Licenciatura en Seguridad Pública
3er semestre
Estadística para la investigación en seguridad pública
Unidad 3. Estadística inferencial para dos poblaciones
Clave: LIC 01142315 / TSU 02142315
Universidad Abierta y Distancia de México UnADM
Ciencias Sociales y Administrativas| Licenciatura en Seguridad Pública
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Índice Unidad 3. Estadística inferencial para dos poblaciones ....................................................... 3 Presentación de la unidad ................................................................................................... 3 Propósitos............................................................................................................................ 3 Competencia específica....................................................................................................... 4 3.1. Dos muestras independientes ....................................................................................... 4 3.1.1. Intervalo de confianza para dos medias ..................................................................... 5 3.1.1.1. Varianzas conocidas ............................................................................................... 6 3.1.1.2. Varianzas desconocidas ......................................................................................... 7 3.1.1.2.1. Varianzas iguales ................................................................................................. 8 3.1.1.2.2. Varianzas distintas ............................................................................................. 12 Actividad 1. Comparación de medias y proporciones ......................................................... 14 Actividad 2. Pruebas de hipótesis e intervalos de confianza para dos poblaciones ............ 14 3.1.2. Prueba de hipótesis para dos proporciones ............................................................. 15 Actividad 3. Pruebas de hipótesis para dos poblaciones.................................................... 18 Actividad 4. Problemario .................................................................................................... 19 Autoevaluación .................................................................................................................. 19 Evidencia de aprendizaje. Resolución de ejercicios sobre pruebas de hipótesis e intervalos de confianza para dos poblaciones. ................................................................................... 19 Actividades de autorreflexión ............................................................................................. 20 Cierre de la unidad ............................................................................................................ 20 Fuentes de consulta .......................................................................................................... 20 Fuentes cibergráficas......................................................................................................... 21
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Unidad 3. Estadística inferencial para dos poblaciones Presentación de la unidad Bienvenido(a) a la última unidad de la asignatura. En esta unidad se determinarán los intervalos de confianza para la diferencia de dos medias poblacionales y la diferencia de dos proporciones poblacionales; asimismo, se realizan pruebas de hipótesis para las dos situaciones descritas. Figura 1. Muestra poblacional.
En los intervalos de confianza para dos medias se analizan los casos en los que las varianzas son conocidas y cuando son desconocidas (iguales o diferentes).
Propósitos Al término de esta unidad lograrás:
Comprender el procedimiento que permite determinar el intervalo de confianza en el caso de la diferencia de dos medias poblacionales independientes, para las distintas situaciones que se presentan según sea la varianzas de las dos poblaciones.
Aplicar la metodología que permite realizar una prueba de hipótesis para la diferencia de dos medias.
Comprender el procedimiento sobre el cálculo del intervalo de confianza para la diferencia de dos proporciones poblacionales.
Aplicar la metodología sobre la prueba de hipótesis para la diferencia de dos proporciones.
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Competencia específica Comparar dos muestras poblacionales independientes para interpretar información que oriente en la toma de decisiones a través de técnicas de estadística inferencial.
3.1. Dos muestras independientes En las unidades anteriores se estudió la manera de realizar una prueba de hipótesis para una media poblacional y para una proporción poblacional. Ahora se mostrará la forma de realizar una estimación por intervalo y realizar pruebas de hipótesis cuando se tienen dos poblaciones, y lo que interesa es la diferencia entre dos medias poblacionales o la diferencia entre dos proporciones poblacionales.
Este tipo de problema es mucho más frecuente en la vida real, puesto que en muchas ocasiones lo que interesa es hacer un comparativo entre las medias. Por ejemplo, si se desea tomar la decisión sobre el tipo o marca de lámparas que un municipio debe comprar, se pueden comparar las vidas medias de cada tipo de lámpara para decidir.
Si se hiciera una gran cantidad de muestreos para cada uno de los dos tipos de lámparas, se obtuvieran las medias de cada una de las muestras y después se hicieran las __
diferencias de estas por pares, por ejemplo
__
x1 x2 , puede observarse que la distribución
así formada se comporta de manera normal, por tal razón es que resulta posible darle un tratamiento parecido a lo hecho anteriormente. Para hacer una inferencia acerca de la diferencia de las medias de dos poblaciones, se elige una muestra aleatoria simple de tamaño muestra aleatoria simple de tamaño
n1 unidades de la población 1 y otra
n2 unidades de la población 2. A estas dos muestras
que se toman separadas y sin que la elección de la primera afecte a la segunda, se les conoce como muestras aleatorias simples independientes.
