Evolution et roles des mathematiques

Par Ahmed BENMOUSSA MathĂŠmaticien

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EVOLUTION ET PORTEE DES MATHEMATIQUES

Ahmed BENMOUSSA Mathématicien

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PRÉSENTATION DE L'AUTEUR AHMED BENMOUSSA est un mathématicien, né en 1932 à Rabat au Maroc.

Après des études supérieures en mathématiques à la Faculté des Sciences de Rabat, puis à Montpellier, en France, il retourne au Maroc où il intègre l’Administration Publique au sein du Ministère des Travaux Publics, dans lequel il occupe plusieurs fonctions de haute responsabilité. Il a ensuite rejoint l’Ecole Hassania des Ingénieurs de Casablanca en qualité de Professeur des mathématiques.

Après une vingtaine d’années de bons et loyaux services, dans le Service Public, couronnés par une Décoration d’Officier de l’Ordre du Trône, il quitte l’Enseignement Supérieur pour se lancer, à son propre compte, dans le Secteur Privé.

Passionné de mathématiques, il décide d’écrire et de livrer cet ouvrage, achevé en 1975, en tant que modeste contribution de sa part, sur l’Evolution et la Portée des Mathématiques, en se référant aux recherches et ouvrages disponibles à cette époque.

Les moteurs de recherche en informatique n’existaient pas à l’époque au Maroc, à la grande exploitation du public, ils logeaient dans la « matrice » de la science informatique.

La conception de cet ouvrage a été réalisée en 1975. Son édition a été effectuée en 2016.

Souhaitons du plaisir aux lecteurs de cet ouvrage.

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INTRODUCTION Personne ne pourrait nier aujourd’hui l'importance, le rôle et la portée des mathématiques, ni remettre en question l’image de marque incrustée sur le « Marché » de la connaissance humaine.

Les mathématiques ne sont plus seulement une science quelconque, mais la plus parfaite d’entre les sciences, car elles sont la pierre angulaire de notre culture, le fer de lance qu’elles impriment tant au niveau de la pensée scientifique, de la connaissance qu’à celui des applications multiples.

En plus de leur perfection, les mathématiques constituent un instrument méthodologique, l’élément véhiculaire modèle de toutes les sciences, à telle enseigne que le degré d’une science se révèle par son degré de mathématisation.

Et comme Simone GOYARD FABRE dans « l’esprit des mathématiques », nous lisons que « la mathématique est le miroir de notre pensée, le révélateur de nos pouvoirs et nos limites, l’image de notre raison ».

Comme science, les mathématiques se distinguent comme une recherche fondamentale où s’interfèrent harmonieusement théorie et généralité.

Comme conscience d’ordre scientifique, les mathématiques agissent de telle sorte que chacune de leur découverte s’intègre dans une théorie générale des structures.

Comme art de pensée, les mathématiques s’articulent sur la rigueur et la clarté du raisonnement. Et raisonner mathématiquement, c’est user de l’art de convaincre pour accéder à la certitude, grâce à une logique immanente. Et dans cette « gymnastique », tout l’esprit est à l’œuvre qu’éclaire l’intelligence, grâce à elle, le mathématicien saisit son objet, son problème et découvre ou invente la solution attendue.

De quelles mathématiques s’agit-il ?

On a souvent opposé mathématiques classiques et mathématiques modernes.

Il n’y a pas deux mathématiques, les unes modernes, les autres classiques.

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Leur unification est parfaite et les mathématiques varient d’une certaine dynamique évolutive.

Autrefois, on enseignait les mathématiques d’une certaine manière. Mais par la suite, d’autres dispositions disciplinaires ou pédagogiques se font sentir avec l’emploi d’un nouveau langage, de nouveaux symboles.

De sorte qu’il faut absolument bannir les qualificatifs « classique », « nouvelles », « modernes ». Car il n’y a pas de rupture entre les mathématiques d’hier et celles d’aujourd’hui. Le père des mathématiques modernes est véritablement EUCLIDE du 3ème siècle avant J.C. Déjà, il avait énoncé le fameux axiome : « le tout est plus grand qu’une de ses parties ». Et cet axiome se retrouve enseigné, au XXe siècle, dans la théorie des ensembles !

Cantor, dès 1874 proposa sa théorie des ensembles : en particulier il a réussi à résoudre le premier problème fondamental de cette théorie qui fut celui de l’équipotence de N (ensemble des entiers naturels), et de Q(ensemble des entiers rationnels). Et c’est toujours Cantor qui établit à l’époque la non équipotence de N et de R (ensemble des nombres réels).

Et l’impulsion de Cantor sur la théorie des Ensembles a été poursuivie par d’autres mathématiciens : BOURBAKI, WEISTRASS, BOLZENO, DEDIKUID etc…

De sorte qu’on peut dire que la mathématique est une. Cette mathématique, comme science une indivisible, quel est son objet ?

Les mathématiques ont pour essence l’étude des objets abstraits et non abstraits, c’est-à-dire entièrement formulés et conçus de par leur définition, de sorte leurs « manifestations » sont les conséquences uniques des éléments de cette définition.

Ces objets précisément définis ne sont pas exclusivement d’origine scientifique.

Aux objets abstraits, fruit de pensée du mathématicien s’ajoutent d’autres objets d’origine scientifiques (cas des sciences exactes et expérimentales) et les autres objets « hors » des sciences exactes (économie, industrie, informatique, sociologie, médecine, linguistique, musique etc…)

Ainsi le mathématicien travaille tant pour son compte propre que pour les autres disciplines.

Car les mathématiques sont devenues un instrument de travail du fait de la méthode, de la logique, de la rigueur qu’elles impriment dans l’étude des objets soumis.

Jusqu’aux sciences humaines, on assiste aujourd’hui à l’utilisation des mesures, de la statistique, du calcul des probabilités à telle enseigne que toute discipline s’érigeant en science n’y accède que par son degré de mathématisation.

Alors, les mathématiques possèdent-elles un objet « sui généris », se basent-elles sur une réalité essentielle, constituent-elles une forme de pensée, sans peut-être 8

un contenu, mais véhiculant une structure susceptible de servir à tout appel ?

Platon pensait déjà que « la mathématique emporte l’âme vers sa vraie Patrie et lui permet de contempler les paradigmes dont les apparences sensibles ne sont qu’un reflet indigent ». Descartes, lui, voyait en elle « une science éblouissante de clarté et d’évidence où l’activité intellectuelle atteint une intensité la plus haute, une science qui par sa méthode, recherche la vérité dans les autres sciences ».

Même Dieu, le créateur de l’Univers a pu se définir, donc exister par les lois mathématiques où s’imbrique une certaine philosophie.

Raymond ROYE n’a-t-il pas écrit dans son livre « La Gnose de Princeton » : Des phénomènes que nous observons, leur régularité ne peut venir que d’une réalité indépendante de nous et que la science même ne peut décrire, car tout ce que nous savons par la science passe nécessairement par le filtre de nos sens, de nos systèmes intellectuels qui ne sont jamais que des outils…

Et cette réalité indépendante ne peut être que Dieu, à condition de le dépouiller de sa barbe blanche et de ses attributs naïfs ».

Ainsi le philosophe contemporain trouve dans les mathématiques l’aliment de sa réflexion.

De même le médecin de l’Hôpital y trouve également son adjuvant essentiel au développement de sa technique médicale, par l’introduction de l’informatique, en associant la rigueur de la technologie née des mathématiques, à la substralité et à la variance complexe de la nature humaine.

La sociologie utilise souvent les mathématiques dans la formulation des mythes, par exemple, et trouve ainsi une discipline auxiliaire dans l’explication raisonnée de la science humaine.

Malgré la divergence des objectifs des mathématiques et de l’Art, il arrive souvent à l’artiste « savant » d’appliquer la logique mathématique aux différentes composantes des arts.

Bien plus, certains musicologues ont essayé même jusqu’à traduire en musique en appliquant la théorie des ensembles.

Enfin, et cela paraitrait étrange, dans le monde où nous vivons, dominé par les influences multiformes et changeantes, les mathématiques, par les nouvelles théories des sousensembles flous, s’introduisent petit à petit par la formulation des lois régissant par exemple, le comportement de l’homme dans ses décisions, la variance des secrétions multiples de son cerveau et la maximilisation de la décision dans l’incertain.

Peut-être, dans un proche avenir, grâce aux mathématiques on créera des machines qui traduiront les langues, qui expliciteront les intentions des humains et qui aideront certainement ces derniers à prendre des décisions sages dans l’incertain.

Voilà l’objet de cet ouvrage.

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PREMIERE PARTIE L’EVOLUTION DES MATHEMATIQUES

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’homme nait mathématicien sans le savoir, car au cœur de notre vie quotidienne, nous usons de la mathématique : mettre une veste ou un manteau, c’est faire de la topologie ; contourner une maison pour aller chez le voisin, c’est tenir compte du groupe des déplacements ; monter des escaliers, degré par degré ou monter en sautant les degrés, c’est utiliser la transitivité de la relation d’ordre, utilisée dans la théorie des ensembles ; croire en Dieu ou ne pas y croire, c’est faire de l’arithmétique (pour le monothéiste, il y a un (1) Dieu, pour l’athée, il y a zéro Dieu.

Ainsi comme dit LEJEUNE DIRICHLET, les Mathématiques ont toujours tendu à substituer les idées (et les faits) aux calculs (ou aux faits mathématiques).

Examinons alors le développement de ces principes mathématiques chez l’homme au cours des différentes ères de son Histoire, autrement dit, étudions l’évolution historique des Mathématiques.

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CHAPITRE I EVOLUTION HISTORIQUE DES MATHEMATIQUES A- L’ère précolombienne L’Histoire nous apprend que les Mayas et les Aztèques ont créé « leur mathématique », et cela 38 siècles avant J.C. Leurs investigations ont porté spécialement sur le calcul du temps, sur l’établissement d’un calendrier et sur l’étude des évènements à caractère astronomique. Toute leur science semble être basée sur un système de numération à base 20. (Rappelons que notre système de numération est à base 10).

Mais l’ère précolombienne s’est vite éteinte

B- L’ère chinoise Au cours de la période préhistorique (13 siècles avant J.C.) les anciennes inscriptions et manuscrits ont laissé poindre une culture mathématique par l’introduction d’un système de numération décimal équivalent au nôtre, par l’emploi d’une certaine algèbre basée sur les équations du 1er degré.

Mais avec la conquête mandchoue, cet « essor mathématique chinois » s’est dissout.

Un autre essor allait voir le jour au Moyen Age. Au cours de cette période, la pensée scientifique chinoise a été dominée par des lettrés qui, sans une base logique formelle et rigoureuse ont manifesté néanmoins, une certaine aptitude à l’observation, aux classifications et aux enchainements analytiques.

Une des expressions de l’esprit d’observation chinoise apparaît dans l’œuvre de Sell-ma Tsieu qui a consigné en termes rationnels les faits et gestes de ses compatriotes. Aussi, le développement de la science chinoise apparaît dès le XIème siècle sous l’influence des nécessités pratiques, bien que les bouddhistes se désintéressaient des choses de ce monde.

L’œuvre des mathématiques en Chine a été basée à l’époque sur l’élaboration des traités, des extraits donnés en citations. Ce fut pendant la période des Huns.

Comme œuvre connue, on peut citer : a) le manuel arithmétique du Maître SOUEN qui traita des équations indéterminées.

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b) le classique des calculs de TCHANG KIOU KIEN qui traite des progressions arithmétiques et des fractions : on utilisait la méthode de division des fractions consistant à multiplier par l’inverse de la fraction diviseur. Cette méthode que l’on suit d’ailleurs de nos jours, a été utilisée par l’indien MAHAVIRA et plutard par l’européen STIFER en 1544. c) la technique de culture de TSOU TCH’OUNG où l’on trouve le calcul précis de π(= 3,14…).

Le fils de ce mathématicien a calculé le volume de la sphère en utilisant les résultats des calculs de son père du nombre π. d) la suite au classique des calculs des anciens par WANG HIAO-T’ONG où l’on peut trouver la résolution des équations du 3ème degré.

L’intercommunication entre mathématiciens Indous et Chinois amène ces derniers à utiliser les connaissances des premiers sur la Trigonométrie et la numération décimale. e) « Miroir marin de cercles mesurés » et « Nouveaux exercices de calcul » de LIYE sont deux traités concernant entre autres, les propriétés des cercles inscrits dans le triangle et la résolution des équations jusqu’au 10ème degré. f) « Règles de calcul » en neuf chapitres de YANG HOUER où l’on trouve l’étude sur la série des carrés des nombres entiers et les équations à cinq inconnues. g) enfin TCHOU CHE KIE procéda à l’étude sur les coefficients d’un binôme et présenta ainsi avant terme le fameux triangle de PASCAL. Dans le domaine de l’astronomie, il existait un bureau de l’Astronomie qui relevait toutes les positions et les changements célestes et créait ainsi un répertoire des techniques mathématiques nécessaires à l’établissement des calendriers prévoyant ainsi les éclipses et les mouvements planétaires.

Par la suite, toujours au XIème siècle, et sous la dynastie des SONG, LIEON HISON établit « les tables chronologiques » et SON SONG élabore dans son traité « Nouveau plan pour une sphère armillaire à l’horlogerie », l’étude de l’horloge astronomique à échappements, et des globes célestes accompagnés de cartes à projections cylindriques, ce qui a « catalysé » peut être les travaux conçus de MERCADOR au XVIème siècle.

Enfin CHEN KOUA élabora vers la fin du XIème siècle le calendrier solaire qui ne fut accepté par le monde occidental qu’en 1912.

On peut dire, en conclusion, que la pensée scientifique chinoise a été l’image de l’âme chinoise suivant la tradition de l’époque qu’embrassait l’humain et le social, délaissant quelque peu les spéculations scientifiques abstraites.

Mais ce sont les spéculations d’ordre abstraites qui conditionnent l’épanouissement d’une pensée vraiment scientifique, la pratique n’est qu’un dérivatif en théorie.

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C- L’ère Gréco-romaine 1- De par la nature, le grec aime le voyage, le contact avec les autres civilisations.

L’Histoire nous a appris que de nombreux mathématiciens grecs ont séjourné longtemps en Egypte et en Mesopotamie. Mais au lieu de copier servilement leurs maîtres, ils ont fondu toute une science basée sur la déduction et la rigueur.

Plusieurs écoles se sont alors manifestées : Il y a d’abord l’Ecole de Thalès (VIème siècle avant J.C.) et son fameux théorème de géométrie élémentaire.

Vient ensuite PYTHAGORE et ses disciples. Grâce à eux quatre disciplines mathématiques ont été mises en évidence : une arithmétique (la fameuse table de Pythagore est encore enseignée dans nos écoles), une arithmétique des intervalles musicaux, une géométrie plane et une géométrie sphérique.

Seulement le tournant scientifique et philosophique pris au cours du 4ème siècle avant J.C. a fait dévaluer les idées pythagoriennes qui ont trop embrassé une certaine mystique des nombres, ce qui a cédé le pas à EUCLIDE (IIIème siècle avant JC) et son école, qui est considérée actuellement par certains, comme le père des mathématiques dites modernes ».

Son école, centrée à Alexandrie avait comme disciples principaux PROCLUS, PAPPUS, DIOPHANTE. Les fameux « Eléments » d’EUCLIDE ont fait tache d’huile dans l’histoire des mathématiques ; car ils ont fixé l’idéal de la connaissance vraie par la méthode axiomatique.

La pierre angulaire des « Eléments » d’EUCLIDE est basée sur les axiomes et postulats. Un axiome, rappelons-le, est l’affirmation d’une propriété non prouvée par démonstration classique mais admise telle quelle. Et aujourd’hui, postulats et axiomes se confondent.

Exemple : deux grandeurs égales à une même troisième sont égales entre elles.

Ce principe subsiste actuellement dans la théorie des ensembles dans le chapitre des groupes et corps, mais avec des symboles nouveaux et notations spéciales.

Autre exemple d’un postulat : « par un point extérieur à une droite, il passe exactement une parallèle et une seule à cette droite ».

Ainsi sur des axiomes et postulats, EUCLIDE et ses disciples, ont monté toute une discipline tablée sur un certain nombre de définitions et démonstrations découlant les unes des autres.

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Il s’en est suivi une science mathématique qu’on appelle la géométrie où l’intuition et l’esprit créateur sont prépondérants. Et c’est par la résolution d’un problème de géométrie qu’on peut tester la valeur mathématique d’un élève et non pas sur la résolution mécanique d’une équation où la routine y joue profondément.

ARCHIMEDE, quant à lui, a créé d’autres « chapitres » des mathématiques. Sont dûs à ce savant et à ces disciples, le calcul du nombre π, par approximations successives ; le calcul du volume du cylindre et de la sphère ; la quadrature (c’est-à-dire logotrigonométrie) du segment parabolique ; l’emploi des moments statiques, du centre de gravité etc…

C’est ce qui a donné naissance à la mécanique classique et au calcul intégral.

La science archimédienne alliant le souci de l’application à la recherche de la rigueur parfaite : elle s’est ouverte ainsi au type de connaissance de la science moderne telle qu’on la veut aujourd’hui.

Mais l’avènement du christianisme, son hostilité à l’apport scientifique, a placé les mathématiciens alors, à la crainte, à l’aversion et à la persécution.

Et ce fut au monde arabe de recueillir et de développer, l’héritage scientifique des grecs, en même temps, d’ailleurs, que celui des Hindous.

2- Pour le monde scientifique romain, son objectif était de lier l’astronomie, l’astrologie et la divination. Les ouvrages parvenus, tels Astronomica par MINILIUS (1er siècle avant J.C.) traitent de l’origine du monde, de la configuration du ciel, de l’action des planètes et des constellations sur la vie humaine ; la détermination d’une loi absolue régissant les mondes céleste et terrestre.

Comme autre ouvrage, on peut citer : « Grand traité mathématique » sur l’Astronomie ou Almageste, composé par PTOLEMEE au 2ème siècle avant J.C. Cette œuvre est grandiose, car traitée par les moyens purement mathématiques pour réaliser tout un domaine de l’Astronomie sphérique et ses nombreuses applications.

D’ailleurs, la doctrine astronomique de PTOLEMEE a prévalu pendant quatorze siècles jusqu’à l’évènement de COPERNIC. Parallèlement à cette œuvre, on retrouve le savant MENELAS D’Alexandrie (vers la fin du 1er Siècle) qui, en plus de ses travaux astronomiques, a écrit trois volumes intitulés « sphériques » parvenus à l’Occident en arabe et en latin.

Ces éléments traitent des éléments de la trigonométrie sphérique avec l’élaboration des tables permettant de résoudre certains problèmes pratiques de l’astronomie.

Pour ce qui est des mathématiques pures, NERON d’Alexandrie fut considéré pendant longtemps comme l’un des précurseurs des mathématiques de 16

l’Antiquité. Directeur de l’Ecole Mécanique d’Alexandrie, il a écrit des ouvrages encyclopédiques : Géométrie, Géodésia, Métrica, Pneumatica) définition (traité d’Algèbre).

Vers la fin du 4ème siècle, PAPPUS d’Alexandrie a élaboré une œuvre dite « Collectio-mathématica » en huit volumes qui sont un résumé synthétique et critique sur la géométrie grecque, sur EUCLIDE et PTOLEMEE. DIOPHANTE d’Alexandrie a laissé treize ouvrages sur l’Arithmétique et un ouvrage sur les nombres dits polygonaux.

Ses travaux sur l’Algèbre ont porté sur l’élaboration des formules compliquées donnant des solutions rationnelles à certains problèmes.

Astronomie, Mathématiques Pures, ce ne furent pas les seules sciences de l’Antiquité.

Avec ARCHIMEDE, une ère scientifique nouvelle est apparue : La Mécanique. Mais déjà, au cours du 1er siècle, l’Ecole Arisoticienne préconisait l’étude du mouvement uniforme, la théorie des leviers, la définition de la résistance s’opposant aux poids, le principe de la proportionnalité entre la vitesse et la résistance, entre la vitesse d’un corps qui tombe et son poids, le principe de l’inertie.

Ces œuvres furent transmises, traduites et commentées, par les grecs et les arabes, à l’Occident, au cours du XIVème siècle.

Si ARISTOTE et ses disciples étudièrent par exemple le mouvement et surtout l’effet du levier, comme dérivant de la nature du cercle et la roue, une lacune subsistait cependant ; l’absence du centre de gravité dans les études sur la Mécanique. ARCHIMEDE, et plutard ses disciples comme HERON d’Alexandrie donnèrent la définition du centre le gravité qui joue un rôle essentiel en mécanique.

Dans ce cadre HERON écrivit un ouvrage sur la mécanique intitulé : « Equilibre des figures planes et les corps flottants, connu par sa traduction arabe.

Il étudia ainsi, le treuil, la poulie, le levier, le moulin à vent, l’utilisation de l’air chaud, expliqua qu’une force moindre pourra équilibrer ou soulever un corps plus lourd et traita enfin de la théorie des engrenages dans l’ouvrage dit « Barulans ».

Mais au cours de cette ère romaine, l’évolution de la science mathématique et de la mécanique, considérée comme branche des mathématiques, car utilisant des « supports » mathématiques dans son élaboration, a été stoppée, bannie, condamnée par l’Eglise.

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L’Eglise, puissance de l’époque, ne pouvait admettre que la destinée humaine puisse être régie par la loi de l’homme savant et païen !

Sa conception du libre arbitre de l’humanité s’écartait de beaucoup de celle suivie par les savants de l’époque. L’évolution scientifique romaine devint décadente, mais laissa aux survivants scientifiques un héritage qui fut développé et fécondé par la suite.

D-L’ère indienne Les routes commerciales et les relations conséquentes créées et développées au cours de l’ère greco-romaine, ont laissé dans la Péninsule Indienne des « retombées » scientifiques importantes.

D’abord l’Astronomie, toujours à « la page ».

Outre une semi hellénisation de l’astronomie indienne, car beaucoup d’emprunts d’expression grecque se trouvent dans le langage scientifique indien, l’Astronomie indienne a subi sa propre évolution.

C’est ainsi que la trigonométrie fait son apparition dans cette science, ce qui a permis de mieux expliquer, par exemple, le mouvement des équinoxes, la détermination exacte de la longueur du jour, le calcul des éclipses…

Outre la semi hellénisation de la science mathématique indienne, une certaine mathématique indienne est apparue entre le 1er et le VIIème siècle après J.C. Et ceci par une exploitation rationnelle des travaux des savants grecs.

Les mathématiques hindoues se sont manifestées par l’introduction d’un procédé original, à l’époque, prenant appui non pas sur la rigueur déductive, mais sur le calcul numérique.

Nous devons aujourd’hui aux hindous l’invention du système décimal sur l’emploi des neufs chiffres et du zéro.

Mais sur l’invention du zéro, les historiens l’attribuent tantôt aux hindous, tantôt aux Arabes.

Peu importe, ce zéro qu’on n’aime pas souvent a joué un rôle capital dans les mathématiques, ne serait-ce que par le fait qu’il est la frontière entre les nombres positifs et négatifs.

Ce dont les historiens sont sûrs c’est que le « zéro » a été introduit en Occident par les Arabes.

Outre le système de numération décimal, il a été étudié par les savants Hindous (tels que BRAHMA GUYTA, BHASKARA…) le procédé de résolution des 18

équations du 1er et du 2ème degré par la méthode algébrique et le procédé du calcul des racines carrées.

Ainsi les nombres rationnels ont vu le jour, car ils s’ouvraient vers les nombres négatifs. Mais les nombres irrationnels restent étrangers aux mathématiciens Hindous.

Après l’Astronomie, l’Arithmétique et l’Algèbre, la trigonométrie a vu le jour : c’est ainsi qu’on attribue aux Hindous la découverte du sinus et du cosinus. Dans un recueil édité par ARYABHATA, on peut trouver une table de différence de sinus des angles.

Les successeurs d’ARYBHATA furent : BRAHMA GUYTA, un algébriste.

Il élabora la résolution des équations indéterminées du 2ème degré où l’inconnue est désignée sous le nom soit de couleurs, soit de lettre.

MAHAVIRACARYA, au 9ème siècle travailla surtout sur la Géométrie et BAKHASHALI fournit des exemples pratiques de calculs où interviennent les nombres décimaux et les nombres négatifs.

En géométrie, BRAHMA GUYTA étudia à travers le théorème de PTOLEMEE le quadrilatère inscrit. Il trouva en son temps (VIème siècle après J.C.), que l’aire des quadrilatères est égale à la racine carrée du produit des différences entre le périmètre et chacun des côtés.

MAHAVIRACARYA rédigea en vers, un traité relativement complet englobant les calculs d’aire, de volume, des ombres, ainsi que la progression géométrique.

BHASHARA laissa, entre autres, deux traités, l’un d’arithmétique, l’autre d’algèbre qui eurent une portée considérable.

En particulier sur la notion de la division par zéro, BHASHARA écrivit : « la quantité qui résulte de la division par zéro est inaltérable, quoi qu’on lui ajoute ou on retranche ; de même qu’est permanent Dieu, Infini et Immuable lors de la destruction et de la création des mondes bien que de nombreux ordres d’êtres soient absorbés ou produits ».

On ne peut mieux définir l’Infiniment Grand.

Ce savant traita en outre, certains problèmes d’analyse combinatoire par l’utilisation de certains principes de cinématique !.

En conclusion, les Hindous se révélèrent de brillants mathématiciens.

Ils firent accomplir à l’Algèbre et la Trigonométrie des progrès notables.

Les savants Arabes et la science Européenne furent débiteurs des découvertes indiennes.

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E- L’ère Arabe L’Islam a eu ses conquêtes, mais il laissa une œuvre scientifique dans les territoires islamisés.

L’œuvre Arabe ne fut pas l’œuvre unique des seuls musulmans. Le spirituel laissa poindre et croitre le temporel scientifique, indépendamment du culte ou la race de ses auteurs. Ce qui fait qu’au cours du Moyen Age, l’Arabe fut l’agent véhiculaire des progrès intellectuels multiformes dans le monde musulman.

Ce qui n'empécha pas d’ailleurs AL BIROUNI de dire que l’Arabe pouvait être « l’instrument d’échange international des sciences et des techniques ».

Le « Catalyseur » de cette propagation de la culture fut l’esprit de tolérance des conquérants Arabes laissant subsister les civilisations et cultures locales. Cela se passait au cours de l’époque des OMEYADES et de leurs successeurs ABBASIDES. Tout en laissant subsister et encourager les cultures Greco-persanes, les maîtres du pouvoir Arabe de l’époque commencèrent par faire de BAGHDAD la Capitale Intellectuelle de leur Empire et intéressèrent en premier lieu le musulman moyen à s’intéresser aux observations astronomiques, ne serait-ce que pour déterminer, soit l’apparition du Croissant, annonciateur du commencement des mois lunaires, donc du Ramadan et des Fêtes Musulmanes, soit la détermination scientifique de la Direction de la KIBLA, vers laquelle le musulman fait ses prières.

