 мм; 3) OK = 2 дм, r = 18 см; 4) r = 32 мм, OK = 0,3 дм?

shkola.in.ua

1) Пряма p перетинає коло, оскільки OK < r, 12 см < 14 см.

2) Пряма p дотикається до кола, оскільки OK = r, 7 см = 70 мм.

3) Пряма p не має

оскільки OK > r, 2 дм > 18 см.

4) Пряма p перетинає коло, оскільки OK < r, 0,3 дм < 32 мм. 13.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

AM = AN – за умовою).

рівності трикутників

що OM =

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

рівносторонній. Нехай BD і CK медіани, O центр кола,

O точка перетину бісектрис, то BD і CK

shkola.in.ua

Отже, ΔABC рівносторонній.

19. Вписане в рівнобедрений трикутник

см.

shkola.in.ua

Нехай ΔABC рівнобедрений (AB = CB), E, F, D – точки дотику.

За умовою EA : EB = 2 : 3. Нехай EA = 2x, EB = 3x.

Враховуючи рівність відрізків дотичних, проведених з однієї точки до кола, маємо:

PΔABC = AB + BC + CA = (2x + 3x) + (3x + 2x) + (2x + 2x) = 14x.

За умовою P = 70 см, отже, 14x = 70 см, x = 5 см.

Тоді AB = BC = 2x + 3x = 5x = 5 ∙ 5 = 25 (см), AC = 2x + 2x = 4x = 4 ∙ 5 = 20 (см).

Відповідь: 25 см, 25 см, 20 см. 20. Накресліть

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

AC. 22. Доведіть, що центр кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, збігається

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1 + 2 + 3 = 4 = 10.

поділили на 10 частин. Стороні

чотирикутника відповідає 1 частина, стороні ВС 2, СD З і АD 4 частини. Дуга, що відповідає одній частині, дорівнює 360° : 10 = 36°.

∠А спирається на дугу ◡АD = 6 ∙ 36° = 216°.

∠A = 1 2 ◡AD = 216° : 2 = 108°.

Аналогічно, ∠B = 1 2 ◡AC = 1 2 ∙ 7 ∙ 36° = 126°.

∠C = 1 2 ◡BD = 1 2 ∙ 5 ∙ 36° = 90°.

∠D = 1 2 ◡AC = 1 2 ∙ 3 ∙ 36° = 54°.

Відповідь: 108°, 126°, 90°, 54°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

1) AB = 4 см. Кола не перетинаються.

2) AB = 4 см. Кола перетинаються. 31.

3 см, 8 см і 3 см.

Нехай CA = 3 см, AB = 8 см, BD = 3 см.

AO = AB : 2 = 8 см : 2 = 4 см.

CO = CA + AO = 3 см + 4 см = 7 см.

4 см, 7 см.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

якщо AB = 12 см. Нехай OB = 10x, OA = 7x.

AB = OB – OA = 10x – 7x = 3x.

За умовою 3x = 12 см, x = 4 см.

Тоді OB = 10 ∙ 4 = 40 (см),

OA = 7 ∙ 4 = 28 (см).

Відповідь: 40 см, 28 см.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

якщо вони відносяться як 5 : 3. Розгляньте

shkola.in.ua

shkola.in.ua

shkola.in.ua

Нехай O1K = 5x, OK = 3x,

тоді 5x + 3x = 16;

8x = 16; x = 2.

Отже, O1K = 5 ∙ 2 = 10 (см),

OK = 3 ∙ 2 = 6 (см).

Відповідь: 10 см, 6 см.

дотик.

II випадок. Кола мають внутрішній дотик.

Нехай OK = 5x, O1K = 3x.

Тоді O1O = OK – O1K = 5x – 3x = 2x; 2x = 16; x = 8.

Отже, OK = 5 ∙ 8 = 40 (см), O1K = 3 ∙ 8 = 24 (см).

Відповідь: 40 см, 24 см.

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

2)

shkola.in.ua

shkola.in.ua

∠A тупий.

1) Довільним радіусом

з т. A; 2) довільним радіусом провести

з т. B і т. C; з'єднати т. A і т. D; ∠BAD = ∠DAC; 3) радіусом AB = AC провести дугу з т. A, що перетинає AD;

4) довільним радіусом

F, F і C;

5) з'єднати т. A з т. M, т. A з т. N; ∠BAM = ∠MAD = ∠DAN = ∠NAC = 1 4 ∠BAC ⇒ ∠BAM = 1 4 ∠BAC, ∠MAC = 3 4 ∠BAC.

shkola.in.ua

1) На сторонах

A

точки B і C; з'єднаємо їх; 2) побудуємо ΔOMN = ΔABC, OM = AB, MN = BC, ON = AC; 3) на сторонах кута K позначимо точки F і L; з'єднаємо їх;

4) побудуємо ΔQPE = ΔKFL, KL = PQ, KF = EQ, FL = PE;

5) ∠BAC = ∠MON, ∠FKL = ∠EQP; продовжимо OM і QE до перетину; ∠ODQ є шуканим.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

AB = AC, ∠A = 90° ⇒ ∠B = ∠C = 45°; AK ⊥ BC; BK = AK = KC.

1) Накреслити BC; 2) поділити BC навпіл і провести через т. K

перпендикуляр; 3) відкласти KA = KB = KC; 4) з'єднати т. A з т. B і т. C. ΔABC є шуканим.

shkola.in.ua

кутом.

1) Накреслити катет AB; 2) на сторонах ∠B провести дугу та позначити точки M і N;

3) по трьом сторонам

побудувати ΔBFK = ΔBMN; BF = BN, BK = BM, FK = MN; продовжити промінь BK; 4) від точки A відкласти

провести дуги; 5) з'єднати т. D з т. A і

продовжити промінь AD; точка

shkola.in.ua

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

shkola.in.ua

AB < AC; ∠C = α.

1) Накреслити відрізок AC;

2) Побудувати ∠C = α;

3) з т. A провести дугу радіусом AB. Точки B1 і В2 вершина трикутників AB1C і AB2C, які є шуканими. 46

LNM промінь NT. Тоді ∠LNT= ∠B = ∠C.

shkola.in.ua

shkola.in.ua

2) NP – бісектриса кута ∠LNT. Тоді ∠PNL = ∠KBC.

3) ∠KBC = 180° – (∠C + ∠KBC). Для побудови кута BKC від розгорнутого

відкладемо ∠C і ∠KBC; ∠DEF = ∠C; ∠DEG = ∠KBC. Тоді ∠GEH = ∠BKC.

4) Будуємо ∠KBC за стороною і

прилеглими кутами.

5) ∠KBQ = ∠CBK.

6) CK і BQ перетинаються

7) ∆ABC – шуканий.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2)

3) Тоді AB = AD, а тому AB + AC = AD + AC = b + с, тобто ∆ABC шуканий трикутник. shkola.in.ua

shkola.in.ua