ORIGEN
E
l método simplex , fue creado en el año de 1947 por el matemático George Dantzing, con el fin de resolver problemas de programación lineal, en los cuales intervienen tres o mas
variables. este procedimiento permite mejorar las respuestas paso a paso, con el fin de alcanzar la solución optima de un problema.
La primera aplicación importante de este método ocurrió poco después del verano de 1947, cuando J. Laderman resolvió, en la National Bureau of Standards, un programa lineal de plantación de una dieta con nueve restricciones y 27 variables. Usando calculadoras de escritorio, para resolver este problema se requirieron 120 días-hombre, y cuando con dificultad las hojas de datos fueron unidas entre sí, semejaban un "mantel". Actualmente, usando la computadora y un programa del método Simplex (TORA, MICROMANAGER, LINDO, PROLIN, QSB, otro) es fácil resolver problemas de PL con muchas variables y muchas restricciones.
George Bernard Dantzig Nació el 8 de noviembre de 1914 – 13 de mayo de 2005) fue un profesor, físico y matemático estadounidense, reconocido por desarrollar el método simplex y es considerado como el "padre de la programación lineal". Recibió muchos honores, tales como la Medalla Nacional de Ciencia en 1975 y el premio de Teoría John von Neumann en 1974.
su doctorado en la Universidad de California, Berkeley en 1946. Recibió además un doctorado honorario de la Universidad de Maryland en 1976. El padre de Dantzig, Tobías Dantzig, fue un matemático ruso que realizó estudios con Henri Poincaré en París. Tobías se casó con una estudiante de la universidad de la
Fue miembro de la Academia Nacional de Ciencias, la Academia Nacional de Ingeniería y la Academia Americana de Artes y Ciencias. Obtuvo su licenciatura Matemáticas y Física en la Universidad de
en
Maryland en 1936, su grado de máster en Matemáticas en la Universidad de Míchigan, y
Sorbona, Anja Ourisson, y la pareja emigró a los Estados Unidos.
HISTORIA DEL MÉTODO SIMPLEX El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Fourier, después de quien nace el método de eliminación de FourierMotzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria
Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, demostró que el problema de la programación lineal era resoluble en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área. El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de la programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deberán ser revisadas.
El Método Simplex
E
s un procedimiento sistemático y eficiente que permite encontrar y probar soluciones situadas en los vértices de optimalidad. el método requiere que las restricciones sean ecuaciones en lugar de inecuaciones, lo cual se logra añadiendo variables de holgura a cada inecuacion del modelo, variables que nunca pueden ser negativas y tienen coeficiente 0 en la función objetivo.
FASES DE DESARROLLO 1. Realizar un cambio de
variables
y
normalizar el signo de
los
términos
independientes. 2. Normalizar
las
restricciones. 3. Igualar
la
función
objetivo a cero. 4. Escribir inicial
la del
tabla método
Simplex. 5. Condición de parada. 6. Elección
de
la
variable entrante y saliente de la base. 7. Actualizar la tabla. 8. Comprobación 1. 9. Comprobación 1. 10.
Fin
algoritmo. 11.
Grafico.
del
holgura, exceso y artificiales según la tabla siguiente: 1. Realizar un cambio de variables y normalizar el signo de los términos independientes.
Se realiza un cambio en la nomenclatura de las variables. Estableciéndose la correspondencia siguiente:
x pasa a ser X1 y pasa a ser X2
Como los términos independientes de todas las restricciones son positivos no es necesario hacer nada. En caso contrario habría que multiplicar por "-1" en ambos lados de la inecuación (teniendo en cuenta que esta operación también afecta al tipo de restricción).
