"Año del buen servicio al ciudadano"
Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco Escuela Profesional de Ingeniería Civil
MONOGRAFIA SOBRE EL CÍRCULO DE MOHR EN ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
Tema: Curso
:
Docente :
Resistencia de Materiales Ing. José Felipe Azpilcueta Carbonell
Integrantes: Qqueccaño Amaru Larry Gilmar 131598 Yabar Salazar Sergio
100028
Mercado Valenzuela Raul
812920
INTRODUCCION El círculo de Morh es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección inclinada cualquiera de la barra. El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo como por ejemplo el radio, el centro, entre otras. También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta.
RESEÑA HISTORICA El círculo de Mohr es un método gráfico para determinar el estado tensional en los distintos puntos de un cuerpo. Fue desarrollo por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918) uno de los más celebres del siglo XIX. Entre las tensiones que existen en un cuerpo sometido a un cierto estado de cargas y con unas ciertas restricciones, importan en general las tensiones principales, que son las tensiones que existen sobre ciertos planos del cuerpo, donde las tensiones de corte son nulas. Estas tensiones son de importancia para el diseño de estructural y mecánico en dos y tres dimensiones
CIRCULO DE MORH EN ESFUERZOS
Sea una barra, sometida a una carga P.
Si cortamos a la barra por la sección 1-1 y nos quedamos con la parte de la izquierda, nos aparecen unas fuerzas por unidad de superficie (tensiones) que van a ser uniformes y a las que vamos a llamar σx porque van en la dirección del eje x. σx = P / A Si, ahora, cortamos a la barra inicial por la sección oblicua 2-2, de manera que la normal a la sección forme un ángulo φ con el eje de la barra, de donde: σ = σxcos φ La máxima tensión se produce en los puntos de la sección normal al eje de la barra. Esta máxima tensión vale σx.
En una sección inclinada la tensión es menor que en el caso de la sección recta y vale σxcos φ.
Descomposición de σ en una tensión normal y en otra tangencial o cortante. Vamos a descomponer la tensión σ en otras dos: una en la dirección de la normal a dicha sección, llamada tensión normal (σn ) y la otra en dirección paralela a la sección, llamada tensión cortante . σn = σ cos φ = σx cos φ = σ sen ϕ = σ x sen ϕ cos ϕ = ( x / 2 ) sen 2
Efectos que producen la tensión normal y la cortante. Los esfuerzos internos sobre una monda, son una sección plana y se definen como un conjunto de fuerzas y momentos estáticamente equivalentes a la distribución de tensiones internas sobre el área de esa sección. Así, por ejemplo, los esfuerzos sobre una sección transversal plana de una viga es igual a la integral de las
tensiones t sobre esa área plana. Normalmente se distingue entre los esfuerzos perpendiculares a la sección de la viga (o espesor de la placa o lámina) y los tangentes a la sección de la viga (o superficie de la placa o lámina): •
Esfuerzo normal (normal o perpendicular al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones normales, es decir, perpendiculares, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo normal.
•
Esfuerzo cortante (tangencial al plano considerado), es el que viene dado por la resultante de tensiones cortantes, es decir, tangenciales, al área para la cual pretendemos determinar el esfuerzo cortante.
Convención de signos de la tensión normal. La tensión normal es el esfuerzo normal (tracción o compresión) que implica la existencia de tensiones normales, las cuales pueden estar producidas por un momento flector, de acuerdo con la ley de Navier. Los bimomentos* también provocan tensiones normales por efecto del alabeo seccional.
La tensión tangencial, por otro lado, son los esfuerzos cortantes y el momento torsor que implican la existencia de tensiones tangenciales. (*)Bimomentos: Tipo de esfuerzo interno resultante de las tensiones perpendiculares (normales) a la sección transversal asociadas al alabeo seccional de un prisma mecánico.
Convención de signos de la tensión cortante. La tensión cortante es aquella actúa tangente al plano fijo. Se suele denotar por la letra griega . En piezas prismáticas las tensiones cortantes aparece en caso de aplicación de un esfuerzo cortante o bien de un momento torsor.
