Arenales s & darezzo a cálculo numérico (2008) by Li André Godinho Balisa Oliveira

Sobre os autores Selma Helena de Vasconcelos r\renales Pnifrssor;1 do llepart.1mcntl1 dr Matf rn;ít ic;1 d;1 llnivrrsidadc írdrr;1l de S.lo Cir

it1s-LIFS(;1r. Cr;1du;1d;1 cm Matl'm;ític;1

pda

ll n iwr s id;1dc Estadual Júlio l'vksquit;1 fil ho

(llncsp) peb

mcs trr em Matemática r\plica da

Universidade

Estadual de Crn1pinas

(Llnil";1mp). Possui e x peri ência na <ÍrTa de M;llcm;ít ir;1,

com ênfase em

111atl'111;1tica

;1plicada, ;1tu;1 11 d o cm p ro jetos de pesquisa

oricnt1ç;'io d e alunos nas áre;1s de Otimiza

\'<'io e 1\nálisc Numfrica, com en foques na

nllldd;1gem de p rn hlrma s e métodos numé

rin 1s de r e s oluç.lo . Tem puhlic;1 do trabalhos cm

ro n

gn·sso s

cm ensino de M;1temática,

principalmente no ensino de Cálculo Numl� rico com ferramentas computacion;1is.

Artur Darezzo Filho Licrnciado cm Matcmátira p el a íanrl

d<tdc de Filosofia, Cirnrias e Lrtras de Rio liam

SP (1971 ), mestre cm Ciências da

Cl1111 pu taç.10

ç;fo

e Estatística

opç.lo computa

pela Universidade de S.lo Paulo - LISP,

S;'ill Carlos (197B), doutor cm Engenharia

Civil pda Universidade de S.lo Paulo - LISP, S.lo Ca rlos (1996). Desde 1972 é professor vinculado ao D epa rtamen to de Mate m áti ca

da Universidade Federal de S.lo Carlos, onde

exerceu as funções de docente, p esqui sador

na área de Modrlagcm Matr r n át irn e Méto

dos l'\uméricos e coordenador do curso de

Ma temática . A pa rtir do ano de 2001, como

pnikssor aposentado, passou <1 ser professor

n1nvidado voluntário no mesmo Departa m e nto de Matemátim até a presente data.

foi também

professor e coordenador do

curso de Matrm<Íl ie<1 Aplic;ida e Co m puta

cional d o Centro Llnivcrsit<'irio Centrnl Pau lista - Linicrp

S<'io

Car l os

(SP). Atualmente

exerce as furn,;(ks de Diretor Acadêmico da

Esrol;1 Superior de Tecnolo gia e Educaç;'io de

Rio Claro,

R io Claro

SI�

Dados Internacionais ci. Cataloqação na Publicação (c&mara Brasileira do Livro,

Arenales,

SAo

Paulo

(CIP)

Brasil)

Selma

Cálculo numérico software

SP,

aprendizagem com apoio de

I Selma Arenales, Artur Darezzo. :

Thomson Learning,

2008.

Bibliografia ISBN 978-85-221-0602-8

1. Cálculo numérico Problemas,

exercicios etc.

II. Titulo.

Cálculo numérico I.

Darezzo,

Artur.

CDD-515.07

07-6796

Cálculo numérico

Estudo e ensino

515. 07

Cálculo Numérico

Aprendizagem com Apoio de Software

Selma Arenales Artur Darezzo

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THOMSON

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

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Cálculo numérico :

Aos infratores aplicam-se as

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software I Sei ma Arenales,

102, 104, 106 e 107 da Lei

Artur Darezzo. -- São Paulo :

nQ 9.610, de 19 de fevereiro

Thomson Learning, 2008.

de 1998.

Bibliografia ISBN 978-85-221-0602-8 1. Cálculo numérico 2. Cálculo numérico - Problemas, exercícios etc. 1. Darezzo,

Artur. li. Título. 07-6796

CDD-515.07 lndice para catálogo sistemático:

1. Cálculo numérico : Estudo e ensino

515.07

Ao Marcos Arenales, meu esposo, aos meus pais Maria e Sebastião Vasconcelos e

à minha família de amigos.

Com carinho para minha esposa Regina, companheira de todas as jornadas e aos meus filhos Helga, Fabiana e João Paulo.

Sumário Prefácío IX Agradecímentos X Capítulo 1

Erros em processos numéricos

1.1 Introdução 1 1.2 Erros na fase da modelagem 2 1.3 Erros na fase de resolução 2 1.4 Erros de representação 5 1.5 Erro de arredondamento 10 1.6 Erro absoluto 10 1.7 Erro relativo 11 1.8 Erro de truncamento 12 1.9 Propagação dos erros 14 Exercícios 16

Capítulo 2

Solução numérica de sistemas de equações lineares e matrizes inversas 19

2.1 Introdução 19 2.2 Sistemas de equações lineares 19 2.3 Métodos diretos 21 2.4 Matrizes inversas 46 2.5 Condicionamento de sistemas lineares 49 2.6 Métodos iterativos 49 Exercícios 68

Capítulo 3

Solução numérica de equações

3.1 Introdução 73 3.2 Localização das raízes: métodos gráficos 74 3.3 Métodos numéricos para resolução de equações 76 3.4 Equações polinomiais 96 3.5 Sistemas de equações não lineares 106 3.6 Trabalhando com o software numérico 121 Exercícios 124

vii

viii

Cálculo Numérico

Capítulo 4

Aproximação de funções

Capítulo 5

Integração numérica

Capítulo 6

Solução numérica de equações diferenciais ordinárias

Capítulo 7

Manual do Software Numérico

127

4.1 Introdução 127 4.2 Interpolação polinomial 127 4.3 Fórmula interpolatória de Lagrange 132 4.4 Interpolação linear 138 4.5 Fórmula interpolatória de Newton 141 4.6 Interpolação inversa 148 4.7 Fórmula interpolatória de Newton-Gregory 153 4.8 Aproximação de funções - o método dos mínimos quadrados 157 4.9 Trabalhando com o software numérico 182 Exercícios 185 189

5.1 Introdução 189 5.2 Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes 191 5.3 Erro cometido na integração numérica 192 5.4 Regra dos trapézios 193 5.5 Regra 1 /3 de Simpson 200 5.6 Regra 3/8 de Simpson 208 5.7 Fórmula de quadratura de Gauss 216 5.8 Integração dupla 223 5.9 Trabalhando com o Software Numérico 227 Exercícios 229

6.1 Introdução 233 6.2 Problema de valor inicial (PVI) 236 6.3 Discretização 241 6.4 Métodos baseados em série de Taylor 242 6.5 Métodos de Runge-Kutta 251 6.6 Métodos previsor-corretor 269 6.7 Trabalhando com o Software Numérico 278 Exercícios 282

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

285

Introdução 286 Objetivos 286 Software Numérico - Módulos desenvolvidos 286 Abertura do Software Numérico 287 Descrição dos módulos do Software Numérico 288

Referências bibliográficas 361 Índice remissivo 363

233

Prefácio

Este livro foi projetado e escrito com o objetivo de oferecer aos estudantes de ciências exatas um material didático simples e de fácil entendimento dos tópi cos de um curso básico de Cálculo Numérico, de um semestre, nas instituições de ensino superior. Originada a partir de uma apostila, Notas de Cálculo Numérico, escrita pelos autores e pelos professores que ministravam a disciplina de Cálculo Numérico e publicada pelo Departamento de Matemática, conforme Darezzo, A. F.; Arenales, S. H. V. et al. (1992), esta obra reflete a experiência de muitos anos dos autores, no ensino da disciplina Cálculo Numérico para diferentes cursos do Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia da Universidade Fe deral de São Carlos - UFSCar. O livro é composto de sete capítulos contendo os principais tópicos abordados numa disciplina básica de Cálculo Numérico nas universidades, apresentando os métodos numéricos com desenvolvimento teórico e os res pectivos algoritmos descritos de forma simples, com exemplos e listas de exercícios para fixação do conteúdo. Alguns resultados do Cálculo Diferencial Integral, da Álgebra Linear e da Geometria Analítica foram utilizados no decorrer dos capítulos, conside rando que os alunos tenham estes conhecimentos. Juntamente com este livro desenvolvemos o Software Numérico de apoio ao ensino/aprendizagem de tópicos básicos de Cálculo Numérico, no qual conceitos e resultados dados em sala de aula são reforçados em aulas de exercícios nos laboratórios computacionais. O Software Numérico relaciona cinco módulos: Sistemas Lineares, Raízes de Funções, Interpolação e Aproxi mação de Funções, Integração Numérica e Equações Diferenciais Ordinárias. Este software foi desenvolvido inicialmente durante o Projeto de Rees truturação do Ensino de Engenharia - Projeto Reenge (1996), em seguida foi aperfeiçoado e tem sido utilizado como ferramenta metodológica, em aulas ix

Cálculo Numérico

de exercícios, para todas as turmas de Cálculo Numérico no Laboratório de Ensino do Departamento de Matemática da UFSCar. Acreditamos, também, que este material possa ser aplicado em cursos na modalidade Ensino a Distância, o qual o professor, com listas de exercícios bem elaboradas, reforça e melhora a- aprendizagem desses assuntos, com a aplicação do Software N umérico, que contém um Arquivo de Correção, o qual armazena todas as etapas de execução dos exercícios feitos pelos alunos. Posteriormente, o professor pode acessá-lo, analisá-lo e realizar comentários sobre tentativas, erros e acertos dos alunos estabelecendo uma interação pro fessor/ aluno a distância, que pode ser encontrado para download no site da Editora Thomson (www.thomsonlearning.com.br). O Manual do Software Numérico, no qual o usuário possui, de forma simples e clara, um resumo sobre os métodos numéricos desenvolvidos nos capítulos anteriores deste livro com exemplos ilustrativos, além de infor mações sobre o uso, sintaxe, entrada de dados e todos os esclarecimentos à disposição no Help On Line pode ser encontrado no CD que acompanha este livro. O usuário pode instalar o software de maneira simples utilizando a senha 6028.

Este software também foi usado, numa experiência de ensino na dis ciplina de Cálculo Numérico, integrado com o uso de Mapas Conceituais. Com esta metodologia de ensino/ aprendizagem foi possível observar efeitos, influências, benefícios e dificuldades, tanto nas atividades em sala de aula como em aulas de laboratório, conforme publicação Salvador, J. A.; Arenales, S. H. V. et al. (2003). Agradecimentos

Aos estudantes da UFSCar e do Centro Universitário Central Paulista - Unicep, pelo retorno positivo nas versões preliminares que nos incentivou a publi car este livro. Aos colegas do Departamento de Matemática da UFSCar que de alguma forma acompanharam este trabalho e acreditaram no seu desenvolvimento, através do incentivo diário e de sugestões para que os objetivos propostos fossem alcançados. Em especial, ao Professor Dr. Marcos NereuArenales, docente do Depar tamento de Matemática Aplicada e Estatística - ICMC-USP-São Carlos, pela leitura e pelas sugestões pertinentes nos diversos capítulos deste livro. Selma Arenales Artur Darezzo

Capítulo 1

Erros em Processos Numéricos

1 . 1 Introdução

De uma maneira geral, a resolução de um problema de qualquer área do conhe

cimento científico passa inicialmente por uma fase de observação e entendimento do fenômeno físico envolvido na qual, usando conhecimentos já estabelecidos, buscamos, através· de simplificações, quando necessárias, a construção de um modelo matemático que represente, com a maior fidelidade possível, o problema que desejamos tratar. Esta etapa é caracterizada como fase da modelagem do modelo matemático. Com o problema representado através de um modelo matemático, bus camos, para a sua resolução, um método exato quando possível, ou, quando não, um método numérico aproximado. Mesmo quando utilizamos na resolução do modelo matemático um mé todo exato, isto é, um método que apresenta a solução exata para o modelo, pelo fato de este envolver um número muito grande de operações elemen tares (adição, multiplicação, subtração e divisão) e, sendo estas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar dados, podemos cometer erros. Por outro lado, quando optamos, em razão da complexidade do modelo matemático, pela resolução através de um método numérico, além dos erros no processamento anteriormente mencionados, podemos também cometer erros provenientes do fato de utilizarmos, para a resolução do modelo mate mático, um algoritmo aproximado. Esta etapa é caracterizada como fase de resolução do modelo matemático. Podemos entender as duas fases descritas anteriormente através do es quema representado na Figura 1.1. Neste capítulo apresentamos os principais erros que podem ocorrer na fase da resolução de um problema. Os erros cometidos devido à mudança 1

Cálculo Numérico

Solução para o Modelo Matemático

Problema Real

Fase da Modelagem

Fase da Resolução

Figura 1 . 1

da base de processamento, os erros de representação, devido ao sistema uti lizado pelos computadores para armazenar dados numéricos; os erros de arredondamento e truncamento; e erros absolutos e relativos. 1.2 Erros na fase da modelagem

São os erros decorrentes de simplificações, muitas vezes necessárias, para que o fenómeno da natureza que estivermos observando possa ser repre sentado por um modelo matemático e que tenha condições de ser tratado com as ferramentas matemáticas disponíveis. 1.3 Erros na fase de resolução

São erros provenientes da utilização de algum equipamento, como, por exem plo, um computador, para processarmos os cálculos necessários à obtenção de uma solução para o modelo matemático. Tais erros ocorrem devido ao fato de os equipamentos terem capacidade limitada para armazenar os dígitos significativos de valores numéricos utilizados nas operações elementares de adição, multiplicação, subtração e divisão. Os erros nesta fase de resolução podem ser classificados em erros na mudança de base e erros de representação, apresentados a seguir: Erros na mudança da base

A maioria dos equipamentos computacionais representa os valores numé ricos no sistema binário. Assim, quando os dados numéricos presentes nos modelos matemáticos são lidos, estes são transformados em uma outra base de representação.

Erros em Processos Numéricos

Acontece, muitas vezes, que esta transformação pode ser acometida de erros, em razão da limitação da representação do equipamento computacio nal que estamos utilizando para o processamento dos dados numéricos. Dado um número real, N, é sempre possível representá-lo em qualquer base b, da seguinte forma: Nb = L ªi xbi i=n {o, 1, 2, 3, ... ,(b - 1) } , com n e m inteiros. m

onde ai

Base binária

N 2 = L ªi x2i , ai E {0, 1 } i=n m

Exemplo 1.1

a) ( 1011 h = 1 X2° + 1 X21 + 0 X2 2 + 1 X23 Neste caso, o binário só tem a parte inteira, isto é, i = O, l, 2, 3, e temos: a0 = l, a1 = 1, a2 = O, a3 = 1 b)(111.01) 2 = 1X2- 2 + 0 X2-l + 1X2º + 1X21 + 1X2 2 Neste 'Caso, o binário tem parte inteira e parte fracionária, isto é, n = -2 e m = 2, e portanto: Base decimal

N1 0 = L ªi xlOi , a i E {O, 1, , 9}, com n e m inteiros. i=n m

Exemplo 1.2

...

a) ( 231 )1 0 = 1 X10° + 3 X101 + 2 X10 2 Neste caso, o número na base decimal é inteiro, i = O, 1, 2 e temos: ªº = l, ª1 = 3, ª2 = 2 b)(231.35)1 0 = 5x10- 2 + 3x10-1 + lx10° + 3xl01 + 2x10 2 Neste caso, o número na base decimal tem parte inteira e parte fracionária, n = -2 e m = 2, e temos: ª-2 = 5, ª-1 = 3, ªº = 1, ª1 = 3, ª2 = 2 Assim, dado um número real qualquer numa base b, podemos escrevê-lo em uma outra base b', a partir de adequação conveniente de seus coeficien tes ai = O, l, 2, 3, ... , (b - 1) e de uma potência adequada na nova base b'.

Cálculo Numérico

Mudança da base binária para a base decimal

Procedimento: multiplicar o dígito binário por uma potência adequada de

Exemplo 1.3

( 1101 h = 1 X2° + oX21 + 1X22 + 1 X23 = ( 13 ho b) (111. 0 11) = 1X2-3 + 1X2-2 + 0 X2-l + 1X2° + 1X21 + 1X22 = (7. 3 75)10 2 Mudança da base decimal para a base binária (número na base decimal tem somente a parte inteira) a)

divisões sucessivas. O procedimento consiste na divisão do número na base decimal sucessi vamente por 2, armazenando, a cada passo, o algarismo do resto (r), até que o quociente da divisão seja igual a 1. O binário é constituído pelo quociente 1 e pelos coeficientes do resto da divisão, a partir do resto mais significativo (rn 1 ) para o menos significativo (r1 ). Desta forma, temos: N10 = ( l, fn-v fn- 2 1 rn-3 1 ..., r3 , rz , ri )2 Procedimento:

Exemplol.4

(25)i0 = ( llOOlh = 1x2° + Ox21 + O x22 + 1x23 + 1x24, isto é: 25+2 = 12 e resto = 1, 12+2 = 6 e resto = O, 6 + 2 = 3 e resto = O 3 + 2 = 1 e resto = l, 1 2 = O e resto = 1 b) (11) 0 = (1011h = 1X2° + 1X21 + 0 X22 + 1X23 1 Mudança da base decimal para a base binária (número na base decimal tem somente a parte fracionária) a)

multiplicações sucessivas. O procedimento é constituído dos seguintes passos: a) Multiplicamos o número fracionário por 2. b) Do resultado do passo a), a parte inteira é o primeiro dígito binário. c) Do resultado do passo b), a parte fracionária é novamente multipli cada por 2. d) O processo continua até que a parte fracionária seja nula.

Procedimento:

Exemplo 1.5 a)

(0.1875)10 = (O.OOllh =Ox2-1 + Ox2-2 + 1x2-3 + 1x2-4 = (?'i6)10, isto é: (0.1875) (2) 0.375 � parte inteira = O e parte fracionária = 0.375 (0.375)(2) = 0.75 � parte inteira = O e parte fracionária = 0.75 (0.75) (2) = 1.5 � parte inteira = 1 e parte fracionária = 0.5 (0.5)(2) 1.0 � parte inteira = 1 e parte fracionária = O =

Erros em Processos Numéricos

(13.25)10 (13)i0 + (0.25)10 (1101)2 + (0.01)2 (1101.01)2 e) (0. 2 )i0 (0. 001100110011...)i Observe que (0. 2 h0 é uma dízima periódica de período (0. 0011). Assim, o decimal (0.2)i0 não tem uma representação binária exata, isto é, a represen b)

tação é aproximada e, portanto, apresenta erro. 1 .4 Erros de representação

Na construção de um equipamento computacional, uma questão iffiportante a ser considerada em sua arquitetura é a forma que será adotada para repre sentar os dados numéricos. Basicamente, na memória de um equipamento, cada número é armazenado em uma posição que consiste de um sinal que identifica se o número é positivo ou negativo e um número fixo e limitado de dígitos significativos. De maneira geral, destacamos o seguinte sistema de armazenamento de valores numéricos: Sistema de ponto flutuante normalizado

Um número no sistema de ponto flutuante é caracterizado por uma base b, um número de dígitos significativos n e um expoente exp. Dizemos que um número real nr está representado no sistema de ponto flutuante se for possível escrevê-lo da seguinte maneira: nr = mxbexp onde m é a mantissa do número, b � 2 é a base e exp é o expoente da base. Neste sistema de ponto flutuante, as seguintes condições devem ser verificadas: m ± O. d1 , d 2 1 , dn n e N sendo n o número máximo de dígitos na mantissa, d 11 d2, , dn, dígitos significativos da mantissa, do sistema de representação, com o primeiro dígito satisfazendo a condição 1 :5: d1 :5: (b -1) e os demais dígitos satisfa zendo O :5: di :5: (b -1); i = 2, 3, .. , n. O expoente exp varia da seguinte maneira: expmín :5: exp :5: expmá x sendo expmín :5: O e expmáx � 1 com expmín e expmáx inteiros. A união de todos os números em ponto flutuante, juntamente com a representação do zero, constitui o sistema de ponto flutuante normalizado, que indicamos por SPF (b, n, expmírv expmáx>· ·

..•

.••

Cálculo Numérico

Neste sistema, o zero é representado da seguinte maneira: zero :0.0000 ....... 0 bexPmín n vezes Considerando o sistema de ponto flutuante normalizado dado na forma genérica por SPF (b, n, expmíw expmáx), temos: a) O ºmenor positivo exatamente representável, não nulo, é o real for mado pela menor mant.issa multiplicada pela base elevada ao menor expoente, isto -é: menor = (0.1000 ....... 0) bexpmín ( n-1 ) vezes b) O maior positivo exatamente representável é o real formado pela maior mantissa multiplicada pela base elevada ao maior expoente, isto é: maior = (0 X (b - l] [ b - 1] ... (b - 1]) b expmáx n vezes c) O número máximo de mantissas positivas possíveis é dado por: "-,,.--'

mantissas+

1 ) bn-I

d) O número máximo de expoentes possíveis é dado por: exp possíveis = exp máx - exp mín + 1 e) O número de elementos positivos representáveis é dado pelo produto entre o número máximo de mantissas pelo máximo de expoentes, isto é: NR+ = mantissas+ X expp íveis oss

Se considerarmos que dado um número real nr E SPF temos que e a representação do zero, podemos concluir que o número total de elementos exatamente representáveis NRt é dado por: -nr

E SPF

Exemplo 1.6

NR1 = 2xNR+ + 1

Considere o sistema de ponto flutuante SPF (b, n, expmíni expmáx> = SPF (3, isto é, de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a -1 e maior expoente 2. Para este sistema temos:

2, -1, 2), a)

O menor exatamente representável: 0.10 X 3-t = (1 X 3-t + 0 X 3-2 ) X 3 -t = ..!. 9

Erros em Processos Numéricos

O maior exatamente representável:

A quantidade de· reais positivos exatamente representáveis:

Temos que a quantidade de reais positivos exatamente representáveis é dada pelo produto entre todas as mantissas possíveis de dois dígitos� formadas com os dígitos da base 3, isto é, 0.10, 0.11, 0.12, 0.20, 0.21, 0.22, e todas as pos sibilidades de expoentes, que no caso são -1, 0, -1, 2. Desta forma, os 24 positivos exatamente representáveis estão listados a seguir: exp = - 1 : exp = O: exp = 1 : exp = 2 : exp = exp = exp = exp =

0.10x3-1 = 1 / 9 0.10x3° = 1 / 3 0.10 x31 = 1 0.10 x32 = 3

- 1 : 0.12x3-1 =5 / 27 0.12 x3° = 5 / 9 1 : 0.12 x31 =5 / 3 2 : 0.12x32 = 5

exp = - 1 : exp = O: exp = 1 : exp = 2 :

0.21 x3-1 = 7 / 27 0.21x3° = 7 / 9 0.21x31 = 7 / 3 0.21 x32 = 7

exp = - 1: exp = O: exp = 1 : exp = 2 :

0.llx3-1 = 4 / 27 0.1 1x3° = 4 / 9 0.1 1x31 = 4 / 3

exp = - 1 : exp = O: exp = 1 : exp = 2 :

0.20x3-1 = 2 / 9 0.20 x3° = 2 / 3 0.20 31 = 2

exp = - 1 : exp = O: exp = 1 : exp = 2 :

0.22 0.22 0.22 0.22

0.1 1x32 = 4

0.20 32 = 6 X

X X X X

3-l = 8 / 27 30 = 8 / 9 31 = 8 / 3 32 = 8

�

Observe que o menor real positivo representável é e o maior positivo representável é o real 8. Por outro lado, sabemos que se um real x E SPF então -x E SPF e, como no sistema de ponto flutuante normalizado o zero é uma representação, te mos que os representáveis de SPF pertencem ao conjunto: R

{x; x [� 8] [- 8, �J {o}} E

Cálculo Numérico

Todos os reais que não pertencem à união dos intervalos anteriores não são representáveis e qualquer tentativa de representação fora dos intervalos anteriores constitui-se em uma mensagem de erro, isto é, Erro de Underflow, se a tentativa de representação satisfizer:

Under = x; x e - , o o, Erro de Overflow, se a tentativa de representação satisfizer: Over = {x; x E (--oo, -8 ) U (8, +oo)} Se marcarmos os reais exatamente representáveis na reta real, verifica remos, num primeiro momento, uma maior concentração de representáveis nas proximidades do zero e uma menor concentração à medida que nos afasta mos da origem e que, aparentemente, não existe uma uniformidade na sua distribuição, como acontece com os representáveis do sistema de ponto fixo. No entanto, é possível observar que os representáveis definidos através do produto de cada uma das mantissas multiplicada pela base elevada ao mesmo expoente são igualmente espaçados na representação sobre a reta. Assim, os reais

{ ( � )u ( �)}

0.10X3-l, 0.11X3-l, 0.12X3-l, 0.20X3-l, 0.21X3-l, 0.22X3-l são igualmente espaçados por h3 = J7 . Os reais 0.10 X3°, 0.11X3°, 0.12X3°, 0.20X3°, 0.21X3°, 0.22X3° são igualmente espaçados por h2 = �. Enquanto os reais 0.10 X31, 0.11X31, 0.12X31, 0.20 X31, 0.21X31, 0.22X31 são espaçados por h1 �. E os reais representados por 0.10x32, O.llx32, 0.12x32, 0.20x32, 0.21x32, 0.22x32 são igualmente espaçados por ho 1. =

De modo geral, podemos representar o espaçamento entre os represen táveis exatamente da seguinte maneira: hi = i ; i o, l, 2, 3

�

Considere o sistema de ponto flutuante SPF (2, 3, -1, 2), isto é, de base 2, 3 dígitos na mantissa, menor expoente igual a -1 e maior expoente 2. Exemplo 1.7

Erros em Processos Numéricos

Para este sistema temos 16 reais positivos exatamente representáveis além do zero. A representação na reta real de alguns dos reais positivos do sistema SPF (2, 3, -1, 2) pode ser visualizada através da Figura 1.2:

1/4 5/8

718 1 5/4

7/4

5/2

7/2

Figura 1 .2

Observe que o menor positivo exatamente representável é 1/4 e o maior é 7 /2. Exemplo 1.8

Considere o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3, 2, -1, 2), de base 3, 2 dígitos na mantissa, menor expoente igual a -1 e maior expoente 2. Para este sistema, temos que:

�

X = = (0.lO h 3- l e Y = 5 = ( Q.12 h 3 2 X

são exatamente representáveis, no entanto, (x + y) = (0.0001 0h x3 2 + (0.12h x 3 2 = (0.1201h x3 2 não é exatamente representável em SPF, uma vez que no sistema de ponto flutuante considerado a mantissa é de 2 dígitos. Observação

Pode ocorrer de outras propriedades consagradas no conjunto dos números reais não serem verdadeiras, no sentido da exatidão da representação, no sistema de ponto flutuante normalizado, como as propriedades comuta tiva e associativa na adição, e as propriedades comutativa e distributiva na multiplicação. Exemplo 1.9

Dados x , y , z E � e o sistema de ponto flutuante normalizado SPF (3, 2, -1, 2), temos: Se X = � = (Q .12h 31 , Y = ;7 = (Q .21h 3-l e Z = � = ( Q .22h 30 X

temos:

x + (y+ z) = 0.22x31 e (x + y) + z = 0.21 x31

Cálculo Numérico

Podemos observar que: x +(y + z) * (x + y) + z

1 .5 Erro de arredondamento Quando estamos utilizando um equipamento comp utacional para proces sar uma determinada operação aritmética, se o número obtido não pertencer às regiões de Underflow ou de Overflow e este não é representável exata mente no sistema de ponto flutuante SPF o mesmo será representado de forma aproximada por nra. Esta aproximação será caracterizada como um arredondamento do real nr, para que sua representação seja possível no SPF. Assim, dizemos que um número na base decimal nr foi arredondado na posição k se todos os dígitos de ordem maior que k forem descartados segundo o seguinte critério: a) O dígito de ordem k é acrescido de uma unidade se o de ordem (k + 1) for maior que a metade da base. Caso contrário, o número nr é repre sentado com os k dígitos iniciais. b)

Se o dígito de ordem (k + 1) é exatamente a metade da base e o de ordem k é par, então o número nr é representado com k dígitos e, se o dígito de ordem k é ímpar, então o de ordem k é acrescido de uma unidade.

c) O arredondamento por corte considera que, para obter um número com k dígitos, simplesmente trunca-se na posição k. Exemplo 1.10

Consideremos um equipamento com o sistema de ponto flutuante normali zado SPF (b, n, expmíw expmáx) = SPF (10, 4, -5, 5). a) Se a = 0.5324x103 e b = 0.4212x10 - 2, então a x b = 0 . 22424688x10 1, que é arredondado e armazenado como (a x b)a = 0 . 2242x101 • 3 b) Se a = 0.5324x103 e b = 0.1237x102, então a + b = 0 . 54477x10 , que 3 é arredondado e armazenado como (a + b)ª = 0 . 5448x10 .

1 .6 Erro absoluto Definimos erro absoluto como

onde aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproxi mado da mesma grandeza.

Erros em Processos Numéricos

Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível, a definição anterior fica sem sentido. Assim, é necessário trabalharmos com um limi tante superior para o erro, isto é, escrevê-lo na forma:

onde E é um limitante conhecido. A desigualdade anterior pode ser entendida da seguinte maneira:

ou ainda

isto é, aaprox é o valor aproximado da grandeza superior a E.

aex

com erro absoluto não

1 . 7 Erro relativo

Definimos erro relativo como:

Erel =

aex 1 1 = 1� 1 aex 1 aex 1 - a

aprox

onde aex é o valor exato da grandeza considerada e aaprox é o valor aproxi mado da mesma grandeza. Como na maioria das vezes o valor exato não é disponível, a definição anterior fica sem sentido. Dessa forma, é preciso trabalharmos com um limi tante superior para o erro relativo, isto é, escrevê-lo na forma: E

onde õ, é um limitante conhecido. Podemos observar que o erro relativo nos fornece mais informações sobre a qualidade do erro que estamos cometendo num determinado cálculo, uma vez que no erro absoluto não é levada em consideração a ordem de grandeza do valor calculado, enquanto no erro relativo esta ordem é contemplada. a) Consideremos o valor exato ªex = 2345.713 e o valor aproximado

Exemplo 1.11 aaprox

2345.000

Então, Eabs = 0.713 Erel 0.00030396 =

Cálculo Numérico

Consideremos o valor exato ªex 1.713 e o valor aproximado aaprox = 1.000 Então, Eab 0.713 E el 0.416229 Observe que nos exemplos a) e b) o erro absoluto é o mesmo, embora o erro cometido pela aproximação seja muito mais significativo no exemplo b). No exemplo a), o erro relativo é da ordem de 0. 03%, e no exemplo b), é da ordem de 41.6%. b)

s = =

Observação

Em geral, nos procedimentos numéricos geramos uma seqüência de soluções aproximadas que convergem ou não para a solução desejada do problema. Os erros absolutos e relativos serão usados como critério de parada nestas seqüências de aproximações. Em geral, o erro relativo é preferível, devido às observações nos exemplos anteriores. Exemplo 1.12

Para resolver a equação f(x) x2 -a= O, com a > O, podemos utilizar o se guinte processo iterativo: X n+l = X n + n O, l, 2, ... Assim, dado o valor XQ, podemos, através da expressão anterior, gerar a seqüência de soluções aproximadas x11 x2, Dado que a propriedade de convergência da seqüência de aproxi mações esteja estabelecida e uma tolerância pré-fixada E foi definida pará o cálculo de uma raiz da equação f(x) O podemos verificar, de forma absoluta, se a seqüência de aproximações atingiu a precisão anterior E, realizando o seguinte teste: Se lx n+l - xnl � E for verdadeiro, dizemos que Xn+l é a raiz da equação f(x) O com tolerância E; caso contrário, devemos calcular outro elemento da seqüência e, de forma relativa, realizar o seguinte teste: x -x Se j " ' .j � E for verdadeiro, concluímos que X..+1 é a raiz da equação iX n+l1 com a tolerância E e, em caso contrário, devemos proceder ao cálculo de outro termo da seqüência. =

�( �)

•••

1 .8 Erro de truncamento

Quando representamos uma função através de uma série infinita e, por limi tações do sistema de armazenamento de dados do equipamento, conside rarmos apenas um número finito de termos, dizemos que estamos cometen do um erro de truncamento.

Erros em Processos Numéricos

Exemplo 1.13 a)

Consideramos a representação de uma função f(x) utilizando a Série de Taylor, nas vizinhanças do ponto x: f(X) = f(X-)+f (_X) (x l-i. x) +f<2> (_X) (x-21.x)2 +...+f<n> (_X) (x -n.xI t + onde t<n>(x) é o valor da n-ésima derivada da função f(x) no ponto x. Quando truncamos a série no 3Q termo, isto é, considerando apenas os termos até a derivada de ordem 2, na expressão anterior, temos um erro cometido nesta aproximação, como segue: (x - x)2 f(x) = f(x)+f(l>(x) (x l- x) +t<2>(x) -···

Consideremos o desenvolvimento de f(x) =ex em Série de Taylor, isto é: x 2 x3 ...+-+ x n ... ex=l+x+-+-+ 3!

ou, de forma compacta: Xn e =� �n=o n ! Suponha que o equipamento utilizado para trabalhar numericamente com a série seja capaz de armazenar somente dados referentes aos 4 primeiros termos, isto é: �

Neste caso, desprezamos todos os termos de potência maiores que 4, isto é, truncamos a série no termo de potência de ordem 3. Destacando os quatro primeiros termos da série, podemos escrevê-la da seguinte maneira: n ex (;1 (x3 +3 X2 +6 X+6)+� �! �

Vamos supor que desejamos calcular o valor de ex para x = 2 usando apenas os quatro primeiros termos da série, isto é, a série truncada. Neste caso, temos e2 6.33333, que é um valor com erro absoluto bem significativo quando comparado com o valor e2 7.38906 obtido numa calcu ladora científica que armazena uma quantidade maior de termos da série. =

Cálculo Numérico

1 .9 Propagação dos erros

Quando desenvolvemos ou utilizamos um processo numérico para buscar aso lução de um determinado problema, normalmente o processamento envolve um número muito grande de operações elementares. Assim, na maioria das vezes, o erro cometido em uma operação isolada pode não ser muito significativo para a solução do problema que estamos tratando, mas sim, é necessário analisar como os erros se propagam quando tratamos com muitas operações no processamento. Neste caso, é fundamental termos o conhecimento da forma com que estes erros estão se propagando, isto é, caso estejam se acumulando a uma taxa crescente, dizemos que o erro é ilimitado, e a seqüência de operações é considerada instável. Se, por outro lado, os erros estão se acumulando a uma taxa decres cente, dizemos que o erro é limitado e, portanto, a seqüência de operações é considerada estável. Podemos visualizar, através da Figura 1 .3, as situações de erros ilimi tado e limitado: Erro

Erro

Erro ilimitado

Nº

iterações

Nº

iterações

•

Figura 1 .3

Exemplo 1.14

Usando aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, base decimal e arredon damento por corte, calcule o valor da seguinte soma:

L (xi + Yi ), sendo xi 4

0.46709 e Yi

3.5678

Para i 1, na aritmética definida, realizamos inicialmente a operação que resulta no seguinte valor aproximado: 51 (x 1 + Y1 ) = 0.4034x101 Calculando o erro absoluto, temos: =

Eabs l = j 4.03569 - 4.034 j = 0.00169 = 0.169X10-2

Erros em Processos Numéricos

Para i xa operaçãoxque resulta no seguinte valor aproximado: cujo erro absoluto é dado por: Obs e rve que, ao re a l i z armos a mes m a oper a ção de adi ç ão por duas vezes , cometParemosa i=um rerealroizabsamosolutaoopersignifiaçãocatqueivamentresueltamainoosre. guinte: x x x cujo erro absoluto é dado por: para aParsoama:i repetindo o mesmo procedimento, obtemos o seguinte valor que apresenta o seguinte erro absoluto: Como podemos obs e r v ar , na medi d a em que aument a mos o númer o de parcelea, saument na operamosaçãotdeambém adição,o erconsiro absderoalndouto comet a aritmidétoinaca defini dfianalant. Deseriotra ment s o ma fnaormFia,guraaseqüêa).ncia de operações pode tomar-se instável, conforme gráfico Parseguia nretseoprlvoercesasequação com a O, podemos utilizar o o iterativo: para n Xn+I .!.(xn �J, X n deapradioxNesiçmão,adotemulproticediparplicaaçãomsentolueoção,diemvdaisãcadao,equação queitesrãaocomçãorepetesumaitdãasoprenvol ateéciquesãvoidsase descalasceuloperjaeda.oavalçõesor finesalte eresrotápodesujeisteo pra umopagardeteaormlionngoado dotipoprdeo ercesso.ro, aDescadatesa tfeoitrma,eprraoçãocediseromealvalentizoadaorconver g i r par a a s o l u ção da equação, apes a r dosconforerrmose grcometáficoiddaos,Fitegmosura queb)a. seqüência de operações se toma estável, = 2, realiz.amos 52 = ( 1 + y1 ) + ( 2 + y2 ) = 0.8068 x101 ,

E abs2 = 1 8.07138 - 8.068 1 = 0.00338 = 0.338X10 -2

3, 53 = ( 1 + Y1 ) + ( 2 + y2 ) + ( 3 + y3 ) = 0.1210x102

E abs3 = 1 12.10707 - 12.10 1 = 0.00707 = 0.707x10-2 = 4,

E abs3 = 1 16.14276 - 16.13 1 = 0.01276 = 0.12767X10-l

1.3

f ( x)

Exemplo 1.15

= O, l, 2, ...

1.3

Cálculo Numérico

a)b)Representar na base binária os seguintes números decimais: c)d) Repre se n t e o número dec i m al base binária com e dí g i t o s . Considerando que C,a basD,e F,érereprpreesesentntea: da através dos dígitos a)b) nanabasbase decie decimmalal c)Representar osnasebasguiendecites númer mal os na forma normalizada a)b) c)Representar os seguintes números na base binária na forma normalizada b)c)a) Reprpontoesfleunttueantna erenorta osmposializadotivosSPF(3,exatamente representáveis do sistema de Consi d er e o s i s t e ma de pont o fl u t u ant e normali z ado SPF SPF deParbasa esete sisdítema:gitos na mantis a, menor expoente e maior expoente ivvooeexxatataamentmenteerreeprpreesseentntáávelvel?? b)a)c) QualQualQuantééooos menor maisão oosr poseposxatiitatiment e r e pr e s e nt á vei s pos i t i v os ? amentexateament repreeserntepráveiesesnt? áveis. e)d)f) Defin ReprQualeaéseoasntnúmer erenagiõreseotatdeottoaoverdosl deflosreoaiwposseeidextiatvosunder fl o w. Noem cadasistemacasdeo, opontvaloor flarurteudondado ante norme alo arizadoredondado SPF por corter(terpruencado) sente, a)b)das seguintes operações:

Exercícios

2. 3.

6. 7.

13 29.75 17.6 0.46875

(0.2) na

4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, (27D h6 (270.9) 16 (32.E.32 h6

4, 8, 12 16 O, l, 2, 3,

16 E,

(100 ho (0.0158 h0 (101 h

(0.1875 h0 (25.75 h0 (437)8

2, -1, 2).

2, 4

-1

(2, 3, -1, 2),

0.101 X2º + 0.110 X2 - l 0 . 1 01 X2º + 0.111 X21 0.111 X2º X 0.110 X2 - l

(2, 4, -1, 2) 2.

Erros em Processos Numéricos

Cons i d er e o s i s t e ma de pont o fl u t u ant e nor m al i z ado SPF 2, -1 , 2) , de baste 2.e Par2adíesgtietossisnatema,mantteimoss a, menor expoente igual a-1 e maior expoen que: a) exatamente e repr5 seãsoenteáxvelatamentem SPF.e representáveis. Verifique se é b) tambémeexatament1 sãoeerxeatpraementsentáevelrepremesSPF.entáveis. Verifique se é 10. zadoConsiéderSPFe (2, 1equi0, -15,pament15), deo cujbaseo si2,ste1ma0 dígdeitoponts naomantflutuisanta,emenor normalexi e maioposr exitpoent eat15.amentParaeesretpre seissetntema:ável? a)b)poentQualQuale -15éo omenor i v o e x pr ó i m o pos i t i v o, depoi s do menor pos i t i v o r e pr e s e nt á vel ? x c)d) VerTrainsfiqfouerme eoxmenor posientretivo eoomenor próxime oopróparxaima obaspose deciitivo.mComent al. e. i s t e m e) Quant Qual oomais sãoorosposexiattivaomentexateament e r e pr e s e nt á vel ? representáveis positivos?

x = _!_

4 3

reais

(3,

Capítulo 2

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

2.1 Introdução Apresentamos neste capítulo o desenvolvimento de algoritmos computacio nais para calcular a solução única de sistemas de equações lineares através de métodos diretos de decomposição e eliminação, métodos iterativos e es quemas numéricos para o cálculo de matrizes inversas através da aplicação de métodos diretos. Posteriormente, apresentamos noções sobre condiciona mento de sistemas. Finalmente, apresentamos algumas aplicações que envolvem a resolu ção de um sistema de equações lineares. 2.2 Sistemas de equações lineares Considere o sistema linear Ax = b, onde A = (aij ) i, j = ... , n x = (xi)t j = b = (bi)t i = ... , n e det (A) '* (garantia de solução única). Representamos o sistema da seguinte forma: + ª1n X n = b1 ª11 X 1 + ª1 2 X 2 + ª21 X 1 + ª22 X 2 + ... + ª 2n X n = b 2

1, ..., n

···

Na forma matricial: a1 1 a1 2 al n a 2 1 ª2 2 ª2 n ···

•••

X1 X2

b1 b2

Cálculo Numérico

Ainda, pode ser escrito de forma compacta, da seguinte maneira: n

L a i i x i = bi

i = 1, 2, ... , n

Resolver o sistema dado consiste em determinar um vetor x = (xv x21 , xn)t que satisfaça todas as equações simultaneamente. Graficamente, no 9t 2, podemos representar a solução de um sistema considerando o seguinte exemplo: j=l

•••

{ -X1 + 2X2 = 3

det(A) :;t: O X1 + X2 = 3 Observe que a solução x = (1, 2) encontra-se na intersecção das duas retas, conforme Figura 2.1:

Figura 2.1

Definição 2.1

Dizemos que o sistema Ax = b, onde A = (aij ) i, j = l, . .. , n x = (xi )t j = l, ... , n e b = (bi)t i = . .. , n é consistente se apresenta pelo menos uma solução, caso contrário dizemos que o sistema é inconsistente.

Definição 2.2

Dizemos que o sistema Ax = b é homogêneo se o vetor b = (bJt = O i = ..., n.

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Observação

Um sistema homogêneo é sempre consistente uma vez que o vetor nulo é sempre solução deste sistema. Procuraremos resolver sistemas consistentes através de métodos diretos e iterativos cuja solução seja não nula. Para isso, consideramos sempre o vetor dos termos independentes b = (bi) t * O i = 1, ... , n.

2.3 Métodos diretos

Consideramos Ax = b um sistema de equações lineares onde matriz dos coeficientes é A = (ai i ) i , j = 1, ... , n b = (bi) t i = l, ... , n e det(A) * O. Um método direto ou exato para calcular o vetor solução x = (xv x0 . , Xn)t é caracterizado por fornecer a solução exata para o sistema dado, não fossem os erros provenientes do processamento do algoritmo em um equipamento computacional. ..

2.3 . 1 Sistema triangular inferior

Considere Lx = b com L = (lij) i, j = 1, ... , n b = (bi) t i = l, ... , n e x = (Xj)t j = ..., n, um sistema de equações lineares onde a matriz dos coeficientes é triangular inferior, isto é, os seus coeficientes (lii ) = O sempre que i < j e com lii '# O i = 1, ... , n. Podemos escrever:

Para construir o algoritmo que calcula a solução do sistema destacamos a linha genérica ( i ), isto é:

Podemos, então, escrever:

Cálculo Numérico

ou, (i - 1 )

- I li j xj) j= l X i = ---'----(bi

lii

Temos, assim, o seguinte algoritmo: Algoritmo 2.1

Para i = 2,

, n, faça

...

(i - 1 )

- I li j xj) i=1 Xi = (bi

-�---

lii

Exemplo 2.1

Calcule a solução do seguinte sistema de equações lineares:

Usando o algoritmo anterior temos:

X3 =

b3 - l 31 X 1 - l32X2 133

0 - 1(1) - 1( -1) = O 1

Portanto, temos a solução do sistema: x = (l,

- 1, 0) 1

�alução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

2.3.2 Sistema triangular superior

Considere Ux = y com U = (ui i) i, j l, ..., n y = (yi)t i = l, ... n e x = (xi)t j = 1 ..., n, um sistema de equações lineares onde a matriz dos coeficientes é triangular su perior, isto é, os seus coeficientes (uij) O sempre que i > j e com uii -:t:- O i = l, ... , n. Podemos, então, escrever: =

U11 X 1

+ +

U12 X2 + ... + U1n Xn U22 X2 + ... + U2n Xn +

Unn X n

= =

b1 b2

Para a construção do algoritmo que calcula a solução do sistema, desta camos a linha genérica ( i ) , isto é, ou, na forma compacta,

(bi - L

j = ( i+l)

ui i x i )

Algoritmo 2.2

Para i = (n - 1), (n - 2),..., 1 faça

(bi - L

j = ( i+l)

u i i xi)

Exemplo 2.2

Calcule a solução do seguinte sistema de equações lineares:

Cálculo Numérico

Usando o algoritmo anterior, temos:

x2 =

b2 - u2.3x3

U22

2 -(-1)(0) 1 2

Portanto, temos a solução do sistema: x=

(1, 1, O)t

Observação

Sabemos que o Esforço Computacional Ec de um algoritmo é a quantidade de operações elementares necessárias para calcular a solução do problema para o qual foi desenvolvido. No caso da solução de um sistema triangular superior ou inferior de or dem (n), o esforço computacional dos Algoritmos 2.1 e 2.2 é Ec = n2 operações n n l) ( · - de d"1v1sao, - de a d"1çao e1ementares sendo (n) operaçoes operaçoes 2 . n n l) - )e ( - d e multi" p l"1caçao. operaçoes (ou sub traçao 2 Assim, por exemplo, na resolução de um sistema de equações lineares de ordem n = 10, cuja matriz dos coeficientes é triangular superior ou infe rior, estão envolvidas 10 operações de divisão, operações de multiplicação e outras operações de adição ou subtração, sugerindo um esforço compu tacional de 100 operações elementares. Experiências computacionais demonstram que o tempo computacional envolvido nessas operações é pequeno, tornando os sistemas triangulares bastante atrativos. -

2.3.3 Métodos de decomposição Como observamos anteriormente, sistemas de equações lineares cuja ma triz dos coeficientes possui a característica triangular inferior ou superior apresentam um "pequeno" esforço computacional para a obtenção de sua solução.

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Este fato nos motiva a buscar formas para que um sistema de equações lineares Ax = b possa ser resolvido através da solução de sistemas com caracte rística triangular permitindo, assim, a utilização dos Algoritmos 2.1 e 2.2. Definição 2.3

Denomina-se "menores principais" de ordem k de uma matriz A = (a i i ), i , j = 1 , ... , n por:

d k = det( A k ), onde Ak

(ai j) i , j = l , ... , k é formada pelas k primeiras linhas e k primeiras colunas de matriz A. =

Exemplo 2.3

Considere a seguinte matriz:

Cálculo dos menores principais: Ó1

ô2 =

Ó3 =

Método de decomposição LU

Teorema 2.1

Considere A= (ai i ) i , j = l , ... , n. Se os menores principais de A, ói * O, i = 2, ... , n - l, então A se decompõe, de maneira única, no produto de uma matriz triangular inferior L = ( lij ) i, j = 1, ... , n, com lii = 1, por uma matriz

triangular superior U = (uij) i, j

l, ..., n. Além disso, det (A) = det (U) =

IJ ufr n

i l =

Prova: indução finita

Temos que A = [ a11 ], L = [ 1 1 1 ] e U = [ u11 ]. Como 1 11 = l, temos que u11 é univocamente determinado, isto é, u11 = a11 • Logo A = LU, de maneira única.

a) Para n = 1

Suponhamos que a decomposição seja verdadeira para uma matriz A de ordem n = (k - 1), isto é, Ak - l = Lk-1 Uk -1

e) Provaremos que a decomposição é verdadeira para uma matriz A de ordem n = k. ·

Cálculo Numérico

Particionamos a matriz A em submatrizes da seguinte maneira:

onde A k- 1 k-I é uma matriz de ordem (k - 1 x k - 1), s é um vetor coluna com (k - 1) componentes e r é um vetor linha também com (k - 1) componentes. De modo análogo, particionamos as matrizes L e U, isto é: u

[

u k-1

u kk

]

O produto da matriz L pela matriz U resulta na seguinte matriz: LxU=

L k-1 U k-1 U k-1

Para provar que a decomposição é verdadeira para a matriz A de ordem n = k, isto é, que A = LU, univocamente, é necessário determinar x, y e ukk de maneira única. Para isso basta considerar a igualdade entre as matrizes

[

A k-1

s a kk

]

[

L k-1 U k-1

X U k-1

temos, assim, o seguinte sistema de equações: A k-1

s r akk

= L k-1 U k-1 = L k-1 y = X u k-1 = xy + u kk

Como Ak-l = Lk-l Uk_1, por hipótese da indução e Ak-l é não singular, então Lk-l e Uk-l são também não singulares. Assim, temos a seguinte solução:

= LIL1 s = r Uk:�1 = ak k - xy e os valores para x, y e ukk são determinados de maneira única.

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Processo de decomposição LU

Considere A = (aij ) i, j = 1, . . . , n L = (lij ) , i, j = l, ... , n e então podemos escrever:

1 121 13 1

U12 U22

1 132

U1 3 U23 U33

U = (uij)

i, j = 1, . . . , n

aln

U1n u2n U3n

ªn ª21 = a31

ª12 ª22 a32

a1 3 a23 a33

ª2n a3n

Unn

anl

an2

an3

... ann

o lnl

ln2

ln3

...

Para a construção do algoritmo, construímos as matrizes U por linhas e a matriz L por colunas, isto é, Cálculo da 1ª linha de

U lª linha de

Cálculo da lll coluna de L

1ª coluna de L Se continuarmos calculando a linha de coluna de L, 3ll linha de U, 3ll coluna de L etc., obteremos as fórmulas genéricas, respectivamente, para os elementos das matrizes U e L da seguinte forma:

U, 2ll

2ll

Matriz U

uii

ai i

i -1

- L lik k =l

uk i

i, j

l, . .. , n,

:s;

Matriz L

j- 1 ai i - L l ik uk i k =l lij = ujj

------

i, j = 1, ... , n i > j

Quando i = j, teremos lii = lü = 1. Podemos, assim, desenvolver para a decomposição da matriz A = (aij ), i, j = l, ... , n no produto A = LU, o seguinte algoritmo: Observação

Algoritmo 2.3

Para m = l, ... , n - 1, faça

= m, m + l, ... , n, faça m-1 = Umj ªmi L lmk u k j k =l

Para j

Para i = m + l , ... , n , faça

lmm = 1 Para m = n, faça

n-1 = Unn ann - L ln k Uk n k =l

Exemplo 2.4

=ompor a mamz

] [

no produto LU.

� 1 = 2 * O � 2 = 4 * O, temos, usando o Algoritmo 2.3:

L = [ � � �]

Como

A=[� : 3: ]

1/2 1/2

2 o 1 U= O 2 1 o o 2

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Aplicação na resolução de sistemas de equações lineares

Considere um sistema de equações lineares Ax = b, cuja matriz dos coeficien tes é A = (aij ) i, j = 1, ... , n x = (xi ) t j = 1, ... , n e b = (bi) t i = 1, ... , n. Vamos supor que a matriz dos coeficientes A satisfaz às condições do Teorema 2.1, então podemos escrever A = LU e, portanto, o sistema Ax = b pode ser escrito: (LU) X = b

Se denominarmos Ux = y, teremos substituído o cálculo da solução do sistema Ax = b, pela solução de dois sistemas triangulares; um inferior Ly = b e outro superior Ux = y. Para a resolução de sistemas triangulares usaremos os Algoritmos 2.1 e 2.2. Exemplo 2.5

'usando o método de decomposição LU, resolva o seguinte sistema de equa ções lineares:

Temos que �1 = 1 ª11 1 = 3 ;t: o �2 =

1 11 I

3 2 ª1 1 ª1 2 = 1 ;t: o = 1 1 ª21 ª22

Portanto, a matriz A satisfaz condições do Teorema 2.1. 2)

Construção das matrizes L e U Usando o Algoritmo 2.4, temos: L

[ � � �l [� 1 3 4/3 1 1

e U=

�

1 3

Cálculo da solução dos sistemas triangulares a)

[

Ly = b

-7

º] [ ] [ 1 ] [ Y1 - ] [ ]

sistema triangular inferior

1 O 1/3 1 O 4/3 1 1

� y3

2 3

-7

y2 y3

513

Cálculo Numérico

Ux =

y �

sistema triangular superior

Portanto, temos a solução do sistema:

x = ( - 3, 5, 0)1

Definição 2.4

Dizemos que uma matriz A = (aij ) i, j = 1, ... , n é simétrica aii = ªii i, j = l, ... , n. Se os menores principais da matriz A, Lii > O i = 1, ... , n, dizemos que A é simé trica e definida positiva. Método de Cholesky

Teorema 2.2

Seja A = (aij ) i, j = 1, ... , n uma matriz simétrica e definida positiva. Então existe uma matriz R = (rij ) i, j = 1, ... , n, triangular superior, com diagonal positiva, tal que A = R• R de maneira única. Além disso, det (A) = (det (R))' = Prova:

(o�' r

Como A é definida positiva, temos que d i > O , i = l , ... , n e, portanto, podemos mostrar que os elementos da diago Além disso, se A = A= nal de = (uij ) i, j = 1, ... , n, podem ser escritos da seguinte maneira:

LU. U

LU,

u ii = �, i, j = l, ... , n, sendo d0 = 1 . (A prova deste resultado é d i-1 feita por indução finita e fica a cargo do leitor).

Sendo d i > O, i = 1, ... , n, temos que u\ i > O, i = l, ... , n. Então, dividindo cada linha da matriz pelo elemento da diagonal u i i > O, podemos escrever:

onde D = (dii ) i, j = 1, ... , n é uma matriz diagonal cujos elementos dii = uii e G = (gij ), i, j = 1, ... , n é uma matriz triangular superior cujos elementos são dados por . .

g1 J

{�

se i = j

i. -J se i :;t: j i < j U ii

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Assim, de A = LU podemos escrever A = L D G e, como A é simétrica, temos:

Do fato da decomposição de A = LU ser única, e da igualdade anterior, podemos escrever: c t = L ou G = Lt, e, considerando que ot = D teremos A = Gt D G

Por outro lado, sabemos que dü = uü > O, i = l, ..., n, o que permite escrever

Como A = ct D G, podemos concluir que

e, portanto,

o que prova a existência da matriz R. A unicidade da decomposição de A em Rt R decorre da unicidade da decomposição de A em LU. Processo de decomposição

Considere A = (aii ) i, j = 1, ..., n, construímos os elementos da matriz triangular superior R = (rij ) i, j = 1, ... , n, escrevendo o produto Rt . R = A, isto é: r11 r12 r22 r1 3 r23 r33

r11 r12 r1 3 r22 r23 r33

rl n ª11 ª12 a1 3 r2n ª21 ª22 a23 r3n = a31 ª32 a33

al n ª2n a3n

o rl n r2n r3n ... a)

�

anl an2 an3 ... ann

Construção dos elementos da diagonal de R ri21 = ª11 � rll = ..Jã;; 2 rA + ri2 = ª22 � r22 = ( ª22 - ri 2 ) 1 ·

rA + rf3 + rf3 = a33 � r33 = ( a33 - rf3 - rf3 ) 1

Cálculo Numérico

ou, de maneira genérica:

e, portanto, i b)

l, .. , n .

Elementos não pertencentes à diagonal de R Construção da lã linha de R rn r12 r11 r1 3

= =

ª12 � r12 a1 3 � r1 3

Construção da

ª12 I rn

a1 3 / r11

2ª linha de R

r12 r1 4 + r22 r2 4

ª 2 4 � r24

r22 a 2 4 - r12 r1 4

= -----

De forma geral:

e, portanto: i-1

(a ii - L rk i rk i ) k=l

1, . , n ..

i + l, . . , n .

Usando convenientemente as expressões genéricas anteriores, pode mos determinar os elementos rii da matriz triangular superior R.

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Algoritmo 2.4

Para i =

Para j = i +

... , n, faça

1, ..., n, faça

Aplicação na _resolução de sistemas lineares

·Considere um sistema de equações lineares Ax = b, onde A = (aii ) i, j = ... , n, x = (xi ) t j = ... , n e b = (bi) t i = ... , n. Se a matriz A satisfaz às condições do Teorema 2.2, podemos escre ver A = Rt R, portanto, o sistema Ax = b pode ser escrito como (Rt R) x = b. Se denominarmos Rx = y, teremos substituído o cálculo da solução do sistema Ax = b, pela solução de dois sistemas triangulares Rt y = b e Rx = y. Exemplo 2.6

rl 8

Usando o método de Cholesky, resolva o seguinte sistema de equações lineares: 2

4 10

Temos que: A = At �1

= 'ª1 1 I = > o

�3

= 36 > o

Portanto, a matriz A satisfaz condições do Teorema,2.2.

Cálculo Numérico

Construção das matrizes R e Rt Usando o Algoritmo 2.4 temos:

Rt = b)

r J r l 2 2 O 4 º1 º3

2 4 e R= O 2 1 o o 3

Cálculo da solução dos sistemas triangulares Rty = b � sistema triangular inferior

R x = y � sistema triangular superior

Portanto, temos a solução do sistema: :X = ( 1 , - 2, l)t 2.3.4 Métodos de eliminação Os métodos de eliminação consistem em transformar o sistema de equa ções lineares Ax = b onde A (aij) i, j = 1, 2, ... , n x = (xi)t j = l, 2, . . . , n e (bi)t i = 1, 2, ... , n num sistema de equação equivalente através da aplicação de operações elementares. Método de eliminação de Gauss com pivotamento diagonal

Considere o sistema de equações lineares Ax = b, onde A = x = (xi)t j = 1, .. . , n b (bi)t i = l, ... , n e det(A) '# O. =

a11 X1 + a12 X2 + a21 X1 + a22 X2 +

··· · · ·

+ aln Xn + a2n Xn

(aij ) i, j = 1,

.. , n

= b1 = b2

O método de eliminação de Gauss, com pivotamento sobre os elementos da diagonal, consi$te em transformar o sistema dado, através de operações

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elementares sobre as linhas, em um sistema equivalente triangular superior, tomando, em cada passo, como pivô, os elementos da diagonal da matriz A. ( A, b) �ºpera�ções e_le_m_en_t_ares � ( A( n-1 ) , b ( n-1 ) ) -

onde A < n -l l x = b( n -l ) é um sistema triangular superior depois de aplicados (n - 1) passos. Consideremos o sistema dado, escrito na seguinte forma: aW x 1 + aW x 2 + aW x 3 + a �� x 4 + ... + a�� Xn = a��+t 1 1 1 1 ª (21) X 1 + ª (22) X 2 + a(231 ) X3 + a (24) X4 + ... + a(2n1 ) Xn = a(2n) +l a<nl1 > x 1 + a<n21 > x 2 + a n< 13> x 3 +

1) 1 ) X n - a(nn + a(nn +l

· · ·

Considere a matriz aumentada: 1 1 1 ª (11) ª (12) ... ª (ln) (1) a (21l ) ª2( 12) ... ª 2n (A, b) =

1 ª (1 n)+l (1) ª2n +l

a�l a�J ... a� . ª �+1

onde a(i li ) = ai j 1 = 1 ... , n J -- 1 . , n + 1 a (l) in+l - b i i = l ... , n . .

