146595798 wittgenstein tratactus logico philosophicus

DWIG WITTGENSTEIN

TRACTATÜS OSOPHICUS

Trarratu* Logiro-Philosophicua

Eala obra. como dil o Praf. JoaA Annirn QUXHOTTI ao abrir a excelente introdutao que •aereveu para rata edição, ralo * Uni. Adverte alada, ergu -ida O próprio autor — ntravafar.ie fluíra ;.- Btara**o RcaatLi. dalinaia •m Aet>-òlo> da awaidrM a (-.í-JI maani (trad. da Breoao Sheire, Comp. Editora National, 0. Paulo, 1*48) — que qualquer explicação eatnrior ao texto é do iVmtnn do qua'dará aar calado, o qua podaria conatranger lodo aquela qae. ntbora apeOaliiado «RI historia da Idpon moderna, mame a veleidade da fawr qualquer comentar» eAbra laia Urro. laeo, •JJAa. •-: :.*-~- . ao próprio Real i:: .[i •-. anuindo «o» aerrevar a aneaatntacto qua a editora Rodam I I J I para a publicação do TroOolt.. racabeu dé WrrraiwTtix aala curioaa rwpoata: "Muito obrigado por aau manuacrito. fito •atou moita» naMa da acordo com *lr, tanto noa tracboa rtc qua V. na critica como naquaiea ra ;_• pretende meramente tomar clarea minha» opinioea. M M nAo fai mal. O futuro noa julgari. Ou nto — o aa lia *r calar, ji aeri um julgamento."

Quase rtaqaaotafiáno. o livro da WITTOINairI« # maroc doa maia importantes, na t-tona da loura modarna. Nto aeatimoa dianta dele aquela daUncia, dii o Prol GIAHNOTTI, peculiar aoa laxtoa cUaaiooa, qua demandam maia irdua a procravaiva aproiimaoio. Nto obaiame, é uai claaaico a aoa clAaeieoa í principalmente dedicada «ata colado. C talrea — dietaata qua outro*, em virtude da importância qua aaaumhi no "ambienta da euforia" q«a aa eefuiu t publicação doi Primctpto, da Rceaau. a da WamnEAD. «an 1910- E, ao entanto, uma obra da grande importância na evolução do peoaaroento louro. É certo, como afirma o Proí. GiaMKOTR, qua "a unidade qua parnõtia conceber a lógica como um aáaema total, revelou— iluaríria" no «volver daa trta «aríam década* do Doaao akulo.

'•aaaieue m eatrt doar»»

Obra ;,.:.'.i i.l.-iil íom a cfl/cjín'nfiio do UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Rr troar Prof. Dr. Luto ANTôNIO D* GAII» « S I L » .

Vici-urro* «m exerdõo: Prof. Dt. Hí:li> LOOBKNÇO Dl OllTCIM

SSITâSA DA UNIVEIUIDADI DE SÃO PADLO CowMão Eo iro MAL: Praaidaoie — Prol. Di. Mario GBÍmaiftca Ferri (Faculdade de Filosofia, Ciências o Lelraa). M H V bra: Prof. Dt. A. Brito da Cunb» (Paeuldad* «• Filosofia, Ctfnetoa • Letra»), Prof. Dr. C r i o . d> Sdva ! . u i ! (Faculdade de Medicina). Prof. Dr. Miguel ReeJe (Faculdade de Dírerlo). - Prof. Dr. Pé»io de Souia Santos (E>cola Politécnica).

BIBLIOTECA UNIVERSITÁRIA .--•"• I.* — Filosofia Volume 10

DirttOo: Dr. C a c i COSTA

LÜDWIG WITTGENSTEIN

Tractatus Lógico- Philosophicus Tradução I apn**tatO> df Jot£ ABTHDR G U N S O I T I

COMPANHIA EDITORA NACIONAL EDITORA DA UNIVERSIDADE DE SAO PAULO -Xo i". f i o

Titulo original: Logi*ch-PhÜo*ophi*ehe

Abharuüung

pubmdo w 1MI M HT'11 f <M«M .'."•.•-." 4m ,VW|Ui«jMr K n M H i m u U !<!«-«• • triniln | M | intffc», bilínjO» sua o UUto TVaiMIM L ^ w » HtSâpiftWi IMa i™dm*ii aaçua e « • ti» II*.' 0* lUum* ~li<*.( .n ©

RODTUCUC à KEúAN PADL LIO

fUrttioi

1961

para a Hnfua portofuto tÊfAíÊK

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COMPANHIA EDITORA NACIONAL F n t dai GuuDta, 639 — 8*0 P u l o 2. SP

i aa• N m N M

SUMARIO

Introdução

1

Prtfddo

53

Tractatus LoçiafPhüoiophictu

5ft

'.;.:.!• à tradução

1*1

Cloudrio

135

índice remiMÍw.....

137

INTRODUÇÃO

A leitura do Traclatuê, apesar das enormes dificuldades que oferece, fecha-ee sobre si mesma; M O que pode icr expresso o pode ser com clareia, como nos adverte seu autor, qualquer explicação exterior ao texto penetra DOS domiaioe do que enfim deve ser calado. Sabemos que o urro não * om manual; dirige-se. sem intermediários, a um pubheo famiharixado com os principais problemas da lógica moderna.

Sendo sua publicação recente (1921), nfto lentimoa diante dele aquela distancia peculiar aos textos clássicos que demanda uma aproximação árdua e progressiva. Nessas condições, como juntar-lhe uma introdução feita DOS moldes tradicionais, revelando as articulações mestras de seu pensamento T Toda análise seria redundante, correndo o risco de encaminhar o leitor Duma direção que, mesmo correta, nfto seria a doica. É sintomático o que aconteceu com a apresentação feita por Ruaseil. Este anuíra em escrever a introdução que a Editora Reelam exigia para a publicação do livro. Quando, porem, Wittgenstein recebe os originais, nfto pode esconder sua decepção. Numa carta de 4 de abril de 1920, escreve: "Muito obrigado por seu manuscrito. Nfto estou muitas e muitas vfaee de acordo com ele, tanto DOS trechos em que voe* me critica como naqueles em que pretende meramente tonar claras minhM opiniões, Mas nfto fas mal. 0 futuro DOS julgará. Ou nfto — e se Ale se calar, já será um julgatoanto". Na carta posterior (6 de maio) Wittgensteán, entretanto, vai mais longe: "Você ficará saogado comigo quando lhe contar o seguinte: sua introdução nfto será impressa e proviretmeDte por isso mesmo meu livro também olo. Quando soe defrontei com a tradução alemã de sua introdução, nfto pMte decidir-me a publicá-la com meu trabalho. A finura de seu estuo inglês perdera-ae — evidentemente — na tra-

doçfto, restando apenas Buperficialidade e malentendido.

Enviei então o trabalho 0 sua introdução pare a Reelam, escrevendo-lnes que náo queria a introdução impressa, ]4 M apenas servia de arientaçao a respeito de meu trabalho. ', pcô, altamente provável que por isso a Reclam nfto o aceite (embora ate agora não tenha recebido reapoata alguma) "(')• Somente um ano depois é que o TVootofu aparece, na revista de Ostwald, Ánaia ae filoêofia nahiral, publicada em Ldpiif pela Editora Unesma G.M.B.B. No entanto, a tradução inglesa, publicada no ano seguinte, traa uma introdução de Bertrand RusseU, datada de maio de 1922. Ê diftcU acreditar que o texto eeja o mesmo. Sabemos apenas que Wittgenstein, já resvalando para o misticismo, desinteressara•e por seu trabalho, n*o revendo com o devido cuidado o texto inglês, ao contrario do que afirma o tradutor.

S

Convém lembrar, todavia, que a formulação de grande parte doa problemas colocados pelo Tractahu depende de uma situação histórica quo aa últimas descobertas da lógica matemática alteram sobremaneira. Devemos em particular ter presente que Wittgenstein trabalhou no ambiente de euforia que se seguiu a publicação dos Principia de Rusaaü e Whitehead, muito aPtes, portanto, do impacto provocado pela obra de Gódcl, que teve, como um de seta efeitos, a virtude de isolar o cálculo proposicional dos outros cálculos matemáticos. Sendo decidlvel e completo, náo possui ama estrotureeao suficientemente rica, capar de dar conta da complexidade, por exemplo, do sistema da aritmética ou da geometria. Ora, Wittgenstein elege o cálculo das proposições como padráo de inteligibilidade de todos os '*'•*—t formais, postulando, cm conseqüência, uma unidade entre Cies que mais tarde se revelou ilusória. Além do mais, essa unidade lhe permite conceber a lógica como um sistema total, ao contrario da dispersão doa sistemas particulares predominantes na lógica contemporânea. E evidente que nessas condições os problema! d* semântica, os problemas que diaem respeito ás relações do sistema com o mundo, haveriam do ser propostos de uma forma muito mala ambtaoaa do que boje estamos acostumados a propor. Dai a riqueta do Traetaius, daf em compensação seu dogmatismo, que por 0) Sf*n/[*n Mm Itó«>í WiUetmUin, rol 1, pf. 276-S, S,h.-ku*p V«ri*t Frankfurt, IBOO.

Mito desnorteará aquele que n i o o abordar de um* perspectiva critica que só a historia pode oferecer. Considerando Asse provável estranhamento é que fomos levado* a preparar a longa introdução que »e segue. Correndo o r i m de impa-, cientar o leitor com um texto relativamente grande, pretendemos apenas reconstruir os principais problemas semânticos tais como Wittgenstein os encontrou. Com a pubheaçao dos inéditos anteriores ao Tractalui, estamos, ademais, em condições de traçar sua evolução desde o ponto de partida, com Frete e Ruasell, até o momento em que se formulam suas principais teses. Retornando, pois, às origens, esboçando uma gexcaJcgia de seus conceito* bancos, nada mais pretendemos do qne famihariiar o leitor com certas questões lógicas que 0 formaÜ«mo moderno tem em geral negligenciado. Condui.d •• ate* a fronteira desse livro, o leitor deverá, sòsinho e contando com seus próprios recursos, penetrar então num terreno em que impera, absoluta, a palavra de Wittgenstein.

1 — As inovações d« F r e g e .

A obra de Gottlob Frege ocupa sem duvida um dos pontos mais altos na história da lógica, podendo apenas ser comparada com a de Aristóteles ou a de Leibnii; mas, apesar disso, ou talves por isso mesmo, sua penetração foi lenta e penosa. Basta lembrar que somente hoje è que se publica um volume reunindo seus artigos dispersos em revista* alemis, de acesso dificílimo. Seu primeiro Hvro é de 1876 — BegrifÍKÁrifU Bine der orünmetiecSen nackgebüdeie Formtliprgcke dei rnnsn Denkmê (Ideogrnfia: tma linç^açem Jornal do pensamento pvro imitada da Unçuaarm da aritmética) — que nio teve a mínima repercussão. Em 1SS4 publiea Orumflaom i/r Aritnmttik: Bine loguch-viaAematiMcne UnterlueÂtna doer den Begriff der Zahl (Fundamento» da aritnílica: •--.-- inteetigacAo túçico-matematica soore o conceito de •UíSUTD)(T).

Depois de uma intensa participação nas revistas da epocaO, pubnea em 1893 sua obra " * ' * ' " • em dois volumes: Orvndoeeetee oVr ÃriÜmetik {Principioi da «riímíüca).

(2) Bi um* tradução bglfea publica*!» |-n Buü BlaekveO, Oriord.

M*

CD Cf. a coletânea feita por PeUr Geach e M u Black: TrmmmmMê yn> (b PaOM**MW WriUnte of GetUeb Frete, B - ! BUekwefl.

Oilorf, 1953.

•"

Propôs-se como principal tare/n íormaliiar a aritmética, a fla ie estabelecer uma passagem contínua entre a lógica e a matemática. Mas, para isso foi preciso tanto encontrar uma dafiniçlo lógica doe principais conceitos aritméticos, em particular o de número, como refundir oe conceitos lógicos fundamentais. Tarefa árdua, que implicara uma reforma geral da visão da lógica e da matemática.

Cm de seus pontos de partida consistiu em precisar e estender o conceito matemático de funçlo. Segundo as antigas definições, uma função de x seria uma expressão matemática contendo x, uma fórmula em que a letra z aparecesse. E •vidente a insuficiência de uma definição de tal ordem, que não distingue entre forma e conteúdo, sinal e coisa assinalada, ?'.:. Frege, ao contrário, visa, de um lado à conexão (Zu4amncnçtJi6riglc€%t) que, por exemplo, a função numérica estabelece entre uma série de números e, de outro, à necessidade de a expressão vir a ser completada, a exigêneis de ser juftaposta a outros termos para poder significar alguma coisa. Por isso, "a expressão de uma função carece de complemento (rrgârmngtbedúrflig), sendo insatisfeita (unj**Bíijí)"(*).

Convém distinguir na função o argumento, que nao pertence a ela mas lhe advém para formar um todo, o lugar do argumento e o valor que obtém quando a variável é substituída por uma constante. Na história da matemática, diz Frege, assistimos a uma ampliação cada vez maior dos tipos poadveis de argumento, bastando lembrar na aritmética a introdução de funções com números complexos s, ademais, algumas tentativas de empregar a noção de função operando entre palavras. A reforma 1de Frege vai mais longe: faa com que expressões da forma í - 4 e ( > 2, cujos valores, por exemplo, variam de 0 a 3, possam ser consideradas funções.

De fato, essas expressões se apresentam de modo incompleto, possuindo sentido tão-somente quando um dos números possíveis vier a ocupar o lugar do argumento. E feita a substituição, obteremos os seguintes resultados: 0* • 4. 1' — 4, 2» « 4, 3» - 4, e 0 > 2 , 1 > 2, 2 > 2, 3 > 2; expressões que, em geral, são falsas, a nao ser duas exceções, uma para cada série. Pois bem, a grande novidade de Frege é pensar fc* - 4 e f > 0 como funções cujos valflrea sejam, em lugar de números, os valores verdadeiro ou falso. Desse modo. fgj gtasatjawlM, I. p. 5.

as fcftwtw 2* - 4 e 3 > 2 denotariam o verdade-:.-., enquanto as outras denotariam o falso. Com isto se tntrodui • noçto de valor de verdade, uma das maiores conquistas do pensamento lógico contemporâneo.

Como distinguir, porém, 2' = t e 3 > 2, se ambas possuem a mesma denotae&o (Bedtutung) verdadeira? Graças a seu sentido {S***), k forma de comunicar alguma coisa independentemente de seus valore» de verdade, isto é. da relação com o Talor fabo ou o valor verdadeiro. De sorte que Frege é conduzido a distinguir nitidamente a denotaçao de um nome, isto é, o objeto significado, da maneira pela qual este objeto * UçicamenU apresentado. Dal poder diier: o nome oprime (auadrückí) seu sentido e denota (bedeuteí) sua denotaçao.

Uma teoria da função nfto depende da exaU distinção entre sentido e denotaçao; tanto é assim que Asses conceitos somente aparecem nas últimas obras de Frege, quando a teoria da função já estava terminada; o mesmo nio acontece, todavia, com o estudo do nome, das expressões que podem aparecer como argumento das funções. Vejamos como se dá essa agaçáo.

A expressão 2x é ambígua, na medida em que designa vários números conforme forem dados valores a x. E maior, porém, a ambigüidade de expressões do tipo 2r - y, sobretudo porque fatero intervir a complicada noção de igualdade.

No Beçriffêchrifl Frege a interpreta como sinal a unir símbolos diferentes postos pelo mesmo objeto. Mas a introdução da noção de sentido, leva-o k reformular esta primeira teoria insuficiente, passando a igualdade a representar a ligação de dois sentidos diferentes que se reportam ao mesmo objeto denotado. Podemos dixer que "Scott" eqüivale a "o autor de Waveriey" porque êsu» dois sentidos diferentes se reportam ao mesmo objeto.

Kem todos os nomes, porém, possuem denotaçao. "O corpo mais distante da ferra", "Bucéfalo", "Aquiles" tio palavra*- inteKglveia a que, «ntretanto, náo corresponde objeto algum. A primeira torna-se aignificante graças a composição de nomes denotativoe, mas a própria composição náo deve êo ipK possuir denotaçao própria. As outras sáo names de figuras lendárias, cujo sentido se apreende consultando os poetas ou um bom dicionário. Alem do mais, há uma

Certa jnbricacao entre sentido e denotaç&o: quando menciono "o woüdo d» expressão 'o autor de Waverley'" transformei "o aator da Waverley" na deootaçao da fraae inteira. Isto quer diaer que e>i--t*m denotaçoes oblíquas (unprrade*) que anteriomente foram sentidos.

A iadeterminacio do sentido e da denotaçao i comum nas HpfiM correntes; a linguagem artificial, porem, deve evita-!*, cada nome havendo de possuir sentido e denotaçao precisos. Ambas as línguas, contudo, apresentam a mesma estrutura tentaria; primeiro, a camada material dos sinaia falados ou escritos; segundo, o véu dos sentidos c, finalmente, o conjunto de objete* denotados. Concepção de extrema importância por causa de seu alcance teórico e de suas repercussões históricas. Assim é que está na base da teoria fanomenológiea da linguagem, a única doutrina que atualmeuta Um condições de resistir à avalanche da semiótica behaviorista que, ao contrario das teses de Frege e de Husserl, distingue na linguagem apenas a camada de sinais e os objetos rtsnntarloa 0 ato da palavra víncular-ee-ia diretamente àa eoiaas asm necessitar da camada ideal das significações, redutindo-se, portanto, ao esquema do reflexo condicionado.

A comparação daa expressões de tipo 2x c 2x - y revela ainda outra distinção fundamental, agora no que respeita a seus valores; os da primeira sao números e os da segunda ato valores de verdade. Dado isso, é Doatfvel a defaiaie lógica do conceito que o identifica à função cujos valores sao sempre valores de verdade. Dfasc modo, o conceito apreaeerta uma estrutura incompleta, nomeadamente predicativa, a tal ponto que tudo o que nao possuir tal caráter * transformado em objeto. Entre os conceitos e os nomes surge, pois, rip-n clivagem que separa, de um lado. as expressões completas (os nomes na sua acepção mais ampla), a que eor ponde toda sorte de objetividade, e de outro, as sxpresi incompletadas que disem respeito a objetos em geral. de notar que essa olivagem é logicamente definiria e substitui a divisão ariatotehca entre sujeito e predicado, considerada por Frege de natureaa psicológica^): toda expressa a incompleta, graças a transformação quer do sujeito quer do predicado em variável, forma um conceito, desde que seus valores sejam sempre ou o verdadeiro ou o falso.

15) Trcndatma from PkOt>«i?kiati KVilMfi "! GaCtiob F*f. p- 3-

Isso pasto, seguem-se conseqüências as mais imprevisíveis. Primeiramente é preciso distinguir a ralação que um argumento mantém eom a função (relação subter, ou i na notação de Peano). da relação que um cont«údo — M a l com outro mais extenso (relação sub ou de incluafto)A. A antiga noção filosófica de subsunçao, a relação que o conceito mantém com seus elementos, entendida na base da relação entre predicado e sujeito, dá lugar a duas noções totalmente distintas que revolucionam a teoria do jufso.

Assim é que "Sócrates 6 mortal", onde o argumento "Sócrates" a&tiafas a função " . . . é mortal", oão pode mais ser posta no mesmo nível, como fazia a siloglsüca tradicional, com a propoaie&o "Todos os homens sao mortais", em que dois conceitos sao relacionados em virtude de suas respectivas extensões. Do mesmo modo, a relação de parte e todo a que, desde Aristóteles, estava subordinada a coçao de conceito, perde importância para a lógica em vista de sua ambigüidade. Os diagramas de Euler constituem apenas uma analogia imperfeita das verdadeiras relações que as proposições DO silogismo mantém entre aí(").

Em segundo lugar, a própria extensão passa por uma reforma radical, deixando de constituir na ooleçio de objetos que caem sob o conceito, para vir a ser determinada por uma propriedade do próprio conceito; firma-se, por conseguinte, a absoluta anterioridade da intensao sobre a extensão. Aqui e preciso recorrer à importantíssima distinção entre propriedades (Eiçerue/iaften) e marcas características (Merkmalt) de um eoaeeito, estas sendo propriedades das coisas que caem sob o conceito, aquelas, propriedades do próprio conceito, ou melhor conceitos de conceitos ou conceitos de segunda ordem Cumpre nau confundir, por exemplo, "retangular" como propriedade dos objetos que caem sob o conceito '"triângulo rattngnlo" com a propriedade expressa pela frase "nio há triângulos retangulares acutingulos" que se refere diretamente à característica do conceito em questão de nio possuir sob ai conceito algumC). Em outras palavras, í preciso não confundir as qualidades dos objetos cujos nomes sao argumento do conceito com as propriedades do próprio conceito. (« / * < p. H. CT) OU, p. 106 ») OwMOam, f S3; rranJo/wm, p. Al.

A extensão figura entre as segundas, poia consiste ca propriedade de o conceito dispor sob «ia égide tantos e U b objetos.

Além do mais. a introdução de conceitos de segunda ordem resolve uma série de dificuldades que o aúnbohsnío matemático havia levantado; 1) a classe nula, cuja compreensão se toma difícil de um ponto de vista exteostonal, na medida em que afirma a existência de uma coleção que nio posem elementos, passa a corresponder A propriedade peculiar a certos conceitos, como "6 um decaedro regular", de nio terem nada sob si; 3) o membro de uma classe nio se confunde com a classe de um único elemento, pois o primeiro é um elemento da classe enquanto que a ultima é determinada pela propriedade de certos conceitos serem predicados de um único elemento; 3) a existência dos objetos matemáticos passa a ser determinada por um conceito de segunda ordem, de modo que se torna totalmente independente das formas da sensibilidade, ao contrario do que erroneamente pensava o kantismo; 4) finalmente o número cardinal recebe uma definição satisfatória, baseada na propriedade de os conceitos possuírem sob si determinada quantidade de objetos.

No entanto, a divagam radical entre coisas e conceitos, que se estriba no caráter predicativo desses últimos, nio se fai sem dificuldades. Contra ela se levanta a seguinte objeção que o lógico Kerry apontou: o conceito também pode surgir como sujeito, como na proposição "o conceito de número é de segunda ordem". A resposta de Frege(*) reafirma: 1) há termos que só podem ocorrer como sujeitos, isto é, como nomes; 2) podemos ainda ter um conceito subordinado a outro, mas, neste caso, estamos operando com o nome e nio com o próprio conceito. No exemplo acima, o predicado "de segunda ordem" seria dito do nome "conceito de número".

Apesar de esta solução estar de acordo com nossos hábitos atuais, moldados pelo neopositivismo que tanto insistiu na diferença entre língua objetai e met&ungua, ela nio dá conta do fato de a predieaçio se fazer sobre o objeto nomeado pelo sujeito e nio sobre o próprio nome sujeito. Além do mais, é preciso salientar outra dificuldade apontada pelo primeiro Rus§efl('°): o caráter predicativo do conceito dificilmente se coaduna com a situação de sujeito. E é o próprio Frege quem (9) .r - :i.«'.i.'. "i-, pp. 42 » M%.

(10) O . P n - n s t o , p. 607.

reeiu-rna no artigo contra Kerry: "o comportamento do conceito 4 essencialmente predicativo, mesmo quando se fas alguma nsrrçlo sobre êle, de modo que só pode ser substituído por outro conceito, nunca por um objeto"("). Veremos mais tarde como o debati* se aprofunda; por ora DOS cabe apenas observar que o problema da transformação do conceito em objeto, ou o problema da nominaliiaçao. como o chamam os fenomenólogoi*, translada o conceito para outro níve:. o que nio se fai sem dificuldades do ponto de vista lógico.

O coaceito justaposto a seu objeto constitui a proposição, forma expressiva do pensamento (Gaianke). A que se identifica esse pensamento, ao sentido ou a denotaçao? £ evidente que a denotaçao de uma proposição nlo se altera quando substituímos uma de suas partes por outra de mesma denotaçao, a despeito das possíveis modificações de sentido.

Se substituirmos o sujeito da proposição "A estréia da manha é iluminada pelo sol" por "estrela da tarde", obteremos sem divida um pensamento diferente que, contudo, mantém a denotaçao anterior. Tudo indica, portanto, que pensamento e sentido de uma proposição sao a mesma coisa. 0 que ha, porém, de ser a denotaçao inalterável que riermaneee nas duas proposições, na que tem como sujeito "a estréia da tarde" e na outra que tem como sujeito "a estréia da manhã"?

O que é de comum a ambas é apenas o valor de verdade verdadeiro, de modo que nao ha outra solução possível senfto toma-lo tumo a denotaçao. Assim sendo, o pensamento é o sentido da proposição e um valor de verdade a sua denotaçaoC*). Em lugar de referir-se aos fatos ou a uma. conjunção de coisas, a proposição passa a denotar um objeto ideal eooatrtuído pelo valor verdadeiro ou pelo valor falso.

Uma tradição que remonta a Aristóteles quebra-se pela primeira vea. , Nem todas as proposições possuem a mesma estrutura simples. Nao nos cabe, todavia, entrar no pormenor, examinando como Frege analisa as sentenças mais oomplexas a fim de comprovar a viabilidade de sua interpretação, Fhnznoooa ' p — t em suas conseqüências filosóficas. Sonsos em geral levados a pensar a relação do pensamento com a ver(11) f - — « u , p . so.

PS 1 W . P- 82.

dede como Aquela que vincula o sujeito à predieacfto. Na proposição "S é P", P é dito da denotaça© de S, de sorte que. ao afirmar '"5 í P' * verdadeiro" temos o predicado "é verdadeiro" reportando-ee à denotaçao (um fato, por exemplo) do sujeito proporcional. Esta solução ingênua, todavia, nao leva em conl& a inexistência de uma diferença significativa entre a saserçfta "S ê P" ("5 é um número primo") e a asaerçfto '"S ê P" é verdadeiro" ("'*» é um número primo' é verdadeiro"). Graças a ela o sujeito e o predicado, entendidos num sentido lopoo, devem ser elementos do pensamento a permanecerem, no que respeita ao conhecimento, sempre no mesmo nível. Sua combinação produs apenas pensamentos que somente se referem a uma objetividade sem, contudo, saltarem parft ela, como se fosse possfvtí. pelo simples jogo das proposições e suas partes, passar dó pensamsnto para seu valor de verdade. . Este nao pode faaer parte do pensamento, tampouco, digamos, como o sol, na medida em que nao constituem sentidos mas objetos(").

Todas as proposições declaratives simples possuem, destarte, duas denotáçoes possíveis: a veracidade e a falsidade.

Como tala, noa sfto perfeitamente inteligíveis sem que seja preciso eleger um dos valores de verdade. 0 jufso consiste precisamente nesta eleição, DO reconhecimento da verdade de um pensamento^*), na quebra da indiferença em que a proposição se apresentava ao mero enunciado. Como tantos outros lógicos que lhe sfto contemporâneos, Frege distingue o conteúdo do juiio (beurUübarer InhaU), o pensamento simplesmente apreendido, da asserçfto que assevera sua verdade. J á o Btçrifíichrift Kpara o conteúdo (a mortalidade de Sócrates) da proposição (Sócrates é mortal); o primeiro í representado por um traço horiiontal (—) diante da sentença, a segunda, a asseveração desse mesmo conteúdo (E verdade que Sócrates é mortal), 4 representada pdo traço traço vertical junto ao traço de conteúdo (|—)• No entanto, como fugir a uma determinação psi<-ologica do conteúdo? A fenomenologia de Busserl tentou resolver a questão recorrendo à intencionalidade: a cada ato de jufso enquanto processo mental corresponde um conteúdo objetivo, visado pelo ato, mas que nfto partilha necessariamente (13) asa,

B. «a.

(14) Ovadff****. p. 9.

10

de sua natureaa psicológica. £ preciso nio confundir, suma, A percepção psicológica da mesa com s própria como objeto do mundo. É evidente, portm, qtie cata aolnçáo nlo teria cabimento para Frege, porquanto pressupõe uma analise da consciência que se faz extraldgtcamente.

Foi pfeciaamente com o intento de expurgar os últimos traços de peicologismo que Frege refunde sua primeira teoria da aasereao» Os Grundlagen retomavam expressamente o principio ds abstração de Hume(ls): o conteúdo do juüo resulta de um processo que passa de eonceitoB menos extensos a outros mais abstratos. Tomemos, por exemplo, "x 4 paralelo a e" e façamos com que aeja substituído por "a direção da reta a", de sorte que a situação descrita pelo eocceito de paralelismo venha a ser descrita pelo conoeito "ter a mesma direção de a". No juito "o 6 paralelo a o" tem lugar, pois, uma dissociação geradora da equação "a direcfto de b é igual à direção de a", •conteúdo do primeiro jufío- £ evidente que tal processo pressupõe uma atividade intelectual que opera a passagem de um a outro conceito. A primeira vista, este breco* pera o peicologismo pode parecer desimportante mas, na medida em que a definição de número como conceito de segunda ordem demanda esta forma de abstração, ela atinge os próprios fundamentos do logiciamo que Frege pretendia estabelecer.

Exemplifiquemos: um conjunto A qualquer corresponde a um determinado conceito, a saber, "x ê apóstolo de Cristo", e outro conjunto B, também corresponde a outro conceito: "x 4 cavaleiro da Távola Redonda". £ possível estabelecer entre os conjuntos uma relação bíunlvoca, de modo a que possamos <tiier que ambos possuem o mesmo número. 0 principio de abstração destaca esta propriedade de possuir o mesmo ndroero, que no caso diz respeito tento aos apóstolos de Cristo como aos cavaleiros da Távola Redonda, pera formar um conceito à parte que determina o número dose.

Tínhamos, ao início, dois conceitos, um referindo aos apóstolos, outro aos cavaleiros, que passam a ser substitufdce pelo conceito "z tem o mesmo número que *"• definindo uma propriedade dos conceitos iniciais, isto i, um conceito de segunda ordem. 0 número dose nasce assim da abstração (lSlAmdssm. (63.

22

de UDé propriedade muito peculiar de eertos conceitos subtumírem sempre o mesmo número de elemento*.

Além de recorrer a uma atividade intelectual para exphcw a geração do conceito de segunda ordem, esta solução n torna ainda mais insatisfatória na medida em que o número dose. a que corresponde o novo conceito, constitui um objeto singular cujo estatuto i difícil de precisar noa termos da definição por abstração. De que maneira um conceito de segunda ordem vem a ser um objeto singular como o •úmero ?

Para resolver esta dificuldade Frege introdua, a partir de 1891. o conceito de percurso de valor (WcrUerlovf) que, de um modo geral, designara a extensão de um conceito qualquer, inclusive a de um conceito de segunda ordem. Mas a prioridade do ponto de vista intensional nao permite qije essa extensão, ou melhor, a classe determinada pêlo conceito, seja formada pela enumeração dos elementos que a compoetn, das elementos subeumidos pelo conceiUi, porquanto isto eqüivaleria a privilegiar os objetos em detrimento do conceito. Como resolver esta enorme dificuldade? Como rtconaecer numa multiplicidade uma singularidade, processo indispensável para fundar logicamente a teoria dos números cardinaís, sem adotar a perspectiva da extensão?

Suponhamos duas funções J(x) e cfi); ae reconhecermos algo em comum entre elan, chamaremos este algo percurso de valor de ambas as funções. "Devemos admitir como uma le: rnadamental d a lógica o direito que temos então de reconhecer assim algo em comum as duas funções e, por conseguinte, transformar uma equivalência, valida geralmente, numa equação (identidade) "('*)- Conforme o exemplo acima, na proposição "para todo x, x é apóstolo de Cristo bümplica % é cavaleiro da Távola Redonda" verificamos uma equivaI t a e » entre as duas funções precisamente no aspecto paru* alar de ambas denotarem o mesmo número ds elementos.

Frege considera como lei lógica fandamcntal, em que se funda licitamente as lógicas de Leibnis e de Boole, a pceBibilidade de passarmos da eguimüncia soo um aspecto para a identidade soo todos oa arpectoê, introdurindo para as funções igua(18) Omadff««Ur. II, í VA, p. 181, « p s » • deTuUçao (oras! (», p it CT. o ponnuoríudo oKudo de Juba VVUXEMIN: "L'âunicau>xi dra définitÍMUi pir abatrmctloa eh*« t'nf", Rm* • Eilnussifii. <••' 1, jtwao-narto 1U*0.

ladas um novo objeto e um símbolo correspondente. No exemplo, teremos cotio o número doie e o sinal "13".

A descoberta desta lei abre horisontes inteiramente inéditos, já que redunda na constituição de noroa objetos a partir de julioe analíticos. Haveria melhor refutaçao de Kant que nunca descobriu nesses jufsos qualquer papel constitutivo? No entanto, apesar de sua importância filosófica, esta '•'. apenas introdux o conceito de percurso de valo.-, indicando um novo objeto, sem contudo estabelecer os critérios de soa identificação. A cada função passa a corresponder um objeto (a classe) que é Igual a outros objeto* determinados pelas funções equivalentes, e cada objeto passa a ser desjcnad-j por um nome; como, porém, encontrar a denotaçao precü* do nome? Na verdade quando tratamos de números pequenos e de conceitos nao muito complexos, a intuição nos fornece os recursos necessários para discernir quais os objetos que caem* sob o conceito e quais os que nao caem.

No entanto, ainda que esse recurso intuitivo fosse logieamente valido. Cie nos abandona logo que examinamos o caso do número aero ou da classe nula. Além do mais, qual ( o percurso de valor de uma funç&o como -.--'•*;?

A solução encontrada por Frege redui, graças à introdução de uma função muito particular, os percursos de valor aos valores de verdade. Seu exame pormenorixsdoC1) foge aos estreitos horisontes desta introdução. Cabe-oos apenas eocaminci-Ia para apontar suas conseqüências filosóficas mais imediatas.

Seja definida a função — do seguinte modo: — A í verdadeiro se n for verdadeiro, — A I fabo se a nao for verdadeiro. Assim sendo, posto que 2' — 4 é verdadeiro — (2 a • 4) é verdadeiro, mas — (2* •» 4) 6 falso da aMasal maneira que — 2 também o é, pois neste último caso, 2 nao sendo verdadeiro, ou melhor, nao lhe cabendo valor de verdade algum, concluímos, em virtude da amplitude da segunda parte da definiçio, que — 2 é f a l s o O - Este último exemplo mostra que a função — serve para transformar qualquer coisa em conceito (numa função proposiciona), na linguagem moderna], numa funçio cujos valores sempre sào valores de (17) CT. Orw.aiH.-M. | 10. po. 16 o - t ; Reeatu, r*n«ipi-. | 4M, pp. 511 • sae>; Vciu.uaiN. op. cX. <1S) aVaafcamtja p. 10.

verdade. No enUnto. dada a função —, ainda nâo sabemos" como fixar o objeto individual. Basta, porem, fitar arbdlrtriamente um dos valores, tomando por falso, por exempl<>, o percurso de valor do conceito "x nao é idêntico a « mesmo" para, postas as denotaçoee, reoonhocermoí inteiramente o novo objeto.

Ainda que eala rápida exposição seja incompleta, n l o sendo compreensível para quem nao estiver familiarizado com o assunto, basta para mostrar que Frege, em seus últimos escritos, substitui o conteúdo do jufso gerado pela abstração c, por conseguinte, fundado na psicologia, pela fuaçao —', cujas propriedades dependem de uma estrutura logicamente definida. Acresce ainda que, fixando arbitrariamente a denclaçao do falso a fim de precisar a denotaçSo de cada percurso de valor. Frege situa o problema da relaçio entre as expressões e a denotaçào e, de modo mais geral, entre linguagem e mundo, estritamente em termos dos valores de verdade, o que sem dúvida prepara o terreno para Wittgcnstein e C a r a ? .

Frege já publicara o primeiro volume dos Gnt^dçtirUe e prepara o segundo quando recebe uma carta de Thisnrlí datada de 16 de junho de 1002, em que este lhe comunica a descoberta de uma antinomia relativa à noção de classe. que punha em xeque a noção de percurso de valor. Na su*> forma mais simples, a antinomia pode ser expressa da seguinte maneira; seja w a classe de todas as classes que n l o sejam membros de si mesmas, de modo que para todo z, podemos diií.- que z pertence » u é equivalente a x nao pertence a a; ora, z ê uma variável que pode inclusive ser substituída por tf, de sorte que obtemos a proposição contraditória w pertence a •_- é idêntico i u- nao pertence * u.\ Kfla fui ;»--iu-r; | • IJBBSMI de Frege que, desanimado, responde aos 22 do mesmo mê*: "parece-me pois que a transformação de uma igualdade numa igualdade de percursos de valor ( § 9 de meus Principiei) n l o é mais permitida, pois minha lei V (§20, p. 3G)(") 6 falsa, e que minhaa introduções no $31 nao bastam par» assegurar em todos os casos uma denotaçflo às ™iwh« conexões de símbolos"f 0 ). Em outras palavras, a descoberta da antiir» A J i dli qu*. Modo dou ob/slos tcnsls, tudo o qns w «inbtfi •o pnmtaro UmbAn uni atribuído ao Hgiindo, o que nlo BSS1ÉSSI quando <• ebjrto íortm dilfrtoMS. (30) Bs—i P M — SLCOA, "Ftear. und dic Irpraibconc", (• L*W<* ws IsftSfesUref, v«rUf Ksil Alber, pp- 205, 20&

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nonúa de Russell delimita, o âmbito da lei fundamental de Frege que validava a passagem da equivalência para a identidade eom a respectiva criação de novos objetoa. Há certas expressões, como a "classe de todas as classes que nao ae contém a « mesmas" a que nao deve corresponder percurso de valor algum, isto í, um objeto real.