Et la fondation de la ville de BAGHDAD fut faite, conséquence de ce premier intéressement, lors d’une conjonction favorable des astres.

Ce premier intéressement aux sciences et en particulier à l’Astronomie ne s’arrêta pas à la fixation unique de la KIBLA ou à l’observation du Croissant lunaire : les astronomes émergeants de l’époque, tels FAZARI, et YACOUB BEN TARIQ firent la connaissance d’un savant indien, ce qui leur permit de mettre sur pied la formulation en arabe des chiffres indiens, reprise et développée par AL KHAWARIZMI. Et c’est ainsi que de nos jours les calculs chiffrés se font à l’aide des chiffres arabes.

A côté des chiffres, on trouve vers la moitié du 8ème siècle, le commencement de l’interchangeabilité scientifique Indo-Arabe : par exemple, les tables planétaires du savant indien ARYABHATA furent traduites et reprises en arabe par HASSEN AHWAZI en introduisant la notion du sinus au lieu de la notion de (corde).

Le calife AL MANSOUR, par la suite fit venir de la Grèce des ouvrages de mathématiques. Le premier ouvrage reçu fut « Les éléments d’EUCLIDE » traduit par l’astronome HAJJAJ BEN MATAN. En outre, un observatoire d’astronomie fut créé et où AHMED NAHAWANDI devait effectuer ses travaux, ce qui le classa comme l’un des premiers astronomes de langue Arabe.

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Parallèlement aux initiatives du Pouvoir de l’époque, on trouve des initiatives d’ordre privées, tels les fils de MOUSSA BEN CHAKIR qui consacrèrent une fortune pour recueillir les manuscrits et d’en sortir des ouvrages de mathématiques. On doit d’ailleurs à ces BANOU CHAKIR la construction de l’ellipse avec une corde liée aux deux foyers, et l’étude de la trisection de l’angle.

On doit également à FARGHANI l’étude, reprise de PTOLEMEE, du mouvement des étoiles et l’élaboration des cadrans solaires qui furent utilisés jusqu’à l’ère de COPERNIC. Et vers la fin du IXème siècle, le calife AL MAMOUNE fonda à BAGHDAD une sorte d’Académie des sciences, le premier et le plus grand centre de développement des mathématiques Arabes.

Au cours de cette période, l’œuvre arabe et celle des Hindous furent traduites, étudiées et développées prodigieusement.

Ainsi la maîtrise arabe dans le calcul vit le jour.

Le grand mérite des savants Arabes, c’est leur esprit d’ouverture qu’ils se donnèrent vers les cultures Greco-hindoue et la synthèse opérée ainsi, permettant l’essor et le développement des mathématiques arabes.

Ils rendirent ainsi à l’Occident un inestimable service non seulement pour leurs apports personnels, mais en faisant connaître par les traductions qu’ils firent en arabe, certains traités grecs, qui sans eux, eussent été perdus pour l’Occident.

Dans ce contexte, on peut citer comme mathématiciens arabes : a) AHMED BEN MOUSSA ABOU JAAFAR AL KHAWARIZMI, en abrégé AL KHAWARIZMI, d’où est venu d’ailleurs le mot ALGORITHME. Sous l’impulsion du Khalife AL MAMOUNE, ce savant publia vers 830 une Algèbre intitulée « Aljabre Oualmoukabala ».

Cet ouvrage procéda par la résolution des équations du 2ème degré, en mettant en lumière, et pour la première fois, la notion de deux racines de ce type d’équation.

Ce savant fut suivi par TABIT BEN KORRA (qui, outre la traduction en arabe des principales œuvres d’EUCLIDE, d’ARCHIMEDE, d’APPOLONIUS, de PTOLEMEE, publia un traité d’Algèbre relatif à la résolution des équations du 3ème degré par la géométrie), par EL KAYANI qui continua et développa les travaux de TABIT BEN KORRA, notamment par la résolution des équations du 3ème degré fondée sur l’intersection d’un cercle et d’une conique. b) AL-KORCHI (Xème siècle) se manifesta par la publication d’un traité d’Algèbre intitulé « AL FARABI » où il élargit le langage symbolique de son maître 21

DIOPHANTE, par l’introduction dans ses calculs, comme des nombres, des radicaux irrationnels. c) ALBALEGUI (929), s'affirma par ses travaux de trigonométrie substituant la notion du sinus à celle utilisant la notion corde, et mettant au point la formule fondamentale et la trigonométrie sphérique. d) ALBOUJJANI, quant à lui, développa ces notions de trigonométrie par l’introduction de la tangente, de la cotangente, de sécante et de la cosécante. e) HASSAN BEN HAITAME (11ème siècle) se manifesta par la publication d’un traité d’optique utilisé par KEPLER, et d’un ouvrage dit « Traité des connues géométriques ». f) I BN ALBANNA (13ème siècle) professa à l’Université Marocaine et publia un ouvrage « TALKHYS » qui comprend deux parties se rapportant, l’une aux opérations sur les nombres connus, l’autre aux règles permettant de dégager l’inconnue des nombres connus, auxquelles elle est liée. g) NASSIR ADDI ATTOUSSI (13ème siècle) d’origine persane, se manifesta lui, par l’élaboration de plusieurs ouvrages en arabe et en persan, traitant des mathématiques, de l’astronomie et de l’astrologie.

En conclusion, la science arabe fut l’œuvre non pas uniquement des arabes musulmans, mais aussi des non musulmans. Elle fut le fruit de la conjugaison des efforts successifs et persévérants de plusieurs peuples, de confession et de race différentes, mais partageant une habileté commune dans une zone où la langue arabe fut la langue véhiculaire de tout progrès.

Mais la conquête mongole de BAGHDAD, le refoulement des Arabes de l’Espagne et la domination turque balayèrent les travaux originaux des savants arabes et persans. Et le peu d’ouvrages « rescapés » éclaira, par la suite, la lanterne des savants occidentaux.

Le monde occidental chrétien s'attacha, par la suite, à reprendre l’œuvre de ces savants arabes GERBERT D’AURILLAC, devenu Pape, s’inspira de l’Arithmétique Arabe pour faire la synthèse entre les opérations effectuées sur les abaques et celles faites directement sur les nombres.

La pénétration de la science arabe, allant bien au-delà du Moyen Age par l’effet de contacts de tout ordre, devait inspirer d’autres savants, chrétiens et juifs, du monde occidental.

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CHAPITRE II L’EVOLUTION DES MATHEMATIQUES (Période du XIVème AU XVIIIème Siécle) A- Préliminaire : Naissance de l’Arithmétique Au Moyen Age, l’Occident est à l’état décadent sur le plan culturel et scientifique.

La science avant le XIVème siècle s’est développée davantage au niveau des civilisations de la Chine, de l’Inde et du Monde Arabe Islamique. Et dès le VIème siècle, on assista à des contacts de l’Europe Occidentale avec les Musulmans en Espagne qui eurent pour résultats l’intéressement de l’Europe à la science islamique. Et cet intéressement eut pour résultat l’extraordinaire développement des sciences fondamentales en particulier, les mathématiques, ce qui produisit une transformation radicale de la vie de l’Homme.

Les Mathématiques sont une science abstraite, bien science des nombres.

Jusqu’au XIIIème et XIVème siècle, tous les mathématiciens se cantonnaient à explorer et développer les sciences mathématiques sur des concepts concerts par adaptation aux choses de la vie courante. Pour les savants occidentaux, et la vie de l’époque aidant, un principe payant les a guidés.

C’est la formulation en termes de généralisations abstraites. Et aucune généralisation de pensée n’est plus abstraite que celles des sciences mathématiques.

D’abord l’Occident a débuté par l’utilisation et le développement du système de numération indo-arabe afin de l’introduire dans l’Arithmétique Commerciale. Le système décimal avec l’introduction du zéro, invention indienne et propagation arabe islamique vers le monde occidental, connut un essor grandiose. Et après « une guerre de mots » qui devait durer trois siècles environ entre les partisans de la numération à base de lettres-symboles grecques, romaines ou hébraïques et ceux du système de la numération décimale avec le signe zéro, ce furent ces derniers qui l’emportèrent et mirent sur pied une véritable théorie de la science des nombres qui est l’Arithmétique.

Si le système décimal resta la base du système de numération de l’humanité, considérée comme constituée d’être pourvus de dix doigts, d’autres systèmes de numération virent le jour, par exemple : a) le système à base 12 (dit de Buffon) consistait à prendre douze symboles différents pour la numération.

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b) le système de LEIBNIZ ou le système binaire qui n’emploie que deux symboles : zéro et un : Deux s’écrit dans ce système « 10 » et qui se lit une deuzaine et zéro unité. Quatre s’écrit « 100 » et se lit : une deuzaine de deuzaine.

Dans la pratique, ce système devenait onéreux et inopérant, mais comportait une portée philosophique.

LAPLACE écrivait à ce propos que dans cette arithmétique binaire, LEIBNIZ voulait voir l’image de la Création. Il imaginait que l’Unité représentait Dieu et zéro le Néant, de même que l’unité et le zéro exprimaient tous les nombres dans son système de numération. Cette conception enchantait tellement LEIBNIZ qui la communiqua en 1689 au jésuite GRIMALDI, Président du Comité Chinois pour les Mathématiques, dans l’espoir que cet emblème de la Création convertirait l’Empereur de Chine, très féru de mathématiques. Si cette argumentation eut une portée philosophique, si elle influença certains penseurs à considérer que toute proposition est inexacte ou fausse, les exigences de la vie courante dictées par les besoins de l’homme d’avoir un système de numération souple et pratique pour le développement de ses relations commerciales, firent que le système de numérations décimales à base de 10 chiffres fut fixée définitivement, comme essence de l’Arithmétique commerciale. Avec ses règles et ses lois (addition, soustraction, multiplication, division et puissance – ou suite de multiplications identiques, opération appelée exponentiation, et extraction de la racine carrée).

D’où six opérations fondamentales.

Comme science des nombres, et comme art de calculer, l’arithmétique connut des progrès prodigieux grâce à FERMAT (XVIIème siècle), EULER, LAGRANGE, GAUSS, LEJEUNE, DIRICHLET, TCHEBICHEF, HADAMARD… qui appliquèrent des méthodes nouvelles (analyse indéterminée et Analyse algébrique), pour en relier les propriétés et ériger enfin l’arithmétique en une véritable science.

FERMAT en particulier, réalisa de prodigieuses propositions arithmétiques, souvent sous forme d’énigmes dont la démonstration ne fut faite qu’après sa mort (par notamment CAUCHY).

Comme proposition énigmatique nous citons : « la somme des puissances nièmes de 2 entiers quelconques ne peut être elle-même la puissance d’un entier ».

Cette proposition s’explique par l’équation : xn + yn = zn xn + yn = Zn qui ne peut admettre des solutions que pour N=2 A titre de rappel, notons que lejeune-Dirichlet, spécialiste éminent des nombres a démontré entre autres, au cours du XIXème siècle le théorème de FERMAT pour n=14.

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Dirichlet a laissé lui aussi une œuvre utile sur l’arithmétique (théorie des nombres entiers complexes, progression arithmétique, lois asymptotiques des nombres selon lesquelles « dans la division par exemple, d’un nombre par tous ceux qui lui sont inférieurs, les restes qui sont inférieurs à la moitié du diviseur sont beaucoup plus nombreux que les autres ».

B- Evolution de la Science : REALISATIONS DE NOUVELLES DISCIPLINES MATHEMATIQUES Parallèlement à l’adoption par l’Europe du système de numération décimal et par l’insufflation de nouvelles méthodes érigeant l’arithmétique en une véritable science, on assista dès le XIVème siècle au développement des études sur la géométrie, l’Algèbre, le calcul des probabilités, le calcul différentiel et intégral, les recherches sur les grandeurs telles que les lignes, les surfaces et les solides de l’espace.

Le nom d’EUCLIDE est repris et demeurera attaché à la géométrie jusqu’à la fin du XIXème siècle. Et pendant ce temps, tout en s’inspirant d’EUCLIDE, les occidentaux élaborèrent leurs propres traités de géométrie, suivis de ceux de la trigonométrie, science des mesures, entre autres, des côtés et des angles des figures géométriques.

En dehors de ce courant tendant à reprendre et à développer les travaux antérieurs, il y a eu en Europe un nouveau courant de pensée, une nouvelle manière d’observer et d’interpréter et c’est COPERNIC qui a marqué, le premier, le début de ce qu’on pourrait appeler « la Révolution Scientifique ».

Ce savant a imprimé à l’Astronomie une nouvelle manière, un nouveau système conceptuel. Pour lui, l’homme, tout en étant créature de Dieu, est en même temps maître de la Nature.

COPERNIC considérait l’existence non d’un univers, au centre duquel, existait un soleil immobile, mais des univers infinis.

Pour son époque, c’était une hérésie. Ce fut alors un point de départ pour une nouvelle conception de la Nature et de la pensée. Ce qui a amené DESCARTES, bien que bon chrétien, mais plus ou moins orthodoxe, à voir dans la science l’œuvre de Dieu, exprimable en termes mathématiques et intelligibles à la raison humaine.

Des instruments destinés au travail scientifique furent créés. Et l’homme de science, ne se limita pas à s'interroger seulement sur le pourquoi des phénomènes mais également sur leur comment.

Une certaine coopération entre savants multidisciplinaires vit le jour. De véritables sociétés scientifiques allèrent être créées. Point de rencontre pour les esprits 25

scientifiques, ces sociétés servirent à diffuser des connaissances au moyen des périodiques, et des bulletins.

Alors commença à se constituer un auditoire de choix.

De véritables communications scientifiques allèrent s’interchanger entre savants.

Voyons en conséquence ce qu’il advint pour les mathématiques.

L’Europe, par l’héritage de mathématiques hindoues et arabo-musulmanes, se dépassait par la stimulation de la pensée scientifique de ses savants : on fit, par exemple, de l’Algèbre, une science européenne, un véritable marché commun de l’Algèbre.

Avec les algébristes italiens, tels que SCIPIONE DEL FERRO, TASTAGLIA, CARDANO, FERRARI se forma l’Ecole de Bologne.

Les mathématiques s’orientèrent alors sur une voie radicalement nouvelle : clarté des notions, maîtrise des opérations. Le problème de la résolution, par exemple, des équations algébriques allait se poser dans sa généralité.

Partant des équations du 3ème et 4ème degré, ces algébristes en donnèrent les racines en fonction de leurs coefficients grâce à des formules utilisant les extractions des racines carrées en se servant des opérations arithmétiques usuelles.

Peut-être se heurtèrent-ils, pour certaines opérations, à l’existence des racines carrées des nombres négatifs.

Mais d’autres algébristes reprirent ce problème non résolu, et établirent une théorie nouvelle de l’algèbre, par l’introduction de corps de nombres complexes.

Cela permit à GAUSS de formuler son fameux théorème « Toute équation de degré N admet N racines ».

Et pour couronner le courant de cette renaissance des mathématiques un homme de génie surgit dont les travaux marquèrent le pas sur les mathématiques modernes (VIETE (1540-1607). Il fut le père de l’Algèbre symbolique, le créateur du calcul algébrique et trigonométrique tels que nous les pratiquons de nos jours.

Grâce à VIETE, l’algèbre symbolique vit le jour.

Son idée générale consistait à représenter les grandeurs par les lettres de l’alphabet, au lieu des nombres, ce qui conféra à l’algèbre ainsi créée de nombreux procédés d’investigation et de recherche.

Si Robert RECOUDE introduisit dès 1557 le signe d’égalité =, grâce à cette nouvelle algèbre de VIETE, un mathématicien allemand institua le signe de la racine carrée √, DESCARTES utilisa le système exponentiel par exemple x2, 26

x3 … NEPER introduisit dans le calcul le signe X pour la multiplication, signe que LEIBNIZ remplaça par le point.

Les signes : (division), > (plus grand), < (plus petit) apparurent pour la première fois dans l’ouvrage de Thomas HARRIOT vers 1600.

D’autre part, devant la difficulté rencontrée dans certaines opérations mathématiques, une théorie nouvelle, celle des logarithmes fut créée.

Cette théorie reposait sur le principe liant les progressions géométriques et arithmétiques des nombres. Ainsi les logarithmes remplacèrent dans certaines opérations la multiplication et la division par l’addition et la soustraction, et les extractions des racines carrées par des divisions toutes simples.

Ces théories de logarithmes furent élaborées en premier lieu, par NEPER, un mathématicien écossais et par JOST BURGI, un mathématicien suisse. La merveilleuse invention des logarithmes fut d’autre part une révolution pour le calcul analytique et différentiel, par l’emploi des fonctions logarithmiques et exponentielles.

Avec COPERNIC, apparut la trigonométrie dont l’étude était liée à celle des observations et recherches astronomiques.

Le premier ouvrage contenant les tables dites trigonométriques, des sinus, cosinus, tangente et toutes les fonctions trigonométriques en général apparut en 1596.

Il fut écrit par VON LANCHEN dit RHETIENS. Ainsi le mariage entre la trigonométrie et l’astronomie vit le jour, ce qui permit à cette dernière d’avoir une assise mathématique sérieuse.

L’exploration de la connaissance mathématique, pendant la renaissance, donna lieu, par la suite, à l’introduction d’une nouvelle théorie, celle des probabilités.

CARDAN qui était joueur chevronné, mais un brillant mathématicien, quoique ombrageux, introduisit dans le jeu de hasard les probabilités. Il publia à cet effet un ouvrage « Deludo Alcae ».Mais plutard, FERMAT, PASCAL, BERNOUILLI et d’autres saisirent cette théorie, sous un nouvel angle, pour lui conférer une base scientifique avec application aux Assurances et Statistiques.

Par ailleurs, NEWTON et MOIVRE abordèrent, sous forme différente le problème du binôme, simplifiant ainsi le calcul à la nième puissance d’une somme algébrique de deux éléments.

Et Thomas HARRIOT (1560-1621) avec Pierre de FERMAT (1601-1665) traitèrent de leur côté, le problème du « mariage » de l’algèbre et de la géométrie formant ainsi un nouveau domaine mathématique : la Géométrie analytique.

Cette nouvelle géométrie traita le problème de la représentation graphique d’une fonction algébrique en partant des coordonnées d’un point.

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D’un autre côté, Giraud DESARGUE (1593-1662), étudia la géométrie sous sa forme perspective et jeta ainsi les bases de la géométrie descriptive. Son livre « Le Brouillon project d’une atteinte aux événements des rencontres d’un cône avec le plan », traita du problème particulier de la déduction des propriétés plus simples du cercle de base.

Il faut associer à DESARGUE, MONGE (1746-1818) qui conçut les principes majeurs de la géométrie descriptive, en donnant des solutions graphiques aux problèmes de géométrie dans l’espace.

Ainsi le développement de la géométrie analytique a permis d’exprimer les problèmes géométriques en équations algébriques, et réciproquement en figures géométriques.

Ce qui devait amener NEWTON et LEIBNIZ à établir le calcul différentiel, principe qui a permis le calcul des différentielles d’une quantité variable ou d’un mouvement.

Parallèlement à l’établissement de ce nouveau chapitre des mathématiques, Isaac BARRONE (1630-1677) et John WALLIS (1616-1703), étudièrent le problème inverse lié au calcul différentiel en calculant, par exemple, des portions de courbes à partir d’une différentielle, d’où l’invention du calcul différentiel.

Le premier ouvrage sur le calcul différentiel fut écrit par LHOSPITAL (1661-1704) et s’intitula « Analyse des infiniment petits par l’intelligence des lignes courbes ».

A ces découvertes, il faut ajouter celle d’Abraham MOIVE (1667-1754) qui consacra aux problèmes de permutations, arrangements, chapitre important des mathématiques.

En conclusion, de 1300 à 1775, on peut dire que l’homme parvint à faire une révolution scientifique en créant de nouveaux outils – Algèbre, Analyse, Géométrie, Probabilités – des Sciences Mathématiques.

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CHAPITRE III L’EVOLUTION DES MATHEMATIQUES AU XIXème SIECLE A- Généralités Au début du XIXème siècle, l’univers humain s’est transformé, la planète prit un aspect nouveau, grâce au renouveau secrété par la science, développé, prolongé et diversifié par l’homme.

Cette accélération du progrès scientifique a connu trois horizons différents : l’Europe, les Etats-Unis et la Russie.

Mais si le génie humain n’est pas la propriété d’une race ou d’une ethnie, les trois géants de l’époque se sont accaparés à leurs façon de l'héritage intellectuel de l’Orient et de l’Asie et en ont fait un miracle.

Si ce miracle a subsisté et subsiste encore, constaté surtout dans les réalisations concrètes, il est la conséquence résultant de la réflexion des grecs, des Arabes Musulmans, des Hindous, des Chinois…

Et si encore ces derniers furent pour un moment les maîtres de la méditation les autres européens, américains et russes furent aussi l’interprète de la reconcentration et de la modification de l’Univers.

Pour les mathématiques, l’effort mental accumulé par les anciens va subir un perfectionnement, par la création de l’art de démontrer, de l’art de déduire des connaissances théoriques et des réalisations pratiques.

Ainsi les transformations de la société et de nouveau mode de vie a permis de vivre à cette époque une sorte de nouvel âge mental. Et parmi les « nouveautés mentales » connues à cette époque, on trouve sous un nouvel aspect, l’Analyse, la Géométrie Analytique, la Mécanique Rationnelle.

Le savant mathématicien se libère des impératifs dûs aux environnements d’ordre social ou politique, pour émerger au-delà des frontières classiques de la raison, et comprendre un espace défiant le sens commun, d’où l’espace à trois dimensions où le travail conceptuel du mathématicien devient presque dissocié des attraits et suggestions de la sensiblerie et de l’expérience.

Et cette mutation culturelle a impliqué la conception d’un univers où l’infini peut être « domestiqué » par le fini.

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Si bien que le XIXème siècle a été un siècle magistral dans l’intercommunication entre le progrès technologique et le progrès scientifique.

Considérons alors successivement ces « nouveautés » mathématiques du XIXème siècle.

Ces nouveautés englobent les domaines suivants : l’Algèbre, l’Arithmétique, l’Analyse et la Géométrie.

B - L’ALGEBRE : Au XIXème siècle, les travaux sur l’Algèbre portaient sur les points suivants : --l’étude des lois sur les équations,

--l’étude des lois fondamentales des algèbres nouvelles,

--l’étude de la théorie des groupes et de l’Algèbre Moderne.

Tout d’abord l’anglais Auguste de MORGAN a esquissé les lois de l’Analyse logique et les lois sur le symbolisme mathématique : ainsi une nouvelle algèbre s’est créée, différente de l’algèbre classique.

Un autre mathématicien anglais PEACOCK s’est intéressé lui, aux fonctions algébriques et a jeté ainsi les fondements du calcul symbolique, branche importante de l’algèbre moderne.

L’Américain Benjamain PEIRE a contribué, pour sa part, aux travaux sur la généralisation des méthodes de l’algèbre par la création de l’analyse logique, des algèbres linéaires associatives.

Et dans la même voie, CAUCHY et HAMILTON, élaborèrent la théorie des matrices et la théorie des groupes continus. D’où une innovation intéressante dans l’association de l’algèbre moderne et du calcul des déterminants.

Dans le domaine de la résolution des équations algébriques, le Norvégien ABEL a introduit un nouveau processus par l’utilisation de la notion d’équation dite irréductible et a fourni ainsi une méthode de résolution des équations de degré élevé dont les racines s’expriment rationnellement (d’où les équations d’ABEL).

Le français Evaniste GALLOIS apporta sa contribution à la résolution des équations algébriques en exprimant les propriétés fondamentales de groupes de transformation associés aux racines d’une équation algébrique. Il montra en outre que le domaine de rationalité de cette équation est déterminé par ce groupe.

Cette méthode de calcul a permis de regrouper dans un même domaine des problèmes classiques tels ceux relatifs à la trisection d’un angle, de la construction d’un cube de volume double d’un cube donné et de la résolution des équations de 3ème et 4ème degré.

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Enfin GALLOIS a ramené la résolution théorique des équations algébriques à l’étude de certains groupes de substitutions et montra par la suite que l’équation de degré « n » ne peut être résolue avec les seuls signes de l’algèbre classique ; il introduisit alors de nouvelles fonctions comme, par exemple, les fonctions elliptiques.

Ainsi la théorie des équations algébriques de GALLOIS s’est révélée d’une importance capitale dans de nombreux secteurs des mathématiques : la notion de groupe devint un véritable « agent d’unification et de synthèse ».

C- L’ANALYSE : Elle englobe : --la théorie des équations différentielles, --le calcul des variations,

--la théorie des fonctions à variables réelles et complexes,

-- la théorie des équations différentielles et des équations aux dérivées partielles, --la théorie des ensembles.

Dans les nouvelles théories ainsi citées, une « révolution » structurelle apparut, pour laisser poindre un champ d'application très diversifié.

L’analyse se préoccupait d’abord du continu et les seules fonctions que l’on put utiliser dans cette analyse étaient alors celles représentant un nombre fini ou infini.

En somme ces genres de fonctions représentaient un certain ordre de pensée et une certaine régularité, car le discontinu faisait peur à l’époque.

Et pourtant ce type de fonctions engendrées par la continuité alla devenir restreint pour comprendre et développer le domaine propre des équations différentielles aux dérivées partielles.

C’est alors qu’avec le « règne » d’EULER, on vit apparaître le théorème de fonctions continues qui s’élargit et s'étendit avec les travaux développés successivement par FOURRIER, avec ses études sur les séries trigonométriques (ou séries de FOURRIER) (représentant des fonctions nouvelles beaucoup plus générales que celles d’EULER) et ensuite par RIEMAN et WEIERSTRASS avec leurs travaux sur les fonctions continues mais non dérivables en aucun point de leur domaine de définition.

Cet élargissement du champ de conception du continu a permis donc de développer l’Analyse et de mettre en évidence des fonctions continues non différentiables, avec l’introduction d’un élément nouveau, celui de la notion de convergence pour les séries, et la notion de fonctions à variables complexes, qui allaient éclaircir le concept de limite, de continuité et de convergence.

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De son côté CAUCHY poursuivit ses travaux sur les fonctions dérivables, sur sa méthode d’intégration des fonctions à l’aide de son procédé dit de « résidu », sur la mise sous forme de séries de puissances des fonctions écrites sous forme de fractions rationnelles.

Ces nouvelles notions de fonctions devaient ensuite donner naissance à de nouvelles fonctions, dites elliptiques ce qui amena Henri POINCARRE à découvrir de nouvelles fonctions dites automorphes donnant ainsi naissance à sa théorie géométrique des fonctions analytiques.

