laberintos e infinitos
índice
Reloj o perfecta sincronía
Editorial
El Cometa
Y la búsqueda sigue
2
ITAM, Biología
UNAM)
Unos trapitos al sol
Ludoteca espiriforme La carambola
11
¿1=-1? Taxi sobre el tablero El cuadro mágico Memorias de un anciano La curvatura del cuadrado Cien sabios El caracolito Torito, La fuga de la princesa
11 14 14 15 15 22 22 34
28
Vanessa Rodríguez Munguía (Licenciatura en Actuaría ITAM)
Serendipia, heurística y rompecabezas, La búsqueda y el hallazgo 30 Mtro. Marcelino Perelló Valls (Facultad de Ciencias UNAM)
Mándalas
36
Javier Fernández Razo (Arquitectura UAM)
Mtro. Marcelino Perelló Valls (Facultad de Ciencias UNAM)
Focos Humorísticas Mentiroso Las siete cerillas ¿Cuánto es 2+2?
23
Eduardo Boné (Ingeniería Industrial
Lluvia Oblicua (fragmento)
39 39 44 44 44
Fernando
48
Pessoa
Un paseo por el quehacer ¿¿En qué espacio vivimos?? Dr. Javier Bracho (Facultad de Ciencias
Epístola de la ciencia Acerca de la Conjetura de Collatz Mtra. Marcela (Departamento
.3
Sebastián von Wuthenau (Licenciatura en Matemáticas ITAM)
Dr. Carlos Bosch Giral (Departamento de Matemáticas
Ma. De la Luz de Teresa (Extracto de El Irracional)
.8
Imágenes especiales:
Aplicadas
Cuadro 1 David
Criptografía
Erandi
2 (Artes
Plásticas,
CNA)
21 Rubio
Huertas
(Historia,
ENAH)
Detrás de la puerta
ITAM)
Luis
Dra. Beatriz Rumbos Pellicer (Departamento de Matemáticas
Sefami
Altura
12
Los Cuaternios
UNAM)
Henri Poincaré - Matemático Universal.....46
González Peláez de Matemáticas ITAM)
La Cuadratura del Círculo
40
16
Beltrán
30
del Río G. (Arquitectura,
Metamorfosis de la luz Metamorfosis de la luz III Quietud
ITAM)
Pedro
Ovando
(Arqueología,
UNAM)
46 47 48 ENAH)
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laberintos e infinitos
Editorial Y la búsqueda sigue... Ese camino q u e nos v a m o s dibujando en las matemáticas es el que posiblemente nos abra las puertas a finitas respuestas e infinitas preguntas.
imagen
de David
sefami
Siguiendo el trazo final surge una duda, ¿cómo podemos encontrar respuestas si la realidad sólo presenta diversidad, caos y perfección? Renunciemos p t al m u n d o , separando la realidad y descubriendo las representaciones q u e p o d e m o s imaginar; una idea, una teoría, una imagen reducida a líneas, u n a naturaleza llena d e objetos físicos y geométricos destacada por un espacio explicado por patrones matemáticos... abstracción. A s í pues invadimos nuestras mentes d e pensamientos ordenados, descubrimos maravillas en lo imposible, ideas q u e no podemos hacer realidad pero sí entender. Eso hace la matemática, abstrae, representa y trata de explicar el mundo y cosas m á s allá de nuestra percepción por medio d e un lenguaje lógico y universal. 0 r u
n
m
o
m
e
n
0
En este proceso disfrutamos la seducción del viaje que produce la abstracción, donde los conceptos se invierten al dejar de percibir lo tangible y hacer de símbolos un mundo d e realidades. Por extraño que parezca, el límite entre lo ideal y lo real se hace m u y débil...
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epístola de la ciencia
Acerca de la Conjetura de Collatz Marcela
González
Peláez
En matemáticas hay muchos resultados que aunque el enunciado sea de fácil comprensión, no es así su demostración. Es más, hay muchos en los que aún no se encuentra una prueba que los verifique; éstas son las conjeturas. Una de ellas, es la f a m o s a Conjetura de Collatz que asegura que para cualquier número natural n >1 se puede formar una sucesión finita, Cn={c¡), de números naturales que empieza en n y termina en 1, aplicando el siguiente algoritmo: .4 r
c¡
—, 2 c
si c, es par,
, , =+
3c, + 1 , si c¡ es impar. Para cada número a de la sucesión, El problema de Collatz fue modificado por Térras (1976, 1979), quien c¡ si c, es par, 2 c
,+: = '
3c, + 1 —
, si c, es impar, 2 propone la iteración considerando para cada número a de la sucesión, con lo cual se tiene un número menos en la sucesión cada vez que a es impar.
Imagen
de Wassily
Kandinsky
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laberintos e infinitos
Algunos ejemplos son: Para Para Para Para Para
n = 2: n = 5: n= 10 n = 17 n = 49
Para n = 140:
C 2 = {2,1}. C 5 ={5,8,4,2,1}. Cw= {10,5,8,4,2,1}. C n= {17,26,13,20,10,5,8,4,2,1}. C 49 = {49,74,37,56,28,14,7,11, 17,26,13,20,10,5,8,4,2,1}. Cuo = {140,70,35,53,80,40,20, 10,5,8,4,2,1}.
A los miembros de la sucesión producida por este algoritmo también se les conoce c o m o números granizo porque los valores se elevan y c a e n e n f o r m a análoga al granizo dentro d e una nube.
Esta conjetura aún no ha sido probada. Dos casos en los que se puede ver que esto es cierto s o n : Para los números enteros entre 2 y 100. Cuando un número entero es d e la forma abarca una infinidad de números enteros.
22k
que
Para ver el primer caso se puede seguir un proceso inductivo verificando q u e al empezar la sucesión c o n n, siempre es posible encontrar e n ésta un número menor que n.
4783527350981426893456372829648567585959733420928634530394857612325347756503937612345678909876543213425643993847565757511980964554685959
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epístola de la ciencia
Claramente si n es par esto se cumple y en el caso de que n s e a impar y de la forma 4 m + 1 se tiene: y
n -> 4m +1 -> 6ra + 2 -> 3m +1 3m + l < 4 m + l .
C u a n d o n es de la forma 4 m + 3 , correspondiente a los números: 3 , 7 , 1 1 , 1 5 , 1 9 , 2 3 , 2 7 , 3 1 , 3 5 , 3 9 , 4 3 , 4 7 , 5 1 , 55, 5 9 , 6 3 , 6 7 , 7 1 , 7 5 , 79, 83, 8 7 , 9 1 , 95, 99 un cálculo directo muestra su sucesión. Por ejemplo, la sucesión correspondiente al número 2 7 es: {27, 4 1 , 6 2 , 3 1 , 4 7 , 7 1 , 1 0 7 , 1 6 1 , 2 4 2 , 1 2 1 , 1 8 2 , 9 1 , 137, 2 0 6 , 1 0 3 , 1 5 5 , 2 3 3 , 3 5 0 , 1 7 5 , 2 6 3 , 395, 5 9 3 , 8 9 0 , 445, 668, 334, 167, 2 5 1 , 377, 566, 2 8 3 , 425, 638, 319, 479, 7 1 9 , 1 0 7 9 , 1 6 1 9 , 4 2 9 , 3644, 1822, 9 1 1 , 1 3 6 7 , 2 0 5 1 , 3 0 7 7 , 4616, 2308,1154, 577, 8 6 6 , 4 3 3 , 650, 325, 4 8 8 , 2 4 4 , 1 2 2 , 6 1 , 9 2 , 4 6 , 2 3 , 3 5 , 5 3 , 8 0 , 4 0 , 2 0 , 1 0 , 5 , 8, 4, 2, 1} Para probar el segundo caso, observamos que para todo k e N, 3 divide a 2 * - l . Esto también se puede ver fácilmente haciendo inducción sobre k. 2
- Si Ar= 1 , 2 - 1 = 3. 2 ¿
• Suponiendo q u e 3 divide a 2 * - l k > 1, s e tiene que 3 también divide a 2
2
2M)_l . =
2 2
para un número
(2 *-l)+3. 2
Por lo tanto _
i es un número entero, V/c e N . 3
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laberintos e infinitos
Imagen
de
David
Bomberg
Para probar la Conjetura d e Collatz para todos los números mayores que uno que sean de esta forma, consideramos: 2 -l . • Para k = 2, se tiene n = — - — = 5 y al aplicar el algoritmo se tiene la sucesión {5,8,4,2,1}. 4
3
• S u p o n g a m o s cierto para
k > 2, esto es, que aplicando el algoritmo existe
2 *-l y termina e n 1 una sucesión que empieza en n 2 (*+0 _ ] Ahora, considerando m = , lo primero que se observa es que tan2
2
to m como n son impares; de aquí que, aplicando la regla a m y a los dos números que le siguen, se tiene:
3m + í m —> Por otro lado, haciendo lo mismo c o n n y aplicando la hipótesis d e inducción se obtiene: 3n+l = 2 *-' - » K n —> 2
así, se tiene la siguiente sucesión para m: m
_> * 2 2
+ 1
-> 2 * -> 2 ~ 2k
Por lo tanto, si n =
l
2 *-l 2
'•,
la Conjetura d e Collatz es verdadera.
478352735098142689M5«7282%48567..8..W^
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epístola de la ciencia
Se puede deducir, de la d i s c u s i ó n anterior, que la Conjetura de Collatz sería verdadera si fuera posible probar que para cada número entero n mayor que 2 existe un término en la sucesión que es menor que n. Los argumentos usados para los pares y los impares de la forma 4 m + 1 para el caso de 2 < n < 100 se pueden repetir en general, sin embargo queda por probar que para los n ú meros de la forma 4 m + 3 es posible encontrar un número menor en la s u cesión correspondiente.
