Enero 2014
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MARAVILLAS MATEMATICAS Explorando nuevas tendencias en las matemáticas Una revistas con temas interesantes abarcando nuevas estrategias para la enseñanza de las matemáticas con las últimas tendencias de aprendizajes
Jhoselyn Adames. Ana Hernández. María Adames. Marcos Amparo. Ranfi Espinosa. Yanet Alberto. Freddy Jaquez. Claribel De Jesús. Felicia Reyes. Vladimir Abad 1 PUCMM Voumen 1
Titulo Maravillas Matemáticas Coordinación Ivanovnna M. Cruz
Digitación Ana Hernández Jhoselyn Adames Freddy Jaquez Portada Ana Hernández Jhoselyn Adames Edición No.1, año 2014
República Dominicana
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Tabla de contenidos Editorial ...................................................................................................... 4 Aplicaciones Matemáticas en el Aula ............................................................ 5 Nuevas Metodologías Para La Enseñanza de las Matemáticas ........................ 8 Oportunidades de Capacitación .................................................................. 11 Curiosidades Matemáticas .......................................................................... 12 Juegos Para Aplicar En Las Matemáticas ...................................................... 13 Historia de Las Matemáticas ....................................................................... 15 Innovación En Matemáticas......................................................................... 18 Las TICS y Las Matemáticas ........................................................................ 21 Chistes Y Comic En Matemática .................................................................. 25 Webgrafía ................................................................................................... 26 Anexos....................................................................................................... 27
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Editorial Por Jhoselyn Adames
La Matemática en la Actualidad Carl Friedrich Gauss consideraba a la matemática como reina de las ciencias, pero la pregunta que se hacen muchos es si se debe seguir considerando así en la actualidad, pues al parecer el avance tecnológico atribuye el desarrollo de las ciencias a la herramienta base de este tiempo: La computadora con gran potencia de cálculo. Lo que muchas personas no cercanas a las ciencias no saben es que en realidad la matemática ha ganado sorprendentes espacios hasta el punto de invadir muchos aspectos de nuestra vida. En nuestro tiempo, las matemáticas son una herramienta fundamental, pues se aplican en diversos campos (ciencias naturales, ingeniería, medicina, ciencias sociales, música, control de mecanismos). La aplicación de los conocimientos matemáticos en todo el mundo es indispensable para el desarrollo de nuevos descubrimientos y nuevas disciplinas. Aunque para muchos la computadora sea la reina del desarrollo de las ciencias actuales. Es de esta manera que actualmente la matemática aplicada sirve a otras disciplinas a través de los modelos que se simulan en computadoras con el fin de predecir resultados sin la construcción efectiva del objeto. Por ejemplo, uno de los grandes usos de la matemática aplicada está involucrado con la matemática computacional en la medicina; en los modernos aparatos de diagnóstico, en el diseño de cirugía ocular, tomografía computacional, resonancia magnética, entre otros, los cuales se convierten en valiosos artefactos matemáticos con el fin de reconstruir una imagen conociendo la atenuación y el ángulo de los rayo. Por tal razón la matematica en la actualidad se ha convertido en una Ciencia fundamental que ha contribuido con el desarrollo de la humanidad en sus diferentes ambitos, debemos de unir esfuerzos para el crecimiento de la misma, lo que implica que como docente tenemos una ardua labor en motivar nuestros estudiantes a que descubran las maravillas que existen en aprender matematicas.
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Aplicaciones Matemáticas en el aula Por Ana Hernández.
Hoy en día los estudiantes que se encuentran en las aulas son estudiantes nacidos en la era de la tecnología y los profesores se tienen que integrar en ésta. Es por ello necesario crear actividades donde se puedan utilizar estos medios y brindarle a los estudiantes estímulos donde ellos se sientan cómodos y donde puedan manejar sus conocimientos de una manera adecuada, siempre con el profesor como guía para lograr estos objetivos (Farías y Pérez, 2010). Aplicando a la enseñanza, una actividad de aprendizaje tiene que conectar con los deseos y necesidades de los alumnos, para que ellos se puedan implicar en su realización. Motivan los objetivos y los resultados que se pueden obtener, no las actividades por sí mismas. Se debe crear un entorno que promueva y premie la curiosidad y la creatividad. Hay que implicar al alumnado en el proceso de enseñanza y aprendizaje.
