Sumario Lo que lees Lo esencial de la geometría analítica Nuestra deuda con Egipto y Mesopotamia La geometría analítica Paralelismo entre dos rectas Pendiente de una recta Sorprendente porque rueda sin ser rueda Coordenadas al punto medio de un segmento Perpendicularidad en una recta Prácticas en Geogebra Ejercicios
Geometría Analítica Geometría Descriptiva
Autor: Lehmann
Autor:Fernando Izquierdo
Geogebra, Mucho más que geometría dinámica Autor: Agustín Carrillo L.
Desarrollo y uso didáctico del algebra Autor: Jorge Castañedo Geometría Autor: Lewis J
A la geometría analítica la hemos llamado también geometría coordenada; las coordenadas son literalmente el armazón de la geometría analítica; las intermediarias entre los números, las magnitudes y el movimiento. Según los criterios más modernos; habríamos que evitar el concepto de movimiento; pero en una obra de introducción como esta no podemos decidirnos a sacrificar voluntariamente el rigor
lógico el elemento mas plástico e intuitivo del concepto de coordenada, sobre todo teniendo en cuenta que esta rama de la geometría se apoyó siempre históricamente en el movimiento y en sus leyes, extrayendo materiales de él. La palabra “coordenadas” no proviene de descartes ni de Fermant, sino que es una de las muchas felices formaciones verbales del genio mayor, quizá, de la historia de la ciencia
Expusimos ya en forma convincente , con motivo del análisis efectuado al estudiar los axiomas, que existe una posibilidad de correspondencia entre magnitud y numero, correspondencia que nos permite siempre utilizar números en lugar de segmentos y segmentos en lugar de números. Hagamos un uso inmediato de esta libertad razonada para edificar nuestro “espacio analítico”; en rigor para edificar dos de estos espacios que se corresponden entre sí, como suele decirse, biunívocamente, lo que significa que pueden “conjugarse” de un modo único y recíproco. Empecemos con el R1 y los infinitos números reales: el R1 es una recta. Si colocamos sobre una parte de esta recta el cero u origen ( O mayúsculas), podemos señalar sobre ella biunívocamente un lugar para cada número real, disponiendo- lo que establecemos
arbitrariamente- los números positivos a la derecha del origen y los negativos a su izquierda. Tenemos ya un “sistema de coordenadas”. A todo numero real le corresponde siempre, de un modo biunívoco y continuo, un punto de la recta. Este ultimo es la razón de que inmediatamente próximo a este punto y sin ningún intersticio, podríamos decir , se halla el punto o numero contiguo, que tanto puede ser racional como irracional, y ser imposible que en un “espacio lineal” Un punto se halle limitado por ambas caras por puntos correspondientes a números racionales; pues entre un punto racional contiguo o una cara a un numero racional, y el punto racional inmediato ha de haber siempre un numero infinito de puntos irracionales para que se conserve la continuidad.
Sabemos con seguridad que la geometría babilónica comprendía muchas conclusiones de las que no tenemos vestigios documentales de fuente egipcia; pero las hazañas arquitectónicas y de riesgo de la civilización del Nilo nos hacen suponer que tenía un elaborado código digno de confianza de reglas para medir. Además dos de los hechos que tenemos evidencia documental, muestran que en Egipto había aventajado a Mesopotamia. El valor egipcio para la razón (π) del perímetro de un circulo a su diámetro dado en el papiro Ahmes es 3.16, mucho más cerca del verdadero (3.14159..) que el valor babilónico de 3.0 . La fórmula egipcia para el volumen de la pirámide dado en el papiro de Moscú es correcta y la babilónica no lo es. Las reglas egipcias para el área (A) y el perímetro (P) del círculo mediante el diámetro (d=2r) son:
Esto hace que π sea congruente con 3.16 una pista posible de cómo llegaron los geómetras a este resultad, es que promedia los valores de los semiperimetros de los dodecágonos regulares inscrito y circunscrito a un circulo de radio unidad o lo que es lo mismo, es el promedio de las áreas de los polígonos regulares de 12 lados inscrito y 6 lados circunscrito. Las cifras correspondientes son 3.1058 y 3.2154, siendo el valor promedio 3.16.
