En el siguiente artículo leerás información sobre la historia de los sistemas de ecuaciones lineales y los métodos que ves en la escuela secundaria para poder solucionarlos.
LEARNING MATHS SISTEMAS DE ECUACIONES
PARA
SABER MÁS
HISTORIA DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los sistemas de ecuaciones lineales fueron ya resueltos por los babilonios, los cuales llamaban a las incógnitas con palabras tales como longitud, anchura, área, o volumen , sin que tuvieran relación con problemas de medida. Un ejemplo tomado de una tablilla babilónica plantea la resolución de un sistema de ecuaciones en los siguientes términos: 1/4 anchura + longitud = 7 manos longitud + anchura = 10 manos Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observaban que la solución podía ser: anchura = 20, longitud = 30 . Para comprobarlo utilizaban un método parecido al de eliminación. En nuestra notación, sería: y + 4x = 28 y + x = 10 restando la segunda de la primera, se obtiene 3x = 18 , es decir, x = 6 e y = 4 .
Historia de las ecuaciones: https://www.youtube.c om/watch?v=6AOaT2 DOoHg
SISTEMAS DE ECUACIONES: Eliminación (suma y resta): https://www.youtube.c om/watch?v=v6iKv3Q XqNs Igualación: https://www.youtube.c om/watch?v=2S_xytD taBA
Para ejercitarse: https://es.vikidia.org/ wiki/Sistemas_de_ec uaciones_lineales_de _2x2/Eliminaci%C3% B3n
También resolvían sistemas de ecuaciones, donde alguna de ellas era cuadrática. Los griegos también resolvían algunos sistemas de
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ecuaciones, pero uti1izando métodos geométricos. Thymaridas (400 a. de C.) había encontrado una fórmula para resolver un determinado sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Diophante resuelve también problemas en los que aparecían sistemas de ecuaciones, pero transformándolos en una ecuación lineal. Diophante sólo aceptaba las soluciones positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones. Utilizó ya un álgebra sincopada como hemos señalado anteriormente. Sin embargo, unas de las dificultades que encontramos en la resolución de ecuaciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cada problema métodos a veces excesivamente ingeniosos. Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios. No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino que resuelven tipos especiales de ecuaciones. El libro El arte matemático , de autor chino desconocido (siglo III a. de C.), contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encontramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistema de tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.
SISTEMAS DE ECUACIONES EN SECUNDARIA La enseñanza de la solución de problemas con el uso de sistemas de ecuaciones de dos por dos se abarca en el segundo año de secundaria, bloque V, eje temático; Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico; Patrones y Ecuaciones. El aprendizaje
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esperado es que el estudiante aprenda a resolver problemas que implican el uso de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
¿QUÉ ES UN SISTEMA DE ECUACIONES? En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
¿CÓMO LAS RESUELVO? Elige un método. Hay tres maneras de resolver un sistema de ecuaciones como este: por gráficos, sumando las dos ecuaciones, o mediante la sustitución de una ecuación en la otra.
El método gráfico es sólo aproximado No se debe utilizar a menos que específicamente se te diga que lo hagas. Puedes poner en un gráfico tus ecuaciones para comprobar tu trabajo, o para entender lo que estás haciendo.
Usando el método de adición La idea aquí es crear una situación en la que, ya sean los términos 'X' o los términos 'Y', tengan los mismos coeficientes, pero de signo contrario. De esta forma, cuando las ecuaciones sean sumadas, una de las dos variables se cancelen. 1- Para ello, lo primero, alinea las dos ecuaciones, una debajo de la otra..
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2- A continuación selecciona si deseas igualar el coeficiente de las 'X', o igualar el coeficiente de las 'Y' 3- Decide si conviene multiplicar la ecuación de arriba por algo, la ecuación de abajo por algo, o ambas ecuaciones por diferentes cantidades. 4- Decide por qué numero tienes que multiplicar, con el fin de que los coeficientes sean los mismos, y además, de diferentes signos. 5- Aplica los resultados de esas dos elecciones. Ve a la ecuación a la que has decidido alterar, y multiplica cada término de ambos lados de la ecuación por el número que descubriste que era necesario hacerlo. ¡Cuidado con los signos!
6- Por lo que la coordenada 'y' del punto donde las líneas se cruzarán será '-2'. Suma las dos ecuaciones. Resuelve el valor de la variable (en nuestro caso y=-2).
7- Ahora sustituye 'y' por '-2' en una de las dos ecuaciones originales.
