Antologia

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

Universidad Tecnológica de Puebla Ingeniería en Tecnologías de la Información y Comunicación

Materia:

INGENIERÍA ECONÓMICA Séptimo cuatrimestre

Septiembre – Diciembre 2009

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

Colaboradores:

1. M en C. Alma Nelly Tlaxcala Castañeda 2. M.A. María Eva Pérez Ramírez 3. M.A. María Leticia Rodríguez Barrientos

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

ÍNDICE Página UNIDAD 1 CONCEPTOS Y CRITERIOS ECONÓMICOS DEL VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO. 1.1.

CONCEPTOS FINANCIEROS BÁSICOS

1.2.

CAPITALIZACIÓN DE INTERESES

UNIDAD 2 MÉTODOS Y ANÁLISIS FINANCIERO DE PROYECTOS. 2.1.METODOS DE INVERSIÓN. 2.2. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN UNIDAD 3 PROGRMACIÓN LINEAL. 3.1. MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL 3.2. MÉTODO SIMPLEX Y SUS VARIANTES UNIDAD 4 SEGUIMIENTO DE PROYECTOS. 4.1. TÉCNICAS Y MÉTODOS PARA LA ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS 4.2. TÉCNICA DE EVALUACIÓN Y REVISIÓN DEL PROGRMA (PERT ) 4.3 MÉTODO DE LA RUTA CRÍTICA

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

Unidad Temática:

I. Conceptos y criterios económicos y el

valor del dinero a través del tiempo.

Objetivo: El alumno identificará los conceptos financieros para plasmar

las

opciones

que

se

ajusten

a

los

recursos

disponibles.

UNIDAD 1 CONCEPTOS Y CRITERIOS ECONÓMICOS Y EL VALOR DEL DINERO A TRAVÉS DEL TIEMPO

1.1.

CONCEPTOS FINANCIEROS BÁSICOS.

¿Qué es la Ingeniería Económica?

Es la disciplina que se preocupa de los aspectos económicos de la ingeniería; implica la evaluación sistemática de los costos y beneficios de los proyectos técnicos propuestos. Los principios y metodología de la ingeniería económica son parte integral de la administración y operación diaria de compañías y corporaciones del sector privado, servicios públicos regulados, unidades o agencias gubernamentales, y organizaciones no lucrativas. Estos principios se utilizan para analizar usos alternativos de recursos financieros, particularmente en relación con las cualidades físicas y la operación de una organización. ¿De qué se encarga la Ingeniería Económica?

Se encarga del aspecto monetario de las decisiones tomadas por los ingenieros al trabajar para hacer que una empresa sea lucrativa en un mercado altamente competitivo. Inherentes a estas decisiones son los cambios entre diferentes tipos de costos y el desempeño (Tiempo de respuesta, seguridad, peso, confiabilidad, etc.) proporcionado por el diseño propuesto a la solución del problema.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA ¿Cuál es su Objetivo?

Lograr un análisis técnico, con énfasis en los aspectos económicos, de manera de contribuir notoriamente en la toma de decisiones. ¿Cuáles son sus principios?

1.- Desarrollar las alternativas: La elección se da entre las alternativas. Es necesario identificar las alternativas y después definirlas para el análisis subsecuente.

2.- Enfocarse en las diferencias: Al comparar las alternativas debe considerarse sólo aquello que resulta relevante para la toma de decisiones, es decir, las diferencias en los posibles resultados.

3.- Utilizar un punto de vista consistente: Los resultados posibles de las alternativas,

económicas

y

de

otro

tipo,

deben

llevarse

a

cabo

consistentemente desde un punto de vista definido.

4.- Utilizar una unidad de medición común: Utilizar una unidad de medición común para enumerar todos los resultados probables hará más fácil el análisis y comparación de las alternativas.

5.- Considerar los criterios relevantes: La seleción de una alternativa requiere del uso de uno o varios criterios. El proceso de decisión debe considerar los resultados enumerados en la unidad monetaria y los expresados en alguna otra unidad de medida o hechos explícitos de una manera descriptiva.

6.- Hacer explícita la incertidumbre: La incertidumbre es inherente al proyectar los resultados futuros de las alternativas y debe reconocerse en su análisis y comparación.

7.- Revisar sus decisiones: La toma de decisiones mejorada resulta de un proceso adaptativo; hasta donde sea posible, los resultados iniciales proyectados de la alternativa seleccionada deben compararse posteriormente con los resultados reales logrados.

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¿Por qué es importante la Ingeniería Económica?

La ingeniería económica, en forma bastante simple, hace referencia a la determinación de los factores y criterios económicos utilizados cuando se considera una selección entre una o más alternativas. Otra definición de la ingeniería económica plantea que es una colección de técnicas matemáticas que simplifican las comparaciones económicas. Con estas técnicas, es posible desarrollar un enfoque racional y significativo para evaluar los aspectos económicos de los diferentes métodos (alternativas) empleados en el logro de un objetivo determinado.

Las técnicas funcionan igualmente bien para un individuo o para una corporación que se enfrenta con una decisión de tipo económico. Algunas de las preguntas usuales que pueden ser consideradas metódicamente por individuos,

negocios

y

corporaciones,

y

por

las

agencias

públicas

(gubernamentales) que utilizan el material de este libro, se formulan aquí.

Individuos ¿Debo pagar el saldo de mi tarjeta de crédito con dinero prestado? ¿Qué representan financieramente mis estudios universitarios en mi carrera profesional? ¿Las deducciones federales al impuesto sobre la renta son para la hipoteca de mi casa un buen negocio o debo acelerar los pagos de mi hipoteca? ¿Exactamente qué tasa de retorno obtuvimos en esta inversión en acciones? ¿Debo comprar o arrendar mi próximo automóvil o conservar el que tengo ahora y continuar pagando el préstamo?

Conceptos básicos, términos y gráficas 5 Corporaciones y negocios ¿Lograremos el retorno requerido si instalamos esta nueva tecnología de fabricación en

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA la planta? ¿Construimos o arrendamos las instalaciones para la nueva sucursal en Asia? ¿En términos económicos es mejor fabricar internamente o comprar por fuera una parte componente de una nueva línea de producto?

Unidades gubernamentales que atienden al público ¿Cuánto recaudo del nuevo impuesto necesita generar la ciudad para pagar la emisión de bonos escolares que se está sometiendo a votación? ¿Sobrepasan los beneficios los costos de un puente sobre el canal intracostero en este punto? ¿Es económico para la ciudad en términos de costos construir un domo para eventos deportivos importantes? ¿Debe la universidad estatal contratar una institución universitaria de la comunidad local para enseñar en cursos de pregrado a nivel básico o es preferible que el profesorado de la universidad lo haga?

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Papel de la Ingeniería económica en la toma de decisiones La gente toma decisiones; los computadores, las metodologías y otras herramientas no lo hacen. Las técnicas y los modelos de ingeniería económica ayudan a la gente a tomar decisiones. Puesto que las decisiones afectan lo que se realizará, el marco de tiempo de la ingeniería económica es generalmente el futuro. Por consiguiente, los números utilizados en un análisis de ingeniería económica son las mejores estimaciones de lo que se espera que ocurra.

Es común incluir resultados en un análisis de hechos observados. Éste utiliza los métodos de la ingeniería económica para analizar el pasado, puesto que no se toma una decisión de seleccionar una alternativa (futura) sobre otra. En lugar de ello, el análisis explica o caracteriza los resultados. Por ejemplo, una corporación puede haber iniciado una división de pedidos por correo hace 5 años. Ahora ésta desea conocer el retorno real sobre la inversión (RSI) o la tasa de retorno (TR) experimentada por esta división.

El análisis de resultados y la decisión de alternativas futuras se consideran el dominio de la ingeniería económica.

Un procedimiento muy popular utilizado para considerar el desarrollo y selección de alternativas es el denominado enfoque de solución de problemas o proceso de toma de decisiones. Los pasos habituales en el enfoque son los siguientes: Pasos en la solución de problemas 1. Entender el problema y la meta.

2. Reunir información relevante.

3. Definir las soluciones alternativas.

4. Evaluar cada alternativa.

5. Seleccionar la mejor alternativa utilizando algunos criterios.

6. Implementar la solución y hacer seguimiento a los resultados.

La ingeniería económica tiene un papel importante en los pasos 2, 3 y 5, y es la técnica principal en el paso 4 para realizar el análisis de tipo económico de

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA cada alternativa. Los pasos 2 y 3 establecen las alternativas y la ingeniería económica ayuda a estructurar las estimaciones de cada uno. El paso 4 utiliza uno o más modelos de la ingeniería económica examinados en este libro para completar el análisis económico sobre el cual se toma una decisión.

Ejemplo 1.2 Reconsidere las preguntas presentadas en el ejemplo anterior sobre la compra conjunta de un avión corporativo. Establezca algunas formas en las cuales la ingeniería económica puede contribuir al proceso de toma de decisiones en la selección entre las dos alternativas.

Solución Suponga que el problema y la meta son las mismas para cada presidente: disponer de un transporte permanente y confiable que minimice los costos totales. La ingeniería económica ayuda en diversas formas. Utilice el enfoque de solución de problemas como marco de referencia.

Pasos 2 y 3: El marco de referencia de las estimaciones necesarias para un análisis de ingeniería económica ayuda en la estructuración de cuales datos deben ser calculados y recolectados. Por ejemplo, para la alternativa 1 (comprar el avión), estos incluyen el costo estimado de compra, los métodos de financiación y las tasas de interés, los costos anuales de funcionamiento, el posible incremento en los ingresos por ventas y las deducciones en el impuesto sobre la renta. Para la alternativa 2(mantener el statu quo), éstos incluyen costos de transporte comercial observados y estimados, ingresos de ventas anuales y otra información relevante. Observe que Ia ingeniería económica no incluye específicamente la estimación; ésta ayuda a determinar cuáles estimaciones e información se necesitan para el análisis (paso 4) y para la decisión (paso 5).

Paso 4: Éste es el centro de la ingeniería económica. Las técnicas generan valores numéricos denominadas rnedidas

de valor, que consideran

inherentemente el valor del dinero en el tiempo. Algunas medidas comunes del valor son:

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Valor presente (VP)

Valor Futuro (VF)

Valor Anual (VA)

Tasa de retorno (TR)

Razón

beneficio/costo Costo

(B/C)

capitalizado

(CC)

ValorPpresente,(VP): Es la cantidad de dinero que se invierte o se presta ahora en un proceso en el cual, los intereses o rendimientos se retiran periódicamente con la condición que no se reinviertan. La característica fundamental es que la obtención de nuevos rendimientos se obtienen siempre sobre esta inversión que permanece constante.

Valor Futuro, (F): El valor futuro de un valor presente es la cantidad de dinero de la cual se dispone al final del plazo de la transacción. El valor futuro es la suma del valor presente y los intereses devengados durante el tiempo en que se efectuó la inversión. A continuación se ilustra alguna de las ecuaciones que permita efectuar cálculos de los rendimientos nominales: Con la formula del valor futuro F, se pueden determinar los valores: presente, la tasa de interés y los periodos de tiempo. En este texto no se pretende efectuar dichos cálculos, pero el lector interesado los puede consultar en el texto de “Fundamentos de Matemática Financieras “, de este autor.

Valor Anual (VA) Este método se basa en calcular qué rendimiento anual uniforme provoca la inversión en el proyecto durante el período definido. Por ejemplo: supongamos que tenemos un proyecto con una inversión inicial de $1.000.000. El período de beneficio del proyecto es de 5 años a partir de la puesta en marcha y la reducción de costo cada año (beneficio del proyecto) es de $400.000. La TREMA (Tasa de recuperación mínima aceptada) o Tasa de Descuento es del 12%. Se calculan las anualidades de la inversión inicial: esto equivale a calcular qué flujo de efectivo anual uniforme tiene el proyecto, combinando la inversión y los beneficios. La situación equivale a pedir un préstamo de $1.000.000 por 5 años al 12%. Si es así, se devolverían $277.410 cada año durante 5 años.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA El VA del proyecto se puede calcular usando la función PAGO(c1,c2,c3) de Excel, en donde c1 = TREMA (Tasa de recuperación mínima aceptada) o Tasa de Descuento (12%), c2 = cantidad de años que dura el proyecto (5 años) y c3 = inversión inicial ($1.000.000). En nuestro caso sería: PAGO(12, 5, 1.000.000) = $277.410. Esto equivale a que el proyecto arrojará un flujo de efectivo positivo de $277.410 durante los cinco años, cada año.