Nlo é verdadeira a lenda que narra o desespero de Frege com o conseqüente abandono de suas investigações Hgicas. Ê possível verificar que, na sua correspondência eom Russell e no próprio apêndice aposto ao segundo volume dos Prmcfptos, procurava insistentemente a solução para os paradoxos. Contudo, nío atinou com ela e. ano* mais tarde, quando Russell lhe comunica o principio da teoria dos tipos, o velho mestra cansado já nao mais estava em condições de atribuir-lhe a devida importância. Outros haveriam de continuar seu trabalho.

II — Os caminhos tortuosos de Russell. £ impressionante a capacidade renovadora de Russell; durante mais de meio século que se dedicou às investigações lógicas, sempre esteve pronto para recomeçar desde o inicio, conforme iam exigindo o desenvolvimento do cálculo lógico • o aprofundamento das questões filosóficas Kgp**" a Pie. Sob esse aspecto * exemplo do filósofo aasistemátieo. cujo percurso das idéias esteve marcado pela evolução dos problemas de seu tempo. Em seus escritos, até mesmo nos Principio UaAematica, nunca alcançou a precisão conceituai e a sistemática de Frege- Temoa neste sentido o testemunho precioso da Godel, que numa homenagem a Russell nao hesitou em afirmar deste último livro: "F. lamentável que esta primeira apresentação completa e compreensiva da lógica matemática e de suas derivações matemáticas seja Uo insuficiente a respeito da precisão de seus fundamentos (contidos •1 — "51 dos Principia), que representa em relação a Frege um considerável passo para trás. 0 que falta, sobretudo, é um estudo preciso da sintaxe do formalUmo"^'). No entaato, convém contrabalançar esta opinião desfavorável de Gõdd. lembrando que as investigações de Russell cobrem (31) TU FAiÍMojiAy ef Bfrtnvutftw-lf,Tudo* Pi£fehiaf Company. Neva Votk, p. 13615

lodo O campo tradicionalmente demarcado pela filosofia do conhecimento; n falta de precisão é ao menos compensada pela amplitude de sua problemática.

Foi paulatinamente que Ruasell pastou a dar importáncia a Frege. Se o corpo dos Principiei quase o ignora, já o primeiro apêndice trata de estabelecer um confronto com èle. Ê ai que enuncia os principais pontos de divergência: a) Frege nao pensa que haja uma contradição na noção de um conceito que nao possa tornar-se sujeito lógico; b) acredita que, se o termo a ocorrer numa proposição, a proposição sempre pode ser analisada em a e na aseerçáo •obre éle; e) nao leva em consideração as contradições que envolve a noção de classe de uma classe. Examinemos pormenoriudamente essas questões na ordem em que foram enumeradas: a) O primeiro ponto nos leva a retomar a dificuldade levantada por Kerry.

Há certos exemplos da nominaliiae&o do conceito que nos conduaem diretamente a uma contradição: ao afirmarmos "o conceito de cavalo nao é conceito" estamos negando o caráter predicativo do conceito exatamente no momento em que o denominamos conceito!"). Vimos que a solução de Frege implica em distinguir o conceito enquanto predicado e o conceito nominalisado enquanto sujeito, o qual se refere, a fato de ser sujeito, a uma certa forma de objetividade.

6bvio que O realismo enraizado de Ruasell e a utilização «•temática do lema de Occam procurariam evitar a todo custo uma resposta de tal ordem. Ê nesse sentido que prefere identificar o conceito como predicado ao conceito eomo sujeito, em que pese as diferenças evidentes que, descuradas pela lógica, ato tratadas como problemas psicológicos ou BMramente gramaticais. Negando tudo o que pudesse asseaassatr-se & substância segunda de Aristóteles, a lógica n l o há, pois, de distinguir " é " de "ser", "humano" de "humanidade", etc. Feita esta identificação, como manter, porem, a separação entre termo e conceito? No que implica um núcleo significativo passar do predicado para o sujeito e sem sofrer a mínima alteração que importe à 14Náo há dúvida de que há termos, como os nomes

r

02) Pr,n*irim. | « , p. « .

próprio*, que *ó podem ser tomados como sujeito*, e Russell está dt acordo em ampliar o emprego do nome próprio, fa•endo-o designar pontos num espaço náo-euclidiãno. personagens fictícios de um romance, etc. Mas é preciso levar em co&aideraçao que certos conceitos, em particular os adjetivos, já que os verbos podem ser interpretados como meras relações, designam coisas, de sorte que, sem perderem sua naturexa conceituai e predica tiva, adquirem uma função aparentemente privativa do nome própria. E a existência das descrições revela a importância desses conceito* designsdorea, capaxea de, graças à uma peculiar vioculaçáo com certos térmosC*), estabelecerem uma relação mais ampla entre a linguagem e o mundo.

Este problema da denotaçdo tem, paxá o primeiro Russell, um campo muito mais restrito do que para Frege, posto que surge independentemente da problemática do sentido. Para o último filósofo, todos os nomes, inclusive a proposição enquanto nome, apresentam uma face denotatira; para o primeiro, ao contrário, somente certos predicados, aliados a certas palavras-chaves, importam uma relação com a objetividade. Todas as outras partes da proposição, excetuando-ee obviamente os nomes próprios, estabelecem relações que se consomem unicamente no plano do discurso.

Um conceito denota quando, ocorrendo numa proposição, esta n l o dia respeito ao conceito, mas a respeito do termo vinculado, de uma certa maneira, a esse conceito-?': K o que acontece, por exemplo, quando digo: "encontrei um homem". Como se dá essa passagem do nível do discurso para o nível da coisa T 0 nome próprio designa diretamente uma coisa ou uma pessoa, mesmo quando 6 pronunciado isoladamente. Mas na proposição o atributo também e dito d a coisa sujeito, implicando, no discurso, um relacionamento com o ser. E u partir dessa propriedade da predicaçio que Russell elabora sua primeira teoria da deootaçáo: "A noçáo de deootaçáo pode ser obtida por uma espécie de gênese logioa da* proposições sujeite-predicado, das quais parece mais ou menos dependente"( u )> Sem todavia ezpbatar o grau • a natureia dessa dependência, Russell forma uma série ( 2 3 ) / W , ftse.

(34) IUÍ, | SS, p. 63.

OS) rt-t. 1 57, p. 54.

de frases dcnotativas, explorando BB significações correlatas que o atributo certamente possui. Dai a idéia de uma ornai-' rtnrào das expressões denotativas a partir da denouçao mais simples; estranha idéia para quem, como nós, noa acostumamos aos processos de construção exclusivamente formais c sintáticos, deixando de lado as correlações propostas pelos conceitos que se aliam a um conceito originário. Parece estranhavel estabelecer um parentesco de conteúdos, mas esta idéia evidentemente ainda pode vir a desempenhar um papel relevante na crítica ao formalismo da lógica contemporânea.

As proposições mais simples sfto aquelas em que um atributo é dito de um térmo-sujeito, tain como: "A é", "A é uno", "A 6 humano". A essas proposições podemos eorreladocar outras, diferentes quanto a forma, próximas, contudo, no que respeita ao significado: "A é uma entidade", "A é uma unidade", "A é um homem", "A tem humanidade" e assim por diante. A última proposição exprime nitidamente a relação de um membro com sua ciasse e deve, por conseguinte, ser excluída das frases denotatívas propriamente ditas. Examinemos "A ê humano" e "A é um homem".

Talvez a diferença seja meramente verbal, convém, entretanto, distinguirIfl o predicado e o conceito a que uma classe está associada( ), o qual passaremos a denominar conceiloclasee (dau-concepCi. Distingue-se obviamente do conceito de crasso como é "humanidade". Cabe então a pergunta: "um homem" é um conceito ou um termo? Rigorosamente falando, nem um nem outro, "mas uma certa espécie de correlação entre certos termos, nomeadamente daqueles que sfto humanos"!"). Sob a aparência unitária das palavras "um homem" se esconde, pois, uma reunião de termos sob forma diíjuntiva: trata-se deste homem, ou daquele, ou daquele outro, etc.(**). Com isto se revela a natureaa da frase denotativa: 6 formada graças à junção do conceito-elasse e de uma palavra, no nosso exemplo "um", que oojoea o primeiro em relação com uma multiplicidade de objetos reunidos numa unidade segundo a forma indicada pela segundai"). 0 mesmo acontece, pois, com "todos os homens", "cada homem", 06) IM., (27) JW., (28) IM., G»> IM. 18

í | ; |

5R, p. 56.

57, i. M. 80, p. .;•>.

67, p. 63.

"algum homem", "o homem", etc., todas apresentando ao espirito uma determinada reunião de objetos, obtida conforme om modo peculiar de congraçamento de seus membros.

A mesma relação objetivamente, originaria do conceito elasse, dirige-se diferentemente a uma soma de objetos, denotando-os de uma forma particular.

W RusseU interpreta o vinculo que se dá entre a hipótese e a conseqüência da demonstração como uma relação indefinlvel a que dá o nomo de implicação formal. No entanto, o paradoxo de Lewis Carrol mostra a inoperincia desta relação quando se trata de destacar a conclusão e afirmar sua veracidade de per si. De fato, se tivermos "H impbca T" e pretendemos obter a verdade de T unicamente a partir da implicação, cairíamos sob o jugo de um processo r-iteraate que nunca lograria afirmar apenas T. Graças 1 implicação, somente seria legitimo dizer que "Se 'S impoca T, então 7", que por sua ves ê uma implicação mais complexa d o que a primeira. Ê por isso que Prego e Russell reconhecem a necessidade de uma regra paralela de destacamento, em particular o modus ponena, cuja função é precisamente afaertar a verdade de T a partir da implicação "H imphea 7"(*0.

Russell, no entanto, ainda ntto compreendera a importância dessa regra, contentando-se em tomá-la como um dos exemplos das umitacoes essenciais do fi>rmsIi*rao{31).

Toda a dificuldade se concentra, por conseguinte, na noção de implicação. Em seu debato com Frege, recusa firmemente partir dos valAres de verdade que, a seu ver, nada acrescentam à compreensão do julso em geral( M ). E no corpo do tratado descobrimos o porque de sua insuficiência: "Se p implica f, se p é verdadeiro, então q 6 verdadeiro, isto 4, a verdade de p implica a verdade de g, portanto se f * falso, então p é falso, isto i, a falsidade de o implica a falsidade de p". Desse modo, a verdade e a falsidade nos dio apenas novas implicações, mas n i o uma definição da impliciçao"( u ), argumento que evidentemente confunde os vários planos da linguagem, situando a implicação no absoluto. Como nessa época nem Scheffer nem Nicod haviam demonstrado a (30) JW.. I 38, o. 35.

(M) Mi. | 18, p. 16.

(») /kt, s «rs, p. sca (33) Mi.

| Ifl, pp. lt-15.

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bihdade da definição cruzada dos concctivos lógicos e a redução de lodoa élee a um só, multado obtido muito mais tarde, cio foi difícil a Russell tomar a implicação como indefinlvei.

O caráter formal da matemática fu, contudo, com que a impüeaçáo material somente possa operar em casos muito particulares. "Na matemática assertamos que, se uma certa asserçao p ê verdadeira para uma entidade x ou para um conjunto de entidade* x, y, d,. •) então alguma outra aaserçfto q é verdadeira para tais entidades. Assertamos uma relação entre as asserçoes p e tf. que chamo implúaçáo for*wr(**). Tomemos um exemplo: "Para todos o* valores de x, se x for um triângulo eqüiângulo, x i um triângulo equilátero", esta fórmula, que interpreta a proposição corrente "Todos os triângulos eqüiláteros sào equiánguloe", afirma que as duas asserçoes "** um triângulo equilitero" e "4 um triângulo eqüiângulo" **o ditas da entidade z, ou melhor, das viria* entidades representadas por z. Como, entretanto, explicar a implicação formal ? Quais ato suas relações com a material ?

Antes de tudo e preciso salientar que a implicação formal supõe a análise interna da proposição. Ora, essa análise difere totalmente em Frege e em Russell. Para o primeiro a unidade proposicdonal sempre se resolve num termo e num conceito ou, conforme as expressões do segundo, num termo e numa asserçao. Esta última palavra designa a parte restante da proposição depois de subtraído o termo-sujeito. de forma que possui um significado totalmente diferente daquele que o toma como a asseveração do conteúdo proposicional.

Para ambos os filósofos, todavia, a proposição eoafigura uma unidade, uma maneira peculiar ds totaliiaçao de seus elementos. Mas enquanto Frege acredita que a junção do termo e do conceito a recompõe. Russell nega que isto sempre ocorra- Na verdade, em todas as proposições de forma aujeitopredicado, a unidade imediatamente se •refaz tio logo um termo ocupe o lugar do argumento da função. Isto, porém, nio acontece em todos os casos de proposições mais complexas. A reduçfto da sentença "todos os homens sáo mortais" em seus elementos essenciais redunda em afirmar que "para todo i, ec x é homem, então x é mortal"; a saber, dois conM / W . | 5, p. s.

ceitoe ou asserçocs, no vocabulário de Russell, são ditos da pseudovariável x. A recomposição da unidade proporcional primitiva, entretanto, esbarra na seguinte dificuldade: ao substituirmos o primeiro x por uma constante, Sócrates, por exemplo, não temos garantia de que a segunda ocorrência da variável deva ser substituída pela mesma constante. Dado isso. Russell i levado a distinguir assereaO e função proposiãonal, a primeira sendo constituída pelo reato da proposição de que- se tirou o termo, a segunda sendo formada por esse mesmo resto tomado, todavia, na sua qualidade de parte da unidade funcional. A resolução em termo e asserçáo n&o assegura que as partes restantes da proposição nfic se reduzam a um simples agregado de membros justapostos; só a função proposicionai, função cujo valor sempre é uma proposição, garante a peculiarlseima unidade que toda proposição possui (**).

Descobrimos no fundo desta separação o mesmo preconceito de Russell, responsável pela identificação do predicado como tal • do predicado como sujeito. 0 problema do âmbito de variação de uma variável foi, na história da lógica, resolvido de maneiras diferentes. A admissão de substâncias segundas, por Aristóteles, delimitava imediatamente todos os argumentos da função "x é homem", seu campo de variação n&o indo alem das pessoas reais ou possíveis. Embora negando tais substâncias. Frege também caminha DO sentido de estabelecer certas limitações no domínio das variáveis, aceitando vários tipos de variabilidade o, por conseguinte, sedimentando os conceitos em ordens diferenteeí"). Russell, entretanto, mantém uma variabilidade indiscriminada, postulando que "todas as funções que não podem ser valores de variáveis de uma função de primeira ordem não são entidades mas falsas abstrações"'í*7), o que implica em afirmar que o predicado que não puder ser identificado com um sujeito 6 uma abstração desprovida de sentido. Isto redunda em negar a possib&dade de conceitos de segunda ordem e, por conseguinte, o bslissmcnto das variáveis. Dal precisar atribuir à proposição o papei desempenhado por esse bali lamento, de sorte, que ela passa a possuir uma unidade totaliaanla que o termo e o conceito (a asserçáo) nem sempre são capaiea de reproduxir.

OS) Í W . | 137, p. « 1 , , | 4 0 . p. 508.

•»-• Mi. S «82, pp. 508 • 0 (57) / W , | 482, p. 509.

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A astcrçao, A funçáo proposicional e a implicação material, entendida como relação originaria, configuram, portanto, trêa noções primitivas. Aa duas últimas explicam a implicação formal: no exemplo anterior, a unidade do argumento que substitui aa várias ocorrência* d e i 6 garantida pela unidade da proposição singular em une êle se inscreve. Colocado esse ponto de partida, a implicação formal se resume numa classe. Dum feixe de implicações materiaisC*). Todo o peso da variação cai, desse modo, sobre a implicação material; "Para todos os x, se x é homem, eotto i é mortal" 6 uma proposição gerada por sentenças singulares do tipo "Se Sócrates é hamtm, então Sócrates é mortal".

Finalmente convém mencionar a frustrada tentativa de definir a proposição a partir desse conceito absoluto de imptjeaçAo. já que o Tnetatu» se ocupa dela expfidtamente<").

Toda proposição implica a si mesma e o que nao 4 proposição tâo ímpUca nada. Dai: " 'p é uma proposição' eqüivale a diier que 'p implica p ' " , definiç&o puramente matemática que nao deve ser confundida com a definição filosófica, cuja formulação sempre supõe n análise de uma idéia em suas partes constituintesí**). e) "A principal dificuldade que surge a respeito da teoria das classes acima |a de Frege] ** a espécie de entidade que o percurso (rance) possa ser. A rasao que me levou, contra m"?hs inclinação, a adotar o ponto de vista exteasãonal sobre as classes foi a necessidade de descobrir alguma entidade determinada para uma função proposicional dada e a morna para alguma função proposicional equivalente. Assim, 'z 4 bomera' é equivalente (suponhamos) a 'x 6 um bipede sem penas', e pretendemos descobrir alguma entidade que 6 determinada do mesmo modo por ambas as funções proposicionaia.

A única entidade singular que fui capas de descobrir foi a classe como una — exceto a classe derivada (lambem como una) formada pelas funções propoaicionais equivalentes a uma das funções propoaicionais dadas"(* 1 )- Sendo esta última classe derivada e mais complexa, escapa à discussão das noçoea primitivas. Nada mais resta, portanto, do que postular ( W / W . | 42, p. 38.

aa) ct um. («) Prmriplm. I 18, p. 16. <41) I M , S 480, p. S13.

a existência de um todo constituído pela reunião de índlviduoe, denominado classe.

Vimos que o próprio Frege, logo que soube do paradoxo formado pela noção de classe de classe, reconhecera a necessidade de impor certas limitações a essa passagem da equivalência das funçfiet para o percurso de valore-, A polemica do primeiro Russell contra Frege, entretanto, nao se dirige apenas no sentido de estabelecer essas limitações, mas sobretudo no sentido de averiguar o tipo de existência compatível com a noção de classe. Em que medida uma entidade pode ser ao mesmo tempo una e múltipla? A que entidade corresponde a classe nula? Como distinguir a classe formada por um elemento de seu próprio elemento? Perguntas tradicionais, muito mais ligadas a problemática da ontologia formal do que aos problemas suscitados pela construção de um cálculo lógico-ari tmétieo.

Noa primeiros textos, RuaseUí41) concebe a claate essencialmente como a conjunç&o numérica de termos, assumindo obviamente uma perspectiva exteorional. Mas com a introdução de claaaes infinitas já se coloca na Ótica da intensioaalidade, embora tais distinções de ponto de vista sejam consideradas de fundo meramente psicológico: a impossibilidade de se obter uma classe infinita pela conjunção numérica de termos é interpretada apenas como obstáculo ligado 4 natureza do espírito humano, incapaz de contar o infinitoC*). £ para aatisfaser interesses práticos que se deve, pois, recorrer a coneeitos-classes, faxendo as classes corresponderem a seus plurais. Estudamos, na teoria da denotaçao, como ao predicado se associa um conceitc-classe que, unido a uma série de palavras quantificado™* ("um", "todo", "algum", etc) passa a denotar objetos reunidos de uma certa forma. A frase denotativa "Iodos os homens", por exemplo "denota uma coleção de indivíduos humanos ligados pela conjunção e, coleção cuja unidade, todavia, não possui a mesma integração de uma totalidade. A classe c, pois, essencialmente múltipla, sendo a classe nula e a classe una fícçoee matematicamente úteis, determinadas por coneeitos-classes, a que nenhuma entidade há de corresponder^**). («D a . na, csp. vi.

(41) Md., | 71, p. 68.

(«) nu,

% n, pp. 8o-i.

No entanto, j í o apêndice A do* Prineipla reformula esta teoria simplista. RuaselI se defrontara com o seguinte argumento de Frege que parecia comprovar a exclusividade do ponto de vista inteosional: M a for uma classe de ma» de um termo, e ae a for idêntica i classe cujo único termo 6 a, então ser um termo de a é a mesma coisa do que ser um termo da classe cujo único Mrmo é a, pois a A o único termo de aí.**). Tudo gira em torno da unidade da classe e da classe una; feita a identificação de ambas, surge imediatamente o paradoxo de atribuir uma multiplicação à unidade e aiceseras. Ruaaell entrevê duas possibilidades para sua solução: 1) a coleção de mais do que um termo nao é idêntica à coleção cujo único termo é a; 2) nao há uma coleção de um termo no caao de uma coleção de muitos termos, mas a coleção é" estritamente múltipla. 0 primeiro caminho € trilhado por Frege, que considera o percurso de valor uma única unidade formada pela passagem da equivalência a identidade, — o segundo 4 reafirmado pelo próprio Russell.

A primitiva teoria das classes obedecia a um principio lógico, cuja formulação, oontudof 48 ), não aparecia no corpo da obra. 0 principio é o seguinte: uma pluralidade de termos n l o é um sujeito lógico quando um número é assertado dela; tais proposições não têm um sentido mas muitos — o que eqüivale a destruir a unidade visível do sujeito enquanto termo em proveito da multiplicidade de tua deoolacâo. 0 argumento de Frege, porém, demanda uma redução em seu âmbito. " 0 sujeito de uma proposição pode nao ser um termo singular, afirma Russell em seu apêndice contra Frege, mas pode essencialmente ser formado por múltiplos termos; este ê o caso de todas as proposições que aseertam números além de 0 e 1. Mas os predicados, concalos-classes on relações que podem ocorrer nas proposições que possuem sujeitos plurais são diferentes (com algumas exceções) daqueles que podem ocorrer nas proposições que possuem termos singulares como sujeitos- Embora a classe seja múltipla e nao una, há identidade e diversidade entre as classes, de sorte que as classes podem ser contadas como se fossem unidades genuínas. Neste sentido podemos falar de tuna classe e das classes que são membros de uma classe de classe. Um deve <«) ib*i, | 487, i>. 613. <*•> Cf. Í W , | 70, p. «0, oou.

ser tonado, entretanto, como sendo algo diferente quando ê assertado de uma c!os-t> e quando é assertado de um Urm<>; hi um sentido de um que í ulilisável quando te refere a v>n limo c outro quando *e refere a una cia**, embora haja também um termo geral aplicável a ambos os casos. A doutrina, básica sobre a qual tudo se assenta é que o sujeito de uma proposição pode ser plural e que tais sujeitos plurais ato o que as classes significam quando possuem mais de uin termo"(4T). Permanece a mesma exigência do lermo-sujeito poder denotar uma multiplicidade de objetos, mas Russeil agora reconhece a possibilidade de se tomar essa multiplicidade como uma unidade legitima do ponto de vista matemático, em que pese à destruição da univocidade do sentido da palavra "um". Só assim se evita o paradoxo das classe», pois na proposição "z pertence a x", a unidade do primeiro j •Io e dita da mesma maneira do que a unidade do segundo.

Logo em seguida encontramos uma expbataçao do próprio Itusseil. "conforme o ponto de vista defendido aqui será necessário, para cada variável, indicar ae o campo de significação consiste em termos, classe, classe de classes e assiiu por <bant«"(**), o que implica uma ©Gratificação dos objetes que prenuncia a teoria dos tipos. Em lugar da eatratificaçéo dos conceitos, defendida por Frege, temos agora uma estra,tificaçáo doa objetos lógicos o, por conseguinte, a destruição da unidade postulada pelo termo sujeito. Desse modo, paulatinamente o problema da objetividade correspondente ao termo passa a vincular-se ao problema da edificação de um sistema formal, desvencílbando-se dos dados fornecidos pela . intuição para ligar-se ao contexto lógico. Está aberto o caminho que desembocará na doutrina doe Principia, em que a classe e as constantes lógicas serão concebidas como atmbok« incompletos cuja significação está na mais estreita dependência do sistema.

111 — Alguns aapectoa semânticos dos Priruipim, No prefácio à segunda ediç&o dos PrinâfU*. faaendo como de hábito o inventário doe caminhos percorridos por seu próprio pensamento, Russell comenta: "eu partilhava (47) /W„ | «o, pp. Slfl-7.

(U) ftü, | m, p. 51S.

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Com Frege a crença na realidade platônica dos numera que, na minha imaginação, povoavam o reino intemporal do Ser. Era uma fé confortável que mais tarde abnndonei"(**). Pouco a pouco vai reduiindo-*c o nrjmero de objetos necessários para a construção da lógica e da matemática; e conforme ae processa esta redução, palavras que anteriormente designavam um objeto autônomo, possuindo sentido completo, passam a designar e a significar na estrita dependência do contesto.

O lema de Oocam esta cm0 pI*no funcionamento. Os Principiei* ao definir o firmo]' ), assegurava a cada palavra certo sentido, transformando tudo o que pode ser objeto de pensamento ou ser contado como unidade num Urino independente. Na doutrina posterior, todavia, este principio se torna falso; se toda palavra contribui para o sentido da proposição, pois, se assim nao fome, nao seria pronunciada ou escrita, nao precisa ipao faeto possuir sentido(í,>. Muitas vises a função da palavra se resume apenas em auxiliar a formação de om sentido que só vem a ser percebido numa totalidade ampla.

O passo mais decisivo nessa direção foí dado pelo imporartigo. publicado em 1905, intitulado "On denoting". Já observamos como a teoria da denotação é essencial para a compreensão da natureza da classe; é evidente que, ao ebegar à primeira solução completa e satisfatória para o problema, toda a teoria da significação o da verdade haveria de ser reformulada.

Antes de tudo, Russell estabelece a distinção entre 0i.7vj1-.Mnrr. saber das coisas tios como nos sio apresentadas, e fcaovfcdpe aooul, conhecimento obtido por frases denotatrrss tais como "a revolução da Terra em volta do Sol", "o atual r ê da Inglaterra", etc. Os exemplos mostram sua importância: a denotaçáo, oVnotando pela forma, estabelece uma ponte entre o conhecimento imediato e o mediato.

Toma, em seguida, trea expressões fundamentais: 1) a noção de variável; 2) o símbolo C(x) que representa uma função proposicional em que * é variável; 3) a proposição **CÚ) é sempre verdadeiro" da qual se deriva *'C(s) 4 algumas verdadeiro", equivalente a "Nao é verdade que 'C(i) («) ia*., p. X. (SO) rt*., r.p. IV.

(Jl) Ibid., p. X.

ê sempre falso' é* sempre verdadeiro". Como se ré, traU de solucionar o problema da denotaçao, isto é, da correlação de certas expressões com seus significados, por meio das coçoes de falso e de verdadeiro. Dado isso. os quantifieadorea encoDtram desde logo sua interpretação; C (todo) significa "C(x) é sempre verdadeiro" C (nenhum) significa " 'C(x) é falso' é sempre verdadeiro" C (alguns) significa "Ê falso que *C(x) ê falso' é sempre verdadeiro".

A solução mais inovadora, entretanto, aparece na redução do artigo "o". A proposição "O pai de Carlos II foi executado" resolve-se cm "Nio 6 sempre falso de x que x gerou Carlos II e x foi executado e 'se y gerou Carlos II, entio t é idêntico a z' é sempre verdadeiro". Em outras palavras, devemos substituir a frase "o pai de Carlos II", que na qualidade de sujeito poderia alimentar a ilusfto de que constituiria um nome, por uma funçio proposicional "x gerou Carlos II", para em seguida garantir a unicidade deste x estabelecendo que, se um outro y também gerou Carlos II, entio > t igual a x.

Esta interpretação das frases denoUtivas evita, primeiramente, atribuir a expressões tais como "o atual rei de França", "o quadrado redondo", ao aparecerem como sujeito, certa objetividade que deve logo ser negada quando se enuncia uma frase negativa: " 0 atual rei da França nio existe"; resultado que obviamente infringe o principio de contradição. Além do mais, a despeito do caráter esdrúxulo da solução proposta, ela resolve todos os problemas com que ao defrontava Frege, economiiando ainda a distinção entre o sentido e a denotaçio e reduxindo o número de objetos primitivos necessários, na medida em que tais nomes complexos passam a ser interpretados como descrições. Por que isolar o sentido quando esse sentido nunca vem designado a nio ser pela denotaçao de uma expressão em que Ue nio surge como sentido ? O principio do terceiro excluído obriga a que ou "A é B" ou "A nio ê B" seja verdadeiro, de sorte que teremos " "0 atual rei de França é calvo' é verdadeiro" ou " ' 0 atual rei de França n&o 6 calvo' é verdadeiro"; mas se enumeramos todas as coisas calvas e todas as que nio o aao, por certo nio encontraremos entre os membros dessas

classes exclusivas o atual rei do Franca. Ora, basta traduzir a proposição conforme a solução proposta para que o paradoxo desapareça. Temos duas interpretações possíveis: 1} "Ê rabo que haja uma entidade que agora é o atual rei de França e nao é calvo", que é evidentemente verdadeira; 2) "Existe ama entidade que í o atual rei de França e nao é calvo", obviamente falsa. Na primeira, a descrição fax parte de uma que por sua vez faz parte da proposição que se com "É falso...", sendo pois tomada numa ocorrência secundaria; na segunda, a descrição se inscreve numa proposição autônoma, por conseguinte, numa ocorrência primária^.

Ambas as soluções, a de Frege e a de RusseU, conduzem, portanto, a resultados contrários ao senso comum e a intuiçoes mobilizadas no ato de enunciar. Se uma descrição é um nome, a própria proposição declarativa se toma o nome de um valor de verdade; mas para que a proposição designe um fato, as descrições devem ser reduzidas a um complexo de funções proponicionais. Ou de um lado ou de outro a intuição se rompe, cedendo lugar à construção formal. £ de notar que. do ponto de vista sintático, atualmente se consideram validas as duas soluções; a eleição de uma delas só tem relevância, destarte, para a compreensão das relações eotra a linguagem <• o mundo.

Reata-nos finalmente examinar a questão dos paradoxos. £ sabido que a solução evolui desde os Principia ate* os Prín.-.;:•; envolvendo delicados processos de cálculo, cuja análise escapa a nossos propósitos. Cabe-nos, entretanto, examinar certos pressupostos semânticos da teoria doe tipos que inegavelmente estão na raiz da investigação de Wittgenstein.

Na base de todo paradoxo Russell descobre um círculo vicioso que sempre nasce quando se forma uma coleção que ao menos tem um de seus membros definido pela própria coleção. 0 conjunto de todas as proposições, por exemplo, deverá conter a proposição particular "Todas as proposições sio verdadeiras ou falsas", cujo sentido por sua vez envolve a totalidade das proposições. De um modo mais geral podemos dizer que surge um paradoxo quando uma função proposieional tem um argumento cujo sentido depende da função •2 "On DvnoÜDf", Ia Ufie and KnovUdf, p- II * Mff., Gsorfe A Cawin, Londres; Cl. Principia I, pp. 30 c Mg.; M e Kf.

ma todo. E para evitá-lo, Russell passa a considerar tüs totalidades como desprovidas de sentido. Dal o principio chamado do circulo vicioso: tudo o que envolve a totalidade de uma coleção nSo deve pertencer a esaa eoleçao<M).

Suas conseqüências s&o drásticas, em particular no que respeita as noções lógicas propriamente ditas. Tomemos como exemplo a proposição "p * falto" e consideremos o caso em qae 'Tara todos os p, p 6 falso". Esta última sentença é evidentemente falsa, de forma que teremos: " 'Para todos oa p, p é falso' é falso", onde a expuasio "Para todos os p, p é falso" 4 argumento da função "p 6 falso". 0 princípio do circulo vicioso nos obriga a tomar esta última função "* falso" num sentido diferente da primeira função que aparece DO interior do argumento. Isto nos leva a perceber que, paralelamente à sedimentação dos objetos em vários níveis, necessária para que se estabeleça a hierarquia doa tipos, ocorre uma sedimentação das noções lógicas: obtemoa várias formas de falsidade, de verdade, assim eomo de todos os oonectiros como "ou", "e", " s e . . . então", "nao", etc.

BOBO

Importa considerar particularmente a primeira espécie de verdade e falsidade, pois implica uma teoria geral do julio. "0 universo * constituído de objetos que possuem várias qualidades e mantém várias relações entre si. Alguns dos objetos que correm no universo s&o complexos. Quando um objeto é complexo, 6 constituído por partes inter-relaeionadas. Consideremos um objeto composto de duas partes a c b mantendo entre si a relação R. 0 objeto complexo a—nareIaçao-R-eom-6 pode ser capai de ser percebido, e quando é percebido, o é como um objeto. A atenção deve mostrar que é complexo; julçamot então quo o c o estão na relação R. Tal julio, derivado da percepção graças à mera atenção, pode ser chamado 'julio de percepção'. Este julio de percepção, considerado como uma ocorrência atual, é uma relação de quatro termos: a, o, R, e o pereebedor. A percepção, ao contrário, ê uma relação de dois termos: 'a em relação R com V e o pereebedor. Jé que um objeto da percepção nao pode deixar de ser algo, nao podemos perceber 'a-na-relaçaofi-com-6" a nao ser que a esteja na relaç&o R com b. Assim sendo, um julio de percepção, de acordo com a definição, deve ser verdadeiro. Isto nao «grafica que, num julio que <B) Prmapia, I, 37.

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(tos parece ser de percepção, estejamos seguros de olo incorrermos em erro, posto que podemos errar no pensai que nosso ;uíin foi derivado meramente da análise do que foi percebido. Mas se DOMO jufso assim se derivou, então deve ser verdadeiro. De fato, podemos definir verdade sempre que se diga respeito a tais juízos, consistindo no fato de que há um complexo correspondendo ao priMUnHtnl • l *"""™ ,n que ê o jufio. Isto é, ao julgarmos 'o-em-relaçao-R-tom-V. nosso julio é dito verdadeiro quando há o complexo 'a-em-retaçaftfi-com-o' e dito fateo quando isto nâo ocorre. EstaMé a definição de verdade em relação a juísoa dessa especie"( ). Déese modo. o jufio não tem um único objeto, a propòricão, mas se defronta com objetos entrelaçados por uma relação em que o sujeito aparece como um dos termos. 'Isto ê vermelho", por exemplo, se resolve em tr#* termos: a mente, isto, e o vermelho — de modo que até mesmo uma proposição da forma sujeito-predic&do se transforma numa relação. Nada mais natural assim do que considerar a proposição como um termo incompleto, cujo complemento se oculta na ação do sujeito. Toda proposição se completa somente quando integra DO seu sentido o ato de julgar^**)Segue-se dai a determinação do complexo como todo objeto da forma "a-está-cm-relacao-A-com-ô", ou "a-tema-qualidade-tf", ou "a^u-fc^u-e-estão-M-relaçao-S", a saber, tudo o que ocorre no universo sem ser simplesc?*).

Compre finalmente mencionar a hierarquia das funçoea e das proposições. Examinemos mais de perto a rjrimeira, 0 tipo lógico é considerado como a eotfÇáo dos argumentos para os quais uma função tem valor. Quando numa expressão surge uma variável aparente, o domínio dos valores deaaa variável forma o tipo. Além do mais, o próprio prindpio do circulo vicioso pode ser expresso em termos de variáveis: todo o que contém uma variável aparente náo pode vir a valor dessa variável. Dado isso, a exprenao que contém variável aparente deve ser de tipo 7superior àquele que os possíveis valores da variável* ).

(34) IM, p. 43.

(15) JW, p. 44.

(58) JW.. p. 44.

(57) "Matbematical Logic", in bojie <md Knawiaáfr, p. 75.

A hierarquia doa tipos segue-se imediatamente. As mais sinip!» proposições desprovidas de variaveta aao da forma: "Isto é vermelho", "Sócrates i mortal", etc., isto é, proposições predicativas que dixem respeito as coisas. Se substi.tulmoe essa* coisas por variáviãa obteremos funções proposiT cioaais que, quando generalizadas, geram novas proposições.

A eesas funções ou a essas proposições generalizadas chamara de primeira ordem; a totalidade doe argumentos da primeira constitui o primeiro tipo. As funções proposicionais operam pois como matrizes, sendo as da primeira ordem da seguinte forma: tfz), *(r, y), x(x, y, z. - -). Cumpre ainda estabelecer que aa funções de primeira ordem qne náo contem uma função como variável aparente aao chamad&a de funções predicaü vas.

Transformemoa. em seguida, as funções de primeira ontem em rariáveia. Pelo mesmo processo de generalização obteremos proposições em qu* funções surgem como variáveis aparentes, o que dá origem a proposições de segunda ordem cujos argumentos formam o segundo tipo lógico. E assim por diante.