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Para que los métodos descritos en las secciones siguientes sean válidos, resulta extremadamente importante asegurarse de que las muestras tomadas sean aleatorias simples independientes, ya que de otra manera los métodos descritos no sirven.
3.1.1. Intervalo de confianza para dos medias Para estimar la diferencia entre dos medias poblaciones aleatoria simple de
1 2 se toma una muestra
n1 elementos de la población 1 y una muestra aleatoria simple de n2
elementos de la población 2, y se calculan las dos medias muestrales: __
x1 la media obtenida de la muestra aleatoria simple de tamaño n1 .
Sea
__
Sea x2 la media obtenida de la muestra aleatoria simple de tamaño n2 .
Si ambas poblaciones tienen distribución normal o si los tamaños de las muestras son suficientemente grandes, por el teorema del límite central se sabe que las distribuciones __
__
muestrales de x1 y x2 pueden ser aproximadas mediante una distribución normal, de __
x1 x2 tendrá una distribución normal cuya media
manera que la distribución muestral de __
es
__
1 2
__
y una varianza dada por 2
12 n1
22 n2
La estimación por intervalo de la diferencia entre las dos medias poblacionales es:
__ __ x1 x2 z 2
12 n1
22 n2
__ __ 1 2 x1 x2 z 2
12 n1
22 n2
En la fórmula puede apreciarse que será necesario conocer la varianzas de las poblaciones, es decir,
2 12 y 21 ; por esa razón se deben considerar dos casos:
Cuando las varianzas son conocidas.
Cuando las varianzas son desconocidas: o
desconocidas pero iguales.
o
desconocidas y distintas.
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3.1.1.1. Varianzas conocidas A continuación se ejemplifica el método para determinar el intervalo de confianza para la diferencia de dos medias cuando las varianzas son conocidas.
Ejemplo (1). Cierta cadena de tiendas de autoservicio tiene dos tiendas, una en la periferia de la ciudad
T1 y otra en un centro comercial T2 . El gerente regional ha
observado que los productos que se venden bien en una tienda no se venden bien en la otra y él cree que esa situación se debe a ciertas diferencias entre los clientes de las dos tiendas, por ejemplo, edad, educación, ingreso, etc.; para corroborar su idea, pide que se investigue la diferencia entre las medias de las edades de los clientes de las dos tiendas.
De acuerdo con datos de estudios anteriores sobre los clientes, se sabe que las desviaciones estándar poblacionales de cada una de las tiendas son
1 9 años y 2 10 años . Solución: si se toma una muestra aleatoria simple de tamaño
n1 clientes de la
población 1 y una muestra aleatoria simple de tamaño
n2 clientes de la
población 2, y se calculan las dos medias muestrales, los valores obtenidos son:
Tamaño de la muestra Media muestral
__
T1
T2
n1 36
n2 49
x1 40 años
__
x1 35 años
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Con esta información, la estimación por intervalo de 1 2 con 95% de confianza se encuentra haciendo:
12
__ __ x1 x2 z 2
n1
40 35 1.96
22 n2
12
__ __ 1 2 x1 x2 z 2
n1
81 100 1 2 40 35 1.96 36 49 5 4.06 1 2 5 4.06
22
n2
81 100 36 49
0.94 1 2 9.06 El valor encontrado puede interpretarse de dos formas:
La diferencia de las edades promedio de las poblaciones de los clientes que van a las tiendas 1 y 2 oscila entre 1 y 9 años.
La edad promedio de los clientes que van a la tienda 1 es mayor entre 1 y 9 años que la edad promedio de los clientes que van a la tienda 2.
