Los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas desde el paradigma socio cultural.
Silvia Evelyn Ward Bringas.1
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Colegio Montferrant, Culiacán, Sinaloa.
DATOS GENERALES TITÚLO: Los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas desde el paradigma socio cultural. EJE TEMÁTICO: El aprendizaje y el ejercicio de la docencia como profesión más allá de los bordes y geografías institucionales. SUBTEMA: Nuevos modos de ser y formarse como educador. AUTOR: Silvia Evelyn Ward Bringas. INSTITUCIÓN: Colegio Montferrant.
CORREO ELECTRONICO: eveward@gmail.com
RESUMEN El conocimiento matemático es preocupación del Sistema Educativo Nacional por los bajos niveles de desempeño de de los alumnos en las evaluaciones externas y los índices de reprobación de la materia en este sentido el propósito del presente trabajo radica en valorar la postura del paradigma socio cultural en el proceso de la enseñanza- aprendizaje de las matemáticas. Los resultados encontrados son que desde el paradigma socio cultural se puede favorecer el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas colocando al docente como mediador entre el alumno y el saber matemático propiciando así la interacción social y cultural necesaria para el desarrollo científico. Se puede afirmar que la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas se pueden mejorar desde el paradigma socio cultural pues ello genera jóvenes que trabajan con la memoria a mediano y largo plazo, más críticos reflexivos y con una alta conciencia social. Palabras clave: enseñanza, aprendizaje, paradigma socio cultural y matemáticas.
ABSTRACT The mathematical knowledge that worries the National Education System because of the low achievement results from the internal evaluations applied an students. The failing results of this subject obliged me, to present this written letter to radicate the posture of the social cultural paradigm of the teaching learning process of math. The results that were found are the beginning from the social cultural paradigm we will be able to strategize a staff placement for the teaching of math as a mediator between the student end the mathematical knowledge, in this matter emphasizing the social and cultural interactions needed for the scientifically develyonent. It can be affirmed that the teaching and learning of math can be enriched starting from the social cultural paradigm being that this generates the youth that works with memory at a short and long term, more critical reflex ions and a higher social conscience. Code works: Teaching, learning, social cultural paradigm and mathematical.
LA NATURALEZA DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO La matemática2 es considerada por algunos autores como una disciplina con un lenguaje formal propio y no como una ciencia natural, incluso hay quienes la ven más como un arte que como una ciencia aplicada o práctica; los matemáticos definen e investigan conceptos abstractos lo que les permiten establecer generalizaciones y proveer una herramienta útil en las diferentes ciencias como la física, la química, etc. El cómo surgieron es difícil de establecer, lo que si es indudable, es que tienen su origen en actividades como medir y contar.
A lo largo de la historia de las matemáticas se las ha caracterizado de diversas maneras, en el empirismo matemático el conocimiento era atribuido a la mente humana o producto del mundo físico; en el logismo el conocimiento matemático es considerado axiomático y demostrativo recordemos que Descartes apunta que: primero el carácter demostrativo de las matemáticas las separa de la mente humana y segundo la creatividad matemática hace que no 2
La matemática (del griego μάθημα, máthema: ciencia, conocimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, mathematikós: el que aprende, aprendiz) es la ciencia que estudia las propiedades y relaciones de entes abstractos (números, figuras geométricas) a partir de notaciones básicas exactas y a través del razonamiento lógico.
puedan ser producto del mundo físico; los logistas como gran parte de los que estudian matemáticas piensan que la inferencia de teoremas a partir de axiomas se puede hacer por mera deducción lógica. El platonismo introdujo la idea del conocimiento a priori y del conocimiento a posteriori este conocimiento completamente diferente al de la percepción humana, una vertiente del platonismo es el racionalismo donde el conocimiento a priori es producto de ideas innatas puestas en el mente por un ente divino denominado Dios y que están a la espera de que la encontremos en nuestra mente con el debido entrenamiento. La universalidad de las matemáticas es expuesta por los universales realistas quienes postulan la existencia de los universales independientemente de lo que nuestra mente humana posee. Por otra parte está el juicio analítico y sintético de las proposiciones matemáticas que distingue Kant, para quien las matemáticas son el estudio de las intuiciones entre el espacio y el tiempo; el formalismo es una postura de la filosofía matemática en la que se piensa en las operaciones de las relaciones espacio y tiempo por medio de sistemas formales.
