Fundamentos de matemática vol 1 by Leandro Santos

GELSON IEZZI CARLOS MURAKAMI

FUNDAMENTOS DE -

MATEMATICA ELEMENTAR CONJUNTOS FUNÇÕES

75 Exercícios resolvidos 326 Exercícios propostos - com resposta 272 Testes de Vestibulares - com resposta

3!\ edição

ATUAL

EDITORA

Capa '(

Roberto Franklin Rondino Sylvio Ulhoa Cintra Filho Rua Inhambu, 1235 - S. Paulo

APRESENTACÃO •

Composição e desenhos AM Produções Gráficas Ltda. Rua Castro Alves, 135 - S. Paulo Artes Atual Editora Ltda. Fotolitos H.O.P. Fotolitos Ltda. Rua Delmira Ferreira, 325 - S. Paulo Impressão e acabamento Gráfica Ed itora Hamburg Ltda. Rua Apeninos, 294 278-1620 - 278-2648 - 279-9776 São Paulo - SP - Brasil CIP-&rasil. CatalogAção-na-Fonte câmara Brasileira do Livro, SP

F977 v.l-2, 4-6

FundBlllentDB dI! matemátlcllI elementar (por] Gelaon Iezzl (e outros) 5BO Paulo, 'Atul!l1 Ed., 1977-

CO-Butores: Carlos HurakBllll, Osvaldo Dolce e Semuel H!!Izzsn;

Butarh dos volumes indi-

viduais vada entre 08 4 autores. Conteúdo; v.l. Con1untos, funçeea.-v.2. Logsrltmos.-v.4. SeQÜencias, mB~rize8 determl Mantes, a1etl!lllB8.-v.5. CClllbln!tor1ll!l, prob!bllidsde.-v.6. Complexos, polinomioB, equsçoes.

1. Metemétlca (zg grau) 1. Dolce, Osvaldo, 1938-

lI. II!zzl, Gdson, 1939- IlI. Hl!!lzzan, 1\1. Hurskeml, C8rl08, 1943-

Sl!IIIlt1el, 1946-

77-1333

1::00-510 tndice

para catálogo sistemático:

1. Ket_tlce

510

"Fundamentos de Matemática Elementar" é uma coleção em dez volumes elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática, ao nível da escola de 'P. grau. Desenvolvendo os programas em geral adotados para o curso colegial, os "Fundamentos" visam aos alunos em preparativos para exames vestibulares, aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e também, como é óbvio, àqueles alunos de colegial mais interessados na "rainha das ciências" . No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de "Fundamentos" procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades. Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar, as proposições e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações. Na estruturação das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenação crescente de dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões que envolvem outros assuntos já vistos, obrigando o estudante a uma revisão. A seqüência do texto sugere uma dosagem para teoria e exercícios. Os exercícios resolvidos, apresentados em meio aos propostos, pretendem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece. No final do volume o aluno pode encontrar a resposta para cada problema proposto e, assim, ter seu reforço positivo ou partir à procura do erro cometido. A última parte de cada volume é constitUl'da por testes de vestibulares até 1.977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria estudada. Queremos consignar aqu i nossos agradecimentos sinceros ao Prof. Dr. Fernando Furquim de Almeida cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear nesta coleção alguns dos grandes matemáticos, relatando fatos notáveis de suas vidas e sua obras. Finalmente, como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores e o valor de sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores um{ apreciação sobre este trabalho, notadamente os comentários críticos, os quai's--agradecemos. Os autores

INDICE CAPiTULO I - NOCOES DE lÚGICA

Prop~çã()' . . . . . . . . . . . . . .. 1l.''Nega.çao ... . . . . . . . . . . . . . . . '1.1.1'. Proposição composta - conectivos IV. -Condicionais . . . . . . . . . . . . . . . V; Tautologias. . . . . . . . . . . . . . . . VI. Proposições logicamente falsas . . . VII. Relação de implicação VIII. Relação de equivalência IX. ~tenças abertas. . . . . . . . . . . . X. CÔi!íÔ negar proposições . . . . . . .

. . . . .

.. .. .. .. ..

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

CAPiTU la 11 - CONJUNTOS I.~njunto, elemento, pertinência

. . . . . . . . . . .

11. ~escrição de um conjunto 1I1.(Ç,?)'ljunto unitário, conjunto vazio IV. -obnjunto universo V. ~~juntos iguais VI. Subconjuntos VII.' ~eunião de conjuntos VIII. 1.lltersecção de conjuntos IX'.tr0priedades X;uiferença de conjuntos X( ~mplementar de B em A

l-A 2-A 3-A 5-A B-A

9-A 10-A ll-A l2-A l4-A

19-A 20-A 22-A 23-A 25-A 26-A

29-A 30-A 3l-A 33-A 33-A

CAPI"rUlO 111 - CONJUNTOS NUMJ:RICOS I. 11. 111. IV. V. VI. VII. VIII.

CoMunto dos números naturais ) ) cqJVunto dos números inteiros . Z. C&r'junto dos números raciona is .. ;..\ (\onjunto dos números reais ti".:. Ii4térvalos Coni\Jnto dos números complexos. Re~o Princípiq'da indução finita

. 39-A . 40-A . 43-A

46-A . 49-A 52-A . 52-A . 53-A

G· I

CAPlIU LO IV - RELAÇOES I. 11. 111. IV. V. VI. VII.

Par ord enado 59-A Sistema cartesiano ortogonal 60-A Produto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62-A Relação binária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65-A Dom(nio e imagem 68-A Relação inversa 70-A Propriedades .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 71-A

CAPlIU LO V - FU NÇOES I. Conceito de função 11. Definição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111. Notação das funções IV. Dom(nio e imagem V. Funções iguais APÊNDICE SOBRE INEQUAÇÕES

73-A 74-A 77-A 80-A 84-A 86-A

CAPlIULO VI - FUNÇOES DO 19 GRAU I. Função constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 93-A 11. Função identidade 94-A 111. Função linear 94-A IV. Função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96-A V. Gráfico 96-A VI. Imagem 100-A 101-A VII. Coeficientes da função afim VIII. Zero da função afim 102-A IX. Funções crescentes e decrescentes 103-A X. Teorema 105-A XI. Sinal de uma função 106-A XII. Sinal da função afim 108-A 112-A XIII. Inequações simultâneas XIV. Inequações-produto 113-A 120-A XV. Inequações-quociente

VI. V 11. VIII. IX. X. XI. XII. X 111. XIV.

Máximos e m(nimos 130-A Vértice da parábola 131-A Imagem 133-A Eixo de simetria 136-A Gráfico " 136-A Sinal 140-A 144-A Inequações do 2? grau Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148-A Comparação de um número real com as 150-A ra(zes da equação do 2? grau. . XV. Sinais das ra(zes da equação do 2<:' grau 155-A

CAPrrULO VIII - FUNÇAO MODULAR I. 11. 111. IV. V.

Função definida por várias sentenças abertas Módulo Função modular Equações modulares Inequações modulares

CAPliULO IX - OUTRAS FUNÇOES ELEMENTARES I. Função f(x) = x 3 • . . . . . . . . . . . . . . . • • . • • . . . . . . . . . . . . . 171-A 11. Função rec(proca 172-A 111. Função máximo inteiro 177-A

CAPliuLO X - FUNÇAO COMPOSTA - FUNÇAO INVERSA I. Função composta 11. Função sobrejetora 111. Função injetora IV. Função bijetora V. Função inversa APÊNDICE I Equações irracionais APÊNDICE II Inequações irracionais

181-A 187-A 188-A 189-A 195-A 208-A 217-A

CAPliULO VII - FUNÇAO QUADRATICA I. 11. 111. IV. V.

Defin ição Parábola Concavidade Forma canônica Zeros

123-A 123-A 125-A 125-A 126-A

159-A 161-A 161-A 166-A 168-A

RESPOSTAS DOS EXERCICIOS

225-A

TESTES

269-A

RESPOSTAS DE TESTES

315-A

Johann F. C. Gauss (1777 - 1855)

De plebeu a príncipe CAPiTULOl Johann Friederich Carl Gauss nasceu em Brunswick, Alemanha. De fam(lia humilde mas com o incentivo de sua mãe obteve brilhantismo em sua carreira. Estudando em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou que os alunos somassem os números de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta - 5050 - aparentemente sem cálculos. Supõe-se que já aI' houvesse descoberto a fórmula de uma soma de uma progressão aritmética. Gauss foi para Gottingen sempre contando com o aux(lio financeiro do duque de Brunswick, decidindo-se pela Matemática em 30 de março de 1796, quando se tornou o primeiro a construir um polígono regular de dezessete lados somente com o aux(lio de régua e compasso. Gauss doutorou-se em 1798, na Universidade de HelmsÜidt e sua tese foi a demonstração do "Teorema fundamental da Álgebra", provando que toda equação polinomial f(x)=O tem pelo menos uma ra(z real ou imaginária e para isso baseouse em considerações geométricas. Deve-se a Gauss a representação gráfica dos números complexos pensando nas partes real e imaginária como coordenadas de um plano. Seu livro "Disquisitiones Arithmeticae" (Pesquisas Aritméticas) é o principal responsável pelo desenvolvimento e notações da Teoria dos Números, nele apresentando a notação b=c (mod al, para relação de congruência, que é uma relação de equivalência. Ainda nesta obra Gauss apresenta a lei da reciprocidade quadrática classificada por ele como a "jóia da aritmética" e demonstrando o teorema segundo o qual todo inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira como produto de primos. Descreveu uma vez a Matemática como sendo a rainha das Ciências e a Aritmética como a rainha da Matemática. No começo do séc. XI X abandonou a Aritmética para dedicar-se à Astronomia, criando um método para acompanhar a órbita dos satélites, usado até hoje, e isto lhe proporcionou em 1807, o cargo de diretor do observatório de Gottingen, onde passou 40 anos. Suas pesquisas matemáticas continuaram em teoria das funções e Geometria aplicada ã teoria de Newton. Em Geodésia inventou o helitropo, aparelho que transmite sinais por meio de luz refletida e em Eletromagnetismo inventou o magnetômetro bifiliar e o telégrafo elétrico. Sua única ambição era o progresso da Matemática pelo que lutou até o momento em que se conscientizou do fim por sofrer de dilatação cardíaca. Gauss morreu aos 78 anos e é considerado o "príncipe da Matemática".

NOÇÕES DE LÓGICA I. PROPOSiÇÃO

Definição

Chama-se proposição ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada de verdadeira ou de falsa. Observemos que toda proposição apresenta três características obrigatórias: 1~)

sendo oração, tem sujeito e predicado; é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa) 3~) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou é falsa (F). 2~)

Exemplos

São proposições:

*- 5 b) 7> 3 c) 2 E ;Z d) 3111 e) ;Z C O a) 9

(Nove é diferente de cinco) (Sete é maior que três) (Dois é um número inteiro) (Três é divisor de 11) (O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos racionais)

Dessas proposições, todas são verdadeiras exceto d. Não são consideradas proposições as frases: f) 3· 5 + 1 (onde falta predicado) g) V2 E O? (que é oração interrogativa) h) 3x - 1 = 11 (que não pode ser classificada em verdadeira ou falsa)

l-A

11.

NEGAÇÃO

A.2

Qual é a negação de cada uma das seguintes proposições? Que negações são verdadeiras?

ai 3 • 7

3. A partir de uma proposlçao p qualquer sempre podemos construir outra, denominada negação de p e indicada com o símbolo ~p.

= 21

b) 3 • 111 - 71

cl 3'2+1>4

el (2..)7<1~)3

2 2 91 - 1-41 ;;;. 7

p: 2EZ

~p:

9 5 9 = 5

2gZ

p: 7

~p:

3 3

111.

3111

4. Para que ~p seja realmente uma proposição devemos ser capazes de classificá-Ia em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o segu inte cri tér io de classificação: A proposição ~ p tem sempre o valor oposto de p, isto é, ~ p é verdadeira quando p é falsa e ~ p é falsa quando p é verdadeira.

PROPOSiÇÃO COMPOSTA - CONECTIVOS

Conectivo 1\

Colocando o conectivo 1\ entre duas proposlçoes p e q, obtemos uma nova proposição, p 1\ q, denominada conjunção das sentenças p e q. Exemplos 10)

V F

F V

Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos que no exemplo d e ~p é falsa nos demais.

2?)

p é verdadeira

e 2"* 1

p: -2 < -1 q: (_2)2 < (_1)2 p 1\ q: -2 < -1 e

(_2)2

(_1)2

p: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a q: um quadrado de lado a tem área a2 p 1\ q: um quadrado de lado a tem diagonal medindo 2a e

área

a2 • 4?)

EXERCICIOS

p: 2 I 5 (2 é divisor de 5) q: 315 (3 é divisor de 5) p 1\ q: 215 e 315 (2 e 3 são divisores de 5).

Quais das sentenças abaixo são proposições? No caso das proposições quais são verdadeiras?

ai 5' 4 o 20 cI 2+7,305,4+3 el 1 + 3 91 3 + 4

2-A

q: 2"* 1 p 1\ q: 2

3?)

A.l

V2 <1

A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: conectivo 1\ (lê-se: e) e o conectivo V (lê-se: ou).

p: ;z.C(} -p: Zrj.O

Este critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela-verdade da proposição ~ p.

5'7-2~5'6

hl 317

Exemplos

"* 5

"*> O1 + 6

bl 5 - 4 o 3 di 5(3 + 1 I o 5 • 3 + 5 • 1 fi (-2)S;;;' 1_21 3 h)11-4'2

6. Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (Vou F) de uma conjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q:

3-A

A conjunçio P Â q é verdadeira sap e q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p Â q é falsa.

8. Vamos postular um critério para decidir o valor lógico (Vou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q: A disjunção P Y q é verdadeira se ao menos urna das pro· verdadeira; se p e q são ambas falo posições p ou q sas, então p y q é falsa.

Este critério está resumido na tabela ao lado, onde são e~aminadas todas as possibilidades para p e q. Esta tabela é denominada tabela-verdade da proposição p Â q.

V V

F F

F F F

PÂq

Este critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela· -verdade da proposição p Y q.

Reexaminando os exemplos anteriores, temos: 1~)

2~) 3~) 4~)

p é V p é V p é F pé F

e e e e

q q q q

é V, é F, é V, é F,

então pÂq é V então PÂq é F então pÂq é F então pÂq é F

1~)

p p p p

2~) 4~)

Conectivo Y

Colocando o conectivo Y entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p y q, denominada disjunção das sentenças p e q.

1~)

d) 3(5

5> 1

4-A

p: 3 = 3 q: 3 < 3 p V q: 3';;; 3

:1,»

p: 10 é número primo q: 10 é número composto p y q: 10 é número primo ou número composto

4~)

p: ~ q: 22

é V e é V e é F e é F e

< 26 < (_3)s q: 3 4 < 26

F F

V V V

q q q q

é V, então Pyq é V é F, então pyq é V é V, então pyq é V é F, então p yq é F

Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas:

e).!.

V V

a) 3> 1 e 4> 2 b) 3> 1 ou 3 = 1 c) 2 4 ou 2 (4 + 1)

p: 5> O q: 5 1

p Y q: 5 > O ou

Pyq

EXERCICIO

A.3

Exemplos

Revendo os exemplos anteriores, temos:

3~)

ou 22

(_3)s

+ 2)

3 • 5

+ 3 • 2 e 3 I7

~ ou 5111 4

(_1)6 = -1

...,riS =

6 ou

< (_2)7

mdc (4, 7) = 2

IV. CONDICIONAIS Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposlçoes através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: o condicional se ... então ... (símbolo: -+) e o condicional ... se e somente se ... (símbolo: +-+)

5-A

Condicional

11.

Colocando o condicional -+ entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposlçao, p -+ q, que se lê: "se p então q", "p é condição necessária para q", "q é condição suficiente para p".

Exemplos 1?)

2?)

p: 10 = 5 • 2 q: 3110 p -+ q: 10 = 5·2 -+ 3110

3?l

p: 5 < 2 q: 2 E Z p -+ q: 5

4?l

Colocando o condicional *---+ entre duas proposições p e q, obtemos uma nova proposição, p <--+ q, que se lê: "p se e somente se q", "p é condição necessária e suficiente para q", "q é condição necessária e suficiente para p" ou "se p então q e reciprocamente".

l?l

p: 2112 q: 2.7112· 7 p<--+q: 2112<--+2.7112·7

2?l

-ª-2

3·4

3?l

7';;; 3 -+ 3 = 6·2 4?l

condicional p -+ q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, p -+ q é verdadeiro.

Este critério está resumido na tabela ao lado, denominada tabela-verdade da proposição p -+ q

p-+q

V V

F F

V V

6-A

e q é V, e q é F, e q é V, e q é F,

então então então então

*3 6· 26 2"

p: 6 = 12: 3 3· 6 = 18 p <--+ q: 6 = 12: 3 <--+ 3·6 = 18

p -+ q p-+q p -+ q p-+q

p: 4';;; 3 q: 4·5';;; 3·5 p <--+ q: 4';;; 3 <--+ 4 . 5 O;;; 3· 5

12. Vamos postular para o condicional sificação:

é é é é

V F

V V

<--+

q o seguinte critério de clas-

condicional +---> é verdadeiro somente quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não acontecer o condicional +---> é falso.

Assim, a tabela-verdade da proposição p +---> q é a que está ao lado.

Revendo os exemplos dados, temos: p é V pé V pé F pé F

6 4

10. Vamos postular um critério de classificação para a proposição p -+ q baseado nos valores lógicos de p e q:

1?) 2?) 3?) 4?)

p <--+ q:

-+ 2 E Z.

p: 7';;; 3 q: 3 = 6·2

p -+ q:

*---+

Exemplos

p: 214 q: 4112 p -+ q: 2 I 4 -+ 4 I 12

Condicional

V V

F F

<--+

7-A

Revendo os exemplos dados, temos: 1?) 2?) 3~)

4?)

p é pé p é p é

V e V e F F

q q e q e q

é V, é F, é V, é F,

então então então então

p p p p

Exemplos

<-> <-> <-> <->

q é q é q é q é

1'?)

F F

EXERCICIOS A.4

Classificar em verdadeira ou falsa cada Uma das proposições abaixo a) 2 - 1 ~ 1 -->- 5 + 7 = 3 • 4 b) 22 = 4 <-> (_2)2 = 4 c) 5 + 7 • 1 = 10 -->- 3·3 = 9 d) mdc (3, 6) = 1 <-> 4 é nÚmero primo e) 2 18 -->- mmc (2. 8) ~ 2 f) 6';;; 2 <-> 6 - 2 ;;;. O g) 1. 5

A.5

< ~7

-->- 3' 7

(p 1\ ~p) -->- (q V p) é ';Ima tautologia pois

V V

F F

2?)

F F

F F F F

V V

p 1\

(p 1\ q) <-> (-p V -q)

~(pl\q).

pl\q

V V

F F F

V V V

qV p

(p 1\ -p) -+- (q V f)}

V V V

V' V

é uma tautologia pois

~(p

I\q)+-+ (_pV _q)

-q

~pV~q

F F

V V

V V V

V V

2•5

Admitifldo que p e q são verdadeiras e r é falsa, determine o valor (Vou F) de cada proposição abaixo. a) p -->- r b) p <-> q c) r -->- p d) (p V rl <-> q el p -->- (q -->- ri f)p-->-(qVrl g) -p <->-q h) ~p <-> r

F F

VI.

.....

PROPOSiÇÕES LOGICAMENTE FALSAS

14. Seja f uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ... L mediante emprego de conectivos (Vou 1\) ou de modificador (-) ou de condicionais (-->- ou <-». Dizemos que f é uma proposição logicamente falsa quando f tem o valor lógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc. Assim, a tabela-verdade de uma proposição logicamente falsa f apresenta só F na coluna de f.

TAUTOLOGIAS

Exemplos 13. Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, ... ), mediante emprego de conectivos (Vou 1\) ou de modificador (_) ou de condicionais (-->- ou +-». Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira .quando v tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc.

Assim a tabela-verdade de uma tautologia v apresenta só

de v.

8-A

V na coluna

1?)

p 1\ ~p

é proposição logicamente falsa pois:

-p

p I\-p

F F

9-A

2<:')

(pV~q)+-->(~p/\q)

V V F F

V F

F F

V F

V V

F V F V

V~q

VIII. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA

~p/\

V V F

(p V ~q)+--> (~p /\ q)

F F V F

18. Dadas as proposições p e q, dizemos que "p é equivalente a q" quando p e q têm tabelas·verdades iguais, isto é, quando p e q têm sempre o mesmo valor lógico.

F F F F

Ouando p é equivalente a q, indicamos:

19.

Observações

1 a ) Notemos que é verdadeiro.

VII. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO

2~)

15. Dadas as proposições p e q, dizemos que p implica q" quando na tabela de p e q não ocorre VF em nenhuma linha, isto é, quando não temos simultaneamente p verdadeira e q falsa. Ouando p implica q,

16.

indicamos

Notemos que p implica q quando o condicional p -+ q é verdadeiro.

2~)

Todo teorema é uma implicação da forma ""'

quando o condicional

p <-+ q

Exemplos

tese

significa

mgsTra' Que 030

V V F F

V F V F

p-+q

V F V V

V F V

F F

V F

V V

PEque 9 GaBO da

hipótese ser verdadeira e a tese falsa.

2<:') 2 I 8 <=> mdc (2, 8) = 2 significa dizer que é verdadeiro o bi· condicional "2 é divisor de 8 se, e somente se, o máximo divisor comum de 2 e 8 é 2".

Exemplos

10 1 2 I 4 ""' 2 I 4 • 5 significa dizer que o condicional 4 . 5" é verdadeiro.

EXERCICIO

"se 2 é divisor de 4, então 2 é divisor de

2<:') p té pOSitiVO e primo ""' mdc (p, p2) = P quer dizer que o condicional "se p é número primo e positivo, então o máximo divisor comum de p e p2 é p", é verdadeiro.

10-A

equivale a

p ""' q.

1~)

855jm dewgpstrft[ 11 m tegrema

Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência hipótese <=> tese

Observações

hipótese

17.

20.

p <=> q.

A.6

Verificar, através das tabelas-verdades, a valid3de das equivalências abaixo: b) da disjunção

a) da conjunção

p/\q <=> q/\p (p /\ q) /\ r <=> p /\ (q /\ p/\p<=>p p/\v <=>p p/\I<=>f

pVq <=>qV p (p V q) V r <=> p V (q V rl pVP<=>P P Vv <=>v P VI <=>p

ll-A

da conjunção relativamente à disjunção p /\ (q V

= = = =

p V (q /\ r) p/\(pVq) p V (p /\ q)

onde

p, q, r

(p/\q) V (p/\ (p V p

ql /\ (p V

rl rl

d) da negação ~(~p)

~(p /\ q) ~(p Vq)

são proposições quaisquer, v é uma tautologia e f

Exemplos p

= =

~pV ~q

~p/\ ~q

uma proposição

logicamente falsa.

IX. SENTENÇAS ABERTAS, QUANTI FICADORES

1l?) (V xlix + 1 = 7) que se lê: "qualquer que seja o número x, temos x + 1

3 0 ) (Va) ((a + 1)z = a 2 + 2a + 1) que se lê: "qualquer que seja o número a, temos (a + 1)z = a Z + 2a + 1".

que contêm variáveis e cujo valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor atribuldo à variável. Nos exemplos citados temos: a) x + 1 = 7 é verdadeira se trocarmos x por 6 e é falsa para qualquer outro valor dado a x; b) x > 2 é verdadeira, por exemplo, para c) x 3 = 2x z é verdadeira se trocarmos x por O (0 3 = 2 • OZ) ou 2 (2 3 = 2 • 2 z ) e é falsa para qualquer outro valor dado a x.

22. Sentenças que contêm variáveis são chamadas funções proposicionais ou sentenças abertas. Tais sentenças não são proposições pois seu valor lógico (Vou F)

(Verdadeira)

la) 2a )

24.

O quantificador existencial

o quantificador existencial é indicado pelo slmbolo 3 "existe pelo menos um", "existe um".

que se lê: "existe",

Exemplos 1l?) (3 xlIx + 1 = 7) que se lê: "existe um número x tal que x + 1 = 7". 3

2x z ) que se lê:

2l?) (3 x)(x = "existe um número x tal que x 3

2x z".

(Verdadeira)

(3a)(a z + 1 ~

3l?) O) que se lê: "existe um número a tal que a Z + 1 é não positivo". (Falsa). Z 4l?) (31m) (m(m + 1) m + m) que se lê: Z "existe pelo menos um número m tal que mIm + 1) i m + m". (Falsa)

é discutível, dependem do valor dado às variáveis.

Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentel)ças abertas em pro· posições: atribuir valor às variáveis utilizar quantificadores.

quantificador universal

o quantificador universal, usado para transformar sentenças abertas em proposições, é indicado pelo símbolo V que se lê: "qualquer que seja", "para todo", "para cada"\ 12-A

(Verdadeira)

Há expressões como: a) x + 1 = 7 b) x> 2 c) x 3 = 2x z

23.

(Falsa)

2l?) (Vx)(x 3 = 2x z ) que se lê: "para todo número x, x 3 = 2x z ". (Falsa)

4 0 ) (Vy)(yZ + 1 > O) que se lê: "para todo número y, temos yZ + 1 positivo". 21.

7".

25. Algumas vezes utilizamos também outro quantificador: ::J "existe um único, "existe um e um só", "existe só um".

que se lê:

Exemplos 1l?) (3Ix)(x + 1 = 7) ex iste um só número lI

que se lê: x tal que x +

7".

2l?) (3Ix)(x 3 = 2x z ) que se lê: "existe um só número x tal que x 3 = 2x z " 3l?) L3Ix)(x + 2 > 3) "existe um só número

que se lê: x tal que x + 2 > 3".

(Verdadeira) (Falsa) (Falsa)

13-A

EXERCíCIO

Exemplos

A.7

1?)

p: O triângulo ABC é isósceles q: o triângulo ABC é equilátero p V q: o triângulo ABC é isósceles ou equilátero -(p V q): o triângulo ABC não é isósceles e não é equilátero

2?)

a = b= P V q: -(p V

Transforme as seguintes sentenças abertas em proposições verdadeiras usando quantificadores: 2 2 b) (a + 1)(a - 11 = a - 1 ai x - 5x + 4 = O

c).::L + .::L '" .::L 3

e) -(-x)

y;;r + 9 '" m + 3

1)5a+4';;11

h) a

- a a

=a _ 1

28.

COMO NEGAR PROPOSiÇÕES

Já vimos o que é a negação de uma proposição simples, no item II deste capítulo.

Vamos destacar aqui resultados obtidos no exercício A.6, os quais constituem processos para negar proposições compostas e condicionais.

Já que -(p -+ q) <= P 1\ -q, -+ q é a proposição p 1\ -q.

podemos estabelecer que

2<:»

Exemplos 1?)

2<:»

27.

a '" O q: b'" O p 1\ q: a '" O e -(pl\q): a=O p:

29.

(_5)2

-5

p -+ q:

= (_5)2

-+ 5 = -5 52 = (_5)2 e 5"'-5

Negação de proposições quantificadas

a) Uma sentença quantificada com o quantificador universal, do tipo é negada assim: substitui-se o quantificador pelo existencial e nega-se p(x), obtendo: (3x)(-p(x)).

p: 2 1 4 q: 319 p 1\ q: 214 e 319 ~(p 1\ q): 2A' 4 ou 3A'9

(\fx)(p(x)),

Exemplos

podemos estabelecer

+ 3 = 5) (3 x)(x + 3 '" 5)

1?)

sentença: negação:

(\fx)(x

2?)

sentença: negação:

(\fx)(x(x

Negação de uma disjunção

Tendo em vista que - (p V q) <= (-p f\ - q). que a negação de p V q é a proposição - p 1\ - q.

14-A

p: 2 E ;Z q: 2 E O p -+ q: 2 E;Z -+ 2 E O _(p-+q):2EZ e 2f:-0

-(p -+ q):

b '" O ou,b=O

podemos estabelecer que a negação

Exemplos

Negação de uma conjunção

Tendo em vista que ~ (p 1\ q) <= -p V -q, a negação de p 1\ q é a proposição -p V -q.

a = O ou b = O a", O e b '" O

q):

Negação de um condicional simples

1<:»

26.

O O

p: q:

1) = x 2

(3x)(x(x + 1) '" x 2 + x)

15-A

3'?)

sentença: negação:

(Vx)(~ = x + 1) (3X)(~ =1= x + 1)

4'?)

sentença: negação:

Todo losango é um quadrado Existe um losango que não é quadrado

b) Uma sentença quantificada com o quantificador existencial, do tipo ( 3x)(p(x)), é negada assim: substitui-se o quantificador pelo universal e nega-se p(x), obtendo: (Vx)(-p(x)).

Exemplos 1 '?)

sentença: negação:

(3 x)(x = x) (Vx)(x =1= x)

2'?)

sentença:

(3 a)(a + 1 ;;;. .1.) 2 3

negação: .

(va)(a + ..!... 2

sentença:

(3a)(..!... E iR)

negação:

(va)(..!... a

3'?)

< .1.) 3

fJ.

IR)

EXERCICIO A.S

Dizer qual é a negação de cada proposição abaixo: a) rode (2, 3) = 1 b)

;;;. 1

mme (2, 3) =1= 6

~ ou 3· 10 =1= 6 • 5 10

d) 2 = 4 ....

-3;;;' - 7

v'4 =

(_3)2 = 9 .... Y9 =1= -3 2';;;; 5 .... 32 ,;;;; 52 2 x g) IVx)(x 2 .... 3 3 )

e) t)

h) (3 x)(...tx"

i) Todo número inteiro primo é Impar Todo triângulo isósceles é equilétero k) Existe um losango que não é quadrado

Existe um número cuja raiz quadrada é zero m) Todo triângulo que tem três ângulos congruentes, tem três lados congruentes

A.9

16-A

Classificar em V ou

F as ne9;:ões constru (das no exerc(cio anterior.

Criado um novo paraíso Georg Ferdinand Ludwing Phillip Cantor nasceu em S. Petersburgo, passando a maior parte de sua vida na Alemanha. Seus pais eram cristãos de ascendência judia, e Georg logo se interessou pelos conceitos de continuidade e infinito da Teologia medieval. Estudou em Zürich, Gottingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia, FIsica e Matemática. Possuindo grande imaginação, em 1867 obteve seu doutoramento em Berlim, com uma tese sobre Teoria dos Números. Muito atraído pela Análise, sua preocupação estava voltada para a idéia de "infinito", que até 1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemática mas sem se chegar a uma conclusão precisa. Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionário artigo que até mesmo seus editores hesitaram em aceitar: havia' reconhecido a propriedade fundamental dos conjuntos infinitos e, ao contrário de Dedekind, percebeu que nem todos eram iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos conforme suas potências. Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a m~ma potência que o dos inteiros positivos pois, podem ser postos em correspondência biunívoca; provou que o conjunto de todas as frações é contável ou enumerável e que a potência do conjunto dos pontos de um segmento de reta unitário é igual à potência do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário. Alguns destes resultados eram tão paradoxais que o própio Cantor, certa vez escrevendo a Dedekind, disse: "Eu vejo isso, mas não acredito", e pediu ao seu amigo que verificasse a demonstração. Seus incríveis resultados levaram ao estabelecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina matemática completamente desenvolvida. de profundos efeitos no ensino. Os matemáticos da época duvidavam da teoria da infinidade completa de Cantor, mas este, juntando as provas, construiu toda uma aritmética transfinita. Cantor passou a maior parte de sua carreira na Universidade de Halle, de pouca importância, nunca conseguindo realizar uma de suas grandes aspirações que era a de ser professor na Universidade de Berlim, devido à perseguição de Kronecker.

Georg F. L. P. Cantor (1845 - 1918)

o reconhecimento de suas real izações mereceram a exclamação de Hilbert: "Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós".

CAPITULO II

CONJUNTOS Faremos aqui uma revlsao das principais noções da teoria dos conjuntos, naquilo que importa à Matemática Elementar. Em seguida usaremos estas noções para apresentar os principais conjuntos de números.

CONJUNTO. ELEMENTO. PERTINENCIA

30. Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem definição, isto é, são consideradas noções primitivas:

a) conjunto b) elemento c) pertinência entre elemento e conjunto

A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem comum: é o mesmo que agrupamento, classe, coleção, sistema. Eis alguns exemplos: 1)

2) 3)

4) 5)

conjunto conjunto conjunto conjunto conjunto conjunto conjunto

das dos dos dos dos dos dos

vogais algarismos romanos nú.meros ímpares positivos planetas do sistema solar números primos positivos naipes das cartas de um baralho nomes dos meses de 31 dias

Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto é chamado elemento. Assim, nos exemplos anteriores, temos os elementos: 1) a, e, i, o, u 2) I, V, X, L, C, D, M 3) 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... 4) Mercúrio, Venus, Terra, Marte, 5) 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... 6) paus, ouro, copas, espada 7) janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro

19-A

No exemplo 3, cada número ímpar é elemento do conjunto dos números ímpares, isto é, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjunto dos números ímpares e 2 não pertence.

33. Quando um conjunto é dado pela enumeração de seus elementos devemos indicá-lo escrevendo seus elementos entre chaves.

Exemplos 1) conjunto das vogais

Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome, etc. é importante notar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto. Por "exemplo, o conjunto das seleções que disputam um campeonato mundial de futebol é um conjunto formado por equipes que, por sua vez, são conjuntos de jogadores.

31. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C, ... e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y, ....

2) conjunto dos algarismos romanos

{janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro} Esta notação também é empregada quando o conjunto é infinito: escrevemos alguns elementos que evidenciem a lei de formação e em seguida colocamos reticências.

Exemplos 1) conjunto dos números ímpares positivos

xEA

{1, 3, 5, 7, 9,11, 13, ... } 2) conjunto dos números primos positivos

Para indicar que x não é elemento do conjunto A escrevemos

ri.

{I, V, X, L, C, O, M}

3) conjunto dos nomes de meses de 31 dias

Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escrevemos

{a, e, i, o, u}

{2, 3, 5, 7, 11, 13, ... } 3) conjunto dos múltiplos inteiros de 3

32. É habitual representar um conjunto pelos pontos interiores a uma linha fechada e não entrelaçada. Assim, na representação ao lado temos:

{O, 3, -3, 6, -6, 9, -9, ... } A mesma notação também é empregada quando o conjunto é finito com grande número de elementos: escrevemos os elementos iniciais, colocamos reticências e indicamos o último elemento.

a E A, b E A e d 1= A.

Exemplos No caso de usarmos um círculo para representar um conjunto, estaremos usando os assim chamado diagrama de Euler-Venn.

1) conjunto dos números inteiros de O a 500

a•.•••• A

{O, 1, 2, 3, ... , SOO}

.• c

·b

2) conjunto dos divisores positivos de 100 {1, 2, 5, 10, ... , 100}

11.

DESCRiÇÃO DE UM CONJUNTO

34.

Quando queremos descrever um conjunto A por meio de uma proprieda-

de característica P de seus elementos x, escrevemos

Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seus elementos: enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou damos uma propriedade característica dos elementos do conjunto.

2o-A

A = {x I x tem a propriedade P} e lemos: "A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P".

21-A

IV. CONJUNTO - UNIVERSO

Exemplos

1) {x I x o conjunto:

é estado da região sul do Brasi I} é uma maneira de indicar

{Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul} 2) {x

I x é divisor inteiro de 3} é uma maneira de indicar o conjunto:

{1. -1, 3, -3} 3) {x I x é inteiro

e O.,;; x .,;; 500}

pode também ser indicado por:

{o, 1,2,3, .. ,' 500}

37. Ouando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no tal assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo. Assim, se procuramos as soluções reais de uma equação, nosso conjunto· universo é IR (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo um problema cuja solução vai ser um número inteiro, nosso conjunto-universo é Z (conjunto dos números inteiros); se estamos resolvendo um problema de Geometria Plana, nosso conjunto-universo é um certo plano a,

38.

Quase sempre a resposta para algumas questões depende do universo U em que estamos trabalhando. Consideremos a questão: "qual é o conjunto dos pontos P que ficam a igual distância de dois pontos dados A e B, sendo A i' B?"

111. CONJUNTO UNITÃRIO. CONJUNTO VAZIO 35.

Definição Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento.

1) Se U é a reta AB, o conjunto procurado é formado só por P;

•

Exemplos

1) conjunto dos divisores de 1, inteiros e positivos: 2) conjunto das soluções da equação

3x + 1 = 10:

{ 1} {3}

3) conjunto dos estados brasileiros que fazem fronteira com o Uruguai: {Rio Grande do Sul}

36.

Definição

Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento algum, O símbolo usual para o conjunto vazio é 0.

p 2) Se U é um plano contendo A e B, o conjunto procurado é a reta mediatriz do segmento AB;

B A

3) Se U é o espaço, o conjunto procurado é o plano mediador do segmenAB (plano perpendicular a AB to no seu ponto médio)..

Obtemos um conjunto vazio quando descrevemos um conjunto através de 'Ima propriedade P logicamente falsa.

39. Exemplos

1){xlxi'x}=0 2) {x I x é ímpar e múltiplo de 2} 3) {x I x > O e x < O} = 0

22-A

Portanto, quando vamos descrever um conjunto A através de uma propriedade P, é essencial fixarmos o conjunto-universo U em que estamos trabalhando, escrevendo A = {x E U I x tem a propriedade p}

23-A

EXERCfclOS A.l0 Dê os elementos dos seguintes conjuntos:

A = {x I x é letra da palavra "matemática"} B = {x I x é cor da bandeira brasileira} C = {x I x é nome de estado que começa com "a"} Solução A ~ {m, a, t, e, i,

A.ll

= {amazonas,

CONJUNTOS IGUAIS

40.

Definição

c} Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A. Em símbolos:

B = {branco, azul, amarelo, verde} C

amapá, acre, alagoas}

Descreva através de uma propriedade caracter(stica dos elementos cada um dos conjuntos seguintes:

B _

('v'x)(x EA

E B)

A ~ {O, 2, 4. 6, 8, ... } B = {O, 1, 2, ''', 9} C = {brasllia, rio de janeiro, salvador}

Exemplos Solução

1) {a, b, c, d} = {d, c, b, a}

A = {x I x

é inteiro, par e não negativo} B = {x I x é algarismo arábico} C ~ {x I x é nome de cidade que já foi capital do Brasil}

A.12

2) {l, 3, 5, 7, 9, ... }

3) {x I 2x + 1

Escreva com srmbolos: aI b) c) d) el

conjunto conjunto conjunto conjunto conjunto

dos dos dos das dos

múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10 divisores inteiros de 42 múltiplos inteiros de O frações com numerador e denominador compreendidos entre O e 3 nomes das capitais da região centro-oeste do Brasil

A = {+1, -1, +2, -2, +3, -3. +6, -6}

B = {O, -10, -20, -30, -40, ... }

C = {I, 4, 9,16,25,36, ... }

O ~ {Lua}

e x

C = {x I x é inteiro

> ~5 } e x' = 3}

A.15 Ouais dos conjuntos abaixo são vazios?

A = {xlo-x ~ O} B

~ {x I x

C = {x Ix

~ e x

<~}

4 5 é divisor de zero}

O = {x I x é divisrvel por zero}

24-A

{2}

Observemos que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre os elementos, portanto: {a, b, c, d}

{a, b, c, d}

A.14 Ouais dos conjuntos abaixo são unitários?

< ~4

{x I x é inteiro, positivo e ímpar}

{d, c, b, a}

{b, a, c, d}

Observemos ainda que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo absolutamente inútil pois, por exemplo:

A.13 Descreva por meio de uma propriedade dos elementos

A = {x I x

B =

{x I O - x

= 2}

O =

{x 12x +

1 = 7}

{a, a, b, b, b, c, d, d, d, d}

(para conferir basta usar a definição). Assim, preferimos sempre a notação mais simples.

Se A não é igual a B, escrevemos A"* B. ~ evidente que A é diferente de B se existe um elemento de A não pertencente a B ou existe em B um elemento não pertenctlnte a A.

41.

Exemplo

{a, b, d} "* {a, b, c, d}

25-A

44.

VI. SUBCONJUNTO

Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos: A

42.

45.

Com a notação A C B indicamos que "A é subconjunto de B" ou "A está contido em B" ou "A é parte de B".

-= x E

é denominado sinal de inclusão.

AC B

(\fx)(x E A =>

(A C B e B C A).

Propriedades da inclusão

1~)

iz5

2~)

A C A (reflexiva) (A C B e B C A) => A = B (anti-simétrica) (A C B e B C C) => A C C (transitiva)

3~) 4~) X

C A

A demonstração dessas propriedades é imediata com exceção da 1~ que passamos a provar. Para todo x, a implicação

E BI

xEgJ=>XEA é verdadeira pois x E g! é falsa. Então, por definição de subconjunto,

Exemplos 1) {a, b} C {a, b, c, d} 2) {a} C {a, b} 3) {a, b} C {a, b}

I x é inteiro e par}

= B

Sendo A, B e C três conjuntos arbitrários, valem as seguintes propriedades:

Em símbolos, a definição fica assim:

46. C {x

I x é inteiro}

É evidente que A '7'- B somente se existe ao menos um elemento de A que não pertence a B.

Assim, por exemplo, temos:

Conjunto das partes

&(A)

{X I X C A}

Exemplos 1?)

Com a notação A '1- B indicamos que "A não está contido em B", isto é, a negação de A C B.

Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A - notação &(A) - aquele que é formado por todos os subconjuntos de A. Em símbolos:

43. Quando A C B, também podemos escrever B:J A que se lê "B contém A".

&(A)

2?)

88 A

1) {a, b, c} '7'- {b, c, d, e} 2) {a, b} çz' {c, d, e}

3) {x I x é intei ro e par} '7'- {)( I x é inteiro e primo}

26-A

(\f x)(x E A

B e vice-versa, isto é,

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertence também a B.

4) {x

Nesta definição está expl ícito que todo elemento de A é elemento de A C B e B C A, portanto, podemos escrever:

Definição

o símbolo

rj.

= =

{a} os elementos de![J(A) são

e {a}, isto é:

{g!, {a}} {a, b} os elementos de fJ(A) são

{a}, {b}

e {a, b},

isto é: fJ(A)

{g!, {a}, {b}, {a, b}}

3?) Se A = {a, b, c} os elementos defJ(A) são {a, b}, {a, c} {b, c} e {a, b, c}, isto é: r[iJ(A)

{a}, {b}, {c},

{0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {c, a}! {a, b, c}}

Provaremos mais adiante (capítulo 111) que se A é um conjunto finito com n elementos, então fJ(A) tem 2" elementos.

27-A

EXERCI'CIOS

VII. REUNIÃO DE CONJUNTOS

A.16 Dados A = {', 2.3, 4} e S = {2, 4}, pede-se: a) escrever com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentenças: 1~) 3~) 5~)

2~)

3 li elemento de A B li parte de A 4 pertence a B

4~)

não está em B B é igual a A

47.

Definição

Dados dois conjuntos A e B, chama-se reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

b) classificar as sentenças anteriores em falsa ou verdadeira.

Solução ,a)

O conjunto

3 E A

(V)

2a)

ri S

(VI

3~1

B C A

(V)

4~1

B = A 4 E B

(F) (V)

5~)

o = t 1, 2, 3, 4}. classificar em

cada sentença abaixo e justificar: b) A C B

A C O

= O

e) C

d) O :) B

V F F V F V

1 E A, pois lEA pois 2EB pois 2 E B, 2EO POIS pois 2EA pois

x E A

B C C

fi A

ri- C

ai la, a, a, b, b} = {a, b} b) {x I x2 = 4} = {x I x "'" O e x3 cl {x 12x + 7 = 11} = {2} d)',xlx<o e x;;'O}=r/J

48.

O E{O, 1, 2, 3, 4} \a}E{a,b} \2> E {O} O E</; la} C</;

A.21

28-A

O C C C B C A.

Construir o conjunto das partes do conjunto

{a, b, c, d}.

®o

Propriedades da reunião

1~)

Fazer um diagrama de Venn que simbolize a situação seguinte: A, B, C, D são conjun-

tos não vazios,

r-----------------,

x E B.

= {a, b, c, d} {a, b} U {a, b, c, d} = La, b, c, d} {a, b, c} U {c, d, e} = {a, b, c, d, e} ia, b, c} U ~ = {a, b, c} r/J U r/J = </;

2a )

f I a E {a, {a}} gl {a} C {a,~a}} h) \2> C {O, {a}} i) çDE{O,{a}} j) {a, b} E {a, b, c, d}

{a, b} U {c, d}

Sendo A,

4x = O}

A.19 Dizer se é verdadeira (VI ou falsa (FI cada uma das sentenças abaixo.

A.20

(lê-se "A

Exemplos 1) 2) 3) 4) 5)

, E O, 2 E A e 2Eo e ,ris e 2 ri C 2 E O, 3 E B e 3 E O e 2~C e 2riC

A.18 Quais das igualdades abaixo são verdadeiras?

a) bl cl di el

A U B

E A ou x E B}

Notemos que x é elemento de A U B se ocorrer ao menos uma das condições seguintes:

Solução ai b) c) . di el

= {x I x

reunlao B" ou "A u B") é formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B.

A.17 Sendo A={1,2},B=c2,3}.C=',1,3,4} e V ou F

A U B

3~) 4~)

B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:

A U A = A (idempotente) A U r/J = A (elemento neutro) A U B = B U A (comutativa) (A U B) U C = A U (B U C) (associativa)

Demonstração Fazendo A = {x I x tem a propriedade p} ou, simplesmente A=',xip(x)} e,ainda: B={xlq(x)},C={xlr(x)} e r/J={xlf(x)} onde f é proposição logicamente falsa, temos: AUA={xlp(x)

p(x)}={xlp(x)}=A

Analogamente, as demais decorrem das propriedades das proposições vistas no exercício A.6.

29-A

51.

Quando A n B = 0, isto é, quando os conjuntos A e B elemento comum, A e B são denominados conjuntos disjuntos.

VIII. INTERSECÇÃO DI: CONJUNTOS

49.

Coniuntgs djsjuntr

Definição

não têm

IX. PROPRIEDADES

Dados dois conjuntos A e B, chama·se intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B. 52. Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades, que inter-relacionam a reunião e a intersecção de conjuntos: A

B =

{x I x

e x

E B}

1~) 2~) 3~)

conjunto A n B (Iê-se" A inter B") é formado pelos elementos que pertencem aos dois conjuntos (A e B)

4~)

4) {a, b} 5) {a, b}

n {c, d} = 0 n

(A U C)

(B U C) = IA

B) U (A

(distributiva da intersecção em relação à reunião).

Se x E A n B, isto significa que x pertence a A e também x pertence a B. O conectivo e colocado entre duas condições significa que elas devem ser obedecidas ao mesmo tempo.

1) {a, b, c} n {b, c, d, e} = { b, c} 2) {a, b} n {a, b, c, d} = {a, b} 3) {a, b, c} n {a, b, c} = {a, b, c}

(distributiva da reunião em relação à intersecção)

simultaneamente.

Exemplos

A U (A n B) = A A n (A U B) = A A U (B n C) = (A U B)

Demonstremos, por exemplo, a H e a A U (A A U (B

0 = íZ5

n B) n C)

3~:

{x I p(x) V (p{x) 1\ q(x))} = {x I (p(x))} = A {x I p{x) V (q(x) 1\ r(x))} = {x I (p{x) V q{x)) 1\ (p(x) V r{x))} = = {x I p{x) Vq(x)} n {x I p{x) V r(x)} = (A U B) n (A U C)

EXERCICIOS A.22 Dados os conjuntos A = {a. b. A U C. B U C e A U B U C. A.23 Provar que

A C IA U B).

c}.

B = {c. d} e

C = {c. e}. determinar A U B.

Solução

50.

Propriedades da intersecção Sendo A, 1~) 2~) 3~) 4~)

B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:

n A = A (idempotente) A n U = A (elemento neutro) A n B = B n A (comutativa) A n (B n C) = (A n B) n C (associativa) A

Como mostramos para a operação de reunião, estas propriedades são também demonstráveis com aux(ljo do exercício A.5.

3O-A

x E A => x E A ou x E B I! uma implicação verdadeira,

"I x. portanto:

A C

(A U B)

A.24 Classificar em V ou F: a)

IA U BI A E IA U B)

bl IA U B) C A d) IA U B) C IA U BI

f) (A U B) C (A U B U C) e) B C IA U B) admitindo que A. B e C são conjuntos quaisquer.

A.25 Determinar a reunião dos circulas de raio r. contidos num plano um ponto comum O E a.

e que têm

31-A

A.26

Determinar a reunião das retas de um plano r de Q.

A.27

Dados os conjuntos A = {a. b o c. d}o B = {b. Co do e} e descrever A () B o A () C. B () C e A () B () C.

A.28 Provar que

(A () B) C Ao

'ri A.

que são paralelas a uma dada reta

= {co

e o f},

(x E A

é uma implicação verdadeira,

x E B)

53.

Definição

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.

x E A

'ri X o portanto (A ()

DIFERENÇA DE CONJUNTOS

pede-se

Solução x E (A () B)

B) C A.

A.29 Classificar em V ou F

bl A C (A () B)

C (A () B)

Exemplos·

c) A E (A () BI

d) (A () B) C (A () B)

e) (A () B) C B

1) {a, b, c} - {b, c, d, e}

Consideremos os conjuntos:

E K

Ix Ix Ix

R Q

{x = {x = {x = {x

E K E K

tem tem tem tem

4) {a, b} - {a, b, c, d, e}

lados 2 a 2 paralelos} 4 lados congruentes} 4 ângulos retos} 2 lados paralelos e 2 ângulos retos}

00 @

{a, b}

conjunto dos quadriláteros planos

P =

{a}

2) {a. b, c} - {b, c} = {a} 3) {a, b} - {c, d, e. f}

A.30

(A () B) :) (A () B () C)

Ao B e C são conjuntos quaisquer.

admitindo que

A - B = {x I x E A e x1=- B}

XI. COMPLEMENTAR DE B EM A

Pede-se determinar os conjuntos: a) L () P b) R () P

A.31

54.

e) L () Q f) pU Q

c) L () R d) Q () R

Dados os conjuntos A = {lo 2. 3}. B = {3 o 4} e C = {lo 2. 4}o o conjunto X tal que X U B = A U C e X () B =

determinar

Solução ai X U B

{1. 2 3. 4} então os posslveis elementos de X são:

b) X () B

0 "*

Conclusão A.32

fÍ.

e 4

ri:.

{ao b, Co d} U X

Dados dois conjuntos A e B, tais que B C A, chama-se complementar de 8 em relação a A o conjunto A - B, isto é, o conjunto dos elementos de A que não pertencem a jB. Com o símbolo

X = {1. 2}

Determinar o conjunto

{b.

1, 2, 3 e 4.

Definição

C~ tal que

{a, b, Co d, e}o

ou A

indicamos o complementar de B em relação a A.

{c, d} U X

Co d} () X = {c}.

{a, c, d, e} e

Notemos que

só é definido para

B C A

e aí temos:

A.33 Assinalar no diagrama ao lado, um de cada vez, os seguintes conjuntos: a)

A () B () C

b) A () (B U C)

32-A

c) A U (B () C) d) A U B U C

33-A

A = {a, b, c, d, e}

1) Se

A = {a, b, c, d}

3) Se

B = {c, d, e},

A = {a, b, c, d}

2) Se

= {a,

então:

B =

>t,

b, c, d}

subconjuntos de

2~)

3\1)

CAl

C~)

4\1)

n CI

5~)

U CI

B = 0

eC~ =

x ~ BI

=>x E A

U B

bl (A - B) U (A n B) di (A-BI C (A U BI

ai (A - BI ..:) cl (A- B) C B

então:

admitindo que A e B são conjuntos quaisquer. A.37

A.36 Classificar em V ou F as sentenças:

Propriedades da complementação Sendo

x E (A-B) ='(x E A

A implicação

é verdadeira para todo x, então (A - BI C A.

Solução

então:

C~ C~ = {a, 55.

(A - B) C A, V A.

A.35 Provar que

Exemplos

valem as seguintes propriedades:

Dados os conjuntos A ~ {l, 2, 3, 4, 5}, obter um conjunto X tal que X C A e

B = {l, 2, 4,6, a} A - X = B n C.

C = {2, 4, 5, 7},

A.38 Assinalar no diagrama ao lado, um de \ cada vez, os seguintes conjuntos:

ai Ã - B bl Ã - A U B c) li" UA d) A U B

e) A B f) li" nA

•

A.39 Provar que A - a = A n B onde A e B são conjuntos quaisquer do universo U. Solução A implicação

Provemos, por exemplo, a 2\1 e a 4\1:

x E (A ===> )(

C~ = {x E A I x ~ A} = 0

CP C

a) =

E A n

(x E A e x ~ ai = x E A e x E a ==> é verdadeira, V x, portanto, está provado.

A.40 Classificar em V ou F as segu intes sentenças: =

{x E A I x C)

= {x E A I x ~ B = {x

a) b) cl d)

A n C}

= {x E A I x ~ B

x ~

E A I x ~ B} U {x E A I x ~ C} =

C} =

(A - BI A C B (A - B) (A-BI

U (B - A) = (A U BI - (A n B) = ( C BI C ( CAI C ( C AI C ( CBI

C; EXERCICIOS SUPLEMENTARES

A.41

EXERCICIOS

A.34 Sejam os conjuntos

A = {a, b, c. d},

B = {c, d. e. f } ,g

C = {b , d ,e. g}.

Determinar:

34-A

a) A - B

cl C - B

e) A- (B

bl B - A

d) (A U C) - B

f) (AUB)-(AnCI

Descrever os elementos dos canju ntos abaixo:

A = {x I x 2 - 5x - 6 = O} B = {x I x é letra da palavra "exercício"} C = {x I x2 - 9 = O ou 2x - 1 = 9} D = {x I 2x + 1 = O e 2x 2 - x - 1 = O} E = {x I x é algarismo do número 234543}

35-A

E ~

A.42 Seja a) a

la, {a}}.

Dizer quais das proposições abaixo são verdadeiras.

A.49

E E

{a}

Dados dois conjuntos junto A1l8 tal que:

chama-se diferença simétrica de A com 8 o con-

E E

A1l8 " (A - 8) U (8 - A)

c) a C E

{a}

Pede-se:

C E E C E

A.43 Sejam

A e 8

dois conjuntos finitos. Provar que

nA U 8" nA + n 8 - nA n 8'

A e 8,

símbolo

A,8 e C conjuntos finitos, estabelecer uma fórmula para calcular nAU 8 ue·

A.46 Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B e C. do mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo:

A1l0" A, para todo A AllA" para todo A A1l8" 811A, para A e 8 quaisquer cada diagrama abaixo o conjunto AtJ.8:

provar que provar que provar que assinalar em

rz5,

A.50

Desenhar um diagrama de Venn representando quatro conjuntos vazios de modo que se tenha A;Z 8, 8;Z A, C :J IA U 81

Ae8

8ee

eeA

A,8ee

nenhuma das três

109

203

162

115

marca número de consumidores

Feita uma pesquisa

{a, b, c, d}

b) cl d) e)

@oo

representa o número de elementos do conjunto X.

