Portafolio Estadistica Inferencial I (UTA FCA Ing F) by Lizz Sánchez

UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO FACULTAD DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA CARRERA DE INGENIERÍA FINANCIERA

ING. ROBERTO VALENCIA PORTAFOLIO DE ESTADÍSTICA

JOHANNA FREIRE FREIRE LIZBETH SÁNCHEZ ACOSTA

Misión Formar profesionales líderes competentes, con visión humanista y pensamiento crítico a través de la Docencia, la Investigación y la Vinculación, que apliquen, promuevan y difundan el conocimiento respondiendo a las necesidades del país.

Visión La Universidad Técnica de Ambato por sus niveles de excelencia se constituirá como un centro de formación superior con liderazgo y proyección nacional e internacional.

MISIÓN La Facultad de Contabilidad y Auditoría formará profesionales líderes competentes, con visión humanista y pensamiento crítico a través de la Docencia, la Investigación y la Vinculación, que apliquen, promuevan y difundan el conocimiento respondiendo a las necesidades del país.

VISIÓN La Facultad de Contabilidad y Auditoría como parte de la Universidad Técnica de Ambato por sus niveles de excelencia se constituirá como un centro de formación superior con liderazgo y proyección nacional e internacional.

Contenido

Distribuciones de probabilidad discreta......................................................................................6 1.1.

Propiedades de la distribución de probabilidad discreta....................................................6

Aplicaciones....................................................................................................................................7 2.

Valor esperado y varianza.............................................................................................................9 2.1.

Valor esperado E(x); u...........................................................................................................9

Aplicaciones..................................................................................................................................10 3. Distribución de probabilidad Binomial.........................................................................................19 3.1.

Propiedades de un experimento binomial...........................................................................19

3.2.

Formula de la distribución binomial..................................................................................19

3.3.

Medidas de la distribución binomial..................................................................................20

Aplicaciones..................................................................................................................................20 4.

Distribución de Poisson...............................................................................................................31 Aplicaciones..................................................................................................................................31

Distribución de Probabilidad Normal........................................................................................36 5.1.

Distribución normal o campana de Gauss.........................................................................36

5.2.

Función de densidad de distribución normal....................................................................36

5.2.1. 5.3.

Características de la distribución normal......................................................................36 Distribución normal estándar.............................................................................................37

Aplicaciones..................................................................................................................................37 6.

Aproximación Normal de las Probabilidades Binomiales...............................................................52 Aplicaciones..................................................................................................................................52

ESTADISTICA INFERENCIAL................................................................................................57

Muestreo.......................................................................................................................................58

Es todo el grupo de personas de quien el investigador necesita tener información................................58 8.1.

Pasos para desarrollar un plan de muestreo......................................................................58

Aplicaciones..................................................................................................................................60 8.2.

Muestreo aleatorio sistemático.............................................................................................65

Aplicaciones..................................................................................................................................65 8.3.

Muestreo aleatorio Estratificado..........................................................................................66

Estimación Puntual................................................................................................................................67 PRUEBAS........................................................................................................................................69 8.1 Error de Muestreo.......................................................................................................................70 9.

Distribución muestral de la

X .............................................................................................71

Aplicaciones..................................................................................................................................72 10.

Distribución Muestral de

P .................................................................................................78

Aplicaciones..................................................................................................................................78 11.

Estimación por intervalos..........................................................................................................85 APLICACIONES...............................................................................................................................85

12.

CONTRASTE DE HIPOTESIS........................................................................................................92

12.1. Hipótesis Nula..........................................................................................................................93 12.2. Hipótesis Alternativa................................................................................................................93 12.3.

Valor crítico del estadístico de prueba. Regiones...............................................................94

12.4.

Coeficiente/Nivel de Significancia:.....................................................................................95

12.5.

TIPOS DE ERROR................................................................................................................96

12.2. PRUEBAS PARAMETRICAS – MUESTRAS GRANDES...................................................................96 Aplicaciones..................................................................................................................................99 13.

VALOR P...................................................................................................................................107

14. PRUEBA DE HIPOTESIS CUANDO NO SE CONOCE LA DESVIACION POBLACIONAL (Muestras Pequeñas)............................................................................................................................................110 Aplicaciones................................................................................................................................110 15.

ESTADISTICO DE PRUEBA EN LA PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCION POBLACIONAL 118 Aplicaciones:...............................................................................................................................118

DISTRIBUCION DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES (X1; X2) CONOCIENDO

σ 1Y σ 2

............................................................................................................................................................129 Aplicaciones................................................................................................................................129 DISTRIBUCION DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES MUESTRALES (P1; P2)..........................130 Aplicaciones.................................................................................................................................131 DISTRIBUCION DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES CON DATOS MENORES A 30 “t” 138 Aplicaciones.................................................................................................................................138 ENSAYO DE HIPOTESIS EJEMPLO DE HIPOTESIS CON TRES VARIABLES................................................140

ESTADISTICA 1.

Distribuciones de probabilidad discreta

LA distribución de probabilidad discreta de una variable aleatoria describe como se distribuyen las probabilidades entre los valores de la variable aleatoria. En el caso de una variable aleatoria discreta que lo vamos a simbolizar (x). La distribución de probabilidad está definida por una función de probabilidad y vamos a denotar f(x). La función de probabilidad f(x) da la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria. La distribución de probabilidad, indica la probabilidad de cada valor de una variable que está determinada por el azar, hay que saber distinguir entre los resultados que pueden ocurrir al azar y los “pocos comunes” en el sentido de que no tiene probabilidad de ocurrir al azar. [CITATION Tri09 \t \l 12298 ] Una variable aleatoria discreta tiene un número finito de valores o un número de valores contables, donde “contable” se refiere al hecho de que podría haber un número infinito de valores, pero pueden asociarse con un proceso de conteo.[ CITATION Mar13 \l 12298 ]

1.1.

Propiedades de la distribución de probabilidad discreta a)

f ( x )≥ 0

f ( x )=1

Aplicaciones 1. La empresa TOYOTA (Carlos Larrea) tiene una venta de automóviles durante los últimos 300 días de operación. Los datos de ventas muestran que hubo 54 días en los que no se vendió ningún automóvil, 117 días en los que se vendió 1, 72 días en los que se vendió 2, 42 días en los que se vendió 3, 12 días en los que se vendió 4 y 3 días en los que se vendió 5. El experimento se realiza para 1 día de operación. Calcular la distribución de la probabilidad. X = # Autos x 0 1 2 3 4 5

F(x) 54/300 117/300 72/300 42/300 12/300 3/300

= = = = = =

0.18 0.39 0.24 0.14 0.04 0.01 1

Ejercicios consultados

1. Describe, mediante una tabla x p la distribución del “número de caras” al lanzar 3 monedas. x

F(x

) 1/8

= 0.1

3/8

3 = 0.3

3/8

8 = 0.3

1/8

8 = 0.1

3 1 2. En una lotería de 1000 números se reparten los premios siguientes:  A un número elegido al azar, 5000  Al anterior y al posterior, 1000  A los 99 que terminan en la misma cifra que el ganador, 10



Al resto de números nada x 0

F(x) 898

= 0.89

8 = 0.09

9 = 0.00

2 = 0.00

100 0 500 0

1 1

1000

3. Un profesor de idiomas tiene una clase con cuatro alumnos adultos. De los 100 días de clase, asisten 4, 3, 2, 1 o ninguno de ellos, calcular la distribución de la probabilidad. x 0 1 2 3 4

F(x) 3 9 17 48 23 100

= = = = =

0.03 0.09 0.17 0.48 0.23 1

4. Un jugador de básquet está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero. La probabilidad de anotar o no anotar es: x

F(x)

1/2

0.50

1/2

0.50

5. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale 1 o número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego

+100

F(X) 1/6

0.16667

+200

1/6

0.16667

+300

1/6

0.16667

-400

1/6

0.16667

+500

1/6

0.16667

-600

1/6

0.16667

Valor esperado y varianza

2.1. Valor esperado E(x); u El valor esperado es un promedio ponderado de los valores que toma la variable aleatoria. Los pesos son las probabilidades. Es la media de una variable aleatoria discreta, es el resultado medio teórico de un número infinito de ensayos. Podemos considerar a esa media como el valor esperado, en el sentido de que constituye el valor promedio que esperaríamos tener si los ensayos pudieran continuar de manera indefinida. [CITATION Mar13 \t \l 12298 ] Fórmula: E ( x )=x Σ f (x)

2.2. Varianza Var(x) Es un promedio ponderado de los cuadrados de las desviaciones de una variable aleatoria con respecto de su medida. Los pesos son las probabilidades 2 Fórmula: Var ( x )=Σ ( x−u ) f ( x )

La varianza es una medida estadística que cuantifica el nivel de dispersión o variabilidad de los valores de la variable aleatoria alrededor de la media. [CITATION Oje07 \l 12298 ]

Aplicaciones 1) Calcular el valor esperado y la varianza del ejercicio anterior X 0

(x-u)^2 f(x) 2.25 * 0.18=

0.405

117/300=

8 0.3 0.39

0.25 *

0.39=

0.0975

72/300 =

9 0.2 0.48

0.25 *

0.24=

0.06

42/300 =

4 0.1 0.42

2.25 *

0.14=

0.315

12/300 =

4 0.0 0.16

6.25 *

0.04=

0.25

3/300

4 0.0 0.05

12.25*

0.01=

0.1225

F(x) 54/300 =

0.1

x f(x) 0

1 1

1.5

1.25

E ( x )=1.5 en un dia Var ( x )=1.25 2) Una ambulancia de voluntarios realiza de 0 a 5 servicios por dĂa. A continuaciĂłn se representa la distribuciĂłn de probabilidad.

E ( x )=2.45 Var ( x )=1.8027

F(x)

x f(x)

(x-u)^2

0 1 2 3 4 5

0.10 0.15 0.30 0.20 0.15 0.10 1.00

0 0.15 0.60 0.60 0.60 0.50 2.45

f(x) 0.3553 0.3154 0.0608 0.0605 0.3604 0.6503 1.8027

Calcular el valor esperado del número de servicios y la desviación típica. x 0 1 2 3 4 5

F(x) 0.10 0.15 0.30 0.20 0.15 0.10 1.00

x f(x) 0.00 0.15 0.60 0.60 0.60 0.50 2.45

(x-u)^2 f(x) 6.0025 * 2.1025 * 0.2025 * 0.3025 * 2.4025 * 6.5025 *

0.10 = 0.15 = 0.30 = 0.20 = 0.15 = 0.10 =

0.6003 0.3154 0.0608 0.0605 0.3604 0.6503 2.0475

E ( x )=2.45 Var ( x )=2.0475 Desviación = 1.4310 # Casas #Recamaras Rentadas 0 547 1 5012 2 6100 3 2644 4 557

Propias 23 541 3832 8690 3783

3) Los datos siguientes son el número de recamaras en casas rentadas y en casas propias de la provincia de Tungurahua. Los datos se representan en la siguiente tabla.  Elabore una distribución de probabilidad  Calcule el valor esperado y la varianza del número de recamaras en casas rentadas  Calcule el valor esperado y la varianza del número de recamaras en casas propias

# Casas Rentada

# Recamara s

Propia s

Rentada s (X)

Propias E(X) (Y)

E(Y)

Var (x)

Var(y)

0 1 2 3 4

547 5012 6100 2644 557 14860

23 541 3832 8690 3783 16869

0.0368 0.3373 0.4105 0.1779 0.0375 1.00

0.0014 0.0321 0.2272 0.5151 0.2243 1.00

0.0000 0.3373 0.8210 0.5338 0.1499 1.842

E ( x )=1.842

E ( y )=2.292

Var ( x )=0.7874

Var ( y )=0.5869

0.0000 0.0321 0.4543 1.5454 0.8970 2.929

0.1249 0.2391 0.0102 0.2386 0.1746 0.7874

0.0117 0.1193 0.1960 0.0026 0.2573 0.5869

4) La NBA lleva diversas estadísticas de cada equipo. 2 se refieren al % de tiros de campo hechos por un equipo, y él % de tiros de 3ptos hechos por un equipo. En parte de la temporada del 2004 el registro de tiros de 2ptos el registro de tiros de los 29 equipos de la NBA indicaba que la probabilidad de anotar 2ptos en un tiro de campo era 0.44 y que la probabilidad de anotar 3ptos en un tiro de campo era de 0.34 a) ¿Cuál es el valor esperado para un tiro de 2ptos de estos equipos?

