MI VIDA CON…
VECTORES
AUTORES
1ª Edición
Nombre: Lisa María Cifuentes del Águila Edad: 19 años
Pasatiempos: Jugar softball, tomar fotografías y cocinar.
Carrera: Ingeniería en Ciencia de la Administración
´ Correo electronico: cif12266@uvg.edu.gt
Nombre: Carlos Andrés Duarte Cordón Edad: 19 años
Pasatiempo: Jugar football
Carrera: Ingeniería en Ciencia de la Administración ´ Correo electronico: dua12205@uvg.edu.gt
Nombre: Manuel Arturo Villacorta Ortega Edad: 19 años
Pasatiempo: Jugar football y videojuegos
Carrera: Ingeniería en Ciencia de la Administración ´ Correo electronico: dua12135@uvg.edu.gt 2
´
Capítulos
Páginas
ANTECEDENTES………………………………………………………………………………………………………….4-5 VECTORES………………………………………………...................................................................6-10 LÍNEAS Y PLANOS…………………………………………………………………………………………………..11-23 ARITMÉTICA MODULAR…………………………………………………………………………………………24-26 MÉTODOS DIRECTOS PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES…………………………………..27-29 CONJUNTOS GENERADORES E INDEPENDENCIA LINEAL………………………………………..30-31 BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………………………………………………………………....32 ENTRETENIMIENTO…………………………………………………………….………………………………...33-35
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ANTECEDENTES ‘ Origen del algebra: Este término se define como una rama de las matemáticas que utiliza letras para simbolizar relaciones aritméticas. Entre las operaciones que se pueden realizar en el álgebra se encuentran: la suma, resta, multiplicación, división y cálculo de raíces. El álgebra clásica se encarga de resolver ecuaciones, utiliza símbolos y operaciones aritméticas para delimitar la manera en la que se usan los símbolos. A continuación, nos adentraremos a la historia del álgebra.
Incitados por la necesidad de resolver problemas de topografía y de intercambio comercial, los babilonios fueron quienes adentraron el álgebra a usos cotidianos al emplear métodos y técnicas para medir y contar. Se han descubierto varias tablillas babilónicas que fueron utilizadas para plantear solución a problemas algebraicos, por ejemplo, soluciones a ecuaciones cuadráticas. También usaron tablas de raíces cuadradas y cúbicas. Estas tablillas fueron profundamente analizadas con el motivo de investigar todas las técnicas que utilizaban los babilonios para la resolución de problemas. El hallazgo que se obtuvo fue sorprendente debido a que mediante cálculos los babilonios no sólo trataban de resolver problemas del mundo real, sino otros más abstractos. Esto lo realizaban para desarrollar y mejorar métodos de solución. Seguido a esto, los árabes continuaron involucrándose a la ciencia de idear y resolver ecuaciones. A esta ciencia le denominaron aljabr. En el siglo VII, la nueva civilización que se originó en la península arábiga estaba a punto de reformar la vida en varios sectores alrededor del mundo. Durante el año 630 d.C., el ejército islámico había transformado a las tribus del Medio Oriente en politeístas. Además de esto, habían invadido Siria y Egipto. Persia fue conquistada el año 641 d.C. Los califas, quienes eran discípulos de Mahona, fundaron su capital en Damasco. Sin embargo, tras cien años de guerra, los califas se dividieron en varias partes. En el año 766 d.C., el califa al-Mansur estableció su nueva capital en Bagdad, lo cual simbolizó el comienzo de una etapa más tolerante del islamismo y posibilitó que sus habitantes tuvieran un mejor desarrollo en el ámbito intelectual. A este le siguió Harun al-Rashid, quien fundó una biblioteca en la que había varios manuscritos provenientes de academias del Cercano Oriente. Muhammad ibn Musa al fue autor de varios escritos sobre astronomía y matemáticas. Además, redactó un libro islámico sobre el álgebra. Gracias a la traducción en latín de su libro acerca del sistema de numeración hindú, Europa Occidental comprendió ese método de numeración. Este importante algebrista escribió sobre la ciencia de las ecuaciones. El álgebra de Muhammad poseía instrucciones claras para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas. Omar Khayyam, quien fue otro algebrista, fue la primera persona en realizar una distribución sistemática de las ecuaciones cúbicas, además de plantear la solución para cada una de las mismas. La colaboración de los algebristas islámicos habría sido más significativa si no se hubiera tardado tanto en influir en Europa, en donde el álgebra se fortaleció poco tiempo después.
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‘ de algebra ‘ Definicion lineal: El álgebra lineal se define como una rama de las matemáticas que se encarga de analizar conceptos como vectores, sistemas de ecuaciones lineales y matrices. Esto se realiza a través de un enfoque más formal, como espacios vectoriales y transformaciones lineales. Esta ciencia se encuentra conectada con muchas otras áreas y ramas dentro y fuera de la matemática tales como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, entre otras. La historia del álgebra lineal moderna surge en el año 1843, en el cual William Roan Hamilton creó los
cuaterniones, los cuales son una extensión de los números reales. De este algebrista, también proviene el término vector. En 1844, Herman Grossman editó su libro traducido como la teoría lineal de extensión.