Por la dificultad para resolver este p r o b l e m a , Erdos comentó: " M a t h e m a t i c s is not yet ready for such problems" -Las matemáticas aún no están preparadas para tales p r o b l e m a s - (Lagarias 1985). Sin embargo, y a sea q u e se llegue a probar esta conjetura o no, no d e b e m o s preocuparnos, lo importante es que siempre existirán nuevos retos q u e harán divertida la m a t e m á tica. Albert Einstein dijo: " D o y o u w o r r y a b o u t y o u r d i f f i c u l t i e s in mathematics?. I can assurethat mine are still greater", -¿Te preocupas sobre tus problemas en matemáticas? Yo te puedo asegurar que los míos aún son grandes-.
El algoritmo de Collatz fue probado y se encontró que se llegaba al 1 para todos los números menores o iguales q u e
3x2
5 3
- 2.702xl0
por
1 6
Oliveira e Silva en 1999, mejorando los resultados anteriores de 1 0 ' o b tenidos por Vardi en 1991 y 5 . 6 x l 0 ' hallados por Leavens y Vermeulen en 1992. 5
3
Albert
Einstein
4783527350981426893456372829648567585959733420928634530394857612325347756503937612345678909876543213425643993847565757511980964554685959
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laberintos e infinitos
La Cuadratura del Círculo Sebastián
von
Wuthenau
Encontrar con regla y c o m p á s un cuadrado q u e tenga la misma área que un círculo dado es u n o de los problemas geométricos m á s famosos d e la antigüedad. Los griegos, apasionados con la geometría, lo propusieron y permaneció sin solución por m á s d e 2000 años hasta que fue probado imposible. Surgieron entonces otros problemas para transformar al círculo e n un cuadrado preservando el área. Para los antiguos griegos la geometría representaba la belleza y el pensamiento; junto con los números controlaba e influenciaba toda realid a d . Tratando d e buscar la perfección e n sus esculturas y m o n u m e n t o s recurrían frecuentemente a cuerpos geométricos dando importancia a sus proporciones. C o n el afán de desarrollar esta ciencia formularon muchas preguntas, algunas d e las cuales a ú n no se han podido resolver. Desde el tiempo d e Euclides la regla y el c o m p á s son las principales h e r r a m i e n t a s p a r a realizar c o n s t r u c c i o n e s g e o m é t r i c a s . L a t e o r í a d e constructibilidad con regla y c o m p á s es m u y vasta e iniciaremos por definir las operaciones q u e con ellos p o d e m o s realizar. • • •
Dados d o s puntos uno puede construir la única línea q u e los une. Dadas d o s líneas distintas q u e se intersectan uno puede encontrar el punto donde se cruzan. Si A y B son d o s puntos distintos u n o puede construir el círculo c o n centro en A q u e pasa por B. . Dado un círculo y una línea (o otro círculo) uno puede construir el (los) punto(s) d e intersección.
Combinando estas primitivas se pueden realizar otras construcciones c o m o bisectar un segmento o un ángulo, trazar paralelas y perpendicu478352735098142689M56372829M856758595973M209286M530
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epístola de la ciencia lares a u n a recta q u e pasen por un punto, etc.. Así c o m o s e han encontrado algunas construcciones, otras han sido probadas imposibles. En 1882 fue probado imposible construir un cuadrado c o n la m i s m a área q u e un círculo; la idea de la demostración es la s i guiente: La geometría analítica nos permite asociarle a los aspectos cuantitativos d e objetos g e o m é t r i c o s n ú m e r o s reales. Elegiremos un s i s t e m a c o o r d e n a d o d o n d e los puntos s e representan c o n un vector real (x,y) y donde (0,0) y (0,1) s o n conocidos inicialmente. Sin pérdida de generalidad consideremos al círculo c o n centro en (0,0) y de radio 1. El área es Tí por lo que los lados del cuadrado d e b e n medir raíz d e Tí . Un n ú m e r o real x s e dice q u e e s construible si e s la distancia de d o s puntos construibles c o n regla y c o m p á s . S e sigue q u e un punto (x,y) es construible si y sólo si s u s c o o r d e n a d a s s o n construibles. Dados d o s n ú m e ros construibles s, t ^ 0 entonces s+t, s-t, s*t, s/t también s o n construibles (ver figura). Por tanto el conjunto de los números construibles es un subcampo de los reales y q u e r e m o s ver si contiene a raíz d e %
Una línea definida sobre un c a m p o F puede representarse c o m o a*x+b*y+c=0 d o n d e a,b,c pertenecen a F. Similarmente, un círculo s e representa c o m o ( h - x ) + ( k - y ) = r donde h,k,r pertenecen a F. Los puntos de intersección pueden encontrarse c o m o solución a estos sistemas de ecuaciones cuadráticas y lineales. Portante, sólo podemos construir raíces de polinomios de primer y s e g u n d o grado sobre F. Después d e un número finito de pasos, sólo p o d e m o s construir raíces de polinomios sobre Q. Sin e m b a r g o raíz de Tí e s un número trascendente (i.e. no e s solución d e ningún polinomio sobre Q) y por tanto no e s construible. 2
2
2
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laberintos e infinitos = = -= zzzer construir el cuadrado con regla y c o m p á s necesitamos a y u d a a d r o o n a l , a partir de la cual Ti s e a construible. Por ejemplo, si rodam o s el círculo una vuelta sobre una línea y m a r c a m o s el inicio y el fin obtenemos el perímetro (271).
En 1925 Alfred Tarski le dio un giro interesante al problema. En v e z de construir el cuadrado c o n regla y c o m p á s propuso cortar al círculo e n un n ú m e r o finito d e piezas (i.e. u n a partición) y reacomodarlas para formar un cuadrado. Las piezas no deben sobreponerse ni dejar huecos vacíos y el reacomodo debe preservar la forma d e las piezas. Después d e m u c h o trabajo, Tarski logró demostrar q u e d e ser posible la disección, el círculo y el cuadrado debían tener la m i s m a área. La diferencia proviene d e q u e las piezas pueden ser tan complejas q u e no se puedan medir y no tenga sentido hablar d e su área; es m á s , en 3 D no es cierto. Banach, Tarski y Robinson demostraron q u e e s posible disectar u n a esfera en 5 piezas y reacomodarlas mediante transformaciones rígidas e n dos esferas, c a d a una del mismo t a m a ñ o q u e la original. En 1989, el matemático Miklos Laczkovich probó q u e es posible cortar al círculo y formar un cuadrado c o n las piezas. La cantidad estimada d e piezas es d e 10^50. Este número es tan grande q u e si pudiéramos acomodar mil millones d e piezas cada milisegundo el tiempo q u e tardaríamos e n armar el cuadrado sería m á s d e un millón d e veces la edad actual del universo.
Bibliografía Honsberger Ross, El Ingenio en las Matemáticas. La Tortuga, 1997. Thattai M u k u n d . Field Theory and Galois Theory Part 1: Rulerand Compass Constructions. Stewart lan, From Here to Infinity. Oxford Paperbacks 478352735098l426893456372829648567585959733420928634530394857612325347756503937612345678909876543213425643993847565757511980964554685959
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ludoteca espiriforme
La carambola En el cruce d e eje 10 e insurgentes ocurrió u n a carambola entre los coches d e tres personajes suigéneris: un filósofo que nunca miente; un mercader q u e j a m á s dice la verdad; y un despistado que suele decir la verdad, así c o m o mentir, a diestra y siniestra. Después d e un rato d e melodía claxofonezca se acercan, contoneándose, las delicadas siluetas de dos tamarindos que pretenden impartir justicia. Lamentablemente, los implicados e n la colisión están muy enfadados y no cooperan, lo más que dicen e s : A: él no e s filósofo (señala a B). B: él no es mercader (señala a C ) . C: él es filósofo (señala a A ) . Los policías prefieren platicar c o n el filósofo pero no logran ubicarlo. ¿Sabes tú quién es quién?
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laberintos e infinitos
Criptografía Carlos
Bosch
Giral
No hace muchos años los códigos secretos tenían c o m o únicos usuarios a los diplomáticos y a los militares, q u e intercambiaban mensajes sin q u e pudiesen ser leídos por otras personas. Debido a los cambios en las telecomunicaciones, los bancos y el tipo de vida, los códigos secretos se usan ampliamente para proteger los archivos d e c o m p u t a d o r a , transferencias electrónicas de fondos y el correo electrónico. La seguridad se ha vuelto u n a nueva rama m u y importante d e la criptografía, del estudio d e códigos y cifrados así c o m o d e la f o r m a d e descifrarlos. La criptografía está basada e n u n a clave q u e se usa para transformar o encriptar un mensaje o un texto obteniendo así algo encriptado o codificado. En general, la clave q u e se usa para encriptar un mensaje se usa también para descifrarlo. En el nuevo e s q u e m a llamado criptografía con u n a clave pública, s e utilizan d o s claves: u n a q u e se hace pública, usada por cualquier persona, por ejemplo, el señor Pérez tiene una clave para encriptar y enviar un mensaje; la otra clave sólo es conocida por la otra persona, por ejemplo el señor G ó m e z , quien recibió el mensaje y lo quiere descifrar. Las claves se diseñan d e manera q u e el conocimiento d e la clave pública no comprometa el conocimiento d e la clave privada. En nuestro ejemplo el señor Pérez sólo conoce la clave pública mientras q u e el señor G ó m e z conoce a m b a s claves, lo cual le permite descifrar los mensajes enviados por el señor Pérez; sin embargo el señor Pérez no podrá descifrar los mensajes enviados por el señor G ó m e z .