E ( x )=0.88

x 0 2

F(x) 0.56 0.44

x f(x) 0.00 0.88

(x-u)^2 f(x) 0.4337 0.5519 σ =0.9856

0.88

5) Supóngase que se tiene una moneda normal y el jugador tiene tres oportunidades para que al lanzarla aparezca una cara. El juego termina en el momento en el que cae una cara o después de 3 intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibirá $2, 4$ y 8$ respectivamente. Si no cae cara en ninguno de los 3 lanzamientos, pierde $20. Para determinar la ganancia o pérdida promedio después de un número muy grande de juegos, sea x la variable aleatoria que representa la cantidad que se gana o se pierde cada vez que se juega. Calcule el valor esperado. x 2 4 8 -20

F(x) 1 1 1 1

/ / / /

2 4 8 8

= = = =

0.50 0.25 0.13 0.13 1.00

E (x) 1.00 1.00 1.00 -2.50 0.50

Ejercicios consultados 1. Dos vendedores de seguros de vida, A y B, visitan de 8 a 12 clientes potenciales por semana, respectivamente. Sean ‘X’ y ‘Y’ dos variables aleatorias que representan el número de sentidos seguros vendidos por A y B, como resultado de las visitas. Con base en una gran cantidad de información pasada, las probabilidades para los valores de ‘X’ y ‘Y’ son los siguientes: Calcule el valor esperado. X

F(x)

x f(

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x) 0.00 0.09 0.42 0.84 0.92 0.60 2.87 5.74 11.39 22.8

0.02 0.09 0.21 0.28 0.23 0.12 0.04 0.01 0.00 E(x)

7 2. La distribución de probabilidad de reclamaciones por daños pagados de la compañía XYZ en seguros contra choques se muestra en la siguiente tabla  Emplee el pago esperado por choque para determinar la prima de seguro contra daños que permitiría a la empresa salir sin perdidas  La aseguradora cobra una tarifa anual de 260.00 por cubrir los choques. ¿Cuál es el valor esperado del seguro contra choques para un asegurado? x

F(x)

x f(

E ( x )=166

0 400 1000 2000 4000 6000

0.90 0.04 0.03 0.01 0.01 0.01 1.00

x) 0.00 16.00 30.00 20.00 40.00 60.00 166

3. Se ha obtenido la siguiente tabla de distribución de probabilidad para el número de llamadas telefónicas llegadas a una ventral en un milisegundo. Calcular el valor esperado y la varianza X 0 1 2 3 4

F(x) 0.37 0.37 0.18 0.06 0.02 1.00

x f(x) 0.00 0.37 0.36 0.18 0.08 0.99

(x-u)^2 f(x) 0.3626 0.0000 0.1836 0.2424 0.1812 0.9699

E(x): 0.99 Varianza: 0.9699

4. Se desea comprar una acción y mantenerla durante un año en espera de que exista ganancia de capital. Se requiere elegir entre dos empresas A y B; para ambas el precio de venta de cada acción es de 10.000 pesetas, obteniéndose unos dividendos de 500 pesetas. A continuación se presentan las distribuciones de probabilidad para el precio en el próximo año estimado para cada tipo de acción. Calcular los precios esperados por acción de las empresas A y B X

F(x)

x f(x)

(x-u)^2 f(x) 16965062

2,500 5,000 7,500 10,00

0.05 0.07 0.10

125.00 350.00 750.00

5 * 110775625 * 64400625*

0.05 = 0.07 = 0.10 =

$8,482,531.25 $7,754,293.75 $6,440,062.50

0 12,50

0.05

500.00

30525625*

0.05 =

$1,526,281.25

0 15,00

0.10

1250.00

9150625 *

0.10 =

$915,062.50

0 17,50

0.15

2250.00

275625 *

0.15 =

$41,343.75

0 20,00

0.12

2100.00

3900625 *

0.12 =

$468,075.00

0 22,50

0.10

2000.00

20025625*

0.10 =

$2,002,562.50

0 25,00

0.12

2700.00

48650625*

0.12 =

$5,838,075.00 $12,568,587.5

0.14

3500.00

89775625*

0.14 =

15525.0

$46,036,875.0

Var(x)

5. Se ha hallado la distribución de probabilidad de que un número determinado de máquinas de una fábrica pusieran fallar en un día. Las probabilidades para 0, 1, y 2 máquinas fallidas son: 0.3, 0.6, y 0.1 respectivamente. Calcule la varianza y el valor esperado. x 0 1 2

F(x) 0.30 0.60 0.10 1.00

x f(x) 0.00 0.60 0.20 0.80 1.60

(x-u)^2 f(x) 2.56* 0.30 = 0.36* 0.60 = 0.16* 0.10 = 2.56* 1.00 = Var(x)

0.77 0.22 0.02 2.56 3.56

E(x)= 1.60 6. Un analista de marketing asocia la siguiente distribución probabilística a las ventas mensuales X de un determinado ordenador. Calcule la varianza. Y el valor esperado. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

F(x) 0.02 0.08 0.15 0.19 0.24 0.17 0.10 0.04 0.01 1.00

x f(x) 0.00 0.08 0.30 0.57 0.96 0.85 0.60 0.28 0.08 3.72

(x-u)^2 f(x) 13.84* 0.02 = 7.398* 0.08 = 2.958* 0.15 = 0.518* 0.19 = 0.078* 0.24 = 1.638* 0.17 = 5.198* 0.10 = 10.76* 0.04 = 18.32* 0.01 = Var(x)

0.28 0.59 0.44 0.10 0.02 0.28 0.52 0.43 0.18 2.84

E(x)= 3.72 7. En la producción de un artículo se aplica soldadura y para eso se usan tres diferentes robots. La probabilidad de que la soldadura sea defectuosa varía para cada uno de los robots, así como la proporción de artículos que cada uno procesa, de acuerdo a la siguiente tabla: calcule la varianza.

Art. Procesad x

F(x)

x f(x)

(x-u)^2 f(x) 0.2

18%

0.18

0.180

1.488 * 0.18

= 7 0.0

42%

0.42

0.840

0.048 * 0.42

= 2 0.2

40%

0.40

1.200

0.608 * 0.40 = 4 Var(x 0.5

1.00

2.22

)

PRUEBAS

1) La demanda de un producto, por parte de Industrias Caroline, varía enormemente de mes a mes. La distribución de probabilidad que se presenta en la tabla siguiente, basada en los datos de los dos últimos años, muestra la demanda mensual de la empresa. Demanda Unitaria(x)

a) Si la empresa basa el valor esperado de

300 400 500 600 Σ

Probabilidad

xf ( x )

f (x) 0,20 0,30 0,35 0,15 1,00

60 120 175 90 445

las órdenes mensuales en la

demanda

mensual,

¿Cuál será la cantidad ordenada mensualmente por la empresa para este producto? Valor Esperado

Ε ( x )=445

b) Suponga que cada unidad demandada genera $70 de ganancia y que cada unidad ordenada cuesta $50. ¿Cuánto ganará o perderá la empresa en un mes si coloca una orden con base en su respuesta al inciso a y la demanda real de este artículo es de 300 unidades?

Utilidad o pérdida de la empresa: Valor esperado ×Costo de unidad ordenada=445 × $ 50=$ 22.250 Valor de demandareal ×Costo de unidad demandada

¿ 300× $ 70=$ 21.000 ¿ $ 21.000× $ 22.250=−1.250

2) Según una encuesta, 95% de los suscriptores de The Wall Street Journal Internacional Edition tiene una computadora en casa. Para esos hogares, se dan las distribuciones de probabilidad para computadoras portátiles y de escritorio. a) ¿Cuál es el valor esperado de la cantidad de computadoras por familia para cada tipo? b) ¿Cuál es la varianza de la cantidad de computadoras por familia para cada tipo?

( x−μ )2 f ( x )

xf ( x )

Probabilidad

computadora

Portáti

s 0 1 2 3

l 0,47 0,45 0,06 0,02 1,00

escritorio 0,06 0,56 0,28 0,10 1,00

l 0,00 0,45 0,12 0,06 0,63

escritorio 0,00 0,56 0,56 0,30 1,42

l 0,1865 0,0616 0,1126 0,1123 0,473

escritorio 0,1210 0,0988 0,0942 0,2496 0,5636

VALOR ESPERADO Portátil

Ε ( x )=0,63

De escritorio

Ε ( x )=1,42

VARIANZA Portátil De escritorio

σ 2=0,473 σ 2=0,5636

3. La NBA saca una estadística de 29 equipos en donde la probabilidad de hacer una canasta de 2 puntos es de 0,51 y la probabilidad de hacer una canasta de 3 puntos es de 0,28. a) ¿Cuál es el valor esperado para un tiro de 3 puntos de estos equipos? Puntos x

Probabilida

xf ( x )

d f (x)

0 3 Σ

0,72 0,28 1,00

0,00 0,84 0,84

Valor Esperado en un tiro de 3 puntos Ε ( x )=0,84 3. Distribución de probabilidad Binomial Es una distribución de probabilidad binomial discreta y está relacionada con un experimento de pasos múltiples, al que se le llama experimento binomial. Si P es la probabilidad de que un solo ensayo ocurra un evento (llamado la probabilidad de éxito) y q=1-p es la probabilidad de que este evento no ocurra en un solo ensayo (llamado probabilidad de fracaso). [CITATION Mur \l 12298 ]1 3.1. Propiedades de un experimento binomial 1) El experimento consiste en una serie de n ensayos idénticos 2) En cada ensayo hay 2 resultados posibles el éxito y el fracaso 3) La probabilidad de éxito (p), no cambia de un ensayo a otro en consecuencia, la probabilidad de fracaso (q) es 1-p, tampoco cambia de un ensayo a otro 4) Los ensayos son independientes 3.2. f ( x )=

Formula de la distribución binomial

( nx ) p q x

n−x

1 [CITATION Mur \l 12298 ]

(x) = probabilidad de éxitos en n ensayos

( nx )

= combinación

formula de la combinación :

n! ( nx )= x ! ( n−x )!

n = número de ensayos p = probabilidad de éxito q = probabilidad de fracaso Lanzamiento de una moneda 5 veces

Ensayos 1 Resultados X n=5

2 S

3 S

4 X

5 X

3.3. Medidas de la distribución binomial Dentro de la distribución binomial tenemos las siguientes medidas. Media Varianza Coeficiente de sesgo Coeficiente de curtosis

u= N.P Var(x) = N.p.q q−p ∝ 3= √N . p.q ∝ 4=

3+1−6 p . q N . p.q

Aplicaciones

1) Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 3 veces, aparezca 1 a) 3 caras 8

b) 2 caras

3 8

c) 1 cara

3 8

d) 3 cruces

1 8

e) Probabilidad de obtener por lo menos 1 cara n=3

x = # caras

3 1 3 2

p = 0.5

1 2

( )( ) ( )

f (3)=

q = 0.5

f ( 2 )=

1 ¿ (1) f ( 3 ) =1¿

4 1 1 ¿ (2) f ( 2 )=3 ¿

8 1 ¿ f ( 3 ) =¿

8 3 ¿ f ( 2 )=¿

f ( 1 )=

3 1

1 2

( )( ) ( )

d) 8

1 ¿ (1) f ( 0 )=1¿

8 3 ¿ f ( 1 )=¿

8 1 ¿ f ( 0 )=¿

1 2

3 0

1 2

( )( ) ( )

f ( 0 )=

2 1 1 ¿(4) f ( 1 )=3 ¿

3 2

f ( x ≥ 1 )=1−f (0)

f ( x ≥ 1 )=1−0,125 0.875

2) Hallar la probabilidad de que al lanzar un dado 5 veces aparezca 3 x=0

n= 5

p= 1/6

q= 5/6

a) b) Ninguna vez c)

d) e)

5 1 0 6

g) Al menos una vez 0

5 6

( )( ) ( )

f ( 0 )=

f ( 0 )=1∗1∗0.4019 f ( 0 )=0.4019

f ( x ≥ 1 )=1−f (0)

f ( x ≥ 1 )=1−0.4019

f ( 0 )=0.5981

k) f) l) Cuatro veces 1 6

p) Calcular 4

5 f ( 4 )= 4

5 6

f ( 4 )= (5 ) (0.0008)

probabilidad

obtener por lo menos tres veces

( )( ) ( )

q) 5 6

❑

()

f ( 3 ) =1−[f ( 0 ) +f ( 1 ) + f ( 2 ) ]

r) f ( 3 ) =1−(0.4019+0.4019+0.1609)

f ( 4 )=0.0033 s)

f ( 3 ) =0.0353

3) El 5% de los camioneros del Ecuador son mujeres. Suponga que se selecciona al azar 10 camioneros, para una encuesta acerca de las condiciones de trabajo u) v) n= 10

w) p= 0.05

x) q= 0.95

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de los camioneros sean mujeres? b)

( 100 ) ( 0.05 ) ( 0.95 ) 2

f ( 2 )=

f ( 2 )= ( 45 ) ( 0.0025 ) ( 0.9025 )

f ( 2 )=0.1015

❑

f) g) Todos sean hombres

( 100 ) ( 0.05 ) ( 0.95) 0

f ( 0 )=

f ( 0 )=( 1 )( 1 ) (0.5987)

f ( 0 )=0.5987

k) l) Al menos 1 mujer m) f ( x)=1−[f ( 0 )] n)

f ( x)=1−[ 0.5987 ]