VA = $400.000 - $277.410 = $122.590 . (VA = ingreso anual provocado por el proyecto - gastos anuales).

Este ejemplo asume que conocemos los gastos y los ingresos del proyecto.

Para comparar dos proyectos: el supuesto es que los dos proyectos duran la misma cantidad de períodos.

En todos estos casos, se considera el hecho de que el dinero hoy vale una suma diferente en el. futuro.

Paso 5: Para la porción económica de la decisión, se utiliza algún criterio basado en una de las medidas de valor para seleccionar solamente una de las alternativas. Además, hay tantos factores no económicos -sociales, ambientales, legales, políticos, personales, para nombrar algunos que pueden parecer en ocasiones que el resultado del análisis de ingeniería económica se utiliza menos de lo que el ingeniero pueda desear. Pero ésta es la razón exacta por la cual quien toma decisiones debe tener una información adecuada de todos los factores económicos y no económicos para hacer una selección informada. En este caso, el análisis económico favorece significativamente el avión de la propiedad conjunta (alternativa 1); pero, debido a factores no económicos uno o ambos presidentes puedan decidir continuar con la situación actual seleccionando la alternativa 2.

A manera de ilustración, éste se esquematiza en la figura 1.1 para dos alternativas, a saber: (alternativa 1)Nuevo diseño de planta y (alternativa 2) Mejoramiento de la planta antigua.

Una vez que se han identificado las alternativas y está disponible la información relevante (es decir, las estimaciones), el flujo del análisis de economía

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA generalmente sigue los pasos 3 a 5 de solución de problemas descritos en la sección anterior. A continuación se hace un seguimiento de estos pasos a través de las secciones principales identificadas en el enfoque de estudio de ingeniería económica (figura 1.1).

Generalmente, las alternativas contienen información tal como costo inicial (incluidos precios de compra y costos de construcción, instalación y despacho), vida esperada, ingresos y gastos anuales estimados de la alternativa (incluidos costos de mantenimiento anual), valor de salvamento proyectado (valor de reventa o canje), una tusa de interés (tasa de retorno) apropiada y posiblemente efectos de impuestos sobre la renta, En general, los gastos anuales se agrupan en una suma y se denominan costos anuales de operación (CAO).

Flujos de efectivo durante algún periodo de tiempo. Las entradas y salidas de dinero reales se denominan flujos de efectivo. Para realizar el análisis económico, pueden requerirse estimaciones para la financiación, las tasas de

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA interés, la vida de los activos, los ingresos, los costos, los efectos tributarios, etc. Para especificar los aspectos económicos de las alternativas (paso 3), se reúnen y formatean las estimaciones relevantes (paso 2). Sin las estimaciones de flujos de efectivo durante un periodo de tiempo establecido, no es posible realizar un estudio de ingeniería económica.

Análisis mediante un modelo de ingeniería económica.

Los procedimientos permiten tomar decisiones económicas solamente sobre aquellas alternativas que han sido reconocidas como tales; los procedimientos no ayudan a identificar las alternativas mismas.

Si sólo han sido identificadas y definidas las alternativas A, B y C para el análisis, cuando el método D, aunque no se reconoce como una alternativa, es el más atractivo, con seguridad se tomará la decisión equivocada. La importancia de la identificación y definición alternativa en el proceso de toma de decisiones nunca se enfatiza en demasía, puesto que dicho paso (paso 4 en el enfoque de solución de problemas) hace que el resultado de un análisis económico tenga un valor real.

Alternativa evaluada. Para cada alternativa se establece una medida de valor.

Este es el resultado del análisis de ingeniería económica. Por ejemplo, el resultado de un análisis de tasa de retorno de las dos alternativas puede ser: Seleccionar la alternativa 1 en la cual se estima una tasa de retorno del 18.4% anual durante una vida de 20 años.

Factores no económicos. Como se mencionó anteriormente, muchos otros factores -sociales, del entorno, legales, políticos, personales, etc.- deben ser considerados antes de hacer una selección. Algunos de éstos son tangibles (cuantificables), mientras que otros no lo son.

Criterios de evaluación o de selección. Al seleccionar una alternativa, la persona que toma decisiones aplica una combinación de criterios económicos utilizando la medida de valor, y los factores no económicos e intangibles. Si se define solamente una alternativa, siempre existe una segunda alternativa

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA presente en la forma de su negación, llamada también la alternativa como está o el statu que. Esta opción se analizará a lo largo del libro, pero, en resumen, ello significa que se mantiene el enfoque actual.

Conscientes de ello o no, todos los días utilizamos criterios para seleccionar alternativas.

Por ejemplo, cuando alguien se dirige a la universidad, decide tomar la “mejor” ruta. ¿Pero cómo definió la persona el término mejor? ¿Fue la mejor ruta la más segura, la más corta, la más rápida, la más barata, la de mejor paisaje, o cuál? Obviamente, dependiendo del criterio o combinación de criterios que se utilicen para identificar la mejor, cada vez podría seleccionarse una ruta diferente. En el análisis económico, se utilizan generalmente como la base tangible para la evaluación. Por tanto, cuando hay diversas formas de lograr un objetivo determinado, se selecciona la alternativa con el costo global más bajo o la utilidad neta global más alta.

En la mayoría de los casos las alternativas contienen factores intangibles que no pueden expresarse de manera fácil en términos de dólares. Cuando las alternativas disponibles tienen aproximadamente el mismo costo equivalente, los factores no económicos e intangibles pueden ser utilizados como la base para seleccionar la mejor alternativa.

La alternativa seleccionada. Una vez se ha hecho la selección, se espera que tendrá lugar la implementación y el seguimiento continuo (paso 6).

Generalmente, el seguimiento origina nuevas alternativas a medida que cambian la tecnología y los mercados y los activos se deterioran.

CÁLCULO DE INTERESES La manifestación del valor del dinero en el tiempo se conoce con el término interés, que es el incremento entre una suma original de dinero prestado y la suma final debida, o la suma original poseída (o invertida) y la suma final acumulada. Se hace referencia a la inversión original o al monto del préstamo

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA como el principal. Si una persona invirtió dinero en algún momento en el pasado, el interés será: Ecuación 1: Interés = monto total ahora - principal original (1) Si el resultado es negativo, la persona ha perdido dinero y no hay interés. Por otra parte, si obtuvo en préstamo dinero en algún momento del pasado, el interés será: Ecuación 2: Interés = monto debido ahora - principal original (2) En cualquier caso, hay un aumento en la cantidad de dinero que se invirtió o prestó originalmente y el incremento por encima de la suma original es el interés.

Cuando el interés se expresa como un porcentaje de la suma original por unidad de tiempo, el resultado es una tusa de interés. Esta tasa se calcula como: Ecuación (3) (3) El periodo de tiempo más común en el cual se expresa una tasa de interés es 1 año. Sin embargo, dado que las tasas de interés pueden estar expresadas en periodos de tiempo menores de 1 año, por ejemplo, 1% mensual, la unidad de tiempo utilizada al expresar una tasa de interés también debe ser identificada.

Este periodo se denomina el periodo de interés. Los siguientes ejemplos ilustran cálculos de interés.

Ejemplo: La firma Inversiones el Oráculo invirtió $100,000 el 1 de maya y retiró un total de $106,000 exactamente un año mas tarde. Calcule (a) el interés obtenido y (b) la tasa de interés sobre la inversión.

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Solución (a) Al aplicar la ecuación 1: Interés = $106,000 - 100,000 = $6000 (b) La ecuación 3 determina la tasa de interés sobre el periodo de interés de 1 año.

Comentario Cuando se trata de dinero prestado, los cálculos son similares a los que aparecen arriba excepto que el interés se calcula mediante la ecuación 2. Por ejemplo, si el Oráculo hubiera obtenido en préstamo $100,000 ahora hubiera reembolsado $110,000 después de 1 año, el interés es $10,000 y la tasa de interés a través de la ecuación 3 es $10,000/$100,00 * 100%= 10% anual.

1.2.

CAPITALIZACIÓN DE INTERESES

INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO Los términos interés, periodo de interés y tasa de interés (introducidos en la sección 1.4) son útiles para el cálculo de sumas equivalentes de dinero para un periodo de interés en el pasado y un periodo en el futuro. Sin embargo, para más de un periodo de interés, los términos interés simple e interés compuesto resultan importantes.

El interés simple se calcula utilizando sólo el principal, ignorando cualquier interés causado en los periodos de interés anteriores. El interés simple total durante diversos periodos se calcula como:

en donde la tasa de interés está expresada en forma decimal.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Ejemplo: Si Julián obtiene $1000 en préstamo de su hermana mayor durante años a un interés simple del 5% anual ¿ cuánto dinero pagara él al final de los 3 años? Tabule los resultados.

Los $50 de intereses acumulados durante el primer año y los $50 causados en el segundo año no ganan interés.. El interés causado cada año se calcula solamente sobre el principal de $1000.

Los detalles del pago de este préstamo se tabulan en la tabla 1.1. La cifra de cero en la columna de final del año representa el presente: es decir, en el momento en el cual el dinero es prestado. El prestatario no realiza pago alguno hasta el final del año 3, de manera que la suma adeudada cada año aumenta uniformemente en $50, puesto que el interés simple se calcula sólo sobre el principal del préstamo.

Para el interés compuesto, el interés acumulado para cada periodo de interés se calcula sobre el principal más el monto total del interés acumulado en todos los periodos anteriores. Por tanto, el interés compuesto significa un interés

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA sobre el interés, es decir, refleja el efecto del valor del dinero en el tiempo también sobre el interés. Ahora, el interés para un periodo se calcula así:

Ejemplo: Si Julián obtiene, de su hermana, en préstamo $1000 al 5 % de interés anual compuesto en lugar del interés simple, como en el ejemplo anterior, calcule la suma total a pagar después d e 3 años. Elabore gráficas y compare los resultados de este ejemplo y del anterior.

Los detalles se muestran en la tabla 1.2. El plan de pago es el mismo que aquel del ejemplo de interés simple; no se hacen pagos hasta que el principal más el interés acumulado sean causados al final del año 3.

La figura 1.4 muestra la suma a pagar al final de cada año durante 3 años.

Para el caso del interés compuesto se reconoce la diferencia adeudada al valor del dinero en el tiempo. Se paga un interés extra de $1157 - $1150= $7.63 comparado con el interés simple durante el periodo de 3 años. La diferencia entre interés simple y compuesto crece cada año. Si se continúan los cálculos durante más años, por ejemplo, 10 años, la diferencia es $128.90; después de 20 años, el interés compuesto es $653.30 más que el interés simple.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Si $7.63 no parece una diferencia significativa en 3 años solamente, recuerde que la suma inicial aquí es de $1000. Si se hacen estos mismos cálculos para una suma inicial de $100,00 ó $1 millón se está hablando de una suma importante. Todo esto indica que el poder del cálculo compuesto es de vital importancia en todos los análisis de tipo económico.

Ejemplo (Hoja de Calculo) Desarrolle una hoja de calculo para determinar el interés compuesto y el saldo del préstamo cada año para los $1000 que Julián obtuvo en préstamo al 5% anual. Compare gráficamente los resultados para él interés compuesto y el interés simple del ejemplo 1.7.