Esta estratificaçao dos objetos nao ê paralela a uma estratificaçào das funções proposicionais. A primeira restrição provem do axioma da redutibüidade, axioma que se faz necessário ao funcionamento da teoria mas que, em virtude de seu caráter nao-forma), foi recusado por grande parte dos lógicos contemporâneos que se ocuparam da questão. Afirma que, dada uma furtçáo proposicional de qualquer ordem, sempre existe uma função predieoíua, formalmente equivalente à primeira — definindo-sç equivalência formal pelo fato de ambas aa proposições possuírem o mesmo valor de verdade.

Um exemplo nos fará melhor compreender seu propósito. A proposição "Napoleao tem todas as qualidades que fazem um grande general" é de segunda ordem, pois toma como um todo aa qualidades, os predicados, que fazem um grande general. Graças ao axioma, podemos afirmar que existe um predicado de Napoleao equivalente a essa função de segunda ordem. No caso, sua construç&o 4 fácil: a classe dos grandes generais é finita e podemos eleger de cada Mm de seus membros uma propriedade característica, por exemplo, a data de nascimento, e compor uma função complexa disjuntiva, vinculando todas as propriedades determinantes (z nasceu em tal data, ou y nasceu nesta outra data, o u . . . ) , função que por sua

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ves í de primeira ordem e tem Xapoleto oomo um de seus •jfumentosC^.

A segunda reatriçío possui apenas caráter pratico, mas, ligando-se à teoria das classes, tem importância considerável para a elaboração da teoria da verdade. Abandonando toda preocupação ontológica, Russell checa finalmente a uma teoria das classes conseqüente, em que estas ato tomadas oomo símbolos incompletos, exclusivamente definidos pelo uso, aparecendo como artifícios de naturexa lingüística, mas que nio devem necessariamente denotar uma objetividade determinada.

O ponto de partida é uma definição precisa da extensionalidade. Já dissemos de passagem que duas funções sSo equivalentes quando possuem o mesmo valor de verdade e formalmente equivalentes quando s&o equivalentes para todos os seus argumentos possíveis. Assim è* que "x é homem" ê formalmente equivalente a "z é um bfpede sem penas". Além do mais, uma funç&o de junção ê dita exlennonai quando seus valores de verdade, para qualquer argumento, slo os mesmos para qualquer argumento formalmeute equivalente, isto i, ;!..--- é uma função extensional de 4z se. substituindo *z pela função formalmente equivalente *x, / (4a) será equivalente a/f#i). Exemplificando: a função " ' 1 1 homem' implica '; é mortal' " é uma função extensional da função "x í mortal", pois se substituímos essa função por outra que lhe é formalmente equivalente, por exemplo, "x é um Mpcde sem penas", os valores de verdade da função total nto ato alterados.

Em contraposição, ditemos que uma função de função 4 inlentitmal quando nto for extensional. £ o que acontece, por exemplo, com a função "A acredita que 'x 6 homem' implica '.- ê mortal'", porquanto A pode nunca ter considendo a possibilidade de que oa bfpedes sem penas possam ter morbata?").

"Quando duas funções sao formalmente equivalentes podemos diier que Ihn a meema extensão. N e m definiçto, estamos concordando estritamente com o costume. Nto admitimos, porem, que haja uma coisa tal como a extensão, apenas definimos a frase inteira ter a mesma extensão. Podemos então diser que uma função extensional de uma funçáo <S8) PrânpM, I, p. 56. ( » ) / M ' a pp. 73, 7X

ê aquela euja verdade ou fidaídiide depende somente da extensão de seus argumentos. Neste caso, é conveniente encarar a proposição como concernindo à extensão. Já que aa funções extenaionaia são muitaa e importantes, é natural olhar a extensão como um objeto, chamado classe, que at supõe ser o sujeito de todas as sentenças equivalentes sobre as várias funções formalmente equivalentes. Desse modo, se dissermos, por exemplo, há dose apóstolos, ê natural tomar esta sentença como atribuindo a propriedade de aer doae a uma certa eobcáo de homens, nomeadamente daqueles que foram os apóstolos, ao invés de atribuir a propriedade de ser satisfeita por doae argumentos à função 'z era um apóstolo'. Esta visão é encorajada pelo sentimento de que existe algo que e" idêntico no caso de as duas funções 'terem a mesma extensão'.

Se, alem do mais, tomarmos certos problemas simples como 'quantas combinações é possível fazer com n coisas' parece a primeira vi.it* necessário que cada 'combinação' fosse um objeto •"(["*" que pudesse aer contado como uno. Isto, no entanto, nio é preciso de um ponto de vista técnico, e não vemos raxlo para supor que seja fdosoftcamente verdadeiro"(*»).

Pretendendo mostrar a necessidade de um tratamento particular das funções extensioDais, RusseU estabelece uma fórmula para redutir todas as funções a funções exteosionais, processo que não convém examinar por aqui. Basta porém lembrar, primeiramente, que a função da função pasta a ser substituída por uma função derivada que tem por argumento, em vei da função #x, a classe determinada por ela ou pelas outras funções formalmente equivalentes. Em segundo lugar, para que esta função derivada seja sempre significativa para argumentos de qualquer tipo é necessário e suficiente que o axioma da redutibíUdade garanta a triatfrn*ia de uma função predicatita equivalente a «i. de sorte que a função derivada que tem as classes como argumentos Dão apesa* substitui qualquer função por uma função exteosioDal mas ainda- remove praticamente a necessidade de considerar as diferenças de tipo entre aa funções cujos argumentos são do mesmo tipo. Esta conseqüência eqüivale a uma simplificação na hierarquia dos tipos, de sorte que tudo se passa como ae não considerássemos senão funções predicativas("). (flO) ÍW., p. 7*. («) ÍW., p. 75.

Convém examinar essa doutrina à loa doa correspondenlea textos de Frege. O ponto de partida e o mesmo: a passagem formal das funções para o substrato d a identidade. Maa essa passagem tem agora o caráter pratico, de •• -•. *7.it-c:à. nâo respondendo a nenhum imperativo teórico.

Além do mais, operando como função de função, ao invés da função de Frege, Russell mostra que importa apenas definir as condições de seu uso e da substituição de seus argumentos, sem dar a menor atenção a um possível substrato oatolôpco.

Nessas condições, falar do objeto formado pela classe n l o é mais do que uma concessão ao uso corrente das expressões matemáticas e um artificio para facilitar o discurso: a função derivada que a introdus é definida de tal forma que sempre será possível substituir a objetividade inoportuna por uma expressão que ae reporta a indivíduos. Em virtude desse caráter vieário da noção de classe, esta nao pode estabelecer uma propriedade geral de uma função, nao pode ter a espessura de um conceito de segunda ordem, como em Frege; se ela é propriedade, o é do uma coleção de objetos que, todavia, o—tsasism a estar sob o signo da multiplicidade. Do ponto de vista do calculo ambos os caminhos se eqüivalem, poia ambos terminam por garantir a definição de número cardinal classe de classe (Ruasell) ou propriedade de uma pro(Frege). Somente, graças a uma astuciosa eonasimbólíea, a objetividade discutível da classe como é excluída do campo doa legítimos problemas mate* m i l i n n Mais uma ves o principio de Occam devasta oa objetos da ontologia formal, mais uma ves se redus o número de objetos necessários e das frases cujo significado se dá no imediato.

IV — O» primeiros passos de WittgensteiD. E conhecida a diversidade de interesses do jovem Wittgensteia- Noa fins de 1911, porém, tendo lido os PrineipU* o/ Sfa&matic*, apaixona-ee pela filosofia da matemática e decide abandonar de ves seus estudos de engenharia. Procura Frege em Iena que, segundo consta, o aconselha a trabalhar com Russell. Assim é que, no inicio do ano seguinte, se matricula na Universidade de Cambridge. Em pouco tempo se estabelece ln*ima colaboração entre o professor DO apogeu de soa carreira filosófica e o aluno cujo gênio despertava

num* subil» erupção; colaboração amiga, extremamente fértil para ambos, mas que n i o deixou de ser permeada de incidentes qoe desde logo demonstravam as diferenças profundas de temperamento filosófico. J á em março de 1913 Wiltgenstein, de visita a Viena, escreve a Russell marcando soa posjçio: " ( . . . ) posso agora exprimir exatamente minha objeção à sua teoria do julio: creio ser óbvio que da proposição 'A julga que (digamos) a esteja na relação li com b. se fôr corretamente analisada, as proposições 'o R b ... a R b' devem seguir diretamente, sem o tmpttgo de qualquer outra prmtua.

Essa condição nao t cumprida por sua teoria"("). Qual é o alcance dessa objeção* 0 que significa diier que a compreensão de uma sentença implica em recorrer ao principio do terceiro exchifdo? Uma explicação mais pormenorizada encontra-se naa "Xotas sobre a lógica'^8*), série de obtervaODM redigidas em setembro do 1913, cuja cópia foi entregue ao próprio Russell. 0 exame das idéias fundamentais dessas n o t u revela uma polêmica explicita contra Frege e Russell e, rrr. embrião, algumas das descobertas básicas posteriores.

Com isto, o elo entre oa três pensadores se fas sem solução de continuidade, de maneira a nos conduiir a apreender ao vivo o surgimento do Traeíaíw.

Depois de salientar o caráter descritivo da filosofia, depois de lembrar como esta se resolve em lógica e metafísica, Wittgenstein inicia o confronto com seus grandes mestres: "Frege dia 'proposições soo nomes'; Russell dis "proposições correspondem a complexos'. Ambos estão errados, sendo especialmente falsa a sentença 'proposições sao nomes de complexos'. Fatos nao podem ser nomeados. A falsa assunção de que proposiçOe* sao nomes nos oondux a acreditar que haja 'objetos lógicos', pois o sentido das proposições baveria de ser tais coisas"(**). O horror a ontologia formal baliia a pergunta sobre as relações que a linguagem mantém com o mundo. Que objetos poderiam ser aqueles a que corresponderiam as constantes lógicas? O pressuposto empirista eliminaria, pois, desde logo, a análise da proposiçio proposta (saiScan/lm, I, p. 261.

(83) Embora par comodidade continuemos a citar a edicto •luni, o leitor podíri UmMra enoinlrv 6 w leito, racrito priBÚUru>reta «m inclra DO ,V«í«6o>*. — WU-18IS, Apíodk* 1, B. Bltok-sti, (Word,

5C (M) Setnflm, I, p. 1».

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por Frege, análise que transforma a Verdade e a íalwdadc em objetos denotados pelas proposições. O que o leva, entretanto, a abandonar a solução de RUKW.11? Nio t i duvida de que introdusir a mente como parte eonstitutiva do sentido da proposição 6 uma brecha para o pacologUmo, mau Wittgrnstein por certo náo *e contentaria com argumentos de tal ordem geral e filosófica. A oposição, como veremos, saaoe de questões técnicas, em particular da análise muito original das condições de intehgibilidade da proposição. Ê um dado evidente c inquestionável que compreendemos uma proposição antes de precisarmos decidir a respeito de soa veracidade ou falsidade. 0 ave itto tiçnifiea do ponto <U vitia lóçKot A resposta clássica distingue a proposição meramente enunciada da proposição aasertada, a simples formulação do sentido, da aceitação de sua verdade ou de sua falsidade. Nio ha dúvida de que Wittgensteia também distingue (sense, Sinn) da denotaçao (mtaning, BeJeuOtng), nas o que importa ê explicitar aa condições lógicas, estreitamente ligadas à problemática da verdade, ao invés de reafira a r a autonomia do sentido sem prover aa condições de sua determinação. 0 que implica entendermos omt sentença antes de conhecermos sua verdade ou falsidade ( Isto de um prisma essencialmente lógico, de suas próprias condições de verdade)? "Nem o sentido nem a denotaçao de uma proposição s&o uma coisa. Essas palavras ato símbolos incompletos. É claro que entendemos proposições sem conhecer se sfto verdadeiras ou falsas. Mas somente podemos conhecer a denotaçao de uma proposição quando sabemos se * verdadeira ou falsa. 0 que compreendemos é o sentido da proposição. Para compreender a proposição p nao basta saber que p implica *p t verdadeiro', devemos saber aiada que p impbca 'p é falso'. Isto mostra a bi polaridade da proposição.

Compreendemos uma proposição se compreendemos seus constituintes e suas formas. Se conhecemos a denotaçao da 'a' e de V e sabemos que 'zRy' significa para todos os z a y, então também compreendemos 'aRb'. Compreendo a propo-•: ;â-> 'aRb' quando sei que oU o fato aRb ou o falo nao aRb corresponde a ela, mas isto náo deve ser confundido com a falsa opinião de que compreendo 'aRb' quando sei que 'aRb ou nao aRA' ocorro"(").

(65) IM,

pp. 189-191.

A afirmação da que nem o sentido nem a denotaçao elo coisas opõe uma barreira ao formahsmo de Frege; nao há objetos lógicos e o fato é a referencia indicada pela preposição- MAS nesse ato de visar, a proposição mobihxa dois pólos (o verdadeiro e o falso) que demarcam sua própria inteligibilidade. Se dissermos, por exemplo, "a easa é vermelha", a expressão como tal acrescida de todos os seus significados implícitos quer diier " 'a casa vermelha' é verdadeiro o que importa também em afirmar que 'a casa nao é vermelha' é falso". Dentro das possibilidades desdobradas pelo principio do terceiro excluído em relação a proposição p, o sentido de p eqüivale a restringir o campo dessas possibilidades, em tomar a verdade de uma parte cm detrimento de todo o resto. Dal o sentido, a despeito de mobUisar todas as possibilidades implicadas pelo principio do terceiro excluído, nao se confundir com êle, que simplesmente afirma tais possibilidades contraditórias sem atribuir-lhes peão algum e «em estabelecer entre elas níveis diferentes. A imagem utiuxada é reveladora: uma mancha preta no papel determina um conjunto de fatos (pontos) positivos e, por conseguinte, todos oa outros fatos (pontos) negativos, que eetfto fora da mancha; a afirmação de um ê a exclusão de outro e vice-versa. De sorte que tanto o sentido como a denotaçao de uma sentença, tais como aparecem intuitivamente nO enunciado, ato incompletos, na medida em que a proposição afirmatirs já estabelece logicamente a negação de sua contraditória e o fato denotado positivamente já implica na exclusão do fato negativo e vice-versa^6*). Sob Asse aspecto Witigenstein pode então diier "a característica de aminha teoria e que: p tem a mesma denotaçao que nao-p"( ').

Xa proposição "aRb" consideram-se em geral três indefinívei*, os nomes "a" e "6", cada um denotando um objeto, e a forma "ZRJI". Náo se questiona o caráter indefinlvel dos nomes; como, porém, interpretar a forma? Antigamente havia a tendência de pensá-la sempre segundo a predicação de um atributo a um sujeito; boje, ao contrário, tudo é reduzido a relações. A teoria de Russell é um impulso poderoso nesse sentido. Qual é, porém, o exato significado da forma da proposição?

CM) ÍW, p. 193, a. TraMIm, 4.063.

(SJ) &*n/U*. I, p. 188.

Cabe primeirameat* desconfiar da.» indicaoOea «geridas petos signos isolados tanto falados como escritos. As notações de Frege e de Ruaàell, por exemplo, escondem a verdadeira natureza da linguagem (**). "Símbolos nio sào o que parecem ser. Em 'aRb' 'R' parece um substantivo, embora nio o seja. O que simboliza em 'aRb' ê que 'R" ocorre entre V e V . De modo que 'R' n i o 6 indefinlvel em 'aRb'. Igualmente em V*"i V parece um substantivo, embora n i o o seja; em '~-p'. '—' parece igual a V , m u nio o i. EsU é a primeara coisa que indica que pode n i o haver constantes lógicas.

A r a i i o contra elas é* a generalidade d a lógica: a lógica n i o pode tratar de um conjunto especial de c o i W C * ) . Ê d* notar que esta desconfiança contra o sinal é baste*, pois indicará a Wittgenstein o caminho para reformular tanto a relação d o predicado com o sujeito como o próprio estatuto do sujeito em sua qualidade de substinda.

Em segundo lugar, a axiomatiiacio cumpre menos do que promete na busca' dos indeiinlveis. Construindo seus sútemas axioiruíticos. Frege e Rusaell necessitaram admitir certas constantes lógicas como primitivas, a negação e a implicação, por exemplo, todos os outros conectivoe sendo definidos a partir delas. Ora, a simples possibilidade de partirmos de outros conectivos, tomados como primitivos, e de definir em seguida a negaçio e a implicaçio, sugere seu caráter derivado. "A posaibtUsM de definições cruiadas dos indefin l r a s ca velha lógica mostra por si mesma que estes n i o •Ao propriamente indefínlveis e, mais eoDclusivament*. que nio denotam relações. Os indefínlveis lógicos n i o podem ser predicados ou relações, porque proposições, possuindo sentido, nio podem ter predicados ou relações. Nem si» 'nir/ e 'ou 1 , como julso, análogo» a predicados e relações, pois nio intpxluzem nndu di' uôv<i"(:o)Percebemos logo o alcance dessas objeçoes. A forma da proposição n i o se identifica com uma constante lógica, porquanto isto seria restringir demasiadamente ae ambiçóes absohitistas da lógica. Se uma constante lógica denotasse um objeto, este seria um entre muitos, e a generalidade indiscutível da lógica desapareceria; se constituísse um indefi(ss: Ibtd., p. 207. <«> /Mi, p. 205.

(TO) H p. 20».

nível, »ua in defini bi lida de dependeria doe interesses particulares de cada sistema axíomático. Mae numa época como a nossa, em que o abeoluto ê posto em xeque eu todos oa sentidos, em que medida Wittgenstein o recuperará precisamenle no campo da lógica, onde t«m sofrido oa ataques mais devastadores ?

"A forma da proposiç&o pode ser simboliiada da seguinte maneira: consideremos símbolos da forma 'xRg' aos quais correspondem primariamente pares de objetos, dentre os quais um tem o nome '*' e o outro o nome V- Os z e os y estão em várias relações mútuas e, entre outras, a reUcao R está iodufda em algumas e em outras nao. Determino o sentido de 'z/íy estabelecendo a regra: quando os fatos se comportam (oeAoi*) com referência a 'xRtf tal que a denotarão de V está na relação R com o sentido de Y. <üg° então que teses fatos sao 'de mesmo sentido' (gUtduinniç) que a proposição 'zRf'; no caso contrário, 'òe sentido oposto' (pUgf&engtteüt). Correlaciono os fatos ao símbolo 'xRy\ dividindo-os em aqueles de mesmo sentido c os de sentido oposto.

A esta correlação corresponde a correlação do nome e da denotaçao. Ambas sfto psicológicas. Desse modo, compreendo a forma 'rRy' quando sei que discrimina o comportamento de z t de y conforme estejam ou nio na relação R. Por esse meio extraio dentre todas as possíveis relações a relação R, da mesma maneira que, por meio do nome, extraio sua denotaçao dentre todas as coisas possíveis"^1). Essa teoria explora a qualidade de a proposição ser também um fato, e como tal uma estrutura articulada. Ka verdade, a escrita ou a notação simbólica podem sugerir o contrário, levando-nos a pensar a proposição como um conjunto de partes justapostas. Se, porém, nao nos enganarmos eom as aparências, descobrimos que as proposições possuem uma arti—Iacio interna que as torna símbolos de outros fatos que possuem a mesma articulação!™), de sorte que o símbolo é símbolo de algo porque doa dois fatos psssjfjsjj a mesma estrutura. E preciso, porém, náo pensar a referência do signo ao significado nem nos termos da Dominação nem como uma relação qualquer. 0 erro fundamental de Frege consistiu em reduiir essa referência a um mesmo tipo, fazendo com

(TI) Mi, p. 303.

(7» /ttt, p. 211.

39

que nomes e proposições se reportassem do mesmo modo a objetividade» peculiares; a linguagem toraa-êe uma maneira de nomear coiaas e fatos. Ruasell caminha na mearas direção, mas a interpreta como relação, transformando a linguagem num modo geral de relacionamento com o mundo. Ambos desconhecem a especificidade da nominac&o e da proposição.

Feita porem, essa imprescindível diferenciação, Wittgenslein retoma a lição de RusselI, descobrindo na sentença e no fato significado uma lacuna que a expressão imediata a i o pode cobrir: o sentido p implica uma referência a p , o fato positivo se insere num contexto de fatos negativos. Dal o relacionamento da língua com a reaüdade depender de uma certa "isomorfia" oculta, cada proposição desempenhando o papel de uma regua que se apõe aos fatos e aeparaado-os, graças a esse gesto, em dois campos, o daqueles que se colocam no mesmo sentido do que ela, o daqueles que se colocam em sentido contrario^ 1 ). O sentido da proposição age como um guarda a encaminhar o fluxo do trânsito para um lado e paxá o outro.

Como, entretanto, alcançar esta forma em sua puresa lógica? "Se numa proposição convertermos todos os inde;';-: v-.« em variáveis, permanece a classe de proposições que n i o incluem todas as proposições, embora inclua um tipo inteiro. Se transformarmos um constituinte- da proposição «{a) numa variável, existe então a classe p* [(3z) . *z - p).

Esta classe ainda depende em geral do que, por uma eo*~ !-•"••;- arbitraria entendemos por '«**• Mas se transformarmos em variáveis todos esses símbolos cuja significação (tiçni/ieanet) era arbitrariamente determinada, ainda permanece tal classe. Agora, porem, náo mais depende de convenção alftaaa, apenas da natureza do símbolo '«*'. Isto corresponde a um tipo lôgico"(74)* A comparação deste texto com a proposição 3.315 do Tractatur nos leva a compreender a estreita dependência que WUtgenstein vê entre a forma e o tipo lógicos. Ao lembrarmos que Ruasell define o tipo como o domínio de significação (êignifüanee) de uma função proposicioaa]. isto é, a coleção de argumentos para os quais a dita função tem valor, torna-se evidente que a forma lógica i uma extensão do tipo, obtida por meio da variação eide(73) IM, p. 1*7.

OU ; « , p. 233.

t i o das partes constituinte? da função^"). A função básica nao é reflexionante, isto é, ticnhum de seus argumentos depende, para alcançar sim individualidade, da própria função a que serve de cumprimento, e o mesmo acontece com a proposição. Partindo desse fundamento, que permanece inquestionável. Wittgenstein o leva ao limite máximo, variando em todo* os sentidos teta forma «reflexiva. 0 acesso a ala noa t dado pela própria variação, mas seu estatuto lógico, em virtude precisamente dessa irreflexibilidade, torna ae difícil de predaar. Como dizer algo desse absoluto respeitando oa límitea da irreflexao? Por isso a forma lógica nao se situa no plano das coisaa ditas. Xa medida em que entre a cipresalo e o fato deve haver algo em comum, precisamente a forma lógica, a expressão da forma, isto é, outro fato que tem com ela também algo em comum, apenas a reitera- Diante dessa monotonia improdutiva das expressões da forma, cabe-nos tao-somentc apreendi-la. De sorte que a inutilidade da teoria dos tipos custa nem mais nem menos do que a indixibiüdsde de tudo a que a lógica concerne.

Dado isso, Wittgenstein passa a examinar questões menos gerais. Estudaremos apenas três, aquelas que tratam diretamente de suas relações com Frege e RusselL Em primeiro lugar, o sinal da assercao desaparece, porque este se confunde com o enunciado. Separar a proposição enunciada da proposição assertada implicava em situar a lógica exclusivamente no domínio das proposições verdadeiras.

Ora, para Wittgenstein importa a estrutura bipolar da proposição, antes da eleição de um valor determinado. "Uma proposição n i o pode possivelmente asseriar de aí " * • • que é verdadeira. A assercao é" meramente psicológica. Ha apenas proposições insssert&das. Juízos, mandamentos e questões, todos se situam no mesmo nfvcl, todos possuem em comum a forma proporcional, e isto £ apenas o que nos interessa.

(75) Ao receber o> mir.iL"i>ii.n do Tractaiíii. RUMTL Wntxnauifl pedindo-lhe uma série de iníonatçõrm, dentre d u m •Abra o i i T i a oa qij—Hix Wítlfentttin responde, —IOSBSJSS|> o l a i a d* ItuseaD • rimpIraxnMrickx): " 'A teoria do tipo, • meu n , i a teorú do BWbnJjuao correio: um rtmtulo «ímplm nlo dl** —a kftii p»r» nl'".i-iir algo complexo: raiu- geralmente, um «imbcJo der* ter a raaona eaUutUJa que iu> ilciimaçfc» ( " « « J Í . Isto é m l l í C l U U f* St pod* diif». VoeS DSO pode prescrever • ura rfmboht o que Ibe í aermatkSS1 /. Todo o que um símbolo porf« expressar tbe 4 ftrm<itdo" I.p.375).

A lógica se interessa apenas por proposições infcwatâtWC*)' Total revolução nos domínios da lógica, que se exleode assim muito alím da* proposições apofânticas. numa completa subversão doa limites traçados, por Aristóteles.

Convém, em segundo lugar, examinar a forma da proposição "A julga p". A critica oom que nos defrontamos )i é um começo da doutrina defendida posteriormente, quando o valor de todas aa proposições complexas dependerá dos valores de verdade das proposições elementares. De acordo com a interpretação dada à noção de sentido, deve ter completada do seguinte modo: "A julga que 'p' é verdadeiro e "aao-p' 4 falso"("). "A proposição 'A julga p ' consiste no nome próprio A, na proposição p com seus dois pólos, e A se relacionando com ambos Asses paios numa certa maneira.

Esta obviamente n&o ê uma relação no sentido ordinário.

Toda teoria eoneta do julio deve tomar impossível julgar que 'esta mesa caneteia (peiAonderi) o livro' (A teoria de Ruasell n l o satisfas a este re<|uÍ8Íto)"(T*). A teoria do jutio deve evitar jufios absurdos, e isto só se obtém quando forem enquadrados em sua própria bipolaridade.

Trata-se, como se vi, de corrigir a doutrina de Ruasell, inspirando-se na nova üiterpKiaçao da problemática do sentido. Ainda permanece o sujeito A, mas este sujeito já se relaciona com a proposição de uma forma diferente daquela que vincula as partes da sentença. Jio Tractahu, todavia, quando a noção de figuração ampliará o conceito de forma lógica, o sujeito A será substituído pela própria proposição p ; "A julga p reeolveado-se em "p julga p"(™). 0 primeiro p f um modelo proposicional do segundo p. de sorte que a consciência se afasta para os limites do mundo, os estados de consciência referentes & proposição passam a constituir outra expressão em que ela pode revestir-se. A tese da radical extenaionalidade das proposições pode então ser adotada sem encontrar qualquer obstáculo.

Finalmente, cabe examinar a critica à teoria do complexo. Segundo Wittgenstein, o fato e sempre imaginado f76) (77) (78) (Ti)

J t t i , p. 105; O. IVocísí^ 4.442.

SdnfUm, I, p. 197. / M . p. 195.

Cf. &S42.

por RIMKII como um complexo espacial e, como os complexos espaciais afto constituídos de coisas e do relações, todo* os módoe diferentes de complexidade ato reduaidos a um sói*0).

A relação entre oa (atos e suas partes constitutivas e a relação que opera entre um fato e outro que se segue a partir do primeiro, por exemplo, sio postas no mesmo plano. Apesar da semelhança que realmente existe entre ambas, expressa pela formula, *a. O M . a - a, nio há raio algum* para identificá-las. Em suma, a teoria dos complexos resulta de uma extrapolação indevida da teoria das relações Dado isso, Wittgenstein passa a expor BUS própria teoria. T o d a sentença sobre complexos pode resolver-se na soma lógica da sentença sobre os constituintes e oa sentença sobre a proposição que descreve o complexo inteiramente- Como, em cada caso, a resolução h i de ser feita, ê uma questão importante, mas sua resposta nio 6 incondicionalmente necessária para a construção da lógica. Repetindo: cada proposição que parece ser sobre complexos pode ser analisada numa proposição -obre seus constituintes e sobre a proposição que descreve o complexo perfeitamente, isto é, a proposição que eqüivale a diser que o complexo cxistc"("). Este enunciado, que reaparece DO 7Vaeíaíuí(") constitui uma das peças essenciais para o estabelecimento do atornismo lógico, defendido por Wittgenstein em seus primeiros escrito». No entanto, apesar de sua importância, nio tem encontrado entre os comentadores uma interpretação convincente. Qual é a proposição que descreve completamente o complexo? Sem entrar em pormenores, convém lembrar que esta ou estas proporções que apanham o complexo na sua totalidade surgem no lugar que o sujeito ocupava na teoria de RusseU, devendo, portanto, possuir a mesma estrutura do complexo. O que importa é salientar que o complexo para Wittgecsteia nio apenas se redus ao simples, graças a um único processo de dissolução, mas na sua totalidade nio pode ser tratado como simples, nio deve possuir a cômoda propriedade de, sendo composto, poder ser tomado como a unidade..'*.

(50) &AH/1», I, p. 197.

(51) / M . p. 305.

(82) a . 20201.

(83) Sd*ft**, I, p. 205.

V — P M direção do

Traetatui.

Aa "Xotas sobre a lógica" dividem-se em cinco partes?

I — Blpolaridadf dai proposições. Sentido t Denolaçào. Verdade i Paleidadt; II — Andlioe dai proponcSei alimieai.

Indejtnáveii gerai», predicado!, ele.; III— Andliie dai pro~ poiifie* molecularei: funções - a , b(**); Análise dai proponcòei prrai*. Principiai do ixmbolismo- 0 que o embolo siçniJiea~ Fatot por faloi. 0 plano é obviamente simples: partindo de uma nova teoria do sentido e da denotaçio. de um lado, cabe analisar a estrutura interna da proposição ate" checar aos elementos simples e indefi níveis; de outro, examinar como as proposições complexas se compõem e, depois de estudar o problema das proposições universais, chegar aos princípios básicos do ãmbolismo. À primeira vista esse plano foi abandonado pek) Tractatui, cuja composição se escande segundo as sete proposições fundamentais: I) O mundo é tudo o que ocorre- 2) O que ocorre, o lato, é o subsistir de estados de coisas. 3) Pensamento é a figuração lógica dos fatos. 4) 0 pensamento i a propoBtç4o significativa. 5) A proposição Ó uma função de verdade das proposições elementares. 6) A forma geral da função de verdade i f.p, í , A'(f j ]. Esta ê a forma geral da proposição.

7} O que nao se pode falar, deve-se calar. No entanto, a despeito das discrepância* evidentes, nao é difícil mostrar que os dois escritos obedecem à mesma inspiração; somente o Traelatui ampliou sobremaneira a primeira parte das "Notas •obre a lógica", desenvolvendo pormenorizadamente as condições lógicas da significação.

Num testo anterior vimos, em que pese a importância da resolução do complexo em simples, que "sua resposta nlo é incondicionalmente necessária para a construção da lógica".

Desse modo, é preciso postular a existência dos elementos simples, sem contudo se, deter nas formulas possíveis de resolução, cujo estudo fica além doa estreitos limites do fonnaüsmo lógico. Atitude fundamentalmente anti-erapirista, em que a simplicidade nada tem a ver com a realidade percebida, como fiseram crer os ncopositivistas, porquanto a lógica se interroga desde o inicio a propósito das condições de poseitW) Na ooUçao lnki»l o, b indica wrisde.ro e ttha.

bilidade, colocando-*- numa perspectiva transcendental. Se o Tradatut se inicia pela análise do mundo. este mundo, os fatos, oa estados de coisas e os objetos sio conceitos formais, cuja determinação se fai unicamente para fixar a determinsbüidade do sentido das proposições. Todos esses psssos sio dados unicamente do ponto de vista da necessidade que possui a Ungua de ter uma realidade a que se referir. No entanto, a problemática do sentido também sofre radical ampliação, na medida em que as proposições passam a constituir caso especial dos vario* tipos de modelos, de figurações, que construímos do mundo. Por que um conceito de tal monta nio merece uma proposição especial T Simplesmente porque a figuração ainda 4 fato, embora seja fato de outro fato. Assim tendo, as duas proposições iniciais do Tractalu* m oeupam doa fatos, de sua resolução e de sua construção, assim como de um fato especial, construído por nos, e que possui a virtude de simbolizar outro. Somente na terceira, surge a definição da proposição como revestimento concreto do pensamento, daquele elemento lógico comum a todas as figurações. Em seguida, a linha das "Xotas sobre a lógica" torna-se aparente no TracUUtu; este passa a examinar a resolução da proposição em seus elementos simples e as formas possíveis de composição e dependência, na base dos valores de verdade das proposições elementares. No final, a proposição 7, no seu laconlsmo dramático, retoma a problemática geral do sünbobsmo, reafirmando incisivamente a diferença entra o diaer e o mostrar.

Existe, porém, uma dificuldade de que o próprio se deu conta. Para mostrar o que deve ser além do discurso, para indicar a indisibindade das lógicas é preciso falar, ainda que a fala seja absurda.

E o TVacÜiu é essa lingusgem absurda que há de ser abolida no final, quando o discurso se enquadrar nos estreitos limites da figuração do mundo. Obra de passagem, nio cabe atribuir-lbe demasiada importância.

Continuamos, entretanto, a estudá-lo, a analisar uma por uma suas proposições como se elas dissessem algo. Náo é então para duvidar deste seu principio básico que elimina da ungua toda sorte de reflexão? Acresce ainda que nenhuma linguagem matemática obedece rigorosamente a es*.ratificação dos tipos, estabelecida por Russell e levada aos últimos limites por Wittgenstein. E o próprio desenvolvimento da

lógica moderna cada vez mais noa convence de que a teoria de* tipo» foi uma solução artificial, gerada por ama concepção absolutista da matemática, que hoje dificilmente encontra guarida, principalmente quando o método axiomátieo perdeu a auréola de que se revestia no inicio do século.

Mas admitir a reflexão ao seio do discurso, a possibilidade de o predicado tornar-se sujeito e nesse processo sua denotarão adquirir * unidade e a espessura de uma certa objetividade, tem como conseqüência, nao apenas recair no enredo dos paradoxos, mas, sobretudo, recolocar a problemática da filosofia da linguagem em termo- diferentes daquele* em que Wittgensteia e os neopositívistas colocaram. Xfto há mais a separação radical e absoluta entre o discurso e o real, de modo que os caminhos de Frege e de HusserI voltam a ter viabilidade. A n&o ser que, conduzidos pelo próprio Wittgcnstein. enveredemos por uma concepção fragmentada e utiütarista da linguagem, como acontece em suas últimas obras, em que a significação é determinada pelo uso s seu alcance é descoberto pelo emprego sistemático de certos jogos liaguísConvém ainda lembrar que a teoria da significação desenvotvida no Tratíatua pressupõe a decidibiÜdade de todas as proposições, isto é, que sempre possamos diser de uma sentença corretamente formada se e falsa ou verdadeira- Na rsis da objeção de Wittgenstein contra a teoria do juízo de Russeü encontra-se o pressuposto de que sempre seri possível determinar o valor de verdade da proposição. Ora, em 1931 Godel mostrou que proposições aritméticas elementares nao podiam ser demonstradas na base de um sistema axiomátieo completo, nlo sendo pois possível decidir-se de soa verdade ou falsidade, utilizando unicamente processos postos a disposição pelo sistema- 0 princípio em que Wittgenstein assentara o TraetaUu caí por terra; somente o calculo proposicãonal e outros cálculos menores que, todavia, nao esgotam a complexidade do discurso matemático, estão em condição de aproximar a significação dos valores de verdade.

Se o desenvolvimento da lógica matemática pôs em xeque certos fundamentos do Tractalut, o que nos Wa a reísVlo e a reeditá-lo 7 Seguramente n&o é apenas por sua importância histórica, nem pela riqueza das idéias que encontramos cm seu interior. Ainda que sejamos atraídos pela beleza de sua arquitetônica, o que importa, assim o cremos, 4 a

r&dicalidade de suna posições. 0 problema do conhecimento se assentava, na filosofia tradicional, sobretudo nas relações entre a consciência e a realidade. É ficil verificar que a reflnio sobre a consciência cedeu lugar k reflexão sobre a Ungua.

Nesta direção, Wittuenstein deu um dos primeiros passos decisivos, c talvez ninguém tenha colocado a questão da Hne do mundo em termos tio radicais.

Devo expressar aqui meus agradecimentos pela atenciosa leitura de meu texto que fiteram os professores AXDRKS K. Raooio e FRANCISCO COSTA FXLIX, assim como pela cuidadosa revisão de ALUIH DE OLIVEIRA AOOIAB. Unãcnidade de Sto Paulo •MMDbro de 1M«

TRACTATUS LOGICO-PHILOSOPHICUS

TRACTATUS LOGICO-PHI^OSOPIUCUS

à memória de DAVID H- PlffflCNT

MoU: ...» tudo o qu> H mb*, qu« Dia wj» apenaa rumoe oarido, pode " i dito « o trt» pilirr»»

um

PREFACIO Tslvei fole livro somente seja compreendido por quem já tenha eogiudo por si próprio os pensamentos aqui expressos, ou to menos copiado pensamentos semelhantes. Xao ê, pois. um "••"'••* Terá alcançado seu objetivo se agradar a quem o ler cora atenção.

