ГДЗ математика 7 клас Істер 2024 ч.2

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

.1. (Усно.)

5) (x + 3)2;

8) (x + y)2;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) (a − b)2; 7) (4 − p)2

32.2. (Усно.) Які з рівностей є правильними:

1) (b − 2)2 = b2 − 22; не правильна

2) (a + 3)2 = a2 + 2 · a · 3 + 32; правильна

3) (x + 5)2 = x2 + x · 5 + 52; не правильна

4) (7 − y)2 = 72 − 2 · 7 · y + y2? правильна

32.3. Які з рівностей є правильними:

1) (a + 7)2 = a2 + 72; не правильна

2) (x − 3)2 = x2 − 2 · x · 3 + 32; правильна

3) (2 − y)2 = 22 − 2 · y + y2; не правильна

4) (b + 3)2 = b2 + 2 · b · 3 + 32? правильна

32.4. Подайте у вигляді многочлена:

1) (a + m)2 = а2 + 2аm + m2; 2) (b − x)2 = x2 + 2xp + p2; 3) (x + p)2 = b2 – 2bх + x2; 4) (m − y)2 = m2 – 2mу + у2 .

32.5. Піднесіть до квадрата:

1) (b − p)2 = b2 – 2bp + p2; 2) (x + t)2 = c2 – 2ca + a2; 3) (c − a)2 = х2 + 2xt + t2; 4) (y + d)2 = y2 + 2yd + d2

32.6. (Усно.) Подайте

1) (a + 4)2 = а2 + 8а + 16; 2) (x − 3)2 = b2 + 4b + 4; 3) (b + 2)2 = x2 – 6х + 9; 4) (m − 5)2 = m2 – 10m + 25.

32.7. Піднесіть до квадрата:

1) (x − 9)2 = x2 – 18х + 81; 2) (a + 3)2 = 100 – 20m + m2; 3) (10 − m)2 = c2 – 0,4с + 0,04; 4) (7 + y)2 = а2 + 6а + 9; 5) (c − 0,2)2 = 49 + 14у + y2; 6) (0,8 + x)2 = 0,64 + 1,6х + х2 .

32.8. Перетворіть на многочлен:

1) (2x + 5)2 = 4х2 + 20х + 25; 2) (7b − 4)2 = 49b2 – 56b + 16; 3) (10x + 3y)2 = 100x2 + 60ху + 9у2; 4) (9a − 4b)2 = 81а2 – 72ab + 16b2; 5) (1 3x + 3y)2 = 1 9 x2 + 2ху + 9у2; 6) (5m − 0,2t)2 = 25m2 – 2mt + 0,04t2 .

32.9. Перетворіть на многочлен:

1) (a − 3)2 = а2 – 6а + 9; 2) (x + 9)2 = х2 + 18х + 81; 3) (c + 0,3)2 = с2 + 0,6с + 0,09; 4) (2a − 5)2 = 4а2 – 20а + 25; 5) (4y + 3)2 = 16у2 + 24у + 9; 6) (9a − 8b)2 = 81а2 – 144ab + 64b2; 7) (4b + 7a)2 = 16b2 + 56ab + 49а2; 8) (1 2m − 2n)2 = 1 4 m2 – 2mn + 4n2; 9) (0,5p + 2q)2 = 0,25p2 + 2pq + 4q2

32.10. Виконайте дії:

1) (3a + 1)2 − 1 = 9а2 + 6а + 1 – 1 = 9а2 + 6а;

2) 12ab + (2a − 3b)2 =12аb + 4а2 – 12аb + 9b2 = 4а2 + 9b2;

3) (4a + 8)2 − 16(a2 + 4) = 16а2 + 64а + 64 – 16а2 – 64 = 64а;

4) −4y2 + (5x − 2y)2 − 25x2 = –4y2 + 25х2 – 20ху + 4у2 – 25x2 = –20xу.

32.11. Спростіть:

1) 20a + (a − 10)2 = 20а + а2 – 20а + 100 = а2 + 100; 2) (3m + 5)2 − 9m2 = 9m2 + 30m + 25 – 9m2 = 30m + 25;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (x + 4)2 − 8(x + 2) = х2 + 8х+ 16 – 8х – 16 = х2; 4) (2a − 7b)2 − (4a2 + 49b2) = 4а2 – 28аb + 49b2 – 4а2 – 49b2 = –28аb.

32.12. Перетворіть вираз

1) (a − 2)2 + a(a + 4) = а2 – 4а + 4 + а2 + 4а = 2а2 + 4; 2) (b + 1)(b + 2) + (b − 3)2 = b2 + 2b + b + 2 + b2 – 6b + 9 = 2b2 – 3b + 11.

32.13. Спростіть вираз:

1) (m − 5)2 − m(m − 10) = m2 – 10m + 25 – m2 + 10m = 25; 2) (x + 4)2 + (x + 1)(x − 9) = x2 + 8х + 16 + x2 – 9х + х – 9 = 2х2+ 7.

32.14. Розв’яжіть рівняння:

1) (x + 3)2 − x2 = 12;

x2 + 6x + 9 – x2 = 12;

6х= 12 – 9; 6х = 3;

х = 0,5.

Відповідь: 0,5;

32.15. Розв’яжіть рівняння:

1) (x − 4)2 − x2 = 24;

x2 – 8х + 16 – х2 = 24; –

8х = 24 – 16; –

8х = 8;

х = – 1.

Відповідь: –1;

32.16. Заповніть

2х b 4x2 – 4xb + b2 2х 7b 4x2 – 28xb + 49b2

3х

2) (y − 2)2 = y2 − 2y. y2 – 4у + 4 – у2 = –2у; –4у + 2у = –4; –2у = –4; у = 2.

Відповідь: 2.

2) (y + 5)2 = 5y + y2. у2 + 10y + 25 – у2 = 5у; 10y – 5у = –25; 5у = –25; у = –5.

Відповідь: –5.

5a

1) (100 + 2)2 = 10000 + 400 + 4 = 10404;

2) 412 = (40 + 1)2 = 1600 + 80 + 1 = 1681;

3) 992 = (100 – 1)2 = 10000 – 200 + 1 = 9801; 4) 3,82 = (4 – 0,2)2 = 16 – 1,6 + 0,04 = 14,44.

32.19. Обчисліть,

1) (40 − 1)2 = 1600 – 80 + 1 = 1521;

2) 892 = (90 – 1)2 = 8100 – 180 + 1 = 7921;

3) 5012 = (500 + 1)2 = 250000 + 1000 + 1 = 251001;

4) 4,022 = (4 + 0,02)2 = 16 + 0,16 + 0,0004 = 16,1604.

32.20.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

(x − y)2, (x + y)2, (−y + x)2, (−x − y)2

1) (y + x)2 = (x + у)2 = (–х – у)2; 2) (y − x)2 = (х – у)2 = (–у + х)2 .

32.21. Подайте у вигляді многочлена:

1) (−p + 5)2 = (–(p – 5))2 = (р – 5)2 = р2 – 10p + 25;

2) (−a − 7)2 = (–(а + 7))2 = (а + 7)2 = a2 + 14а + 49;

3) (−p − 2m)2 = (–(р + 2m))2 = (р + 2m)2 = р2 + 4рm + 4m2; 4) (−3b + c)2 = (–(3b – с))2 = (3b – с)2 = 9b2 – 6bc + с2 .

32.22. Перетворіть на многочлен:

1) (−a + 3)2 = (–(а – 3))2 = (а – 3)2 = а2 – 6а + 9;

2) (−b − 5)2 = (–(b + 5))2 = (b + 5)2 = b2 + 10b + 25;

3) (−4m + p)2 = (–(4b – р))2 = (4b – р)2 = 16b2 – 8mp + р2;

4) (−a − 3b)2 = (–(а + 3b))2 = (а + 3b)2 = а2 + 6аb + 9b2 .

32.23. Перетворіть на многочлен:

1) (−9b + 4m)2 = (–(9b – 4m))2 = (9b – 4m)2 = 81b2 – 72bm + 16m2;

2) (−7a − 10b)2 = (–(7а + 10b))2 = (7а + 10b)2 = 49а2 + 140аb + 100b2;

3) (−0,5m − 0,4p)2 = (–(0,5m + 0,4р))2 = (0,5m + 0,4р)2 = 0,25m2 + 0,4рm + 0,16р2;

4) (−11 2x + 6y)2 = (–(–11 2 x – 6y))2 = (3 2 x – 6y)2 = 9 4 x2 – 18xy + 36y2;

5) (0,04p − 50q)2 = 0,0016р2 – 4рq – 2500q2;

6) (−0,25c − 0,2d)2 = (–(0,25с + 0,2d))2 = (0,25с + 0,2d)2 = 0,0625с2 + 0,1сd + 0,04d2 .

32.24. Подайте у вигляді многочлена:

1) (−3a + 5x)2 = (–(3а – 5х))2 – (3а – 5х)2 = 9а2 – 30а + 25х2;

2) (−8x − 5y)2 = (–(8х + 5y))2 = (8х + 5у)2 = 64х2 + 80хy + 25у2;

3) (−4b − 0,5y)2 = (–(4b + 0,5у))2 = (4b + 0,5у)2 = 16b2 + 4bу + 0,25y2;

4) (8x + 1 16y)2 = 64x2 + xy + 1 256y2;

5) (−0,02a − 10b)2 = (–(0,02а + 10b))2 = (0,02а + 10b)2 =0,0004a2 + 0,4аb + 100b2;

6) (−0,15m + 0,1n)2 = (–(0,15m – 0,1n))2 = (0,15m – 0,1n)2 = 0,0225m2 – 0,03mр + 0,01n2 .

32.25. Виконайте дію:

1) (a2 − 9)2 = а4 – 18а2 + 81;

2) (7 − y3)2 = 49 – 14у3 + y6;

3) (2a + c4)2 = 49а2 + 14ас4 + с8;

4) (−5a + b3)2 = (–(5а – b3))2 = (5а – b3)2 = 25а2 – 10аb3 + b6;

5) (4a2 − 5m3)2 = 16а4 – 40a2m3 + 25m6;

6) (1 3p4 + 9q3)2 = 1 9p8 + 6p4q3 + 81q6.

32.26. Піднесіть до квадрата:

1) (a2 + 2a)2 = a4 + 4a3 +4a2;

2) (1 4 m3 − 12m)2 = 1 16 m6 – 6m4 + 144m2;

3) (11 3p7 + 3p2)2 = (4 3p7 + 3p2)2 = 16 9 p14 + 8p9 + 9p4;

4) (7ab − 2b3)2 = 49a2b2 – 28ab4 + 4b6;

5) (10p6 + 1 2p4a3)2 = 100p12+ 10p10a3 + 1 4p8a6;

6) (0,2m2n + 15m3n4)2 = 0,04m4n2 + 6m5n5 + 225m6n8

32.27. Подайте

1) (b7 − 5)2 = b14 – 10b7 + 25;

2) (a3 + 2b4)2 = a6 + 4a3b4 + 4b8;

3) (8x6 − 1 4x2)2= 64x12 – 4x8 + 1 16x4;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) (6m3 + 11 6m5)2 = (6m3 + 7 6m5)2 = 36m6 + 14m8 + 49 36 m10;

5) (7a2 + 8ap3)2 = 49a4 + 112a3p3 + 64a2p6;

6) (1 2 b2m3 − 1 3 b3m2)2 = 1 4 b4m6 –1 3 b5m5 + 1 9 b6m4.

32.28. Спростіть вираз:

1) (3a − 4b)2 − (3a + 4b)2 = 9a2 – 24ab + 16b2 – (9a2 + 24ab + 16b2) = = 9a2 – 24ab + 16b2 – 9a2 – 24ab – 16b2 = –48ab; 2) (2a + 3b)2 + (a − 6b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2 + (a2 – 12ab + 36b2) = = 4a2 + 12ab + 9b2 + a2 – 12ab + 36b2 = 5a2 + 45b2;

3) a(2a − 1)2 − 4a(a + 5)2 = a(4a2 – 4a + 1) – 4a(a2 +10a + 25) = = 4a3 – 4a2 + a – 4a3 – 40a2 – 100a = –44a2 – 99a; 4) 12m2 − 3(2m − n)2 − 12mn = 12m2 – 3(4m2 – 4mn + n2) – 12mn = = 12m2 – 12m2 + 12mn – 3n2 – 12mn = –3n2.

32.29. Виконайте дії:

1) (7a + 9b)2 − (7a − 9b)2 = 49a2 + 126ab + 81b2 – (49a2 – 126ab + 81b2) = = 49a2 + 126ab + 81b2 – 49a2 + 126ab – 81b2 = 252ab;

2) (10a − 3b)2 + (6a + 5b)2 = 100a2 – 60ab + 9b2 + 36a2 + 60ab + 25b2 = 136a2 + 34b2;

3) 18x2 − 12xy − 2(3x − y)2 = 18x2 – 12ху – 2(9х2 – 6ху + у2) = = 18x2 – 12xу– 18x2 + 12ху – 2y2 = –2у2;

4) a(9a − 1)2 − 81a(a − 2)2 = a(81a2 – 18a + 1) – 81a(a2 – 4a + 4) = = 81a3 – 18a2 + a – 81a3 + 324a2 – 324a = 306a2 – 323a.

32.30. Які

«зірочки», щоб утворилася тотожність: 1) (b + 2a)2 = b2 + 4ab + 4a2; 2) (2b – 3)2 = 4b2 – 12b + 9 = 4b2 + 9 – 12b; 3) (3a4 + 5)2 = 9a8 + 30a4 + 25; 4) (5x2 – 3m) = 25x4 – 30x2m + 9m2.

32.31. Замініть «зірочку»

тотожність: 1) (x – 7)2 = x2 – 14x + 49; 2) (4p3 + 3)2 = 16p6 + 24р3 + 9 = 16p6 + 9 + 24p3.

32.32. Подайте

1) (x − 2)(x + 1)2 = (х – 2)(x2 + 2x + 1) = x3 + 2х2 + х – 2x2 – 4x – 2 = x3 – 3x – 2; 2) (x + 1)(x − 5)2 = (x + 1)(x2 – 10x + 25) = x3 – 10x2 + 25x + x2 – 10x + 25 = = x3 – 9х2 + 15x + 25.

32.33. Доведіть тотожність:

1) (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2); (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2); 2) m2 + n2 = (m + n)2 − 2mn. (m + n)2 – 2mn = m2 + 2mn + n2 – 2mn = m2 + n2.

32.34. Доведіть тотожність:

1) −4ab = (a − b)2 − (a + b)2; (a – b)2 – (a + b)2 = a2 – 2ab + b2 – a2 – 2ab – b2 = –4ab; 2) (x − y)2 + 2xy = x2 + y2 (x – y)2 + 2xy = х2 – 2xy + y2 + 2xy = x2 + y2.

32.35. Розв’яжіть рівняння:

1) (3x − 4)2 − (3x + 2)2 = −24; 9x2 – 24x + 16 – 9x2 – 12x – 4 = –24; –36x = –24 – 12; –36x = –36; x = 1.

Відповідь: 1;

2) (2x − 3)2 + (1 − x)(9 + 4x) = 18. 4x2 – 12x + 9 + 9 + 4x2 – 9x – 4x2 = 18; –17x = 18 – 18; –17x = 0; x = 0.

Відповідь: 0.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

32.36. Розв’яжіть рівняння: 1) x(x − 2) − (x + 5)2 = −1; x2 – 2x – x2 – 10x – 25 = –1; –12x = –1 + 25; –12x = 24; x = –2.

Відповідь: –2;

2) (2y − 7)2 + (5 − 4y)(y − 7) = 3(y − 6).

4y2 – 28у + 49 + 5y – 35 – 4у2 + 28y = 3у – 18; 5y + 14 = 3у – 18; 5y – 3y = –18 – 14; 2y = –32; у = –16.

Відповідь: –16.

32.37. Використовуючи малюнок, поясніть геометричний

формули (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 для a > 0, b > 0, a > b. (a − b)2

32.38. Спростіть

= (((а2 + 2ab + b2

квадрата; a2, b2

a і b.

2ab)2 – 2a2b2)2 – 2а4b4)2 – 2а8b8 = = (((а2 + b2)2 – 2a2b2)2 – 2а4b4)2 – 2а8b8 = ((а4 + 2a2b2 + b

– 2a2b2)2 – 2а

4)2 – 2а

= = ((а4 + b4)2 – 2a4b4)2 – 2а8b8 = (a8 +2a4b4 + b8 – 2a4b4)2 – 2а8b8 = = (а8 + b8)2 – 2а8b8 = а16 + 2a8b8 + b16– 2а8b8 = а16 + b16.

32.39. Доведіть формулу скороченого множення для: 1) Куба суми: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; (a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + b2a + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 .

2) Куба різниці: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 (а – b)3 = (а – b)2(а – b) = (а2 – 2ab + b2)(а – b) = а3 – а2b – 2а2b + 2ab2 + ab2 – b3 = = а3 – 3a2b + 3ab2 – b3 .

32.40. Піднесіть до куба за формулами скороченого множення: 1) (2 + a)3 = (а + 2)2(a + 2) = (a2 + 4a + 4)(a + 2) = a3 + 2a2 + 4a2 + 8a + 4a + 8 = = а3 + 6а2 + 12а + 8; 2) (2b − 1)3 = (2b – 1)2(2b – 1) = (4b2 – 4b + 1)(2b – 1) = 8b3 – 4b2 – 8b2 + 4b + 2b – 1 = = 8b3 – 12b2 + 6b – 1.

32.41. Піднесіть до куба: 1) (x − 2)3 = (x – 2)2(x – 2) – (х2 – 4х + 4)(х – 2) = х3 – 2х2 – 4x2 + 8x + 4x – 8 = = x3 – 6x2 + 12х – 8; 2) (1 + 2m)3 = (2m + 1)2(2m + 1) = (4m2 + 4m + 1)(2m + 1) = = 8m3 + 4m2 + 8m2 + 4m + 2m + 1 = 8m3 + 12m2 + 6m + 1.

32.42. Знайдіть

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

32.43. Знайдіть

104

2n; 2n + 2; 2n + 4

2n(2n + 2) + 104 = (2n + 2)(2n + 4); 4n2 + 4n + 104 = 4n2 + 8n + 4n + 8; 4n − 8n − 4n = 8 − 104; −8n = −96; n = −96 : (−8); n = 12.

I число: 2n = 24; II число: 2n + 2 = 26; III число: 2n + 4 = 28.

Відповідь: 24; 26; 28.

32.44. Доведіть, що значення виразу: 1) 810 − 89 + 88 кратне числу 152; 810 – 89 + 88 = 88(82 – 8 + 1) = 88 ∙ 57 = 88 ∙ 19 ∙

1) 45 ∙ 30 = 1350 (грн) – вартість бензину;

2) 1350 + 20 = 1370 (грн) – вартість

3) 1500 – 1370 = 130 (грн) – решта.

Відповідь: 130 грн.

32.46. Подайте у вигляді

1) 1 = 12; 2) 9 = 32; 3) 25 = 52; 4) 64 = 82; 5) 100 = 102; 6) 121 = 112; 7) 196 = 142; 8) 900 = 302

32.47. Подайте у вигляді квадрата одночлен: 1) x4 = (х2)2; 2) y8 = (у4)2; 3) m6 = (m3)2; 4) p10 = (p5)2; 5) 16a2 = (4a)2; 6) 49b10 = (7b5)2; 7) m2n4 = (mn2)2; 8) 36c2a2 = (6ca)2 .

32.48. Доведіть, що

+ 2) ділиться на 6. (n2 + n)(n + 2) = n3 + 2n2 + n2 + 2n = n(n + 1)(n + 2); n3 + 2n2 + n2 + 2n = n(n2 + 2n + n + 2) = n((n2 + 2n)(n + 2) = n(n(n + 2)+(n + 2)) = = n(n + 2)(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) це

ділиться і на 6.

-

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

33.4. Розкладіть на множники: 1) a2 − 6a + 9 = (a − 3)2; 2) 64 + 16b + b2 = (8 + b)2;

3) 0,01m2 + 0,2m + 1 = (0,1m + 1)2; 4) 1 25 − 2 5p + p2 = (1 5 − p)2; 5) 4m2 − 12m + 9 = (2m − 3)2; 6) 9c2 + 24cd + 16d2 = (3c + 4d)2.

33.5. Подайте вираз у вигляді квадрата двочлена:

1) a2 + 4a + 4 = (a + 2)2; 2) 9m2 − 6m + 1 = (3m − 1)2; 3) b2 − 1,2b + 0,3b = (b − 0,6)2; 4) 1 49 m2 − 2 7m + 1 = (1 7 m − 1)2; 5) 81a2 + 18ab + b2 = (9a + b)2; 6) 25m2 − 60mn + 36n2 = (5m − 6n)2 .

33.6. Обчисліть зручним способом:

1) 362 + 2 · 36 · 14 + 142 = (36 + 14)2 = 502 = 2500; 2) 1172 − 2 · 117 · 17 + 172 = (117 − 17)2 = 1002 = 10000.

33.7. Обчисліть зручним способом:

1) 872 + 2 · 87 · 13 + 132 = (87 + 13)2 = 1002 = 10000; 2) 1372 − 2 · 137 · 47 + 472 = (137 − 47)2 = 902 = 8100.

33.8. Знайдіть значення виразу,

1) a2 − 2a + 1 = (a − 1)2; Якщо a = 91, то (91 − 1)2 = 902 = 8100.

Якщо a = −19, то (91 − (−19))2 = (91 + 19)2 = 1102 = 12100. 2) 4m2 + 28m + 49 = (2m)2 + 2 ∙ 2m ∙ 7 + 72 = (2m + 7)2 . Якщо m = –3,5, то (2m + 7)2 = (2 ∙ (–3,5) + 7)2 = 0. Якщо m = 0, то (2m + 7)2 = (2 ∙ 0 + 7)2 = 49; 3) 16x2 – 40xy + 25y2 = (4x)2 – 2 ∙ 4x ∙ 5y + (5y)2 = (4x – 5y)2.

Якщо x = 5, у = 4, то (4x – 5у)2 = (4 ∙ 5 – 5 ∙ 4)2 = 0.

33.9. Знайдіть значення виразу:

1) a2 + 10a + 25 = (a + 5)2. Якщо a = −15, то (−15 + 5)2 = (−10)2 = 100.

Якщо a = 95, то (95 + 5)2 = 1002 = 10000. 2) 0,01x2 + 0,8x + 16 = (0,1x + 4)2. Якщо х= 10, то (0,1x + 4)2= = (0,1 ∙ 10 + 4)2 = 25.

Якщо х = –40, то (0,1x + 4)2 = (0,1 ∙ (–40) + 4)2 = 0;

3) 4m2 + 28mn + 49n2 = (2m + 7n)2.

Якщо m = –3, n = –1 7, то (2m + 7n)2 = (2 ∙ (–3) + 7 ∙ (–1 7))2 = (–6–1)2 = (–7)2 = 49.

33.10. Перетворіть тричлен у квадрат двочлена:

1) 1 4 m2 + 4n2 + 2mn = 1 4 m2 + 2mn + 4n2 = (1 2m + 2n)2;

2) −10mn + 0,25m2 + 100n2 = 0,25m2 − 10mn + 100n2 = (0,5m − 10n)2;

3) 9p2 + pq + 1 36q2 = (3p + 1 6q)2;

4) m6 + 4n2 − 4m3n = (n3)2 − 4m3n + 4n2 = (n3 − 2n)2;

5) 25m12 + p6 − 10m6p3 = 25m12 − 10m6p3 + p6 = (5m6 − p3)2.

6) 9 64 c6 − 3dc5 + 16d2c4 = (3 8c3)2 − 3dc5 + (4dc2)2 = (3 8 c3 − 4dc2)2.

33.11. Розкладіть на множники:

1) 1 9 a4 + 9b2 + 2a2b = (1 3a2)2 + 2a2b + (3b)2 = (1 3 a2 + 3b);

2) −6,4a2y4 + 0,16a4 + 64y8 = (0,4a2)2 − 6,4a2y4 + (8y4)2 = (0,4a2 − 8y4)2; 3) 16m20 + n12 − 8m10n6 = (4m10)2 − 8m10n6 + (n6)2 = (4m10 – n6)2; 4) 6a4b2 + a6 + 9a2b4 = (a3)2 + 6a4b2 + (3ab2)2 = (a3 + 3ab2)2.

33.12.

тричлен у

квадрата двочлена:

1) −1 + 4x − 4x2 = −(1 − 4x + 4x2) = −(1 − 2x)2;

2) −40a + 25a2 + 16 = 25a2 − 40a + 16 = (5a − 4)2;

3) 24xy − 9x2 − 16y2 = −(9x2 − 24xy + 16y2) = −(3x − 4y)2;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) −140x3y + 100x6 + 49y2 = 100x6 − 140x3y + 49y2 = (10x3 − 7y)2;

5) 4pq − 25p2 − 0,16q2 = −(25p2 − 4pq + 0,16q2) = (5p − 0,4q)2;

6) −0,64m6 − 1,6m3n2 − n4 = −(0,64m6 + 1,6m3n2 + n4) = −(0,8m3 + n2)2.

33.13. Подайте

квадрата двочлена:

1) −9 − 30x − 25x2 = −(9 + 30x + 25x2) = −(3 + 5x)2;

2) −36b + 81b2 + 4 = 4 − 36b + 81b2 = (2 − 9b)2;

3) 42xy − 49x2 − 9y2 = −(49x2 − 42xy + 9y2) = −(7x − 3y)2; 4) −0,36a4 − 25b6 + 6a2b3 = −(0,36a4 − 6a2b3 + 25b6) = −(0,6a2 − 5b3)2.

33.14. Розв’яжіть рівняння:

1) x2 – 10x + 25 = 0;

(x − 5)2 = 0;

x − 5 = 0; x = 5.

Відповідь: 5.

3) 9x2 + 1 = −6x; 9x2 + 6x + 1 = 0; (3x + 1)2 = 0;

3x + 1 = 0;

3x = −1;

x = − 1 3 .

Відповідь: 1 3 .

33.15. Розв’яжіть рівняння:

1) x2 + 16x + 64 = 0;

(x + 8)2 = 0;

x + 8 = 0; x = −8.