¿ 0.5987

4) Hallar la probabilidad de que en una familia con 4 hijos haya: o) n= 4

p) p= 0.5

q) q= 0.5

a) Al menos 1 hombre b)

f ( x ≥ 1 )=f ( 1 )+ f ( 2 ) +f ( 3 ) + f (4)

f ( x ≥ 1 )=0.25+ 0.3750+0.25+0.0625

f ( x ≥ 1 )=0.9375

e) Al menos 1 hombre y 1 mujer f)

f ( x ≥ 1 )=1−[ f ( 0 )+ f ( 0)]

f ( x ≥ 1 )=1−(0.0625+ 0.0625)

f ( x ≥ 1 )=0.8750

5) De entre 2000 familias con 4 hijos. ¿Cuántos sabe esperar que tengan? h) n= 2000 a) Al menos 1 hombre b)

u=N . P

u=2000 ( 0.9375 )

u=1875

e) 2 hombres f)

u=N . P

u=2000 ( 0.375 )

u=750

i) Ninguna mujer j)

u=N . P

i) p= 0.5

j) q= 0.5

u=2000 ( 0.0625 )

u=125

6) Si el 20% de los pernos producidos por una maquina son defectuosos, determinar la probabilidad de que entre 4 pernos elegidos al azar m) n= 4

p= 0.20

q= 0.80

a) 1 sea defectuoso

( 41 ) ( 0.20) ( 0.80 ) 1

f ( 1 )=

f ( 1 )=0.4096

b) Ninguno sea defectuoso

( 40 ) ( 0.20) ( 0.80)

f ( 0 )=

f ( 0 )=0.4096

c) A lo mucho 2 sean defectuosos d)

f ( x ≥ 2 )=f ( 0 ) + f ( 1 ) + f (2)

f ( x ≥ 2 )= ( 0.4096 ) + ( 0.4096 ) +(0.1636)

f ( x ≥ 2 )=0.9828

g) 3 sean correctos h) n= 4 i)

p=0.8

( 43 ) ( 0.80) ( 0.20)

f (3)=

q= 0.2

x= 3

f ( 3 ) =4 ( 0.5120 )( 0.20 )

f ( 3 ) =0.4096

7) El 40% de las personas que viajan por negocio, llevan un teléfono celular o una computadora portátil. En una muestra de 15 personas l) n= 15

p= 0.40

q= 0.60

a) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 5 tengan 1 teléfono celular o portátil? m)

f ( x ≥ 5 ) =1−[ f ( 0 ) +f ( 1 ) + f ( 2 ) + f (3 )+ f ( 4 ) ]

f ( x ≥ 5 ) =1−( 0.0005+0.0047+0.0219+ 0.0634+0.1268)

f ( x ≥ 5 ) =0.7827

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 12 de los viajeros no tengan ni celular ni portátil? p) n= 15 q)

p= 0.40 3 12 15 f (3)= ( 0.40 ) ( 0.60 ) 3

f ( 3 ) =455 ( 0.0640 ) ( 0.0022 )

f ( 3 ) =0.0641

q= 0.60

x= 3

( )

c) ¿Cuál es la probabilidad de x<2 tengan un teléfono celular o portátil? t)

f ( x <2 )=f ( 0 ) +f ( 1 )

f ( x <2 )=0.005+ 0.0047

f ( x <2 )=0.0052

w) Ejercicios consultados 1. Una institución universitaria establece nuevos métodos de aprendizaje y de evaluación con el resultado donde el 85% de alumnos aprueban todas las asignaturas. Supongamos que se seleccionan 8 estudiantes de dicho plantel.

x) a) Cuál es la probabilidad de que 3 aprueben y) n= 8 x=3 p=0.85 q=0.15 3 5 8 z) f ( 3 ) = 3 ( 0.85 ) ( 0.15 )

()

aa) f ( 3 ) =56∗0.6141∗0.000076 bb) f ( 3 ) =0.0028 b) De que tres pierdan cc) n= 8 x=3 p=0.15 dd) 8 ( 0.15 )3 ( 0.85 )5 f ( 3 ) = ee) 3

q=0.85

()

ff)

f ( 3 ) =56∗0.0034∗0.4437

gg)

f ( 3 ) =0.0845

0 8 f ( 0 )= 8 ( 0.15 ) ( 0.85 ) 0

()

f ( 0 )=1∗1∗0.2725

c) Por lo menos 2 pierdan alguna asignatura hh)n= 8 x≥2 p=0.15 q=0.85 f ( x ≥ 2 ) =1−[ f ( 0 ) + f ( 1 ) ] ii) jj)

f ( x ≥ 2 )=1−(0.2725+ 0.3847)

1 7 f ( 1 )= 8 ( 0.15 ) ( 0.85 ) 1

()

kk) f ( x ≥ 2 )=1−0.6572 ll)

f ( x ≥ 2 )=0.3428

f ( 1 )=8∗0.15∗0.3206

mm) 2. Supongamos el lanzamiento de 12 monedas o una moneda lanzada 12 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener? a) Exactamente 4 caras nn)X= 4 caras n=12 4 8 12 oo) f ( 4 )= 4 ( 0.50 ) ( 0.50 )

p=1/2

q= ½

( )

pp) f ( 4 )= ( 66 )∗( 0.00098 )∗( 0.25 ) qq) f ( 4 )=0.0162 b) Exactamente 10 caras rr) X= 10 caras n=12 10 2 12 ss) f ( 10 ) = 10 ( 0.50 ) ( 0.50 )

( )

tt)

f ( 4 )= ( 66 ) ( 0.00098 )( 0.25 )

uu) f ( 4 )=0.0162

p=1/2

q= ½

0 12 f ( 0 )= 12 ( 0.50 ) ( 0.50 ) 0

( )

f ( 0 )=1∗1∗0.0002 c) Por lo menos 2 caras vv) f ( x ≥ 2 )=1−[ f ( 0 )+ f ( 1 ) ] ww)

f ( x ≥ 2 )=1−[ 0.0002+ 0.0028 ]

1 11 f ( 1 )= 12 ( 0.50 ) ( 0.50 ) 1

( )

f ( 1 )=12∗0.50∗0.00048

xx) f ( x ≥ 2 )=1−0.0032 yy) f ( x ≥ 2 )=0.9968 d) Máximo 9 caras zz) f ( x ≤ 9 )=1−[f ( 10 ) +f ( 11 ) + f (12)] aaa)

f ( x ≤ 9 )=1−[0.016+0.0029+0.0002]

bbb)

f ( x ≤ 9 )=1−[ 0.0191 ]

ccc)

f ( x ≤ 9 )=0.9809

10 2 f ( 10 ) = 12 ( 0.50 ) ( 0.50 ) 10

( )

f ( 10 ) =66∗0.00097∗0.25

ddd) eee) 11 1 12 0 f 11= 12 ( 0.50 ) ( 0.50 ) fff) f ( 12 )= 12 ( 0.50 ) ( 0.50 ) 11 12 ggg) Si sabe que 9 de 10 personas tienen caries al tomar al azar un grupo de 5 f ( 11cada ) =12∗0.00049∗0.50 f ( 12 )=1∗0.00024∗1 personas ¿Cuál es la probabilidad de que? a) 4 tengan caries hhh) X= 4 caras n=5 p=0.90 q=0.10 4 1 5 iii) f ( 4 )= 4 ( 0.90 ) ( 0.10 )

( )

()

jjj) f ( 4 )=5∗0.6561∗0.10 kkk)

f ( 4 )=0.3281

b) Por lo menos 2 tengan caries lll) f ( x ≥ 2 )=1−[ f ( 0 ) + f ( 1 ) ] mmm)

f ( x ≥ 2 )=1−[ 0.00001+ 0.0005 ]

nnn)

f ( x ≥ 2 )=1−0.00005

ooo)

f ( x ≥ 2 )=0.99995

0 5 f ( 0 )= 5 ( 0.90 ) ( 0.10 ) 0

()

f ( 0 )=1∗1∗0.00001

1 4 f ( 1 )= 5 ( 0.90 ) ( 0.10 ) 1

()

ppp) f ( 1 )=5∗0.90∗0.0001 c) Por lo menos 2 no tengas caries por lo menos 1 tenga caries qqq) X= 2 caras n=5 p=0.10 q=0.90 2 3 5 rrr) f ( 2 )= 2 ( 0.10 ) ( 0.90 )

()

sss)

f ( 2 )=10∗0.01∗0.729

ttt) f ( 2 )=0.729

d) Por lo menos uno tenga caries f ( x ≥ 1 )=1−f ( 0 ) uuu)

vvv)

f ( x ≥ 1 )=1−0.00001

www)

f ( x ≥ 1 )=0.99999

xxx) Si el 20% de los estudiantes de la universidad pierden el año y se toman al azar un grupo de 6 estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que? yyy) a) Máximo 2 aprueben zzz) X≤2 n=6 p=0.80 q=0.20 aaaa) f ( x ≥ 2 )=f ( 0 ) + f ( 1 ) + f ( 2 ) bbbb) f ( x ≥ 2 )=0.00006+0.0014+ 0.01536

cccc)

¿ 0.01682 dddd) eeee) ffff) 1 5 0 6 f ( 1 )= 6 ( 0.80 ) ( 0.10 ) f ( 0 )= 6gggg) ( 0.80 ) ( 0.20 ) 1 0hhhh) iiii) Exactamente 2 aprueben f ( 1 )=6∗0.80∗0.0003 f ( 0b) )=1∗1∗0.00006 2 4 f ( 2 )= 6 ( 0.80 ) ( 0.20 ) jjjj) 2

()

2 4 f ( 2 )= 6 ( 0.80 ) ( 0.20 ) 2

()

f 2=15∗0.64∗0.0016

()

kkkk)

f ( 2 )=0.01536

llll) c) Ninguno apruebe f ( 0 )=0.00006 mmmm) 5. Harry Ohme está a cargo de la sección electrónica de una gran tienda departamental. Se

ha dado cuenta que la probabilidad de que un cliente que solamente está

curioseando compre algo es de 0.3. Suponga que 15 clientes visitan la sección de electrónica a cada hora. nnnn) a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las personas que se encuentra curioseando compre algo en una hora? oooo) X≥1 n=15 p=0.30 pppp)

f ( x ≥ 1 )=1−f ( 0 )

q=0.70 0 15 f ( 0 )= 15 ( 0.30 ) ( 0.70 ) 0

( )

f ( 0 )=1∗1∗0.0047

qqqq)

f ( x ≥ 1 )=1−0.0047

rrrr)

f ( x ≥ 1 )=0.9953

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 4 personas que se encuentra curioseando compre algo en una hora? ssss) f ( x ≥ 4 )=1−[ f ( 0 )+ f ( 1 ) +f ( 2 ) + f ( 3 ) ] tttt) uuuu)

f ( x ≥ 4 )=1−[ 0.0047+0.0305+0.0916+ 0.1700 ]

vvvv)

f ( x ≥ 4 )=1−0.2968 f ( x ≥ 4 )=0.7031

wwww)

c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de las personas que se encuentra curioseando compre algo en una hora? f ( 0 )=0.0047 xxxx) d) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de 4 personas que se encuentra curioseando compre algo en una hora? f ( x ≤ 4 )=f ( 0 ) + f ( 1 ) + f ( 2 )+ f ( 3 ) +f (4) yyyy) zzzz)

f ( x ≤ 4 )=0.0047+0.0305+0.0916+ 0.1700+0.2186

aaaaa)

f ( x ≤ 4 )=0.5155

bbbbb) ccccc) ddddd) eeeee) fffff) PRUEBAS 1) De entre 1000 familias con 4 hijos cuantas cabe esperar que tengan un hombre o dos mujeres. Datos: n= 4 x= 1 p= 0,50 q= 0,50 f ( x )= n p x∗qn−1 x

() f ( 1 )=( 4 ) 0,5 ∗0,5 1 1

Datos: n= 4 x= 2 p= 0,50 q= 0,50 f ( x )= n p x∗qn−1 x

() f ( 2 )=( 4 ) 0,5 ∗0,5 2 2

4 −1

u=N∗P u=1000∗( 0,25+0,3750 ) u=1000∗( 0,6250 )

2−1

f ( 2 )=¿ 0,3750 x n−1 f ( x )= n p ∗q x

()

4. Distribución de Poisson ggggg) Es una variable aleatoria discreta para estimar el número de veces que sucede en hecho determinado. En un cierto intervalo de tiempo, se utiliza para número de llegadas de automóviles, numero de fugas. Número de tuberías entre otros. hhhhh)

La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que se

aplica a las ocurrencias de algún suceso durante un intervalo específico. La variable x es el número de veces que ocurre un suceso en un intervalo. [CITATION Tri09 \t \l 3082 ] 4.1.

Propiedades de un experimento de Poisson 1) La probabilidad de ocurrencia.- Es la misma para cualquiera de dos intervalos 2) La ocurrencia o no ocurrencia.- En cualquier intervalo es independiente iiiii) λ x∗e−λ ( ) f x = jjjjj) x! FORMULA ES:

kkkkk) lllll) f(x)= Probabilidad de x ocurrencias mmmmm) λ= Es el valor esperado o número medio de ocurrencias nnnnn) e= Constante matemática que vale 2.7182 ooooo) X= variable aleatoria ppppp) ∝ 1 ∝ 1 μ=¿ λ 3= σ 2=¿ λ 4=3+ qqqqq) λ √λ rrrrr) sssss) Aplicaciones ttttt) 1) Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción negativa ante una inyección de cierto suero es de 0.001. hallar la probabilidad de que entre 2000 individuos a) Exactamente 3 tengan reacciones negativas uuuuu) 23∗e−2 λ=N*P vvvvv) f(3)= 3! λ= 2000*0.001 8∗0.1353 λ= 2 wwwww) f (3)= 6

Compruebe su respuesta

1.0824 6

xxxxx)

f (3)=

yyyyy) zzzzz)

f (3)= 0.1804 f ( 0 )=

f ( 0 )=

20∗e−2 0!

1∗0.13534 1

b) Más de 2 de ellos tengan reacciones negativas aaaaaa) bbbbbb) f(x≥2)= 1 – [f(0)+f(1)] cccccc) f(x≥2)= 1 – [0.13534 + 0.27068 ] dddddd) f(x≥2)= 1 – [0.40602 ] eeeeee) f(x≥2)= 0.59398 21∗e−2 ( ) f 1 = ffffff) 1! gggggg) 2) En cierta área de EEUU resulta en promedio afectada por 6 2∗0.13534 huracanes al año. f ( 0 )= Encuentra la probabilidad de que para cierto año, esta área resulte afectada por: 1 a) Menos de 4 huracanes f ( x <4 )=f ( 0 ) +f ( 1 ) + f ( 2 ) + f ( 3 ) hhhhhh) 1 −6 6 ∗e f ( x <4 ) ( ) f 1 = iiiiii) = 0.0025+0.00149+0.0446+0.0892 1! f ( x <4 ) =0.1512 jjjjjj) 6∗0.00247875 f ( 1 )= kkkkkk) 0 1 −6 llllll) 2 −6 3 −6 6 ∗e 6 ∗e 6 ∗e f ( 0 )= f (mmmmmm) 2 )= f ( 3) = 0! 2! 3! nnnnnn) 36∗0.00247875 foooooo) ( 2 )= 2

f ( 3) =

216∗0.00247875217 6

f ( 0 )=

1∗0.00247875217 1

b) Cualquier cantidad mayor a 6 y menor a 8 huracanes 6 7∗e−6 pppppp) f(7)= 7! 279936−0.00247875217 5040

qqqqqq)

f(7)=

rrrrrr) ssssss) tttttt)

f(7)= 0.1377

uuuuuu)

Compruebe su respuesta

Ejercicios consultados

vvvvvv) 1.

