mord10 by Dmitriy Koryakovtsev

А.А. Сапожников

к задачнику «Алгебра и начала анализа. Задачник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.А. Корешкова, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская — М.: «Мнемозина», 2001 г.»

Глава 1. Тригонометрические функции § 1. Введение В задачах 1-8требуется найти длину дуги. Она находится по формуле: l = α ⋅ r , где α - радианная мера дуги, r - радиус окружности. Так как рассматривается единичная окружность, то r =1, т.е. l = α . Переход от градусной к радианной мере: α = M

β ⋅ π , где β - мера угла в градусах. 180

∪

1. АМ =90°+45°=135°, ВК = 90° + 30° = 120° ∪

∪

МР = 45° + 60°= 105°, DC = 270°, ∪

КА = 150°, ∪

СВ = 270°,

K P

∪

ВР = 150°, ∪

ВС = 90°.

D B

∪

2. АМ = 45°, ∪

CK = 120°, ∪

X P

∪

CP = 150°;

∪

МP = 285°; ∪

МK = 360° – 105° = 255°; ∪

PC = 210°.

D B

DМ = 135°,

∪

BD = 180°;

3. ∪

АМ = 36°, ∪

DМ =126°,

∪

МB = 54° ∪

МC = 144°

P K

D M

4. ∪

CP = 15°,

∪

X K P

AP = 105°

∪

PD = 75°

6. а) Да б) Да в) Да г) Нет, т.к. длина всей окружности l = 2π r =2 ⋅ 3,1415…<6,3

∪

5. АN =225°

Y 2 M

A X N

3 = 3; 2

7. ∠ AOM=60°; MN=2 ⋅ sin ∠ AOM=2 ⋅ ∪

∪

6,2

∪

АМ =60°, МB =30°, АN =300°, NА =60°. 8. Воспользуемся результатами задачи №7. ∪

∪

АМ = NА =60°, МB = DN =30°. ∪

∪

Аналогично BP = QD =30°, PC = CQ =60° ∪

∪

Окончательно получаем: АМ = МP = PC = CQ = QN = NА =60°, ч.т.д. c № 9 по № 16 см. рис. 5π 8

2π

5π 3

π 2

3π 8

3π 4

25π 4

5π 6

π 4

π 12

π 6 π 8

7 7π 6

−

5π 4

3π − 4 − 16π 3

4π 3

25π 6

11π 6

2π . 26π ,− 3 3 −

π 2

3π 2

5π 3

§ 2. Числовая окружность 3π π ; (0; 1). б) π ; (– 1; 0). в) ; (0; – 1). г) 2 π ; (1; 0). 2 2 10. а) 7 π ; (– 1; 0). б) 4 π ; (1; 0). в) 10 π ; (1; 0). г) 3 π ; (-1; 0).

а)

π π π 1 3 2 2 3 1 ;( ; ). б) ; ( ; ). в) ; ( ; ). 3 2 2 2 2 6 2 2 4

11. а)

2 π 1+ 1 + cos π π 2+ 2 2 4 ; cos = ; = cos = 8 2 2 2 8 π 1 − sin2 2π 4 ; sin π = 2 − 2 ; ( 2 − 2 ; 2 − 2 ). sin = 8 2 2 2 2 8 π г) 8

2π 1 3 , (− ; ); 3 2 2

а)

12.

5π 3 1 , (− ; ); 6 2 2

в)

а)

13.

14. а)

π sin = 12

б) sin

5π 2 2 , (− ). ;− 4 2 2

г)

π 6 ; sin π = 2 12

1 − cos

2− 3 2+ 3 2− 3 ; ( ; ); 2 2 2

2 ( 3 − 1) 5π 5 π π π π π π ⎛π π⎞ ; π = + ; cos ⎜ + ⎟ =cos cos -sin sin = 4 6 4 6 4 6 4 12 12 4 6 ⎝ ⎠ 5π = 12

2 ( 3+1) 2( 3 − 1) 2( 3 + 1) ; ); ; ( 4 4 4

в)

3π 3π : cos = 8 8

г)

5π : 8

15. а) –

cos

3π 2− 2 ; sin = 2 8

5π =8

π , (0; –1); 2

в) – 2π, (1; 0); 4

г)

11π 3 1 ; − ). , ( 6 2 2 π 1 + cos π π 2+ 3 6 ; = cos = cos ² 12 2 12 2

π ; 12

3π 2 2 , (− ); ; 4 2 2

4π 1 3 5π 1 3 , ( − ;− ); б) , ( ;− ); 3 3 2 2 2 2

3 1 7π ,(− ;− ); 6 2 2

в)

б)

2+ 2 2− 2 2+ 2 ; ( ; ); 2 2 2

5π 2− 2 ; sin = 2 8

б)

2+ 2 2− 2 ; ( − ; 2 2

2π 1 3 ); ,(− ;– 3 2 2

г) –

3π 2 2 ; − ). ,(− 4 2 2

2+ 2 ) 2

16.

в) −

а)

25π 2 2 26π 1 3 ; ); б) − ); ,( , (− ;− 2 2 2 4 3 2

25π 3 1 ; − ); , ( 2 6 2

г)

16π 1 3 ). , (− ;− 2 3 2

17. t; t+2 π k -t

t t+2 π t+4 π … 0 t- π

t- π ;t+ π

-t

а) t; – t. на прямой: симметрично относительно нуля на окружности: симметрично относительно оси х. б) t; t + 2 πk. на прямой: стоят с периодом 2πk на окружности: совпадают. в) t; t + π. на прямой: стоят на расстоянии в π на окружности: диаметрально противоположны. г) t + π, t – π. на прямой: стоят на расстоянии в 2π на окружности: совпадают π 2 2 ; ) )=( 2 2 4 б) М (5) = (0, 284, – 0,959)

18. а) М (

3π 4

3π 2 2 -3 ) = (– ; ) 4 2 2 5 г) М (– 3) = (– 0,990; – 0,141). B 19. а) А: 2πk; б) С: π + 2πk; в) А и С : πn P M 20. см. рис. к 19. π π π C а) В: + 2πk; б) D: – + 2πk; в) B и D: + πn O 2 2 2 21. см. рис. к 19. a) A: min положительное = 2π; N Q D max отрицательное = 2π π 3 б) В: min положительное = ; max отрицательное = – π 2 2 в) С: min положительное = π; max отрицательное = – π 3π π г) и D: min положительное = ; max отрицательное = – 2 2 см. рис. (с № 22 по № 25) 22. а) 1: (0, 540; 0,841); б) – 5: (0,284; 0,950); в) 4,5: (-0,211; -0,978); г) (– 3): (– 0,990; – 0,141). 23. а) 6: IV; б) 2: II; в) 3: II; г) 4: III. 24. а) 5: IV; б) – 5: I; в) 8: II; г) – 8: III.

π 4

в) М (

25. а) 10: III; б) – I7: II; в) 31: IV; г) – 95: IV. 25 -17 3

2 8

-5

-3 -10 4

-8

-4,5

6 x -95 31

π + 2πk) 4 π M б) CM: t ∈ (– π+2 πk; + 2πk) 4 A C π в) MA: t ∈ ( + 2πk; 2π+ 2πk) X 4 π P г) MC t ∈ ( + 2πk; π+ 2πk) 4 K D 27. см. рис. к 26 π 3π а) DМ: t ∈ (– + 2πk; + 2πk) 2 4 π 3π 3π 3π + 2πk); в) MD: t ∈ ( + 2πk; + 2πk); б) BD: t ∈ ( + 2πk; 2 2 4 2 π π г) DB: t ∈ (– + 2πk; + 2πk). 2 2 28. y π 3π а) M1M2: t ∈ ( + 2πk; + 2πk) M2 4 4 M1 π π б) M4M1: t ∈ (– + 2πk; + 2πk ) C 4 4 x 3π 3π + 2πk; + 2πk) в) M3M2: t ∈ (– 4 4 M3 π 5π M4 г) M1M3: t ∈ ( + 2πk; + 2πk) 4 4 B

26. а) АМ: t ∈ (2πk;

§ 3. Числовая окружность на координатной плоскости с № 29 по 32 см. рис. π 2

21 π − 4

−

3π 2

π 3 −

19 π − 6

31 π 4

π 4

7π − 4

13 π 6 2

−

13 π 4

23π 6

26π 3

16 π 3

15 π −−− 4

7π 2

29. а) М (

в) М (

π 2 2 π 3 1 ; ); б) М ( ) = ( ; ); )=( 2 2 2 2 4 6

π 1 3 ); )=( ; 3 2 2

30. а) М (2π) = (1; 0);

в) М (

7π ) = (0; –1); 2

31. а) М (

в) М (

г) М (15 π) = (–1; 0).

15π 2 2 )=( ;– ); 4 2 2

13π 2 2 ) = (– ;– ); 4 2 2

32. а) М (–

в) М (– 33.

π ) = (0; 1). 2 3π б) М (– ) = (0; 1); 2

г) М (

21π 2 2 ) = (– ; ); 4 2 2

а) М (

б) М (–

19π 3 1 ) = (– ; ); 6 2 2

3 1 ; ): 2 2

б) М (

23π 3 1 ;– ); )=( 6 2 2

г) М (

16π 1 3 ). ) = (– ; – 3 2 2

б) М (–

31π 2 2 ; ) )=( 4 2 2

г) М (–

26π 1 3 ) ) = (– ;– 3 2 2

min положит.=

π , 6

max отрицат.=–

11π 6

3 1 5π 7π ; ): min положит.= , max отрицат.=– 2 2 6 6 7

в) М (

3 1 11π π ; – ): min положит.= , max отрицат.=– 2 6 2 6

г) М(–

3 1 7π ; – ): min положит.= , 2 2 6 1 3 ): ; 2 2

а) М (

34.

max отрицат.=–

min положит.=

π , 3

5π 6

max отрицат.=–

б) М (–

1 3 2π ): min положит.= ; , 2 2 3

max отрицат.=–

4π 3

в) М (–

1 3 4π ): min положит.= ;– , 2 2 3

max отрицат.=–

2π 3

1 3 5π ): min положит.= ;– , 2 2 3

max отрицат.=–

π 3

г) М (

5π 3

2 π 3π t= + 2πn; + 2πn; 2 4 4 1 π 5π + 2πn; + 2πn; в) у = 0, t = πn; б) у = ; t = 6 2 6 а) у =

35.

3 π 2π , t= + 2πn, + 2πn. 2 3 3

г) y = 36.

а) у = –

в) у = –

3 π , –х = (− 1)k +1 + πk; 2 3

2 , х= 2

37. а) x =

( −1)k +1

π + πk; 4

3 π , х = ± + 2πk; 6 2

π +2πk; 2

г) y = – 1, х = – б) x =

π + 2πk. 2

1 π , y = ± + 2πk; 3 2

2 π , y = ± + 2πk. 4 2 1 2π + 2πk; б) x = – , y = ± 2 3

в) x = 1, y = 2πn; 38. а) x = 0, y =

б) у = 1, х =

г) x = π + πn; 2

3 5π , y =± + 2πk; г) x = – 1, y = π + 2πn. 2 6 39. а) да; б) нет; в) да; г) нет. 40. а) Е (2) – +; б) K (4) – –; в) F (1) + +; г) L (6) + –. 41. а) M (12) + –; б) N (15) – +; в) P (49) + –; г) Q (100) + –.

в) x = –

42.

a)у = – б) у =

3 , 2 1 , 2

х<0

4π + 2πn; 3

M(–

1 3 ;– ) 2 2

х<0

5π + 2πn; 6

M(–

3 1 ; ) 2 2

в) у =

г) у = –

π + 2πn; 6

х>0

–

у>0

π + 2πn; 6

1 , 2

y<0

−

3 , 2

y< 0

–

3 , 2

а) х =

43.

х>0

1 , 2

б) x = – в) x =

3 1 ; ) 2 2

1 3 ;– ) 2 2

3 1 ; ) 2 2

2π + 2πn; 3

M(–

1 3 ;– ) 2 2

π + 2πn; 6

3 1 ;– ) 2 2

π + 2πn; 3

2π + 2πn; 3

1 3 ; ) 2 2 π π 1 π 5π 44. a) x > 0, t ∈ (– + 2πn; + 2πn); б) x < , t ∈ ( + 2πn; + 2πn); 2 2 3 2 3 π 1 π π 3 + 2πn); г) x < 0, t ∈ ( + 2πn; π + 2πn). + 2πn; в) x > , t ∈ (– 3 3 2 2 2

г) у = –

45. a) x<

в) x >

1 , 2

y>0

M(–

π 2 7π 2 3π 3π +2πk); б) x>– +2πk; +2πk); , t ∈ ( +2πk; , t ∈ (– 4 2 4 2 4 4

π 2 π 2 3π 5π + 2πk); г) x<– +2πk; + 2πk). + 2πk; , t ∈ (– ,t∈( 4 4 2 2 4 4

46. а) x≤

π 3 11π 3 5π 7π +2πk); б) x≤– +2πk; +2πk); , t ∈ ( +2πk; ,t∈( 6 2 6 2 6 6

π 3 π 3 5π 5π + 2πk); г) x≥– +2πk; + 2πk). + 2πk; , t ∈ (– , t ∈ (– 6 6 2 2 6 6 1 7π π 47. а) y > 0, t ∈ (2πk; π+ 2πk); б) y < , t ∈ ( + 2πk; + 2πk); 6 2 6 1 π 5π + 2πk); г) y < 0, t ∈ (-π + 2πk; 2πk). в) y > , t ∈ ( + 2πk; 6 2 6 в) x ≥

48. а) y<

в) y > 49.

в) y≥

2 5π π 2 π 5π +2πk<t< +2πk; б) y>– + 2πk; ,– , – +2πk<t< 4 4 2 2 4 4

2 π 3π 2 5π 7π + 2πk < t < + 2πk; г) y<– +2πk<t < + 2πk. , , 4 2 2 4 4 4

а) y≤

3 4π π 3 4π 5π +2πk<t< +2πk; б) y≤– +2πk < t < + 2πk; , – , 3 2 2 3 3 3

3 π 2π + 2πk; , +2πk<t < 2 3 3

г) y ≥ –

3 π 4π + 2πk. , – + 2πk < t < 3 2 3 9

§ 4. Синус и косинус π π = 1, cos = 0; 2 2

50.

а) sin 0 = 0, cos 0 = 1;

б) sin

в) sin

3π 3π = – 1, cos = = 0; 2 2

г) sin π = 0, cos π = – 1.

51. а) sin (–2π)=0, cos (– 2 π) = 1;

в) sin (–

3π 3π ) = 1, cos (– ) = 0; 2 2

г) sin (– π) = 0, cos (– π) = – 1. б) sin

5π 2 5π 2 = =– , cos ; 2 2 4 4

7π 1 7π 3 = – , cos =– ; 2 6 2 6

г) sin

9π 2 9π 2 =– = , cos . 2 2 4 4

53. а) sin (–

в) sin (–

7π 2 7π 2 4π 3 4π 1 )= )= )= )=– ; , cos (– ; б) sin(– , cos (– 2 2 2 4 4 3 3 2

13π 2 13π 2 5π 3 5π 1 )= )=– )= )= . , cos (– ; г) sin (– , cos (– 2 2 2 4 4 3 3 2

54. а) sin

в) sin

π π ) = –1, cos (– ) = 0; 2 2

5π 1 5π 3 = , cos =– ; 2 6 2 6

52. а) sin

в) sin

б) sin (–

13π 1 13π 3 8π 3 8π 1 = , cos = )= – )= – ; ; б) sin (– , cos (– 2 2 6 2 6 3 3 2

23π 1 23π 3 = – , cos = ; 2 6 2 6

г) sin (–

11π 2 11π 2 )=– )=– , cos (– . 2 2 4 4

π π π 2 1 3 3 +1− 2 ) + cos + cos (– ) =– + + += ; 4 3 6 2 2 2 2 π π π π = 0; cos cos cos б) cos 6 4 3 2 π 3π ) = – 1 + 1 + 1 = 1; в) sin (– ) cos (–π) + sin (– 2 2

55. а) sin (–

г) sin

π π π π 1 2 3 6 sin sin sin = ⋅ ⋅ ⋅ 1= . 6 4 3 2 2 2 2 6

3π π π π π 2 2 )+cos(– ) + sin cos + cos 0 sin =– + +1 = 1 4 4 2 2 2 2 4 5π 4π 3π 5π 3π 1 1 + cos +sin sin cos = – =0 б) cos 3 3 2 8 2 2 2 π t π π 1 57. а) cos 2t, t = , cos π = – 1; б) sin , t = – , sin (– ) = – ; 2 2 3 6 2

56.

а) sin (–

в) sin 2t, t = – 10

π π 3 t π π 3 , sin (– ) = – ; г) cos , t = – , cos (– ) = . 6 3 3 6 2 2 2

π π π 3 1 1 , sin² – cos² = – = ; 3 3 3 4 4 2 π π π 1 1 + = 1; б) sin² t + cos² t, t = , sin² + cos² = 4 4 4 2 2 π π π в) sin² t – cos² t, t = , sin² – cos² = 0; 4 4 4 π π π 1 3 г) sin² t + cos² t, t = , sin² + cos² = + = 1. 6 6 6 4 4 59. а) f (t) = 2 sin t fmax = 2, fmin = – 2. б) f (t) = 3 + 4 cos t fmax = 7, fmin = – 1. fmin = – 3. в) f (t) = – 3 cos t fmax = 3, г) f (t) = 3 – 5 sin t fmax = 8, fmin = – 2. 60. а) 1 – sin² t = cos² t; б) 1 – cos² t = sin² t; в) 1 + sin² t + cos² t = 2; г) sin t – sin t cos² t = sin t (1 – cos² t) = sin³ t 61. а) (sin t – cos t) ² + 2 sin t cos t = 1; б) (sin t + cos t) ² – 2 sin t cos t = sin² t + cos² t + 2 sin t cos t – 2 sin t cos t = 1.

58. а) sin² t – cos² t, t =

62. a) sin² t (1,5+2πk) + cos² 1,5 + cos (–

б) cos² (

π π 2 1 ) + sin (– )=1+ – = 4 6 2 2

2 +1 ; 2

π π + 4π) + sin² ( – 44π) = 1. 8 8

63. a) cos t =

в) cos t = –

2 π + 2πn; , t=± 4 2

1 2π , t=± + 2πn; 2 3

64. a) sin t =

б) sin t = – г) sin t =

1 π , t = (−1)n+1 + πn; 6 2

2 π + πn. , t = (−1)n+1 4 2

3 π + πk; б) cost= 3 решений нет ⏐cost⏐≤1; , – t = (−1)k +1 3 2

3 5π π + 2πn; г) cos t =– решений нет, т.к. ⏐cos t⏐ ≤ 1. , t=± 3 6 2 π π π 65. а) 0; б) ; в) – ; г) . 2 6 3 π 2π 5π 66. а) ; б) 0; в) ; г) . 2 3 6 π 67. а) sin t + 1 = 0, sin t = – 1, t=– + 2πn 2 б) cos t – 1 = 0, cos t = 1, t =2πn 1 π + πn в) 1 – 2 sin t = 0, sin t = , t = (−1)n 6 2 1 2π t=± + 2πn г) 2 cos t + 1 = 0, cos t = – , 2 3 в) cos t =–

sin t − 1 π , cos t ≠ 0, t≠– + πn 2 cos t cos t + 5 1 π , sin t ≠ , t ≠ (−1)n б) + πn 2sin t − 1 2 6 cos t π , sin t ≠ 1, t≠ в) + 2πn 1 − sin t 2 sin t г) , cos t ≠ – 1, t ≠ ± π + 2πn. 1 + cos t 4π 5π 9π 3π 69. а) sin > 0; б) cos (– ) < 0; в) sin < 0; г) sin (– )< 0. 7 7 8 8 70. a) sin (– 2) < 0; б) cos 3 < 0; в) sin 5 < 0; г) cos (– 6) > 0. 71. a) sin 10 < 0; б) cos (–12) > 0; в) sin (– 15) < 0; г) cos 8 < 0. π 7π 72. a) sin 1 cos 2 < 0; б) sin cos (– ) < 0; 7 5 14π 4π в) cos 2 sin (– 3) > 0; г) cos (– ) sin > 0. 9 9

68. а)

sin2 t 1 − cos2 t (1 − cos t)(1 + cos t) = = =1 – cos t; 1 + cos t 1 + cos t 1 + cos t 4 4 2 2 2 2 2 б) sin t + cos t + 2 sin t cos t = (sin t + cos t) = 1; cos2 t + sin t = 1 – sin t + sin t = 1; в) 1 + sin t 4 г) cos t+cos2 t sin2 t–cos2 t+1=cos4 t+cos2 t (sin2 t – 1)+1=cos4 t – cos4 t + 1 = 1.

73. а)

74. a) 10 sin t =

б)

75 ,

8 sin t + 2 = 0,

в) 8 cos t –

32 = 0,

б)

5 3 3 = , 10 2 2 , 2

sin t = – cos t =

π + 2πk 4

t=±

5π + 2πk 6

3 , 2

π π + cos2 –sin 8 8

sin t =

2 , 2

t = (− 1)k

cos t =

3 , 2

t=±

1 − sin2 t =

1 , 2

⏐cos t⏐ =

t= 1 , 2

π + πk 4

t=±

cos t = –

4 cos t = cos2 1 + sin2 1, 3

π + πn 3

k +1

t = ( −1)

2 , 2

76. a) ⏐sin t⏐ = 1, sin t = ± 1,

б)

t = ( −1)

48 ,

г) 8 cos t = – 75. a ) sin2

sin t =

π + πk 4

π + 2πn. 6

π + πn 2 cost=±

1 , 2

t=±

π +2πk 3

в) ⏐cos t⏐ = 1, cos t = ± 1, г)

1 − cos2 t =

2 , 2

t = πn

⏐sin t⏐ =

2 2

sin t=±

2 , 2

π πn + . 4 2

π π 3 3 + =0 ) + cos (– ) = cos 1 – cos 1 – 3 6 2 2 π π б) sin2 + sin (2 + π) + cos2 (– ) + sin2 = sin2 – sin2 + 1 = 1. 12 12 77. a) cos 1+cos (1+π)+sin t (–

78. a)

в)

sin10, 2π – Да;

б)

cos1,3π – Нет;

sin(−3, 4)π – Да;

г)

cos(−6,9π ) – Нет.

1 ; 2 б) cos 3 cos 5 (х2 – 4) < 0, – х2 + 4 < 0; x ∈ (– ∞ ;– 2) (2 ; + ∞ ). 1 80. a) (cos t – 5) (3x – 1) ≥ 0, 3x – 1 ≤ 0, x ≤ ; 3 б) (2 + sin t) (9 – х2) ≥ 0, 9 – х2 ≥ 0, x ∈ [– 3; 3]. 7π 5π 81. a) a = sin , b = sin , a > b; б) a = cos 2, b = sin 2, a < b; 10 6 π π г) a = sin1, b = cos 1, a > b. в) a = cos , b = cos , a > b; 8 3 2π 10π 82. a) sin – sin > 0; б) sin 1 – sin 1,1 < 0; 9 9 15π π – cos < 0; г) cos 1 – cos 0,9 < 0. в) sin 8 4 4π 7π π π 2π 83. а) sin , sin , sin , sin , sin ; 3 6 3 7 5 5π 5π π 7π π , cos , cos , cos , cos . б) cos 6 4 4 3 8 84. а) cos 4, sin 3, cos 5, sin 2; б) cos 3, cos 4, cos 7, cos 6; в) sin 4, sin 6, sin 3, sin 7; г) cos 3, sin 5, sin 4, cos 2.

79. a) cos 2 (2х – 1) < 0, x >

1 − sin1 + sin2 1 + 4 1 + 1 + sin2 2 − 2sin 2 = ⏐sin 1 – sin 2⏐ + ⏐sin 1 – ⏐ + 2 1 1 +⏐sin 2 – 1⏐ = sin 2 – sin 1 + sin 1 – – sin 2 + 1 = . 2 2 85. а)

б)

sin2 1 + sin2 2 − 2sin1sin 2

cos2 6 + cos2 7 − 2cos 6cos 7 +

1 − cos 7 + cos2 7 + 4 13

1 ⏐+ 2 1 1 = +⏐cos6 – 1⏐ = 1 – cos6 + cos6 – cos7 + cos7 – 2 2 86. а) sin (π – t) = sin t, sin (π – t) = – sin (– t) = sin t б) sin (2π – t) = – sin t, sin (2π – t) = sin (– t) = – sin t в) cos (π – t) =– cos t, cos (π – t) = – cos (– t) = – cos t г) cos (2π – t) = cos t, cos (2π – t) = cos (– t) = cos t

+ 1 + cos2 6 − 2cos 6 = ⏐cos6 – cos7⏐ + ⏐ cos7 –

87. а) sin t > 0, t ∈ (2πk; π + 2πk); б) sin <

3 4π π , t ∈ (– + 2πk ; +2πk); 3 3 2

в) sin t < 0, t ∈ (– π + 2πk; 2πk); г) sin t >

3 π 2π , t ∈ ( + 2πk; + 2πk). 3 3 2

88. а) cos t>0, t ∈ (–

π π π 2 7π , t ∈ ( +2πk; +2πk; +2πk); б) cost< +2πk); 2 2 4 4 2

π π π 3π 2 , t ∈ (– +2πk; +2πk). + 2πk; + 2πk); г) cost> 2 2 4 4 2 1 7π 11π 89. a) sin t < – , t ∈ ( + 2πk; + 2πk); 2 6 6

в) cos t < 0, t ∈ (

б) sint>–

2 π 5π 1 π 7π , t∈(– +2πk; +2πk); в) sin t>– , t∈(– + 2πk; + 2πk); 4 6 2 4 2 6

г) sin t < –

2 5π 7π , t ∈ (– + 2πk; + 2πk). 2 4 4

3 5π 5π , t ∈ (– + 2πk; + 2πk); 2 6 6 1 2π 4π + 2πk; + 2πk); б) cos t < – , t ∈ ( 2 3 3 90. a) cos t > –

3 5π 7π , t∈( + 2πk; + 2πk); 6 6 2 1 2π 2π + 2πk; + 2πk). г) cos t >– , t ∈ (– 2 3 3 1 7π π 91. a) sin t ≤ , t ∈ [– + 2πk; + 2πk]; 2 6 6 в) cos t < –

б) cos t ≥ –

2 , 2

в) sin t ≥ –

1 , 2

г) cos t ≤

2 , 2

3π 3π + 2πk; + 2πk]; 4 4 π 7π t ∈ [– + 2πk; + 2πk]; 6 6

t ∈ [–

t∈[

π 7π + 2πk; + 2πk]. 4 4

§ 5. Тангенс и котангенс 92. а) tg

5π 4π 3 5π 3 7π ; в) tg ; г) сtg = 1; б) сtg = =– = – 1. 4 3 6 4 3 3

93. а) tg (–

5π π 3 π 3 2π 3 ; в) tg (– )=– ; г) сtg(– )=–1; б) сtg (– )=– )= 4 3 3 6 3 3 3

5π π + сtg = 1 + 1 = 2; 4 4 π π = 1; в) tg · сtg 6 6

94. а) tg

95. а) tg

3 π π π sin сtg =1· 4 3 6 2

π π 3 3 – = 0; – tg = 3 6 3 3 9π π г) tg + сtg = 1 + 1 = 2. 4 4

б) сtg

3 =

3 ; 2

1 π 3 3 1 π π – cos – tg = 2 · 2 2 3 6 3 2 2 π = 0 – 3 + 0 = – 3; в) 2 sin π + 3 cos π + сtg 2

3 =

б) 2 sin

г) tg 0 + 8 cos

3− 3 ; 2

3π π 3 =3 3. – 6 sin =0+0–6 2 3 2

π π ⋅ сtg = 1; 5 5 π π ⋅ сtg = 1; в) tg 7 7

96. а) tg

б) 3 tg 2,3 ⋅ сtg 2,3 = 3;

π π ⋅ сtg = 7. 12 12 π π 97. а) tg 2,5 ∠ сtg 2,5 + cos2π – sin2 – cos 2 = 1 + 1 – 1 = 1. 8 8 3 π 3 π 5 π б) sin2 – 2 tg 1 ⋅ сtg 1 + cos2 (– ) + sin2 = 1 – 2 + 1 = 0. 7 7 2 6π 10π 8π 11π 98. а) tg < 0; б) сtg > 0; в) tg > 0; г) сtg < 0. 7 7 7 7 sin t cos t cos t =cos t; б) = cos t; 99. а) sin t ⋅ ctg t=cos t, sint ⋅ = cos t, sin t ⋅ tg t sin t sin t

в) cos t ⋅ tg t = sin t; г)

г) 7 сtg

cost sint = sin t, cos t ⋅ = sin t. сtgt cost

sint = sin2 t; cost cost – 1 = cos 2 t – 1 = – sin2 t; б) sin t ⋅ cos t ⋅ ctg t – 1 = sin t ⋅ cos t ⋅ sint

100. а) sin t ⋅ cos t ⋅ tg t = sin t ⋅ cost ⋅

в) sin2 t – tg t ⋅ ctg t = sin2 t – 1 = – cos 2 t; г)

1 − cos2 t 2

1 − sin t

sin2 t 2

cos t

= tg 2 t. 15

2 π π +1−1 − cos π − tg 2 2 2 4 4 = . ; 101. = 4 4 1+1 π 3π 2sin − sin 6 2 5π 25π 102. а) cos – tg < 0; б) tg 1 – cos 2 > 0; 9 18 7π 3π в) sin – сtg > 0; г) sin2 – сtg 5,5 > 0. 10 5 103. а) sin 1 ⋅ cos 2 ⋅ tg 3 ⋅ сtg 4 > 0; б) sin (– 5) cos (– 6) tg (– 7) сtg (– 8) < 0.

sin

104. a) 1 + tg 2 t = cos – 2 t,

sin2 t cos2 t

1 cos2 t

= cos – 2 t;

cos2 t

1 = = sin – 2 t; sin2 t sin2 t в) sin 2 t (1 + сtg2 t) = 1, sin 2 t ⋅ sin – 2 t = 1; г) cos 2 t (1 + tg2 t) = 1, cos 2 t ⋅ cos – 2 t = 1. 105. а) tg (π – t) = – tg t, tg (π – t) = tg ( – t) = – tg t; б) tg (2π + t) = tg t, tg (2π + t) = tg (π + t) = tg t; в) сtg (π – t) = – сtg t, сtg (π – t) = ctg ( – t) = – tg t; г) сtg (2π + t) = сtg t, сtg (2π + t) = сtg t, сtg (2π + t) = ctg (π + t) = сtg t. 106. а) cos2 t ⋅ tg2 t – sin2 t ⋅ cos2 t = sin2 t (1 – cos2 t) = sin 4 t; б) 1 – cos2 t + tg2 t ⋅ cos2 t = sin2 t + sin2 t = 2 sin2 t; 1 в) (1 – sin2 t) (tg2 t + 1) = cos2 t = 1; cos2 t 1 г) (1 – cos2 t) (ctg2 t + 1) = sin2 t = 1. sin2 t

б) 1 + сtg2 t = sin – 2 t, 1+

cos2 t sin2 t − 2 2 cos t − sin t 1 − tg2 t = cos t cos t = 107. a) . cos t ⋅ sin t tgt cos t sint 2 cos t 2

cos2 t sin2 t − 2 2 cos t − sin t ctg2 t − 1 = sin t sin t = . б) cos t ⋅ sin t ctg t sin t cos t sin2 t 108. а) cos 1, sin 1, 1, tg 1. б) сtg 2, cos 2, sin 2, 2. 109. a) сtg 5 (х – 1) ≥0, – х + 1 ≥0, х ≤ 1; tg7 ⋅ cos1 б) (2 х2 – 72) > 0, 2 х2 – 72 < 0, х2 > 36, x ∈ (– 6; 6); sin1 7 в) (tg 2 ⋅ sin 5)(7 – 5х) ≤ 0, 7 – 5х ≤ 0, х ≥ ; 5 г) tg 1 ⋅ сtg 2 ⋅ tg 3 ⋅ сtg 4 ⋅ (х2 + 2) > 0, х2 + 2 > 0, x ∈ R. 2

§ 6. Тригонометрические функции числового аргумента 110. a) 1 – sin2 t = cos2 t; б) cos2 t – 1 = – sin2 t; 2 2 в) 1 –cos t = sin t; г) sin2 t – 1 = – cos2 t. 111. а) (1 – sin t) (1 + sin t) = 1 – sin2 t = cos2 t; б) cos2 t + 1 – sin2 t = cos2 t + cos2 t = 2 cos2 t; в) (1 – cos t) (1 + cos t) = 1 – cos2 t= sin2 t; г) sin2 t + 2 cos2 t – 1 = 1 + cos2 t – 1 = cos2 t. 112. а)

в) 1 –

1 cos2 t

1 sin2 t

–1=

1 − cos2 t cos2 t

sin2 t − 1 sin2 t

= tg2 t; б)

= – ctg2 t;

г)

1 − sin2 t cos2 t

1 − cos2 t 1 − sin2 t

= 1;

sin2 t cos2 t

= tg2 t.

113. а)

(sin t + cos t)2 1 + 2sin t cos t 1 − 2sin t cos t 1 − 2sin t cos t = =1; б) = =1. 1 + 2sin t cos t 1 + 2sin t cos t (cos t − sin t)2 1 − 2sin t cos t

114. а)

cos2 t – sin t = 1, 1 − sin t

1 − sin2 t 1 − sin2 t − sin t + sin2 t – sin t = = 1; 1 − sin t 1 − sin t

sin2 t 1 − cos2 t sin2 t + cos t + cos2 t + cos t = 1, + cos t = = 1. 1 + cos t 1 + cos t 1 + cos t 115. a) (sin t + cos t) 2 – 2 sin t cos t = 1 + 2 sin t cos t – 2 sin t cos t = 1;

б)

2 − sin2 t − cos2 t 2

2 −1 1 = ; 3 3

3sin t + 3cos t в) sin4 t + cos4 t + 2 sin2 t cos2 t = (sin2 t + cos2 t)2 = 1; sin4 t − cos4 t

(sin2 t − cos2 t)(sin2 t + cos2 t)

= sin2 t + cos2 t =1. sin2 t − cos2 t sin2 t − cos2 t 4 π 3 4 3 116. а) sin t = , < t< π, cos t = – , tg t = – , ctg t = – ; 5 2 5 3 4

г)

5 25 12 5 12 π , tg t = , ctg t = ; , 0< t< , сos t = 1 − = 13 12 5 2 169 13 4 3 4 π в) sin t = – 0,6, – < t < 0, cos t = , tg t = – , ctg t = – ; 5 4 3 2

б) sin t =

3π 43 24 7 24 =– , cos t=– 1 − , tg t = , ctg t = . 625 2 25 24 7 π 3 3 4 117. а) cos t =0,8, 0 < t < , sin t = , tg t = , сtg t = ; 5 4 3 2 5 12 12 5 π б) cos t = – , < t < π, sin t = , tg t = – , сtg t = – ; 13 2 13 5 12

г) sin t=–0,28, π < t <

3π 4 3 4 < t < 2 π, sin t = – , tg t = – , сtg t = – ; 2 3 4 5 24 3π 7 7 24 г) cos t = – , π<t< , tg t = , сtg t = . , sin t = – 25 2 25 24 7 3 π 4 3 4 118. а) tg t = , 0 < t < , ctg t = , sin t = , cos t = ; 4 3 5 5 2 3π 5 5 12 б) tg t = 2,4, π < t < , ctg t = , cos t = – , sin t = – ; 2 12 13 13 3 4 3 4 π в) tg t = – , < t < π , ctg t = – , sin t = , cos t = – ; 4 3 5 5 2 cos t 1 3π < t < 2π, ctg t = – 3, = – 3, cos2 t = 9 – 9 cos2 t, г) tg t =– , 3 2 1 − cos2 t

в) cos t =0,6,

1 9 =– . 10 10 12 3π 5 5 12 119. а) сtg t = , π<t< , tg t = , sin t = – , cos t = – ; 5 2 12 13 13 7 24 24 7 π б) сtg t = , 0 < t < , tg t = , sin t = , cos t = ; 24 7 25 25 2 5 3π 12 5 12 < t < 2π, tg t = – , cos t = , sin t = – ; в) сtg t = – , 12 2 5 13 13 8 15 cos t 8 π г) сtg t = – , < t < π, tg t = – , = – , 15 8 15 2 1 − cos2 t

cos t =

3 , 10

sin t = –

1−

64 64 8 64 15 = cos2 t, cos t = – , sin t = 1 − . − 289 17 225 225 17 2 2 2 120. а) f (x) = 1 – ( cos t – sin t) = 2sin t, fmax = 2, fmin = 0; sint = cos2t, fmax = 1, fmin = 0. б) f (t) = 1 – sin t ⋅ cos t ⋅ tg t = 1 – sin t ⋅ cos t ⋅ cost

cos2 t =

в) f (t)=cos2t ⋅ tg2 t+5 cos2t – 1=cos2t ⋅

sin2 t cos2 t

+5 cos2t–1=sin2 t+5 cos2t–1=4 cos2t,

fmax = 4, fmin = 0. г) f (t) = sin t + 3 sin2t + 3 cos2 t = sin t + 3, fmax = 4, fmin = 2. сost − 1 cos t − cos t + 1 1 121. a) ctg t – = = ; sin t sin t sin t б) ctg2 t – (

сos2 t − 1 + sin2 t

= 0; sin2 t sin2 t 2 2 2 2 в) cos t – (ctg t + 1) sin t = cos t – cos t – sin2 t = –sin2 t; – 1) =

г) 18

sin2 t − 1 2

cos t − 1

+ tg t ⋅ ctg t = ctg 2t + 1 =

sin2 t + cos2 t sin2 t

1 sin2 t

sin t − sin t cos t + sin t + cos t sin t 2sint sin t sin t 2 + = ; = = 2 2 1 + cos t 1 − cos t sint 1 − cos t sin t 2 2 2 2 б) ctg t (cos t – 1) + 1 = – cos t + 1 = sin t; cost − sin t cos t + cos t + sin t cos t 2cos t 2 cos t cos t в) + = = = ; 2 2 cos t 1 + sin t 1 − sin t 1 − sin t cos t sin t + cos t tg t + 1 cos t г) = = tg t. sin t + cos t 1 + ctg t sin t 123. a) (3sint + 4 cos t)2 + (4 sin t – 3 cost) 2 = 9sin2 t+ 16 cos 2t + + 24 sint cos t + 16 sin2 t + 9 cos2 t – 24 sin t cos t = 25; б) (tg t + ctg t) 2 – (tg t – ctg t)2 = tg2 t + ctg2 t + 2 – tg2 t – ctg2 t + 2 = 4;

122. а)

в) sin t ⋅ cos t ( tg t + ctg t) = sin t ⋅ cos t

sin2 t + cos2 t = 1; sin t cos t

г) sin2t ⋅ cos2t (tg2 t+ctg2t+2)=sin2t ⋅ cos2t(tgt+ctgt)2=sin2t ⋅ cos2t 124. a)

1 − sin2 t 2

1 − cos t

+ tg t ⋅ ctg t =

cos2 t sin2 t

+ 1 = ctg2 t + 1 =

1 sin2 t

1 sin2 t cos2 t

=1.

;

cos2 t ⋅ sin2 t − cos2 t cos t − ctg t cos2 t (sin2 t − 1) cos2 t − cos6 t sin2 t = = б) = = ctg6 t 2 2 2 2 2 sin t − tg t sin t ⋅ cos t − sin t sin2 t sin2 t (cos2 t − 1) − sin6 t cos2 t tg t tg t sin t = sin2 t , 125. а) = = sin t ⋅ cos t = sin2 t 1 tg t + ctg t cos t sin t cos t sint + cost sint 1 + tgt cost б) = tg t, = = tg t sint + cost cost 1 + ctgt sint ctg t ctg t = cos2 t, = ctg t ⋅ sin t ⋅ cos t = cos2 t; в) 1 tg t + ctg t sin tcos t sin t − cos t 1 − ctg t cos t sin t =– г) = – ctg t; = – ctg t. −sin t + cos t 1 − tg t sin t cos t cos t sin t + cost cos t + ctg t cos t sint + cos t sin t , 126. а) 1+sint= = sin t + 1 = cos t ctg t cos t sin t 2

б)

sin t + tg t cost = 1 + cos t, sin t ⋅ + 1 = cos t + 1; tg t sint

в)

1 − sin t cos t 1 − sin2 t cos t = , = ; 1 + sin t cos t 1 + sin t cos t (1 + sin t)

г)

sin t 1 + cos t sin t(1 + cos t) 1 + cos t = , . = sin t 1 − cos t sin t 1 − cos2 t

127. а)

(sin t + cos t)2 − 1 2sin2 t cos t 2sin t cos t =2 tg2 t, = 2 tg2 t. sin t = 2 ctg t − sin t cos t cos t(1 − sin2 t) cos t − sin t cos t

б) sin 3t (1 + ctg t) + cos3 t (1 + tg t) = sin t + cos t, sin3 t ⋅ в) г)

sin t + cos t sin t + cos t +cos3t = (sin t + cos t) (sin2t+cos2t)=sin t+cos t. sin t cos t

(sin t + cos t)2 2sint cos t 2 sin t cos2 t = 2 ctg2 t= cos t = = 2 ctg2 t. tg t − sin t cos 2t sin t − sin t cos2 t sin3t

1 − 4 sin2 t cos2 t (sint + cost)2

+ 2sin t ⋅ cos t = 1.

(1 − 2sint cost) (1 + 2sint cost) + 2sin t ⋅ cos t=1 – 2 sint ⋅ cos t + 2 sint ⋅ cost = 1. 1 + 2sint cost 3 π 128. a) sin (4π + t) = , 0 < t< , 5 2 4 3 3 3 cost = , tg t = , tg (– t) = – , tg (π – t) = – ; 5 4 4 4 12 3π б) cos (2π + t) = , < t< 2π, 13 2 5 12 12 12 , ctg t = – , ctg (– t) = , ctg (π – t) = . sint = – 13 5 5 5 5 12 12 129. a) cos t = – , 8,5π < t < 9π, sin t = , sin (– t) = – ; 13 13 13 4 9π 3 3 б) sin t = , < t< 5π, cos t = – , cos (– t) = – , 5 2 5 5 4 7 sin (– t) = – , cos (– t) + sin (– t) = – . 5 5 16 2 130. а) sin t + cos t = 0,8, (sin t + cos t) = , 25 9 9 2 cos t ⋅ sin t = – , cos t ⋅ sin t = – ; 25 50 1 1 8 б) sin t – cos t = , (cos t – sin t)2 = , – 2 sin t ⋅ cos t = – , 9 sin t ⋅ cost = 4. 3 9 9

131. tg t+ctg t=2,3, (tg t+ctg t)2=tg2 + 2tg t ⋅ ctg t+ctg2t=5,29, tg2t+ctg2 t=3,29 132. sin t cos t = –

1 1 1 , sin4t + cos4 t = 1 – 2 sin2 t ⋅ cos2 t = 1 – = . 2 2 2

1 = tg t

133. tg t –

tgt=

7 π , 0 < t < , 12 tg2 t + 7 tg t – 12 = 0, 12 2

−7 ± 49 − 4 ⋅12(−12) −7 ± 25 π 4 = , tg t = – не подходит, т.к. 0 < t < , 24 24 3 2

tg t =

3 4 ⇒ cos t = , 4 5

sin t =

134. a) y = cos2 t + sin2 t = 1;

3 7 ⇒ sin t + cos t = . 5 5

б) у = сos2

1 1 + sin2 = 1 (x ≠ 0) х х

y y=1

1 0

в) у=sin2

х +сos2

y=1, x≠0

1 0

х =1 (х≥0)

г ) у=sin2

1 х2 − 4

+сos2

y=1, x ≥ 0

1 х2 − 4

= 1 (x ≠ ± 2)

y 1

y=1, x±2

1 x

-2

-1

§ 7. Тригонометрические функции углового аргумента 135 – 138 см. рис. 2π 11π ; б) 220° = ; 3 9 5π 17 π ; г) 765° = . в) 300° = 3 4 7π 5π 136. а) 210° = ; б) 150° = ; 6 6 11π 15π ; г) 675° = . в) 330° = 6 4 3π 11π 137. а) = 135°; б) = 660°; 4 3 6π 46π в) = 216°; г) = 920°. 5 9 5π 7π 138. а) = 112,5°; б) = 105°; 8 12 11π 47 π = 165°; г) = 940°. в) 12 9

135. а) 120° =

120° 150°

5π 6

2π 3

7π 6 11π 9 220°

210°

17π 4

765°

11π 15π 6 330° 5π 4 675° 3 300°

139. а) sin 90° = 1, cos 90° = 0, tg 90° = не сущ., ctg 90° = 0 б) sin 180° = 0, cos 180° = – 1, tg 180° = 0, ctg 180° = не сущ. в) sin 270° = – 1, cos 270° = 0, tg 270° = не сущ., ctg 270° = 0 г) sin 360° = 0, cos 360° = 1, tg 360° = 0, ctg 360° = не сущ. 140. а) sin 30° =

б) sin150° =

1 3 3 , cos 30° = , tg 30° = , ctg 30° = 2 2 3

1 3 3 , cos 150° = – , tg 150° = – , ctg 150° = – 3 ; 2 2 3

в) sin210° = –

1 3 3 , cos 210° = – , tg 210° = , ctg 210° = 2 2 3

г) sin 240° = –

1 3 , cos 240° = – , tg 240° = 2 2

3; 3 . 3

3 , ctg 240° =

141. sin 160°, sin 40°, sin 120°, sin 80° 142. cos 160°, cos 120°, cos 80°, cos 40° 143. sin 210°, sin 20°, sin 400°,sin 110° х х , x = 2 tg α; б) cos α = , x = 4cos α; 2 4 3 3 в) cos α = , x = ; г) ctg α = x. х cos α

144. а) tg α =

145. a) sin30º =

в)

2 2 , х = =4; 1 х 2

4 3 2 = , х= ; 2 х 3

146. а) с = 12, α = 60°, а = 6,

б) с = 6, α = 45°, а = b = 3 ⋅

б) х =

г)

2 2

х 1 = cos60º = , x=1. 2 2

b = 6 3 , S =18

3 , R = 6;

2 , S =9, R = 3;

в) с = 4, α = 30°, а = 2, b = 2 3 , S =2 ⋅

3 , R = 2;

г) с = 60, α = 60°, а = 30, b = 30 3 , S =450 ⋅

3 , R = 30.

АВ 147. cos α = , АС АВ = AC ⋅ cos α = 2R cos α .

α 2R

148. 1 1 1 1 ab sin α + bc sin α + cd sin α + da sin α = 2 2 2 2 1 1 sin α (ab + bc + cd + da) = sin α (b (a + c) + d (c + a)) = = 2 2 1 = sin α (b + d) (a + c). 2

S ABCD =

180- α

d A D

149. АВ BC 4 2 BC = , = ⇒ ВС = 8, 1 sinC sinA 2 2 2

B 4

∠ В = 180˚ – 45˚ – 30˚= 105˚, АС o

sin105

АС =

16 , 2

105°

45°

30°

16 ⋅ sin105º; sin105º=sin75º=sin(45º+30º), 2

3 2 1 16 6+ 2 + )= = = 4 3 + 4. 2 2 2 4 2 1 1 1 S= ⋅ AC ⋅ AB ⋅ sin ∠ C; S = ⋅ (4 3 + 4) 8 = 8( 3 + 1). 2 2 2

AC =

16 2 ( 2 2

Ответ: ВС = 8, АС = 4 3 + 4, S = 8( 3 + 1) (см2). 150. АН = ВН = 5 (т.к. ∠ А = ∠ AВН = 45˚) tg 60˚ = S=

5 , НС

HC =

5 tg60o

5 3

25(3 + 3) 1 5 ⋅ 5 ⋅ (5 + )= 6 2 3

5 45° A

60° H

§ 8. Формулы приведения π 151. a) sin ( – t) = cos t; 2 3π + t) = – sin t; в) cos ( 2

152. а) sin (π – t) = sin t;

в) cos (2π + t) = cos t;

б) cos (2π – t) = cos t; г) sin (π + t) = – sin t. π + t) = – sin t; 2 3π г) sin ( – t) = – cos t. 2

б) cos (

153. a) cos (90˚ – α) = sin α; в) sin (270˚ + α) = – cos α; 154. а) tg (90˚ – α) = ctg α; в) tg (270˚ + α) = – ctg α; 155. а) sin 240˚ = – sin 60˚ = –

б) sin (360˚ – α) = – sin α; г) cos (180˚ + α) = – cos α. б) ctg (180˚ – α) = – ctg α; г) ctg (360˚ + α) = ctg α. 3 ; 2

б) tg 300˚ = tg 120˚ = – tg 60˚ = –

3 ; г) ctg 315˚ = – ctg 45˚ = – 1. 2 5π 1 11π 1 7π 1 7π 1 156. a) cos = ; б) sin (– ) = ; в) sin = – ; г) cos (– )= . 3 2 6 2 6 2 3 2 1 3 157. a) cos 630˚ – sin 1470˚ – ctg 1125˚ = – – 1 = – ; 2 2 31π 7π – tg = 1 + 1 = 2; б) sin (– 7 π) + 2 cos 3 4

в) cos 330˚ = cos (–30˚) =

2 2 – =– 2 ; 2 2 49π 21π ) – ctg(– ) = – 1 – 1 + 1 = – 1. г) cos (– 9π) + 2 sin (– 6 4

в) tg 1800˚ – sin 495˚ + cos 945˚ = –

158. a) sin (90˚ – α) + cos (180˚ + α) + tg (270˚ + α) + ctg (360˚ + α) = = cos α – cos α – ctg α + ctg α = 0;

б) sin (

π 5π + t) – cos (π – t) + tg (π – t) + ctg ( – t) = 2 2

= cos t + cos t – tg t + tg t = 2 cos t. cos(180 + α) ⋅ cos ( − α ) − cos α cos α = 159. а) = ctg α; sin( − α) ⋅ sin (90 + α ) − sin α cos α б)

sin (π − t) cos (2π − t) sin t cos t = = cos t; tg (π − t) cos (π − t) − tgt ⋅ (− cos t)

в)

sin ( − α) ctg ( − α) cos α = = ctgα ; cos (360 − α) tg (180 + α) cos α tg α г)

sin (π + t) sin (2π + t) −sin t cos t = = −cos t . 3π sin t tg (π + t) cos ( + t) ⋅ sin t 2 cost

π π sin2 (π − t) + sin2 ⎛⎜ − t ⎞⎟ cos (π − t) + cos ( − t) −cos t + sin t 2 ⎠ ⎝ 2 160. а) ; = = −1 ; б) 3π sin (π − t) sin (2π − t) − sin ( + t) −sin t + cos t 2

3π sin ( + t) tg (π − t) 2 ⋅ = tg2 t , 161. а) cos (π + t) tg ( 3π + t) 2

-tg t 3π cos ( + t) = tg2 t ; -cos t 2

π ctg ( − t) cos (2π − t) 2 ⋅ = sin t . π sin ( − t) tg ( + t) 2 sin t tg t cos t ⋅ ⋅ = tg t cos t = sin t . tg t −ctg t −sin t

sin (π − t) б) ⋅ tg (π + t)

π cos2 (π − t) + sin2 ( − t) + cos (π + t) cos (2π − t) 2 162. а) = cos2 t , π 3π tg2 (t − ) ctg2 ( + t) 2 2 cos2 t + cos2 t − cos2 t 2 ctg2 t tg2 t

= cos t;

3π ) cos (2π − t) cos2 t cos t 2 б) = cos t . = cos t , π 3π ctg2 t sin2 t tg2 (t − ) cos (t − ) 2 2 11 cos 287o − 25 sin 557o −11 cos 167o + 25 sin 17o 163. a) = = sin17o sin17o 11 sin17o + 25 sin 17o = = 36. sin17o 13sin 469o − 8cos 341o 13sin109o − 8cos19o 13cos109o − 8cos19o sin2 (t −

б)

= 5.

cos19o cos19o cos19o 11π 13π π 3π π π 2 cos − 8sin 2 cos + 8sin 2 cos + 8sin 5 5 = – 6. 5 10 5 10 164. а) = = π π π cos cos cos 5 5 5 5π 25π 2π 11π 2π 4π 5sin + 2 cos 5sin − 2 cos 5sin + 2sin 7 14 7 14 7 14 б) = = = 7. 2π 2π 2π sin sin sin 7 7 7 π 165. а) 2 cos (2π + t) + sin ( + t) = 3, 2 cos t + cos t = 3, cos t = 1, t = 2πn; 2

π π + t) = 3, – sin t – 2 sin t = 3, sin t = – 1, t = – + 2πn; 2 2 π 1 1 1 k π в) 2sin (π+t)+cos ( –t)=– , –2 sint+sin t=– , sint= , t= (−1) + πk; 6 2 2 2 2

б) sin (π + t) + 2 cos(

г) 3 sin (

π 1 π + t) – cos (2π + t) = 1, 3 cos t – cos t = 1, cos t = , t=± + 2πn. 2 3 2

166. a) 5 sin (

π 3π + t) – sin ( + t) – 8 cos (2 π – t) = 1, 2 2

5 cos t + cos t – 8 cos t = 1, cos t = –

1 2π , t=± + 2πn; 2 3

π – t) + sin (π – t) = 1, 2 π sin t – sin t + sin t = 1, sint=1, t = + 2πn . 2

б) sin (2 π + t) – cos (

167. a) sin2 (π + t) + cos2 (2 π – t) = 0, sin2 t + cos2 t = 0 корней нет; б) sin2 (π+t)+cos2 (2 π–t) = 1, sin2 t+cos2 (2 π – t) = 1, sin2 t + cos2t= 1, t ∈ R.

§ 9. Функция у = sin x, ее свойства и график 168. a) sin π = 0; б) sin (–

π 2π π 3 3 ) = –1; в) sin = ; г) sin (– ) = – . 2 3 3 2 2

169. a) f (x) = sin x, f (– x) = – sin x; б) f (x) = sin x, f (2x) = sin 2x; в) f (x) = sin x, f (x + 1) = sin (x + 1); г) f (x) = sin x, f (x) – 5 = sin x – 5. 7π π 4π 170. а) у = 2sin (x – ) + 1, x = , y = 2 sin + 1 = –1+ 1 = 0; 6 3 6

б) у = – sin (x +

π π π 2 ), x = – , y = – sin (– ) = ; 4 2 4 2

в) у = 2 sin (x –

π 7π ) + 1, x = , 6 6

y = 2 sin π + 1 = 1;

15π 14π 7π π ), x = – , y = – sin ( ) = sin = –1. 4 4 2 4 π π 171. a) y = sin x, sin (– ) = –1, (– ; –1) принадлежит; 2 2 1 π 1 π ≠ sin , ( ; ) не принадлежит; б) y = sin x, 2 2 2 2

г) у = – sin (x +

в) y = sin x, 1 ≠ sin π, (π; 1) не принадлежит. 3π 3π , ( ;– 1) принадлежит. 2 2 π 3 3 π 172. а) у = sin (x + ) + 2 = – sin + 2 = , (0; ) принадлежит; 2 2 6 6

г) y = sin x, – 1 = sin

π π 3 π 3 ) + 2=–sin +2=– + 2, ( ;– + 2) принадлежит; 6 3 6 2 2 3 5π 1 2π 3 π в) у = – sin (x + ) + 2, = – sin + 2 = – + 2, ( ; ) принадлежит; 2 6 2 3 2 6 π 1 π г) у=–sin (x+ )+2, –sin (4 π+ )+2=– +2≠2,5, (4 π; 2,5) не принадлежит. 2 6 6

б) у=–sin (x +

173. а) у = sin x, x ∈ [

б) у = sin x, x ∈ [

π 2π ; ], 4 3

π ; + ∞ ], 4

fmax = 1, fmin =

2 ; 2

fmax = 1, fmin = – 1;

в) у = sin x, x ∈ [ −

3π 3π ; ], 2 4 π ], 3

г) у = sin x, x ∈ [– π;

fmax = 1, fmax =

174. а)

fmin = – 1;

3 , fmin = – 1 2

б) y

y x

в)

г)

175. а)

б)

x x

в)

г)

x x

176.

а)

б)

y x

177. а)

б)

x x

⎧ 2 178. f(x)= ⎨ х , х < 0

⎩sin x, x ≥ 0

а) 1) 2) 3) 4) 5) 6)

Область определения D(f)=R Область значений E(f)=[-1;+∞) При x>0 функция периодична, T=2π Функция ни четная, ни нечетная f(x)=0 при x=πn, n≥0, x=0 при y=0 Промежутки знакопостоянства: f(x)>0 при x<0, x ∈ (2πn, π+2πn), n≥0 f(x)<0 при x ∈ (2πn-π, 2πn), n≥0 7) fmin=–1, fmax=+∞ π 3 8) Функция убывает при x≤0 и х ∈ ⎜⎛ + 2πn; π + 2πn ⎟⎞ , n≥0 2 ⎝2 ⎠ π π⎤ ⎡ π⎤ ⎡ возрастает при х ∈ ⎢ 0; ⎥ U ⎢ 2πn − ;2πn + ⎥ , n≥1 2 2⎦ ⎣ 2⎦ ⎣

б)

1) 2) 3) 4) 5)

D(f)=R E(f)=[-1;+∞) При x<0 T=2π ни четная, ни нечетная f(x)=0 при x=πn, n≤0 x=0 при y=0 6) f(x)>0 при x>0, x ∈ (2πn, 2πn+π), n≤0 f(x)<0 при x ∈ (2πn-π, 2πn), n≤0 7) fmin=–1, fmax=+∞

8) убывает при х ∈ ⎜⎛ π + 2πn; 3 π + 2πn ⎟⎞ , n≤0 ⎝2

2 ⎠ π π⎤ ⎡π ⎡ возрастает при х ∈ ⎢ 2πn − ; 2πn + ⎥ U ⎢ ; +∞ ⎤⎥ , n<0 2 2⎦ ⎣2 ⎣ ⎦

⎧sin x, − π ≤ x ≤ 0 x≥0 ⎩x x ,

179. f (x) = ⎨

а) f (–

π π ) = sin (– ) = – 1, f (0) = 0, f (1) = 1, f (π2) = π 2 2

б) y

в) 1) D(f)=[- π;+ ∞); 2) E(f)=[-1;+∞); 3) непериодичная; 4) ни четная, ни нечетная; 5) f(x)=0 при x=0; 28

6) f(x)>0 при x>0, f(x)<0 при x ∈ [-π;0); 7) fmin=–1, fmax=+∞; π π 8) убывает при х ∈ ⎡⎢ −π; − ⎤⎥ , возрастает при x≥– . ⎣

2⎦

⎧1 ⎪ , х<0 180. f (x) = ⎨ х ⎪⎩sinx, 0 ≤ x ≤ π 1 а) f (– 2) = – , f (0) = 0, f (1)=sin 1; 2

б) y x

в) 1) D(f)=(- ∞; π]; 2) E(f)=(-∞;+1]; 3) непериодичная; 4) ни четная, ни нечетная; 5) f(x)=0 при x=0, x= π; 6) f(x)<0 при x<0, f(x)>0 при x ∈ (0; π); 7) fmin=–∞, fmax=1; π π 8) убывает при x<0, х ∈ ⎡⎢ − ; π ⎤⎥ , возрастает при x ∈ ⎡⎢ 0; ⎤⎥ . ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2⎦

181. a) sin x = х + π, x = –π;

б) sin x = 2x, x = 0;

в) sin x = – х, х = 0;

г) sin x = 2x – 2π, х = π

182. а) sin x =

2 π х, х = 0, х = ± ; 2 π

4 π

б) sin x = − х + 3, х =

π . 2

183. а) sin x + 1 = –(x+

π 2 π ) , х=– ; 2 2

б) sin x = x2 + 1. решений нет.

⎧ y = sin x ⎧ y = sin x ; ⎨ cистема имеет 2 решения. 2 2 = + − y x 4x 1 ⎩ ⎩ y = (x + 2) − 3

184. а) ⎨

⎧ y = sinx ⎪

б) ⎨ 1 ⎪y = ⎩

система имеет бесконечное множество решений.

⎧ y = sin x система не имеет решений. 2 ⎩ y = −3x − 2

в) ⎨

⎧ y = sin x

система имеет одно решение. г) ⎨ ⎩ х − у = 0. 185. а)

б) y

y x

в)

г) y

y x x

186. а) sin (x –

π π ) = π – 3x, x = ; 3 3

б) sin x =

x − π , x = π.

в) sin (x +

π π π ) – 1 = (x – )2, x = . г) – sin x= x , x = 0. 6 3 3 y

π 1 )+ . 4 2 3 1 3π 9π 1 π 3π a) x ∈ [ ; ], y max = , y min = ; б) ( ; ), y min = – ; 2 2 4 4 2 4 4

187. y = sin (x –

в) [0; π), y max =

3 1− 2 , y min = ; 2 2

г) [

π 3 1 ; + ∞), y max = , y min = – . 4 2 2

188. a) f (x) = x5 sin б) f (x) =

в) f (x) =

х х , f (– x) = – x5 (– 1) sin = f (x); 2 2

sin2 x 2

x −1

, f (– x) =

sin2 (− x) 2

(− x ) − 1

sin2 x x2 − 1

= f (x);

x x x 2sin −2sin 2 , f (– x) = 2 = 2 = f (x); x3 − x3 x3

2sin

г) f (x) = sin2x – x4, f (– x) = sin2(– x) – (– x4) = f (x). 189. a) f (x) = – x – sin x, f (– x) = –(–x) – sin (–x) = –(–x-sinx) =– f (x); б) f (x) = x3 sin x2, f (– x) = –x3 ⋅ sin (–x)2 = –x3sinx2 = – f (x); в) f (x) =

x2 sin x 2

x −9

, f (– x) = –

x2 sin x x2 − 9

= – f (x);

г) f (x) = х3 – sin x, f (– x) = – х3 + sin x = – f (x). 190. a) f (x) = 2x2 – x + 1. f (sin x) = 2 sin 2 x – sin x + 1 = 2 – 2 cos2 x – sin x +1=3 – 2 cos2x – sin x. 191. f (x) = 3x2 + 2x – 7; f (sin x) = 3 sin 2х + 2sin x–7=3–3 cos2 x + 2sin x–7=– 4 – 3cos2 x +2sin x. 31

⎧2x + 2π, ⎪

192. f (x) = ⎨sin x, ⎪⎩−2x,

x ≤ −π −π < x ≤ 0 x>0

a) f (– π – 2) = – 2π – 4 + 2π = – 4, f (– б)

π π 1 ) = sin (– ) = – , f (2) = – 4. 6 6 2 y x

в) 1) D(f)=R; 2) E(f)=(-∞;0]; 3) непериодичная; 4) ни четная, ни нечетная; 5) f(x)=0 при x=– π, x= 0; 6) f(x)<0 при x< – π ,x ∈ ( – π;0), x>0; 7) fmin=–∞, fmax=0;

π 8) f(x) возрастает при х ∈ (–∞;–π] U ⎡⎢ − ;0 ⎤⎥ , ⎣ 2

π убывает при x ∈ ⎡⎢ −π; ⎤⎥ U [0;+∞). 2⎦ ⎣

⎧ − x2 , ⎪

x<0 0≤x≤π ⎪−(x − π)2 , x > π ⎩

193. f (x) = ⎨sin x ,

а) f (– 3) = – 9, f (

π ) = 1, 2

f (2π –3) = – (π-3)2 = – π2+6π-9.