Trata de problemas filosóficos e mostra, creio eu. que o questionar desses problemas repousa na má compreensão da lógica de nossa linguagem. Poder-se-ia apanhar todo o sentido do livro com estas palavras: em geral o que pode ser dito. o pode ser claramente, mas o que olo se pode falar deve-se calar.

Pretende, portanto, estabelecer um limite ao pensar, ou melhor, nio ao pensar mas à expressão do pensamento, porquanto para traçar um limite ao pensar deveríamos poder pensar ambos os lados desse limite (de sort« que deveríamos pensar o que nao pode ser pensado).

O Emite será, pois, traçado unicamente no interior da língua; tudo o que fica além dele será simplesmente absurdo. ?*io quero julgar ate onde meus esforços coincidem com os ds outros filósofos. Por certo o que escrevi nio pretende ser original no pormenor; por isso nao doa fonte alguma, posto que me é indiferente se o que pensei já foi pensado por alguém antes de mim. t Quero apenas mencionar que devo grande parte do estimulo a meus pensamentos às grandiosas obras de Frege e aos trabalhos de meu amigo Sr. Bertrand RusselL

Caso meu trabalho tenha valor, éle será duplo. Primeiramente porque exprime pensamentos, valor que será tanto maior quanto melhor os pensamentos forem expressos. Nisto estou consciente de estar muito aquém do possível, simplesmente porque minhas forças sfto poucas para cumprir a tarefa.

Possam outros vir e faser melhor.

No entanto, a verdade dos pensamentos comunicados aquí me parece intocável e definitiva, de modo que penso ter resolvido os problemas no que e* essencial. Se nao me engano, o segundo valor desse trabalho í mostrar quio pouco se consegue quando se resolvem tais problemas.

L. W. Viaw, 101S

5i

1('J 1.1

O mundo é tudo o que ocorre.

O mundo ê a totalidade doe fato*, n i o das

1.11

O mundo € determinado pelos fatos e por isto consistir em Iodai oe fatos.

A totalidade dos fatos determina, pois, o que ocorre e também tudo que n i o ocorre.

Os fatos, no espaço lógico, aac, o mundo.

1.12 MS 12 1.21 2 2.01 2.011

O mundo ee resolve em fatos.

Algo pode ocorrer ou n i o ocorrer e todo o permaoecer na mesma.

O que ocorre, o fato, é o subsistir dos de coisas.

O estado de coisas é uma ligação de objetos (ooisas). Ê eWsaeial para a coisa poder ser parte constituinte de um eaiado de ooisas.

2.012

Nada é acidental na lógica: se* uma coisa pvder apareeer num estado de coisas, a possibifidade do estado de coisas já deve catar antecipada nela,

i 2.0121

Parece, por assim diaer, acidental que à coisa, que poderia subsistir sotmha e para si, viesse ajustar-se em seguida uma situação.

Se aa ooisas podem aparece» em estados de então tato já deve estar nelas.

(•) Os slaarhmjai qu* wumrun u propoa>9Bca inibia iodicun o ps» Ucxo imat ptoptuçOai, t importánci» qa» adquiram n ninh» «ijiiMlSn As proprõioABi a.1, a.3, «3, «li., <*>i*tiluHm cbamta&oi à pfopuncao n.* a; ss propaiçtMs n ml. n.mS, Mc., ocaMTSçBw » prop» xçtc a.* •.•», • ISMB por duol*.

2.0122

2.0123

(Algo lógico nio pode ser meramonte-posBlvel.

A lógica trata de cada possibilidade e Ioda* aa possibilidades são fatos que lhe pertencera.)

Assim como n&o podemos pensar objetos espaciais fora do espaço, os temporais fora do tempo, assim n&o podemos pensar nenhum objeto fora da possibilidade de sua ligação com outros.

Se posso pensar o objeto ligando-o ao estado de coisas, n&o posso então pensa-lo fora da pouibilidade dessa ligação.

A coisa i autônoma enquanto puder •parecer em todas as situaçoos poatdWs, mas esta forma de autonomia é uma forma de conexão com o estado de coisas, uma forma de heteronomia. (E impossível palavras comparecerem de dois modos diferentes, sõainhas e na proposição.)

Se conheço o objeto, também conheço todas as possibilidades de seu aparecer em estados de coisas.

(Cada uma dessas possibilidades deve estar na natureza do objeto.)

N&o é possível posteriormente encontrar nora possibilidade.

2.01231 Para conhecer um objeto n&o devo com efeito conhecer suas propriedades externas — mas todas as internas.

2.0124 Ao serem dados todos os objetos, d&o-ee também todos os posrfwi* estados de coisas. 2.013 Cada coisa está como num espaço de estados de coisas possíveis. Posso pensar este espaço vasio, mas n&o a coisa sem o espaço.

2.0131 O objeto espacial deve estar no espaço infinito.

(O ponto no espaço é lugar do argumento.)

A mancha no campo visual náo deve. pois, ser vermelha, mas deve ter uma cor; tem, por assim diser, tuna espacialidadv colorida em TOÍU de si.

O som deve possuir uma altara, o objeto do tato, ttma durean, e assim por diante.

2.014 Os objetos contem a possibilidade de todas aa situaçfles.

54

2.0141

A possibilidade de seu «parecer nos estados d* coisas 6 a formo dos objetou.

2.02 O objeto é simples.

2.0201 Cada «sscrçâo sobre complexo» deixa-*e dividir numa asserç&o sobre suas partes constitutivas e naquelas proposições que descrevem inteiramente tais complexos.

2.021 Os objetos formam a substância do mundo.

Por isso nao podem ser compostos.

2.0211 Se o mundo nao possuísse substancia, para uma proposição ter sentido dependeria de outra proposição ser verdadeira.

2.0212 Seria, pois, impossível traçar uma figuração do mundo (verdadeira ou falsa).

2.022 É claro que um mundo, pensado muito diferente do real, deve possuir algo — uma forma — comum com este- mundo real.

2.023 Esta forma fixa consiste precisamente em objetos.

2.0231 A subetAncia do mundo pode determinar apenas uma forma, mas nao propriedades materiais; ji que estas são primeiramente representadas pelas proposições — primeiramente formadas pela configuração doa objetos.

2.0232

Aproximadamente falando: os objetos sao desprovidos de cOr. 2.0233 Dois objetos de mesma forma lógica — abstraindo suas propriedades externas — se diferenciam um do outro apenas por serem distintos.

2.02331 Ou uma coisa possui propriedades que nenhuma outra possui e desse modo ê possível sem mais a?parila de outras por uma descrição e referir-se a ela; ou, ao contrario, existem varias coisas que possuem todas suas propriedades em comum, sendo então impossível em geral indicar uma delas.

Se a coisa nao se distingue por nada, nao posso então distingui-la, pois do contrario estaria dietinguida.

2.024

Substância é O que subsiste independentemente do que ocorri'.

2.025 EU é forma e conteúdo.

2.0251 Espaço, (empo e cor (oolorídade) são forma» dos objetos.

2.026 Só se houver objetos, pode haver forma fuça do mundo.

2.027 O fixo, o subsistente e o objeto ato um só.

2.0271 0 objeto é o fixo. o subsistente; a configuração é o mutável, o instável.

2.0272 A configuração dos objetos forma o estado de coisas.

2.03 No estado de coisas os objetos se ligam uns aos outros como elos de uma cadeia.

2.031 N*o estado de coisas os objetos estão una em relação aos outros de um modo determinado.

2.032 O modo pelo qual os objetos se vinculam &o estado de coisas constitui a estrutura do estado de coisas.

2.033 A forma é a possibilidade da estrutura.

2.034 A estrutura do fato é constituída pelas estruturas dos estados de coisas.

2.04 A totalidade dos subsistentes estados de coisas é o mundo.

2.05 A totalidade dos subsistentes estados de coisas determina também quais estados de coisas nâo subsistem.

2.06 A subsistência e a nao-subsisteaoa dos estados de coisas é a realidade.

(Chamamos de fato positivo à subsistência de estados de coisas e de negativo à nao-aubaistcnina deles.)

2.061 Os estados de coisas são independentes uns dos outros.

2.062 Da subsistência ou da nao-subsisteocia de um estado de coisas nfto é possível concluir a subsistência ou a aao-subsUtcticia de outro.

2.063 2.1 2.11 2.12 2.13 2.131 2.14 2.141 2.15

2.151 2.1511 2.1512 2.15121 2.1513 2.1514 2.1515

A realidade inteira é o mundo.

Faiemo-nos -figurações doa fatos.

A figuração presenta a situação DO espaço lógico, a subsistência e a nio-subsistencia de estados de coisas.

A figuração ê um modelo da realidade.

Na figuração, seus elemento» eorTeepoodem aoa objetos.

Os elementos da figuração substituem nela os objetos.

A figuração consiste em que seus elementos estão una em relação aoa outros de um modo determinado. , A figuração 6 um fato.

Os elementos da figuração eeUndo uns em relação aos outros de um modo determinado, isto representa as coisas estando umas em relação às outras.

Esta vinculaçao dos elementos da figuração chama-se sua estrutura e a possibilidade dela, sua forma de afiguraçao.

A forma de afiguraçao é a possibilidade de que as coisas estejam umas em relação as outras como co elementos da figuração.

A figuração enlaça-ae com a realidade; dlttt wtodo: estendendo-se para ela. £ como padrão de medida que se aplica à realidade.

Somente os pontos mais exteriores das linhas divisórias locam o objeto a ser medido.

Segundo essa concepção, também pertence i figuração a forma afigurante que precisamente a torna figuração.

A relação afigurante consiste nas coordenações dos elementos da figuração e das coisas.

Estas coordenações Rio, por assim dizer, antenas doa elementos da figuração, com ai quais esta toca a realidade.

2.16 2.161

2.17

2.171

2.172 2.173

2.174 2.18 , 2.181 2.182 2.19 2.2 2.201

2.202 2.203

m

Os fatos, para serem figuração, devem ter algo em comum com o que é afigurado.

Deve haver algo idêntico na figuração e no afigurado a fim de que um possa ser a figuração do outro.

0 que a figuração deve ter em comum com a realidade para poder afigurar à sua maneira — correta ou falsamente — é sua forma de afiguração.

A figuração pode afigurar qualquer realidade cuja forma ela possui.

A figuração espacial, tudo o que é espacial; a colorida, tudo que é colorido, etc.

Sua forma de afiguração, contudo, a figuração não pode afigurar; apenas a exibe.

A figuração representa seu objeto de fora (seu ponto de vista é sua fôrma de representação), por isso a figuração representa seu objeto correta ou falsamente.

A figuração não pode, porém, colocar-se fora de sua forma de representação.

O que cada figuração, de forma qualquer, deve sempre ter em comum com a realidade para poder afigurá-la em geral — correta ou falsamente — é a forma lógica, isto é, a forma da realidade.

Se a forma da afiguração é a forma lógica, a figuração chama-se lógica.

Toda figuração também é lógica. (No entanto, nem toda figuração é, por exemplo, espacial.)

A figuração lógica pode afigurar o mundo.

A figuração tem em comum com ó afigurado a forma lógica da afiguração.

A figuração afigura a realidade, pois representa uma possibilidade da subsistência e da não-subsistência de estados de coisas.

A figuração representa uma situação possível no espaço lógico.

A figuração contém a possibilidade da situação, a qual ela representa.

2.21

A figuração concorda ou não com a realidade, é correta ou incorreta, verdadeira ou falsa.

2.22 A figuração representa o que representa, independentemente de sua verdade ou falsidade, por meio da forma da afiguração.

2.221 O que a figuração representa é o seu sentido.

2.222 Na concordância ou na discordância de seu sentido com a realidade consiste sua verdade oü sua falsidade.

2.223 Para reconhecer se uma figuração é verdadeira ou falsa devemos compará-la com a realidade.

2.224 Não é possível reconhecer apenas pela figuração se ela é verdadeira ou falsa.

2.225 Não existe uma figuração a priori verdadeira.

3 Pensamento é a figuração lógica dos fatos.

3.001 "Um estado de coisas é pensavel" significa: podemos construir-nos uma figuração dele.

3.01 A totalidade dos pensamentos verdadeiros *ÍS figuração do mundo.

3.02 O pensamento contém a possibilidade da situação que êle pensa. O que é pensável também é possível.

3.03 Não podemos pensar nada ilógico, porquanto, do contrário, deveríamos pensar ilògicamente.

3.031 Já foi dito por alguém que Deus poderia criar tudo, salvo o que contrariasse as leis lógicas. Isto porque não podemos dizer como pareceria um mundo "ilógico".

3.032 Representar na linguagem algo que "contrarie as leis lógicas" é tão pouco possível como representar, na geometria, por meio de suas coordenadas, uma figura que contrarie as leis do espaço; ou, então, dar as coordenadas de um ponto inexistente.

3.0321 Podemos perfeitamente representar um estado de coisas espacial contrário às leis da física, nunca, porém, contrário às leis da geometria.

3.04 Um pensamento correto a priori seria aquele cuja possibilidade condicionasse sua verdade.

61

3.05

3.1 3.11

3.12 3.13

3.14

3.141

3.142 3.143

62

Desse modo, só poderíamos conhecer a priori que um pensamento é verdadeiro se a verdade dele fosse reconhecível a partir do próprio pensamento (sem objeto de comparação).

Na proposição o pensamento se exprime sensível e perceptivelmente.

Utilizamos o signo sensível e perceptível (signo sonoro ou escrito, etc.) da proposição como projeção da situação possível.

O método de projeção é o pensar do sentido da proposição.

Chamo signo proposicional o signo pelo qual exprimimos o pensamento. E a proposição é o signo proposicional em sua relação projetiva com o mundo. Â proposição pertence tudo que pertence à projeção, não, porém, o que é projetado.

Portanto, a possibilidade do que é projetado, não, porém, este último.

A proposição, portanto, não contém seu sentido, mas a possibilidade de exprimi-lo. ("O conteúdo da proposição" quer dizer o conteúdo da proposição significativa.)

Está contida na proposição a forma de seu sentido, não, porém, seu conteúdo.

O signo proposicional consiste em que seus elementos, as palavras, estão relacionados uns aos outros de maneira determinada.

O signo proposicional é um fato.

A proposição não é uma mistura de palavras.

(Do mesmo modo que o tema musical não é uma mistura de sons.)

A proposição é articulada.

Somente fatos podem exprimir um sentido, um'a classe de nomes não o pode.

Que um signo proposicional seja um fato, isto é velado pela forma comum de expressão, escrita ou impressa.

3.1431

3.1432

3.144

3.2

3.201 3.202 3.203 3.21

3.22 3.221

3.23

Na proposição impressa; por exemplo, o signo proposicional não parece essencialmente diferente da palavra.

(Foi assim possível a Frege chamar à proposição de nome composto.)

A essência do signo proposicional se torna muito clara quando, em vez de o pensarmos composto de signos escritos, o pensamos composto de objetos espaciais (tais como mesas, cadeiras, livros).

A posição espacial oposta dessas coisas exprime, pois, o sentido da proposição.

Não: "O signo complexo eaRb' diz que a por R se relaciona com b", mas: que "a" por um certo R se relaciona com "b", isto quer dizer que aRb. É possível descrever situações, impossível no entanto nomeá-las.

(Os nomes são como pontos, as proposições, flechas; possuem sentido.)

Nas proposições os pensamentos podem ser expressos de tal modo que aos objetos dos pensamentos correspondam elementos do signo proposicional.

A esses elementos chamo de "signos simples" e à proposição, "completamente analisada".

Os signos simples empregados nas proposições são chamados nomes.

O nome denota o objeto. O objeto é sua denotação. ("A" é o mesmo signo que "A".) Ã configuração dos signos simples no signo proposicional corresponde a configuração dos objetos na situação.

Na proposição o nome substitui o objeto.

Posso nomear apenas objetos. Os signos os substituem. Posso apenas falar sobre eles, não posso, porém, enunciá-los. Uma proposição pode apenas dizer como uma coisa é, más não o que é.

Postular a possibilidade de signos simples é postular a determinabilidade do sentido.

63

i 3.24

3.25 3.251 3.26 3.261

3.262 3.263

A proposição que trata de um complexo achase numa relação interna com a proposição que trata das partes constituintes dele.

0 complexo só pode ser dado por sua descrição, e esta concordará ou nao concordará com ele. A proposição que se ocupa de um complexo inexistente nao será absurda, mas simplesmente falsa.

Que um elemento proposicional designa um complexo, isto podo « r visto graça* a uma indeterminabilidade na proposição na qual éle aparece.

Sofremos por esta proposiç&o que nem tudo está determinado. (A designação da universalidade já contém, com efeito, uma protofiguraçao.)

A reunião dos símbolos de um complexo em um símbolo simples pode ser expressa por uma definição.

Exista apenas um» e uma única análise completa da proposição.

A proposição exprime o que e expresso de um modo determinado e dado claramente: A proposição ê articulada.

0 nome nao é bara ser desmembrado ademais por uma definição: « um signo primitivo.

Cada signo definido designa por tfbn os signos pelos quais e* definido, e as definições mostram o caminho.

Dois «ignoB, um signo primitivo e outro definido por signos primitivos, nao podem designar pela mesma maneira. Nomes n&o podem ser decompostos por definições. (Nenhum signo isolado e autônomo possui denotaçáo.)

O que no signo nao vem expresso é indicado pela aplicação. O que os signos escondem, a aplicação exprime.

As denotaçoes doe signos primitivos podem ser esclarecidas por elucidações. Elucidações sao proposições que contém oa signos primitivos. So podem, portanto, ser entendidas quando já se conhecem as denotaçoes desses signos.

3.3 3.31

3.311

3.312

3.313

86 a proposição possui sentido; só em conexão com a proposição um come tem denotacão.

A cada parte da proposição que caraeterisa um sentido chamo de expressão (símbolo).

(A própria proposição 6 uma expressão.)

A mprosa Ho e tudo quo, sendo essencial para o sentido da proposição, as proposições podem ter cm comum entre li.

A exprees&o caracteriza uma forma e um conteúdo.

A expressão pressupõe as formas de toda* as proposições nas quais pode aparecer. Constitui a marca característica comum a uma classe de proposições.

Representa-se, pois, por intermédio da forma geral das proposições que a caraeterisa.

E assim a expressão seri, nesta forma, conManU e todo o resto, rartátei.

A expressão seri representada por uma variarei, cujos valores sao as proposições que contem a expres(No caso limite, a variável torna-se constante, a expressão, a proposição.)

A uma tal variável cbamo de "variável

3.314

3.315

A expressão tem deaotaçAo apenas na proposição. Cada variável pode ser concebida como variável proposieional.

(A variável nome também.)

Se transformarmos uma parte constituinte de uma proposição numa variável, existe então uma classe de proposições constituída por todos os valores da proposição variável assim resultante. Esta classe ainda depende cm geral do que nós, secundo um ajuste arbitrário, chamamos partes da proposição. Se, no entanto, transformarmos todos aqueles cujas denotaçoes foram determinadas arbiem variáveis, ainda continua a

u

aquela classe. Esta, porém, não mais depende de qualquer ajuste, mas unicamente da natureza da proposição. Corresponde a uma forma lógica — a uma protofiguração lógica.

3.316

3.317

3.318 3.32 3.321 3.322

3.323

66

Fixam-se os valores que a variável proposicional deve tomar.

A fixação dos valores é a variável.

A fixação dos valores das variáveis proposicionais consiste na indicação das proposições, as quais têm como marca característica comum a variável.

A fixação é uma descrição dessas proposições.

A fixação se ocupará, pois, unicamente dos símbolos, não se ocupando de sua denotação.

E para a fixação é essencial ser apenas uma descrição de símbolos, nada assertando sobre o designado Como se dá a descrição da proposição é inessencial.

Concebo a proposição — do mesmo modo que Frege e Russell — como função das expressões que nela estão contidas.

O signo é o que no símbolo é sensivelmente perceptível.

Dois símbolos diferentes podem ter, pois, em comum o mesmo signo (escrito ou sonoro, etc.) — designam desse modo de diferentes maneiras.

A marca característica comum a dois objetos nunca pode indicar que os designamos com o mesmo signo, embora com diferentes modos de designação; porquanto o signo, sem dúvida, é arbitrário. Poderíamos, portanto, escolher dois signos diferentes, e onde permaneceria o que é comum na designação?

Na linguagem corrente amiúde acontece que a mesma palavra designa de modos diferentes — pertencendo, pois, a símbolos diferentes — ou ainda duas palavras, que designam de modos diferentes, são empregadas na proposição superficialmente da mesma maneira.

3.324 3.325

3.326 3.327 3.328

3.33

3.331

Assim a palavra " é " aparece Como cópula, como sinal de igualdade e expressão da existência; "existir", enquanto verbo intransitivo do mesmo modo que "ir"; "idêntico", enquanto adjetivo: falamos a respeito de algoy mas também de que algo acontece.

(Na proposição "Rosa é rosa" ("Grün ist grün") — onde a primeira palavra é nome de pessoa e a última é adjetivo — ambas as palavras não têm apenas denotações diferentes, mas constituem símbolos diferentes.)

Nascem, assim, as confusões mais fundamentais (de que toda a filosofia está plena).

Para evitar esses erros devemos usar uma linguagem simbólica que os exclua, pois esta não empregará superficialmente o mesmo signo para símbolos diferentes, e não empregará signos, que designam de maneira diversa, do mesmo modo. Uma linguagem simbólica, portanto, que obedeça à gramática lógica — à sintase lógica.

(A ideografia de Frege, ou a de Russell, constitui uma tal linguagem que, no entanto, não elimina todos os erros.)

Para reconhecer o símbolo no signo deve-se atentar para seu uso significativo.

O signo determina uma forma lógica somente junto de sua utilização lógico-sintática.

Se um signo não tem serventia, então êle é desprovido de denotação. Este é o sentido do lema de Occam.

(Se tudo se passa como se um signo tivesse denotação, então êle a terá.)

Na sintaxe lógica a denotação de um signo não há de desempenhar papel algum, a sintaxe deve elaborar-se sem que surja a preocupação com a denotação , devendo pressupor apenas a descrição das expressões.

Peita esta observação, consideremos a Theory of types de Russell: o erro deste se revela quando,

67

ao elaborar as regras doa signos, teve de apelar para a dcnotaçio desses signos.

3.332 Ncr.huma proposição pode aaaertar algo «Abre ai mesma, pois o signo proporcional Dlo pode estar contido em si mesmo (ai está tfld» * Tktcy oj typei).

3333 Uma função por isso uao pode atr ata próprio argumento, pois o signo da função já contem a protofíguraçao de seu argumento, e n&o contém a ai própria.

Tomemos, por exemplo, a função Ffjz) podendo ser seu próprio argumento; haveria então uma proposição "P(P(fz))", em que a íunç&o externa P e a interna P teriam denotaçftes diferentes; a interna tendo como forma «</*). » extern*. *(f<W). Ambas as funções têm em comum apenas a letra "P" que nada designa.

Isto se torna claro logo que, em vea de "F(P(ú))", escrevemos "(3*) : Ffa). «w - / « " . lato liquida o paradoxo de RusseU. 3.334 As regras da sintaxe lógica d w s a ser entendidas de per ai, desde que ae saiba apenas como cada signo designa.

3 34 A proposiç&o possui traços '•sameia» e acidentais.

Acidentais sao os traços que derivam da maneira particular de produxir o signo proposicionai; essenciais, aqueles que sozinhos tomam a proposição capas de exprimir seu sentido.

3.341 Ê pois essenoial na proposição o que t comum a toda* as proposições que podem exprimir o mesmo sentido.

E do mesmo modo é em geral essencial no símbolo o que é comum a todos os símbolos qua podem preencher o mesmo fim.

35411 Seria entáo possível diser: o nome autentico ê aquilo que todos os símbolos quf designam o objeto tim em comum. Dal resultaria paulatinamente que nenhuma composição é essencial para o nome.

3.342

3.3421

3.343

3.344

3.3441

3.3442 3.4

2.41 3.411

Há com efeito em nossa notação algo arbitrário, mas o seguinte nfto o i : te determinarmos algo arbitrariamente, então algo a mais deve ocorrer. (Isto depende da ttttneia da notação.)

Cm modo particular de designação pode ser deeimportanto, mas e sempre importante que seja um modo possfwl de dcsignaçio. Esta é a ntuacio na filosofia em geral: o singular se manifesta repetidamente como desimportante, mas a poaàbilidade de cada singular nos dá um esclarecimento sobre a essência do mundo.

Definições sfto regras para a tradução de uma linguagem a outra. Cada linguagem simbólica correta deve deixar-se traduiír numa outra segundo tais regras: Uto é tudo o que elas tem em comum.

0 que designa no símbolo é o que é comum a todos os símbolos pelos quais o primeiro pode ser substituído de acordo com u regras da sintaxe lógica.

E possível, por exemplo, exprimir do seguinte modo o que é comum a todas as notações para aa funções de verdade: e-lhes comum, por exemplo, poderem nr mbtíilutdas pela notação "~~p" ("nâo p") . " p v j " ("p ou j " ) .

(Com Isso te indica a maneira pela qual uma notação especialmente possível nos pode dar esclarecimentos gerais.)

O signo do complexo náo se divide pela análise arbitrariamente, de modo que sua divisão fosse diferente em cada construção proposicional.

A proposição determina um lugar no espaço lógico. A existência desse espaço lógico é assegurada apenas pela existência das partes constitutivas. pela existência das proposições significativas.

0 signo proposicional e as coordenadas lógicas: á isto o lugar lógico.

0 lugar geométrico e o lógico concordam em que ambos consistem na possibilidade de uma exis69

3.42

3.5 4 4.001 4.002

• 4.003

Sc bem que a proposição deva determinar apenss um lugar do espaço lógico, o espaço lógico iateiro já deve aer dado por ela.

(Em caso contrário, novos elemento* — em coordenaç&o — sempre wc introduziriam por .•n-fl da negação, da soma lógica, do produto lógico, etc.)

(O andaime lógico em volta da figuração determina o espaço lógico. A proposição apanha o espaço lógico inteiro.)

0 signo proposicionai empregado e pensado c 0 pensamento é a proposição significativa.

A totalidade das proposições é a linguagem.

O homem possui a capacidade de construir linguagens nas quais cada sentido se deixa exprimir, sem contudo pressentir como e o que cada palavra denota. — Assim se fala sem saber como os sons singulares eáo produzidos.

A linguagem corrente forma parte do organismo humano e náo é menos complicada do que fie.

G humanamente impossível de imediato apreender dela a lógica da linguagem.

A linguagem veda o pensamento; do mesmo modo, nao ê possível concluir, da forma exterior da veste, a forma do pensamento vestido por ela, pofquanto a forma exterior da veste nao foi feita com o intuito de deixar conhecer a forma do corpo.

Os acordos silenciosos para entender a linguagem corrente sflo enorme mente complicados.

A maioria das proposições e questões escritas sobre temas filosóficos náo sao falsas mas absurdadPor isso náo podemos em geral responder a questões dessa espécie, apenas estabelecer seu caráter absurdo.

A maioria das questões e das proposições dos filósofos se apoiam, pois, no nosso desentendimento da lógica da linguagem.

(Sáo questões da seguinte espécie: o bem é mata ou menos idêntico do que a beleaT) Náo '•. pois, de admirar que os mais profundos problemas ido constituam propriamente problemas-

4.0031

4.01

Toda filosofia é "critica da linguagem". (Por certo, nio no sentido de Mauttaner). O mérito de RujecII é ter mostrado que a forma aparentemente lógica da proposição náo deve ser sua forma real.

A proposição é figuração da realidade.

A proposição é modelo da realidade tal como a

4.011

A primeira vista, a proposição — em particular tal como eati impressa no papel — nio parece ser figuração da realidade de que trata. Mas tampouco a escrita musical parece a primeira vista ser figuração da música, e nossa escrita fonética (letras), figuração da linguagem falada.

No entanto, essas linguagens simbólicas se manifestam, também no sentido comum, como figurações do que representam.

4.012 É óbvio que percebemos como figuração uma proposição da forma "afíb". Aqui o signo é obviamente um slmile do designado.

4.013 E quando entramos no que e essencial dessa figuratividade vemos que ela nAe 6 perturbada por aparentes irregularídadu (como o emprego de f e de b na escrita musical).

Porquanto também essas irregularidades afiguram o que devem expressar, apenas de outra maneira.

4.014 0 disco da vitrola, o pensamento e a escrita musicais, as ondas sonoras estão uns em relação aos outros no mesmo relacionamento existente entre a linguagem e o mundo.

A todos e comum a construção lógica.

(Como na estória dos dois jovens, seus dois cavalos e seus Brios. Num certo sentido, todos ato um.)

4.0141 Que exista uma regra geral por meio da qual o musico possa apreender a sinfonia a partir da partitura, regra por meio da qual ae possa derivar a sinfonia das linhas do disco c ainda, segundo a primeira regra, de novo derivar a partitura; nisto consiste propriamente a semelhança interna dessas 71

4.015 4.016

4.02 4.021

4.022 4.023

figuras aparentemente tio diversas E essa regra 6 a lei de projeção que projeta a sinfonia na linguagem musical. El a regra da tradução da linguagem musical para a linguagem do disco.

A possibilidade de todos esses sfmiles, a figuralividade inteira de nosso modo de expressão, se apoia na lógica da afiguraçi • • Para compreender a essência da proposição, convém pensar na esorila hierognfiea que afígur* o» fatos que descreve.

E dela provêm o alfabeto sem perder o que é essencial na afiguraçao.

Isto se vi ao entendermos o sentido do signo proposicionai sem que êle nos tenha sido explicadoA proposição ó figuração da realidade; pois eonheço a situação representada por ela quando entendo a proposição. E entendo a proposição sem que o sentido me seja explicado.

A proposição mostra seu sentido.

A proposição mostra, se fôr verdadeira, como algo está. E dit que isto esUf asam.

Por meio da proposiçào a realidade deve ser fixada enquanto sim ou enquanto náo.

Por isso deve ser completamente descrita po* da.

A proposição ( a descrição de um estado de Assim como a descrição de um objeto se d£ segundo suas propriedades externas, a proposição descreve a realidade segundo suas propriedades internas.

A proposição constrói o mundo com a ajud» de andaimes lógicos, e por isso A possível, na proposição, também se ver, rato ela for verdadeira, comi» tudo que é lógico está. Pode-se de uma proposição falsa tirar concluso**.

4.024 7»

Compreender uma proposição é saber o quO ocorre, caso ela for verdadeir».

(Ê possível, pois, compreendi-]* sem saber W e verdadeira.)

EI* será compreendida, caso se compreenda suu partes constituinte*.

4.025 A tradução de uma linguagem para outra nao ae da como se se tradutisse cada proposição de uma •uma proposição da outra, mas somente ai partea da proposição sao Uadusidas.

(E o dicionário n&o traduz apenas substantivo», MM ainda verbos, adjetivos, conectivoa, etc; e trata-os todos de modo igual.)

4.026 As denotaçoes dos signos simples (das palavras) nos devem ser explicadas para que as compreendamos.

Com as proposições, no entanto, compreendetnonos a DóS mesmos.

4.027 Está na essência da proposição poder comunicarnos um nOvo sentido.

4.03 Uma proposição deve comunicar novo sentido com velhas expressões.

A proposição nos comunica uma situação, de sorte que deve estar wenetalmente vinculada a da.

E a vinculaçai» consiste precisamente em que ela é sua figuração lógica.

A proposição %6 asserta algo enquanto é figuração.

4.031 Uma situação é justaposta à proposição, por assim diier, por tentativas. É possível diíer diretamente: esta proposição representa esta ou aquela situação, em vea de esta proposição tem ést* ou aquele sentido.

•4.0311 Um nome presenta uma coisa, outro, outra coisa, e estão ligados entre si de tal modo que o todo — como quadro vivo (rin lebmdtt Bildf — presenta o estado de coisas.

4.0312 A possibilidade da proposição se estriba no principio da substituição dos objetos por meio de signos.

Meu pensamento basilar é que as "constantes lógicas" nada «ubstituem; que a lóçica dos fatos nio se deixa substituir.

73

4.032

A proposição é uma figuração da atuação unicamente enquanto for logicamente articulada.

(Também a proposição Ajnbuh 6 composta, pois sua raii com outra clesinéncui no» dá outro sentido, o mesmo acontecendo se esta desinênáa estiver com outra raii.)

4.04 Tanto se distinguira na proposição quanto na situação que ela representa.

Ambos devem possuir a mesma multiplicidade lógica (matemática). (Cf. a mecânica de Herti a propósito dos modelos dinâmicos.)

4.041 Esta multiplicidade matemática nio pode naturalmente ser de novo afigurada. Ao afigurar nio 4 possível colocar-se fora dela.

4.0411 Se quiséssemos, por exemplo, exprimir o que é expresso por "(x). fx" apondo um Índice junto a "fx", a saber: "Univ. fx", isto nio bailaria — nio saberíamos o que foi uni versa li rad o. Se quiséssemos indicá-lo por um índice "a" — tal como " / ( x j " , isto também nào bastaria — nio conheceríamos o escopo da designação da universalidade.

Se quiséssemos tentar graças à introdução de uma marca no lugar do argumento — por exemplo: "(A.A).FIA,A)" — isto também nio bastaria, pois nio poderíamos fixar a identidade das variáveis. E assim por diante.

Todos esses modos de designação nio bastam, porquanto nio possuem a necessária multiplicidade matemática.

4.0412

Pelo mesmo motivo nio basta a explicação idealista da visão das relações espaciais por meio de "óculoa espaciais", já que iates nio podem explicar a multiplicidade que essas relações possuem.

4.05 4.06

Compara-se a realidade com a proposição.

Somente por isso a proporuçao pode ser verdadeira ou falsa, quando ela é uma figuração da realidade.

74

4.061

4.062

4.0621

4.063

Se nao se observar que ura» proposição possui sentido independente doa fatos, então facilmente se acredita que o verdadeiro e o falso sào relações eqüiponderantcs entre signos e designado.

Seria então posxfvcl dizer, por exemplo, que "p" designa segundo a modalidade do verdadeiro o que "—p", segundo a modalidade do falso, etc Nâo seria possível faser-se entender com proposições falsas assim como se fet até agora eom verdadeiras; desde que se soubesse que sfto mentadas falsamente ? N&ot Porquanto uma proposição ê verdadeira se a situação é tal como diremos por seu intermédio, e se eom "p" mentíssemos "-~p" e se a situação fosse tal como a mentamos, então "p" não seria falso na nova concepção mas verdadeiro. É importante, porém, que os signos "p" e "—p" possam dizer a mesma coisa, pois isto mostra que o signo "—" » nada corresponde na realidade.

A negação aparecer numa proposição nao é marca característica de seu sentido : — —p — p).

As proposições "p" e "*—p" tem sentido oposto, mas a elas corresponde uma c a mesma realidade.

Afiguremo-nos um exemplo para esclarecer o conceito de verdade: dada uma mancha preta num papel branco; pode-se descrever a forma da mancha indicando para cada ponto dela se í branco ou preto.

Ao fato de que um ponto seja preto oorresponde um fato positivo; de que um ponto seja branco (nao-prelo) corresponde um fato negativo. Se designo um ponto da superfície (um valor de verdade, segundo Frege), então isto corresponde à assunção estabelecida pelo julgamento, etc., etc.

Para poder dííer que um ponto é preto ou branco antes devo saber quando lhe chamo de branco e quando de preto — para poder dizer "p" é verdadeiro (ou falso) devo ter determinado em que condições chamo "p" verdadeiro e, desse modo. determino o sentido da proposição.

75

O sfmile falha apenas DO ponto seguinte: podemos indicar um ponto do papel sem saber o que seja branco e o que seja preto; uma preposição sem sentido, porém, nlo corresponde a nada, pois nlo designa coisa alguma (valor de verdade) cujas propriedades fossem chamadas "falsas" ou "verdadeira*" — o verbo de uma proposição nlo é "é verdadeiro" ou "é falso", como acreditara Frege, mas o verbo já deve conter o que "€ verdadeiro".

4.064 4.0641

4.1 4.11 4.111

4.112

7$

Cada proposição já deve possuir um sentido; a afirmação nlo lho pode dar pois afirma precisamente o sentido. E o mesmo vale para a negação, etc. É possível diier: a negação j i se reporta ao lugar lógico determinado pela proposição negada.

A proposição negadora determina outro lugar lógico do que a negada.

A proposição negadora determina um lugar lógico com a ajuda do lugar lógico da proposição negada, quando descreve aquele permanecendo fora deste.

Poder negar de novo a proposição negada mostra que o que * negado já é uma proposição, nlo sendo a mera preparação de uma proposição.

A proposição representa a subsistência e a nio-subsistência dos estados de coisas.

A totalidade das proposições verdadeiras é toda a ciência da natureza (ou a totalidade das ciências naturais).

A filosofia n&o ó ciência da natureaa.