Las TIC son una de las herramientas con las que mejor se consigue motivar a los alumnos para que logren alcanzar sus metas que en el caso del aula de matemáticas es adquirir el conocimiento matemático que propone el currículo. Está claro que uno de los mayores inconvenientes a la hora de utilizarlas es que necesitan de un gran esfuerzo por parte del profesor, ya que debe idear actividades motivadoras para los alumnos utilizando TIC y conseguir con ello que los alumnos aprendan lo que se 5
desea. Además esto conlleva nuevas formas de actuar y de evaluar que llevan a un nuevo nivel la ya dura tarea del docente. Hay que tener mucho cuidado en como motivar a los alumnos pues los efectos de los distintos tipos de motivación son varios y nosotros lo que pretendemos es una motivación permanente a lo largo ya no solo de un curso sino de toda una vida de estudiante. Por ello se debe recurrir a los tipos de motivación relacionados con la satisfacción por el logro, los tipos en los que las metas están relacionadas con la tarea y en menor medida la motivación relacionada con la búsqueda de valoración social.
Intentaremos no recurrir a la motivación extrínseca en la medida de lo posible ya que su duración es efímera. De hecho y entrando de lleno en el campo de las matemáticas se va a motivar a los alumnos utilizando la motivación intramatemática, planteando de situaciones problemáticas en las cuales los alumnos puedan poner a prueba sus facultades, es decir, ejercicios o tareas que los alumnos no puedan resolver con los medios matemáticos de que disponen hasta el momento o que s i lo resuelven es aplicando procedimientos que resultan trabajosos para el caso en cuestión o con muy pocas posibilidades de generalización, las motivaciones extramatemáticas relacionando las matemáticas con sus aplicaciones de la vida real y otros tipos de motivación que a se derivan de razones no cognoscitivas, pero que estimulan la actuación consciente y el buen desempeño en la clase. Estímulos PISA liberados como recursos didácticos de Matemáticas La aplicación web de matemáticas recopila un total de 84 estímulos del proyecto PISA para la evaluación matemática que han sido utilizados en los estudios realizados en los años 2000, 2003, 2006 y 2012, y que actualmente están liberados para su difusión y conocimiento público. Cada uno de ellos, puede ser utilizado como material complementario para la enseñanza de las Matemáticas en Secundaria. En el planteamiento de los estímulos del Proyecto PISA, se priorizan las aplicaciones de las matemáticas al mundo real y cada estímulo puede tener relación con uno o varios temas del currículo de la ESO, por lo que este tipo de recursos didácticos son muy apropiados para establecer conexiones entre diversas ramas de las matemáticas. Cada estímulo presenta como introducción un texto y/o imagen común a los que siguen una o varias preguntas. Se ha respetado la presentación de la prueba tal como la recibe un alumno que realiza la prueba PISA y está preparada para ser fotocopiadas para su utilización como pruebas con los alumnos en las aulas.
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Según Comenius, un principio clave para aprender es presentar directamente la realidad. «Puede también, si en alguna ocasión falta el original, emplearse modelos o representaciones. Esto es, modelos o imágenes preparadas para la enseñanza (...)» Lo principal para el aprendizaje es llevar casos reales, que estimulen al estudiante a buscar soluciones a problemáticas e incentivar la creatividad, y el amor hacia los nuevos conocimientos que van adquiriendo con los casos que se le presenten dentro y fuera del aula.
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Por María Adames NUEVAS METODOLOGIAS PARA LA ENSENANZA DE LAS MATEMATICAS La enseñanza de las matemáticas constituye un campo de enorme interés científico. La sociedad actual, reclama el tener conocimientos matemáticos, resulta difícil encontrar parcelas del conocimiento en las que las matemáticas no hayan penetrado. Esta situación plantea la necesidad de que, en la actualidad, los estudios en educación matemática se centren en la creación y desarrollo de estructuras didácticas formales que hagan más transparente el nexo de unión entre la cultura matemática experiencia da por el niño antes del inicio de su escolaridad obligatoria y el conocimiento matemático de carácter formal que transmite la escuela. Actualmente, una de las tendencias más fuertes en el crecimiento y evolución de las matemáticas y su enseñanza, está dada por el poder de las nuevas tecnologías (Tics). En matemáticas, los computadores han generado campos enteramente nuevos. En educación han resaltado la importancia de algunas ideas, posibilitado el acceso a ciertos tópicos y problemas y ofrecido nuevas maneras de representar y manipular información matemática, haciendo posible escogencias sobre contenido y pedagogía que nunca antes se habían tenido.