Una empresa de seguros de automóviles tiene concertados 3825 pólizas de vehículos sin ningún accidente en los últimos 12 años. Se desea conocer la probabilidad de que sean 10 los nacidos el día de San Cristóbal (patrono de los automóviles) con el fin de establecer un descuento en sus pólizas wwwwww) N= 3285 P= 1/365 = 0.003 xxxxxx) λ=N*P λ=3285*0.003 λ= 9

Compruebe su respuesta

yyyyyy) f(10)= zzzzzz)

−9

9 ∗e 10 !

f(10)= 0.1186

2. En una empresa la cantidad promedio de llamadas que llegan al computador entre las 2 y las 4 de la tarde es de 2.5 por minuto. Encuentre la probabilidad de que en determinado minuto haya. a) 0 llamadas 0 −2.5 2.5 ∗e aaaaaaa) f(0)= 0! bbbbbbb)

f(0)=

1∗0.0821 1

ccccccc) f(0)= 0.0821 ddddddd) b) Una llamada entrante 2.5 1∗e−2.5 eeeeeee) f(1)= 1! fffffff)f(1)=

2.5∗0.0821 1

ggggggg) f(1)= 0.2050 hhhhhhh) c) Exactamente 2 llamadas 2.5 2∗e−2.5 iiiiiii) f(2)= 2! jjjjjjj) f(2)=

Compruebe su respuesta

6.25∗0.08209 2

kkkkkkk) f(2)= 0.2565 lllllll) 3. Una secretaria comete dos errores por página, en promedio. ¿Cuál es la probabilidad de que en la siguiente página cometa? a) 4 o más errores mmmmmmm) λ= 2 nnnnnnn) f(x≥4)= 1- [ f ( 0 )+ f ( 1 )+ f ( 2 ) +f ( 3 ) ] ooooooo) ppppppp) qqqqqqq) rrrrrrr) sssssss)

f(x≥4)= 1- [0.1353+0.2707+0.2707+0.1804] f(x≥4)= 1- 0.8571234605 f(x≥4)= 0.1429

20∗e−2 f ( 0 )= 22∗e−2 f ( 2 )= 0 ! 2!

1 −2 32 ∗e −2 f ( 1 )= 2 ∗e f ( 3) = 1! 3!

1∗0.1353352832 f ( 0 )= 4∗0.1353 f ( 2 )= 1 2

2∗0.1353 f ( 1 )= 8∗0.1353 f ( 3) = 1 6

ttttttt) uuuuuuu) vvvvvvv) wwwwwww) xxxxxxx) yyyyyyy) zzzzzzz) aaaaaaaa) b) Ningún error bbbbbbbb) f(0)= 0.1353 4. La señorita Berger es ejecutiva del Coast Bank and trust. A partir de sus años de experiencia, calcula que la probabilidad de que un solicitante no pague un préstamo inicial es de 0.025. el mes pasado realizo 40 préstamos. cccccccc) N= 40 dddddddd) P= 0.025 eeeeeeee) a) Calcule la probabilidad de que no se paguen 3 prestamos 3 −1 1 ∗e ffffffff) f(3)= 3! gggggggg)

f(3)=

λ=N*P λ=40*0.025 λ= 1

1∗0.367979 6

hhhhhhhh) f(3)= 0.0613 b) Cuál es la probabilidad de que por lo menos no se paguen 3 préstamos. iiiiiiii) f(x≥3)= 1- [ f ( 0 )+ f ( 1 )+ f ( 2 ) ] jjjjjjjj) f(x≥3)= 1 – (0.36788+0.36788+0.18394) kkkkkkkk) f(x≥3)= 1 – 0.9196997 llllllll) f(x≥3)= 0.0803 mmmmmmmm) 10∗e−1 f ( 0 )= 0! nnnnnnnn)

f ( 1 )=

f ( 0 )=0.36788 oooooooo)

f ( 1 )=0.36788

11∗e−1 1!

f ( 2 )=

12∗e−1 2!

f ( 2 )=0.18394

PRUEBAS pppppppp) 1) Los pasajeros de las aerolíneas llegan al azar e independientemente a la sección de documentación a un gran aeropuerto internacional. La frecuencia promedio de llegadas es de 10 pasajeros por minuto. a) ¿Cuál es la probabilidad de no llegadas en el intervalo de un minuto?

x −λ λ e ( ) x = qqqqqqqq) x! 0

( 10 ) ( 2,7183 ) 0!

rrrrrrrr)

f ( 0 )=

ssssssss)

f ( 0 )=

tttttttt)

f ( 0 )=0,000045

Datos −10

λ=10 60 60

( )

=10

x=0

( 1 ) ( 0,000045 ) 1

uuuuuuuu) b) ¿Cuál es la probabilidad de no llegadas en un intervalo de 15 segundos? λ x e− λ ( ) f x = vvvvvvvv) x!

wwwwwwww)

( 2,5 )0 ( 2,7183 )−2,5 f ( 0 )= 0!

DATOS : λ=10 15 60

( 1 ) ( 0,0821 ) xxxxxxxx) f ( 0 )= 1

( )

λ=2,5

yyyyyyyy) f ( 0 )=0,00821 zzzzzzzz) 5. Distribución de Probabilidad Normal aaaaaaaaa)

(Variable aleatoria continua)

bbbbbbbbb)

La distribución de Probabilidad normal tiene gran cantidad de

aplicaciones en donde la variable aleatoria puede ser el peso, la estatura, puntuaciones de exámenes, entre otras. ccccccccc)Según Luis Rodríguez Ojeda (2007) La distribución normal es la piedra angular de la teoría estadística moderna. Conocida y estudiada desde hace mucho tiempo, es utilizada para describir el comportamiento aleatorio de muchos procesos que ocurren en la naturaleza y también realizados por los humanos 5.1.

Distribución normal o campana de Gauss

ddddddddd)

σ =desviación típica

u= media eeeeeeeee) X =promedio de muestra

fffffffff)

U= promedio población

ggggggggg) 5.2.

Función de densidad de distribución normal 1 f ( x )= ℮ σ √2 π

hhhhhhhhh)

iiiiiiiii)

σ =desviación tipica

jjjjjjjjj)

π =3.1416

−( x−u) 2 2σ

℮=¿

kkkkkkkkk)

5.2.1. Características de la distribución normal 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Dos parámetros media (u) El punto más alto de la curva normal es (u); esta coincide con mediana y media La media de la distribución puede tener valores, negativos, positivos o cero La distribución normal es simétrica en donde el sesgo es igual a cero La desviación estándar determina que tan plana o atachada es la curva normal Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria normal, se denomina el área

bajo la curva, en donde el total de área es 1 7. El área bajo la curva de cualquier distribución normal. 5.3.

Distribución normal estándar

lllllllll)

x−u σ

mmmmmmmmm)La distribución normal estándar, tiene media (u) igual a cero y desviación típica () es igual a 1, para lo cual se asigna la letra (Z) y se calcula las

probabilidades en base a la tabla. Entonces la función de densidad o el área bajo la curva es: 1 f ( z )= ℮ √2 π

nnnnnnnnn)

−z 2

Aplicaciones ooooooooo) ppppppppp) 1. Hallar el área bajo la curva normal, en cada uno de los siguientes ejercicios: a) Entre Z = 0 y Z = 1,2

qqqqqqqqq) rrrrrrrrr) P = 0.3849 b) -0.68 ≤ Z ≤ 0

sssssssss) ttttttttt)

P=0.2518

c) -0.41 ≤ Z ≤ 2,21

uuuuuuuuu) vvvvvvvvv)

P1 ( 0 ; 2.21 )=0.4864

wwwwwwwww)

P2 ( 0 ;−0.46 ) =0.1772

xxxxxxxxx)

P1+ P 2=0.6636

d) 0.81 ≤ Z ≤ 1,94 yyyyyyyyy)

zzzzzzzzz) aaaaaaaaaa)

P1 ( 0 ; 0.81 )=0.4738

bbbbbbbbbb)

P2 ( 0 ; 1.94 )=0.2910

cccccccccc)

P2−P1=0.1828

e) A la izquierda de Z = -0,6

dddddddddd) P ( 0͢͢ −0.6 )=0.2258

eeeeeeeeee) ffffffffff)

P=0.5−0.2258

gggggggggg)

P=0.2742

2. Construir la gráfica de distribución normal, con la escala de

Z =(u=0 ; σ =1)

también la escala de X con los siguientes valores. Se tiene que la descarga de la página web se distribuye normalmente con una media de 7 segundos y una desviación estándar de 2 segundos. Calcular el tiempo de descarga de 9 segundos en unidades estandarizadas. hhhhhhhhhh) iiiiiiiiii) jjjjjjjjjj)

Datos:

Distribución normal Z=

x−u σ

kkkkkkkkkk)

llllllllll)

u=7

σ =2

mmmmmmmmmm) x=9

nnnnnnnnnn)

x−u σ

oooooooooo)

9−7 =1 2

pppppppppp) 3. El peso medio de 500 estudiantes varones de cierta universidad es de 151 libras y la desviación típica es de 15 libras. Se supone que los pesos están normalmente distribuidos, hallar cuantos estudiantes pesan: a) Entre 120 y 155 libras b) Más de 185 libras c) Exactamente 160 libras qqqqqqqqqq)

Datos: ssssssssss) u=151

rrrrrrrrrr) Z=

x−u σ

tttttttttt)

a) 120 ≤ X ≤ 155 b)

Z 1=

120−151 15

= -2,07

Z 2=

155−151 15

= 0,27

P( z 1)=0.4808

P ( z 2 )=0.1064

Pt=0.4808+ 0.1064

= 0.5872

g) Número de estudiantes: N (0.5872) h) 500 (0.5872) = 2894 i) X ≥ 185

σ =15

185−151 15

Z 1=

P(z 1)=0.4884

Pt=0.5−0.4808

= 2.27

m) Pt = 0.0116 n) Número de estudiantes: N (0.0116) o) 500 (0.0116) = 6 p) X = 160 q)

Z 1=

159.5−151 15

0.57

Z 2=

160.5−151 15

0.63

s) P (z1)= 0.2157 t) P (z2)= 0.2357 u) Pt = 0.2157 – 0.2357 v) Pt = 0.02 w) Número de estudiantes = N (0.02) x) 500 (0.02) = 10 4. Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución normal N (

μ , σ ¿ ; calcular

la probabilidad cuando la variable aleatoria es mayor o igual a 80. Sabiendo que la media de la población es de 50 y la desviación típica es de 10. DATOS:

y) μ=50

σ =10 X ≥ 80

x−μ σ

P(z)= (0.4987)

80−50 10 Z= 3

aa)

P(z)= 0.5 - 0.4987

P(z)= 0.0013

bb) cc) dd) ee) 5. El peso de una manzana de una huerta siguen una ley normal con una media de 150 gr. Y una desviación típica de 20 ff) a) Qué porcentaje de estas manzanas tendrá un peso inferior a 115 gr. gg)

Datos:

μ=150 gr hh) σ =20 ii) x≤115

jj) Z=

x−u σ

kk) Z=

115−150 20

ll) Z= -1.75 mm) nn) P (z)= 0.5-0.4599 oo) P (z)= 0.0401

------- x 100= 4%

pp) b) Hallar la probabilidad de una manzana de este huerto, elegida al azar tenga un peso comprendido entre 165 y 220 gr. Datos:

μ=150 gr σ =20

qq) c)

Z1=

x−u σ 165−150 20

rr) Z1= 0.75 ss) P(Z1)=0.2734 tt) uu) PT= 0.4998-0.2734 vv) PT= 0.2264 ww) xx) 6. El diámetro de las cabezas tornillo

sigue

Z2=

x−u σ

Z2=

220−150 20

Z2= 3.5 P (Z2)= 0.4998

de un

una

distribución normal con una media de 5.5 milímetros y una varianza de 0.69 milímetros cuadrados. Se sabe que los tornillos son aprovechados, si su diámetro esta entre 4.3 y 7.1 ¿Cuál es el porcentaje de tornillos aprovechables? yy) x−u x−u a) Datos: Z1= σ Z2= σ μ=5.5 mm 4.3−5.5 7.1−5.5 2 b) Z1= Z2= σ =0.64 mm 0.8 0.8

√zz)0.64 mm2

aaa) 4.3 ≥x≤ 7.1 bbb) ccc) ddd)

Z1= - 1.5 P(Z1)=0.4332

Z2= 2 P (Z2)= 0.4772

PT= 0.4332 + 0.4772 PT= 0.9104

eee) 7. Las puntuaciones en un test de biología fueron 0, 1, 2, 3…..10 Según el número de respuestas correctas entre las 10 preguntas. La nota media fue de 6.7 y la de desviación típica de 1,2. Supuesto que las notas estuvieron normalmente distribuidas. a) Determinar el 10% de estudiantes que tuvo 6 puntos fff) ggg) X1= 6 + 0.5 X2= 6-0.5 hhh) Datos: X1= 6.5 X2= 5.5 iii) μ=6.7 σ =1.2 X=6

jjj) kkk) lll) mmm) nnn) ooo) ppp) qqq)