Así pues las matemáticas son importantes para el ser humano por la dureza del conocimiento en las mismas, es imposible imaginar el avance de la ciencia y la tecnología sin ellas, gracias a la participación de las matemáticas en las ciencias se ha logrado el avance en: las comunicaciones, la ingeniería (construcción), la economía,…
los contenidos de las
matemáticas son importantes para el hombre pues pueden propiciarle el desarrollo de la abstracción y del racionamiento lógico así como la explicación racional de la realidad.
Por el papel central que tienen las matemáticas en la cultura moderna es indispensable que los alumnos se den cuenta que las matemáticas forman parte del quehacer científico; por lo que el conocimiento matemático debe construirse a través de la mediación del docente con el propósito de desarrollar un marco conceptual adecuado que sea base de su desarrollo y de utilidad para la vida.
¿CÓMO SE APRENDE MATEMÁTICAS? No se puede negar que en el aprendizaje de las matemáticas en muchas ocasiones se prioriza la transferencia mecánica de la información sin comprenderla por parte del alumno, los estudiantes quieren llegar a la solución del problema lo más pronto posible pues ello los
libera de lo indeseable, de lo espantoso y molesto que para ellos suelen ser las matemáticas. Los estudiantes efectúan operaciones básicas erróneamente convencidos de que lo hacen de la manera correcta; la presencia de estos problemas retrasa e incluso llega a
impedir el
aprendizaje y aumenta la creencia de que la matemáticas son muy difíciles y sumamente complejas, por ejemplo: PROBLEMA
SOLUCIÓN COMUN DE LOS ESTUDIANTES
(3 + 1)²
9 + 1 = 10
(1/3)²
1/6
(a + b)/a
B
Los errores cometidos en la resolución de problemas se deben a que no se tienen internalizadas las reglas de la aritmética ni las del álgebra, lo cual propicia que los estudiantes no puedan utilizar un lenguaje simbólico propio. Es necesario que como docentes cambiemos nuestras practicas educativas y las fundamentemos en cuerpos teóricos bien sustentados. “Para Vigotsky el aprendizaje es una actividad social y no solo un proceso de relación individual, una actividad de producción y reproducción del conocimiento mediante la cual el niño asimila los modos sociales de actividad y de interacción, después en la escuela, los fundamentos del conocimiento científico bajo condiciones de orientación e interacción social. Este concepto pone en el centro de atención al sujeto activo, consciente, orientado hacia un objetivo; su interacción con otros sujetos, sus acciones con el objeto con la utilización de diversos medios sociohistóricos determinados” 3.
Hacer real la propuesta de Vigotsky requiere una transformación casi radical acerca del papel del maestro, es necesario que sea el mediador del conocimiento y se planteen a los alumnos problemas de situaciones que sean de su interés así como el trabajo en pequeños grupos donde se propicie la discusión y la conducción por los alumnos con mayor capacidad. Desde el enfoque socio cultural no es suficiente que el maestro proponga a sus alumnos problemas interesantes para su reflexión, sino que toda la escuela propicie los medios que son necesarios para que se de la interacción social.
3
Eduardo Veloso Pérez, 2006; “REFLEXIONES SOBRE LA TEORÍA SOCIO-CULTURAL DE I. S. VIGOTSKY”. p. 61.