(A palavra "filosofia" deve denotar alguma coisa que se coloca acima ou abaixo mas nao ao lado das ciências naturais.)

A finalidade da filosofia è o esclarecimento lógico dos pensamentos.

A filosofia nao 6 teoria mas atividade.

Uma obra filosófica consiste essencialmente em comentários.

A filosofia nao resulta em "proposições filosóficas" mas em tornar claras as proposições.

A filosofia deva tomar o* pensamentos que. por u i m diier. s&o vagos e obscuros e torná-bs claros e bem delimitados.

4.1121 A psicologia nio o mais aparentada à filosofia do que qualquer outra cie D d a natural.

A teoria do" conhecimento e a filosofia da psicologia.

Nio oorresponde meu estudo sôbre a linguagem simbólica ao estudo dos processos do pensamento, os quais os filósofos consideram t&o essencial para a filosofia da lógica? Cies apenas se confundem oa maior parte com investigações psicológicas inesseueiai». existindo um perigo análogo para meu método.

4.1122 4.113 4.114

4.115 4.110 4.12

4.121

A teoria de Darwin nio tem mais a ver com a filosofia do que qualquer outra hipótese daí ciíseias naturais.

A filosofia delimita o domínio contestável das ciências naturais.

Deve delimitar o pensável e com isso o impensável.

Deve demarcar o impensável do interior por meio do pensável.

Denotará o indirível, representando claramente o disfvel.

Tudo em geral o que pode ser pensado o pode claramente. Tudo o que se deixa exprimir, deixase claramente.

A proposição pode representar a realidade inteira, nio pode, porem, representar o que ela deve ter em comum com a realidade para poder representá-la — a forma lógica.

Para podermos representar a forma lógica seria preciso nos colocar, com a proposição, fora da lógica; a saber, fora do mundo.

A proposiçfto na o pode representar a forma lógica, esta espelha-se naquela.

Nio 4 possível representar o que se espelha na linguagem.

77

O que w exprime na linguagem nlo podemos expressar por meto dela.

A proposição mottra a forma lógica da realidade.

Ela a exíbe.

4.1211 Desse modo, a proposição "fa" moatra que o objeto a aparece cm «eu sentido, duas proposições "fa" A "ça" que em ambas se trata do mesmo objeto.

Se duas proposições se contraditem, uto 6 mostrado por sua estrutura; do mesmo modo, quando uma se segue da outra. E assim por diante.

4.1212 4.1213

O quo pode ser mostrado ""'" pode ser dito.

Agora compreendemos nosso sentimento de que estamos de posse de uma concepção lógica correta somente quando tudo esteja conforme em nossa boguagem simbólica.

4.122

Podemos em certo sentido falar de propriedades formais de objetos e estados de coisas, em particular de propriedades da estrutura dos fatos, e no mesmo sentido de relações formais e de relações de estruturas.

(Em lugar de propriedade da estrutura falo também de "propriedade interna", em lugar de relação de estruturas, "relação interna".

Introduio essas expressões para mostrar o fundamento da confusão, muito difundida no mão dos filósofos, entre relações internas e relações propriamente ditas (externas),) A subsistência de tais propriedades e de tais relações internas nao pode ser, todavia, afirmada por proposições, mas se mostra nas proposições que apresentam os calados de coisas e os objetos em questão.

4.1221

A uma propriedade interna de um fato podemos ainda chamar de traço desse fato. (No sentido em que falamos, por exemplo, de traços faciais.)

Uma propriedade 6 interna quando for irapsa-íivi-1 que seu objeto nao a possua,

4.123

76

(Esta eôr azul e aquela estão na relação interna de •'•• •-- claro e eo ipto mais escuro. R impensável iates dois objeto» nao «tarem nesta relação.) (Áo emprego impreciso das palavra» "propriedade" e "relação" corresponde aqui o emprego impreciso da palavra "objeto".)

4.124 A subsistência de uma propriedade interna de ama situação possível nao se expressa por uma proposição mas, na proposição que a representa, por •ma propriedade interna desta proposição.

Seria, pois, absurdo tanto imputar como nao imputar à proposição uma propriedade formal.

4.1241 Nao se podem distinguir as formas umas das outras disendo que uma tem esta propriedade e aquela, outra, pois ato pressupõe que teria sentido aatertar ambas propriedades de ambas as formas.

4.125 A subsistência de uma relação interna entre situações possíveis exprime-se lingüística mente por meio de uma relação interna entre as proposições que as representam.

4.1251 Isto liquida a disputa "se lôdas as relações s&o internas ou externas".

4.1252 As séries ordenadas por relações inltmai chamo de séries formais.

A série dos números nao se ordena secundo uma relação externa, mas segundo uma relação inttnta.

Da mesma maneira, a série de proposições "aftb", "(3x):oRx.zRb", '%3x, y) : aRx . xRj/. yRb", e assim por diante.

(Estando 6 numa dessas relações com a. chamolhe de sucessor de a.)

4.126 No mesmo sentido em que falamos de propriedades formais, podem o* também nos referir a conceitos formais.

(Introduso essa expressão com o intuito de deslindar a confusão dos conceitos formais com os 79

conceitos autênticos, que pert>assa toda a velha lógica.)

Nlo é poseivcl exprimir por uma proposição que algo caia sob um conceito formal coato am objeto dele. Isto se mostra, porém, no signo desse próprio objeto. (0 nome mostra que designa um objeto, os signos numéricos, que designam um número, etc.)

Os conceitoe formais nao podem. pois. como os conceitos propriamente ditos, ser representados por uma função.

Porquanto suas marcas earaeterísticaí, as propriedades formais, nio se representam por funções.

A expressão da propriedade- formal é um traço de certos símbolos.

0 signo das marcas características de um conceito formal è um traço próprio a todos os símbolos, cujas denotaçOes caem sob o Conceito.

A expressão do conceito formal ê uma variável proposicional. em que apenas este traço próprio é constante.

4.127 A variável proposicional designa o conceito formal, e seus valores, os objetos que caem sob Asse conceito.

4.1271 Cada variável é signo de um conceito formal.

Porquanto cada variável representa uma forma constante que todos os seus valores possuem, e que pode ser concebida como a propriedade formal dê*»» valores.

4.1272 De sorte que a variável iiome "x" ê o signo apropriado ao pseudoconceito objeto.

Sempre que a palavra "objeto" ("coisa", etc.) fór corretamente empregada, será expressa na ideografia pela variável nome.

Por exemplo, na proposição "Há dois objetos q o e . . . " , por "<3x,»)...»

Sempre, contudo, que fôr empregada de outra maneira, a saber, como palavra de um conceito propriamente dito, nascem pseudopropoeições absurdas.

Náo se pode diier, por exemplo, "Hi objetos" I dis "Há livro»". Nem tampouco "Hi 100 objeto»" ou "Há N, objeto*".

E é absurdo falar do número de todo* <n oojrfo* O mesmo vale paxá a» palavras "complexo", "fato", "função", "número", etc.

Todas designam conceitos formais e sáo representadas na ideografia por variáveis e náo por funções ou classes. (Como Frege e Russell acreditavam.)

Expressões como "1 é um numero", "Há apenas um sero" e todas aa outras semelhantes sfto absurdas. (É. pois, absurdo dizer "Hi apenas um 1", tanto quanto seria absurdo dizer: 2 + 2 é às 3 choras igual a 4.)

4.12721 0 conceito formal ji está dado com um objeto que cai sob ele. Náo se pode, portanto, introduxir como conceitos fundamentais objetos de um conceito formal e ainda o próprio conceito formal. Náo se pode, por exemplo, introduiir o conceito de funÇio e ainda funções especiais (como Russell) na qualidade de conceitos fundamentais; ou também o conceito de número e números determinado» 4.1273 Se quisermos exprimir, na ideografia. a pcoponçáo universal: "b 6 sucessor de a", precisamos de uma expressio para o termo geral da série formal: arro;(3x) :aRx.xJ?6;(3x l y) : aRx .zRy. gBk, . . .

Sé é possível exprimir o termo universal de uma série formal por meio de uma variável, pois o conceito: membro de uma série formal, é um conceito formal. (A isso desatentaram Frege e Russell; a maneira pela qual pretendem exprimir proposições —imisii. como a mencionada, é por isso falsa, contendo um cirevitu ritiotui.)

Podemos determinar o termo universal da série formal dando seu primeiro termo e a forma geral da operação que gera o termo seguinte a partir da proposição precedente.

4.1274 £ absurda a pergunta pela existência de um conceito formal, pois nao há proposição que respondi-Ia.

a

(Nao 6 possível, por exemplo, perguntar: "Ha proposições sujeito-prodicado inanalUáveia T") 4.128 Aa formas lógicas sao anumtrica*.

De sorte que nao há na lógica numerou excelentes, nao havendo monismo ou dualismo filosóficos, etc.

4.2 0 sentido de uma proposição í sua concordância ou sua discordância com a possibilidade da subsistência ou nâo-Bubsisténcia de estados de coisas.

4.21 A proposição mais simples, a proposição elementar, afirma a subsistência de um estado de coisas.

4.211 É um signo da proposição elementar que nenhuma outra possa estar em contradição com ela.

4.22 A proposição elementar é constituída de nomes. £ uma conexão, um encadeamento de nome*.

4.221 E óbvio que, graças a análise da proposição, devemos chegar a proposições elementares que consistam de nomes numa vinculaçao imediata.

Pergunta-se aqui como se dá o vínculo proposicional.

4.2211 Ainda que o mundo fosse infinitamente complexo, de modo que cada fato fâase constituído por muitos estados de coisas ao infinito e cada estado de coisas composto por muitos objetos ao infinito, mesmo assim deveria haver objetos e estados de 4.23 4.24

4.241

82

0 nome só aparece na proposição em conexão com proposições elementares.

Os nomes sao os símbolos mais simples, indicoos por letras singulares ("i", ' V , "«").

Escrevo t s proposições elementares como função dos nomes, com a seguiot* forma: "/*", "M.*< »)". etc.

Ou indiço-as por meio das letras p, q, r.

Sc emprego dois signos numa única e mesma denotaçio, isto vem expresso quando introduio entre ambos o signo " —".

"a - b" eqüivale pois a: o signo "a" i tubstituívei pelo signo "b".

(Se introduto por meio de uma equação um novo signo "o", determinando que deve substituir um signo "a" j i conhecido, então escrevo a equação — definição — (como Russell) na forma "a - b Def".

A definição é uma regra a propósito de signo*.)

4.242

Expressões de forma "a - b" sfto, pois, recursos de representação; nada diiem a respeito da desolação dos signos "a", "b".

4.243

Podemos compreender dois nomes sem saber se designam a mesma coisa ou duas coisas diferentes?

— Podemos compreender uma proposição em que dois nomes aparecem sem saber se denotam o mesmo ou o diverso T Conhecendo a denotaçao de uma palavra inglesa e de outra alemã de mesma denotaçao. n i o me 6 possível ignorar que ambas possuem a mesma denotaçao. nio me é possível nfco traduti-las uma peU outra.

Expressões como "a — a" ou destas derivadas nio são nem proposições elementares nem signos significativos. (Isto seri mostrado mais tarde.)

4.25

Se a proposição elementar for verdadeira- o estado de coisas subsiste; se for falsa, o estado de nio subsiste.

4.26

A indicação de todas as proposições elementares verdadeiros descreve o mundo completamente. O mundo é completamente descrito pela indicação de todajt as proposições elementares mais a indicação de quais s&o as verdadeiras e quais as falsas.

4.27

A respeito da subsistência e da nao-subsstencia de * estados de coisa» dft-ae

f

-âC)

possibilidades.

Ê possível todas a* combinações de estados de coisas tubaiatirem e outras nao subsistirem.

4.28

A essas combinações correspondem assim muitas possibilidades de verdade — c falsidade — de tt proposições elementaree.

44

As possibilidades de verdade das proposições elementares denotam as possibilidades da subsistência e da nao-subsisMncia de estados de coisas.

4.51

Podemos representar as possãbilidadeB de verdade do aeguinto modo ("V" denota "verdadeiro", "F" denota "falso". As séries de "V e "F" sob a série das proposições elementares denotam suas possibilidade* de verdade num simbolismo facilmente compreensível): P_

_ í _

r

v

v

V

V

P

V

V

f

v

v v r

v p ~ r r

V

P

v

p v r v r

P

F

P

F

f

*

F

4.4

A proposicio e" a expressão da concordância e da discordância com as possibilidade* de verdade das proposieoW elementares.

4.41

As possibilidades de verdade das proposições elementares são as condições da verdade e falsidade das proposições.

4.411

É de antemão provável que a introdução de proposições elementares aeja fundamental para a compreensão de todos oe outros modos de proposi-

ií

4.42

çào. A compreensão das proposições universais, com efeito, depende palpávelmtnle da das propôsçoes elementares.

No que respeita A concordância ou à discordância de uma proposição com as possibihdades de verdade de n propoaiçôea elementares há

! ( * • ) 4.43

4.431

4.44 4.441

possibilidade

A concordância com as posaibibdades de verdade podemos exprimi-la apondo-Ihe no esquema a insígnia "V" (verdadeiro).

A falta dessa insígnia denota a discordância.

A expressão da concordância e da discordância com as possibilidades de verdade dac proposições elementares exprime as condições de verdade da proposição.

A proposição é expressão de suas condições de verdade.

(Por isso Frege agiu corretamente ao toma-las desde logo como explicação dos signos de sua ideografia. Somente a explicação do conceito de verdade em Frege é falsa: fossem realmente "o verdadeiro" « "o falso" os objetos e os argumentos em —p, etc., ent&o. segundo a determinação de Frege, o sentido de "-~p" nâo estaria determinado de modo algum.)

0 signo que surge por meio da aposição insígnia "V" às possibilidades de verdade é um signo proporcional.

C claro que nenhum objeto (ou complexo de objetos) corresponde ao complexo de signos "F" ou "V"; tampouco como às linhas horisontais ou verticais ou aos parênteses. — Nao há "objetos lógicos".

Algo análogo vale naturalmente para todos os signos que exprimem a mesma coisa que os esquemas

de "V" e "f".

4.442

Por exemplo:

r r r F

7 V

t t

r Y

é um signo proposicional.

(O "traço de jufio" " | - " . introdundo por Frege, do ponto de vista lógico carece inteiramente de denotaç&o; indica em Frege (e RusselI) que tais autores tomam como verdadeiras as proposições assim deúgnadas. "|—" pertence tio pouco à eonstruçáo da proposição como, por exemplo, a numeração'das proposições. Uma proposição nfto pode, de forma alguma, assertar de si mesma que 6 verdadeira.)

Se as séries de possibilidades de verdade forem fixadas de vez no esquema, por meio de ama regra de combinação, a última coluna por si «o já exprime as condições de verdade. Ao escrevermos esta coluna como série, o signo proposicional será o seguinte: (••VV-V)(p,q)", ou de modo mais nítido "(VVFV)

4.45

4.46

(0 número de posições no interior dos parênteses da esquerda está determinado pelo número de termos dos da direita.)

Para n proposições elementares há L. grupos possíveis ds condições de verdade.

Os grupos de condições de verdade que pertencem às possibilidades de verdade de um número de proposições elementares ordeoam-ee numa série.

Entre os grupos possíveis de condições de verdade há dois casos extremos.

No primeiro caso a proposição t verdadeira para todas as condições de verdade das proposições elementares. Dliemos então que as condições de verdade sao tautológiea».

No segundo caso a proposiçáo é fafaa para todas as condições de verdade: as condições de verdade ato cont*o4ilón&*.

4.461

4.4611

4.462

No primeiro caso chamamos & proposição de tautologia, no segundo, contradição.

A proposição mostra o que dix, a tautologia e a contradição que nfto dizem nada.

A tautologia nfto possui condições de verdade pois é verdadeira sob qualquer condição; a contradição sob nenhuma condição é verdadeira.

A tautologia e a contradição s&o vaiias de sentido.

(Como o ponto de onde duas flechas partem em direções opostas.)

(Nada sei, por exemplo, a respeito do tempo se sei que chove ou n&o chove.)

A tautologia e a contradição n&o sio. porém, absurdas; pertencem ao simbolismo do mesmo modo que "0" pertence ao simbolismo da aritmética.

A tautologia e a contradição n&o sio figurações da realidade. Nfto representam nenhuma situação possível, porquanto aquela permite lôdai as situações possíveis, esta, ntnhuma.

Na tautologia as condições de concordância com o mundo — as relações representativas — cancelam-se umas fts outras, pois n&o se põem em relação representativa com a realidade.

4.463

As condições de verdade determinam o campo aberto aos fatos peJa proposição.

(A proposição, a figuração, o modelo sio. num sentido negativo, como um corpo sólido que limita a liberdade de movimento de outro; no sentido positivo, como um espaço limitado por uma substAncia solida onde um corpo pode ter lugar.)

A tautologia deixa inteiramente 'à realidade o espaço lógico — infinito —; a contradição preenche o espaço lógico inteiro, n&o deixando & realidade ponto algum. Nenhuma delas pode, por conseguinte, determinar a realidade de um modo qualquer.

4.464

£ certa a verdade da tautologia, da proposição é possível e da contradiç&o impossível.

67

(Certo, possível, impossível: temos aqui a indi* cacao da gradaçao que precisamos para a teoria da probabilidade.)

0 produto lógico de uma tautologia e de uma proposição dis o mesmo que a proposição. 0 produto é, pois, idêntico a proposição, porquanto nio se pode alterar o essencial do símbolo sem altera» seu sentido.

14.466 A uma determinada união lógica de signos corresponde uma determinada uniio da deootaçâc, deles; coda união arbitrária corresponde apenas a, signos desunidos.

Isto quer diser que proposições, verdadeiras para qualquer situação, nao podem ser em geral uniões de signos, pois, caso contrario, apenas deter* minadas uniões de objetas poderiam a elas corresponder.

(E a nenhuma uni&o lógica corresponde ns« nhtuna uníio de objetos.)

Tautologia e contradição s&o casos-limites da uni&o de signos, a saber, sua dissolução.

4.4661 Por certo na tautologia e na contradição os signos ainda estão ligados uns aos outros, isto é. relacionam-se entre si, mas estas relações sfto desprovidas de denotac&o, sao inesaeneiais para o timbolo.

4.6 Agora parece possível estabelecer a forma mais geral da proposição, isto é, estabelecer uma descrição das proposições numa linguagem simbólica qualÇistr, de tal modo que cada um dos sentidos possíveis poderia ser expresso por um símbolo adequado & descrição e cada símbolo adequado à descrição poderia exprimir um sentido, se as deootacoes doa nomes fossem convenientemente escolhidas. £ claro que, descrevendo a forma mais geral de uma proposição, tòmenU o que é essencial deve ser descrito — caso contrário nao seria a mais geral.

Prova-se a existência de uma forma geral da proposição porque n&o deve haver proposição alguma cuja forma nao seja antes pressuposta (isto é, construída). A forma geral da proposição é: isto íJM do seguinte modo.

4.51

Supondo que Udai as proposições elementares Me sejam dadas, surge a pergunta: quais ato M proposições que posso formar a partir dela*? E estas ato (Mu as proposições e assim elas ato limi-

4.52

As proposições s&o tudo o que se segue da totalidade das proposições elementares (sem dúvida porque se parte datotalidadede lidai elat). (Num certo sentido 6 possível diier que lidas as proposições sio generalizações das proposições elementares.)

4.53 S

A forma geral da. proposição é uma variaveL A proposição 6 uma função de verdade das proposições elementares.

(A proposição elementar é uma função de verdade de si mesma.)

5.01

As proposições elementares afio os argumentos de verdade da proposíç&o.

5.02

É ficil confundir argumentos de uma função com Índices de nomes. Conheço em particular a denotaeio de um signo que a contém taato pelo argumento como pelo ludiee.

No sinal de Russell " + , " , por exemplo. "," 4 um Índice que indica valer o signo inteiro para a soma de números cardinais. Esta designação, porém, se apoia num ajuste arbitrário, de sorte que seria possível em ves de " + , " escolLer outro signo simples; em "~~p", entretanto, "p" nâo i Índice algum, mas argumento: o sentido de "~~P" não pode ser compreendido sem que antes o sentido de "p" o seja. (No nome Jultus Caeaar, "Julius" é Índice. Este é sempre parte da descrição do objeto eujoa nomes vinculamos a éle. Por exemplo, o Caesar da gente juliana.)

A confusão entre argumento e índice constitui, se nao me engano, a base da teoria de Frege a respeito da denotaçao das proposições e das funoôea.

Para Frege, as proposições da lógica seriam nomes, e atua argumentoe, oe Índices desses nomes.

5.1

5.101

As funções de verdade se ordenara em séries.

Este é o fundamento da teoria da probabilidade.

As funções de verdade de todos os números de proposições ele me n lares inscrevem-se no seguinte

( P F F V : . TautologU (Ss p, antao p; • m fc « U o a} (a D». *D») ( F F F r i (p, s) sm palavras: Nlo aiobcn a e «. ( M i • | » ( F F F F ) ( t , ( ) m palavraa: Se j , então p. ifOpi ( n 7 l ' ) ( , , j ] m palavras: S* •>. Mllo «. U»Df) ( F F F f ) ( t , ( ) em palaTra*: j> ou o. (*>Vfl| ( f F F f i l n ) ™> palavras: Nfco o, (<^) (P V P F) (p,») sm palarraa: Nao *>. {~p) íf ¥ V F) («iq) sm palavra*: p cm 9 mai nao aroboa. •p.—i V^.-^) (V F F F) (p,») em palavra*: Se p. eotao q; e M ç, então p. õ»»() (F P F P) (p, f) em palavras: p (VV FF) íJ»,íJ em palavra*: 0

{F F FV} (PP F ?

(F V FF) (FPPP) (PPPP1

(pt «•) ata palavras: Nora p nem ?. <—?.—*) •* Cplfl .• ,• em ;.:•,-•• - • cio e. (p.—^) <p,f) sm palavra*: e e nao p. («.-*•») (p,s) ata palavras: o « p. (e.p> (^fl) Contradição <p e rio p; e 9 e nao ç.) ^"sps>—f) A essas possibilidades de verdade de seus argumentos de verdade, que confirmam as proposições, chamo de seus fundamento» de verdade.

5.11

Se o» futtdamentos de verdade comuns a um número de proposições, também forem fundamentos de verdade de uma proposição determinada, dín»mos então que a verdade dessa proposição se segue da verdade daquelas outras.

5.12

Em particular a verdade de uma proposição "p" segue-se da de outra "q" se todos os fundamentos de verdade da segunda forem fundamentos de verdade da primeira.

5.121

Os fundamentos de verdade de uma estão contidos nos da outra; assim, p segue-se de s.

5.122

Se p segue-se de q, o sentido de "p" está contido no sentido de "q".

5.123

S* um deus criasse um mundo em que certas proposições fossem verdadeiras, criaria do mesmo modo um mundo com o qual concordariam Iodas suas proposições conseqüentes. E assim similarmente náo poderia criar um mundo em que a proposição " p " (case verdadeira, sem criar todos os objetos dela.

5.124

A proposição afirma cada proposição que dela

5.1241

" p . ç " * uma das proposições que afirmam " p " e ao mesmo tempo uma das proposições que aiirDuas proposições sao opostas uma à outra se nao existir qualquer proposição significativa que afirme ambas.

Cada proposição que contradiz a outra, nega-a.

5.13

Que a verdade de uma proposição segue-se da verdade de outras vemos a partir da estruiura das proposições.

5.131

Se a verdade de uma proposição segue-se da verdade de outras, isto se exprime nas relações que as formas dessas proposições mantém entre ai; • nâo precisamos com efeito coloca-la» primeiro naquelas relações, unindo-as com outra proposição. ;• ;q;:s >to («*** relações -á" internai e í-jrw-Vn: enquanto aquelas proposições subsistirem, e porque das subsistem.

5.1311

Se pois de p v o e de "~p inferimos o, s relação entre as formas da» proposições "p v q" e "~~p" se oculta em virtude da maneira de simbolizar.

Se em lugar de "p v o", escrevemos, por exemplo, "pfff-l-Plf" e e™ hi&t de "~~>p" "p\p" (p]q - nem p nem o), logo se toma olara a conexão interna.

De a .fx pode-se inferir fa; isto mostra que a universalidade já cota presente no símbolo "(x) / r " .

5.132

Se p segue-so de q, posso então inferir de ç p ; deduxir p de q.

0 modo de inferéncia há de ser captado apenas de ambas as proposições.

91

Somente elas podem justificar a Iníerénda.

"Regras de inferéneia" que — oomo a o Frege e Riiswll — devem justificar a inferéneia «ao vazias de sentido e seriam supérfluas.

5.133

Toda dedução se dá a priori.

5.134

De uma proposição dementar nenhuma outra pode ser deduiida.

5.135

De modo algum é possível inferir da subsistência de uma situação qualquer a subsistência de uma situação inteiramente diferente dela.

5.136

Nio há nexo causai que justifique tal inferéneia.

5.1361

Náo podemos inferir os acontecimentos do futuro a partir daqueles do presente. É tuperattfâo a crença no nexo causai.

5.1362

A liberdade da vontade consiste em nlo poder conhecer agora as ações futuras. Só poderíamos eonheoê-las se a causalidade fosse uma necessidade inferna, oomo a inferéncia lógica. A conexão entre o conhecer e o conhecido é a mesma da necessidade lógica. ("A aabe que p ocorre" * vaiia de sentido te p for uma tautologia.)

S 1363

5.14 5.141

Sendo uma proposição óbvia para nós, n l o se ugue que seja verdadeira; por conseguinte, a obviedade nao é justificativa para nossa crença em sua verdade.

Sc uma proposição segue-se de outra, esta dia maia do que aquela, aquela menos do que esta.

Se p segue-se de q e q de p, ambas slo pois uma única e mesma proposição.

5.142

A tautologia segue-se de todas as proposições: nao diz nada.

5.143

A contradição 6 algo comum às proposições, e que nenAumo proposição tem em comum com outra.

A tautologia e o que 6 comum a todas as proposições que nao tem nada em comum entre si.

A contradição desaparece, por assim diier, por fora, a tautologia, por dentro de todas as proposi-

5.15

A contradição é o limite externo das proposições, a tautologia, seu centro dessubstaaciahsado.

Seja V, o número doa fundamentos de verdade da proposição "r", V„ o número daqueles fundamentos de verdade da proposição "»" que ao mesmo tempo -In fundamentos de verdade de "r"; chamamos entáo & relação: V„ : V, de medida de pro.•..•'.;>: que a proposição "r" tem em relação à proposição "•".

5.151

Seja num esquema como o de orna, no número 5.101, V, o número de "V" da proposição r; '•'.. o DÚmero daqueles "V" na proposição * que estão na mesma coluna com os "V" da proposição r. A proposição r tem em relação à proposição i a probabilidade V„ : V..

5.1511

Nio hi nenhum objeto particular próprio às proposições probabilistícM. Chamamos mutuamente independentes as proposições que nio tem era comum com outras qualquer argumento de verdade.

Duas proposições elementares tem entre ai a probabilidade — • Se p segue-ee de q, n proposição "q" tem em relação à proposição "p" a probabilidade 1. A certcia da inferencia lógica 4 o caso-liratte da probabilidade.

(Aplicação à tautologia e a contradição.)

Uma proposição nio é nem provável nem improvável. Ura acontecimento K dá ou nio se dá, n&o há meio-termo.

Suponhamos que numa uma estejam tantas bolas brancas quantas pretas (e nenhuma a mais).

T.ro uma bola depois da outra e as reponho de novo na urna. Posso, entáo, estabelecer pela experiência que o número das bolas pretas tiradas e o das bolas

5.152

5.153 5.154

brancas tiradas se aproximam projresnvarcente um do outro.

Itío nao é, portanto, um fato matemático.

Se disser agora: é igualmente provável que tirarei uma bola branca como uma preta, uso quer dizer: todas as circunstâncias que me &io conhecidas (incluindo as leis da natureza tomadas hipoteticamente) nao conferem a um acontecimento nenhuma probabilidade a mais do que a outro. A saber, estão — como se compreende facilmente a partir das explicações acima — numa relação de

1.155

5.156

5-2 521

probabilidade de —• O que verifiquei pela experiência é que ambos os acontecimentos independem das circunstâncias das quais nao tenho conhecimento mais próximo.

A unidade das proposições probabinttieas 4 a seguinte: as circunstâncias — de que, ahas. nao tenho conhecimento mais amplo — conferem a um determinado acontecimento tal e tal grau de probabilidade, Desse modo, a probabilidade ê uma generalisaçao.

Envolve uma descrição geral de uma forma propoaicional.

Só na falta de certeia precisamos de probabilidade, — Quando nao conhecemos um fato completamente, mas ao menos sabemos algo a respeito de sua forma.

(Uma proposição pode, com efeito, ser uma figuração incompleta de uma certa situação, entretanto sempre é uma figuração completa.)

A proposição probabiostica e como se fosse um extrato do outras proposiçoM. As estruturas das proposições mantém entre si relações internas.

Podemos traier essas relações internas para nosso modo de expressão, representando uma proposição como resultado de uma operação que a produz de outras proposições (as bases da operação).

5.23 5.231 5.232

A operação 6 a expressão de uma relação entre estruturas do resultado e de suas ba Operação é o que deve acontecer tom uma proposição a fim de gerar oulra a partir dela.

E isso naturalmente dependerá de suas propriedades formais, da semelhança interna de suas formas.

Arelaç&ointerna que ordena uma série eqüivale à operação que produz, um termo a partir de outro.

5.233

A operação só pode ter lugar pela primeira ves onde uma proposição nasce de outra de modo logicamente denotativo) onde começa, portanto, a construção lógica da proposição.

5.234

As funções de verdade das proposições elementares resultam de operações que tem como bases as proposições elementares. (A essa operação chamo de operaçao-verdade.)

5.2341

0 sentido de uma função de verdade de p é função do sentido de p.

Negação, soma lógica, multiplicação lógica, etc., etc., sflo operaçóes, (A negação inverte o sentido da proposição.)

A operação mostra-se numa variável; mostra como de uma forma de proposições se pode chegar a outra.

Torna expressa a diferença de formas.

(E o que é comum às bases e ao resultado da operação sáo precisamente essas bases.)

A operação nào designa forma alguma, mas apenas a diferença de formas.

A mesma operação que produs "a" de "p", produz também de "9", "r" e assim por diante.

Isto só pode ser expresso porque "p", "ç". V , ete., sáo variáveis que tornam expressas de um modo geral certas relações formais.

5.24

5.241 5.242

5.25

A realiiaçao de uma operação nào caracterisa o sentido de uma proposição.

$5

5.251 5.252

A operação nada asserta atérn de seu resultado e isto depende das bases dessa operação.

(Operaçóee e funções nao devem ser confundidas.)

Uma função nfio pode ser seu próprio argumento; no entanto, o resultado de uma operação pode muito bem ser sua própria base.

Somente assim é possível o progresso de um termo a outro na serie formal {de tipo a tipo na hierarquia de Russell e Whitehead). (RusselI e Whitehead nao admitiram a possibilidade desse progresso mas fizeram dele uso repetido.)

'5.2521

A aplicação progressiva de uma operação sobre sen próprio resultado chamo sua aplicação sucessiva. {"O" (TO'a" resulta de três aplicações sucessivas de " C í " sobre "a").

Em sentido semelhante falo da apüeaçào sucessiva de muitos operações sobre um número de propo-

5.2522

0 termo geral de uma seqüência formal a, Ca. C C o , . . . escrevo por isso do seguinte modo: "[a,i,0'x\".

Esta expressão entre colchetes * uma variável. 0 primeiro termo da expressão do colchete e* o inicio da série formal, o segundo a forma de um termo qualquer z da série e o terceiro a forma daquele termo da série que segue imediatamente a x.

5.2523

O conceito de aplicação sucessiva de operação eqüivale ao conceito "e assim por diante".

Uma operação pode anular o efeito de outra.

Operações podem suprimir-se mutuamente.

A operação pode desaparecer (por exemplo, a negação em "~—•p", —~p m p)_ Todas as proposições resultam de operaçôesverdades sobre as proposições «lementarss.

A operaçao-verdade é o modo pelo qual a função de verdade nasce das proposições olemeotaree.

Do mesmo modo que das proposições elementares nasce sua função de verdade, das funções de verdade nasce uma nova, de acordo com a essência

5.253 5.254 5.3

5.31

5.32 5.4 5.41

5.42

5.43

da opsracao-verdade. Cada operaçao-verdade reprodni a partir de funções de verdade de proposições elementares uma função de verdade de proposições elementares, a saber, uma proposição. 0 resultado de eada operaçao-verdade realiiada com resultados de operaçoes-verdades sobre proposições elementares ê de novo o resultado de uma operaçao-verdade •obre proposições elementares.

Toda proposição resulta de operacoes-rerdade» sobre proposições elementares.

Os esquemas do n.' 4.31 possuem também deootaeio quando "p", "q", "r", etc., nao sfto proposições elementares. Ê fícil verificar que o signo proposiâonal no n.* 4.2 exprime uma função de verdade de proposições elementares ainda quando "p" e "ç" «**> '"oçoes de verdade de proposições elementares.

Todas as funções de verdade resultam da aplicação sucessiva de um número finito de operaçoesverdades sobre proposições elementares.

Aqui se evidencia que nao ha "objetos lógicos", "constantes lógicas" (no sentido de Freire e Russefl).

Porquanto: todos os resultados de operacoosverdades sobre funções de verdade sio idênticos, sao uma e a mesma íunçfto de verdade de proposiçOes elementares. Ê óbvio que v. D. etc., nao aào relações no sentido de direita e esquerda.

A possibilidade de definição cruaada dos "signos primitivos" de Frege e Rusaell já mostra que nao aio primitivos e que nao designam relação alguma. Ê evidente que "D", que definimos por "'—" e "v". * idêntico ao que serve para definir V eom a ajuda de "—" e que este ' V é" idêntico ao primeiro. E assim por diante.

Que de um fato p outros ao infinito seguir-se-ao, nomeadamente ^ - w p , ^«-.s.—p, etc-, 4 cüSeil. no inicio, de n acreditar. E nao é menos extraordi-

5.44

3.441

5.442 5.45

5.451

98

nano o número infinito de proposições da lógica (da matemática) seguisse de mela dúxia de "princípios".

Todas as proposiçoe* da lógica diiem. porém, o mesmo; a saber, nada.

As funções de verdade nào afto funções materiais.

Já que, por exemplo, ê possível gerar uma afirmação por meio da dupla negação, estará a negação — seja qual for o sentido — incluída na afirmação? "——-p" nega —p ou afinna p, oa ambos?

A proposição "•—--~p" nao trata a negação como um objeto; a possibilidade da negação, entretanto, já está antecipada na afirmaçào.

E se houvesse um objeto chamado "—", entáo "—"^p" deveria dixer outra coisa do que "p". Porquanto uma proposição trataria de "*-". enquanto a outra n&o.

Este desaparecimento das aparente* constantes lógica* se dá se " — ( S J ) . <—/*'' di« s mesma coisa que "(x) ./z" ou "(3x) ./x .x - o", o mesmo que "/o".

Caso uma proposição nos seja dada, com ela dio-ae os resultados de todas *s operaçoes-verdade* que a tem como base.

8a houvesse signos lógicos primitivo», uma lógica correta deveria esclarecer suas posições, relativas umas às outras, e justificar soa existência.

Deve tornar-se clara a construção da lógica a partir de seus signos primitivos.

Se a lógica possuísse conceitos básicos, estes deveriam ser independentes uns dos outros. Admitido um conceito básico, deveria èle ser admitido em todas as vinculaçóes em que em geral aparece.

Náo é possível, portanto, primeiramente admiti-lo numa conexáo para cm seguida *dmiti-k> em outra.

Por exemplo, admitida a negação, devemos entendêla tanto nas proposições de forma ""~p", como nas proposições tais que "—<j> v q)", "(3x). —/x", etc Nfto podemos introduzi-la primeiro para uma classe

5.452

5.453

5.454

5.4541

de CMOS, em seguida para outra: permaneceria duvidoso ae sua denotacao seria a mesma em ambos os casos, nao havendo motivo de utilizar para esses casos o mesmo modo de vincular o* signos.

(Em resumo, para a introdução de signos primitivos vale, mulatii mutandiê, o que frege (DOS Principio* da Arilmtíiea) disse a propósito da introdução de signos por meio de definições.)

A introdução de um novo recurso no simboüsmo da lógica sempre há de ser um acontecimento pleno de conseqüências. Nenhum recurso novo há de ser introduzido na lógica — entre parênteses ou à margem — por assim diter, com cara inocente.

(Aparecem nos Principia Malhemalica de RusseU e Whitehead definições e princípios em palavras.

Por que de repente palavras? Isto demanda ama justificação, que falta e deve {altar, pois o procedisaeato nao é de fato permitido.)

Se todavia a introdução de novo recurso se provou necessária, deve-se perguntar imediatamente: onde esse recurso deve ser sempre empregado? Sua locahaac&o na lógica deve eer esclarecida.

