Taller de operaciones financieras by LEONARDO SAMPAYO

TALLER DE OPERACIONES FINANCIERAS

LEONARDO SAMPAYO NAZA

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“A mis padres Domingo y Miriam, a quienes siempre llevo en mi corazón. A mis hermanos que tanto quiero, Alejandro y Luisa. A Nora, quien con su cariño y dedicación se convirtió en una mamá para nosotros”.

LEONARDO SAMPAYO NAZA

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ACERCA DEL AUTOR:

Leonardo Sampayo Naza, administrador y especialista en finanzas de la Universidad Externado de Colombia y Master of art in Economics de la UNED. Lleva en la sangre sus dos pasiones: las finanzas y la docencia. Ha sido profesor de pregrado y posgrado en el área financiera por casi 20 años. Actualmente es dueño de la empresa Sam Supplier Consulting Group, dedicada a la capacitación empresarial, además de la empresa Camaleons, enfocada en el diseño, elaboración y administración de simuladores gerenciales. Ha escrito libros como: Manual de operaciones financieras, Taller de operaciones financieras, Matemáticas financieras aplicadas a las NIIF y Matemáticas financieras en 20 lecciones.

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AGRADECIMIENTOS

La realización de este libro no habría sido posible sin el apoyo y los ánimos de una serie de personas y amigos. Quisiera comenzar agradeciendo a la Facultad de Finanzas, Gobierno y Relaciones Internacionales de la Universidad Externado de Colombia, en cabeza del decano, el doctor Roberto Hinestrosa Rey, y su equipo directivo: Clara Inés Rey y Juan Pablo Mejía Calle, quienes constantemente manifestaron su apoyo para el desarrollo de este libro. Un agradecimiento muy especial a mis colaboradoras Laura Junca y Natalia Hernández, quienes con su trabajo, esfuerzo y dedicación fueron fundamentales en la revisión del texto. A mi maestro Luis Eduardo Mesa Guzmán por darme a conocer el maravilloso mundo de las finanzas. A los profesores Manuel de la Ossa, Diego Luengas, Esperanza Ardila, Fanny Hernández, Hernán Quintanilla, que a través de sus comentarios, opiniones , recomendaciones y estrategias me orientaron en todo momento. Gracias a mi amiga Elisa Piedrahita, ya que siempre me insistió en que debía plasmar mis métodos y estrategias de clase en un libro. A todos mis alumnos, que a lo largo de los años me han formado como docente y de quienes sigo aprendiendo cada día. Gracias a mi familia, a mi esposa e hijos, gracias a mis padres y hermanos, tíos, primos y abuelas, pues son ustedes los que me dan la fuerza, el apoyo, la comprensión y el amor necesario para seguir adelante. A todos de corazón mil y mil gracias…

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PRESENTACIÓN La presente obra se compone de dos partes: el Manual de operaciones financieras y el Taller de operaciones financieras. Por un lado, El Manual de operaciones financieras funciona como un texto guía, en el que se encontrarán los conceptos fundamentales y las explicaciones detalladas de cada tema, junto con el planteamiento, la explicación y el desarrollo, paso a paso, de sus respectivos ejemplos, a través del método manual, el uso de calculadoras programables, el uso de la calculadora financiera y el uso de la hoja de cálculo de Excel. Por otro lado, el Taller de operaciones financieras funciona como un libro de trabajo, donde se encontrarán una gran cantidad de ejercicios que le permitirán al lector adquirir las habilidades necesarias para profundizar su aprendizaje. Recuerde que la práctica hace al maestro, no solo basta con entender los conceptos expuestos en el Manual de operaciones financieras, pues el aprendizaje integral se logra con la repetición y la práctica. Cada ejercicio está diseñado para enseñar algo, así que entre más ejercicios logre desarrollar mejor será su preparación. El Taller de operaciones financieras se compone de 4 capítulos: Capítulo 1: El interés simple. Capítulo 2: El interés compuesto. Capítulo 3: Las anualidades. Capítulo 4: Los gradientes. Cada capítulo se encuentra dividido en 3 niveles: Un nivel básico, conformado por los conceptos, las programaciones, las formulaciones y la solución de problemas esenciales. Un nivel intermedio que brinda las herramientas necesarias para la solución de problemáticas complejas, requiriendo el uso de las identidades financieras o ecuaciones de valor. Finalmente, un nivel avanzado, donde se pondrán a prueba todas las habilidades y destrezas adquiridas en los niveles anteriores, además de un alto grado de concentración. El objetivo es partir de lo sencillo y gradualmente llegar a lo complejo. El Taller de operaciones financieras contiene dos tipos de ejercicios: los asistidos y los de verificación; los ejercicios asistidos no solo contienen las respuestas sino también su respectivo planteamiento, que permiten identificar los errores a la hora de desarrollar el ejercicio; mientras que los ejercicios de verificación se parecen a los asistidos, pero solo presentan las respuestas, con el objetivo de que el lector realice su propia evaluación. A lo largo del libro se hará referencia al concepto de identidad financiera, que no es más que la clásica ecuación de valor. Sin embargo, con el propósito de facilitar el aprendizaje, se optó por dividirla en niveles, de acuerdo con su grado de dificultad: Identidad Financiera Nivel 1: Se resolverán problemas que involucran el concepto de interés simple. Identidad Financiera Nivel 2: Se resolverán problemas que involucran el concepto de interés compuesto. Identidad Financiera Nivel 3: Se resolverán problemas complejos que involucran el concepto de anualidades clásicas.

