Ecuaciones Diferenciales Simulink de Matlab by leidyR

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIADAS POR SIMULACIONES INTERACTIVAS. (simulink de matlab)

LEIDY FABIOLA RODRIGUEZ GUERRERO EDWIN ANTONIO GELVIZ VELAZQUEZ BRANDON ANTONIO MARTINEZ SILVA ESDRAS DANIEL MERIDIANO MEJIA

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA REMINGTONG INGENIERIA DE SISTEMAS BASE DE DATOS I SAN JOSE DE CÚCUTA 2017

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIADAS POR SIMULACIONES INTERACTIVAS. (Simulink de matlab)

LEIDY FABIOLA RODRIGUEZ GUERRERO EDWIN ANTONIO GELVIZ VELAZQUEZ BRANDON ANTONIO MARTINEZ SILVA ESDRAS DANIEL MERIDIANO MEJIA

DOCENTE: ING.WOLGFAN LIDUEÑEZ LOPEZ

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA REMINGTONG INGENIERIA DE SISTEMAS BASE DE DATOS I SAN JOSE DE CÚCUTA 2017 3

TABLA DE CONTENIDO

Pag      

Introducción Objetivos (generales y específicos) Marco Teórico Montaje del proyecto Conclusiones Referencias

5 6 7-16 17-23 24 25

INTRODUCCIÓN

Las ecuaciones diferenciales son la base para muchas aplicaciones, ya que, si se pretende describir o predecir determinado fenómeno o evento, será necesario utilizar modelos con ecuaciones que incluyen razones de cambio. La importancia de representar tales fenómenos por medio de ecuaciones diferenciales radica en poder llegar a controlar el fenómeno y las variables que allí intervienen. La representación de fenómenos o sistemas por medio de ecuaciones diferenciales se denomina modelado de sistemas. En algunas ocasiones resulta complicado manejar las partes del proceso que se lleva a cabo al modelar un sistema y solucionar las correspondientes ecuaciones. Es esta la razón por la cual recurrimos a herramientas computacionales para solucionar el problema mediante sistemas interactivos que parten de un modelo matemático representado en un modelo simbólico el cual se estructura con componentes denominados bloques operacionales. Para enfocar el presente trabajo, los modelos que interesan en el contexto del producto de aula, son aquellos que permiten inferir e intervenir sobre problemas de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden. Los problemas objeto de estudio, están relacionados con dinámicas de poblaciones, la ley de Hooke, mezclas, propagación de una enfermedad y la ley de Newton del enfriamiento o calentamiento entre otras. De esta manera, el propósito apunta a la configuración de sistemas interactivos a partir de sistemas dinámicos que surgen de un modelo simbólico-matemático que se lleva a un diagrama de bloques soportado en la herramienta Simulink de Matlab. Este diagrama de bloques se constituye como una representación gráfica del modelo matemático y un recurso interactivo que favorece en el estudiante tanto la comprensión del problema como la apropiación de significados.

OBJETIVOS

GENERAL: El propósito de este trabajo practico, es explorar la herramienta Simulink de Matlab y el entorno gráfico de simulación que provee para realizar pruebas de contraste de resultados en la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden que provienen de un modelo matemático que da solución a una situación problema planteada.

ESPECÍFICOS:

1. Modelar situaciones problemas e intervenirlas desde los conceptos matemáticos y cambios de parámetros que permite la aplicación Simulink de Matlab. 2. Permitir que el estudiante mejore las habilidades perceptivas con el trabajo de estos modelos y sus simulaciones. 3. Comparar los resultados esperados mediante la simulación del fenómeno y la solución matemática en forma analítica.

MARCO TEORICO

CONCEPTOS BÁSICOS Cálculo: En general el término cálculo (del latín calculus = piedra)1 hace referencia al resultado correspondiente a la acción de calcular o contar. Calcular, por su parte, consiste en realizar las operaciones necesarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos. No obstante, el uso más común del término cálculo es el lógico matemático. Desde esta perspectiva, el cálculo consiste en un procedimiento mecánico, o algoritmo, mediante el cual podemos conocer las consecuencias que se derivan de unos datos previamente conocidos debidamente formalizados y simbolizados. Derivación: La derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto, utilizando los valores y propiedades de la misma. Integración: La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático, básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos. Ingeniería: La ingeniería es el conjunto de conocimientos y técnicas científicas aplicadas al desarrollo, implementación, mantenimiento y perfeccionamiento de estructuras (tanto físicas como teóricas) para la resolución de problemas que afectan la actividad cotidiana de la sociedad. Para ella, el estudio, conocimiento, manejo y dominio de las matemáticas, la física y otras ciencias es aplicado profesionalmente tanto para el desarrollo de tecnologías, como para el manejo eficiente de recursos y/o fuerzas de la naturaleza 7