Si consideramos la situación respecto de la necesidad imperiosa de un sistema de medición, las conclusiones obtenidas, a parte el estudio de la astronomía al servicio del calendario, o como medio de mantener la autoridad sobre una población esclava con supersticioso asombro ante fenómenos astronómicos extraordinarios tales como un eclipse, se pueden clasificar en tres capítulos: *medición de terreno- de donde la geometría saca su nombre- para hacer frente a las exigencias de los impuestos y los riesgos; *arquitectura, en particular la construcción de monumentos, con una significación en el calendario; *medidas de cantidad de tributos o comercio
La evidencia no documenta que la arquitectura nos proporciona, está íntimamente ligada a los requerimientos de la astronomía del calendario. Para fijar un meridiano, así como para construir una pirámide con caras exactamente al norte, sur, este, oeste, es necesario bisecar un ángulo entre las posiciones de salida y puestas de sol en los equinoccio u obtener la posición exacta cuando la sombra del sol del medio día es mínima, partiendo en dos el ángulo entre su posición de igual longitud antes y después del mediodía.
En la agrimensura tenemos probablemente una deuda igual con Egipto que con Mesopotamia hasta donde los topógrafos del templo llegaron: a)relaciones entre cuadrados y rectángulos utilizados por los babilónicos y sus discípulos griegos como una explicación razonada para resolver problemas que podríamos convertir en ecuaciones de segundo grado; b) el hecho de que el área de un triángulo es equivalente a la mitad del rectángulo de la misma altura sobre la misma base; c)que el área de un de circulo se puede obtenersu confianza en cualquiera de tres prescripciones es Con el procedimiento la cuerda y la estaca, conigualmente más o menos exactitud multiplicando el aplaudible: cuadrado del diámetro por un número fijo. 1.-emplear la construcción euclídea que es también una prescripción para bisecar un segmento
2.-sacar provecho del hecho de que una cuerda anudada a longitudes 5:4:3 y clavada en los nudos, es la silueta de un triángulo rectángulo 3.-saber que el ángulo que une las extremidades del diámetro de un círculo a cualquier punto de la circunferencia es un ángulo recto
“Para buscar la verdad es necesario una vez en la vida y hasta donde se pueda, poner en duda todo…”DESCARTES Y FERMAT. Desde el renacimiento había empezado q dudarse de la firmeza del conocimiento y la visión del mundo prevalecientes en la Europa medieval. La recuperación del conocimiento griego, las grandes exploraciones, los grandes inventos, el ascenso de una clase de artesanos con problemas peculiares y refractarios a las explicaciones finalistas o teológicas de los fenómenos naturales y el impulso a la experiencia como fuente de todo saber, todo aquello tendió a socavar los fundamentos de una manera de pensar ya aventajada. Nadie aprecio más que Rene descartes la necesidad de reconstruir todo el conocimiento.
De padres relativamente acomodados, Descartes nació en la Hay en, Francia. Recibió excelente educación formal y tradicional a en el colegio jesuita de la fleche. Pero desde sus años escolares ya había adoptado actitud crítica hacia las verdades que tantos de sus contemporáneos y maestros profesaban plenos de confianza. Empezó a poner en la tela de juicio a la clase de conocimiento que estaba recibiendo. De los estudios tradicionales, decía la elocuencia posee fuerza y belleza incomparables, la poesía es de gracia y deleites arrebatadores. Sostenía, sin embargo, que estos eran dones de la naturaleza y no fruto del estudio. Respetaba la teología porque señalaba el camino al cielo, y el aspiraba a ese destino; pero "entendido que el camino no está menos abierto al más ignorante que al más ilustrado, y que las verdades reveladas que conducen a la gloria está por encima de nuestra comprensión", no pretendía someter estas verdades a su razón impotente. La filosofía agregaba, "brinda los medios para perorar sobre todas las materias dando la impresión de que se tiene la verdad, y que reclama la admiración de la gente simple”, pero, aunque cultivaba, durante siglos por los hombres más distinguidos, no ha producido doctrinas irrebatibles.