. .

Vamos supor que o coeficiente a � : i ':t O, seja considerado elemento pivô. Caso a g i = O, procedemos trocas de linhas até que o coeficiente que ocupa a primeira linha e primeira coluna seja dif�rente de zero. Aplicamos operações elementares às linhas de (A, b) tomando nulos os elementos da 1ª coluna · abaixo da diagonal: Passo 1

1 1 1 1 ª (11) ª (12) ª (1 3) ª (1 4) 2 2 o a � ª (23) ª (24) (2 ) (A, b) = o ª 3( 22) a� ª 34

1 ª (ln) 2 ª (2n) 2 ª (3n)

a(ln1 )+l (2) ª2n +l 2 ( ) a 3 n +l

( 2 ) ... a(nn2) . ªnn (2) O a �l ª (n23) ªn4 +l

onde a(i 1j ) - a i j 1· -- 1 ... , n j = l ..., n + l ª (inl )+l - b i 1 -- 1 ... , n 1 ª (i 1 ) sendo m i 1 = ----w1 = 2 , ... , n. ª 11 _

•

Cálculo Numérico

Assim, o sistema dado inicialmente pode ser escrito da seguinte maneira:

aW X 1 + aW X 2 + aW X3 + a�� X4 + ... + a �� X n = a��+t O + a&2d x 2 + a&2] x 3 + a&21 x 4 + ... + a &� X n = a&�+t O + a�2d X 2 + aW X3 + aW X4 + ... + a �� X n = a�2�+1 (2) + a (2) n n X n -- an n+l

o Passo 2:

Supondo que o coeficiente a g> ::F- O seja considerado elemento pivô. Caso a �;> = O, efetuamos trocas de linhas até que o coeficiente que ocupe a segunda linha e segunda coluna seja diferente de zero. Dessa forma, tomamos nulos os elementos da 2ll coluna abaixo da dia gonal na matriz (A,b), conforme segue: ª (111 )

ª(121 )

ª (113) ª (2) 23

ª(114) ª(2) 24

ª (2) n3

(2) (2) ª (2) n 4 ... ann . ª nn+l

o a<i] o o a�

(A, b)=

ª(ln1 ) ª(2) 2n (2) a � ... a 3 n .

a (l1n+) l a (2) 2n+l (2) a 3 n+l

Assim: 3 3 . ( 2) a(i j ) = a (2) i j - mi2 a 2 i 1 = , ... , n J = 2 , ... , n + 1 ª (2) i2 . 3 onde, mi2 = (2) 1 = , ... , n ª 22 •

Temos o sistema na seguinte forma: a W x 1 + aW x 2 + aW x 3 + aW x 4 + ... + a �� x n = a��+t (2) (2) ( 2) ( 2) o + ª(2) 22 X 2 + a 2 3 X3 + a2 4 X4 + ... + a 2n X n -- a 2n+l O O + a(2) 33 X3 + a(342) X4 + ... + a(32n) X n - a(2) 3 n+l

(2) + a n(2)3 X3 + a (2) nn X n - a nn+l n 4 X4 + ... + a (2)

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Assim, depois de executados (n - 1) passos, obtemos o sistema inicial dado Ax = b na forma equivalente triangular superior, da seguinte maneira: ª (111 ) X 1 + ª(121 ) X 2 + ª (113) X3 + + a(ln1 ) Xn = a (ln1 ) + l (2) (2) (2) ª(2) 22 X 2 + ª 2 3 X3 + + ª 2n Xn - ª 2n + l ···

···

n-1 ) X a ( n-1 ) a (nn n nn+l =

cuja solução é dada conforme Algoritmo 2.2 por: n-1 ) a(nn+l Xn n-1 ) a(nn i ) - �n a(i ) x ª(in+l ""' ij j i= _,_ =i+_l i (n-1), (n-2), ... , 1 xi = ( a.! l =

Algoritmo 2.5 a)

Construção do sistema triangular superior equivalente Para k 1, ... , n - 1, faça Para i = k + l, ... , n, faça =

<k mik

(k) ªik

- (k) _

ªkk

Para j = k, ... , n + 1 a�I �J + l l a�I �J l - m�1 kk l x a(k�J l b) Calcular a solução do sistema triangular superior Usar o Algoritmo 2.2. =

Exemplo 2.7

Usando o método de eliminação de Gauss, resolva o sistema de equações lineares:

]

Considere a matriz aumentada, conforme o exemplo: (A, b) =

[� -3

o 1 .1 2 1 . 1 1 3 . 3

Cálculo Numérico

Depois de executar os passos 1 e 2 do método de eliminação de Gauss, temos a matriz na forma triangular superior equivalente:

o 1 . 1 2 o . o o 4 4

{

Reescrevendo o sistema na forma equivalente triangular superior, temos: 3 X1 + Ü X2 + l X3 = 1 2 X2 + Ü X3 = Ü 4 X3 = 4

Solução do sistema:

x (O O, l)t =

Método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial

Considere o sistema de equações lineares Ax = b, onde A = (aii ) i, j x (xj ) t j l, ... , n b (bi)t i 1, ... , n e det(A) -:;:. O. Representamos: =

l, ... , n,

a(ll1 ) X 1 + a(121 ) X 2 + a(113) X3 + a(141 ) X4 + ... + a (ln1 ) X n = a (ln1 )+l ( 1 ) X 1 + ª22 ( 1 ) X 2 + a( 13) X3 + a( 1 ) X 4 + ... + a( 1 ) X a( 1 ) ª21 2n+l 24 2 2n n 1 1 1 1 1 ) a(3 1) X 1 + a (3 2) X 2 + a(33) X3 + a(34) X4 + ... + a(3n) X n = a (31n+l =

a<nl1 l x 1 + a <n12l x 2 + a Cn13> x 3 +

1) + a(n1 )n X n - a(nn+l

. . . (l) onde a (l) i i - a i i 1 -- 1 , ... , n J -- 1 , ... , n + 1 ain+l - bi 1 -- 1 , ... , n . O método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial consiste em transformar o sistema dado, através de operações elementares sobre as linhas, em um sistema triangular superior, tomando, em cada passo, como pivô o elemento de maior valor absoluto abaixo da diagonal, de cada coluna da matriz A conforme ilustramos a seguir:

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No k-ésimo passo temos:

(k) ( k) ªn ª12 (k) ª22

(k) ªn (k)

( k) al n (k) a2n

a 23

............... . . . .

: (k) : (k) : ak ,k ! ak ,k+I : (k) : (k) : ª k+l, k : ª k+l, k+l .

. . .

(k) i

(k )

(k) al,n+l (k) a2, n+l (k)

ak ,n (k) ak+l,n

a k ,n+l ( k) a k+l,n

( k) an ,n

(k) an ,n

Escolher o elemento de maior valor absoluto na coluna destacada.

Desta forma, temos a estratégia de pivotamento parcial: No início do k-ésimo passo, escolher para pivô o elemento de maior valor absoluto da coluna k, entre os coeficientes da diagonal, para baixo, isto é, escolher a linha r tal que:

1 a(,k)k 1 = máx { 1 a(k)kk 1 , 1 a(kk)+Ik 1 , ..., 1 a(nkk) 1 }

Efetuar as trocas das linhas r e k, se r -::t:- k. Estas trocas devem ser arma zenadas. Para isto, consideramos um vetor P = (p11 p2, ... , Pn) onde Pi for nece a linha na i-ésima posição. Inicialmente, temos p1 1, P2 = 2, .. , Pn = n. Depois das trocas das linhas (r e k), atualizamos o vetor P trocando Pk por Pr e efetuamos a eliminação de Gauss como anteriormente, considerando o pivô na posição (k, k). =

Observação

Quando usamos esta estratégia de escolha do pivô, podemos provar que a propagação dos erros de arredondamento é controlada, uma vez que o ele mento pivô será o maior em valor absoluto de cada coluna (W'tlkinson, J. H.).

Cálculo Numérico

Algoritmo 2.6 a) Início:

Vetor que armazena as posições das linhas Para i = ... , n, faça Pi = i b) Construção do sistema equivalente triangular superior Para k = 1, ... , n - 1, faça

�:rne r tal que 1 �:� l = m á x { 1 �� 1 , i = k, ..., n}

Det

Se a rk = O , então det(A) = O, o sistema indeterminado, Pare. Trocas das linhas k e r: Para j = k, ... , n + faça (k) aux = a r j (k ) (k) arj = akj (k ) ak j = aux

aux = Pr Pr = p k Pk = aux Para i = k + 1, ... , n, faça

(k) (k) ai k mi k = (kf akk Para j = k, ... , n + 1, faça (k+l) (k) (k) (k) ai i = a i i - mi k ª k i

e) Calcular a solução do sistema triangular superior

Usar o Algoritmo 2.2.

Exemplo 2.8

Usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial, resolva o sistema de equações lineares:

U � �H:: H: l lr 1

Considere a matriz aumentada e o vetor P (p 1 1 p2, p3) que armazena as permutações nas linhas da matriz A. Inicialmente temos P = (1, 2, 3). 2 3 . 3 (A, b) = 3 1 0 . 4 o 3 4.3 =

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Passo 1

Na primeira coluna observamos que o maior coeficiente em valor absoluto é o que ocupa a posição linha 2, isto é, o a2 1 = 3. Este coeficiente, considerado como elemento pivô, deverá ocupar a po sição diagonal na primeira coluna, portanto, devemos trocar a 2ª linha pela lil linha (coeficiente a2 1 ocupa a posição (1,1)). Em seguida, procede-se como no método de eliminação de Gauss com pivotamento na diagonal para tornar nulos os coeficientes da primeira coluna abaixo do elemento pivô. Temos, assim, o sistema na seguinte forma:

(A, b)

Atualizamos o vetor P = Passo 2

513

O .

4 .

(2, 1, 3).

Na segunda coluna, observamos que o maior coeficiente em valor absoluto é o que ocupa a posição linha 3, isto é, o a32 = 3. Este coeficiente, considerado elemento pivô, deverá ocupar a posição dia gonal, na segunda coluna, portanto, devemos trocar a 3il linha pela 2il linha (coeficiente a32 ocupa a posição (2,2)) e atualizamos o vetor P = (2,3,1). Neste caso, temos o seguinte sistema:

[

3 1 o 3 o 5/3

Devemos, agora, tornar nulos os coeficientes da segunda coluna abaixo do elemento pivô. Fazendo operações elementares sobre as linhas teremos o sistema na forma triangular superior, isto é:

= [ � � � l [ :: l [ : l Ü Ü 7 /9

Resolvendo o sistema triangular superior, teremos o seguinte vetor solução: x = ( 1 , l, 0)1

Cálculo Numérico

Método de eliminação de Gauss com pivotamento total

Considere o sistema de equações lineares Ax = b, onde A = (aii ) i, j = 1, ... , n, x = (xi ) t j = l, ... , n e b = (bi) t i = 1, 2, ... , n e det(A) * O. Representamos por: ( l) (l) 1) a 11 X 1 + ª(121 ) X 2 + a(113) X3 + a (114) X4 + . + a 1n X n = a(ln+l l) (l) 1) (1) (1 ( 1 ) X4 + .. + a(2n X n = ª2n+l ª2 1 X 1 + ª (22 X 2 + ª 2 3) X3 + ª24 (l) (l) ) a3 1 X 1 + a(312) X 2 + a(331 ) X3 + a(341 ) X4 + ... + a 3 n X n = a(31n+l ..

(1)

) . . . + a nn X n - a (nn+l l) onde a(iil ) - a i i ' 1 -- 1 , ... , n, J. -- 1 , ... , n + 1 , a(in+1 - b i 1. -- 1 , ... , n O método de eliminação de Gauss com pivotamento total consiste em transformar o sistema dado, através de operações elementares sobre as linhas, em um sistema triangular superior equivalente. Neste caso, tomamos, em cada passo, como pivô o elemento de maior valor absoluto entre todos os elementos da submatriz, abaixo da k-ésima linha e a partir da k-ésima coluna, isto é, entre os elementos a\� l i � k, j � k , conforme ilustramos a seguir: No k-ésimo passo temos: -

•

(k) (k)

(k)

ª11 ª12 ªn (k) ª22

(k)

a23

(k) a ln

(k) aln+l

(k) ª2n

(k) ª2n+l

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

(k) akk

(k) akk+1

(k) (k) ªk+l k ªk+l k+l

(k) an k

(k) ak n

(k) . ak n+l

(k) ak+ln

(k) an k+l

Escolher o elemento de maior valor absoluto na submatriz destacada.

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Desta forma, temos a estratégia de pivotamento total:

1 �� 1

= máx

{ 1 �: 1 ,

i�k j

�k

}

Devemos trocar as linhas (k e r) e as colunas (k e s). Estas trocas devem ser armazenadas. Para isto, considere os vetores P = (p 1 1 pz, ... , Pn) e Q = (q1 , qz, ... , qn), onde Pi fornece a linha na posição i, e qi a coluna na posição j. Efetua-se a eliminação de Gauss com o pivô na posição (k, k). Observe que as trocas de colunas produzem trocas no vetor solução. Por exemplo, se a 3ª coluna é trocada com a 1ª coluna, então a 1ª posição do vetor solução contém a variável x3 e a 3ª posição do vetor solução contém a variável x1 . Algoritmo 2.7 a) Início: Vetores que armazenam as posições das linhas e colunas

Para i = 1, ... , n, faça Pi = i qi = i b) Construção do sistema equivalente triangular superior

Para k = l, ... , n - 1, faça

1 (k) 1

Determine r e s tal que ars = m á x

{I (k) 1 aii

i = k, . . ., n j = k, ... , n

Troque a linha k com a linha r, atualize Pk e Pr· Troque a coluna k com a coluna s, atualize qk e q5• Para i = k + 1, ... , n, faça

}

(k) <k > a i k mi k = ('k"} ªkk

Para j = k, ... , n + l , faça

( k + I ) ( k ) (k) ( k ) a i i = a i i - mi k ª k i

e) Calcular a solução do sistema triangular superior Usar o Algoritmo 2.2. Exemplo 2.9

Resolva o sistema de equações lineares usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento total.

Cálculo Numérico

[� � ! : �] (1,

Considere a matriz aumentada:

Inicialmente temos P = 2, 3) e Q = (1, 2, 3), os vetores que armazenam as posições das linhas e colunas da matriz A, respectivamente. Fazendo trocas de linhas e colunas de forma conveniente e atualizando os vetores P e Q, temos o seguinte sistema triangular equivalente:

[ � � -111/61/ 6] [::] [-111/61/ 6] 1) 1, =

Ü Ü

Neste caso, temos P = (2, 3, Solução do sistema:

e Q = (3,

x = (O, 1, O)t

2.3.5 Método de eliminação de Gauss-Jordan

Considere o sistema de equações lineares Ax = b, onde A = (aij) i, j = i = ... , n. Representamos por: (l) 1) a(ll1 ) X 1 + a(121 ) X2 + a(131 ) X 3 + a (114) X 4 + ... + a 1n = a(ln+l l 1) ( 1 ) X 1 + ª22 ( 1 ) X2 + a(231 ) X 3 + a( 1 ) X + ... + a(2n) = a(2n+ ª21 l 24 4 l () 1) a (311 ) X 1 + a (321 ) X 2 + a(331 ) X 3 + a(314) X 4 + ... + a 3n = a(3n+ l

x = (xi)t j = l, ... , n e b = (bi)t

... , n

(l) 1) a(nl1 ) X 1 + a n( 12) X 2 + a(n31 ) X 3 + a (n14) X 4 + ... + a nn - a (nn+l (1) (i) onde a i i = a ii i = l, ... , n j = l, ... , n + l, a 1n+1 = bi i = l, ... , n. O método de eliminação de Gauss-Jordan consiste em transformar o siste ma dado, através de operações elementares sobre as linhas, em um sistema cuja matriz dos coeficientes seja a matriz identidade, tomando, em cada passo, como pivô os elementos da diagonal da matriz A Utilizamos neste método operações semelhantes àquelas aplicadas no método de eliminação de Gauss, isto é, onde 1 x

( A, b )

operações elementares

( 1, b )

b é um sistema cuja solução é o vetor b.

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Considere o k-ésimo passo: a) Dividir a k-ésima equação pelo pivô a LkJ . b) Subtrair das la, 2a, ... , (k-l )a, ... , n-ésima equações a k-ésima equação (k ) (k ) (k) (k) (k) multiplicada por a 1k , a 2k , ... , ªk-l k , a k+lk , ... , a nk respectivamente. Assim, no k-ésimo passo temos o sistema escrito na seguinte forma: ( k+l ) ( k+l ) k+l ) l x 1 + O + O + + ... + a l ,k+l Xk+l + + a ln Xn - a (ln+l ( k+l ) ( k+l ) ( k+l ) Ü +1 + a 2,k+l Xk+l + ... + a 2n Xn - ª2n+l X2 + Ü + Ü + ... ( k+l ) ( k+l ) ) O + O + l x 3 + 0 + ... + a 3, k+l Xk+l + ... + a3 n Xn -- a(3k+l n+l ···

�B)

��

o + o + o + o + ...

(�ij

+ a nk+l Xk+l + ... + a nn X n = a nn+l

Continuando dessa forma até executarmos o n-ésimo passo, temos a solução do sistema: ( n) x = b, onde bi = ai n+l i = l, . . . , n Algoritmo 2.8 a) Construção da matriz identidade

Para k = 1, ... , n, faça Para j = k, ... , n+ l, faça

a <kki + 1 >

(k) ªki a (kkkl

Para i = 1 , ... , n, i * k, faça

a� � + I ) = a� k> - a� kk> a<kk> IJ

b) Calcular a solução do sistema

(n) Imprimir o vetor solução xi = a in+1 , i = 1, . . . , n.

Exemplo 2.10

Usando o método de eliminação de Gauss-Jordan, resolva o sistema de equa ções lineares:

l ! � � ] l:J l � ] l ! �] -

Considere a matriz aumentada: (A, b)

�

2 -2

[

Cálculo Numérico

Após executar os passos 1 e 2, podemos escrever:

1 2/3 4 / 3 . 1 / 3 2/3 . 5/3 (A, b) = O 1 / 3 o 1 / 3 -22/ 3 . 5/3 Repetindo os passos 1 e 2 até tomar a matriz A 1 matriz identidade,

obtemos:

(A, b) = cuja solução é x = (-3, 5, 0)1 .

[�

o 1 o

2.4 Matrizes i nversas Seja A = (aij ) i j = l, ... , n uma matriz não singular (det(A)*Ü). Então existe uma única matriz A-1 chamada de inversa de A, tal que A A-1 = 1. Desta forma, temos:

1 o o o 1 o

o o

o o o ... 1

Portanto, para determinar as n colunas da matriz inversa A-1 , temos de resolver n sistemas de equações lineares, usando qualquer um dos métodos diretos vistos anteriormente, como observa-se a seguir: 1 a ln a 11 a 1 2 X 11 a 2n Ü X 21 ª 21 a 22 = � 1ª coluna de A-1 ·

···

a n l a n 2 .. . a nn

Xnl

aln a2n

X 1n X2n

o o

ª11 ª12 ª21 ª 22

= a n l a n 2 ... a nn

X nn

� n-ésima coluna de A-1

A solução dos n-sistemas anteriores identificam as n-colunas da matriz inversa A-1 .

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Exemplo 2.11

l : r J r :: � � � l r ::: :: ::: i r � � � r J i

Determine a inversa da matriz A a seguir, usando o método de eliminação de Gauss:

� � �l

Ü 1 1 1 Como A A = 1, temos: A=

X1 2 X1 3 x22 x23 X31 X32 X33

A1= -

---t

inversa de A

Ü 1 1 X31 X32 X33 Ü Ü 1 Logo, três sistemas de equações lineares devem ser resolvidos: =

Construímos inicialmente a matriz (A, 1) e a transformamos numa matriz triangular superior, usando os passos de Gauss: o 1

1 . 1

o 1

�H � [� r � � � i r:: i r � i : [� � �i r : i r �i o o -1 . o

o 1

o -1

o 1 o o -1

�]

Assim, podemos resolver os sistemas triangulares, como segue:

(x 11 Ü

(x 12

Ü -1

X 31

x 21 x31 )1 = (1, O, O) Ü -1

X 32

---t

1ª coluna da matriz inversa

-1

x 22 x32 )1 = (- 1, - 1, 1)

r � � � l r:: i r � i

---t

2a coluna da matriz inversa

(x 1 3

Ü -1

X 33

x 23 x33 )1 = (1, 2� - 1)

---t

3a coluna da matriz inversa

Cálculo Numérico

Portanto, temos: A-1

] [

1 -1 1 = O -1 2 � o 1 -1

matriz inversa de A

Observação

Quando usamos o método de Gauss-Jordan no cálculo da matriz inversa, transformamos a matriz A na forma da matriz identidade, usando os passos de Gauss-Jordan, simultaneamente com os vetores da matriz identidade, como no exemplo anterior. Retomamos os sistemas equivalentes 1 x = b. Neste caso, a matriz inversa encontra-se em cima da matriz identidade modificada, conforme Exemplo 2.12: Exemplo 2.12

Usando o método de eliminação de Gauss-Jordan, determine a matriz inversa:

[ �] 2

A= O

1 -1

Construímos inicialmente a matriz:

[

2 1 3 (A, 1 ) = O -1 1 1 o 3

1 o o 1

n -2]

o o

Aplicando os passos do método de eliminação de Gauss-Jordan, obtemos a seguinte matriz:

(1, A-1 )�

Ü X 1 Ü] [X2n1 ] Ü 1 X31

[�

o o

3/2 3/2 . -1 /2 -3/2 . -1/2 -1/2

2 Ü X 1 [1ÜÜ Ü1 Ü1] [X3X222]

1 1

Temos, neste caso, os sistemas equivalentes:

[�

[ ] 3/2 -1/2 -1/2

[ ] [ÜÜ m::J{�J 3/ 2 -3 / 2 -1/2

1 o 1

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

/2 -1/2 3-1/2

Assim, temos a matriz inversa: A -1 =

3/2 -2 - /2 1 -1/2 3 1

2.5 Condicionamento de sistemas lineares Dizemos que um sistema de equações lineares A x = b é mal condicionado se pequenas perturbações em alguns de seus coeficientes produzem bruscas altera ções em sua solução. Para detectar o mau condicionamento de um sistema linear, devemos calcular o número de condição da matriz do sistema, definido por:

K(A) =

1";

l Al l A

-i

Se K(A) for "próximo de dizemos que o sistema é bem condicionado; caso contrário, dizemos que o sistema é mal condicionado. Exemplo 2.13

Considere o sistema de equações lineares:

Solução: x =

(1, l)t

Solução: x =

(12, -lO)t

[ � 1.00�01] [::] [2.0�001] =

Considere o sistema dado ligeiramente modificado conforme o exem plo dado:

Podemos observar que temos um sistema mal condicionado, pois uma pequena modificação no vetor b do sistema provoca uma grande alteração na sua solução. Temos, neste caso:

K(A ) =

2.6 Métodos iterativos

400004.00001

2.6.1 Introdução Um método para calcular a solução única de um sistema Ax = b, A = (ai i ) i, j = l, ... n e det(A) * O é denominado iterativo quando fornece uma seqüência Cfe soluções aproximadas, em que cada solução aproximada é obtida da ante rior pela aplicação de um mesmo procedimento.

Cálculo Numérico

De modo ger a l , a cons t r u ção do mét o do i t e r a t i v o cons i d er a a tr a ns f o r b par a a f o r m a equi v al e nt e H mação poscialtxer(Oi)o,dordetmsentiesrtmeema,inamos a paroritgirinadesalseAtqüêaxnovancia fdeormsoalue çõesde umaaprsooxliumçãoadasaprxconsoximidxadaeragndoinie, o processo iteraxt(ikv+o:l) Hx(k) g O, . ., onde: H mat r i z i t e r a t i v a ( n n) g vet o r � � Assisstiemma, parAtxindo-b,sdete deerumaminamosaproxaimseaçãoqüêninciiacideal xvet(O) paroreas axs(Io),luxção(2), xe(3x)at, .a. do que se pretende, seja convergentleimparxaCkal solução isto é, será necesApressáerntioamosnesteacapíseguiturloum. breve resumo de resultados e definições que Definimos norma de um vetor x1 e- l V: V(e�spaço9t vetorial) por: x � l l satisfanzendo às s e guint e s condi ç ões : 1n2)) l x l :2:: =ü 'v' x e V 'v'; l xal e=9tü�, 'v' xx = VO n3) + + 'v' x, e V De esp(e�ial inty:s e, quando V 9tn, são as normas lp definidas por: l x l P � x PJ � 1 e l xlL máx{lxi l, i = l, . ., n}. Considere x = (x1 x2, . .,xx1n) x9t2n . . + xn n x = l l + l l + l l ( ni = l i l x l 2 = xi x � + . . + x � = � l xi 1 2 J = máx l x1 l, l x2 l 1 · ·1 l xn l = =

1, 2,

(nxl)

X:,

= X:

2.6.2 Resultados e definições Definição 2.5: Norma de vetores

l a x l lal l x l ; l x Yl l $ l x l l Yll ;

Observação

; p

Exemplo 2.14

l xl1

l x lL

{

Ll l

} �i�� l xi l

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Exemplo 2.15

Considere x = (x 1 , x 2 1 x 3 , x 4 ) = (l, 2, 3, 4) E 9\ 4 Então, temos: •

Observação a) No podemos identificar a

':R 2

li 1 2 como o comprimento do segmento1que liga a origem (O, O) ao ponto P(xv Xz) do plano (x, y), isto é, d = (xr + xn 1 2 . x

Normas equivalentes

Considere l i . l i e l i . l i b duas normas em V. Dizemos que as normas são equivalentes se existem constantes reais positivas k1 e k2, tais que: ª

É possível mostrar que, em um espaço de dimensão finita, todas as normas Observação

são equivalentes. Exemplo 2.16

Considere x = (x 1 1 x 2 , , x n ) E 9\ n . São válidas as seguintes desigualdades: •••

l xL $ ll x l 1 $ n l xL b ) l � L $ l x l 2 $ fo l xL c) x fo l x l 1 n l x l 1 $ l ll 2 $ a)

Seqüência convergente

Considere x < i J = (x 1 , x 2 1 , X n )( i ) uma seqüência de vetores do espaço veto rial 9\ n . Dizemos que a seqüência x(i) converge para x = (x1 , x2 1 , xn ) E 9\ n se li x < i l - x li � O, quando i � para qualquer norma em 9\ n . •.•

Exemplo 2.17

•••

(

oo,

1 .. C ons1"d ere a sequencia x ( i ) - i, o , o , ... , o A

•

) c»n ,. 1. -- 1, 2, ... e -x - (O, , ..., O). o

E .:1\

Como l x< i l - x l = � ' temos l x < i l _ x l � O, quando i � 1

Definição 2.6: Norma de matriz

oo.

Considere V = 9\ (n, n) o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem (n n) sobre 9\. Uma norma em V é uma aplicação indicada por 1 . 1 tal que: x

li · li : 9\ (n, n) �

� l Al

Cálculo Numérico

satisfazendo às seguintes condições: ni ) l i A l i ;?: O; V A e 9l (n, n) e l i A l i = O � A = O n2) l i a A li = 1 a 1 1 1 A l i ; V a e 9l, V A e 9l (n, n) n3) l i A + B l i $ l i A l i + l i B l i ; V A , B e 9l (n, n) Exemplo 2.18

Considere A = (aij ) i, j

l, . ., n, então

temos as seguintes normas de matrizes:

. _xn L li A I L = ll A l lL = � l _ i� . 1 1 ai i 1 � norma linha J=

L (ai i ) � norma euclidiana li A 11 2 = L i=l j=l

Propriedade

Para as normas l i . 1 11 e li . I L temos:

ll A B ll $ ll A ll ll B ll V A , B e 9l (n, n) ·

Exemplo 2.19

Considere a matriz:

então,

3 l i A 112 = L j , j=l

(ai i ) 2 = fi3 = 8 . 54

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Definição 2.7

Considere uma norma de vetor x E 9t n e uma norma de matriz Dizemos que estas normas são consistentes se: Ax A x 'v' A e �(n , n) e 'v' x e � n

A e � (n, n).

j l�ll ll ll ll

2.6.3 Método iterativo de Jacobi-Richardson

Considere o sistema de equações lineares Ax = b, onde A = (aij ) i, j = l, 2, ... , n det(A) -:F- O, com a diagonal principal aii -:F- O i = l, . , n: ..

a11 X1 + a1 2 X2 + a1 3 X 3 + a2 1 X1 + a22 X2 + a2 3 X3 +

···

+ aln Xn = b1 + a2 n X n = b2

Podemos escrever o sistema dado na forma equivalente dividindo cada linha pelo elemento da diagonal e explicitando x1 na 1ª equação, x2 na 2ª equa ção, x3 na 3ª equação e Xn na n-ésima equação, conforme vemos a seguir: X 1 = _!_ (b 1 - a 1 2 X 2 - a 1 3 X3 ªn

Xz =

ª22

(b2

ª21 X 1 - a23 X 3

a1n xn )

···

- a2 n x n )

Na forma matricial temos: X1

o - ª 2 1 - a3 1

ª11

anl ª11

b1 ª11

ª21 ª22

a23 ª22

a2 n ª22

b2 ª22

ª11

Cálculo Numérico

{

Assim, podemos escrever: x = Hx + g, onde, H = (hii ), sendo hij=

o i=j

_ a ii

a ii

i, j = l, 2, ... , n � matriz iterativa

i*j

b gi = -i i = l, 2, ... , n a ii Desta forma, podemos escrever o método iterativo de Jacobi-Richardson: x(k+l )

= H x ( k) + g

1, 2, ...

Assim: anl ª11 a2n ª22

a o - ª21 - 31 -

x1 (k+l)

ªn

ª21 ª22

Xz(k+l)

ªn ª23 ª22

bl ª11

X1 (k) Xz(k)

b2 ª22

o Podemos, ainda, escrevê-lo na seguinte forma: a12 (k ) - a13 X (k ) X2 3 ªn ª11 a23 (k) a X3 X 2(k+l ) = _ 21 X 1(k ) ª22 ª22

X 1(k+l ) =

a X n(k+l ) = - nl X1(k ) ann

an2 (k ) X2 ann

aln (k) -Xn ª11 a2n (k) -Xn ª22

bl ª11 b2 ª22

+ -

b a - nn-1 X n-1(k ) + n ann ann --

Observação

O método iterativo de Jacobi-Richardson, de uma forma geral, pode ser es

crito como: i -1

j=l

j = i+l

x l k +l l = (bi -L a i i x j k l - L ai i x i< k l) / a ii

1, ... , n

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Estudo da convergência

Teorema 2.3

Sejam uma norma matricial consistente com alguma norma vetorial e x < 0 l E �n uma solução aproximada inicial qualquer. Se l i H l i < 1, então a seqüência de soluções aproximadas definida pelo processo iterativo x< k + l ) = Hx < k l + g, k = O, 1, 2, ... , converge para a solução x do sistema Ax. b. =

Prova:

Devemos provar que ll e< k lll � ü, quando k � oo, onde e< k l = x - x< k l é o erro cometido na k-ésima iteração. Assim, e< k l = x - x< k l = (H x +g) -(Hx < k-l ) + g) = H(x- x < k-1 l ) = H e< k-l ) Portanto, 1 e < l = H e <ºl e <2> = H e <1 >

H 2 e <º >

Assim, li e< k l li = l i x - x< k l l i = li Hk ·e< º l li � l i Hk 1 1 e< º l li Por outro lado, sabemos que l i H k li � l i H li k Logo: li e< k l l i � l i H l l k li e< º l li Assim, se 1 H 11 < 1, temos que l i e< k l li = li x - x< k l li � O, quando k � oo. Portanto: x< k l � x. '

Observação

(lê-se l i H l i muito menor que l }, então li H r tende a zero rapi damente, ou seja, a seqüência de soluções aproximadas converge para a solu ção do sistema rapidamente. Se li H l i l, porém li H l i < 1, a convergência ocorre, mas lentamente. Observamos, ainda, que a convergência não depende da solução inicial x(D) .

Se li H li < < 1

::::

Definição 2.8

Cpnsidere nA = (aij) i, j = 1, ... , n. Dizemos que n A é diagonalmente dominante se 1 aii 1 � L 1 aii 1 i = 1, ... , n. Caso 1 aii 1 > L 1 aii 1 i l, ... , n, dizemos que a j=l •*J

i= � •*J

matriz A é estritamente diagonalmente dominante.

Cálculo Numérico

Resultado

Se a matriz A do sistema Ax = b for estritamente e diagonalmente dominante, então o método iterativo de Jacobi-Richardson gera uma seqüência de soluções aproximadas convergente para a solução do sistema, pois teremos li H I L < 1. Algoritmo 2.9 a)

Forneça uma solução inicial aproximada x(O) = (x(�) , x(g) , ... , x(� ) e E > O, uma tolerância fixa. Faça k = O e Pare = Falso.

Construção da seqüência de soluções aproximadas: Enquanto Pare = Falso, faça Para i = 1, . . . , n, faça: (n) (i-1 bi """ - a . . \ k l / a ·· + k . . < l + a x x\1 k +t) = """ � 1 ) xJ 1) J � ªü i=i+l i= I Se

)

(

l x< k +t) - xli < k ll l � E , entao Pare = Verdade +l k l l x< l Senão k = k + 1

Observação

Não há necessidade de armazenar explicitamente as soluções x(O), x(l), x(2), ... , x(n). Caso o critério de parada não seja satisfeito, então x < 0 l f- x < 1 l, isto é, arma zene x(l) em x(O). Desta forma, apenas 2 vetores são necessários para calcular a seqüência. Usando o método iterativo de Jacobi-Richardson, determine uma solução aproxi mada para o seguinte sistema de equações lineares, com aproximação inicial x <0l = (x <�l , x <g> , x<g»t = ( O , O, 0)1 e precisão E = 10- 2 . Exemplo 2.20

Construção da matriz iterativa H: H=

-2/10 -1/lO O -1/5 1/5 o -2/10 3 / 10 o

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Verificar a condição de convergência: 3 l i H l L = li H li_ = m�x L 1 hi i 1 = m�x { 3/10, 2/10, 5/10 } = 0.5 < 1 1

j 1 =

Portanto, a seqüência de soluções aproximadas é convergente para a solução do sistema. Cálculo das iterações: - 14 - 2 X(2k ) - 1 X(3k ) X(1k + l ) 10 10 10 11 1 1 X(2k + l ) = - X( k ) - X ( k ) k = o, l, 2, ... 5 -5 1 5 3 X(3k + l ) = 108 - 102 X(1k ) - l3Q X(2k ) Para k = O e tomando x( o ) = (O, O, 0)1, temos x( l > = (1.4000, 2.2000, 0.8000)1 x( l > - x( º > Teste de parada: l l il = 1 > 10- 2 l x( ) I L Para k = l, temos: 14 - 2 X(1) - 1 (1) X(12 ) = l Q 10 2 10 X3 11 - -1 X(1) - -1 X(1) X(22 ) = 5 5 1 5 3 8 -2 X(1 ) - 3 X(1) X(32 ) -10 10 1 10 2 ( 2 ) - x( l l l Portanto, x( 2 > = (0.8800, 1.7600, -0.1400)1 � li x 2 l = 0.5341 > 10-2 x( ) l i.. l i Assim, sucessivamente, calculamos: x( 3 l _ x( 2 ) IL l i 3) =0.1423 > 10-2 x( = (1.0340, 2.0520, 0.0960)1 � ( 3 ) x li 1L x( 4 ) - x( J) l .. = 0.0600 > 10-2 x( 4 l = (0.9800, 1.9739, -0.0225)1 � li ) 4 li x( 1 .. x( S ) - x( 4 ) l .. . l i S = 0.0172> 10 -2 x( l = (1.0075, 2.0085, -0.0118)1 � (s ) x li l .. x(6) - x( S ) IL = o.0062 < 10 -2 , x(6) = (0.9971, 1.9961, -0.0041)1 � l i l i x(6) 1L Como o critério de parada está satisfeito, temos que x = x(6 ) é a solução aproximada para o sistema com a precisão E = 10-2. -

Cálculo Numérico

Observação

A seqüência de aproximações x(l ), x(2), x(3), x(4), ... converge para a solução exata do sistema, dada porx (1, 2, O)t . A convergência lenta decorre do fato de JJHJJ não ser tão "pequena". =

2.6.4 Método iterativo de Gauss-Seidel

Considere o sistema de equações lineares Ax = b, onde A = (aii ) i, j = 1, ... , n det(A) * O, com a diagonal principal aii * O i = 1, ... , n a11 X1 + a12 X2 + a1 3 X3 + + al n Xn b1 a21 X1 + a22 X2 + a2 3 X3 + + a2n Xn = b2 =

···

Dividindo cada linha do sistema dado pelo elemento da diagonal e expli citando x1 na h equação, x2 na 2ll equação até Xn na n-ésima equação, temos o sistema escrito na forma equivalente:

X1 = _..!._11 (b1 - a12 X 2 - a1 3 X 3 - - a1n Xn ) ª X2 = _I_ (b2 - ª21 X1 - a2 3 X 3 - - a2n Xn ) ª22 •••

••·

O método iterativo de Gauss-Seidel é dado da seguinte forma:

X1(k+l ) X 2(k+l )

_ a12

_ aln

(k) X2 ª 11 _ a21 X l (k+l) _ a23 X 3 (k) ª22 ª22

Xn (k) ª11 _ ª 2 n Xn (k) ª22

an l X (k+l) an 2 X2(k+l) ann i ann De uma forma geral: n i -1 +I) ( k k ·· . "" a x X 1.( k+l) ( b · - "' � a 1)·· x J. < > ) / a .. � 1) J j=l j=i+l Xn (k+l)

1 . .. , n '

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Ainda, podemos escrever: n i-1 -· X · ( k+l ) � h ·· X · (k) ) X 1_ (k+l ) = (g 1· - � h k..J 1) J k..J 1) J j=i+l j=l onde g; = b; / au h;i = a;i / a ii i = l, ... , n Na forma matricial temos: _

o o ...

1° = 1 f • • •

an l - an 2 -- ann-1 o Xn(k+l ) ann ann ann al n bl ª1 2 - ªn o -X1 (k) ª11 ª11 ª11 ª11 b2 a23 a2n ) o o k ( Xz + + ª22 ª22 ª22 bn Xn(k) ann o o o o Temos, desta forma, que: x ( k+l l - P x ( k+l l + Qx < kJ +g , onde p - (Pii ) e Q - (q;i ) 1,· J· - 1 , ... , n e Pii' q;i sao dados por: ª i , se i > j ªii , se i < j b. '. e g=P11.. = a q;i = aii ' a; O , se i � j O , se i � j Podemos, ainda, escrever o método iterativo de Gauss-Seidel da se guinte forma: (1 - P)x< k+l l = Qx< k l + g Como a matriz (1-P) é inversível, multiplicando-a em ambos os lados da expressão obtida, temos: x< k+l ) = (1 - Pt1 Q x< k l+ (1 -P t1 g Chamando H = ( 1 - Pf 1 Q --7 matriz iterativa g = (l - P t1 g, podemos escrever o Método Iterativo de Gauss-Seidel como: x< k+ll = H: x<kJ + g Xn(k+l )

Cálculo Numérico

Apresentamos, a seguir, um teorema que fornece uma condição sufi ciente para a convergência da seqüência de soluções aproximadas gerada pelo método iterativo de Gauss-Seidel. Estudo da convergência

Teorema 2.4 (Critério de Sassenfeld)

Sejam as constantes � i definidas pelas seguintes fórmulas de recorrência: n

i-1

1 hij 1 �j + Ii 1 hi d i = 1, . . . , n �i = I j= + l j=l

e seja

Então, se � < l, a seqüência x(k), gerada pelo método iterativo de Gauss Seidel, converge para a solução X: do sistema dado. Prova:

Seja a forma

x = (x1 , x2 1 • • • , Xn ) 1

Assim, temos:

i-1

x/k+l l = gi + L hi i xjk+l l + L hii xjkl j=i + l j=l Xj =

Podemos escrever: ou ainda

a solução do sistema dado, então esta satisfaz

i-1

gi + L hi j xj + L hi j xj

j=l

j= i + l

i-1 n (x� k + l l _ xi ) = L hii (xl k + l l _ xi ) + L hii (xl k l - xi ) j=i + l j=l

i-1 n l l + + k � � J e l 1 L i hii 1 J el k l 1 + L i hii l J el k l 1 j=i + l j=l onde lei<m l 1 = l xi<m l _ xi I ·

Agora, podemos provar que a seguinte desigualdade é verdadeira: (verificar como exercício)

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Assim,

Agora:

i-1

kl x l e�k ) I + L l hi j l � hi d p i � �x l e�k ) I � l H + )I � L Ls_n L s� _n j=l j=i l

� �� l ·l" I

+ l h; d = �; �� l el

(� l1t;; i �i + j�, )

j e�k l j = pk + l máx j e�º l j máx l e�k + l ) j ) I/ � O quando k �

oo ,

isto é,

Algoritmo 2.10 a) E > O

Forneça uma solução inicial aproximada x(O) = (x(�) , x(g) , ... , x(� ) e uma tolerância fixa. Faça k = O e Pare = Falso. b) Construção da seqüência de soluções aproximadas: Enquanto Pare = Falso, faça: Para i = 1, ... , n, faça: x�k+ l l = 1

(

i-1

� 1 - 4.J

j =l

)

· k -a1. ). x�J k+l l + � 4.J - a1. ) x<J l /a .. n

j=i + l

li x< k + l ) - x < k l li � E, então Pare = Verdade. Se l x( k + l l li Senão k = k + 1 .

Resultado

Se a matriz A do sistema Ax = b for estritamente diagonalmente dominante, então o método iterativo de Gauss-Seidel é convergente para a solução do sistema dado, pois, teremos � < 1 . Observa-se, ainda, que a convergência não depende da solução x(O) ini cial dada. Exemplo 2.21

Usando o método iterativo de Gauss-Seidel, determinar uma solução aproximada para o sistema dado a seguir, com aproximação inicial x(O) = (x(�), x(g), x(g)) t = (O, O, O)t e precisão E = 10-2 • 2 5 3

Cálculo Numérico

Construção da matriz H:

]

-2/10 -1/10 H = -1 5 o -1 /5 -2/10 -3 /10 o Verificar a condição de convergência (critério de Sassenfeld): 3 131 = I l h1j 1 � 13 1 = 3 1 10 = o.3000

�

j=2

Assim,

132 = 1 h2 1 1 13 1 + 1 h 23 I � 132 = 13 / 50 = 0.2600 133 = 1 h 3 1 l !31 + I h 32 l !32 � j33 = 69 1 500 = 0.1380

13 = máx 1 S i S 3 {0.3000, 0.2600, 0.1380} < 1 1S i S 3 13i = máx Portanto, temos garantia da convergência da seqüência de soluções aproximadas geradas pelo método iterativo de Gauss-Seidel. Assim, temos: 1 (k) 2 X( k ) 14 - X1( k +l ) -10 10 2 - 10 X3 11 - 1 X( k +l ) - 1 X( k ) X(2k +l ) = k = o, l, 2, . S 3 S S 1 8 2 3 X(k 3 +l ) -- - - - X(1k +l ) - - X(2k +l ) 10 10 10 Para k = O, tomando x(O) = (O, O, O)t, temos: x( t l = (1.4000, 1.9200, -0.0560)t Teste de parada li x( l l - x ( O l l l = l > 10-2 l x(•) IL Para k l, temos: 1 1 2 X(2) 1 = 4 - X( 1 ) - X( 1 ) ..

lQ lQ

lQ 3

1 11 1 2 - 5 5 1 5 3 8 -2 X(2) - 3 X(2) X(2) 1 3 -- 10 10 10 2

(1) X(2) - - - - X(2) - - X

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Portanto,

< 2 l - x = (1.0216, 2.0069, - 0.0064)1 � o. 188s > 10 2) < l i x IL x< 3 l - x < 2 > I L l i 3 x < > = (0.9993, 2.0014, - 0.0003)1 � = 0.0111 > 10- 2 x l < J l IL x< 4 > x< 4 > = (0.9998, 2.0001, - 0.0001)1 � li 4 x (3>1 L = 0.0007 < 10- 2 l i x< > I L então, temos a solução aproximada para o sistema x = x< 4> com a precisão E = l0-2. =

Observação

possível perceber que a seqüência de aproximações x( I ), x(2), ... converge para a solução exata do sistema proposto, que é x = (1, 2, 0)1 •

Interpretação gráfica

Podemos interpretar graficamente as soluções aproximadas geradas pelo método iterativo de Gauss-Seidel no R2, a partir do seguinte exemplo: Considere o sistema de equações lineares 2 X 1 + X2 = 2 X1 - 2 X 2 = - 2 Tomando uma solução inicial x < 0 > = (x�º l, x�0>)1 = ( O, 0)1 e uma tolerância E = l0 -2 . Construção da matriz H:

{

Verificar a condição de convergência (critério de Sassenfeld): 2 �1 = :L 1 h 12 I � �1 = 1 1 2 j= 2 �2 = 1 h21 1 �1 � �2 = 1 / 4 Assim, = máx � = máx l :!> i :!>2 �i 1S i :!>2 {1 /2, 1/ 4} < 1

Cálculo Numérico

Portanto, temos a garantia de convergência da seqüência de soluções aproximadas gerada pelo método iterativo de Gauss-Seidel. Cálculo das iterações: 1 - -1 X(k2 ) X(k+l) 1 k o l, 2, ... (k+l) - + (k+l) 1 X2 2 X1 Como para k = O, tomando x(O) (O O)t, temos x(I ) (1, 1.5) Teste de parada

{

Para k 1 temos: =

1/4 9/8

Portanto, Teste de parada:

= 0.2500

= 1 . 1250

x(2) (0.2500, l.1250)t =

Assim, sucessivamente, calculamos:

li x! J > - x< 2 > 1 3 0.1538 > 10 -2 x< > (0.4375, l.2188)t � l > IL x! J i x! 4 ) - x ! J > x! 4 > (0.3906, l.1953)t � l i . 1 4 > L l 0.0392 > 10 -2 x x < 5> (0.4023, l.201 W � li ) S> t 1 0.0097 < 10 -2 li x! Logo, x(S) é a solução aproximada do sistema dado com a precisão E = l0-2. =

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Observação

Note que a seqüência de aproximações x(I J, x(2J, x(3J, x(4J, ..., x(n) converge para a solução exata do sistema proposto, x = (2 / 5, 6 / 5)1 = (0.4, 1.2)1• Graficamente temos:

Figura 2.2

Podemos observar na Figura 2.2 que, quando calculamos x 1 ( k+I J = 1- � x 2( k l, o par (x 1<k+IJ , x2<k l ) satisfaz a primeira equação do sistema. Em seguida, quando calculamos x 2< k+I l = l+ � x 1< k+t l, o par (x 1< k+1 > , x 2< k+I l) satisfaz a segunda equação do sistema. 2.6.5 Trabalhando com o software numérico

No software numérico o usuário deve selecionar o módulo Sistemas Lineares e fornecer o sistema de equações lineares para ser resolvido. Além disso, deve selecionar a opção Métodos Diretos ou Métodos Iterativos. Caso esta opção seja Métodos Diretos, o usuário deve selecionar corre tamente as condições teóricas de aplicabilidade de cada um deles. Se a opção for Método Iterativo, o usuário deve, também, selecionar as condições teó ricas de aplicabilidade e fornecer uma solução inicial para gerar a seqüência de soluções aproximadas e a precisão E desejada.

Exemplo 2.22

Considere o seguinte circuito elétrico, conforme a Figura 2.3: A ��-ú\MIV4'--�--+-�-v1Jrvw-�----;2F--�Vll\/\Jrv'-��3r--�Vl/V\Jrv'-�� R4

Figura 2.3

Considerações:

a) Ri = 1 R2 = 2 R3 = 1 Ri = 3 R5 = 5 � = 2 R7 = 6 Rs = 1 � = 2 R1 0 = 3 Rn = 8 R1 2 = 8 VA = lOO V8 = 0 b) A corrente elétrica de um nó p para um nó q é dada por: Ipq = (Vp - Vq}/Rpq onde VP e Vq são as voltagens (Volts) nos nós p e q respectivamente, e Rpq (Ohms) é a resistência existente entre os nós p e q. e) Lei de Kirchoff - A soma algébrica das correntes em cada nó é zero. Usando o método de eliminação de Gauss-Jordan do software numérico, determinar as voltagens nos nós 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Modelo matemático do problema

Lei de Kirchoff para o nó 1 :

IA,

Temos, de acordo com b):

+ 1 2 1 + 1 81 = O

I A1 =

VA - Vi

I O mesmo procedimento deve ser adotado para os outros nós.

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

Fazendo este procedimento para todos os nós, temos o seguinte sistema de equações lineares: 17 - 5 1 -4 o 6 o o o o o o o 12 6 o

o o o 2 -9 2 1 -4 o 8 8 o o o o o

o o o -2 o 1 o o o 1 o o o o o 3 -9 1 o o 6 - 20 o 6 o 8 3 - 23 o o 10 - 31

V1 V2 V3

V4 Vs

1000

o o o o o o o

Usando o software numérico e o método de Gauss-Jordan, o usuário deve selecionar a opção Métodos Diretos e a opção Eliminação de Gauss-Jordan, conforme as janelas da Figura 2.4 a) e b):

>ai

lÕ -2 _,_ o

�o

-20

'õ

1 000

Cálculo Numérico

Desta forma, temos a solução do sistema com a precisão de 4 casas deci mais, conforme Figura 2.4 c):

e) Figura 2.4

Assim, podemos escrever a solução: V1 = 82.9622 V2 = 68.44 1 4 V3 = 67.4734 V4 = 66.5053 V5 = 66.1826 V6 = 63.60 1 2 V7 55.8567 Vs = 34.0755 =

Exercícios

] rX2X1] í l X3

1. Considere o seguinte sistema de equações lineares: ll -9 5 6 2 3 ]. = 4 -1 1 - 3 -2 a) Resolva o sistema dado usando o método de decomposição LU. b) Caso possível, determine a matriz inversa da matriz A do sistema dado, usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial. c) Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado pelo método iterativo de Gauss-Seidel com x(O) = (x1 (0), x2(0), x3(0) = (0.1, 0.2, 0.5) e E = 0.01. d) Caso haja convergência garantida, resolva o sistema dado pelo método iterativo de Jacobi-Richardson com x(O) = (x1 (0), x2(0), x3(0) (Ó.l, 0.2, 0.5) e E = 0.01. =

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

e) Compare o número de iterações de ambos os métodos. O que você pode concluir? Considere o seguinte sistema de equações lineares: -

5 6 2 3.4 1 -1 1 - 3 5.6 - 2 1

12 .

1 o 1 1

7 1 = X3 -2 2 X4 X1 X2

Usando o software numérico, resolva o sistema dado pelos seguintes métodos diretos: a) Eliminação de Gauss-Jordan. b) Eliminação de Gauss com pivotamento diagonal. c) Eliminação de Gauss com pivotamento total. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

a) Caso possível, resolva o sistema dado usando o método de decompo sição de Cholesky. b) Caso possível, resolva o sistema dado usando o método de decompo sição LU. c) Caso possível, resolva o sistema dado usando o método de elimina ção de Gauss com pivotamento parcial. d) Calcule apenas a 3ª coluna da matriz inversa de A dada, usando o método de decomposição de Cholesky. 4. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

a) Determine a matriz inversa A-1 , da matriz A dada, usando o método de Gauss-Jordan. b) Resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial.

5. 6. 7.

Cálculo Numérico

c) Resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento total. d) Resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento na diagonal.

X X11 X X 4X{4x11 +-Xzx2 ++ X33x3 ==72 -X1 + 5X2 + 3X3 = 3

Mostre que li I L $ li $ n l i t E Rn . Dado o sistema de equações lineares:

Reordene as equações e as incógnitas de modo que o critério de Sassenfeld seja satisfeito. É possível o mesmo processo para o critério das linhas? Justifique. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

0.[0.925872 0.0.3166 0.0.1224j [XzX1j [7 j 0.147 0.21 0.25 X3 =

8 9

Resolva o sistema dado, usando um método direto visto e com o auxílio do software numérico. Determine uma fórmula para calcular o número de operações aritméti cas envolvidas na resolução de um sistema de equações de ordem n pelo método de eliminação de Gauss com pivotamento diagonal. Considere o seguinte sistema de equações lineares:

x (O)

0.1. x (O) ( - 2 1

a) Caso haja convergência garantida, resolva o sistema anterior usando o método iterativo de Jacobi-Richardson a partir de = (O O O) e E = b) Caso o critério de Sassenfeld esteja satisfeito, usando o método itera tivo de Gauss-Seidel, resolva o sistema dado a partir de = O) eE=

0.01.

Solução Numérica de Sistemas de Equações Lineares e Matrizes Inversas

10. Prove que se A E 9t(n, n) é de componível em LU, então uii = dj 1. = 1 , ... ,n e Llo = 1 . di-1 --

11. Resolva o seguinte sistema de equações lineares usando o método de eliminação de Gauss, com o auxílio do software numérico. o 5 -1 2 X1 10 o 8 -1 1 X 2 16 = 2 1 -1 -1 X3 2 o -1 -2 1 X 4 -2 12. Considere o sistema de equações lineares:

a) Faça trocas de linhas e, caso possível, resolva o sistema obtido usando o método LU. b) Determine a inversa da matriz A dada, usando o método de elimi nação de Gauss-Jordan. c) Resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial. d) Faça trocas de linhas, verifique a convergência, resolva-os usando os métodos iterativos de Jacobi-Richardson e Gauss-Seidel, com E = 0.01. 13. Considere o sistema de equações lineares:

a) Faça trocas de linhas e determine um intervalo de valores positivos para t de forma que o critério de Sassenfeld seja satisfeito. b) Tome t 4, faça trocas de linhas e resolva o sistema obtido usando o método iterativo de Gauss-Seidel, com x(O) (0.1, 0.1, 0.1) e E = 0.01. 14. Mostre que se A e 9t(n,n) é simétrica e de componível em LU, então a matriz A se decompõe na forma A = LDL1 , onde L e 9t(n, n) é uma matriz triangular inferior e a matriz D e 9t(n,n) é uma matriz diagonal. =

15.

Cálculo Numérico

Uma indústria produz quatro tipos de produtos (1) (2) (3) e (4), os quais são processados e produzidos no decorrer da semana. Para produção de cada unidade desses produtos necessita-se de quatro diferentes tipos de matéria-prima (A) (B) (C) e (D), conforme tabela dada: A

(1)

(2)

(3)

(4)

Por exemplo, para produzir uma unidade de (1) precisa-se de 1 unidade de A, 2 unidades de (B) 4 unidades de (C) e 1 unidade de (D). A indústria possui disponível em estoque 16, 13, 27 e 7 unidades de A, B, C e D, respectivamente. Quantas unidades de cada produto podem ser produzidas? Formule um modelo matemático e resolva-o usando o método de decomposição LU do software numérico e analise os resultados obtidos.

Capítulo 3

Solução Numérica de Equações

3.1 Introdução Apresentamos, neste capítulo, métodos numéricos para resolução de equa ções na forma f(x) = O, onde f(x) é uma função de uma variável real. Nas diversas áreas científicas, freqüentemente deparamo-nos com problemas reais envol vendo a resolução dessas equações. Resolver a equação f(x) = O consiste em determinar a solução (ou solu ções) real ou complexa x tal que f(x) = O. Por exemplo, consideremos a equação f(x) = cos(x) + x2 + 5 = 0 . Desejamos detemúnar a solução x tal que f(x) = cos(x)+ x2 + 5 = 0. Métodos iterativos são desenvolvidos para detemúnar aproximada mente essa solução real x, embora tenhamos métodos iterativos específicos para determinar a solução x quando esta é um número complexo. Apresentamos os métodos iterativos para determinar a solução x quando esta é um valor real e, para isso, necessitamos de uma solução inicial Xo· A partir desta geramos uma seqüência de soluções aproximadas que sob determi nadas condições teóricas convergem para a solução desejada x. Esta solução inicial, Xo pode ser obtida através de recursos gráficos, em que localizamos uma vizinhança ou um intervalo [a, b] onde se encontra a solução x, conforme exibimos na Figura 3.1. Observando a Figura 3.1, vemos que a solução x tal que f(x) = O en contra-se no intervalo onde a função f(x) corta o eixo das abscissas, isto é, quando a função apresenta sinais opostos. Podemos, então, tomar uma solução inicial Xo nas vizinhanças dessa raiz, isto é, no intervalo [a, b ] , para inicializar a seqüência de soluções aproximadas durante a aplicação dos métodos iterativos que serão apresentados poste riormente neste capítulo. 73

Cálculo Numérico

f(x)

f(b)

..................... . .......................... . .............. . ..... .._ . __ . .. .

a f(a)

....

.... . ..... ..... .... . . . ..

f(x)

Figura 3.1

Definição 3.1

Dizemos que X: é uma raiz ou um zero de f(x) se

f(x) = O.

Seja f(x) = x2 -7 = O. Temos que as raízes da equação são: Exemplo 3.1

X: = ± J7 = 2.6458 e, neste caso, f(x) = O.

3.2 Localização das raízes: métodos gráficos Apresentamos dois procedimentos gráficos que podem ser usados para a localização das raízes da função f(x): i) Consiste em traçarmos o gráfico de f(x) e, onde este cortar o eixo das abscissas, temos a raiz (raízes) de f(x), conforme exemplo a seguir. Exemplo: Considere a função f( x ) = x2 - 7 , conforme gráfico ilustrado na Fi gura 3.2. Observando a Figura 3.2, vemos que o gráfico de f(x) permite iden tificar onde estão aproximadamente as raízes de f(x). Neste caso, te mos as raízes x = ± J7 ::: ± 2.6458 , e f(x) ::: O.

Solução Numérica de Equações

f(x) f(x)

-7

Figura 3.2

ii) Consiste em transformarmos a equação f(x) O na forma equivalen te f1 (x) = f2 (x). Os pontos de intersecção dos gráficos f1 (x) e f2 (x) serão as raízes procuradas, conforme exemplo a seguir. Exemplo: =

Considere a equação

f(x) = x2 -_!_=0, x * O. X

Podemos escrever a equação dada, na forma equivalente por: x2 = ..!., isto é, f1(x) f2(x), com f1(x) x2 e f2(x) l/ x, conforme X

gráfico da Figura 3.3:

f(x)

f2(x) X

f2(x)

Figura 3.3

Cálculo Numérico

Observando a Figura 3.3, vemos que a raiz .x encontra-se na inter secção dos gráficos f1 (x ) e f2 ( x ) . Neste caso, temos uma única raiz x

= 1, já que x2 =

� ou f(x) = O. X

3.3 Métodos numéricos para resolução de equações Nesta seção apresentamos alguns dos principais métodos para resolver nu mericamente uma equação.