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¿Que´ es un vector? Un vector es un segmento de recta, entre un punto inicial (cola), y un punto final (cabeza); y que tiene dirección. Se caracteriza por tener: Magnitud: que es la distancia entre la cola y la cabeza. También se conoce como “norma” o “módulo”. Dirección: que está dada por una recta que pasa por él, o por una recta paralela. También puede ser el ángulo entre el vector y el eje x, siempre que el vector esté en posición estándar. En ese caso se expresa en radianes. Sentido: es uno de los dos sentidos posibles de la recta que pasa por él. Los vectores no tienen ubicación definida, puede moverse por el plano sin modificar su magnitud o su orientación. Dos vectores son iguales si tienen misma magnitud y orientación, aunque estén en diferente lugar del plano. Sin embargo, para tener mejor referencia sobre ellos, suelen ser ubicados en posición estándar: con la cola en el origen del plano. Un vector se encuentra formado por componentes. Estas denotan las coordenadas individuales del vector.
´ de un vector: Notacion Para diferenciar un vector, siempre se escribe su literal en negrillas o con una flecha encima del mismo. También, puede expresarse según su punto inicial y final. Por ejemplo: El vector v puede expresarse, según su literal, como: ⃗ o v O según su punto inicial y final como: ⃗⃗⃗⃗⃗
Formas de escribir un vector: Un vector puede escribirse de dos formas: Vector renglón: ⃗ = [v1, v2] Vector columna: ⃗ = [ ] *Nótese que en ambos casos se usan corchetes para encerrar las componentes del vector. Si se usara paréntesis, se están indicando coordenadas de un punto. n
Un vector en R tendrá n componentes. Entonces, el vector ⃗ se vería como: v = [v1, v2, v3,… vn-1, vn]
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n
Las propiedades algebraicas de vectores en R son las siguientes: Sean u, v y w y sean c y de escalares. Entonces: (
)
)
( ( ( (
) ) ) ) (
(
)
La magnitud de un vector ⃗ se expresa como ‖⃗ ‖ está dada por la raíz cuadrada de la suma al cuadrado de sus componentes: ‖⃗ ‖ = √
Operaciones vectoriales: Para todos los ejemplos suponga que: ⃗ , ⃗
-
y c es una escalar
Suma y diferencia de vectores: Su resultado es otro vector. Gráficamente es poner la cola del segundo vector, sobre la cabeza del otro.
La operación por componentes es de la siguiente forma: ⃗
-
⃗
Multiplicación escalar: Su resultado es otro vector. Gráficamente es alargar o reducir la longitud de un vector, según el escalar por el que se multiplica.
En componentes se vería así: ⃗
*Si c > 0, ⃗ tiene magnitud “c” veces la de ⃗ y ⃗ tiene dirección igual que la de ⃗ . *Si c < 0, ⃗ tiene magnitud |c| veces la de ⃗ y ⃗ tiene dirección contraria a la de ⃗ .
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-
Producto escalar (producto punto): Su resultado es un escalar. Y se obtiene de la siguiente forma: ⃗ ⃗ Propiedades algebraicas del producto escalar: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗ ) (⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Vector cero o vector nulo: -
Se representa como: ⃗ = [0,0]. No se puede representar gráficamente. Su magnitud es igual a 0, pero la dirección no puede ser determinada.
Vectores ortogonales y paralelos: -
Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) entre sí, solo si el producto escalar entre ambos es igual a cero. Dos vectores son paralelos entre sí, cuando uno de los vectores es el múltiplo escalar del otro.
´ ´ se aplica el teorema de Pitagoras? ¿Como n
Para todos los vectores u y v en R . ‖
‖2 = ‖ ‖2 + ‖ ‖2 si y sólo si u v son ortogonales.
Demostración: ‖2 = ‖ ‖2 + 2(u v) + ‖ ‖2 para todos los vectores u y v en Rn. Inmediatamente se Tenemos ‖ ‖2 = ‖ ‖2 + ‖ ‖2 si y sólo si u v = 0. sigue que ‖
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Vector unitario: Tienen magnitud igual a 1. 2 Se dice que están en posición estándar para R cuando: ⃗⃗⃗ y ⃗⃗⃗ Normalizar un vector, se refiere a encontrar el vector unitario en dirección del vector de interés. Se hace de la siguiente forma: ⃗
( ‖ ‖) ⃗ ⃗
Desigualdades: -
Desigualdad de Cauchy –Schwarz:
-
Desigualdad del triángulo:
|⃗
⃗|
‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖
‖⃗
⃗‖
‖⃗ ‖
‖⃗ ‖
Distancia entre vectores: La distancia entre dos vectores está dada por la magnitud de su diferencia: ⃗ ‖⃗ ⃗‖
´ lineal de dos vectores: Combinacion Es un vector resultado de la suma de otros dos vectores, multiplicados por sus respectivos escalares. Por ejemplo: Conociendo los vectores ⃗ ⃗ , se obtiene un vector ⃗⃗⃗ combinación de los anteriores. En este ejemplo se usan 2 y 3 como los escalares. En general, puede usarse cualquier otro escalar.
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´ de un vector ⃗ sobre ⃗ : Proyeccion Es el vector resultante de trazar, desde la cabeza de ⃗ , un segmento de recta hasta ⃗ , que sea ortogonal a este.
Se calcula de la siguiente forma: ⃗⃗
(
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
)⃗
Ángulo entre dos vectores ⃗ ⃗ (aplicando la ley de coseno): Se calcula de la siguiente forma: ⃗ ⃗ ‖⃗ ‖ ‖⃗ ‖
Producto vectorial: 3
Solo está definida para R . Su resultado es un vector ortogonal a los dos operados.
⃗ -
⃗
[
]x[
] =[
]
Propiedades del producto cruz: o ⃗ ⃗ (⃗ ⃗ ) o ⃗ ⃗
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Al día de hoy, todos los que amamos los números y las matemáticas nos sabemos de memoria la ecuación de una línea recta que se encuentra en un plano cartesiano. Ahora, en esta revista queremos considerar las líneas en R² desde un punto de vista que sea vectorial. Las ideas que se obtendrán de este enfoque nos van a ayudar a hacer una generalización a las líneas en R² y luego a los planos en R³. Por si existen dudas entre ambos planos, la diferencia entre un plano R² y un plano R³ es la siguiente:
R²
R³
Líneas en R² y R³: Todos sabemos que en el plano xy, la forma general de la ecuación de una recta es: ax + by = c. Si b ≠ 0, entonces podemos decir que la ecuación puede volver a expresarse como y=-(a/b)x + b, lo cual si lo vemos de otra manera, tiene la forma y= mx + b. En definición de las variables, esta es la forma con intercepción en el origen, m es la pendiente, y el punto con coordenadas (o,b) es en donde intercepta en y.
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Para que queden más claros los vectores en este contexto, se encuentra un ejemplo a continuación:
La recta L con ecuación 2x+y=0
Vector normal n
La recta L que se muestra arriba es una recta con pendiente -2 que pasa por el origen. El lado izquierdo de la ecuación se encuentra en la forma de un producto punto; si hacemos que la ecuación se transforme en n ∙x = 0. El vector n es perpendicular a la recta, lo que quiere decir que es ortogonal a cualquier vector x que sea paralela a la recta (como en la imagen que se encuentra arriba del vector normal n), y es conocida como vector normal a la línea recta. En resumen, la ecuación n∙x= 0 es la forma normal de la ecuación de L. Un ejemplo relacionado al anterior sería el siguiente: Si nos dicen que x = t y y =-2t, y está expresada en forma vectorial de la siguiente manera:
¿Qué significa el vector
?
El vector d que se encuentra arriba sería un vector partícular paralelo a la recta L mostrada anteriormente. Este vector se llama vector de dirección para la recta. Como se encuentra la imagen de abajo, podemos escribir la ecuación de L como x = td. A esto se le llama la forma vectorial de la ecuación. Por si existen dudas, a continuación se encuentra otro ejemplo para entenderlo mejor… Para que el ejemplo lleve datos parecidos al anterior, pongamos como ejemplo una recta L con ecuación 2x + y = 5. Esta recta sería la misma que el ejemplo anterior solo que está desplazada 5 unidades para arriba. Al igual que la anterior, también tiene pendiente -2, pero su intercepto en el eje y ahora es el punto (0,5). Como sabemos, los vectores d y n son un vector de dirección y también un vector normal para la recta. De esta manera, n es ortogonal a cada vector que sea paralelo a L. Por ejemplo, si el punto P=(1,3) y se encuentra sobre L y X=(x,y) representa un punto general en L, entonces el vector PX , =x-p es paralelo a L y n∙(x-p)=0 (fijese en la imagen de abajo).
n∙(x-p)= 0
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De una manera más corta, podemos decir que tenemos n∙x = n∙p. ¿Quisieras verificarlo? Pefecto, calculemos entonces…
Al ver lo que se encuentra exactamente arriba, nos podemos dar cuenta que la forma normal n∙x =n∙p es exactamente una representación diferente de la forma general de la ecuación de la recta. Todo lo mencionado anteriormente nos lleva a la siguiente definición, las cuales hay que saberlas de memoria: La forma normal de la ecuación de la una recta L en R² es: n∙(x-p)= 0
o
n∙x= n∙p
Donde p es un punto específico sobre L y N ≠ 0 es un vector normal para L. La forma general de la ecuación de L es ax + by = c, donde
es un vector normal para L.
Siguiendo con el ejemplo anterior, ahora vamos a determinar la forma vectorial de la ecuación de L. Hay que saber que, para cada selección de x,x-p debe ser paralelo al vector de dirección d. ¿Qué significa esto? Esto significa que x-p = td o x=p+td para algún escalar t. ¿Lo quieres ver en términos de componente?
La ecuación al lado del número 1 mostrada arriba es la forma vectorial de la ecuación de L y las ecuaciones a modo de componentes en (2) son llamadas ecuaciones paramétricas de la recta. La variable t se le llama parámetro.
¿Cómo se generaliza todo esto en R³? Hay que observar que las formas vectoriales y paramétricas de las ecuaciones para una recta aún se conservan perfectamente. La noción de la pendiente de una recta en R² (que es muy difícil generalizar a tres dimensiones). Es reemplazada por la noción más conveniente de un vector de dirección, lo que nos lleva a la siguiente definición.
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La forma vectorial de la ecuación de la una recta L en R² o R³ es: X= p +td Donde p es un punto específico sobre L y d ≠ 0 es un vector de dirección para L. Las ecuaciones correspondientes a las componentes de la forma vectorial de la ecuación se llaman ecuaciones paramétricas de L.
Para entender mejor la definición explicada anteriormente, se encuentra un ejercicio abajo: Tenemos que encontrar las ecuaciones vectorial y paramétrica de la recta en R³ que pasa a través del punto P= (1,2-1) y es paralela al vector
¡Aquí esta la solución!
Como ya hemos aprendido, la ecuación vectorial x= p+td es:
La forma paramétrica es: x= 1+5t y= 2-t z=-1+3t
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Planos R³ Cuando escuchamos “planos en R³”, lo primero que se nos viene a la mente es: ¿cómo se generaliza a R³ la forma general de la ecuación de una recta? Como vimos anteriormente, si ax + by =c es la forma general de la ecuación de una recta en R², entonces ax + by + cz = d podría representar una recta en R³. En forma normal, esta ecuación sería n ∙x = n∙p, donde n es un vector normal a la recta y p corresponde a un punto sobre la misma. Una de las definiciones que es fundamental aprendérsela acerca de los planos R³ es:
La forma normal de la ecuación de un plano P en R³ es: n∙(x-p) = 0
o
n∙x = n∙p
donde p es un punto específico sobre P y n ≠ 0 es un vector normal para P. La forma general de la ecuación de P es ax + by + cz = d, donde es un vector normal para P.
Realicemos un ejercicio para comprender el cuadro anterior: El ejercicio se basa en determinar las formas normal y general de la ecuación del plano que contiene el punto P =(6,0,1) y tiene como vector normal
¿Cómo determinar ambas formas de la ecuación?
¡Es muy sencillo!
Tenemos que n∙p = 1∙6 + 2∙0 + 3∙1= 9, de manera que la
ecuación normal n∙x = n∙p se coniverte en la ecuación general x + 2y + 3z = 9. ¡Ves, no es nada difícil!
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Además, también se pueden expresar la ecuación de un plano en forma vectorial o paramétrica. Para hacerlo así, démonos cuenta que un plano también puede ser determinado al especificar uno de sus puntos P (mediante el vector p) y 2 vectores de dirección u y v paralelos al plano (¡Ojo! Pero no paralelos entre sí). Para entenderlo mejor, la imagen de abajo lo muestra mejor. En la imagen, dado cualquier punto x en el plano (que esté localizado por x), siempre podemos hallar múltiplos apropiados su y tv de los vectores de dirección de tal manera que x-p= su + tv o x=p + su + tv. –Si escribimos esta ecuación en forma de componentes, obtendremos ecuaciones paramétricas para el plano.
Otra de las definiciones importantes en los planos R³ es la forma vectorial de la ecuación de un plano P. Esta definición se escribe de la siguiente manera: x=p + su + tv donde p es un punto en P y u y v son vectores de dirección para P(u y v son distintos de cero y paralelos a P, pero no paralelos entre sí. Las ecuaciones correspondientes a las componentes de la forma vectorial de la ecuación son conocidas como ecuaciones paramétricas de P. Vamos con un ejercicio para entender lo mencionado anteriormente… Si se necesitaran encontrar las ecuaciones vectorial y paramétricas del plano que está arriba (cuadro anaranjado), ¿cómo lo haríamos? Para comenzar, necesitamos encontrar dos vectores de dirección. Tenemos un punto P= (6,0,1) en el plano; si podemos encontrar otros dos puntos en Q y R en P, entonces los vectores PQ y PR nos pueden servir como vectores de dirección. A simple vista, observamos que Q=(9,0,0) y R=(3,3,0) satisfacen la ecuación general x + 2y + 3z = 9, por lo cual se encuentran en el plano. Así, podemos calcular
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los cuales, nos van a serviri como vectores de dirección. Por consiguiente, ya tenemos la ecuación vectorial de P:
y las correspondientes ecuaciones paramétricas, x= 6 + 3s-3t y=
3t
z= 1 –s -t Esto es todo lo relacionado con planos y rectas, pero para que todo haya quedado entendido perfectamente, abajo se encuentran las ecuaciones de rectas en R² y las rectas y planos en R³.
Ecuacion de la recta en R² Forma general
ax + by = c
Forma normal n ∙
x
=
n ∙
p
Forma vectorial x Ecuaciones paramétricas
= p+ t d x= p₁ + td₁ y= p₂ + td₂
Rectas y Planos en R³
Ecuaciones simétricas de la recta en R3:
*En caso de que alguna componente del vector dirección sea 0, las ecuaciones simétricas se escriben de la siguiente forma:
;
(en caso que d3 = 0)
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Un objeto necesitará un menor número de ecuaciones entre mayor sea su dimensión. Esto se muestra de la siguiente manera. -
3
Un plano en R es bidimensional. Este requiere de una ecuación general y se establece en un espacio tridimensional. 3 Una recta en R se denomina como unidimensional, por lo cual necesita de dos ecuaciones.
Las dimensiones de cada objeto coinciden con el número de parámetros, ya sea en su forma vectorial como en la paramétrica. Ahora que ya conocemos los términos y ecuaciones más relevantes de esta sección, podemos proceder a encontrar la distancia desde un punto a una recta o a un plano.
La distancia desde un punto a una recta: Se define al tomar la distancia mínima entre ese punto cualesquiera y un punto que se ubique en la recta. Además, también podemos definir esta distancia como la longitud del punto hasta la recta formando un segmento perpendicular. Este concepto podremos entenderlo mejor con el siguiente ejemplo:
Determine la distancia desde el punto B = (1,0,2) hasta la línea l pasando por el punto A = (3,1,1) con un vector de dirección d =
Como primer punto, debemos calcular la longitud de ⃗⃗⃗⃗⃗ . Definimos a P como el punto sobre l, el cual se encuentra al pie de la perpendicular desde B. Expresamos a v = ⃗⃗⃗⃗⃗ , entonces ⃗⃗⃗⃗⃗ = proyd(v) y ⃗⃗⃗⃗⃗ = v – proyd(v).
¡Continúa así!
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Si la línea l se encuentra en R y su ecuación está representada por la ecuación ax+ by = c, entonces la distancia se representa por la siguiente fórmula: 2
√
´ encontrar la distancia desde un punto a un plano? ¿Como
Encontrar la distancia desde un punto a un plano es muy sencillo, a continuación se encuentra un ejemplo de cómo hacerlo: Se necesita determinar la distancia desde el punto B= (0, 1,2) hasta el plano P cuya ecuación general es x + y –z = 1 Para comenzar, se debe calcular la longitud de ⃗⃗⃗⃗⃗ , donde P es el punto sobre Ƥ que se encuentra al pie de la perpendicular desde B. Si A es cualquier punto sobre Ƥ y se sitúa el vector normal de Ƥ de modo que su cola se localice en A, entonces, se necesita hallar la longitud de la proyección de ⃗⃗⃗⃗⃗ sobre n.
Si encontramos cualquier punto que tenga coordenadas que satisfagan la ecuación x + y –z, el punto A = (1,0,0) estaría perfecto. Entonces:
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Ya con esto, hacemos la proyección de v sobre n, la cual es la siguiente:
Por último, ya obtenemos la distancia d(B, Ƥ) desde B hasta Ƥ:
Bien, ya sabemos cómo encontrar la distancia de un punto a un plano. Y si nos preguntaran como obtener la distancia entre rectas paralelas, ¿cómo lo haríamos? ¡Es sumamente sencillo!
Distancia entre rectas paralelas: Encontrar la distancia entre rectas paralelas, no tiene nada de complicado. A continuación esta un ejemplo para que se entienda perfectamente cómo encontrar la distancia entre rectas paralelas… ¿Cómo se encuentra la distancia entre las rectas 6x + 2y -3 = 0 y 6x + 2y + 5= 0? Desde simple vista, se puede ver que los coeficientes de x y de y son iguales en las dos ecuaciones, entonces podemos decir que las rectas son paralelas. Lo que sigue es elegir un punto cualquiera en la primera recta. Para ello, se toma cualquier valor de x, por ejemplo x = 1, se sustituye en la ecuación y vamos a poder encontrar el valor de y: 6(1) + 2y – 3= 0 Entonces, al despejar para y, nos queda que Y=
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Así, el punto P(1,
) pertenece a la primera recta. Entonces ahora se debe de calcular la distancia de P a la
segunda recta:
Por lo tanto, la distancia entre las rectas es de
√
.
¡Ya viste, no es nada complicado, es sencillo!
Distancia entre planos paralelos: Para entender cómo obtener la distancia entre dos planos paralelos, hay un ejemplo abajo. ¿Cómo se encuentra la distancia entre los planos paralelos 10x + 2y – 2z = 5 y 5x + y – z= 1? Primero, como buenos ingenieros que somos nos damos cuenta que los planos son paralelos porque los vectores normales son paralelos. Para poder encontrar la distancia D entre los planos, elegimos cualquier punto sobre un plano y se calcula la distancia al otro plano.
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Por ejemplo, si se escribe y= z= 0 en la ecuación del primer plano, obtenemos 10x=5y y, por lo tanto, (
) es un punto en este plano. Entonces la distancia entre (
) y el plano
5x + y –z -1=0 es:
Y ya encontramos la distancia entre los planos, es
√
.
´ ´ entre rectas: Angulo de interseccion Cuando se tienen dos rectas y ambas con ecuación y =mx + b, sabemos que se forman dos ángulos. La primera recta sería= y₁= mx + b₁ y la segunda ecuación sería= y₂= mx + b₂. El ángulo se obtendría con la siguiente formula:
´ Angulo de interseccion´ entre planos: Para entender como encontrar el ángulo entre dos planos, el siguiente ejemplo nos lo explica: ¿Cómo se encuentra el ángulo entre los planos x + y + z = 1 y x -2y + 3z = 1. Bueno, sabemos que los vectores normales de estos planos son : n₁ =
n₂=
Por lo tanto, el ángulo entre los planos da como resultado:
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´ Angulo de interseccion´ entre una recta y un plano: Para poder encontrar el ángulo de intersección entre una recta y un plano se debe establecer cual es la intersección entre la recta y el plano. Ya establecida la intersección, se traza un punto que vaya desde la recta x hasta la recta y. ¡OJO!
El punto que vaya desde la recta x hasta la recta y tiene que ser perpendicular al plano. Después, se define la intersección entre la recta y y el plano. Ahora, los puntos resultantes van a ser los que van a definir a la recta. Por último, es suficiente con saber que el ángulo que forman las rectas será igual al ángulo que forma una recta con un plano.
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Aunque no lo creas practicas aritmética modular todos los días, y en algo tan simple como ver el reloj. Por ejemplo, cuando a las nueve de la mañana le sumas siete horas, llegas a las 16 horas, o las 4 de la tarde; ósea: 9 + 7 = 4. Este caso de aritmética modular se conoce como “aritmética del reloj”, o aritmética módulo 12. Todo ocurre entre el conjunto Z12 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} en los que sus elementos se llama entero módulo 12. Como tomamos la hora con un formato de 12 horas, cualquier entero fuera de Z12 tendrá un equivalente dentro del conjunto; por ejemplo: 20 es equivalente a 8, lo que se obtiene del residuo de dividir (nunca negativo) 20 entre 12. El ejemplo anterior se expresa como “20 = 8(mod12)” o “mod(20,12) = 8. La aritmética del reloj (aritmética módulo 12), es solo un ejemplo cotidiano de la aritmética modular. En realidad, la aritmética módulo N se realiza en el conjunto ZN = {0, 1, 2, 3,…, (N-1)}; en donde N (que se conoce como módulo) no necesita de otro requerimiento que ser mayor que 1 (N > 1). Al agregarle las cuatro operaciones básicas que aprendiste en el colegio (+, -, * y /) se convierte en el sistema ZN.
Operaciones en ZN: Sumar y multiplicar no tienen mayor complicación; las haces como siempre las has hecho, y luego tomas el resultado como módulo N. Por ejemplo: en Z13 : 8 * 11 = 10 (8 * 11 = 33 → 33 ÷ 13 = 2 R10 → 8 * 11 = 10) en Z9 : 6 + 10 = 7 (6 + 10 = 16 → 16 ÷ 9 = 1 R7 → 6 + 10 = 7) En la aritmética modelar no existe resta, ni división como tales. Pero su equivalente sería sumar, usando inverso aditivo; y multiplicar, usando inverso multiplicativo.
Inverso aditivo: Un número es inverso aditivo de otro, cuando su suma es igual a cero, que es el elemento neutro de la adición. En números reales, 1 + (-1) = 0, por lo que estos números son inversos aditivos. En ZN, el concepto es el mismo, cabe recordar que el elemento “0”, en este conjunto, será un número que pueda dividirse exactamente dentro de N, dando un cociente entero. También hay que dejar claro que el inverso de un número en ZN, debe ser un elemento del mismo conjunto. Por ejemplo: para Z5: 3 + 2 = 0, por lo que 3 y 2 son inversos aditivos para Z5.
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Inverso multiplicativo: Recordando el concepto de número recíprocos o inversos: v*w = 1; w es inverso de v, y viceversa. Para algunos números dentro de los enteros, sus respectivos recíprocos serán números racionales, algo que no puede suceder dentro de ZN. Lo ideal sería que el recíproco de cada elemento de ZN sea otro elemento dentro de ZN; pero esto no siempre ocurre. Por ejemplo, en Z9, para obtener parejas de inversos, el producto de estos números debería ser como: 10, 28, 46…; en donde al tomarse como módulo 9, darán 1 (19 y 37 no se tomaron en cuenta por ser número primos). Dentro del mismo ejemplo podríamos ver que 2 * 5 = 10, o que 7 * 4 = 28; ambos productos serían 1 en módulo 9, por lo que ya conocemos dos parejas de inversos. En la misma línea, podríamos expresar al inverso de 5, como 2.
Ecuaciones: Para las ecuaciones con aritmética modular, se aplican las mismas técnicas que para las ecuaciones de números regulares, que has de estar acostumbrado a resolver. Sin embargo, hay que tener mucho cuidado de hacer todas las operaciones dentro de ZN. Por ejemplo: en Z9, resolver: 2x = 7 (5) * 2x = (5) * 7 x=5*7 x=8
Elementos invertibles: Como ya hemos visto, los números invertibles son aquellos que tienen un inverso multiplicativo en ZN. En Z9 verás que 0, 3 y 6 son elementos no invertibles (mientras que todos los demás elementos sí lo son). La característica común entre estos no invertibles es que comparte factores con el módulo 9. Por lo anterior podemos deducir que un elemento dentro de ZN, será invertible si su mcd con el módulo N es 1. De esto sale el siguiente teorema: Un elemento a en ZN es invertible si y sólo si el mcd(a,N) = 1
´ Codigo universal del producto: Este código abreviado como UPC se relaciona con el código de barra que se encuentra en varios artículos que observamos en supermercados y tiendas, a excepción de libros. Se utilizan como verificación las barras negras y blancas que posee cada artículo, las cuales se escanean utilizando un láser. Estas barras, las cuales contienen dígitos, representan un vector 10-ario de longitud 12. Los primeros 11 dígitos representan información del fabricante y el producto, en cambio, el último componente señala el dígito verificador. A continuación se presenta un ejemplo con el cual se podrán aclarar dudas que puedan existir.
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Para el UPC que se muestra, determine cuál es el dígito verificador. ⃗ = [4,0,0,7,8,1,7,5,0,4,5,9,d] = [1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1] *Se utiliza siempre este vector código finalizando con el número 1, aunque puede comenzar ya sea con 1 o con 3. ⃗ ⃗
=0 = [(4*1),(0*3),(0*1),(7*3),(8*1),(1*3),(7*1),(5*3),(0*1)(4*3),(5*1),(9*3), (d*1)] = 0 en Z 10
⃗
= [4+ 0 + 0 + 1 + 8 + 3 + 7 + 5 + 0 + 2 + 5 + 7 + d] = 0
La respuesta se ejecuta de la siguiente manera: Se suman todos los valores numéricos entre corchetes y se muestra el valor de ese dato en Z 10. 2+d=0 d=8, ya que el número 10 en Z10 se representa como 0.
´ ´ Numero estandar internacional de libros: Este código abreviado como ISBN representa un código de dígito de control bastante utilizado. Se utiliza sólo en libros. El código de número internacional normalizado de libros se trabaja en Z11 con más frecuencia que en Z14. Cuando se trabaja en Z11, el ISBN tiene 10 dígitos. Los primeros nueve componentes representan el país, editor e información del libro. El décimo componente es el dígito verificador. El vector de verificación es el siguiente: = [10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2,1]. Cuando se trabaja en Z14, el ISBN tiene 13 dígitos y el vector de verificación es: = [13, 12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2,1]. En la actualidad, casi no se trabaja en Z14, por lo que se puede aplicar UPC.
Ejemplo: Un libro tiene una mancha de tinta sobre uno de los dígitos de su ISBN. Averigue el dígito que no se ve. ⃗ = [9,7,0,1,0,5,2,x,4,9] = [10,9,8,7,6,5,4,3,2,1] ⃗ ⃗
=0 = [(9*10),(7*9),(0*8),(1*7),(0*6),(5*5),(2*4),(x*3),(4*2),(9*1)] = 0 en Z 11
⃗
= [2+8+0+7+0+3+8+3x+8+9] = 0 1 + 3x = 0 10 + 1 + 3x = 0 + 10 4 * 3x = 10 * 4 x=7
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Los métodos que se emplean en la resolución de ecuaciones lineales son: sustitución igualación eliminación método gráfico Todo sistema de ecuaciones lineales posee:
Una única solución
Infinito número de soluciones
Ninguna solución
Las dos primeras representan un sistema consistente. En cambio, la última denota un sistema inconsistente.
Matrices:
Estas representan un ángulo rectangular de números. Su notación se representa como “i” simboliza el renglón y “j” simboliza la columna. -
. En donde,
Eliminación gaussiana: Fue creada por Karl Friedrich Gauss. En este método, únicamente es posible realizar tres operaciones de renglón. La primera operación permitida es intercambiar el iésimo renglón con el j-ésimo renglón. También, se puede multiplicar por un escalar k el i-ésimo renglón. La última operación consiste en sumar k veces el renglón “j” al renglón “i”. La matriz deberá estar en forma escalonada para poder trabajarla.
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Un ejemplo de este método es el siguiente:
A través de esta representación gráfica se deriva el siguiente concepto:
Entrada principal: es el primer número distinto de 0 que aparece en cada renglón. También es llamada pivote.
Formas en las que puede representarse la eliminación gaussiana: [
] Una solución
[
] No hay solución
[
] Infinitas soluciones
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-
Eliminación de Gauss-Jordan: Se representa como una matriz en forma escalonada reducida. Se muestra un ejemplo a continuación.
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Conjuntos generadores: Nunca te has preguntado, ¿cuándo un sistema de ecuaciones lineales con matriz aumentada [A| b] es consistente?
Esa pregunta ha pasado por la cabeza de las personas que sentimos pasión por el álgebra lineal al querer aprender a profundidad. La respuesta es muy sencilla: Un sistema de ecuaciones lineales con matriz aumentada [A| b] es consistente sólo cuando b es una combinación lineal de las columnas de A. ¿Siguen las dudas? Aquí va un ejemplo teórico: Cuando un vector dado w sea una combinación lineal de otros vectores (como u y v), esto significa que se pueden encontrar escalares c1 y c2; un escalar para cada vector y la respuesta quedará de la siguiente manera: w = c1 u + c2 v ¿No entendiste el ejemplo anterior? Aquí va otro… Un ejemplo importante de un conjunto generador es el conjunto de los vectores unitarios estándar en Rn . Rn = generado(e1, e2, …, en) puesto que cualquier vector u se puede escribir como combinación lineal de e1, e2, …, en así: u = [u1, u2, …, un] = u1 e1 + u2 e2 + … + un en.
¡Ahora un ejercicio para que queden totalmente resueltas las dudas!
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Determine si R² = generado ([ ] [
])
Para saber si R² es generada por los vectores dados, se necesita encontrar dos escalares c₁ y c₂ tales que, c₁ [ ]+ c₂ [ [
]
[ ]
] R1 ↔ R2 [
Si x -3y
] R2 – 3R1 [
]
0, el sistema no tiene solución
El conjunto {[ ] [
]} no genera R².
Una definición más sencilla: Si generado(S) = Rn, entonces a S se le identifica como un conjunto generador para Rn.
Espacio Generado: Lo que se necesita saber acerca de un espacio generado es lo siguiente:
Si S = {v1, v2, …, vk} es un conjunto de vectores en Rn, entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1, v2, …, vk se denomina el espacio generado por los vectores v1, v2, …, vk y se denota como generado(v1, v2, …, vk) o generado(S).