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epístola de la ciencia
La idea detrás de la criptografía con una clave pública es el hecho de que ciertos procesos son fáciles de llevar a cabo en una dirección y muy difíciles en la dirección opuesta . Por ejemplo, es fácil s u mar 7 0 8 + 259 + 871 + 1836 + 82 y o b t e n e r 3 7 5 6 , p e r o es m á s difícil encontrar una subcolección de ocho números: 886, 708, 82, 259, 589, 356, 851 y 25 q u e s u m e 3756. Otro ejemplo sería multiplicar los dos números 299 por 133 lo que da 29767 y sólo lleva unos cuantos segundos. El trabajo inverso sería factorizar por ejemplo el número, c o m o 2 4 3 5 933 lo cual es algo m u c h o m á s complicado y tardado. En caso de que a usted se le a c a b e la p a c i e n c i a b u s c a n d o e s a factorización la respuesta es 1121 x 2173. Es claro que factorizar es un proceso m á s complicado que el de multiplicar. Precisamente ésta es la
base de la criptografía con clave p ú blica. Se da un número enorme que se usa para encriptar y la persona q u e v a a descifrar la clave usa la factorización de dicho número para desencriptar. El d e s c o m p o n e r n ú m e r o s muy grandes en producto de números primos es un proceso muy difícil si no es que casi imposible para números con miles de cifras. Así que a final de cuentas los números primos, q u e aparecieron en las matemáticas sin aparente aplicación son ahora las herramientas que relacionan la abstracción con el hecho m u n dano de proteger el dinero al hacer una transferencia entre bancos. N u e v a m e n t e es interesante d a r s e cuenta de que un uso brillante, no necesariamente impenetrable, de las matemáticas afecta y enriquece nuestras vidas.
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laberintos e infinitos
Taxi s o b r e el tablero Considera un arreglo de 8 x 8 puntos, c o m o un tablero d e ajedrez (gran pista). E m p e z a n d o e n u n a e s q u i n a , t i e n e s q u e l l e g a r a la contraesquina cubriendo todos los puntos pasando por cada uno u n a sola v e z y no puedes avanzar en diagonal.
El cuadro mágico Considera los números del 1 al 9. El problema consiste en tomar una matriz d e 3x3 y acomodar todos los números a n teriores de tal manera que para cada columna la s u m a de los d o s primeros renglones s e a igual al tercer renglón.
478.152735(198142689345637282964856758595973342(1928634530394857612325347756503937612.345678909876543213425643993847565757511980964554685959
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ludoteca espiriforme
Memorias de un anciano
Casi seguro q u e afirmarías q u e es un viejo c o n barba y extraño pelo largo, pero relaja la vista y v e r á s q u e e n realidad s o n u n a pareja de novios besándose y abrazándose rodeados d e bonitas hojas de parra.
La curvatura del cuadrado
Fíjate en el cuadrado que está encima d e los círculos... ¿Están torcidas las líneas? A u n q u e parezcan dobladas, son perfectamente rectas.
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laberintos e infinitos
Los Cuaternios Beatriz
Rumbos
1. Introducción Los conjuntos de números que c o n o c e m o s s o n • los naturales N , • • • •
los enteros Z , los racionales Q , los reales R y los complejos C .
C a d a uno de estos conjuntos extiende al anterior y s u construcción está motivada por la necesidad de resolver ecuaciones. Concretamente, para resolver las ecuaciones , i n 1 = 0,
x +
1,
2x
=
x
= 2, = -1,
2
x
2
es necesaria la construcción de Z , Q , R y C , respectivamente. Existe, sin embargo, otro conjunto d e n ú m e r o s q u e extiende a C cuya construcción no está motivada en la resolución de una ecuación. Este conjunto s e denota por H , en honor a s u creador, el irlandés William Rowan Hamilton (1805-1865) y es llamado el conjunto de cuaternios. El puente de B r o n g h a m cruza el canal Real de Dublín y, a simple vista, es sólo un puente más; sin e m b a r g o , el caminante observador puede distinguir, tallada en su estructura de piedra, algo semejante a la siguiente relación: i = J _ k = ijk =- i . 2
2
2
Cuenta la leyenda q u e un día soleado e n el a ñ o d e 1843, p a s e a b a Hamilton junto al canal Real c u a n d o le vino a la mente la estructura d e los cuaternios. Guiado por el impulso, tomó su navaja y talló sobre la piedra de un puente la propiedad fundamental de éstos, aquel puente e r a el puente de Brongham. En lo que sigue trataremos de describir lo que pasaba por la m e n te de Hamilton en aquel día soleado. 47B5273509814268934563728296485675859597334209286345303948576123253477565039376123456789098765432134256439938475657575 i 1980964554685959
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epístola de la ciencia
2. Construcción y propiedades Recordemos q u e el conjunto de números complejos puede describirse c o m o C = { a + bi: a, b £ R } , en donde i es tal q u e i = - 1 . En particular i puede tomarse c o m o V ' - T - Los complejos, así c o m o los reales y los racionales, forman lo q u e s e conoce c o m o un c a m p o . 2
Un c a m p o consiste de un conjunto c o n d o s operaciones (suma y producto), d e m a n e r a q u e se cumplen las siguientes propiedades: A1
zi.z:
A2
z i + Z2= Z2+ z i , para todo zi, z G T
A3
( z i + z2)
G
T
= > •
G ^"(cerradura). (conmutatividad).
2
+ z3=zi
A4
Existe 0 G T para todo z £
A5
Para todo z £ z + ( - z ) = ( - z
+
3
) + z
z i , Z2 G J-
M2
z i Z 2 = Z2Z1,
M3
(ziz )z =zi(z2Z3), 2
(z2+z ),
para todo
zi,z2,z^
(llamado idéntico aditivo) .
M1
M4
Z1+Z2
(asociatividad). tal que z + 0 = 0 + z = z ,
, existe - z G ^ * (llamado inverso aditivo) tal q u e = 0. (cerradura).
Z'Z2 G
para todo zi, z G ^-"(conmutatividad). 2
3
para todo
zi,z , 2
Z G ^"(asociatividad). ?
Existe 1 G ^ " ( l l a m a d o idéntico multiplicativo) talque z l = l z = z, para todo z £ J- •
M5
Para todo z G ^ 7^0, existe z talque z z = z z = l . l
D
(zi
3
£ ^ " ( l l a m a d o inverso multiplicativo)
l
+ z )z = Z1Z3 + 2
1
Z2Z3,
para todo
zi, z , 2
z^E J-
(distributividad).
4783527350981426893456372829648567585959733420928634530394857612325347756503937612345678909876543213425643993847565757511980964554685959
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laberintos e infinitos
Notemos que las propiedades A1-A5 para la operación s u m a son equivalentes a las propiedades M 1 - M 5 para el producto. Las d o s operaciones están relacionadas mediante la distributividad. Los cuaternios se definen c o m o el conjunto d e números d e la f o r m a H = { a + bl + cJ + dK: a, b, c, d £ R } , en donde I,J y K son tales que / = J = K = IJK = -1. Es claro q u e los complejos pueden identificarse c o n cuaternios para los cuales c = d = 0 . 2
La construcción d e los cuaternios no tendría sentido si no existieran IJ y K con las propiedades especificadas. U n a posibilidad es definir:
mediante tres matrices complejas d e 2 x 2 , c o n i = >/-i . S e deja c o m o ejercicio al lector probar que, e n efecto, I,J y K c u m p l e n c o n las propiedades especificadas siempre y c u a n d o la unidad 1 se identifique c o n la matriz identidad f\ el 0 c o n la matriz nula / o o
\0 l)
\0
0
D a d a esta construcción, un cuaternio / ¡ G H puede pensarse c o m o la matriz de números complejos d a d a por
(
a + di b + ti —b + ti a — di
Definimos así la s u m a y producto entre cuaternios mediante la aritmética usual d e las matrices y de los números complejos. Puede comprobarse
47835273509814268934563728296485675859597334209286M53039^^
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epístola de la ciencia
que el conjunto H, junto c o n estas operaciones, satisface todas las propiedades d e un c a m p o c o n excepción d e M 2 , es decir, el producto no es conmutativo. Esto no nos debe sorprender y a que sabemos que la multiplicación d e matrices no es, en general, conmutativa. Sin embargo, t a m p o c o todas las matrices poseen un inverso multiplicativo mientras q u e todos los cuaternios diferentes del cero si son invertibles. En general, un conjunto que posee todas las propiedades de un c a m p o excepto por M 2 se conoce c o m o un anillo con división o un campo asimétrico. La construcción de los cuaternios por Hamilton fue el primer ejemplo de este tipo de estructura. La existencia del inverso multiplicativo de un cuaternio no nulo puede comprobarse d e manera semejante a c o m o se realiza para los complejos c o m o sigue. Recordemos q u e para cualquier número complejo z = a + bi se define su norma c o m o ||^|| = a +b y su conjugado c o m o z = a- bi. Tenemos entonces q u e zz = zz = \\z\\ a +b . 1
2
2
2
2
Recordemos q u e el cuaternio h = a + bl + cJ + dK puede pensarse c o m o la matriz compleja h
a + di b + ci —b + ci a — di
o bien c o m o la matriz
en donde
z¡ = a + di,
z¿ = b + ci £ C
1 P r o b a b l e m e n t e el lector h a v i s t o la d e f i n i c i ó n d e n o r m a d e u n c o m p l e j o z = a + bi c o m o N(z)
= y/a
2
+ b
2
, e n a n a l o g í a a la n o r m a e u c l i d i a n a d e u n v e c t o r e n R . 2
478352735098142689345637282964856758595973M209286345303948^^
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laberintos e infinitos
En analogía c o n los números complejos, definimos la norma d e un cuaternio h = a + bi + cJ + dK por
\\h\\=a + b + c +d 2
2
2
2
y el cuaternio conjugado c o m o
h = a — bl — cJ — dK z~2 zi Puede verse q u e
Zi Z2 \ Zi —Z2 —Z2 Zl J \Z2 Zl
,,
í z\Z\ Z2Z2 \
0
Z1Z1+
Z2Z2
a + b + c + d 0 0 a + b + c + d 2
2
2
2
2
1 0 0 1
2
2
2
= hh.