¿CÓMO SE ENSEÑA MATEMÁTICAS? En México desde que la escuela secundaria existe como tal (1925) la enseñanza de las matemáticas ha pasado por tres momentos fundamentales: primero de 1926 a 1934 período en que las técnicas de enseñanza estaban centradas en la repetición mecánica de ejercicios, segundo de 1975 a 1992 en el marco de un movimiento internacional conocido como “la enseñanza de la matemática moderna” y el tercero a partir de 1993 en el que se centra la atención en el estudio que realiza el alumno con la ayuda del maestro, lo que se convirtió en la memorización de una serie de reglas y definiciones desvinculadas de las otras asignaturas. La actual reforma de educación secundaria del 2006 propone la situación didáctica, en tanto conjunto de relaciones que se establecen entre los alumnos, el profesor y el saber.
En la enseñanza de las matemáticas algunos profesores no hacen énfasis en la comprensión de un lenguaje formalizado, el proceso de comunicación es unilateral y en su gran mayoría los docentes son expositores que promueven la transferencia mecánica de los conocimientos sin propiciar el razonamiento de los estudiantes. “Tiene que concebirse un sistema de enseñanza que coadyuve al proceso de transformación social y personal, partiendo de la finalidad socio política de las instituciones escolares, estas se consideran parte integrante del todo social, como elemento fundamental en el proceso de transformación de la sociedad en función de los intereses populares, para lograr este propósito debe garantizar para todos una buena enseñanza, entendiéndose esta como la difusión, de conocimientos, métodos, procedimientos y valores acumulados por la humanidad con resonancia en la vida personal del estudiante, la tarea fundamental es garantizar el pleno desarrollo de la personalidad, preparar al alumno para el mundo adulto, proveyéndolo de instrumentos, de condiciones propicias para todos, de medios de orientación de la realidad para una participación organizada y activa en el proceso enteramente cambiante de la transformación social: de esta forma el proyecto social responde a las exigencias y necesidades del desarrollo de la sociedad de cada período histórico”.4
Lograr esta enseñanza significa un cambio de paradigma para los docentes y un verdadero reto teniendo en cuenta que el maestro de la actualidad carece de formación científica, estatus profesional y ejercicio autónomo de su profesión, pues sigue indicaciones del estado respecto al programa, enfoque y metodología. Para los Vigotskianos el docente es 4
Dr. C. Eduardo Veloso Pérez, “REFLEXIONES SOBRE LA TEORÍA SOCIO-CULTURAL DE I. S. VIGITSKY”. p. 62.
un experto (de las matemáticas) que guía y mediatiza los saberes que debe aprender a internalizar el alumno. El estudiante en la enseñanza debe tener la posibilidad de actuar en los distintos momentos o fases que propician un aprendizaje eficaz desde las acciones en el plano práctico hasta su realización en un plano mental o conceptual.
DIFICULTADES EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS Lo cierto es que los alumnos avanzan en matemáticas con deficiencias y, de acuerdo con la teoría sociocultural, para que un alumno aprenda es necesario identificar su zona de desarrollo actual, esto es, lo que puede hacer por sí solo para que con la guía del maestro o de un compañero más capaz logre el nivel de desarrollo potencial, es decir, para que los alumnos aprendan matemáticas deben apoyarse en sus aprendizajes previos de las mismas. Es necesario entonces modificar las deficiencias de los alumnos en esta área, de lo contrario les trae graves consecuencias académicas que se van transformando en obstáculos y dificultades para el aprendizaje de las matemáticas. Bachelard expresa que se debe plantear el problema del conocimiento en términos de obstáculos epistemológicos en el sentido de las dificultades que se tienen para adquirir nuevos conocimientos, ya que se conoce en contra de un conocimiento anterior destruyendo los mal adquiridos o superando los que tenemos. “No se trata de considerar los obstáculos extremos, como la complejidad o la fugacidad de fenómenos, ni de incriminar a la debilidad de los sentidos o del espíritu humano: es el acto mismo de conocer, íntimamente, donde aparecen, por una especie de necesidad funcional, los entorpecimientos y las confusiones. Es ahí donde mostraremos causas de estancamiento y hasta de retroceso, es ahí donde discerniremos causas de inercia que llamaremos obstáculos epistemológicos.” 5
En este sentido algunos ejemplos de obstáculos epistemológicos en las matemáticas:
El conocimiento de número negativo. Los alumnos presentan muchas dificultades con las operaciones de números negativos sobretodo en la sustracción de un número positivo a un número o negativo. Ejemplo: -3 – 2 = 5 es la respuesta más común entre los estudiantes argumentando la ley de los signos que interpretan de la siguiente
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Gastón Bachelard; 2000. “LA FORMACIÓN DEL ESPÍRITU CIENTÍFICO”. Ed. Siglo veintiuno, México. p. 15.