en beneficio de la sociedad. La ingeniería es la actividad de transformar el conocimiento en algo práctico. Otra característica que define a la ingeniería es la aplicación de los conocimientos científicos a la invención o perfeccionamiento de nuevas técnicas. Esta aplicación se caracteriza por usar el ingenio principalmente de una manera más pragmática y ágil que el método científico, puesto que la ingeniería, como actividad, está limitada al tiempo y recursos dados por el entorno en que ella se desenvuelve. Su estudio como campo del conocimiento está directamente relacionado con el comienzo de la Revolución Industrial, constituyendo una de las actividades pilares en el desarrollo de las sociedades modernas. Derivadas: A continuación se encuentran las diferentes formas de derivar y de integrar con ejemplos y ejercicios de cada una de ellas.

Ejemplo:

ECUACIÓN DIFERENCIAL:

Una ecuación diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, la economía, y la biología. En las matemáticas puras, las ecuaciones diferenciales se estudian desde perspectivas diferentes, la mayoría concernientes al conjunto de las soluciones de las funciones que satisfacen la ecuación. Solo las ecuaciones diferenciales más simples se pueden resolver mediante fórmulas explícitas; sin embargo, se pueden determinar algunas propiedades de las soluciones de una cierta ecuación diferencial sin hallar su forma exacta. Si la solución exacta no puede hallarse, esta puede obtenerse numéricamente, mediante una aproximación usando computadoras. La teoría de sistemas dinámicos hace énfasis en el análisis cualitativo de los sistemas descritos por ecuaciones diferenciales, mientras que muchos métodos numéricos han sido desarrollados para determinar soluciones con cierto grado de exactitud.

TIPOS DE ECUACIONES: Las ecuaciones diferenciales pueden dividirse en varios tipos. Aparte de describir las propiedades de la ecuación en si, las clases de las ecuaciones diferenciales pueden ayudar a buscar la elección de la aproximación a una solución. Es muy común que estas distinciones incluyan si la ecuación es: Ordinaria/Derivadas Parciales, Lineal/No lineal, y Homogénea/ NO homogénea. Esta lista es demasiado grande; hay muchas otras propiedades y subclases de ecuaciones diferenciales las cuales pueden ser muy útiles en contextos específicos. Ecuaciones diferenciales ordinarias:

La trayectoria de un proyectil lanzado desde un cañón sigue una curva definida por una ecuación diferencial ordinaria que se obtiene a partir de la segunda ley de Newton. Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es una ecuación que contiene una función de una variable independiente y sus derivadas. El término "ordinaria" se usa en contraste con la ecuación en derivadas parciales la cual puede ser respecto a más de una variable independiente. Las ecuaciones diferenciales lineales, las cuales tienen soluciones que pueden sumarse y ser multiplicadas por coeficientes, están bien definidas y comprendidas, y tienen soluciones exactas que pueden hallarse. En contraste, las EDO cuyas soluciones no pueden sumarse son no lineales, y su solución es más intrincada, y muy pocas veces pueden hallarse en forma exacta de funciones elementales: las soluciones suelen obtenerse en forma de series o forma integral. Los métodos numéricos y gráficos para EDO, pueden realizarse manualmente o mediante computadoras, se pueden aproximar las soluciones de las EDO y su resultado puede ser muy útil, muchas veces suficientes como para prescindir de la solución exacta y analítica.

Ecuación en derivadas parciales:

Variación del perfil de temperaturas solución de la ecuación del calor en un problema bidimensional.

Una ecuación en derivadas parciales (EDP) es una ecuación diferencial que contiene una función multivariable y sus derivadas parciales. Estas ecuaciones se utilizan para formular problemas que involucran funciones de varias variables, y pueden resolverse manualmente, para crear una simulación por computadora. Las EDP se pueden usar para describir una amplia variedad de fenómenos tal como el sonido, el calor, la electroestática, la electrodinámica, la fluidodinámica, la elasticidad, o la mecánica cuántica. Estos distintos fenómenos físicos se pueden formalizar en términos de EDP. Con ecuaciones diferenciales ordinarias es muy común realizar modelos unidimensionales de sistemas dinámicos, y las ecuaciones diferenciales parciales se pueden utilizar para modelos de sistemas multidimensionales. Las EDP tienen una generalización en las ecuaciones en derivadas parciales estocásticas.