Estamos listos para construir el inverso multiplicativo d e cualquier cuaternio h ^ 0. Sea
h~
l
=
t ^ t
.
Notemos q u e hr está bien definido dado q u e h ^ 0 implica \\h\\ 0 . L a propiedad del inverso s e cumple puesto q u e d e lo expuesto arriba t e n e m o s 1
hA. \\h\\
INI
J L
- f
V Vh
1
0
\
o
4783527350981426893456372829648567585959733420928634530394857612325347756503937612345678909876543213425643993847565757511980964554685959
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epístola de la ciencia
Concluimos esta exposición notando que los cuaternios no s o n únicamente una curiosidad algebraica. Tienen diversas aplicaciones que van desde la teoría de números, en donde pueden utilizarse para probar resultados como el teorema dado por Lagrange que dice: todo natural n puede expresarse c o m o la s u m a de cuatro cuadrados perfectos, hasta aplicaciones físicas dentro del electromagnetismo, teoría de la relatividad y mecánica cuántica, entre otras.
Imagen
de Erandi
Rubio
Huertas
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ludoteca espiriforme
Cien sabios El lejano lugar d e Galland, estaba gobernado por cien s a bios. Un grupo bárbaro invadió dicho lugar y apresó a todos los sabios e n un m i s m o lugar. Para divertirse les dijeron q u e al día siguiente los iban a someter a una prueba. Todos los sabios iban a ser colocados en fila uno d e trás del otro, al azar se les iba a colocar un sombrero cuya punta era de color azul, rojo o blanco. De atrás para adelante cada uno tenía que decir una palabra, si decía el color que tenía la punta d e su sombrero se le liberaba, pero si equivocaba entonces moría. C a d a sabio sólo podía ver todos los sombreros que tenía delante, pero no los que tenía detrás, ni el q u e tenía puesto. ¿Qué debían planear los sabios, e s a noche, para salvar los m á s posibles a la m a ñ a n a siguiente?
El caracolito Un caracolito se mueve en un regla d e madera. La regla tiene, originalmente, una longitud d e un metro. El caracolito se mueve de un lado de la regla al otro, recorriendo una longitud w e n un día y se propone llegar al otro lado. En el país del caracolito vive una bruja que le tiene tirria ^ t f j ^ t al caracolito y decide intentar evitar que éste llegue al final M \ de la regla. Cada noche, mientras el caracolito descansa. I áJS j la bruja estira la regla, de tal modo que mida un metro más I W\JJ/f^» de lo q u e medía originalmente. El caracolito se encuentra más lejos de lo q u e originalmente estaba e n la regla. Sin ^ ^ ^ ^ ^ embargo, su posición relativa queda intacta (pues la re- ^ gla se estiró c o n todo y caracolito).
W^j^%( m
¿Para cuáles valores d e w alcanzará el caracolito su objetivo?
47W52735O98142689M5637282964856758595973M209286345303948576123253477565039376l2M56789O987654^
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reloj o perfecta
sincronía
El Cometa Eduardo
Boné
Llevamos cinco horas helándonos en lo alto del monte, en un claro d o n d e c o n frecuencia h a c e m o s observaciones. Esta vez el cielo se encuentra extrañamente oscuro, algunas nubes desgarradas por los fuertes vientos le dan un aspecto d e desastre. Por las lentes no se observa nada a ú n ; son cinco los telescopios apuntando hacia la zona donde, según los cálculos, debe encontrarse la órbita del cuerpo aún no identificado. S e g ú n la información q u e obtuvimos clandestinamente - c o m o muchas otras veces- hoy es el día y ésta e s la hora, y e s a área que nos parece, después de tanto tiempo sin hacer otra cosa que mirarla detenidamente, tan conocida y ajena a la vez, es la que corresponde al c a m p o visual de lo que puede ser un gigantesco asteroide. Los datos sobre el extraño acontecimiento llegaron a nosotros por una coincidencia que empieza a p a r e c e m o s una t o m a d a de pelo. Llevamos toda la noche c o n los ojos pegados a los aros metálicos de nuestros cañones visuales, pero todo comienza a indicarnos q u e las predicciones sobre el paso de un cuerpo gigantesco no identificado m u y cerca de la órbita terrestre ha sido una decepción para un grupo de observadores espaciales aficionados, tratándose sólo de datos poco confiables. Después de todo, la información sobre el suceso llegó a nuestros manos por un error y aquellos q u e afirmaban c o n gran convicción la irrefutable existencia del asteroide podrían ser también unos aficionados sin mucha idea de lo que allá arriba en los cielos pasa en realidad. Sin embargo era la primera vez que esta fuente clandestina erraba en sus predicciones. Es d e m a ñ a n a , no siento ganas de hacer gran cosa, mi mente se ocupa sólo del asteroide fantasma q u e logró escapar esta vez a nuestros ojos. Nada había aparecido en las alturas aquella noche y, a diferencia de otras ocasiones en q u e debido al mal clima no llegamos a captar nada, una sensación de incertidumbre y de pesadez inunda mis pensamientos. Pasa el día de manera lenta y hasta tenebrosa; aunque nos v e m o s todos c o m o hacemos siempre para hablar de la noche anterior, esta v e z todos esquivan el tema, un acuerdo tácito nos hace callar la evidente angustia general. 47835273509814268934563728296485675859597334209286345303948576123253477565039376123456789(198765432134256439938475657575^
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laberintos e infinitos Ahora q u e acaba el día m e dirijo a un nuevo punto de observación para atrapar la fugitiva imagen -como estoy seguro q u e los otros deben estar haciendo-. M á s horas d e ofuscación aumentan aquella inquietante sensación, no logro captar nada, c o m i e n z o a d a r m e por vencido. Tomo mis instrumentos y regreso a la ciudad por la madrugada para toparme c o n u n a cruel imposibilidad para dormir q u e a c a b a por destrozar mis nervios hasta que, sin darme cuenta, caigo en un sueño profundo. Al abrir los ojos siento d e inmediato un alivio: las ¡deas recurrentes q u e no dejaban d e dar vueltas e n mi cabeza se han detenido; sólo ahora, q u e estoy completamente despierto, tengo la certitud d e q u e mi sueño fue invadido también por las mismas imágenes a u s e n tes y angustiantes de e s a trayectoria sin dueño que tanto m e mantenían en un estado d e absurda exaltación. El dolor, q u e d e alguna f o r m a m e ocasionaba este estado, se desvanece m á s y m á s a medida q u e v o y haciénd o m e conciente d e mí mismo, luego d e mi cuarto, luego del resto de la casa y, finalmente, d e todo aquello q u e debía estar allá afuera e s p e r á n d o m e , es decir, el resto del mundo. Todo se m e presenta c o n una lucidez preocupante, todo es demasiado evidente, e m p a p a d o d e una lógica q u e no conocía antes, todo se m e aparece c o m o una gran verdad aplastante. Al ver el reloj q u e está sobre la pared, leo la hora que las manecillas indican, pero al m o m e n t o preciso d e leerla - m á s bien un instante casi imperceptible antestengo la certeza d e saberla y a así que, al leerla para mí mismo, m e siento un poco frustrado por saberla d e a n temano. Es entonces q u e comienzo a comprender: e s a verdad q u e se h a hecho d e pronto parte del inmobiliario de la casa e s un enemigo voraz d e mis razonamientos más simples y realizo c o m o parte de e s a omnipresente 4783527350981426893456372829648567585959733420928634530394857612325347756503937612345678909876543213425643993847565757511980964554685959
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reloj o perfecta
sincronía verdad que en el reloj falta un número, pudiendo contar sólo once números indicados sobre su superficie indiferente a mis desatinos, no siendo esto lo q u e m á s m e confunde, sino el no poder detectar el número faltante. Voy contando uno a uno los números y todo m e parece normal, la secuencia es correcta: uno, d o s , luego el tres, y así hasta el doce, pero sigue faltando un número. Después de varios intentos, una frustración sofocante invade mi cuerpo y, de pronto, el sonido del teléfono m e hace regresar de aquella conmoción. En el auricular reconozco la voz de uno de los observadores de la noche anterior; en su voz puedo notar de inmediato una preocupación que me hace recordar la propia, no logro entender al principio lo q u e m e dice, pero habla sobre una lucidez que lo tiene aterrado y sobre la certitud de que algo hace falta en su cuarto, en su casa, en todos lados. Duda un poco al decirme todo esto pero finalmente, c o m o venciendo un impedimento invisible pero evidente para los dos, decide decirm e que al parecer lo que falta es un número, uno q u e no puede recordar pero cuya ausencia tiene destrozados sus nervios. Antes de colgar el teléfono le ruego q u e no se mueva de donde está y que convoque al resto mientras yo voy hacia donde se encuentra. Al llegar al edificio que conozco tan bien, el mism o que he visitado en tan repetidas ocasiones, se m e muestra terriblemente distinto; lo observo de arriba hacia abajo varias veces y c o n la misma certidumbre que no m e ha abandonado desde que desperté. U n a punzada helada en la parte baja del cerebro m e hace aceptar con una lógica m u y distante a la razón que en aquella construcción, que tan bien creía conocer, algo extraño ocurre. Mientras todo esto sucede en mi cabeza, alguien me t o m a por el hombro, al reconocer su rostro olvido de golpe todas esas macabras deducciones y, sin decir palabra, a m b o s nos dirigimos al ascensor. Vemos c o m o la
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laberintos e infinitos