Las leyes, la medicina y demás profesiones garantizan la riqueza y el honor de quienes las practican, pero como en estas disciplinas se apropian principios de la filosofía, no pueden ser estructuras sólidas, y por fortuna no fue obligado a dedicarse a ninguna de ellas para mejorar su condición. También despreciaba la lógica, porque sus silogismos, así como la mayoría de las reglas, se emplean únicamente en la comunicación de lo que ya se sabe a al hablar a rienda suelta de cosas que se ignoran, pero en si no importan conocimiento alguno. Los tratados de moral contienen preceptos útiles y exhortaciones para alcanzar la virtud, pero no hay prueba de que unos y otros se funden en verdades. A la edad de 20 años, después de haberse graduado de abogado en la Universidad de Poitiers, Descartes resolvió que se pondría a aprenderlas cosas que no estaban en los libros. Después de una época francachelas en parís, se retiró a reflexionar a un barrio apacible de la misma ciudad. Para ver mundo se enrolo en el ejército, participo en campañas militares y viajo.
A resultas de sus profundas reflexiones y escritos y escritos, producidos durante los años que paso en Holanda, se sentaron los nuevos cimientos del conocimiento. Descartes que es el padre reconocido de las matemáticas y la filosofía modernas. Fundó también la cosmología que predomino durante los siglos XVII, hasta que fue desplazada por las obras de Galileo Galilei y de Newton. Lo primero que tuvo que hacer descartes fue encontrar las verdades sencillas, claras y distintas que desempeñarían en su filosofía la misma función que los axiomas en las matemáticas. Y aquí dio un paso para atrás. Mientras que su época se volcaba hacia la experiencia como la fuente segura, Descartes miro dentro de su propia mente. Luego de mucha reflexión crítica determino que estaba seguro de las siguientes verdades: a) pienso, luego existo; b) cada fenómeno debe tener una causa; c) un efecto no puede ser mayor que la causa; del intelecto contiene en si las ideas de perfección, espacio, tiempo y movimiento.
1.- con el software geogebra trazar los siguientes puntos
CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD Las pendientes de las rectas paralelas son iguales
2.- con la opción
seleccionar los puntos
Las pendientes de las rectas perpendiculares son reciprocas y de signo contrario. También se puede decir que el producto de las pendientes es igual a -1
3.- con la opción recta paralela a esta.
seleccionar la recta inicial, la cual trazara la
4.-con la barra de herramientas elegir la opciรณn pendiente y seleccionamos a las dos rectas.
Calcular la pendiente del รกngulo de inclinaciรณn de los segmentos de la recta que se forma.
1.-Abrir el software Geogebra 2.-Aparece la siguiente pantalla, en la cual localizaremos la barra que dice entrada, que aparece hasta abajo.
3.- introducimos las coordenadas de nuestra recta
4.-Al dar enter en las coordenadas, nos aparecerรกn en la vista algebraica, y en la vista grafica
5.-Desde la barra de herramientas, seleccionar recta, trazรกndola en los puntos correspondientes.
6.-Desde la barra de herramientas seleccionar, pendiente, y automรกticamente nos lanza el resultado (seleccionar la recta)
7.-Podemos mover uno de los puntos, por lo cual ira variando la pendiente de inclinaciรณn de la recta.