A.44 Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam Inglês, 163 estudam Francês e 52 es· tudam ambas as línguas. Quantos alunos estudam Inglês ou Francês? Quantos alunos não estudam nenhuma das duas? A.45 Sendo

II {c. d, e, f, g}

a) determinar

D C (A n

A, 8, C e D

não

Pede-se: a) bl c) d)

A.47

número número número número

de de de de

pessoas pessoas pessoas pessoas

consultadas que só consomem a marca A que não consomem as marcas A ou C que consomem ao menos duas marcas.

Determinar os conjuntos 1~)

A, 8 e C

A U 8 U C " {z, x, v, u, 2 a ) An 8 {r, s} {s, x} 3a l 8 n C 4~)

5~)

enA

AU C 6 a ) AU 8

t, S,

que satisfazem as segu intes seis condições: r, q, p}

{s, t} {p, q, r, s, t, u, v, x} {p, q, r, s, t, x, z}

A.4S Em certa comunidade há indivfduos de três raças: branca, preta e amarela. Sabendo que 70% são brancos e 210% não são pretos e 50% são amarelos, pergunta-se: a) quantos indiv(duos tem a comunidade? b) quantos são os indivfduos amarelos?

36-A

37-A

CAPÍTULO III

CONJUNTOS NUMÉRICOS I. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS 56. Chama-se conjunto dos números naturais - símbolo PlJ - o conjunto formado pelos números O, 1, 2, 3, ... N = {O, 1,2,3, ...}

57. Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais a adição e a multiplicação, que apresentam as seguintes propriedades: [A.l) associativa da adição (a + b) + c = a + (b + c) para todos, a, b, c E PlJ.

[A.2) comutativa da adição a+b=b+a para todos

a, b E PlJ.

[A.3) elemento neutro da adição a + O= a para todo

a E PlJ

[M.1] associativa da multiplicação (ab)c = a(bc) para todos

a, b, c E PlJ

[M.2) comutativa da multiplicação ab = ba para todos

a, b E PlJ

39-A

[M.3]elemento neutro da multiplicação

[A,4] simétrico ou oposto para a adição

a•1 =a para todo

[D]

a E IW

Distributiva da multiplicação relativamente à adição a(b + c) = ab + ac para todos

a E Z.

Para todo

existe

-a E 1:

tal que

+. (-a) = O

Devido à propriedade [A41. podemos definir em 1: a operação de subtração, estabelecendo que a - b = a + (- b) para todos a, b E z..

a, b, c E IW

62. Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada através do seguinte procedimento: 58. Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados são ampliações de IW, isto é, contêm til, têm uma adição e uma multiplicação com as propriedades formais já apresentadas e outras mais, que constituem justamente o motivo determinante da ampliação.

a) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo e um ponto O (origem) que representa o inteiro O (zero)

Assim, dado um natural a O, o simétrico de a não existe em til: -a E N. O resultado disso é que o símbolo a - b não tem significado em til para todos a, b E IW, isto é, em til a subtração não é uma operação. Venceremos esta dificuldade introduzindo um novo conjunto numérico.

11. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

c) para cada inteiro POSitiVO n, a partir de O, marcamos um segmento de medida nu no sentido positivo cuja extremidade representará n e marcamos um segmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representará o inteiro - n. O resu Itado é este:

59.

b) a partir de O, no sentido positivo, marcamos um segmento unitário cuja extremidade passará a representar o inteiro 1

*" O

-4

Chama-se conjunto dos números inteiros - símbolo Z - o seguinte conjunto:

= { ••• ,

-3 u

-3, -2, -1, O, 1, 2, 3, ... }

-2

-1

4 I

63. Uma importante noção que devemos ter sobre números inteiros é o conceito de divisor. 60.

No conjunto Z. distinguimos três subconjuntos notáveis: -l+

= {O, 1, 2, 3, ... } =

t.I

Dizemos que o inteiro a é divisor do inteiro b - símbolo a I b - quando existe um inteiro c tal que ca = b.

(chamado conjunto dos inteiros não negativos) -l_

{O, -1, -2, -3, ... }

(chamado conjunto dos inteiros não positivos) ,Z* = { ... , -3, -2, -1, 1, 2, 3, ... }

(chamado conjunto dos inteiros não nulos)

61. No conjunto ,z são definidas também as operações de adição e multiplicação que apresentam, além de [A1l. [A21. [A3]. [Mll. [M2], [M3] e D, a propriedade: 4O-A

Exemplos 1)

2 I 12

2) 3 I -18 3) -5 I 20

4) -2 I -14 5)

4 I O

6) O I O

pois pois pois pois pois pois

6·2=12 (-6) • 3 = -18 (-4) (-5) = 20 7·(-2) -14

0·4

1•O

41-A

64. Quando a é divisor de b dizemos que "b é divisível por a" ou "b é múltiplo de a". Para um inteiro a qualquer, indicamos com Ora) o conjunto de seus divisores e com M(a) o conjunto de seus múltiplos.

111. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Exemplos 1) 0(2)

{1, -1, 2, -2}

2) 0(-3)

{1, -1, 3, -3}

3) 0(0)

M(2)

=;z

= {O, ±2, ± 4, ±6, ... }

M(-3) = {O, ±3, ±6, ±9, ... }

66.

M(O)

z: ~ rf Z.

= {O}

Dado um número inteiro

O, 1 e -1 e

Exemplos

significado ao símbolo p q ros racionais.

67.

2, -2, 3, -3, 5, -5, 7 e -7

são primos.

1 e -1,

o inverso de q não existe em

Porisso não podemos definir em ;Z a operação de divisão, dando

65. Dizemos que um número inteiro p é primo quando O(p) = {1, -1, p, -p}.

Vamos superar esta dificuldade introduzindo os núme-

Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo lIl- o conjunto dos

pares ordenados (ou frações)

onde

a E Z

b E Z*,

para os quais

adotam-se as seguintes definições: EXERCíCIOS

A.51

a) O E

1\1

d) 1\1 U R._

b) (2 - 3) E 1\1

71 g) (-4) (-5) E R.+ =

e) R.+

n R._

c) 1\1

í25

h) O E 7l

1-3)2 E 7l

(5-11)E7l

Descrever os seguintes conjuntos: M(-9) n M(6),

A.53

Quais dos seguintes elementos de ;Z não são primos: 12, -13, O, 5, 31, -1, 2, -4, 1, 49 e 53?

A.54 Sendo

a e b

0(6), 0(-18), 0(-24)

Cz.

A.52

0(16), M(4), M(10)

68.

dois números inteiros, pergunta-se:

a) b) c) d) e)

D(a) e D(b) podem ser disjuntos? Que nome se dá a um inteiro m tal que D(a) n Dlb) = Dlm)? Quando Dia) n D(b) = {1, -1}, qual é a relação existente entre Em que caso ocorre Mia) C M(b)? Em que caso ocorre M(a) n Mlb) = M(ab)? f) Que nome se dá a um inteiro n tal que M(a) n M(b) Mln)?

69. A.55

Determinar os seguintes números inteiros: a) mdc(2,3) c) mdc(-6, -14) e) mmc 1-4, 6)

42-A

(j)

igualdade: ~=~<==>ad=bc b d

(i i)

adição:

(iii)

multiplicação:

Quais das proposições abaixo são verdadeiras?

b) mdc(-4, 6) d) mmc(2,3) f) mmc(-6, -14)

b' d

ac = bd

No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos: lIl+

conjunto dos racionais não negativos

III

conjunto dos racionais não positivos

lIl*

conjunto dos racionais não nulos

Na fração

a b'

a é o numerador e b

primos entre si, isto é, se

mdc(a, b) = 1,

o f_23 7 tive!. Assim, as raçoes 3' 7" e 15

o denominador. Se

dizemos

-'do, sao Irre utlvelS mas

a b

aeb

são

é u ma fração irredu-

6 10

não é:

43-A

70.

Consideremos o conjunto

nominador unitário:

= {~ I x E Z}.

([1'

a +b

b 1

formado pelos números racionais com de-

[MA) simétrico ou inverso para a multiplicação

Temos:

para todo

<o=a=b

1 a

([1'

: E

a b a • b -·-=---<o=a·b=a·b 1 1 1 portanto, os racionais com denominador igual a 1 comportam-se para a igualdade, a adição e a multiplicação como se fossem números inteiros. Assim, fazendo o x racional coincidir com o inteiro x, decorre que: =:l,

logo,

tal que

([1

~.:

existe

= 1.

Devido à propriedade [MA J. podemos definir em ([1*, a operação de dia • c a d a c visão, estabelecendo que b c para b e d racionais quaisquer b d não nulos.

<o=a+b=a+b

([1'

([1

:l c. ([1

72.

Notemos finalmente que todo número racional

pode ser representado

por um número decimal. Na passagem de uma notação para outra podem ocorrer dois casos: 1Çl) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, isto é, é uma decimal exata.

71. Pode-se verificar que a adição e a multiplicação de racionais apresentam as seguintes propriedades:

[A.ll (~ + a

[A.2) b + [A.3]

1 27 20 = 0,05; 1000 = 0,027

29) o número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, é uma dízima periódica.

Exemplos

[A.4)b+(-b) a

3 1 ,- = 3; "2 = 0,5;

+ ~

Exemplos

2 0,333 ... ; 7

0,285714285714 ...

[M.ll (b' d)

[M.3)

[o) onde

[M.2)

a b

EXERCICIOS

a b e (-=- +-) f d

a b

a c b' d

A.56 Quais das seguintes proposições são verdadeiras?

a b

44-A

b) ,z C O

d) 517 E O

0,474747 ... E<ll

são racionais quaisquer, portanto, são vál idas as mesmas pro-

priedades formais vistas para os números inteiros. Além dessas, temos mais a seguinte:

cl oE O

a) N C O

1 E <ll-'z

21 é irredut ível 14

121 kl 147

O-L. 131

< 150

{T'

r E

!...! } C. 3

<ll

E <ll-'z <ll => -r E

45-A

A.57 Colocar na forma de uma fração irredutlvel os seguintes números racionais: 0,444. . . ; 0,32; 0,323232,.,; 54,2; 5,423423423, 15

.J2

0,4;

rr a

1 47

A.58 Colocar em ordem crescente os números racionais seguintes: 16' 12' 19' '48

1,4142136 ... 3.1415926, .. = 1,010010001 ... =

chamados números irracionais.

A.59 Mostrar que se

tal que

ri e r2

< r<

são racionais e

r2,

então existe um racional r

r2'

Se quisermos outros números irracionais, poderemos obtê-los, por exemplo, através da expressão ...;p onde p é primo e positivo. São irracionais: .,[3, v'5. ...[7, etc. Outro recurso para construção de irracionais é usar o fato de que se

A.60 Representar sobre uma reta orientada os números racionais seguintes:

-2,

-"2'

-1,

irracional e r é racional não nulo, então:

a + r, a· r.

são todos

irracionais.

Exemplos

.J2 +

IV. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

73.

Dado um número racional

é racional. Por exemplo, (i)

e um número natural

V2 fi m

admitamos que a fração irredutível

lii) ~

= ...[2 =

2b2

n ;;. 2.

nem sempre

Além de

a b

.,[3

--ªv'5

são irracionais.

destacamos em IR três outros subconjuntos

conjunto dos reais não negativos conjunto dos reais não positivos conjunto dos reais não nlilos.

o que é provado facilmente assim: seja tal que

a2 é par

a é par

(iii) fazendo a = 2m. com m E z., temos: a2 = 2b2 ==> (2m)2 = 2b 2 b2 2m 2 ==> b2 e isto é absurdo pois ITldc (a, b) = 1.

é par

Vamos agora in\roduzir um conjunto numérico que contém radiciação pode ser definida.

b é par

Assim, todo racional é número real.

o.elA e, além dos racionais, estão em IR números como:

76. As operações de adição e multiplicação em IA gozam das mesmas propriedades vistas para o conjunto m. Em IR é também definida a operação de subtração e em IR* é definida a divisão, Com a introdução dos números irracionais, a radiciação é uma operação em IR+. isto é, E IR para todo

v-;

a E IR+.

o. e onde a

74. Chama-se conjunto dos números reais IR - aquele formado por todos os púmeros com representação decimal, isto é, as decimais exatas ou peribdicas (que são números racionais) e as decimais não exatas e não periódicas (chamadas lJúmeros irracionais).

46-A

75.

3../1,

77. Já vimos que os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta -4

-3

-2

-1 I

•

Analogamente, os números racionais não inteiros também podem. Se qui,1 sermos, por exempIo, representar o numero '2 sobre a reta, marcamos a par-

tir de O um segmento de medida

1 2"u

no sentido positivo. A extremidade desse

47-A

segmento representa

Na figura abaixo representamos sobre a reta vários

A.63 Mostrar que

J 4 + 2 v'3 o 1 + v'3.

A.64 Mostrar que existem

números racionais. -2

-3

-1

o real

que A.66

Quando representamos também sobre a reta os números irracionais, cada ponto da reta passa a representar necessariamente um número racional ou irracional (portanto, real), isto é, os reais preenchem completamente a reta. -2

I o§.

~l-~ -tI

, -"2 I

-.../3

raeionaistaisque

V18-8V2 o a + bV2.

a;;;' g

~ 2

e chama-se média geométrica o real

para todos

o;;

..J;;;.

Mostrar

x, y E IR+.

B ~

{x E IR I , ",;; x ",;; 2} {x E IR I O < x < 3}

C ~ {x E IR D

{x E IR

I x ",;; 1-' . <

x > 2}

x <

x;;;' 3}

3 I

a ""

Representar sobre a reta real, cada um dos seguintes conjuntos:

A.65 Dados dois números x e y reais e positivos, chama-se média aritmética de x com V

-3

,.fi

Esta reta, que representa IR, é chamada reta real ou reta numérica.

V. INTERVALOS 78. Na reta real os números estão ordenados. Um número a é menor que qual· quer número x colocado à sua direita e maior que qualquer número x à sua es· querda.

--,---~-~/

{xEIRlx<a}

•

',-;~=--,----::--,-

{xEFllx>a}

3 E IR

b) N C IR e)

IR-Ill

gl (V2 - 3

v'3)

E IR - III

v'4 E

IR-Ill

h) 3V2 E IR-m

v'5

[a, b]

V4 E

3y'2 E m

IR-m

572

Solução

a+b~oe+d~<=> (b-dly';;"oe-a Como c - a é racional, a última igualdade s6 subsiste quando (b - di V; E O,

4S-A

O. Neste caso, c - a = O, provando a tese.

b, definimos:

b. a e b

é o conjunto

{x E IR I a ",;; x ",;; b}

que também pode ser indicado por

A.62 Provar que se a, b, c, d são racionais, p é primo positivo e a + b-V-;;- o c + d-V-;;-, então a = c e b = d.

isto é, se b - d

b) intervalo fechado de extremos c) 7L. C

a) intervalo aberto de extremos a e b é o conjunto

que também pode ser indicado por

Ouais das proposições abaixo são verdadeiras? a)

Dados dois números reais a e b, com a

] a, b [ = {x ~ IR I a

EXERCfclOS

A.61

79.

af---lb.

c) intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b é o conjunto

[a, b [

{x E IR I a ",;; x

que também pode ser indicado por

af--b.

d) intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b é o conjunto

] a, b]

{x E R I a

que também pode ser indicado por

x ",;; b}

a ---; b.

49-A

80.

Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo in-

EXERCíCIOS

ferior e extremo superior do intervalo. ~.67

81.

[-1.3]. [0.2[. ]-3.4[. ]-00. S[

Exemplos

= {x

E IR I 2

]2, 5[

29)

[-1, 4] = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 4} é intervalo fechado

39)

[i,

{x E IR I

{x E IR I -

Utilizando

7} é intervalo fechado à esquerda

~.68

5} é intervalo aberto

representação

A U B

grâfica

sendo

[1. + 00[.

dos

intervalos

[O. 3)

sobre o

a reta

real, determinar

[1. 4]

Solução

~.;;;

]- 3' v'2]

19)

49)

Descrever, conforme a notação da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos:

x .;;;

v'2}

. é intervalo fechado à direita.

82. Também consideramos intervalos lineares os "intervalos infinitos" assim definidos: a) ]- 00, a [ = {x E IR I x < a} que podemos também indicar por

- 00 - - a.

a] = {x E IR I x .;;; a} que também podemos indicar por

- 00-----1 a.

c) ] a, + 00 [ = {x E IR I x > a} que também podemos indicar por

a - - + 00.

01111111111111111111111111111111111111111111111111111110

A n B

1 3 0111 Ili 1111 li Ili 11111111 li 111111111110

A U B

O 4 0'"11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

...

então ~.69

0111111111111111111111111111111111111111111111111111111 o

B ~ [1. 3]

A U

[O. 4]

Descrever os seguintes conjuntos:

b) ]- 00,

d) [a, + 00 [ = {x E IR I x ;;;. a}

que também podemos indicar por

+ co[ = IR que também podemos indicar por

bl [0.2)

n ]1. 3[

]-1.

di )-00.2) -00 - - + 00.

[a. b]

1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIItIlllllllllUIo b

[a. b[

la.

] - 00,

+ oo[

- - - - - - - - -.. ~llIl1llllll-l+III11I1II+lIl++llIlllllrl!II-1+lIllllllrl!lIll1l11llllli!+lllllo--------1,,a b ---------cllIIlIl+llI++IIIIllIl-l+II11'IIIIllIl++IIIl1II1IllIll+IIIIllIlIKIIIlIIIIIllIIt_--------1,,_

...

1I111111111111111111111111111111111111111111~

n [O.

[-1. + oo[

[1.2]

~.70

+ oo[

n [-'2,21

n [O.

[-1, 4)

Determinar os seguintes conjuntos:

ai [- 1. 3] U [O. 4]

bl ]-2. 1] U ]0. S[ c)

[-1. 3] U [3. S]

h-,1

O[ U

]-'2' - '4)

---------olllllllllllllIlIIIIIIIIIIIIIIIIIlIlIlIlIUlllllllHllllIlIl111111111111111.

..71 Sendo

50-A

)0.

--------01111111111111111111111111111111111110'--------1... a b

[1.3]

~[ n

Os intervalos têm uma representação geométrica sobre a reta real como segue:

la.

a I - - - + 00.

e) ]-00,

83.

ai [0.2]

[O. S [

)1. 3 [.

determinar C~

51-A

84.

.,f2,

seja o real a não negativo. Assim, por exemplo, 6~

V 7T

V'5,

.era, sj3! e

conjunto dos números inteiros negativos conjunto dos números racionais nio inteiros. IR - m = conjunto dos núl\leros reais irracionais.

m-;Z

Finalmente lembremos das principais operações definidas em cada conjunto:

Desde que o índice da raiz seja ímpar, os radicais da forma ~, onde a E IR., também representam números reais. É o caso, por exemplo, de e

IR C <1:.

;Z - ~ =

qualquer que

sao numeros reais.

if=1, Z! -32

;z C

Notemos também que:

va E IR.

Em IR. a radiciação é uma operação, isto é,

~ C

Observemos que

VI. CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Z!"=3

Se o radicando é negativo e o índice da raiz é par, entretanto, o radical

v::a não representa elemento de IR. Por exemplo, v'""=l

e isto é impossível pois se ,x E A,

x===>- 1

então

v'""=l x

2 ;;;.

adição e multiplicação adição, multiplicação e subtração m: adição, multiplicação, subtração e divisão IR: adição, multiplicação, subtração, divisão e radiciação (para reais não negativos)

não é real, pois:

VIII. PRll'JCfPIO DA INDUÇÃO FINITA 85.

va,

Resolveremos definitivamente o problema de dar significado ao símbolo

para todo número a, introduzindo no volume F desta coleção o con· junto <I: dos nLimeros complexos do qual IR é um subconjunto.

VIL RESUMO 86.

Os conjuntos numéricos podem ser representados esquematicamente pela

figura abaixo:

87. A indução vulgar (generalização de propriedade após verificação de que a propriedade é válida em alguns casos particulares) pode conduzir a sérios enganos na Matemática. Vejamos dois exemplos:

19) Consideremos a relação Temos: n

0== y

220

+ 1

21 + 1

+ 1

22 + 1

+ 1 = 2 4 + 1 = 17

28 + 1 = 257

2 16 + 1 = 65 537

== y 2 n = 2 == y = 2

3 ==> y

4 ==> y

definida para n E ~.

Os números y encontrados são números primos. Fermat (1601-1665) acre· :Htou que a fórmula acima daria números primos qualquer que fosse o valor inteiro positivo atribuído a n. Esta indução é falsa pois Euler (1707-1783) 2S 1l0strou que para n = 5 resulta y = 2 + 1 = 2 32 + 1 = 4794.967,297 = = 641 X 6700417, isto é, resulta um número divisível por 641 e que, portanto, ,ão é primo.

53-A

52-A

29) n E IW *, n

Dada a relação

n3 3n2 7n + - - - + 3, 2 6 3

definida para todo

temos: 1=

-1+9-14+18 13 3. 12 7 . 1 -- +-- --- + 3 = 6 2 3 6

n = 2= Y

2 3 3. 2 2 7· 2 --+ - - - - - + 3 2 6 3

-8 + 36 - 28 + 18 6

3 3 3. 32 7· 3 --+-----+3 6 2 3

-27 + 81 - 42 + 18 6

3= y

4 3 3" 42 7· 4 n=4=y= - - + - - - - - + 3 = 6 2 3

~64+

89. Para provarmos que a relação é válida para todo n E IW* princípio da indução finita (P.I.F.) cujo enunciado segue: Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais para todo n E 11I, n ;;. no, quando:

19)

29) Se é verdadeira.

90.

y =

53 6

3. 52 2

7" 5 3

--+ - - - - - + 3

-125 + 225 - 70'; 18 6

k E 11I, k ;;. no

P(k)

é verdadeira, então

Verifiquemos que

29)

P( 1)

Admitamos que

k E N*, seja verdadeira: 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) '" k2 (hipótese da indução)

Temos:

P(k),

com

P(k + 1),

que expressa a propriedade: "a soma dos n primeiros números ímpares positivos 2 " e, n.

1==

2 ==

+ 3 = 4

+ 3 + 5

A.72 1 + 2 + 3+... + n

(V)

prind~a indução finita. =

~n E

n(n+ 1) --2-'

Mesmo que continuemos o trabalho fazendo a verificação até n = 1 000000 não estará provado que a fórmula vale para todo n natural, pois poderá existir um n > 1 000000 em que a fórmula falha.

1lJ*

n(4 + 3n)

A.73 (V)

k 2 + 2k + 1

Demonstrar usando o

n = 10 ~ 1 + 3 + 5 + ... + 19 = 100 = 102

54-A

•

(V)

(k + 1}2

EXERCíCIOS

Vamos verificar se ela é verdadeira:

n =3

isto é:

1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2k + 1) = k2 + (2k + 1)

(n E N*)

1) também

(n E IW*)

+ 3 + 5 + ... + (2k - 1) t [2(k + 1) - 1]

Consideremos, por exemplo, a igualdade: 1 + 3 + 5 +. .. + (2 n - 1) = n2

é verdadeira

e provemos que decorre a validade de

n = no,

1 = 12

n = 1=

88. ~ necessário, portanto, dispor de um método com base lógica que permita decidir sobre a validade ou não de uma indução vulgar.

P(k

é verdadeira

Provemos, por exemplo, que:

19)

é verdadeira, isto é, a propriedade é válida para

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2

144-56+ 18 = 7 6

Poderíamos tirar a conclusão precipitada: "y é número primo, 'ri n E Esta indução também é falsa pois: n = 5

P(no)

empregamos o

A.74 20 + 21 + 22 + ...

2n- 1

'ri n E 1\1'

,4.75 2 2 2 ... +n2 _ n(n + (6 11 (2n + 1) .v '"' n E." r1+2+3+ '" A.76 13 + 23 + 33 +

...

+ n 3 ~ [n(n 2 + 11]2' 'ri

E." '"

56-A

A.77

a I 13 2n

- 11.

n E W

A.8S

Soluçãc

é verdadeira pois

10)

Pll)

29)

Admitamos que

a I 132k e provemos que

a I 13 2

10)

Plkl, k E ~',

- 11

(hipótese da induçãol

(3 2 (k + 1) - 11:

P(3)

é verdadeira pois:

n =3

= 3(3 - 3) = O 2

Supondo válida a fórmula para um polfgono de - klk2-3) dk -

_ Ik + 1I[(k + 11 - 3] dk + 1 2 6ln(n + llln + 21,Vn E~.

A.80

I (n 2

n E

~I .

• 11 +

2. 1

1 - + + 2.3 + 3-4

1 + --n(n + 11

n :

A.83

1· 2 + 2 • 3 + 3. 4 +

+ n(n + 11

n In + 1) (n + 2) 3

V n E

k + 1 lados:

(k + 11 (k - 2) 2

+ 1

I:<

vértices, acres-

+ 1, V n E W

A.82

A.84 2n ;:;, n + 1,

Ik;:;' 31:

(i) todas as diagonais do primeiro polfgono continuam sendo diagonais do segundo; (ji) um lado do primeiro se 'transforma em diagonal do segundG; (Hi) no segundo há k - 2 novas diagonais las que partem do novo vértice). Vejamos, por exemplo, a passagem de um quadrilátero para um pentágono

(1 + 11 (1 +

Quando passamos de um polígono com k vértices para um de

A.81

11 +

lados

centando mais um vértice, ocorre o seguinte:

+ nl, V n E ~.

In 3 + 2n), V

Ihipótese da indução)

provemos que ela vale para um polígono de

-2-'

e isto é verdade porque um triângulo não tem diagonais.

então

A.79

nln - 31

seja verdadeira

291

A.78

n lados é

Solução

o número de diagonais de um polígono convexo de

1 ,V

E ~.

VnEW

Solução 19)

PI1I

20 1

é verdadeira pois

Admitamos que 2k ;:;, k +

e provemos que

2· 1 ;:;, 1 + 1

P(k), k E ~',

seja verdadeira:

(hipótese da induçãol

56-A

são diagonais ~ AC e BD continuam diagonais ---- AD se transforma em diagonal EB e EC são diagonais

(k + 11 + 1

2 klk-3) k -3k+2k-2 dk+ 1 = dk + 1 + Ik - 2) = - - 2 - + k - 1 = 2

n, V n E ~

+ n A.87

BD é lado

Então:

21k + 11 = 2k + 2 ;:;, Ik + 11 + 2 2

2(k + 11 ;:;, (k + 11 + 1

Temos:

A.85

AC AD

>.':'.V 4

E ~'.

(1 + aln ;:;, 1 + na,V n E ~', V a E IR, a;:;' -1

(k + 11 Ik - 2) 2

A.89 A soma das medidas dos ângulos internos de um pol(gono convexo de n lados é Sn = (n - 2) • 1800 . A.90 Se A é um conjunto finito com n elementos, então 'syIA), n de A, tem 2 elementos.

conjunto das partes

57-A

CAPÍTULO IV

Desvendado mistério da continuidade

RELAÇOES Julius Wilhelm Richar Dedekind foi um dos quatro filhos de uma familia luterana de

Braunschweig, Alemanha. Entrou em Gõttingen aos dezenove anos e aos vinte e dois obteve seu doutoramento com uma tese sobre Cálculo, elogiada até por Gauss. Foi aluno de Dirichlet e dedicou-se ao ensino secundário em Brunswick até os últimos anos de sua vida. Preocupado com a natureza das funções e dos números, concentrou~se no problema dos números irracionais desde 1858 quando dava aulas de Cálculo, publicando seu livro mais célebre, "A Continuidade e os Números Irracionais". Uma de suas grandes dúvidas era sobre o que há na reta geométrica contínua que a distingue dos números racionais, pois, Galileu e Leibniz haviam conclUl'do que entre dois 'pontos quaisquer sempre existe um terceiro e, assim, 05 números racionais formam um conjunto denso mas não cont(nuo. Relendo. Dedekind observou que a essência da continuidade da reta não está ligada à densidade mas à natureza da divisão da reta em duas partes, que chamou classes, através de um único ponto sobre a reta. A essa qivisão da reta chamou "schnitt" ou "corte" , que passaria a ser o apoio da Análise, pois com essa observação "o segredo da continuidade seria revelado". Dedekind viu também que os pontos de uma reta podem ser postos em correspondência biunívoca com os números reais, o Que conseguiu ampliando .~ conjunto dos racionais. Esta conclusão é conhecida por nós como Axioma de Cantor-Dedekind. Mais uma de suas observações foi sobre o teorema fundamental dos Iimites, achando que para obter-se uma demonstração rigorosa deste conceito era necessário desenvolvê-lo somente através da Aritmética, sem interferência de métodos geométricos embora estes tenham sido responsáveis por seus brilhantes resultados" Em 1879 foi o primeiro a dar uma definição expli'cita de corpo numérico como sendo uma coleção de números Que formam um grupo abel ia no (comutativo) em relação à adição e multiplicação, no qual a multiplicação é distributiva em relação à adição. Este conceito, que foi fundamental para o desenvolvimento da Álgebra, também é responsável pelo teorema dos inteiros algébricos, bem como introduziu na Aritmética o conceito de "ideal". Dedekind viveu tantos anos depois de Sua célebre introdução dos "cortes" que a famosa editora Tebner deu como data de sua morte, 4 de setembro de 1899. Isto divertiu Dedekind que

Julius W. R. Dedekind (1831 - 1916)

58-A

viveu mais doze anos e escreveu ao editor que passara a data em questão em conversa estimulante"·com seu amigo Georg Cantor.

I. PAR ORDENADO

91. Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim {1, 2}, {3, -l}, {a, b} indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de conjuntos, observamos que inverter a ordem dos elementos não produz um novo par:

H, 3},

{1,2} = {2, 1}, {3, -l} =

{a, b} = {b, a}.

Em Matemática existem situações, onde há necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações X+ Y =3 { x ~ Y =. 1 x = 2 e Y = 1 é sol ução ao passo que x = 1 e Y = 2 não é solução. Se representássemos por um conjunto teríamos: {2, l} seria solução e {1, 2} . não seria solução. Há uma contradição, pois sendo {2, l} = {1, 2}, o mesmo conjunto é e não é solução. Por causa disso dizemos que a solução é o par ordenado (2, 1) onde fica subentendido que o primeiro elemento 2 refere-se a incógnita x e o segundo elemento 1 refere-se a incógnita y.

92. Admitiremos a noção de par ordenado como conceito primitivo (. I. Para ca. da elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro elemento (a, b) que denominamos par ordenado de modo que se tenha

la, bl (*)

(c,

<=> a

c e

Poderíamos definir par ordenado como Kuratowski fez:

(a, b)

{{a}, {a, b}}

mas isto ficaria fora do nível deste curso.

59-A

11. SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL

95.

93.

Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em O, os quais determinam o plano Ci.

Dado um ponto P qualquer, 'P E conduzamos por ele duas retas:

x' li x

Teorema

Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dos pares ordenados (xp, yp) de números reais existe uma correspondência biunívoca. Demonstração

Ci.

1? Parte

y' li y

Denominemos P I a intersecção de x com y' e P2 a intersecção de y com x'. Nestas condições definimos:

h O

As definições dadas anteriormente indicam que a todo ponto P, P E Ci, corresponde um único par de pontos (P I , P2 ) sobre os eixos x e y respectivamente e, portanto, um único par ordenado de números reais (xp, yp) tais que xp e yp são representados por P 1 e P2 , respectivamente. Esquema: P

------4

a) abscissa de P é o número real xp representado por P I

c) coordenadas de P são os números reais xp e yp, geralmente indicados na forma de um par ordenado (xp, yp) onde xp é o primeiro termo. (ou Ox)

e) eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy) f) sistema de eixos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) é o sistema xOy g) origem do sistema é o ponto O hI plano cartesiano é o plano

(x p , ypl

2? Parte

b) ordenada de P é o número real yp representado por P2

d) eixo das abscissas é o eixo x

(P I , P2 )

Dado o par ordenado de números reais (X p, yp), existem P I E x e tais que P 1 representa x p e P2 representa y p' conforme vimos no item 77. Se construirmos x' /I x por P 2 e y' li y por P 1 , essas retas vão concorrer em P. Assim, a todo par (x p , yp) corresponde um único ponto P, P E Ci.

P2 E Y

Esquema: (x p , Ypl

------4

(P I , P2 ) ----> P

EXERCíCIOS A.91

Dar as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo.

Iv' p

94.

Exemplo E

Vamos localizar os pontos A(2, O), B(O, -3), C(2, 5). D(-3, 4) E(-7, -3),

F(4, -5),

G( 2'

;-,

e I"

H(-2' -2)

no plano cartesiano lembrando que, no par ordenado, o primeiro número representa a abscissa e o segundo a ordenada do ponto.

60-A

ri'

A.92

A(2, -3), BIO, -4), C(-4, -5), 01-1, OI,

Assinalar no plano cartesiano os pontos: ElO, 5), F15, 4), G(3, O), H(-3, 2),11

2 '2)' 61-A

39) Se A = {x E IR I 1 ,;;;; x < 3} v B = {2} então temos A X B = {(x,2) I x E A}.2 -----

111. PRODUTO CARTESIANO e

«,

96.

Definição

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A X B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y) onde o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. A X B = {(x, y) I x E A e y E B}

o símbolo A X B Iê-se "A cartesiano B" ou "produto cartesiano de A por B". Se A ou B for o conjunto vazio, definimos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio. . AXcp=0

Exemplos 19)

B = {1, 2}

:, , I

49) Se A = {x E R I 1 ,;;;; x ,;;;; 3} e B = {x E IR I 1 ,,;;; x ,;;;; 5} temos A X B = {(x, y) E R 2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 3 e 1 ,;;;; y ,;;;; 5} representado graficamente no plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retângulo. Notemos que B X A = {(x, y) E R 2 I 1 ,;;;; x ,;;;; 5 e 1 ,;;;; Y ,;;;; 3} é representado por um retângulo distinto do anterior. AXB

5 -------r-----,

A = {1, 2, 3}

v 97.

A representação gráfica de A X B dá como resu Itado o conjunto de pontos do segmento paralelo ao eixo dos x da figura ao lado.

BXA

temos

A X B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1). (2,2), (3, 1), (3, 2)}

