Cálculo estocástico by Eduardo López

C谩lculo para la Administraci贸n de Riesgo Notas de clase Eduardo L贸pez Ch谩vez

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase

Conceptos básicos: Arbitraje: Oportunidad de Obtener una ganancia libre de riesgo (entre dos mercados) Suponemos por lo tanto que en el marco económico no hay arbitraje, por lo que hay que modelar el riesgo. Forward: Contrato en donde se pacta un precio (hoy) para comprar en el futuro ¿Cuál es la diferencia entre un forward y un futuro? R.- A diferencia de un forward que puede ser hecho por dos personas o dos empresas, el futuro se realiza en el marco de un mercado organizado, está regulado y estandarizado.

Definiciones: Posición larga: comprar (long position) Posición corta: vender (short position) Payoff: Valor del instrumento al vencimiento Vencimiento: Fecha de maduración (maturity, fin del contrato) Notaciones: K= precio de ejercicio, strike, precio de entrega ST=precio de subyacente (activo), en el mercado r=tasa libre de riesgo “Capitalizar en tiempo continuo”, el interés continuo me permite valuar en cualquier momento. ¿Cómo se calcula el valor de un instrumento en cualquier momento? Deduzcamos la forma de ese activo: Interés compuesto:

Donde tenemos que i = tasa efectiva o nominal “j”, por lo tanto tendríamos:

capitaliza de forma continua, esto es

y tendríamos un límite

expresado de la siguiente forma:

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Si hacemos un cambio de variable tendríamos

y la pregunta sería ¿Quién es ?

Por lo tanto haciendo la sustitución en el límite original se tendría que:

Donde j=rT, por lo que nos quedaría expresado de la siguiente forma: Una vez que hemos definido la forma en la podemos capitalizar continuamente un instrumento y esto a su vez nos permite determinar su valor en cualquier momento de su duración, vamos a hablar más a detalle sobre el Forward: Supuestos: 1. Su posición larga está dada por la expresión: , si preguntamos cuánto vale el forward el día de hoy tenemos que: K=0, por lo que , esto es, el valor de hoy del forward es el valor del subyacente. 2. Madura en T 3. Tiene un K (precio de ejercicio) 4. El activo subyacente no paga dividendos 5. 6. Una vez que tenemos este supuesto y nos preguntamos cómo es el valor del forward en el tiempo t, tenemos que hacer referencia a lo siguiente: Gráficamente tendríamos que:

El valor de t, es menor que el valor de maduración o valor en T, esto significa que el valor de forward en el tiempo t, estaría dado por la siguiente expresión: Como ya observamos el valor del forward en t, es menor que el T (maduración), esto implica preguntarnos, ¿Cuál es el valor del forward en t?, para poder contestar esta pregunta, tenemos en primer lugar determinar cómo es que podemos regresar de un tiempo adelante de t a ese valor anterior, esto es muy fácil, como ya vimos anteriormente, sabemos cómo valuar un activo en cualquier momento, mediante el uso de la capitalización continua, podríamos usar un factor de descuento dentro de la

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase capitalización continua, para regresar al tiempo t esto es, determinar que el valor del forward en el tiempo t es:

, esto nos lleva a .

Ahora que conocemos cual es el valor de ese forward que sucede cuando t=0, lo mismo cuando T = t, esto es, cuando el derivado llega a maduración. Veamos paso por paso, primero cuando t = 0: Valor del forward en “0”, esto es, t = 0 Tenemos: , como sabemos que el valor de t=0, entonces el valor de nuestro derivado, solo se modifica de la siguiente forma: , o cambiando un poco la notación tenemos: . Ahora veamos qué pasa cuando se llega a la maduración del forward, o sea, T = t: , el supuesto nos marca lo siguiente si T=t, entonces el exponente al que esta elevado el factor “e”, se volvería 0, esto es: . El resultado que observamos aquí nos indica que el valor del forward en la maduración no es más que la posición larga del mismo: . Pero, ¿Qué pasa con el precio del forward?, la respuesta ya la habíamos analizado anteriormente, cuando se dedujo como valuar un instrumento en cualquier momento, aplicando la nomenclatura que estamos utilizando tendríamos: , o sea, .