Z1=

x−u σ Z1=

Z2=

x−u σ

6.5−6.7 1.2

Z1= -0.17 P(Z1)= 0.0675

Z2=

5.5−6.7 1.2

Z2= -1 P (Z2)=0.3413

PT= 0.3413 – 0.0675 PT= 0.2738

rrr) sss) b) La nota máxima del 10% más bajo ttt) uuu) P=0.40 vvv) Z= -1.28 www) xxx) X=Z σ + μ yyy) X= (-1.28) (1.2) + zzz) X= 5.16 c) La nota mínima del 10% más alto de la clase aaaa) bbbb) P=0.40 cccc) Z= 1.28 dddd) X=Z σ + μ eeee) X= (1.28) (1.2) + ffff) X= 8.24 8. En la universidad se realiza

6.7

6.7 una

encuesta en donde se evalúa la enseñanza de la matemática educativa y se encontró que la media es de 7.5 y la desviación típica de 1.2 se supone de las notas están normalmente distribuidas. a) Cuál es la probabilidad de estudiantes que obtuvieron 8 puntos gggg) hhhh) X1= 6 + 0.5 X2= 6-0.5 iiii) X1= 6.5 X2= 5.5 Datos: jjjj) μ=7.5 kkkk) σ =1.2 X=8

llll)Z1=

x−u σ

mmmm) Z1=

Z2=

x−u σ

8.5−7.5 1.2

Z2=

7.5−7.5 1.2 nnnn) Z1= 0.83 Z2= 0 oooo) P(Z1)= 0.2967 P (Z2)=0 pppp) b) Cuál es el porcentaje de los estudiantes que obtuvieron 6 puntos qqqq) rrrr) X1= 6 + 0.5 X2= 6-0.5 Datos: ssss) X1= 6.5 X2= 5.5 μ=7.5 tttt) x−u x−u σ =1.2 uuuu) Z1= σ Z2= σ PT= 0.4525- 0.2967 X=6

vvvv)

Z1=

6.5−7.5 1.2

0.1558--------(x100) wwww) Z1= -0.83 xxxx) P(Z1)= 0.2967 yyyy) zzzz) aaaaa) bbbbb) ccccc) c) Cuál es la

Z2=

5.5−7.5 1.2

Z2= -1.67 P (Z2)=0.4525

porcentaje ddddd) 23.27 ÷ 100= 0.2327 eeeee) P=0.2327 fffff) Z= -0.62 ggggg) hhhhh) X=Z σ + μ iiiii) X= (0.62) (1.2) +

PT=

PT= 15.58%

nota

donde

fue de 23.27%

7.5 jjjjj) X= 8.24 kkkkk) 9. Una persona debe tener una puntuación en el 2% superior de la población en una prueba de calificaciones. Si las puntuaciones tienen una distribución normal con

una media de 100 y una desviación típica de 15 que puntuación debe obtener una persona para ser miembro de un tribunal.

lllll) mmmmm) P = 0.48

U = 100

nnnnn)

Z = 2.05

 = 15

ooooo)

ppppp)

x=Z σ +u

qqqqq)

x=2.05 ( 15 ) +100 = 130.75

x−u σ

rrrrr) Ejercicios consultados sssss) ttttt)

Determinar el porcentaje del área de la curva de distribución normal.

1. 2A la derecha de Z=0.47 uuuuu) P= 0.1808 vvvvv) Pt=0.5 - 0.1808 wwwww) Pt=0.3192 xxxxx) 2. A la derecha de Z= -1.13 yyyyy)

P= 0.3708

zzzzz)

Pt=0.5+0.3708

aaaaaa)

Pt=0.8708

2 (Sanchez, Octavio., Probabilidad y estadistica, Tercera edicion, 2009, págs. 204-2009)

bbbbbb) 3. Entre Z=0.54 y Z=1.91 cccccc) dddddd) P1=0.4719 eeeeee) P2=0.2054 ffffff) Pt= 0.4719-0.2054 gggggg) Pt= 0.2665 4. A la izquierda de Z=0.81 hhhhhh) iiiiii) P=0.2910 jjjjjj) Pt= 0.5+0.2910 kkkkkk) Pt= 0.7910 llllll) 5. La estatura promedio de los de una empresa muy grande es

empleados de 1.65 m ,

con una desviación estándar de 6.2 m. Supón una distribución normal y determina que porcentaje de empleados miden: mmmmmm) Datos:

nnnnnn) μ=1.65

a)σ =6.2 Más de 1.57 m oooooo)

Z1=

1.51−1.65 0.062

pppppp) Z1= -1.29 qqqqqq) rrrrrr) P=0.4015 ssssss) Pt= 0.4015 + 0.5 tttttt) Pt=0.9015----------x100 ---> 90.15% uuuuuu) b) Menos de 1.70 m vvvvvv) Z1= 1.70−1.65 0.062 wwwwww) Z1=0.81 xxxxxx) P= 0.2910 yyyyyy) Pt= 0.5+0.2910 zzzzzz) Pt=0.7910  79.10% aaaaaaa) c) Entre 1.57 m y 1.70 m

bbbbbbb) Z1=

1.57−1.65 0.062

ccccccc) Z1= -1.29 ddddddd)

eeeeeee) Z2=

1.70−1.65 0.062

fffffff) Z2= 0.81 ggggggg)

hhhhhhh) P1= 0.4015 iiiiiii) jjjjjjj) kkkkkkk) Pt=0.4015+0.2910 lllllll)Pt= 0.6925 mmmmmmm) Pt= 69.25% nnnnnnn) 6. Supón que el monto promedio

P2=0.2910

compras por cliente de una empresa es de $128.45 y una desviación estándar de $18.26. Determina la probabilidad de que un cliente compre: ooooooo) Datos: a) Más de $100 μ=128.45 100−128.45 ppppppp) Z1= 18.26 σ =18.26 qqqqqqq) Z1= -1.56 rrrrrrr) P= 0.4406 sssssss) Pt= 0.5+ 0.4406 ttttttt) Pt=0.9406 uuuuuuu) b) Más de $150 vvvvvvv) Z1= 150−128.45 18.26 wwwwwww) Z1= 1.18 xxxxxxx) P= 0.3810 yyyyyyy) Pt= 0.5+ 0.3810 zzzzzzz) Pt=0.8810 aaaaaaaa) c) Menos de $120 bbbbbbbb)

Z1=

120−128.45 18.26 cccccccc) dddddddd)

Z1= -0.46 P= 0.1772

eeeeeeee) Pt= 0.5+ ffffffff) Pt=0.9406 gggggggg) 7. El tiempo necesario para arreglar la transmisión de un automóvil en un taller de servicios se distribuye normalmente con una media de 45 min. Y una desviación estándar de 8.0 min. El mecánico planea comenzar la reparación del automóvil después de 10 min que el vehículo sea entregado y le comunica al cliente que el auto estará listo en una hora en total. ¿Cuál es la probabilidad de que el mecánico esté equivocado? hhhhhhhh) iiiiiiii) Datos: jjjjjjjj) μ=45 min σ =8.0 min kkkkkkkk) x=50 min

llllllll)

Z1=

50−45 8.0

mmmmmmmm) Z1= 0.62 nnnnnnnn) P= 0.2324 oooooooo) Pt= 0.5 – 0.2324 pppppppp) Pt=0.2676 8. En una población estudiantil el coeficiente de inteligencia es 52 iy su desviación típica 8. Si ponemos que la población se distribuye normalmente, averiguar el porcentaje de gente tiene un C.I superior a 60. qqqqqqqq) rrrrrrrr) Datos: ssssssss)

x=60

σ =8

u=52

tttttttt) uuuuuuuu) z=

60−52 =1 8

vvvvvvvv) P=¿ wwwwwwww) P=0,5−0,3413

0,3413

P=0,1587 ( 100 )

P=15,87

9. Deseamos conocer el porcentaje de alumnos comprendidos entre las puntuaciones 40 y 75. Se sabe que la media es 50 y la desviación típica 80. σ =8

xxxxxxxx)Datos

u=52

40 ≤ x ≤ 60

x−u yyyyyyyy) z 1= σ

z 2=

x−u σ

zzzzzzzz)

z 1=

40−50 =¿ 8

z 2=

z 1=−1,25 z 2=3,12

aaaaaaaaa)

60−50 8 P1=0,3944 P2=0,4991

bbbbbbbbb) Para calcular de desviacion estandar, media ccccccccc) https://www.easycalculation.com/es/statistics/standarddeviation.php

ddddddddd) eeeeeeeee) fffffffff) ggggggggg) PRUEBAS hhhhhhhhh) 1) La cantidad promedio de precipitación pluvial en Dallas, Texas, durante el mes de abril es 3.5 pulgadas. Suponga que se puede usar una distribución normal y que la desviación estándar es 0.8 pulgadas. a) ¿Qué porcentaje del tiempo la precipitación pluvial en abril es mayor que 5 pulgadas? iiiiiiiii) Datos

μ=3,5

σ =0,8 X ≥5

jjjjjjjjj)

x−μ σ z=

kkkkkkkkk)

lllllllll)

5−3,5 0,8

1,5 0,8

mmmmmmmmm) z=1,88 nnnnnnnnn) P=0.4699 ooooooooo) Pt=0.5-0.4699 ppppppppp) Pt=0.0301-----------> 3.01% b) ¿Qué porcentaje del tiempo la precipitación pluvial en abril es menor que 3 pulgadas? x−μ z= qqqqqqqqq) σ Datos

rrrrrrrrr) sssssssss)

μ=3,5

3−3,5 0,8

σ =0,8 x≤3

−0,5 0,8

ttttttttt) Z= -0.63 uuuuuuuuu) vvvvvvvvv) P=0.2357 wwwwwwwww) Pt= 0.5-0.2357 xxxxxxxxx) Pt=0.2643 -----------26.43% yyyyyyyyy) 2. La cantidad promedio de precipitación pluvial en Dallas, Texas, durante el mes de abril es 3,5 pulgadas (The Worl Almanac, 2000). Suponga que se puede usar una distribución normal y que la desviación estándar es 0,8 pulgadas. zzzzzzzzz) a. ¿Qué porcentaje del tiempo la precipitación pluvial en abril es mayor a 5 pulgadas? b. ¿ Qué porcentaje del tiempo la precipitación pluvial en abril es menor a 3 pulgadas? aaaaaaaaaa) bbbbbbbbbb)

Datos:

a. x≥5

u=3,5 x ≤ 3 b. σ =0,8

cccccccccc)

z 1=

x−u σ

dddddddddd)

z 1=

5−3,5 =1,88 0,8

eeeeeeeeee)

1 ¿ z ¿=0,5−0,4699=0,0301 1¿ P¿

ffffffffff)

z 2=

x−u σ

3−3,5 =−0,63 0,8 2 ¿ z ¿=0,5−0,2357=0,2643 2¿ P¿

1 2 ¿ z ¿=0,2643∗100=26,46 ¿ 2¿ ¿ z ¿=0,0301∗100=3,01 P¿ 1¿ P¿ gggggggggg) hhhhhhhhhh) iiiiiiiiii) jjjjjjjjjj)

6. Aproximación Normal de las Probabilidades Binomiales kkkkkkkkkk)

Para realizar estos ejercicios se tiene como parámetros, la probabilidad y

el número de aciertos en donde asociados con una distribución normal se tiene que: llllllllll)

U = NP

mmmmmmmmmm)

√ NPQ

nnnnnnnnnn) Aplicaciones 1. En una distribución de probabilidad binomial P = 0.20 y N = 100 a) ¿Cuál es la media y la desviación típica?

oooooooooo)

P = 0.20

pppppppppp)

N = 100

qqqqqqqqqq)

U = NP = 20

rrrrrrrrrr) u =

√ 100 ( 0.20 )( 0.80 )

ssssssssss) b) ¿Cuál es la probabilidad de exactamente 24 éxitos? tttttttttt)

X = 24

uuuuuuuuuu)

Z 1=

23.5−20 4

= 0.88

vvvvvvvvvv)

Z 2=

24.5−20 4

= 1.13

wwwwwwwwww)

P (z1) = 0.3106

xxxxxxxxxx)

P (z2) = 0.3708

yyyyyyyyyy)

Pt = 0.3106 – 0.3708

zzzzzzzzzz) 2. La tasa de desempleo es de 5.8% según el INEC suponga que se selecciona aleatoriamente una muestra de 100 personas a) ¿Cuál es el número esperado de quienes están desempleados y además cual es la varianza? aaaaaaaaaaa)

P = 0.0580

u = np = 5.8 (valor

esperado) bbbbbbbbbbb) ccccccccccc)

N = 100 u = (100) (0.0580) (0.9420) u = 5.46 (varianza)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 4 estén desempleados? ddddddddddd)

N = (µ; )

eeeeeeeeeee)

N = (5.8; 2.34)

σ =√ 5.46

2.34

(desviación típica) fffffffffff) Z 1=

4−5.8 2.34

= -0.77

ggggggggggg)

= 0.2794 hhhhhhhhhhh)

Pt = 0.5 + 0.2794 = 0.7794

iiiiiiiiiii) Ejercicios consultados jjjjjjjjjjj) 1.

Un cierto equipo electrónico está formado por 100 componentes conectados. Si cada

componente tiene una probabilidad de 0.02 de romperse cuando el equipo es lanzado en un cohete, hallar la probabilidad de que al hacerlo se rompan 10 o más componentes. kkkkkkkkkkk) lllllllllll)

σ =(100)(0.02)

Z =( 100∗0.02∗0.98 )

Datos: N = 100 P = 0.02 N (u; )

= 1.96

mmmmmmmmmmm)

σ =√1.96

nnnnnnnnnnn)

= 1.4

10−0.02 1.4

8 1.4

= 7.12

2. Supongamos que un tirador tiene probabilidad de 0.4 de acertar en la diana. Hallar la probabilidad de que después de realizar 20 disparos halla acertado al menos 4 lanzamientos. Datos: P = 0.4 Q = 0.6 3 Lorente, J., (2006).Aproximación de la distribución Binomial a laNNormal = 20 ooooooooooo)

N (u; σ)

ppppppppppp)

Z =( 20∗0.4∗0.6 )

qqqqqqqqqqq)

σ =√ 4.8 = 2.19

rrrrrrrrrrr)

4−0.4 2.19

3.6 2.19

sssssssssss)

= 4.8

= 1.64

P= 0.4495 + 0.5

ttttttttttt)

Pt = 0.9495

3. Una máquina produce componentes que son defectuosos en un 10%. Se elige al azar una muestra de estos 50 componentes. Calcular las probabilidades de que: a) Como exactamente 6 componentes estén defectuosos uuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvv)

Z =( 50∗0.10∗0.90 )

wwwwwwwwwww)

= 4.5

σ =√ 4.5 = 2.12 6−0.10 2.12

xxxxxxxxxxx)

yyyyyyyyyyy)

P=0.4964

5.9 2.12

= 2.69

Datos: N =50 P = 0.10 N (u; )

4. Un examen tipo test consta de 40 preguntas a contestar verdadero o falso. El examen se aprueba si se contesta correctamente al menos 25 preguntas. Un alumno responde al examen al azar. Halla la probabilidad de aprobar el examen zzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaa)

σ =√ 10

bbbbbbbbbbbb)

cccccccccccc)

P=0.4429

= 3.16

25−20 3.16

5 3.16

Datos: N = 40 P = 0.5 Q = 0.5 Z =( 40∗0.5∗0.5 ) = 1.58 10

5. El 5% de los libros prestados en una biblioteca de un centro escolar son técnicos. Si se toman los últimos 500 préstamos, calcula la probabilidad de que se hayan prestado entre 25 y 30 libros técnicos.

24.5−25 4.87

Datos: N = 500 P= 0.05 −0.5 Q = 0.95 = 4.87 σ ==( 500∗0.05∗0.95 -0.10 )

30.5−25 4.87

dddddddddddd)

σ =√ 23.75

eeeeeeeeeeee)

ffffffffffff)

= 4.87

= 23.75

P=0.0398

gggggggggggg)

hhhhhhhhhhhh)

P=0.3708

5.5 4.87

= 1.13

iiiiiiiiiiii) Pt = 0.0398 + 0.3708 = 0.4106 jjjjjjjjjjjj) VAMOS A NECESITAR LA TABLA Z DE DISTRIBUCIÓN NORMAL kkkkkkkkkkkk)

http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos

/distribucion-normal-estandar.html llllllllllll) PRUEBAS 1) Muchos problemas de producción se relacionan con la unión exacta de partes de maquinarias con flechas, que caben en el orificio de una válvula, un diseño en particular requiere de una flecha con un diámetro de 22 milímetros, pero las flechas con diámetros entre 21,9 mm y 22,01 mm son aceptables. Suponga que el proceso de manufactura fabrica flechas con diámetros que se distribuyen normalmente con una media de 22,002 mm y con una desviación de 0,005 mm para este proceso cual es: mmmmmmmmmmmm) a) La proporción de flechas con un diámetro entre 21,9 mm y 22 mm x−μ z 1= nnnnnnnnnnnn) σ Datos

μ=22,002

σ =0,005 21,9 ≤ x ≤22

x 1=21,9

oooooooooooo)

z 1=

21,9−22,002 0,005

pppppppppppp)

z 1=

−0,102 z =−20,4 0,005 1

qqqqqqqqqqqq)

z 2=

x−μ σ

rrrrrrrrrrrr) z 2=

22−22,002 0,005 z 2=

ssssssssssss)

tttttttttttt)

−0,002 0,005

z 2=−0,4

P1 (−20,4 )=∞ ≈ 0,5 P2 (−0,4 )=0,1554

uuuuuuuuuuuu)

b) ¿Cuál es el diámetro que será solo el 8% de las flechas superior? Datos

vvvvvvvvvvvv)

μ=22,002 σ =0,005

wwwwwwwwwwww)

p=0,42

x=( 1,41 )( 0,005 )+ 22,002

z=1,41

x=22,0091

xxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyy)

x=zσ + μ

2. El precio promedio de las acciones que pertenecen a S&P500 es

de $30 y la desviación estándar es de 8,20 (Business Week, Special Annual Issue, primavera de 2003). Suponga que los precios de las acciones están distribuidos normalmente. zzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaa)

¿De qué el precio de las acciones de una empresa no sea mayor a $20? A ¿ x ≥ 40 B ¿ x ≤20 Datos:

u=30 σ =8,2

bbbbbbbbbbbbb)

z 1=

x−u σ

ccccccccccccc)

z 1=

40−30 =1,22 8,2

ddddddddddddd)

1 ¿ z¿ =0,3888 ¿ 2 ¿ z ¿=−0,3888 2¿ 1¿ P¿

eeeeeeeeeeeee)

1 ¿ z ¿=0,5−0,3888=0,1112 1¿ P¿

z 2=

x−u σ

20−30 =−1,22 8,2

2 ¿ z ¿=0,5−0,3888=0,1112 2¿ P¿

fffffffffffff)

7. ESTADISTICA INFERENCIAL ggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhh)

N = tamaño de la población

Población

Parámetros

 = desviación típica (población) U = media

P = proporción

iiiiiiiiiiiii) Muestra

E s t a d íg r a fo s

jjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkk) lllllllllllll)

N = tamaño de la muestra S = desviación típica de la muestra  =

media de la muestra

 = proporción de la muestra

8. Muestreo mmmmmmmmmmmmm)

Es un proceso de obtener una información de un conjunto

de toda la población. Ventajas del muestreo  Costos reducidos  Mayor rapidez  Más posibilidades nnnnnnnnnnnnn) Los elementos pueden ser: productos almacenes, personas, familias, entre otras. ooooooooooooo) Población ppppppppppppp) Es todo el grupo de personas de quien el investigador necesita tener información. qqqqqqqqqqqqq) 8.1.

Pasos para desarrollar un plan de muestreo 1) Definir la población de interés

rrrrrrrrrrrrr)

Especificar las características de los individuos, cosas, clientes, tiendas,

etc; de quien se necesita la información para satisfacer la investigación. 2) Identificar un marco de referencia del muestreo sssssssssssss)

Consiste en hacer una lista de todos los elementos de la población, de

donde se van a seleccionar las unidades para la muestra. ttttttttttttt) Realizar una lista en forma ascendente (a – z) y numerar a cada uno de ellos. uuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwww) xxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzz) 3) Seleccionar un método de muestreo aaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbb) cccccccccccccc) dddddddddddddd)

PROPORCIONAL

NO PROPORCIONAL

ALEATORIO

SITEMATICO MUESTREO PROBABILISTICO ESTRATIFICADO

CONGLOMERAD O

TIPOS DE MUESTREO

CASUAL

MUESTREO NO PROBABILISTICO

INTENCIONAL

CUOTAS

eeeeeeeeeeeeee) ffffffffffffff) gggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkk) llllllllllllll) 4) Determinar el tamaño de la muestra, utilizando las siguientes fórmulas. mmmmmmmmmmmmmm)

Muestra Finita N =

Z 2 pqN 2 2 Z pq+ N E

Z 2 pq Muestra Infinita N = nnnnnnnnnnnnnn) E2 oooooooooooooo)Fórmulas para estimar la proporción pppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqq)

z2 p q N z2 p q n= 2 2 2 z p q+ N E E

Fórmulas para estimar la media

rrrrrrrrrrrrrr) ssssssssssssss)

z2 σ2 z2 N σ n= E2 N E 2 + Z2

N= tamaño de la población

tttttttttttttt) n= tamaño de la muestra uuuuuuuuuuuuuu)Z= el nivel de confianza, se trabaja con el 95%, 99% o 90% vvvvvvvvvvvvvv)P= probabilidad wwwwwwwwwwwwww)

q= probabilidad de fracaso

xxxxxxxxxxxxxx)E= error de la muestra 5) Ejecutar el plan operacional de la muestra yyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaa) Aplicaciones 1. Se desea calcular la muestra de un establo de 5000 vacas para determinar cuál de ellas son vacas lecheras con un error del 5% y un nivel de confianza del 95% bbbbbbbbbbbbbbb) ccccccccccccccc) Datos: z2 p q N n= N=5000 2 2 ddddddddddddddd) z p q+ N E E= 0.05 N.C= 0.95 p=0.5 Q=0.5

eeeeeeeeeeeeeee)

1.96 ¿ ¿ ¿ 2(0.5)(0.5)(5000) ¿ n=¿

fffffffffffffff)

ggggggggggggggg)

4802 z 0.9604+12.5 2

n=356.75

n=357 hhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiii) 2. Calcular el número de promedio de estadística descriptiva del cuarto ingeniería

financiera “A” de toda la población 29. jjjjjjjjjjjjjjj) z2 p q N n= 2 2 kkkkkkkkkkkkkkk) z p q+ N E Datos: N=29 E= 0.20 N.C= 1.96 p=0.5 Q=0.5

1.96 ¿ ¿ lllllllllllllll) ¿ 2(0.5)(0.5)(29) ¿ n=¿ n=

mmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnn)

n=13.13

ooooooooooooooo) a. Definir la población

n=14

27.85 2.1204

ppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrr) sssssssssssssss) ttttttttttttttt)uuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwww) 1) 7 2) 7 3) 7 4) 8 5) 7 6) 7.3 7) 7.1 8) 7.2 xxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbb) cccccccccccccccc) dddddddddddddddd) eeeeeeeeeeeeeeee)

9) 7.1 10) 7.3 11) 7.1 12) 7.5 13) 7 14) 7.45 15) 7 16) 7 ffffffffffffffff) gggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiii)jjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkk) llllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmm 17) 7.2 18) 7.5 19) 8.3 20) 7.0 21) 7 22) 7 23) 7 nnnnnnnnnnnnnnnn) oooooooooooooooo) pppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrr) ssssssssssssssss) 25) 7 26) 7 tttttttttttttttt)

27) 7.5

28) 7.5

29) 8.7

b. Seleccionamos la muestra con una tabla aleatoria uuuuuuuuuuuuuuuu) 7 7.1 7.2 7.1 vvvvvvvvvvvvvvvv) 8.3 7 7 7 wwwwwwwwwwwwwwww) xxxxxxxxxxxxxxxx)

24) 9.9

7.5 7

7 7.5

7 7

c. Sacamos la media ẋ=

100.7 14

= 7.19

3. Se desea estimar el peso promedio de los sacos que son llenados con un nuevo instrumento en una industria. Se conoce que el peso de un saco que se llena con este instrumento es una Variable aleatoria con una distribución normal. Si se sabe que la desviación típica y

el peso son de 0,5 kg. Determinar el tamaño de la muestra

aleatoria con una probabilidad del 95% y el parámetro se diferencia modularmente en -0,1 kg. yyyyyyyyyyyyyyyy) Datos:

σ =0,5 N.C=95% z=1,96 E=0,1

zzzzzzzzzzzzzzzz)

z2 σ 2 E2 n=

aaaaaaaaaaaaaaaaa)

( 1.96 )2 ( 0,5 )2 ( 0,1 )2

n=96.04 bbbbbbbbbbbbbbbbb) ccccccccccccccccc) n=96 4. Se desea calcular la muestra para realizar un estudio del nivel de nutrición de una cierta población para lo cual se sabe que la población es de 6000 personas. Un estudio anterior revela que la probabilidad de nutrición fue de 0,8 trabajando con un nivel de confianza del 90% y un error de muestreo del 8%. Calcular el tamaño de la muestra. ddddddddddddddddd) Datos: z=1,645 eeeeeeeeeeeeeeeee) E=0,08 P=0,8 N=6000 fffffffffffffffff) N.C=90% z=16

z 2 pqN n= 2 z pq+ N E2

ggggggggggggggggg)

( 1,645 )2 ( 0,8 ) ( 0,2 )( 6000 ) n= ( 1,645 )2 ( 0,8 ) ( 0,2 )+ 6000 ( 0,8 )2

hhhhhhhhhhhhhhhhh)

n=67

iiiiiiiiiiiiiiiii) 5. Un biólogo quiere estimar el precio promedio de las personas casadas en el estado de Virginia. Un estudio anterior de 10 personas casadas mostro que la desviación estándar de sus precios es de 12,2 libras. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para que el biólogo tenga el 94% de confianza y que el error de estimación es de 4 libras 2 2 Datos: n= z σ2 jjjjjjjjjjjjjjjjj) E σ =12,2