Відповідь: −8.

3) 4x2 + 9 = −12x; 4x2 + 9 + 12x = 0; (2x + 3)2 = 0;

2x + 3 = 0; 2x = −3; x = −1,5.

Відповідь: −1,5.

1) * − 2mn + n2 = m2 − 2mn + n2 = (m − n)2;

2) 64y2 + 16y + 1 = 0; (8y + 1)2 = 0; 8y + 1 = 0; 8y = −1;

y = − 1 8 .

Відповідь: − 1 8 .

4) 16y2 − 56y = −49; 16y2 − 56y + 49 = 0; (4y − 7)2 = 0; 4y − 7 = 0; 4y = 7;

y = 7 4 = 1,75.

Відповідь: 1,75.

2) 36x2 − 12x + 1 = 0; (6x − 1)2 = 0; 6x − 1 = 0; 6x = 1;

x = 1 6 .

Відповідь: 1 6 .

4) x2 = 0,4x − 0,04; x2 − 0,4x + 0,04 = 0; (x − 0,2)2 = 0; x − 0,2 = 0; x = 0,2.

Відповідь: 0,2.

2) 25a2 + 20a + * = 25a2 + 2 · 2 · 5 · a + 4 = (5a + 2)2;

3) 64m2 + * + 49b2 = 64m2 + 112mb + 49b2 = (8m + 7b)2;

4) * −12mb3 + 9b2 = 4m6 − 12bm3 + 9b2 = (2m3 − 3b)2;

5) p2 −0,8p7 + * = p2 − 0,8p7 + 0,16p12 = (p − 0,4p6)2;

6) * + a2b2 + 1 4 a4 = b4 + a2b2 + 1 4 a4 = (1 2 a2 + b2)2.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) * − 28x + 49 = * − 2 · 7 · x · 2 + 72 = 4x2 − 28x + 49 = (2x − 7)2; 2) 64a2 − 16a + * = (8a)2 − 2 · 8a + 1 = (8a − 1)2; 3) 25a2 + * + 1 25 b6 = (5a)2 + 2ab3 + (1 5 b3)2 = (5a + 1 5 b3)2; 4) 0,01a8 + 100b6 + * = (0,1a4)2 + * + (10b3)2 = 0,01a8 + 2a4b3 + 100b6 = (0,1a4 + 10b3)2

33.18. Розкладіть

1) (x − 2)2 + 2(x − 2) + 1 = (x − 2 + 1)2 = (x − 1)

≤ 0;

3) −x2 − 8x + 16 і 0; −(x2 − 8x + 16) = −(x + 4)2 ≥ 0; 4) 36 − 12x + x2 і 0; 36 − 12x + x2 і 0 = (6 − x)2 ≥ 0. 33.22.

-

x2 + 4x + 5 = (x2 + 4x + 4) + 1 = (x + 2)2 +

x2 + 4x + 5

(x2 + 6x + 9) + 2 = (x + 3)2 + 2

1) * − 48xy + *;

36x2 − 48xy + 16y2 = (6x − 4y)2; 9x2 − 48xy + 64y2 = (3x − 8y)2; 144x2 − 48xy + 4y2 = (12x − 2y)2; 2) * + 20ab + *; 4a2 + 20ab + 25b2 = (2a + 5b)2; 100a2 + 20ab + b2 = (10a + b)2; 1 4 a2 + 20ab + 400b2 = (1 2a + 20b)2 .

33.25. Подайте

1) x2 − 3x + 9, неможливо; 2) 49a2 − 140ab + 100b2 = (7a − 10b)2; 3) 4a2 − 9b2 − 12ab, неможливо; 4) 16y2 + 8y − 1, неможливо; 5) 1 16 x2 + 1 40xy + 1 25y2, неможливо. 6) −xy + 1 16y2 + 4x2 = (1 4y − 2x)2 .

33.26. Для яких значень x: 1) квадрат двочлена x + 2 на 225 більший за квадрат двочлена x – 3; (x + 2)2 = (x − 3)2 + 225; x2 + 4x + 4 = x2 − 6x + 9 + 225; 4x + 6x = 225 + 9 − 4; 10x = 230; x = 230 : 10; x = 23.

Відповідь: 23.

2) квадрат двочлена 2x – 6 у 4 рази більший за

x + 3? (2x – 6)2 = 4(x + 3)2; 4x2 – 24х + 36 = 4(х2 + 6х + 9);

4х2 – 24х + 36 = 4x2 + 24х + 36; 4х2 – 24х – 4х2 – 24х = 36 – 36; –48х = 0; х = 0.

Відповідь: 0.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

33.27. Спростіть вираз: 1) (m − 2)(m + 3)(m − 5) = (m2 + 3m − 2m − 6) (m − 5) = (m2 + m – 6)(m – 5) = = m3 − 5m2 + m2 − 5m − 6m + 30 = m3 − 4m2 − 11m + 30; 2) (p2 + 1)(p8 – p6 + p4 – p2 + 1) = p10 − p8 + p6 − p4 + p2 + p8 – p6 + p4 – p2 + 1 = p10 + 1.

33.28. Щосереди

ліків становить 580 грн?

580 ∙ 0,15 = 87 (грн) – заощадить пенсіонер.

Відповідь: 87 грн.

33.29. Подайте вираз у вигляді многочлена: 1) (х – 3)(х + 3) = x2 + 3x – 3x – 9 = x2 – 9; 2) (у + 2)(у – 2) = y2 – 2y + 2y – 4 = y2 – 4; 3) (1 + m)(1 – m) = 1 – m + m – m2 = 1 – m2; 4) (4 – а)(4 + а) = 16 + 4a – 4a – a2 = 16 – a2

33.30. Є піскові годинники двох

34.1. (Усно.) Які з рівностей є тотожностями: 1) (a − c)(a + c) = a2 − с2, тотожність; 2) (m + p)(m − p) = m2 + p2, ні; 3) (y − x)(y + x) = (y − x)2 ні; 4) (d + n)(d − n) = n2 − d2, ні.

34.2. Закінчіть запис: 1) (c − 5)(c + 5) = c2 − 52 = с2 − 25; 2) (b + 7)(b − 7) = b2 − 72 = b2 − 49.

34.3. Знайдіть добуток: 1) (c − d)(c + d) = c2 – d2; 2) (p + a)(p − a) = р2 – a2.

34.4. Виконайте множення двочленів: 1) (b + t)(b − t) = b2 – t2; 2) (a − t)(a + t) = a2 – t2.

34.5. Виконайте множення: 1) (p − 9)(p + 9) = p2 − 81; 2) (5 + x)(5 − x) = 25 − x2; 3) (3 − c)(3 + c) = 9 − c2; 4) (7 + y)(y − 7) = y2 − 49.

34.6. Перетворіть на многочлен:

1) (m − 2)(m + 2) = m2 − 4; 2) (7 + a)(7 − a) = 49 − a2; 3) (4 − x)(4 + x) = 16 − x2; 4) (11 + b)(b − 11) = b2 − 121.

34.7. Подайте добуток у вигляді многочлена:

1) (2x − 3)(2x + 3) = 4x2 − 9; 2) (3p + 8)(3p − 8) = 9p2 − 64; 3) (4 + 5a)(5a − 4) = 25a2 − 16; 4) (3m − 4p)(4p + 3m) = 9m2 − 16p2; 5) (7a + 10b)(10b − 7a) = 100b2 − 49a2; 6) �1 4 p 1

+

1 49 ����² .

34.8. Виконайте множення: 1) (p − 2m)(p + 2m) = p2 − 4m2 . 2) (2p + 7)(2p − 7) = 4p2 − 49; 3) (2c + 5)(5 − 2c) = 25 − 4c2; 4) (8a − 0,3x)(0,3x + 8a) = 64a2 − 0,09x2; 5) (0,1p + q)(q − 0,1p) = q2 − 0,01p2; 6) �2 7 a 3 5 b� �2

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3a b (3a – b)(3a + b) 9a2 – b2 5m 2n (5m – 2n)(5m + 2n) 25m2 – 4n2

7 c 1 3 d

34.10. Виконайте дії: 1) 16 + (3a + 4)(3a − 4) = 16 + (9a2 − 16) = 16 + 9a2 − 16 = 9a2; 2) (5m − 3)(5m + 3) − 25m2 = 25m2 − 9 − 25m2 = −9m2 .

34.11. Спростіть вираз: 1) (8x − 5)(8x + 5) + 25 = 64x2 − 25 + 25 = 64x2; 2) 9m2 + (5 − 3m)(5 + 3m) = 9m2 + (25 − 9m2) = 25; 3) (2b − 3)(2b + 3) − 4b2 = 4b2 − 9 − 4b2 = −9; 4) (4a + 7)(7 − 4a) − 49 = 49 − 16a2 − 49 = −16a2 .

34.12. Розв’яжіть рівняння: 1) 3x = (2x − 3)(2x + 3) − 4x2; 3x = 4x2 − 9 − 4x2; 3x = −9; x = −9 : 3; x = −3.

Відповідь: −3.

34.13. Знайдіть корені рівняння:

1) 8x = (5x − 4)(5x + 4) − 25x2; 8x = 25x2 − 16 − 25x2; 8x = −16; x = −16 : 8; x = −2.

Відповідь: −2.

34.14. Обчисліть зручним способом:

2) 9x2 + (8 − 3x)(8 + 3x) = 4x; 9x2 + 64 − 9x2 = 4x; 4x = 64; x = 64 : 4; x = 16.

Відповідь: 16.

2) (9 − 4x)(9 + 4x) + 16x2 = 3x; 81 − 16x2 + 16x2 = 3x; 3x = 81; x = 81 : 3; x = 27.

Відповідь: 27.

1) (40 − 1)(40 + 1) = 402 − 12 = 1600 − 1 = 1599. 2) 81 · 79 = (80 + 1)(80 − 1) = 6400 − 1 = 6399; 3) 1002 · 998 = (1000 + 2)(1000 − 2) = 10002 − 22 = 1000000 − 4 = 999996; 4) 1,03 · 0,97 = (1 + 0,03)(1 − 0,03) = 12 − 0,032 = 1 − 0,0009 = 0,9991.

34.15.

1) (80 + 2)(80 − 2) = 802 − 22 = 6400 − 4 = 6396;

2) 59 · 61 = (60 − 1)(60 + 1) = 602 − 12 = 3600 − 1 = 3599;

3) 108 · 92 = (100 + 8)(100 − 8) = 1002 − 82 = 10000 − 64 = 9936;

4) 12,3 · 11,7 = (12 + 0,3)(12 − 0,3) = 122 − 0,32 = 144 − 0,09 = 143,91

34.16. Подайте

1) (p2 + 3q)(3q − p2) = (3q)2 − (p2)2 = 9q2 − p4;

2) (2a − m3)(m3 + 2a) = (2a)2 − (m3)2 = 4a2 − m6;

3) (5a − b2)(b2 + 5a) = (5a)2 − (b2)2 = 25a2 − b4;

4) (0,7m + n2)(0,7m − n2) = (0,7m)2 − (n2)2 = 0,49m2 − n4;

5) (4t2 − p4)(4t2 + p4) = 16t4 − p8;

6) (3a3 − 4b4)(3a3 + 4b4) = (3a3)2 − (4b4)2 = 9a6 − 16b8

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

34.17. Виконайте множення:

1) (1,7a − 1,4p3)(1,4p3 + 1,7a) = 2,89a2 − 1,96p6;

2) (3a2 − 1 4 b3)( 1 4 b3 + 3a2) = (3a2 − 1 4 b3)(3a2 + 1 4 b3) = 9a4 − 1 16 b6;

3) (5m2n + 1 7p3)(1 7p3 – 5m2n) = (1 7p3 + 5m2n)( 1 7p3 – 5m2n) = 1 49p6 – 25m4n2;

4) (2 3 a7 + 1,2y8)(1,2y8 − 2 3a7) = (1,2y8 + 2 3 a7)(1,2y8 − 2 3 a7) = 1,44y16 − 2 3 a14 .

34.18. Виконайте множення:

1) (5a + b2)(b2 − 5a) = (b2)2 − (5a)2 = b4 − 25a2;

2) (4a3 − d2)(d2 + 4a2) = (4a3)2 − (d2)2 = 16a6 – d4;

3) (0,7p – m7)(m7 + 0,7p) = (0,7p)2 − (m7)2 = 0,49p2 – m14;

4) (1 5 m2 + 3b7)(3b7 − 1 5 m2) = (3b7)2 – (1 5m2)2 = 9b14 –1 25m4;

5) (0,2a2b − 0,3ab2)(0,2a2b + 0,3ab2) = (0,2a2b)2 − (0,3ab2)2 = 0,04a4b2 − 0,09a2b4;

6) (1,2p7 − 2 3a8)( 2 3 a8 + 1,2p7) = (1,2p7)2 – (2 3a8)2 = 1,44p14 4 9 a16

34.19. Подайте у

1) (−a2 + 7)(7 + a2) = 72 − (a2)2 = 49 − a4; 2) (−p2 − q7)(p2 − q7) = −(p2 + q7)(p2 − q7) – ((p2)2 − (q7)2) = −(p4 − q14) = q14 – p4; 3) (−8m − 5p)(−8m + 5p) = (5p − 8m)(−8m − 5p) = (8m − 5p)(8m + 5p) = = (8m)2 − (5p)2 = 64m2 − 25p2; 4) (−2a3 − 3b)(−3b + 2a3) = −(2a3 + 3b)(2a3 − 3b) = (3b − 2a3)(2a3 + 3b) = = (3b)2 − (2a3)2 = 9b2 − 4a6.

34.20. Спростіть вираз:

1) (a − b)(a + b)(a2 + b2) = (a2 − b2)(a2 + b2) = (a2)2 − (b2)2 = a4 − b4; 2) (2a + x)(4a2 + x2)(2a − x) = ((2a)2 − x2)(4a2 + x2) = (4a2 − x2)(4a2 + x2) = = (4a2)2 − (x2)2 = 16a4 − x4; 3) (c3 + d2)(c3 – d2)(d4 + c6) = ((c3)2 − (d2)2)(d4 + c6) = (c6 − d4)(d4 + c6) = (c6)2 − (d4)2 = c12 − d8; 4) (−x − y)(x − y)(x2 + y2)(x4 + y4) = −(x + y)(x − y)(x2 + y2)(x4 + y4) = = −(x2 − y2)(x2 + y2)(x4 + y4) = −(x4 − y4)(x4 + y4) = (y4 – x4)(x4 + y4) = (y4)2 − (x4)2 = y8 − x8 .

34.21. Перетворіть на многочлен:

1) (−a7 + b5)(a7 + b5) = (b5 − a7)(a7 + b5) = (b5)2 − (a7)2 = b10 − a14; 2) (−0,1m3 − p4)(0,1m3 − p4) = − (0,1m3 + p4)(−0,1m3 − p4) = (p4 − 0,1m3)(0,1m3 + p4) = = (p4)2 – (0,1m3)2 = p8 – 0,01m6; 3) (3x − 2p)(3x + 2p)(9x2 + 4p2) = (9x2 − 4p2) (9x2 + 4p2) = 81x4 − 16p4; 4) (−a2 − 5b3)(a2 − 5b3)(a4 + 25b6) = −(a2 + 5b3)(a2 − 5b3)(a4 + 25b6) = = −(a4 − 25b3)(a4 + 25b3) = (25b3 – a4)(a4 + 25b3) = (25b3)2 – (a4)2 = 625b6 – a8.

34.22. Замість «зірочок» запишіть такі

щоб утворилася тотожність: 1) (2a + 7b)(2a − 7b) = 4a2 − 49b2; 2) (0,5m2 − 9p)(0,5m2 + 9p) = 0,25m4 − 81p2; 3) 100a8 − 9b6 = (10a4 + 3b3)(10a4 − 3b3); 4) (4x − 3y)(4x + 3y) = 16x2 − 9y2 .

34.23. Знайдіть корені рівняння: 1) 8x(1 + 2x) − (4x + 1)(4x − 1) = 17; 8x + 16x2 − (16x2 − 1) = 17; 8x + 16x2 − 16x2 + 1 = 17; 8x = 17 − 2; 8x = 16; x = 16: 8; x = 2.

Відповідь: 2.

2) x − 12x(1 − 3x) = 14 − (5 − 6x)(6x + 5); x − 12x + 36x2 = 14 − (25 − 36x2); x − 12x + 36x2 = 14 − 25 + 36x2; −11x = −11; x = −11: (−11); x = 1.

Відповідь: 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (4x + 1)(4x − 1) + (2x − 3)2 = 5x(4x − 11); 16x2 − 1 + 4x2 − 12x + 9 = 20x2 − 55x;

−12x + 55x = 1 − 9; 43x = −8;

x = −8 : 43;

Відповідь: 8 43 .

34.24. Розв’яжіть рівняння:

1) 5x(4x − 1) − (6x − 1)(6x + 1) = (4x + 3)(3 − 4x);

20x2 − 5x − (36x2 − 1) = 9 − 16x2;

20x2 − 5x − 36x2 + 1 = 9 − 16x2; 20x2 − 5x − 36x2 + 16x2 = 9 − 1;

−5x = 8;

x = 8 : (−5);

x = −1,6.

Відповідь: −1,6.

2) (3x − 4)(3x + 4) − (5x − 2)(5x + 2) = 2x(1 − 8x);

9x2 − 16 − (25x2 − 4) = 2x − 16x2;

9x2 − 16 − 25x2 + 4 = 2x − 16x2;

−2x = 16 – 4;

−2x = 12;

x = 12 : (−2);

x = −6.

Відповідь: −6.

3) (5x − 4)2 − 2x(8x − 5) = (3x − 2)(3x + 2);

25x2 − 40x + 16 − 16x2 + 10x = 9x2 − 4;

9x2 − 40x − 9x2 + 10x = −16 − 4;

−30x = −20;

x = −20 : (−30);

x = 2 3

Відповідь: 2 3 .

34.25. Спростіть вираз:

1) (a + 3)2 − (a + 3)(a − 3) = a2 + 6a + 9 − (a2 − 9) = a2 + 6a + 9 − a2 + 9 = 6a + 18; 2) (8x − 3y)(8x + 3y) − (3x − 8y)2 = 64x2 − 9y2 − (9x2 − 48xy + 64y2) = = 64x2 − 9y2 − 9x2 − 48xy + 64y2 = 55x2 + 48xy − 73y2; 3) (b − 3)2(b + 3)2 = ((b − 3)(b + 3))2 = (b2 − 9)2 = b4 − 18b2 + 81; 4) (a + 5)2(5 − a)2 = ((5 − a)(a + 5))2 = (25 − a2)2 = 625 − 50a2 + a4.

34.26. Спростіть вираз:

1) (c − 2)2 − (c − 3)(c + 3) = c2 − 4c + 4 − (c2 − 9) = c2 − 4c + 4 − c2 + 9 = −4c + 13; 2) (9x − 2y)(9x + 2y) − (5x − 2y)2 = 81x2 − 4y2 − (25x2 − 20xy + 4y2) = = 81x2 − 4y2 − 25x2 + 20xy − 4y2 = 56x2 − 8y2 + 20xy; 3) (a + 6)2(a − 6)2 = ((a + 6)(a − 6))2 = (a2 − 36)2 = a4 − 72a2 + 1296; 4) (2 − m)2(2 + m)2 = ((2 − m)(2 + m))2 = (4 − m2)2 = 16 − 8m2 + m4.

34.27. Доведіть, що

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

34.28.

1) ((x + y) + 1)((x + y) − 1) = (x + y)2 − 12 = x2 + 2xy + y2 − 1; 2) (a + b + c)(a − (b + c)) = a2 − (b + c)2 = a2 − b2 − 2bc − c2; 3) (m + n + 2p)(m + n − 2p) = (m + n)2 − (2p)2 = m2 + 2mn +

заасфальтувати ділянку площею 15х м2, а заасфальтували 18(х − 2) м2 .

Рівняння: 15х = 18(х − 2) + 12;

15х = 18х − 36 + 12;

15х − 18х = −36 + 12;

−3х = −24;

х = −24 : (−3);

х = 8.

8 годин мали асфальтувати ділянку площею 15 · 8 = 120 (м2). Відповідь: 8 годин; 120 м2 . 34.31.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

35.1. (Усно.)

рівностей є тотожностями:

1) c2 − d2 = (c − d)(c − d), не тотожність; 2) p2 − t2 = (p + t)(p − t), тотожність; 3) a2 + b2 = (a + b)(a + b), не тотожність;

4) 32 − b2 = (3 − b)(3 + b), тотожність.

35.2. Доберіть замість пропусків такий двочлен, щоб рівність перетворилася на тотожність:

1) a2 − 1 = (a − 1)(a + 1); 2) 4 − m2 = (2 − m)(2 + m).

35.3. Доберіть замість

1) p2 − 1 = (p − 1)(p + 1); 2) 9 − c2 = (3 − c)( 3 + c).

35.4. (Усно.) Розкладіть на множники:

1) a2 − 4 = (a − 2)(a + 2); 2) 36 − b2 = (6 − b)(6 + b);

3) 4x2 − 25m2 = (2x − 5m)(2x + 5m); 4) x2y2 − 1 = (xy − 1)(xy + 1).

35.5. Подайте многочлен у вигляді

1) a2 − 25 = (a − 5)(a + 5); 2) 16 − p2 = (4 − p)(4 + p);

3) d2 − 1,44 = (d − 1,2)(d + 1,2); 4) 0,09 − m2 = (0,3 − m)(0,3 + m);

5) b2 − 4 9= (b − 2 3)(b + 2 3); 6) 25 36 − c2 = (5 6− c)(5 6+ c).

35.6. Розкладіть на множники:

1) 36a2 − b2 = (6a − b)(6a + b);

2) −a2 + b2 = b2 − a2 = (b − a)(b + a);

3) 49x2 − 64 = (7x − 8)(7x + 8);

4) 9m2 − 16n2 = (3m − 4n)(3m + 4n);

5) −100m2 + 121k2 = 121k2 − 100m2 = (11k − 10m)(11k + 10m);

6) 0,25 − a2b2 = (0,5 − ab)(0,5 + ab);

7) 16m2a2 − 0,01 = (4ma − 0,1)(4ma + 0,1);

8) p2 − c2d2 = (p − cd)(p + cd);

9) 81p2m2 − n2 = (9pm − n)(9pm + n).

35.7. Подайте

1) a2 − 64 = (a − 8)(a + 8);

2) 0,25 − b2 = (0,5 − b)(0,5 + b);

3) −81 + 36x2 = (6x − 9)(6x + 9);

4) 169p2 − q2 = (13p − q)(13p + q);

5) 400a2 − 25m2 = (20a − 5m)(25a + 5m);

6) 49a2b2 − 16 = (7ab − 4)(7ab + 4);

7) 900 – a2b2 = 302 – (ab)2 = (30 – ab)(30 + ab);

8) c2d2 – 4m2 = (cd)2 – (2m)2 = (cd – 2m)(cd + 2m);

9) 100a2b2 – 0,16m2 = (10ab)2 – (0,4m)2 = (10ab– 0,4m)(10ab + 0,4m).

35.8. Обчисліть,

1) 672 − 572 = (67 − 57)(67 + 57) = 1240;

2) 432 − 532 = (43 − 53)(43 + 53) = 960;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) 1122 − 882 = (112 + 88)(112 − 88) = 200 · 24 = 4800;

4) 21,52 − 21,42 = (21,5 − 21,4)(21,5 + 21,4) = 0,1 · 42,9 = 4,29;

5) 0,7252 − 0,2752 = (0,725 − 0,275)(0,725 + 0,275) = 0,45 · 1 = 0,45; 6) (52 3)2 − (41 3)2 = (52 3 − 41 3)(52 3 + 41 3) = 11 3 · 10 = 4 3 · 10 = 40 3

35.9. Обчисліть зручним способом:

1) 432 − 332 = (43 − 33)(43 + 33) = 10 · 76 = 760; 2) 272 − 372 = (27 − 37)(27 + 37) = −10 · 60 = −600;

3) 0,972 − 0,032 = (0,97 − 0,03)(0,97 + 0,03) = 0,94 · 1 = 0,94.

35.10. Знайдіть значення виразу x2 − y2,

1) Якщо x = 55, y = 45, то (x − y)(x + y) = (55 − 45)(55 + 45) = 10 · 100 = 1000; 2) Якщо x = 2,01; y = 1,99, то (x − y)(x + y) = (2,01 − 1,99)(2,01 + 1,99) = 0,02 · 4 = 0,08.

35.11. Розв’яжіть рівняння: 1) x2 − 16 = 0; (x − 4)(x + 4) = 0; x − 4 = 0; x = 4 або x + 4 = 0; x = −4.

Відповідь: 4; −4.

3) y2 − 0,25 = 0;

(y − 0,5)(y + 0,5) = 0; y − 0,5 = 0; y = 0,5

або y + 0,5 = 0; y = −0,5.

Відповідь: 0,5; −0,5.

35.12. Знайдіть корені рівняння:

1) x2 − 36 = 0;

(x − 6)(x + 6) = 0; x − 6 = 0; x = 6 або x + 6 = 0; x = −6.

Відповідь: 6; −6.

3) 0,49 − x2 = 0;

(0,7 − x)(0,7 + x) = 0; 0,7 − x = 0; x = 0,7 або 0,7 + x = 0; x = −0,7.

Відповідь: 0,7; −0,7.

35.13. Розкладіть на множники:

1) c4 − m6 = (c2)2 − (m3)2 = (c2 − m3)(c2 + m3);

2) p8 − a10 = (p4)2 − (a5)2 = (p4 − a5)(p4 + a5);

2) 1 9 − x2 = 0; (1 3 − x)(1 3 + x) = 0; 1 3 − x = 0; −x = −1 3; x = 1 3;

або 1 3 + x = 0; x = −1 3 .

Відповідь: 1 3; − 1 3 .

4) 4x2 − 9 = 0; (2x − 3)(2x + 3) = 0; 2x − 3 = 0; 2x = 3; x = 1,5;

або 2x + 3 = 0; 2x = −3; x = −1,5.

Відповідь: 1,5; −1,5.

2) y2 − 1 16= 0; (y − 1 4)(y + 1 4) = 0; y = 1 4 або y = −1 4 .