Y ¿Cómo sería la gráfica de un forward largo?

Payoff

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase ¿Y en el caso de un forward corto?

Payoff

Una vez que hemos entendido lo que es y cómo obtener un forward, ahora pasaremos a hablar sobre las opciones.

Opciones: Definición: Una opción es un contrato en donde el tenedor (comprador), tiene el derecho más no la obligación de comprar un activo a una fecha establecida y a un precio pactado. Existen tres tipos de opciones como son las Europeas (pueden ser ejercidas solamente al final de vida, o sea en la maduración), las Americanas (pueden ser ejercidas en cualquier momento de su vida) y la Opción asiática (opción cuyo valor en el vencimiento no depende del precio del activo subyacente en ese momento, sino de la media de sus precios en un período determinado de tiempo), por cuestiones de simplicidad solo haremos referencia a las dos primeras. Una forma más clara de entender como son las diferentes posiciones en las opciones, es mediante el siguiente cuadro:

Call Put

Posición larga Derecho de comprar Derecho de vender

Posición corta Obligación de vender Obligación de comprar

Hay que destacar algo muy importante, de cualquier derivado lo que siempre conoceremos es el payoff, los cuales están representados de la siguiente forma:

Ahora así como vimos la forma en la que se puede graficar un forward largo, ahora vamos a ver cómo se grafican una Call y una Put largas y una Call y una Put cortas:

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Payoff

Payoff Long Call Long Put

Payoff

Payoff Short Call

Short Put

Una vez identificado el gráfico de las diversas posiciones de las opciones, vamos a hablar sobre lo que se conoce como la paridad Put – Call, esto es. Si el subyacente no paga dividendos, la relación entre el precio de la opción Call y la opción Put es:

En donde el precio Call está dado por: y el precio Put por: ; con esta igualdad estamos diciendo que la suma de un Call largo y un Put corto es igual a un forward largo, pero como una Call siempre será mayor que una Put, debemos poderle el signo negativo.

Al estudiar esta paridad, observamos tres casos (suponiendo que r=0) que son:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase 1.

Podemos comprobar lo que se acaba de explicar de una forma más fácil la cual es, gráficamente, aquí presentamos las gráficas de un Call largo y un Put corto, que al momento de unirlas o sobreponerlas obtenemos: Payoff Long Call Short Put

SSTT

Pero para poder ser más claros con lo que se acaba de explicar, haremos un ejercicio:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Ejercicio 1: Precio del activo $50.00 El valor de mercado de una Call europea con precio de ejerció de $47.50 y maduración en 180 días es de $4.375 Se sabe que B(0,180)= 0.9948 Supón que tienes una Put europea con las mismas características y precio de $1.628 ¿Es consistente con la paridad Put – Call?

Gráficamente tenemos: Payoff Paridad Put – Call

2.5 0 K= 47.50

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Modelo Binomial:

Una técnica muy usada y popular para valuar una opción consiste en construir un “Árbol Binomial”, este es un diagrama que representa los diferentes caminos que puede tomar el precio del activo a lo largo de la vida de la opción. El supuesto subrayado es que el precio del activo sigue una caminata aleatoria. En cada periodo de tiempo, hay una certera probabilidad de que se mueva hacia arriba así como un cierto porcentaje, así también en caso contrario cuando el precio baja, existe una certera posibilidad y un cierto porcentaje. Esta técnica de valuación de opciones se utiliza en tiempo discreto, esto es, cuando las transacciones son en tiempos específicos. Los supuestos que debemos tomar en cuenta para este modelo son: 1. 2. 3. 4.

Existe un activo con riesgo con precio inicial Existe un activo sin riesgo, puede ser un bono, nono cupón cero, etc. Existe una tasa libre de riesgo “r” Solo existen dos tiempos, hoy → maduración.

5. En la maduración el activo puede tomar dos valores Gráficamente podemos ver esto de la siguiente manera: Este esquema nos lleva a considerar la siguiente propiedad del modelo Binomial, que es la siguiente: esto implica no arbitraje.