2) Se convierten las inecuaciones en ecuaciones agregando variables de
Tipo de desigualdad
Tipo de variable que aparece
≥
- exceso + artificial
=
+ artificial
≤
+ holgura
En este caso se introduce una variable de holgura (X3, X4 y X5) en cada una de las restricciones del tipo ≤, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2·X1 + X2 + X3 = 18 2·X1 + 3·X2 + X4 = 42 3·X1 + X2 + X5 = 24
3) Z - 3·X1 - X2 - 0·X3 - 0·X4 0·X5 = 0 4) La tabla inicial del método Simplex está compuesta por todos los coeficientes de las variables de decisión del problema original y las de holgura, exceso y artificiales agregadas en el paso 2 (en las columnas, siendo P0 el término independiente y el resto de variables Pi coinciden con Xi), y las restricciones (en las filas). La columna Cb contiene los coeficientes de las variables que se encuentran en la base. La primera fila está formada por los coeficientes de la función objetivo, mientras que la última fila contiene el valor la función objetivo y los costes reducidos Zj - Cj. La última fila se calcula como sigue: Zj = Σ(Cbi·Pj) para i = 1..m, donde si j = 0, P0 = bi y C0 = 0, y en caso contrario Pj = aij. Aunque al tratarse de la primera tabla del método Simplex y ser todos los Cb nulos se puede simplificar el
cálculo, y por esta disponer Zj = -Cj.
vez
Tabla I . Iteración nº 1 3
2
0 0 0
Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P3
0 18 2
1
1
0 0
P4
0 42 2
3
0
1
0
P5
0 24 3
1
0 0
1
Z
0 -3 -2 0 0 0
5)
S
i el objetivo es la maximización, cuando en la última fila (fila indicadora) no existe ningún valor negativo entre los costes reducidos (columnas P1 en adelante) se alcanza la condición de parada.
En tal caso se llega al final del algoritmo ya que no existe posibilidad de mejora. El valor de Z (columna P0) es
la solución problema.
óptima
del
Otro caso posible es que en la columna de la variable entrante a la base todos los valores son negativos o nulos. Esto indica que el problema no se encuentra acotado y su solución siempre resultará mejorable. Ante esta situación no es necesario continuar iterando indefinidamente y también se puede dar por finalizado el algoritmo. De no ser así, se ejecutan los siguientes pasos de forma iterativa
6)Se determina en primer lugar la variable que entra en la base. Para ello se escoge la columna cuyo valor en la fila Z sea el menor de entre todos los negativos. En este caso sería la variable X1 (P1) de coeficiente -3.
Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior (caso de empate), entonces se optará por aquella variable que sea básica. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color verde). Una vez obtenida la variable que entra en la base, se procede a determinar cuál será la variable que sale de la misma. La decisión se toma en base a un sencillo cálculo: dividir cada término independiente (columna P0) entre el elemento correspondiente de la columna pivote, siempre que ambos elementos sean estrictamente positivos (mayores que cero). Se escoge la fila cuyo resultado haya resultado mínimo. Si hubiera algún elemento menor o igual a cero no se realiza dicho cociente. En caso de que todos los elementos de la columna pivote fueran de ésta condición se habría cumplido la condición de
parada y el problema tendría una solución no acotada. En este ejemplo: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8] El término de la columna pivote que en la división anterior dio lugar al menor cociente positivo indica la fila de la variable de holgura que sale de la base. En este caso resulta ser X5 (P5), de coeficiente 3. Esta fila se llama fila pivote (en color
7)
verde).
Si al calcular los cocientes, dos o más resultados cumplen la condición para elegir el elemento saliente de la base (caso de empate), se escoge aquella que no sea variable básica (siempre que sea es posible). La intersección de la fila pivote y columna pivote marca el elemento pivote, en este caso el 3.
En la fila del elemento pivote cada nuevo elemento se calcula como:
Nuevo Elemento Fila Pivote = Anterior Elemento Fila Pivote / Pivote
En el resto de las filas cada elemento se calcula:
Nuevo Elemento Fila = Anterior Elemento Fila (Anterior Elemento Fila en Columna Pivote * Nuevo Elemento Fila Pivote)
Con esto se normaliza el elemento pivote y su valor pasa a ser 1, mientras que el resto de elementos de la columna pivote se anulan (análogo al método de GaussJordan).
Se muestran a continuación los cálculos para la fila P4: La tabla correspondiente a esta segunda iteración es:
Tabla II . Iteración nº 2 3
2
0
0
0
Base Cb P0 P1
P2
P3 P4
P5
6.1. La variable que entra en la base es X2 (P2), por ser la variable que corresponde a la columna donde se encuentra el coeficiente -1.