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Identidad Financiera Nivel 4: Se resolverán problemas complejos que mezclan anualidades con diferentes periodicidades. Identidad Financiera Nivel 5: Se resolverán problemas complejos que mezclan anualidades con diferentes tasas de interés. Identidad Financiera Nivel 6: Se resolverán problemas complejos que mezclan anualidades con diferentes periodicidades y diferentes tasas de interés. Identidad Financiera Nivel 7: Se resolverán problemas que involucran el concepto de gradientes clásicos. Identidad Financiera Nivel 8: Se resolverán problemas complejos que mezclan gradientes con diferentes periodicidades. Identidad Financiera Nivel 9: Se resolverán problemas complejos que mezclan gradientes con diferentes tasas de interés. Identidad Financiera Nivel 10: Se resolverán problemas complejos que mezclan gradientes con diferentes periodicidades y diferentes tasas de interés. Observaciones: El taller contiene una gran cantidad de ejercicios que manejan fechas, buscando acercarse, de esta manera, a la realidad. Adicionalmente, se resolverán los problemas manejando la memoria de la calculadora, con el objetivo de respetar los decimales y así obtener un resultado más exacto, sobre todo en la conversión de tasas. Por esta razón, se buscó elaborar una herramienta que se ajuste a las necesidades del lector, el cual podrá administrar su ritmo de aprendizaje con completa autonomía, de acuerdo con sus capacidades y posibilidades, así como sus objetivos. Bienvenido a esta aventura que, sin duda alguna, será el complemento ideal para alcanzar la inteligencia financiera. LEONARDO SAMPAYO NAZA

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EL INTERÉS SIMPLE

1.1 TALLER ASISTIDO INTERÉS SIMPLE 1.1.1 NIVEL BÁSICO ASISTIDO INTERÉS SIMPLE En el nivel básico se desarrollan ejercicios para afianzar los conceptos de interés simple, la ecuación fundamental, la clasificación, el descuento real, el descuento comercial bancario y la tasa verdadera que se cobra en una operación de descuento simple.

TALLER ASISTIDO 1. 1 ECUACIÓN FUNDAMENTAL INTERÉS SIMPLE: Calcular el valor final de una inversión de $5.000 utilizando interés simple, teniendo en cuenta el plazo y la tasa presente en la siguiente matriz: 8% anual 2 años 1. 5 trimestres 2. 4.5 semestres 3.

2% bimestral 4. 5. 6.

1.5% mensual 7. 8. 9.

2% bimestral 4. $6.200 5. $5.750 6. $6.350

1.5% mensual 7. $6.800 8. $6.125 9. $7.025

RESPUESTA: 8% anual 2 años 1. $ 5.800 5 trimestres 2. $ 5.500 4.5 semestres 3. $ 5.900

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SOLUCIÓN: 1. VP = N= i= VF =

$ 5.000 2 años 8% anual ???

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 2 x 0.08 )) VF = 5.800 2. Cambiando el tiempo VP = $ 5.000 N= 5 trimestres i= 8% anual VF = ???

Equivale a 1.25 años

Cambiando la tasa VP = $ 5.000 N= 5 trimestres i= 8% anual VF = ???

Equivale al 2% trimestral

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 1.25 x 0.08 )) VF = 5.500

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 5 x 0.02 )) VF = 5.500

3. Cambiando el tiempo VP = $ 5.000 N= 4.5 semestres i= 8% anual VF = ???

Cambiando la tasa VP = $ 5.000 N= 4.5 semestres i= 8% anual VF = ???

Equivale a 2.25 años

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 2.25 x 0.08 )) VF = 5.900 4. Cambiando el tiempo VP = $ 5.000 N= 2 años i= 2% bimestral VF = ???

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Equivale a 12 bimestres

Equivale al 4% semestral

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 4.5 x 0.04 )) VF = 5.900

Cambiando la tasa VP = $ 5.000 N= 2 años i= 2% bimestral VF = ???

Equivale al 12% anual

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VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 12 x 0.02 )) VF = 6.200

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 2 x 0.12 )) VF = 6.200

5. Cambiando el tiempo VP = $ 5.000 N= 5 trimestres i= 2% bimestral VF = ???

Cambiando la tasa VP = $ 5.000 N= 5 trimestres i= 2% bimestral VF = ???

Equivale a 7.5 bimestres

Equivale al 3% trimestral

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 7.5 x 0.02 )) VF = 5.750

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 5 x 0.03 )) VF = 5.750

6. Cambiando el tiempo VP = $ 5.000 N= 4.5 semestres i= 2% bimestral VF = ???

Cambiando la tasa VP = $ 5.000 N= 4.5 semestres i= 2% bimestral VF = ???

Equivale a 13.5 bimestres

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 13.5 x 0.02 )) VF = 6.350 7. Cambiando el tiempo VP = $ 5.000 N= 2 aĂąos i= 1.5% mensual VF = ???

Equivale a 24 meses

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 4.5 x 0.06 )) VF = 6.350

Cambiando la tasa VP = $ 5.000 N= 2 aĂąos i= 1.5% mensual VF = ???

Equivale al 18% anual

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 24 x 0.015 )) VF = 6.800

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 2 x 0.18 )) VF = 6.800

8. Cambiando el tiempo VP = $ 5.000 N= 5 trimestres i= 1.5% mensual

Cambiando la tasa VP = $ 5.000 N= 5 trimestres i= 1.5% mensual

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Equivale a 15 meses

Equivale al 6% semestral

Equivale al 4.5% trimestral

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VF =

???

VF =

???

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 15 x 0.015 )) VF = 6.125

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 5 x 0.045 )) VF = 6.125

9. Cambiando el tiempo VP = $ 5.000 N= 4.5 semestres i= 1.5% mensual VF = ???

Cambiando la tasa VP = $ 5.000 N= 4.5 semestres i= 1.5% mensual VF = ???

Equivale a 27 meses

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 27 x 0.015 )) VF = 7.025

Equivale al 9% semestral

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) VF = 5.000 x ( 1 + ( 4.5 x 0.09 )) VF = 7.025

TALLER ASISTIDO 1. 2 ECUACIÓN FUNDAMENTAL INTERÉS SIMPLE: Calcular el valor inicial de una inversión que retorna la suma de $12.000 utilizando interés simple, teniendo en cuenta el plazo y la tasa presente en la siguiente matriz: 12% anual

2,5% trimestral 4. 5. 6.

4% semestral 7. 8. 9.

12% anual 18 meses 1. $10.169,49 48 quincenas 2. $9.677,41 24 bimestres 3. $8.108,1

2,5% trimestral 4. $10.434,78 5. $10.000 6. $8.571,42

4% semestral 7. $10.714,28 8. $10.344,82 9. $9.090,9

18 meses 1. 48 quincenas 2. 24 bimestres 3.

RESPUESTA:

SOLUCIÓN: 1. Cambiando el tiempo VF = $ 12.000 N= 18 meses LEONARDO SAMPAYO NAZA

Equivale a 1.5 años

Cambiando la tasa VF = $ 12.000 N= 18 meses 12

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i= VP =

12% anual ???

i= VP =

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12.000 = VP x ( 1 + ( 1. 5 x 0.12 )) 12.000 = VP x 1,18 VP = 12.000/1,18 VP = 10.169,49 2. Cambiando el tiempo VF = $ 12.000 N= 48 quincenas i= 12% anual VP = ???

Equivale a 2 años

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12.000 = VP x ( 1 + ( 2 x 0.12 )) 12.000 = VP x 1,24 VP = 12000/1,24 VP = 9677,41 3. Cambiando el tiempo VF = $ 12.000 N= 24 bimestres i= 12% anual VP = ???

Equivale a 4 años

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12.000 = VP x ( 1 + ( 4 x 0.12 )) 12.000 = VP x 1,48 VP = 12.000/1,48 VP = 8.108,10 4. Cambiando el tiempo VF = $ 12.000 N= 18 meses i= 2,5% trimestral VP = ???

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Equivale a 6 trimestres

12% anual ???

Equivale al 1% mensual

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12.000 = VP x ( 1 + ( 18 x 0.01 )) 12.000 = VP x 1,18 VP= 12.000 /1,18 VP= 10.169,49

Cambiando la tasa VF = $ 12.000 N= 48 quincenas i= 12% anual VP = ???

Equivale al 0,5% quincenal

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12.000 = VP x ( 1 + ( 48 x 0.005 )) 12.000 = VP x 1,24 VP= 12000 /1,24 VP= 9677,41

Cambiando la tasa VF = $ 12.000 N= 24 bimestres i= 12% anual VP = ???

Equivale al 2% bimestral

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12.000 = VP x ( 1 + ( 24 x 0.02 )) 12.000 = VP x 1,48 VP= 12.000 /1,48 VP= 8.108,1

Cambiando la tasa VF = $ 12.000 N= 18 meses i= 2,5% trimestral VP = ???

Equivale al 0,8333% mes

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VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12.000 = VP x ( 1 + ( 6 x 0.025 )) 12.000 = VP x 1,15 VP = 12.000/1,15 VP = 10.434,78

5. Cambiando el tiempo VF = $ 12.000 N= 48 quincenas i= 2,5% trimestral VP = ???

Equivale a 8 trimestres

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12.000 = VP x ( 1 + ( 8 x 0.025 )) 12.000 = VP x 1,2 VP = 12000/1,2 VP = 10000,0

6. Cambiando el tiempo VF = $ 12.000 N= 24 bimestres Equivale a 16 trimestres i= 2,5% trimestral VP = ??? VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12000 = VP x ( 1 + ( 16 x 0.025 )) 12000 = VP x 1,4 VP = 12000/1,4 VP = 8.571,42

7. Cambiando el tiempo VF = $ 12.000 N= 18 meses i= 4% semestral VP = ???

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Equivale a 3 semestres

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12000 = VP x ( 1 + ( 18 x 0.00833333 )) 12.000 = VP x 1,15 VP= 12000 /1,15 VP= 10.434,78

Cambiando la tasa VF = $ 12.000 N= 48 quincenas i= 2,5% trimestral VP = ???

Equivale al 0,4166% quincenal

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12000 = VP x ( 1 + ( 48 x 0.00416666 )) 12.000 = VP x 1,20 VP= 12.000 /1,20 VP= 10000,0

Cambiando la tasa VF = $ 12.000 N= 24 bimestres i= 2,5% trimestral VP = ???

Equivale al 1,6666% bimestral

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12000 = VP x ( 1 + ( 24 x 0.016666 )) 12000 = VP x 1,40 VP= 12000 /1,40 VP= 8.571,42

Cambiando la tasa VF = $ 12.000 N= 18 meses i= 4% Semestral VP = ???

Equivale al 0,6666% mensual

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VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12000 = VP x ( 1 + ( 3 x 0.04 )) 12.000 = VP x 1,12 VP = 12000/1,12 VP = 10714,28

8. Cambiando el tiempo VF = $ 12.000 N= 48 quincenas i= 4% semestres VP = ???

Equivale a 4 semestres

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12.000 = VP x ( 1 + ( 4 x 0.04 )) 12.000 = VP x 1,16 VP = 12.000/1,2 VP = 10.344,82

9. Cambiando el tiempo VF = $ 12.000 N= 24 bimestres i= 4% semestral VP = ???

Equivale a 8 semestres

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12.000 = VP x ( 1 + ( 8 x 0.04 )) 12.000 = VP x 1,32 VP = 12.000/1,32 VP = 9.090,9

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12000 = VP x ( 1 + ( 18 x 0.00666666 )) 12.000 = VP x 1,12 VP= 12000 /1,12 VP= 10714,28

Cambiando la tasa VF = $ 12.000 N= 48 quincenas i= 4% semestral VP = ???

Equivale al 0,3333% quincenal

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12000 = VP x ( 1 + ( 48 x 0.00333333 )) 12.000 = VP x 1,16 VP= 12.000 /1,16 VP= 10.344,82

Cambiando la tasa VF = $ 12.000 N= 24 bimestres i= 4% semestral VP = ???

Equivale al 1,3333% bimestral

VF = VP x ( 1 + ( N x i )) 12.000 = VP x ( 1 + ( 24 x 0.0133333 )) 12.000 = VP x 1,32 VP= 12.000 /1,32 VP= 9.090,9

TALLER ASISTIDO 1.3 CLASIFICACIÓN INTERÉS SIMPLE: El 13 de marzo de 2014, una persona invierte la suma de $1.200.000 en un título que ofrece una rentabilidad del 18% anual simple hasta el 30 de noviembre de 2016. Calcular el valor final de una inversión suponiendo un interés: A. Interés bancario B. Interés comercial C. Interés base 365

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RESPUESTA: A. VF = 1.795.800 B. VF = 1.786.200 C. VF = 1.787.046,57 SOLUCIÓN: A. Interés bancario VP = N= i= VF =

$1.200.000 993/360 años 18% anual ???

VF = $ 1.795.800 B. Interés comercial VP = N= i= VF =

$1.200.000 977/360 años 18% anual ???

VF = $1.786.200 C. Interés base 365 VP = N= i= VF =

$1.200.000 992/365 años 18% anual ???

VF = $ 1.787.046,57

El libro completo podrá ser adquirido en la librería de la Universidad Externado de Colombia en la calle 12 # 1-17 Este Edificio A piso 1 Bogotá – Colombia Teléfono (57-1) 3420288 extensión 3152. Se pueden realizar envíos nacionales e internacionales escribiendo al correo: tallerdeoperacionesfinancieras@hotmail.com dir.libreria@uexternado.edu.co LEONARDO SAMPAYO NAZA

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1.2 TALLER DE VERIFICACIÓN INTERÉS SIMPLE 1.2.1 NIVEL BÁSICO VERIFICACIÓN INTERÉS SIMPLE En el nivel básico se plantean ejercicios para afianzar los conceptos de interés simple, la ecuación fundamental, la clasificación, el descuento real, el descuento comercial bancario y la tasa verdadera que se cobra en una operación de descuento simple.

TALLER DE VERIFICACIÓN 1. 1 ECUACIÓN FUNDAMENTAL INTERÉS SIMPLE: Calcular el valor final de una inversión de $ 18.000 utilizando interés simple teniendo en cuenta el plazo y la tasa presente en la siguiente matriz: 6% semestral

4% trimestral

3% bimestral

6% semestral $ 25.560,0 $ 21.600,0 $ 21.150,0

4% trimestral $ 28.080,0 $ 22.800,0 $ 22.200,0

3% bimestral $ 29.340,0 $ 23.400,0 $ 22.725,0

3,5 años 20 meses 35 quincenas

RESPUESTA:

3,5 años 20 meses 35 quincenas

TALLER DE VERIFICACIÓN 1. 2 ECUACIÓN FUNDAMENTAL INTERÉS SIMPLE: Calcular el valor inicial de una inversión que retorna la suma de $25.000, utilizando interés simple teniendo en cuenta el plazo y la tasa presente en la siguiente matriz: 16% anual

2% mensual

0,8% quincenal

11 semestres 19 bimestres 17 trimestres

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RESPUESTA:

11 semestres 19 bimestres 17 trimestres

16% anual $ 13.297,9 $ 16.592,9 $ 14.881,0

2% mensual $ 10.775,9 $ 14.204,5 $ 12.376,2

0,8% quincenal $ 12.159,5 $ 15.547,3 $ 13.766,5

TALLER DE VERIFICACIÓN 1.3 CLASIFICACIÓN INTERÉS SIMPLE: El 20 de junio del 2015 una persona invierte la suma de $2.500.000 en un título que ofrece una rentabilidad del 21% anual simple hasta el 16 de marzo del 2017. Calcular el valor final de una inversión suponiendo un interés: A. Interés bancario B. Interés comercial C. Interés base 365

RESPUESTA: A. VF = $ 3.426.041,66 B. VF = $3.412.916,66 C. VF = $3.411.917,8

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EL INTERÉS COMPUESTO

2.1 TALLER ASISTIDO INTERÉS COMPUESTO 2.1.1 NIVEL BÁSICO ASISTIDO INTERÉS COMPUESTO En el nivel básico se resuelven problemas de conversión de tasas de interés, tasas exóticas, tasas variables, interés continuo, el valor del dinero en el tiempo, el manejo tributario de las inversiones y las inversiones en moneda extranjera.

TALLER ASISTIDO 2.1 CONVERSIÓN DE TASAS MANUAL: Realizar las siguientes conversiones de tasas de interés utilizando el método del trapecio: A. 10% ES a CMa B. 18% Cbimestral anticipada a EM C. 14% EA a NSa D. 4% periódica trimestral anticipada a E bimensual anticipada E. 16% NMa a CTa F. 0,85% Ebimensual a EA G. 21% CT a CS H. 25% NT a Periódica mensual I. 17% anual anticipada a NM J. 1,6% periódica mensual a ET

RESPUESTA: A. 18,911433948…% CMa B. 1,534616513…% efectiva mensual C. 12,682837684…% NSa. D. 0,678057322…% E bimensual anticipada E. 15,787614814…% CTa F. 22,52413952…% EA G. 21,55125…% CS H. 2,041377548…% periódica mensual I. 18,778370772…% CM J. 4,8772096…% ET

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SOLUCIĂ&#x201C;N: A. 10% ES a CMa EstaciĂłn 2 a la 4. PRIMER PASO 1-2: No se requiere realizar este paso por que la tasa que tengo ya esta en tĂŠrminos efectivos. SEGUNDO PASO 2-3: ( 1 + 0,10)2 = ( 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2039;)â&#x2C6;&#x2019;12 ( 1,10)(2/â&#x2C6;&#x2019;12) = ( 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2039;) ( 1,10)(2/â&#x2C6;&#x2019;12) â&#x2C6;&#x2019; 1 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2039; -X = -0,01575952829 X = 0,01575952829, es decir, el 1,575952829% EMa. TERCER PASO 3-4: N=ExP N= 0,01575952829 x 12 N = 0,18911433948 es decir 18,911433948% CMa B. 18% C bimestral anticipada a EM EstaciĂłn 1 a la 3. PRIMER PASO 1-2: E = N /P E= 0,18/6 E = 0,03 es decir 3% E bimestral anticipada

SEGUNDO PASO 2-3: ( 1 â&#x2C6;&#x2019; 0,03)â&#x2C6;&#x2019;6 = ( 1 + đ?&#x2018;&#x2039;)12 ( 0,97)(â&#x2C6;&#x2019;6 /12) = ( 1 + đ?&#x2018;&#x2039;) ( 0,97)(â&#x2C6;&#x2019;6 /12) â&#x2C6;&#x2019; 1 = đ?&#x2018;&#x2039; X = 0,01534616513 es decir el 1,534616513% efectiva mensual. TERCER PASO 3-4: No se debe realizar este paso por que la tasa se quiere de forma efectiva y no nominal. C. 14% EA a NSa EstaciĂłn 2 a la 4. PRIMER PASO 1-2: No se requiere realizar este paso por que la tasa que tengo ya esta en tĂŠrminos efectivos. SEGUNDO PASO 2-3: LEONARDO SAMPAYO NAZA

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( 1 + 0,14)1 = ( 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2039;)â&#x2C6;&#x2019;2 ( 1,14)(1/â&#x2C6;&#x2019;2) = ( 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2039;) ( 1,14)(1/â&#x2C6;&#x2019;2) â&#x2C6;&#x2019; 1 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2039; -X = -0,06341418842 X = 0,06341418842, es decir, el 6,341418842 % ESa. TERCER PASO 3-4: N=ExP N = 0,06341418842 x 2 N = 0,12682837684, es decir, 12,682837684 % CSa D. 4% PeriĂłdica trimestral anticipada a E bimensual anticipada EstaciĂłn 2 a la 3 PRIMER PASO 1-2: No se requiere realizar este paso por que la tasa que tengo ya esta en tĂŠrminos efectivos. SEGUNDO PASO 2-3: ( 1 â&#x2C6;&#x2019; 0,04)â&#x2C6;&#x2019;4 = ( 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2039;)â&#x2C6;&#x2019;24 ( 0,96)(â&#x2C6;&#x2019;4/â&#x2C6;&#x2019;24) = ( 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2039;) ( 0,96)(4/24) â&#x2C6;&#x2019; 1 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2039; -X = -0,00678057322 X = 0,00678057322, es decir, el 0,678057322% E bimensual anticipada. TERCER PASO 3-4: No se debe realizar este paso por que la tasa se quiere de forma efectiva y no nominal. E. 16% NMa a CTa EstaciĂłn 1 a la 4 PRIMER PASO 1-2: E = N /P E= 0,16/12 E = 0,0133333, es decir, 1,333333% EMa

SEGUNDO PASO 2-3: ( 1 â&#x2C6;&#x2019; 0,0133333)â&#x2C6;&#x2019;12 = ( 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2039;)â&#x2C6;&#x2019;4 ( 0,9866666666)(â&#x2C6;&#x2019;12/â&#x2C6;&#x2019;4) = ( 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2039;) ( 0,9866666666)(12/4) â&#x2C6;&#x2019; 1 = â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2039; -X = -0,03946903704 X = 0,03946903704, es decir, el 3,946903704 % ETa. TERCER PASO 3-4: LEONARDO SAMPAYO NAZA

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N=ExP N= 0,03946903704 x 4 N = 0,15787614814, es decir, 15,787614814% CTa f. 0,85% E bimensual a EA EstaciĂłn 2 a la 3. PRIMER PASO 1-2: No se requiere realizar este paso por que la tasa que tengo ya esta en tĂŠrminos efectivos. SEGUNDO PASO 2-3: ( 1 + 0,0085)24 = ( 1 + đ?&#x2018;&#x2039;)1 ( 1,0085)(24 /1) = ( 1 + đ?&#x2018;&#x2039;) ( 1,0085)24 â&#x2C6;&#x2019; 1 = đ?&#x2018;&#x2039; X = 0,2252413952, es decir, el 22,52413952% EA. TERCER PASO 3-4: No se debe realizar este paso por que la tasa se quiere de forma efectiva y no nominal. G. 21% CT a CS EstaciĂłn 1 a la 4 PRIMER PASO 1-2: E = N /P E= 0,21/4 E = 0,0525, es decir, 5,25% ET

SEGUNDO PASO 2-3: ( 1 + 0,0525)4 = ( 1 + đ?&#x2018;&#x2039;)2 ( 1,0525)(4 /2) = ( 1 + đ?&#x2018;&#x2039;) ( 1,0525)(4 /2) â&#x2C6;&#x2019; 1 = đ?&#x2018;&#x2039; X = 0,10775625, es decir, el 10,775625% ES. TERCER PASO 3-4: N=ExP N= 0,10775625 x 2 N = 0,2155125, es decir, 21,55125% CS H. 25%NT a periĂłdica mensual EstaciĂłn 1 a la 3. PRIMER PASO 1-2:

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E = N /P E= 0,25/4 E = 0,0625, es decir, 6,25%ET

SEGUNDO PASO 2-3: ( 1 + 0,0625)4 = ( 1 + đ?&#x2018;&#x2039;)12 ( 1,0625)(4 /12) = ( 1 + đ?&#x2018;&#x2039;) ( 1,0625)(4 /12) â&#x2C6;&#x2019; 1 = đ?&#x2018;&#x2039; X = 0,02041377548, es decir, el 2,041377548% periĂłdica mensual. TERCER PASO 3-4: No se debe realizar este paso por que la tasa se quiere de forma efectiva y no nominal.

El libro completo podrĂĄ ser adquirido en la librerĂa de la Universidad Externado de Colombia en la calle 12 # 1-17 Este Edificio A piso 1 BogotĂĄ â&#x20AC;&#x201C; Colombia TelĂŠfono (57-1) 3420288 extensiĂłn 3152. Se pueden realizar envĂos nacionales e internacionales escribiendo al correo: tallerdeoperacionesfinancieras@hotmail.com dir.libreria@uexternado.edu.co

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2.2 TALLER DE VERIFICACIÓN INTERÉS COMPUESTO 2.2.1 NIVEL BÁSICO VERIFICACIÓN INTERÉS COMPUESTO En el nivel básico se plantean problemas de conversión de tasas de interés, tasas exóticas, tasas variables, interés continuo, el valor del dinero en el tiempo, el manejo tributario de las inversiones y las inversiones en monedas extranjeras. TALLER DE VERIFICACIÓN 2.1 CONVERSIÓN DE TASAS MANUAL: Realizar las siguientes conversiones de tasas de interés utilizando el método del trapecio: A. 14% NM a CT B. 16% CSa a Cbimestral anticipada C. 18% Cbimensual a CTa D. 21% CTa a CM E. 2% EM a ET F. 5% ETa a EMa G. 8% ESa a CTa H. 20% CSa a EM I. 1,8% EM a CMa J. 12% CM a ETa RESPUESTA: A. 14,163968…% CT B. 16,446704…% Cbimestral anticipada C. 17,536792…% CTa D. 21,766388…% CM E. 6,1208…% ET F. 1,695242…% EMa G. 16,333478…% CTa H. 1,771517…% EM I. 21,218074…% CMa J. 2,940985…% ETa TALLER DE VERIFICACIÓN 2.2 CONVERSIÓN DE TASAS CON CALCULADORA FINANCIERA: Realizar las siguientes conversiones de tasas de interés, utilizando el método de La Pirámide: A. 17% CT a CS B. 19% CS a Cbimensual C. 15% CTa a CMa D. 20% CMa a CSa E. 13% Cbimestral a CMa F. 22% CSa a EA LEONARDO SAMPAYO NAZA

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G. 4% ES a EM H. 8% ES a Ebimestral I. 1,5% EMa a ESa J. 0,4% E bimensual anticipada a ETa K. 5% ET a EMa L. 12% EA a ESa M. 2% EMa a ET N. 3% ETa a EA Ñ. 15% CM a ETa O. 7% ES a CTa P. 0,3% Ebimensual anticipada a CS Q. 13% CTa a EMa R. 2,5% Ebimestral anticipada a CSa S. 24% CTa a Ebimensual anticipada RESPUESTA: A. 17,36125…% CS B. 18,219682…% Cbimensual C. 15,191506…% CMa D. 19,184955…% CSa E. 12,792493…% CMa F. 26,246686…% EA G. 0,655819…% EM H. 2,598556…% Ebimestral I. 8,669174…% ESa J. 2,376127…% ETa K. 1,613185…% EMa L. 5,508881…% ESa M. 6,248246…% ET N. 12,956977…% EA Ñ. 3,658167…% ETa O. 13,305404…% CTa P. 7,342387…% CS Q. 1,095286…% EMa R. 14,628125…% CSa S. 1,0259575…% Ebimensual anticipada

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LAS ANUALIDADES

3.1 TALLER ASISTIDO ANUALIDADES 3.1.1 NIVEL BÁSICO ASISTIDO ANUALIDADES En el nivel básico de anualidades resolveremos ejercicios de valor presente y futuro de una anualidad, anualidades vencidas y anticipadas, anualidades perpetuas, tablas de amortización y tablas de capitalización.

TALLER ASISTIDO 3.1 ECUACIÓN ANUALIDAD: Una empresa adquiere tecnología mediante un préstamo de $250 millones a un plazo de 8 años y el pago debe realizarse a través de cuotas periódicas iguales. Calcular el valor de la cuota a pagar: A. Suponiendo que las cuotas son vencidas B. Suponiendo que las cuotas son anticipadas

Cuota mensual 4,5% ETa 1. 19% NS 2. 9% E 5 meses 3.

Cuota bimestral 4. 5. 6.

Cuota quincenal 7. 8. 9.

A. Suponiendo que las cuotas son vencidas RESPUESTA: Cuota

Cuota

mensual

bimestral

quincenal

4,5% ETa

1. 5,0159

4. 10,1095

7. 2,4983

19% NS

2. 4,9746

5. 10,0251

8. 2,4779

3. 5,3734

6. 10,8403

9. 2,6751

9% E 5 meses

(Respuestas en millones de pesos)

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SOLUCIÓN: Utilizando la calculadora financiera con el mensaje “1 PGOS/AÑ: MODO FINAL”, por tratarse de cuotas vencidas. 1.

-250 V.A 96 N (cuota mensual) 1,5466364620% % IA (efectiva mensual) PAGO? $ 5,01596870

-250 96 1,524069997%

V.A N (cuota mensual) % IA (efectiva mensual)

PAGO? $ 4,97467259

-250 V.A 96 N (cuota mensual) 1,7384928187% % IA (efectiva mensual) PAGO? $ 5,37345541

-250 V.A 48 N (cuota bimestral) 3,1171937674% % IA (efectiva bimestral) PAGO? $ 10,10951620

-250 V.A 48 N (cuota bimestral) 3,0713678884% % IA (efectiva bimestral) PAGO? $ 10,02516267

-250 V.A 48 N (cuota bimestral) 3,5072092102% % IA (efectiva bimestral) PAGO? $ 10,84032796

-250 V.A 192 N (cuota quincenal) 0,7703510275% % IA (efectiva bimensual) PAGO? $ 2,49836127

-250 V.A 192 N (cuota quincenal) 0,7591534291% % IA (efectiva bimensual) PAGO? $ 2,47793065

9. -250 V.A 192 N (cuota quincenal) 0,8655009499% % IA (efectiva bimensual) PAGO? $ 2,67515098

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B. Suponiendo que las cuotas son anticipadas RESPUESTA: Cuota

Cuota

mensual

bimestral

quincenal

4,5% ETa

1. 4,9395

4. 9,8039

7. 2,4792

19% NS

2. 4,8999

5. 9,7264

8. 2,4593

3. 5,2816

6. 10,4730

9. 2,6521

9% E 5 meses

(Respuestas en millones de pesos) SOLUCIÓN: Utilizando la calculadora financiera con el mensaje “1 PGOS/AÑ: MODO INIC”, por tratarse de cuotas anticipadas. 1.

-250 V.A 96 N (cuota mensual) 1,5466364620% % IA (efectiva mensual) PAGO? $ 4,93957149

-250 96 1,524069997%

V.A N (cuota mensual) % IA (efectiva mensual)

PAGO? $ 4,89999326

-250 V.A 96 N (cuota mensual) 1,7384928187% % IA (efectiva mensual) PAGO? $ 5,28163457 5. -250 V.A 48 N (cuota bimestral) 3,0713678884% % IA (efectiva bimestral) PAGO? $ 9,72642827

-250 V.A 48 N (cuota bimestral) 3,1171937674% % IA (efectiva bimestral) PAGO? $ 9,80390935 6. -250 V.A 48 N (cuota bimestral) 3,5072092102% % IA (efectiva bimestral) PAGO? $ 10,47301733

-250 V.A 192 N (cuota quincenal) 0,7703510275% % IA (efectiva bimensual) PAGO? $ 2,47926225

-250 V.A 192 N (cuota quincenal) 0,7591534291% % IA (efectiva bimensual) PAGO? $ 2,45926108

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9. -250 V.A 192 N (cuota quincenal) 0,8655009499% % IA (efectiva bimensual) PAGO? $ 2,65219619

TALLER ASISTIDO 3.2 ECUACIÓN ANUALIDAD: La junta directiva de una empresa ha decidido realizar una reconversión tecnológica en 5 años, para lograr su objetivo decide ahorrar cuotas periódicas iguales en un fondo de capitalización. Calcular el valor de la cuota a ahorrar si actualmente la maquinaria tiene un valor de $1.600 millones, y se espera una inflación del 3% para los próximos 2 años y del 2,5% para los siguientes 3 años. A. Suponiendo que las cuotas son vencidas B. Suponiendo que las cuotas son anticipadas Cuotas anuales 0,4% E bimensual 1.

Cuotas semestrales

Cuotas trimestrales

13% E 10 meses anticipados 3.