D- VERS LA THEORIE DES ENSEMBLES Cette notion avait été introduite d’abord en 1848 par le Mathématicien tchèque BOLZANO dans « Les Paradoxes des Infinis » et par HANKEL et PAUL du BOIS REYNAUD. Mais CANTOR, en étudiant un problème classique d’analyse, celui « d’une série trigonométrique, qui, si elle converge vers zéro sauf en des points dont la réunion est de mesure nulle », élabora une théorie révolutionnaire qui, reprise par l’Equipe BOURBAQUI alla donner « La Doctrine Homérique » connue sous nom de Théorie des Ensembles.

Les premiers travaux de CANTOR sur la théorie des ensembles remontent à 1870.

CANTOR partit d’une collection d’objets, en nombre fini ou infini, indépendamment de leur nature, et lui attribua le nom d’ensemble.

Cette théorie, basée sur cette entité, alla se développer pour « prospecter » et mieux définir d’autres secteurs, celui des « cardinaux dits transfinis, celui de la notion de continuité liée aux nombres transfinis ».

Nous reviendrons plus loin sur cette théorie des ensembles « subversive par les bords », puisqu’elle constitue la pierre angulaire des mathématiques dites modernes dans l’enseignement de cette matière dans Ecoles et Lycées.

Notons simplement que cette théorie de CANTOR, comme d’ailleurs, toute nouvelle théorie, suscita un « scandale » dans le monde mathématique de l’époque : le Chef de file des opposants fut Léopold KRONECKER qui n’admettait comme concevables que les opérations mathématiques « élaborées au moyen d’un nombre fini d’étapes ».

Mais les travaux de CANTOR sur la théorie des ensembles allaient « dissoudre » peu à peu les assertions des opposants.

Car CANTOR alla embrasser un nouveau domaine, celui de la topologie, et la refonte des concepts de mesure et intégrales.

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Et le tout, exprimé par un nouveau langage, de nouveaux symboles, qui, peu à peu, s’universalisèrent.

E- SUR LA LOGIQUE : Parallèlement à cette nouvelle discipline des mathématiques une nouvelle discipline vit le jour : La logique Symbolique de BOOLE. Là étaient les prémisses d’une tentative de la construction d’une « superscience » dont les lois prétendaient régir la totalité du monde intellectuel de l’époque. Car l’ambition des savants du XIXème siècle se voulait définir une certaine classification de toutes les notions scientifiques par la création d’un langage universel : les premiers jalons furent alors jetés par BOOLE avec son « Analyse logique des Mathématiques ».

Ce fut une véritable dualité entre logiciens et mathématiciens qui commença à se faire jour. Et il fallait tenter de faire « accoupler » ces deux tendances.

BOOLE notait : … « Nous savons que les mathématiciens ne se soucient plus de la logique que les logiciens ne se soucient des mathématiques. Les deux yeux de la science sont mathématiques et la logique : la secte des mathématiciens ferme l’œil logique, la secte des logiciens ferme l’œil mathématique, chacun était persuadé qu’il y verra mieux avec un seul œil qu’avec les deux. Mais l’accommodation de la vision de la science était nécessaire pour sauvegarder l’existence même de la science ».

Et ce fut MORGAN qui analysa mathématiquement les principes de la logique et essaya par la suite d’analyser logiquement les lois d’essence mathématiques.

Pour BOOLE et son disciple SCHROEDER, tout raisonnement d’ordre logique doit être ramené à un calcul algébrique et cette nouvelle algèbre dite de BOOLE diffère de beaucoup de l’algèbreclassique : on édifia alors, à travers la logique symbolique, la logique de prédicats, de logique de classe, de logique de propositions.

On conçoit alors que les propositions forment une véritable trame de notre mode de raisonnement. Nous procédons le plus souvent par affirmations telles que « la terre tourne autour du soleil ». et la pensée se transmet sous forme de proposition suivant le principe du « tiers-exclu », c’est-à-dire qu’une proposition donnée P est vraie ou elle est fausse.

Cette logique qui se développe au moyen des propositions répondant à ce principe « tiers-exclu », est dite logique formelle ou logique binaire.

La composition des propositions s’exprime à l’aide de symboles : 33

Ou que l’on représente par V Et ....................................... Λ Non .................................... ┐ Les opérations, par exemple, sur les propositions P1 et P2 se schématisent ainsi : a) P1 vraie (V) et P2 vraie (V), alors : P V P 2 vraie (V) b) P1 vraie (V) et P2 faux (F), alors : P1 V P2 vraie (V) mais on peut exprimer que P1 ou P2 ne sont pas vraies ou fausses à la fois, on les exprime alors par le symbole : P1 V P2 C’est ainsi que : P1 (vraie), P2 (Vraie), alors P1 V P2 (Fausse) contrairement à ce que l’on a vu précédemment, car on a conféré au mot « ou » le sens disjonctif, c’est-à-dire P1 ou P2 mais pas les deux à la fois.

A travers cette logique formelle, on a défini ce qu’a légué BOOLE à la nouvelle science de l’algèbre.

Mais parallèlement à BOOLE, nous trouvons encore au XIXème siècle, de nombreux mathématiciens et logiciens qui ont édifié divers systèmes de logique mathématique : GOTTOB FREGE imagina un système de notation symbolique qu’il a adapté à l’arithmétique en vue d’instituer un calcul logique.

Le mathématicien italien PEANO reprit les concepts de FREGE pour formuler un ensemble de théorèmes mathématiques transcrits en langage symbolique très hardi.

Tous les mathématiciens logiciens ont laissé un héritage qui a été exploré et développé même au XXème siècle par Bertrand RUSSEL, WITHEHEAD etc…

Cet héritage a constitué en quelque sorte une certaine révolution dans les études de la logique avec un éclairage précis et une clarté nouvelle. Cela a conféré un renouveau au raisonnement humain.

A ce courant, s'était dressée une réaction qui incrimina la pratique même du raisonnement mathématique, pour instituer alors un nouveau mode de raisonnement basé sur l’intuition.

La base de cette réaction était due, somme toute, à l’utilisation de propositions contradictoires ou paradoxes. Les adeptes furent HILBERT, BOREL, LESBEGUE… Cantonnons-nous à examiner brièvement la réaction Hilbertienne.

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L’Allemand HILBERT entreprit une réaction originale en démontrant que la pratique classique des mathématiques ne peut engendrer des contradictions. Dans ce dessein, il édifia une théorie de la démonstration qui pose alors une méthode formalisatrice.

Une liste de 27 axiomes fut mise en évidence permettant la construction rigoureuse avec la logique traditionnelle de la géométrie classique : HILBERT, avec cette liste, tenta de résoudre l’énigme du postulat d’EUCLIDE. Citons quelques-uns de ces axiomes : 1) par 2 points distincts passe au moins une droite, 2) cette droite est unique, 3) par trois points non alignés passe au moins un plan, 4) le plan est unique, 5) dans chaque plan, il existe au moins trois points non alignés etc…

HILBERT, on le voit, construisit ses axiomes à l’aide de trois notions non définies de point de droite et de plan. Et c’est une construction d’ordre intellectuel, ne faisant appel qu’à la vision directe et à une certaine représentation non problématique de symboles, certes, mais de transcription formalisante.

En somme, cette théorie d’HILBERT eut une influence non négligeable sur les mathématiques. Son dessein fut d’appréhender et de formuler l’existence de l‘abstrait.

C’est en quelque sorte un nouvel aspect de la conception de la science mathématique, et c’est ce qui a donné naissance à la théorie des structures, c’est-à-dire l’étude des conséquences logiques du système d’axiomes qui définissent soit un ensemble bien fixé, soit une classe d’ensemble jouissant des propriétés démontrées à l’aide de ces seuls axiomes, mais pouvant différer sur certains points capitaux.

F- LA GEOMETRIE Rappelons que jusqu’au XIXème siècle, la Géométrie est passée par : a) L’ère hellénique, b) L’ère de renouvellement engendrée par la création d’une nouvelle géométrie en 1630, dite projective.

Au cours du XIXème siècle, le géomètre français MONGE reprenant cette géométrie projective, montra l’importance de la notion de perspective, de la projection cylindrique ou conique dans la résolution de certains problèmes : (construction de cartes par exemple). Ce qui a donné naissance à la Géométrie moderne.

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Puis, ce géomètre essaya de faire une liaison entre l’analyse mathématique et une branche de géométrie pure.

Ce développement primaire de la géométrie eut pour cadre l’étude des transformations géométriques : symétrie, homothétie, homographie, inversion), des transformations par polaires réciproques, et les propriétés des figures géométriques invariantes par certains types de transformations.

Ainsi, on assista à l’émergence de la géométrie élémentaire qui s’érigea en une véritable science, progressant sans cesse et embrassant de nouveaux domaines, tels que la topologie, la généralisation de l’idée de l’espace, l’introduction de la théorie des groupes.

Puis, le « mariage » de l’analyse et de la géométrie élémentaire aidant, a donné naissance à la géométrie analytique.

Cette nouvelle géométrie traita l’étude des courbes, des surfaces algébriques par l’introduction d’un nouveau langage véhiculé par le « nouveaux matériaux », tels l’introduction des coordonnées sphériques, cylindriques, polaires, barycentriques, et les coordonnées intrinsèques, axiales, curvo-linéaires.

L’introduction de ces coordonnées fit progresser la géométrie analytique et permit de faire élaborer de nouvelles théories structurelles.

Une autre ligne de développement de la géométrie, au cours de XIXème siècle, fut la discussion du postulat d’EUCLIDE, non sur une vérité, mais sur son évidence.

On a accédé à la « démonstration » de cette évidence par l’introduction de nouveaux postulats.

Naturellement le problème de la démonstration du postulat d’EUCLIDE relatif aux parallèles ne fut jamais démontré mathématiquement. Néanmoins, les évidences fussent admises grâce peut être à l’aspect purement logique du problème qu’on voulait résoudre.

Cet aspect purement logique de l’évidence du postulat d’EUCLIDE sur les parallèles fut repris par de nombreux chercheurs tels que SACCHERI, LAMBERT,GAUSS, LOBATCHEVSKY, RIEMANN. Ces chercheurs montrèrent qu’il peut exister d’autres systèmes d’axiomes conduisant à d’autres listes de théorèmes, donc à d’autres formes de géométrie différentes de la géométrie d’EUCLIDE. RIEMANN proposa qu’il n’exista pas de parallèles menés par un point à une droite donnée.

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LOBATCHEVSKY, lui, considèra que par un point hors d’une droite donnée on peut mener une infinité de parallèles à cette droite. Mais par rapport à quels critères, les deux mathématiciens fussent-ils arrivés à énoncer leurs fameux théorèmes.?

En tous cas, ils ne fussent pas situés sur le domaine Euclidien.

Chacune de ces géométries se plaça par rapport à son propre système structurel et axiomatique. Ses auteurs se placèrent, chacun dans son propre système pour arriver à son propre résultat.

En somme « l’absolu mathématique » ne peut être cherché ni dans l’évidence de certains postulats, ni des conséquences logiques de certaines vérités.

Toujours est-il que la discussion et les recherches sont toujours ouvertes.

Néanmoins, ces géométries non Euclidiennes ont l’avantage de conférer aux mathématiques et même à la physique un renouvellement qui se fit sentir au XXème siècle.

G- VERS L’ALGEBRE MODERNE A la fin du XIXème siècle, on vit l’édification d’une théorie abstraite des groupes qui constitua le point de départ de l’Algèbre Moderne.

Celle-ci partant de l’Algèbre Classique, par extension, se vit émerger par l’utilisation des nouvelles méthodes, axées sur des entités bien définies axiomatiquement, selon les principes suivants : -- renforcement des fondations de la science mathématique sous forme axiomatique, --introduction de la notion de structure, Ces principes eurent alors pour cadre d’application, les secteurs suivants : -- la représentation géométrique des nombres complexes, considérés comme une extension de la notion des nombres réels, -- étude des transformations géométriques et leurs lois de composition (inversion, transformations par affinité), --théorie de la congruence,

--introduction de la notion de vecteurs et de tenseurs, --l’Algèbre BOOLE,

--la théorie des nombres algébriques, --la théorie de la notion d’ensembles.

37

H- L’ARITHMETIQUE ET LA THEORIE DES NOMBRES 1°) Jusqu’au XVIII° Siècle, l’arithmétique fut considérée comme une technique utilitaire, utilisée pour les commodités de la vie (calcul), mais au XIXème siècle, le calcul classique céda la place à une nouvelle technique : on eut recours à l’usage des tables (numériques et logarithmiques), à la fabrication des machines à calculer, utilisées dans les banques et dans les entreprises de gestion.

C’est ainsi qu’en 1820, Thomas de COLMAR mit au point l’arithmomètre. Sorte de machine à multiplier.

Cet appel au calcul mécanique est dû d’une part aux nouvelles découvertes théoriques et de progrès techniques, et d’autre part aux besoins des utilisations (commerce et industrie).

La technique de fabrication de ces machines à calculer reposait sur deux aspects : d’une part, l’utilisation de dispositifs mécaniques dans le but de réaliser des opérations mathématiques, et d’autre part, l’utilisation du système d’automatisation.

Ce dernier système eut comme précurseurs les américains (tels que BURROUGHS), qui, vu les progrès rapides de la mécanique appliquée, et l’évènement de l’électricité, améliorèrent la conception, l’utilisation et le rendement de ces machines.

C’est ainsi que furent introduites dans les machines à calculer de l’époque : les colonnes en phase, l’enregistrement à l’aide des tableaux à touches, l’automatisation de la multiplication, les cartes perforées, ce qui donna naissance, en 1899, grâce à HOLLERTH, à une machine dont sera dérivé l’ordinateur.

Parallèlement au secteur des applications du calcul numérique, on vit apparaître de nouveaux appareils tels que l’appareil l’intégration mécanique des dérivées et enfin des anémètres, des tachymètres etc…

Donc sous l’inspiration des mathématiques, une nouvelle technologie apparut qui, plutard, grâce à l’électromécanique alla transformer notre mode l’existence matérielle.

2°) L’introduction de la notion de rigueur dans la pensée des mathématiques du XIXème siècle alla transformer la conception du nombre.

On fit apparaître une variété de nombres, chacun avec ses propres lois : nombres entiers, nombres fractionnaires, nombres positifs et négatifs, nombres irrationnels, transcendants et nombres complexes.

En particulier, le lien entre les propriétés arithmétiques et le domaine du continu fut mis en évidence par JACOUBI, RIEMANN, HERMITE, DIRICHLET, SYLVESTRE, CAUCHY. 38

Ceci grâce à des idées originales, allait permettre l’élaboration des théories nouvelles l’invariance et de la transcendance du nombre 2, et de la théorie de la distribution des nombres entiers.

Et à travers toutes ces théories, où la rigueur était à l’honneur, on aperçut la mise en évidence des bases logiques du comportement de ces théories (lois d’asociabilité, de commutativité par exemple).

Tout d’abord la notion du nombre entier fut étendue au concept du nombre fractionnaire et du nombre négatif.

Puis les travaux du français LIOUVILLE sur les mystérieux nombres irrationnels (conçus par les mathématiciens de l’Antiquité) allaient permettre la mise en évidence d’une nouvelle classe des nombres dits transcendants, qui, par définition, ne sont pas racines d’une équation à coefficients rationnels.

Et plutard, DEDEKIND « plancha » sur l’élaboration de la théorie rigoureuse des nombres irrationnels, éclaircissant ainsi la distinction entre nombres algébriques et nombres transcendants, véritable extension des premiers cités.

Ensuite, CANTOR, WEIRSTRASS, donnèrent une définition d’ordre arithmétique des nombres transcendants.

Enfin GAUSS, CAUCHY, WESSEL travaillèrent séparément sur la notion des nombres dits imaginaires, introduits déjà au XVIème siècle par BOUEELLI, entre autres. Et c’est ce qui put donner naissance, grâce à GAUSS au fameux théorème selon lequel toute équation algébrique a pour nombre de racines (réelles ou imaginaires) le nombre qui exprime son degré.

Pour sa part, HAMILTON, dans « sa théorie des couples analytiques », parvint à édifier une algèbre rigoureuse de ces nombres imaginaires, appelés encore nombres complexes, en partant de l’idée que ces nombres peuvent être traités en couples de nombre, puis, en triplets et quadruplets, ce qui conduisit à la théorie des quaternions (1883).

L’Ecole Anglaise adopta fortement cette théorie des quaternions, véritables nombres hypercomplexes.

En particulier, CLIFFORD élabora une étude sur les biquaternions. Ces espèces d’algorithmes furent utiles dans le travail sur la transformation dans l’espace non Euclidien : l’ouvrage de l’Américain BENJAMIN PIERCE « les algèbres linéaires associatives » publié en 1872 comprend une étude générale des nombres hypercomplexes.

Enfin l’Allemand KUMMER fut le précurseur de la notion « Idéal » dans le domaine algébrique des nombres complexes.

39

Rappelons que la notion d’Idéal intervient dans la théorie des anneaux et de ses sous-groupes.

En conclusion : le XIXème siècle fit décliner les absolus prônés par DESCARTES et NEWTON, bouleversa les notions acquises en suscitant à leur égard un nouvel éclairage plus pénétrant.

De sorte que, pendant cette époque, les mathématiques furent repensées et placées dans un nouveau cadre fécondant et enrichissant.

40

CHAPITRE IV LES MATHEMATIQUES AU XXème SIECLE Le renouveau des mathématiques, au niveau de la pensée et du progrès continu, vécu au XIXème siècle, s'accentua et prit de nouvelles dimensions.

Cette continuité dans le progrès était due à l’épanouissement grandissant de la pensée scientifiques, catalysée peut être par une sorte de révolution culturelle.

Car, si les mathématiciens se considèrent comme des techniciens, usant d’un langage, pour bâtir une science, la leur, n’empêche qu’ils confèrent à leur science un esprit logique « cajolé » par des intuitions rigoureuses pour assurer son enrichissement.

De ce fait, on a étudié davantage la Nature, scruté de nouvelles théories, institué l’expérimentation. De sorte que la compréhension des « faits scientifiques » par la voie intuitive ou par la logique déductive, crée pour les mathématiques des rapports nouveaux qui s’embriquent avec la réalité physique.

Il en est résulté une nouvelle définition de rapports entre les mathématiques, la logique et le fait physique.

Car la diversité des découvertes tant sur le plan théorique que pratique, fait qu’une nouvelle attitude a été prise sur le rôle et les responsabilités des mathématiciens face aux divers progrès tant philosophiques que scientifiques du siècle.

Cette nouvelle manière de pensée et d’intervention des mathématiciens, les moyens et les méthodes utilisés ont créé de nouveaux rapports, d’utiles intéressements dans le domaine des sciences exprimentales entre autres.

Et si ces dernières ont pris corps, c’est parce que leurs racines étaient d'essence mathématique.

La société, d’abord, subit l’effet de la science moderne : l’espèce humaine « s’humanise » davantage, s’intercommunique sans cesse.

Et derrière cette transformation et les influences de la science, on retrouve le rôle modulateur des mathématiques dont la découverte de leurs nouvelles structures, de leurs nouvelles composantes et formes, a aidé magistralement l’origine et le développement de toutes les sciences, tant au niveau de la conception qu’à celui des applications multiformes.

C’est une nouvelle accession des mathématiques à un nouveau domaine de pensée. Dans le domaine de la physique, par exemple, les mathématiques sortent de leurs cadres théoriques et absolus pour s’introduire peu à peu dans le monde phénominal, pour former ainsi une nouvelle branche des mathématiques dites appliquées.

41

Ainsi, une dissociation se précise. D’une part, les mathématiques pures se développent intrinsèquement et continuent à s’intéresser aux systèmes abstraits.

D’autre part, les mathématiques appliquées, c’est-à-dire, l’outil intellectuel dont se sert le physicien, par exemple, pour expliquer et intérpréter les phénomènes étudiés.

Et entre ces deux systèmes de mathématiques, on retrouve un dénominateur commun : la logique.

Et dans toute étude d’un système sur le plan abstrait ou phénominal, on a recours à l’application de procédures logiques.

Les branches traditionnelles des mathématiques connaissent au XXème siècle un grand développement. Il s’agit de l’algèbre, de l’arithmétique, de la géométrie, de l’analyse…

Mais d’autres branches ont vu le jour : L’analyse fonctionnelle, le calcul informationnel, le calcul matriciel.

Et dans la science du futur, d’autres branches de mathématiques ont apparu : nous les verrons dans le chapitre des mathématiques modernes.

A- PROGRES DES BRANCHES TRADITIONNELLES DES MATHEMATIQUES Ces branches ont connu un enrichissement diversifié: 1- POUR L'ALGEBRE L’algèbre, par exemple, considérée comme système mathématique définissant les relations exprimées en termes abstraits, joue le rôle de dénominateur commun de la presque totalité des branches des mathématiques.

Sur le plan organique pur, l’algèbre a évolué davantage vers l’abstrait. De là, nous trouvons la théorie des groupes, des anneaux, des systèmes d’espaces vectoriels…

Pour ces derniers, on a donné naissance à ce qu’on appelle aujourd’hui K-Algèbre, c’est-à-dire un espace vectoriel noté E, le corps commutatif K et muni d’une structure algébrique définie par les lois de composition interne et externe.

Ce que l’on verra en détail dans le chapitre des mathématiques modernes.

D’autre part, l’algèbre, comme outil mathématique, a servi à la géométrie analytique, à la topologie algébrique, c’est-à-dire l’étude de certains corps géométriques sur lesquels on imprime une déformation continue pouvant être arbitraire.

Servant la géométrie analytique, l’algèbre a profité de la géométrie, car la traduction algébrique des problèmes géométriques a donné naissance, pour 42

l’algèbre, à de nouvelles structures qui furent étudiées sous l’angle algébrique, engendrant ainsi, des théories nouvelles et donnant alors naissance à ce que l’on appelle l’algèbre homologique, devenue une science mathématique autonome vers 1955, grâce aux travaux de H.CARTAGA et de GROTHARDICK. 2- POUR L'ARITHMETIQUE Elle a été considérée toujours comme un associé potentiel de l’algèbre.

La théorie des nombres entiers, algébriques, les lois de l’addition et de la multiplication de ces nombres, ainsi que leurs propriétés ont été traitées sous l’angle algébrique.

En particulier, RIEMANN a étudié le distributeur des nombres premiers par l’introduction des fonctions algébriques : c’est là une ouverture de l’arithmétique vers l’analyse et la géométrie analytique. Car certaines questions de la théorie des nombres, par exemple, la théorie multiplicative des nombres dans le champ des fonctions algébriques, ont été mieux étudiées par la géométrie analytique.

Nous signalons aussi, qu’en théorie des nombres, les applications à l’étude des fonctions par JULIA, les travaux de GAT sur les formes quadratiques ternaires, les études de CHATELET sur les nombres idéaux.

3- POUR LA GEOMETRIE Au XXème siècle, la géométrie n’est pas restée une branche autonome des mathématiques. L’intéressement dans cette branche de l’algèbre et de l’analyse a engendré deux types de géométrie, l’une intéressant l’algèbre, l’autre l’analyse.

C’est ainsi que les algébristes ont conféré le vocable de différentielle à la géométrie, étudiée sous leur optique propre. Ainsi l’ère de la géométrie considérée depuis les grecs, comme discipline méthodologique, est révolue.

La liaison de la géométrie à l’algèbre a entraîné l’introduction des champs coordonnés dans l’étude des problèmes géométriques.

La liaison à l’analyse a vu l’introduction au sein de la géométrie, du calcul différentiel et intégral (étude des courbes, de leurs propriétés tangentielles, de leur courbure, de leur torsion etc…).

La géométrie différentielle a connu, alors, un essor grandissant et une virtuosité manifeste. C’est la traduction en langage analytique de la pensée mathématique bernant les êtres géométriques.

Or l’introduction de ce langage l’analyse à travers l’univers de la géométrie unissant les considérations opérationnelles et celle de la continuité a fait que l’évolution de cette nouvelle discipline des mathématiques ne pouvait se réaliser que moyennant une certaine « scission » : ce qui a donné naissance à la topologie.

43

Et l’on peut dire que certains problèmes de géométrie, alors réfractaires à toute résolution, faute peut être de la non application profonde d’avantage de « matériaux » d’analyse, d’algèbre et de topologie, allaient se résoudre, ce qui a conféré à la géométrie un progrès manifeste.

4- MAIS QU'EST-CE QUE LA TOPLOGIE? C’est avant tout une branche de la géométrie.

Et elle est encore appelée analysistus. Son avénement remonte au problème du point de KONIBERG, posé par EULER au XVIIIème siècle, mais « sa maturité » n’est atteinte qu’au XXème siècle.

On a vu que la géométrie unit les considérations de continuité, on peut définir alors la topologie comme certaine géométrie qui a pour objet, l’étude de la continuité à travers certaines opérations dites de transformations.

Pour mieux appréhender cette notion, nous devons considérer deux aspects de la géométrie : l’aspect métrique basé sur la notion de distance, l’aspect d’ordre projectif basé sur la notion de ligne droite, en ce sens que cet aspect projectif traduit la qualité de l’objet mathématique.

De ces deux aspects de la géométrie, se greffe une autre considération : c’est le fait de passer de l’un à l’autre par un opérateur dit « transformation », en déformation continue.

Ainsi on peut passer d’un cercle à une ellipse par une transformation continue dite « affinité » (transformation d’une ellipse en son cercle directeur et vice versa).

C’est en somme le passage de la géométrie métrique par l’introduction, pour l’objet étudié, ses propriétés qualitatives, tout en restant dans le cadre de continuité.

5- EVOLUTION DE LA TOPOLOGIE La topologie a suivi deux directives différentes : 1) une direction dite algébrique ou combinatoire, Dans cette voie, certaines parties de la Topologie s’expriment en termes algébriques et même géométriques et le produit de cette étude se trouve dans la théorie des équations.

2) une direction générale ou ensembliste, La partie de la Topologie ne pouvant subir l’attraction de l’algèbre, par exemple l’étude des espaces topologiques abstraits, sont étudiés dans le cadre de la théorie des ensembles.

44

Pour la Topologie algébrique, RIEMANN, par exemple, a fait des études intéressantes sur les rapports existant entre la théorie des surfaces et la théorie des fonctions.

En ce qui concerne la topologie ensembliste, CANTOR a laissé beaucoup de mémoires notamment, la définition et l’étude des notions topologiques dans l’espace Euclidien.

Ces mémoires furent développés par la suite pour s’étendre aux ensembles des courbes et surfaces avec l’introduction de la théorie des fonctions, ce qui a donné naissance au calcul fonctionnel, par l’utilisation de l’algèbre tensorielle.

De nos jours, on étudie une topologie synthétique groupant la topologie algébrique et la topologie ensembliste. Cette nouvelle topologie jouant d’ailleurs un rôle essentiel dans le calcul intégral et dans l’étude des structures locales des variétés.

Ainsi l’apport de la topologie à l’analyse contemporaine ne fait que grandir. Citons par exemple, l’étude par la topologie synthétique, des classes de déformations des fonctions à variables complexes et l’étude aussi des courbes gauches, avec leurs caractéristiques essentielles : plan osculateur, plan tangent avec l’introduction de la notion contingence et de « Patingence ».