3 - -- - - - , . . . - - - - - - - - - - , -

B X A = {(1, 1). (1,2), (1,3), (2,1), (2,2). (2,3)} e as representações no plano cartesiano são as seguintes: 1 ---- - 1 -

~~~~~~-~~, 3)

i I

2 ------.~11!!-t!~c?!.~l;l, 2) I

______

,, :

1) :(2, 1)

----- --,-- -----tI

98.

I I

.. x

29) Se A = {2, 3} então o conjunto indicado por A2 e lê-se "A dois") é

A X A

A X A = {(2, 2), (2,3), (3, 2), (3,3)}

52-A

:(2,2)

I I

:(1,2)

I I

i (1,

-r----+---+--+----<~

2 ------f------ ...-

~ ~1_,_ ~ ~_~~~.-1j--~~,

-\-_

BXA

(que também pode ser

Observações

1) Se A B então A X B B X A, isto é, o produto cartesiano de dois conjuntos não goza da propriedade comutativa. então

2) Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, A X B é um conjunto finito com m· n elementos.

3) Se A ou B conjunto infinito.

for infinito e nenhum deles for vazio então

A X B

é um

63-A

EXERCICIOS A.93

IV.

Dados os conjuntos

A ~ {1, 3,4}

C~{-1,O,2}

Bc{-2,1}

99. Consideremos os conjuntos A = {2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, O produto cartesiano de A por B é o conjunto

representar pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos: bl B X A el B2

ai A X B d) C X A A.94

A X C

{x {x {x

A X B = {(x, y) I x E A e y E B}

I -2 l:l I -4

x <; 3} <; x <; 2} < x <; 1}

representar graficamente os seguintes produtos: ai A X B

bl A e) A2

d) C X B

Dados os conjuntos

cl B X C f) C2

A - {1, 2,3,4} e

E IR

I 1 <; x <;

representar

bl B X A

O conjunto R está contido em A X B e é formado por pares (x, y) em que o elemento x de A é "associado" ao elemento y de B mediante um certo critério de "relacionamento" ou "correspondência".

A.96 Sejam os canju ntos

X A)

A, B e C

clusâo entre os conjuntos

C X B

tais que

A C B C C.

Estabelecer as relações de in-

X B, A X C, B X A, B X B, B X C, C X A,

X A, A

C X C.

A.97 Sabendo que {11,21, (4,2)} C A 2 tos o conjunto A2

represente

-------~---t---t--

--- - --

3 ---- --2

-(1)- -

-~-

-0-

--t---G-~-+-,

--------8--+---+-, , ,

= {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}

ção binária de A em B.

ai A X B

X BI U

R = {(x, y) E A X B I xly}

graficamente os conjuntos:

0- - -(1)- - -~-,

que é chamado relação entre os elementos de A e de B ou, mais simplesmente, uma rela-

- - -- - - -

formado por 3· 5 = 15 elementos representados na figura ao lado, Se agora considerarmos o conjunto de pares ordenados (x, y) de A X B tais que x I y (lê-se: x é divisor de Y), teremos

E IR 11 <; E IR

Dados os conjuntos

C -

A.95

RELAÇÃO BINÃRIA

pelos elemen-

Solução

Será bastante úti I a representação da relação por meio de flechas, como na figura ao lado.

.. x

100. Definição

O número de elementos de A

é igual ao quadrado do número de elementos de A, por-

tanto

Dados dois conjuntos A e B, subconjunto R de A X B. 11,2) E A

Se A é um conjunto de 3 elementos, A~{1,2,4}.

2 14,21 E A ,

chama-se relação binária de

A em B todo

conciu{mos que

R é relação binária de A em B -<= R C A X B.

Assim sendo, A X A - {Il, li, 11, 21, (1,4),12,1),12,2),12,41,14, li, 14, 2),14, 4)} A.98 Se {ll,-2), (3, O)} C A tos. A.99

64-A

n1A ) ~ 16

A 2 pelosseus elemen-

então represente

Considerando A C B, {to, 51, (-1,2), 12,-1)} C A X B presente A X B pelos seus elementos.

nlA X B) ~ 12,'e-

Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de A X A é chamado relação binária em A.

R é relação binária em

A -<= R C A X A

65-A

Utilizaremos as seguintes nomenclaturas já consagradas A B

= =

conjunto de partida da relação R conjunto de chegada ou contra-domínio da relação R.

Quando o par

(x, y)

pertence a relação R, escrevemos x R y

;

(lê-se: ".

~_~--l_--~--.L_ T t

I I

xRy

-)--4--~--~---L ; : : ; :

E R ~

l __ .l __ 'V cb __ .l

erre y")

Ix, yl

6 ----.---.---t--\:!J-- .. -!

I I

+ __ +__ +__-+- _-t -

t i '

I I

I '

I I

---~--+--~--~--~t i , " , I

e se o par erre y")

(x, y)

não pertence a relação R escrevemos

x fÍ y

(lê-se:

"x não

Ix, yl !Í

39) Se R

{-1, O, 1, 2}

{(x, y) E A2 I x 2

quais são os elementos da relação

= y2}?

Fazendo a representação gráfica notamos que R = l(O, O), (1,1), (1, -1), (-1, -1), (-1,1). (2,2)}

-~-----

, ,,

19) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4} relação R = {(x, y) I x < y} de A em B?

é---

1 -

101. Exemplos

quais são os elementos da

-1 : ,,

(D-----

Utilizando as representações gráficas

66-A

, , ,

-1

" 1

---0---+-

AXB

R = {(1, 2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}

Fazem parte da relação todos os pares ordenados (x, y) tais que x E A, y E B e y = x + 2.

---($)---+ , ,

49) Se A = {x E IR I 1 .;;; x .;;; 3} e B = {y E IR I 1 .;;; y .;;; 2} pede-se a representação cartesiana de A X B e R = {(x, y) E A X B I y = x}

Temos então

29) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elementos da relação binária R de A em B assim definida: x R y ~ y = x + 27

Os elementos de R são todos os pares ordenados de A X B nos quais o primeiro elemento é menor que o segundo, isto é, são os pares formados pela "associação de cada elemento x E A com cada elemento de y E B tal que x < y".

----~-----e :, ''

-~--------D~~ ,

67-A

EXERCICIOS

103.

A.l00 Pede-se:

1?) Se A; {D, 2, 3, 4} e B; {1, 2, 3, 4, 5, 6} qual é o domínio e a imagem da relação R; {(x, y) E A X B I Y é múltiplo de x}?

Il enumerar pares ordenados 111 representar por meio de flechas 111) fazer o gráfico cartesiano das relações binárias de

= {-2, -1, 0,1, 2}

em B

= {-3, -2, -1,1,2,3, 4}

de-

finidas por: a) x R y

c) x T y el x W y

<==> x + y = 2 <==> Ixl = Iyl <===> Ix - yl2 = 1

A.l0l Dado o conjunto

<==> x 2 = y <==> x + y

b) x S y dI x V y

Exemplos

Utilizando o esquema das flechas é fácil perceber que O é o conjunto dos elementos de A dos quais partem flechas e que Im é o conjunto dos elementos de B aos quais chegam flechas, portanto: R

{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Enu merar os pares ordenados e constru ir

{(2, 2). (2, 4) (2, 6), (3, 3), (3, 6). (4, 4)} Im ; {2, 3, 4, 6}

O ; {2, 3, 4}

o gráfico cartesiano da relação R em A dada por:

R = {Ix, yl E A2

mdc Ix, y)

A.l02 Seja o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. R em A definida por: x R y A.103 Dado o conjunto relação binária

<====*

A = {m E Z

2?) Se A; {x E IR I 1 ~ x ~ 3} e B; {y E IR I 1 ~ y ~ 4}. qual é o domínio e a imagem da relação R; {(x, y) E A X B I y ; 2x}?

Construir o gráfico cartesiano da relação

são primos entre si.

-7 ~ m

< 7}.

Construir

Utilizando a representação cartesiana temos D ;{xE IR 11 ~x~2} e Im; {yE IR I 2~y~4}

gráfico cartesiano da

R em A definida por:

<==> x 2 + y2

x R y

e y

25.

pOMfNIO E IMAGEM

1_____ 3

102.

Definição

EXERCICIOS

Seja

R uma relação de A em B.

Chama-se dominio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencente a R,

A.l04 Estabelecer o domínio e a imagem das seguintes relações: a)

{Il, 1), 11,3),12, 4)}

{12, 1), 11, -3), 15, .,j2Ü 1 53} e) { (3, 2'), ("2' -1),1"2' O)

x E O

3y,

Y E B I (x, y) E R'

{1-2, 4),1-1,1), (3, -71, (2, 1)}

{Il

+..;2, ..;2),

-.J3, 1)}

A.l05 Estabelecer o domínio e a imagem das relações binárias do exercício A.100.

Chama-se imagem de R o conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R.

A.l06 Sejam os conjuntos A = {-2, -1, O, 1,2,3,4, 5}, relação binária de A em B definida por x R y

Y E Im

3x,

x E A I (x, y) E R

B = {-2, -1, 0,1, 2} e R a

<==> x = y2

Pede-se: a) enumerar os pares ordenados de R b) enumerar os elementos do dom(nio e da imagem de R

Decorre da definição que 58-A

D C A,

Im C B.

c) fazer o gráfico cartesiano de R

69-A

A.l07 Se R é a relação binária de A ~ {x E IR

1 ,;; x';; 6} em B

{y E IR

1 ,;; y ,;; 4

definida por xRy=x~2y

Pede-se: a) a representação cartesiana de A X B b) a representação cartesiana de R c) o domínio e a imagem de R

A.l0S Se R e S são as relações binárias de A ~ B ~ {y E;z I -2 ,;; y ,;; 3} definidas por: x R y x S y

= =

{x E;Z

-2 ,;; x ,;; 5}

2 divide Ix - y) Ix - 1)2 ~ Iy - 2)2

Pedem-se:

temos

a) as representações cartesianas de R e de S b) o domínio e a imagem 'de R e de S cl R n S.

{(2, 3), (2, 5), (2, 7), (3, 5), (3, 7), (4, 5), (4, 7), (5,

R R-I

{(3, 2), (5,2), (7, 2), (5, 3), (7, 3), (5, 4), (7, 4), (7, 5)}

2?) Se A = {x C IR I 1 ,;; x ,;; 4} presentar no plano cartesiano as relações sua inversa R -I .

VI.

RELAÇAo INVERSA

7l.f

e R

= {y E IR I 2 ,;; y ,;; 8} re{(x, y) E A X B I y = 2x} e

104.

Defi n ição 4

Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto

{(V, x) E B X A I (x, y) E R}

---_ ..

Como R-I é subconjunto de B X A, então R-I é uma relação binária de B em A à qual daremos o nome de relação inversa de R. x

Iy,

E R-I

Decorre dessa definição que R -I é o conjunto dos pares ordenados obtidos a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par.

70-A

Exemplos

PROPRIEDAQES São evidentes as seguintes propriedades

la) D(W ' ) = Im(R) Isto é, o domínio de R-I 2~) Im(R- I

)

10) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7} quais são os elementos de {(x. y) E A X B I x < y} e de W ' ? Utilizando o esquema das flechas

3a ) (R-I)-I

é igual à imagem de R.

D(R)

isto é, a imagem de R-I

(x, y) E. R

VII.

105.

-----~-

é igual ao domínio de R.

= R

isto é, a relação inversa de R -I

é a relação R.

71-A

EXERCfclOS

A.109 Enumerar os elementos de R-I, relação inversa de R, nos seguintes casos:

ai R

b) R = c)

{(l, 2),13,1),12, 31}

{(l,

CAPÍTULO V

-1),12, -1), (3, -1). (-2, 1)}

R = {(-3, -2), 11,3), 1-2, -31, 13, 1)}

A.l10 Enumerar os elementos e esboçar os gráficos de A = {x E rIJ 1 x ,ç lO}, nos seguintes casos:

x + Y = s} I x + 2y = lO} cl R = {Ix, yl E A2 I y = (x - 31 2 + I} d) R = {Ix, y) E A2 I y = 2 X } ai R

= {(x, y) E A2

FUNÇOES

R e R-I, . relações binárias em

b) R = {Ix, y) E A2

A.lll Dados os conjuntos A

{x E IR 11 ,çx,ç 6}. B

I. CONCEITO DE FUNÇÃO =

E IR 12,ç y,ç lO} e as seguin-

tes relações binárias:

I x

ai R

{Ix, y) E A X B

bl S

{(x,y)EAXB I y = 2x}

c) T = {Ix, yl E A X B I y = x + 2}

d) V = {Ix, v) E A X B Ix+y=7} pede·se o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas relações inversas.

106, Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos

{O, 1, 2, 3}

{-1, O, 1, 2, 3}

e as seguintes relações binárias de A em B: R = {(x, V) E S = {(x, V) E T = {(x, V) E V = {(x, V) E W = {(x, V) E

A A A A

X X X X

B V = x + 1} B V2 = x 2 } B V = x} B Iv (x-l)2-1}

A X B I V

Analisando cada uma das relações temos: a) R = {(O, 1), (1, 2), (2,3)}

Para cada elemento x E A, com exceção do 3, existe um só elemento V E B tal que (x, V) E R. Para o elemento 3 E A, não existe V E B tal que (3, y) E R. b) S = {(O, O), (1, 1), (1, ~1), (2, 2), (3, 3)}

Para cada elemento x E A, com exceção do 1, existe um só elemento V E B tal que (x, V) E S. Para o ele· mento 1 E A existem dois elementos de B, o 1 e o -1 tais que (1, 1) E S e (1, -1) E S.

72-A

73-A

c) T = {(O, O), (1, 1), (2, 2), (3, 3)}

108. Vejamos agora com o auxílio do esquema das flechas, que condições deve satisfazer uma relação f de A em B para ser aplicação (ou função).

Para todo elemento x E A, sem exceção, existe um só elemento y E B tal que (x, y) E T.

1?) é necessário que todo elemento x E A participe de pelo menos um par f, isto é, todo elemento de A deve servir como ponto de partida de fle-

Xl E aJiJ.---.-(x,

.. - -.. '

2?) é necessário que cada elemento x E A participe de apenas um único par (x, y) E f, isto é, cada elemento de A deve servir como ponto de partida de um~ única flecha. d) V

{(O, O), (1, -1), (2, O), (3, 3)}

Uma relação f, não é aplicação (ou função) se não satisfazer uma das con· dicões acima isto é,

Para todo elemento x E A, sem exceção, existe um só elemento y E B tal que (x, y) E V.

1?) se existir um elemento de A do qual não parta flecha alguma ou

2?1 se existir um elemento de A do qual partam duas ou mais flechas

"""

e) W = {(O, 2), (1,2), (2, 2), (3, 2)}

Para todo elemento x E A, sem exceção, existe um só elemento y E B tal que (x, y) E W.

"- • •-

f não é função.

110.

Exemplos 1?) A relação f de A em IR, com

107, Dados dois conjuntos A e B i '), não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x E A existe um só y E B tal que (x, y) E f.

y E B I (x, yl E

(li) Em todo o nosso estudo de funções, fica estabelecido que A e 8 são conjuntos forma-

<x<

3},

representada ao lado é função, pois toda reta vertical conduzida pelos pontos de abscissa x E A encontra sempre o gráfico de f num só ponto.

2?) A relação f de A em IR representada ao lado, onde

A = {x E IR I -2

74-A

~---a----

ponto.

A ~ {x E IR I .. 1

dos de números reais, isto é, A e B contidos em IR.

I não é lu nção

B se f é ou não função: basta verificarmos se a reta paralela.ao eixo y condu· zida pelo ponto (x, O), onde x E A, encontra sempre ográfico de f em um só

DEFINIÇÃ(

f é aplicação de A em B <==> (\Ix E A,

-----.

109. Podemos verificar através da representação cartesiana da relação f de A em

As relações T, V, W, que apresentam a particularidade: "para todo x E A existe um só y E B tal que (x, y) pertence a relação", recebem o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B.

11.

@:-----o---- - --

<x<

-2

não é função, pois há retas verticais que encontram o gráfico de f em dois pontos.

75-A

3?) A relação f de A em IR, representada ao lado, onde

A.114 Quais das relações de IR em IR cujos gráficos aparecem abaixo, são funções? Justificar.

A ~ {x E IR I O .;; x .;; 4} não é função de A em IR pois a reta vertical conduzida pelo ponto (1, O) não encontra o gráfico de f. Observemos que f é função de B em IR onde

c) y

1..-

...

1..1..-

1.1

B ~ {x E IR I 2 .;; x .;; 4}.

1.1

I\.

... 1I,

,...

1/ I'

r--,...

1..x

1.1 EXERC(CIOS

A.112 Estabelecer se cada um dos esquemas das relações abaixo define ou não uma função de A = {-1. 0,1, 2} em B = {-2, -1, 0,1,2, 3}. Justificar.

1/ 1.)

lal

(bl

A.113 Quais dos esquemas abaixo definem uma função de A

{O, 1. 2} em B = {-1, 0, 1, 2}?

111.

NOTAÇÃO DAS FUNÇÕES

111. Toda função é uma relação binária de A em B, portanto, toda função é um conjunto de pares ordenados.

Geralmente, existe uma sentença aberta y ~ f(x) que expressa a lei mediante a qual, dado x E A, determina-se y E B tal que (x, y) E f, então f ~ {(x, y) I x E A, y E B e y = f(x)}. Isto significa que, dados os conjuntos A e B, a função f tem a lei de y = f(x).

corre~pondência

Para indicarmos uma função f, definida em A com imagens em B segundo a lei de correspondência y = f(x), usaremos uma das seguintes notações

f: A B x ...---- f(x) 76-A

A -.!..,. B x ..-.. f(x) 77-A

112. Exemplos EXERCICIOS

f: A

19)

A.115 Oual é a notação das seguintes funções de IR em IR?

__ B ~

a) f associa cada número real ao seu oposto

é uma função que associa a cada x de A um y de B tal que y; 2x.

b) 9 associa cada nú.nl"ero real ao seu ·cubo d h associa cada número real ao seu quadrado menos 1 d) k associa cada número real ao número 2

f: IR ~ IR

29)

f------*

A.116 Oual é a notação das seguintes funções?

é uma função que leva a cada x de IR um y de IR tal que y ~ x 2 • f: IR+ ~ IR x ~

39)

y-;

é uma função que faz corresponder a cada x E IR+ um y E IR tal que y; y-;:

113. Se (a, b) E f, como já dissemos anteriormente, o elemento b é chamado imagem de a pela aplicação f ou valor de f no elemento a e indicamos: f(a) ; b

aI f é função de <D. em ((} que associa cada número racional ao seu oposto adicionado com 1. b) 9 é a função de Z em Ql que associa cada número inteiro à potência de base 2 desse número. cl h é a função de IR* em IA que associa cada número real ao seu inverso. A.117 Seja f a função de IR em IR definida por I(x) = x 2 - 3x + 4. Calcular:

f(21

f(l -

vil

A.118 Seja f a função de,z em,z definida por I(xl = 3x - 2. Calcular: a)

f(2)

b) 1(-31

"f de a é igual a b".

que se lê

A.119 Seja f a função de IR em IR assim definida

114.

f(xl = {1

Exemplo 1(3)

Seja a função

f: IR --+ IR x f------* 2x + 1

d) f (";';1

bl f(-~)

flV2l

el 1(V3 - 1)

flO,75)

então A.120 Seja a função

a) a imagem de O pela aplicação f é 1, isto é: f( O)

se x E (Q

x+lsexrj:.111

de IR em IR definida por

do dom ínio que tem

- 4

como imagem?

Solução

Queremos determinar o valor de

f(-2) ; 2 • (-2) + 1 ; -3 basta, portanto, resolver a equação

c) analogamente f("2) = 2 •

tal que 2x - 3

Resolvendo a equação:

+ 1

f(y'2) ; 2 • y'2 + 1

2x - 3

3 <==> 4(2x-3)=-3'5 <==> 8x-12=-15 <==> xC-a

f(O,7) ; 2 • 0,7 + 1 ; 2,4 Resposta:

78-A

2x - 3 - - 5 - ' Qual é o elemento do

2 • O+ 1 ; 1

b) a imagem de -2 pela aplicação f é -3, isto é:

f(x)

o elemento é

3 8

79-A

Seja a função f de IR - {1} em IR definida por Hxl -- ~ x - 1 . Oual é o elemento

A.121

Notemos, que, feita a representação cartesiana da função f, temos:

do domlnio que tem imagem 27

Dominio A.122

Ouais são os valores do domlnio da função real definida por f(x) produzem imagem igual a 37

5x + 9 que

(O) é O conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as abscissas dos pontos do gráfico de f.

Imagem

IV.

OOMfNIO E IMAGEM

115.

Definição

(I m) é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais conduzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f.

116.

Exemplos

Considerando que toda função f de A em B é uma relação binária, então f tem um dominio e uma imagem.

Chamamos de dominio o conjunto O dos elementos x E A para os quais existe y E B tal que (x, y) E f. Como, pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, temos nas funções: domrnio = conjunto de partida

isto é,

-2

0= A.

Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y E B para os quais existe x E A tal que (x, y) E f, portanto:

O Im

-2 .;;; x .;;; 1} O';;; y .;;; 4}

{x E IR {y E IR

O Im

= =

-2 .;;; x .;;; 3} -1 .;;; y .;;; 4}

{x E IR {y E IR

imagem é subconjunto do contradomrnio

3?)

isto é,

4?)

.L......-ç er----. , : :

Im C B

-2

-1

-2

domfnio

8o-A

contra-domfnio

O Im

{x E IR I x *- O} {y E IR I -2 < y ou 1 < y

<O < 2}

O Im

{x E IR I -2

< x < 2}

{1, 2}

81-A

117. As funções que apresentam maior interesse na Matemática são as funçõe~ numéricas, isto é, aquelas em que o domínio A e o contradomínio B são subconjuntos de R. As funções numéricas são também chamadas funções reais de variável real.

EXERCíCIOS A.123 Estabelecer o domínio e a imagem das funções abaixo:

Observemos que uma função f fica completamente definida quando são dados o seu domínio D, o seu contradomínio e a lei de correspondencia y= f(x). Quando nos referirmos à função f e dermos apenas a sentença aberta y = f(x) que a define, subentendemos que D é o conjunto dos números reais x cujas imagens pela aplicação f são números reais, isto é: x E D

118.

<==

f(x) E IR.

A.124 Nos gráficos cartesianos das funções abaixo representadas, determinar o conjunto ima· gemo

Exemplos Tomemos algumas funções e determinemos o seu domínio.

1?) y = 2x

notando que 2x E IR

para todo

I- 1-1-..

x E IR, temos:

1...-

1--1-

1/ 111'

= IR.

D 2?) y

1...1/1

1...-

notando que x 2 E IR

para todo

x E IR, temos: D

IR.

3?) y notemos que

li'

111'

-!. E x

1/ I~

li'

IR se, e somente se, x é real e diferente de zero; temos então D = IR'.

4?) y=~

)

notemos que ..;-;. E IR

se, e somente se, x é real e não negativo, então D = IR+.

notando que

.çr; .çr; E

para todo

x E IR, temoS: D

82-A

\/ I"..

1/ 1'\ i'\

5?) y =

1/ ("v

IR.

83-A

A.125 Considerando que os gráficos abaixo são gráficos de funções, estabelecer o domíni( e a imagem. a\

'f- 1--1-

---+-1-

120.

Exemplos

1?) Se A ~ {1, 2, 3} em B definidas por:

II--

f- 7~

1/ V

ly 1/1'\

J'\ I'.

I',

--~O

2 - 1

g(2)

4 - 1 2 + 1

3 - 1 ~ 2

g(3) ~

f(2)

f(3)

=== 3 ===

1 - 1 1 + 1

g(l)

x ~ 2

- 1

i?) As funções f(x) ~ ~ Ixl, vxE IR.

I'l..I y

!"\ 1/

X+1

9 - 1

3+1

x I'\.

f(l)

L_~

são iguais, pois x

- r-r-r-

x - 1 e g(x)

l/ 1/

{-2,-1,O,l,2} entãoasfunçõesde

f-I--

f(x)

xi=

fi x

3<:') As funções f(x) Ixl para x<O.

Ixl

e g(x)

de R em R são iguais, pois

g(x) ~ Ix I de R em fi

não são iguais, pois

lI' I'\.

EXERCfclOS

~7 Sejam as funções f, 9 e h de IR em IR definidas por . h( z) = z3. Quais delas são iguais entre si?

A.126 Dar o domínio das seguintes funções reais: ai f(xl = 3x + 2 x - 1 c) h(x) = x2 - 4 1 e) q(x) =

s(xl=~

i) ulxl =

lf;+2

bl g(x) d) p(x) = t) r(x) =

h) t(xl =

+128

1 x + 2

.,;x-:l

v;:;2

f(xl =

~2x + 3

119.

84-A

FUNÇÕES IGUAIS

)8 -1

-x+1

glx) =

g(yl ~ y3

e 9 de IR em IR definida

f(xl

~ --

x 2 .- x).

v'X+1

...

podem ser IguaIS? Justificar.

x+1

A.J3(l As funções f e 9 de A = {x E IR

/ V.

=...;;:i

f(xl

x 3•

As funções f ~ 9 cujas leis de correspondência sito

x - 2 1

x - 3

As funções: f de IR em IR definida por por g(x) = x são iguais? Justificar.

flx)

glx)

-1

<x <O

\I x 2

x> 1} em

IR. definidas por:

são iguais? Justificar.

- x

Definição Duas funções, f de A em B e 9 de C em D são iguais se, e somente se, C, B ~ D e f(x) ~ g(x) para todo x E A.

f: IR

----> IR

•

Jo.o-.--+.

g: IR - {1}

+ 1

• (

---> IR

são iguais? Justificar.

f-----+ .2 - 1

• - 1

85-A

APl:NDICE SOBRE INEQUAÇÕES

123. Solução

Vamos ver aqui algumas técnicas úteis para os próximos capítulos.

número real

Xo é solução da inequação

se, é verdadeira a sentença 121.

Definição

f(x) > g(x}

se, e somente

f(xo) > g(xo).

Exemplo O número real 3 é solução da inequação

Sejam as funções f(x) e g(x) cujos domínios são respectivamente Dl C IR e D 2 C IR. Chamamos inequação na incógnita x, a qualquer uma das sentenças abertas, abaixo: f(x) > g(x) f(x) < g(x)

2x + 1 > x + 3,

pois

2·3+1>3+3 '---.,,--J

'--v----l

f(3)

9(3)

é uma sentença verdadeira.

f( x) ;;. g( x)

f(x} ,,;;; g(x} 124.

Exemplos , 1~) 2x - 4 > x 2c:') 3x - 5

é uma inequação onde f(x) ; 2x - 4

e g(x); x.

Conjunto-solução

O conjunto S de todos os números reais x tais que f(x) > g(x) sentença verdadeira, chamamos de conjunto-solução da inequação.

é uma

é uma inequação onde f(x) ; 3x - 5 e g(x); 2.

Exemplo 3c:') x 2

3 ;;.

~ x

é uma inequação onde f(x}; x

e g(x) = ' x

o r---;. 1 ~ 1 4.) V x - 2";;; x _ 3 é uma inequação onde f(x) ; v x - 2 e g(x); - - . x-3

122. Domínio de validade

Chamamos de domínio de validade da inequação f(x) g(x) o conjunto D ; Dl n D2 , onde Dl é o domínio da função f e D2 é o domínio da função g. É evidente que para todo Xo E D, estão definidos fIxo) e g(xo), isto é: Xo E D <==

(xo E Dl

Xo E D2 )

<== (f(xo) E

A inequação 2x + 1 > x + 3 tem o conjunto-solução S; {x E IR I x> 2}, isto é, para qualquer Xo E S a sentença 2xo + 1 > Xo + 3 é verdadeira. Se não eXistir o número real x tal que a sentença f(x) > g(x) seja verdadeira, diremos que a inequação f(x) > g(x) é impossível e indicaremos o conjunto solução por s; 0.

Exemplo O conjunto-solução da inequação x + 1 > x + 2 é S ; rfJ, pois não existe Xo E IR t.al que a sentença Xo + 1 > Xo + 2 seja verdadeira.

e g(xo) E R)

lc:') D ; IR

n R

Resolver uma inequação, significa determinar o seu conjunto-solução. Se Xo E' R é solução da inequação f(x} > g(x}, então, Xo é tal que f(xo) E R e g(xo) E IR, isto é, Xo E O (domínio de validade da inequação). Assim sendo,

2c:') D ; IR

n IR

temos

Nos exemplos anteriores, temos:

xoÉS

3c:') O ; fl n IR" ; IR" 4c:') O ; {x E R {x E IR

86-A

x ;;. 2}

n {x E IR I x i= 3}

x ;;. 2 e x i= 3}

xoED

ou seja, o conjunto-solução é sempre subconjunto do domínio de validade da inequação.

87-A

125.

Inequações equivalentes

portanto, como (}) é equivalente a

Duas inequações são equivalentes em O C IR se o conjunto-solução da primeira é igual ao conjunto-solução da segunda.

temos:

{x E R I x

Na prática, aplicamos a propriedade

> 4}. P-l

com o seguinte enunciado:

"em uma inequação podemos transpor um termo de um membro para outro trocando o sinal do termo considerado":

Exemplos 1?) 3x + 6 > O e X + 2 > O são equivalentes em IR, pois o conjuntosolução de ambas é S = {x E IR I x> 2}. 2?) x < 1 e x < 1 não são equivalentes em IR, pois ção da primeira mas não o é da segunda. 2

f(x) + h(x)

< g(x) =

f(x)

< g(x)

- h(x).

Assim, no exemplo anterior, teríamos: Xo =

-2 é solu-

3x - 1 > 2x + 3

3x - 1 - 2x > 3

x> 3 + 1

x > 4.

P-2} Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em Dl e D2 , respectivamente. Se a função h(x) é definida em Dl n D2 e tem sinal constante, então:

126. Princípios Na resolução de uma inequação procuramos sempre transformá-Ia em outra equivalente e mais "simples", em que o conjunto-solução possa ser obtido com maior facilidade. Surge, então, a pergunta: "que transformações podem ser feitas em uma inequação para obter-se uma inequação equivalente?". A resposta a esta pergunta são os dois princ(pios seguintes: P-1) Sejam as funções f(x) e g(x) definidas em Dl e D2 , respectivamente. Se a função h(x) é definida em Dl n D2 , as inequações f(x)

< g(x)

e f(x) + h(x)

< g(x)

a) se h(x) > O, f(x) • h(x) < b) se h(x) < O, f(x) • h(x) >

Exemplos 1?) ;

3?)

Seja a inequação

'----.,..-J

adicionemos h(xl

(3x - 1) + (-2x + 1) t(x)

(})

'--v---J

g(x)

'---.r---J f(x)

h(x)

e 6x - 9> 4 são equivalentes em R, pois a segunda

4~ x

- 3 > O e 4x - 3 > O são equivalentes em IR. Notemos que a

+ 1

Na prática, aplicamos a propriedade

P-2

com o seguinte enunciado:

'---v---J h(x)

EXERCICIOS

façamos as simplificações poss(veis: x

(2x + 3) + (-2x + 1)

'---v---J

h(x)

"em uma inequação podemos multiplicar os dois membros pela mesma expressão, mantendo ou invertendo o sentido da desigualdade, conforme essa expressão seja positiva ou negativa, respectivamente."

g(x)

-2x + 1 aos dois membros:

'---v---J

segunda foi obtida da primeira através da multiplicação por x2 + 1 > O, V x E A2x + 3 '----.,,-J

t(x)

inequação foi obtida a partir da primeira através de uma multiplicação por 12.

Exemplo

3x - 1

as inequações f(x) < g(xl e g(xl • h(x) são equivalentes em Dl n D2 • as inequações f(xl < g(x) e g(xl • h(x) são equivalentes em Dl n D2 •

2?) _2x 2 + 3x > 1 e 2x 2 - 3x < -1 são equivalentes em R pois a segunda foi obtida da primeira através de uma multiplicação por -1 e inversão do sentido da desigualdade.

+ h(x)

são equivalentes em Dl n D2 -

88-A

4 '---v---J g(x) + h(x)

A.132 Resolver as inequações em IR:

a) 4x + 5 2x - 3 b) 5(x + 3) - 2(x + 1) .;;; 2x + 3 c) 3(x + 1) - 2 ;;. 5(x - 1) - 3(2x - 1)

89-A

A.133 Resolver em IR, a inequação

x - 1 -2-

x + 2 -3-

~ ?x

Solução

Família serve a ciência por 100 anos

A inequação proposta é equivalente à inequação que se obtém multiplicando pelo m.m.c. (3, 2) = 6:

+ 2) - 3(x - 1) ;;;. 6x,

2(x

Nenhuma família na história da Matemática produziu tantos matemáticos célebres quanto a família Bernoulli. Oriunda dos Países Baixos espanhóis, esta família emigrou em 1583 para Basiléia, na Sul'ça, fugindo da guerra. Cerca de uma dúzia de membros da família conseguiu renome na Matemática e na F ísica, sendo quatro deles eleitos como sócios

Efetuando as operações, temos: -x

+ 7 ;;;. 6x

ou ainda

estrangeiros da Academia das Ciências, da França.

-7x ;;;. -7. Dividindo ambos os membros por -7 e lembrando que devemos inverter a desigualdade, temos

Nicolaus (1623-17081

1~_ _--jI-------"11

e, portanto,

{x E

Jacques (1654-1705)

I x ~ I}.

A.134 Resolver em IR, as inequações:

a) b)

x-I

Nicolaus II (1687-17591

_ x - 3 ;;;. 1

2x - 3 -2- -

Nicolaus I (1662-17161

4 5 - 3x -3-

Jean I (1667-17481

Nicolaus 111 (1695-1726)

< 3x

Jean III (1746-1807)

6(x + 2) -

(17,0-1790) Jaoques II (1759-1789)

Chnstoph (1782-1863)

di (3x - 2)2 - (3x - 1)2 el 4(x - 2) -

Daniel 11 (1751-1834)

Jean II

c) (3x + 11 (2x + 1) ~ (2x - 1) (3x + 2) - (4 - 5x) (x + 21 2 - (x - 1)2

> (3x + 2) > 5x - 6 - 4(x - 11 2(3x + 2) > 2(3x - 1) - 3(2x

Daniel I (1700-1782)

+ 1)

Jeil n G ustave (1811-18631

A.l35 Resolver em IR, a inequação: 2x - 3 ~ 2

x-I Solução 2x - 3 _ 2 ~ O

A inequação proposta é cqu,valente a

x::1 -1

que, reduzindo ao mesmo denominador, fica

x-I

~ O,

-1

Notemos que a fração deverá ser não positiva; como o numerador -1 é negax tivo, então o denominador x - 1 deverá ser positivo. Lembrando que o denominador não poderá ser nulo

e, portanto,

{x E

de L'Hospital e, em troca de um salário regular, concordou em enviar ao nobre francês suas descobertas matemáticas, para serem usadas como o marquês o desejasse. A conseqüência foi que uma das mais importantes descobertas de Jean passou à Hi~t6ria com nome "regra de L'Hospital" se f(x) e g(x) são funções diferenciáveis em x a, f(a) ~ O e gla) c O,

x> I}

A.136 Resolver em IR, as inequações: a)

9O-A

3x-2~_3 1 -

4x - 5 ;;;. 2 2x - 1

Os Bernoulli matemáticos: árvore genealógica Os primeiros Bernoulli que se destacaram em Matemática foram Jacques e Jean, respectivamente quinto e décimo filhos de Nicolaus. Jacques viajou muito para encontrar cientistas de outros países. Destacou-se por seus estudos sobre infinitésimos, seus artigos sobre máximos e mínimos de funções publicadas na revista "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos), suas pesquisas sobre séries infinitas em que aparece o resultado célebre conhecido como "desi9ualdade de Bernoulli": (1 + x) n 1+ + nx . .4. ele é também atribuída a demonstração de que a série harmônica é divergente. Jacques tinha uma verdadeira fascinação por curvas, tendo estudado várias delas: a parábola semi-cúbica, a lemniscata, a catenária, a is6crona a espiral logarítmica, etc. Jean Bernoul!i segundo a vontade do seu pai deveria ser médico, porém indo estudar em Paris, desgarrou para a Matemática, escrevendo em 1691-1692 dois livros de Cálculo que foram publicados muito mais tarde. Em 1692, passou a ensinar Cálculo a um jovem marquês

--4 - 3x 3x

< -1

então existe

lim f'(x) x+ag'(xl

fim x+a

~ ~

glxl

11m f'(xl x+a g'lxl

91-A

Os irmãos Jean e Jacques mantinham intensa correspondência com Leibniz pois todos eles colaboravam com artigos para a mesma revista, "Acta Eruditorum" (Anotações dos eruditos). Jacques é também autor do clássico "Arte de conjecturar", considerada a mais antiga

CAPÍTULO VI

obra sobre probabilidade. Jean foi pai de Nicolas, Daniel e Jean 11. Nicolas foi professor de Matemática em S. Petersburgo e Daniel e Jean II foram professores em Basiléia. Outro Bernoulli. Nicolas li,

FUNÇÕES DO I!' GRAU

primo desses três, ocupou durante algum tempo o lugar que foi de Galileu, em Pádua. Da geração mais jovem foi Daniel que mais se destacou com seus resultados em hidrodinâmica e probabilidade.

Houve ainda outros Bernoulli que conseguiram evidência em Matemática, no século XVIII, fazendo juz ao nome da fam(lja.

I. FUNÇÃO CONSTANTE

127. Definição y

Uma aplicação f de IR em IR recebe o nome de função constante quando a cada elemento x E IR associa sempre o mesmo elemento c E lÃ. Isto é: f: IR

---+

lo.

IR x

x_~.

Jacques Bernoulli (1654 - 1705)

Jean Bernoulli (1667 - 1748)

O gráfioo da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando (O, c). ponto pelo A imagem é o oonjunto Im

{c}

128. Exemplos Construir os gráficos das aplicações de IR em IR definida por: 2) y

1)y=3

= -1 y

(0,3)

Daniel Bernoulli (1700 - 1782) 92-A

lo,

-1)

93-A

11.

FUNÇÃO IDENTIDADE

131. Exemplos 1~) Construir o gráfico da função y = 2x. Considerando que dois pontos distintos determinam uma reta e no caso da função linear um dos pontos é a origem, basta atribuir a x um valor não nulo e calcular o correspondente y = 2x.

129. Definição Uma aplicação f de IR em IR recebe o nome de função identidade quando a cada elemento x E IR associa o próprio x, isto é;

...x

f: R _ R x f----+ X

O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1 ~ e 3~ quadrantes. A imagem é

111.

Pelos pontos P(O, O) e O( 1, 2) traçamos a reta PO que é precisamente o gráfico da função dada.

FUNÇÃO LINEAR

130. Definição

2~) Construir o gráfico da função y = -2x. Analogamente, temos:

Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função linear quando a cada elemento x E IR associa o elemento ax E IR onde a O é um número real dado, isto é:

y = -2x

-2

O (*)

Demonstra-se que o gráfico da função linear é uma reta que passa pela origem.(H) A imagem é Im

IR.

f: R -----+ R x ~ ax,

EXERCICIOS

IR.

A.137 Construir o gráfico das funções de IR em IR:

De fato, qualquer que seja o y E IR,

existe

:!..

E IR,

a *0,

tal

aI y

b) y = -3

= 2

dI y = O

C)Y=V2

que A.138 Construir, num mesmO sistema cartesiano. os gráficos das funções da

f(x)

(.) Observe que se

= f(.r) ,. a • l a

= y.

teremos a função constante

a) y

(.. ) Essa demonstração será feita para um caso mais geral e se encontra na página 96.

94-A

b) y = 2x

cl y = 3x

y = -x

b) y

= -2x

cl y

-3x

IR:

IR em

IR:

dI y = ~ 2

A.139 Construir, num meSmO sistema cartesiano. os gráficos das funções de a)

IR em

dI y

= -

95-A

IV. FUNÇÃO AFIM Subtraindo membro a membro, temos:

132. Definição

Y3 - Y2 = a(x3 - X2)}

Uma aplicação de IR em IR recebe o nome de função afim quando a cada x E IR estiver associado o elemento (ax + b) E IR com a O, isto é:

f:IR ----+ FI x 1---+ ax + b, a

Y= Y= Y= Y=

3x + 2 -2x + 1 x - 3 4x

onde onde onde onde

a a a a

Os triângulos ABD e BCE são retângulos e têm lados proporcionais, então são semelhantes e, portanto, O! = il. Segue-se que os pontos A, B e C estão alinhados.

= = = =

3 -2 1 4

e e e e

b=2 b= 1 b = -3 b=O

135. Aplicaç.ões

O a função afim Y = ax + b se transforma Notemos que para b na função linear Y = ax; podemos, então, dizer que a função linear é uma particular função afim.

Y3 - Y2 Y2 - YI = a(X2 - xtl

*' O

133. Exemplos

a) b) c) d)

GRAFICO

134. "O gráfico cartesiano da função

ax + b (a

f(x)

* O)

é uma reta".

1~) Construir o gráfico da função Y Considerando que o gráfico da função afim é uma reta, vamos atribuir a x dois valores distintos e calcular os correspondentes valores de y.

Y = 2x + 1

O 1

2x + 1.

(1, 3)

Demonstração

Sejam A, B e C três pontos quaisquer, distintos dois a dois, do gráfico cartesiano da função Y = ax + b (a O) e (XI, yd, (X2' Y2) e (X3' Y31. respectivamente, as coordenadas cartesianas desses pontos.

O gráfico procurado é a reta que passa pelos pontos

Para provarmos que os B e C pertencem a mesma tremas, inicialmente que os retângulos ABD e BCE lhantes.

2~)

pontos A, reta, mostriângulos são seme-

96-A

(1,3).

V2 - fI

E f

~ YI = aXI + b

(X2' Y2) E f

~ Y2 = aX2 + b

(3)

Constru ir o gráfico da função Y = - x + 3. De modo análogo, temos

V V3

De fato: (XI,

(O, 1)

Y = -x

3 2 x

97-A

EXERCíCIOS

fundamento do processo da adição, consiste no seguinte: aplicando a primeira propriedade, multiplicamos cada equação por números convenientes, de modo que, os coeficientes de determinada incógnita sejam opostos e pela segunda propriedade, substitui mos uma das equações pela soma das duas equações.

A.140 Construir o gráfico cartesiano das funções de IR em IR: a) Y

2x -- 1

c) Y e) Y

3x + 2

b) Y d) Y

-3x - 4

g) Y

-2x + 3

x + 2 2x - 3 2 -x + 1 4 - 3x 2

X -

5x = -5 { 2x + 3y

Solução Analltica Existem diversos processos analfticos pelos quais podemos resolver um sistema dE equações. Vamos apresentar dois deles.

Gx~+-~y

<==> x

= y -

A solução do sistema é o par ordenado

{

(-1, 2L

a2 x + b2 Y

= c2

{kalX + kblY = kCI a2 x + b2 Y

(k =/=0)

= c2

11. "Num sistema de equações, se substituirmos uma das equações, pela sua soma com umé:i outra equação do sistema, o novo sistema é equivalente ao anterior".

(-) Sistemas de equações são equivalentes quando apresentam as mesmas soluções.

98-A

1/ Iv

:, 3

/ '/

/ l/

y~X+3

.....

-2x + 4 y = --3--

I'-.

Construrmos os gráficos de

I. "Num sistema de equações, se multiplicarmos todos os coeficientes de uma equação por um número não nulo, o sistema que obtemos é equivalente ao anterior (-)'

{

2x + 3y

!oo..

é equivalente a

-1.

Este processo baseia·se nas seguintes propriedades:

Y = -3

X {

Adição

alx + bly = cl

4, encontramos

2' (-1) + 3y = 4 ... y = 2

que levamos à primeira equação, encontrando: <==> x

2x + 3y

O sistema proposto

<==> 2y - 6 + 3y

x-2=-3

Solução Gráfica

e substituímos x por este valor na segunda equação: 2(y - 3) + 3y

x = -1

A solução do sistema é o par ordenado (-1, 2).

Resolvendo, por exemplo, a primeira equação na incógnita x, temos: y = -3

substituindo

de uma das equações, na outra.

x -

que é equivalente a:

Substituição

Este processo, consiste em substituir o valor de uma das inc6gnitas, obtido a partil

:z'?) processo:

•

Substituindo a primeira equaçiio pela soma das duas equações, temos:

la) processo:

2x + 3y = 4

3X - 3y = -9 { 2x + 3y = 4

Y ~ -3

2x + 3y

{

multiplicamos a primeira equação por 3

A.141 Resolver analftica e graficamente o sistema de equações: {

X - Y = -3

Assim, no sistema

y = x + 3

y =

-2x + 4 ---

-2x + 4 3

'-L-

,3, ,-

A solução do sistema são as coordenadas do ponto de intersecção das retas, portanto (-1,2).

A.142 Resolver analltica e graficamente os sistemas de equações. a)

{x+ y x - y

(2X - 5y 7x + 4y

{x + 2y ~ 1 2x + 4y = 3

=5 ~

9 10

- 2y = -14 ex 2x + 3y 8

{4X + 5y = 2 6x + 7y = 4

(2X + 5y = O 3x - 2y = O

99-A

A.143 Resolver os sistemas de equações:

t;'

x - y

Sugestão: faça

x + y 1 x + y

1 4

x + y + 1

= a

x - y

{,,;.,

VII. COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM

3 4

137. O coeficiente ..:- da função f(x); ax + b é denominado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano. b

X+Y

2 2x - y + 3 3 2x - y + 3

O coeficiente b da função y; ax + b é denominado coeficiente linear.

5 12

138. Exemplo

A.144 Obter a equação da reta que passa pelos pontos

(1, 2)

Na função y; 2x + 1 o coeficiente angular é 2 e o coeficiente linear é 1. Observe que se x; O temos y; 1. Portanto, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y.

(3, -2).

Solução Seja y = ax + b a equação procurada. O problema estará resolvido se determinarmos o valores de a e b. Considerando que o ponto (1, 2), pertence a reta de equação y = ax + b, ae substituirmos x = 1 e y = 2 em y = ax + b, temos a sentença verdadeiri 2 = a •1 + b

isto é:

Analogamente, para o ponto -2 = a • 3 + b

a + b = 2

(3, -2), obtemos:

isto é:

EXERCíCIOS

3a + b = -2

A.146 Obter a equação da reta que passa pelo ponto: igual a 2.

Resolvendo o sistema a+b=2 { 3a + b = -2 encontramos a = -2 e

e tem coeficiente angular

Solução b = 4.

A equação procurada é da forma

Assim, a equação da reta é y = -2x + 4.

Se o coeficiente angular é

b) (1,-1)

d) (1, 2)

y = ax + b.

2, então a = 2.

Substituindo x = 1, y = 3

A.145 Obter a equação da reta que passa pelos pontos: a) (2, 3) e (3, 5) c) (3, -2) e (2, -3)

(1, 3)

e a = 2 em

3=2,1 +b

(-1,2) (2, 2)

A equação procurada é

y = ax + b,

y = 2x + 1.

A.147 Obter a equação da reta que passa pelo ponto igual a -3.

VI. IMAGEM

vem:

b=1.

(-2, 4)

A.148 Obter a equação da reta com coeficiente angular igual a

136. O conjunto imagem da função afim f: IR com a O é IR.

f(x)

De fato, qualquer que seja y E IR f(~); a· _y-b + b; y. a a

100-A

IR definida por f(x); ax + I

existe

y - b

E IR

ponto

e tem coeficiente angular

1 2

e passando pelo

(-3, 1).

A.149 Obter a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 1) e tem coeficiente linear igual a 4. A.150 Obter a equação da reta com coeficiente linear igual a (-3, -2).

-3 e passa pelo

ponto

101-A

IR em IR, obter a lei de correspondência dessa!

A.151 Dados os gráficos das funções de funções.

140. Podemos interpretar o zero da função afim, como sendo a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo dos x.

Exemplo Fazendo o gráfico da função y = 2x - 1, podemos notar que a reta

intercepta o eixo dos x em

x =

1 2 '

isto é, no ponto

-1

VIII. ZERO DA FUNÇÃO AFIM IX.

139. Definição Zero de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f(x) = O x é zero de

y = f(x)

<=>

Assim, para determinarmos o zero da função afim, basta resolver a equaçãc do 1 Çl grau ax + b que apresenta uma única solução De fato, resolvendo

ax + b

a 0/= O, <=>

vem

102-A

zero da função 1

x =

f(x)

2x - 1 é

< X2

f(xtl

< f(x2))

f(xtl - f(x2)

temos

= -b

<=>

Xl -

b --o

pois, fazendo

Exemplo

é crescente no conjunto pertencentes a A" com

e isto também pode ser posto assim:

a O,

y = f(x) x, e x 2

Em símbolos: f é crescente quando ("Ix}, X2)(XI

ax + b

141. Definição A função f: A - > B definida por A, C A se, para do is valores quaisquer x} < X2' tivermos f(xtl < f(x2)'

f(x)

FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES

2x - 1

Na linguagem prática (não matemática), isto significa que a função é crescente no conjunto AI se, ao aumentarmos o valor atribuído a x, o valor de y também aumenta.

_+-_~_-L_--"'--_---L

__ x

103-A

142. Exemplo

EXERCICIO

A função XI

< x2

f(x)

2x I < 2x 2 L....-J L....-J f(xI) f(X2)

é crescente em

A.152 Com base nos gráficos abaixo, de funções de

IR, pois:

para todo Xl E IR

IR, especificar os intervalos

onde a função é crescente ou decrescente.

e todo

X2 E IR.

143. Definição x

Afunção f: A ---+ B definida por y ~ f(x) AI C A se, para dois valores quaisquer XI e x 2 XI < x 2' tem-se f(xd > f(x 2 ).

é decrescente no conjunto pertencentes a AI, com

Em símbolos: f é decrescente quando (Vx l , x 2)(Xt < x 2 => f(xd e isto também pode ser posto assim:

f(x l ) - f(x 2 ) Xl - x 2 Na linguagem prática, (não matemática) isto significa que a função é decrescente no conjunto A I se, ao aumentarmos o valor atribuído a X, o valor de y diminui.

> f(x 2 )) < O) x.

TEOREMA

145, "A função afim é crescente (decrescente) se, e somente se, o coeficiente angular for positivo (negativo)". x

144. Exemplo A função => -

f(x) ~ -2x 2x I

'----------'

f(Xt)

>'----v------' - 2X 2

é decrescente em IR, pois

para todo

tlx2 1

Notemos que uma mesma função pode não ter o mesmo comportamento (crescente ou decrescente) em todo o seu domínio. y ~ f(x),

É bastante comum que uma função seja crescente em certos subconjuntos de D e decrescente em outros. O gráfico ao lado representa uma função crescente em IR+ e decrescente em IR_,

104-A

XI E IR e todo x2 E IR. Fica como exercício provar que

f(x)

ax + b

decrescente equivale a

< O.

EXERCICIOS

A.153 Especificar para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em IR: aI y = 3x - 2

bl y = -4x + 3

Solução x

aI É crescente, pois o coeficiente angUlar é positivo (a = 31 b) É decrescente, pois o coeficiente angular é negativo (a = -4).

105-A

A.154 Especificar para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em

b) d) f)

a) V = 1 + 5x cl v = x + 2 e) V = -2x

IR.

= -3 - 2x V =3 - x V = 3x V

Observemos, inicialmente, que interessa o comportamento da curva y = f(x) em relação ao eixo dos x, não importando a posição do eixo dos y. Preparando o gráfico com aspecto prático, temos:

f(x)

A.155 Estudar segundo os valores do parâmetro m, a variação (crescente, decrescente ou constante) da função V= (m - l)x + 2.

•x

Solução

Se m - 1 O, isto é, m portanto, crescente em IR.

> 1,

então a função terá coeficiente angular positivo e,

m - 1 < O, isto é, m < 1, então a função terá coeficiente angular negativo e, portanto, decrescente em IR.

Se Se

m - 1 = O isto é, m = 1, então será função V = 11 - lIx + 2, 2 que é constante em IR.

A.156 Estudar segundo os valores do parâmetro

ouseja,

= (m =

f(x)

J I

;

•

I I

+ 6

I I

m, a variação (crescente, decrescente ou

Conclusão:

constante) das funções abaixo ai V

sinal de

+ 2)x - 3 + 3)x

mlx + 2 m Ix - 1) + 3 - x

f(x) f(x) f(x)

b) V = (4 -

dI v =

4 - (m

O <=<> x = -1 ou X = 2 ou x = 4 ou x = 7 > O<=<> -1 < X < 2 ou 2 < x < 4 ou x > 7 < O <==> x <-1 ou 4 < x < 7.

XI. SINAL DE UMA FUNÇÃO EXERCICIO

14G. Seja a função f: A -+ B definida por y = f(x). Vamos resolver o problema "para que valores de x temos f(x) O, f(x) = O ou f(x) O?"

A.157 Estudar o sinal das funções cujos gráficos estão representados abaixo. a)

y y =

Resolver este problema significa estudar o sinal da função para cada x pertencente ao seu domínio.

f(x)

Para se estudar o sinal de uma função, quando a função está representada no plano cartesiano, basta examinar se é positiva, nula ou negativa a ordenada de cada ponto da curva.

147

V x

Exemplo Estudar o sinal da função

y = f(x)

cujo gráfico está abaixo representado.

V y =

f(x)

V = h(x)

10G-A

f(x)

------.x 107-A

XII. SINAL DA FUNÇÃO AFIM com Considerando que

x = -

o valor de x para o qual f(x) = O, ocorre f(x) > O ou f(x) < O.

zero da função afim

Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f(x) a < O, é: b a

f(x) = ax + b,

examinemos, então, para que valores

= ax + b

.. x

Devemos considerar dois casos. Podemos analisar o sinal da função f(x) = ax + b com a < O, construindo o gráf ico cartesiano. Lembremos que neste caso a função é decrescente. 148. 1<;> caso:

f(x) = ax + b > O <==> ax > -b <==>

> _ b a

f(x) = ax + b < O <==> ax < -b <==>

< _ b a

---------""'''<::"""-------_

Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da função f(x) = ax + b com a > O, é: -~ a

f(x) = ax + b (a> O)

.. x

150. Resumo

Um outro processo para analisarmos a variação do sinal da função afim é construir o gráfico cartesiano.

1) A função afim

Lembremos que na função afim f(x) = ax + b o gráfico cartesiano é uma reta e, se o coeficiente angular a é positivo, a função é crescente.

2) Para

Construindo o gráfico de f(x) = ax + b com não importa a posição do eixo y, temos:

a > O, e lembrando que

x > -

~, temos: a

a > O então f(x) = ax + b > O a < O então f(x) = ax + b < O isto é. para x > -

-------?-------- x

f(x) = ax + b anula-se para

3) Para

~ a função f(x) = ax + b tem o sinal de a. a

b x < - -,

temos:

O se a > O então f(x) = ax + b { se a < O então f(x) = ax + b> O 149. 2~ caso:

a < O isto é, para

f(x) = ax + b> O <==> ax > -b <==> x <f(x) =ax+b<O <==> ax < -b <==> x > -

1OS-A

b a b a

x<-

b a

a f unçao

f(x) = ax + b

tem o sinal de -a

(sinal

contrário ao de a). Se colocarmos os valores de x sobre um eixo, a regra dos sinais da função afim, pode ser assim representada:

l09-A

f(x)

<-~

x ""

tem o sinal de -a

_J:!.

==vO

.. x

tem o sinal de -a

tem o sinal de a

•

f(x)

ou, simplesmente: x

x> - ~ a

f(x)

tem o sinal de a

152. Um outro processo para analisarmos a variação do sinal da função afim é construir o gráfico cartesiano. Lembremos que na função afim f(x) = ax + b o gráfico cartesiano é uma reta e a função é crescente (decrescente) se o coeficiente angular a é positivo (negativo). Assim nos dois últimos exemplos, temos: flx)=2x-1

151. Exemplos 10 )

Estudar os sinais da função

f(x)

2x - 1.

Temos: f(x)

2x - 1

2==

a> O e

flx) =-2x +4

= 1 2

-a < O EXERCt'CIOS

Logo: para para

A.158 Estudar os sinais das funções defmidas em R:

x <

f(x) > O (sinal de

f(x) < O (sinal de

a = 2> O) a)

c) y

Estudar os sina is de

f (x)

-2x + 4.

- x

= 5 + x

x 2 4 3

A.159 Seja a função de

h) y

IR em

IR definida por

x + 3 3 2 -x = =

f(x)

4x - 5.

Determine os valores

do domínio da função que produzem imagens maiores que 2.

Solução

x > 2 ==> f(x) < O (sinal de x < 2 ==> f(x) > O (sinal de

sinal de =

-2x + 4

x E R

tais que

2 e, ponanto, a = -2 < O) -a = 2 > O)

Fazendo o esquema gráfico

11O-A

= -3x + 2

valores de

f(x) = O ==> -2x + 4 = O = x a = -2 ==> a < O e -a > O

f(x)

Os valorp.s do domínio da função que produzem imagens maiores que 2, são os

Temos

para para

e) V = 3 2

2?)

2x + 3

-a=-2<01

Fazendo o esquema gráfico, temos

sina I de f(x) = 2x - 1

y ~

j----+---+:--------.:~

x> 7 4 A.160 Para que valores do domfnio da função de

IR em

IR definida por f Ix)

3x - 1 2

e imagem é menor que 47 A.161 Pere que velores de

x E IR a função

flxl

2 3

x 2

é negativa?

111-A

g(x) ~ 2 - 3x

f(x) = 2x + 3.

A.162 Sejam as funções

R. Para que valores de x E

a) f(x) ;;;. g(x)?

b) g(x)

< h(x)?

f(x) g(x) t(x) g(x) e) f(x)

definidas

A intersecção desses dois conjuntos é 1 4

c) f(x) ;;;. h(x)?

IIt

{x E IR 1-

:/f

1'\

E IR, tais que:

a) b) c) d)

4x - 1

R, tem-se:

A.163 Dados os gráficos das funções f, 9 e h definidas em IA:. Determinar os valores de

h(x) ~

~ ~ < ~}

:]::::::::::::::::1""""""","""",::

> g(x) ~ h(x) ;;;. h(x) 4

2 1---

1'\

EXERC(CIOS