Todos os números da lógica devem deixar-te justificar.

Ou melhor, deve evidenciar-se que nao há números na lógica.

Nlo há número excelente.

Nao há na lógica um lado a lado, pois nâo há classâTicaçáo.

Nao pode haver na lógica o mais geral ou o mais especial.

A solução dos problemas lógicos deve ser simples, já que estes colocam o padrão da-«tmpbcidade.

Os homens sempre tiveram o pressentimento que deveria haver um domínio de questões cujas respostas — a priori — fossem simétricas e unidas a uma construção acabada e regular.

Um domínio em que vale a sentença: timplrx nqütwt weri.

5.46

5.461

Caso se totroduaam corretamente os ninou lógicos, entào j4 se introdui o sentido de todas as suas combinações; portanto, n&o apenas "p v «" nus lambem "•— (pv-~q)", etc-, etc Já se teria introduzido, pois, o efeito de todas as combinações meramenteposaiveui de parênteeee. E assim estaria claro que os signos primitivos propriamente univenais nfto seriam "p v./'. "(3x) .fx" mas a forma mais geral de sua* combinações.

Muito denota o fato aparentemente desimportante de que as pseudo-relações lógicas como v ou D precisem de parênteses — ao contrario das relações reais.

A utiliiacao de parênteses junto a esses pseudoeignos primitivos já indica que n&o sao ngaos primitivos reais. E ninguém acreditará porventura que os parênteses possuam denotaçio autônoma.

5.4611 Os signos das operações lógicas ato pontuações.

5.47 £ olaro que tudo o que se dii de onlendo sobre a forma de todas as proposições deve ser dito ao menos uma m.

Na proposição elementar já estão contidas todas as operações lógicas. Porquanto "/o" dii o mesmo que " ( 3 i ) . / * . r - a " .

Onde há composição iá há argumento e função, e onde estão estes já e#t*o todas as constantes lógicas.

Poder-ae-ia dizer: uma constante lógica é aquilo que Udai ae proposições, conforme sua naturais, possuem em comum.

Isto e. porém, a forma proposiciooal geral.

5.471 A forma proposícional geral é a essência da proposição.

5.47U Dar a essência da proposição quer diser dar a essência de todas as descrições e, por conseguinte, do mundo.

5.472 A descrição da forma proposicional mais geral ê a descrição de um e um só signo primitivo universal da lógica.

5.473

A lógica deve cuidar de si mesma.

Um signo passível também deve poder designar Tudo o que na lógica é possível também é pernú' tido. ("Sócrates é idêntico" nao dia nada. pois nao há propriedade que se chame "idêntico". A proposição é absurda porque nao encontramos uma determinação arbitraria, e nio porque o símbolo em si e para si nao fosse permitido.)

Em certo sentido, n&o podemos errar na lógica5.4731 0 óbvio de que Itussell tanto fala so pode tornar-ae prescindlvel porque a própria linguagem impedi os erros lógicos. — Que a lógica seja a priori consiste em que nada ilógico pode ser pensado.

5.4732 Nio podemos dar a um signo um sentido incorreto.

5.47321 0 lema de Occam n&o é por certo uma regra arbitraria, ou que BO justifique por seus resultados práticos; dii apenas que unidades de signos devteeeudriai nada designam.

Signos que preenchem uma finalidade aao logicamente equivalentes, os que preenchem nenhuma s&o logicamente desprovidos de denotac&o.

5.4733 Frege díi: cada proposição formada legitimamente deve ter um sentido; eu digo: cada proposição possível é legitimamente formada e. se n&o tiver sentido, isto só é possível porque nao emprestamos denotaçâo a algumas de suas partes constituintes.

(Ainda que acreditemos te-lo feito.)

Desse modo, "Sócrates é idêntico" nao dii nada. porque nao emprestamos & palavra "idêntico" como adjetivo denotaç&o alguma. Quando aparece como signo de igualdade, ela simboliza de maneira totalmente diversa — é outra a relação designado» —> de sorte que o símbolo, em ambos os casos, é inteiramente diferente; ambos os símbolos apenas Km, por acidente, o signo em comum.

5.474

0 número das operações básicas necessária» depende apenat de nossa notação.

101

5.475 5.470 5-5

5.501

Trata-se apenas de formar um sistema de signos com número determinado de dimensões — com uma multiplicidade matemática determinada.

E claro que nfto se diKcute aqui o número de conceito* fundamentai* que devem ser designados, mas a expressão de uma regra.

Cada (unç&o de verdade resulta da aplicação sucessiva da operação ( V) (( ) «obre proposições elementares.

Esta operação nega todas as proposições no interior dos parênteses da direita, e a chamo negação dessas proposições.

Uma expressão nos parênteses cujos termos sejam proposições — quando ( indiferente a seqüência dos termos nos parênteses — indico por meio de um signo da forma "({ )" . "{" é uma Tariável cujos valores sâo os termos da expressão entre parênteses, « o traço sobre a variável indica que esta substitui nos parênteses todos os seus valores.

(Se, por exemplo, { tem 3 valores P, Q R,

(i)-vWO-) Serio fixados os valores das variáveis.

A fixação * a descrição das proposições que a variável substitui.

E ineesencial como se dá a descrição dos termos da expressão entre parênteses.

Podemos distinguir três maneiras de descrever: 1) Enumeração direta; neste caso podemos, em lugar das variáveis, colocar simplesmente seus valores constantes- 2). Indicação de uma função fx cujos valores, para todos os valores de x, constituam as proposições a serem descritas. 3) Indicação de uma lei formal segundo a qual cada proposição i formada; oeste caso os termos da expressão entre parênteses sáo lodo* os termos de uma série formal.

5.502

Escrevo pois "*<()" em lugar de "(

«

V)

r-

NQ) é a negação de todos oa valores da variável proposicioDal f.

103

Evidentemente é fácil exprimir oomo propoàçoea podem formar-se graças a esta operação e como proposições nao Um de ser formadas graças a ela; e úto também pode encontrar uma expressão exata.

5.5J

Se J tiver apenas um valor, N( f) - —-p (nio pi, se tiver dois valores, „V( | ) — ~~p. ~~g (nem p nem g).

5.511

Como e possível a lógica, que tudo abrange e espelha o mundo, precisar de tais artifícios e manipulações especiais? Somente porque tudo isto está ligado a uma rede infinitamente fina, ao grande espelho.

5.512

"-?" i verdadeiro se " p " fôr falso. Portanto, numa proposição verdadeira "~~p", "p" ê uma ufalsa proposição. Como lhe é possível faxer o traço ~ " concordar com a realidade?

O que é negado em " ~ p " nao i "'^", mas o que é comum a todos os signos dessa notação que negam p.

Desse modo, a regra oomum pela qual se formam "~~p", " ~ - - ~ p " . ""~pv~p", " ~ p . ~ p " , t*e., etc. (ao infinito). E o que * comum espelha a negação.

Podcr-ee-ia chier: 0 que é comum a todos os sfmbolos que afirmam tanto p como q é a proposição "p.q". O que é comum a todos os símbolos que afirmam p ou q, i a proposição "p v f".

E assim se pode diicr: Duas proposições s*o opostas mutuamente se nada possuem em comum; e: cada proposição tem apenas um negativo, pois há apenas uma proposição que se situa inteiramente fora dela.

E na própria notaçáo de RusseJl é evidente que "•;: p • "~p" diz a mesma coisa que "q" e que "p v —p" n&o dix nada.

5.513

5.514

Fixada uma notação, há nela uma regra pela qual são formadas todas as propoBçOes negadoras de p, uma regra pela qual BÃO formadas todas as

proposições afirmadoras do p, uma regra pela qual sâo formadas todas as proposições afirmadoras de p ou q. c assim por diante Easas regras sâo equivalentes aos símbolos e nelas espelha-«e o seu sentido.

5.515

Ê preciso indicar que. em nossos símbolos, o que é ligado mutuamente por "v", " . " , etc, deve ser proposições.

E isto ocorre, pois o símbolo "p" e "ç" já pressupõem ' V , "**•", etc. Se o signo "p" em "p v q" nâo substituir um signo complexo, nâo pode possuir sentido soiinho; mas então também os signos "p v p". "p.p", que Um o mesmo sentido que "p", nâo teriam sentido. Se entretanto "pvp" nâo tiver sentido, então do mesmo modo "pv q' nâo terá sentido,

5.5151

Deve o signo da proposição negativa ser formado por meio do signo da positiva T Por que nâo se poderia exprimir a proposição negativa por um fato negativo? (Do seguinte modo: se "o" nâo se relacionar de modo determinado com "b", isto poderia exprimir que aRb nâo ocorre.)

Mas tamMm aqui a proposição negativa se forma indireta mente pela positiva.

A proposição positiva deve pressupor a existência da propoiiçio negativa e vice-versa.

Sejam os valores de f todos os valores de uma função fz para todos os valores de x. então rV(()-~Oz)./x.

5.521

Separo o conceito todo das funções de verdade.

Frege e Russell introduziram a universalidade em ligação com o produto lógico ou a soma lógica e, desse modo, tornou-se difícil entender as proposições "(3i).fí" e "(*)./*", cm que ambas as idéias permanecem ocultas.

5.522

E peculiar à designação da universalidade: 1) referir-se a uma protofiguraçfto lógica; 2) salientar as constantes,

104

A designação da universalidade aparece eomo argumento.

5.524 Caao os objetos estejam dados, noa estarão dados todos os objetos.

Caso as proposições elementares estejam dadas, já noa catão dadas tédai as proposições elementares.

5.525 E incorreto interpretar a proposição "(3*) .fx" — eomo Russell o íai — pelas palavras: "fz e potttotl".

Certexa, possibilidade e impossibilidade de uma situação não se expressam por meio de ama proposição mas por ser a expressão uma tautologia, una proposição significativa ou uma contradição.

Aquele caso precedente a que sempre se há de apelar já deve estar no próprio símbolo.

5.526 É possível descrever o mundo completamente por meio de proposições perfeitamente universalizadas, a saber, sem que de antemão um nome fosse • coordenado a um objeto.

Para chegar-ee ao modo de expressão habitual deve-ee simplesmente, depois de uma expressão "há um e um único x tal que . . . " , dizer: e este z é a.

5.5261 Uma proposição perfeitamente universaliiada (, como qualquer outra proposição, composta. (lato se mostra quando, em "(3r.e *) . vx" devemos mencionar separadamente ' V ' "' "• Ambos se correlacionam independentemente com o mundo, como sa proposição que náo foi universalluda.)

Característica de um símbolo composto: tem algo em comum com ovtro símbolo.

5.5262 A verdade ou a falsidade de coda proposição altera em algo a construção geral do mundo. E o campo que se deixa para sua construção por meio da totalidade das proposições elementares é precisamente aquele que as proposições inteiramente universalíiflti delimitam.

(Se uma proposição elementar for verdadeira, sempre haverá por isso mais uma proposição elementar verdadeira.)

5.53

Exprimo a igualdade de objetos p»I>> igualdade de signos e n&o graças ao auxilio de um signo de igualdade. E a diversidade doe objetos por meio da diversidade de signos.

5.5301 £ óbvio que a identidade nfto í uma rclaçio entre objetos. Isto se torna muito claro quando ae considera, por exemplo, a proposição "(i) : / i O ' " « " .

A proposição dis meramente que apenas a satisfai a função /, mas n&o dii que somente aa coisas que mantém uma certa relação com a satisfazem a função /.

Poder-se-ia sem dúvida dizer que tornem* a mantém esta relação com o, mas pare exprimi-lo precisado signo da igualdade.

5.5302

A definição dada por Russell de " - " nfto é suficiente, pois, segundo ela, nfto i possível diaer que dois objetos possuem em comum todas as propriedades. (Ainda que esta proposição nfto seja correta, possui tentido.)

5.5303

Falando grouo modo: diaer de doii objetos que a&o idênticos 6 absurdo, e de uai único que é idêntico consigo mesmo por certo nfto dia nada.

5.531

Nfto escrevo pois "/(a, b) . a - 6" mas "/(o, a) (ou •yÒ, b)"). Nfto escrevo "/(a, 6)" . ~a - •", mas

5.532

E analogamente: nfto "(3x.j/) .fa.t) -i-if", mas "(3x) ./(*,*)"; nfto "(3s. S ) -A*,») - ~*-!f", mas "<3x t ! 0./(*,*)".

(Desse modo, em vei da fórmula de Russell **(3r,V>./(j,|r)", lemos "(3i,»)-Ax,V) . v . (3x) .

•/(*.*)")• Em vea de "(x) i / O ' - *" escrevemos, por exemplo, "(3x) ,/z.D.fa: ~<3x.») . / r .ff.

E a proposição "sòmtnU um i satUfax/( )" será "(3x)./*:~(3z,y)./*./»".

O signo da igualdade n&o ê. poia, parte essencial da ideografia.

55321

5.533 106

5.534

5.535

5.5351

Vemos cnlio que pseudoproposiçoes como; "o - o", " i - b . t - c O o - e", "(x) . * - i " . " ( 3 * ) . * - . a " , etc., Dio se deixam inscrever de modo algum numa ideografia correta.

Desaparecem assim todos os problemas ligados a tais pseudoproposiçoes.

Todos os problemas que encerra o axiom of infinily de RusselI aqui se resolvem.

0 aeiom of infinily quer dizer, em termos da, linguagem, que existem infinitamente muitos nomes com denotaçio diferente.

Existem certos casos em que se é tentado a usar expressões da forma: "« ™ a", ou "p D p" « outras. E isto com efeito acontece quando se deve falar da protofiguraçio: proposição, coisa, etc, Kuasell, nos Principiei of malhtmatic* transpôs o absurdo "p é uma proposição" no símbolo "p 3 p'\ tomando-o como hipótese diante de certas proposii çoes a fim de que os lugares dos argumentos destoa só pudessem ser ocupados por proposições.

(Já é um absurdo colocar diante de uma pro-. posição a hipótese p Z> P para assegurar aos argu% mentos forma correta, porque a hipótese estabelecida, para uma nio-proposiçao enquanto argumento nio se toma falsa mas absurda; atem do mais, a própria proposição se torna absurda para argumentos d* gênero incorreto, de sorte que se conserva tanto boa como mi diante dos argumentos incorretos, assim como a hipótese sem sentido empregada para, esse fim.)

5.5352

Do mesmo modo, prctendeu-sç eaprimir "Nào existe coisa alguma" por meio de " - K M . x - *", Ainda, porém, que isto fosse uma proposição — esta nio seria verdadeira se, com efeito, "houvesse coisas" que todavia nio fossem idênticas consigo mesmas?

5.54

Na forma geral da proposiçio, a proposição aparece na proposiçio apenas como base daa uperaçoes- verdades.

A primeira vista parece que seria possível uma proposição aparecer numa outra de outro modo.

5.541

107

Em particular eta certas formai proposicionais dajpsicologia tais como "-4 acredita que p ocorra" ou "A pensa p". etc.

Nelas parece superficialmente que a proposição p se relaciona, de um certo modo. com um objeto A. (E oa moderna teoria do conbecimeDto (RusselI, Moorc, etc.) essas proposições s&o assim concebidas.) Õ542 É claro porem que "A acredita que p", "A pensa p", "A dis p" sao da forma "p da p". Nio se trata aqui da coordenação de um fato e um objeto, mas da coordenação <ie fatos por meio da coordenação de seus objetos.

5.5421 Isto mostra que a alma — o sujeito, etc. — tal como é compreendida atualmente pela psicologia superficial, é um disparate, Uma alma composta náo seria mais alma.

5.5422 A explicação correta da forma da preposição "A julga p" deve indicar ser impossível julgar um absurdo. (A teoria de RusselI ato satisfai essa condição.)

5.5423 Perceber um complexo quer diier perceber que suas partes constituintes estão em relação entra si de um certo modo.

0

b a

/ i

/

/

Isto também explica por que é possível ver a figura de duas maneiras como um cubo; c todos os fenômenos parecidos. Porquanto vemos realmente dois fatos diferentes.

(Primeiro vejOt a partir dos vértices a, e w& ligeiramente a partir de b; a aparece na frente; e vice-versa.)

105

5.55

Devemos agora a priori responder à pérgula a respeito <ic Iodas as formas possíveis de proposições elementares.

A proposição elementar constitui-se de nome».

Posto que náo podemos dar o número de Domes com denolaçao diferente, nâo podemos lambem dsz a composição das preposições elementares.

5.551 £ nos» proposição básica: cada questão que em geral ae deixa decidir pela lógica, deve sem mais deixar-se decidir.

(E se chegarmos a condição de precisar olhar o mundo para responder a tais problemas, isto mostraria que enveredamos por pistas basicamente falsas.)

5.552 A "experiência" que precisamos para compreender a lógica, nao é a de que algo está do seguinte modo. mas a de que algo i; esta, porém. %io ê uma experiência.

A lógica está arUta de qualquer experiência — de que algo * assim.

Desse modo está antes do Como mas nâo antes do Que. 5.5521 E se n»o fosse assim como poderíamos aplicar a lógica? Püder-ee-ia diier: se houvesse uma lógica ainda que nao houvesse um mundo, como poderia haver uma lógica já que há um mundo?

5.553 RusseU disse que havia relações simples entra diversos números de coisas (individuais). Mas entre que números? E como isto há de ser decidido? — Por meio da experiência?

(Nao existe um número excelente.)

5.554 A indicação daquelas formaa especiais stria completamente arbitrária.

5.5541 Há de se revelar a priori se, por exemplo, posso chegar a condição de ter de designar alguma coisa com um signo de uma relaçáo de 27 termos?

6.5542 Devemos, pois, fazer em geral tal pergunta?

Podemos estabelecer uma forma em signos e nao saber se a «Ia poderia corresponder alguma coisa?

109

Tem sentido a questão: O que deve ter a fítn de que algo possa ocorrer?

5.555 Ê claro que temos da proposição elementar um conceito independente de sua forma lógica particular.

Onde é possível formar símbolos de acordo com um sistema, o importante do ponto de vista lógico ê o próprio siatema, nfto o símbolo singular.

Como seria também possível que, na lógica, tivesse que me ocupar de formas que posso inventa»?

No entanto, devo ocupar-me eom o que me torna possível inventá-las.

5.555 Nfto pode haver hierarquia de formas das proposições elementares. Podemos pressupor somente o que nós próprios construímos.

5.5561 A realidade empírica é limitada pela totalidade dos objetos. 0 limite reaparece na totalidade das proposiçÓW elementares.

As hierarquias sfto e devem ser independentee da realidade.

5.5562 Por motivos puramente lógicos sabemos que deve haver proposições elementares; desse modo. isto deve ser conhecido por todo aquele que compreende as proposições na sua forma nfto-analiaad*.

5.5563 Todas as proposições de nossa linguagem eorrenic sfto, de fato, tais eomo sfto, perfeitamente ordenadas de um ponto de vista lógico. — Tudo o que fflr mais simples e que devemos aqui admitir nfto 4 sfmile da verdade mas a própria verdade plena.

(Nossos problemas nfto sfto abstratos mas talvez 08 mais concretos que existem.)

6Í57 A aplicação da lógica decide que proposições elementares existem.

O que está na aplicação a lógica nfto pode antecipar.

E claro: a lógica nfto há de colidir com sua aplicação.

M u a lógica deve referir-ae a sua aplicaçfto.

Desse modo, a lógica e sua aplicaçfto nfto devem Bobrepor-se uma k outra.

110

5.5571 5.6 5.61

5.62

5.831 5.63 5.(31

6.632

Se nfto posso indicar a priori u proposições elementares, querer indicá-las deve redundar num patente absurdo.

Oi limilea de minha linguagem denotam os limites de meu mundo.

A lógica preenche o mundo, os limites do mundo tio também seus limites.

Náo podemos pois diier na lógica: isto e isto existem no mundo, aquilo nau.

Porquanto se pressuporia aparentemente que excluímos certas possibilidades, o que nio pode ocorrer pois, do contrário, a lógica deveria eoloearse alem dos limites do mundo, como se pudesse considerar esses limites também do outro lado.

Nfto podemos pensar o que nfiO podemos pensar, por isso também náo podemos diter o que nio podemos pensar.

Esta observação dá a chave para decidir da questão: até onde o solipaismo i uma verdade.

0 que o solipsismn nomeadamente aoka 6 inteiramente correto, mas isto se mostra em vei de deixarse diter.

Que o mundo é o meu mundo, isto se mostra porque os limites da linguagem (da linguagem que somente eu compreendo) denotam os limhee de meu mundo.

0 mundo e a vida sflo um aó.

Sou meu mundo. (0 microcosmos.)

O sujeito representante e pensante nfto existe.

Se escrevesse um livro; 0 mundo (o/ como encontro, deveria reportar-me a meu corpo e dizer quais membros estão sob minha vontade e quais nlo estáo, ele. — isto é particularmente um método para isolar o sujeito, ou melhor, para indicar que náo existe sujeito num sentido importante: dele -'•::•:.':.• • não é possível tratar neste livro.

0 sujeito nfto pertence ao mundo mas é limite do mundo.

Ul

5.633

5.6331

Onde no mundo se há de notar um sujeito metafísico?

Tu dite* que aqui se está inteiramente como diante do Alho e do campo visual, ma* tu não vAs realmente o Alho.

E nao há coisa no campo visual que leve à eonelusflo de que ela é vista por um ôtbo.

O campo visual nao tem nomeadamente uma forma como esta: ÔLHQ-

5.631

5.64

5.641

•

Isto ae liga a que nenhuma parte de nossa experiência A a priori.

Tudo o que vemos poderia ser diferente.

Tudo o que podemos em geral descrever poderia ser diferente.

Nfto há o pricri uma ordem das coisas.

Por aqui se vA que o solipsismo, levado ás última» conseqüências, coincide com o realismo puro.

O eu do solipsismo redui-se a um ponto sem extensão, a realidade permanecendo coordenada a Ale. Tem, portanto, sentido real falar-se, na filosofia, do eu de um ponto de vista nlo-psicologko.

O eu penetra na filosofia porque o "mundo A meu mundo".

O eu filosófico nao A o homem, nem o corpo humano, nem a alma humana de que se ocupa a psicologia, mas o sujeito metafísico, o limite — nao sendo pois parte do mundo.

A forma geral da função de verdade A

[p.«.W(Í)l 6.001

113

Esta A a forma geral da proposição.

Isto nada mais dit do que: cada proposição resulta da aplicação sucessiva da operação rV(() sobre as proposições elementares.

6.002

8.01

6.02

6.021 6.022

6.03 6.031

6.1

Dada a forma geral de como construir uma proposição, com isto já está dada a forma geral de como 6 possível gerar outra, por meio de uma operação, partindo-se de uma proposição.

A forma geral da operação 0/(5) i pois: Esta é a forma maia geral da transposição de uma proposição para outra.

Chegamos assim aos números. Defino: z - Q"x De/, e ffü-x - Q-"'* Def. Segundo eaaa regra de signos, escrevemos pois a aérie: x, G'x, ífífx, O W l como: ffx, 0>*"x, O**'*"*, O*»1*1*!'», . . .

Em vei de "{x, (, ttff' escrevo, portanto. u [Vx, O"*, Q"*"x)".

E defino: 0 + 1 - 1 Dof. 0 + 1 + 1 - 2 Def. 0 + 1 + 1 + 1 - 3 Def. (e assim por diante) 0 número e o expoente de uma operação.

O conceito de número nada mais i do que é comum a todos os números, a forma geral do número.

O conceito número c a variável número.

E o conceito da igualdade entre os números é a forma geral de todas as igualdades especiais entre os números.

A forma geral dos números inteiros é: [0, {,{+*).

A teoria das classes 6 inteiramente supérflua pan a matemática.

Isto está ligado a que a universalidade de que precisamos na matemática nfto é a acidental.

Aa proposições da lógica s&o tautologias

tu

6 11 6.111

6.112 6.113

6.12

6.1201

m

As proposições da lógica, portanto, nio diicm nada. (SiO aa proposições analíticas.)

SiO sempre falsas as teorias qoe faiem uma proposiçio da lógica aparecer com conteúdo. Poderse-ia, por exemplo, acreditar que as palavras "verdadeiro" e "falso" designassem duas propriedades entre outras, de sort« que pareceria am fato extraordinário que cada proposição possuía se uma dessas propriedades. Isto nio parece, de modo algum, evidente; é tio pouco evidente oomo, por exemplo, o é a proposição "Todas as rosas sio ou amarelas ou vermelhas", ainda que fosse verdadeira. Essa propoaiçio toma, com efeito, o caráter de uma proposição das ciências naturais e isto é ""*•""• seguro de que foi falsamente concebida.

A explicação correta das proposições lógicas deve conferir-lhe uma posição peculiar entre todas aa proposições. É marca caractcristica e particular daa proposições lógicas que se possa conhecer apenas pelo símbolo quando SiO verdadeiras, e este fato contém em ai toda a filosofia da lógica. Assim, 6 um dos fatos mais importantes que a verdade ou a falsidade das proposições nio-lógicas não i conhecida unicamente na proposiçio.

AR proposições da lógica sio tautologuu; isto moura as propriedades (lógicas) formais da linguagem, do mundo.

Suas partes constituintes, ao se vincularem OVSM maneira, produsem uma tautologia, e isto caracteriia a lógica de suas partes constituintes.

As proposições devem possuir determinadas propriedades de estrutura a fim de que, vinculadas de um determinado modo, produzam uma tautologia.

Se produiem uma tautologia ligando-se dessa maneira, isto mostra que possuem tais propriedades de estrutura.

Por exemplo: a proposiçio " p " e a "—p" na conexio ""-(p."-p)" produzem uma tautologia, o que mostra que se contraditem entre SL As propo-.

rfçfc» "P D í". " p " 8 V . Kg"*" entre ri na forma "(j> D e) . (p) : 3 : (9)", produiem uma tautologia. o :-i: mcctra que q se ssjgue de p e p D ç- Que "(x) . £ : D :/a" seja uma tautologia, mostra que fa se segue de (x) . /x, etc, etc.

6.1202 Ê claro que. em ves da tautologia, é posarei empresar a contradição para os meamos fios.

6.1203 Para reconhecer uma tautologia como tal, DOS casos em que na tautologia ato aparece qualquer ilfigimr Uri da generalidade, é possível utihsar o seguinte método intuitivo: em vez de "p", "f", •V. etc, escrevo "VpF", "VqF", "VrF', etc As combinações de verdade sao expressas por chaves:

<£ U

\

t a coordenação da verdade ou da falsidade da proposição total e as combinações de verdade dos argumentos de verdade, por meio de traços, do modo seguinte:

_ 10 representaria, por exemplo, a proposição "p 3 í"- Vou verificar, por exemplo, se a proposiçÃo -~{p-~~p) (lei da contradição) ( uma tautologia.

A forma "—(" será escrita em nossa notação: \

•T 115

A forma " ( . , " :

De modo que a proposição —(p.—oj será:

Em lugar de "q" coloquemos "p" e examinemos a conexão do? V o P mais exteriores com os mais interior»; logo verificamos que » verdade da proposição total coordeaa-pe com tõda> as combinações de verdade de seus argumentos, enquanto que tua falsidade, com nenhuma das combinações de verdade.

6.121

As proposições da lógica demonstram as propriedades lógicas das proposições, pois se ligam em proposições que n&o dizem nada. Ê possível chamar a esse método de métodonulo. Na proposição lógica as propoeieGea slo levadas a se equilibrarem mutuamente, de modo que a situação de equilíbrio indica como taii proposições devem ser constituída» de um ponto de vista lógico.

6.122

Donde resulta ser possível viver sem aa proporiçoM lógicas, já que podemos reconhecer, graças à mera inspeção dessas proposições, suas propriedades formais numa notação correspondente.

6.1231

Se, por exemplo, duas proposições "p" e "q" geram, D* conexio p 3 q, uma tautologia. ê claro então que • se segue de p.

Que, por exemplo, "q" segue-se de "p D í • p"i vemos graças ao exame de ambas as propo^çeo.. mas podemos moslrá-lo ligando-aa em " p D f . p O : jf" e mostrando que esta última forma uma tautologia.

6.1222

IHO ilumina a questão: porque as proposiçOea lógicas nao podem ser confirmadas pela experiência nem refutadas por ela. Nao só uma proposição da lógica nao pode ser refutada por uma experiência possível, mas também nao ha de ser confirmada por ela.

6.1223

E assim se toma claro porque muilai sentimos como se as "verdades lógicas" fossem poiraíudas por nos; podemos com efeito postulá-las enquanto podemos postular uma nota cio —«*•*•tória.

6.1224

Agora se torna claro porque a lógica foi chamada teoria das formas e das inferêoeias. £ claro que as leis lógicas nao devem elas próprias depender de outras leis lógicas.

(Nao h i como Russell imaginou, para cada : /pe uma certa lei da contradição, mas basta uma, desde que nfto se aplique a si mesma.)

6.123

6.1231

O sintoma da proposição lógica não é a validade universal.

Ser universal quer dizer apenas: valer para todas as coisas de modo acidental. Uma proposição nao universalixada pode ser tautologia tanto como uma proposição universaliiada.

6.1232

A validade lógica universal pode ser chamada essencial, em oposição àquela acidental, como a da proposição: "Todos os homens sao mortais". Proposições como o aròm o/ rtdueibüity de Russell nfto sfto proposições lógicas, o que esclarece nosso sentimento de que, quaudo verdadeiras, só o podem ser graças a um acaso favorável.

6.1233

6.124

É plausível pensar um mundo em que nlo valha o asiom of redvdbüily; de sorte qu* se torna claro que a lógica nada tem a ver com a questão de nosso mundo ser realmente a-sim ou nlo.

Aa proposições lógicas descrevem oe andaimes do mundo, ou melhor, os representam. Nlo "tratam" de nada- Pressupõem que oi nomes possuam deootaçio e as proposições elementares, sentido. E tal é sua vincularia com o mundo. Ê daro que isso deve indicar alguma coisa a respeito do mundo, qu* certas vineulaçoes de símbolos — que essencialmente possuem um caráter determinado — sio tautologias. E aqui está o que é lecisn Dissemos que, nos símbolos que usamos, muito era arbitrário, muito nao o era. E na lógica apenas isso se exprime; o que quer dizer que na lógica nos nao exprimimos o que queremos com a ajuda de signos, mas que a natureza dos signos naturalmente necessários, ua lógica, asserta-se a si própria. Ao conhecermos a sintaxe lógica de uma linguagem simbólica qualquer, já estão dadas todas as proposições da lógica.

6.125

Ê possível, e isto também de acordo com a velha concepção da lógica, dar previamente uma descrição de todas as proposições lógicas "verdadeiras".

6.1251 Nunca poderá haver, pois, surpresas DA lógica.

6.126 Ê possível calcular se uma proposição pertence à lógica calculando as propriedades lógicas do símoofo.

E é o que fazemos ao "provar" uma proposição lógica. Porquanto, sem nos preocuparmos com o sentido e a denotaçáo, formamos a proposição lógica a partir de outras meramente segundo as rcyra* do» A prova das proposições lógicas consiste em fasermos oom que sejam geradas a partir de outras proposições lógicas graças à aplicação sucessiva de certas operações, que das primeiras tautologias reprodusem outras. (E, com efeito, de uma tautologia tegvem-te apenas tautologias.)

118

Este modo de mostrar que suas proposições sfto tautologias é, sem dúvida, para a lógica, inteiramente ineesencial. Exatamente porque a* proposições de que parle a prova já devem mostrar, sem prova, que são tautologias.

8.1261

Na lógica, processo e resultado sfto equivalentes.

(Por uso nfto há nenhuma surpresa-) 6.1262 A prova na lógica é apenas um expediente mecânico para facilitar o reconhecimento da tautologia onde ela é complicada.

6.1263 Seria, pois, extraordinário poder provar Uçitamtnlt uma proposição significativa a partir de outra, e ainda uma proposição lógica. E claro desde logo que a prova lógica de uma proposição ngnifkatira e a prova na lógica devem ser coisas inteiramente diferentes.

6.1264

A proposiçio significativa aaserta algo e sua prova mostra que é assim; na lógica caia proposição está sob a forma de uma prova.

Cada proposição da lógica é um medu pontna representado num signo. (E nfto é possível exprimir o modus ponme por meio de uma proposição.)

6.1265 Sempre se pode conceber a lógica de tal modo que cada proposição seja sua própria prova.

6.127 Todas as proposições da lógica aio eqüiponderantes, nfto existem entre elas princípios essenciais e proposições derivadas.

Cada tautologia. ela própria, mostra que ê* uma tautologia.

6.1271 E claro que o número dos princípios lógicos é arbitrário, pois se poderia derivar a lógica de um único principio, por exemplo, formando meramente o produto lógico dos princípios de Frege. (Frege talres dissesse que esses princípios nfto seriam mais transparentes d*j modo imediato. Seria extraordinário, porem, que um pensador tio exato como Frege tomasse, como critério de uma proposição lógica, seu grau de transparência.)

119

6.13

6.2 6.21 6.211

6.22 6.23

6.231

6.232

6.2321

1M

A lógica nfio é teoria, ma* figuração especular do mundo.

A lógica * transcendental.

A matemática 6 um método lógico.

As proposições dn matemática alo equações e. portanto, pseudoproposiçoee.

A proposição da matemática náo exprime pensamentos.

Na vida, nfio é da proposição matemática que precisamos, usamo-la apma* para inferir, de proposições que náo pertencem à matemática, outras que igualmente náo pertencem a ela.

(Na filosofia, a questão "para que precisamos efetivamente de tal palavra ou de tal proposição" sempre condiu a valiosas visualizações.)

A lógica do mundo que as proposições lógicas mostram nas tautologias, a matemática a mostra nas equações.

Se duas expressões estiverem ligadas pelo signo de igualdade, iãto quer diter que sào mutuamente •ubstitulveis. Quando, porém, isto vier a ocorrer, deve mostrar-se nas próprias expressoea.

Caracterúa a forma lógica de duas expressões serem mutuamente substituirei*. Ê propriedade da afirmação poder ser concebida como dupla negaçãoÊ propriedade de "1 + 1 + 1 + 1" poder ser concebida como "(1 + 1) + (1 + 1>".

Frege dia que ambas as expressões tém a mesma denotaçao mas sentido diverso. Ê essencial para a equação, entretanto, ela náo ser necessária para mostrar que ambas as expressões, ''f^fif pelo signo de igualdade, possuam a mesma denotaçao, pois isto se vê a partir de ambas as expressões.

E que as proposições da matemática possam ser provadas, nada mais quer diser que soa eorreçáo i reconhecida aem precisar comparar o que das ex-

6.2322

primem com os fatos, do ponto de vista de sua correção.

Nio se afirma a identidade da denotaçao de duas expressões, pois. para poder afirmar algo a respeito de sua denotarão, devo conhecer essa denotaçao e, ao conhece-la, já aeí se denota a mesma coisa ou algo diferente.

6.2323

A equação revela apenas o ponto de vista do qual considero ambas as expressou, a saber, o ponto de vista da igualdade de sua denotaçao.

6.233

À pergunta se é preciso a intuição para resolver problemas matemáticos deve ser respondida considerando que a própria linguagem fornece a intuição necessária.

6.2331

O processo de calcular fai intervir precisamente essa intuição.

0 cálculo náo é experimento.

A matemática é um método da lógica.

0 que * essencial para o método matemático ê trabalhar com equações. E desse método depende particularmente que cada proposição da matemática deve ser compreendida de per si.

O método pelo qual a matemática chega às equações é o d a substituição.

Porquanto a equação exprime o caráter substitutivo das duas expressões, de sorts que passamos de um número de equações para uma nova equação, substituindo expressões por outras, de acordo com as equações.

6.234 6.2341

6.24

6.241

É desta maneira então que se desdobra a prova de 2 X 2 - 4 <íl')"'x - Q W x D e f .

Q M ' r - (0*}a'x - <0»)'*"i - ti*OPz -

6.3

A investigação da lógica denota a investigação de lâda a legalidade. Fora dela tudo é acidente.

121

6.31

6.32 6.321

6.3211

A assim chamada lei da indução n i o pode. em caso algum, ser uma lei lógica, poia é* patentemente uma proposição significativa. — De sorte que nem mesmo pode ser uma lei a priori.

A lei da causalidade nao 4 lei mas forma de uma lei.

"Lei de causalidade" é um nome genérico. E assim como disemoe, na mecânica, que existem leis mínimas — por exemplo, a de ação menor — existem na física leis de causalidade, leis da forma da causalidade.

J * se teve, com efeito, um pressentimento de que era preciso uma "lei de ação mínima" antes de se saber exatamente o que reaava. (Aqui como sempre, o que é certo a priori ae revela como algo puramente lógico.)

6.33

N i o acreditamos a priori numa ir. da conservação, mas rcnhfcemot a priori a possibilidade de uma forma lógica.

6.34

Todas aquelas proposições, como o principio de raaao suficiente, o de continuidade na natorexa, o do mínimo esforço na natureaa, etc., e t c . todas ato visualiaaçoea a priori a respeito da possibilidade de enfonnar proposições da ciência.