6.2. Para calcular la variable que sale, se -2/3 dividen los términos de la columna P0 entre los -2/3 términos correspondientes de la nueva columna pivote: 2 1/3 / 1/3 [=6] , 26 / 7/3 [=78/7] y 8 / 1/3 [=24]. Como el menor cociente 1 positivo es 6, la variable que sale de la base es X3 (P3).
P3
0
2
0
1/3
1
0
P4
0
26
0
7/3
0
1
P1
3
8
1
1/3
0
0
24
0
-1
0
0
Z
A
8) l comprobar la condición de parada se observa que no se cumple ya que entre los elementos de la última fila hay uno negativo, -1. Se continúa iterando nuevamente los pasos 6 y 7.
6.3. El elemento pivote es 1/3.
7. Actualizando nuevamente los valores de la tabla se obtiene:
Tabla III . Iteración nº 3 3
2
0
0
0
Base Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P2
2
6
0
1
3
0
P4
0
12 0
0
-7 1
9)Una nueva comprobación de la condición de parada revela que entre los elementos de la fila indicadora vuelve a haber uno negativo, -1. Significa que aun no se ha llegado a la solución óptima y hay que seguir iterando (pasos 6 y 7):
-2 4
P1 Z
3
6
1
0
-1
0
1
30 0
0
3
0
-1
6.1. La variable que entra en la base es X5 (P5), por ser la variable que corresponde al coeficiente -1. 6.2. Se escoge la variable que sale 9) calculando el cociente entre los términos de la columna de términos independientes y los términos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6/1 [=6]. En esta ocasión es X4 (P4). 6.3. El elemento pivote es 4. 7. Después de actualizar todas las filas, se
obtiene la tabla siguiente:
11)
Tabla IV . Iteración nº 4 3
0
0
0
Bas Cb P0 P P P3 1 2 e
P4
P
P2
2
1
2
MAXIMIZAR: 3 X1 + 2 X2 2 X1 + 1 X2 ≤ 18 2 X1 + 3 X2 ≤ 42 3 X1 + 1 X2 ≤ 24 X1, X2 ≥ 0
5
0
1
-1/2
1/2
0
2 P5
0
3
0
0
-7/4
1/4
1
P1
3
3
1
0
3/4
-1/4
0
0
0
5/4
1/4
0
Z
3 3
10)
Se observa que en la última fila todos los coeficientes son positivos cumpliéndose, por tanto la condición de parada. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los términos independientes (P0), en este ejemplo: 33. En la misma columna se puede ver el punto donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base: X1 = 3 y X2 = 12.
Deshaciendo el cambio de variables se obtiene x = 3 e y = 12.
Aplicabilidad en Software
U
na forma de solución que se sigue enseñando solo con fines académicos ya que tiene pocas aplicaciones industriales pero es un excelente auxiliar para comprender conceptos difíciles de entender solo con números, es el método gráfico; dado que a muchas personas les gustan mas las gráficas que solo ver números. Típicamente se puede usar el WINQSB como herramienta indiscutible para aplicar dicho método:
Link descarga WINQSB: http://winqsb.softonic.com/ Video para aprenderlo a usar una vez instalado: http://youtu.be/ZcjA9Uj6D So Pero también tenemos las siguientes alternativas: PHP Simplex George Bernard Dantzig. http://www.phpsimplex.com/
Método Simplex Dual El método simplex dual resulta ser una estrategia algoritmica eficiente cuando luego de llevar un modelo de programación lineal a su forma estándar, la aplicación del método simplex no es inmediata o más bien compleja, por ejemplo, puede
requerir la utilización del método simplex de 2 fases. Una aplicación típica del método simplex dual es en la resolución de problemas con una función objetivo de minimización, con restricciones del tipo mayor o igual y donde las variables de decisión son mayores o iguales a cero. Ejemplo Simplex Dual
obtiene inicial.