Відповідь: 1 4; − 1 4 .

4) 64y2 − 49 = 0; (8y − 7)(8y + 7) = 0; 8y − 7 = 0; 8y = 7; y = 7 8;

або 8y + 7 = 0; 8y = −7; y = −7 8

Відповідь: 7 8; − 7 8

3) a6 − 9m4 = (a3)2 − (3m2)2 = (a3 − 3m2)(a3 + 3m2);

4) 100a6 − 25x8 = (10a3 − 5x4)(10a3 + 5x4);

5) 0,49 – m4p12 = (0,7)2 − (m2p6)2 = (0,7 – m2p6)(0,7 + m2p6);

6) 36x2c14 − 0,16d4 = (6xc7)2 − (0,4d2)2 = (6xc7 − 0,4d2)(6xc7 + 0,4d2);

7) 25 49 a8 − 36 49 b6c2 = (5 7a4)2 − (6 7 b3c)2 = (5 7 a4 − 6 7 b3c)(5 7 a4 + 6 7 b3c);

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

8) −0,01m2 + 0,81x6y8 = (0,9x3y4)2 − (0,1m)2 = (0,9x3y4 − 0,1m)(0,9x3y4 + 0,1m);

9) 17 9 t20a24 – 111 25 p16q18 = 16 9 t20a24 36 25p16q18 = (4 3 t10a12)2 − (6 5p8q9)2 = = (4 3 t10a12 − 6 5p8q9)( 4 3 t10a12 + 6 5p8q9).

35.14. Розкладіть на множники:

1) a8 − 16m6 = (a4 − 4m3)(a4 + 4m3);

2) 36c6 − 49a10 = (6c3 − 7a5)(6c8 + 7a5); 3) 0,25 − m12a2 = (0,5)2 − (m6a)2 = (0,5 − m6a)(0,5 + m6a);

4) −121p8c4 + 4a2 = (2a)2 − (11p4c2)2 = (2a − 11p4c2)(2a + 11p4c2);

5)

6)

1) (x + 2)2 − 1 = x2 + 4x + 4 − 1 = x2 + 4x + 3;

2) 4 − (y + 3)2 = 4 – y2 − 6y − 9 – y2 − 6y − 5;

3) (4m − 5)2 − 16 = 16m2 − 40m + 25 − 16 = 16m2 − 40m + 9; 4) 6,25 − (a − 3,5)2 = 6,25 − (a2 − 7a + 12,25) = = 6,25 – a2 + 7a − 12,25 = − 6 – a2 + 7a;

5) (2x − 5)2 − 49 = 4x2 − 20x + 25 − 49 = 4x2 − 20x − 24;

6) 1 − (2x + 1)2 = 1 − (4x2 + 4x + 1) = 1 − 4x2 – 4x – 1 = − 4x2 − 4x.

35.17. Розкладіть на множники:

1) 16x2 − (1 + 3x)2 = (4x − (1 + 3x)) · (4x + (1 + 3x)) = (4x − 1 − 3x)(4x + 1 + 3x) = = (x − 1)(2x + 1);

2) (3y − 5)2 − 16y2 = (3y − 5 − 4y)(3y + 5 + 4y) = (−5 − y)(7y − 5);

3) 49m2 − (a + 3m)2 = (7m − (a + 3m)) · (7m + (a + 3m)) = (4m − a)(10m + a);

4) (5a − 2b)2 − 25a2 = (5a − 2b – 5a)(5a − 2b + 5a) = −2b(10a − 2b).

35.18. Розкладіть на множники:

1) (p + 2)2 − 9 = (p + 2 − 3)(p + 2 + 3) = (p − 1)(p + 5);

2) 16 − (m − 3)2 = (4 − (m − 3))(4 + (m − 3)) = (7 − m)(1 + m);

3) (3x − 2)2 − 36 = (3x − 2 − 6)(3x − 2 + 6) = (3x − 8)(3x + 4);

4) x2 − (2x − 1)2 = (x − (2x − 1))(x + 2x − 1) = (−x + 1)(3x − 1);

5) (5a − 3b)2 − 9b2 = (5a − 3b − 3b)(5a − 3b + 3b) = (5a − 6b) · 5a;

6) (3x + 4y)2 − 100y2 = (3x + 4y − 10y)(3x + 4y + 10y) = (3x − 6y)(3x + 14y).

35.19. Знайдіть корені рівняння:

1) (x − 1)2 − 25 = 0; (x − 1 − 5)(x − 1 + 5) = 0; x − 6 = 0; x = 6 або x + 4 = 0; x = −4.

Відповідь: 6; −4.

2) 49 − (2x + 5)2 = 0; (7 − (2x + 5))(7 + (2x + 5)) = 0; (2 − 2x)(12 + 2x) = 0; 2 − 2x = 0; −2x = −2; x = 1 або 12 + 2x = 0; 2x = −12; x = −6.

Відповідь: 1; −6.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) (5x + 3)2 = 64; (5x + 3)2 − 64 = 0; (5x + 3 − 8)(5x + 3 + 8) = 0; (5x − 5)(5x + 11) = 0; 5x − 5 = 0; 5x = 5; x = 1 або

5x + 11 = 0; 5x = −11; x = −11 5 .

Відповідь: 1; −11 5 .

35.20. Розв’яжіть рівняння:

1) (x + 2)2 − 36 = 0; (x + 2 − 6)(x + 2 + 6) = 0; (x − 4)(x + 8) = 0; x − 4 = 0; x = 4 або x + 8 = 0; x = −8.

Відповідь: 4; −8.

3) (2x + 7)2 = 49; (2x + 7)2 − 49 = 0; (2x + 7 − 7)(2x + 7 + 7) = 0; 2x(2x + 14) = 0; 2x = 0; x = 0 або 2x + 14 = 0; 2x = −14; x = −7.

Відповідь: 0; −7.

4) (0,1x − 0,5)2 = 0,36; (0,1x − 0,5 − 0,6)(0,1x − 0,5 + 0,6) = 0; (0,1x − 1,1)(0,1x + 0,1) = 0; 0,1x − 1,1 = 0; 0,1x = 1,1; x = 11 або 0,1x + 0,1 = 0; 0,1x = −0,1; x = −1.

Відповідь: 11; −1.

2) (5x − 4)2 − 81 = 0; (5x − 4 − 9)(5x − 4 + 9) = 0; (5x − 13)(5x + 5) = 0; 5x − 13 = 0; 5x = 13; x = 13 5 ;

або 5x + 5 = 0; 5x = 5; x = 1.

Відповідь: 13 5 ; 1.

4) (0,2x − 0,5)2 = 0,09; (0,2x − 0,5 − 0,3)(0,2x − 0,5 + 0,3) = 0; (0,2x − 0,8)(0,2x − 0,2) = 0; 0,2x = 0,8; x = 4 або 0,2x = 0,2; x = 1.

Відповідь: 4; 1.

35.21. Доведіть, що для будь-якого натурального

ділиться на 7.

n значення виразу (n + 7)2 − n2

(n + 7)2 − n2 = (n + 7 − n)(n + 7 + n) = 7 · (2n + 7) ділиться на 7.

35.22. Подайте вираз у вигляді добутку:

1) a6 − (b − 5a3)2 = (a3 − (b − 5a3))(a3 + (b − 5a3)) = (a3 − b+5a3)(a2+b−5a3) = (6a3 − b)(b − 4a3); 2) (−3m2 + 4p)2 − 9m4 = (−3m2 + 4p − 3m2)(−3m2 + 4p + 3m2) = (−6m2 + 4p) · 4p; 3) (7x + 2y)2 − (2x − 7y)2 = (7x + 2y − 2x + 7y)(7x + 2y + 2x − 7y) = (5x + 9y)(9x − 5y);

4) (a + b + c)2 − (a + b − c)2 = (a + b + c + a + b − c)(a + b + c − a − b + c) = (2a + 2b) · 2c;

5) a2(a + 1)2 – c8 = (a (a + 1) − c4) (a (a + 1) + c4) = (a2 + a − c4)(a2 + a + c4);

6) (5a − b − 1)2 − (5a + b − 1)2 = (5a − b − 1 − 5a − b + 1)(5a − b − 1+5a+b−1) = −2b(10a − 2).

35.23. Розкладіть на множники:

1) (5a2 − 3b)2 − 16a4 = (5a2 − 3b − 4a2)(5a2 − 3b + 4a2) = (a2 − 3b)(9a2 − 3b); 2) m8 − (3c − 2m4)2 = (m4 − 3c + 2m4)(m4 + 3c − 2m4) = (m4 − 3c)(3c − m4);

3) (2a + 3b)2 − (4a − 5b)2 = ((2a + 3b) − (4a − 5b))((2a + 3b) + (4a − 5b)) = = (2a + 3b − 4a + 5b)(2a + 3b + 4a − 5b) = (8b − 2a)(6a − 2b); 4) (x − y + t)2 − (x − y − t)2 = ((x − y + t) − (x − y − t))((x − y + t) + (x − y − t)) = = (x – y + t – x + y + t)(x – y + t + x – y – t) = 2t(2x − 2y).

35.24. Розв’яжіть рівняння: 1) (3x − 4)2 − (5x − 8)2 = 0; ((3x − 4) − (5x − 8))((3x − 4) + (5x − 8)) = 0; (3x − 4 − 5x + 8)(3x − 4 + 5x − 8) = 0; (4 − 2x)(8x − 12) = 0; 4 − 2x = 0; −2x = −4; x = 2 або 8x − 12 = 0; 8x = 12; x = 12 8 ; x = 1,5.

Відповідь: 2; 1,5.

2) x4 − 81 = 0; (x2)2 − 92 = 0; (x2 − 9)(x2 + 9) = 0; (x − 3)(x + 3)(x2 + 9) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3; x2 + 9 > 0.

Відповідь: 3; −3.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) 16x4 − 1 = 0; (4x2 − 1)(4x2 + 1) = 0; (2x − 1)(2x + 1)(4x2 + 1) = 0; 2x − 1 = 0; x = 1 2 або 2x + 1 = 0; x = −1 2; 4x2 + 1 > 0.

Відповідь: 1 2; − 1 2 .

35.25.

4) 81x2 + 4 = 0; 81x2 + 4 > 0; рівняння не

Відповідь: Не має коренів.

більше число, дорівнює сумі цих чисел. n, n + 1 два послідовні числа; (n + 1)2 − n2 різниця квадратів двох послідовних чисел; n + (n + 1) сума цих чисел. (n + 1)2 − n2 = n2 + 2n + 1 − n2 = 2n + 1; n + (n + 1) = 2n + 1, що й треба довести.

35.26. Спростіть вираз: 1) (t + 1)(t − 7) − (t − 1)(t + 7) = t2 − 7t + t − 7 − (t2 + 7t − t − 7) = = t2 − 7t + t − 7 − t2 − 7t + t + 7 = −12t. 2) (a3 − 2b)(a2 + 2b) − (a2 − 2b)(a3 + 2b) = a6 + 2b

2) = = a6 + 2a3b – 2a2b – 4b2 – a6 – 2a2b + 2a3b + 4b2 = 4a3b – 4a2b.

35.27. Обчисліть, використовуючи

1) (100 − 1)3 = 100000 − 3 · 10000 + 3 · 100 − 1 = 970299; 2) 413 = (40 + 1)3 = 403 + 3 · 402 · 1 + 3 · 40 · 1 + 13 = 68921; 3) 293 = (30 − 1)3 = 303 − 3 · 302 · 1 − 3 · 30 · 1 − 13 = 24389; 4) 0,993 = (1

35.28.

1) 11 вузлів = 11 ∙ 1,852 = 20,372 км/год

3) 60 : 3 = 20 (км) – подолає

35.29. Подайте у

1) 1 = 13; 2) 27 = 33; 3) 64 = 43; 4) 216 = 63 . 35.30. Подайте

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

36.2. (Усно.) Які з рівностей є тотожностями:

1) c3 + d3 = (c2 + d2)(c + d) не є тотожність; 2) x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2) тотожність; 3) m3 + n3 = (m + n)(m2 − mn + n2) тотожність; 4) p3 − t3 = (p − t)(p2 + 2pt + t2) не є тотожність.

36.3. Серед рівностей виберіть ті, що є тотожностями:

1) m3 − p3 = (m2 − p2)(m − p), ні; 2) x3 + a3 = (x + a)(x2 – xa + a2) тотожність; 3) c3 – d3 = (c – d)(c2 + cd + d2) тотожність; 4) x3 + y3 = (x + y)(x2 − 2xy + y2)ні.

36.4. Розкладіть на множники: 1) m3 − p3 = (m − p)(m2 + mp + p2); 2) a3 + d3 = (a + d)(a2 − ad + d3);

3) 8 − a3 = (2 − a)(4 + 2a + a2); 4) q3 + 27 = (q + 3)(q2 − 3q + 9);

5) n3 − 64 = (n − 4)(n2 + 4n + 16); 6) 0,001 + t3 = (0,1 + t)(0,01 − 0,1t + t2).

36.5. Подайте вираз у

1) 8a3 + 1 = (2a + 1)(4a2 − 2a + 1);

2) 27 − 1 27 c3 = (3 − 1 3c)(9 + c + 1 9c2);

3) y3 + 64x3 = (y + 4x)(y2 − 4xy + 16x2);

4) 0,125b3 − 64y3 = (0,5b − 4y)(0,25b2 + 2by + 16y2);

5) 1 + 1000m3 = (1 + 10m)(1 − 10m + 100m2);

6) 1 125 a3 − 1 216 b3 = (1 3 a − 1 6b)( 1 9 a2 + 1 18 ab + 1 36 b2).

36.6. Розкладіть на множники:

1) 1 27 + b3 = (1 3 + b)( 1 9 − 1 3 b + b2);

2) 1 8 x3 − 8 = (1 2x − 2)( 1 4 x2 + x + 4);

3) 1 + 125p3 = (1 + 5p)(1 − 5p + 25p2);

4) 0,064m3 − 1 1000 n3 = (0,4m − 1 10n)(0,16m2 + 1 25 mn + 1 100n2);

5) 27 8 a3 + 8 27 b3 = (3 2 a + 2 3b)( 9 4 a2 − ab + 4 9 b2);

6) 216p3 − 1 216q3 = (6p − 1 6q)(36p2 + pq + 1 36q2).

36.7. Подайте у вигляді многочлена:

1) (x − y)(x2 + xy + y2) = x3 − y3; 2) (a + 3)(a2 − 3a + 9) = a2 + 27; 3) (1 − d + d2)(1 + d) = 1 + d3; 4) (m − 2)(m2 + 2m + 4) = m3 − 8.

36.8. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (m + n)(m2 − mn + n2) = m3 + n3; 2) (m − 1)(m2 + m + 1) = m3 − 1; 3) (b + 4)(b2 − 4b + 16) = b3 + 64; 4) (25 + 5q + q2)(5 − q) = 125 − q3 .

36.9. Знайдіть значення виразу: 1) (4p − 1)(16p2 + 4p + 1) = 64p3 − 1.

Якщо p = −0,25, то 64 · (−0,25)3 − 1 = 64 · (−1 4)3 − 1 = 64 · (− 1 64) − 1 = −1 − 1 = −2. 2) (2a + b)(4a2 − 2ab + b2) = 8a3 + b3

Якщо a = −1 2, b = 2, то 8 · (−1 2)3 + 23 = 8 · (−1 8) + 8 = −1 + 8 = 7.

36.10. Знайдіть значення виразу: 1) (3x + 1)(9x2 − 3x + 1) = 27x3 + 1.

Якщо x = 2 3, то 27(2 3)3 + 1 = 27 8 27 = 8 + 1 = 9. 2) (x − 2y)(x2 + 2xy + 4y2) = x3 − 8y3 .

Якщо x = −2, y = 0,5, то (−2)3 − 8 · 0,53 = −8 − 8 · 0,125 = −8 − 1 = −9.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) a3 – b6 = a3 – (b2)3 = (a – b2)(a2 + ab2 + b4);

2) t12 + c9 = (t4)3 + (c3)3 = (t4 + c3)(t8 − t4c3 + c6);

3) p18 + m24 = (p6)3 + (m8)3 = (p6 + m8)(p12 − p6m8 + m16);

4) −c3 + m15 = m15 − c3 = (m5)3 − c3 = (m5 – c3)(m10 + m5c3 + c6);

5) 1 8 − a24 = −(1 8 + a24) = − ((1 2)3 + (a8)3) = −(1 2 + a8)( 1 8 − 1 2 a8 + a16);

6) −c99 – d60 = −(c99 + d60) = −((c33)3 + (d20)3) = −(c33 + d20)(c60 − c33d20 + d40);

7) (x3y3 + 1) = (xy + 1)(x2y2 − xy + 1);

8) 27 − a3b9 = 33 – (ab3)3 = (3 – ab3)(9 + 3ab3 + a3b9);

9) x6y12 + m27 = (x2y4)3 + (m3)3 = (x2y4 + m3)(x4y8 − x2y4m3 + m6);

10) 64m6p21 − 125x3 = (4m2p7)3 − 5x = (4m2p7 − 5x)(16m4p14 + 20m2p7x + 25x2);

11) 1 27 c24m18 + 27t9 = (1 3 c8m6)3 + (3t3)3 = (1 3 c8m6 + 3t3)( 1 9 c16m12 + 9t6 – c8m6t3);

12) 343a18b33 − 0,001c36 = (7a6b11)3 − (0,1c12)3 = = (7a6b11 − 0,1c12)(49a12b22 + 0,7a6b11c12 + 0,01c24).

36.12. Запишіть

1) x9 − y6 = (x3)3 − (y2)3 = (x3 – y2)(x6 + x3y2 + y4);

2) −p12 − 27 = (p12 + 27) = − ((p4)3 + 33) = (p4 + 3)(p8 − 3p4 + 9);

3) −a9b6 + 1 = 1 − (a3b2)2 = (1 – a3b2)(1 + a3b2 + a6b4);

4) 216p15 − 0,008t18 = (0,6p5)3 + (0,2t6)3 = (0,6p5 − 0,2t6)(0,36p10 − 0,12p5t6 + 0,04t12);

5) 64m21с3 − p30 = (4m7c)3 − (p10)3 = (4m7c − p10)(16m14c2 + 4m7cp10 + p20);

6) 512t24p27 − 729x33 = (8t8p9)3 − (9a11)3 = (8t8p9 − 9a11)(64t16p18 + 72t8p9a11 + 81a22).

36.13. Виконайте множення:

1) (b3 − d2)(b6 + b3d2 + d4) = b9 − d6;

2) (c3 + 2p)(c6 − 2pc3 + 4p2) = c6 + 8p3;

3) (9x2 + 3xy + y2)(3x − y) = 27x3 − y3; 4) (4c + 3d)(16c2 − 12cd + 9d2) = 64c3 + 27d3;

5) (a8 − 4a4 + 16)(a4 + 4) = a12 + 64; 6) (5m2 − 6p3)(25m4 + 30m2p3 + 36p6) = 125m6 − 216p9 .

36.14. Подайте у вигляді многочлена:

1) (a5 − m2)(a10 + a5m2 + m4) = a15 − m6; 2) (25a2 − 5ab + b2)(5a + b) = 125a3 + b3; 3) (2x − 7y2)(4x2 − 14xy2 + 49y4) = 8x3 − 343; 4) (3p2 + 4c3)(9p4 − 12p2c3 + 16c6) = 27p6 + 64c9 .

36.15. Виконайте дії:

1) (a + 2)(a2 − 2a + 4) − a(a2 − 5) = a3 + 8 − a3 + 5a = 5a + 8; 2) (b − 3)(b2 + 3b + 9) − b(b − 3)(b + 3) = b3 − 27 − b(b2 − 9) = b3 − 27 − b3 + 9b = 9b − 27; 3) (x + 4)(x2 − 4x + 16) − (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 + 64 − (x3 − 1) = x3 + 64 − x3 + 1 = 65; 4) (2b2 − 1)(4b4 + 2b2 + 1) − (2b3 + 1)2 = 8b6 − 1 − (4b6 + 4b3 + 1) = 8b6 − 1 − 4b6 − 4b3 − 1 = = −4b6 − 4b3 − 2.

36.16. Спростіть вираз: 1) (a − 4)(a2 + 4a + 16) − a(a − 2)(a + 2) = a8 − 64 – a(a2 – 4) = a3 − 64 – a3 + 4a = 4a − 64; 2) (x2 + 3)(x4 − 3x2 + 9) – (x2 – 2)(x4 − 2x2 + 4) = x6 + 27 – x6 + 8 = 35; 3) b(b − 1)2 − (b – 5)(b2 + 5b + 25) = b(b2 – 2b + 1) – (b3 – 125) = b3 − 2b2 + b3 +125 = = 125 + b – 2b2; 4) (a − 1)(a2 + a + 1)(a + 1)(a2 − a + 1) = (a3 − 1)(a3 + 1) = a6 − 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

36.17. Знайдіть значення

1) (2a + 1)(4a2 − 2a + 1) − 7a3 = 8a3 + 1 − 7a3 = a3 + 1.

Якщо a = −2, то

(−2)3 + 1 = −8 + 1 = −7.

2) (x2 + 5xy + 25y2)(x − 5y) + 25y3 − x3 = x3 − 125y3 + 25y3 − x3 = −100y3

Якщо x = −2015, то

−100y3 = −100 × (0,1)3 = −100 × 0,001 = −0,1.

36.18. Розв’яжіть рівняння:

1) (x − 4)(x2 + 4x + 16) = x3 − 8x; x3 − 64 = x3 − 8x; 8x = 64; x = 64 : 8; x = 8.

Відповідь: 8.

2) (x3 + 1)(x6 – x3 + 1) = x9 − 5x; x9 + 1 = x9 − 5x; 5x = −1; x = −1 : 5; x = −1 5 .

Відповідь: 1 5 .

3) (9x2 − 6x + 4)(3x + 2) = 3x(3x + 4)(3x − 4) + 32; 27x3 + 8 = 3x(9x2 − 16) + 32; 27x3 + 8 = 27x3 − 48x + 32; 48x = 32 − 8;

48x = 24; x = 24 48; x = 1 2 .

Відповідь: 1 2 .

4) 8(1 2x − 2)( 1 4 x2 + x + 4) − x(x − 3)2 = 6x2 − 46;

8(1 8 x3 − 8) − x(x2 − 6x + 9) = 6x2 − 46; x3 − 64 − x3 + 6x2 − 9x = 6x2 − 46; −9x = 64 − 46; −9x = 18; x = 18 : (−9); x = −2.

Відповідь: −2.

36.19. Розв’яжіть рівняння:

1) (x − 2)(x2 + 2x + 4) = 24x + x3; x3 − 8 = 24x + x3; −24x = 8; x = − 8 24; x = − 1 3 .

Відповідь: 1 3 .

36.20. Розкладіть на множники:

2) (2x + 1)(4x2 − 2x + 1) = 2x(2x − 3)(2x + 3) + 37; 8x3 + 1 = 2x(4x2 − 9) + 37; 8x3 + 1 = 8x3 − 18x + 37; 18x = 37 − 1; 18x = 36; x = 2.

Відповідь: 2.

1) (a + 3)3 − a3 = (a + 3 − a)((a + 3)2 + a(a + 3) + a2) = 3 · (a2 + 6a + 9 + a2 + 3a + a2) = = 3 · (3a2 + 9a + 9) = 9(a2 + 3a + 3);

2) (x − 4)3 + 8 = (x − 4 + 2)(x − 4)2 − 2(x − 4) + 4 = = (x − 2)(x2 − 8x + 16 − 2x + 8 + 4) = (x − 2)(x2 − 10x + 28).

3) 27p3 − (p + 1)3 = (3p − p − 1)(9p2 + 3p(p + 1)) + (p + 1)2) = = (2p − 1)(9p2 + 3p2 + 3p + p2 + 2p + 1) = (2p − 1)(13p2 + 5p + 1);

4) 64x3 + (x − 1)3 = (4x + x − 1)(16x2 − 4x(x − 1) + (x − 1)2) = = (5x − 1)(16x2 − 4x2 + 4x + x2 − 2x + 1) = (5x − 1)(13x2 + 2x + 1).

36.21. Розкладіть на множники:

1) (a + 1)3 + a3 = (a + 1 + a)(a2 + 2a + 1 + a2 + a + a2) = (2a + 1)(3a2 + 3a + 1);

2) (b – 2)3 − 8 = (b – 2 − 2)((b − 2)2 + 2(b – 2) + 4) = (b – 4)(b2 − 4b + 4 + 2b – 4 + 4) = = (b – 4)(b2 – 2b +4);

3) 125b3 − (b − 1)3 = (5b – (b – 1))(25b2 + 5b(b − 1) + (b − 1)2) =

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

= (5b −b + 1)(25b2 + 5b2 – 5b + b2 – 2b + 1) = (4b + 1)(31b2 – 7b + 1); 4) 64a3 + (a + 2)3 = (4a + a +2)(16a2 – 4a(a+2) + (a + 2)2) = = (5a + 2)(16a2 – 4a2 – 8a + a2 + 4a + 4) = (5a + 2)(13a2 – 4a + 4).

36.22. Доведіть, що дві

цифри значення виразу 4153 + 853 є нулями. 4153 + 853 = (415 + 85)(4152 − 415 · 85 + 852) = 500 · (4152 − 415 · 85 + 852). Останні дві

36.23. Чи ділиться число 1153 − 153 на 100? 1153 − 153 = (115 − 15)(1152 + 115 · 15 + 152) = 100(115

36.26

Рівняння:

90 − 2x = 5(30 − x);

90 − 2x = 150 − 5x;

−2x + 5x = 150 − 90;

3x = 60; x = 60 : 3; x = 20.

30 − 20 = 10 зошитів

Відповідь: 10 і 50. 36.27

1 2(���� 2 − 1 2) + 1 2 = ���� 4 − 1 4 + 1 2 = ���� 4 + 1 4 (курей):

Після цього

2 − 1 2 − ���� 4 − 1 4 = ���� 4 –3 4 (курей). Третій покупець купив: 1 2(���� 4 − 3 4) + 1 2 = ���� 8 − 3 8 + 1 2 = ���� 8 + 1 8 (курей):

Рівняння: (

2 + 1 2) + (���� 4 + 1 4) + (���� 8 + 1 8) = x; 7���� 8 + 7 8 = x; 1 8 x = − 7 8; x = − 7 8 : (−1 8); x = 7 8 · 8 1; x = 7.

