Asintotas web ejercicios resueltos by Leydi Cruz Baicilla

ASÍNTOTAS EJERCICIOS RESUELTOS

1) Estudia las asíntotas de la función f  x    Asíntotas horizontales

2x 1 . x3

2x 1 2x  lim  lim 2  2 x x x  3 x  x x 2x 1 2x lim f  x   lim  lim  lim 2  2 x x x  3 x  x x lim f  x   lim

     

y  2 es una asíntota horizontal de f (por ambos lados)

Posición de la curva respecto de la asíntota

Le damos un valor lo suficientemente elevado  x    . 2  100  1 199 f 100     2.0515  2 100  3 97 Por lo tanto, por la derecha  x    , la curva está por encima de la asíntota. Le damos un valor lo suficientemente bajo  x    . 2   100   1 201 201   f  100    1,9515  2 100  3 103 103 Por lo tanto, por la izquierda  x    , la curva está por debajo de la asíntota.

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 Asíntotas verticales Las funciones racionales pueden tener asíntotas verticales en los valores que anulen a su denominador. x3 0  x 3 Estudiamos los límites laterales en x  3 . 2x 1 5       lim f  x   lim x3 x3 x  3  0   x  3 es una asíntota vertical de f 2x 1 5 (por ambos lados)      lim f  x   lim x3 x3 x  3 0  Posición de la curva respecto de la asíntota Queda determinada por los límites laterales

 Asíntotas oblicuas No tiene por tener asíntotas horizontales por ambos lados. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG

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x2 2) Estudia las asíntotas de la función f  x   2 . x 4  Asíntotas horizontales  x2 x2 lim f  x   lim 2  lim 2  lim 1  1  x x x  4 x x x    2 2 x x lim f  x   lim 2  lim 2  lim 1  1  x x x  4 x x x 

y  1 es una asíntota horizontal de f (por ambos lados)

Posición de la curva respecto de la asíntota

Le damos un valor lo suficientemente elevado  x    . 102 100 25 f 10   2    1,0417  1 10  4 96 24 Por lo tanto, por la derecha  x    , la curva está por encima de la asíntota.

Le damos un valor lo suficientemente bajo  x    .

 10   100  25  1,0417  1 f 10   2  10   4 96 24 Por lo tanto, por la izquierda  x    , la curva está por encima de 2

la asíntota.

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 Asíntotas verticales Posibles asíntotas verticales x2  4  0 

x  2

x2 Estudiamos los límites laterales en x  2 .  x2 4 lim f  x   lim 2      x2 x2 x  4  0   x  2 es una asíntota vertical de f 2 (por ambos lados) 4 x lim f  x   lim 2       x2 x2 x  4 0 Posición de la curva respecto de la asíntota Queda determinada por los límites laterales x  2 Estudiamos los límites laterales en x  2 .  x2 4 lim f  x   lim 2      x2 x2 x  4  0   2 4 x lim f  x   lim 2       x2 x2 x  4 0

x  2 es una asíntota vertical de f (por ambos lados)

Posición de la curva respecto de la asíntota Queda determinada por los límites laterales

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 Asíntotas oblicuas No tiene por tener asíntotas horizontales por ambos lados.

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x2  4 3) Estudia las asíntotas de la función f  x   . x 1

 Asíntotas horizontales x2  4 x2 lim f  x   lim  lim  lim x   x x x  1 x  x x x2  4 x2 lim f  x   lim  lim  lim x   x x x  1 x  x x

     

f no tiene asíntotas horizontales

Como no tiene asíntotas horizontales, puede tener asíntotas oblicuas.  Asíntotas verticales Posible asíntota vertical

x 1  0  x  1

Estudiamos los límites laterales en x  3 . x 2  4 3 lim f  x   lim     x1 x1 x  1 0 x 2  4 3 lim f  x   lim     x1 x1 x  1 0

     

x  1 es una asíntota vertical de f (por ambos lados)

Posición de la curva respecto de la asíntota Queda determinada por los límites laterales

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 Asíntotas oblicuas

y  mx  n

x2  4 f  x x2  4 x2  1 x  lim  lim 2  lim 2  lim 1  1 m  lim x x x x  x x  x x x x  x2  4  x2  4  x2  x x4 x n  lim  f  x   mx   lim   x   lim  lim  lim  lim 1  1 x x x x  1 x x x x 1  x 1  x Por lo tanto, y  x  1 es una asíntota oblicua de f por ambos lados

Posición de la curva respecto de la asíntota Comparamos la función f  x  con la asíntota a  x   x  1 Le damos un valor lo suficientemente elevado  x    .  102  4 96 32 f 10      10,6667  10  1 9 3    a 10   10  1  11 

f 10   a 10 

Por lo tanto, por la derecha  x    , la curva está por debajo de la asíntota. Le damos un valor lo suficientemente bajo  x    .

 10  

 96 f  10    8,7273   f  10   a 10  10  1 11  a 10   10  1  9  Por lo tanto, por la izquierda  x    , la curva está por encima de la asíntota. 2

4

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