( 1,88 )2 ( 12,2 )2 N.C=94%= n= kkkkkkkkkkkkkkkkk) 0,47 z=1,88 ( 4 )2 E=4 n=33 lllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmm) 6. Determine el tamaño de la muestra necesario para estimar una proporción poblacional a un nivel de confianza del 98% con un error del 5% además se sabe que en una muestra pilota se obtuvo una probabilidad de 0,2

nnnnnnnnnnnnnnnnn) Datos N.C= 98% ooooooooooooooooo) z=2,38 E=5% = 0,05 P=0,2 q=0,8 ppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqq)

z 2 pq 2 E

( 2,33 )2 (0,2)(0,8) =347,45 (0,05)2

n=348

rrrrrrrrrrrrrrrrr) Ejercicios consultados sssssssssssssssss) 1. 4Un auditor desea tener un nivel de confianza del 95%, para que la verdadera proporción de error de error de exceda del 2%. Si la población es muy grande, ¿Qué tamaño tendrá la muestra que va a tomarse, si el auditor estima que la proporción de error es del 5%? z 2 pq n= 2 E

Datos ttttttttttttttttt) N.C=95% z=1.96 uuuuuuuuuuuuuuuuu) E=2% =0.02 P=0,5 vvvvvvvvvvvvvvvvv) q=0,5

( 1.96 )2 (0,5)(0,5) n= =456,19 (0,02)2 n=457

wwwwwwwwwwwwwwwww) 2. En un día, la producción de tarjetas perforadas por una persona se encuentra en una gaveta. Se desea estimar el porcentaje de tarjetas que tiene menos error, mediante una muestra aleatoria simple. ¿qué tamaño de muestra es necesario si se piensa que el porcentaje del 8%? Se acepta un error estándar del 3% y confianza del 95%. xxxxxxxxxxxxxxxxx) 2

yyyyyyyyyyyyyyyyy)

z pq 2 E

4 Martinez,Ciro.(2005). Estadistica y muestreo, (Decimo segunda ed.). Bogota: Ecoe Ediciones

zzzzzzzzzzzzzzzzz)

Datos N.C=95% aaaaaaaaaaaaaaaaaa) z=1.96 E=3% =0.03 bbbbbbbbbbbbbbbbbb) P=0,08 cccccccccccccccccc) q=0,92

( 1.96 )2 (0,08)(0,92) =314.15 2 (0,02)

n=315

El mantenimiento de cuentas puede resultar demasiado costoso, si el promedio de

compra por cuenta baja de cierto nivel. El gerente de un gran almacén por departamentos desea estimar el promedio de lo comprado mensualmente por los clientes, con un error de $2500, y una probabilidad aproximada de 0.95. ¿Cuántas cuentas deberá seleccionar, si sabe que la desviación estándar es de $30000, la cual fue obtenida de los balances mensuales de las cuentas de crédito? dddddddddddddddddd) z2 ϑ 2 n= 2 eeeeeeeeeeeeeeeeee) E Datos N.C=95% 30000 z=1.96 ¿ ¿ E=2500 ¿ 2 ffffffffffffffffff) ϑ=30000 2 ( 1.96 ) ¿ n=¿ n=554 gggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhh) 4. Una firma constructora desea estimar la resistencia promedio de las barras de

acero utilizadas en la construcción de edificios de apartamentos. ¿Qué tamaño de muestra se requiere para garantizar que habrá un riesgo de solo 0.001 de sobrepasar un error de 5 kg. O más en la estimación? La desviación estándar de la resistencia de este tipo de barras se estima en 50 libras. iiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjj) z2 ϑ 2 Datos n= kkkkkkkkkkkkkkkkkk) E2 P=1-0.0001= 0.999 E=5 kg 10 libras 2500 ϑ=50 ¿ ¿ ¿ 2 llllllllllllllllll) 2 ( 3.27 ) ¿ n=¿

P=0.999/2 P= 0.4995 Z= 3.27

mmmmmmmmmmmmmmmmmm) n=26 5. 5Wally Simpleton esta postulado para gobernador. El desea estimar dentro de 1 punto porcentual la proporción de personas que votaran por él. También desea tener el 95% de confianza en sus hallazgos. ¿Qué tan grande debería ser la muestra? nnnnnnnnnnnnnnnnnn) Datos oooooooooooooooooo) N.C=95% z=1.96 P=0.5 pppppppppppppppppp) q=0.5 E=0.01

z 2 pq E2

( 1.96 )2 (0,5)(0,5) =9.604 n=10 (0,01)2

8.2. Muestreo aleatorio sistemático qqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrr) En el muestreo sistemático, los elementos son seleccionados de la población dentro de un intervalo uniforme que se mide con respecto al tiempo, al orden o al espacio. El muestro sistemático difiere del muestreo aleatorio simple en que cada elemento tiene igual oportunidad de ser seleccionado, pero cada muestra no tiene la posibilidad igual de ser seleccionada. [CITATION Ric10 \l 12298 ]6 ssssssssssssssssss) tttttttttttttttttt) Aplicaciones uuuuuuuuuuuuuuuuuu) 1. Se tiene una población formada por 100 elementos se realiza el cálculo de las muestras y se obtiene con una muestra de 25 elementos. Calcular el muestreo aleatoriamente sistemático vvvvvvvvvvvvvvvvvv) Datos: wwwwwwwwwwwwwwwwww)

N=100

Utilizamos tabla de números aleatorios

xxxxxxxxxxxxxxxxxx) n=25 N 100 yyyyyyyyyyyyyyyyyy) R= n = 25 =4 5 Webster,Allen.(2004). Estadistica aplicada a los negocios y la economia, (tercera ed.).Colombia:Mc Graw Hill 6 [CITATION Ric10 \l 12298 ]

zzzzzzzzzzzzzzzzzz) a) b)

1 2 3 aaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbb) m) n) o)

1 1 1 ccccccccccccccccccc)

ddddddddddddddddddd) y) z) aa)

bb)

cc)

dd)

ee)

ff)

gg)

hh)

ii)

jj)

2 2 2 eeeeeeeeeeeeeeeeeee)

fffffffffffffffffff) kk) ll)

mm)

nn)

oo)

pp)

qq)

rr)

ss)

tt)

uu)

vv)

8.3.

ww)

xx)

yy)

zz)

aaa)

bbb)

ccc)

ddd)

eee)

fff)

iii)

jjj)

kkk)

lll)

mmm) nnn)

ooo)

ppp)

qqq)

rrr)

sss)

ttt)

uuu)

vvv)

www) xxx)

yyy)

zzz)

aaaa) bbbb) cccc) dddd) eeee) ffff)

gggg) hhhh) iiii)

jjjj)

kkkk) llll)

mmmm) nnnn) oooo) pppp) qqqq) rrrr)

ssss)

tttt)

uuuu) vvvv) wwww)

Mu est ggg) hhh) reo

aleatorio Estratificado ggggggggggggggggggg) El muestreo aleatorio estratificado se usa para estimar parámetros de poblaciones muy heterogéneas; consiste en la separación de las unidades de la población en grupos. Estos grupos se llaman estratos. De cada estrato se obtiene una muestra aleatoria simple, y los estimadores de los parámetros de la población se

estiman como combinaciones de los estimadores en cada estrato.[ CITATION Ric10 \l 12298 ]7 hhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

2. En la fรกbrica coca cola sucursal quito hay 600

trabajadores queremos tomar una muestra de 20 trabajadores se sabe que hay 200 trabajadores en la planta de ensamblaje. 150 en el departamento de empaque, 150 en el departamento de proceso y 100 trabajadores en publicidad Nota: Se aplicรณ regla de tres

iiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

200 (20) = 6,67 = 7 600

A=200

159 (20) 600

kkkkkkkkkkkkkkkkkkk) B=150

lllllllllllllllllll)

Datos N=600 n=20

150 (20) =5 600

C=150

mmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

100 (20) =3 600

D=100

nnnnnnnnnnnnnnnnnnn) Ejercicios consultados ooooooooooooooooooo) 1. Se tiene una poblaciรณn formulada por 50 elementos se realiza el cรกlculo de las muestras y se obtiene con una muestra de 10 elementos. Calcular el muestreo aleatoriamente sistemรกtico ppppppppppppppppppp) N 50 R= n = 10 =5

qqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Datos: rrrrrrrrrrrrrrrrrrr) N=50 sssssssssssssssssss) n=10

ttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwwwwwww) xxxxxxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) cccccccccccccccccccc) 1

7 [ CITATION Ric10 \l 12298 ]

dddddddddddddddddddd) eeeeeeeeeeeeeeeeeeee) ffffffffffffffffffff) gggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) llllllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmmmm 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) oooooooooooooooooooo) pppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) ssssssssssssssssssss) tttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwwwwwwww) 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) ccccccccccccccccccccc) ddddddddddddddddddddd) eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) fffffffffffffffffffff) ggggggggggggggggggggg) 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) lllllllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ooooooooooooooooooooo) ppppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) 41 42 43 rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

sssssssssssssssssssss) Estimación Puntual ttttttttttttttttttttt)

x=Estimador puntual de lamedia (μ)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

s=Estimador puntual de la desviacion tipica poblacional( σ )

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

P=Estimador puntual de la proporcion poblacional

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) ´ = ¿ casos favorables P total de casos xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

√

∑ (xi− x´ )2 n−1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Ejercicios consultados zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 1. A Joe Jackson, un meteorólogo que trabaja para la estación de televisión WDUI, le gustaría informar sobre la precipitación pluvial promedio para ese día en el noticiero de la tarde. Los datos siguientes corresponden a las mediciones de precipitación pluvial (en centímetros) para 16 años en la misma fecha, tomados al azar. aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) cccccccccccccccccccccc) dddddddddddddddddddddd) años precipita Aceptación 2 ción ( x 1−´x ) eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) ffffffffffffffffffffff)gggggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) x1 0,47 Si 0,010 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) llllllllllllllllllllll) x2 0,27 No 0,010 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) oooooooooooooooooooooo) pppppppppppppppppppppp) x3 0,13 No 0,057

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) ssssssssssssssssssssss) tttttttttttttttttttttt) x4 0,54 Si 0,029 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) x5 0 Si 0,136 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) x6 0,08 No 0,083 ccccccccccccccccccccccc) ddddddddddddddddddddddd) eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) fffffffffffffffffffffff) x7 0,75 Si 0,145 ggggggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) x8 0,06 Si 0,095 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) lllllllllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) x9 0 No 0,136 ooooooooooooooooooooooo) ppppppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) x10 1,05 No 0,464 sssssssssssssssssssssss) ttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) x11 0,34 Si 0,001 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) x12 0,26 No 0,012 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) cccccccccccccccccccccccc) dddddddddddddddddddddddd) x13 0,17 Si 0,040 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) ffffffffffffffffffffffff) gggggggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) x14 0,42 Si 0,003 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) llllllllllllllllllllllll) x15 0,50 Si 0,017 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) oooooooooooooooooooooooo) pppppppppppppppppppppppp) x16 0,86 No 0,241 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) ssssssssssssssssssssssss) tttttttttttttttttttttttt) 5,9 1,480

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) x vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) ∑ ´x =

√

∑ ( x i−´x ) n wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) s= n−1 3559 x= =296,583 18266,917 12 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) s= 11 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) S=40,751 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

√

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

´p=

h n

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

´p=

11 12

ccccccccccccccccccccccccc)

´ P=0,917

2. El National Bank of Lincoln quiere determinar el número de cajeros disponibles durante las horas pico del almuerzo los viernes. El banco ha recolectado datos del número de personas que entraron al banco los viernes de los últimos 3 meses entre las 11 a.m y la 1 p.m. Utilice los siguientes datos para encontrar las estimaciones puntuales. ddddddddddddddddddddddddd) eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) fffffffffffffffffffffffff)ggggggggggggggggggggggggg) banco # de Aceptación 2 personas ( x 1−´x )

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) x1 242 No 2979,340 lllllllllllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ooooooooooooooooooooooooo) x2 275 Si 465,840 ppppppppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) sssssssssssssssssssssssss) x3 289 Si 57,507 ttttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww x4 306 Si 88,674 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) x5 342 Si 2062,674 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) cccccccccccccccccccccccccc) dddddddddddddddddddddddddd) eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) x6 385 Si 7817,507 ffffffffffffffffffffffffff) gggggggggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) x7 279 Si 309,174 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) llllllllllllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm x8 245 Si 2660,840 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) oooooooooooooooooooooooooo) pppppppppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) x9 269 Si 760,840 rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) ssssssssssssssssssssssssss) tttttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) x10 305 Si 70,840 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) x11 294 Si 6,674 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) ccccccccccccccccccccccccccc) x12 328 Si 987,007 ddddddddddddddddddddddddddd) eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) fffffffffffffffffffffffffff) ggggggggggggggggggggggggggg) 3559 18266,91 7

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) ∑x ´x = n jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) x=

3559 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) =296,583 12

√

∑ ( x i−´x )

√

18266,917 40,751 11

n−1

lllllllllllllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

´p=

h n

11 12

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

´p=

ooooooooooooooooooooooooooo)

´p=0,917

ppppppppppppppppppppppppppp) PRUEBAS qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) 1. Calcular los estimadores puntuales, con el siguiente conjunto de datos, que hace referencia a los sueldos y capacitación de un curso (1 = capacitado; 0 = no recibe la capacitación). rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) sssssssssssssssssssssssssss) ttttttttttttttttttttttttttt) SALARIOS CAPACITACIÓN uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) 436.85 0 (436.85−616.621)2 = 32317.612 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 388.72 1 (388.72−616.621)2 = 51938.866 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) cccccccccccccccccccccccccccc) 712.28 0 (712.28−616.621)2 = 9150.644 dddddddddddddddddddddddddddd) eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) ffffffffffffffffffffffffffff) 761.31 0 (761.31−616.621)2 = 20934.907 gggggggggggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) (836.59−616.621)2 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) 836.59 0 = 48386.361 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) (203.8−616.621)2 = llllllllllllllllllllllllllll) 203.8 0 170421.178 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) oooooooooooooooooooooooooooo) 620.22 1 (620.22−616.621)2 = 12.953 pppppppppppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) 654.29 1 (654.29−616.621)2 = 1418.954

ssssssssssssssssssssssssssss) tttttttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) 852.86 1 ( 852.86−616.621 )2 = 55808.865 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) 821.06 1 ( 821.06−616.621 )2 = 41795.305 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) 799.93 1 ( 799.93−616.621 )2 = 33602.189 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) ccccccccccccccccccccccccccccc) ddddddddddddddddddddddddddddd) 216.88 0 ( 216.88−616.621 )2 = 159792.867 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) fffffffffffffffffffffffffffff) ggggggggggggggggggggggggggggg) 526.22 0 ( 526.22−616.621 )2 = 8172.341 hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) 717.27 1 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) lllllllllllllllllllllllllllll) 601.93 0