Відповідь: 7 курей. §37. Застосування кількох способів розкладання многочленів на множники

37.1. (Усно.) З формул виберіть ті, що є тотожностями:

1) (a + b)2 = a2 + ab + b2 ні;

2) a2 − b2 = (a − b)(a + b) тотожність;

3) (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 тотожність;

4) a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) тотожність;

5) a3 − b3 = (a − b)(a2 + 2ab + b2) ні; 6) a2 − b2 = (a − b)2 ні.

37.2. Які з формул є тотожностями:

1) (m − n)2 = m2 − mn + n2 ні; 2) x3 + y3 = (x + y)(x2 − 2xy + y2) ні; 3) p2 − q2 = (p − q)(p + q) тотожність;

4) (c + d)2 = c2 + 2cd + d2 тотожність;

5) m3 − n3 = (m − n)(m2 + mn + n2) тотожність; 6) a2 − b2 = (a + b)(a + b) ні.

37.3. Закінчіть розкладання на множники:

1) xa2 − 9x = x(a2 − 9) = x(a2 − 32) = x(a − 3)(a + 3);

2) bm2 − 2mb + b = b(m2 − 2m + 1) = b(m − 1)2 .

37.4. (Усно.) Розкладіть на множники:

1) ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y);

2) mp2 − m = m(p2 − 1) = m(p − 1)(p + 1);

3) b3 − b = b(b2 − 1) = b(b − 1)(b + 1).

37.5. Розкладіть на множники:

1) 5a2 − 5b2 = 5(a2 − b2) = 5(a − b)(a + b);

2) ap2 − aq2 = a(p2 − q2) = a(p − q)(p + q);

3) 2xm2 − 2xn2 = 2x(m2 − n2) = 2x(m − n)(m + n);

4) 7b2 − 7 = 7(b2 − 1) = 7(b − 1)(b + 1);

5) 16x2 − 4 = 4(4x2 − 1) = 4(2x − 1)(2x + 1);

6) 75 − 27c2 = 3(25 − 9c2) = 3(5 − 3c)(5 + 3c);

7) 5mk2 − 20m = 5m(k2 − 4) = 5m(k − 2)(k + 2);

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

8) 63ad2 − 7a = 7a(9d2 − 1) = 7a(3d − 1)(3d + 1);

9) 125px2 − 5py2 = 5p(25x2 − y2) = 5p(5x − y)(5x + y).

37.6. Подайте у вигляді добутку:

1) m3 − m = m(m2 − 1) = m(m − 1)(m + 1);

2) p2 − p4 = p2(1 − p2) = p2(1 − p)(1 + p);

3) 7a − 7a3 = 7a(1 − a2) = 7a(1 − a)(1 + a);

4) 9b5 − 9b3 = 9b3(b2 − 1) = 9b3(b − 1)(b + 1);

5) 81c3 – c5 = c3(81 – c2) = c3(9 − c)(9 + c);

6) 3a5 − 300a7 = 3a5(1 − 100a2) = 3a5(1 − 10a)(1 + 10a).

37.7. Розкладіть на множники:

1) ax2 − ay2 = a(x2 − y2) = a(x − y)(x + y);

2) ma2 − 4mb2 = m(a2 − 4b2) = m(a − 2b)(a + 2b);

3) 28 − 7m2 = 7(4 − m2) = 7(2 − m)(2 + m);

4) p5 − p3 = p3(p2 − 1) = p3(p − 1)(p + 1);

5) b − 4b3 = b(1 – 4b2) = b(1 – 2b)(1 + 2b);

6) a5 – a3c2 = a3(a2 – c2) = a3(a – c)(a + c);

6) 15d − 15d3 = 15d(1 − d2) = 15d(1 − d)(1 + d);

7) 625b3 − b5 = b3(625 − b2) = b3(25 − b)(25 + b);

8) 500a5 − 45a3 = 5a3(100a2 − 9) = 5a3(10a − 3)(10a + 3).

37.8. Розв’яжіть рівняння:

1) 3x2 − 27 = 0;

3(x2 − 9) = 0;

3(x − 3)(x + 3) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3.

Відповідь: 3; −3.

37.9. Знайдіть корені рівняння:

1) 8 − 2x2 = 0; 2(4 − x2) = 0;

2(2 − x)(2 + x) = 0;

2 − x = 0; x = 2; або

2 + x = 0; x = −2.

Відповідь: 2; −2.

37.10. Розкладіть на множники:

2) 5 − 20x2 = 0; 5(1 − 4x2) = 0; 5(1 − 2x)(1 + 2x) = 0; 1 − 2x = 0; −2x = −1; x = 1 2;

або 1 + 2x = 0; 2x = −1; x = −1 2 .

Відповідь: 1 2; − 1 2 .

2) 75x2 − 3 = 0; 3(25x2 − 1) = 0;

3(5x − 1)(5x + 1) = 0;

5x − 1 = 0; 5x = 1; x = 1 5; або

5x + 1 = 0; 5x = −1; x = −1 5 .

Відповідь: 1 5; − 1 5

1) 3a2 + 6ab + 3b2 = 3(a2 + 2ab + b2) = 3(a + b)2; 2) −2m2 + 4mn − 2n2 = −2(m2 − 2mn + n2) = −2(m − n)2;

3) −a2 − 4a − 4 = −(a2 + 4a + 4) = −(a + 2)2;

4) 6a2 + 24ab + 24b2 = 6(a2 + 4ab + 4b2) = 6(a + 2b)2; 5) 2am2 + 4am + 2a = 2a(m2 + 4m + 1) = 2a(m + 1)2;

6) 8a4 − 8a3 + 2a2 = 2a2(4a2 − 4a + 1) = 2a2(2a − 1)2 .

37.11. Подайте многочлен

1) −4a2 + 8ab − 4b2 = −4(a2 − 2ab + b2) = −4(a − b)2;

2) −25by2 − 10by − b = −b(25y2 + 10y + 1) = −b(5y + 1)2;

3) a5 + 6a4m + 9a3m2 = a3(a2 + 6am + 9m2) = a3(a + 3m)2;

4) 6by2 + 36by3 + 54by4 = 6by2(1 + 6y + 9y2) = 6by2(1 + 3y)2 .

37.12. Знайдіть значення виразу:

1) 3m2 − 3n2 = 3(m − n)(m + n).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Якщо m = 41, n = 59, то

3(m − n)(m + n) = 3(41 − 59)(41 + 59) = 3(−18) · 100 = −5400;

2) 2x2 + 4xy + 2y2 = 2(x2 + 2xy + y2) = 2(x + y)2.

Якщо x = 29, y = −28, то

2(x + y)2 = 2(29 − 28)2 = 2 · 1 = 2.

37.13. Знайдіть значення виразу:

1) 5x2 − 5y2 = 5(x − y)(x + y).

Якщо x = 49, y = 51, то

5(x − y)(x + y) = 5(49 − 51)(49 + 51) = 5(−2)(100) = −1000.

2) 3a2 − 6ab + 3b2 = 3(a2 − 2ab + b2) = 3(a − b)2 .

Якщо a = 102, b = 101, то

3(a − b)2 = 3(102 − 101)2 = 3 · 1 = 3.

37.14. Подайте у вигляді добутку:

1) 3a3 − 3b3 = 3(a3 − b3) = 3(a − b)(a2 + ab + b2);

2) 7x3 + 7y3 = 7(x3 + y3) = 7(x + y)(x2 − xy + y2).

3) −pm3 − pn3 = −p(m3 + n3) = −p(m + n)(m2 − mn + n2);

4) 16a3 − 2 = 2(8a3 − 1) = 2(2a − 1)(4a2 + 2a + 1);

5) 125m + m4 = m(125 + m3) = m(5 + m)(25 − 5m + m2);

6) a7 − a4 = a4(a3 − 1) = a4(a − 1)(a2 + a + 1).

37.15. Розкладіть на множники:

1) bx3 − by3 = b(x3 − y3) = b(x − y)(x2 + xy + y2);

2) −2a3 − 2b3 = −2(a3 + b3) = −2(a + b)(a2 − ab + b2);

3) 8a – a4 = a(8 – a3) = a(2 − a)(4 + 2a + a2).

37.16. Розкладіть на множники:

1) a4 − 81 = (a2)2 − 92 = (a2 − 9)(a2 + 9) = (a − 3)(a + 3)(a2 + 9);

2) 16 − c4 = 42 – (c2)2 = (4 − c2)(4 + c2) = (2 – c)(2 + c)(4 + c2); 3) x8 − 1 = (x4)2 – 1 = (x4 − 1)(x4 + 1) = (x2 − 1)(x2 + 1) (x4 + 1) = = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 + 1); 4) a4 – b8 = (a2)2 − (b4)2 = (a2 – b4)(a2 + b4) = (a – b2)(a + b2)(a2 + b4).

37.17. Доведіть: a8 – b8 = (a4)2 – (b4)2 = (a4 – b4)(a4 + b4) = (a2 – b2)(a2 + b2)(a4 + b4) = = (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4).

37.18. Розв’яжіть рівняння: 1) x3 − x = 0;

x(x2 − 1) = 0;

x(x − 1)(x + 1) = 0; x = 0 або x − 1 = 0; x = 1 або

x + 1 = 0; x = −1.

Відповідь: 0; 1; −1.

3) 64x3 + x = 0;

x(64x2 + 1) = 0;

x = 0; 64x2 + 1 > 0.

Відповідь: 0.

2) 112y − 7y3 = 0;

7y(16 − y2) = 0;

7y(4 − y)(4 + y) = 0;

7y = 0; y = 0 або

4 − y = 0; y = 4 або

4 + y = 0; y = −4.

Відповідь: 0; 4; −4.

4) y3 + 4y2 + 4y = 0;

y(y2 + 4y + 4) = 0;

y(y + 2)2 = 0; y = 0

або (y + 2)2 = 0; y + 2 = 0; y = −2.

Відповідь: 0; −2.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

37.19. Розв’яжіть рівняння:

1) y − y3 = 0;

y(1 − y2) = 0;

y(1 − y)(1 + y) = 0; (y = 0) або

1 + y = 0; y = 1 або

1 + y = 0; y = −1.

Відповідь:0; 1; −1.

3) 16y3 + y = 0; y(16y2 + 1) = 0; y = 0 або 16y2 + 1 > 0.

Відповідь: 0.

37.20. Розкладіть на множники:

2) 5x3 − 180x = 0; 5x(x2 − 36) = 0; 5x(x − 6)(x + 6) = 0; x = 0 або x − 6 = 0; x = 6 або x + 6 = 0; x = −6.

Відповідь: 0; 6; −6.

4) x3 − 2x2 + x = 0; x(x2 − 2x + 1) = 0; x(x − 1)2 = 0; (x = 0 або x − 1 = 0; x = 1.

Відповідь: 0; 1.

1) 7ab + 21a − 7b − 21 = 7a(b + 3) − 7(b + 3) = (b + 3)(7a − 7) = 7(b + 3)(a − 1);

2) 6mn + 60 – 30m − 12n = (6mn – 30m) + (60 − 12n) = 6m(n − 5) + 12(5 − n) =

= (n − 5)(6m − 12) = 6(n − 5)(m − 2);

3) −abc − 3ac − 4ab − 12a = −(ac(b + 3) − 4a(b + 3)) = −a(b + 3)(c − 4);

4) a3 – ab – a2b + a2 = (a3 − a2b) + (a2 − ab) = a2(a − b) + a(a − b) = (a – b)(a2 + a) = = a(a – b)(a + 1).

37.21. Подайте вираз у

1) 90 + 3ab − 45a − 6b = (90 − 45a) + (3ab − 6b) = 45(2 − a) + 3b(a − 2) = = (2 − a)(45 − 3b) = (2 − a) · 3(15 − b);

2) −3mn − 9m − 18n − 54 = − 3(mn + 3m + 6n + 18) = −3(m(n + 3) + 6(n + 3)) = = −3(n + 3)(m + 6);

3) a4x + a4 + a3x + a3 = a4(x + 1) + a3(x + 1) = (x + 1)(a4 + a3) = a3(x + 1)(a + 1);

4) p3a2 + pa2 − 3ap3 − 3ap = pa2(p2 + 1) − 3ap(p2 + 1) = (p2 + 1)(pa2 – 3ap) = (p2 + 1) · ap(a – 3).

37.22. Розкладіть на множники:

1) a2 + 2ab + b2 − 16 = (a + b)2 − 16 = (a + b − 4)(a + b + 4);

2) a2 − x2 − 2xy − y2 = a2 − (x2 + 2xy + y2) = a2 − (x + y)2 = (a + x + y)(a − x − y);

3) p2 − x2 + 10p + 25 = (p2 + 10p + 25) − x2 = (p + 5)2 − x2 = (p + 5 − x)(p + 5 + x);

4) p2 − x2 + 20x − 100 = p2 − (x2 − 20x + 100) = p2 − (x − 10)2 = (p + (x − 10))(p − (x − 10)) = = (p + x − 10)(p − x + 10).

37.23. Розкладіть на множники:

1) x2 + 2xy + y2 − 25 = (x + y)2 − 52 = (x + y + 5)(x + y – 5);

2) m2 − a2 + 2ab − b2 = m2 − (a2 − 2ab + b2) = m2 − (a − b)2 = (m − (a − b))(m + (a − b)) = = (m − a + b)(m + a − b).

3) m2 − a2 − 8m + 16 = (m2 − 8m + 16) − a2 = (m − 4)2 − a2 = (m − 4 − a)(m + 4 + a); 4) m2 − b2 − 8b − 16 = m2 − (b2 + 8b + 16) = m2 − (b + 4)2 = m2 − (b + 4)2 = = (m + b + 4)(m − b − 4).

37.24. Подайте вираз у вигляді

1) a2 − 81 + a − 9 = (a2 − 81) + (a − 9) = (a − 9)(a + 9) + (a − 9) = (a − 9)(a + 9 + 1) = = (a – 9)(a + 10);

2) m2 – a2 – (a + m) = (m − a)(m + a) + (a + m) = (a + m)(m − a + 1);

3) x2 − y2 – x + y = (x2 − y2) – (x − y) = (x − y)(x + y) – (x − y) = (x – y)(x + y –1);

4) x + x2 – y – y2 = (x − y)(x2 − y2) = (x − y) + (x − y)(x + y) = (x – y)(1 + x + y);

5) a − 3b + a2 − 9b2 = (a − 3b)(a2 − 9b2) = (a − 3b) + (a − 3b)(a + 3b) = (a − 3b)(1+ a + 3b);

6) 16m2 – 25n2 − 4m − 5n = (16m2 − 25n2) − (4m + 5n) = (4m – 5n)(4m + 5n) – (4m + 5n) = = (4m + 5n)(4m – 5n – 1).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

37.25. Розкладіть на множники: 1) a2 − b2 − (a − b) = (a − b)(a + b) − (a − b) = (a − b)(a + b − 1);

2) p2 − b − p − b2 = p2 − b2 − (b + p) = (p − b)(p + b) − (p + b) = (p + b)(p − b − 1); 3) 16x2 − 25y2 + 4x − 5y = (4x − 5y)(4x + 5y) + (4x − 5y) = (4x − 5y)(4x + 5y + 1); 4) 100m2 − 10m + 9n − 81n2 = (100m2 − 81n2) + (9n − 10m) = = (10m − 9n)(10m + 9n) − (10m − 9n) = (10m − 9n)(10m + 9n − 1).

37.26. Перетворіть вираз на добуток:

1) p2(m − 3) − 2p(m − 3) + (m − 3) = (m − 3)(p2 − 2p + 1) = (m − 3)(p − 1)2; 2) 1 − a2 − 4b(1 − a2) + 4b2(1 − a2) = (1 − a2)(1 − 4b + 4b2) = (1 − a2)(1 − 2b)2 = = (1 − a)(1 + a)(1 − 2b)2 .

37.27. Доведіть тотожність: c2(c − 2) − 10c(c − 2) + 25(c − 2) = (c − 2)(c2 − 10c + 25) = (c − 2)(c − 5)2 .

37.28. Подайте у вигляді добутку:

1) ab2 – b3 – a + b = b2(a − b) – (a − b) = (a − b)(b2 − 1) = (a − b)(b – 1)(b + 1); 2) ax2 – a3 + 7x2 – 7a2 = a(x2 – a2) + 7(x2 – a2) = (x2 – a2)(a + 7) = (x – a)(x + a)(a + 7);

3) p3 + p2q − 4p − 4q = p2(p + q) − 4(p + q) = (p + q)(p2 − 4) = (p + q)(p − 2)(p + 2);

4) a3 − 5m2 + 5a2 − am2 = (a3 + 5a2) + (−5m2 − am2) = a2(a + 5) − m2(a + 5) = = (a + 5)(a2 − m2) = (a + 5)(a − m)(a + m).

37.29. Розкладіть на множники:

1) m3 + n3 + m + n = (m3 + n3) + (m + n) = (m + n)(m2 − mn + n2) + (m + n) = = (m + n)(m2 − mn + n2 + 1);

2) a − b − (a3 − b3) = (a − b) − (a − b)(a2 + ab + b2) = (a − b)(1 − a2 − ab − b2);

3) a3 + 8 − a2 − 2a = (a3 + 8) − (a2 + 2a) = (a + 2)(a2 − 2a + 4) − a(a + 2) = = (a + 2)(a2 − 2a + 4 − a) = (a + 2)(a2 − 3a + 4); 4) 8p3 − 1 − 12p2 + 6p = (8p3 − 1) − (12p2 − 6p) = (2p − 1)(4p2 + 4p + 1) − 6p(2p − 1) = = (2p − 1)(4p2 + 4p + 1 − 6p) = (2p − 1)(4p2 − 2p + 1).

37.30. Подайте у вигляді добутку:

1) m3 + m2n − m − n = m2(m + n) − (m + n) = (m + n)(m2 − 1) = (m + n)(m − 1)(m + 1); 2) ba2 − 3a2 − 4b + 12 = a2(b − 3) − 4(b − 3) = (b − 3)(a2 − 4) = (b − 3)(a − 2)(a + 2); 3) a3 − b3 + a − b = (a − b)(a2 + ab + b2) + (a − b) = (a − b)(a2 + ab + b2 + 1); 4) (x3 + 1) + (−5x − 5) = (x + 1)(x2 − x + 1) − 5(x + 1) = (x + 1)(x2 − x + 1 − 5) = = (x + 1)(x2 − x − 4).

37.31. Розв’яжіть рівняння: 1) y3 − 5y2 − y + 5 = 0; y2(y − 5) − (y − 5) = 0; (y − 5)(y2 − 1) = 0; (y − 5)(y − 1)(y + 1) = 0; y − 5 = 0; y = 5 або y − 1 = 0; y = 1 або y + 1 = 0; y = −1.

Відповідь: 5; 1; −1.

37.32. Для якого значення x: 1) значення виразу x3 − x2 − x + 1 дорівнює

нулю;

x3 − x2 − x + 1 = 0;

x2(x − 1) − (x − 1) = 0; (x − 1)(x2 − 1) = 0; (x − 1)(x − 1)(x + 1) = 0;

2) x3 = 2x2 + 4x − 8;

x3 – 2x2 − 4x + 8 = 0; x2(x − 2) −4(x − 2) = 0; (x − 2)(x2 – 4) = 0; (x − 2)(x − 2)(x + 2) = 0; x − 2 = 0; x = 2 або x + 2 = 0; x = −2.

Відповідь: 2; −2.

2) значення виразів x3 − 9x і x2 − 9 між собою рівні?

x3 − 9x − x2 − 9 = 0;

x3 − 9x − x2 + 9 = 0;

(x3 − x2) + (−9x + 9) = 0;

x2(x − 1) − 9(x − 1) = 0;

x − 1 = 0; x = 1 або x + 1 = 0; x = −1.

Відповідь: 1; −1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

(x2 − 9)(x − 1) = 0; (x − 3)(x + 3)(x − 1) = 0; x − 3 = 0; x = 3 або x + 3 = 0; x = −3 або x − 1 = 0; x = 1.

Відповідь: 3; −3; 1.

37.33. Запишіть у вигляді добутку:

1) 9(a + b)2 − (a2 − 2ab + b2) = 9(a + b)2 − (a − b)2 = (3(a + b) − (a − b))(3(a + b) + (a − b)) = = (3a + 3b − a + b)(3a + 3b + a − b) = (2a + 4b)(4a + 2b) = 4(a + 2b)(2a + b).

2)25(3y − 2m)2 − 36(9y2 + 12my + 4m2) = (5(3y − 2m))2 − (6(3y + 2m))2 = = (5(3y − 2m) + 6(3y + 3m))(5(3y − 2m) − 6(3y + 2m)) = = (15y − 10m + 18y + 12m)(15y − 10m − 18y − 12m) = (33y + 2m)(−3y − 22m) = = −(33y + 2m)(3y + 22m).

37.34. Розкладіть на множники:

1) a3 + 8b3 + a2 − 2ab + 4b2 = (a + 2b)(a2 − 2ab + 4b2) + (a2 − 2ab + 4b2) = = (a2 − 2ab + 4b2)(a + 2b + 1); 2) m3 − 8n3 + m2 − 4mn + 4n2 = (m3 − 8n3) + (m2 − 4mn + 4n2) =

= (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2) + (m − 2n)2 = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2 + m − 2n) = = (m − 2n)(m2 + 2mn + 4n2 + m − 2n).

37.35. Перетворіть многочлен на добуток многочленів:

1) a3 − b3 + a2 − 2ab + b2 = (a3 − b3) + (a2 − 2ab + b2) = (a − b)(a2 + ab + b2) + (a − b)2 = = (a − b)(a2 + ab + b2 + a − b); 2) c2 + 2cd + d2 − x2 − 2xy − y2 = (c2 + 2cd + d2) − (x2 + 2xy + y2) = (c + d)2 − (x + y)2 = = (c + d + x + y)(c + d − x − y).

37.36. Розкладіть тричлен на множники, виділивши попередню квадрат двочлена:

1) x2 − 2x − 3 = x2 − 2x + 1

= (x − 1 − 2)(x − 1 + 2) = (x − 3)(x + 1); 2) x2 + 8x − 9 = x2 − 2 · 4x + 42 − 42 − 9 = (x − 4)2

= (x − 4)2 − 52 = = (x − 4 − 5)(x − 4 + 5) = (x − 9)(x + 1);

3)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

x(x2 − 4x + 4 + 4x) = 64((1 4x)3 − 13);

x(x2 + 4) = 64( 1 64 x3 − 1);

x3 + 4x = x3 − 64; 4x = −64; x = −64 : 4; x = −16.

Відповідь: −16.

37.40. Супермаркет

Відповідно

(141 – 12х) шт., а смартфонів (95 – 10х) шт. Рівняння:

141 – 12х = 3(95 –10х); 141 – 12х = 285 – 30х; –12х + 30х = 285 – 141; 18х = 144; х = 8.

Відповідь: через 8 годин. 37.41.

за рік?

1) 15000 ∙ 0,2 = 3000 (грн) –

2) 20000 ∙ 0,08 = 1600 (грн) – прибуток з акцій «Гама»;

3) 60000 – 15000 – 20000 = 25000 (грн) –

акції «Гама»

4) 25000 ∙ 0,1 = 2500 (грн) – збиток з акцій «Гама»;

5) (3000 + 1600) – 2500 = 2100 (грн) –

Відповідь: загальний прибуток склав 2100 грн.

37.42. Накресліть трикутник ABC та KLM. Знайдіть

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1. Якому многочлену тотожно дорівнює

(m − n)2? (m – n)2 = m2 – 2mn + n2.

Відповідь: Г).

2. Знайдіть добуток (a − x)(a + x): (а – х)(а + х) = а2 – х2 .

Відповідь: Б).

3. Подайте вираз x2 + 2xy + y2 у вигляді квадрата двочлена: x2 + 2ху + y2 = (х + у)2 .

Відповідь: Г).

4. Перетворіть вираз (5x − 1)2 на многочлен: (5х – 1)2 = 25x2 – 10x + 1.

Відповідь: В).

5. Розкладіть двочлен −16 + 9a2 на множники: –16 + 9а2 = 9а2 – 16 = (3а + 4)(3а – 4).

Відповідь: В).

6. Подайте вираз m3 + 64 у вигляді добутку: m3 + 64 = m3 + 43 = (m + 4)(m2 – 4m + 16).

Відповідь: А).

7. Розв’яжіть рівняння: x(x + 2) − (x − 3)2 = 7:

х(х + 2) – (х – 3)2 = 7; x2 + 2х – x2 + 6х – 9 = 7; 2х + 6х = 7 + 9; 8х = 16; х = 2.

Відповідь: Г).

8. Спростіть вираз (m2 + 2p)(m4 − 2m2p + 4p2): (m2 + 2р)(m4 – 2m2р + 4p2) = (m2)3 + (2р)3 = m6 + 8p3.

Відповідь: Б).

9. Розкладіть многочлен 3ab − 3b + 6a − 6 на множники: 3аb – 3b + 6а – 6 = 3b(а – 1) + 6(а – 1) = (3b + 6)(а – 1) = 3(6 + 2)(а – 1).

Відповідь: Г).

10. Якого найменшого значення набуває вираз x2 + 4x + 3? x2 + 4х + 3 = x2 + 4х + 4 – 1 = (х + 2)2 – 1.

Вираз (х + 2)2 – додатний, тому найменше значення виразу (х + 2)2 – 1 дорівнює –1.

Відповідь: В).

11. Розв’яжіть рівняння x3 + 2x2 − x − 2 = 0: x3 + 2х2 – х – 2 = 0; x2(х + 2) – (х + 2) = 0; (x2 – 1)(х + 2) = 0; (х – 1)(х + 1)(х + 2) = 0; х – 1 = 0 або х + 1 = 0 або х + 2 = 0; х = 1 або х = –1 або х = –2. Відповідь: А).