manera: “menos por menos igual a más”, en el sentido de la confusión de los estudiantes en la ley de los signos es donde se da el estancamiento en matemáticas obstaculizando su avance.
Las operaciones de números racionales. Los alumnos no conciben a los racionales como el cociente de dos enteros. (Muchos son incapaces de representar 4 como 4/1, 8/2, 20/5, etc.…)
El lenguaje algebraico. Para el alumno es exageradamente complejo representar números por medio de letras. (Para los alumnos es común confundirse en el lenguaje algebraico no saben si al doble de un número se le representa por 2x, x² o 2+x)
Estos tres ejemplos encarnan algunas de las dificultades que se presentan en el conocimiento de las matemáticas, el profesor debe tratar de destruir esos obstáculos construidos en muchos de los casos por las percepciones de los alumnos o por las experiencias de la vida cotidiana para no convertirlos también en obstáculos pedagógicos, según menciona Bachelard: “Los profesores de ciencias se imaginan que el espíritu comienza como una lección, que siempre puede rehacerse una cultura perezosa repitiendo una clase, que puede hacerse comprender una demostración repitiéndola punto por punto (…); no se trata, pues, de adquirir una cultura experimental, sino de cambiar una cultura experimental, de derribar los obstáculos amontonados por la vida cotidiana.”6
En este sentido los profesores de matemáticas debemos de ser concientes que mediante la repetición, paso a paso, de operaciones ya sea con números enteros o racionales no se va a lograr adquirir el conocimiento sino que debemos cambiar la cultura que el alumno trae respecto a estos números para que pueda así realizar correctamente operaciones con ellos. Lo mismo ocurre con la representación algebraica o lo que se llama pasar del lenguaje común al lenguaje matemático.
Para Piaget y García es diferente la noción de obstáculo epistemológico. Para ellos representa la ideología que prevalece en un momento determinado de la historia que impide que cierto conocimiento se desarrolle. 6
Gastón Bachelard; 2000. LA FORMACIÓN DEL ESPÍRITU CIENTÍFICO. Ed. Siglo veintiuno, México. pp. 2021.
“… en cada momento histórico y en cada sociedad, predomina un cierto marco epistémico, producto de paradigmas sociales y epistémicos. Una vez constituido un cierto marco epistémico, resulta indiscernible la contribución que proviene de la componente social o de la componente intrínseca al sistema cognoscitivo. Así constituido, el marco epistémico pasa a actuar como una ideología que condiciona el desarrollo ulterior de la ciencia. Dicha ideología funciona como obstáculo epistemológico que no permite desarrollo alguno fuera del marco conceptual aceptado. “7
Desde el punto de vista de estos autores los alumnos construyen una ideología respecto a la ley de los signos y al lenguaje común que condiciona el desarrollo de las matemáticas puesto que a partir de la teoría socio cultural los alumnos logran el conocimiento individual solo después de que se logra socialmente los docentes debemos estar al pendiente de las concepciones grupales respecto a los números enteros y racionales así como al lenguaje algebraico para que estas no funcionen como obstáculos para el aprendizaje.