Como se mencionó con anterioridad, lo que siempre se conoce de un derivado es su payoff, en el caso del modelo Binomial, estamos hablando, de un vector columna, es decir,

¿Utilizando el modelo Binomial cuál sería el vector de los payoff’s de un forward, de un Call y de un Put? Forward:

; Call:

y Put:

Dentro del modelo Binomial algo que es de suma importancia es el poder calcular el valor de derivado en un tiempo específico, para esto se tiene la siguiente función:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Donde solo conocemos a (que es el precio inicial del subyacente) y a (que es el descuento continuo), pero que son α y β, dentro del modelo Binomial, estos dos parámetros representan el activo con riesgo y el activo libre de riesgo respectivamente. Cuando hablamos de replicar un portafolio en el modelo Binomial, necesitamos describir de manera explícita α y β en cada uno de los nodos del árbol. Así es que la pregunta que surge es: ¿Cuánto vale α y cuanto vale β? Vamos paso por paso a deducir el valor de ambos parámetros: Tenemos que: , pero si el valor del activo sube tendríamos: al estar en la maduración del derivado el factor de descuento continuo se hace 0, por lo que , caso contrario si el activo baja tendríamos al estar en la maduración del derivado el factor de descuento continuo se hace 0, por lo que . Ahora ya tenemos dos ecuaciones distintas con las que podemos proceder a hacer la manipulación algebraica para obtener el valor de los parámetros. Tenemos pues un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Para resolver este sistema de ecuaciones por simplicidad aplicamos el método de suma y resta, esto es multiplicaremos la segunda ecuación por (-1), para poder eliminar la β:

Lo cual nos da como resultado:

Aplicando el método de suma y resta tenemos:

Factorizando a la α tenemos:

, finalmente despejamos α y tenemos:

Ahora ya sabemos cuál es el valor del α, o lo que es lo mismo cual es el valor del activo con riesgo; para obtener el valor ahora del activo libre de riesgo o β, sustituimos el resultado obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales, esto es:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase

Despejando a la β, tenemos:

Vamos a simplificar el resultado que hemos obtenido:

Eliminando términos semejantes:

Así pues ya tenemos ahora el valor de los dos parámetros que necesitamos para poder replicar un árbol.

Ahora probemos que el valor del derivado es en un árbol que replica es como lo hemos mencionado, como ya sabemos de un derivado siempre conocemos su payoff, que pasa si no conocemos el precio, pero si su valor, entonces podríamos definir el valor del derivado como un promedio a valor presente de las probabilidades neutrales al riesgo, esto es: Definimos a “q” como la probabilidad neutral al riesgo que solo depende del valor del activo y no de su precio, esto nos lleva preguntar ¿Cuánto vale “q”?

Ahora que hemos definido el valor de “q” y al saber que es una probabilidad neutral al riesgo, podemos decir que: Al sustituir el valor de “q”, tendríamos:

Si resolvemos lo anterior llegaremos a que:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Por lo tanto cumplimos con el supuesto antes mencionado. Para tener más claro el concepto pasemos a hacer algunos ejemplos: Ejercicio:

No paga dividendos el activo Dentro de un mes K= 39 1. Precio de la Call 42

El ejercicio nos pide el valor de la Call, por lo que aplicando las fórmulas que ya conocemos tenemos que:

, sustituyendo los valore tenemos: Por lo que el valor de (1-q)= 0.433110… Aplicando la fórmula del valor del derivado, tenemos: Es igual a: Resolviendo lo anterior: 1.6890… Esto es:

2. Precio del forward largo asociado:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase 3. Valor de la Put

: 42

El ejercicio nos pide el valor de la Call, por lo que aplicando las fórmulas que ya conocemos tenemos que:

, sustituyendo los valore tenemos: Por lo que el valor de (1-q)= 0.433110… Aplicando la fórmula del valor del derivado, tenemos: Es igual a: Resolviendo lo anterior: 0.4302… Esto es:

4. Paridad Put – Call:

Despejando a la Put: Payoff 5. Gráficas: Paridad Put – Call

K= 39

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase 6. ¿Cuál es la estrategia a seguir? Esto implica el cálculo de la α y β; los valores obtenidos des pues de utilizar las fórmulas son: α=0.75 y β=-28.5. Esto significa que compras 0.75 de activo riesgoso y te endeudas por 28.5.

Modelo Binomial para N-periodos Supuesto: misma tasa para todos los periodos. Cuando hablamos de más de un periodo, tenemos dos tipos de árboles que son los que recombinan valores y los que no.

Árbol que no recombina Árbol que recombina Nota: durante este análisis se sustituirá la T por δ. Definición. Un árbol de precios es multiplicativo si existen u, d Є R fijos tales que, Sabemos que

, si suponemos un árbol multiplicativo entonces tendríamos: Factorizando

multiplicativo es:

, tenemos que el valor de la “q” para un árbol

El resultado que podemos ver es que la “q” es la misma siempre y cuando el árbol de precios sea multiplicativo. Analicemos el caso cuando r=0, esto es,

son iguales a 1

= Y viéndolo desde la perspectiva de la probabilidad neutral al riesgo tenemos: = solo depende de la esperanza neutral al riesgo.

, por lo tanto el valor del derivado

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Algo importante que debemos de tener en cuenta es que si un árbol es multiplicativo, forzosamente recombina valores, sin embargo, si un árbol recombina valores no forzosamente es multiplicativo. La premisa anterior, no lleva a pensar si el árbol es multiplicativo la “q” es la misma, pero si no lo es ¿Qué pasa con la “q”? Esto puede ser mejor apreciado en un ejemplo:

Tenemos una árbol asociado a una Call con K=100 y r=0, recombina valores ¿será multiplicativo? 160

Se puede observar que para pasar del 100 al 120 se multiplico por 1.2, sin embargo si multiplicaos 120 por 1.2 NO obtenemos 140, por ende no es multiplicativo.

140 120 100

120 100

80 60 40

En esta situación lo que debemos de hacer es calcular cada una de las “q’s” e ir trabajando el árbol hacia atrás. Dado que

son iguales a 1,

Como en todo derivado sabemos el payoff que esta dado en el caso de una Call por Para trabajar el árbol hacia atrás calculamos las q’s, por ejemplo la q(6)= 100-80/120-80=1/2, aplicando la fórmula de valor en cada nodo, ½(60) + ½ (20)=40. En este ejemplo todas las q’s son iguales a ½ mas no significa que sea multiplicativo.

60 40 25 15

20 10

0 0 0

Una forma de verificar que el precio de la Call sea correcto, es decir, sea un precio justo, es verificando que el árbol replique, esto es, empiezo en 15 y en maduración acabo con los valores indicados. El árbol replica y es autofinanciable si cumple con lo anterior. Para verificar que replique debo analizar todas las trayectorias, por ejemplo probemos con la trayectoria (0, u, u, d)

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Nota: recordemos que cuando buscaos replicar el árbol significa explicar detalladamente el comportamiento de α y β en todos los nodos. Hoy: = = Otra forma de obtener la β es despejándola de la fórmula β=15 – ½(100)=-35 Esto significa que compramos 0.5 unidades de activo (α) y obtenemos una deuda de 35 (β) 0→u: El subyacente sube a 120 (

)

= = β=25 – ¾ (120)=-65 Compramos ¼ más de activo para tener ¾ y aumentamos nuestra deuda en 30 para quedar en 65. 0→u→u: El subyacente sube a 140 (

)

= = β=40 – 1 (140)=-100 Compramos ¼ más de activo para tener una unidad y aumentamos nuestra deuda en 35 para quedar en 100. 0→u→u→d: El subyacente baja a 120, llega a maduración Nota: Cuando se llega a maduración se toman la α y β del periodo anterior. α=1 β=-100 Aplicando la formula de valor en el nodo Por lo tanto el árbol si réplica y es autofinanciable.

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Al igual que como se hizo con esta trayectoria se pueden probar otras como (0, d, d, u) o (0, d, u, u). Ahora vamos a hacer un ejercicio para un árbol que no recombina valores: Supuestos: Madura en 3 meses Es una Call K=90 y r=0 No recombina valores y no es multiplicativo 228.8 208 145.6 130 161.46 117

Se puede observar que para pasar del 100 al 130 se multiplico por 1.3, sin embargo si multiplicaos 130 por 1.3 NO obtenemos 208, por ende no es multiplicativo.

76.05 100 98.28 75.6 66.528 63 78.246 57.96 40.572

138.8 118 55.6

Como en todo derivado sabemos el payoff que esta dado en el caso de una Call por

462.242 71.46

Para trabajar el árbol hacia atrás calculamos al igual que en el ejemplo anterior las q’s, por ejemplo la q(3)= 130117/208-117=0.142857, aplicando la fórmula de valor en cada nodo, q(138.8) + (1-q) (55.6)=118.

342.616 0 258.294 8.28 23.657 0 0.6759 0 0 0

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Una vez que hemos obtenido el valor de la Calle, ahora vamos a verificar las trayectorias: Hoy: = β=25.8294 – 0.67..(100)=-42.153883 Esto significa que compramos 0.6798… unidades de activo (α) y obtenemos una deuda de 42.1538… (β) 0→u: El subyacente sube a 130 (

)

= β=46.2242 – 0.920202197(130)=-73.4020 Compramos más de activo para tener 0.920202… y aumentamos nuestra deuda para quedar en 73.4020. 0→u→u: El subyacente sube a 208 (

)

= β=118 – 1 (208)=-90 Compramos más de activo para tener una unidad y aumentamos nuestra deuda para quedar en 90. 0→u→u→d: El subyacente baja a 145.6, llega a maduración Nota: Cuando se llega a maduración se toman la α y β del periodo anterior. α=1 β=-90 Aplicando la formula de valor en el nodo Por lo tanto el árbol si réplica y es autofinanciable. Ahora que ya hemos trabajo con los dos tipos de arboles podemos ver que es muy tedioso el estar trabajando con árboles de más de 2 periodos, por eso es que en el caso de los que recombinan valores, existe una generalidad que es mediante el uso del “Binomio de Newton”, el cual dice:

Aplicándola a nuestro caso tenemos que:

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Esto es:

Generalizando aún más, podemos determinar el valor de la Call y la Put por este método:

Ahora vamos a aumentar un factor a nuestro modelo de valuación en tiempo discreto que consiste en agregar la volatilidad.

Modelo con volatilidad σ Al igual que en análisis anterior, utilizaremos δ como factor de crecimiento representando un periodo. Dinámica

, donde

Propuesta para la tasa libre de riesgo: Supuesto:

, E(x)= promedio ponderado usando probabilidades. El operador esperanza es un operador lineal, recordemos algunas de sus propiedades:

Derivado de todo esto podemos decir que:

Ahora probemos que esto es verdad:

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Supuestos: El árbol es multiplicativo, definamos pues el valor de u y d:

δ=periodos de tiempo σ=volatilidad μ= media (tasa, volatilidad): r= tasa libre de riesgo. Al ser multiplicativo se tiene Factorizando multiplicativo es:

, tenemos que el valor de la “q” para un árbol

Veamos un ejemplo de esta variante del modelo Binomial. Ejemplo: Tenemos una Put europea Volatilidad 20% K= 45 S= 50 Madura en 1 año r= 5.60% Dividir el año en dos periodos de 6 meses c/u, el árbol es multiplicativo: ¿Cuánto vale u y d?

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Ahora obtengamos el valor de q: =

Ahora que tenemos el valor de u y d, podemos trazar el árbol de precios: 68.776745 58.6416 50

51.832782 44.19455 39.063164

Trabajando el árbol hacia atrás: 0 0 1.4027136

0 2.88577 5.936836

También podemos traerlo como un promedio aplicando el binomio de Newton:

Sería bueno hacer el árbol que replica, para ver si este activo es autofinanciable, mostraremos los valores de α y β en cada nodo para la trayectoria (0, u, u) Nodo 1: α=-0.1997 y β=11.173 Nodo 2: α=-0.4649… y β=24.0980… Nodo 3: maduración aplicando el valor del derivado tenemos 5.936836, por lo tanto, si replica y es autofinanciable.

Opciones americanas: Ya hemos analizado los casos cuando tenemos opciones europeas, ahora vamos a ver el caso de las opciones americanas. Las opciones americanas, se pueden ejercer en cualquier momento, se tienen que verificar las conveniencias en cada uno de los nodos. En general las opciones americanas son más caras que las europeas; si no se pagan dividendos: Resultado: una Call americana escrita en un activo que no paga dividendos, tiene el mismo valor que su correspondiente europea, esto significa, ejercer anticipadamente no es óptimo.

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Veamos la demostración de esto: Sea “t” tal que

donde “t” es cualquier momento antes de la maduración

¿Cuál es el valor de ejercer “t”? = Y conocemos cual es el valor de la Call = aplicamos la paridad Put – Call:

, este valor esta dado en t, si

Aquí lo que estamos diciendo es que si el activo no paga dividendos y es una Call americana no tiene caso ejercerla anticipadamente, sino esperarse al final o maduración cuando su valor es igual a la europea, lo que nos lleva a determinar que siempre es mejor utilizar una Put que una Call, demostremos esto: Sabemos que el valor de ejercer en “t” es y el valor de la Put es: . El que la Put americana sea mejor que la Call implicaría que su valor en “t” es forzosamente mayor que el valor en maduración y este a su vez menor que ejercer en “t”, o sea:

Ahora vamos a describir como es el árbol para las opciones americanas: F(Suu)

Suu fu

Sud

F(Sud)

fo fd

F(Sdd)

Sdd Árbol del subyacente

Árbol de precios

Para poder valuar este tipo opciones debemos de tener en cuenta lo siguiente: Conocemos su valor que puede ser fu o fuu si es un periodo siguiente, también conocemos que el valor de un derivado puede ser el promedio a valor presente de las probabilidades neutrales al riesgo . Debido a que debemos de verificar la conveniencia en cada nodo sería de la siguiente forma:

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Para que quede más claro el concepto de las opciones americanas hagamos un ejemplo sencillo: Ejercicio: Valor del activo $50.00 No paga dividendos U=1.06 y d=0.95 R= 5% K= 51, n=2, c/periodo es un trimestre.

1. 2. 3. 4. 5.

Valor de la Call europea con madurez en 6 meses Valor de la Put europea con madurez en 6 meses Valor de la Put americana con madurez en 6 meses Valor de la Put europea con madurez en 9 meses Valor de la Put americana con madurez en 9 meses Nota: en el caso del inciso 4 y 5 al ser nueve meses nuestra n cambia de 2 a 3.

Empecemos con el ejercicio: 1. Sabemos el valor de u y d, por lo que podemos construir el árbol del activo: 56.18 53 El árbol se construyo al multiplicar el So=50 por u y d

50.35 47.5 45.125

Ahora vamos sobre el árbol de precios: 5.18 2.91… 1.6350…

Nos piden una Call por lo tanto , o sea, 56.18.. – 51= 5.18… en el caso de los otros dos nodos, es cero, debido a que K> .

0 0

Para poder obtener los valores del árbol trabajando hacia atrás, necesitamos obtener el valor de la “q”, en este caso tenemos ya los valores de u y d, por lo que la formula a utilizar es: :

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase

(1-q)= 0.431104986 Dado que sabemos que uno de los nodos que tenemos que buscar vale cero, entonces solo nos concentramos en el otro nodo:

Finalmente el valor de la Call es:

2. Ahora hay que hacer lo mismo pero para una Put: El árbol del activo es el mismo: 56.18 53 El árbol se construyo al multiplicar el So=50 por u y d

50.35 47.5 45.125

Ahora vamos sobre el árbol de precios: 0 0.2767… 1.3758…

0.65

Nos piden una Put por lo tanto , o sea, 51 – 56.18= 0 en el caso de los otros dos nodos, es diferente de cero, debido a que K < .

2.866… 5.875

Los valores de q y (1-q) son los mismos:

(1-q)= 0.431104986 En este caso ninguno de los nodos se nos hace cero, es por eso que hay que analizar uno por uno:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Finalmente el valor de la Put es:

3. Ahora vamos con la Put americana: 0 0.2767… 0.65

Cuando valuamos una opción americana asociada o cualquiera, debemos hacerlo de forma recursiva, esto es los payoff’s ya los tenemos, pero hay que ir hacia atrás.