~ O

A.164 Resolver as inequações em IR:

bl cl

. XIII. INEQUAÇOES SIMULTÂNEAS

< 3x - 1 < 4 -4 < 4 - 2x ~ 3 -3 < 3x - 2 < x

ai -2

di x + 1 ~ 7 - 3x

-1

< 5 < 6 - 2x < 3x + 2 < 4x

el 3x + 4 fi

2 - x

A.165 Resolver os sistemas de inequações em IR:

153. A dupla desigualdade f(x) < g(x) < h(x) se decompõe em duas inequações simultâneas, isto é, equivale a um sistema de duas equações em x, separadas pelo conectivo e:

flx)

Indicando com

f(X)

< g{x) < h{x) SI

<==

{

g{x)

o conjunto-solução de

glx) h{x)

{3X -2>

{

® e S2 o conjunto-solução til

o conjunto-solução da dupla desigualdade é S = SI n S2'

4x + 1 5x + 1 ~ 2x - 5

3x + 2 ;;;. 5x - 2 4x - 1 > 3x - 4 3 - 2x x - 6

{

O 5 - 2x 3x + 1 ;;;. 4x - 5 x - 3 ;;;. O

{

2x - 5

~ -2

T-=-x

x2 + x + 3

A.166 Com base nos gráficos das funções f, 9 e h definidas em IR, determinar os

valores de

IR,

tais

que

g(xl ~ h(x) a) f(x) bl g(x) ~ f(xl h(x) c) h(x) ~ flxl g(xl

< <

/ gf- 1/ x

154. Exemplo

/ "\

I'\.

Resolver

3x + 2

~ + 3 ~ x + 4

< -x

XIV. INEQUAÇÕES-PRODUTO Temos que resolver duas inequações:

< -x

< 1=

3x + 2

-x + 3 ~ x + 4 => -2x ~ 1 =>

112-A

=> 4x

X ;;;. _

1 4 1 2

155. Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequações f(x) • g(x) > O, f(x)· g(x) < O, f(x). g(x) ;;;. O e f(x). g(x) ~ O são denominadas inequações-produto.

113-A

156. Vejamos, por exemplo, como determinamos o conjunto-solução 5 da

29 caso

inequação f{x)' g(x) > O.

Cada um dos fatores é negativo, isto é:

De acordo com a regra de sinais do produto de números reais, um número Xo é solução da inequação f{x). g(x) > O se, e somente se, f(x o) e g(xo),

x + 2

não nulos, tem o mesmo sinal.

< O ==>

< -2

-2

2x-1<O~x< 1

1<:»

A intersecção das duas so luções é:

2<:»

1111111111111l11111~,tIIPlII110)_---------'..... X

Se 51 e 52 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações então 51 n 52 é o conjunto-solução do sistema.

54 = {x E IR

Se 53 e 54 são, respectivamente, os conjuntos-soluções dessas inequações, então 53 n 54 é o conjunto-solução do sistema.

< -2 }

O conjunto-soiução da inequação

{x E R I x>

Daí condu ímos que o conjunto-solução da inequação do produto

f(x) • g(x) < O.

{x E R I x < -2

(x + 2)(2x - 1) > O.

1 } 2

Cada um dos fatores é positivo, isto é:

> -2

> O~

_ _ _-(O+t1l111l111~1I111111111111111111111111l..

, ,,

----------<0'1\1111111\ ",""Hlllll

52 =

E IR

)(

-x

glxl flxl • g(x) ------'+>

A intersecção das duas soluções é

x + 2

: x

flxl

-2

f(x) 1

.1. -2

> O ==>

I x < -2}

Com o objetivo de evitar cálculos algébricos no estudo dos sinais do produto f(x)· g(x), usaremos o quadro abaixo, que denominamos quadroproduto, no qual figuram os sinais dos fatores e o sinal do produto.

11! caso

114-A

ou x >

t(jf-----~:~--+---'Il:.-

Analisando os dois casos possíveis

U {x E IR

Fazemos inicialmente o estudo dos sinais das funções g(x) = 2x -

157. Exemplo

158. Vejamos, um outro processo, mais prático para resolvermos a inequação (x + 2) • (2x - 1) > O em R.

Raciocínio análogo seria feito para a inequação

2x -

1.}

portanto

f(x) • g(x) > O é

x + 2

(x + 2)(2x - 1) > O é:

f(x) < O e g(x) < O

Resolver em R a inequação

Assim, são possíveis dois casos: f(x) > O e g(x) > O

11""1 I1 I1 1I I I I I Q } - - - - - - - - - -

:r---D+tt++++II.lllllllll'lll'

-2

{x E IR I x

-2

x> -1 J2

115-A

sinais de um 159. Podemo s estende r o rac'loclnlo empreg ado no estudo dos fatores. dois de mais com produto um produto de dois fatores para

(3x + 1) • (2x - 5) > O ou (3x + 1) • (2x - 5) = O

{

CD @

Exemplo Resolver a inequaç ão

(3x - 2)(x + 1)(3 - x)

Analisando os sinais dos fatores, temos

f(x) = 3x - 2

O em IR. x

.3O

.. x

-1

g(x) = x + 1

•

2 3

hlxl

fi xl • glx) • h(xl

flx)

5 = {x E IR I -1

<x<

2 3

f(x) • g(x) ou {

f(x) . g(x) = O

Exemplo Resolver a inequaç ão A inequaç ão

116-A

5 "2}

5 > -}

_5 }

U {_ _1

{x E IR I x

1 __ 3

5 x;;;. -} 2

5e recorrês semos ao quadro- produto , teríamo s: 1 3 O

3x + 1

5 2 +

glxl:2 x-5 flx) • glxl

5= fxE IRlx~ -.!. 3 l

x +

5 a reunião do 160. A inequaç ão f(x). g(x) ;;;. O tem por conjunt o-soluç ão o solução conjunt o com O conjunt o-soluç ão 51 da inequaç ão f(x)· g(x) > 52 da equação f(x). g(x) = O, isto é

f(x) • g(x} ;;;. O _

flx)

-1

é:

.r-.

52 = {_ ~,

temos

31 ou

ou seja:

glxl

Vamos, agora, constru ir o quadro- produto : -1

Resolve ndo

51 = {x E IR I x

h(x) = 3 - x

CDI temos

o conjunt o-soluç ão

Resolve ndo

(3x + 1)(2x - 5) ;;;. O em IR,

(3x + 1)(2x - 5) ;;;. O é equival ente a:

x;;;'

~} 2

ões; [f(x))" > 0, 161. Dentre as inequaç ões-pro duto, são importa ntes as inequaç N*, E n onde O, ~ [f(x))" e O [f(x))" < O, [f(x))" ;;;. dades das Para resolvermos estas inequaç ões, vamos lembrar duas proprie inteiro: te expoen e potênci as de base real a o sinal da 1?) "toda potênci a de base real e expoen te ímpar conserv base", isto é

a2n +1 > O

a2n + 1

-= -=

a> O a

E ~)

117-A

2':» "toda potência de base real e expoente par é um número real não negativo", isto é

EXERCfclOS A.167 Resolver em IR as inequações:

-a) (3x + 3)(5x - 3) .- cl 15x

a2n ~ O, Va E IR, V n E IW

>O +

2)(2 - xl(4x

_. b) (4 - 2x)(5 + 2x)

- d) 13x + 21{-3x + 4)(x - 61

(6x - 1 )(2x + 7) ~ O

13 - 2x)(4x + 1)(5x + 3) ~ O

h) (5 - 3x)(7 - 2xl(1 - 4xl ,,;; O

(5 - 2x)(-7x - 21 ,,;; O

A.168 Resolver em IR as inequações:

Assim sendo, temos as seguintes equivalências: [f(x)]n > O

= { f(x)

se se

> O f(x) O

(x - 3)4

14 -

A.169 Resolver em

[f(x)]n

[f(x)]n ~ O

[f(x)]n ,,;; O

= { f(x)

se se

n n

é ímpar é par

{f(X) ~ O se V x E D(f) se

n n

é Impar é par

{ f(x) ";;0 f(x) = O

n n

é ímpar é par

~ x E IR

= =

se se

< >

(3x + 8)3 O d) 11 - 7x)5 O 3 f) (5x + 1 1 ,,;; O h) (3x - 8)5 ~ O

5x)6 < O 2 e) (3x + 51 ~ O gl 14 + 3x)4,,;;0

é ímpar é par

n n

IR a inequação

(x - 31

• (2x

< O.

Solução

Estudemos separadamente os sinais das funções f(x) = {x - 31 5 e g{xl = 12x > 3)6 lí~mbrando que a potência de expoente ímpar e base real tem o sinal da base, então, O sinal de {x - 3)5 é igual ao sinal de x - 3, isto é:

fw1+--------.;~:---+----I:A potência de expoente par e base real não nula é sempre positiva, então (2x + 3)6

é positivo se

x*"-

~ e (2x + 3)6 2

á nulo se

x "" -

~, isto 2

Jf------~.2

~Wl Exemplos

1°)

2':»

(3x - 2)3> O

(4x - 3)6> O =

{x E: IR I x>

3.} 3

{x E IR

flx)

g(x)

4x - 3

(2x + 1)5 (x - 2)4

<O=

< O=

(3 - 5X)7

2x + 1

== S

S = {x E

S =

{x E IR I x,,;;

A.170 Resolver em

E IR

Ix < 3

b) 13x + 11 • 12 - 5x)5 • Ix + 41 8 O cl Ix + 61 7 • 16x - 21 4 • (4x + 5) 10 ,,;; O d) (5x - 1) • 12x + 6)8. (4 - 6x)6 ~ O 3

{4}

IR as inequações:

ai 15x + 4)4. (7x - 2)3 ~ O

(8-2x)4";;0=8-2x=0==S

+ + +

3 2

-.O

< - ~}

O == 3. - 5x

(4x - 5)2 ~ O

< 0=

flxl • glxl

3':»

Fazendo o quadro-produto, temos: 3 2

3x-2>0= S

0= S

é:

118-A 119-A

b) h(x)

XV. INEQUAÇÕES-QUOCIENTE

1 - x

3x + 4

.;;; 2

1 - x

162. Sendo

f(x)

f(x) g(x)

duas funções na variável x, as inequações

e g(x)

f(x) , g(x)

;;;. O e f(x) g(x)

.5 2

.;;; O

< O,

{x E IR

isto é,

conjunto solução é:

Considerando que as regras de sinais do produto e do quociente de números reais são análogas, podemos, então, construir o quadro-quociente de modo análogo ao quadro-produto, observando o fato de que o denominador de uma fração não pode ser nulo.

1} n {x E IR I x

51 U 52

=> 3x + 4 ;;;. 2( 1 - x)

o são denominadas inequações-quociente.

{x E IR I x .;;; -

%ou

=>x;;;.-

> - l} ~ 5

{x E IR

Daremos sempre preferência ao método do quadro-quociente, por sua maior simplicidade.

163. Exemplo Resolver em

EXERCICIOS

3x + 4 IR a inequação - - - .;;; 2.

Temos:

1 - x

3x + 4 .;;; 2 ==> l-x

3x + 4 l-x

\ A.171 Resolver as inequações em IR:

_ 2 .;;; O ==>

+ 4 - 2( 1 - x) .;;; O==> l-x

5x + 2 .;;; O

1 - x

2 5

Podemos resolver a inequação - x

{x E IRlx';;;- 2 ou 3x

1 _ x

.;;; 2,

multiplicando por

1 - x

isto é,

h(x)

{x E IR I x

1} n {x E IR I x .;;; -

(5x + 4) (4x + 11 (5 - 4xl

1..} ~ 5

{x E IR

2 x+3

.;;; -

1..}

(3x + 11 (2x + 51(5x + 3) (1 - 2x) (5 - x)(3 - xl

i<='T

.;;; O

2 x-2

di ~ .;;;

x+4

3x + 2

~ 4x - 1 4x + 5 gl _2_ ;;;. _1_ 3x - 1 x - 1

el 5x + 2

A.174 Resolver em IR as inequações:

x+2

(1 - 2x)(3 + 4xl (4 - xl

IR:

c)--"-.:':...!..>~

+ 4 .;;; 2 => 3x + 4 .;;; 2( 1 - x) =>x.;;;-l.

2x - 4

x +1

x-4

dl~';;;l

-"---.::...!. ;;;. 3

ai _1_

1 - x

120-A

e examinando dois casos:

a) h(x)

.;;; O

bl 5x - 2 3x + 4

A.173 Resolver as inequações em

3 - 2x

;;;. O

_ dI -3 - 2x 3x + 1

3x - 4

~ bl~ <O

ai 5x - 3 >-1

2 5 t(xl = 5x + 2

cl 3 - 4x 5x + 1

A.172 Resolver em IR as inequações:

Fazendo o quadro-quociente, temos

g(x) = 1 - x f(x)

~.a)~ x + 2

i<='T

.2'.....:2. 3x + 5 2

x=2

""X=3'"

x + 1

121-A

Jovem luta para ser ouvido Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da pequena aldeia de Findo, na Noruega. Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras matemáticas, inclusive as "Disquisitiones" (Pesquisas) de Gauss. Nesta época, Abel conseguiu generalizar o teorema binomial que Euler só havia provado para potências racionais. Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quanto à fam(lia, mas mesmo assim continuou pesquisando e, em 1824, publicou num artigo a prova de que se o grau de uma equação é maior que quatro, não existe uma fórmula geral em função de seus coeficientes para achar suas raízes. Esta era uma dúvida que preocupava os matemáticos há muito tempo e que agora estava resolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, mas passou desapercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o "Teorema de Abel-Ruffini", um dos mais importantes da Matemática. Seu nome também está ligado a grupos abelianos, ou comutativos, e alguns de seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle. Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa de mostrar suas descobertas mas não obteve êxito e numa de suas cartas a um amigo escreveu "Todo principiante tem muita dificuldade em se fazer notar aqui. ~abei um extenso tratado sobre certas classes de funções transcendentes mas M. Cauchy não se dignou a olhá-lo". Abel esperava obter um posto de professor em alguma Universidade e por isso deixou suas memórias com Cauchy para que fossem examinadas mas este logo as perdeu e ficaram esquecidas. Devido à falta de recursos morreu aos 26 anos, de tuberculose, deixando profundos e importantes resultados em Álgebra e Teoria dos Números. Dois dias após sua morte chegou finalmente a carta informando que havia sido nomeado professor na Universidade de Berlim. Em 1830, Cauchy achou os manuscritos de Abel que foram publicados em 1841 pelo Instituto Francês e que Legendre classificou como "um monumento mais durável que o bronze", contendo imporNiels H. Abel (1802 - 1829) tantes generalizações sobre funções el íticas.

CAPÍTULO VII

FUNÇÕES QUADRÁ TICAS

I. DEFINiÇÃO 164. Uma aplicação f de IR em IR recebe o nome de função quadrática ou do :!! grau quando associa a cada x E IR o elemento (ax 2 + bx + c) E IR, onde a *- O. Isto é: f: IR ->- IR x ...... ax 2 + bx + c, a

Exemplos de funções quadráticas: onde

b) fi x) ~ 2x + 4x - 3

onde

c) f(x) ~ _3x 2 + 5x - 1

onde

-3, b

a) f(x)

3x + 2

-3, c c

2 -3

-1

-4

d) f(x)

onde

e) f(x)

_2x 2 + 5x

onde

-2, b

f) f(x)

_3x 2

onde

-3, b

11.

PARÁBOLA

165. O gráfico da função quadrática é uma parábola. (*)

(.) Isto é provado mais adiante no volume de Geometria Analftica desta coleção.

123-A 122-A

Exemplos

1?)

111. CONCAVIDADE

Construir o gráfico de

-3 -2

y = x2 - 1

166. A parábola representativa da função quadrática y = ax 2 + bx + c pode ter a concavidade voltada para "cima" ou voltada para "baixo".

- 1

8 3 O

-1 O 1

-1 O

2 3

3 8

Se a > O, a concavidade da parábola está voltada para cima.

Se a < O, a concavidade da parábola está vo Itada para ba ixo. x

2?)

Construir o gráfico de

y = _x 2 + 1

IV.

_x 2 + 1

FORMA CANÔNICA

-3

-2 -1 O 1

-8 -3

O 1 O -3

-8

167. A construção do gráfico da função quadrática y = ax 2 + bx + c com o auxílio de uma tabela de valores x e y, como foi feito no item anterior, torna-se as vezes um trabalho impreciso, pois na tabela atribuímos a x alguns valores inteiros e pode acontecer que em determinada função quadrática os valores de abscissa (valores de x) onde a parábola intercepta o eixo dos x ou a abscissa do ponto da parábola de maior ou menor ordenada, não são inteiros.

Para iniciarmos um estudo analítico mais detalhado da função quadrática, vamos inicialmente transformá-Ia em outra forma mais conveniente, chamada forma canônica. EXERCICIOS

f(x) = ax 2 + bx + c = a(x 2 +.Q. x + f-) = a[x 2 +.Q. x + b _ + ~] = a a a 4a 2 4a 2 a 2 2 = a[(x 2 +.Q.x + b ) _ ( b _.f.)] = a[(x +..2-)2 _ (b; - ;ac)] 2 a 4a 4a 2 a 2a 4a 2

A.175 Construir os gráficos das funções definidas em

IR:

a) y = x b) y = _x 2 • 2

c) y = 2x d) y = _2x 2

Representando b 2 - 4ac por 6, também chamado discriminante do trinômio do segundo grau, temos a forma canônica.

el y = x2 - 2x 2 1) y = _2x - 4x 2 g) Y = _3x - 3 h) y = x 2 - 2x + 4 A.176 Determinar uma função quadrática f tal que f(-l) = -4. f(l)

124-A

.!t-

= 2 e f(2) = -1.

125-A

171. Interpretando geometricamente, dizemos que os zeros da função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo dos x.

V. ZEROS 168. Definição

Exemplo

Os zeros ou raízes da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = O e, portanto, as soluções da equação do segundo grau ax 2 + bx + c = O. Utilizando a forma canônica, temos: ax 2 + bx + c <=> (x <=>

+ ~)2 2a

O <=> a[(x + -

--E.

L\ O <=> vzs: <=> 2a 4a

~2 I

+ ~)2

)2 -

Construindo o gráfico da função x2 - 4x + 3 podemos notar que :'a parábola corta o eixo dos x nos . pontos de abscissas 1 e 3, que são as raízes da equação x 2 - 4x + 3 = O.

O <=>

A2 4a

<=>

yz;-

-b ±

X =

2a EXERCICIOS

169. Discussão

A.177 Determinar os zeros reai,s das funções:

Observe que a existência de raízes reais para a equação do segundo grau ax 2 + bx + c = O fica condicionada ao fato de v;5. E IR. Assim, temos três casos a considerar: l?l

> O,

a equação apresentará duas raízes distintas que são Xl =

2?)

Â =

-b +

VIS.

...n;. .

-b -

X2 =

b) f(x) = _x c) f(x) = 3x

d) f(x) = x

h) f(x)

-b -. 2a

VIS. fi

IR,

- 3x

diremos que a

- 7x

2.r;, - V 2x

f(x) = x

f(x) = x 2

ax 2 + bx + c

f(x)

+ 2

O <=>

+ f i ou

X =

-b-~ 2a

2"1

(1 - V3)x - V3

- 4x 2 +6

n) f(x) = _5x

-b

~ _x 2 + 3x - 4

k) f(x) = 2x

170. Resumo =

7x - 12

- 2x + 2

_3x 2 m) f(x) = 4x

O~ x

•

Â>

+ 4x + 4 23 f) f(x) = -x + - x + 1 2 2 9) f(x} = x - 2x - 1

3?) Â < O, considerando que nesse caso equação não apresenta ra ízes reais.

e) f(x) = x

O, a equação apresentará duas ra ízes iguais que são Xl = X2 =

a) f(x) = x

A.178 (MAPOFEI-76) Resolver o sistema

-b 2a não existem raízes reais.

Â=O~x=

< O~

127-A 126-A

A.179 Determinar os zeros reais da função f(x)

- 3x

- 4.

A. 187 Determinar oS valores de m para que a equação mx 2 + (2m - 1Ix + (m _ 2) ~ O não tenha ra(zes reais.

Solução Queremos determinar

x E IR

Fazendo a substituição

tal que

- 3x

- 4 = O.

A.188 Mostre que na equação do 2':' grau

z = -1

mas

P = XI • x2 z = x:l,

-1

Logo. os zeros reais da função

A.189 Na equação do 2':' grau

E IR. 2 4 - 3x - 4

t(xl ~ x

são

X~ 2

4 2 = x - 5x + 4 ~x4 - x 2 - 6 ~ 2x 4 + 6x 2 + 4 ~ 3x 4 _ 12x2

_x 4 + 5x 2 + 36 x4 - 4x 2 + 4 _x 4 + 3x 2 - 3 ~ x6 - 7x 3 - 8

d) (x 1 12 + (X2)2

el~ + ~ x2

Solução f(x) ~ mx 2 + (2m - 1)x + (m - 21.

a = m. b ~ 2m - 1. c = m - 2

temos:

~ 4m

+ 1.

A.190 Mostre ClJe uma equação do 2 0. grau d e ra (zes XI e X2 é a equação x onde S = x I + x2 e P ~ x I • x2·

Ll ~ 4m + 1

ou seja

>_ 1 4

A.182 Determinar os valores de m para que a função quadrática 2 f(x) ~ (m - 11x + (2m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos.

i'-..,...-1 A.183

Determinar os valores de m para que a equação do 2':' grau 2 . (m + 21x + (3 - 2m Ix + (m - 1) = O tenha ra(zes reais.

A~5 Determinar os valores de \.Y~ x2 ~ (3m + 21x + (m 2 +

.!..

2 cI 0.4 e 5

-..ri

di 1 e e)

1 +

v'3

aI (x 112 e

128-A

c) ~

e ~

~ x2

dI (XI)3

admite as ra(zes reais não nulas

(x212

A.193 Determinar A.186 Determinar os valores de m para que a função 2 f(x) = (m + 11x + (2m + 31x + (m - 1) não tenha zeros reais.

1 -

-J.. O A. 192 Se a equação ax 2 + bx + c ~ O• a.,.• x2. obter a equação de rarzes:

m para que a equação m + 2) ~ O tenha duas ra(zes reais iguais.

- Sx + P = O

a) 2 e -3

A.1114 Determinar os valores de m para que a função '-_/ t(xl ~ mx 2 + (m + 1)x + (m + 1I tenha um zero real duplo.

A.191 Obter uma equação do segundo grau de raizes:

Considerando que a função é quadrática e os zeros são reais e distintos então: a = m

(x 1 13 + (x213

f) A.181 Determinar os valores de m para que a função quadrática t(x) = mx 2 + (2m - 1)x + (m - 21 tenha dois zeros reais e distintos.

Na função

calcular:

.2.

cl b) f(x) d) f(x) f) f(xl hl f(x)

2x 2 • 5x - 1 ~ O de raizes Xl e X2.

-2.

A.180 Determinar os zeros reais das funções:

a) f(x) c) f(x) el flxl g) t(xl

x2.

c a

então:

x2~4=>x~±2 e

de raizes reais xl e

temos para a soma S d as ra (zes S ~ Xl + x2 ~ ~ a e para produto P das ra(zes

x , vem:

z2 _ 3z - 4 ~ O cuja solução é

2 ax + bx + c ~ O.

(x21 m

3 na equação

+ ~ = 4, onde

mx2 _ 2(m - 1)x + m = O x2

para que se tenha

são as ra(zes da equação.

129-A

174. Exemplos

VI. MAxlMO E MfNIMO

19)

Na função real

= 4x 2

f(x)

172. Definição

Como Dizemos que o número YM E Im(f) (Ym E Im(f)) é o valor de máximo (mínimo) da função Y = f(x) se, e somente se, YM;;;' Y (Ym';;; Y) para qualquer Y E Im(f) e o valor de XM E D(f) (x m E D(f)) tal que YM = f(XM) (Ym = f(x m )) é chamado ponto de máximo (mínimo) da função.

a = 4

> O,

YM =

-Â 4a

-144 4·4'

-b 2a

2·4'

isto é:

Xm =

173. Teorema 29)

"A função quadrática Y = ax 2 + bx + c admite um valor máximo (mínimo) -Â -b em x = se, e somente se, a < O (a > O)". Y= 4a

e Â

Na função real

= -4,

= -8

= _x 2 +

f(x)

-9

2' temos: a

= -1,

= 1,

Como

a = -1

< O,

YM =

-Â 4a

a função admite um valor máximo:

Demonstração

Y = a [(x + :a)2 -

(x +

-b 2a

4~2 1

> O)

isto é:

YM = 1

-1 2(-1) ,

isto é:

XM = -

1 2

(1)

~)2;;;,

O V x E IR e -Â para uma dada 2a' 4a 2 função tem valor constante, então Y assumirá valor máximo (mínimo) quando Considerando que

-4 4(-1) ,

Consideremos a função quadrática na forma canônica

a função admite um valor mínimo:

em xm

= 4,

4x - 8 temos: a

e Â = 144.

VII. VÉRTICE DA PARABOLA

e a diferença 175. Definição

o ~)2 = O = 2a

Substituindo

-b 2a

V( -b -Â) 2a' 4a

= -b 2a

EXERCíCIOS . . I mlnimo e o ponto de máximo ou o ponto A.194 Determinar o valor maxlmo ou o va or , de mlnimo das funções abaixo, definidas em IR.

em (1) temos

a) y = 2x 2 + 5x

-Â 4a

130-A

é chamado vértice da parábola representativa da

função quadrática.

for a menor possível, isto é (x +

ponto

= -3x 2

+ 12x

c) y = 4x 2 - 8x + 4

7 d) y = x 2 - - x

e) y = _x 2 + 5x - 7

fi y =

-"2

5 2 1

x - 2

131-A

A.195 Determinar o valor de m na função real mínimo seja

3x 2 - 2x + m

flxl

para que o valo

A.206 Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrit~ um retângulo. Determine o retângulo de área máxima sabendo que a base do retangulo está sobre a base do triângulo.

A.196 Determinar o valor de m na função real

_3x 2 + 21m - 1) x + (m + 11 par;

f(x)

que o valor máximo seja 2.

A.197 Determinar o valor de m na função real

mx 2 + (m - llx + (m + 21

flx)

par;

A.207 Determinar os vértices das parábolas: a) y

== x 2

cI y

bl y

- 4

el y = _x 2 + x A.19B Determine o valor de m

na função real

Im - lIx 2 + (m + l)x - m

f(x)

par;

_x 2 + 3x

d) y ~ _x 2 +

2x 2 - 5x + 2

que o valor máximo seja 2.

2 9

x2 -

x + 2

x - 2

que o valor m{nimo seja 1.

A.199 Dentre todos os números reais de soma 8 determine aqueles cujo produto é máximo Solução

VIII. IMAGEM

Indicando por x e z esses números e por y o seu produto, temos:

x +

Z =

y == x • z.

Como precisamos ficar com uma só das variáveis x

x+ z

ou z, fazemos

==>z=8-x

176. Para determinarmos a imagem da função quadrática, tomemos inicialmente a função na forma canônica: f(x) ; a [(x

e portanto y

Como

-1

=x •z

=> y

< o. y x

Substituindo em

= xl8 - xl

=> y

-x 2 + 8x.

é máximo quando

-b 2a 8 - x

-8 2· (-1) vem

=> x = 4. 4.

Logo, os números procurados são 4 e 4. A.200 Dentre todos Os números reais x e z tais que 2x + z = 8 determine aqueles cujo produto é máximo.

C1 4a

f(x) ; a(x + - b )2 -

ou seja

)2 -

~] 2 4a

Observemos que

para

então temos que considerar dois casos:

x E IR

qualquer

+.-!?.

1'?) caso

=> a(x

+ ~)2 ;;. O e, portanto:

+b- )2 2a

C1 ;;. -C1 4a 4a

a{x

a(x

+ ..E...)2 .;;; O e, portanto, 2a -C1 C1 .;;;--. a(x + ..E..)2 2a 4a 4a

A.201 Dentre todos os retângulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima. A.202 Dentre todos os números de soma 6 determine aqueles cuja soma dos quadrados é mínima. A.203 Determine o retângulo de área max,ma localizado no primeiro quadrante. com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta y = -4x + 5. A.204

t dado uma folha de cartolina como na figura ao lado. Cortando a folha na linha pontilhada resultará um retângulo. Determinar esse retângulo sabendo que a área é máxima.

A.205 Determine o retângulo de maior área contido num triângulo eqüilátero de lado 4 em, estando a base do retângulo num lado do triângulo.

132-A

2'?) caso

Resumindo:

-C1 y;;' 4a' "Ix E IR

y .;;;

-C1

4;' "Ix E IR.

133-A

177. Provemos agora que a imagem da função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c

para

_ Im = { y E IR I y .;;; -Â} 4a

para

Im = {y E IR I y ;;;.

-Â

e portanto:

a > O Como

-16 4·2

= -2.

a = 2> O, temos:

Im(f) = {y E IR I y ;;;. -2}

e a

< O.

2':» f(x) = - -

Vamos provar só para o caso em que a > O. f(x) = ax2 + bx + c

Para provarmos que a imagem da função Im = {y E IR I y seja

y E Im

;;;.~}

4a x E IR

existe

De fato, seja

y E Im,

para

a > O,

tal que

Obter a imagem da função 5 + 2x - -.

x2 1> f(x) = - + 2x - 3 3'

1 a=-"3'

devemos mostrar que qualquer que

y = ax 2 + bx + c.

logo:

então podemos escrever 2a

definida por

temos:

5 c = -3

b=2

= b 2 - 4ac = 22 - 4 • (- ..!..) (-

y=a(x+~)2_~

Na função

~) 3

16 9

e portanto:

ou seja: y +

= a(x +

~)2 2a

(1)

4 3

. o primeiro . . mem b ro d a y + - Â r~ O, .Isto e, . 4a igualdade (1) é não negativo, logo o segundo membro também o será, isto é, Como

-Â y r~ -4a'

-Â

temos

Como

_.! < O,

temos:

I m (f) = {y E IR I y .;;;

a(x + ~)2;;;. O 2a e como

a > O,

temos:

EXERCICIOS

A.20S Determinar a imagem das funções definidas em IR:

que é uma inequação do segundo grau com solução x E IR.

x 2 - 3x

ai y

b) y

= _x 2

+ 4

= 3x 2 - 9x

el y = _x 2

1':» Obter a imagem da função f de IR = 2x 2 - 8x + 6. Na função f(x) = 2x 2 - 8x + 6, temos: a = 2,

em IR definida por

b = -8 e c = 6

logo: Â

134-A

+ 6

d) y = -4x 2 + 8x + 12

178. Exemplos

= b2 - 4ac = (_8)2 - 4 • 2 • 6 = 16

f(x)

y =

+ ~x + 1

+ 1

A.209 Determinar m na função f(xl = 3x 2 - 4x + m seja Im = {v E FI I y ~ 2}. A.210 Determinar m na função f(x) seja Im = {y E FI I y .;;; 7}.

= -

x 3

+ mx -

definida em IR para que a imagem

.!...

definida em FI para que a imagem

135-A

IX. EIXO DE SIMETRIA 19) O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta perpendicular ao eixo dos x.

179. "O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria perpendicular ao eixo dos x e que passa pelo vértice".

29) (baixo). 39)

Os pontos da reta perpendicular ao eixo dos x e que passa pelo vértice da

.± 2a

Se a > O (a < O), a parábola tem a concavidade voltada para cima Zeros da função

Se ll. > O, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos

x ~ -b 2a' po is todos os pontos dessa reta tem

parábola obedecem a equação

abscissa

x ~

P (-b -

Se ll. ~ O,

-b. 2a

2a'

P (-b + 2

P(~, O).

a parábola tangencia o eixo dos x no ponto

Se ll. < O, a parábola não tem pontos no eixo dos x.

Para provarmos que a parábola tem eixo de simetria na reta

x ~ -b

2ã'

-b - r, y), com "r E IR, pertencente devemos mostrar que dado um ponto A(2ã ao gráfico da função, existe

B( -b + r, y)

49) Vértice da parábola é o ponto V(~, -ll.) que é máximo se a < O ou é mínimo se a > O. 2a 4a Seguem-se os tipos de gráficos que poderemos obter:

também pertencente ao gráfico da

função. Tomando a função quadrática na forma canônica

>0 e

ll.<o

ll.>o f(x) ~ a[(x + ~)2 - ~] 2a 4a 2 e considerando que

f (--b - r ) 2a

-b

A(_ - r, y) 2a

pertence ao gráfico da função temos:

a [( --b - r + -b) 2 - - ll.] 2a 2a 4a 2

ll.] a [ (-r) 2 - 4a 2

~ a[(r)2 - 4ll.a2 ] ~ a[( -b + r + ~)2 -~] ~ f(~+ r) 2 2a

provando que

B( -b + r, y)

também pertence ao gráfico da função. I

X. GRÃFICO 180. Para fazermos o esboço do gráfico da função quadrática f(x) ~ ax 2 + bx + c,

buscaremos, daqui para a frente, informações preliminares que são:

a <o e

ll.>o

•

ll.<o

136-A 137-A

Gráfico

EXERCICIOS

A.211 Fazer o esboço do gráfico da função

x 2 - 4x + 3.

Solução Concavidade

Como a

a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Zeros da função

4x + 3

Os pontos no eixo x são

A.213 Fazer o esboço do gráfico da função

x = 3

P[ (1, O)

e P2 (3, O)

~ x2 + x + 1 •

Solução Concavidade

Vértice

= x2

a = 1,

Como a - 4x + 3,

b = -4,

como~

o vértice é

c = 3

_4_ 2 • 1

temos

-4a -

> O,

a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Zeros da função

Â = 4

-4

47T

-1,

x2 + x + 1 = O

= -1

< O == ~ ra(zes

reais.

A parábola não tem pontos no eixo dos x.

V(2, -11. Vértice

Gráfico

Observe que a parábola sempre intercepta o eixo

a =

Para determinarmos

onde o faz, basta lembrar que o ponto situado no eixo y tem abscissa nula, logo y(O) = 0 2 - 4· O + 3 = 3, isto é, o ponto no eixo y é (O, 3).

y =

1. 2

x2 + x + 1; temos:

~, b = 1, c = 1 e

Como

-b 2a

-1

1. 2

-1

Â = -1.

4 •

1..

o vértice é

1 V(-l, -2 l.

Gráfico

Determinado o ponto onde a parábola corta o eixo Y, podemos determinar um outro ponto (4, 3) da parábola, simétrico a (O, 3) em relação a reta x = 2 (eixo de simetria da parábolal. A.212 Fazer o esboço do gráfico da função

_x 2 + 4x - 4.

Solução Concavidade

Como a

-1

a parábola tem a concavidade voltada para baixo. A.214 Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em IR:

Zeros da função

-x 2 + 4x - 4 = O A parábola admite um único ponto no eixo x que é

a) y P

(2, OI.

Vértice Considerando que a parábola admite um único ponto no eixo

é o vértice da parábola.

138-A

então esse ponto

x2 - 2x - 3

1 c) y = _x 2 + !..x+ 2 2 e) y = x 2 - 3x + 9 4 gl y = _x 2 + x - 1

b) y = 4x 2 - 10x + 4 d) Y = -3x 2 + 6x - 3 f)

y = 3x 2 - 4x + 2

hl y

-!.. x2 - x - 3 2 2

139-A

Exemplos

XI. SINAL como

181. Consideremos a função quadrática f(x) = ax 2 + bx + c

e vamos resolver o problema: "para que valores de a) f(x)

> O;

b) f(x)

< O;

19) f(x) = x 2 - 2x + 2 apresenta a = 1 > O, conclu(mos que f(x)

x E IR

> O,V x

29) f(x) = _x 2 + x - 1 apresenta e, como a = -1 < O, conclu(mos que

temos:

c) f(x) = 07 "

f(x)

< O,

= (_2)2 - 4· 1 ·2 = -4

E IR.

= 12 -

4. (-1) • (-1)

-3

V x E IR.

Resolver este problema significa estudar o sinal da função quadrática par< cada x E IR. Na determinação do sinal da função quadrática, devemos começar pele cálculo do discriminante t., quando três casos distintos podem aparecer: a)

b) t. = O

183. 2l? Caso: t.

Da forma canônica, temos:

a. f(x) = a 2 [(x + ~)2 _ (--.2.....)]

Vejamos como prosseguir em cada caso.

I~+ (não negativo) zero

positivo

182. 1? Caso: t. Se

então

-t.

então

a· f(x) ;;. O,

V x E IR.

Isto significa que a função

> o.

o si nal de a para todo

Da forma canônica, temos:

f(x)

= ax 2 + bx + c, quando t. = O, tem

x E IR - {xd

sendo

O, "f O. V

XI =

zero duplo de f(x),

ou melhor: a. f(x)

a2 [(x + ...!::-)2 + (-t.)]

-é.

POSItIVO

(não negativo)

=> a. f(x)

O, V x E IR

POSItiVO

Isto significa que a função o sinal de a para todo x E IR,

f(x) = ax 2 + bx + c, ou melhor:

f(x)

=> f(x)

> O.

< O.

quando

< O,

ten

a<O

=> f(x) ;;. =>- f(x) .,;;

A representação gráfica da função vem confirmar a dedução algébrica.

E IR E IR

f(x) = ax 2

+ bx + c, quando t.

V X E IR V x E IR x

A representação gráfica da função vem confirmar a dedução algébrica.

f(x)

ax 2 + bx + c,

quando t.

.. flxl<

flx) >0

• x

140-A

141-A

Exemplos 1t?)

2) se

f(x) = x 2 - 2x + 1 apresenta

tem um zero duplo

Xl =

-b 2a

f(x) = -2x 2 + 8x - 8

f(x) tem um zero duplo para

1 e, como

f(xl>O, { f( x) = O 2t?)

(_2)2 - 4. 1 • 1 = O, então f(x) a = 1 > O,

VxEIR-{1} se X = 1

apresenta

8 2 - 4(-2) • (-8) = O,

< O,

l!(x)

< O,

"Ix ElA - {2} O se X = 2

----., , temos:

X - Xl > O e => { X - X2 > O

X > X2 > Xl =>

Isto significa que: é o sinal de a para todo x, tal que X < Xl

1) O sinal de f(x)

184. 3C? caso: to

X > X2 ---+1--+1---;1--..... , temos:

então

concluímos:

---ll---'I~--+-I

X - Xl > O e { X - X2 < O

< X < X2 => 3) se

Xl = -b = 2 e, como a = -2 2a

[f(xl

concluímos:

< X < X2

x> X2;

2) O sinal de f(x) é o sinal de -a para todo x, tal que Da forma canônica, temos:

< X<

X2·

Em resumo:

v'X . ] - )2] = a2[ (X + -b . +J- i . ) (X + -b-. J -i) a • f(x) = a2 [(x + - b )2 - ( 2a 2a 2a 2a 2a 2a Lembramos que a fórmula que dá as raízes de uma equação do segundo grau é:

-b ± ~. , Isto e 2a

{ x2=

2a .

-b + v 2a

= Xl

X = X2

r-----

X.<X<X2

r----

-----,

X>X2

t(--x)-t-em-o-----<\~j-~----f-IX-)-te-m-o----~'~)-/--f-Ix-I-te-m-o-..• x sinal dea

sinal de -8

O gráfico da função f(x) = ax 2 + bx + c, quando a dedução algébrica.

-b-~ Xl =

x X<XI ...... ---,.

sinal dea

to > O, vem confirmar

-----'.'-'-f----~~---x

fica evidente que a forma canônica se transforma em: af(x) = a 2 [ (X - -b - ~ )(x - -b + ~ ) ] = a2 (X - xtl(x - X2). 2a 2a

O sinal de a· f(x) depende dos sinais dos fatores Admitindo XI < X2, temos que: 1) se

X < Xl

Xl X2 ---+I--+I~--;I------+,

- Xl e - X2

142-A

(x - XI) e (x - X2).

Exemplos 1t?) f(x) = x 2 - X - 6 apresenta to então f(x) tem dois zeros reais e distintos:

temos:

-b -

== a • f(x)

2=-a-c--

---c

a 2 • (X - xtl (X - X2) > O

_1_-_5

-2

X2 =

(-1) 2

4 • 1 • (-6)

25> O,

-b+~ 2a

'--v---'--' '-v----'

e, como

1 > O,

concluímos que:

143-A

f(X) f(x) { f(x)

>O =

para para para

O O

-2 -2 -2

ou x> 3 ou x = 3 < x < 3.

a>O e .1=0

3 2 - 4 . (-2) • 2

2?) f(x) = -2x 2 + 3x + 2 apresenta .1 f(x) tem dois zeros reais e distintos: Xl

e, como

··3 + 5 -4

-b + 2a

a = -2

< O,

1 2

-b

-fi 2a

25,

-3 - 5 --

-4

logo

condu imos que

f(x) < O

para

f(x) = O

para

f(x) > O

para

a<O e

1 X > 2 ou 2 1 ou x = 2 x = 2 1 --< x < 2 2 X <--

a<O e

.1<0

a<O e

•

.1=0

.1>0

D EXERCICIOS

EXERCICIO

A.215 Estudar os sinais de cada uma das funções do exerclcio A.214.

A.216 Resolver a inequação

2x + 2

> O.

Solução Considerando f(x) = x 2 - 2x + 2, temos a = 1 O e .1 = -4 < O então flx) O, "f x E IR.

Como a inequação é

XII. INEQUAÇÃO DO 21? GRAU

fi x)

> O,

vem: x

S = IR. 2 185. Se a *- O as inequações ax 2 + bx + c > O, ax + bx + c < O, 2 + bx + c .;;; O são denominadas inequações do 2'? 2 e ax ax + bx + c ;;, O

grau.

Solução Considerando temos a = 1

Resolver, por exemplo, a inequação

duplo

ax 2 + bx + c> O

é responder à pergunta: "existe x real tal que f(x)

ax 2 + bx + c seja positiva?"

A resposta a esta pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que pode, inclusive, ser feito através do gráfico da função. Assim, no nosso exemplo, dependendo de a e de .1 podemos ter uma das seis respostas seguintes:

144-A

x 2 - 2x + 1 .;;; O.

A.217 Resolver a inequação

x = -b 2a

fflx)

l!(x)

f(xl

> O,

então

"fx E

O se

x 2 - 2x +.1, = O e o 2ero

Como a Inequação é

S = {1}.

IR 1

{1}

f(x)';;; O,

vem: x

145-A

A.221 Resolver em IR as inequações:

A.218 Resolver a inequação -2x 2 + 3x + ! ;;'0.

ai (1 - 4x 2 1 • (2x 2 + 3x) > O bl (2x 2 - 7x + 6) • (2x 2 - 7x + 5) ,;;;; O c) (x 2 - x - 6) • (_x 2 + 2x - 1) > O di (x 2 + x - 6) • (_x 2 - 2x + 31 ;;. O

Solução y

Considerando f(x) = -2x 2 + 3x + 2. temos a = -2 < O, Â = 25 > O e os zeros

Xl.= -

(x) < O para f(x) = O para

X2 = 2,

então

< _!

2 1

x =

[

el x 3 - 2x 2 - x + 2 > O f) 2x 3 - 6x 2 + x - 3 ,;;;; O

Determinar:

I(xl > O para

Como a inequação é

f(x);;' O,

A.223 Resolver a inequação

bl _x 2 + x + 6> O

cl -3x 2 - 8x + 3 ~ O

d) _x 2 +

e) 8x 2 - 14x + 3 ,;;;; O

x 2 - 6x + 9 ;;. O

.:!

Analisando os sinais do numerador e do denominador, temos:

2 4x 2 - 4x + 1 > O

g(xl = 2x _ x

-3x 2 + 3x - 3

_ ! x2 + ! x - . ! > O 2 4 3

I(x) g(x)

. x

- 1

g(x) __ x 2 +4x_3

•O + + -------..J ------<io:--------<..x-.

•O

2 Hx) = x - x - 2

{x E IR

li O

-----------2

A.224 Resolver em IR as inequações: 2

-1

_x 2 + 4x - 3

Hx) • g(x)

-1

Fazendo o quadro-produto, vem

146-A

g(x) = 2x - x 2

Analisando os sinais dos fatores, temos:

...x

•O

-1

Solução

x2 - x - 2

+ 2

Fazendo o quadro·quociente, vem

I(x)=2x 2 +x-1

g(xl

•O

(x 2 - x - 2)(_x 2 + 4x - 3) > O em IR.

A.220 Resolver a inequação

•O

-1

x + 10 ;;. O

h) -4x 2 + 12x - 9 ;;. O

il x 2 + 3x + 7 > O k) 2x 2 - 4x + 5 O

I( x)

+ x - 1 ,;;;; O em IR. 2x - x 2

Solução

a) x 2 - 3x + 2 > O

ai os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abscissas. b) o conjunto dos valores de x para os quais y ~ o.

vem:

S={xE IRI-! ';;;;x';;;;2} 2 A.219 Resolver as inequações em

(2x 2 - 9x - 5) (x 2 - 2x + 21.

A.222 (MAPOFEI-71) ~ dada a função y

x = 2

I -1

+ < x

< x < 3}

3 +

4x 2 + x - 5 >0 2x 2 - 3x - 2

2 b) -9x + 9x - 2 ';;;;0 3x2 + 7x + 2

x 2 + 2x ;;'0 x 2 + 5x + 6

2 - 3x <O 2x 2 + 3x - 2

x 2 + 3x - 16 ;;'1 _x 2 + 7x - 10

2x 2 + 4x + 5 < -2 3x 2 + 7x + 2

6x 2 + 12x + 17 ;;. -1 -2x 2 + 7x - 5

(x+1)3-1 >1 (x-11 3 +1

147-A

187. Exemplo

A.225 Resolver as inequações: ai 4 < x2 .. 12 ,;;; 4x bl x 2 + 1 < 2x 2 - 3 ,;;; -5x

f(x)

ciO';;; x 2 - 3x + 2 ,;;; 6 di 7x + 1 < x2 + 3x - 4 ,;;; 2x + 2 e) O x2 + x + 1 1 2 f) 4x - 5x + 4 < 3x 2 - 6x + 6 < x 2 + 3x - 4

Determinar m de modo que a função quadrática mx 2 + (2m .. 1)x + (m + 1) seja positiva para todo x real.

4m 2

r r

+x-2>0

3x - x 2 < O + 2x ;;. O -4x 2 + 8x - 3 < O

{x 2 + x - 20 ,;;; o x2 - 4x - 21 > O

{-2X 2 - x + 1 ;;. O 4x 2 - 8x + 3 ,;;; O

= x2 ,

Ix 2 ,;;; 1

;;'

=> (-1 ,;;; x ,;;; 1 ou logo

==> z ~ 1

OiJ

2°)

O =

-8m + 1

O = m

Como as condições são simultâneas, conclu(mos que

O, \f x E IR)

A.229 Determinar m para que se tenha para ai

portanto:

portanto

> 1.

temos

z2 _ 52 + 4 ~ O

mas

EXERC(CIOS

-,--

4m + 1 - 4m 2

+ 4 ;;. O em IR .

Solução Fazendo

(f(x) x 4 _ 5x 2

. A.227 Resolver a inequação

(2m - 1)2 - 4 . m . (m + 1)

A.226 Resolver os sistemas de inequaçõ;s: ai

.0.

Devemos ter simultaneamente

S ~ {x E IR

x2 - 4 ;;. 01

Ix 2 - 1 ,;;; O ou x';;; -2 ou x;;' 2)

,;;; -2

-1';;; x ,;;; 1

x;;' 2}

cI x 2

+ 12m - llx + _

mx + m

1m 2 -

V x E IR. bl x 2 + 12m + 31 x + 1m 2 + 31 ;;. O d) x 2 + Im + llx + m > O

2) >0

el _x 2 + Im + 21 x - Im + 31 ;;>- O ql

mx 2

+ (m - 2) x + m ~ O f

lIx 2

21m - llx + 31m .. 11 < O

Im -11x 2 + 41m - lIx + m >0

rnx 2 + Im + 31 x + m

1m 2

;;>-

11 x 2 +2Im-llx+ 1 >0

A.228 Resolver em IR as inequações:

ai x 4 - 10x 2 + 9 ,;;; O

b) x 4

cI x 4 + 8x 2

9 < O

d) 2x 4

el x 6

8 ;;. O

7x 3

3x 2

4 >

x 2 + Im + llx + 1 < 2 x2 + x + 1

A.230 Determinar m para que se tenha

3x 2 + 4 < O

3x 4 - 5x 2 + 4 > O

para\fxEIR.

Solução

Considerando que

x2 + x + 1

ambos os membros de

é positivo para qualquer

x real,

-+ x + 1l,

(m + 1lx + 1

+ x + 1

por

multiplicamos mantendo

desiqualdade.

XIII. TEOREMA

Então:

186. A condição necessária e suficiente para que o trinômio do 2° grau f( x) = ax 2 + bx + c tenha sinal constante em IR é que .0. < O. f(x)

Este teorema é uma conseqüência das propriedades de sinal de ax 2 + bx + c já estudadas. Observemos que:

a) .0.

b) .0.

148-A

€

O e

a> O

= =

f(x) flx)

O, \f x E IR O, \f x E IR

2 + Im + llx + 1 x2 + x + 1

< 2 ,\fx E

x2 +lm+llx+l<2Ix 2 +x+ll,\fxEIR

_x 2 + Im - lIx - 1 < O, \f x E IR.

Devemos ter

.0.

< O,

portanto:

Im - 11 2 - 4' 1-11 • I-li

Resposta:

m 2 - 2m - 3 < O

-1 < m < 3.

149-A

A.231 Determinar m para que se tenha para 2

ai x + mx + 1 x2 + 1

x x2 + 4

189. Resumo

V x E IR: b) x2 - mx + 2 x2 - x + 2

x + m x2 + 1

di -3

x + mx - 2 x2 - x + 1

Conhecendo a posição de a em relação às raízes reais f(x) = O, temos que:

< 2.

.. XIV. COMPARAÇAo DE UM NOMERO REAL COM AS RAfzES DA EQUAÇÃO DO 29 GRAU

188. Comparar o número real grau ax 2

às raizes reais + bx + c = O é verificar se: O!

1) a

(a está à esquerda de

< XI .;;; X2 XI < a < X2

(a está entre as raízes)

XI .;;; X2

4) a =

(a está à direita de

ou a =

~ X2

da equação do 29

Xl)

{

< X\

a· fIa)

< a < X2 = <a =

a· fIa)

XI .;;; X2

= XI

.;;; X2

ou a =

a· fIa) = O

Observemos que nos casos 1, 3 e 4 o discriminante é D.;;' O enquanto que no caso 2 temos D. > O. Inversamente, conhecendo o sinal do produto a . f(a), que conclusão podemos tirar da existência de raizes reais da equação f(x) = O e qual a posição de a em relação às mesmas raízes?

X2)

190. Teorema 1

(a é uma das raízes)

= ax 2

Sendo f(x) + bx + c uma função quadrática, cuja regra de sinal já discutimos neste capítulo, temos que: a) se a estiver à esquerda de XI ou à direita de X2, o produto a· f(a) é positivo, isto é: a (coeficiente de x 2 ) e f(a) = 002 + ba + c tem o mesmo sinal.

Se a· f(a) < O, o trinômio f(x) '= ax 2 + bx + c tem zeros reais e distintos e a está compreendido entre eles.

H {a • f(a)

T {D.

< a < X2

Demonstração 1C?)

Se fosse D.';;; O,

teríamos: a· fIa) ;;. O, V a, a E R

o que é absurdo, pois contraria a hipótese a· fIa) Concluimos, então, que D. reais e distintos.

f(a)

__--1_

É o que veremos em seguida.

sem calcular as raízes.

_--l..-+-*_~I-

>O <O >O

a· f(a) X2

b) se a estiver entre as raízes X\ e X2 (XI é negativo, isto é: a e f(a) tem sinais contrários.

X2)

o produto a· f(a)

> O,

isto é, f(x)

< O. tem dois zeros

X2,

29) Se o real a estiver à esquerda de XI ou à direita de X2 ou for um zero de f(x), teremos a· fIa) ;;. O, o que contraria a hipótese a· f(a) < O.

Concluímos, então que a está compreendido entre

)(2.

Exemplo ----\-~,------;I---

•

__ x

Comparar o número 1 às raízes da equação

3X2 -

5x + 1 = O.

Temos a = 3, a = 1 e f(x) = 3x - 5x + 1, então a . f(a) = 3 • f( 1) ~ 3 • (3 • 12 - 5 . 1 + 1) = -3 2

c) se a é zero de f(x), então a· fIa) = O,

150-A

pois f(a) = O.

Conclusão: D.

< O.

< 1 < X2. 151-A

191. Teorema 2 Se de

·t

a· fia)

X2'

Exemplos

então

está à esquerda de x I ou à direita

}

4x 2

Á = (-6)2 - 4 • 4 • 1 = 20 > O } a • f(a) = 4 . f(O) = 4 . 1 = 4 > O

< X2

é um número

se ~ ~

S 2

2 2C?)

= 52

então

X2,

a· f(a)

< O,

o que contradiz a

-b 2a

S 2

-2 3

-b 2a

1 =

< a.

Notemos que, se a· f(a) > O e Á > O, o teorema 2 garante que mas não indica se O' está à esquerda desse intervalo (O' < XI < X2) ou à direita dele (XI < X2 < 0'). Para verificarmos qual dessas duas situações está ocorrendo, devemos comparar o' com um número qualquer que esteja entre

as raizes. Para facilitar os cálculos vamos utilizar o número S

que é a média aritmética das raizes

X2,

+ 2

aI a . f(a)

S 2

-b

S 2

XI ;

-b 2a '

b) a . f(a) = O

S 2

152-A

S 2

~ XI"'"

====

é uma das raIzes

>O =

{

< o'

EXERCICIOS

entao

esta"a" esquer dd a e S e, conseqüentemente, 2

A.232 Determinar

equação:

Solução Considerando

então,

< o'

está à direita de S 2

e, conseqüentemente,

af(1)

f(xl

<O =

mx 2 + Im - 1) X

< 1 < X2

m' Im - 1) < O

Resposla: O

onde,

m. x1 e

são as raízes reais de

devemos ter:

~[m • 1 2 + Im - 1) • 1 - m]

fi I

esteja compreendido entre as raízes da

de modo que o número

mx 2 + Im - l)x - m = O.

mx 2 + (m - 1)x - m '" 0,

XI < O' < X2

Para que aconteça

~ ~

temos duas possibilidades a examinar:

2;'

~ = o' < XI"'"

2~) se o' à direita de X2;

T-1

pois:

~ ~

= O<

6x + 1

3 4

Se f(x) = ax 2 + bx + c apresenta zeros reais real que vai ser comparado a XI e X2, temos:

c) a . f(a)

se à esquerda de

192. Resumo

[XI, X21.

1~)

> o.

Conclulmos que

Calculando

-=-=->0

então a· f(a) = O, o que também contradiz

X2,

Comparar o número O com as raizes da equação

.§.

Se Á = O e . a hipótese a· fia)

4 • 3 • (-3)

Á>O

3x 2 + 4x - 3

Se Á > O e hipótese a· f(al > O.

Comparar o número 1 às raizes da equação a • f(a) = 3 • f( 1) = 3 • (3 + 4 - 3) = 12 > O

Demonstração

1C?)

fia)

> O,

O e Á

0< m < 1

< m < 1. 153-A

A.233 Determinar m de modo que o número equação: a) mx 2 + (2m - 3)x + m - 1 ~ O b) (m - 1)x 2 + (2m + 1)x + m ~ O c) mx 2 + (m - 1)x + (m + 2) ~ O

e e

esteja compreendido entre as raIzes da

A.237 Determinar m de modo que a equação ral'zes reais tais que xl x2 1.

a:2 a ~ -1

A.238 Determinar m de modo que a equação raIzes reais tais que -1 < xl < x2.

a~o e dI (m 2 - 1)x 2 + (m - 3)x + m + 1 ~ O e a ~ 1

Determinar os valores de m na equação x 2 + (m - 2)x + 1 - m ~ O de modo que o número real 2 esteja compreendido entre as raízes.

(m - 3)x 2 + 2(m - 2)x + m + 1 ~ O tenha

(m - 1)x 2 - mx - 2m - 2

A.239 Determinar m de modo que a equação do 2':' grau tenha raízes reais tais que O < xl < X2 < 2.

tenha

mx 2 - 2(m + l)x + m + 5 ~ O

A.234 (MAPOFEI-75)

A.235 (MAPOFEI-74) Determinar m para que a equação: (m - 2)x 2 - 3mx + (m + 21 ~ O tenha uma raiz positiva e Outra negativa. A.236 Determinar m de modo que a equação raIzes reais tais que -1 < xl < x2.

mx 2 - (2m + l)x + 2 + m

tenha

f(x)

mx 2 - (2m + l)x + 2 + m.

Para que aconteça -1 < xl < x2. onde xl e mx2 - (2m + 1) X + 2 + m = O, devemos ter: a·f(-ll >0

s "2

são as raízes reais de

> -1.

mx 2 - 2(m + l)x + m + 5

A.24' Determinar m para que a equação do 2':' grau 3x 2 - 2(m + 2)x + m 2 - 6m + 8 = O tenha raízes reais tais que xl < 1 < X2 < 4. A.242 Determinar m para que a equação do 2':' grau tenha raIzes reais tais que O < XI < X2 < 4.

Solução Considerando

A.240 Determinar m para que a equação do 2':' grau tenha raízes reais tais que xl < O < x2 < 2.

(2m + 1) x2 + 2x + m + 1

A.243 Determinar m na equação do 2 0 grau tenha uma única raiz entre -1 e O.

(3m - 21 x2 + 2mx + 3m

A.244 Determinar m na equação do 2 0 grau se tenha uma única raiz entre -1 e 2.

mx 2 - 2(m - l)x - m - 1

O para que

para que

Analisando separadamente cada condição:

1~) a' f(-1) > O

m' [m(_1)2 - (2m + 1) • (-1) + 2 + m] > O -; , 11:1) ,

m' (4m + 31 > O

2~)~>0

3~1 ~

m < -

~ 4

(2m+l)2_ 4 ' m (2+ml>0

> -1 = m<-

2m + 1 >-1 2m

m >

-4m+l>0

2m + 1 + 1 > O ~

= =

XV. SINAIS DAS RAfZES DA EQUAÇÃO DO 29 GRAU

Estudar os sinais das raízes de uma equação do 2? grau m<.!.. 4

4m + 1 > O 2m

ro zero às raízes

é comparar o núme-

da equação dada.

Podem ocorrer três situações:

> o. 193.

1~) as raízes são positivas

Representando os valores encontrados sobre um eixo

-4"

Neste caso, temos:

0---,---------------

(a· f(1) > OI

1I1111111111111111111111111111111c

(~>Ol

1I11111111111111111111111111111111111111111111111111111111~

m ..

-4"

(~> -11

O 1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIo----<:lllllllllll 111111111111111111111111111111111.. m

0< Xl < X2

0< Xl = X2

vamos encontrar:

De acordo com a teoria anterior, temos:

154-A

<-~ 4

O < m <.! que é a resposta. 4

2 Como as três condições são simu Itâneas, fazendo a intersecção dos intervalos acima m

;;;. O e a· f(O)

O e

s >O 2

155-A

Notemos que, sendo

f( x) ~ ax 2 + bx + c,

a) a . f(0) ~ a . c > O =

~ > O =

temos:

P> O

P ~ c é o produto das ra(zes da equação do 29 grau. a

onde

b) onde 5

196. Exemplo Determinar os valores de m na equação do 29 grau (m - 1)x 2 + (2m + l)x + m

para que as ra(zes reais sejam distintas e positivas.

~ > O ~ 5> O

Como a equação é do 29 grau, devemos ter, inicialmente

m-l*O b é a soma das ra(zes da equação do 29 grau. a

Assim, sendo, uma equação do 29 grau tem ra(zes positivas somente se: ~;;'O

P>O

e, se as ra(zes são distintas e positivas

(O <

m*l Xl

< x 2 1.

então:

~ > O (pelo fato de as ra(zes serem reais e distintas) e 5> O e P> O (pelo fato de estas ra(zes serem positivas).

5>0

Analisando cada condição:

isto é, se as ra(zes forem reais, com produto positivo e soma positiva.

(2m + 1)2 - 4(m - 1) • m

8m + 1

-b

- (2m + 1)

-8

> - .!.

0111111111111111111111111111 ..

m - 1

=-.!..<m<l 2 ~~~~>O=

-2

S >O~lIl1l1ll1l1l"lIl1lJlJllIlI~ m

EXERCICIOS

De acordo com a teoria anterior, temos: e

a . f(O) > O

m- 1 o 1 .. m 0111111111110 O< m < 1 P >0 Fazendo a intersecção das três condições, vem O < m < 1 que é a resposta.

.§. 2

A.245 Delerminar m de modo que a equação do 2'.' grau (m + llx 2 + 2(m + llx + m - 1 = O tenha ra(zes negativas. A.246 Determinar m de modo que a equação do 20 grau lenha raizes positivas.

Isto também pode ser escrito assim:

(m + 1)x 2 + .2x + m - 1 = O

...

A.247 Determinar m de modo que a equação do 2 0 grau (m - 2)x 2 + (3m - 11 x + (m + 1) tenha ra(zes de sinais contrários.

195. 3~) as raIzes têm sinais contrários

< 0<

De acordo com a teoria anterior, temos: a • f(O) < O 156-A

A.248 Determinar m de modo que a equação do 2\' grau (m - llx 2 + (2m + 3)x + m = O admita raizes negativas.

Neste caso, temos: Xl

P < O.

A.249 Determinar m de modo que a equação do 2'.' grau admita raízes de sinais contrários.

(m 2 - 4)x 2 + mx + m - 3

A.250 Determinar m de modo que a equação do 2'.' grau admita raízes positivas.

mx 2 - (2m - llx + (m - 2)

157-A

As margens dos livros falam Pierre Simon de Fermat nasceu na França e estudou Direito em Toulouse, aí participando do Parlamento. Embora muito ocupado, encontrou tempo para estudar Literatura Clássica, Ciências e Matemática, por puro prazer. Em 1629 iniciou suas descobertas matemáticas depois de ter-se dedicado à restauração de obras perdidas da Antigüidade. Baseando-se na coleção Matemática de Pappus, descobriu o princípio fundamentai da Geometria Analítica: sempre que numa equação se encontram duas variáveis, os pontos que satisfazem à equação formam uma curva. Em curto tratado, "Introdução aos lugares planos e sólidos", dá ênfase ao esboço de soluções de equações, começando com uma equação linear e um sistema de coordenadas arbitrário sobre o qual a esboçou. Como apêndice desta obra escreve "A solução de problemas sólidos por meio de lugares", observando a solução de equações cúbicas e quadráticas. Os trabalhos de Fermat eram muito mais sistemáticos e didáticos do que os de Descartes e sua Geometria Analítica aproxima-se da atual, tendo em mente a existência de mais de duas ou três dimensões, o que nunca conseguiu provar. Apesar de não conhecer o conceito de limite, em sua obra "Método para achar máximos e m(nimos" aproxima-se bastante do cálculo de hoje. Também seu método para mudar a variável e considerar valores vizinhos é essencial em Análise I nfinitesimal, usando-o para achar tangentes de curvas. Ainda em Análise, contribuiu com quadraturas, volumes, comprimentos de curvas e centro de gravidade. Com a restauração do livro "A Aritmética", de Diofante, muito pouco prático e com muitos algoritmos, Fermat passou a desenvolver um importante ramo da Matemática, a Teoria dos Números, da qual é considerado fundador e onde principalmente • cuidou dos números primos. Sua matemática estava escrita em apontamentos desorganizados, em margens de livros ou em cartas que ele não tinha intenção de publicar. Fermat é considerado o príncipe dos amadores em Matemática, sempre com muitas descobertas mas que perderam sua prioridade pois, devido à sua modéstia, Pierre S. de Fermat quase nada foi publicado. (1601 - 1665)

158-A

CAPÍTULO VIII

FUNÇÃO MODULAR I. FUNÇÃO DEFINIDA POR VARIAS SENTENÇAS ABERTAS Uma função f pode ser definida por várias sentenças abertas cada uma das quais está ligada a um domínio Di contido no domínio da f.

197. Exemplos 1!?) Seja a função f: IR -+ IR finida. por f(x) = 1 para x < O f( x) = x + 1 para O';;; x { f(x) = 3 para x;;;' 2

dey

que também pode ser indicada por

fI')

f(x)

se x < O + 1 se O';;;x<2. se x;;;' 2

O seu gráf ico está representado ao