6- L'ANALYSE FONCTIONNELLE L’introduction dans les parties de la géométrie des « ferments » d’analyse, et de la théorie des ensembles, engendrant ainsi la topologie, va donner naissance, au XXème siècle, grâce à un « mariage » avec l’algèbre, à une nouvelle discipline mathématique dite « Analyse fonctionnelle ».

Quel est alors son objet ?

L’étude de certaines formes mathématiques abstraites, tels les systèmes algébriques, les espaces topologiques, donne naissance à des systèmes mathématiques qui sont appréhendés soit par l’algèbre de BOOLE, soit par la topologie ensembliste.

Mais certains systèmes mathématiques possèdent à la fois des propriétés algébriques et topologiques.

C’est l’objet de l’analyse fonctionnelle qui peut alors être considérée comme une forme abstraite de l’analyse classique, exprimée par un langage mathématique présentant à la fois une « coloration » géométrique, algébrique et topologique.

HILBERT, de BANACH, HAHN ont formulé la théorie des espaces vectoriels, la théorie des opérateurs linéaires dans ces espaces, pierre angulaire de l’analyse fonctionnelle.

De plus, cette dernière s’est introduite dans l’analyse classique reprenant la théorie des équations aux dérivées partielles en y jetant une « nouvelle dimension », éclairant ainsi « les chemins » trouvés abrupts, peut-être, par les analystes classiques.

45

Donc l’évènement de l’analyse fonctionnelle a permis la création de nouvelles théories et de faire avancer celles non comprises jadis, et ce,moyennant une forme de pensée où triomphe une abstraction très affinée.

B- LES MATHEMATIQUES << DITES MODERNES>> 1- Introduction Existe-t-il réellement des mathématiques modernes ?

Pourquoi leur évènement a fait régner dans les esprits, peur et angoisse ?

Ce ne sont pas autre chose que des mathématiques. Et l’appellation de mathématiques « modernes » paraît absurde.

Encore celle qui consiste à conférer le qualificatif de « nouvelles » ou de contemporaines.

On n’enseigne aujourd’hui, hier, et demain que des mathématiques. Et l’évolution de cette science ainsi enseignée a été simplement synchronisée avec le besoin de réformer radicalement l’enseignement de cette science.

Et c’est pour cette raison qu’on trouve que la majeure partie des mathématiques enseignée après 1950 tant au cycle secondaire que supérieur ne figurait pas aux programmes enseignés trente ans plutôt.

Il devient donc nécessaire de démystifier cette « révolution » qui affecte l’enseignement des mathématiques classiques aujourd’hui, pour dire simplement que le remplacement des mathématiques classiques par une autre forme de mathématiques, n’est que le désir de faire vivre la génération montante avec le monde technologique qui l’entoure.

Cela étant, les mathématiques que l’on enseigne aujourd’hui et qualifiées de « modernes » se composent d’un langage, d’une méthodologie et d’une technique pédagogique. Et « la matière première » utilisée pour être injectée dans les cervelles des jeunes et moins jeunes sont inexorablement un circuit commençant par la logique, la théorie des ensembles, de l’algèbre générale et linéaire, de la topologie, de l’analyse, de la géométrie, de la mécanique, des probabilités, de l’informatique.

Cet enseignement des mathématiques utilise un langage spécial, un mode d’expression adéquat. Ce langage est utilisé dans le raisonnement méthodologique à travers les théories précitées en vue de son application dans le réel technologique ou autre.

Le langage utilisé est logique et formel.

Et à-travers cette logique, on initie l’esprit afin de mieux formaliser et penser aux applications techniques.

46

L’évolution des mathématiques est toujours ascensionnelle. Gagnera, celui qui modulera toute réforme d’enseignement des mathématiques au rythme de l’évolution de notre environnement.

2- LE LANGAGE DES MATHEMATIQUES MODERNES L’adaptation au mode de pensée moderne et au mode technologique d’aujourd’hui des nouveaux programmes de mathématiques enseignés ou appliqués dans la vie sous toutes ses formes, a engendré une refonte et du langage et de la pédagogie.

Tant pour l’enseignement que pour les besoins d’ordre technologique, notamment l’informatique, on utilise un vocabulaire et une orthographe véhiculés par un style spécifique.

Car la compréhension du fonctionnement, par exemple d’un ordinateur, la programmation de cet ordinateur, puis la communication de l’homme avec la machine nécessitent automatiquement la connaissance du langage « secrété » par la théorie des ensembles.

De plus, et parallèlement à ce qui se passe tant pour l’enseignement de mathématiques modernes que pour leur application dans la science informatique par exemple, on pense aujourd’hui aux besoins du futur, dont on prépare les bases théoriques de sa conception, de son épanouissement et de sa manifestation ; pour cela apparaissent des mathématiques nouvelles telles la théorie des sous-ensembles flous, la théorie des catégories, les Oméga-algèbres, la théorie des treillis etc…

Ainsi le dialogue homme-machine continue à se développer : le cerveau de l’homme créant moyennant des définitions, des langages appropriés, en vue d’une finalité de domestication de la machine, et par-delà, la Nature.

Quel est donc ce nouveau langage de la mathématique?

Son élément de base est l’ensemble. Déjà CANTOR en 1872 définissait la notion de l’ensemble ainsi : « Un ensemble est la réunion en un tout d’objets de notre intuition ou de notre pensée, bien déterminés et différentiables les uns des autres ».

Ainsi pour concevoir un ensemble, on part soit intuitivement par l’utilisation de nos sens, soit par l’utilisation de la pensée pure.

Par exemple les hommes sont bien des objets définis de ce monde. Si nous en fixons un quelconque, il est sans ambiguïté, présent, parmi ces hommes de ce monde, ou bien en dehors.

Si nous considérons ensuite deux de ces objets quelconques (au lieu des hommes on pourrait prendre des objets autres définissant un ensemble), deux éventualités se présentent ou bien ces deux objets sont égaux ou bien ils sont distincts.

47

Naturellement, on doit greffer à cette notion d’ensemble un raisonnement logique permettant « la compréhensivité » de cet ensemble d’objets.

Car bien que quelconques, ces objets définissant un ensemble, ils doivent obéir à une certaine logique formelle sans contradiction possible.

Pour concevoir, le mathématicien crée des modèles ou structures suivant les théories de base.

Qu’est-ce qu’une théorie ?

Le mathématicien se donne au départ un certain nombre d’objets, qu’on pourrait appeler « élément » entre lesquels existent des relations.

La théorie est alors considérée comme l’ensemble de règles qu’on énonce permettant de régir ces éléments, et ces relations, dans l’hypothèse de la logique formelle, c’est-à-dire, soit de l’existence ou vérité de ces relations soit de nonexistence liée à la non-vérité, de telle sorte que parmi ces relations supposées vraies, on crée ce que l’on appelle des axiomes, à partir desquels, par des procédés de déduction, on peut obtenir d’autres relations vraies, dites théorèmes.

Les moyens opératoires utilisés sont des lettres, des symboles permettant de représenter les éléments et leurs relations grâce à des règles. a- Les lettres La représentation des éléments (que l’on appelle également termes) des relations ou lois se fait à l’aide de lettres et parfois avec des symboles.

A désigne : Groupe des angles orientés B

"

: Base d’un espace vectoriel, d’un module

C

"

: Corps des nombres complexes, Cône…

D

"

: Dérivation

E

"

: Ensemble, espace vectoriel, espace topologique, espace vectoriel topologique

E’

"

: Sous espace vectoriel

F

"

: Fonctions, foncteur

f

"

: Application, fonction, distribution d’une variable aléatoire

f-’

"

: Application réciproque

f’

"

: Dérivée première de f

48

f’d

"

: Dérivée à droite

f’g

"

: Dérivée à gauche

f (P) "

: Image de la partie (P) par f

IIIfIII "

:Norme de l’application linéaire f

G

"

: Groupe, graphe

G’

"

: Sous-groupe du groupe G

G-’

"

: Graphe réciproque de G

g

"

: (application linéaire associée à gauche à une forme bilinéaire)

I

"

: Ensemble d’indices

i

"

: Nombre imaginaire pur

K

"

: Corps, partie compacte

K’

"

: Sous-corps de K

M

"

: Matrice

M

"

: Conjuguée de la matrice M

MB(f) "

: Matrice associée à l’application à l’endomorphisme f dans la base B

N

"

: Ensemble des nombres entiers naturels

O

"

: Origine d’un espace affine

P

"

: Polynomie, partie, probabilité

P

"

: Complémentaire de la partie P, conjugué du polynôme P

Px

"

: Loi de la variable aléatoire X

Q

"

: Forme quadratique

R

"

: Relation, ensemble des nombres réels

S

"

: Subdivision, forme bilinéaire

T

"

: Distribution

U

"

: Ouvert 49

u

"

: Nombre complexe de module 1

V " :Voisinage X

"

:Variable aléatoire

x

"

:Elément d’un ensemble, variable réelle

IXI

"

:Valeur absolue de X

Z

"

:Nombre complexe ou nombres entiers réels

IZI

"

:Module de Z

b- Les symboles logiques Non, et A

: non A, négation de A

A V B

: A ou B (disjonction non exclusive)

A Λ B

: A et B (conjonction des relations A et B)

A => B : A entraîne B A ↔ B; A ~ B : A entraîne B (Ɐx) A

: quelque soit x, on a A (qualificateur universel)

(Ǝ x) A : il existe x tel que A (qualificateur existentiel) □

: objet privilégié

Ǝ x!

: il existe un x et un seul

Ø

: ensemble vide

x E E

: x appartient à E

x Ɇ E

: x n’appartient pas à E

E C F

: E inclus dans F

E ₵ F

: E n’existe pas inclus dans F

E = F

: E égal F

E≠ F

: E différent de F

50

x Ξ y

: (modulo a) i x congru à y modulo a

x ≤ y

: relation d’ordre

x < y

: relation d’ordre strict

x > y

: x supérieur à y

f ≥ g

: f est dominée par g

f « g

: f négligeable devant g

E / R

: ensemble quotient de E par R

f : E → F : application de E dans F x → f(x) : f(x) image de x par f T et I

: Truc et anti truc (loi de composition)

f o g

: Composition de 2 application f et g

f * g

: Produit de convulsion de f et de g

C ℮P

: complémentaire de P dans E

E – F

:différence des ensembles E et F

E Δ F

: différence symétrique des ensembles E et F

∪

: Union

∩

: Intersection

ssi

: si et seulement si

n

: somme de x de 1 à n

n

: Produit de la suite (x) de 1 à n

n

: Produit extérieur de la famille (xi) de 1 à n

∑ xi ∏ xi Λ xi

E1 ⊗ En : Produit tensoriel des espaces vectoriels E1 et E2 Anr

: Cardinal d’un ensemble des arrangements de p éléments d’un ensemble à n éléments.

Cnp (pn)

: cardinal de l’ensemble des combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments 51

{x,y}

: Ensemble à 2 éléments

(x,y)

: couple

(x,y,z)

: triplet

c- Les symboles rationnels Ce sont des symboles qui traduisent les relations existant entre les termes.

On désigne ces symboles par s.

Le symbole rationnel s porte sur des termes rangés successivement les uns à la suite des autres et en un nombre fixé, n, pouvant prendre les valeurs 1, 2, 3, 4……..

Ce nombre n fixé, est dit le poids de s.

Les relations considérées peuvent porter soit un terme (relation linéaire), soit 2 termes (relation binaire) etc…

EXEMPLES: a- Relation unaire: soit x un nombre réel et R l’ensemble des nombres réels. La relation d’appartenance de u à R se traduit par x ϵ R b- Relation binaire : Elle intéresse 2 termes x et y pour fixer les idées. x = y : Le symbole = est un symbole d’égalité xEy :

"

E

"

d’appartenance

xCy :

"

C

"

d’inclusion

x≤y :

"

≤

"

d’ordre

x Ξ y (modulo x) si x E Z (nombres rationnels), y E Z n E Z on a alors la relation: X E Z et Y E Z et (X-Y E n.Z).

52

d- Les symboles substantifiques Ces symboles servent à construire des termes en partant des termes déjà connus.

EXEMPLES: Pour la théorie des ensembles, par exemple, les symboles substantifiques sont: {n}

: ensemble constitué par l’ensemble x

x,y

:

"

"

" les 2 ensembles x et y

x X y : ensemble produit cartésien des ensembles x et y x ∩ y : ensemble constitué par l’intersection des ensembles x et y x∪y:

"

"

" l’union des ensembles x et y

C- RECAPITULATION 1- THEORIE FORMULE Dès lors, pour formuler une théorie, on doit se donner : · les lettres désignant les termes ou objets, · les lettres désignant les relations ou encore les propriétés, propositions ..., · les symboles (logiques, relationnels et substantifiques), Et ces cinq composantes forment ce que l’on appelle les 5 signes de la théorie.

Ces signes obéissent à des critères préalables : l’indépendance dans deux catégories de signes différentes.

Se donner un signe, c’est se donner sa nature propre. De sorte qu’à partir de ces signes, l’on peut construire des formules régissant les termes et les relations d’une théorie donnée.

2 - RELATIONS INTERTHEORIES (Comparaison, équivalence) Une théorie T est donnée quand on se fixe ses cinq signes définis plus haut, de sorte qu’un signe donné ne peut se trouver dans 2 catégories de signes différentes.

La théorie est construite à l’aide de ce qu’on appelle les axiomes, par l’intermédiaire d’une opération dite construction formatrice de base C où se trouve des termes de T et les relations de T à partir desquelles on formule des axiomes.

Comment alors comparer 2 théories T et T’ de construction formative de bases respectives 2 et C’.

On dit que la théorie T’ est dominante par rapport à T si les termes, relations, et symboles respectifs de T’ sont des termes relations et symboles respectifs de T. 53

Exemple : Toute théorie T mathématique est plus dominante que la théorie des ensembles, car l’on inclut les termes, relations et symboles de la théorie spécifique des ensembles dans la théorie T considérée.

De même que l’on dit qu’une théorie T est équivalente à la théorie T’ si T’ dominante par rapport à T et T est dominante par rapport à T’.

3 - FAMILLE DES THEORIES On distingue les théories logiques et les théories quantifiées. a- THEORIE LOGIQUE Elle est construite à partir des symboles logiques de base non, ou ; et, == >, <== > b- SYMBOLE LOGIQUE NON Soit une relation P. (Non P) est la négation de P. Si P est une relation fausse, (non P) est une relation vraie.

EXEMPLE : x≤3 est une relation formulée par : «le nombre réel x est inférieur ou égal à 3» La négation de cette relation est formulée par : «le nombre réel x est inférieur ou égal à 3» La négation de cette relation est formulée par : «le nombre réel x ce n’est pas inférieur ou égal à 3» c- SYMBOLE LOGIQUE OU On se donne 2 relations P et Q (P ou Q) est une relation, dite la relation de disjonction logique de P et Q EXEMPLE : Soit la relation x≥2 ou x≤1, où x désigne un nombre réel variable Les nombres réels x pour lesquels cette relation est vraie appartiennent à l’ensemble : ]-∞,1] U [2,+∞[ d- SYMBOLE LOGIQUE ET Soient 2 relations P et Q. On définit la relation (P et Q) par une relation dite Conjonctive logique des relations P et Q. EXEMPLE : Soient les relations x≤2 et x≥1 où x désigne un nombre réel variable.

Tous les nombres x pour lesquels cette relation est vraie sont ceux qui appartiennent à l’intervalle [1,2] 54

e- SYMPOLE LOGIQUE == > • == > : est le symbole logique d’implication P== >2 se lit P entraîne ou implique Q EXEMPLE : la relation x≤x1 == > x≤x2 Est vraie si x1 ≤ x2 , et fausse si x1>x2 f- SYMPOLE LOGIQUE <== > C’est le symbole d’équivalence logique.

P <== > Q et Q<== >P donne P et Q 2 relations équivalentes.

EXEMPLE : x≤x1<== >x≤x2 : cette relation est vraie si x1=x2 et fausse si x1 ≠x2 Le symbole <== > traduisant la relation P<== >Q est interprété par le langage suivant : On a P si et seulement si on a Q Si on a P, on a Q et réciproquement Si on a Q, on a P et réciproquement.

4- VERS L’ALGEBRE DES PROPOSITIONS OU CALCUL PROPOSITIONNEL Notre monde de raisonnement se fait grâce à des propositions, et nous procédons généralement soit par affirmations ou une succession d’affirmations, soit par des propositions répondant en principe «du tiers exclu», c’est à dire qu’une proposition donnée P est vraie ou elle est fausse.

Il n’y a pas d’alternative.

Et nous supposons rester dans un mode de logique binaire, c’est à dire un mode axé sur un mode de raisonnement utilisant le doublet (vrai, faux).

Il en sera autrement si l’on considère par exemple la théorie des ensembles flous, objet d’un chapitre spécial, où l’on peut concevoir entre la notion binaire de vrai ou de faux une série de situations...

Dans le cas de la logique binaire ou de logique formelle, on doit réaliser deux types de propositions pour résoudre un problème de logique formelle. On commence par décomposer une proposition complexe en une série d’éléments simples et ensuite on affecte à ces éléments la valeur logique (vraie ou fausse) de la proposition établie à partir des valeurs logiques des différentes propositions composantes.

55

Cela se traduit par des symboles suivants : Ou est représenté par ∨ on peut combiner 2 "

"

par ∧ symboles par exemple P∧┐Q

NON "

"

par ┐ veut dire (P) et non (Q)

ET

Dans certains manuels, on désigne la négation de P par le symbole ~ A partir de la notion de vrai V ou de faux F, et en considérant 2 propositions P et Q, on peut construire ce que l’on appelle “les tables de vérité“ P V V F F

Q V F V F

P∧Q V F F F

P∨Q V V V F

P ∧┐Q F F F F

5- LES LIAISONS LOGIQUES : DÉFINITION ET ANALYSE Souvent les propositions logiques ne se présentent pas d’une façon individualisée et isolées : se manifeste entre elles une certaine relation, de sorte que l’existence d’une d’entre de ces propositions implique logiquement l’autre.

Si donc P entraine Q, on peut dire que Q découle de P et que Q se déduit logiquement de P. La relation d’implication de deux propositions suppose la conditionnalité en ce sens que dire P entraîne Q si et seulement si le conditionnel P == >Q est une nécessité logique : On ne peut émettre la relation P == >Q et imaginer des cas où P est vraie et Q fausse.

Une deuxième relation importante est l’incompatibilité des 2 propositions P et Q : si lorsque l’une est vraie, l’autre est fausse, de sorte que si P et Q sont incompatibles, il est logiquement impossible qu’elles soient vraies simultanément.

Pour tester la compatibilité ou l’incompatibilité de deux propositions, on construit les tables de vérité de chacune d’elles et on conclut par la suite suivant l’exemple ci-dessous : P V V F F 56

Q V F V F

P == > Q V F F V

P == > Q V F V V

P∨Q V V V F

Essayons d’analyser les propriétés caractéristiques de chacune des relations ci-dessus indiquées : l’implication (et à travers laquelle, il y a l’équivalence) et l’incompatibilité et partant voir s’il n’existe pas d’autre type de relations entre 2 propositions données.

Le fait caractéristique d’une relation d’implication est l’impossibilité de concevoir une hypothèse vraie et la conclusion fausse.

Il en est de même de la relation d’équivalence.

Mais d’autres types de propositions peuvent se rencontrer. Par exemple les propositions indépendantes et les propositions dépendantes ou liées, et les propositions conditionnelles.

Examinons les cas des propositions indépendantes. Si nous partons de 2 propositions P et Q, quatre cas peuvent se manifester : P ( Vraie = V ) ; Q ( Vraie = V )

cas n°1

P

( V )

; Q ( Fausse = F )

cas n°2

P

( F )

;Q

( V )

cas n°3

P

( F )

;Q

( F )

cas n°4

Mais l’exclusion d’un de ces quatre cas entraîne à dire que les deux propositions sont liées.

Ainsi si le cas n°1 est exclu, P et Q ne peuvent être vraies en même temps, on dit alors qu’elles sont incompatibles ou contraires.

Si le cas n°4 est exclu, les deux propositions ne peuvent être fausses en même temps ; l’une au moins est vraie. Alors P et Q sont alors dites «couples de subcontraires».

Si le cas n°3 est exclu, on ne peut avoir Q vraie et P fausse, dont on a une implication Q == > P. Reste le cas de la conditionnalité de 2 propositions.

En mathématique, on emploie couramment 2 expressions exprimant une proposition conditionnelle : c’est d’abord «la condition nécessaire» et ensuite «la condition suffisante».

Nous disons que P est une condition nécessaire pour Q» équivaut à la phrase «Q seulement si P».

De même la phrase «P est une condition suffisante pour que Q» signifie que si P a lieu, Q aura lieu également : on l’exprime simplement par «si P, alors Q». Il y a donc une sorte d’implication conditionnelle.

57

Les deux cas peuvent se manifester en même temps et la proposition «P est une condition nécessaire et suffisante pour que Q» équivaut à (P si seulement si Q).

6- EXEMPLES PRATIQUES : EXEMPLE 1 Un prisonnier, mais logicien, est dans une prison. On lui offre une chance d’en échapper en disposant 2 portes ouvertes où l’une conduit à la guillotine et l’autre à la liberté. Deux gardes sont près de ces deux portes. Le prisonnier a droit de poser une seule question à chacun des deux gardes, dont l’un dit toujours la vérité, mais l’autre ment toujours.

Notre prisonnier, comment va-t-il poser sa question pour s’en tirer et retrouver sa liberté ?

Quel que soit le garde interrogé par le prisonnier, le logicien cherche une question unique dont une réponse «oui» veut dire que la porte conduisant à la liberté, que l’on symbolise par la proposition P veut dire que P est vraie et que «non» P est fausse.

On représente par Q la proposition «le prisonnier dit la vérité».

La réponse est : si et seulement si le prisonnier dit la vérité la première porte conduit à la liberté : EXEMPLE 2 On va voir qu’à partir de 2 propositions dites arguments “fausses“ on arrive à un argument valable logiquement.

Tous les chats ont deux pattes, 1er argument faux.

Tous les animaux à 2 pattes sont des carnivores : 2ème argument faux Donc, tous les chats sont des carnivores: argument valable.

EXEMPLE 3 On va affecter la notion de proposition à celles des nombres. Soit m et n 2 nombres entiers positifs. On veut démontrer que si le produit m,n est un nombre impair, m et n sont deux nombres impairs tous deux.

On suppose, “à contrario, que l’un des deux nombres ; soit m est pair alors m=2x (expression générale des nombres pairs). Alors m.n=2(xn) qui est par conséquent un nombre pair, ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc m et n sont nécessairement impairs.

On constate alors que par un raisonnement valable logiquement, mais partant d’une hypothèse fausse, on arrive à une conclusion contradictoire aux données : ce qui est une manière de démontrer d’une façon indirecte la proposition.

58

EXEMPLE 4 On veut appliquer la théorie des propositions liées aux réseaux de commutation.

Soit un fil électrique ayant comme extrémités E1 et E2, et ayant plusieurs interrupteurs qui peuvent être soit «ouverts» soit «fermés».

On peut avoir plusieurs montages d’interrupteurs.

Montage en série (Fiq. 1) Montage en parallèle (Fig. 2) Montage en composé (Fig. 3)

Le problème consiste à déterminer si le couvant passe ou ne passe pas de E1 à E2.

Dans la figure 1, la réponse est simple I1 et I2 doivent être fermés.

Utilisons le raisonnement logique.

Soit P la proposition (I1 est fermé) et Q la proposition (I2 est fermé) ; R(I3 fermé), S(I1 fermé).

Dans la figure 1, le couvrant passe si P et Q sont simultanément varies, ce que l’on traduit par le langage symbolique P ∧ Q vraie.

Dans la figure 2, le courant passe si l’un des interrupteurs est fermé : le circuit est alors représenté par le symbole P∨Q vraie.

Dans la figure 3 : le courant passe si : a) La branche du haut (I1 I2)correspond à la proposition P Q varie. b) La branche inférieure (I3 I4) correspond à la proposition R S vraie.

Mais il y a 4 variables, c’est à dire 4 interrupteurs pouvant être soit ouverts soit fermé, on démontre qu’il y a 16 positions possibles.

7- NOTIONS DE THEORIES QUANTIFIEES Si la logique est l’essence de tout raisonnement mathématique, il reste que certaines notions de mathématiques ont besoin d’un outil complémentaire que la logique demeure impuissante à fournir.

Cet outil est représenté par de nouveaux symboles qu’on appelle quantificateurs et qui sont : ∀, Ǝ ; 59

Et la théorie dite quantifiée, peut se définir comme une théorie logique où l’on fait appel à ces quantificateurs. a- Quantificateur ∀ On l’appelle encore le quantificateur universel et se définit comme l’expression qualifiant u élément par rapport à un ensemble donné.

Ainsi pour tout nombre x ,x (x+1) est un entier. Et la phrase “pour tout nombre x“, se symbolise par le quantificateur x.

On écrit alors ∀ x (x E a l’ensemble des entiers N), on a x+(x+i) (E N).

On peut également conférer au symbole ∀ le sens de “quel que soit“. b- Quantificateur Ǝ C’est le quantificateur existentiel.

On a souvent recours à la phrase : “il existe au moins un plan P passant par les trois points A.B.C“ se symbolise par le quantificateur Ǝ.

Mais il se peut que l’existence de cet élément, rentrant dans la relation soit unique (un et seul). On a alors recours à la phrase “il existe un et un seul“ qui se symbolise par le quantificateur Ǝ qui est régi par le fait de l’existence et de l’unicité. c- Exemples d'emploi de quantificateurs c-1- Soit un élément x, et 2 relations P et Q déterminées en x et définies comme suit : Pour tout x vérifiant P, on a Q Pour tout x tel que P, on a Q Quel que soit x tel que P, on a Q. Ces trois énoncés s’écrivent symboliquement par la relation : (∀x,P) Q. c-2- Les 2 énoncés tels que : «il existe x vérifiant P tel que Q» «il existe x tel que P et Q» Se symbolise par la relation : (Ǝ x,P) Q c-3- L’énoncé : «il existe un entier n dans Z (nombres entiers rationnels) et un seul tel que 60

n+2=0» se symbolise par la relation (Ǝ !n) (n Є Z) Є! (n + 2) =0 CONCLUSION: Les théories quantifiées, qui sont en quelque sorte un élargissement des théories logique, jouent un rôle fondamental dans la théorie des ensembles.

De par leur complexité, qui n’a pas été mise en évidence dans le présent recueil, qui répétons-le, n’est pas un cours magistral, on les appelle quelquefois la théorie des théories.

D- LA THEORIE DES ENSEMBLES: ETUDE ET VALEUR-APPLICATIONS 1- INTRODUCTION On a toujours cru que la théorie des ensembles est la «dernière mode», sortie des cerveaux des mathématiciens du XXème siècle.