Solución: La figura 1.5a

presenta una hoja de cálculo para determinar el interés

compuesto anual y el saldo del préstamo. La figura 1.5b compara el interés simple y el compuesto en formatos tabulares y gráficos

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Para demostrar que los diferentes planes de rembolso de préstamos, o planes de inversión, son equivalentes pero de un año a otro difieren sustancialmente en las sumas monetarias, se combinan los conceptos de interés simple, interés compuesto y equivalencia. Tal combinación muestra también cuántas formas hay para considerar el valor del dinero en el tiempo. El siguiente ejemplo ilustra la equivalencia para cinco planes de rembolso del préstamo.

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TASA MÍNIMA ATRACTIVA DE RETORNO Para que cualquier inversión sea rentable, el inversionista (corporación o individuo) debe esperar recibir más dinero de la suma invertida. En otras palabras, debe ser posible obtener una tasa de retorno o un retorno sobre la inversión. Durante un determinado periodo de tiempo, la tasa de retorno (TR) se calcula como:

El numerador puede llamarse utilidad, ingreso neto, o muchos términos diversos. Obsérvese que este cálculo es en esencia el mismo que el de la tasa de interés en la ecuación [ 1.31. Los dos términos pueden ser utilizados indistintamente, dependiendo del punto de vista, o de quién realiza la operación; el término tasa de interés es utilizado desde el punto de vista del prestatario, cuando el dinero ha sido obtenido en préstamo, o cuando se establece un interés fijo. El término tasa de retorno se utiliza comúnmente

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA cuando se estima la rentabilidad de una alternativa propuesta o cuando se evalúan los resultados de un proyecto o inversión terminados. Ambos se representan con el símbolo i.

Las alternativas de inversión se evalúan sobre el pronóstico de que puede esperarse una TR razonable. Alguna tasa razonable debe, por consiguiente, ser establecida y utilizada en la fase de criterios de selección del enfoque de estudio de ingeniería económica (remítase nuevamente a la figura 1.1). La tasa razonable se denomina tasa minima atractiva de retorno (TMAR) y es más alta que la tasa esperada de un banco o alguna inversión segura que comprenda un riesgo mínimo de inversión. La figura 1.6 indica las relaciones entre diferentes valores de tasa de retorno. En Estados Unidos, el retorno actual de los bonos del Tesoro de EE.UU. se utiliza algunas veces como la tasa segura de referencia. También se hace referencia a la TMAR como la tasa base para proyectos; es decir, para que un proyecto sea considerado financieramente viable, la TR esperada debe igualar o exceder la TMAR o tasa base.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Los términos capital, fondos de capital y capital de inversión se refieren todos a fondos disponibles destinados a inversión para ayudar a la compañía a generar negocios e ingreso.

El término capital es el que se utiliza con mayor frecuencia. Para la mayoría de las organizaciones industriales y de negocios, el capital es un recurso limitante.

Aunque hay muchas alternativas que pueden generar un TR que excede el TMAR como lo indica la figura 1.6, probablemente no habrá suficiente capital disponible para todo, o puede estimarse que el riesgo del proyecto es muy alto para incurrir en un riesgo de inversión. Los nuevos proyectos se emprenden porque tienen una relación esperada TR > TMAR y en general son aquellos proyectos que tienen un retorno esperado, por lo menos tan grande como el retorno de otra alternativa que aún no ha recibido fondos. Un proyecto nuevo seleccionado de esta manera sería una propuesta representada por la parte superior de la flecha que indica la TR en la figura 1.6. Por ejemplo, si TMAR = 12% y la propuesta 1 con una TR esperada = 13% no puede ser financiada por falta de fondos de capital, mientras que la propuesta 2 tiene una TR estimada = 14.5% y puede ser financiada con el capital disponible, sólo se emprende la propuesta 2. Dado que la propuesta 1 no se lleva a cabo por la falta de capital, se hace referencia a su TR estimada del 13% como el costo de oportunidad; es decir, debe perderse la oportunidad de realizar un retorno adicional del 13%. El capital limitado y los costos de oportunidad se analizan en más detalle en el capítulo 17.

El concepto de TMAR se utilizará en todo el texto. Los puntos importantes ahora son: (1) Para evaluar una propuesta única o para comparar alternativas debe determinarse o establecerse una TMAR o tasa base y (2) La TR del proyecto menor que la TMAR debe considerarse económicamente inaceptable.

Por supuesto, si se decreta que se seleccionará una alternativa y que todas las TR son menores que TMAR, entonces se seleccionará la alternativa más cercana a TMAR. Como podría esperarse, los individuos utilizan en gran medida la misma lógica antes presentada, pero con menos especificidad y estructura al fijar la TMAR y en la definición, evaluación y selección de una alternativa. Además, los individuos tienen dimensiones sustancialmente diferentes a las corporaciones

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA en cuanto a riesgo e incertidumbre cuando las alternativas son evaluadas mediante estimaciones de TR y los factores intangibles asociados.

FLUJOS DE EFECTIVO: SU ESTIMACIÓN Y DIAGRAMACIÓN En este primer capítulo se desea analizar también uno de los elementos fundamentales de la ingeniería económica: los pujos de efectivo. En la sección 1.3 los flujos de efectivo se describen como las entradas y salidas reales de dinero. Toda persona o compañía tiene entradas de efectivo

recaudos e

ingreso (entradas) y desembolsos de efectivo -gastos y costos (salidas). Estas entradas y desembolsos son los flujos de efectivo, en los cuales las entradas de efectivo se representan en general con un signo positivo y las salidas con uno negativo.

Los flujos de efectivo ocurren durante periodos de tiempo específicos, tales como 1 mes o 1 año. De todos los elementos del enfoque de estudio de la ingeniería económica (figura 1. l), la estimación del flujo de efectivo probablemente es la más difícil e inexacta. Las estimaciones de flujos de efectivo son sólo eso: estimaciones sobre un futuro incierto. Una vez estimados, las técnicas de este libro pueden guiar al lector en su toma de decisiones. Pero la precisión, demostrada con el tiempo, de las entradas y salidas de efectivo estimadas de una alternativa determinan con claridad la calidad del análisis económico y de la conclusión. El libro de Ostwald Engineering Cost Estimating (véase Bibliografía) es una fuente excelente para la estimación de costos.

Losflujos de entradas de efectivo, o recibos, pueden estar compuestos de los siguientes elementos, dependiendo de la naturaleza de la actividad propuesta y del tipo de negocio involucrado. (Las entradas y salidas comúnmente utilizadas en los capítulos iniciales de este libro aparecen en negrilla).

Ejemplos de entradas de efectivo • Ingresos (generalmente incrementales atribuidos a la alternativa).

• Reducciones en el costo de operaciones (atribuidas a la alternativa).

• Valor de salvamento de activos.

• Recibo del principal de un préstamo.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA • Ahorros en impuestos sobre la renta.

• Ingresos provenientes de la venta de acciones y bonos.

• Ahorros en costos de construcción e instalaciones.

• Ahorros o rendimiento de los fondos de capital corporativos.

• Las salidas de efectivo, o desembolsos, pueden estar conformadas de los siguientes, • dependiendo nuevamente de la naturaleza de la actividad y del tipo de negocio.

Ejemplos de salidas de efectivo • Primer costo de activos (con instalación y envío).

• Costos de operación (anual e incremental).

• Costos de mantenimiento periódico y de reconstrucción.

• Pagos del interés y del principal de un préstamo.

• Aumento esperado de costos principales.

• Impuestos sobre la renta.

• Pago de bonos y de dividendos de bonos.

• Gasto de fondos de capital corporativos.

La información de antecedentes para las estimaciones es proporcionada por departamentos tales como marketing, ventas, ingeniería, diseño, manufactura, producción, servicios de campo, finanzas, contabilidad y servicios de computador. La precisión de las estimaciones depende, en gran medida, de las experiencias de la persona que hace la estimación con situaciones similares.

Generalmente, se realizan estimaciones puntuales; es decir, se obtiene la estimación de un valor único para cada elemento económico de una alternativa.

Si se adopta un enfoque estadístico al estudio de la ingeniería económica, puede desarrollarse la estimación de un rango o de una distribución. En la mayor parte de este libro se utilizarán estimativos puntuales. En capítulos avanzados se introducirán estimaciones de distribución.

Una vez se desarrollan estimaciones de entradas y salidas de efectivo, el flujo de efectivo neto durante un determinado periodo de tiempo puede representarse como:

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

Dado que los flujos de efectivo tienen lugar naturalmente en intervalos de tiempo variables y frecuentes dentro de un periodo de interés, se supone de manera simple que todo el flujo de efectivo ocurre al final del periodo de interés, lo cual se conoce como la convención de final del periodo. Cuando ocurren diversos ingresos y desembolsos dentro de un periodo de interés determinado, se supone que el flujo de efectivo neto ocurre al final del periodo de interés. Sin embargo, debe entenderse que, aunque las sumas de F o A se localizan al final de dicho periodo por convención, el final del periodo no es necesariamente diciembre 3 1.

En el ejemplo 1.12, dado que la inversión tuvo lugar el 1 de mayo de 1998, los retiros tendrán lugar el 1 de mayo de cada año siguiente durante 10 años. Por tanto, el final del periodo significa un periodo de tiempo a partir de la fecha de la transacción.

Conceptos y criterios económicos y el valor del dinero a través del tiempo Unidad Temática:

II. Métodos y Análisis Financiero de

Proyectos.

Objetivo: El alumno empleará los métodos y análisis de alternativas de inversión bajo certeza, riesgo, incertidumbre para la toma de decisión.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

UNIDAD 2 MÉTODOS Y ANÁLISIS FINANCIERO DE PROYECTOS

INVERSIÓN La inversión es cualquier sacrificio de recursos hoy, con la esperanza de recibir algún beneficio en el futuro. Estas inversiones pueden ser temporales, a largo plazo, privada (gasto final del sector privado) y pública (gasto final del gobierno). Por su parte, la inversión fija es la incorporación al aparato productivo de bienes destinados a aumentar la capacidad global de la producción (computadoras, nuevas tecnologías, etc.).

La inversión de capital humano es por ejemplo el pago de estudios universitarios, cualquier curso de capacitación que hacen las empresas para sus empleados, entre otros.

La inversión, es el flujo de producto de un período dado que se usa para mantener o incrementar el stock de capital de la economía.

El gasto de inversión trae como consecuencia un aumento en la capacidad productiva futura de la economía. La inversión bruta es el nivel total de la inversión y la neta descuenta la depreciación del capital. Esta última denota la parte de la inversión que aumenta el stock de capital. En teoría económica el ahorro macroeconómico es igual a la inversión.

El inversionista, es quien coloca su dinero en un título valor o alguna alternativa que le genere un rendimiento futuro, ya sea una persona o una sociedad.

Existen distintos tipos de inversión: * Inversión Extranjera De Portafolio (O Indirecta) Aquella inversión que hacen agentes de una economía en bonos, acciones y otras participaciones que no constituyen inversión extranjera directa ni reservas internacionales. * Inversión Extranjera Directa

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA La define el FMI como "la inversión cuyo objeto sea adquirir una participación permanente y efectiva en la dirección de una empresa en una economía que no sea la del inversionista." La inversión debe contemplar los cambios en la participación efectiva en el capital de las empresas, incluidas las utilidades que se reinvierten.

DETERMINANTES DE LA INVERSIÓN * Ingreso: El ingreso está compuesto por todas aquellas entradas de dinero que tiene una persona y con el que cuentan para consumir y cubrir necesidades. Dependiendo del ingreso las personas invierten o no en determinado bien o servicio. Mientras mayor es el ingreso, mayor es la inversión. Si la persona gana bien, invierte más y tiene ganancias a largo plazo.