lado. 2!?) Seja a função finida por f(x) = -x f(x) = x2

para x 1 para

f: IR -+ IR

se 1 se

-"'+./ ~

< -1

'+,

x < -1 x;;;' 1

O seu gráfico está representado ao

... 1

x;;;'-1

que também pode ser indicada por -x f(x) = { x2

de-

,, x

lado.

159-A

EXERCICIOS

11. MÚDULO

A.251 Construir o gráfico das funções definidas em IR:

198. a) f(xl

cl flx)

el flxl

{x + 1 -x

{-2

;

se se se

se se

x;;;, O x O

f(xl

x ~ -2 -2 x x ~ 2

{xx 2

di flx)

< <2

- 4x

x;;;,

se se

-1

x ~ -1

+ 3

Definição

<x<1

x> 1

Sendo x EC IR, define·se módulo ou valor absoluto de xque se indica por Ix I, através da relação

IXI ~ X se X;;;, O

{ IX I

= -X

se x<O

Isto significa que: 2

x - 2x 1 - x

x~o

se se

x> -2 x,,;; -2

x<O

1'?) o módulo de um número real não negativo é igual ao próprio número; 2'?) o módulo de um número real negativo é igual ao oposto desse número.

g) fi xl

x - 4x _xl - 4x

x;;;' O

h) f(x)

- 4x + 3

x;;;'o

+ 4x + 3

x<O

Assim, por exemplo, temos:

1+21

+2, 1-71

+7, 101

= O,

A.252 IMAPOFEI-741 Esboçar o gratico da função

flxl

{

X-I

x> 2

x2 - 1

se se

0";;x<2

Ixl

199.

1- 2[ 5

1-V21

+V2, 1+v31

Propriedades

Decorrem da definição as seguintes propriedades: x> -2 A.253 Na função real

flxl

x :E;;; -2 determine os valores do domínio que

I. Ixl ;;;, O, VxECIR 11. Ixl = O X = O Ixl • 111. Iyl = Ixyl,V x, y E IR IV. Ixl 2 = x 2 , VxEC IR V. Ix + yl";; Ixl + Iyl, V x, y E IR VI. Ix-yl;;;'lxl-lyl, V x, y EC IR

•

têm imagem 4.

Solução Para determinarmos o valor de x E R tal que f{x) = 4

resolvemos as equações

VII. Ixl ,,;; a e a> O VIII. Ixl ;;;, a e a> O x2 + x - 2

4 ==>

x 2 + x - 6 = O ==> {

X o -3 x::;c 2

= =

-a

X ,,;;

x -a

x ;;;, a

(não convém)

111. FU NÇAo MODULAR

-~ + 1 04 2

-6

200. logo, os valores do domínio são

==-

Definição

-6.

Uma aplicação de IR em R recebe o nome de função módulo ou modular A.254 Na função real

X2 -

f(x) -= {

têm imagem 7.

160-A

2.2 x + 1

x+2

se x;;;, O se

x<O

determine os valores do domínio que

qua ndo a cada x E IR associa o elemento Isto é:

Ix I

EC IR.

f: IR _ IR x I---> I xl

161-A

Utilizando o conceito de módulo de um número real, a função modular pode ser definida também da seguinte forma: f(x)

={X-x

Primeira Etapa Se glx);;' O. vamos ter f(x) ~ Ig(x) I ~ ~ glx). isto é. o gráfico da função f coincidirá com o gráfico da função g.

V f

x;;. O x < O.

se se

:=t=1Z x I

o gráfico da função modular é a reunião de duas semi-retas de origem O, que são as bissetrizes do 19 e 29 quadrantes. A imagem desta função é Im assume valores reais não negativos.

Segu nda Etapa: Se glxl vamos ter f(x) ~ I g(x) I ~ -g(x). isto é. o gráfico da função f será simétrico do gráfico da função g, relativamente ao eixo das abscissas. Construindo os gráficos obtidos, nas duas etapas, no mesmo plano cartesiano temos o gráfico da função f(x) ~ I x + 11.

< o.

IR+,

isto é, a função modular somente VI-

EXERCICIOS

H+H'-+-+-J-+X x

A.255 Construir os gráficos das funções definidas em IR: a) f(xl ~ 12x I

b) f(x) ~ 13xl

A.256 Construir o gráfico da função real definida por

fi x) ~ Ix

A.257 Construir os gráficos das seguintes funções reais:

11.

Solução Podemos construir o gráfico de

f(xl

Primeiro Processo Notemos que

IX+ll~{ x+l

uma função a duas sentenças ou seja,

x + 1 -x - 1

x ~ -1 -1

-x - 1 se x

então a função pode ser definida como

f(x)

•

por dois processos:

se se

/...

+xL

I'''/;

'-~ ~

x;)=-1

/,/

1'\.' 1'\.1/

1.\+)1 D

< -1

1 I.

fazemos em duas etapas:

162-A

c) t(x)

12x + 31

Ix 2 +

f) t(x)

Ix 2

g) t(x)

14 - x 2

4xl

/ IL(x)

)jCe,. 1/

A.258 Construir o gráfico da função definida em IR por f(x) ~ I x - 1 I + 2

1/1 1/1 1

V I'

Solução

g(x) ~

Ix -

V f I x) ~

~'\

, ,,

- 1

I+2

_,x

>C x

fazemos inicialmente o gráfico da função glx) ~ x + 1, que está representado ao lado.

f(xl ~ Ig(x)1 ~ Ix + 11

12x - 1 I

e) flx) ~

Para construirmos o gráfico de

Para obtermos O gráfico de

b) f(x)

Para obtermos o gráfico de t(x) ~ g(xl + 2 deslocamos cada ponto do gráfico da função g duas unidades "para cima",

Segundo Processo

Ix - 1 I 12 - 3xl

Construimos inicialmente o gráfico da função g(x) ~ Ix - 11

cujo gráfico está representado ao lado.

f(x) ~ I x

a) flx) d) t(x)

A.259· Construir os gráficos das seguintes funções reais

a) t(x) ~ Ix I

d) f(x) ~ Ix 2 - 11 - 2

b) flx)

12x - 11 - 2

el f(x) ~ Ix 2 - 41 + 3

cl t(x) f)

f(x)

13x - 41 + 1 Ix 2 + 4x + 31 - 1

163-A

A.26D Construir o gráfico da função definida em IR

t(x)

Ix + 21 + x - 1.

1 1':'1 quando x<-2"' temos t(x)=12x+11+lx-ll=-2x-1-x+1 =-3x

Solução 0

2 1 quando

Notemos que Ix + 21

X + 2 { -x - 2

se se

x;>-2 x -2

-'2";;

x < 1, temos f(x) = 12x + 11 + Ix - 11 = 2x + 1 - x + 1 = x + 2

3 0 ) quando x;> 1, temos t(x) = 12x + 11 + I x - 11 = 2x + 1 + x - 1 = 3x

Devemos, então considerar dois casos

10 ) quando

x;> -2,

I\~

temos:

t(x) = I x + 21 + x - 1 = = x + 2 + x - 1 = 2x + 1

-3X 2'.') quando

x < -2,

temos:

flx) = Ix + 21 + x - 1 = = -x - 2 + x - 1 = -3.

>-+-

1-l-

-3

se se

t(xl =

mio

....~ J

2 se x ~ 1

li x'""

~'\~+ V "1.,+

A.265 Construir os gráficos das seguintes funções reais: bl t(x) = Ix + 11 - Ix - 11 dI flx) = 13x + 31 - 12x - 31 I x 2 - 2x I - Ix 2 - 41 fi flxi =

a) t(x) = Ix + 11 + Ix - 1 I cl flxl = 12x - 21 + Ix + 31 e) flxl = Ix 2 -41-lx-21

I I

cujo gráfico está ao lado.

<_.!.-

-~,,;;

:,u

cujo gráfico está ao lado.

-.."

x ;>-2 x <-2

se x

x+2 se

{

--.,. rv"

f como uma fun-

ção definida a duas sentenças, vem: t(xl ={2X + 1

Anotando a função

\ ,~ "

Anotando a função f como uma função definida a várias sentenças vem:

A.261 Construir os gráficos das funções reais abaixo. a) c) e) g) i)

flx) flx) flx) t(xl t(x)

= = = =

b) flx) d) flx) f) flx)

Ixl + x Ix-31+x+2 12x - 1 I + x - 2 x 2 - 41xl + 3 Ix 2 - 2x I + x + 2

A.262 Construir o gráfico da função

Ixl - x Ix+11-x+3 13x + 21 - 2x + 3

hl t(x)

A.266 Construir o gráfico da função definida em IR

Ixl

f I x) = 112x - 21 - 41

-2Ixl-31

Construímos inicialmente o gráfico de definida em IR 4- •

1\ \

Solução flx)

glx) = 12x - 21 - 4.

definida em

IR - {1}.

10) Se

glx);> 0,

Analisemos as duas possibilidades A.263 Construir o gráfico da função flx) = IX - 11 1 - x

\1/ glx)

temos:

= 12x-21-4 I

t(x) = Ig(x) I = g(x) A.264 Construir o gráfico da função definida em IR por: f(x) = 12x + 11 + Ix - 11

isto é, o gráfico da função

coincidirá

com o gráfico da função g.

2':'1 Se 2X + 1

Notemos que

12x + 1 I =

{

glx) < 0,

temos:

isto é, o gráfico da função

\ f é o opos

to do gráfico da função g.

IX_11={x-1 -x

se x ~ 1 1

+ 1 se x

Devemos então, considerar 3 casos:

Considerando as duas possibilidades e representando num mesmo plano cartesiano temos:

/ 1/

flxl = Iglxll = -glxl

-2x - 1

I tlxl = I ?x-21-4

Solução

164-A

,vi

/ \

\ /

r-.. / \1/

165-A

A.267 Construir os gráficos das funções reais:

3<'»

a) f(x) ~ Ilxl - 21

Devemos ter inicialmente

b) t(xl ~ 112x + 31 - 21

c) flxl di t(x)

11 x 2 - 11 - 31 IIx - 11 + x - 3\ Ix 2 - 41xl + 31

= =

3x + 2;;' O

flx) = t(x) ~ Ilx+21-lx -211 gl f(x) = 113x - 31 - 12x + 111 e)

Ix + 11 : 3x + 2

Resolver

2 3

x~--

para que seja possível a igualdade.

Supondo

x;;. - 3

temos

={x+

Ix + 11 : 3x + 2

IV. EQUAÇOES MODULARES

x+ 1

Lembremos da propriedade do módulo dos números reais, para k Ixl

: 3x + 2

x =--

=-2"

ou =

-3x - 2

3 4

(não convém)

1 S = {--} 2

= -k

e, utilizando essa propriedade, vamos resolver algumas equações modulares. EXERCfclOS

A.268 Resolver as seguintes equações em IR:

201. Exemplos

ai Ix + 21 ~ 3

1l?) Resolver

12x - 1/

13x - 11 = 14x - 51 = di 12x - 31 = e) Ix 2 - 3x -

Então

12x - 11 = 3

2x - 1 = 3 ou { 2x - 1 = -3

x=2

= -1

2 O -1

1I = 3 Ix2-~x-~I~~

Ix 2 - 4x + 51

S = {2, -1} A.269 Resolver em R as seguintes equações:

2<'»

Resolver

13x - 11

ai 13x + 21 = Ix - 1 I b) 14x - 1 I - 12x + 31 = O

12x + 31

Lembrando da propriedade lal

~{3X

Ibl

temos:

13x - 11

12x + 31

= -b

2x + 3

Ix 2 + x-51 ~ 14x - 1 I

Ix 2

- 21

b) 13x + 21 =:=>

2 5

x =--

Ix 2

- x - 1I

2x + 1

2x - 3 12x - 51 = x - 1 di 12x2 + 15x - 31 = x 2 + 2x - 3 e) 13x - 21 = 3x - 2 =

166-A

+ 2x - 21 =

A.270 Resolver as seguintes equações em IR:

3x - 1 = -2x - 3

cl d)

14 - 3xl

3x - 4

167-A

INEQUAÇOES MODULARES

A.273 Resolver em IR a inequação

2x - 7 + Ix + 1 I ;;.

Solução

Lembrando das propriedades de módu lo dos números reais, para k > O: 1) Ix I < k 2) Ixl > k

-k < x < k X < -k ou

<== <==

l'?)Se

x;;'-l,

Exemplos

<x<

{x E IR I -2

I x ;;. -1} n {x E IR I x ;;. 2}

{x E IR

-3 < 2x + 1 < 3

-2 < x < 1

{x E IR

I x ;;. 2}

x;;. 8.

temos:

2x - 7 + Ix + 11 ;;. O A solução

2x - 7 + x + 1 ;;. O <==> x;;. 2

2 0 ) Se x < -1

+ 11 < 3

Então: I 2x + 1 I < 3

temos:

2x - 7 + Ix + 1 I ;;. O A solução S,

12x

x;;'-l

devemos então, considerar dois casos:

lC?) Resolver em R:

x> k

e, utilizando essas propriedades, podemos resolver algumas inequações modulares.

202.

+ 1

IX + 1 I = { -x _ 1 se x < -1

Notando que

2x - 7 - x - 1 ;;. O

{x E IR I x <

-l} n {x E IR I x;;. 8} =y)

A solução da inequação proposta é

S = S1 U S2

2C?) Resolver em R:

14x - 31

e portanto

{x E IR I x ;;. 2}

Então: 14x - 31> 5

{x E IR I x

< < - -21

(4x - 3

1 2

-5

4x - 3

> 2}.

A.274 Resolver em IR as seguintes inequações:

a) Ix - 11 - 3x + 7 .;; O c) 13x - 21 + 2x - 3 .;; O e) 13x-41+2x +1<0 9 I Ix2 - 6x + 51 + 1 < x

b) 12x + 1 I + 4 - 3x > O 1x + 1 I - x + 2 ;;. O f) Ix 2 -4xl-3x+6';;0

Ix 2

A.275 (MAPOFE 1-761 Resolver a inequação EXERCfclOS

A.276 Resolver a inequação em fi

A.271 Resolver em A as inequações abaixo:

ai 13x-"21<4 cl 14 -'3x[';; 5 e) 12x+41<-3 g) 15x + 41 ;;. 4 il 13x - 51 > O k) 1 < Ix - 11 .;; 3

168-A

41 < 3x.

12x - 61 - Ix I .;; 4 - x.

Solução b) di fi h)

12x-31';; 1 13x + 41';;0 12x - 11 > 3 12-3xl;;'1 j) 14x - 71;;'-1

Notando que: 2X - 6

12x - 6 I = { -2x + 6

1~1';;2 2x - 1

hl 112x + 11 - 31 ;;. 2

={ -x x

x ~ O x O

< x

bl Ix 2 - x - 41 > 2 di Ix2 - 3x - 41 .;; 6

Ixl

Construímos a tabela:

A.272 Resolver as inequações seguintes em fi:

a) Ix2 - 5x + 51 < 1 c) Ix2 - 5x I ;;. 6 2x el 1 - 31 > 2 3x - 1 g) Ilxl-21>1 il 112x - 1 I - 41 .;; 3

12x - 61

-2x + 6

2x - 6

Ixl

-x

12x - 61 - Ixl

-x + 6

-3x + 6

x - 6

169-A

temos:

12x - 61 - IxI

{

X-6 se -3x + 6 se -x + 6 se

x> 3

0<x<3 x

CAPÍTULO IX

OUTRAS FUNÇOES ELEMENTARES

Devemos considerar três casos:

l?l Se x> 3, a inequação proposta é equivalente a:

x- 6< 4- x A solução

2?) Se

E IR

-3x A solução

I x ? 3} n {x

< x < 3,

-x + 6

E IR I

x< 5

E IR

I3< x<

a inequação proposta é equivalente a:

+6 < 4 - x

-2x

1 O < x < 3} n {x

< O,

2x < 10

< -2

E IR

FUNÇÃO

E IR

I x?

< x < 3}

a inequação proposta é equivalente a:

- x

que é absurdo. Logo a solução

S3 A solução da inequação

Isto é: S3 é:

)Õ.

12x - 61 - Ix1< 4 - x S

{x E

{x E R

SI U S2 U S3 X

A.278 (MAPOFEI-751 Resolver a desigualdade

-2

Ix - 21 + Ix - 41 ? 6.

ponto

-8

-a

-1 1

-"8

1 27

8 8

125 8

I II

-'2

2 2 5 2

-'2

170-A

< x < 5}

- Ix - 31> X· bl 13x + 21 - 12x - 1 I > x + 1 - Ix + 41 < 1 - x di Ix+21 + 12x-31<1O + 12x - 21 > x + 8 t) 3 { I x + 1 1- I x - 1 I} < 2i - Ix + 31 > x2 - 4x + 3

A.277 Resolver as seguintes inequações em IR:

@Ix + 21 cl Ix - 21 el Ix + 21 gl Ix - 21

f: Fl--+ IR x~ x 3

Vamos inicialmente construir a tabela

3 < x < 5} U {x E IR 1 1 < x < 3} u)2f 1

x E Fl

é:

e portanto:

203. Façamos um estudo da função f: de Fl em IR, que associa cada o elemento x 3 E R

isto é:

f(x) =

E R

3?) Se

FI7 -2

-1 I~

)

D E

-1

-2

-3

I B

-4

1 171-A

Observemos que a função f(x) = x 3 : a) é uma função crescente em IR, isto é: E IR, \fX2 E R)

(\fx[

(XI

-4

x~)

b) tem imagem Im = R pois, qualquer que seja o y E R, existe x E IF tal que y = x 3 , isto é, x = ~

1 x

-4

ponto A

-3 1

-3

-1

-"2

-4

-3

-"2

-1

-2

-3

-4

-2 1

-----

1 y I-

,~'

b) f(x) = -x 3

d) f(x) = (x e) f(x)

+ 1)3

(2 - x)3

f) f(x) = Ix - 1)3 - 1 g) f(x) = 2

h) f(x) =

(1 - x)3

Ix 3 1

.....

~ D

~-~-

--~

c) f(x) = 2 - x 3

ai f(x) ~ x 3 + 1

-~-I----

A.279 Fazer o esboço dos gráficos das seguintes funções definidas em IR.

~---~I

EXERCICIO

----

t---

+-- -~ I

ln'

f'.... c'

f----

LA'

x ~

~--~-

F G ---

11.

FUNÇÃO RECIPROCA

204.

205. Observemos que a função recíproca

Definição

Uma aplicação f de IR * em IR recebe o nome de função rec/proca quando a cada elemento x E IR * associa o elemento 2-, x Isto é: f: IR* -+ IR XI-> -

a) não é definida para x = O; b) tem imagem Im = IR* pois, dado um número real existe um x também real tal que c)

y =

* O,

sempre

2-; x

tem por gráfico uma hipérbole equilátera(')

Vamos inicialmente construir a tabela

172-A

Clt) Isto está provado em nosso livro de Geometria Analítica desta coleção.

173-A

EXERCfclOS

A.282 Fazer

esboço gráfico das seguintes funções:

a) f(x) ~ A.28D Fazer o esboço do gráfico das funções a) f(x) cl f(x)

1 x 1 - 2x

1 2x

d) f(x)

2="X

Ix + 21

A.283 Fazer o esboço gráfico da função

lXi

f(x)

Solução Observemos que:

f(x)

b) f(x)

cl f(x) b) f(x)

A.281 Fazer o esboço do gráfico da função

x::-T

X+1

x-I + x-I

Solução

x-I 1 1 )(:""l + x-I ~1+ x-I

Vamos construir a tabela da seguinte maneira: atribuímos valores a Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribu ímos valores a x + 1, calcule mos

1 x + 1

-3

-2

-1

-2

"3 1

174-A

x-I

-2

-3

2 3

-1

-2

1 :2

-1

\ .......

-.....

-2"

1 +

-1

-3"

-2

4 3

1 3

3 2

4 3

O 2

e finalmente x.

-3 1

x-:-1

1 +

x - 1, calcula-

e finalmente calculamos x:

x + 1

-4

mos

2 1

1 x-I

""-

-r--. 1\

175-A

EXERCICIOS A.284 Fazer o esboço gráfico das seguintes funções: x + 1

A.286 Construir o gráfico das seguintes funções definidas em IR.

a) f(x)

-;-+2"

x + 3

bl f(xl

x=-1

cl f(x)

x - 1 2 - x

di f(x)

I~I

a) Ilx) - 2[xj

x '" 4.

2 >

y "

Use no cálcu lo três trapézios de basl

= 4.

-[x]

A.287 Construir o gráfico da lunção real delinida por Ilxl = [2x]

A.285 IMAPüFEI-74) Calcular o valor aproximado da área limitada pela curva pelo eixo Ox e pelas retas x = 1 contidas nas retas x = 1, x = 2,

b) Ilxl

Solução Vamos construir uma tabela da seguinte maneira: atribuímos valores a 2x, mos

calcula-

l2x] e finalmente x.

-2 <: x < -1.5

= [2x] 4

-4 <: 2x < -3

-4

-3 <: 2x < -2

-3

-2<:2x<-1

-2

-1 <: 2x < O

-1

0<: 2x < 1

1 <: 2x < 2

-1,5<:)«-1

111.

-1 <: )( < -0.5

FUNÇÃO MÃXIMO INTEIRO

-0,5 <: x < O

206.

O <: x < 0,5

Definição

Uma função f de IR em R recebe o nome de função máximo inteiro quand associa a cada elemento x E IR o elemento [x] que é o maior inteiro qL não supera x. Isto é: [xJ

_2~

1 <: x < 1,5

2 <: 2x < 3

3 <: 2x < 4

4 <: 2x < 5

0----<0

f: R -+ IR

, ., .,

.,J.

·3

0-0

Ixl

2 <: x < 2,5

é o maior inteiro que não supera x. A.288 Construir os gráficos das seguintes funções definidas em IR:

Assim, por exemplo:

[3,9]

[10]

1-0 ,7]

-7

[ 10 ]

-1

[4]

a) f(x)

Para construirmos o notemos que y -3 <: x < -2 y -2 <: x < -1 y -1 < x < O y 1 O<:x< y 1<:x<2 y 2<:x<3 y 3<:x<4 etc.

= = = = = =

gráfico,

l x] [x] [ x] [x] l x] [x] I x]

-3 -2 -1 O 1 2 3

J~-----r?

2 1

----ri '

- -..-<;>

-3 -2 -,-1

,I I I

-1

+-'r-'~ 2

f(x) II x) f(xl

= =

[~] 2

[x - 1] [x J2 x + [x]

bl di el g)

f(x) [-x] f(xl - [Ix I] Ilxl = [x]1 Ilxl = x - [x] 1

I I

, , ,

---

~ __ -

A imagem da função máximo inteiro é o conjunto

176-A

-1

1,5 <: x < 2 X -+

onde

0,5 <: x < 1

., .-',

-3

Im =::l.

177-A

CAPÍTULO X

Advogado envolvido com Álgebra

Arthur Cayley nasceu na Inglaterra. Como estudante em Cambridge ganhou muitos premlos em Matemática. Graduou-se em Trinity e dedicou-se ao Direito durante catorze anos, o que não impediu suas pesquisas matemáticas. Em 1839 fundou-se na Inglaterra o "Cambridge Mathematical Journal", principal veiculo de comunicação que contou com inúmeros artigos de Cayley assim como outros jornais cientificos, caracteristicos do século XIX. Em 1843 criou a Geometria Analitica no espaço n-dimensional usando determ inantes como instrumento básico e foi o primeiro a estudar matrizes, defi· nindo matriz nula, matriz identidade a partir do que se pode pensar em operações sobre elas. Neste aspecto contou com a colaboração de Benjamim e Charles Peirce. Em 1846, Cayley escreveu um artigo para o "Jornal de Crelle" estendendo o teorema de espaço tridimensional para um espaço de quatro dimensões. No "Philosophical Transaction" (Transação Filosófica) em 1868, publicou um desenvolvimento do plano cartesiano a duas dimensões como um espaço de cinco dimensões cujos elementos são as cônicas.

Arthur Cayley (1821 - 1895)

Em 1854 aceitou o cargo de professor em Cambridge e em 1881 profeiu uma sériE dé conferências sobre funções abelianas E função theta. Cayley escreveu muitos artigos sobre invariantes algébricos e principalmente nesta teoria teve a ajuda de seu amigo inseparável Sylvester, tanto que foram chamados "gémeos invariantes". Cayley era essencialmente um algebrista mas contribuiu também para a Geome· tria e em Análise escreveu "Ensaio sobre as funções ellticas': Produziu q~antidade imensa de arti· gos e obras durante sua vida, tanto qUE neste aspecto chega a competir com Cauchy e Euler.

FUNÇÃO COMPOSTA FUNÇÃO INVERSA

207.

FUNÇÃO COMPOSTA

Definição

Seja f uma função de um conjunto A em um conjunto B e seja g uma função de B em um conjunto C; chama-se função composta de g e f à função h de A em C definida por h(x) ~ g(f(x)) para todo x em A. I ndicaremos esta aplicação h por gof (Iê·se:·g composta com f ou g circulo f); portanto (gof) (x) ~ g(f(x)) para todo x em A.

Podemos representar também a composta gof pelo diagrama.

208.

A~r" C

Exemplos 1!?) Sejam os conjuntos A ~ {-1, {1, 3, 5, 7, 9} e as funções:

f, de A em B, definida por t(x) g, de B em C, definida por g(x)

O, 1, 2}.

{o, 1, 2, 3, 4} e

x2 2x +

179-A

Assim, no primeiro exemplo, se tentarmos obter fog verificaremos que é impossível, pois: 9 é função de B em C

mas f

não é função de C em A.

observemos, por exemplo que: f(2) = 4, g(4) = 9 e h(2) = 9, = (gof)(2) = g(f(2)) = g(4) ~ 9.

isto é, h(2) =

Para obtermos a lei de correspondência da função composta h = gof, fazemos assim: g(f(x)) é obtida a partir de g(x) trocando-se x por f(x).

3~) As duas composições fog e gof estão definidas mas fog mo nos mostra o segundo ellemplo: (gof) (x) = x 2 (fog) (x) = x 2

No exemplo dado. temos:

+ +

gof co-

3x + 3 x + 2.

h(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = 2 • f(x) + 1 = 2x 2 + 1. Se vamos calcular

h(2),

fazemos deste modo: h(2) = 2 • 2 2 + 1 = 9.

210. Teorema Quaisquer que sejam as funções

2?) Sejam as funções reais f e 9 definidas por f(x) Notemos que a função composta h, = gof

=x + 1

e g(x)

= x 2 + x + 1.

A-.!-B~C~D

é definida por:

hdx) = (gof)(x) = g(f(x)) = [f(X)]2 + f(x) + 1 = (x + 1)2 + (x + 1) + 1 = x 2 + 3x + 3. Notemos, por outro lado, que a função composta h 2 = fog é definida por: h2(x) = (fog)(x) = f(g(x)) = g(x) + 1 = x 2 + x + 1 + 1 = x 2 + x + 2.

tem-se: (hog)of = ho(gof).

Demonstração g(y)

Consideremos um elemento qualquer w e h(w) = z; temos:

209. Observações

((hog)of)(x) = (hog)(f(x))

1~)

A composta gof só esta definida quando o contra-domínio da f é igual ao domínio da g. Em particular se as funções f e 9 são de A em A então as compostas fog e gof estão definidas e são funções de A em A.

x de A

e coloquemos

f(x) = y,

(hog)(y) = h(g(y)) = h(w) = z

e notemos que (gof) (x) = g(f(x)) = g(y) = w portanto, (ho(gof))(x) = h((gof)(x)) = h(w) = z

2~) Notemos que em geral, fog

não

gof, isto é, a composição de funções

então, temos: ((hog)of)(x) = (ho(gof))(x),

é comutativa. Pode acontecer que somente uma das funções fog ou gof esteja definida.

180-A

para todo x de A.

181-A

EXERCICIOS

A.295 Dadas as funções reais definidas por f(x) = 3x + 2 o valor de a de modo que se tenha fOg = gOl.

t(x) = x 2 + 4x - 5

A.289 Sejam as funções reais f e g, definidas por Pede-se:

g(x)

A.296 Se

2 • t(x) - 3 = 2(x 2 + 4x .. 5) .. 3 = 2x 2 + 8x .. 13

A.299 Sejam t(x) = fOg e gOf.

(gOf)(2) = 2 • 2 2 + 8 • 2 - 13 = 11

c) o problema em questão, resume-se em resolver a equação

= 16

A.290 Sejam as funções reais Pede-se:

4(x' - x - 6)

fOg

x 2 .. 4x + 1

t(x)

A.292 Sejam as funções reias f e g, definidas por leis que definem fOg e gOf.

t(x)

que define

182-A

t("x)?

E t(.!.)? x

t(x)

E t(x - 1)?

=.,;;

x 2 + ax + b.

g(x)

Mostre que se

x 2 - 3x - 4.

Determinar

isto é: x';;;;-1

e g(x) = 2x 2 - 5x + 3. Determinar os domínios das funções

g(xl

1 - 2x.

.. definida para todo x real e x =1= 2 e g(x)

2x + 3

e g(x)

= 3x

- 1.

= x2

.. 1.

Obter as

x2 - 1

h(x) = 3x + 2.

Obter

g(x) = x 2 - x + 2

h(x) = 2x + 3.

Obter

A.301 Sejam as funções reais t(x) = 2x + 1, a lei que define (hOg)Of. . A.302 Sejam as funções reais f(x) a lei que define hO (gOf!. A.303 Sejam as funções reais função g.

1 - x,

t(x) = 3x - 5

g(x)

(fOg)(x) = x 2 - 3.

Determinar a lei da

Solução

g(x) = x - 3,

obter as

(fOg)(x) = f(g(x)) = 3 • g(x) - 5 mas é dado que: 1t0g)(x)

c) fOf

A.294 Considere a função em IR definida por

g(x)

Se f(xl = 3x - 5 então trocando-se x por g(x) temos:

f(x) = x 2 + 2

b) gOf

= gOf.

a) o domínio e a lei que define fOg b) o domínio e a lei que define gOf.

ou x ~ -2.

que produzem imagem 10.

A.291 Sejam as funções reais f e g. definidas por Obter as leis que definem fOg e gOf.

a) IOg

t(x) = x 2 - X - 2

f e g, definidas por

e g, definidas por

fOg

definida para todo x real. Pedem-se:

a) obter as leis que definem fOg e gOf b) calcular (lOg)(-2) e (gOf)(-2) c) determinar os valores do domínio da função

A.293 Nas funções reais leis que definem:

x+1 A. 300 Se jam as funções f () x = ~

(fOg)(x) = 16 4x 2 - 4x .. 8

mostre que

calculemos gOf para x = 2

ou seja

= x4,

bl (gOt)(x) = g(t(x)) = [g(x))2 - 3 • g(x) - 4 = Ixl - 3..[; - 4. Para que exista (gOf)(x) E IR, devemos ter x;;;' O. Então D(gOf) = {x E IR I x ;;;'O}.

b) Calculemos fOg para x = 2 • 22 - 4 • 2 - 8

determinar

(gOf)(x)

e g(x)

a) (fOg)(x) = t(g(x)) =,.;;;w = x 2 .. 3x - 4. Para que exista (fOg)(x) E IR, devemos ter x 2 - 3x - 4 ;;;. O, ou x;;;' 4. Então D(fOg) = {x E IR I x ';;;;-1 ou x ;;;'4}

A lei que define gOf é obtida a partir da lei de g, trocando-se x por t(x):

(fOg)(2)

+ a,

Solução

f(g(x)) = [g(x))2 + 4[g(x)] .. 5 = (2x - 3)2 + 4(2x - 3) - 5 (lOg)(x) = 4x 2 .. 4x - 8.

= g(t(x)) =

= x3

A.298 Sejam as funções definidas por t(x) os domínios das funções fOg e gOf.

a) A lei que define fOg é obtida a partir da lei de f, trocando-se x por g(x):

(gOf)(x)

t(x)

A.297 Sejam as funções t(x) = x 2 + 2x + 3 fOg = gOf então f = g.

Solução

= 2x

2x - 3.

a) obter as leis que definem fOg e gOf b) calcular (fOg) (2) e (gOf) (2) c) determinar os valores do domínio da função fOg que produzem imagem 16.

(fOg)(x)

e g(x)

d) gOg

x 3 - 3x 2 + 2x - 1.

Qual é a lei

x2 - 3

então

3 • g(x) - 5 = x 2 - 3 ou seja

x2 + 2

g(x) = - - 3 - '

183-A

A.3D4 Sejam as funções reais lei da função g.

f(x)

2x + 7

A.3D5 Sejam as funções reais lei da função f.

g(x) = 3x - 2

x 2 - 2x + 3.

Determinar a

(fOg)(x) = 9x 2 - 3x + 1.

Determinar a

(fOg)(x)

Solução

Como

g(x)

f(g(x))

3x - 2,

então

x';;-1

-1

{

4 - x2

<x <1 ~ 1

decorre

Obter as leis que definem f Og e gOl.

f(g(x)) = 9x 2 - 3x + 1. g(x) + 2 _ - - 3 - - e entao:

9[g(x)3+2f - 3 , [g(X)3+

A.311 Sejam as funções reais f e 9 definidas por

] + 1 = [g(x)]2 +4g(x)+4-g(x)-2+1 =

= [g(x)j2 + 3 • g(x) + 3 logo, f(x) = x 2 + 3x + 3. A.3D6 Sejam as funções reais lei da função f.

g(x)

2x - 3

f(x)

4X - 3 { x2 _ 3x + 2

se se

Obter as leis que definem

(fOg)(x)

2x 2 - 4x + 1. Determinar a

. A.3D7 Sejam as funções reais g(x) = 2x + 3 definida para todo x real e x cF 2 e 2x + 5 (fOg)(x) = x + 1 definida para todo x real e x cF 1. Determinar a lei da função

f(x)

x2 + 2

e g(x) = 2 - 3x.

(fOg)(x) = 9x 2 - 3x + 1

A.31D Sejam as funções reais f e 9 definidas por

x x

g(x)

(fOg)(x)

{x + 1 1 _ x2

se se

x 2 x.;; 2

fOg e gOf.

A.312 Sejam as funções reais 9 e fOg definidas por 4X 2 - 6x - 1 { 4x + 3

g(x) = 2x - 3

x ~ 1 x 1

Obter a lei que define f.

A.308 Sejam f e 9 funções reais definidas por x 2 + 2x + 4 se x ~ 1 e g(x) f (x) = { 3x + 4 se x 1

11. FUNÇÃO SOBREJETORA

Obter a lei que define

x - 3.

fOgo

211. Definição

Solução Fazendo

g(x) = V,

temos

(fOg)(x) = f(g(x))

Uma função f de A em B é sobrejetora se, e somente se, para todo y pertencente a B existe um elemento x pertencente a A tal que

f(v).

Temos de examinar dois casos: 1':')

V ~ 1 V

~ 1

2':')

v<1 v

= * g(x) ~ 1

= * g(x)

Conclusão:

=* x - 3

=* x

f(v) = 3v + 4 = = ? f(g(x)) = 3 • g(x) + 4 (fOg)(x) = 3(x - 3) + 4 = 3x - 5

x2 - 4x + 7,

(fOg)(x) = { 3x _ 5,

se se

Obter as leis que definem

x ~ 2 x 2

fOg e gOf.

= y.

Em símbolos f: A -+ B f é iobrejetora

= Notemos que f: A -+ B é sobrejetora se, e somente se, Im (f)

X~4

< 4.

f e 9 as funções reais definidas por

x2 - 4x + 3 f(x) = { 2x - 3

184-A

=* x - 3 ~ 1 = * x ~ 4

f(v) = V2 + 2v + 4 = = ? f(g(x)) = (g(x)}2 + 2 • g(x) + 4 (fOg)(x) = (x - 3)2 + 2(x - 3) + 4 = x 2 - 4x + 7.

<1 =

A.309 Sejam

f(x)

~ 1

f: A ... & f é sobrejetora .... Im(f)

g(x) = 2x + 3.

Em lugar de dizermos "f é uma função sobrejetora de A em B" poderemos dizer "f é uma sobrejeção de A em B".

185-A

212. Exemplos 1'?)

214. Exemplos 1'?)

A função f de

= { -1, 0, 1, 2} em B = {O, 1, 4}

definida pela lei f( x) = x 2 é sobrejetora pois, para todo elemento y E B, existe o elemento x E A tal que y ~ x 2. Observemos que para todo elemento de B converge pelo menos uma flecha.

2'?) A função f de A = IR em B = {y E IR I y ?> 1} definida por x 2 + 1 é sobrejetora pois, para todo y E B, existe )( E A tal que y = x 2 + 1, bastando para isso tomar x = ou x = -~.

f( x)

v'Y--=-1

A função f de

= {O, 1, 2, 3} em B = tl, 3, 5,7, 9}definida

pela lei f(x) = 2x + 1 é injetora pois, dois elementos 'distintos de A têm como imagens dois elementos distintos de B. Observemos que não existem duas ou mais flechas convergindo para um mesmo elemento de B. 2'?)

A função de A = ~ em B = ~ definida por

pois, qualquer que sejam 3'?)

A função de

XI A

e X2 IR'

de~, em

= •

IV. FUNÇAO BIJETORA

213. Definição

215. Definição

Uma função f de A em sejam XI e X2 de A, se XI

B é injetora se, e somente se, quaisquer que X2 então f(xI) cf f(x2).

(\f XI , Xl E A, \f X2, x2 E A)(xI

'* X2

~ f(xtI

'* f(X2))

(\f Xl , XI E A, \fX2' x2 E A)(f(xt! = f(X2) ~ XI

X2)

Em lugar de dizermos "f é uma função injetora de A em B" poderemos dizer "f é uma injeção de A em B".

186-A

então

-J-

-r-

é injetora, 2xI

'* 2X2' é inje-

1.1X2 entao "IXI

Uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, f é sobrejetora e injetora.

f: A -> B f é bijetora

f é sobrejetora e injetora,

Notemos que a definição proposta é equivalente a uma função f de A em B é injetora se, e somente se, quaisquer que sejam XI e X2 de A, se f(x,) ~ f(X2) então XI = X2'

f: A -> B f é injetl}ra

f(x) = 2x

Em símbolos

f: A -> B f é injetora

IR definida por f( x)

tora, pois, qualquer que sejam XI e X2 de IR , se x I

111. FUNÇAo INJETORA

A definição acima é equivalente a: uma função f de A em B é bijetora se, e somente se, para qualquer elemento y pertencente a B existe um único elemento X pertencente a A tal que f(x) = y.

f: A - 4 B f é bijetora

\f y, Y E B, 31 x, x E A I f(x)

Em lugar de dizermos "f é uma função bijetora de A em B" poderemos dizer "f é uma bijeção de A em B".

187-A

216. Exemplos 1C?) A função f de A por f(x) = x + 1 é bijetora

{O, 1,2, 3} em B

{1, 2, 3, 4} definida

1C?) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto ou não cortar o gráfico, então a função é injetora.

Exemplos a) f: IR

b) f: IR. -+ IR f(x) = x 2

f(x) = x

y y

pois, f é sobrejetora e injetora, isto é, para todo elemento y E B, existe um único elemento x E A, tal que y = x + 1. Observemos que para cada ele. . mento de B converge uma só flecha. 29) A função f de é bijetora, pois:

= IR em B = IR definida por f(x)

3x + 2

2<?) Se cada uma das retas cortar o gráfico em um ou mais pontos então a função é sobrejetora.

Exemplos a) f: IR

I) qualquer que seja y E IR, y - 2

tomarmos

x =

existe

x E IR

tal que

y = 3x + 2,

basta

-+ IR f(x) = x - 1

b) f: IR

Logo, f é sobrejetora;

11) quaisquer que sejam XI e X2 de IR, se XI "* X2 então 3xI isto é, f é injetora.

IR.

f(x) = x 2 y

+ 2 "* 3X2 + 2, x

217. Observemos que existem funções que não são sobrejetoras nem injetoras. Assim, por exemplo, a função de IR em IR definida por f(x) I) dado y E IR~, não existe não é sobrejetora;

X E IR

tal que

y = I xl.

11) existem XI e X2 em IR, XI e X2 opostos (e portanto tais que I XI I = I X2 I, isto é, f não é injetora.

= I xl

portanto f

Exemplos a) f: IR

b) f: IR

f(x) = 2x

f(x) =

XI"* X2)

218. Através da representação cartesiana de uma função f podemos verificar se f é injetora ou sobrejetora ou bijetora. Para isso, basta analisarmos o número de pontos de intersecção das retas paralelas ao eixo dos x, conduzidas por cada ponto (0, y) onde y E B (contra-domínio de f).

188-A

39) Se cada uma dessas retas cortar o gráfico em um só ponto, então a fu nção é bijetora.

-+ X

IR • IxI y

1S9-A

EXERCfclOS

219. Resumo: Dada a função f de A em B, consideram-se as retas horizontais por (O. V) com V E B: ~?I

se nenhuma reta corta o gráfico mais de uma vez, então f é injetora.

2?)

se toda reta corta o gráfico, então f é sobrejetora.

3?)

se toda reta corta o gráfico em um só ponto, então f é bijetora_

A.313 Indique qual das funções abaixo é injetora. sobrejetora ou bijetora?

., r;=0

~revB

"(2+ ~ ~-A

h c)

~;~"

220. Teorema Se duas funções f de A em B e 9 de B em C são sobrejetoras, então a função composta gof de A em C é também sobrejetora.

A.314 Para as funções em bijetora?

IR ·abaixo representadas qual é injetora?

E sobrejetora?

Demonstração

A função 9 é sobrejetora então, para todo z de C, existe V em B tal que g(V) ~ z e a função f é sobrejetora, isto é, dado V em B existe x em A tal que f(x) ~ V. Logo, para toda z em C, existe x em A tal que z o que prova que

g(V)

g(f(x))

(gof) (x)

gof é sobrejetora.

A.315 Nas funções seguintes classifique em

221. Teorema Se duas funções f de A em B e 9 de B em C são injetoras, então a função composta gof de A em C é também injetora.

Demonstração Consideremos x I e X2 dois elementos quaisquer de A e suponhamos que (gof) (XI) ~ (gof) (X2), isto é, g(f(x l )) ~ g(f(X2)l. Como 9 é injetora, da última igualdade resulta que" f(xI) ~ f(X2), como f é também injetora vem, XI = X2; portanto gof "é. injetora.

190-A

II injetora III sobrejetora IV) não é sobrejetora e nem injetora. ~

f: IR

-+ IR

tal que

f(xl

g: IR

-+IR

tal que

g(x) = 1 - x 2

h: IR

111) bijetora

2x + 1

h(xl = Ix - 1 I

-+ IR+

tal que

d) m: t.I

-+ t.I

tal que

n: IR

-+Z

tal que

n(x) = [x]

p: IR' -+ IR'

tal que

p(x)

q: IR

-+ IR

tal que

x q(x) = x 3

r: IR

-+ IR

tal que

r(xl =lxl,(x-1I

el fi

(

m(xl

3x + 2

191-A

A.316 Determine o valor de b em B = {y EIR I y ;;. b} de modo que a função f de IR em B definida por f(x) = x2 -4 x + 6 seja sobrejetora. A.317 Determine o maior valor de a em

A =- {x E

Ix ~

f de A em IR definida por fi x) = 2x 2 - 3x + 4

de modo que a função

seja inietora.

V. FUNÇÃO INVERSA

{1, 3, 5, 7} 222. Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4} e B 2x - 1. a função f de A em B definida por f(x) Notemos que a função f é bijetora

A.318 Nas funções seguintes classifique em

111 sobrejetora

11 injetora

fi xl =

cl h: IR h(xl

xx2 ssee

g(x)

x<O

x ;;. 2 x

m(xl

-+ IW

d) m: IR

{ 3x - 2 se x - 2 se

fi p: IR se

1 se

< <1

p(x) =

inversa de

{ 4 - x2

{~:]

A função

Im(f)

é também uma função

xE(D x E (IR - (D)

f-I

é formada pelos

pares ordenados

ri ::

pois, f é uma bijeção de A em B, iS10 é, para todo V E B ex iste um único x EC A tal que (V, xl E f-I.

-+ IR

se x <; 1 x2 - 6x + 8 se x

D(f)

A relação f-I = {(y, x) I Ix, V) E f},

se x ;;. 1 1 se -1 x x + 1 se x ,;;; -1

-+ (D

x é par x é (mpar

onde

-+ IR

x ;;. O

-+ IR

el n: IW n(xl

{

f = {(1, 1), (2, 3), (3, 5), (4, 7)}

b) g: IR

-+ IR

formada pelos pares ordenados

1111 bijetora

IV) não é injetora e nem sobrejetora.

a) f: IR

consideremos

{(l, 1), (3, 2), (5,3), (7, 4)}

onde

DW')

B e

Im(f- I

)

Observemos que a função f é definida pela sentença V = 2x - 1, e f -\ A.319 Sejam as funções: f de A em B, definida por y = f(x); identidade em A, anotada por IA, de A em A e definida por IA(xl = x; identidade em B, anotada por IB, de B em B e definida por IB(x) = x. Prove: f()IA=f

IBof=f.

A.320 As funções IA e 18 do exercido anterior são iguais? Justificar.

A.321 Os conjuntos A e B têm, respectivamente m e n elementos. Considera-se uma função f: A ---+ B. Qual a condição sobre m e n para que f possa ser injetora? E para f ser sobrejetora? E bijetora? A.322 Quantas são as injeções de

A = {a, b}

{c, d, e, f}?

definida pela sentença

x =

V + 1 . isto é 2

1?)

2?)

f-I leva cada elemento

leva cada elemento

x EC A VE B

até o até o

V E B

x E A

tal que tal que

2x - 1

V + 1 2

223. Teorema Seja

f: A

-->

A relação f-I é uma função de B em A se, e somente

se, f é bijetora.

DemonStração A.323 Quantas são as sobrejeções de

{a, b, c}

B::. {d, e}?

A.324 Mostrar com um exemplo que a composta de uma injeção com uma sobrejeção pode não ser nem injetora nem sobrejetora.

192-A

la Parte:

se f-I é uma função de B em A então f é bijetora. 1

ai para todo V E B existe um x E A tal que f- (V) (V, xl E f- \ ou ainda, (x, V) E f. Assim f é sobrejetora.

isto é,

193-A

b) dados Xl E A e X2 E A, com Xl =lo X2, se tivermos f(xI) = f(x2) = y resultará f-I (y) = XI e f-I (y) = X2, o que é absurdo pois y só tem uma imagem em f-I. Assim f(xl) =lo f(x2) e f é injetora. 2'! Parte:

se f é bijetora, então f-I é uma função de B em A.

a) Como f é sobrejetora, para todo (x, y) E f, portanto, (y, x) E f-I. b) Se

y E B

existe um

y E B

X E A tal que

duas imagens XI e x2 em f-I, vem: O(f- I

portanto

Como f é injetora resulta

XI = X2'

)

B = Im (f)

ImWl) = A = O(f).

226. Vimos no exemplo anterior que se a função f é definida pela sentença aberta y = 2x - 1, então a função inversa f-I é definida pela sentença X = Y + 1 . 2

224. Definição

Observemos, por exemplo, que

Se f é umjl função bijetora de A em B, a relação inversa de f é uma função de B em A que denominamos função inversa de f e indicamos por f-I.

y = 2x - 1

(2, 3)

e também

pertença a f e a

ri.

2 De fato

(2, 3) E f

225. Observações

As sentenças abertas

1~) Os pares ordenádos que formam f-I podem ser obtidos dos pares ordenados de f, permutando-se os elementos de cada par, isto é

(x, y) E f 2~)

(y, x) E f-I

ri,

teremos:

isto é, a inversa de f-I é a própria função f

O domínio da função f-I é B, que é a imagem da função f. A imagem da função

194-A

y = 2x - 1

(3, 2) E rI.

e x =

ri é

r....:':.J.. 2

não especificam quem

é o primeiro termo do par ordenado.

Ao construirmos o gráfico cartesiano da função abscissas e y em ordenadas, isto é:

colocamos x

rI = {(y, x) E B X A I x =

~} 2

devemos ter y em abscissa e x em ordenada. Afim de que possamos convencionar que:

= f.

Podemos assim afirmar que f e rI são inversas entre si, ou melhor, uma é inversa da outra. 3~)

3 satisfazem a condição

Isto não quer dizer que o par ordenado

- . (x, y) E (f-I )-1

(f-I)-I

y =

e ao representarmos no mesmo plano cartesiano o gráfico de f-I, como o conjunto

(x, y) E f - . (y, x) E f-I.

(y, x) E f-I

f = {(x, y) E A X B I y = 2x - 1}

Pela observação anterior, temos

Agora, se considerarmos a função inversa de

(x? ou V?)

X = 2

A, que é o domínio da função f.

1C?) dada uma sentença aberta que define uma função, x sempre o primeiro termo dos pares ordenados e

representa

2C?) dois gráficos de funções distintas podem ser construídos no mesmo plano cartesiano com x em abscissas e y em ordenadas. Justifica-se a segu inte regra prática.

195-A

+-+

227. Regra prática Dada a função bijetora f de A em B, definida pela sentença y = f(xl, para obtermos a sentença aberta que define f-I, procedemos do seguinte modo:

Para provarmos que a reta PO é perpendicular a reta r, consideremos o ponto R(c, c) da reta r, distinto de M e provemos que o triângulo PMR é retângulo em M. Calculando a medida dos lados do triângulo PMR encontramos:

10 ) na sentença y = f(x) fazemos uma mudança de variável, isto é, trocamos x por V e V por x, obtendo x = f(y). 20 )

transformamos algebricamente a expressão para obtermos y = f -I (x).

x = f(y),

expressandc

V em função de x Exemplos

)

Oual é a função iflversa da função

fi x) = 3x + 2? A função dada é: f(x) y = 3x + 2. Aplicando a regra prática: I) permutando as variáveis: x = 3y + 2 11) expressando y em função de x: x = 3y + 2 3y = x - 2

Resposta:

f(x)

(~_C)2+(~ 2 2

PR 2

(a - C)2 + (b _ C)2

bijetora emiR definida por e observemos que

x - 2

_ 2bc + c 2

= ---

Resposta:

É a função

= y3 =

X -

f-I em IR definida por

f-I (x)

229. Assim, por exemplo, vamos construir no mesmo diagrama os gráficos de duas funções inversas entre si:

if;. 1'?)

x + 4 2

1'?)

f(x) = 2x - 4

2'?)

f(x)

=vx

f(x)

=if";

3'?)

228. Propriedade

2x - 4

x + 4 -2-

I fll

dos quadrantes 1 e 3 do plano cartesiano. (a, b) E f

então

(b, a) E f-I.

-4

Para provarmos que os pontos Pia, b) a reta r de equação y = x (bissetriz dos que a reta que passa pelos pontos P e O distâncias dos pontos P e O a reta r são

e O(b, a) são simétricos em quadrantes 1 e 3), devemos é perpendicular a reta r e iguais. (a+b O ponto M, médio do segmento PO tem coordenadas

relaçãc provar que a! a+b)

e portanto M pertence a reta r. Como M é médio do segmento PO, isto , MP = MO, M E r, está então provado que os pontos P e O equidistam d,

11/ . / ......

e f-I são simétricos em relação a bissetri,

Observemos inicialmente que se

bijetora em IR definida pOI

=if;

Os gráficos cartesianos de f

(a 2

2ac - 2bc + 2c 2 (a - C)2 + (b - C)2 = PR 2 . -

+ a +2ab+b 2 2 2ac + c ) + (b 2 -

)

2 2 a - 2ab + b 2

_ 2(a + b) . c + 2c 2 = a 2 + b 2

Aplicando a regra prática, temos:

2(~)2 + 2(~ _ C)2

PM2 + MR2 =

É a função f-I em iR definida por f-I (x)

2'?) Oual é a função inversa da função x3? A função dada é f(x) = Y = x 3 .

MR 2

-3 -2 -1

-12 -10

-8 -6

-8

-4 -3 -2 -1

-4

-6 -4

1 2 3

-2

O 2

1 2 3

...........

.......... ......

......

1/ J

/ ~,~/ I.,:,<j:/

I I1

......

I...... ~ I7 Y

~ ...... f-

reta r.

196-A

197-A

2?)

y =

v'X

1ft x

1 2 3

4 9

1 2 3

16 25 36

5 6

---

Demonstração Observemos inicialmente; se as funções f de A em B e 9 de B em C, são bijetoras, então a função composta, gof de A em C é bijetora, logo, existe a função inversa (gof) -I de C em A.

1/ 1/

/ 1/I IJ::. l..-

f I

J--

-27

-8

-1

1 2 3

fof- I

IC'

Wlog-I)O(gof) = [Wlog-I}og]of = [f-Io(g-Iog)]of = [rlolslof =

= gog-I = I c .

1/ 1/

-3 -2 -1

(gof)OW'og- l ) = Ic·

=rlof=IA (gof) o(f- I o g-I) = [(gof) or l ]og-I = [go (fof- I ) ]og-I = [go I s ]og-I =

-3 -2 -1

então basta provar que

Então;

y=~

(gof) -I = f-I og-I,

(f-1og-1)O(gof) = IA

f-IOf = IA,

Queremos provar que

Notemos que

3?)

em B e 9 de B em C são bijetoras então (gof)-I = f-I og-I.

5 6

231. Teorema Se as funções f de A

~'"

-I

EXERCíCIOS A.325 Para cada função abaixo pede~se provar que é bijetora e determinar sua inversa:

ai f: IR ---+ IR

bl 9: IR - {4} -> IR cl h: IR --+ IR

I/' 1/ HL-f--+-+-+++-+- --+----+-+-+-+---V

tal que f(x)

tal que

2x - 5

{1} tal que 91 xl _ x

+ 1

x -

hlxl ~ x S

A.326 Nas funções abaixo de ,IR em IR, obter a lei de correspondência Que define a função inversa.

ai flxl

2x + 3

bl qlxl ~ ~ 3 ~ x3 + 2

230. Teorema

cl hlxl

Seja f

uma função bijetora de A

em B. Se f-I é a função inversa d

di plxl - Ix - 1)3 + 2

f então el qlxl

Demonstração

198-A

\;f x E A,

(f-IOf) (x)

f-I (f(x))

f-I (y)

\;f y E B,

(fof- 1 ) (y)

fW1(y))

f(x)

if02

rlxl-~

gl,lxl

A.327 A função f

em IR

definida por

f(x)

x2 ,

admite função inversa?

Justificar.

199-A

A.328 Seja a função f de IR_ em IR., definida por de f?

f(x) ~ x 2 .

Qual é a função inversa

A.331 Obter a função inversa das seguintes funções: a) f: IR - {3} ----> IR -

A função dada é

f(x)

y = x2

x';; O e

com

V;;;. O. c)

Aplicando a regra prática, temos:

com

V.;; O e

x -

{3}

--+ IR -

d) f' IR -

{-I}

f(x)

x - 3

O·} 3 --+

{.?} 3

IR -

5x + 2 3x - 1

x;;;' O

~ -yÇ ou V

f(x) = 4x

--yÇ

e) f: IR' ----.. IR - {4}

expressando V em função de x

x ~ y2

f: IR f(x)

permutando as variáveis:

x ~ V2 11)

f(x) = 2x + 3 x + 1

f(x)=~

Solução

b) f: IR - {-I} ...... IR - {2}

{I}

f: IR - {3} ----.. IR - {3} f(x) = 3x

Considerando que na função inversa f-I. devemos ter correspondência da função inversa será f-I (x) =

-...r;. .

Resposta: ~ a função f-I de IR+ em IR_ definida por

V.;; O

x;;;' O a lei de

f-I (x) =

x - 3

4x - 3

-...r;..

A.332 Seja a função f de IR - {-2} em IR - {4} é o valor do domínio de f-I com imagem 57

definida por

f(x)

Qual

. A.329 Obter a função inversa nas seguintes funções abaixo Solução Queremos determinar a E IR - {4}

a) f: IR. IR. f(x) ~ x 2 b) f: A ----.. IR •• onde f(x) = (x _ 1)2

A ~ {x E IR

.;; 1 }

c) f: A -----+ IR_. onde f(x) = -(x - 2)2

A = {x E IR

.;; 2}

d) f: A -----+ IR_. onde f(x) ~ -(x + 1)2

A ~ {x E IR

.;; -I}

e) f: IR _----> B. f(x) ~ x 2 + 1

onde

B={yEIRlv;;;'l}

f: IR. -----+ B. f(x) = 4 - x 2

onde

B =

g) f: IR_--->B. ti x) = x 2 - 1

onde

B = {y E IR

por

;;;.

A = { x E IR

.;;

-I}

{V E IR

I V ;;;. I}

definida

+ 2x + 2. Qual é o valor do domínio de ri com imagem 37

f(x)

Ix ~

x 2 - 2x

;;;'1} e B = {y E IR I y_;;;'2} e a função x 2 - 2x + 3. Obter a funçao Inversa de f.

+ 3 com x;;;' 1 e V;;;. 2.

Aplicando a regra prática temos:

em IR - {I}

definida por

f(x)

x • 1 x- 2

Il permutando as variáveis: x = y2 _ 2y + 3 com I J)

f(x) = y =

=xy - 2x

y-2 2x + 1 =>y x-I

Solução A função dada é

-I}

x - 2

com

x*-2

e V *- 1.

V + 1

Resp.: ~ a função f-I. de IR -

e x;;;' 2

expressando V em função de x x ~ y2 _ 2y + 3 =>- x ~ y2 - 2y

=>- y XV - V ~ 2x + 1 =>- vlx - 1) = 2x + 1 ==o

+ 1 + 3 - 1 => x ~

~ ~ ~y - 1 = ~ = 1 + ~ ou y = 1 -~.

Resposta: em IR - {2}. definida por f-I (x)

2x + 1 x-I

y - 1

Considerando que na função inversa f-I. devemos ter que define a função inversa é

{I}

V;;;. 1

=>- (y _ 1)2

Apl icando a regra prática. temos:

.J x2

Iv .;; 4}

E IR

Solução

f(x) =

A.334 Sejam oS conjuntos A = {x E IR f de A em B definida por f(x)

Qual é a função inversa de f7

.!2.==>

5+2

A.333 Seia a função f

tal que f -I (a) = 5, para isto. basta determinar

a = f(5) ~ 4, 5 - 3

A.330 Seja a função bijetora f. de IR - {2}

A função dada é

a tal que f(5)

f-I:

f-I(x)

f-I (x) = 1

(V - 1)2

+ 2=>

~ -~=>

V;;;'l

e x;;;' 2, a sentença

+~ 201-A

200-A

A.335 Obter a função inversa das seguintes funções: a) A = {x E IR I x ~ f:A--+B f(xl = x 2 - 2x

a) f(x) = {

bl A = {x E iR I x ~ -1} f:A--+B t( xi = x 2 + 2x + 2

B={yEIRIY~1}

cl A = {x E IR I x ,;;; 2} f: A---+ B f(xi = x 2 - 4x + 3

c i f( x ) __

{yERIY~-l} e) flxl =

di A = {x E IR I x ~ 1.} f: A---+ B 2 f( xl = x 2 - 3x + 2

+ 3 se x ~ 2 + 1 se x < 2

{X 2 se 2x

{ V;:~

(3 _ x)3

x ~O

se se

x~3

di t(x)

= {

f) f( x)

5 _ 3x

x ~-1

4 - 4x

x <-1

x2 - 4x

- 2 1

-1

x ~ 2

< <

2x - 1 se -1 x 2 -x 2 - 2x - 4 se x';;;-l

{

B={YEIRlv';;;5}

B={YEIRly~_~} 8

{y E IR

y ,;;;

A.339 Seja a função f em IR definida por a função inversa de f. A.340 Seja a função f em IR def ·In''d a por cartesiano os gráficos de f e f-I.

+ 21 + I x - 1\, adrr:ite função inversa?

f(x) = 2x

x f()

+ 1x + 11 - 12x - 41.

2 x - 3.

IV' x

t(x) = 2x - 3

.. ~!t-

+ 3

2 / y

.....f;:;

lflI:

Determinar

Construir num mesmo plano

Solução

g) A={xERlx~~} f:A---+B 4 flx) = 2x 2 - 5x + 2

{yEIRly~_1-} A.338 A função f em IR definida por t(x) = I x

A = {x E IR I x';;; -1} f:A--+B t(x) = _x 2 - 2x + 4

{

bl flxl =

ei A = {x E IR I x ~ 2} f:A--+B t( x) = -x 2 + 4x + 5 f)

A.337 Nas seguintes funções em IR, determinar a função inversa.

B={yEIRIY~-1}

7J A.336. Seja a função bijetora de IR em IR definida por

f(x) =

{

Determinar f-I.

x2 - 1

x ~O

x - 1

-1

O 1 2

Solução Notemos que 1?1 se x

então

t(x) = y = x 2 _ 1,

2?) se x

então

t(xl = y = x - 1,

logo logo

~-1.

y y

- 1

com

-1

x _ 1

com

< -1.

com

O e

-1

x = y - 1

com

-3

O 1 2

-1 1

< -1

com

~ -1

el f: A---+ A = {x E IR t(xl = x 2 + 2x

{~ x + 1

se se

1.1

f(xl

+ 1 com y

< -1 .

x x

~-1 < -1

f(xl = i)

~ x

f: IR-.> IR. f(xl = (~)x 2

+4 3

di f: R _ ""* B = {y E IR f( x) = 1 - x 2

~ -1}

f: IR'~ IR' =

g) f: IR'""* IR - {1}

Logo, a função inversa f-I é de IR em IR e definida por f-I (x)

f(xl y

bl f: IR --+ IR

1 - x3

11) expressando y em função de x, temos: y =

I""

cl f: IR ---+ IR f(x)

permutando as variáveis, temos:

x = y2 - 1

-3 -1

..../

....

-1

ai f: IR --+ IR f(xi = 2x + 1

Aplicando a regra prática: I)

-5

A.341 Nas funções que seguem, construir num mesmo plano cartesiano os gráficos d e f e f-I.

< -1.

A função proposta é y

-5

h) f: IR-.> IR.

f(x)

,;;; 1}

e 9 em IR definidas por determinar a função inversa de gof.

A.342 Dadas as funções f

f(x)

3x - 2

g(x) = 2x + 5

Solução

A.344 Sejam os conjuntos A = {x E IR I x;;;' -2}, B = {x E IR I x ;;;. -4} e C = {x E IR I x ;;;. -1} e as funções f de A em B definida por f(x) = x 2 + 4x e 9 de B em C definida por g(x) = x 2 - 1. Pergunta-te: existe (gOf) -17 Justificar a resposta.

1':' Processo Determinamos inicialmente

gOf

e em seguida

A.345 Sejam os conjuntos A = {x E IR

(gof)-I

Aplicando a regra prática, temos:

portanto

.;;;

1-} 2

e B = {x E IR

I x;;;' -1 }

e as funções: f

de A em IR _ definida por f(x) = 2x - 1, 9 de IR _ em IR. definida por glx) = x 2 e h de IR. em B definida por hlx) = 4x - 1. Determinar a função inversa de hOlgof).

(gof)(x) = g(f(x)) = 2f(x) + 5 = 2(3x - 2) + 5 = 6x + 1.

x=6y+1

y=~ 6

2!...:....!

(gOf) -I (x I

2':' Processo Determinamos inicialmente f-I e g-I e em seguida

f-Iog- I

pois

(gOf)-1 = f-IOg- l . Aplicando a regra prática em f-I (x) = ~

f(x) = 3x - 2

g(x) = 2x + 5

g-I(x) = x - 5

x - 5 +2 3

Resposta:

(gOf) -I (x) = x

x 6

(f-Iog-I)(x) = f-I(g-I(x)) = g-I(x) + 2

portanto

temos:

(gof) -I: IR ---+ IR (goWI(x)

~ 6

A.343 Dadas as funções f e g, determinar a função inversa de gof: a) f: IR-+ IR f(x) = 4x + 1

g: IR-+ IR g(x) = 3x - 5

b) I: IR-+ IR f(x) = x 3

g: IR-+ FI g(x) = 2x + 3

c) I: IR.~ IR. I(x) = x 2

g: IR.-+ C = {x g(x) = 4 - x

d) A = {x E IR

I x;;;'

I: A-+ B f(x) = x 2 - 3x

%},

B =

f: A ---+ IR.

204-A

E IR

';;;4}

I x ;;;. - ~} 4

g: B-+ IR. g(x) = 4x + 9

C = f(x) = x 2 - 1

E IR

I x ;;;. 2}

g: IR+---+ C

g(x)=~

205-A

APÊNDICE I

29)

verificando se

Mostremos que fIa)

EQUAÇOES IRRACIONAIS

V 3x

+ 2 = x + 2,

~ + ~ = 5.

232. Equação vIf(;J = g(x) Yf0J = g(x).

= O=>

-ylf0)

resulta que só Yf0J.

g(a)

~ é verdadeira, isto é, o:

I v'ffXf

= g(x)

1M = [g(x)j2

g(x);;' O

g(x)

f(x) - [g(x)]2

qlxl - 5

(Yf0J - g(x)) •

(Yf(;J +

g(x))

O (2).

É claro que toda raiz da equação (1) é raiz da equação (2) porque anulando-se VI(x) - g(xl anular-se-á o produto (YIf(;J - g(x))(Yf0J + g(x)).

Entretanto, a reciproca não é verdadeira, isto é, uma raiz da equação (2) pode não ser raiz da equação (1). De fato, uma raiz de (2) anula um dos fatores, podendo anular Yf0J + g(x) sem anular yIf(;J - g(x). Para verificarmos se a, raiz da equação (2), também é raiz da equação (1) podemos proceder de dois modos: 19) verificando na equação proposta, isto é, substituindo x (1) e notando se aparece uma igualdade verdadeira;

> O,

yI~

V x 2 + 5x

+ 1 + 1 . 2x

a) Não há possibilidade de introduzir raízes estranhas ao quadrarmos esta equação, pois

As duas equações podem ser escritas

yf(;J -

A.346 Resolver as equações

Solução

f(x) = [g(x)]2.

por a em

x E IR 2x - 3 _ 52 => x _ 14

S - {14} b) Antes de Quadrarmos esta equação é conveniente isolarmos a raiz em um dos membros. Assim, temos:

V x2

+ 5x + 1 + 1 - 2x