D’autres ont cru que de même le brouhala événementiel des bouleversements de ce siècle nous envahit, les mathématiques, comme les moutons de Panurge, suivent le mouvement en se renouvelant et se faisant «belles» par un modernisme «New look».

Mais la mathématique reste toujours comme une sorte de déesse, indifférente aux vicissitudes du temps.

Pierre LEFEBRE dans son livre la «Théorie de Ensembles» écrit : «Il n’y a pas opposition et discontinuité entre mathématique «classique» et mathématique «moderne». L’une continue l’autre. Ce qui était vrai reste vrai.

Simplement, il y a eu des apports nouveaux, un déplacement, parfois, des centres d’intérêt». Mais la théorie des ensembles n’est pas si nouvelle qu’on le croit communément, et on aurait pu l’enseigner plutôt.

Si elle est utile et largement utilisée, elle ne termine rien, et personne ne peut dire ce que seront les mathématiques dans cent ans. Peut-être aura-t-on trouvé une autre théorie qui reléguera, pour certains, la théorie des ensembles au rayon des vieilles lunes.

Pour le moment, elle est solidement installée et ne paraît pas encore menacée Après tout, Einstein n’a pas complétement détrôné NEWTON – on vient de s’en apercevoir en astronautique – et EUCLIDE n’est peut-être pas tout à fait mort, même si CANTOR fait beaucoup parler de lui».

Donc, c’est par souci purement pédagogique et conjoncturel, (contexe de réformes) de l’enseignement des mathématiques, qu’on a introduit à l’école, des 61

concepts de la théorie des ensembles, qui n’ont rien de «moderne», gardant leur cachet purement classique La théorie des ensembles, de plus, n’est pas une nouvelle technique d’enseignement. Elle rentre dans le courant de l’évolution historique des mathématiques.

D’ailleurs, la vraie théorie des ensembles, trop complexe en elle-même, n’est pas celle qu’on enseigne dans les Lycées, du fait qu’elle exige un haut niveau de réflexion et d’entendement pour la compréhension de ses fondements et de ses axiomes, voire son champ d’application.

2- NOTION SOMMAIRE D’ENSEMBLES EN MATHEMATIQUES On définit l’ensemble d’une manière très intuitive. Dans notre vie se présentent des objets qui peuvent appartenir à une même collection et dans la mesure où l’on peut dire d’un objet appartenant ou non à la collection, cette dernière est dite un ensemble.

Envisageons alors le cas suivant : On désigne par E l’ensemble des élèves et M l’ensemble des élèves étudiant les mathématiques et S l’ensemble des élèves scolarisés dans une école donnée.

Schématiquement on représente ces ensembles par des diagrammes qu’on appelle diagrammes de VENN. Ainsi on représente l’ensemble E des enfants (qui sont des éléments de E) par le diagramme suivant : +

+

E

Ɇ

Comment pouvons-nous articuler ces trois ensembles. Tous les enfants ne sont pas scolarisés et tous ne font pas de mathématiques : donc tout élément de E n’est pas nécessairement un élément de m, ni de S. Les enfants ne font pas les mathématiques : donc tout élément de E n’est pas nécessairement un élément de M, ni de s.

La notion d’appartenance d’un élément à un ensemble est représentée par le signe E. Le contraire par Ɇ.

Les éléments en “commun“ à E et à M sont des éléments scolarisables, car ces derniers jouissent d’une double qualité : c’est d’appartenir et à l’ensemble E (ce sont des enfants) et à M car ils sont scolarisés et de ce fait, ils étudient les mathématiques. On dit que S est à l’intersection de E et de M et se présente schématiquement de la façon suivante : 62

E

S

M

L’intersection des 2 ensembles E et M se définit par le symbole ∩ et l’on écrit : S=E ∩ M (et se lit E inter M) L’intersection des 2 (ou plusieurs ensembles) est un ensemble dont les éléments leur sont communs.

La réunion de 2 ensembles (en plusieurs ensembles) est un ensemble dont les éléments appartiennent à l’un au moins des ensembles considérés. Elle se schématise par la courbe frontière enfermant les 2 ensembles E et M

E

M

E∪M

Le symbole est U et l’on écrit E U M qui se lit (E union M) La notion d’inclusion qui se symbolise par le signe C se considère dans l’exemple ci-dessus indiqué en partant des éléments de E (car les enfants scolarisés appartiennent à l’ensemble des enfants et s’écrit S C E. La notion de complémentaire apparaît, dans la figure n°1,en considérant S qui est une partie ou un sous-ensemble de M. On appelle alors complémentaire de S par rapport à M et l’on note CSM l’ensemble des éléments de M qui n’appartiennent pas à S. On peut de la même façon envisager le cas de CSE qui représentent le complémentaire de S par rapport à E, c’est à dire l’ensemble des enfants non scolarisés.

REMARQUE Ce ne sont là qu’une définition très sommaire des ensembles tels qu’on les enseigne dans nos écoles. Elle permet au lecteur, non mathématicien, d’appréhender son enveloppe constitutive.

3- VALEUR DE LA THEORIE DES ENSEMBLES La théorie des ensembles est-elle un système achevé ?

Annonce-t-elle la fin de l’histoire des mathématiques ?

63

Se considère-t-elle comme la reine de toutes les théories mathématiques jusqu’ici inconnues ?

Dire qu’une théorie est plus valable qu’une autre n’a aucun sens.

Toutes présentent un intérêt propre et en mathématiques, comme ailleurs, il n’y a jamais de théorie «au finish». L’esprit créateur des mathématiciens «secrète» toujours de nouveaux concepts soit pour lui-même, soit pour les autres sciences notamment la physique.

Cependant la théorie des ensembles dès son avènement, surtout au début de ce siècle, a créé une sorte de crise dans le monde des mathématiciens. Certains l’ont presque contestée au nom d’un purisme qui leur sont propre, jusqu’à affirmer qu’elle présente une source de contradictions.

En particulier, RUSSEL, partant de la définition des ensembles, a considéré avec les «ensemblistes» que l’ensemble des ensembles devrait avoir la propriété, d’être élément de lui-même, du fait qu’il est ensemble, il s’appartiendrait nécessairement.

Et RUSSEL de publier un paradoxe qui consiste à pouvoir concevoir un ensemble des ensembles qui ne s’appartiennent pas.

Il l’assimile «au barbier qui rase tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes et que s’il ne se rase pas lui-même, il se rase et s’il se rase lui-même, alors il ne se rase pas».

A ce paradoxe, logique en lui-même, mais constituant une proposition fausse ou antinomie, les mathématiciens ensemblistes opposent un système théorique écartant les antinomies et construisent par conséquent une forme axiomatique.

Enfin l’école des Bourbakistes, plus prudente mais ferme, révèle que « la théorie des ensembles elle-même n’est pas construite définitivement et que l’on ignore si elle est ou non contradictoire, car il y a une pluri-théorie des ensembles s’affiliant chacune à une conception propre de son auteur à mesure, comme le signale Blanché, qu’on progresse dans le développement de la théorie des ensembles sans y être arrêté par une mauvaise surprise, on acquiert peu à peu une sorte d’assurance morale ».

C’est une sorte d’optimisme apposé par les chevronnés de la théorie, qui, du fait de la créativité croissante des mathématiques va s’émousser avec l’avènement de ce que l’on appelle. les sous-ensembles flous, théorie qui paraît paradoxale mais a trouvé pignon sur rue. Elle est le prolongement de la théorie des ensembles.

4- APPLICATION INSOLITE DE LA THEORIE DES ENSEMBLES : Coalitions Electorales.

Dans l’excellent ouvrage «Algèbre et activités humaines»de KEMENY, SNELL et THOMSON, nous voyons traitée, comme application de la théorie des ensembles, « l’importance des coalitions dans les corps électoraux».

64

L’ensemble considéré est formé par un ensemble d’êtres humains sollicités pour décider de mesures déterminées à prendre selon un choix précis de scrutin (majorité simple, majorité des 2/3 des voix).

On considère un ensemble E des membres du corps électoral formant une «coalition» possédant assez de voix pour faire passer une mesure. On l’appelle une «coalition gagnante».

D’autre part on désigne par «coalition perdante», le sous-ensemble dont les membres ne font pas partie de la coalition gagnante, et qui possède des voix pour faire passer leurs propres mesures.

On désignera enfin par «coalition de blocage», le sous-ensemble formé par des membres ne faisant partie ni de la coalition pouvant faire passer une mesure, ni de ceux qui n’en font pas partie.

Une coalition C est gagnante si elle réussit suffisamment de voix pour s’assurer un résultat, la coalition C est perdante si la coalition C’ (complémentaire de C) est gagnante.

Enfin, on a une coalition de blocage, lorsque ni C ni C’ ne sont des coalitions gagnantes”.

D’où le corollaire suivant : «Le complément d’une coalition gagnante est une coalition perdante. Le complément d’une coalition perdante est une coalition gagnante. Le complément d’une coalition de blocage est encore une coalition de blocage».

EXEMPLE 1 «Soit {x,y,w,z} l’ensemble universel U dans lequel X et Y ont chacun une voix, W deux et Z trois.

Supposons qu’il faille réunir cinq voix pour faire adopter une mesure, les coalitions gagnantes sont alors : {Z ,W} ; {Z X Y} ; {Z W X} ; {Z W Y} , et U. Les coalitions perdantes sont des compléments de ces ensembles. Les coalitions de blocage sont : {Z} ; {Z X} ; {Z Y} ; {W X} ; {W Y} et {W, X ,Y}» EXEMPLE 2 Nous considérons le conseil de Sécurité de l’O.N.U. qui a dû voter une mesure, la possibilité d’une abstention d’un membre de ce Conseil est formé de 11 membres, les cinq membres permanents, appelés les cinq grands, et six 65

membres de nations moins importantes (éligibilité pour 2 ans suivant le choix des membres de l’O.N.U.) ; ces membres sont des membres dits secondaires.

Pour qu’une mesure puisse être adoptée par le conseil, sept membres, dont les cinq grands doivent voter en sa faveur.

Les coalitions gagnantes minimales sont donc les ensembles de 7 membres comprenant les 5 grands et 2 nations secondaires.

Les coalitions perdantes sont celles qui comprennent au plus 4 nations secondaires.

Les coalitions de blocage sont celles qui ne sont ni gagnantes ni perdantes ; c’est le cas en particulier d’un ensemble élémentaire comprenant l’un des cinq grands, ce qui accorde par conséquent à chacun des 5 grands le droit de véto.

5- APPLICATION DE L’ARITHMETIQUE ENSEMBLISTE AU CODAGE Dans ce qui va suivre, il ne sera pas question du calcul informationnel.

Nous partons de la notion de langage, d’information de sa transmission et du codage de messages, et ce, d’une façon succinte, ayant simplement pour but de montrer qu'à la base d’un message codé il y a les mathématiques.

1.- Le langage est l’ensemble des signes conventionnels, de symboles servant à communiquer des idées par des mots qu’évoquent dans l’esprit d’autrui, des images de la «chose» communiquée et non la chose elle-même.

Les mots restent les principaux instruments de la communication ou de l’exploitation. Ils ne sont pas toujours parfaits.

Car les mots peuvent signifier des choses différentes selon l’emploi ou les circonstances d’où nécessité de «penser» les mots, c’est à dire «calculer» leur signification circonstancielle.

2.- Mais «penser» n’est pas toujours facile, même la transmission de la pensée par le langage n’est pas commode.

Que signifie alors le mot «penser» ?

Penser, c’est calculer et raisonner sur l’information que l’on peut schématiser par un ensemble de messages perceptibles par nos sens.

Les éléments de perception de messages peuvent être soit des signes naturels, soit des symboles artificiels qu’on appelle signaux.

A la base de toute information, il y a le message qui réalise un événement par rapport à un récepteur humain ou matériel.

66

Donc un message peut fournir une centaine quantité d’information.

D’après la théorie de l’information, on définit cette dernière par la formule : P robabilité de réalisation de l’évènement au récepteur après réception du message Information reçue = log ( log= logarithme)

robabilité de réalisation de l’événement au récepteur P avant réception de l’événement

3.- Le but de l’information est de se transmettre.

Pour une catégorie d’informations, on utilise un code, une façon d’exprimer l’information par un moyen permettant son acheminement sûr et commode.

On représente un code par les lettres de l’alphabet et d’un système de contraintes.

Le codage est selon «Larousse» une transcription d’un texte en langage clair, en une suite de signes (lettres, chiffres...) ou de signaux sous impulsions électriques suivant des équivalences convenues, l’ensemble de celles-ci forment le code correspondant».

Le code permet de condenser un texte et de conserver le secret de correspondance.

4.- EXEMPLE Considérons les nombres exprimés dans la base 5, ils forment ce que l’on appelle dans le langage ensembliste un corps 0, 1, 2, 3, 4.

D’après les propriétés des corps des membres réels, on peut appliquer les lois de l’addition et de la multiplication. On a les tableaux suivants : x 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

x 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

On se propose de transmettre un texte à l’aide des lettres de l’alphabet. On substitue au tableau de la X le tableau correspondant suivant : (X=multiplication précédente) 67

1

2

3

0

0

A B C D E

1

F

2

K L

3

P Q R S T

M = 22

4

U V W X

V = 41

G H I

4

Chaque lettre peut être ombrée

x

J

Ainsi :

A = 00 C = 02

M N O Z

Le OUI devient : 24 40 13 Ce nombre est groupé en triplets 244013 Généralement on considère le triplet (x, y, z) On le transforme en un nouveau triplet (X Y Z) ( U= x+y+z ( X = u+z = x+y+2z ( Y = u+z = x+2y+z ( Z = u+z = 2x+y+z Le codage du mot OUI dans le système du corps des nombres définis dans la base 5 s’effectue de la manière suivante : Pour le nombre 244, on a : x=2 y=4 z=4 U = 2 + 4 + 4 = 10 = 5 + 5 ..............0 (Théorie des nombres en base de 5) X = U + Z = 0 + 4 ............................4 Y = U + Z = 0 + 4 ............................4 Z = 0 + Z = 0 + 2 ............................2 Le triplet 244 se transforme en 442.

68

Pour triplet 013 on a les mêmes calculs. x=0 y=1 z=3 U=0+1+3=4 X = U + Z = 4 + 3 = 5 + 2 ................2 Y = U + Z = 4 + 1 = 5 .......................0 Z = 0 + Z = 4 + 0 ..............................4 Le triplet 013 se transforme en 204 L’ensemble du mot OUI devient ainsi le nombre 442204 En se transposant aux tableaux de correspondances (nombres et lettres) on a : 44 → : Z ( 22 → : M ) Le mot Oui est codé Z M E 04 → : E ( On peut ainsi appliquer le même principe pour la transmission codée de n’importe quel texte.

NOTA : Dans cet exemple, on a appliqué un principe basé sur le corps des nombres réels à base 5.

On peut appliquer d’autres corps de nombres avec des bases différentes.

La finalité de ce qui précède est de montrer la possibilité d’utiliser les mathématiques dans la transmission codée.

E- INTRODUCTION DE LA NOTION DU FLOU EN MATHÉMATIQUES 1- Préliminaire : Comment douter de la notoriété rigoriste des mathématiques ancrée dans le marché de la connaissance humaine, depuis plus de deux mille ans ? Et comment introduire dans un monde du formalisme, de la rigueur, l’idée, peut être banale, du flou ?

69

Du flou, cette notion subjective en un sens, pourrait-il s’introduire dans ce bastion de la logique mathématique d’essence objective et universelle. Autrement dit, peut-on mathématiser le flou?

Si l’on examine le monde de pensée en mathématiques, on trouve deux alternatives possibles, s’excluant l’une l’autre, de sorte qu’un élément est soit appartenant à un ensemble, soit n’appartenant pas à cet ensemble...

De plus, la logique qui constitue l’essence des mathématiques est une logique binaire, bivalente, s’articulant sur 2 valeurs de vérité et 2 seulement.

Une proposition qu’on formule est vraie ou fausse.

Il n’y a pas d’alternative en logique binaire.

La logique binaire est une dichotomie «vraie-fausse» reproduisant le mode de fonctionnement de notre esprit : nous raisonnons et pensons en binaire en général.

Mais si le vrai n’est autre que la manifestation de l’existant et le faux, est la qualité de ce dont on ne peut montrer l’existence ; possibilités d’existence : Combien de fois nous posons ces questions «Il croit venir demain» ; «il pleuvra demain».

Toutes ces propositions qu’on formule où la valeur de la vérité est affectée par un adverbe rendent la manifestation de la “chose“ énoncée par la proposition se berner entre le vrai et le faux.

Ainsi par l’introduction de la notion du flou dans la théorie des ensembles, on tente à rapprocher la précision mathématique et l’imprécision de notre monde.

Tout en étant logique, mais non binaire, notre esprit peut penser, raisonner en termes, peut être imprécis, qualitatifs mais non quantitatifs.

C’est en somme une nouvelle logique que l’on affecte à ce genre de raisonnement : une des logiques plurivalentes dont le rôle à ne plus considérer comme une proposition formulée alternativement, vraie ou fausse, mais pouvant être affectée de certaines valeurs de vérités intermédiaires.

Jusqu’à présent, les machines qui pensent ont été construites sur la base de la logique binaire : un ordinateur préalablement «mémorisé» peut répondre précisément à une question précisément axée sur la logique binaire. Mais “l’intelligence de la machine est dépassée dès qu’on confie à l’ordinateur des taches comme la compréhension de l’intention, la fixation d’une décision dans un état incertain.

Et grâce au logicien et philosophe polonais LKASIEWIEZ (1878 – 1956) d’abord et à KAUFMAN, ZADEH, et d’autres éminents mathématiciens, l’idée du flou se trouve formalisée avec ses théorèmes et ses règles.

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La logique plurivalente, a-t-on précisé, consiste à concevoir et à admettre qu’entre le «vrai» auquel on affecte la valeur 1 et la «faux» auquel on affecte la valeur zéro, on peut intercaler «des cas possibles» auxquels on affecte des valeurs comprises entre zéro et 1.

Et à partir de ce principe nous pouvons rechercher une nouvelle forme de concepts où le flou“ peut être dompté et accepté comme une forme de la réalité humaine.

Ce «nouveau chapitre» des mathématiques peut servir dans des domaines de l’humain plurivalent, imprécis, indécis... comme par exemple la sociologie, la psychologie, les sciences politiques, l’économie, la linguistique...

Et il arrivera peut-être un jour où l’homme créera de nouvelles machines pensantes, dépassant celles d’aujourd’hui bivalentes, capables peut être d’appréhender et de formaliser l’incertain.

2.- NOTION D’ENSEMBLES FLOUS 2.1. – Définition Nous partons d’un ensemble E à 5 éléments d’un sous-ensemble A dérivant de E et ayant 3 éléments tels que : x x x5

z x1 x3

A x4 E = {x1 ; x2 ; x3 ; x4 ; x5} A = { x1 , x3 , x4 }

Et nous considérons le complémentaire de A par rapport à E, c’est à dire, comme on l’a vu dans la définition des ensembles, l’ensemble formé par les deux éléments ne figurant pas dans A et tel que : Ā = {x2 ;x5} 2.2. – Opération Nous introduisons un nouveau concept d’appartenance d’un élément à un ensemble, par une fonction dite «fonction caractéristique» désignée par μA (xi) qui peut nous fixer si xiappartient ou non à l’ensemble A avec la convention suivante μA ( xi ) = 1 si xiE A ici xi = x1 ; x3 ; x4 μA ( xi) = 0 si xiE A 71

Ainsi on écrira : μA ( x1) = 1

du fait que x1 E A

μA ( x2) = 0

du fait que x2Ɇ A

μA ( x3) = 1 μA ( x4) = 1 μA ( x5) = 0 D’où une nouvelle présentation de l’ensemble avec l’introduction de la fonction caractéristique A = { (x11) ; (x20) ; (x31) ; (x41) ; (x50) } Pour le complémentaire de A par rapport à E, qu’on représente par Ā = {x2 ;x5}, on a la représentation : μĀ ( x1) = 0 μĀ ( x2) = 1 μĀ ( x3) = 0 μĀ ( x4) = 0 μĀ ( x5) = 1

}

⇒

Ā=

{

)x1,0) ; (x2,1) ; (x3,0( )x4,0) ; (x5,1(

Nous pouvons considérer des opérations similaires en examinant l’intersection et l’une de 2 ensembles C et D : μC (x) = 1

si X E C

μC (x) = 0

si X Ɇ C

μD (x) = 1

si X E D

μD (x) = 0

si X Ɇ D

: x D’où en considérant l’intersection de C et D, c’est à dire C ʌ D μC ʌ D ( x ) = 1 si x E C ʌ D μC ʌ D ( x ) = 0 si x Ɇ C ʌ D Pour l’union de C et D c’est à dire l’ensemble C U D on a μC U D ( x ) = 1 si x E C U D μC U D ( z ) = 0 si x Ɇ C U D 72

3-CONCEPT DU SOUS-ENSEMBLE FLOU Considérons à nouveau l’ensemble E et son Sous-ensemble A définis précédemment : ou bien les 5 éléments appartiennent à A ou bien ils n’appartiennent pas Mais entre le fait de ne pas appartenir auquel on affecte la valeur 0 et le fait d’appartenir et auquel on affecte la valeur 1, il y a un champ de valeurs intermédiaires, c’est à dire tous les nombres compris entre 0 et 1. Ces nombres intermédiaires, qui sont tous réels représentent un ensemble que l’on représente par M = (0,1) qui est en quelque sorte un intervalle fermé.

Affectons maintenant à la fonction caractéristique A ( x ) une quelconque des valeurs de l’intervalle M. De ce fait un élément xi de A pourrait avoir les états suivants : ne pas appartenir à A alors M A = (xi) = 0 appartenir un peu à A (M A (xi) voisin de 0 appartenir assez à A (A pas trop voisin de 0 et pas trop voisin de 1) appartenir trop assez à A (M A voisin de 1) appartenir simplement A (M A = 1) De cette manière on établit ce que l’on appelle un sous-ensemble flou noté avec le signe( ~ ) que l’on lit tilde et que l’on place sous la lettre désignant le sousensemble considéré.

Ainsi on écrit un sous-ensemble flou A de cette manière : A ~ = {(x1\ 0,2) ; (x2\ 0) ; ( x3 \1) ; (x4\0,4), (x5\1)} 4- CONCLUSION Avec les sous-ensembles flous, on a une nouvelle structure mathématique basée sur de nouveaux concepts.

Le qualificatif, cette notion subjective, devient conceptuel : on peut appartenir, ne pas appartenir, appartenir un peu ou assez à un système. Cela peut paraitre comme la traduction de l’état d’âme d’un individu par rapport à un système dans lequel il vit.

Est-ce que ce langage de l’imprécision et d’approximation peut se schématiser ?

KAUFMAN note à ce propos que la théorie des sous-ensembles flous permet «la construction d’une structure mathématique avec laquelle on pourra manipuler des concepts assez mal définis, mais dont l’appartenance à des sous-ensembles a pu être hiérarchisée.

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Ainsi peut-on considérer, dans l’ensemble des hommes de grande taille ; dans l’ensemble des couleurs de base, le sous ensemble flou des couleurs vert foncé, un sous ensemble flou de bonnes décisions, dans un ensemble de décisions...»

C’est véritablement un nouveau domaine fertile où les professionnels de la fabrication des machines à penser, à calculer, à traiter l’information en général trouveront un champ d’activité immense où ces machines au lieu de “raisonner“ en binaire c’est à dire adaptant une logique “vrai-faux“ peuvent être recyclées ou même adaptées à la forme structuro-biologique de notre cerveau.

Et KAUFMAN de conclure : « ... il nous faut réinventer la nature dont les merveilleux secrets du codage et des mémoires génétiques, des infrastructures neuro-biologique, des procédés de stockage et de traitement au niveau des neurones, des axones, des synapses des dentrites et des névroglies, nous sont presque totalement inconnus.»

DEUXIEME PARTIE PORTEE DES MATHEMATIQUES

CHAPITRE I LE FAIT MATHEMATIQUE ET LA DECISION HUMAINE A- PRELIMINAIRE Peut-on promouvoir au rang de discipline scientifique, voire mathématique, l’art de décider ?

Comment peut-on adapter les procédures mathématiques, ayant de l’affinité avec les effets «mesurables» à un fait conjoncturel, changeant, problématique, qu’est alors la décision humaine ? Peut-on de plus, concevoir un décideur abstrait, dépouillé de sa subjectivité, mais imbu d’une certaine représentation plus claire de situations complexes, à travers lesquelles «la décision» surgit ?

Et tout d’abord qu’est-ce la décision ?

La décision, c’est l’acte ou la tentative de choix entre plusieurs possibilités ou éventualités par l’adoption d’une certaine stratégie.

D’où peut-elle émaner ? Soit d’un décideur abstrait par exemple le Gouvernement, la collectivité représentative d’une volonté générale, soit d’un décideur réel localisé sur un ou des individus, émetteurs d’un choix.

B- CHAMP DES DECISIONS Comment peut-on être amené à émettre une décision ?

Et par quels procédés opératoires ?

Au niveau du décideur abstrait, on peut envisager comme exemple de décision : la définition de l’intérêt général , le choix d’une planification, la répartition des biens, la définition d’un mode de transport par la fixation d’un chemin entre n points distincts partant d’un objectif précis : stratégie militaire ou diplomatique optimisateurs d’un programme, compétitions électorales etc...

Au niveau du décideur réel, l'on peut citer le cas des jeux de hasard ( cartes, pcker...), le cas de vote etc..

1- ANALYSE ET CLASSIFICATION DE DECISIONS Le choix d’une décision peut être fixé par rapport à la situation du sujet décideur dans le temps et l’espace.

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Les mathématiques rentrent donc dans la vie de tous ceux qui décident réellement ou abstraitement.

Et “le volet“ des mathématiques appliquées au monde de ces décideurs est l’algèbre linéaire et même le calcul différentiel et intégral ( pour les phénomènes entre autres) qui les éclairent, de par leurs théories, dans le choix de programmes optimum, dans la définition des stratégies d’intérêt économiques, sociologiques, militaires ou politiques, et aussi dans la formation des phénomènes physiques du ressort de la science de la nature.

Ce qui fait qu’à travers les états empiriques qui se présentent soit par le jeu de l’esprit, de l’imagination ou de l’observation, peuvent apparaître des structures mathématiques engendrant souvent unité, ordre et clarification.

On peut alors concevoir une certaine coexistence entre l’acte de décider et le calcul mathématique, ce dernier jouant tantôt rôle de catalyseur, tantôt un «ferment» dans le choix de la décision, de sorte qu’une certaine symbiose se crée entre l’inspiration et l’imagination du décideur et la logique raisonnée de l’algèbre linéaire.

L’inspiration et l’imagination du décideur secrètent des idées que les mathématiques rendent transparentes, donc susceptibles d’être domestiquées et aptes à être traitées par les mathématiques.