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Lo que cambia con la tecnología es el conjunto de problemas entre los que se puede escoger y la forma en que se pueden presentar. Algunos son muy difíciles de plantear en las aulas que utilizan únicamente lápices. Ciertas lecciones requieren que los estudiantes experimenten con objetos matemáticos y observen cómo responden. Algunas requieren representaciones visuales (gráficas, diagramas, figuras geométricas, imágenes en movimiento) para responder a los interrogantes, órdenes o respuestas de los estudiantes.
La solución de problemas en la enseñanza de la matemática Según el enfoque constructivista de la enseñanza y tomando en cuenta nuestra propia experiencia como educadoras e investigadoras en educación, consideramos que la enseñanza de la matemática, sobre todo en el nivel elemental, debe partir de experiencias concretas, particularmente, de las situaciones problemáticas que se le presentan a los niños en su vida diaria. A partir de sus vivencias, el niño, guiado por sus maestros, puede construir muchos conceptos abstractos que manejan las matemáticas y una vez logrado este objetivo, aplicarlos para resolver problemas referidos a otros contextos, progresivamente más alejados de la experiencia cotidiana del niño. Muchas experiencias realizadas bajo un marco teórico constructivista, han dado como resultado el poder afirmar que la enseñanza de la matemática fundamentada en solución de problemas, no solo favorece el desarrollo del razonamiento del niño, sino que, a la vez, proporciona una buena motivación para el aprendizaje de los conceptos básicos de esta asignatura.
Qué tan bien lleguen a entender los estudiantes las ideas matemáticas es mucho más importante que el número de habilidades que puedan adquirir. Los maestros que ayudan a los niños a desarrollar su capacidad matemática dedican menos tiempo a hablar sobre matemáticas, a asignarles trabajos de práctica de cómputo, y a pedirles que memoricen mecánicamente. En cambio realizan actividades que promueven la participación activa de sus estudiantes en aplicar matemáticas en situaciones reales. Esos maestros regularmente utilizan la manipulación de materiales concretos para construir comprensión. Hacen a los estudiantes preguntas que promuevan la exploración, la discusión, el cuestionamiento y las explicaciones. Los niños aprenden, además, los mejores métodos para determinar cuándo y cómo utilizar una gama amplia de técnicas computacionales tales como aritmética mental, estimaciones y calculadoras, o procedimientos con lápiz y papel. 9
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Oportunidades de Capacitación Por Vladimir Abad La capacitación docente nos lleva a plantear algunos interrogantes y reflexiones; ya que ella asume un rol protagónico como forma de solucionar gran parte de los males por los que atraviesa la educación.
Son muchos los autores que coinciden en " apostar" al docente, como el elemento de fuerza que garantizaría el cambio educativo. “Toda discusión acerca de la escuela termina allí: no existe transformación que no pase por el docente. Quizás sea aquí donde haya que concentrar todos los esfuerzos y también el grueso de los recursos si se quiere hacer de la escuela una verdadera puerta de ingreso a la ciudadanía y la competitiva.
-El maestro o profesor, también, como los niños y adolescentes, necesita de " un tiempo de asimilación" para apropiarse de los nuevos conocimientos.
