O Número De Ouro O NÚMERO DE OURO NA MÚSICA Diogo Silva, Leonor Ribeiro, Mariana Lima, Mariana Caramalho, Mateus Laranjeira Matemática | 8 de maio de 2019
Conteúdo Introdução ................................................................................................................................. 2 Definição do número de ouro ................................................................................................... 3 Proporção Áurea........................................................................................................................ 3 Explicação matemática da proporção áurea: ........................................................................ 4 Proporção Áurea e Sequência de Fibonacci ............................................................................. 5 Série de frações ...................................................................................................................... 6 Série de raízes ........................................................................................................................ 6 Proporção Áurea em Instrumentos Musicais e Acordes.......................................................... 6 Violino .................................................................................................................................... 6 Piano e Acordes ..................................................................................................................... 7 A presença do número de ouro nas peças musicais................................................................. 7 Sonatas para piano de Mozart ............................................................................................... 7 Análise feita por ernő Lendvai sobre as obras de Bartok e bach ......................................... 8 Beethoven............................................................................................................................... 8 Tool – ‘’Lateralus’’ .................................................................................................................. 9 Mistérios em relação ao número de ouro................................................................................ 10 Conclusão ................................................................................................................................. 12 Webgrafia ................................................................................................................................. 13
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Introdução O presente trabalho é sobre a presença do número de ouro na música, mais concretamente a proporção áurea na construção de instrumentos, arranjos de melodias e composição de peças. Está organizado em 6 partes. Na primeira parte, será abordado a definição do número de ouro. Na segunda parte, optámos por abordar o que é a proporção áurea e sua explicação matemática. Na terceira parte, abordar-se-á a proporção áurea e a sequência de Fibonacci. Na seguinte parte, falar-se-á da proporção áurea em instrumentos musicais e acordes. De seguida, expomos a presença do número de ouro nas peças musicais. E, por último, referirse-á os mistérios em relação ao número de ouro. É objetivo que esta pesquisa seja apresentada à turma para que possamos partilhar o que com ela aprendemos.
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Definição do número de ouro O número de ouro também conhecido como número Phi, proporção áurea, razão áurea ou razão de ouro, é um número irracional considerado por muitos como enigmático e misterioso, uma vez que este número surge numa infinidade de elementos, na forma de razão, “razão áurea”, como mencionada previamente. O Phi, pode ser encontrado na proporção das conchas, nas plantas, nos seres humanos, nos planetas e até mesmo nas formas das galáxias. Esta razão é vista como uma “dádiva de Deus”, visto que muitos estudiosos não conseguem explica-la. Este número provém da série de Fibonacci, e esta progressão é bastante famosa não só porque a soma dos termos adjacentes equivale ao seu termo seguinte, mas também porque os quocientes dos termos adjacentes possuem a propriedade de se aproximaram gradualmente do número de 1,618, o PHI, cujo valor exato é:
Proporção Áurea Matematicamente, diz-se que duas grandezas estão na proporção áurea se a proporção delas for igual à proporção da soma delas para a maior ou maior das duas grandezas. A proporção áurea é conhecida por vários nomes desde a antiguidade. Alguns desses nomes são Seção Dourada, Média Dourada, Seção Divina, Proporção Divina, Número Dourado, Corte Dourado, Seção Medial e Razão Média. Alguns dos artistas e arquitetos famosos têm utilizado a proporção áurea na sua arte, especialmente através da forma de Retângulo Dourado. O significado, o uso e a ocorrência da proporção áurea também têm sido objeto de debate entre os cientistas. Tanto a ciência como o mistério estão relacionados a essa proporção incomum. Seja uma verdade ou uma coincidência, a proporção áurea foi encontrada em vários fenómenos naturais e seres vivos, e tem sido usada por inúmeros artistas e arquitetos nas suas obras desde os tempos antigos também.