Así pues los obstáculos epistemológicos pueden ser las dificultades para adquirir el nuevo conocimiento según Bachelard o desde el punto de vista de Piaget y García son las ideologías socialmente predominantes que frenan su desarrollo, en cualquiera de los casos lo importante es identificarlos para derrumbarlos y abrirle así pasó al nuevo conocimiento.
LA TEORÍA SOCIO CULTURAL El desarrollo cognitivo es la capacidad de realizar abstracción, de explicar la realidad por conceptualizaciones. La teoría socio cultural concibe dos procesos: los procesos endógenos (maduración – desarrollo) que empujan y los procesos exógenos (interacción aprendizaje) que jalan. El aprendizaje es un proceso de comprensión de internalización. De lo inter (de lo exterior) a lo intra (a lo interior) y el desarrollo se da por la interacción, diálogo, discusión, polémica, debate, confrontación de ideas, conciliar, negociar.
Los responsables de lo específicamente humano (abstracción, generalización, síntesis, descontextualización, razonamiento) son los procesos interpsicológicos que están en el plano externo y los procesos intrapsicológicos en el plano interno, así pues esta teoría concibe el 7
Jean Piaget; Jean García. 1984. PSICOGÉNESIS E HISTORIA DE LA CIENCIA. Ed. Siglo veintiuno, México. p. 234.
aprendizaje de las matemáticas primero en el plano externo, esto es en interacciones de grupo, en pequeños grupos de triadas o díadas y en la práctica comunicativa, para después aparecer en el plano interno, esto es, internalización que sólo se logra después de que el conocimiento ha aparecido a nivel social.
El compromiso es aportar la concepción científica de las matemáticas y para ello es necesario organizar un ambiente cultural vigilando los procesos de enseñanza y aprendizaje, ya inmersos en el ambiente cultural se debe enseñar a localizar la información referente a matemáticas y descontextualizarla.
La escuela debe propiciar el desarrollo de las funciones psicológicas superiores (memoria, atención, percepción y pensamiento) y ello depende en gran medida de la cultura, por lo que se trata de organizar un ambiente cultural en la escuela y trabajar con la memoria a largo plazo.
En el curso de cálculo diferencial por mencionar un ejemplo los alumnos se enfrentan a problemas en los que requieren utilizar sus conocimientos de algebra y no pueden hacerlo porque no se acuerdan de ellos esto muestra que el aprendizaje del algebra se dio en la memoria a corto plazo o dicho de otra manera no se logró internalizar el conocimiento de algebra lo que impide a el alumno descontextualizarlo en cálculo.
El ambiente de aprendizaje es también contenido del aprendizaje, llevado al plano psicopedagógico es crear un currículo cuidando todos los aspectos:
Contenidos del aprendizaje
Formación del docente
Método de trabajo (de enseñanza)
El ambiente es el conjunto de factores internos –biológicos y químicos- y externos – físicos y psicosociales– que favorecen o dificultan la interacción social. El ambiente debe trascender más allá del espacio físico como contorno natural y abrirse a las diversas relaciones
humanas que aportan sentido a su existencia. Se trata de un espacio de construcción significativa de la cultura. “Si el conocimiento es construido a partir de la interacción social, es conveniente introducir en los procesos educativos el mayor número de estas; debe irse más allá de la explicación del pizarrón e incluir actividades de laboratorio, experimentación, solución de problemas; el ambiente de aprendizaje tiene mayor relevancia que la explicación o simple transmisión de información”.8
Desde el punto de vista vigotskiano, el entorno social no es una simple condición que favorece u obstaculiza el aprendizaje y el desarrollo individual: es una parte intrínseca del propio proceso y define su esencia misma, a partir de la formación y desarrollo de la psiqué humana, formulada por Lev S. Vigotsky: “En el desarrollo cultural del niño toda función aparece dos veces: primero, entre personas (de manera interpsicológica), y después, en el interior del propio niño (de manera intrapsicológica)… Todas las funciones psicológicas superiores se originan como relaciones entre los seres humanos”. 9
El enfoque educativo actual de las matemáticas en los programas de matemáticas correspondientes a la reforma de secundaria y a la de la dirección general de bachillerato pone énfasis en los procesos de aprendizaje y propone integrar lo cognitivo con lo afectivo en un tipo de vínculo diferente al tradicional pero no especifican esos vínculos.