El circulo, entre muchas aplicaciones que tiene, está la de ser el modelo geométrico para construir la rueda, la que tiene una vieja tradición en uso. De hecho, el modelo del círculo, antes de servir como rueda, fue utilizada como rodillo. Sobre un conjunto de estos rodillos se hacia el desplazamiento de la misma plataforma (como el de bloques de piedra extraídos de una cantera) Esto funciona porque al rodar el rodillo no sufre alteraciones de altibajos la carga, pues todo punto fuera de la frontera del rodillo está a la misma distancia de a sección transversal del rodillo, pensando este como rodillo o como rueda, pues el modelo abstracto de representación de este círculo y su borde la circunferencia, para la que la definición, es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro punto inferior a ellos denominado centro del círculo. Lo fundamental es una rueda y un rodillo circular es que, al desplazarse sobre un plano, el centro conserva la misma distancia respecto al piso (plano). Sin embargo, .no es el único rodillo (o rueda) que cumple con este requisito: son, desde un punto de vista geométrico, figuras de ancho constante. Hasta 187 se tenía a la circunferencia como la única figura plana en la que todos sus puntos determinan un mismo diámetro. El ingeniero Belga Franz Reuleax hallo otras con esa misma característica; esto es, figuras que poseen diámetros iguales.
Lo fundamental es una rueda y un rodillo circular es que, al desplazarse sobre un plano, el centro conserva la misma distancia respecto al piso (plano). Sin embargo, no es el único rodillo (o rueda) que cumple con este requisito: son, desde un punto de vista geométrico, figuras de ancho constante. Hasta 187 se tenía a la circunferencia como la única figura plana en la que todos sus puntos determinan un mismo diámetro. El ingeniero Belga Franz Reuleax hallo otras con esa misma característica; esto es, figuras que poseen diámetros iguales. Esta figura es la que se ha popularizado de los denominados polígonos de reuleaux . Toda figura que tiene el mismo ancho en cualquier dirección recibe el nombre de figura de ancho constante. El triángulo de reueaux es una figura de ancho constante, distinto del círculo, y es la más sencilla de todas las figuras de ancho constante. La más simple de ellas es la de la gráfica: tiene como apoyo a un triángulo equilátero. En cada uno de sus vértices, y tomando al lado como medida, se apoya el compás y se trazan arcos de circunferencia que unan dos vértices consecutivos. Esta figura tiene diámetros iguales para cualquiera de sus puntos, esto permite construir un rodillo que cumpla con la misma función que un rodillo cilíndrico sin que haya brincos al deslizar una tabla sobre ellos.
Al rodar la figura siguiendo la dirección del piso, el triángulo siempre toca el piso y la plataforma encima de él.
Sin embargo, el principio fundamental e la rueda es que tenga radios iguales y esto no se cumple en el triángulo de Reuleaux. Esto es, el triángulo de Reuleaux puede rodar fácilmente, aunque no es recomendable como rueda ya que carece de un centro de rotación fijo. El enunciado del teorema de Blaschke-Lebesque hace ver que el triángulo de Reuleaux es la figura de menor superficie entre las figuras de anchura constante. Su área está dada por la fórmula:
Es la curva de ancho constante que tiene un área menor. La circunferencia es la que la tiene mayor. Área de un triángulo de ancho D:
Área de un círculo de ancho D:
Entre las propiedades más peculiares de las figuras de ancho constante están las siguientes: 1.-se considera que tienen diámetro de valor uno 2.-tienen por perímetro a pi 3.-las figuras tienen por ancho constante 1, la que tiene mayor área es el circulo y la que tiene menor área es el triángulo de Reuleaux 4.-el círculo es la única figura de ancho constante que es totalmente simétrica.
R es punto medio entre P y Q. Denominemos en este caso R (Xm,Ym) Como las coordenadas del punto medio de un segmento. Se cumple que: Xm= x1 + x2
Abscisa del punto medio de un segmento.
2 Igualmente: ym= y1 + y2
ordenada del punto medio de un segmento.
2 1..- Dar las coordenadas del punto medio J de un segmento cuyos extremos son el punto H(-3,-1) y el punto P(3,3) Xm= -3 + 3 = 0
ym= -1 + 3 = 1
2
2
2.- con el software geogebra trazamos los puntos correspondientes
3.- trazamos la recta que pase por esos puntos.
4.-con la herramienta propiedades
5.-con la opciรณn
elegir la opciรณn <<nombre y valor>>
seleccionar la recta
6.- hacemos visible el <<nombre y valor>>
1.- con el software Geogebra trazar los siguientes puntos
2.- con la opciรณn
3.- con la opciรณn
seleccionar los puntos
seleccionar la recta inicial, la cual trazara la recta paralela a esta.