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EXPLICAĂ‡ĂƒO MATEMĂ TICA DA PROPORĂ‡ĂƒO Ă UREA:
A Proporção Dourada ĂŠ representada por Ă˜ e seu valor ĂŠ aproximadamente igual a 1.61803398874989484820 ... Para chegarmos ao nĂşmero de ouro, pode-se começar por considerar o segmento de reta, cujas duas extremidades se denominam por A e C, e colocando um ponto B entre as extremidades (neste caso o ponto B estĂĄ mais perto de A, formando assim duas partes desiguais). A
B
C
A razão entre os comprimentos destes segmentos designa-se habitualmente por seção åurea. Então, tem-se que:
(đ??´đ??ľ)
(đ??ľđ??ś)
= (đ??ľđ??ś) (đ??´đ??ś)
Pode-se entĂŁo, definir o nĂşmero de ouro se fizermos que:
AB = y BC = x AC = x + y O nĂşmero de ouro vai ser a razĂŁo entre x e y:
đ?‘Ś
đ?‘Ľ
= (đ?‘Ľ+đ?‘Ś) đ?‘Ľ
Se ainda substituirmos y por 1 tem-se que:
1
đ?‘Ľ
= đ?‘Ľ (đ?‘Ľ+1) Multiplicando ambos os lados por x (x + 1), obtĂŠm-se:
x² - x – 1 = 0 Resolvemos esta equação de segundo grau, obtemos assim as soluçþes:
xâ‚ = xâ‚‚ =
(1+ √5) 2 (1− √5) 2
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Como o comprimento de um polígono nunca pode ser considerado negativo, assim, só termos em conta o primeiro valor (x₁). Chegamos então, ao que se pretende, isto é, encontramos o número de ouro.
(1+ √5)
Ø=
2
Proporção Áurea e Sequência de Fibonacci Sequência de Fibonacci é uma série de números em que a soma de cada número é a soma dos dois números anteriores. A série é representada como 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,… O número áureo está presente na fórmula do termo geral da Série de Fibonacci. Ao dividir cada número com o seu número anterior, obtém-se a Proporção Áurea na Sequência de Fibonacci. Os resultados aproximam-se da proporção áurea à medida que avançamos na série.
1 1
2 1
3 2
5 3
=2
= 1,5
= 1,666
13 8
21 13
Se formos mais longe, obter-se-á que
=1
233 144
= 1,625
= 1,615
= 1,61805, o que é muito próximo do número
de ouro, ou seja, 1,6180339887.
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Como termo geral tem-se que:
SÉRIE DE FRAÇÕES A aproximação do número áureo vem com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Frações. O valor varia em torno do número áureo, sendo maior ou menor alternadamente, mas sempre se aproximando deste.
SÉRIE DE RAÍZES Também pode-se chegar à aproximação do número áureo com a quantidade de números 1 em uma representação de Série de Raízes.
Proporção Áurea em Instrumentos Musicais e Acordes Como subtema do número de ouro, iremos falar seguidamente da sua presença na música. Para além de outras diversas áreas, podemos confirmar que em várias obras, ou até nos próprios instrumentos, nomeadamente na sua construção, este número está presente. VIOLINO Este é um dos exemplos mais comuns visto que a razão áurea está presente na construção dos violinos de Stradivarius. Não é ao acaso que estes violinos custam milhares de euros e grande parte do seu valor provém da sequência de Fibonacci e do número de ouro. O número de ouro pode ser encontrado em várias partes do violino, dividindo o comprimento de especificas partes do instrumento, há quem acredite que este é um dos motivos pelo quais o som emitido é tão belo. Para além de o número de ouro ser usado na construção dos violinos, também é usado nas peças bocais de saxofones e mesmo no design de acústica de algumas catedrais.
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PIANO E ACORDES Tendo como base uma oitava do piano, podemos concluir que esta é constituída por 13 teclas no total, sendo 8 brancas e 5 pretas. Uma escala é composta no total por oito notas, das quais a terceira, a quinta e a oitava criam a base do acorde. Por exemplo, o acorde de Dó maior, a terceira nota seria o Mi Natural e a quinta o Sol Natural, isto dá certo tendo em conta a construção de um acorde maior visto que de Dó para Mi vão 2 tons e de Mi para Sol 1,5 tons, (base fundamental da construção de um acorde maior). Para além disto, numa escala a nota predominante é a quinta, que neste caso serie a oitava das treze teclas que constituem a escala. Se dividirmos 8 por 13 obteremos aproximadamente 0,615. Se reparamos com atenção vemos que os números mencionados posteriormente (3, 5, 8 e 13) fazem todos parte da Sequência de Fibonacci.
A presença do número de ouro nas peças musicais. SONATAS PARA PIANO DE MOZART Muitos compositores de música erudita usaram a sequência e o número de ouro nas suas obras. Um dos compositores mais conhecidos, Mozart, não é exceção sendo que a maioria das suas sonatas para piano tem bases no fundo de ouro. Para compreendermos melhor isto temos de primeiro saber a estrutura destas sonatas. Estas são compostas por duas partes: a 1ª é a “Exposition” (onde o tema da música é introduzido); a 2ª é “Development and recapitulation”(nesta parte o tema é desenvolvido e repetido). Mozart, escrevia as suas sonatas de forma a que o número de compassos da 2ª parte (“development and recapitulaion”) ao ser dividido pelo número de compassos na 1ª parte (“exposição”) seria, aproximadamente 1,618, isto é, o valor de PHI. Analistas musicais, afirmam que para além de Mozart outros compositores como Bartók, Debussy, Shubert, Bach, Satie, Beethoven, entre outros, também usavam esta técnica para escreverem as suas próprias sonatas. No entanto, ninguém consegue explicar porque este método funciona de uma forma tão eficaz.