3.3.1 Método da bisseção O método da bisseção é baseado no teorema do valor intermediário, o qual afirma que se uma função contínua no intervalo [ a, b ] satisfaz a con dição f(a)f(b) < O, (valores de f(a) e f(b) com sinais opostos), então existe x E [ a, b ] tal que f(x) = O, isto é, existe pelo menos uma raiz no intervalo [a, b] (veja Figura 3.4). A idéia geral do método da bisseção consiste em, a partir de um in tervalo [a, b ] localizado inicialmente onde encontra-se a raiz X:, determinar uma seqüência de intervalos [11 , sd i = O, 1, ... onde 1() = a e s0 = b, de forma que a amplitude do intervalo numa iteração é a metade da amplitude do intervalo anterior e que sempre contenha a raiz X:. A seqüência de intervalos será calculada até que a amplitude do inter valo seja menor que uma tolerância E preestabelecida. Podemos representar graficamente conforme Figura 3.4: As seqüências ri, si e xi são construídas da seguinte maneira:

f(x) f(x)

f(b) a f(a)

·····························

Figura 3.4

Solução Numérica de Equações

a) b) c) d) e)

Determine um intervalo inicial [JQ , s0 ] tal que f(10 )f(s0 ) < 0. Calcule xi = ( G + sJ / 2 � ponto médio do intervalo Se f(xJ = O, então xi é uma raiz de f(x) Se f(11 )f(xJ < O, então G+1 = Ji e si+l = xi

Se f(11 )f(xi ) > O, então

G+1 = xi e si+l = si

Podemos representar graficamente conforme mostra a Figura 3.5:

f(x) f(so)

f(r0)

--:".f(:-::x)

.........................................................................� ··

i ..............................

Figura 3.5

Para i = O, temos: Xo = (r0 +s0)/2 � ponto médio Como f(r0) f(Xo) < O, tomamos: r1 = r0 e s 1 = Xo Para i = l, temos: x1 = (r1 +s1)/2 � ponto médio Como f(r1) f(x 1 ) < O, tomamos:

e, assim, sucessivamente até determinarmos a raiz X: da equação com uma precisão E desejada.

Cálculo Numérico

Convergência

No método da bisseção, determinamos uma raiz da equação construindo seqüências de intervalos ri e si e uma seqüência de soluções aproximadas xi tal que: a) A seqüência li , i = O, l, ... é crescente e limitada superiormente por s0 e, portanto, tem um limite superior que denotamos por r. b) A seqüência su i = O, l, 2, ... é decrescente e limitada inferiormente por r0 e, portanto, tem um limite inferior que denotamos por s. c) A seqüência xi i = O, 1, ... é tal que li < xi < s i . Por construção das seqüências temos: 1

(si -li ) = 2 (si-1 -li-1 ) = · · · = i (so -10 ) 2 i (si -li )l = ü e, portanto, r = �im li = �im si = s �im 1-+oo Além disso, de c) temos que: �im xi = r 1-+oo Devemos ainda mostrar que o limite acima é a raiz da equação f(x) = O. Observemos que f( li ) f(si ) < O , para todo i. Então temos: !-too

!-too

O ;;::: Hm [f( !i ) f(sJ] = limf i-+oo f(si ) = f (r ) f(s) = [f ( r ) ]2 i-+oo (!i ) lim i-+oo Portanto, f(r) = O e r = �im xi . !-too

Estimativa do número de iterações

O número de iterações necessárias para se obter uma raiz X: da equação f(x) = O, pelo método da bisseção com uma precisão E > O, previamente fixada, decorre de: Supondo-se que x está entre Xn e sn, temos:

1 Xn -X 1 -< (Xn _

- l{J Impondo que So2n+ l <E

) = (sn - rn ) = (so - 10 )

2 2n + 1 para garantir que l xn - x l < E, temos: J;,

log ( 8�=� ) < log(E)

Solução Numérica de Equações

ou n>

log( s0 - :ro ) - log(E) 1

----"---' ----=-

log 2

Logo, n é o número mínimo de iterações que devem ser realizadas para obter X: com uma precisão E. Algoritmo 3.1

1. 2.

Dados E > O, o intervalo inicial [1-0 , so ] que contenha a raiz, isto é, f(r0) f(s0) < O. Faça Pare = Falso, i = O. Enquanto Pare = Falso, faça 2.1 Determine xi = (ri + sJ / 2. 2.2 Se l f (xi ) l � E , então Pare = Verdade. Senão Se f(11 ) f(xJ < O, então 11+1 = 11 e si+l = xi Senão 11+1 = xi e si+l = si lx x · 1- ·I 2.3. Se j+ l 1 < E, então Pare = Verdade Xi + l

Senão i = i + 1

Exemplo 3.2

Usando o método da bisseção, resolva a equação x 2 +ln(x) = 0, com E = 0.01. a) Determinando graficamente uma vizinhança para a raiz, considera mos a forma equivalente x2 = - ln(x), ou seja, f1 (x) = x2 e f2 (x) = - ln(x) , conforme ilustrado na Figura 3.6:

x 1

f2(x) Figura 3.6

Cálculo Numérico

Observando a Figura 3.6, podemos concluir que a raiz X: encontra-se na intersecção dos gráficos f1 (x) e f2(x), e pertence ao intervalo [0.1, 1]. b) Considerando o intervalo inicial r0 = 0.1 e s0 = l, temos f(O.l)f(l) < O, portanto, temos uma raiz no intervalo [0.1, l]. Observe que a função 2 f(x) = x + ln(x) é contínua no intervalo dado. c) Seqüência de soluções aproximadas: Xo = 0.5500 � solução inicial dada lx -x 1 X1 = 0.7750 � 1l xi 1 o = 0.2903 > E l x -X 1 x2 = 0.6625 � 2 1 = 0.1 698 > E l xi I l x -x I X3 = 0.6063 � 31 x 2 = 0.0927 > E 3I lx -x X4 = 0.6344 � 41 x 3 I = 0.0443 > E 4I l x5 -X4 I = 0.0217 > E x5 = 0.6485 � l xs I l x6 -xs l "6 = 0.6555 � = 0.0107 > E 1 x6 I l x -x x7 = 0.6445 � 7 6 I =-0.0171 > E l x7 I l x -x x8 = 0. 6425 � s 7 I = 0.0031 < E l xs I Como o critério de parada foi satisfeito, temos a solução aproximada: x :: 0.6425.

d) Cálculo do número mínimo de iterações: log n > log(so - ro )- (E) - 1 = 6.4918 -1 = 5.4918 log 2 Portanto n > 5.4918, temos que n = 6, isto é, devemos executar no mínimo 6 iterações para obter a raiz X: com a precisão E desejada. 3.3.2 Método das aproximações sucessivas

Considere a equação para ser resolvida na forma f(x) = O. O método das aproximações sucessivas consiste em transformarmos a equação dada na forma equivalente x = lj>(x), onde lj>(x) é uma função de uma variável real a qual denominamos função de iteração.

Solução Numérica de Equações

A determinação da raiz desejada x é baseada na seqüência de soluções aproximadas gerada através do processo iterativo Xk+l <l>(xk ) k = O, l, ... Existem sempre várias maneiras de transformar a equação dada na forma equivalente x = <l>(x). Considere, por exemplo, a equação f(x) = x2-7x = O. Podemos escrever de forma equivalente as seguintes formas: =

a) x = J7X e o processo iterativo correspondente xk+ l = <l>(xk ) = � 7xk k = o, 1, ...

2 x2 b) x = x e o processo iterativo correspondente xk+i = <l>(xk ) = ___!._ 7 7 k = o, 1, ... -

c) Tomando a equação x2-7x = O e somando x em ambos os lados temos: x = x2 - 6x e o processo iterativo correspondente xk+ l = <l>(xk ) = xk2 - 6xk k = o, l, ...

De uma maneira geral, podemos construir uma função de iteração da seguinte forma: Considere uma função 0(x) : 9t � 9t, contínua e tal que 0(x) * O para todo x. Multiplicando 0(x) na equação f(x) = O e somando x em ambos os lados, temos a forma equivalente x + S(x)f(x) = x , de modo que uma função de iteração pode ser tomada como <j>(x) = x +0(x)f(x) , ou seja, x = <l>(x) é equiva lente a f(x) = O. Assim, podemos concluir que x é uma raiz de f(x) = O, se e somente se satisfizer a forma equivalente x = <j>(x) . O processo iterativo correspondente, xk+l = <l>(xk ) k = O, l, ... , gera uma seqüência de soluções aproximadas a par tir de uma solução inicial Xo dada, como segue: � solução inicial X 1 = <l>(Xo) X2 = <l>(x 1 ) Xo

Podemos interpretar graficamente esta seqüência, conforme Figura 3.7:

Cálculo Numérico

y=x

f(x)

<l>(x)

•••

Figura 3.7

Convergência

Teorema 3.1

Seja <j>(x) uma função contínua e diferenciável num intervalo 1 = [ a , b] cujo centro X: é a raiz procurada. Seja x0 e 1 uma aproximação inicial. Se l <1> '(x) l $ K < l, para todo x e 1, então a seqüência { xk } k = O, l, 2, . . gerada por xk+l = <!>(xk ) pertence a 1 e converge para a raiz X: (condição suficiente). Prova: Indução finita. a) Xo e 1 por hipótese. b) Supor x1 ,x2 1 ,xk e 1. c) Mostrar que xk+ l e 1. Temos que: x = <!>(x) e xk+1 = <l>(xk ) Então: l xk+ 1 - x l = l <1><xk ) - <1>(x) I Usando o teorema do valor médio do cálculo diferencial integral, temos que: .

•••

Como por hipótese, l <1> '(x) l $ K < l , 'v' x e l, temos que: l xk+1 -xk 1 $ K l xk -x l < l xk -x l

Solução Numérica de Equações

Portanto, xk+I E 1. Devemos mostrar ainda que xk+I � x, quando k� oo

Como K < 1, temos �+ I � O quando k � oo Portanto, xk+I � x. Apresentamos, a seguir, uma interpretação geométrica do método das aproximações sucessivas, representando um caso no qual temos convergência da seqüência de soluções aproximadas e um caso em que temos divergência da se qüência de soluções aproximadas. Seja a tal que tg( a) = <!> ' (x), isto é, a é o ângulo que a reta tangente à curva no ponto x faz com o eixo das abscissas. Consideramos, respectivamente, os casos nos quais temos um ângulo O � a < 7t / 4 e quando 7t / 4 � a < 7t / 2, como segue: a)

O � a < 7t / 4, isto é, O � <j>(x) < 1

Portanto, nas vizinhanças da raiz x, l '(x) I < l, e o Teorema 3.1 garan te convergência na seqüência de soluções aproximadas gerada pelo método das aproximações sucessivas, a qual é ilustrada pelo gráfico na Figura 3.8: f(x)

<l><Xo)

· ··

···

.. . . ... . . .

. .. .. .. . .

y=x

<)>(x)

················································· ·

7f'-----:::>!""

Figura 3.8

Cálculo Numérico

Observando a Figura 3.8 vemos que, neste caso, temos a seqüência de soluções aproximadas gerada pelo método das aproximações sucessivas con vergindo para a raiz X:. b)

7t/4 $ a < 7t/2 l $ <j> '(x) < oo , isto é, l $ <j> '(x)

Portanto, nas vizinhanças da raiz X:, l <l>'(x) I > 1, e não temos nenhuma garantia de convergência na seqüência de soluções aproximadas gerada pelo método das aproximações sucessivas, a qual é ilustrada no gráfico da Fi gura 3.9. f(x)

<j>(x)

y=x

- - - - - - - - - - - _,_ '

- - - - - - - -

----/

• • •

Figura 3.9

Observando a Figura 3.9 vemos que, neste caso, temos a seqüência de soluções aproximadas gerada pelo método das aproximações sucessivas divergindo da raiz X:. A interpretação gráfica do método das aproximações sucessivas, com a variação dos ângulos nos demais quadrantes, fica a cargo do leitor como exercício.

Algoritmo 3.2

1. Defina a função de iteração <!>(x) tal que f(x) = O H x = <!>(x). Faça Pare = Falso, i = O e defina XQ, solução inicial, e E > O, uma tole rância fixa. 2. Enquanto Pare = Falso, faça 2.1 Xi+l = <!> (xJ x -x 2.2 Se 1 i; 1 i 1 < E, então Pare = Verdade . Hl Senão i = i + 1 Exemplo 3.3

Usando o método das aproximações sucessivas, resolver a equação cos(x) - x = O com E = 0.01 . a) Localização gráfica de uma vizinhança para a raiz x, conforme Figura 3.10. y=x

f(x)

cp(x) = cos(x) X

Figura 3.1 0

b) A equação cos(x) - x = O pode ser escrita na forma equivalente: Considerando 0(x) = 2 e somando x em ambos os lados da equação, temos: x = 2cos(x) -x . Assim, o processo iterativo é dado por: xk+t = 2cos(xk ) -xk

Cálculo Numérico

Temos:

l <!>'(x) I = l -2sen(x) - l l Para quais valores de x, 1 <!>'(x) I < 1 ? Podemos observar que l <!>'(x) l < l para valores de x tal que -1 < sen(x) < O e, portanto, não temos nenhuma garantia de convergência, pois l <!>'(x) l > l nas

vizinhanças da raiz, conforme podemos verificar também na Figura 3.10. Gerando a seqüência de soluções aproximadas, através do processo ite rativo xk+i 2cos(xk ) - xk , temos: Xo 0.7000 � solução inicial dada X 1 0.8297 Xz 0.5205 X3 1.2146 X4 = --0.5172 X5 2.2556 =

= =

Podemos observar que a seqüência está divergindo. c) A equação cos(x) - x O também pode ser escrita de forma equi valente por x cos(x) e o processo iterativo correspondente, por xk+ l cos(xk) · Temos l <!>'(x) l = l - sen(x) l < l , nas vizinhanças da raiz, conforme pode mos observar na Figura 3.10 e, portanto, temos garantia de convergência. A seqüência de soluções aproximadas, através do processo iterativo xk+ l cos(xk}, é dada por: =

Xo = 0.7000 �

X1 0.7648

�

x2 0.7215

�

X3 0.7508

�

x4 = 0.7311

�

solução inicial dada l x1 - xo l = 0.0847 > E 1 Xi 1 l x2 - xi l = 0.0600 > E I x2 I l x3 - x2 I = 0.03900 > E 1 x3 I l x4 - x3 I 0.0269 > E l x4 I

Solução Numérica de Equações

x5 = 0.7444

�

x6 = 0.7355

�

x7 = 0.7415

�

l xs - x4 I 0.01790 > E l xs l l x6[ - xs I = 0.0121 > E x6 I l x7 - x6 I = 0.0081 < E l x7 I

Como o critério de parada está satisfeito, temos a solução aproximada para a equação dada: x :: x7 = 0.7415 3.3.3 Método de Newton

Sabemos, do método das aproximações sucessivas, que, se l <l>'(x) l < l , para x nas vizinhanças da raiz, e escolhendo-se x0 uma "boa" aproximação inicial, a seqüência gerada pelo processo iterativo xk+t = <l>(xk ) k = O, 1, ... é conver gente para a raiz x. O Método de Newton consiste em determinar uma função <l>(x) tal que l <l>'(x) I = O. Neste caso, para x nas vizinhanças de x, temos <l>'(x) :: O e, por tanto, l <l>'(x) l < l e a convergência é garantida (<l>(x) e <l>'(x) são funções con tínuas). Para isto, considere <l>(x) = x +0(x)f(x). Procuramos agora uma função 0(x) tal que: <l> '(x) = 1 +e'(x)f(x)+ f '(x)e(x) = o . Como f(x)=O e, supondo que f'(x) :;é O, temos que: 0(-X ) = -1 f '(x) Assim, uma escolha para 0(x) é tomada por 0(x) = --=!.__ e, portanto, de f'(x) <l>(x) = x + 0(x)f(x) temos <l>(x) = x - f(x) / f'(x) Desta forma, o processo iterativo é dado por: <l>(xi ) = xi -f(xJ/f'(xJ f(x . ) � método de Newton xi+i = xi --1 f'(x) O método de Newton possui a interpretação gráfica conforme ilustra a Figura 3.11:

Cálculo Numérico

f(x)

f(xi) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Figura 3.1 1

Definindo como a o ângulo formado com o eixo das abscissas através da reta tangente à função f(x) no ponto xi (veja a Figura 3.11), temos: tg(a) = f(x·1 ) , ou seja: (xi - Xi +i )

Portanto, temos: f(x ) Xi+l = Xi - f'(x)i

-7

método de Newton

O método de Newton é também conhecido como método das tangentes, em razão de sua interpretação gráfica. Note que o método de Newton requer que f'(xJ :;t: O para todo i. No caso em que f '(xJ = O (supondo f(xJ :;t: O), a reta tangente à função no pon to xi é paralela ao eixo das abscissas, e xi+l é indefinido. Porém, se f'(x) = O (X: é tal que f(x) = O) e f'(xJ :;t: O, o método de Newton está bem definido, em bora a convergência seja mais lenta.

Solução Numérica de Equações

Podemos analisar esta situação observando, na Figura 3.1 2, que tanto f'(xJ � O como f(xJ � O na medida em que calculamos as soluções aproxi madas. f(x)

Figura 3.1 2

Convergência do método de Newton

Para examinarmos a convergência do método de Newton, supomos que f(x), f '(x) e f " (x) sejam contínuas nas vizinhanças da raiz x. Como <l>(x) = x - f(x)/ f'(x) , temos que: [f'(x)]2 -f(x)f " (x) = f(x)f " (x) '(x) = l [f'(x)]2 [f'(x)]2 Suponha que x seja uma raiz simples de f(x)=O, então f '( x ) :;t: O . Entre tanto, pela continuidade de f'(x) , temos que l f'(x)l � E , para algum E � O numa vizinhança de x. Nesta vizinhança de x, selecionamos uma subvizinhança tal que l f(x)f " (x) I < E 2, o qual é possível, uma vez que f(x ) = O , f'(x) e f"(x) são contínuas. Portanto, nesta vizinhança temos que l <l>'(x)l < l e, de acordo com o teo rema de convergência do método das aproximações sucessivas, o método de Newton gera uma seqüência convergente para x. Convergência quadrática

Definição 3.2

Dizemos que um método iterativo apresenta convergência quadrática se ei �im ;i = k , onde k é chamada constante assintótica de proporcionalidade, ei ei = l xi - x j e ei+t = jxi+t -x j são os erros cometidos nas iterações correspon dentes. ,__

Cálculo Numérico

Teorema 3.2

q>(x)

f' (x) O . q> ' (x) = O e,

(x)

O método de Newton apresenta convergência quadrática, se Prova: Sabemos que X: = e f ' -:t:. O implica que

-:t:.

por construção, temos o processo iterativo xi+t = lj>( xi ). Supondo que <j>' (x) e <j> " (x) sejam contínuas numa vizinhança da raiz X:, desenvolvendo (x) em série de Taylor até os termos de 2ª ordem, em tomo de X:, temos: q>(x..· �) =<j>(x)+ <l> ' (x) ( x-x)+ lj> " ( Ç) ( x - x)2 , com s entre x e X:. 1!

Fazendo x Xj, temos:

q>(xJ =x+ <!> "2( !ÇJ ( xi -x )2 , com Si entre xi e X: Assim, substituindo xi+t = <j>(xi ), segue que: lj> " ( ÇJ (Xi - -X )2 (Xi+t - -X) = 2!

e, portanto:

Assim,

Como S i converge para a raiz X: juntamente com xi, pois está no inter valo [xil X:], temos: ei+t lim i-- er

l <!> " (x) I = 2

Para valores de i suficientemente grandes, podemos afirmar que: isto é, o erro absoluto de uma iteração é assintoticamente proporcional ao quadrado do erro na iteração anterior. Para observar a rapidez da convergência do método de Newton, consi dere o exemplo a seguir:

Solução Numérica de Equações

Exemplo 3.4

Usando o método de Newton, resolva a equação x2 - 2 = O, com E = 10-5, isto é, desejamos o cálculo de Ji. Usando o processo iterativo do método de Newton, temos: xi+ 1 = xi - f(x; ) = 21 (xi + 2 ) f'(xi ) xi A partir de uma solução x0 inicial, geramos a seqüência de soluções aproximadas: x0 = 1.00000

--t

x1 = 1.50000

--t

x2 = 1.41667

--t

X3 = 1.41422 X4 = 1.41421

--t

solução inicial dada J x1 -xo l = 0.33333 > E l x1 I J x2 -x1 1 = 0.05882 > E

l x2 I I X3 - X2 I - 0.00173 > E l x3 I I X4 - x3 I = 0.00001 < E l x4 I

Como o critério de parada está satisfeito, temos que x = x4 = 1.41421. Podemos observar que esta seqüência converge para x = J2. Desta forma, podemos observar que, na medida em que os valores de xk se aproximam da raiz x, a convergência torna-se muito rápida, isto devido à propriedade da convergência quadrática do método de Newton. 1. Defina as funções f(x) f'(x) e E > O, uma tolerância fixa. 2. Escolha Xo uma solução inicial. Faça Pare = Falso, i = O 3. Enquanto Pare = Falso, faça 3.1 xi+l = xi - f(xi ) f'(x; )

Algoritmo 3.3

3.� Se I

rX +Tl I i

Senão i = i + 1

< E, então Pare � Falso

Cálculo Numérico

Observação O

leitor pode incluir neste algoritmo algumas modificações: a) Modifique o critério de parada, considerando lf(xi ) I � E. b) Teste se l f'(x) I < E, enquanto l f(xJ I >> E. Se isto acontecer, o método falha. c) Inclua o número máximo de iterações.

Exemplo 3.5

Usando o método de Newton, resolva a equação ln(x)+x+ 4 = O, com

E = 0.001 .

A partir do processo iterativo xi+l = xi -

:.��i)) , geramos a seqüência:

solução inicial dada x1 2.7567 � l xi -xo l = 0.4559 > E lx1 I x -x l X2 = 2.9250 � l 2x i = 0.0575 > E l 2I X -X X3 = 2.9263 � I 3x 2 I = 0.0004 > E l 3I x -x I X4 2.9263 � l 41 3 = 0.0000 < E. x4 I Como o critério de parada está satisfeito, temos que x::x4 = 2.9263 . Xo

= 1 .5000

�

""---,---.,--'-

Observação

Podemos, ainda, modificar o método de Newton, das seguintes formas: a) O valor calculado da derivada na 1ª iteração, f '(x0 ) = k, onde k e 9t, é fixado e sub stituído no processo iterativo de Newton durante as iterações. Assim, temos: xi+l = xi - f(�J i = O, l, . . . o qual, é conhecido como método modificado d e Newton, que geo metricamente significa traçarmos retas paralelas à curva em vez de tangentes para obter as aproximações.

Solução Numérica de Equações

b) Podemos também modificar o método de Newton atualizando o valor da derivada periodicamente, isto é, dentro de um certo número de iterações. 3.3.4 Método das secantes

O método das secantes consiste em aproximarmos a derivada da função f'(x; ) que ocorre no método de Newton da seguinte forma:

Observe que, neste caso, estamos trocando a inclinação da reta tangente pela inclinação da reta secante à curva (veja a Figura 3.13). Assim, o método de Newton dado por

é modificado da seguinte forma: xi+t = xi - f(x; ) - f(xi_1 ) (xi - xi_i ) Simplificando a expressão anterior, temos: xi+l = X;-1 f(x; ) - x; f(x) ;_1 ) f(x; )-f(xi_1

� método das secantes

Assim, dados os pontos xi-I e xi, onde a reta secante passando por (xi_vf(xi_1 )) e (xi,f(xi)), cortar o eixo das abscissas, temos a aproximação xi+ t para a raiz x, conforme ilustrado na Figura 3.13.

Cálculo Numérico

f(x)

Figura 3.1 3

Assim: e, portanto, X·+1 1

xi-l f(xi ) - xi f(xi_i ) � método das secantes f(xi ) - f(xi -l )

Algoritmo 3.4

1. Seja f(x) contínua e E > O uma tolerância fixa. 2. Escolha x1, duas aproximações iniciais. Xo

Faça Pare Falso e i O. Enquanto Pare Falso faça: f(xJ - xi f(xi_1 ) 3.1 xi+l xi-lf(xJ - f(xi- l ) 3.2 Se 1 x .Xi, + < e , então Pare Falso l Senão i i + 1 =

i -,;j =

Solução Numérica de Equações

Convergência

'Como o método das secantes é uma modificação do método de Newton, as condições de convergência são parecidas, observando-se que não temos mais a propriedade de convergência quadrática. Quando f(xk ) = f(xk-l ), podemos ter problemas de convergência, isto é, a seqüência gerada pelo método pode divergir. Exemplo 3.6

Resolva a equação x3 - l /2 = O, usando o método das secantes com E = 0.01. Podemos escrever a equação dada na forma equivalente x3 = 1/2. Chamando f1 (x) = x3 e f2 (x) = 1 /2, temos uma vizinhança para a raiz, na intersecção dos gráficos de f1 (x) e f2(x), conforme Figura 3.14: f(x) 1

1/2

f2 (x)

-1

x 1

-1

Figura 3. 1 4

Usando o processo iterativo do método das secantes x f(xJ - xi f(xi-1 ) .. de so1uçoes aproximadas: , temos a sequencia xi+l = i-l f(xJ - f(xi_1 ) x0 = O e x 1 = 1 � solução inicial dada x -X 1 x2 = 0.5000 � l 2 1 = > ê I Xz I 1 x -x x3 = 0.7143 � l 3 2 I = 0.3000 > ê l x3 I A

•

Cálculo Numérico

x -x x4 = 0.8355 � l 4 3 I = 0.1451 > E l x4 I lx -x x5 = 0.7894 � s 4 I = 0.0584 > E l xs I lx -x x6 = 0.7932 � 6 s I = 0.0048 < E I x6 I Portanto, temos a solução aproximada x :: x6 = 0.7932, uma vez que o critério de parada foi verificado. Observação

Podemos, ainda, variar o método das secantes e obter outro método, conhe cido como método da posição falsa, o qual difere do método das secantes apenas na escolha dos pontos iniciais, Xo e xv os quais devem satisfazer à propriedade f(:xo)f(x1 ) < O e nos pontos escolhidos nas demais iterações. Para mais detalhes consulte Burden, R. L.; Paires, J. D. 3.4 Equações pol i nomiais

Considere a equação polinomial P(x) = a0 xn +a1 xn-l + ... + an = O, onde ai, i = l, ... , n são reais ou complexos. Desejamos determinar x tal que P(x) = O. As raízes de P(x) podem ser reais ou complexas. Apresentamos a seguir algumas definições e resultados sobre poli nómios e equações polinomiais, sobre a localização de raízes das equações polino miais reais ou complexas, e o método de Newton para o cálculo dessas raízes. 1. Um polinómio P(x) com coeficientes reais ou complexos é escrito na forma P(x) = ao xn + a1 xn -l + ... + an , onde n E N é o grau desse polinó mio, com a0 -:t:- O. Exemplo 3.7

Considere o polinómio P(x) = 7x3 + 2x2 - x - 9. Neste caso, temos: a0 = 7 a1 = 2 a2 = -1 a3 = -9 � coeficientes de P(x) n = 3 -? grau de P(x) 2. Dois polinómios P(x) e Q(x) são iguais se seus graus e coeficientes são iguais. Sejam os polinómios: P( x ) = a0 xn + a1xn-1 + ... +an Q(x) = b0 xn + b1 xn-l + ... + bn P(x) = Q(x), para todo x, Ç::> ai = bi i = O, ... , n

Solução Numérica de Equações

Seja P(x) um polinômio de grau n� 1. Dizemos que X: é uma raiz de multiplicidade m se: p( l > (x) = p<2>(x) = ... = p<m-1 >(x) -:1; O e p<m>(x)= O, onde p<m >(x) é a m-ésima derivada de P(x), no ponto X:.

Exemplo 3.8

Considere o polinômio P(x) x3. A 1 raiz x = O é uma raiz de multiplicidade três, pois P(x) = p< >(x) = O p< 2>(x) = O e p<3>(x) = 6 -:1; O. Entendemos, neste caso, que o polinômio P(x) = x3, de grau 3, possui três raízes idênticas, ou uma raiz de multiplicidade 3. 4. A equação polinomial P(x) = ao xn +a1 xn-l + ... +an = O, com coeficien tes reais ou complexos, possui pelo menos uma raiz, ou seja existe pelo menos uma raiz real ou complexa tal que P(x) = O (Teorema Funda mental da Álgebra). 5. Seja P(x) um polinômio de grau n � 1. A equação P(x) O possui exatamente n raízes (reais + complexas + multiplicidade). 6. Seja P(x) um polinômio de grau n � 1, então para qualquer a e 9t existe um único polinômio Q(x) de grau (n-1) tal que P(x) (x- a)Q(x) + P(a), onde P(a) é o resto da divisão de P(x) por (x- a) (Teorema do Resto). Para maiores detalhes sobre os resultados anteriores, consulte Demidovich, B . P.; Maron, I . A. =

Exemplo 3.9

A divisão do polinômio P(x) 6x2--4x+2 pelo polinômio (x--4) resulta Q(x) = 6x + 20 e o resto dessa divisão, P(4) = 82. =

3.4.1 Localização de raízes

Apresentamos alguns resultados para a localização das raízes de uma equa ção polinomial. Teorema 3.3

Seja A = máx n ª1 j , ...,1 ak I}, onde ak k = l, ... , n são os coeficientes de P(x). Então, o módu�o de todas as raízes xk k = 1, ... , n satisfaz a inequação l xk l < l+ A = R Localização no círculo

�

A ' de onde segue que 1 x 1 > 1. Suponha, por a�surdo, que: 1 x 1 � 1 + élo

Prova:

I I

)\ '(Q(_,�

Cálculo Numérico

Assim., temos:

J P(x)J = j ao xn + a1 xn-l + ... + an-1X + an 1 jao xn -(-ai )xn-l . -(-an-1 )x -(-an )j � 1 ao xn l -l a1 xn-l l - ... -J an-1 x l - l an l � l ao xn l -A<lxn-1 1 + ... + l x l+ 1) n - l ao l lxn 1 - A + A l x l 1- l x l 1- J x J A lxJn A n a x l + l -l aJ 1- 1 X 1 1- 1 X 1 _

. .

Assim.:

��

I�I '

temos que IP(x)I > O. O, isto é, se l x l 2 1 + 1 I )2 Logo, os valores de x que satisfazem a inequação inicial não são raízes de P(x) O Portanto, todas as raízes satisfazem a inequação Se ( lau 1=

Corolário 3.1

Seja an * O e B = máx {I a0 1 , ... , 1 ªn-l I }, ond� ak k O, ... , n são os coeficientes de P(x) O Então, o módulo de todas as raízes xk k 1 , ... , n satisfaz a inequação, =

Solução Numérica de Equações

Prova:

Tomando x

- , temos:

1 1 1 1 P(x) = a0 n Q(y) n + a1 yn - 1 + ... + an - 1 - + an = Y Y Y --

onde,

As raízes Yk = __!__, k xk satisfazem a inequação:

1, ... , n do polinómio Q(y) pelo teorema anterior

Observe que an é o coeficiente de � e a0 é o termo independente. Assim:

l xk l >

k = l , ... , n

B =r

�

Observação

Pelo teorema e corolário anteriores, podemos observar que, no plano complexo da Figura 3.15, as raízes de P(x) = O estão localizadas no anel: r < l x l <_R.

�t--�-+-�+-----t��+-:>

��)'

Figura 3.1 5

100

Cálculo Numérico

Exemplo 3.10

As raízes de P(x) x3 + 2x2 - x - 2 1/2 < xk < 3, pois: =

O estão localizadas em -3 < xk < - 1/2 ou

Teorema 3.4 Regra de sinal de Descartes

Dada uma equação polinomial com coeficientes reais, o número de raízes reais positivas p dessa equação não excede o número v de variações de sinais dos coeficientes. Ainda mais, (v - p) é inteiro par, não negativo. Prova: Demidovich, B. P.; Maron, 1. A. Observação:

Para determinar o número de raízes negativas, basta calcular o número de variações de sinais no polinômio P(-x). Exemplo 3.11

Dada a equação polinomial P(x) x3 + 2x2 - x - 2 O aplicando o teorema da regra de sinais de Descartes, temos: A troca de sinais nos coeficientes de P(x) é v 1. Como (v - p) é inteiro par temos: v 1 � p l, então o polinômio deve possuir uma raiz real positiva. =

Teorema 3.5 Teorema de Budan-Fourier

Se os números a e b (a < b) não são raízes de um polinômio P(x) de grau n, então o número N(a, b ) de raízes reais da equação P(x) O localizadas entre a e b é dado por: N(a, b) � - 2k (k natural), sendo � = N(a)-N( b), onde N(x) é igual ao número de variações de sinais na seqüência de sucessivas derivadas: P(x), p( l l(x), ... , p n-1 ) ,p(n l(x) Prova: Demidovich, B. P.; Maron, 1. A. =

Exemplo 3.12

Dado o polinômio·P(x) x3 + 2x2 - x-2. Aplicando o teorema de Budan-Fourier, vemos que os valores 3 e -3 não são raízes de P(x), pois P(3) = 40 e P(-3) -8. Desta forma, é possível calcular o número das raízes reais localizadas [-3, 3]: =

Solução Numérica de Equações

101

Seja pi (x) � i-ésima derivada de P(x), assim tem: P(3) = 40 p(l) (3) = 38 p<2> (3) = 22 p<3> (3) = 6 P(-3) = -8 p(l> (-3) = 14 p<2> (-3) = -14 p<3> (-3) = 6 Assim, temos: N(3) = O e N(-3) = 3 LW = N(-3)-N(3)= 3-0 = 3 LW(-3, 3)= 3-2k k E N Portanto, o polinômio dado possui uma ou três raízes no intervalo (-3, 3). Pela regra de sinal de Descartes, observamos que este polinômio possui uma raiz positiva e, portanto, o polinômio pode ter duas raízes no intervalo (-3, O) ou não ter nenhuma raiz real negativa. Teorema 3.6 Teorema de Sturm

Dado o polinômio P(x) e um número real a, seja v(a) o número de variações de sinal na seqüência g0(a), g1(a), ... , gn(a), ignorando-se os zeros, em que g0(x) = P(x), g1 (x) = P'(x) e que para k � 2, gk(x) é o resto da divisão de gk_2(x) por gk-l (x), com sinal trocado. Se os números a e b não são raízes do polinômio P(x), então o número de raízes distintas de P(x) = O no intervalo a � x � b é exatamente v (a) - v(b). Prova: Durand, E. Exemplo 3.13

Dado o polinômio P(x) = x3 + 2x2 - x - 2 = O, e usando o teorema de Sturm, temos: g0 (x) = P(x)= x3 +2x 2 - x -2 = 0 g1 (x) = p( l > (x) = 3x2 + 4x -1 16 14 x + g2 (x) = 9 9 81

g3 (x) = 49

Assim, para a = O e b = -1.5, temos: g0 (0) = -2 go (-1.5) = 0.625 g1 (0) = -1 gl (-1.5) = 0.25 g2 (0) = 16/9 gz (-1.5) = -0.556 g3 (0)= 81/49 g3 (-1.5) = 81/49

102

Cálculo Numérico

Sendo v (O) = 1 e V (-1 .5) = 2, temos que v (-1 .5) - v (O) = 1, portanto, existe uma raiz no intervalo (-1.5,0). Além disso, pelo teorema anterior, sabe mos que existem duas ou nenhuma raízes no intervalo (-3,0). Como sabemos que existe uma raiz no intervalo (-1 .5,0), podemos con cluir que a outra raiz encontra-se no intervalo (-3, -1.5). 3.4.2 Determinação das raízes reais

Para determinar as raízes reais de um polinómio P(x), podemos usar qual quer método visto anteriormente neste capítulo, porém apresentamos o mé todo de Newton com o método de Briot-Ruffini, o qual avalia o polinómio e sua derivada num ponto xi com um número mínimo de operações aritméticas. Método de Briot-Ruffini

Sabemos que, dado um polinómio P(x), e a e 9t, existe um único polinómio Q(x) de grau (n-1) tal que P(x) = (x-a)Q(x) + P( a). Note que P( a)é o resto da divisão de P(x) por (x-a). O método de Briot-Ruffini consiste em determinar os coeficientes de Q(x) e P(a) diretamente, como segue. Sejam: Q(x)

b0 xn-l + bl xn-2 + ... + bn-1

P(a) = bn (resto da divisão) Temos:

[a0xn + a1Xn-1 + . + an ] = (X-<l) [bo Xn-1 + b1X n-2 + ... + bn-1 ] = ..

Pela igualdade dos polinómios, temos que: ªº = ao bo � bo = ao a1 = b1 - a b0 � bl = ª1 + a bo ªn-1 = bn-1 - a bn-2 � bn-1 = ªn-1 +a b n-2 an = bn -a bn-1 � bn = a n +a bn-1

103

Solução Numérica de Equações

Note que, desta forma, P(a) = a0 an + a1 an-I + ... + an pode ser calculado com n operações de adição e n operações de multiplicação. Esquema prático de Briot-Ruffini

Podemos obter facilmente os coeficientes de Q(x) e o resto de divisão P(a), conforme esquema prático que segue:

.!..

.............. .....�� ......... ...��.................��.....................................�:��········· .... �:.......................... a.

bn P(a.)

Figura 3.1 6

Seja P(x) = 6x3 + x - 1, calcule P(3). Assim, temos: Exemplo 3.14

b1 = a1 + ab0 = 0 + 3(6) = 18 b2 = ª2 + ab1 = 1 + 3(18) = 55 b3 = a3 + ab2 = - 1 + 3(55) = 164 = P(3) Usando o esquema prático de Briot-Ruffini, temos: 6

-1

. . · · · · · · · · · · · · · · · · · - · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · . . . . . .

164

P(3)

Cálculo da derivada de P(x) num ponto a

Como vimos anteriormente, o valor de um polinômio num ponto a pode ser calculado pelo método de Briot-Ruffini. Vamos agora avaliar P '(a) . De P(x) = (x-a)Q(x) + P(a), segue que: P '(x) = (x - a)Q ' (x) + Q(x)

104

Cálculo Numérico

Assim, para x = a, temos P'(a ) = Q(a). Portanto, para calcular P'(a), basta calcular Q(a), ou seja, repetimos o procedimento anterior em Q(x), uma vez que podemos escrever Q(x) = (x-a.) M(x) + Q(a), onde Q(a) é o resto da divisão de Q(x) por (x-a.) e M(x) é um polinómio de grau (n-2) na forma:

Usando o método de Briot-Ruffini novamente, para avaliar Q(a) temos:

Cn-l = bn-l + acn_2 = P ' (a) � resto da divisão de Q(x) por (x - a) Método de Newton + Briot-Ruffini

Como visto anteriormente, temos o processo iterativo do método de Newton: , � metodo de Newton xi l xi - P(xJ p (X ) +

, -

Neste caso, os valores de P(xi) e P' (xi) são calculados usando o método de Briot-Ruffini. Determine uma raiz do polinómio P(x) = x3 + 2x2 - x - 2 usando o método de Newton + Briot-Ruffini, com E = 10-3. Usando o estudo da localização das raízes do polinómio dado feita anteriormente nesta seção, sabemos que existe uma raiz positiva no inter valo (-3,3). Podemos, ainda, verificar que P(-3)P(3) < O, garantindo que existe pelo menos uma raiz neste intervalo. Tomando-se uma solução inicial Xo = 2, temos a primeira aproximação pelo método de Newton, dada por: Exemplo 3.15

105

Solução Numérica de Equações

Usando o método de Briot-Ruffini para avaliar P(2) e P'(2), temos os resultados: ······

-1

; + � 1 : I :� +

·················

·······

···················· ····················

········ ·········- -········

Desta forma, temos:

··················

········· ········

-2

··················

····

·····-

�=

-·····

12 = l.3684 X1 = 2 - 19

Como l x1 - x0 I = 0.4616 > E, determinamos a segunda aproximação l xi I para a raiz: P(xi ) X2 = X1 - -P'(X1 ) Usando o método de Briot-Ruffini para avaliar P(xi ) e P'(x1 ), temos: 1

-1

-2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · - · · · · · · · · · · · · · · · · · · · - · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

.....�::�� . t . .. �. . . . . ! �..�� ....1 . .�:�.�� ..1 . .�::.�� .

1.3684 1 . .

Desta forma temos:

.. .

1 4.7368 : 10.0911 1 ... .

...

. ..

·····

2.9390 X2 = 1.3684 10.0911 = 1.0772

Como l x2 - X1 1 = 0.2703 > E, repetimos o procedimento de Newton: I x2 I Assim, sucessivamente, temos a seqüência de soluções aproximadas: x3 = 1.0045 � �'x_,,3_-_x,.--2�1 = 0.0724 > E l x3 I x 3' = 0.0045 > E X4 = 1.0000 � �'_4x_-_X� l 41 Portanto, temos a solução x 1.0000, uma vez que o critério de parada foi satisfeito. =

106

Cálculo Numérico

3.5 Sistemas de equações não lineares Seja F: 9\º � 9\º contínua e diferenciável, isto é: F(x, y, ... , z) = [f1(x, y, ... , z), f2(x, y, ... , z), ... , fn(x, y, ... , z)], onde fi: 9\º � 9\. são funções não lineares. Detemrinar a raiz desta função, isto é, detemrinar o vetor solução �x�-�.,._._..,. tal que F(x, y, . . . , z) = O, consiste em resolver o seguinte sis a de equações não lineares. f1 (x, y, ... , z) = O f2 (X , y, ... , z) = Ü � (x, y , ... , z) = O Exemplo 3.16

{

Considere o sistema de equações não lineares: sen(x) + y = O x 2 + y2 =0

-1

[

Determinar a solução deste sistema é equivalente a determinar o vetor sen(x) + y solução (x, y) tal que F(x, y) = O, com F(x, y) = . x 2 + y2

-1

3.5.1 Método de Newton Por simplicidade, consideramos inicialmente um sistema de equações não lineares com duas equações e duas incógnitas:

[ ]

{

f1 (x, y) = O f2 ( X , y) = Ü

Ou seja, buscamos determinar o vetor solução (x, y) tal que F(x, y) = O, f1 (x, y) em que F(x, y) = f2 (x, y) · Seja (Xo, y0) uma aproximação inicial para a solução (x, y). Expandindo f1 (x, y) e f2 (x, y) por série de Taylor em tomo do ponto (Xo, y0) até a derivada de ordem e igualando a zero a série truncada, temos:

1ª

Solução Numérica de Equações

107

Como as funções não lineares foram aproximadas por funções lineares, podemos observar que temos um sistema de equações lineares para ser resolvido:

A solução deste sistema linear fornece uma nova aproximação (x 11 y 1) para a solução (x, y) desejada. Na forma matricial, temos: a f1 ay a f2 ay

(xo ,yo ) Definindo-se J(XQ, y0), a matriz Jacobiana avaliada no ponto (Xo, y0), temos: J(xo , yo )

( ]( ] -f1 ( Xo , yo )

X 1 - Xo

Y1 - yo

-f2 ( Xo , Yo )

Denotando r = (x - x0 ) e s = (y - y0 ), o sistema linear escreve-se como:

Resolvendo este sistema usando um método numérico, visto no Capí tulo 2, temos os valores de r e s. Desta forma, a nova aproximação (x1 1 yi ) é determinada por: x1 = x0 + r e y1 = y0 + s Repetindo o procedimento de linearização em tomo do ponto obtido (x1 1 y1), isto é, fazendo a expansão das funções f1 e f2 por série de Taylor até a derivada de 1 ª ordem, obtemos uma nova aproximação (x2, y2). Assim, suces sivamente, no ponto (xi, yJ, temos o seguinte processo iterativo: J(xu yJ

(xi+l - xi ) = (-f1 (xi , Yi )) � Processo iterativo de Newton Yi+l - yi

- 2 ( X u Yi )

108

Cálculo Numérico

Denotando li = xi+I -xi e si = y i+1-yi, resolvemos o sistema de equa ções lineares obtido anteriormente e determinamos a nova aproximação (xi+t Yi+I ) por: /

Podemos generalizar os resultados obtidos para um sistema de equações não lineares, isto é: f1 (x, y, ... , z)= O f2 (x, y, ... , z) = Ü Processo iterativo de Newton: af1 éH1 af1 az ax ay af2 af2 af2 ax ay az

Ainda,

� (x,y, ... , z)= O Xi+l - Xi

f1 (xi, yi, ... , zi)

Yi + 1 - Yi =

f2 (Xj, Yi1 . . . , Zj)

a� az ( Xi , Yi , ..., zi )

ax ay

onde J(xi, yi, ... , zi) é a matriz jacobiana avaliada no ponto (xi, yi, ... , zJ Denotando li = xi+I - xi si = yi+I -yi ... ti = zi+I -zi , temos o sistema de equações lineares para ser resolvido, como segue: =

109

Solução Numérica de Equações

Usando um método direto para resolver o sistema linear obtido, obtemos os valores de li , si , ... , ti e a nova solução aproximada (xi+t Yi+t , zi+t ) dada por: i

i •••

Convergência

Condições para convergência do método de Newton:

a) As função � (x, y, ... , z) i = l, . . , n contínuas e as derivadas até or dem contínuas e li�itadas nu.ma vizinhança da raiz (x, y, ... , z). b) Det U (xi,yi, ... , zi)] � O. c) A solução inicial (x0 , y0 , , z0 ) deve ser próxima da raiz (x, y, ... , z). .

2"'

•••

Observação

A seqüência gerada pelo método de Newton (xu yi , ... , zJ, a partir de uma solução inicial (x0 , y0 , , z0 ) suficientemente "próxima" da solução do siste ma, converge para (x, y, ... , z), e a convergência é quadrática. .••

Algoritmo 3.5

1. Considere o sistema de equações não lineares f1 (x, y, ... , z) = O

f2 (x, y, ... , z) = O � (x, y, ... , z) = O Defina a matriz jacobiana J(x,y, ... , z), escolha uma aproximação inicial (x0 , y0 , , z0 ) para a solução do sistema F(x, y, .. . , z) = O e, E > O, uma tolerância fixa. Faça Pare Falso, i = O. Enquanto Pare = Falso, faça: Resolva o sistema de equações lineares:

1.1

1.2 2 2.1

•••

- f1 (Xu Yi 1 ··· 1 zd

110

Cálculo Numérico

2.2 Determine a nova solução: 2 .3 Se j xi+Ij xi+1- xI i 1 < E

I Yi+I - yi 1 < E I Yi+1 I

ou 1 � (xi , Yu ... , zJ 1 < E, i = l, ... , n, então Pare Verdade Senão i i + 1 =

Observação

Para implementação deste algoritmo, não é necessário armazenar toda a se qüência de soluções aproximadas. Basta armazenar dois vetores, x(O) e x( l l, e caso o critério de parada não seja satisfeito, faça x( l ) x(ºl . =

Exemplo 3.17

Resolver o seguinte sistema de equações não lineares, usando o método de Newton com E = 0.001.

{

x2 + y2 - l = O � f1 (x, y) x2 - y = O � f2 (x, y)

Graficamente, podemos representar conforme a Figura 3.17:

y f2(x,y)

Figura 3.1 7

Solução Numérica de Equações

111

Pela Figura 3.17 vemos que existem duas raízes que se encontram na ' intersecção dos gráficos de f1 (x,y) e f2 (x,y). A matriz jacobiana é dada por: J(x, y) =

[

-1

Tomando uma solução inicial (x0 , y0 ) = (0.5, 0.5), temos o processo ite rativo de Newton como segue: Fazendo r = (x1 - x0 ) e s = (y1 - y0 ), temos o seguinte sistema de equa ções lineares nas variáveis r e s:

] lr l rl ] r

o.5

-1

o.5

Usando o método de eliminação de Gauss, temos o sistema na forma equivalente:

cuja solução é r 0.1250 e s = 0.3750. Desta forma, temos a solução aproximada: =

{

x1 = x0 + r = 0.8750 y1 = y0 + s = 0.6250

Critério de parada:

112

Cálculo Numérico

Analogamente calculamos a seqüência de soluções aproximadas:

r r

= 0.7907

�

y2 = 0.6180

I Y2 -Y1 I = 0.01 13 > E I Y2 I

= 0.7862

�

y3 = 0.6180

l x3 -x2 I l x3 I

0.0057 > E

I Y3 -Y2 I = 0.0000 < E I Y3 1

= 0.7862

�

y4 = 0.6180

l x2 -x1 I = 0.1066 > E l x2 I

l x4 -x3 I l x4 I

0.0000 < E

IY4 - y3 I = 0.0000 < E I Y4 1

Portanto, temos a solução aproximada:

(x,y):: (x , y ) = (0.7862, 0.6180 ), uma vez que o critério de parada 4

foi verificado.

3.5.2 Determinação de raízes reais e complexas de um polinômio

método de Newton, visto neste capítulo, determina as raízes reais de um polinômio, portanto, toma-se necessário um método numérico para determi nar as raízes reais e também raízes complexas quando estas existem. Depois da localização das raízes reais e complexas de um polinômio, vista neste ca pítulo, apresentamos o método de Newton-Bairstow· para o cálculo de raízes reais e complexas, como segue: O

Método de Newton-Bairstow

Seja P(x) um polinômio de grau n � 2. Para calcular as raízes complexas de P(x), caso existam, consideramos que estas ocorrem aos pares, isto é, se ( a+bi) for uma raiz, então ( a-bi) também será uma raiz de P(x).

Solução Numérica de Equações

113

Desta forma, podemos escrever: P(x) = [(x - (a + bJ)(x - ( a - bi ))Qn_2 (x) = (x2 - 2ax + a2 + b2 )Qn_2 (x) = = (x2 - ax - p) + R(x) Portanto, devemos determinar um divisor D(x) do 22 grau da forma D(x) = x2 - ax - p, com a e p e9t, de modo que a divisão de P(x) por D(x) seja exata, isto é, o resto dessa divisão R(x) = O. Observe que, uma raiz do fator quadrático D(x), será também uma raiz de P(x). Assim, temos: P(x) = D(x)Q(x) + R(x) onde

D(x) = x2 - ax - P

Portanto, P(x) = D(x)Q(x) + R(x) = bo Xn + b1 Xn-1 + ... + bn-3X3 + bn-2 X2 - Clbo Xn-1 - Clb1 Xn-2 - . . . - Clbn-3X2 - Clbn-2 X +

114

Cálculo Numérico

Desta forma, temos: ªº = bo

bo = ªº

ª1 = b1 - abo

b1 = ª1 + a bo

ªn - 2 = bn -2 - abn -3 - Pbn -4

bn -2 = ªn -2 + a bn -3 + p bn -4

ªn - 1 = bn - 1 - abn -2 - Pbn -3

bn - 1 = ªn -1 + a bn - 2 + p bn -3

ªn = bn - abn -1 - Pbn -2

bn = an + a bn-1 + P bn -2

{

De modo geral, temos: b· = a· + ah 1 + ..,Ah 2 1

i = O, l, ... , n - 1

b_1 = b_2 = 0

Como R(x) = bn_1 (x - a ) + bn = 0, temos o seguinte sistema não linear, nas variáveis a e p :

{

bn -1 = ªn -1 + a bn -2 + p bn - 3 = o bn = an + a b n -1 + P bn -2

Para resolver o sistema obtido, usamos o método de Newton para siste mas não lineares, visto neste capítulo, isto é éH1

ªª a f2

ªª

af1 ap af2 ap

ou, ainda, J( a- P· )

" '

(aj ,J}j )

(ª - ª i ) = P - Pi

r-�(<X; ,�; )J - f2 (ai , pi ) R. )

( a-•+1 - a- ) = ( - ff1 (a(a"· ..,. ) Pi+1 -Pi

- 2 u PJ

onde J( au PJ é a matriz jacobiana avaliada no ponto (ai , PJ .

115

Solução Numérica de Equações

Denotando r = (ai+l - ad e s = ( Pi+l - Pd e, considerando que f1(a, P) = bn-l e f2(a, p) bn, temos o seguinte sistema linear: =

é) bn-1

é) bn-1 ap é) bn ap

ªª

é) bn

ªª

= (llj ,pj )

-bn-1 -bn

Para calcular as derivadas parciais de bn e b n 1 , usamos um processo recursivo proposto por Bairstow da seguinte forma: _

a) Derivada dos bi i O l, ... , n com relação a a, sendo que os ai i = O, l, ... , n são constantes: =

é) bo

ªª é) b1

ªª é) b2

ªª a b3

ªª

=0 = bo = b1 + a = b2 + a

é) b1

ªª a b2

ªª

ab1

ªª

é) b n-2 p -é) bn-3 bn-2 + a + é)a é)a --

é) b

i+l i = O, l, , n Denotando-se ci = � ...

temos:

Co = bo c1 = b1 + a c0 C2 = b2 + a c1 + P co Cn-2 = bn-2 + a cn-3 + Pcn-4 Cn-1 = bn-1 + a cn-2 +Pcn-3

116

Cálculo Numérico

{

Em geral, temos:

ci = bi + a ci-1 + Pci-2 c_l = C-2 = 0

i = O, l, ... , n - 1

Desta forma, temos que:

b) Derivada dos bi com relação a p :

ê) bo =0 ap ab1 =O ap d b2 - bº ap d b3 a b2 = bi + a ap ap

Denotando-se di =

ê) bi+2 i = O, l, , n - 2 � ...

d0 = b0

d1 = b1 +ad0 d2 = b2 + ad1 + Pdo

117

Solução Numérica de Equações

{

De um modo geral, temos: d·1 = b1 + a d1-1 + A..,,d 2 i = O, l, ... , n - 2 d_l = d-2 = 0 -

. 1-

ab abn-1 e d n _2 = n . Entao, dn-3 = � aj3 Realizando uma comparação com os resultados obtidos em a) e b), vemos que ci = di i = O, 1, .. , n - 2

a bo a b n-1 . Assrm, c 0 _3 = � e c o -2 = a�

Desta forma, o sistema de equações lineares obtido anteriormente: a bn - 1

a bn -1 a13

a bn

a bn a13

ªª

-bn- 1 =

IX; ,l:\i )

-bn

onde r = (ai+t - aJ e s = (l3i+t - j3J, toma-se:

Obtidos os valores para r e s, na resolução do sistema de equações lineares, temos que: ªi+1 = ai + r e 13i+t = 13i + s Algoritmo 3.6

1. Considere o polinômio P(x) de grau n � 2, defina uma solução inicial (a 0 , � 0 ) e E > O, uma tolerância fixa. Faça Pare = Falso, k = O. 2. Enquanto Pare = Falso, para j = O, l, ... , n, faça: 2.1 Para i = O, 1, ... , n, faça

A . b· = a1. + \.A.) b1-1 + !-') 2 b_1 = b_2 = o 1

{C·

"' ·

C· C·

2.2 Para i = O, ... , n-1, faça 1

= b1 + <X·J

c_l = c_2 = o

1 -1

. +A 1-'J 1- 2

118

Cálculo Numérico

3. Resolver o sistema de equações lineares:

3.2 Calcular

ª i + l = a i + r e � i + l = �i + s �j+ l - �j < E e �j ---

l bn-1 l < E e l bn l < E, então faça: a = ai+l e � = � j+l e determine as m raízes de D(x) = x 2 - ax - � = O e vá para 4.

Senão j = j

1 e volte em 3.

4. Para i = O, ... , n-m, faça: Se m = n então Pare = Verdade Senão faça a i b i e k = k + 1 e volte para 1 . =

Exemplo 3.18

Usando o método de Newton-Bairstow, determinar as raízes da equação polinomial P(x) = x4 - 3x3 + 2.25x2 - 0.75x + 0.5 = 0 com a precisão E = 0.01.

Usando o algoritmo dado, temos os seguintes resultados: j=O Tomando a.0

O e

�o

O , temos os seguintes resultados:

b0 = a0 = 1 b1 = a1 + ab0 = -3 + 1(0) = -3 b2 = a2 + ab1 + �b0 = 2.25 + 0( -3) + 0(1) = 2.25 b3 = a3 + ab2 + �b1 = --0.75 + 0(2.25) + 0(-3) = --0.75 b4 = a4 + ab3 + �b2 = 0.5 + 0(--0.75) + 0(2.25) = 0.5 c0 = b0 = 1 c1 = b1 + ac0 = -3 + 0(1) = -3 c2 = b2 + ac1 + �c0 = 2.25 + 0( -3) + 0(1) = 2.25 c3 = b3 + ac2 + �c1 = --0.75 + 0(2.25) + 0( -3) = --0.75

119

Solução Numérica de Equações

(

)() ( )

Desta forma, temos o sistema de equações lineares: 2.25

-3

-0.75

2.25

r s

0.75

-0.5

Resolvendo o sistema obtido, usando o método de Gauss com pivota mento na diagonal, temos:

{r s

{

Assim,

0.0667

= -0.2000

a1 = a0 + r = 0+ 0.0667 = 0.0667 P1 = Po + s = 0 - 0.2000 = - 0.2000

Critério de parada:

j=1 bo = ao = 1 = - 3 + 0.0667(1) = -2.9333 b1 = a1 + ab0 b2 = a2 + ab1 + Pbo = 2.25 + 0.0667( -2.9333) - 0.2000(1) = 1.8543 b3 = a3 + ab2 + Pb1 = - 0.75 + 0.0667(1.8543) - 0.2000( -2.9333) = -0.0397 b4 = a4 + ab3 + Pb2 = 0.5 + 0.0667(-0.0397) - 0.2000(1.8543) = 0.1265

c0 = b0 = 1 = -2.9333 + 0.0667(1) = -2.8666 C1 = b1 + <XCo c2 = b2 + ac1 + Pc0 = 1.8543 + 0.0667( -2.8666) - 0.2000(1) = 1.4631 c3 = b3 + ac2 + Pc1 = -0.0397 + 0.0667(1.4631) - 0.2000( -2.8666) = 0.6312

(

) (r) (

Temos o seguinte sistema de equações lineares: 1 .463 1 0.63 1 2

- 2 . 8666 1 .463 1

0.0397 - 0. 1 265

)

120

Cálculo Numérico

{ {

Usando o método de Gauss com pivotamento na diagonal, temos:

r = -0.0771 S = - 0.0532 a2 = a1 +r = 0.0667 - 0.0771 = - 0.0104 P2 = P1 + s = --0 .2000-0.0532 = -0 .2532

Critério de parada:

j=2 b0 = a0 = 1 = - 3 + --0.0104(1) = -3.0104 b1 = a1 + ab0 b2 = a2 + ab1 + pb0 = 2.25 -0.0104(-3.0104)-0.2532(1) = 2.0281 b3 = a3 + ab2 + pb1 = - 0.75 - 0.0104(2.0281) - 0.2532(-3.0104) = --0.0089 b4 = a4 + ab3 +pb2 = 0.5 - 0.0104(--0.0089) - 0.2532(2.0281) = --0.0134 c0 = b0 = l = - 3.0104 - 0.0104(1) = -3.0208 C1 = b1 + aco c2 = b2 + ac1 +�0 = 2.0281 - 0.0104(-3.0208) - 0.2532(1) = 1.8063 c3 = b3 + ac2 + Pc1 = - 0.0089 - 0.0104(1.8063) - 0.2532( -3.0208) = 0.7372 Temos o seguinte sistema de equações lineares:

( 1.8063

- 3.0208 0.7372 1.8063

{ {

) (r) = ( 0.0089 ) s

0.0134

Usando o método de Gauss com pivotamento na diagonal, temos:

r = 0.0103 s = 0.0032 U3 = <X2 +r = -0.0104+0.0103 = - 0.0001 P3 = P2 + s = - 0.2532+0.0032 = - 0.2500

121

Solução Numérica de Equações

Critério de parada:

l b3 I = o.oo89 < E

l b4 I = o.Ol34 > E

j=3 b0 = a0 = 1 = - 3 + -0.0001(1) = -3.0001 b1 = a1 + ab0 b2 = a2 + ab1 + Pbo = 2.25-0.0001( -3.0001) - 0.2500(1) = 2.0003 b3 = a3 + ab2 + Pb1 = - 0.75 - 0.0001(2.0003) - 0.2500( -3.0001) = -0.0002 b4 = a4 + ab3 +Pb2 = 0.5 - 0.0001(-0.0002) -0.2500(2.0003) = -0.0001 Critério de parada:

l b3 I = o.ooo2 < E

l b4 I = o.oool < E

Como o critério de parada está satisfeito, podemos construir os polinô mios D(x) e Q(x) da seguinte forma:

D(x) = x2 - ax - p = O D(x) = x2 +0.000lx +0. 2500 = O, cujas raízes são complexas dadas por: e X2 = 0.00005 - 0.5 i X1 = 0.00005 + 0.5 i Q(x) = b0x2 + b1 x + b2 = O Q(x) = x2 - 3.0001x + 2.0003 = 0, cujas raízes são reais dadas por: X3 = 1.9999 e X4 = 1.0002 Portanto, o polinômio possui duas raízes reais e duas raízes complexas: X1

= 0.00005 + 0 . 5 i e

= 0.00005 - 0.5 i

= 1.9999 e

= 1.0002.

3.6 Trabalhando com o software numérico

No Software Numérico, o usuário deve selecionar o módulo Raízes de Fun ções e fornecer a função f(x). Além disso, deve fornecer um intervalo inicial para uma investigação no qual encontra-se a raiz e uma precisão E desejada conforme exibimos resultados no seguinte exemplo: Exemplo 3.19

Considere o seguinte problema: uma peça deve ser construída com o formato de um arco de circunferência e seu comprimento externo é de 8 metros. Essa peça será fixada em base de comprimento igual a 6 metros, conforme mostra a Figura 3.18.

122

Cálculo Numérico

Formule o modelo matemático correspondente para o problema e, usando métodos numéricos conhecidos, determine a altura máxima da peça. Modelo matemático

Como a peça tem o formato do arco de uma circunferência, podemos repre sentá-la graficamente conforme a Figura 3.18 a) e b):

peça

LI:\ +----- 6 m

-----+

Figura 3. 1 8

Observando a Figura 3.18, temos: h � altura da peça a ser determinada 0 � ângulo formado no triângulo retângulo r � raio de circunferência r=h+x Podemos escrever as relações trigonométricas no triângulo retângulo da Figura 3.18, como segue: sen(0) = 3 / r � r sen(0) = 3

cos(0) = x / r � x = cos(0) - r

ii)

{ 2n � 21t r � 0(21t r) = (21t)(4) � r = 4 / 0 0�4

iii) .

Desta forma, substituindo iii) em i), temos a seguinte equação na va riável 0: 4 sen(0) - 30 = O

123

Solução Numérica de Equações

Resolvendo a equação obtida, usando o software numérico e selecio nando o método de Newton, a partir de uma solução inicial x0 1 .2 e uma precisão E 0.0001, temos a seqüência de soluções aproximadas, conforme a Figura 3.19 a) e b): =

e) Figura 3.1 9

Observando a Figura 3.19 c), temos a raiz X: 1 .2757 com a precisão dese jada. Portanto, temos o ângulo dado por 0 = 03 1 .2757. =

124

Cálculo Numérico

Assim, substituindo 0 = 0 3 1.2757 em iii) e ii), temos: r = 4/1.2757 = 3.1355 x = r cos(l.2757) = 0.9119 Portanto, h = r-x = 2.2236 será a altura máxima da peça. =

Exercícios

1. Usando o software numérico, determine graficamente uma vizinhança para as raízes das seguintes funções: a) f(x) = x - ex b) f(x) = sen(x) + x2 + 1 c) f(x) = sen(x) - x + 2 d) f(x) 2x - tg(x) 2. Usando todos os métodos vistos, resolva a equação cos(x) + x = O, com o auxílio do software numérico. 3. Usando o método da bisseção, determine uma raiz das funções a seguir com a precisão E = 0.0001: a) f(x) = x3 - sen(x) b) f(x) = 3x - cos(x) + 1 c) f(x) ln(x) - sen(x) 4. Usando o método de Newton, resolva as equações a seguir: a) f(x) x sen(x) O b) f(x) = sen(x) - x - 1 = O c) f(x) = 2x - e-x = O 5. As raízes de f(x) = ln(x) - x + 2 podem ser determinadas usando o pro cesso iterativo na forma xi+l = <!>(xd i = l, 2, ... Considere os processos iterativos: a) X ; +i = <l>(x ; ) 2 + ln( x ; ) =

X ;+1

·-

<l>(x ; ) = e x,- 2

Usando o critério de convergência do método das aproximações sucessivas, analise os processos iterativos dados e verifique qual deles possui garantia de convergência para as raízes da equação e a partir de uma solução inicial dada determine essas raízes de f(x). 6. Usando a regra de sinais de descartes, o teorema de Budan e a regra de Sturm, localize as raízes reais das seguintes equações polinomiais: a) P(x) = x3 + 8x2 - 4x - 2 = O b) P (x) x4 - 4x3 - 9x2 + 19x + 20 = O c) P(x) = x4 - 4x3 + 3x2 - 4x + 4 O =

125

Solução Numérica de Equações

7. Usando o método de Newton + Briot-Ruffini, determine uma raiz real dos polinômios do Exercício 6, com E = 0.001. 8. Seja a equação P(x) = x4 - 2x2 - 3 = O. a) Verifique, usando as regras de localização de raízes, se a equação dada possui uma raiz real. Em caso afirmativo, determine-a usando o método de Newton, com E = 0.001. b) Verifique, usando as regras de localização de raízes, quantas raízes reais e complexas possui a equação dada. 9. Seja a equação P(x) = x3 - 3x2 + 4 = O. a) Verifique se a equação possui uma raiz de multiplicidade em x = 2. b) Determine-a usando o método de Newton, com E = 0 . 001.

10. Usando o método de Newton-Bairstow, determine as raízes complexas

do polinômio P(x) = x3 - 4x2 + Sx - 2 = O, partindo da divisão de P(x) por (x2 - x). 11. Calcular as raízes da equação polinomial P(x) = x4 - 2x3+4x2 - 4x + 4 = O usando o método de Newton-Bairstow, com a0 = 1 e �o = -1.

12. Usando o método d e Newton, resolva os seguintes sistemas de equações não lineares: com E = 0.01.

{

x2 + y2 = 1 a) 3x2 + y2 = 1

{

2x3 - y = l

x2 - y = 1

x 2 + y2 + z 2 = 2 c) x2 + y2 =1 =1 3x2

13. Seja a equação polinomial P(x) = x3 + x + 1 = O. Determine uma raiz real dessa equação usando duas iterações pelo método da bisseção e o mé todo de Newton + Briot-Ruffini com E = 0.001.

14. Usando o método de Newton Bairstow, determine as raízes complexas do polinô!Uio a) P(x) = x4 + 3x2 + 1 b) P(x) = x4 + 2x2 + x + 1 15. Determinar todas as raízes da equação polinomial P(x) = x3 - x - 1 = O usando o método de Newton + Briot-Ruffini com E = 0.0001.

Capítulo 4

Aproximação de Funções Interpolação e Método dos Mínimos Quadrados 4.1 Introdução

Neste capítulo apresentamos a aproximação de uma função de uma variável real por outras funções mais simples, de modo que operações em geral sejam realizadas com mais facilidade. Esta aproximação possui várias aplicações na resolução de problemas complexos, como integração de funções, equa ções diferenciais, sistemas não lineares etc. Esta situação pode ocorrer quaílkto trabalhamos com uma função f(x) e esta apresenta um grau de dificuldade, por exemplo, para avaliar em pontos, derivar ou ainda integrar, ou mesmo quando conhecemos esta função em um número finito de pontos de um intervalo [a, b], sem o conhecimento de sua forma analítica, geralmente obtida em experimentos. Algumas funções são usadas neste tipo de aproximação, como poli nômios, funções exponenciais, trigonométricas etc. Faremos a aproximação de uma função f(x) inicialmente usando interpolação polinomial, seguido da aproximação pelo método dos mínimos quadrados. 4.2 Interpolação polinomial

Considere uma função f(x) definida em x0, xv ... , Xn, (n + 1) pontos distintos de um intervalo [a, b ], e denotamos Yi f(xi) i O l, ... , n conforme a repre sentação na Figura 4.1 . =

127

128

Cálculo Numérico

f(x)

-----------------------------------

- - - - - - - - - �-=-=-=---- -----

XQ = a

Xn = b

Figura 4.1

Interpolar esta função f(x) definida em x0, xv ... , Xn (n + 1) pontos dis tintos de um intervalo [a, b] consiste em aproximar esta função por um po linômio P(x) de grau menor ou igual a n, tal que este coincida com a função nestes pontos, isto é, P(xi) = f(xi) = Yi i = O, 1, ... , n. Apresentamos, a seguir, o teorema que garante a existência e a unicidade do polinômio que desejamos determinar. Teorema 4.1

Seja f(x) definida em XQ, xv ..., Xn (n + 1) pontos distintos de um intervalo [a, b], então existe um único polinômio P(x) de grau menor ou igual a n tal que P(xi) = f(xi) = Yi i = 1, ... , n. Existência e Unicidade

Prova:

Considere o polinômio de grau n, P(x) = an xn + an_1 xn-l + ... + a1x + a0 tal que P(xi) = f(xi) = Yi i = O, 1, . .. , n. Desta forma, temos:

129

Aproximação de Funções

Podemos observar que temos um sistema de equações lineares Ax = b, onde x = (a0 , a0_1 , , ao ), b = (y0 , y1 , , y0 ) e a matriz A é dada por: •••

•••

xô x A= r

Xon-1 X1n-1

Xo 1 X1 1

xºn Xnn 1 ... Xn 1 -

O det(A), chamado de determinante de Vandermonde, é dado por:

det(A) = TI (xi -xi ), i<j

Como os pontos xi i = O, 1, ... , n são distintos, segue que det(A) * O, o que significa que o sistema linear possui uma única solução e, portanto, os coeficientes a0, a 1, ... , a0 do polinômio são únicos calculados pela resolução deste sistema. Em resumo, o polinômio P(x) existe e é único. Definição 4.1

Denominamos polinômio interpolador de uma função f(x) definida em XQ, x1 1 , x0 (n + 1) pontos distintos de um intervalo [a, b], ao polinômio P(x) de grau menor ou igual a n, que coincide com a função nos pontos xi i = 1, ... , n, isto é, P(xi) = f(xi) = Yi i = l, ... , n. Representamos graficamente, conforme Figura 4.2: •••

f(x) f(xn)

f(x)

P(x) f(Xo)

Xo = a X1

X0 = b

Figura 4.2

Embora o polinômio interpolador P(x) coincida com a função nos pontos de interpolação XQ, x1 1 , x0, espera-se que P(x ) = f(x) para x * xi i = O, ... , n, ou •••

130

Cálculo Numérico

seja, estimamos f(x) pelo polinômio interpolador e cometemos um erro nesta aproximação, dado por: E( x) f (x) - P(x) Podemos representar graficamente, conforme Figura 4.3. =

f(x)

f(xn)

E(X)

{

---------------------------------------------------------

f(x 1 ) - - - - - - - - - - - - - - - p(x) -- -- - - �-- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

f(x)

---

----- --�------------------------------

----

:xo =

' 1 1 1 1 1

Xn = b

Figura 4.3

Apresentamos, a seguir, uma expressão geral para o erro cometido quando aproximamos uma função f(x) por um pelinômio interpolador P(x). Teorema 4.2

Seja f(x) uma função definida em XQ, xv ... , Xn (n + 1) pontos distintos de um intervalo [a, b] e (n + 1) vezes diferenciável. Se P(x) interpola f(x) nestes pon tos, então o erro cometido E(x) é dado por: E(x) f(x) - P(x) 'Jl ( X ) f< n+l l (Ç) (n + 1) ! Onde n Il (x - x; ) e Ç e [x0 , xn 1 ( ) X 'Jl =

i=O

Prova:

Considere x E [x0 , Xn ]. i) Se x xi i O, l, . , n, então 'Jl(Xi) O e, portanto, temos f(xi) P(xi) e a expressão dada para o erro é válida. =

Aproximação de Funções

131

ii) Se x '* Xj, i = O, 1, . .. , n, construímos uma função auxiliar: <l>(s) = f(s) - P(s) - g(x)'l'(s), s E [x0 ,xn 1 com g( X ) = f(x) - P(x) 'l'(x) Caso s = xi então: <l>(x; ) = f(xJ - P(xJ - g(x)'l'(xJ = O Caso s = x * xi, então: <l>(x) = f(x) -P(x)-g(x)'l'(x) = f(x) - P(x) f(x)-P(x) 'l'(x) = O '!'( X ) Assim, <!>(s) anula-se em pelo menos (n + 2) pontos de [Xo, xn], isto é, nos pontos x, XQ, xv . .. , Xn · Desta forma, pelo teorema de Rolle do cálculo diferencial e integral, temos que: <1>'(s) possui pelo menos (n + 1) raízes em [x0 , xn ]; <1>" ( s) possui pelo menos n raízes em [x0 , Xn ]; <l>( n+l l (s) possui pelo menos 1 raiz em [x0 , xn 1 · Seja Ç uma raiz de <1>< n+1 > (s), istoé, <1>(n+1 > (1;) = 0. Derivando <j>(s) (n + 1) vezes, temos: <l>( n+l l (s) = f( n+tl (s)-0 - g(x )(n+l)! e <l>( n+l l (Ç) = f( n+l l (Ç)-g(x)(n+ l)! = O Portanto, ( n+l ) g(x) = f (Ç) (n+ l)! e conforme a definição da função g(x), segue que f (x) - P(x) f( n+l l(Ç) = '!'( X ) (n+l)! ou, ainda, f( n+l ) (Ç) f(x)-P(x) = 'l'(x) -� (n+ l)! Portanto, o erro cometido é dado pela expressão proposta: E(x) = f(x) - P(x) = '!'( X ) f< n+Il (Ç) (n + 1)!

132

Cálculo Numérico

Limitante superior para o erro

Na expressão do erro do Teorema 4.2, o parâmetro Ç não é conhecido no inter valo [Xo, xnl e, portanto, não é possível calcular o valor numérico de f ( n+I ) (Ç). Desta forma, apresentamos uma estimativa para o erro como segue: Temos: E(x) = f(x) - P(x) = Podemos escrever:

'!'(X)

(n + l) !

f< n+l l (Ç)

l 'lf(X) 1 M 1 E(x) 1 = (n'!'+(X)l) ! f( n+l l (Ç) = l(n'lf+(X)l) !l 1 f( n+l l (Ç) 1 � (n l) ! +

com M máx { l f( n+t > (x) I , x E [x0 , x0 J } Assim, temos um limitante superior para o erro: =

1 E(x) I � l 'l'(x)l)I! M (n +

Observação

Podemos calcular uma estimativa para o erro somente quando tivermos a expressão analítica da função f(x), pois, de acordo com a fórmula do limitante superior para o erro, devemos dispor da (n + 1)-ésima derivada dessa função. Nos casos em que tivermos apenas a função tabelada em um número finito de pontos, sabemos que estamos cometendo um erro no ponto a ser avaliado, mas não é possível estimá-lo. A seguir, embora a resolução do sistema linear obtido na prova do Teo rema 4.1 forneça uma maneira para determinar o polinómio interpolador de uma função, apresentamos, também neste capítulo, outras fórmulas interpo latórias para determinar o mesmo polinómio interpolador, uma vez que este é único, porém com uma maior facilidade nos cálculos: Lagrange, Newton e Newton-Gregory .

4.3 Fórmula i nterpolatória de Lagrange

Seja f(x) definida em x0, x 1 1 , Xn (n + 1) pontos distintos de um intervalo [a, b] e Yi = f(xi) i = O, . . . , n. Considere o polinómio na forma: n P(x) = y0 R 0 (x) + y1 f 1 (x) + ... + yi f i (x) + ... + y0R n (x) = L Yk f k (x) •••

l< dl

133

Aproximação de Funções

Mostremos que P(x) é um polinôrnio interpolador, isto é, P(xJ = Yi i = O, ..., n. Desta forma, temos:

P(xJ = y0 i0(x)+y1i1 (x)+ ... +yi i i (xJ+ ... +yn l n (x) = yi i = O , ... , n Para que P(xi) Yi i O, ... , n, é suficiente que: i k (xJ = O para i :;t: k idxJ = l para i. = k =

{

Para que o polinôrnio P(x) satisfaça esta propriedade, podemos considerar:

x idx ) = (x - Xo ) (x -x1 ) ... (x-xk_1 ) (x -xk+d ... ( -xn ) (xk -x0 )(xk -x1 ) ... (xk -xk_1 ) (xk -xk+i ) ... (X1c -xn ) Ou,

ainda,

Assim, temos a fórmula de Lagrange para o polinômio interpolador:

n P(x ) = L Yk idx ) k=O Exemplo 4.1

Considere a função f(x) definida nos pontos, conforme tabela:

1 .3

0.5 2.5

1.0 0.9

Determine o polinômio interpolador, usando a fórmula de Lagrange, e estime f(0. 8) . Neste caso, temos P(x ) = y0 i 0(x)+y1 i 1 (x )+y2 i 2 (x ) de grau � 2. Construção dos ik(x) :

2 i o (x ) = (x-x1 ) (x -x2 ) = (x-O.S)(x - 1) = x - 1.5x +0.5 (x0 -x1 ) (x0 -x2 ) (0-0.5)(0 -1) 0.5 2 l i (x) = (x-x0 )(x -x2 ) = (x -O ) (x -1) = x -x (x1 -x0 )(x1 -x2 ) (0.5 -0 )(0.5 -1) --0.25 2 i z (x ) = ( (x-x0 )(x -x1 ) = (x-O)(x -0.5) = x -0. Sx Xz - Xo ) (Xz - X1 ) (1 -0)(1 -0.5) 0.5

134

Cálculo Numérico

Assim,

]

[

[ ]

[

]

2 2 2 P(x) = (1.3) x - 1.5x+0.5 + (2.5) x -x +(0.9) x -0.5x = 0.5 0.5 --0 .25 = -5.6x2 + 5.2x +1.3 Portanto, temos: P(x) = - 5.6x2 + 5.2x+ 1.3 e f(0.8) = P(0.8) = 1.8760 Neste caso, temos um erro cometido na aproximação da função e, conse qüentemente, no valor de f(0.8), mas não podemos estimá-lo, pois não temos a forma analítica da função f(x). Exemplo 4.2

Considere a função f(x) = < 3 + x) definida nos pontos conforme, tabela: (l + x) 0.1 2.82

0.4 2.43

0.2 2.67

Determine o polinómio interpolador de f(x), usando a fórmula de Lagrange, avalie f(0.25) e um limitante superior para o erro. Neste caso, temos P(x) = y0 t' 0 (x)+ y1 t' 1 (x)+ y2 t' 2 (x) de grau 2. Construção dos t'k(x): 2 t' o (x) = (x -x1 )(x -x2 ) = (x -0. 2)(x -0 .4) = x -0.6x +0.08 0.03 (x0 - x1 )(x0 -x2 ) (0.1 -0.2)(0.1-0.4) 2 t' i (x) = (x -x0 )(x -x2 ) = (x -0.l )(x - 0.4) = x - 0.5x +0.04 --0.02 (x1 -x0 )(x1 -x2 ) (0.2 -0. 1)(0.2 -0 .4) 2 t' 2 ( X ) = ( X -Xo )(X -X1 ) - (x - O.l)(x -0 .2) = x - 0.3x+0.02 ( X2 -Xo )( X2 -x. ) (0.4 -0.1)(0.4 -0.2) 0.06 Assim,

[ [

] ]

[

]

2 2 P(x) = (2.82) x -0. 6x +0. 08 + (2.67) x -0. 5x +0.04 + 0.03 --0.02 2 +(2.43) x - 0.3x +0.02 = x2 - l.8x + 2.99 0.06

135

Aproximação de Funções

Portanto, temos: P(x)

x2 -1 .8 x+2.99 e

f(0.25) = P(0.25) = 2.6025

Limitante superior para o erro

A partir da fórmula do limitante superior para o erro:

para n = 2 temos:

Como f< 3 > (x) =

-1 2

é uma função decrescente em módulo no intervalo (l + x) [0.1, 0.4], temos que: f<3> (x) I assume o valor máximo em x = 0.1, ou seja : 4

máx l f< 3 > (x) l = 8.1962

Assim, temos um limitante para o erro no ponto interpolado x segue:

1 E(0.25) 1

0.25, como

$ 1 (0.25 - 0.1)(0.25:0.2)(0.25 - 0.4} 1 (8.1962) = 0.0015

4.3. 1 Fórmula interpolatória de Lagrange para pontos eqüidistantes

Considere uma função f(x}, definida em XcJ, xlt ... , Xn (n + 1) pontos distintos de um intervalo [a,b], tais que xi+l - xi h i = O, ... , n - 1 (pontos eqüidistantes). Neste caso, é possível fazer uma mudança de variável conveniente e obter o polinômio interpolador usando a fórmula de Lagrange de maneira mais simples, isto é, com algumas simplificações nos cálculos. Consideramos a seguinte mudança de variável: =

(x - x0 ) ou amda x = x0 + uh h •

Desta forma, temos a seguinte correspondência dos valores da variável x com a nova variável u, conforme Figura 4.4.

136

Cálculo Numérico

h ,----J'-..,

h Xo

h=l

h ,----J'-..,

Xn-1

n-1

Figura 4.4

Podemos observar na Figura 4.4 a correspondência dos pontos tabelados na variável x, com os novos pontos na variável u. Os pontos x0, xv . . . , Xn, com espaçamento h, possuem uma correspondência única com os pontos O, l, ... , n, com h 1, o que toma os cálculos bem mais simples. Nesta mudança de variável temos as seguintes propriedades: =

a) (x - Xr) (u - r) h b) (xr - Xs) (r - s) h =

Prova:

Sabemos que x

x0 + uh e que Xr

+ rh, desta forma, temos:

a) (x - xr) x0 + uh - Xo - rh (u - r)h b) (xr - X5) Xo + rh - Xo - sh (r - s)h =

Aplicando as propriedades a) e b) na expressão fk(x), dada por:

( x - x0 ) ( x - x1 ) ... ( x - xk_1 )( x -xk+i ) ... ( x - xn ) �� (xk -xo )(xk - x1 ) ... ( xk -xk-1 ) ( xk -xk+1 ) ... ( xk - xn )

f k ( X ) = �� temos na variável u a seguinte expressão para fk(u): f k (u )

(u - O)h (u - l) h ... (u - (k - l)) h (u - (k + l))h ... ( u - n)h (k - O)h (k - l)h ... (k - (k - l) h ( k - (k + l))h ... (k - n)h (u - O) (u - 1) ... (u - (k - l))(u - (k + l)) ... (u - n) (k - O) (k - 1) ... ( k - (k - l))(k - (k + l)) ... (k - n)

= ��

portanto,

��

= ��

137

Aproximação de Funções

Assim, podemos escrever o polinómio interpolador, fórmula de Lagrange,

para pontos eqüidistantes na variável u da seguinte forma:

P(u) = L Y k i \ (u) k=O n

Note que .é'k(u) não depende dos pontos de interpolação originais e, portanto, são os mesmos para qualquer cálculo de polinómios interpola dores de grau � n. Limitante superior para o erro para pontos eqüidistantes

Para pontos eqüidistantes, um limitante superior para o erro é dado, basea do no seguinte resultado: Teorema 4.3

Seja f(x) uma função definida e (n + 1) vezes diferenciável num intervalo [a, b]. Se jam XcJ, xv ... , Xn, (n + 1) pontos distintos e eqüidistantes deste intervalo. Se P(x) interpola f(x) nestes pontos, então o limitante superior para o erro é dado por: hn+l M E(x) I = l f(x) - P(x) I � I 4(n + 1) onde, M máx l f( n+t l (x) I x e [x0 , xn 1 =

Prova: Young, D.

M.; Gregory, R. T.

Exemplo 4.3

Considere a função f(x) Xj

f(xi)

cos(x), tabelada nos pontos como segue: 0.2

0.4

0.6

0.9801

0.9211

0.8253

Determine o polinómio interpolador usando a fórmula de Lagrange, estime f(0.3) e um limitante superior para o erro. Neste caso, consideramos um polinómio de grau � 2. P(u) = y0 .é' 0 (u) + y1.é'1 (u) + y2 .é' 2 (u) (u - l)(u - 2) u2 - 3u + 2 .e = = (u) o 2 (0 - 1)(0 - 2) (u -O)( u - 2) u2 - 2u = .é'i (u) = (1 - 0)(1 - 2) -1 (u - O)(u - 1) u2 - u .e = (u) 2 2 (2 - 0)(2 - 1)

138

Cálculo Numérico

P(u) = (0.9801>

[u2 - �u + 2] + (0.921 1> [u2�12u] + (0.8253> [u2; u] =

= - 0.0184 u2 - 0.0406 u + 0.9801

Portanto, temos o polinômio interpolador: P(u) = --0 .0184 u2 - 0.0406 u + 0.9801 Para avaliar f(0.3), temos de fazer a mudança de variável, isto é, deter minar o correspondente valor de u para x = 0.3: U

( X - Xo )

(0.3 - 0.2) = 0.5 0.2

Assim, f(0.3) = P(0.5) = 0.9552 Limitante superior para o erro:

hn + l

M I E(x) I � 4(n + l) M = 12

onde M = máx l f< 3 > (x) I = sen(0.6) = 0.5646 Assim,

3 (0.5646) = 0.0004

I E(0.3) 1 � º12 ·2 4.4 Interpolação linear

Apresentamos, a seguir, um caso particular de interpolação, denominada interpolação linear. Considere uma f(x) definida em dois pontos Xo e x11 conforme Figura 4.5. ·

139

Aproximação de Funções

f(x) f(x)

Figura 4.5

O polinómio interpolador, neste caso, de grau � 1 (uma reta), é dado por: /

onde

Limitante superior para o erro

No caso da interpolação linear, podemos escrever um limitante superior para o erro da seguinte forma:

i 'l'��)I

onde

I E(x) I �

'lf ( X ) = (x - x0 ) (x - x1 )

M = máx

{I f(2 l (x) � x E [x0 , xi ] }

Podemos notar que a função 'lf (x) é uma parábola passando pelos pon tos Xo e x1 e assume o máximo valor no ponto médio p (x0 + x1} /2. Desta forma, temos o valor da função 'lf(x) no ponto x: h2 + + + 'lf ( ) _- 'lf 2 2 4 2

X (Xo X1 ) - (Xo X1 X0) (Xo X1 X1) -

140

Cálculo Numérico

Assim, temos um limitante superior para o erro: onde

1 E(x) 1 � J

z - h2 J M= h M 8 8 M = máx { J f( 2 > (x) J x e [x0 , xd }

Exemplo 4.4

1 Considere uma função f(x) = -- tabelada nos pontos conforme segue: (l + x) 1

1 /2

1 /3

Determine o polinómio interpolador usando a fórmula de Lagrange; avalie f(l .5) e um limitante superior para o erro. Temos: P(x) = Yot'o (x)+ y 1t'1 (x) .e (x - 1) (x - 2) .e o (x) = 1 (x) = 2) (1 (2 - 1) (x - l) (x - 2) = (-l / 6) x + 2 / 3 P(x) = l / 2 +1/3 1 (-1) f(l.5) ::: P(l.5) = 0.4167 Limitante superior para o erro: onde

h2 E(x) � I l SM M = máx {J f( 2 > (x) J x e [x0 , xd }

Como a função f<2l (x) é decrescente em módulo, esta assume o valor máximo em x = 1. Logo, M = máx J f( 2 > (x) J = máx Assim:

I E(x) I �

l I

2 = 1/4 (l + x)3

h2 M = _!:_ (l / 4) = 0.0313 8 8

Aproximação de Funções

141

Relação entre o erro cometido e a distância dos pontos

Exemplo 4.5

Qual deve ser a amplitude do intervalo a ser considerado no tabelamento da 1 função f(x) = -- no intervalo [0,2], de modo que a interpolação linear (l + x) apresente um erro menor ou igual 0.0001? Sabemos que, h2

onde

I E (x) l � S M M = máx 1 f< 2 l (x) 1 x e [x0 , xi ]

h2 M � 0.0001 8 2 Como a função f< 2 l (x) = é decrescente em módulo no intervalo (1 + x)3 [0,2], o máximo valor que esta função assume no ponto x = O é dado por: Assim, basta impor que

M = máx Então temos:

l 1

2 =2 (1 + x)3

h2 - (2) � 0.0001 � h � 0.02 8 Portanto, a amplitude do intervalo a ser tomado é de h � 0.02.

4.5 Fórmula interpolatória de Newton Apresentamos, a seguir, a fórmula interpolatória de Newton, a qual é cons truída a partir do conhecimento das diferenças divididas como segue: Diferenças divididas

Seja f(x) uma função contínua, (n + 1) vezes diferenciável e definida em :xo, x1, ... , Xn (n + 1) pontos distintos de um intervalo [ a, b] . Definição 4.2 Diferença dividida de ordem zero

Definimos diferença dividida de ordem zero de uma função f(x) definida nos pontos xi i = O, 1, ... , n por: f [xd = f(xi) i=O,l, ... , n

142

Cálculo Numérico

As diferenças divididas de ordens superiores são definidas recursiva mente, como segue: Definição 4.3 Diferença dividida de ordem n

Definimos diferença dividida de ordem n de uma função f(x) definida nos pontos xi i = O, l, , n por: ...

�

Podemos tabelar de forma conveniente as diferenças divididas, notando que as diferenças de ordem 1 são calculadas a partir das diferenças de ordem zero, as diferenças de ordem 2, a partir das diferenças de ordem 1 e, assim sucessivamente, como segue: f[x0]

Ordem O

f[x1]

f[x2]

f[x3]

Ordem 1

f[x0, x1]

f[xv Xz ]

f[ X21 X3 )

Ordem 2

f[xo, xv x2]

f[x11 Xz, x3]

Ordem 3

f[ XQ, X11 X21 X3)

Exemplo 4.6

Construir a tabela de diferenças divididas da função f(x) sobre os pontos x0 1, x1 = 2, x2 = 4, x3 = 5. =

Construção das diferenças divididas: Diferenças divididas de ordem zero: f[x0 ] = f(x0 ) = 1 f[xi ] = f(x1 ) = 1 / 2 f[x2 ] = f(x2 ) = 1 / 4 f[x3 ] = f(x3 ) = 1 / 5

1 / x definida

143

Aproximação de Funções

Diferenças divididas de ordem 1: f[xo , xi ] =

f[x i ] - f[x0 ] _ (1 / 2 -1) _ _ 112 (2 - 1) (x 1 - x0 )

(1 / 4 - 1 /2) _ l i 8 (4 - 2) f[x ] - f[x2 ] (1 / 2-1) _ 1 1 20 f[x2 , x3 ] = 3 (2- 1) (X3 - X 2 ) Diferenças divididas de ordem 2: f[x 1 , x 2 ] - f[x0 , xi ] 1/8 f[ , =1/8 = f[xi , x2 ] =

f[x2 ] - f[xi ] (X2 - X1 )

Xo X 1 1 X 2 ]

-----

f[ X1 , X 2 , X3 ] =

------

( Xz - x o )

f[x2 , x3 ] - f[x1 1 x2 ] ( X3 - x i )

(3)

(-l / 20:t>l / 8) 12/ 160 3

Os cálculos podem ser convenientemente arranjados no tabelamento das diferenças divididas, conforme segue: Ordem O

1 2

1 /2

1 /4

1 /5

Ordem 1

-1 /2 -1 /8 -1 /20

Ordem 2

1 /8 12/160

Ordem 3

-2/160

Teorema 4.4

Seja f(x) uma função contínua, (n + 1) vezes diferenciável no intervalo [a, b] . Sejam XQ, x 11 , Xn (n + 1) pontos distintos de [a, b] . Então temos: •••

Prova: Isaacson, E.; Keller, H. B. Uma conseqüência imediata desse teorema é dada a seguir por:

144

Cálculo Numérico

Corolário 4.1

f [x0, x1 1 , xn J = f [xi0, Xjv ... , Xj n J , onde f o, j 11 , jn é qualquer permutação de O, l, ... , n. Desta forma, podemos escrever as diferenças divididas em qualquer ordem, como segue: f[x0 , xi J = f[x1 1 xo ] •••

•••

f[x0 , x1 , x2 ] = f[x1 , x0 , x2 ] = f[x1 1 x 2 1 x0 ] = ... Segue destes resultados o seguinte corolário: Corolário 4.2

f [x0 , x1 , ... , xn J =

f [Xo , X1 1 , Xj-l i Xj+1 ' ···i Xn ) -f [Xo , X1 1 , Xk-l i Xk+1 ' ···i Xn ) . , )';t k (xk - xi ) •••

•••

Baseando-se nos resultados obtidos das diferenças divididas, podemos agora determmar uma nova fórmula interpolatória, denominada fórmula de Newton.

Considere uma função f(x) contínua definida em XQ, x1 1 , Xn (n pontos distintos de um intervalo [a, b] . Determinamos as diferenças divididas de f(x) nos pontos: Considerando os pontos x0 e x, temos: •••

f [xº ' x] = Portanto,

f[X] - f [Xo ] ' X :;é Xo (X - Xo )

f(x) = f(x0 ) + (x -x0 ) f{x0 , x] Da mesma forma, considerando os pontos XQ, x1 e x, temos: . f[x0 , x] - f[x0 , xi ] , X :;é X1 f[Xo , X1 1 X ] = (x - x1 ) Substituindo f[x0, x] na expressão anterior, temos:

Assim, sucessivamente, temos: f[xo , X1 , ... , Xn-1 1 x] - f[xo , X1 1 ···1 Xn ] , X :;é Xn (x -xn ) f(x) = f[x0 ] + (x - x0 )f[x0 , xi ] + (x - x0 )(x - x1 )f[x0 , x1 , x2 ] + ... + + (x -x0 )(x - xi ) ... ( x -xn_1 )f [xo , X1 1 ... , xn )+ + (x -x0 )(x - xi ) ... (x -xn )f[x0 , x1 1 ... , xn , x J f[Xo , X1 1 ···i Xn , X ] -

145

Aproximação de Funções

Desta forma, podemos escrever: f(x) = P(x) + R(x) onde P(x) = f[x0 ] + (x -x0 ) f[x0 , xi ] + (x - x0 )(x - xi ) f[x0 , x1 1 x2 ] + + . . . + (x - x0 )(x - xi ) . . . (x - xn_1 ) f[xo , X1 1 ··· 1 Xn ] R(x) = (x - x0 )(x - x1 ) ... (x - xn ) f[x0 , x1 1 ...xn , x] Teorema 4.5

Seja f(x) uma função contínua e definida em XQ, x1 1 , Xn (n + 1) pontos distin tos de um intervalo [a, b]. O polinômio de grau � n baseado nas diferenças divididas, dado por: •••

Pn (x) = f[x0 ] + (x - x0 ) f[x0 xi ] + (x -x0 )(x - x1 ) f[x0 , x1 , x2 ] + � + . . . + (x - x0 )(x - x1 ) . . . (x - xn_1 ) f[xo , X1 1 ··· 1 Xn ] interpola f(x) nos pontos x0, x1 1 , Xn. Prova:

•••

Inicialmente notamos que Pn(x) é um polinômio de grau � n, uma vez que o termo de maior grau é obtido pelo produto de monômios: (x - x0 )(x - x1 ) ... (x - xn ). Mostramos, agora, por indução finita sobre n, que Pn(xJ f(xJ i = O, l, ..., n. Para n = 1, temos dois pontos Xo e x1: =

P1 (x) = f(x0 )+ (x - x0 ) f[x0 , x1 ] Substituindo x = Xo e x = x1, então:

o que mostra que P1(x) interpola f(x) em Xo e x1. Suponha válido para (n-1 ), isto é, Pn-l (xJ = f(xJ i = O, l, . . , n - 1, mos tremos que também vale para n. Segue da definição de pn(x) que: .

Pn (x) = Pn_1 (x) + (x - x0 )(x - x1 ) ... (x - xJ ... ( X - Xn_1 ) f[xo , X1 1 ··· 1 Xn ] Assim, para i = O, 1, ... , n - 1 temos: Pn (xi ) = Pn-1 (xJ+ (xi - xo )(xi - x1 ) ... (xi -xi ) ... (xi - Xn-1 ) f[xo , X1 1 ··· 1 Xn ] = = Pn-l (xi ) = f(xi ) A última igualdade segue da hipótese de indução.

146

Cálculo Numérico

Resta provar que, Pn (xn ) = f(xo ) + (xn - xo ) f[xa , xd + (xn - x0 )(xn - x1 ) f[x0 , x1 , x2 ] + (xn - Xn-1 ) f[xo , X1 , ... , xn ] + (xn - xo )(xn -X 1 ) + ···

···

Para x = Xw temos que R(xn ) = (Xn -xo )(xn - xi ) ... (xn -xn )f[xo , x1 , ... , Xn , Xn ] = O Desta forma, podemos escrever:

f(xn ) = f( xo ) + (xn - x0 ) f[xa , xd + ( xn - xo )(xn - x1 ) f[x0 , xv x2 ] + + ... + (xn - x0 )(xn - xi ) ... (xn - Xn_i ) f[x0 , x1 , ... , xn 1

Assim, temos: Pn(Xn) = f(xn) Portanto, para todo i = O, 1, ... , n temos que P(xi) = f(xi), o que prova que P(x) dado é um polinômio interpolador da função f(x). Teorema 4.6

Seja f(x) uma função contínua e suficientemente diferenciável no intervalo [a, b] e definida em XQ, x1 1 , Xn (n + 1) pontos deste intervalo. Então, para x e [a, b] e x :;t: xi i = O, l, ... , n, temos que: •••

Prova:

Do Teorema 4.2, f(x) - P(x) = (x - x0 )(x - xi ) ... (x - xn ) -

Porém,

f( n+l l (Ç) . (n + l) !

f(x) - P(x) = R(x) = (x -x0 )(x - xi ) ... (x - xn ) f[x0 , Xv ... , Xn , x] Portanto, para x :;t: xi , temos: f[x0 , x1 , ... , xn , X] =

f( n+l l (Ç) Ç e [a, b ] (n + l) !

Assim, dados (n + 1) pontos distintos :xo, x11 , xn em um intervalo [a,b] e (n + 1) valores de f(x) nos pontos xi i = O, l, ... , n, o polinômio interpolador, fórmula de Newton, é construído seguindo os passos: •••

a) Para i = O, l, ... , n, faça f [xd = f(xJ (diferenças de ordem zero) b) Para r = l, 2, ... , n, faça: Para i = O, l, ... , n-r, faça: _

f[Xu Xi+l 1 .. · 1 Xi+r ] -

f[xi +1 ' ··· 1 Xi +r ] - f[xu ... , Xi+ ( r-1) ] (xi +r - xi )

----------'-� -

(diferenças de ordem r)

147

Aproximação de Funções

c) O polinómio interpolador é dado por: P(x) = f(x0 )+ Exemplo 4.7

i{fi 1=1

J=Ü

(x - xi )f[x0 , x1 1 ... ,xi+t l

}

Considere a função f(x) = ex+ sen(x) tabelada como segue: o

0.5 2.12

1.0 3.55

Determine o polinómio interpolador usando a fórmula de Newton; avalie f(0.7) e um limitante superior para o erro. Neste caso, temos um polinómio interpolador de grau � 2 dado por: P(x) = f[x0 ] + (x -x0 ) f[x0 ,xJ+(x -x0 )(x -xi ) f[x0 ,x1 , x2 ] Tabela das diferenças divididas: o

Ordem O 1

0.5

2.12

1.0

3.55

Ordem 1 2.24 2.86

Ordem 2 0.62

Assim, temos: P(x) = 1 + (x-0)(2.24)+ (x-O)(x-0.5)(0.62) = 0.62 x2 + l.93x + 1 e, portanto, f(0.7) :: P(0.7)

2 . 6548

Para avaliar um limitante superior para o erro, usamos:

148

Cálculo Numérico

Assim, para n = 2, temos:

Como a função f<3>(x) = ex - cos(x), é uma função crescente em módulo no intervalo [O, l], segue que: máx l f( 3 l (x) I = 2.1780, em x = 1 Assim, temos um limitante para o erro no ponto interpolado x = 0.7 dado por: I E(0.7)1 �

1 (0.7 -0)(0.7 � 0.5)(0.7 - 1) 1 (2.1780) = 0.0152

4.6 Interpolação inversa

Denominamos interpolação inversa quando, conhecidos os valores de uma função f(x) definida em (n + 1) pontos distintos xi i = O, ... , n necessitamos calcular o valor numérico da variável x correspondente a um valor y = f(x) conhecido inicialmente. Supondo que a função inversa de f(x) exista no intervalo de interpolação, a qual denotamos por f-1 (x), então para os pontos tabelados Yi = f(xi) i = O, n temos xi = f-1 (yi), e o valor desejado x tal x que y = f (x) é obtido por x = f-1 (y). Assim, simplesmente trocamos na tabela de dados os valores de x e f(x) e fazemos a interpolação de f-1 (x) como visto anteriormente neste capítulo. Lembramos, ainda, que a função inversa x= f-1 (y) existe e é única se f(x) é contínua e monótona crescente ou decrescente no intervalo de interpolação. Caso f(x) seja dada por uma tabela e, supondo que esta seja contínua no intervalo, esta condição de monótona crescente é observada quando f(Xo ) > f(x1 ) > . . . > f(xn ) ou monótona decrescente quando f(x0 ) < f(x1 ) < . . . < f(xn ). ...

,·

Exemplo 4.8

Considere uma função f(x) tabelada como segue: 1 2 1.31 3.51 3.78 Usando interpolação inversa, determine x tal que f(x) 3.63. Usamos o polinómio interpolador, fórmula de Newton de grau 2, que interpola a função h(y) = f-1 (y) nos pontos y0 = 1.31; y1 = 3.51 e y2 = 3.78. o

149

Aproximação de Funções

Assim, temos a tabela da função inversa dada por: y,

1.31 o

3.51 1

3.78 2

A tabela das diferenças divididas é dada por: y 1.31

Ordem O

3.51

3.78

Ordem 1 0.4545 3.7037

Ordem 2 1.3155

��ta forma, o polinômio interpolador é dado por: P( y) = h[yo ] +(y - yo ) h[yo , Y1 ] +(y - yo )(y - y1 ) h[yo , Y1 1 Y2 ] = = (O)+(y -1.31)(0.4545)+(y -1.31)(y -3.51)(1.3155) Assim, P(3.63) = 1.4207, que consiste numa aproximação para x tal que f(x) = 3.63. A seguir, apresentamos uma outra fórmula interpolatória, chamada fórmula de Newton-Gregory, a qual é construída baseada nas diferenças finitas para pontos eqüidistantes. Diferenças finitas

Seja uma função f(x) contínua no intervalo [a, b ]. Sejam XQ, x11 , Xn (n + l) pontos distintos deste intervalo [a, b] tais que xi+t -xi = h i = O, 1, ... , n- 1, isto é, os pontos são eqüidistantes. •••

Definição 4.4 Diferença finita de ordem zero

A diferença finita de ordem zero de uma função f(x) definida nos pontos x E [a, b] é dada por: õºf(x) = f(x)

Definição 4.5 Diferença finita de ordem r

A diferença div�da de ordem r de uma função f(x) definida nos pontos x E [ a , b] é dada por: l:!t.C f(x) = �r-l f(x + h) - � r-l f(x) Nesta definição, para r = 1 temos o operador diferença finita progres sivo � dado por: Af(x) = f(x + h)-f(x) seja, quando aplicamos o operador � a uma função f(x), temos a varia A ção do valor da função nos pontos (x) e (x + h), e f(x) é uma aproximação h para a derivada de f(x). Assim, desenvolvendo-se os operadores, aplicados à funçáo f(x), pode mos escrever: �º f(x) = f(x) �1 f(x) = f(x+ h)-f(x) �2 f(x) = f(x + 2h)- 2f(x + h)+ f(x) �3 f(x) = f(x + 3h) -3f(x+ 2h)+ 3f(x + h)- f(x) Ou

�n f(x) =

(�}(x +nh)- (�}(x + (n-l)h + +(-lt (:}(x)

De um modo geral, temos: �r f(x) =

� (-l)i G) f(x + (r -i)h)

Considerando x = xi e lembrando que, Xj+l = xi + h, xi + 2 = xi + 2h .. Xj+r-l = xi + (r - l)h, temos: r . r �r f(xi ) = _L (-1)1 1 f(xj +r-d i=O Ou, denotando-se fk = f(xk) para todo k, r . r �r � = _L (-1)1 � +r-i 1 i=O .

() .

() ·

151

Aproximação de Funções

Exemplo 4.9

Considere uma função tabelada nos pontos como segue: 0.6 15

0.4 10

0.2 8

Diferenças finitas de ordem zero: L\0 f(x0 ) = f(x0 ) = 8 L\0 f(x1 ) = f(x1 ) = 10 L\0 f(x2 ) = f(x2 ) = 15 Diferenças finitas de ordem 1: L\1 f(x0 ) = L\0 f(x1 )- L\0 f(x0 ) = (10 - 8) = 2 L\1 f(x1 ) = L\0 f(x2 ) - .:'.\0 f(x1 ) = (15 - 10) = 5 Diferenças finitas de ordem 2: Podemos organizar o cálculo das diferenças finitas, conforme a tabela a seguir: Tabela das diferenças finitas:

L\º f L\ºf(Xo)

L\ºf(x1 )

L\ºf(x2)

L\ºf(x3)

L\l f L\l f(xo) L\1 f(x 1 ) L\1 f(x2)

L\2 f

L\3 f

L\2f(:xo) L\2f(x1 )

L\3f(Xo)

152

Cálculo Numérico

Os valores das diferenças finitas estão dispostos na tabela da se guinte forma: A1 f(x1 ) = A0 f(xi )-A0 f(x0 ) A2 f(x0 ) = A1 f(x1 ) - A1 f(x0 ) A3 f(x0 ) = A2 f(x1 ) -A2 f(x0 ) Exemplo 4.10

Considere uma função f(x) tabelada nos pontos como segue: 0.5

0.7

0.9

1.1

5.8

7.9

10.1

12.3

Tabela das diferenças finitas: Aº f 0.5

5.8

0.7

7.9

A1 f

A2 f

A3 f

2.10 0.10 2.20 10.1

0.9

--0.10 0.00

2.20 1.1

12.3

A seguir, podemos relacionar as diferenças divididas, dadas no polinômio

interpolador de Newton, com as diferenças finitas descritas anteriormente. Seja f(x) uma função contínuà e (n + 1) vezes diferenciável no intervalo [a, b]. Sejam XQ, x1 , , Xn (n + 1) pontos distintos e eqüidistantes deste inter valo, então temos: Teorema 4.7

••.

153

Aproximação de Funções

Prova:

Por indução finita temos: a) Para n

l, x1

x0 + h, temos que:

f1 [x0 ' x1 ] =

fo [xi ] - fo [x0 ] (x1 - x0 )

A0f(x0 + h) - Aº f(x0 ) l ! h1

= Alf(x01 ) !h

e, portanto, a relação do teorema é válida. b) Suponha que é válida para n-1, isto é:

�-1 [ Xo , Xv · · 1 Xn ] -

An-l f(xo ) (n - l)! hn-l

e mostremos que é válida para n, isto é:

' [Xo , X1 , ... , Xn ]

�-1 [X1 1 ··· 1 Xn ] - �-1 [ Xo , ··· 1 Xn-1 1 (xn - Xo ) An-1 f(x1 ) An-l f(xo ) (n - l) ! hn-l (n - l ) ! hn-l = (nh) l A n-1 f(x0 + h) - An-l f(x0 ) An f(xo ) = = -n ! hn (n h) (n - l)! hn-l

��[ ]

Portanto, podemos concluir que o resultado é válido para todo n. A partir deste resultado, que relaciona as diferenças divididas com as diferenças finitas, podemos enunciar uma nova fórmula interpolatória, cha mada de fórmula de Newton-Gregory.

4. 7 Fórmula interpolatória de Newton-Gregory

Considere uma função f(x) definida em um intervalo [a, b] e, XQ, xv ... , Xn (n + 1 ) pontos distintos e eqüidistantes deste intervalo. Substituindo a relação entre as diferenças divididas e finitas dadas pelo Teorema 4.7 na fórmula interpolatória de Newton, temos uma nova expres são para o polinômio interpolador, conhecida como fórmula interpolatória de Newton-Gregory, dada por:

A1 f(x0 ) A2 f(Xo ) P(x) = A0 f(x0 ) + (x - x0 ) ) (x x0 )(x x + + ... + 1 l ! h1 2 !h2 An f(xo ) + (x - x0 )(x - xi ) ... (x - xn_1 ) -___n_ n! h

154

Cálculo Numérico

Assim, dados (n + 1) pontos distintos e eqüidistantes x0, xv ... , Xn em um intervalo [a, b] e (n + 1) valores de f(x) nos pontos xi i = O, l, ... , n, o polinómio interpolador, fórmula de Newton-Gregory, é construído seguindo os passos: a) Para r = O, 1, ... , n faça .ô'f(xi ) =

� (-1) G) f(xj+r-d (diferenças finitas)

{

)}

b) Construir o polinómio interpolador n i- 1 i o P(x) = f(x0 )+ L IJ <x - xi ) ó1. f(x , i .h i=l j=O

A expressão do erro do polinómio interpolador em termos das dife renças finitas é a mesma obtida nas fórmulas interpolatórias anteriores, pois o polinómio interpolador é único. Podemos confirmar esta observação a par tir do seguinte teorema: Teorema 4.8

Seja f(x) uma função contínua e (n + 1) vezes diferenciável no intervalo [a, b ]. Sejam x0, xv ... , Xn (n + l) pontos distintos e eqüidistantes deste inter valo, então temos: Isaacson, E.; Keller, H. B. Assim, usando este resultado na expressão do erro, temos: E(x) = (x -x0 )(x - xi ) ... (x -xn )f[xo , X1 , ... , Xn ] = n+l f(x) = (x -x0 )(x - x1 ) ... (x -xn ) -nó+-1--'h (n + l)! - 'l'(X) f(n+l l (Ç) Ç e [a, b ] (n+l)!

Prova:

Como anteriormente, a estimativa para o erro é dada pelo seguinte limi tante superior para o erro:

Exemplo 4.11

Considere a função f(x) = -1- tabelada nos pontos como segue: (x +l)

155

Aproximação de Funções

1 1/2

2 2/3

Determine o polinômio interpolador pela fórmula de Newton-Gregory, avalie f(l.3) e um limitante superior para o erro. Usamos os três pontos tabelados para obter um polinômio interpolador de grau � 2: 1 2 P(x)= .:lº f(:xo )+(x -x0 ) .:l f(x1° ) +(x -x0 ) (x -xi ) .:l f(x2° ) l!h 2!h Tabela das diferenças finitas:

1/2

2/3

-1 /2 1/6

2/3

Assim, temos: P(x) = l + (x -0) -1/2 + (x-O)(x -1) 2/3 = -1 x - -5 x+l 1 2 3 6 Portanto, temos: --

P(x) = ..!. x2 - � x+ 1 e f(l.3) = P(l.3) = 0.5850 3 6 Limitante superior para o erro: ·

Como f3 (x) = 6 4 , temos: (l+x) máx l f3(x) I = 6, em x = O

156

Cálculo Numérico

Assim,

1 E(l .3) 1 � (1.3 - 0)(l. �� l)(l .3 - 2) (6) = 0.2730

Podemos, ainda, escrever o polinômio interpolador de Newton-Gregory, considerando a seguinte mudança de variável: U = (x- :xo ) ou X = Xo + uh h Como os pontos são eqüidistantes, Xr Xo + rh, segue que: (x - xr) (u - r)h Note que nesta nova variável u os pontos de interpolação XQ, Xv ..., Xn correspondem aos pontos O, l, 2, ... , n. Desta forma, podemos escrever o polinômio de Newton-Gregory na variável u: 2 P(u) = ôº f(x0 )+(u -O) ô1f(x0 ) +(u-O)(u-1) ô f(x0 ) + ... + 1! 2! n f(x0 ) +(u -O)(u-1) ... (u -(n -1)) ô n! =

Podemos escrever o limitante superior para o erro por: E(u) � (u-O)(u-1) ... (u -n) hn+l M (n+l)! onde M = máx i t<n + l l(x) I x e [a, b]. Exemplo 4.12

Considere a função f(x) tabelada nos pontos conforme segue: 0.1 1.01

0.2 1.05

0.3 1.12

0.4 1.23

Determine o polinômio interpolador de Newton-Gregory na variável u e avalie f(0.35).

157

Aproximação de Funções

ponto x = 0.35 corresponde, na variável u: u = (x -x0 ) = (0.35 - 0. 1) = 250 h 0. 1 1 2 0) P(u) = �º f(x0 ) + (u - O) � f(x! 0 ) + (u - O)(u - 1) � f(x 2! + l 3 0) + (u - O)(u - l)(u - 2) � f(x 3! Tabela das diferenças finitas: O

0.1

�º f 1.01

0.2

1 .05

0.3

1 .12

0.4

1 .23

�l f 0.04 0.07 0. 11

0.03 0.04

0.0 1

Assim, temos: u(u - l) (u-2) O.Ol = P(u) = l.Ol + u(0.04) + u(u -1) 0.03 + 2 6 3 =0.00017u +0.0099u2 + 0.0284u + l.Ol f(0.35) :: Pu (2.50) = 1. 1 694 4.8 Aproximação de funções - o método dos mínimos quadrados

estudo do tópico interpolação polinomial neste capítulo, Seção 4.2, fornece uma maneira de aproximarmos uma função por um polinômio, com a carac terística que este coincida com o valor da função em alguns pontos, isto é, P(xJ = f(xJ i = O, l, ... , n, e dizemos que P(x) interpola a função f(x) nos pon tos XQ, xv ... , Xn. Assim, P(x) é uma aproximação para a função f(x). Apresentamos, nesta seção, uma forma alternativa para aproximar uma função f(x) usando o método dos mínimos quadrados, o qual consiste em, conhecidos os valores de f(x) em m pontos, determinar uma função g(x) que O

158

Cálculo Numérico

melhor se aproxime de f(x). Esta melhor aproximação será definida a seguir, e a função g(x) pode ser uma combinação de funções polinomiais, exponen ciais logarítmicas, trigonométricas etc. 4.8.1 Caso discreto

Inicialmente, consideramos o caso em que a função f(x) é definida em um conjunto discreto, isto é, a função é conhecida em m pontos, geralmente obtidos em experimentos, conforme a tabela: X

f(x) Graficamente, temos a disposição dos pontos obtidos no experimento na Figura 4.6: f(x)

j�

. V.--

. . /

. . --:º / .

. . ·/� · .

· /

:/. . .

/ .

g (x)

! 1

•

. /

1 >1

Figura 4.6

...

�

- -

Observando a disposição dos pontos (xi, f(xi)) i = l, ..., m na Figura 4.6, ve mos que g(x) possui o comportamento de wna reta, isto é, um polinômio de grau 1: g(x) = a1 g1 (x)+a2 g2 (x) = a1 x + a2 com g1(x) = x e g2(x) = 1. Assim, escolhemos uma farru1ia de funções as quais dependem dos parâmetros a1 e a2.

159

Aproximação de Funções

problema agora consiste em determinar os parâmetros a1 e a2 de modo que a função g(x) se ajuste melhor aos dados da tabela. Para falar em "melhor ajuste", temos de ter um critério para a escolha dos parâmetros a1 e a2, isto é, ter uma medida para o erro cometido nesta aproximação. O

Definição 4.6

Definimos e(xi) f(xi) - g(xi) como o erro ou desvio cometido numa aproxi mação de uma função f(x) por uma função g(x), nos pontos xi i 1, ... , m. Desta forma, desejamos determinar uma função g(x) de modo que nos pontos xi i 1, ..., m os desvios sejam "pequenos". Neste caso, é tentador desejar que a soma dos erros seja mínima, isto é, que L e(xi ) seja mínima. Entretanto, i=l este fato não traduz que g(x) seja uma "boa" aproximação para a função f(x), como podemos observar na Figura 4.7, em que a função g(x) que melhor se aproxima 2 de f(x) é a reta rv que passa pelos pontos dados e L e(xi ) = O. 2 i=l No entanto, quando tomamos a reta r2, temos também que L e(xi ) = O i=l e esta reta não é uma "boa" aproximação para a função f(x), embora a soma dos erros seja zero, o que não significa que os erros sejam nulos, pois soma mos grandezas numéricas com sinais opostos, podemos notar que e(x1) > O e e(x2) < O para a reta r2 . =

f(x)

Figura 4.7

160

Cálculo Numérico

Um critério para obter e(xi) i = l, ..., m pequenos em todos os pontos da tabela seria considerar a soma I l e(xJ I mínima, porém este critério acarreta i=l dificuldades de resolução, pois a função valor absoluto não é diferenciável na origem. Uma maneira para contornar esses problemas consiste em considerar uma medida para o erro da seguinte forma: minimizar I e(xJ2 =minimizar L (f(xJ-g(xJ)2 m

i=l

Assim, considerando o exemplo da Figura 4.6, desejamos encontrar uma função g(x) = a1x+a2 que melhor se aproxime da função f(x), de forma que E(al t a2 ) = L (e(xJ)2 seja mínimo. Do cálculo diferencial, se a função E(al t a2 ) possui um i=lponto de mínimo, então suas derivadas parciais devem ser nulas, isto é, m

Derivando E(al t a2 )com relação à variável "a{, temos: =L i=l m

2(a1 xi + a2 -f(xJ)xi =

Assim, temos:

Derivando E(al t a2 ) com relação à variável a2 temos: m

= L 2(a1 xi + a2 -f(xJ) = i=l

161

Aproximação de Funções

Assim, temos:

Portanto, os parâmetros a1 e a2 que minimizam o erro E(ava2) necessa riamente satisfazem o seguinte sistema de equações lineares:

(t, x}1 + (i x}2 i x; f(x; ) (i +' + m a2 i f(x; ) �

�

sistema de equações obtido é chamado sistema de equações nor mais, o qual pode ser resolvido por qualquer método visto anteriormente. P�rticularmente, o método de Cholesky pode ser aplicado, pois o sistema de equações normais possui a matriz A do sistema simétrica e definida po sitiva. Prova-se que a solução do sistema de equações normais nos parâmetros a1 e a2, de fato minimizam a soma dos quadrados dos erros. O

Exemplo 4.13

Seja f( ) tabelada como segue:

0.98

1 -3.01

-6.99

-11.01

4 -15

162

Cálculo Numérico

f(x) 5

-3.01 -5 -6.99

-10

----------

-15

g(x) Figura 4.8

Observando o gráfico da Figura 4.8, vemos que os dados possuem o comportamento linear. Usando o método dos mínimos quadrados, deter minamos dentre todas as retas g(x) a1x + a2 aquela que melhor se ajusta aos dados. =

k=l 5

k=l

I x i 2 I xi I xi k=l

L f(xJxi

ª1 ª2

k=l 5

I f(xJ k=l

Aproximação de Funções

f(xi)

x?1

163

f(Xj)Xi

0 . 00

-3. 0 1

-3 . 0 1

-6.99

-13.98

-1 1 . 0 1

-33 .03

-15.00

-60 .00

-35 . 03

-11 0 . 02

0.98

[ ] [ªª1] [ ] 2 {ª1ª2

Assim, temos o seguinte sistema de equações lineares: 30 10 -110.02 10 5 -35.03 Usando o método de eliminação de Gauss, temos: =

= -3 . 9960 = 0 . 9860

Portanto, g(x) -3.9960 x + 0.9860 Cálculo do erro: (f(O)-g(O) )2 e(x1 )2 e(x2 )2 (f(l}-g(l})2 e(x3 )2 (f(2)-g(2))2 e(x4 )2 (f(3)-g(3))2 e(xs )2 (f(4)-g(4))2 =

0.0000 0.0000 0.0003 0.0001 0.0000

Portanto, L e(xi )2 0.0004 e qualquer outra reta possui a soma dos i =l quadrados dos erros superior a este valor obtido. Podemos ter dados experimentais onde seja necessário aproximar a função f(x) por um polinómio de grau 2, isto é, uma parábola: g(x) a1 g1 (x) + a2 g2 (x) + a3 g3 (x) a1 x2 + a2 x + a3 com g1 (x) x2, g2(x) x e g3 (x) = 1 Generalizando este procedimento, escrevemos g(x) como uma combi nação linear de funções como segue: g(x) = a1 gi (x) + a2 g2 (x) + ... + an gn (x) com gi(x) sendo funções escolhidas. =

164

Cálculo Numérico

Procedendo de maneira análoga ao caso do ajuste linear, a reta, podemos determinar os parâmetros ai i = l, ... , n de forma que o erro L e(xJ2 i=l seja mínimo. Assim, temos: m

i=l

+ L gn (xJg1 (xJ)an = L f(x i )g 1 (xJ

+( L gn (xJg2 (xJ )ln = L f(xJg2 (xJ m

i=l

+( L gn (xJgn (xJ)an = L f(xJgn (xJ Portanto, para determinar os parâmetros ai i = l, ..., n, devemos resolver o seguinte sistema de equações lineares: m

(L g1 (x; )g1 (x; ))a1 +(L g2(xi )g1 (x; ))a2 + ... + L gn (x; )g1 (x; ))an L f (x; )g1 (x; ) i=l i=l i=l i=l (L g1 (x; )gz(x; ))a1 +(L gz( x; )gz (xi ) )az + ... + (L gn ( x i )g2(x; ))an L f (xi )g2( x i ) i=l i=l i=l i=l =

•

(L g1 (xi )gn (xi ))a1 +(L g2( xi )gn (x; ))a2 + ... + (L gn ( x ; )gn (xi ))an L f (x; )gn (x i ) i=l i=l i=l i=l =

sistema de equações lineares obtido é denominado sistema de equa ções normais, o qual pode ser resolvido por qualquer método visto anterior mente. Resolvido este sistema, determinamos os parâmetros ai i= l, ... , n e conseqüentemente a função g(x) = a1g1(x) + . . . + angn(x) que melhor se ajusta à função f(x) nos pontos x1 Xm no sentido dos mínimos quadrados. O

•••

165

Aproximação de Funções

Exemplo 4.14

Considere uma função f(x) definida conforme tabela: X

f(x)

-2

-1

19.01

3.99

-1 .00

f(x)

-2

-1

4.01

18.99

45.00

g(x)

Figura 4.9

Observando a Figura 4.9, vemos que a função possui o comportamento de uma parábola, polinômio de2grau 2. Assim, tomamos g(x) = a1x + a2x + a3, isto é, g1(x) x2, g2(x) x, �(x) l, e determinamos os parâmetros a11 a2, e a3 de modo que g(x) se ajuste aos dados da tabela no senso dos mínimos quadrados. =

166

Cálculo Numérico

ª1 ª2

Temos o sistema de equações normais: 6 6 6 6 I xi4 Ixi3 Ixi2 L f(xi )xf i=l i=l i=l i=l 6 6 6 6 = L f(xJxi Ixi3 Ix/ Ixi i=l i=l i=l i=l 6 6 6 2 a 6 I xi I x i If<xJ 3 i=l i=l i=l �

X� 1

x'f 1

f(xi)

xif(xJ

xTf(xJ

19.01

-38.02

-1

3.99

-3.99

3 .99

-1 .00

0.00

4.01

1 8.99

37.98

75.96

45.00

135.00

405.00

115.00

90.00

134.98

565.00

-2

-8

-1

Temos o seguinte sistema de equações lineares:

[�� :; �1 [::] [�::��1

{ª1

90.00 1 9 3 6 a3 Usando o método de eliminação de Gauss, temos: = 5.0893 ª2 = 0.05 1 5 a3 = -1.1 403 Portanto, g(x ) = 5.0893x2 + 0.05 1 5 -1.1 403. Cálculo do erro: e(xi )2 = (f(x1 ) - g(x1 ))2 = 0.0 1 08 e(x2 )2 = (f(x2 ) - g(x2 ))2 = 0.0086 e(x3 )2 = (f(x3 ) - g(x3 ))2 = 0.0 1 97 e(x4 )2 = (f(x4 ) - g(x4 ))2 = 0.000 1 e(xs )2 = (f(x5 ) - g(x5 ))2 = 0. 1 088 e(x6 )2 = (f(x6 ) - g(x6 ))2 = 0.0332

76.04

167

Aproximação de Funções 6

Portanto, L e(xi )2 = 0.1812 e qualquer outra parábola possui a soma i= l dos quadrados dos erros superior a este valor obtido. Exemplo 4.15

Considere a função f(x) tabelada como segue: Xj

f(xi)

--0.5 o 0.5 1 .0 1 .5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 --0.25 0.5 0.25 0.00 0.75 1 .50 1 .25 1 .00 1.75 2.50 2.25

Usando o método dos mínimos quadrados, determine uma função g(x) que melhor se ajuste aos dados da tabela. Observando a Figura 4.10, vemos que os dados da função f(x) sugere uma função, a qual é uma combinação de uma função linear com uma fun ção periódica do tipo: g(x) = a1 g1 (x)+ a2 g2 (x) = a1 x + a2 cos(ax), com g1 (x) = x e g:i(x) = cos(ax). f(x) 3 2

f(x) - - - - - - - - - -

- -1 - - -

- - - - - - - - - - - -

� ,

- - -

-1

Figura 4.1 0

Note que a função g(x) não é linear nos parâmetros, pois o parâmetro a é um argumento da função cos(x). Entretanto, observando os pontos na Fi gura 4.10 vemos que há uma oscilação de período igual a 2 (pontos de máximo

168

Cálculo Numérico

ou mínimo ocorrem a cada 2 unidades). Portanto, tomamos a = 3.14 e temos que a função g(x) = a1(x) + a2 cos(3.14x) é agora uma função linear nos parâ metros a1 e a2 . Desta forma, temos o seguinte sistema de equações normais: 11 11 11 . ( L g1 (xi )g1 (xi ) )a1 + ( L g1 (xi )g2 (xJ)a2 = L f(xJg1 (xJ i=l i=l i=l 11 11 11 ( L g2 (xJgi (xi ) )a1 + ( L g2 (xJg2 (xJ)a2 = L f(xJg2 (xJ i=l i=l i=l Assim, temos: 11 11 + < I cos(3.14xJxJa2 = L f(xJxi i=l i=l i=l 11 11 11 <I cos(3.14xJxJa1 + < I cos2 (3.14xJ)a2 = L f(xJcos(3.14xJ i=l i=l i=l Calculando os coeficientes do sistema de equações normais temos: 11 I xf = n .5000 i=l 11 I cos(3.14xJxi = 2.0192 i=l 11 L f(xJxi = 36.7500 i=l 11 I cos2 (3.14xJ = 5.0001 i=l 11 L f(xi )cos(3.14 xi ) =3.5096. i=l Assim, podemos escrever: 7 1.5000 2.0192 ª1 36.7500 = 2.0192 5.0001 ª2 3.5096 Usando o método de eliminação de Gauss, temos: ª1 = 0.4999 ª2 = 0.5000

[

][ ] [ ]

{

169

Aproximação de Funções

Portanto: g(x) = 0.4999 x + 0.5000 cos(3.14 x) e o erro dos mínimos quadrados é dado por: 11 L e(xJ2 = 0.0001. i=l

4.8.2 Caso contínuo O método dos mínimos quadrados pode ainda ser usado para aproximar uma função f(x) contínua num intervalo [a, b], por uma combinação de fun ções do tipo g(x) = a1 g1 (x)+a2 g2 (x)+ ... + an gn (x), onde g1 (x),g2 (x), ... , gn (x) são funções contínuas no intervalo [a, b]. Neste caso, desejamos determinar g(x) que melhor se aproxime da fun ção f(x), isto é, que a área entre as curvas de f(x) e g(x) seja a menor possível, dando a idéia de proximidade de duas funções, o que é representado por: b E(a1 t a2 , ... , an ) = J (f(x)-a1 g1 (x)+ ... +gn (x))2 dx Assim, o problema do método dos mínimos é definido por: Minimizar E(av a2, ... , an ) isto é, Minimizar r (f(x)-(a1 g1 (x)+a2 g2 (x)+ ... + an gn (x ))2 dx Portanto, como anteriormente, o ponto de mínimo necessariamente satisfaz: ª

ou seja,

m aE = (f(x)-2 L ªkgdx)gi (x))dx = O a ai i=O ª

1� i �m

Denotando o produto escalar de funções por ( f,g ) = r f(x)g(x)dx, temos o seguinte sistema de equações normais: ª

( g1 , g i ) ( g1 , g z ) ( g2 ' gi ) ( g2 ' g z )

( gi ,gm ) ( gz ,gm )

ª1 ª2 =

170

Cálculo Numérico

Se o determinante da matriz do sistema de equações normais for dife

rente de zero, então o sistema possui solução única, ou seja, existe uma única função g(x) que melhor se ajusta à função f(x). Desta forma, a so lução (a1, a2, ... , an) obtida na resolução deste sistema fornece a melhor g(x) = a1 g1 (x) + a2 g2 (x) + ... + an gn (x) que se aproxima da função f(x). Observação

Se as funções escolhidas gi(x) forem linearmente independentes, então o de terminante da matriz A do sistema de equações normais é diferente de zero. Exemplo 4.16

Usando o método dos mínimos quadrados, aproxime a função f(x)=e-x Ílo intervalo ( 1, 3] por um polinómio de grau 1 da forma g(x)= a1 + a2 x. Temos: O sistema de

[(1, 1) (l,x)l [ª1 ] = [(l,e-x )l

equações normais é dado por: (l,x) (x,x) a2

(x,e-x )

Assim, (1,1 ) = r l dx = l

( l,x) = r xdx = 4

(x,x ) = r x2dx = 26/ 3 = 8.6667 (1,e-x ) = r e-xdx = 0.3181

(x,e- x ) = r xe- xdx = 0.5366

[

l[ ] [ 1

Portanto, o sistema de equações normais é dado por: 1

0 .3181

ª1

4 8.6667 ª2

0.5366

171

Aproximação de Funções

Usando o método de eliminação de Gauss, obtemos: a1 --0.0832 a2 0.1003 e a reta que melhor se ajusta à f(x) e- x no intervalo [l, 3] é dada por: g(x) a1 + a2 x - 0.0832x + 0.1003 =

Regressão não linear nos parâmetros - aj uste não-linear

Muitas vezes temos dados experimentais em que o ajuste como combinação linear nos parâmetros não é adequado e não pode ser considerado. Neste caso, necessitamos de outras famílias de funções para representar adequada mente uma função representada em uma tabela . a) Ajuste hiperbólico

Considere os dados obtidos experimentalmente, conforme ilustrado na Fi gura 4.11: f(x)

•

1!o

. . -+--.--.,--+---··-·-- ---+---+-�-;.-. -+. . . . . ,

1----t---+- ---+---t--+-- +

Figura 4.1 1

Observando a Figura 4.11, vemos que a representação dos dados possui um comportamento do tipo:

172

Cálculo Numérico

Como anteriormente, desejamos determinar os parâmetros ao e a1 de modo que E(a1 ,a2 ) = l: e(xJ2 seja mínimo, isto é, m

i=l

Minimizar L (f(xJ -g(xJ)2 m

i=l

Como a função g(x) não é linear nos parâmetros a1 e a2, o sistema obtido por:

é um sistema de equações não lineares, o qual pode ser resolvido usando o método de Newton, descrito no Capítulo 3. Entretanto, o método dos mínimos quadrados, desenvolvido anteriormente, pode ser usado fazen do-se uma transformação adequada de modo a obter uma combinação linear nos parâmetros. Se a função g(x) a 1 a aproxima a função f(x) dada inicialmente, 1X + 2 consideramos a função h(x) -1- a1 x + a2 que também aproxima-se à função g(x) -1- e temos agora o caso do ajuste linear já desenvolvido anteriormente. f(x) Se g(x) aproxima-se à função f(x), -1- aproxima-se à função -1-. g(x) f(x) Esquematicamente: =

g(x)

f(x)

1 g(x)

1 f(x)

Da tabela inicialmente dada, construímos uma nova tabela da se guinte forma:

173

Aproximação de Funções

O problema agora consiste em aproximarmos a função -1- por uma f(x) reta h(x) = a1x + a2 e o sistema de equações normais é dado por: i=l

Os parâmetros obtidos na resolução do sistema de equações normais resolvem o problema Minimizar I (-1- - h( xd)2 i=t f(xi ) e fornecem uma solução aproximada para o problema inicial proposto. Exemplo 4.17

Considere a função f(x) tabelada nos pontos como segue: -3 --0.13

-2 --0.20

-1 --0.49

--0.5 -2.01

--0.4 -4.99

petermine uma função g(x) que melhor se ajuste aos dados da tabela e 6

calcule L e(xi )2 . i=l Temos a disposição dos pontos da função f(x) num gráfico, conforme Figura 4.12, a qual sugere um comportamento de uma função do tipo g(x) = a1 1 a x+ 2 --

174

Cálculo Numérico

f(x)

-3

-2

-1

-0.5 1

- -:- - --0. 49

- -

2 01

- - -4 . 99 Figura 4.1 2

Desta forma, consideremos uma nova tabela da função -1-: f(x) xi l/f(xi)

-3 -7.6923

-2 -5.000

-1 -2.0408

-0.5 -0.4975

-0.4 -0.2004

175

Aproximação de Funções

conveniente fazer o chamado "teste do alinhamento" da função -1f(x) como segue na Figura 4.13:

f(x)

Figura 4.1 3

Observando a Figura 4.13, vemos que os pontos obtidos possuem um 1 comportamento linear e, portanto, a aproximação linear para - é adequada f( x ) e podemos escrever o sistema de equações normais como segue: i=l

176

Cálculo Numérico

-3

1/f(xt)

-7. 6923

23.0769

-2

-5

-1

-2 . 0408

2 . 0408

-0 .5

0 . 25

-0.4975

0 . 2488

-0.4

0.16

-0. 2004

0 .0802

-6. 9

14.41

-15.43 1 0 35.4467

Substituindo estes valores obtidos, temos o seguinte sistema de equa ções lineares: 14.41 - 6.9 ª1 35.4467 = -6.9 5 ª2 -15.4310 Usando o método de eliminação de Gauss, obtemos: ª2 = 0.9093 ª1 = 2.8952 Portanto, temos g(x) = 2.8952 1 X + 0.9093 Erro cometido: e(xi )2 = (f(x1 )-g(x1 ))2 = 0.0000 e(x2 )2 = (f(x2 )-g(x2 ))2 = 0.0000 e(x3 )2 = (f(x3 )-g(x3 ))2 = 0.0002 e(x4 )2 = (f(x4 )-g(x4 ))2 = 0.0232 e(x5 )2 = (f(x5 )-g(x5))2 = 0.9423 Portanto, temos: 5 :L e(xJ2 = 0.9657

[

{

][ ] [

]

------

i=l

b) Ajuste exponencial

Podemos obter dados experimentais dispostos conforme ilustrado na Figura 4.14, a qual sugere que devemos aproximar a função observada por uma função g(x) da forma g(x) = a(b)x com os parâmetros a e b positivos.

177

Aproximação de Funções

1 1

f(x)

---�

•

___,� .

1 1 1

. .

. ----

v.� � .

.Y. .

y ·

1 !

:•

··-·

�-+--· ··-· '

/· A .

' ' ' 1 1

·---··---

�

Figura 4.1 4

Desejamos determinar a e b de forma que E(a,b) = 'L e(xJ2 seja mínii=l mo, isto é: m

Minimizar L (f(xJ-g(xJ)2 m

i=l

método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação: h(x) = ln(g(x)) = ln(a( bx )) = ln(a)+x ln(b) = ln(a)+xln(b) Definindo-se: O

temos que h(x) é uma combinação linear das funções g1 (x) = x e g2 (x) = 1, isto é, h(x) = a1g1 (x)+a2 g2 (x). Assim, se a função g(x) aproxima a função f(x), então a função h(x) aproxima ln(f(x)).

178

Cálculo Numérico

Esquematicamente: "" f(x) g(x) ln(g(x)) "" ln(f(x)) Desta forma, construímos a seguinte tabela: X1 X2 ln(f(x1)) ln(f(x2))

Xn ln(f(xn))

... ...

Assim, temos o seguinte sistema de equações normais: m

( L xi2 )a1 + i=l

< l xJa2 L ln(f(xJ)xi i=l i=l m

ma2 L ln(f(xJ) i=l Os parâmetros a1 e a2 obtidos na resolução do sistema linear de equa ções resolvem o problema: Minimizar L ln(f(xJ)-h(xJ)2 i=l e fornecem uma solução aproximada para o problema original dado. =

Observação

Caso o leitor deseje resolver o problema proposto sem usar o fato da lineari zação, temos de resolver um sistema de equações não-lineares, descrito neste livro no Capítulo 3. Exemplo 4.18

Considere uma função tabelada nos pontos como segue: Xj f(xi)

-1 6.01

-0.9

5.39

-0.8 4.80

o 2.01

1 0.65

2 0.21

Determine uma função g(x) que melhor se ajuste aos dados da tabela de 6 f(x) e calcule L e(xi )2 . i=l

179

Aproximação de Funções

Para determinar a função que se ajusta aos dados da tabela, vamos exibir os pontos dados num gráfico, conforme a Figura 4.15, e vemos que g(x) possui um comportamento exponencial da forma g(x) a(bx) com O < b < l. =

f(x)

-1

Figura 4.1 5

Desta forma, construímos a seguinte tabela para a função linearizada ln(f(x)): Xj

ln(f(xi))

-1 1.79

-0.9 1.68

-0.8 1.57

o 0.70

1 -0.43

-1.56

Como estamos realizando um ajuste linear, é conveniente fazer p chamado "teste do alinhamento" e verificar que de fato os pontos (xi, ln(f(xi)) i l, ..., m possuem um comportamento linear, como segue na Figura 4.16. =

180

Cálculo Numérico

f(x)

- - - - - - - - -

f i'9 -i-_57 .

-1

-0.8

-0.43 -1

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

-1 . 56 -2

Figura 4.1 6

Portanto, podemos escrever o sistema de equações normais como segue: 6

( L x i 2 ) a1 i=l

6a2 L ln(f(xJ) i=l =

X�l

ln(f(xi))

1 . 79

-1 .790

-0 .9

0.81

1 .68

-1 .512

-0.8

0.64

1 .57

-1 .256

0 . 70

0 .000

-0.43

-0.430

-1 .56

-3 . 120

0.3

7.45

3 . 75

-8 . 1 08

-1

(L xJa2 L ln(f(xJ)xi i=l i=l

Aproximação de Funções

181

Substituindo estes valores obtidos no sistema linear, temos o seguinte sistema de equações normais: 7.45 0.3 ª1 -8.108 = 0.3 6 ª2 3.75 Usando o método de eliminação de Gauss, obtemos: a2 = 0.6808 � a = eª2 = 1.9755 a1 = -1.1157 � b = eª1 = 0.3277 Portanto, a função que melhor se ajusta aos dados tabelados, no sentido dos mínimos quadrados, é dada por: g(x) = (1.9755)(0.3377)X Erro total cometido:

[

][ ] [ ]

e(xi )2 = (f(x1 )-g(x1 ))2 = 0.0256 e(x2 )2 = (f(x2 )-g(x2 ))2 = 0.0201 e(x3 )2 = (f(x3 )-g(x3 ))2 = 0.0084 e(x4 )2 = (f(x4 )-g(x4 ))2 = 0.0012 e(x5 )2 = (f(x5)-g(x5 ))2 = 0.0003 e(x6 )2 = (f(x6 )-g(x6 ))2 = 0.0002 6 Portanto, temos: L e(xi )2 = 0.0558 i=l

Observação

Podemos, ainda, fazer outros ajustes, por exemplo, usando a função geométrica g(x) = a1xª2, e fazer a linearização dos parâmetros a1 e a2 como anteriormente. Considerações finais sobre aproximação de funções

De uma maneira geral, além das considerações apresentadas sobre como aproximar uma função conhecida em determinados pontos por uma outra função, é necessário observar quando podemos utilizar a interpolação poli nomial ou o método dos mínimos quadrados. a) Quando temos um experimento com muitos dados coletados, que descrevem um fenômeno observado, a aproximação usando o método dos mínimos quadrados deve ser considerada, uma vez

182

Cálculo Numérico

que temos dados resultantes de medidas, que geralmente são acome tidos de erros, sugerindo a necessidade de representá-los por uma função que nos permita obter aproximações "seguras" em valores geralmente fora do intervalo de medida. b) O uso dos polinômios interpoladores para aproximar funções dentro de intervalos conhecidos seria oportuno quando desejamos fazer uma análise mais local da função no intervalo considerado, isto é, determi nar valores desconhecidos da função em intervalos predefinidos. Quanto ao grau do polinômio ser considerado no intervalo de observa ção, não deve ser "alto", pois pode acontecer que, à medida que o grau aumenta, para determinadas funções, os polinômios interpoladores começam a distanciar-se nos demais pontos não interpolados, situação conhecida na literatura como fenômeno de Runge (lsaacson e Keller). Além disso, o aumento no grau do polinômio na busca de uma "melhor" precisão na interpolação também faz com que o número de operações se eleve, aumentando assim a possibilidade de erros no processamento dos algoritmos. c) Nas fórmulas interpolatórias de Lagrange, Newton e Newton-Gregory, observamos ser a de Lagrange aquela que requer um maior esforço computacional, considerado a partir de operações elementares, quan do comparada com as fórmulas de Newton e Newton-Gregory. Quandc;> os pontos são eqüidistantes, é aconselhável o uso da fórmula de Newton Gregory, pela sua simplicidade e pelo menor esforço computacional. 4.9 Trabalhando com o Software Numérico

No Software Numérico, o usuário deve selecionar o módulo aproximação de funções e selecionar a opção interpolação de funções seguida de tabela de pontos ou expressão da função ou, ainda, a opção de aproximação de funções usando o método dos mínimos quadrados. Caso a opção seja interpolação, o usuário deve fornecer a tabela de pontos da função, escolher corretamente o grau do polinômio e o ponto a ser inter polado. Além disso, se a expressão da função for declarada, temos a função tabelada nos pontos declarados, e o usuário pode determinar, além do poli nômio interpolador da função, um limitante superior para o erro. Pode-se, ainda, plotar os pontos tabelados de f(x) para uma boa escolha do ajuste de funções no método dos mínimos quadrados. Exemplo 4.19

Considere as seguintes observações do lançamento de um projétil: a) O ponto de lançamento foi considerado como a origem do sistema cartesiano.

183

Aproximação de Funções

b) Fotografando o projétil a 8 metros do ponto de lançamento na hori zontal, foi determinada uma altitude de 7.86 metros. c) A 16 metros do lançamento, uma barreira o interceptou e foi deter minada uma altitude final de 5.67 metros. A Figura 4.17 ilustra a trajetória do projétil: f(x)

7 .89

5.67 4

� � � � � ---------------------------------------------�

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -:..:-�-.--.---

� � �

·� �

Figura 4.1 7

Observando os dados, vemos que estes possuem o comportamento de uma parábola, podemos obter aproximadamente valores para a altitude do pro jétil em diversos momentos usando interpolação e comparar posteriormente com a equação teórica da trajetória dada por: 1 x2 y xtg(a.)--g z 2 Vo COSz (a.) onde, a � ângulo com a horizontal v0 � velocidade inicial Usando o Software Numérico, vamos determinar o polinômio interpo lador e avaliar a altitude do projétil a 12.5 metros do lançamento. o usuário deve selecionar a opção aproximação de funções, seguida mente de interpolação, entrar com os pontos e os correspondentes valores de f(x) do problema e pode selecionar polinômio interpolador, fórmula de Newton e avaliar o valor da altitude do projétil a 12.5 metros do lançamento, conforme resultados da Figura 4.18 a) e b). =

184

OJQI)

8.lml 16.cm>

Cálculo Numérico

IU.WAI 7.SfOI

5.6llll

Figura 4.1 8

Temos, assim, o polinômio interpolador de grau 2: P (x) -0.0785x2 + l.6106x e a avaliação da altitude do projétil a 12.5 metros do lançamento é dada por: P( 12.5) 7.8647. =

Exemplo 4.20

Em um experimento de laboratório, observa-se o crescimento de uma po pulação de um tipo de larva, em um tanque, de dois em dois dias, durante um período de tempo de 12 dias (número de larvas por cm3), conforme a seguinte tabela: Dias Larva (cm3)

2 25

4 34

6 43

8 56

10 65

12 78

Usando o Software Numérico, podemos observar a disposição dos pon tos e escolher uma função g(x) que melhor se ajuste aos dados da tabela e, a partir do conhecimento de g(x), podemos avaliar aproximadamente o cresci mento da população de larvas num período de tempo posterior desejado. No Software Numérico, selecione as opções aproximação de funções, método dos mínimos quadrados. Digite os valores da tabela e analise a dis posição dos pontos para a escolha de g(x), conforme Figura 4.19 a) e b). Observando a Figura 4.19 b), escolhemos um polinômio de grau 2 para representar os dados.

185

Aproximação de Funções

e) Figura 4.1 9

Portanto, temos que g(x) 0.0982x2 + 3.9107x + 16.8571. Podemos avaliar o crescimento da população de larvas, por exemplo, 16 dias depois do início do experimento, isto é, g(16) 104.5675 larvas por cm3, considerando naturalmente que as condições para o crescimento dessa popu lação nos períodos anteriores foram preservadas. O erro total cometido nesta aproximação é dado na Figura 4.19 c). =

Exercícios

1. Considere as funções a seguir, definidas nos pontos x0 = 0.5,x1 = l.0,x2 = 1.5. a) f(x) = sen(x) b) f(x) = .j(2+x) c) f(x ) = ln(4 +x) Usando o Software Numérico, determine o polinômio interpolador, fórmula de Newton-Gregory, e avalie f(l.34) e um limitante superior para o erro.

186

Cálculo Numérico

2. Considere a função f(x) e-x definida no intervalo [O, 3]. Usando o polinô mio interpolador, fórmula de Lagrange de graus l, 2 e 3, calcule o valor aproximado f(l.45) e um limitante superior para o erro em cada caso. 3. Obtenha o polinômio interpolador, fórmula de Newton, para as funções abaixo, nos pontos dados, com o auxílio do Software Numérico, avalie o erro cometido para o ponto a ser interpolado x = 0.23 em a) e x = 1.23 em b). a) f(x) = cos(x) + 2x, Xo = 0. 1 x1 = 0 .3 x2 = 0.5 b) f(x) = e3 x sen(x), Xo = 1 .2 x1 = 1 . 7 x2 = 2.0 4. Seja f(x) 2ex + 3 definida no intervalo [O, 2]. a) Aproxime f(0.35) utilizando interpolação linear com x0 O e x1 0.5. b) Aproxime f(0.85) utilizando interpolação linear com Xo 0.5 x1 = 1.0. c) Aproxime f(0.35) e f(0.85) utilizando um polinômio, fórmula de La grange de grau 2, com os pontos Xo O x1 1 x2 = 2. d) Em qual dos casos obtemos melhor aproximação no ponto desejado? Justifique suas afirmações. 5. Considere a equação x - ex = O. a) Usando o método de Newton, resolva a equação com E = 0.0001. b) Usando interpolação inversa, determine uma aproximação para a solução da equação O. c) Compare os resultados obtidos. 6. Usando o Software Numérico e o polinômio interpolador, fórmula de Newton e Newton-Gregory de grau 2, avalie f(0.45) a partir dos dados da seguinte tabela: 0.3 0.5 Xj 0. 1 0.7 0.9 1.2500 1 .5678 3.6789 8.8900 1 0.5699 f(xi) 7. Mostre que existe um único polinômio de grau � 2 tal que P(l) 3, P((2) 5 e P(3) = 12. Usando o polinômio interpolador, fórmula de Newton-Gregory, avalie Pz(l.5). 8. De um automóvel percorrendo um trajeto em linha reta foi cronometrada a distância percorrida em diversos momentos, conforme tabela dada: Tempo (min) o 20 30 10 o Distância (km) 20.56 67.78 30 . 67 Usando interpolação, determinar a distância percorrida 15.6 minutos de pois da partida; =

Aproximação de Funções

187

9. Sendo P1(x) o polinômio de interpolação linear de f(x) em a e b, determi ne e E (a , b) de modo que: f(x)-P1 (x) = (x-a)(x -b) f< 2l(c), para as funções f(x) definidas como: 2 a) f(x) = x3, com a = 1 e b 2 e o ponto a ser interpolado x = 1 .5 . b) f(x) = e-x, com a = 0.5 e b 1 e o ponto a ser interpolado x = 0.7. 10. Construa uma tabela para determinar o valor de ex para 0 2 xk = k/5 k = l, ... , 5 e determine o valor aproximado de e · 3 usando: a) Polinômio interpolador, fórmula de Lagrange. b) Polinômio interpolador, fórmula de Newton. c) Calcular um limitante superior para o erro. 1 1. Determine um valor aproximado para cos(0.14) usando um polinômio interpolador de grau 2, e calcule um limitante superior para o erro. 12. Em um experimento foram obtidos os seguintes dados: 4 X· 3 2 1 o 4.01 3.81 1.01 0.01 1.40 a) Determinar a reta que melhor se ajusta aos dados da tabela, usando o método dos mínimos quadrados, com o auxílio do Software Numérico. 5 b) Calcule L e(xi )2 . =

i=l

13. Considere os dados de um experimento conforme tabela: 4 2 -4 -2 o -9 -6 4.0 1 5.9 8.9 5.0 3.9 30.1 10.1 Usando o método dos mínimos quadrados e o Software Numérico, ajustar aos dados da tabela funções: a) Hiperbólica b) Exponencial c) Compare os resultados obtidos. 1 4. Considere a tabela de observações com valores de uma função f(t) (que representa o consumo de água numa cidade no período t, ou a demanda por um produto no período t) t O, ..., 4. Desejamos prever o futuro, isto é, determinar o valor de /(5). t 4 2 1 3 o 1 1 .0 10.2 10.2 10.3 10.5 f(t) =

188

Cálculo Numérico

Considere duas estratégias para prever o valor de f em t + 1 : a) Interpole f nos últimos dois períodos t - 1 e t (obtenha, portanto, uma reta) e use o polinômio interpolador para prever f(t + 1). b) Ajuste uma reta, pelo método dos mínimos quadrados, aos três últimos períodos t - 2, t - 1 e t e use a reta ajustada para prever f(t + 1). Para avaliar as estratégias, considere t + 1 4 e use as duas estratégias para prever f(4) e compare com o valor já observado f(4) 10.2. Qual das duas estratégias apresentou resultado melhor? Escolha a estratégia que apresentou o resultado melhor e utilize-a para prever /(5). Estime JV, usando a fórmula de interpolação de Lagrange sobre os pontos Xo 9, x1 16, x2 25. a) Avalie a precisão da estimativa, usando um limitante para o erro de interpolação. b) Utilize o valor de Jfi dado pela sua calculadora e compare com o valor estimado pela interpolação. A precisão avaliada está coerente? Comente. =

15.

Capítulo 5

Integração Numérica

5.1 Introdução

Neste capítulo, apresentamos algtms métodos numéricos para calcular aproxi madamente a integral de uma função com uma variável real definida num intervalo [a, b]. De uma maneira geral, temos: 1

J f(x) dx b

onde f(x) é contínua com derivadas contínuas em [a, b]. Quando for possível determinar a função primitiva F(x) de f(x), tal que F'(x) f(x), o valor da integral é dado por: =

J f (x) dx F(b) - F(a) b a

Graficamente, considerando a função f(x) � O, para todo xe[a, b], b podemos relacionar 1 J f ( x ) d x com a área A, entre a curva e o eixo das abscissas, conforme Figura 5.1 : =

189

190

Cálculo Numérico

f(x)

f(b ) - - - - - - - - f(a ) - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - - - -

f(x)

Figura 5.1

Exemplo 5.1

4 Para calcular J x3 dx, como F(x)= � satisfaz F'(x) = x3, então: 4 o 4 4 x3 dx = F(2)-F(O) = (2) - (0) = 4 4 4 o 2

Entretanto, nem sempre é possível determinar a função primitiva F(x); em algumas situações, mesmo conseguindo determinar F(x), seu tratamento pode tomar-se complexo e trabalhoso. Podemos, ainda, desconhecer explici tamente a função f(x) quando, em experimentos, obtemos os valores de f(x) em pontos xi do intervalo de integração [a, b] sem, no entanto, ter o conhe cimento da expressão analítica da função que necessitamos integrar. Nestes casos, métodos numéricos são desenvolvidos para obter aproximações para o valor da integral definida 1. Estas aproximações podem ser obtidas a partir da integração do poli nômio interpolador da função f(x), em pontos eqüidistantes do intervalo [a, b]. Este processo é conhecido como fórmulas de quadratura de Newton-Cotes. Existem também outras fórmulas aproximadas para integração numé rica conhecidas como fórmulas de quadratura de Gauss. Assim, de um modo geral, fórmulas de integração numérica podem ser obtidas pela integração do polinômio interpolador Pn(x) de uma função f(x) definida em pontos distintos XQ, x11 , Xn do intervalo [a, b]. Assim, temos: •••

J f(x) dx = J Pn (x) d x

Xn Xo

191

I ntegração Numérica

Podemos representar graficamente, conforme Figura 5.2:

n=b

Figura 5.2

5.2 Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes

Considere uma função definida em x0, xv ... , xn, (n + 1) pontos distintos e eqüidistantes no intervalo [a, b ], isto é, (xi+ l - xi) = h i = O, 1, . .. , n 1 sendo h > O a distância entre os pontos. Quando consideramos Xo = a e Xn = b, temos as fórmulas fechadas de -

Newton-Cotes.

Seja Pn(x) o polinômio interpolador de uma função f(x) definida nos pontos XQ, x1, ..., Xn, (n + 1) pontos distintos e eqüidistantes no intervalo [a, b], tal que Xo = a e Xn = b. Considerando que f(x) é suficientemente diferenciável, temos da interpolação polinomial que: f(x) = Pn(X) + En(X) onde ( n+ l ) f (Ç) En (x) = (X-X0 ) (X-Xn ) -(n+ l )! •••

X0 � Ç � Xn

Assim,

J f (x) d x = J Pn (x) d x

e o erro dado por:

J En (x)dx xo

192

Cálculo Numérico

Como os pontos escolhidos são eqüidistantes, por simplicidade usamos a fórmula de interpolação de Newton-Gregory: An f(x0) +. .. + (x -x0) ... (X - Xn-1 ) -- n! hn a qual pode ser reescrita com a mudança de variável: u = (x - Xo ) / h ou x = x0 + uh de modo que na variável u os pontos de interpolação são sempre O, 1, ..., n e o polinômio interpolador é dado por: Pn (x) = A f(x0 )+ u A f(x0 )+ u(u - 1 ) A2 f (x0 ) + ... + u(u - 1 ) . . . (u - (n - l )) A f(x0 ) o

e o erro na interpolação na variável u é dado por:

de modo que o erro na integração pode ser escrito como:

5.3 Erro cometido na integração numérica

Como vimos, quando aproximamos a integral J f (x) dx por J Pn (x) dx comeXn

temos um erro, o qual é expresso pelo seguinte teorema:

Teorema 5.1

a) Se f(x) possui (n + 1) derivadas contínuas no intervalo [Xo, xn] e os pontos xi Xo + ih i = O, l, . .. , n subdividem o intervalo de integra ção num número ímpar de intervalos, então existe Ç tal que: =

En =

(n+l) f( Ç) n

(n+ l ) !

hn+2

J (u) (u-1) . . . (u-n) du, 0

�Ç� xn

193

Integração Numérica

b) Se f(x) possui (n + 2) derivadas contínuas no intervalo [ Xo, Xn], e os pontos xi = Xo + ih i = O, l, ... , n subdividem o intervalo de integra ção num número par de intervalos, então existe Ç tal que: (n+2) n n+3 f(Ç) h n (u)(u-1) ... (u-n) du, x0 � Ç � x En J (u --) n ! (n+2) 0 2 Prova:

Jennings, W.

5.4 Regra dos trapézios

Considere uma função f(x) definida em dois pontos Xo e x1 no intervalo [a, b]. polinômio interpolador de Newton-Gregory da função f(x) de grau n = 1 é dado por: O

º P1 (x)= Liº f(xo )+(x -xo ) Li f(xl0 ) l!h

e 1

J f(x)dx = J P1 (x)dx = h J P1 (u)du

�

) , com h = x1 - x0 . onde u -{x-x0 h Representamos graficamente, conforme Figura 5.3: =

f(x)

Figura 5.3

194

Cálculo Numérico

Podemos integrar facilmente P1(u) e obter uma fórmula de integração da seguinte forma: 1 1 1 J f(x) dx = hJ (�0 f(x0 )+u �1 f(x0 ) du = hJ �0 f(x0 ) du + hJ u �1 f(x0 ) du x,

Como �0 f(x0) = f(x0 ) e �1 f(x0) = f(x1 ) - f(x0 ), temos: Xo

Portanto, temos:

J f(x)dx = 2"h [f(x0 )+f(x1 )]

� regra dos trapézios

Podemos observar que J f(x) dx corresponde à área do trapézio for mada entre o polinômio interpolador P1(x) e o eixo das abscissas, conforme Figura 5.3, justificando, assim: a denominação regra dos trapézios. x,

><o

5.4. 1 Erro na regra dos trapézios

Neste caso, o intervalo de integração n = 1 é ímpar e, portanto, pela parte (a) do Teorema 5.1, temos: 1 h3 f ( 2 ) (Ç) J E1 = (u) (u-l) du x0 $ Ç $ x1 2!

1 1 temos que o erro é dado por: Como J u(u-1) du = --, 6 o E1 = -

�; f <2l (Ç)

Limitante superior para o erro

Podemos observar que o argumento Ç na fórmula do erro E1 não é uma gran deza numérica conhecida no intervalo [Xo, xi] e, portanto, não é possível

195

Integração Numérica

calculá-lo exatamente na regra dos trapézios, mas podemos calcular uma estimativa, que será o limitante superior para o erro. Tomando a igualdade em módulo, temos que:

I E1 1 = -

�� f<2l(Ç) 1 = 1 - �� l i f<2> (Ç) I

ÇE[x0 ,xi ]

Como i f < 2> (Ç) I � máx {i f< 2>(x) I , xE[x0 ,xi J }, temos que: Exemplo 5.2

Calcule o valor aproximado de J (In(x) + x) dx usando a regra dos trapézios e um limitante superior para o erro. Solução: Tabelando a função f(x) nos pontos x0 0.5 e x1 = 1, temos: 1

0,5

f(x)

0.5 --0.1931

1.0000

Assim, usando a regra dos trapézios, temos: 1 o·5 [-0.1931+1.0000] = 0.2017 J0,5 ( ln(x) +x) dx ::: -h2 [f(x0 )+f(x1 )] = 2 Limitante superior para o erro:

(2) = --1 , então i f< 2 >(0.5) l = máx { l f< 2 >(x) l 1 0.S � x � l } = 4, Como a função f(x) X2 pois a função l f< 2 >(x) I = 1z é decrescente no intervalo [0.5, 1]. X Desta forma, temos: 3 I E1 1 � (0.5) 12 (4) 0.0417 =

196

Cálculo Numérico

Regra dos trapézios generalizada

A regra dos trapézios generalizada consiste na subdivisão do intervalo de integração em n subintervalos iguais, cada qual de amplitude h = (xn - Xo)/n, Xo = a Xn = b, e em aplicarmos a regra dos trapézios em cada subintervalo, isto é, a cada dois pontos consecutivos. Representamos graficamente conforme Figura 5.4: f(x) f(x)

Figura 5.4

Assim, temos que: Xn J f(x)dx = 2h [f(x0 ) + f(x1 )] + 2h [f(x1 ) + f(x2 )] + . . . + 2h [f(xn_1 ) + f(xn )] = xo

Erro na regra dos trapézios generalizada

Como vimos, em cada aplicação da regra dos trapézios temos a seguinte expressão para o erro: O erro total na fórmula generalizada é obtido a partir da soma dos erros cometidos em cada subintervalo, isto é:

197

I ntegração Numérica

Co�o xi-t � Çi � xi , i l, ... , n e f2)(x) é uma função contínua por hipó tese, então existe Çe [x0 , x n 1 tal que n 2) I/ 2 l <Çi > n f<( Ç > i =l Assim, a expressão para o erro na regra dos trapézios generalizada toma-se: =

Como o número de subintervalos n é dado por n (xn - Xo)/h, temos: h2 (x - X ) f((2)Ç) ÇE [X , X ] Et - o n 12 n o =

Limitante superior para o erro

Como o argumento Ç não é conhecido, não podemos determinar o erro exa tamente, mas podemos calcular um limitante superior para o erro. 2 I E1 1 � h12 (xn - x0 ) máx { l f (2>(x) I , x0 � x � xn } Exemplo 5.3

Calcule o valor aproximado da integral J F dx usando a regra dos trapézios 1 generalizada para 2, 4 e 6 subintervalos e um limitante superior para o erro. a) Solução para 2 subintervalos Neste caso, h é determinado por: 4

Tabelando a função f(x), com h 1.5, temos: =

Assim,

f 4

A. "rx

f( x )

1 1.000

2.5 1.5811

4 2.000

dx = -h2 [f(xo ) + 2f(x1) + f(x2 ) ] 125 [1 + 2(1.5811) + 2] =

_ .

198

Cálculo Numérico

Portanto,

J JX dx 4

4.6217

Limitante superior para o erro

Usando a expressão do limitante superior para o erro, temos: 2 IE1 1 ::; h12 (xn - x0) máx { i f <2 >(x) l x0 ::; x ::; x2 } Como a função Ú�) = -± x-312 , então i f < 2> (l)I = máx { l f< 2 > (x) l x E [l, 41 } = 0.25, pois i f <2 >(x ) I é decrescente no intervalo [l, 4]. Assim, temos: (1.5)2 (4-1 ) (0.25) = 0. 1406 t 1 ::; E I 12 b ) Solução para 4 subintervalos Neste caso, o espaçamento h é determinado por: h = (xn - Xo ) = 4-1 � h = 0.75 n 4 Tabelando a função f(x) com h = 0.75, temos: 1

f(x)

1 1.000

1.75 1.3229

2.5 1.5811

3.25 1.8028

4 2.000

Assim,

J JX dx = 2h [f(x0) + 2(f(x1 ) + f(x2 ) + f(x3 )) + f(x4 )] = 4 1

= º · 75 [1 + 2(1.3229 + 1.5811 + 1.8028) + 2] = 4.6551 2 Logo, temos:

J JX dx 4

4.6551

199

Integração Numérica

Limitante superior para o erro

Usando a expressão do limitante superior para erro, temos: (2) = - 1 x-3/2 , então i f< 2>(1) I = máx i f<2 >(x) I , xe[l, 4] } = 0.25, Como a função f(x) 4 { pois l f( 2 )(x) I é decrescente no intervalo [l, 4]. Assim, temos: 2 I E1 1 � (0.75 ) (4 - 1 ) (0.25) = 0.0352 12

Solução para 6 subintervalos Neste caso, o espaçamento h é determinado por: h = (xn n- Xo ) = 4 6-1 � = h = 0.5 Tabelando a função f(x) com h=0.5, temos: X f(x)

1 1.5 2.0 2.5 1.0000 1.2247 1.4142 1.5811

4 3.0 3.5 1.7321 1 .8708 2.0000

Assim, 4 1

J JX dx = h2 [f(x0)+ 2(f(x1 )+f(x2 )+f(x3 )+ f(x4 )+ f(x5 ))+f(x6 )] = -

= 0.5 [1+2(1.2247+ 1 .41 42 + 1 .5811 + 1.7321 + 1 .8708) + 2] = 4.6615 2 Portanto,

J JX dx = 4.6615 4

Limitante superior para o erro

Usando a expressão do limitante superior para o erro, temos:

200

Cálculo Numérico

}

O valor de máx f < 2 l(x) , x0 :5: x :5: xn = 0.25 como nos casos anteriores e,

portanto, temos:

j E , j :5: (0.5)

(4 - 1 ) (0.25) = 0 .0 1 56

Apresentamos a seguir a Tabela 5. 1 , com os resultados obtidos pela regra dos trapézios com 2, 4 e 6 subintervalos e um limitante superior para o erro em cada caso.

Tabela de resultados da regra dos trapézios com 2, 4 e 6 subintervalos e limitante superior para o erro

2 subintervalos

4 subintervalos

6 subintervalos

Valor aproximado

4.621 7

4.6551

4.6615

Limitante superior

0.1406

0.0352

0.0156

Tabela 5.1

Observe, na Tabela 5. 1 , que na medida em que diminuímos o espaça mento h, isto é, aumentamos o número de subintervalos, os resultados obtidos são mais próximos do valor exato da integral, isto é, o erro tende a zero.

5.5 Regra 1 /3 de Simpson Considere uma função f(x) definida em três pontos distintos x0, x1, x2 eqüidis tantes no intervalo [a, b], e o polinômio interpolador de Newton-Gregory da função f(x), de grau n = 2, com Xo = a e x2 = b, escrito como:

Assim, 2

f f(x) dx = f P2 (x) dx = hf P2 (u) du

onde u =

�

(x - x0 ) (x - x0 ) com h = n ' h n

---

201

Integração Numérica

Representamos graficamente, conforme Figura 5.5: f(x)

f(x)

:xo = a

Figura 5.5

Assim,

Uma vez que,

Assim, temos:

·rJ f(x) dx = h [f(x0 ) + 4f(xi )+ f(x2 )] � regra 1/3 de Simpson -

202

Cálculo Numérico

5.5. 1 Erro na regra 113 de Simpson

Neste caso, o intervalo de integração foi subdividido em um número n = 2 (par de subintervalos) e, portanto, pela parte (b) do Teorema 5.1, temos:

n+3 f(n(x+2)) h E0 = J (u -n/2) (u) (u - 1) ... (u - n) du (n +2) ! u

x0 $ Ç $ x0

(4) h5 f(Ç) 2 E2 = 4 ! J (u - l)(u)(u - l)(u - 2) d u o 2 4

Como (u - l)(u)(u - 2) du = - -, temos: 15 o

Como o argumento Ç não é conhecido, não é possível calcular o erro exa tamente, portanto, trabalhamos com um limitante superior como segue: Limitante superior para o erro

Temos que o erro é dado por: (4 )

E2 = -

h5 f ( Ç ) 90

, Xo $ x $ X2

Tomando em módulo a expressão anterior temos que:

l �� l l f(4l(Ç) I Ç e [x0 , x2 ]

J E2 J = -

Desta forma, podemos escrever o limitante superior para o erro como:

h5 J E2 J $ 90 { máx 1 f( 4 l(x ) I , x

Exemplo 5.4

$ x $ x2 }

J cos(x) d x usando a regra 1 /3 de

1 .5

Calcule o valor aproximado da integral

0.5

Simpson e um limitante superior para o erro. Solução

Neste caso, o valor do espaçamento h é calculado por:

(b - a)

0.5

203

Integração Numérica

Tabelando a função f(x) = cos (x) com h = 0.5, temos: X

f(x)

0.5 0.8776

1.0 0.5403

1.5 0.0707

Desta forma, temos:

J f(x) dx

l .5

�

h o ·5 [0.8776+ 4(0.5403)+0.0707] = 05183 -3 [f(x0 )+ 4f(x1 )+f(x2 )] = 3

Portanto,

f cos(x) dx

1 .5

0.5

0.5183

Limitante superior para o erro

Da fórmula do limitante superior para erro, temos que:

1 E2 I ::;; 9h50 máx {J f( 4 l (x ) J , x E [0.5, 1.51 } Como a função f( 4 l (x ) = cos(x), então J f ( 4 l(O.S)j = máx {J f< 4 l (x) J } = 0.8776, pois a função l f<4 > (x) I é decrescente no intervalo [0.5, 1.5]. Assim, 5 1 E2 I ::;; (0.5) 90

(0 .8776) = 0.0003

Regra 1/3 de Simpson generalizada

Na regra 1/3 de Simpson, foram necessários 3 pontos para a interpolação quadrá tica, o que significa a divisão do intervalo de integração em 2 subintervalos. A regra 1 /3 Simpson generalizada consiste em subdividirmos o intervalo [a, b] de integração em n subintervalos de amplitude h, onde n é um número par de subintervalos, de forma que x0 = a, Xn = b e aplicarmos a regra 1 /3 de Simpson em cada 2 subintervalos consecutivos.

204

Cálculo Numérico

Representamos graficamente conforme Figura 5.6:

f(x)

P (x)

Xn-2 Xn-1 Xn

j =

f(x) b

Figura 5.6

Assim, aplicando a regra 1 /3 de Simpson para cada 3 pontos, isto é, a cada 2 subintervalos, temos:

f f(x)dx = -h3 [f(x0)+4f(x1)+f(x2 )] + -h3 [f(x2 )+4f(x3 }+f(x4 )] + ... +

Xn X()

Erro na regra 1/3 generalizada de Simpson

Para cada dois subintervalos (3 pontos distintos e eqüidistantes } , aplicamos a regra 1 /3 de Simpson e o erro cometido para cada aplicação é dado por: E

_ _

(4)

h5 f( Çd 90

x2i-2 � Çi � x2i

1, 2, ... , n/2

Desta forma, o erro total cometido na regra 1 /3 de Simpson generali zada é obtido a partir da soma dos erros cometidos a cada aplicação da regra 1 /3 de Simpson a cada dois subintervalos subseqüentes, isto é: E1

hS f((4) ) X2 2 � � X2 i- Çi i L -90 Ç n/2 i=l

1, 2, ... , n/2

205

Integração Numérica

Como x0 :5 Çi :5 Xn i 1, 2, ... , n/2 e f<4> (x) é contínua por hipótese, então existe um Ç E [x0 , xn ] tal que: =

I f ( çi > (4)

n/2

i=l

/2 (4) � f(Ç) 2

Assim, a expressão para o erro na regra 1 /3 de Simpson generalizada é dada por:

Como o número de subintervalos n

(4) h - - (xn - Xo ) f ( Ç ) 180

�

(xn xo )

, temos que:

Limitante superior para o erro

Como Ç E [x0 , xn 1 não é uma grandeza numérica conhecida, trabalhamos com um limitante para o erro, conforme segue:

Exemplo 5.5

J 3

Calcule o valor aproximado da ( xex + 1 ) d x, usando a regra 1 /3 de Simpson o para 2, 4 e 6 subintervalos e um limitante superior para o erro. a) Solução para 2 subintervalos

Neste caso, o valor do espaçamento h é dado por: h

(xn - Xo ) n

Tabelando a função f(x) para h X f(x)

1 .0000

1.5

1 .5, temos: 1 .5 7.7225

3.0 61.2566

206

Cálculo Numérico

Assim, 3

1 ·5 f (xex + 1) dx = -h [f(x0 )+ 4f(x1 )+ f(x2 )] = (1+ 4(7.7225)+ 61.2566) = 46.5733

3 Portanto, temos:

f (xex + 1) dx = 46.5733 o

Limitante superior para o erro

Usando a expressão do limitante superior para o erro, temos:

4) = ex (4 + x) e l f( 4 ) (3) = máx { l f( 4 ) (x) 1, x E [O, 3J} Como f ((x) I pois a função l f( 4l(x) I é crescente em módulo no intervalo [O, 3]. Temos: I Et l

�

(1 .5) 4 1 80

140.5988,

(3 - 1) (140. 5 988) = 1 1 . 8630

Solução para 4 subintervalos Neste caso, o valor do espaçamento h é dado por: b)

(xn - Xo )

Tabelando a função f(x) com h X f(x)

o 1 .0000

0.75 2.5878

0.75

0.75, temos: 1.5 7.7225

2.25 22.3474

3 .0 61 .2566

Assim,

J (xex + 1) dx = -h3 [f(x0 ) + 4(f(xi )+ f(x3 )) + 2f(x2 ) + f(x4 )] 3

= 0 · 75 (1 + 4 (2.5878 + 22.3474) + 2 (7.7225) + 61 .2566) = 44.3606 3

207

Integração Numérica

Portanto, temos:

J (xex + 1) d x 3

44.3606

Limitante superior para o erro

Usando a expressão do limitante superior para o erro, temos:

. (4) Como f (x) = ex (4 + x) e l f( 4 l (3) I = máx {l f( 4 > (x) , , x E [O, 31 } = 140.5988, pois a função i f< 4 > (x) I é crescente em módulo no intervalo [O, 3]. Temos: \

I E1 1 � (0.75) 1 80

e) Solução para 6 subintervalos

(3 - 1)(140.5988) = 0.74 1 4

Neste caso, o valor do espaçamento h é dado por: h

(xn - xo ) = 0.5 n

Tabelando a função f(x) com h = 0.5, temos: X

f(x)

1.0000

0.5 1 .8244

1 .0 3.7183

1 .5 7.7225

3.0 2.5 2.0 15.7781 31 .4562 61 .2566

Assim,

J (xex + 1) dx 3

-3 [ f (x0 ) + 4 (f (x1 ) + f (x3 ) + f (x5 ))+ 2(f (x2 ) + f (x4 ) ) + f (x6 ) ] = h

0.5 [ 1 + 4 (1 .8244 + 7.7225 + 31 .4562) + 2(3.7183 + 15.7781) + 3 + 61 .2566 ] = 44.2103

Portanto,

J (xex 3

1) dx

44.2103

208

Cálculo Numérico

Limitante superior para o erro

Usando a expressão do limitante superior para o erro, temos:

Como f (4)(x) = ex (4 + x) e i f(4 l(3)l = máx { l f(4 >(x) 1 1 x e [O, 31} = 140.5988, como nos casos anteriores, temos: 4 I Et 1 � (0.5) (3-0) (140.5988) = 0. 1 465 1 80 Apresentamos, a seguir, a Tabela 5.2 com os resultados obtidos usando a regra 1/3 de Simpson, com 2, 4 e 6 subintervalos e um limitante superior para o erro em cada caso. Tabela de resultados da regra 1/3 de Simpson com 2, 4 e 6 subintervalos e limitante superior para o erro

2 subintervalos

4 subintervalos

6 subintervalos

Valor aproximado

46.5733

44.3606

44.2103

Limitante superior

11 .8630

0.7414

0.1465

Tabela 5.2

Observação

Pode-se notar que, na medida em que diminuímos o espaçamento h entre os pontos, o limitante superior para o erro decresce, indicando valores mais próximos do valor exato da integral. 5.6 Regra 3/8 de Simpson

Considere uma função f(x) definida em XQ, xv x2, x3 quatro pontos distintos e eqüidistantes de um intervalo [a, b]. Neste intervalo, considere o polinómio interpolador de Newton-Gregory da função f(x), de grau n = 3, com Xo a e x3 = b, isto é, 1 0) �2 f(x0 ) + P3 (x) = �ºf(Y� ) + (x -xo ) � f(x + (x -x ) )(x -x 1 o l ! hl 2 ! h2 3 o) + (x -x0 )(x -xi )(x-x2 ) �3 f(x ! h3 =

''IJ

209

Integração Numérica

e, portanto, 3 =h J f(x) dx :: J P3 (x) dx J P3 (u) du o

(x - x0 ) com h = Xn - Xo . h n Representamos graficamente conforme Figura 5.7:

onde u =

f(x)

Figura 5.7

Assim,

J f(x) dx :: h J [Aºf(x0 )+uAi f(x0 ) + u (u2.� l) ,:l2 f(x0 ) + 3

o (u)(u 3

-�i(u - 2) ,:l3f(x0 )] du = h J3 Aºf(x0 ) du +

o 3 (u)(u - l)(u - 2)

+h J o

u(u � l) 2 ,:l f(x0 ) du + o 2.

J uAi f(x0 ) du + h J

,:l3 f(xo ) du

Uma vez que,

Assim, temos:

J f(x) dx = 83 h [f(x0 ) + 3f(x1 )+ 3f(x2 ) + f(x3 )]

5.6. 1 Erro na regra 318 de Simpson Para esta regra de integração, o intervalo [a, b] foi subdividido em um número n 3, ímpar, de subintervalos e, portanto, pela parte a) do Teorema 5.1, temos: =

h n+2

E0 = r,

,n + l) !

(n+l )

f(Ç)

logo,

J0 u (u - l )(u - 2) . . . (u - n) du 0

J u(u - l )(u - 2)(u - 3) du

5 (4 ) 3

h E3 = f(Ç) 4!

Ç e [x0 , x3 ]

Resolvendo-se a integral da expressão anterior, temos: 3 hs f( Ç ) E3 = - (4)

Limitante superior para o erro

I E3 1 $ Exemplo 5.6

:o h5 máx { l f (4>(x) l , x0 $ x $ x3 } J

1 .2

Calcule o valor aproximado da

(ex +Sx) dx usando a regra 3/8 de Simpson 0.3 e um limitante superior para o erro.

211

Integração Numérica

Solução:

Temos h =

(xn - xo ) n

= 0.3

Tabelando a função f(x) com h 0.3, temos: =

0.3 2.8499

f(x)

0.6

4.8221

0. 9 6 . 9 596

1.2 9.3201

Assim,

1 .2

0. 3

f(x)dx =

B h[f(x0)+3(f(x1

)+f(x2 ))+f(x3 )]

3 = - (0.3) [2.8499 + 3 (4. 822 1 + 6.9596) + 9 . 320 1 ] 8

Portanto temos: 1 .2

0. 3

(ex + 5x) dx = 5 . 3454

Limitante superior para o erro

(4) Neste caso, f ( x ) =eX, é uma função crescente em módulo no intervalo [x0, x3] logo,

i f <4l (l .2) 1 = máx { l f ! 4 l (x) I , x e [0.3, 1 .21 }

9 .3201

Portanto,

1 E3 I � � (0.3) 5 (9.320 1) = 0.0085 8

Regra 3/8 de Simpson generalizada

A regra 3/8 de Simpson generalizada consiste em 'subdividirmos o inter valo [a, b] de integração em n subintervalos, de amplitude h, onde n é um número múltiplo de 3, de forma que Xo = a Xn = b e aplicarmos a regra 3/8 de Simpson a cada 4 pontos consecutivos, ou 3 subintervalos consecutivos.

212

Cálculo Numérico

Representamos graficamente conforme Figura 5.8:

f(x)

Xn-3 Xn-2 Xn-1 Xn b =

Figura 5.8

Assim,

f f(x) dx �

3 3 3 )+3f(x4 )+3f(x5 )+f(x6 )]+...+ 8 h[f(x0)+3f(x1 )+3f(x2 )+f(x3 )]+-h[f(x 8 + S3 h[f(xn-3 )+3f(xn_2 )+3f(xn_1 )+f(xn )] 3 s h[f(x0 )+3(f(x1 )+f(x2 )+f(x4 )+f(x5 )+... +f(xn_2 )+f(xn_1 ))+ +2 (f(x3 )+f(x6 )+...+f(xn-3 ))+f(xn )]

Erro na Regra de 3/8 de Simpson generalizada

Para cada três subintervalos, ou quatro pontos distintos e eqüidistantes, apli camos a regra 3 / 8 de Simpson e o erro em cada aplicação é dado por:

Assim, o erro total cometido na Regra 3/8 de Simpson generalizada é obtido a partir da soma dos erros cometidos em cada aplicação da regra 3/8 de Simpson, a cada 3 subintervalos subseqüentes, isto é, Et

3 h5 f ( ÇJ L -80

i=l

n/3

(4)

1, 2, ... , n /3

213

Integração Numérica

No entanto, como f4) (x) é contínua por hipótese e Çi E [x3 i_3 , x3 d então existe Ç E [ x0 , Xn ], tal que: n/3 I f(4) ( ÇJ = n3 f<4) ( Çç ) i=I -

Portanto, E

= - - hs - f( ..,� ) 3

<4 l

Como o número de subintervalos é dado por n = E1

(4) h4 (xn - X0 ) f(Ç) 80

(xn Xo ) , temos:

�

X0 � Ç � x n

Limitante superior para o erro

Exemplo 5.7

Calcule o valor aproximado da J in (x + 9) dx usando a regra 3/8 de Simpson 1

para 3, 6 e 9 subintervalos e um limitante superior para o erro. a) Solução para 3 subintervalos

Neste caso, o espaçamento h é dado por: Tabelando a função com h = 2, temos: 1 2.3026

f(x)

3 2.4849

5 2.6391

7 2.7726

Assim,

J ln (x + 9) dx = -38 h [f(x0 ) + 3f(xi ) + 3f(x2 ) + f(x3 )] 7

+ 2.7726 ]

15.3354

3 - 2 [2.3026 + 3 (2.4841 +2.6391)+ 8

214

Cálculo Numérico

Portanto, temos

J ln(x +9) dx 7

15.3354

Limitante superior para o erro

Temos que a fórmula do limitante superior para o erro é dada por: (4)

Como f ( x )

intervalo [1,7], temos:

6 (x+9)4

Portanto,

1 E1 1 �

é uma função decrescente em módulo, no

(2)4

(7 - 1 ) (0.0006) 0 . 0007 =

6 subintervalos Neste caso, o espaçamento h é dado por: b) Solução para

Tabelando a função f(x) com h X

f(x)

l , temos:

2 1 3 4 5 6 7 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 2.6391 2.7081 2.7726

Assim,

J ln (x + 9)dx 7

-38 h [f(x0 )+3(f(xi )+f(x2 )+f(x4 )+f(x5 ))+ 2f(x3 )+f(x6 )] 3(l) [2.3026+3(2.3979+2.4849+ 2.6391 + 2.7081) + 8 + 2 (2.5649) + 2.7726] 15.3356 =

Integração Numérica

Portanto, temos:

f ln (x +9) dx 7

215

15.3356

Limitante superior para o erro

Da fórmula do limitante superior para o erro, temos:

Como

l f (4l( l) I = máx { l f ( 4l(x) I , x E[l.7] } = 0.0006 então temos:

l )4 ( 7 -1)(0.0006) = 0.0004 j Ei j � (80

e) Solução para 9 subintervalos:

Neste caso, temos que o espaçamento h é dado por:

h = (xn n- Xo ) = 3_ 3

1 5/3 7/3 3 11/3 13/3 5 17/3 19/3 7 f(x) 2.3026 2.3671 2.4277 2.4849 2.5390 2.5909 2.6391 2.6856 2.7300 2.7726 Assim,

7 J ln (x + 9 ) dx = 38 h [f(x0 )+3(f(x 1 )+f(x 2 )+f(x4 )+ f(x 5 )+ f(x7 )+ f(x 8 ))+ 1 +2(f(x 3 )+f(x6 ))+f(x9 )] = 3 (2 !3) [2.3026+3( 2.3671 +2.4277 +2.5390+ 8 + 2.5909+2.6856+2.7300) + 2 ( 2.4849+2.6391)+2.7726] = 15.3360 -

Portanto, temos:

f ln(x+9) dx 7

15.3360

216

Cálculo Numérico

Limitante superior para o erro

Da fórmula do limitante para o erro, temos que:

Como j f (4l(l ) j = máx { j f < 4l(x ) j , x E [l, 7] } 0.0006 temos: =

7 1 = 0.000089 1 E1 1 :5; (2/3) 80 4 ( - ) (0.0006) Concluímos, portanto, que na medida em que diminuímos o valor do espaçamento h, obtemos um limitante superior para o erro cada vez menor, o que significa que temos valores aproximados melhores comparados com o valor exato da integral. Apresentamos, a seguir, a Tabela 5.3 com os resultados obtidos pela regra 3/8 de Simpson, com 3,6 e 9 subintervalos e um limitante superior para o erro em cada caso. Tabela de resultados da regra 3/8 de Simpson com 2, 4 e 6 subintervalos e limitante superior para o erro

3 subintervalos

6 subintervalos

9 subintervalos

Valor aproximado

15.3354

15.3356

15.3360

Limitante superior

0.0007

0.0004

0.000089

Tabela 5.3

5. 7 Fórmula de quadratura de Gauss

Apresentamos, ainda neste capítulo, uma maneira alternativa para calcular a integral de uma função, conhecida como fórmula de quadratura de Gauss, ou simplesmente quadratura gaussiana. As fórmulas de Newton-Cotes estu dadas anteriormente são obtidas integrando-se os polinômios interpoladores e, como as expressões dos erros envolvem a (n + 1 )-ésima ou (n + 2)-ésima derivadas da função a ser integrada, são exatas para polinômios de grau :5; n ou grau ::;; n + 1. Veremos que é possível obter fórmulas de integração, as quais são exatas para polinômios de graus superiores. Considere a integral de uma função 1 = J f(x )dx. b a

217

Integração Numérica

Desejamos desenvolver uma fórmula de integração na forma: 1

= J f(x) dx = A0f(x0) + A 1 f(x 1 ) + ... + A n f(x n ) b

onde os coeficientes Ai e os pontos xi i O, . . . , n devem ser determinados de forma a obter a melhor precisão possível. Note que nesta expressão temos 2n + 2 incógnitas, isto é, A0, Ai, ... , An, x0, ... , Xn . Podemos esperar que seja possível encontrar valores que integrem exa tamente polinômios de grau � 2n + 1, uma vez que estes são definidos por 2n + 2 parâmetros. Fazemos inicialmente o desenvolvimento para dois pontos: =

J f(x) dx = A0f(x0 ) + A1 f(x1 ) b a

Por simplicidade, consideramos o intervalo de integração dado por [-1, 1 ], sem perda de generalidade. De fato, podemos sempre reduzir um intervalo de integração [a, b], com a e b finitos, no intervalo [-1, 1] por meio de uma mudança de variável, como, por exemplo, x(t) = "21 (b-a)t + 21 (b+a), t e [-1, 1] Ou seja, qualquer que seja x E [a, b], existe t E [-1, 1] tal que x = x(t). Assim, considerando dx = x ' ( t)dt ! ( b - a)dt, temos: 2 1 1 1 = J f(x) dx = J f(x(t))x '(t) dt = J F(t) dt -1 -1 =

Onde

1 - a) f(-(b 1 - a)t + -(b 1 + a)) F(t) = -(b 2 2 2

I>essa

forma, construímos uma fórmula de integração da seguinte maneira: 1=

f F(t) dt ::: A0 F( t0) + A 1 F( t1 )

-1

em que os parâmetros A0, Av t0 e ti devem ser determinados de modo que seja exata para polinômios de graus :5: 3 (neste caso, n 1). Para isto, basta =

218

Cálculo Numérico

exigir que seja exata para os polinômios F0( t) = l, F1 (t) = t, F2(t) = t 2 e F3 (t) = t 3 , pois qualquer outro polinômio de grau � 3 pode ser escrito como: Assim, se tivermos 1 J Fk (t) dt = A0 Fk (t0) + A 1 Fk (t 1 ) -1

k = O, 1, 2, 3

isto é, a fórmula é exata para estes polinômios, então: 1

�

J P3 (t) dt = a0 J F0( t)dt + a 1 J F1 (t)dt + a2 J F2(t)dt + a 3 J F3 (t)dt =

�

= a0(A0 F0( t0 ) + A 1 F0 (t 1 )) + a 1 (A0 F1 (t0) + A 1 F1 (t 1 )) + + ª 2 (Ao F2 (t o ) + A 1 F2 (t 1 )) + ª3 (Ao F3 (to ) + A1 F3 (t 1 )) = = A0 P3 ( t 0 ) + A 1 P3 ( t 1 )

seja, é exata para o cálculo de P3 (t). Portanto, considerando F0( t) = l, F1 (t) = t, F2 (t) = t 2 e F3 (t) = t 3 , as incóg nitas Ao, Av t0 e t1 podem ser determinadas por: 1 J tk dt = A0 t� + A 1 t� , k = O, 1, 2, 3. -1 Ou

seja, temos o sistema: 1 Para k = O � J t 0dt = A0 t� + A 1 t� -1 1 Para k = 1 � J t 1 dt = A0 t� + A 1 t: -1 1 Para k = 2 � J t 2dt = A0 t� + A 1 ti -1 1 3 Para k = 3 � J t dt = A0 t� + A1ti -1

219

Integração Numérica

Como as integrais que aparecem neste sistema são facilmente calcu ladas, temos um sistema de equações não-lineares: A0 + A 1 = 2 A0 t0 + A 1 t 1 = O A0 t � + A1 t i = 2 / 3 A0 t� + A 1 t; = O Para resolver este sistema, considere t0 -t1 e a solução é imediata e dada por: =

-t0 = t 1 = J3 = 0.577350 3 -

Assim, podemos escrever:

Portanto,

l J3 + F(-) J3 f F(t ) dt = !Gauss = F(- -) 3

�

Esta fórmula é chamada quadratura de Gauss, é exata para polinómios de grau � 3, por construção, e pode ser usada para aproximar integrais de funções não polinomiais. Para n 2 (3 pontos), esta fórmula é exata para polinómios de grau � 5, isto é, se F(t) for um polinómio de grau � 5, então, =

I = J F(t )dt = AoF(t0 )+A1 F(t1 )+ A2 F(t 2) 1

Analogamente ao caso anterior, n = l, podemos considerar F0(t) = 1, F1(t) = t, F2(t) = t2, F3 (t) = t3, F4(t) = t4 e F5(t) = t5 e as incógnitas A0, Av A2, to, ti. e t2 podem ser determinadas por: -1

f t k dt = A0 t� + A1 t� , k = O, l, ... , 5 1

-1

220

Cálculo Numérico

seja, 1 Para k = O � J t º dt = A0 t� + A 1 t� + A 2 t � -1 1 Para k = 1 � J t 1 dt = A0 t� + A 1 t� + A 1 t ; -1 1 Para k = 2 � J t 2 dt = A0 t� + A 1 t; + A 2 t; -1

Para k = 3 � J t 3 dt = A0 t� + A 1 ti + A 2 t� -1 1 Para k = 4 � J t 4 dt = A0 t� + A 1 t : + A 2 t� -1 1 Para k = 5 � J t 5 dt = A0 t� + A 1 t i + A 2 t; -1 Como as integrais que aparecem neste sistema são facilmente calcu ladas, temos um sistema de equações não-lineares: A0 + A 1 + A 2 = 2 A 0 t0 + A 1 t 1 + A 2 t 2 = O A0 t� + A 1 ti + A1t ; = 2 / 3 A 0 t� + A 1 t ; + A 2 t ; = O A0 t� + A 1 t � + A 2 t� = 2 / 5 A0 t� + A 1 t ; + A1t; = O uma

A solução deste sistema não-linear pode ser obtida facilmente por considerar simetria nos pontos to, t1 e t2 (propriedade que pode ser mostrada em geral): to = -t2, t 1 e t1 = O

Substituindo no sistema, obtemos: 5 A0 = A 2 = g = 0.555556

8 A I = - = 0.888889 9 - t0 = t 2 = .jt = 0.774597 tl = o

221

Integração Numérica

para 3 pontos (n 2), a fórmula de quadratura de Gauss para urna função qualquer, exata para polinômios de graus :5: 5, por construção, é dada por: Assim,

!Gauss

Portanto,

J F(t) dt

= � F(-./f) + � F(O) + � F(./f) 9

= � F(-J-f)+ � F(O)+ � F( J-f) 9 9 9 -1 Para mais detalhes sobre este assunto, veja Conte, S. D.; Boor, C. 1

: !Gauss

Exemplo 5.8 3

Calcule 1 = J 3exdx, usando a quadratura gaussiana para n 2 pontos. 1 =

Solução

Fazendo mudança de variável na função f(x) = 3 ex no intervalo [l, 3] para o intervalo [-1, 1], temos: x = -1 (b-a)t+ -1 (b+a)= t + 2 e F( t)= 3e( 1+2> 2 2 Assim, 3

f f(x) dx = f F( t)dt = A0 F( t0 ) + A 1 F( t1 ) 1

-1

com

A0 = A1 = 1 J3 = -0. 5 77 3 5 t0 = - 3

Logo,

J3 = 0.57735 =3

J3 ) = 3e ) +F(lcauss = Ao F(to )+A1F(t1 ) = F( -J3 3 3 -

-3

( J3 +2 )

Portanto,

J 3exdx lcauss = 51.9309 3 1

+ 3e( J33 +2) = 51.9309

222

Cálculo Numérico

Exemplo 5.9

Calcule 1 = J 3ex dx, usando a quadratura gaussiana para n = 3 pontos. 1

Solução:

Fazendo mudança de variável na função f(x) = 3 ex no intervalo [l, 3] para o intervalo [-1, 1] temos: 1 x = -1 (b-a)t+-(b+a)= t + 2 e F(t) = 3e(t+Z) 2 2 Assim,

f f(x) dx = f F(t)dt = A0 F(t0 ) + A 1 F(t1 ) + A 2 F(t2 ) = 1

-1

= � F(-jt ) + � F(O) + � F( jt ) = 52.1004 9

Logo,

3J 3exdx :: ! auss = 52.1004 G

Podemos usar o exemplo anterior para comparar numericamente a fór mula de quadratura de Gauss com 3 pontos, regra 1 /3 de Simpson e o valor "exato" da integral. Valor exato �

3J 3exdx = 3ex 3 = 52.1018 1 1

Apresentamos a seguir a Tabela 5.4 com os resultados obtidos pelas diversas fórmulas de integração numérica . Tabela de comparação quadratura de Gauss e regra 1/3 de Simpson

Exato Valor Erro

52.1018 -

Gauss n

1 / 3 Simpson 1 /3 Simpson 1 / 3 Simpson 5 pontos 3 pontos 7 pontos

51 .9309

52.1004

52.3601

52.1194

52.1053

0.1709

0.0014

0.2583

0.0176

0.0035

Tabela 5.4

Integração Numérica

223

Observações

Analisando os resultados obtidos na Tabela 5.4, podemos concluir que: 1 . As fórmulas de quadratura de Gauss produzem resultados melho res com menor esforço computacional do que as regras de Simpson, no sentido que, com menos avaliações da função é possível obter resultados melhores. Entretanto, nem sempre a expressão da função a ser integrada é disponível, podendo ser conhecida em pontos defi nidos por experimento. Neste caso, as fórmulas de quadratura de Gauss não podem ser usadas. 2. Quando aumentamos o número de pontos, ambas as fórmulas me lhoram a precisão, como o esperado. 3. Se o intervalo de integração for grande, podemos subdividi-lo e apli car a fórmula de quadratura de Gauss, com n = 3 pontos, em cada subintervalo, do mesmo modo que a regra 1 /3 de Simpson é obtida, mantendo o polinómio interpolador de grau 2, e o intervalo de inte gração é subdividido.

5.8 Integração dupla Apresentamos, nesta seção, métodos numéricos para a resolução da integral de funções com duas variáveis, na forma geral: I=

JJ f(x, y ) dy dx, b d

a�x�b e c�y�d

a e

Ou, ainda, podemos escrever: I=

Considere F(x)

JrJ f(x, y) dy] dx b

J f(x, y)dy , então temos que: d

J F(x) dx b a

Para calcular esta integral, usaremos a regra dos trapézios generalizada, seguidamente da regra 1 /3 de Simpson Generalizada, desenvolvidas ante riormente para integração de uma função com uma variável real.

224

Cálculo Numérico

5.8.1 Regra dos trapézios generalizada Usando a regra dos trapézios generalizada, temos que: I=

J F(x)dx := 2h [F(x0 ) + 2(F(x 1 ) + F(x2) + ... + F(x0_1 )) + F(x 0 )] b

onde

F(xJ = f f(x i , y) dy := 2h [f(x i , y0 ) + 2(f(x i ' y 1 ) + ...+ f(x i , y 0_1 )) + f(x i , y 0 )] d e

i = O , ... , n

(n + 1) valores F(xi) podem ser calculados por qualquer método de integração visto anteriormente, e com estes valores podemos calcular o valor Os

aproximado de I = J J f(x, y)dydx. b d a e

5.8.2 Regra 113 de Simpson generalizada Usando a regra 1 /3 de Simpson, desenvolvida anteriormente nesta se ção, temos: I=

J F(x)dx b a

3 [F(x0 )+4(F(x 1 )+ F(x 3 )+ ...+ F(x 0_1 }}+2(F(x2)+ F(x 4 )+ ... +

+ F(x0_2 }}+ F(x 0 )]

onde

F(xJ ::: J f(x i , y) dy d

i = O, ... , n

1) valores de F(xi) podem ser calculados por qualquer método de integração visto anteriormente, e com estes valores podemos calcular Os (n

o valor aproximado de I = J J f(x, y) dy dx. b d

a e

Integração Numérica

Exemplo 5.10

225

1 .0 0 .5

Calcule o valor da integral dupla

J J

ln(x + y ) dy dx. 1� Seja F(x) = J ln(x + y ) dy, então 1 = J F(x) dx. 0. 1 0. 1 1 .0 Para calcular 1 = J F(x) dx, usaremos a regra dos trapézios generalizada 0. 1 para h = 0.3 com os pontos x0 = 0.1, x1 = 0.4, x2 = 0.7 e x3 = 1 .0. Temos: 1 .0 o3 I = J F(x)dx :: -'- [F(x 0 ) + 2(F(x 1 ) + F(x 2 )) + F(x 3 )] 2 0. 1 M

0. 1 0 . 1

Para calcular F(xi) i = O, ... , 3, usamos a regra dos trapézios generalizada com h = 0.1 e y0 = 0.1, y1 = 0.2, y2 = 0.3, y3 = 0.4, y4 = 0.5. Assim temos: 0.5 �(x0 ) = F(O.l) = f ln(O.l + y) dy :: 0. 1 O.l [ln(O.l + y 0 ) + 2(ln(0.1 + y 1 ) + ln(0.1 + y 2 ) + ln(O.l + y 3 )) + = 2 + ln(O.l + y 4 )] = - 0.3874 0.5 F(x 1 ) = F(0.4) = f ln(0.4 + y ) dy :: 0. 1 O.l [ln(0.4 + y 0 ) + 2(ln(0.4 + y 1 ) + ln(0.4 + y 2 ) + ln(0.4 + y 3 )) + = 2 + ln(0.4 + y 4 ) ] = - 0.1490 0.5 F(x 2 ) = F(0.7) = f ln(0.7 + y) dy :: 0. 1 O.l = [ln(0.7 + y 0 ) + 2(ln(0.7 + y 1 ) + ln(0.7 + y 2 ) + ln(0.7 + y 3 )) + 2 + ln(0.7 + y 4 )] = - 0.0030 0.5 F(x 3 ) = F(l .O) = f ln(l .O + y) dy :: 0. 1 O. l [ln(l.0 + y 0 ) + 2(ln( l .0 + y 1 ) + ln(l .0 + y 2 ) + ln(l .O + y 3 )) + = 2 + ln(l.0 + y 4 )] = 0.1032

226

Cálculo Numérico

Assim, temos:

0.3 [-0.3874 + 2(-0.1490 - 0.0030) + 0.1032] -0.0882 2 =

Portanto, 1 .0 0.5

J J

0.1 0. 1

ln(x + y) dy dx = -0.0882.

Exemplo 5.11

Calcule o valor da integral dupla

J J cos(x + y) dy dx. 2

o o

2 Seja F(x) = J cos(x + y)dy, então I = J F(x) dx. o

Para calcular 1 = J F(x) dx, usaremos a regra 1 / 3 de Simpson genera2

lizada para h = 0.5 com x 0 = O, x 1 = 0.5, x 2 = 1 .0 e x 3 = 1 .5 e x 4 = 2.0. Temos: 5 1 = F(x) dx :: -·- [ F(x0 )+ 4(F(x1 )+ F(x 3 )) + 2(F(x 2 )) + F(x 4 )]

J 2

Para o cálculo de F(xJ = J cos(x i + y) dy i = O, . . , 5, usaremos a regra 1 /3 .

de Simpson generalizada com h = 0.2 e os pontos y 3 = 0.6, y 4 = 0.8 e y 5 = 1 .0, y0 = O, y = 0.2, y 2 = 0.4, conforme segue: 1

1 o2 F(x 0 ) = F(O) = J cos(O + y) dy = -·-[cos(O) + 4(cos(0.2) + cos(0.6)) + 3 o

+ 2(cos(0.4) + cos(0.8)) + cos(l.O)] = 0.7998 1 o2 F(x 1 ) = F(0.5) J cos(0.5 + y) dy = -·- [cos(0.5) + 4(cos(0.7) + cos(l.1)) + 3 o =

+ 2(cos(0.9) + cos(l.3)) + cos(l .5)] = 0.5067

227

Integração Numérica

f 1

o2 F(x2 ) = F(l .O) = cos(l .O + y) d y = -·- [cos(l .O) + 4(cos(l .2) + cos(l .6)) + 3 o

+ 2(cos(l .4) + cos(l .8)) + cos( 2.0)]

0.0229

02 F(x3 ) = F(l .5) = cos(l .5 + y) d y = -·- [cos(l .5) + 4(cos(l .7) + cos(2. l)) + 3 o + 2(cos(l .9) + cos(2.3)) + cos(2.5)]

- 0.3496

02 F(x4 ) = F(2.0) = cos( 2 .0 + y) d y = -·- [co s( 2.0 ) + 4(cos(2. 2 ) + cos(2.6)) + 3 o + 2(cos(2.4) + cos(2.8)) + cos(3.0)]

- 0.7031

Assim, ternos: 1 = F(x) dx =

J o

o º 5 [F(x0 ) + 4(F(x ) + F(x

1 3 )) + 2(F(x 2 )) + F(x 4 )] = 3 05 = · [(0.7998) + 4(0.5067 - 0.3496) + 2(0.0229) + (-0.7031)] = - 0.1285 3 --

Portanto, 21

J J cos(x + y)dy dx = -0.1285 00

5.9 Trabalhando com o Software Numérico No Software Numérico, o usuário deve selecionar o Módulo Integração Numé rica e selecionar a opção Entrar com Pontos seguido de Tabela de Pontos ou Entrar com Função especificando o valor do espaçamento h ou ainda com a opção de fornecer o número de pontos desejado no processo de integração. Exemplo 5.12

Considere o seguinte problema: Um automóvel percorre urna distância entre duas cidades em 10 horas. Com auxílio de um marcador de velocidade, ternos a velocidade do automó vel a cada hora, conforme dados a seguir: Tempo (horas)

Vel. (km/hora)

50.4 53.7 67.5 74.3 84.6 92. 1 98.3

Qual a distância percorrida pelo automóvel?

100

105

110

228

Cálculo Numérico

Solução:

O cálculo da distância percorrida é

J f(x) dx. o

Usamos o Software Numérico, selecionamos a opção Integração Numérica, digitamos os dados fornecidos, seguido da opção Regra 1/3 de Simpson, conforme Figura 5.9 a, b e c.

0.0000 1.0000 2.0000

0.0000

50.4000

3.0000

4.. 0000

Regra 1 13 de Sillpson

Regra

318 de

Sillpson

Assim, temos o valor da distância percorrida pelo automóvel, dada por:

J f(x) dx

= 791 .1333, conforme ilustrado na Figura 5.9 d).

Figura 5.9

229

Integração Numérica

Exercícios 1.

Usando a regra dos trapézios generalizada, calcule o valor aproximado da J (cos (x) + x) dx, usando 6 pontos e um limitante superior para o erro. 6

2. Calcule o valor aproximado da J 3 e-x dx usando: 1

a) b) c) d)

Regra dos trapézios generalizada, com h = 1 /5. Regra 1 /3 de Simpson generalizada, com h = 1 /6. Regra 3/8 de Simpson generalizada, com h = 1 /6. Usando o Software Numérico, calcule a integral acima e compare com os resultados obtidos. Para cada caso, calcule um limitante superior para o erro. 2 3. Calcule o valor aproximado da J e 2 x dx usando: 1

a) b) c) d)

Regra dos trapézios generalizada, com 4 subintervalos. Regra 1 /3 de Simpson generalizada, com 6 subintervalos. Regra 3/8 de Simpson generalizada, com 9 subintervalos. Usando o Software Numérico, calcule a integral acima e compare com os resultados obtidos. Para cada caso, calcule um limitante superior para o erro.

4. Considere as margens de um rio e tome como referência de medida uma linha reta a uma das margens desse rio. Foram medidas distâncias, em me tros, entre esta linha reta e as duas margens, de 10 em 10 metros, a partir do ponto tomado como origem. Tais dados foram registrados na tabela a seguir. Determine o valor aproximado da área do rio no intervalo [10, 30], usando seus conhecimentos de cálculo numérico e com o auxílio do Software Numérico. X

y(M1) y(M2)

50.8

86.2

136

72.8

113.6

144.5

185

171 .2

95.3

5. Determine o menor número de subintervalos em que podemos dividir o 1 intervalo [O, 1 ] para obter o valor da J 4 e- 2 x dx, pela regra 3/8 de Simpson generalizada, com erro � 0.01.

230 6.

Cálculo Numérico

Calcule o valor aproximado da

J (ln (x + 8) - 2x) dx

5.6

usando a regra 1 /3

1.6

de Simpson generalizada com 6 subintervalos e um limitante superior para o erro. 7. Calcule o valor aproximado da integral do exercício 6) usando a regra 3/8 de Simpson generalizada com 10 pontos e um limitante superior para o erro. 8.

Determine o menor número de subintervalos em que podemos dividir o intervalo [0.2; 1 .8 ] para calcular

1.8

J (x2 + sen(x)+ 3) dx

0.2

com um erro

0.0001 usando: a) Regra 1 /3 de Simpson generalizada. b) Regra 3/8 de Simpson generalizada. c) Usando o Software Numérico, calcule a integral acima e compare com os resultados obtidos. 9.

Considere a função f(x) dada através da seguinte tabela: X

f(x)

0.21

1 0.32

2 0.42

3 0.51

4 0.82

5 0.91

1 .12 6

a) Usando a regra dos trapézios generalizada, calcule o valor

J f(x) dx. o

b) Usando a regra 1/3 de Simpson generalizada, calcule o valor da J f(x) dx. 6

c) Usando a regra 3/8 de Simpson generalizada, calcule o valor da J f(x) dx. 6

d) Usando o Software Numérico, calcule a integral acima, e compare com os resultados obtidos. 10. Determinar o menor número de subintervalos em que podemos dividir 0.7 o intervalo [0.1; 0.7] para calcular I J (e -3x + 7x) dx usando a regra dos =

0.1

trapézios com um erro menor que ou igual a 0.001 . Para esta divisão, calcule o valor aproximado de I.

231

Integração Numérica

11. Calcule

. dx usando 6 submtervalos: J cos(x) (1 + x) --

a) Regra dos trapézios generalizada. b) Regra 1 /3 de Simpson generalizada. c) Regra 3/8 de Simpson generalizada. 12. Determine o menor número de subintervalos em que podemos dividir o

J JX d x com um erro � 0.001 usando: 4

intervalo [1,4] para calcular

a) b) c) d)

Regra dos trapézios generalizada. Regra 1 /3 de Simpson generalizada. Regra 3/8 de Simpson generalizada. Usando o Software Numérico, calcule a integral acima e compare com os resultados obtidos. 13. Considere a função f(x) = ln(x) + x2 tabelada nos pontos: X

f(x)

0.5 0.1 0.2 0.33 -2.2926 -1 .5694 -1 .1140 -0.4431

Usando a regra 1 /3 de Simpson e a regra dos trapézios, calcule 14. Calcule

J J e<x+y) dy dx usando: 1 0.5

0.5

J f(x) dx.

0.1

a) Regra dos trapézios generalizada com h = 0.2. b) Regra 1 /3 de Simpson generalizada com h = 0.1 . 15. Usando a fórmula de quadratura de Gauss:

a) Calcular I = J cos 2 (x) dx com 2 pontos e 3 pontos. 1

· o

b) Calcular I = J cos 2 (x) dx pela regra 1 /3 de Simpson com 3 pontos e 1

5 pontos. c) Comparar os resultados obtidos em a) e b). Comente.

Capítulo 6

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

6.1 Introdução A importância do estudo das equações diferenciais ordinárias justifica-se pelo fato de ocorrerem com muita freqüência na modelagem matemática de diferentes situações práticas, principalmente nas áreas de engenharia, física, biologia, economia, biomedicina etc. Métodos numéricos para resolução dessas equações diferenciais ordiná rias são fundamentais, pois com freqüência soluções exatas não são possíveis, ou muito difícil de serem determinadas. Tipicamente, problemas que envolvem uma variável e suas derivadas levam a uma equação diferencial ordinária. A seguir, apresentamos um problema simplificado para ilustrar uma equação diferencial ordinária. Exemplo 6.1

Sabemos que, em condições normais, uma população de uma certa localidade cresce a uma taxa proporcional ao número de indivíduos. Sabendo-se que após dois anos a população é o dobro da população inicial e após três anos é de vinte mil indivíduos, qual é o número de indivíduos da população dessa localidade? Solução:

Consideremos: N = N(t) � número de indivíduos no instante (t) N0 = N(to) � número de indivíduos no instante (to) Como a taxa de variação da população é proporcional ao número de indiví duos, temos a seguinte equação: dN = KN dt onde K é uma constante de proporcionalidade. 233

234

Cálculo Numérico

Essa equação obtida é uma equação diferencial ordinária, pois rela ciona a variável N (número de indivíduos) e sua derivada com relação à variável t (tempo). A solução analítica ou exata desta equação é dada por: N(t) = c eK1 Pois, se derivarmos esta expressão em relação à variável (t), obtemos:

d N(t) dt

K e eK'

�

d N(t) dt

K N(t)

Note que, para todo c E ':R, a função N(t) é uma solução da equação dife rencial obtida, isto é, esta equação apresenta infinitas soluções. Entretanto, com os dados do problema, o parâmetro "c" pode ser unicamente determinado. Cálculo de (e):

Considere o instante inicial to = O, quando o número de indivíduos é N(O) = N0• Logo, temos que c = N0 e, portanto,

N(t)

N0e K '

Como a população dobra em 2 anos, segue que, para t = 2, N(2) = 2N0 e, subs tituindo na expressão obtida, segue que: Cálculo de (K):

K = 0.3466 Assim, podemos escrever:

N(t)

Cálculo da população inicial (N0):

N o e o.3466

Sabemos que para t = 3 anos, o tamanho da população da cidade é de N = 20.000 indivíduos. Logo, podemos concluir que a população inicial da referida cidade é N0 = 7070 indivíduos

Desta maneira, a variável N, a qual depende da variável t, que resolve o problema para todo t, é dada por: N(t) = 7070 e°" 3466 1 t ;?: O Obviamente, esta solução tem sentido somente para valores pequenos de t, uma vez que, com o crescimento indiscriminado da população, as "condi ções normais" devem ser alteradas.

235

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Nem sempre podemos ter uma solução analítica para uma equação diferencial, como no exemplo dado. Entretanto, devemos saber avaliar (mesmo que aproximadamente) N(ti), isto é, o tamanho da população no ins tante ti, i = 1, 2, ... Definição 6.1

Uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma equação da se guinte forma: F (x, y (x), y ' (x), y " (x), ... , y (nl (x) ) = O

onde estão envolvidas a função incógnita y = y(x) e suas derivadas até ordem n, sendo x a variável independente. A notação yG> representa a derivada de ordem j da função incógnita y em

relação à variável independente x e pode também ser representada por Exemplo 6.2

dj y . d xl

As equações a seguir podem ser escritas conforme a Definição 6.1 e são equações dy d2 y . . 1 erencia1s ord"manas, d"f , . onde y ' = , y" = 2 . dx dx dy = 3x - 1 � ordem 1 dx d2 d b) e Y ____I.2 + 2 _r = 1 � ordem 2 dx dx

( )2

c) y ' + 3 y " + 6y = sen (x) � ordem 2 Quando a função incógnita depende de mais de uma variável e rela ciona suas derivadas parciais, temos uma equação diferencial a derivadas parciais, ou uma equação diferencial parcial. Exemplo 6.3

As equações seguintes são equações diferenciais parciais: a) b)

ª2 y a t2 Uxx

2 4ª y

Uy y

a x2

= o � a função incógnita y = y(t, x)

. , . U = U , e Uxx = azu , U = azu - InCOgnita = O � a funçao (X y) a xz yy a yz

236

Cálculo Numérico

6.2 Problema de valor inicial (PVI) Vimos, no Exemplo 6.1, que quando a taxa de variação da função incógnita y em relação à variável x é proporcional a y, temos a seguinte equação diferencial: dy = ky dx y = y ( x ) = c e kx

Vimos também que a solução para esta equação diferencial é dada por: onde c é uma constante arbitrária. Assim, a equação diferencial dada apresenta infinitas soluções, uma vez que para cada valor escolhido para a constante c temos uma solução, conforme ilustrado na Figura 6.1 . y(x)

-------- X

Figu ra 6.1

Se considerarmos que a solução deve passar por um determinado ponto,

isto é, se considerarmos que em x = Xo o valor de y(x0) = y0, temos para o pro blema proposto uma única solução. Tal solução é obtida quando usamos a solução da equação diferencial no ponto x = Xo e obtemos o valor para constante c, isto é, c =

�o

e Assim, a única solução para a equação diferencial é dada por: y ( x ) = Yo é(x - xo l

><o

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

237

Definição 6.2

Um Problema de Valor Inicial (PVI) de primeira ordem consiste de uma equa ção diferencial y ' = f (x, y), x � x 0 , e uma condição inicial y(Xo) = y0, onde y0 é um valor dado, chamado de valor inicial. Neste caso, podemos escrever o PVI da seguinte forma: y ' = f (x, y ) (1) y (x o ) = Yo Uma condição que garante a existência e a unicidade da solução do PVI é dada pelo seguinte teorema:

{

Teorema 6.1

Considere uma função real f(x, y) contínua no intervalo a $ x $ b, com a e b finitos e - oo < y < + oo Se existe uma constante L tal que para todo x e [ a , b ] e paratodopar(y,y1 ) tivermos: i f(x , y) - f(x , y1 ) 1 $ L 1 y - y1 l <CondiçãodeLipschitz então existe uma única função y = y(x) satisfazendo as seguintes condições: .

a) y(x) é contínua e diferenciável para todo x e [ a, b ] b ) y ' = f (x , y (x)) para x e [ a, b ] c) y(Xo) = yo, onde Yo é um valor conhecido. Em outras palavras, a solução do PVI é uma função y = y(x) contínua e dife renciável que satisfaz a equação diferencial y ' = f (x , y) e passa pelo ponto (Xo, y0). Prova: Sotomayor, J. D. Em muitas aplicações, podemos ter também um sistema de m-equações simultâneas de primeira ordem em m funções incógnitas y1, y2, ... , Yrn em re lação a uma variável independente x. Se cada uma dessas funções incógnitas satisfizer a condição inicial no mes mo ponto Xo, temos um problema de valor inicial para um sistema de equações diferenciais de primeira ordem, o qual pode ser escrito da seguinte maneira: dy l - = f1 (x, Yu Y2 1 ... , Ym ) dx dy 2 -- = f2 (x, Yu Y2 1 ... , Ym ) dx dy m = Í,,, ( X , Yu Y2 1 ··· 1 Ym ) dx com valores iniciais: Y1 (X o ) = ªu Y2 ( Xo ) = ª2 1 ... , Ym ( X o ) = a m onde f11 f2, ... , frn são funções dadas e a11 a2, ... , Um são valores dados.

238

Cálculo Numérico

Podemos escrever em notação matricial:

F(x, Y) =

f2 (x, y u Y 2 1 ··· 1 Ym )

Y0 =

CX.2

f.n (x,

Y u Y2 1 ... , Ym ) Assim, o sistema pode ser escrito da seguinte maneira:

{ !:

= F (x, Y)

Y(x0 ) = Yo

Exemplo 6.4

Considere o sistema de equações de primeira ordem dado por: d yl = d x Y2 d y2 = 4yi dx com valores iniciais: y 1 (0) = l, y 2 ( 0 ) = 2 , para x e [ a, b ] Podemos escrever o sistema dado na forma matricial conforme segue: f1 (x, y 1 1 Y2 ) y 1 (x) Y F (x, Y) = e Y0 = 2 Y2 (x) f2 (x, Y1 1 Y2 ) =

[ l

[

j [1 ]

onde f1 (x, y 1 , y 2 ) = Y2 e f2 (x, Y1 1 Y2 ) = 4yi . Podemos, ainda, na modelagem matemática de um problema, obter uma equação diferencial de ordem m, isto é,

com valores iniciais:

sendo a função f e os valores au a 2 , ... , a m conhecidos.

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

239

Ou, ainda, na notação alternativa: (2) y <rnl = f(x, y, y ', y " , . .. , y <rn-l l ) com valores iniciais: y(x o ) = CX.1 1 y '(x o ) = CX.z , y " (x o ) = CX. 3 , ... , y < rn-l l (x o ) = cx. rn Podemos escrever a Equação 2 como um sistema de equaçf>es diferenciais de primeira ordem com valores iniciais, pela definição das seguintes novas variáveis: y1 (x) = y (x) Yz ( X ) = Y 11 (x) = y '(x) y3 (x) = y '2 (x) = y " (x) Yrn (x) = y 'rn-1 (x) = y< rn-l l( x) Com estas mudanças de variáveis, podemos escrever o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, o qual é equivalente à equação diferencial de ordem m dada em (2): Y 'i = Yz Y 12 = Y3 Y 1 rn-1 = Yrn e as condições iniciais: Y1 ( X o ) = CX.1 , Yz (X o ) = CX.z , y 3 ( Xo ) = CX. 3 , ..., yrn (Xo ) = CX. m Usando a notação matricial, temos:

{ !�

= F(x, Y)

Y (x0 ) = Y0

em que, F (x, Y) =

y2 y3 f {x, Y1 1 Y2 1 ... , Yrn )

e Y0 =

CX.1 CX.2 CX.rn

240

Cálculo Numérico

Exemplo 6.5

Considere a seguinte equação diferencial de quarta ordem dada por: y( 4 l = y( 3 > - 2 y + 3x com valores iniciais:

y (x0 ) = 1, y'(x0 ) = 2, y " (x0) = 3, y "'(x0) = 4

Considere as seguintes variáveis: Y1 = Y

Y2 = Y 'i = y ' y3 = y '2 = y " Y4 = y '3 = y "' Podemos escrever a equação diferencial de 4i ordem equivalente ao seguinte sistema de primeira ordem: y '1 = Y2 Y '2 = Y3 y '3 = Y 4 y '4 = y4 - 2 y1 + 3x com as seguintes condições iniciais:

f ::

ou, ainda, em notação matricial:

= F (x, Y)

Y (x0 ) = Y0

em que Y2 F (x, Y) =

Y3 Y4 y4 - 2y 1 + 3 x

Y1 Y=

Y2 Y3 Y4

Yo =

2 3

241

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Os métodos numéricos apresentados neste capítulo para problemas de valo

res iniciais definidos em (1) podem também ser estendidos para o cálculo da solu ção aproximada de problemas de valores iniciais com m equações simultâneas de primeira ordem e, portanto, para equações diferenciais de ordem superior. 6.3 Discretização

Resolver numericamente um PVI consiste em calcular aproximações para y y(x) em pontos discretos x0, x1 1 x2, , xN de um intervalo [a, b] . Para discretizar o intervalo [ a, b ], tomamos N subintervalos (N � 1 ) e fazemos Xn Xo + nh n O 1, 2, ... , N com x0 = a e xN b, sendo h (xN - x0 ) N A este conjunto de pontos Xo, x1, x21 , xN denominamos rede ou malha de pontos discretos e calculamos aproximações para y(x) nestes pontos, isto é, determinamos Yn tal que Yn = y(x n ) n O l, ... , N. A partir de um ponto inicial dado y(Xo) y0 (valor inicial), calculamos passo a passo, nos pontos x 1 x0 + h, x 2 x0 + 2 h, x3 x0 + 3 h, , x n x0 + nh, soluções aproximadas Yn para a solução exata y(xn) n O l, 2, ... , N, conforme ilustrado na Figura 6.2. =

•.•

•••

y (x)

...

Solução exata

YN Yn-1

Y1 Yo

Figura 6.2

O erro local, cometido nas aproximações em cada ponto, é a diferença entre o valor exato da equação diferencial e o valor numérico aproximado em cada um dos pontos do intervalo [a, b ], isto é: e(x n ) y(x n ) - Y n , n 1, ... , N =

242

Cálculo Numérico

6.4 Métodos baseados em série de Taylor

Revisamos brevemente o desenvolvimento de uma função em série de Taylor nas vizinhanças de um ponto x"' como segue: Considere f(x) uma função contínua, e supomos que todas as suas derivadas existam no ponto x Xn . A sêrie de Taylor nas vizinhanças do ponto Xn é escrita como: 2 f(x) :: f(x n ) + (x -x n ) f ( l l (x n ) + (x -x n ) f< 2 >(x n ) + . . . + . . . (x - x n )P f( P > (x n ) + . . . 1! 2! p! =

(l onde f( Pl (xn ) = d P f(xn ) é a p-ésima derivada de f em xn dxP Se truncarmos o desenvolvimento da série de Ta ylor, no p-ésimo termo, teremos:

Considere o ponto x = x n+i = x n + h. Assim, temos que: f ( Xn+1 ) =- f( xn ) + h f(l) (xn ) + h2 f( 2 ) (xn ) + ... + hP f(p) ( xn ) l! 2! P!

O erro de truncamento na série de Taylor é dado por:

Estimativa para o erro de truncamento

Considerando que a função f(x) possui a (p + 1)-ésima derivada contínua no intervalo de discretização [a, b] e seja M = máx { J f<p+1 > (x) J, x E [a, b] }. Assim, uma estimativa para o erro de truncamento é dada por: 1 E = M hp+ (p + 1)! ---

Retomemos ao PVI:

{

y ' = f(x, y) y (x o ) = Yo

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

243

Supondo que a solução y(x) do PVI possui suas derivadas contínuas para todo x E [ a, b] , então podemos desenvolvê-la em série de Taylor em tomo do ponto Xw isto é: h2 hP (p) Y ( Xn + h) - Y ( X n ) + h Y '( Xn ) + 2! Y " (Xn ) + .. + p! Y ( Xn ) + ... •

Se truncarmos a série no termo de ordem p, ternos: 2 y (x n + h) = y (x n ) + hy '(x n ) + h y " (x n ) + ... + hP y < P l (x n ) 2! p! Neste caso o erro de truncamento é da ordem de hP+1 e denota-se ü(h<P+1 l). y� y� Usando a notação y n = y(x n ), y� = f(x n y n ), y� = � f(x n ' y n ) etc., e, dx considerando que x n+i x n + h, podemos calcular aproximações para y(x) a partir de: h 2 " + ... + hP y ( � ) � Método de Taylor de ordem p = h ' + + n 1 Yn + Yn Y 2! Y n p! I

As expressões das derivadas de y no método de Taylor podem ser desen volvidas, usando a seguinte notação: y' = f(x, y) y " = � y' = � f(x, y) = fx (x, y)+ fy (x, y)y ' dx dx onde fx é a derivada de f com relação à variável x e fy é a derivada de f com relação à y. Assim, podemos escrever no ponto (xw Yn): Y� = f(x n , Yn ) Y � = fx ( Xn , Yn ) + fy ( Xn , Yn ) Y� = fx (Xn , Yn ) + fy (x n , Yn )f( X n , Yn ) Ou,

ainda, numa notação mais simplificada:

De maneira análoga, usando regras de derivação, podemos obter:

244

Cálculo Numérico

Observe que o cálculo das derivadas de ordem superior de y toma-se cada vez mais complicado, com exceção dos casos em que a função f tenha uma expressão bem simples, o que toma o método de Taylor de ordens su periores inaceitável computacionalmente. 6.4. 1 Método de Euler

O método de Euler é um método de Taylor de ordem 1 Considere o PVI:

{y' = f(x,y) y ( xo ) = Yo

A maneira mais simples para calcular a solução aproximada do PVI foi introduzida por Euler por volta de 1768. Considere, no desenvolvimento da série de Taylor para p = 1 : Yn + l = Yn +h y 'n e como y 'n = f(x n , Y n ), podemos escrever: Yn+I = Yn + hf(x n , Yn ) n = O, l, 2, ...

� Método de Euler

O Método de Euler consiste em, no primeiro passo, calcular y1 = y0 + hf(Xo, y0), que é a aproximação Y1 da solução exata y(x1) no ponto X1 . No segundo passo, y 2 = y 1 + hf(x1 , y 1 ), que é a aproximação Y2 da solução exata y(x2) no ponto x2 . E, assim, sucessivamente, para cada um dos pontos Xn n = O, 1, 2, , N de um intervalo [a, b]. Podemos interpretar graficamente o método de Euler aproximando a função y(x) pela reta tangente no ponto dado (Xo, y(Xo)) da seguinte forma: ...

(y - yo ) = m(x - x0 ) onde m = y '(x0 ) = f(x0 , y0 ) é o coeficiente angular dessa reta. Assim, podemos escrever: Tomando y = y Ou,

ainda,

e x

= x 1, temos que:

245

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Assim, o ponto (x11 y1) pertence a esta reta tangente, e o mesmo raciocí nio para os demais pontos discretizados, conforme ilustramos na Figura 6.3. y(x) y(x 1 ) = Yt

y(x)

------------------------

Figura 6.3

O erro local cometido é a diferença entre o valor exato e o valor aproxi mado em cada ponto (xw Yn) n O l, ... , N. =

Erro de truncamento

Estimativa para o erro

No método de Euler, truncamos a série de Taylor em p para o erro é dada por: M h2 E= 2! onde M máx { I y "(x) j , x E [a, b] }

1, uma estimativa

Método de passo simples

O método de Euler, Y n +i Y n + hf (x n , Y n ), é chamado de método de passo =

simples, pois, para calcular Yn +t usamos apenas o valor de Yn ·

Métodos que são descritos por fórmulas do tipo Yn+l = <l>( Xn , Yn )

são chamados de métodos de passo simples.

246

Cálculo Numérico

Outros métodos podem ser desenvolvidos de forma que: Yn+l = cl> (x n , Yn 1 Yn-1 ' Yn-2 1 ) . •.

São chamados de métodos de passo múltiplo. Algoritmo 6.1

Considere o PVI:

{ y' = f(x, y) y(x o ) = Yo

1. Declare: a) Função f(x, y). b) Condições iniciais: y(Xo) = yo). c) Intervalo [a, b], onde a = Xo· d) Número de subintervalos N e calcule: h 2. Para n = O, ... , (N - 1), faça: Calcule:

(b - ª) .

início = Xn +h Yn+l = Yn + hf(x n ' Y n ) fim Xn+l

Exemplo 6.6

Usando o método de Euler, calcule a solução aproximada do seguinte PVI e uma estimativa para o erro:

{

y' = f(x, y) = y -x y (x0 ) = y(O) = 2

para x e [a, b] = [O, 1] e N = 4 subintervalos. Temos:

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

247

Logo, o intervalo [O, 1] é discretizado por: a = Xo

Do método de Euler: Yn+l = Yn + h f ( Xn , Yn ) Cálculo de Y1

Para n·= O, temos a condição inicial y(x0 ) = y(O) = 2, então: Y1 = Yo + h f ( x o , Yo ) = Yo + i [ Yo - Xo ] = 2.5000 Cálculo de Y2

Para n = l, temos: Cálculo de y3

Para n = 2, temos: YJ

= Y2 + hf (x2 , Y2 ) = Y 2 + H Y2 - X2 ] = 3.7031

Cálculo de y4

Para n = 3, temos:

Estimativa para o erro

h2 máx { J y " (x) J , x E [0, 11 } E= T

Como a solução analítica y(x) do PVI é dada por y(x) = ex + x+ l, temos que máx { J y " (x) J , x E [0, 1] } = 2.7182, uma vez que y " (x) = ex é uma função crescente em módulo. Portanto, temos: E = (l / 4 )2 (2.7182) = 0.0849 2

Na Tabela 6.1 são apresentados os valores exatos, a partir de y(x) = ex + x + 1 (exata), a solução numérica encontrada pelo método de Euler e com os res pectivos erros locais, nos pontos x0 = O, x 1 = t, x 2 = i, X 3 = t, x0 = 1 .

248

Cálculo Numérico Tabela dos valores exatos e aproximados do PVI Método de Euler

1 2

Sol. aprox. (y.)

Sol. �_ i(x,J

Erro = y(x.,) - y.

2.0

O.O

1 /4

2 .5340

2.5000

0 .0340

2/4

3 . 1487

3 .0625

0 .0862

3 . 7031

0 . 1 639

4.-±414

0 .2769

3 /4

3 . 8670

4.7183

1 1

Tabela 6.1

Observe que a estimativa para o erro é "boa" no início do processo (é um limitante superior no ponto x 1 ), mas piora quando os pontos afastam-se do ponto inicial. 6.4.2 Método de Taylor de ordem p

Usando o desenvolvimento da função solução y(x) do PVI, em série de Taylor, é possível construir métodos de ordem maior do que p = 1. Neste caso, o único inconveniente é o cálculo de derivadas, que para p 2 ainda é viável. Truncando o desenvolvimento da série de Taylor em p = 2, temos: h2 Yn+l = Yn + h Yn' + 2! Y n =

onde Exemplo 6.4

Usando o método de Série de Taylor, de ordem p = 2, calcule a solução do PVI definido por:

{

y ' = f( X , y) = X - y + 2 y (x0 ) = y(O) = 2

Para x E [a, b] = [O, 1] e usando uma discretização em 5 subinter valos, temos: h = (b - a) = 0 2 N

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Logo, Método de Taylor de ordem 2: h2 Yn+1 = Yn + hy� + 2! y� n = O, l, 2, ... , 5 onde y� = f(x n , Yn ) = X n -y n + 2 y�1 = fx (X n , Yn )+fy ( X n , Yn ) Y� = 1 +(-l)(X n -y n + 2) = -X n +y n - l Cálculo de Y1

Para n = O, temos a condição inicial y(Xo) = y(O) 2, então: h2 o Y1 = Yo + h Yo + 2! Y Assim, h2 (-x Y1 = yo + h(xo - Yo + 2) + 0 + y0 - 1) = 2.0200 2 =

Cálculo de Y2

Para n = 1, temos: h2 Y2 = y1 + h (x1 - Y1 + 2) + - (-x1 + y1 - 1 ) = 2.0724 2 Cálculo de y3

Para n = 2, temos: h2 (-x y3 = y2 + h(x2 - Y2 + 2) + 2 + y2 - 1 ) = 2.1514 2 Cálculo de Y4

Para n = 3, temos:

Cálculo de y5

Para n = 4, temos: h2 Ys = y4 + h(x4 - y4 + 2) + -( -x4 + y4 - 1 ) = 2.3707 2

249

250

Cálculo Numérico

Exemplo 6.5

Usando o método de Euler de ordem p exemplo anterior. Método de Euler: y n+i = y n + hf(x n , y n ) Assim, temos:

1, calcule a solução do PVI do

Cálculo de Y1

Para n = O, temos a condição inicial y(Xo) y(O) 2, então: =

logo,

Y1 = yo +

h(xo -y0 +2) = 2.0000

Cálculo de y2

Para n 1, temos: =

Cálculo de y3

Para n 2, temos: =

Cálculo de y4

Para n 3, temos: =

Cálculo de Ys

Para n 4, temos: =

Na Tabela 6.2 são apresentados os valores exatos a partir de y(x) e-x + x + 1, a solução numérica encontrada com o método de Euler (método de Taylor de ordem 1), o método de Taylor de ordem 2 e com os respectivos erros, nos pontos de discretização. =

251

Solução Numérica d e Equações Diferenciais Ordinárias Tabela dos valores exatos e aproximados do PVI Métodos de Taylor de ordens p

Sol. exata

Sol. ap rox. (p = 1)

Sol. aprox. (p = 2)

1ep

:?;

Erro (p = t)

Erro (p = 2)

o.o

2.0

0.2

2.0187

2.0

2 .0200

0.0187

0.0013

0.4

2 . 0703

2 . 0400

2.0724

0 . 0303

0 . 0021

0.6

2 . 1 488

2 . 1120

2.1514

0 . 0368

0. 0026

0.8

2.2493

2 . 2096

2.2521

0 . 0397

0.0028

1.0

2 .3679

2 . 3277

2 .3707

0 . 0402

0 .0028

Tabela 6.2

Observações

a) Os dados da Tabela 6.2 foram calculados usando quatro casas deci mais e arredondamento. b) O erro absoluto calculado se refere à diferença entre a solução exata e a aproximada usando os método de Taylor de ordem p = 1 e p 2. c) Conforme a expectativa, o método de Taylor de ordem 2 apresentou resultados melhores. =

6.5 Métodos de Runge-Kutta

Dentre os métodos numéricos para calcular a solução aproximada de proble mas de valor inicial (PVI) mais utilizados, pela sua simplicidade e precisão, estão os chamados métodos de Runge-Kutta, ou melhor, métodos de Carl David Tolmé Runge (1856-1927) e Wilhelm Kutta (1867-1944). Esses métodos apresentam precisão equivalente aos métodos de Taylor, porém, com a vantagem de evitar o cálculo de derivadas de ordem elevada que além, da complexidade analítica, exigem um significativo esforço compu tacional. Ao contrário disto, os métodos de Runge-Kutta são baseados na avaliação da função f(x, y) em alguns pontos. Considere o PVI: y '(x) f (x, y) y(x o ) Y o

{

Definição 6.3

Para o PVI dado, o método geral de Runge-Kutta de R-estágios é definido por: Y n+l Y n + h cl>R (x n , Y n 1 h) =

252

Cálculo Numérico

onde <l>R (x n , Y n 1 h) = c1k1 + c2 k 2 + ... +c Rk R C1 + c2 + ...+ CR = l

com k 1 = f(x n ,

Yn )

y n + h(b21k1 )) k 3 = f(x n + ha 3 , y n + h (b31k1 + b32 k 2 )) k 4 = f(x n + ha 4 , y n + h(b 41k1 + b42 k 2 + b 43 k 3 )) k 2 = f(x n + ha 2 ,

= h21 a 3 = b 31 + b 32 a 4 = b4 1 + b 42 + b43

ª2

Note que a aproximação Yn+ t é calculada a partir de Yn e uma "média" de valores da função f(x, y) em vários pontos. Os parâmetros c,, a,, brs na defi nição de um método de Runge-Kutta podem ser escolhidos de modo que o método tenha a mesma ordem de um método de Taylor, o que define a ordem dos métodos de Runge-Kutta. 6.5.1 Método de Runge-Kutta de ordem 1 O método

de Runge-Kutta mais simples é 1-estágio, isto é, R = 1. Neste caso, não há parâmetros a determinar e o método é dado por: y n+l = y n + hku com ki = f(x n y n ) o que coincide com o método de Euler, isto é, o método de Taylor de ordem 1, visto anteriormente neste capítulo. 6.5.2 Método de Runge-Kutta de ordem 2 O método

de Runge-Kutta 2-estágios é dado por: Yn+l = Yn + h(c 1 k 1 + c 2 k 2 )

com C1 + c 2 = 1 k1 = f(x n , Y n ) k2 = f(x n + ha 2 1 Y n + h(b 21 k 1 ))

a 2 = h 21

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

253

Para determinar os parâmetros c11 c21 a2 {b21 é igual a a2), podemos desen volver k2 por Taylor, em torno do ponto (X.V y0) até ordem 2, de modo a expressar o método na seguinte forma: 2 3 Y n+l = Y n + ( ... ) h + ( ... )h +O(h ) e, então, igualar os coeficientes de h e h2 com o método de Taylor de ordem 2, o qual foi dado na Seção 6.4.2.

Assim, substituindo: C 1 = f(x 0 , y0 ) k l = f(x 0 , 2y 0 ), k2 = f(x 0 , y 0 )+fx (X 0 , y0 )(ha 2 )+ +fy (x 0 , y0 )(ha 2k 1 )+ O(h ) na fórmula de Runge-Kutta 2-está gios, segue: e igualando-se os coeficientes de h e h2, do método de Taylor de or dem 2, temos: c 1 +c 2 = 1 1 C2 a 2 = 2

O sistema não-linear obtido possui infinitas soluções, as quais forne cem métodos de Runge-Kutta de ordem 2. Um método bastante conhecido decorre da solução particular do sistema: c 1 = , c 2 = .!. e a 2 = 1, o que fornece 2 2 o seguinte método:

.!.

onde k 1 = f(x 0 , y 0 ) k2 = f(X0 + h, Y n + h k1 ) o qual é conhecido como método de Euler aperfeiçoado.

254

Cálculo Numérico

Na Figura 6.4 podemos interpretar graficamente o método de Euler aperfeiçoado conforme segue: y(x)

Y�+1 = Yn+ h y� Yn+l Yn

Figura 6.4

Na Figura 6.4 temos: a) A reta r1 passa pelo ponto B (x"' Yn) e possui coeficiente angular y� = f(xn , yn ). Usando o método de Euler, calcula-se Y�+t yn + h y�. b) A reta r2 passa oelo ponto A ( x n +t , y �+t ) e possui coeficiente angular f(xn + h, Yn + h Y� ) = f(xn+1 1 Y�+1 ) · c) A reta r0 passa pelo ponto A e sua inclinação é a média das inclina ções das retas r1 e rz . d) A reta r passa pelo ponto B e é paralela a reta r0• e) O valor Yn+ t obtido pelo método de Euler aperfeiçoado, é uma apro ximação para a solução y(x) no ponto Xn+t · =

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Algoritmo 6.2

{

Considere o PVI:

255

y '(x) = f (x, y) y (x o ) = Yo

1. Declare: a) Função f(x,y). b) Condições iniciais: y(xo) = Yo· c) Intervalo [ a, b ], onde a = Xo · d) Número de subintervalos N e Calcule h

- a)

. N 2. Para n = O, l, 2, 3, .. . , (N - 1) Calcule: início =

Xn + l = Xn + h

k l = f (x n , Y n ) k2 = f (x n+l l Y n + hk1 ) h Y n + l = Yn + (k1 + k 2 ) Z fim Exemplo 6.9

{

Usando o método de Euler aperfeiçoado, calcule a solução do PVI definido por: y ' = f (x, y ) = X - y + 2 y (x0 ) = y (O) = 2

Temos: h= Logo, Cálculo de Y1

x e [a, b] = [ O , 1 ]

eN=5

(b - a) = 0.2 N

Para n = O, temos a condição inicial y(Xo) = y(O) = 2, então: k1 = f (x0 , y0 ) � k 1 = (x 0 - Yo + 2) = O k2 = f (x 0 + h, Yo + hk 1 ) � k2 = X0 + h - y0 + 2 = 0.2

256

Cálculo Numérico

Do método de Euler aperfeiçoado temos: h

Yn + l = Yn + 2 ( k l + k 2 )

Portanto,

h Y1 = Yo + 2 ( k1 + kz )= 2.0200 -

Para n = l,

Cálculo de Y2

k 1 = f(x 1 1 y 1 ) � k 1 = (x 1 - y 1 + 2) = 0.18 k2 = f(x 1 + h, y 1 + h k 1 ) � k2 = x 1 + h - (y 1 + h k1 ) + 2 = 0.344 h Y 2 = Y1 + 2 (k1 + k2 ) = 2.0724 -

Cálculo de y3

Para n = 2,

k 1 = f (x 2 , Y 2 ) � k1 = (x 2 - y 2 + 2) = 0.3276 k2 = f (x 2 + h, y 2 + h k1 ) � k 2 = x 2 + h - (y 2 + h k 1 ) + 2 = 0.4621 h y3 = Y 2 + - (k 1 + k2 ) = 2.1514 2 Cálculo de y4

Para n 3, k1 = f( X3 , y 3 ) � k 1 = (X 3 - y 3 + 2) = 0.4486 =

kz = f(X3 + h, y 3 + h k1 ) � k2 = X 3 + h - (y 3 + h k 1 ) + 2 = 0.5589 h Y 4 = Y 3 + 2 (k1 + k2 ) = 2.2521

Cálculo de ys

Para n 4, k 1 = f(X4 , y4 ) � k 1 = (X4 - Y 4 + 2) = 0.5479 =

kz = f (X4 + h, y 4 + hk1 ) � k 2 = X4 + h - (y 4 + h k 1 ) + 2 = 0.6383 h Ys = Y 4 + -2 (k1 + k2 ) = 2.3707

257

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Podemos, ainda, considerar outra solução do sistema não-linear, tam bém bastante conhecida, dada por:

.!.

c 1 = 0, c 2 = 1 e a 2 = , que nos fornece o método:

Yn+1 = Yn

h h , Yn + -k + hf(x n + ), com k1 = f(xw Yn) 2 2 i

o qual é conhecido por método de Euler modificado. Algoritmo 6.3

{

Considere o PVI:

y ' (x) = f (x, y) y (x o ) = Y o

1. Declare: a) Função f(x, y). b) Condições iniciais: y(x 0) = y0 • c) Intervalo [a, b], onde a= Xo· d) Número de subintervalos N e Calcule h =

2. Para n = O, l, 2, 3, .. . , (N - 1), Calcule: início

Yn + l = Yn fim

h + hf(X n + 2 ' Yn + 2 k1 )

Exemplo 6.10

{

Usando o método de Euler modificado, calcule a solução do PVI definido por: y' = f ( X , y) = X - y + 2 y (x0 ) = y (O)

x e [a,b] = [0,1] e h =

0.2

258

Cálculo Numérico

Temos: N

(b-a ) h

Logo: Cálculo de y1

Para n = O, temos a condição inicial y(Xo) = y(O) = 2, então:

h h Y1 = Yo + hf(xo + -2 , Yo + -2 k 1 ) h h Y1 = Y o + hf(x o + -2 , Yo + -2 ( Xo - Yo + 2)

Cálculo de y2

Para n = 1, temos:

[

]

Y2 = Y1 + h <x 1 + � y 1 + 2) = 2.0760 -

Cálculo de y3

Para n = 2, temos:

h h Y 3 = Y 2 + hf (X 2 + -2 Y 2 + -2 k 1 )

[

]

Y 3 = y 2 + h X 2 + � - (y 2 + � k1 ) + 2 = 2.1543

259

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Cálculo de y4

Para n 3, temos: =

[

� - (y3 + � ki ) + 2]

[

� - (y + � ki ) + 2] = 2.3727

= y 3 + h X3 +

2.2545

Cálculo de Ys

Para n = 4, temos:

= Y 4 + h X4 +

Na Tabela 6.3, são apresentados os valores exatos, a partir de y(x) e-x + x + 1, com a solução numérica encontrada pelos métodos de Euler, Euler aperfeiçoado, modificado e método de Taylor de ordem 2, nos pontos de discretização. =

Tabela dos valores exatos e aproximados do PVI

Métodos de Taylor p

Sol. exata

1ep

El,der

2, Euler modificado e Euler aperfeiçoado Euler

Euler

Taylor

modificado

a p erfeiçoado

ordem 2

2.0

o.o

2.0

0.2

2.0187

2.0

2 . 0200

0.4

2.0703

2.0400

2 .0760

2 .0724

0.6

2 . 1 488

2. 1 1 20

2 . 1 543

2.1514

0.8

2 . 2493

2.2096

2 . 2545

2.2521

1.0

2.3679

2.3277

2 . 3 72 7

2 . 3 707

2 . 3707

Tabela 6.3

260

Cálculo Numérico

Observações

a) Os dados da tabela foram calculados usando quatro casas decimais e arredondamento. b) Os valores aproximados obtidos pelos métodos de Euler modificado, aperfeiçoado e pelo método de Taylor de ordem 2 são de mesma ordem de grandeza e superiores às aproximações pelo método de Euler (Taylor de ordem 1 ) como esperado.

6.5.3 Método de Runge-Kutta de ordem 3

O método de Runge-Kutta 3-estágios é dado por: Y n +t

onde,

= Yn

+ h( c, k , + c 2 k 2 + c3k3 )

k i = f(x n , Y n )

k 2 = f(x n + ha 2 , Yn + h (b 21 k 1 ))

k 3 = f(x n + ha 3 , Y n + h (b 3 1 k 1 + b32 k 2 ))

ª2 = b21 a 3 = b31 + b 32

Para determinar os parâmetros: Cv C2, C3, a2 (b2 1 é igual a a2), a3, b3 1 e b321 podemos desenvolver k2 e k3 em série de Taylor, em tomo do ponto (xrv Yn) até ordem 3, de modo a expressar o método na seguinte forma: Y n +l

= Yn

3 + ( ... ) h + ( ... ) h 2 + ( . . . ) h + O ( h 4 ) ·

e, então, igualar os coeficientes de h, h2 e h3 com o método de Taylor de ordem 3. Este procedimento nos fornece o sistema não-linear: C 1 + C2 + C3 = 1

O sistema anterior tem infinitas soluções, as quais definem o método de Runge-Kutta de ordem 3. Diante disto, o leitor poderia se perguntar se seria possível um método de Runge-Kutta 3-estágios de ordem 4, isto é, se o desenvolvimento de Taylor do método de Runge-Kutta 3-estágios pudesse

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

261

coincidir com os coeficientes do método de Taylor de 4ll ordem. Infelizmente, a menos de funções f(x, y) particulares, em geral, isto não é possível. Uma solução para o sistema não-linear anterior que define o método de Runge-Kutta de ordem 3 é dada por: C1 = - C2 = - C3 = 9 9 9 1 1 ª 2 = - b21 = -

2 2 3 b = a b = O b = -3 a3 = 3 32 3 - 32 4 4 1 -

o que nos fornece o seguinte método: Y n+I

+ - (2k 1 + 3k 2 + 4k 3 ) 9

com k 1 = f(x 0 , y 0 } 1 1 k 2 = f(x 0 + - h, Yn + -hk 1 }

2 2 3 3 k 3 = f(x 0 + - h, Yn + - hk 2 } 4 4 o qual é um método de Runge-Kutta de ordem 3. Outras fórmulas de Runge-Kutta de ordem 3 podem ser obtidas por soluções alternativas do sistema não-linear anterior. Algoritmo 6.4

Considere o PVI:

{ y '(x)

= f (x , y)

y (xo ) = Yo

1 . Declare: a) Função f(x,y). b) Condições iniciais: y(Xo) = Yo · c) Intervalo [a, b], onde a = Xo · d) Número de subintervalos N e Calcule

a) .

262

Cálculo Numérico

2. Para n = O, 1, 2, 3, ... , (N - 1) Calcule: início Xn +l = Xn + h k 1 = f (x n , Y n }

1 1 k 2 = f (x n + - h, Yn + - hk 1 }

2 2 3 3 k 3 = f (x n + - h, Yn + - hk 2 } 4 4 fim Exemplo 6.11

Usando o método de Runge-Kutta de ordem 3, calcule a solução do PVI definido por:

{

X E [ a , b] = [ O , 1 ] e h = 0.2

y' = f(x, y) = X - y + 2

y ( x0 ) = y ( O ) = 2

Temos:

(b - a)

Logo, Cálculo de Y1

Para n = O, temos a condição inicial y(x0} = y(O) = 2, então: k 1 = f (x 0 , y 0 ) � k 1 = (x 0 - y 0 + 2) = O

1 2 3 - h,

1 2 3 Yo + - hk 2 ) = 0.1350

k 2 = f(x 0 + - h, Y o + -hk 1 ) = 0.1 k 3 = f(x 0 +

Portanto, temos: h Y1 = Y o + ( 2k1 + 3k 2 + 4k 3 ) = 2.0187 9 -

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Cálculo de Y2

Para n

1, temos: k 2 = f(x1 + 2 h , y1 + "2 h k 1 )

k 3 = f(x1 + 4 h , y1 + 4" h k 2)

0.2632 0.2918

Portanto, temos que:

Cálculo de y3

Para n 2, temos: =

k i = f (x 2 , Y2 ) � k 1 = (x 2 - y 2 + 2) = 0.3298

k 2 = f (x 2 + 2 h , y1 + "2 h k 1 ) = 0.3968

k 3 = f (x 2 + - h , y1 + - h k 2 ) = 0.4203

3 4

Portanto, temos que:

Cálculo de y4

Para n 3, temos: =

k1 = f (x 3 , y3 ) � k1

(x 3 - y 3 + 2) = 0.4513

k 2 = f (x 3 + - h , y1 + - h k 1 ) = 0.4836

1 1 2 2 k 3 f (X3 + 43 h, Y1 + 43 h k 2) 0.5288 =

Portanto, temos que: Y4

y3 +

h ( 2k1 + 3k + 4k ) 2 3 2.2480 9

263

264

Cálculo Numérico

Cálculo de ys

Para n 4, temos: =

k 1 = f (x 4 + 21 h , y 1 + "21 hk 1 ) = 0.5692

k 3 = f (x4 + -3 h, y1 + -3 h k2) = 0.6166 4

Portanto, temos que:

Na Tabela 6.4, são apresentados os valores exatos, a partir de y(x) e-x + x + 1, a solução numérica encontrada pelos métodos de Euler (ordem 1), Euler modificado (ordem 2), Taylor de ordem 2 e Runge-Kutta de ordem 3, nos pontos de discretização. =

Tabela dos valores exatos e aproximados do PVI

Métodos de Taylor p

; · X1

Sol. exa�

Taylor

2, Euler, Euler modificado e Runge-Kutta p

Euler

�ificado Euler

ordem 2

Runge-Kutta de ordem 3

2.0

0.2

2.0187

2.0

2 . 0200

2 . 0 1 88

0.4

2 .0703

2 . 0400

2 . 0 760

2 . 0 724

2 .0702

0.6

2 . 1488

2 . 1 1 20

2 . 1 543

2.1514

2 . 1487

0.8

2 . 2493

2 . 2096

2 . 2545

2.2521

2.2480

1.0

2 .3679

2 . 3277

2 .3727

2 . 3 70 7

2.3653

Tabela 6.4

Observações

a) Os dados da tabela foram calculados usando quatro casas decimais e arredondamentos. b) A melhor precisão dos resultados obtida foi com o método de Runge Kutta de ordem 3, como esperado, pois o erro é da ordem de h4, en quanto para os demais possuem erros de ordem h2 e h3 •

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

6.5.4 Método de Runge-Kutta de ordem 4

265

O método de Runge-Kutta 4-estágios é dado por: Y n +I

onde

= Y n + h( c 1 k 1 + c 2 k 2 + c3k3 + c 4 k 4 )

C 1 + C2 + C 3 + C4 = 1 k 1 = f (x n , y n ) a 2 = b 21 k 2 = f (x n + ha 2 1 Yn + h (b 21 k 1 )) a 3 = b31 + b32 k 3 = f (x n + ha 3 , Yn + h (b 31 k 1 + b32 k 2 )) k4 = f (x n + ha 4 , Yn + h (b 41 k 1 + b 42 k 2 + b43 k 3 )) a 4 = b 41 + b 42 + b43 Para determinar os parâmetros cv C21 C3, C4, a21 a3, a4, b21 , b31 1 b32, b41 1 b421 b43, podemos desenvolver k2, k3 e � por Taylor, em tomo do ponto (xnr Yn) até ordem 4, de modo a expressar o método na seguinte forma: Y n +l

= Yn + (

• • •

) h + (···) h

2 + ( .. . ) h 3 ... ) h 4 + O h 5 ) +( (

e, então, igualar os coeficientes de h, h2, h3 e h4 com o método de Taylor de ordem 4, o que nos leva a um sistema não-linear com 13 incógnitas (os parâme tros anteriores). Uma solução particular para o sistema não linear é dada por:

1 1 2 2 6 6 6 6 1 1 ª 2 = - b21 = 2 2 1 1 a 3 = - b 31 = o b32 = 2 2 a 4 = 1 b 41 = o b 42 = o b43 = 1 C1 = - C2 = - C3 = - C4 = -

o que nos fornece o seguinte método: Y n +l

= Yn

h + - (k 1 + 2k 2 + 2k3 + k 4 ) 6

k 1 = f(x n , Yn )

1 1 2 2 1 1 k 3 = f(x n + -h, Yn + -k 2 ) 2 2 k 2 = f(x n + -h, Yn + -k i )

k 4 = f(x n + h, y n + k 3 ) conhecido como método de Runge-Kutta de ordem 4.

266

Cálculo Numérico

Analogamente aos métodos anteriores de Runge-Kutta, também podemos construir novas fórmulas por soluções alternativas para o sistema não-linear. Algoritmo 6.5

{

Considere o PVI:

y ' (x) = f (x, y) y (x o ) = Y o

1. Declare: a) b) c) d)

Função f(x, y). Condições iniciais: y(xo) = Yo · Intervalo [a, b], onde a = Xo · Número de subintervalos N e Calcule h

(b -

2. Para n = O, 1, 2, 3, . .. , (N - 1) Calcule:

início X n+l = X n + h ki = f (x n , Y n )

h h k2 = f (x n + -, y n + - k1 ) 2 2 1 h k3 = f (x n + -2 , Y n + -2 k i ) k4 = f (x n + h, Y n + hk3 ) h Y n+l = Y n + - ( k1 + 2k2 + 2 k3 + k 4 ) 6

fim Exemplo 6.12

Usando o método de Runge-Kutta de ordem 4, calcule a solução do PVI dado por:

{

y ' = f(x, y) = x - y + 2 y (x 0 ) = y (O) = 2

para x e [ a , b ] = [ O , 1] e h

O .2

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Temos:

Logo, Cálculo de y1

Para n O temos a condição inicial y(Xo) y(O) =

2, então:

k 1 f (x 0 , y0 ) � k 1 (x 0 - Y o + 2) O =

k2 X0 + =

� - ( y0 + � k1 ) + 2

0.1

h h k3 X0 + - - (y 0 + - k2 ) + 2 0.0900 =

k 4 X o + h - (y + hk3 ) + 2 0.1820 =

Portanto, temos que:

Cálculo de Y2

Para n

1, temos:

k 1 f (x 1 , y1 ) � k 1 =

k2 X 1 + =

(x 1 - y 1 + 2)

� - ( y1 + � kl ) + 2

0.1812

0.2631

h h k3 X 1 + - - ( Y1 - - k2 ) + 2 0.2549 =

k 4 X 1 + h - (yl + h k3 ) + 2 0.3302 =

Assim,

Cálculo de y3

Para n 2, temos: =

267

268

Cálculo Numérico

Para n 3, calculamos respectivamente k11 k2, k3 e kt e temos: Cálculo de y4 =

Para n 4, calculando k1, k21 k3 e kt temos:

Cálculo de y5 =

Na Tabela 6.5, são apresentados os valores exatos, a partir de y(x) e-x + x + 1, a solução numérica encontrada pelos métodos de Euler modificado (ordem 2), Taylor de ordem 2, Runge-Kutta de ordem 3 e Runge-Kutta de ordem 4, nos pontos de discretização. =

Tabela dos valores exatos e aproximados do PVI

Métodos de Euler modificado, Taylor p

n o

Sol. exata

Euler modificado

2, Runge-Kutta p

Taylor p=2

3 e Runge-Kutta p

Runge-Kutta p=3

Runge-Kutta p=4

2.0

0.2

2.0187

2 . 0200

2.0187

0.4

2 .0703

2 . 0724

2 .0702

2 . 0703

0.6

2 . 1 488

2.1514

2 . 1 487

2 . 1488

0.8

2 .2493

2 . 2521

2 .2521

2 . 2480

2 . 2493

1 .0

2. 3679

2 .3707

2 . 3653

2 .3679

Observações

a) Os dados da tabela foram calculados usando quatro casas decimais com arredondamento. b) A melhor precisão dos resultados obtida foi com o método de Runge Kutta de ordem 4 como esperado, pois o erro é da ordem de h5• Comentários finais

Como pudemos observar, as fórmulas de Runge-Kutta têm a vantagem de não necessitarem das derivadas de ordem superior da função f(x, y), como nos métodos de Taylor, porém, obtendo as mesmas ordens dos erros de truncamento.

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

269

6.6 Métodos previsor-corretor

É possível desenvolver outros métodos para resolver equações diferen

ciais ordinárias baseados no teorema fundamental do cálculo, que pode ser escrito por:

Xn+l

y '(x)dx = y(x n+1 ) - y(xn )

Como y '(x) = f(x, y(x)), temos que: y(xn+1 ) = y(xn ) + J f(x, y(x))dx Xn+l

(3)

A integral definida na equação anterior pode ser aproximada por dife rentes métodos numéricos e, portanto, podemos ter diferentes métodos de resolver a equação diferencial y ' = f(x, y). Por exemplo, se usarmos a regra dos retângulos (isto é, a função é considerada constante no intervalo de integração), COm h = Xn+1-Xn :

Xn+l

f(x, y(x))dx = h f(x n , y(x n ))

e, como antes, com a notação para a aproximação de y(xn) dada por y n = y(x n ), segue de (3):

que consiste exatamente no método de Euler, o qual foi deduzido anterior mente usando o teorema de Taylor truncado na derivada de primeira ordem. Outros métodos de integração numérica podem ser utilizados para resol ver a integral contida em (3). A seguir, apresentamos o método dos trapézios, estudado no Capítulo 5, Seção 5.4, o qual apresenta uma aproximação melhor do que o método de Euler, porém, introduz uma dificuldade, em que uma equação não-linear deve ser resolvida. 6.6.1 Método dos trapézios

Para resolver a integral em (3), podemos usar a regra dos trapézios dada por:

Xn+l

f(x, y(x))dx =

[f(x n , y(x n )) + f(x n+l l y(x n+I ))]

270

Cálculo Numérico

Desta forma, usando a aproximação y n = y(xn ), segue de (3):

(4) O procedimento para calcular Yn+ i dado por (4) é chamado método dos (4), diferentemente dos métodos ante riores (veja método de Euler, por exemplo), tem a incógnita y de forma implícita (em ambos os lados da equação em (4)). Por isto, tal método é cha mado método implícito. Os métodos anteriores, nos quais Yn+I é calculado explicitamente, são chamados métodos explícitos. Um método explícito pode ser usado para obter uma aproximação inicial de Yn+v como vemos a seguir, e é chamado previsor. Para deixar mais claro ao leitor, consideramos o PVI: trapézios. Note, entretanto, que em

n+l '

{

y ' (x) = f (x, y) y (x o ) = Y o

e queremos determinar a solução da equação diferencial y(x) numericamen te, isto é, aproximações para y(x1), y(x2), , y(xN), as quais são denotadas por Y v Yi- . . , yN, respectivamente, e xv x2, , xN são os pontos de discretização. .

•••

Cálculo de Y1

Para determinar a aproximação para y(x1) pelo método dos trapézios, faze mos n 1 em (4) e temos, =

(5) Assim, o valor de y1 não é fornecido explicitamente e temos uma equa ção, em geral, não-linear, para ser resolvida, na qual y1 é a incógnita. Sabemos, do Capítulo 3, Seção 3.3.2, que uma equação na forma: x <j>(x) pode ser resolvida pelo método das aproximações sucessivas xk+I <j>(xk), o qual produz uma seqüência xv Xi, . . convergente para uma solução X: da equação, se Xo, dado inicialmente, for uma boa aproximação para x e 1 <j> '(x) l < l, para todo X = X (uma vizinhança de x). A Equação (5) pode ser escrita por (aqui y1 é a incógnita): .

com

271

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Podemos obter uma aproximação inicial para y11 a qual denotamos por y� º l , usando um método explícito (previsor), por exemplo, o método de Euler. Previsor:

y�ºl = y 0 + hf(x0 , y0 ) � primeira aproximação para Y1

e, então, usar o método das aproximações sucessivas, y �k+l l = <l> (y �k> ) . Corretor:

. para determmar y11 caso a sequencia y 1(O) , y (1 l ) , y (1 2 ) . convergir. Um critério de parada deve ser definido, por exemplo: ..

1 (k + l ) y (k) 1 Se Y 1 k- ) l y� +

< ê

•

. .

ent-ao, y1 = y1(k+l) , sendo E > o, uma to1 erancia fixa, A

•

definida previamente. Em geral, poucas iterações são necessárias para o corretor (que consiste no método das aproximações sucessivas) e, se a convergência não for obtida, o valor de h deve ser diminuído. Esta última observação decorre do fato de que, para que haja conver gência, devemos ter 1 <l> '(y) 1 < 1 1 numa vizinhança da raiz da equação, ou seja:

l <1>'<Y > I

h af(x, Y > < 1

e, portanto,

Assim, se a derivada da função f com relação a y for contínua, podemos escolher h suficientemente pequeno para que o método das aproximações sucessivas (isto é, o corretor) convirja. Cálculo de Y2

Depois de calcular o valor de y11 repetimos o procedimento anterior para determinar Y2· Previsor:

y �ºl = y1 + hf(x 1 1 yi ) � primeira aproximação para Y2

272

Cálculo Numérico

Corretor: (k+l) Y2 Y1

1 y �k+l) - y �k) 1 ate que: 1 Y (2k+I l 1 < e .

h + - [f(X o , Yo ) + f(X u Y (k) 2 )] 2

Assim, sucessivamente, calculamos y3, y.., . , YN· .

Algoritmo 6.6

{

Considere o PVI:

y ' (x) = f (x, y) y (x o ) = Y o

1. Declare: a) Função f(x,y). b) Condições iniciais: y(Xo) = Yo· c) Intervalo [a, b], onde a = Xo · d) E > O, uma tolerância fixa. e) Número de subintervalos N e

(b - a) Calcule h = . N

2. Para n = O, ... , N-1, faça: previsão: y �l1 = y n + hf(x n ' y n ) correção: Para k = O, l, ... faça h (k) (k+l) . Yn+l - Yn + [f(X n , Yn ) + f(X n+1 1 Yn+l )] ate, que. 2 1 Y<k+1i n+l y<kn > I < E 1 y�_:i1 > 1 + F aça: y = y k l -

n+l

Exemplo 6.13

n +l .

Usando o método dos trapézios, com o método de Euler como previsor, cal cule a solução do PVI definido por:

{

y ' = - 2y + l y(O) = 1

x E [ a, b ] = [O, l] e N = S

273

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Use no critério de parada do método das aproximações sucessivas E = 0.01. A solução exata para este problema é dada por: y(x) = ..! e-2x + ..! .

O valor de é dado por

h _ ( b - a ) = 0.2 N

Note que

af(x,y) 2 e, portanto, a escolha de satis az a proprie a e: f d d h ay h < 2 / = 1.

1 �; 1

Método dos trapézios

Observação

Neste caso, a equação anterior é bem simples, pois f(x, y) é uma função linear na variável y, de modo que o método dos trapézios se reduz a:

Yn+ l = Yn + - h [ (-2yn +l} + (-2Yn+l + l}] Portanto, é fácil determinar exatamente Yn+ l · Para ilustrar o método pre ditor-corretor, fazemos a previsão e as correções. Para Xo O, é dado o valor inicial: y(O) Yo 1. =

Cálculo d e y1 �

aproximação para y(0.2)

(Euler):

Previsão

y �º > = y0 + hf(x0 , y0 ) = 1 + 0.2(-2 + 1) = 0.8000 (aproximação inicial para y1 } Correção

(Trapézios):

y �1 > = y 0 + h [f(x0 , Y o ) + f(x 1 1 y �º»1 = 1 + 0.2 [ (-2(1)+ l }+ (-2(0.8)+ l}] = 0.8400 2 2

(O) () Erro: 1 y -( l y 1 - 0.0476 > 0.01 l I

I Y1

2 y �2> = y0 + h [f(x0 , y0 )+ f(x 1 1 y �1 » ] = 1 + 0 · [(-2(1)+ l}+ (-2.(0.8400)+ l}] = 0.8320 2 2 Erro: 1

Y(i2 ) � "'((1 1 ) 1 I Y12 1

= 0 . 0096 <

0.01

274

Cálculo Numérico

Portanto, y1

Solução exata: y(0.2) = 0.8352 O valor exato de y 1

Yn+1 e tomando Yo = 1. Cálculo de y2 �

0.8320

1 == 0.8333, obtido na equação linear que define 1 .2

aproximação para y(0.4)

Previsão (Euler):

y�º> = y 1 +hf(x 1 , y 1 ) = 0.8320 + 0.2(-2(0.8320) + 1) = 0.6992 (aproximação ini cial para y2 ) Correção

(Trapézios):

02 y �1 > = y 1 + h [f(x 1 1 y 1 )+ f(x 2 , y�º> )]= 0.8320+ · [(-2(0.8320) +1)+ (-2(0.6992)+ 2 2 + 1)] = 0.7258 (l) <º> Erro: 1 y 2 -O y 2 1 0.0366 > 0.01 l

1 Y2 1

02 y �2> = y 1 + h [f(x 1 1 y 1 )+ f(x 2 , y�1 > )]= 0.8320+ · [(-2(0.8320)+1)+ (-2(0.7258)+ 2 2 + 1)] = 0.7264

(2 ) ��(2! ) 1 = 0.0008 < 0.01

Erro: 1 y 2

1 Y2 1

Portanto,

Solução exata: y(0.4) = 0.7247) Cálculo de y3 � Previsão

0.7264

aproximação para y(0.6)

(Euler):

y �º > = y 2 + hf(x 2 1 y 2 ) = 0.7264 + 0.2(-2(0.7264) inicial para y3 )

1) = 0.6358 (aproximação

275

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Correção

(Trapézios):

02 h y �1 ) = y 2 + [f(x 2 1 y 2 )+ f(x 3 , y�º) )] = 0.7264 + · [(-2(0.7264)+ 1) + (-2(0.6358) + 2 2 + 1)] = 0.6540 (1 ) - y3 Erro ·. 1 Y3 1 ) (0) 1 = O . 0278 > O . 01 IY� I 02 h y�2) = y 2 + [f(x 2 1 y 2 )+ f(x3 , y�1 ) )] = 0.7264 + · [(-2(0.7264) + 1) + (-2(0.6540) + 2 2 + 1)] = 0.6503 2 I Y � ) - y�l ) 1 - 0.0057 < 0.01 Erro.. I Y3< 2 l 1 Portanto, y3

Solução exata: y(0.6) 0.6506. Cálculo de y4

--t

0.6 503

aproximação para y(0.8)

(Euler): y�º l = y 3 + hf(x 3 , y 3 ) inicial para y4 Previsão

Correção

0.6503 + 0.2(-2(0.6503) + 1) = 0.5902

--t

aproximação

(Trapézios):

02 h y � l = y 3 + [f(x 3 , y3 )+ f(x 4 , y�l )] = 0.6503 + · [(-2(0.6503) + 1) + (-2(0.5902) + 2 2 + 1)] = 0.6022

(l)

(O)

Erro: 1 Y 4 -( t )Y 4 1 0.0 1 98 > 0.01

1 Y4 1

º2 h y �l = y 3 + [f(x3 , y 3 )+ f(x4 , y � )] = 0.6503 + · [(-2(0.6503)+ 1) + (-2(0.6022) + 2 2 + 1)] = 0.5998

y( ) - y( ) Erro: 1 4 2 4 1 = 0.0040 < 0.01

1 Y <4 l 1

276

Cálculo Numérico

Portanto, y4

Solução exata: y(0.8) = 0.6009 Cálculo de y5 �

0.5998

aproximação para y(l.O)

(Euler): y�º ) = y 4 + hf(x 4 , y 4 ) = 0.5998 +0.2(-2(0.5998) + 1) = 0.5575 � aproximação inicial para y5 Previsão

Correção

y �l ) = y

(Trapézios):

º2 2

(f(X4 , y 4 )+ f(X5 , y�ºl )]= 0.5998+ · ( (-2(0.5998)+ 1)+ (-2(0.5575)+

2 + 1)] = 0.5683

( 1 ) - y s(O) 1 Ys 1 · Erro . l ) = O 0190 > O . 01

I Y� 1

02 y�2> = y4 + h [f(x4 , y 4 )+ f(x5 , y�1 ) )] = 0.5998+ · [(-2(0.5998)+1)+ (-2(0.5683)+ 2 2 1)] = 0.5662 + 2

( ) - y( ) Erro .· 1 Ys 2 ) s 1 = O 0037 < O . 01 I Y� 1 . Portanto,

0.5662

Solução exata: y(l) = 0.5677 Método de Simpson

O intervalo de integração usado na obtenção de (3) foi [x n , X n+1 ], que en volve apenas os pontos de discretização Xn e Xn+ v para os quais desejamos o valor de y. Porém, podemos usar outros intervalos com mais pontos onde desejamos o valor de y, como, por exemplo, o intervalo [x n , X n+2 ], com Xn+l em seu interior. Pelo teorema fundamental do cálculo, temos que: y(x n+2 ) = y(x n ) + J f(x, y(x))dx Xn+2

(6)

e podemos usar a fórmula _.!:_ de Simpson para aproximar a integral anterior:

Xn+2

h f(x, y(x))dx = 3 [f(x n , y(x n )) + 4f(x n+1 ' y(x n+1 )) + f(x n+2 , y(x n+2 ))]

277

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Analogamente ao método dos trapézios, usando a aproximação y n = y ( x n ), segue, de (6): h (7) Y n+2 = Y n + [f(x n Y n ) + 4f(xn+ t Y n+l ) + f( X n+2 ' Y n+2 )] 3 /

O procedimento para calcular yn+2 dado por (7) é chamado método de

Simpson. Note, de (7), que o método de Simpson é implícito, uma vez que Yn+2 a ser calculado no lado esquerdo de (7) aparece também implicitamente

no lado direito da equação. Além disso, para o cálculo de Yn+2 são necessários o conhecimento de Yn e Yn+ t· Por isto, este método é chamado método implícito de 2-passos . O método dos trapézios é um método implícito de 1-passo, pois depende apenas de Yn · Agora, para aplicar o método de Simpson, é necessário que se tenha calculado dois valores iniciais: y0 e y1 . O valor y0 é dado do problema, e o valor y1 pode ser calculado por um método explícito de boa precisão. Com estes valores, usamos (7) para calcular y2 : h Y2 = Y o + - [f(x o , Yo ) + 4f(xu Y1 ) + f(x2 1 Y2 )]

em que apenas y2 é incógnita e, portanto, uma equação não-linear, em geral, a ser resolvida. Assim, como no método dos trapézios, usamos o método das aproxima ções sucessivas para a obtenção de y2, com um método explícito (Previsor) para obter uma primeira aproximação, por exemplo, o método de Euler: Previsão (Euler): Correção

y�ºl = Y1

+ hf(xu y i )

(Simpson): y�t J = Y o + 2 y� > = y 0

3 [f(x o , Y o )

[f(x0 , y0 )

+ 4f(x1 , Y1 ) + f(x2 1 y�ºl )] 1 + 4f(x1 , y1 ) + f(x2 1 y� > )] etc.

A seqüência y� , y� , y; , ... deve convergir para a solução da equação (7), se h for suficientemente pequeno. Um critério de parada deve ser definido, por exemplo:

(k) 1 Se 21 �k�1 ;12 y 1 y (k + l)

< E

então y = y�k+tl, sendo E > O é uma tolerância fixa, 2

previamente definida. Caso duas ou três iterações não sejam suficientes, deve-se diminuir o valor de h. Depois de calculado o valor de y21 calcula-se analogamente y3, , YN· •••

278

Cálculo Numérico

{

Algoritmo 6.7

Considere o PVI:

1. Declare: a) b) c) d) e)

y ' (x) = f (x, y) y (xo ) = Yo

Função f(x, y). Condições iniciais: y(Xo) = Yo· Intervalo [a, b], onde a = Xo· E > O, uma tolerância fixa. Número de subintervalos N e Calcule h = ( b - ª ) . N

2. Para n = O, ... , N-2, faça: previsão: y �l2 = y n+l + hf(x n+l y n+l ) correção: Para k = O, 1, ... , faça: f

y �:J > = y n +

� [f(x n ' yn ) + 4f(xn+1 ' yn+l ) + f(xn+2 ' y�l2 )] até que:

(k) 1 Y(k+l) n+2 - Yn+l 1 <E l y�:P 1 (k+l) · Faça.. Yn+2 -- Yn+2

Sugerimos ao leitor resolver o PVI do exemplo anterior pelo método de Simpson, com o método de Euler para previsão, e tolerância E = 0.01 . 6.7 Trabalhando com o Software Numérico No Software Numérico, o usuário seleciona as opções Equações Diferen ciais e Entre com os dados da equação, seguido da escolha dos métodos de resolução de Runge-Kutta. O usuário digita a expressão da equação diferencial, fornece o valor inicial Xo, o tamanho do passo "h" e o valor Xn desejado, conforme exemplo que segue: Exemplo 6.14

Considere o PVI dado por:

{

y ' = - xy

y(O) = 1 Usando o método de Euler, a partir de Xo = O e h = 0.1, calcule x5 e um limitante superior para o erro. O usuário digita a expressão da equação, os dados iniciais, o valor do espaçamento "h" e o valor desejado y(0.5), conforme Figura 6.5 a) e b ):

279

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

Difetenciai1

a) Figura 6.5

Neste momento, o usuário seleciona o método de Euler e temos os re sultados desejados conforme ilustrações da Figura

6.6:

Escolha o lllt!todo RW1119 li:utta de 1.a otdeta · Euler lcml

O.cml

r -

Runge Kutta 3.a ,,...,_

0.1(11)

llml

o.mi

0.9!DI

o.m

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D.41111

119411

N"° h

Ul.

e) Figura 6.6

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280

Cálculo Numérico

Desta forma, temos calculados os valores da função y(x) nos pontos x 0 = 0, x 1 = 0.1, x 2 = 0.2, X 3 = 0.3, X 4 = 0.4 e x 5 = 0.5, conforme Figura 6.6 b). Portanto, temos que y(0.5) = 0.9035, conforme Figura 6.6 c). O usuário pode, ainda, plotar os pontos obtidos aproximadamente e comparar com a solução exata, caso esta seja conhecida. Neste exemplo, e- xy, fornecendo a solução analítica dada por y(x) = --, e digitando esta 2 expressão, podemos comparar os valores exatos, com traço contínuo, com os valores aproximados, conforme Figura 6.7:

0..99: 0..9:8

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OA5

0.5

Figura 6.7

Exemplo 6.15

Considere o PVI dado por:

{

y ' = x y2 - y y(O) = 1

Usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, a partir de Xo = O e h = 0.1, calcule o valor aproximado de y(0.7). Solução: O usuário digita a expressão da equação, os dados iniciais, o valor do espa çamento "h" e o valor desejado y(0.7), seleciona o método de Runge-Kutta de 4ª ordem, conforme Figura 6.8 a) e b):

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

281

Neste momento, temos calculados os valores aproximados de y(x) nos pontos desejados, conforme Figura 6.8 c):

0.!5000

--tcl71iii1 -- il-0.6000

0.5980

Portanto, temos que y(0.7) = 0.5596, conforme Figura 6.8 d):

d) Figura 6.8

282

Cálculo Numérico

O usuário pode, ainda, plotar os valores aproximados de y(x), conforme ilustrado na Figura 6.9: t":: c.,r cif h o -

0.515

0.9

o.as

0.1

0.6

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•

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- - - - -

. .. . . . . .

Figura 6.9

Exercícios

Usando o método de Euler de ordem p = 1 e o método de Taylor de ordem p = 2, determine a solução aproximada do PVI dado por:

y y' = f (x, y) = 2_2 - - y 2 x X y (x 0 ) = y (l) = - 1

X E [ a, b ] = [ l, 2 ]

a) Considerando h1 = 1 /5 e h2 = 1 / 10. b) Sabendo-se que a solução analítica é dada por y ( x ) = .!_ , construa X para cada caso uma tabela com os valores exatos e aproximados e também o erro absoluto. Observe e faça comentários. _

{

2. Usando o método de Euler, calcule a solução aproximada do seguinte PVI: y' = f (x, y) = y - x y (x0 ) = y (O) = 2

X E [ a, b] = (0, 1]

a) Considerando h1 = 1 /5 e h1 = 1 / 10. b) Construa para cada caso uma tabela com os valores exatos e aproxi mados e também um limitante superior para o erro. Observe e faça comentários.

283

Solução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

{

Usando método de Euler modificado e o método de Euler aperfeiçoado, calcule a solução aproximada do PVI definido por: y' f (x, y) xy 1 1 3 X E [a, b) [O, 2) y (x 0 ) y (O) 1 =

a) Considerando N 1 5. b) Considerando N2 10. c) Sabendo-se que a solução analítica é dada por y (x) =

( x2 2 )3 / 2 +

-3-

construa para cada caso uma tabela com os valores exatos e aproximados e também o erro absoluto. Observe os resultados obtidos e faça comentários.

{

4. Usando o método de Euler, método de Euler aperfeiçoado e o método de Euler modificado, calcule a solução aproximada do PVI definido por: y ' f (x, y) y cos(x) X E [a, b) [0, 1) y (x 0 ) y (O) 1 =

a) Considerando h1 b) Considerando h2

= =

1 /5. 1 / 10.

3 5. Usando os métodos de Runge-Kutta de ordem , calcule a solução aproximada do seguinte problema de valor inicial: y' f (x, y) xy 1 1 3 X E [a, b) [0, 2) y (x 0 ) y (O) 1

{

a) Considerando N 1 5. b) Considerando N2 10. c) Sabendo-se que a solução exata é dada por y (x) =

( x2 ; 2 )3 1 2 , construa

para cada caso uma tabela com os valores exatos e aproximados e também o erro absoluto. Observe e faça comentários. 3

6. Usando o método de Runge-Kutta de ordem e o método de Runge Kutta de ordem 4, calcule a solução aproximada do seguinte problema de valor inicial: y' f (x, y) xy 2 X E [a, b) [l, 2) y (x 0 ) y (l) 2 a) Considerando h1 1 /5. b) Considerando h2 1 / 10. c) Sabendo-se que a solução analítica é dada por y (x) construa X para cada caso uma tabela com os valores exatos e aproximados e também o erro absoluto. Observe e faça comentários.

{

-3z,

284

Cálculo Numérico

7. Usando os dois métodos de Runge-Kutta de ordem 4, calcule a solução aproximada do seguinte problema de valor inicial: 1 y' = f (x, y) = + 0.4y 2 1 + 4x X E [0, 4] y (x 0 ) = y (O) = 1 a) Considerando n 1 = 5. b) Considerando n 2 = 10. 2

8. Usando todos os métodos de Runge-Kutta vistos neste capítulo, calcule a solução aproximada com h = 0,01 do seguinte PVI: 2 y ' = f(x, y) = � Y X E [a, b] = [0, 1] y (x 0 ) = y (O) = 1 ·

9. Usando o método dos trapézios, com o método de Euler como previsor, calcule a solução do PVI definido por:

{

y' = 1 +

�

y(l) = 2

x e [a, b] = [l, 2] e N = 5

Use no critério de parada do método das aproximações sucessivas E = 0.01. 10. Usando o método dos trapézios, com o método de Euler como previsor, calcule a solução do PVI definido por: a) y' = f (x, y) = - 2y + l y(Xo) = y(O) = 1 Usando h = 0,1 calcule aproximadamente y(O, 3). b) y' = f (x, y) = y y(Xo) = y(O) = 1 Usando h = 0,1 calcule aproximadamente y(O, 3).

Capítulo 7

Manual do Software Numérico

285

286

Cálculo Numérico

7.1 I ntrodução

Com a popularidade dos microcomputadores a partir de

1980,

surge uma

nova ferramenta como apoio ao ensino e aprendizagem, tomando-se im prescindível o desenvolvimento de "softwares" que ligassem a sala de aula e o laboratório de informática . E m 1991, no Departamento d e Matemática d a UFSCar, foram iniciados dois

projetos de monitoria da disciplina de Cálculo Numérico com objetivo de desen volver programas computacionais que facilitassem a resolução de exercícios propostos, porém reforçando os conceitos estudados em sala de aula . A partir de

1996, com o envolvimento do Departamento de Matemática

no Projeto REENGE, foi possível retomar aquelas idéias.

O projeto Desenvolvimento de Software para o Ensino de Matemática teve como objetivo a informatização de disciplinas dos cursos básicos das áreas de ciências e tecnologia da UFSCar com conteúdos de matemática, para que os alunos pudessem reforçar conceitos dados em sala de aula nos laboratórios de informática.

O Software Numérico foi desenvolvido inicialmente neste projeto e poste riormente finalizado depois de vários testes, feitos nas aulas de laboratório da disciplina de Cálculo Numérico no Departamento de Matemática-Univer sidade Federal de São Carlos (UFSCar) .

7 .2 Objetivos

O Software Numérico é um software interativo, de apoio ao ensino e apren dizagem de tópicos de matemática, para ser usado em laboratório de com putação, onde conceitos e resultados apresentados em sala de aula são refor çados através de exercícios propostos.

7.3 Software Numérico - Módulos desenvolvidos

O Software Numérico é constituído dos módulos: sistemas lineares, inversas de matriz, raízes de funções, aproximação de funções, integração numérica equações diferenciais.

Utiliza-se, nesta versão, uma ferramenta de programação visual deno

minada Delphi, orientada a eventos e destinada ao ambiente Windows. implementado usando o Delphi / Pascal

5.0,

baseado na interface gráfica

do Windows, sendo compatível com os sistemas operacionais Windows

e Windows XP. Estão disponíveis duas versões: professor e estudante. Na versão pro fessor, um

Arquivo de Correção contém o registro do nome e o número do

aluno (Registro Acadêmico-RA). Esse arquivo grava todos os trabalhos feitos e deve ser usado apenas pelo professor, possibilitando que ele acompanhe todos os passos realizados pelos alunos durante a execução do software,

Manual do Software Numérico

287

permitindo, assim, que seja avaliado o conhecimento do conteúdo minis trado em sala de aula. Encontra-se à disposição no site da Editora Thomson. A versão estudante encontra-se no CD que acompanha este livro e difere da versão professor apenas no Arquivo de Correção, que grava o trabalho de apenas um usuário. Nestas versões, o usuário terá disponível um Menu Principal, tanto para os métodos numéricos quanto para as condições de aplicação destes, além de um Help On Line. Para execução desse software, o usuário deverá ter o conhecimento teó rico dos métodos usados nos tópicos de Cálculo Numérico, bem como das condições de aplicabilidade de cada um deles na resolução de um problema. Além disso, o usuário deve configurar o computador para representação de um número decimal, usando ponto ao invés de vírgula, como por exemplo 3.42 e não 3,42. 7.4 Abertura do Software N umérico

Ao abrir o Software Numérico, temos a seguinte janela:

Em seguida, o aluno deverá fazer sua identificação, depois clicar em Confirma e fazer sua escolha de opções no Menu Principal, conforme demonstram as janelas a seguir:

288

Cálculo Numérico

•

7.5 Descrição dos módulos do Software Numérico

Faremos uma descrição de cada módulo disponível no Software Numérico, suas características e a forma simples para o usuário. Estão disponíveis os seguin tes módulos: sistemas lineares, inversa de matriz, raízes de funções, apro ximação de funções, integração numérica e equações diferenciais. 7 .5.1

Módulo sistemas lineares

Neste módulo, o usuário resolve sistemas de equações lineares através do uso de métodos diretos e iterativos. Aqui, terá a sua disposição a opção Novo Sistema, caso deseje registrar um novo sistema e calcular a solução. Caso deseje apenas resolver um sistema e este já esteja armazenado em um arquivo, o usuário posiciona em Abrir Sistema. Nesse caso, o usuário deve fornecer o caminho corretamente para que este possa ser acessado e então será aberta a janela com o sistema armazenado.

Manual do Software Numérico

289

A seguir, o usuário seleciona um dos métodos numéricos da opção Métodos de Resolução, que apresenta os seguintes métodos: Métodos diretos

Método de decomposição LU Método de decomposição de Cholesky Método de eliminação de Gauss com pivotamento (diagonal, parcial e total) Método de eliminação de Gauss-Jordan Métodos iterativos

Método iterativo de Jacobi-Richardson Método iterativo de Gauss-Seidel Uma vez escolhido um método direto ou um método iterativo, uma janela se abrirá solicitando ao usuário as condições corretas para a execu ção do método em questão. Neste momento, temos a janela Verifique as Condições e a opção Continuar, que deverá ser acionada pelo usuário para que o menu Condições possa ser utilizado para verificar as condições de execução do método escolhido. Uma vez clicadas corretamente todas as condições teóricas dos méto dos, clicando em Resolver, temos a solução do sistema fornecido. Caso as condições não estejam corretas, temos uma janela com a informação Veri fique se todas as condições estão corretas e o usuário pode recomeçar novamente o exercício. Exemplo 7.1

Resolva o sistema de equações lineares usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento diagonal.

No Software Numérico, o usuário seleciona a opção Método de Elimi nação de Gauss - Pivotamento Diagonal, digita o sistema dado no espaço reservado e seleciona as condições corretas de aplicabilidade.

290

Cálculo Numérico

Neste caso, a condição é det A -:t:. O (det (A)<>O), conforme Figura 7.1 a).

...

... _....

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(

Conlinum

-·-

)

-:li

·-

Depois de clicar as condições necessárias para executar o método de Eliminação de Gauss - pivotamento diagonal, temos a seguinte janela com a solução do sistema dado, conforme Figura 7.1 b):

)(1

1.D

b) Figura 7.1

)(2

l JIDOU

291

Manual do Software Numérico

Exemplo 7.2

Resolva o sistema de equações lineares usando o método de decomposição LU.

= [ [� : �i ::1 [!.s1 1 1 3

posição LU,

2.5

No Software Numérico, o usuário seleciona a opção Método de Decom digita o sistema dado no espaço reservado e seleciona as condi ções corretas de aplicabilidade. Neste caso, os menores principais diferentes de zero (<>0) e det A :;t: O (det(A)<>O), conforme Figura 7.2 a) e b).

1C' 1

• 1

4j; r:.st

Clicando no botão Resolver, temos a solução x janela da Figura 7.2 c):

(1, O, 0.5), conforme

292

Cálculo Numérico

--�1

1 .011110

11 .ll U D D

D.S:D .___....

b) Figura 7.2

Para resolver sistemas de equações lineares usando um método ite rativo, o usuário deverá escolher a opção Método Iterativo de Jacobi Richardson ou Método Iterativo de Gauss-Seidel no menu Métodos de Resolução.

Uma vez escolhido o método iterativo, uma janela se abrirá solici tando ao usuário as condições corretas para a execução do método em questão; Neste momento, aparecerão na janela Verifique as Condições e a opção Continuar, que deverá ser acionada pelo usuário para que o menu Condições possa ser utilizado para verificar as condições de execução do método escolhido. Uma vez examinadas as condições necessárias, o usuário deverá clicá-las corretamente e o resultado aparecerá numa janela. Com as con dições clicadas, o usuário deverá clicar em Resolver e, neste momento, se as condições foram devidamente escolhidas, aparecerá uma janela onde o usuário deverá fornecer a Solução Inicial, a Precisão desejada e clicar em Continuar. Uma vez clicado em Continuar, será aberta uma janela com as iterações executadas e o critério de parada (Erro). A seqüência de soluções será exibida em, no máximo, cinqüenta iterações. Uma vez examinadas as condições necessárias, o usuário deverá cli cá-las corretamente e o resultado aparecerá numa janela. Com as condições clicadas, o usuário deverá clicar em Resolver e, neste momento, se as con dições não foram devidamente escolhidas, aparecerá uma janela com a mensagem Verifique se todas as condições estão corretas. A solução do sistema será apresentada se as condições foram escolhidas corretamente, conforme Figura 7.3 a):

Manual do Software Numérico

293

Uma vez escolhidas as condições necessárias para a aplicabilidade do método iterativo de Jacobi-Richardson, será exibida nesta janela a seguir a seqüência de soluções aproximadas, usando o método iterativo de Jacobi Richardson, convergindo para a solução do sistema. Exibimos a seqüência de soluções aproximadas, convergindo para a so lução x (1, 1) e o erro relativo correspondente em cada iteração, conforme Figura 7.3 b). =

""1'eçilo Xl

Jl .OotO

1 .CIDOI

»-

1i :lteoã i 1 ..0 1 DÕ

b) Figura 7.3

294

Cálculo Numérico

Para resolver um sistema usando o método iterativo de Gauss-Seidel, o usuário deve proceder da mesma maneira como no método de Jacobi-Richardson, digi tando as condições de aplicabilidade do método, que são det(A) * O, diagonal principal diferente de zero, estritamente diagonalmente dominante ou ainda critério de Sassenfeld menor que 1. Ainda com relação a sistemas, existe um procedimento para calcular o Número de Condição da matriz do sistema. Por exemplo, o número de condição da matriz A do sistema dado anteriormente seria K(A) = 9, conforme Figura 7.4. Observação

X1 3

2 !i

b !i 9

Figura 7.4

Descrição breve dos métodos numéricos usados no módulo sistemas lineares

O objetivo é fazer uma descrição rápida dos métodos de resolução de siste mas de equações lineares, os quais devem ser estudados cuidadosamente antes de usar o Software Numérico, que é uma ferramenta computacional complementar de estudo para o aluno. Métodos de resolução para sistemas de equações lineares

Seja Ax = b um sistema de equações lineares, onde A = (a;;) i, j = 1, ... , n x = (x 1 , X2, ... , xS b = (b 1 , b2, ... , bnY e det(A) * O (solução única). A resolução desse sistema de equações lineares consiste em determi nar-se um vetor x = (x1 , x2 1 . . . , xn Y , de forma que todas as equações sejam satisfeitas simultaneamente.

Manual do Software Numérico

295

Métodos diretos

Os métodos diretos são aqueles em que (a menos de erros) no processamento é fornecida a solução exata para o sistema dado. Método de decomposição LU

Condições

serem verificadas

Menores principais � �i = det(Ai ) -:t:- 0 i = l, ... , n - 1 edet(A) -:t:- 0. O método de decomposição LU consiste em decompor a matriz A no produto de LU, onde L (lii) i, j = l, . . . , n é uma matriz triangular inferior, com lii 1 i = 1, ... , n e U = (uii) i, j = 1, ... , n é uma matriz triangular superior tal que A = LU. A resolução do sistema dado agora consiste na resolução de dois siste mas triangulares (inferior e superior) respectivamente, isto é: =

Ax b sendo A = LU, temos: =

L(Ux) = b Portanto, temos dois sistemas triangulares (inferior e superior) para serem resolvidos:

{Ly = b Ux = y

Exemplo 7.2

Considere o sistema de equações lineares:

� 1 = 2 :t: O � 2 = 4 :t: O det(A) = 8 :t: O

Condições

[ � � �j 1/2 1/2 1

r� � � l o o 2

296

Cálculo Numérico

Temos os seguintes sistemas triangulares: Ly = b Solução: y = (3, 3, 2Y Solução:

= (1, 1, Ir

Ux = y

Método de decomposição de Cholesky

Condições a serem verificadas

Simetria da matriz A Menores principais � L\i

det (Ai) > O

... , n

O método de Cholesky consiste em decompor a matriz A no produto de uma matriz R (ri;) i, j = 1, ... , n triangular superior com a diagonal posi tiva, por uma matriz R1 = (ri;) i, j = 1, ... , n triangular inferior, tal que A=R1 R. A resolução do sistema dado agora consiste na resolução de dois siste mas triangulares (inferior e superior), respectivamente, isto é: =

Ax = b A = R1 R R1(Rx) = b Portanto, deve-se resolver os dois sistemas triangulares (inferior e supe rior) a seguir:

Exemplo 7.3

l j [XX21 j [ ] X3

Considere o seguinte sistema de equações lineares: 1 1 Ü 1 5 Ü Ü Ü 1

-2 - -6 -2 -

L\ 1 = 1 > O L\ 2 = 4 > O L\ 3 = det(A) = 4 > O

Condições

f l O 1

o 1

R' =

f� � �

Manual do Software Numérico

297

Temos os seguintes sistemas triangulares: Solução: y = ( 2, 2, 2Y -

Ry = b

Rx = y

Solução: x = (-1, -l, -2)1

Método de eliminação de Gauss com pivotamento diagonal

Condição

det(A } -:t:- 0 O método de eliminação de Gauss com pivotamento na diagonal consiste em transformar o sistema dado Ax = b, num sistema triangular superior equi valente, através da aplicação de operações elementares sobre as linhas da matriz A e do vetor b. Estratégia na escolha dos pivôs

No k-ésimo passo do método, a escolha do pivô é feita através da seleção do primeiro elemento diferente de zero (nos elementos da matriz A, abaixo da diagonal), isto é, a seleção é feita entre os coeficientes aii<k-t > da matriz A, i = k, k + l, ... , n. Caso não seja encontrado nenhum elemento diferente de zero para ser o pivô, conclui-se que o det(A) = O. Exemplo 7.4

Considere o sistema de equações lineares:

r � � � 1 r:: 1 r � 1 =

-3 1 3

Condição

det(A) = 24 -:t:- O

Sistema triangular equivalente:

Solução do sistema:

x = (O, O, lY

298

Cálculo Numérico

Método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial

Condição

det (A) :t:- O

O método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial é uma modifi cação da versão anterior do método de eliminação de Gauss, sendo que a cada passo muda-se a estratégia de escolha dos elementos pivôs. Estratégia na escolha dos pivôs

No k-ésimo passo do método, a escolha do pivô é feita através da seleção do maior elemento em módulo (nos elementos da matriz A, abaixo da diagonal), isto é, a seleção é feita entre os coeficientes� em módulo, j ai / k-t > j da matriz A, i = k, k + 1, ... , n. Caso não seja encontrado nenhum elemento diferente de zero para ser o pivô, conclui-se que o det(A) = O. O procedimento de pivotamento na matriz A será como no método de eliminação de Gauss com pivotamento na diagonal. Exemplo 7.5

Considere o sistema de equações lineares:

Condição

det (A) = 30 :t:- O Sistema triangular equivalente:

Solução do sistema:

x = (1, O, 0)1•

299

Manual do Software Numérico

Método de eliminação de Gauss com pivotamento total

Condição

det (A) :t:- O O método de eliminação de Gauss com pivotamento total é uma modificação da versão anterior do método de eliminação de Gauss, onde a cada passo mudamos a estratégia na escolha dos pivôs. Estratégia na escolha dos pivôs

No k-ésimo passo do método, a escolha do pivô é feita através da seleção do maior elemento em módulo (em todos os elementos da matriz A), isto é,

a seleção é feita entre os coeficientes 1 a i ?-1> 1 da matriz A, i k, ... , n j k, ..., n. Caso não seja encontrado nenhum elemento diferente de zero para ser o pivô, concluímos que o det(A) = O. O procedimento de pivotamento na matriz A será como no método de eliminação de Gauss com pivotamento na diagonal. =

Exemplo 7.6

Considere o sistema de equações lineares:

Condição

det(A) 44 :t:- O =

Sistema triangular equivalente:

l� � �1 [::1 r � 1 /

o -l 11 6

Solução do sistema:

x (O =

/ 11 6 -l /

300

Cálculo Numérico

Método de eliminação de Gauss-Jordan

Condição

det (A) -:!- O dado num sistema equivalente Ix b, (1 é a matriz identidade), através da aplicação de operações elementares sobre as linhas da matriz A e do vetor b.

O método de eliminação de Gauss-Jordan consiste em transformar o sistema =

Estratégia na escolha dos pivôs

No k-ésimo passo do método, a escolha do pivô é feita através da seleção do primeiro elemento diferente de zero (nos elementos da matriz A, abaixo da diagonal), isto é, a seleção é feita entre os coeficientes aii<k-l) da matriz A, i k, k + l, ... , n. Neste método, o pivô, a cada passo, deverá tornar-se igual a " l ", multi plicando toda a linha escolhida pelo inverso do pivô. Caso não seja encontrado nenhum elemento diferente de zero para ser o pivô, conclui-se que o det(A) O. O procedimento de pivotamento na matriz A será como no método de eliminação de Gauss anterior. =

Exemplo 7.7

Considere o sistema de equações lineares:

Condição

det (A) -2 -:!- O Sistema equivalente: =

Solução do sistema:

x (2, O, 0)1• =

301

Manual do Software Numérico

Métodos iterativos

Os métodos iterativos são aqueles que fornecem, a partir de uma solução ini cial, uma seqüência de soluções aproximadas que deverá, sob determinadas condições específicas, convergir para a solução do sistema. Método iterativo de Jacobi-Richardson

O método iterativo de Jacobi-Richardson consiste na transformação do siste ma Ax = b na forma equivalente: x=Hx+g O processo iterativo é dado por: x<k+I l = H x<kl + g

{

onde

- aii H= a

g= Convergência

b{ . ai

�

i =t: j

i=j

k = 0,1, ...

�

matriz iterativa

_ 1

A matriz A = (aii )i, j = 1, ... , n deverá ser estritamente diagonalmente domi nante, isto é:

l aii 1 > I l ai i 1

i = l, ... , n

j=l i;tj

j = 1, ... , n

1 , onde

l H t = máx i�i 1 �:ii 1

i = l, ... , n

�

norma coluna

norma linha

li x<k+xl<k) -+Ixl l(k) li < E, qualquer que se1a. a norma do R . i l i (E suficientemente pequeno)

Critério de parada

302

Cálculo Numérico

Exemplo 7.8

Considere o seguinte sistema de equações lineares:

Análise de convergência

[

]�

A matriz A do sistema não é estritamente diagonalmente dominante. Construção da matriz iterativa:

O O -2 / 3 -1 / 3

-1 / 3 - 1 2 � matriz iterativa

Cálculo das normas:

ii H ii� = 1 l i H 111 = 5 / 6 < 1 � convergência garantida

Assim, para a precisão E 0.01: =

x< 0 > = (O , O, O) � solução inicial dada. x< 1 > = (4 / 3, 2, 5 / 3) � solução obtida após uma iteração. x< 1 0 > = (1 .2613, 1.8921, 0.1803) x< 11 > = (1 .2732, l.9099, 0.1951)

Critério de parada:

Solução aproximada X: = (1.2732, 1.9099, 0.1951t Método iterativo de Gauss-Seidel

O método iterativo de Gauss-Seidel consiste em transformar o sistema dado Ax = b na forma equivalente:

x = Px + Qx + g

303

Manual do Software Numérico

O processo iterativo é dado por: x(k+1 > = Px(k+1 ) + Qx<k > + g

i>j

se se

i ::;; j i 2'. j

i<j

�

matriz estritamente triangular inferior

�

matriz estritamente triangular sup erior

Na forma equivalente, podemos escrever: x(k+1 ) = H x<k> + g onde H = [ (I P) ]-1 Q g = [ (I P) ]-1 g

Convergência

A matriz A do sistema deverá ser estritamente diagonalmente dominante. ou Critério de Sassenfeld satisfeito: máx �i < 1

� = i

com

Exemplo 7.9

I 1 -aaii i 1 �i + Í. 1 -aai i 1 i=I

i=i+1

i = l, .

. .

Considere o seguinte sistema de equações lineares:

Análise de convergência

A matriz A do sistema não é estritamente diagonalmente dominante. Critério de Sassenfeld: Cálculo dos �i i = 1, , 3 ...

�l

�2 1 1 2 � 3 1 1 2

Como máx �i = 1 / 2 < 1 � convergência garantida =

1/2

304

Cálculo Numérico

Assim, tem-se para E = 0.001 : x< 0> (-1, O, 1) � solução inicial dada =

x0 > = ( 1, l, 2 / 3) � solução obtida após uma iteração X(S ) = (1 .3307, 1 .3307, 0.3360) x<9 > (1 .3320, 1 .3320, 0.3347) =

Critério de parada:

li x< 9 l _x (B ) I L li x <9 l I L

0.0009 < E

Solução aproximada X: = (1 .3320, 1.3320, 0.3347)1 Condicionamento de sistemas

Diz-se que um sistema de equações lineares Ax = b é mal condicionado quando pequenas perturbações em alguns de seus coeficientes produzem bruscas alterações em sua solução. Para verificar o mal condicionamento de um sistema linear, deve-se calcular o Número de Condição da matriz dos coeficientes do sistema, definido por:

Se K(A) for "próximo de 1" diz-se que o sistema é bem condicionado, caso contrário, diz-se que o sistema é mal condicionado. Exemplo 7.10

] [XI] [ ]

Considere o sistema de equações lineares: 0.99 0.99 0.98

l .99 1.97

Temos que,

Concluímos que temos um sistema mal condicionado, pois K(A) possui um valor "muito grande", e que pequenas modificações nos coeficientes da matriz A ou no vetor b provocam grandes alterações na sua solução.

305

Manual do Software Numérico

7 .5.2 Módulo inversa de matriz

Para calcular inversa de matriz, foram usados os seguintes métodos numé ricos: método de decomposição LU, decomposição de Cholesky, eliminação de Gauss e eliminação de Gauss-Jordan. Para a utilização do software, será necessário o conhecimento dos méto dos, bem como as condições de aplicação de cada um deles, para que o usuário tenha a facilidade em escolher os procedimentos adequados para a resolução de sistema e para o cálculo da inversa de matriz. O usuário deverá declarar a ma triz e escolher o método desejado de resolução conforme exemplo a seguir: Exemplo 7.11

Calcule a inversa da

matriz

usando o método de eliminação

de Gauss: O usuário digita a matriz A dada, seleciona o método de eliminação de Gauss, seleciona as condições de aplicabilidade do método, conforme Figura 7.5 a) e b ).

306

Cálculo Numérico

O usuário, clicando no botão Calcular, terá a matriz inversa, conforme Figura 7.5 c):

e) Figura 7.5

Caso o usuário deseje calcular a inversa da matriz usando outro método numérico disponível, o procedimento será análogo ao exposto anteriormente. Descrição breve do cálculo de inversa de matriz

Seja A = (aii) i, j = 1, ... , n uma matriz não singular, então existe uma única matriz A-1 chamada de inversa de A, de tal forma que A A-1 = I. Neste caso, temos n sistemas de equações lineares para serem resolvidos, usando qual quer um dos métodos diretos vistos anteriormente. Exemplo 7.12

Calcule a inversa da seguinte matriz usando o método de eliminação de Gauss:

� � �i o 1 1

Xn X12 X13 1 A- = x21 x22 x23 � inversa de A X31 X32 X33

=[ l

Manual do Software Numérico

1, temos os seguintes sistemas triangulares:

[ ll = [ l l [� = � �1 r:�1 r � l � [ � � l [ ::1 [ � l

Como A A-1 1 Ü Ü 1 2 Ü Ü -1

(x11

x 21 x31 j

Ü Ü -1

(x12

Ü Ü

(1, O, O)

�

primeira coluna da matriz inversa

-1

X 32

x22 x32 j ( -1, - 1, 1) � segunda coluna da matriz inversa =

Ü Ü -1

(x13

Xu X21 X31

307

X33

x23 x33 j (1, 2, -1) � terceira coluna da matriz inversa =

Portanto, temos: A-1

= r� =� �1

� inversa da matriz A

o 1 -1

7 5 3 Módulo raízes de funções .

O módulo raízes de funções tem por objetivo auxiliar o aluno na resolução de equações, isto é, na determinação de raízes reais de uma função f(x), atra vés do uso dos seguintes métodos iterativos de resolução:

Método da bisseção Método das aproximações sucessivas Método de Newton Método das secantes Esses métodos são abordados em sala de aula e o uso do software per mite ao aluno reforçar conceitos e resultados vistos para a resolução de uma equação, além de o professor ter condições de verificar a aprendizagem por parte dos alunos na resolução de exercícios.

308

Cálculo Numérico

Para ilustrar o módulo Raízes de Funções, exibimos exemplos com pas sos a serem seguidos pelo usuário em cada um dos métodos. Inicialmente, ao abrir o módulo Raízes de Funções, a seguinte janela será exibida ao usuário, conforme Figura 7.6:

Figura 7.6

Neste momento, o aluno deverá clicar em Nova Função, digitando no espaço adequado a expressão analítica da função f(x) que deseja trabalhar ou abrir arquivo com a função já armazenada, conforme janela na Figura 7.7 a): E

309

Manual do Software Numérico

Neste momento, o usuário poderá plotar o gráfico da função escolhida ou plotar a intersecção de dois gráficos, obtendo, assim, uma vizinhança para as raízes de f(x), como exibido na janela, mostrada pela Figura 7.7 b): c:: ( ,r� l • l • U

�

1 .6

1 .2

· 1 .B

·1 .6

b) Figura 7.7

Nestas janelas, temos a opção de intersecção de dois gráficos e uma vizinhança para as raízes da função, conforme Figura 7.8 a) e b): !::: 1 1 1t1 1 1

�

310

Cálculo Numérico

Clicando em Continuar, o usuário terá a sua disposição os cálculos do: valores da função f(x) nos pontos escolhidos, conforme janela da Figura 7.8 c):

l l(b)- -0.61 61

Nlo existe r aiz r eal par a f(x) e) Figura 7.8

Neste momento, o usuário deverá confirmar o intervalo onde se encon tra a raiz desejada e escolher o método de resolução, conforme janelas da Figura 7.9 a) e b ):

Sil

Figura 7.9

Essa janela é informativa, avisa o usuário de que o próximo passo é a escolha do método a ser usado na resolução da equação f(x) = O. Todos os métodos apresentam um roteiro semelhante, assim, nos próxi mos métodos, o exemplo dado iniciará a partir deste ponto.

311

Manual do Software Numérico

Métodos iterativos de resolução Método da bisseção

Para resolver a equação f(x) = O usando o método da bisseção, o usuário deverá clicar em Bisseção, fornecendo o intervalo inicial [r0, s0], a partir da localização gráfica da vizinhança da raiz, conforme janelas da Figura 7.10 a) e b):

Nove FW>Ç&>

Figura 7. 1 0

Clicando em Continuar, neste momento, o usuário verifica, usando resul tados teóricos, se existe uma raiz no intervalo [a,b]. Fazendo a avaliação dé função nos extremos do intervalo e clicando em Sim, caso f(a) . f(b) < O deve ainda, fornecer a precisão desejada E = 0.0001 .

312

Cálculo Numérico

Clicando em Resolver, o método executa as iterações, conforme janelas da Figura 7.11 a) e b):

Pergunta

Mio

Ternos, neste momento, urna das raízes de f(x), conforme Figura 7.11 c), dada por x = 1.4276. Observação

Ao rolar a janela é possível visualizar todos os resultados aproximados obtidos.

e) Figura 7. 1 1

Método das aproximações sucessivas

Caso o usuário deseje resolver a equação cos(x)--0.1 x=O usando o método das aproximações sucessivas, deverá posicionar em métodos de resolução e, clicar em Método das Aproximações Sucessivas, fornecer a função iterativa <l>(x)=cos(x)--0.1 x+x, a solução inicial x0 = 0.5 e a precisão E = 0.0001. Clicando em Resolver, ternos as janelas conforme Figura 7.12 a) e b):

313

Manual do Software Numérico

Temos, agora, a seqüência de soluções aproximadas (rolar a janela para visualizar todas as iterações) e a raiz x 1 .4275, conforme janela da Figura 7.12 c): =

e) Figura 7. 1 2

Caso o usuano deseje, pode plotar o gráfico da função iterativa <)> (x)=cos(x)-0.1 x+x e o gráfico y = x e observar as raízes da equação cos(x) - 0.1 x = O na interseção dos gráficos. Para isso, basta clicar em Gráfico e aparece a seguinte janela exibindo a convergência da seqüência de soluções aproximadas, conforme janela da Figura 7.13 a):

314

Cálculo Numérico

�--1t----1t--�b"--,.1"-�t--�t--�r--�-t--t:X 2.7 3.6 4.S 5.

-4,8

Figura 7.1 3

Observação

Caso haja mais de 30 iterações sem passar pelo critério de parada, abrirá uma janela com a mensagem perguntando se deseja visualizar mais itera ções, dessa forma, o usuário poderá optar por visualizar até 70 iterações. Método de Newton

Caso o usuário deseje resolver a equação anterior cos(x)-0.1 x=O usando o método de Newton, deverá posicionar em métodos de resolução, e cli cando em Newton, fornecer a derivada da função f(x), a solução inicial Xo = 0.5, a precisão E 0.0001 . =

315

Manual do Software Numérico

Clicando em Resolver, temos as janelas conforme Figura 7.14 a) e b):

Temos, neste momento, a seqüência de soluções aproximadas exibidas e a raiz procurada x = 1 .4276, conforme Figura 7.14 b) e c).

e) Figura 7.1 4

316

Cálculo Numérico

Método das secantes

Caso o usuário deseje resolver a equação cos(x)-0.1 x=O usando o método das secantes, deverá posicionar em métodos de resolução e, clicar em Secan tes, fornecer duas soluções iniciais Xo = 0.5 x1 = 1, e a precisão E = 0.0001. Clicando em Resolver, temos a seqüência de soluções aproximadas e a raiz x = 1.4275, conforme janela da Figura 7.15 b) e c):

2 3

DIC e) Figura 7.1 5

15685

1.m

U275

Manual do Software Numérico

317

Descrição breve dos métodos numéricos usados no módulo raízes de funções Seja f: 9t � 9t, contínua e diferenciável, deseja-se determinar as raízes da equação f(x) = O, isto é, determinar X: tal que f(x) = O. Métodos iterativos Método da Bisseção

Seja f: 9t � 9t, contínua. O método da bisseção consiste em determinar uma seqüência de inter valos [rn, sn], em que a amplitude deste intervalo é a metade da amplitude do intervalo anterior [rn-1 , Sn-i1 e que sempre contenha a raiz, a partir de um intervalo inicial dado [ ro, s0]. Passos

1 . Dados E > O e um intervalo inicial [ a , b] que contenha uma raiz para f(x). Considerando r0=a e s0=b, determinar a seqüência de soluções aproximadas: xi = (Ii + sJ / 2 i = O, 1, ... Se f(rJf(x J < O, então li+i = li e si+l = xi Se f(rJf(x J > O, então li+i = xi e si+l = si i -x . , . 2 . C nteno de para d a: � +l"-. i l < E. l"-i+l I

Sempre garantida, uma vez que partimos de um intervalo que contém a raiz. Convergência

Exemplo 7.13

Resolva a equação x2 + ln(x) = O, usando o método da bisseção com E = 0.01 . Considerando 1(i = 0.1 s0 = 1, para o qual verifica-se f(l(i )f(s 0 ) < 0, gera-se a seqüência de soluções aproximadas: X0 = (r0+ s0) / 2 0.5500 =

Como f(r0) = -2.2926 e f(x0) = -0.2953, o novo intervalo será tomado como: r1 = 0. 5 5 00

Assim, temos:

s1 = 1

318

Cálculo Numérico

Continuando o procedimento de cálculo de soluções aproximadas, temos as seguintes soluções aproximadas: X2

= 0.6625

= 0.6425

= 0.6063

= 0.6344

= 0.6485

= 0.6555

Neste momento, temos o critério de parada satisfeito: Portanto, temos a solução aproximada dada por:

l x1 - xl 1 xs

0.6445

0.0031 < E.

x := xs = 0.6425 Método das aproximações sucessivas

O método das aproximações sucessivas consiste em transformar a equação f(x) = O na forma equivalente x <1> (x), de maneira a determinar a raiz de f(x) através da resolução da equação x <1> (x). Observa-se que existem infinitas maneiras de escrever x <J>(x). Por exemplo, multiplicando a equação f(x) O por uma função 8 (x): 9t � 9t, com 0(x) -:;:. O, e somando x, teremos: =

<l>(x) = x + 0 (x)f(x) = x Assim, f(x) = O <=> <l> (x ) = x Desta forma, gera-se o processo iterativo: X ;+i

= <l> (x; ) i = l, 2, ... � método das aproximações sucessivas

Convergência

Se l <l> '(x) l < l, para todo x nas vizinhanças da raiz X: então a seqüência de solu ções aproximadas gerada pelo processo iterativo X;+i = <l> (x; ) i = l, 2, ... é convergente para a raiz desejada X:. Passos

1. Transformar a equação f(x) = O, na forma equivalente x

<1> (x).

2. Análise de convergência: l <l> '(x) l < l, para todo x nas vizinhanças da raiz X:.

3. Dados E > O e x 0 uma solução inicial para a raiz, gerar a seqüência de soluções aproximadas usando o processo iterativo: X;+1 = <!> (x; ) i = l, 2, ... 4. Critério de parada:

l x;+1 - x; I < E. I X i+ I I

319

Manual do Software Numérico

Exemplo 7.14

Usando o método das aproximações sucessivas, determine uma raiz de f(x) = cos(x)-x, com E = 0.01. Depois de localizar uma vizinhança para a raiz de f(x), considera-se o processo iterativo: Analisando a convergência, temos l <l>'(x) I = 1 -sen(x) l < l, para todo x nas vizinhanças da raiz x. Desta forma, temos a seguinte seqüência de soluções aproximadas: = 0.7 X 1 = 0.7648 X2 = 0.7215 X 3 = 0.7500 X7 = 0.7415 Xg = 0.7375 X6 = Ü .7355 Xo

= 0.7311

= 0.7444

Neste momento, temos o critério de parada satisfeito:

Portanto, temos a solução aproximada, dada por: X = x8

= 0.7375

Método de Newton

No método das aproximações sucessivas transformamos a equação f(x) = O na forma equivalente x = <l> (x), onde <l>(x) = x + 0 (x)f(x) . Para que a convergência seja garantida, deve-se ter 1 <l> '(x) 1 < 1 para x nas vizinhanças da raiz. O método de Newton consiste em tomar uma função (x), de forma que <l>'(x) = O. Considerando e <!>' contínuas, temos l <l> '(x) l < l para todo x nas vizinhanças da raiz x. Assim, temos: <l>(x) = x + 0 (x)f(x) <l> '(x) = 1 + 0'(x )f(x)+ f '( x )0 (x) = o Dessa forma, e (x) = - 1 1 f '(x) Adotando-se então a escolha 0(x) = - 1 / f '(x), temos:

320

Cálculo Numérico

Assim, x i +l = x i -

f(x; ) i = O, 1 , . . . -7 método de Newton f '(xi )

Passos

Seja f(x) uma função contínua e diferenciável e dados E > O e Xo uma solução inicial.

2. Gerar uma seqüência de soluções aproximadas, através do processo iterativo: f(x; ) i = O, 1, ... x i+ 1 = xi f '(x; ) x 1 3. Critério de parada: 1 ' <E

j Xi-,d l +

Convergência

Baseado no método das aproximações sucessivas, o método de Newton foi construído de modo que a convergência esteja garantida. Determine uma raiz de f(x) = ln(x) + x - 4 com E = 0.000 1 . Do método de Newton, temos: Exemplo 7.15

X i+ l = X i

- :.��i»

i = O, l, ...

Como f '(x) = -- , temos a seqüência de soluções aproximadas: (x + l)

Xo = 1 .5 X1 = 2.7567 X2 = 2.9250 X3 = 2.9263 X 4 = 2.9263 Neste momento, o critério de parada é satisfeito: Portanto, temos a solução aproximada, dada por:

jx 4 l

l x - X3 1

= 0.0000 < E.

x ::: x4 = 2.9263 Método das secantes

método das secantes consiste na modificação do método de Newton, de modo a não exigir o cálculo da derivada da função f(x): Considera-se,

321

Manual do Software Numérico

Do método de Newton, i = O, l, . . . Assim, xi.+1 =

(xi-l f(xi ) - xi f(xi-l )) i = O, l, ... � métodos das secantes (f(xJ - f(xi_1 )

Passos

1. Seja f(x) contínua e dados € > O Xo e x1 soluções iniciais. 2 Gerar a seqüência de soluções aproximadas, através do processo iterativo: (xi_1 f(xJ - xJ(xi_1 )) x1+. 1 = i = O ' 1 ' .. (f(xJ - f(xi-1 )) .

3. Critério de parada: Convergência

I < E. -1 Xi+l

1 xi"

Garantida desde que as soluções iniciais sejam tomadas próximas da raiz de f(x). Exemplo 7.16

Resolver a equação x + ln(x) = O, usando o método das secantes com € = 0.01. Processo iterativo: Xi+l =

(xi-l f(xi ) - xJ(xi-t )) i = O, l, ... (f(xJ - f(xi-l )

Soluções iniciais: Xo = 0.1 x1 = 0.5. Dessa forma, gera-se a seqüência de soluções aproximadas: "4 = 0.5675 l x -X 3 1 Neste momento, o critério de parada é satisfeito: X4 I toma-se como solução aproximada X3 0.5658

X2 = 0.5384

X =:

0.0030 < € e

0.5675.

7 .5.4 Módulo aproximação de funções Neste módulo, o usuário tem a sua disposição Interpolação de Funções, Aproximação com tabela de pontos ou Expressão de f(x). Nesta opção, temos disponíveis as Fórmulas Interpolatórias de Lagrange, Newton e Newton Gregory. O usuário tem ainda disponível Ajustes de Funções usando o Mé todo dos Mínimos Quadrados.

322

Cálculo Numérico

Interpolação de funções Caso o usuário escolha Interpolação de Funções com a opção Aproximação - Ta bela de pontos, deverá fornecer a tabela de pontos a ser interpolada, especificando os valores de xi e os correspondentes f(xi), clicando sempre em Confirme. Poderá, ainda, Limpar pontos ou Limpar 1 ponto, conforme janelas da Figura 7.16 a) e b):

Figura 7.1 6

Neste momento, o usuário deve escolher a fórmula interpolatória dese jada, conforme janelas da Figura 7.17 a):

323

Manual do Software Numérico

Clicando em Lagrange, o usuário deverá fornecer o grau do polinômio corretamente e o ponto a ser interpolado. Neste momento, deverá clicar em Polinômio Interpolador, seguidamente de Calcular polinômio no ponto, conforme janela da Figura 7.17 b ) :

b) Figura 7.1 7

Caso o usuário deseje plotar polinômio, basta clicar neste botão e temos uma janela com o gráfico do polinômio, pontos fornecidos e o ponto interpo lado, conforme janela da Figura 7.18: � t • , • l l r ) • l>l 1 1 1 • • ( 1 < '" 1 , ._< Jr • ll H' J< '

r- ��- �- --

94 � 2

º · il :iil

- - - - · -

· ·

- · · · · - - · - - - -

�

- - - - - - - - - · -

- · · - - · - - - - - -

�

- - · - - - - - - -

- - - - - - - - - - ·

- · ·-------·

- - - - - -

- - - - ----- - -

---···

r! r :

---- · -

- - - - - - - - - - · ·

···---··--·

- - · - - - - - · -

· - - - - - - - -

· - - - - - - - - - - -

. ...

.i:

-r:

· - - - -- - - - · ·

- - - - - - - - - - -

• Po .... .......

- - - - -

- - - - - -

i ! -�-----------·r··--· ;

·· · · - - - - · -

- - - - - - - - - - -

· - - · ·

-- · ·

- - - - - - - - - - -

....

Figura 7.1 8

r 1

···-·

- - -

2.8

- P61iít.t..., ln1•'111'6._.,r . ,._..._. r�•

.wlA

324

Cálculo Numérico

Caso o usuário deseje trabalhar usando a expressão de f(x), deverá sele cionar Aproximação - Expressão de f(x) e fornecer função f(x), conforme janelas da Figura 7.19 a) e b):

E.nlre C011

Neste momento, o usuário t�rá à sua disposição a função tabelada nos pontos fornecidos, podendo ainda Limpar pontos ou Limpar 1 ponto, cli cando sempre em Confirme, conforme janela na Figura 7.19 c):

e) Figura 7.1 9

325

Manual do Software Numérico

Clicando em Continuar, deverá fornecer corretamente o grau do polinó mio, o ponto a ser interpolado e, clicando em Polinômio Interpolador e Calcular polinômio no ponto, tem-se disponível a janela conforme Figura 7.20 a):

O usuário poderá, ainda, Plotar polinômio, e terá o gráfico do polinô mio interpolador, pontos fornecidos, ponto interpolado e a função fornecida, conforme janela da Figura 7.20 b ) :

ª • • • t• • • • • !•• • • • ·�·-· ·-• • 1 • • • • • 1• •}

� -�2llO : - � � � � � � �� : - - - - - :: :: - . - -- - :� ---�- �: � �: +-� •

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-=·

· -

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Figura 7.20

Para calcular o limitante superior para o erro, clicando no botão apro priado, o usuário fornece a expressão do limitante corretamente e a n-ésima derivada da função f(x).

326

Cálculo Numérico

Com o auxílio de gráficos disponíveis, o usuário deverá calcular o maior valor em módulo que esta derivada assume dentro do intervalo. Dessa forma, tem-se as seguintes janelas, conforme janelas da Figura 7.21 a) e b): �l 1•11 1 : lntP Supenor p�a o crro

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Neste momento, tem-se o limitante superior para o erro calculado, con forme janela da Figura 7.21 c):

e) Figura 7.21

Todas as demais fórmulas interpolatórias seguem o mesmo roteiro, conforme detalhado na fórmula de Lagrange.

Ajuste de funções - método dos mínimos quadrados

Caso o usuário escolha a opção Ajuste de Funções usando o Método dos Mínimos Quadrados, deverá clicar no botão disponível e fornecer a tabela de pontos para ser ajustada, podendo, ainda, Limpar pontos ou Limpar 1 ponto, conforme janelas da Figura 7.22 a) e b):

327

Manual do Software Numérico

Método dos M fninlos Q uadrados

curvas:

Neste momento, o usuário deverá clicar no botão Plotar Pontos e terá uma janela com os pontos dispostos no plano, para a seguir escolher a fun ção que deverá ser usada no ajuste, conforme janela da Figura 7.23 a):

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328

Cálculo Numérico

Observando os pontos na janela anterior, pode-se concluir que o ajuste polinomial seria uma boa escolha, clicando em Ajuste Polinomial, Função g(x) e Plotar g(x) tem-se uma janela com a função g(x) de grau 2 ajustada e o grá fico de g(x), conforme Figura 7.23 b ):

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O usuário pode, ainda, avaliar a qualidade do ajuste escolhido, clicando em Erro Cometido, conforme janela da Figura 7.23 c):

e) Figura 7.23

Todos os demais ajustes seguem o mesmo roteiro exibido anteriormente.

329

Manual do Software Numérico

Descrição breve dos métodos numéricos usados no módulo aproxi mação de funções Seja f(x) definida em :xo, x11 , Xn (n + 1) pontos distintos de um intervalo [a, b]. Deseja-se aproximar essa função por um polinómio P(x) de grau menor ou igual n, tal que o polinómio coincida com a função nestes pontos, isto é, Pn (x; ) = f(x; ) i = O, l, ... , n. Interpolação de funções

•••

Existência e Unicidade

Seja f(x) definida em Xo, x1, ... , Xn (n + 1) pontos distintos de um intervalo [a, b], então existe um único polinómio Pn(x) de grau menor ou igual a n, tal que P n (x; ) = f(x; ) i = O, l, ... , n. Utiliza-se neste trabalho três fórmulas interpolatórias: Lagrange, Newton e Newton-Gregory. Seja f(x) definida em Xo, x1, . .., Xn (n + 1) pontos distintos de um intervalo [a, b]. Por notação considera-se f(xi) = Yi i = O, l, 2, .. . � n. n n (x - x ) i . Neste caso, tem-se: Pn (x) = L Yk fdx), onde R k (x) = n r;t k. x (x k=O i=O k i ) Fórmula de Lagrange

Fórmula de Newton

Baseado nas diferenças divididas:

� [xi ] = f(x J � diferença dividida de ordem zero Assim, temos o polinómio interpolador de Newton:

pn (x) = � [Xo ]+( X-Xo )f1 [Xo , X1 ] + ( X -Xo )( X - X1 )f2 [Xo , X1 , Xz ] + ... + +(X -Xo ( X -X1 ) ... ( X -Xn_1 )� [Xo , X1 1 ··· 1Xn ] Fórmula de Newton-Gregory

Baseado nas diferenças finitas: �n f(x) = �n-1 f(x + h) - �n-1 f(x) � diferença finita de ordem n �º f(x) = f(x) � diferença finita de ordem zero

330

Cálculo Numérico

Assim, temos o polinómio interpolador de Newton-Gregory : Pn (x) = do f(x0 )+(x -x0 ) �«�1 > +(x -x0 )(x -x1 ) �«�2 > + ... + l!h 2!h dnf(x0 ) +(x -x0 )(x -x1 ) ... (x -xn_1 )---' n!hn Limitante superior para o erro

E(x) �

l (x -xº )(x -x1 ) ... (x -xn ) I máx { i f< n+l l (x) l , x e [a, b] } (n+ l)!

Exemplo 7.17

Seja f(x) tabelada como segue: 1.0 o 2.0 X o 3.0 10.0 f(x) Determine o polinómio interpolador de f(x), usando a fórmula de Lagrange, Newton-Gregory e Newton, avalie f(l.6). a) Lagrange � P2 (x) = y0f0 (x)+ y1f 1 (x)+ y2 f 2 (x) x2 - 3x + 2 (x) = fo 2 2 - 2x x f 1 (x) = -1 2 x x f 2 (X ) = --2 Portanto, temos P2 (x) = 2x2 + x e P(l.6) = 6.72 = f(l .6) b) Newton � P2 (x) = t [x0]+(x -x0 )f1 [x0 ,x1 ]+(x - x0 )(x -x1 )f2 [x0, x1 ,x2 ] Tabela das diferenças divididas: o 1

3.0

10.0

7.0

3.0

Portanto, P2 (x) = 2x2 +x e f(l.6) ::: P(l.6) = 6.72. Newton-Gregory Como h = l, temos: d1 d2 P2 (x) = dº f(x0 )+(x -x0 ) f(x/ ) + (x -x0 )(x -x1 ) f(x2° ) l! h 2! h

331

Manual do Software Numérico

Tabela das diferenças finitas:

ll.1

3.0

o 1

ll.º

10.0

Portanto, P2 (x) = 2x2 + x

ll.2

f(l .6) :: P(l.6) = 6.72.

Observação

Caso o usuário forneça a forma analítica da função f(x), é possível calcular limitante superior para o erro. Aproximação de funções - método dos mínimos quadrados O método dos mínimos quadrados consiste em, conhecidos os valores de f(x) em m pontos, determinar uma função g(x) que melhor se aproxime de f(x). Para esta aproximação usamos uma função g(x), a qual pode ser uma combinação de funções polinomiais, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas etc. Assim, desejamos determinar uma função g(x) = a1 g1 (x) + a2 g2 (x) + + ... + an g n (x) de forma que o erro E = :L/ e(xJ )2 seja mínimo, isto é i=l E = L ) f(xJ - g(xJ)2 seja mínimo: m

i=l

Portanto, para determinar os parâmetros ai i l, ... , n, temos de resolver o seguinte sistema de equações lineares: aE = Ü ( g <=> L 1 (xi )g1 (xi ))a1 + ( L g2 (xi )g1 (xi ))a2 + . .. + ªª1 i=l i=l =

+ ( L gn (xJg1 (xJ )an = L f(xJg1 (xJ i=l i=l m

+ ( L gn (xJg2 (xi ))an = L f(xi )g2 (xJ i=l i=l m

+ ( L gn (xJgn (xJ )an = L f(xJgn (xJ m

i=l

332

Cálculo Numérico

Assim, temos: m

i=l

(L, g1 (x; )g1 (x; ))a1 +(L,g2 (x; )g1 (x; ))a2 + ... + (L, gn (x; )g1 (x; ))an = L, f(x; )g1 (x; ) m

(L, g1 (x; )g2 (x; ))a1 + (L,g2 (x; )g2 (x; ))a2 + ... + (L, gn (x; )g2 (x; )) an = L, f(x; )g2 (x; ) (L g1 (x; )gn (x; ))a1 +(L, g2 (x; )gn (x; ))a2 + ... + (L, gn (x; )gn (x; ))an = L, f(x; )gn (x; ) O sistema de equações lineares obtido é denominado sistema de equa ções normais, o qual pode ser resolvido por qualquer método visto anterior mente. Com a solução do sistema, determinamos os parâmetros a; i = 1, ... , n e, conseqüentemente, a função g(x) = a1 g1 (x) + ... + an gn (x) que melhor se ajusta à função f(x) nos pontos x11 x21 , Xm no senso dos mínimos quadrados. •••

Exemplo 7.18

Seja f(x) tabelada como segue:

4.9

o 2.1

2 8.2

3 1 0. 3

44 5

16.8

Usando o método dos mínimos quadrados, determine g(x) = a1x + a2 , que melhor se ajusta aos dados. Sistema de equações normais:

I, x;2 I, x; 6

k=l 6

r::i ª r55 51 rª2l l { ª1 ª2

I, x; k=l

k=l

I, f(x; ) x; 6

k=l 6

I, f(x; ) k=l

9rl56.491

Assim, temos o seguinte sistema de equações lineares: 1

Usando o método de eliminação de Gauss, temos: = 2.9571 = 2.0905

333

Manual do Software Numérico

Portanto, temos: g(x) = 2.9571 X + 2.0905 Cálculo do erro:

Temos: E = :L ( e (xJ )2 = 0.0762 e qualquer outra reta possui a soma dos i=I quadrados dos erros superior a este valor obtido. Podemos, ainda, obter outras aproximações, usando a função hiperbó lica e a função exponencial da seguinte forma: 6

a) Caso hiperbólico

1 para ser ajustada aos dados do problema. a1 x + a2 Neste caso, como a função g(x) não é linear nos parâmetros a 1 e a2, o sistema obtido por:

Considere a função g(x)

é um sistema de equações não lineares. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado, fazendo-se uma transformação adequada de modo a obter uma combinação linear nos parâmetros. 1 Considere a função h(x) = -- = a1 x + a2 que aproxima a função g(x) 1 -- e temos agora o caso do ajuste linear já conhecido. Assim, temos o se f(x) guinte sistema de equações normais: ( :L xn a1 + ( L xi )a2 = :L � i=I f (Xi ) i=I i=I 1 m(a2 ) :L ( L xJ a 1 + i=I i=I f(xi ) m

Os parâmetros obtidos na resolução do sistema de equações normais resol vem o problema minimizar

Íi= (-f(x1-i ) - h(xJ)2 t

e fornecem uma solução aproximada para o problema inicial proposto.

334

Cálculo Numérico

b) Caso exponencial

Podemos considerar uma função na forma g(x) = a(bt com os parâmetros "a" e "b" positivos, para ser ajustada aos dados do problema. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação: h(x)

ln (g(x)) = ln (a ( bx )) = ln (a) + ln ( bx ) = ln (a) + x ln (b)

Definindo-se:

temos que h(x) é uma combinação linear das funções g1 (x) = x e g 2 (x) = l, isto é, h(x) = a 1 g 1 (x) + a 2 g 2 (x). Desta forma, obtemos o seguinte sistema de equações normais: ( L x/ )a1 + ( L xJa2 = I ln(f(xJ)xi i=l i=l i=l m

m(a2 ) = L ln(f(xJ) i=l m

Os parâmetros a 1 e a2 obtidos na resolução do sistema linear de equa ções resolvem o problema minimizar

(ln(f(xJ - h(xJ)2 L i=l m

e fornecem uma solução aproximada para o problema original dado.

e) A decisão sobre a escolha da função a ser considerada no ajuste, para repre

sentar a tabela de dados, deve ser tomada após a construção do gráfico com a disposição dos pontos.

7 5 5 Módulo integração numérica .

Neste módulo, o usuário tem à sua disposição métodos numéricos para inte gração de funções. Nesta opção, estão disponíveis as regras de integração de Newton-Cotes, ou seja: Regra dos Trapézios, Regra 1/3 de Simpson e Regra 3/8 de Simpson.

Caso a opção seja Pontos Eqüidistantes e Entrar com Pontos, temos uma janela na qual o usuário deve fornecer os dados X; e os correspondentes f(xi ), Limpar pontos ou ainda Limpar 1 ponto, conforme janelas da Figura 7.24 a) e b ):

335

Manual do Software Numérico

l ntegr

23.0000 54.0000 1 5. 0000 ·5. 0000

Figura 7.24

Clicando em Continuar, o usuário deverá escolher a regra de integra ção desejada, conforme janela a seguir: Se o usuário desejar a opção Regra dos Trapézios, deve clicar no botão adequado, e terá uma janela com o resultado desejado, conforme Figura 7.25 a) e b):

Regra dos T rap6zios

Regra 1 13 tle s-....

Figura 7.25

336

Cálculo Numérico

Caso o usuário deseje a opção Regra 1/3 de Simpson, deve clicar no bo tão disponível e, neste momento, terá uma janela Verifique as condições do método, pois não é possível aplicar neste caso a Regra 1 /3 de Simpson, temos apenas número ímpar de subintervalos, conforme janela da Figura 7.26 a):

Se o usuário desejar usar a opção Regra 3/8 de Simpson, basta clicar neste botão e terá o resultado, conforme janela da Figura 7.26 b):

b) Figura 7.26

Caso o usuário deseje calcular a integral de uma função na opção Entrar Função - Valor de h, deve fornecer a expressão da função, o inter valo de integração e o espaçamento entre os pontos conforme janelas da Figura 7.27 a) e b). Neste caso, consideramos a função f(x) = (ex + 0.5), o intervalo [-1, 2] e o espaçamento h = 0.1, clica-se na opção Regra dos Trapézios e temos os resultados desejados, conforme janelas da Figura 7.27 c) e d).

33 7

Manual do Software Numérico

-uxm

Pode-se, ainda, esboçar a área coberta pela integral da função dada, clicando em Plotar Gráfico, e temos a área sombreada, conforme janela da Figura 7.27 e):

338

Cálculo Numérico

e) Figura 7.27

O usuário pode, ainda, calcular o limitante superior para o erro para a regra dos trapézios, neste caso, deve fornecer as derivadas necessárias para este cálculo, bem como analisar o maior valor que essa derivada assume, em módulo, dentro do intervalo de integração, conforme janelas da Figura 7.28 a) e b):

Fornecendo a expressão do limitante superior para o erro da regra dos trapézios, temos o cálculo do limitante superior para o erro, conforme Fi gura 7.28 b):

339

Manual do Software Numérico

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(7.3891)

Temos, neste momento, após clicar em Calcular limitante o valor do limitante superior para o erro, conforme janela da Figura 7.28 c):

e) Figura 28

No caso de o usuário desejar calcular a integral de uma função usando a opção Entrar Função N11 de Pontos, como na Figura 7.29 a) deverá fornecer a expressão de f(x) e o número de pontos desejado no cálculo da integral. Digitando a função f(x) ex + 0.5, o intervalo [l, 2 ] e o número de pon tos N 10 pontos, temos os resultados desejados, conforme janelas da Figura 7.29 b) e c): -

340

Cálculo Numérico

Neste momento, temos a função avaliada nos pontos calculados xi e clicando em Continuar temos as opções das regras de integração conforme janelas da Figura 7.29 d) e e):

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Cl.8819

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1Jn34

-o.3333 0.(111) �3333

j1.2165

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341

Manual do Software Numérico

Clicando em Regra 1/3 de Simpson, temos o valor aproximado da inte gral, conforme resultado nas janelas da Figura 7.29 e) e f): M6todo

Regra 1 fJ de Silpson

f) Figura 7.29

usuário pode, ainda, calcular o limitante superior para o erro para a Regra 1 /3 de Simpson, fornecendo as derivadas necessárias e a expressão do limitante superior para o erro, conforme janelas da Figura 7.30 a) e b): O

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D.S O.S 0.9 12 1.5 1 .8

Clicando em Calcular Limitante, temos o resultado desejado, conforme janela da Figura 7.30 c):

342

Cálculo Numérico

e) Figura 7.30

Caso o usuário deseje calcular a integral de uma função, em pontos não eqüidistantes, o Software Numérico oferecerá a opção do uso da Regra dos Trapézios, considerando cada subintervalo e o "h" correspondente, confor me janelas da Figura 7.31 a) e b):

Aviso

Neste caso, digitando os valores de xi e f(xj), pode-se, ainda, Limpar pontos ou Limpar 1 ponto; clicando em Continuar, temos o valor aproxima do da integral, conforme janelas da Figura 7.31 c) e d):

343

Manual do Software Numérico

1 .5000 1.11000

34..0000

3.0CO>

-10.�

Figura 7.31

Se o usuário desejar calcular a integral de uma função na opção Entrar com Função, ainda nesta opção, Pontos não Eqüidistantes deve fornecer a expressão de f(x), podendo ainda, Limpar pontos ou Limpar 1 ponto. Neste caso, fornecendo os pontos desejados, temos a função f(x) tabelada. Considerando a função f(x) l /x temos as janelas conforme Figura 7.32 a) e b): =

lntegreç&o

1 .0000 0.6687 3.0000 3.5000

jo.2857 0. 3333

344

Cálculo Numérico

Clicando em Continuar, temos o resultado aproximado da integral, através da regra dos trapézios, conforme janela da Figura 7.32 c):

e) Figura 7.32

Pode-se, ainda, observar a área coberta pela integral da função quando utiliza-se a regra dos trapézios e o limitante superior para o erro, conforme janela da Figura 7.33 a):

O usuário pode, ainda, calcular o limitante superior para o erro na regra dos trapézios, em cada subintervalo; por exemplo, considera-se o primeiro subintervalo com h = 0.5. Os demais subintervalos seguem o mesmo roteiro, no final somam-se os limitantes obtidos em cada subintervalo.

Manual do Software Numérico

Neste caso, o usuário deve fornecer as derivadas necessárias para cálculo do limitante superior para o erro, o máximo valor que esta assur no intervalo de integração e a expressão do limitante, conforme janelas Figura 7.33 b) e c): ·

Cálculo do limitante superior para o erro da regra dos trapézios: � L i mi tante 1 - Valor

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0.1 95

2.5

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0.781

0.586

Supen or para o

2.5

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Desta forma, temos um limitante superior para o erro conforme janE da Figura 7.33 d):

346

Cálculo Numérico

d) Figura 7.33

Descrição breve dos métodos numéricos usados no módulo integração numérica A integração numérica consiste na aproximação de f(x) definida nos pontos distintos x0, x1, ... , Xn do intervalo [a, b], pelo polinómio de interpolação, e na integração de P(x) ao invés de f(x), isto é:

J b

f(x)dx

J Pn ( x ) d x b

Fórmulas de quadratura de Newton-Cotes

Seja f(x) definida em Xo, X11 , Xn (n + 1) pontos distintos e igualmente espaça dos no intervalo [a, b], tais que (x i+1 - xJ = h, i = O, 1, ... , n - 1, h > O. Em particular, para a interpolação, utiliza-se o polinómio interpolador de Newton-Gregory de grau n, dado por: �1 f(x0 ) �2 f(x° ) Pn (x) = �º f(x0 )+(x - x0 ) + (x - x0 )(x - x 1 ) + 2!h2 l!h •••

+ ... + (x - x0 ) (x - xn-1 ) •••

�"f(x0 ) n! h"

---

Sabe-se, da interpolação polinomial, que, f(x) = Pn (x) + En (x) onde

347

Manual do Software Numérico

Regra dos trapézios

Seja f(x) definida no intervalo [Xo, xi ]. Neste caso, o polinômio interpolador é de grau n = 1, e temos:

J f(x)dx = J Pi (x)dx = hJ P1 (u)du

�

onde P1 (u) é o polinômio interpolador de Newton-Gregory de grau n = 1 . Assim, 1

1 1 0 0 1 � � )+u � ))du = h (J ) du + J u �1 f(x0 ) du) f(x f(x f(x0 J f(x)dx = hJ ( 0 0

J f(x)dx = zh [f(x0 ) + f(x1 )]

Erro cometido na regra dos trapézios

Limitante superior para o erro

Regra dos trapézios generalizada

A regra dos trapézios generalizada consiste na subdivisão do intervalo de (x integração [a, b] em n subintervalos iguais, onde n = n Xo ) Xo = a n = b

�

e na aplicação da regra dos trapézios em cada subintervalo. Assim, temos:

348

Cálculo Numérico

Erro na regra dos trapézios generalizada O erro total na fórmula generalizada é obtido a partir da soma dos erros come

tidos em cada subintervalo, isto é:

h3 (2)

E , = L - - f (Çi ) xi-I :::; Çi :::; xi 12 n

i=I

Assim, a expressão para o erro na regra dos trapézios generalizada toma-se:

Limitante superior para o erro

I E1 I :::;

�� (xn - xo ) máx {l f ((� ) J , x0 :::; x :::; xn }

Regra 1/3 de Simpson

Seja f(x) definida no intervalo [a, b ]. Neste intervalo, consideramos os pontos eqüidistantes x0, x1 1 x2, com x0 = a x0 = b, e construímos o polinômio interpo lador da função f(x) de grau n = 2. Assim, temos: 2 J f(x) dx = J P2 (x) dx = hJ P2 (u) du X2

Erro cometido na regra 1/3 de Simpson

E 2 = - h5 f ( Ç ) x0 :::; Ç :::; X2 (4)

Limitante superior para o erro

h I E2 I :::; 90

{I I

máx f ( x ) , x0 :::; x :::; x2

Regra 1/3 de Simpson generalizada

(4)

}

A Regra 1 /3 de Simpson generalizada consiste em subdividir o intervalo de integração [a, b] em n subintervalos de amplitude h, em que n é um número par de subintervalos, de forma que Xo = a, Xn = b, e aplicar a Regra 1 /3 de Simpson em cada par consecutivo de intervalo.

349

Manual do Software Numérico

Assim:

Erro na Regra 1/3 de Simpson generalizada

Como foi visto anteriormente, para cada dois subintervalos (3 pontos) pode-se aplicar a Regra 1 /3 de Simpson e o erro total cometido para n apli cações é dado por:

Limitante superior para o erro

Regra 3/8 de Simpson

Considere f(x) definida [a, b]. Neste intervalo, considere os pontos Xo, Xv x21 x3 eqüidistantes. O polinómio interpolador neste caso é de grau n 3. Assim: 3 J f(x) dx := J P3 (x) dx = hJ P3 (u) du =

�

onde P3 (u) é o polinómio interpolador de Newton-Gregory de grau n = 3. Assim, x

- 2) 3 � f(x0 )] du J f(x)dx := hJ [�0 f(x0 ) + u�1 f(x0 ) + u(u2-! 1) �2 f(x0 ) + (u)(u -3l)(u !

Uma vez que, 0 � f(x0 ) = f(x0 ) �1 f(x0 ) = f(x1 ) - f(x0 ) �2 f(x0 ) = f(x2 ) - 2f(x1 ) + f(x0 ) �3 f(x0 ) = f(x3 ) - 3f(x 2 ) + 3f(x1 ) - f(x0 )

350

Cálculo Numérico

temos:

Erro cometido na regra 3/8 de Simpson

E3 =

(4)

h5 f (Ç)

Limitante superior para o erro

Regra 3/8 de Simpson generalizada

A Regra 3 / 8 de Simpson generalizada consiste em subdividir o intervalo [a, b] de integração em n subintervalos, de amplitude h, onde n um número múl tiplo de 3, de forma que Xo = a e x0 = b, e aplicar a Regra 3/8 de Simpson a cada 4 pontos consecutivos. Assim,

J f(x) dx = -83 h [f(x0 ) + 3f(x1 ) + 3f(x2 ) + f(x3 ) ] + -83 h [f(x3 ) + 3f(x4 )+ 3f(x5 ) + f(x6 )] +

� �

+...+

h [f(x0_3 ) + 3f(x0_2 ) + 3f(x0_1 )+ f(x0 )] =

h [f(x0 )+ 3(f(x1 )+ f(x2 )+

+ f(x 4 )+ ... + f(x0_2 ) + f(x 0_1 )) + 2(f(x3 )+ f(x6 ) + ... + f(x0_3 )) + f(x0 )] Erro na Regra 3/8 de Simpson generalizada

Para cada três subintervalos (quatro pontos eqüidistantes) pode-se aplicar a Regra 3/8 de Simpson e o erro total cometido para n aplicações é dado por:

351

Manual do Software Numérico

Limitante superior para o erro

Exemplo 7.19

Calcule J exdx usando 6 subintervalos pela regra dos trapézios, regra 1 /3 1

de Simpson e regra 3/8 de Simpson e um limitante superior para o erro em cada uma delas. Tabelando a função com h 1 /6, temos: =

f(x)

o 1

1 /6 1 .1814

2/6 1 .3956

3/6 1 .6487

4/6 1 .9477

5/6 2.3010

a) Regra dos trapézios

Da regra dos trapézios temos:

Limitante superior para o erro

Como, máx { l f2 <x) I , O :::; x :::; 1 } 2.7183 em x = l, temos: =

I E(x) l ::s; ü.0063 b) Regra 1/3 de Simpson

1 2.7183

352

Cálculo Numérico

Limitante superior para o erro

Como máx { J f4 (x) J , O S x S 1 } 2.7183 em x =

e) Regra 3/8 de Simpson

1 E1 1 S 0.00001

temos:

f ex dx = 3 -h8 [f(xo ) + 3(f(x1 )+ f(x2 ) + f(x4 )+ f(xs )) + 2f(x3 )+ f(x6 )] o

1 7183 .

Limitante superior para o erro

JEr J S

80 (xn - Xo )

máx

{I I

(4) f(x) ,

Como, máx { J f4 (x) J , O S x S 1 } 2.7183 em x =

J E1 1 S 0.00003

1, temos:

7 5 6 Módulo equações diferenciais .

Neste módulo, o usuário tem a sua disposição métodos numéricos para reso lução de equações diferenciais ordinárias de 1 ordem com valor inicial (PVI):

{

y ' = f(x, y) y(x o ) = y 0 � valor inicial

Nesta opção, temos disponível os métodos de Runge-Kutta: Runge-Kutta de 1 ordem - método de Euler li

Runge-Kutta de 2ll ordem - método de Euler aperfeiçoado Runge-Kutta de 3ll ordem Runge Kutta de 4ll ordem Para utilização desse módulo, o usuário deverá clicar em Entre com os dados da equação, fornecendo a expressão da equação diferencial, Xo, y0, h, e o valor desejado Xn . Por exemplo, considere a equação diferencial y ' = y com valor inicial y(O)

1, h

0,1 e � 0.4. =

353

Manual do Software Numérico

O usuário pode, ainda, Limpar tudo, conforme pode ser observado nas

janelas da Figura 7.34 a) e b):

b) Figura 7.34

Neste momento, o usuário deverá escolher o método desejado, se clicar na opção Runge-Kutta de P ordem - Euler, terá a equação discretizada e os valores encontrados, conforme janelas da Figura 7.35 a) e b ):

354

Cálculo Numérico

Temos o resultado desejado y("4) = y(0.4), conforme janela da Figura 7.35 c):

usuário poderá, ainda, obter o gráfico da equação discretizada, cli cando em Plotar Gráfico conforme janela da Figura 7.35 d): O

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0.4

d) Figura 7.35

Caso o usuário conheça a solução exata (analítica) da equação dife rencial, pode comparar os resultados obtidos com a função y(x), declarando, na janela apropriada, a expressão da solução exata e obter o gráfico da solu ção aproximada, bem como o gráfico da solução exata, conforme janelas da Figura 7.36 a) e b):

355

Manual do Software Numérico

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0.32

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D.316

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0.4

Caso o usuário conheça a solução exata da equação diferencial, pode calcular o limitante superior para o erro, fornecendo a 2ª derivada da função y(x), e a expressão do limitante superior para o erro. Com o auxílio de gráficos, pode-se calcular o maior valor em módulo que a função assume no intervalo de discretização, conforme janela da Figura 7.36 d):

356 �I

Cálculo Numérico

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1 .1 51

0 .2•

0.06

0.12

0.1 8

0.24

Temos, neste momento, o valor do limitante superior para o erro, con forme janela da Figura 7.36 e):

OIC e) Figura 7.36

Se o usuário desejar a opção Runge-Kutta de 2• ordem - Euler Aperfei çoado, terá os resultados conforme janelas da Figura 7.37 a) e b):

Manual do Software Numérico

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0. 1 000

0. 2000

'0. ml

357

1 .cml u reo 1 .221 0 1 . 3492 1 .4909

b) Figura 7.37

Descrição breve dos métodos numéricos usados no módulo equações diferenciais Solução numérica de equações diferenciais ordinárias

{

Considere a equação diferencial orctinária de 1 ª ordem com valor inicial (PVI):

y ' = f(x, y) y(xo ) = yo

Resolver a equação diferencial consiste em determinar uma função y(x) que satis faça a equação dada. Um método numérico para resolver esta equação consiste em determinar aproximações Yn para y(xn) onde Xn = Xo + nh n = O, 1, 2, ...

358

Cálculo Numérico

Métodos de Runge-Kutta: P ordem - método de Euler

O método de Euler consiste em determinarmos

da seguinte forma:

as aproximações Yn para y(xn)

Limitante superior para o erro

2ª ordem - método de Euler aperfeiçoado

No método de Euler ape�feiçoado utilizamos a seguinte expressão:

com

h Yn+l = Yn + 2 (k1 + k2 } k 1 = f(x n , Y n }

k 2 = f(x 0 + h, Yn + hk1 } Métodos de Runge-Kutta de ordens superiores

3ª ordem

No caso dos métodos de Runge-Kutta de 3ª ordem, utilizamos a seguinte expressão:

com

k1 = f(X0 , Yn } 1 1 k2 = f(xn + - h, Yn +- hk1 } 2 2 3 3 k 3 = f(X0 + 4 h, Yn + 4 hk 2 }

4ª ordem

No método de Runge-Kutta de 4ª ordem, utilizamos a seguinte expressão:

Manual do Software Numérico

359

com

kl = f(xn , Yn ) 1 h k2 = f(xn + 2 h, Yn + 2 ki ) 1 h k3 = f(xn + - h, Yn + - k2 ) 2 2 k4 = f(xn + h, Yn + hk3 ) Exemplo 7.20

{

Considere a equação diferencial de 1 il ordem com valor inicial: y ' = - xy y(O) = 1

Tomando h = 0.1 calcule y(0. 5) usando os métodos de Runge-Kutta de 1 ordem e de 4ã ordem. li

a) Método de Runge-Kutta de 1 il ordem - método de Euler y(O) = 1 y(0.1) = Y1 = 1 .000 y(0.2) = Y2 = 0.9900 y(0.3) ::: y3 0.9702 y(0.4) = y4 = 0.9411 y(0.5) = 0.9035 =

b) Método de Runge-Kutta de 4il ordem y(O) 1 y(O.l) ::: Y1 = 0.9950 y(0.2) = Y2 0.9802 y(0.3) = y3 = 0.9560 y(0.4) ::: Y4 = 0.9231 y(0.5) ::: Ys = 0.8825 =

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lodice Remissivo

Ajuste exponencial, 176 hiperbólico, 171 polinomial (caso discreto), 158 trigonométrico, 167 Aproximações Sucessivas (método), 80 B

Binário (sistema), 2 Bisseção (método), 76 e

Cholesky (método), 30 Critério de Sassenfeld, 60 Critério de parada, 56 D

Determinante de Vandermonde, 129 Diagonalmente dominante, 55 Descartes (regra de sinais), 100 Diferenças divididas (operador), 141 finitas (operador), 149 Descrição breve dos métodos (usados no Software Numérico) Módulo Aproximação de funções, 331 Módulo Equações diferenciais ordinárias, 357 Módulo Integração Numérica, 346 Módulo Inversa de matriz, 306 Módulo Raízes de funções, 317 Módulo Sistemas lineares, 294 E

Eliminação de Gauss (método), 34 diagonal, 34 estratégias de pivotamento, 34

parcial, 38 total, 41 Equações diferenciais (solução numérica) método de Euler Aperfeiçoado, 253 método de Euler modificado, 257 método de Euler, 244 método previsor-corretor, 269 métodos de Runge-Kutta, 251 Equações normais (sistemas), 161 Equações polinomiais, 96 Erros absoluto, 10 arredondamento, 10 Euler (método), 244 Mínimos quadrados, 160 na integração numérica, 192 na interpolação, 130 propagação de erros, 14 relativo, 11 truncamento, 12 Estimativa do número de iterações (método da Bisseção), 78 Estudo da convergência (sistemas lineares), 55 F

Fórmulas de Newton-Cotes, 191 Fórmula de Lagrange, 132 Fórmula de Newton, 141 Fórmula de Newton-Gregory, 153 G

Gauss (método de eliminação), 34 Gaussiana (quadratura), 216 Gauss-Seidel (método iterativo), 58 1

Integração Numérica regra dos trapézios, 193

363

364

Cálculo Numérico

quadratura Gaussiana, 216 regra 1/3 de Simpson, 200 regra 3/8 de Simpson, 208 Integração dupla, 223 Interpolação inversa, 148 linear, 138 polinomial, 127

J Jacobiana (matriz), 107 L

Lagrange (polinômio interpolador), 132 Localização de raízes, 97 LU (decomposição), 25 M

Mau condicionamento, 49 Mantissa, 5 Manual do Software Numérico, 285 Matriz definida positiva, 30 Métodos Aproximações Sucessivas, 80 Bisseção, 76 Briot-Ruffini, 102 Gráfico, 74 Mínimos Quadrados, 157 Newton Modificado, 92 Newton, 87 Newton+Briot-Ruffini, 104 Newton-Bairstow, 112 Posição Falsa, 96 Secantes, 93 Métodos diretos Gauss com pivotamento diagonal, 34 Gauss com pivotamento parcial, 38 Gauss com pivotamento total, 41 Gauss-Jordan, 44 Métodos iterativos, 49 Gauss-Seidel, 58 Jacobi-Richardson, 53 Mudança de base, 4 N

Newton (método para sistemas não lineares), 106 Newton (polinômio interpolador), 141 Newton-Cotes (fórmulas de integração), 191 Newton-Gregory (polinômio interpolador), 153

Passo múltiplo (métodos de), 246 Passo simples (métodos de ), 245 Pivotamento (estratégias de), 34 Polinomiais (equações), 96 Polinomial (interpolação), 127 Previsor-corretor (método), 269 Problema de Valor Inicial (PVI), 236 Propagação de erros, 14

Q Quadratura Gaussiana, 216 R

Raízes de uma equação localização das raízes reais e complexas, 97 métodos numéricos, 76 Regra de Sinais de Descartes, 100 Regras de integração numérica, 189 Runge-Kutta (métodos de), 251 s

Sistemas lineares (métodos), 19 Sistemas de ponto flutuante, 5 Sturm (seqüência), 101 Sistemas não lineares (método), 106 Sistemas triangulares, 21 Secante (método), 93 Sassenfeld (critério), 60 Simpson (regras), 200 Software Numérico Módulo Aproximação de funções, 321 Módulo Equações diferenciais ordinárias, 352 Módulo integração numérica, 334 Módulo Inversa de matriz, 305 Módulo Raízes de funções, 307 Módulo sistemas lineares, 288 T

Taylor (métodos de série de), 242 Trabalhando com o Software Numérico' 65' 121, 182, 227, 278 Teste de alinhamento, 175 Trapézios (regra), 193 Teorema de Budan-Fourier, 100 Teorema do círculo (localização de raízes), 97 Teorema de Sturm, 101 u

Underflow (sistema de ponto flutuante), 8 o

Operações elementares, 24 Overflow .(sistema de ponto flutuante), 8

Zero em ponto flutuante, 6

lt.lf'RESSÁO E ACABAMENTO:

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