12. Розкладіть вираз (b − 2)3 – b3 на множники: (b – 2)3 – b3 = (b – 2 – 6)((b – 2)2 + b(b – 2) + b2) = –2(b2 – 4b + 4 + b2 – 2b + b2) = = –2(3b2 – 6b + 4).

Відповідь: В).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

(1

1. 25х2 – 70х + 49 = (5х – 7)2 = (5 · 1,4 – 7)2 = (7 – 7)2 = 0.

2. (5х – 1)(25х2 + 5х + 1) – 125х3 = 125х3 + 1 – 125х3 = 1.

3. 72 – 120х + 50х2 = 2(25х2 – 60х + 36) = 2(5х – 6)2 = 2(7 – 6)2 = 2.

Відповідь: 1 – Б; 2 – В; 3 – Г.

1. Перетворіть вираз на многочлен:

x = 1,4 (А–

ДО §§ 32-37

1) (р + а)2 = р2 + 2ра + а2; 2) (с – m)(с + m) = с2 – m2.

2. Розкладіть на множники: 1) t2 – 2tb + b2 = (t – b)2; 2) d2 – n2 = (d – n)(d + n).

3. Які з рівностей є тотожностями:

1) (р – а)2 = р2 – 2ра + a2 ≠ p2 – ра + а2 не тотожність;

2) р3 + q3 = (p + q)(p2 – pq + q2) тотожність;

3) m2 – c2 = (m – с)(m + с) тотожність; 4) d3 – t3 = (d – t)(d2 + dt + t2) ≠ (d – t)(d2 + 2dt + t2) не тотожність.

4. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (3а – 5)2 = 9a2– 30а + 25; 2) (7 + 2b)(2b – 7) = 4b2 – 49.

5. Розкладіть многочлен на множники:

1) а2 + 6а + 9 = (а + 3)2; 2) –25 + 36х2 = (6х – 5)(6х + 5); 3) b3 + 64 = (b + 4)(b2 – 4b + 16); 4) 7c2 – 7d2 = 7(с – d)(c + d).

6. Спростіть вираз (2x + 3)2 + (7 − 2x)((7 + 2x)) та

(2х + 3)2 + (7 – 2х)(7 + 2х) = 4x2 + 12x + 9 + 49 – 4x2 = 12х + 58.

Якщо х = –1 12, то 12х + 58 = 12 ∙ (–1 12) + 58 = –1 + 58 = 57.

7. Розв’яжіть рівняння:

1) 2x3 – 50x = 0;

2х(х2 – 25) = 0;

2х(х – 5)(х + 5) = 0;

х = 0 або х – 5 = 0 або х + 5= 0;

х = 0 або x = 5 або х = –5;

Відповідь: –5; 0; 5; 2) x3 – 10x2 + 25x = 0; x(x2 – 10x + 25) = 0;

8. Спростіть вираз:

якщо x = –1 12

х(х – 5)2 = 0; х = 0 або х – 5 = 0; х = 0 або х = 5.

Відповідь: 0; 5.

1) (–4а + 3b)2 + (–4а + 5b)(5b + 4а) + 24аb = 9b2 – 24аb + 16а2 + 25b

– 16а

+

= 34b2; 2) (а – 2)(а2 + 2а + 4) – а(а – 3)(а + 3) = а3 –

+

+

= = а3 + 9а2 + 27а + 27; 2) (2m – 5)3 = (2m – 5)2(2m – 5) = (4m2 – 20m + 25)(2m – 5) = = 8m3 – 20m2 – 40m2 + 100m + 50m – 125 = 8m3 –

1. Піднесіть двочлен до степеня:

1) (x − p)2 = x2 − 2px + p2; 2) (m + a)2 = m2 + 2ma + a2; 3) (b − k)2 = b2 − 2bk + k2; 4) (y + c)2 = y2 + 2yc + c2.

2. Перетворіть вираз на многочлен:

1) (3a − 7)2 = 9a2 − 42a + 49; 2) (2b + 5)2 = 4b2 + 20b + 25; 3) (10m − 5k)2 = 100m2 − 100mk + 25k2; 4) (4p + 9q)2 = 16p2 + 72pq + 81q2;

5) (0,1m − 5p)2 = 0,01m2 − mp + 25p2; 6) (1 6 a + 6b)2 = 1 36 a2 + 2ab + 36b2

3. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (a − 1)2 − (a − 2)2 = a2 − 2a + 1 − (a

Якщо a = 1,5, то 2a − 3 = 2 · 1,5 − 3 = 3 − 3 = 0. 2) (3b + 2)2 + (3b − 2)2 = 9b2 + 12b + 4 + 9b2 − 12b + 4 = 18b2 + 8.

Якщо b = −1 3 , то 18(−

x число; x2 квадрат числа; (x + 3)2 = x2 + 159; x2 + 6x + 9 = x2 + 159; 6x = 150; x = 25.

Відповідь: 25.

5. Чи є рівність (a − b)2 = |a − b|2 тотожністю?

Нехай а – b ≥ 0, тоді |a – b| = a – b i |a – b|2 = (а – b)2 .

Нехай а – b < 0, тоді |а – b| = –(а – b), |а – b|2 = (–(а – b))2 = (а – b)2 .

Отже, рівність (а – b)2 = |a – b|2 є тотожністю.

6. Подайте у вигляді многочлена:

1) ((x + y) + a)2 = (x + y)2 + 2a(x + y) + a2 = x2 + 2xy + y2 + 2ax + 2ay + a2 2) ((b − c) − d)2 = (b − c)2 − 2d(b − c) + d

3) (m + n + 2)2 = m2 + n2 + 4 + 2mn + 4m + 4n. 4) (a + 3 − c)(a + 3 − c) = ((a + 3) − c)2 = (a + 3)2 − 2c(a + 3) + c2 =

§ 33

7. Подайте

. Розкладіть на множники: 1) m2 + 20m + 100 = (m + 10)2; 2) 49 − 14b + b2 = (7 − b)2; 3) 0,09x2 + 0,6x + 1 = (0,3x + 1)2; 4) 1 36 − 1 3 p + p2 = ( 1 6 − p)2; 5) 4x2 + 20x + 25 = (2x + 5)2; 6) 14m2 − 12mp + 9p2 = (7m − 3p)2 . 9. Знайдіть значення виразу: 1) −100m2 + 20m − 1 = −(100m2 − 20m + 1) = −(10m − 1)2 .

Якщо m = 0,1, то (10 · 0,1 − 1)2 = (1 − 1)2 = 0;

якщо m = −0,9, то (10(−0,9) − 1)2 = (−10)2 = 100.

2) −4x2 − 12xy − 9y2 = −(4x2 + 12xy + 9y2) = −(2x + 3y)2

Якщо x = 0,03, y = −0,02, то − (2 · 0,03 + 3(−0,02)) = (−0,06 − 0,06) = 0.

.

10. Розв’яжіть

1) 3x2 − 2x + 1 3 = 0;

9x2 − 6x + 1 = 0; (3x − 1)2 = 0; 3x − 1 = 0; x = 1 3 .

Відповідь: 1 3 .

11.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) 5y2 + 2y + 1 5 = 0; 25y2 + 10y + 1 = 0; (5y + 1)2 = 0; 5y + 1 = 0; 5y = −1; y = −1 5 .

Відповідь: 1 5 .

1) 100m2 + 20mn + n2 = (10m + n)2; 2) 25a2 − 30ab + 9b2 = (5a − 3b)2 12

1) 4x(4x − 10) + 25 = 16x2 − 40x + 25 = (4x − 5)2 > 0;

2) (a − 2)((a − 2) + 2m) + m2 = (a − 2)(a − 2 + 2m) + m2 = = a2 − 2a + 2am − 2a + 4 − 4m + m2 = (a − 2 + m)2; 3) (a + b)(a + b + 8) + 16 = a2 + ab + 8a + ab + b2 + 8b = (a + b + 4)2 . До § 34

13. Які з рівностей є тотожностями:

1) (b − x)(b + x) = b2 + x2; b2 − x2 = b2 + x2, не є тотожністю; 2) (c − d)(c + d) = c2 − d2 тотожність;

3) (m + n)(m − n) = (m + n)2, не є тотожністю; 4) (p − q)(p − q) = p2 − q2 тотожність.

14. Виконайте множення:

1) (c + 7)(7 − c) = 49 − c2; 2) (0,5m − 3)(0,5m + 3) = 0,25m2 – 9; 3) (3k + 7)(3k − 7) = 9k2 – 49; 4) (2p – 9q)(9a + 2p) = 4p2 – 81q2; 5) (10m + 9n)(9n – 10m) = 81n2 – 100m2; 6) (2 3 c − 4 5 d)(2 3 c + 4

d) = 4

c2 − 16 25 d2.

15. Подайте у вигляді многочлена:

1) 4(a − 1)(a + 1) = 4(a2 − 1) = 4a2 − 4; 2) b(b − 2)(b + 2) = b(b2 − 4) = b3 − 4b; 3) 7p(p + 3)(p − 3) = 7p(p2 − 9) = 7p3 − 63p; 4) −3x(x + 4)(x − 3) = −3x(x2 − 3x + 4x − 12) = −3x3 + 9x2 − 12x + 36x.

16. Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (1,9x − 3)(3 + 1,9x) + 0,39x2 = 3,61x2 − 9 + 0,39x2 = 4x2 − 9 = 4 · 22 − 9 = 4 · 4 − 9 = = 16 − 9 = 7;

2) 9,99 − (5y − 0,1)(5y + 0,01) = 9,99 − (25y2 − 0,01) = 9,99 − 25y2 + 0,01 = 10 − 15y2 .

Якщо y = 1 5, то 10 − 25(1 5)2 = 10 − 25 1 25 = 9;

3) (2x − 3y)(2x + 3y) − (3x + 2y)(3x − 2y) = 4x2 − 9y2 − (9x2 − 4y2) = = 4x2 − 9y2 − 9x2 + 4y2 = −5x2 − 5y2;

Якщо x = 1,8, y = −1,8, то −5 · 1,82 – 5(−1,8)2 = −5 · 1,82 − 5 · 1,82 = −10 · 3,24 = −32,4.

4) (ab + 1)(ab − 1)(a2b2 + 1) = (a2b2 − 1)(a2b2 + 1) = a4b4 − 1 = 54 · (1 5) − 1 = (51 5)4 − 1 = 0.

17. Обчисліть: 740 · 340 − (2120 − 1)(2120 + 1) = 740 · 340 − (2140 − 1) = 740 · 340 − 2140 + 1 = 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

18. Які з рівностей є тотожностями:

1) m2 − p2 = (m + p)(m − p) тотожність; 2) a2 – 72 = (a − 7)(a + 7) тотожність; 3) c2 – d2 = (c – d)(c + d) тотожність; 4) 92 – a2 = (9 – a)2 не є тотожність.

19. Розкладіть на множники двочлен: 1) x2 − 49 = (x − 7)(x + 7); 2) 100 − p2 = (10 − p)(10 + p); 3) 0,04m2 − n2 = (0,2m − n)(0,2m + n); 4) 25x2 − 36y2 = (5x − 6y)(5x + 6y);

5) 16a2 − b2c2 = (4a − bc)(4a + bc); 6) 121m2a2 − 1 9 b2 = (11ma − 1 3b)(11ma + 1 3b).

20. Розв’яжіть рівняння, де x – змінна:

1) a2x2 − b2 = 0; (ax − b)(ax + b) = 0; ax − b = 0; ax = b; x = ���� ���� ;

або ax + b = 0; ax = −b; x = −���� ���� .

Відповідь: ���� ���� ; − ���� ���� .

21. Чи ділиться:

2) x2 − 0,09a2 = 0; (x − 0,3a)(x + 0,3a) = 0; x = 0,3a; x = −0,3a.

Відповідь: 0,3a; −0,3a.

1) 1382 − 1362 = (138 − 136)(138 + 136) = 2 · 274 = 4 · 137 ділиться на 4;

2) 3492 − 3472 = (349 − 347)(349 + 347) = 2 · 696 = 2 · 3 · 232 = 6 · 232 ділиться на 6.

22. Розкладіть на множники вираз:

1) 9 − (2x − 8)(3x + 2) − 2x(5x + 10) = 9 − (6x2 + 4x − 24x − 16) − 10x2 − 20x = = 9 − 6x2 + 20x + 16 − 10x2 − 20x = 9 − 16x2 + 16 = 25 − 16x2 = (5 − 4x)(5 + 4x).

2) (3x + 5)(4x − 5) − 2x(2,5 + 1,5x) = 12x2 − 15x + 20x − 25 − 5x − 3x2 = = 9x2 − 25 = (3x − 5)(3x + 5).

.

квадратом їх різниці:

2) m2 + 2mn + n2 = (m + n)2; неповний

m

n; 4) m2 − 2mn + n2 = (m − n)2;

m і n.

24. Розкладіть на множники:

1) x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2); 2) p3 + k3 = (p + k)(p2 − pk + k2); 3) a3 − 64 = (a − 8)(a2 + 8a + 16); 4) 1 125 + b3 = (1 5 + b)( 1 25 − 1 5 b + b2);

5) 0,001m3 − 1 = (0,1m − 1)(0,01m2 + 0,1m + 1); 6) 8x3 + 27p3 = (2x + 3p)(4x2 − 6xp + 9p2).

25. Доведіть, що значення

373 + 133

на 50. 373 + 133 = (37 + 13)(372 − 37·13 + 132) = 50(372 – 37 · 13 + 132) ділиться на 50, один із множників є 50.

26. Доведіть тотожність: x6 − y6 = (x − y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x3 − xy + y2); (x − y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x2 − xy + y2) = (x − y)(x2 + xy + y2)(x + y)(x2 − xy + y2) = = (x3 – y3)(x3 + y3) = (x3)2 − (y3)2 = x6 − y6.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

27. Закінчіть розкладання

1) ym2 − 4y = y(m2 − 4) = y(m2 − 22) = y(m – 2)(m + 2) ;

2) ca2 + 2ac + c = c(a2 + 2a + 1) = c(a + 1)2 .

28. Розкладіть на множники многочлен:

1) mp2 − mq2 = m(p2 − q2) = m(p − q)(p + q);

2) 20a2 − 5 = 5(4a2 − 1) = 5(2a − 1)(2a + 1);

3) c − c3 = c(1 − c2) = (1 − c)(1 + c);

4) 64a2 − a4 = a2(64 − c2) = a(82 – a2) = a(8 – a)(8 + a);

5) 5x2 − 10xy + 5y2 = 5(x2 − 2xy + y2) = 5(x − y)2;

6) 2b + 4bn + 2bn2 = 2b(1 + 2n + n2) = 2b(1 + n)2 .

29. Подайте у вигляді добутку:

1) 9a3 − 9b3 = 9(a3 − b3) = 9(a − b)(a2 + ab + b2);

2) 2mn − 2bn + 6m − 6b = (2mn − 2bn) + (6m − 6b) = 2n(m − b) + 6(m − b) = = (m − n)(2n + 6) = 2(m − b)(n + 3);

3) 1 81p4 − 1 = (1 9p2 − 1)( 1 9p2 + 1) = (1 3p − 1)( 1 3p + 1)( 1 9p2 + 1);

4) m2 − 4mn + 4n2 − 25 = (m2 − 4mn + 4n2) − 25 = (m − 2n)2 − 52 = (m − 2n − 5)(m − 2n + 5);

5) b2 − 36 + b − 6 = (b2 − 36) + (b − 6) = (b – 6)(b + 6) + (b − 6) = (b − 6)(b + 6 + 1); 6) m2 − 4m – m2n + 4n = (m2 – m2n) + (−4m + 4n) = m2(m – n) – 4(m – n) = = (m – n)(m2 – 4) = (m – n)(m – 2)(m + 2).

30. Розкладіть на множники многочлен: 1) am4 − m4 − an2 + m2 = (am4 − m4) + (−am2 + m2) = m4(a − 1) − m2(a − 1) = = (a − 1)(m4 − m2) = m2(a − 1)(m2 − 1) = m2(a − 1)(m − 1)(m + 1); 2) a3b − a3 − ab + a = (a3b − a3) + (−ab + a) = a3(b − 1) − a(b − 1) = (b − 1)(a3 − a) = = (b − 1) · a(a2 − 1) = a(b − 1)(a − 1)(a + 1); 3) (b3 + 1) + (−b2 − b) = (b + 1)(b2 − b + 1) − b(b + 1) = (b + 1)(b2 − b + 1 − b) = = (b + 1)(b2 – 2b + 1) = (b + 1)(b − 1)2; 4) x3 − 27 + x4 − 9x2 = (x3 − 27) + (x4 − 9x2) = (x − 3)(x2 + 3x + 9) + x2(x − 3)(x + 3) = = (x − 3)(x2 + 3x + 9 + x2 (x + 3)) = (x − 3)(x3 – 4x2 + 3x + 9).

31. Доведіть тотожність: 1) (а + 1)3 – 4(а + 1) = (а + 1)((а+ 1)2 – 4 ) = (а + 1)(а + 1 – 2)(а + 1 + 2) = (а + 1)(а – 1)(а + 3) тотожність доведена; 2) (m2 + 9)2 – 36m2 = (m2 + 9 – 6m)(m2 + 9 + 6m) = (m – 3)2(m + 3)2 тотожність

2)

1)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) ∠A = 180° - (9° + 93°) = 180° - 102° = 78°.

3) ∠A = 180° - (83° + 89°) = 180° - 172° = 8°.

38.5.

Нехай ∠3

1) ∠3 = 180° - (15° + 38°) = 180° - 53° = 127°.

2) ∠3 = 180° - (28° + 105°) = 180° - 133° = 47°.

3) ∠3 = 180° - (7° + 91°) = 180° - 98° = 82°.

38.6.

1) якщо один з кутів трикутника тупий, то

2) якщо

38.7.

∠3 = 180° - 126° = 54°.

38.8.

∠A + ∠B + ∠C = 180°,

∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 58° = 122°.

38.9.

Нехай ∠1 = 62°. ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Звідси ∠2 + ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - 62° = 118°.

38.10.

38.11.

38.12.

38.13.

;

.

Нехай в ΔABC AB = BC. За властивістю кутів рівнобедреного трикутника ∠BAC = ∠BCA. AB = AC, тоді ∠ABC = ∠ACB. Отже, маємо ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC. Оскільки сума

трикутника дорівнює 180°, то ∠BAC = ∠BCA = ∠ABC = 180° : 3 = 60°.

Відповідь: 60°.

Нехай ΔABC рівнобедрений, AC = AB, ∠ACB = ∠ABC = 70°. Оскільки сума

трикутника дорівнює 180°, маємо:

∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (70° + 70°) = 180° - 140° = 40°.

Відповідь: 40°.

AC = AB, ∠ACB = ∠ABC = 45°.

CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180° - (45° + 45°) = 180° - 90° = 90°. Відповідь: 90°.

ACB = ∠ABC

∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°,

∠ACB + ∠ABC = 180° - 80° = 100°.

Отже, ∠ACB = ∠ABC = 100° : 2 = 50°. Відповідь: 50°.

38.14.

38.15.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Нехай ΔABC рівнобедрений, AC = AB, ∠CAB = 50°.

∠ACB = ∠ABC як

∠CAB + ∠ACB + ∠ABC = 180°, ∠ACB + ∠ABC = 180° - 50° = 130°.

Отже, ∠ACB = ∠ABC = 130° : 2 = 65°.

Відповідь: 65°.

38.16.

38.17.

38.18.

Мал. 1 ∠ABC = 70° (як вертикальний кут з кутом, який дорівнює 70°).

∠CAB = 180° - (∠ACB + ∠ABC) = 180°(80° + 70°) = 180° - 150° = 30°.

Мал. 2. ∠BCA = 180° - 135° = 45° (як суміжний кут з кутом, який дорівнює 135°).

∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠BCA) = 180°(75° + 45°) = 180° - 120° = 60°.

Мал. 1. ∠LMN = 50° (як вертикальний кут з кутом, рівним 50°).

∠LNM = 180° - (∠MLN + ∠LMN) = 180° - (70° + 50°) = 60°.

Мал. 2. ∠NML = 180° - 140° = 40° (як суміжний кут з кутом, рівним 140°).

∠MNL = 180° - (∠MLN + ∠NML) = 180° - (50° + 40°) = 180° - 90° = 90°.

У ΔABC ∠A = 50°, ∠B = 70°.

∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (50° + 70°) = 180° - 120° = 60°.

Оскільки CP бісектриса кута C, то ∠ACP = ∠PCB = 60° : 2 = 30°. Відповідь: 30°.

У ΔABC ∠B = 65°, ∠ACP = 40°. Оскільки CP бісектриса

C, то ∠ACB = 2∠ACP = 2 × 40° = 80°.

Отже, ∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACP) = 180° - (65° + 80°) = 180° - 145° = 35°.

Відповідь: 35°.

38.19.

38.20.

38.21.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

У трикутнику MNL ∠M + ∠N = 120°, ∠M + ∠L = 140°.

∠M + ∠N + ∠L = 180° як сума кутів трикутника.

∠L = 180° - (∠M + ∠N) = 180° - 120° = 60°,

∠M = 140° - ∠L = 140° - 60° = 80°,

∠N = 120° - ∠M = 120° - 80° = 40°.

Відповідь: 60°, 80°, 40°.

У ΔABC ∠A + ∠B = 100°, ∠A + ∠C = 130°.

∠A + ∠B + ∠C = 180° як сума кутів трикутника.

∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 100° = 80°,

∠A = 130° - ∠C = 130° - 80° = 50°,

∠B = 100° - ∠A = 100° - 50° = 50°.

Відповідь: 80°, 50°, 50°.

Припустимо, що в трикутнику всі кути

від 180°, що суперечить теоремі про суму

не менший ніж 60°.

38.22.

Припустимо,

180°, що суперечить

є кут, не більший за 60°.

38.23.

Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді

A = 3x, ∠B = 4x, ∠C = 5x. ∠A + ∠B + ∠C = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника).

Складемо рівняння: 3x + 4x + 5x = 180°; 12x = 180°; x = 15°.

Отже, ∠A = 3 × 15° = 45°, ∠B = 4 × 15° = 60°, ∠C = 5 × 15° = 75°.

Відповідь: 45°, 60°, 75°.

38.24.

Введемо коефіцієнт пропорційності х, тоді кути трикутника дорівнюють 2х, 3х, 5х.

Складемо рівняння: 2х + 3х + 5х = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника).

10х = 180°; х = 18°.

Отже, кути трикутника дорівнюють: 2 × 18° = 36°, 3 × 18° = 54°, 5 × 18° = 90°.

Відповідь: 36°, 54°, 90°.

38.25.

38.26.

Нехай ΔKLM рівнобедрений, ∠L = x, тоді ∠K = ∠M = x + 15°.

Складемо рівняння: x + (x + 15°) + (x + 15°) = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). 3x + 30° = 180°; 3x = 150°; x = 50°.

Отже, ∠L = 50°, ∠K = ∠M = 50° + 15° = 65°.

Відповідь: 50°, 65°, 65°.

Нехай ΔKLM рівнобедрений, ∠K = ∠M = x, тоді ∠L = x + 24°. Складемо рівняння: x + x + (x + 24°) = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). 3x + 24° = 180°; 3x = 156°; x = 52°. Отже, ∠K = ∠M = 52°, ∠L = 52° + 24° = 76°.

Відповідь: 52°, 52°, 76°.

38.27

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

дорівнює 180° - (60° + 60) = 60°. Таким чином,

трикутник рівносторонній. 38.29.

1) Нехай ∠C = х, тоді ∠В = х + 14°. Маємо рівняння:

80° + х + х + 14° = 180°;

2х = 180° – 94°;

2х = 86°;

х = 86° : 2;

х = 43°.

Отже, ∠С = 43°; ∠В = 43° + 14° = 57°.

2) Нехай ∠B = х, тоді ∠C = 3х. Маємо рівняння:

80° + х + 3х = 180°;

х + 3х = 180° – 80°;

4х = 100°;

х = 25°;

Отже, ∠B = 25°; ∠C = 3 × 25° = 75°.

3) ∠В ∠С = 2 3. Введемо

∠В = 2х, ∠С = 3х:

80° + 2х + 3х = 180°;

2х + 3х = 180° – 80°;

5х = 100°;

х = 20°;

20° ∙ 2 = 40° –

В; 20° ∙ 3 = 60° –

x + 2x + 36° = 180°; 3x = 144°; x = 48.

38.31.

38.32.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Розглянемо ΔAOB і ΔDOC.

∠AOB = ∠DOC (як вертикальні кути).

∠A = 180° - (∠B + ∠AOB),

∠D = 180° - (∠C + ∠DOC).

Оскільки ∠B = ∠C і ∠AOB = ∠DOC, то ∠A = ∠D.

Отже, ΔAOB = ΔDOC за другою ознакою рівності трикутників.

38.33.

BC = B1C1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1 У ΔABC: ∠C = 180° - (∠A + ∠B). У ΔA1B1C1: ∠C1 = 180° - (∠A1 + ∠B1).

Оскільки ∠A = ∠A1 і ∠B = ∠B1, то ∠C = ∠C1.

Отже, ΔABC = ΔA1B1C1 за другою

трикутників

розв'язанням).

у ΔABC ∠A = 46°, ∠C = 64°, AP

бісектриса ∠C. Розглянемо ΔAOC. Оскільки AP бісектриса ∠A, то ∠OAC = 46° 2 = 23°.

Оскільки СК бісектриса ∠C, то ∠OCA = 64° 2 = 32°.

Отже, за теоремою про суму кутів трикутника маємо: ∠AOC + ∠OAC + ∠OCA = 180°.

A,

Звідси ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180° - (23° + 32°) = 180° - 55° = 125°.

Оскільки кут між прямими не перевищує 90°, то кутом між прямими, на яких лежать

бісектриси кутів A і C, буде кут, суміжний з кутом AOC.

Отже, цей кут дорівнює 180° - 125° = 55°.

Відповідь: 55°.

38.34.

Нехай у ΔABC ∠A = 70°, ∠B = 80°. BM ⊥ AC, AK ⊥ BC.

У ΔABM: ∠A = 70°, ∠BMA = 90° (оскільки BM висота). ∠A + ∠ABM + ∠BMA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Звідси ∠ABM = 180° - (∠A + ∠BMA) = 180° - (40° + 90°) = 180° - 160° = 20°.