Círculo de Morh para la tracción simple. El círculo de Morh es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección inclinada cualquiera de la barra. El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo como por ejemplo el radio, el centro, entre otras. También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. CONSTRUCCIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abscisas situemos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes. Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras perpendiculares definen un diámetro del círculo de Morh.
Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares son iguales y de sentido contrario.
REGLAS PARA DIBUJAR CORRECTAMENTE EL CÍRCULO DE MOHR DEBEN TENERSE EN CUENTA LOS SIGUIENTES DETALLES - El sentido de giro del ángulo j en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad. - El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario. - El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes.
TEORÍA DEL CÍRCULO DE MOHR PARA DOS DIMENSIONES: Considere un cuerpo sobre el cuál actúa un estado plano de cargas. Consideremos al plano de carga para nuestro sistema al plano xy, de modo que no existan esfuerzos en el sentido perpendicular a este (esfuerzos en z nulos). Adoptamos un elemento triangular donde se supone que los ejes x e y son principales, o sea las tensiones de corte en esos planos son nulas. Esta suposición se hace con el fin de no complicar la matemática,
Circunferencia de Mohr para un estado de tensión bidimensional.
Queremos obtener una relación entre las tensiones en las áreas Ax, Ay y Aθ. Evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje x:
Ahora evaluemos el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje y:
Considerando que Ax =Aθ.cosθ y que Ay =Aθ.senθ, reescribimos las ecuaciones 1 y 2:
Multiplicando la ecuación (1-1) por cosθ, la (2-2) por senθ y sumando ambas se llega a:
Y considerando las relaciones trigonométricas:
Se llega a:
Analizamos las ecuaciones (1-1) y la (2-2) para obtener el corte en el plano θ: Multiplicando la ecuación (1-1) por senθ, la (2-2) por cosθ, sumando ambas y considerando las relaciones trigonométricas (4) se llega a:
Obsérvese que las ecuaciones (5) y (6) no son más que las componentes cartesianas de los puntos correspondientes a una circunferencia en el plano xy, la ecuación de la circunferencia se obtiene considerando la relación trigonométrica, entonces reemplazando en (5) y (6) se obtiene:
Esta circunferencia es lo que denominamos “Círculo de Mohr” para dos dimensiones. En esta circunferencia el ángulo formado por la recta con origen en el centro de la misma yx y un punto cualquiera
perteneciente al perímetro de la circunferencia, tiene valor 2θ, siendo θ el ángulo de inclinación del plano para el cuál las tensiones sobre esa superficie valen σθ y τθ. Consideremos σx< σy.
Así como se calculó el estado tensional en el plano θ a partir de las tensiones principales, el proceso se puede hacer de manera inversa. Conociendo el estado de carga para una cierta terna de ejes se pueden conocer las tensiones principales de un sistema dado.
TEORÍA DEL CÍRCULO DE MOHR PARA ESTADOS TENSIONALES TRIDIMENSIONALES:
•
Introducción: Sea un tetraedro con tres caras ortogonales las cuales definen un punto O el cuál adoptamos como nuestro origen de coordenadas, y la cuarta cara es un plano oblicuo. Sean las tensiones σi y las áreas Ai correspondientes a cada una de las i caras del tetraedro.
El equilibrio de fuerzas de este sólido se puede expresar a partir de la siguiente ecuación vectorial:
Como los planos
donde Vi es el coseno del ángulo entre los vectores normales a .
De esta manera la ecuación (a) se puede escribir de la forma:
Ahora la componente normal al plano oblicuo de συ se puede obtener proyectando esta sobre la dirección ν:
Considerando que el versor V tiene coordenadas cartesianas Vi, entonces:
Donde
es el versor en la dirección Xi.