6.341

A mecânica newtoniana, por exemplo, condui a descrição do universo a uma forma unificada.

Tomemos uma superfície branca e sobre ela manebas pretas irregulares. DUemos então: seja qual f6r a figuração que faço. sempre posso aproximar-me quanto quiser de sua descrição, se cubro a superfície com uma rede quadriculada sufidentemente fina de modo a poder diaer de cada quadrado se é branco ou preto. Conduzi dessa maneira a descrição da superfície a uma forma unificada. Essa forma é qualquer, pois teria empregado com o mesmo sucesso uma rede feita em triângulo? ou em hexágonos. E possível que a descrição com auxilio de uma rede em triângulos fosse mais simples, isto ê, com uma grossa rede em triângulos poderíamos ter obtido uma descrição mais precisa das mancha» do

122

que cota outra toais fina e quadriculada (ou viceversa), e amim por diante. Às diversas redes correspondem diversos sistemas de descrever o mundo.

A mecânica detcrmiDB uma forma de descrição do mundo, pois dii: todas as proposições da descrição do mundo devem ser obtidas de um número de proposições dadas — os axiomae mecânicos — segundo um modo dado. Com isto prove as pedras para a construção do edifício cientifico, discado: sejam quais forem os edifícios que pretenda* levantar, deves construi-los com estas e apenas estas pedras.

6.342

(Assim como se escreve qualquer número com o sistema numérico, com o sistema da mecânica deve-se poder escrever qualquer proposição da física.)

Vemos assim a posição oposta da lógica e da mecânica. (Poder-*e-ia também faier a rede composta de figuras diversas, como de triângulos e aexagonos.) Que uma figuração como a mencionada acima seja descrita por uma rede de uma forma dada, nfto asserta nada a respeito da figuração.

(Porquanto isso vale para cada figuração dessa espécie.) Caracterisa. porém, a figuração poder ser computamente descrita por uma determinada rede de determinada finura.

Do mesmo modo, nada asserta a respeito do mundo poder ser descrito pela mecânica newtoniana; aaserta, entretanto, poder ser descrito por ela lal como precisamente vem a ser. Também dis algo a respeito do mundo poder ser descrito, por uma mecânica, de maneira mais simples do que por outra.

6.343 6.3431 6.3432

A mecânica é uma tentativa de construir, conforme um plano único, todas as proposições terdodeira» que precisamos para a descrição do mondo.

Através de todo o aparato lógico, as leis físicas ainda falam de objetos do mundo.

Nâo devemos nos esquecer de que s descrição do mundo feita pela mecânica é sempre inteira-

1*3

mente geral. Nunca trata, por exemplo, de um ponto material determinado, ma- unicamente de qualquer um. í>-1.»

Embora as manchas em nossa figuração sejam figuras geométricas, a geometria evidentemente nada tem a dixer nobre sua forma efetiva e sobre sua condição. A rede, porém, é puramente geométrica, todas as suas propriedades podem ser dadas a priori.

Leis como o principio de rsifto suficiente, etc-, tratam da rede, nfto, porém, do que ela descreve.

6.36

Se houvesse uma lei da causalidade, «ria do seguinte teor: "há leis naturais".

No entanto, obviamente isto nfto se pode dizer: mostra-se.

6.361

Segundo as expressões de HerU, poder-se-ia dtier: apenas as conexões cm conformidade com a lei Mí 11 pensdaeis.

Nfto podemos comparar nenhum processo com o "decurso do tempo" (esse decurso nfto existe), apenas com outro processo — em particular, com o andar de um cronometro.

Por isso a descriefio do curso temporal só 6 possível porque nos apoiamos em outro processo. Ê análogo o que acontece com o espaço. Quando se diz, por exemplo, que nenhum de dois acontecimentos (mutuamente exclusivos) tem lugar, porque nfto há nenhuma causa que leve um a reaütar-ee ao invés do outro, na realidade trata-se apenas da impossibilidade de descrever um dentre os dois acontecimentos quando nfto há uma assimetria qualquer. Desde que haja tal assimetria, podemos tomála como cauta do vir-a-eer de um e do nfto vir a ser do outro.

6.3611

6.36111

0 problema kantíano da mfto direita e da mfto esquerda que nfto se cobrem já surge no plano e até mesmo num espaço unidimensional, onde duas figuras congruentes a e b nfto se cobrem a nfto ser que ae movam fora desse espaço. A mfto esquerda e a direita s&o de fato perfeitamente congrueates.

124

E nada tem a ver com isso a impossibilidade de fazer com que se cubram.

Seria possível vestir a luva direita m esquerda se a girássemos num espaço qusdridimensional.

6.362 O que pode ser descrito pode acontecer e o que a lei da causalidade há de excluir nao pode wr descrito.

O processo da indução consiste em aceitar a lei num nmpUt que possa estar conforme com nossa experiência.

6.3631 Este processo todavia nfto tem fundamento lógico, mas apenas psicológico. £ elaro que nâo há raiio alguma para acreditar que o caso mais simples realmente ocorrerá.

6.3&3U Que o sol se levante amanha, é uma hipótese. t isto quer diier: n4o «aormos se se levantará.

6.37 Nao há obrigac&o para algo acontecer depois de alguma coisa ter acontecido. Nao há necessidade que D&O seja tópica.

6.371 Na base de toda moderna visio do mundo está a Uusao de que as assim chamadas leis naturais sejam esclarecimentos a propósito dos fenômenos naturais.

6.372 Colocam-se assim diante das leis naturais como diante de algo intangível, como os antigos diante de Deus e do destino.

E ambos Um e nilo tem raxao. Os antigos, entretanto, eram tanto mais claros quanto mais reconheciam um elaro término, enquanto os novo* sistemas devem parece-Io quando tudo estiver explicado.

0 mundo independe de minha vontade.

6-374 Se acontecesse tudo o que desejássemos, lato seria, por assim diser, uma graça do destino, já

que D&O há vinculaçáo lóçica entre vontade e mundo; e. suposta uma vinculaçio ffàca, n i o podemos querèU de novo.

6.375

Havendo sômenle uma necessidade Uçüa, ad há uma impossibilidade lóçica.

6.3751

Que. por exemplo, duas cores estejam concomitan temente no mesmo lugar do campo visual é impossível, e por certo logicamente imposaiveJ, porquanto isto se exclui cm virtude da estrutura lógica da cor.

Consideremos como essa contradição se representa na física. Aproximadamente do seguinte modo: uma partícula n i o pode ao mesmo tempo possuir duas velocidades; quer dizer que ela n i o pode estar concomitantemente cm dois lugares, o que significa que partículas, que eslio em diferentes lugares num mesmo tempo, D&O podem ser idênticas. (É claro que o produto lógico de duas proposições elementares n i o pode ser nem uma lautologia nem uma contradição. A asserç&o de que um ponto d o campo visual tem, ao mesmo tempo, duas cores diferentes é uma contradição.)

6.4

Todas as proposições tem igual valor.

6.41

0 sentido do mundo deve estar fora dele. No mundo tudo é como é e acontece como acontece: ntle nio ha valor — e se houvesse, o valor nao teria valor.

Se houver um valor que tenha valor, então deve permanecer fora de todos os acontecimentos e do ser-peculiar, pois todos os acontecimentos e o ser-peculiar aio ocidentais.

0 que o fax nao-aeidental nao pode estar no mundo pois, no caso contrário, isto seria de novo acidental.

Deve estar fora do mundo.

$.42

Por isso nao pode haver proposições da ética.

Proposições nao podem exprimir nada além.

126

6.421

6.422

É claro que a ética nao se deixa exprimir.

A ética é transcendental. {Ética e eclética sáo um só.)

O primeiro pensamento para estabelecer uma lei ética da forma "tu deves..." consiste em: E o que se daria se eu afio fizesse isso? No entanto, é claro que a ética nada tem a ver com castigo e recompensa no sentido comum. Essa queatfto a res» peito das comeqüincias de uma acao deve ser insignificante. — No mínimo casas conseqüências nao serão acontecimentos. Algo, porém, deve estar correto na ei'!'>c:içào da questão. Por certo deve existir uma espécie de recompensa ética e de castigo ético que devem, todavia, eatar na própria ação.

(Mas também é claro que a recompensa deve ter algo agradável, o castigo, algo desagradável.)

6.423 No que respeita à vontade como portador do que é ético, nada pode ser dito.

A vontade como fenômeno apenas interessa à psicologia.

6.43 Se querer o bem ou querer o mal muda o mundo, isto ao poderá mudar os limites do mundo, nunca os fatos; nunca o que pode ser expresso pela linguagem.

Em íii m.'i, por isso o mundo deve em geral tornar-se outro. Deve, por assim diaer, crescer ou diminuir como um todo.

0 mundo dos felizes é diferente do mondo dos infeliies.

6.431 Também como na morte, o mundo nao se altera mas acaba.

6.4311 A morte náo é acontecimento da vida. Nao se vive a morte.

Se por eternidade nao se entender a duração infinita do tempo mas a atemporalidade, vive eternamente quem vive no presente.

Nossa vida está privada de fim como nosso campo visual, de limite.

137

6.4312

A imortalidade temporal da alma humana, a saber, MU continuar a viver eternamente ainda depola da morte, náo está de maneira alguma assegurada; além do maia. essa assunção nao cumpre nada do que sempre se quis lograr com ela. Algum enigma será resolvido por ter eu continuado a viver eternamente? Nao é a vida eterna tio enigmática como a presente? A soluç&o do enigma da vida no espaço • no tempo reside /ora do espaço e do tempo.

(Nao sâo problemas de ciência natural a serem resolvidos.)

6.432 Como é o mundo 6 perfeitamente indiferente para o que está além. Deus náo se manifesta no mundo.

6.4321 Os fatos fasem todos parte da tarefa mas náo da solução.

6.44 0 que é místico náo é como o mundo é mas Çtu éle seja.

6.45 A intuição do mundo tvb ipecie aeterni é a intuição dele como um todo limitado. É místico o sentimento do mundo como um todo limitado.

6.5 Para uma resposta inexprimiveJ ê inexprimlvel a pergunta, 0 enigma nao existe.

Se uma questão pode ser colocada, poderá também ser respondida.

6-51 0 ceptieismo nao é irrefutável mas patentemente absurdo, quando pretende duvidar onde nlo cabe perguntar.

A dúvida, pois, só existe onde existe uma questão, uma queatáo apenas onde existe uma resposta, e esta somente onde algo pode ter düo.

6.52 Sentimos que, mesmo que tâdas a» posvums questOes cientificas fossem respondidas, nossos problemas vitais náo teriam sido tocados. Sem dúvida, náo cabe maia pergunta alguma, e esta é precisamente a resposta.

13$

6.521

6-522 6.53

6-'3

Observa-ee a solução do* problemas da vida ao desaparecimento desses problemas.

(Eala nao A a rai&o por que os homens, para os quais o sentido da vida ae tomou claro depois de um longo duvidar, nao podem mais diaer em que consiste esse sentido f) Existe com certeza o iodulvel. Isto se mostra, 6 o que é místico.

O método correto em filosofia seria propriamente: nada diier a nao ser o que pode ser dito, isto ó. proposições das ciências naturais — algo, portanto, que nada tem a haver com a filosofia; e «empre que alguém quisesse dizer algo a respeito da metafísica, demonstrar-lhe que nao conferiu deooUcao a certos signos de suas proposições. Par* outrem esse método não seria satisfatório — Cie nao teria o sentimento de que lhe estaríamos ensinando filosofia — mas seria o único método estritamente correto.

Minhas proposições se elucidam do seguinte modo: quem me entende, por fim as reconhecerá absurdas, quando graças a elas — por elas — escalado para além delas. (É preciso por assim d^.:r i-jir fora a escada depois di> (cr -.:<::•. jfaOf Deve-se vencer essas proposições para ver o mundo corretamente.

0 quo nao se pode falar, deve-se calar.

129

NOTAS A T R A D U Ç À O O

— Convém observar que * formulação do Miam» de B » o « i ( t o dai propoaico** 4 matetnalicameal* ínaificienta: náo apura, por eranpao, • prif*s£o 2001, CUJO wntidci DO CUíMW ae apiwoie llnJanile peto cortarão. > — ; > • - : . de coieai: &*Wfciíí, eUmolcceamoBte "«orno aa onãeae •» comportam loiro ai" (d. InlroduçAo, p- 30). TWemo» o midado ii -\ wntolUn por "eald em rclaçio". vinculando áfmr modo ao verbo eatar. RVUELL imUcar* dê WrrTOcmrna a ratpeito d» dtfenoça entre «atado de eoira • filo (fWMoW). A 4 • «njinale; "SatMakaU i o que corresponde à prapoaínlo quando verdadeira. TalioAe, o que componde ao produto lAfiru de propoetooee elementara* quando feee produto é verdadeiro. A ruão pela qual a t n d u n Talaadu anle* de ínlroduiir Safawaa-t o>riia~dana uma locai qpücacao" (Sota/Ira, I, p. 27S). BMeado oeaaa informação. Rraaau.

— no prefacio da &!>•;&<• IngleM (p. V): "OR fato* qna ato ato compoMoe da outroa lato* ( o que o 8r. WiTrorsojraw chame SooWrraoft. aoqo*£io que o lato ooaatituldo por doía ou maâ fato, é cbamado rebaoU. Aasm, po( exemplo, 'SdcraUe « a » W é a W M * também rateara*, enquanto 'Soeralee 6 eibto e PlaUo Io» teu •hao' ê TaOafA» ma> alo flbefcpAeVa Baila, porfni, confrontar a prnpraãplo 5-&571 para MB conieocermoa da f&tádade da interpretação de Rceatu. £ de notar que o problema doe elemento* àmpke da reabdad* eatd aatreilamest* fitado ao problema da* proponeflea •Uemitntama. devendo, portaeto, eer ooloeada juatamenM com a propoaípto Mfc 2.0121 (3) — Merameote-poavrrel: W ^ " * . neolcapeoo que aerve para indicar que a noção de poaeibibdade, em Wrrroxsara», alo ae oucfimde m n a poaobibdade dmreneilfaeda doa lato*.

102SI — Coloridade: Fórbigktii, indicando qoe ato ae trata aimpleamecte da cor, maa da possibilidade de OI objetos — colorido*. n A NaHHH **e a«aa aiajH a awB*n**o de T>*»»«".

131

206 — Realidade: trirMutlt*. a língua ak-ma possai R-liw e Wtrtàitkteil, rala última palavra indicancVi • realidade efnit». O 000a Mato. BO entanto, b u u para Indicar que sentido W t m u x m i H <M a lat* Urmo. d* modo que não foi preciso carregar a trsdoçao com d o a para um diúco significado.

Z l — Figuração: BÜd, spmnr do caráter atiro dt "íguraçio", te na Büd, preferimos (na palavra ao invés do termo neutro Modo «n viWa ter ela a única capai de indicar todos oe manjei do texto skmAo. 33* (3> — O mesmo prefixo ur foi traduzido d i l s r — l — É em t'rWd (proteTifuracao) e UruicÀtn («ano primitivo), e a iam fomoe levados porque uma protofiguraolo é uma parte de um feto que, 10010110 IO ter completado, adquire uma função figurativa, eciquaalo o signo primjliiu * um signo completa, que serve de ponto de partida para a oooatraçao do edifício simbólico.

2.261 — A tradução freqüente deaen itter é "por meio de" (a tradoçao mgWaa emprega a palavra latina rio). Adotamos a trartaçao "por aflore", para nos manter fiel a um texto que dii nn-n—imrl» que a* defctçóe* apenas mostram o caminho cujo alcance vai alem doe membros da expressão definidora. Convém lembrar qoe uma proposição elementar 4 constituída de nomes designando objetos, ligado* una aos ostros corno elos de uma cadeia. Essa possibilidade de vincularão, rnscrita aa própria nslureu do objeto, fai com que o nome nlo doigne um elemento autonono, maa um elemento que M comporta como um ponto sempre prestes sserrairsirif.ro. Desse modo, oe objetos designados peles nomes poeeuem • m u estrutura que a função propcsúckmal no nlvd da linguagem; na profWçao /o, / e o elo igualmente incompletos. Ê por isso que oe 1 da expressão dafinidora designam alem de suas partes «presentes, -ciai, na ctraignaçao, a necessidade de o «ImbJo vincular-s* a e que t •ãtematicament* ocultado pelo processo de notaçio. *W3 — & preciso ter sempre presente que "sbsardo" (weíutp) está alem de toda figuração ruwfvel. Ê absurda, poro, a proposição que d j respeito à estrutura interna da própria figuração ou i nalursia doe falo* como leis, porquanto a figuração afigura a moaira de os objr'.>js formanm os fatos, nunca revelando sua dimensão oototogica- E, porem, desproTÍda de sentido (•inafe*) toda proposição que, feirado parte do •:»ii de afigurar na medida em que nao estabelece ca limites a constituição do sentido (d. «.461).

41X01 — M«urHNi:ii, Frili (18*9-1023), orfTioo e fsUeofo alemão que trabauoa particulannenM na filosofia da Issssssssj sob esrlo*

132

u peaaamento >e aprarima do loridamo de R n e t u . n u «na critica d» tbujiiacem •* onínl» no sentido d« prÍTÍleflar a dimiailo *tl*> lica 4A palavra «a detrimento da diraeruiào propriamente rpBtrojcalfiea4023 Í3) — E 4ii .;-.« Lslo eiíd aatím: "Cod et loji. da» « Mb « vcrhilt'. asa eiptmto liga-»* megivcLmtnle à forma pral da propo»;lo "EJ verhált aích «O and ao" (d. 4.5,', que Ireduibnoe por "ano « l á do w^oinie modo".

Dcremoe notar a referencia k lútuaçào, ao conjunto de eatadoe de coíaaa, tasto no aentodo da exprna&o como no emprego do rabo ncfc 1.0311 — Etla 4 a dnlca cxa-ÍSo era que Büd ato pode aar traduitda pee H—fjfc pob ••**' * indicar um quadro larmado pttf [icuaj vrraa, nprutntudo uma cena. l i — Cf. H u n , TKt Principia of ífeAa»".. Ixad. de D. E> JOOM e J. T. WaDer. Lorukw. Nova York. 1809. A filiação da eartaa I M M 4a Wmoa)a«,T>i9( provenientes do (bifo Ileni foi catoded» por Jamce Gairria, H~i2Iornr-*<iVa Logiaú Alomii, Oxlord Unrraáty Proa, pp. 95 f ara> H t a n de falo coneidera a flaboraçto de ursa teoria Beiça mano a cooetruç&o de um modelo da realidade que lenha coen ela alap em rneaiom. amboa p o l i n d o a mnrna multiplicidadf o manao clmero de ox-rderiartaa 4466 - Coda urúio arbdrárü,: "j*h bfcafcpt Verb-doa«". O Prol. Andret R. Raooro aoe lembrou que "Jede beliebtte" * uma earprcaato' (req)«.t*c*nte awda na linguagem matemática para iodioar -:n qualquer"; e de [ato, a dãrUibulividade do cada oooteriria ia Hnm imíe-i arbitrárias uma forma lógica que parece incompatível com o aaamaal do Uilo, em particular com o que wgue no parágrafo p**terior. No refuto. para oao evitar outra* interpretaçora povdreB. proferimoe tradjii jade por oada e eacrera eata nota.

52531 — Na DoUçto de FacOE, | indica uma variarei era g*ral SASS — O axioms da infinidade de Rrat.ix formula-w da «eguime maneira: ae a for um ndmero eardinal indutivo qualquer, eiBie ao menoa ema dá-a* de indirlduos que tem n elemento*. Numero cardmal indutivo á • adaaero cardíoal visto da óptica de aua geração a pariu* de certoa • ijieaat. dentre oa quaia está o principio de indução firula (ae uma propriedade p pertence a lero e, perUDOFDdo a a fAr poa-dvel demoeatnr que perfans a » + l. então p pertença a todoe oa numeras), praadpn cuia fuaçáo 4 garantir que, para todo o conjunto de numeren. •_— número e aeu aueeior possam, poaauir certas propriedades em comum. Stapoobaraoa um aairerM de «pena* 9 ÍndÍTfduoa; como um DÚmero nfto poda ter maia

133

ir, o auoanot d« 0 aari* 10, um» cia** O ú , qua por ia» igual «o auceator da 10, lambem uma daaaa raaia. Para l>ir«it nii é que *urga o axioma da mfiiúdad*, tarar timio a elaams mrreapondealaa a rada ndmero a. lato pòato. o nibrro <te objatoa do mundo Dfto c um número iaJulito (d. Buaaru, /amaWua fo líoíAímaílio/ Pni/o*opAy, t»j> XII).

?•;•?

GLOSSÁRIO

ebbíUn — àíipxiv AWiUMf — afigan<*o oft*d«ffi» — ietwoQomo, ckçan-

darUrílrn — rrprrwclu Oinf — a/a»

4BfPMatAml — uoÍTcrutVUdr,

f - fca HÍK!.! tfao n r —

ff rir^rtqunff — fraterno

. l i í i n w U ^ i — IUíBI do argumento

r«ü (Ww da r d m -

OK/IHUIS — edbír

B qw

MMM .

n » » ' f tin — *ountiar Bntmt—< — <knot>(Ao h h M | * i — Mm rimoUcfcr l d w < f W Í — dreotativo Brfi/t — iraceilo Rtçnffmfknf. — idVOfnfU BtgrlIfmaU — pakvrk-conittito Bfridi — •copo BMIMAMJ — puta coMiiiuinw iwMtoi - tabMÚt

'

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Peitem, — d-f .-.V tardem — poMulu F/*Jtru*ç — portultdc Oalanfci — peoMmeatD Grfiift — can*lruc*o Orpaulauf — objeto

;":.'."V'i — n • • •' - tfurfiitbUilgfcri/ — coiíorrx~4*d*

kU (Waul* — cnnat GJOCAJIII — ní :iul>-

/Con/iíkfailon — coafifcraolo Büí-ficuraçio — fipu»ÜTÍd»do

UanalfíaUtektil — maltipticidftd* ilckmai — m i n i cv*ct«riitM*

155

TaifVhe — fato .VKMHü — nio-propuocio

Okjttí - objeto O* — lugar — falar — •ária

— •ilusão .S*í*««Mü — « u d o da ffliíw H«n — ilixer Sm — proportcio

SdMnttmt — fãpM propoaícioüal Sair i w GV—rf< — principio de r u k tuíir*nU> &*—»«y — iparfnela • o U i w — inferir, ronduir SikUm — tnfarfaci», coodualo — autônomo - teBtido — vario d* «enlido — >ijrr;if :<ativo — str-peculiar — etpelhar — poaipfto, locaJíiaçao

136

fmjanff.pró:** — hE^u^em oocrenl» (SnuCoad — ârraaataaáa fnrfínf — dupar»'.* unHpbor — mdútrtt l'"ii«" — absurdo [•) unjinni? —

•bfjrdo

Vri*U — praua-tpntto í/rtrli — julio 6'ri«kA«q — BíCDO prênlliTo *r»oii« (ndt) —/alar tm ralação, ralar, relacionar M io"jUndi« — oompleto ronUIlm — prrweur Z—ihm — «pio Zeiehfupraekt — ( ' f a ç n i irnbfiUca mfallm — molvar awgtálm - deaneabrar iilípro — dividir Zu/alZ — aádente Z U MwvnAanf — apartada, ro-

ÍNDICE REMISSIVQ

• propOM(Ora lóül" na o*" • i o , 4.4611

(üa***) t de. 5.5303,5A351 12 ei de jol«ar, 5.5432 A I í í M I I , na Wtif» nada *. 2.012 ATIfuracAo. •Acra do. 4.015 [Hr U a M n : Forma de aíiíuraç*» A f i r a a < i o . p<a«ui propriedade lãCK» de. 6.231 (I) Alfabete, prarém •li, 4.16 <3) A l a u , SA431 (ter também: Saje.to Ar=il*r_d«<(-. no r:Ti'ir.'ij.i <J» p a j i r » "propriedede" « oatraa, 4.123 (3) "AD«b«lo",propoeicío c o m p i l a , 4.033 i.2.i Analiae de piopoaloSea, 3.0301.

M M , 3.25, 4.231 (1) A n d a à a e . Ufcico. 3.12 (31.4.033

rcometrla é, 6.35 (1)_ ialuipAea. p õ o d p k » dralOtOM como. 6 34 nenhuma parta d a upcriéOòa *, 5.634 o d a lúçira rooaiat* em, 5.4731 piínibilIdade de nma forma 16íica como. 6.33 teiapr* •* revrla COSO alfO puramente l o f k o , 63211 toda dndoeao «. 5.133 \ ri,iiu'iili-

lugar e unirtraalidade. 1.04U (3) uma fiincio a t o pode ear M U próprio. 8 2 3 3 (11 \rguniciili— de Tcrdad*. pcopoaipòc* rlemeetarea a t o . 5 0 1 c dedutibtlidade, 5.12* (1) n i o pode dar cm ai «tido. 4.064 Axioroa d a r o f u U b i l t a a d e , 8.1232. 6.1233

(«.6.124 Aplicar*», MaWatM daCaãda, 5.2521 (1) eqÒTalBDte a "e a t a i » 1282}

por

dai propriedade» Lftpcaa do almbolo. 6-12» (1) Dloéumciperimeclo. 6.2331 (2) C a m p o aberta, de&mdo, 4.463

c n i í t o de sai peDaamento, 3.04 K. K

Caráter própria.

O» • • • l e u « a t n paiOouaw nlmim

•

asa ;*raar>lia.

! • > Isdtw lei ocaaBliaJa t-x Al \*U) R. Mm a> -Ik.»o knilMa. (labarado B— w Ma) BaM

337

C — J M » lal de « D O limite do drarritival, 4 forma de uma leí. 0.32. 0.331, r-<i> hi neio cauaal, 1136, 3.1301 (3) Cea*kten>o, fl.51 (1) como caao-Umite da probabilidade. 5.152 |3. da ecrdade uutolofsca. 4.404 (1) opoata 1 poaaibilMlade e impe» •büidade. 4.464 (3) Oenciae na tarai. néo ladoem a flloaofla. 4111 MD a totalidade dai piopcoiçAcn letdadeiraa. 4.11 Ciarem: todo poda acr penaado c dito claramente, 4.110 teoria daa ~ua para a matemática, 6-OSl (1) (aer; Objeto») "C—.a*exo". coaceito formal. i :_•?-• :. s •Obre. ato dWilfvria. por aua descrição. 3.24 (2: • definição, 334 (41 prtMpcad de. 5JM23 (l) fMprâtcOei que tratam de. em relacio interna com ai que tratam daa partea eonatlf a « i a , 3.34 (1) de oomea. 4.243 de pcopoaieoce. 4 02. 4.024 de raxeoaçoea uaivaraaia. deprode da de propoaícflea eleaaaotarw. 4.411 dr arrdoimoa. 4.243 de Iodai propoaicoM, depende •li de propoãcoea eletaentaraa, 4.411

133

Con«4to formal

PL.IT». ídála prialtara, 4.13721 definido, 4.12« (1) exemplos de. 4.1172 (7. 8) eipreaao por varilnia, 4.126 ( $ .

4.127 marcai caracterLatiiaa do, 4.120 (6,7) oposto a cooorHo autêntico, 4.136 (3) i,u<*toca aobre enartncia de, 4.137 sempre dado cora e objeto com o qual é aplicado, 4.13771 CoodieSee de mrabcle de proposições, e possibilidade de verdade de eleroentarea, 441 exprimidas, 4.443 (4) grupos de. podem aer ordenados am série, 4-44 relação daa, cora aa pcaaibilidadea de v-iík>. 4-431 (1) simbolrimo para. 4-43 Confiaiiracao de obietoa, 2.0373.

3.21 (ter também; Estralara) Conatantei eipreaaao «orno, 3-312 (S) Constante-V léateafa) acenos uma delas, S.47 (4),

Ml

dcaaporeQmrnte de. 5.441 nada substituem, 4.0312 (2| ulo há peohorna, 5.4 Construção, lópra. 4014 (2).

5.45. 5.5262 Contradição ser também: Netaso-ümití da nato de signos, 4.466 (O definida. 4.46 (43 é algo comum is proposições, 6.143 nlo é figuração da realidade, 4.463 (1) Coordenada* loaáraa, determinam o lugar lôfiro, 3.41

Cor

eetrmota loflca d*. 6.37&I (1> forca doa obj-fca, 2.0251 da t i e í l p n í * ^ d o á p a i m pira e doe obirtoe. 3.21 • M objeto* • elemento* da fifwtfao, 213 Itnlutlo. * a prwrí, .'..111 IWuUbiatdade • t—Iludo relativo. 5.14 - e-trwtw*, 5.13 e Idtctadadr. 5.141 e obrvdad*, 5.1303 era Trltçto c-nn a* formai da* rmofiçor*, iluatrada, 5.1311 íl)

(U

«ano dramembruRentc, 336 cimo regra para tradução, 3.343 da ricaiio de etmbolõ* d» um «mpVio, 3-24 (4) de "laCiar tompIcU" (da propeaiolo', 3.201 da -*F*íc*plo ancreáva", 52521 <» de "ca-apo aberto". 4.463 de "reaeeilo formal", 4.126 (1) d* "ecattndicto'-. 4.46 (4) de "eatratara" (do ratado de de -eiprtaMo". 3 31 (I) de -ficoneto W»k*", 2.181 de lera*". 2.033 de formada aíiiuraçto''. 2.151 de 'IcriBi de om objeto*", 20141 de ImdamíBbai de verdade", 5101 (2) de 1oa;ar lógko". 3-*' de "ardida de probabilidade", 4-15 de "secarão" (DO aentido de B*t*f*o «multanca), 5.6 (2) da "»aa»e", 3.302 da - W - m - , 6.022 (2)

d* nFjrorrca, 6.02 de "operaoto", 5.23 de "oparaçata de verdade".

5.234 de "poanbilkdadra de verdade".

4.3 de "pnaxeijOe Iodepradeal*»", 5.152 ST de "*4rie lormal", 4.1252 (1) de "aino", 8-82 de "aifno propoBctreal". 3.12 de "aigno kimplra". 3301 de "NceaMr", 4.1253 (4J da "Uutolraju", 4.46 (43 de "traço". 4.1221 da "rariircl 3.313 (3) a raouraoa d* 4 242

regrai para, 5.451 (2) aigailicaçâo da, 4341 <3) Uenotarlo de «iiiwa primitivo*. 33*3 d o nomea. 3 3 Dearriclo

da realidade por orna propoaiolo. *023 f2) de eipreaa&ea, 333 d* propoaicoea. 3317 (2) de aituaoSr», 3.144 de um e*t*4o de tnima por ama propoalçao. 4.023 (3) de om objbto, 4 . 0 a (4) do ci-iopleio, 3.24 CS do iir.iY.-r»:;, 6341 DcaerieSea, «iatem* de. 6341 Dealanaflo. nHoio» da. 3323 DeatlDo, e o* antiam «333 (1) Dene, 6.432. ê_JT2 (I) IMaer por propoagçboa, 4.022 (3) pcaeibilidad,. de não, o cor nio peraw. 541 (4) "Ê", aentido de. 3.323 KlLKÍdaSío doe -oa,3.2C3

H

Equ^fe. como «ipnmiodo o csrater •abWuiuvo. 6.24 (2) a t o 4 o e w a t i a pata exprimir u n . decotafAo, 6.23*2 (2) rtifJa um poclo do rieta. 6.2323 Eqülproh.bili.ia.lf. :. l.-l

(3)

relação coco a peopoalcâo elemcDlar. 4.31. 4 3 5 relação com o Tato. 3 alo ligacoe* de objetos, 3.01, 2.03 alo mutuamente laoepeadeati-»,

2.061. 3.082, 4-Í7 (3) E i M t k * , *tka e. 6.431

• o , 6.361)1 «jurai (ixniíiricM a t o podem eaMradiier leia do, 3.1)32 forata doa o b j e t a . 2.0251 tófi» (NT: Rrpaço lógico) o b j e t o w p i f i a u derem « U i ao. 2.0131 (1) objetca eapaaaia a l o impoaróT«M for> do, 2.0121 (4) eisetria DO, 6 3811 (3!

• í t a p o : -ritual. 2.0131 (3) l u p m ttffieo <r«r também: Lu(«r lápco) I/í(--Sí.-í..I r-prewnu o lituaç t o DO, 2.11. 2.2112 cada caíra e*ta num. 3-013 dado por toda piopcaijio, 3 1-' (1) * o -t-ji.il-.. 1.13 fato-* ao, 1.13 rojar no, determinado prl* propo-Hcao, 3.4 d* alicaraçao. 4.016 da - . , iirauridade, 4.013 de propcaaoftM, 3.341, t.027, 4.03. 4.0W. 4.6 13). 6.471 d o B-KAUK 5.4711 do embolo, 3-341 (2). 3.343.

U M e f o n a proptalciODal rcral, 5.471 • notaçlo, 3.342 E a t a d o V de colaaa « • • M I í B I I de.

4.27

{Sochr^^í, (1)

een-Wor» do, 2.032 pc—Ibflidade dã ocorrtocia da* coiaai em. 2.0121 (2) poaafaibdade do, 2.013, 3.0124 poaatrrl infioilude do. 4.2211 reUcao íom a propoeiçti., 4.1

240

(3}

Eetrututa conoxao da. ram operação, 5.32 de ratado de cobaf, 2 032. 2.034 d« ((furacão, 3-15 (2) de propoa>o6e«, t eVdocao. 6.13 de propo-cçora. ajaaiAn relator* interna*. 5 ] e íonne, 2.033 c proprie4ade ialrrna, 4.122 (2) propriedadea d», e tantolofia.

6.12 ( » ttl»íO" lófitaa moatr»daa pela.

4.1211 (3) Eternidade, 6.4311 É t k a . 6.421. 6.433 Eu. o aao-roieolícieo, 5.641 ETIOFOCU pr&prla [-r UmMm: Obrio) de pTopoaifOM •atur-atirai.

6.2341 descartada na l & p » , S.4T31 Dto 4 erHérío de peopoaiiC*" lógica*, 6.1271 EalaUocU de eaUdca «V coieaa, 1 1 1 . 4.1 de lugar trtgWo, 3.4 Expoente, de uma operação, 6.31 Eaprciaalo (irpraalai) a propoBçao 4 uvaa fuatao dat, 3.31S dríialcao d o U r a » . 3.31 (1) rep-ietnlada por u s a r a n a i - L 3.313 (1) tom dcooiacao apeaai propciçao. 3 3 1 4 (1) "Falo",

um co-aceito

4.1272 (7.

lorota].

Fatoía! lT*melm) Mr também; Situaooee e talado» de coúaa) e fifme&ea, 3-1. 2 1 1 « d M K U de. 2 comporm o mundo. l . | . 1.2 IDdepefideBda mútua dá, 1 3 1 nejaüTo. 3.06 (2) o m m d o H n e d r e noa, 1.3 r-qtttridoa para exprimir um •ratodo. 3.143 totabdade doa. 1.11

nao eata em relação eapecial «•ia a prioülocia, 4.1121 (1) perigo dn eoOÍuato com p*colocU, 4 ÍIÜ (31 repreeent* o dàatreJ, 4.115 rtaolU e m íomenlark., 4 1 1 2

F i g u r a d o iJtfuroçOmj (onstr-_Wa por noa. 3.1 * «[*ço leito. 111 enlaçada c a n * realidade, J . l i l .

3.1511. 2 3 0 1 . 3 3 1 forma da ri^i M ntaplo de, 2.16 Incluem forma aíiruranle, 2.1513

valor de queetaee tobre pcopddto d o aimboIlaBfto *m,

lua

•:•-. 2.181

Í.3 propoatçoea enquanto, « 0 3 (31 wDEBSa i verdadeira a priori, 2.234. 2 1 2 5 p — i t t M a d e de, requer •ube20311. 20312 i como, da real idade, 4.031 propoieOaa ato, 4.013 repiiainta ata n o tido, 2 2 2 1 • ( o crfipTadae fora a realidale. 2 2 3 3 • t o íav*. 2 1 4 , 2 1 4 1 ato modelo* da realidade, 3.12, 4.01 U m fcr=a d* reprraenla^io em " m a a o a realidade, 2 1 6 , 3.171 FUaeoOa delimita a a é n n i natural, 4.113 delimita o peaeávej. 4.114 * a teoria de Damwof, 4.1123 t cheia d» eorJaaoet, 3.324 * i ^ i aüvidade, c i o uma te-ria, 4.112 (3) geralmente cúDatale em propo• ç o M abeordae. 4.003 impcrUncla da pueaibi lidado MD, 3.3431 método correto da, 6.53 o i o 4 atagia natural, 4.111

MU ..•.'•'.. é O

S

i™ de p f w u M M a , 4.112

torna pr»po*>coee euraa, 4.113

W

8.211 Forma>

(1) (MT lambem; Poaãbi-

da ali|Uracto. defini (ao da, 2 1 5 1 enbida. 2.172 f u n d o da. na 'ifUfaoio, 2.22 d a realidade. 3.18 d o etpreaaOe*, 3-31 (49 r-araeteriiada pela pcembüidade de (uhMiM^lo, 6.33 (3) do (UDOON, 3.333 (2) de objeto», «.0141. 2 0233, 2.0251 de propoaieO-a. 3 3 1 1 de uma rrnn" h, i 4.063 de Talorv* d* uma variarei, 41?71 (SJd o mundo oo°eiate ' B objetoa, 2032-3 • poanbilidade de eatrwtnra.

