Modelos de Inventarios Determinísticos
Pedro Alejandro Buitrago Sánchez
Presentado a: Luis Carlos Forero
Universidad Cooperativa de Colombia Ingeniería de Sistemas Investigación de Operaciones Bogotá, Septiembre de 2012
MODELO DE COMPRAS CON FALTANTES (EOQ) El modelo EOQ con faltantes al igual que el modelo sin déficit es de modalidad de compras y rigen los mismos postulados, sin embargo su diferencia radica en que en este modelo si se admiten faltantes, es decir, cuando nos quedamos sin inventario y aun se necesitan más cantidades para satisfacer la demanda. En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento del modelo EOQ con faltantes relacionando la cantidad a pedir vs el tiempo.
D: demanda Q: Cantidades a pedir. Imax: Inventario máximo. S: Cantidades faltantes T1: Tiempo en el cual se agota el inventario máximo en relación a la demanda. T2: Tiempo en el cual no existe inventario para satisfacer a la demanda.
A partir de la gráfica podemos concluir que al realizar un pedido para obtener el inventario máximo, transcurre un tiempo T1 para que este se agote de acuerdo a la demanda. Una vez que nuestro inventario esta en cero, llega un tiempo T2 en el
cual no existe inventario y se presentan faltantes (S) para satisfacer la demanda, representándonos el tiempo de espera para realizar otro pedido y obtener nuevamente inventario.
Analizando los costos en los cuales incurre el presente modelo, encontramos semejanzas con el modelo anterior debido a que presenta: el costo de adquisición (Cu) de acuerdo a la cantidad solicitada, el costo que implica realizar un pedido (Cp), el costo de mantener guardado los inventarios (Cmi). No obstante, encontramos un nuevo costo relacionado con el déficit, denominado costo por faltantes (Cf). Los costos por faltantes son aquellos que se presentan cuando nos hemos quedado sin inventario, como son los costos por la falta de utilidad generada a causa de la insatisfacción de la demanda. Por lo cual debemos administrar de forma adecuada nuestros inventarios, de tal manera que no nos quedemos sin existencia del mismo y podamos programar a tiempo la solicitud de un nuevo pedido. Sin olvidar mencionar que para hallar el costo de mantener los inventarios debemos calcular el área bajo la curva de la zona azul y para el costo faltante se calcula el área morada bajo la curva. De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la expresión que representa el modelo de cantidad económica de pedido (EOQ) es la siguiente:
Teniendo como punto de referencia la gráfica, obtenemos algunas relaciones que nos lleva a las siguientes ecuaciones: Para Imax:
Para hallar T1:
Para hallar T2:
Remplazando (2), (3), (4) en la ecuación (1) obtenemos:
Procedemos a multiplicar la anterior ecuación anterior por el número de pedidos N con el fin de hallar la fórmula del Costo total anual (Cta) según este modelo.
Obteniendo para la ecuaci贸n de costo total anual la siguiente expresi贸n:
El modelo de inventario EOQ con faltante para minimizar los costos a diferencia del anterior modelo debe tenerse en cuenta dos variables: La cantidad 贸ptima (Q*) La cantidad faltante (S*) Para lo cual, debemos hallar las derivadas parciales de la ecuaci贸n (6) con respecto a las cantidades a pedir y las cantidades faltante:
Resolviendo las derivadas obtenemos:
Sustituimos la ecuaci贸n (9) y (10) en (7) , obtenemos S*:
Sustituimos la ecuaci贸n (11) en (10), obtenemos Q*:
MODELO DE COMPRAS SIN FALTANTES (EOQ) El modelo EOQ o de cantidad económica de pedido es un modelo de compra aplicado para inventarios con demanda independiente y presenta las siguientes características: Demanda constante y conocida. No admite faltantes. Presenta el costo de mantener guardado el inventario. Presenta el costo de pedido. Los costos son constantes. Por ejemplo: los costos no varían por la fluctuación del dólar. Reposición instantánea, es decir, los pedidos se envían completos (No hay entregas parciales) y no existe tiempo de demora. En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento del modelo EOQ relacionando la cantidad a pedir vs el tiempo.