З ΔABK: ∠B = 80°, ∠AKB = 90° (оскільки AK ⊥ BC).

За теоремою про суму кутів трикутника

∠BAK + ∠B + ∠AKB = 180°.

Звідси ∠BAK = 180° - (∠B + ∠AKB) = 180° - (80° + 90°) = 180° - 170° = 10°. Розглянемо ΔAOB. ∠BAK + ∠ABM + ∠BOA = 180°. Звідси ∠BOA = 180° - (∠BAK + ∠ABM) = 180° - (10° + 20°) = 180° - 30° = 150°.

BOA,

∠AOM = 180° - 150° = 30°. Відповідь: 30°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

дорівнює 168° : 2 = 84°.

Відповідь: 12°, 84°, 84°.

180° - (12° + 12°) = 180° - 24° = 156°.

Відповідь: 12°, 12°, 156°.

2)

кутів в основі дорівнює 180° - 92° = 88°, а кожен з них дорівнює 88° : 2 = 44° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 92°, 44°, 44°.

38.36.

1) I випадок. Нехай кут 28° це кут у вершині рівнобедреного трикутника.

в основі дорівнює 180° - 28° = 152°,

152° : 2 = 76° (оскільки кути в основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 28°, 76°,

дорівнює 28°,

кут у

= 124°.

Відповідь: 28°, 28°, 124°.

2) Один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 106°. Це може бути тільки кут

180° - 106° = 74°, а кожен з

дорівнює 74° : 2 = 37° (оскільки кути

106°, 37°, 37°. 38.37. Нехай a ∥ b, c січна. ∠DAB і ∠EBA внутрішні односторонні

кути, AC бісектриса кута DAB, BC бісектриса кута ABE. ∠DAB + ∠EBA = 180° (за властивістю внутрішніх односторонніх кутів). Оскільки АС бісектриса ∠DAB, то ∠BAC = 1 2 ∠DAB.

Оскільки ВС бісектриса ∠EBA, то ∠ABC = 1 2 ∠EBA.

Отже, ∠BAC + ∠ABC = 1 2 ∠DAB + 1 2 ∠EBA = 1 2(∠DAB + ∠EBA) = 1 2 × 180° = 90°.

З ΔABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180° (за теоремою

Звідси ∠BCA = 180° - (∠BAC + ∠ABC) = 180° - 90° = 90°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2x + 2x + x = 180°; 5x = 180°; x = 36°. Отже,

72°, 72°, 36°. 38.39

3x + 30° = 180°; 3x = 150°; x = 50°. Отже, кут у

Відповідь: 50°, 65°, 65°.

II випадок. Нехай кут

+

=

x + 15°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + x + x + 15° = 180°; 3x = 165°; x = 55°. Отже, кожен

дорівнює 55° + 15° = 70°.

Відповідь: 55°, 55°, 70°.

38.40.

тоді кут у вершині

ΔKLM рівнобедрений. ∠K = ∠M = 72°, KP

∠K, KP = 5 см.

Оскільки KP бісектриса, ∠LKP = ∠PKM = 72° : 2 = 36°. Розглянемо ΔKPM.

∠PKM + ∠LMK + ∠KPM = 180° (за теоремою

трикутника).

Звідси ∠KPM = 180° - (∠PKM + ∠LMK) = 180° - (36° + 72°) = 180° - 108° = 72°.

Отже, ∠

.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

38.44.

38.45.

висотою, тобто AO ⊥ CD, O ∈ AB, отже, AB ⊥ CD.

1. 1) 20 ∙ 6 = 120 (м2) – площа клумби; 2) 120 ∙ 60 = 7200 (шт.) – цибулин потрібно заготовити.

2. 1) 28 ∙ 0,85 = 23,8 (грн) – ціна упаковки зі знижкою; 2) 7200 : 3 = 2400 (шт.) – стільки потрібно упаковок цибулин;

3) 2400 ∙ 23,8 = 57120 (грн) – потрібно заплатити

1) 23,8 грн; 2) 57120 грн.

38.46.

39.4

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

39.6.

39.7.

39.8.

39.12.

39.13.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

ΔABC

вершині В

∠KBC = ∠BAC + ∠BCA (згідно з теоремою 1).

Отже, ∠BAC + ∠BCA = 100° ,

∠BAC = ∠BCA = 50° (оскільки кути при основі рівнобедреного трикутника рівні).

Відповідь: 50°.

Нехай ΔDNK рівнобедрений. ∠M = ∠K = 55° ∠DNK зовнішній кут

зовнішнього кута маємо:

вершині N. За властивістю

∠DNK = ∠M + ∠K = 55° + 55° = 110° . Відповідь: 110°.

39.14. Нехай ∠CAP = 105° (зовнішній кут

39.15.

39.16.

39.17.

CAP = ∠B + ∠C

∠B = ∠CAP - ∠C = 105° - 45° = 60° .

60°.

BCD = 120° . ∠BCD = ∠A + ∠B (за властивістю зовнішнього кута трикутника).

Звідси ∠B = ∠BCD - ∠A = 120° - 18° = 102° . Відповідь: 102°.

Нехай ΔABC даний трикутник, ∠A = 45°, ∠C = 70°.

∠PBC = ∠A + ∠C = 45° + 70° = 115° (за властивістю зовнішнього кута трикутника).

∠BCM = 180° - ∠C = 180° - 70° = 110° (як кут суміжний з кутом C).

∠NAP = 180° - ∠A = 180° - 45° = 135° (як кут суміжний з кутом A).

Відповідь: 115°, 110°, 135°.

Нехай ΔKLM даний трикутник, ∠NKL = 110° , ∠LMP = 140°

∠NKL + ∠LKM = 180° (як суміжні кути).

Звідси ∠LKM = 180° - 110° = 70°.

∠LMP + ∠LMK = 180° (як суміжні кути).

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Звідси ∠LMK = 180° - 140° = 40°.

∠L + ∠LKM + ∠LMK = 180° (як сума кутів трикутника).

Звідси ∠L = 180° - (70° + 40°) = 180° - 110° = 70°.

Відповідь: 70°, 70°, 40°.

39.18.

28° 55° 85° 28° 112

.

1) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠BAD = 140° .

Нехай ∠B = x, тоді ∠C = x + 30°.

За властивістю зовнішнього кута трикутника: ∠BAD = ∠B + ∠C.

Складемо рівняння:

x + x + 30° = 140°;

2x = 110°; x = 55°.

Отже, ∠B = 55°, ∠C = 55° + 30° = 85°.

Відповідь: 55°, 85°.

2) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠BAD = 140° , ∠B = x, тоді ∠C = 4x. За

кута трикутника маємо: ∠BAD = ∠B + ∠C.

Складемо рівняння: x + 4x = 140°;

5x = 140°; x = 28°.

Отже, ∠B = 28°, ∠C = 28° × 4 = 112° .

Відповідь: 28°, 112°.

1) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠BCD = 120° , ∠A = x, тоді ∠B = x + 20°. За властивістю

зовнішнього кута трикутника маємо:

∠BCD = ∠A + ∠B.

Складемо рівняння: x + x + 20° = 120°; 2x = 100°; x = 50°.

Отже, ∠A = 50°, ∠B = 50° + 20° = 70°.

Відповідь: 50°, 70°.

2) Нехай ΔABC даний трикутник, ∠A = x, ∠B = 3x.

За властивістю зовнішнього кута трикутника маємо:

∠BCD = ∠A + ∠B.

Складемо рівняння: x + 3x = 120°; 4x = 120°; x = 30°.

Отже, ∠A = 30°, ∠B = 3 × 30° = 90°.

Відповідь: 30°, 90°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

BC), ∠A = ∠C. За властивістю

∠DBC = ∠A + ∠C = 118° ,

∠A = ∠C = 118° : 2 = 59°

∠ABC = 180° - ∠DBC = 180° - 118° = 62° .

Відповідь: 62°, 59°, 59°.

II випадок. Нехай ΔABC

рівнобедрений трикутник (BA = BC). ∠DAB і ∠BAC суміжні, їх сума дорівнює 180° .

∠BAC = 180° - 118° = 62°.

Оскільки ∠BAC = ∠BCA (як кути при основі рівнобедреного трикутника), то ∠BCA = 62° .

∠A + ∠B + ∠C = 180° , ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 124° = 56° .

Відповідь: 62°, 62°, 54°.

39.21. I випадок. Зовнішній кут при вершині.

39.22.

Нехай ΔABC даний рівнобедрений трикутник (AB = BC).

∠A = ∠C (як кути в основі рівнобедреного трикутника).

∠BDC = ∠A + ∠C за властивістю зовнішнього кута трикутника.

42° = ∠A + ∠C, звідси ∠A = ∠C = 42° : 2 = 21° .

∠B = 180° - 42° = 138° .

Відповідь: 21°, 21°, 138°.

II випадок. Зовнішній кут

випадок неможливий,

а у трикутнику можливий тільки

ΔKNL даний трикутник.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

39.24.

39.25.

39.26.

39.27.

∠PKL = ∠L + ∠M = 8x + 9x = 17x.

∠OMK = ∠K + ∠L = 7x + 8x = 15x.

кутів 17 : 16 : 15. Відповідь: 17 : 16 : 15.

Нехай ΔPLK даний трикутник. ∠PKL і ∠LKR суміжні. KM бісектриса кута LKP. ∠PKM = ∠LKM. KN бісектриса ∠LKR, ∠LKN = ∠NKR. ∠PKL + ∠LKR = 180° , ∠PKM + ∠LKM + ∠LKN + ∠NKR = 180° , 2∠LKM + 2∠LKN = 180° , 2(∠LKM + ∠LKN) = 180° , ∠LKM + ∠LKN = 90°. Отже, KM ⊥ KN.

Нехай ОК промінь, що проходить між сторонами ∠AOB, ∠AOK = x, ∠KOB = 90° - x. ∠KOB - ∠AOK = (90° - x) - x = 90° - 2x.

∠AOK + ∠KOB = 90° , 1 3(∠AOK + ∠KOB) = 30° .

Отже, 90° - 2x = 30°, 2x = 60°, x = 30°.

∠AOK = 30° , ∠KOB = 90° - 30° = 60° .

Відповідь: 30°, 60°.

Нехай AB = 22,8 см, AC = x см, CD = 2x см, DB = (2x + 1,8) см.

Маємо рівняння: x + 2x + 2x + 1,8 = 22,8; 5x = 21; x = 4,2.

Отже, AC = 4,2 см, CD = 8,4 см, DB = 10,2 см.

Відповідь: 4,2 см, 8,4 см, 10,2 см.

39.28.

1. 1) 2 ∙ (32 + 18) = 100 (м) – периметр прямокутної ділянки; 2) 32 ∙ 18 = 576 (м2) – площа ділянок; 3) S□ = a2; a2 = 576 = 24 ∙ 24 ⇒ a = 24 (м) – сторона квадратної ділянки; 4) 24 ∙ 4 = 96 (м) – периметр квадратної ділянки. 100 м > 97 м; 96 м < 97 м.

Відповідь: садівник зможе

2. 1) 100 + 96 = 196 (м) – всього потрібно паркану; 2) 196 – 97 = 99 (м) – потрібно докупити.

Відповідь: 99 м.

39.29.

АВ = 6 см, ВС = 3 см.

АВ : ВС = 6 : 3 = 2 (рази)

Відповідь: сторона ВС у 2 рази

3)

40.2. 1) PF

40.3.

PL і LF катети. 2) PF довша за PL, PF довша за LF, оскільки PF гіпотенуза.

мал. 1 трикутники рівні за

двома катетами.

Оскільки AC = ML, CB = LP, то ΔACB = ΔMLP.

і прилеглим гострим кутом. Оскільки NF = DK, ∠N = ∠D, то ΔNFE = ΔDKO.

40.4. На мал. 1 трикутники рівні за гіпотенузою і гострим кутом. Оскільки CM = BA, ∠C = ∠B, то ΔCMK = ΔBAP. На мал 2 трикутники рівні за катетом і гіпотенузою. Оскільки EF = LN, DF = QN, то ΔEDF = ΔLQN.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.5.

40.6.

1) Нехай ∠B = 18°, тоді

∠C = 90° - ∠B = 90° - 18° = 72°.

2) Якщо ∠L = 87°, тоді

∠M = 90° - 87° = 3°.

Відповідь: 1) 72°; 2) 3°.

1) Нехай ∠M = 75°, тоді ∠L = 90° - ∠M = 90° - 75° = 15°

2) Нехай ∠R = 23°, тоді ∠P = 90° - ∠R = 90° - 23° = 67°.

Відповідь: 1) 15°; 2) 67°.

40.7. Нехай ΔABC прямокутний і рівнобедрений (∠B = 90°, BA = BC).

∠A = ∠C як кути в основі рівнобедреного трикутника. Оскільки сума

прямокутного трикутника дорівнює 90° і

рівні, то ∠A = ∠C = 90° : 2 = 45°.

90°, 45°, 45°.

40.8. Нехай ΔABC рівнобедрений,

40.9.

40.10.

90° = 90°. Отже,

Отже, BC = 1 2 AB = 1 2 × 14 = 7 (см).

2) AB = 2BC = 2 × 5 = 10 (дм). Відповідь: 1) 7 см; 2) 10 дм.

1) PF = 1 2 PL = 1 2 × 12 = 6 (дм); 2) PL = 2PF = 2 × 4 = 8 (см).

Відповідь: 1) 6 дм; 2) 8 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.11.

40.12.

ΔABC

трикутник, ∠ABK = 36° ,

∠ABC = ∠ABK + ∠KBC = 36° + 64° = 100° .

З

прямокутного ΔABK

маємо:

∠BAK = 90° - ∠ABK = 90° - 36° = 54°

З

прямокутного ΔCBK маємо:

∠BCK = 90° - ∠KBC = 90° - 64° = 26° .

Відповідь: 100°, 54°, 26°.

Нехай ΔKLM рівнобедрений, LK = LM. Оскільки LN медіана рівнобедреного трикутника, то LN бісектриса і висота ΔKLM. ∠KLM = 2∠KLN = 2 × 31° = 62°

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180° , то ∠K + ∠M + ∠L = 180° , ∠K + ∠M = 180° - ∠L = 180° - 62° = 118°

K = ∠M як кути

40.15.

1) Нехай в прямокутному ΔABC ∠B = x°, тоді ∠A = x° + 28°. Оскільки

90°, то маємо рівняння: x + x + 28° = 90°; 2x = 90° - 28° = 62°; x = 62° : 2 = 31°.

Отже, ∠B = 31°, ∠A = 31° + 28° = 59°.

Відповідь: 31°, 59°.

2) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x°, ∠B = 5x°.

Оскільки сума гострих

то маємо:

x + 5x = 90°; 6x = 90°; x = 15°.

Отже, ∠A = 15° , ∠B = 15° × 5 = 75°.

Відповідь: 15°, 75°.

90°,

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

то маємо: 2x + 3x = 90°; 5x = 90°; x = 18°.

Отже, ∠A = 2 × 18° = 36° , ∠B = 3 × 18° = 54°.

Відповідь: 36°, 54°.

Відповідь: українська поетеса Ліна Василівна Костенко.

40.17.

1) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x°, ∠B = 4x°.

Оскільки в прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює

90°, то маємо: x + 4x = 90°; 5x = 90°; x = 18°.

Отже, ∠A = 18° , ∠B = 18° × 4 = 72°.

Відповідь: 18°, 72°.

2) Нехай в прямокутному ΔABC ∠A = x, тоді ∠B = x + 16° .

Оскільки в прямокутному трикутнику сума

90°, то маємо:

x + x + 16° = 90°; 2x = 74°; x = 37°.

Отже, ∠A = 37°, ∠B = 37° + 16° = 53°.

Відповідь: 37°, 53°.

3) Нехай в прямокутному ΔABC ∠B = 5x, ∠A = 4x.

Оскільки сума гострих

90°, то маємо: 5x + 4x = 90°; 9x = 90°; x = 10° .

Отже, ∠B = 5 × 10° = 50°, ∠A = 4 × 10° = 40°.

Відповідь: 50°, 40°.

в

(∠M = 90°) MP

∠KMP = ∠NMP = 90° : 2 = 45°, ∠K = 26° . 3 ΔKMP: ∠KPM = 180° - (∠K + ∠KMP) = 180° - (26° + 45°) = 109° .

∠MPK = 180° - ∠KPM = 180° - 109° = 71° .

ACK = ∠KCB = 90° : 2 = 45°.

ΔCKB ∠CKB = 180° - (∠KCB + ∠B) = 180° - (45° + 68°) = 67° (за

CKA

113°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.19.

40.20.

40.21.

40.22.

AC, BM = CM. Доведемо, що точка М належить бісектрисі

A, тобто ∠BAM = ∠CAM.

ΔABM = ΔACM за гіпотенузою і катетом (AM спільна гіпотенуза, BM = CM), тоді ∠BAM = ∠CAM.

Нехай в прямокутному ΔABC (∠B = 90°) BD ⊥ AC, ∠DBC = 32° .

З ΔBDC: ∠C = 90° - ∠DBC = 90° - 32° = 58° (оскільки сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°).

∠A + ∠C = 90°, ∠A = 90° - ∠C = 90° - 58° = 32°.

Відповідь: 58°, 32°.

Нехай ΔABC прямокутний (∠C = 90°).

CM і BN бісектриси, ∠BCM = ∠ACM = 90° : 2 = 45°,

∠CBN = ∠ABN, ∠COB = 115° .

З ΔCOB за теоремою

суму

∠OBC + ∠COB + ∠BCO = 180°

трикутника маємо:

Звідси ∠OBC = 180° - 115° - 45° = 20°.

Тоді ∠B = 2∠OBC = 2 × 20° = 40°

З ΔABC: ∠A = 90° - ∠B = 90° - 40° = 50°.

Відповідь: 40°, 50°.

Нехай ΔABC рівнобедрений, AB = BC, ΔA1B1C1 рівнобедрений, A1B1 = B1C1, BK ⊥ AC, B1K1 ⊥ A1C1. ΔABK = ΔA1B1K1 (за гіпотенузою AB = A1B1 і катетом BK = B1K1).

З рівності трикутників маємо ∠A = ∠A1, AK = A1K1.

Оскільки висота рівнобедреного трикутника є медіаною, то AK = KC, A1K1 = K1C1. Враховуючи, що AK = A1K1, маємо AC = A1C1. Отже, ΔABC = ΔA1B1C1 за

(AB = A1B1 за умовою, ∠A = ∠A1, AC = A1C1 за доведенням). 40.23. Нехай ΔABC прямокутний (∠C = 90°), ∠B = 60°, AB + CB = 30 см, СК медіана ∠A = 90° - 60° = 30° (оскільки сума гострих

трикутника

90°). Нехай BC = x, тоді AB = 2x (оскільки

трикутника, що лежить

кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи). Складемо рівняння: x + 2x = 30; 3x = 30; x = 10, тоді 2x = 2 × 10 = 20. Отже, AB = 20 см. Оскільки СК медіана, проведена до гіпотенузи, то CK = 1 2 AB = 1 2 × 20 = 10 (см). Відповідь: 20 см, 10 см.

40.24.

40.25.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

Нехай ΔKMN прямокутний, ∠N = 90°, ∠M = 60°, MP = 4 см.

З ΔKMN: ∠K = 90° - ∠M = 30°. Оскільки MP бісектриса, то ∠KMP = ∠PMN = 60° : 2 = 30°. Отже, ΔPKM рівнобедрений, оскільки ∠K = ∠KMP, звідси PK = MP = 4 (см).

З ΔPMN: ∠PMN = 30°. Отже, PN = 1 2 MP = 1 2 × 4 = 2 (см).

KN = PK + PN = 4 + 2 = 6 (см).

Відповідь: 6 см.

40.26.

40.27.

Нехай у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), ∠PAB і

∠ABK - зовнішні кути при вершинах гострих кутів.

Нехай ∠PAB = x°, тоді ∠ABK = x° + 20°.

∠CAB + ∠PAB = 180° (як суміжні кути), звідси

∠CAB = 180° - ∠PAB = 180° - x°.

∠ABC + ∠ABK = 180° (як суміжні кути), звідси

∠ABC = 180° - ∠ABK = 180° - (x° + 20°) = 160° - x°.

Оскільки сума

прямокутного трикутника

90°, маємо рівняння: 180° - х + 160° - х = 90°; 2x = 250°; x = 125° .

Отже, ∠CAB = 180° - 125° = 55°, ∠ABC = 160 - 125° = 35°

Відповідь: 55°, 35°.

Нехай у прямокутному ΔKLM (∠M = 90°) ∠NKL і ∠KLP

зовнішні кути, ∠NKL = 2x°, ∠KLP = 3x°.

∠MKL = 180° - 2x°, ∠KLM = 180° - 3x° (за властивістю суміжних кутів).

∠MKL + ∠KLM = 90°;

Отже, 180° - 2x + 180° - 3x = 90°; 5x = 270°; x = 54°.

Отже, ∠MKL = 180° - 2 × 54° = 180° - 108° = 72°,

∠KLM = 180° - 3 × 54° = 180° - 162° = 18° .

Відповідь: 72°, 18°.

40.28.

Нехай CM - медіана, PΔACM = PΔCMB. Оскільки PΔACM = AC + CM + AM, PΔCMB = BC + CM + MB і ці периметри рівні, то AC + CM + AM = BC + CM + MB.

Звідси AC + AM = BC + MB. Враховуючи, що AM = MB, матимемо AC = BC.

Отже, у трикутника ABC хоча

рівні і хоча б два кути.

сторони рівні, а

Нехай в ΔABC ∠A = x°, ∠B = x° + 20°, ∠C = 3x°.

За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + x + 20° + 3x = 180°; 5x = 160°; x = 32°

Отже, ∠A = 32°, ∠B = 32° + 20° = 52°, ∠C = 3 × 32° = 96° .

Відповідь: 32°, 52°, 96°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

40.29.

40.30.

Нехай у ∆ABC AB = BC = x см, тоді AC = (x + 3) см. За умовою задачі маємо: x + 3 + 4 = x + x; x + 7 = 2x; x = 7.

Отже, AB = BC = 7 см, AC = 7 + 3 = 10 (см).

PΔABC = AB + BC + AC = 7 + 7 + 10 = 24 (см).

Відповідь: 24 см.

1) 3,5 × 5,5 = 19,25 ≈ 20 (м2) – площа кімнати.

2) 130 × 20 = 2600 (грн) – потрібно заплатити за лінолеум.

Відповідь: 2600 грн. 40.31.

АВ = 89 мм; ВС = 48 мм; АС = 66 мм.

(АВ + ВС) = 89 + 48 = 137 мм > АС = 66 мм; (AB + AC) = 89 + 66 = 155 мм > ВС = 48 мм; (AC + BC) = 66 + 48 = 114 мм > АВ = 89 мм.

Висновок: сума довжин

сторін трикутника

третьої сторони.

40.32. § 41. Нерівність трикутника 41.1.

1) Трикутник зі сторонами 1 см, 2 см і 4 см

4 см > 1 см + 2 см. 2) Трикутник зі сторонами 7 дм, 6 дм, 5 дм існує,

7 дм < 6 дм + 5 дм.

3) Трикутник зі сторонами 3 см, 4 см і 7 см не існує, бо не виконується

оскільки 7 см = 3 см + 4 см.

2

5

7 дм = 2 дм + 5 дм. 2)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

41.4.

Тоді 4,3 - 2,7 < a < 4,3 + 2,7, тобто 1,6 < a < 7.

Оскільки а - найменше ціле число, що задовольняє умові 1,6 < a < 7, то a = 2 см.

Відповідь: 2 см.

41.5.

1) Нехай сторони трикутника дорівнюють 2m, 3m і 4m. Сторони

2, 3, 4, оскільки 4m < 3m + 2m, тобто виконується нерівність трикутника.

2) Нехай сторони трикутника дорівнюють 7m, 8m, 15m.

Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 7, 8 і 15, оскільки 15m = 7m + 8m, тобто не виконується нерівність трикутника.

3) Нехай сторони трикутника дорівнюють 5m, 3m, 7m.

Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 5, 3 і 7, оскільки 7m < 5m + 3m, тобто виконується нерівність трикутника.

41.6.

1) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 5, 1 і 4, бо не виконується

нерівність трикутника, оскільки 5m = m + 4m, де 5m, m, 4m довжини сторін трикутника.

2) Сторони трикутника можуть бути пропорційні числам 5, 6 і 7, бо виконується

нерівність трикутника 7m < 6m + 5m, де 5m, 6m, 7m довжини сторін трикутника.

3) Сторони трикутника не можуть бути пропорційні числам 8, 2, 11,бо не виконується

нерівність трикутника 11m > 8m + 2m, де 8m, 2m, 11m довжини сторін трикутника.

41.7.

Якщо бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 3 см, тоді

3 см, а основа дорівнює PΔ - (3 + 3) = 12 - 6 = 6 (см).

Трикутника зі сторонами 3 см, 3 см і 6 см не

трикутника, оскільки 6 см = 3 см + 3 см.

Відповідь: ні, не може.

41.8.

Бічною стороною даного рівнобедреного трикутника

см. Отже, бічна сторона

41.9.

3,7. Отже, a = 2 або a = 3.

Якщо a = 2, то PΔ = 2,5 + 1,2 + 2 = 5,7 (см). Якщо a = 3, то PΔ = 2,5 + 1,2 + 3 = 6,7 (см).

Відповідь: 5,7 см або 6,7 см.

41.10.

1) Якщо одна

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1)

2)

40 дм - 20 дм = 20

20

= 20 дм (одна сторона дорівнює сумі двох інших сторін).

3) Одна із сторін трикутника може дорівнювати

дорівнює 40 дм - 19 дм = 21 дм і виконується нерівність трикутника 19 дм < 21 дм (за умови, що ця сторона не менша за кожну з інших сторін).

41.12.

Припустимо, що такий трикутник існує. Тоді х см довжина

сторони, (х - 2) см довжина другої сторони, (х + 4) см

x + (x - 2) + (x + 4) = 20; 3x + 2 = 20; 3x = 18; x = 6.