cabina v a llegando a la planta baja por los números q u e v a n alumbrándose del cuatro al tres, hasta donde estamos y, mientras los dos miramos esto, puedo sentir u n a cuchilla helada q u e roza mis espaldas, estando seguro que mi acompañante siente lo mismo por la expresión aterrada e n su rostro. Al abrirse las puertas entramos al elevador aún c o n nuestro silencio y a insoportable. No puedo contenerme y empiezo a hablarle sobre los n ú m e ros en el reloj y sobre mi extrañeza al ver el edificio y los números q u e iban iluminándose y, al mismo tiempo q u e intento decir todo esto, el también m e lanza una serie d e anécdotas similares a las mías. Al llegar al noveno piso s e g u i m o s c o n n u e s t r a s historias i n c o m p r e n s i b l e s pero a la v e z macabramente coherentes, haciendo sonar el timbre hasta q u e la puerta se abre para dejarnos ver que s o m o s los últimos e n llegar, todos están ahí, con las mismas caras d e extrañeza ante algo q u e sin d u d a está afectando a todos. La conversación adquiere u n a inercia circular. El t e m a , aunque tratado d e distintas formas, es el mismo; es claro q u e algo ocurre c o n nuestra manera de percibir el mundo, suceso ligado a la desaparición d e un elemento q u e no logramos definir pero, q u e estamos seguros, e s el mismo para todos y, q u e por la coincidencia de eventos, nos hace pensar q u e se trata d e u n a entidad abstracta, q u e a la v e z existe c o m o pilar d e la realidad concreta: un número, u n a herramienta mental indispensable, q u e d e alguna forma inexplicable se h a esfumado c o m o si d e pronto a la música se le extirpara mediante un proceso diabólico u n a d e sus notas. Al llegar a estas alarmantes conclusiones la confusión se v a haciendo mayor y a q u e , a p e sar del esfuerzo d e los presentes, nadie logra determinar cuál d e entre los números es el faltante, situación q u e v a desquiciando a los reunidos. Después d e u n a agitada discusión alguien hace mención d e la noche d e observación frustrada y su posible relación c o n todo aquello, y un silencio sin tiempo inunda la habitación. Sin saber c ó m o , todos c r e e m o s adivinar e n aquella relación la solución a tan sorprendente anomalía e n nuestra lógica y, mirándonos inquisitivamente, "notamos" q u e s o m o s nueve, es evidente q u e s o m o s nueve, siempre h e m o s sido los mismos pero algo exterior a nosotros nos hace notar este número. Recuerdo entonces mi reloj, los números q u e logré leer, luego el edificio y el ascensor, y m u 4783527350981426893456372829648567585959733420928634530394857612325347756503937612345678909876543213425643993847565757511980964554685959
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sincronía
Imagen
de Salvador
Dalí
chas otras cosas que quedaron grabadas en mi mente c o n la misma sensación de extrañeza desde que me había levantado, todo relacionado con las cantidades que podía determinar por el conteo inconsciente que ocurre sin mucho control en todas las cabezas. C o m o una sentencia inapelable, nuestras miradas se cruzan violentamente y c o m p r e n d e m o s al unísono que el cometa en realidad no se ha llevado nada consigo, se ha apoderado de un vacío, de una ausencia, de un invento maquiavélico y engañoso del ingenio h u m a n o , el botín del cuerpo celeste ha sido el número ausente, el indicador de falta de existencia: el cero. Desde lo alto de aquel edificio, v e m o s c o m o el m u n d o se derrite bajo el fuego devastador de la ausencia del vacío, la falta de aquel símbolo ovalado que denota no presencia v a carcomiendo las estructuras lógicas de las mentes subditas de un mar de abstracciones. La sensación de una verdad alejada de la razón, nos hace mirarnos c o m o el complemento a ese vacío que aquel cometa se ha llevado consigo; la inexistencia de lo inexistente nos brinda la comprensión inmediata de nosotros mismos, la razón s u c u m b e bajo el peso aplastante de la aceptación incondicional del todo. La noche siguiente observamos al cometa, es brillante y ovalado y se aleja cada vez m á s . 478352735W8142689M56372829M856758595973M209286M530394857612325M77565039376123456789098765432
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Unos trapitos al s o l Vanessa
Rodríguez
Munguía
¿Alguna vez se han preguntado si las atribuciones e n los descubrimientos de la ciencia son correctos? Parece q u e no siempre lo s o n . Ejemplo d e ello e s lo que sucedió e n el desarrollo de u n a d e las ramas d e las m a t e m á ticas y q u e fue publicado c o m o el primer libro de texto después del descubrimiento del cálculo diferencial. Entre 1849 y 1864 aparecieron los primeros escritos d e Gottfried Wilhelm Leibniz, descubridor del cálculo diferencial e integral. S e presume que datan d e 1675, pero algunos d e ellos fueron publicados hasta 1684 y 1686, siendo un poco difíciles d e entender por establecer las reglas elementales del cálculo diferencial, sin demostración. Los hermanos suizos, Jaques y Jean Bernoulli, contribuyeron enorm e m e n t e al desarrollo del cálculo creado por Leibniz. Comunicándose c o n él mediante el correo, formaron casi todo lo q u e hoy c o n o c e m o s del cálculo d i f e r e n c i a l e integral e l e m e n t a l ; p u b l i c a r o n s u s a r t í c u l o s e n las A c t a Eruditorum (la primera revista científica y literaria alemana) y c o m e n z a r o n a desarrollar diversas ramas d e las matemáticas. Al llegar Jean Bernoulli a París e n 1691 y reunirse c o n un grupo d e intelectuales, conoció al Marqués de L'Hopital, quien había mostrado talento matemático desde pequeño. L'Hopital desconocía el nuevo cálculo diferencial pues, c o m o se imaginarán, la velocidad c o n la q u e se propagaban las noticias e n aquella época era m u c h o menor a la de la actualidad.
4783527350981426893456372829648567585959733420928634530394857612325347756503937612345678909876543213425643993847565757511980964554685959
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No estarán ustedes para saberlo ni yo p a r a contarlo pero el M a r q u é s quedó tan asombrado cuando Jean Bernoulli le platicó del cálculo diferencial, q u e lo contrató para que le explicara los nuevos descubrimientos. Bastante caro pagó Bernoulli haber conseguido dicho alumno p u e s , a p e s a r d e recibir d i n e r o a cambio de sus conocimientos, d e bía entregar por escrito una lección a L'Hopital en c a d a una de las cuatro ocasiones en que se veían a la s e m a n a y que consistía en lo que Bernoulli hubiese escrito la noche anterior. A d e m á s , al irse Bernoulli de París en 1692 a la Universidad de G r o n i n g e n para convertirse en profesor de dicha institución, no se libró de su absorbente alumno, pues desde ahí siguió instruyéndolo por carta a cambio de un buen salario.
El caprichoso Marqués exigió que se le entregasen los originales de todos los descubrimientos matemáticos del joven profesor quien, c o n apenas 2 5 años de edad y un reciente matrimonio, no gozaba de solvencia económica. Lo verdaderamente costoso de dicho acuerdo vino tres años m á s tarde cuando después de revisar un escrito y traducirlo al latín, tal c o m o le había sido requerido, generalizó el problema y dio su propio análisis publicándolo en Leipzig. A cambio de dicha publicación fue reprimido por L'Hopital por no acatar sus órdenes de enviarle sólo a él tod o s s u s t r a b a j o s y no publicarlos. Bastante decepcionante es para nosotros saber que Bernoulli contestó que si el deseo del Marqués era que y a no publicase nada en la vida, así lo haría. ¡¡"#$%%/!!!! i ¿Se imaginan eso?! ¡El cálculo infinitesimal inventado por Leibniz y a cuyo desarrollo contribuy e r o n los h e r m a n o s B e r n o u l l i f u e vendido al Marqués de L'Hopital por Jean Bernoulli, incluyendo sus nuevos logros! Por supuesto que al dominar y a el c á l c u l o d i f e r e n c i a l e n 1 6 9 6 ,
478352735098l4268934563728296485675859597334209286345303948576l2325347756503937612345678909876543213425643993847565757511980964554685959
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L'Hopital publicó, de manera anónima, el primer libro d e texto d e esta materia, dando un escuetísimo reconocimiento a Bernoulli. Aclaraba haberse "servido sin cumplidos" d e los descubrimientos del profesor de Groningen y d e los d e Leibniz. ElAnalyse des infinitment petits pour l'intelligence des lignes courbes. [Análisis d e los infinitamente pequeños para el estudio d e las líneas curvas] apareció doce años después d e la primera publicación sobre el cálculo diferencial y fue publicado nuevamente en París en tres ocasiones, en las cuales y a apareció el nombre del Marqués d e L'Hopital c o m o autor. Parece q u e este texto adquirió mayor celebridad por el resultado m á s importante q u e e n él aparece: la "regla d e L'Hopital". Muy desafortunado fue Bernoulli a pesar de haber recibido varias libras a cambio d e sus descubrimientos, pues la historia lo desconoció c o m o autor de ellos hasta 1958, fecha en q u e se dio a conocer al público general la correspondencia mantenida entre a m b o s personajes.
Del libro: Análisis de los infinitamente pequeños para el estudio de las líneas curvas. Marqués de L 'Hopital. Estudio introductorio, traducción y notas d e Rodrigo Cambray Núñez. Col. MATHEMA. Servicios Editoriales de la Facultad de Ciencias, U N A M . México, 1998.
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de Luis
Beltrán
del Río G.