En la teoría de Vigotsky el alumno debe ser visto como un ente social, protagonista y producto de diversas interacciones y que precisamente mediante esas interacciones consigue aculturarse y socializarse al mismo tiempo que se individualiza y auto realiza. El alumno es una persona que internaliza (reconstruye) el conocimiento de matemáticas, primero en el plano interindividual y luego en el plano intraindividual.
El docente, por su parte, debe promover en la enseñanza el gusto y placer de aprender y esto en constante lucha con el contexto que implica a su vez la disciplina del grupo, los distractores (como celulares, ipods, etc.), la falta de colaboración de los padres en el proceso
8
Abel Romo Pedraza, EL ENFOQUE SOCIOCULTURAL DEL APRENDIZAJE DE VIGOTSKY. p. 71. Vigotsky, Lev S. EL DESARROLLO DE LOS PROCESOS PSICOLÓGICOS SUPERIORES. Ed. Crítica, Barcelona, 1979. p. 94. 9
que viven sus hijos para la reconstrucción del conocimiento y por si fuera poco con el diseño curricular en contra, el cual cuenta con deficiencias que interfieren en el proceso formativo de los educandos.
La falta de motivación de los alumnos y el mal uso de los recursos didácticos provocan indisciplina en el grupo y aumentan el uso de los distractores que a su vez agudizan el problema en el aprendizaje de las matemáticas, por lo que si el maestro no activa el conocimiento previo o al diagnosticar al grupo y darse cuenta de las deficiencias en conocimientos anteriores no interviene para remediarlas, el aprendizaje de matemáticas se vuelve casi imposible.
En la concepción socio-cultural el maestro debe ir promoviendo zonas de desarrollo próximo para adquirir conocimiento, habilidades y hábitos que sean sustento de un sistema de apoyo y poder aspirar a niveles superiores de desarrollo. El docente para crear y negociar zonas de desarrollo próximo debe ser experto en matemáticas y sensible a los progresos de los estudiantes.
Por ejemplo para promover la zona de desarrollo próximo en polinomios, si el alumno sabe cuanto vale la suma de ángulos interiores en un triangulo esa es su zona de desarrollo actual, la zona de desarrollo potencial será que logre saber la suma de ángulos interiores de cualquier polígono de “n” lados, como el maestro es mediador entre lo que puede hacer el alumno solo y lo que puede hacer con ayuda de otro en la zona de desarrollo próximo el puede hacer uso de herramientas técnicas de producción como la elaboración de analogías o comparaciones y herramientas psicológicas como estímulos estos pueden ser ordenes o pistas verbales que le permitan irse acercando a la zona de desarrollo potencial así el alumno logra la suma de ángulos interiores de un cuadrilátero, luego la del pentágono y así sucesivamente hasta lograr la de un polígono de n lados. PARADIGMA SOCIOCULTURAL Lo fundamental en el enfoque de Vigotsky es la consideración del individuo como el resultado de proceso histórico y social donde el lenguaje desempeña un papel esencial, el
conocimiento (matemáticas) es un proceso de interacción entre el sujeto y el medio, pero el medio entendido social y culturalmente, esto es los otros (compañeras/os, escuela y familia).
Conceptos fundamentales para Vigotsky:
Las funciones mentales
Las habilidades psicológicas
La zona de desarrollo próximo
Las herramientas psicológicas y la mediación.
CONCLUSIONES
Desde mi punto de vista, las matemáticas se pueden enseñar y aprender a partir del paradigma sociocultural, al considerar que las matemáticas son un lenguaje y que para la teoría socio cultural de Vigotsky es precisamente el lenguaje el que desencadena las funciones psicológicas superiores. Por otra parte el maestro y alumno Vigotskiano son más corresponsables en el proceso enseñanza-aprendizaje, lo que contribuye al crecimiento de ambos sin limitar a ninguno en la interacción social y cultural.