Отже, сторони трикутника дорівнюють: 6 см, 4 см, 10 см. Але трикутника з такими сторонами не існує, бо

виконується нерівність трикутника 10 см = 6 см + 4 см. Відповідь: ні.

41.13.

Припустимо, що такий трикутник існує. Нехай х см довжина однієї сторони, (х + 6) см довжина другої сторони, (х - 1) см довжина третьої сторони.

Складемо рівняння: x + (x + 6) + (x - 1) = 23; 3x + 5 = 23; 3x = 18; x = 6.

Але трикутника зі сторонами 6 см, 12 см і 5 см не існує, бо не виконується нерівність

трикутника 12 см > 6 см + 5 см.

Відповідь: ні.

41.14.

41.15.

Нехай у ∆ABC ∠A = x°, тоді ∠B = 3x°, ∠C = x° - 15° За теоремою про суму кутів трикутника маємо: x + 3x + (x - 15°) = 180°; 5x = 195°; x = 39°.

Отже, ∠A = 39°, ∠B = 3 × 39° = 117° , ∠C = 39° - 19° = 24°. Відповідь: 39°, 117°, 24°.

Нехай ∆ABC і ∆A1B1C1 - прямокутні. AB = A1B1, BH ⊥ AC, B1H1 ⊥ A1C1, BH = B1H1.

∆ABH = ∆A1B1H1 (за катетом і гіпотенузою: AB = A1B1, BH = B1H1), тоді ∠A = ∠A1.

∆ABC = ∆A1B1C1 (за катетом і гострим кутом: AB = A1B1, ∠A = ∠A1).

4) = 2

Отже,

2) Розглянемо 2025. Це число непарне, тобто воно

не зможе опинитися у точці, віддаленій на 2025 см.

Відповідь: 1) зможе; 2) не зможе. Домашня самостійна робота 8 (§§38-41)

1.

6).

7.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

оскільки 8 см > 2,7 см + 4,2 см.

кута 30° і дорівнює 8 см : 2 = 4 см.

Правильна відповідь Б).

8.

9.

Довжина однієї з його

AK бісектриса ∠A, ∠OAC = ∠BAK = 50° : 2 = 25°. CM бісектриса ∠C, ∠MCA = ∠BCM = 60° : 2 = 30°.

З ∆AOC: ∠AOC = 180° - (∠OAC + ∠OCA) = 180°(25° + 30°) = 125° .

Оскільки кутом між прямими є кут

менше ніж 90°, то цим кутом буде кут, суміжний з

кутом AOC, який дорівнює 180° - 125° = 55°.

Правильна відповідь Г).

трикутника, оскільки 16 см - 8 см = 8 см (одна сторона дорівнює сумі двох інших).

Правильна відповідь А).

10. Нехай в ∆ABC AB = BC, AK бісектриса, ∠KAC = 1 2 ∠BAC. Нехай ∠KAC = x, тоді ∠A = 2x, ∠C = ∠A = 2x (як кути при основі рівнобедреного трикутника). Оскільки AK = AC, то ∆KAC рівнобедрений з основою KC. ∠K = ∠C (як кути при основі рівнобедреного трикутника), ∠K = 2x.

За властивістю суми

x + 2x + 2x = 180°; 5x = 180°; x = 36°. Отже, ∠A = ∠C = 36° × 2 = 72°. Правильна відповідь Б).

зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°, маємо: 3x + 5x + 7x = 360°, 15x = 360°; x = 24°.

Отже, зовнішні кути дорівнюють 72°, 120°, 168°. Тоді найменший

Правильна відповідь А). 12. Нехай

180° - 168° = 12°.

прямокутний, ∠C = 90°, ∠B = 60°, CM медіана. ∠CAB = 30°, CB

CB = x см.

AB = 2x (за

30°), CM = 1

2 AB = x (

Отже, CM + CB = 10 см, x + x = 10, 2x = 10. Отже, AB = 10 см.

1.

CMB = 90°.

∠MCB = 180° – (∠CMB + ∠MBC) = 180° – (90° + 40°) = 50°. 2. Оскільки

то ∠MCB = 45°.

∠CMB = 180° – (∠MCB + ∠MBC) = 180° – (45° + 40°) = 85°.

3. ∠РBС = 1 2 ∠B = 1 2 × 40° = 20°.

∠MCB = 1 2 ∠С = 1 2 × 90° = 45°.

Згідно теореми про суму кутів трикутника:

∠CОB = 180° – (∠ОCB + ∠ОBC) = 180° – (45° + 20°) = 115°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6.

1) ∠ABC = 32° + 67° = 99°.

2) В прямокутному △ABP: ∠A = 90° 32° = 58°.

3) В прямокутному △PBC: ∠C = 90° 67° = 23°.

Відповідь: 99°; 58°; 23°.

Нехай третя сторона дорівнює x см. Тоді |6,3 − 5,2| < x < 6,3 + 5,2; 1,1 < x < 11,5. x = 11 (см) найбільше ціле число, якому може дорівнювати третя

сторона.

Відповідь: 11 см.

7.

1) Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 2x; ∠C = x − 16°.

2) Маємо x + 2x + x − 16° = 180°.

4x = 196°; x = 196° : 4; x = 49°.

3) Отже, ∠A = 49°; ∠B = 2 · 49° = 98°; ∠C = 49° 16° = 33°.

Відповідь: 49°; 98°; 33°.

1) Нехай ∠KCB = 112° зовнішній кут

трикутника.

2) Оскільки ∠B : ∠A = 3 : 5, то можна

позначити ∠B = 3x; ∠A = 5x.

3) Маємо за властивістю зовнішнього кута

трикутника: 3x + 5x = 112°; 8x = 112°; x = 14°.

4) Отже, ∠B = 3 · 14° = 42°; ∠C = 5 · 14° = 70°.

Відповідь: 42°; 70°.

1) ∠CBM = ∠MBD = 60° 2 = 30°.

2) У △CBM за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо BM = 2 · CM = 2 · 8 = 16 (см).

3) В △CBM: ∠B = 90° 60° = 30°.

4) Трикутник BMD рівнобедрений, оскільки ∠MBD = ∠D = 30° , тому MD = MB = 16 (см).

5) CD = CM + MD = 8 + 16 = 24 (см).

Відповідь: 24 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) Нехай ∠KAB, ∠ABM, ∠NCA

трикутника

∠KAB : ∠ABM : ∠NCA = 4 : 5 : 6.

Позначимо ∠KAB = 4x; ∠ABM = 5x; ∠NCA = 6x.

2) Маємо 4x + 5x + 6x = 360°.

15x = 360°; x = 360° : 15; x = 24°.

3) Тоді ∠CAB = 180° 4 · 24° = 84°;

∠ABC = 180° 5 · 24° = 60°;

∠BCA = 180° 6 · 24° = 36° .

4) ∠CAB : ∠ABC : ∠BCA = 84° : 60° : 36° = 7 : 5 : 3.

1) Нехай AB = x см, тоді AC = (x − 3) см, BC = (x + 5) см.

2) Тоді x + x − 3 + x + 5 = 23; 3x − 5 = 23; 3x = 21; x = 7 (см).

3) Отже, AB = 7 см, тоді AC = 7 − 3 = 4 (см), BC = 7 + 5 = 12 (см).

4) Оскільки 7 + 4 < 12, то трикутника не існує.

Відповідь: Не існує.

Вправи для повторення теми 8 До § 38

1. 1) ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (65° + 29°) = 86°

2) ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (37° + 116°) = 27°

Відповідь: 1) 86°; 2) 27°.

2.

1) Оскільки ∠KCB = 32° і СК - бісектриса, то ∠ACB = 2∠KCB = 2 × 32° = 64°.

∠B = ∠ACB = 64°, оскільки кути при основі рівнобедреного трикутника рівні. Тоді ∠A = 180° - ∠ACB - ∠B = 180° - 64° - 64° = 52°.

2) ∠ACB = ∠B - оскільки ΔABC - рівнобедрений. ∠ACB = ∠B = 180° 56° 2 = 62°.

Оскільки СК - бісектриса, то ∠ACK = ∠KCB = 1 2 ∠ACB = 1 2 × 62° = 31°.

Відповідь: 1) 52°; 2) 31°.

3.

C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 76° - 28° = 76°. Отже, у трикутника ABC два

рівні ∠A = ∠C = 76°, тобто ΔABC - рівнобедрений, AB = BC. 4.

∠A + ∠ABK + ∠KBC + ∠C = 180°, 60° + x + 40° + 45° = 180°, x + 145° = 180°, x = 180° - 145° = 35°.

180° - 60° = 120°. Звідси 2x + 3x = 120°; 5x = 120°; x = 24°.

Отже, один із шуканих

Відповідь: 48°, 72°.

6.

дорівнює 2 х 24° = 48°, другий - 3 х 24° = 72°.

Нехай ΔABC - рівносторонній, AB = BC = AC, AL, BH - медіани, AH = HC, BL = LC.

Оскільки ΔABC - рівносторонній, то ∠A = ∠B = ∠C = 60°. Оскільки AL і BH - медіани рівностороннього трикутника, то вони є бісектрисами і висотами, тоді ∠LAH = 60° : 2 = 30°, ∠BHA = 90°.

З ΔAOH: ∠AOH = 180° - ∠OAH - ∠OHA = 180° - 30° - 90° = 60°.

Відповідь: 60°.

7.

Нехай в ΔABC: BL бісектриса, BK висота, BK ⊥ AC, ∠KBL = 16°, ∠BCA = 50°. З ΔBKL: ∠BLK = 180° - ∠BKL - ∠KBL = 180°90° - 16° = 74°. ∠BLC + ∠BLK = 180° як суміжні

∠BLC = 180° - ∠BLK = 180° - 74° = 106°.

З ΔBLC: ∠LBC = 180° - ∠BLC - ∠C = 180° - 106° - 50° = 24°.

Оскільки BL - бісектриса, то ∠ABC = 2 × 24° = 48°.

З ΔABC: ∠A = 180° - ∠ABC - ∠C = 180° - 48° - 50° = 82°.

Відповідь: 48°, 82°.

8.

1) Нехай x° - шуканий кут, тоді сума двох інших

дорівнює 5x. Звідси x + 5x = 180°; 6x = 180°; x = 30°. Отже, шуканий кут дорівнює 30°.

2) Нехай x° - шуканий кут, тоді маємо рівняння: x + 40° = 180° - x; 2x = 140°; x = 70°.

Отже, шуканий кут дорівнює 70°.

9.

1) Нехай △ABC - рівнобедрений, AC = CB, ∠A = ∠B, AK –бісектриса, ∠AKB = 60°. Нехай ∠KAB = x, тоді ∠CBA = 2x.

∠KAB + ∠CBA + ∠AKB = 180° (за властивістю суми кутів трикутника). x + 60° + 2x = 180°; 3x = 120°; x = 40°. Отже, ∠KAB = 40°, ∠KBA = 2 × 40° = 80°.

2) Нехай ΔABC - рівнобедрений, AC = AB, ∠A = ∠B.

AK - бісектриса, ∠CAK = ∠KAB, ∠AKC = 111°.

∠AKC + ∠AKB = 180° - як суміжні кути. ∠AKB = 180° - ∠AKC = 180° - 111° = 69°.

Нехай ∠KAB = x, тоді ∠B = 2x.

З ΔAKB: ∠KAB + ∠AKB + ∠KBA = 180°, x + 69° + 2x = 180°; 3x = 111°; x = 37°.

Отже, ∠A = ∠B = 37° × 2 = 74°, тоді ∠C = 180° - 2 × 74° = 180° - 148° = 32°.

Відповідь: 1) 80°; 2) 32°.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

∠1, ∠2, ∠3 – зовнішні кути трикутника MNK при вершинах M, N, K відповідно.

11. Нехай ΔABC - рівнобедрений, AB = BC, ∠A = ∠BCA. ∠BCK + ∠BCA = 180° - як суміжні кути. ∠BCA = 180° - 150° = 30°. ∠A = ∠BCA = 30°.

За теоремою про суму

трикутника маємо: ∠A + ∠B + ∠BCA = 180°.

Звідси ∠B = 180° - ∠A - ∠BCA = 180° - 30° - 30° = 180° - 60° = 120°.

Відповідь: 120°, 30°, 30°. 12.

1) Зовнішній

102° > 80°.

2) Зовнішній кут трикутника, не суміжний з

80°, не може дорівнювати 80°, оскільки зовнішній кут трикутника більший за будь-який

3) Зовнішній кут трикутника, не суміжний з кутом 80°, не може дорівнювати 75°, оскільки зовнішній кут трикутника більший за будь-який внутрішній кут, не суміжний з ним.

13.

.

Нехай ∠1 = 115°, ∠2 = 137°. За теоремою

кутів маємо:

NMK = 180° - ∠1 = 180° - 115° = 65°.

NKM = 180° - ∠3 = 180° - 137° = 43°. ∠2 = ∠NMK + ∠NKM = 65° + 43° =

∠CBD = 140°, ∠A = 2x, ∠C = 3x.

2x + 3x = 140°; 5x = 140°; x = 28°. Отже, ∠A = 2 × 28° = 56°, ∠C = 3 × 28° = 84°, ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 56° - 84° = 40°. Відповідь: 56°, 84°, 40°.

100°, це неможливо

Нехай в ΔKMN ∠PMN = 80°, тоді ∠KMN = 180° - 80° = 100° (оскільки

За властивістю

зовнішнього кута трикутника маємо ∠K+∠L = ∠PMN, ∠K = ∠L = 1 2 ∠PMN = 1 2 × 80° = 40°.

Відповідь: 100°, 40°, 40°. 17.

Припустимо, що існує трикутник, у якого зовнішні

120°, тоді кожний внутрішній кут буде меншим 60° і сума внутрішніх кутів трикутника

буде меншою за 180°, це суперечить теоремі про суму кутів трикутника.

Отже, припущення невірне. Не існує трикутника, у якому зовнішні кути при кожній

вершин більші за 120°. 18.

19.

20.

Нехай ∠CBF = ∠CAD = ∠C. ∠CBF = 180° - ∠CBA, ∠CAD = 180° - ∠CAB, тоді ∠C = ∠CBF - ∠CAD = 180° - ∠CBA - 180° + ∠CAB = ∠CAB∠CBA.

Звідси ∠CAB = ∠C + ∠CBA. ∠C + ∠CAB + ∠CBA = 180° (за теоремою про суму кутів трикутника). Оскільки ∠C + ∠CBA = ∠CAB, маємо ∠CAB + ∠CAB = 180°, 2∠CAB = 180°, ∠CAB = 90°. Отже, ΔABC – прямокутний. До § 40

1) Не слідує. На мал. ΔABC ≠ ΔDBC, проте BC ΔABC = BC ΔBCD.

2) Слідує.

3) Не слідує ΔABC ≠ ΔA1B1C1, проте ∠A = ∠A1 = 30°, ∠C = ∠C1 = 60°.

1) ∠M = 90° - ∠K = 90° - 60° = 30°, оскільки сума

90°.

2) PK = �������� 2 = 24 2 = 12 (см), оскільки

3) MK = 2PK = 30 × 2 = 60 (мм) - згідно

1) 30°; 2) 12 см; 3) 60

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

23.

Нехай ΔKLM - прямокутний, ∠K = 3x°, ∠L = 7x°. Оскільки сума

кутів трикутника дорівнює 90°, маємо: 3x + 7x = 90°; 10x = 90°; x = 9°. Отже, ∠K = 3 × 9° = 27°, ∠L = 7 × 9° = 63°. Відповідь: 27°, 63°.

24.

25.

26.

у

ΔABC (∠B = 90°), BF ⊥ AC, ∠ABD = ∠DBC = 90° : 2 = 45°, ∠DBF = 15°. ∠FBC = ∠DBC -

∠DBF = 45° - 15° = 30°.

З прямокутного трикутника BCF: ∠BCF = 90° - ∠FBC = 90°30° = 60°.

З прямокутного ΔABC: ∠A = 90° - ∠C = 90° - 60° = 30°,

оскільки сума гострих

Відповідь: 60°, 30°.

трикутника дорівнює 90°.

Нехай ΔABC - прямокутний, AC = BC, CD ⊥ AB, CD = 5 см.

Оскільки ΔABC - рівнобедрений, то CD - є медіаною.

Отже, AB = 2CD = 2 × 5 = 10 (см) за властивістю медіани

прямокутного трикутника.

Відповідь: 10 см.

Нехай в прямокутному ΔABC (∠C = 90°), ∠A = α, ∠B = β, α + β = 90°. ∠MAB = ∠���� 2 = ���� 2 , ∠MBA = ∠���� 2 = ���� 2 , тоді ∠AMB = 180° - ∠MAB - ∠MBA = = 180°���� 2���� 2 = 180°1 2(α + β) = 180°1 2 × 90° = 180° - 45° = 135°.

∠LMB - суміжний з кутом AMB. ∠LMB = 180° - 135° = 45°. Відповідь: 45°.

Нехай в ΔABC (∠A = 90°), ∠B = 30°, BA = 24 см, CD - бісектриса кута C;

∠BCD = ∠DCA. З ΔABC маємо: ∠C = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°.

∠BCD = ∠DCA = 60° : 2 = 30°. ΔBCD - рівнобедрений, оскільки ∠B = ∠BCD, отже, CD = BD. З ΔDCA: DA = 1 2CD (оскільки ∠DCA = 30°).

Отже, маємо: BA = BD + DA = CD + 1 2CD = 24, 11 2CD = 24, CD = 24 : 11 2 = 24 : 3 2 = 48 3 = 16 (см).

Відповідь: 16 см.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

29.

Нехай ΔABC - рівнобедрений, AB = BC, AD ⊥ BC, ∠ABC = 120°, AD = a см.

З ΔABC: ∠A = ∠C = (180° - 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°.

З прямокутного ΔADC: AC = 2AD = 2 × a = 2a (см).

Відповідь: 2a см.

Нехай в прямокутному ΔABC CD - медіана, CD = 10 см, ∠ACD : ∠DCB = 1 : 2, отже, ∠ACD = 90° : 3 = 30°, ∠DCB = (90° : 3) × 2 = 60°.

Оскільки медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині

гіпотенузи, то AB = 2CD = 2 × 10 = 20 см, CD = DB, CD = AD. Отже, ΔCDB – рівнобедрений, оскільки ∠DCB = ∠DBC = 60°. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то ∠CDB = 180° - (∠DCB + ∠DBC) = 180° - 120° = 60°. Отже, ΔCDB – рівносторонній, CB = CD = DB = 10 см. Відповідь: 20 см, 10 см.

Нехай у прямокутному трикутнику ABC (∠C = 90°), CH - висота, CL - бісектриса, CM - медіана, ∠HCL = β. Доведемо, що ∠LCM = β. Оскільки CL - бісектриса, то ∠ACL = ∠LCB = 90° : 2 = 45°, тоді ∠ACH = ∠ACL - ∠HCL = 45° - β.

З прямокутного ΔACH: ∠A = 90° - ∠ACH = 90° - (45° - β) = 45° + β.

З прямокутного ΔABC: ∠B = 90° - ∠A = 90° - (45° + β) = 45° - β.

ΔCMB - рівнобедрений, оскільки CM = MB (за властивістю медіани, проведеної до

гіпотенузи), тоді ∠MCB = ∠B = 45° - β.

Отже, ∠LCM = ∠LCB - ∠MCB = 45° - (45° - β) = 45° - 45° + β = β.

Отже, бісектриса прямого

вершини прямого кута, навпіл. До § 41 30.

Нехай третя сторона

2)

DA = AB : 2 = 21 : 2 = 10,5 (см).

< 6 + 4 = 10 (см).

см + 2 см. Отже, бічна сторона

трикутника

5 см, 5 см, 2 см.

3) Бічною стороною рівнобедреного трикутника

сторона, що дорівнює 6 см, бо не виконується нерівність трикутника, оскільки 12 см = 6 см + 6 см. Отже, бічна сторона дорівнює 12 см і сторони трикутника дорівнюють 12 см, 12 см, 6 см. 34.

Нехай одна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 3m см, друга - 7m см. Сторона 3m см не може бути стороною рівнобедреного трикутника,

оскільки 7m > 3m + 3m. Отже, сторони трикутника дорівнюють 7m, 7m, 3m,

тоді 7m + 7m + 3m = 51, 17m = 51, m = 3.

Отже, сторони трикутника дорівнюють 7 × 3 = 21 (см), 3 × 3 = 9 (см).

Відповідь: 21 см, 21 см, 9 см.

ТЕМА 9. ФУНКЦІЇ §42. Функція. Область

42.1. Чи

3)

1)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

P

Р = 2(х + 6).

Якщо x = 2, то P = 2(2 + 6) = 2 ∙ 8 = 16 (дм);

якщо x = 4, то P = 2(4 + 6) = 2 ∙ 10 = 20 (дм);

якщо x = 5, то P = 2(5 + 6) = 2 ∙ 12 = 24 (дм);

якщо x = 15, то P = 2(15 + 6) = 2 ∙ 21 = 42 (дм).

42.8. Функцію

2) Якщо x = –3, то у = –2 ∙ (–3) = 6; якщо х = 0, то у = –2 ∙ 0 = 0;

якщо x = 8, то у = –2 ∙ 8 = –16.

42.9. Обчисліть значення функції,

що дорівнюють –2; 0; 5; 10.

Якщо x = –2, то у = 5 ∙ (–2) – 7 = – 10 – 7 = –17; якщо x = 0, то y = 5 ∙ 0 – 7 = 0 – 7 = –7;

якщо x = 5, то y = 5 ∙ 5 – 7 = 25 – 7 = 18;

якщо x = 10, то y = 5 ∙ 10 – 7 = 50 – 7 = 43.

42.10. Знайдіть

дорівнюють –40; –10; 4; 5.

Якщо х = – 40, то у = –20 40 = –1 2 = –0,5;

якщо x = –10, то у = –20 10 = –2;

якщо х = 4, то у = 20 4 = 5;

якщо х = 5, то у = 20 5 = 4.

42.11.

20

х = –12, то у = –6 12 = –0,5;

x = –5 , то у = –6 5 = –1,2; якщо х = –3 , то у = –6 3 = –2;

х = 2, то у = 6 2 = 3; якщо x = 4, то у = 6 4 = 1,5;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

якщо х = 8, то у = 6 8 = 0,75; якщо х = 10, то у = 6 10 = 0,6.

функції: Якщо х = –7, то у = 4 ∙ (–7 ) + 3 = –28 + 3 = –25;

якщо х = –5, то у = 4 ∙ (–5) + 3 = –20 + 3 = –17; якщо х = –3, то у = 4 ∙ (–3) + 3 = –12 + 3 = –9;

якщо х = –1, то у = 4 ∙ (–1) + 3 = –4 + 3 = –1;

якщо х = 2, то у = 4 ∙ 2 + 3 = 8 + 3 = 11;

якщо х = 4, то у = 4 ∙ 4 + 3 = 16 + 3 = 19;

якщо х = 6, то у = 4 ∙ 6 + 3 = 24 + 3 = 27;

якщо х = 8, то у = 4 ∙ 8 + 3 = 32 + 3 = 35. x –7 –5 –3 –1 2 4 6 8

–25

значенням аргументу, що дорівнюють 1; 2,4; 3; 5,8.

Залежність S від t задається формулою S = 65t.

Якщо t = 1, то S = 65 ∙ 1 = 65;

якщо t = 2,4, то S = 65 ∙ 2,4 = 156;

якщо t = 3, то S = 65 ∙ 3 = 195;

якщо t = 5,8, то S = 65 ∙ 5,8 = 377.

42.16. Кожному

2; 7; 13; 20. N = 3n.

Якщо n = 2, то N = 3 ∙ 2 = 6;

якщо n = 7, то N = 3 ∙ 7 = 21;

якщо n = 13, то N = 3 ∙ 13 = 39;

якщо n = 20, то N= 3 ∙ 20 = 60.

42.17.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

в нуль. 42.19. Знайдіть значення аргументу, при якому: 1)

9; 15; 2) функція у = 5х – 1 набуває

–1; 4; 14. 1) у = –3х.

якщо y = –6: –6 = –3х; х = 6 : 3; х = 2; якщо y = 9: 9 = –3х; х = –9 : 3; х = –3 ; якщо y = 15: 15 = –3х; х = –15 : 3; х = –5; 2) y = 5х – 1.

якщо y = –1: –1 = 5х – 1; 5х = 0; х = 0; якщо y = 4: 4 = 5х – 1; 5х = 5; х = 1; якщо y = 14: 14 = 5х – 1; 5х = 15; х = 3. 42.20. Знайдіть

1)

0; 12; 2) функція у = 3 – 2х набуває значення –1; 3; 17. 1) у = 4х.

якщо у = –8: –8 = 4х; х = –8 : 4; х = –2;

якщо у = 0: 0 = 4х; х = 0 : 4; х = 0;

якщо у = 12: 12 = 4х; х = 12 : 4; х = 3; 2) у = 3 – 2х. якщо у = –1: –1 = 3 – 2х; 2х = 4 ; х = 2; якщо у = 3: 3 = 3 – 2х; 2х = 0; х = 0; якщо у = 17: 17 = 3 – 2х; 2х = –14; х = –7.

42.21. Функцію

функції,

2)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

4) x2 – х = 0; х(х – 1) = 0; х = 0

2)

1) T = 20 + 5t;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

t = 7; 9; 10. 3)

T = 45; 60; 70. 4)

2) якщо t = 7, то T = 20 + 5 ∙ 7 = 20 + 35 = 55; якщо t = 9, то T = 20 + 5 ∙ 9 = 20 + 45 = 65; якщо t = 10, то T= 20 + 5 ∙ 10 = 20 + 50 = 70;

3) T = 45, якщо: 45 = 20 + 5t; 5t = 25; t = 5; T = 60, якщо: 60 = 20 + 5t; 5t = 40; t = 8; T = 70, якщо: 70 = 20 + 5t; 5t = 50; t = 10;

4) вода закипить, якщо T= 100, тому: 100 = 20 + 5t; 5t = 80; t = 16.