б) y x

в) 1) D(f)=R 2) E(f)=( – ∞;1] 3) непериодичная, 4) ни четная, ни нечетная 5) f(x)=0 при x = 0, x = π 6) f(x)>0 при x ∈ ( 0; π), f(x)<0 при x<0; x> π 7) fmin=–∞, fmax=1 π π 8) f(x) возрастает при х ∈ ⎛⎜ −∞; ⎤⎥ , убывает при x ∈ ⎡⎢ ; +∞ ⎞⎟ ⎝

2⎦

⎣2

⎠

⎦

3π π ⎧ ⎪sin(x + 2 ), − 2 ≤ x ≤ 0 ⎪ 194. f (x) = ⎨ x + 1 , 0 < x < 2 ⎪− x − 2 + 3, x ≥ 2 ⎪ ⎩

a) f (0) = 1, f (6) = 1, f (–π – 2) = не определено, т.к. (–π –2)< –

3π . 2

б) y

в) 1) D(f)= ⎡⎢ − π; +∞ ⎤⎥ ; 2) E(f)=[ – 1;3]; 3) непериодичная; 3 ⎣ 2

⎦

π , x= 11; 2 π 3 π 6) f(x)>0 при x ∈ ⎛⎜ − ;11⎞⎟ , f(x)<0 при x ∈ ⎜⎛ − π; − ⎟⎞ U (11; +∞) ; 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2

4) ни четная, ни нечетная; 5) f(x)=0 при x= –

7) fmin=–∞, fmax=3; 8) f(x) возрастает при х ∈ [ – π;2 ], убывает при x ∈ [2;+ ∞).

§ 10. Функция у = cos x, ее свойства и график 5π 3 2π 1 π =0; б) cos (– π)=–1; в) cos =– )=– . ; г) cos (– 6 3 2 2 2 196. а) f (x) = cos x, f (– x) = cos x; б) f (x) = cos x, f (3x) = cos 3x; в) f (x) = cos x, f (x + 2) = cos (x + 2); г) f (x) = cos x, f (x) – 6 = cos x – 6.

195. а) cos

197. a) y = 2 sin (–

π π ) + cos (– ) = – 2; 2 2

б) y = 2 sin

π π 3 + cos =1+ . 6 6 2

π 1 π2 π )–(– )2 = – ; б) y = cos π – π2 = – 1 – π2. 2 3 3 9 1 1 1 1 2 199. a) = = – 2; б) = = . 2π 1 11π 3 3 cos − cos 2 3 6 2

198. a) y = cos (–

π π π π – ) – 1 = – 2 – 1; б) y = 2 cos ( – ) – 1 = 1. 2 4 4 4 1 π π 1 201. a) y = cos x, = cos , ( ; ) – принадлежит; 3 3 2 2 1 π π 1 ≠ cos , ( ; ) – не принадлежит; б) y = cos x, 2 6 6 2

200. a) y = 2cos (–

в) y = cos x, –

1 2π 2π 1 = cos , ( ;– ) – принадлежит; 2 3 3 2

3 5π 5π 3 = cos ) – принадлежит. , ( ;– 2 2 6 6 π 202. у = 2 cos (x – ) + 1. 6 π a) 3 + 1 = 2 cos (– ) + 1, (0; 3 + 1) – принадлежит. 6 π π π б) 1 ≠ 2 cos ( – ) + 1, ( ; 1) – не принадлежит. 6 6 6 π π π в) 2 = 2 cos ( – ) + 1, ( ; 2) – принадлежит. 2 6 2 π π π г) 3 = 2 cos ( – ) + 1, ( ; 3) – принадлежит. 6 6 6 г) y = cos x, –

203. а)

б) y

y x

в)

г) y

204. а)

б) y

x x

в)

г) y y x

205. а)

б) y

в)

г) y

206. y = cos x. π 2π 1 ; ] y min =– , 2 6 3 π б) x ∈ (– π; ) y min = не существует, 4 π в) x ∈ [– ;+ ∞) y min = – 1, 4 π 3π г) x ∈ [– ; ) y min = – 1, 3 2 x + 2, x < 0 207. a) f(x)= cos x, x ≥ 0

a) x ∈ [

y max =

3 . 2

y max = 1. y max = 1. y max = 1.

{

y x

1) D(f)=R; 2) E(f)=(– ∞;2); 3) при x ≥0 T=2π; 4) ни четная, ни нечетная; 5) f(x)=0 при x = –2, x =

π 2

+πn, n≥0;

3 ⎛π ⎞ 6) f(x)<0 при x ∈ (–∞; –2) U ⎜ + 2πn; π + 2πn ⎟ , n≥0, 2 ⎝2 ⎠ π⎞ ⎛ π π ⎛ ⎞ f(x)>0 при x ∈ ⎜ −2; ⎟ U ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ , n≥1; 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 7) fmin=–∞, fmax=2; 8) f(x) возрастает при х ∈ (–∞; 0) U (–π+2πn; 2πn), n≥0, убывает при x ∈ (2πn; 2πn+π), n≥0.

π ⎧ ⎪cos x, x ≤ 2 б) f(x)= ⎨ π ⎪sin x, x > 2 ⎩

y x π⎤ ⎛ π ⎛ ⎞ 1) D(f)=R; 2) E(f)=[– 1;1]; 3) на промежутках ⎜ −∞; ⎥ и ⎜ ; +∞ ⎟ T=2π; 2⎦ ⎝ 2 ⎠ ⎝

4) ни четная, ни нечетная; 5) f(x)=0 при x =

π 2

-πn, n≥0, х= π(1+k), k≥0;

3 ⎛π ⎞ 6) f(x)<0 при x ∈ ⎜ + 2πn; π + 2πn ⎟ , n≤–1, x ∈ (– π+2 πk; 2πk), k≥1; 2 ⎝2 ⎠ 7) fmin=–1, fmax=1; 8) f(x) возрастает при х ∈ [–π+2πn; 2πn), n≤0, π ⎡ π ⎤ х ∈ ⎢ − + 2πk ; + 2πk ⎥ , k≥1, убывает при x ∈ [2πn; π+2πn), n≤–1, 2 ⎣ 2 ⎦ 3 ⎡π ⎤ ⎡ π⎤ х ∈ ⎢ 0; ⎥ ; х ∈ ⎢ + 2πk ; π + 2πk ⎥ , k≥0; 2 2 2 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ 2 ⎪− , x < 0 в) f(x)= ⎨ x ⎪⎩− cos x, x ≥ 0

1) D(f)=R; 2) E(f)=[– 1;+∞); 3) при x≥0 T=2π; 4) ни четная, ни нечетная; 5) f(x)=0 при x =

π 2

+πn, n≥–1;

π ⎡ π⎞ ⎛ π ⎞ 6) f(x)<0 при x ∈ ⎢ 0; ⎟ U ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ , n≥1, 2 ⎣ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ 3 ⎛π ⎞ f(x)>0 при x ∈ (– ∞; 0) U ⎜ + 2πn; π + 2πn ⎟ , n≥0; 2 ⎝2 ⎠

7) fmin=–1, fmax=+∞; 8) f(x) возрастает при х ∈ (– ∞; 0) U [2πn; π+2πn), n≥0, убывает при x ∈ [2πk-π; 2πk), k≥1. 36

⎧− cos x, x < 0 г) f(x)= ⎨ 2 ⎩2x − 1, x ≥ 0

1) D(f)=R; 2) E(f)=[– 1;+∞); 3) при x<0 T=2π; 4) ни четная, ни нечетная; 5) f(x)=0 при x =

π 2

–πn, n≥1, x=

2 ; 2

π ⎛ π ⎞ ⎛ π 2⎞ 6) f(x)<0 при x ∈ ⎜ − − 2πn; − 2πn ⎟ U ⎜ − ; ⎟ , n≥1, 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠ ⎞ 3 ⎛π ⎞ ⎛ 2 ; +∞ ⎟ , k≥1; f(x)>0 при x ∈ ⎜ − 2πk ; π − 2πk ⎟ U ⎜ 2 ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 7) fmin=–1, fmax=+∞; 8) f(x) возрастает при х ∈ [–2πn; –2πn+π) U [0;+∞), n≥1, убывает при x ∈ [–2πn-π; –2πn), n≥0. 208. π π а) cos x = x + ; x = – . б) – cos x = 3x – 1; x = 0. 2 2

в) cos x = 2x + 1; x = 0.

г) cos x = – x +

π π ;x = . 2 2

209.

а) cos x =

x +1, x = 0;

в) cos x + 1 = – (x – π)2; x=π

б) cos x =

x−

π π , х= ; 2 2

г) cos x = ⏐x⏐ + 1, x = 0.

⎧ у = cos x ⎧ y = cos x ; ⎨ 210. a) ⎨ 2 2 ⎩ y = − x + 2x − 3 ⎩ y = −(x − 1) − 2

решений нет.

⎧ y = cos x ⎪ б) ⎨ бесконечное множество решений. 2 ⎪⎩ y = x ⎧ y = cos x ⎧ у = cos x ⎧ y = cos x ; ⎨ 2 решения; г) ⎨ 2 решения. в) ⎨ 2 y = x − 3 ⎩ х − у = 0 ⎩y = х ⎩ 211. а) f (x) = x2 cos x, f (–x) = (–x)2 cos (–x) = x2 cos x = f (x);

б) f (x) =

cos(− x)3 cos x3 cos x3 , f (–x) = = f (x); = 2 2 4 − (− x) 4−x 4 − x2

в) f (x) =

cos ( −5x ) + 1 cos5x + 1 cos5x + 1 , f (–x) = = = f (x); −x x x

г) f (x) = (4 + cos x) (sin6 x – 1), f (–x) = (4 + cos (– x)) (sin6 (– x) – 1) = (4 + cos x) (sin6 x – 1) = f (x). 212. a) f (x) = sin x cos x, f (–x) = – sin (–x) cos (–x) = –sinxcosx= – f (x); б) f (x) = x5 cos 3x, f (–x) = (– x)5 cos (– 3x) = – x5 cos 3x = – f (x); cos(− x)3 cos x3 cos x3 , f (–x) = = – f (x); =– 2 2 x(25 − x ) x(25 − x2 ) − x(25 − ( − x ) ) г) f (x) = x 11 ⋅ cos x + sin x, f (–x) = (– x)11 ⋅ cos (– x) + sin (– x) = (– x)11 ⋅ cosx – sin x = f (–x). 213. f (x) = 2x2 – 3x – 2, – f (cosx) = – 2 cos2 x + 3 cos x + 2 = 2(1-cos2x)+3cosx = 2 sin2 x + 3 cos x 214. f (x) = 5x2 + x + 4, f (cosx) = 5 cos2 x + cos x + 4 = 5 – 5 sin2 x + cos x + 4 = – 5sin2 x + cos x + 9.

в) f (x) =

215. см. рис. 70. ⎧ ⎪sin x, x ≤ 0 ⎪⎪ π f(x)= ⎨ x2 , 0 < x < 2 ⎪ ⎪cos x, x ≥ π ⎪⎩ 2 1) D(f)=R; 2) E(f)=[-1;+∞); 3) ни четная, ни нечетная; π π 4) при x≤0 и x≥ T=2π; 5) f(x)=0 при x=– πn, n≥0, x= +πk, k≥0; 2 2 π π π 6) f(x)>0 при x ∈ ( – 2πn; – 2π +π) U (0; ) U (– +2πk; +2πk), n≥1, k≥1; 2 2 2 7) fmin=–1, fmax=+∞; π π 8) f(x) возрастает при х ∈ [– –2πn; –2πn], n≥1; 2 2 π π 5 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x ∈ U ⎢ − ; ⎥ U ⎢ 2π; π ⎥ U [π+2πn; 2π+2πn], n≥1. 2 ⎦ ⎣ 2 2⎦ ⎣ π π 216. а) sin x = cos x, x = + πk. б) sin x = – cos x, x = – + πk. 4 4 y

§ 11. Периодичность функций у = sin x, y = cos x 217. см. рис. 73. 218. см. рис. 74. 219. см. рис. 75. 220. см. рис. 76. 221. 32π является периодом функций у = sin x, y = cos x, но не основным. 222. а) sin 50, 5π = sin

в) sin 25, 25π = – sin

π = 1; 2

3π 2 =– ; 4 2

223. a) sin 390° = sin 30° =

в) sin 540° = sin 180° = 0;

1 ; 2

б) cos 51, 75π = сos г) sin 30,5π = sin

π 2 = ; 2 4

π = 1. 2

б) cos 750° = cos30° =

3 ; 2

г) cos 930° = cos150°= –

3 . 2

224. а) sin2 (х – 8π) = 1 – cos2 (16π – х), sin2 (х – 8π) = sin2 х; 1 – cos2(16π – x)=1 – cos2x=sin2x; б) cos2 (4π + x) = 1 – sin2x (22π – x); cos2(4π +x)=cos2x, 1 – sin2x(22π – x)=1-sin2x=cos2x.

225. a) y = sin 2x, T = π, y ( x + T) = sin (2x + 2π) = sin 2x = y (x); 2π , y ( x + T) = sin (3x + 2π) = sin 3x = y (x); б) у = cos 3x, T = 3 х х х в) у = sin , T = 4π, y ( x + T) = sin ( + 2π) = sin = y (x); 2 2 2 3х 8π 3х 3х г) у = cos , T= , y (x + T) = cos ( + 2π) = cos = y (x). 4 3 4 4 226. a) sin 8 = sin (8 – 2π); б) cos (– 10) = cos (– 10 + 4π); в) sin (– 25) = sin (– 25 + 8π); г) cos 35 = cos (35 – 10π). 3 227. a) cos (t + 4π) = ? cos (2π – t) = – , 5 3 3 cos t = – , cos (t + 4π) = cost = – ; 5 5 5 5 б) sin (32π – t) = ? sin (2π – t) = , sin (32π – t) = sin (2π – t) = . 13 13 228. а) sin (t + 2π) + sin (t – 4π) = 1, sin t + sin t = 1, sin t = ; t=(–1)k

π + πk; 6

б) 3 cos (2π + t) + cos (t – 2π) + 2 = 0, 4 cos t = – 2, 1 2π cos t = – , t = ± + 2 πn; 2 3 в) sin (t + 4π) + sin (t – 6π) = г) cos (t + 2π) + cos (t – 8π) =

3 , 2sin t = 3 , sint= 2 , 2cos t =

3 π + πk; , t = (– 1)k 2 3

2 , cost=

2 π + 2πk. , t =± 2 4

§ 12. Как построить график функции y = mf (x), если известен график функции y = f (x) 229. a)

б)

в)

г) x

y x

230. а)

б) x

в)

г)

y x

231. у = 2 cos x π π a) x ∈ [– ; ], y max = 2, y min = 0; 2 2 3π б) x ∈ (0; ), y min = – 2, y max = –0; 2 π 3π в) х ∈ [ ; ], y max = 1, y min = – 2; 3 2 3π π г) х ∈ [– ;– ], y max = 2 , y min = – 2. 4 2 232. у = – 3sin x.

a) х ∈ [0; + ∞), y max = 3, y min = – 3; б) х ∈ (– ∞;

π ), y max = 3, y min = – 3; 2

π ; + ∞), y max =3, y min = – 3; г) х ∈ (– ∞; 0), y max = 3, y min = – 3. 4 233. f (x) = 3 sin x; a) f (– x) = – 3 sin x; б) 2 f (x) = 6 sin x; в) 2f (x) + 1 = 6 sin x + 1; г) f (– x) + f (x) = – 3 sin x + 3 sin x = 0. 1 234. f (x) = – cos x; 2 1 a) f (– x) = – cos; б) 2 f (x) = – cos x; 2 1 1 1 в) f (x + 2π) = – cos x; г) f (– x) – f (x) = – cos x + cos x = 0. 2 2 2 235. y а) б) y

в) х ∈ [

в)

г)

y x

236. а)

б)

в)

г)

π π ⎧ ⎪1,5 cos x, x ∈ [ − 2 ; 2 ] б) ⎨ π π ⎪ x- , x > ⎩ 2 2

⎧ х2 , x < 0 ⎪ 237. а) ⎨ 1 ⎪⎩ 2 sin x, 0 ≤ x ≤ π 238.

π ⎧ ⎪3sin x, x < 2 a) f(x)= ⎨ π ⎪3x3 , x ≥ ⎩ 2 1) D(f)=R ⎡ π3 ⎞ 2) E(f)=[-3;3] U ⎢3 ; +∞ ⎟⎟ 8 ⎣ ⎠ π 3) при x< T=2 π 2

4) ни четная, ни нечетная 5) f(x)=0 при x=– πn, n≥0 6) fmin=–3, fmax=+∞ 7) f(x)<0 при x ∈ ( – 2πn – π; –2 πn), n≥0 f(x)>0 при x ∈ ( – 2πn; –2 πn+π), n≥0

π π ;–2πn + ], n≥0 2 2 π 3 f(x) убывает при x ∈ [–2πn + ;–2πn + π ], n≥0 2 2

8) f(x) возрастает при х ∈ [–2πn –

⎧−2cos x, x < 0 ⎪ б) f(x)= ⎨ 1 4 ⎪⎩ 2 x , x ≥ 0 1) D(f)=R; 2) E(f)=[-2; +∞]; 3) при x<0 T=2 π; 4) ни четная, ни нечетная; 5) f(x)=0 при x = –

π – πn, n≥1, x=0; 2

6) fmin=–3, fmax=+∞;

π π π – 2πn; –2 πn) U (– ;0), n≥1, 2 2 2 π 3 f(x)>0 при x ∈ ( – 2πn; π – 2πn), n≥1; 2 2 8) f(x) возрастает при х ∈ [–2πn;–2πn + π], n≥1, x≥0, f(x) убывает при x ∈ [–2πn –π;–2πn], n≥0. 7) f(x)<0 при x ∈ ( –

§ 13. Как построить график функции у = f (kx), если известен график функции у = f (x) 239. а)

б)

в)

г) x

240. а)

б)

в)

г)

y x

241. а)

б)

в)

г)

242. у = sin 2x π π π a) x ∈ [– ; 0], y max = 0, y min = – 1; б) x ∈ (– ; ), y max = 1; 2 4 2 π π в) x ∈ [– ; ], y min = – 1, y max =1; г) х ∈ (0; π], y min = – 1, y max = 1. 4 4 х 243. у = cos 3 a) x ∈ [ 0; + ∞), y max = 1, y min = – 1; б) x ∈ (– ∞; π), y max = 1, y min = – 1; π π ], y max = 1, y min = – 1; г) x ∈ ( , + ∞), y max = 1, y min = – 1. в) x ∈ [– ∞; 2 3 х 244. f (x) = cos 3 х х a) f (– x) = cos ; б) 3 f ( x) = 3 cos ; в) f (–3x) = cos x; г) f (–x)–f ( x) = 0. 3 3 245. f (x) = sin 2x а) f (–x) = – sin2x; б) 2 f ( x) = 2sin2x; в) f (–3x) = –sin 6x; г) f (–x)+f(x) = 0. 246. y а) б) y x

в)

г)

y x

247.

⎧cos 2 x , x ≤ π ⎪ а) f(x)= ⎨ 1 ⎪− 2 , x > π ⎩

1) D(f)=R; 2) E(f)=[-1;1]; 3) при x≤ π T= π; 4) ни четная, ни нечетная;

π πn 3 − π, n≥0; x= π; 4 2 4 2 ⎛π ⎞ 6) fmin=–1, fmax=1; 7) f(x)<0 при x ∈ ⎜ − π n; π − π n ⎟ U (π;+∞), n≥0, 4 ⎝4 ⎠ 5) f(x)=0 при x=–

3 π ⎛π ⎞ − πn; − πn ⎟ U ( π; π], n≥0; 4 4 4 ⎝ ⎠

f(x)>0 при x ∈ ⎜

⎡π

⎤

8) f(x) возрастает при х ∈ ⎢ − π n;π − π n ⎥ , n≥0, ⎣2 ⎦

⎡

f(x) убывает при x ∈ ⎢ − πn;

π ⎤ − πn ⎥ , n≥0. 2 ⎦

⎣ ⎧⎪− sin 3x , x < 0 б) f(x)= ⎨ ⎪⎩ x , x ≥ 0 1) D(f)=R; 2) E(f)=[-1;+∞); 2 3) при x≤0 T= π; 4) ни четная, ни нечетная; 3 πn 5) f(x)=0 при x=– , n≥0; 6) fmin=–1, fmax=+∞; 3

⎛ 2 π 2 ⎞ 7) f(x)<0 при x ∈ ⎜ − π; − πn ⎟ , n≥1, ⎝ 3 3 3 ⎠ 2 ⎞ ⎛ π 2 f(x)>0 при x ∈ ⎜ − − πn; − πn ⎟ , n≥0, x≥0; 3 ⎠ ⎝ 3 3 π 2 ⎤ ⎡π 2 8) f(x) возрастает при х ∈ ⎢ − πn; − πn ⎥ , n≥1, 6 3 3 3 ⎦ ⎣ π 3 ⎤ ⎡ π 3 f(x) убывает при x ∈ ⎢ − − πn; − πn ⎥ , n≥1, x ∈ 6 2 ⎦ ⎣ 6 2 248.

⎡ π ⎞ − ;0 ⎟ . ⎣⎢ 3 ⎠

⎧⎪− 2 sin x , x < 0 ⎪⎩ 2 x , x ≥ 0

а) f(x)= ⎨

1) D(f)=R; 2) E(f)=[-2;+∞); 3) при x≤0 T= 2π; 4) ни четная, ни нечетная; 5) f(x)=0 при x=– πn, n≥0; 6) fmin=–2, fmax=+∞; 45

7) f(x)<0 при x ∈ (-2 πn;-2 πn+ π), n≥1, f(x)>0 при x ∈ (-2 πn-π;-2 πn), n≥0; π 3 8) f(x) возрастает при х ∈ [-2πn+ ;-2πn+ π] U [0;+ ∞), n≥1, 2 2 π π π f(x) убывает при x ∈ [-2πn- ;-2πn+ ] U [- ;0), n≥1. 2 2 2 ⎧ б) f(x)= ⎨ − x , x ≤ 0 ⎩3cos x − 3, x > 0 1) D(f)=R 2) E(f)=[-6;+∞) 3) при x≥0 T= 2π 4) ни четная, ни нечетная 5) f(x)=0 при x=2πn, n≥0 6) fmin=–6, fmax=+∞ 7) f(x)<0 при x≠2πn, n≥0, f(x)>0 при x<0 8) f(x) возрастает при х ∈ [-2πn-π;2πn], n≥1, f(x) убывает при x ∈ [2πn;2πn+ π], n≥0, x≤0

{

− х, х < 0 249. а) y= ; sin 2x, x ≥ 0

в) y=

π π ⎧ ⎪cos3x, x ∈ [ − 6 ; 3 ] б) y= ⎨ π ⎪−1, x> 3 ⎩

{

⎧−2sin x, x ∈ [−2π;0] sin 2x, x < 0 ⎪ ; г) y= ⎨ x 2cos x, x > 0 ⎪⎩cos 2 , x ∈ (0;3π]

§ 14. График гармонического колебания 250. а)

б)

y x

251. а)

б) x

252. а)

б) x

253. а)

б) x

§ 15. Функции у = tg x, y = ctg x, их свойства и графики 254. у = tg x π = 1; б) tg а) tg 4 255. t = tg x. π 3π ), а) x ∈ ( ; 2 2 3π ; π], б) x ∈ ( 4

2π =– 3

3 ; в) tg

y min = – ,

y max = –;

y min = – ,

y max = 0;

π π ; ], y min = – 1, 4 6 3π ), y min = 0, г) x ∈ [π; – 2 256. π а) х = + πn, n≥0; 3

в) x ∈ [–

в) х = –

π + πn 4

3π = –1; г) tg π = 0. 4

3 3

y max =

y max = –.

б) х =

π + πn 4

г) х =πn.

257.

а) ctg

3 π π π = 1; б) х = ctg = = 0. ; в) ctg 2π = – ; г) ctg 4 3 3 2

258. y = ctg x. π π а) x ∈ [ ; ], 4 2 π б) х ∈ [ ;π], 2 в) х ∈ [– π ;0], π 3π г) х ∈ [ ; ], 6 4 259. π а) x = + πk; 4

в) х = –

π + πk; 3

ymax = 1,

y min = 0;

ymax = –,

y min = 0;

ymax = –,

y min = –;

ymax =

y min = –1.

б) х =

г) х =

π + πk; 3

π + πk. 2

260. a) f (x) = tg x – cos x, f (– x) = – tg x – cos x, ни четная, ни нечетная; б) f (x) = tg x + х, f(–x)= –tgx – x = –f(x), нечетная; в) f (x) = ctg2 x – x4, f (– x) = ctg2 x – x4, четная; г) f (x) = х3 – ctgx, f (–x)= –x3+ctgx=–f(x), нечетная.

261. а)

б)

в)

г)

262. а)

б)

в)

г)

263. а)

б)

в)

г)

264. а)

б)

в)

г)

265. а) y = tg 2x,

π , y(x + t) = tg (2x + π) = tg x; 2

х х х , T = 3π, y(x + T) = tg ( + π) = tg ; 3 3 3 π в) y = tg 5x, T = , y(x + T) = tg (5x + π) = tg 5x; 5 2х 5π 2х 2х , T= , y (x + T) = tg ( + π) = tg . .г) y = 5 2 5 5 266. a) y = tg x + sin 2x – tg 3x – cos 4x, T = π, y (x + π) = tg (x + π) + sin (2x + 2π) – tg (3x + 3π) – cos (4x + 4π) = y(x); б) y = sin 3x + cos 5x + ctg x – 2 tg 2x, T=π y (x + π) = sin (3x + 3π) + cos (5x + 5π) + ctg (π + x) – 2tg (2x + π) = – sin3x – – cos5x + ctgx + ctgx – 2tg2x ≠ y (x), → π не есть период. 3 3 4 267. tg (9π – x) = − ; tg (9π – x) = – tg x; tg x = , ctg x = . 4 4 3 5 5 7 268. ctg (7π – x) = ; ctg x = – , tg = – 7 7 5 269. a) tg 200˚ – tg 201˚ < 0; б) tg 1 – tg 1,01 < 0; 3π 6π в) tg 2,2 – tg 2,1 > 0; г) tg – tg < 0. 5 5 2 270. a) f (x) = tgx sin x, f (– x) = –tg x ⋅ sin2x = – f (x), нечетная; б) y = tg

tg 2 x 2

, f (– x) =

tg 2 x

= f (x), четная; x −1 x2 −1 в) f(x)=x5tgx, f(–x)=x5tgx=f(x), четная; г)f (x) = x2 + sinx +tgx, f(–x)=x2-sinx-tgx, ни четная ,ни нечетная. 271. а) f (x) = sinx + ctgx, f (-x) = - sinx – ctgx = - f (x), нечетная; 2ctgx −2ctgx б) f (x) = 3 , f (-x) = =f (x), четная; − x3 x б) f (x) =

х4ctg x х4ctg x , f (– x) = – 2 = – f (x), нечетная; 2 x −4 x −4 г) f (x) =ctgx – xcosx, f (-x) = – ctgx + xcosx = – f (x), нечетная. 272. f (x) = tg x, f (2x+2π)+f(7π–2x)=tg(2x+2π)+tg (7π–2x) = tg 2x – tg2x = 0. 1 273. f (x) = x2 + 1, f (tg x) = tg2 x + 1 = . cos2 x 1 274. f (x) = x2 + 1, f (ctg x) = ctg2 x + 1 = . sin2 x 275. y a) в) f (x) =

б)

276. a)

б)

277. a)

б) x

y x

Глава 2. Тригонометрические уравнения § 16. Первые представления о решении тригонометрических уравнений 278. а) cos t =

в) cos t = –

2 π + 2πn; , t=± 4 2

1 2π ,t=± + 2πn; 2 3

279. а) cos t =

3 π + 2πk; , t=± 6 2

3 5π + 2πk; ,t=± 6 2 π 280. а) sin t = 1, t = + 2πk; 2 в) cos t = –1, t = π + 2πk;

в) cos t = –

281. а) tg t =

в) tg t = –

3,t=

π + πn; 3

3 π + πn; , t=– 3 6

б) sin t = –

1 π , t =( – 1)k+1 + πk; 6 2

г) sin t =

2 π + πk. , t =( – 1)k 4 2 3 π + πk; , t =( – 1)k+1 6 2

б) sin t = – г) sin t =

3 π + πk. , t =( – 1)k 3 2

б) cos t = 2, решений нет; г) sin t = – 3, решений нет. б) ctg t = – г) ctg t =

3 π + 2πn; , t=– 3 3 3, t=

π + πn. 6

⎧sin t = 0 2π ⎪ 282. а) sin t (2cos t + 1) = 0, ⎨ + 2πn; 1 , t = πn, t = ± 3 ⎪⎩cos t = − 2 π sin t = 1 б) (sin t – 1) (cos t + 1) = 0, , t= + 2πn, t = π + 2πn; cos t = −1 2

{

в) cos t ⋅ (2sin t + 1) = 0, г) (2sint –

⎧cos t = 0 π π ⎪ + πn, t = ( – 1)n+1 + πn; ⎨sin t = − 1 , t = 2 6 ⎪⎩ 2

2 ) (2cos t + 1) = 0,

⎧ 2 ⎪⎪sin t = π 2π 2 , t = ( – 1)n+1 + πn, t = ± + 2πn. ⎨ 1 4 3 ⎪cos t = − ⎪⎩ 2 π π 283. a) cos ( – t) = 1, sin t = 1, t = + 2πn; 2 2 б) cos (t - π) = 1, –cos t = 1, t = π + 2πn; π в) sin (π– t) = 1, sin t = 1, t = + 2πn; 2 π г) sin (t – ) = 1, cos t = - 1, t = π + 2πn. 2

3 π π + πk, t = (–1)k+1 + πk; , t = (–1)k 3 3 2 sin t = 0 π б) sin2t – sin t = 0, , t = πn, t = + 2πn; sin t = 1 2 1 π π + πk, t = (–1)k+1 + πk; в) 4 sin2t – 1 = 0, sin t = ± , t = (–1)k 6 6 2 ⎧sin t = 0 π ⎪ г) 2sin2t + sin t = 0., ⎨ + πk. 1 , t = πn, t = (–1)k+1 sin t = − 6 ⎪⎩ 2

284. a) 3 – 4 sin2t = 0, sin t = ±

{

285. а) 3 – 4cos2t = 0, cos t = ±

3 π , t = ± + πn; 6 2

⎧cos t = 0 π π ⎪ + πn, t = ± + 2πn; б) 2 cos2 t – cos t = 0, ⎨ 1 , t= cos t = 2 3 ⎪⎩ 2 1 π 2π в) 4cos2 t – 1 = 0, cos t = ± , t = ± + 2πn, t = ± + 2πn; 3 2 3 ⎧cos t = 0 π 2π ⎪ г) 2 cos2 t + cos t = 0, ⎨ + πn, t = ± + 2πn. 1 , t= cos t = − 2 3 ⎪⎩ 2 286. а) 2sin2t + 3sin t – 2 = 0, sin t =

−3 + 9 − 4 ⋅ 2( −2) 1 = , 4 2

π + πk, sin t = – 2 не подходит; 6 5+3 б) 2 cos2 t – 5cos t + 2 = 0, cos t = = 2 – не подходит, 4 π 1 cos t = , t = ± + 2πn; 2 3 −1 + 3 1 π 2 в) 2sin t + sin t – 1 = 0, sin t = + πk, = , t =( – 1)k 4 2 6 π sin t = – 1, t = – + 2πn; 2

t =( – 1)k

г) 4 cos2 t + 9cos t + 5 = 0, cos t =

−9 + 1 = – 1, t = π + 2πn, 8

−9 − 1 – не подходит. 8 287. а) 2 cos2 t + sin t + 1 = 0, 2 – 2 sin2t + sin t + 1 = 0, 2 sin2t – sin t – 3 = 0, 1− 5 π 1+ 5 sin t = не подходит, sin t = = – 1, t = – + 2πk; 4 2 4 cos t =

б) sin2t + 3cos t – 3 = 0, cos2 t – 3cos t + 2 = 0, cos t = 2 не подходит, cos t = 1; t = 2πn. π π 1 + 2πn. 288. a) sin ( + t) – cos (π + t) = 1, cos t + cos t = 1, cos t = , t=± 2 2 3 3π б) sin (π + t) + sin (2π – t) –cos ( + t) + 1,5 = 0, 2 π 3 1 –sin t – sin t – sin t = – , sin t = ; t =( – 1)k + πk; 2 2 6 π в) cos ( – t) – sin (π + t) = 2 , sin t + sin t = 2 , 2 2 π , t =( – 1)k + πk; 2 4 π г) sin (π + t) + cos ( + t) = 3 , –sin t – sin t = 2 sin t =

sin t = –

π 3 + πk. , t =( – 1)k+1 2 3

§ 17. Арккосинус и решение уравнения cos t = a 289. a) arccos 0 =

π π 3 π 1 ; б) arccos 1 = 0; в) arccos = . = ; г) arccos 2 2 6 2 3

3 5π ; )= 2 6 1 2π . в) arccos (– 1) = π; г) arccos (– ) = 2 3 3π π ; 291. a) arcсos (– 1) + arccos 0 = π + = 2 2 290. a) arccos (–

б) arcсos

2 3π ; )= 2 4

б) arccos (–

π 3 1 π π – arcсos – = ; = 2 2 3 6 6

2 2 π 3π ) + arccos = + = π; 2 2 4 4 1 1 2π π π г) arccos (– ) – arccos = – = . 2 2 3 3 3 в) arccos (–

292. а) sin (arccos (–

3 3 3 1 2π π ; б) tg (arccos ))=tg )) = sin = = ; 2 2 2 3 6 3

в) ctg (arccos 0) = ctg

π = 0; 2

г) sin (arccos

2 2 π )) = sin = . 2 4 2 55

б) cos t =

π 2 + 2πn; , t=± 4 2

в) cos t = 1, t = 2πn;

г) cos t =

3 π , t=± + 2πn. 2 6

294. а) cos t = – 1, t =π + 2πn;

б) cos t = –

293. a) cos t =

1 π , t=± + 2πn; 2 3

3 5π + 2πn; ,t=± 2 6

2π 3π 2 1 + 2πn; г) cos t = – + 2πn. ,t=± ,t=± 2 3 4 2 1 1 295. а) cos t = , t = ± arccos + 2πn; б) cos t = – 1,1, решений нет; 3 3 3 3 в) cos t = – , t = ± arccos (– ) + 2πn; г) cos t = 2, 04, решений нет. 7 7 1 1 296. а) cos t ( 2 arccos – 3 arccos 0 – arccos (– )) = 2 2 2π 3π 2π 3π =cos ( – – ) = cos = 0; 3 2 3 2 1 1 1 1 π б) (arccos + arccos ( – )) = π = . 3 3 3 3 3 1 297. а) х ∈ [– 1; 1]; б) | x | ≤ ; в) х ∈ [0; 2]; г) х ∈ [1; 2]. 2 в) cos t = –

298. а) arccos

5 , – нет;

б) arccos

2 , – да; 3

π , – да; г) arccos (– 3 ), – нет. 5 299. tg (arccos 0,1 + arccos (– 0,1) + x) = tg x, tg (π + x) = tg x.

в) arccos

300. a)

8 cos t − 3 =1, 3 cos t + 2

⎧5 cos t - 5 = 0

8 cos t − 3 − 3 cos t − 2 ⎪ =0, ⎨ 2 3 cos t + 2 ⎪cost ≠ -

⎩

cos t = 1, t = 2πn; 3 cos t + 1 5 cos t − 1 3 7 21 + = 1 , 9 cos t + 3 + 10 cos t – 2 = , ⋅ 6= б) 2 3 4 4 2 19 1 π 19 cos t = , cos t = , t = ± + 2πn. 2 2 3 301. a) 6 cos2t + 5 cos t + 1 = 0, cos t =

cos t = 56

−5 − 1 1 2 = – , t = ± π + 2πn. 12 2 3

1 1 −5 + 1 = – , t = ± arccos(– ) + 2πn, 12 3 3

302. а)

б)

y x

303. a) cos t >

б) cos t ≤ –

π π 1 , t ∈ (– + 2πk; + 2πk); 3 3 2

3π 5π 2 + 2πk; + 2πk]; , t∈[ 4 4 2

3π 3π 2 + 2πk; – + 2πk]; , t ∈ [– 4 4 2 1 5π π + 2πk). г) cos t < , t ∈ ( + 2πk; 2 3 3 2 2 2 304. a) cos t < , t ∈ (arccos + 2πk; 2π – arccos + 2πk); 3 3 3 1 1 1 б) cos t > – , t ∈ (–arccos (– ) + 2πk; arccos(– )+2πk); 7 7 7 2 2 2 в) cos t > , t ∈ (– arccos + 2πk; arccos + 2πk); 3 3 3 1 1 1 г) cos t < – , t ∈ (arccos (– )+2πk; 2π–arccos(– )+2πk). 7 7 7 305. a) 3 cos2t – 4 cos t ≥ 4, 3 cos2t – 4 cos t – 4 = 0. Найдем корни квадратного уравнения:

в) cos t ≥ –

4 ± 16 + 4 ⋅ 3 ⋅ 4 4 ± 8 2 = , cos t = – , cos t = 2 не подходит, 3 6 6 2 2 ⎛ 2⎞ cos t ≤ – , t ∈ ( arccos (– )+ 2πk, 2π – arccos ⎜ − ⎟ + 2πk); 3 3 ⎝ 3⎠ б) 6 cos2 t + 1 > 5 cos t. Найдем корни квадратного уравнения: 1 1 5 +1 = , cos t = , 6 cos2 t – 5 cos t + 1 = 0, cos t = 2 3 12 π π 1 1 t ∈ (– + 2πk; + 2πk) U (arccos +2πk; 2π–arccos + 2πk); 3 3 3 3 в) 3 cos2t – 4 cos t < 4, 3cos2t – 4 cos t – 4 < 0. Найдем корни квадратного уравнения: cos t =

4 ± 16 + 4 ⋅ 3 ⋅ 4 2 ± 4 = , 6 3 2 2 cos t = 2 – не подходит, cos t = – → cos t > – , 3 3

3 cos2t – 4 cos t – 4 = 0, cos t =

⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎟ + 2πk; – ⎜ − ⎟ + 2πk); ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠

t ∈ (– arccos ⎜ −

г) 6 cos2 t + 1 ≤ 5 cos t, 6 cos2 t – 5 cos t + 1 ≤ 0. Найдем корни квадратного уравнения: 1 1 5 ± 25 − 4 ⋅ 6 ⋅ 1 5 ± 1 = , cos t = , cos t = , 12 12 2 3 π π 1 1 t ∈ (–arccos + 2πk; – + 2πk), ( + 2πk; arccos + 2πk). 3 3 3 3 π 2 1 1 1 306. a) 4 cos2 t < 1, cos2 t < , cos t ∈ (– ; ), t ∈ ( + πk; π + πk); 4 2 2 3 3

6 cos2 t–5 cos t+1 = 0, cos t =

1 ), 3 1 π π 1 t ∈ (– + 2πn; – arccos + 2πn) U (arccos + 2πn; + 2πn). 2 3 3 2

б) 3 cos2 t < cos t, cos t (3 cos t – 1) < 0, cos t ∈ (0 ;

307. a) sin (arccos

б) sin (arccos ( −

3 )= 5

4 )) = 5

3 1 − cos2 (arccos ) = 5 4 1 − cos2 (arccos(− )) = 5

4 )) = 5

4 9 = ; 25 5

1−

16 3 = . 25 5

5 25 )) 1− 13 = 169 = − 12 ; 5 −5 5 cos(arccos( − )) 13 13 4 cos(arccos( )) 4⋅5 4 5 = . = ⋅ 5 3 3 4 1 − cos2 (arccos ) 5

15 308. a) tg (arccos ( − )) = 3

б) ctg (arccos (

1−

1 − cos2 (arccos(−

§ 18. Арксинус и решение уравнения sin t = a 309. а) arcsin

3 π π 2 π = ; б) arcsin 1 = ; в) arcsin = ; г) arcsin 0 = 0. 3 2 4 2 2

310. а) arcsin (–

3 π 1 π ) = – ; б) arcsin (– ) = – ; 3 6 2 2

в) arcsin (– 1) = –

π 2 π ; г) arcsin (– )=– . 2 4 2

311. а) arcsin 0 + arccos 0 =

в) arcsin (– 58

3 3 π π ; б) arcsin + arccos = ; 2 2 2 2

2 π 3 1 π ) + arccos = ; г) arcsin (– 1) + arccos =– . 2 2 12 2 3

312. а) arccos (–

в) arccos (–

5π 1 1 π 2 ) – arcsin (– 1) = ; ) + arcsin (– ) = ; б) arccos(– 2 2 2 4 2

3 3 2 3 7π π ) + arcsin (– ) = ; г) arccos – arcsin (– )= . 2 2 2 2 2 12

3 π + πk; б) sin t = , t = ( – 1)k 2 3 1 π + 2πn; г) sin t = , t =( – 1)k в) sin t = 1, t = 2 2

313. a) sin t =

314. a) sin t = – 1, t = –

π + 2πn; 2

б) sin t = –

2 π + πk; , t = ( – 1)k 2 4 π + πk. 6

π 2 + πk; , t = ( – 1)k+1 4 2

3 1 π π , t =( – 1)k+1 , t = ( – 1)k+1 + πk; г) sin t = – + πk. 2 6 2 3 1 1 315. a) sin t = , t =( – 1)k arcsin + πk; б) sin t = 1,02, решений нет; 4 4 1 1 π в) sin t = – , t = ( – 1)k arcsin ( − )+ πk; г) sin , решений нет. 7 7 3 316. a) sin (arccos x + arccos (– x)) = 0, sin π = 0; б) cos (arcsin x + arcsin (– x)) = 1, cos 0 = 1. в) sin t = –

317. a) sin (2arcsin

б) cos (

3 1 1 π ; – 3 arccos (– )) = sin ( – 2π) = 2 2 3 2

2 1 π π arcsin 1 + arcsin (– )) = cos ( – ) = 1. 2 2 4 4

3 3 π π 2 + 2 arccos ; ) = tg ( + ) = – 2 3 2 2 3 1 π б) ctg (3 arccos (–1) – arcsin (– )) = ctg (3π + ) = 3 . 2 6 319. а) arcsin х, х ∈ [– 1; 1]; б) arcsin (5 – 2х), х ∈ [2; 3]; х в) arcsin , х ∈ [– 2; 2]; г) arcsin (x2 – 3), х ∈ [– 2; – 2 ] U [ 2 ;2]. 2 2 320. а) arcsin (– ). Да; б) arcsin 1,5. Нет; 3 318. а) tg (arcsin

в) arcsin (3 –

20 ). Нет;

321. а) (2 cos x + 1) (2sin x –

г) arcsin (4 –

20 ). Да.

3 ) = 0,

1 ⎧ ⎪⎪cos x = − 2 2π π + 2πk, x = (– 1)k + 2πk; , x=± ⎨ 3 3 3 ⎪sin x = ⎪⎩ 2 59

б) 2cos x – 3 sin x cos x = 0, cos x (2 – 3 sin x) = 0, ⎧cos x = 0 2 π ⎪ + πn, x = (– 1)k arcsin + πk; ⎨sin x = 2 , х = 2 3 ⎪⎩ 3 в) 4 sin2 x – 3 sin x = 0, sin x (4 sin x – 3) = 0, sin x = 0, sin x = x = πn, x = (– 1)k arcsin

3 , 4

3 + πk; 4

2 π πn + . , х= 2 4 2 −1 + 7 1 π 322. а) 6 sin2 x + sin x – 2 = 0, sin x = = , (– 1)n arcsin + πn, 12 2 6 2 2 sin x = – , (– 1)k+1 arcsin + πk; 3 3 б) 3 cos2x = 7 (sin x + 1), 3 – 3 sin2 x = 7sin x + 7, 3 sin2 x + 7sin x + 4 = 0, г) 2 sin2 x – 1 = 0, sin x = ±

−7 + 49 − 4 ⋅ 3 ⋅ 4 −7 ± 1 = , 6 6 −8 π — не подходит, sinx = – 1, x = − + 2πn. sinx = 6 2

sin x =

3 2π π + 2πk ); , t ∈ ( + 2πk; 2 3 3 1 π 7π + 2πk); б) sin t > – , t ∈ (– + 2πk; 2 6 6 3 4π π в) sin t < + 2πk; + 2πk); , t ∈ (– 3 2 3 1 7π 11π + 2πk; + 2πk). г) sin t ≤ – , t ∈ ( 2 6 6 1 1 1 324. а) sin t < , t ∈ (π – arcsin + 2πk; arcsin + 2πk); 3 3 3 3 3 3 б) sin t ≥ – , t ∈ (– arcsin + 2πk; π + arcsin + 2πk); 5 5 5 1 1 1 в) sin t ≥ , t ∈ (arcsin + 2πk; π – arcsin + 2πk); 3 3 3 3 3 3 г) sin t <– , t ∈ (π+arcsin + 2πk; 2π–arcsin + 2πk). 5 5 5 325. а) 5sin2 t > 11 sin t + 12, 5sin2 t – 11 sin t – 12 = 0, 11 + 19 8 , не подходит. sin t = – , sin t = 10 10 4 4 + 2πk; 2π – arcsin + 2πk) t ∈ (π + arccsin 5 5 323. a) sin t >

б) 5sin2 t ≤ 11t + 12, 5sin2 t – 11t – 12 = 0, 4 4 4 sin t = – , t ∈ (– arcsin + 2πk; π + arcsin + 2πk). 5 5 5 326.а) 6 cos2 t + sin t > 4, 6 – 6sin2 t + sin t – 4 > 0, 6sin2 t – sin t – 2 < 0, 1+ 7 3 1 = , sin t = – , sin t = 12 4 2 2 2 7π π + 2πk) U (π – arcsin + 2πk; + 2πk); t ∈ (– + 2πk; arcsin 6 3 3 6 3 1 б) 6 cos2 t + sin t ≤ 4, 6sin2 t – sin t – 2 = 0, sin t = , sin t = – , 4 2 2 2 7π 11π + 2πk; π – arcsin + 2πk], t ∈ [ + 2πk; + 2πk]. t ∈ [arcsin 3 3 6 6 327. а) cos (arcsin (–

5 )) = 13

1 − sin2 (arcsin(−

5 25 12 )) = 1 − = ; 13 169 13

3 3 5 3 8 )= ⋅ = ; в) cos (arcsin )= 5 5 4 4 17

б) tg(arcsin

1 − sin2 (arcsin(−

8 15 )) = ; 17 17

4 1 − sin2 (arcsin(− ) 5 =– 3⋅5 =– 3 . 4 5 4 4 sin(arcsin(− )) 5

4 г) ctg (arcsin (– )) = 5

19. Арктангенс и решение уравнения tg x = a. Арккотангенс и решение уравнения ctg x = a π π 3 π = ; б) arctg 1 = ; в) arctg 3 = ; г) arctg 0 = 0. 6 4 3 3 π π 329. а) arctg (– 1) = – ; б) arctg (– 3 ) = – ; 4 3

328. а) arctg

в) arctg (–

π 3 )=– ; 6 3

330. а) arctg 1 – arctg

г) arctg (– 3 =–

в) arctg 1 – arctg (– 1) = 331. а) arcctg

в) arcctg (–

π ; 2

π ; 12

1 3

)=–

π . 6

б) arctg (– г) arctg

3 ) + arctg 0 = –

π 3

3 π + arctg 3 = . 2 3

3 π = ; 3 3

б) arcctg 1 =

π ; 4

3 π )=– ; 3 3

г) arcctg 0 =

π . 2

332. а) arcctg (– 1) + arctg (– 1) =

в) arctg (–

7π π 2 ; б) arcsin ( ; ) + arctg (– 3 ) = 2 12 2

π 3 3 ) – arctg ( )= ; 2 3 3

333. a) tg x = 1, x =

π + πn; 4

π + πn; 4 334. а) tg x = 0, x =πn;

в) сtg x = –

π + πn; 6

π 3 + πn; , x =– 3 3

π 3 , x = + πn. 3 2 π б) сtg x =– 1, x = – + πn; 4

г) сtg x =– 5, x = – arctg 5+ πn.

2π 2π π π 3 2 – + =– ; )+arctg (– 1) + arccos = – 3 4 4 3 2 2

1 π π 2 3 11π + 4 arccos (– ; = )–arctg (– ) = + 3π + 2 6 2 3 3 2

в) arctg (– 3 ) + arccos (– г) arcsin (– 1) –

5π π π 3 + + = π; ) + arcsin 1 = – 3 6 2 2

3 1 π π 3 arccos + 3 arcctg (– + + π = π. )= – 2 2 2 2 3

338. a) sin (arctg (– 3 )) = sin (–

б) tg (arctg (–

π 3 )= – ; 3 2

3 π 3 )) = tg (– ) = – ; 3 3 3

в) cos (arctg 0) = cos 0 = 1; 339. a) tg (arcctg 1) = tg

в) cos (arcctg (–1))=cos 62

3 π + πn; ,x=– 3 6

г) сtg x =

3 , x =–

337. a) 2 arcsin (–

б) 3 arcsin

π + πn; 4

π + πn; 2

336. а) сtg x = –

б) tg x = –

3 π + πn. ,x= 3 6 б) tg x = – 2, x = – arctg 2 + πn; 1 1 + πn. г) tg x = , x = arctg 2 2 π б) сtg x = 3 , x = + πn; 6

в) tg x = – 3, x = – arctg 3 + πn;

в) сtg x = 0, x =

1 π )–arcctg (– 3 ) = – . 2 6

г) tg x =

в) tg x = – 1, x = –

335. а) сtg x = 1, x =

г) arccos (–

π ) = –1. 4 π 1 = ; 3 ) = sin 6 2

г) ctg (arctg (– 1) = ctg (–

π = 1; б) sin (arcctg 4

π 2 3 2π =– )= ; г) ctg (2arcctg (– ) = ctg ( 3 4 2 3

π + πn; 3 3 3 б) 2 tg2 x + 3 tg x = 0, tg x = 0, tg x = – , x = πn, x = – arcctg + πn; 2 2 3 3 в) 4 tg2 x – 9 = 0, tg x = ± , x = ± arcctg + πn; 2 2 2 2 + πn. г) 3 tg 2 x – 2 tg x = 0, tg x = 0, tg x = , x = πn, x = arcctg 3 3 π 341. a) tg 2 x – 6tg x + 5 = 0, tg x = 5, tg x = 1, x = arctg 5 + πn, x = + πn; 4 π + πn. б) tg 2 x – 2 tg х – 3 = 0, tg x = 3, tg x = – 1, x = arctg 3 + πn, x = – 4 π 342. a) tg (π + x) = 3 , tg x = 3 , x = + πn; 3

340. a) tg2 x – 3 = 0, tg x = ±

б) 2 ctg (2π+x)–tg( в) –

3, x=±

π +x)= 3 , 2ctg x+ctg x = 2

3 tg (π – x) = 1, tg x =

г) ctg (2π – x) +ctg (π – x) = 2,

3 , ctg x =

3 π ,x= + πn; 3 3

π 3 + πn; , x= 3 6

ctg x = – 1, x =

π + πn. 4

π π π + πk; + πk); б) ctg x > 0, x ∈ (πk; + πk); 2 3 2 π 3π в) tg x < 0, x ∈ (– + πk; πk); г) ctg x > – 1, x ∈ (πk; + πk). 2 4 π 344. a) tg x < 3, x ∈ (– + πk; arctg 3 + πk); 2 1 1 + πk); б) 3 ctg x – 1 > 0, ctg x > , x ∈ (πk ; arctg 3 3 в) ctg x ≤ 2, x ∈ (arctg 2 + πk; π + 2πk); 1 π 1 + πk). г) 2 tg x + 1 ≥ 0, tg x ≥ – , x ∈ (–arctg +πk; 2 2 2 ⎡ tg x < −3 π π 345. a) tg2 x > 9, ⎢ , x∈ (– + πk; arctg 3+πk) U (arctg 3+πk; +πk) tg x > 3 2 2 ⎣ ⎡ tg x < 0 π π π , x ∈ (– + πk; πk) U ( + πk; + πk); б) tg2x>tgx, tgx(tgx–1)>0, ⎢ tg x > 1 2 4 2 ⎣ 2 в) tg x < 9, tg x ∈ (–3; 3), x ∈ (–arctg 3 + πk ; arctg 3 + πk); г) tg2 x < 2 tg x, tg x (tg x – 2) < 0, tg x ∈ (0; 2), x ∈ (πk; arctg x + πk).

343. a) tg x <

3 , x ∈ (–

346. а)

б)

в)

г)

347. а)

б)

в)

г)

3 3 3 π π ), arctg = x , x ∈ (– ; ), tg x = , 4 4 2 2 4 9 3 1 − sin 2 x , 16 sin2x = 9 – 9 sin2x, sin2x = sin x = , 4 25 3 3 3 sin x = ± ⇒ sin (arctg ) = ; 5 4 5 12 12 12 ), arcctg = x, x ∈ (0; π), = ctg x, б) cos (arcсtg 5 5 5 12 144 cos x = , 144 – 144 cos2x = 25 cos2x, cos2x = , 2 5 169 1 − cos x

348. а) sin (arctg

12 12 12 ⇒ cos (arcctg )= ; 13 5 13 4 4 4 4 cos x в) sin (arcctg (– )), arcctg (– ) = x , x ∈ (0, π), – = ctg x, – = , 3 3 3 3 sin x 9 3 3 4 ⇒ sin (arctg (– )) = ; 16 sin2x = 9 – 9 sin2x, sin2x = , sin x = ± 25 5 3 5 5 5 5 π π )), arctg (– ) = x, x ∈ (– ; ), – = tg x, г) cos (arctg (– 12 12 2 2 12 144 12 5 12 , cos x = ± ⇒ cos (arctg (– )) = . 25 cos2 x = 160 13 12 13

cos x = ±

§ 20. Тригонометрические уравнения 349. a) 2 cos x +

3 = 0,

б) 2sin x – 1 = 0, в) 2 cos x – 1 = 0, г) 2sin x +

2 = 0,

350. a) tg x +

б)

3 = 0,

3 tg x – 1 = 0,

в) ctg x + 1 = 0, г)

3 ctg x – 1 = 0,

3 , 2

5π + 2πn; 6 π x = ( – 1)n + πk; 6 π x =± + 2πn; 3

sin x = –

2 , 2

x = ( – 1)k+1 +

tg x = –

x=–

cos x = – 1 , 2 1 cos x = , 2

sin x =

tg x =

2 , 2

ctg x = – 1, ctg x =

3 , 3

x=±

π + πk. 4

π + πn; 3

π + πn; 6 π + πn; x=– 4

π + πn. 3 65

351. a) sin 2x =

2 , 2

х 1 )=– , 3 2 х 1 = , в) sin 4 2

б) cos (

г) cos 4x = 0, 2 х )= , 3 2 3π + 3πk; 4

352. a) sin (–

x = ( – 1)k+1

б) cos (– 2x) = –

3 , 2

2x = ( – 1)k

π + πk, 4

2π х + 2πn, =± 3 3 х π = ( – 1)k +πk, 4 6 π + πn, 4x = 2 sin

2 х =– , 3 2

2x = ±

x = ( – 1)k

π πk + ; 8 2

x = ± 2π + 6πn; 2π + 4πk; 3 π πn x= + . 8 4

x = ( – 1)k

х π = ( – 1)k+1 + πk, 3 4

5π 5π + 2πn, x = ± + πn; 6 12

π πn 3 3 π + πn, x = – + ; , tg 4x = – , 4x = – 3 3 6 24 4 х х х π π = – 1, =– + πn, x = – + 2πn. г) ctg (– ) = 1, ctg 2 2 2 4 2 π х π х π π π 353. a) 2cos ( – ) = 3 , – =± + 2πn, x = ± + + 4πn; 2 6 2 6 6 3 3 х π х π х π π π = + πn, x = + 3πn; б) 3 tg ( + )=3, tg ( + ) = 3 , + 3 6 3 6 3 6 3 2 π π π = ( – 1)k+1 + πk, в) 2 sin (3x – ) = – 2 , 3x – 4 4 4 π π πk + + ; x = ( – 1)k+1 12 12 3 2π х π х π π – =– + 2πn, x = – + 4πn. г) sin ( – ) + 1 = 0, 2 6 2 6 2 3 π π π 354. a) cos ( – 2x) = – 1, 2x – = π + 2πn, x = + πn; 6 6 12 π х х π π б) tg ( – ) = – 1, – = + πn, x = π + 2πn; 4 2 2 4 4 х π х π π =( – 1)k+1 + πn, в) 2 sin ( – ) = 3 , – 3 4 4 3 3 4π 4π + + 4πk; x = ( – 1)k+1 3 3 π π π 2πn π π =± + 2πn, x = ± + + . г) 2 cos ( – 3x) = 2 , 3x – 4 4 12 12 3 4

в) tg (– 4x) =

355. a) 3 sin2x – 5 sin x – 2 = 0, sin x =

sin x = –

5+7 не подходит. 6

1 1 , х = ( – 1)k+1 arcsin + πn; 3 3

− 10 ± 100 − 4 ⋅ 3 ⋅ 3 − 5 ± 4 , = 6 3 1 arcsin −5 − 4 1 k+1 3 + πk ; не подходит; sin 2x = – , х = ( – 1) sin 2x = 3 2 3 2 б) 3 sin2 2x + 10 sin 2x + 3 = 0, sin 2x=

в) 4 sin2 х + 11 sin x – 3 = 0, sin x =

sinx =

− 11 ± 121 + 4 ⋅ 4 ⋅ 3 − 11 ± 13 , = 8 8

−11 − 13 1 1 не подходит; sin x = , х = ( – 1)k+1 arcsin + πn; 8 4 4

− 3 ± 9 − 4 ⋅ 2 ⋅1 3 ± 1 x х х = – 3 sin + 1 = 0, sin = , 2 2 2 4 4 3 +1 1 х х π х = = 1, = + 2πn, x =π + 4πn, sin = , sin 2 4 2 2 2 2 π х π = ( – 1)k + πk, x = ( – 1)k + 2πk. 2 6 3 г) 2 sin2

− 1 ± 1 + 4 ⋅ 6 ⋅1 − 1 ± 5 , = 12 12 1 1 2 1 + 2πn; cos x = – ; x = ± π + 2πn , cox x = , x = ±arccos 2 3 3 3 356. a) 6 cos2 x + cos x – 1 = 0, cos x =

5+7 не подходит, 4 2π 2π 2πn 1 + 2πn, х = ± + . cos 3x = – , 3х = ± 2 3 9 3 1+ 5 не подходит, cos x = – 1, x=π + 2πn; в) 2 cos2 x–cos x – 3 = 0, cos x = 4 −3 − 5 х х х + 3cos – 2 = 0, cos = не подходит, г) 2 cos2 3 3 3 4 х х π 1 + 2πn, x = ± π + 6πn. cos = , =± 3 2 3 3 2 357. a) 2 sin x + 3 cos x = 0, 2 – 2cos2x – 3cos x – 2 = 0, 3+5 1 2π не подходит, cos x = – , x = ± + 2πn; cos x = 4 2 3 2 2 б) 8 sin 2x + cos 2x + 1= 0, 8 – 8 cos x + cos 2x + 1= 0, 8 cos2x – cos 2х – 9 = 0;

б) 2 cos2 3x – 5 cos 3x – 3 = 0, cos 3x =

1 + 17 не подходит, cos 2x = – 1, 2x=π+2πn, 16 2 в) 5 cos x + 6sin x – 6 = 0, 5 – 5 sin2x + 6sin x – 6 = 0,

cos 2x =

5 sin2x – 6sin x + 1 = 0, sin x sin x = 1, x =

π 2

+ 2πn,

π + πn; 2

6 ± 36 − 4 ⋅ 5 ⋅ 1 3 ± 2 , = 10 5

sin x =

1 1 , x = (-1)n arcsin + πn; 5 5

г) 4 sin 3x + cos2 3x = 4, sin2 3x – 4 sin 3x + 3 = 0, sin 3x = 3 не подходит. 2πn π π sin 3x = 1, 3х = + 2πn, х = + . 2 6 3 −1 + 2 1 1 358. а) 3 tg2 x + 2 tg x – 1 = 0, tg x = = , x = arctg + πn, 3 3 3 π tg x = – 1, x = – + πn; 4 2 б) ctg 2x – 6 ctg 2x + 5 = 0, ctg 2x = 5, 2x = arcctg 5 + πn, arctg 5 πn π πn π x= + , ctg 2x = 1, 2x = + πn, x = + ; 2 2 4 8 2 1 −3 + 5 1 = , x = – arctg + πn, в) 2 tg2 x + 3 tg x – 2 = 0, tg x = 4 2 2 tg x = – 2, x = – arctg 2 + πn; х х х х + 2 ctg = 5, 7 ctg2 + 2 ctg – 5 = 0, г) 7 ctg2 2 2 2 2 х −1 − 6 х π π = = –1, = – + πn, x = – + 2πn, ctg 2 2 4 2 7 5 5 5 х х −1 + 6 = = , = arcctg + πn, x = 2 arcctg + 2πn. ctg 2 2 7 7 7 7 π 1 1 359. a) (sin x – ) (sin x + 1) = 0, sin x = , x = (– 1)k + πk, 2 2 6 π sin x = – 1, x = – + 2πn; 2 1 1 2π б) (cosx+ ) (cos x–1)=0, cos x=– , x = ± + 2πn, cos x = 1, x = 2πn; 2 2 3 в) (cos x – sin x = –

2 2 )(sin x + ) = 0, 2 2

cos x =

2 π + 2πn, , x=± 4 2

2 π , x = (–1)n+1 + πn; 4 2

г) (1 + cos x) ⋅ ( 2 sin x – 1) = 0, cos x = –1, x = π + 2πn, sin x = 68

2 , 2

x = (–1)n

π + πn. 4

360. a) sin x +

3 , cos x = 0, tg x = – 3 , cos x ≠ 0, x = –

π + πn; 3

π + πn; 4 tg x = 3, cos x ≠ 0, x = arctg 3 + πn;

б) sin x + cos x = 0, tg x = –1; cos x ≠ 0, x = – в) sin x – 3 cos x = 0,

π 3 , cos x ≠ 0, x = – + πn. 3 6 361. a) sin2 x + sin x cos x = 0, sin x (sin x + cos x) = 0, sin x = 0, x = πn, π sin x + cos x = 0, x = – + πn; 4 г)

3 sin x + cos x = 0, tg x = –

3 sin x cos x + cos2 x = 0, cos x ( 3 sin x + cos x) = 0, cos x = 0, π π + πn, 3 sin x + cos x = 0, x = – + πn; x= 2 6 в) sin2 x = 3 sin x cos x, sin x (sin x – 3 cos x) = 0, sin x = 0, x = πn, sin x – 3 cos x = 0, x = arctg 3 + πn; б)

3 cos2x = sin x cos x, cos x ( 3 cos x – sin x) = 0, cos x = 0, π π + πn, 3 cos x – sin x = 0, tg x = 3 , x = + πn. x= 2 3 2 2 2 362. a) sin x + 2 sin x cos x – 3 cos x = 0, tg x + 2 tg x – 3 = 0, tg x = – 3, π x = – arctg 3 + πn, tg x = 1, x = + πn; 4 б) sin2 x –4 sin x cos x + 3 cos2x = 0, tg2 x – 4 tg x + 3 = 0, tg x = 3, π + πn; x = arctg 3 + πn, tg x = 1, x = 4 в) sin2 x + sin x cos x – 2 cos2x = 0, tg2 x + tg x – 2 = 0, −1± 3 π , tg x = 1; x = + πn, tg x = –2, x = arctg 2 + πn; tg x = 4 2 г) 3sin2 x + sin xcos x-2cos2 x = 0, 3tg2 x + tg x – 2 = 0, cos x ≠ 0, г)

−1± 1+ 4 ⋅ 3⋅ 2 −1± 5 = , 6 6 2 2 + πn. tg x = , x = arctg 3 3

tg x =

363. a) sin2

sin x = –

tg x = –1,

2 3х 3х – + 1, = sin x – cos2 4 2 4

2 , 2

x = ( – 1)k+1

б) cos2 2x – 1 – cos x =

x=–

1–

π 4

+ πn,

2 – 1 = sin x, 2

π + πk; 4

5π 3 3 + 2πn. - sin2 2x, cos x = – , x=± 2 2 6

364. a) sin x =

б) cos x = –

1 , x ∈ [0 ; π]; 2

1 , x ∈ [–2π; 3π]; 2

π 5π 13π 17π , ; ; . 6 6 6 6 4π 2π 2π 4π 8π x=– ;– ; ; ; . 3 3 3 3 3

2 π + πk; , x ∈ [0 ; 2π]; 3x = ( – 1)k 2 4 π π 3π 11π 17π 19π π 3π 9π 11π 17π 19π 3x = , , , , , ; x= , , , , , . 4 4 4 4 4 4 12 4 4 12 12 12 365. a) sin 3x =

π 3 + 2πn; , x ∈ [–π ; π]; 3x = ± 2 6 13π 11π 13π 11π π 11π 13π π 11π 13π 3x = – ;– ;– ; ; ; x=– ;– ;– ; ; . 6 6 6 6 6 18 18 18 18 18

б) cos 3x =

3 х х π = = + πn; , x ∈ [–3π; 3π]; 2 3 2 6 5π π 7π π + 2πn, x = – ; x= 3 3 3 3 π + πn, г) ctg 4x = – 1, x ∈ [0; π]; 4x = – 4 3π 7 π 11π 15π 3π 7 π 11π 15π ; ; ; ; x= ; ; ; . 4x = 4 4 4 4 16 16 16 16 1 π 366. а) sin 3x = – , x ∈ [– 4; 4]; 3x = ( – 1)k+1 + πk; 2 6 π πk 5π 7π π + ; x=– ;– ; . x = ( – 1)k+1 18 3 6 6 6 б) cos x = 1, x ∈ [– 6; 16]; х = 2πn, х = 0; 2π; 4π. х х 367. а) sin = 0, x ∈ [– 12; 18], = πn, x = – 2π; 0; 2π; 4π; 2 2

в) tg

− 2 3π , x ∈ [1; 7], 3 x = ± + 2πn, 4 2 13 7 2πn 11π 19π 5 π + , x= ; ; π; π; π. x=± 4 3 12 12 12 12 4 б) cos 3 x =

π π π π ) = – 1, 2x – =– + 2πn, x = – + πn. 4 4 2 8 7π π 7π π π а) x = ; б) – ; ; в) – ; г) – . 8 8 8 8 8 1 π π π π 369. cos ( – 2x) = , 2x – =± + 2πn, x = + πn, x = πn. 3 2 3 3 3 π π 4π 2π 2π π ; в) – ; г) – ; 0; . а) ; б) 0; ; π; 3 3 3 3 3 3 368. sin (2x –

370. a) 16 − х 2 sin x = 0, ⏐x⏐≤ 4, x = 4, x = – 4, sin x = 0, x = πn, n =0, ± 1. Ответ: х = ± 4; х = πn, n =0, ± 1… 7 x − x 2 (2 cos x − 1) = 0 , 0≤ x ≤7, 7x – x2 = 0, x = 0, x = 7, 1 π 5π . 2cos x – 1 = 0, cos x = , x = , x = 3 3 2 π 5π Ответ: x = 0; ; ;7. 3 3

б)

371. а) ( 2 cos x – 1) ⋅ 4х 2 − 7 х + 3 = 0, 4 x2 – 7x + 3 ≥ 0, 7 +1 3 π = 1, x ≤ , 2 cos x – 1 = 0, x = ± + 2πn. x≥ 8 4 4 π 3 π Ответ: х = 1, х = , x = − ; х = ± + 2πn. n = ± 1; ± 2; ± 3… 4 4 4 б) (2 sin x − 3 ) 3 x 2 − 7 x + 4 = 0;

2sinx- 3 = 0 , sinx = 3x2 – 7x + 4 = 0

3 , 2

x = 1; x =

3 x 2 − 7 x + 4 ≥ 0 ; x≤1; x≥

4 3

2π π + 2πk ; x = + 2πk ; k = ±1,±2,... ; 3 3

4 . 3

4 2π π + 2πk ; + 2πk ; k = ±1;±2;... ; 3 3 3 372. a) tg x – 2 ctg x + 1 = 0, tg2x + tg x – 2 = 0, π + πn; tg x = – 2, x = – arctg 2 + πn, tg x = 1, x = 4 1 tg x + 5 = cos 2 x , 2 tg2x – tg x – 3 = 0, б) 2 1+ 5 3 3 π = , x = arctg + πk, tg x = – 1; x = – + πk; tg x = 4 2 2 4 −5 + 7 1 = , в) 2 ctg x –3 tg x + 5 = 0, 2ctg2x + 5 ctg x – 3 = 0, ctg x = 4 2 1 + πn, ctg x = – 3, x = – arcctg 3 + πn; x = arcctg 2 1 7 − ctg x = sin 2 x , 7 – ctg x = 4 ctg2 x + 4, 4 ctg2 x + ctg x – 3 = 0, г) 4 3 3 −1 + 7 π = , x = arctg + πn, ctg x = – 1, x = – + πn. ctg x = 8 4 4 4

Ответ: 1;

373. a) 2 cos2

cos

х = 0, 2

cos =

3 , 2

б) 4 cos2 (x –

х х х х + 3 cos = 0, cos (2 cos + 2 2 2 2 π х = + πk, x = π + 2πk, 2 2 5π х =± + 2πn, 2 6

x=±

3 ) = 0,

5 π + 4πn; 3

π π 3 , ) – 3 = 0, cos (x – ) = ± 6 6 2

π π π =± + 2πn, x = + 2πn, x = 2πn, 6 6 3 π 2 5π π x– =± + 2πn, x = π + 2πn, x = – π + 2πn, x = + πn, x = πn; 6 6 3 3

x–

3 tg2 3x – 3 tg 3x = 0, tg 3x ( 3 tg 3x – 3) = 0, tg 3x = 0, πn π π πn , tg 3x = 3 , 3x = + πn, x = + ; 3x = πn, x = 3 3 9 3 1 π π г) 4 sin2 (2x + ) = –1 = 0, sin (2x + ) = ± , 3 3 2 π πn π n π n π + πn, x = ( – 1) – + , (2x + ) = ( – 1) 3 6 12 6 2 π π πn π π 2x + = ( – 1)n+1 + πn, x = ( – 1)n – + . 3 6 12 6 2

в)

374. a) sin2 x –

sin x = –

12 − 2 ⋅ sin x – 3 2 = 0, 2

sin x = 6, решений нет.