la
siguiente
tabla
A
B
C
S 1
S 2
S 3
15
-2
-1
1
0
0
20 0
7, 5
-3
-1
0
1
0
15 0
-5
-2
-1
0
0
1
12 0
31 5
11 0
5 0
0
0
0
0
Considere el siguiente modelo de Programación Lineal:
Paso 1: Se lleva el modelo a su forma estándar. En nuestro ejemplo esto se logra agregando variables de exceso en cada una de las restricciones (3 primeras: S1, S2, S3, respectivamente). Luego, se multiplica cada fila de las restricciones por -1 de modo de disponer una solución básica inicial (infactible) en las variables de exceso S1, S2 y S3. De esta forma se
Paso 2: Se selecciona el lado derecho "más negativo" lo cual indicará cuál de las actuales variables básicas deberá abandonar la base. En el ejemplo el lado derecho más negativo se encuentra en la primera fila, por tanto S1 deja la base. Para determinar cual de las actuales variables no básicas (A, B, C) entrará a la base se busca el mínimo de {Yj/aij} donde aij es el coeficiente de la respectiva variable no básica en la fija i (del lado derecho más
negativo, marcado en verde) y donde Yj es el costo reducido de la respectiva variable no básica. De esta forma se obtiene: Min {-315/-15, -110/2, -50/-1} = 21, donde el pivote (marcado en rojo) se encuentra al hacer el primer cuociente, por tanto A entra a la base.
Paso 3: Se actualiza la tabla anterior siguiendo un procedimiento similar al utilizado en el Método Simplex. En el ejemplo se debe dejar a la variable A como básica y S1 como no básica. La tabla que resulta es la siguiente: A B
C
S1 S S 2 3
1 2/ 15
1/ 15
1/ 15
0
0 -2
1/ 2
1/ 2
1
0 -50
0
2/ 3
1/ 3
0
1
4/ 3
0
40/ 3
160 /3
0 68 29 21 0
0
4.2 00
Paso 4: Continuar las iteraciones y siguiendo el mismo procedimiento hasta disponer de una solución básica factible. Luego de unas iteraciones se obtiene la siguiente tabla final: A B C S1
S 2
S3
1 0 0
0
1/1 0
8
0 1 0 1/4 -1
3/ 4
10
0 0 1
0
2
-3
60
0 0 0
4
1 0
36
6.62 0
1/1 0
La solución óptima es A=8, B=10, C=60 (marcado en verde) con valor óptimo V(P)=6.620 (marcado en rojo - se obtiene con signo cambiado). También es interesante notar que los costos reducidos de las variables artificiales S1, S2 y
S3 (marcado en amarillo), corresponde a la solución óptima del modelo presentado en el tutorial de solver, esto dado que dicho modelo resulta ser el problema dual de nuestro ejemplo. Programación Lineal (PL)
Un modelo de Programación Lineal (PL) considera que las variables de decisión tienen un comportamiento lineal, tanto en la función objetivo como restricciones del problema. En este sentido, la Programación Lineal es una de las herramientas más utilizadas en la Investigación Operativa debido a que por su naturaleza se facilitan los cálculos y en general permite una buena aproximación de la realidad. Los Modelos Matemáticos se dividen básicamente en Modelos Determistas (MD) oModelos Estocásticos (ME). En el primer caso (MD) se
considera que los parámetros asociados al modelo son conocidos con certeza absoluta, a diferencia de los Modelos Estocásticos, donde la totalidad o un subconjunto de los parámetros tienen una distribución de probabilidad asociada. Los cursos introductorios a la Investigación Operativa generalmente se enfocan sólo en Modelos Determistas.
Supuestos Básicos de la Programación Lineal: Linealidad, Modelos Deterministas, Variables reales, No Negatividad.
APLICACIONES 1. Problema de la Dieta: (Stigler, 1945). Consiste en determinar una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer requerimientos nutricionales. La cantidad de alimentos a considerar, sus características nutricionales y los costos de éstos, permiten obtener diferentes variantes de este tipo de modelos. Por ejemplo: Le Legu Nar Requeri ch mbre anja mientos e s (1 Nutrici (lt porci (unid onales ) ón) ad) Niac ina
3, 2
4,9
0,8
13
Tia 1,1 mina 2
1,3
0,19
15
Vita 32 mina C
0
93
45
0,2
0,25
Cost o
2
Variables de Decisión:
X1: Litros de Leche utilizados en la Dieta X2: Porciones de Legumbres utilizadas en la Dieta X3: Unidades de Naranjas utilizadas en la Dieta Función Objetivo: (Minimizar los Costos de la Dieta) Min 2X1 + 0,2X2 + 0,25X3
Restricciones: Satisfacer los requerimientos nutricionales Niacina: 3,2X1 + 4,9X2 + 0,8X3 >= 13 Tiamina: 1,12X1 + 1,3X2 + 0,19X3 >=15 Vitamina C: 32X1 + 0X2 + 93X3 >= 45 No Negatividad: X1>=0; X2>=0; X3>=0 Compruebe utilizando nuestro Módulo de Resolución que la solución Óptima es X1=0, X2=11,4677, X3=0,483871, con Valor Óptimo V(P)=2,4145.