42.28. Велосипедистка

t, для якого s = 34; 55; 70. 1) S = 10 + 15t; 2)

якщо t = 1, то S = 10 + 15 ∙ 1 = 10 + 15 = 25; якщо t = 2, то S = 10 + 15 ∙ 2= 10 +30 = 40; якщо t = 5, то S = 10 + 15 ∙ 5 = 10 + 75 = 85; 3)

42.29. У таблиці

якщо S = 34: 34 = 10 + 15t; 15t = 24; t = 1,6;

якщо S = 55: 55 = 10 + 15t; 15t = 45; t = 3;

якщо S = 70: 70 = 10 + 15t; 15t = 60; t = 4.

х.

1)

у, якщо х = –4; –1; 0; 3; 2) значення х,

то у = 5; якщо х = 3, то у = –2; 2) у = –3, якщо x = –4 або х = – 1; у = –2, якщо х = –3 або х = 3; у = 5, якщо х = 0; 3) якщо х = 1, то у = 1;

–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4; 5) область значень функції складають числа

х = –8, то у = –1; якщо

х = –2; у = 2; 4)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

0. у = 0,6 – 0,3х. x –2 –1 0 1 2 3 4 5 y 1,2 0,9 0,6 0,3 0 –0,3 –0,3 –0,9

1) якщо х = 0, то у = 0,6; 2) у = 0, якщо х = 2.

42.32. Знайдіть значення функції

1) y = �4x – 3, якщо х < 0, – 2x, якщо х ≥ 0,

Якщо x = –5, то y = 4(–5) – 3 = –23;

якщо x = 0, то y = –2 · 0 = 0;

якщо x = 3, то y = –2 · 3 = –6;

42.33. Знайдіть значення

1) y = �7x – 2, якщо х ≤ 0, – 3x, якщо х > 0,

Якщо x = –2, то y = 4(–2) – 2 = –16;

якщо x = 0, то y = 7 · 0 – 2 = –2;

х = –5; х = 0; х = 3, якщо:

2) y = � 7, якщо х ≤ 0, – x², якщо х > 0.

Якщо x = –5, то y = 7;

якщо x = 0, то y = 7;

якщо x = 3, то y = 32 = 9.

якщо x = 4, то y = –3 · 4 = –12; 2) y = � 3, якщо х ≤ 2, – x², якщо х > 2.

42.34. Знайдіть найменше значення функції

= х2 + 2х + 5 = x2 + 2х + 4 + 1 = (х + 2)2 + 1.

–2; 0; 4, якщо:

Якщо x = –2, то y = 3; якщо x = 0, то y = 3; якщо x = 4, то y = –42 = –16.

2 + 2х + 5.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) y = x + 2, де –4 ≤ х ≤ 3;

2) точка С(2; 5) не належить

3) якщо х = –3 , то у = –1; якщо х = 1, то y = 3;

4) y = 1, якщо x = –1; y = 5, якщо x = 3.

43.5. He виконуючи побудови графіка, знайдіть нулі функції:

1) y = 5х; у = 0, якщо: 0 = 5х; х = 0; 2) y = 3х – 6; y = 0, якщо: 0 = 3х – 6; 3x = 6; x = 2;

3) y = –���� 10 ; у = 0, якщо: 0 = –���� 10 ; х = 0;

4) y = 5 x 8 ; y = 0, якщо: 0 = 5 x 8 ; 0 = 5 – x; x = 5.

43.6. He будуючи графіка, знайдіть нулі функції:

1) y = –3x; y = 0, якщо: 0 = –3х; х = 0;

2) y = 12 – 4х; y = 0, якщо: 0 = 12 – 4x; 4x = 12; х = 3;

3) y = ���� 3 ; y = 0, якщо 0 = ���� 3 ; х = 0;

4) y = x + 2 4 ; y = 0, якщо: 0 = x + 2 4 ; х + 2 = 0; х = –2.

43.7. За графіком, знайдіть:

2)

1) Точка (1; –2 ) належить

–2 = 12 – 3 ∙ 1; –2 = –2 правильна рівність;

2) точка (–2; –2 ) не належить графіку функції у – у2 – 3х, бо: –2 = (–2)2 – 3 ∙ (–2); –2 = 10 неправильна рівність;

3) точка (0; –3) не належить графіку функції у = x2 – 3х, бо: –3 = 0 – 3 ∙ 0; –3 = 0 неправильна рівність;

4) точка (–1; 4) належить графіку функції у = х2 – 3х, бо:

4 = (–1)2 – 3 ∙ (–1); 4 = 4 правильна рівність.

43.10. He будуючи графіка функції у = 2х + х2, з’ясуйте, чи належить йому точка:

1) Точка (1; 3) належить графіку функції у = 2х + х2, бо:

3 = 2 ∙ 1 + 1; 3 = 3 правильна рівність;

2) точка (–1; 3) не належить графіку функції у = 2х + х2, бо:

3 = 2 ∙ (–1) + (–1)2; 3 = –1 неправильна рівність;

3) точка (0; 0) належить графіку функції у = 2х + х2, бо:

0 = 2 ∙ 0 + 0; 0 = 0 правильна рівність; 4) точка (–2; 4) не належить графіку функції у = 2х + х2, бо: 4 = 2 ∙ (–2) + (–2)2; 4 = 0 неправильна рівність. 43.11. За графіком знайдіть: 1) значення у, якщо х = –3; –2; –0,5; 1,5; 4; 2) значення х, яким відповідає у = –2,5; –1,5; 1; 3) нулі функції; 4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; 5) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.

1) Якщо х = –3, то у = –2; якщо х = –2, то у = –2,5; якщо х = –0,5, то у = 1; якщо х = 1,5, то у = 2,5; якщо х = 4, то у = –1; 2) у = –2,5, якщо х = –2; у = –1,5, якщо х = –1,5 або х = 3,5; у = 1, якщо х = –0,5 або х = 2,5;

3) х = –1 і х = 3 нулі функції; 4) функція

додатних значень, якщо –1 < х < 3; 5) функція

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2; 0; 1; 2)

у = 2; 4; 6. 1) Якщо х = –2, то у = 3; якщо x = 0, тo y = 5; якщо х = 1, то у = 6; 2) у = 2, якщо x = –3 і х = 3; у = 4, якщо x = –1 і х = 2; у = 6, якщо х = 1. 43.14.

М(–2; –1), N(2; 3), L(6; –1).

= –2; 0; 2; 5; 2)

у = –1; 1; 3. 1) Якщо х = –2, то у = –1; якщо x = 0, то у = 1; якщо х = 2, то у = 3; якщо х = 5, то y = 0; 2) у = –1, якщо x = –2 і x = 6; у = 1, якщо x = 0 і x = 4; у = 2, якщо x = 1 і x = 3.

43.15. He будуючи графіка, знайдіть нулі функції:

1) у = x2 – 4x; у = 0, якщо: 0 = x2 – 4x; x(x – 4) = 0; x = 0 або x – 4 = 0; x = 0 або х = 4; 2) у = 16 – х2; у = 0, якщо: 0 = 16 – х2; (4 – x) (4 + x) = 0; 4 – x = 0 або 4 + x = 0; x = 4 або х = –4; 3) у = 2х2 + 10х; у = 0, якщо: 0 = 2x2 + 10x; 2x(x + 5) = 0; 2x = 0 або x + 5 = 0; x = 0 або x = –5.

43.16. He будуючи графіка, знайдіть

1) у = x2 + 2х; у = 0, якщо: x2 + 2x = 0; x(x + 2) = 0; x = 0 або x + 2 = 0; x = 0 або х = –2;

2) у = x2 – 25; у = 0, якщо: x2 – 25 = 0; (х – 5)(x + 5) = 0; x – 5 = 0 або x + 5 = 0; x = 5 або x = –5;

3) у = 12x – 3x2; у = 0, якщо: 12x – 3x2 = 0; 3x(4 – x) = 0; х = 0 або 4 – х = 0; x = 0 або х = 4.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

43.19

1)

якщо

43.21. Спростіть вираз:

1) (а – 5)(а + 5) – а(а + 7) = a2 – 25 – a2 – 7а = –7a – 25;

2) m(m – 4) + (9 – m)(m + 9) = m2 – 4m + 81 – m2 = 81 – 4m;

3) 2а(а – b) – (а – b)2 = (а – b)(2а – а + b) = (а – b)(а + b) = а2 – b2;

4) (q + 5р)(5р – q) – (p – 5q)2 – 10pq =

43.22. Доведіть,

трицифрове

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2, що можливо, лише коли n = 1, що суперечить умові. § 44. Лінійна функція, її графік та властивості 44.1. Чи є лінійною функція: 1) Функція, задана формулою у = 2х – 3, є лінійною;

2) функція, задана формулою у = 4х – х2, не є лінійною;

3) функція, задана формулою у = 3, є лінійною;

4) функція, задана формулою у = 4 ���� , не є лінійною функцією;

5) функція, задана формулою y = ���� 3 – 1, є лінійною;

6) функція, задана формулою у = х – 1 – х6, не є лінійною функцією.

44.2. Які з даних функцій є лінійними:

1) Функція у = 2х2 – 7 не є лінійною;

2) у = 3х – 1

3) функція у = 10 ���� не є лінійною функцією;

4) у = ���� 2 + 3

5) у = –4 лінійна функція; 6) функція у = 7х – x3 не є лінійною.

44.3.

1) y = 2х; 5) y = –���� 2 ; 6) y = ���� 2 .

44.4. Чи є

1) у = –3х; 5) у = ���� 3 ; 6) у = –���� 3 .

44.5. Назвіть коефіцієнти k і l у

функцій: 1) у = –0,8х + 7. Коефіцієнт k дорівнює –0,8, а коефіцієнт b 7; 2) у = 6 – х. Коефіцієнт k дорівнює – 1, а коефіцієнт b 6; 3) y = ���� 3 . Коефіцієнт k дорівнює 1 3, а коефіцієнт b 0; 4) у = 2,4х. Коефіцієнт k дорівнює 2,4, а коефіцієнт b 0; 5) у = –15. Коефіцієнт k дорівнює 0, а коефіцієнт b –15; 6) у = 0. Коефіцієнт k дорівнює 0 і

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

12; 0; 18; 2)

2,5. 1) Якщо х = –12, то у = 0,5 ∙ (–12) + 3 = –6 + 3 = –3; якщо х = 0, то у = 0,5 ∙ 0 + 3 = 0 + 3 = 3; якщо х = 18, то у = 0,5 ∙ 18 + 3 = 9 + 3 = 12; 2) якщо у = –4: –4 = 0,5х + 3; 0,5х = –7; х =

2,5: 2,5 = 0,5х + 3; 0,5х = –0,5; х = –1. 44.10. Дано лінійну функцію

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) y = x – 3;

x 0 3

y –3 0

44.16. Побудуйте

2) y = –3x + 1; x 0 2 y 1 –5

1) y = x + 2; x 0 –2 y 2 0 2) y = –3x + 4; x 0 1 y 4 1

3) y = 0,5x – 3; x 0 2 y –3 –2 4) y = 2 3 x – 1; x 0 3 y –1 1

5) y = –1; x 0 2 y –1 –1

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

6) y = –x + 2,5. x 0 2,5 y 2,5 0 44.17

1) y = x – 1; x 0 1 y –1 0

3) y = –0,5x + 3; x 0 2 y 3 2

2) y = –2x + 5. x 0 1 y 5 3

4) y = 3 4x + 1; x 0 4 y 1 4

5) y = 4;

6) y = x – 1,5;

44.18

у = –5; i у = 2х –7.

44.21. Серед

функції у = 4x

4 = 4 ∙ 1; –4 = 4 неправильна рівність;

2) графік функції y – 2x – 2 не проходить через точку (1; –4 =), бо: –4 = 2 ∙ 1 – 2; – 4 = 0 неправильна рівність;

3) графік функції у = 1 не проходить через точку (1; –4), бо: –4 = 1 неправильна рівність;

4) графік функції у = –4 проходить через точку ( 1; –4), бо: –4 = –4 правильна рівність;

5) графік функції у = –4x проходить через точку (1; –4), бо:

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2 = 1,8 ∙ 5 – 7; –2 = 2

4)

11 = 1,8 ∙ 10 – 7; 11 = 11

44.23. He

у = –3х + 7

–4 = –3 ∙ 1 + 7; –4 = 4 неправильна рівність;

2) графік функції у = –3х + 7 проходить через точку B(0; 7), бо: 7 = –3 ∙ 0 + 7; 7 = 7 правильна рівність;

3) графік функції у = –3х + 7 проходить через точку С(–1; 10), бо: 10 = –3 ∙ (–1) + 7; 10 = 10 правильна рівність;

4) графік функції y = –3х + 7 не проходить через точку D(10; –37), бо: –37 = –3 ∙ 10 + 7; –37 = –23 неправильна рівність.

44.24. He виконуючи побудови, знайдіть нулі функції:

1) у = 2х – 6; у = 0, якщо: 2x – 6 = 0; 2х = 6; х = 3;

2) y = –1 2x + 8; y = 0, якщо: –1 2x + 8 = 0; –1 2 х = –8; х = 16;

3) у = 7х; у = 0, якщо: 7х = 0; х = 0;

4) у = –5х; у = 0, якщо: –5х = 0; х = 0.

44.25. He будуючи

1) у = 4х + 12; у = 0, якщо: 4х + 12 = 0; 4х = –12; х = –3;

2) у = –8х; у = 0, якщо: –8х = 0; х = 0.

44.26. Побудуйте

1) y = x; x 0 2 y 0 2 2) y = –2,5x; x 0 2 y 0 –5

3) y = –x; x 0 2

–2

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

x 0 2

y 5 0

1) Якщо х = 0, то у = 5; якщо х = 2, то y = 0; 2) якщо у = –5 , то х = 4; якщо у = 0, то х = 2; якщо у = 10, то

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) Якщо х = –2, то у = –6; якщо х = 0, то у = –3; якщо х = 4, то у = 3;

2) якщо y = –3, то х = 0; якщо у = 0, то х = 2; якщо у = 6, то х = 6;

3) якщо у – 0, то х = 2 нуль функції;

4) функція набуває додатних значень, якщо х > 2;

5) функція набуває від’ємних значень, якщо х < 2; 6) точки перетину з осями координат: (2; 0) і (0; –3).

44.30. Графік функції у = kx – 2 проходить через точку (6; –11). Знайдіть значення k. Якщо графік функції у = kх –2 проходить через точку А(6; –11), то: –11 = k ∙ 6 – 2; 6k = –11 + 2; 6k = –9; k = –1,5.

44.31. Знайдіть значення l, якщо графік

М(10; –5), то: –5 = –1 5 ∙ 10 + l; –5 = –2 + l; l = –3.

44.32. He виконуючи побудови,

осями координат: 1) Координати точки перетину графіка функції у = 1,5х – 20: а) з віссю абсцис (131 3; 0), бо, якщо у = 0, то: 1,5x – 20 = 0; 1,5x = 20; х = 131 3;

б) з віссю ординат (0; –20), бо, якщо х = 0, то: у – 1,5 ∙ 0 – 20; у = –20; 2) координати точки перетину

абсцис (20; 0), бо, якщо у =

у = 0,2

(0; –40),

0 – 40; у = –40;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

з віссю абсцис (54; 0), бо, якщо = 0, то: 18 –1 3х = 0; –1 3 х = –18; х = 54

б) з віссю ординат (0; 18), бо, якщо x = 0, то: у = 18 –1 34 ∙ 0; y = 18.

44.34. Точка А(0,7; 70) належить

функцію. Якщо точка A(0,7; 70) належить

то: 70 = k ∙ 0,7; k = 70 : 0,7; k = 100.

44.35

B(–

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

х = 4х – 6; –3х = –6; х = 2. Отже, шукана точка (2; 2);

2) якщо

числа, то: –х = 4х – 6; –5х = –6; х = 1,2. Отже, шукана

менша за ординату, то: 2х = 4х – 6; –2х = –6; х = 3, тоді у = 2 ∙ 3 = 6. Отже, шукана точка (3; 6).

44.44. Побудуйте графік функції: 1)

y = x + 1, x ≤ 0

x 0 –2

y 1 –1

y = 1, x > 0

x 1 4

y 1 1

2) y = 2x, x < –2

x –3 –4

y –6 –8

y = 3x + 2, x ≥ –2

x 0 –2

y 2 –4

44.45. Побудуйте графік функції:

y = 2 – 3x, x < 1

x 0 –1

y 2 5

y = 2x – 3, x ≥ 1

x 1 2

y –1 1

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

44.46.

1) y = |x|;

x 0 3 –3 y 0 3 3

3) y = 4x – |x|; x 0 2 –1 y 0 6 –5

44.47. Побудуйте

функції: 1) y = –|x|;

x 0 3 –3 y 0 –3 –3

2) y = |x| + x; x 0 3 –3 y 0 6 0

4) y = |2x| + 3x +1. x 0 1 –2 –1 y 1 6 –1 0

2) y = |x| – x; x 0 3 –3 y 0 0 6

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3) y = 2x + |x|; x 0 2 –2 y 0 6 –2

44.48. Розв’яжіть рівняння:

1) (2x + 5)2 – (2х – 3)2 = 16;

4х2 + 20х + 25 – (4х2 – 12х + 9) = 16;

4х2 + 20х + 25 – 4х2 + 12х – 9 = 16;

4х2 +20х – 4х2 + 12х = 16 – 25 + 9;

32х = 0; х = 0.

4) y = |3x| – x – 1. x 0 2 –2 –1 y –1 3 7 3

Відповідь: 0; 2) (7х + 1)2 – (49х – 2)(х – 1) = –66; 49x2 + 14х + 1 – (49х2 – 49х – 2х + 2) = –66; 49х2 + 14х + 1 – 49x2 + 49х + 2х – 2 = –66; 49х2+ 14х – 49х2 + 49х + 2х = –66 – 1 + 2; 65х = –65; х = –1.

Відповідь: –1.

44.49. Спростіть вираз: 1) (5m –2)(5m + 2) – m(10m – 1) + (m –1 2)2 = 25m2 – 4 – 10m2 + m + m2 – m + 1 4 = 16m2 – 33 4; 2) (a + 4y)2 – (a – 2y)(a + 2y) – y(4a – 5y) = a2 + 8ay + 16у2 – a2 + 4y2 – 4ay + 5y2 = = 25y2 + 4ay.

44.50. Ha столі

кількість

столі залишиться (73 – х) зошитів,

Рівняння: 73 – х = 2 ∙ (17 + х); 73 – х = 34 + 2х;

х – 2х = 34 – 73;

3х = –39; х = 13. Відповідь: 13 зошитів.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

3200

2)

1)

2)

44.53. Накресліть коло

центром у точці O, радіус якого дорівнює 25 мм. Проведіть діаметр кола AB та позначте точку M, що належить колу.

1) Виміряйте довжину діаметра AB та порівняйте

2) Виміряйте градусну міру кута AMB.

1) AB = 50 мм; AB = 2OA = 2OB.

2) ∠AMB = 90°.

1) Мудрець додав до

2) 18 : 2 = 9 верблюдів

3) 18 : 3 = 6 верблюдів одержав середній син;

4) 18 : 9 = 2 верблюди одержав найменший син.

Відповідь: 9; 6; 2.

1. Яка з формул задає функцію? Функцію задає формула у = 4 х – 3 Відповідь: Б).

2. Яка з функцій є лінійною?

є функція у = х – 2.

А).

3.

В).

4.

х = –4; y = –20 –4 = 5. Відповідь: Г).

№9 (§§ 42-44)

5. He виконуючи

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

у = 1 3 x – 2. y = 0; 0 = 1 3 x – 2; 1 3x = 2; х = 6.

Відповідь: В).

6. На якому з малюнків зображено графік функції у = 3 – х?

Графік функції y = 3 – х зображено на рисунку А).

Відповідь: А).

7. Знайдіть область визначення функції

Областю визначення функції y = 3 x² + x є всі числа, крім тих, для яких; x2 + х ≠ 0; х(х + 1) ≠ 0; x ≠ 0 i x + 1 ≠ 0; x ≠ 0 i x ≠ –1.

Відповідь: Г).

8. Яка з точок належить графіку функції

Графіку функції y = x2 – 2х належить точка (1; –1), бо: –1 = 12 – 2 ∙ 1; –1 = 1 – 2; –1 = –1.

Відповідь: Б).

9. Укажіть точку, у якій графік функції у = 0,1х + 15 перетинає вісь абсцис. y = 0; 0 = 0,1х + 15; 0,1х = –15; х = –150; (–150; 0).

Відповідь: В).

10. Знайдіть для х = 2 значення функції

Значення х = 2 задовольняє умову 0 ≤ х < 3, тому значення функції обчислюємо за

формулою у = x2: y = 22; у = 4.

Відповідь: А).

11. Графік прямої пропорційності проходить

яку також проходить цей графік.

у = kх; –4 = k ∙ 2; k = –2.

Отже, у = –2х. Дане рівняння задовольняє лише точка (3; –6).

Відповідь: Г).

12. He будуючи графіка функції у = 3x – 8, знайдіть таку

ордината є протилежними числами. y = –х; –x = 3x – 8; 4х = 8; x = 2; у = –2; (2; –2).

Відповідь: Б).

13. Установіть відповідність між функціями (1–3) та точками,

перетинає осі координат (А–Г).

1. у = 4 – 2х. – В. (0; 4), (2; 0).

2. у = 4. – А. (0; 4).

3. у = х – 4. – Г. (0; –4), (4; 0).

1. Які з даних формул задають функцію: Функцію

є функції 1) 3x – 7; 3) y = 4.

1) y = –2x + 6; k = –2; l = 6; 2) y = 7,4х; k = 7,4; l = 0.

4.

§§ 42-44

1)

у = –2х+ 7; х = 5;

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2)

5;

у = –2 ∙ 5 + 7 = –10 + 7 = –3;

5.

y = 2x – 5 x 0 2 y –5 –1

1) x = 4; y = 3; 2) y = –3; x = 1.

6.

1)

3. у = –2х + 7; у = 3; 3 = –2х + 7; 2х = 7 – 3; 2х = 4; х = 2.

у = 0; у = 0,8х – 7,2; 0 = 0,8х – 7,2; 0,8x = 7,2; х = 9; 2)

точку (10; 1). у = 0,8х – 7,2; 1 = 0,8 ∙ 10 – 7,2; 1 = 8 – 7,2; 1 = 0,8 хибна рівність. Отже, графік функції

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) Нулі функції: х = –3 ; х = 6; 2) у > 0, якщо –3 < х < 6; 3) у < 0, якщо х < –3 або х > 6.

a) у = x + 2 x 3;

якщо х = –4 , то у = 4 + 2 4 3 = 2 7;

якщо х = –2, то y = 2 + 2 2 3;

якщо х = 0, то у = 0 + 2 0 3 = –2 3;

якщо х = 2, то у = 2 + 2 2 3 = –4;

якщо х = 4, то у = 4 + 2 4 3 = 6; б) g = x 4 5 ;

x –4 –2 0 2 4 y 2 7 0 –2 3 –4 6 g –1,6 –1,2 –0,8 –0,4 0

якщо х = –4, то g = 4 4 5 = –1,6;

якщо х = –2, то g = 2 4 5 = –1,2;

якщо х = 0, то g = 0 4 5 = –0,8;

якщо х = 2, то g = 2 4 5 = –0,4;

якщо х = 4, то g = 4 4 5 = 0.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

S = 48 – 14t.

1) Якщо t = 1,5,то S = 48 – 14 ∙ 1,5 = 48 – 21 = 27;

2) якщо S = 13, то : 13 = 48 – 14t; 14t = 48 – 13; 14t = 35; t = 2,5.

4. Знайдіть область визначення функції:

1) у = 12 9����² – 17���� .

9х2 – 17х = 0;

х(9х – 17) = 0;

х = 0 або 9х – 17 = 0;

х = 0 або х = 17 9 .

Областю визначення функції є всі числа,

в нуль;

2) у = x │x│ 1 .

– 1 = 0;

= 1; x = 1 або x = – 1. Областю визначення

3) у = x │x│+ 5 .

4) у = 9 3 │x 1│

3 – |x – 1| = 0;

|х – 1| = 3;

х – 1 = 3 або х – 1 = –3;

х = 4 або х = –2.

Областю визначення

в нуль;

5) у = 15 │2x 3│ – 5 . |2х – 3| – 5 = 0; |2х – 3| = 5;

2х – 3 = 5 або 2х – 3 = –5;

2х = 8 або 2х = –2; x = 4 або х = –1.

в нуль;

6) у = 2 1 1 x .

1 –1 x = 0; 1 x = 1; x = 1.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1) Якщо x = –3, то y = –1,5; якщо х = –1,5, то у = –0,5; якщо х = 0, то у = 1; якщо х = 1,5, то у = 3,5; якщо х = 3, то у = 2; 2) y = –1,5, якщо х = –2 або х = –3, або х = 4; у = 2, якщо х = 0,5 або х = 3; у = 3, якщо х = 1 або х = 2,5;

3)

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

2) y = |x + 3|, де –5 ≤ x ≤ 3. За

y = � – x – 3, якщо x + 3 < 0, тобто x < – 3, x + 3, якщо x + 3 ≥ 0, тобто x ≥ – 3. y = –x – 3, –5 ≤ x < –3 x –5 –4 y 2 1 y = x + 3, –3 ≤ x ≤ 3 x –3 3 y 0 6 До §

.

1) Якщо х = –4, то у = 3; якщо х = 0, то у = 0; якщо х = 8, то у = –6; 2) якщо у = –6, то x = 8; якщо у = 3, то х = –4; якщо у = 6, то х = –8; 3) якщо у = 0, то х = 0 нуль функції; 4) функція набуває додатних значень, якщо х < 0; 5) функція набуває від’ємних значень, якщо х > 0. 11. Графіки функцій

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html

1)

2)

3)

4) Щохвилини виливається 5 л води.

V = 15 + 2,5t залежність

резервуару водою. V = 50 − 5t залежність об’єму води V у

спорожнення резервуару від води.

13. Побудуйте графік функції.

1) y = 2|x|; x 0 2 –2 y 0 4 4 2) y = 5|x| + x; x 0 1 –1 y 0 6 4

3) y = |х|–3х 2 ; x 0 2 –2 y 0 –2 4 4) y = |x| + |−2x|.

https://shkola.in.ua/3099-hdz-matematyka-7-klas-ister.html