π 2 , x = ( – 1)k+1 + πk; 2 4

б) cos2 x –

8− 3 cos x – 2 3 = 0, cos x = 4, не подходит. 2

cos x = –

2 5π , x=± + 2πn. 2 6

π πn π + πn, x = + ; 4 8 2 π πn π + πn, x = + ; б) 3 sin 3x=cos 3x, ctg 3x= 3 , sin 3x ≠ 0, 3x = 6 18 3 2 π х х х х х ≠ 0, = + πn, x = π + 2πn; в) sin = 3 cos , tg = 3 , cos 2 2 2 2 2 3 3 π π πn + . г) 3 sin17x= 6 cos 17x, tg17x= 3 , cos17x ≠ 0, 17x= +πn, x= 3 51 17 375. a) sin 2x = cos 2x,

tg 2x = 1, cos 2x ≠ 0, 2x =

376. a) 2 sin2 2x – 5 sin 2x cos 2x + cos2 2x = 0, 2 tg2 2x – 5 tg 2x + 1 = 0, cos 2x ≠ 0, 1 1 πn 5 − 17 5 − 17 5 + 17 πn + , x= arctg + , x = arctg ; tg 2x = 2 2 2 4 4 4 2 3 б) 3 sin2 3x + 10 sin 3x cos 3x + 3 cos 2 3x = 0, 2sin x cos 3x = – , 5

3tg2 3x + 10tg 3x + 3 = 0, tg 3x = tg 3x = –3; x =

−10 ± 100 − 4 ⋅ 3 ⋅ 3 −10 ± 8 = , 6 6

1 1 1 1 1 1 arctg(–3) + πn, tg 3x = – ; x = arctg (– ) + πn, 3 3 3 3 3 3

1 3 πk arcsin + . 6 5 6 1 1 х х х х 377. a) sin2 = 3 cos2 , cos2 = , cos =± , 2 2 2 4 2 2 2π 4π x=± + 4πn, x = ± + 4πn; 3 3 б) sin2 4x = cos2 4x, tg2 4x = 1, cos 4x ≠ 0, tg 4x = ± 1, π πn π π π + πn, x = + , 4x = – + πn, x = – + πn. 4x = 4 16 4 4 16 378. a) 5 sin2 x – 14 sin x cos x – 3 cos2 x = 2, 3 sin2 x – 14 sin x cos x – 5 cos2 x = 0, 3tg2x – 14tg x – 5 = 0, cos x ≠ 0, 7+8 1 1 + πk; tg2 x = = 5, x = arctg 5 + πk, tg x = – , x = – arctg 3 3 3 2 2 2 2 б) 3 sin x –sinx cosx=2, sin x –sin x cos x – 2 cos x = 0, tg x – tg x – 2 = 0, π cos x ≠ 0, tg x = 2, x = arctg 2 + πn, tg x = – 1; x = – + πn. 4 2 2 2 в) 2 cos x – sin x cos x +5 sin x = 3, 2 sin x – sin x cos x – cos2 x = 0, 1 1 π 2 tg2x–tgx–1=0, cosx≠0, tg x = 1, x= + πk , tg x = − , x = − arctg + πk ; 4 2 2 г) 4 sin2 x – 2 sin x cos x = 3, sin2x – 2 sin x cos x – 3 cos2 x = 0, π tg2 x–2 tgx–3=0, cos x ≠ 0, tg x=–1, x = − + πk , tg x = 3, x = arctg 3 + πk . 4

6x = ( – 1)k+1

379. a)

3 sin x cos x + cos2 x = 0, cos x ( 3 sin x + cos x) = 0, cos x = 0,

3 π π , x=– +πn; + πn, 3 sin x + cos x = 0, 3 tg x = – 1, tg x = 2 3 6 б) 2 sin2 x – 3sin x cos x + 4 cos2 x = 4, 3sin x cos x = 2 – 2 cos2 x, 3sin x cos x = 2sin2 x, sin x (3 cos x – 2sin x) = 0, sin x = 0, x = πn, x=

3 cos x – 2sin x = 0, tg x =

3 , cos x ≠ 0, 2

x = arctg

3 + πn. 2 73

380. a) 3 sin2 2x – 2 = sin 2x cos 2x, sin2 2x – sin 2x cos 2x – 2 cos2 2x = 0, tg22x – tg 2x – 2 = 0, cos2 2x ≠ 0, tg 2x = 2, 2x = arctg 2 + πn, 1 πn π πn π , tg 2x = – 1, 2x = – + πn, x = – + ; x = arctg 2 + 4 2 2 2 2 б) 2sin2 4x – 4 = 3 sin 4x cos 4x – 4 cos2 4x = 0, 2+2 cos2 4x–4=3 sin 4x cos 4x, 2sin2 4x + 3 sin 4x cos 4x = 0, sin 4x (2 sin 4x + 3 cos 4x) = 0, sin 4x = 0, πn , 2 sin 4x + 3 cos 4x = 0, 2tg 4x = – 3, cos 4x ≠ 0, 4x = πn, x = 4 1 3 πn x = – arctg + . 2 4 4 х х х х х х х 381. a) sin2 – 3 = 2 sin cos , 2 sin2 +2 sin cos +3 cos2 =0, 2 2 2 2 2 2 2 х х х + 2 tg + 3 = 0, cos ≠ 0, решений нет; 2 tg2 2 2 2 х х х х х х х = 3 + 3 sin cos , cos2 –3 3 sin cos =0, б) 3 sin2 +4 cos2 3 3 3 3 3 3 3 х х х х 3π х π (cos – 3 sin ) = 0, cos = 0, = + πn, x = + 3πn, cos 3 3 3 3 3 2 2 х х х х cos – 3 sin = 0, ctg = 3 , sin ≠ 0, 3 3 3 3 π х π = + πn, x = + 3πn. 3 2 6 π π 382. a) sin ( + 2x) + cos ( – 2x) = 0, cos 2x + sin 2x = 0, 2 2 π πn π + πn, x = – + ; tg 2x = – 1, cos 2x ≠ 0, 2x = – 4 8 2 б) 2 sin (π – 3x) + cos (2π – 3x) = 0, 2 sin 3x + cos 3x = 0, πn 1 1 1 1 tg 3x = – , cos 3x ≠ 0, 3x = – arctg + πn, x = – arctg + . 2 2 3 2 3 π х х х х 383. a) cos ( – ) – 3 cos (π – ) = 0, sin + 3 cos = 0, 2 2 2 2 2 х х х = – 3, cos ≠ 0, = – arctg 3x + πn, x = – 2 arctg 3 + 2πn; tg 2 2 2 х х х π х + 3 cos = 0, б) 3 sin (π – ) + 3 sin ( – ) = 0, 3 sin 3 2 3 3 3 х х = – 3 , cos ≠ 0, x = – π + 3πn. tg 3 3 π 384. a) ⏐ sinx⏐=⏐cos x⏐, sinx= ± cos x, tgx=± 1, cos x ≠ 0, x = ± + πn. 4

б) ⏐ sin 2x⏐ = ⏐ 3 cos 2x⏐, sin 2x = ± 3 cos 2x, tg 2x = ± 3 , cos 2x ≠ 0, π πn π + . 2x = ± + πn, х = ± 3 6 2 13π π π π 385. а) sin (2x – ) + cos ( – 2x) = 0, sin (2x – ) + cos (2x – ) = 0, 6 6 6 6 π πn π π π π + πn, x = – + ; tg (2x – ) = –1, cos (2x – ) ≠ 0, 2x – = – 6 6 6 4 24 2 47 π х π π π х х х б) sin ( + ) = 3 cos ( – ), sin ( + ) = 3 cos ( + ), 2 3 3 2 2 3 2 3 π π π π х х х + = + πn; x = 2πn, x = 2πn. tg ( + ) = 3 , cos ( + ) ≠ 0, 2 3 2 3 2 3 3 2 386. a) sin x–5 cos x=sin x cos x – 5 sin x, sin x (sin x + 5) – cos x(sin x+5) = 0, π + πn; (sin x + 5) (sin x – cos x) = 0, sin x – cos x = 0, x = 4 б) cos2 x – 7 sin x + sin x cos x = 7 cos x, cos x (cos x–7)+sin x (cos x – 7) = 0, π + πn. (cos x – 7) (cos x + sin x) = 0, cos x + sin x = 0, x = – 4 π π 387. a) sin2 x + cos ( – x) sin ( – x) – 2 cos2 x, tg2 x+tg x–2=0, cos x ≠ 0, 2 2 π + πn; tg x = – 2, x = – arctg 2 + πn, tg x = 1, x = 4 ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π б) sin2 3x + 3 cos2 3x – 4 sin⎜ + 3 x ⎟ cos⎜ + 3x ⎟ = 0 , ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ sin2 3x + 3 cos2 3x + 4 sin 3x cos 3x = 0, tg2 3x + 4 tg 3x + 3 = 0, cos x ≠ 0, 1 π πk πk , tg 3x = – 3, x = − arctg 3 + . tg 3x = – 1, x = − + 12 3 3 3 π πk 1 πk Ответ: − + ;− arctg 3 + . 12 3 3 3 2 в) sin x + 2 sin (π – x) cos x – 3 cos 2 (2π – x) = 0, tg2 x + 2 tg x – 3 = 0, π + πn; cos x ≠ 0, tg x = – 3, x = – arctg 3 + πn, tg x = 1, x = 4 3π г) sin2 (2π – 3x) + 5 sin (π – 3x)cos 3x + 4 sin2 ( – 3x) = 0, 2 1 πn , tg23x + 5 tg 3x + 4 = 0, tg 3x = – 4, 3x = – arctg 4 + πn, x = – arctg4 + 3 3 πn π π + πn, x = – + . tg x = – 1, 3x = – 4 12 3 х х π х 388. a) 3sin2 + sin sin ( – ) = 2, 2 2 2 2 75

х х х х х х + sin cos – 2 cos2 x = 0, tg2 + tg – 2 = 0, cos ≠ 0, 2 2 2 2 2 2 х х х tg = – 2, = – arctg 2 + πn, x = – 2 arctg 2 + 2πn, tg = 1, 2 2 2 π π х = + πn, x = + 2πn; 2 4 2 х х х х б) 2 cos2 – 3 sin (π – )cos (2π – ) + 7 sin 2 = 3, 2 2 2 2 х х х х х х 4 sin2 – 3 sin cos – cos2 = 0, 4 tg2 – 3 tg – 1 = 0, 2 2 2 2 2 2 3+5 1 х х х π π = = =– , cos x ≠ 0, tg = 1, + πn, x = + 2πn, tg 2 8 2 4 2 2 4 х 1 1 = – arctg + πn, x = – 2 arctg + 2πn; 2 4 4 3π π в) 4 cos2 ( + x) + 3 sin ( – x) sin (π + x) + 3 cos2 (π + x) = 3, 2 2

sin2

sin2 x +

3 sin x cos x = 0; sin x(sin x+ 3 cos x) = 0, sin x = 0, x = πn, π sin x + 3 cos x = 0, tg x = – 3 , cos x ≠ 0, x = – + πn; 3 3π 3π г) 3 sin2 (x – ) – 2 cos ( + x) cos (π + x) + 2 sin2 (x – π) = 2, 2 2 cos 2 x + 2 sinx cos x = 0, cos x (cos x + 2 sin x) = 0, cos x = 0, 1 π 1 + πn, cos x + 2 sin x = 0, tg x = – , cos x ≠ 0, x = – arctg + πn. x= 2 2 2 π 389. a) 2 sin2 (π + x) – 5 cos ( + x) + 2 = 0, 2 sin2 x + 5 sin x + 2 = 0, 2 1 −5 − 3 π sin x = не подходит. sin x = – . x = ( – 1)k+1 + πk; 4 2 6 π б) 2cos2 x + 5 cos ( – x) – 4 = 0, 2 sin2 x – 5 sin x + 2 = 0, 2 π 5+3 1 sin x = не подходит. sin x = , x = ( – 1)k + πk; 6 4 2 π в) 2 cos2 x + sin ( – x) – 1 = 0, 2 cos2 x + cos x – 1 = 0, 2 1 π −1 − 3 = – 1, x = π + 2πk, cos x = , x = ± + 2πn; cos x = 3 4 2 2 г) 5 – 5 sin (3 (π – x)) = cos (π– 3x), 5 – 5 sin (3π –3x) = cos2 3x, sin23x – 5 sin 3x + 4 = 0. sin 3x = 4 не подходит. sin 3x = 1. π π 2πn 3x = + 2πn, x = + . 2 6 3 76

390. a) 2 tg2 2x + 3 tg (π + 2x) = 0, 2 tg2 2x + 3 tg 2x = 0, 3 πn , tg 2x = – , tg 2x ( 2 tg 2x + 3) = 0, tg 2x = 0, 2x = πn, x = 2 2 3 1 3 πn + πn, x = – arctg + ; 2x = – arctg 2 2 2 2 π б) tg 2 3x – 6 ctg ( – 3x) = 0, tg2 3x – 6 tg 3x = 0, tg 3x (tg 3x – 6) = 0, 2 1 πn πn arctg 6 + , tg 3x = 6, x = . tg 3x = 0, x = 3 3 3 3π х х х х 391. a) 3 tg2 – 2 ctg ( + ) – 1 = 0, 3 tg2 + 2 tg – 1 = 0, 2 2 2 2 2 π 1 1 π х −1 − 2 х х tg = =–1, =– +πn, x=– +2πn, tg = , x=2arctg + 2πn; 2 3 2 4 2 3 3 2 π б) 3 tg2 4x – 2 ctg ( – 4x) = 1, 3 tg2 4x – 2 tg 4x – 1 = 0, 2 1 1 1 π πn πn + , tg 4x = – , x = – arctg + . tg 4x = 1, x = 16 4 3 4 3 4 π 392. a) tg (π + x) + 2 tg ( + x) + 1 = 0, tg x – 2 ctg x + 1 = 0, 2 π + πn; tg2x + tg x – 2 = 0, tg x = – 2, x = – arctg 2 + πn, tg x = 1, x = 4 π б) 2 ctg x–3 ctg ( – x) + 5 = 0, 2 ctg x – 3 tg x + 5 = 0, 3tg2 x – 5 tg x – 2 = 0, 2

1 1 5 ± 25 + 4 ⋅ 3 ⋅ 2 5 ± 7 , tg x=2, x=arctg2+πn, tg x=– , x=–arctg +πn. = 6 6 3 3 2 2 2 3π 393. a) sin x + cos 2x + cos ( + 2x) + 2 cos x tg x = 1, 2 2 2 2 sin x+cos 2x + sin 2x + 2 sin x – 1 = 0, sin2x + 2 sin x = 0, sin x (sin x+2)= 0, sin x = 0, x = πn; π π б) 2 cos2 x – sin (x – ) + tgx tg (x + ) = 0, 2 cos2 x + cos x – 1 = 0, 2 2 1 −1 − 3 π = – 1, x = π + 2πn, cos x = , x = ± + 2πn. cos x = 4 2 3 1 7π 7π π π 394. a) sin 2x< , 2x∈(– + 2πn; + 2πn), x ∈ (– + πn; + πn). 2 6 6 12 12 1 1 1 + 2πn.; 2π – arccos + 2πn), б) 3 cos 4x < 1, cos 4x < , 4x ∈ (arccos 3 3 3 1 1 1 1 πn πn π + + ; – arccos ); x ∈ ( arccos 4 3 2 2 4 3 2 tgx=

2πn π 2πn π 3 π π + ; + ); , 3x ∈ (– + 2πn; + 2πn), x∈(– 2 6 6 18 3 18 3 −1 1 1 х х х г) 7 sin > – 1, sin > , ∈(– arcsin + 2πn; arcsin +2πn + π), 2 2 2 7 7 7 1 1 + 4πn; 2 arcsin + 2π + 4πn). x ∈ (– 2 arcsin 7 7 1 1 1 π π 395. a) sin (2x – ) > , 2x – ∈ ( arcsin + 2πn; π – arcsin + 2πn), 3 3 3 3 3 1 1 2π 1 1 π + + πn; – arcsin + πn); x ∈ ( arcsin 2 3 6 3 2 3

в) cos 3x >

2 7π π π π π , x– ∈( + 2πn; –x)< + 2πn), x ∈ ( +2πn; 2π+ 2πn); 4 2 4 4 4 2 1 1 1 π π ∈ (– arccos (– ) + 2πn; arccos (– ) + 2πn), в) cos (3x – ) > – , 3x 6 4 6 4 4 1 π 1 2πn π 1 1 2πn – arccos (– ) + ; + arccos (– ) + ). x∈( 4 3 3 4 3 18 3 18 б) cos (

3 3 3π 3π , sin (x – , – x) < )>– 4 2 4 2 3π 4π 3π 4π 3π π π x– ∈(– + 2πn.; + 2πn), x ∈ ( – + + 2πn; + + 2πn). 4 3 3 3 4 3 4 2 2 2 396. a) sin x – 6 sin x cos x + 5 cos x > 0, tg x – 6 tg x + 5 > 0, cos x ≠ 0, π π π + πn; + πn), (arctg 5 + πn; + πn); tg x < 1, tg x > 5, x ∈ (– 2 4 2 2 2 2 б) sin x – 6 sin x cos x + 5 cos x < 0, tg x – 6 tg x + 5 < 0, tg x ∈ (1; 5), π x ∈ ( + πn; arctg 5 + πn). 4 π 397. a) y = sin x + − cos2 x , cos2 x ≥ 0, cos x = 0, x = + πn. 2 Область значений функции: { – 1, 1}. г) sin (

б) y = cos x + − sin 2 x , sin2x ≥ 0, sin x = 0, x = πn. Область значений функции: { – 1, 1}. 398. a) y = cos 3x + cos 2 3x − 1 = cos 3x + − sin 2 x , sin2x ≥ 0, sin–3x=0, πn x= . Область значений функции:{ – 1; 1}. 3

б) y = sin 2x + x= 78

sin 2 4x − 1 = sin 2x +

− cos2 4 x , cos2 4x ≥ 0, cos 4x = 0,

π πn πn 2 2 π + , 2x = + . Область значений функции: { ,– }. 8 4 4 2 2 2

Глава 3. Преобразование тригонометрических выражений § 21. Синус и косинус суммы аргументов 399. a) sin 105° = sin (60° + 45°) = sin 60° cos 45° + sin 45° cos 60° =

3 2 1 = + 2 2 2

6− 2 ; 4

1 2 3 2 2− 6 . – = 2 2 2 2 4 400. a) sin (α+β)–sin αcos β=sin αcos β + sin βcos α – sin αcos β=sin β cos α.

б) cos 105° = cos (60° + 45°) =

3 1 1 π π π cos α. + α) – sin α = sin cos α + cos sin α – sin α= 3 2 3 3 2 2 в) sin α sin β + cos (α + β) = sin α sin β + cos α cos β–sin α sin β = cos α cos β.

б) sin (

2 2 2 2 2 π sin α = cos α – sin α + sin α= cos α. )+ 4 2 2 2 2 2 401. a) sin (α + β) + sin (– α) cos (– β) = sin α cos β. sin α cos β + cos α sin β = sin β cosα. тоджество неверно. б) cos (α + β) + sin (– α) sin (– β) = cos α cos β. cos (α+β)+sin (–α) sin (–β)=cos α cos β – sin α sin β+ sin α sin β = cos α cos β 402. а) sin 74° cos 16° + cos 74° sin 16° = sin (74° + 16°) = sin 90° = 1. г) cos (α +

2 . 2 в) sin 89° cos 1° + cos 89° sin 1° = sin (89° + 1°) = sin 90° = 1. г) cos 178° cos 2° – sin 176° sin 2° = cos (178° + 2°) = – 1. б) cos 23° cos 22° – sin 23° sin 22° = cos 45° =

π π π π π π π cos + cos sin = sin ( + ) = sin = 5 20 5 20 5 20 4 2π 5π 2π 5π 2 π 5π б) cos cos – sin sin = cos ( + ) = cos π = – 1. 7 7 7 7 7 7 11π 11π 11π π π π π cos + cos sin = sin ( + )=sin ( + в) sin 12 12 12 12 12 12 12 2π 2π 2π 1 π π π π cos – sin sin = cos ( + ) = cos = . г) cos 15 5 15 5 15 5 3 2

403. a) sin

404. a)

2 . 2

11π ) = 0. 12

3 1 π π π π cos x+ sin x=sin ( +x). sin cos x+cos sin x=sin ( + x). 2 2 3 3 3 3

1 π 3 cos x – sin x = cos (x + ). 2 2 3 405. a) sin 5x cos 3x + cos 5x sin 3x = sin 8x, sin (5x + 3x) = sin 8x; б) cos 5x cos 3x – sin 5x sin 3x = cos 8x, cos (5x + 3x) = cos 8x;

б)

в) sin 7x cos 4x + cos 7x sin 4x = sin 11x, sin (7x + 4x) = sin 11x; г) cos 2x cos 12x – sin 2x sin 12x = cos 14 x. 406. a) sin 2x cos x + cos 2x sin x = 1, sin 3x = 1, 2πn π π + 2πn, x= + ; 3x = 2 6 3 б) cos 3x cos 5x = sin 3x sin 5x, cos 3x cos 5 x – sin 3x sin 5x = 0, π π πn + πn, x = + . cos 8x = 0, 8x = 2 16 8 1 1 407. a) sin 6x cos x + cos 6x sin x = , sin 7x = , 2 2 k π π π + πk, x = ( – 1)k + ; 7x = ( – 1)k 6 42 7 3 3 , cos 12 x = – , 2 2 5π 5π πn 12x = ± + 2πn, x = ± + . 6 72 6 3 4 π 408. sin t = , 0<t< , cos t = . 5 2 5 б) cos 5x cos 7x – sin 5x sin 7x = –

3 4 1 3 2 3 3 4 3 +3 π π π + +t)=sin cost+sin t cos = = . · + · = 2 3 3 3 5 2 5 5 10 10 3 4 π π б) cos ( + t) = – sin t = – ; в) sin ( + t) = cos t = ; 2 5 2 5

a) sin (

г) cos (

π 3

+ t) = cos

409. cos t = –

a) sin (t +

5 , 13

3 3 4−3 3 1 4 π π · = cos t – sin sin t = · – . 3 3 2 5 2 5 10 12 π <t<π sin t = . 2 13

3 3 12 1 5 1 π + cos t ) = sin t = – = 2 2 13 6 2 13 2

12 3 − 5 5 1 3 12 – = ; 2 13 13 2 26 3π 12 ) = sin t = ; б) cos (t + 2 13

5 12 1 − 5 3 − 12 3 π π π – = ) = cos t cos – sin t sin =– ; 6 6 6 13 2 13 2 26 3π 5 ) = – cos t = . г) sin (t + 2 13 15 4 π 410. cos α = , cos β = , 0<α< ; 17 5 2 в) cos (t+

3 . 5 2 77 8 4 3 15 a) sin (α + β) = sin αcos β + sin βcos α = ⋅ + ⋅ = . 17 5 5 17 85 5 4 8 3 60 − 24 36 – = . ⋅ ⋅ = б) cos (α + β) = cos αcos β - sin αsin β = 17 5 17 5 85 85 4 15 π π 411. sin α = cos β = – < α < π, <β<π 5 17 2 2 3 8 sin β = . cos α = – , 5 17 84 4 15 8 3 a) sin (α + β) = sin αcos β + sin βcos α = ⋅ (– ) + ⋅ (– ) = – ; 5 17 17 5 85 13 . б) cos (α+β) = cos α cos β – sin α sin β = 85 9 40 π 3π 412. sin α = , sin = – ,0<α< , < β < 2π 41 41 2 2 40 9 , cos β = . cos α = 41 41

0<β<

sin α =

8 17

sin β =

1519 ⎛ 9 ⎞ ⎛ 40 ⎞ 9 − 40 9 + 40 sin (α+β)=sin α cos β+sin β cos α= ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ = =– ; ⋅ 41 41 41 41 1681 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 40 9 720 9 40 + б) cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β = = . 41 41 41 41 1681 1 413. а) sin 75° cos 75° = . 4 1 1 1 1 sin 75°cos75°= (sin 75° cos 75°+sin 75° cos 75°)= sin 150°= sin 30°= ; 2 2 2 4

б) cos2 75°–sin2 75°–sin75°sin75°=cos(75°+75°)=cos 150°= – cos 30° = –

3 ; 2

1 1 , sin 105° cos 105° = (sin 105° cos 105° + 4 2 1 1 sin 30° = – + sin 105° cos 105°) = sin 210° = – ; 2 4 г) cos2 75° + sin2 75° = 1. 414. a) sin 2x = 2 sin x cos x, sin 2x = sin (x + x) = sin x cos x + sin x cos x = 2 sin x cos x; б) cos 2x = cos2 x – sin 2 x, cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x – sin x sin x = cos2 x – sin 2 x. 415. a) sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β, sin (α – β) = sin α cos (– β) + cos α sin (– β) = sin α cos β – sin β cos α;

в) sin 105° cos 105° = –

б) cos(α– β) = cos α cos β + sin α sin β, cos(α+(–β)) = cosαcos (–β) – sin αsin (–β) = cosαcosβ + sinαsinβ. π 2 2 2 sin x + cos x = 1, sin cos x = 1, 416. a) sin x + 2 2 2 4 π π π = 2πn, x = + 2πn; cos (x – ) = 1, x – 4 4 4 1 π б) sin x + cos x = 1, sin (x + ) = , 4 2 x+

π π π π = ( – 1)k + πn, x = ( – 1)k – + πn; 4 4 4 4

1 3 π π cos x – sin x = 1, cos cos x – sin sin x = 1, 2 2 6 6 π π x+ = 2πn, x = – + 2πn; 6 6

в)

3 1 1 cos x – sin x = , 2 2 2 π π π π =± + 2πn, x = ± – + 2πn. x+ 6 3 3 6 1 1 417. a) sin x cos 3x + cos x sin 3x > , sin 4x > , 2 2 5π π n 5π πn π π + 2πn), x ∈ ( + ; + ); 4x ∈ ( + 2πn; 6 24 6 2 24 2 1 1 б) cos 2x cos 5x – sin 2x sin 5x < – , cos 7x < – , 3 3 1 1 7x ∈ (π– arccos + 2πn; π + arccos + 2πn), 3 3 1 1 2πn π 1 1 2πn π x∈( – arccos + ; + arccos + ); 7 7 3 7 7 7 3 7 2 3х 2 х х в) sin x cos + cos x sin ≤ – , sin ≤– , 2 2 7 2 7 3х 2 2 4πn ∈ [– π + arcsin + 2πn; – arcsin + ], 2 7 7 3 2 2 4 2 2 2 4πn + πn; – arcsin + ]; x ∈ [– π + arcsin 7 7 3 3 3 3 3

г)

3 cos x – sin x = 1,

х х 3х х х 2 2 cos sin , cos , – sin > > 2 4 2 4 4 2 2 8πn π 8πn 3х π π π ∈ (– + 2πn; + 2πn), x ∈ (– + ; + ). 4 4 4 3 3 3 3

г) cos

§ 22. Синус и косинус разности аргументов 418. a) sin (60° – β) = sin 60° cos β – cos 60° sin β =

3 1 cos β – sin β. 2 2

б) cos(β – 30°) = cos βcos 30° + sinβ sin 30° =

1 3 cos β + sin β. 2 2

в) sin(α – 30°) = sin αcos30° – sin30°cos α = –

1 3 sinα + cosα. 2 2

3 1 sin α. cos α + 2 2 5π 1 5π 5π 419. a) sin ( – α) – cos α = sin cos α – sin α cos – 6 2 6 6 г) cos(60° - α) = cos 60°cos α + sin 60°sin α =

1 1 1 3 3 sin α – sin α. cos α = cos α + cos α = 2 2 2 2 2 π π π б) 3 cos α–2 cos (α– )= 3 cos α–2 cos α cos –2 sin α sin = – sin α. 6 6 6

–

3 3 5π 5π 5π 1 sinα+cos(α– sinα+cosα cos )= + sin α sin = cos α. 2 2 3 3 3 2 π π π г) 2 sin (α– )–sin α= 2 sin α cos – 2 cos α sin – sin α = – cos α. 4 4 4 420. a) cos (α–β)–cos α cos β=cos α cos β+sin α sin β–cos α cos β = sin α sin β б) sin(α+β)+sin (α–β)=sinα cosβ+sinβ cosα+sinα cosβ–sinβ cosα=2sin α cos β в) sin α cos β – sin (α – β) = sin α cos β – sin α cos β + sin β cos α = sin β cos α г) cos (α–β)–cos (α+β)=cosα cosβ+sinα sinβ–cosα cosβ+sinα sinβ=2 sinα sinβ. 421. a) cos 107°cos 17° + sin 107°sin17° = cos(107° – 17°) = cos90° = 0. в)

1 . 2 в) sin 63° cos 27° + cos 63° sin 27° = sin (63° + 27°) = sin 90° = 1.

б) cos 36° cos 24° – sin 36° sin 24° = cos(36° + 24°) = cos60° =

г) sin 51° cos 21° – cos 51° sin 21° = sin (51° – 21°) = 422. a) cos

5π 3π 5π 3π 5π 3π π 2 . cos + sin sin = cos( – ) = cos = 8 8 8 8 8 8 4 2

2π 2π 2π π π cos + cos sin = sin ( 15 5 15 5 15 π π π π π в) cos cos – sin sin = sin ( – 12 4 12 4 12 π π π π π г) sin cos – cos sin = sin ( – 12 4 12 4 12

б) sin

1 . 2

3 π π . ) = sin = 5 3 2 1 π π ) = cos = . 4 3 2 1 π π ) = – sin =– . 4 6 2 +

423. а)

1 3 π π π π cosx– sinx=sin ( – x), sin cosx–cos sin x = sin ( – x). 2 2 3 3 3 3

1 3 π π π π sin x = cos ( – x), cos cos x + cos x+sin sin x=cos ( – x). 2 2 3 3 3 3 424. a) cos ( α – β) + sin (– α ) sin β = cos α cos β, cos α cos β + sin α sin β – sin α sin β = cos α cos β;

б)

б) sin (30° – α) – cos (60° – α) = – 3 sin α, sin 30° cos α – sin α cos 30° – cos 60° cos α – sin 60° sin α = 1 1 3 3 sin α – sin α = – cos α – cos α – 2 2 2 2 в) sin (α – β) – cos α sin (– β) = sin α cos β, sin α cos β – sin β cos α + sin β cos α = sin α cos β; г) sin (30° – α) + sin (30° + α) = cos α,

3 sin α;

3 3 1 1 cos α – sin α + cos α + sin α = cos α. 2 2 2 2 425. a) sin (α – β) – sin (α + β) = – 2 cos α sin β, sin α cos β – sin β cos α – sin α cos β – sin β cos α = –2cos α sin β; б) cos (α – β) + cos (α + β) = 2 cos α cos β, cos α cos β + sin α sinβ + cos α cos β – sin α sin β = 2 cos α cos β. 426. a) cos 6x cos 5x + sin 6x sin 5x = – 1, cos (6x – 5x) = – 1, cos x = – 1, x = π + 2πn; 1 1 1 б) sin 3x cos 5x – sin 5x cos 3x = , sin (3x – 5x) = , sin 2x = – , 2 2 2 k π π π 2x = ( – 1)k+1 + πk, x = ( – 1)k+1 + . 6 12 2 427. а) sin 15° = sin (45° – 30°) =

2 3 2 1 – ⋅ ⋅ = 2 2 2 2

6− 2 ; 2

6+ 2 3 2 1 + = ; 2 2 2 2 1 1 1 (sin (15° + 15°)) = sin 30° = ; в) sin 15° cos 15° = 2 2 4 б) cos 15° = cos (45° – 30°) =

2 2

г) cos2 15° – sin2 15° = cos (15° + 15°) =

3 . 2

428. a) Опечатка в условии: sin 77° cos 17° – sin13° cos 73° = sin 77° cos 17° – cos 77 sin 17°=

= sin (77° – 17°) = sin 60° =

3 ; 2

б) cos 125°cos 5°+sin 55°cos 85°=–cos 55°cos 5°+sin 55°cos 5°= –cos 60°=– 84

1 . 2

2π π π π + t) cos ( – t) + sin ( + t) sin ( – t) = 6 3 3 3 π π π π π π 2 sin ( +t) cos ( –t)+sin ( –t) sin ( –t)=cos t ( –t) + sin 2 ( – t) = 1. 6 3 3 3 3 3 ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 5π ⎞ б) cos⎜ + t ⎟ cos⎜ − t ⎟ − cos⎜ − t ⎟ cos⎜ + t⎟ = ⎝ 4 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 12 ⎠

429. a) sin (

π π 1 ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛π ⎞ = cos ⎜ − t ⎟ sin ⎜ − t ⎟ − sin ⎜ − t ⎟ cos ⎜ − t ⎟ = sin ⎜ − t − + t ⎟ = sin = . 12 ⎠ 6 2 ⎝4 ⎝ 12 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 12 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 430. a)

cos105o cos55o + sin105o cos85o sin15o cos5o + cos15o sin15o = = o o o o sin 95 cos5 − cos95 sin185 cos2 5o − sin2 5o

− sin10o = – tg 10°. cos10o

sin(25o − 5o ) sin 25o cos5o − cos 25o cos85o sin 20o = = =tg 20°. o o o o o o o o cos15 cos5 − sin15 sin 5 cos 20o cos375 cos5 − sin15 sin 365 sin(α + β) − cos α sin β sin α cos β 431. а) = 1. = sin α cos β sin(α − β) + cos α sin β б)

б)

sin(α − β) + 2 cos α sin β sin(α + β) = = tg (α + β). cos(α + β) 2 cos α cos β − cos(α − β)

в)

cos(α + β) + sin α sin β cos α cos β = = 1. cos(α − β) − sin α sin β cosα cosβ

г)

cos(α − β) + 2sin α sin β = ctg (α + β). 2sin α cos β − sin(α − β)

432. sin t =

5 , 13

12 π < t < π, cos t = – . 2 13

3 12 − 12 3 − 5 1 5 π π π – t) = sin cos t–cos sin t=– ⋅ – ⋅ = ; 2 3 3 3 13 2 13 26 5 12 π π π π б) cos(t– )=sin t = ; в) sin ( – t) = sin cos t − cos sin t = cos t = − ; 2 13 2 2 2 13

a) sin (

1 12 5 5 3 − 12 3 π π ⎛π ⎞ cos t + sin sin t = – ⋅ + ⋅ = . г)cos ⎜ − t ⎟ = cos 26 3 3 3 2 13 2 13 ⎝ ⎠

433. cos t =

3 3π , <t<2π 5 2

π π 4 3 13 4 3 +3 ⎛ π⎞ а) sin ⎜ t − ⎟ = sin t cos − sin cos t = − ; − =− 6 6 6 5 2 2 5 10 ⎝ ⎠ 3π 3π 3 ⎛ 3π ⎞ − sin cos t = cos t = ; б) sin ⎜ t − ⎟ = sin t cos 2 2 2 5 ⎝ ⎠ 85

3π 3π 4 ⎛ 3π ⎞ = − sin t = ; в) cos ⎜ t − ⎟ = cos t cos + sin t sin 2 2 2 5 ⎝ ⎠

г) cos (t –

π π π 1 3 + sin t ) = cos t cos + sin t sin = cos t = 6 6 6 2 2

3 3 4 1 3 3−4 – = ⋅ ⋅ . 5 2 5 2 10 4 15 434. sin α = , cos β = – , 5 17 =

π π < α < π, <β<π 2 2 4 15 8 3 −60 + 24 −36 a) sin (α–β)=sin α cosβ–sin β cos α = – ⋅ + ⋅ = = . 5 17 17 5 85 85 3 15 4 8 77 б) cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β = ⋅ + ⋅ = . 5 17 5 17 85 12 4 3π 435. sin β = – , cos α = – , π<β< 13 5 2 5 3 π < α < π; cos β = – , sin = , 13 5 2 3 5 12 4 −15 − 48 63 a) sin (α–β)=sin α cos β–sin β cos α =– ⋅ – ⋅ = =– ; 5 13 13 5 65 65 20 36 16 б) cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β = – =– . 65 65 65 π 2 cos α − 2cos( − α) 4 436. а) = – 2 tg α. π 2sin( + α) − 3 sin α 6 2 cos α − 2 cos α − 2 sin α − 2 sin α = - 2 tg α. = cos α cos α + 3 sin α − 3 sin α π cos α − 2cos( + α) 3 б) = – 3 tg α. π 2sin( − + α) − 3 sin α 6

cos α − cos α + 3 sin α 3 sin α = = – 3 tg α. π π − cos α 2sin cos − 2sin cos α − 3 sin α 6 6 π 1 1 437. а) 2 cos ( – x) – cos x = , cos x + sin x – cos x = , 4 2 2 π 1 sin x = , x = ( – 1)k + πk; 6 2 б) 86

2 sin (

π х 3 3 х х х х – ) + sin = – sin + sin = , cos , 4 2 2 2 2 2 2 2

cos

х 3 = , 2 2

π π х =± + 2πn, x = ± + 4πn. 2 6 3

π 2 2 sin x – cos x = 1, sin (x – ) = 1, 4 2 2 π 3π π x– = + 2πn, x = + 2πn; 4 2 4

438. a)

б) sin x – cos x = 1, sin (x – x–

π 2 )= , 2 4

π π π π = ( – 1)n + 2πn, x = ( – 1)n + + 2πn; 4 4 4 4

1 π π π 3 sin x = 1, cos (x – ) = 1, x – = 2πn, x = + 2πn; cos x + 2 2 6 6 6 π 1 г) 3 cos x + sin x = 1, cos (x – ) = , 6 2 π π π π x– =± + 2πn; x = ± + + 2πn. 6 3 3 6 1 1 439. a) sin 5x cos 3x – cos 5x sin 3x > , sin 2x > , 2 2 π 5π π 5π + 2πn), x ∈ ( + πn; + πn); 2x ∈ ( + 2πn; 6 6 12 2 2 2 х х х + sin x sin < – , cos <– , б) cos x cos 2 2 7 2 7 2 2 х ∈ (π – arccos + 2πn; π – arccos + 2πn), 2 7 7 2 2 + 4πn; 2π – 2arccos + 4πn); x ∈ (2π – 2arccos 7 7 х х 1 х х 1 х 1 х х cos – cos sin < , sin ( – ) < , sin >– , в) sin 4 2 4 2 3 4 2 3 4 3 х 1 1 ∈ (– arcsin + 2πn; π + arcsin + 2πn), 4 3 3 1 1 x ∈ (– 4 arcsin + 8πn; 4π + 4 arcsin + 8πn); 3 3

в)

3 3 , cos 3x > – , 2 2 5π 5π 5π 2πn 5π 2πn + 2πn; + 2πn), x ∈ (– + ; + ). 3x ∈ (– 6 6 18 3 18 3

г) sin 2x sin 5x + cos 2x cos 5x > –

§ 23. Тангенс суммы и разности аргументов tg 45o − tg 30o 440. a) tg 15° = tg (45° – 30°) = = 1 + tg45o tg30o

tg 45o + tg 30o б) tg 75° = tg (45° + 30°) = = 1 − tg45o tg30o

в) tg 105° = tg (– 60° + 45°) =

3 3 . 3 1+ 3 1−

3 3 . 3 1− 3

tg 60o + tg 45o 3 +1 = . 1 − tg60o tg45o 1 − 3

3 3 . г) tg 165° = – tg 15° = – 3 1+ 3 1−

441. a)

tg 25o + tg 20o =tg 45°=– 1; 1 − tg25o tg20o

б)

1 − tg 70o tg 65o tg70 o + tg65o

= ctg 135° = – 1;

tg 9o + tg 51o 1 + tg 54o tg 9o = tg 60° = 3 ; г) = ctg 45° = 1. o o 1 − tg9 tg51 tg54o - tg9o 1 − tgα π 2 π 1 3 1 442. a) tg ( – α) ? tg α = , tg ( – α) = · = ; = 4 3 4 1 + tgα 3 5 5

в)

π 4 3 + tg α + tg 12 + 5 3 4 π 3 5 3 = = б) tg α = , tg (α + ) = ; π 5 3 4 3 15 − 4 3 1 − tg α tg 1− ⋅ 3 5 3 4 4 π в) ctg α = , tg ( + α) = – ctg α = – ; 3 2 3 3 8 3 − 3 = 5 3 = 24 − 5 3 . 3 15 + 8 3 8 3 1 + tgα ⋅ 1+ ⋅ 3 5 3 1 1 443. tg α = , tg β = ; 2 3 1 1 + tg α + tg β 5 6 = 2 3 = а) tg (α + β) = · = 1. 1 1 − tg α tg β 6 5 1− 6 8 π г) ctg α = , tg (α – ) = 5 6

tgα −

1 1 − 1 6 1 . б) tg (α– β) = 8 3 = ⋅ = 1 6 7 7 1+ 6 2 1 π 444. tg α = , tg ( + β) = – 3, – ctg β = – 3, tg β = ; 5 2 3 2 1 + tg α + tg β 11 15 11 = 3 3 = a) tg (α + β) = = ; ⋅ 2 1 − tg α tg β 1 − 15 13 13 15 2 1 − tg α − tg β 11 15 1 = . б) tg (α – β) = = 5 3 = ⋅ 1 + tg α tg β 1 − 2 15 17 17 15 445. а)

б)

tg 2,22 + tg 0,92 = tg (2,22 + 0,92) = tg 3,14. 1 − tg 2,22 ⋅ tg 0,92

tg 1,47 - tg 0,69 = tg (1,47 – 0,69) = tg 0,78. 1 + tg 1,47 tg 0,69

446. а)

б)

tg x + tg 3x π π π + πn, x = + n; = 1, tg 4x = 1, 4x = 1 − tg x tg 3x 4 16 4

tg 5x − tg 3x = 1 + tg 3x tg 5x

447. а) tg (α –

3 , 2х =

π π πn + πn, х = + . 3 6 2

tg α − 1 π ) = 3, = 3, tg α – 1 = 3 + 3 tg α, 4 1 + tg α

2tg α = – 4, tg α = – 2; tg α + 1 π 1 1 = , 5 tg α + 5 = 1 – tg α, б) tg (α+ ) = , 4 5 1 − tg α 5 2 3 , ctg α = – . 3 2 448. a) tg α = 3, tg (α + β) = 1. tg α + tgβ = 1, 3 + tg β = 1 – 3 tg β, 1 − tg α tgβ

tg α = –

1 , 4 tg α − tgβ = 2, 1 + tg α tgβ

б) tg α =

7 3 tg β = – , 2 4

tg β = –

1 ; 2

tg (α – β) = 2. 1 1 – tg β = 2 + tg β, 4 2 tg β = –

7 . 6

3π ; 2 5 12 cos α = – , tg α β = ; 13 5 12 +1 π tg α + 1 17 5 17 a) tg (α + ) = = − ⋅ =– = 5 . 12 4 1 − tg α 5 7 7 1− 5 12 −1 tg α − 1 π 17 5 7 = 5 б) tg (α - ) = = = . ⋅ 12 4 1 + tg α 5 17 17 1+ 5 3 4 4 π 450. cos α = , 0<α< , sin α = , tg α = ; 5 2 5 3 4 + 3 tg α + 3 4+3 3 π a) tg (α + ) = = 3 = 4 3 3 1 − 3 tg α 1− 3

449. sin α = –

3 3 −4

12 , 13

4 3 +9 3 3 − 12

π<α<

=−

48 + 25 3 ; 39

4 −3 3 4−3 3 tg α − 3 π 3 = 3 = б) tg (α – ) = . ⋅ 3 3 3+ 4 3 3+ 4 3 1 + 3 tg α π π tg ( + α ) + tg ( − α ) π π π 8 8 = 1. 451. a) = tg ( + α + - α) = tg π π 8 8 4 1 − tg ( + α) tg ( − α) 8 8

б)

tg ( 45o + α) − tg α 1 + tg ( 45o + α) tg α

452. a)

б)

= tg (45° + α – α) = tg 45° = 1.

1 − tgα 1 − tgα = tg (45° – α), tg (45° – α) = . 1 + tgα 1 + tgα

tgα + tgβ tgα − tgβ + = 2. tg (α + β) tg (α − β)

tgα + tgβ tgα − tgβ + = 1 – tg α tg β + 1 + tgα tg β = 2. tg (α + β) tg (α − β) 453. a) tg (

3π 3π – x) + tg x = tg ( – x) tg x – 1. 4 4

tg x + 1 tg x + 1 tg x − 1 , + tgx = tg x − 1 tg x − 1 б) tg (α +

tg 2 x + 1 tg 2 x + tg x − tg x + 1 ; = tg x − 1 tg x − 1

π π ) – tg α = 1 + tg ( + α) tg α. 4 4

− tgα + tg 2α + tgα + 1 1 − tgα + tg 2α + tgα tgα + 1 − tgα = = . 1 − tgα 1 − tgα 1 − tgα tg 2α + 1 tg 2α + 1 . = 1 − tgα 1 − tgα 454. а) tg (α + β) – (tg α + tg β) = tg (α + β) tg α tg β. tg α + tg β + tg 2α tg β − tg β + tg α tg 2β tg 2α tg β + tg α tg 2β = = 1 − tg α tg β 1 − tg α = tg α tg β tg (α + β). б) tg (α– β) – (tg α – tg β) = tg (β – α ) – tg α tg β. tg α − tg β − tgα − tg 2α tg β + tg β + tg α tg 2β = tg (β – α) tgα tg β. 1 + tg α tg β 455. a)

3 − tgx 1 + 3 tgx

= 1, tg (

π π π π – x) =1, x =– + πn, x = + πn; 3 3 4 12

π tg − tg2x π 5 б) = 3 , tg (2x – ) =– π 5 tg tg 2x + 1 5 π π πn π 2x – =– + πn, x = – + . 5 3 15 2 2 tgx 456. tg 2x = tg (x + x) = . 1 − tg 2 x

π π + β; β=α– ; 4 4 π tgβ + 1 1 + tgβ a) = tgα , tg α = tg (β + ) = ; 4 1 − tgβ 1 − tgβ

457. α – β =

б)

π ; 4

α=

tg α − 1 tg α − 1 π = tgβ , tg β = tg (α– )= . 4 1 + tg α tgα + 1

458.

tg(α − β) − tg α + tg β tg(β − α) tg α + tg β = = – tg α . tg(α − β) tg β tg (α − β) tg β

π + tgx 5 <1 459. π 1 − tg tgx 5 tg

π π π π 7π π ) < 1, x + ∈ (– + πn; + πn), x ∈ (– + πn; + πn); 5 5 2 4 10 20 tg3x − 1 π б) > 1 , tg (3x – ) > 1, tg3x + 1 4

а)tg (x +

π π π πn π πn π + πn), x ∈ ( + ∈ ( + πn; ; + ). 4 4 2 6 3 4 3 460. y1 = 3x + 1 y2 =6 – 2x. tg y1 = 3 – тангенс угла наклона 1-й прямой. tg y2 – тангенс угла наклона 2-ой прямой. y1 = arctg 3 y2 = – arctg 2 y1 – y2 = arctg 3 + arctg 2 3+ 2 tg (y1 – y2) = = −1 . 1− 6 3π . y1 – y2 = 4 1 1 461. tg ∠ KBC = , ∠ KBC = arctg . (см. рис. 144) 2 2 ∠ BKС = 90° – ∠ KBC ∠ KОC = 180° – 45° – 90° + ∠ KBC = 45° + ∠ KBC. 1 1+ 1 2 = 3 ⋅2 = 3 tg ∠ KОC = tg (45° + arctg .) = 1 2 2 1− 2 tg ∠ KOC = arctg 3. 3x –

§ 24. Формулы двойного аргумента sin 2 t –sin t = 2 sin t – sin t = sin t. cos t sin 6t = 2 tg 3t. б) cos 2 3t в) cos2 t – cos 2t = cos2 t - cos2 t + sin2 t = sin2 t. cos 2t (cos− sin t )(cos t + sin t ) − sin t = г) − sin t = cos t. cos t − sin t cos t − sin t

462. a)

463. a)

в)

sin 40o cos80o = 2 cos 20°; б) = cos 40° – sin 40°; o sin 20 cos 40o + sin 40o

sin100o = sin 50°; 2cos50o

г)

cos36o + sin2 18o cos2 18o = = cos 18°. cos18o cos18o

464. a) 2 sin 15° cos 15° = sin 30° =

1 . 2

б) (cos 75° – sin 75°)2 = 1 – 2 sin 75° cos 75° = 1 – sin 150° = в) cos2 15° – sin2 15° = cos 30° =

3 . 2

г) (cos 15° + sin 15°)2 = 1 + 2 sin 15° cos 15° = 465. a) 2 sin

π π 1 1 2 cos + = + = 8 8 4 4 4

в) cos2

2 π π π – sin2 = cos = . 8 8 4 2

3 2tg15o . = tg 30° = 2 o 3 1 − tg 15

в)

2 +1 . 4

π π π 2 2 – (cos – 1 – sin + sin )2 = = – 1. 8 8 4 2 2

466. a)

б)

3 . 2

π π π 2 cos = sin = . 8 8 4 2

б) sin

г)

1 . 2

π 8

π 1 − tg 8 2

π 1 1 tg = . 2 4 2

π tg75o = – tg =– 3 2 o 3 1 − tg 75 2 tg

π 6

3 . = – tg 150˚ = – π 3 tg −1 6 1 1 х х х х 467. a) sin cos = sin x, sin x = sin cos . 2 2 2 2 2 2 х х 2 х 2 х 2 х 2 х б) cos – sin = cos , cos = cos – sin . 4 4 2 2 4 4 1 1 в) sin 2x cos 2x = sin 4x, sin 4x = sin 2x cos 2x. 2 2 х х х х – sin2 = cos x, cos x = cos2 – sin2 . г) cos2 2 2 2 2 г)

468. a) cos (2 α+ 2β) = cos 2 (α + β) – sin2 (α + β). cos (2 α+ 2β) = cos 2 (α + β) = cos 2 (α + β) – sin2 (α + β). б) sin (2 α+ 2β) = 2 sin (α + β) cos (α + β). sin (2 α+ 2β) = sin 2 (α + β) = 2 sin (α + β) cos (α + β). 2tg (α + β) 469. a) tg (2 α+ 2β) = 1 − tg 2 (α + β)

tg (2 α + 2β) = tg 2 (α + β) =

2 tg (α + β) 1 − tg 2 (α + β)

α β + ) 2 2 б) tg (α + β) = α β 1 − tg 2 ( + ) 2 2 2tg (

α β 2 tg ( + ) α β 2 2 . + )= tg (α + β) = tg 2 ( 2 2 2 α β 1 − tg ( + ) 2 2

5 12 5 ⎛ 13 ⎞ π < t < π; cos t = – ; tg t = ⋅ ⎜− ⎟ = – ; 2 13 13 ⎝ 12 ⎠ 12 5 12 120 a) sin 2t = 2 sin t cos t = 2 · ⋅ (– ) = – . 13 13 169 25 144 119 б) cos 2t = cos2 t – sin 2 t = = – . 169 169 169 5 , 13

470. sin t =

⎛ 5⎞ 2⋅⎜− ⎟ ⎝ 12 ⎠ = − 5 ⋅ 144 = − 120 . = в) tg 2t = 2 25 6 119 119 1 − tg t 1− 144 2 tgt

г) ctg 2t =

1 119 . =– tg 2t 120

471. cos x =

0<x<

π ; 2

3 4 , ctg x = ; 4 3 4 3 24 16 9 7 а) sin 2x = 2 ⋅ ⋅ = ; б) cos 2x = – = . 5 5 25 25 25 25 3 2 tgx 3 16 24 7 в) tg 2x = ⋅ = ; г) ctg 2x = . ·= 2 = 9 2 7 7 24 1 − tg 2 x 1− 16

sin x =

3 , 5

4 , 5

tg x =

t t 2 sin (cos ) t 2 2 472. a) = = tg . 2 2 t 2 t 2 cos 2 cos 2 2

sin t

t t − sin 2 2 2 = cos t – sin t . t t 2 2 cos + sin 2 2 sin 4t 2 sin 2t cos 2t в) = = 2 sin 2t . cos 2t cos 2t cos 2t − sin 2t cos 2t − sin 2 t 1 . г) = = cos 4 t (sin 2t − sin 2t )(cos 2t + cos 2t ) (cos 2t + sin 2t ) cos t б) = t t cos + sin 2 2

473. а)

б)

cos 2

sin 2t − 2 sin t 2 sin t (cos t − 1) = . = 2 sin t. cos t − 1 cos t − 1

cos 2 t − cos 2 t

cos 2 t − sin 2 t − cos 2 t

=–1

sin 2 t cos t в) sin 2t ctg t – 1 = 2sin t cos t ⋅ – 1 = 2cos2 t – 1 = cos 2t. sin t 1 − cos 2 t

1 ⋅ 2 sin t cos t = 2. sin t cos t 2 2 = 474. a) = sin 2t. 1 tgt + ctgt sin t cos t sin 2t 2 2 = = = –tg 2t. б) − cos 2t tgt − ctgt − cos 2t

г) (tg t + ctg t) sin 2t =

sin t cos t

475. a) (1 – tg 2 t) cos 2t = cos 2t – sin2 t = cos 2t. π+t π+t π t t б) 2 cos2 – 2 sin 2 = 2 cos ( + ) = – 2 sin . 4 4 2 2 2 476. a) (sin t – cos t)2 = 1 – sin 2t, sin 2 t – 2 sin t cos t + cos2 t = 1 – sin 2t. б) 2 cos2 t = 1 + cos 2t, 1 + cos 2t = sin 2 t + cos2 t – sin 2 t + cos2 t = 2 cos2 t. в) (sin t + cos t)2 = 1 + sin 2t, sin 2 t + cos2 t + 2 sin t cos t = 1 + sin 2t. г) 2 sin 2 t = 1 – cos 2t, 1 – cos 2t = sin2 t + cos2 t – cos2t + sin2 t = 2 sin 2 t. 477. а) cos4 t – sin 4 t = cos 2t. cos 2t = (cos2 t – sin 2 t) · 1 = (cos2 t – sin 2 t) (cos2 t + sin 2 t) = cos4 t – sin 4 t. 1 ⋅ sin 2 2t. б) cos4 t + sin 4 t = 1 – 2 4 t + 2 sin 2 t cos2 t – 2 sin 2 t cos2 t = cos4 t + sin 1 1 (sin 2 t + cos2 t)2 – sin 2 2t = 1 – sin 2 2t. 2 2

478. а) ctg t – sin 2t = ctg t cos 2t.

cos t ⋅ cos 2t cos t − 2 sin 2 t cos t cos t (cos2 t − sin 2 t) = ctg t cos 2t = = sin t sin t sin t б) sin 2t – tg t = cos 2t tg t

(

)

cos 2t sin t 2 sin t cos 2 t − sin t cos 2 t − sin 2 t sin t = cos 2t tg t = = cos t cos t cos t 479. a) sin 2x – 2 cos x = 0. π π 2 cos x = (sin x – 1) = 0, cos x = 0, x = + πn, sin x = 1, x = + 2πn; 2 2 б) 2 sin x = sin 2x, 2 sin x (cos x – 1) = 0, sin x = 0, cos x = 1; x = πn, x = 2πn. в) sin 2x – sin x = 0, sin x (2 cos x – 1) = 0, sin x (2 cos x – 1) = 0, 1 π sin x = 0, x = πn, cos x = , x = ± + 2πn; 2 3 г) sin 2x – cos x = 0, cos x (2 sin x – 1) = 0, cos x = 0, 1 π π x= + πn, sin x = , x = ( – 1)k + πk. 2 2 6 480. a) sin x cos x = 1. π 1 1 1 sin x cos x = , sin 2x = ; 2x = (–1)n + 2πn, 2 2 2 6 x = (–1)n

π + πn, sin 2x = 2. решений нет. 12

1 . 2 π πn π sin 8x = 1, 8x = + πn, x = + ; 2 16 8 х х 1 в) cos2 – sin2 = , 3 3 2 π 2х 1 2х π cos = , =± + 2πn, x = ± + 3πn; 3 2 3 3 2 1 2 2 г) sin x – cos x = , 2 1 2π π cos 2x = – , 2x = ± + 2πn, x = ± + πn. 2 3 3 481. a) cos 2x + 3 sin x = 1. 1 – 2 sin 2x + 3 sin x = 1, sin x (2sin x – 3) = 0, sin x = 0, x = πn; б) sin 2x = – cos 2x, π + πn; sin2 x + 1 – 2sin2x = 0, sin2 x = 1, sin x = ± 1, x = 2 2 2 2 2 в) cos 2x = cos 2x, 2 cos 2x – 1 – cos x = 0, cos 2x = 1, cos x = 1, x = πn;

б) sin 4x cos 4x =

г) cos 2x = 2 sin2 x,

1 – 2 sin2 x = 2 sin2 x,

sin x = ±

1 , 2

π π + π; x = ( – 1)n+1 + πn. 6 6 482. a) sin 11° 15´ · cos 11° 15´ cos 22° 30´ cos 45° = 1 1 1 = sin 22° 30´ cos 22° 30´ cos 45° = sin 90° = . 2 8 8 π π π π 1 π 1 б) sin cos cos cos = sin = . 48 48 24 12 8 6 16 x = ( – 1)k+1

483. a)

1 + cos 40o + cos 80o

sin 80o + sin 40o = tg 40° ctg 40° = 1 б) =

1 − cos 25o + cos 50o o

sin 50 − sin 25

cos25o sin25o

⋅

2cos25o − 1 2cos25o − 1

− tg 65o =

2 cos 2 40o + cos 40o sin 40o ( 2 cos 40o + 1) 2 cos 2 25o − cos 25o o

2 sin 25 cos 25 − sin 25

⋅ tg 40o =

− tg 65o =

– tg65° = ctg25° – tg65° = tg65° – tg65° = 0.

3π ; 2 4 3 cos x = – , sin x = – ; 5 5 3 4 24 a) sin 2x = 2 · · = ; 5 5 25 16 9 7 – = ; б) cos 2x = cos2 x – sin2 x = 25 25 25 24 25 24 в) tg 2x = ⋅ = ; 25 7 7 7 г) ctg 2x = . 24 4 3π 485. ctg x = – , < x < 2π; tg x = – 3 2 4 3 cos = sin x = – 5 5 4 3 24 a) sin 2x = – 2 ⋅ ⋅ =– ; 5 5 25 16 9 7 б) cos 2x = cos2 x – sin2 x = – = ; 25 25 25 24 25 24 ⋅ =– ; г) ctg 2x = – в) tg 2x = – 25 7 7

484. tg x =

3 , 4

tg 40o =

π<x<

3 ; 4

7 . 24

486. а)

cos 2t sin t cos t + sin 2 t

= ctg(π + t ) − 1 ;

cos 2t cos t − sin t = = ctg t − 1 = ctg ( π + t ) − 1 . sin t (cos t + sin t ) sin t б) (ctg t – tg t) sin 2t = 2 cos 2t; cost sint 2sint cost − 2 sin t cos t = 2 cos2 t – 2 sin2 t = 2 cos 2t. sint cost π sin 2t − 2 sin( − t ) 2 cos t (sin t − 1) 2 487. a) = –2 ctg t, = –2 ctg t; π − sin t (sin t − 1) cos( − t ) − 2 sin 2 t 2 1 − cos 2t + sin 2t π tg ( − t ) = 1, б) 1 + cos 2t + sin 2t 2 2sin 2 2t + sin 2t 2

2cos t + sin 2t

ctg t =

488. a) sin 2α =

2sin t (sint + cost) ctg t = 1. 2cos t (cost + sint)

1 , 3

sin4 α + cos4 α = 1 – 2 sin2 α cos2 α = 1 – 2 ·

1 17 . = 36 18

49 π , < α < π; 50 2 49 1 1 1 – 2 sin2 α cos2 α = , sin2 α cos2 α = , sin α cos α = – , 50 100 10 1 sin 2α = – . 5 489. a) sin 3x = 3 sin x – 4 sin3 x. sin 3x = sin (x + 2x) = sin x cos 2x + sin 2x cos x = sin x – 2 sin3 x + 2 sin x – 2 sin3 x = 3 sin x – 4 sin3 x. б) cos 3x = 4 cos 3x – 3 cos x. cos (x + 2x) = cos x cos 2x – sin x sin 2x = 2 cos3 x – cos x – 2 cos x sin x= 2 cos 3x – cos x – 2 cos x + 2 cos3 x = 4 cos3 x – 3cos x. sin 4x 490. a) cos x cos 2x = 4 sin x 2 sin 2 x cos 2 x sin 4x = = cos x cos 2x. 4 sin x 4 sin x sin 8x б) cos x cos 2x cos 4x = . 8 sin x 2 sin 4x cos 4 x 8sinx cosx cos2x cos4x = = cos x cos 2x cos 4x. 8 sin x 8sinx

б) sin4 α + cos4 α =

sin 4x . 4 cos x sin 4x 4 sinx cosx cos2x = = sin x cos 2x. 4 cos x 4 cos x sin 8x г) sin x cos 2x cos 4x = 8 cos x sin 8x 8sinx cosx cos2x cos4x = = sin x cos 2x cos 4x. 8 cos x 8 cosx 1 491. a) sin 18° cos 18° cos 36° = sin 72°. 4 1 1 sin 36° cos 36° = sin 72°. 2 4 1 1 б) sin 18° cos 36° = ; т. к. sin 18° cos 18° cos 36° = sin 72°. 4 4 1 1 sin 18° cos 18° cos 36° = ⋅ cos 18° ⇒ sin 18° cos 36° = . 4 4 32π sin π 2π 4π 8π 16π 33 = 1 . 492. а) cos cos cos cos cos = π 33 33 33 33 33 32 32 sin 33 8π sin π 2π 4π 7 =– 1 . б) cos cos cos = π 7 7 7 8 8 sin 7 493. а) 2 – cos 2x + 3 sin x = 0; 2 sin 2 x – 1 + 2 + 3 sin x = 0; 2 sin 2 x + 3 sin x + 1 = 0; −3 − 1 π 1 π sin x = = – 1; x= – + 2πn; sin x =– ; x = ( – 1)k+1 + πk. 4 2 2 6 б) cos 6x – cos 3x – 2 = 0. 2 cos2 3x – cos 3x – 3 = 0. 1+ 5 cos 3x = решений нет. 4 2πn π + . cos 3x = – 1, x= 3 3 494. a) 26 sin x cos x – cos 4x + 7 = 0; 13 sin 2x – 1 + 2 sin 2 2x + 7 = 0; 2 sin 2 2x + 13 sin 2x + 6 = 0; −13 − 11 1 sin 2x = решений нет; sin 2x = – ; 4 2 πk k+1 π k+1 π + 2x = ( – 1) + πk; x = ( – 1) . 6 12 2 б) sin4 x + cos4 x = sin x cos x.

в) sin x cos 2x =

sin4 x+2sin2 xcos2 x+cos4 x = 2 sin2 xcos2 x +

1 sin 2x; 2

1 2 1 sin 2x + sin 2x – 1 = 0; 2 2 π π + 2πn; x = + πn. 1) sin 2x = 1; 2x = 2 4 2) sin 2x = –2; нет решений 495. a) 3 sin 2x + cos 2x = 1. 6 sin x cos x – 2 sin2 x = 0; 2sin x (3 cos x – sin x) = 0; sin x = 3 cos x; tg x = 3; x = arctg 3 + πn, sin x = 0; x= πn; б) cos 4x + 2 sin 4x = 1. – 2sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x = 0; sin 2x (2 cos 2x – sin 2x) = 0. 1 1 πn cos 2x = sin 2x, tg 2x = 2, 2x = arctg 2 + πn, x = arctg 2 + , 2 2 2 πn sin 2x = 0, 2x = πn, x = . 2 496. a) 4 sin x + sin 2x = 0, x ∈ [0; 2π] 2 sin x (2 + cos x) = 0, sin x = 0, cos x = –2 – нет решений x = 0, x = π, x = 2π. б) cos2 (3x + cos (6x +

3π π π 3 , π] ) – sin2 (3x + ) + = 0, x ∈ [ 4 4 2 4

2π 3 3 )=– , sin 6x = , 2 2 4

6x = ( – 1)k

π + πk, 3

x = ( – 1)k

7π π πk + ⇒ x= . 18 6 18 ⎡ 20π 28π ⎤

497. а) (cos x – sinx)2 = 1 – 2 sin x = 2x, x ∈ ⎢ , 9 ⎥⎦ ⎣ 9 πn 1 – sin 2x = 1 – 2 sin 2x, sin 2x = 0, x = , 2 корня. 2

б) 2 cos2 (2x –

π π ⎡ π 3π ⎤ ) – 2 sin2 (2x – ) + 1 = 0, x ∈ ⎢ , ⎥ 4 4 ⎣2 2 ⎦

1 1 π π ) = – , sin 4x = – , 4x = ( – 1)k+1 + πk, 2 2 2 6 π πk x = ( – 1)k+1 + , 3 корня. 24 4 x 2 tg 2 = 2 tg х cos2 х = 2sin х cos х = sin x 498. а) sin x = 2 2 2 2 2 x 1 + tg 2

cos (4x –

100

x 2 = (1 – tg2 х ) cos2 х = cos2 х – sin2 х = cos x. б) cos x = 2 2 2 2 2 x 1 + tg 2 499. a) sin x + 7 cos x = 5. x x 2 tg 7 − 7 tg 2 2 + 2 = 2 tg х + 7 – 7 tg2 х = 5 + 5 tg2 х . 2 2 2 2 x 2 x 1 + tg 1 + tg 2 2 х х х х – 2 tg – 2 = 0, 6 tg2 – tg – 1 = 0, 12 tg2 2 2 2 2 1 1 1+ 5 х = = , x = 2 arctg + 2πn tg 2 12 2 2 1− 5 1 1 х tg = =– , x = 2 arctg(– ) + 2πn 2 12 3 3 1 x = – 2 arctg + 2πn. 3 x x 10tg 10 − 10tg2 2 2 + 2 = 0. + б) 5 sin x + 10 cos x + 2 = 0, 2 x 2 x 1 + tg 1 + tg 2 2 х 2 х 2 х 10 tg + 10 – 10 tg + 2 + 2 tg = 0. 2 2 2 5 + 11 х х х 4 tg2 – 5 tg2 – 6 = 0; tg = = 2; x = 2 arctg 2 + 2πn. 2 2 2 8 3 3 х = – ; x = – 2 arctg tg + 2πn. 2 4 4 1 500. a) cos 2 sin 2x = 8 sin x cos x; x −π 1 sin 2x = 4 sin 2x; sin 2x = 0. cos 2 x −π 1 πn x= , n ≠ ± 2. cos 2 = 4. решений нет. 2 x −π 1 1 б) 16 sin x cos x + sin 2x sin = 0; 8 sin 2x + sin 2x sin = 0; х х πn 1 sin 2x = 0; x = , n ≠ 0. sin = –8 – решений нет 2 х 501. a) sin 2x + 2 sin x = 2 – 2 cos x, sin x cos x + sin x + cos x = 1. 1 2 1 (sin x + cos x) = t; sin x cos x = t – ; 2 2 1 − tg 2

101

t2 – 1 + 2t – 2 = 0; t2 + 2t – 3 = 0; t = – 3 – решений нет. π 2 )= . 4 2 π π π π x+ = ( – 1)k + πk. x = ( – 1)k + πk. 4 4 4 4 б) 4sin 2x + 8 (sin x – cos x) = 7. sin x – cos x = t; 1 – sin 2x = t2; sin 2x = 1 – t2; 4+2 3 4 – 4 t2 + 8t – 7 = 0; 4 t2 – 8t + 3 = 0; t = = ; 4 2 3 sin x + cos x = – решений нет. 2

t = 1,

sin x + cos x = 1, sin (x +

1 1 π 2 ; sin x + cos x = ; sin (x + ) = . 2 2 4 4

π π 2 2 = ( – 1)k arcsin + πk. x = ( – 1)k arcsin + πk – . 4 4 4 4 1 1 502. a) sin 2x cos 2x < . sin 4x < . 4 2 πn πn 7π π 7π π 4x ∈ (– + 2πn; + 2πn), x ∈ (– + ; + ). 2 2 6 6 24 24 х 1 х х 1 б) cos2 – sin2 > ; cos > ; 4 4 2 2 2 2π 2π х π π ∈ (– + 2πn; + 2πn), x ∈ (– + 4πn; + 4πn). 2 3 3 3 3 2 2 503. a) cos 2x – sin 2x ≤ –1. πn π cos 4x ≤ –1. 4x =π + 2πn. x = + . 4 2 π πn 1 π + 2πn. x = б) sin 5x cos 5x ≥ . sin 10 x ≥ 1. 10 x = + . 2 2 20 5 πn . в) sin2 3x – cos2 3x ≤ –1. cos 6x ≥ 1. 6x = 2πn. x = 3 2x 2x 1 4x 4x 3π 3πn π г) sin cos ≤ – . sin ≤– 1. =– + 2πn. x = – + . 3 3 2 3 3 2 8 2

§ 25. Формулы понижения степени 504. a) sin2 2t =

1 − cos 4t 2

1 1 − cos 4t 1 = (1 – cos2 2t + sin2 2t) = (2sin2 2t) = sin2 2t 2 2 2 102

1 t + cos t = 1. 2 (1 – cos t) · + cos t = 1. 2 2 3t 3t в) 2 sin2 2t = 1 + sin ( – 4t). 1 – cos 4t = 1 + sin ( – 4t). 2 2 г) 2 cos2 t – cos 2t = 1. 2cos2 t – cos 2t = 2cos2 t – cos2 t + sin2 t = 1. π π 1 + sin( − 6t) 1 + sin( − 6t) 1 + cos 6 t 2 2 3 2 505. a) cos 3t = , cos 3t = = . 2 2 2 t sin 2 1 − cos t 1 − cos t 2 t 2 t 2 = tg = б) . tg = . t 2 2 1 + cos t 1 + cos t cos 2 2 1 − cos(6 t + (−3π)) 1 + cos 6 t 1 − cos(6 t − 3π) 2 2 = cos 3t = = в) cos 3t = 2 2 2 t 2 sin 2 1 − cos t t 1 − cos t t 2 г) = tg , = = tg . t t 2 2 2 sin t 2 sin cos 2 2 1 2 506. а) 1 + sin α = 2 cos (45° – ) 2 α 2 2 cos (45° – ) = 1 + cos (90° – α) = 1 + sin α. 2 б) 2 sin2 (45° – α) + sin 2α = 1, 1 – cos (90° – 2α) + sin 2α = 1, 1 – sin 2α + sin 2α = 1; α в) 1 – sin α = 2 sin2 (45° – ), 2 α ) = 1 – cos (90° – α) = 1 – sin α; 2 sin2 (45° – 2 2 г) 2 cos (45° + α) + sin 2α = 1, 1 + cos (90° + 2α) + sin 2α = 1 – sin 2α + sin 2α =1.

б) 2 sin2

1 − cos 45o = 2

507. a) sin 22,5° =

б) sin 22,5° = 3π в) sin = 8

г) cos

3π = 8

1 + cos 45o = 2

1 − cos 2 1 + cos 2

3π 4 = 3π 4 =

2− 2 . 2

2+ 2 . 2 2− 2 . 2 2+ 2 . 2

103

х х х , 1 – (1 – 2 sin2 ) = 2sin ; 2 2 2 х х х х sin2 = sin ; (sin – 1) ⋅ sin = 0; 2 2 2 2 ⎡ x ⎢sin 2 = 0 ⎡ x = 2πn ; ⎢ . ⎢ x x = π + 4πk ⎢sin = 1 ⎣ ⎢⎣ 2 х б) 1 + cos x = 2 cos . 2 х х х 2 х 1 + (2 cos – 1) = 2cos ; cos2 = cox ; 2 2 2 2 x ⎡ ⎢ cos 2 = 0 ⎡ x = π + 2πn х х (cos – 1) ⋅ cos = 0; ; ⎢ ⎢ x = 4πk x 2 2 ⎢ cos = 1 ⎣ ⎢⎣ 2 х 509. а) 1 – cos x = sin x sin . 2 х х х х 2 х 1 – (1 – 2sin ) = sin x sin ; 2sin2 = 2sin2 cos ; 2 2 2 2 2 x ⎡ ⎢sin 2 = 0 х х ⎡ x = 2πn sin2 (1 – cos ) = 0; ; ⎢ ; x = 2πn. ⎢ x = 4πk x 2 2 ⎢ cos = 1 ⎣ ⎢⎣ 2 2 х б) sin x = tg (1 + cos x), 2 1 − cos x sin x = 1 − cos x ; sin x = (1 + cos x) ; 1 + cos x ≠ 0 1 + cos x

508. a) 1 – cos x = 2 sin

{

⎧ π⎞ ⎛ ⎪ 2 sin x ⎜ x + ⎟ = 1 ; ⎨ 4⎠ ⎝ ⎪⎩ x ≠ π + 2πn

⎧⎡ π π ⎪⎢ x + 4 = 4 + 2πk ⎪⎢ ⎨⎢ x + π = 3π + 2πk ; ⎪⎣⎢ 4 4 ⎪x ≠ π + 2πn ⎩

510. a)sin2 2x = 1 π ⎡ ⎢ 2x = 2 + 2πn ⎡sin 2x = 1 ; ⎢⎣sin 2x = −1 ; ⎢ π ⎢ 2x = − + 2πk ⎢⎣ 2 π π πl 2x = + πℓ; x= + 2 4 2

104

⎧⎡ x = 2πk ⎡ x = 2πk ⎪⎪⎢ π ⎨⎢ x = + 2πk ; ⎢ x π + 2πk ⎢ 2 ⎪⎣ ⎣ 2 ⎩⎪x ≠ π + 2πn

1 , 2cos2 4x – 1 = 0; 2 π π πn + πn; x= 8x = + . 2 16 8 х 3 в) sin2 = . 2 4

б) cos2 4x =

cos 8x = 0;

⎡ x π ⎡x 3 = (−1)n + πn ⎢six = ⎢ 2 3 2 ; ⎢ ; ⎢ 2 x ⎛ k x 3 ⎢sin = − ⎢ = (−1) ⎜ − π ⎟⎞ + πk ⎢⎣ 2 ⎝ 3⎠ ⎣⎢ 2 2 ⎡ n 2π ⎢ x = (−1) 3 + 2πn 2π ; x=± + 2πn ⎢ 3 ⎢ x = (−1)k ⎛⎜ − 2π ⎞⎟ + 2πk ⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ х 1 г) cos2 = . 4 4 π x 1 ⎡x ⎡ ⎢ 4 = ± 3 + 2πn ⎢ cos 4 = 2 x 4π π = ± + πn; x = ± + 4πn ; ⎢ ; ⎢ x 1 x 2π 4 3 3 ⎢ =± ⎢ cos = − + 2πk ⎢⎣ ⎢⎣ 4 4 2 3 π 2 х 511. 2cos – cos =1 2 9 π π π х (2cos2 – 1) = cos ; cos x = cos ; x =±arccos(cos ) + 2πn 2 9 9 9 Отсюда имеем, что уравнение имеет отрезок [–2π, 2π] 4 корня: π π π π – 2π, – , , 2π – . 9 9 9 9 512. a) Т.к. 0 < t < t = sin 2

t π , то cos = 2 2

1 1⎛ 3⎞ 7 (1 + cos t) = , ⎜1 + ⎟ = 2 2⎝ 4⎠ 2 2

t sin t t 1 1 1 1 2 (1 − cos t) = , tg = , ctg = = = 7. t t 2 2 2 7 2 2 cos tg 2 2

б) Имеем: cos2 t =

ctg2 t 9 /16 9 . = = 1 + ctg2 t 1 + 9 /16 25

3 3π (т.е. cos t < 0), получим cos t = – 5 2 π t 3π t t Поскольку < < , то sin > 0, cos < 0, т.е. имеем: 2 2 2 2 4

Т.к. π < t <

105

sin

t = 2

1 1⎛ 3⎞ 2 (1 − cos t ) = ; ⎜1 + ⎟ = 2 2⎝ 5⎠ 5

cos

t = 2

1 1⎛ 3⎞ 1 ; (1 + cos t ) = − ⎜1 − ⎟ = − 2 2⎝ 5⎠ 5

t sin t t 1 1 2 tg = = –2; ctg = =− . t t 2 2 2 tg cos 2 2 513. a) Рассмотрим два случая: 3π 3π π 4 <x< . Тогда π < 2x < и cos2x = – 1 − sin 2 2x = – . 1. 2 5 4 2 1 1⎛ 4⎞ 3 ; (1 − cos 2 x) = ⎜1 + ⎟ = 2 2⎝ 5⎠ 10

sin x = cos x = – tg x = 2.

1 1⎛ 4⎞ 1 (1 + cos 2 x) = − ⎜1 − ⎟ = − ; 2 2⎝ 5⎠ 10

1 1 sin x =− . = −3 ; ctg x = 3 tgx cos x

3π 3π < x < π. Тогда < 2x < 2π и cos 2x = 4 2 1 1⎛ 4⎞ 1 ; (1 − cos 2 x) = ⎜1 − ⎟ = 2 2⎝ 5⎠ 10

sin x = cos x = – tg x =

1 − sin 2 2x =

1 1⎛ 4⎞ 3 (1 + cos 2 x) = − ⎜1 + ⎟ = − ; 2 2⎝ 5⎠ 10

sin x 1 =− ; cos x 3

ctg x =

1 = −3 . tgx

5π 5π , то 2π < 2x < , т.е. cos 2x = 4 2 1 1 4 = = 2 5 1 + 9 / 16 1 + tg 2 x

б) Т.к. π < x < =

sin x = –

1 1⎛ 4⎞ 1 ; (1 − cos 2 x ) = − ⎜1 − ⎟ = − 2 2⎝ 5⎠ 10

1 1⎛ 4⎞ 3 ; (1 + cos 2 x ) = − ⎜1 + ⎟ = − 2 2⎝ 5⎠ 10 1 sin x 1 = 3. tg x = = ; ctg x = tgx cos x 3

cos x = –

106

4 . 5

514. a)

sin 2t cos t t ⋅ = tg . 1 + cos 2t 1 + cos t 2

sin 2t cos t 2 sin t cos 2 t sin t t ⋅ = = = tg 2 1 + cos 2t 1 + cos t 2 cos t ⋅ (1 + cos t ) 1 + cos t 2

t cos sin 2t cos t t 2 б) ⋅ ⋅ = tg . t 1 + cos 2t 1 + cos t 1 + cos 4 2 t t cos cos sin 2t cos t 2 sin t cos2 t 2 2 ⋅ ⋅ = ⋅ = 1 + cos 2t 1 + cos t 1 + cos t 2 cos2 t (1 + cos t ) 1 + cos t 2 2 t t t cos cos sin sin t 2 = tg t ⋅ 2 = 2 = tg t = ⋅ 1 + cos t 1 + cos t 2 1 + cos t 1 + cos t 4 2 2 2 1 − cos 2t + sin 2t 515. а) = tgt . 1 + sin 2t + cos 2t 1 − (1 − 2 sin 2 t ) + 2 sin t cos t 2

1 + 2 sin t cos t + 2 cos t − 1

sint(sint + cost) sin t = = tg t . cost(sint + cost) cos t

1 + cos 2 t − sin 2t π = tg ( – t). 1 + sin 2t + cos 2t 4

б)

1 + cos 2t − sin 2t 1 + 2 cos2 t − 1 − 2 sin t cos t = = 1 + sin 2t + cos 2t 1 + 2 sin t cos t + 2 cos2 t − 1 ⎞ ⎛π 2 sin ⎜ − t ⎟ cos t − sin t 4 ⎠ = tg ⎛⎜ π − t ⎞⎟ . ⎝ = = cos t + sin t ⎛π ⎞ ⎝4 ⎠ 2 cos⎜ − t ⎟ ⎝4 ⎠ 516. a) cos2 t – cos2 (

1 2

π π 1 – t). = sin ( – 2t). 4 4 2

π⎞ 1 ⎛ π ⎛π ⎞ sin ⎜ − 2t ⎟ = ⎜ sin cos 2t − sin 2t cos ⎟ = 4⎠ 4 2⎝ ⎝4 ⎠

1 1⎛ ⎞⎞ ⎛π (cos 2t − sin 2t ) = ⎜⎜ cos 2t − cos⎜ − 2t ⎟ ⎟⎟ = 2 2⎝ 2 ⎠⎠ ⎝

1⎛ ⎞ ⎛π ⎛π ⎞ ⎞ ⎜ 2 cos2 t − 1 − 2 cos2 ⎜ − t ⎟ + 1⎟⎟ = cos2 t − cos2 ⎜ − t ⎟ . 2 ⎜⎝ 4 4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 107

б) sin2 t – sin2 (

1 2

π π 1 – t) = sin (2t – ). 4 4 2

π π π⎞ 1 ⎛ ⎞ ⎛ sin ⎜ 2t − ⎟ = ⎜ sin 2t cos − sin cos 2t ⎟ = 4 4 4⎠ 2⎝ ⎠ ⎝

⎞ 1⎛ ⎛π 1 ⎞ (sin 2t − cos 2t ) = ⎜⎜ cos⎜ − 2t ⎟ − cos 2t ⎟⎟ = 2⎝ ⎝ 2 2 ⎠ ⎠

⎞ 1⎛ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎜⎜1 − 2 sin 2 ⎜ − t ⎟ − 1 + 2 sin 2 t ⎟⎟ = sin 2 t − sin 2 ⎜ − t ⎟ . 2⎝ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎠

517. a) f (x) = 2cos 2x + sin2 x = 2cos2x+

1 3 1 (1 – 2cos2x) = cos2x + 2 2 2

Поскольку наибольшее значение функции y = cos 2x равно 1, а наименьшее –1, то наибольшее значение функции f(x) равно 2, а наименьшее –1. б) f (x) = 2sin2 3x – cos 6x = (1 – cos 6x) – cos 6x = 1 – 2 cos 6x. Поскольку наибольшее значение функции y = cos 6x равно 1, а наименьшее –1, то наибольшее значение функции f(x) равно 3, а наименьшее –1. π 518. a) t ∈ [ ; π], т.е. sin t ≥ 0, cos t ≤ 0. 2

⎛

1 − cos 2 x + 1 + cos 2t = 2 ( sin t + cos t ) = 2(sin t − cos t ) = 2 sin ⎜ t −

⎝

б) t ∈ [

π⎞ ⎟; 4⎠

3π ; 2π], т.е. sin t ≤ 0, cos t ≥ 0 2

⎛π ⎞ −t⎟ ; ⎝4 ⎠

1 − cos 2 x + 1 + cos 2t = 2 ( sin t + cos t ) = 2(− sin t + cos t ) = 2 sin ⎜

в) t ∈ [0;

π ], т.е. sin t ≥ 0, cos t ≥ 0 2

⎛

1 − cos 2 x + 1 + cos 2t = 2 ( sin t + cos t ) = 2(sin t + cos t ) = 2 sin ⎜ t +

⎝

г) t ∈ [π;

π⎞ ⎟ 4⎠

3π ],т.е. sin t ≤ 0, cos t ≤ 0 2

π 1 − cos2 x + 1 + cos2t = 2 ( sin t + cos t ) = − 2(sin t + cos t ) = – 2sin ⎛⎜ t + ⎞⎟ . 4⎠ ⎝ 5 519. cos 2x = = 2cos2 x – 1 = 1 – 2sin2 x, 13

откуда cos2 x = 108

1⎛ 5⎞ 9 1⎛ 5⎞ 4 , sin2 x = ⎜1 − ⎟ = . ⎜1 + ⎟ = 2 ⎝ 13 ⎠ 13 2 ⎝ 13 ⎠ 13

97 ⎛ 4⎞ ⎛9⎞ . ⎟ +⎜ ⎟ = 13 13 169 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a) sin4 x + cos 4x = (sin2 x)2 + (cos2 x)2 = ⎜

6817 ⎛ 4⎞ ⎛9⎞ . ⎟ +⎜ ⎟ = 13 13 28561 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

б) sin8 x + cos 8x = (sin2 x)4 + (cos2 x)4 = ⎜ 520. а) sin2 (2х –

π 3 )= . 6 4

1⎛ π ⎞⎞ 3 ⎛ 1 − cos ⎜ 4 x − ⎟ ⎟ = ; 2 ⎜⎝ 3 ⎠⎠ 4 ⎝

π⎞ 1 ⎛ cos ⎜ 4 x − ⎟ = − 3⎠ 2 ⎝

π 2π 4x – =± + 2πn; 3 3

π πn ⎡ ⎢x = 4 + 2 . ⎢ π πk ⎢x = − + ⎢⎣ 12 2

б) cos2 (x +

π ) = 1. 3

1⎛ 2π ⎞ ⎞ 2π ⎞ ⎛ ⎛ ⎜⎜1 + cos⎜ 2x − ⎟ =1; ⎟ ⎟ = 1 ; cos⎜ 2 x + 3 ⎠ 2⎝ 3 ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ 2π π 2x + = 2πn; x = – + πn. 3 3 π⎞ 1 1 ⎛ в) sin 2 ⎜ x + ⎟ = , (1 − cos(2x + π )) = 1 ; 1 (1 + cos 2x ) = 1 ; 2⎠ 2 2 2 2 2 ⎝ π + πn 2 1⎛ π ⎞⎞ 3 1 3 π 3 ⎛ ⎜⎜1 + cos⎜ 6x − ⎟ ⎟⎟ = ; (1 + sin 6x ) = ; г) cos2 (3x – ) = . 4 4 2⎝ 2 ⎠⎠ 4 2 4 ⎝ 1 π π πn sin 6x = ; 6x = ( – 1)n + πn; x = ( – 1)n + 2 6 36 6 521. a) 4 sin2 x + sin2 2x = 3. 2 (1 – cos 2x) + 1 – cos2 2x = 3; cos2 2x + 2cox 2x = 0; cos 2x (cos 2x + 2) = 0; cos 2x = 0 (т.к. cos 2x + 2 > 0 для всех x); π πn π 2x = + . + πn; x = 4 2 2 2 2 б) 4 cos 2x + 8 cos x = 7. 4 cos2 2x + 4(1 + cos 2x) = 7; 4 cos2 2x + 4 cos 2x – 3 = 0; ⎡1 − 2 ± 4 + 12 − 2 ± 4 ⎢ 2 ; cos 2x = = =⎢ 4 4 ⎢− 3 ⎢⎣ 2 cos 2x = –1;

2x = π + 2πn;

109

1 3 (т.к. cos 2x ≠ – при всех x); 2 2 π π 2x = ± + 2πn; x = ± + πn. 3 6 522. а) 4 sin2 3x < 3. 1 2π 2π + 2πn < 6x < + 2πn; 2(1 – cos 6x) < 3; cos 6x > – ; – 2 3 3 πn π πn π + <x< + . – 9 3 9 3 х х 1 х б) 4 cos2 > 1. 2(1 + cos ) >1; cos >– ; 4 2 2 2 х 2π 2π 4π 4π – + 2πn < < + 2πn; – + 4πn < x < + 4πn; 3 2 3 3 3

cos 2x =

§ 26. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение 523. a) sin 40° + sin 16° = 2sin

40o + 16o 40o − 16o cos = 2sin 28°cos12° 2 2

20o − 40o 20o + 40o cos = 2 2

б) sin 20° – sin 40° = 2sin

= –2sin 10°cos30° = – 3 sin 10°.

10o + 50o 50o − 10o cos = 2sin 30°cos20° = cos 20°. 2 2

в) sin 10°+sin 50° = 2sin г) sin 52° – sin 36° = 2sin

52o − 36o 52o + 36o cos = 2sin 8°cos44°. 2 2

524. a) cos 15° + cos 45° = 2cos

= 2 cos 30° cos 15° =

3 cos 15°.

б) cos 46°–cos 74°=2sin

46o + 74o 74o − 46o sin =2sin 60° sin14°= 3 cos 14°. 2 2

в) cos 20° + cos 40° = 2cos = 2 cos 30° cos 10° =

20o + 40o 40o − 20o cos = 2 2

3 cos 10°.

г) cos 75° – cos 15° = 2sin 110

15o + 45o 45o − 15o cos = 2 2

75o + 15o 15o − 75o 2 sin =–2 sin45° sin30° = – . 2 2 2

−

π 3π π π – sin = 2 sin 5 10 cos 5 10 = 2 sin 525. a) sin cos . 5 10 20 20 2 2 π

−

π π 7π π б) sin + sin = = 2 sin 3 4 cos 3 4 = 2 sin cos . 3 4 24 24 2 2

−

π π 13π π + sin = 2 sin 6 7 cos 6 7 = 2 sin cos в) sin 6 7 84 84 2 2

−

π π 4π 7π – sin = 2 sin 3 11 cos 3 11 = 2 sin cos г) sin 3 11 33 33 2 2

−

π π 3π π 526. a) cos – cos = 2 sin 10 20 sin 20 10 = –2sin sin 10 20 40 40 2 2

11π

3π

11π 3π 4 + cos = 2 cos 12 б) cos 12 4 2 5π π π = 2cos cos = – 3 cos . 12 12 6

11π 3π − 4 = cos 12 2

−

8π π 3π π – cos = 2 sin 5 11 sin 11 5 = –2sin sin . в) cos 5 11 55 2 2 55

3π

5π

3π

−

5π

3π 5π 4 cos 8 4 = 2cos 13π cos 7 π + cos = 2cos 8 г) cos 8 4 16 16 2 2 3t − t 3t + t 527. a) sin 3t – sin t = 2 sin cos = 2 sint cos 2t 2 2 б) cos(α–2β) – cos(α+2β) = 2sin

α + 2β - α + 2β α − 2β + α + 2β sin = 2 2

= 2 sin α sin 2β.

6t + 4t 6t − 4t cos = 2 cos 5t cos t. 2 2 α − 2β - α - 2β α − 2β + α + 2β г) sin(α – 2β) – sin(α +2β) = 2sin cos = 2 2 = –2 sin 2β cos α. sin( 25o + 35o ) 3 sin 60o 528. a) tg 25° + tg 35°= = = . o o cos 25o cos 35o 2 cos 25o cos 35o cos 25 cos 35 в) cos 6t + cos 4t = 2 cos

111

⎛π π ⎞ π π sin ⎜ − ⎟ tg sin π π 5 10 ⎠ ⎝ 10 10 – tg = = = . б) tg π π π π π 5 10 cos cos cos cos cos 5 10 5 10 5

sin (20° + 40°) sin 60° 3 = = sin 20° sin 40° sin 20° sin 40° 2 sin 20o sin 40o ⎛π π ⎞ π sin ⎜ − ⎟ sin π π π 3 4⎠ ⎝ 12 г) tg – tg = = = 2 2 sin . π π 3 4 12 1 2 cos cos ⋅ 3 4 2 2 в) tg 20° + tg 40° =

68o + 22o 22o − 68o sin cos 68 − cos 22 − sin 45o sin 23o 2 2 = = 529. a) = sin 68 − sin 22o 68o − 22o 68o + 22o 2 sin 23o cos 45o 2 sin sin 2 2 = –tg45° = – 1. 130o + 110o 130o − 110o 2 sin cos o o sin 130 + sin 110 2 2 б) = = 130o + 110o 130o − 110o cos130o + cos110o 2 cos cos 2 2 o o o sin 120 sin 10 sin 120 = = tg 120° = – 3 . = cos120o cos10o cos120o 530. a) sin 35° + sin 25° = cos 5°. 35o + 25o 35o − 25o cos =2sin30°cos5°=cos5° sin35° + sin25° = 2sin 2 2 б) sin 40° + cos 70° = cos 10°. 40o + 20o 40o − 20o sin 40° + cos 70° = sin 40° +sin 20° = 2sin cos = 2 2 = 2sin 30°cos 10° = cos 10° в) cos 12° – cos 48° = sin 18°. 12o + 48o 48o − 12o sin = 2sin 30° sin18° = sin 18° cos 12° – cos 48° = 2sin 2 2 г) cos 20° – sin 50° = sin 10°. 20o + 40o 40o − 20o sin = cos 20° – sin 50° = cos 20° – cos 40°=2sin 2 2 = 2sin 30° sin 10° = sin 10°. sin 2α + sin 6α 531. a) = tg 4α. cos 2α + cos 6α o

112

2 sin

2α + 6α 6α − 2α 2 sin cos sin 4α sin 2α + sin 6α sin 4α cos 2α 2 2 =tg 4α. = = = cos 2α + cos 6α 2 cos 2α + 6α cos 6α − 2α cos 4α cos 2α cos 4α 2 2 cos 2α − cos 4α б) = tg 3α tg α. cos 2α + cos 4α 2α + 4α 4α − 2α 2 sin cos cos 2α − cos 4α sin 3α cos α 2 2 = = = tg 3α tg α. 2α + 4α 4α − 2α cos 3α cos α cos 2α + cos 4α 2 cos cos 2 2 532. a) cos x + cos 3x = 0. 3x − x x + 3x cos = 0; cos 2x cos x = 0; 2 cos 2 2 π π πn ⎡ ⎡ ⎢2x = 2 + π n ⎢x = 4 + 2 ⎡cos 2 x = 0 ; ⎢ ; ⎢ ⎢ ⎢x = π + π k ⎢x = π + π k ⎣cos x = 0 2 2 ⎣⎢ ⎣⎢ б) sin 12 x + sin 4x = 0. 12 x + 4 x 12 x − 4 x cos = 0; sin 8x cos 4x = 0; 2 sin 2 2 πn ⎡ ⎡8x = πn ⎢x = 8 ⎡sin 8x = 0 πn ; ⎢ ; x= ; ⎢ π ⎢ ⎢ 8 x cos 4 0 k = π π x k 4 = + π ⎢x = + ⎣ 2 ⎣⎢ ⎢⎣ 8 4 в) cos x = cos 5x. x + 5x 5x − x cos = 0; cos x – cos 5x = 0; 2 sin 2 2 πn ⎡ ⎢x = 3 ⎡3x = πn ⎡sin 3x = 0 sin 3x sin 2x = 0; ⎢ ; ⎢ ; ⎢ ⎢ x = πk ⎣2 x = πk ⎣cos 2 x = 0 ⎢⎣ 2 г) sin 3x = sin 17 x. 17 x − 3x 17 x + 3x cos = 0; sin 17x – sin 3x = 0; 2 sin 2 2 πn ⎡ ⎡ 7 x = πn ⎢x = 7 ⎡sin 7 x = 0 ⎢ ; ; ⎢ sin 7x cos 10 x = 0; ⎢ ⎢10x = π + πk ⎢ x = π + πk ⎣cos10x = 0 2 ⎣⎢ 20 10 ⎣⎢ 113

533. a) sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

sin 2x + 2 sin

x + 3x 3x − x cos = 0; sin 2x + 2sin 2x cos x = 0; 2 2

⎡sin 2 x = 0 sin 2x (1 + 2 cos x) = 0; ⎢ 1 ; ⎢cos x = − ⎣ 2

πn ⎡ ⎡ 2 x = πn ⎢x = 2 ⎢ ; ⎢ 2π 2π + 2πk ⎢x = ± ⎢x = ± + 2πk 3 ⎣ ⎢⎣ 3

б) cos 3x – cos 5x = sin 4x. 2 sin

3x + 5x 5x − 3x cos = sin 4x; 2sin 4x sin x – sin 4x = 0; 2 2

πn ⎡ ⎡ 4 x = πn ⎢x = 4 ⎢ ; ⎢ k π π ⎢ x = (−1) + πk ⎢ x = (−1)k + πk 6 ⎣ ⎢⎣ 6 π π +t t− 1 π 3 =2sin( π + t )sin( t – π ). 534. a) –cos t=cos –cos t=2 sin 3 sin 2 2 2 3 6 2 2 6

⎡sin 4 x = 0 sin 4x (2 sin x – 1) = 0; ⎢ 1 ; ⎢cos x = ⎣ 2

−t

3 π π t π t +sin t=sin +sin t=2 sin 3 cos 3 =2sin ( + ) cos ( – ). б) 2 3 6 2 6 2 2 2 π ⎛1 ⎞ ⎛ ⎞ в) 1 + 2cos t = 2 ⎜ + cos t ⎟ = 2 ⎜ cos + cos t ⎟ = 3 ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠

π π +t −t π t π t = 4 cos 3 cos 3 = 4 cos ( + ) cos ( – ). 6 2 6 2 2 2 π π t + −t t − +t π 2 2 cos = г) cos t + sin t = cos t + cos ( – t) = 2 cos 2 2 2 π π ⎛ π⎞ cos (t – ) = 2 cos ⎜ t − ⎟ . = 2 cos 4 4 ⎝ 4⎠ 535. a) sin 5x + 2 sin 6x + sin 7x = (sin 5x + sin 7x) + 2 sin 6x = 5x + 7 x 7 x − 5x = 2 sin cos + 2 sin 6x = 2sin 6x cos x + 2sin 6x = 2 2 x = 2 sin 6x (1 + cos x) = 4 sin 6x cos2 . 2 2x + 4x 4x − 2x б) 2cos x + cos 2x + cos 4x = 2cos x + 2cos cos = 2 2 3x = 2 cosx + 2cos x cos 3x = 2 cos x (1+cos 3x) = 4 cos x cos2 . 2 114

536. a) sin t + sin 2t + sin 3t + sin 4t = (sin t + sin 4t) + (sin 2t + sin 3t) =

t + 4t 4t − t 2t + 3t 3t − 2t cos + 2 sin cos = 2 2 2 2 3t t⎞ 5t 3t 5t t 5t ⎛ = 2 sin cos + 2 sin cos = 2 sin ⎜ cos + cos ⎟ = 2 2 2 2 2 ⎝ 2 2⎠ 3t t 3t t + − 5t 5t t 2 2 = 4 sin cos cos 2 2 = 4 sin cos t cos . 2 2 2 2 2 б) cos 2t–cos 4t–cos 6t+cos 8t=(cos 2t + cos 8t)–(cos 4t + cos 6t) = 2t + 8t 8t − 2t 4t + 6t 6t − 4t cos – 2 cos cos = = 2 cos 2 2 2 2 = 2 cos 5t cos 3t – 2 cos 5t cos t = 2 cos 5t (cos 3t – cos t) = 3t + t t − 3t = 4 cos 5t sin sin = – 4 cos 5t sin 2t sin t. 2 2 537. а) sin 20° + sin 40° – cos 10° = 0. 20o + 40o 40o − 20o sin 20°+sin 40°–cos 10° = 2sin cos – cos 10° = 2 2 1 = 2 sin 30° cos 10° – cos 10° = 2 ⋅ ⋅ cos 10° – cos 10° = 0. 2 б) cos 85° + cos 35° – cos 25° = 0. 85o + 35o 85o − 35o cos – cos 25° = cos 85°+cos 35°–cos 25°=2cos 2 2 1 = 2 cos 60° cos 25° – cos 25° = 2 ⋅ ⋅ cos 25° – cos 25° = 0. 2 538. а) sin 87° – sin 59° – sin 93° + sin 61° = sin 1°. sin87°–sin59°–sin 93°+sin 61°=(sin 87°–sin 93°)+(sin61°–sin59°)= 87o − 93o 87o + 93o 61o − 59o 61o + 59o = 2 sin cos + 2 sin cos = 2 2 2 2 1 = – 2 sin 3° cos 90° + 2 sin 1° cos 60° = 0 + 2 ⋅ ⋅ sin 1° = sin 1°. 2 б) cos 115° – cos 35° + cos 65° + cos 25° = sin 5°. cos 115° – cos 35° + cos 65° + cos 25° = (cos 115° + cos 65°) + 115o + 65o 115o − 65o cos + + (cos 25° – cos 35°) = 2cos 2 2 = 2 sin

25o + 35o 35o + 25o sin = 2sin 90°cos 25° + 2sin 30°sin 5° = 2 2 1 = 0 + 2⋅ ⋅ sin 5° = sin 5°. 2

+ 2sin

115

sin(α + β ) + sin(α − β ) = tg α cos(α + β) + cos(α − β) sin(α + β) + sin(α − β) sin α cosβ + cosα sin β + sin α cosβ − cosα sin β = = cos(α + β) + cos(α − β) cosα cosβ − sin α sin β + cosα cosβ + sin α sin β 2 sin α cosβ sin α = = = tg α 2 cosα cosβ cosβ cos(α - β) − cos(α + β) = tg α б) sin(α + β) − sin(α − β) cos(α - β) − cos(α + β) cos α cos β + sin α sin β - cosα cos β + sinα sin β = = sin(α + β) − sin(α − β) sin α cos β + cosα sin β - sinα cos β + cos α sin β 2 sin αsinβ sin α = = = tg α 2 cos αsinβ cos α x x x −y cos cos 540. a) sin x + sin y + sin (x – y) = 4 sin 2 2 2 x+ y x− y cos + sin x +sin y + sin (x – y) = 2 sin 2 2 x− y x− y x− y x+ y x− y + 2 sin cos = 2 cos (sin + sin )= 2 2 2 2 2 x+ y x− y x+ y x− y + − x− y 2 cos 2 2 =4 sin x cos x cos x − y . =4 cos sin 2 2 2 2 2 2 2 sin x + sin 2 x + sin 3 x б) = tg 2 x cos x + cos 2 x + cos 3 x x + 3x 3x − x sin 2 x + 2 sin cos sin x + sin 2 x + sin 3x 2 2 = = cos x + cos 2 x + cos 3x cos 2 x + 2 cos x + 3x cos 3x − x 2 2 sin 2 x + 2 sin 2 x cos x sin 2 x(1 + 2 cos x) sin 2 x = = = = tg 2 x cos 2 x + 2 cos 2 x cos x cos 2 x(1 + 2 cos x) cos 2 x 541. a) sin2 ( α + β ) – sin2 ( α – β ) = sin 2 α sin 2 β sin2 ( α + β ) – sin2 ( α – β ) = (sin ( α + β ) – sin ( α – β ))x x (sin ( α + β ) + sin ( α – β )) = (2cos α sin β ) ⋅ (2sin α cos β ) = = (2sin α cos α ) ⋅ (2sin β cos β ) = sin 2 α sin 2 β . б) cos2 ( α – β ) – cos2 ( α + β ) = sin 2 α sin 2 β cos2 ( α – β ) – cos2 ( α + β )= (cos ( α – β ) – cos ( α + β ))x x (cos ( α – β ) + cos ( α + β )) = (2sin α sin β ) ⋅ (2cos α cos β )= = (2sin α cos α ) ⋅ (2sin β cos β ) = sin 2 α sin 2 β . 539. a)

116

542.

sin α + sin 3α + sin 5α + sin 7α (sin α + sin 7α ) + (sin 3α + sin 5α ) = = cosα + cos 3α + cos 5α + cos 7α (cosα + cos 7α ) + (cos 3α + cos 5α )

2 sin 4α cos 3α + 2 sin 4α cosα 2 sin 4α (cos 3α + cosα ) = = 2 cos 4α cos 3α + 2 cos 4α cosα 2 cos 4α (cos 3α + cosα )

sin 4α 1 1 = = =5 cos 3α ctg 4α 0,2

543. a) tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ (α + β + γ = π) tg α + tg β + tg γ = tg α + tg β + tg (π – α – β) = = (tg α + tg β) – tg (α + β) =

sin(α + β ) sin(α + β ) − = cosα cos β cos(α + β )

⎛

⎞ 1 1 ⎟⎟ = − ⎝ cosα cos β cos(α + β ) ⎠

= sin (α + β) ⎜⎜

⎛

⎞ 1 1 ⎟⎟ = − ⎝ cosα cos β − cos(π − α − β ) ⎠

= sin (π – α – β) ⎜⎜

cos γ + cosα cos β 1 1 ⎞ ⎟⎟ = sin γ ⋅ + = cosα cos β cos γ cos α cos β cos γ ⎝ ⎠ − cos(α + β ) + cosα cos β sin α sin β sin γ = = tgαtgβtgγ . = sin γ cosα cos β cos γ cosα cos β cos γ ⎛

= sin γ ⎜⎜

б) sin α + sin β + sin γ = 4cos

α 2

cos

β 2

cos

γ 2

(α + β + γ = π)

sin α + sin β + sin γ = sin α + sin β + sin (π – α – β) = = sin α + sin β + sin (α + β) = 2sin

α+β

cos

α −β

2 2 α+β α+β α+β α −β α+β + 2sin cos = 2sin (cos +cos )= 2 2 2 2 2 α+β α β α β ⎛π α + β ⎞ = 4sin cos cos = 4 cos ⎜ − cos = ⎟ cos 2 ⎠ 2 2 2 2 2 ⎝2 = 4 cos

α 2

cos

β 2

cos

γ 2

1 (1 – cos 20˚ + 1 – cos 260˚ + 2 3 1 1 1 – cos 20˚ + cos 80˚ + cso 40˚ = + 1 – cos 220˚) = 2 2 2 2 544. a) sin2 10˚ + sin2 130˚ +sin2 110˚ =

80o + 40o 80o − 40o 3 1 – cos 20˚ + cos cos = 2 2 2 2 117

3 1 3 1 1 3 – cos 20˚ + cos 60˚ cos 20˚ = – cos 20˚ + cos 20˚ = . 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 (1 + cos 70˚ + 1 + cos 50˚ – б) cos 35˚ + cos 25˚ – cos 5˚ = 2 1 1 – 1 – cos 10˚) = (1 + cos 70˚ + cos 50˚ – cos 10˚) = + 2 2 =

70o + 50o 70o − 50o 1 1 cos – cos 10˚ = + cos 60˚cos 10˚– 2 2 2 2 1 1 1 1 1 + cos 10˚ – cos 10˚ = . – cos 10˚ = 2 2 2 2 2

+ cos

545. a) sin 3x = cos 2x

⎛π ⎞ − 2 x ⎟ = 0; ⎝2 ⎠

sin 3x – sin ⎜

3x − 2sin

π 2 2

+ 2x

3x + cos

π 2 2

− 2x

⎛ 5x π ⎞ ⎛x π⎞ − ⎟ cos ⎜ + ⎟ = 0; 2 4 ⎝ ⎠ ⎝2 4⎠

= 0; sin ⎜

⎡ ⎛ 5x π ⎞ π 2πn ⎡ ⎡ 5x π ⎢sin ⎜ − ⎟ = 0 ⎢ x = 10 + 5 ⎢ 2 − 4 = πn 2 4 ⎝ ⎠ ⎢ ; ⎢ ; ⎢ ; ⎢ ⎛x π⎞ ⎢ x = π + 2πk ⎢ x + π = π + πk ⎢cos⎜ + ⎟ = 0 ⎢⎣ ⎢⎣ 2 4 2 2 ⎣⎢ ⎝ 2 4 ⎠

π 10

2πn 5

б) sin (5x – x) = cos (2x + 7π). sin x = – cos 2x;

2x + 2 cos

π 2 2

⎛π ⎞ − x ⎟ = 0; ⎝2 ⎠

cos 2x + cos ⎜

−x

2x − cos

π 2 2

⎛x π⎞ ⎛ 3x π ⎞ + ⎟ cos ⎜ − ⎟ = 0; ⎝2 4⎠ ⎝ 2 4⎠

= 0; cos ⎜

⎡ ⎛x π⎞ π ⎡ ⎡x π π ⎢cos⎜ + ⎟ = 0 ⎢ x = 2 + 2πn ⎢ 2 + 4 = 2 + πn 2 4 ⎝ ⎠ ⎢ ; ⎢ ; ⎢ ; ⎢ ⎛ 3x π ⎞ ⎢ x = π + 2πk ⎢ 3 x − π = π + πk cos 0 − = ⎜ ⎟ ⎢ ⎢⎣ ⎢⎣ 2 4 2 2 3 ⎢⎣ ⎝ 2 4 ⎠

π 2

в) cos 5x = sin 15x

⎛π ⎞ cos 5x – cos ⎜ − 15 x ⎟ = 0; 2sin ⎝2 ⎠

5x +

π 2 2

− 15 x

π sin 2

− 15 x − 5 x 2

= 0;

π⎞ π⎞ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛ ⎛ − 5 x ⎟ sin ⎜ − 10 x ⎟ = 0; sin ⎜ 5 x − ⎟ sin ⎜10 x − ⎟ = 0; 4⎠ 4⎠ ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝ ⎝

sin ⎜ 118

2πk . 3

⎡ ⎛ π⎞ π 2πn π ⎡ ⎡ ⎢sin ⎜ 5 x − ⎟ = 0 ⎢ x = 10 + 5 ⎢5 x − 4 = πn 4 ⎝ ⎠ ⎢ ; ⎢ ; ⎢ . ⎢ ⎛ π⎞ ⎢ x = π + 2πk ⎢10 x − π = πk cos 10 0 − x = ⎟ ⎢ ⎜ ⎢⎣ ⎢⎣ 4 2 4⎠ ⎢⎣ ⎝ г) sin (7π + x) = cos (9π + 2x).

⎛π ⎞ − x ⎟ = 0; 2 ⎝ ⎠

– sin x = – cos 2x; cos 2x – sin x = 0; cos 2x – cos ⎜

2x +

−x − x − 2x 2 2 sin sin 2 = 0; 2 2 ⎛x π⎞ ⎛ π 3x ⎞ ⎛x π⎞ ⎛ 3x π ⎞ sin ⎜ + ⎟ sin ⎜ − ⎟ = 0; sin ⎜ + ⎟ sin ⎜ − ⎟ = 0; ⎝2 4⎠ ⎝4 2 ⎠ ⎝2 4⎠ ⎝ 2 4⎠ ⎡ ⎛x π⎞ π ⎡ ⎡x π x = − + 2πn + = πn ⎢sin ⎜ + ⎟ = 0 ⎢ ⎢ 2 4 ⎠ 2 ⎢ ⎝ ; ⎢2 4 ; ⎢ ; ⎢ ⎛ 3x π ⎞ ⎢ x = π + 2πk ⎢ 3 x − π = πk ⎢sin ⎜ − ⎟ = 0 ⎢⎣ ⎢⎣ 2 4 6 3 ⎣⎢ ⎝ 2 4 ⎠

π 6

2πk . 3

546. a) 1 + cos 6x = 2 sin2 5x 1 + cos 6x = 1 – cos 10 x; cos 6x + cos 10x = 0; 2 cos

6 x + 10 x 10 x − 6 x cos = 0; 2 2

π ⎡ ⎢8 x = 2 + πk ; ⎢ π ⎢ 2 x = + πn 2 ⎣⎢ б) cos2 2x = cos2 4x. ⎡ cos8 x = 0 ⎢⎣ cos 2 x = 0

;

1 1 (1 + cos 4x) = (1 + cos 8x); 2 2 4x + 8x 8x − 4x 2 sin cos = 0; 2 2 πn ⎡ ⎢x = 6 ⎡sin 6 x = 0 ⎡6 x = πn ; ⎢ ; ⎢ ⎢ ⎢ x = πk ⎣sin 2 x = 0 ⎣ 2 x = πk ⎢⎣ 2 x 7x = cos2 в) sin2 2 2 1 1 (1 – cos x) = (1 + cos 7x); 2 2

cos 8x cos 2x = 0; π πk ⎡ ⎢ x = 16 + 8 . ⎢ π πn ⎢x = + 4 2 ⎣⎢

cos 4x – cos 8x = 0; sin 6x sin 2x = 0;

; x=

πn 6

cos 7x + cos x = 0; 119

7x + x 7x − x cos = 0; cos 4x cos 3x = 0; 2 2 π πn π ⎡ ⎡ ⎢x = 8 + 4 ⎢4 x = 2 + πn ⎡cos 4 x = 0 ; ⎢ ; ⎢ . ⎢ ⎢ x = π + πk ⎢3 x = π + πk ⎣cos 3 x = 0 ⎢⎣ ⎢⎣ 2 6 3

2 cos

г) sin2 x+sin2 3x = 1.

1 1 (1 – cos 2x) + (1 – cos 6x); 2 2 2x + 6x 6x − 2x cos = 0; 2 cos 2 2 π ⎡ ⎢4 x = 2 + πn ⎡cos 4 x = 0 ; ⎢ ; ⎢ ⎢2 x = π + πk ⎣cos 2 x = 0 ⎢⎣ 2

cos 2x + cos 6x = 0; cos 4x cos 2x = 0;

π πn ⎡ ⎢x = 8 + 4 . ⎢ ⎢ x = π + πk ⎢⎣ 4 2

547. a) 2sin2 x + cos 5x = 1. 1 – cos 2x + cos 5x = 1; cos 5x – cos 2x = 0;

⎡ ⎡ 7x ⎡ 7x ⎢x = ⎢sin 2 = 0 ⎢ 2 = πn ; ⎢ ; ⎢ ⎢ ⎢x = ⎢sin 3 x = 0 ⎢ 3 x = πk ⎢⎣ ⎢⎣ ⎢⎣ 2 2

2πn 7 . 2πk 3

б) 2 sin2 3x – 1 = cos2 4x – sin2 4x – cos 6x = cos 8x; cos 6x + cos 8x =0;

6 x + 8x 8x − 6x cos = 0; 2 2 π ⎡ ⎢7 x = 2 + πn ⎡cos 7 x = 0 ; ⎢ ; ⎢ ⎢ x = π + πk ⎣cos x = 0 ⎢⎣ 2

2 cos

cos 7x cos x = 0;

π πn ⎡ ⎢ x = 14 + 7 π πn ; x= + . ⎢ 14 7 ⎢ x = π + πk ⎢⎣ 2

548. a) tg x+ tg 5x = 0.

sin( x + 5 x) sin 6 x = 0; = 0; cos x cos 5 x cos x cos 5 x

πn ⎧ ⎧ πn ⎧ ⎪x = 6 ⎪6 x = πn x= ⎪ ⎧sin 6 x = 0 ⎪ 6 ⎪ ⎪ π π ⎪ ⎪ ⎪ ⎨cos x ≠ 0 ; ⎨ x ≠ + πk ; ⎨ x ≠ + πk ; ⎨n ≠ 3 + 6k . 2 2 ⎪cos 5 x ≠ 0 ⎪ ⎪5n ≠ 3 + 6l ⎪ ⎩ π π πl ⎪ ⎪ ⎪ ⎪5 x ≠ 2 + πl ⎩ ⎪ x ≠ 10 + 5 ⎩ ⎩ 120

б) tg 3x = ctg x.

⎧sin 3 x sin x = cos 3 x cos x sin 3 x cos x ⎪ = ; ⎨cos 3 x ≠ 0 ; cos 3 x sin x ⎪sin x ≠ 0 ⎩ ⎧cos 3 x cos x − sin 3 x sin x = 0 ⎧cos(3 x + x) = 0 ⎪ ⎪ ; ⎨cos 3 x ≠ 0 ; ⎨cos 3 x ≠ 0 ⎪sin x ≠ 0 ⎪sin x ≠ 0 ⎩ ⎩ ⎧cos 4 x = 0 ⎪ ⎨cos3 x ≠ 0 ⎩⎪sin x ≠ 0

;

π ⎧ ⎪4 x = 2 + πn π ⎪⎪ ⎨3 x ≠ + πk 2 ⎪ ⎪ x ≠ πl ⎩⎪

;

π πn ⎧ ⎪x = 8 + 4 π πk ⎪⎪ ⎨x ≠ + 6 3 ⎪ ⎪ x ≠ πl ⎪⎩

;

π πn + . 8 4

в) tg 2x = tg 4x.

⎧sin 2 x cos 4 x = sin 4 x cos 2 x sin 2 x sin 4 x ⎪ = ; ⎨cos 2 x ≠ 0 ; cos 2 x cos 4 x ⎪cos 4 x ≠ 0 ⎩ ⎧sin(4 x − 2 x) = 0 ⎧sin 2 x = 0 ⎪ ⎪ ; ⎨cos 2 x ≠ 0 ; ⎨cos 2 x ≠ 0 ⎪cos 4 x ≠ 0 ⎪cos 4 x ≠ 0 ⎩ ⎩ ⎧ ⎪2 x = πn ⎪⎪ π ⎨2 x ≠ + πk ; 2 ⎪ ⎪4 x ≠ π + πl ⎪⎩ 2 г) ctg

x 2 x sin 2

cos

⎧ ⎪x = ⎪⎪ ⎨x ≠ ⎪ ⎪x ≠ ⎪⎩

πn 2 π + 4 π + 8

πk ; 2 πl 4

πn . 2

x 3x + ctg = 0. 2 2 3x cos 2 =0; + 3x sin 2

x x 3x 3x ⎧ ⎪cos 2 sin 2 + cos 2 sin 2 = 0 ⎪⎪ x ; ⎨sin ≠ 0 ⎪ 2 ⎪sin 3 x ≠ 0 2 ⎩⎪

⎧ ⎛ 3x x ⎞ ⎪sin ⎜ 2 + 2 ⎟ = 0 ⎠ ⎪ ⎝ ⎪ x ⎨sin ≠ 0 ⎪ 2 ⎪sin 3 x ≠ 0 ⎪⎩ 2

;

121

⎧ ⎧ πn πn ⎧ ⎧ ⎪2 x = πn ⎪sin 2 x = 0 ⎪x = 2 ⎪x = 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪x ⎪ x ⎨sin ≠ 0 ; ⎨ ≠ πk ; ⎨ x ≠ 2πk ; ⎨n ≠ 4k . ⎪2 ⎪ ⎪ 2 ⎪3n ≠ 4l 2πl ⎪ 3x ⎪x ≠ ⎪ 3x ⎪ ≠ π sin 0 l ≠ 3 ⎩ ⎩ ⎪2 ⎪ 2 ⎩ ⎩ 549. a) sin x + sin 3x + cos x + cos 3x = 0.

x + 3x 3x − x x + 3x 3x − x cos + 2cos cos = 0; 2 2 2 2 sin 2x cos x + cos 2x cos x = 0; cos x (sin 2x + cos 2x) = 0; ⎛π ⎞ 2 cos x ⋅ sin ⎜ + 2 x ⎟ = 0; ⎝4 ⎠

2 sin

π π ⎡ ⎡ ⎡cos x = 0 ⎢ x = 2 + πn ⎢ x = 2 + πn ⎢ ; ⎢ . ⎢sin ⎛⎜ π + 2 x ⎞⎟ = 0 ; ⎢ π ⎢ x = − π + πk ⎢ ⎢⎣ ⎝ 4 + 2 = x k π ⎠ ⎢⎣ ⎢⎣ 4 8 2

б) sin 5x + sin x + 2sin2 x = 1.