Considerando la ecuación (b) entonces la (c) se puede escribir como:
Luego la tensión total sobre el plano oblicuo se puede expresar en función de sus componentes normal y coincidente con el plano oblicuo:
Entonces a partir de (b) y (d) se llega a:
•
Teoría del circulo de Mohr para estados tensionales tri - dimensionales: Supongamos que elegimos los ejes coordenados de modo que estos son los principales (ejes principales: aquellos en donde la tensión normal de las caras es máxima o nula y el corte nulo). El tensor de tensiones en ese caso para un elemento cúbico será:
Si queremos conocer el versor V de un cierto plano, conociendo su estado tensional y recordando (d), (e) y que la suma de las componentes cartesianas al cuadrado del versor V es uno , se obtienen las siguientes ecuaciones:
Este es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Suponga que las tensiones principales tienen magnitudes tal que: Las incógnitas de este sistema son:
Como los cuadrados de los cosenos son mayores a cero, entonces evaluando los signos de los denominadores de las ecuaciones 1,2 y 3, los numeradores de los mismos deben cumplir:
Estas tres ecuaciones generan tres circunferencias en el plano y son las ecuaciones que definen los círculos de Mohr para un estado tridimensional de tensiones, las circunferencias son simétricas respecto del eje de ordenadas y las tensiones principales se ubican en el eje de ordenadas. Las desigualdades de esta indican el conjunto de estados tensionales posibles en ese punto para distintos planos, con distintas inclinaciones.
Una gráfica a modo de ejemplo se presenta a continuación:
Caso particular: Existe un caso en donde las tensiones principales son iguales en módulo, este caso se denomina de tensiones hidrostáticas, en éste, el círculo de Mohr se representa por un punto. Se llama así porque este caso se da cuando por ejemplo un objeto cúbico diferencial se sumerge en un líquido, sus seis caras están sometidas a la misma tensión y esta es normal a todas las caras, no importa la inclinación de este objeto, las tensiones siempre serán normales.
EJEMPLOS DE CIRCULO DE MOHR EN ESFUERZOS EJEMPLO 1 Determinación de los esfuerzos principales mediante los círculos de Mohr
Problema
Un elemento de esfuerzo biaxial como se muestra en la Figura 4-2 tiene σx = 40.000 psi, σy = 20.000 psi y τxy = 30.000 psi en sentido contrario al de las manecillas del reloj (ccw). Se pide trazar los círculos de Mohr para determinar los esfuerzos principales. Véanse la Figura 4-2 y la Figura 4-5.
Solución
1 τ.
Se trazan los ejes del plano de Mohr según se muestra en la Figura 4-5b, y márquelos como σ y
2 Se sitúan los esfuerzos dados σx, (como línea OA) en cualquier escala práctica a lo largo del eje de esfuerzos normales (horizontales). En este ejemplo σx., es un esfuerzo de tensión (positivo). 3
Se lleva el esfuerzo σy (como línea) a lo largo del eje normal de esfuerzos. En este caso σy es un
esfuerzo de compresión (negativo). 4 La Figura 4-2 muestra que el par de esfuerzos cortantes τxy crea un par en sentido contrario al de las agujas del reloj sobre el elemento. Este par se equilibra con el par en sentido de las agujas del reloj proporcionado por los esfuerzos cortantes τy. Estos dos esfuerzos cortantes (τxy y τyx,) son de igual magnitud, de acuerdo con la ecuación 4.2, y positivos, de acuerdo con la regla de signos convencionales de esfuerzos. Pero, en vez de utilizar la regla convencional de signos de esfuerzos, se trazan en el círculo de Mohr de acuerdo con la rotación que implican para el elemento, según la regla convencional de signos de la mano izquierda: positivo en sentido de las agujas del reloj y negativo en sentido contrario al de las agujas del reloj. 