3.1.1.2. Varianzas desconocidas Cuando no se conocen las varianzas de las poblaciones, tanto en las estimaciones por intervalo como en las pruebas de hipótesis, se emplea la distribución t de Student en lugar de la distribución normal estándar; es decir, lo que debe hacerse es remplazar las z por t en la fórmula ya conocida:
__ __ x1 x2 z 2
12 n1
22
22
n2
__ __ 1 2 x1 x2 z 2
12 n1
22 n2
Con lo que se obtiene:
__ __ x1 x2 t , n n 2 2 1 2
12 n1
n2
__ __ 1 2 x1 x2 t 2 , n1 n2 2
12 n1
22 n2
Sin embargo, no es posible realizar las estimaciones con la fórmula anterior, pues aún se deben considerar dos situaciones que se resuelven de manera diferente:
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Cuando las varianzas son iguales.
Cuando las varianzas son diferentes.
3.1.1.2.1. Varianzas iguales Generalmente, cuando se estudia una población no se conocen sus parámetros y por ello se toman muestras para estimarlos. En algunos casos se llega a observar que las varianzas de dos poblaciones son muy parecidas, motivo por el que, aun siendo desconocidas, se infiere que son iguales y a partir de esa inferencia se estima el intervalo de confianza para la diferencia de las medias usando la siguiente expresión:
__ __ x1 x2 t , n n 2 s p 2 1 2
1 1 n1 n2
__ __ 1 2 x1 x2 t sp 2 , n1 n2 2
1 1 n1 n2
Por otra parte, la desviación estándar se estima haciendo:
s 2p
n1 1 s12 n2 1 s22 n1 n2 2
Ejemplo (2). Un fabricante de neumáticos asegura que la vida media de sus productos excede en más 1,000 km la vida media de los neumáticos de uno de sus competidores. Para contrastar la afirmación, con un nivel de confianza del 95%, se probaron nueve neumáticos del fabricante y siete de su competidor. En la tabla se muestran la duración de los neumáticos para ambos muestreos, en miles de kilómetros:
Fabricante
66.4
61.6
60.5
59.1
63.6
61.4
62.5
Competidor
58.2
60.4
55.2
62.0
57.3
58.7
56.1
64.4
60.7
a) Calcular la media y la varianza de cada muestra. b) Explicar qué tipo de modelo de probabilidad sigue la diferencia de medias. c) Determinar el intervalo de confianza. Solución: a continuación se presentan los cálculos necesarios para dar respuesta a cada uno de los incisos.
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a) Para la muestra del fabricante, se tiene:
66.4 61.6 60.5 59.1 63.6 61.4 62.5 64.4 60.7 9 62 .24
__
x1
66.4 - 62.24 2 61.6 - 62.24 2 60.5 - 62.24 2 59.1 - 62.24 2 63.6 - 62.24 2 61.4 - 62.24 2 2 2 2 62.5 - 62.24 64.4 - 62.24 60.7 - 62.24 2 s 9 1
1
5.03 Para la muestra del competidor: __
58.2 60.4 55.2 62.0 57.3 58.7 56.1 7 58 .27
x2
58.2 - 58.27 2 60.4 - 58.27 2 55.2 - 58.27 2 62.0 - 58.27 2 57.3 - 58.27 2 58.7 - 58.27 2 56.1 - 58.27 2 s2 9 1
2
5.61 b) Como no se conocen las varianzas poblacionales, y al encontrar las varianzas muestrales se ve que sus valores son cercanos, se puede considerar que la diferencia de medias distribuye como t de Student con
n1 n2 2 grados de libertad. Para los grados de libertad se hace:
n1 n2 2 14 c) Para determinar el intervalo de confianza, primero se debe estimar la 2
varianza ponderada s p
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s 2p
9 1 5.03 7 15.61 972
5.284
Por tanto, la desviación estándar será s p 2.298
Para el intervalo de confianza se sustituyen los valores calculados en: __ __ x1 x2 t , n n 2 s p 2 1 2
1 1 n1 n2
__ __ 1 2 x1 x2 t sp 2 , n1 n2 2
1 1 n1 n2
Con lo que se obtiene:
62 .24 58 .27 2.145 2.298
1 1 9 7
1 2
Y al mismo tiempo
1 2 62 .24 58 .27 2.145 2.298
1 1 9 7
Por tanto: 3.97 2.484 1 2 3.97 2.484 1.486 1 2 6.454
Como la diferencia de las medias poblacionales está entre 1,486 km y 6,454 km, se puede concluir que la afirmación del fabricante es cierta.