"Existe un factor que influye y determina la inversión al igual que el anterior, este está representado por los costos de bienes y servicios". Contrario a los precios que no forman parte de los determinantes de la inflación, ya que los precios no son más que los costos + las ganancias. Los inversionistas se ven muy influenciados a adquirir o no un bien dependiendo de su costo. "El inversionista siempre hace las cosas a su conveniencia" (Phill Morton, Economía y principios, 1982) *Las expectativas y la confianza de los empresarios, es un factor sumamente importante que influye directa e indirectamente sobre las inversiones de ellos. Esto depende mucho de la situación política y económica del país; "si las cosas andan mal, los empresarios no invierten, no confían y punto". (Phill Morton) 2.1

MÉTODOS DE INVERSIÓN

2.1.1. Valor presente En vista de que el consumo presente se valora en mayor grado que el consumo futuro, no pueden compararse directamente. Una forma de estandarizar el análisis, consiste en medir el consumo en términos de su valor presente. El

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA valor presente es el valor actual de uno o más pagos que habrían de recibirse en el futuro.

La fórmula para calcular el valor presente es la siguiente: C VP =

(1 + i)n

En donde: VP = Valor presente C = Cantidad futura 1 = Constante i = Tasa de interés anual n = Periodo de capitalización, unidad de tiempo, años, meses, diario,…

El valor presente es aquél que calcula el valor que una cantidad a futuro tiene en este instante, ya que si pretendemos obtener cierto valor en algún préstamo, cobro, etc., a futuro, primero se debe calcular lo que se posee imaginariamente en el presente, sin embargo, ese valor siempre va a depender de la tasa de interés anual.

Ejemplo: ¿Cuánto se pagaría en este momento por el derecho a recibir $100 dentro de 1 año, con una tasa de interés del 10%?

1.- Identificar los valores: C = $100 i = 0.1 n = 1 año VP = ?

2.- Aplicar la fórmula:

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA C VP =

(1 + i)n

3.- Sustituir la fórmula: VP = 100

= 100 = 99.90

(1+0.1)

1.1

4.- Resultado: Por tanto, si la tasa de interés es de 10%, $99.90 es el valor presente de recibir $100 de aquí a un año, que es lo máximo que estaría dispuesto a pagar hoy por obtener $100 dentro de un año.

Ejercicios: 1.- Calcular la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir $ 3,500 dentro de 5 años, con una tasa de interés anual de 15%?

C = $3,500 i = 0.15 n = 5 años VP = ?

C VP =

VP = 3500 (1+0.15)5

= 3500 (1.15)5

(1 + i)n

= 3500 = 1741.29 2.01

Por lo tanto, la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir $3,500 dentro de 5 años con una tasa de interés de 15%, es de $1,741.29

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

2.- Calcular la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir $900,000 dentro de 8 años, con una tasa de interés anual de 10% C = $900,000 i = 0.1 n = 8 años C VP =

(1 + i)n

VP = 900000 = 900000 = 900000 = 420560.74 (1+0.1)8

(1.1)8

2.14

Por lo tanto la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir $900, 000 dentro de 8 años, con una tasa anual de 10%, es de $420,560.74 3.- Calcular la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir $500 dentro de 3 meses, con una tasa de interés anual de 12% C = $500 i = 0.03 [(0.12 anual/12 meses) * 3 meses] n = 3 meses C VP =

VP =

500 (1+0.03)3

=

500 (1.03)3

(1 + i)n

= 500 = 458.71 1.09

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Por lo tanto, la cantidad que se pagaría en este momento por el hecho de recibir $500 dentro de 3 meses con una tasa de interés anual de 12%, es de $458.71.

2.1.2. Fondo de Amortización de salvamento.

Cuando se analiza el aspecto económico de un equipo se entiende que éste tiene un costo inicial o de adquisición;. El dinero que se recibe por un equipo al final de su vida útil se llama valor de salvamento (VS) o valor de rescate, y debe contabilizarse como un ingreso, dentro del flujo de efectivo del equipo, en algunas ocasiones puede ser cero” (Baca, 1999, Pág. 92).

Después de deducir el costo de desecho, el valor neto en el momento de la disposición se denomina valor de desecho.

Valor en libros y valor comercial Valor en libros como el valor de salvamento.

Valor comercial de los activos como el valor de salvamento.

VC: Precio de venta.

VL = Valor en libros.

VC = VL: Se registra como un ingreso no gravable.

VC ≠ VL: Constituye un ingreso gravable si es positivo Un costo deducible si es negativo.

Cuando un activo tiene un valor de salvamento terminal (VS), hay muchas formas de calcular el VA. Esta sección presenta el método del fondo de amortización de salvamento, el que por lo general se utiliza en este texto. En el método del fondo de amortización de salvamento, el costo inicial P se convierte primero en una cantidad anual uniforme equivalente utilizando el factor A/P Dado, normalmente, su carácter de flujo de efectivo positivo, después de su conversión a una cantidad uniforme equivalente a través del factor A/F, el valor de salvamento se agrega al equivalente anual del costo inicial. Estos cálculos pueden estar representados por la ecuación general:

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Naturalmente, si la alternativa tiene cualquier otro flujo de efectivo, éste debe ser incluido en el cálculo completo de VA. Lo cual se ilustra en el ejemplo 6.1.

Ejemplo 6.1 Calcule el VA de un aditamento de tractor que tiene un costo inicial de $8000 y un valor de salvamento de $500 después de 8 años. Se estima que los costos anuales de operación para la maquina son $900 y se aplica una tasa de interés del 20% anual.

El diagrama de flujo de efectivo indica que:

VA=A1 +A2 donde A, = costo anual de la inversión inicial con un valor de salvamento considerado: = -8000(A/P,20%,8)+500(A/F,20%,8) = $-2055 A2 = costo anual de operación = $-900 El valor anual para el aditamento es: VA = -2055 - 900 = $-2955

2.1.3. Tasa interna de retorno.

En algunos casos, se conoce la cantidad de dinero depositado y la cantidad de dinero recibida luego de un número especificado de años pero de desconoce la tasa de interés o tasa de retorno. Cuando hay involucrados un pago único y un

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA recibo único, una serie uniforme de pagos recibidos, o un gradiente convencional uniforme de pagos recibido, la tasa desconocida puede determinarse para “i” por una solución directa de la ecuación del valor del dinero en el tiempo. Sin embargo, cuando hay pagos no uniformes, o muchos factores, el problema debe resolverse mediante un método de ensayo y error, o numérico.

Ejemplo: Si Carolina puede hacer una inversión de negocios que requiere de un gasto de $3000 ahora con el fin de recibir $5000 dentro de 5 años, ¿Cuál sería la tasa de retorno sobre la inversión?

P = F [1/(1+i)n] 3000 = 5000 [1 / (1+i)5] 0.600 = 1 / (1+i)5 i = (1/0.6)0.2-1 = 0.1076 = 10.76%

2.1.4 Vida útil igual y diferente El costo capitalizado (CC) se refiere al valor presente de un proyecto cuya vida útil se supone durará para siempre. Algunos proyectos de obras públicas tales como diques, sistemas de irrigación y ferrocarriles se encuentran dentro de esta categoría. Además, las dotaciones permanentes de universidades o de organizaciones de caridad se evalúan utilizando métodos de costo capitalizado.

En general, el procedimiento seguido al calcular el costo capitalizado de una secuencia infinita de flujos de efectivo es la siguiente: 1. Trace un diagrama de flujo de efectivo que muestre todos los costos (y/o ingresos) no recurrentes (una vez) y por lo menos dos ciclos de todos los costos y entradas recurrentes (periódicas).

2. Encuentre el valor presente de todas las cantidades no recurrentes.

3. Encuentre el valor anual uniforme equivalente (VA) durante un ciclo de vida de todas las cantidades recurrentes y agregue esto a todas las demás

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA cantidades uniformes que ocurren en los años 1 hasta infinito, lo cual genera un valor anual uniforme equivalente total (VA).

4. Divida el VA obtenido en el paso 3 mediante la tasa de interés i para lograr el costo capitalizado.

5. Agregue el valor obtenido en el paso 2 al valor logrado en el paso 4.

El propósito de empezar la solución trazando un diagrama de flujo de efectivo debe ser evidente, a partir de los capítulos anteriores. Sin embargo, el diagrama de flujo de efectivo es probablemente más importante en los cálculos CC que en cualquier otra parte, porque éste facilita la diferenciación entre las cantidades no recurrentes y las recurrentes (periódicas).

Dado que el costo capitalizado es otro término para el valor presente de una secuencia de flujo de efectivo perpetuo, se determina el valor presente de todas las cantidades no recurrentes (paso 2). En el paso 3 se calcula el VA (llamado A anteriormente) de todas las cantidades anuales recurrentes y uniformes. Luego, el paso 4, que es en efecto AL, determina el valor presente (costo capitalizado) de la serie anual perpetua utilizando la ecuación: Costo capitalizado = VA i O

VA VP= ----------I

Ejemplo: Evaluación del valor presente y del costo capitalizado 161 La ecuación anterior se deriva del factor (P/A, i, n) cuando n= ∞. La ecuación para P utilizando el factor P/A es: (1+i)n -1 P = A -----------------------i (1+i) n Si el numerador y el denominador se dividen por (1 + i)“, la ecuación se transforma así: 1

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA ---------------(1 +i) P= A -----------------------------------i

Ahora, a medida que TZ tiende a ~0, el término del numerador se convierte en 1, produciendo

P= A

/ i

La validez de la ecuación [5. l] puede ilustrarse considerando el valor del dinero en el tiempo. Si se depositan $10,000 en una cuenta de ahorros al 20% anual de interés compuesto anualmente, la cantidad máxima de dinero que puede retirarse al final de cada año eternamente es $2000, que es la cantidad igual al interés acumulado cada año. Esto deja el depósito original de $10,000 para obtener interés, de manera que se acumularán otros $2000 al año siguiente. En términos matemáticos, la cantidad de dinero que puede acumularse y retirarse en cada periodo de interés consecutivo durante un número infinito de periodos es:

A = Pi

Por tanto, en el ejemplo,

A = 10,000(0.20) = $2000 anual El cálculo del costo capitalizado en la ecuación es la ecuación resuelta para P: A P= ------------i

2.1.5 Según el costo capitalizado El costo capitalizado (CC) se refiere al valor presente de un proyecto cuya vida útil se supone durará para siempre. Algunos proyectos de obras públicas tales como diques, sistemas de irrigación y ferrocarriles se encuentran en esta categoría. Además, las dotaciones permanentes de universidades o de

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA organizaciones de caridad se evalúan utilizando métodos de costo capitalizado.

En general, el procedimiento seguido al calcular el costo capitalizado de una secuencia infinita de flujos de efectivo es el siguiente: Trace un diagrama de flujo de efectivo que muestre todos los costos y/o ingresos no recurrentes (una vez) y por lo menos dos ciclos de todos los costos y entradas recurrentes (periódicas).

Encuentre el valor presente de todas las cantidades no recurrentes.

Encuentre el valor anual uniforme equivalente (VA) durante un ciclo de vida de todas las cantidades recurrentes y agregue esto a todas las demás cantidades uniformes que ocurren en los años 1 hasta el infinito, lo cual genera un valor anual uniforme equivalente total (VA).

Divida el VA obtenido en el paso 3 mediante la tasa de interés “i” para lograr el costo capitalizado.

Agregue el valor obtenido en el paso 2 al valor obtenido en el paso 4.

El propósito de empezar la solución trazando un diagrama de flujo de efectivo debe ser evidente. Sin embargo, el diagrama de flujo de efectivo es probablemente más importante en los cálculos de costo capitalizado que en cualquier otra parte, porque éste facilita la diferenciación entre las cantidades no recurrentes y las recurrentes o periódicas.

Costo capitalizado = VA / i ó VP = VA / i ; P = A / i Ejemplo: Calcule el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial de $150,000 y un costo de inversión adicional de $50,000 después de 10 años.

El costo anual de operación será de $5,000 durante los primeros 4 años y $8,000 de allí en adelante. Además se espera que haya un costo de adaptación considerable de tipo recurrente por $15000 cada 13 años. Suponga que i = 15 % anual.