-La realidad sociocultural actual exige de la escuela otras funciones. Ya no la transmisión cuantitativa de conocimientos, sino la de facilitadora de reflexión crítica sobre algunos de ellos. Y además la de capacitadora, para buscar y hallar la información necesaria para resolver las situaciones problemáticas de la vida. A esta altura, el rol del docente se torna central, ya que se hace necesario repensar su función. a actividad de todo docente exige que su preparación y su capacitación se transformen en procesos permanentes. Este sitio brinda propuestas diferentes para incorporar en nuestra vida educativa cotidiana, desde el área de Lengua y Literatura, Pedagogía, Psicología, Taller Didáctico y otras.-
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Por Felicia Reyes LA IMPORTANCIA DEL JUEGO EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS Los psicólogos destacan la importancia del juego en la infancia como medio de formar la personalidad y de aprender de forma experimental a relacionarse en sociedad, a resolver problemas y situaciones conflictivas. Todos los juegos, de niños y de adultos, juegos de mesa o juegos deportivos, son modelos de situaciones conflictivas y cooperativas en las que podemos reconocer situaciones y pautas que se repiten con frecuencia en el mundo real. Este proceso de enseñanza a través del juego implica una serie de procesos que deben permitir al niño alcanzar los conocimientos propuestos para luego poder aplicarlos en la vida cotidiana y formarse íntegramente como personas. Por lo mismo, es de vital importancia que el aprendizaje sea para los niños una instancia de participación activa, donde puedan manipular los elementos, observar y reflexionar sobre los procesos implicados y los mismos conceptos involucrados en dicha actividad. Es nuestro deber como educadores, crear estas instancias de aprendizaje significativo, motivando a los alumnos a ser los constructores de su propio conocimiento, utilizando materiales y juegos que sean de ayuda para una comprensión total y permanente de estos aprendizajes. Hay muchas situaciones cotidianas y juegos que son propicios para utilizar los números. Por ello, como educadores es necesario dar actividades a los niños que impliquen acciones para reflexionar sobre las mismas. Para ello es muy valioso el juego. El juego y la matemática tienen rasgos comunes. Es necesario tener en cuenta esto, al buscar los métodos más adecuados para transmitir a los alumnos el interés y el entusiasmo que las matemáticas pueden generar, y para comenzar a familiarizarlos con los procesos comunes de la actividad matemática. Al introducirse en la práctica de un juego, se adquiere cierta familiarización con sus reglas, relacionando unas piezas con otras, del mismo modo, el novato en matemáticas compara y hace interactuar los primeros elementos de la teoría unos con otros. Estos son los ejercicios elementales de un juego o de una teoría matemática. El gran beneficio de este acercamiento lúdico consiste, en su potencia para transmitir al estudiante la forma correcta de colocarse en su enfrentamiento con problemas matemáticos. Lo que buscamos con estos juegos numéricos es que el niño sienta la necesidad de pensar para resolverlos; que el juego permita juzgar al mismo niño, sus aciertos y desaciertos, y ejercitar su inteligencia en la construcción de relaciones; y que permita la participación activa de cada integrante, y la interacción entre pares, durante la realización del juego. Entretenimientos En este apartado agrupamos una serie de ocurrencias y retos matemáticos.
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La tasa de natalidad es el doble que la tasa de mortalidad; por lo tanto, una de cada dos personas es inmortal.
¿Por qué se suicidó el libro de mates? Porque tenía demasiados problemas. Plan de 1960. Un campesino vende una bolsa de patatas por 1000 pesetas. El costo es 4/5 del precio de venta. ¿Cuál ha sido su beneficio? Enseñanza tradicional, 1970. Un campesino vende una bolsa de patatas por 1000 pesetas. El costo es 4/5 del precio de venta, es decir, 800 pesetas. ¿Cuál ha sido su beneficio? El cuadrado mágico. El cuadrado mágico es una invención oriental, concretamente de la India y de la China, y sus orígenes se remontan a hace más de 30000 años. Dicho cuadrado no es más que una tabla con el mismo número de casillas verticales (columnas) que horizontales (líneas), y son calificados mágicos por las extrañas características y propiedades que poseen. Naturalmente, no todos los cuadrados mágicos son igual de difíciles. Su dificultad reside en el nº de casillas, así, cuantas más casillas tiene la figura, más complicada es. Aquí os presentamos un cuadrado mágico chino muy sencillo, con una antigüedad de 6000 años. Ya está resuelto. Como veis, el resultado de la suma de las líneas es el mismo que la de las diagonales y la de las columnas: 4
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Por Yanet Alberto
Historia de las Matemáticas. Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad. Las matemáticas avanzadas y organizadas fueron desarrolladas en el tercer milenio a.C., en Babilonia y Egipto, las cuales estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medidas y cálculos geométricos. Los primeros libros egipcios, muestran un sistema de numeración decimal con símbolos diferentes para las potencias de 10, similar a los números romanos. Los números se representaban escribiendo 1 tantas veces como unidades tenía la cifra dada, el 10, tantas veces como decenas tenía, y así sucesivamente. Para sumar, se sumaban en secciones diferentes las unidades, las decenas, las centenas... de cada número para obtener el resultado correcto. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso. Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad (ð), junto con la fracción, para expresar todas las fracciones. En geometría encontraron reglas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, pirámides. Para calcular el área de un círculo, utilizaron un cuadrado de lado ð del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando pi 3.1416. Los babilonios tallaron tablillas con varias cuñas (cuneiforme); una cuña sencilla representaba al 1 y una en forma de flecha representaba al 10. Los números menores que 59 estaban formados por estos símbolos utilizando un proceso aditivo, como lo hacían los egipcios y los romanos. Pero el 60, era representado con el símbolo del 1, y a partir de ahí, el valor de un símbolo venía dado por su posición en la cifra completa. Esta manera de expresar números, fue ampliado a la representación de fracciones. Posteriormente este sistema fue denominado sexagesimal. Tiempo más tarde, los babilonios desarrollaron matemáticas más sofisticadas, lo cual les permitió encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. También lograron encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Fueron capaces de recopilar gran cantidad de tablas, como las de multiplicar, de dividir, de cuadrados y hasta las de interés compuesto. Calcularon la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, pero también de sucesiones de cuadrados. Aunque también obtuvieron una buena aproximación de la raíz cuadrada. 15
Uno de los grupos más innovadores en la historia de las matemáticas fueron los egipcios, quienes inventaron las matemáticas abstractas basadas en definiciones, axiomas y demostraciones. Los descubridores egipcios más importantes fueron Tales de Mileto y Pitágoras de Samos, quien explicó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Uno de los principales interesados en la geometría fue Demócrito, quien encontró la fórmula para calcular el volumen de una pirámide, aunque Hipócrates, descubrió que el área de figuras geométricas en forma de media luna limitadas por arcos circulares son iguales a las de ciertos triángulos, lo cual está relacionado con el problema de la cuadratura del círculo, que consiste en construir un cuadrado de área igual a un círculo. En ese tiempo también fue resuelto mediante diversos métodos y utilizando instrumentos diversos, entre los que se encuentran el compás en incluso la regla el problema de la trisección de un ángulo y la duplicación del cubo que consiste en construir un cubo cuyo volumen es el cuadrado de el de un cubo dado). A finales del siglo V a.C., descubrieron que no existe una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, puesto que una de las dos cantidades es inconmensurable, es decir, no existen dos números naturales cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Pero como los griegos sólo utilizaban los números naturales, no pudieron expresar numéricamente dicho cociente, ya que es un número irracional. Por esta razón, fue abandonada la teoría Pitagórica de la proporción, basada en números, por lo que más tarde crearon una nueva teoría no numérica, la cual fue introducida por Eudoxo, quien descubrió un método para demostrar supuestos sobre áreas y volúmenes mediante aproximaciones sucesivas. Euclides redactó trece libros que componen sus Elementos, los cuales contienen la mayor parte del conocimiento matemático existente en el siglo IV a.C., trataba temas como la geometría de polígonos, del círculo, la teoría de números, la teoría de los inconmensurables, la geometría del espacio y la teoría elemental de áreas y volúmenes. Mucho tiempo después, Arquímedes utilizó un nuevo método teórico para calcular las áreas y volúmenes de figuras obtenidas a partir de las cónicas. Apolonio, redactó un tratado en ocho tomos sobre las cónicas, y estableció sus nombres: elipse, parábola e hipérbola. Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas. Después, Herón expuso cómo elementos de la tradición aritmética y de medidas de los babilonios y egipcios convivieron con las construcciones lógicas de los grandes geómetras. En el siglo II a.C., los griegos adoptaron el sistema babilónico de almacenamiento de fracciones y recopilaron tablas de las cuerdas de un círculo, puesto que para un círculo de radio determinado, estas tablas daban la longitud de las cuerdas en función del ángulo central correspondiente, que crecía con un determinado incremento. Eran similares a las tablas de seno y coseno, y marcaron el comienzo de la trigonometría. Mientras tanto, se desarrollaron otros métodos para resolver problemas con triángulos planos y se introdujo el teorema de Menéalo, que utilizaron para calcular las longitudes de arcos de esfera en función de otros arcos, son este conocimiento, les fue posible resolver problemas de astronomía esférica. Después de un siglo de expansión de la religión musulmana, los árabes incorporaron a su propia ciencia los resultados de “ciencias extranjeras”. Hacia el año 900, los matemáticos árabes ampliaron el sistema indio de posiciones decimales en aritmética de números enteros, extendiéndolo a las fracciones decimales. Posteriormente, Jayyam generalizó los métodos indios de extracción de raíces cuadradas y cúbicas para calcular raíces cuartas, quintas y de grado superior. Pero el árabe Al-Jwârizmî (de su nombre procede la palabra algoritmo) desarrolló el álgebra de los polinomios; al-Karayi la completó para polinomios incluso con infinito número de términos. Ibrahim ibn Sinan, continuaron investigaciones sobre áreas y volúmenes. Los matemáticos Habas al-Hasib y Nasir ad-Din at-Tusi crearon 16