11% NMa

A. Suponiendo que las cuotas son vencidas. RESPUESTA: Cuotas

Cuotas

anuales

semestrales

trimestrales

0,4% E bimensual

1. 299,0881

4. 145,9628

7. 72,1074

11% NMa

2. 289,5483

5. 140,7755

8. 69,4155

13% E 10 meses anticipados

3. 254,5576

6. 121,9643

9. 59,7085

(Respuestas en millones de pesos)

SOLUCIÓN: Debemos calcular la cuota del valor futuro de una anualidad, sin embargo, la maquinaria que se desea adquirir tiene un valor de $1.600 millones a precio de hoy, y deberíamos proyectar su valor dentro de 5 años teniendo en cuenta la inflación proyectada así: 1.600 x (1 + 0,03)2 x (1 + 0,025)3 = 1.827,9572 Ahora procedemos a calcular la cuota a ahorrar utilizando VDT en la calculadora financiera con el mensaje “1 PGOS/AÑ: MODO FINAL”, por tratarse de cuotas vencidas. LEONARDO SAMPAYO NAZA

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2. -1.827,96 V.F 5 N (cuota anual) 10,05483003% % IA (efectiva anual) PAGO? $ 299,088

-1.827,96 5 11,684446739%

V.F N (cuota anual) % IA (efectiva anual)

PAGO? $ 289,548

-1.827,96 V.F 5 N (cuota anual) 18,1889561227% % IA (efectiva anual) PAGO? $ 254,558

-1.827,96 V.F 10 N (cuota semestral) 4,9070207535% % IA (efectiva semestral) PAGO? $ 145,963

-1.827,96 V.F 10 N (cuota semestral) 5,6808623825% % IA (efectiva semestral) PAGO? $ 140,7755

-1.827,96 V.F 10 N (cuota semestral) 8,714744% % IA (efectiva semestral) PAGO? $ 121,9644

-1.827,96 V.F 20 N (cuota trimestral) 2,4241283846% % IA (efectiva trimestral) PAGO? $ 72,107

-1.827,96 V.F 20 N (cuota trimestral) 2,8011976499% % IA (efectiva trimestral) PAGO? $ 69,415

9. -1.827,96 V.F 20 N (cuota trimestral) 4,266363% % IA (efectiva trimestral) PAGO? $ 59,7085

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3.2 TALLER DE VERIFICACIÓN ANUALIDADES 3.2.1 NIVEL BÁSICO VERIFICACIÓN ANUALIDADES En el nivel básico de anualidades proponemos ejercicios de valor presente y futuro de una anualidad, anualidades vencidas y anticipadas, anualidades perpetuas, tablas de amortización y tablas de capitalización.

TALLER DE VERIFICACIÓN 3.1 ECUACIÓN ANUALIDAD: Una organización invierte excedentes por un valor de $820 millones a un plazo de 6 años con el objetivo de realizar retiros periódicos iguales. Calcular el valor de los retiros: A. Suponiendo que los retiros son vencidos. B. Suponiendo que los retiros son anticipados. Retiros anuales

Retiros semestrales

Retiros trimestrales

0,6% EM 1. 16,64% E 2 años 2.

4. 5.

7. 8.

10% C diario Base 360 3.

RESPUESTA: A. Suponiendo que los retiros son vencidos. Retiros

Retiros

anuales

semestrales

trimestrales

0,6% EM

1. 174,38

4. 85,62

7. 42,43

16,64% E 2 años

2. 177,37

5. 86,98

8. 43,07

10% C diario Base 360

3. 191,13

6. 93,17

9. 46,00

(Respuestas en millones de pesos) B. Suponiendo que los retiros son anticipados. Retiros

Retiros

anuales

semestrales

trimestrales

0,6% EM

1. 162,30

4. 82,61

7. 41,67

16,64% E 2 años

2. 164,23

5. 83,69

8. 42,25

10% C diario Base 360

3. 172,94

6. 88,63

9. 44,87

(Respuestas en millones de pesos)

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TALLER DE VERIFICACIÓN 3.2 ECUACIÓN ANUALIDAD: Una familia desea asistir al próximo mundial de fútbol en 4 años, para lograr su objetivo decide ahorrar cuotas periódicas iguales en un fondo de ahorro programado. Calcular el valor de la cuota a ahorrar si se estima que la asistencia de toda la familia al próximo mundial podría valer $150.000.000. A. Suponiendo que las cuotas son vencidas B. Suponiendo que las cuotas son anticipadas Cuota mensual 10%EAa 1. 12% CT 2. 8% E 320 dias Base 366 3.

Cuota bimestral 4. 5. 6.

Cuota quincenal 7. 8. 9.

RESPUESTA: A. Suponiendo que las cuotas son vencidas. Cuota

Cuota

mensual 10%EAa 1. 2.523.676,7 12% CT 2. 2.456.142,4 8% E 320 dias Base 366 3. 2.616.652

Cuota

bimestral

quincenal

4. 5.069.609

7. 1.259.068,6

5. 4.936.604,6

8. 1.225.046,2

6. 5.252.568,6

9. 1.305.926,7

B. Suponiendo que las cuotas son anticipadas.

10%EAa 1. 12% CT 2. 8% E 320 dias Base 366 3.

Cuota

mensual

bimestral

quincenal

2.501.615,7

4.981.363,3

1.253.553,4

2.432.061

4.840.276,7

1.219.025,9

2.597.528,2

5.176.072,3

1.301.145,8

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LOS GRADIENTES

4.1 TALLER ASISTIDO GRADIENTES 4.1.1 NIVEL BÁSICO ASISTIDO GRADIENTES En el nivel básico de gradientes resolvemos ejercicios sencillos de gradientes aritméticos y geométricos, crecientes y decrecientes, gradientes perpetuos y gradientes vencidos y anticipados.

TALLER ASISTIDO 4.1 GRADIENTE ARITMÉTICO: Hallar el valor que debe invertir el distrito hoy para garantizar el funcionamiento de los mega colegios durante los próximos 12 años, considerando que su funcionamiento mensual es de 2.500 millones crecientes en 560 millones cada mes. Los recursos se invierten en TES a una tasa de 3,4% CTa. RESPUESTA: El valor de la inversión debe ser de $4.694.882,38 millones. PLANTEAMIENTO: VPGA [P=2.500; i=0, 28494957914; N=144; L=560; VPGA=?]