P1 = -150,000 - 50,000(P/F,15%,10[0.2472]) = -$162,360.00

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA A1 = -15,000(A/F,15%,13[0.02911] = -$436.65 P2 = -436.65 / 0.15 = -$2911.00 P3 = 5,000 / 0.15 = -$33,333.33 P4 = -3,000 / 0.15 (P/F,15%,4[0.5718]) = -$11,436.00 VP = P1 + P2 + P3 + P4 = -$210,040.33 Actualmente hay dos lugares en consideración para la construcción de un puente que cruce el río Ohio. El lado norte, que conecta una autopista estatal principal haciendo una ruta circular interestatal alrededor de la ciudad, aliviaría en gran medida el tráfico local. Entre las desventajas de éste lugar se menciona que el puente haría poco para aliviar la congestión de tráfico local durante las horas de congestión y tendría que ser alargado de una colina a otra para cubrir la parte más ancha del río, las líneas del ferrocarril y las autopistas locales que hay debajo. Por consiguiente, tendría que ser un puente de suspensión. El lado sur requeriría un espacio mucho más corto, permitiendo la construcción de un puente de celosía, pero exigiría la construcción de una nueva carretera.

El puente de suspensión tendría un costo inicial de $30,000,000 con costos anuales de inspección y mantenimiento de $15,000. Además, el suelo de concreto tendría que ser repavimentado cada 10 años a un costo de $50,000.

Se espera que el puente de celosía y las carreteras cuesten $12,000,000 y tengan costos anuales de mantenimiento de $10,000. Así mismo, éste tendría que ser pulido cada 10 años a un costo de $45,000. Se espera que el costo de adquirir los derechos de vía sean de $800,000 para el puente de suspensión y de $10,300,000 para el puente de celosía. Compare las alternativas con base en su costo capitalizado si la tasa de interés es de 6% anual.

Solución: Alternativa 1: P = 30,000,000 + 800,000; A = 15,000; R1 = 50,000 c/10 años.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Alternativa 2: P = 12,000,000 + 10,300,000; A = 8,000; R1 = 10,000 c/ 3 años; R2 =45,000 c/ 10 años.

VP1 = -30,000,000 - 800,000 -(15,000/0.06) ((50,000/0.06)(A/F,6%,10)[0.07587]) = -$31,113,225.00 VP2 = -12,000,000 - 10,300,000 -- ((10,000/0.06(A/F,6%,3)[0.31411]) ((45,000/0.06(A/F,6%,10)[0.07587]) = -$22,542,587.50 Se debe construir el puente de celosía, puesto que su costo capitalizado es más bajo.

Ejemplo: Un ingeniero de una ciudad está considerando dos alternativas para el suministro de agua local. La primera alternativa comprende la construcción de un embalse de tierra sobre un río cercano, que tiene un caudal altamente variable. El embalse formará una represa, de manera que la ciudad pueda tener una fuente de agua de la cual pueda depender. Se espera que el costo inicial del embalse sea de $8,000,000 con costos de mantenimiento anual de $25,000 y que el embalse dure indefinidamente.

Como alternativa, la ciudad puede perforar pozos en la medida requerida y construir acueductos para transportar el agua a la ciudad. El ingeniero estima que se requerirá inicialmente un promedio 10 pozos a un costo de $45,000 por cada uno, incluyendo la tubería de conducción. Se espera que la vida promedio de un pozo sea de 5 años con un costo anual de operación de $12,000 por pozo. Si la tasa de interés que se utiliza es del 15% anual, determine cuál alternativa debe seleccionarse con base en sus costos capitalizados.

Alternativa 1: P = 8,000,000; A = 25,000 Alternativa 2: P = 45,000 * 10; n = 10 años; A = 12,000 * 10 VP1 = -8,000,000 - 25,000/0.15 = -$8,166,666.67 A1 = -45,000*10(A/P,15%5[0.29832]) = -134,244.00 A2 = 12,000 * 10 = 120,000

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA VP2 = (A1 + A2)/i = (-134,244 - 120,000) / 0.15 = -$1,694,960.00 Los costos son considerablemente más baratos que el embalse.

2.2. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN La conveniencia de llevar a cabo una inversión se debe estudiar desde distintos puntos de vista o criterios. No existe un indicador que resuma en una única cifra toda la información significativa para decidir la conveniencia o no de una inversión. Son los llamados elementos clave para la evaluación de proyectos de inversión.

Rentabilidad En principio, lo que interesa fundamentalmente es la rentabilidad. El proyecto es rentable si el valor de los rendimientos que proporciona es superior al valor de los recursos que utiliza, es decir, si el valor de los movimientos de fondos positivos supera al de los negativos, teniendo en cuenta que el valor de unos movimientos de fondos no es igual a su suma, puesto que tales movimientos tienen lugar en diferentes instantes.

La comparación en el tiempo de cantidades monetarias Al comparar estas dos cantidades, teniendo en cuenta los momentos a que van asociadas, hay que considerar dos aspectos. Por una parte, las unidades monetarias no son constantes. La moneda, es una unidad cuya magnitud varia a lo largo del tiempo, y hay que tener en cuenta esta variación para comparar dos cantidades en tiempos distintos. Si se estima que a lo largo del próximo año el aumento del nivel de precios será de un 4% ello significa que 1.100 u.m. percibidas dentro de un año tendrán el mismo poder adquisitivo que 1.100/1,04, es decir, igual a 1.057,69 u.m. actuales.

En segundo lugar, es evidente, que no es lo mismo disponer de una cierta cantidad ahora que un año después. Las entidades financieras prestan dinero a quien lo solicita ahora y ofrece garantías de devolverlo más tarde.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Este servicio tiene un coste; si el banco nos presta 1.000 unidades monetarias hoy al 7% de interés, al cabo de un año habrá que devolverle 1.070 unidades.

Por lo tanto, deberemos tener en cuenta: a) La tasa de interés nominal, o coste del alquiler del dinero referido a unidades monetarias corrientes. (el 7 % en este ejemplo) b) La tasa de variación del nivel de precios, llamada inflación, en el lenguaje corriente. (el 4% en este ejemplo).

Y a partir de estos dos, se puede definir un tercero: c) El tipo de interés real o coste del alquiler del dinero referido a unidades monetarias constantes. En el ejemplo, las 1.070 u.m. que se pagan dentro de un año son equivalentes (tienen el mismo poder adquisitivo) a 1.070/1,04 =1.028,85 u.m. actuales, por lo cual el tipo de interés real es igual a 1.028,85/1000 =1,102885*100= 2,88%.

Riesgo/Seguridad Entre dos proyectos con la misma rentabilidad es lógico preferir el de resultados más ciertos, es decir, el que ofrece mayor seguridad, o lo que es lo mismo, menor riesgo.

El riesgo mayor o menor, es inherente a la inversión. Recuérdese que invertir es, básicamente, renunciar a unas satisfacciones ciertas a cambio de unas expectativas, es decir, a cambio de algo no totalmente seguro o inclusive muy incierto. Por lo tanto, el riesgo y la inversión son dos conceptos íntimamente relacionados.

La cuantía y el momento de los pagos se pueden prever muchas veces con poco error, pero en cuanto a los cobros siempre hay dificultades para su estimación exacta. Las previsiones parten de supuestos que pueden o no cumplirse, y evidentemente, la posibilidad de cometer errores crece en la medida que las previsiones se alejan del presente y se entran en el futuro.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Liquidez En general, la liquidez se refiere a la capacidad de los activos para generar fondos con los que recuperar los pagos iniciales.

En determinados tipos de inversión, la liquidez es la facilidad con que se puede cambiar por dinero el objeto de la inversión. Al invertir habremos pagado dinero a cambio de un activo; la liquidez es la facilidad para andar el camino inverso.

Así una inversión en acciones que se cotizan en bolsa es más líquida que la inversión en un inmueble.

Desde el punto de vista que se acaba de expresar, los proyectos industriales (inversiones productivas en general) serán casi siempre inversiones de escasa liquidez, puesto que una vez realizado el proyecto y efectuado los pagos correspondientes, suele ser muy difícil vender los activos si no es a costa de grandes pérdidas.

Un indicador muy sencillo y utilizado en la evaluación de la liquidez de un proyecto es el período de retorno o período de recuperación, definido como el tiempo necesario para recuperar la inversión inicial.

Desde luego el concepto sólo queda claramente definido en el caso de que haya unos primeros periodos con movimientos de fondos negativos seguidos de otros con movimientos positivos. Si los signos negativos y positivos se van alternando a lo largo de la vida del proyecto no se puede hablar propiamente de un periodo de retorno. Pero el primero de estos casos es el más frecuente y por lo tanto, dicho periodo puede calcularse para la mayoría de los proyectos de inversión.

Por supuesto, lo deseable, es que el periodo de retorno sea lo más corto posible.

Consideraciones adicionales sobre la evaluación de las inversiones a) El horizonte de los proyectos que se comparan ha de ser el mismo. Si no se hace así, la comparación no es correcta.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Supóngase que se trata de elegir un modelo de máquina para un sistema productivo que ha de funcionar indefinidamente, y que la elección se plantea entre dos modelos (P y Q) de duración respectiva de 2 y 3 años. En este caso no se debe calcular el VAN de P con un horizonte de 2 años y el de Q con 3 años, sino calcular ambos VAN para un mismo horizonte (como 6 años (que por ser múltiplo de 2 y de 3 facilita los cálculos.) b) Las variaciones en el nivel de precios Cuando la variación de precios en los cobros y en los pagos no sea la misma, (cosa que sucede con cierta frecuencia) conviene hacer las previsiones en unidades monetarias corrientes para cada concepto por separado y actualizarlas después con la tasa de interés o de descuento que proceda. c) El valor residual Cuando al final de la vida útil de la inversión exista un valor residual de la misma, que puede ser positivo o negativo, deberá tenerse en cuenta en cálculos del V.A.N., como un cobro o un pago, según corresponda.

Por ejemplo, la vida útil estimada de unas instalaciones industriales podría fijarse en un determinado número de años en función de una política de empresa, pero dichas instalaciones podrían tener algún valor en el mercado de maquinaria de segunda mano. Si este valor fuese significativo, debería incluirse en los cálculos del V.A.N. Por el contrario, desmontar dichas instalaciones podría suponer un coste por las causas que fueren, en cuyo caso debería de contemplarse dicho coste como un pago. e) Horizonte y períodos Desde el punto de vista económico, la vida de un proyecto es el tiempo durante el cual producirá cobros y pagos; a este tiempo se le denomina horizonte de la inversión y puede o no coincidir con la vida del proyecto desde el punto de vista

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA técnico. Por supuesto, generalmente el horizonte no se conoce exactamente a priori, pero es indispensable una estimación del mismo.

El horizonte se considera dividido en periodos de igual duración (tales como un año, un mes, etc.) y normalmente se tratan todos los cobros y pagos de un período como si tuvieran lugar en el instante final del mismo.

Evidentemente, al reducir a un solo instante lo que en realidad ocurre a lo largo de un intervalo, introduce errores.

Conviene tener esto en cuenta para definir períodos suficientemente cortos como para que estos errores no tengan importancia, pero sin perder de vista que las dificultades para hacer previsiones aumentan a medida que el intervalo de tiempo disminuye.

Aunque todos los ejemplos de análisis de inversiones que hemos podido consultar, utilizan periodos de tiempo para fijar el horizonte temporal de la inversión, nosotros pensamos que también es correcto utilizar el número de unidades a fabricar/vender y su distribución temporal, e incluso pensamos que puede mejorar la calidad de las previsiones. f) Cobros, pagos, ingresos y gastos Para evaluar económicamente una inversión los datos básicos son los instantes en que se producen entradas y salidas de dinero y los importes de estos movimientos. Estas entradas y salidas se denominan respectivamente, cobros y pagos.

Los flujos que se han de prever son los asociados al proyecto de inversión, que se superponen a una situación anterior a la puesta en marcha del proyecto. En definitiva, los cobros y los pagos futuros que dependan del proyecto en cuestión.