trigonometrías plana y esférica utilizando la función seno de los indios y el teorema de Menelao. Pero fue siglos después cuando algunos matemáticos árabes lograron importantes avances en la teoría de números, mientras otros crearon variedad de métodos numéricos para la resolución de ecuaciones. Hasta el siglo XVI, descubrieron una fórmula para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por Cardano en su Ars magna. Esto llevó a los matemáticos a interesarse por números complejos y estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior. En el siglo XVI se utilizaron los signos matemáticos y algebraicos. Durante el siglo XVII se comenzó con el descubrimiento de logaritmos por Neper, lo que llevó a Laplace a decir, dos siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de los astrónomos a la mitad, les había duplicado la vida. La ciencia de la teoría de números, es un buen ejemplo de los avances conseguidos en el siglo XVII basándose en los estudios de la antigüedad clásica. Su conjetura más destacada en este campo fue que no existen soluciones de la ecuación an + bn = cn con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2, lo que es famoso con el nombre de teorema de Fermat. Tiempo después fue descubierto por Descartes, la geometría analítica, que mostraba cómo utilizar el álgebra para investigar la geometría de las curvas. Posteriormente, fue la publicación, por Desargues de su descubrimiento de la geometría proyectiva. Pero, a pesar de que este trabajo fue alabado por Descartes y Pascal, su terminología excéntrica y el gran entusiasmo que había causado la aparición de la geometría analítica retrasó el desarrollo de sus ideas hasta el siglo XIX, con los trabajos de Poncelet. En el siglo XVII, apareció la teoría de la probabilidad a partir de la correspondencia entre Pascal y Fermat sobre el problema de puntos, esto llevó a Huygens a escribir un pequeño folleto sobre probabilidad en juegos con dados, que fue publicado por Bernoulli. El acontecimiento matemático más importante del siglo XVII fue el descubrimiento por Newton de los cálculos diferencial e integral, para llegar a éstos, Newton se basó en los trabajos de John Wallis, Isaac Barrow, Descartes, Cavalieri, Hudde y Roberval. Pero ocho años más tarde, Leibniz descubrió también el cálculo pero el primero en publicarlo, en 1684 y 1686. El sistema de notación de Leibniz es el que se usa hoy en día en el cálculo. Matemática o Matemáticas, es el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. En el pasado la matemática era considerada como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX la matemática se empezó a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica —ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos.
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Por Ranfi Espinosa
Innovación matemática En los últimos años, la sociedad va tomando conciencia poco a poco de la importancia de las Matemáticas. Las Matemáticas son el lenguaje de la naturaleza, decía Galileo, y sin ellas no estaríamos en la sociedad tecnológica y de la información que, con sus ventajas e inconvenientes, nos ha tocado vivir la utilidad de las Matemáticas llega hasta los lugares más insospechados, como es el caso de la Innovación. Las Matemáticas están muy bien posicionadas: desde la época de Pitágoras, los matemáticos no han hecho otra cosa que generar ideas. Observemos, sin embargo, que si bien las ideas son la fuente de la Innovación, no son la Innovación, ya que ésta exige ir un paso más allá. Y ese paso se puede dar de dos maneras: poniendo una idea matemática en valor para las propias Matemáticas o bien trasladándola a través de sus fronteras. Creo que es en este último proceso donde reside el potencial innovador de las Matemáticas. Los que se esperaba, poder ver, tocar, creer y tener en sus manos los conceptos matemáticos; fracciones, logaritmo, las fórmulas de álgebra; productos notables, factorización, ecuaciones, derivadas e incluso visualizar los exponentes de x4, x5, x6, etc. Creando placer e interés de los estudiantes y profesores en las enseñanzas de las ciencias exactas, que son la base fundamental del desarrollo socioeconómico y tecnológico de la sociedad humana y de un país. En los últimos años la Tecnología de la Información y Comunicación (TIC) han tenido una gran influencia en nuestras aulas de matemáticas, nos hemos apoyado en sus herramientas para poder desarrollar nuestras clases de manera dinámica e interactiva. Y aunque en las TIC no está la solución de las dificultades que presenta el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas estamos de acuerdo en que producen un cambio en la manera que la enseñamos. Las TIC nos proporcionan múltiples formas de representar situaciones problemáticas que les permite a los estudiantes desarrollar estrategias de resolución de problemas y mejor comprensión de los conceptos matemáticos que están trabajando. El Consejo Nacional de Profesores de Matemática (NCTM) expresa que “cuando las herramientas 18
tecnológica están disponibles, los estudiantes pueden concentrarse en la toma de decisiones, la reflexión, el razonamiento y la resolución de problemas” (NCTM, 2000: 25). Necesitamos desarrollar alumnos matemáticamente competentes, que tengan “la capacidad individual para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundados, utilizar las matemáticas y comprometerse con ellas, y satisfacer las necesidades de la vida personal como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo” (OECD, 2004: 3; OECD, 2003: 24). Y es ahí donde las TIC juegan un papel importante dentro de este proceso ya que les permiten, a los y las estudiantes, ser agentes activos de su aprendizaje, llevar aquellos conceptos que eran una vez abstractos y ahora forman parte de su realidad. Las TIC les permite a los estudiantes con pocas destrezas simbólicas y numéricas a desarrollar estrategias para poder resolver situaciones problemáticas, utilizando diversas herramientas que les proporcionan un mejor entendimiento. Ahora debemos entender que integrar las TIC a las clases de matemáticas es más Ivanovnna M. Cruz Pichardo y Ángel Puentes Puenteedmetic, 1 (2), 2012, E-ISSN: 2254-0059; pp.127un recurso o herramienta, implica redefinir la forma que aprendemos y enseñamos matemáticas (Hodges y Conner, 2011). Debemos decidir cuáles son los recursos apropiados para conseguir las competencias que deseamos desarrollar en nuestros alumnos y cuales se aplican al tema que estamos tratando.
Ahora debemos tener en cuenta que el uso de estas herramientas no pueden sustituir la conceptualización ni los procesos que conllevan la enseñanza de la asignatura. Sino que nos sirven de soporte para lograr un mejor entendimiento de estos. Teniendo en cuenta estos aspectos, hemos desarrollado una experiencia empírica sobre el uso de algunos recursos que nos proporcionan las TIC en el proceso de enseñanza - aprendizaje de la asignatura Matemática Básica.
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Por Marcos Amparo
Las Tics y las matemáticas La educación básica y media debe tener como propósito que los estudiantes alcancen las 'competencias matemáticas' necesarias para comprender, utilizar, aplicar y comunicar conceptos y procedimientos matemáticos. Que puedan a través de la exploración, abstracción, clasificación, medición y estimación, llegar a resultados que les permitan comunicarse y hacer interpretaciones y representaciones; es decir, descubrir que las matemáticas si están relacionadas con la vida y con las situaciones que los rodean, más allá de las paredes de la escuela. Uno de los grandes cuestionamientos a la labor docente en el último tiempo en nuestro país, dice relación con las estrategias que se utilizan a la hora de entregar los contenidos a los estudiantes. Este planteamiento aduce claramente que la forma tradicional, conocida como Conductismo, no es lo que el alumno de hoy requiere ya que rodeado de tecnología principalmente, su entorno ha cambiado sustancialmente. Es indudable que los tiempos que viven los niños, demandan otras modalidades, las que también se pueden aplicar en una sala de clases, para lo cual se requiere una actitud renovada por parte del docente. Muchas de las actuales prácticas de los profesores resultan insuficientes para estimular debidamente la creatividad y capacidades en los alumnos los que se transforman en meros receptores, y por ende incapaces de crear sus propios aprendizajes. Esta problemática nos demuestra la urgencia de replantear la acción del profesor frente a sus alumnos, para lo cual se requieren nuevas estrategias, que permitan motivar al alumno frente a Subsectores como las Matemáticas, Lenguaje y Comunicación entre otras, que posibiliten la participación e integración de todos y cada uno de los alumnos. Entre las muchas estrategias que podríamos mencionar para hacer de la educación una instancia motivadora para los niños, encontramos las TIC’s (Tecnologías de la Información y la Comunicación). La posibilidad de acceder al mundo de la tecnología, la informática y la comunicación son cada vez mayores, aún en lugares geográficamente inaccesibles. Una de las características y ventajas de las TIC’s, es que pueden ser usadas en cualquier lugar y situación, demostrando con ello, que además, de usar los elementos tecnológicos, es preciso que éstos se hagan acompañar y ejecutar por ideas y acciones de profesores que tengan como finalidad ofrecer a los alumnos las facilidades para un aprendizaje efectivo. 21
. Las experiencias en el uso de las TIC’s ya nos entregan importantes antecedentes de los logros a alcanzar. Tanto en la ciudad, país y el mundo entero, existen centros educacionales, con variadas características, que han incursionado en el uso de las TIC’s con resultados que animan a continuar aplicándolas.