Ecuaciones diferenciales lineales: Una ecuación diferencial es lineal cuando sus soluciones pueden obtenerse a partir de combinaciones lineales de otras soluciones. Si es lineal, la ecuación diferencial tiene sus derivadas con máxima potencia de 1 y no existen términos en donde haya productos entre la función desconocida y/o sus derivadas. La propiedad característica de las ecuaciones lineales es que sus soluciones tienen la forma de un subespacio afín de un espacio de soluciones apropiadas, cuyo resultado se desarrolla en la teoría de ecuaciones diferenciales lineales. Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas son una subclase de las ecuaciones diferenciales lineales para la cual el espacio de soluciones es un subespacio lineal, es decir, la suma de cualquier conjunto de soluciones o múltiplos de soluciones, es también una solución. Los coeficientes de la función desconocida, y sus derivadas en una ecuación diferencial lineal pueden ser funciones de la variable o variables independientes, si estos coeficientes son constantes, entonces se habla de ecuaciones diferenciales lineales a coeficientes constantes. 11

Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma:

Es decir:

1. Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero. 2. En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente. 3. Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación. Ejemplos:   

es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones , con k un número real cualquiera. es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales. es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones , con a y b reales.

Ecuaciones diferenciales no lineales: Existen muy pocos métodos para resolver ecuaciones diferenciales no lineales en forma exacta; aquellas de se conocen es muy común que dependan de la ecuación teniendo simetrías particulares. Las ecuaciones diferenciales no lineales pueden exhibir un comportamiento muy complicado en intervalos grandes de tiempo, característica del caos. Cada una de las cuestiones fundamentales de la existencia, unicidad, y extensibilidad de las soluciones para ecuaciones diferenciales no lineales, y el problema bien definido de los problemas de condiciones iniciales y de contorno para EDP no lineales son problemas difíciles y su resolución en casos especiales se considera que es un avance significativo en la teoría matemática (por ejemplo la existencia y suavidad de Navier-Stokes). Sin embargo, si la ecuación diferencial es una representación de un proceso físico significativo formulado correctamente, entonces se espera tener una solución. 11 Ecuaciones diferenciales lineales suelen aparecer por medio de aproximaciones a ecuaciones lineales. Estas aproximaciones son válidas únicamente bajo condiciones restringidas. Por ejemplo, la ecuación del oscilador armónico es una aproximación de la ecuación no lineal de un péndulo que es válida para pequeñas amplitudes de oscilación (ver más adelante).

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Ecuaciones semilineales y cuasilineales:

No existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad sí pueden ser resueltos. Son de interés el caso semilineal y el caso cuasilineal. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de orden n. Más específicamente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función puede escribirse en la forma: Se dice que dicha ecuación es cuasilineal si es una función afín, es decir, Una ecuación diferencial ordinaria de orden n se llama semilineal si puede escribirse como suma de una función "lineal" de la derivada de orden n más una función cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuación diferencial ordinaria para la función puede escribirse en la forma:

Se dice que dicha ecuación es semilineal si es una función lineal. 

Orden de la ecuación:

Las ecuaciones diferenciales se describen por su orden, determinado por el término con derivadas de mayor orden. Una ecuación que contiene solo derivadas simples es una ecuación diferencial de primer orden, una ecuación que contiene hasta derivadas segundas es una ecuación diferencial de segundo orden, y así sucesivamente. Ejemplos de orden en ecuaciones:

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Ecuación diferencial de primer orden:

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Ecuación diferencial de segundo orden:

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Ecuación diferencial de tercer orden:

Grado de la ecuación:

Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Ejemplos En el primer grupo de ejemplos, sea u una función desconocida que depende de x, y c y ω son constantes conocidas. Observar que tanto las ecuaciones diferenciales ordinarias como parciales pueden clasificarse como lineales y no lineales. 

Ecuación diferencial ordinaria lineal a coeficientes constantes de primer orden:

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Ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea de segundo orden:

La masa colgada del resorte forma un oscilador armónico, una ecuación diferencial permite expresar las relaciones que debe obedecer el movimiento de la masa.

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Ecuación diferencial ordinaria lineal a coeficientes constantes homogénea de segundo orden que describe un oscilador armónico:

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Ecuación diferencial ordinaria no lineal no homogénea de primer orden:

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Ecuación diferencial ordinaria no lineal (debido a la función seno) de segundo orden, que describe el movimiento de un péndulo de longitud L:

En el siguiente grupo de ejemplos, la función desconocida u depende de dos variables x y t o x e y.