3.5 5.875

Ejercemos en el nodo dos con un valor de 3.5, aquí la pregunta sería ¿Cómo llegamos a ese 3.5?, eso es algo muy fácil de determinar. Recordemos que: , entonces, al tener que trabajar el árbol hacia atrás, tenemos que los payoff’s son los mismos, solo tenemos que identificar cual es el valor de la Put en ese nodo, esto es: , el (51-47.5), no es otra cosa más que (k-ST), para ese nodo, por lo tanto ejercemos en ese nodo con valor de 3.5 4. Valor de la Put europea, pero con n=3 59.55 56.18 53 50

53.37

Solo se le aumento un periodo más al árbol que ya habíamos trabajado usando las mismas u y d.

50.35 47.5

47.83 45.125 42.86

El árbol de precios quedaría de la siguiente forma: 0 0

Los valores reales son: 0.57 1.59

0 1.34

2.98

3.16 5.24 8.13

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase

0 5.

0 0

Valor de la Put americana igual con n=3: 1 Ejerces en nodo 4 con valor de 5.875.

0 0.65

3.5

3.16 5.87 8.13

Tiempo continuo:

Ya habíamos dicho que: Función de densidad normal: , donde Función de densidad normal estándar: μ=0 σ2=1=σ=1

Por lo tanto: Valor del derivado hoy en tiempo continuo:

La forma anterior representa el valor de un derivado en tiempo continuo siempre. Veamos el caso de la Call:

Antes de proseguir con la Call, debemos ver un Lema en el cual el supuesto nos dice que: . Entonces para “a” y “b” cualesquiera números reales se tiene:

Resolviendo lo anterior tenemos:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Donde el valor de “d” esta dado por: Y N(d) que es una probabilidad acumulada de -∞ hasta d, está dada por:

Ahora si terminemos de analizar la Call:

Empecemos por definir lo que pasa con los límites de la integral:

Antes de continuar con nuestro análisis, surge una pregunta ¿Es cierta la desigualdad que se planteó?, esto es, en términos generales, ¿Realmente ln(nx)>lnx? Gráficamente es muy sencillo comprobar esto:

Podemos observar que la gráfica de ln(2x), crece de forma más rápida que la de lnx, por lo tanto si cumple con la desigualdad. Sigamos pues con el análisis.

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Por lo tanto tendríamos:

Por simplicidad todo lo relacionado con la función de densidad se le llamará (*)

Ahora pode manipular la integral separándola y quedando de la siguiente forma:

Resolvamos la primera integral:

Ahora calculemos la “d”:

acuerdo

lema

tenemos:

a=1,

a=0,

b= Aplicándolo tenemos:

Ahora veamos qué pasa con la segunda integral:

acuerdo

lema

tenemos:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase

Aplicándolo tenemos:

Por lo tanto el valor de una Call utilizando Black and Scholes es: ¿Y que pasa con la Put? Es muy fácil deducirla solo hay que partir de la ya bien conocida paridad:

Despejemos la Put:

Ya sabemos cuál es el valor de la Call, sustituimos:

Si factorizamos obtenemos:

Hagamos un ejercicio para ver la aplicación de estas fórmulas: Ejercicio: T=6 So=42 K=40 R=10 σ=20 Encuentre el valor de la Call, por medio de Black and Scholes:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Vamos de determinar primero el valor de “d1” y “d2”:

Sustituyendo en la formula de la Call de Black and Scholes tenemos:

Sin tablas hasta que se llega y este es el resultado, sin embargo si existe la posibilidad de usar tablas tendríamos que buscar lo valores correspondientes a los valores de d1 y d2 y sustituirlos en la fórmula, para este caso en concreto el valor de tablas es:

Ese es el valor de nuestra opción Call, ahora con eso y ayuda de la paridad podemos determinar el valor de la Put: Veamos:

Ahora que hemos entendido como se calcula el valor de una Call y una Put mediante el método de Black and Scholes, podemos ver otro tipo de derivados, que son denominados sintético y nosotros mismos podemos crear, por ejemplo ¿Qué pasa si tenemos una Call cuadrada?, es decir, un derivado que es una Call, pero que nos paga el cuadrado de la inversión. Veamos pues este supuesto: Tendríamos algo de la siguiente forma:

Al igual que en casos anteriores para simplificar el cálculo del derivado, denominaremos a función de densidad (*).