~~~

- 2x

- 1

-> x 2 + 5x + 1 _ 12x - 1)2 => x 2 + 5x + 1 _ 4x 2 - 4x + 1

:::::> 3x 2 - 9x = O ==> x

o;;:

O ou

x - O

não é solução pois,

x - 3

é solução pois,

x"'" 3

vo"2-+-5-'-0-+-1 + 1 * 2 • O

~~- 5

• 3 + 1 + 1 - 2 • 3

Para verificar se x == O ou x == 3 são ou não soluções da equação proposta podemos utilizar o segundo processo, como segue: qlxl - 2x - 1 9(0) - -1 5 gl31 c.

20G-A

g(a)]

a)~c5

Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos:

O (1)

{ g(a)

[v't(aj +

EXERCfclOS

Façamos o estudo da equação irracional do tipo

- g(x)

g(a)

g(a)]

Esquematicamente, temos:

Para resolvermos uma equação irracional, devemos transformá-Ia, eliminando os radicais, bastando para tanto elevá-Ia a potências convenientes. Não devemO! esquecer que este procedimento pode introduzir raízes estranhas à equação proposta inicialmente.

Vf(x)

g(a);;' O g(x)

é raiz da equação

~ 2x + 1 =

[Vf((;) -

= Como

Exemplos

é raiz de (1)

g(a);;' O => a

(g(a))2 ==>

Equação irracional é uma equação em que há incógnita sob um ou mai: radicais.

g(a);;' O.

< O= x > O ==> x

= O não é solução _ 3

é solução.

207-A

A.352 Resolver a equação A.347 Resolver as equações irracionais:

Vx 2 + 3x + 6 - 3x

b)~=3

a)~=4 c) V x2 - 5x + 13 = 3

d) V 2x 2 - 7x + 6 = 2

e) Y 3x 2 - 7x + 4 = 2

.j5+~=3

V25 -

= 7

)1 - ~ =

x -

V25

- x2 = 1

y2 _ Y _ 2 = O => y = 2 ou

p) ) 2x + V 6x2 + 1 = x + 1

x-l

A.348 (MAPOFEI-74) Resolver a equação

x = O.

A.360 Resolver as equações:

3R + 2 = O

~ + 2 yÇ -

y = -1,

a) Fazendo .,;;; = Y e x 3 = y2. temos:

{-2, -1}.

A.353 Resolver as equações: a) 3x 2 + 5x + 4 = 2 Y 3x 2 + 5x + 7 b) x 2 + Y x 2 - 4x - 1 = 4x + 7 cl x 2 - x + 3 = 5 Y x 2 - x - 3

A.354 Resolver em IR ... a equação

y2 _ 3y + 2 = O => y = 1 ou y = 2 mas y =.,;;;,

x JX

logo

= 2 ==> x 3 = 4 ==> x =

~+~=5

.v4

{1. ~}

Solução Antes de elevarmos ao quadrado, devemos transpor uma das ra(zes para o outro membro. Assim, temos:

b) Fazendo

Y e .,;;= y2. temos 1 2 y2 + y - 1 = O => y = 2" ou y = -1

~+~=5=>~=5-~

Agora calculemos x: y = -1 => \f; = -1 ==> x y =

{..!...}

=> (~12 = (5 _ ~)2 ==>2x + 1 = 25 _ 10~ + 2x - 4==>

~ IR

~ 1O~ = 20

==> x = 116

5 b) 9x + 12yÇ - 5 = O

c) 6x + 7yÇ + 2 = O

d) x - 2yÇ - 2 = O

6R + 5 = O

g)\f;-yÇ+2=0

3~ -

~ = 2 => 2x - 4 = 22 ==> x = 4

V2 • 4 + 1 + Y2. 4 - 4 = 5

a) x - 5yÇ + 6 = O

x = 4 é solução pois

A.351 Resolver as equações:

e) x 3 -

.J:X

A.356 Resolver a equação

= 1 ==> x 3 = 1 ==> x = 1

Y~x-:-2-+-3-x-+-6-;;' O

di x 2 + 4 Y x 2 - 2x - 6 = 2x + 3

Soluções

y = -1

não convém, pois, y =

Para y = 2, temos: V x 2 + 3x + 6 = 2 ==> x2 + 3x + 6 = 22 => x2 + 3x + 2 = O => ~ x = -2 ou x = -1

A.349 (MAPOFEI-75) Verificar se existem números reais x tais que 2 - x = Justificar a resposta.

a) x 3 -

A equação proposta é equivalente a x 2 + 3x + 4 - Y x 2 + 3x + 6 = O => x2 + 3x + 6 - Y x 2 + 3x + 6 - 2 = O Fazendo Y x 2 + 3x + 6 = y, temos

Y x2 + x - 1 = 2 - x n) V x4 + 2x 2 - x + 1 = 1 - x2

ml V 9x 2 + 2x - 3 + 2 = 3x o)

v;+4 =

+ 4

Solução

h) V 5x + 10 = 17 - 4x

2~=

k) 2 - x -

../16 ...

= x2

2yÇ - 1 = O

x 3 + 7..[';.3 - 8

h) yÇ - \f; - 6 = O j)

9W - 8R - 1 = O

{4}

A.356 Resolver as equações: a) ~=2+yÇ

b)~+~=l

cl~-~=l e)~-~=l

d)~-~=l f) ~+~=14

209-A 208-A

A.362 Resolver a equação:

A.357 Resolver as equações:

b)~+~=4

=~ cl~-~=3

a).J;+ 1

y;;-:;:-; - 1 ~~ .J 1 + x + x 2 + .J 1 - x + x2 = 4

dl~-~=2 fi yÇ - .J x - ~ = 1

.J 4x

= x

Solução x -

Y2 - x 2

e os da segunda por

x +~. temos:

2Ix-~1

2x2 _ 2

- 23

.,J;04 + 2 y;;-:;:-; = ~ v;-:;:5 = ~ - v;.

x-~

Multiplicando os termos da primeira tração por

A.358 Resolver as equações:

2 + x+~·

2Ix+~1 2x2 _ 2

o;;

x-Y27 x+..[27 2 + 2 =x=>2x=xlx 2 -11=>x 3 -3x=0=> x-1 x-1 xlx 2 - 3) = O => x = O ou x = ou x = =>

d)~+~=~

el~-~=~

-V3

seja real a expressão

-Y3

não são soluções pois devemos ter

2 - x2

para que

Somente x = O é solução e isto pode ser verificado

facilmente, substituindo x por zero na equação proposta.

A.359 Resolver a equação:

~+~=Y;-;S+~

Solução

~+~=~+v;::1õ => =>(~ +~12= l..;;:s +~)2

{O}.

A.363 Resolver as equações:

2.J x 2 - 9x + 14 = x + 5 + x - 10 + 2.J x2 - 5x 2 => 2.J x 2 - 9x + 14 4 + 2.J x - 5x - 50 => 2 =>.J x - 9x + 14 = 2 +.J i - 5x - 50 => => 60 _ 4x = 4.J x 2 - 5x - 50 => 15 - x = .J x 2 - 5x - 50 =>

=> x _ 2 + x _ 7 +

.J21x 2 + 11

.Jx+~

=> 225 _ 30x + x2 = x 2 - 5x - 50

=> -25x = -275

=> x = 11

é solução pois

-J11=2 + v'11--=-7 = ~ + ~

A.364 IMAPOFE 1-76)

Resolver a equação

S = {11} A.360 Resolver as equações:

~ + .J3x"+"2 - V2x"+"5 = V3x b)~.Jx-10=~+~ cl~+~=~-~ d)~-~=~-~

A.365 Resolver a equação

A.366 Resolver a equação

+x-~

A.361 Resolver as equações:

ai x +

.J x2

+ 16

.J x 2

cI~+~=

210-A

1 + x +

+ 16 12

.J 4x

.J 2x

+ x2

A.367 Sendo a e b números reais, resolver a equação:

+ 20

-'----c=_

4 + ..;;;

~ + ~ = .J a +

b - 2x

211-A

233. Equação

A.36B Sendo a E IR:. resolver a equação: ~ 5a2 2x + 2 V a2 + x2 ~ ~

.çf f(x)

Façamos agora o estudo da equação do tipo

Va2 + x 2

A.369 Sendo a e b números reais não negativos, resolver e discutir a equação:

.çf f(x)

=Vb

~-~

b)";;

Vb+V;;-::-;;

f(x) = [g(xIP.

\! f(x)

= g(x)

f(x) = [g(x)]3

- g(x) = O (1)

f(x) - [g(x)]3 = O (2).

Observemos em (2) que:

f(x) - [g(x)p =

[.çf f(x)

Como o fator

~-~

= g(x)

.çf f(x)

':..,~8~+~x~+_v~:=a=-=x= cl -V

(.çff(X))2 +

[(.çf f(X))2 + g(x) • .çf f(x) + (g(x))2] = O. + g(x) • .çf f(x) + (g(X))2 é sempre positivo pois

- g(x)].

(<<f1;())2

g(x) • .çff(x) + (g(X))2

= [.çff(x) +

g(x)

2 A.371 Sendo

= g(x).

De fato, considerando estas duas equações, temos:

A.370 Sabendo que a e b são números reais e positivos. resolver as equações:

~+~

.çf f(x)

Vamos mostrar que ao elevarmos esta equação ao cubo não introduzimos ra ízes estranhas, isto é, obtemos uma equação equ ivalente.

~=v;.+Vb

= g(x)

e b números reais não nulos, resolver a equação:

V8 2 + x 'J b2 + x2 -

a2 = x - a

F+

3· [g(x)p 4

resulta que o fator .çf f(x) - g(x) é nulo e a equação (2) tem sempre as mesmas soluções da equação (1), isto é, (1) e (2) são equivalentes.

A.372 Resolver os sistemas de equações: a)

EXERCICIOS

xy = 36

{ v;.+V;=5

A.374 Resolver as equações:

a)~=3

...,r; - V; = 2.J;Y

{ x + y = 20 +

Y =

.çf4x 2 +

9x + 1 = x + 1

Solução 3~

ai V 2x + 1 = 3 ~ 2x + 1 = 3

x = 13

S = {13}

A+jf= ; x

+ 1 = x + 1 = 4x 2 + 9x + 1 = Ix + 1)3 = 2 = 4x + 9x + 1 = x3 + 3x 2 + 3x + 1 x3 _ x2 - 6x = =- xlx2 - x - 61 = 0 = x = O ou x = 3 ou x = -2

x+y-";;;=7 x2 + y2 + xy = 133

.çf 4x 2 + 9x

{O. 3. -2}.

A.375 Resolver as equações:

b)~=2 ~ x2 - x - 4 = 2

al.çf3x-5=1 c)

V2x

+ 4y = 4 +

~ _ V'2x + 2y = 2v'2 - 2

212-A

~=-3 ~ 3x2 - 7x - 5 = 1 ~ = 2x + 1 ~ 2x 2 + 3x - 1 = 2x

f) h)

- 1

.çf x 2

- 8x

+ 40 = 3

~ = 2x -1 ~ 8 + 15x - 5x 2 - 3x 3 = x + 2 213-A

A.376 Resolver a equação

3 ~4 .3; x 2 - 20 2V x· - 3v

A;377 Resolver a equação

{I x

APÊNDICE 11

+ 49 - {I x - 49 = 2

INEQUAÇÕES IRRACIONAIS

Solução

{I x

{I x + 49 -

- 49 = 2 =

{I x + 49 = 2 + {I x - 49 => ({I x + 49)3 = x + 49 = 8 + 3~ + 3( {I x - 491 2 + x - 49

= (2 + {I x - 491 3 = =>3({lx - 491 2 + 3~ - 90 = 0 = ({Ix - 49)2 + Fazendo {I x - 49

y2 + Y _ 15 = O

15 = O.

234. Inequação irracional é uma inequação em que há incógnita sob um ou mais radicais.

temos: =

3 ou

y = -5

mas,

y = {I x - 49,

Exemplos

então

vx+2 >

3 3 == x = 76 x = -76 {Ix - 49 = -5== x - 49 = (_51 3 =

{I x - 49

3 == x - 49

Y x2

3x + 4 > x,

A.378 Resolver a equação

.çr,;-:;:-; -

= 1.

A.379 Resolver a equação

A.380 Resolver a equação

Observemos inicialmente que se a e b são números reais não negativos

Assim, por exemplo, são verdadeiras as implicações 2<5 = 4 < 25 V3>v'2 =>3>2 4<9 =>2<3

~=1-~. mas são falsas as impl icações

Solução

-3 < -2 2> -5 2> -3

Para resolvermos esta equação vamos utilizar a identidade

IA + B)3 = A 3 + B3 + 3ABIA + B). Fazendo

=~, B = ~ 1~13 + (~)3 +

1{!5x)3 =

=~, temos: .~. ~-

A + B

3.çr,;-:;:-;

+ 1 + x -1 + 3{15x 3 - 5x = 5x=>{l5x 3 - 5x = x=>5x 3 - 5x = x 3 ==

4x3 _ 5x = O

a 2 > b2 a2 < b2

a> b _ a <b _

A.381 Resolver a equação

> 2.

então

S = {76, -76}.

v'X+1 + ~

== xl4x2 - 5) = O == x = O

V5 _V5} 2' 2

v'5

x = -2- ou

~ ~ ~

9 <4 4 > 25 4 > 9

235. Teorema

v'5

x = - -2-

Se f(x);;' O e g(x);;' O em um conjunto de valores x pertencentes a A C IR, então são equivalentes as inequações f(x) > g(x) e [f(x)]2 > [g(x)]2.

Demonstração Seja SI o conjunto das soluções da inequação f(x) > g(x) conjunto das soluções da inequação [f(X)]2> [g(x)]2, isto é,

A.382 Resolver a equação: A.383 Resolver a equação:

{x E A I f(x) > g(x)}

{x E A I [f(x)]2 > [g(x)]2}

e A.384 Resolver a equação: X+ Y =72

A.385 Reso Iver o sistema de equações:

214-A

.3/

{ vx+Vy=6

Para provarmos que as inequações são equivalentes, basta provarmos que SI

f(x) > g(x) S2'

[f(x)]2 > [g(x)]2

215-A

De fato, para todo a

de S"

a E S, C A => f(a)

EXERCICIOS

temos: {

> g(a) > O =>

fIa) - g(a) e fIa)

=> [f(a) - g(a)]· [f(a) + g(a)] => If(a)]2

> O=>

[f(a)j2 -

A.386 Resolver as inequações irracionais

x2 _

Para todo

provemos agora que

=> =>

Vejamos irracionais.

S2 C S"

de S2' temos:

a E S2 C A

a E S2 => [f(a)]2 [g(a)]2 => [f(a)]2 - [g(a)]2 => [f(a) + g(a)] • [fIa) - g(a)] O

> O =>}

a E A => fIa) ~ O e f(a) - g(a)

agora

> O =>

g(a)

inequações

< [g(x)j2

As condições (I) e (11) O ,;; f(x)

[g(x)]2

(I)

< g(x)

""""

216-A

< g(X}

<=>

O < f(x}

3 01111111111111111111111111- x 4

1-1 < x <

-1

O ou

3';; x

+ 5 ,;; (x + 1)2

< [g(x}j2

111)

x ~-2 ou x?2

(1111

-1 .. OI++II++III++II++II++III++II++II++III++II+++IIIIH+++++++++HH++HHf++- x

~! ',',I',',',',',','llil\\!ii\I',',',',',',',I,',',',',',',',',',',',',',\',',',',',',',\!,I',',',',',',!!,'\\1\\~

(111) 111111111111111111111 ~

E IR

.-------ofttItlHIHtHte- x

Ix ~

A.387 Resolver as inequações:

>O YfW';;

2 2 ---<oIoftIIIHIIIIIIIIIII ... x

(I) n(111 n(lll)

g(x)

I1I

5 2

(11)

< [g(x}f

x ~-

2x + 5 ;;;, O

-2

e g(x)

< 4}

x ~-1 e

x + 1 ;;;, O

(11)

Analogamente, podemos estabelecer para a inequação

..; f(x}

(11)

~ ,;; x + 1 =>

O < f(x}

(I)

Esquematicamente, temos:

..; f(x}

x ~ 3

---<of++I+Il+\ijl~lo---------<.oI+l++IIIIttII++IIH1III:--- ..... _ x

E IR

podem ser agrupadas da seguinte forma

_ _ _ _ _---<011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110)--- __ x

Quadramos a inequação proposta e resolvemos f(x)

e -1 < x < 4

11)

2?)

3x ~ O

x 2 _ 3x

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII~

(11)

Estabelecemos o domínio de validade, isto é; g(x)

{

(li) (I)

YfW < g(x)

f(x) ;;;, O e

< 4 =>

x 2 _ 3x - 4 < O

a E SI'

processo para resolvermos esta inequação é:

1?)

fIa) + g(a) ;;;, O

processos para resolvermos alguns tipos de

236, Inequação Irracional

-1

g(a) ~ O

fIa)

_ 3x

(I)

{

=> O ,;; x 2 -

a)~<2 S, C S2'

~';;x +

Soluções

Ig(a)]2 => a E S2.

Acabamos de provar que

VT3x <2

>O Ig(a)]2 > O=> + g(a)

al~<2 bl ~ 5 ';;3

g(x)

cI ..; x 2 - x - 2

di ..; 3x 2 - 5x + 2 ,;; 2

e g(x);;;'

e) ..; 2x

+ x + 3

<1 217-A

A.388 Resolver as inequações:

EXERCíCIOS

a)~';;;x c)

v'"2x""+9 < x

~<3-x

g) V x

b)~<x-1 dl~';;;x+1

- 3

- 3x + 3 < 2x - 1 1 + V x2 - 3x + 2 ,;;; 2x

V 2x

h I V 2x

A.389 Resolver as inequações:

v'3x-=5 ;;:. 2

- x - 6 ,;;; x

- 5x - 3 < x + 3

cl~>X-2

b) V3x 2 - 7x + 2 > -4

Solução

V"3x""-=5;;:. 2

=> 3x - 5 ;;:. 2 2 => x ;;:. 3

S = {x E IR I x ;;:. 3}

237. Inequação' irracional Vf(Xj

g(x)

bl V 3x 2 - 7x + 2 > -4 ==> 3x 2 - 7x + 2 ;;:. O ==> x <

processo para resolução desta inequação consiste em duas partes, que são

{x E IR

.!.

1 3

x > 2

x> 2}

TI? Parte

g(x) pois sendo g(x)

e f(x);;:' O

e f(x);;:' O, a inequação Vf(Xj

g(x)

está satisfeita.

2x - 1 ;;:. O e x - 2 O (I) ou (x - 2)2 e x - 2 ;;:. O (11)

Resolvendo

2'! Parte a) Estabelecemos o domínio de validade da inequação, isto é: f(x) ;;:. O e g(x);;:' O

(I)

(I), temos:

2x : 1 ;;:. O {

x -

x;;:.

{

(111 )

2 <O

2 x <2

(IV)

b) Quadramos a inequação proposta recaindo em

f(x)

~>x-2 === { 2x - 1 >

[g(x)j2

(111)

(11)

.,11111111111111111111111111111111111111"

2 (IV)

As condições (I) e (11) podem ser agrupadas da seguinte forma f(x)

[g(x)j2 e g(x);;:' O

Esquematicamente, temos:

(111)

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 ...

n (IV)

.. x

.. ,11111111111111",

{x E IR

.!.. ,;;; x < 2} 2

Resolvendo (11), temos:

v'fW > g(xl

===

f(x) ;;:. O e g(xl < O ou { f(x) > [g(xlj2 e g(xl;;:. O

2x - 1 : {

(x _ 2)2

{

_ 6x

e x - 2 ;;:. O

x - 2 ;;:. O

(V)

===

(VI)

(VI-OIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII1111111110

.. x

Analogamente, para a inequação Yf(Xj;;:. g(x).

temos:

.. 111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111,.

(VI)

(V) n (vI) ---------<.IHI#II++IIII+'II~II#II++IIII+'II~II#II++III~II~II#II++IIIft:[l>--------1._ X

v!flXi ;;:. g(x) ==

218-A

tlxl ;;:. O e g(x) < O ou { f(x) ;;:. [g(x)F e g(xl;;:. O

S2 =

{x E IR

12 ,;;; x < 5}

A solução da inequação proposta

SI U S2

E IR

dada por:

I .!.. ,;;; x < 5} 2

219-A

A.390 Resolver as inequações:

e) ..; x

d) v' 4x

o (IV) () (V)

:;;" 3

v'3x""--=-2 > x

b)~:;;"x

v' x - 6x + 5 > x - 2

g)~:;;"x+2 2

2 d) v' 6x + x - 1 > 2x + 1 2 f) v' x + 4x - 4 :;;" 2x - 2 2 h) v' 4x - 5x + 2 :;;" x - 2

I) v'2+x-x

.. x

11111111111111111111111111111111111111110 E IR

I x < O}

A solução da inequação proposta 11 dada por:

~:;;"1-x

>x-4

j) v' 2 + 3x - 2x

SI U S2

{x E IR

2. ,;;; x 4

,;;; 3}

A.393 Resolver as inequações

> x - 2

A.392 Resolver a inequação

Solução Para resolvermos esta inequação, devemos multiplicar ambos os membros por

não esquecendo que dependendo do sinal de

x, o sentido da desigualdade será

mantido ou invertido.

~./

(I)

v;:+2 :;;" 1

d) v' _x

238. Inequação Irracional

v'f1Xi" > YQiXl

processo de resolução desta inequação é Estabelecermos o domínio de validade da inequação, isto é, f(x) :;;" O e

2?)

x:;;" 3

(111)

:;;" 1

+ 7x - 6 x

b) v' 24 - 2x - x

- - - """ 2 ==> v 3 - x """ 2x ==> O ,;;; 3 - x ,;;; 4x ==> x (11 )

v'5x""+3 < v'2 x

19)

.~./

1~ Possibil idade

.. x

11111111111111111111111111111111111111111111111111111I11111111111111111111110

(VI

- 13x + 7 > 2

2 f) v' 4 - 19x - 5x :;;" -3

-2x + 7 :;;" 3 2

A.391 Resolver as inequações aI

.. x

1111111111111111111111111111111111111110

b)~:;;"1

a)~>5 c) ~>-2 g) v' 5 + 5x - 2x

(IV)

g(x):;;" O

(I )

Quadramos a inequação proposta recaindo em f(x)

> g(x)

(11)

As condições (I) e (11) podem ser agrupadas da seguinte forma O ~IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII"

(11) (111)

111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111~

0111111111111111111111111111111111111111111111111..

-1 1111111111111111111111111110

(I) () (11) () (/11)

0111111111111111111111111110

f(x)

> g(x)

:;;" O

Esquematicamente, temos: v' f(x! > v' g(x! => f(x! > g(x! :;;"

De modo análogo, para a inequação

v'fTx1 :;;" v'9lXl, 2 a Possibilidade

(IV)

~./ .r.:--~ _ _ _ :::::::::2~V3-x::?2x

220-A

temos:

(2x <O)

3-x:;;"O==>x';;;j

(V)

v' f(x) :;;"

..J g(x) ==> f(x)

:;;" g(x) :;;" O

221-A

Notemos que para os valores de x satisfazendo (I), ambos os membros da inequação proposta são positivos, então podemos quadrá-Ia sem preocupações.

EXERC(CIOS A.394 Resolver a inequação

...;;+1

Y'2-x""2-_-X- _ - >Vx 2 - 4x + 3

=~>...!...==x-4> ...!...=-x> 65 4

Solução 2 2 V 2x - x - 1 > V x - 4x + 3 == 2x 2 - x - 1 > x 2 - 4x + 3 ;;;, O => 2 2x2 - x - 1 > x - 4x + 3 { x 2 + 3x - 4 > O ===> { e ==> e 2 x - 4x + 3 ;;;, O x 2 - 4x + 3 ;;;, O

{

x <-4 ou x> 1 e x ... 1 ou x;;;'3

(I) (11) (I) n(ll)

.IIIIIIIIIIIIIUlIJIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIJlIIIIIIIIIIIIIIIIIII1111111111111111 ..

1i11ll1ll1ll1l11ll11ll1f11ll11l1l1ll1l1l111111111111 111111111111111"

(11 )

n (11)

s = {x

li'11I1111111I1111111I1I11I1I1I1111111111111111111111111111111111111.

E IR I x

65 } 16

1 OI~IIII1III1I1I1II1I1III1IIIIIIIII1 ..

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111.

-4

1111111111...

111111111111111110--

< -4 ou

111)

(11 )

4 (I)

(I)

11111111111111111:>

{x E fl

A solução da inequação proposta é:

(I)

-4

< 2 + ~ == x + 1 < 4 + x - 4 + 4 ~=- 1 < 4 ~=

1111111111 ..

A.399 Resolver as inequações:

a)~<1+~

b)~-~<3

d) V x2 + 3x + 2 < 1 + Y,...x....2-_-x-+=--

x;;;, 3}

A.400 Resolver a inequação:

V;-:;:S -...;;+1 A.395 Resolver as inequações:

a)~;;;'~

.,;a:-;. -...;;+1 > ~ 2

c) V 2x2 - 5x - 3 ... ~ e) V2x 2 - 10x + B >yr~""'2r-_-6-x-+-7 g) V 2 - 3x - x 2 > V x 2 - 5x + 4

b)~<~

d) V x2 - 7x + 17 ;;;, yrB=--+-2-x-_-x""'2 fl V _x 2 + 5x - 6 < V 4x 2 + 12x + 11 h) V x2 - 2x + 2 < V 2x 2 - x + 4

A.401 Resolver a inequação: x + V x2 - 10x + 9 > V x + 2 V x2 - 1Ox + 9

A.396 Resolver as inequações:

a)V4-~>~

b)V2-~-~<O A.397 Resolver as inequações: a)

~ "'VV5 + x

v;+B

< v;;+2

A.398 Resolver a inequação:

...;;+1

<2+~

Solução Estabelecemos inicialmente o domlnio de validade da inequação

222-A

223-A

RESPOSTAS

CAPITULO I A.1

São proposições: a, b, c, d, e, f, 9

São verdadeiras: a, d, e, 9 A.2

A.3 A.4 A.5 A.7

bl 3( 11 - 7) = 5

(F)

e) (..!...)7 > (..!..)3 2 2 f) V2~ 1 (V)

c) 3'2+1";;4

(F)

g) -(-4) < 7 (V)

(F)

d) 5 ' 7 - 2 > 5 ' 6 (V) a) V b) V f) F g) F a) V b) V f) F g) V a) F b) V f) V g) V 2 a) (3 <)(x - 5x + 4 = O) c) e)

13y)(

rJ;.2 =

a) mde 12. 3) c)

~ 7

e) 1_3)2 = 9

d) F

e) V

c) V

d) V

e) V

c) V h) V

d) V

d) (3m)(y';;;2 + 9

=ft

m + 3)

(3a)(5a + 4 ,,;; 11) 2 h) (3a)(~= a - 1) a

mme 12, 3) ~ 6

V9 ~-3 x

~ =ft ~

5 10 2 d) 2 = 4 e f)

,,;; 32

2>5

(3<)(x > 2

Existe um número inteiro primo e par

Existe um triângulo isósceles e não equilátero

h) I\>' <)(y'";

2 b) (\>'al((a + 1)(a - 1) = a - 1)

-3 <-7 e

(V)

h) 3%7

=ft

(FI

c) V

+:i..=ft .'!'..)

4 (\>, x)(+~) = x)

g) (3x)

A.S

=ft

a) 3 • 7

3'10~6'5

Vi. =ft2 3 2 > 52

~ O)

k) Todo losango é Quadrado

Todo número tem raiz quadrada igual a zero

m) Existe um triângulo equiângulo e não equilátero.

A.9)

a) F f) F k) F

b) F

h) V

Il F

m) F

d) F

225-A

CAPfTULO 11

A.12 ai {-9, -6, -3, O, 3, 6, 9}

{+'

{O}

A.37

f, 1}

{x I x é {x I x é C : {x I x é D : {x I x é D : {3}

divisor de

B ~

A.14

A.15 B:

'~a, c, e, f,

b) V

d) V

b) V

c) F

di V

B: {e, x, r, c, i, o}

A: {6, -1},

E ~ {2, 3, 4, 5}

A.42 a, b, d, f

múltiplo inteiro e positivo de

la}

A.44 332

quadrado de um inteiro}

A,45

satélite natural da Terra}

A.46 a) 500 A.47 A : {p, q, r,

nA U B U C

nA + nB + nC - nA n B - nB n C - nC nA + nA n B n C bl 61 cI 257 d) 84

A.48 a) 560

A.18 todas

cl F

d) F

h) V

{r,

C: {5, t, U, v, x}

b) 280

A.49 ai {a, b, e, f,

bl F gl V

A.19 a) V fi V

cl {b}

C ~ {3, -3, 5},

e) {cuiabá, goiânia}

A.13 A ~

X ~ {1, 3. 5}

A.40 ai V A.41

e) {a, b, c}

A.36 a) V

bl {±1, ±2, ±3. ±6, ±7, ±14, ±21, ±42}

{a,

{e,

A.34 ai {a, b}

F F

A.20

A.50 (A) :

A.21

{a, b, A.22

{(3, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, c} {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, A}

AU B:

{a,

B U C =

te. d, e},

A.24 a) V

d},

AU C:

te. d}, CAPitULO 111

{a, b, c, e}, {a, b, c, d, e}

A U BU C :

b) F

cl F

d) V

el V

fi V

A.25 círculo de centro O e raio 2r A,26

plano C<

A.27

{b, c, d}, A

{c},

C :

b) F

cl F

di V

el V

fi V

A.30 a) L

b) R

d) Q

e) Q

A.33

X =

{a, c. e}

a, c, d, 9, h, i

D(6) ~ t±l, ±2, ±3, ±6} D(-24)

{c} e A n B n C: {c}

A,29 ai V

A.32

A.51 A.52

M(101 :

D(-18) : {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18}

D(161 : {±1, ±2, ±4, ±8} M(41 :

{O,

±10, ±20, ±30, ... }

MI-9)

±4, ±8, ±12, ... }

M(6) :

{O,

A.53 12,0,-1,1 e 49 A,54 a) não, pois 1 E D(a) n Dlb) b) m é um máximo divisor comum de a e b: mdc(a, b) c) a e b são primos entre si: mdc(a, bl : ± 1 di quando a I b e) Quando

a e b

A.55 a) ±1, A.56

±18, ±36, ±54, ... }

±m

são primos entre si

fi n é um m(nimo múltiplo comum de a e bl ±2

c) ±3

d) ±6,

b: mmc la, b) :

e) ±f2

±n f) ±42

a, b, e, f, h, k, Q

A.57 2

"5' "9'

226-A

{O,

8 25'

99'

271 50

602 111

227-A

A.93 aI A x B = {(I, -2), (I, 1), (3, -21, (3, 1), (4, -21, (4, 1)} bl B X A = 11-2, li, (-2, 3), (-2, 41, (I, li, 11, 3), 11, 4)}

A.5S2<..!..! <~<.!!!..<~< 1 3

-1

-2

A.60

A.61

3 2

.2.2

2 I

.l-

.1.

•

a, b, c, f, 9, h, i

1 2 A.66 A: - - - - - - - - - - -.. IIIItIIIl1IIII1tIlIl1I1II1tIlIl1II1I1t"..---------....

cl A X C = til, -1), lI, OI, 11,2),13, -1), (3, O), (3,21,14, -li, (4, O), (4, 21} d) C X A = :(-1, lI, (-1,31, (-1,41, lO, 1), lO, 31, (0,41, (2, li, (2, 3), (2, 4} e)

= ,1-1, -1), (-I, O), (-1,2), (O, -1), (O, O),

{(-2, -21, 1-2, 11, 11, -2), (I, I)}

11111 11 11 11111 1IIIIo>---------_eIl1II1I1tIlIl1I1I11t1111111111t1l1l111111t1l1l111111t1l1l11111I+1l11111111t1l.....

A.67 [-1,3]

{x E IR l-I .;; x';; 3}

IR I O .;; x < 2} ]-3; 4[ = {x E IR I -3 < x < 4} ]-00, 5[ = {x E IR I x < 5} [1, +00( = {x E IR I x ;;. 1 }

[O, 2[ = {x E

c)]O,~[dl[0,2]

A.70 aI [-1, 4]

bl [-I, 5]

cl ]-2, 5[

[O, 1] U

d)]-

el[-1,2[

. 1

bl]l,2]

I I

A. 69 a) [1,2]

A.71

Dl. (2, 21} I I

011111111111111111111111111111111111111111111'"

C: 1111111",,',I',',',',',',IIIII',',IIII',',',',',II',le

-1

-1), (2,

B: ----------<0111111111111111111111111111111111111111111111111111111:l)------...

lO, 21, (2,

1 1

0[1,2]

%' O[

13, 5[ A.94 a I

CAP('rULO IV

2 1

A.91

A(4, 2), B(-4, 6), C(-5, -3), D(4, -51, E(O, 41, F(-3, O), GIO, -61, H(5, OI, I{O, O

A.92

i-i-+-+-l-+-+-+-+-+-+--+.

.-1-

f---Cf---t-+ f-+- +-f-+-+-l-+-~

228-A

_l_I-

- t- -

229-A

A.95 a)

4 y 3 2 1

4 Y 3 2 1

c) T

{1-2, -21. 1-2,2),1-1, -11, 1-1, 1), 11, -1), 11, 11, 12, -21. 12, 2)}

4 I- ,-1-1

di V

{1-1, 4), (O, 3), (O, 4), 11, 21, 11, 31. (1, 41. 12, 11, 12, 2), (2, 3), 12, 41} y

rI-

(

1-1

1 i I

(

A2 ~ {(-2, -21, 1-2, Dl. 1-2. 11, (-2, 3), 10, -21. lO, OI, (O, 1), (O, 3), 11, -2), (1, 01,11,11,11,31, (3, -21, (3, 0),13,11,13, 2)}

A.98

e) W

(

;1-2, -31,1-2, -11,1-1, -2), lO, -11, 10,11. 11,2),12,11,12, 3)} y

( A X B ~ {(-1, -11, (-1, OI, (-1, 2), (-1, 5), lO, -11, (O, O), (O, 21, (O, 5),12,-11

A.99

(

(2, O), 12,21, (2, 5)}

H- 1--1

( A.100al R = {1-2, 4),1-1,3), 10,2),11, 11}

( y

( (

f-+-- 1-1

A.101 R

(

I I

(

{12, 21, 12, 4),12,61,14,2),14,6),16,21,16, 4)} y

b) S = ;1-2,41.12,4).1-1.1),11, 11}

(

1 I

1 I I

!Y I

A.102 1

!-'y

'I 230-A

231-A

A.l03

A.1OS ai

- - fY. I- - --

2 3

A.l04al D = {I, 2} e

di D

{I +

e) D={3,

Im= {I, 3, 4}

bl D = {-2, -1, 3, 2} c) D = {2, 1, 5}

l- r-

8 1 t-=H r- .-2

Im = {I, -3,

1 -

v'3}

t, %}

v'2}

4 I I

r- -I-Y

I- I-+- 1 1 I

- r- I-xI

Rns=0

A.l09 ai R-I = {12. 1). 11, 31, 13,21} bl R-I ,(-1,1),1-1,21, 1-1,31, (1, -21}

{-7, 4, I}

_. I- t-

1-1-. 3 1-1- 2 _. I

2 1

5 ·4

.- 1--

C·

{O,

R-I

{(-2, -31, 13, li, 1-3, -21,11, 31}

Im={t,-l,O} A.ll0al R= R-I = {IO,SI, 11,7), 12,6)'13,51, (4,41, (5,3), (6,2)'17, 11, IS,OI}

A.l05a) DIR)={-2,-1,O,l}e Im(R)={l,2,3,4}

bl R= {lO, 51,12,41, (4,3)'16,2), IS, 1), (10,OI}

bl DISI = {-2, -1, 1, 2} e Im (5) = {I, 4} cl D(T)

{-2, -1, I, 2}

d) DIVI

{-I, 0,1, 2}

e Im (TI

Im IV)

= =

R-I = {15, 01,14,2), 13,41,12,61, 11, S), la, 101}

{-2, -1, I, 2.}

cl R = {lO, 101, 11,51, (2,2), 13, 1), (4,21,15,51,16,10)}

{1, 2, 3, 4}

R-I

el DIW) = {-2, -1, O, I, 2} e Im (WI = {-3, -2, -1,1,2, 3} A.ll16al R = {(O, OI, (1, -1), (1, 1), (4, -2),14, 21} b) DIR) = {O, I, 4} e Im IRI = {-2, -I, O, I, 2}

{11 O, O), 15, 1), (2,2), 11, 3), (2,41, 15, 5), (10,61 }

di R= {Ia, 11, 11,2),12,4I,13,SI} R-I

{lI, 01,12,11, (4,21, (S, 31}

lv 1-1

A.l07 ai

A.lll ai

A x B

I f--

-+t·- I-- rt+ -+-1- ---

f-+-+--H1-I

1-1

232-A

,;;;; x';;;; 6} e Im IR)

{y E IR

I-f-- -----+----~------:..-+---tIR

iX· I=p ~. ~2f-+-+--+-+'+-r-.+++1 I)" ,-

I , , cl D(RI = {x E IR

-j-

r."

I',

._1. ,~ __L .L_L

_. --s±H+-H

_1.

j--+

I I

=;+--i·- ·_·fJ 11+ ,-lT T~ ll-j 1

!s-II

I I i

10 i

H-f o:; i ~tt~'=rj-··t-Lit'f -':._-t . r-t-+f--+--.11- 1-"11-: ·-t-t··· ,--t-f-+-+;;+ ...

,;;;; V';;;; 3}

233-A

J- ~"

=JY 6

f-i----l--!---'---+--i---L 6

-- -f-- -

I --

~-- -

A.122 -

f---

f(Y2) = 1

flv'3 - 1) ~ v'3

= 2

d) D(k) ~ {-2, 0,1, 2}

CAPITULO V A,112 a) não define função de A em B, pois o elemento 2 E A não está associado a nenhum elemento de B. b) não define função de A em B, pois o elemento 1 E A está associado a dois elementos de B. c e d) define função de A em B, pois todo elemento de A está associado a um único elemento de B. A.113 somente (d) pois o conjunto de partida é A ~ {O, 1, 2} e o conjunto de chegada é B = {-1, O, 1, 2} em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos encontra o gráfico da relação em dois pontos. em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos < 1, não encontra o gráfico da relação. e) é função em IR, pois a reta vertical conduzida pelo ponto (3, O)

encontra o gráfico da relação em mais que dois pontos e as retas verticais con-7

-x

3, não encontram o gráfico da relação.

b) g: IR -7 IR

el h: IR

-7

~ x3

1--+

X 4

b) g:;Z

-x +

d) f(_.!..) ~

3 ~

c) flO) ~ -2

234-A

9 4

-7

x 1-4

CO x 2

c) h: IR' x c) f( .!..)

bl f H) = 8

A.117 a) f(21 = 2

A.118al f(2)

e Im (k) = {-2, -1, O, 2}

Im = {-2, O, 2} Im =

{y E {y E

IR IR

b) Im =

I y ~ 1 ou Y ;;. 2} dI Im I O ~ y ~ 2 ou y > 4} I y ~ 1} e

el fl..,..'3) = 7 -

3v'3

b) f(-3)

l..1 2

f) f(1 ~

V2)

c) D = {x E IR

d) D ~ {x E IR e) D ~ {x E IR f)

D =

E IR

I -2 I -3 I -4 I -3

~ x ~ 4}

Im ~ {1, 2, 3, 4}

E IR

Im = {y

Im =

{y E

< 5}

Im =

,,;;; x ,,;;; 4}

Im = {y

< 3}

Im = {-3, -2, -1, 0,1, 2}

~ ,,;;;

x x

E IR

b) D(gl ~ IR - {-2}

c) D(h) = IR -

{2, -2}

d) D(pl = {x E IR

e) D(q) = {x E IR

;;. 1 }

> -1}

D(r) = {x E IR I x ;;. -2

i= 2}

gl D(s) = IR h) D(t)

~ IR - {- ~}

D(nl = IR _ {3} 2

A.127 Todas são iguais, pois são todas funções de ao seu cubo. x < O temos

jX2 x

IR em

+1 = -x ~

para

IR e associam cada número real

x. IR onde A ol qualquer subcon-

-1 <x";;;O

x>1.

A.131 Não são iguaisi pois não têm o mesmo domrnio.

A.132 a) S

-11

b) S = 3

I -3 ,,;;; y ~ 2} I 1 ,,;;; y ,,;;; 5} I 1 ,,;;; y < 3} I -3 ,,;;; y ~ 5}

A.126 a) D(f) = IR

A.130São iguais, pois

não tem significado pois

E IR

= IR

A.129 Somente serão iguais se forem funções de A em junto de {x E IR I x ;;. 1 }.

IR 1 >-> x

-7

11 4 = 4 +

b) D~{xEIRI-2~x~3}

A.128 Não são iguais, pois para

d) k: IR -7 IR x >->2 -7

o,d

e Im(g) = {1, 2}

A.125a) D = {-3, -2, -1, 0,1,2, 3}

duzidas pelos pontos (x, O), COm x

c) D(h)={-1,O,1} e Im(h)~{-2}

A.116 a) f: CO

e Im (f) ~ {-1,

b) D(g) = {-1, O, 1, 2}

f) Im ~

A,114 a) ol função. b) não ol função de IR (x, O), com x > O, c) não é função de IR (x, O), com -1 < x d) ol função f) não é função de IR

x =3

c) Im ~ {y E IR

fi 1(0,75)

-4

A.123 a) D(fI = {O, 1, 2}

A.124ai

A.115a) f: IR

= 1 7 dI f(Y4) = 1

Vi.

b) fl-

A.121 x

,\v'

f--- -

- , 1

f---- ~

C--

I"-

2 f-

±J-E

"- '\~- f--- -

r·

-tH

i":

A.119al f(3)

L-L-,;L--+--+-+~+,Tti

+---1

--~

d;Z

2l"·

{x E IR

E IR

c) S = {x E IR

I x >-4} I x";; -10} I x ;;. _ -3 } 4

235-A

A.134a) S =

b) S

E IR

{x E

c) S = {x E IR

dI S a) S f)

{x E

A.139

v;::2X\

I !VI I \V -;iX 1\

1"1

v' -X"" "'10...1 I'

,-x ~"I\\

v= -2

b) S =

{x E {x E

cI S

{x E

S = IR

aI S

A.l36

I x ~3}

I x> -3} I x ~ 7} I x < O}

I~I"

I x> 1} I x < ..!.} 22 I x > - -}

1"\ 1"\ 1

\1\.

r\ I'

A.l40a)

.CAPITULO VI A.137

(0,2)

lO,

Vi) x

V V

V /

V V

"'"

I"-

x I"-

V-

cI 10,01

x 1/

lO. -3)

I1 Y.t I

A.l38

~=3>f

V-o LV VI x V

IJV AX IIJV n - 2

u ~

VIA t/ t/

236-A

h) x

\ I\.

I1 V

237-A

b) S ~ {(-2, 4)}

A.142 a) S = {(3, 2)} c) S = {(2,

-li}

el S = )21 A.143 aI S~{(3,-1)}

1...2

-2'

x + 4

y= y = -3x+ 2

+ ~ 2

x bl y = - - + 4 2

2x 1 d) y ~ 2x + 3 3 3 A.152a) crescente para x E A I x";;-2 ou x ;;;. 1 decrescente para x E IR I -2 ..;; x ..;; 1 b) crescente para x E IR I -1 ..;; x";; O ou x ;;;. 1 decrescente para x E IR I x ";;-1 ou O";;x";;l c) crescente para xEIRlx";;o ou x>O ~

dI decrescente A.154 aI crescente e) decrescente b) decresce0 te c) crescente fI crescente A.156 a) crescente para m >-2 decrescente para m <-2 constante para m = -2 bl crescente para m <4 decrescente para m >4 constante para m=4 cl crescente para m <-3 decrescente para m >-3 constante para m = -3 111 crescente para m >1 decrescente para m < 1 constante para m = 1 A.157 aI f(x) = O $=O x = -5 ou x = -3 ou x = 2 ou x = 6 f(x) > O $=O x <-5 ou -3 < x < 2 ou x>6 f(x) < O $=O -5 < x <-3 ou 2<x<6

b) g(xl O $=O x = -3 ou x = -1 ou x = 3 g(x) > O $=O -3 < x <-1 g(x) < O $=O x < -3 ou x> -1 e x 3 c) h(x) O $=O x = -2 h(xl > O $=O x -2

238-A

y~3- ~ 2

..!-

A.150y=-.2'...-3 3 A.151 a) Y = x + 1 3 3 c) y

d) y = 2

cl y = x - 5 A.147 y = -3x - 2

A.149y ~

~ 2

y = 2x + 3

b) y = 1 - 3x 2

A. 145 aI y = 2x - 1

A.148y = - .2'... 2

A.158 aI

dI S = {(3, -21} fI S = {(O, O)} b) S = {(2, I)}

Y ~ 2x

y=4-x

--"3

O -5

h) O

dI y =5 + x

Y = -x

A.160x <3 A.161 x >

~ 3

A.162 aI X#A.163 a) bl c) d) el

...!.... 5 '

b) x>

...!... 2

V x E IR.

x >2 x;;;'O x E IR x <-2 x";;3

239-A

A.164a) S={xEIRI- .!.<x<~} 3 3 c) a)

tx E

A.167 a) S = {x E IR b) S

E IR

S = {x E IR

d) S = {x E IR a) t)

g) h)

S = {x E IR

d) S =

~ 6}

S = {x E IR

S =

d) S =

E IR

I -1 < x < 1 } I 1 < x ~ 4} I -3 < x ~ 1 }

c) S = {x E IR d) S = {x E IR

240-A

I x > 1}

<-1

I x < -~ 2

I- ~

Ix~- 2

~} 5

1. 5

x> 6}

I J.. ~

x;;;.

2 }

Ix ~

x > 5}

< x < 4 ou

IO<

x > 11 }

x < 1 ou

x > 2}

s={xEIRI-4<x<-2}

-~ ~x<-~}

S = {x E IR I -~ < x < - ~ ou

S = {x E IR

,. E IR S = LX

I -1

< 1 ou

1. 2

x> 1.} 4

< x < 2 ou

x > 3}

< x ~ O ou -1 < x < 1 ou

x;;;. 3}

CAPITULO VII A.175 aI

~ ~-

< x < ~} 5 ou

J... ou 5

x =

I x ~ -6

I -3

( .....

-.!. ~ x < ~}

I x < !-}

< - ~ ou _l < x < - !-} 253

I - ..!-

< 2}

d) s={xEIRlx<-~

I x =F 3} I x < - ~}

I x;;;'

S = {x E IR I x ~ - ~ ou

b) S = {x E IR

_..!. ~ x ~ ~} 4 2

-~}

x ~ ~ ou

{x E IR /1

A.174 a) S = l x E IR

x;;;...!.} 6

d) S = [x E IR I 1. ~ x < 3 ou

x>~}

S={xEIRI-2~x<-1}

bl S = 'Lx E IR

x > _

A.173a) s={xEIRI-~ <x<1. ou x>4} 4 2

- 2 < x < 2} 5

< x <

%ou

x ~ -

1.}

S = {x E IR I x < -10 ou x>

d) S

< -

'c)

S={xEIR Ix~-J...} ~} 5 3 h) S = {x E IR I x ;;;. ~ } 3

E IR

S = {x E IR I - J... < x ~

g) S = {_

b) S =

A.172 aI s={xEIRlx<!- ou

a) S = IR

A.170a) ~ E IR

x > ~}

S = {x E IR / x <

dI S = {x E IR

<-3} ~

S = {x E IR

S = {x E R

b) S =

Ix I3

{x E IR I - 2 ~ x ~ ~}

A.168 a) S = {x E IR

< x < 1}

I- -

J.. }

ou x > _

S = {x E IR I x < .!.} 3

A.165aI S = {x E IR b) S = {x E IR c) S = 0 d) S = {x E IR A.166 a) S = {x E IR b) S = {x E IR c) S = 0

A.171 a) S = {x E IR I x < -2

+ _.

--' -

---f-+-

x = -3 }

'L~

'.-r\. t

x = - ~ } 4

- -- --- -

f--

"' \

-- t-,

fi I-+-

f--I-

_L-

. f-l- r' I- t- +-

~~-

~ -I

r- f--tj-

t -'- t--

c--~路-

, J

\ II

J..

y -j

f--f--

_. L_

__ L-L_ L-

_L-L-

241-A

A.178 S = {(3, 41, (4, 3)}

v x

Ir I,

A.180 aI x = 1 ou bl x = 3 ou

x = -1 ou x = -3

x = 2

x = -2

cl x = V3 ou x = - V3 d) x = V2 ou x = - V2 el não existe x E IR

ti não ex iste x E IR

•

1\ J

gl x = O ou h) x = 2 ou A.182 m

Ir 1"'1

11 11

'\ \

I IJ

A.I84m = -1

A.185m = -2

A.187m<-

•

1\ \

A.191 aI c) el A.192al

, I'..

cl dI A.193 m

Ir 1\

1 b)

x = 3

x = 4 1 cl x = 2 ou x = 3 dI não existe x EIR e) x = -2 f)

x=-..!. ou

2 gl x=I+V2ou x=I-V2

242-A

cl-5

x + x - 6 = O 2 x - 5,4x + 2 = O 2 x - 2x - 2 = O 2 2 a • _ (b 2 _ 2ac). + e 2 = O ex 2 + bx + a = O aex 2 - (b 2 - 2aclx + ae = O a'.' + (b' - 3abel. + e' - O = -2 + ou m = -2 -

kl x = O ou

A.I96 m = -2 ou

x=2

_1.

b) não existe x E IR x = V2 2 jI x = -1 Ou x =V3

A, 176 f(xl = _2x 2 + 3x + 1

3 2 m = 5

A.194al x m -- -~ e Ym =- 25 4 8 bl xM = 2 e YM = 12 cl x m = 1 e Ym = O 7 dI Xm = - e Ym = --9 4 16 ~ el xM = e YM = - 3 2 4 4 7 ti xM = - e YM = 3 18 A.195m = 2

A, 177 aI x

m =

A.I89 a) ~.

•

x = -2

~ em*" 1

= -1

A,186m <_ 13 12

A.183 m ~ 17 em*"-2 16

x = 2

x =V2 ou

m) não existe nl x = O

x="V2

x E IR

dI 29 el _ ~ ti 155 4 2 8 b} 4x 2 + 4x - 3 = O 2 dI x - (1 - V2lx - V2 = o

m = 1

A.197 m =-1 A. 198 não existe A,200x=2

m E IR

e z=4

243-A

A.201 quadrado de lado 5 em A.2023 e 3 A.203 Ret창ngulo de lados ~ e 8 A.204 Ret창ngulo de lados 4 em A.20S Ret창ngulo de lados 2 em A.206 Ret창ngulo de lados 2 em

5 2 e 3 em e Y3em e 3 em

A.207 a) V(Q, -41,

b) V(

Im =

Iy Iy Iy Iy Iy

Im = {y E IR

{y E = {y E

b) Im = Im

d) Im

A.209 m

A.210 m = A.214a)

IR IR

= {y E IR

{y E

2 '

;;. -.!..}

.!l.) 36

4' -8)

2. - ~ ) 6'

R= -

J....)

r- - -

--f----j f++ ---

:ij_1

'_~

- I~, OI

l )

.;;

1/ I

16}

4x 4x

- 10x + 4

= O <=> x =

1 2

< O<=>1.-2 < x < 2

< O <=> x < - -.!..

2 2 2

(~ I, ,.....

~)- I- ' -

d) _3x

f- I--

_3x

4' 16

I1 1\ 1/

el x

+ 6x - 3 = O <=> x = 1

+ 6x - 3

- 3x + 9

x 2 _ 3x + ~

f) g)

244-A

_x 2 + -.!.. x +

I I

+ 1 >O<=>- 1 <x<1 2 2 1.- x + 1 = O <=> x = _ 1 ou x 2 2 2

..!.

10x + 4

< < < 2

-f-

[ I I I l_ I- I-

O <=> x -1 ou x 3 2 x - 2x - 3 O <=> x -1 ou x 3 2 x - 2x - 3 O <=> -1 x 3 2 bl 4x - 10x + 4 O <=> x 1 ou x 2

v'1O - f-

> = <

"- 1'\10, t) f-i1\

I 11

f- f- f-Y

-1, -1)

x f- I-- +-

I\..: --tt

.;;

-H

-c-

1-1-

b) -f--

--I

y --

;;;;. _

m =-

-,---,----,-['-

A.215 ai x 2 - 2x - 3

v'1O

--I-

---'Ir-

f- I-

,-,-----,.--

r-Ia, *1

!Q.

~l ~\-

;;. .;;

V(-.!..

A.208 a) Im = {y E IR

I I 1\

d) V(.!..

x > 1

< O <=> x =1= 1 > O <=> x =1=

= O <=> x =

> O, V x E IR 2 _x + x - 1 < O, "Ix E IR - 2. x 2 _ x - 3 < O x E 2 2' v

4x + 2

245-A

A.219a) S = {x E IR b) S = {x E IR c) S = {x E IR d) a)

S = {x E IR S = {x E IR

I x < 1 ou x> 2} I -2 < x < 3} x <;;; -3 ou

I- ~

bl S = {x E IR

.!..}

x;;'

di S

.!.. <;;; x <;;; ~}

h) S =

{%}

S rr.

S = IR S = IR

A.229a)

0 0

S =

A.221 ai S = {x E IR b)

S = {x E IR

< x < - -.!.2

I - 1.2 I1

<;;; x <;;;

S = {x E IR

A.222 a)

P 1 (5, O)

b) S = {x E IR

.!...,

P2 (-

I - -.!. 2

< -2 ou

S = {x E IR

x < -3

-.!.

<;;;x<

1.}

I -3 <;;; x <;;; -1 ou I x < -2 ou x> I -1 < x < 1} x <;;; -1

1 <;;; x <;;;

x;;' 2}

> ~

bl m <;;; 1

cl 0< m <4

E IR

f) 1<m<~ 3 Ii m <-2

el ;tfm E IR hl

m ;;.

m;;'1 bl m

< - 1.4 <m <

-2

d) -1 < m <2

A.233 ai O < m < ~

x;;'

~3 }

x >

I -1

<;;; x < 2 ou

g) S = {x E IR

~ 4

I x> O} I 4 < x <;;; 6} I -3 <;;; x < -2} I -1 <;;; x <;;; 1 ou I -3 <;;; x < -1}

_1.. 4

A.238 m

>1 -3 < m < 1

bl m

9 O

*-1

-.!. } 3

-2

< m < -1

.!...

~ 2

> Y2 < < -1

O ou •

m > 3

A.245 m 1 A.246 m A.247 - 1 < m < 2

2 <;;; x <;;; 4}

A.249 m < -2 ou S =

3 < m <

A.244 m <

A.248

A.243 O < m <

< x < -

1 < x <

3 A.239 m <-5 A.240 -5 < m <-1 A.2411 < m < 4

A.242 -

3 <;;; x <

-2 < x < - ~ ou

< x < O}

.!...

S = {x E IR

-4 <;;; x <;;; -

x;;'

S = {x E IR

x >

< x <;;;

..!.-

< x < 1 ou

-.!... 3

-1

A.237 m <

-.!... 2

< x <

246-A

cl m

x > 2}

I -2

x 1} 1 <;;; x <;;; 2} a

di S = {x E IR

{x E IR

A.231 ai -2 < m < 2

<;;; x <;;; 5}

S = {x E IR

ai S =

É..}

S = {x E IR

1- -.l

gl m <;;;-2

< -

A.234 m <-1 A.235 -2 < m < 2

A.225 a) S = {x E IR b) S = {x E IR c) S = {x E IR

< x < ..!.2 }

x <;;; 3}

A.224 a) S = {x E IR

hl S = {x E IR

2 <;;; x <;;;

I -2 < x < 3 I x = -3 ou I -1 < x < 1

S = {x E IR d) S = {x E IR c)

k) S =

.!... }

= {

A.228 ai S = {x E IR bl S = {x E IR cl S = {x E IR d) S = ai s = {x E IR

f)S=IR-{.!..} g) S =

S='{xEIR

< -2

-5 <;;; x < -3}

<;;; x <;;; 4}

A.226 a) S = {x E IR

A.250 -

.!... 4

<;;;

2 < m < 3

< O ou

m > 2

247-A

CAPITULO VIII

A.252

A.251 a) y

"I'.

'" '"

A.254 x = 4 A.255 a) ---

I \

-,-

1\ I

/ / A.257 aI

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I \

I 11

11 11

I 1/

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li 1 ('2.

I 1/

1\ I1

I 1/

\ \

1\1

1\1 3

I 1/

1''2. 0

248-A

-- --f- f-

r- \

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I 1/

I \

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\ 1\ \

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I I

V-

, 1\

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I'. 1\

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f- ~-

1'3. 01

249-A

f---

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I-

I- I-f- I--

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I- I-+--

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1/ 1\1

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A.259 ai

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I-I-I-- f-~

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250-A

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...

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I I

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-1 ,TIT 251-A

hl - - -

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fl-

J \ 11

I\ ~-

t-- 1\ \

t-- f-

11\

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A.265 a)

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\ ,

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f- - - -

A.262

li'-. -til

I IY l

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I ~-

f~-,I

I --

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I I I

-jL!--f, I '

t--+--+--t-+-.-

I-j I

;fi

I I , I I

-=1 ri !

A.267a)

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y- - I.

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I I I

1'.1/

x I

A.263

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J-

-+- H--eI

[

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t--

jr~~ . 11

>->->--

L.-

/1\ 11

x I

252-A

253-A

a )[f

~~~-~-

)

II II

A.271 a) S

= {"

E IR

I- ~

bl S

= {"

E IR

I-

, JI\ fi

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-I

t- -I- t-

{x E

gl S

= {"

E IR

I " ..;; -

E IR

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= {"

E IR

I " i=

S = IR k) S = {x E IR

A.272 ai S = {" E IR

:-...

b) S = {" E IR c) S,;, {" E IR

11'

1.1 "

t-,"

I x < -1

,,> 2}

-ª-5 3

,,;' O}

,,;' 1 }

-ª-} 3

{1, - ~}

bl S

cl S

= {

dJ S

S =

{_.!-

.!-

2 3} ,

1. 2. 2'

2";;,,";; 5}

"i= -.!..-} 3

I x ..;; 1.5 I " < -3

,,;' 1 }

I"" ..;; -3 I -3 ..;; "

-1 < x < 1 ou -1";; x ..;; O ou

I" ;'3} I " < 5} I -1 ";;"

..;; O ou

> 3}

,,;' 2}

1";;,,";; 4}

..;; 1}

= IR

b) S = {" E IR c) S = {" E IR

{.!-}

d) S

= {"

E IR

I x < -5 ou i <" < 5} ." I " < -2 ou ,,> O} I " ..;; -5 ou -3";;,,";; 7} I -3 < " < 1..!...} 3

ai S={"EIRlx<-2 ou

{4, 2J {x E IR

E IR {x E IR

= {"

A.277 a) S = {x E IR

d) S = {-13, -6} a) S

E IR

<" < -ª-8

a) S = ~ fi S = {" E IR I 3 ";;" ..;; 6} gl S = {x E IR I 4 < " < 6} A.275 S = {" E IR I 1 < x < 4}

cl S = {-6, -1, 1, 4}

S = {" E IR

(cJl)S

%' - ~}

bl S = {2, -

bl S =

I - .!4

S c) S

gl S = {1, 3}

A.270a) S

I -2 ..;; " ..;; 1

E IR

d) S = {-

E IR

= {"

A.274ai S = {" E IR

S = i-l, 1, 2, 4}

= {-

= {"

A.269 ai S

di S

h) S =

I -2 ..;; x < O ou 2 < x ..;; 4} I 1 < x < 2 ou 3 <" < 4} I " < -2 ou -1 <" < 2 ou ,,> 3} I " ..;; -1 ou 2";; x ..;; 3 ou ,,;' 6}

ai S

fi S = {x E IR gl S = {" E IR

A.26B a) S = {1, -5}

254-A

r, 1\ 1\

I'.

ai S t) S

h) S = 9)

{x E IR I - .!- ";;,,";; 3}

d) S = {-

, ,

- f-

< x < 2}

3 1 ..;; x ..;; 2}

I " ;, ~} 3

{x E

x ;, ~ } 3

S = {" E IR

I " ..;; O

x>4} ,,;' 3}

A.27B S = {x E IR

I " ..;; O

,,;' 6}

256-A

CAPITULO IX A.279 a)

rT-r-,--,,,--.,,,

A.280 a) b)

H-++-+-t+t-+++-+-t-+

- r-

.+-

H-++-+-t-t-+-+-t-Tt---H-t--H

. , c)

d) r++-r+1''-t-H-t-1

e I r+--tLH-t---t-t-i----1

, A.282

aI 1-_ f+H-H-I-HHt-I-HH-i-t-l

. 1/

r+-+-l-Lt-+-+-+-+-

, c)

l..I

258-A

257-A

A.284 a )

A.288 a)

- +-

+-t-

.j- .

-I"

-l- .l-

!"..

1'\ f-t-f--

[\,

I ,

+-+--

l-t-

cl cl H-++'-1r-++H-+++-jH-+H--!

路

f-HI

I -- -

l / -+-+-H-j -+-+--jc-+-+--i-t--r

I-

+- - I-fl

fo-

j_.-

..... L

f- _..".

C-+-+-H-+-+-H-f+-+-H-I-+. j+-H-H---H++-+-H+- -

f0-

l-I-

v j

t A.285

....

I-

路

路 I

+258-A

259-A

A.310

CAPfTULO X

9x 2 - 12x + 6 se x;;;. 1 1 1

(fOg) (x) =

- 3x

-9x 2 + 12x A.290 a) (IOg) (x) = 4x 2 - 2x - 2 (gOl) (x) = 5 + 2x - 2x 2 b) (IOg) (-2) = 18, (gol) (-2)

cl x = 2

x = -

= -

(gOf) (x) =

2 (fog) (x) = x4 - 6x 2 + 6 (gol) (x) = x4 - 8x 3 + 18x2 - 8x (lOg) (x) = 2, (gof) (x) = 5

A.291 A.292

A.293a) (fog) b) (gOf) c) (fOf) d) (gOg) A.294 fI-x)

(x) = x 2 - 6x + 11 (x) = x 2 - 1

(x) = x 4 + 4x 2 ~. 6 (x) = x - 6 = -x 3 - 3x 2 - 2x - 1

4X - 2 gOI(x)

{ A.312

f(x - 1) = x 3 - 6x 2 + 11 x - 7 A.295 a =1 . 1 A.299 a) D(fOg)={xElRlx"';2 ou b) D(gOf) = {x ER A.300a) D(fog) = IR - {-

x;;;'2}

;;;'1}

dI 11 A.320 A.321 A.322 A.323 A.324

(gOf) (x) = 5x -4 x - 2 A.301 A.302

[(hOg)of) (x) = 12x2 + 12x + 2 [ho(gOf)) (x) = 2x 2 - 2x + 7

A.304

g x -

A.306

2 f(x) = x + 2x - 1

A.307

f( x)

2x + 4

x -

-1

x ;;;. 1

<x <

x>2

-1 ",; x ",; 1

x <-1

x 2 - 3x + 3

1 < x"'; 2

O"';

X ",;

-16x 2 + 24x - 8 458 se

x < O

se x;;. -1 X 2 + 3x - 1 2x + 9 se x < -1

b) sobrejetora b) ?ijetora

bl IV f)

dI bijetora c) sobrejetora

111

11 (

g)1I1

e) não é injetora e nem sobrejetora d) não é injetora e nem sobrejetora

d) I h) 11

4" b) 11

e) 11

I 11

As funções IA e I B são iguais se e somente se A=B m ",; n, m;;;' n, m = n 12

(fOg) (x) = {

(gof) (x)

4X 2 + 4x

para

A.309

260-A

{

x2 - 2x - 4

2 =

a =

A.318al 111

b) D(gOfl = IR - {2}

A.313 a) injetora A.314 a) injetora A.315 a) 111 e) 11 A.316 b = 2 A.317

2x + 4 (fOg) (x) = - - 2x + 1

f(xl

< -1

1 - 4x 2 x4 + x2

fog(x) =

1 1 3 2 f ( - ) = - - ....... +--1 x x3 x~ x

()

{''''

A.311

<x<1 1 x < "3

4x + 3

1 21 x;;;. -1x < --

INJETORA

2x2 - 8x + 9 se x;;. 2 { 4x - 3 se x < 2

SOBREJETORA

gof nã) é injetora nem sobrejetora.

261-A

A.326 a) f-I (xl

-,,--=_2

3x + 1 bl 9 -I (x) = - 4 - -

cI h-I (xl =,~ el q-l lxl

= x3

gIS-I(xl

A.327

di p -I(xl

- 2

A.329al f-I: IR. ------+ IR.

f- 1 (xl

o;;:;

f-I (xl f)

=-~ ~

cl f-I: IR -

3x~

f-I (xl

{-l}

---+ IR -

{3J

= 3x + 4

A.339

f(3) A.335 ai f-I: B ----+ A f-l(xl = 1

A.341 ai ,

2. }

x - 5

x;? 7

-8';; x

x + 5 3

x <-8 bl

1/ V iJ'

Jr:!

----x-:::r cI

di f-I : B ---+ A

3+~ 2

f+-hJ I Ie--J~---lI ; ;- . -h-. ,; I . ,

I-

~fí

3x + 2

f-I (x) = -1 +

f-I (xl =

f(l) = 3, portanto f não é bijetora.

= 2-~

, I '

bl f-I: B _ A

cl f-I; B ---+ A

I I !,

isto é,

x ~-3

f-I : IR - {3} ---. IR - {3}

v'i7 I = 3,

{-1}

---+ IR _ {

-3 < x < 3

3X-=5

f-I (xl = f- 1 (

x ~3

x + 2

f-I (xl

f-I (x) = _2_ x - 4

v17 pois = v17

di f-I; IR - {

x<o

Não, pois f não é injetora, por exemplo f(-2)

A.338

X-=2

t_12_~-

f-I: B - + IR.

3 - x

x ~O

----

f-I (xl

x <-3

x? -3

r+~ x + 1

= -1 - ~

3 -

bl f-I: IR - {2} ----+ IR -

f-l;IR-{4}---'IR'

f-l(x)

.,r;

f-I (xl =

x + 1

É o

f-I (xl

IR_

x - 1

A.333

x<o

x - 1 --42

o.-~

f-I (xl =

f-Ilxl

A.381 a) f-I : iR - { 1 } ~.. IR - {3}

f-I (xl

f(l) '--- 1, e portanto f não é bijetora.

x ~o

{~ {x +yr;

di f-I: IR_ ----+ A

el f-I: B _ _ IR

gl f-I; B

+ 1)3

f-I (xl

cl f-I; IR_ ---+ A

f-1(xl

bl f-I :IR. ---.. A

y-;;

f-I (xl = 2 -

f-I (xl

Não, pois f não é injetora, por exemplo: f(-l)

f-I (xl =

f-I (xl

=1+~

,-1 (x)

{r..

I 1

d)'~'I'l J e--: ••

'U ++-1-+"+1 I .-.. t I

I--+--~---

f-I: B ---+ A f-l(xl = 2

I t

f-I: B ---+ A f-I(xl = - 1 -

gl f-I: B----- A

5+~

f-I (x I = --'--4,-----

X; 3

A.337 ai

{ 262-A

x - 1

se se

x)!:.7 x

[5;

bl f-I (xl =

x:<;8

L~"_ 4

x>8

lJ 263-A

e) f-

1----

~tt#l---~

H-+-+-rt- -;~+

f-ff-I--

y",x

Y='=

--- !

t:.'';.-:.:-..... -+'--+-+-+---1

~1--=~lfIY -

[7 ~ f -

-t '

! , 1/

f-,

f--

I/ 1/

V' 1/ '

1/ I

f - -- f- f -

"-f-

y=y

1ft

- f-

f- f -

A.349

S ~

c) S =

1/ I/

17 -1-

i\... -

L. L

S={l,

~ ~ 12

~ ~

b) (gofl- I : IR -+IR (gofl- I (x) = : / x ; 3 di (gofl- I : IR+ (gofl -I (x) = 3

V25 }

A 2

(gofl-I(x) =

Não, pois 9 não é injetora, por exemplo: g(-1) = g(1) =.0, portanto gOl não é

S = {O,

{1}

-±-}

{o, 2}

~ {...!..}

h) S ~ {81 }

1~}

j)S~{l'l~}

b) S = {5, -1}

1 +

f29 '

1-Y29} 2

0 {o, 1, 4} b) S =

A.357 a) S = {O, 4} d) S = {1, 17} g)

[33 ,

flS={l}

d) S = {34}

+ ..;:

9 d) S = {4 + 2 ~}

{16}

~ {4, -3,

S ~

b) S

A.356 a) S ~ {64}

el (gofl- I : C ---+ A

bijetora.

A.354

_1'-- tl f-

(gofl -I : C ---->-IR + (gofl-I(x)

S = {1,

d) S ~

.......

A.343ai (gofl- I :IR _IR (gofl-I(x)

c) S

pl S =

= {

A.353 a) S = {-2,

i\...

s ~ { =} S ~ {5}

di S

{-4}

j) S~{4}

A:348

hIS={3}

A.351 a) S = {4, 9}

264-A

S ~

bl S

flS~(77J

A.344

f.......

"---

'/ 1/ ./:/ .... /1/

{O,

S ~ {3, 4}

..... l-

k) S ~ {O

f- i-- -

gl S ~ {13}

- -

f- I-f- ---

cl S ~ {1. ,4}

I--

f- f - -

-f-

A.347 ai S ~ {e}

/ /'[

- f-

f~f~ f- f -

f- i--

Ll/

v=x

I/ ~

2-~ 4

[ holgOfl ] -I (x)

...... /

[ho(gOII]-I: B -------> A

1/1

v --------: f' - -1---

A.345

---

17 g)

--, ~

S ~ {_4_,

A.358 a) S ~ {6} d) S ~ {3}

c) S = {

e) S

~ { ]J2 }

b) S

{2}

{8}

S =

}

flS={40} =

{2, 6}

--}

b) S = {--[,}

clS={4}

e)S~{3a}

265-A

A.360 a) S ~ {3}

b) S ~ {19}

cl S ~

{2}

d) S = {3}

A.361 a) S = {3}

bl S = {

1. } 3

d) S ~ {4}

A.363 ai S = {1} A.364

S~{l}

A.365

S = {

b) S = {

}

A.366

9 S = {O}

A.367

a';;; b == S = {a} a>b==S~{b}

A.37B

S = {-2,

A.379

3 S~{l'2' 2}

A.380

S = {1, 2, lO}

A.382

S =

{O}

A.3B3

S _ -

_v'5} {V5 2 '

A. 384

S = { : }

A.385

S = {(B, 64),

A.3B7a)

S={xEIRI~';;;X<2}

A.368 A.369

A.376

(64, B)}

a = b = O ==> S = IR. a;;>b>O==S= a<b

{

bl S =

(a - b)2 } _ 4b

{x E IR I -

c) S ~ {x E IR

A.371

2a 2 b } S = { a2 + b 2

a<O

=- S ~ {x E IR I x b = S = {a + b}

bl a = b

Ibl;;>lal==>s= { o,

b) S = {(lO +

c) S = {(2, B),

(B, 2)}

di S ~ {(9, 4),

(-2 ' ~} 12

A.375a) S = {2}

o) s={-f,

10 -

4V61)

(4,91}

• 7} 1.4"

266-A

S = {O, { , ~} 2

S ~ {x EIR I

1+V13 ..6 ';;;x"",l

c) S={xEIRlx;;>

ti S={4+V3, 4-vS} h) S = { O,

< 7 -.J17 2

3+V3 4

~ {O -3, {}

3-V3} 4

S ~ {x E IR

;;> 1 }

}

S = {x E IR

{x E IR I x ,;;; 1 -

ti S

{x E IR I -4

S =

x;;>2}

oi S

,;;;

3';;;x<12}

bl S ~ {x EIR I x ;;>-2}

A.390 a) S ~ {x E IR I x > 11 }

g)S={O}

h) S={xEIRI-l<X';;;-+

d) S = {4, -3}

> B}

ti S={xEIRI2';;;x';;;3}

i) =

b) S = {x EIR I x > 4}

g) S~{xEIRlx>1}

b) {(-4, 6)}

b) S

c) S = {-16}

o) S ~ {x E IR I -1 ,;;; x

4Y6,

A.388a) S = {x EIR 11';;; x,;;;-;.}

5a2 - b 2 } 4a

(4,9)}

o) S =

c) S = {x E IR I x

A.372 ai S = {(9, 4),

A.373a) S = {(4, 2),

;;> a}

--';;;x,;;;3 3

d) S = {x EIR I

Yb }

< x ,;;; -1

I -2

b=O ===>S=;zj

A.370 a) b ;;> 1 == S = { 2a

tI b > a

i- ,; ; x ,;;; 2}

x > 3}

x ,;;;

x;;> 1 +

v'3 }

0 2&7-A

A.391a) S ~ {x EIR 11 < x <2} c) S

{x E IR

Ix ~2

e) S = {x E IR

f) S = {x E IR

i x .;;; - 2

S =

{x E

A.393a)

c) S ~ {x E IR

{x E IR

1% .;;; x .;;; 2}

A.395a) S

{x EIR

I x ~%}

E IR

c) S = {x E IR

I- ~ 1

h} S

EIR

x>3}

di S ~ {x EIR 1-2';;; x';;;

3 < x .;;; 4 }

+y'201

b) s={xEIRI-

E IR

x~3+v'2}

v'13 < x .;;; 1 }

-VS

b) S ~ {x E IR

di S A.400 A.401

~ {x

E IR

S = {x E IR

<x';;;1}

choveu 7 vêzes, de manhã ou à tarde (2) quando chove de manhã não chove à tarde (3) houve 5 tardes sem chuva (4) houve 6 manhãs sem chuva

(1)

c) 10

b) 9

d) 11

e) nenhuma das respostas anteriores.

urn segundo rapaz dança com 6 moças, e assim sucessivamente. O último rapaz dança

a) r

m 5"

b) r

m- 5

c) r = m - 4

di r

e) nenhuma das respostas anteriores

TA.5 (FEI-68) Um teste de Literatura, com 5 alternativas em que uma única é verdadeira, referindo-se à data do nascimento de um famoso escritor apresenta as seguintes alter-

.;;; x < 1 _ v'31}

S~{xEIRI-:5

e) nenhuma das anteriores.

com todas as moças. Tem-se então:

> 11 }

t.;;;

di (4)

TA.4 (EPUSP-66) Em um baile há r rapazes e m moças. Um rapaz dança com 5 moças,

nativas:

I x .;;; -2 ou -1';;; x < -1 +

(3)

TA.3 (EPUSP-66) Depois de n dias de férias. um estudante observa que

a) 7

I x ~4}

c) S ~ {x E IR I -1

b) (2)

(1)

Então n é igual a:

I x > 1}

A.399 a) S = {x E IR I x

b) "todo corintiano é inteligente" d) "todo inteligente é corintiano"

ou3';;;x';;;4}

A.397 a) S = {x E IR I -1 .;;; x .;;; 1}

TA.1 (FEI-67) Dadas as premissas: "Todos os corlntlanos são fanáticos" - "Existem fanáticos inteligentes", pode-se tirar a conclusão seguinte:

b) S =

a negação de (5) é

}

S={xEIRI2';;;x';;;3} gl S = 0 h) S = IR +

+.;;; x <

LÓGICA

(1) toda mulher é boa motorista (2) nenhum homem é bom motorista (3) todos os homens são maus motoristas (4) pelo menos um homem é mau motorista (5) todos os homens são bons motoristas 4

< 2 - .J3

I -5

6+2V3} 3

TA.2 (FEI-66) Dadas as proposições:

A.396 a) S = { x E IR

x>2}

a) "existem corintianos inteligentes" c) "nenhum corintiano é inteligente" e) não se pode tirar conclusão.

< x .;;; 5}

3';;;x .;;;

e) S ~ {x E IR I x

.;;; 2 }

~ {x

.;;; x < O ou

d) S

b) S

S~{xEIRI-~';;;x<o I -6

TESTES

{x E IR I x .;;; 2 }

S~{xEIRlx<-+

-2 + 2 V 2 .;;; x .;;;

- 2 v'2 ou

x .;;; 2}

.;;;

bl S ~ {x E IR

.;;;

I -1

bl S =

V6}

x < 3}

v'13 }

(a) século XIX (c) antes de 1860 (e) nenhuma das anteriores

(bl século XX (d) depois de 1830

Pode-se garantir que a resposta correta é:

<x<1

x~9}

ai (a)

b) (b)

(c)

d) (d)

el nenhuma das anteriores

• 288-A

269-A

TA.6 IMACK-73l Duas grandezas x e y são tais que: "se x = 3 então y = 7",

TA.11 Sendo dado um conjunto A com n elementos indiquemos por a o número de subconjuntos de A. Seja B o conjunto que se obtém acrescentando um novo elemento

Pode-se concluir que

b) se y

c) se y * 7 então x * : e) nenhuma das conclusões acima é válida

se x * 3 então y * 7 d) se x = 5 então y = 5 a)

7 então x

a A e indiquemos por b o número de subconjuntos de B, Qual a relação que liga a e b? a) 2a = b

b) a = 2b

a + 1 d) a

TA.7 (CESCEM-71) Indique a afirmação correta: a) uma condição necessária para que um número seja maior do que 2 é que ele sej JX)sitivo b) uma condição suficiente para que um nllmaro seja maior do que 2 é que ele sej. positivo c) uma condição necessária e suficiente para que um número seja maior do que 2 que ele seja positivo d) toda condição suficiente para que um número seja positivo é também suficientl para que ele seja maior do que 2 e) nenhuma das afirmações anteriores é correta

TA.12 (MACK-76) Dado o conjunto C de C é: a) 6

b) 12

{O,

TA.13ICESCEM-77) Um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números fmpares, O número de elementos de X é: a) 32

c) 24

b) 27

TA.14 IMACl<-691 Sendo A =

d) 22

{{I}. {2}. {1, 2}}

e) 20

pode-se afirmar que

TA.8 ISANTA CASA-77) Dispõe-se de alguns livros de Ffsica do autor A. outros do autor I e outros do autor C. Da mesma forma, temos alguns livros de Ou ímica do mesm< autor A, outros de B e outros de C. Todos os livros devem ser colocados em dua' caixas com o seguinte critério: na primeira caixa, deve-se colocar todos os livros qu satisfaçam a condição "se for do autor A, então não pode ser de FI'sica". Na segund caixa, somente os livros que não satisfazem a essa proposição. A primeira caixa deve conter exatamente:

+ llb

1, 2. 3}. o número de subconjuntos próprios

d) 16

e) n' a = In

{1},E A d) 2EA

b) {1} C A {1}U {2}EA

{1}n{2}~A

TA.15IGV-72) Sejam A, B e C três conjuntos não vazios e consideremos os diagramas: 1)

a) todos os livros de Qufmica do autor A mais todos os livros de Física dos autore' B e C

b) todos os Qufmica cl todos os d) todos os e) todos os

livros de do autor livros de livros de livros de

Ffsica ou de Qufmica dos autores B e C mais todos os livros di A Ffsica dos autores B e C Ffsica do autor A Qufmica dos autores A, B e C

CONJUNTOS

e as denominações

TA.9 (MACK-731 Seja o conjunto A 1) 3EA

{3, {3}} e as proposições:

2) {3}CA

3) {3}EA

a) apenas as proposições 1) e 2) são verdadeiras b) apenas as proposições 2) e 3) são verdadeiras c) apenas as propoSlçoes 1) e 3)· são verdadei ras d) todas as proposições são verdadeiras e) nenhuma proposição é verdadeira

{€l, {b}} C A

d) {a,b}CA

270-A

{0; a; {b}}, com {b} * a * b *0, então: c) {€l, {a}} C A {O, b} CA

e) {{a}, {b}} C A

111) ACIBnC),BCC,C*B,A*C IV) AnC=jZ'>, A*C, BnC=ÇZ)

então as associações corretas são:

a) 11, IV). 12, 111) d) (4,111), (1, 11)

então:

TA.10 ICESCEM-77) Sendo A

Ii ACB, CÇ'B, Anc*0 11) ACB, CCB, AnC=ÇZ)

b) (1,1). (4, 111) e) 13, IV), 11, Ii

12, 11), 13, IV)

TA.16 (PUC-74) A e B são subconjuntos de um mesmo universo. Existem elementos

que pertencem ao conjunto B. Então, pode-se afirmar:

a) A é subconjunto de B d) A n B *ÇZ)

b) B é subconjunto de A

c) A e B são disjuntos

e) nenhuma das anteriores.

TA.17 (PUC-76) Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, então é verdade que: a) A *B =A CB d) IA n B) U IB - A) = B

b) A * B =<> A B cl IA n B) C IB - A) e) A = B - A n B * A U B

271-A

TA.18 (MACK-74) Sabe-se que A U 8 U C = {n E rt.I 11';;; n';;; lO}, A n 8 = {2,3,8: A n C = {2, 7}, 8 n C = {2, 5, 6} e A U 8 = {n E rt.I 11 .;;; n .;;; 8}. O conjunto C é: a) {9, lO} dI {2, 5, 6, 7}

b) {5, 6, 9.10} e)

{2, 5, 6. 7, 9, lO}

A U 8

aI b) c) dI e)

assistência médica. A firma tem a matriz na Capital e somente duas filiais, uma em

Santos e outra em Campinas. 45% dos empregados trabalham na matriz e 20% dos empregados trabalham na filial de Santos. Sabendo-se que 20% dos empregados da Capital optaram pelo plano de assistência médica e que 35% dos empregados da filial de Santos o fizeram, qual a porcentagem dos empregados da filial de Campinas que optaram pelo plano? aI 47%

TA.19 (MACK-741 Dentre as seguintes afirmações:

11) 111)

TA.25 (GV-761 De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano de

32%

38%

d) 40%

e) 29%

TA.26 (CESCEA-691 Dados os conjuntos A = {a, b, d, 8 = {b, c, d} e C ~ {a, c, d, e}o conjunto (A - CI U (C - 8) U (A n 8 n CI é

AUa=AUC AU a= A U C AUB=AUC

aI {a, b, c, e}

todas são verdadeiras todas são falsas só I e 11 são verdadeiras só 11 é verdadeira só I é falsa

b) {a, c, e}

el A

dI {b, d, e}

el {b, c, d, e}

TA,27 (CESCEA-72) Dados os conjuntos A = {1, 2, -1, O, 4, 3. 5} e a = {-I, 4, 2, O, 5, 7} assinale a afirmação verdadeira: a) A U 8 = {2, 4, O, -1 }

bl A n (8 - AI =.0

A n 8 = {-I, 4, 2, O, 5, 7, 3} e) nenhuma das respostas anteriores

d) (A Ua) nA = {-1, O}

TA.20 (GV-70f A parte haehuradas no gráfico, representa:

n (8 UC) b) (A 8) UC c) (A U 8) nC

aI A

TA.28 (CESCEA-731 Sejam R o conjunto dos números reais, e

A = {x E IR l-I < x.;;; 2}, 8 ~ {x E IR I -2 .;;; x .;;; 4},

d) A U (8 nCI e) nenhuma das respostas anteriores.

C = {xEIR 1-5<x<0}. Assinale dentre as afirmações abaixo a correta:

TA.21 (CESCRANRIO-761 Sejam A = (_00, 2] e 8 ~ Então An8 é: a)

{I}

b) (_00, O]

c) vazio

[O,

+(0)

d) {0,l,2}

intervalos de números reais el

[O, 2].

TA.22 (PUe-761 Sejam os conjuntos A com 2 elementos, a com 3 elementos, C con 4 elementos; então: a) bl c) di el

A n a tem no máximo 1 elemento A U C tem no máximo 5 elementos (A n a) n C tem no máximo 2 elementos (A U a) n C tem no máximo 2 elementos A n 0 tem 2 elementos pelo menos

b) 140%

cl 60%

"D2-A

bl 172

c) 205

a = {x E A 1-5 < x < -2} n C) ~ {x E IR I -1 .;;; x .;;; O}

d) A U 8 U C = {x E IR 1-5 x.;;; 2} e) nenhuma das respostas anteriores

aI A

l-I < x';;; 3} e 8 ~ {x E IR 12 < x';;; 5}, então:

{x E IR I 2 .;;; x .;;; 3}

bl AUa={xEIRI-l<x';;;5}

d) SO%

dI 174

c) A - 8 ~ {x E IR

I -1

< x 'S 2}

dI 8-A~{xEIRI3';;;x';;;5} e) C'A 8 = {x E IR

l-I .;;; x < 2}

e) 40%

TA.24 (CESCEA-681 Foi realizada uma pesquisa numa indústria X tendo sido feitas a seu operários apenas duas perguntas. Dos operários, 92 responderam sim á primeira SÓ responderam sim à segunda, 35 responderam sim a ambas e 33 não responderam a perguntas feitas. Pode-se concluir então que o número de operários da indústria é a) 170

b) C -

c) A - (8

TA.29 (PUC-75) Sendo A = {x E IR

TA.23 (CESGRANRIO-761 Em uma universidade são lidos dois jornais A e 8; exatament, 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% o jornal 8. Sabendo-se que todo aluno é leito de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que lêem ambos é: ai 4S%

ai (An8IUC={xEIR!-2';;;x';;;2}

e) 240

TA.30 (CV-741 Considere os conjuntos dados no gráfico. Apenas uma das afirmações 11 verdadeira. Qual? a) AUB" ~ S c) Ana =0

b) d)

AnB" = B"

ACB

el An"ll=8

273-A

TA.31 (GV-75l Considere a parte hachurada nos diagramas, onde A e B são subconjuntos de S

TA36 (FUVEST--77l Em um teste de cinco iJlter-natlvas, com ':-Ima únicLl corret;l, as alternativas eram" A) RJcional

B) Irracional

CI Inteiro

O I Real

E I Complexo

A alternativa correta era:

bl B

ai A

cI C

el E

di O

TA37 (CESCEA-68) Se nem são números naturais e se considere as denominações:

ai B·· A

A UB

ai m di n

As associações corretas estão na alternativa:

ai 11, di, 14, bl, 15, el

bl 13, a), 12, e), 15, cI

di 11, cl, 14, bl, 12, el

el 13, di, 14, bl, 12, ai

TA.32 (GV-76)

Denotando-se por x

bl PU

cI 13, a), 12, cI, 15, di

[p' U (P

cI P

n Q) J

di P' U Q

:c.

elO' Iconjunto vaziol A

te.

I, g, h,

bl m

::.-=

a) b) c) d) e) TA.41

1IIIIpLMePLNI<=>PLIMnNI;

~ 0; CE M ~ E;

IRnC, lt.Jn-ZIUIll

di IR

p m + p n E p

dl~E

m + n

{n E llJ I 2 ~ n ~ 40, O número de elementos de H é di 13

se e somente se

n miJltlplo de 2,

el 6 p

um número primo.

(PUC-69) O menor número inteiro positivo x para que teiro é:

ai x di x 2

el 5

Slnl

bl p * O =

bl 1960

cl 3150

> ax

< O mas

> ax >

bl x2 ax O

di 2060

2940x

M3 onde M é um in·

e) nada disso

< a < O,

então

e) nenhuma das respostas anteriores

(CESCEA-75) Assinalar dentre as afirmações seguintes a correta, quaisquer que sejam os

IlJUIZnOI

~ ;;;,C =A;;;' BC

bl A ;;;'B

cl AB

==> ABC

> C2

é:

274-A

números reais A, B e C com A *0, B *0, C *0.

TA.35 ICESGRANRIO-771 A intersecção dos três conjuntos

cl III

onde $(n) é o

p divide a + b e p divide a, entao p divide b p divide ab, então p divide a e p divide b p divide a + b, então p divide a e p divIde b a divide p, então a é primo a divide b e p dIvide b, então p divide a

se se se se se

< ax

d) 4

cl 3

TA.43

bl0

TA.42 IEPUSP-661 Se a2 e x forem números reais tais que x

CONJUNTOS NUMÉRICOS

P*O

cl 7

bl 14

ai 2040

então o número de afirmações corretas é:

TA.39 ICESGRANRIO-761 Seja H o conjunto

M<=>NLM;

bl 2

Slnl

TA40 (FUVEST--77) Sejam a e b números naturais e

III M n NeM <=> M L N;

ai 1

el Im + nl P ~ m P + nP

TA.34 (MACK-75) Dados M, N e P, subconjuntos não vazios de E, e as afirmações:

VI M C N <=> N U

m ~ $(n),

(CESCEA-68l Quaisquer que sejiJm m, n e p de "2 têm-se:

ai 12

3 elementos e B tem 3 elementos 4 elementos e B tem 4 elementos 1 elemento e B tem 5 elementos

IVI Me N <=> M n

n não-múltiplo de 3}

2 elementos e B tem 4 elementos 4 elementos e B tem 2 elementos

II MUN

n ou

ai n*O =~E~ n pm + cl p *0 = - - m~E p

é igual a:

TA.33IPUC-771 Sabendo·se que: A e B são subconjuntos de U, A n B d}, A U B c {a, b, c, d, e, f}, então: Observação: Ã: complementar de A em relação a U. ai A tem bl A tem c) A tem di A tem el A tem

TA.38

o complementar de um conjunto qualquer x, então

qualquer que sejam P e Q, o conjunto

ai P'

-<:

sucessor de n, então, é sempre verdade que:

el AB;;;' C

=>TCT

=~;:"1 B "'"

~ <

=-IBlc A

1 se

B <O

C <O

275-A

TA.44 IGV-73) Sejam a, b e c números reais quaisquer. Assinale a afirmação verdadeira.

a) a > b a 2 > b2 c) -J a 2 + b2 ;;;. a d) _c_~.:. a + b a

= ac > bc

bl a > b

+.:.b

e) a2 ~ b 2

=a~

TA.51

ICESGRANRIO-77) Considere a expressão 1

-+5 3

0,999... + -3--1-

5"-15

Efetuando as operações indicadas e simplificando, obtemos: TA.45 (PUC-70) Sendo a e b números reais quaisquer e m um real diferente de zero, então:

a) b) c) d) e)

a>b e a;;;'b e a;;;' b e a <b e

am >bm am ~ bm am;;;' bm am <bm

então

m <O m ;;;'1 m <O

então

~ + .'L > 2 y x

a) quaisquer que sejam os reais x e y c) para quaisquer x e y de mesmo sinal e) nenhuma das anteriores.

se verifica

b) para x *0 d) para quaisquer x e y de sinais contrârios

(x + yl2 > x 2 + y2,

TA.47 (CESCEM-66) A desigualdade

sendo x e y diferentes de zer

a) b) cl d) e)

1,000... 0... 0,010010001... 68,01002000300004 .. 447,50047047... 047 .. nada disso

e e e e

790,0721721. .. 721 ... 3,590888 8 .. 1,30892 892 . 37,101112131415161718...

TA.53 (CESCEA-681 Designemos por A o conjunto de todos os números reais da forma ..!. b

al~

c E d

c)..!. b

c d

el ~ b

TA.48 (EPUSP-66) O número x não pertence ao intervalo aberto de extremos -1 e 2. Sabe-s que x <O ou x >3. Pode-se então concluir que: x>3

di .!§. 9

~ b

e.E. são dois elementos quaisquer de A

tem-se que:

d) só é verdadeira se x e y tiverem o mesmo sinal e) 56 é verdadeira se x e y tiverem sinais contrários

c)~

com a e b inteiros não negativos e b =I=- O. Se

a) é sempre verdadeira bl s6 é verdadeira se x e y forem positivos c) só é verdadeira se x e y forem negativos

a) x~-l d) x > 3

b) 2

TA.52 ICESCEA-67) Dados abaixo grupos de dois números reais, expressos decimal mente, qual dentre eles é constituído somente de números racionais?

então nenhuma das respostas anteriores é correta.

TA. 46 (FE 1-68) A desigualdade

blx;;;'210u x<O c) x~2 ou e) nenhuma das respostas anteriores.

x~-1

E A

b)~ b

+ -

c E d

d)..!.+':'" E b d

A se e somente se a = c A

se e somente se b = d.

TA.54 IPUC-741 Um número racional qualquer: TA.49 IPUC-761 Se

A = {nln = 2p-

p E B},

então

a) b) c) d) e)

= iR b) n é um número natural ímpar V p E B

a) n é um número natural ímpar se B

cl n é um número natural ímpar se e somente se B = Z d) n é um número natural ímpa"r se e somente se 8 = N e) n é um número natural ímpar se e somente se B = N *

tem sempre um número finito de ordens (casas) decimais tem sempre um número infinito de ordens (casas I decimais não pode expressar-se na forma decimal exata nunca se expressa na forma de uma decimal inexata nenhuma das anteriores

TA.55 ICESCEM-701 Assinalar a afirmação falsa: TA.50 IFUVEST-771 Assinale a correta:

aI 0,5999... <. ç y5 + 1 c)

v'5 2

2 +1

<23

2 <0,5999 ... <3"

-r.:-

2 e) - < < 0,5999 ... 3 y5 + 1

276-A

b) 0,5999 ... <

-Cy5 + 1

d) ~ <3" <0,5999 ... y5 + 1

a) b) c) d) e)

a soma de dois números irracionais pode $er racional a soma de um racional com um irracional é sempre irracional o inverso de um irracional é sempre irracional o produto de dois irracionais é sempre irracional a raiz quadrada positiva de um número irracional positivo é sempre irracional

TA.56 (GV-74) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer que: ai x • y

é irracional

d) x - y +

b) y • y

é irracional

c) x + y

e) x + 2y

é racional

é irracional

271-A

TA.57

(CESCEM-71I Dada uma seqüência de números positivos ai, a2' ''', a n um algoritr utilizado em computadores eletrônicos para saber se algum dos elementos da seqüên, é um quadrado perfeito é o seguinte: 1. Construir uma nova seqüência b 1, b2, "', b n. obtida da primeira pela extração da ri

RELAÇÃO BINÃRIA

TA.62Se a é um número negativo e b é um número positivo então assinale a correta:

quadrada de cada um de seus elementos. 2, Construir uma nova seqüência cI, c2, ''', cn ' a partir da anterior, onde cada ci Ê menor inteiro contido em bj. 3. Construir a seqüência di, d 2 , .. " d n • obtida da anterior elevando·se os elementos ci

a) (a, b) está no 1'? quadrante

b) (b, a) está no 2'? quadrante

c) (b, -a) está no 1'? quadrante e) (-a, -b) está no 3'? quadrante

di (a, -b) está no 4'? quadrante

quadrado. 4. Comparar os elementos da seqüência di com os respectivos da seqüência aj' Os c forem iguais são quadrados perfeitos.

nadas de C são:

Nestas condições, dadas as seqüências abaixo

a2 4

ai : ai b i : 2,71 ci :2

c2 d2

di : 4

a) (2, -4)

a3 b3 531 271961

c) e)

> 1 > y.

x + 1 TA.59 (FCESP-74) O número real r que não pode ser escrito sob a forma r ~-x-'

TA.60 (PUC-76) Se IR

d) 2

TA.65 (CESGRANRI0-741 Sejam F: {1, 2, 3, 4} e G: {3, 4, 7}. Então:

cl X = 0

>O ..rx + ..rx < 1 + x para qualquer x > O .,fX + .,fX > 1 + x para qualquer x > O .,fX + .,fX : ..rx + ~, para qualquer x > O

ai .,fX + .,fX : 1 + x b) c) d)

para algum

e) nenhuma das anteriores.

278-A

U G)

F :

TA.66 (UFF-71) Sabendo que A e B são dois conjuntos tais que:

x real, ,

1'?) (1, 7), (5, 3) são elementos de A X B 2'?) A nB: {1, 3}

dl 31 x E R Ix E X

a) A X B tem B elementos b) A X B tem mais de 8 elementos c) A X B tem menos de 8 elementos d) A X B não pode ter 9 elementos e) nada se pode afirmar sobre o número de elementos de A X B

IR"

(FEI-68) Sendo x um número real positivo qualquer, tem-se

TA.61

b) G X F tem 9 elementos 'd) F n G tem 3 elementos

podemos afirmar com toda segurança que:

e) 3

X ~ {x E IR I(x + 1) • (x - 1) : x 2 -l}, então b) X : IR+

.4}, o produto cartesiano

{(1, 2), (3, 2), (1, 4), (3, 4)} {(1, 31, (1, 21, (1,41, (3, 4)}

a) F X G tem 12 elementos c) F U G tem 7 elementos

B ~ {2

x +

>P >S

b) O

e) nenhuma das respostas anteriores

Sejam

c) 5 pode ser maior, igualou menor que P d) S pode ser maior ou menor, mas nunca igual a P e) nenhuma das anteriores.

a) X e) X

A ~ {1 ,3}

d) {(1, 2), (3, 4)}

TA.58 (MACK-741 Os números reais x e y são tais que e P = xv. Nessas condições:

ai -1

(-2,4)

a) {(1, 21, (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}

e) nem ai nem a3 são quadrados perfeitos

a) S

-2) (4, -2)

TA.64 (CESCRANR 10 731 Sendo A X B é dado por:

a2 é quadrado perfeito a3 é quadrado perfeito somente a2 é quadrado perfeito somente a3 é quadrado perfeito

bl P

•

1-4,

d) (-4,2)

os dados são suficientes para afirmar que:

ai b) cl di

T A.63 Se as coordenadas de A e B são respectivamente (-2, 2) e (-3, -1) então as coorde-

TA.67 (CESCEA-73) Sejam os conjuntos

A: {1, 2, 3},

B: {a, {a}} e o produto car-

tesiano A X B: {(1, a), (1, {a}),(2, a), (2, {a}):(3, al, (3, {a})}. Entre as relações abaixo, uma e apenas uma, é falsa. Assinale-a:

a) {a}EB e {a}CB c)j25CAXB

b) {(1, a), (1, {a}), 12, a)} C A X B d) {la, {a}), (1, {a})}C A X B

e) nenhuma das anteriores

279-A

TA.68 (CESGRANRIO-73) Dados os conjuntos

TA.73 (PUC-76) O dominio da relação

E IR

f = { (x, y)

_2_} 2

X IR 1 y =

a) IR+

,,I ,

I I I

i,•

--ª-2

--ª-2 (e

1 3 -2

3 2

TA.75 (CESGRANRIO-77) Seja interseção do gráfico de

TA.69 Com base na representação cartesiana de A X B abaixo podemos concluir: a) A = B ~ {1, 2, 3}

b) A ~ { 1, 2, 3} e B ~ {x E IR 11 .;;; x .;;; 3} c) A = {x E IR 11 .;;; x .;;; 3} e B ~ { 1, 2, 3}

E IR 11 .;;;

x.;;;

3 Y ..------,

-~ : ~ 1 ---r-----

: I 123

e) nenhuma das respostas anteriores.

a) b) c) d) e)

A={xEZI-l<x';;;2} e B={3,4,5}. D = { (x, y) E A X B 1 y ;;. x

A de A

B em B

f: IR --->IR uma função. O conjunto dos pontos de com uma reta vertical.

possui exatamente dois elementos. é vazio. é não enumerável possui, pelo menos, dois elementos. possui um s6 elemento.

TA.76 (PUC-75) Qual dos gráficos não representa uma função?

TA.70 (CESGRANRIO-73) Seja Z o conjunto dos inteiros. Sejam ainda os conjuntos

Então, se

B é imagem de algum elemento em B é imagem de um único elemento A possui somente uma imagem em A possui, no mínimo, uma imagem

e) A possui somente uma imagem em B e vice-versa

d) A ~ B ~

c) IR

TA.74 (CESCEM-75) Dizemos que uma relação entre dois conjuntos A e B é uma função ou aplicação de A em B quando todo o elemento de: a) b) c) d)

*± 2 }

é:

FUNÇÃO

b) IR"

e) {x E IR e x

o gráfico de A X B é melhor representado por:

+ 4}, tem·se que

"71\' i==. '-k=-. ~

~ d)

a) D ~ A X B c) D tem um elemento

b) D tem dois elementos d) D tem três elementos

e) as Quatro afirmativas anteriores são falsas

TA.77 (PUC-76) Qual dos gráficos seguintes representa uma função f de IR~ em IR?

TA.71 (PUC-77) Sendo E = {1, 2, 3, 4, 5,6,7, 8}, p(y): y F ~ {y E E I y satisfaz p(y)}, tem·se: Observação:

n \ZÍ =

tl/ b)~ ---==t=-- -----+=::==:=== •

+ 1 .;;; 6 e

b) E - F =

n F)

TA.72 (PUC-77) O domínio da relação P = {(x, y) E N X N) 1 y = x - 5} é:

e) {x E N 1 x ;;. 5 }

280-A

d~IR

U F= E

a)N

b)N"

c) IR

-E-

(5,6,7,8) d) (E

c)~R

complementar de F em relação a E

a) E = F

•

d) {xElIllx;;'6}

IR -

TA.78 (PUC-77) Se x e y são elementos do conjunto R, qual das relações é função de x? a)

{(x, y) I x = y2 - 1}

d) {(x, y), x < y}

b) {(x, y) I x e)

~ I y I}

{(x, y) I y = x 2

{(x, y) I y =

}

+ 1}

281-A

TA.79 (GV-72) Os diagramas abaixo definem as funções f, g e h de A em A, sendl

TA.85 O valor de

é:

f (-2)

A = {1, 2, 3, 4}. 2

d) -2

c) O

e) nenhuma das respostas anteriores

TA.86 (CESCEM-71) ~ dada uma função real tal que: 1. f(x). f(y) Sejam M, N, P as imagens das funções f, g e h respectivamente. Então M' U N' U P' onde X' = complementar de X, em relação a A, é o conjunto: a)

b) {2, 3, 4}

{1}

{1, 2, 3}

é:

fico está representado ao lado, então a [5; 9] do intervalo imagem g fechado [5; 9] é:

x e)

d) (3; 6)

c) [3; 6]

-fI-x)

d) 32

f(x + a) = f(x)

a) fIa + x) ~ fi-x) d) fl2a) = fia)

Se g é a função de R em R cujo grá-

b) [2; 6]

3. f(y2) = 4

Então:

< O> = {y E B I existe x E O tal que f (x) = y}.

a) (2; 6)

V2)

a) (3 + )2 b) 16 c) 24 e) impossfvel de ser determinado pois faltam dados.

flx)

tado e definido por:

O valor de f (3 +

2. f(1)

TA.87(FEI-65) Uma função flx), definida no conjunto dos números reais, sendo a um número real determinado, verifica as propriedades:

TA.80 (CESCEM-76) Se f: A .... B é uma fução e se O C A, chamamos de imagem de O pela função f ao conjunto anof

~ f(x + y)

[2; 4]

TA.88 (CESG RAN RI 0-76) Sejam ,z o conjunto dos números e N = {n E,z In;;;' 1}. Considere a função f: IN--+,z definida por f(n) = xl + ... + xn onde xk = (_l)k, para cada k = 1, ... ,n. A imagem da função f é o conjunto.

{O, I}

(CESCEM-68) O enunciado abaixo refere-se aos testes 81 e 82 que o seguem: Seja f(. uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros e que associa a tod inteiro par o valor zero e a todo inteiro ímpar o dobro do valor.

b) f(x) = fIa) c) f(2a - x) = -f (-x) e) nenhuma das anteriores é correta.

b) {O}

d) {-1, O, 1} e) {-I, O}

FUNÇOES DO 19 GRAU

TA.81 t(- 2) vale: a) zero

TA.82 f (+

b) não está dei inida

y"4S2\

d) -2

c) -f (2)

el +2

f(l) S inteiro, vale:

a) 2S b) 4S e) nenhum dos valores acima. TA.83(MACK-77) A função Se f (9) = 45, então:

a) O

2Y4S

de IR em IR é tal que, para todo

x EIR,

f(3x) = 3 f(x).

c) f(l) ~9

e) não sei

(CESCEM-69) O enunciado abaixo refere-se aos testes 84 e 85. Seja função definida, para todo n inteiro pelas relações. f (2) ~ 2 = f(p) • f(q)

TA.84 O valor de f (O)

é:

a) O b) 1 c) 2 el nenhuma das respostas anteriores

282-A

O valor de

f(3)

b) 2

f(x)

ax + b.

Sabe-se que

v'2

f(n)

uma

f(-I) = 3

é: c)

TA.90 (PUC-75) Na função f definida por

b)f(1)=6 d) f (1) não pode ser calculado

+ q)

-5

di -3

d) zero

a)f(1)~5

{ f(p

TA.89 (MACK-75) A função f é definida por

f(xl ~ ax

-1

+ b:

a} o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta o eixo das absd~s b) o coeficiente a determina o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas c) o coeficiente b determina a inclinação da r8ta " ,I

d) o coeficiente a determina o ponto em que a reta corfa

eixo das abscissas

'e) o coeficiente b determina o ponto em que a reta corta

eixo das ordenadas

TA.91 (PUC-76) A função a) b) cl d) ,;

+ 1 representa em IR x IR uma reta

paralela à reta de equação y = x + 3 concorrente à reta de equação y ~ 2x + 5 igual à reta de equação y ~ x + 2 que intercepta o eixo das ordenadas no ponto (O, 1) que intercepta o eixo das abscissas no ponto (-1, O)

2S3-A

TA.92 (MACK-69)

gráfico da aplicação definida por

TA.99 (CESCEA-751 A solução do sistema

F = {(x, yl E [2,5] • [2,5] I y = x} C IR X IR, onde [2, 5] = {x E IR I 2 ",;; x ",;; 5} é aI um conjunto finito de pontos b) uma reta cl urna semi·reta )'Il um segmento de reta e) nenhuma das respostas acima é correta.

é o conjunto de todos

dI -1

demos concluir:

se se c) se d) se e) se

< O, <O, <O,

f(x) então x>3 x >2, então f(x) > f(2) então f(x) x f(x) então x<O x >0, então f(xl >0

e) y

50-~

Sabendo·se que a receita (quantidade vendida vezes o preço de venda) obtida foi d Cr$ 1,250,00, pode-se dizer que a quantidade vendida foi de: b) 50 unidades dI 35 unidades

aI 25 unidades c) 40 unidades el 20 unidades

mente se: 1 c) m"';;'4

TA.96 (CESCEA-74) A solução da inequação meros reais x tais que:

ai x

< -~

b) x

> ~1

c) y

c) x

d) m ;;.

9(x - 5)

> 10

2'5

< - 4(1 - x) d)

a) b) cl d) e)

{x E IR e {x E IR e {x E IR e {x E IR e {x E IR e

a) x

b) x

1 xn

-1

284-A

e) y> O

x -=F -5} [(x",;; 5) ou (x ;;. 3)]}

c) x

x<~ 5

é o conjunto dos nll

el x

41 < 13

y = f(x) =

2 < < 5}

(3x - 2)3 (x - 5)2 (2 - xIx > O,

<x< <x<5

b) {x 12/3 di 2/3

2 ou x

tem·se que

< O}

j ~ ::

é:

bl -1 x ",;; d) -1 ",;; x .;;;;

x;;;. O é:

x+l-X::-;b) x

-1

ou O .;;;; x

dI x ",;; O

TA. 105 (MACK-76) O conjunto solução de

> >

é um número real é:

x+1 x-2

b) {x E IR/-l ..;; x 2} d) {x EIR/x"';; -1 oux > 2}

a) x 1 ou x ;;. 1 c) x -=F -1 e x ",;; 1 e) x ;;. O

a) x ",;; -1 ou x;;;' 1 c) -1 x ",;; O ou x el x -=F -1 ou x -=F 1

d) x ;;. -1

< < < > 2}

aI {x EIR/-l x 2} cl {x E IR / x -1 ou x e) {x E R / x -=F 2}

TA.103(PUC-70) O domlnio da função

;;;. O é satisfeita se:

TA.98 (CESGRANRIQ-73) Dada a inequação a solução é:

então:

< x ",;; 31} < -5) e (x;;;. 3)} [(x < -5) ou (x ;;. 3)]}

e) não sei

e) nenhuma das respostas acima é correta,

aI {x I x 2/3 ou x c) 2/3 ",;; x ",;; 2 el diferente das quatro anteriores

<x<

d) y> 2

(-5 (x

TA. 104 (GV-721 A solução da inequação TA.97 (MACK-691 A desigualdade

TA. 102 (CESCEA-701 O conjunto de todos os x para os quais

(m 2 + 1Ix - 2m + 5 = O admite raiz negativa se, e se

e) -1

y = (x - 1I (x - 2) (x - 31;

b) y

< x < 9"

cl -1

x - 3 ..... O é dado por:

ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equação

<2'

< -2

b) -1

TA.101(PUC-76) O conjunto verdade da inequação ~ """

TA.94 (EAESP-GV-77) Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quar tidade que ela consegue vender varia conforme o preço, da seguinte forma: a um preço'

ai m

números reais x tais que:

<x<O < x < 3"1

T A. 100 (FCESP-74) Seja

TA.95 (CESCEA-74) A equação

a) -1

TA.93 (MACK-76) Examinando o gráfico da função f ao lado, que é uma reta, po-

3X + 2 7 -2x 48x 3x + 10 11 - 2(x - 31 > 1 - 3(x - 5)

[

a) {x E IR I x 15 e x -3} c) {x E IR I x O} el {x E R 1-15 x 15}

~<5 é: x+3

bl {x E IR I x dI {x EIR 1-3

15 e

< x<

X-=F -3} 15}

< <

285-A

TA. 106 (GV-74) Seja D o conjunto dos números reais x para os quais

;;;. 4.

Então

é o conjunto dos x reais tais que: a) x';;;

e x

c) x> 2

e) -1 .;;; x

< x <

TA.110 (MACK-77) Se V = ax 2 + bx + c é a equação da parábola da figura ao lado, pode-se afirmar que: a) ab

b) 2

x';;; 3

2 ou

b) c) d) el

x> 3

< > <

O ac O bc O b 2 - 4ac ~ O não sei

V = ax 2 + bx + c

TA.111 (PUC-70) O valor máximo da função

FUNÇÃO QUADRÁTICA

-6 4a

se a

** *

a) m c) m e) m

V = (m 2 - 4)x 2 - (m + 2)x - 1

b) m

-2

d) m = -2 ou +2

está definida quando:

é:

(2,3)

a) b} c) d) e)

x 2 - 5x + 6.

O ponto do gráfico

d) (5/2, -1)

(3/2, 1)

c) 6

b) 4

d) -5

e) (5/2, -1/4)

e) 18

eles são necessariamente iguais eles assumem necessariamente um m(nimo ou um máximo no mesmo ponto

eles diferem por uma constante suas concavidades são de mesmo sentido nenhuma das anteriores

"2 +

+ '2

2' -

-"2 -

x x

e e

V;;;. -3}

cl {VIVEIR

V .;;; 3}

E IR

V;;;.

{y I V

E IR

V.;;; -3}

-"2

d) x 2 - 2x - 3 e) x 2 + 2x - 3

{(x, V) E IR XIR

i-3} é:

V TA. 116 (CICE-68) Seja a função V = 3x 2 - 12 imagem de tal fu nção é tal que: a) - 2 .;;; V .;;; 2 d) -12';;; V 36

V;;;. ~}

b) {V I V E IR

d) {Y

TA.10S (CESCEM-76) Sabe-se que o gráfico ao lado representa uma função quadrática. Esta função é:

TA.115 (PUC-77) O conjunto imagem da função

286-A

c) b 2 - 4ac se a

O é:

e) nenhuma das anteriores é correta

b) (3,2)

a) {vIVEIR

TA. 114 (CESCEM-69) Se dois trinômios do 29 grau possuem as mesmas raizes, então:

com

TA. 113 (CESCEA-76) A parábola de equação V = -2x 2 + bx + c passa pelo ponto (1, O) e seu vértice é o ponto de coordenadas (3, v). Então v é igual a:

TA. 108 (PUC-77) O esboço do gráfico da função quadrática V = 2x 2 - 8x + 6

TA.112 (CESCEM-72) Considere o gráfico da função de menor ordenada tem coordenadas: a)

±2

b) - 2a se a

d) b 2 - 4ac se a TA. 107 (PUC-76) A função quadrática

b) 15 .;;; V

definida no intervalo 36

b) 50

x .;;; 3. A

15';;; V .;;; 36

e) -12 .;;; V .;;; 36

TA. 117 (CESCEA-71) Seja f(x) = ax 2 + bx + c. -2, então, o produto a.b.c é: e f(3) a) 20

-4

c) -8

d) -70

Sabendo-se que f(1)

4, f(2)

e) não sei

287-A

TA.118IEPUSP-67) Os trinômios a) tem b) tem c) tem d) não

V ~ ax 2 + bx + c

tais que

a+b+c

TA.124 (PUG-77) As curvas representativas das funções: V ~ x2

em comum um ponto no eixo dos x em comum um ponto no eixo dos y em comum a origem tem ponto em comum

2V ~ -x

1 1

a) tem por intersecção os pontos de abscissas

b) têm por intersecção os pontos de abscissas

e) nenhuma das respostas anteriores

TA. 119 (EPUSP-66) O gráfico da função V ~ ax 2 + bx + c, sendo b =1= O e c =1= O o gráfico da função obtida da anterior pela mudança de x em -x se interceptam:

c) têm por intersecção os pontos de abscissas -1

- 1

"2 1

1 +..{5

d) têm por intersecção os pontos de abscissas

--2--

1 -

e) não se interceptam. a) em dois pontos, um no eixo dos x e outro no eixo dos y

TA.125 (MACK-75) O gráfico de uma função f é uma parábola que passa pelos pontos 11,0), (3, O) e (2, -1), O gráfico da função g é uma reta que passa por (1, O) e (O, -1). A sentença I(x) ~ g(x):

b) em um ponto fora dos eixos c) somente na origem

d) em um ponto do eixo dos V e) nenhuma das respostas anteriores TA. 120 (MACK-76) No gráfico ao lado estão re-

a) é falsa qualquer que seja x b) é verdadeira se, e somente se, x c) é equivalente ax ~ 1 ou x ~ 4 d) implica x ~ O e) é verdadeira se, e somente se, x é um número inteiro

presentadas três parábolas (1), (2), (31, de equações, respectivamente, V = ax 2 , V ~ bx 2 e V ~ cx 2 , Podemos con-

das por I(xl = (x + 1)

a) a < b < c < O b) c < b < a < O clO<a<b<c d) O < c < b < a

TA.121 Dados três pontos no plano cartesiano, não colineares e com abscissas distintas duas duas, o número de funções quadráticas Que podem ser encontradas de maneira ql

b) 1

é:

d) mais que duas

TA.122(CONSART-751 Um dia na praia ás 10 horas a temperatura era de 36°C e ás 14 hor: atingiu a máxima de 39,2°C, Supondo que nesse dia a temperatura I(t) em graus e uma função do tempo t medido em horas, dada por I(t) = at 2 + bt + c, quanc 8 < t < 20, então pode-se afirmar que: aI b

b) ab < O

c) a

e) b

288-A

c) 6

+ 3,

~s coordenadas dos pontos P e Q são:

e OI (_1,~) 2'4 cl

bl (_l'~)e (2'-3) 2' 4 ' 3 d) (-2; 4) e (2; -3)

(1' -4)

(_1~) e (4' -5)

2'4 3 el (2";4)

e (1; -4)

TA,127IEAESP-GV-771 O menor valor de k para o qual a intersecção da reta com a parábola V ~ 2x 2 + 3x - 2 seja não vazia é: cl 3/8

bl 1/4

aI 5

bl 4

d) 2

4x + k

-8

é a solução gráfica do sistema de desigualdades:

a conta deslizar no arame até chegar ao ponto Q de ordenada - 6. A distância horizont percorrida pela conta (diferença entre as abscissas de P e a) é:

(x - 3)

TA.128 (GV-72) A região hachurada do gráfico

TA.123 (CESGRANRIO-77) Uma conta perfurada de um colar é enfiada em um arame fin com o formato da parábola V = x 2 - 6. Do ponto P de coordenadas (4, 10) deixa-,

f(x)

e) nenhuma das alternativas anteriores é correta.

a) O

TA,l26 (CESCEM-77) Na figura ao lado estão representados os gráficos das funções da-

cluir que:

esses pontos pertençam aos seus gráficos

d) 5

el 3

{v{V -I

x2 <;;; O I x O;;; 1

;;;.

-1

{v-Ixl;;;' O x<;;;1

{VI -I

x2 ;;;. O x O;;; 1

-1

e) nenhuma das anteriores

289-A

TA. 137 (PUC-75) Seja a função quadrática definida por

EQUAÇÕES DO 29 GRAU

t(x) TA.129 (PUC-70) Uma equação do tipo ax' + bx + c ~ O onde a, b, c são números reais a) tem sempre duas raIzes reais. b) pode ter uma só raiz imaginária o) pode ser uma equacão do 1':' grau d) nunca terá rarzes iguais.

a) x' - x + 3 ~ O bl a(x - lI(x + 3) ~ O, a (x + l)(x + 31 ~ O d) (x - 1 )Ix - 3) ~ O e) nenhuma das respostas acima é correta.

TA. 131 (MACK-74) Dada a equação x + 6 ~ x',

0/=

el f tem duas rarzes imaginárias para

é:

TA.138(MACK-74) As raizes da equação a - b + c 0/= O são reais:

uma equação equivalente à mesma é:

bl x + 6 + x' ~ x' + x + 6 c) x+6+

x - 3 dI 3(x + 61 ~ 3x'

a) sempre cl somente se e) nunca

-2

< m <2

IR'

< -2

(a - b + c)x' + 4(a - b)x + (a - b - c) bl somente se d) somente se

>c >b

TA. 139 (CESCEM-72) O tronomio

ax' + bx + c

a c

com

>b >c >a >b

tem duas raIzes reais e distintas;

ex e (J

são dois números reais não nulos. Então o trinômio

x - 3

e) todas são equivalentes à equação dada

a) tem duas raízes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal de

TA.132 (MACK-77) O número de soluções reais da equação b) 1

a) O

Vm E

d) f tem duas rafzes reais e desiguais pera -1

= x2 +

c) f tem duas rafzes reais e desiguais para -2

TA.130 (CESCEM-67) A equação do segundo grau cujas rafzes são

a) f tem duas raIzes reais e iguais pera "Im E IR' bl f tem duas raIzes reais e iguais para {:u

e) nenhuma das anteriores é correta

a) x (x + 6)

mx' - (2m - 2) x + m - 2:

2x' - 8x x' _ 4x

x é: e) não sei

d) 3

(3.

b) pode ter uma, duas ou nenhuma raIzes reais. c) tem duas raIzes reais e distintas se ex e (J forem ambos positivos, nada se podendo afirmar nos demais casos. d) tem duas rafzes reais e distintas ou nenhuma raiz real, conforme o sinal do produto

ex(J TA.133IFEI-66) O número de soluções reais da equação a)

b) 1

5x 4 + x' - 3 ~ O é:

e) tem sempre duas raizes reais e distintas

e) 4

d) 3

aI A ~ {1, 2, 4, 5} c) C {2, 6, 12, 20, 30} el E~{l,8,27,64,Bl}

perfeito quando se adiciona o termo constante: a)

~ 4

d)~

TA. 135 (PUC-77) Para que a equação

x' _ ax + a' - b' ~ O 4

-q

el p' - 4a q

tenha ra(zes reais e iguais

é necessário e suficiente que: a) a ~ b

b) b

O el~ 2

a + 1

TA. 136 IITA-72) Seja t(x) ~ x' + px + p uma função real de variável real. Os valores dE p pera os quais t(x) ~ O possue raiz dupla positiva, são:

< <

a) O p 4 b) p ~ 4 d) f(xl ~ O não pode ter raiz dupla positiva e) nenhuma das respostas anteriores

29o-A

10<' - (1 - 2k)x + k - 2 ~ O os valores de k pertencentes ao conjunto:

TA. 140 IMACK-74) A equação x' + px + q onde p e q E IR torna-se um trinômio quadradc

TA. 134 (PUC-76) O trinômio

cl p ~ O

tem raIzes racionais pera

b) 8 = {2, 4, 6, 8, lO} d) D ~ {1, 4, 9,16, 25}

TA. 141 (CESCEA-721 Considere o seguinte problema: "determinar o número cujo qulntuplo excede o seu quadrado de y unidades". Para que valores de y, o problema admite duas soluções reais? a) y

25 4

29 4

cl y

d) y

el não sei

TA. 142 (CESGRANRI0-73) A equação do 2':' grau cuja menor raiz é 2 das duas raízes é igual a 1 é expressa por: a) x' + x - 4

dI x' - 4x + 1 ~ O

bl x' + 4x - 1 ~ O

V3 e o

produto

c) x' - x + 4 ~ O

e) nenhuma das respostas anteriores

291-A

TA. 143 (CESCEA-771 As raízes da equação 2x 2 o triplo da outra. Então o valor de m é: ai 4

bl -2

2mx + 3

~, o valor de m

+ 1 a

b) _ 4

são positivas e uma'

d) -2..j2

el 2..j2

TA. 144 (FEI-68) Sendo a e b as raizes da equação então, se

el O

- 5x + m

d) O

e) nenhu ma das anter ia res

di b 2 - 4ae 2a

2 el b - 2ae 2a

TA. 146 (CESGRANRIO-77) As raízes da equação

2 el b - 4ae e2

x 2 + bx + 47

O são inteiras. Podemo

ai Xl O e di xl - X2

x2,

x >

bl -1 m e) 0< m <

bl não nulo

-4

b 2 - 4ae > O

el -5

1 onde

a <

d) exterior às raízes

igual às raízes

-9

bl p <

di p <

TA. 154 IMACK-741 A desigualdade x 2 - 2(m + 21x + m + 2 > O mero real x, se e somente se:

< m < -1 < m<2

ai -2 di 1

bl -1 e) 2

-9

q2 + 1

x2 + (p - 2) x + p - 3 = O

<m<O <m<3

é verificada para todo nú-

ciO<m<1

kx 2 + 2(k + 1 Ix - (k + 1 l:

TA. 155 (EESCUSP-691 O trinômio

então

bl xl + x2 - p2 cl xl + x2 el Xt<O e X2<0

c) p >

e) nenhuma das respostas anteriores

TA. 148 IMACK-74) O valor de P. para o qual a soma dos quadrados das raizes de

a) é negativo para todo valor de x e todo k =1= O bl é negativo para todo valor de x se k';;-2 el é positivo para todo valor de x e todo k =1= O d) é negativo para todo valor de x se

-1 <

k <

e) nenhuma das afirmações acima é verdadeira

tem o menor valor. é: a) 2

bl O

di -1

el 3

TA. 149 (MACK-741 Dadas as equações x 2 - 5x + k = O e x2 - 7x + 2k = O, sabe-sequ< uma das raízes da segunda equação é o dobro de uma das rarzes da primeira equação Então o valor de k =1= O está no intervalo:

292-A

[-4. -2]

bl [-1,1]

(5.

[-4, 4]

TA. 153 (CESGRANRIO-73) O conjunto dos valores de p para os quais a inequação x 2 + 2x + p > 10 é verdadeira para qualquer x pertencente a IR é dado por: ai p >

x2 + p2 x + q2 + 1 = O e

1 < x < 4 x < 1 ou

e) interior às raízes

TA. 147 (CESGRANRIO-751 Sejam p e q reais; se a equação do segundo grau em x:

ai POSItIVO

diferença entre as duas raízes tem módulo 46 soma das duas ra ízes tem môdulo 2 é positivo môdulo da soma das duas rafzes é igual a 94 é negativo

tem duas raízes reais

d) é positivo para el é positivo para

TA. 152 (CESCEM-751 A expressão ax 2 + bx + c, estritamente positiva se x for:

afirmar que.

a a b o b

bl é negativo para todo nú mero real x

ai 1 di -3 2 bl b - 2ae e2

a) b) el d) e)

a) é positivo para todo número real x

+ ~ é'. ,2

ai b 2 - 4ae

_x 2 + 3x - 4:

TA. 151 (PUC-77) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio 2 P(x) = mx + 2(m - 21x + m 2 é negativo quando x = I?

TA.145(MACK-76) Se r e s são as raizes da equação ax 2 + bx + c o valor de

TA. 150 (PUC-771 O trinômio

c) muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reais

INEQUAÇOES

TA.156 (CESCEA-741 Uma condição suficiente para que a expressão

presente uma função é que: a)

-2

di -1

< <

b) -2';; x .;; 2 -2 ou x

2 3

e) x

ai x';; 2

e ou

x ;;;. 3 x ;;;. 3

V x2 - 5x

bl x ;;;. 2 e x e) x <

cI x .;; -2

.;;

x ;;;. 2

x =1= 3

TA. 157 (CESCEM-71 I O domfnio da função

di x';; 2

+ 6

é: el x =1= 2

x> 3

293-A

TA.158 (EPUSP-67) Seja A o conjunto dos números inteiros positivos que satisfazem a inequ, ção (3x - 31 (2x - 51 < (5 - 2x)2. Então:

c) A = {-I; I} e) nenhuma das respostas anteriores

a) A évazio b) A = {-2; 5/2} d) A = {I; 2} TA. 159 (GV-701 Dada a parábola imagem maior que 5? a) x

d) -3

b) x 3

<x<

TA. 160 lITA-67) Seja y e diferente de zero? a) a >

b) a> O,

Em qual dos casos abaixo y é

rea

O, b

x < a a+ b

a+b a

x <

d) k .;;;; 9

c) k = 5

TA. 162 (GV-76) Para que a função real f dada por

f(x)

<x<3 <x<5 <x<5 >6 < 3'

TA.163 (CESCEA-69) A solução da inequação

ai -2

(x - 3) (-x 2 + 3x + 10) < O é:

>5 < -2

ou x ou x

(x2 - 2x + 8) (x 2 - 5x + 6) (x 2 - 16) < O são:

294-A

x < -2 x < -4 < -4 < x <

x< 5 x > 4 3 < x < x < 3

bl -1 .;;;; x .;;;; 1 di x .;;;; 1 e x

b) t

x - 1 h+1 .;;;;

c) t ;;. -1

O <=> -1

x;;' 2

di t> O

t .;;;;

x .;;;;

d) ~ x - b

O <=> (x - a) (x - b)

el ~

O <=> (x - a) (x - bl

x - b

TA.169IGV-74) Para que a) bl c) d) e)

-4 < -4 < -3 < x< x <

(x - 3) (x 2 + 2x - 8) x 2 + 4x + 3

y =

y real, seja definida, devemos ter:

x < -1 ou 1 < x < 2 x < -3 ou -1 < x .;;;; 2 ou x ;;. 3 x < -1 ou 2 < x < 3 3 ou x > -1 -4 ou -3 < x < -1 ou 2 .;;;; x <3

ai x ;;. O d) x

4 ou x> 4

são dadas por:

< o. >1

b) x

x x 3 - x2 + x-I x ;;;. 1

;;. O

é:

clx<Oou x> e} O ~ x ~ 1

TA.171 (CESCEM-68) Quais os valores de x que satisfazem à inequação:

x> 4

-2 ou 4< x < 2 ou x < 2 ou -4 ou 2 <

x +

x2 _ 3x + 2 ;;. O

se e somente se:

TA. 170 (GV-74) A solução da inequação

TA. 164 (CESCEM-75) Os valores de x que satisfazem à inequação:

aI b) cl d) e)

e) k ;;. 9

seja definid, Vx 2 + 2bx + c para qualquer x real, 05 números b e c devem ser tais que: 2 2 ai b < c e b O b) b > c e c O c) b 2 < c 2 d) b < c e c;;' O e) b 2 > c e b > O

b) 3 c) -2 d) x

3';;;; x}

TA. 168 (GV-73) Assinale a afirmação verdadeira: x 2 + 3x + 2 a) ;;.. O <=> x 2 + 3x + 2 ;;. O x2 - 1 bl ax 2 + bx + c > O, para todo x real <=> b 2 - 4ac < O c)

a) t .;;;; -1

x<1

e) x

a) -1 .;;;; x

2a, -1

b) k

TA. 167 IMACK-76) Tem-se

=--

TA.161 (GV-76) Para que a função real f(x) = x 2 - 6x + k, onde x e k são reais, sej' definida para qualquer valor de x, k deverá ser Ul)'l número tal que: a) k .;;;; 5

2';;;; x .;;;; 3}

x .;;;; 2

c) x .;;;; -1 e x;;' 2 e) nenhuma das respostas anteriores

3a, x< -1

di a < O, b

1 < x < 2 ou 2 < x < 3} x .;;;; 3 ou 3 < x}

TA. 166 (CESGRANRI0-73) As soluções da inequação

a + 2b

O, x

a) {-I < x < 1 ou b) {x < -1 ou 2';;;; c) {- 1 .;;;; x .;;;; 1 ou d) {x .;;;; -1 ou 1';;;;

3 ou x +3 c) x e) nenhuma das respostas anteriores

[(ax 2 - 2bx - (a + 2b)]1/2,

O, -1 <

quais são os valores de x que produzen

e) nenhuma das anteriores

b > O, -1 <

c) a> O, b

el a <

x 2 - 4,

TA. 165 (GV-72) O conjunto de todos os números reais para os quais (x 2 - 4x + 3) (x 2 - x - 2) exista é:

a) x -1 ou O x c) x .;;;; - 1 ou x;;' 2 e) nenhum valor de x

< <

x2 - 2 --x-

bl -1 x 2 e x O dI qualquer valor de x diferente de zero

295-A

TA. 172 (GV-771 Seja IR o conjunto dos números reais. O conjunto solução da inequação x - 3

~ ~

aI {x E IR 11 ~ x dI {x E IR 1 x ;;. 2}

x - 1

é:

{x E IR I x el {x E IR I x

O ou

x> 1

bl x dI x

clO~x<1

x-a X2+1

TA. 174 (CESCEA-731 Se a) a

< - 2.J2

bl a>

< <

-1

2} O}

-1 < x x;;' O

x < 2a -a x

para todo c) -

< <

b) a = O,

bl -5 < x e) x < -5

O ou

x >

J'L

< a <

x2 - 2x ;;. O + 2x + 3

-x2

< <

aI O x cl x < -1

-4

b) J5

< x < -1 4

cl1<x<J5 dI não há solução e) 1

296-A

<x<

~ 5

b *- a.

a) x

< --b a

cl O

<x<

bl x> 2

dI x >

b < a

a4b - 2

a > 2b

dI não sei

cl a

> 2,

<x<

está definida é: a

al{xEIRI1<x~2}

< <

bl {x E IR 11 x 2} c) {x E IR 1-2 < x < 2

x*-1} x*-1}

el não sei

é: -4

c) -4

-2

TA.181 (GV-731 O conjunto

{x EIR 1 "fx

{x E IR I x ;;. 2} cl {x E IR I 1 < x ~ 2} e) {x E IR I x < 1 ou x

:~~ bl

+ 2 ;;. O}

é igual a:

{x E IR I x > 1} {x E IR I x *- 1}

é: 2 ~ x

TA. 178 (FFCLUSP-66) A solução geral da dupla desigualdade aI 1

dl{xEIRI-2~x~2 e

bl -1 x ~ O e dI nenhum x x> 3

TA. 180 (CESCEA-71 I O conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão

4J2

TA. 177 (CESCEM-701 A solução do sistema de inequações: {

então:

x *- O,

-a el a> 2, x> 2a

2x 2 + 8 ;;. x2 - 6x x + 5 < O

aI 0< x < 5 d) x~ -2

é:

TA.176 (CESCEM-68) A solução do sistema de inequações:

{

Tem solução para:

x 2 - ax - 2a 2 TA. 175 (ITA-67) Em qual dos casos abaixo, vale a desigualdade ~..:..-,---==~-'-=x2 - (a + 2 Ix + 2a

aI a < O, dI a 2,

{x E IR I x ~ 1}

ax + bx ;;. O ~ x 2 - bx + (2b - aI < O

e) nenhuma das respostas anteriores

-;;2'

J'L

ou ou

-1

<x+a

x2 + 2x - 1 1 xL 1 ;;. -;+1

TA. 173 (CESCEA-731 A solução da inequação a) x

TA. 179 (ITA-71 I O sistema de desigualdades

TA. 182 (GV-721 O conjunto de todos os números reais x para os quais a expressão:

el qualquer x 1 -2 < x 2 - 3 <"5

f(xl=~+~ é:

resulta num número real, é:

aI {x E IR 1-1 ~ x ~ 1} c) {x E IR 1 x > O ou x ~ 1} el

{x E IR I O < x < {x E IR I O ~ x ~ ':

{x E IR I x ;;. O}

TA. 183 (PUC-77) Se A = {x E IR I x 2 - 3x + 2 então A n B é igual a: aI

{2}

cl vazio e) {x E IR I 1 ~ x ~ 2}

b) dI

O} e

B = {x E IR

I x2 .. 4x + 3 > O},

{x E IR 1 2 < x ~ 3} {x E IR I 1 ~ x ~ 3}

297-A

TA. 184 ICESCEA-671 Dado o trinômio do 29 grau flxl = ax 2 + bx + c e sabendo-se ql aflal O, para a um número real, qual das afirmações abaixo é verdadeira?

TA. 189 (PUC-771 o esboço do gráfico de

Ixl - 1 é:

a) o trinômio não tem raízes reais b) para conclu ir a existência de raízes reais é preciso ainda examinar-se b 2 - 4ac c) o trinômio se anula para dois valores de x, um menor e outro maior que Q d) a: não pertence ao intervalo cujos extremos são as raízes reais

x x

-1

e) nada disso TA. 185 IGV-70) Dado o trinômio raizes para: a) nenhum m

flx)

b) qualquer m

5x + m

o zero é externo ao intervalo d, O

<~ 4

el nenhuma das respostas anteriores

TA. 190 (MACK-74) O gráfico da relação x2

+ (2 - a)x - (3a - 1) = O reais distintas no intervalo [-2, 3) devemos ter:

TA.186 (CESCEA-72) Para que a equação

a) - 8 .-; a .-; O 16 d) O a .;;; 6""

b) a

< -8

cl O

admita duas ralll

é:

a .-; 1

el não sei

-1

FUNÇÃO MODULAR

ai b) c) d) el

é é é é é

igual ao valor de x se x é real o maior valor do conjunto formado por x e o oposto de x o valor de x tal que x E N oposto do valor de x o maior inteiro contido em x

TA.188ICESGRANRIO-COMCITEC-73) Nos gráficos abaixo os pontos do domlnio sã marcados no eixo horizontal e os da imagem no eixo vertical. O gráfico que malhe pode representar a função x ~ flx)

= -

I I-

a) y = - x - a + a bl y = x - a a c) y = - Ix - ai - a

{Ixl- a se Ixl + a se e) não sei y =

x;;'a

x<a x

Ixl -2

é:

Ixl a)

onde tR + , o conjunto dos reais não negativos, é:

TA.191 (MACK-77) O gráfico ao lado representa a função:

TA. 192 ICESCEM-70) O gráfico de y =

f: IR+ ~ IR

1 2

TA. 187 (PUC-76) Para definir módulo de um número real x posso dizer que:

x y

d) d)

x x

298-A

299-A

TA. 193 (CESCEM-73) O gráfico da função y ai

Ix-ll-lxl

é: y

1/2

---+-~c-;----~

--~

-1

1/3

V7i +

~ ~

1 - - - - - -••

•

-1

__..

---~----1 I 1

d)_ _

O. O seu gráfico é:

-----

-_. __ .,... ,-----~

.. _._._----

300-A

= -x Ixl pode ser

rP--:-

r ~

~~ ~"'

TA. 196 (EAESP- 75) Seja f uma função definida em e f(ol

por

--------~

-1 O -,.

-1

-2 :

L----

-1

O 11

I ,

-2

-1

1-2

~ x2

-2

- Ixl

é:

W--;" m--; ~~

TA.195(MACK-73) O gráfico cartesiano da função definida por

yh --.,--

.--'-"f--+-----_ -1 1 x

-y:

------1··

TA.19B ICESCEM-691 A representação gráfica da função

x é:

é:

x-I

-2

TA. 194 (GV-74) O gráfico da equação: y

Ix - I I

-1

I I

--------JI

Ix I x

TA. 197 (MACK ·761 O gráfico, de g(x)

TA. 199 (MACK-74) O gráfico cartesiano da função definida por ser f(x)

flxl

y ~ Ix 2 .. 41xl +31

Hxl

pode

Hx)

.-x

e) nenhum dos anteriores.

TA.200 ICESCEM-71) Dados dois números reais distintos a e b, função f(x) Que chamaremos "distância ao conjunto

f (x) ~ x + ..li...

Ix I

cl_ _

podemos definir uma {a. b}". da seguinte forma:

distância de x ao conjunto {a, b} é o menor dos números

Ix Se

a = -b

o gráfico de flxl

- a I, Ix - b I. é:

... I I I

--)--+---'-.....x

-1

~--:-

e) nenhum dos anteriores.

301-A

TA.209 (CESCEA-681 Se a e b são dois números reais quaisquer, assinale dentre as afirmações abaixo a que é sempre verdadeira

TA. 201 (MACK-76) Seja f uma função de IR em IR definida por f(x) ~ 2 Ix - 31 + x - 1

aI la + bl ;;;'Ial + Ibl dI lal - Ibl ;;;.Ia + bl

conjunto imagem da função f é:

a) {y E IR I y ;;;. 2} d){yEIRly~2} TA.202 (PUC-77) Dado

a)ACIW e) A n IW

bl {y E IR 1y ~ 3} e) IR

A = {x E IR Ilx I = 2}. b)ACIR+

c) {y E IR I y ;;;. 3} TA. 21 O (GV-74) Sejam x e y números reais quaisquer. Assinale a afirmação correta: aI Ix + yl

tem-se:

c) AUZ+=Z+

d)AnZ_=A

{2}

S = {O,

d) S

= {O, -1}

Ixl + Iyl

bl Ix _ yl;;;. .lllxl-Iyll

2 c) Ixl + Iyl >vx 2 + y2 e) Ixl + Iyl ~ 2Vx 2 +y2

d) Ixyl > Ixl·lyl

{x E IR I I x - 21 < 4} e {x E IR I I x - 71 < 2} é um intervalo de comprimento

bl S = {O,

}

TA.211 (CESCRANRI0-75) A interseção dos conjuntos

TA.203 (PUC-74) O conjunto S das soluções da equação

12x - 1 I = x - 1 é:

S =

é um intervalo de comprimento a) 2

= {O, ~ }

b) 5

d) 3

TA.212 rIMACK-74) O conjunto solução de 1 < a) 4 < x < 7 ou -1 < x < 2 c) -1 < x < 7 ou 2 < x < 4 e) -1 < x < 4 ou 2 < x < 7

V x2 + 2x + 1 = 1 + x. Então:

~ ~

V = {O}

{x E

bl V = IR IR

I x ~-1}

d) V

E IR

TA.213 (CESGRANRI0-73) A função lores de x em:

I x ;;;. -1}

a) [-2,-1]U[0,1] d) (-2, -1) U [0,1]

TA. 205 (CESGRANRIO-771 Os gráficos de f(x) = x e 91x) = Ix 2 - 11 em comum. A soma das abcissas dos pontos em comum é: a)

cl -1

bl 1

TA. 206 (EPUSP-65) As ra(zes da equação aI são positivas

b) têm soma O

Ixl

-VS

d) têm produto 6

Vlx - 3)2 + a) 5x - 1

302-A

00,

b) 3x - 1

-3 <x <-1

é menor do que 1 para os vac)

[-2, -1] U (O,

a) ~ b) {x E IR I O e) não sei

Ix - 31 < x + 3 é:

< x < 3}

d) {x E IR I x >

12x - 31 > x

é:

b) {x E IR I x < O ou x < 4} di {x E IR lo < x < 4}

Ix + 11 - Ixl ~ x + 2 ai [-3,O]U[1,73] cl [-3, O] U {x I x ;;;. O} el [-4,2]U[-2,1] TA. 217 (MACK-75) Se

3x)2 vale:

c) x - 1

TA.215ICESCEA-70) O conjunto de todos os x para os quais

TA.216 (CESGRANRI0-73) O conjunto solução da desigualdade

O] então a expressão:

R - VI4 -

b) (-2, -1) U lO, 1) e) [-2,1]

a) [x E IR I x < O} c) {x E IR 11 < x < 3} e) {x E IR I x < 1 ou x > 3}

duas soluções distintas cuja soma é 2 somente as soluções -1 e O tem solução uma infinidade de soluções três soluções distintas cuja soma é 4 x E ]-

<x <4

+ Ixl - 6 = O

c) têm soma 1

Ix + 1 I - Ix I = 2x + 1, x E IR,

TA.208 (FCESP-74) Se

b) -1 <x <7 d) O

P(x) = Ix 2 + x - 11

TA.214 (MACK-771 O conjunto-solução de

TA.207 (COMBITEC-COMBIMED-75) A equação

tem tem não tem tem

- 31 < 4 é o conjunto dos nÚmeros x tais

têm 2 pont

e) nenhuma das respostas anteriores

a) b) c) d) e)

e) 4

que:

TA.204 (GV-72) Seja V o conjunto de todas as soluções reais da equação

c) la + bl ~ lal + Ibl

bl la + bl = lal + Ibl e) lal+lbli=la+bl

d) 7 - x

e) x - 7

b) {x Ix ~O} U [3,15] d) {xl-5 <x <-1}u{xI1 <x <17}

Ix2 - 41 < N para todo x tal que

a) o menor valor posslvel de N é 3 b) o maior valor posslvel de N é 3 e) N pode assumir qualquer valor

Ix - 21 < 1, então:

cl o menor valor posslvel de N li 5 dI o maior valor posslvel de N é 5

303-A

TA.218IPUC-70) Qualquer que seja o nÚmero real não nulo x, tem-se sempre: aI

+ ~

+ ~ x

d) Ix

I ;;, 2

bl Ix

+ ~ x

I .;;

2- I .;; x

e) nenhuma das anteriores.

, I I I

i("

x .;; O TA.219 IGV-73) O gráfico da função f dada por

0<x";;2

x Y

1 ---

, ,I--

GRAFICOS

2 Y

>---

I I

TA.223 (MACK-741 O gráfico da função definida por

pode ser:

x2 + 4

2 f(xl

•

2 x

e) não sei

é:

-------'---+-

f(x) - ~- 1_ _ é, aproximadamente: - 4x ~ x2 - 4

TA.222 (MACK-77) O gráfico da função f dada por 10

f(xl

x 2

TA.220 (CESCEM-741 A função cujo gráfico me-

f(x)

lhor se adapta ao da figura é:

f(xl

a) f(xl

b) flx)

I~I

cl f(x)

Imin (x;

dI f(x)

min (Ix I;

el f(xl

min

~-) I

TA.224IFUVEST-771 As curvas

I~I)

(I x 2 1; J,;I

-1

TA.221 (MACK-731 O gráfico cartesiano da função definida por a)

x+2 x-I

1 x2

interceptam-se em um único ponto de abscissa positiva

c) não se interceptam d) interceptam-se em mais de dois pontos e) interceptam-se em um único ponto de abscissa negativa

pode ser

TA.225 ICESCEM-71l As figuras de equações

ir Yi"-

Y -

bl interceptam-se em dois pontos

)(

a) não têm ponto em comum

x x x

xix - 1) x-I

b) têm um único ponto comum

c) têm exatamente dois pontos comuns d) têm exatamente 4 pontos comuns e) têm uma infinidade de pontos comuns TA.226 (FEI-731 Chama-se ponto fixo de uma função f um número real x tal que

_L _ _ _ _ _

Calcule os pontos fixos da função

x a) x

±1

bl x

±J5

f(x)

--2-

1 +

flxl ~ x.

2-x :

c) não tem ponto fixo

di tem infinitos pontos fixos

304-A

305-A

TA.227 (FEI-73) Considere o gráfico da função

FUNÇÚES COMPOSTAS

1~' Deseja-se calcular a área

y = 1 +

hachurada da figura ao lado. Calcule um TA.231 (PUC-771 Sendo

valor aproximado dessa área, substitu in-

do os arcos AB, BC e CO por segmentos de reta. a) b) c) d)

TA.228 (EPUSP-67) Sendo A y

= O,

a área limitada pela curva

< 0,3 1,5 < A <

b) 0,3

c) 0,8

0,8

e pelas retas

x =

y =

x 3"

dá o

b) 2

dI 4

3x,

el 5

f(x) = x + 2

cl 3x 2 + 11 x + 10

b) 3x 2 + 10

TA.235(CESGRANRIO-731 Se =

f(xl - x + 1

- """"X="1

án a)

Nestas condições, a área ao lado indicada vale:

b) 1

então

3 b) 21

a) -1

l1. 3

TA.237 (MACK-76) Dada a função

d) 64

O 1

1..

TA.23D (CESCEM-74) As regiões do plano definidas por:

< x2 <

e g(x) = 3x + 5,

d14x+7

el f!g(x)/

2, XI ;;. O

2xI +

2, X2 ;;. O

f(x) = x ~ l '

e) nenhuma das respostas anteriores

definida por

f(x) = x 2 - 2.

o valor de

d) 1

a expressão de

f(3xl,

em termos de

é:

3f(xl a) 3f(x) _ 1

3f(x) b) 3f(xl _ 3

3f(x) c) 2f(xl _ 1

TA.2380TA-77) Considere a função F(x) = I x 2 -11 a função composta de F com F, então:

determinam um quadrilátero, no qual está definida a função y = x I + X2. Sabendo-se que O máximo desta função está num dos vértices deste quadrilátero c seu valor é: '

J..2

é expressa por:

3f(x) d) 2f(x) + 1

e) 3f(x) - 1

XI + 2X2

b)2

f(x),

f(f(xl)

d) 2x + 2 2x - 1

c) x

TA.236 (MACK-75) Dada a aplicação f: 0-+ Q x tal que f(xl = f(x + 1) é:

a) 64

306-A

f(xl

TA.233 (CESGRANRIQ-731 Seja f uma função de IR em IR tal que f(21 = 7, f(9) = 3, f(0) = O, f(5) = 16 e f(71 = 4; seja g uma outra função de IR em IR tal que a imagem de cada ponto x do seu domrnio seja 2x + 3. Então, chamando-se h e função composta gof, tem-se que:

a) 3x + 11

eixo das abscissas, conforme indica a fi·

é igual a:

e) -1

gura ao lado:

g(f(O))

então

d) 2

TA.234 (CONSART-75) Se f e g são funções definidas em IR por então g(f(x)) é:

valor da área da região compreendida y = x2 do ponto de abscissa O ao ponto de abscissa x e o

entre a curva

x - 2,

a) h(ll = 16 b) h(9) = 9 c) h(2) = 49 d) não existe essa função h e) nada se pode afirmar pois a lei de formação da f não é conhecida

1,5

e) nenhuma das respostas anteriores

TA.229 (CESCEM-74) A função

g(xl

tem-se:

a) A

e c) O

b) 3

a) 1

e) nenhuma das respostas anteriores

x3 + 1

TA.232 (MACK-751 Dadas as funções f, g e h, de IR em IR, definidas por g(x) = x 2 - 2x + 1 e h(xl = x + 2, então ((h.fl og) (21 é igual a:

2,95 4,95 3,95 1,95

x = 3,

aI 1

f(x)

1.. 3

d) O

a) b) c) d) e)

definida em IR. Se F o F representa

(Fo FI (xl = x I x 2 - 1 I, para todo x real não existe número real y, tal que (Fo F) (y) = y F o F é uma função injetora (Fo FI (x) = O, apenas para dois valores reais de x nenhuma das anteriores

307-A

TA.239IFEI-68) Dada a lunção I x I <; 2 tem-se: a) 1(2xl d) f(-xl

f(x)

~ ~,

para qualquer número real x tal ( c)

211x)

b) I(x - 2)

f(xl - f(2)

f(x)

e) nenhuma das anteriores

f(.!.-) x

f(x) x

g: IR 41R

x ~ 2x + b onde b é uma constante. Conhecendo-se a composta

gol: IR

TA.241 (PUC-74) Se a)

cl (2, 4)

= {(5, 2),

então

(lo [lo Ij) Ix)

(-00, -4)

é igual:

K::JA

f(x)

ax + b

glx)

cx + d.

=b = c =d

c) (a - 1) • d = b • (c - 1 I

e) a

el -x

d) x

c) 4x

bl 3x

{(3, 5),

(O, O)}

no m

b = -d

f: {I, 2, 3} -+ {I, 2, 3} uma lunção tal que o conf(x) = x é {I, 2}. Em relação à lunção composta 101

TA.246 (CESGRANRIO-77) Seja junto solução da equação podemos alirmar que:

a) bl cl d) e)

Considere as afirmações: 1) não existe a função

c) E ::J D,

b) a e)

d) (4, + 00)

TA.242 (CESGRANRIO-73) Sejam dadas as lunções

b) E C B

d) a = c

I(x)

K C D

a) a = c

podemos alirmar que b é um elemento do conjunto: b) (0,21

TA.245 (MACK-74) Sejam I e 9 lunções delR emiR tais que Então to 9 = 90 f, se e somente se:

~IR

x ~ glf(xl) ~ 4x 2 - 12x + 9

ai (-4, O)

ai E CA

e K C B E d) E C D e K C B el nenhuma das respostas anteriores

TA.240 (CESGRANRIO-76) Considere as lunções

I:IR 41R

TA.244IITA-74) Sejam A, B e D subconjuntos não vazios do conjunto R dos números reais. Sejam as lunções I: A ~ B (y ~ I(x)), g: D ~ A (x ~ g(tl), e a lunção composta Ilog): E ~ K. Então os conjuntos E e K são tais que:

para todo x, (lo Ii (xl para todo x, (lo f) (x) (lo f) (31 = 3 (Iof) (3) 1 (101)(3) = 2

f(x)

TA.247 (MACK-751 Dadas as funções f e 9 delR emiR, sendo g(x) = 4x - 5

2} não existe a função mo n

f(g(x)) = 13 - 8x,

então:

3) m é uma lunção bijetora de IR em IR

a) f(x) = 2 - 3x d) f(x) = 2x + 3

4) a função mo n o m não existe

c) f(xl = 2 + 3x

b) I(xl = 3-2x e) I(x) = 5 -4x

5) todas aS afirmativas anteriores são falsas Então: a) b) c} di e)

todas são corretas somente duas são corretas somente uma é correta todas são falsas somente três são corretas

TA.243 (CESCEM-70) Sejam a) b) c) di

TA.248 (MACK-73) Sendo

f(x)

a) (fo g)(xl bl (lo gl(x)

= + ~; gIz) =

[I(z)t

h(z)

z - 4:

os domrnios de giz) e h(z) coincidem o domlnio de giz) contém estritamente o domlnio de h(z) o domlnio de f(x) não tem pontos em comum com o domlnio de gIz) qualquer que seja z real, gIz) = f(z)

f(x)

{-(X

2 se = { -x x + 1 se

+ 3)2 x + 4

{ _x 2 + 3 x + 4

c) (Iog)(x)

{-(X

d) (Iog)(x)

2 = {_x + 3

+ 3)2 x + 4 x + 4

x<; x>

se se

x <; -2 x> -2

se se

x<; 1 x> 1

se se

x<; x>

se se

x<; -2 x> -2

g(x)

x+3

e) nenhuma das anteriores

309-A 30S-A

FUNÇÕES INVERSAS

TA.253 (CESGRANRIO-731 Seja AS um diâmetro de uma esfera tangente a um plano P no ponto S. Seja E o conjunto dos pontos da superffcie esférica que são distintos de A.

TA.249 (CESCEM-76) Dentre os gráficos abaixo, o que melhor se adapta a uma funçl bijetora (injetora e sobrejetora) com dom(nio IR e contradomrnio IR é y

Considere a função

f: E ~ P x ~ t(xl

onde f(x) é o ponto de interseção da reta definida por A e x com o plano P. Dentre as afirmações. a falsa é:

•x

a) a função é injetora b) a função é sobrejetora c) a função é bijetora

I I

di a função leva circunferências em circunferências

I I I -1-

ai a função leva pontos simétricos em relação ao diâmetro AB em pontos simétricos em relação ao ponto B.

TA.254 (ITA-761 Considere g: {a, b, c} ~ {a, b, c} uma função tal que g(a) = b e g(bl = a. Então, temos: ai a equação g(x) = x tem solução se, e somente se, 9 é injetora b) 9 é injetora, mas não é sobrejetora cl 9 é sobrejetora, mas não é injetora

TA.250 (MACK-75) Ao lado está o gráfIco da função

Um exame deste grãfico

nos permite concluir que:

d) se 9 não é sobrejetora, então

a) b) cl dI e)

e} nenhuma das respostas anteriores

f é injetora f é periódica f(rr) O f(v3i .;;; O f(1) + f(21 = f(3)

f: IR ~ IR, é definida por:

TA.256 (MACK-751 Dada a função inversa

f-I: IR ~ IR 3

TA.251 (MACK-741 f é uma aplicação de A em S; S';;;; S; f é uma aplicação sobrejeto

a) f-l(xl=~

b) f-I (x) =

1 d) f-Ilx) ~ ' 3 ' - - -

a) f é uma aplicação sobrejetora de A em S bl f é uma aplicação injetora de A em S' c) a informação dada é contraditória; não pode ser uma aplicação de A em e de A em S' d) existe x em A tal que f(x) E S e f(xl E S' e) existe y em S tal que t(x) = y não se verifica para nenhum x de A ~ ~ ~

para todo x em

bijetora definida por

{a, b,

f(xl = x 3

+ I,

sua

1 x3 + 1 nenhuma das anteriores

V'x3+1

de A em S'. Podemos afirmar:

TA.252 (MACK-75) A aplicação f:

g(g(x))

TA.256 (ITA-75) Seja

f(x) = eX - e-x 7 eX + e-x g de f, o valor de e (2s I será:

definida em

IR.

fêr a função inversa

4 b) ~ c) loge ( 2 5 ) 3 25 7 e) nenhuma das respostas anteriores a)

definida por

TA.257 (CONSART -75) O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos n

é par

(-3, 4)

é: n a) somente injetora;

c) bijetora; e} nenhuma das anteriores.

310-A

é rmpar

b) somente sobrejetora; d) nem injetora e nem sobrejetora;

ai 2

(3, O). Se f-I b) O

é a função inversa de f, então f-I (21 é c)

3 2

d) -

TA.258 (MACK-771 A função f definida em IR - {2} por O seu contradom(nio é IR - {a}. O valor de a é: a) 2

b) -2

cl 1

dI -1

e) não definida

f(xl

2+x 2 - x

é inversível.

e) não sei

311-A

TA.264 (PUC-70) O conjunto verdade da equação

TA.259 (CESGRANRIO-76) Seja f: x ..... I(x) a função cujo gráfico é

b) {O, 2}

{O}

y'4;+"1

= 2x - 1 é:

~} e) nenhuma das anteriores

di {O,

O gráfico que mais bem representa a função inversa

rl:x r+ f-I a)

(x)

TA.265 (GV-75) A equação ~ = -~:

a) tem duas ra ízes reais c) não tem raízes reais

ai tem uma única raiz real

TA.266 (PUC-74) O conjunto verdade da equação irracional

a) V = {3} bl V = {3,

x O

*' *'

y = 2x

pela reflexão no eixo dos

= 12x I

ai V={2,18} b) V={2}

b) y =

..!.. 2

c) y = -2x

di y = 2x

e) y = -

TA.262 (CESGRANRIO-73) Sendo x ;;;'4, o conjunto imagem da função y = é dado por:

a) {yEIRly;;;'O} c) {yEIRly;;;'2} e) nenhuma das respostas anteriores

J... 2

y-; + y;::

b) {y E IR I O .;;; y .;;; 2} d){yEIRly;;;'4}

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES IRRACIONAIS

TA.263 (CESCEM-731 Considere-se o número x dado pela expressão

x=I~1

[-2, - ~ ]

b)[-~,l]

[~, 7]

d) x = 2

312-A

1 ± 3 c) x = 2 +~ 2 e) x não é raiz da equação x 2 - x - 2 = O

nenhuma das anteriores

y'7õ

c) A única raiz é x = 2 + e) nenhuma das anteriores

4x +

v10

x2 = -3

b) XI

TA.271 (MACK-74) Se o nÚmero x 2 está entre:

b) 25 e 55

..!.. 3

v'41

~x~

+V41 16

y 3x 2

4x - 6

18 podemos dizer:

x = 3

J~-J_x x x2 + 3 =

3 2

são:

x2 = 3

d) não tem raízes reais

x é solução da equação

cl 55 e 75

TA.272 (GV-74) Resolver a desigualdade

di tem 2 raízes reais e 2 imaginárias

x2 = e) nenhuma das respostas anteriores

ai x< 3 -

b) A única raiz é

TA.270 (ITA-72) Todas as raizes reais da equação a) XI = 3 e el Xl = 3 e

[..!.. ,

3x 2

são raízes

estão no intervalo:

[5,8]

TA.269 (ITA-73) A respeito da equação,

Nestas condições, b) x =

e) nenhuma das anteriores

c) V={18}dl V=çD

a) O e 25

a) x = 2,222 ...

d) V = {4}

TA.268 (MACK-761 Todas as raízes da equação

a) 2 ±

a rata de equação

a) y

c) V = {9}

..f2;-~=1

existe Xo em B, tal que f(y) = xo, para todo y em A existe a função inversa de f existem Xo e XI em A, tais que Xo XI e I(xo) = I(xI) existe a em B, tal que g(l(g(a))) g(a) nenhuma das respostas anteriores

TA.26llCESGRANRIO-77) A imagem da reta

é:

TA.267 (FEI-68) seja V o conjunto dos números reais que são soluções da equação irracional

TA.2BO (ITA-76) Sejam A e B conjuntos infinitos de números naturais. Se f: A ..... B e g: B ..... A são funções tais que I(g(x)) = x, para todo x em e g(l(x)) = x, para todo x em A, então, temos:

a) b) c) d) e)

.jX-l+~=2

x y

b) tem três raízes reais d) não tem raízes

1 - 3x >

d) 75 e 95

b) x< 1 3 e) x< 3 -

yr;+g-~" 3, e) 95 e 105

+ x2 - 3x: c) x < 1 ou

v'41 16

então

x> 3

x>2

+v'41 16

313-A

RE SP OS TA S

TA.1 e TA.2 d TA.3 b TA.4 c TA.5 c TA.6 c TA.7 a TA.8 b TA.9 d TA.10a TA.11 a TA.12 c TA.13d TA.14e TA.15 d TA.16d TA.17d TA.18 c TA.19 b TA.20a TA.21 e TA.22 c TA.23 e TA.24 a TA.25d TA.26 a TA.27 b TA.28b TA.29b TA.30b TA.31 b TA.32 c TA.33d TA.34 e TA.35 e

TA.36 e TA.37 e TA.38b TA.39b TA.40a TA.41 c TA.42b TA.43d TA.44 c TA.45 e TA.46 e TA.47d TA.48 a TA.49 e TA,/50 a TA.51 b TA.52 a TA.53 c TA.54 e TA.55d TA.56 e TA.57a TA.58 a TA.59 c TA.60a TA.61 a TA.62 c TA.63 c TA.64b TA.65 a TA.66b TA.67d TA.68b TA.69 c TA.70d

TA.71 d TA.72 e TA.73 e TA.74 c TA.75 e TA.76~

TA.77 c TA.78 e TA.79b TA.80b TA.81 a TA.82d TA.83 a TA.84b TA.85b TA.86d TA.87d TA.88 e TA.89 e TA.90e TA.91 e TA.92d TA.93 a TA.94b TA.95 a TA.96d TA.97b TA.98b TA.99 c TA.100e TA.101 b TA.102d TA.103b TA.104b TA.105d

TA.106 b TA.107 e TA.108a TA.109b TA.nOa TA.111 a TA.112 e TA.113a TA.114b TA.115b TA.116d TA.117d TA.118a TA.119d TA.120d TA.121 b TA.122b TA.123b TA.124 b TA.125c TA.126a TA.127 e TA.128d TA.129 c TA.130 e TA.131 d TA.132b TA.133 c TA.134a TA.135b TA.136d TA.137d TA.138a TA.139 e TA. 140 c

315-A

TA.141c TA.142d TA.143 c TA.144 c TA.145b TA.146 a TA.147 e TA.148e TA.149d TA.150b TA.151e TA.152e TA.153 c TA.l54a TA:155d TA.l56 c TA.157 e TA.158d TA.159 c TA.160e TA.161 e TA.162 c TA.163 a TA.164d TA.165d TA.166a TA.167b TA.168d TA. 169 b TA.170 c TA.171 a TA.172b TA.173b

TA.174b TA.175d TA.176e TA.l77b TA.178 a TA.17ge TA.180d TA.181 a TA.182d TA.183 e TA.184c TA.185d TA.186 c TA.187 b TA.l88 e TA.189 c TA.i90 e TA.191a TA.192a TA.193d TA.194b TA.195 c TA.196b TA.197a TA.198a TA.199 a TA.200c TA.201 a TA.202e TA.203c TA.204d TA.205a TA.206b

TA.207d TA.208c TA.209 c TA.210b TA.211 c TA.212 a TA.213 b TA.214d TA.215e TA.216 c TA.217 c TA.218 a TA.219 a TA.220d TA.221 d TA.222 c TA.223b TA.224b TA.225b TA226b TA.227c TA.228 c TA.229a TA.230a TA.231 e TA.232 e TA.233b TA.234 a TA.235 c TA.236b TA.237d TA.238e TA.239d

TA.240a TA.241 d TA.242 c TA.243e TA.244d TA.245c TA.246b TA.247 b TA.248a TA.249d TA.250d TA.251 e TA252b TA.253d TA.254 a TA.255 c TA.256 a TA.257 b TA.258d TA.259e TA.260b TA.261 c TA.262 c TA.263d TA.264 a TA.265e TA.266 a TA.267c TA.268 c TA.269e TA.270e TA.271 d TA.272 a

FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR Vai 1 - Conjuntos e Funções 1. noções de lógica, 2. conjuntos. 3. conjuntos numéricos. 4. relações. 5. funções. 6. funções do 1':> grau. 7. funções do 2':> grau. 8. função modular. 9. função com· posta e função inversa. Vai 2 - Logaritmos 1. potências. 2. função exponencial, 3. função logarítmica. 4. equações e inequações logarítmicas, 5. logaritmos decimais. Vai 3 - Trigonometria 1. ciclo trigonométrico, 2. funções circulares, 3. principais identidades, 4. transformações, 5. equações, 6. funções circulares inversas, 7. inequações, 8. triângulos. Vai 4 - Seqüências, Matrizes, Determinantes, Sistemas 1. seqüências e progressões, 2. matrizes, 3. propriedades dos determinantes, 4. siso temas lineares: método do escalonamento. Vol 5 - Combinatória, Binômio, Probabilidade 1. princípios fundamentais da contagem, 2. arranjos, 3. permutações, 4. combi· nações, 5. desenvolvimento binomial, 6. probabilidade em espaço amostrai finito. Vai 6 - Complexos. Polinômios. Equações 1. números complexos, 2. polinômios, 3. equações polinomiais, 4. transforma· ções, 5. raízes múltiplas. Vol 7 - Geometria Analítica 1. o ponto, 2. a reta, 3. a circunferência, 4. as cônicas, 5. lugares geométricos. Vai 8 - Limites. Derivadas. Noções de Integral 1. definição de limite, 2. propriedades operatórias, 3. definição de derivadas, 4. cálculo de derivadas, 5. estudo de funções, 6. noções de integral definida. Vai 9 - Geometria Plana 1. triângulos, 2. paralelismo, 3. perpendicularismo, 4. circunferência, 5. semelhança, 6. relações métricas, 7. áreas das figuras planas. Vai 10 - Geometria Espacial 1. Geometria de posição: paralelismo, perpendicularismo, diedros, triedros, poliedros; 2. Geometria Métrica: prisma, pirâmide, cilindro, cone, sólidos semelhantes, superfície e sôlidos de revolução, sólidos esféricos.

316-A