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reloj o perfecta
sincronía
Serendipia,
heurística
y
rompecabezas
La búsqueda y el hallazgo Marcelino
Perelló
Valls
Mi entrañable Bruno Evora, húngaro él, lingüista él, vaciado él, tiene a m e n u do unas ocurrencias que lo inquietan a uno. Hace tiempo, un grupo de amigos p a s á b a m o s una a m e n a velada armando en equipo uno de esos rompecabezas gigantes, de 1500 o 2 0 0 0 piezas. Ya sabe usted, uno de esos ramilletes del Brueghel de Terciopelo o una marina de Sorolla. Una delicia, vaya. Estábamos todos concentrados en el m a r e m a g n u m de piececitas, cuando alguien dejó ir, con un suspiro, "¡Qué difícil es encontrarlas!", a lo que Bruno inmutable, sin separar la vista de la mesa, replicó en un susurro: " e n contrarlas es fácil, lo difícil es buscarlas". Todos levantamos la cabeza y nos miramos desconsolados los unos a los otros c o n una mirada un poco estúpida. El armado del puzzle se suspendió ahí mismo. Le ahorro, paciente lector, la crónica de la discusión que siguió.
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Han pasado m u c h o s años y aún no he podido dilucidar el dilema de Bruno. ¿Lo difícil es buscar o e n contrar? En la ciencia ésta es u n a cuestión central. Resolver un problem a es precisamente encontrar la pieza o las piezas adecuadas en nuestra mente, aquéllas que hacen q u e todo e m b o n e bien. ¿ C ó m o se encuentra la pieza deseada? ¿ C ó m o se busca? El s a ber cuenta, claro. Si no tiene usted las piezas necesarias en la cabeza, es inútil b u s c a r l a s . El r o m p e c a b e z a s q u e d a r á sin hacer. Pero contrariamente a lo q u e pudiera uno creer a primera vista el saber no es decisivo. Buscar es algo que hay que hacer. Y hay que hacerlo bien, hay que
¿ soy Fibo
esforzarse y perseverar. En cambio, encontrar es algo que sucede. Así, lo difícil es la búsqueda, la investigación, mientras el hallazgo simplemente se produce. En este sentido, Bruno tiene razón, en principio. Pero sólo en principio. A veces, es cierto, la búsqueda conducirá al hallazgo tarde o t e m prano. Esto sucede con los puzzles nuevos y si no hay niños pequeños en los alrededores. Pero a veces la m á s inteligente y pertinaz búsqueda será inútil. Y a veces también, y eso y a es el colmo, el hallazgo se produce sin búsqueda alguna, o con muy poquita. Es eso lo que llaman serendipia. A l gunos la interpretan c o m o lo casual, la chiripada, lo gratuito. Otros c o m o el chispazo, la iluminación, la idea
)
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genial. Ya m e dirá usted c ó m o trazar la frontera e n tre una cosa y otra. Pero en cualquier caso, sean coles o nabos, es m u y difícil que se produzca. Estimulado por los progresos en computación, cibernética e inteligencia artificial, el m a t e m á tico polaco George Polya, se lanzó recientemente a la búsqueda de serendipia, y resucitó una vieja disciplina clásica, de la que se había ocupado también Blas Pascal: La heurística, el arte de pensar, en pos del secreto, de un método general de resolución de problemas. A pesar de la sagacidad y buena fe de Polya y los suyos, los resultados, uf, no han sido entusiasmantes. Serendipia sigue en manos de c o sas tan inefables e irreproducibles c o m o el talento y el azar. Dicen que decía Thomas Alva Edison que sus inventos eran debidos un diez por ciento a la inspiración y un 9 0 por ciento a la transpiración. Edison estaría de acuerdo c o n Bruno, sin duda. La dificultad se reparte así: 9 0 % buscar, 1 0 % encontrar. M e temo q u e e s una visión demasiado «optimista» y talachera del descubrimiento. Entre el buscar y el encontrar ¿cómo se resuelve un problema? He ahí un problema sin resolver. Búscale. Imagen
de Rene
Magritte
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Torito La fuga de la princesa Marcelino
Perelló
Valls
Las princesas siguen d e moda. No d e la m a n e r a en q u e seguramente querrían, pero siguen d e moda. Hace unos años, Lady Di, dizque por querer escapar d e la popularidad, acabó escapándose del todo y de todo. Mejor le hubiera valido recurrir a métodos m á s ingeniosos, c o m o fue el caso d e Lady Ef, protagonista d e este torito. Este bello enigma se lo d e b e m o s nada menos q u e a Charles Carroll Lutwidge Lewis Dodgson, Lewis Carroll pa' los cuates, quien fue un arrebatado amante d e las matemáticas, y cuya pasión permea toda su genial y lúdica obra, desde Alicia a Del otro lado del espejo, ^ ^ h b m Tanto mayor es su mérito, cuanto tuvo que I Wmk' x ejercerlo e n la a c a r t o n a d a Inglaterra I victoriana. Aunque aquí entre nos, es pro- ^ ^ ^ ^ • • M l bable y precisamente gracias a la mojigata y pedante reina Victoria y su corte d e pelafustanes q u e hoy p o d e m o s aún gozar d e la mordacidad y la agudeza del gran Lewis. No es de extrañar, pues, que Carroll haya sido también un insigne ganadero, es decir, criador d e toritos. Muchos d e ellos s o n ingeniosos juegos de palabras, que desgraciadamente pierden gran parte d e su encanto al ser traducidos o transliterados. Pero ideó también una gran cantidad d e deliciosos acertijos propiamente matemáticos, entre los cuales escojo el siguiente, invitándote, irreverente lector, a q u e te rompas con él la cabeza a la memoria de su insigne autor.
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ludoteca espiriforme La princesa está triste. ¿Qué tendrá la princesa? S e quiere escapar de la torre en la que la tienen encerrada los paparazzi, junto con sus dos hijos, para poderles tomar fotos cuando se les antoje. Del exterior de la ventana d e su alcoba-calabozo cuelga una larga cuerda que pasa por una polea y que tiene, en cada punta, una gran canasta con la cual suben comida y bajan desechos. Cuando sube una, baja la otra, por supuesto. A Lady Ef, q u e así se llama esta princesa, se le ocurre que podría utilizar el artefacto para escapar. Poniendo pesos distintos en a m b a s canastas, la gravedad hará bajar la m á s pesada. La diferencia entre los d o s pesos, sin embargo, si h u biera una persona en una d e las canastas, debe ser d e 15 libras exactamente; si fuera mayor bajaría demasiado rápido y el resultado podría ser equivalente al de ir echando carreras por las orillas del Sena. Si es menor la cosa e s a no se mueve. Lady Ef pesa 195 libras, el primogénito 105 y el benjamín 90. Para acabar d e complicar las cosas, no pueden irse sin sus tiliches. Ya sabe usted, las perlas, los diamantes, los rasos y otras baratijas. Así q u e las meten dentro d e un saco q u e pesará 7 5 libras. ¿Podrás tú, conmovido lector, ayudar a Lady Ef a salir bien librada e n su huida? Piensa que si no lo consigues, condenará s a los tres reales personajes a permanecer otros dos meses e n su mazmorra bajo los flashes, hasta que e n el próximo número yo te diga cómo. En fin, es un decir. No haré más que transcribir la estratagema que imaginó el juguetón y magnífico Lewis.
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Mándalas Javier
Fernández
Razo
"Hace muchísimo
tiempo, existía algo desprovisto
bre y de forma desconocida rra. Al verlo los dioses,
que ocultaba
lo agarraron
de nom-
el cielo y la tie-
comprimiéndolo
con-
tra el suelo, con la cara hacia abajo. Una vez arrojado suelo los dioses
lo retuvieron
pegado
que los dioses
lo ocuparan
y lo llamó
a este. Brama vastu
al hizo
purusha
mándala"
Antiguo texto hindú
Para muchos, los mándalas son expresiones esotéricas, sin e m b a r g o su significado y origen esta más allá, los mándalas s o n el intento del hombre por manifestar lo abstracto a través de lo concreto por medio del orden y la unificación. En el hinduismo, en el tantra budista y en el budismo esotérico, el mándala es un diagrama cosmológico utilizado c o m o foco y guía de la m e ditación. Mándala en sánscrito, quiere decir círculo y e s mediante esta forma con la que se pretende expresar el todo conocido, desde lo m á s m u n d a n o hasta lo más divino y espiritual, el mándala es pues una representación circular a modo de contenedor de un espacio sagrado, es un símbolo-objeto en el que la dispersidad q u e d a concretizada. El hombre ha utilizado desde s i e m pre el mándala c o m o medio e instrumento para relaciona/se con la realidad, para comprenderla y ordeufflk • V ^ ^ 1 | H entendamos por realidad todo aquello que pod e m o s percibir, intuir y comprender. Un ejemplo de ^ ^ ^ ^ ' j S á ^ ^ ^ B ello es el yin yang en el que se expresan todas las dualidades c o m o femenino y masculino o positivo y negativo u otros símbolos conocidos que poseen gran significado c o m o la cruz suástica, la rosa de los vientos, etc.