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Ecuación en derivadas parciales lineal homogénea de primer orden, entonces:

Ecuación de Laplace sobre una corona (r=2 y R=4) con condiciones de contorno de Dirichlet: u(r=2)=0 y u(r=4)=4sin(5*θ). Ecuación en derivadas parciales lineal homogénea a coeficientes constantes de segundo orden del tipo elíptico, la ecuación de Laplace:

Ecuación en derivadas parciales no lineal de tercer orden, la ecuación de Korteweg-de Vries: 

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Existencia de soluciones La resolución de ecuaciones diferenciales no es como aquellas resoluciones de las ecuaciones algebraicas. Puesto que a pesar de que en ocasiones sus soluciones son poco claras, también puede ser de interés si estas son únicas o existen. Para problemas de primer orden con valores iniciales, el teorema de existencia de Peano nos da un conjunto de condiciones en la cual la solución existe. Para cualquier punto dado en el plano xy, y definida una región rectangular , tal que y está en el interior de . Si tenemos una ecuación diferencial y la condición que cuando , entonces hay una solución local a este problema si y son ambas 15

continuas en . La solución existe en algún intervalo con su centro en . La solución puede no ser única. (Ver Ecuación diferencial ordinaria para otros resultados.) Sin embargo, esto solo nos ayuda con problemas de primer orden con condiciones iniciales. Supongamos que tenemos un problema lineal con condiciones iniciales de orden enésimo: tal que para cualquier no nulo, si y son continuos sobre algún intervalo conteniendo , es único y existe. Tipos de soluciones una solución de una ecuación diferencial es una función que al reemplazar a la función incógnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuación, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones: Solución general: La solución general es una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. Es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de ni de sus derivadas igual a 0) más una solución particular de la ecuación completa. Solución particular. Si fijando cualquier punto por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto , que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico. Solución singular:La solución singular es una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general. Es solución de la ecuación no consistente en una particular de la general. Observaciones sobre las soluciones: Sea la ecuación diferencial ordinaria de orden n , es fácil verificar que la función y= f(x) es su solución. Basta calcular sus derivadas de f(x), luego reemplazarlas en la ecuación, junto con f(x) y probar que se obtiene una identidad en x. Las soluciones de E.D.O. se presentan en forma de funciones implícitamente definidas, y a veces imposibles de expresar de manera explícita. Por ejemplo: que es solución de: La más simple de todas las ecuación es cuya solución es En algunos casos es posible resolver por métodos elementales del cálculo. Sin embargo, en otros casos, la solución analítica requiere técnicas de variable compleja o más sofisticadas como sucede con las integrales: y en la integral no puede estructurase mediante un número finito de funciones elementales.

MONTAJE DEL PROYECTO Y FUNCIONAMIENTO

Para el montaje del proyecto se utilizó la herramienta simulink de matlab y el entorno gráfico de simulación que provee para realizar pruebas de contraste de resultados en la solución de ecuaciones diferenciales. Un modelo Simulink típico consiste de tres elementos:  

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Entradas, Sources o inputs. Constantes, generadores de funciones (ondas senoidales, escalón o señales creadas en Matlab) Simulink 4 – Sistema modelado, representado por el diagrama de bloques – Salidas, Sinks u outputs. Gráficos, osciloscopios, ficheros.

Para crear un modelo en Simulink se pulsa sobre el icono New model del Simulink Library Browser o se selecciona File → New → Model.

• En el espacio de trabajo se colocarán los diagramas de bloque del modelo.

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Hacer click sobre una librería para desplegar los bloques.

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Para añadir un conector: Arrastrar, pulsando el botón derecho del ratón y la tecla Ctrl, desde una salida, o desde una entrada, de alguno de los bloques al otro bloque.

EJERCICIO EN PRÁCTICA.

Se presenta la simulación de una ecuación diferencial de segundo orden de un sistema masa-resort-amortiguador usando Simulink-Matlab y se obtiene la función de transferencia y el modelo de estados

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DIAGRAMA:

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DAMOS LOS PARÁMETROS:

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DAMOS VALORES A LOS PARÁMETROS CREADOS.

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Click en scope para ver el resultado de la ecuación :

escope

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Resultado de la ecuación simulada:

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CAMBIADO CONDICIONES INICIALES:

EL AMORTIGUADOR PASO DE 0.1 A 1

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SIMULACIÓN DE LA ECUACIÓN CON EL CAMBIO DEL VALOR DEL AMORTIGUADOR:

Ya habiendo ingresado los datos correspondientes a cada parámetro podremos modificarlos y observar el entorno grafico para cada simulación.

CONCLUSIONES

En el presente trabajo o producto final, se utilizaron los conceptos aprendidos en lo referente a la aplicaciรณn de las ecuaciones diferenciales de primer orden en la soluciรณn de problemas planteados. Experimentamos nuevos ambientes de aprendizaje apoyadnos en los sistemas interactivos como lo es la herramienta simulink de matlab. En el estudio de problemas de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden, los sistemas interactivos se configuran como una fuente apropiada de aprendizaje. Permitiendo realizar pruebas de contraste y verificar las soluciones, dominando los conceptos y los procedimientos matemรกticos.

REFERENCIAS

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http://personales.unican.es/corcuerp/matlab_simulink/Slides/Ejemplos _Simulink.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial