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, 6?6 v = 0 Im(A)⊥ = {0}A
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Ω
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p<N p=N p>N
⎩
"
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1,p
1/p∗ = 1/p − 1/N
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Ω Ω ∂ω × (0, L) ω × {0} ω × {L}
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2n + 1
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j=1
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' # wk . ) u k 9 A (wk (0), dw dt (0)) . . (u0 , u1 ) V Ă&#x2014; H A 0 . 1, A u(t)A ;- < . ) â&#x2C6;&#x161; 8 . ;- $< 8 v = uk ' (uk / Îťk ) 0 0 V A u(t) . ) 8 . ;- $< v â&#x2C6;&#x2C6; V A , 6?6 u(t) 0 ;- $< * A 8
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⎧ ∂2u ⎪ ⎪ ρ 2 − div (2µe(u) + λ tr(e(u)) Id) = f ⎪ ⎨ ∂t u=0 ⎪ ⎪ u(t ⎪ ⎩ ∂u = 0) = u0 (x) ∂t (t = 0) = u1 (x)
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, 0 A A
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⎧ ⎨
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t t 1 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; |u (t)| dx + |â&#x2C6;&#x2021;u | dx ds = f u dx ds + |uâ&#x2C6;&#x2019; (0)|2 dx. 2 â&#x201E;¦ 2 â&#x201E;¦ 0 0 â&#x201E;¦ â&#x201E;¦ ' uâ&#x2C6;&#x2019; (0) = (u0 )â&#x2C6;&#x2019; = 0
t 1 |uâ&#x2C6;&#x2019; (t)|2 dx + |â&#x2C6;&#x2021;uâ&#x2C6;&#x2019; |2 dx ds â&#x2030;¤ 0, 2 â&#x201E;¦ 0 â&#x201E;¦ , 6?6 uâ&#x2C6;&#x2019; = 0 ]0, T [Ã&#x2014;â&#x201E;¦
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fi (t) = Fi u(t) , u (t) 1 â&#x2030;¤ i â&#x2030;¤ M,
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. n − 1A # A x 0 # , 0 ) K ∩ H A
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. z ∈ X A supx∈ X J(x) ≤ supx∈ X J(x)
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$ (M ∗ + N )w, w > 0 (M ∗ + N ) % w = 0 A M % ' . −1 2 ∗ M
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... ≤ λn
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rk = b − Axk ? , B # . Kk ; r0 < * A L M xk , : [x0 + Kk−1 ] I A ? , . x0 ∈ Rn r0 = b − Ax0 A ?
. xk ∈ [x0 + Kk−1 ] rk = b − Axk 6 Kk−1 A k ≥ 1
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k≥1
xk
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, . 0 ) , ; k0 + 1 R k0 B # .< ' A , .
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6 8 # ' A ) . A )
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, A < ' . , , xk
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* A rk0 +1 = 0 xk0 +1 #
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0 * A xk ∈ [x0 + Kk−1 ] [x0 + Kk−1 ] f (x) =
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(dk )0≤k≤n−1 5 * + A Adk · dl = 0 0 ≤ l < k ≤ n − 1.
) , . I 9 ( A , ,
rk ? Kk−1 A xk
. 8 .
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" " rk ' & % rk = bâ&#x2C6;&#x2019;Axk , * " r0 = p 0
rk = rkâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; αkâ&#x2C6;&#x2019;1 Apkâ&#x2C6;&#x2019;1 pk = rk + βkâ&#x2C6;&#x2019;1 pkâ&#x2C6;&#x2019;1
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k â&#x2030;¥ 0 $ xk+1 = xk + αk pk " xk+1 ' & [x0 + Kk ]
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0 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ k & " Apk+1 · pj = 0
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Apk · pj = 0
0 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ k â&#x2C6;&#x2019; 1. ? " % & k + 1 * " xk+1 rk · rj = 0
0 â&#x2030;¤ j â&#x2030;¤ k â&#x2C6;&#x2019; 1,
rk+1 · rj = rk · rj â&#x2C6;&#x2019; αk Apk · rj ,
& rj = pj â&#x2C6;&#x2019; βjâ&#x2C6;&#x2019;1 pjâ&#x2C6;&#x2019;1 '
rk+1 · rj = rk · rj â&#x2C6;&#x2019; αk Apk · pj + αk βjâ&#x2C6;&#x2019;1 Apk · pjâ&#x2C6;&#x2019;1 .
( ( * " rk+1 · rj = 0 j â&#x2030;¤ k â&#x2C6;&#x2019; 1 " *
αk " " rk+1 · rk = 0 . * " pk+1 & Apk+1 · pj = pk+1 · Apj = rk+1 · Apj + βk pk · Apj ,
Apj = (rj â&#x2C6;&#x2019; rj+1 )/αj
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j â&#x2030;¤ k â&#x2C6;&#x2019;1 ( ( ( rk+1 " % ' !
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