D: demanda Q: Cantidades a pedir. T1: Tiempo en el cual se agota las cantidades pedidas en relación a la demanda.
A partir de la gráfica podemos concluir que al realizar un pedido con Q cantidades, este va a necesitar de un tiempo T1 para agotarse de acuerdo al comportamiento de la demanda, por lo cual este tiempo a su vez nos indica el período necesario que debemos esperar para realizar nuevamente un pedido. Además, se debe analizar que al realizar un pedido incurrimos en diversos costos como son: el costo de adquisición (Cu) de acuerdo a la cantidad solicitada, el costo que implica realizar un pedido (Cp) y el costo de mantener guardado los inventarios (Cmi), para hallar este último costo debemos calcular el área bajo la curva (zona sombreada). De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la expresión que representa el modelo de cantidad económica de pedido (EOQ) es la siguiente:
Sin embargo esta ecuación nos permite conocer el costo de Q unidades para un solo período y necesitamos conocer el costo total anual de pedir. Pero, esto no es problema porque conociendo que el tiempo representa las cantidades requeridas para satisfacer la demanda y además, el número de pedido (N) nos relaciona la demanda que se debe suplir por cantidad de lotes obtenemos las siguientes ecuaciones:
Siguiendo con lo postulado, para hallar el costo total anual (Cta) debemos multiplicar la ecuación (3) que representa el número de pedidos a la expresión (1) del costo de Q unidades para un solo período.
Para obtener la expresión en términos solamente de D y Q, se remplaza la ecuación (2) en la (4):
Obteniendo para la ecuación de costo total anual la siguiente expresión:
Recordando lo anunciado con anterioridad, resaltamos que este modelo de inventario se encuentra en función de los costos por lo cual debemos hallar la cantidad óptima (Q*) para conseguir el menor valor del costo total anual (Minimización de costos). Por lo cual, debemos hallar la derivada de la ecuación (5) con respecto a las cantidades, igualarla a cero y posteriormente despejar Q:
Al hallar la expresi贸n de la cantidad 贸ptima (Q*) y graficarla en conjunto con los otros dos costos, observamos su comportamiento en la siguiente gr谩fica:
Concluyendo en este modelo que la cantidad 贸ptima se obtiene cuando el costo de mantener el inventario (Cmi) es igual al costo de pedir (Cp).
Además, permite establecer que hay una relación inversa entre Cp y Cmi: Al pedir una mayor proporción de pedido de la cantidad óptima, los costos de pedido se disminuirán y los costos de mantenimiento se incrementaran debido al volumen de las cantidades. Por el contrario, si solicitamos una cantidad menor a la óptima sucederá el efecto contrario mayor costo de pedido y menor costo al mantener el inventario
MODELO DE PRODUCCION CON FALTANTES (LEP) El modelo LEP con faltantes al igual que el modelo sin déficit es de carácter productivo y rigen los mismos postulados, sin embargo su diferencia radica en que en este modelo si se admiten faltantes, es decir, cuando nos quedamos sin inventario y aun se necesitan más cantidades para satisfacer la demanda. En la siguiente gráfica se muestra el comportamiento del modelo LEP con faltantes relacionando la cantidad a pedir vs el tiempo.
D: demanda Q: Cantidades a pedir. Imax: Inventario máximo. S: Cantidades faltantes. T1: Tiempo positivo de acción o tiempo de fabricación T2: Tiempo en el cual se agota el inventario en relación con la demanda.