La base de dichos cobros y pagos será la Cuenta de Resultados previsional asociada al proyecto de inversión, en la cual como mínimo, figurarán los ingresos previstos en función de las unidades a vender y el precio previsto de

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA venta, así como los costes correspondientes a dichas unidades de producto, en función de los correspondientes costes fijos y variables. (Una vez más, las unidades a producir/vender son importantes a la hora de hacer los cálculos).

Ni el precio de venta, ni los costes unitarios pueden considerarse necesariamente lineales, puesto que además de los incrementos lógicos de I.PC., los precios de venta de los productos pueden verse afectados por la política de precios que deba seguir la empresa en la comercialización del producto, su ciclo de vida, la reacción de la competencia, etc. En cuanto a los costes, podrían verse afectados por las llamadas “economías de escala” y otras reducciones de precios que la empresa logre obtener (curva de la experiencia), mayor apalancamiento operativo, etc. g) Dimensión de un proyecto de inversión Desde el punto de vista económico se suele considerar como dimensión de un proyecto la cantidad máxima de fondos que requiere, es decir, el valor más negativo de la curva acumulada de movimientos de fondos.

No debe ignorarse, que con frecuencia, las inversiones de capital fijo arrastran a su vez, mayor necesidad de capital circulante, debido fundamentalmente al incremento de la producción y venta. Incremento del crédito a conceder a los clientes, incremento de materias primas y auxiliares para alimentar las líneas de producción, incremento de productos en curso de producción, incremento de productos terminados, etc.

La dimensión financiera de un proyecto de inversión, puede ser un factor de riesgo importante, junto con la estructura financiera de la empresa y el volumen de recursos propios de la misma, y dentro de dicha dimensión deben incluirse tanto los importes que se contabilizan en el Activo, como los que se registran directamente como gasto.

La verdadera inversión que hay que tener en cuenta, para calcular la tasa de rentabilidad, es la suma de desembolsos originada por el proyecto, con independencia del tratamiento contable que la empresa le haya dado.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA h) Estructura financiera correcta Aunque los manuales no inciden demasiado en el tema, nosotros lo consideramos de vital importancia.

Peumans dice que es frecuente observar cómo algunas empresas que no obtienen resultados altamente satisfactorios superan los periodos de crisis con cierta facilidad, mientras que otras con rentabilidades muy elevadas, al atravesar períodos críticos se ven obligadas a cesar en su actividad. La razón de esta diferencia radica exclusivamente en el equilibrio o desequilibrio de su estructura financiera. De aquí la importancia de establecer un plan de inversiones racional y la necesidad de efectuar un estudio detallado de la estructura financiera de la empresa que refleja el balance ”.

Por lo tanto, debemos tener en cuenta la estructura financiera del balance, y el impacto que tendrá en dicha estructura la inversión una vez realizada, y a lo largo de su horizonte temporal.

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Unidad Temática: III. Programación Lineal Objetivo: El alumno empleará los métodos de programación lineal para la solución de problemas.

UNIDAD 3 PROGRAMACIÓN LINEAL INTRODUCCIÓN La programación lineal es una herramienta cuantitativa para tomar decisiones administrativas. Hace parte de un grupo de técnicas de optimización, conocido como Programación Matemática. Se compone de un conjunto de conceptos teóricos y algoritmos matemáticos que nos permiten analizar diferentes tipos de problemas encontrados en la gestión empresarial, para los cuales necesitamos obtener la solución óptima.

Consiste fundamentalmente en la elaboración de un modelo matemático lineal del problema, en la utilización de un algoritmo para la búsqueda de su solución óptima y finalmente en interpretar y analizar esta.

La Programación Lineal (PL) es una de las principales ramas de la Investigación Operativa. En esta categoría se consideran todos aquellos modelos de optimización donde las funciones que lo componen, es decir, función objetivo y restricciones, son funciones lineales en las variables de decisión.

Los modelos de Programación Lineal por su sencillez son frecuentemente usados para abordar una gran variedad de problemas de naturaleza real en ingeniería y ciencias sociales, lo que ha permitido a empresas y organizaciones importantes beneficios y ahorros asociados a su utilización.

3.1 MÉTODOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Determistas (MD) o Modelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada.

Un modelo de programación lineal proporciona un método eficiente para determinar una decisión óptima, (o una estrategia óptima o un plan óptimo) escogida de un gran número de decisiones posibles.

En todos los problemas de Programación Lineal, el objetivo es la maximización o minimización de alguna cantidad.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Existen tres métodos de solución de problemas de programación lineal: •

Método gráfico o de las rectas de nivel. Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la función objetivo toma el mismo valor.

•

Método analítico o de los vértices. El teorema fundamental de la programación lineal, nos permite conocer otro método de solucionar un programa con dos variables: “En un programa lineal con dos variables, si existe una solución única que optimice la función objetivo, ésta se encuentra en un punto extremo (vértice) de la región factible acotada, nunca en el interior de dicha región. Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo en dos vértices, también toma idéntico valor en los puntos

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA del segmento que determinan. En el caso de que la región factible no es acotada, la función lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor óptimo concreto, pero, si lo hace, éste se encuentra en uno de los vértices de la región” •

Esquema práctico. Los problemas de programación lineal pueden presentarse en la forma estándar, dando la función objetivo y las restricciones, o bien plantearlos mediante un enunciado. Este es el método que se utilizará en forma práctica.

3.1.1. SIMPLEX El método Simplex es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.

El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Modelo estándar de Programación Lineal ⋅

Optimizar Z = C1X1+ C1X2 +….+ Cn Xn). Función objetivo.

⋅

Sujeta a a11X1+ a11X2 +…..+ a1nXn) £ b1

⋅

a21X1+ a21X2 +…..+ a2nXn) £ b1

⋅

Restricciones

⋅

am1X1+ am1X2 +…..+ amnXn) £ bm

⋅

Debiendo ser

⋅

X1 ³ 0, X2 ³ 0, ….. Xn ³ 0

Donde : ⋅

Xj : variables de decisión, j = 1,2.., n.

⋅

n : número de variables.

⋅

m : número de restricciones.

⋅

aij , bi , cj constantes, i = 1,2.., m.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Deberá tenerse en cuenta que este método sólo trabaja para restricciones que tengan un tipo de desigualdad "≤" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habrá que estandarizar las mismas para el algoritmo. En caso de que después de éste proceso, aparezcan (o no varíen) restricciones del tipo "≥" o "=" habrá que emplear otros métodos, siendo el más común el método de las Dos Fases.

3.1.2. MÉTODO SIMPLEX DUAL El modelo para resolver problemas de programación lineal que pueden resolverse sin utilizar variables artificiales se llama método simplex Dual, en este modelo la solución comienza siendo factible pero no optima (Fuera del área Solución).

El algoritmo fue desarrollo en 1954 por C. E. Lemke y se conoce con el nombre de Método Dual-Simplex.

Primero se debe expresar el modelo en formato estándar, agregando las variables de holgura y de exceso que se requieran.

La conversión de las ecuaciones se hace de tal manera de que todas las variables exceso en las restricciones tengan un coeficiente de mas uno (+1), multiplicando simplemente toda la ecuación por menos uno (-1).

Dentro el proceso de solución solo cambiara la forma de elegir la variable entrante o saliente: La variable entrante será la “más negativa” del lado derecho (el término independiente), es decir la variable menor.

La variable saliente será determinada por medio de una división entre las filas de los coeficiente de “z” y los coeficientes de la variable entrante, eligiendo así las más pequeña en valor absoluto.

El proceso de iteración será el mismo planteado para el método

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Simplex PRIMAL. 3.2. MÉTODO SIMPLEX Y SUS VARIENTES CONSTRUCCIÓN DE LOS MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL De forma obligatoria se deben cumplir los siguientes requerimientos para construir un modelo de Programación Lineal: •

Función objetivo. (FO): Debe haber un objetivo (o meta o blanco) que la optimización desea alcanzar.

•

Restricciones y decisiones: Debe haber cursos o alternativas de acción o decisiones, uno de los cuáles permite alcanzar el objetivo.

•

La FO y las restricciones son lineales. Deben utilizarse solamente ecuaciones lineales o desigualdades lineales.

Pasos para la construcción del modelo 1. Definir las variables de decisión.

2. Definir el objetivo o meta en términos de las variables de decisión.

3. Definir las restricciones.

4. Restringir todas las variables para que sean no negativas.

3.2.1 SOLUCIONES ÓPTIMAS MÚLTIPLES Y SOLUCIONES ÓPTIMAS NO ACOTADAS Los programas lineales con dos variables suelen clasificarse atendiendo al tipo de solución que presentan. Éstos pueden ser: •

FACTIBLES. Si existe el conjunto de soluciones o valores

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA que satisfacen las restricciones. Estas a su vez pueden ser: con solución única, con solución múltiple (si existe más de una solución) y con solución no acotada (cuando no existe límite para la función objetivo).

•

NO FACTIBLES. Cuando no existe el conjunto de soluciones que cumplen las restricciones, es decir, cuando las restricciones son inconsistentes.

La aplicación del método simplex dual es especialmente útil en el análisis de sensibilidad. Se usa cuando después de haber obtenido la solución óptima, se desea agregar una nueva restricción al modelo si la nueva restricción no se cumple.

En este caso se obtiene que para los valores óptimos de las variables de decisión, la solución permanece óptima pero se convierte en infactible. Surge entonces la necesidad de aplicar el algoritmo Dual-Simplex para extraer la variable básica que tiene valor infactible. Cuando estudiemos el tema de análisis de sensibilidad analizaremos un caso como el citado EJEMPLO La empresa AHM tiene una pequeña planta en la que fabrica en forma artesanal 2 productos: jarrón modelo “fash” y jarrón modelo “exquiso”. Las contribuciones a las utilidades para los productos determinados por el departamento de contabilidad son de $10.00 y $16.00 respectivamente.

Para su fabricación, los jarrones pasan por dos áreas de proceso de producción. En el área A se prepara la materia prima y en el área B se arma y hornea. El tiempo requerido para fabricar un producto de jarrón modelo “fash” en el área A es de 2 horas y en el área B es de 1 hora. Para la elaboración de un jarrón modelo “exquiso” se requiere de 2 horas en el área A y en el área B 2

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA horas.

Las horas/hombre disponibles por día en el proceso de preparación de materia prima es de 8 horas y en el proceso de armado y horneado de 6 horas.

Maximice sus utilidades: a) Realice el planteamiento: identifique la función objeto y restricciones del problema. b) Inserte el planteamiento en Excel y utilizando la aplicación “solver” encuentre la solución óptima. c) Interprete su resultado. a) REALICE

EL

PLANTEAMIENTO:

IDENTIFIQUE

LA

FUNCIÓN OBJETO Y RESTRICCIONES DEL PROBLEMA. FUNCIÓN OBJETO:

MAX

RESTRICCIONES :

S.A.

10X + 16Y 2X + 2Y <= 8

1X + 2Y <= 6 X>= 0, Y>= 0 Donde : X corresponde a los jarrones “fash” y Y corresponde a los jarrones “exquiso” La función objeto, esta formada considerando las ganancias a la venta de cada uno de los productos.

La primera restricción esta basada en el tiempo disponible en el proceso del área A, preparación de materia prima.

La segunda restricción esta basada en el tiempo disponible en el proceso del área B, armado y horneado.

La tercera restricción indica que no se utilizarán valores negativos, ya que no podemos fabricar en forma negativa (eliminar productos);

esta

restricción

será

indicada

seleccionando la casilla “Adoptar no negativos”.

en

“opciones”

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA b) INSERTE EL PLANTEAMIENTO EN EXCEL Y UTILIZANDO LA APLICACIÓN “SOLVER” ENCUENTRE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA. El

complemento

Solver

es

un

programa

(complemento:

programa

suplementario que agrega funciones o comandos personalizados a Microsoft Office.) de Microsoft Office Excel que está disponible cuando instala Microsoft Office o Excel. Sin embargo, para utilizarlo en Excel primero lo debe cargar: 1.