5x + x 5x − x cos – cos 2x = 0; 2 2 2sin 3x cos 2x – cos 2x = 0; cos 2x (2sin 3x – 1) = 0; π π πn ⎡ ⎡ ⎡cos 2 x = 0 ⎢2 x = 2 + πn ⎢x = 4 + 2 ⎢ ; ⎢ ; ⎢ . ⎢sin 3 x = 1 ⎢3x = (−1)k π + πk ⎢ x = (−1) k π + πk 2 ⎣⎢ ⎢⎣ ⎢⎣ 6 18 3 550. a) sin 2x + sin 6x = cos 2x 2x + 6x 6x − 2x cos – cos 2x = 0; 2 sin 2 2 2sin 4x cos 2x – cos 2x = 0; cos 2x (2sin 4x – 1) = 0; π πn ⎡ ⎢x = 4 + 2 π ⎡ ⎢ ⎡cos 2 x = 0 ⎢ 2 x = 2 + πn π ⎢ + 2πk . ; ⎢ ; ⎢⎢ x = ⎢sin 4 x = 1 π 24 ⎢4 x = (−1) k + πk ⎢ 2 ⎣⎢ ⎢⎣ 6 ⎢ x = 5π + 2πk 24 ⎣⎢ sin 5x + sin x – cos 2x = 0;

2 sin

Отсюда видно, что данное уравнение имеет на отрезке [0, x= 122

π 4

,x=

π 24

иx=

5π . 24

π 2

] 3 корня:

б) 2 cos2 x – 1 = sin 3x

⎛π ⎞ − 3 x ⎟ = 0; ⎝2 ⎠

cos 2x - cos ⎜

cos 2x = sin 3x;

2x +

− 3x

− 3x − 2 x 2 = 0; sin 2 2 2 ⎛π x ⎞ ⎛ π 5x ⎞ ⎛x π⎞ ⎛ 5x π ⎞ sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − ⎟ = 0; sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − ⎟ = 0; ⎝ 4 2⎠ ⎝4 2 ⎠ ⎝2 4⎠ ⎝ 2 4⎠

2sin

⎡ ⎛ x π⎞ ⎢sin ⎜ 2 − 4 ⎟ = 0 ⎠ ⎢ ⎝ ⎢ cos ⎛ 5 x − π ⎞ = 0 ⎢⎣ ⎜⎝ 2 4 ⎟⎠

;

⎡x π ⎢ 2 − 4 = πn ⎢ 5x π ⎢ − = πk ⎢⎣ 2 4

;

π ⎡ ⎢ x = 2 + 2πn . ⎢ π 2πk ⎢x = + ⎢⎣ 10 5

Отсюда видно, что данное уравнение имеет на отрезке [0, x=

π 10

иx=

π 2

] 2 корня:

551. a) cos 6x + cos 8x = cos 10x + cos 12x

2 cos

6 x + 8x 8x − 6x 10 x + 12 x 12 x − 10 x cos = 2 cos cos ; 2 2 2 2

cos 7x cos x = cos 11x cos x; cos x (cos 7x – cos 11x) = 0; 2 cos x sin

7 x + 11x 11x − 7 x sin = 0; cos x sin 9x sin 2x = 0; 2 2

π πk π ⎡ ⎡ ⎢ x = 16 + 8 ⎢8 x = 2 + πk ; ⎢ ; ⎢ . π π πn ⎢x = + ⎢ 2 x = + πn 2 ⎣⎢ 4 2 ⎣⎢ Отсюда видно, что данное уравнение имеет на отрезке [0, π ] 9 корней: ⎡ cos8 x = 0 ⎢⎣ cos 2 x = 0

πk

(k=1, …, 8) и x =

. 9 2 б) sin 2x + 5 sin 4x + sin 6x = 0. (sin 2x + sin 6x) + 5 sin 4x = 0; 2 sin 4x cos 2x + 5 sin 4x = 0; sin 4x (2 cos 2x + 5) = 0; πn sin 4x = 0 (т.к. 2 cos 2x + 5 > 0 при всех x); 4x = π; x = . 4 Отсюда видно, что данное уравнение имеет на отрезке [0, π ] 3 корня: πn x= (n=1, 2, 3). 4 552. a) a = cos 7x, b = cos 2x, c = cos 11x. a, b, c образуют арифметическую прогрессию, если b – a = c –b, т.е. cos 2x – cos 7x = cos 11x – cos 2x. 123

2 cos 2x – (cos 7x + cos 11x) = 0; 2 cos 2x – 2 cos 9x cos 2x = 0; cos 2x (1 – cos 9x) = 0; πn π ⎡ π ⎡ ⎢x = 2 + 4 2 x = πn + ⎡ cos 2 x = 0 ⎢ . ; 2 ; ⎢ 2πk ⎢9 x = 2πk ⎣⎢ cos9 x = 1 ⎢x = ⎣ ⎢⎣ 9 б) a = sin 3x, b = cos x, c = sin 5x. a, b, c образуют арифметическую прогрессию, если b – a = c –b, т.е. cos x – sin 3x = sin 5x – cos x. 2 cos x – (sin 3x + sin 5x) = 0; 2 cos x – 2 sin 4x cos x = 0; cos x (1 – sin 4x) = 0; π π ⎡ ⎡ ⎢ x = 2 + πn ⎢ x = 2 + πn ⎡ cos x = 0 . ; ⎢ ⎢⎣sin 4 x = 1 ; ⎢ π πk π ⎢x = + ⎢ 4 x = + 2πk ⎢⎣ ⎢⎣ 8 2 2

§ 27. Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму 553. a) sin 23˚ sin 32˚ =

1 (cos (32˚ – 23˚) – cos (32˚ + 23˚)) = 2

1 (cos 9˚ – cos 55˚). 2 π π 1 ⎛ ⎛π π ⎞ ⎛ π π ⎞⎞ cos = б) cos ⎜ cos ⎜ − ⎟ + cos ⎜ 8 + 12 ⎟ ⎟ = 12 8 2 ⎝ ⎝ 8 12 ⎠ ⎝ ⎠⎠

5π ⎞ π 1 ⎛ ⎜ cos + cos ⎟ . 24 ⎠ 24 2 ⎝ 1 (cos (16˚ – 14˚) – cos (16˚ + 14˚)) = в) sin 14˚ sin 16˚ = 2 3 ⎞⎟ 1 1 ⎛⎜ cos 2o − = (cos 2˚ – cos 30˚) = . 2 ⎟⎠ 2 2 ⎜⎝

13π 3π ⎛π π ⎞ ⎛π π ⎞ + ⎟ + sin ⎜ − ⎟ = sin – sin . 8 5 8 5 40 40 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 554. a) sin (α + β) sin (α – β) = sin2 α – sin2 β = cos2 β – cos2 α. б) cos (α + β) cos (α – β) = cos2 β – sin2 α = cos2 α – sin2 β. β α α β ⎛α β ⎞ ⎛α β ⎞ – sin2 = cos2 – sin2 . в) cos ⎜ + ⎟ cos ⎜ − ⎟ = cos2 2 2 2 2 ⎝2 2⎠ ⎝2 2⎠ г) 2 sin

⎛

cos

г) cos ⎜α +

⎝

124

π⎞

= sin ⎜

π⎞ 1 π ⎛ – sin2 α. ⎟ cos ⎜α − ⎟ = cos2 – sin2 α = 4⎠ 4⎠ 4 2 ⎝

555. a) cos α sin (α + β) =

1 (sin (2α + β) + sin (α + β – α)) = 2

1 (sin (2α + β) + sin β)). 2

3 – sin2 α. 2 1 1 (sin (α + 2β) + sin (β – α – β))= (sin (α + 2β) –sin α)). в) sin β cos (α + β) = 2 2 π⎞ π⎞ π 1 ⎛ ⎛ г) cos ⎜ α + ⎟ cos ⎜ α − ⎟ = cos2 – sin2 α = – sin2 α. 4⎠ 4⎠ 4 2 ⎝ ⎝

б) sin (60˚ + α) sin (60˚ – α) = sin2 60˚ – sin2 α =

⎛

556. a) cos ⎜ x +

⎝

1 2

π⎞

π⎞ ⎛ ⎟ cos ⎜ x − ⎟ – 0,25 = 0; 3⎠ 3⎠ ⎝

⎛ ⎛ π π⎞ π π ⎞⎞ 1 ⎛ ⎜⎜ cos⎜ x + − x + ⎟ + cos⎜ x + + x − ⎟ ⎟⎟ = ; 4 3 3⎠ 3 3 ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎝

1 ⎛ 2π 1 1 ⎛ 1 1 ⎞ ⎞ + cos 2 x ⎟ = ; ⎜ cos ⎜ − + cos 2 x ⎟ = ; 3 2 2 ⎝ 4 2 4 ⎠ ⎝ ⎠ cos 2x = 1; 2x = 2πn; x = πn;

⎛

б) sin ⎜ x +

⎝

π⎞

π⎞ ⎛ ⎟ cos ⎜ x − ⎟ = 1. 3⎠ 6⎠ ⎝

1 2

⎛ ⎛ π π⎞ π π ⎞⎞ ⎛ ⎜⎜ sin ⎜ x + − x − ⎟ + sin ⎜ x + − x + ⎟ ⎟⎟ = 1; 3 6⎠ 3 6 ⎠⎠ ⎝ ⎝ ⎝

1 2

⎛ ⎛ π⎞ π⎞ ⎜⎜ sin ⎜ 2 x + ⎟ + sin ⎟⎟ = 1; 6 2⎠ ⎠ ⎝ ⎝

π⎞ 1 1 ⎛ sin ⎜ 2 x + ⎟ + = 1; 2 6⎠ 2 ⎝ π

+ 2πn;

+ πn 6 2 6 557. a) 2 sin x cos 3x + sin 4x = 0. sin (x + 3x) + sin (x – 3x) + sin 4x = 0; 2 sin 4x – sin 2x = 0; 4 sin 2x cos 2x – sin 2x = 0; sin 2x (4 cos 2x – 1) = 0; 2x +

π⎞ ⎛ sin ⎜ 2 x + ⎟ = 1; 6⎠ ⎝

πn ⎡ ⎡sin 2 x = 0 ⎡ 2 x = πn ⎢x = 2 ⎢ ; ⎢ . ; ⎢ ⎢cos 2 x = 1 ⎢2 x = ± arccos 1 + 2πk ⎢ x = ± 1 arccos 1 + 2πk ⎢⎣ 4 4 ⎣⎢ ⎢⎣ 2 4 125

б) sin

x 3x 1 1 ⎛ ⎛ x 3x ⎞ ⎛ x 3x ⎞ ⎞ 1 ⎜ cos⎜ − ⎟ − cos⎜ + ⎟ ⎟⎟ = ; sin = , 2 2 2 2 ⎜⎝ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 ⎠⎠ 2

cos x – cos 2x = 1; 2 cos2 x – cos x = 0; cos x (2 cos x – 1) = 0;

π ⎡ ⎡cos x = 0 ⎢ x = 2 + πn ⎢ . ; ⎢ ⎢cos x = 1 ⎢ x = ± π + 2πk 2 ⎣⎢ ⎢⎣ 3 1 558. a) sin 10˚ cos 8˚ cos 6˚ = sin 10˚ (cos (8˚ – 6˚) + cos (8˚ + 6˚)) = 2 1 1 1 = sin 10˚ cos 2˚ + sin 10˚ = (sin 12˚ + sin 8˚ + sin 24˚ – sin 4˚). 2 2 4 б) 4 sin 25˚ cos 15˚ sin 5˚ = 2 sin 25˚ (sin 20˚ + sin (–10˚)) = = 2 (sin 25˚ sin 20˚ – sin 25˚ sin 10˚) = cos 5˚ – cos 45˚ – cos 15˚ + + cos 35˚ = cos 5˚ – cos 15˚ + cos 35˚ –

1 2

559. a) 2 sin t sin 2t + cos 3t = cos t. 2 sin t sin 2t + cos 3t = cos (2t – t) – cos (2t + t) + cos 3t = cos t.

1 ⎛α ⎞ ⎛α ⎞ − 15o ⎟ cos ⎜ + 15o ⎟ = . 2 ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

б) sin α - 2 sin ⎜

⎛α ⎞ ⎛α ⎞ − 15o ⎟ cos ⎜ + 15o ⎟ = sin α – ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠

sin α - 2 sin ⎜

α α ⎛α ⎞ ⎛α ⎞ − 15o + − 15o ⎟ – sin ⎜ − 15o − − 15o ⎟ = 2 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 = sin α – sin α – sin (-30˚) = sin 30˚ = . 2 560. a) cos2 3˚+cos2 1˚–cos 4˚ cos 2˚= cos2 3˚+cos2 1˚–cos (3˚+1˚) cos (3˚ – 1˚) = = cos2 3˚ + cos2 1˚ – cos2 1˚ + sin2 3˚ = cos2 3˚ + sin2 3˚ = 1 б) sin2 10˚ + cos 50˚ cos 70˚ = sin2 10˚ = cos (60˚ – 10˚) cos (60˚ + 10˚) = 1 = sin2 10˚ + cos2 60˚ – sin2 10˚ = cos2 60˚ = . 4

– sin ⎜

561. a)

1 2 sin 10o

– 2 sin 70˚ =

1 − 4 sin 10o sin 70o 2 sin 10o

1 − 2 cos(70o − 10o ) + 2 cos(70o + 10o ) 2 sin 10o

1 + 2 sin 10o 2 = 1. 2 sin 10o

1− 2⋅

126

1 − 2 cos 60o + 2 cos 80o 2 sin 10o

б)

tg 60o o

sin 40

+ 4 cos 100˚ =

tg 60o + 4 sin 40o cos100o sin 40o

tg 60o + 2sin140o + 2sin( −60o ) = = sin 40o 562. a) sin 3x cos x = sin

3 + 2sin 40o − 2 ⋅ sin 40o

= 3 o 2 = 2sin 40 = 2. o sin 40

5x 3x cos . 2 2

⎛ ⎛ 5 x 3x ⎞ 1 1 ⎛ 5 x 3x ⎞ ⎞ (sin (3x + x) + sin(3x – x)) = (sin ⎜⎜ sin ⎜ + ⎟ + sin ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ; 2 2 2 2 2 ⎠⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝ sin 4x + sin 2x = sin 4x + sin x; 2x − x 2x + x cos = 0; sin 2x – sin x = 0; 2 sin 2 2 ⎡ x ⎡x ⎡ x = 2πn ⎢sin 2 = 0 ⎢ = πn x 3x ; ⎢ sin cos = 0; ⎢ ; ⎢2 . ⎢ x = π + 2πk 2 2 ⎢cos 3 x = 0 ⎢ 3 x = π + πk ⎢ 3 3 ⎣ ⎢⎣ ⎢⎣ 2 2 2 ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ + x ⎟ sin ⎜ − x ⎟ + sin2 x = 0. ⎝4 ⎠ ⎝4 ⎠

б) 2 sin ⎜

⎛

⎞ − sin 2 x ⎟ + sin2 x = 0; ⎝ ⎠ 1 2 1 – sin x = 0; – (1 – cos 2x) + 1 = 0; cos 2x = – 1; 2 2 ⎜ sin 2

2x = π + 2 πn;

π 2

+ πn.

в) sin 2x cos x = sin x cos 2x.

1 1 (sin 3x + sin x) = (sin 3x – sin x); sin x = 0; x = πn. 2 2 г) cos 2x cos x = cos 2,5x cos 0,5x.

1 1 (cos x + cos 3x) = (cos 2x + cos 3x); 2 2 cos x = cos 2x;

cos x – cos 2x = 0;

x + 2x x 2x − x 3x 2 sin sin = 0; sin sin = 0; 2 2 2 2 ⎡ 3x ⎡ 3x 2πn ⎡ ⎢ = πn ⎢sin 2 = 0 x= ; ⎢2 ; ⎢ ⎢ 3 . ⎢ ⎢ x = πk ⎢sin x = 0 x 2 π k = ⎢ ⎣ ⎢⎣ 2 ⎢⎣ 2 127

563. a) sin x sin 3x = 0,5.

1 1 (cos 2x – cos 4x) = ; cos 2x = 1+ cos 4x; 2 2 cos 2x = 2 cos2 2x; cos 2x (2 cos 2x – 1) = 0; π π πn ⎡ ⎡ ⎡cos 2 x = 0 ⎢x = 4 + 2 ⎢2 x = 2 + πn ⎢ ; ⎢ ; ⎢ . ⎢cos 2 x = 1 ⎢ x = ± π + πk ⎢2 x = ± π + 2πk ⎢⎣ 2 ⎢⎣ ⎢⎣ 3 6 б) cos x cos 3x + 0,5 1 1 (cos 2x + cos 4x) = ; cos 2x + (1+ cos 4x) = 0; 2 2 cos 2x (2 cos 2x + 1) = 0; cos 2x + 2 cos2 2x = 0; π π πn ⎡ ⎡ ⎡cos 2 x = 0 ⎢2 x = 2 + πn ⎢x = 4 + 2 ⎢ ; ⎢ . ; ⎢ ⎢cos 2 x = − 1 ⎢2 x = ± 2π + 2πk ⎢ x = ± π + πk ⎢⎣ 2 ⎢⎣ ⎢⎣ 3 3 ⎛

564. a) f(x) = sin ⎜ x +

⎝

π⎞

π ⎞ ⎛ ⎟ cos ⎜ x − ⎟ = 8⎠ 24 ⎠ ⎝

⎛ ⎛ π π ⎞ π π ⎞⎞ ⎛ ⎜⎜ sin ⎜ x + + x − ⎟ + sin ⎜ x + − x + ⎟ ⎟⎟ = 8 24 8 24 ⎝ ⎠⎠ ⎠ ⎝ ⎝ π π π 1 1 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ sin ⎜ 2 x + ⎟ + sin = sin ⎜ 2 x + ⎟ + . = 12 ⎠ 12 ⎠ 2 2 6 2 4 ⎝ ⎝ =

1 2

Поскольку наибольшее и наименьшее значения функции

⎛

y = sin ⎜ 2 x +

⎝

π ⎞

⎟ равны 1 и –1 соответственно, то наибольшее и 12 ⎠

наименьшее значения функции f(x) равны

⎛

б) f(x) = sin ⎜ x −

3 1 и – соответственно. 4 4

π⎞

π⎞ ⎛ ⎟ cos ⎜ x + ⎟ = 3⎠ 3⎠ ⎝

⎝ 1 ⎛ ⎛ π π⎞ π π ⎞⎞ ⎛ = ⎜ sin ⎜ x + 8 + x − 24 ⎟ + sin ⎜ x + 8 − x + 24 ⎟ ⎟ = 2 ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ 1 ⎛ 1 1 2π ⎞ cos 2x. − cos 2 x ⎟ = – – ⎜ cos 2 ⎝ 4 2 3 ⎠ Поскольку наибольшее и наименьшее значения функции y = cos 2x равны 1 и –1 соответственно, то наибольшее и наименьшее 1 3 значения функции f(x) равны и – соответственно. 4 4 =

128

565. cos2 (45˚ – α) – cos2 (60˚ + α) – cos 75˚ sin(75˚ – 2α) = sin 2α. cos2 (45˚ – α) – cos2 (60˚ + α) – cos 75˚ sin(75˚ – 2α) =

1 (sin (75˚ – 2α + 75˚) + 2 1 1 + sin(75˚ – 2α – 75˚)) = (1 + cos (90˚ – 2α)) – (1 + cos (120˚ + 2 2 1 (cos 120˚ cos 2α – + 2α)) – sin (150˚ – 2α) + sin 2α) = sin 2α – 2 1 – sin 120˚ sin 2α) – (sin 150˚ cos 2α –sin 2α cos 150˚) = sin 2α – 2

= cos2 (45˚ – α) – cos2 (60˚ + α) –

3 3 1 1 1 (– cos 2α – sin 2α + cos 2α + sin 2α) = sin 2α. 2 2 2 2 2 566. Числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию, если a≠0, b≠0, c≠0 b c и = . a b a) a = cos 6x, b = cos 4x, c = cos 2x. ⎧ cos 4 x cos 2 x ⎧cos2 4 x = cos 2 x cos 6 x ⎪ cos 6 x = cos 4 x ⎪ ⎪⎪cos 2 x ≠ 0 ; ⎨ ; ⎨cos 2 x ≠ 0 ⎪cos 4 x ≠ 0 ⎪cos 4 x ≠ 0 ⎪cos 6 x ≠ 0 ⎩⎪cos 6 x = 0 ⎩

–

1 ⎧1 ⎪ 2 (1 + cos8 x) = 2 (cos8 x + cos 4 x) ⎪ ⎨cos 2 x ≠ 0 ⎪cos 4 x ≠ 0 ⎪cos 6 x ≠ 0 ⎩

;

⎧cos 4 x = 1 ⎪cos 2 x ≠ 0 ⎨cos 4 x ≠ 0 ⎪ ⎩cos 6 x ≠ 0

πn πn ⎧ ⎧ ⎪x = 2 ⎪x = 2 ⎧4 x = 2πn ⎪ ⎪ π π πk ⎪ ⎪ ⎪ cos 2 ≠ 0 ; 2 ≠ + π ; ; x x k ⎨ ⎨ ⎨x ≠ + 2 n 2 ⎪ ⎪cos 6 x ≠ 0 ⎪ ⎩ π ⎪ ⎪ π πl ⎪6 x ≠ 2 + πl ⎪ x ≠ 12 + 6 ⎩ ⎩

;

πn 2

б) a = sin 2x, b = sin 3x, c = sin 4x.

⎧ sin 3 x sin 4 x ⎧sin 2 3 x = sin 2 x sin 4 x ⎪ sin 2 x = sin 3 x ⎪ ⎪⎪sin 2 x ≠ 0 ⎪sin 2 x ≠ 0 ; ⎨ ; ⎨ ⎪sin 3 x ≠ 0 ⎪sin 3 x ≠ 0 ⎪ ⎪sin 4 x = 0 ⎩ ⎩⎪sin 4 x ≠ 0 129

1 ⎧1 ⎧cos 2 x = 1 ⎪ 2 (1 − cos 6 x ) = 2 (cos 2 x − cos 6 x) ⎪ ⎪⎪ ⎪sin 2 x ≠ 0 sin 2 x ≠ 0 ; ; ⎨ ⎨ ⎪sin 3 x ≠ 0 ⎪sin 3 x ≠ 0 ⎪⎩sin 4 x ≠ 0 ⎪ ⎪⎩sin 4 x ≠ 0 ⎧2 x = 2πn ⎪ ⎪2 x ≠ πk ⎨ ⎪3x ≠ πl ⎪⎩4 x ≠ πm

⇒ ни при каких x a, b, c не образуют геометрическую

прогрессию.

§ 28. Преобразование выражения А sin x + B cos x 567. a)

⎛

⎛ 3 ⎞ 1 3 sin x + cos x = 2 ⎜ sin x + cos x ⎟ = ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠

π⎞ ⎛ ⎟ = 2 sin ⎜ x + ⎟ . 6⎠ 6⎠ ⎝ ⎛1 ⎞ 3 3 cos x = 2 ⎜ sin x + cos x ⎟ = ⎜2 ⎟ 2 ⎝ ⎠

= 2 ⎜ sin x cos

⎝

б) sin x +

⎛

⎝

= 2 ⎜ cos x cos

+ cos x sin

+ sin x sin

в) sin x – cos x =

π⎞

π⎞ ⎛ ⎟ = 2 cos ⎜ x − ⎟ . 6⎠ 6⎠ ⎝

⎞ ⎛ 1 1 2 ⎜⎜ sin x − cos x ⎟⎟ = 2 ⎠ ⎝ 2

π π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ 2 ⎜ sin x cos − cos x sin ⎟ = 2 sin ⎜ x − ⎟ . 4 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎛1 ⎞ 3 cos x ⎟ = г) 2 sin x - 12 cos x = 4 ⎜ sin x − ⎜2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ =

⎛

π⎞ ⎛ ⎟ = 4 sin ⎜ x − ⎟ . 3 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ 3 4 ⎛ ⎞ 568. a) 3 sin x + 4 cos x = 5 ⎜ sin x + cos x ⎟ = 5 ⎝5 ⎠ ⎛

⎛

⎝

= 4 ⎜ sin x cos

− cos x sin

4⎞ 5⎠

π⎞

⎛

4 ⎞⎞ 5 ⎠⎠

⎛

4⎞ 5⎠

= 5 ⎜⎜ sin x cos⎜ arcsin ⎟ + cos x sin ⎜ arcsin ⎟ ⎟⎟ = 5 sin ⎜ x + arcsin ⎟ . 130

⎝

12 ⎛5 ⎞ cos x − sin x ⎟ = 13 ⎝ 13 ⎠

б) 5 cos x – 12 sin x = 13 ⎜

⎛

⎝

= 13 ⎜⎜ cos x cos⎜ arcsin

12 ⎞ 12 ⎞ 12 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ ⎟ − sin x sin ⎜ arcsin ⎟ ⎟⎟ = 13 cos ⎜ x + arcsin ⎟ . 13 ⎠ 13 13 ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ 24 ⎛ 7 ⎞ sin x − cos x ⎟ = 25 ⎝ 25 ⎠

в) 7 sin x – 24 cos x = 25 ⎜

⎛

⎝

= 25 ⎜⎜ cos⎜ arcsin

24 ⎞ 24 ⎞ ⎞ 24 ⎞ ⎛ ⎛ ⎟ sin x − cos x sin ⎜ arcsin ⎟ ⎟⎟ = 25 sin ⎜ x − arcsin ⎟ . 25 ⎠ 25 25 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠⎠ 15 ⎛ 8 ⎞ cos x + sin x ⎟ = 17 ⎝ 17 ⎠

г) 8 cos x + 15 sin x = 17 ⎜

⎛

⎝

= 17 ⎜⎜ cos x cos⎜ arcsin

15 ⎞ 15 ⎞ ⎞ 15 ⎞ ⎛ ⎛ ⎟ + sin x sin ⎜ arcsin ⎟ ⎟⎟ = 17 cos ⎜ x − arcsin ⎟ . 17 ⎠ 17 17 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠

3 sin x + cos x = 1.

569. a)

⎛ 3 ⎞ 1 sin x + cos x ⎟ = 1; 2 ⎜ ⎜ 2 ⎝

⎟ ⎠

sin x sin

+ cos x cos

π 3

1 ; 2

⎛

cos ⎜ x −

⎝

π⎞

1 ⎟ = ; 3⎠ 2

⎡ π π 2π ⎡ ⎢ x − 3 = 3 + 2πk x= + 2πk ⎢ . ; ⎢ 3 ⎢ ⎢ x − π = − π + 2πn x 2 π n = ⎢ ⎣ ⎢⎣ 3 3 б) sin x + cos x =

1 2

sin x +

sin (x +

в) sin x -

1 2

) = 1;

2. cos x = 1; sin x cos x+

3 cos x =

π 4

π 2

π 4

+ 2πn;

+ cos x sin x=

π 4

= 1; + 2πn.

3 3 3 1 π π sin x cos x = ; sin x cos - cox x sin = ; 2 2 2 3 3 2 ⎡ π π 2π x − = + 2πn ⎡ x= + 2πn 3 ⎢ π 3 3 )= ;⎢ ; ⎢ . sin (x 3 ⎢ 3 2 ⎢ π 2π x = π + 2πk ⎢⎣ x − 3 = 3 + 2πk ⎣⎢ 131

г) sin x – cos x = 1.

1 2

sin x –

cos x =

1 2

;

sin x cos

π 4

– cos x sin

π 4

1 2

;

⎡ π π π ⎡ ⎢ x − 4 = 4 + 2πn ⎢ x = 2 + 2πn )= ; sin (x – ⎢ 4 2 ⎢ x − π = 3π + 2πk ⎢ x = π + 2πk ⎢⎣ ⎢⎣ 4 4 ⎛ 3 ⎞ 1 π sin x + cos x ⎟ = 2 (sinx cos 570. a) y = 3 sin x + cos x = 2 ⎜ + ⎜ 2 ⎟ 6 2 ⎝ ⎠

+ cos x sin

π 6

) = 2 sin (x +

Наибольшее значение 2, наименьшее –2. б) y = sin x – – cos x sin

π 3

⎛1 ⎞ 3 π cos x ⎟ = 2 (sin x cos 3 cos x = 2 ⎜ sin x − – ⎜2 ⎟ 2 3 ⎝ ⎠ ) = 2 sin (x –

π 3

Наибольшее значение 2, наименьшее - –2.

⎞ ⎛ 1 1 2 ⎜⎜ sin x − cos x ⎟⎟ = 2 2 ⎠ ⎝

в) y = sin x – cos x =

2 sin (x –

π 4

2 , наименьшее - – 2 . ⎛ 3 ⎞ 1 sin x − cos x ⎟ = 2 cos x = 2 2 ⎜ ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠

Наибольшее значение г) y =

6 sin x –

= 2 2 (sinx cos

π 6

– cos x sin

π 6

) = 2 2 sin (x –

π 6

Наибольшее значение 2 2 , наименьшее - –2 2 .

⎛3 ⎝5

571. a) y = 3 sin 2x – 4 cos 2x = 5 ⎜ sin 2 x −

4 ⎞ cos 2 x ⎟ = 5 ⎠

4 4 4 ) = cos 2x sin (arcsin )) = 5 sin (2x - arcsin ). 5 5 5 Область значений – [–5, 5]. 12 ⎛ 5 ⎞ б) y = 5 cos 3x + 12 sin 3x = 13 ⎜ cos 3x + sin 3 x ⎟ = 13 ⎝ 13 ⎠ 5 sin 2x cos (arcsin

= 13 (cos 3x cos (arcsin

12 12 12 ) + sin 3x sin (arcsin )) =13 cos (3x - arcsin ). 13 13 13

Область значений – [–13, 13]. 132

x 24 x⎞ x x ⎛ 7 cos ⎟ = + 24 cos = 25 ⎜ sin + 2 25 2⎠ 2 2 ⎝ 25 x 7 x 7 x 7 ) + cos cos (arcsin ))=25 cos ( – arcsin ). =25 (sin sin (arcsin 2 25 2 25 2 25 Область значений – [–25, 25]. x 15 x⎞ x x ⎛ 8 - 15 sin = 17 ⎜ cos − sin ⎟ = г) y = 8 cos 17 3 17 3 3 3 ⎝ ⎠ в) y = 7 sin

x 15 x 15 x 15 cos (arcsin ) – sin sin (arcsin ))=17 cos ( + arcsin ). 3 17 3 17 3 17 Область значений – [–17, 17]. 572. a) sin 5x + cos 5x = 1,5. 3 9 π π 3 2 sin (5x + )= ; sin (5x + )= . = 4 2 4 8 2 2 Это равенство не выполняется ни при одном значении х, 9 π т.к. sin (5x + ) ≤ 1 при всех х, а > 1. 8 4 3 4 cos 2x) = 26 ; б) 3 sin 2x – 4 cos 2x = 26 . 5 ( sin 2x 5 5 4 4 5 (sin 2x cos (arcsin ) – cos 2x sin (arcsin )) = 26 ; 5 5 =17(cos

4 4 ) = 26 ; sin (2x - arcsin ) = 5 5 Это равенство не выполняется ни при одном значении х, 26 4 т.к. sin (2x - arcsin ) ≤ 1 при всех х, а > 1. 5 5 5 sin (2x - arcsin

3 cos 7x =

в) sin 7x – sin 7x cos

π 3

π 2

– cos 7x sin

π 3

26 . 5

1 π 3 sin 7x cos 7x = ; 2 4 2 =

π 4

; sin (7x -

π 3

π 4

Значения х, при которых выполняется это равенство, существуют, т.к. область значений функции y = sin (7x г) 5 sin x + 12 cos x = sin x cos (arcsin

170 .

π 3

) – отрезок [-1;1] и –1<

5 12 sin x + cos x = 13 13

12 12 ) + cos x sin (arcsin )= 13 13

π 4

< 1.

170 ; 13

170 ; 13 133

sin (x + arcsin

12 )= 13

170 . 13

Это равенство не выполняется ни при одном значении х, т.к. sin (x + arcsin 573. a) y =

170 > 1. 13

12 ) ≤ 1 при всех х, а 13

2 (sin x + cos x) = 2 sin (x +

π 4

)

y 2 1 -

3π 5π - π 3π π π - 2 4 2 4 4

-1

π 3π π

-2

б) y =

3 sin x + cos x = 2 (sin x ⋅

= 2 (sin x cos

+ cos x sin

1 3 + cos x ⋅ ) = 2 2

) = 2 sin (x +

5π 3π 7π 2π 4 2 4

π 6

y 2 1 -

в) y = sin x = 2 (sin x cos

7π 6

2π 3

3 cos x = 2 (

π 3

- cos x sin

π 6

-1 -2

5π 6

π 3

4π 3

11π 6

1 3 sin x cos x) = 2 2

π 3

) = 2 sin (x -

π 3

y 2 1

-1 -2

134

π 3

2 (sin x cos

π 4

2 (

г) y = sin x – cos x =

sin x -

- cos x sin

2 sin (x -

cos x) =

π 4

y 2

574. a) cos 2x +

cos 2x cos

cos (2x -

π 3

3 sin 2x =

+ sin

1 2

π 3

sin 5x cos

π 4

sin 2x =

3 )= ; sin (5x – 4 2

3π 4

1 3 1 cos 2x + sin 2x = ; 2 2 2

1 2

;

π π ⎡ ⎡ ⎢2 x − 3 = 4 + 2πn ⎢x = ⎢ ; ⎢ ⎢2 x − π = − π + 2πk ⎢x = ⎢⎣ ⎢⎣ 3 4 6 , 2

– cos 5x sin

;

б) sin 5x – cos 5x =

1 2

π 4

sin 5x –

1 2

cos 5x =

7π + πn 24 ;

+ πk

3 ; 2

π π ⎡ ⎡ ⎢5 x − 4 = 3 + 2πn ⎢x = ⎢ ; ⎢ ⎢5 x − π = 2π + 2πk ⎢x = ⎢⎣ ⎢⎣ 4 3

7π 2πn + 60 5 . 3π 2πk + 20 5

3 x 1 x x 1 + 1 = 0, cos – sin =– , 2 2 2 2 2 2 π π x x 1 cos – cos sin = ; sin 2 6 2 6 2 ⎡x π π 2π ⎡ ⎢ 2 − 6 = 6 + 2πn x= + 4πn x π 1 )= ; . ⎢ sin ( ; ⎢ 3 ⎢ 2 6 2 ⎢ x − π = 5π + 2πk 2 π 2 π x = + k ⎢ ⎣ ⎢⎣ 2 6 6

в) cos

x – 2

3 sin

135

г) sin

x x + cos = 1, 3 3

sin

2 x π x π cos + cos sin = sin 3 4 3 4 sin (

1 π x + )= ; 3 4 2

1 1 x x + cos = , 3 3 2 2 1 2

;

⎡x π π ⎡ x = 6πk ⎢ 3 + 4 = 4 + 2πk ⎢ ; ⎢ . ⎢ x = 3π + 6πn ⎢ x + π = 3π + 2πn 2 ⎣⎢ ⎢⎣ 3 4 4

575. a) 4 sin x – 3 cos x = 5.

4 3 sin x cos x = 1; 5 5 3 3 sin x cos (arcsin ) – cos x sin (arcsin ) = 1; 5 5 π 3 3 sin (x – arcsin ) = 1; x – arcsin = + 2πn; 5 5 2 π 3 + arcsin + 2πn. x= 2 5 3 4 1 sin 2x + cos 2x = , б) 3 sin 2x + 4 cos 2x = 2,5, 5 5 2 4 4 1 sin 2x cos (arcsin ) + cos 2x sin (arcsin ) = ; 5 5 2 π 4 1 4 = (–1)n + πn; sin (2x + arcsin ) = ; 2x + arcsin 5 2 5 6 1 4 π πn – arcsin + . x = (–1)n 12 2 5 2 12 5 sin x + cos x = –1; в) 12 sin x + 5 cos x + 13 = 0; 13 13 5 5 ) + cos x sin (arcsin ) = -1; sin x cos (arcsin 13 13 5 5 π ) = -1; x + arcsin =+ 2πn; sin (x + arcsin 13 13 2 π 5 x=– – arcsin + 2πn. 2 13 x x 5 x 12 x 1 – 12 sin = 6,5, cos – sin = ; г) 5 cos 2 2 13 2 13 2 2 12 12 1 x x cos (arcsin ) – sin sin (arcsin )= ; cos 2 13 2 13 2 136

x 12 1 + arcsin )= ; 2 13 2 12 x π + arcsin = ± + 2πn; 2 13 3

cos (

2π 12 - 2 arcsin + 4 πn. 3 13 ⎛x π⎞ 2 = 2 2 cos2 ⎜ − ⎟ . ⎝2 8⎠

576. a) sin x + cos x +

2 =

sin x + cos x + =

2 (1 + cos (x –

б) cos 2x – sin 2x –

2 cos (x –

π 4

2 =

⎛x π⎞ − ⎟. ⎝2 8⎠

)) = 2 2 cos2 ⎜

2 = –2 2 sin2 (x +

2 =

cos 2x – sin 2x -

x= ±

2 cos (2x +

π 4

π 8

)–

2 =

π ⎛ ⎜ 2x + 4 ⎜ = – 2 (1 – cos (2x + )) = –2 2 sin ⎜ 2 4 ⎜ ⎝ π

577. a) 2 sin 17x +

2 sin 17x + 2 (

1 3 cos 5x + sin 5x) = 0; 2 2

17 x + 5 x +

sin (11x +

π 6

⎞ ⎟ ⎟ = –2 2 sin2 (x + π ). ⎟ 8 ⎟ ⎠

3 cos 5x + sin 5x = 0.

2 sin 17x + 2 sin (5x +

2 sin

π 3 cos

) cos 6x -

) = 0;

sin 17x + sin (5x +

17 x − 5 x − 2

π 6

π 3

) = 0;

π 3 = 0;

) = 0;

π π π πn ⎡ ⎡ ⎡ ⎢11x + 6 = πn ⎢sin(11x + 6 ) = 0 ⎢ x = − 66 + 11 ⎢ ; ⎢ ; ⎢ . ⎢cos(6 x − π ) = 0 ⎢ 6 x − π = π + πk ⎢ x = π + πk ⎢⎣ ⎢⎣ 6 6 2 9 6 ⎣⎢ 5 12 sin x cos x + sin 3x = 0; б) 5 sin x – 12 cos x + 13 sin 3x = 0; 13 13 12 12 sin x cos (arcsin ) – cos x sin (arcsin ) + sin 3x = 0; 13 13 137

12 ) + sin 3x = 0; 13 12 12 x − arcsin + 3 x x − arcsin − 3x 13 13 2 sin cos = 0; 2 2 1 12 1 12 arcsin ) cos (x + arcsin ) = 0; sin (2x 2 13 2 13 1 12 1 12 ⎡ ⎡ ⎢sin(2 x − 2 arcsin 13 ) = 0 ⎢2 x − 2 arcsin 13 = πn ⎢ ; ; ⎢ ⎢cos( x + 1 arcsin 12 ) = 0 ⎢ x + 1 arcsin 12 = π + πk ⎢⎣ ⎢⎣ 2 13 2 2 13 1 12 πn ⎡ ⎢ x = 4 arcsin 13 + 2 . ⎢ ⎢ x = π − 1 arcsin 12 + πk ⎢⎣ 2 2 13 sin (x - arcsin

3 cos x)2 – 5 = cos (

578. a) (sin x +

π 6

- x).

3 1 π sin x + cos x)2 – 5 = cos ( - x); 2 2 6

4 (sin x cos 4 sin2 (x + 4 cos2 (

cos (

cos ( cos (

π 6

π 3

) – 5 = cos (

- x) – cos (

- x) =

+ cos x sin

π 6

)2 – 5 = cos ( - x); 4 cos2 (

138

π 6

- x); - x) – 5 = cos (

π 6

- x);

- x) – 5 = 0;

⎡5 1 ± 1 + 80 1 ± 9 ⎢ = = 4 ; ⎢ 8 8 ⎣⎢− 1

- x) = -1

(cos (

- x) ≤ 1); cos (x -

- x) ≠

π 6

5 при всех х, т.к. 4

) = -1;

б) ( 3 sin x – cos x) 2 + 1 = 4 cos (x + 4(

π 3

π 6

= π + 2 πn; x =

π 1 3 sin x cos x)2 + 1 = 4 cos (x + ); 2 3 2

7π + 2πn. 6

4 cos2 (x + cos (x +

π 3

π 3 )=

) + 1 – 4 cos (x +

) = 0;

(2 cosx (x +

π 3

) – 1)2 = 0;

1 ; 2

⎡ π π ⎡ x = 2πk ⎢ x + 3 = 3 + 2πk . ⎢ ; ⎢ ⎢ x = − 2π + 2πn ⎢ x + π = − π + 2πn 3 ⎣⎢ ⎢⎣ 3 3 12 579. a) 3 sin x + cos x + 2 = x.

3 1 6 π π 6 sin x + cos x + 1 = x; sin x cos + cos x sin +1= x; 2 2 π 6 6 π π 6 π )= x – 1; x = . sin (x + 6 π 3 б)

2 (cos x – sin x) = 2x -

2 (cos x cos 580. a)

π 4

- sin x sin

π 4

π 2

) = 2x -

π 2

; cos (x +

π 4

)=x-

π 4

; x=

π 4

3 sin x + cos x > 1.

3 π π 1 1 1 sin x + cos x > ; sin x cos + cos x sin > ; 2 2 2 6 6 2 1 π 5π 2π π π )> ; + 2πn < x + < + 2πn; 2πn < x < + 2πn. sin (x + 6 2 6 6 6 3 3 4 1 sin x cos x < ; б) 3 sin x – 4 cos x < 2,5; 5 5 2 4 4 1 4 1 sin x cos (arcsin ) – cos x sin (arcsin ) < ; sin ( x – arcsin ) < ; 5 5 2 5 2 7π 4 π + 2πn < x – arcsin < + 2πn; – 6 5 6 7π 4 4 π – + 2πn + arcsin <x< + 2πn + arcsin . 6 5 6 5

139

Глава 4. Производная § 29. Числовые последовательности 581. а) y = 3x2 + 5, б) y = sin x, в) y = 7 – x2, г) y = cos

x , 2

582. а)

x ∈ Z, x ∈ [0; 2π], x ∈ Q,

является. не является. не является.

x ∈ N,

является.

б)

2 1 0 -1 1 2

y y=3x-x2 2 x∈ N 1 x 0 -1 1 2 3

x y=2-x x∈ N

x+5 y y= 4 2 3 2 x∈ N 1 x 0 -1 1 2 3

в)

583. а)

y=sin

π 6

б)

2 x∈ N 1/21 x 0 -1 1 2 3 4 5 6 7

в)

2 3 3

y=tg

140

y=ctg

π 4

(2 x + 1)

2 x∈ N 1 1 3 5 7 0 -1 2 4 6 8

г)

2 3 3 3 3 0

5 y y=x2-4x 4 3 x∈ N 2 1 x 0 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 -4

г)

3 3

- 3

3 x∈ N 2 3 4

1 5

7 x

-1

y=cos πx x∈ N

0 1 3 2 4 5 6 789

584. а) yn = 2n; б) 1, 2, 4, 8, 16…; в) b1 = 2, bn+1 = bn ⋅ 2. 585. а) yn = -n, n ∈ N, y1 = -1, y2 = -2, y3 = -3, y4 = -4, y5 = -5. б) y n = n , n ∈ N, y1 = 1, y2 = 2 , y3 = 3 , y4 = 2, y5 = в) yn = -5, y1 = -5, y2 = -5, y3 = -5, y4 = -5, y5 = -5. г) yn =

, n ∈ N, y1 =

1 9 25 , y2 = 2, y3 = , y4 = 8, y5 = . 2 2 2

586. а) y7 = 42, y9 = 54, y7 = 72, 6 ⋅ n = yn. y10 = 70, y31 = 217, 7 ⋅ n = yn. б) y6 = 42, 587. а) y1 = 2, y2 = 7, y3 = 12, y4 = 17, y5 = 22. б) S6 = 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 = 78 588. а) yn = n5, n ∈ N, y1 = 1, y2 = 32, yn = n5, yn+1 = (n + 1)5; 5 7 21 2n 2n+5 б) yn = 3n, y5 = 3 = 243, y7 = 3 = 2187, y21 = 3 , y2n=3 . y2n+5 = 3 .

589. а) y732 и y745,

y733, y734, …, y744.

б) yn-1 и yn+2, yn, yn+1. в) y998 и y1003, y999, y1000, y1001, y1002. г) y2n-2 и y2n+3. y2n-1, y2n, y2n+1, y2n+2. 590. а) yn = 3 – 2n. y1 = 1, y2 = -1, y3 = -3, y4 = -5, y5 = -7. б) yn = 2n2 - n. y1 = 1, y2 = 6, y3 = 15, y4 = 28, y5 = 45. в) yn = n3 - 1. y1 = 0, y2 = 7, y3 = 26, y4 = 63, y5 = 124.

3n − 1 3 1 = − . 2n 2 2n 5 8 1 1 =1 , y3 = =1 , y1 = 1, y2 = 4 3 4 6 11 7 3 2 y4 = =1 , y5 = =1 . 8 5 8 5

г) y n =

591. а) yn = (-1)n. y1 = -1, y2 = 1,

y3 = -1, y4 = 1,

(−2) . n2 + 1 4 y1 = -1, y2 = , y3 = 5 n 1 в) y n = (−1) . 10 n 1 y1 = − , y2 = 10 1 y4 = , y5 = 10000 б) y n =

y5 = -1.

−

8 16 32 4 3 16 = - , y4 = , y5 = − == −1 . 5 13 13 10 17 26

1 , 100 1 − . 100000

y3 = −

1 , 1000

141

(−1) n + 2 . 3n − 2 3 1 3 1 , y5 = . y1 = 1, y2 = , y3 = , y4 = 4 7 10 13 2π 592. а) y n = 3 cos . n 3 2π . y1 = 3, y2 = -3, y3 = − , y4 = 0, y5 = 3 cos 2 5 ⎛ n π⎞ б) yn = tg ⎜ (− 1) y2 = 1, y3 = -1, y4 = 1, y5 = -1. ⎟ . y1 = -1, 4⎠ ⎝ 3 1 π π в) yn = 1 – cos2 . y1 = 0, y2 = 1, y3 = , y4 = , y5 = sin2 . n 4 2 5 г) y n =

г) yn = sin πn – cos πn =-cos πn. y5 = 1. y1 = 1, y2 = -1, y3 = 1, y4 = -1, 2 2 2 2 2 2 2 593. 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 192 = = 4 + 9 + 25 + 49 +121 + 169 + 289 + 361 = 1027 594. а) yn = n, n = 1, 2, 3 … n ∈ N. б) yn = - n, в) yn = n + 4, n ∈ N. n ∈ N. г) yn = 11 – n, 595. а) yn = 5n, б) yn = 6n, в) yn = 4n, г) yn = 3n,

n ∈ N. n ∈ N. n ∈ N. n ∈ N.

596. а) yn = 3n, б) yn = (n + 2)2, в) yn = n3, г) yn = n3 + 1,

n ∈ N. n ∈ N. n ∈ N. n ∈ N.

1 в) yn = 3 ; n

2n + 1 ; 2n + 2 1 г) yn = . (2n + 1)(2n + 3)

598. а) yn = 1,5n, y1 = 1,5, б) yn = (-1)n, y1 = -1,

y2 = 3, y2 = 1,

597. а) yn =

в) yn =

2 2

1 2

n −1

;

8 , y1 = 8, y2 = 4, n

г) yn = (-1)n+1n. 599. а) 1; 1,4; б) 2; 1,5; 142

y1 = 1, 1,41; 1,42;

б) yn =

y3 = 4,5. y3 = -1.

8 … 3 y2 = -2, y3 = 3, y3 =

1,414; 1,415;

1,4142. 1,4143.

y4 = -4.

600. yn =

2−n . 5n + 1

а) yn = 0,

n = 2.

3 б) yn = − , 26 1 в) yn = − , 6 6n – 12 = 5n + 1,

n = 5.

2−n 1 =− . 5n + 1 6 n = 13.

2−n 43 =− 5n + 1 226 226n – 452 = 215n + 43, 11n = 495, n = 45.

43 = yn . г) − 226

601. an = (2n – 1) (3n + 2) а) an = 0. нет, т.к. n не может быть равным б) an = 24. 6n2 + n – 2 = 24. 6n2 + n – 26 = 0.

1 2 ,− . 2 3

26 −1 + 25 = 2 , или n = − . (не подходит, т.к. n ∈ N). 12 12 Ответ: является. n=

в) an = 153. 6n2 + n – 155 = 0. n =

−1 + 61 62 = 5. n = − (не подходит). 12 12

Ответ: является. г) an = -2. 6n2 + n = 0. n(6n + 1) = 0. решения в натуральных числах нет ⇒ не является. 602. а) 1;

1 ; 2

1 ; 3

1 … 4

ограничена снизу и сверху. б) –1; 2; -3; 4;

1 в) ; 2

2 ; 3

3 ; 4

г) 5; 4; 3; не ограничена снизу. 603. а) -3; -2; не ограничена сверху. б) 1; -1; 1; ограничена сверху. в)

1 ; 2

1 ; 3

-5…

4 … 5

не ограничена. снизу ограничена.

-1;

1…

-2;

-3…

1 ; 4

1 … 5

3 ; 4

4 … 5

-1

ограничена сверху. г)

1 ; 2

2 ; 3

ограничена сверху. 143

1 ; 2 1 3 ; б) ; 2 4

1 ; 3 5 ;… 6

604. а)

1 1 ;… … 4 n 2n − 1 … 2n

ограничена, т.к. 0 < yn < 1. ограничена, т.к. 0 < yn < 1.

ограничена, т.к. -10 < yn < 10. в) 5; -5; 5; -5; (-1)n-15 не ограничена. г) -2; 3; -4; 5; (-1)n(n+1) возьмем n2 > n1 605. а) xn = 3 ⋅ n + 2 xn2 = 3 ⋅ n2 + 2 > 3 ⋅ n1 + 2 ⇒ последов. возрастающая.

5 убывающая, т.к. при n2 > n1 xn < xn . 2 1 n+3 3 в) xn = n возрастающая, т.к. при n2 > n1 xn > xn . 2 1

б) xn =

г) xn = (-1)n-1 ни возрастающая, ни убывающая.

⎛1⎞ ⎝3⎠

n +1

606. а) xn = ⎜ ⎟

убывающая.

б) xn = 7n-5 в) xn = 61-n

возрастающая. убывающая.

⎛ 1⎞ ⎟ ⎝ 5⎠

2 n −1

г) xn = ⎜ −

возрастает, т.к. степень нечетная.

607. а) yn+1 - yn > 0. yn+1 > yn ⇒ по определению она возрастающая.

y n +1 < 1 , yn > 0 yn

б)

yn+1 < yn ⇒ убывающая. в) yn+1 - yn < 0. yn+1 < yn ⇒ убывающая. г)

y n +1 < 1 , (yn < 0) yn

yn+1 > yn ⇒ возрастающая. 608. а) yn = 2n – 1 yn+1 = 2n + 1 yn+1 > yn ⇒ возрастающая. б) yn = 5-n yn+1 = 5-n-1 =

5− n 5

yn+1 < yn ⇒ убывающая. в) yn = n2 + 8, yn+1 = n2 + 2n + 9 yn+1 > yn ⇒ возрастающая. 144

г) yn =

2 2 , yn+1 = , yn+1 < yn ⇒ убывающая. 3n + 1 3n + 4

609. а)xn = (-2)n x1 = -2, x2 = 4, x3 = -8 ⇒ последовательность не является монотонной. б)yn = cos y1 = cos

π n+5

π , 6

y2 = cos

y3 = cos

⇒ возраст.

y1 < y2 < y3 … в) yn = n3 - 5 y1 = -4, y2 = 3, г) yn =

π , 7

π . 8

y3 = 22. ⇒ возрастает.

n + 8 , y1 = 3,

y2 =

10 ,

⎛1⎞ ⎝2⎠

11 .

y3 = n

610. а) yn = 2n; б) yn = 2n; в) yn = ⎜ ⎟ ; г) yn = -n. 611. a) yn = sin

πn π − ctg (2n + 1) 2 4

y1 = 2,

y2 = -1,

y3 = 0,

y4 = 1,

y5 = 2.

y1 = -1,

y2 = 0,

y3 = -1,

y4 = 2,

y5 = -1.

y1 = 1,

y2 = -4,

y3 = -3,

y4 = 16, y5 = 5.

πn π б) yn = cos + tg (2n + 1) 2 4 πn πn + n 2 cos в) yn = n sin 2 2 πn πn г) yn = sin − n cos 4 4

y3 = 2 2 , y4 = 4, 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ⋅ ⋅ n 612. а) yn = n3 + 1 1 2 6 24 3 y1 = , y2 = , y3 = = , y4 = , 2 9 28 14 65 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ (2n − 1) б) yn = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ ... ⋅ 2n 1 3 3⋅5 5 , = y1 = , y2 = , y3 = 2 8 2 ⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 3 16 y1 = 0,

y4 =

y2 = 1,

y5 = 2 2 .

y5 =

120 20 = . 21 126

5⋅7 35 35 ⋅ 9 7⋅9 63 = = = , y5 = . 16 ⋅ 8 128 128 ⋅ 10 128 ⋅ 5 256

145

613. а) x1 = 2, xn = 5 – xn-1. x1 = 2, x2 = 5 – 2 = 3, б) x1 = 2, xn = xn-1 + 10. x1 = 2, x2 = 12, в) x1 = -1, xn = 2 + xn-1 x1 = -1, x2 = 1, г) x1 = 4, xn = xn-1 – 3. x1 = 4, x2 = 1, 614. а) x1 = 2, xn = nxn-1. x1 = 2, x2 = 4,

x3 = 2,

x4 = 3,

x5 = 2.

x3 = 22,

x4 = 32,

x5 = 42.

x3 = 3,

x4 = 5,

x5 = 7.

x3 = -2,

x4 = -5,

x5 = -8.

x3 = 12,

x4 = 48,

x5 = 240.

1 б) x1 = -5, xn = − xn-1. 2 5 5 x1 = -5, x2 = , x3 = − , 2 4

x4 =

5 , 8

x5 = −

5 . 16

в) x1 = -2, xn = -xn-1 x3 = -2, x4 = 2, x5 = -2. x1 = -2, x2 = 2, г) x1 = 1, xn = 10xn-1. x2 = 10, x3 = 100, x4 = 1000, x5 = 10000. x1 = 1,

1 ; 2

615. а) −

(− 1)n ⋅ (2n − 1) = y 2n

2 ; 3

б)

в)

3 ; 4 1

г)

;

616. а)

б) − в)

4 ; 3

6 ; 3 3

1 4 ; − ; 1⋅ 2 2⋅3

7 ; 3 ⋅ 42 2

9 ; 3⋅ 4

−

146

yn =

−

( 3)

⎛3⎞ y n= ⎜ ⎟ . ⎝4⎠

yn = 16 ... 4⋅5

2n − 1

( 2)

n +1

yn = ( −1)

n ( n + 1)

2n + 3 9 1 n . ; 2 2 ... yn = ( −1) 2 4 ⋅5 5 ⋅6 ( n + 1)2 ⋅ ( n + 2 )2

4 9 14 ; − ; ; 1⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅3⋅ 4 3⋅ 4 ⋅5

г) 0;

10 ... 9 3

8 ; 9

9 27 81 ; ; ... 16 64 256 3 7 9 5 ; ; ; ... 2 2 2 4 4 2

5 ; 2 ⋅ 32 2

9 7 ; − ... 10 8

3 5 ; − ; 4 6

−

19 ... 4⋅5⋅6

n +1

yn = ( −1)

2 2 2 ; 0; ; 0; ... 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6

yn =

5n − 1 . n ( n + 1) ⋅ ( n + 2 )

(− 1)n + 1 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ ⋅ ⋅ n

617. а)

1 3/4 1/2 1/4

б)

y=(x+1)-2 x∈ N

12 3456 78

в) -1 -2 -3 -4 -5 -6

y=3x-x2 y 3 x∈ N 2 1 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 x -2 -3 -4 y

г)

6 5 4 3 2 1 0

1 2 3 4 5 6 789 x 18 x+2 x∈ N

y=-

618. а) -11

yn=10-n3 9 6 3 3 2 0 -3 1 2 4 5 6 7 -6 -9 -12

19 y 12 10 8 yn=n3-8 6 4 2 0 -2 1 2 3 4 5 6 7 x -4 -6 -8

619. a) yn = 2 sin y

πn 6

2 3 1 x 0 -1 1 2 3 4 5 6 8 9 10 12 n 11 7 -2

12 3456 78

y 6 5 3 24 3 2 yn=(-1)n 9n 1 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x -2 -3 -4 3 3

б)

-17

в)

y= x + 3 x∈ N

г)

y 3 yn=n3 4n 2 1 0 -1 1 2 3 4 5 6 7 x 8

б) yn = (-1)n tg

1 0 -1

π 4

(2n – 1)

y 1 2 34 56

x n

147

620. x1 = 5,

xn =

x2 = -3,

x3 = 1,

xn − 2 + xn −1 . 2

621. a1 = 1;

S1 = 1;

P1 = 4.

a2 = 2 ; a3 = 2;

S2 = 2; S3 = 4;

P2 = 4 2 . P3 = 8.

a4 = 2 2 ; a5 = 4;

S4 = 8; S5 = 16;

P4 = 8 2 . P5 = 16.

( 2) = ( 2)

an =

x5 = 0, x6 = −

x4 = -1,

n −1

; Sn = 2n-1;

Pn = 4 ⋅

( 2)

n −1

a11 = 25 = 32. S17 = 216. 622. yn = 2n2 – 7n + 5.

⎧⎪2n 2 − 7 n + 5 ≤ 5. ⎨ 2 ⎪⎩2n − 7 n + 5 ≥ 2.

⎧⎪n(2n − 7 ) ≤ 0. (x – 3) (2x – 1) ≥ 0 ⎨ 2 ⎪⎩2n − 7 n + 3 ≥ 0.

⎧ ⎡ 7⎤ ⎪n ∈ ⎢0; ⎥ ⎪ ⎣ 2⎦ ⎨ ⎪n ∈ ⎛⎜ − ∞; 1 ⎤ ∪ [3;+ ∞ ) ⎪⎩ 2 ⎥⎦ ⎝ ⇓

⎡ 1⎤ ⎡ 7⎤ n ∈ ⎢0; ⎥ ∪ ⎢3; ⎥, т.к. x ∈ N то n = 3 ⇒ y3 ∈ [2; 5]. ⎣ 2⎦ ⎣ 2⎦ 623. а) xn = 3n – 2 A = 15. 3n – 2 > 15, n >

17 . 3

n ≥ 6. начиная с x6. б) xn = 5n-1 A = 125. 5n-1 > 125. 5n-1 > 53. n > 4. начиная с x5. в) xn = n2 – 17 A = -2. n2 – 17 > -2. n2 > 15. начиная с x4. г) xn = 3n-5 A = 27. 3n-5 > 33. n > 8. начиная с x9. 624. а) x1 = -14 xn = xn-1 + 7 A = 25. x1 = -14 x2 = -7 x3 = 0. xn = -21 + 7n. -21 + 7n > 25. n > начиная с x7. 148

46 . 7

1 . 2

xn = 6xn-1 A = 168. б) x1 = 3 x2 = 18 x3 = 108. x1 = 3 xn = 3·6n-1. 3·6n-1 > 168. 6n-1 > 56. начиная с x4. xn = xn-1 + 3 A = 28. в) x1 = 0 xn = 3 (n – 1). 3 (n – 1) > 28. n >

28 + 1. начиная с x11. 3

xn = 7xn-1 A = 285. г) x1 = 1 xn = 7n-1. 7n-1 > 285. начиная с x4.

1 1 1 ; ; ... 3125 625 125 1 xn = ⋅ 5( n −1). 5-5 · 5n-1 ≤ 1. n – 1 ≤ 5. n ≤ 6. шесть членов. 3125 6 + 5(n − 1) 6 11 16 5n + 1 б) ; ; ... = xn . ≤ 1. 375 + 2n 377 + 2(n − 1) 377 379 381 374 . 124 члена. 3n ≤ 374. n ≤ 3 2 2 2 в) ; ; ... 729 243 81 2 ⋅ 3n −1 = xn . 2·3n-1 ≤ 729. 2·3n-1 ≤ 36. n < 7 шесть членов. 729 625. а)

г)

9 16 2 ; ; 219 222 225

2 + 7(n − 1) = xn 219 + 3(n − 1) 7n − 5 ≤1 3n + 216 7 n − 5 ≤ 3n + 216 4n ≤ 221 221 n≤ 4 55 членов. 626. а) y n =

2n + 1 1 n2 = n +1− = n +1− 2 + = n +1 n +1 n +1

1 . Ограничена снизу. n +1 (− 1)n + 1 . y = 0 y = 1 б) y n = 1 2 2n 2 = n −1+

y3 = 0

y4 =

1 . 4

Ограничена снизу. 149

(

)

в) y n = (− 1) + 1 n 2 y1 = 0 Ограничена снизу. n

y2 = 8

1 − n2

y3 = 0

. y1 = 0 y2 = − 4 nn Ограничена снизу. 1 n 1 627. а) xn = = 1− . x1 = n +1 n +1 2 Ограничена сверху. г) yn =

б) xn =

(− 1)n + 1 . n

y4 = 32.

y3 = −

2 3

x2 =

8 . 27

x3 =

3 . 4 1 . 2

x1 = 0

x2 = 1

x3 = 0

x4 =

x1 = 0

x2 = 4

x3 = 0

x4 = 16.

x1 = 0

x2 =

Ограничена сверху. в) xn =

(( −1) + 1) . n

Не ограничена сверху. г) xn =

n2 − 1 2

n +2

= 1−

3 2

n +2

Ограничена сверху. 628. а) cos1, cos2, cos3…cosn…

sin 1 sin 2 sin 3 (− 1) sin n , − , ... ... 1 2 3 n π π 3π 5π в) tg ; tg ; tg ... tg (2n − 1)... 4 4 4 4 π π π π сtg ... сtg ... г) сtg ; сtg ; 2 3 4 n +1 2n − 1 1 629. а) xn = = 2 − . 1 ≤ xn < 2. n n 3 3 б) xn = n . 0 < xn ≤ . 5 5

3 6

x3 =

8 11

x4 =

15 . 18

Ограничена.

n −1

б)

в) xn =

1 1 n2 . ≤ xn < 1. =1− 2 n +1 n +1 2 2

г) xn = sinπn. –1 ≤ xn ≤ 1.

Ограничена. Ограничена. Не ограничена. Ограничена. Ограничена. Ограничена. Ограничена.

630. а) xn=

2 n

0 0,2 0,4 0,6

150

0,8

1,2 1,4 1,6 1,8 2 x

∈

[0;2]

б) xn= 0

-1 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2

в)

yn=

(−1) n n

0,2 0,4 0,6 0,8 1

1 2

∈

[-1; ]

∈

[1;2]

n +1 n

1 1,1 1,2 1,3

г)

1,4

1,5

1,6 1,7 1,8 1,9 2 y

n+2 yn=(-1)n n

-3 -2,7-2,4-2,1 -1,8 -1,5 -1,2 -0,9-0,6 -0,3 0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1

∈

[-3;2]

631. а)

x1=1 xn=3-xn-1 0

б)

0,2 0,4 0,6

0,8

1,2 1,4 1,6 1,8 2

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x x1=1 xn= n −1 2 0

xn г)

xn=-2xn-1 x1=2

в) ∈

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

-5

-3 -1

[0;1] x1=5 xn=xn-1-4

-25 -23 -21 -19 -17 -15 -13 -11 -9 -7

632. а) an = 7 –

в) pn =

1 . 6 ≤ an ≤ 7. n

2n + 1 . 1 ≤ pn ≤ 2. 2n − 1

1 . 2 ≤ bn ≤ 3. 2n 2n − 1 г) qn = . 0 ≤ qn ≤ 1. 2n + 1

б) bn = 2 +

§ 30. Предел числовой последовательности 633. а) a = 0, r = 0,1. (-0,1; 0,1); б) a = -3, r = 0,5. (-3,5; -2,5) в) a = 2, r = 1. (1; 3); г) a = 0,2, r = 0,3. (-0,1; 0,5) 634. а) (1; 3), a = 2, r = 1. б) (-0,2; 0,2), a = 0, r = 0,2. в) (2,1; 2,3), a = 2,2, r = 0,1. г) (-7; -5), a = -6, r = 1. 635. а) x1 = 1, a = 2, r = 0,5. 1 ∉ (1,5; 2,5); б) x1 = 1,1, a = 1, r = 0,2. 1,1 ∈ (0,8; 1,2);

151

в) x1 = -0,2, a = 0, r = 0,3. г) x1 = 2,75, a = 2,5, r = 0,3. 636. а) xn =

1 , n2

1 , n2 n в) xn = , n +1 n г) xn = , n +1

б) xn =

-0,2 ∈ (-0,3; 0,3); 2,75 ∈ (2,2; 2,8).

1 ∈ (-0,1; 0,1). при n0 ≥ 4. n2

a = 0,

r = 0,1.

a = 1,

r = 0,1.

такого n0 не существует.

a = 0,

r = 0,1.

такого n0 не существует.

a = 1,

r = 0,1.

xn ∈ (0,9; 1,1) при n0 ≥ 10.

637.

а) yn = 2 3/2 1 1/2

2 . n

y = 0.

⎛1⎞ ⎝ 3⎠

y yn=

y=0

2 n

12 3456 78

б) yn = ⎜ ⎟ .

⎛1⎞ yn= ⎜ ⎟ ⎝3⎠

1/3 2/9 1/9 n

12 3456 78

. в) yn = 4 3 2 1

4 . n

y = 0.

y 4 yn= n

12 3456 78

⎛1⎞ г) yn = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ y 7/8 3/4 5/8 1/2 3/8 1/4 1/8

n −1

y = 0.

⎛1⎞ yn= ⎜ ⎟ ⎝2⎠

n −1

12 3456 78

638.

а) yn = − 1 + y -1/4 -1/2 -3/4 -1

152

1 . n

y = -1.

n 12 3456 78 1 yn=-1+ n

б) yn = 2 − y 2 3/2 1 1/2

1 . n2 yn=2-

y = 2.

1 n2

12 3456 78

в) yn = 2 − y 2 3/2 1 1/2

2 . n

y = 2.

yn=2-

2 n

12 3456 78

639. а) Lim

2 n →∞ n

= 0.

г) yn = − 3 + y -1/2 -1 -3/2 -2 -5/2 -3

1 . n2

y = -3.

12 3456 78 yn=-3+

1 n2

⎛ 17 ⎞ б) Lim ⎜ − 3 ⎟ = 0. n →∞ ⎝ n ⎠

3 ⎛ 15 ⎞ = 0. в) Lim ⎜ − 2 ⎟ = 0. г) Lim n →∞ n n →∞ ⎝ n ⎠ ⎛7 8 9⎞ + ⎟ = 0 + 0 + 0 = 0. 640. а) Lim ⎜ + n n3 ⎠ n →∞ ⎝ n

⎛ 7 3 3 ⎞ б) Lim ⎜ 6 − 2 − − ⎟ = 6 − 0 − 0 − 0 = 6. n n⎠ n →∞ ⎝ n 5 13 ⎞ ⎛3 7 в) Lim ⎜ + 2 − 3 + 4 ⎟ = 0 + 0 − 0 + 0 = 0. n →∞ ⎝ n n n n ⎠ ⎛1 3 7 ⎞ − 4 + 2 ⎟ = 0 + 0 − 4 + 0 = −4. г) Lim ⎜ + n n →∞ ⎝ n n ⎠ 3 5 5+ 7− 5n + 3 7n − 5 n n = 7. 641. а) Lim = Lim = Lim = 5. б) Lim n →∞ n + 1 n →∞ 1 + 1 n →∞ n + 2 n →∞ 1 + 2 n n 1 1 3+ 2+ 3n + 1 2n + 1 n = 3. n = 2. в) Lim г) Lim = Lim = Lim 3 n →∞ n + 2 n →∞ 1 + 2 n →∞ 3n − 1 n →∞ 3 − 1 n n 642. а) Lim n→∞

5 = 0. 2n

в) Lim 7 ⋅ 3− n = 0. n →∞

1 −n ⋅ 5 = 0. 2 4 г) Lim n +1 = 0. n→∞ 3 б) Lim n→∞

2n2 − 1 1 ⎞ ⎛ = Lim ⎜ 2 − 2 ⎟ = 2. n →∞ n →∞ ⎝ n2 n ⎠ ⎛ 1 + 2 +1⎞ 1 + 2n + n2 ⎜ 2 n ⎟ б) Lim = Lim ⎜ n ⎟ = 1. 2 1 n →∞ n →∞ ⎜ n ⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎠ 643. а) Lim

(

)

153

⎛ 3 − 4 −2⎞ ⎜ ⎟ 2 3 − n2 3n − 4 − 2n2 ⎛ 3 ⎞ в) Lim 2 = Lim ⎜ 2 − 1⎟ = −1. г) Lim = Lim ⎜ n n ⎟ = −2. 2 1 n →∞ n n →∞ ⎝ n n →∞ n →∞ ⎜ n ⎠ ⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎠ 644. а) b1 = 3

б) b1 = -5

q = -0,1.

в) b1 = -1

q = 0,2.

г) b1 = 2

q= −

645. а) 32, 16, 8,

-8,

b1 = 24

в) 27,

b1 = 27

г) 18,

-6,

b1 = 18

646. а) 2 + 1 +

b1 = 2

154

1 . 3

1 =4 . 1 2 1− 3 −5 50 6 Sn = =− = −4 . 1 + 0,1 11 11 −1 5 1 Sn = = − = −1 . 0,8 4 4 2 6 3 Sn = = = . 1 4 2 1+ 3

Sn =

4…

1 q= . 2

b1 = 32

б) 24,

1 . 3

8 8 , − ... 3 9 1 q= − . 3 3,

1 . 3

Sn =

32 = 64. 1 1− 2

Sn =

24 = 36. 1 1+ 3

Sn =

27 81 = = 40,5. 2 2 3

Sn =

18 27 = . 1 2 1+ 3

1 ... 3

1 − ... 3 1 q= − . 3

1 1 + ... 4 2 1 q= . 2

Sn =

2 1−

1 2

= 4.

б) 49 + 7 + 1 +

1 ... 7

b1 = 49

в)

1 . 7

Sn =

49 1 = 57 . 1 6 1− 7

3 2 4 -1+ - ... 2 3 9

3 b1 = 2

2 q= − . 3

Sn =

3 2

2 1+ 3

3 3 9 ⋅ = . 2 5 10

г) 125 + 25 + 5 + 1… b1 = 125

1 . 5

Sn =

125 625 = = 156,25. 4 4 5

2 2 2 + ... 3 27 243 54 27 −6 1 q= − . Sn = =− =− . b1 = –6 1 10 5 9 1+ 9 1 б) 3 + 3 + 1 + ... 3 647. а) - 6 +

b1 = 3

в) 49 – 14 + 4 − b1 = 49

Sn =

1−

3 3 3 −1

3 3 ( 3 + 1) . 2

8 ... 7

q= −

г) 4 + 2 2 + 2 + b1 = 4

2 . 7

2 ... 1 2

Sn =

49 343 1 = = 38 . 2 9 9 1+ 7 4 1−

4 2 2 −1

= 4 2 ( 2 + 1).

1 −2 4 1 648. а) b1 = -2 b2 = 1. q = − . Sn = = − = −1 . 1 3 3 2 1+ 2

155

1 . 3

б) b1 = 3

b2 =

в) b1 = 7

b2 = -1.

г) b1 = -20

b2 = 4.

649. а) Sn = 2

b1 = 3.

b Sn = 1 1− q

1–q=

б) Sn = -10

b1 = -5.

в) Sn = −

9 4

1 . 9

27 3 = =3 . 1 8 8 1− 9 1 7 49 1 q = − . Sn = = =6 . 1 8 8 7 1+ 7 1 −20 100 50 2 q = − . Sn = =− =− = −16 . 1 6 3 3 5 1+ 5 q=

b1 . Sn

b1 = -3.

г) Sn = 1,5

b1 = 2.

Sn =

b1 1 1 =1– = . 2 2 Sn 5 1 q=1– = . 10 2 3 4 1 q=1– = 1− = − . 9 3 3 4 2 4 1 q=1– =1− = − . 3 3 3 2 q=1–

650.

1 b , S= 1 , 1− q 10 1 б) S = –3, q = − , 3 1 в) S = 6, q = − , 2 1 г) S = –21, q = , 7 а) S = 10, q =

b1 = S(1 – q) = 10 · b1 = -3·(1 +

1 ) = –4. 3

3 = 9. 2 ⎛ 1⎞ b1 = − 21 ⋅ ⎜1 − ⎟ = −18. ⎝ 7⎠

b1 = 6 ⋅

651.

а) S = 15, q = − ⎛ 1⎞ ⎝ 3⎠

1 , n = 3. 3

b1 = 20 ⋅ ⎜ − ⎟ =

⎛1⎞ ⎝5⎠

b4 = − 16 ⋅ ⎜ ⎟ = − 156

b1 = 15 ⋅

4 = 20. 3

2 20 =2 . 9 9

б) S = –20, b1 = –16, n = 4.

16 . 125

9 = 9. 10

q=1–

16 1 = . 20 5

в) S = 20, b1 = 22,

n = 4,

q=1–

22 1 =− . 20 10

11 ⎛ 1⎞ . ⎟ =− 10 500 ⎝ ⎠ 2 г) S = 21, q = , n = 3, 3

b4 = 22 ⋅ ⎜ −

⎛2⎞ ⎝3⎠

b3 = 7 ⋅ ⎜ ⎟ = 652. а)xn =

б) xn = 3 +

2⎞ ⎟ = 7. 3⎠

1 28 =3 . 9 9

1 , 2n

1 < 0,1, 2n

⎛ ⎝

b1 = 21 ⋅ ⎜1 −

a = 0 r = 0,1.

2n > 10,

1 n2

n>5

начиная с 6-ого.

a = 3 r = 0,2.

1 < 3,2, n2 > 5, n > 5 начиная с 3-его. n2 2 в) xn = 1 + 2 a = 1 r = 0,01. n 2 2 1 1 < 0,01, < . 1 + 2 < 1,01, n n2 n 2 200 3+

n > 14

начиная с 15-ого.

3 г) xn = − , a = 0, r = 0,1. n 3 3 1 1 < . n > 30 − >− . n 10 n 10 ⎛1⎞ ⎝3⎠

653. а) xn = ⎜ ⎟ , a = 0, n

начиная с 31-ого.

1 . 27

⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞3 ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ . n > 3 начиная с 4-ого. ⎝3⎠ ⎝3⎠ 1 n 1 б) xn = (− 1) n a =0r = . 64 2 1 ⎛1⎞ . ⎜ ⎟ < 3 27 ⎝ ⎠

1 1 < . 2 n 64

⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ <⎜ ⎟ . ⎝2⎠ ⎝2⎠

n > 6 начиная с 7-ого. 157

⎛1⎞ ⎝2⎠

в) xn = 2 + ⎜ ⎟ ,

a = 2,

1 . 128 7

1 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎛1⎞ . ⎜ ⎟ < = ⎜ ⎟ . 2+⎜ ⎟ <2 128 ⎝ 2 ⎠ 128 ⎝ 2 ⎠ ⎝2⎠ n>7

начиная с 8-ого.

⎛1⎞ ⎝3⎠

г) xn = 3 − ⎜ ⎟ ,

a = 3,

1 . 81 4

80 ⎛1⎞ 3−⎜ ⎟ >2 . 3 81 ⎝ ⎠ n>4 654.

1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ = ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ < 3 81 ⎝3⎠ ⎝ ⎠

начиная с 5-ого.

а) yn = 2 + (− 1)

5/2 y 2 3/2 1 1/2

1 . y = 2. n

б) yn = (− 1) 2 + n

y 2 3/2 1 yn=(-1)n2+ 1 n 1/2 0 -1/2 1 2 3 4 5 678 n -1 -3/2 -2

1 yn=2+(-1)n n

12 3456 78

в) yn = − 3 + (− 1)

1 . n

2 . y = –3. n

y 0 -1/2 1 2 3 4 5 6 78 x -1 2 y=-3+(-1)n -3/2 n -2 -5/2 -3 -7/2 -4 -9/2 -5

г) yn = (− 1)

n +1

2 ⋅3− . n

y 5/2 2 3/2 1 1/2 0 -1/2 1 2 3 4 5 678 n -1 2 -3/2 yn=(-1)n+13-2 n -5/2 -3 -7/2 -4

655. а) нет.

yn = ⎜ −

⎛ 1⎞ ⎟ . ⎝ n⎠

б) нет.

yn = n.

в) да.

yn =

1 . n

г) нет.

yn = ⎜ −

158

⎛ 1⎞ ⎟ . ⎝ n⎠

( 2n + 1)( n − 3) = Lim 2n2 − 5n − 3

5 3⎞ ⎛ = Lim ⎜ 2 − − 2 ⎟ = 2. n →∞ ⎝ n n ⎠ 1 1 12 + − 2 ( 3n + 1)( 4n − 1) = Lim ⎛ 12n2 + n − 1 ⎞ = n n = 12. б) Lim ⎜ 2 ⎟⎟ Lim 2 ⎜ 2 1 n →∞ n →∞ n →∞ − + n 2 n 1 ( n − 1) ⎝ ⎠ 1− + 2 n n ( 3n − 2 )( 2n + 3) = Lim 6n2 + 5n − 6 = Lim ⎛ 6 + 5 − 6 ⎞ = 6. в) Lim ⎜ ⎟ n →∞ ⎝ n →∞ n →∞ n n2 ⎠ n2 n2 1 1 − −2 2 1 − 2n )(1 + n ) ( 1 − n − 2n2 n n г) Lim Lim Lim = = = −2 . 4 4 n →∞ n →∞ n2 + 4n + 4 n →∞ ( n + 2 )2 1+ + 2 n n 656. а) Lim

n →∞

657. а) Lim n →∞

( 2n + 1)( 3n − 4 ) − 6n2 + 12n = Lim 7n − 4 = 7. n+5

n →∞

n ( 2n + 5 ) − 2n + 5n − 13 2

б) Lim

n ( n + 1)( n − 7 ) + 1 − n

n →∞

= Lim

n →∞ n3

n+5

10n2 − 13 = − 6n2 − 8n + 1

10 n − 13 n3 = 0. n →∞ 1 − 6 n − 8 n2 − 1 n3

= Lim

в) Lim n →∞

г) Lim n →∞

(1 − n ) ( n2 + 1) + n3 n2 + 2n

(

)

n2 + 1 − n = 1. n →∞ n2 + 2n

= Lim

n 7 − n2 + n3 − 3n − 1

( n + 1)( n + 2 ) + 2n

7 n − n3 + n3 − 3n − 1 = n →∞ n2 + 3n + 2 + 2n2 + 1

= Lim

4 n − 1 n2 4n − 1 = Lim = 0. n →∞ 3 + 3 n + 3 n2 n →∞ 3n2 + 3n + 3

= Lim

658. а) bn =

25 25 b1 = n 3 3 n 13

b2 =

25 9

1 25 3 . Sn = = 12,5. 3 23

1 −13 26 2 =− = −8 . . Sn = 3 2 3 3 2 2 45 45 45 1 45 3 45 в) bn = n b1 = b2 = q = . Sn = = = 22,5. 23 2 3 9 3 3 −42 1 n 7 г) bn = (− 1) n − 2 b1 = –42 b2 = 7 q = − . Sn = = −36. 6 1+1 6 6 б) bn = (− 1)

n −1

b1 = –13

⎧b1 + b 3 = 29 ⎩b 2 + b 4 = 11,6

659. ⎨

b2 =

13 2

q= −

⎧⎪b1 + b1q 2 = 29 ⎨ ⎪⎩b1q + b1q 3 = 11,6

(

)

⎧⎪b1 1 + q 2 = 29 2 q= . ⎨ 2 5 ⎪⎩b1q 1 + q = 11,6

(

)

159

b1 =

29 25 25 ⋅ 5 2 = 25. Sn = = = 41 . 2 4 3 3 1− 1+ 5 25

660. а) Sn = 24 S3 = 21.

q3 − 1 = −

⎧ b1 ⎪1 − q = 24 ⎪ ⎨ b q3 − 1 ⎪ 1 = 21 ⎪ q-1 ⎩

(

1 q = 8 1 q= 2

Ответ: b1 = 12 ⎧ b1 ⎪1 − q = 31, 25 ⎪ б) ⎨ 3 ⎪ b1 q − 1 = 31 ⎪ q-1 ⎩

)

b1 125 = 1−1 5 4 q=

1 5

⎧ b1 ⎪⎪1 2 = 24 ⎨ ⎪q = 1 ⎪⎩ 2

)

(

7 8

1 . 2

(

)

31 ⋅ 4 124 = 125 125

− q3 − 1 = q=

1 5

5b1 125 = 4 4

b1 = 25.

b1 = 12

⎛1⎞ ⎝5⎠

b1 = 25. 6

b7 = 25 ⋅ ⎜ ⎟ =

1 . 625

1 = b7. 625 ⎧⎪Sn = 18 661. ⎨ 2 ⎪⎩b1 + b12 q 2 + b12 q 4 ... = 162 Ответ:

⎧ b1 ⎪ q-1 = −18 ⎪ ⎨ 2 ⎪ b1 = 162 ⎪⎩1-q2

⎧ b1 ⎪1-q = 18 ⎪ ⎨ 2 ⎪ b1 = 162 ⎪⎩1-q2

⎪⎧b1 = 18 (1-q ) ⎨ 2 2 ⎪⎩324 1-2q + q = 162 − 162q

(

)

2q2 – 4q + 2 = 1 – q2

3q2 – 4q + 1 = 0

b1 = 0 не может быть.

2 +1 =1 3 1 q= 3

b1 = 12.

662. а) 2 + 4 + 6 +… +20 + = 10

160

1 1 1 + + ... = 2 4 8

12 20 + 2 + = 110 + 1 = 111. 2 1−1 2

б) 1 + 3 + 5 +… +99 +

2 4 8 + + + ... = 5 25 125

2 2 1 + 99 99 − 1 + 2 25 ⋅ + = 2500 + = 2500 . 3 3 2 2 1− 2 5

1 1 1 − + ... = 3 9 27 1 1 21 + 51 51 − 21 + 3 13 = 396 . = ⋅ + = 12·33 + 4 4 2 3 1+1 3

в) 21 + 24 + 27 +… +51 +

г) 1 + 4 + 7 +… +100 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +…=

1 + 100 100 − 1 + 3 0,1 1 1 ⋅ + = 1717+ = 1717 . 2 3 1 − 0,1 9 9

sin x . 1 − sin x cos x б) cosx – cos2x + cos3x + ...= . 1 + cos x

663. а) sinx + sin2x + sin3x + ...=

cos2 x = ctg2 x. 1 − cos2 x 1 г) 1 – sin3x + sin6x – sin9x + ...= . 1 + sin3 x 2 3 664. а) x + x + x + ...=4. 4 x x = 4 – 4x x= . =4 1− x 5

в) cos2x + cos4x + cos6x + ...=

б) 2x – 4x2 + 8x3 –16x4 + ...=

2x 3 = 1 + 2x 8 665. а)

2x =

3 . 8

3 3 + x 8 4

10x = 3

3 . 10

1 2 или x = . 3 3

9 1 + 1 + x + x2 + ...= . x 2

1 x = 9 . 2 = 9x – 9x2. 1− x 2

9x2 – 9x + 2 = 0.

б) 2x + 1 + x2 – x3 + x4 – ...=

13 . 6

2x + 1 +

x2 13 = . 1+ x 6

13 13 2 x − = 0 , 18x2 + 18x – 13x – 7 = 0, 18x + 5x – 7 = 0, 6 6 −5 + 23 1 −5 − 23 7 =− . x= = . x= 36 2 36 9

2x+1+2x2+x+x2–

161

666. а) sinx + sin2x + sin3x + ...= 5. 5 sin x = 5. 6sinx = 5. x = (-1)narcsin + πn. 1 − sin x 6 б) cosx – cos2x + cos3x + ...= 2. cos x cosx = 2 + 2cosx. cosx = –2. решений нет. = 2. 1 + cos x

4 3 4 3 1 2 = . cos x = . 4 1 − sin2 x 3 π 5π x= ± + 2πn. x = ± + 2πn. 6 6

в) 1 + sin2x + sin4x + ...=

г) 7cos3x + 7cos6x + ...= 1.

cos3 x 1 = . 7cos3x = 1 – cos3x. 1 − cos3 x 7 cos3x =

1 . 8

cosx =

1 . 2

x= ±

π + 2πn. 3

§ 31. Предел функции 667. а) при x → +∞ рис. 23, 25 учебника. б) при x → –∞ рис. 24, 25 учебника. в) при x → ∞ рис. 25 учебника. 668. а) y = 3 – горизонт. асимптота на луче (–∞; 4] Limf ( x) = 3, x →∞

Lim f ( x),

x →+∞

Lim f ( x) не существуют

x →−∞

б) y = –2 – горизонт. асимптота на луче [-6; +∞) Lim f ( x), x →∞

Lim f ( x) не существуют

x →−∞

Limf ( x) = −2. x →+∞

в) y = –5 – горизонт. асимптота на луче (–∞; 3] Limf ( x) = −5, x →−∞

Lim f ( x),

x →+∞

Lim f ( x) не существуют x →∞

г) y = 5 – горизонт. асимптота на луче [4; +∞) Lim f ( x), x →∞

Lim f ( x) не существуют

x →−∞

Limf ( x) = 5. x →+∞

162

669. а) Lim f ( x ) = 3.

б) Limf ( x) = −2.

x →∞

y x

-2 3 0

в) Lim f ( x) = −5.

г) Lim f ( x ) = 0.

x →∞

y x

-5

670. Limf ( x) = −3. x → +∞

а) Lim6 f ( x) = −18.

б) Lim

x →∞

f ( x) = −1. 3

x → −∞

в) Lim8 f ( x) = −24.

г) Lim0,4 f ( x) = −

x → −∞

x →∞

671. Limf ( x ) = 2.

Limg ( x) = −3.

x→∞

6 . 5

Limh( x) = 9. x →∞

x →∞

а) Lim ( f ( x ) + g ( x ) ) = Lim f ( x) + Lim g ( x) = 2 – 3 = 1. x →∞

x →∞

б) Lim ( f ( x) − h( x ) ) = 2 − 9 = −7.

x →∞

в) Lim (g ( x ) + h( x ) ) = −3 + 9 = 6. x →∞

г) Lim ( f ( x) + g ( x) − h( x) ) = 2 − 3 − 9 = −10. x →∞

672. Limf ( x) = −2. Limg ( x ) = 7. Limh( x ) = −2. x →∞

x →∞

а) Lim ( f ( x ) ⋅ g ( x) ) = −14.

(

x →∞

)

в) Lim g ( x ) ⋅ (h( x ) ) = 7 ⋅ 4 = 28. 2

x →∞

б) Lim( f ( x) ) = 4. 2

x →∞

г) Lim ( f ( x) ⋅ g ( x) ⋅ h( x ) ) = 7 ⋅ 4 = 28. x →∞

163

673. Limf ( x) = 6. x →∞

а) Lim

Limg ( x) = −10.

LimL( x) = 25.

x →∞

f ( x) 6 3 = =− . 5 g ( x) −10

x →∞

б) Lim

L( x)

x →∞

в) Lim

( g ( x) )2

100 = 4. 25

f ( x) g ( x) 6 ⋅ ( −10) 12 = = − = −2, 4. h( x) 25 5 x →∞

2 L( x) 50 5 = =− . г) Lim 3 g ( x) −30 3 x →∞

3⎞ ⎛ 1 674. а) Lim ⎜ 2 + 3 ⎟ = 0. x ⎠ ⎝x

2⎞ ⎛ 7 б) Lim ⎜ 5 − 3 ⎟ = 0. x ⎠ ⎝x

8⎞ ⎛ 2 в) Lim ⎜ 2 + 3 ⎟ = 0. x ⎠ ⎝x

5 ⎞ ⎛ 9 г) Lim ⎜ 3 − 7 ⎟ = 0. x ⎠ ⎝x

⎛ 2 ⎞ 675. а) Lim ⎜ 9 + 1⎟ = 1. ⎝x ⎠

⎛ 4 7 ⎞ б) Lim ⎜ 3 − − 21⎟ = −21. x ⎝x ⎠

4 ⎛ 6 ⎞ в) Lim ⎜ 5 + 2 + 9 ⎟ = 9. x ⎝x ⎠

⎛ 7 ⎞ г) Lim ⎜ 2 − 7 ⎟ = −7. ⎝x ⎠

x →∞

1 ⎞ 16 ⎛ ⎛ 12 ⋅ 16 16 ⎞ 676. а) Lim ⎜ 12 − 2 ⎟ 7 = Lim ⎜ 7 − 9 ⎟ = 0. x ⎠x x ⎠ ⎝ ⎝ x x →∞

x →∞

⎛ 5 ⎞⎛ 8 ⎞ б) Lim ⎜ 3 + 1⎟⎜ − 2 − 2 ⎟ = 1 ⋅ ( −2 ) = −2. ⎝x ⎠⎝ x ⎠ x →∞

1⎞2 ⎛ в) Lim ⎜ 4 + 3 ⎟ 5 = 0. x ⎠x ⎝ x →∞

677. а) Lim

x +1 = 1. x−2

⎛ 7 ⎞⎛ 6 ⎞ г) Lim ⎜ 6 − 2 ⎟⎜ − 10 − 3 ⎟ = 6. ⎝x ⎠⎝ x ⎠ x →∞

3− 4 3x − 4 x = 3. = Lim 2x + 7 2 2+7 x x →∞

б) Lim

x →∞

x−4 = 1. в) Lim x+3 x →∞

x →∞

7x + 9 7 1 г) Lim = =1 . 6x − 1 6 6

678. при x → 3 f(x) на рис. 28 имеет предел и он равен 4. f(x) на рис. 26 имеет предел и он равен 3. f(x) на рис. 27 имеет предел и он равен 4. f(x) на рис. 33 имеет предел и он равен 0.

164

x →∞

679. а) Limg ( x) = 2.

б) Limg ( x) = −3.

x → −1

x →2

-1 0

-3

в) Limg ( x ) = −4.

г) Limg ( x) = 3,5.

x→−7

x→5

y y 3

-7

-4

680. а) Limf ( x) = 0.

б) Limf ( x) = 4.

в) Limf ( x) = 9.

г) Limf ( x) = 4.

x → −∞

x→0

x →3

x → +∞

681. а) Lim( x − 3 x + 5) = 1 − 3 + 5 = 3. x →1

⎛ 2x + 3 ⎞ 1 + 3 б) Lim ⎜ = 1. ⎟= ⎝ 4x + 2 ⎠ 2 + 2 x→

в) Lim( x2 + 6 x − 8) = 1 − 6 − 8 = −13. x →−1

г) Lim

1 2

7 7x − 14 − 3 − 14 49 = = . −7 + 2 21x + 2 15

x →−

1 3

682. а) Lim x + 4 = 9 = 3.

б) Lim 2 x − 6 = 1 = 1.

в) Lim x + 3 = 9 = 3.

г) Lim 3 x − 8 = 4 = 2.

x →5

x →6

683. а) Lim

x →3,5

2x − 1 −1 1 = = . x2 + 3 x − 4 −4 4

x→4

б) Lim

x →0

4x + 7 7 1 в) Lim 2 = =2 . 3 x − 5x + 3 3 x →0

3 + 4x 3+ 4 7 2 = = =1 . 5 2 x2 + 6 x − 3 2 + 6 − 3 5 x →1

г) Lim

5-2x 5+2 7 = = . 3 x2 − 2 x + 4 3 + 2 + 4 9 x →−1

165

π π sin sin sin πx sin 4π x = 2 = 1. 684. а) Lim = = 0. б) Lim x → 41 x − 1 x→2 2x + 1 5 5 3 2π cos cos πx cos 0 1 x = cos π = − 1 . = = . г) Lim в) Lim x →0 x + 2 x → 2 3x − 1 5 5 2 2 685. а) Lim x→ 0

x2 x x +1 1 = 0. б) Lim 2 = Lim = −1. = Lim x→−1 x + x x→−1 x x − x x→0 x − 1 2

x2 − 3x = Lim x = 3. x→ 3 x−3

в) Lim x→ 3

686. а) Lim x→1

г) Lim x→5

x2 − 1 x2 − 4 = Lim ( x − 1) = 0. б) Lim = Lim ( x − 2 ) = −4. x→−2 2 + x x→−2 x − 1 x→1

x2 − 25 = Lim ( x + 5 ) = 10. x→ 5 x→ 5 x−5 687. y = 2x – 3 x0 = 3. y(x1) = 3,4. а) x1 = 3,2. б) x1 = 2,9. y(x1) = 2,8. y(x1) = 4. в) x1 = 3,5. г) x1 = 2,5. y(x1) = 2. 688. y = x2 + 2x x0 = -2. y(x1) = -0,19. а) x1 = -1,9. б) x1 = -2,1. y(x1) = 0,21. в) x1 = -1,5. y(x1) = -0,75. г) x1 = -2,5. y(x1) = 1,25. 689. y = sinx x0 = 0.

в) Lim

π . 6 π б) x1 =– . 6 а) x1 =

π . 4 π г) x1 =– . 3 в) x1 =

1 . 2 1 y(x1) = – . 2 y(x1) =

π . 8 π б) x1 = . 12 166

г) Lim

x→−3

3+ x 1 1 = Lim =− . 6 x2 − 9 x→−3 x − 3

y(x0) = 3 ∆y = 0,4. ∆y = -0,2. ∆y = 1. ∆y = -1. y(x0) = 0. ∆y = -0,19. ∆y = 0,21. ∆y = -0,75. ∆y = 1,25. y(x0) = 0.

1 . 2 1 ∆y = – . 2 ∆y =

2 2 . ∆y = . 2 2 3 3 y(x1) = – . ∆y = – . 2 2

y(x1) =

690. y = 2sinxcosx = sin2x

а) x1 = –

x+5 1 1 = Lim = . x2 + 5 x x→5 x 5

x0 = 0.

y(x0) = 0.

2 2 . ∆y = – . 2 2 1 1 y(x1) = . ∆y = . 2 2

y(x1) = –

π . 8 π . г) x1 =– 12

2 . 2 1 y(x1) = – . 2

в) x1 =

y(x1) =

2 . 2 1 ∆y = – . 2 ∆y =

691. y = x x0 = 1. а) ∆x = 0,44. y(x + ∆x) – y(x) = 1,2 – 1 = 0,2. б) ∆x = -0,19. y(x + ∆x) – y(x) = 0,9 – 1 = -0,1. в) ∆x = 0,21. y(x + ∆x) – y(x) = 1,1 – 1 = 0,1. г) ∆x = 0,1025 y(x + ∆x) – y(x) = 1,05 – 1 = 0,05. 692. а) f(x1) – f(x0) = 1,4 – 2 = -0,6. б) f(x1) – f(x0) = 1 – 6 = -5. 693. y = 4x2 – x.

1 . 2

а) x = 0

∆x = 0,5.

y(x + ∆x) – y(x) =

б) x = 1

∆x = -0,1.

y(x + ∆x) – y(x) = 2,34 – 3 = - 0,66.

в) x = 0

1 ∆x = - . 2

y(x + ∆x) – y(x) =

3 . 2

г) x = 1 ∆x = 0,1. y(x + ∆x) – y(x) = 3,74 – 3 = 0,74. 694. а) f(x) = 3x + 5. f(x + ∆x) = 3x + 3∆x +5. f(x + ∆x) – f(x) =3∆x. б) f(x) = – x2. f(x + ∆x) = – x2 – 2x∆x – (∆x)2. f(x + ∆x) – f(x) = – 2x∆x – (∆x)2. в) f(x) = 4 – 2x. f(x + ∆x) = 4 – 2x – 2∆x. f(x + ∆x) – f(x) = – 2∆x. г) f(x) = 2x2. f(x + ∆x) = 2x2 + 4∆xx + 2∆x. f(x + ∆x) – f(x) = 4∆xx + 2∆x. 695. y = x2 – 4x + 1. x0 = 2. y(x0) = -3. ∆y 0,01 а) x = 2,1. y(x) = -2,29. y(x) – y(x0) = 0,01. = = 0,1. ∆x 0,1 ∆y 0,01 =− = −0,1. б) x = 1,9. y(x) = -2,29. y(x) – y(x0) = 0,1. ∆x 0,1 в) x = 2,5.

y(x) = -2,75.

y(x) – y(x0) = 0,25.

∆y 0, 25 = = 0,5. ∆x 0,5

г) x = 1,5.

y(x) = -2,75.

y(x) – y(x0) = 0,25.

∆y 0, 25 =− = −0,5. 0,5 ∆x

696. а) Lim f(x) = 5.

f(x) > 0. x ∈ ℜ. б) Lim f(x) = -3.

f(x) ≥ 0. x ∈ [-7; 3].

x → +∞

x→−∞

5 x 0

-7

-3

167

в) Lim f(x) = 0. f(x) > 0. x ∈ [0; +∞). г) Lim f(x) = 0. f(x) < 0. x ∈ ℜ. x→+∞

x→−∞

y y 0 0

697. а) Lim h(x) = 4 и функция возрастает. б) Lim h(x) = 5 и функция убывает. x→+∞

x→−∞

y 5

x 0

в) Lim h(x)=-2 и функция возрастает. г) Lim h(x)=-3 и функция убывает. x→−∞

x→+∞

y 0

0 -2

-3

698. а) Lim h(x) = 1 и функция ограничена сверху. x → −∞

y 1 0

б) Lim h(x) = 1 и функция ограничена снизу. x → +∞

y 1 0

168

в) Lim h(x) = 1 и функция ограничена сверху. x → +∞

y 1 0 x

г) Lim h(x) = 1 и функция ограничена снизу. x → −∞

y 1 0 x

-3

699. а) Lim h(x) = -3 и функция ограничена. x → +∞

y 0

x -3

б) Lim h(x) = 4 и функция ограничена. x → −∞

y 4

x 0

в) Lim h(x) = -2 и функция ограничена. x →∞

y 0

x -2

г) Lim h(x) = 1 и функция ограничена. x →∞

y 1

169

4+ 9 2 4 x2 + 9 x = 4. = Lim x → ∞ x2 + 2 x →∞ 1 + 2 x2 12 + 5 + 2 2 x 12 x2 + 5 x + 2 x = 2. б) Lim = Lim x → ∞ 6 x2 + 5 x − 3 x →∞ 6 + 5 − 3 x x2 700. а) Lim

3− 8 2 3x2 − 8 x = 3. = Lim x → ∞ x2 − 1 x →∞ 1 − 1 x2 10 + 4 − 3 2 x 10 x2 + 4 x − 3 x = 2. г) Lim = Lim x → ∞ 5 x2 + 2 x + 1 x →∞ 5 + 2 + 1 x x2

в) Lim

701. а) Lim x →∞

3 − 1 x 3x − 1 x2 = 0. = Lim 2 x →∞ 1 + 7 + 5 x + 7x + 5 x x2

−5 x x2 = 0. x →∞ 2−9 x −2 − 1 2 x −2 x − 1 x = 0. в) Lim = Lim x → ∞ 3 x2 − 4 x + 1 x →∞ 3 − 4 + 1 x x2 4 + 3 x 4x + 3 x2 = 0. г) Lim = Lim 2 x → ∞ 12 x − 6 x x → ∞ 12 − 6 x

б) Lim

5 − 5x = Lim x →∞ 2 x2 − 9 x

702. а) Lim x →∞

4 x − x2 + 1 = Lim x →∞ 5 x2 − 2 x

4 −1 + 1 x x2 = − 1 . 5 5− 2 x

1− 8 3 x3 − 8 x = 1. = Lim x → ∞ x3 + 18 x → ∞ 1 + 18 x3 3 −2+ 4 x 3x − 2 x2 + 4 x2 = − 2 . в) Lim = Lim 2 x →∞ x →∞ 3 3x + 2 x 3+ 2 x 1 − 3 x x3 − 3x2 x2 = 0. = Lim г) Lim 4 x →∞ x + 2 x + 1 x →∞ 1 + 2 + 1 4 x3 x б) Lim

170

703. а) Lim f(x) = 4 x → +∞

Lim (x) = 0

x → −∞

б) Lim f(x) = 10 x → +∞

Lim f(x) = -2

x → −∞

y 10

-2

в) Lim f(x) = -2 x → +∞

Lim f(x) = 1

x → −∞

1 x

-2

г) Lim f(x) = 3 x → +∞

Lim f(x) = -4

x → −∞

0 x -4

704. а) Lim f(x) = 3 и x→2

f(2) = -3

б) Lim f(x) = 4 x → −6

x y

Lim f(x) = 0

x → −∞

4 x -6

171

в) Lim f(x) = 4 и

f(-1) не существует

x → −1

4 x -1

г) Lim f(x) = -1

x →3

Lim f(x) = -5

x → +∞

-1 -5

705. а) Lim x →1

( x − 1)( x + 3) = 1 + 3 = 4. x2 + 2 x − 3 = Lim x →1 x −1 x −1

б) Lim

1 x+2 x+2 = − . = Lim x → −2 ( x + 2 )( 2 x − 3) 7 2 x2 − x − 6

в) Lim

1 1 x +1 x +1 = = = Lim =− . x → − 1 x 1 x 3 + − − 1 − 3 ( )( ) 4 x − 2x − 3

x → −2

x → −1

( x − 9 )( x − 2 ) = 7. x2 − 11x + 18 = Lim x →9 x →9 x−9 x−9 x+2 1 1 1 706. а) Lim 3 = Lim 2 = = . x → −2 x + 8 x → −2 x − 2 x + 4 4 + 4 + 4 12

г) Lim

1 + x3 1 − x + x2 3 = . = Lim 2 x → −1 1 − x x → −1 1− x 2 x−3 x−3 1 1 . = = в) Lim 3 = Lim x → 3 x − 27 x → 3 ( x − 3) x2 + 3 x + 9 9 + 9 + 9 27 б) Lim

(

г) Lim x→4

( 4 − x )( 4 + x ) = 16 − x 8 1 = . = Lim 3 2 x → 4 16 + 16 + 16 6 64 − x ( 4 − x ) 16 + 4 x + x

(

707. а) Lim x →0

б) Lim x→

π 2

)

sin x = Lim cosx = 1. x →0 tgx

sin 3x − sin x sin x cos 2 x = Lim = Lim tgx. предела не существует. π π cos3 x + cos x x → cos 2 x cos x x→ 2

cos x cos5 x − cos3 x sin 4 x sin x = Lim − = 0. = Lim sinx = 1. г) Lim в) Lim π ctgx π x→ 0 sin 5 x + sin 3 x x→ 0 sin 4 x cos x x→ x→ 2

172

708. а) f(x) = Kx + m, f(x + ∆x) = Kx + m + K∆x, f(x + ∆x) – f(x) = K∆x; б) f(x) = ax2, f(x + ∆x) = ax2 + 2a∆x·x+a·∆x2, f(x + ∆x) – f(x) =2a∆x·x+a·∆x2; 1 1 , в) f(x) = , f(x + ∆x) = x x + ∆x x − x − ∆x ∆x ; f(x + ∆x) – f(x) = =– 2 ( x + ∆x ) x x + x∆x x , f(x + ∆x) =

г) f(x) =

f(x + ∆x) – f(x) =

∆f = – ∆f =

г) f(x) =

∆x . x2 + x∆x ∆x ∆f = . x + ∆x + x ∆x

б) f(x) = ax2.

∆f ∆x ∆f ∆x

( б) Lim ( x →∞ x

∆f = Lim (2ax + a∆x) = 2ax. ∆x → 0 ∆x 1 ∆f 1 =– 2 . Lim =– 2 . x + x∆x ∆x → 0 ∆x x 1 1 = . Lim x + ∆x + x ∆x → 0 x + ∆x +

1 2 x

x +6 −3 x +6−9 = = Lim x → 3 x ( x − 3) x2 − 3x x+6 +3

(

x →3

Lim

711. а) Lim

= Lim

x + ∆x + x

∆x → 0

1 . x

г) f(x) =

∆f ∆f = K. Lim = K. ∆x → 0 ∆x ∆x

710. а) f(x) = Kx + m.

в) f(x) =

∆f = K. ∆x ∆f = 2ax + a∆x. ∆x ∆f 1 =– 2 . ∆x x + x∆x

∆f = ∆x(2ax + a∆x).

1 . x

в) f(x) =

∆f = K∆x.

709. а) f(x) = Kx + m.

б) f(x) = ax2.

x + ∆x ,

x + ∆x –

1 x+6 +3

)

1 1 = . 3(3 + 3) 18

)

2x + 3 − 2x − 7 = Lim x →∞

10 =0 2x + 3 + 2x − 7

1 − cos x 1 − cos2 x = 712. а) Lim = Lim x →0 x → 0 x2 (1 − cos x ) x2

= Lim x →0

sin 2 x 1 1 = Lim = . 2 x → 0 1 − cos x 2 x (1 − cos x ) 173

sin 7 x − sin 3x sin 2 x cos 5 x = Lim = x → 0 sin 8 x − sin 2 x x → 0 sin 3 x cos 5 x sin 2 x 2 2 sin x cos x 2 cos x = Lim = Lim = Lim = . x → 0 sin 3 x x → 0 3 sin x − 4 sin 3 x x → 0 3 − 4 sin 2 x 3

б) Lim

§ 32. Определение производной 713. s(t) = 2t + 1. а) t2 = 3.

t1 = 2.

S(3) – S(2) = 7 – 5 = 2 = ∆S.

∆t = 1.

б) t2 = 2,5. S(2,5) – S(2) = 6 – 5 = 1.

∆S 1 = 2 (м/с). = Vср = ∆t 0,5

∆t = 0,1.

∆S 0,2 = = 2 (м/с). ∆t 0,1

∆t = 0,05.

∆S 0,1 = 2 (м/с). = ∆t 0,05

г) t2 = 2,05. S(2,05) – S(2) = 0,1.

∆S = 2 (м/с). ∆t

∆t = 0,5.

в) t2 = 2,1. S(2,1) – S(2) = 0,2.

Vср =

V мгновенная в t = 2 равна 2 (м/с). 714. s(t) = t2. t1 = 0. а) t2 = 0,1.

S(0,1) – S(0) = 0,01.

б) t2 = 0,01.

S(0,01) – S(0) = 0,0001.

в) t2 = 0,2.

S(0,2) – S(0) = 0,04.

г) t2 = 0,02.

S(0,02) – S(0) = 0,0004.

∆S ∆t ∆S ∆t ∆S ∆t ∆S ∆t

= 0,1 (м/с). = 0,01 (м/с). = 0,2 (м/с). = 0,02 (м/с).

мгновенная скорость в момент t = 1 равна 2 (м/с). 715. а) S(t) = 4t + 1. Vмгнов = 4 (м/с). б) S(t) = 6t – 2. Vмгнов = 6 (м/с). в) S(t) = 3t + 2. Vмгнов = 3 (м/с). г) S(t) = 5t – 1. Vмгнов = 5 (м/с). 716. а) y1 = 3 x + K . y1´(x1) = 3 ⇒ f´(x1) = y2 =x + K2, y2´(x2) = 1 ⇒ f´(x2) = 1.

б) f´(x1) = 0, y = 174

3 x+K . 3

y´(x2) =

3 3

3. ⇒ f´(x2) =

3 . 3

в) f´(x1) = 0.

f´(x2) = –

3 . 3

г) f´(x1) = 0. f´(x2) = 0. 717. а) y = 9,5x – 3. V = 9,5 м/с. б) y = -16x + 3. V = -16 м/с. в) y = 6,7x – 13. V = 6,7 м/с. г) y = -9x + 4. V = -9 м/с. 718. а) f(x) = x2. x0 = 2. f´(x0) = 2x0 = 4. б) f(x) = x2. x0 = -1. f´(x0) = -2. в) f(x) = x2. x0 = -2. f´(x0) = -4. г) f(x) = x2. x0 = 9. f´(x0) = 18. 719. а) f(x) =

1 . x

1 . x 1 в) f(x) = . x 1 г) f(x) = . x б) f(x) =

x0 = 2.

f´(x0) = –

x0 = -1.

f´(x0) = 1.

x0 = 5.

f´(x0) = –

1 . 4

1 . 25

x0 = -0,5. f´(x0) = –4.

720. S(t) = t2. а) t = 1. б) t = 2,1. в) t = 2. г) t = 3,5. 721. y = x2. а) y′ > 0, б) y′ < 0, 722. S(t) = 2t2 + t.

S′(t) = 2t. V = 2 (м/с). V = 4,2 (м/с). V = 4 (м/с). V = 7 (м/с). y′ = 2x. при x >0. при x < 0. t1 = 0.

а) t2 = 0,6.

S(t2) – S(t1) = 1,32.

б) t2 = 0,2.

S(t2) – S(t1) = 0,28.

в) t2 = 0,5.

S(t2) – S(t1) = 1.

г) t2 = 0,1.

S(t2) – S(t1) = 0,12.

723. а) S(t) = t2 + 3. б) S(t) = t2 – t. в) S(t) = t2+4. г) S(t) = t2 – 2t.

S′(t) = 2t. S′(t) = 2t – 1. S′(t) = 2t. S′(t) = 2t – 2.

S′′(t) = 2. a = 2 (м/с2). a = 2 (м/с2). a = 2 (м/с2). a = 2 (м/с2).

∆S ∆t ∆S ∆t ∆S ∆t ∆S ∆t

1,33 = 2,2. (м/с) 0,6

= 1,4. (м/с) = 2. (м/с) = 1,2. (м/с)

Vмгнов = 2t. (м/с) Vмгнов = 2t – 1. (м/с) Vмгнов = 2t. (м/с) Vмгнов = 2t – 2. (м/с) 175

724. а) f′(-7) < f′(-2). в) f′(-9) < f′(0). 725. а) f′(x1) > 0, б) f′(x1) < 0, в) f′(x1) < 0, г) f′(x1) > 0, 726. а) ϕ′(x) > 0 б) ϕ′(x) < 0 и в) ϕ′(x) < 0 г) ϕ′(x) > 0 и 727. S(t) = t2 + 4t. а) t = 1. б) t = 2,1. в) t = 2. г) t = 3,5.

б) f′(-4) < f′(2). г) f′(-1) > f′(5). f′(x2) > 0. x1 = 0 f′(x2) > 0. x1 = -6 f′(x2) < 0. x1 = -5 f′(x2) < 0. x1 = 2 x = -7, -6, -5. x>0 x = 4, 5. x = -3, -2. x<0 x = -5, -6. S′(t) = 2t + 4. V = 2 + 4 = 6. (м/с) V = 4,2 + 4 = 8,2. (м/с) V = 8. (м/с) V = 7 + 4 = 11. (м/с)

x2 = 1. x2 = 0. x2 = -4. x2 = 4.

S′′(t) = 2. a = 2. (м/с2) a = 2. (м/с2) a = 2. (м/с2) а = 2. (м/с2)

§ 33. Вычисление производных y′ = 7.

б) y = x2.

y′ = 2x.

в) y = -6x + 1.

y′ = -6.

1 г) y = . x

y′ = –

729. а) y = sinx.

y′ = cosx.

б) y =

y′ =

в) y = cosx.

y′ = –sinx

г) y = 1010.

728. а) y = 7x + 4.

730. а) g(x) =

x . x0 = 4.

б) g(x) = x2. в) g(x) = -3x – 1. г) g(x) =

1 . x

g′(x) =

x0 = 0,5.

g′(x) = -

б) g(x) = cosx.

x0 =

π . 2

π . 6

в) g(x) = cosx. x0 = -3π. г) g(x) = sinx. x0 = 0. 732. а) h(x) = 7x – 19. x0 = -2.

в) h(x) = -6x + 4. г) h(x) = 176

2 x

g′(x) = 2x. g′(x) = -3.

x0 = −

x0 = -7. x0 = -3.

731. а) g(x) = sinx.

б) h(x) =

x0 = 16. x0 = 0,5. x0 = 9.

1 . x2 1

2 x

y′ = 0. .

1 . x2

g′(x0) =

1 . 4

g′(x0) = -14. g′(x0) = -3. g′(x0) = -4.

g′(x) = cosx.

g′(x0) = 0.

g′(x) = –sinx.

g′(x0) = −

g′(x) = –sinx. g′(x) = cosx. h′(x0) = 7. 1 h′(x) = . 2 x h′(x0) = -6. 1 h′(x) = . 2 x

g′(x0) = 0. g′(x0) = 1.

1 . 2

h′(x0) =

1 . 8

h′(x0) =

1 . 6

733. а) h(x) =

1 . x

1 . x2

1 . 4

x0 = -2.

h′(x) = −

π . 2

h′(x) = cosx.

h′(x0) = 0.

h′(x0) = –

б) h(x) = sinx.

x0 =

в) h(x) = x2.

x0 = -0,1.

h′(x) = 2x.

h′(x0) =–

г) h(x) = cosx. 734. а) f(x) = x2.

x0 = π. x0 = -4.

h′(x) = –sinx. f′(x) = 2x.

h′(x0) = 0. f′(x0) =–8.

1 . x 1 в) f(x) = . x

1 . 3 1 x0 = . 2

г) f(x) = x2.

x0 = 2.

б) f(x) =

735. а) f(x) = sinx.

б) f(x) = cosx. в) f(x) = cosx. г) f(x) = sinx.

x0 = –

π x0 = . 3 π x0 = – . 4 π x0 = . 3 π x0 = – . 6

1 . x2 1 f′(x) = – 2 . x

f′(x) = –

f′(x0) =–9. f′(x0) =–4.

f′(x) = 2x.

f′(x0) = 4.

f′(x) = cosx.

f′(x0) =

f′(x) = –sinx.

f′(x0) =

f′(x) = –sinx. f′(x) = cosx.

f(x) = x2 + c. б) f′(x) = cosx. f(x) = 3x + c. г) f′(x) = -sinx. y′ = 2x –7. б) y = –3x2 – 13x. y′ = 14x + 3. г) y = –x2 + 8x. 1 738. а) y=12x+ x . y′ = 12 + . б) y = x – 9x2. 2 x 1 y′ = 15 + . г) y = x – 5x2. в) y = 15x + x . 2 x 1 −1 1 739. а) y = + 4x. y′ = 2 + 4. б) y = –2x2 – . x x x 1 1 1 в) y = – 6x. y′ = – 2 –6. г) y = 10x2 + . x x x 3 3 3 740. а) y = 6 x + . y′ = – . x x x2 1 1 1 б) y = –2 x – . y′ = – + 2. x x x 736. а) f′(x) = 2x. в) f′(x) = 3. 737. а) y = x2 – 7x. в) y = 7x2 + 3x.

1 . 5

1 . 2

2 . 2 3 f′(x0) =– . 2

f′(x0) =

3 . 2

f(x) = sinx + c. f(x) = cosx + c. y′ = –6x –13. y′ = –2x + 8. 1 y′ = – 18x. 2 x 1 y′ = – 10x. 2 x 1 y′ = –4x + 2 . x 1 y′ = 20x – 2 . x

177

5 . x 1 г) y = –8 x – . x

5 . x x2 4 1 y′ = – + 2 . x x

741. а) y = sinx + 3. б) y = 4cosx. в) y = cosx – 6. г) y = –2sinx. 742. а) y = cosx + 2x. б) y = 2sinx – 6x. в) y = sinx – 3x. г) y = 3cosx + 15x. 743. а) y = 5sinx + cosx. б) y = 3sinx + cosx. в) y = sinx – cosx. г) y = 2cosx + sinx. 744. а) y = x5. б) y = x10. в) y = x4. г) y = x201. 745. а) y = x3 + 2x5. б) y = x4 – x9. в) y = x3 + 4x100. г) y = x4 – 7x9. 746. а) y = x5 + 9x20 + 1. б) y = x7 – 4x16 – 3. в) y = x6 + 13x10 + 12. г) y = x9 – 6x21 – 36. 747. а) y=(x2 – 1)(x4 + 2). б) y = (x2 + 3)(x6 – 1). в) y = (x2 + 3)(x4 – 1). г) y = (x2 – 2)(x7 + 4).

y′ = cosx. y′ = –4sinx. y′ = –sinx. y′ = –2cosx. y′ = –sinx + 2. y′ = 2cosx – 6. y′ = cosx – 3. y′ = –3sinx + 15. y′ = 5cosx – sinx. y′ = 3cosx – sinx. y′ = cosx + sinx. y′ = –2sinx + cosx. y′ = 5x4. y′ = 10x9. y′ = 4x3. y′ = 201x200. y′ = 3x2 + 10x4. y′ = 4x3 – 9x8. y′ = 3x2 + 400x99. y′ = 4x3 – 63x8. y′ = 5x4 + 180x19. y′ = 7x6 – 64x15. y′ = 6x5 + 130x9. y′ = 9x8 – 126x20 . y′ = (x4 + 2)(2x) + (x2 – 1)(4x3). y′ = (x2 + 3)6x5 + (x6 – 1)2x. y′ = 2x(x4 – 1) + (x2 + 3)4x3. y′ = 2x(x7 + 4) + (x2 – 2)(7x6).

748. а) y =

y′ =

в) y = 10 x +

x (2x – 4).

y′ =

x (x3 + 1).

y′ =

в) y =

x (8x – 10).

y′ =

x (x4 + 2).

y′ =

178

–

x−2 x

б) y =

г) y =

x3 + 1 2 x

+32 x =

x x4 + 2

+ 8 x=

+ 3x 2 x =

4x − 5

2 x

3x − 2

7 x3 + 1 2 x

12 x − 5

+ 4x3 x =

x 5x 4 + 2 2 x

749. а) y = xsinx.

б) y =

x cosx.

в) y = xcosx. г) y =

x sinx.

⎛1 ⎞ 750. а) y = ⎜ + 1⎟ (2x – 3). ⎝x ⎠ 1⎞ ⎛ б) y = ⎜ 7 − ⎟ (6x + 1). x⎠ ⎝ ⎛1 ⎞ в) y = ⎜ + 8 ⎟ (5x – 2). ⎝x ⎠ 1⎞ ⎛ г) y = ⎜ 9 − ⎟ (3x + 2). x⎠ ⎝

751. а) y =

y′ =

4x2 + 16x + 16

x2 (x + 3) 4x3 + 12x2 x3 + 3x2 . = = 4x2 + 16x + 16 x2 + 4x + 4 (x + 2)2

б) y =

x2 . x −1

y′ =

в) y =

x2 . 3 − 4x

y′ =

x . x +1

y′ =

752. а) y =

1 6 1 (6x + 1) − + 42 = 42 + 2 . 2 x x x 1 5 2 y′ = − 2 (5x – 2) + + 40 = 40 + 2 . x x x 1 3 2 y′ = 2 (3x + 2) − + 27 = 27 + 2 . x x x

y′ =

x3 . 2x + 4

3x2 ( 2x + 4 ) − 2x3

г) y =

y′ = sinx + xcosx. cos x cos x − 2x sin x y′ = – x sinx = . 2 x 2 x y′ = cosx – xsinx. sin x sin x + 2x cos x y′ = + x cosx = . 2 x 2 x 1 1 3 y′ = − 2 (2x – 3) + + 2 = 2 + 2 . x x x

−2x 2x(x2 − 1) − 2x3 . = 2 (x − 1)2 (x2 − 1)2 2x ( 3 − 4x ) + 4x2

( 3 − 4x )

6x − 4x2

( 3 − 4x )

2x(3 − 2x) . (3 − 4x)2

x + 1 − 2x 1 − x2 = 2 . 2 2 (x + 1) (x + 1)

3 x . 2x + 9

3 ( 2x + 9 ) − 6 x 6x + 27 − 12x 27 − 6x 2 x y′ = = . = 2 2 2 2 x ( 2x + 9 ) 2 x ( 2x + 9 ) ( 2x + 9 ) x cos x − sin x . x2 1 − (8 − 3x ) + 3 −2 x 3x − 8 − 6x 8 + 3x −2 x x = в) y = . y′ = =− . 2 2 2 8 − 3x x ( 8 − 3x ) x ( 8 − 3x ) (8 − 3x )

б) y =

sin x . x

y′ =

(

г) y =

cos x . x

y′ =

)

− x sin x − cos x cos x + x sin x = − . 2 x x2

179

753. а) y = tgx.

б) y = ctgx. в) y = tgx + 4. г) y = ctgx + 8. 754. а) y = 3sinx + ctgx.

б) y = tgx – cosx. в) y = cosx + tgx. г) y = 6tgx – sinx. 755. а) y = xtgx.

б) y = sinxtgx. в) y = xctgx. г) y = cosxctgx. 756. а) y = 6x – 9. б) y = –11x + 7. в) y = 5x – 8. г) y = –20x + 3. 757. а) y = x2 + 2x – 1. б) y = x3 – 3x + 2. в) y = x2 + 3x – 4. г) y = x3 – 9x2 + 7. 2 758. а) y = – 1. x

б) y = в) y = г) y = 180

x + 4. 8 – 6. x x + 5.

1 . cos2 x 1 y′ = − 2 . sin x 1 y′ = . cos2 x 1 y′ = − 2 . sin x

y′ =

y′ = 3cosx −

1 . sin2 x

1 + sinx. cos2 x 1 y′ = –sinx + . cos2 x 6 y′ = – cosx. cos2 x x y′ = tgx + . cos x sin x y′ = sinx + . cos2 x x y′ = ctgx – . sin2 x cos x y′ = –cosx – 2 . sin x x0 = 3. y′ = 6. y′(x0) = 6. x0 = 5. y′ = –11. y′(x0) = –11. x0 = 2. y′ = 5. y′(x0) = 5. x0 = 6. y′ = –20. y′(x0) = –20. x0 = 0. y′ = 2x + 2. y′(x0) = 2. x0 = –1. y′ = 3x2 – 3. y′(x0) = 3 – 3 = 0. x0 = 1. y′ = 2x + 3. y′(x0) = 5. x0 = 2. y′ = 3x2 – 18x. y′(x0) = 12 – 36 = –24. 2 1 x0 = 4. y′ = − 2 . y′(x0) = – . 8 x 1 1 x0 = 9. y′ = . y′(x0) = . 6 2 x 8 x0 = 1. y′ = − 2 . y′(x0) = –8. x 1 1 x0 = 4. y′ = . y′(x0) = . 4 2 x

y′ =

759. а) y = 2sinx – 13.

x0 =

π . 2

y′ = 2cosx.

y′(x0) = 0.

б) y = –cosx + 2.

x0 =

π . 3

y′ = sinx.

y′(x0)=

y′ = –cosx.

y′(x0)=–

y′ =–4sinx.

y′(x0)= −2 2 .

π . 6 π г) y = 4cosx + 1. x0 = . 4 π 760. а) y = tgx + 14. x0 = – . 4 π б) y = 2ctgx . x0 = . 3 2 8 2 y′(x0)=– = − = −2 . 2 3 3 ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ π в) y = ctgx – 2. x0 = – . 6

в) y = –sinx – 3.

x0 =

г) y = 4tgx. 761. а) y =

б) y =

sin x . x

x +1 . x −1

x0 = π.

762. а) g = x3 + 2x.

x0 = 2.

б) g =

(

x0 = 0.

)

x +1

x . x0 = 1.

3 . 2

y′(x0)= 2.

1 . sin2 x −4 y′ = . x0 = 0. cos2 x π x cos x − sin x x0 = . y′ = . 2 x2 x −1− x −1 2 x0 = 2. y′ = =− . ( x − 1)2 ( x − 1)2

cos x . x 2x г) y = . x +1

в) y =

1 . cos2 x −2 y′ = 2 . sin x

y′ =

3 . 2

y′ = −

− x sin x − cos x 1 = 2. π x2 2x + 2 − 2x 2 y′ = = . ( x + 1)2 ( x + 1)2

y′(x0)= –4. y′(x0)= –4. y′(x0) = –

4 . π2

y′(x0) = –2.

y′ =

g′(x) = 3x2 +2. g′(x) =

y′(x0) = 2.

g′(x0) = 14.

x x +1 1 1 1 + = + + . 2 2 2 x 2 x 2 x

3 . 2 в) g = x2 – 3x. x0 = 4. g′(x) = 2x – 3. g′(x0) = 5. 1⎛4 1 4 1 4 2 4 1 ⎛ 4⎞ ⎞ ⎛ ⎞ x0 = − . g′(x) = − 2 ⎜ − 2 ⎟ + ⎜ − 2 ⎟ = − 3 + 2 − 3 . г) g= ⎜ − 2 ⎟ . x⎝x 2 ⎠ ⎠ x⎝ x ⎠ x ⎝x x x x g′(x0) = 4·8 + 2·4 + 4·8 = 72.

g′(x0) =

181

6 − 2x . x 3 б) g = 2x – 4x +3. 12 в) g = 4x2 − . x г) g = –x3 + 2x2 + 1.

763. а) g =

764. а) g = 2sinx – 4x.

б) g =

tgx . 3

в) g = –3cosx + x. сtgx . 5 765. а) h(x) = x6 – 4x. h′(x) = 6x5 – 4. г) g =

б) h(x) =

x −3.

1 . 2 x в) h(x) = –x5 – 2x2 + 2. h′(x) = –5x4 – 4x. 25 г) h(x) = +2. x 25 h′(x) = − 2 . x

h′(x) =

766. а) h(x) = 10 – cosx.

h′(x) = sinx. б) h(x) = 2tgx. 2 . cos2 x в) h(x) = 4 – sinx. h′(x) = –cosx.

h′(x) =

г) h(x) = –4ctgx. h′(x) =

182

4 . sin2 x

x0 = -1. x0 = 2. x0 = –2. x0 = 2. π x0 = . 2 π x0 = − . 3 π x0 = − . 6 π x0 = . 3 x0 = 1. h′(x0) = 2. 1 x0 = . 4

6 −2. x2 2 g′(x) = 6x – 4. 12 g′(x) = 8x + 2 . x g′(x) = –3x2 + 4x.

g′(x0) = –4.

g′(x) = 2cosx – 4.

g′(x0) = -4.

g′(x) = −

g′(x) =

1 . 3cos2 x

g′(x) = 3sinx + 1. g′(x) = −

h′(x0) = 1.

1 . 5sin2 x tgα = 2.

tgα = 1.

x0 = –1. h′(x0) = –5 + 4 = -1. tgα = –1. 5 x0 = . 4 h′(x0) = –16.

tgα = -16

3π . 2 h′(x0) = –1. π x0 = . 4

tgα = –1.

h′(x0) = 4 .

tgα = 4.

x0 =

x0 = 6π. h′(x0) = –1. π x0 =– . 4 h′(x0) = 8.

tgα = –1.

tgα = 8.

g′(x0) = –6 – 2 = –8. g′(x0) = 20. g′(x0)=–16+3 = –13.

4 . 3 1 g′(x0) = − . 2 4 g′(x0) = − . 15

g′(x0) =

767. а) f(x) = x2sinx.

f′(x) = 2xsinx + x2cosx.

⎛π⎞ f′ ⎜ ⎟ = π. ⎝2⎠

x2 π + x sin . π 6 2x 1 f′(x) = 3 cos x + + . π 2 в) f(x) = x(1 + cosx). f′(x) = 1 + cosx + x(–sinx).

1 ⎛π⎞ 3 1 1 f′ ⎜ ⎟ = + + = 2 . 3 ⎝6⎠ 2 3 2

б) f(x) =

г) f(x) =

3 sin x +

3 cos x − x cos

f′(π) = 1 – 1 + 0 = 0.

π x + . 6 π

f′(x) = − 3 sin x −

3 2x . + π 2

3 3 2 4−9−3 3 5+3 3 ⎛π⎞ f′ ⎜ ⎟ = − − + = =− . 2 2 3 6 6 ⎝3⎠ 768. а) f′(x) = 3x2 + 2x. f(x) = x3 + x2 +c. 7 7 б) f′(x) = − 2 . f(x) = +c. x x в) f′(x) = 5x4 – 1. f(x) = x5 – x +c. 9 г) f′(x) = f(x) = 9 x + c. 2 x 1 − 5 = 2. 769. а) f(x) = 2 x – 5x + 3. f′(x) = x= x 1 б) f(x) = 3x – x + 13. f′(x) = 3 – = 1. x= 2 x 7 6 770. а) y = (4x – 9) . y′ = 7(4x – 9) ·4 = 28(4x – 9)6. 12

⎛x ⎞ y′ = 4 ⎜ + 2 ⎟ . ⎝3 ⎠ y′ = 45(5x + 1)8.

7⎛ x ⎞ ⎜ − 3⎟ . 2⎝ 4 ⎠ y′ = –5(3 – x)4. y′ = –240(7 – 24x)9.

⎛x ⎞ б) y = ⎜ + 2 ⎟ . ⎝3 ⎠ в) y = (5x + 1)9. ⎛x ⎞ г) y = ⎜ − 2 ⎟ . ⎝4 ⎠ 771. а) y = (3 – x)5. б) y = (7 – 24x)10. 6

x⎞ ⎛ в) y = ⎜12 − ⎟ . 5⎠ ⎝ г) y = (15 – 9x)13. 772. а) y = sin(3x – 9). б) y = sin(7 – 2x). ⎛x ⎞ в) y = sin ⎜ + 1⎟ . ⎝2 ⎠ г) y = sin(5 – 3x).

1 . 49 1 . 16

y′ =

6⎛ x⎞ y′ = − ⎜12 − ⎟ . 5⎝ 5⎠ y′ = –117(15 – 9x)12. y′ = 3cos(3x – 9). y′ = –2cos(7 – 2x). 1 ⎛x ⎞ y′ = cos ⎜ + 1⎟ . 2 ⎝2 ⎠ y′ = –3cos(5 – 3x).

183

773. а) y = cos(5x + 9). ⎛π ⎞ б) y = cos ⎜ − 4x ⎟ . ⎝3 ⎠ в) y = cos(9x – 10). ⎛π x⎞ г) y = cos ⎜ − ⎟ . ⎝4 2⎠ π⎞ ⎛ 774. а) y = tg ⎜ 5x − ⎟ . 4⎠ ⎝

y′ = –5sin(5x + 9). ⎛π ⎞ y′ = 4sin ⎜ − 4x ⎟ . ⎝3 ⎠ y′ = –9sin(9x – 10). 1 ⎛π x⎞ y′ = sin ⎜ − ⎟ . 2 ⎝4 2⎠ 5 . y′ = π 2⎛ cos ⎜ 5x − ⎞⎟ 4⎠ ⎝ 4 y′ = . π sin2 ⎛⎜ − 4x ⎞⎟ ⎝6 ⎠ 2 . y′ = π cos2 ⎛⎜ 2x + ⎞⎟ 3⎠ ⎝ 5 . y′ = 2⎛ π sin ⎜ − 5x ⎞⎟ ⎝4 ⎠ −7 y′ = . 2 15 − 7x 1 y′ = . 4 42 + 0,5x

⎛π ⎞ б) y = ctg ⎜ − 4x ⎟ . ⎝6 ⎠ π⎞ ⎛ в) y = tg ⎜ 2x + ⎟ . 3⎠ ⎝ ⎛π ⎞ г) y = ctg ⎜ − 5x ⎟ . ⎝4 ⎠

775. а) y =

б) y =

15 − 7x .

42 + 0,5x .

9 . 2 4 + 9x −1 г) y = 50 − 0, 2x . y′ = . 10 50 − 0, 2x 776. а) y = (3x – 2)7. x0 = 3. y′ = 21(3x – 2)6. 7 б) y = (4 – 5x) . x0 = –2. y′ = –35(4 – 5x)6. 5 в) y = (2x + 3) . x0 = 2. y′ = 10(2x + 3)4. г) y = (5 – 3x)7. x0 = –1. y′ = –21(5 – 3x)6. π π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ 777. а) y = sin ⎜ 2x − ⎟ . x0 = . y′ = 2cos ⎜ 2x − ⎟ . 3⎠ 3⎠ ⎝ ⎝ 6 π ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ x0 = . y′ = −2cos ⎜ − 2x ⎟ . б) y = sin ⎜ − 2x ⎟ . 12 ⎝6 ⎠ ⎝6 ⎠

в) y =

4 + 9x .

⎛π ⎞ в) y = cos ⎜ − 4x ⎟ . ⎝3 ⎠ ⎛π ⎞ y′ = 4sin ⎜ − 4x ⎟ . ⎝3 ⎠

184

y′ =

x0 =

y′(3) = 3·77. y′(–2) = –35·146. y′(x0) = 10·74. y′(x0) = –21·86.

π . 8

π ⎛π π⎞ y′(x0)= 4sin ⎜ − ⎟ = −4sin = –2. 3 2 6 ⎝ ⎠

y′(x0) = 2. y′(x0) = –2.

π⎞ ⎛ г) y = cos ⎜ 6x − ⎟ . 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ y′ = −6sin ⎜ 6x − ⎟ . 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ 778. а) y = tg ⎜ 2x + ⎟ . 8⎠ ⎝ 2 y′ = . π cos2 ⎛⎜ 2x + ⎞⎟ 8⎠ ⎝ ⎛π ⎞ б) y = ctg ⎜ − x ⎟ . ⎝6 ⎠ 1 y′ = . π sin2 ⎛⎜ − x ⎞⎟ ⎝6 ⎠ π⎞ ⎛ в) y = tg ⎜ 3x − ⎟ . 4⎠ ⎝ 3 y′ = . π 2⎛ cos ⎜ 3x − ⎞⎟ 4⎠ ⎝ ⎛π ⎞ г) y = ctg ⎜ − x ⎟ . ⎝3 ⎠ 1 y′ = . 2⎛π sin ⎜ − x ⎞⎟ ⎝3 ⎠

779. а) y =

y′ =

6x − 1 .

3 . 6x − 1

x0 = −

2 ⎛ π π⎞ =3 2 . y′(x0)= −6sin ⎜ − − ⎟ = = 6 2 ⎝ 2 4⎠ π x0 = . 16 2 = 4. y′(x0)= π cos2 4 x0 =

π . 3

x0 =

π . 6

y′(x0)=

25 − 9x . 9 . y′ = − 2 25 − 9x

1 sin2

π 6

=4.

x0= 5. 3 3 29 = . 29 29

y′(x0) =

x0= 3.

г) y =

=4.

3 = 3. cos2 0o

y′(x0)=

7x + 4 .

7 . y′ = 2 7x + 4

π sin ⎜ − ⎞⎟ ⎝ 6⎠ 2⎛

π . 12

x0= 0.

в) y =

y′(x0)=

4 − 8x . 4 . y′ = − 4 − 8x

б) y =

π . 12

y′(x0) = –2.

y′(x0) =

7 . 10

x0= 1. y′(x0) =–

9 1 =–1 . 8 8

185

780. а) y = (2x + 1)5. x0= –1.

y′ = 10(2x + 1)4. 7 y′ = . 2 7x − 3

б) y =

7x − 3 .

x0= 1.

в) y =

4 . 12x − 5

x0= 2.

y′ =

x0= –1.

y′ =

г) y =

11 − 5x .

−12 ⋅ 4

y′(x0) = 10. 7 3 y′(x0) = =1 . 4 4 y′(x0) = −

(12x − 5)

−5 . 2 11 − 5x

48 48 . =− 361 192

5 y′(x0) = − . 8

781. π π⎞ ⎛ а) y = sin ⎜ 3x − ⎟ . x0= . 4 4⎠ ⎝

б) y = tg6x.

x0=

π 6 . y′ = . 24 cos2 6x

π ⎛π ⎞ в) y = cos ⎜ − 2x ⎟ . x0= . 3 ⎝3 ⎠ г) y = ctg

x . 3

π⎞ ⎛ y′ = 3cos ⎜ 3x − ⎟ . y′(x0) = 0. 4⎠ ⎝

x0= π.

y′(x0) =

⎛π ⎞ y′ = 2sin ⎜ − 2x ⎟ . ⎝3 ⎠

y′ =

−1 x 6sin 3 2

= 12.

⎛ π⎞ y′(x0)= 2sin ⎜ − ⎟ = − 3 . ⎝ 3⎠

y′(x0) = −

π 4

cos2

1 π 6sin 3 2

= −

4 . 9

782.

а) h(x) = (0,5x + 3)7. x0= –4.

h′(x) =

1 . 4

h′(x) =

1 . 2

h′(x) =

б) h(x)= 16x + 21 . x0= в) h(x) =

18 . 4x + 1

г) h(x) =

6 − 2x .

x0=

x0= 1.

7 (0,5x + 3)6. 2 8 . 16x + 21 −18 ⋅ 4

783. а) y = (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1. б) y = (x2 + 2x + 4)(x – 2) = x3 – 8. в) y = (x + 1)(x2 – x + 1) = x3 + 1. г) y = (x2 – 3x + 9)(x + 3) = x3 + 27. 784.

а) y =

x9 − 3 3 = x6 − 3 . x3 x

y′ = 6x5 +

б) y =

x15 . x +1

y′ =

186

7 =3,5. 2

8 h′(x0) = =1,6. 5

h′(x0) = −

72 = −8 . 9

1 . 6 − 2x y′ = 3x2. y′ = 3x2. y′ = 3x2. y′ = 3x2.

h′(x0) = −

1 . 2

( 4x + 1)

h′(x) = −

h′(x0) =

9 . x4

15x14 (x10 + 1) − 10x9 ⋅ x15 5x24 + 15x14 . = (x10 + 1)2 (x10 + 1)2

в) y = =

x5 + x . x5 − 1

y' =

(5x4 + 1)(x5 − 1) − 5x4 (x5 + x) =. (x5 − 1)2

5x9 + x5 − 5x4 − 1 − 5x9 + 5x5 −4x5 − 5x4 − 1 = . (x5 − 1)2 (x5 − 1)2

г) y =

x13 . x −2

y′ =

13x12 (x4 − 2) − 4x3 ⋅ x13 9x16 − 26x12 . = (x4 − 2)2 (x4 − 2)2

x x − sin2 = cos x. 2 2 x x б) y = 2sin cos = sin x. 2 2 в) y = cos23x + sin23x = 1. x x 1 г) y = − sin cos = − sin x. 2 2 2 786. а) y = sin2xcosx – cos2xsinx = sinx. x 2x x 2x б) y = sin cos + cos sin = sin x. 3 3 3 3 в) y = cos3xcos2x + sin3xsin2x = cosx. x 4x x 4x г) y = cos cos − sin sin = cos x. 5 5 5 5

785. а) y = cos2

y′ = –sinx. y′ = cosx. y′ = 0. 1 cosx. 2 y′ = cosx.

y′ = −

y′ = cosx. y′ = –sinx. y′ = –sinx. ⎛π⎞ f′ ⎜ ⎟ = 2. ⎝6⎠

787. а) f(x) = asin2x + bcosx. ⎛ 9π ⎞ f′ ⎜ ⎟ = –4. ⎝ 2 ⎠

f′(x) = 2acos2x – bsinx.

π π ⎧ ⎪2a cos 3 − bsin 6 = 2. ⎨ ⎪2a cos9π − bsin 9π = −4. ⎩ 2

b ⎧ ⎪a − = 2. ⎨ 2 ⎪⎩−2a − b = −4.

{

2a − b = 4. 2a + b = 4.

f′(x) = –2asin2x + 4bcos4x.

7π 7π ⎧ ⎪−2a sin 6 + 4b cos 3 = 4. ⎨ ⎪−2a sin 3π + 4b cos3π = 2. ⎩ 2

788. а) f(x) =

1– 4 x =0.

b = 0.

⎛ 7π ⎞ f′ ⎜ ⎟ = 4. ⎝ 12 ⎠

б) f(x) = acos2x + bsin4x. ⎛ 3π ⎞ f′ ⎜ ⎟ = 2. ⎝ 4 ⎠

a = 2.

x −x.

{

a + 2b = 4. a + 2b = 4. 2a − 4b = 2. a − 2b = 1.

k = 1. x=

f′(x) = 1 . 4

5 . 2

3 . 4

1 −1 = 1 . 2 x

1 . 16

187

б) f(x) =

x + 3x .

k = 4.

1– 2 x =0.

k= −

2 . 2

x= ±

б) f(x) = cos2x.

f′(x) = –2cosxsinx = – sin2x =

1 . 2

790. а) f(x) = x3 – x4.

x2(3 – 4x) < 0. б) f(x) =

1 5 5 3 x − x + 6x . 5 3

(

) (

2 x

+3= 4.

2 . 2 3π + πn . 8

1 . 2

π πk . + 12 2 f′(x) = 3x2 – 4x3 < 0. 3 x> . 4

x = (–1)k+1

f′(x) = x4 – 5x2 + 6 < 0.

( x − 2 )( x + 2 )( x − 3 )( x + 3 ) < 0 .

(x2 – 2)(x2 – 3) < 0 x ∈ − 3; − 2 ∪

1 . 4

789. а) f(x) = sinxcosx.

f′(x) = cos2x = −

f′(x) =

)

2; 3 .

791. а) f(x) = sin2x. π 3π 2x ∈ ⎛⎜ + 2πn; + 2πn ⎞⎟ . 2 ⎝2 ⎠ б) f(x) = –4cosx + 2x. 1 sinx < − . 2 792. а) g(x) = x3 + x4.

f′(x) = 2cos2x < 0. π 3π ⎞ x ∈ ⎛⎜ + πn; + πn ⎟ . 4 ⎝4 ⎠ f′(x) = 4sinx + 2 < 0. π ⎛ 5π ⎞ x ∈ ⎜ − + 2πn; − + 2πn ⎟ . 6 ⎝ 6 ⎠ 2 3 g′(x) = 3x + 4x > 0. ⎛ 3 ⎞ 2 x (3 + 4x) > 0 x ∈ ⎜ − ;0 ⎟ ∪ ( 0; +∞ ) . ⎝ 4 ⎠ 20 4 2 б) g(x) = >0. . g′(x) = x ∈ ℜ, но x ≠ . 2 2 − 5x 5 ( 2 − 5x ) 793. а) g(x) = cos2x – sin2x = cos2x. g′(x) = -2sin2x > 0. sin2x < 0.

2x ∈ (–π+2πn; 2πn). б) g(x) = sin2x. 2x ∈ (2πn; π + 2πn). 188

π +πn; πn). 2 g′(x) = 2sinxcosx = sin2x > 0. π + πn). x ∈ (+πn; 2

x ∈ (−

794. а) f(x) = cos2x + sinx + 1. x ∈ [0; 2]. f′(x) = –2cosxsinx + cosx = 0. cosx(1 – 2sinx) = 0. cosx = 0.

π . 2 π x= . 6 ⎡ π 3π ⎤ б) f(x) = sin2x – cosx – 1. x ∈ ⎢ ; ⎥ . ⎣2 2 ⎦ π + πn. 2 π x = (–1)k + πk. 6

sinx(2cosx + 1) = 0.

1 cosx = – . 2

795. а) h(x) = x3 – 3x2 + 1. x(3x – 6) > 0.

sinx =

1 . 2

f′(x) = 2sinxcosx + sinx = 0.

x = π. 2π 4π x= , x= . 3 3 h′(x) = 3x2 – 6x > 0. x ∈ (-∞;0) U (2;+ ∞).

sinx = 0.

2π x= ± + 2πn , 3

x = πn.

2 −1 > 0 . x

б) h(x) = 4 x − x .

h′(x) =

2 x <2. >1. x в) y = x3 – x4 – 19.

x ∈ (0; 4).

y′(x)=3x2–4x3 = x2(3 – 4x)> 0. x ∈ (–∞; 0) ∪ (0; 3 ).

г) h(x) = tgx – 4x. cos2x <

1 . 4

796. а) ϕ(x) = sinx + 3.

1 h′(x) = −4>0 . cos2 x ⎛ 1 1⎞ ⎛ π 2π ⎞ cosx ∈ ⎜ − ; ⎟ . x∈ ⎜ ; ⎟. ⎝3 3 ⎠ ⎝ 2 2⎠ 3π ⎛π ⎞ ϕ′(x) = cosx < 0. x∈ ⎜ + 2πn; + 2πn ⎟ . 2 ⎝2 ⎠

1 б) ϕ(x) = 0,2x5 – 3 x3 + 9x. 3 (x2 – 9)(x2 – 1) < 0. x ∈ (–3; –1) ∪ (1; 3).

ϕ′(x) = x4 – 10x2 + 9 < 0.

в) ϕ(x) = ctgx + 9x.

ϕ′(x) = −

sin2x <

1 . 9

(x – 3)(x + 3)(x – 1)(x + 1) < 0. 1 + 9 < 0. sin2 x ⎛ 1 1⎞ sinx ∈ ⎜ − ; ⎟ . ⎝ 3 3⎠

1 1 ⎛ ⎞ x ∈ ⎜ − arcsin + πn;arcsin + πn ⎟ . 3 3 ⎝ ⎠

г) ϕ(x) =

4 − 2x .

ϕ′(x) = −

1 <0. 4 − 2x

x < 2. 189

1 3 x – x2. 3 f′(x) = x2 – 2x. x2 – 2x = 15x – 16. 17 + 15 x= = 16 . 2

797. а) f(x) =

б) f(x) =

1 . 2 x 1 1 = 2. 2 x x

f′(x) =

g(x) = 7,5x2 – 16x. g′(x) = 15x – 16. x2 – 17x + 16 = 0. x = 1. 1 . x 1 g′(x) = 2 . x

g(x) = −

x ≠ 0.

x2 = 2 x .

x4 = 4x.

x(x3 – 4) = 0. 798. а) f(x) = cos2x. f′(x) = –2sin2x. –2sin2x = cosx.

x = 0 не подходит. x = g(x) = sinx. g′(x) = cosx. cosx(4sinx + 1) = 0 π x = + πn . 2 1 x= (–1)k+1arcsin +πk. 4 g(x) = ctgx. 1 g′(x) = − 2 . sin x

cosx = 0. 1 . 4 б) f(x) = tgx. 1 . f′(x) = cos2 x 1 1 =− 2 . cos2 x sin x 799. а) g(x) = x3 – 3x2. g′(x) = 3x2 – 6x. 3x2 – 6x > 3x. π⎞ ⎛ б) g(x) = sin ⎜ 3x − ⎟ . 6⎠ ⎝ π⎞ ⎛ 3cos ⎜ 3x − ⎟ > 6. 6⎠ ⎝

sinx = −

в) g(x) = tgx. 1 > 4. cos2 x ⎛ 1 1⎞ cosx ∈ ⎜ − ; ⎟ , ⎝ 2 2⎠

190

cos2x + sin2x = 0. h(x) = 1,5x2 – 9. h′(x) = 3x. x2 – 3x > 0.

решений нет.

x ∈ (–∞; 0) ∪ (3; +∞). π⎞ ⎛ h(x) = 6x – 12. g′(x) = 3cos ⎜ 3x − ⎟ . h′(x) = 6. 6⎠ ⎝ π⎞ ⎛ cos ⎜ 3x − ⎟ > 2. таких значений нет. 6⎠ ⎝ 1 h(x) = 4x – 81. g′(x) = . h′(x) = 4. cos2 x 1 cos2x < , cos2x ≠ 0. 4 2π π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π cosx ≠ 0. x ∈ ⎜ + πn; + πn ⎟ ∪ ⎜ + πn; + πn ⎟ . 3 2 ⎝3 ⎠ ⎝2 ⎠

⎛π ⎞ г) g(x) = cos ⎜ − 2x ⎟ . 4 ⎝ ⎠ ⎛π ⎞ g′(x) = 2 sin ⎜ − 2x ⎟ . ⎝4 ⎠

h(x) = 3 –

2 x.

h′(x) = – 2 .

2 ⎛π ⎞ ⎛ π ⎞ 2 sin ⎜ − 2x ⎟ > – 2 . . sin ⎜ − + 2x ⎟ < 2 ⎝4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ π π π ⎛ 5π ⎛ π ⎞ ⎞ 2x – ∈ ⎜ − + 2πn; + 2πn ⎟ . x ∈ ⎜ − + πn; + πn ⎟ . 2 4 4 4 ⎝ 4 ⎝ ⎠ ⎠ 800. а) f(x) = sin(2x – 3). f′(x) = 2cos(2x – 3). π⎞ ⎛ sin ⎜ 2x − 3 + ⎟ = 0. 4⎠ ⎝ 6 б) f(x) = . 5x − 9 15 g′(x) = . 7 − ( 5x )2 2

( 5x − 9 )

( 7 − 5x )

3x − 10 . 3 . f′(x) = 2 3x − 10 1 1 = . 2 3x − 10 6x + 14

в) f(x) =

g(x) = cos(2x – 3). g′(x) = –2sin(2x – 3). 3 π πn x= − + . 2 8 2 3 g(x) = . 7 − 5x 30 f′(x) = − . 5x ( − 9 )2

cos(2x–3)+sin(2x – 3) = 0.

(5x – 9)2 + 2(5x – 7)2 = 0. решений нет. 6x + 14 . 3 g′(x) = . 6x + 14

g(x) =

2 3x − 10 = 6x + 14 .

12x – 40 = 6x + 14.

6x = 54.

г) f(x) = ctgx. 1 f′(x) = − 2 . sin x

g(x) = 2x + 15. g′(x) = 2.

1 sin2x. 2 1 f′(x) = cos2x. g′(x) = . 2 5π ⎛π ⎞ 2x ∈ ⎜ + 2πn; + 2πn ⎟ . 3 ⎝3 ⎠

801. а) f(x) = sinxcosx =

x = 9. sin2x = –

проверка: 2 17 = 1 . 2

68 .

решений нет.

1 x + 61. 2 1 cos2x ≤ . 2 5π ⎛π ⎞ x ∈ ⎜ + πn; + πn ⎟ . 6 6 ⎝ ⎠

g(x) =

б) f(x) = sinxcos2x + sin2xcosx = sin3x. g(x) = 35 – 3x. f′(x) = 3cos3x. g′(x) = –3. 3cos3x ≤ –3.

cos3x ≤ –1.

3x = π + 2πn.

π 2πn + . 3 3 191

в) f(x) = sin2x – cos2x = –cos2x. f′(x) = 2sin2x. g′(x) = –2. 2x =

3π + 2πn. 2

3π + πn . 4

g(x) = –2x + 9. 2sin2x ≤ –2. sin2x ≤ –1.

г) f(x) = xcosx. g(x) = sinx. f′(x) = cosx – xsinx. g′(x) = cosx. cosx – xsinx ≤ cosx. xsinx ≥ 0. 1. x ≥ 0. sinx ≥ 0. x ∈ [2πn; π + 2πn]. n = 0, 1, 2 ... 2. x ≤ 0. sinx ≤ 0. x ∈ [–π + 2πn; 2πn]. n=0, –1, –2, –3 ... 802. а) h(x) = x2 – 3x + 19. α = 45° h′(x) = 2x – 3 = tg45.

2x – 3 = 1.

x = 2.

4 б) x+2

α = 135.

x = 0, x = –4. 2x −4 . в) h(x) = 2 2 = tg60. 2x − 4

h′(x) =

4 = 6x – 12. ⎝

3⎠

π π = + πn. 3 2 803. а) y1 = x7, y2 = x8, 7 a= . 7a6 = 8a7. 8

4x –

2 a =

a +8 .

804. а) f′(x) = 6(2x – 1)2. б) f′(x) = –20(4 – 5x)3. 2 805. а) f′(x) = − . 2x ( + 3)2 5 , 2 5x − 7 π⎞ ⎛ 806. а) f′(x) = sin ⎜ 3x − ⎟ , 3⎠ ⎝ 4 , б) f′(x) = cos2 ( 5x − 1)

б) f′(x) =

192

( x + 2)

α = 60° 3 ( 2x − 4 ) .

α = 0.

y = 2 x +8 , 4a = a + 8.

4 = (x+2)2.

= tg135.

6x = 16.

π г) h(x) = sin ⎛⎜ 4x − ⎞⎟ .

б) y =

−4

8 2 =2 . 3 3 π ⎛ h′(x) = cos ⎜ 4x − ⎞⎟ = 0. 3⎠ ⎝

5π πn . + 24 4 x = a. y1′ = 7x6,

x = a.

y′ =

1 , 2 x

8 2 =2 . 3 3 f(x) = (2x – 1)3 + c. f(x) = (4 – 5x)4 + c. 1 f(x) = + c. 2x + 3

f(x) =

5x − 7 + c.

1 π⎞ ⎛ f(x) = − cos ⎜ 3x − ⎟ + c; 3 3⎠ ⎝ 4 f(x) = tg(5x − 1) + c. 5

y2′ = 8x7.

y′ =

1 . x +8

807. y = ax2 + bx +c. по рисунку видно, что b = 0, a < 0. y′(x) = 2ax. y = ax2 + c. A(–100; 0) B(100; 0).

y′(100) = tg(–15).

200a = –tg15.

a= −

подставим точку (100; 0). 0 = –50tg15 + c. c = 50tg15. tg15 2 Ответ: y = − x + 50tg15. 200 808. а) y = 4x2 – |a|x.

tg15 2 x +c. 200

x(4x – |a|) = 0. x1 = 0.

x2 =

a 4

т.к. оси параболы направлены вверх и т.к. x2 ≥ x1 то 1) y′(x1) = –tg60° и y′(x2) = tg60°. 2) y′(x1) = –tg30° и y′(x2) = tg30°. a = |a| = tg60°. y′ 1) y′(0) = – |a| = –tg60°. a = ± 3 . 4 2) y′(0) = – |a| = –tg30°.

a= ±

a= ± 3 .

3 . 3

3 , a= ± 3. 3 x(4x – |a|) = 0. x1 = 0. x2 = –|a|. б) y = x2 + |a|x. y′= 2x + |a|. т.к. оси параболы направлены вверх и x1 ≥ x2, то 3π 1) y′(x2) = –tg . 8 3π 2tg 3π π 8 . tg2 3π – 2tg 3π – 1 = 0. tg = 2) y′(x2) = –tg . 8 4 1 − tg 3π 8 8 8 3π 3π π 3π = 1 ± 2 , но т.к. 0 < < , то tg =1+ 2 . tg 2 8 8 8 π 2tg π π π 8 . tg2 + 2tg – 1 = 0. tg = 8 8 4 1 − tg2 π 8 π π π π tg = –1 ± 2 , но т.к. 0 < < , то tg = –1 + 2 . 8 2 8 8 Ответ: a = ±

⇒ 1) y′(x2) = –1 –

2 . –|a| = –1 –

2) y′(x2) = 1 – 2 . Ответ: a = ± 2 ± 1.

a = ± (1+ 2 ).

a = ± ( 2 – 1).

193

§ 34. Уравнение касательной к графику функции 809. а) a: tgα = 0. b: tgα < 0. c: tgα > 0. б) a: tgα < 0. b: tgα < 0. c: tgα > 0. 810. а) y′ = 0 при x = 0, x = 3,5; y′ не существует при x = –1. б) y′ = 0 при x = –4, x = –1,5; y′ не существует при x = 4. в) y′ = 0 при x = –4; y′ не существует при x = –2. г) y′ ≠ 0 при x ∈R. 811. а) f(x) = 4 + x2, a = 2. f′(x) = 2x f′(a) = 4 ⇒ острый. 1 1 1 б) f(x) = 1 – , a = 3. f′(x) = 2 f′(a) = ⇒ острый. x 9 x a = –3. f′(x)=–3(1–x)2 f′(a) = – 48 ⇒ тупой. в) f(x) = (1 – x)3, 2 a = 1. f′(x) = 2 – 2x f′(a) = 0 ⇒ острый. г) f(x) = 2x – x , 812. y = 1 – x2 y′(x) = –2x. а) A(0; 1) y′(0) = 0 ⇒ tgα = 0. б) B(2; –3) y′(2) = –4 ⇒ tgα = –4. ⎛1 3⎞ ⎛1⎞ в) C ⎜ ; ⎟ y′ ⎜ ⎟ =–1 ⇒ tgα = –1. ⎝2 4⎠ ⎝2⎠ г) D(–1; 0) y′(–1) = 2 ⇒ tgα = 2. 813. а) f(x) =

1 2 x , a = 1. 2

б) f(x) = –2x3, в) f(x) = 0,25x4, г) f(x) = –x5, 814. а) f(x) = x3 – 2x2 +3, x −1 б) f(x) = , x+3

f′(x) = x

f′(a) = 1,

tgα = 1.

a = 2. a = –1. a = 1.

f′(x) = –6x2 f′(x) = x3 f′(x) = –5x4

f′(a) = –24, f′(a) = –1, f′(a) = –5,

tgα = –24. tgα = –1. tgα = –5.

a = –1.

f′(x) = 3x2 – 4x f′(a) = 7, x + 3 − x +1 4 = f′(x) = 2 ( x + 3) ( x + 3)2

a = 1.

1 1 , tgα = . 4 4 в) f(x) = x4 – 7x3 +12x – 45, f′(x) = 4x3 – 21x2 + 12 2x − 1 , г) f(x) = x +1 2x + 2 − 2x + 1 3 = f′(x) = ( x + 1)2 ( x + 1)2

f′(a) =

a = 0. f′(a) = 12, a = 1. ,

815. а) f(x) = x − 7 , 1 1 f′(x) = f′(a) = 2 2 x−7

б) f(x) = 194

4 − 5x ,

tgα = 12.

a = 0.

f′(a) =

3 , 4

a = 8. tgα =

1 . 2

tgα =

3 . 4

tgα = 7.

f′(x) = −

5 2 4 − 5x

f′(a) =–

в) f(x) =

10 + x ,

a = –5.

1 x + 10

f′(x) = г) f(x) =

3,5 − 0,5x ,

1 f′(x) = − 4 3,5 − 0,5x 816. а) f(x) = sinx, f′(x) = cosx

f′(a) =

5 4

tgα =–

5 . 4

1 5

tgα =

5 . 5

1 8

1 tgα =– . 8

a = –1. f′(a) =–

a = 0. f′(a) = 1

tgα = 1.

б) f(x) = tg2x,

π a= . 8

2 cos2 2x

f′(a) = 4

tgα = 4.

π . 2 f′(a) = 3 π a= . 3

tgα = 3.

f′(x) =

в) f(x) = cos3x, f′(x) = –3sin3x г) f(x) = ctgx,

1 sin2 x 817. а) f(x) = x2,

a = 0,5.

f′(x) = 2x

f′(a) = 1

б) f(x) = –3x3,

f′(x) = –9x2

f′(a) = –1

в) f(x) = 0,2x5,

a = –1.

f′(x) = x4

f′(a) = 1

f′(x) = −

f′(a) = −

4 3

tgα = −

4 . 3

α=

π . 4

α=

3π . 4

α=

π . 4

1 . 3

a = 0. г) f(x) = –0,25x4, f′(a) = 0 f′(x) = –x3 818. а) f(x) = x3 – 3x2 + 2x – 7, a = 1.

α = 0.

f′(x) = 3x2 – 6x + 2,

α=

3π . 4

α=

π . 4

f′(a) = –1,

б) f(x) = –7x3 + 10x2 + x – 12, f′(x) = –21x2 + 20x + 1

a = 0.

f′(a) = 1

195

819. а) f(x) =

f′(a) =

2x − 1 , 3 − 2x

1 4

б) f(x) =

x −1 , x−2

a = 1.

f′(x) =

6 − 4x + 4x − 2

( 3 − 2x )

( 3 − 2x )2

1 . 4 f′(x) =

x − 2 − x +1

3π . 4 1 a = 3 . f′(x) = 3

( x − 2)

=−

( x − 2 )2

α=

820. а) f(x) =

6x + 7 ,

1 3

б) f(x) =

1 . 2

α = arctg

f′(a) = –1

f′(a) =

a=–

α= 5 − 2x ,

821. a) f(x) =

3 cos

3 3 1 б) f(x) = sin 2x , 2

f′(a) = −

f′(a) = –1

π . 4

a = 2.

f′(a) =–1 x , 3

3 6x + 7

α=

3π . 4

3π . 2

f′(x) = −

1 5 − 2x

f′(x) = −

3 x sin 3 3

5π . 6 π a= . f′(x) = cos2x 2 3π . α= 4 α=

822. 2 x 2 1 x а) f(x) = − tgx + sin , a = 3π. f′(x) = − + cos 3 3 3 3cos2 x 3 2 1 3π α= . f′(a) = – − = −1 3 3 4

б) f(x)= cos x +

3 x π ctg , a = . 4 2 3

3 3 − =− 3, α= 2 2 823. а) f(x) = x2, a = 3, f′(a) = 6, f(a) = 9, б) f(x) = 2 – x – x3, a = 0, f′(a) = –1, f(a) = 2, f′(a) = –

196

f′(x) = − sin x −

3 8sin2 x

2π . 3 f′(x) = 2x y = 9 + 6(x – 3) = 6x – 9. f′(x) = –1 – 3x2 y = 2 – x.

в) f(x) = x3, a = 1, f′(a) = 3, f(a) = 1, a = –1, г) f(x) = x2 – 3x + 5, f′(x) = 2x – 3, f′(a) = –5, 3x − 2 824. а) f(x) = , a = 2. 3− x 9 − 3x + 3x − 2 7 = f′(x) = ( 3 − x )2 ( x − 3)2 y = 4 + 7(x – 2) = 7x – 10. 2x − 5 б) f(x) = , a = 4. 5−x 10 − 2x + 2x − 5 5 = f′(x) = 2 (5 − x ) ( 5 − x )2 y = 3 + 5(x – 4) = 5x – 17. 1 825. а) f(x) = , a = –3. ( x + 2 )3 f′(x) = −

f′(x) = 3x2 y = 1 + 3(x – 1) = 3x – 2. f(a) = 1 + 3 + 5 = 9. y = 9 – 5(x + 1) = –5x + 4. f(a) = 4. f′(a) = 7.

f(a) = 3. f′(a) = 5.

f(a) = –1.

f′(a) = –3.

y = –1 – 3(x + 3) = –3x – 10.

a = 1.

f′(x) =

f′(a) = –1.

826. а) f(x) = 2 3x − 5 , 3 . f′(x) = − 3x − 5

a = 2,

f(a) = 2;

f′(a) = 3.

y = 2 + 3(x – 2) = 3x – 4.

7 − 2x , 1 . f′(x) = − 7 − 2x x 827. а) f(x) = cos , 3 1 x f′(x) = − sin , 3 3

a = 3,

f(a) = 1;

f′(a) = –1.

y = 1 – x + 3 = –x + 4.

a = 0,

f(a) = 1;

f′(a) = 0.

y = 1.

б) f(x) = f(a) =

( x + 2 )4 1 4 ( 2x − 1)

1 . 4

б) f(x) =

б) f(x) = ctg2x, f′(x) = −

2 . sin2 2x

π , 4

f′(a) = –2.

−4 4 ( 2x − 1)

=−

( 2x − 1)3

1 5 – x + 1 = –x + . 4 4

f(a) = 0; π⎞ π ⎛ y = −2 ⎜ x − ⎟ = − 2x . 4⎠ 2 ⎝

197

π , 4 f′(a) = 0;

в) f(x) = sin2x,

f′(x) = 2cos2x

x г) f(x) = 2 tg , 3 f′(x) =

2 x 3cos 3 2

f(a) = 1; y = 1.

a = 0,

f′(a) =

f(a) = 0; 3 ; 2

2 x. 3

828. y = 9 – x2; 9 – x2 = 0, x = ± 3. y′ = –2x. y′(3) = –6, y′(–3) = 6. y = 6(x + 3) = 6x + 18. y = –6(x – 3) = 18 – 6x. 829. y = x2 – 3x; x2 –3x – 4 = 0, x = 4, x = –1. y′ = 2x – 3, y′(4) = 8 – 3 =5, y′(–1) = –5; y = 4 + 5(x – 4) = 5x – 16; y = 4 – 5(x + 1) = –5x – 1. 830. y = 3x3 – 4x2 + 1, y′ = 9x2 – 8x = 1, 9x2 – 8x – 1 = 0. 4±5 1 x= , x = 1, x= − . 9 9 1 4 230 ⎛ 1⎞ − +1 = y(1) = 0, y⎜− ⎟ = − . y = x – 1. 243 81 243 ⎝ 9⎠ 230 ⎛ 1⎞ 257 +⎜x + ⎟ = x + . 243 ⎝ 9⎠ 243 2 831. y = x , y′ = 2x. 2 y = x0 + 2 x0 ( x − xo ) = 2x0 x − x02 .

а) y = 2x + 1, 1 б) y = − x + 5 , 2 3 в) x – 2 = y, 4 г) y = –x + 5, 832. а) f(x) =

x0 = 1,

y0 = 1; 1 y0 = ; 16 9 y0 = 64 1 y0 = . 4

1 x0 = − , 4 3 x0 = , 8 1 x0 = − , 2

x3 − 3x2 + 10x − 4 , 3

y = x + 3.

x30 − 3x02 + 10x0 − 4 + x02 − 6x0 + 10 ( x − x0 ) . 3

(

x 02 − 6 x 0 + 10 = 1 .

)

x 02 − 6 x 0 + 9 = 0 .

б) f(x) = 198

f′(x) = x2 – 6x +10.

x − x2 + 8 , 4

y = 0.

x0 = 3. f′(x) = x3 – 2x,

x04 − x02 + 8 + x02 − 2 x0 4

(

x 03 − 2 x 02 = 0 , в) f(x) = y=

x02

)( x − x ) ; 0

x02 = 2 ,

x0 = ± 2 ;

y = x – 3,

f′(x) = x2 – 2x + 2,

x0 = 0,

x − x2 + 2x − 7 , 3

x30 − x02 + 2x0 − 7 + x02 − 2x0 + 2 ( x − x0 ) , 3

(

− 2x0 + 2 = 1 ,

г) f(x) =

)

x0 = 1;

5x 4 − x3 + 6 , 4

f′(x) = 5x3 – 3x2,

y = 2,

5 x 03 − 3 = 0 ,

x0 = 0, 833. а) f(x) = sinx, cosx0 = –1, б) f(x) = cos3x,

x0 =

3 . 5

y = –x, x0 = π + 2πn; y = 0. πn x0 = ; 3

f′(x) = cosx,

в) f(x) = tgx.

y = xv

f′(x) =

1 = 1, cos2 x

cosx = ±1.

x = πn;

y = –1,

f′(x) =

sin3x0 = 0,

г) f(x) = sin cos

x , 2

x = 0, 2

834. y =

x3 −2. 3

y′ = x2.

а) y = x0 =

x02 = 1,

2 8 –2=x– . 3 3

б) y = 9x – 5. 835. y = 2 – x.

1 , cos2 x

1 x cos , 2 2

x0 = π + 2πn.

а) y = x – 3, y=x–

f′(x) = –3sin3x.

y=x+

x30 2 − 2 + x02 ( x − xo ) = x0 x − x30 − 2 . 3 3 x0 = ±1;

2 1 – 2 = x –1 . 3 3

x02 = ±3. y = 9x – 18 – 2 = 9x – 20. y = 9x + 18 – 2 = 9x + 16.

x3 5 2 + x + 8 , y′ = x2 +5x. 3 2

x02 + 5x0 = −1 , x02 + 5x0 + 1 = 0 .

−5 ± 21 . 2 199

⎛ −5 ± 21 ⎞ 1 5 ⎛ −5 ± 21 ⎞ y=⎜ ⎟ ⋅ + ⎜ ⎟ +8+ 2 2 ⎝ ⎠ 3 2⎝ ⎠ ⎛ ⎛ −5 ± 21 ⎞2 ⎛ −5 ± 21 ⎞ ⎞ ⎛ ± 21 − 5 ⎞ +⎜⎜ ⎟ + 5⎜ ⎟⎟⎜ x − ⎟. ⎜⎝ 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ x3 x0 = 0, + x2 − x . y = 2 – x, y′ = x2 +2x –1; x 02 + 2 x 0 = 0 , 3 10 x0 = –2; y(0) = 0, y(-2) = 3 8 4 y = –x′. y = − + 4 + 2 − ( x + 2 ) = − x + ; y = 0 – (x – 0) = –x. 3 3 3x + 1 3x − 9 − 3x − 1 10 836. а) y = , y = 2 – x; y′ = . =− x −3 ( x − 3)2 ( x − 3)2 б) y =

−

( x0 − 3 )

y(x0) =

= −1 ,

x0 = ± 10 + 3 ;

(x0 – 3)2 = 10,

3(± 10 + 3) + 1 ±3 10 + 10 = = 3 ± 10 ±10 ± 10 + 3 − 3

y=3±

10 – (x m 10 – 3); y1 = 3 + 10 – x + 10 + 3 = 6 + 2 10 – x;

y2 = 3 –

10 – x – 10 + 3 = 6 – 2 10 – x.

x+9 б) y = , x +8 −

( x + 8)2

= –1.

y(–9) = 0;

y′ = −

x0 +8 = ±1.

x0 = –9,

y(–7) = 2;

837. а) y = −4 x + 7 , −

2 = –1, x+7

б) y =

1 − 2x ,

x0 = –3, y = 2 – x,

1 = –1. x0 = 0. 1 − 2x 838. а) 0,9985. y = x5 = f(x), x = 0,998; f′(x) = 5x4. f′(a) = f′(1) = 5. б) 1,037 ≈ 1 + 7⋅0,03 =1,21. −

200

y = 2 – x,

( x + 8)2

;

x0 = -7;

y = 2 – (x + 7) = –x – 5,

y = –x – 9.

y = 2 – x,

2 y′ = − ; x+7

y(–3) = –8;

y = –8 – (x + 3) = –x – 11.

y′ = −

1 ; 1 − 2x

y(0) = 1.

y = 1 – x.

a = 1. f(a) = 1. 0,9985 ≈ 1 – 5⋅0,002 =0,99.

1,05 ≈ 1 +

839. а)

840. а) f(x) =

1 ⋅0,05 =1,025. 2

1 3 x − 3 3x , 3

б)

3,99 ≈ 2 –

1 2 4

⋅0,01 =1,9975.

α = 60°;

3x2 − 3 3 = 3 . x2 = 4. x = ±2. 8 10 10 10 f(2) = −6 3 = − . f(–2) = . y= ± + 3 ( x ± 2) . 3 3 3 3 10 4 10 4 = 3x + = 3x − y1 = 3x − 2 3 + . y2 = 3x + 2 3 − . 3 3 3 3

f′(x) =

б) f(x) =

4 3 3 x− x , 3 3

α = 30°;

f′(x) =

4 3 − 3x2 = . 3 3

x2 =

4 1 − . 3 3

f(1) =

f(–1) = – 3 .

x = ±1.

3 3 2 3 . ( x − 1) = x + 3 3 3

3 3 2 3 . ( x + 1) = x − 3 3 3 3x + 24 − 3x + 1 25 3x − 1 = 841. а) y = , α = 45˚; y′ = . 2 x +8 ( x + 8) ( x + 8 )2

y= − 3+

x + 8 = ± 5. x = -3. x = –13. 25 = (x + 8)2. −9 − 1 −39 − 1 y(-3) = =8 . = −2 . y(-13) = −5 5 y1 = –2 + (x + 3) = x + 1. y2 = 8 + (x + 13) = x + 21. 9 x+4 б) y = , α = 135˚; y′ = − . x −5 ( x − 5)2

(–1; 0);

(–21; 0).

x – 5 = ± 3. x = 8. x = 2. 12 6 = −2 . y(8) = =4. y(2) = −3 3 (0; 0); (12; 0). y1 = 4 – (x – 8) = –x + 12. y2 = –2 – (x – 2) = –x. 842. а) не до конца написано условие. 843. y = x2 + 1, y′ = 2x. y = x02 + 1 + 2x0 ( x − x0 ) = 2x0 x − x02 + 1 . а) A (–1; –2). y1 = –6x-8; б) A (0; 0).

в) A (0; –3). г) A (–1; 1).

−2 = −2x0 − x02 + 1 x02 + 2x0 − 3 = 0 ; y2 = 2x. 0 = − x02 + 1 x0 = ±1 . y = 2x. −3 = 1=

− x02

−2x0 − x02

x0 = ±2 . +1 .

x0 = 0.

y = 4x – 3. x0 = –2.

x0=-3,

x0=1;

y = –2x. y = –4x – 3. y = 1.

y=–4x–3.

201

844. а) f(x) = –x2 –7x + 8, B (1; 1); f′(x) = –2x – 7. 2 y = – x0 − 7x0 + 8 + (−2x0 − 7)(x − x0 ) = (−2x0 − 7)x + x02 + 8 ;

x0 =2. f(0) = 8. f(2) = – 10; x0 = 0. y = –10 – 11(x – 2) = –11x + 12; y = 8 – 7x б) f(x) = –x2 –7x + 8, B (0; 9); 9 = x02 + 8. f(1) = –1 – 7 + 8 = 0. f(–1) = –1 + 7 + 8 = 14. y = 9(x – 1) = –9x + 9. y = 14 – 5(x + 1) = –5x + 9. 845. а) f(x) = 3 − x , B (–2; 3), f′(x) = − 3=

1 . 2 3− x

3 − x0 −

x = ± 1.

1 ( −2 − x0 ) . 2 3 − x0

6 − 2x0 + 2 + x0 . 6 3 − x0 = 8 − x0 . 108 − 36x0 = 64 − 16x0 + x02 . 2 3 − x0

x02 + 20x0 − 44 = 0 . x0 = –22.

x0 = 2.

f(–22) = 5.

f(2) = 1.

1 x 11 x 14 1 1 ( x + 22 ) = − − + 5 = − + . y = 1 − ( x − 2 ) = − x + 2 . 10 10 5 10 5 2 2 1 (4 − x0 ) ; б) f(x) = 3 − x , B (4; 0); 0 = 3 − x0 − 2 3 − x0

y = 5−

6 – 2x0 – 4 + x0 = 0; x0 = 2; 846. а) f(x) =

4x − 3 ,

B (2; 3);

2 ( x − x0 ) + 4x0 − 3 . 4x0 − 3

36x0 − 27 = 4x02 + 4x0 + 1 . x0 = 7. б) f(x) = y=

x0 = 1.

2x + 1 ,

x − x0 + 2x0 + 1 . 2x0 + 1

8x0 + 4 = x02 + 4x0 + 4 .

1 1 (x – 2) = – x + 2. 2 2 1 f′(x) = . 2 4x − 3

f (2) = 1; y = 1 –

3 4x0 − 3 = 2 ( 2 − x0 ) + 4x0 − 3 .

4x02 − 32x0 + 28 = 0 . y=

2 2 11 ( x − 7 ) + 5 = x + . y = 2x –2 +1 = 2x – 1. 5 5 5 1 B (1; 2); f′(x) = . 2x + 1 2 2x0 + 1 = 1 − x0 + 2x0 + 1 .

x02 − 4x0 = 0 .

x0 = 0,

x−4 x 5 +3= + . 3 3 3 847. а) y = cos7x + 7cosx.

y′ = –7sin7x – 7sinx.

7 3 7 3 ⎛π⎞ + =0. y⎜ ⎟ = − 6 2 2 ⎝ ⎠

⎛π⎞ 7 7 y′ ⎜ ⎟ = − = 0 . ⎝6⎠ 2 2

202

x02 − 8x0 + 7 = 0 .

x0 = 4.

y = x + 1.

y = (-7sin7a – 7sina)(x – a) + cos7a + 7cosa. –7sin7a – 7sina = 0. sin4acos3a = 0. sin4a = 0. π πn π πn a= . cos3a = 0. 3a = + πn , a = + . 2 4 6 3 б) y1 = 2 – 14sin3x. y2 = 6sin7x. y2′ = 42cos7x. y1′ = –42cos3x. y = 2 – 14sin3a – 42cos3a(x – a). y = 6sin7a + 42cos7a(x – a). 42cos7a = –42cos3a. cos7a + cos3a =0. cos5acos2a = 0. π π πn π πn + . a= + . 5a = + πn . a = 2 10 5 4 2 1 1 xy = 2, 25 . x > 0. 848. а) y = 2 , 2 x 2 y′ = − 3 . x

2 1 3 2x y = 3 ( x0 − x ) + 2 = 2 − 3 . x0 x 0 x0 x0

при x = 0

при y = 0

3 3x0 9 ⋅ = . 2 x02 2 б) y =

1 , x2

при x = 0

3 . x02 3x0 . 2 1 =1. x0

y = 3 – 2x. y=

3 2x . − x02 x30

3 . x02

3x0 . 2 3⋅3 1 9 1 1 ⋅ =− . =− . 2 x0 4 x0 2

при y = 0

x0 = 1. 1 9 − xy = ; 2 8

x < 0, y=

3 2x ⎧ ⎪⎪ y = x2 − x3 0 0 ⎨ ⎪ xy = 9 ⎪⎩ 2

x0 = -2.

3 2x 3 + x . + = 4 8 4

1 2 xy = , 2 3 4 но т.к. это кубическая парабола, то xy = − . 3 3 2 3 2 y = x0 + 3x0 ( x − x0 ) = −2x0 + 3x0 .

849. а) y = x3,

x > 0,

при x = 0

y = − 2 x 03 .

при y = 0

2x30 3x30

2 x0 3 203

4 4 xy = − x04 = − . x04 = 1 , 3 3 y = 1 + 3(x – 1) = 3x – 2.

x0 = ±1, но x0 > 0 ⇒ x0 = 1 .

27 . 4 4 27 y = − x30 + 3x02 . xy = − x04 = − . 3 4

б) y = x3,

x < 0 ⇒ xy = −

3 3 4 81 9 27 27 ⎛3⎞ + x. x04 = ⎜ ⎟ , x0 = ± , но x0 < 0 ⇒ x0 = − . y = ⋅ + 3x ⋅ = 2 2 2 3 16 4 4 4 ⎝ ⎠ 1 850. а) y = 3 − x2 , B (0; z); y′ = –x. 2 1 1 1 y = 3 − x02 − x0 ( x − x0 ) = − x0 x + x02 + 3. z = x02 + 3. 2 2 2 Т.к. график симметричен относительно Oy ⇒ tg угла наклона касательной = ±1. 1 1 y′ = –x0. x0 = ±1. z = x02 + 3 = + 3 = 3,5. B (0; 3,5). 2 2 б) y = 0,5x2 – 2,5, α = 90°; y′ = x. 1 1 5 y = x02 − 2,5 + x0 ( x − x0 ) = x0 x − x02 − . 2 2 2 Рассуждения аналогичны пред. задаче. y′ = x0 = ±1. y = –x –3. y = x – 3. 851. а) y =

(

3 2 3 x + , α = 60°; 2 2

y′ =

3 x.

)

3 2 x0 + 1 + 3x0 ( x − x0 ) . 2 Рассуждения аналогичны пред. задаче. y=

1. y′ =

3 x0 = ±tg60°.

3 x0 = ± 3 . x0 = ±1. y =

2. y′ =

3 x0 = ±tg 30°.

3 x0 = ±

B(0,

1 3 3 ⎛ 1⎞ 4 3 ; x0 = ± ; y = ; ⎜1 − ⎟ = 3 2 ⎝ 9⎠ 9 3

4 3 ). 9

б) y = y= −

(

)

3 1 − x2 , 6

α = 120°; y′ = −

3 x. 3

3x02 3 3 2 3 3 3 2 3 x0 x + x0 + . x0 x + x0 − + = − 3 6 6 3 3 6 6

1. y′ = − 204

3 ⋅ 2 − 3 = 0 . B (0; 0). 2

3 x0 = ±tg60°. 3

3 x0 = ± 3 . x0 = ± 3. 3

y = − 3x + 2. y′ = −

3 3 3 5 3 + = − 3x + . y= 2 6 3

3x +

5 3 . 3

3 3 3 3 3 x+ . y= − x+ . x0 = ±tg30°. x0 = ± 1. y = 3 3 3 3 3

3 5 3 ( x ± 1) . y = ± ⎛⎜ x ± ⎞⎟ . 3 3 ⎝ 3⎠ 852. a) y = x2 – (2x – 6), x = 5, x = -5. 1. y = x2 – 2x + 6, x = 5. y′ = 2x – 2. y = 25 – 10 + 6 + (10 – 2) (x – 5) = 8x – 10. x = -5. 2. y = x2 + 2x – 6, y′ = 2x + 2. y = 25 – 10 – 6 + (-10 + 2) (x + 5) = -8x – 31.

Ответ: y = ±

3 ⎛ 3 ⎞ . ⎜ − ;−25 ⎟ . 4 ⎝ 4 ⎠ x = 2, x = -2. б) y = x3 + (x – 1), x = 2. y′ = 3x2 + 1, 1. y = x3 + x – 1, y = 9 + 13 (x – 2) = 13x – 17. 2. y = x3 – x + 1, x = -2. y′ = 3x2 – 1. y = -5 + 11 (x + 2) = 11x + 17. 13x – 17 = 11x + 17; x = 17. (17, 204). 853. а) y = x3 – px, x = 1, A (2; 3); y′ = 3x2 – p. y(1) = 1 – p. y′(1) = 3 – p. y = 1 – p + (3 – p)(x – 1) = (3 – p)x + p – 3 – p + 1 = (3 – p)x – 2. 8x – 10 = -8x – 31;

x=-

3 = 2(3 – p) – 2. 5 = –2p + 6. p =

1 . 2

б) y = x3 + px2, x = 1, A (3; 2) y′ = 3x2 + 2px. y(1) = 1 + p. y′(1) = 3 + 2p. y = 1 + p + (3 + 2p)(x – 1). 2 = 1 + p + (3 + 2p)(3 – 1), 5p = – 5; p = –1.

§ 35. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы 854. а) f′(a) > 0. б) f′(a) > 0.

f′(b) > 0. f′(c) < 0. f′(d) > 0. f′(b) = 0. f′(c) = 0. f′(d) > 0. c+b⎞ ⎡ c−b ⎛ ⎞ 855. а) ф-ция возрастает: ⎜ −∞; ; +∞ ⎟ . ⎟∪ d − 2 ⎠ ⎣⎢ 2 ⎝ ⎠ c + b c − b ⎛ ⎤ ;d − убывает: ⎜ 2 ⎦⎥ ⎝ 2 б) возрастает: ( −∞; b ] ∪ [ c; +∞ ) ; убывает: [b; c ]

[ −2;2] ; возрастает: ( +∞; −2] ∪ [ 2; +∞ ) [ −4;0] ∪ [3; +∞ ) ; возрастает: ( −∞; −4] ∪ [0;3]

856. а) убывает:

б) убывает:

205

в) убывает: г) убывает:

[ −4,5; +∞ ) ; возрастает: ( −∞; −4,5] ( −∞; −2,5] ∪ [ 2,5; +∞ ) ; возрастает: [ −2,5;2,5]

857. в) 858. для ф-ции g(x). 859. а) f(x); б) h(x) 860.

1 x

861. а)

б)

y 2

3 x

-4

5 x

в)

г)

-2

1 -1

862. а) y = cosx + 2x. y′ = –sinx +2 y′ > 0 при любых х. б) y = x5 + 3x3 + 7x + 4. y′ > 0 при любых х. y′ = 5x4 + 3x2 + 7. в) y = sinx + x3 + x. y′ > 0 при любых х. y′ = cosx + 3x2 + 1. г) y = x5 + 4x3 + 8x – 8. y′ = 5x4 + 12x2 + 8. y′ > 0 при любых х. 863. а) y = sin2x – 3x. y′ = 2cos2x – 3. y < 0 при любых х. б) y = cos3x + 4x. y′ = –3cos3x + 4. y′ > 0 при ∀ x ⇒ утверждение неверно.

206

864. а) y = x5 + 6x3 – 7. б) y = sinx – 2x – 15. в) y = x – cosx + 8. г) y = 11 – 5x – x3. 865. а) y = x2 – 5x + 4.

y′ = 5x4 + 18x2 ≥ 0, функция не убывает y′ = cosx – 2 < 0, монотонно убывает. y′ = 1 + sinx ≥ 0, функция не убывает. y′ = –5 – 3x2 ≤ 0, функция не возрастает. y′ = 2x – 5.

5 ф-ция возрастает. 2 5 ф-ция убывает. при x ≤ 2

при x ≥

б) y = 5x2 + 15x – 1.

y′ = 10x + 15.

3 при x ≥ − ф-ция возрастает. 2 3 при x ≤ − ф-ция убывает. 2

y′ = –2x + 8. в) y = –x2 + 8x – 7. при x ≥ 4 ф-ция возрастает. при x ≤ 4 ф-ция убывает. г) y = x2 – x. y′ = 2x – 1.

1 ф-ция возрастает. 2 1 ф-ция убывает. при x ≤ 2

при x ≥

866. а) y = x3 + 2x. y′ = 3x2 + 2. возрастает при любых х. б) y = 60 + 45x –3x2 – x3. y′ = 45 – 6x – 3x2. –3(x2 + 2x –15) = 0. x ∈ [–5; 3] возрастает. x ∈ (–∞; –5] ∪ [3; + ∞) убывает. в) y = 2x3 – 3x2 –36x + 40. y′ = 6x2 – 6x – 36 = 6(x2 – x –6) = 0. x ∈ [–2; 3] убывает. x ∈ (–∞; –2] ∪ [3; + ∞) возрастает. г) y = –x5 + 5x. y′ = 5x4 + 5 = –5(x4 – 1). x ∈ [–1; 1] возрастает. x ∈ (–∞; –1] ∪ [1; + ∞) убывает. 867. а) y = x4 – 2x2 – 3. y′ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1) = 4x(x – 1)(x + 1). x ∈ (–∞; –1] ∪ [0; 1] убывает. x ∈ [–1; 0] ∪ [1; + ∞) возрастает. б) y = –x5 – x. y′ = –5x4 – 1 = –(5x4 + 1) < 0. убывает при всех х. в) y = –3x4 + 4x3 – 15. y′ = –12x3 + 12x2 = –12x2(x – 1). x ∈ (–∞; 1] возрастает. x ≥ 1 убывает. г) y = 5x5 – 1. y′ = 25x4. возрастает. 1 1 868. а) y = ; y′ = − . убывает на всей ОДЗ (x ≠ –3). x+3 ( x + 3)2

б) y=

3x − 1 9x + 3 − 9x + 3 2 1 = . y′= , возрастает на всей ОДЗ (x≠– ). 2 2 3x + 1 3 ( 3x + 1) ( 3x + 1)

207

2 2 + 1 , y′ = − 2 , убывает на всей ОДЗ (x ≠ 0). x x −6 − 4x − 2 + 4x 8 1 − 2x г) y = , y′ = =− 2 3 + 2x ( 3 + 2x ) ( 3 + 2x )2

в) y =

3 ). 2 3 1 3x − 1 , y′ = , возрастает на всей ОДЗ (x ≥ ). 3 2 3x − 1

убывает на всей ОДЗ (x ≠ – 869. а) y =

4 1 − x −1 1 +2=0, =0, 2 1− x 2 1− x 15 ⎤ ⎡15 ⎤ ⎛ x ∈ ⎜ −∞; ⎥ возрастает. x ∈ ⎢ ;1⎥ убывает. 16 ⎦ ⎣16 ⎦ ⎝ 1 1⎤ ⎛ , x ∈ ⎜ −∞; ⎥ убывает. в) y = 1 − 2x , y′ = − 2⎦ 1 − 2x ⎝ б) y =

1 − x + 2x , y′ = −

г) y =

2x − 1 − x , y′ =

убывает. б) y = x3 + 6x2 – 15x + 8. y′ = 3x2 + 12x – 15. x ∈ [–5; 1] убывает. x ∈ (–∞; –5] ∪ [1; + ∞) возрастает. y

y 2 -1

15 . 16

1 − 2x − 1 1 = 0; −1 = 0 , 2x − 1 2x − 1

⎡1 ⎤ x ∈ ⎢ ;1⎥ возрастает. x ∈ [1;+∞ ) ⎣2 ⎦ 870. а) y = x3 – 3x + 2. y′ = 3x2 – 3. убывает x ∈ [–1; 1]. возрастает x ∈ (–∞; –1] ∪ [1; + ∞)

-3

y=x3-3x+2 x

0 1 2 3

871. а) y = x4 – 2x2 + 1. y′ = 4x3–4x=4x(x2–1)=4x(x–1)(x+1). (–∞; –1] ∪ [0; 1] убывает. [–1; 0] ∪ [1; + ∞) возрастает.

-5

0 1

б) y = –x4 + 8x2 – 7. y′=–4x3+16x=–4x(x2–4)=–4x(x–2)(x+2). [–2; 0] ∪ [2; + ∞) убывает. (–∞; –2] ∪ [0; 2] возрастает.

y y 0 -2 -1

208

872.

y 3 2 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x -2 -3

873. а) f′(b) = f′(d) = 0. б) f′(c) = 0. в) f′(a) = f′(0) = 0. г) нет точек, в которых производная равна нулю. 874. а) f′(e) б) f′(a), f′(b) в) f′(b), f′(c) г) f′(a), f′(b), f′(c), f′(d), f′(e) 875. а) 1 б) 2 в) 2 г) 2 876. а) 2 б) 1 в) 2 г) 2 877. а) (–∞; –5] ∪ [–2; +∞) б) [–5; –2] в) –5. г) –2. 878. а) Да. б) Да. в) Да. г) Да. 879. а) Да. б) Нет. в) Нет. г) Да. 3 2 2 880. а) у = 7 + 12х − х ; y ' = 12 − 3x ; 3x = 12 ; x = ±2 .

б) у = 3х3 + 2x2 − 7 ; y ' = 9x2 + 4x ; x(9x + 4) = 0 ; x = 0,

x=-

4 . 9

в) у = 8 + 2х2 − х4 ; y ' = 4x − 4x3 ; 4x(1 − x2 ) = 0 ; x = 0, x = ± 1.

г) у = х4 − 8x2 ; y ' = 4x3 − 16x ; 4x(x2 − 4) = 0 ; x = 0, x = ± 2. 8 8 ; y ' = 2 − 2 = 0; x = ±2 x x 1 1 б) 2x − 1 = y ; y´ = x= - критическая 2 2x − 1 x 5 1 5 в) y = + ; y ' = − 2 = 0; x2 – 25 = 0; x = ±5 . 5 x 5 x г) y = (x − 3)4 ; y ' = 4(x − 3)3 = 0 x = 3 . 882. а) y = 2sin 2x − sin 4x ; y ' = 4cos 2x − 4cos 4x = 0;

881. а) y = 2x +

sin 3x sin x = 0 ; x =

πn . 3

1 б) y = cos 2x − x ; y ' = −2sin 2x − 1 = 0; sin 2x = − ; 2 π π π k ; 2x = ( −1)k +1 + πk ; x = (−1)k +1 + 12 2 6 3 в) y = cos3x − cos5x ; y ' = −3sin 3x + 3sin 5x ; 5 sin 3x − sin 5x = 0 ; sin x cos 4x = 0 ; π πn x = πn, x= + . 8 4

209

г) y = sin

2π x x 1 x 1 x 1 + 4πn . − ; y' = cos − ; cos = ; x = ± 3 2 4 2 2 4 2 2

В задачах 883-888 чтобы определить характер экстремума, необходимо проверить знак производной справа и слева от точки, где она равна нулю. Если слева y΄ > 0, а справа y΄ < 0, то это максимум, если слева y΄ < 0, а справа y΄ > 0, то это минимум. 7 883. а) y = 2x2 − 7x + 1 ; y΄ = 4x – 7 = 0; x = − точка min . 4 б) y = 3 − 5x − x2 ;

y ' = −5 − 2x = 0; x = −2,5 − max .

3 − min . 4

в) y = 4x − 6x − 7 ;

y΄ = 8x – 6 = 0;

г) y = −3x2 − 12x + 50 ;

y = −6x − 12 = 0; x = −2 − max .

884. а) y =

x 5 − x2 + 6x − 1 ; 3 2

y ' = x2 − 5x + 6 = 0; x = 2, x = 3. x = 2 − max , x = 3 − min . б) y = x3 − 27x + 26 ; y ' = 3x2 − 27 = 0; x = ±3 ; x = −3 − max , x = 3 − min . в) y = x3 − 7x2 − 5x + 11 ; y ' = 3x2 − 14x − 5 =0; x =

1 7+8 1 = 5 ; x = − ; x = 5 − min , x = − − max . 3 3 3

г) y = −2x3 + 21x2 + 19 ; y ' = −6x2 + 42 x = 0; x2 – 7x = 0; x (x – 7) = 0; x = 0, x = 7; x = 7 – max, x = 0 – min.

(

)

885. а) y = −5x5 + 3x3 ; y ' = −25x4 + 9x2 ; x2 9 − 25x2 = 0

x = 0, x2 =

3 3 9 3 , x = ± ; x = − max , x = − − min . 25 5 5 5

(

)

б) y = x4 − 4x3 − 8x2 + 13 ; y ' = 4x3 − 12x2 − 16x ; 4x x2 − 3x − 4 = 0 ; x = 0,

x = -1; x = 4, x = −1 − min , x = 0 − max .

x = 4, 4

в) y = x − 50x ; y ' = 4x3 − 100x

(

)

4x x2 − 25 = 0 x = 0

x = −5, x = 5 − min , x = 0 − max .

x = ±5

(

)

г) y = 2x5 + 5x4 − 10x3 + 3 ; y ' = 10x4 + 20x3 − 30x2 ; 10x2 x2 + 2x − 3 = 0 ; x = 0,

x= -3,

x = 1, x = −3 − max , x = 1 − min .

4 4 886. а) y = x + ; y ' = 1 − 2 = 0; x x x = ±2 , x = 2 – min, x = -2 – max.

210

x2 + 9 9 9 = x + ; y ' = 1 − 2 = 0; x x x x = ±3 , x = 3 – min, x = -3 – max. 1 887. а) y = x − 2 x − 2 ; y ' = 1 − = 0; x−2 x = 3 , x = 3 − min . б) y =

б) y = 4 2 x − 1 − x ; y' =

2x − 1

− 1 = 0;

x − 2 = 1;

2 x − 1 = 4;

x = 8,5 – max. 888. а) y = x = - 2cos x,

x ∈ [-π; π]; π 1 y' = 1 + 2 sin x ; sin x = − ; x = (−1) k +1 + πk ; 2 6 π 5π - max; x = − - min. x=− 6 6 б) y = 2 sin x – x, x ∈ [π; 3π]; y ' = 2cos x − 1 ; π 1 5π 7π – min; x = – max. cos x = ; x = ± + 2πn ; x = 2 3 3 3

889. а) y = x3 − 3ax2 + 27x − 5 ; y ' = 3x2 − 6ax + 27 ; x2 − 2ax + 9 = 0 ;

D = a2 − 9 = 0 ; a = ±3 . 4

б) y = x3 − 3ax2 + 75x − 10 ; y ' = 3x2 − 6ax + 75 ; x2 − 2ax + 25 = 0 ; D = a2 − 25 = 0 ; a = ±5 . 4 890. а) y

б)

211

в)

-2 -1 0

г)

y 1 x

891. а) 10

8 6 4

y=3x2-4x+5

2 0

-2

y = 3x2 − 4x + 5 ; y ' = 6x − 4 ; x =

2 − min 3

2 функция возрастает 3 2 при x ≤ функция убывает 3 пересечение с Оу : (0;5) при x ≥

y > 0 при x ∈ R б)

с Ох : нет y 4

y=3+2x-x2

2 -2

212

0 2 -2

y = 3 + 2x − x2 ; y ' = 2 − 2x ; x = 1 − min при x ≥ 1 функция убывает при x ≤ 1 функция возрастает

пересечение с Оу : (0;3) с Ох : (3;0), (-1;0) y > 0 при x ∈ (-1; 3) y < 0 при x < -1, x > 3 в) 8

y y=7-x-2x2

6 4 2 0

-2

1 y = 7 − x − 2x2 ; y ' = −1 − 4x ; x = − − max 4 1 при x ≥ − функция убывает 4 1 при x ≤ − функция возрастает 4 пересечение с Oy: (0;7) ⎛ −1 − 57 ⎞ ⎛ −1 + 57 ⎞ ⎛ −1 − 57 −1 + 57 ⎞ ;0 ⎟ , ⎜ ;0 ⎟ ; x ∈ ⎜ ; c Ox: ⎜ ⎟ 4 4 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ −1 − 57 ⎞ ⎛ −1 + 57 ; +∞ ⎟ x ∈ ⎜ −∞; ⎟, ⎜ 4 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ y г) 6

-2

y=5x2-15x-4

213

3 − min 2 3 3 при x ≥ функция возрастает , при x ≤ функция убывает 2 2 пересечение с Оу:(0;-4) ⎛ 15- 305 ⎞ ⎛ 15 + 305 ⎞ с Ох: ⎜ ;0 ⎟ , ⎜ ;0 ⎟ 10 ⎝ 10 ⎠ ⎝ ⎠

y = 5x2 − 15x − 4 ; y ' = 10x − 15 ; x =

функция у > 0 при х < y > 0 при x <

15- 305 15 + 305 ,х > 10 10

15 − 305 15 − 305 ,x> 10 10

892. а)

y = 3x2 − x3 ; y ' = 6x − 3x2 ; x = 0, x = 2 y(0) = 0 y(2) = 12-8 = 4 , x = 0 − min , x = 2 − max , при x ∈ [0;2] функция возрастает , при x ≤ 0, x ≥ 2 функция убывает . б)

y = −9x + x3 ; y ' = −9 + 3x2 ; x2 = 3 ; x = ± 3 ; y( 3) = −9 3 + 3 3 ; y(− 3) = 9 3 − 3 3 ; x = 3 − min , x = − 3 − max ,

при x ≤ − 3, x ≥ 3 функция возрастает , при x ∈ [- 3; 3] функция убывает .