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ANÁLISE FEITA POR ERNŐ LENDVAI SOBRE AS OBRAS DE BARTOK E BACH Ernő Lendvai, uma analista musical, no princípio de 1995, publicou artigos com o objetivo de comprovar a existência da sequência de Fibonacci em várias peças de Bartok e Bach. Embora muitos tenham ficado fascinados com este trabalho, também houve quem encontrasse lacunas no seu trabalho, sendo assim o estudo feito por este analista veio a tornar-se controverso. Lendvai começou por interligar a paixão do compositor pela natureza com as características da sua obra. Deste modo, abordava fatores como, a estrutura das peças, quando é eu a obra atinge o clímax e também s tonalidades. O exemplo que Ernő usa para demonstrar a existência de Fibonacci é a obra “Music for strings, percussion and celest, Movement 1”. A análise prova que: -A peça é composta no seu total por 88 compassos; -O clímax (momento mais forte da obra) acontece no compasso 55; -Os violinos deixam de tocar no compasso 34 e recomeçam no compasso 69; -A exposição termina no compasso 21. Apesar destes dados parecerem comprovar a sua tese, uma vez que todos estes números estão presentes na Sequência de Fibonacci, porém, outros estudos contrariam estas afirmações dizendo que os violinos deixam de tocar no compasso 33, e não 34, e recomeçam no compasso 68 e não no 69; para além disso a exposição termina no compasso 20, em vez do 21.
BEETHOVEN Como foi mencionado previamente, Beethoven não escapou ao uso do número de ouro na composição das suas peças. Um exemplo bastante conhecido é a sua 5a sinfonia. No livro “Mathematics Teaching” volume 84 de 1978, Derek Haylock escreve sobre o número de ouro na 5a sinfonia de Beethoven, entre as páginas 56 e 57. Este afirma que o mote de abertura ocorre exatamente no compasso 228 de 601, e se fizermos a divisão de 372 por 601 o valor obtido será exatamente 0,618. No entanto este tem de considerar que a obra tem no seu total 601 compassos para obter estes resultados, ignorando assim os 20 compassos que aparecem no final do mote e também o compasso 387.
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Podemos então ver uma semelhança entre este trabalho e o de Lendvai, uma vez que ambos tiveram de “ajustar” as peças para comprovarem a existência da proporção áurea.
TOOL – ‘’LATERALUS’’ Apesar dos exemplos dados previamente serem de alguns séculos atrás, a presença do número de ouro na música e da Sequência de Fibonacci não desapareceu com o avançar do tempo, aliás um dos exemplos mais recentes é da música “Lateralus” da banda Tool. Maynard James Keenan, ou MJK, vocalista desta banda deu várias entrevistas nas quais fala sobre a introdução da sequência nesta obra. No entanto, contrariamente ao que foi visto nas obras de Mozart, Bartok e Beethoven, a sequência não está na estrutura da obra, mas sim na sua letra. As sílabas da letra seguem os primeiros 7 termos da sequência sendo a ordem (1,1,2,3,5,8,5,3,2,1,1,2,3,5,8,13,8,5). Como mostramos a seguir no excerto: [1] black[1] then [2] white are [3] all I see [5] in my infancy [8] red and yellow then came to be [5] reaching out to me [3] lets me see [2] there is [1] so [1] much [2] more and [3] beckons me [5] to look through to these [8] infinite possibilities [13] as below so above and beyond I imagine [8] drawn outside the lines of reason [5] push the envelope [3] watch it bend
Como já todos sabemos estes números fazem todos parte da sequência de Fibonacci.
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Mistérios em relação ao número de ouro Ainda em relação à música, há uma curiosidade bastante interessante com a qual nos deparamos facilmente no nosso dia-a-dia. A sequência em padrão de espiral de Fibonacci aparece na clave de fá, havendo ainda várias semelhanças a esta espiral.
Abordando outras curiosidades, já na antiguidade o homem procurou durante anos a beleza perfeita, a proporção ideal. Os gregos acabaram por criar o retângulo de ouro. Neste retângulo existe proporções, sendo que a partir da divisão do lado maior com o lado menor tudo poderia ser construído. Com isto eles construíram o Pathernon (monumento), a proporção do retângulo que forma a face central e lateral. A largura dividida pelo comprimento, tudo segue uma proporção ideal de 1,618.