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Lo que tenemos que integrar que en este caso es una Call al cuadrado por lo que el primer paso es revolver el binomio al cuadrado:

Con lo que nuestra integral quedaría de la siguiente forma:

Dividamos la integral:

Resolviendo la primera integral tenemos:

acuerdo

lema

tenemos:

a=2,

b= Tendríamos:

Ahora vamos a ver quién es “d”

Por lo tanto: Ahora vamos con la segunda integral:

Recordemos que esta integral ya se había resulto en el problema anterior al deducir la forma de la Call, es por eso que solo hay que tener cuidado con las constantes que se use, de hecho la “d” que estamos usando es la que conocemos como “d1”.

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Finalmente la tercera integral es:

Al igual que la segunda integral esta última ya se había desarrollado, por lo que solo hay que verificar las constantes y ahora usamos “d2”. Por ende podemos decir que la el valor de la Call cuadrada en el modelo de Black and Scholes es:

Como se hizo con la Call podemos ahora realizar ejercicios con esta fórmula, solo necesitamos los datos, sustituimos y listo. Ya que hemos logrado ver este derivado creado, probemos con otros 3: 1. 2. 3.

Tendríamos algo de la siguiente forma:

Al igual que en casos anteriores para simplificar el cálculo del derivado, denominaremos a función de densidad (*).

Antes de dividir la integral vamos a determinar los límites, esto es, sabemos que si es o entonces no se ejercerá, por tanto solo nos queda un camino que es: , vemos pues como nos quedaría acotada la integral:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Dividamos la integral:

Resolviendo la primera integral tenemos:

acuerdo

lema

tenemos:

a=1,

b= Tendríamos: Ahora vamos a ver quién es “d”

Por lo tanto: Ahora vamos con la segunda integral:

Recordemos que esta integral ya se había resulto en un problema anterior al deducir la forma de la Call, es por eso que solo hay que tener cuidado con las constantes que se use. Por ende podemos decir que la el valor de este derivado en el modelo de Black and Scholes es:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase

El segundo caso de estudio es: Tendríamos algo de la siguiente forma:

Al igual que en casos anteriores para simplificar el cálculo del derivado, denominaremos a función de densidad (*).

Antes de dividir la integral vamos a determinar los límites, esto es, sabemos que si es o entonces no se ejercerá, por tanto solo nos queda un camino que es: veamos

pues

como

nos

quedaría

acotada

, la

integral:

Dividamos la integral:

Resolviendo la primera integral tenemos:

acuerdo

lema

tenemos:

a=1,

b= Tendríamos: Ahora vamos a ver quién es “d”

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase

Por lo tanto:

Ahora vamos con la segunda integral:

El tercer caso de estudio es: Tendríamos algo de la siguiente forma:

Al igual que en casos anteriores para simplificar el cálculo del derivado, denominaremos a función de densidad (*).

Antes de dividir la integral vamos a determinar los límites, esto es, sabemos que si es o entonces no se ejercerá, por tanto solo nos queda un camino que es: pues

como

nos

quedaría

acotada

, veamos la

integral:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Dividamos la integral:

Resolviendo la primera integral tenemos:

acuerdo

lema

tenemos:

a=1,

b= Tendríamos: Ahora vamos a ver quién es “d”

Por lo tanto:

Ahora vamos con la segunda integral:

Cálculo para la Administración de Riesgo Notas de clase Finalmente se hará mención de los lemas de Itô solo como referencia matemática que servirá en un momento dado para deducir la fórmula general de Black and Scholes. El lema de Itô es un famoso resultado matemático derivado por el matemático japonés K. Itô en 1951. Hablando en términos generales, se puede considerar la regla de cadena del cálculo estocástico. En finanzas, el lema de Itô se utiliza frecuentemente para derivar el proceso estocástico seguido por el precio de un título derivado. Por ejemplo, si el activo subyacente sigue la moción geométrica browniana, entonces el lema de Itô demuestra que un título derivado cuyo precio es una función del precio del activo subyacente y del tiempo también sigue la moción geométrica browniana. De hecho, los dos valores presentarán la misma fuente de riesgo, dando así a entender que una combinación apropiada de los dos valores puede eliminar el riesgo. Este resultado llevó al desarrollo del modelo Black-Scholes-Merton así como al de muchas teorías y aplicaciones de cobertura modernas.

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