UNIDAD DIDÁCTICA LEIDY JOHANA MAZO CORTEZ LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS E INFORMÁTICA UNIVERSIDAD COOPERATIVA DE COLOMBIA
TABLA DE CONTENIDO • • • • • • • •
Introducción a la trigonometría…………3 Presentación, metodología…………………4 El ángulo y sus funciones 1 sesión: el ángulo…………………………….5,……8 2 sesión: funciones trigonométricas….9,….14 3 sesión: teorema de Pitágoras ………..15,…17 Aplicaciones trigonométricas 1 sesión: resolución de triángulos rectángulos………………………………………..18,…20 • 2 sesión: ley de senos y de cosenos…….21,…26 • Glosario:………………………………………………27 • Bibliografía: …………………………………………28
UNIDAD DIDÁCTICA • Introducción a la trigonometría • Estándares MEN • Según los Estándares Curriculares del MEN, este tema corresponde al grado decimo y se enmarca en el Pensamiento Espacial y Sistemas Geométricos. • La aplicación que hace la trigonometría de los conceptos y propiedades de los elementos constitutivos del triangulo, en nuestro diario trasegar, hacen de esta área de las matemáticas una herramienta fundamental en el planteamiento de múltiples problemas prácticos que por otros procedimientos resultaría mas complejo.
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD DIDÁCTICA • Introducción a la trigonometría Con el fin de darle una mejor comprensión a la aplicación de la trigonometría en ejercicios de nuestro diario vivir se crea esta unidad didáctica que se complementa de una estructura básica y secuencial que genera un ambiente de aprendizaje en cada sección y mejoran los conocimientos del alumno:
Metodología 1. 2. 3. 4. 5.
Exposición de la temática Conocimientos previos Introducción Actividades Evaluación
EL ÁNGULO • EXPOSICIÓN DE • LA TEMÁTICA
El Angulo • La utilización de este concepto se convierte en el fundamento de la trigonometría en la solución de situaciones reales donde este interviene
CONOCIMIENTOS PREVIOS
• Defina: • 1) ¿Qué es para usted ángulo?__________________ _________________________ ________ • 2) ¿Cómo se miden los angulos?_________________ _________________________ ______________ • 3) ¿Cómo se nombran los angulos?_________________ _________________________ _________________________
INTRODUCCIÓN
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Una rotación en el sentido contrario a la manecillas del reloj produce un ángulo positivo (Figura 1) y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ángulo negativo (Figura 2)
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Los ángulos se miden en grados y radianes
1 º es la forma de simbolizar un grado sexagesimal
Conversión de ángulos Un ángulo de 180° equivale a π radianes Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes Si queremos convertir de radianes a grados, vamos a utilizar la siguiente fórmula:
Si queremos convertir de grados a radianes, vamos a utilizar la siguiente fórmula:
ACTIVIDADES • Grafique los siguientes angulos: • 135° en posición normal • 120° en el mismo sentido de las agujas del reloj. • 110° en posición normal
EVALUACIĂ“N • 1) Transforme 5đ?œ‹/6 rad a grados • 2) Transforme a radianes los siguientes ĂĄngulos: • 35°, 44°, 67°, 119° • 3) Resuelva: • La perilla de una caja fuerte de se abre aplicando las siguientes rotaciones sucesivas: -3/4 de rotaciĂłn, 6đ?œ‹/3, 200°.ÂżCual es el resultado final de esta rotaciĂłn?
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EXPOSICIÓN DE LA TEMÁTICA
• El triangulo rectángulo es la figura geométrica mas importante en trigonometría, pues de el se derivan las funciones que permiten relacionar sus lados y sus ángulos, los cuales facilitan resolver problemas que a simple vista parecen no tener solución en la vida cotidiana.
CONOCIMIENTOS PREVIOS
• 1)Dibuje un triangulo rectángulo y señale sus partes.
INTRODUCCIÓN
• En un triangulo rectángulo el lado mayor es la hipotenusa y los otros dos, los catetos.