Se voltarmos ao Egito Antigo, no tempo da construção das pirâmides, é possível afirmar que as pirâmides de Gizé foram construídas tendo como base a razão áurea, onde a razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro. Cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo, ou seja a, de baixo era 1,618 maior que a de cima, sendo que esta era 1,618 maior que a da 3ª fileira e assim consequentemente.
Em 1200, Fibonacci estudava o crescimento das populações dos coelhos. A partir de dois coelhos, foi contando como o seu número aumentava a partir da reprodução de várias gerações. Desta forma chegou assim a uma sequência matemática, a Série de Fibonacci. Esta série consiste em que o número é igual à soma dos dois números anteriores. A proporção de crescimento média da séria é 1,618 sendo que os números variam, um pouco acima às vezes, um pouco abaixo, mas a média é a mesma.
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Por volta de 1500, Leonardo da Vinci pegou em cadáveres, como cientista que era, para medir a proporção do corpo humano e descobriu que obedece bastante à divina proporção. Por exemplo: -Medir a nossa altura e depois dividir pela altura do nosso umbigo até ao chão, o resultado é 1,618; -Medir o braço inteiro e depois dividir pelo tamanho do nosso cotovelo até ao dedo, o resultado é 1,618; -Medir a perna inteira e depois dividir pelo tamanho do nosso joelho até ao chão, o resultado é 1,618. Entre muitos outros exemplos. Como no ser humano, também existem exemplos na natureza, tais como: - O quociente do número de abelhas fêmeas pelo número de abelhas macho numa colmeia é de 1,618. - A proporção que aumenta o tamanho das espirais de um caracol é de 1,618. - A proporção em que se diminuem as folhas de uma árvore a medida que subimos de altura é de 1,618. - Na galáxia, as estrelas distribuem-se em torno de um astro principal numa espiral obedecendo à proporção áurea. Ao longo da nossa pesquisa encontramos também no YouTube um vídeo que mostra uma música no piano feita pela Sequência de Fibonacci que apresentamos no seguinte link https://youtu.be/IGJeGOw8TzQ
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Conclusão Com a realização deste trabalho foi possível comprovar que realmente muitas coisas do nosso dia-a-dia contêm matemática. O número de ouro é um número racional que está sob a forma de uma razão, considerado um símbolo da harmonia. Surgiu da necessidade que os antigos tinham de utilizar a contagem como forma matemática. Todos os exemplos atrás referidos levaram-nos a perceber o quão grande é a importância deste número que por este motivo foi chamado “de ouro”. Com o nosso trabalho, pretendemos uma abordagem matemática do Número de Ouro. Tentámos mostrar algumas ocorrências do Número de Ouro na música (e procurando ultrapassar todas as dificuldades na pesquisa), assim como a sua definição e história.
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Webgrafia A metodologia utilizada foi a pesquisa webgrรกfica. https://numerodeouromojatec.blogspot.com/2012/07/introducao-ao-numero-deouro.html?m=1 consultado a 26/04/2019 https://pt.slideshare.net/DiogoFernandes/srie-de-fibonacci-e-o-nmero-de-ouro-3598303 consultado a 26/04/2019 http://puro.cc/os-misterios-da-proporcao-que-rege-a-vida-e-a-evolucao/ consultado a 04/05/2019 https://checkmath.wordpress.com/2011/08/07/numero-de-ouro/ consultado a 04/05/2019 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/curiosidouro.htm consultado a 04/05/2019 https://docplayer.com.br/8813891-Oficina-o-numero-de-ouro-seus-misterios-e-suapresenca-em-nossas-vidas.html consultado a 04/05/2019 https://noize.com.br/fibonacci-na-musica-e-na-natureza/ consultado a 07/05/2019 https://www.library.ethz.ch/en/ms/Virtual-exhibitions/Fibonacci.-Un-ponte-sulMediterraneo/Reception-of-Fibonacci-numbers-and-the-golden-ratio/Bela-Bartok-thegolden-ratio-in-music consultado a 07/05/2019 file:///C:/Users/Lenovo/Downloads/N%C3%BAmero%20de%20ouro_Casa%20da%20Ci%C 3%AAncia_mar%C3%A7o2019%20(1).pdf consultado a 07/05/2019 https://www.ebah.com.br/content/ABAAAAqeoAL/numero-ouro consultado a 07/05/2019 https://pt.wikipedia.org/wiki/Propor%C3%A7%C3%A3o_%C3%A1urea#S%C3%A9rie_de_fr a%C3%A7%C3%B5es consultado a 09/05/2019 https://amp.classicfm.com/discover-music/fibonacci-sequence-inmusic/?__twitter_impression=true consultado a 09/05/2019
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