Le sujet décideur peut être : a) en face d’une certitude, b) en face d’incertitude et d’évènements aléatoires, c) en face d’intérêt ou d’une utilité, d) en face de préférence (entre les éléments d’un ensemble d’actions, ayant chacune une valeur relative par rapport, par exemple, à un point de vue économique, politique, social etc...).

2- LA DECISION FACE A L’INCERTAIN / Théorie des jeux Notre nature est tissée d’aléas rendant contingentes les manifestations de toutes nos actions.

Dans le cadre de théorie logico-mathématique, le rôle du mathématicien, dans l’étude analytique de la décision, est de se fixer l’inventaire de toutes les figures composant les actions rationnelles du décideur.

Ce cadre peut être localisé, entre autres, dans la science des probabilités dans sa partie traitant particulièrement du hasard et des jeux.

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Qu’est-ce que le hasard : mathématiquement parlant ?

C’est l’état de variabilité inconnue d’un geste humain.

Un joueur, par exemple, à la roulotte, usant d’un geste dans la pratique du jeu, pour gagner, ne peut se répéter de la même manière pour gagner de la même façon.

Et justement la théorie des jeux est née de l’observation raisonnée du comportement d’un joueur de hasard dans le but de minimiser les effets de ce dernier pour laisser place à des prévisions et de faire pénétrer dans ce monde de contingence,l’ordre, et la rigueur : la science des probabilités est alors née.

On raconte que vers le milieu du 17ème siècle, un joueur professionnel a soumis à Pascal un problème sur le partage des enjeux dans le jeu des dés.

Communication fut faite à Fermat et de l’échange de correspondances, sur ce problème, entre Pascal et Fermat, naquit la théorie des probabilités dont la technique alla engendrer les fondements des statistiques et l’application des mathématiques au monde de l’économie et de l’industrie.

Et probablement, ces deux savants, à travers ce problème banal de jeu de dés, ont appliqué le bon sens, ce qui a poussé Laplace, mathématicien français à définir la théorie des probabilités comme étant «le bon sens mis en équation».

Jeux et probabilités. Voilà un nouveau «mariage» des mathématiques avec un monde contingent à comportement très empirique.

Le mot «jeux» est pris ici dans le sens d’une action humaine comportant une décision de la part d’une ou de plusieurs personnes concrétisée soit par des pertes soit par des gains : le ou les décideurs humains sont alors en présence d’enjeux, tout en jouant.

Et dans ces enjeux, les mathématiques interviennent, pour la rationnalisation et la formulation raisonnée des décisions : de la théorie des jeux.

C-THEORIE DES JEUX On considère les situations mettant en présence deux ou plusieurs personnes.

Dans le cas de deux personnes, on a l’affrontement de deux volontés en présence d’intérêts contradictoires : l’une de ces deux personnes peut gagner ce que perd l’autre.

Le jeu est alors dit jeu à «somme nulle» : les gains de la personne gagnante peuvent être représentés par des nombres positifs et les pertes par des nombres négatifs.

On a dans ce cas, ce que l’on appelle un «duel».

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Dans le duel, chaque partie prend des initiatives ou «stratégies», en vue d’un gain hypothétique.

EXEMPLE 1 Soient deux joueurs de cartes A et B. On suppose que la main de A comporte un X rouge et un Y noir, celle de B, un U noir et un V rouge.

Le jeu consiste à ce que A et B présentent simultanément une de leurs cartes. Si les cartes sont de même couleur, le joueur A gagne la différence positive entre les nombres inscrits sur les cartes. Si les cartes sont de couleurs différentes, c’est le joueur B qui gagne la différence positive entre les chiffres inscrits sur les cartes présentées. Si l’on représente par les lignes les stratégies possibles choisies par B, on a un tableau, dit matrice, ci-dessous : Joueur B

Joueur A

x R y N

UN

VR

x - u u - y

v - x y - v

Chaque nombre positif indique un paiement de B à A et chaque “gain négatif “ de A est un paiement de A à B. Si par exemple A choisit la ligne 1 en jouant X N et B choisit la colonne 1 en jouant le U N, dans ces conditions A gagne la différence des 2 nombres, c’est à dire X – U Si A choisit la ligne 1 ( Joue X N) ; et B choisit la colonne 2 (Joue V R), alors B gagne la différence V - X. On constate que de la décision de chaque joueur, c’est à dire de la stratégie choisie, dépend le gain positif nul ou négatif.

On peut montrer que : a) Si x = u, v ≥ x et y ≥ x, le jeu présente ce que l’on appelle un point d’équilibre et est dit équitable. b) Si y = v , y ≤x et y ≤ U, le jeu présente ce que l’on appelle un point d’équilibre et est dit jeu équitable. c) Et par là définir qu’un jeu présente un point d’équilibre si la matrice correspondante comporte un terme, dit valeur du jeu, et qui est en même temps le minimum de la ligne de cette matrice et le maximum de sa colonne, de sorte que si cette valeur est nulle le jeu est dit équitable.

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EXEMPLE 2 Considérons maintenant un jeu, sans point d’équilibre, c’est à dire dont aucun terme n’est simultanément un minimum de la ligne de la matrice du jeu et un maximum de la colonne de la même matrice.

Et soit 2 joueurs A et B : le joueur cache dans sa main soit une pièce de 2 francs, soit une pièce de 3 francs.

A choisit la stratégie en jouant 2 ou 3 francs B devine 2 ou 3 francs La matrice correspondante traduisant le jeu est : B devine A a choisi

2F 3F

2 f.

-2 0

3f.

0 -3

Ce jeu est dit duel. Il n’a pas de point d’équilibre d’après la définition, c’est à dire devant satisfaire à la condition suivante -2 <0 ; -3 <0 On définit théoriquement ainsi un duel sans point d’équilibre de la façon suivante : D=

x

y

z

w

Les deux termes de la diagonale de la matrice sont tous deux supérieurs à chacun des termes de l’autre diagonale c’est à dire : X> Y

ou

X < Y

W>Z

ou

W < Z

EXEMPLE 3 : Intervention des probabilités: Cas pratique On suppose que le joueur A choisit la stratégie H1 suivante : joueur de la première ligne de la matrice du duel avec une probabilité p1et la 2ème ligne avec la probabilité p2 avec naturellement la condition : p1+ p2 = 1 (Définition classique des cas probables).

C’est ce que l’on appelle le «jeu par stratégie mixte».

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Ce dernier jeu est plus avantageux que le jeu par stratégie pure, vue dernièrement, car en choisissant convenablement les probabilités attribuées respectivement aux divers jeux par stratégie pure, on arriverait à un gain supérieur à celui réalisé à chaque coup par le jeu à stratégie pure.

D- APPLICATION DE LA THÉORIE DES JEUX La théorie des jeux est susceptible quelque fois d'éclairer certaines décisions difficiles à prendre par considération des situations présentes ou de l’importance des enjeux.

Dans toute situation motivant un choix, on peut ne pas être toujours en face d’un être humain, les «partenaires joueurs», peuvent être la Nature, le monde en général.

De sorte que de nos jours, sur la technique mathématique de la théorie des probabilités, un certain nombre de situations que l’on peut vivre, à tous les échelons et en toute circonstance, peuvent être considérées comme des jeux «contre la nature» et même «contre l’homme».

C’est le cas du policier qui est à la recherche d’un malfaiteur fuyant le pays par un moyen de transport quelconque à partir d’un point hypothétique et à un moment hypothétique.

C’est aussi le cas de l’ingénieur agronome devant opter entre deux sortes de cultures évaluant respectivement soit dans une année humide, soit dans une année sèche, soit une année à climat mixte.

Dans toutes ces situations, s’affrontent souvent deux volontés pouvant se mouvoir avec les aléas des décisions émises par le partenaire.

Ces aléas, les mathématiciens peuvent les «domestiquer», les dominer même pour les transformer soit «en cas probables», soit en «cas certains».

Et l’analyse de cet aléatoire, devant dépendre de la volonté d’un adversaire en vue d’une décision à prendre avec une certaine marge de sécurité, est l’objet même de la théorie des probabilités.

Cette dernière est alors un véritable instrument intellectuel pouvant nous aider à penser clairement et à sortir «des démêlés» ne dépendant pas de nous, par la «domestication» des aléas. C’est une véritable intégration dans le cadre rationnel, de ce qui a été considéré longtemps comme tributaire du domaine irrationnel de toutes nos actions.

Mais pour pouvoir intégrer l’irrationnel au rationnel. et là nous pensons en particulier aux faits politiques, économiques, on doit se laisser guider par la raison.

Pour certains, les raisons d’être ou de vivre pleinement peuvent se réaliser sans la raison ! Nous sortons dans ce cas du cadre de l’humanité rationnelle.

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E- APERCU THEORIQUE DE LA THEORIE DES PROBABILITES 1. On convient de représenter par le nombre zéro (0) la mesure de l’infirmation d’une hypothèse et par le nombre (1) la confirmation certaine de cette dernière.

Entre l’infirmation et la confirmation d’une hypothèse donnée se manifeste une sorte de champ d’hypothèses complètement indépendantes que l’on peut représenter par Pi et tel que : i =n ∑ i =1

Pi = 1

( ∑ Est un symbole de sommation de ce champ d’hypothèses)

2. Dans ce champ d’hypothèses, nous pouvons concevoir deux concepts ou plutôt deux types de probabilités : la probabilité relative et la probabilité vraisemblable.

Et toute théorie des probabilités est fixée ainsi sur des règles de correspondance d’ordre mathématique entre ces deux concepts, permettant ainsi d’introduire “le calcul“ dans le choix des décisions humaines face à l’incertain.

ARISTOTE dans le “ De Interprétentione “ schématise cette école, en considérant le cas d’une bataille navale… Il dit notamment : «Nécessairement il y aura une bataille navale demain, ou il n’en y aura pas ; mais il n’est pas nécessaire qu’il n’y en ait“. D’où les deux probabilités possibles.

Probabilité (bataille navale) + probabilité (non bataille navale) = 1.

Autrement dit on confère à la vraisemblance de l’évènement bataille le degré 0 ou le degré 1.

Mais entre ces deux valeurs que peut-on envisager ? Une infinité de cas vraisemblables et cela peut rentrer dans le chapitre des mathématiques des sous-ensembles flous du présent ouvrage.

Généralement dans le champ des cas vraisemblables représentés par le segment (0, 1), on peut imaginer plusieurs cas a1, a2, a3, ....ap1, .............anet en supposant que ces a i représentent des points du segment (0, 1).

Dans ces conditions on peut établir une échelle préférentielle de la vraisemblance en considérant, par exemple les distances telles que aiaj dont la valeur algébrique peut être représentée par a j – a i .

Ces mesures permettent de conférer les valeurs comparatives et même préférentielles aux cas vraisemblables qui nous concernent.

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F- LA DECISION FACE AU CERTAIN ET A L'INCERTAIN Qu’est-ce que le certain ? Ce n’est pas autre chose que l’incertain dépouillé de ses aléas et ses contingences.

Partant de là, le décideur face au certain, est en présence assurément d’un problème dont les paramètres sont connus.

Il n’est pas soumis, comme dans le cas de l’incertitude, à une irrésolution interne doublée des aléas externes.

Quand on élabore un plan de développement économique, tablé sur des paramètres fonctionnels connus, on peut «certainement» prévoir, entre autres, un taux de croissance économique pour le futur.

Donc la mathématisation du certain repose essentiellement sur la «prévisibilité focalisée» sur des phénomènes multiples, mais connus intrinsèquement.

De sorte que l’on peut toujours exprimer mathématiquement les différents degrés qui se présentent à un décideur face à des situations dont la variabilité est due principalement à la mouvance de ces actions.

La prévisibilité dans une décision face au certain, confère au décideur, la possibilité de connaître les effets de ses actes de décision, sur des circonstances extérieures changeantes.

Et l’on ne peut trouver comme applications heureuses des mathématiques de la décision dans l’incertain que dans les sciences de la nature et de la technologie, soumises à des lois physiques, chimiques, biologiques, sociales etc ... !

La réduction du «coefficient», d’incertitude pourrait se trouver dans le choix de la formulation du phénomène à étudier en établissant des systèmes parallèles de causalité humaine et de causalité physique, de manière que les lois formulées puissent tenir compte de la variabilité des agents extérieurs.

Dans ces conditions quel rôle pourront jouer les mathématiques.

Tout d’abord, il y a l’identification des phénomènes, ce qui permet d’en décrire l’évolution qualitative.

Ensuite, conférer à l’observation et à la conclusion la mesure et la grandeur.

Si les deux actes sont du ressort souvent du savant, l’introduction des lois et la mise en équation de la manifestation phénomène, peut inciter le mathématicien à dire son mot.

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G- LA MISE EN EQUATION PAR LA FORMULATION DES PHENOMENES Les mathématiciens ont commencé d’abord par représenter la notion de grandeurs par des nombres où la notion de zéro y a joué un rôle essentiel.

A la notion de grandeur nombrée, se sont greffées, par la suite, dans l’étude des phénomènes, la notion de fonction à une ou plusieurs variables (réelles ou complexes). Fonctions élémentaires ou spéciales, et la notion d’équations différentielles et d’équations aux dérivées partielles.

Ces deux notions de l’Analyse mathématique ne sont pas limitatives. On trouve imbriquées toutes les notions d’analyse et de calcul différentiel et même d’autres notions de mathématiques (calcul matricial, informationnel, électronique etc...), dans le traitement du phénomène.

Et grâce à toutes ces notions mathématiques, les ordinateurs se sont introduits, permettant aux savants et chercheurs de formuler mathématiquement les phénomènes étudiés.

H- CHAMP D’APPLICATION DES MATHEMATIQUES DANS LE CHOIX D’UNE DECISION Les décisions mathématisables concernent l’ensemble des phénomènes globaux intéressant une idée directrice se diversifiant par la mouvance des phénomènes multiformes ; économiques, industriels, sociologiques, physiques, politiques. Il est bien évident que la décision individuelle (qui peut être considérée comme un cas limite d’une décision générale) susceptible de concerner la destinée ou le devenir singulier d’un individu donné (intérêt personnel, vie privée, choix politique etc...) ne peut être traitée par la mathématique,car subjective, donc non logique.

Ce type de décision est du ressort plutôt, de la philosophie ou de la sociologie.

Cela étant, dans l’élaboration d’une décision mathématisable, nous usons d’un langage explicitant une pensée, un désir ...

Le langage constitue un paramètre important.

DIDEROT écrivait : «le défaut de définitions exactes ... rend les choses des arts difficiles à dire clairement».

La parole, la bonne parole est indispensable dans toute formation d’un choix, d’une fixation d’une stratégie, dans toute élaboration d’un programme ou participation à un jeu, car le langage persuade le décideur, clarifie l’apparence variable des choses et delà, permet l’introduction du calcul pour la conclusion finale.

DIDEROT a déjà perçu le rapport entre le jeu et la mathématique en disant : «Je ne sais pas s’il y a quelque rapport entre l’esprit jeu et le génie mathématicien ; mais il y en a beaucoup entre un jeu et les mathématiques.

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Laissant à part ce que le sort met d’incertitude d’un côté, en la comparant avec ce que l’abstraction met d’inexactitude de l’autre, une partie du jeu peut être considérée comme une suite indéterminée du problème à résoudre d’après les conditions données il n’y a point de questions de mathématiques à qui la même définition ne puisse convenir ...»

En matière juridique, toutes les procédures se construisent par le langage mais obéissent à une logique (aspect mathématique), ce qui fait que tout acte de droite s’éclaire de cette logique.

(On laisse naturellement de côté les cas d’erreurs juridiques, ou des arrêts formulés par une fin politique ou sociale).

Dans le domaine de stratégie ou de duel, il y a l’évaluation des conduites des adversaires qui font chacun un calcul en fonction des intentions de la partie adverse.

On pourra même définir une stratégie de chacun des adversaires comme un ensemble des règles auxquelles ses décisions doivent se conformer.

Numérotons de 1, 2 à .... m, les règles du premier adversaire et de 1 à ..... n, celles du second. Les opérations stratégiques se déroulent de (mxn) manières. Et nous trouvons l’application du calcul matricial. Notons en particulier que la réussite dans le choix d’une stratégie s’obtient en combinant la finesse de l’adversaire et les règles mathématiques, ces dernières ont un caractère dominant.

I- CAS DE LA PROGRAMMATION On appelle programmation en théorie mathématique la recherche d’un maximum ou d’un minimum (optimum) en liaison avec un ensemble de contraintes, et ce, par la transformation d’une donnée pratique soit d’un ordre économique, sociologique, militaire etc...) en un problème théorique en liaison étroite avec les mathématiques.

En somme la programmation est une technique mathématique de la recherche de plans organisationnels avec des missions préalablement définies, et ce, dans le but de réaliser des objectifs quantifiables.

Ainsi dans les problèmes d’action évolutive et diversifiés (économiques, social, militaires etc ...) les mathématiques peuvent discerner ce qui peut être traité scientifiquement, laissant à la linguistique (jargons utilisés par les rédacteurs) la reste, qui échappe à la rigueur et au-calcul.

Dans le même ordre d’idée, la stratégie militaire, entre autres, rentre dans la définition de programmation, car toute stratégie est une sorte d’art qui oriente l’évolution des tactiques, «calculant» des situations en utilisant la pensée et le calcul en vue de gagner une bataille...

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Et tout récemment deux économistes mathématiciens, l’américain TJALLING KOOPMANS et le russe Léonid KANTOROVITCH, qui viennent l’avoir le prix Nobel, ont effectué des recherches sur les méthodes statistiques de l’économétrie quantitative appliquée à des phénomènes économiques.

C’est ainsi que KOOPMANS se préoccupant du problème de l’emploi meilleur de la flotte de transport américain sur les Océans, a pu formuler le problème en un langage rigoureux en déterminant un certain nombre de grandeurs liées par des inégalités linéaires. Il est alors arrivé à son objectif par la minimisation du coût total de transport formulé par une relation linéaire des grandeurs en cause.

Il est arrivé en somme à un problème de programmation linéaire.

Comme pour tout problème de décision, la programmation utilise l’algèbre linéaire, la statistique par application des principes dits «simplex», de «dualité» etc... qui permettent d’atteindre un optimum à partir des objectifs à réaliser.

Disons quelques mots sur les problèmes d’optimisation.

On considère par exemple une “fonction économique f, de variables ou inconnues X1, X2, X3, ..... Xnet l’on se propose de la rendre optima (minimum ou maximum).

Généralement on est limité par le domaine de variation de ces inconnues auxquelles les restrictions ou contraintes sont imposées.

Ces restrictions sont formulées parfois par des inéquations et l’on utilise les propriétés des fonctions (convexité) par exemple, pour retrouver l’une ou des inconnues susceptibles de rendre notre fonction économique optima.

Ainsi l’on considère un décideur que l’on représente par une fonction linaire dont les variables sont des objectifs à réaliser. Les solutions à trouver, c’est à dire programmes optimum (facteur de croissance, plan de transport, gains de temps dans le fonctionnement d’une entreprise etc...)reviennent à résoudre certaines équations en inéquations.

EXEMPLE : Dans un problème économique, on a le plus souvent deux variables X1et X2dont on se propose de déterminer la valeur entre des limites imposées, ce qui s’exprime par des inégalités.

Disons quelques mots sur les problèmes d’optimisation.

On considère par exemple une fonction économique f, de variables ou inconnues X1, X2 , X3, ..... Xnet l’on se propose de la rendre optima (minimum ou maximum).

Généralement on est limité par le domaine de variation de ces inconnues auxquelles des restrictions ou contraintes sont imposées.

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Ces restrictions sont formulées parfois par des inéquations et l’on utilise les propriétés des fonctions (convexité par exemple) pour trouver l’une ou des inconnues susceptibles de rendre notre fonction économique optima.

EXEMPLE 1 Supposons qu’une agence de voyage veuille organiser deux circuits vers deux pays que l’on désigne par P1 et P2en disposant de 2000 unités d’hôtels et de 450.000 passagers-Kilomètres d’avion.

Sachant qu’un séjour de 8 nuits dans P1 lui rapporte 400 dirhams de bénéfice et un séjour de 16 nuits dans P2lui rapporte 300 dirhams de bénéfice ; comment l’agence peut-elle “dispatcher“ ses départs entre les voyages vers P1et vers P2 pour rendre maximum ses bénéfices, tout en respectant les limites dont elle dispose tant pour le transport que pour le voyage ?

RESOLUTION Désignons par X1 le nombre de voyages vers P1et X2 celui organisé vers P2 .

L’agence réalisera un bénéfice optimal si l’on a : 400 X1+ 300 X2 = S maximal Mais cette maximisation serait atteinte si les possibilités offertes pour le voyage et le séjour étaient respectées.

Cela se traduit par les inéquations suivantes : a)

8 X1+16 X2 Ou X1+ 2X2

≤ 2000 ≤ 250

b) En supposant P1 est distante du point de départ de 1000Km et P2de 3000 Km et sachant que le nombre de passagers-kilomètres disponibles est de 500.000, on écrit, en remarquant que le voyage vers P1comporte 2 x 1000 Km et celui vers P2comporte 2 x 1500 Km :

2000 X1 + 3000X2

Ou X1 + 1.5 X2

≤ 450.000 ≤

225 (en milliers de Km)

On est alors amené à maximiser S = 400 X1 + 300X2 avec les conditions suivantes : X1 + 2X2

≤ 250

X1 + 1.5 X2 ≤ 225 X1

0 et X2 ≥ 0 87

La résolution se fait graphiquement.

Les graphes d’équation X1 + 2 X2

≤ 250

et X1 + 1.5 X2 ≤ 225

se coupent au point A des coordonnées: X1 = 150 X2 = 50 Solution du problème :

S = 400 x 150 + 300 x 50 =

S = 60000 + 15000 = 75000

J-CONCLUSION A travers ce qui vient d’être exposé, il apparaît que les mathématiques de la décision, par l’aspect de l’imagination, de la raison, de la rigueur et du calcul permettent de passer des solutions complexes, évolutives à des situations concrètes.

Et de la complexité des phénomènes ou des objectifs diversifiés en présence, s’introduit l’intelligible, le quantifiable.

88

CHAPITRE II LES MATHÉMATIQUES ET LA POLITIQUE A- PRÉLIMINAIRE Au cours du XXème siècle, la vie du genre humain a subi l’influence des progrès scientifiques, tant au stade de la société qu’à celui de l’individu.

La modification des structures du pouvoir et des institutions, dues au rôle de la science et de la technologie, ont exercé sur l’individu, des transformations, sur son mode de vie.

L’environnement a fini, de plus, par conférer à l’homme une certaine émergence multiforme.

L’ouverture de l’action politique vers la science, et partant, vers un certain formalisme scientifique a permis de mieux organiser la société humaine.

Cette organisation avait comme critères, l'exercice de la souveraineté populaire, (pour les régimes démocratiques) et libéral, et ce, par la conception d’un système électoral fonctionnel, par l’action des partis politiques.

L’objet de ce qui va suivre est d’introduire, dans une certaine mesure, le formalisme mathématique, dans le «couple» (système électoral – partis) considéré comme générateur de toute action politique.

Dans les sociétés modernes, l’action politique est fonction : 1°- de phénomènes d’ordre technologique, économique, social..., 2°- d’ordre interne et externe par rapport au pays considéré, 3°- du choix de «modèle par rapport auquel, la société évoluera comme ensemble au sein duquel devra vivre et prospérer, l’élément essentiel de cet ensemble, qu’on nomme Homme.

Dès lors, on peut assimiler l’action politique à un vecteur évoluant et se mouvant par rapport à un système tridimensionnel, avec les trois composantes ci-dessus indiquées.

L’évolution de ce «vecteur» obéit à des lois qui permettent et de donner un esprit et de créer des liens intelligibles à ces composantes.

Et c’est du «couple» (partis, système électoral) qu’émergeront les lois ou leur esprit.

Le formalisme scientifique ne peut s’appliquer à l’action politique que si les lois émises jouissent de la propriété d’être univoques par rapport au modèle de la société considérée, c’est à dire, dotées d’une unité d’inspiration.

89

Mais comment peut-on concevoir le modèle d’une société ? S’agit-il d’un modèle idéal, une sorte de maquette mathématique, ou modèles d’inspiration idéologiques?

Par modèle, on sous-entend la description d’une réalité sociale, moyennant des concepts liés intelligiblement, mais modulables.

Etant modulables, ces concepts, si devant être formalisés mathématiquement, respecteront irréversiblement le système politique vivant en symbiose avec les courants politiques légalisés institutionnellement.

Les mouvements subversifs ou extrémistes sont à exclure.

Seule admise, la contestation, dans la mesure où ses “composantes“ de raison d'être,rentrent dans le domaine d'activité de ces concepts formalisables.

L’objectif, c’est à dire, le point d’impact de ces concepts reste la société, supposée équilibrée, sans crise (à l’instar d’un ensemble mathématique non vide et non en dégénérescence), avec des éléments (ou individus) supposés avoir des comportements logiques.

Mais le “catalyseur“ permettant l’impact de ces concepts reste le choix d’un cadre institutionnel ou constitution permettant d’atteindre les objectifs qu’on se fixe par l’exercice de pouvoirs, grâce à l’harmonie indispensable des éléments du couple (partis, système électoral).

Comment imaginer l’instauration formalisée d’une constitution ?

La constitution est par définition un ensemble de règles fixant et désignant l’exercice des pouvoirs. C’est du sens, de l’esprit de civilisation, que doivent jouir mutuellement, gouvernants et gouvernés.

C’est en somme un ensemble de procédures, de décisions collectives destinées à régir la manifestation du législatif et de l’exécutif.

La finalité de ces procédures est l’organisation de la vie de la société sous plusieurs aspects politiques, économiques, technologiques.

L’essence de cette vie se trouve centrée sur l’exercice du pouvoir, sur la participation des individus et sur le fonctionnement des partis politiques.

La stabilité d’une société peut se mesurer par le degré de l’équilibre harmonieux devant exister entre le pouvoir, l’électeur et les partis politiques.

90

B- LE FORMALISME DU SYSTEME ELECTORAL ET DES PARTIS POLITIQUES Les structures des démocraties libérales sont centrées sur le choix du système électoral, car, instrument fondamental de l’exercice de la souveraineté du peuple.

Le mécanisme fonctionnel des partis a tendance de choisir, canaliser, conditionner les candidats par la mobilisation des votes en leur faveur.

Fonctionnellement différents d’un pays à l’autre, les partis présentent des traits communs, qu’on pourrait appeler «paramètres essentiels».

Ces paramètres sont entre autres, le désir de s’assurer la suprématie dans les organes législatifs et exécutifs de l’Etat par le truchement des élections, l’élaboration d’un programme politique.

Pour «aimanter» le corps électoral, les partis adoptent généralement une plateforme assez large.