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n a r , a ;
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Desde este punto de vista mándala es sinónim o de orden, pero no d e b e m o s imaginárnoslo sólo en f o r m a de dibujo, pues por ejemplo, en la India hay un gran número de bellos templos realizados en form a de mándalas. Así pues son expuestos también a través de la arquitectura y la escultura, otro ejemplo claro es la música, el pentagrama es el resultado d e un estudio geométrico cuyo génesis es el círculo, el pentagrama se basa en las líneas del sello salomónico (la estrella de cinco picos) y cada nota musical está directamente relacionada con una de las dimensiones de las líneas de la estrella. Construir en mándala es la acción de organizar todos los elementos para q u e se interrelacionen creando un todo geométrico. P e r o la utilización d e l m á n d a l a no e s ú n i c a m e n t e un e s q u e m a cosmogónico exclusivo de la tradición oriental. A u n q u e mándala s e a una palabra de procedencia hindú su significado es círculo y lo q u e a él se refiere, quiere decir orden equidistante y generador de todas las formas geométricas sin importar el lugar y el tiempo donde se realicen. En el neolítico cuando el hombre deja de ser nómada y adopta la vida sedentaria, tiene el suficiente tiempo para observar el comportamiento de la naturaleza y tiene la necesidad de representar su conocimiento en f o r m a d e m á n d a l a . Un ejemplo m u y claro e s el d e Stonehenge, en donde se puede ver claramente la disposición circular de los megalitos representando la cosmovisión de este periodo. El mándala desde el punto de vista geométrico, es el origen de todo lo posible. El círculo e s la figura m á s simple, y su comprensión requiere de un alto grado de abstracción del espacio, dentro de él podemos "labrar" cualquier otra figura. Los mándalas tradicionales de la cosmovisión budista, tienen 4783527350981426893456372829M856758595973M209286M530394857612325
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algunas constantes, por ejemplo: todos ellos parten vlsualmente d e un origen llamado "bindu" y están conformados de las figuras m á s simples, c o m o el círculo, el triángulo equilátero y el cuadrado que poseen un ritmo visual que se refiere a la posición q u e tienen en el plano d e dibujo, por supuesto equilibrio (tiene la misma cantidad d e e l e m e n tos visuales partiendo d e un eje d e simetría) y la sensación de gravedad; al ser instrumentos guías d e la meditación s e pueden leer (desde el punto d e vista del diseño) de dentro hacia fuera y e n sentido contrario. C u a n d o e n la Grecia se concibe la noción d e proporción perfecta, d e todas sus partes y del todo, se comienzan a crear reglas geométricas d e proporción c o m o la llamada sección áurea la cual es considerada c o m o un mándala. La forma gráfica d e poder ver esta relación, es la q u e diseñará Leonardo D a Vinci en su dibujo d e las proporciones divinas.
Es precisamente e n el renacimiento donde las obras d e arte contienen un alto grado d e proporcionalidad y por tanto d e orden en la composición d e todas sus partes individuales con el todo d e la obra, por tanto se establece u n a relación inseparable con la génesis vandálica d e la forma. En conclusión, los mándalas son la consecuencia última del intento del hombre por imitar a la naturaleza en sus patrones de orden, mediante la armonía, el equilibrio y la unificación; dando forma a la realidad, la cual puede ser comprendida desde el centro d e la misma, es decir, desde el "bindu" o del interior d e quien la percibe.
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Focos Para resolver este problema s e te tiene q u e prender el foco: Imagina q u e estás e n un cuarto donde hay _ . tres apagadores d e luz numerados del uno al tres, estos apagadores corresponden a tres focos que se encuentran e n otro cuarto. El problema consiste en saber qué apagador corresponde a cada foco si después d e hacer lo necesario en el cuarto d e los apagadores tienes la posibilidad d e visitar el cuarto d e los focos sólo u n a v e z sin poder regresar al cuarto d e los apagadores. ¿ C ó m o le harías? f
^frXv^,
Humorísticas ¿Qué es un o s o polar? ...un oso rectangular, después d e un cambio d e coordenadas. ¿Qué es un niño complejo?., .uno con la madre real y el padre imaginario. Jesús s e dirige a sus discípulos: En verdad o s digo, y = x . Los discípulos comentan entre sí, y dice Pedro: Maestro, no entendemos... Es u n a parábola, ¡bruto! 2
•
El pensamiento e n las profesiones: Un estadístico podría meter su cabeza en un horno y sus pies en hielo y decir que, e n promedio, se encuentra bien. Un ingeniero piensa que sus ecuaciones se aproximan a la realidad. Un físico piensa que la realidad se aproxima a s u s ecuaciones. Un matemático realiza ecuaciones e n la proximidad d e su pensamiento. Un político ...realmente no está próximo a pensar.
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¿¿En qué espacio v i v i m o s ? ? Javier
Bracho
Dice por ahí José Emilio Pacheco que cada v e z que relee un texto suyo le entra una irrefrenable tentación de corregirlo; que siente q u e sus textos no están acabados o, peor a ú n , que nunca lo estarán. Por el otro lado, publicar un texto es en cierta forma deshacerse de él, darle existencia propia, desapropiárselo, dejarlo ser (aut ó n o m o , independiente, libre), dejarlo ir, y a no es de uno: es "público" e intocable; y a e s , y a está, y publicarlo fue justo acabar de decir "ya estuvo". Al releer el libro que escribí hace casi quince años entró en este conflicto. Surge la tentación de volver a trabajarlo para sacar u n a s e g u n d a edición "corregida y a u m e n t a d a " llenando algunos de sus enormes huecos (desde que hice el índice, unos y a m e eran claros) y a su v e z , tengo la sensación de "así es y así lo quiero" cual vil m a m á gallina. Por suerte, no se m e pidió una reedición sino una reseña y puedo entonces sucumbir a, y gozar de, a m b o s i m pulsos. Lo primero que cambiaría (aunque los editores volvieran a escandalizarse) es añadirle un par de signos de interrogación al título (y en este texto m e doy ese lujito). Pues no bastó c o n q u e en el libro insistiera que su título es u n a pregunta. La gente espera respuestas dentro de un libro; y m á s aún si es de divulgación científi-
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ca. Pero no sólo no hay respuestas, sino que en todo caso se hace ambiguas preguntas sobre la pregunta; esboza, si acaso y sin hacerla explícita, la pregunta q u e habría que responderse para intentar abordar, en su sentido topológico, la pregunta del título. A d e m á s , y exacerbando la confusión, para esbozar la pregunta aparecen personajes que definitivamente no, o y a no, viven en este espacio. Quizás, el sentido profundo del título s e a (aunque en su m o m e n t o no m e e r a claro) la motivación primordial para pensar en geometría; pero y a andando el camino, cantan las sirenas, este es tan bonito y excitante q u e e s fácil olvidarse del porqué anda uno en él. D e b o aclarar q u e he t e n i d o la suerte d e leer r e s e ñ a s d e c h a v o s preparatorianos sobre el libro y, en ellas, ver sus deficiencias. U n a de las que m á s m e apena, pues creía yo q u e hacerlo aún m á s explícito sobraba y rallaba en lo burdo, es la de delinear c o n nitidez a un personaje entrañable: Albert Einstein (explicando la relatividad a Fernando el Católico, pero de la tercera y no de la cuarta dimensión). M e doy cuenta en las reseñas de que casi ningún chavo se percató de la situación sobre la q u e fantasea e s a obrita de teatro. De nuevo, la palabra escrita tiene un carácter de seriedad y solemnidad q u e pocos lectores jóvenes tienen la capacidad de rebasar y entonces la farsa o la sátira les son difíciles de captar. O de plano el autor falló; hay algo ahí q u e urge corregir o apuntalar, pues por venir en un libro de ciencia los lectores esperan las cosas al pie d e la letra y les cuesta trabajo aceptar o imaginar q u e pueda estar ocurriendo algo un poquito m á s allá de lo explícitamente dicho: algo fantasioso, absurdo o chusco. Quizá el cubetazo obvio q u e despierta a la existencia de este otro plano lúdico y a s o l e m n e del libro, cuando un locutor de radio y un matemático se agarran a mentadas, se aviente d e m a s i a d o tarde para q u e el entrañable Maese Albert cobre la verdadera dimensión que creo merece. Luego vienen los huecos en el índice: capítulos que eran m á s técnicos pero q u e servían c o m o muletas para apreciar lo d e m á s . Estaban en el plan inicial y desde que lo publiqué sabía q u e faltaban (de hecho, Maese Albert d a b a la introducción a uno), pero supuse que lo q u e y a había se sostenía sólo y entonces siguen en el tintero. Algo de superficies, su topología y s u geometría, que junto c o n el ingrediente de "Planotitlan", la idea genial d e Abbot de explicar desde dentro, s o n los antecedentes básicos
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laberintos e infinitos
para entrarle a la "Sonata" (acrónimo de sueño y sonata, q u e quizá debí h a c e r e x p l í c i t o ) . En s u m o m e n t o , sentí q u e todo quedaba claro. Pero a h o r a creo q u e sería b u e n o darle más herramientas al lector. Quizá los libros, e n general, son m á s parecidos a la televisión d e lo q u e dicen; no es tan cierto q u e hagan pensar. Uno les regala el tiempo discursivo de la mente y e n ese estruendo q u e es la v o z del texto, es m u y difícil intercalar pensamientos propios, o llenar los huec o s , o h a c e r las t a reas o implicaciones que se le dejan. Sí es cierto que tiene uno el control y que en cualquier momento puede hacer "pause", pero también uno se a b a n d o n a e n las manos del libro, del texto y del discurso, e n su tiempo y ritmo, y si algo no se dice con todas sus letras y palabras no tiene porque aparecer e n la mente del espectador. Y algo de eso le falta, d e m a siadas entrelineas, entrepárrafos y entrecapítulos; d e m a s i a d a c h a m b a para el lector al q u e le choca usar "rewind". Sin embargo, la parte literaria de La Sonata, el andamio básico del 'Imagen
de C.