Se recordará que en la unidad 2 se vio la relación entre intervalos de confianza y pruebas de hipótesis. En esa misma línea de ideas, puede mostrarse que la metodología descrita también es aplicable para el caso de dos poblaciones y la diferencia de sus medias. Ejemplo (3). Para la situación descrita en el ejemplo 2, ahora se probará la hipótesis de que la vida de los neumáticos del fabricante excede en más 1,000 km la vida media de los neumáticos de uno de sus competidores. Ciencias Sociales y Administrativas| Licenciatura en Seguridad Pública
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SoluciĂłn: siguiendo los pasos descritos con anterioridad para la prueba de hipĂłtesis:
1) ParĂĄmetro
medias poblacionales ď 1 y ď 2
2) HipĂłtesis nula
H 0 : ď 1 ď€ ď 2 ď‚Ł 1000 km
3) HipĂłtesis alternativa
H1 : ď 1 ď€ ď 2  1000 km
4) Nivel de significancia
ď Ą  0.05 Probabilidad del 0.95 95% de confianza
5) EstadĂstica
tď Ą , n1 n2 ď€2
6) Datos
x1  62,200 km , s1  2,240 km
__
__
x2  58,270 km , s2  2,370 km
7) EstandarizaciĂłn
Valor crĂtico
8) DecisiĂłn
t0 
62 .2 ď€ 58 .27  ď€ 1  2.529 2.2987 
1 1  9 7
tď Ą  1.76 Rechazar đ??ť0 y aceptar đ??ť1 dado que t0  t0.05,14
ConclusiĂłn
La vida media de los neumĂĄticos del fabricante sĂ excede en mĂĄs de 1,000 km. a la vida media de los neumĂĄticos del competidor.
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Región de no rechazo de Ho
Región de rechazo
t0.05,14 1.76
t0 2.529
Tal y como se esperaba, las conclusiones obtenidas con ambas metodologías son las mismas.
3.1.1.2.2. Varianzas distintas Cuando se desconocen las varianzas y se ha monitoreado el comportamiento de las poblaciones, hay casos en los que se observa que las varianzas de dos poblaciones son muy diferentes, de manera que se estiman con las varianzas muestrales; a partir de esa inferencia el intervalo de confianza para la diferencia de las medias se determina con:
__ __ x1 x2 t 2
s12 s22 n1 n2
__ __ 1 2 x1 x2 t 2
s12 s22 n1 n2
Los grados de libertad de t de Student se calculan haciendo:
s12 s12 n1 n1
s
s
2 2 1
n1 n1 1
2
2 2 2
n2 n2 1
Otra forma de escribir la fórmula anterior es: 2
1 n1 1
s12 s12 n1 n1 s12 2 1 n1 n2 1
s 2 2
2
n2
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Ejemplo (4). Se realiza un estudio para identificar diferencias entre los ingresos de los empleados de dos empresas; se toma una muestra aleatoria simple de 28 empleados en la primera y otra muestra aleatoria simple e independiente de 22 empleados en la segunda.
Se determina la media y la desviación estándar y se muestran los datos resumidos: Empresa 1
Empresa 2
n1 28
n2 22
Media muestral
x1 $1,025
x1 $910
Desviación estándar muestral
s1 $150
s2 $125
Tamaño de la muestra __
__
Se desea estimar la diferencia entre el sueldo medio de los trabajadores de la empresa 1 y el sueldo medio de los trabajadores de la empresa 2. Solución: primero se determinan los grados de libertad para obtener t α/2:
2
150 2 125 2 28 22 v 47 .8 2 2 1 150 2 1 125 2 28 1 28 22 1 22 Como el resultado no es un número entero, se redondea hacia el número entero inferior 47 para tener un valor t mayor y dar una estimación por intervalo más prudente. En la tabla de la distribución t para 47 grados de libertad, se encuentra
t0.025,47 2.012
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El intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre dos medias poblacionales se calcula como sigue:
115 2.012
150 2 125 2 1 2 115 2.012 28 22 115 78 1 2 115 78
150 2 125 2 28 22
36 .71 1 2 193 .28 Por tanto, el sueldo medio de los empleados de la empresa 1 excede en, al menos, $36.00 el sueldo medio de los empleados de la empresa 2 y, cuando mucho, en $194.00.