Uno de los programas implementados en nuestro país, y que ha originado buenos resultados, es el denominado “Proyecto Enlace”. Dicho programa ha permitido unir especialmente, a colegios y liceos urbanos y rurales entre sí con otros lugares, geográficamente distantes, siendo parte de la globalización que vivimos en la Sociedad de la Información. Pero más allá de la globalización, Enlaces ha logrado la introducción de las Tecnologías de la Información y la Comunicación en el ámbito pedagógico y que éstas se estén transformando en un aporte significativo para el proceso de enseñanza aprendizaje en los establecimientos educacionales. La educación matemática y las TIC Las ventajas que aportan las TIC en la enseñanza de las distintas áreas y en particular en la de matemáticas son muchas. El uso de software matemático permite combinar los datos de forma numérica, simbólica y gráfica, tratando a las matemáticas de manera global. Las TIC (Tecnologías de la información y comunicación) se integran cada vez más en nuestra sociedad en todos los niveles y en particular en la educación. Por ello desde 22
las distintas áreas curriculares tenemos que abordar este hecho con decisión. Las TIC son una herramienta potente y eficaz para la enseñanza y aprendizaje en las distintas áreas del conocimiento, ello debe llevar consigo cambios en la metodología, en los contenidos curriculares y en los criterios de evaluación. Aunque estos cambios deben graduarse en función de la adaptabilidad de los distintos agentes que intervienen en la enseñanza (infraestructuras y formación). Las ventajas que aportan las TIC en la enseñanza de las distintas áreas y en particular en la de matemáticas son muchas, de las cuales podemos citar: Los alumnos se acercan a los currículums desde un entorno que le es familiar y que le da cierta confianza (es raro encontrar un alumno que no haya tenido contacto con algún ordenador). Además se afianzan rápidamente en el uso de las máquinas y distinto tipo de software. Ver cambios en los métodos de impartir docencia, aparece un nuevo elemento motivador (el ordenador), cambia el aspecto del aula, el tipo de actividades. El alumno se siente más partícipe de su aprendizaje. Se favorece la autonomía del alumno en su formación, fomentando metodologías activas, participativas, colaborativas y de atención a la diversidad. El profesor mejora sus métodos de exposición al contar con herramientas técnicas más avanzadas. Se usan presentaciones dinámicas que reducen esfuerzos al no tener que realizar gráficos y dibujos (sobre todo cuando son variables) sobre los que hay que realizar explicaciones. Se avanza más rápidamente en el aprendizaje de los distintos contenidos, lo que permite una mayor reflexión y análisis sobre los mismos. Se aumenta el flujo de las comunicaciones a todos los niveles (profesor-alumnoresto_mundo-profesor) lo que mejora la formación tanto del docente como del discente. En el área de matemáticas, además de lo dicho, podemos considerar las siguientes ventajas: El alumno interactúa con objetos matemáticos de forma simple y natural lo que favorece su autonomía en el aprendizaje, además de tener un mayor acercamiento a la matemática, siéndole ésta más familiar. Facilidad para representar gráficamente y de forma dinámica los conceptos y procedimientos matemáticos, se aprende a más velocidad y con mayores fundamentos. Se facilita la construcción de objetos matemáticos, conjeturar hipótesis, comprobar propiedades, simular y descubrir regularidades. Se amplía el abanico de ejemplificaciones y se minimizan los cálculos tediosos. Internet favorece encontrar información susceptible de matematización en un entorno cercano al alumno además de fomentar la cultura histórica de las matemáticas. Se pueden tratar muchos temas sin exigir al alumno grandes conocimientos matemáticos favoreciendo una metodología en la que participen de forma activa en su aprendizaje. El uso de software matemático permite combinar los datos de forma numérica, simbólica y gráfica, tratando a las matemáticas de manera global.
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Por Freddy Jaquez
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Anexos
Equipo de trabajo de la revista “Maravillas Matemáticas”
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