Por lo tanto, las líneas se cruzarán en el punto (-1.-2)
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8- Escribe como resultado de las ecuaciones, el par de valores (x,y) de un eje de coordenadas, o escribiendo simplemente x=.. y=..
Si has hecho todo correctamente, deberías haber obtenido la respuesta correcta, pero es aconsejable comprobar sustituyendo los valores de las respuestas en las ecuaciones y ver si las igualdades resultantes son correctas. Si la prueba falla, es decir, si al sustituir los valores de 'x' e 'y' correspondientes, las igualdades no son ciertas, es que has cometido un fallo en algún paso.
Usando el método de sustitución 1- Escribe las ecuaciones una al lado de otra, con algo de espacio en el medio. 2- Manipula una de las dos ecuaciones de forma que 'X' o 'Y' se quede sola (despejada) a una parte de la igualdad o ecuación (a menos que ya venga así). 3- Ve a la ecuación que tiene la 'x' o la 'y' despejada, y sustituye esa incógnita en la otra ecuación, es decir, esa 'x' o 'y' por el resto de la ecuación que está a la otra parte del signo igual, poniéndolo entre paréntesis. (En nuestro ejemplo ya teníamos la segunda ecuación con la 'x' despejada, y que, como vemos es igual a '2y-9'. En la segunda línea hemos sustituido en la primera ecuación la 'x' por '2y-9')
4- A partir de ese momento, tendremos una ecuación con paréntesis que tendremos que resolver, pero que solo tendrá una incógnita (en nuestro caso la 'y').
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5- Para hallar su valor, debemos de tener en cuenta todas las reglas del álgebra, y de multiplicación de variables, así como tener en cuenta los signos de los distintos términos. En nuestro ejemplo vemos que 'y=6' por lo que la coordenada 'y' del punto donde las dos líneas se cruzarán, será 6. Ahora sustituiremos la 'y' por un '6', en la ecuación donde la 'x' ya está despejada
6- Obteniendo un '3', por lo que el punto donde las líneas se cruzarán, será (3,6) 7- Con todos los pasos anteriores, el trabajo ya está acabado, solo hay que presentar al final los resultados con los valores de 'x' e 'y'. No hay que olvidarse de comprobar la bondad de los resultados obtenidos, sustituyendo en las ecuaciones los valores obtenidos de 'x' e 'y', y ver que las igualdades siguen siendo ciertas.
Usando el método gráfico 1- Estate seguro de que ambas ecuaciones están en forma de de pendiente y que interceptan las coordenadas dentro del gráfico. Por ejemplo:
2- Elige una ecuación. Pon un punto en su interceptación con el eje de las 'y'
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gráfica de y = 5/2 x + 8 gráfica de y = 5/2 x + 8 Para ello halla el valor de 'y', cuando 'x=0' (en el ejemplo anterior, será 8), y señala en el sistema de coordenadas, en el eje de las 'y', el valor 8 (8,0) 3- A continuación, despeja la variable 'x' en esa misma ecuación. En nuestro ejemplo, obtendremos x=2y/5 - 16/5 4- Ahora, actuaremos como con la variable anterior. Calcularemos el valor de 'x' cuando 'y=0' (en nuestro ejemplo y= - 16/5. Este será el otro punto sobre el eje de las 'x' que necesitaremos para dibujar la recta que representa la ecuación original y= 5/2 x + 8. Véase la gráfica en la figura anterior.
gráfica de y=3/4x + 1 En el gráfico anterior, se representa la otra ecuación de manera similar. Identifica el punto donde las dos líneas se cruzan. En este caso, es en el punto (-4, -2). 5- Hasta ahora solo sabemos que la verdadera respuesta está en algún lugar cerca de (-4,-2). Es muy posible que sea (-4,2) exactamente, pero no lo podemos asegurar solo viéndolo gráficamente. Realizar la comprobación (véase Avisos), es esencial si utilizamos el método de representación gráfica. Cuando la prueba de un resultado correcto, la respuesta será tan válida, como cualquiera de los otros métodos. Si la prueba falla, puedes haber cometido un error en tus cálculos, o puedes haber tenido problemas para leer el lugar del punto donde se han cruzado las ecuaciones exactamente. En tal caso, habrás encontrado una aproximación, por lo que entonces se debe obtener el resultado con otro método, para calcularlo con exactitud.
Has aprendido los tres métodos para solucionar sistemas de ecuaciones de dos por dos, en el apartado de Consulta en línea, podrás encontrar ejercicios para practicar.
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