Et l’informatique aidant, les sondages d’opinion permettent d’enregistrer les variations de l’opinion publique, ce qui permet à l’Etat et aux partis politiques d’avoir des indications sur le comportement du corps électoral.

Jacques ATTALI a pu résumer, dans une de ses études, que les théories des partis se schématisent autour des cinq questions suivantes : 1° – Peut-on prévoir les coalitions politiques les plus stables ?

2° – Peut-on déterminer les tactiques optimales que devra employer un candidat dans sa campagne électoral ?

3° – Peut-on mesurer le pouvoir d’un membre de l’Assemblée ?

4° – Comment s’organise le débat entre exécutif et législatif ?

5° – Peut-on déterminer le programme que devra choisir un parti pour emporter les élections et se maintenir au pouvoir ?

La dernière théorie semble poser le problème de l’étude formelle du couple (partis, système électoral).

C- STRATEGIE DES PARTIS POLITIQUES: GENERALITES Tout parti politique rêve de «décrocher» le pouvoir et d’y «rester». Il peut conserver le pouvoir soit par la pratique d’une idéologie, soit par l’usage de «coups bas».

Dans tous les cas, la conservation du pouvoir vise à moduler la politique sur la tendance de l’opinion.

91

D’où : égrènements des discours électoraux multidirectionnels : a) à base économique : augmentation de la production pour le choix de programme optimum. Baisse des prix de biens de consommation, b) à base culturo-sociale : - Amélioration des salaires et des conditions de la qualité de la vie (environnement, logements, enseignement, culture, réduction de disparités entre couches nanties et couches pauvres).

Pour la conservation du pouvoir, le parti devra prendre des positions voisines de l’état d’opinion des électeurs.

Graphiquement, on peut représenter sur un axe ox le programme du parti, par divers points d’abscisses xi (i=1, 2 ....n) ; par ai celles de l’attitude des électeurs.

Le parti qui obtient la majorité de vote est celui qui rendra minimum la distance d, c’est à dire, celui qui adopte une position voisine de l’état d’opinion des électeurs.

Cas d’un régime à deux partis.

Représentons, par rapport à un référentiel xoy, l’ensemble des attitudes des électeurs sur l’axe des x et le nombre de ces électeurs sur l’axe oy. L’état d’opinion sera représenté par une courbe ci-contre.

Sur la courbe, il y a un point A, son “sommet“ représentant le maximum de voix correspondant à un ensemble d’attitudes des électeurs. Le parti qui adopte un programme voisin de l’axe X’X de symétrie de la courbe, détiendra le pouvoir.

NOTA : Les théories avancées, supposent la neutralité du pouvoir, du parlement et de l’informatique ( machines de sondage d’opinion, machine policière etc...)

92

D- STRATEGIE DU VOTE Dans le chapitre, plus haut, de la théorie des ensembles, il a été donné comme application le problème des coalitions électorales.

On se propose ici de traiter le problème de vote, considéré comme décision humaine.

Il s’agit de voir sur quels principes, ou sur quels axiomes peut-on se baser pour formaliser le problème de vote, considéré comme un ordre de préférence d’une collectivité vis à vis d’un ensemble d’options.

Une préférence peut être considérée comme une mesure soit individuelle, soit par voie de conséquence collective, en partant des principes d’intérêt local ou général.

Dire que x est préférable à y, c’est classer x par rapport à y. Et l’on écrit x P u ou x > y.

Considérons une collectivité de N individus qui expriment leur préférence entre n options possibles. Il s’agit de trouver une règle permettant de dégager un ordre de préférence ou une agrégation des préférences.

On appelle généralement règle d’agrégation des préférences une fonction mathématique notée F (p) bijective, faisant correspondre, à tout état noté de l’opinion individuelle, un état de l’opinion collective, symbolisé par un bulletin de vote, ou dans un ordre donné, sont transcrites les différentes options s’offrant à la collectivité.

Nous considérons naturellement dans cette définition plusieurs individus notés de 1 à N qu’on appelle votants dont l’état d’opinion est représenté par l’ensemble ɸ={O1 ; O2 ; O3 ; ... On} Ox où Oi désigne l’opinion du votant d’ordre i.

Un jeune économiste américain, J.K. ARROW s’est posé la question suivante: comment n votants peuvent-ils classer N décisions ou options?

Plusieurs hypothèses sur la procédure du vote ont été alors formulées, tablées d’abord sur une collectivité, vivant sous une démocratie à laquelle est applicable la règle formelle permettant de faire correspondre à tout état des opinions individuelles, une opinion collective définie.

De sorte qu’à tout instant sont applicables à la collectivité considérée, des règles d’équité, de loyauté, et d’égalité.

A la notion du vote, est rattachée d’abord une préférence. Pour un couple d’options, ou de candidats (u,v), on exprime u préférable à v par les notations, soit : u > v soit : u P v 93

Si c’est v qui est préférable à u on écrit : soit v > u soit v P u Si u et v sont équivalents on écrit : u ≡ v.

Si l’on est indifférent de choisir soit U, Soit V, on écrit : x I y Considérons le problème suivant : “ il y a 3 candidats à une élection proposée à 100 votants.

Examinons les opinions possibles et le classement des candidats par le choix collectif des votants”.

Soit (u,v,w) les trois candidats. Le nombre d’opinions individuelles possibles est le nombre de permutations possibles des 3 candidats. Il est 3! (factorielle 3!)=1x2x3=6.

Nous aurons les combinaisons suivantes des opinions individuelles : (u,v,w) ; (u,w,v) ; (v,u,w) (v,w,u) ; (w,u,v) (w,v,u).

Chacune de ces opinions individuelles, soumise au scrutin obtient un résultat.

Supposons par exemple que le résultat du scrutin soit dans l’ordre suivant : (u,v,w) est l’opinion de 24 votants (u,w,v) ........................ 14 votants (v,u,w) ........................ 17 votants (v,w,u) ........................ 31 votants (w,u,v) ........................ .4 votants (w,v,u) ........................ 10 votants

100 votants

De ce scrutin, on déduit les résultats suivants : a) Les 3 opinions ( u,v,w,) ; (u,w,v) ; (w,u,v) totalisant 24+14+4= 42 votants Cela s’exprime en disant que 42 votants préfèrent : c’est à dire classent u avant v → u> w 94

b) Les trois opinions (u,v,w) ; (u,w,v) ;(v,u,w) totalisent : (24+14+17)=55 votants.

Donc 55 votants préfèrent u à w ou u> w c) Les trois opinions (u,v,w) ; (v,u,w) ; (v,w,u) totalisent 24+17+31= 72 votants Donc 72 votants préfèrent v à w.

On a donc établi un ordre collectif de préférence par une hiérarchisation de cette dernière, et cela par l’application de ce qu’on pourrait appeler «la rationalité collective».

Mais malheureusement la rationalité collective n’est toujours pas applicable.

Prenons le même exemple des 3 candidats proposés à un corps électoral de 70 votants.

Et supposons que l’on ait obtenu le scrutin suivant dans l’ordre : (u,v,w) est l’opinion de 25 votants (u,w,v)

“

2

“

(v,u,w)

“

4

“

(v,w,u)

“

19

“

(w,u,v)

“

15

“

(w,v,u)

“

5

“

70 votants

De ce scrutin on déduit les résultats suivants : a) Les 3 opinions (u,v,w) ; (u,w,v) ; (w,u,v) totalisant : 25+2+15=42 votants Donc u est préférable à v par 42 voix.

Voyons les états d’opinion préférant v à u, ce sont les combinaisons (v,u,w) ; (v,w,u) ; (w,v,u) qui totalisent : 4+19+5= 28 voix On peut donc dire que U est préféré à V par 42 voix contre 28. b) De la même manière les états d’opinion (u,v,w) ; (u,w,v) ; (v,u,w) totalisent : 25+2+4=31 voix.

Par le même mécanisme de calcul on peut dire que u est préférable à w par 31 voix contre 24 voix. c) Pour les états d’opinion (u,v,w) ; (v,u,w) ; (v,w,u) on a les résultats suivants : 25+4+19=48 voix préférant v à w contre 22 voix.

95

On a alors les résultats suivants : u > v par 42 voix contre 28

1er V

v > w par 48 voix contre 22

2ème U

u > w par 31 voix contre 24

3ème W

V>U>W

On peut constater à priori que les préférences u>v v>w

⇒

= entraînent l’inégalité : u > v > w.

u>w Donc U est préférable à V, lequel est préférable à w Mais le résultat du scrutin donne le classement suivant :

Premier :

V

Deuxième :U Troisième :w Il y a là un paradoxe qui montre que la logique de la décision collective n’est pas toujours la même que celle de la décision individuelle ou en d’autre terme : «on ne peut pas toujours assimiler un corps électoral à un individu», c’est ce que l’on appelle l’effet ou paradoxe de CONDORCET. Ce paradoxe se produit, selon la théorie de jeux de BOUZITAT, «quand on utilise un mode de scrutin cela consiste à comparer les couples d’options possibles et à appliquer par la suite la règle majoritaire d’agrégation de préférences couplées ou binaires, selon laquelle une préférence binaire est adoptée par la collectivité dès qu'elle est exprimée par une majorité de votants».

La non application de la procédure de la rationnalité collective a amené ARROW à envisager une règle de procédure de votre impliquant 3 exigences : --l’universalité de la règle d’agrégation, --la souveraineté de la collectivité,

--la loyauté ou fidélité de la règle à l’état des opinions des votants.

La souveraineté d’une collectivité «est un terme de la théorie mathématique de l’agrégation des préférences ou de vote qui désigne une condition définie axiomatiquement à laquelle doit satisfaire une règle d’agrégation. C’est en somme 96

une procédure prévue constitutionnellement et qui n’exclut aucun classement des décisions pour la collectivité. » La loyauté ou fidélité de la règle à l’état des opinions des votants consiste à partir de l’hypothèse que si un ordre des préférences individuelles étant donné, et si pour un certain état de l’opinion, la collectivité préfère U et V, tout en conservant en même temps d’autres préférences de la même collectivité ; dans ces conditions, le classement collectif de U par rapport à V ne dépend que du classement de a par rapport à b, pour chaque votant, et non de l’ordre relatif de a par rapport à b, en considération des autres préférences de la même collectivité.

En d’autres termes, on respecte la sincérité dans l’expression des suffrages.

Mais est-il possible de définir d’une façon formellement universelle une règle d’agrégation démocratique et équitable, ayant pour finalité le respect de tous les états possibles de l’opinion?

La réponse est négative car l’application de l’universalité de la règle de vote entraîne la dictature.

E- LA DICTATURE ET LE VOTE Est -il possible de construire une opinion collective à partir de tout état de l’opinion?

Dans une collectivité où les divergences d’opinions entre les affinités sociales sont irréversibles et irréductibles, si aucun dénominateur commun ne peut se trouver autour de ces affinités hostiles, peut-on trouver une règle permettant la constitution d’un ordre général de préférences reflétant l’état optimum des opinions collectives ?

Les économistes modernes tels que ARROW et BOUZITAT répondent que dans ce cas seules sont possibles les procédures dictatoriales, c’est à dire celles qui imposent comme opinion de la collectivité l’opinion de l’un des votants.

Ce qui a permis alors, ARROW, dans la théorie mathématique du vote, de définir la dictature comme “une règle d’agrégation des préférences individuelles selon laquelle s’il existe un individu (i) préfère x à y entraîne que la collectivité x à y, quels que soient les ordres individuels des préférences R1, R2, .....RMdes individus autres que i“ : Ǝi (x Piy) ⇒( x P y) Naturellement, on ne doit pas conférer au mot dictature le sens que la science politique donne à ce mot.

Comme exemple, nous considérons une assemblée où il existe un nombre qui peut faire adopter, par ses moyens propres, toute “mesure“ qu’il souhaite, sans recours à quiconque. Ce membre est dit dictateur.

97

Reste à définir de cette mesure de constitutionnalité etc...

Précisons au départ qu’il y a plusieurs formes de dictatures. Il y a la dictature légale qui exerce le pouvoir, par l’intermédiaire «d’un groupe décisif» en vertu d’un cadre constitutionnel.

Ce type de dictature peut infléchir sur la société un ordre stable, sans violence, générateur de bien-être.

Il y a naturellement les autres dictatures !

F- CONCLUSION GENERALE Les mathématiques de vote n’ont pas la prétention de supplanter la sociologie en la science politique.

Leur rôle est de formuler les règles, des procédures de scrutin et de voir si un mode de scrutin est conforme ou non à des principes à respecter, et ceci indépendamment du régime politique de telle ou telle société.

Les discours électoraux, les débats, les intrigues ne rentrent pas dans le «calcul».

Car l’introduction du «calcul» dans la politique n’a d’autre but que l’élaboration d’une optimisation tactique de choix politique, économique etc...

Enfin les mathématiques de la décision instaurent un lien intelligible entre les opérations de la liberté de l’homme et celles résultant du calcul mathématique.

De toutes nos activités, sous toutes leurs formes, les mathématiques peuvent leur faire conférer une sorte de configuration intelligible.

98

CHAPITRE III L’HOMME, SA SANTÉ ET LES MATHÉMATIQUES A- Préliminaire L’homme a servi les mathématiques. Ces dernières peuvent-elles le servir, lui, homme, tissu de complexités, domaine de l’inconstance et de la variabilité, mais malgré tout un «objet» réel ?

Les mathématiques, sciences de la logique, le havre du «nombrable», de l’abstrait, peuvent-elles s’introduire «chez l’homme», pour le mettre en équation ?

Dans une certaine mesure, ne peut-on pas concevoir les notions de variabilités, de mouvance, de changeabilité, qui caractérisent l’homme, comme des traits communs pouvant intéresser les mathématiques et servir à l’étude du «cas humain»?

Car les mathématiques s’occupent parfois de ce que l’on appelle des «modèles» variables, inconstants, basés sur des concepts sociologiques, anthropologiques, génétiques, biologiques etc... de sorte que leur plateforme reste le science humaine qui a toujours pour finalité de devenir quantitatives, donc mathématisables.

KANT n’a-t-il pas déjà dit «il n’y a de scientifique, au sens propre du mot que la quantité de mathématiques qu’il contient»?

Et VOLTAIRE d’ajouter, sur un autre thème dans son dictionnaire philosophique : «si la médecine pouvait être une science aussi certaine que la géométrie, elle nous ferait voir tous les ressorts de notre être.

Notre science médicale n’est autre chose que la science des probabilités».

Mais pour «quantifier», voire mathématiser la science de l’homme, il faut se doter d’une discipline basée sur l’analyse méthodique des propositions hiérarchisées méthodiquement.

Et on a toujours soutenu que les lois physiques, avec support mathématique, peuvent fournir un moyen de déduire la détermination d’un phénomène donné à partir de ses conditions propres. Peuvent-elles aussi «interroger» les phénomènes du modèle humain avec un esprit imbu d’une culture mathématique ?

A la base de ces lois physiques, il y a la «notion de mesure» qui, par sa représentation qualitative et quantitative peut pénétrer dans les propriétés même des êtres vivants.

99

Le premier acte effectué, par un généraliste, pour examiner son patient, est, entre autres, la mesure de sa pression artérielle qui est un acte mathématique où intervient des nombres, un maxima, un minima, et un rapport entre ces derniers. (Le minima normal doit être la moitié de la pression artérielle, additionnée d’une unité).

Et par les résultats de ces mesures, avec d’autres actes investigatifs, le médecin peut chercher l’origine d’une élévation de la pression artérielle, par exemple, qui pourrait être soit d’origine cardiaque, par l’accroissement de la force de contraction du muscle cardiaque, soit d’origine vasculaire, par la rigidité des parois artérielles, soit d’origine sanguine par l’accroissement de la viscosité du sang, soit d’origine rénale etc...

Pour le clinicien, qui examine l’homme, sous un autre angle, la «mesure» est comme une lampe qui éclaire la croisée des chemins. Si cet éclairage peut provoquer «des illusions d’optiques». Le bon esprit clinique peut évaluer et doser le poids de «la mesure» de constantes physiologiques.

De sorte que pour tout clinicien, par la mesure de ces dernières, par l’apport de son jugement personnel sur ces mesures, par l’observation du «cas» observé aux cas déjà connus (en référence à ses expériences et à la science apprise) pourrait mettre son malade presque en équation, en sachant poser et résoudre le triple problème du diagnostic, de la thérapeutique et du pronostic.

Mais l’homme ne peut se mettre toujours en équation, car la nature ne fait pas rigoureusement deux objets identiques à l’instar d’une machine qui fabrique des objets de série.

Ce que l’on peut faire, c’est de se résigner à ne considérer que les propriétés moyennes des phénomènes humains étudiés.

Par exemple, le biologiste, quand il aborde l’étude des effets développés sur des individus, il conçoit d’abord une irrégularité : une dose toxique peut tuer par exemple un être et ne fait subir à un autre que des effets secondaires.

On peut constater de même, quand on bombarde deux cellules identiques et voisines, d’énergie radiante, les effets peuvent être différents.

Mais cette apparente irrégularité biologique est susceptible quelquefois de se soumettre au cadre d’une légalité d’ordre scientifique.

Car la vie est basée sur la notion d’ordre.

Toute la matière vivante s’élabore, et subsiste grâce à des règles rigoureuses.

Dans son excellent ouvrage «la relativité en biologie», PINEL a relationné les mouvements des processus intracellulaires à la notion de gravitation et a montré leurs modifications selon la nature de l’orbite planétaire sur lequel se trouve la cellule.

100

Il a trouvé un rapport entre la vitesse de la cellule vivante et la vitesse de la lumière (50.000km/sec pour la cellule et 300.000km/sec pour la lumière).

De là, il a fait la liaison avec la théorie de la relativité d’Einstein : en lançant une cellule vivante dans l’espace où elle veut subsister ; de plus PINEL a conçu que cette cellule se trouve constamment soumise à la gravitation et au champ magnétique de l’univers physique, et au sein du noyau cellule, règne «un champ physico-psycho-biologique» de la même nature, jouant ainsi le rôle d’un champ magnétique variable. Et «ce champ referme toute la programmation intracellulaire et les ordres communiqués au cytoplasme cellulaire dans lequel s’effectue cette programmation.»

Ainsi les recherches de PINEL tendent à assimiler, dans une certaine mesure, l’espace biologique intracellulaire à l’espace tel qu'on le conçoit dans la théorie physique d’EINSTEIN. De sorte que la matière vivante est mathématisable, sous un certain angle, car ses processus fondamentaux rentrent dans le domaine des formules des mathématiques qui permettent de simplifier le travail de la pensée, fait toujours de phrases plus ou moins polies, et d’aller en avant.

VALERY n’a-t-il pas dit : «parmi les paroles sont les nombres qui sont les paroles les plus simples»?

Nous ajoutons : l’homme est fait de cellules vivantes et à travers toutes les connaissances structurées, il est possible d’accéder à des sources d’information précises sur l’espèce humaine.

Et les faits bruts de l’homme individu, dégagés de l’expérience du savant sont de nature à alimenter la méditation de ce dernier pour dégager des lois sur l’espèce humaine.

B- LA STATISTIQUE EN MEDECINE ET BIOLOGIE Toute étude morphologique précède à l’étude fonctionnelle. Avant de savoir comment tel ou tel système fonctionnel agit ou se désorganise, la sagesse recommande de se servir du bon sens.

DESCARTES écrivait «Ces fonctions (digestives ou de croissance) suivent tout naturellement en cette machine de la seule disposition des organes, ni plus ni moins que font les mouvements d’une horloge ou autre automate, de celle de ses contrepoids et de ses roues, en sorte qu’il ne faut point à leur occasion, concevoir en elle aucune autre âme végétative ni sensitive ... que son sang et ses esprits agités par la chaleur du feu qui brûle continuellement dans son cœur ...»

Nous avons dit plus haut que les sciences de la vie se prêtent aujourd’hui à la mesure. L’être vivant caractérisé par la variabilité commence à se faire “pénétrer“ de la rigueur des chiffres : d’où l’introduction de la méthode des statistiques.

101

Le premier stade qui intéresse la science statistique est la variabilité de caractère, variabilité du temps de latence d’une maladie virale, variabilité des résultats lors de l’emploi d’un traitement donné à un groupe d’individus pour une maladie donnée, variabilité de l’uricémie (taux de l’acide urique dans le sang) normale et de l’uricémie des goutteux d’un individu à un autre etc...

L’observation chiffrée de ces variabilités permet dans certains cas de déceler les causalités qui peuvent être soit d’ordre génétique, soit de l’environnement bernant les individus etc.....

Ainsi par l’observation, les mesures, la traduction graphique et l’interprétation des variabilités des phénomènes, on arriverait à dégager des lignes générales et à formuler certaines spécifités individuelles ou de groupes tout en laissant sciemment masquées certaines singularités.

La variabilité peut intéresser aussi nos organes qui sont en nombre constant : on n’a qu’un seul cœur, un seul foie, 2 reins, 2 poumons ... Et chaque organe peut être considéré comme un ensemble d’éléments en évolution, liés à d’autres organes ou à l’agent véhiculaire (sang).

Si la méthode statistique paraît ne pas intéresser le praticien qui a affaire à des individus et non à des groupes, elle permet néanmoins de dégager de l’étude biologique ou clinique des groupes, des singularités, des phénomènes constants et une thérapeutique constante s’infléchissant sur les individus.

Ainsi l’intéressement de la science mathématique à la médecine, se fait chaque jour, car suivant une logique ; et la logique d’ordre statistique, exige la recherche des signes, des indices, et des moyens comparés de traitements : exploration par examen biologique, diagnostic, thérapeutique).

Pour ces raisons, l’intéressement du praticien aux méthodes statistiques est de nature à faire progresser la science médicale et à réduire peut être la souffrance des hommes.

Jacques GUILLERME, dans un exposé intitulé «la détermination numérique des actions médicamenteuses «paru dans le recueil : «La Mathématisation des doctrines informes» écrit : «Toute thérapeutique aspire à proportionner les effets de ses instruments à la gravité supposée du désordre de la maladie ... Et la production de résultats numériques par le couplage du mécanique et du vivant a composé en peu de temps le champ conceptuel d’une science instrumentale conquérante, dont la méthodologie n’a pas été sans influer sur la sémiologie médicale.

Ce mode de questionnement phénoménotechnique s’est répandu grâce à l’impulsion d’hommes, qui comme BOUILLAUD, affirmaient que «l’exploration thermotechnique, hygrométrique, électro-métrique, dynamométrique», sont réellement les sources pures de l’observation médicale, en tant qu’elle exerce 102

sur les conditions mécaniques, physiques et chimiques que le corps humain a reçues en partage avec les autres corps».

C- INFORMATIQUE, PROBABILITE ET MEDECINE Autrefois, le médecin était une espèce de droguiste qui détient dans des tiroirs étiquetés un remède pour chacune des maladies.

Aujourd’hui, le médecin est comme un mathématicien : le malade pour lui est une sorte de fonction à étudier, une équation à résoudre.

Si l’âme du malade n’est pas calculable, le complément de l’ensemble humain, peut être mis en équation dans l’établissement et la résolution, conduit au diagnostic et par la suite à la thérapeutique à suivre.

Mais le professeur HAMBURGER, dans son essai «la Médecine demain», constate que souvent, l’insuffisance d’informations médicales conduit à «un diagnostic imparfait». Cette «imperfection» peut être réduite si on fait appel à l’informatique et aux calculs des probabilités.

Rappelons que le calcul de probabilités a pour but de calculer les probabilités de phénomènes complexes en fonction des probabilités supposées connues des phénomènes plus simples et ce, par la prévision.

On combine alors, les probabilités des phénomènes simples de manière à arriver à définir des phénomènes complexes dont les probabilités sont assez petites pour que la loi du hasard soit applicable.

Rémy de GOURMONT écrit sur le hasard et de son rôle dans la vie... «Il n’est rien de plus attendu que l’inattendu, rien qui au fond nous surprenne moins.

L’homme est en perpétuelle attente du miracle ... la vie n’est qu’un acte de confiance en nous même et dans la bienveillance des hasards...

L’impossible à chaque moment de la vie se fait possible».

Cela étant, tout malade devant tout praticien attend le diagnostic et le remède approprié, conséquent.

Mais tout diagnostic ne peut s’établir que par rapport à des références de certaines maladies, par la classification devant rapprocher une situation donnée en référence à des enseignements théoriques acquis.

Donc devant une maladie X, de symptômes Y, le médecin devra établir un diagnostic par injection de certains paramètres Pi. C’est ainsi qu’un dermatologue, par vue d’œil, reconnaîtra un eczéma, une mycose, un herpès.

103

On peut ainsi multiplier les exemples pour chaque spécialité médicale.

Par conséquent, c’est la comparaison globale des éléments constatés chez le malade avec l’ensemble des éléments caractéristiques d’une maladie déjà connue qui entraîne le diagnostic.

C’est un premier aspect de détermination du diagnostic.

L’autre forme de diagnostic fait appel au raisonnement s’il y a prédominance d’un symptôme : --examen de la qualité de la maladie,

-- conséquence de l’action de symptôme de la maladie sur les constantes biochimiques du sang, --anomalies radiologiques,

-- examen de la qualité du malade, car la nature ne fait pas rigoureusement deux êtres humains identiques.

De sorte que pour différents malades, atteints de la même maladie, la prédominance de symptômes de la maladie par l’utilisation de ces processus conduit à une sorte de diagnostic modulé, dons non uniforme.

D- ASSISTANCE MATHEMATIQUE DANS L’ETABLISSEMENT D’UN DIAGNOSTIC L’attitude du praticien dans l’établissement de l’un ou de l’autre forme de diagnostic est une attitude où il a recours à des règles logiques. Alors les techniques mathématiques utilisées à cette fin découlent de la logique de BOOLE, de la théorie des sous-ensembles flous, du calcul des probabilités, de la théorie des graphes...

Si l’algèbre de BOOLE est une algèbre des variables ne pouvant prendre que 2 valeurs (0 ou 1) : un malade x est atteint ou non d’une maladie M et présente ou non le symptôme S, on peut opposer le cas de la diversification de la manifestation de ce symptôme. L’usage de la théorie des sous-ensembles flous qui considère l’ensemble des valeurs compris entre zéro et un (ici on dit absence de maladie ou existence d’une maladie) permet, partant d’une infinité d’états, par une décomposition adéquate et une classification, de se ramener à des symptômes binaires donc à un diagnostic plus clair.

Ainsi de la célèbre phrase d’Alfred de MUSSET : «il faut qu’une porte soit ouverte ou fermée», on passe à une position intermédiaire de la porte.

L’application pratique de l’algèbre de BOOLE par des principes de base régissent les variables (le principe de la complémentarité d’une variable, le principe de la 104

somme logique ou du produit logique de 2 variables). Les variables jouent ici le rôle des symptômes ou caractéristiques d’une affection.

La combinaison de ces principes permet de traduire en termes algébriques les divers états pathologiques présents chez un malade donné en se servant en plus du calcul des probabilités, notamment le fameux théorème de BAYES qui repose sur la notion de probabilité à postériori en probabilité des causes.