T3: Tiempo en el cual se empieza a acumular pedidos (existencia de faltantes). T4: Tiempo en el cual la producciรณn se nivela con los pedidos pendientes. A partir de la grรกfica podemos concluir que una empresa manufacturera que trabaja con una tasa de producciรณn R, presenta una demanda que neutraliza la tasa (R-D) en un tiempo determinado, es decir, a medida que se estรก ejecutando una orden de producciรณn se debe tener en cuenta las unidades que estรกn siendo demandas. La producciรณn se lleva a cabo en el tiempo positivo de acciรณn T1 cuando las mรกquinas involucradas en el proceso inician su operaciรณn (al mismo tiempo que se van demandando las unidades) y finalizan cuando se completa la producciรณn del inventario mรกximo que debemos tener, dando lugar al tiempo T2 en el cual se agota el inventario producido con relaciรณn a la demanda. Una vez que nuestro inventario esta en cero, llega un tiempo T3 en el cual no existe inventario y se presentan faltantes (S) para satisfacer la demanda, representรกndonos la acumulaciรณn de pedidos, para dar lugar a un tiempo T4 en el cual la producciรณn se nivela con los pedidos pendientes. Analizando los supuestos de este modelo, afirmamos que los costos en los cuales incurre este modelo son: el costo de adquisiciรณn (Cu) de acuerdo a la cantidad de unidades producidas, el costo que implica ejecutar una orden de producciรณn (Cop), el costo de mantener guardado los inventarios (Cmi), para hallar este รบltimo costo debemos calcular el รกrea bajo la curva (zona sombreada). No obstante, encontramos un nuevo costo relacionado con el dรฉficit, denominado costo por faltantes (Cf). De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la expresiรณn que representa el modelo de lote econรณmico de producciรณn con faltante es la siguiente:
Para remplazar las variables t1, t2, t3, t4 e Imax nos regresamos a la grรกfica mostrada inicialmente y hallamos los nuevos valores:
Teniendo en cuenta las ecuaciones (1) y (2):
Bas谩ndonos en las ecuaciones (3) y (4):
Empleando la ecuaci贸n (5):
Remplazando las ecuaciones obtenidas en el costo total:
Proseguimos a multiplicar la anterior ecuación por el número de pedidos N con el fin de hallar la fórmula del Costo total anual (Cta) según este modelo.
El modelo de inventario LEP con faltante para minimizar los costos a diferencia del modelo sin déficit debe tenerse en cuenta dos variables:
·
La cantidad óptima (Q*)
·
La cantidad faltante (S*)
Para lo cual, debemos hallar las derivadas parciales con respecto a las cantidades a pedir y las cantidades faltante:
Obteniendo como resultado final, despues de resolver las anteriores ecuaciones:
MODELO DE PRODUCCION SIN FALTANTES (LEP) El modelo LEP o lote econรณmico de producciรณn es un modelo como su nombre lo indica de carรกcter productivo, es decir, hace referencia a empresas manufactureras que trabajan en base a una orden de pedido. Ademรกs, es aplicado para inventarios con demanda independiente y plantea los siguientes supuestos: Demanda constante y conocida. No admite faltantes. Tasa de producciรณn R: la tasa de producciรณn siempre debe ser mayor a la demanda. Presenta un costo de mantener guardado el inventario. Presenta un costo de orden de pedido. Los costos son constantes. Por ejemplo: los costos no varรญan por la fluctuaciรณn del dรณlar. Reposiciรณn instantรกnea, es decir, no existen entregas parciales ni tiempo de demora. En la siguiente grรกfica se muestra el comportamiento del modelo EOQ relacionando la cantidad a pedir para llevar a cabo la orden de producciรณn vs el tiempo.
D: demanda Q: Cantidades a pedir. Imax: Inventario mรกximo. T1: Tiempo positivo de acciรณn o tiempo de fabricaciรณn T2: Tiempo en el cual se agota el inventario en relaciรณn con la demanda. A partir de la grรกfica podemos concluir que una empresa manufacturera que trabaja con una tasa de producciรณn R, tiende a producir un nรบmero Q de unidades en un tiempo determinado. Sin embargo este es un comportamiento ideal porque realmente no se producen las cantidades Q presupuestadas, debido a que a medida que se estรก ejecutando una orden de producciรณn se debe tener en cuenta las unidades que estรกn siendo demandas, demarcadas por la expresiรณn (R-D) como se observรณ grรกficamente.