Actividad 1. Comparación de medias y proporciones Ahora realiza la primera actividad de la unidad, para ello:
Dirígete a tu aula virtual.
Revisa las instrucciones de la herramienta.
Atiende a las indicaciones de tu Docente en línea.
Actividad 2. Pruebas de hipótesis e intervalos de confianza para dos poblaciones Para concluir el tema es importante que también realices la presente actividad, para ello:
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Revisa las instrucciones de la herramienta.
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3.1.2. Prueba de hipótesis para dos proporciones En la unidad anterior se realizaron pruebas de hipótesis cuando se deseaba tomar una decisión sobre una hipótesis en particular, ahora se realizará una prueba de hipótesis sobre la diferencia entre las proporciones de dos poblaciones, de manera que las tres formas de las pruebas de hipótesis son:
H 0 : p1 p2 0 H1 : p1 p2 0
H 0 : p1 p2 0 H1 : p1 p2 0
H 0 : p1 p2 0 H1 : p1 p2 0
Puede apreciarse que en todas las hipótesis consideradas se usa el cero como la diferencia de interés; por ejemplo, si se supone que H 0 , considerada como igualdad, es verdadera, se tiene p1 p2 0 , lo que equivale a decir que las proporciones poblacionales son iguales, es decir, p1 p2
La distribución muestral de la diferencia de proporciones se puede aproximar mediante una ___
distribución binomial, que tiene una proporción p , obtenida de combinar los estimadores ___
___
puntuales de las dos muestras, p1 y p2 . El estimador puntual de p es denominado ___
___
estimador combinado de p , y es un promedio ponderado de p1 y p2 , es decir: ____
____
n p n p p 1 1 2 2 n1 n2
___
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____
____
____
Por otra parte, con muestras grandes, es decir, cuando n1 p1 , n1 1 p1 , n2 p2 y
____ n2 1 p2 sean todos mayores o iguales a 5, el estadístico de prueba para pruebas de ___ ___
hipótesis acerca de p1 p2 está dado por: z0
___
p1 p2
___
__ 1 1 p 1 p n1 n2
__
Ejemplo (5). Una compañía de perfumes desea comercializar una nueva fragancia, por lo que su departamento de mercadotecnia debe saber si hay diferencia en las proporciones de mujeres jóvenes y mayores que comprarían el perfume. Se muestrean dos poblaciones independientes: mujeres jóvenes y mujeres mayores y se consideran un nivel de confianza del 95%.
Mujeres jóvenes
Mujeres mayores
Tamaño de la muestra
100
200
Si les gustó
19
62
Solución: siguiendo los pasos descritos con anterioridad para la prueba de hipótesis: 1) Parámetro
proporciones poblacionales p1 y p2
2) Hipótesis nula
H 0 : p1 p2 0
3) Hipótesis alternativa
H1 : p1 p2 0
4) Nivel de significancia
0.05 Probabilidad del 0.95 95% de confianza
5) Estadística 6) Datos
z
2
____
19 0.19 100
____
62 0.31 200
p1
p2
___
p
100 0.19 200 0.31 0.27 100 200
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z0
7) Estandarización
0.19 0.31 0.27 1 0.27 1 1 100 200
z0 2.2069 z 1.96
Valor crítico
2
Rechazar H 0 y aceptar H1
8) Decisión
dado que z0 z0.25
Conclusión
Se rechaza la hipótesis de que la proporción de mujeres jóvenes que compraría la fragancia es igual a la proporción de mujeres mayores
Región de rechazo
Región de no rechazo de Ho
Región de rechazo
z0 2.2069 z0.25 1.96
Ejemplo (6). Para el problema descrito en el ejemplo 5 se determinará el intervalo de confianza para la diferencia de proporciones. Solución: ahora se calculará el intervalo de confianza usando:
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__ ____ ____ __ 1 1 p1 p2 z0 p 1 p p1 p2 n1 n2 __ ____ ____ __ 1 1 p1 p2 z0 p 1 p n1 n2
Sustituyendo los valores calculados se tiene:
0.19 0.31 1.96
1 1 0.27 1 0.27 p1 p2 100 200
Y al mismo tiempo: 1 1 p1 p2 0.19 0.31 1.96 0.27 1 0.27 100 200
Por tanto: 0.12 0.1065 p1 p2 0.12 0.1065 0.226 p1 p2 0.013
De aquí puede verse que la proporción de la primera población (mujeres jóvenes) siempre será menor que la proporción de mujeres mayores; este resultado es consistente con lo que se concluyó en el ejemplo 5.