2033 o aabeUnOa, 2 0 0 5 teral d a propaáolo, • operaVee* de verdade, SM e uma variável, 4 3 da» peüpofcçaea. 4-5, 5.47 , 2.18 ."• timbém: Prctofifuraote) de propoE.-ora, 4.0031 determinada por trn *if, 3.327 e variável, 8 3 1 5 o i o pode • * ' repnerotada Da proponote, 4.12,4-121 (1) n l o ar lb*a pode atnouir peoprledadM. 4.1241

E

141

Fona* aflaurante, pertaD» & njur^io. 2.1513 Formal, igualado com lógico,

»ii (0

t m o u loffíraa a<o muincricar.

U) Feea». 3.143. 3.318, 3325, 4 . 0 » (1). 4.1375 («,4.1273. 4.4431, WO (3). 6.133 (4). 6.43.

6.451. 6-473» (1), 5.531, 6.1271. 6332 (1> r » q l * n . U . d* ororftocia de laioa. 5-154 (1) dtebMa d* operação. 6.25 (3) • M g e i {Io. 5.47 (3) •4o pode *pr e s« a uf conceito» íormaie. 4.138 (4) n*o pode eer iru próprio argumento. i.338. 5.351 f«H«Bi^lii rlomrotiLr A uma, d* M M 424 (31 proponçio é ama, de eiprra-'•*. 3-318 ;.••,• V, ,(, , « d a d c de dOM vwidveM, 6.101 (1) * eperaçAea de verdade, 8 3 O.» ! « • f"*1 * , 6 (1) tf-—iuoio do ttrmo, 5 •Ac ato tuacOea malertak, 5.4*

(D

Geometria, Como a «rtrrl, 6.35

(D

Cramitk* loa*», 3 325 (1) •r<r lambem: Stnta>e lógica) HerU, 4.04 (3). «361 Idealiataa, aua eipheaçao da. vialo daa retaçora «panai», 4.0412 Idelu primitiraa. coareiloa lotmaia como, 4 17721 Identidade critica à deíloijio de R t a n u . de. 5.5302 dn signo» 0>iK*alJra. 3-203 eiprramto de. 553. 5531. 5532, 55321 nlo 6 urna prcçiríniade, 5.473

CD ralo é uma relação mire ob^cue, 53301 (l> nlo M afirma. 6-2333 aigno de, ato 4 parte — # d , 5.533.

6.233 CO •eu acttldo. 4341 (2) Igualdade, arntido do aigao de.

«38 (I) Imortalidade, 6.4312 (1) lodependrorta. de drfinlçto de, 5.153 'D índice (de um Boate)

5.15. 6.161 dafiaaçao de. 6.101 (3) e dedução. M l . 5.12, 5.121

5 0 2 (31 eipoatçao de, 502 Indixlrel, <•. e (ikaofu, 4.115 InduçSo como aceitação da ki maia •mplea. 6.363 tem aproM lusdamenio pakologieo. 63631 (1) Indução, lei da nlo í a poon', 631 Dlo 6 uma lei lopc*. 631

Fatura, dracoohecinierito do, 5 1361 (1). 5.1362 (1)

Inierenda "te- de-, atmatabdo, 5.133 (4)

aolaçoee para, 33441 podem aer ordenada» fia acrii*.

5-1 (1> rreulla da aplicaçío luccauva da negação. 6.5 (1) ato reanltadca de operapf—, Í2J* de

verdade

da probabilidade,

143

Lr. d. . ( I r . m í n i m a . 63211 Lei f o r o u l . raijuiuito detormi nnado aíriea formai», 5.501

(«

L*i» da o a l n r e n , n l o eaclarecem i* ! n j = f n « naturaia, 6.371 Lei» f t » n n , refercm-ee a objctca d o BDDdo, 6 3 4 3 1 L r a i . d * O c a m , 3.32S, 5.17321

(D Liberdade d l . o n f l e , 5.130= (1) l i n g u a g e m rer também: Lin(ungem corrente) " a v i a da". «.0031 é a L -A: iade <í.M propceltüee, 4.001 fornece intmcto, 6.233 limitea d> minha. 5.8 lúficad»,4.003 (3), 4.033 ffi Iradopio da. 3.343 veda o per—muTn, 4.003 {1 t f c — | — eoloquiaJ (MT: U D guagem corrente) l->mu*gea e s m o l e • • • f c M I t M i da, 3-323 i v r m d i d r de atordoa comp l e x o , 4 0 0 3 (5) Ha KtipbíBd» e m o o orgam a s o bamano, 4.003 (3) perfeitamente •rrl^a,.],,,

HM UM

l<6gioa te- também: Propoaicora aptantolo da, 5.5521. 5.557 cada propcaçao da, e m a própria prova. 6.1205 c*íeuk> -an. 6.121 (1) d a i parla* cocarUtaÍDtca, caraeterutadn peta taubdogia, 6.12 de fali*, e l o pode ser loÜa. 4.0312 (2) * a M r i 5.4541 (2).

'3.SM (U * figuração apecular do 0 1 1 (I) « m e o l s i o , 6 3»2 c truavaadraUl. 6.13

aubati5.4731, mundo, (3)

igualada a formal. impnaaihil idade de mondo na. 3.61 imponibllidadc de que contrarie a, fi.4731

6 1 3 (1) d-aerrrer O (31 penam algo 3.03, 3 ( 3 2 .

• n v r a t i ( M a t ii>, r * - t

l-:-M.

«uTu irreleraaria do roíaüamo e dualiamo paia a. 4.133 (2) leia da. n l o d g p w d i m de outra* leia, 6.133 (1) "mModo-Duki" na, 6 1 3 1 [3) nada 4 acidental na, 3.013 n l o £ c i t a d a natural. 6 1 1 1 n l o h l clateafiraoio na, 6 4 M (1) Dlo b l número* na. 5 453 (2) n l o há rxopoaicoM denradM -na, «.137 (1) n l o h* aurptÃM* na. 61331 n l o pode ultfapaaani oa Ia—'lin d o mondo, 5.61 (31 n l o podemoa errar na, 5.473 (3) ocupaolo da, ooan pfaWbTiiadee, 3.0121 (3), 5 3 » (3) papeJ da pc*4uUoto na, 61223 porque foi chamada teoria daa forma*. 61224 pMaibllidadc ;-.!. 5.473 (3) precede qualquer e<perítacú, 5.553 12: principie» da. a t a n f a m « arbitrário, 61371 probletoae de, ato coacreioa, 5.5563 .2, prooeaao e resultado eqmralentea na. 6.1201 propouobc* da, nada diatm, 6 4 3 (3) prova na. 6 1 3 6 (3-fc, 6.1263 rtcuraoa em. 5.452, 6311 •implicidade da. 64541 •um prepoaipa™ ato laoiokasaa, 6 1 , 0.23 Ioda filoMBa da, 6 1 1 3 toda qoeatio deridiTel pela, deve tem roaia deiiar-e» o V 1-J.íir. 6 5 6 1 (1) tudo abrange r lajeflia o mundo, 6 6 1 1 tudo 4 acidente fora da, 6 3

U3

fromatrico, e poaobililaako {MT também: EeH© Mfc-ico) i determina o, 4.0HL «C*o determina ip^Eu

-.=. »*a (» wtanlo do. mm NIDO ptopceitãcoal • coordenadaa Imitai, 3.11 M i - A n i t a a aaquerda, prokantiano da, 6.3«1U Milnnitka

« OB método lúfioo, 6.2 (1), 6J234 D*, lugar da, 6.233 da «. trabalhar com eqtatfle», 8.3341 c4afcdimJTwalidadn acidental •a, 6.031 •;;.

DAO tem mmãaidadt da teoria daa d a n , 6.031 (1) F*op«aito*. da, a lAflra do mundo, ate (ipnmcm prraajn»»'.'.«, 6.31 ato equacora. 6.2 (2) lodaa ato coDiprrendida* de per ai, 6.2341 .•jliiaJai ca Iníprfccia, 6.211 proTM em, etgnHieado da*. àaiea método de «ubetituiçío.

O * (1) ,441031

da, «-3*3 i da, com a loaIra, 6-342 •oa •«wraJidade, 6Í432 Mattafca H w U a l a u , 6.341.

4342 (2) "Míiodo-oul..". em lógica, 6.121 (3) O. 5.63 o, 6.44, 6.43, 6.322 dinamlcoe, 4.04 (2)

1U

.Wocfua fwwna. 6 1264 (2) Morte 4.431. - -.:: Moetrar

» fora». K^,™. 4.121 (4) a Doirenalidad*. S.1SU (3) de operaçaet, 534 (1) da anuído, 4.(02 eidiri o «tateei, 4.1313 KHTüfJi* de, 4.1211. 6.12, 6.1301, 6.127 (2). 6J6 (2) lóftira do mondo, 6-22 o indiUrel, 6.522 o que o conceito formal abiange.

4.126 (3) o qoe dli, por propaaiçilij.

4.461 (1) o q«e oo aolipatemo 4 correto, 3.62 (2) PC* «tratara. 4.1211 (2) por taut-Joaiai • contradiçor», «46» (1) que " proprwdadca Internai •"Ninem. 4133 (4) qoe o mundo 4 tneo mundo, &62 (3) que uma prorxeãçao •aftM de ootru. 4-1211 (21 requerido pela (erma da aíijui*ofr>. 2.172 Multiplicidade e nanam da d<«KQ-a, 5.475 .• abnbolo de rnitJ pi icid »•!<•, 4.0111 (3) Dao pula ar» aficorada, I 041 o meamo na propcaieao • na aitiaxcfto reteaatatada, 4.04 Mundo, » u ru aou. 3Q3 Umilee do, 5.62

3

."I unn«

completamente Jnerilo pela t-4aJidade daa propoeieiV' elemeotana <*rdadeiraa, 4.26 coneiao do, «aa propoati^M •of>»a, 6.124 f a totalidade de (atoa. olo dal (.UM*. 1.1

« a '-"» ratado) da eoime, UM € A ^~di fomiAfa uma unid^dfi 8.621 e o eapeco lógico. 1.13 • o que o w m , 1 1do. melada pela poaaí" ,3-3421 * toda r*a3dede. 2.063 InocpendetMe de minha vontade, 6 373. 6-374 informação «íhff. <Ud» peU «tmplicidede de deecricâo, 6J42 (2) 4 * 5 . 6 1 (1) i do. mostrada em tautolotia - - . í ; ' - I . 6.22

objeto». r*o rua labatAncJa, 2.021 ca DOOU ala ito pocniearkJ

para t cbeerifio do, 5.538 o sujeito nlo pertence «o. 5.633 P>BfWidÉllL« lógica» do. 6.1?, 6.124 "•laçio projetiva de eignor propeaMêoaia com o. 3.12 reeolrT-ee em fator. 12 eentido do, 6.41 (1) tu» forma cooaiMe era objeto», 2.033 •peru* lógica. 6.37 atravea do que é comam a lodo» atmboloa de negacio,

siia cs como deíeraúnando o lugar !oiieo, 4.0641 * uma operação, 5 23-11 (2) iDlroduiida. 5.5 12) inrerv o a-otido, 5.2341 (3) pmaOálidad. da. antecipada Da afirmação, 5.44 (3) requer epeaae orna definição, 6.451 irimboriançao da, 3.502 •ua oeorrettcia nao caraoMriia o atabdo. 4.0621 (2) Nrcatae, aijxo de nada «orreapocidc roali,44621

nlo ae refere a um objeto. 5.44 Nonaefe) apenaa tém denotado no ronterto da propcmjao, 3-3 oomo ocorrem :• ••' [ " ; ' ;••?, 4.23 índio» de, 5-02 (1) nlo podem exprimir aeaUdo. 3.142 nlo podem eer definido», 3.261

0)

aio poeauem mcu-mçlo eaaccr rial. 3-3411 nau aio anal>BÍv>ii. 3 26 o "aateBlioo", 8.S411 parecem pontea, 3.144 [21 propoalcao elementar 4 «ma oonexio de, 4.22 aio dJepeoeivcie para deeerever o mundo, 5.528 ato rámbolo* aimplea. * 24 (I) aio aifDoa prtn itivoa, 3 26 ato aÍRa» aimplea. 3 202 variável, 3.314 (2) Notação (ter também: Ueerua. twn) arbitrariedade da, 3.342 caaèoeiB da, 3.3*2 Número

oooowto de. 6.022 ooocoito de igualdade de. 6 022 (3) forma geral de. 6-023 (1). 4.«i "Número", um coDoaito formal, 4.1273 (7, 8) Número* como expoente» de operação.

6.021 oVfinipVa de. 6.02 ordenados por ralação interna.

4.1262 Ô) O que ocorre (Boa dar f a l tal) e mundo, 1 4 O eubaurÜJ doa * tubeUncia, 2.024 ijuaíado ao fato, 2

345

ô a - i e , • dedaclo. 513*3 "Objeto", nm paeudccooceito, 4-1Í72 0 ) oonfi* oração de, 321 delrminam ca limites d» loilidade empírica, 55561 (1> ' absurdo falar de toa «-ii<teeda. 4.1372 (5) c absurdo falar d* *eu número.

4.1272 ( « < •. »,t.,:,.i 3 .!- r 3.014 («nu da. 2.0141 independência de. 2.0123 IMW» eaxaeterfaüe» doa, nlo

•áo mostrada* por «imitar» • dade doa aitoo*. 3.333 aÂo podam «rr fDufuiadoi, 3.231 H o Km «0r, 3.0232 oeorrtoáa »m estadm dn coiaa* da. 3.013, 3.0133 podem apenas »*r nomeado*, 1331 poa*bilídade de eooexio do». com rutra objeto*, 3.0121 (4) poaareel infJniuide de. 4.2311 •to a forma fixa do inundo.

2.023. 2.020 elo denotado* por nome*, 3.203, Mi ato «mplea, 2.03 •to •abatlncia do mundo, 2.021 *e dado*. Iodai elo dadoe, 1S24 (I) "Ob)etos Ínfima", nlo enatem.

4441. 5 4 -Ikuloe eapadaia". 4.0412 Operado • '-:.''• aplieaoto inceaaíva de, 5252). base da, 5 21. 534 13), 5.35 (S, 5-251 ceajado com estrutura, 5.32, 6.002 defraioto de, 5.33 deprede de propriedade* formais, 5.231 dxrünU da* funçOe*. 5.25 (3) •xemptoi da, 5.2341 (3) •ipoente de, 6.021

146

moatrada numa rariais]. 5.24

(D

nada »*aertam. 5 3 * (3) oáo ato raboocs. 5.42 (II •úmero de, iaair** depcbde apenaa de aoaaa nota«oT 5.474 pode anular o efeito, 5.353 5.254 rraliuceo de, calo rar*cte<ii* O sentido. S i l 0 ) multado de, pode arr *ua própria base, 5251 tic PIB de, ato pontuaçôee. 5.4*11 toma npre—* a diferença da formas, 5.34 CS. 4341 Opcncãta itrdsdi definição da, 5334 c função de verdade. 5 3 (3,3) Pais iras, nlo podem ocorrer aimuJUnranwnt* aaa a fora daa propoairOea. 2.0133 Parado» de Ruaaefl, 3.333 (4) Par* meara, «a» importância, 5.461 I' ll»Jl!l. !. t • • a prwri, enlerio de, 3.04 corno figuração lógica, 3 conto método de projefáo, J [ | (2) f€ltl%éttl

pCanWtatiaKljBal^ d & St lUtV"

cio, 3.03 (O ê apHcado a aif*5 propoaicúnal, 3.5 t a plopisiplo SfnJic&livt, 4 eiprraao em propoaitoea, 3.3

eiprfsto por igaoi. 3.1 forma do, 4.003 <4) vedndo pela linguajem. 4.002

(«

Penaáret (jaaajartl) apenaa conexo— conforme* com a lei ato, 6361 6 delimitado pela filosofia, 4.114 í H f ã á n t 3-001 ( poaafrsl. 3.K

2.0122-3 d* «MXBodaiMMM, 2.0121 (4) de ettrutsra 6 forro». 2.033 d* projeção. 3.13 (2) de prcpatcflea, 4.0312 (1) de M u f A « , 2.01*. 2.202. 2.203 o p m e a l o d e . 5 525 (2) de modo d« detijnaj. 3.3*21 e c * i - i da mundo, 3.3421 e eeiado dt M M 2.012. 2.012* • forma de «figuração. 2.151 e tudo que predaa aer tfadu. rido. 4.023 (1) Prop o ri; I • •"pnpanfOee) •BÚkte de, 3.201, 3.25, 4 . 2 2 | (1) i p i c i » todo eapaco IORíOV 3.42 O) cada, determina um l u c u 16. «ko.3.43 caafiiuraçoea de objeUa, como íuacoea de eipreeaoea.

331S como modeloa da realidade. 4.01

in-dicaolo de val&rca de verdade daa, descrera o mundo. 4 J » logicamente i n.l-p-ndaB4*a, 5.134 • a o pode eottUadiaer csnraa proposições «leaarcUTss, 4-211 DAO podem aei indicadas a prior.', 5.5571 puro» fundamento! lógicos para aeu aar. 5iSfiJ rrlacáo da, com eatadoa de coaae, 4 5 1 . *.2i relação dai, ooaa pcaabtUdadee de Trrdada de oot r u proposlçcJas. I I relação da*, com taatofcgía e coetradtplo, 83731 (3) aâo aríumeatos de rerdade da pmpoBpio. 5.0! ar dadas, todas )a ato dadas.

5.524 (2) •imbolitaçao de. 4 - 4 (3, 3) e pi-BÍblBdadea de rerdade da

propoaiçora '> — -:.-•_—— 4.4 da per

12) Completamente univrrealiiadaâ S.S26 (I) rompmoeao d e . 4.024 conteúdo da, 3.13 (4) de tr i s i reparo lógico, que ( da*> por ela, 3.42 <1) dii como, aao o que uma oaUa '«lemes tarte] deiiado pelai. 5.5263 de, n l o pode aer dada, 5.53 (2) conceito de. 5.555 (1) coatjuá-ee de nomea. 4.22.

1 3 4 {21 « c e t f e W-laa operaçoea lo« * • « . 3 « <2> frrtB i • de, nau há hierarquia * . 5 V* formas possíveis de. 5.55 IraporUccia d e . para enteoder ootma modo» de propo.

•çBea, 4.411

forma aparente mente láctea das, 4.0031 (orma (arai de. 5.47 (S) forma mala geral daa, 4-5. S formas de. da psicologia- 5-541.

3.542 lígica* 1*ar: Prop-sicfies 16mostra o que dia. 4.401 (1) mostra aeu sentido, 4.022 n l o poda adquirir ataádo por •saerçáo. 1.064 Dlo pode afirmar aos. própria ferdade, 4 * 4 2 (3) Dlo pode aaaertar Dada aJbre ai mesma, 3 3 3 2 nao pode representar (orou 16gtee, 4.13 (1), 4 121 içao da. 4.0041 a Boroea subantaesn oa obietoa, 3.22 nem provável nem improvável e m ai mesma, 5.153

Z

147

d* ptaaibilidadea d » de eontardlmi». com pceeibibdacei d* vnrdadc de ptopoi aieãneBlarea, 4.42. 4.45

tem propofcíom É à — t — eo, nto UlbmeDtot de Tcraad»

d e. 5.513 (3) • « • * 4 w m u o », U<alr*fio d*, J.513 (I) g W t l n ditem. 4.022 (2) pareces flechae, 3.144 <2J p e n a i apeaai de ' U m " ou 1 * o " par» í i i w a realidade, 4.038 (U pn—upcaigBea d e . õ 5151 (8) primiorai 1-prindpic»"), 5.43

U m toda* igoal n l o r , 0.4 t t a valor de verdade auaodo •4o fifuracfiw d a nalidaoV. 4.00 t r a p * aOdeotaii de. 3.34 Uaçoi neroeiMi de. 3.34 rropoiicAri anaBtif—. u pn>poaiçoea d a lApoa ato, 6.11

T-

feto». 4 J H I

0) ptcHitdlfcjHtM. DAO poauicm objeto «pc.-iil. 5.1811 relato de, mm I í I D O propostdoeal, 3.12 i l o i - ^ ^ J I l l (2).3.251.

tm o)

dada. 4 J * o n a(2).RBJÍMo rtcc-tfm* 4.033 553*1 (1) •4o deecricí™ de um citado d . ™ - . 4. 0 3 (3) 3.31 (2) •Ao n p f f n de aua eeodiflo de i w d a d e , 4.431 (2.

• 4 o GpmçOea d a realidade, 4-031 •ao fuaçOra de rerdade. de prepoaifoea elemeoUrea, 5 (1) •4o

[terriliiaçofi

de

pm-proi.

( S M elementaree. 4.52 •4a mnprr 5(UrafAia completai, 5.15» (4J de propaifCc* nlemen. 4.52 i I t, idtntico ii" preduto Ufieo d » taiMaiogia. 4.465 eooteúdo de. 3.13 (4.5) •4o penauarnto*. 4 complexa, 3.24 e • • - • ! - 1 -1.' i. .. de —ladoe d i f o í m reproaaetadai por. 4.1

148

5.01 ta*m pcnõdo IteòtpBttdcfitdi d<éi

Pln9f«|a«M IMN-j como formai dr prora, 0.126* (D como mofui pcmfiu. 6.1204 (3) dracrevem o i andaimea do muado, 6.124 culpem* veie, 6.127 e relaçio com o maado, 6.124 nto te dlfbncuex por (alidadp uni venal. 0.1231 (U n l d alô oonfírmadia pda e>|-~ ritada, 6.1222 •Io eqüiponderaatea. 6.137 (I) •ua verdade 4 d w m J i - 1 ap%nai DO atmboai. 6.113 Um poeíçao rapeòal entre U d u propomcfii», 6.112 "tratam" de nada, 6.124.

Propriedade, como iameaaivel • interna, 4.123 Propriedade f f i r ã a l , de um» oojaa, podar aar parte eocati. tuinte de um ( i t i à i de coiaai,

2X11 Propriedade

20233 (wr

201231, Propri,-

dadd interna) Proprledadra d LI valore* da ' i - l » l . 4.13Í1 • taotolopai» 6-12 npoaiçao de, 4.122 (1) f i p t f i p-c traçca de almboJag, 4.126 (6) reronlwíiinecto de. 6.122 Proprled B d«4i1 tatamlf) (•« lambem: Proprladadn formaiil

ato d*, como Decetaino para eooheeiioento de objeto». 2.01231 do - ~ J propoeiçáo, dcacrcvcm a naBdade, 4.023 (4) da 33» aituafao pomvrl, 4.124 (D. 4.115 - « t m o n , 4.122 (2> f ímpeoaaval, 4.123 (1) * Mto, 4.1221 tua pitaãrt*ricia é mostrwlB. 4.122 (4) Prapriedad.» L'.,.-.- daa propoakdn. demonstrada» pelu tauiolopaf, 0.121 ProiofitoraeSo t d-aUnaçao da onivrrulidbir, 134 (*. 5322 I lapea. 3.315 3315 de. 3333 (1), 53351 (1) Pr-w .de 3X2, í 2*1 de ptoptm&o deoolaü va opoau i pru<a tm Idfflca. 6.1262 em Uepca, um expediente mc-

UM

P ^ u í « n y . i i ü . 4.1272 (1) PMUdopropoaiftea, 5.535 (1) propoanao coma como, 5.5351

(D

pro>attó« matemltiraa NO.

«3 C»

•urf-c do uao de peeodocoo

erJa;aJ« mm 'nnÉM I 13:;.

2.15121 lliurafào comparada com. 3.31.

2.223 figuração 6 modelo da. 3.12 forma d*. 2.18 ttlo figurada por Wrtolr^ia e contradição, 4.462 propoaielo coroo fãfen^io da, 4.01 (1), 4.031 4.06

lotai, t o mundo. 3.063 traço» lotpcoa da, 4-028 (5) Recuno*, em i w . 5.452 Regru, como eqtiiralrtlea a límbolo*. 5314 l;. I.-;.".i - Inlrroaa da propcaiçao que trata d* um complexo cran a prepcaiçio que trata dai parta» cooatltuinta», 3.34 (1) e .!-•:• ;.!••. 5.181 C definição dr aénea fo 4.1252 (1) cotro citrolarai de | 5.3 cquiralctUea a oprraçoe*. 5-232 "II...., . Roaa". 3323 O) Ruwell. 3.318,3.335.3331.3.333.

4.0031. 4.12721, 4.1372 (8), 4.1273. 4.241 (3!. 5JO 13).

6.132 (4). 5.252. 5-4. 5.42, BAS2 (2\, 5.5302.5335. 5341 'A-, 53422, 5353 (1), 6.123 Ç2). 6.1232

«Ho». 4.1372 (4)

filoaofia, 4.1121 Realidade como agtataébãa d» ratado do coiaaa, 2.0S (I) c . . : i ; / J : - : ' ' d-aeriU por propcaàçao. 4.023 (2) deaenta por propriedade* intarnaa da proponcao. 4.023 (4) empírica, limitada pela totalidade d o objotoa, 5.5*61 (1)

Semelhança interna. 4 0141 Sentido apanaa propoaicoaa Um. 3 3 caracteriudo por iisnaaQaa, 331 (1) coceiAo do. com o método da projeção, 3.11 (2) do fimçOea da iodada coroo orna função, 5 2341 (1)

149

da propoatioea epeoaa a forma do. contida M p.---«:;A •. 3.13 (5) cocüdo ao eentido da oatm propoaiioea, 3.122 determinação do, 4063 (2) a poaetbilidadee da eriatíocii da aatadoa de cciaaa, 4.2 Bipreeao por poitcJo eepadal, 3 1131 (2) iodeseodente doa falo», 4.061 O) ianrtido pela negaclo, 5.2341 (3) da • ( n o pp>jxai«o«ni, ato neteaaiu üiplanaçío, 4.02, 4JHI a dedaçio. 3.122 eipreeaarel ipcaaa por fatoa.

3143 ifsalada com reprcaentaolo de attoaoSea, 4.031 (3) filo pode aar auateolado por «*--;!:. 4.064 .-*- B, oocaanicado. 4.03 (1) objetoi que ocorrem no, 4.1211 (1) opeato. 4.0631 1 o eue a fijuraçio rcpreeeata é

rmli poatalado da determimlwlid.de do. 3-23 roqeer enbatináa. 2011 Serie •armai («íriai formalt) dafuddaa. 4.12S2 (11 da fraçoee da Tardado. 5.1 (1) eiesplo de. 4.43 (2) pnriaa d* ama variarei. 4.12?3 prolrreeo de um t í m i • outro M.9-2S3 rrp.-earntaolo do torrão |eral da, S.2523 Urso catai de. 4.1273 (2) •gMÜ aplicação do, 3.262 tio, 3.1432 determinando uroa forma 3327 • parte perceptível do aírobolo, 3.11. 3 3 2 i aüaile do drsiíiivf-». 4012

e altobolo. 3.324

equvafetria de, 5-47331 (2) ideDtidade da deootacaQ d«*> 3.203 olo podí rewber a» atolo incorreto, 5.4732 Bio uaado, 3.32$ (1) 0 meemo, pode pertencer a atmboloa difereDioa. 3 321 poartvc!, 5.473 <7) primitivo (nr; AfL* primiliTOa) propoBnoeal (ee>.- Sfno propcadonal) «Impln, 3301. 3302 Siai» o> wmmtth aem deootaoío. 4.443 C21 d> lógica como forma* de et*=rMn»o6e*.

5.46 prerteam acr NCiuradoa, 5.45 diferente Hfnifir*çao doa, 3.261 (2) elucidação da eca drootaciA 3.263 ni.cn.* ato, 3.26 n-grae de definição aplicada* a.

5.451 (2) SlmboioW como f]uiv»l*a!# • mrw. 5.541 comporto, esraetertaticaa do, 5.5261 (2) decompIeio.drtiMdoa. 3.24 (4) diferença de, 3.328 (3) diferente, pude te: aucc comuta 3.321 e Blgnoe. 3.336 •cualadi* a eiprraaúea, 3-31 o que doaJçBa no, 3-344 PNaWpoaiooai de, 55151 (3) ato traçoi t^onaia. 3.34 aifoo 4 a parle pemeptlTel do.

3.33 Slmíloa, 4015 Siatplkid.de de objeto*, 2.02.

3.021 Sinbuie !&•*•* deootaoio doa ai t&oa aao draempenha neDhurs papel Ba, 3 4 3

« recra* pu> sobnãtaiçAo, 3231 iffl|iltem toda pru>oaiç*o lojic». «.124 •OBJMí

de

arr utiliiada,

3.325 (I) i t f w i k 3234 Situações (£*oUop.) canexto d* mlw r.iai, 2.0132 podem sei d*«<rita* w ato ar— a d - , 3.144 (1) poasitsbdadt de, 2.014 "Sócrates * UJaitteo", 5.473 ( 7 . 5.4733 0> SolliJHaaiD

cotaride eom nalbmo, 5.64 correto em Intensão, 5.62 do arado. id*nüfirada (MD Oi objetos, 2.021 6 fora* * conteodo, 2.025 »ubsW".e independente do que ocorre. 2.024 S u r . - s e . defincao de. 4.1253 (4) Sujeito « o eorpo. 5.631 (2) é limite da mundo, 5.032,

Ma a>

nlo f ã » . 5-5421 (I) d o pertence «o mundo, 5.632 Supetsti«*o, 5.1301 (2) TBUU4O«(-.

compartilhada por propofiçoes, 5.143 (1) dsfimplo de. 4.46 (4) derivação da tautolofU de, 6.126 <3) é caro-limite d* unilo de Binar, 4.4*6 ( « 6 pK*wfcb> BAaJftíca, 6-11 «te estrutura, 4.461 (3) « < » , 4.464 (I) •••• oobecer, 6.1203 11 sfciea do mondo, 6.22 mostra q"o 4 um» Uutoliila, 6.117 0)

DíO dlmada, 4.461 (I!. 5-142, 6.11 nli. é absurda, 4.4611 nin 4 figuração da reoLiiiiic.

4.462 nlii Iria coodljors dr nididr.

4.461 (2) probabilidade d«, 5.152 (4) produto lógico de, 4 «na* proposição, 4.465 proposições da logtea ato. 6.1 ergue-se de lAd* proposição.

5.142 uma proposição portirür pod* •er. 6.1231 (2) usada na dcmonetraclo de propriedades lógicas. 6-121 Tempo "decurso" de, 63611 '11 forma doa objetos. 2-0251 • cfcjrtos ttmporais ato iopen•aVtis fora de, 2.0121 (4) K<|U<OcÍB de gaanaaaaa; DO, 62611 (I. 2) Teoria de Dst—Io. irresrrante para a liloaafia, 4.1122 Teoria do eofibeeimenls, 000»

relacionada tom paioãc«ia e filosofia, 4.1121 '.'

Teoria doa Upoa, 1131. 3333.

5.252, 6.123 (2) Totalidade de estado de •Éaaaaj 2.06 Trato, eqJieado. 4.1221 Traços de símbolos, eiprasam propriedade formal, 4.126 <6) Tradução como critério de o q»e 4 comum" nas lingtiajecj, 1243 e projeçio, « 0 * Universalidade

ocidental, 6.031 (2 . 6.1212 conceito de. separado de função de rerdade. 5421 como designada, 4.0411 (I) como presente, 5-1311 (2) 153

drawaaçlo d*.

•paire (•"!« argumento, 5123 ralar* n a uma protoflgura• Ifljic». 5-622 ronaUntra. 5.522 —<M BjecaMária Da milfmiltu.i.

6.031 (2J cpoata i validai!* acidiolal, 6.1232 M drni[aaclo contem uma a-Mofi-uraclo, 3.24 <3),

Vaiar, 6.4, 6.41 " • M

||

'fondMÚ)

(w

béaa: V a r i a i propoaláoaall e vprraaèo apmrcUda por. 3.313 « M O Data». qua 4 «ano para parudocoocríto objeto, 4.1772 (1) JílcTrinacao de valorca dç, 3317 6 DOBW também, 3314

(2)

* «ãjoo d* conceitua formou.

4.1271 fona* de. 4.1271 (3) forma (cral ptopoairiisiitl f mm, IJ3 aa exprraalo da tf rmn («Tal Ar ama •muraria. 53522 arriaatria para eipreaear o termo oiuveraa! da séria forrai], 4.1273 : I • poda ttt encarada ooioo variava! proooaicioaa), 3-314 pt-ç«á(kxiaí (per; Vahivcl pro[i •éiiiiiiall

i - ;•- ;wi;i! (.:i!. 5.242

uliüiao1» para operarSea, 5.24 (1) valore* dr. 3315, 5.501 (8) VariiirJ -ropoaWo*aal definiçí» de, 3313 <3) datarmiDacao doa ralArea de.

MU nprim* um « M M » formal, 4.126 (8) rrlacio da. com forma !•'<;.:a.

3.3IS aimbolo traço para. 5501 lida variárrl poda arr eooeeblda "«ao, 3314 VaaWal dr aro lado (5raaJa«) díatinto da abando, 4.461 (3), 4.4611 examplpa dr, 4.1272 (9). Í1274, S.U62 (2) "rrnwi dr infmMi" ato, 5.132 (4) lautolofia r coalradi^o alo, 4.461 (3) Vrrdadc coDMlto de. cootribácio M"» ,i. 1 . : -I. 4431 (3) cuoorito dr, «pcaitio do, 4063 o falúdade, Oio aio rcJaçora FquipúadrraBtea, «061 olo 4 propriedade. 6.111 aua ooorxto coaa a nalama (iíurali^a da propoatedo, 4.06 Vinculo »rop»aielonal (5tfrae4«ad). 4321 Viato, campo de. 5.633 (2. 3).

5.6331 Vontade, 6.423, 6.43 Whlteb««d, 5453 ' 2 . 5 252

LfDWlQ WíTTf.t N'T i: \ nasce . cm Viana eis 18» • falacam em Cambndta, em 1M1, «ode rrjirnu. Pretendia, roír.a DOtt R r M U BC* R/bole* di IIU"4'«I. tornar-se ecejaobeiio * fflra para Msachester com cise objetivo- InteiHudo no «aludo doa fundamentos da matemática, entrou om rociam cora R o a u x . "Era — eeceeva RPB*IU> — ••". op •sfuiaitt) a •UM KUãaa ma pareciam aatraaAaa, da modo que duranla lodo um período letivo ato a» íoi poatJral decidir M * • m u » homem de (tnío ou •implasmente um Mcenuirc Ao tarmínar o «ou primeiro ano em Caabrldge. m o a mün a Dcdiu-me- "Podaria luar a finei a da duàr-ma at aou ou náo om riwc-awn idiota T" Respondi: "Mau caro aniao, a*» aai. Por que ma pergunta?'' Rscdiroe mar "Porque, eaao ária um completo idiota, mo dedicarei i aeronáutica: caw contrario, lorsar-cae-ai füóeoío." DWee-Ibe que nriera— algo, durante a* fatias, aobre algum lema filosófico, a que eu lha diria, então, -• • • • í um completo idiota. No inicio do ano letivo, trouxe-me o rwultado daquilo qu* eu lugarir». Apoa ler apenas uma fraae, deaw-Ihe: "Nso. V. aáo der» tornar-ee aeronauia-" Nao ara láed hdar com H*. Tinha mania*. Carta vea, dapoãi de hora» da Bufado, RCBBEU. perguntara-lhe ae He estava pensando em problema* da logioa ou am aeua pecados. "Em árabe* m mama". !oi a raapoeta- Herdara do pai u s «randc fortuna, maa daria» «a data, •lapnrh (o que talvei *eje uma verdade) que o dmhriro conetitula apenas uma amolaçlo par* o faoaofoPoi mestre *-coU num" lugarejo, Trellenbach. de oade a*cr*via a R n u . u . qaje "ca boroeoa da Tmtenbaeh ato per* e m " , a que R m i u . respondera: ' Tato» o* homens 4 o penem».

O lógico WiTOUirai a ãan dera esta resposta: "Ê verdade, maa ca homens de Trutasbaoh iAo mais pe) vetam do que ca homens de qualquer outro lugar" .. • "Era um homem que impressionava unenaameEte", !n ande l l r u i i i , poã> "possuía, am grau absolutamente eitraocdinário, ardor, peraetrapao e puteia. intelectual." Ê a obra desse boroem ortatrio) mae dotado de grande penetração e poma, que a Biblioteca Universitária ora apresenta aos leitores de língua portuguBm. 1. Cv7i COPA

CQ.MPANHIA

EDITOPA

NACION

EDITORA DA UNIVERSIDADE DE SÀO PAI