libro, sigue sorprendiéndome. Siento que lo sostiene, dando suspensos, giros dramáticos y "sostenutos" s u ficientes c o m o para q u e la tentación del "pause" o d e plano del "stop" ni se aparezca. Le corregiría detalles mínimos, comas d e m á s o uno q u e otro cambio d e palabras. Pero, e s o sí: a la parte m a t e m á t i c a la haría pedazos y sobre sus cenizas rescribiría algo totalmente diferente. Matizo: tratando d e mantener el estilo literario de los intermedios, algunos pasajes tal cual, su tono e intención, pero cambiando d e raíz a la s u s t a n c i a matemática. En ella se d e l a t a u n t e x t o de juventud, inmaduro. Tenía, e n el aquel e n t o n c e s d e su escritura, la absurda idea d e q u e enseñar bien es repetir bonito lo que uno sabe. S e refleja un compendio, aunque en un lenguaje "más acá", de lo q u e se m e había enseñado y d e c ó m o había yo aprendido a entender, ver, lo q u e quería explicar. Y no m e d a b a cabalmente cuenta de que los caminos del saber no s o n únicos; q u e los c a m i nos históricos o los q u e u n o siguió no son ni los más sencillos ni los m á s directos ni los m á s fáciles, y a ni d i -
Goodman-Strauss
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g a m o s los únicos. M e lo había dicho mi a s e s o r —"mathematics are not simply connected"—, pero, y m e es claro hasta a h o r a , no a c a b a b a de c a e r m e el veinte. Debí haber sido m u c h o m á s libre y m á s directo; ir al grano, aún si representaba romper con el c ó m o llegué yo allí. En el "hacer m a t e m á t i c a s " siempre ha habido d o s grandes ingredientes, "el hacer nuevo", q u e llam a m o s i n v e s t i g a c i ó n ; y "el n u e v o rehacer" que es ir simplificando cómo entender lo ya hecho, "nitidificándolo": encontrar los atajos y hallar los puntos panorámicos claves dónde hacer las pausas. A m b o s aspectos del quehacer matemático se nutren, coexisten y s e a p o y a n . Fortalecerse en uno d a soltura en el otro, y la libertad creativa incluye la madurez en a m b o s ; ser parte de una tradición es saberse parte cierta de un todo, y en e s e e n t o n c e s yo no
sentía esa seguridad. La Sonata p l a n t e a b a un reto e n o r m e pero requetebonito en el sentido d e reh a c e r c a m i n o s : tratar d e e x p l i c a r ¿cómo se llega allí?, ¿qué son las variedades de dimensión tres?; no, más concretito: ¿quiénes son esos espacios donde estuvo el niño, o el joven; dónde muere el viejo? Y punto. Pero lo confundí con ¿cómo llegué yo allí?, porque aunque allí estaba y entendía el panorama, mi m a durez matemática aún no m e permitía trazar atajos de retorno a la ignorancia por mí mismo: caí, c o m o m a temático, ahora que lo releo lo v e o claro, justo en aquello de lo que prev e n í a y o al lector en los primeros párrafos del libro: dejar q u e otros hablen por uno. Pero en fin, si a mí m e sigue haciendo pensar y enseñándome, algo ha de tener: m á s preg u n t a s q u e respuestas, más sensaciones que datos, más vivencias fantásticas que recetas. Declararía p u e s : u n salomónico e m pate entre José Emilio y M a m á Gallina. Javier
Bracho
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ludoteca espiriforme
Las siete cerillas
Mentiroso
Aquí, el trabajo es mover los fósforos. C o m o s e ve, forman siete triángulos equiláteros iguales. C o n sólo mover d o s fósforos deben quedar cinco triángulos equiláteros iguales.
En el bosque del olvido, nos encontramos con el León y el Unicornio. El León miente los lunes, martes y miércoles, y el Unicornio miente los jueves, viernes y sábados. En todas las d e m á s ocasiones, a m b o s animales dicen la verdad. «Ayer m e tocó mentir», dice el León. «También ayer m e tocó mentir», dice el Unicornio. ¿De que día de la semana s e trata?
¿Cuánto es 2+2 ? - i n g e n i e r o : 3.999989 - físico : 4.0004 +/- 0.0006 - m a t e m á t i c o : espere, sólo unos minutos más, y a he probado que la solución existe y es única, ahora la estoy acotando... - filósofo : ¿qué quiere decir cuando dice «2+2» ? - lógico : defina las características d e la operación «+» y le responderé. - c o n t a d o r : cierra puertas y ventanas y pregunta e n voz baja «¿cuánto quiere que s e a el resultado?»>
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laberintos e infinitos
Henri Poincaré - Matemático Universal Ma. De la Luz de Teresa "El pensamiento
no es más que un relámpago en medio de una larga noche. Pero ese relámpago lo es todo." H.P.
Henri Poincaré (1854-1912) fue uno de esos pensadores q u e abarcan s i multáneamente diversas ramas del conocimiento y aportan resultados d e cisivos. Su trabajo se nos presenta bajo d o s aspectos fundamentales: el filosófico y el matemático. Sin embargo, estos no son m á s q u e uno, pues c o m o matemático extendió su interés y labor a todos los terrenos de esta área, llegando inclusive a sus aspectos filosóficos y psicológicos.
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Ahí donde había carencias importantes en matemáticas, física y a s tronomía, Poincaré trabajaba incansablemente para llegar a conclusiones generales sin prestar demasiada atención a los detalles. Fue quizá el último matemático universal y sin duda, el m á s prominente de finales del siglo pasado. Su destacada labor c o m o matemático se vio reforzada por su interés en la proyección pública d e sus trabajos. Poincaré no fue uno de esos grandes genios inaccesibles, por el contrario, cuando tenía u n a idea o un resultado interesante ponía todo su e m p e ñ o en q u e se difundiera rápidamente y otros científicos pudieran conocerla y colaborar en ella. Una m u e s tra d e su actitud científica es q u e meses antes de morir, sintiéndose enfermo, envió una carta a su editor pidiéndole q u e publicase un trabajo inconcluso sobre la estabilidad mecánica del sistema solar, pues no se sentía capaz d e concluirla y quería q u e algún otro científico lo intentara. Esta sinceridad intelectual tuvo su recompensa postuma y a q u e d o s años después d e su muerte, Birkhoff llegó a la solución definitiva. 4783527350981426893456372829648567585959733420928634530394857612325347756503937612345678909876543213425643993847565757511980964554685959
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un paseo por el quehacer
Sus aportaciones a la Filosofía son en sí un e x a m e n simultáneo de todas las ciencias, intenta desentrañar su carácter convencional y centrarse en la idea fundamental de una libertad creadora. En su defensa de la libertad espiritual frente a la coerción externa escribe: "Cuidémonos de imponer medios uniformes a todos... La uniformidad es la muerte, porque es la puerta cerrada a todo progreso; y además toda sujeción es estéril y odiosa." Gracias a su claridad de exposición, sus o b r a s filosóficas f u e r o n leídas por un gran público, lo que motivó una mayor curiosidad por las ciencias. Fue reconocido ampliamente por los trabajos que realizó y llegó a destacar también c o m o literato. Desde su muerte a los cincuenta y ocho años, el mundo no ha visto genios de su envergadura tan comprometidos con su tarea científica y de divulgación.
Artículo extraído d e "El Irracional", N o . 1 , a ñ o 1 9 8 6 , hoja informativa d e la S o c i e d a d M a t e m á t i c a M e x i c a n a , p r o d u c i d a p o r C o o r d i n a c i ó n d e Servicios Editoriales F a c u l t a d d e C i e n cias, U N A M .
'Imágenes
de Pedro
Ovando
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laberintos e infinitos
Lluvia oblicua
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Atraviesa este paisaje mi sueño d e un puerto infinito Y el color d e las flores s e transparenta en las velas d e grandes navios Q u e zarpan del muelle arrastrando sobre las aguas cual sombra Los rostros al sol d e aquellos árboles antiguos... El puerto q u e sueño es sombrío y pálido Y el paisaje está lleno d e sol d e este lado... Mas e n mi espíritu el sol d e este día es puerto sombrío Y los navios q u e salen del puerto s o n estos árboles al sol... Liberado d o s veces, m e abandono al paisaje de abajo... El rostro del muelle es el camino nítido y e n calma Q u e al elevarse se yergue c o m o un muro, Y los navios pasan por dentro d e los troncos d e los árboles Con una horizontalidad vertical, Y dejan caer e n el agua las amarras dentro de las hojas una a una... No sé quien m e sueño... De súbito toda el agua del mar del puerto es transparente Y v e o en el fondo, c o m o una estampa enorme que allí estuviese desdoblada, Todo este paisaje, hilera d e árboles, camino q u e arde e n aquel puerto, Y la sombra d e una nao m á s antigua que el puerto pasa Entre mi sueño del puerto y mi mirar d e este paisaje Y llega al pie d e mí, y en m í se adentra, Y pasa al otro lado d e mi alma...
[...] Fernando
Pessoa
Imagen
de Pedro
Ovando
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C o n el a p o y o d e
go r e p r e s e n t a c i ó n d e la c a r r e r a d e M a t e m á t i c a s A p l i c a d a s (ITAM)
securus r e p r e s e n t a c i ó n d e la carrera d e A c t u a r í a (ITAM)
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V a n e s s a Rodríguez M u n g u í a
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Coordinación de la edición: María G u a d a l u p e G o n z á l e z L l a m a
Erandi Rubio Huertas Rafael P e ñ a l o z a
laberintoseinfinitos@yahoo.com.mx www.webfractals.com/laberintos.htm
S e t e r m i n ó d e i m p r i m i r e n la I m p r e n t a d e J u a n P a b l o s , S.A., M e x i c a l i 3 9 , C o l . H i p ó d r o m o C o n d e s a , C P 0 6 1 0 0 , M é x i c o , D.F. El tiraje fue d e 1 0 0 0 e j e m p l a r e s . Todos los d e r e c h o s r e s e r v a d o s . P r o h i b i d a la r e p r o d u c c i ó n total o parcial d e c u a l q u i e r artículo o i m a g e n , sin la a u t o r i z a c i ó n d e los e d i t o r e s . Los a r t í c u l o s s o n r e s p o n s a b i l i d a d del autor y no reflejan n e c e s a r i a m e n t e el sentir d e la revista. En la p o r t a d a : "Las escaleras
de mi casa",
E s t a revista s e p u b l i c a t r i m e s t r a l m e n t e .
d e Luis B e l t r á n del R í o G .