Actividad 3. Pruebas de hipótesis para dos poblaciones Ahora, realiza tu actividad, para ello: Dirígete a tu aula virtual. Revisa las instrucciones de la herramienta. Atiende a las indicaciones de tu Docente en línea.
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Actividad 4. Problemario Para concluir el tema es importante que también realices la presente actividad, para ello:
Dirígete a tu aula virtual.
Revisa las instrucciones de la herramienta.
Atiende a las indicaciones de tu Docente en línea.
Autoevaluación Con la finalidad de realizar un ejercicio de repaso acerca de los conceptos más importantes estudiados en la unidad, resuelve el ejercicio de autoevaluación que se encuentra en la pestaña de la unidad.
Evidencia de aprendizaje. Resolución de ejercicios sobre pruebas de hipótesis e intervalos de confianza para dos poblaciones
La evidencia de aprendizaje es la actividad integradora de la unidad, por lo tanto, es importante que:
Recuperes los contenidos vistos en la unidad.
Revises las instrucciones de la herramienta.
Atiendas las indicaciones de tu Docente en línea.
En caso de ser necesario, corrige y envía nuevamente tu trabajo.
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Actividades de autorreflexión Además de enviar tu trabajo de la evidencia de aprendizaje, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexión y consultes las preguntas que tu Docente en línea exponga.
Cierre de la unidad En esta última unidad se determinaron intervalos de confianza tanto para la diferencia de dos medias poblacionales como para la diferencia de dos proporciones poblacionales. Se revisó que para la determinación de los intervalos de confianza para dos medias debían analizarse los casos en los que las varianzas son conocidas, o aquellos cuando son desconocidas pero se pueden considerar iguales, y finalmente, cuando son desconocidas pero se sabe que son diferentes.
Adicionalmente, y puesto que se sabía de una relación entre los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis, se realizaron pruebas de hipótesis para la diferencia de dos medias con la intención de comparar los resultados obtenidos con ambos procedimientos.
Se revisaron y aplicaron los procedimientos para la determinación del intervalo de confianza y para la realización de una prueba de hipótesis en el caso de la diferencia de dos proporciones.
Fuentes de consulta
Anderson, D. R. (2012). Estadística para administración y economía (11ª ed.). México: Cengage Learning.
Berenson, M. L. (2001). Estadística para administración (2ª ed.). México: Pearson Education.
Devore, J. L. (2012). Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias (11ª ed.). México: Cengage Learning.
Hoel, P. G. (1991). Estadística Elemental (4ª ed.). México: CECSA.
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Kazmier, L. y Díaz, A. (2006). Estadística aplicada a administración y a la economía (4ª ed.). España: McGraw-Hill.
Lind, D. A., Mason, R. D. y Marchal, W. G. (2001). Estadística para administración y economía (3ª ed.). México: McGraw-Hill.
Lind, D. A., Marchal, W. G. y Whaten, S. A. (2008). Estadística aplicada a los negocios y la economía (13ª ed.). México: McGraw-Hill.
Mayes, A. C. y Mayes, D. G. (1980). Fundamentos de estadística para economía. México: Limusa.
Naiman, A., Rosenfeld, R. y Zirkel, G. (1987). Introducción a la Estadística (3ª ed.). México: McGraw-Hill.
Nieves, A. y Domínguez, F. C. (2010). Probabilidad y estadística para ingeniería. México: McGraw-Hill.
Pagano, R. R. (2011). Estadística para las ciencias del comportamiento (9ª ed.). México: Cengage Learning.
Ross, S. M. (2008). Introducción a la estadística. España: Editorial Reverté.
Fuentes digitales (s. a.). (2012). Apuntes de Estadística. Recuperado de http://es.scribd.com/doc/53222205/APUNTES-COYT
(s. a.). (s. f.). Pruebas de hipótesis para la media con muestra grande. Recuperado de http://marcelrzm.comxa.com/EstadisticaInf/
Vitutor. (2010). Problemas de contraste de hipótesis. Recuperado de http://www.vitutor.com/estadistica/inferencia/c_e.html
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