Cela permet pour un ensemble de syndromes constaté de calculer la probabilité qu’il appartient à la maladie en question.

Dans la théorie des graphes (ou courbes), on part du fait que les cellules vivantes sont le siège de signes électriques.

Ces cellules sont naturellement affectées, donc les signes électriques sont perturbés. L’enregistrement de ces signaux permet de faire de l’électrocardiographie par exemple.

On obtient une série de courbes sur bandes magnétiques. Ces courbes traduisent les différentes ondes perçues : le praticien par l’examen du tracé, en décèle, en fonction de son expérience personnelle et du contexte clinique, le diagnostic.

E- FORMULES MATHEMATIQUES ET FONCTIONS ORGANIQUES 1- VALEURS FONCTIONNELLES DU REIN On sait que les reins constituent un véritable filtre sélectif du sang. Chaque jour cinq cents litres de sang passent dans les reins qui en extraient un litre et demi à 2 litres d’urine.

Les fonctions du rein peuvent être mesurées par des épreuves quantitatives ou semi-quantitatives.

Considérons la clearance ou épurance. Il s’agit du coefficient de l’épuration plastique. Sa valeur est donnée par le rapport entre le débit urinaire par minute d’un corps et sa concentration dans le plasma ; elle est alors donnée par le nombre de ml de plasma que le rein peut débarrasser totalement en une minute de ce corps.

La formule donnant la clearance est alors : C=uxv/p U = la concentration de la substance à épurer dans l’urine.

V = le débit urinaire en ml/mn P = la concentration de la substance à épurer dans le plasma.

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2- VALEURS FONCTIONNELLES DES POUMONS La respiration a la double charge de porter aux cellules de l’organisme l’oxygène dont elles ont besoin, puisé dans l’air atmosphérique et de rejeter l’anhydride carbonique formé par les cellules, sans interruption, au sien des tissus.

L’organe responsable de ces échanges gazeux est le poumon et en particulier l’alvéole pulmonaire.

Considérons la diffusion des gaz sanguins dans la respiration, c’est à dire le passage des gaz respiratoires de l’alvéole au capillaire pulmonaire. a) Capacité de diffusion pulmonaire Il s’agit de la conductance alvéolo-sanguine d’un gaz.

Si V désigne le volume d’un gaz qui passe de l’air alvéolaire au sang, PA désigne la pression alvéolaire, Pc désigne la pression capillaire moyenne.

La conductance alvéolo-sanguine de l’oxygène O2est donnée par la formule : Do2=Vo2/PA-Pc b) Mécanisme respiratoire La cage thoracique et les poumons accomplissant les mouvements respiratoires qui sont deux types : l’inspiration de l’air dans les poumons et l’expiration de l’air à l’extérieur.

Dans le mécanisme intervient ce que l’on appelle la compliance pulmonaire, c’est à dire la variation du volume pulmonaire observée pour une variation de pression d’une unité. La compliance est donnée par la formule : C= ∆V / ∆P Où ∆V= désigne la variation du volume pulmonaire, ∆P = désigne la variation de la pression correspondante.

L’inverse de la compliance est l’élastance. Cette dernière renseigne sur la résistance ou l’expansion du tissu élastique pulmonaire. Elle est donnée par la formule : E = ∆P / ∆V 3- PRESSION ARTERIELLE ( tension) Le sang, quand il circule dans les vaisseaux, exerce sur leurs parois une certaine pression. La tension artérielle est plus élevée dans les artères, qui reçoivent le choc déterminé par l’onde sanguine, que dans les veines.

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Comme la vitesse du sang, la pression dans les artères varie selon que le cœur est en systole, en pulsation, on en diastole (intervalle entre 2 pulsations), ce que désigne respectivement par pression maxima M et pression minima m.

Pour une personne normale sur le plan de fonctionnement cardiaque, on doit avoir la relation : m = M/2 + 1 4- CALCUL DU VOLUME SANGUIN OU VOLEMIE La masse sanguine varie en fonction de chaque individu donné selon sa constitution somatique, rapportée généralement au poids corporel.

Si l’on désigne par Vs le volume sanguin

Vp le volume plasmatique

Vg le volume globulaire

On a Vs=Vp+Vg et en fonction de VP, de VG et de l’hémotocrite (HE), c’est à dire le volume occupé par les hématies dans le sang total on a : Vs=100xVp/100-Ht =100xVg/Ht Ht= 100x Vg/Vp+Vg 5- PHENOMENE DE LA FIBRINOLYSE C’est la dissolution de la fibrine ou d(un caillot sanguin.

Ce phénomène survient normalement quelque temps (jours ou semaines) après la formation du caillot et peut provoquer des hémorragies souvent dramatiques.

Dans la Revue «Coagulation», les docteurs DAVER, EDMOND, PASIAK, RICOEUR et MESSERLI, qui appartiennent au centre de transfusion Sanguine de CASTRES, et au Centre d’Etudes pour l’Industrie Pharmaceutique de TOULOUSE, ont élaboré un modèle mathématique du phénomène de la fibrinolyse par «la détermination et la caractérisation du potentiel inhibiteur du sérum humain».

Rappelons que le terme inhibiteur veut dire, tout ce qui provoque l’inhibition, c’est à dire l’arrêt des fonctions d’un organe par suite d’une irritation localisée sur un point de l’organisme.

Ces auteurs ont étudié la cinétique des relations qui régissent la fibrinolyse, et de là, un modèle mathématique permettant de déterminer «le potentiel des inhibiteurs de la fibrinolyse, ainsi qu’une estimation de la vitesse de lyse (dissolution des tissus) du caillot de fibrine (globidine filamenteuse) insoluble se déposant par coagulation spontanée du sang et de la lymphe.

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En désignant par : P ;I,X et F les concentrations respectives de plasmine (fibrinogène ou globuline soluble contenue dans le plasma),«des inhibiteurs immédiats», «des inhibiteurs progressifs», et «de la fibrine dans le milieu réactionnel du caillot standard», les auteurs sus-désignés, définissent par P* = P-I, «la concentration de plasmine disponible» et proposant un modèle cinétique fondé par les équations différentielles : dF/dt = -k1P dP / dt = -k2.X.P. A partir de la mesure du temps de lyse de caillot standard (phénomène de destruction des substances organiques (tissus, cellules)...) par des lysines (substances qui ont la propriété de dissoudre les globules sanguines, les cellules des tissus), en présence de plusieurs dilutions d’un sérum humain, donc susceptibles d’être domestiquées et aptes à être traitées par les mathématiques.

La résolution de ces équations permet l’évaluation du potentiel inhibiteur immédiat et progressif de ce sérum ainsi que de la constante de vitesse de lyse d’un caillot de fibrine en présence de ce sérum, qui apparaît comme le paramètre global le plus significatif.»

F-VERS UNE APPROCHE DES MATHÉMATIQUES SUR LE CANCER 1- PRÉLIMINAIRE Chaque gramme de notre tissu comporte un milliard de cellules et chacun de nous, à la naissance, possède un certain pourcentage de cellules dites tarées, potentialisant des tumeurs dites malignes, c’est à dire le cancer.

Cette tare affinée, dans une cellule donnée, lui confère un pouvoir dit mutant, c’est à dire générateur d’autres cellules tarées. Mais la loi de la sélection naturelle veut que dans cet ensemble cellulaire constituant notre corps, les cellules saines prédominent, arrêtent naturellement la végétation des cellules tarées qui s’éteignent en général.

Mais cet ensemble cellulaire ressemble un peu au monde des abeilles ; à partir d’éléments fécondants identiques, un choix est fait et il est irréversible : se crée alors, l’ensemble des abeilles reines qui ne travaillent pas, mais procréent, et l’ensemble des abeilles ouvrières, infécondes.

Pour l’homme, la cellule dite génératrice, se divise à la naissance en 2 cellules, dont l’une prend sa fonction et devient génératrice, l’autre devient stérile, mais «ouvrière».

Dans le cas des cellules tarées, le produit de la subdivision est uniforme : les cellules qui prennent naissance sont toutes deux génératrices, dotées d’un pouvoir mutant dit encore mitotique, c’est à dire générateur de nouvelles cellules cancéreuses.

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Cette subdivision en nouvelles cellules génératrices se fait suivant une progression géométrique, car chaque cellule tarée, donne naissance à deux autres, génératrices de 4 cellules et ainsi de suite : nous aurons alors 2 ;4 ;8 ;16 ;32 ;64 etc..... cellules tarées.

Mais dans le cas où la sélection naturelle ne joue plus, la survie des “mutantes“ se perpétue et le cancer poursuit, malheureusement, sa végétation, très lentement.

On a calculé qu’en l’espace de 8 années, un milliard de cellules mutantes voient le jour et cohabitent dans un cercle “infernal“ de un centimètre de diamètre !

L’objet, donc des chercheurs est de réduire et anéantir ce pouvoir de végétation du cancer, par des actions, celles préventives en particulier.

Et pour y parvenir, certains chercheurs ont eu recours aux mathématiques.

Car les disciplines scientifiques s’aident mutuellement : on a vu que les mathématiques s’associent à la physique pour expliquer tant de phénomènes appréhendés par le physicien.

La biologie s’associe à la chimie, voire avec les relativités restreintes d’EINSTEIN pour promouvoir la biochimie et l’ingénierie génétique. De même on a vu que les mathématiques s’introduisent, peut être timidement mais efficacement pour venir en aide à la Médecine.

C'est ce qui a été essayé, pour l’étude et la prévention d’une certaine forme de cancer.

2- ANALYSE DU PROBLEME Il ne s’agit pas de formuler par des équations, l’essai d’introduction ou d’appréhension du cancer par les mathématiques mais de montrer que la tentative d’intervention est possible.

Quelles sont les méthodes utilisées ?

1°) – La première qu’on pourrait appliquer est celle de Condorcet. Ce dernier, dès la fin du XVIIIème siècle, cherchait à définir une règle de scrutin aux fins de déroulements d’élections démocratiques.

Le comte de Condorcet a axé ses travaux sur le vote qu’on a vu précédemment.

Il a vu d'abord que quand il y a plus de Z candidats, la satisfaction d'une majorité d'électeurs devient difficile.

Pour y parvenir, il a appliqué la règle de la majorité aux couples de candidats en présence. Soit (x,y) le couple de candidats. Et de constater que x et y peuvent être rangés dans une même catégorie, dans l’hypothèse de l’existence d’une majorité de variables ou paramètres, prenant la même valeur pour x et pour y.

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2°) – Ce procédé, joint à un autre qu’on va expliquer dans ce qui suit, a été utilisé récemment par 2 chercheurs : MICHAUD et MARCOTORCHINO, auteurs d’un livre intitulé «Optimisation en analyse ordinale des données».

En ce qui nous concerne, dans cette étude, la forme du cancer prévenu est le mélanome dit noir, qui est une tumeur maligne et qui affecte les cellules pigmentaires de l’épiderme.

Mais l’intervention des mathématiques ne vient pas au hasard.

Préalablement, les chercheurs en cancérologie spécifique, dont l’équipe de René HUGUENIN à Saint Cloud, a d’abord mis en évidence, sur plusieurs cas, des paramètres, disons de causalité. Ils les ont groupés en un nombre de 36 pour chaque cas. Ces paramètres sont le sexe, l’âge, le climat, la localisation de la tumeur avec ses caractéristiques : son épaisseur, son étendue, son degré mitotique, c’est à dire la vitesse de multiplication de cellules cancéreuses, etc....

A partir de cet instant, le mathématicien intervient.

Pour lui (1°) le sexe a 2 degrés : masculin ou féminin. Voilà 2 catégories sectorielles, homme et femme. (2°) L’épaisseur, a 4 catégories, qui lui sont signalées par les pathologistes : voilà encore déterminé un autre nombre catégoriel.

(3°) le climat : le cas où le patient prend ou non des bains de soleil, car le bronzage inconsidéré est responsable de la tumeur : donc 2 possibilités.

Devant cet ensemble bien défini de renseignements spécifiques, il faut maximaliser la décision de pronostic dans l’incertain et formuler une règle.

MICHAUD et MARCOTORCHINO, ont eu l’idée d’appliquer simplement le principe mathématique, cher aux informaticiens, qui est la programmation binaire, et ce, par affectation d’un coefficient d’optimisation aux catégories paramétriques étudiées, sériées et groupées au préalable.

Ces coefficients d’optimisation, ont été obtenus par ces chercheurs, par la résolution de systèmes d’équation où les inconnues sont les coefficients précités.

Et dans la résolution de ces systèmes d’équations, nos chercheurs, n’ont retenu que les solutions optimales. Celles qui minimisent les désaccords avec la règle majoritaire.

Donc, en partant des cas spécifiques, par considération des paramètres qui leur sont connus et par classement catégoriel de certains paramètres et l’application de la règle de la programmation binaire, ils ont trouvé dans le relatif, des solutions orientant le technicien à mieux découvrir à temps, les moyens d’intervention, dans sa tentative de mettre au point une tendance vers l’existence d’un cancer et sa prévention.

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G- CONCLUSION L’homme a confectionné et subit l’Histoire. Il est émoussé et érodé par le temps.

Les maladies qui le frappent le réduisent à croire à la brièveté de la vie humaine.

Le rôle du médecin est de rendre moins brève l’échéance finale.

Pour ce, il faut que le médecin cesse d’être l’artiste ou le devin du choix du diagnostic ou de la thérapeutique. Il faut aussi qu’il se transforme en un véritable savant, une sorte d’Ingénieur «de la machine humaine». Car le savoir médical varie chaque jour et “double tous les cinq ans“, comme l’affirme le professeur Luncien ISRAEL. La qualité et la quantité des éléments de ce savoir sont dépassés presque chaque jour, par le fait de nouvelles prospections ou découvertes.

Dans ces conditions, il faut que les études médicales se dynamisent, «se révolutionnent», et se mettent constamment à jour, par l’intégration, dans le savoir médical, des nouvelles disciplines scientifiques, afin de domestiquer l’incertain et d’optimiser, comme le dit le professeur Lucien ISRAEL, la décision du médecin dans l’incertain, pour ramener, en quelque sorte l’incertain au certain.

Ces disciplines sont par exemple, l’informatique, la théorie de la décision, la biologie relativiste....Car en somme, devant la multitude des interventions possibles qui se présentent au médecin devant un cas, ce dernier les mesure et en dégage des incertitudes probabilisables, ce qui est l’essence des mathématiques de la décision, et de là, extirpent de ces incertitudes, le certain.

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EPILOGUE: LA METAPHYSIQUE ET LA SCIENCE On a tantôt nié l’existence de Dieu, au nom des Merveilles de la Science, et tantôt prouvé son Existence par les Merveilles de la Nature.

De sorte qu’on oppose souvent science et religion.

On ne peut dire que pour le savant, épris du principe de déterminisme positif ou concerné uniquement de phénomènes obscurs ou inconnus, la preuve de l’existence de Dieu, puisse se manifester ou se localiser dans la visée de son télescope ou à l’intérieur de son éprouvette.

Le savant décrit et construit, mais ne peut expliquer l’Univers. Jusqu’à une certaine limite, la puissance du calcul, la pesanteur des ordinateurs.... rencontrent «une façade étanche» de cet Univers dont on ne peut tout expliquer.

On doit alors, comme dit Raymond RUVER dans son ouvrage ou considérer avec Bernard d’ESPAGNAT, éminent physicien français que le «vieux matérialisme issu de Démocrite, le philosophe Grec qui représentait l’Univers «comme un assemblage de briques indivisibles, est mort certes dans la pratique, il demeure utile, très utile, mais dès qu’il s’agit de la réalité fondamentale, c’est fini».

«Des phénomènes que nous observons : leur régularité ne peut venir d’une réalité indépendante de nous et que la science même ne peut décrire. Car tout ce que nous savons par la science passe incessamment par le filtre de nos sens, de nos systèmes intellectuels qui ne sont jamais que des outils... Et cette réalité indépendante ne peut être que Dieu, à condition de le dépouiller de sa Barde Blanche et de Ses attributs naïfs».

Et à une question : la Science peut-elle vous aider à mieux connaitre Dieu, Bernard d’ESPAGNAT de répondre : «... ce que la science m’enseigne, c’est d’abord ce qui n’est pas Dieu. Jadis, on donnait à la foudre une origine divine.

On sait aujourd’hui expliquer le phénomène. C’est ainsi que la science m’apporte des informations négatives qui sont importantes. Pour le moment, c’est tout.»

Mais toute la science secrétée par l’Homme, n’est autre que la focalisation de la volonté de Dieu, Créateur, sur l’esprit de sa Créature, l’Homme.

Si l’homme religieux s’appuyait sur la Révélation pour imposer le silence à la Raison et à la Science, l'homme anti-religieux se base sur l'intelligence et la science qui sont son oeuvre.

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Souvent, certains penseurs assimilent Dieu à un effet imaginaire tissé dans les esprits de clocher.

Mais l'effet de l'imaginaire est prodigieux. les nombres imaginaires ou complexes, dans la science mathématique ont servi à bâtir tout un édifice scientifique réellement perceptibles, par les effets de leurs théories propres.

Car, n’avons-nous pas appris, par exemple, que le corps des nombres imaginaires ou complexes est un corps algébrique renfermant dans leurs entrailles, les nombres réels, entre autres, qui nous servent à calculer, à mesurer.

N’étions-nous pas arrivés à trouver un nombre réel grâce à la combinaison de nombres transcendants, truffés du fameux nombre imaginaire i (i²=-1) ?

Rappelons-nous la fameuse formule d’EULER : eiπ=-1 Où e=constante de NEPER = 2,71828 π =3,1416 Voilà deux nombres possédant des décimales, en nombres infinis, ne renfermant aucun cycle qui en assure le retour dans l’ordre, associé à un i, nombre imaginaire pur, par la formule ci-dessus indiquée, nous donnent un résultat réel !

Mieux encore, le Mathématicien Hindou SRINIVASAS RAMANUJAN, a formulé en 1913 le théorème suivant : “e à la puissance π que multiplie la racine carrée de 163, qui est un nombre irrationnel, est un nombre entier : eπ√163=262537412640768744 Cela défie l’intelligence humaine. Et pourtant, on accède par ces biais à un effet réel.

Et cette intelligence humaine, par un effet transcendant ne peut-elle pas arriver au résultat réel qui est l’existence de Dieu !

Et de conclure que Dieu n’est pas un être observable du dehors, mais une sorte de conscience qui se trouve partout à la fois, qui est Immense et Eternelle./.

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BIBLIOGRAPHIE --ADIN M. L’Informatique médicale. Paris, PUF, 1972.125 pages.

-- Anthropologie et calcul. Textes choisis et présentés par Philippe Richard et Robert Jaulin. Paris, Union générale d’éditions, 1971, 384 pages.

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-- Histoire de l’humanité Unesco : Histoire du développement Culturel et Scientifique. Robert Laffont, Unesco, 1967.

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-- KEMENY J. G., SCHLEIFER A., SNELL J. L. et TOMPSON G. L. Les Mathématiques dans la pratique des affaires. Traduit par M. Didier. Paris, Dunod, 1964, XIV-454 pages.

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-- WARUSFEL A. Les Mathématiques modernes. Paris, Editions du Seuil, 1969, 192 pages.

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TABLE DES MATIERES PRÉSENTATION DE L'AUTEUR....................................................................................................................................................................... 5 INTRODUCTION......................................................................................................................................................................................................... 7

PREMIERE PARTIE : EVOLUTION DES MATHEMATIQUES.................................................................................... 11 CHAPITRE -I- EVOLUTION HISTORIQUE DES MATHEMATIQUES ............................................................... 13 A- L’ERE PRECOLOMBIENNE............................................................................................................................................................13 B- L’ERE CHINOISE....................................................................................................................................................................................13 C- L’ERE GRECO-ROMAINE................................................................................................................................................................15 D- L’ERE INDIENNE...................................................................................................................................................................................18 E- L’ERE ARABE...........................................................................................................................................................................................20

CHAPITRE -II- EVOLUTION DES MATHEMATIQUES PERIODE DU XIV ème AU XVIII ème SIECLES...................................................................................................................................................................................................................... 23 A- PRELIMINAIRE : NAISSANCE DE L’ARITHMETIQUE.................................................................................................23 B- EVOLUTION

DE

LA

SCIENCE

:

REALISATIONS

DE

NOUVELLES

DISCIPLINES

MATHEMATIQUES........................................................................................................................................................................25

CHAPITRE-III- EVOLUTION DES MATHEMATIQUES AU XIX ème SIECLE............................................ 29 A- GENERALITES........................................................................................................................................................................................29 B- L’ALGEBRE................................................................................................................................................................................................30 C- L’ANALYSE.................................................................................................................................................................................................31 D- VERS LA THEORIE DES ENSEMBLES..................................................................................................................................32 E- SUR LA LOGIQUE.................................................................................................................................................................................33

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F- LA GEOMETRIE......................................................................................................................................................................................35 G- VERS L’ALGEBRE MODERNE......................................................................................................................................................37 H- L’ARITHMETIQUE ET LA THEORIE DES NOMBRES...................................................................................................38

CHAPITRE-IV- LES MATHEMATIQUES AU XX ème SIECLE................................................................................ 41 A- PROGRES DES BRANCHES TRADITIONNELLES DES MATHEMATIQUES................................................42 1- Pour l’algebre...................................................................................................................................................................................42 2- Pour l’arithmetique......................................................................................................................................................................43 3- Pour la geometrie.........................................................................................................................................................................43 4- Mais qu’est-ce que la topolgie ?......................................................................................................................................44 5- Evolution de la topologie.........................................................................................................................................................44 6- L’analyse fonctionnelle.............................................................................................................................................................45 B- LES MATHEMATIQUES DITES « MODERNES »............................................................................................................46 1- Introduction.......................................................................................................................................................................................46 2- Le langage des mathematiques modernes..............................................................................................................47 a- Les lettres....................................................................................................................................................................................48 b- Les symboles logiques........................................................................................................................................................50 c- Les symboles rationnels.....................................................................................................................................................52 d- Les symboles substantifiques........................................................................................................................................53 C- RECAPITULATION................................................................................................................................................................................53 1- Theorie formule..............................................................................................................................................................................53

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2- Relations intertheories (comparaison, equivalence)..........................................................................................53 3- Famille des theories....................................................................................................................................................................54 4- Vers l’algebre des propositions ou calcul propositionnel...............................................................................55 5- Les liaisons logiques : definition et analyse.............................................................................................................56 6- Exemples pratiques.....................................................................................................................................................................58 7- Notion des theories quantifiees.........................................................................................................................................59 D- LA THEORIE DES ENSEMBLES : ETUDE ET VALEUR-APPLICATION............................................................61 1- Introduction.......................................................................................................................................................................................61 2- Notion sommaire d’ensembles en mathematiques...........................................................................................62 3- Valeur de la theorie des ensembles................................................................................................................................63 4- Application insolite de la theorie des ensembles : coalitions electorales.........................................64 5- Application de l’arihmetique ensembliste au codage.......................................................................................66 E- INTRODUCTION A LA NOTION DU FLOU EN MATHEMATIQUES......................................................................69 1- Preliminaire.......................................................................................................................................................................................69 2- Notion d’ensembles flous.......................................................................................................................................................71 3- Concept du sous-ensemble flou.......................................................................................................................................73 4- Conclusion..........................................................................................................................................................................................73

DEUXIEME PARTIE : PORTEE DES MATHEMATIQUES.......................................................................................................... 75 CHAPITRE -I- LE FAIT MATHEMATIQUE ET LA DECISION HUMAINE....................................................................... 76 A- PRELIMINAIRE.......................................................................................................................................................................................76

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B- CHAMP DES DECISIONS...............................................................................................................................................................76 1- Analyse et classification des decisions........................................................................................................................76 2- La decision face a l’incertain/ theorie des jeux.....................................................................................................77 C- THEORIE DES JEUX...........................................................................................................................................................................78 D- APPLICATION DE LA THEORIE DES JEUX........................................................................................................................81 E- APERCU THEORIQUE DE LA THEORIE DES PROBALITES....................................................................................82 F- LA DECISION FACE AU CERTAIN ET A L’INCERTAIN.................................................................................................83 G- LA MISE EN EQUATION PAR LA FORMULATION DES PHENOMENES........................................................84 H- CHAMP D’APPLICATION DES MATUEMATIQUES DANS LE CHOIX D’UNE DECISION....................84 I- CAS DE LA PROGRAMMATION...................................................................................................................................................85 J- CONCLUSION..........................................................................................................................................................................................88

CHAPITRE -II- LES MATHEMATIQUES ET LA POLITIQUE................................................................................................... 89 A- PRELIMINAIRE.......................................................................................................................................................................................89 B- LE FORMALISME DU SYSTEME ELECTORAL ET DES PARTIS POLITIQUES..........................................91 C- STRATEGIE DES PARTIS POLITIQUES : GENERALITES..........................................................................................91 D- STRATEGIE DU VOTE........................................................................................................................................................................93 E- LA DICTATURE ET LE VOTE..........................................................................................................................................................97 F- CONCLUSION GENERALE..............................................................................................................................................................98

CHAPITRE -III- L’HOMME, SA SANTE ET LES MATHEMATIQUES............................................................................... 99 A- PRELIMINAIRE.......................................................................................................................................................................................99 B- LA STATISTIQUE EN MEDECINE ET EN BIOLOGIE................................................................................................. 101

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C- INFORMATIQUE, PROBABILITES ET MEDECINE..................................................................................................... 103 D- ASSISTANCE MATHEMATIQUE DANS L’ETBLISSEMENT D’UN DIAGNOSTIC.................................. 104 E- FORMULES MATHEMATIQUES ET FONCTIONS ORGANIQUES.................................................................... 105 1- Valeurs fonctionnelles du rein......................................................................................................................................... 105 2- Valeurs fonctionnelles des poumons......................................................................................................................... 106 a- Capacite de diffusion pulmonaire............................................................................................................................ 106 b- Mecanisme respiratoire.................................................................................................................................................. 106 3- Pression arterielle (tension).............................................................................................................................................. 106 4- Calcul du volume sanguin ou volemie...................................................................................................................... 107 5- Phenomene de la fibrinolyse............................................................................................................................................ 107 F- VERS UNE APPROCHE DES MATHEMATIQUES SUR LE CANCER.............................................................. 108 1- Preliminaire................................................................................................................................................................................... 108 2- Analyse du probleme.............................................................................................................................................................. 109 G- CONCLUSION...................................................................................................................................................................................... 111

EPILOGUE : LA METAPHYSIQUE ET LA SCIENCE................................................................................................................... 112 BIBLIOGRAPHIE................................................................................................................................................................................................. 114 TABLE DES MATIERES................................................................................................................................................................................. 115

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Dépôt Légal : 2016MO5340 ISBN : 978-9954-39-300-0 Imprimeur : Imprimerie Toumi