2. Problema de Dimensionamiento de Lotes: (Wagner y Whitin, 1958). Consiste en hallar una polìtica óptima de producción para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de modo de minimizar los costos de producción e inventario, considerando la disponibilidad de recursos escasos. Considere que una fabrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente información:
Periodos Demandas
Costo Prod.
(unidades) (US$/unidad)
Costo de Inventario (US$/unidad)
1
130
6
2
2
80
4
1
3
125
8
2.5
4
195
9
3
A
dicionalmente considere que se dispone de un Inventario Inicial de 15 unidades y no se acepta demanda pendiente o faltante, es decir, se debe satisfacer toda la demanda del período. Variables de Decisión: Xt: Unidades elaboradas en el período t (Con t =1,2,3,4) It: Unidades en inventario al final del período t (Con t =1,2,3,4) Función Objetivo: (Minimizar los Costos de Producción e Inventarios) Min 6X1 + 4X2 + 8X3 + 9X4 + 2I1 + 1I2 + 2,5I3+ 3I4
Restricciones:
Capacidad de Producción por Período: Xt <= 150 (Con t =1,2,3,4) Satisfacer Demanda Período 1: X1 + I0 - I1 = 130 (I0 = 15) Satisfacer Demanda Período 2: X2 + I1 - I2 = 80
Satisfacer Demanda Período 3: X3 + I2 - I3 = 125 Satisfacer Demanda Período 4: X4 + I3 - I4 = 195 No Negatividad: Xt >=0, It >=0
Solución Óptima utilizando Solver de MS Excel (Para ver una aplicación de esta herramienta ingrese AQUI): X1=115,X2=150, X3=100, X4=150, I1=0, I2=70, I3=45, I4=0. Valor Óptimo V(P)=3.622,5
comparacion entre metodo simple y metodo dual simplex
El método dual-simplex requiere de la aplicación de
dos criterios para su solución: El criterio de optimalidad que asegura que la solución permanecerá óptima todo el tiempo y el criterio de factibilidad que forza las soluciones básicas hacia el espacio factible.
Criterio de Factibilidad. La variable saliente será aquella variable básica que tenga el valor más negativo en el vector bi. Si todas las variables básicas son positivas o sea ³0 se tiene la solución final, óptima y factible.
sea el menor, si el problema es de minimizar, ó el de menor valor absoluto si es de maximizar. Si todos los denominadores son ³0, el problema no tendrá solución factible
Problemas 1. Resolver el siguiente problema de Programación Lineal utilizando el Método Simplex:
Criterio de optimalidad. La variable entrante se selecciona de entre las variables no-básicas como sigue: Dividir los coeficientes de la ecuación cero entre los coeficientes de la ecuación asociada con la variable saliente, ignorando denominadores positivos y/o ceros. Lavariable entrante será aquella cuyo cociente
Max 40*X1 + 60*X2 s.a. 2*X1 + 1*X2 <= 70 1*X1 + 1*X2 <= 40 1*X1 + 3*X2 <= 90 X1 >= 0 X2 >= 0 ara poder aplicar el Método Simplex, es necesario llevar el modelo a su formato estándar, para lo cual definimos X3, X4, X5 >= 0 como las respectivas variables de holgura para la restricción 1, 2 y 3. De
P
esta forma queda definida la tabla inicial del método de la siguiente forma:
En esta situación, las variables de holgura definen una solución básica factible inicial, condición necesaria para la aplicación del método. Luego, se verifican los costos reducidos de las variables no básicas (X1 y X2 en la tabla inicial) y se escoge como variable que entra a la base aquella con el costo reducido "más negativo". En este caso, X2.