Haga clic en el botón de Microsoft Office

y, a continuación, haga

clic en Opciones de Excel.

2.

Haga clic en Complementos y, en el cuadro Administrar, seleccione Complementos de Excel.

3.

Haga clic en Ir.

4.

En el cuadro Complementos disponibles, active todas las casillas de verificación, sin olvidar Complemento Solver y, a continuación, haga clic en Aceptar.

Sugerencia Si Complemento Solver no aparece en la lista del cuadro Complementos disponibles, haga clic en Examinar para buscar el complemento.

Si se le indica que el complemento Solver no está instalado actualmente en el equipo, haga clic en Sí para instalarlo.

5.

Una vez cargado el complemento Solver, el comando Solver estará disponible en el grupo Análisis de la ficha Datos.

Solver es un excelente complemento de MS Excel que permite la resolución de pequeños y medianos problemas de Programación Lineal. En la mayoría de las aplicaciones con fines estudiantiles es suficiente para resolver dichas instancias.

Basados en planeamiento del problema anterior: MAX

10X + 16Y

S.A.

2X + 2Y <= 8

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA .....

. 1X + 2Y <= 6

.....

.X>= 0, Y>= 0

PASO 1. Se ingresan los parámetros a una planilla de cálculo. Las celdas marcadas en amarillo corresponde a las "Celdas Cambiantes" o variables de decisión del modelo. La Celda C2 corresponde al Valor de la Función Objetivo que esta dada por: A2*A3 + B2*B3. Las Celdas C5 Y C6 almacenan el valor o lado izquierdo de las restricciones 1 y 2, quedando definidas como A2*A5 + B2*B5 y A2*A6 + B2*B6, respectivamente.

PASO 2. Se inicia la aplicación Solver y se cargan los datos de la planilla.

PASO 3. Una vez ingresados los parámetros se selecciona "Opciones". Una vez dentro de este menu se deben activar las opciones de "Adoptar modelo lineal" y "Asumir no negativos". Luego se selecciona "Aceptar" y luego "Resolver.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA PASO 4. Si el modelo admite solución se obtienen los resultados. Se recomienda seleccionar los Informes que sugiere Solver para una mayor comprensión del modelo resuelto.

PASO 5. Los resultados son desplegados en las celdas cambiantes y se verifica el cumplimiento de las restricciones del problema. La Solución Óptima es X=2, Y=2 con Valor Óptimo V(P)=52. Adicionalmente, ambas restricciones se encuentran activas, es decir, se cumplen en igualdad.

PASO 6. Al seleccionar los Informes de Respuesta, en particular el "Informe de Sensibilidad" se obtiene información relevante sobre el modelo propuesto.

c) INTERPRETE SU RESULTADO. De acuerdo a los resultados lanzados por “solver”. El resultado óptimo es que fabrique 2 jarrones modelo “fash” y 2 jarrones modelo “exquiso”, para obtener una ganancia de $52.00 en la venta de éstos.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA CASOS: 1. La industria de manufactura BOMBIER S.A. DE C.V. fabrica y vende dos tipos de bombas hidraúlicas: bomba normal y extra grande. El proceso de manufactura asociado con la fabricación de bombas implica 3 actividades: ensamblado, pintura y prueba (control de calidad). Los requerimientos de recursos para ensamble, pintura y prueba de las bombas se muestra a continuación: BOMBA

TIEMPO

DE TIEMPO

DE TIEMPO

ENSAMBLE

PINTADO

PRUEBA

Normal

3.6

1.6

0.6

Extra grande

4.8

1.8

0.6

La contribución a las utilidades por la venta de una bomba normal es de $50.00, en tanto que la utilidad por una bomba grande es de $75.00. Existen disponibles por semana 4800 horas de tiempo de ensamble, 1980 horas de tiempo para pintura y 900 horas e tiempo de prueba. Las experiencias anteriores de venta señalan que la compañía puede esperar vender cuando menos 300 bombas normales y 180 de las extra grandes por semana. Se desea determinar la cantidad de cada tipo de bomba que debe fabricar semanalmente con el objeto de maximizar sus utilidades.

R= 300 b normales y 775 extra grandes con utilidades de $73,125.01 2. La empresa dedicada a la fabricación de muebles de oficina, produce dos tipos de escritorios: ejecutivos y secretariales. La compañía tiene dos plantas que fabrican los escritorios. La planta 1, es una planta antigua, que opera con doble turno, o sea 80 horas por semana. La planta 2 es una planta más nueva y no opera a su capacidad total. Sin embargo y dado que los administradores planean operar la segunda planta con base en un turno doble como el de la planta 1, se han encontrado operadores para que trabajen en los dos turnos. En estos momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por semana. En la siguiente tabla se muestra el tiempo de producción (en horas por unidad) y los costos estándar (en dólares por unidad) en cada planta.

DE

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA TIEMPO DE PRODUCCIÓN

COSTO

ESTÁNDAR

(

unidad) PRODUCTO

PLANTA 1

PLANTA 2

PLANTA 1

PLANTA 2

Escritorio ejecutivo

7

6

250

260

Escritorio

4

5

200

180

secretarial La compañía ha competido con éxito en el pasado asignando en precio de $350.00 dll. a los escritorios ejecutivos. Sin embargo parece que la compañía tendrá que reducir el precio de los escritorios secretariales a $270.00 dll. con objeto de estar en posición competitiva. La compañía. La compañía ha estado experimentando excesos de costos en las últimas ocho semanas; por tanto, los administradores han fijado una restricción presupuestaria semanal sobre los costos de producción. El presupuesto semanal para la producción total de escritorios ejecutivos es de $2000.00 dll. , en tanto que el presupuesto para los escritorios secretariales es de $2200.00 dll. A los administradores les gustaría determinar cual es el número de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta con el objeto de maximizar las utilidades.

R= fabricar 8 escritorios ejecutivos en la planta 1, 2 escritorios secretariales en la planta 1; 0 escritorios ejecutivos en la planta 2 y 10 escritorios secretariales en la planta 2, con lo cual se alcanzaría una utilidad de $1900.00 dll.

3. La industria Agro-Tech es una pequeña compañía de fabricación de productos químicos, especialmente dos tipos de fertilizantes que se elaboran combinando ingredientes que se compran con proveedores externos . Se desea elaborar un programa de producción que conduzca a las mayores utilidades posibles, al mismo tiempo solo se puede utilizar una cantidad especifica de cada uno de los ingredientes por mes.

Los fertilizantes son: el fertilizante “FERTI 5-5-10” y el fertilizante “FERTI 510-5” . En cada caso, el primer valor se refiere al porcentaje que el producto final tiene de NITRATO QUIMICO, el segundo valor se refiere al porcentaje de FOSFATO que tiene el producto final y el tercer valor da el porcentaje de

dll/

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA POTASIO en cada una de las mezclas. El fertilizante se estabiliza con un material de relleno que es barro. No hay restricciones para el uso de mano de obra, ni de maquinaria, ni de barro, el costo del relleno por tonelada es de $10.00. Para mezclar se requiere utilizar una máquina mezcladora especial con un costo de uso de $15.00 por mezclar una tonelada de cualquier fertilizante.

El cliente compra cualquier cantidad de fertilizante de cualquier tipo. Esta dispuesto a pagar $71.50 por tonelada de “FERTI 5-5-10” y $69.00 por tonelada de “FERTI 5-10-5”. Este mes la disponibilidad y costo de la materia prima es: NITRATO: lo compramos a $200.00 la tonelada y nos pueden vender hasta 1100 toneladas.

FOSFATO: lo compramos a $80.00 la tonelada y nos pueden vender hasta 1800 toneladas.

POTASIO: lo compramos a $160.00 la tonelada y nos pueden vendar hasta 2000 toneladas.

Agro – Tech desea conocer la forma de obtener mayores utilidades utilizando los recursos limitados.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

Unidad Temática: IV. Seguimiento de Proyecto Objetivo: El alumno empleará las técnicas y métodos para el seguimiento de un proyecto 4. Seguimiento de Proyecto 4. 1 Técnicas y Métodos para la administración de proyectos Los proyectos en gran escala por una sola vez han existido desde tiempos antiguos; este hecho lo atestigua la construcción de las pirámides de Egipto y los acueductos de Roma. Pero sólo desde hace poco se han analizado por parte de los investigadores operacionales los problemas gerenciales asociados con dichos proyectos.

El problema de la administración de proyectos surgió con el proyecto de armamentos del Polaris, empezando 1958. Con tantas componentes y subcomponentes juntos producidos por diversos fabricantes, se necesitaba una nueva herramienta para programar y controlar el proyecto. El PERT (evaluación de programa y técnica de revisión) fue desarrollado por científicos de la oficina Naval de Proyectos Especiales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado.

Casi al mismo tiempo, la Compañía DuPont, junto con la División UNIVAC de la Remington Rand, desarrolló el método de la ruta crítica (CPM) para controlar el mantenimiento de proyectos de plantas químicas de DuPont. El CPM es idéntico al PERT en concepto y metodología. La diferencia principal entre ellos es simplemente el método por medio del cual se realizan estimados de tiempo para las actividades del proyecto. Con CPM, los tiempos de las actividades son determinísticos. Con PERT, los tiempos de las actividades son probabilísticos o estocásticos.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone la "ruta crítica" de un proyecto.

Estas son las actividades que limitan la duración del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma cantidad.

Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos.

El PERT/CPM también considera los recursos necesarios para completar las actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos hacen que la programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas, permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas.

Finalmente, el PERT/CPM proporciona una herramienta para controlar y monitorear el progreso del proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en éste y su importancia en la terminación del proyecto se manifiesta inmediatamente para el director del mismo. Las actividades de la ruta crítica, permiten por consiguiente, recibir la mayor parte de la atención, debido a que la terminación del proyecto, depende fuertemente de ellas. Las actividades no críticas se manipularan y remplazaran en respuesta a la disponibilidad de recursos.

Definición: El método del camino crítico es un proceso administrativo de planeación, programación, ejecución y control de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo óptimo.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Usos: El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes características: a. Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad. b. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mínimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crítico. c. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible.

Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la planeación y control de diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación de barcos, investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios

económicos

regionales,

auditorías,

planeación

de

carreras

universitarias, distribución de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de población, etc., etc.

4.2 Técnica de evaluación y revisión del programa (PERT) El método PERT (Program Evaluation and Review Technique –Técnica de evaluación y revisión de programas) es un método que sirve para planificar proyectos en los que hace falta coordinar un gran número de actividades.

Por ejemplo, supongamos que queremos hacer un viaje de fin de curso. El PERT es una herramienta que nos permite planificar las diferentes actividades que son necesarias para el éxito del viaje. Utilizaremos el PERT para encontrar respuesta a una serie de preguntas, como: • ¿Cuándo debemos empezar a planificar el viaje?

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA • ¿Qué tareas tenemos que realizar?

• ¿En qué orden?

• ¿Qué tareas son más importantes si queremos evitar retrasos?

• ¿Qué retraso nos podemos permitir en cada tarea?

• ¿Qué ocurrirá con el proyecto si terminamos una tarea antes o después de lo previsto?

El método PERT nos permite representar gráficamente las diferentes actividades que componen el proyecto y calcular los tiempos de ejecución de forma que podamos contestar a esas preguntas.

Para ello debemos seguir 4 pasos: 1. Hacer una lista de actividades o tareas 2. Hacer una “tabla de precedencias” 3. Dibujar el grafo 4. Calcular las duraciones A continuación, explicamos los diferentes pasos: Paso nº 1: Hacer una lista de las actividades que tienen que llevarse a cabo: Tenemos que hacer una lista de todas las tareas que son necesarias para poder llevar el proyecto a buen término. En este punto, no es necesario que las tareas estén ordenadas cronológicamente. Simplemente se trata de hacer una lista de tareas lo más completa posible. Es fundamental que no nos dejemos ninguna tarea fuera.

