Função Logaritmo – Exercícios - Intermediário
1. (EN) Sejam n ∈ IN tal que 24 + 25 + .... + 2n = 8176 e m o menor m ∈ IN tal que
m! 1 seja verdadeira. ≤ 2.4.6...(2m) 6 2 log 6 40
O produto m.n vale. (A) 120 (B) 124 (C) 130 (D) 132 (E) 143.
2. (EN) Consideremos a, x ∈ IR *+ , x ≠ 1 e a ≠ 1. Denotemos por logx e logax, os logaritmos nas bases 10 e a
[
]
2
⎡ ⎤ 1 respectivamente. O produto das raízes reais da equação 2 1 + log 2 (10) = ⎢ é (–1) ⎥ x ⎣⎢ log( x ) ⎦⎥
(A) 10 10 (B) 10 10 10 10 (D) 100 (E) 100.
(C)
3. (EN) Seja n o menor inteiro pertencente ao domínio da função real de variável real ƒ(x) = ln
Podemos afirmar que logn 3 3 3 3... é raiz da equação (A) x3 – 2x2 – 9 = 0 (B) x3 + x – 1 = 0 (C) x4 – 4x2 – x + 2 = 0 (D) x2 – 4x + 3 = 0 (E) x4 – 4x2 + x + 1 = 0.
ex + 1 ⎛3⎞ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎝ 64 ⎠ ⎝ 4 ⎠
3 ⎛ 27 ⎞
( x +1)
.
4. (EN) No sistema cartesiano abaixo está esboçado uma porção do gráfico de uma função y(x) = log 2 (x + a) restrita ao intervalo [ 2 , 8 ] , a ∈ R *+ .
y(x) = log 2 (x + a)
Se y(2) = 2 , então o valor da área hachurada é: 3 (A) 6 + log 4 3 . 2 (B) 12 + log 2 3 . (C) 8 + 2 log 2 3 . (D) 6 + log 1 3 . 2
(E) 12 + log 2 3 .
5. (EN) Considere os conjuntos ⎧ ⎫ x+2 A = ⎨ x∈R / < 4 ⎬ e B = x ∈ IR / log 9 (x 2 − 5x + 7) > 0 . 2x − 3 ⎩ ⎭
{
Pode-se afirmar que A I B é: 3 ⎡ ⎤ 26 ⎤ ⎡ (A) ⎥ − ∞ , ⎢ U ⎥ ,+ ∞ ⎢ . 2 ⎣ ⎦ 7 ⎦ ⎣ 10 ⎡ ⎤ (B) ⎥ − ∞ , U ] 2, + ∞ [ . 9 ⎢⎣ ⎦ 10 ⎡ ⎤ (C) ] − ∞ , − 3 [ U ⎥ − 2 , . 9 ⎢⎣ ⎦ 10 ⎡ ⎤ (D) ⎥ − ∞ , U ] 3, + ∞ [ . 9 ⎢⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 26 (E) ] − ∞ , − 3 [ U ⎥ ,+ ∞ ⎢ . ⎣ ⎦ 7
}
6. (EN) Seja A o menor inteiro pertencente ao domínio da função real, de variável real, f(x) =
1 4 9 ⎛4⎞ −⎜ ⎟ 16 ⎝ 3 ⎠
(1− x)
. Pode-se
afirmar que log A 2 2 2 pertence ao intervalo:
⎡ 1 ⎤ (A) ⎢ , 1 ⎥ . ⎣ 2 ⎦ ⎤ 1 ⎡ (B) ⎥ 0 , ⎢ . ⎦ 3⎣ ⎤ 1 1 ⎡ (C) ⎥ , ⎢ . ⎦ 3 2 ⎣
⎡ 3 ⎡ (D) ⎢ 1 , ⎢ . ⎣ 2 ⎣ ⎤ 3 ⎤ (E) ⎥ , 2 ⎥ . ⎦ 2 ⎦
7. (EN) Se a, b, m e n são números reais tais que a 2 + b 2 = 341ab , a ≠ 0 , b ≠ 0 , log 3 2 = m e log 3 7 = n então o valor da expressão 2
log 3
[a + b] 2 ⎡7⎤ − log 3 ⎢ ⎥ − 2 [log 9 2] 2 + log 1 14 é: 64ab ⎣3⎦ 3
2
(A) m + 6n − 1 . m2 − 7m + 2 . 2 n2 (C) 3 + 3m − 6n − 2 . 2 n2 + 6n − 1 . (D) 2
(B) −
(E) − n 2 + 6m − 1 .