La producción se lleva a cabo en el tiempo positivo de acción T1 cuando las máquinas involucradas en el proceso inician su operación y finalizan cuando se completa la producción del inventario máximo que debemos tener, dando lugar al tiempo T2 en el cual se agota el inventario producido con relación a la demanda. Por lo tanto el tiempo necesario para iniciar nuevamente la producción resulta de la suma de T1 + T2. Analizando los supuestos de este modelo, afirmamos que los costos en los cuales incurre este modelo son: el costo de adquisición (Cu) de acuerdo a la cantidad de unidades producidas, el costo que implica ejecutar una orden de producción (Cop) y el costo de mantener guardado los inventarios (Cmi), para hallar este último costo debemos calcular el área bajo la curva (zona sombreada). No obstante, debemos aclarar que en el presente modelo no se presentan costos de pedidos porque no es un modelo comercial. De acuerdo a lo mencionado anteriormente, la expresión que representa el modelo de lote económico de producción (LEP) es la siguiente:
Para reemplazar las variables T1, T2 e Imax nos regresamos a la gráfica mostrada inicialmente y hallamos los nuevos valores de esta variable en términos de Q, sin
olvidar que: T= (Q / D).
Remplazando (2), (3), (4) en (1), obtenemos la siguiente expresión de costo:
Proseguimos a multiplicar la anterior ecuación anterior por el número de pedidos N con el fin de hallar la fórmula del Costo total anual (Cta) según este modelo.
Continuando con este modelo LEP sin faltantes, procedemos a hallar la cantidad óptima a producir (Q*) para conseguir el menor valor del costo total anual (Minimización de costos). Por lo cual, debemos hallar la derivada de la ecuación (6) con respecto a las cantidades, igualarla a cero y posteriormente despejar Q:
EJERCICIOS PROBLEMA 1 (MODELO DE COMPRAS CON FALTANTES) Cada año la Samltown Optometry Clinic Vende 10,000 armazones para lentes la clínica pide las armazones a un abastecedor regional, que cobre 14 dólares por armazón. Cada pedido incurre en un costo de 50 dólares. La óptica cree que se demanda de armazones puede acumularse y que el costo por carecer de un armazón durante un año es 15 dólares debido a la pérdida de negocios futuros. El costo anual por mantener un inventario es de 30 centavos por dólar del valor del inventario. ¿Cuál es la cantidad óptima de pedido? ¿Cuál es la escasez máxima que se presentará? ¿Cuál es el nivel máximo de inventario que se presentará? Solución: Paso 1: Identifico Modelo Tamaño Económico de lote reabastecimiento instantáneo con faltantes permitidos (modelo con escasez) Paso 2: Determino los costos Precio del inventario = $15 por armazón C3=$50 por pedido C2=$15 unidad/año
C1=$0.30 por dólar del valor del inventario Entonces el costo 1 corresponde A $30 --------- $1 x ----------- $15 $0.30/$1 * $15 = $4.50 o simplemente C1=0.30 * valor del inventario = 0.30(15) = $4.50 Por lo tanto C1=$4.50 La demanda es de r=10,000 armazones al año.
Paso 3: Introducir datos en las formulas Para Q* (cantidad optima de pedido)
¿Cuál es el nivel máximo de inventario?
¿Cuál es la escasez máxima que se presentara? Esto se puede resolver de 2 formas Forma 1: Carencia máxima = Q* - S* = 573.48 – 413.45 = 124.03 armazones O bien Forma 2:
Paso 4: Conclusión Entonces la carencia máxima que se presentará será 124.03 armazones y cada pedido debe ser 537 o 538 armazones. Se tendrá un nivel máximo de existencias de 413.45 armazones.
PROBLEMA 2. (MODELOS DE COMPRAS SIN FALTANTES Compra de disquetes. Una empresa local de contaduría en Guatemala pide cajas de 10 disquetes a un almacén en la Ciudad. El precio por caja que cobra el almacén depende del número de cajas que se le compren (ver tabla). La empresa de contadores utiliza 10,000 disquetes por año. El costo de hacer un pedido es 100 dólares. El único costo de almacenamiento es el costo de oportunidad de capital, que se supone 20% por año. P1=50 dólares, P2=40 dólares, P3=48.50 dólares Número de cajas pedidas (q) Precio por caja (dólares) 0£ q<100
50.00
100£ q<300
49.00
q³ 300
48.50
Cada vez que se hace un pedido de disquetes ¿Cuántas cajas se deben pedir? ¿Cuántos pedidos se hacen al año? ¿Cuál es el costo anual total para cumplir con la demanda de disquetes por parte de la empresa de contadores? Solución: Demanda = 10,000 disquetes por año, pero los precios son por caja y sabemos que 10 disquetes trae una caja por lo tanto la demanda es de 1,000 cajas por año. r=1,000 cajas/año Costo de ordenar =C3=$100 Costo de almacenamiento = C1 = 0.20 del valor del inventario C1=0.20Px : Px=P1, P2, P3...Pn Por lo regular el costo de almacenar en este modelo se da en porcentaje del inventario ya que el precio varía de acuerdo a la cantidad pedida.