En nuestro caso, queremos organizar un viaje de fin de curso y, por tanto, una posible lista de tareas sería la siguiente:

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA A. Contactar con otros compañeros que podrían estar interesados en organizar el viaje y formar un comité organizador.

B. Elaborar una lista de agencias de viaje potenciales.

C. Recabar información acerca de diferentes destinos turísticos, con presupuestos orientativos.

D. Estudiar posibles fechas para el viaje.

E. Preparar una reunión informativa para ver la disponibilidad de los compañeros de clase y discutir destinos y fechas.

F. Sabiendo el número aproximado de personas interesadas y las fechas aproximadas, negociar con diferentes agencias.

G. Organizar reunión para decidir la opción final.

H. Recaudar reservas de plaza.

I. Organizar el pago completo y recogida de billetes.

J. Preparar folleto informativo para los participantes.

Paso nº 2: Hacer una tabla de precedencias: Para cada actividad, se trata de establecer qué actividades deben precederla.

Es decir, vamos a tomar la lista de actividades, que posiblemente estará desordenada, y vamos a ordenar las tareas según una relación de precedencia.

En la tabla, indicamos en la columna de la izquierda cada una de las tareas y, en la columna de la derecha, las tareas que la preceden, es decir: aquellas tareas que necesariamente tenemos que haber terminado antes de poder empezar cada tarea.

Actividad

Actividades precedentes

A

-

B

A

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA C

A

D

A

E

B, C, D

F

E

G

F

H

G

I

H

J

G

Por ejemplo, para poder empezar la tarea C (recabar información acerca de posibles destinos turísticos), es necesario haber terminado la tarea A (formar un comité organizador): al fin y al cabo, es el comité organizador el que va a tener que contactar con las agencias y recabar información.

Cada una de las relaciones de precedencia que tenemos en la tabla se puede representar gráficamente. En realidad hay sólo 4 tipos distintos de grafos parciales:

Nudo inicial: De él deben partir todas las actividades que no tienen precedente. En nuestro caso, sólo hay una actividad sin precedente y por tanto dibujaríamos:

Precedencias lineales: Corresponden a los casos en los que hay una única actividad que precede y una única actividad que procede. Por ejemplo,

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

Precedencias de divergencia: Corresponden a los casos en los que hay una actividad que precede y varias actividades que proceden. En nuestro caso,

Precedencias de convergencia: Corresponden a los casos en los que hay varias actividades que preceden y una única actividad que procede.

Paso nº 3: Dibujar el grafo: D CE B B AC D EF

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

Se hace siguiendo 3 reglas: - Un nudo sólo puede numerarse una vez que se han numerado todos los nudos que le preceden (que tienen flechas que llegan hasta él) - Debe haber un único nudo de comienzo y un único nudo de final.

- Dos flechas que parten del mismo nudo no pueden tener el mismo nudo de destino.

Esta última regla es la menos intuitiva. Puede suceder perfectamente que, para pasar de una fase del proyecto a la siguiente, sean necesarias varias actividades distintas. Por ejemplo, en nuestro proyecto, las actividades B, C y D son proceden de A y preceden a E. En principio, esto se podría representar de la siguiente forma:

Sin embargo es interesante (para que la notación no sea demasiado pesada a medida que el PERT se complica) poder definir una actividad como un conjunto de 2 nudos (los 2 nudos que están ligados por esa actividad); y con la forma de representación que acabamos de plantear esto no sería posible. Por eso, utilizamos la siguiente representación:

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

Hemos añadido 3 actividades “ficticias” (con los nombres B’, C’ y D’) y 3 nudos intermedios simplemente para respetar el principio de designación unívoca.

Para construir el grafo completo, utilizamos estas reglas que acabamos de describir y obtenemos el siguiente grafo:

Paso nº 4: Análisis de duraciones: tiempos "early" y "last": El grafo PERT se utiliza para calcular la duración del proyecto y para evaluar la importancia de las diferentes tareas: • Tiempo "early" = tiempo mínimo necesario para alcanzar un nudo.

• Tiempo "last" = tiempo máximo que podemos tardar en alcanzar un nudo sin que el proyecto sufra un retraso.

Las duraciones previstas nos vienen dadas por las características de las diferentes tareas: hay tareas que llevan más o menos tiempo.

Por el contrario, los tiempos early y last dependen de la relación entre las diferentes tareas, y podemos calcularlos a través del grafo PERT.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA Por ejemplo, supongamos que las duraciones previstas son las siguientes:

A continuación incorporaríamos estos datos al grafo PERT, de la siguiente forma: • Debajo de cada flecha, colocamos la duración de la actividad correspondiente.

• Para los tiempos early: empezamos por el nudo inicial, asignándole un tiempo early = 0. A partir de este nudo, el tiempo early de cada nudo será igual al tiempo early del nudo anterior + la duración de la actividad precedente. Si hay varios nudos y actividades inmediatamente anteriores, se toma el máximo de los “candidatos”.

• Para los tiempos last: empezamos por el nudo final, asignándole un tiempo last igual a su tiempo early. A partir de este nudo, el tiempo last de cada nudo será igual al tiempo last del nudo posterior menos la duración de la actividad procedente. Si hay varios nudos y actividades inmediatamente posteriores, se toma el valor mínimo entre los “candidatos”.

Decimos que hay “HOLGURA” en un nudo cuando el tiempo early es inferior al tiempo last. Que haya holgura significa que podemos permitirnos un retraso sin que la duración total del proyecto se vea comprometida.

No hay holgura en un nudo cuando el tiempo early es igual al tiempo last. El

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA “CAMINO CRÍTICO” es la senda definida por los nudos que no tienen holgura.

Este camino es importante porque nos indica todas las actividades para las cuales es importante que no haya ningún retraso.

En nuestro caso, tenemos holgura únicamente en 2 actividades: • B (Elaborar la lista de agencias de viajes potenciales) • D (Estudiar posibles fechas para el viaje) A continuación mostramos el grafo PERT completo:

4.3 Método de la Ruta Crítica Existen dos conceptos claves para la aplicación del método CPM: Definición 1 El tiempo más temprano para un nodo i es el instante más inmediato en el cual puede ocurrir el evento correspondiente al nodo i.

Definición 2 El tiempo más tarde para un nodo i es el último instante en el cual puede ocurrir el evento correspondiente al nodo i sin retrasar la duración total del proyecto.

Resolución Grafica Para calcular los tiempos más tempranos para cada actividad se comienza fijando el tiempo como cero en el nodo inicial. Luego, se calcula el intervalo de tiempo que transcurre entre el inicio y las actividades inmediatas al comienzo del proyecto (figura 3.1). Debido a que la actividad artificial no tiene duración, el tiempo acumulado al nodo 3 para que sean terminadas todas las actividades

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA predecesoras a dicho nodo corresponde a 9 d³as. En otras palabras, el tiempo más temprano para el nodo 3 es 9 d³as. Luego, las actividades que comienzan en el nodo 3 no pueden comenzar antes de 9. Los nuevos intervalos de tiempo se muestran en la figura 3.2.

A continuación, es posible completar el intervalo de tiempo de desarrollo para la actividad E (figura de abajo).

Finalmente, el tiempo mas temprano para el nodo 5 es de 26 d³as, por lo que la actividad F solo puede comenzar en dicho instante. Los intervalos de tiempo mas temprano para todas las actividades del proyecto se muestran en la figura 3.4. A partir de esta figura, se puede concluir que la duración m³nima del proyecto es de 38 d³as, cantidad que corresponde al camino mas largo para llegar del nodo inicial 1 al nodo final 6.

Como segunda etapa se procede a calcular los tiempos mas tarde para cada nodo. La idea consiste en determinar cuanto es posible retardar el inicio de cada actividad sin afectar la duración total del proyecto.

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA

Para ello se comienza desde el nodo final. En este caso, dado que existe una única actividad que llega a dicho nodo no es posible retardarla sin afectar la duración del proyecto. La figura 3.5 muestra el intervalo de tiempo más tarde para la última actividad en paréntesis cuadrado.

Las actividades que llegan al nodo 5 terminan a más tardar en el día 26, por lo tanto, es posible retardar la actividad C en 26 ¡ 17 = 9 días

. Se incorpora los intervalos de duracion de tiempo mas tarde a la malla en la figura 3.6. El nodo 4 tiene como tiempo mas tarde 26, por lo que no es factible retardar la actividad D (figura 3.7). De esta forma, el nodo 3 tiene como tiempo mas tarde 9 días, por lo tanto las actividades deben llegar a mas tardar el día 9. Como la actividad artificial no tiene duracion, la actividad B no puede ser retardada. La actividad A puede ser retardada en 9¡6 = 3 días (figura 3.8).

Luego, se puede definir:

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Definicion 3 Una actividad crítica es una actividad que no puede ser retardada sin afectar la duracion total del proyecto. En otras palabras, en el tiempo más temprano y el tiempo mas tarde de inicio de la actividad son identicos.

Definición 4 Un camino desde el nodo inicial al final constituido solo por actividades críticas se denomina ruta crítica. Es decir, constituye el camino que no puede ser retrasado sin afectar la duración del proyecto, o bien, la ruta más larga entre los nodos inicial y final.

De acuerdo a la definiciones anteriores, la ruta crítica del proyecto corresponde a las actividades B ¡Dummy¡D¡E ¡F segun los calculos realizados (figura 3.8).

La ruta crítica se ha marcado con línea más gruesa en la figura. Es importante mencionar que en un proyecto puede existir más de una ruta crítica.

Resolucion Mediante LP Para determinar la ruta crítica mediante programacion lineal podemos definir las siguientes variables: xj = tiempo acumulado hasta al nodo j De acuerdo a ello, las restricciones a satisfacer son:

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Es decir, para cada arco (i; j) que conecta al nodo j se debe cumplir que el tiempo acumulado desde el nodo i mas la duración de la actividad que conecta el nodo i con el j (tij) deber ser mayor al tiempo acumulado al nodo j. Como el objetivo es completar el proyecto, interesa minimizar la diferencia entre el tiempo acumulado al nodo inicial (x1) frente al nodo final (xf ):

Aplicando las variables definidas al ejemplo se obtiene:

Resolviendo el problema se obtiene una solución optima: z = 38, x1 = 0, x2 = 9, x3 = 9, x4 = 16, x5 = 26 y x6 = 38, lo que indica que el proyecto puede ser completado en 38 días.

Evidentemente el problema anterior tiene muchas soluciones alternativas debido a que las actividades pueden ser retrasadas sin afectar la duracion del proyecto y a la arbitrariedad en fijar el instante de inicio, sin embargo todas ellas poseen como valor de la funcion objetivo z = 38.

DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM Como se indicó antes, la principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan los estimados de tiempo. El PERT supone que el tiempo para realizar cada una de las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribución de probabilidad. El CPM por otra parte, infiere que los tiempos

ANTOLOGÍA: INGENIERÍA ECONÓMICA de las actividades se conocen en forma determinísticas y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.

La distribución de tiempo que supone el PERT para una actividad es una distribución beta. La distribución para cualquier actividad se define por tres estimados: (1) el estimado de tiempo más probable, m; (2) el estimado de tiempo más optimista, a; y (3) el estimado de tiempo más pesimista, b.

La forma de la distribución se muestra en la siguiente Figura. E1 tiempo más probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.

Con la distribución definida, la media (esperada) y la desviación estándar, respectivamente, del tiempo de la actividad para la actividad Z puede calcularse por medio de las fórmulas de aproximación.

El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica. De modo similar, suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes (realísticamente, una suposición fuertemente cuestionable), la varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica. Estas propiedades se demostrarán posteriormente.

En CPM solamente se requiere un estimado de tiempo. Todos los cálculos se hacen con la suposición de que los tiempos de actividad se conocen. A medida que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear el progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programa cambiando la asignación de recursos.

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(Universidad de Cartagena)

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