214

в)

y = x3 + 3x2 ; y ' = 3x2 + 6x ; x = 0, x = -2, y(0) = 0 y(-2) = −8 + 12 = 4 x = 0 − min , x = −2 − max ; при x ∈ [-2;0] функция убывает , при x ≤ −2, x ≥ 0 функция возрастает г)

y = 3x − x3 ; y ' = 3 − 3x2 ; x = ±1 , y(1) = 3 − 1 = 2 y(-1) = −3 + 1 = −2 x = 1 − max , x = −1 − min ; при x ∈ [-1;1] функция возрастает , при x ≤ −1, x ≥ 1 функция убывает 893. а)

215

y = x3 − 3x2 + 2 ; y ' = 3x2 − 6x x = 0, y(0) = 2 y(2) = 8-12 + 2 = −2

x = 2;

x = 0 − max , x = −2 − min , при x ∈ [0;2] функция убывает , при x ≤ 0, x ≥ 2 функция возрастает б)

y = − x3 + 3x − 2 ; y ' = −3x2 + 3 ; x = ±1 y(1) = −1 + 3 − 2 = 0 y(-1) = 1-3-2 = −4 x = 1 − max , x = −1 − min при x ∈ [-1;1] функция возрастает , при x ≤ −1, x ≥ 1 функция убывает в)

y = − x3 + 6x2 − 5 ; y ' = −3x2 + 12x = -x2 + 4x, x = 0, x = 4,

x = 0 − min , x = 4 – max, при x ∈ [0;4] функция возрастает, при x ≤ 0, x ≥ 4 функция убывает г)

216

y = x3 − 3x + 2 ; y' = 3x2 − 3 ; x = ±1 ; x = 1 − min , x = −1 − max при x ∈ [-1;1] функция убывает , при x ≤ −1, x ≥ 1 функция возрастает 894. а)

y = 2x3 + x2 − 8x − 7 ; y ' = 6x2 + 2x − 8 ; −1 − 7 4 4 = − , x = 1, x = − − max , x = 1 − min , 6 3 3 ⎡ 4 ⎤ при x ∈ ⎢ − ;1⎥ функция убывает , ⎣ 3 ⎦ 4 при x ≤ − , x ≥ 1 функция возрастает . 3 б)

x3 11 + x2 + 3x − ; y ' = − x2 + 2x + 3 ; x = 3, x = -1; 3 3 x = −1 − min , x = 3 − max при x ∈ [-1;3] функция возрастает , при x ≤ −1, x ≥ 3 функция убывает . y=−

217

в)

y = x3 + x2 − x − 1 ; y ' = 3x2 + 2x − 1 ; x =

−1 − 2 1 = −1 , x = ; 3 3

1 − min , x = −1 − max ; 3 1 ⎡ 1⎤ при x ∈ ⎢−1; ⎥ функция убывает , при x ≤ −1, x ≥ функция возрастает . 3 ⎣ 3⎦ г) x=

x3 5 + x2 − 3x + , y ' = x2 + 2x − 3 , x = -3, x = 1 3 3 x = 1 − min , x = −3 − max при x ∈ [-3;1] функция убывает , при x ≤ −3, x ≥ 1 функция возрастает . 895. а) y=

218

y = − x4 + 5x2 − 4 , y ' = −4x3 + 10x , 2x(−2x2 + 5) = 0 , 5 5 5 ,x=; x = 0 − min , x = ± − max 2 2 2 ⎛ ⎡ 5⎤ 5⎤ при x ∈ ⎜ −∞; − ⎥ ∪ ⎢0; ⎥ функция возрастает 2⎦ 2⎦ ⎝ ⎣

x = 0,

⎡ 5 ⎤ ⎡ 5 ⎞ при x ∈ ⎢ − ;0 ⎥ ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ функция убывает ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎠ б)

y = x5 − 5x ; y ' = 5x4 − 5 ; x4 − 1 = 0 ; x = ±1 ;

x = 1 − min , x = −1 − max ; при x ∈ [-1;1] функция убывает , при x ≤ −1, x ≥ 1 функция возрастает . в)

y = 2x4 − 9x2 + 7 ; y ' = 8x3 − 18x ; 2x(4x2 − 9) = 0 ; 3 3 ; x = 0 – max, x = ± - min; 2 2 3⎤ ⎛ ⎡ 3⎤ при x ∈ ⎜ −∞; − ⎥ ∪ ⎢ 0; ⎥ функция убывает , 2⎦ ⎝ ⎣ 2⎦ 3 3 ⎡ ⎤ ⎡ ⎞ при x ∈ ⎢ − ;0 ⎥ ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ функция возрастает . ⎣ 2 ⎦ ⎣2 ⎠

x = 0,

x= ±

219

г)

y = 5x3 − 3x5 , y ' = 15x2 − 15х4 , 15x2 (1 − х2 ) = 0 , x = 0, x = ±1, x = 1 − max , x = −1 − min , при x ∈ [-1;1] функция возрастает ,

при x ∈ ( -∞;-1] ∪ [1; + ∞ ) функция убывает . 896. а)

y = (x − 1)2 (х + 2) , y' = 2(x – 1) (x + 2) + (x – 1)2 = (x – 1)(2x + 4 + x – 1) = (x – 1)(3x + 3) = 0 (х − 1)(3х + 1) = 0 , x = 1, x = -1, x = -1 – max, x = 1 − min , при x ∈ [-1; 1] функция убывает, при x ≤ -1, x ≥ 1 функция возрастает б)

220

256 х(x − 1)3 9 256 256 y' = (x − 1)3 + 3(x − 1)2 x = (x − 1)2 (4x − 1) ; 9 9 256 1 1 (x − 1)2 (4x − 1) = 0 ; x = 1, x = , x = − min , 4 9 4 1 1 при x ≥ функция возрастает , при x ≤ функция убывает 4 4 в) y=

(

)

y = (x + 2)2 (х − 3) , y ' = 2(х + 2)(х − 3) + (х + 2)2 = (х + 2)(3х − 4) , 4 4 , x = −2 − max , x = − min , 3 3 4 ⎡ 4⎤ при x ∈ ⎢-2; ⎥ функция убывает , при x ≤ −2, x ≥ функция возрастает . 3 ⎣ 3⎦ г)

(х + 2)(3х − 4) = 0 , x = -2, x =

(

)

y = х3 (2 − x) , y ' = 3x2 (2 − x) − х3 = x2 (6 − 4x) , x2 (6 − 4x) = 0 , 3 3 , x = − max , 2 2

x = 0,

при x ≥

3 3 функция убывает , при x ≤ функция возрастает . 2 2

221

897. а)

x+2 5 x −3− x −2 5 ; y' = ; − =0 =− x −3 ( x − 3) 2 ( x − 3) 2 ( x − 3) 2 везде убывает, x ≠ 3 ; x = 3 − ассимптота . y=

б)

2x + 1 6x − 2 − 6x − 3 5 5 ; y' = ; − = 0; =− 2 2 3x − 1 (3 x − 1) (3 x − 1) (3 x − 1) 2 1 1 функция убывает везде, x ≠ ; x = − ассимптота 3 3 y=

в)

x −3 x +1− x + 3 4 4 ; y' = ; = = 0; x +1 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2 возрастает везде, x ≠ −1 , x = −1 − ассимптота . y=

222

г)

2x − 3 6x + 4 − 6x + 9 13 13 ; y' = ; = =0; 2 2 3x + 2 (3x + 2) (3x + 2) (3x + 2) 2 2 2 функция возрастает везде, x ≠ − ; x = − − ассимптота . 3 3 y=

898. а)

в)

г)

d x

б)

a 0

в)

г)

899. а)

б)

223

900. а)

б)

901. а) да; б) да; в) нет; г) нет. 902. а) y = sin x −

x=-

π 3

1 1 1 π x , y' = cos x − , cos x = , x = ± + 2πn ; 3 2 2 2 π

+ 2πn – min; x =

+ 2πn – max;

π ⎤ ⎡ π возрастает : x ∈ ⎢− + 2πn; + 2πn ⎥ , 3 ⎦ ⎣ 3 5π ⎤ ⎡π убывает : x ∈ ⎢ + 2πn; + 2πn ⎥ . 3 3 ⎦ ⎣ x 1 π + πk; б) y = − cos x ; y' = + sin x ; x = (-1)k+1 6 2 2 7π π

x=-

+ 2πn – max; x =

+ 2πn – min;

7π ⎤ ⎡ π возрастает : x ∈ ⎢− + 2πn; + 2πn ⎥ , 6 ⎦ ⎣ 6 11π ⎤ ⎡ 7π убывает : x ∈ ⎢ + 2πn; + 2πn ⎥ . 6 6 ⎦ ⎣ в) y = x=

π 4

π 1 2 − sin x ; x = (-1)k x + cos x ; y ' = + πk; 2 4 2 + 2πn – max; x =

3π + 2πn – min; 4

9π ⎡ 3π ⎤ возрастает : x ∈ ⎢ + 2πn; + 2πn ⎥ , 4 ⎣4 ⎦ 3π ⎡π ⎤ убывает : x ∈ ⎢ + 2πn; + 2πn ⎥ . 4 ⎣4 ⎦ г) y = x − sin x ; y ' = 1 − cos x ; x = 2πn , возрастает на R. x 1 x x ; y ' = − sin ; sin = 0 ; x = 2πn; 2 2 2 2 возрастает: х ∈ [-2π + 4 πn; 4 πn], убывает : x ∈ [4πn;2π + 4πn ] , x = 4πn − max , x = 2π + 4πn − min .

903. а) y = 2 + cos

224

1 1 x x 3π − sin , y' = − cos , x = + 6πn; 2 6 3 3 3 3π 3π ⎡ ⎤ убывает : x ∈ ⎢6πn − ; + 6πn ⎥ , 2 2 ⎣ ⎦ 9π ⎡ 3π ⎤ возрастает : x ∈ ⎢ + 6πn; + 6πn ⎥ ; 2 ⎣2 ⎦

б) y =

3π 3π + 6πn − min , x = − + 6πn − max 2 2

904. а) y = x − sin 2 x , y' = 1 – 2 cos 2x, cos 2x = -

2x = ±

π 3

+ 2πn, x = ±

π 6

1 ; 2

+ πn.

5π π π ⎡ ⎤ ⎡π ⎤ убывает : x ∈ ⎢πn − ; + πn ⎥ , возрастает : x ∈ ⎢ + πn; + πn ⎥ , 6 6 6 6 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x=

π π + πn − min , x = − + πn − max . 6 6

x x x 1 π , y' = 1 − 2 sin , sin = , x = (−1)k + 2πk 3 2 2 2 2 5π ⎤ ⎡π убывает : x ∈ ⎢ + 4πn; + 4πn ⎥ , 3 3 ⎦ ⎣

б) y = x + 4 cos

π ⎡ 7π ⎤ возрастает : x ∈ ⎢− + 4πn; + 4πn ⎥ , 3 3 ⎣ ⎦ 5π π + 4πn − min + 4πn − max , x = 3 3 905. а) y =| x − 3 | −2 ; x=

1) x ≥ 3 ; y = x − 5 ; y ' = 1 ; возрастает x ≥ 3 ; 2) x ≤ 3 ; y = 1 − x ; y ' = −1 ; убывает x ≤ 3. Ответ: x ∈ ( −∞;3] − убывает; x ∈ [3; +∞ ) − возрастает. х = 3 − min . б) y =|

1 −1 | ; x

1 1 + 1 ; y' = 2 ; везде возрастает ; x x 1 1 2) x ∈ (0; 1]; y = −1 + ; y' = − ; везде убывает . x x2

1) x ≥ 1, x < 0 ; y = −

Ответ: x ∈ ( 0;1] − убывает; x ∈ ( −∞;0 ) ∪ [1; +∞ ) − возрастает. х = 1 − min .

225

в) y =| ( х − 2)( х + 3) | ; 2 1) x ≥ 2, x ≤ −3 ; y = х + х − 6 ; y' = 2 х + 1 ; x = −

возрастает x ≥ -

1 1 , убывает x ≤ - . 2 2

2) x ∈ [−3;2] ; y = − х 2 − х + 6 ; y' = −2 х − 1 ; x = − возрастает x ≤ -

1 ; 2

1 1 , убывает x ≥ - . 2 2

⎡ 1 ⎤ ⎡ 1⎤ Ответ: x ∈ (−∞; −3] U ⎢ − ;2 ⎥ − убывает; x ∈ ⎢ −3; ⎥ U [2; +∞ ] − возрастает. ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2⎦

х = −3, х = 2 − min , х = − г) y = (| х | −2) | x | ;

1 − max . 2

1) x ≥ 0 ; y = х 2 − 2 х ; y' = 2 х − 2 ; x = 1 ;

возрастает x ≥ 1 убывает x ≤ 1 2) x ≤ 0 ; y = х 2 + 2 х ; y' = 2 х + 2 ; x = −1 ;

возрастает x ≥ −1 убывает x ≤ −1 ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1⎤ Ответ: x ∈ (−∞; −3] U ⎢ − ;2 ⎥ − убывает; x ∈ ⎢ −3; ⎥ U [2; +∞ ] − возрастает. ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2⎦ х = ±1 − min , х = 0 − max .

906. а) y =| х3 − 3x | , y =| x(x − 3)(x + 3) |

)

1) x ∈ ⎡⎣ − 3;0 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ 3; +∞ , y' = 3х2 − 3 , x = ±1 , возрастает:( − ∞; −1] ∪ [1; +∞ ) убывает : [ −1;1]

(

2) x ∈ −∞; − 3 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣0; 3 ⎤⎦ , y ' = 3 − 3х2 , x = ±1, возрастает : [ −1;1] убывает : ( −∞; −1] ∪ [1; +∞ ) Ответ:

(

x ∈ −∞; − 3 ⎤⎦ ∪ [ −1;0] ∪ ⎡⎣1; 3 ⎤⎦ − убывает x ∈ ⎡⎣ − 3; −1⎤⎦ ∪ [ 0;1] ∪ ⎡⎣ 3; +∞ − возрастает

х = ± 3, x = 0 − min , х = ±1 − max .

226

)

б) y =| x − х3 | , y =| x( 3 − x)( 3 + x) | ;

(

1 1) x ∈ −∞; − 3 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣0; 3 ⎤⎦ , y ' = 1 − 3х2 , x = ± , 3 ⎛ ⎞ 1 ⎤ ⎡ 1 убывает:х ∈ ⎜ −∞; − ⎥ ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ 3⎦ ⎣ 3 ⎝ ⎠ ⎡ 1 1 ⎤ возрастает : х ∈ ⎢ − ; ⎥ ⎣ 3 3⎦

)

3 2) x ∈ ⎡⎣ − 3;0 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ 3; +∞ , y ' = 3х2 − 1 , x = ± , 3

⎛ ⎞ 1 ⎤ ⎡ 1 возрастает:х ∈ ⎜ −∞; − ⎥ ∪ ⎢ ; +∞ ⎟ 3⎦ ⎣ 3 ⎝ ⎠ ⎡ 3 3⎤ убывает : х ∈ ⎢ − ; ⎥ ⎣ 3 3 ⎦ ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ x ∈ ( −∞; −1] ∪ ⎢ − ;0 ⎥ ∪ ⎢ ;1⎥ − убывает ⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦ Ответ: ⎡ 1 ⎤ ⎡ 1 ⎤ x ∈ ⎢ −1; − ⎥ ∪ ⎢0; ⎥ ∪ [1; +∞ ) − возрастает 3⎦ ⎣ 3⎦ ⎣

х = ±1, x = 0 − min , х = ±

3 − max . 3

907. а) y = x5 + 3x − 6 , y ' = 5 x 4 + 3 > 0 ∀x ∈ ( −∞;+∞ ) ; 2 1 2 3 , y ' = 2 + 4 > 0 ∀x ∈ (−∞;+∞ ) ; − x x3 x x в) y = x7 + 7x3 + 2x − 42 , y ' = x6 + 21x2 + 2 ;

б) y = 15 −

1 5 , y ' = 21 + 6 > 0 ∀ x > 0. 5 x x 908. а) y = 7x − cos 2x , y ' = 7 + 2sin 2x > 0 ∀x ∈ ( −∞;+∞ ) ;

г) y = 21x −

3 ⎛ π π⎞ > 0 ∀x ∈ ⎜ − , ⎟ ; 2 ⎝ 2 2⎠ cos x 1 в) y = −ctgx , y ' = 2 > 0 ∀x ∈ (0; π ) ; sin x г) y = 10x + sin 3x , y ' = 10 + 3cos3x > 0 ∀x ∈ (−∞;+∞ ) . б) y = 3tgx , y ' =

909. а) y = 2x3 + 2x2 + 11х − 35 , y ' = 6x2 + 4x + 11 , D = 16 - 4 ⋅ 6 ⋅ 11 < 0, следовательно, 6x2 + 4x + 11 > 0 ∀x ∈ ( −∞;+∞ ) ;

б) y = 3x3 − 6x2 + 41х − 137 , y ' = 9x2 − 12x + 41 , D = 36 − 41 ⋅ 9 < 0 , следовательно, 9x2 – 12x + 41 > 0 ∀x ∈ ( −∞;+∞) . 4

227

910. а) y =

б) y =

16x + 4 − 16x 4 4x ⎛ 1 ⎞ = > 0 ∀x ∈ ⎜ − ; +∞ ⎟ ; , y' = 2 2 4 4x + 1 ⎝ ⎠ (4x + 1) (4x + 1)

2x − 10 − 2x + 13 3 2x − 13 = > 0 ∀x ∈ (−∞;5) . , y' = x −5 (x − 5)2 (x − 5)2

911. а) y = − x3 − 5х + 3 , y ' = −3x2 − 5 < 0 ∀x ∈ ( −∞;+∞ ) ;

б) y = −2x5 − 7x3 − х + 8 , y ' = −10x4 − 21x2 − 1 , 0 ∀x ∈ (−∞; +∞ ) ; в) y = − x3 + 3x2 − 6х + 1 ,

y ' = −3x 2 + 6 x − 6 = −3(x2 − 2x + 1) = −3(х − 1)2 < 0 ∀x ∈ (−∞; +∞) ; г) y = −4x3 + 4x2 − 2х + 9 , y ' = −12x2 + 8x − 2 , D = 16 − 24 < 0 ⇒ -12 x2 + 8x – 2 < 0 ∀x ∈ (−∞; +∞ ) . 4 3x + 6 − 3x − 7 1 3x + 7 =− < 0 ∀x ∈ (−∞; +∞ ) ; 912. а) y = , y' = 2 x+2 (x + 2) (x + 2)2

−8x − 4 + 8x − 2 6 1⎞ −4x + 1 ⎛ =− < 0 ∀x ∈ ⎜ −∞; − ⎟ . , y' = 2 2 2⎠ 2x + 1 ⎝ (2x + 1) (2x + 1) 913. а) y = 7 cos x − 5sin 3x − 22x , y ' = −7sin x − 15cos3x − 22 < 0 ∀x ∈ (−∞; +∞ ) , убывает на R;

б) y =

x − 25x + 1 , 2 x y ' = −21sin 7x − 4cos − 25 < 0 ∀x ∈ (−∞; +∞ ) , убывает на R. 2

б) y = 3cos 7x − 8sin

914. а) y = x3 + ax , y' = 3x2 + a , при a ≥ 0 возрастает на R ;

б) y =

x3 D = a2 − 5 , − ax2 + 5x – 3, y ' = x2 − 2ax + 5 , 3 4

при a ∈ ⎡⎣ − 5; 5 ⎤⎦ возрастает на R . 915. а) y = ax − cos x , y ' = a + sin x , при a ≥ 1 возрастает на R ; б) y = 2sin 2x − ax , y ' = 4cos 2x − a , при a ≤ −4 возрастает на R . 916. а) y = 7 + bx − x2 − x3 , y ' = b − 2x − 3x2 ,

D = 4 - 4 ⋅ (-3) ⋅ b = 4 + 12b < 0, при b < −

1 убывает на R ; 3

б) y = −2 x + 3 + bx , y' = −

1 + b < 0, b < x+3

1 - при b < 0 убывает при ∀x ∈ ( −3;+∞ ) ; x+3

в) y = x3 + bx2 + 3x + 21 , y ' = 3x2 + 2bx + 3 . 228

При x = 0 y' = 3, следовательно, ни при каких b функция не может убывать на всей области определения. 1 < 0, при b ≥ 0 г) y = −2bx + 1 − x , y ' = −2b − 2 1− x 917. а) y = 2x3 − 3x2 + 7 , y ' = 6x2 − 6x = 6х(x − 1) , возрастает x ≤ 0,x ≥ 1 при а ≤ −1,а ≥ 2 ,

следовательно, a – 1 ≥ 1, a + 1 ≤ 0 ; a ≥ 2, a ≤ -1. б) y = − x3 + 3x + 5 , y ' = −3x2 + 3 = −3(x2 − 1) , возрастает x ∈ [ -1;1] , убывает x ≤ -1, х ≥ 1 , 3⎤ ⎛ при а ∈ ⎜ −∞; − ⎥ ∪ [1; +∞ ) 2⎦ ⎝ следовательно a > 1, a +

3 1 < -1; a ≥ 2, a ≤ 2 2

3⎤ ⎛ при а ∈ ⎜ −∞; − ⎥ ∪ [1; +∞ ) 2⎦ ⎝ В задачах 918-925 для иследования функции на возрастание и убывание будем исследовать ее производную. На промежутках, где y' > 0, функция возрастает, а где y' < 0 функция убывает. 918. а)

1 1 , , y' = − 2 (x + 1)2 x2 + 1

y' < 0 при x > 0, y' > 0 при x < 0, асимптота – y = 0, б)

y=−

x = 0 - max

2 2 , , y' = − 2 (x + 4)2 x2 + 4

y' < 0 при x < 0, y' > 0 при x > 0, асимптота – y = 0, x = 0 – min. 229

919. а)

1 1 2 =− , y= , 2 (x + 4x + 4) (x + 2) (x + 2)3 при х > -2 − возрастает х < -2 − убывает асимптота – x = -2; б) y=−

1 2(x + 1) 1 , y' = − = , (x + 1)2 (x + 1)4 x2 + 2x + 1 при х > -1 − убывает х < -1 − возрастает асимптота – x = -1. 920. а) y=

230

х 2 1 2 1 2 + , y ' = − 2 , y' > 0: − 2 > 0, x2 > 4, 2 х 2 х 2 x y' > 0 при x ∈ (−∞;−2) U (2;+∞) , y' < 0 при x ∈ (−2;0) U (0;2) , y=

при х ∈ (−∞;−2] ∪ [2;+∞ ) возрастает x ∈ [- 2;0 ) ∪ (0;2] убывает

x = 2 − min , x = −2 − max , асимптоты: y =

x , x = 0; 2

б)

4 4 х2 + 4 4 x2 = х + , y ' = 1 − 2 , х = ±2 , 1 − 2 > 0 , >1, х х 4 х х x 2 > 4 , | x |> 2 , при | х |≥ 2 - возрастает | x |≤ 2 - убывает x = −2 − min , x = 2 − max , асимптоты – y = x, x = 0. y=

921. а)

2x + 1

4x2 + 4x − 4x2 − 2x 2x , = 2 (x2 + 2)2 (x + 2)2 x +2 y' > 0 при x2 + x – 4 < 0, ⎛ −1 − 17 −1 + 17 ⎞ при x ∈ ⎜ ; ⎟ функция растет, 2 2 ⎝ ⎠

, y' =

231

⎛ −1 − 17 −1 + 17 ⎞ ; при x ∈ ⎜ ⎟ убывает, 2 2 ⎝ ⎠ асимптота – y = 0. б)

x−2 x2 + 5 − 2x2 + 4x − x2 + 4x + 5 , , y ' = = (x2 + 5)2 (x2 + 5)2 x2 + 5 y' > 0 при x2 – 4x – 5 < 0; x ≤ -1; x = 5, при x ∈ [−1;5] − возрастает , при х ≤ −1, х ≥ 5 − убывает y=

х = −1 − min , х = 5 − max , асимптота – y = 0. 922. а)

x2 − 4 − 2x2 x2 + 4 x , y' = , =− 2 2 2 (x − 4) (x − 4)2 x −4 убывает при всех х ≠ ±2 , асимптота – x = ±2, y = 0. б)

x −3 x2 − 8 − 2x2 + 6x − x2 + 6x − 8 , , y ' = = x2 − 8 (x2 − 8)2 (x2 − 8)2 y' > 0 при x2 – 6x + 8 < 0, х = 4, х = 2 , y=

[

]

при x ∈ 2;2 2 ) ∪ (2 2 ;4 − возрастает , при х ≤ 2, х ≥ 4 − убывает ,

х = 2 − min , х = 4 − max , асимптоты: x = 232

± 2 2 , y = 0.

923. а)

x2 − 1 2x3 + 2x − 2x3 + 2x 4x , y' = , = 2 2 (x2 + 1)2 (x + 1)2 x +1

x ≥ 0 − возрастает , х ≤ 0 − убывает , х = 0 − min . б)

x2 − 4 2x3 + 2x − 2x3 + 2x 4x , , y ' = = 2 2 2 2 (x + 1) (x + 1)2 x +4 x ≥ 0 − возрастает , х ≤ 0 − убывает , х = 0 − min . 924. а.) y=

2x3 − 8x − 2x3 − 8x −16x x2 + 4 , y' = , = 2 2 (x2 − 4)2 (x − 4)2 x −4

х ∈ [ 0;2 ) ∪ ( 2; + ∞ ) -убывает x ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 2;0] -возрастает

х = 0 − max , асимптоты: y = 0; x =±2. б)

233

x2 + 1 2x3 − 2x − 2x3 − 2x −4x , y' = , = 2 2 (x2 − 1)2 (x − 1)2 x −1

х ∈ [ 0;1) ∪ (1; + ∞ ) -убывает x ∈ ( −∞; −1) ∪ ( −1;0] -возрастает

х = 0 − max , асимптоты: y = 0; x = ±1. 925. а) y

y=2 x -x x

1 −1 , x при х ≥ 1 − убывает , при х ∈ [ 0;1] − возрастает , х = 1 − max .

y = 2 x − x , y' =

б) y

y= x + 4 +

y= x+4+

2 9 − 3x 3 x

1 1 9 − 3x − 2 x + 4 2 − = , 9 − 3x , y ' = 3 2 x+4 9 − 3x 2 x + 4 9 − 3x

9 − 3x > 2 x + 4 , 9 − 3x > 4x + 16 , 7x < −7 , x < −1 , при x ∈ [ −4; −1] − возрастает , при x ∈ [ −1;3] − убывает , x = −1 − max .

926. а)

б) Количество корней в данном уравнении – это количество пересечений графиков y = x4 – 2x2 + 3 и y = a. Из рисунка вилно, что такой случай имеет место, когда прямая y = a касается графика функции в точке (0; y(0)) y(0) = 3, следовательно, a=3.

234

927. а)

б) Чтобы уравнение не имело корней, необходимо, чтобы прямая лежала выше графика функции y = -x4 + 2x2 + 8. Найдем точки максимума: y' = -4x3 + 4x = 4x(1 - x2) = 0, x = 0 – точка минимума, x = ±1 – точки максимума, y(1) = y(-1) = -1 + 2 + 8 = 9. Следовательно, a > 9. 928. a)

3 корня б)

1 корень в)

3 корня 235

г)

1 корень 929. а)

при | a |> 2 б)

a ∈ (-2; 2) 930. а) x3 + 5 = 15 − x , y1 = x3 + 5 , y2 = 15 − x ,

y1 ' = 3x2 + 5 ,

возрастает на R

y 2 ' = −1 , убывает на R ⇒ только 1 корень x = 2 ; б) x5 + 3x3 + 7x − 11 = 0 , y ' = 5x4 + 9x2 + 7 , ⇒ 1 корень x = −1 236

возрастает на R

в) 2x5 + 3x3 = 17 − 12x , 2x5 + 3x3 + 12x − 17 = 0 y ' = 10x4 + 9x2 + 12 , ⇒ 1 корень x = −1

возрастает на R

г) x5 + 4x3 + 8x − 13 = 0 , y ' = 5x4 + 12x2 + 8 , ⇒ 1 корень x = −1

возрастает на R

931. а) sin 5x − 2cos x − 8x − x5 + 2 = 0 , y1 = sin 5x − 2cos x − 8x ,

y2 = x5 − 2 ,

y1' = 5 cos 5 x + 2 sin x − 8 - убывает на R

y12 = 5x4 + 8 - возрастает на R ⇒ только одно решение x = 0 . x x + 15x = 4 − x3 , y1 = 4cos3x + 5sin + 15x , y2 = 4 − x3 , 2 2 5 x y1 ' = −12sin 3x + sin + 15 - возрастает на R 2 2

б) 4cos3x + 5sin

y2 ' = 4 − 3x2 - убывает на R ⇒ только одно решение x = 0 πx πx πx πx + 5sin + 18x = 46 − x5 − 22x3 , y1 = 3cos + 5sin + 18x 2 2 2 2 3π πx 5π πx y2 = 46 − x5 − 22x3 , y1' = − sin cos + + 18 , возрастает на R; 2 2 2 2

932. а) 3cos

y2 ' = −5x4 − 66x2 , убывает на R ⇒ 1 корень x = 1 ; π π б) 2sin x − 2cos πx − 8x = x5 − 50 , y1 = 2sin x − 2cos πx − 8x , 2 2 πx 5 ' y2 = x − 50 , y1 = π cos + 2π sin πx − 8 , убывает на R; 2

y'2 = 5x4 , возрастает на R ⇒ 1 корень x = 2 933. а) x = 3 y

y=3

x +1

y=-x3+3x2+6 x

237

б) x = −1 y=(x+1)6+2

y y=x3-3x x

§ 36. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений велечин 934. а) y = 3 x − 6 , x ∈ [- 1;4] y' = 3 ⇒ функция растет на R

xmin = −1 ,

y(-1) = -9 ,

y min = −9;

xmax = 4,

y(-1) = 6,

y max = 6.

б) y = −

8 , х

⎡1 ⎤ x ∈ ⎢ ;8⎥ ⎣4 ⎦

⎡1 ⎤ > 0 ⇒ функция растет при x ∈ ⎢ ;8⎥ x ⎣4 ⎦ 1 1 xmin = , y( ) = -32, y min = −32; 4 4 xmax = 8, y(8) = −1, y max = −1.

y' =

1 x ∈ [- 2;6] в) y = − x + 4, 2 1 y' = ⇒ функция убывает на R 2 xmin = 6, y(6) = 1,

y min = 1;

xmax = −2,

y max = 5.

y(-2) = 5,

3 , x ∈ [0,3;2] x 3 y' = - 2 < 0 ⇒ функция убывает при [0,3; 2] x x max = 0,3, y(0,3) = 10, y max = 10; г) y =

x min = 2, 238

y(2) =

3 , 2

y min =

3 . 2

x ∈ [- 1;5] y ' = 2 x − 8, x = 4 - точка минимума; y (4) = 16 − 32 + 19 = 3 ; y ( −1) = 1 + 8 + 19 = 28 ;

935. а) y = x 2 − 8 x + 19,

y (5) = 25 − 40 + 19 = 4 ; ymax = 28, 2

б) y = x + 4 x − 3,

y ' = 2 x + 4,

y min = 3.

x ∈ [0;2] x = −2, − 2 ∈ [0;2];

y (0) = −3 , y ( 2) = 4 + 8 − 3 = 9 ; ymax = 9,

x ∈ [- 1;4]; y ' = 4 x − 8, x = 2; y (2) = 8 − 16 + 6 = −2; y ( −1) = 2 + 8 + 6 = 16 ; y (4) = 32 − 32 + 6 = 6 ;

y min = −3.

в) y = 2 x − 8 x + 6,

ymax = 16,

y min = −2.

x ∈ [- 2;9]; y ' = −6 x + 6, y (1) = −3 + 6 − 10 = −7; y (−2) = −12 − 12 − 10 = −34; 2

г) y = −3 x + 6 x − 10,

y (9) = −243 + 54 − 10 = −199; ymax = −7, ⎡ π

⎤ x ∈ ⎢ - ;π ⎥ ; ⎣ 2 ⎦

936. а) y = 2 sin x,

x=−

π 2

;

ymax = 2,

x = 1;

y min = −199.

y ' = 2 cos x ; y min = −2.

π⎤ ⎡ x ∈ ⎢- 2π ;− ⎥ 2⎦ ⎣

б) y = −2 cos x,

ymax = 2, y min = −2 . в) y = 6 cos x,

1 г) y = − sin x, 2 937. а) y = tgx,

б) y = −3tgx, в) y = −2tgx, г) y =

1 tgx, 2

⎡ π ⎤ x ∈ ⎢- ;0⎥ ; ⎣ 2 ⎦

⎡ π π⎤ x ∈ ⎢- ; ⎥ ; ⎣ 2 2⎦ ⎡ π π⎤ x ∈ ⎢ - ;− ⎥ ; ⎣ 3 6⎦ ⎡ 4π ⎤ x ∈ ⎢π ; ⎥ ; ⎣ 3 ⎦

⎡ π⎤ x ∈ ⎢0; ⎥ ; ⎣ 6⎦ 3π ⎤ ⎡ x ∈ ⎢ − π ;− ⎥ ; 4 ⎦ ⎣

ymax = 6, y min = 0 . ymax =

1 1 , y min = − . 2 2

ymax = −

3 , y min = − 3 . 3

y min = −3 3 , ymax = 0 .

ymax = 0 , y min = − ymax =

2 3 . 3

1 , y min = 0 . 2 239

938. а) y =

x ∈ [0;9] ;

б) y = − x ,

x ∈ [− 4;0] ;

в) y = − x ,

x ∈ [4;16] ;

x ∈ [− 9;−4] ;

г) y = − − x , 4

939. а) y = 12 х , 5

б) y = −6 х ,

ymax = −

x ∈ [− 1;2] ; x ∈ [0,1;2]

x ∈ [0;1] ;

ymax = −2 , y min = −4 . ymax = −2 , y min = −3 . ymax = 192 , y min = 0 .

ymax = 0 , y min = −3 .

х , x ∈ [− 1;3] ; 9 940. y = sin x ; ⎡ 2π ⎤ ⎥; ⎣ 3 ⎦ 8π ⎤ ⎡ ; б) ⎢2π ; 3 ⎥⎦ ⎣

а) ⎢0;

4π ⎤ ⎡ ; в) ⎢ − 2π ;− 3 ⎥⎦ ⎣

⎡

ymax = 2 , y min = 0 .

6 3 =, y min = −192 . 100000 50000

в) y = −3 х 7 , г) y =

ymax = 3 , y min = 0 .

26π ⎤

г) ⎢6π ; ; 3 ⎥⎦ ⎣

ymax = 9 , y min = 0 .

ymax = 1 , y min = 0 . ymax = 1 , y min = 0 . ymax = 1 , y min = 0 . ymax = 1 , y min = −1 .

941. y = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 1 ; y ' = 3 x 2 − 18 x + 24 = 0 ;

x 2 − 6 x + 8 = 0 ; x = 4, x = 2; y max = y (2) = 8 − 36 + 48 − 1 = 19 ; y min = y ( 4) = 64 − 144 + 96 − 1 = 15 .

а) [− 1;3] ;

y max = y (2) = 19 ; y min = y ( −1) = −1 − 9 − 24 − 1 = −35 .

б) [3;6] ;

y (3) = 27 − 81 + 72 − 1 = 17 ; y (6) = 35 ; y max = 35 ; y min = 15 .

в) [−2;3] ;

y max = y (2) = 19 , y min = y ( −2) = −8 − 36 − 48 − 1 = −93 .

г) [3;5] ;

y max = y (5) = 125 − 225 + 120 − 1 = 19 , y min = y (4) = 15 . 240

942. y = x 3 + 3x 2 − 45 x − 2 ; y ' = 3 x 2 + 6 x − 45 = 0 ;

x 2 + 2 x − 15 = 0 ; x = −5, x =3; y max = y ( −5) = −125 + 75 + 225 − 2 = 173 , ymin = y (3) = 27 + 27 − 135 − 2 = −83 .

а) [−6;0] ;

y max = 173 ; y min = −2 .

б) [1;2] ;

y max = −43 , y min = −72 .

в) [−6;−1] ;

y max = 173 , y min = 45 .

г) [0;2] ;

y max = −2 , y min = −72 .

943. y = x 3 − 9 x 2 + 15 x − 3 ; y ' = 3 x 2 − 18 x + 15 = 0 ;

x 2 − 6 x + 5 = 0 ; x = 5, x =1; y max = y (1) = 1 − 9 + 15 − 3 = 4 , y min = y (5) = 125 − 225 + 75 − 3 = −28 .

а) [0;2] ;

y max = 4 , y min = −3 .

б) [3;6] ;

y max = −12 , y min = −28 .

в) [− 1;3] ;

y max = 4 , y min = −28 .

г) [2;7] ;

y max = 4 , y min = −28 . 4

944. y = x − 8x + 10x + 1 ; y ' = 4x3 − 24x2 + 20x = 0 ;

4x(x2 − 6x + 5) = 0 ; x = 0, x = 5, x = 1 ; y(0) = 1 , ymax = y(1) = 1 − 8 + 10 + 1 = 4 , ymin = y(5) = 625 − 1000 + 250 + 1 = −124 .

а) [ −1;2] ;

ymax = 10 ,

ymin = −7 .

б) [1;6] ;

ymax = 4 ,

ymin = −124 .

в) [ −2;3] ;

ymax = 121 ,

ymin = −44 .

г) [ −1;7] ;

ymax = 148 ,

ymin = −124 .

945. y = x +

4 4 ; y' =1− = 0 ; (x − 1)2 = 4 ; x = −1, x = 3 ; x −1 (x − 1)2 4 = −1 − 2 = − 3 . −2 =5.

ymax = y(3) = 3 + 2 = 5 , ymin = y(−1) = −1 +

а) [ 2;4] ;

ymax = 6 ,

ymin

б) [ −2;0] ;

ymax = −3 ,

ymin = −4 .

946. а) y = ctgx + x ymax = 1 +

π , ymin 4

1 ⎡ π 3π ⎤ x ∈ ⎢ ; ⎥ ; y' = – 2 + 1 ≤ 0; ⎣4 4 ⎦ sin x 3π . = −1 + 4 241

б) y = 2sin x − x

x ∈ [ 0; π] ; y ' = 2cos x − 1 ;

π π π ⎛π⎞ + πn , x = ; ymax = y ⎜ ⎟ = 3 − ; ymin = −π . 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎡ π π⎤ в) y = 2cos x + x, x ∈ ⎢ − ; ⎥ ; ⎣ 2 2⎦ 1 π y ' = −2sin x + 1 ; sin x = ; x = ; 6 2 π π π ⎛ ⎞ ymax = y ⎜ ⎟ = 3 + ; ymin = − . 6 2 ⎝6⎠ x=±

1 ⎡ π⎤ x ∈ ⎢ 0; ⎥ ; y ' = −1 ; ⎣ 3⎦ cos2 x π ⎛π⎞ x = πn , x = 0 ; ymax = y ⎜ ⎟ = 3 − ; ymin = y(0) = 0 . 3 ⎝3⎠

г) y = tgx − x

947. а) y = x3 − 2x2 + 1,

[0,5; + ∞ ) ;

y ' = 3x2 − 4x = 0 ; x(3x − 4) = 0 ;

4 4 64 32 5 ; ymax не существует ; ymin = y( ) = . − +1 = − 3 3 27 9 27 1 б) y = x − 2 x , [ 0; + ∞ ) ; y ' = 1 − ; x =1; х ymax не существует , ymin = y(1) = 1 − 2 = −1 . x = 0, x =

1 в) y = x5 − x2 , 5

( -∞;1] ;

y ' = x4 − 2x = 0 ; x(x3 − 2) = 0 ;

x = 0, x = 3 2 ; ymax = у(0) = 0 ; ymin не существует ; г) y = ymax

х4 1 4x3 , х ∈ R ; y' = 4 =1− 4 =0, (х + 1)2 х +1 х +1 не существует ; ymin = y(0) = 0 . 4

1 1 , ( −∞;0 ) ; y ' = 1 − 2 ; x = ±1 ; х х = у( − 1) = −1 − 1 = −2 ; ymin не существует ;

948. а) y = x + ymax

б) y =

3х , х +3

ymax = у( 3) = в) y = −2x − ymax

242

[0; + ∞ ) ;

y' =

3х2 + 9 − 6х2 х2 − 3 = −3 ⋅ 2 ; x=± 3. 2 2 (х + 3) х +3

3 3 3 = ; ymin = y(0) = 0 . 3+3 2

1 , 2х

( 0; + ∞ ) ; y ' = −2 +

1 2х

= 0 ; 4х2 = 1 ; х = ±

⎛1⎞ = у ⎜ ⎟ = −1 − 1 = −2 ; ymin не существует . ⎝2⎠

1 ; 2

г) y = 2х + 6 − х,

[ −3; + ∞ ) ;

y' =

1 −1 = 0 ; 2х + 6

2x + 6 = 1 ;

5 5 ⎛ 5⎞ ; ymax = у ⎜ − ⎟ = 1 + = 3,5 , ymin не существует . 2 2 ⎝ 2⎠ a 24-b = ⎧ a + b = 24 ; ⎨ ; 949. а) 2 ab = max ⎩24b-b = y х=−

{

y ' = 24 − 2b ; b = 12, y(12) = 144 ; b = 12, a = 12 . 484 484 484 ; + b = y ; y' = 1− 2 ; b b b a = 22 .

б) ab = 484 ; a =

b = 22,

950. а) a − b = 10 ; a = 10 + b ; 10b + b2 = y ; y ' = 2b + 10 ; b = −5, a =5.

б) a − b = 98 ; a = 98 + b ; b2 + 98b = y ; y ' = 2b + 98 ; b = −49, a = 49 . 951. а) a(a + 36) = y ; a2 + 36a = y ; y ' = 2a + 36 ; a = −18, b = −18 + 36 = 18 . б) a(a − 28) = y ; a2 − 28a = y ; y ' = 2a − 28 ; a = 14, b = −14 . ⎧a + b = 3 952. а) ⎨ 3 ; ⎩ y = 3a + b

⎧a = 3 − b ⎨ 3; ⎩ y = 3a + b

y = 9 − 3b + b3 ; y ' = 3b2 − 3 ; b = ±1 , но т.к. по условию b > 0, то b = 1, a = 2. ⎧a + b = 5 б) ⎨ 3 ; ⎩ y = ab

⎧a = 5 − b ⎨ 3 ; ⎩ y = ab

y = 5b3 − b4 ; y ' = 15b2 − 4b3 = b2 (15 − 4b) ; 15 15 5 , но т.к. по условию b > 0, то b = , a= . 4 4 4 a = 28-b ⎧ 2a + 2b = 56 953. а) ; ⎨ ; y ' = 28 − 2b ; 2b = 28 ; 2 ab = y ⎩28b-b = y b = 0,

{

b = 14,

a = 14 .

243

б)

{

a + b = 36 ; y = ab

b = 18,

{

a = 36 − b ; 36b − b2 = y ; y ' = 36 − 2b ; y = ab

a = 18 .

a + b = 100 ; 954. а) y = ab

b = 50, б)

a + b = 120 ; ab = y

b = 60,

b = 4, б)

{

a = 120 − b ; y = 120b − b2 ; y ' = 120 − 2b ; ab = y

a = 60 .

{

⎧ 16 32 32 ⎪a = + 2b ; y ' = 2 − 2 ; ; y= ⎨ b b b ⎪⎩2a + 2b = y

ab = 16 ; 2a + 2b = y a=4.

{

ab = 64 ; 2a + 2b = y

b = 8, 956.

a = 100 − b ; y = 100b − b2 ; y ' = 100 − 2b ; y = ab

a = 50 .

{

955. а)

{

⎧ 164 128 128 ⎪a = ; y= + 2b ; y ' = 2 − 2 ; ⎨ b b b ⎪⎩2a + 2b = y

a =8.

{

ab = 2500 ; 2a + 2b = y

2500 ⎧ 5000 5000 ⎪a = ; y= + 2b ; y ' = 2 − 2 ; ⎨ b b b ⎩⎪2a + 2b = y

b = 50, a = 50 . 957. KD = DM = x; BH1 =

3 2 ; 2

DH2 =

x 2 (H1 и H2 – точки пересечения BD с PE и KM соответственно) 2

1 1 3 2 x 2 (PE + KM) ⋅ H1H2 = (x 2 + 3 2 )(8 2 – – )= 2 2 2 2

1 (39 + 10x – x2); 2 1 S' = (10 – 2x) = 0; 2 1 S = (39 + 50 – 25) = 32. 2

958. а) y = 1 + cos 2x ,

ymax = 2 , ymin = 0 .

244

x = 5;

⎡ π π⎤ ⎢⎣ − 2 ; 2 ⎥⎦ ;

б) y = 1 + sin x ,

⎡ π⎤ ⎢⎣ 0; 2 ⎥⎦ ;

ymax = 2 , ymin = 1 .

в) y = 1 − sin 2x ,

[0; π] ;

ymax = 2 , ymin = 0 .

⎡ π ⎤ ⎢⎣ − 2 ;0 ⎥⎦ ; 959. а) y = 2 − 3sin x + 4cos x ; y = 2 − 5sin(x + α) ;

ymax = 2 , ymin = 0 .

г) y = 1 + cos x ,

ymax = 7 , ymin = −3 .

б) y = 3sin x − 4cos x + 1 ; y = 5sin(x − α) + 1 ; 4

ymax = 6 , ymin = −4 . 2

960. а) y = x + 8x + 24x + 32x + 21,

[-3;0] ;

y ' = 4x3 + 24x2 + 48x + 32 = 0 ; x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0 ; (x + 2)(x2 − 2x + 4 + 6x) = 0 ; (x + 2)(x2 + 4x + 4) = (x + 2)3 = 0 ; x = −2 ; y(−2) = 16 − 64 + 96 − 64 + 21 = 133 ; y(−3) = 81 − 216 + 216 − 96 + 21 = 6 ; y(0) = 21; ymin = y(-2) = 5, ymax =y(6) = 21. б) y = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x − 9, [0;4] ; y ' = 4x3 − 12x2 + 12x − 4 = 0 ; x3 − 3x2 + 3x − 1 = 0 ; (x − 1)3 = 0 ; x = 1; 2

ymax = y(4) = 71 , ymin = y(1) = 1 − 4 + 6 − 4 − 9 = −10 .

961. а) y = x − 5 | x | +6,

[0;4] ;

на этом промежутке x ≥ 0 ⇒ y = x2 − 5x + 6 ; y ' = 2x − 5 ; x =

5 ; 2

25 1 ⎛ 5 ⎞ 25 25 − +6=− +6=− . ymax = y(0) = 6 ; ymin = y ⎜ ⎟ = 2 4 4 ⎝2⎠ 4

б) y = x2 − 5 | x | +6,

[-5;0] ;

на этом промежутке x ≤ 0 ⇒ y = x2 + 5x + 6 ; 5 y ' = 2x + 5 ; x = − ; 2 1 ⎛ 5 ⎞ 25 25 − +6=− . ymax = y(0) = 6 ; ymin = y ⎜ − ⎟ = 2 4 ⎝ 2⎠ 4

в) y = x2 + 8 | x | +7,

[1;5] ;

на этом промежутке x ≥ 0 ⇒ y = x2 + 8x + 7 ; y ' = 2x + 8 ; x = −4 - не подходит ; ymax = y(5) = 25 + 40 + 7 = 72 ; ymin = y (1) = 16 . 245

г) y = x2 + 8 | x | +7,

[-8;-2] ;

на этом промежутке x ≤ 0 ⇒ y = x2 − 8x + 7 ; y ' = 2x − 8 ; x = 4 - не подходит; ymax = y(−8) = 64 + 64 + 7 = 135 ; ymin = y ( −2 ) = 4 + 32 + 7 = 43 .

962. а) y = x3 − 3x,

( -∞;0] ;

y ' = 3x − 3 ; x = −1 ; ymax = y(−1) = −1 + 3 = 2 ; ymin - не существует . б) y = x3 − 3x, 963. а) y = y' =

x , x4 + 3

[0; + ∞ ) ;

ymin = y(1) = −2 ; ymax - не существует .

[0; + ∞ ) ;

x4 + 3 − 4x4 3 − 3x4 1 ; x = ±1 ; ymax = y(1) = ; y(0) = 0 − min = 4 2 4 2 4 (x + 3) (x + 3)

б) y =

x , x4 + 3

( -∞;0] ;

1 ymin = y( −1) = − ; ymax = y(0) = 0. 4

x 964. а) y = sin2 sin x, [-π;0] ; 2 1 1 1 1 y = sin x − cos x sin x = sin x − sin 2x ; 2 2 2 4 1 1 3x x y ' = cos x − cos 2x = 0 ; sin sin = 0 ; 2 2 2 2 2πn 2π ; x=− ; x = 2πn, x= 3 3

3 3 3 3 ⎛ 2π ⎞ =− − ymin ; ymax = 0 . y⎜ − ⎟ = − ⋅ 4 2 8 ⎝ 3 ⎠ x x x x б) y = cos2 cos x, [0;π] ; y ' = − cos ⋅ sin cos x − cos2 sin x = 0 ; 2 2 2 2 x x x x 3x ⋅ sin = 0; cos ⋅ (sin cos x + cos sin x) = 0 ; cos 2 2 2 2 2 2πk ; x = π + 2πn , x= 3 1 ⎛ 1⎞ 1 1 ⎛ 2π ⎞ y(0) = 1; y(π) = 0; y ⎜ ⎟ = ⋅ ⎜ − ⎟ = − ; ymin = – , ymax = 1 4 ⎝ 2⎠ 8 8 ⎝ 3 ⎠ 965. а) y = x 2 − 4 x + 5+ | 1 − x | ,

[0;4] ;

1) x ≥ 1 ; y = x2 − 3x + 4 ; y ' = 2x − 3 = 0 ; x =

3 ; 2

9 ⎛3⎞ y(1) = 1 – 4 + 5 + (1 – 1) = 2; y ⎜ ⎟ = –6+5+ 4 ⎝2⎠ 246

7 ⎛ 3⎞ ⎜1 − ⎟ = ; y ( 4) = 8 ; 4 ⎝ 2⎠

2) x ≤ 1 ; y = x2 − 5x + 6 ; y ' = 2x − 5 = 0 ; x = ymin =

5 - не подходит; y(0) = 6 ; 2

7 ; ymax = 8. 4

б) y =| x3 − 1| −3x,

[-1;3] ;

1) x ≥ 1 ; y = x − 3x − 1 ; y' = 3x2 − 3 ; x = 1 ; y(1) = −3 ; y(3) = −17 ; 2) x ≤ 1 ; y = 1 − 3x − x3 ; y ' = −3 − 3x2 ; y(1) = −3 = ymax ; y( −1) = 5 ; ymin = -3; ymax = 17. ⎡ 1 17 ⎤ 966. а) y = 2x − 16x − 4, x∈⎢ ; ⎥ ; ⎣4 4 ⎦ 8 5 5 3 ⎛ ⎞ 5 ; x = ; y⎜ ⎟ = − 4 = − ; y' = 2 − 4 4 2 2 16x − 4 ⎝ ⎠ 1 ⎛1⎞ 1 ⎛ 17 ⎞ 17 ⎡ 3 1⎤ y⎜ ⎟ = ; y ⎜ ⎟ = − 8 = ; y ∈ ⎢− ; ⎥ . 2 ⎣ 2 2⎦ ⎝4⎠ 2 ⎝ 4⎠ 2 1 б) y = 2 x − 1 − х, x ∈ [1;10] ; 2 1 1 − ; x = 5; y' = x −1 2

⎡ 1 3⎤ ; ⎥. ⎣ 2 2⎦ 2x + 4 + x 3x + 4 x = 967. а) y = х x + 2 ; y ' = x + 2 + ; = 2 x+2 2 x+2 2 x+2 y (5) = 4 −

x=−

1 5 3 = ; y(1) = − ; 2 2 2

y(10) = 6 – 5 = 1; y ∈ ⎢−

4 4 4 6 4 ⎡ 4 ⎞ ⎛ 4⎞ ; y⎜ − ⎟ = − ⋅ − + 2 = − ; y ∈ ⎢− 6 ;+∞ ⎟ . 3 3 3 9 3 9 ⎣ ⎠ ⎝ ⎠

б) y = х 1 − 2x ; y ' = 1 − 2 x −

x 1 − 2x

1 − 2x − x 1 − 2x

1 − 3x 1 − 2x

; x=

1 ; 3

⎛ 2 1 ⎛1⎞ 1 3⎤ ; y ∈ ⎜ −∞; ⎥ . y⎜ ⎟ = ⋅ 1 − = 9 ⎦ 3 3 3 ⎝3⎠ 3 ⎝ 2a 3x + 2a x 968. а) y = х x + a ; y' = x + a + = ; x=− ; 3 2 x+a 2 x+a

2a a ⎛ 2a ⎞ y⎜ − = −6 3 ; a a = 27 ; ⎟=− ⋅ 3 3 ⎝ 3 ⎠ 2

a = 27 3 = 9 . 247

б) y = (a − х) x ; y ' = − x +

a−x 2 x

a − x − 2x 2 x

a − 3x 2 x

; x=

a ; 3

⎛ a ⎞ 2a a y⎜ ⎟ = ⋅ = 10 5 ; a a = 15 15 ; a = 15 . 3 ⎝3⎠ 3 969. а) a 9 = 1 ; ⎧a1 + 8d = 1 ⎧a = 1 − 8d ; ⎨ 1 ; ⎨ ( 3 )( 6 )( 7 ) + + + = a d a d a d y 1 1 ⎩(1 − 5d )(1 − 2d )(1 − d ) = y ⎩ 1 y = (1 + 10d 2 − 7 d )(1 − d ) = 1 − d + 10d 2 − 10d 3 − 7 d + 7 d 2 = = 1 − 8d + 17 d 2 − 10d 3 ; y ' = −8 + 34d − 30d 2 = 0 ; 15d 2 − 17d + 4 = 0 ;

D = 289 − 240 = 49 ; d 1 =

17 + 7 4 1 = ; d2 = ; 30 5 3

9 ⎛ 3⎞1 ⎛ 8 ⎞⎛ 4 ⎞ ⎛4⎞ ; y⎜ ⎟ = (1 − 4)⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ = − 3 ⋅ ⎜ − ⎟ = 5 5 25 5 5 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 2 1 2 4 2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎛ y⎜ ⎟ = ⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟⎜1 − ⎟ = − ⋅ ⋅ = − ; d = . 3 3 3 27 3 ⎠⎝ 3 ⎠⎝ 3 ⎠ 5 ⎝3⎠ ⎝

⎧a1 + d = 6 ⎧a = 6 − d ; ⎨ 1 ; ( 2 ) ( 5 ) a + d a a + d = y 1 1 ⎩(6 + d )(6 − d )(6 + 4d ) = y ⎩ 1

б) ⎨

y = (36 − d 2 )(6 + 4d ) = 216 + 144d − 6d 2 − 4d 3 ; y ' = 144 − 12d − 12d 2 = 0 ; d 2 + d − 12 = 0 ; d1 = 3;

d2 = -4; y(3) = 9 ⋅ 3 ⋅ 18 = 486; y(-4) = 2 ⋅ 10 ⋅ (-10) = -200; d = -4.

970. а) y1 = 2x 2

y2 = 4x

Длина отрезка равна

4 x − 2 x 2 = f ( x) , x ∈ [0;2] ;

f ' ( x ) = 4 − 4 x ; x 0 = 1 ; f (1) = 4 − 2 = 2 ; б) y1 = x 2 ; y 2 = −2 x ; Длина отрезка равна

− 2 x − x 2 = f ( x) , x ∈ [−2;0] ; f ' ( x ) = −2 − 2 x ; x 0 = −1 ;

f (−1) = 2 − 1 = 1 . 971. а) y = x 2 ,

A(0;1,5) ;

f (x) = x2 + (1,5 − x2 )2 = = x2 +

248

(0 − x) 2 + (1,5 − y ) 2 = f ( x) ; 9 − 3x2 + x4 = 4

x 4 − 2x 2 +

9 4

f ' ( x) =

4 x3 − 4 x 9 2 x − 2x + 4 4

x = 0, x = ±1 ; f (0) = б) y =

= 2⋅

3 ; 2

972. S =

;

f (1) = 1 +

1 5 = = f (−1) ; (1;1), (−1;1) 4 2

A(4,5;0) ;

2x − 8 2

9 x − 2x + 4 4

81 − 9х + x2 + x = 4

f (x) = (4,5 − x)2 + у2 =

f ' ( x) =

x3 − x

81 − 8х + x2 4

x = 4;

;

81 − 8х + x 2 ; 4

y(4) = 2 ;

(4;2).

1⎛ ⎞ 2 ⎜15 + 2 225 − h + 15 ⎟h = 2⎝ ⎠

= ⎛⎜15 + 225 − h 2 ⎞⎟h (здесь h – высота трапеции); ⎝ ⎠ S' = 15 + 225 − h2 −

h2 225 − h

; 15 ⋅ 225 − h2 + 225 − 2h2 = 0 ;

50625 − 225h2 = 50625 − 900h2 + 4h4 ; 4h4 − 675h2 = 0 ; h2 (4h2 − 675) = 0 ; 675 675 15 = 15 + 2 ⋅ = 30 . ; a = 15 + 2 225 − 4 4 2 973. а) Пусть α - угол между основанием и боковой стороной х - сторона прямоугольника, которая совпадает с высотой, у – его другая стороной. h2 =

Тогда tgα = 5 =

S ' = 80 −

x2 x x x ; ; 80 − y = ; y = 80 − ; S = 80 x − 80 − y 5 5 5

2x ; 5

x = 200 , но x ∈ (0;100] ⇒ x = 100,

y = 60 ; S = 6000 .

б) a = 24 , b = 8 , h = 12 . Пусть α - угол между большим основанием трапеции и ее боковой стороной, х –сторона прямоугольника, которая совпадает с высотой, у – его другая сторона. Тогда tgα = S' = 24 −

3 x 4x 4x 4x2 ; ; y = 24 − ; S = 24x − = ; 24 − y = 3 4 24 − y 3 3

8x ; x = 9, 3

y = 12 ; S = 108 . 249

974. а) Пусть х – сторона прямоугольника, лежащая на АВ, у – его другая сторона, α = ∠ DCB. 7−5 2 1 х 1 Тогда tgα = = = = ; х = 3 − у ; y = −3х + 9 ; 9−3 6 3 9− у 3

3 9 9 S = −3х2 + 9х ; S' = −6х + 9 ; x = ; у = − + 9 = 2 2 2 но АЕ ⋅ АВ = 21 ⇒ Smax = 21 . б) a = 7, b = 18, c = 3, m = 1; Пусть х – сторона прямоугольника, лежащая на АВ, у – его другая сторона, α = ∠ DCB. Тогда tgα =

7 −1 2 х 5 5 ; 18 − у = x ; y = 18 − х ; = = 2 2 18 − 3 5 18 − у

5 2 18 ; у = 9 ; S = 32,4 ; х ; S ' = 18 − 5 х ; x = 2 5 АЕ ⋅ АВ = 21 ⇒ S max = 32,4 .

S = 18 x −

975.

a B b

α D

AC = a ; AB = b ; CB = AC − AB = a − b ; AD = x ; BD = x 2 + b 2 ; CD = x 2 + a 2 . По теореме косинусов

( x + b )( x ( x + b )( x + a ) cos α ;

(a − b)2 = x2 + b2 + x2 + a2 − 2 2x2 + 2ab = 2 cos α =

f (x) =

250

(x (x

x2 + ab 2

)(

+ b2 x2 + a2 x2 + ab

)(

+ b2 x2 + a2

)

+ a2 cos α ;

x2 + ab

(

)

x4 + x2 a2 + b2 + b2a2

;

(

)

( x 2 + ab)(4 x3 + 2 x(a 2 + b 2 ))

2 x x 4 + x 2 a 2 + b2 + b2a 2 −

f ' ( x) =

(

)(

)

2 x x 2 + b 2 x 2 + a 2 = x ( x 2 + ab)

)(x

(

)

2 x 4 + x 2 a 2 + b2 + b2a 2 2

)

2x 2 + a 2 + b 2

)(

+ b2 x2 + a2

)

= 0;

;

2( a 2b 2 + x 2a 2 + x 2b 2 + x 4 ) = 2 x 4 + 2 x 2ab + x 2a 2 + x 2b 2 + a 3b + ab3 ; 2ab(ab − x 2 ) + a 2 ( x 2 − ab) + b 2 ( x 2 − ab) = 0 ;

( x 2 − ab)(a − b) 2 = 0 ; x = ab ; α max при x = ab . 976. 5

Д y

К x Ж

ЖД = 12 ; х – расстояние, которое пешеход пройдет по дороге; у – расстояние, которое пешеход пройдет по лесу; Суммарное время: t =

x y + ; 5 3

DK = 12 - x ; y = 25 + (12 − x ) 2 ;

t'=

1 2 x − 24 1 x − 12 + = + = 0; 2 2 5 2 ⋅ 3 x − 24 x + 169 5 3 x − 24 x + 169

(

)

3 x 2 − 24x + 169 = 12 − x ; 9 x 2 − 9 ⋅ 24 x + 9 ⋅169 = 25 144 − 24 x + x 2 ; 5 16x 2 − 384x + 2079 = 0 ; x 1 = 8,25 ; x2 = 15,75 − не подходит; 33 25 ; у = 25 + 3,75 2 = ; 4 4 x 4 33 25 56 t= + = + = ≈ 3 часа 44 минуты . 5 5 20 12 15

х=

251

977. V = x2 y = 32 (y – высота бака, х – длина стороны его основания); S = x2 + 4xy = x2 +

128 128 ; S'(x) = 2x − 2 = 0 ; x x

x 3 = 64 ; x 0 = 4 ; y 0 = 2 . Ответ: 4 дм; 4 дм; 2 дм. 978. V = x2 y = 343 (y – высота бака, х – длина стороны его основания); S = 2x2 + 4xy = 2x2 +

1372 1372 ; S' = 4x − 2 = 0; x0 = 7 ; y0 = 7 . x x

Ответ: 7 м; 7 м; 7 м. 979. V = 6x2 y = 576 (y – высота короба, 2х и 3х – длины сторон его основания); 960 960 S = 12x2 + 6xy + 4xy = 12x2 + ; S'(x) = 24x − 2 = 0 ; x x

x 3 = 40 ; x 0 = 23 5 ; y0 = Ответ: 4 3 5м;

3 576 1 5 ⋅ 3 = 24 ; 6 4 25 5

24 3 5 м. 5

6 3 5м;

980. V = (d2 − x2 )x (х – длина бокового ребра призмы); V ' = d2 − 3x2 = 0 ; x =

d 3 = d. 3 3

(

)

981. a = 2 p2 − h2 ; Sосн = 4 p2 − h2 ;

(

)

(

)

f p 3 1 4 = V = ⋅ 4 p2 − h2 h ; V '(h) = p2 − 3h2 = 0 ; h = . 3 3 3 3 982. 2h + 2 x = p (h – высота цилиндра, х – его диаметр); 2

⎛x⎞ ⎛ p − 2h ⎞ V = π⎜ ⎟ h = π⎜ ⎟ h; ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠

(

)

(

)

⎛π ⎞ π 2 V '(h) = ⎜ p2 − 4ph + 4h2 h ⎟ = p − 8ph + 12h2 = 0 ; ⎝4 ⎠ 4 8p ± 4p p p 12h2 − 8ph + p2 = 0 ; h1,2 = ; h1 = ; h2 = ; 24 6 2

h 2 не подходит, т.к. 2h 2 = p ⇒ x = 0 , чего не может быть ⇒ h =

p 6

983. S = 2πRh + 2πR 2 - площадь боковой поверхности; V = πR 2 h ; h=

252

V 2V V V V . ; S= ; R=3 + 2πR 2 ; S'(R) = −2 2 + 4πR = 0 ; R3 = 2 2π R 2π πR R