Teniendo estos Q* óptimos miro si se encuentran en el rango de la tabla Q1*=141.42 0£ q<100 X No cumple Q2*=142.86 100£ q<300 / Si cumple Q3*=143.59 q³ 300 / Si cumple y Nuevo Q*3=300 ¿Por qué si cumple Q*3 y No Q*1? En Q*1 no puedo menos de lo que necesito por ejemplo no puedo pedir 100 ya que faltarían 42, al contrario de Q*3 donde si puedo pedir mas de 143 y pido 300 ya que es el mínimo que me permite ese precio y el nuevo Q*3 seria 300. Encuentro los Costó Totales: El costo 1 se valuó dado que el Q* no cumple. Conclusión: Se incurre en menor costo anual el hacer un pedido optimo de 300 cajas, con un costo de $50,288.33/año ordenando 1,000/300=3.33 » 4 veces al año para satisfacer la demanda. PROBLEMA 3. (MODELOS DE PRODUCCION CON FALTANTES) Un gran productor de medicina para los nervios produce sus provisiones en remesas, el costo de preparación para cada remese es de $750. De la producción se obtiene 48 galones diarios del producto y cuesta $0.05 cada uno para conservarlos en existencia. La demanda constante es de 600 galones al mes. Suponga 12 meses, 300 días al año y 25 días al mes. Encuentre la cantidad óptima de producción, el tiempo de ciclo óptimo, la existencia máxima, la duración en días de cada remesa de producción y el costo total óptimo.
Solución: Tamaño económico de lote, ciclo productivo, sin faltantes permitidos. C3= Costo de producción = $750 C1= Costo de almacenamiento = $0.05 /mes K= tasa de producción = 48 gal/día x 25 días = 1,200 galones / mes r = demanda = 600 gal /mes
Se podría trabajar en días / meses / años / semanas etc y Q* siempre tiene que dar los mismo, siempre y cuando se utilicen las mismas unidades. Busco Existencia máxima
Producción Q*/K = 6,000gal/1,200 gal/mes =5 meses Tciclo= Q*/r =6,000ga/600 gal/mes= 10 meses Produce=5/10=0.5 del tiempo 0.5(300)=150 días/año
Se puede utilizar cualquiera de las 2 formulas y da lo mismo para Q*
PROBLEMA 4. (MODELOS DE PRODUCCION SIN FALTANTES) Una empresa de limpieza industrial ha estimado una demanda anual de 50,000 guantes, se estima que existe un costo de ruptura o escasez de Q0.30 unidad/mes se debe analizar la forma de programar lotes de producción si se desean utilizar los recursos minimizando los costos. El costo de mantener el inventario es de
Q0.20 unidad/mes, el costo de emitir un lote es de Q150.00. Cual debería de ser la política de la siguiente empresa y la carencia máxima que se le presentara. Solución: Tamaño económico del lote reabastecimiento instantáneo faltante permitido. r= demanda = 50,000/año C2= costo de escasez Q0.30 unidad/mes x 12 meses = Q3.60 unidad /año C1= costo de inventario = Q0.20 unidad/mes x 12 meses = Q2.40 unidad/año C3= costo de ordenar = Q150.00 Nótese que el costo de almacenar (C1) se dan directamente como un valor fijo. (en este problema)
D*=Q*-S* : D*= carencia máxima
Conclusión: La empresa debería pedir 3,227 o 3,228 unidades cada vez que haga un pedido. Su carencia máxima será de 1,291 unidades.
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