H
y
α x
Funciones trigonométricas en los cuadrantes •
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En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de 90º (p/2) cada una, que va desde 0º hasta 360º (2p), a las que se denomina cuadrantes: 1er cuadrante: 0º a 90º 2do cuadrante: 90º a 180º 3 er cuadrante: 180º a 270º 4to cuadrante: 270 a 360º
ACTIVIDAD • 1)Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m
• Procedimiento: • a)Trazar un triangulo rectángulo anotando en el los datos. • b) Seleccionar la función trigonométrica que relacione a los lados conocidos con el ángulo.
• c) Sustituir las literales por sus valores numéricos.
d) Efectuar la división indicada. • cos = 0.5454 • e) Obtener, en las tablas de funciones trigonométricas o con la calculadora, el valor del ángulo. • f) Dar respuesta al problema. • El ángulo formado por el poste y el cable tirante es de 56, 57 •
EVALUACIÓN 1) Una escalera apoyada en una pared forma un triangulo rectángulo con el suelo. Calcule la longitud de la escalera, si el ángulo formado entre ella y el suelo es de 40° y la altura hasta la cual se apoya la escalera en la pared es de 3 metros. 2) Grafique los siguientes ángulos 45°, -38°, 115°, -160° Determine: - en que cuadrante se encuentran -el valor de las seis funciones trigonométricas en cada uno de ellos.
TEOREMA DE PITÁGORAS EXPOSICIÓN DE LA TEMÁTICA
• El teorema de Pitágoras nos permite encontrar el valor de la hipotenusa o de uno de los catetos de un triangulo rectángulo, tomando como referencia el cuadrado de cada uno de sus lados respectivos así:
Vea el siguiente video en YouTube http://youtu.be/RECvoNMPjnc
ACTIVIDAD • Encontrando la Longitud de la Hipotenusa
Encontrando la Longitud de uno de los catetos
EVALUACIÓN • Resuelva los siguientes triángulos rectángulos utilizando el teorema de Pitágoras
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EXPOSICIÓN DE LA TEMÁTICA
Los triángulos rectángulos tienen propiedades especiales que nos permiten resolver una gran cantidad de situaciones geométricas y son la base de las identidades trigonométricas. A partir de un triangulo rectángulo se definen los senos, cosenos tangentes (y sus inversas).
INTRODUCCIÓN
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1. Se conocen la hipotenusa y un cateto
ACTIVIDAD 2. Se conocen los dos catetos
Se conocen un cateto y un รกngulo agudo
EVALUACIÓN • De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.
De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo
LEY DE SENOS Y COSENOS • Ley del seno
• Ley del coseno
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La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:
ACTIVIDAD
Teorema del seno
Ejemplo Resolver un triรกngulo con los siguientes datos: a = 4 cm, b = 5 cm y B = 30ยบ
Teorema del coseno
Ejemplo Resolver un triรกngulo con los datos siguientes: a = 1200 m, c= 700 m y B = 108ยบ
EVALUACIร N
Ademรกs grafica cada uno de los triรกngulos
GLOSARIO •
Trigonometría: es la ciencia que estudia las relaciones entre los lados y ángulos de un triángulo y aplica dichas relaciones al cálculo de los elementos desconocidos en los triángulos .
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Angulo: es la abertura comprendida entre dos líneas que se cortan.
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Angulo de posición normal: es cualquier ángulo cuyo lado inicial es el eje positivo de las x.
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Grado sexagesimal: cuando la circunferencia se divide en 360 grados en una figura
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Radian: es formado cuando el arco formado por un ángulo en una circunferencia sea igual en la medida con el radio
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Función: una correspondencia entre dos conjuntos, el dominio y el rango, que asigna a cada miembro del dominio exactamente con un miembro del rango.
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Función trigonométrica: las funciones seno, coseno y tangente, cada una de las cuales tiene como dominio el conjunto de ángulos agudos.
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Leyes de senos y cosenos: términos que se aplican especialmente en la solución de triángulos oblicuángulos.
BIBLIOGRAFÍA Pensamiento matemático , grado 10°, COREDI Agosto 2006
• Web grafía: • • • •
http://www.vadenumeros.es http://www.ditutor.com/ http://www.eduteka.org/ https://www.youtube.com/