Linealmente dependiente: Se afirma que un conjunto de vectores v1, v2,…, vk es linealmente independiente si existen escalares c 1, c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que cumplan con lo siguiente: c1v1 + c2v2 + ckvk = 0
Linealmente independiente: Se denomina como linealmente independiente al conjunto de vectores que cumple con esta característica: c1v1 + c2v2 + ckvk ≠ 0
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BIBLIOGRAFÍA Carrillo, Manuel; C. Hernández y E. Lam. 2001. Geometría analítica y trigonomería. 1ª ed. México, D.F.: Pearson Educación. 440 págs. López, Jorge. Criptología. Puerto Rico. http://www.matematicaparatodos.com/varios/criptografia.pdf [consultado: 19/01/13] Martínez, Karina; D. Ojeda; R. Velazquez. Historia del álgebra lineal. http://aplicacionestesoem.wikispaces.com/HISTORIA+DEL+ALGEBRA+LINEAL [consultado: 19/01/13] Poole, David. 2007. Álgebra lineal: una introducción moderna. 2ª ed. México, D.F.: Cengage Learning Editores, S.A. 717 págs. Stewart, James. 2008. Cálculo de varias variables. 6ª ed. México D.F.: Cengage Learning Editores, S.A. 550 págs.
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ENTRETENIMIENTO Chistes: Un vector va por la calle y se encuentra a otro que hacía años que no veía. Vector 1 - ¡Hey! ¿Qué tal todo? Vector 2 - Pues ya ves, estoy estudiando. Vector 1 - ¿Ah, sí? ¿Y qué estudias? Vector 2 - Un módulo Era una fiesta de vectores y todos bailaban, pero un escalar estaba solo sentado en una esquina y le preguntan: -¿Por qué esa cara tan triste? Él responde: - Es que mi vida no tiene sentido.
-¡Papá, papá!, ¿me haces el problema de matemáticas? -No hijo, no estaría bien. -Bueno, inténtalo de todas formas.
Se abre el telón y se ven dos sistemas lineales incompatibles. ¿Cómo se llama la película? Cramer contra Cramer.
Estaba Jesús predicando en el monte Sinaí y dijo a sus 2 discípulos: y=ax + bx + c -¿Y eso qué es? - dijo uno de sus discípulos. -A lo que Jesús respondió: - ¡Una parábola!
¿Por qué se suicidó el libro de matemática? Porque tenía demasiados problemas.
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Sopa de letras: M A B S U M A D E V E C T O R E S J V T Y P L O F S X Z Y H F R S B N
U R E C U A C I O N E S P A R A M E T R I C A S F S A W L O N Y T F V
L T V R T I P N G X Z B N A Z Y H K P R Y U I P L A N H R L O E R J E
T B E E R V C A S W E N D H U G D L R K H B S D G T D M P R E R T P C
I S C Y C Q I A Q V E C T O R C E R O P L G T W A S A V V N T A W A T
P D T T Q T S N R W S B X C U I M O D U L O I S B N T N E B P Y A S O
L G O W L Q B D A X G S C R J C P L U S X Q C E O Y H Q C X L H R G R
I U R X P A N R E G J H F R D Q R Q C V A L Y R W P O L T K H G I A E
C L E V U S U Y E Y H A S W Q F B V T G H P M H W N P L O E F G T A S
A S S A N N C U A S D F U N H G W X O H P A Y V X C I W R W O N M Y O
C F C Z T W T I Y A P I V O T E K N E N L A P O G L N T U T R B E F R
I H O H O E O W P W C A W R T I U P S S X G B H R W S Y N R M C T V T
O W P B F M E R N T X L R N A R R A C G P L N J D N A C I X A Y I B O
N X L V I J S N C Y Z U W A H H C L A R F B H T Y I P U T N V U C I G
E V A J N N C H H B N Y H Z L P U A L G E B R A L I N E A L E I A Y O
S B N U A H S Y U R G A K S Q E N N A W B X Y H A S C N R B C O M U N
C Y A N L G L K Y P R N L D T L L W R P J H Y W R T X O I K T E O P A
A G R H R J S Y R L T C X W N Y P O W H V B C A S C A P O U O V D N L
L A E G N N R C E E Y C Y T I N C I S N C V C B S D F L H Y R N U A E
A E S A H B A S V C C Y E W R P O T Y J S M L E R N L O N P I M L W S
R Y R O L K P N J U V T J E L I M I N A C I O N G A U S S I A N A X V
J H A J S Y J X L Y L M A T R I C E S M R M C E R T V C A P L A R Y A
L L N W F A K E N L T M N D S A P M M A G N I T U D C V B Y T V S U S
A V E C T O R B A E W Q V B N U Y O T W E X N B Y P O R B A S W E B N
C O D I G O B I N A R I O N C N C A U C H Y S C H W A R Z R S D F A P
B R C V G Q Z A P L A N O N B H Y U J S D E W A Z X Q H L I K R Y P C
Encuentre las siguientes palabras: MULTIPLICACIÓN ESCALAR
SUMA DE VECTORES
VECTOR
ISBN
VECTOR CERO
DIRECCION
MAGNITUD
FORMA NORMAL
PRODUCTO ESCALAR
PUNTO FINAL
VECTOR UNITARIO
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
ALGEBRA LINEAL
PUNTO INICIAL
CAUCHY SCHWARZ
FORMA VECTORIAL VECTORES COPLANARES
RECTA
CODIGO BINARIO
PROYECCIÓN
PLANO
PIVOTE
VECTORES PARALELOS
MATRICES
ARITMEDICA MODULAR
MODULO
VECTORES ORTOGONALES
ELIMINACIÓN GAUSSIANA
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D I R E C C I O N P U P U N T O I N I C I A L S X P R O Y E C C I O N
Sudoku: 8
3
7
5
3
4
6
6
7
8
5
8
6 8
8 6
2
9
5 6
6
9
3
2 5
8
35
8
4
7
3
2