4.-con la barra de herramientas elegir la opciรณn pendiente y seleccionamos a las dos rectas.
Comprobar que la recta PQ es perpendicular a la recta que pasa por lo puntos T(7,6) Q(3,-1) 1.-trazar los puntos P(-4,3) Q(3,-1)
2.- con la opciรณn
seleccionar los puntos
3.-Trazar los puntos Q(3,-1) T(7,6)
4.-Trazar la perpendicular a la recta, la cual pasa por el punto Q(3,-1) con la opciรณn
3.- seleccionamos el punto, damos clic derecho y aparece la barra de propiedades
4.- seleccionamos nombre y valor, para tener mayor manejo
7.-obtenemos la <<pendeiente>> de cada una de las rectas
8.- al realizar los cรกlculos correspondientes
PRACTICA I
En todo triangulo plan, la longitud del segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es la mitad de la medida del tercer lado. Comprueben que es correcto para el triángulo cuyos vértices son los puntos P (1,-2) Q(7,4) R(9,-4)
1.- Abrimos nuestro software.
2.-localizamos los siguientes puntos 3.- construimos un polígono con la siguiente opción
4.- localizar los puntos medios de los dos lados del triangulo
5.- con la opción<<recta>> trazar una que pase por los puntos medios 6.- calcular la longitud del segmento y el de la base.
PRACTICA II En la práctica I resolviste el problema de comprobar que la longitud del segmento
que une los puntos medios de dos lados del triángulo es igual a la mitad de la longitud del tercer lado. Ahora comprueba también que ese segmento que une los puntos medios de dos lados del triángulo es paralelo al tercer lado. Utiliza el mismo triángulo de vértices P(1,-2) Q(7,4) R(9,-4)
1.- con ayuda del software geogebra, localizamos los puntos medios, de los lados del triangulo
2.-con la herramienta <<paralela>> base de nuestro triangulo
y despuĂŠs uno de los puntos medios de nuestro triangulo
, seleccionar la
PRACTICA III Una recta pasa por el punto A (-3,-1) y tiene una pendiente =-4. ¿Cuál es la ecuación que lo expresa? Estos cálculos también los podemos hacer en geogebra, para lo cual, en la barra de entrada, escribimos la fórmula de la ecuación “punto pendiente, y-y1= m(x-x1)” con las sustituciones correspondientes La cual lanzara automáticamente la recta y la ecuación de la recta.
PRCATICA IV Hagan la gráfica de las rectas expresadas por las ecuaciones X+2y=2 y 2x +y=13 y obtengan el punto de intersección de ellas. Comprueben que el punto de intersección está formado por la pareja ordenada de valores que se obtiene al resolver estas ecuaciones consideradas como un sistema de ecuaciones. Para ello resuelvan el sistema por el procedimiento de sustitución. 1.- con el sofware geogebra localizaremos las siguientes rectas. 2.-
en
la
barra
de
entrada,
introducir
la
ecuación
3.- localizar el punto de intersección de las dos rectas con la opción
4.- en la vista algebraica, aparecen las coordenadas donde se encuentra ese punto
PRÁCTICA V Construir la circunferencia que pasa por 9 puntos. Si para un triángulo cualquiera se tienen conocidos los tres puntos medios de sus lados, los pies de cada una de sus tres alturas, y los puntos medios de los segmentos de recta que unen a cada vértice del triángulo con el ortocentro, estos nueve puntos están sobre una circunferencia
Realicen la construcción correspondiente para el triángulo cuyos vértices son los puntos P(6,8) Q(13,3) R(3,2)
1.- construir un triángulo, con los puntos dados
2.- trazar las alturas Con la opción <<perpendicular>> y seleccionamos cada lado, trazando desde la base al vértice opuesto
3.- localizamos el punto de intersección, y los puntos medios de los segmentos de recta que unen a cada vértice del triángulo con el ortocentro
4.- con la opciรณn circunferencia
(puntos medios de los lados del triรกngulo) trazar la