5 Dibujamos una línea vertical hacia abajo --en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj - del extremo de τx, (como línea AC) para representar la magnitud a escala de τxy. Trazamos una línea vertical hacia arriba -en sentido del movimiento de las agujas del reloj- del extremo de σsy (como línea BD) para representar la magnitud a escala de τyx. 6 El diámetro de un círculo de Mohr es la distancia del punto C al punto D. La línea AB corta a CD. El círculo se dibuja tomando esta intersección como centro. 7 Dos de los esfuerzos normales principales se determinan a continuación como las dos intersecciones que este círculo de Mohr hace con el eje de esfuerzos normales, en los puntos P1, y P3: σ1 = 52.426 psi, y σ3 = -32.426 psi. 8 Dado que en este ejemplo no hay esfuerzos aplicados en la dirección z, se trata de un estado de esfuerzos de dos dimensiones, y el tercer esfuerzo principal σ2, es igual a cero, y se localiza en el punto 0, que también se identifica como P2. 9 Todavía deben dibujarse otros dos círculos de Mohr. Los tres círculos de Mohr quedan definidos por los diámetros (σ1 – σ2), (σ1 – σ3) y de (σ2 – σ3), que son las líneas P1P2, P1P3 Y P2P3. Los tres círculos aparecen en la Figura 4-5c. 10 Trazamos líneas tangentes horizontales desde los extremos superior e inferior de cada círculo de Mohr hasta su intersección con el eje del cortante (vertical). Ello determina los valores de los esfuerzos cortantes principales, asociados con cada par de esfuerzos normales principales: τ13 = 42.426, τ12 = 26.213 y τ23 = 16.213 psi. A pesar de tener únicamente dos esfuerzos normales
11 principales distintos de cero, hay también tres esfuerzos cortantes principales distintos de cero. Sin embargo, sólo el mayor de ellos, τmáx= τ3= 42.426 psi es de interés para efectos de diseño. 12 También podemos determinar los ángulos (con respecto a nuestros ejes xyz originales) de los esfuerzos normales principales y los cortantes principales, partiendo del círculo de Mohr. Estos ángulos, si el material es homogéneo o isótropo, sólo tienen un interés académico. En caso de no ser isótropo, las propiedades del material dependen de la dirección y entonces la dirección de los esfuerzos principales es de importancia. El ángulo 2Φ = -45' de la Figura 4-5a representa la orientación del esfuerzo normal principal con respecto al eje de las x en nuestro sistema original. La línea DC del plano de Mohr está en el eje de las x en el espacio real, y los ángulos se miden de acuerdo con la regla convencional de la mano izquierda de Mohr ---en sentido del movimiento de las agujas del reloj- Dado que en el espacio real los ángulos del plano de Mohr son el doble, el ángulo del esfuerzo principal σ1 con respecto al eje x en el espacio real es Φ = -22.5'. El esfuerzo σ3 será de 90º a partir de σ1 y en el espacio real el esfuerzo cortante máximo τ 13 estará a 45º del eje de σ1.
EJEMPLO 2 Determinación de esfuerzos planos mediante los círculos de Mohr
Problema
Solución
Un elemento de esfuerzo biaxial como se muestra en la Figura 4-2 tiene σx, = 40.000 psi, σy = 20 000 psi y τxy = 10.000 psi en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (ccw). Determínense, mediante círculos de Mohr, los esfuerzos principales. Véanse las Figuras 4-2 y 4-6.
