CALCULO MATRICIAL SECCION I3MA
ECUACIONES SIMULTANEAS ING. LEYDA MAYRE ESCALANTE TORRES
DEFINIR E IDENTIFICAR UNA ECUACION SIMULTANEA
Conjunto de dos o mรกs ecuaciones que continen 2 o mรกs incรณgnitas. En conjunto estas ecuaciones poseen condiciones que estas cantidades desconocidas deben satisfacer. Ejemplo: Y+X=4 Y=x
SOLUCION DEL EJEMPLO ANTERIOR Y + X = 4 ec 1 Y=X ec 2 Sustituimos la ecuaci贸n 2 en la 1 X+X=4 2X=4 X = 4/2 X=2 Sustituimos el valor de X en la ec 2 y hallamos a Y Y=2 Al remplazar los valores en ambas ecuaciones deben ser satisfechas, para as铆 considerar que estamos en presencia de un sistema de ecuaciones simultaneas.
COMPROBACION Y + X = 4 ec 1 Y=X ec 2 X=2 Y=2 Y=X ec 2 Y + X = 4 ec 1 2=2 2+2=4 4=4 se satisfacen ambas ecuaciones
TIPOS DE ECUACIONES SIMULTANEAS El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, poseen un solo resultado por incógnita bien sea el los números reales o complejos El número de variables es mayor al número de ecuaciones, posee múltiples soluciones El número de variables es inferior al número de ecuaciones, por lo general no posee soluciones q satisfagan todas las ecuaciones
METODOS DE ELIMINACIÓN 1.
REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN
2.SUSTITUCIÓN
3.
IGUALACIÓN
1) REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN Ordenar las ecuaciones 2.Elegir una incógnita para eliminar, preferiblemente que posean el mismo coeficiente y signos opuestos 3.Si no existen variables con las características del renglón 2, se deben modificar las ecuaciones al multiplicar por signos o números, incluso dividir según convenga 4.Luego se procede a sumar las ecuaciones, eliminando una de las incógnitas 5.Se repetirá este proceso tantas veces sea necesario, hasta llegar a una ecuación con una sola incógnita para despejar 6.Ya conociendo una o varias de las incógnitas se procede a sustituir en las ecuaciones y hallar los valores faltante 1.
RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICION POR ELIMINACION
5X +10Y = 50 -5Y + X = -3 1. Ordenar las ecuaciones 5X + 10Y = 50 ec 1 X - 5Y = -3 ec 2
2. Elegir una inc贸gnita para eliminar, preferiblemente que posean el mismo coeficiente y signos opuestos 5X + 10Y = 50 X - 5Y = -3
RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICION POR ELIMINACION 3) Si no existen variables con las características del renglón 2, se deben modificar las ecuaciones al multiplicar por signos o números, incluso dividir según convenga 5X + 10Y = 50 X - 5Y = -3 se multiplicara por (-5) la ec 2 así modificamos el signo y el coeficiente
(X - 5Y = -3)*(-5)
-5X + 25Y = 15
4) Luego se procede a sumar las ecuaciones, eliminando una de las incógnitas 5X + 10Y = 50 -5X + 25Y = 15 0X + 35Y = 65 Se procede a despejar
RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICION POR ELIMINACION 0X + 35Y = 65 Y = 65 / 35 Y = 13 / 7 5 y 6) Ya conociendo una o varias de las incógnitas se procede a sustituir en las ecuaciones y hallar los valores faltante 5X + 10Y = 50 ec 1 se despejara la X
5X = 50 – 10Y X = 50 – 10Y 5 X = 10 – 2Y
simplifico sustituyo el valor de Y
X = 10 – 2(13/7) X = 10 – (26/7) X = 44/7
COMPROBACIĂ“N Se sustituyen los valores en todas las ecuaciones y se deben satisfacer Y = 13 / 7 X = 44/7 5X +10Y = 50 X - 5Y = -3 5X +10Y = 50
X - 5Y = -3
5(44/7) + 10 (13/7) = 50
(44/7) -5(13/7) = -3
(220/7) + (130/7) = 50
(44/7) -(65/7) = -3
350/7 = 50
-21/7 = -3
50 = 50
-3 = -3
2) SUSTITUCIÓN Ordenar las ecuaciones 2. Elegir una incógnita en una ecuación y despejarla 3.Remplazarla en la siguiente y despejar la incógnita restante 4. Remplazar incógnita hallada en una de las ecuaciones y hallar las demás 1.
RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICION POR SUSTITUCIÓN 5X +10Y = 50 ec 1 -5Y + X = -3 ec 2 1) Ordenar las ecuaciones 5X + 10Y = 50 ec 1 X - 5Y = -3 ec 2 2) Elegir una incógnita en una ecuación y despejarla X = -3 + 5Y
se despejo X de la ec2
3) Remplazarla en la siguiente y despejar la incógnita restante 5X +10Y = 50 ec 1
sustituyo X
RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICION POR SUSTITUCIÓN
X = -3 + 5Y
5X +10Y = 50
5*( - 3 + 5Y) + 10Y = 50
35Y -15 = 50
- 15 + 25Y + 10Y = 50
Despejo Y
Y = 65/ 35 = 13/7 4) Remplazar incógnita hallada en una de las ecuaciones y hallar las demás X = -3 + 5Y
X = -3 + 5(13/7)
X = -3 + (65/7)
RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICION POR SUSTITUCIÓN
X = 44/7 COMPROBACION 5X +10Y = 50
X - 5Y = -3
5(44/7) + 10 (13/7) = 50
(44/7) -5(13/7) = -3
(220/7) + (130/7) = 50
(44/7) -(65/7) = -3
350/7 = 50
-21/7 = -3
50 = 50
-3 = -3
3) IGUALACIÓN 1.
2.
3.
4.
Se elige una incógnita y se despeja en dos ecuaciones Se igualan las ecuaciones después del despeje En la nueva ecuación de despeja la incógnita resultante Ya teniendo una o varias incógnitas se procede hallar las restantes
RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICION POR IGUALACIÓN
5X +10Y = 50 ec 1 -5Y + X = -3 ec 2 1) Se elige una incógnita y se despeja en dos ecuaciones Despejaremos la X 5X +10Y = 50 ec 1
-5Y + X = -3
5X = 50 -10Y
X = - 3 + 5Y
X = 50 – 10Y 5 X = 10 – 2Y
simplificamos
ec 2
RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICION POR IGUALACIÓN 2) Se igualan las ecuaciones después del despeje X = 10 – 2Y
X = - 3 + 5Y 10 – 2Y = - 3 + 5Y
3) En la nueva ecuación de despeja la incógnita resultante 10 – 2Y = - 3 + 5Y
Despejo a Y
- 5 Y – 2 Y = - 3 – 10 -7 Y = -13
Y = 13/7
RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICION POR IGUALACIÓN
4) Ya teniendo una o varias incógnitas se procede hallar las restantes Y = 13/7 Sustituimos a Y en el despeje de la ecu. 1 X = 10 – 2(13/7)
X = 10 – 2Y
X = 10 – (26/7)
X = 44/7