8. (ITA) Sejam x, y e z números reais positivos tais que seus logaritmos numa dada base k são números primos satisfazendo log k (xy) = 49, log k (x/z) = 44. Então, log k (xyz) é igual a: (A) 52. (B) 61. (C) 67. (D) 80. (E) 97.
9. (ITA) Considere as seguintes afirmações sobre a expressão S =
∑ log (4 101
k =0
8
k
2) :
I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão 2/3 III. S = 3451 IV. S ≤ 3434 + log8 2 Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira (s) apenas: (A) I e III (B) II e III (C) II e IV (D) II (E) III. 10. (ITA) Considere a equação em x ax+1 = b1/x onde a e b são números reais positivos, tais que ln b = 2ln a > 0. A soma das soluções da equação é (A) 0. (B) –1. (C) 1. (D) ln 2. (E) 2.
11. (ITA ) Seja S o conjunto solução da inequação (x – 9) log x + 4 ( x 3 − 26 x ) ≤ 0 .Determine o conjunto SC.
12. (ITA ) Determine o conjunto C, sendo A, B e C conjuntos de números reais tais que A ∪ B ∪ C = {x ∈ IR : x2 + x ≥ 2}, A ∪ B = {x ∈ IR: 8–x – 3 . 4–x – 22–x > 0}, A ∩ C = {x ∈ IR: log(x + 4) ≤ 0}, B ∩ C = {x ∈ IR: 0 ≤ 2x + 7 < 2}.
13. (ITA ) Sendo x, y, z e w números reais, encontre o conjunto solução do sistema
log[(x + 2y) (w – 3z)-1] = 0, 2x+3z – 8 . 2y-3z+w = 0 3 2 x + y + 6z − 2 w − 2 = 0
14. (IME)
Determine todos os valores reais de x que satisfazem a equação:
| log (12x3 – 19x2 + 8x) | = log(12x3 – 19x2 + 8x), onde log(y) e | y | representam, respectivamente, o logaritmo na base 10 e o módulo de y.
15. (IME) Sabe-se que logab = X, logq b = Y e n > 0, onde n é um número natural. Sendo c o produto dos n termos de uma progressão geométrica de primeiro termo a e razão q, calcule o valor de logc b em função de X, Y e n.
16. (IME) Considerando log 2 = a e log 3 = b, encontre, em função de a e b, o logaritmo do número 5 11,25 no sistema de base 15.
Gabarito 1. D 2. C 3. C 4. E 5. D 6. A 7. B 8. A 9. B 10. B 11. S C = ]− ∞, − 4]∪ {− 3}∪ [ 0, 26 ]∪ ] 9, + ∞ [. 5⎡ ⎤ 12. S = ⎥ − 4,− ⎢ ∪ {− 2}∪ [1, + ∞[. 2⎣ ⎦
⎧⎛ 31 8 5 ⎞ ⎫ 13. S = ⎨⎜ t + , − , − , t ⎟, t ∈ IR − {5}⎬. 3 3 3 ⎠ ⎩⎝ ⎭ ⎡1 1 ⎤ 14. S = ⎢ , ⎥ ∪ [ 1, + ∞ [. ⎣4 3 ⎦
15. log c b =
16.
2XY 2nY + n (n − 1)X
1 + 2b − 3a 5(1 + b − a )