1 Trazamos los ejes del plano de Mohr según se muestra en la Figura 4-6, e identifíquelos como σ y τ. 2 Se señala el esfuerzo dado σx, (como línea OA) a escala a lo largo del eje de esfuerzos normales (horizontal). Nuevamente, en este ejemplo σx, es un esfuerzo de tensión (positivo). 3 Se sitúa el esfuerzo σy (como línea OB) a escala a lo largo del eje de esfuerzos normal. σy es también un esfuerzo de tensión (positivo) y, por lo tanto, aparece en la misma dirección que σx, a lo largo del eje de σ. 4 La Figura 4-2 muestra que el par de esfuerzos cortantes τxy crean un par contra las agujas del reloj sobre el elemento. Este par está equilibrado por el par con las agujas del reloj proporcionado por los esfuerzos cortantes τyx, Recuerde que ambos esfuerzos cortantes (τxy y τyx,), son iguales, de acuerdo con la ecuación 4.2 y positivos, de acuerdo con la regla convencional de signos de esfuerzos. 5 Trazamos una línea vertical hacia abajo de la punta de σx, (como línea AC) para representar la magnitud a escala de τxY. Mediante una línea vertical hacia arriba de la punta de σy (como línea BD) se representa la magnitud a escala de τyx. 6 El diámetro de un círculo de Mohr es la distancia del punto C al punto D. La línea AB atraviesa a la línea CD. El círculo se dibuja tomando esta intersección como centro. 7 Dos de los tres esfuerzos normales principales se encuentran a continuación en las dos intersecciones que este círculo de Mohr hace con el eje de esfuerzos normales en los puntos P1, y P3: σ1 = 44.142 y σ2 = 15.858 psi. Si nos detenemos en este momento, el esfuerzo cortante máximo parece ser τ12 = 14.142 psi, según queda definido por la proyección de una tangente horizontal desde la parte superior del círculo con el eje de las τ, según se muestra en la Figura 4-6b. 8 Dado que en este ejemplo no hay ningún esfuerzo aplicado en la dirección z, se trata de un estado de esfuerzos en dos dimensiones, y el tercer esfuerzo principal, σ3, se sabe que es igual a cero, por lo tanto está localizado en el punto 0, también marcado como punto P3, 9 Todavía quedan dos círculos de Mohr por dibujar. Los tres círculos de Mohr quedan definidos por los diámetros (σ1 – σ3), (σ1 – σ2) y de (σ2 – σ3), los cuales, en este caso, son las líneas P1P3, P1P2 y P2P3, según se observa en la Figura 4-6. 10 Llevamos líneas tangentes horizontales de la parte de los extremos superior e inferior de cada círculo de Mohr hasta cruzar el eje del cortante (vertical). Esto determina el valor de los esfuerzos cortantes principales, asociados con cada par de esfuerzos normales principales: es decir, τ13 = 22.071, τ12 = 14.142 y τ23 = 7.929 psi. El mayor de todos éstos es τmáx= 22.071, y no el valor 14.142 que se determinó en el paso 7.
11 Siempre es el círculo que está entre los esfuerzos principales mayor y menor el que determina el esfuerzo cortante máximo. En el ejemplo anterior, el esfuerzo principal igual a cero no era el menor de los tres, porque uno de los esfuerzos principales era negativo. En este ejemplo, el esfuerzo principal igual a cero es el menor. Por lo tanto, si se dejan de dibujar los tres círculos, se hubiera llegado a un error serio en el valor de τmáx.
APLICACIONES DEL CIRCULO DE MOHR •
Presión de fluidos
•
Profundidad
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Cohesión
•
Sistema magmático
En la ingeniería estructural se utiliza para determinar la carga de rotura, así como el ángulo de la rotura de una fractura de desplazamiento en materiales cerámicos y similares como el hormigón. El círculo de Mohr se utiliza para determinar los ángulos donde esas tensiones sean máximas. Generalmente la rotura se producirá para el caso de tensión principal máxima.
BIBLIOGRAFIA
Breve reseña: http://www.aero.ing.unlp.edu.ar/catedras/archivos/Circulo%20de%20Mohr.pdf Justificación matemática http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/mecanica-ymecanismos/Contenidos/Teoria/1.3.Circulo-Mohr.pdf Tensiones en una barra al considerar secciones oblicuas al eje de la misma http://ibiguridp3.wordpress.com/res/mohr/ Teoría del círculo de Mohr para dos dimensiones: http://www.aero.ing.unlp.edu.ar/catedras/archivos/Circulo%20de%20Mohr.pdf http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/mecanica-ymecanismos/Contenidos/Teoria/1.3.Circulo-Mohr.pdf
Teoría del círculo de Mohr para estados tensionales tri - dimensionales: http://www.aero.ing.unlp.edu.ar/catedras/archivos/Circulo%20de%20Mohr.pdf http://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/mecanica-ymecanismos/Contenidos/Teoria/1.3.Circulo-Mohr.pdf
Ejemplo de aplicación de Circulo de Mohr http://www.aero.ing.unlp.edu.ar/catedras/archivos/Circulo%20de%20Mohr.pdf Aplicación http://www.geociencias.unam.mx/~alaniz/C%C3%ADrculo%20de%20Mohr.ppt