El paradigma socio cultural pone énfasis en el proceso cognitivo y permite responder a las siguientes interrogantes: ¿Cómo logra el estudiante aprender matemáticas?, ¿Por qué lo logra? y ¿Qué pasa en la mente de los alumnos cuando yo enseño matemáticas? Esto nos permite observar la situación cognitiva y la capacidad de descontextualización de los estudiantes.
La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas desde el paradigma socio cultural propiciaría grupos más participativos y conscientes de la responsabilidad de cada uno en el proceso educativo, la finalidad de la escuela hoy es formar ciudadanos críticos, reflexivos, analíticos; que sean capaces de insertarse en la realidad y transformarla y eso solo lo podremos lograr cambiando los actuales paradigmas de la educación.
BIBLIOGRAFÍA - Vygotski Lev S., EL DESARROLLO DE LOS PROCESOS PSICOLÓGICOS SUPERIORES. Ed. Crítica. Barcelona 1979. - Wertsch James V., VIGOTSKY Y LA FORMACIÓN SOCIAL DE LA MENTE, COGNICIÓN Y DESARROLLO HUMANO. Ed. Paidos. Barcelona. 1988. - Luria A. R., CONCIENCIA Y LENGUAJE. Aprendizaje Visor. España. 2000. - Compilador: Dr. Eduardo Veloso. Abril de 2006. Antología del DIPLOMADO EN DOCENCIA ESCOLAR, Curso: PSICOLOGIA EDUCATIVA. - Fredi Palominos V., Rosa Barrera C., Patricio Montero L. (2006) “DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE AMBIENTES DE APRENDIZAJE PARA LAS ESPECIALIDADES DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO EN LA ENSEÑANZA SUPERIOR UNIVERSITARIA” - Robles Villa Profr. Sergio “LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. UN PUNTO CONVERGENTE DE LOS ENFOQUES ACTUALES EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS”. - PROGRAMA DE MATEMÁTICAS I DE LA DGB (Dirección General del Bachillerato) 2005. - Flores Salinas Ricardo Oziel; 2005. PROGRAMA DE CÁLCULO DIFERENCIAL DE LA DGB (Dirección General del Bachillerato). - Blanco González Javier; 2005. PROGRAMA DE CÁLCULO INTEGRAL DE LA DGB (Dirección General del Bachillerato). - Dr. C. Isabel Alonso Berenguer y Dr. C. Noemí Martínez Sánchez. Universidad de Oriente. Revista Pedagogía Universitaria Vol. 8 No. 3 2003 “LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS. UNA CARACTERIZACIÓN HISTÓRICA DE SU APLICACIÓN COMO VÍA EFICAZ PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA”. - Pedro Osmany Laffita Aspiazú, Eloy Guerrero Seide, Dora Enma Nicó Pérez, Alcides Cabrera Campos y Mercedes Chávez Jiménez. Facultad Agroforestal, Centro Universitario de Guantánamo, Cuba. Revista ciencias matemáticas Vol. 22, No. 1, 2004. “PILARES DEL PERFECCIONAMIENTO DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE UNA DISCIPLINA MATEMATICA EN LA FORMACION DE PROFESIONALES” - Bachelard, Gastón; 2000. LA FORMACIÓN DEL ESPÍRITU CIENTÍFICO. Ed. Siglo veintiuno, México. - Piaget, Jean; García, Rolando. 1984. PSICOGÉNESIS E HISTORIA DE LA CIENCIA. Ed. Siglo veintiuno, México.
- Educaciรณn bรกsica. Secundaria Programas de Estudio 2006. Matemรกticas - Reforma de la Educaciรณn Secundaria. Fundamento Curricular. Matemรกticas.