coeficientes asociados a la variable entrante en cada fila (para aquellos coeficientes > 0 marcados en rojo en la tabla anterior). El mínimo se alcanza en Min {70/1, 40/1, 90/3} = 30 asociado a la tercera fila, el cual corresponde a la variable básica actual X5, en consecuencia, X5 deja la base. En la posición que se alcanza el mínimo cuociente lo llamaremos"Pivote" (marcado con rojo) el cual nos servirá para realizar las respectivas operaciones filas, logrando la siguiente tabla al cabo de una iteración:
Luego, para escoger que variable básica deja la base debemos buscar el mínimo cuociente entre el lado derecho y los
El valor de la función objetivo luego de una iteración ha pasado de 0 a 1.800. Se
recomienda al lector hacer una representación gráfica del problema y notar como las soluciones factibles del método corresponden a vértices del dominio de puntos factibles.
base. Obtenido lo anterior se aplica una iteración del método:
La actual tabla no corresponde a la solución óptima del problema P) debido a que existe una variable no básica con costo reducido negativo, por tanto X1 entra a la base.
Finalmente se alcanza la solución óptima del problema P) y se verifica que los costos reducidos asociados a las variables no básicas (X4 y X5 son mayores o iguals que cero). Notése que la existencia de un costo reducido igual a cero para una variable no básica en esta etapa define un problema con "infinitas soluciones".
Posteriormente, mediante el criterio del mínimo cuociente calculamos la variable que debe dejar la base: Min {40/(5/3), 10/(2/3), 30/(1/3)} = 15, asociado a la fila 2 (variable básica actual X4), por tanto X4 deja la
La solución alcanzada es X1* = 15, X2* = 25 con V(P*) =
2.100. Adicionalmente, los costos reducidos asociados a las variables no básicas definen el precio sombra asociado a las restricciones 1, 2 y 3, respectivamente, lo cual es equivalente a la obtención del precio sombra mediante el método gráfico. Dejaremos para una posterior presentación, la forma de calcular el intervalo de variación para el lado derecho que permite la validez del precio sombra, utilizando la tabla final del Método Simplex.
2. Considere el siguiente modelo de PL y determine su solución por el método dual-simplex.
Igualando a cero la función objetivo y agregando las variables de holgura para obtener ecuaciones de restricción.
Minimizar. Z-2X1 - X2 = 0 S.A. -3X1 -X2 -4X! X!
+X3 =-3
-3X2 +2X2
X1³0 ,
+X4 =-6 X5 = 3
X2³0
X3³0
Obteniendo la forma tabular para aplicar el procedimiento del dualsimplex.
Minimizar. Z= 2X1 + X2 S.A. 3X1 +X2 4X! X!
³ 3
+3X2 +2X2
³6 # 3
Conclusión. La solución óptima es:
X1³0 ,
X2³0
X3³0
X1 = 3/5
X2= 6/5
-.2X2
-2 X3
X5 =-
5
Con Zoptima = 12/5
X1³0 ,
3. Considere el siguiente modelo de PL y determine su solución por el método dual-simplex.
X2³0
X3³0
Obteniendo la forma tabular para aplicar el procedimiento del dualsimplex.
Maximizar. Z= -4X1 -12 X2 -18 X3 S.A. X1
+3X3
+2X2
³ 3
+2X3 ³ 5
Conclusión. La solución óptima es:
X1³0 ,
X2³0
X3³0
X2 = 3/2 X3= 1
Igualando a cero la función objetivo y agregando las variables de holgura para obtener ecuaciones de restricción.
Minimizar. Z+4X1 +12 X2 +18 X3= 0 S.A. -X1
-3X3 +X4
=-3
Con Zoptima = -36
BibliografĂa: http://www.scoop.it/t/metodo-dual-simplexby-vickydominguez/p/4000990750/2013/05/03/hist oria-del-metodo-simplex http://www.phpsimplex.com/simplex/page3.p hp?l=es http://www.phpsimplex.com/ http://www.investigaciondeoperaciones.net/ metodo_simplex_dual.html http://www.programacionlineal.net/programa cion_lineal.html