TALLER ASISTIDO 4.2 GRADIENTE ARITMÉTICO: Sandra desea construir su finca en 3 años. Un arquitecto estima que dicha construcción vale hoy $90.000.000 y se estima una inflación del 2,5% anual para los próximos años. Para cumplir con su objetivo Sandra decide realizar ahorros bimestrales que decrecen en $50.000, en una cooperativa que ofrece una rentabilidad equivalente al 2% ET. Calcular el valor de la primera cuota a ahorrar. RESPUESTA: La primera cuota debe ser de $5.208.883,82. PLANTEAMIENTO: Calculamos el valor de la construcción en 3 años mediante una operación de VDT: 90.000.000 x (1 + 0,025)3 = 96.920.156,25 Sandra requiere reunir $96.920.156,25 en 3 años. LEONARDO SAMPAYO NAZA

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VFGA [VFGA= 96.920.156,25 ; i=1, 32892794; N=18; L = -50.000; P=?]

TALLER ASISTIDO 4.3 GRADIENTE ARITMÉTICO: ¿Cuántas cuotas debo ahorrar para reunir $85.000.000, mediante el depósito de cuotas cada 7 meses de $2.189.000 crecientes en $175.000 cada período, a una tasa de interés equivalente al 16% E 494 días anticipados base 366? RESPUESTA: El número de cuotas será de 15. PLANTEAMIENTO: VFGA [VFGA= 85.000.000; P=2.189.000; i=7, 826485555; L = 175.000; N=?]

TALLER ASISTIDO 4.4 GRADIENTE ARITMÉTICO: Una persona realiza un préstamo de $78.000.000, que deberá ser pagado en 40 cuotas cada 5 meses a una tasa de interés del 16% EAa. Si el primer pago es de $9.500.000 ¿Cuál deberá ser la variación lineal de las cuotas? RESPUESTA: Las cuotas deben decrecer en $299.592,79. PLANTEAMIENTO: VPGA [VPGA=78.000.000; P=9.500.000; i=7, 535113413; N=40; L=?]

TALLER ASISTIDO 4.5 GRADIENTE ARITMÉTICO: La Alcaldía de Bogotá quiere crear un fondo para garantizar, de forma indefinida, la campaña de cultura ciudadana del sistema integrado de transporte. Esta campaña se estima en $45.000.000 semestrales que se incrementan en $5.000.000 cada semestre. Calcular el valor del fondo si los recursos allí invertidos rentan un 1,5% ET. RESPUESTA: La Alcaldía debe crear un fondo por un valor de $6.961.984.181,2 PLANTEAMIENTO: VPGAINF [P= 45.000.000; i=3, 0225; L= 5.000.000; VPGAINF=?]

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4.2 TALLER VERIFICACIÓN GRADIENTES 4.2.1 NIVEL BÁSICO VERIFICACIÓN GRADIENTES En el nivel básico de gradientes proponemos ejercicios sencillos de gradientes aritméticos y geométricos, crecientes y decrecientes, gradientes perpetuos y gradientes vencidos y anticipados.

TALLER DE VERIFICACIÓN 4.1 GRADIENTE ARITMÉTICO: María Antonia decide viajar a Australia en sus próximas vacaciones, para ello realiza un préstamo a un plazo de 4 años, mediante el pago de cuotas cada 4 meses de $2.500.000 decrecientes en $30.000 cada 4 meses y a una tasa de interés equivalente al 0,8% EMa ¿Cuánto dinero se le prestó a María Antonia para realizar su viaje? RESPUESTA: El valor del préstamo es de $22.991.389,15.

TALLER DE VERIFICACIÓN 4.2 GRADIENTE ARITMÉTICO: La gerencia de una compañía está pensando en cambiar sus máquinas dentro de 4 años. Dicha maquinaria tiene actualmente un valor de $2.200 millones y se estima una inflación del 3% anual para los próximos años. La tecnología que actualmente posee la compañía se puede vender en $500 millones al momento de adquirir la nueva. Para cumplir con su objetivo la gerencia decide realizar ahorros cada 4 meses crecientes en $20 millones a una tasa de interés equivalente al 9% N diaria anticipada base 360. Calcular el valor de la primera cuota a ahorrar. RESPUESTA: La primera cuota debe ser de $36,01 millones.

TALLER DE VERIFICACIÓN 4.3 GRADIENTE ARITMÉTICO: ¿Durante cuántos años debo ahorrar cuotas quincenales de $350.000 que decrecen en $4.500 cada período, si deseo reunir la suma de $10.354.000 en una cuenta de ahorro programado que reconoce un interés equivalente al 0,6% Ema? RESPUESTA: Debo ahorrar durante un año y medio.

TALLER DE VERIFICACIÓN 4.4 GRADIENTE ARITMÉTICO: Una empresa adquiere un terreno por un valor de $600.000.000. Una entidad financiera está dispuesta a prestarle el 70% de su valor, el cual será pagado mediante cuotas semestrales en un plazo de 9 años y a una tasa de interés equivalente al 18% CMa. Si el valor de la primera cuota es de $20.000.000 hallar el valor del incremento lineal en cada una de las cuotas. RESPUESTA: El valor del incremento lineal debe ser de $4.796.573,53.

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TALLER DE VERIFICACIÓN 4.5 GRADIENTE ARITMÉTICO: El contrato de arriendo de un hogar para ancianos establece un canon de $2.000.000 mensuales pagaderos de forma vencida. Dichas cuotas se incrementan mes a mes en $15.000. Una ONG que apoya a la población vulnerable desea realizar un aporte el día de hoy que garantice el pago de este canon a perpetuidad. ¿Cuál deberá ser el valor que aporte la ONG si se sabe que estos recursos podrán ser invertidos en una cuenta que reconoce un interés del 5% NSa? RESPUESTA: La ONG deberá realizar un aporte de $1.311.871.819.

TALLER DE VERIFICACIÓN 4.6 GRADIENTE ARITMÉTICO: Erika ahorra $800.000 cada 7 meses crecientes en $50.000 cada período. Si 7 años después de iniciar su ahorro Erika retira la suma de $18.500.000, calcular la rentabilidad efectiva anual. RESPUESTA: La rentabilidad es del 6,983081936% E 7 meses que equivale al 12,2676% EA.

TALLER DE VERIFICACIÓN 4.7 GRADIENTE ARITMÉTICO: El ICETEX le presta a Katya $5.000.000 para pagar el primer semestre de su carrera, $5.350.000 para pagar el segundo semestre, $5.700.000 para pagar el tercer semestre y así sucesivamente. Si la carrera de Katya dura 5 años, calcular el valor de la deuda con el ICETEX justo cuando se realiza el último desembolso, si esta entidad del Estado cobra una tasa de interés del 5% CTa. RESPUESTA: El valor de la deuda es de $73.008.813,1.

LEONARDO SAMPAYO NAZA