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

( 717.27−616.621 )2

= 10130.221 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

( 601.93−616.621 )2 = 215.825

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ooooooooooooooooooooooooooooo) ppppppppppppppppppppppppppppp) 538.96 1 ( 538.96−616.621 )2 = 6031.23 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) sssssssssssssssssssssssssssss) 610.66 0 ( 610.66−616.621 )2 = 35.534 ttttttttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) 821.62 1 ( 821.62−616.621 )2 = 42024.59 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) 345.32 0 ( 345.32−616.621 )2 = 73604.233 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) 810.72 1 ( 810.72−616.621 )2 = 37674.422 cccccccccccccccccccccccccccccc) dddddddddddddddddddddddddddddd) eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) 389.26 0 ( 389.26−616.621 )2 = 49568.124 ffffffffffffffffffffffffffffff) gggggggggggggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) 640.24 1 ( 640.24−616.621 )2 = 557.857 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) 875.3

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) 0

llllllllllllllllllllllllllllll)

14182.29

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

( 875.3−616.621)2 = 66914.825

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

´x =

∑x

´p=

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ´x

h n

14182.29 23

´p=

oooooooooooooooooooooooooooooo)

11 23

ssssssssssssssssssssssssssssss)

´x =616.621

´p=0,478

pppppppppppppppppppppppppppppp)

tttttttttttttttttttttttttttttt)

x xi−¿´ ¿ ¿2 ¿ ¿ ∑¿ ¿ √¿

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) S =

√

920509.904 23−1

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) S = 204.552

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) 8.1 Error de Muestreo xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Se puede calcular el error de muestreo cuando se conocen los parámetros de la población yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

∈. M =¿ Parámetros – estadígrafos

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) ´ Error de muestreo de población = |P− P| aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) Error de muestreo de la media = |μ− x´ | bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) ccccccccccccccccccccccccccccccc) Error de muestreo de la varianza= |σ −S|

9. Distribución muestral de la

X´

ddddddddddddddddddddddddddddddd) La distribución muestral de la media es la distribución de probabilidades de todos los valores de la media muestral para ello se aplica el teorema de limite central en donde cualquier distribución de datos se puede aproximar a la distribución normal cuando n tiende a infinito (n=30) Valor esperado eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) ∈ ( x )=µ fffffffffffffffffffffffffffffff) Nota: con 30 muestras se aproxima a una distribución normal es decir ggggggggggggggggggggggggggggggg)

X´ =μ

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) El valor esperado de la media muestral iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

Va hacer igual a la de la media poblacional. Cuando el valor

esperado de un estimador puntual es igual al parámetro poblacional se dice que el estimador puntual es insesgado. jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

E ( ´x )=μ

Desviación estándar de la muestra

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) La desviación estándar de la media muestral depende de que si la población es finita o infinita lllllllllllllllllllllllllllllll)

σx =

σ √n

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) Esta cuando:  

La población es infinita n ≤0.05 N

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

ooooooooooooooooooooooooooooooo)

σx =

√

N−n ∗σ N−n √n

fórmula

utiliza

ppppppppppppppppppppppppppppppp) Nota: la forma de distribución muestral se aproxima a la distribución normal gracias al teorema de límite central por lo cual se aplica las probabilidades vistos en la tabla de z tipificados. qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

x−μ σx

Aplicaciones rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) 1. Una población tiene una media de 200 y una desviación estándar de 50. Se tomara una muestra aleatoria simple de tamaño 100 y se usará la media de la muestra para estimar la media de la población. a) ¿Cuál es el valor esperado de la media? b) ¿Cuál es la desviación estándar de la media muestral? c) Determine la distribución muestral de la media d) ¿Qué indica la distribución muestral? sssssssssssssssssssssssssssssss) a) E( ) = µ ttttttttttttttttttttttttttttttt) E() = 200 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) σ b)  = √ n vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

 =

Datos: µ = 200  = 50 n = 100

50 √100

c) N ( µ; ) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) N (200; 5) Una población tiene una media de 200 y una desviación estándar de 50. Suponga que se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño 100 y que se usa  para estimar µ. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra quede a ±5 de la media de la población? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra quede a ±10 de la media de la población? x−u a) Z 1= σx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

195−200 Z 1= 5

Datos: µ = 200 = -1 = 50 n = 100

P1=0.3413

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

Z 2=

x−u σx

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

Z 2=

205−200 5

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) +10 b) Z 1= 5 =2

P2=0.3413

Pt = 0.3413+0.3413 = 0.6826

P=0.4772

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) cccccccccccccccccccccccccccccccc)

Z 2=

dddddddddddddddddddddddddddddddd)

−10 5

= -2

P=0.4772

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) Pt = 0.4772+0.4772 = 0.9544 ffffffffffffffffffffffffffffffff) 3. Una muestra aleatoria de tamaño 50, se selecciona de una población con desviación =10. Calcular el error del valor estándar de la media. a) Cuando el tamaño de la población es 5000 b) Cuando el tamaño de la población es 500 n 50 = =0.01 ≤ 0.05 a) N 5000 gggggggggggggggggggggggggggggggg)

σx=

σ √n

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

σx=

10 √ 50

n 50 = =0.1 N 500

Datos:  = 10 n = 50

= 1.4142

≥ 0.05

√

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

N−n ∗σ N −1 σx= √n

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

500−50 ∗10 500−1 σx= √50

√

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) 0.9996 * 1.4142 = 1.34 4. La media del precio por galón de gasolina es de $1.20. suponga que la media de la población del precio por galón es u=1.20 y que =0.10. Se selecciona una muestra de 50 gasolineras

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra aleatoria simple produzca una media de la muestra al menos de $0.02 de la media de la población? x−u a) Z 1= σx llllllllllllllllllllllllllllllll)

1.18−1.20 Z 1= 0.10 √50

Datos: µ = 1.20  = 0.10 n = 50

= -0.02

P1=0.0080

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) x−u Z 2= nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) σx Z 2=

oooooooooooooooooooooooooooooooo)

1.22−1.20 0.10 √ 50

= 1.4186

P2=0.0 .4222

pppppppppppppppppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Pt = 0.0080+0.4222 = 0.5302 rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) 5. La distribución de la temperatura del cuerpo humano en la población tiene una media de 37 grados y desviación típica de 0.85°. Se elige una muestra de 105 personas, calcular la probabilidad de que la media sea menor a 39.9° ssssssssssssssssssssssssssssssss)

tttttttttttttttttttttttttttttttt)

x−u σx

Datos: µ = 37°  = 0.85° n = 105

36.9−37 0.85 √ 105

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

−10 0.083

= - 1.21

P = 0.3869

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) Pt = 0.1131 6. El coeficiente intelectual de los estudiantes, se distribuye normalmente con una media de 100 y desviación típica de 11 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

a) Si elegimos una persona al azar. Calcular la probabilidad que su coeficiente intelectual esté entre 100 y 103 b) Se elige al azar una muestra de 25 personas. Calcular la probabilidad de que la media de sus coeficientes intelectuales esté entre 100 y 103 100−100 Z 1= 11 a) √1 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Z1= 0 P=0 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 103−100 Z 2= 11 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) √1

Datos: µ = 100  = 11 n = 1; 25

Z 2=0.27

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

P=0.1064 ccccccccccccccccccccccccccccccccc) ddddddddddddddddddddddddddddddddd) Pt = 0.1064 100−100 Z 1= 11 b) =0 √25 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) fffffffffffffffffffffffffffffffff)

P=0 100−100 Z 2= 11 √ 25

= 1.36

P=0.4131 ggggggggggggggggggggggggggggggggg) 7. El programa de pruebas universitarias de la oficina estadounidense reportó una

calificación SAT de la media de la población con un u=1017 también se sabe que la desviación estándar es de 100 ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 75 estudiantes produzca una media de la muestra de calificación SAT que quede a menos de 10 de la media de la población?

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

Z 1=¿

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

P= 0.3078

-0.87

Z 1=

1007−1017 Datos: 100 µ = √75 1017  = 100 n = 75

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

lllllllllllllllllllllllllllllllll)

Z 2=

1027−1017 100 √ 75

Z 2=¿ 0.87

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

Pt= 0.3078+0.3078

ooooooooooooooooooooooooooooooooo)

Pt=0.6156

P = 0.3078

8. La renta promedio mensual, para un departamento de 2 recamaras en California es de 982,00. Suponga que la media poblacional también es de 982,00 y la desviación estándar es de 210,00 ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 40 departamentos, de 2 recamaras dé 1 renta mensual promedio dentro de ± 100,00 de la media poblacional? 1082−982Datos: 210µ = 982 = 3.01 ppppppppppppppppppppppppppppppppp) √ 40 = 210 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) P= 0.4987 n = 40 x-u = ±100 882−982 Z 2= 210 rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) = -3.01 √ 40 Z 1=

sssssssssssssssssssssssssssssssss) P= 0. 4987 ttttttttttttttttttttttttttttttttt) Pt = 0.4987+0.4987 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) Pt=0.9974 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) Ejercicios consultados wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) 1. 8Si X está distribuida normalmente con media 5 y desviación típica 2, hallar P (X > 8). Datos: u= 5  =para 2 la administracion ($ta ed). Mexico: 8 Levine, D., Krehbiel y Berenson M., (2006). Estadistica Pearson Prentice Hall

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

�=

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

σ=

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

σ=

2 2.83

σ √n 2 √8 = 0.70

2. Cierto tipo de pieza para automóvil tiene un promedio de duración de tres años, con una desviación estándar de 0,5 años. Suponga que las duraciones de las piezas son normalmente distribuidas y encuentre la probabilidad de que una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3,5 años. x−u c) Z 1= σx 3.5−3 = 1.85 0.27 Datos: µ= 3 P1=0.4678 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)  = 0.5 nx−u = 3.5 cccccccccccccccccccccccccccccccccc) Z 2= σx aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

Z 1=

dddddddddddddddddddddddddddddddddd) eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

Z 2=

2.5−3 0.27

= -1.85

P2=0.4678

ffffffffffffffffffffffffffffffffff) Pt = 0.4678+0.4678 = 0.9356 3. Una fábrica de alimentos empaca productos cuyos pesos están normalmente distribuidos con media de 450 gramos y desviación estándar de 20 gramos. Encuentre la probabilidad de que un paquete escogido al azar pese entre 425 y 486 gramos. x−u Z 1= gggggggggggggggggggggggggggggggggg) σx hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

Z 2=

425−450 20 = -1.25 Datos: 1 √ µ = 450  = 20

P1=0.3944

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

Z 1=

x−u σx

Z 2=

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

486−450 20 √1

llllllllllllllllllllllllllllllllll) P2=0.4641 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

= 1.8

0.4641+0.3944 = 0.8585 4. 9En un proceso industrial el diámetro de una arandela es muy importante. El comprador establece en sus especificaciones que el diámetro debe ser de 3,0 +0,01mm. La condición es que no acepta ninguna arandela que se salga de estas especificaciones. Se sabe que en el proceso el diámetro de las arandelas tienen distribución normal con media de 3,0 mm y una desviación estándar de 0,005mm. ¿Qué porcentaje de arandelas será rechazado? (Sol: 4,56%) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) oooooooooooooooooooooooooooooooooo)

pppppppppppppppppppppppppppppppppp)

x−u Z 1= σx Datos: µ= 3.0 mm 3.01−3.0 Z 1= = 0.005 0.005 mm= 2 √1

P1=0.4772 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) 5. El peso medio de 5 estudiantes varones de una universidad es de 68,5 Kg. y la

desviación típica es de 10 Kg. Suponiendo que los pesos están distribuidos normalmente, cual es la probabilidad de que los estudiantes pesen más de 75 kg. x−u rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) Z 1= σx ssssssssssssssssssssssssssssssssss)

Z 1=

75−68.5 10 √5

tttttttttttttttttttttttttttttttttt) P1=0.4981 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) 10. Distribución Muestral de

Datos: n=5 = 2.90 µ = 68.5 Kg  = 10 Kg

´ P

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

´=x P n

9 Anderson, D., Sweeney T., (2008). Estadistica para la administracion y economia (10ma edicion) México: CENGAGE Learning

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) X

Variable

aleatoria

continua o número de elementos de la muestra xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

n = Tamaño de la muestra

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

´ Valor esperado E ( P)=P

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

Población Finita

Población Infinita

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

ccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

√ √

´ = N−n σP N−1

√

P(1− p) n

´ = P (1− p) σP n

ddddddddddddddddddddddddddddddddddd)

n =0.05 N

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) Forma de la distribución muestral de fffffffffffffffffffffffffffffffffff)

´ P

La fórmula se aproxima a la distribución normal;

entonces se trabajará con la tabla de probabilidades de Z. además debe cumplir con 2 condiciones: ggggggggggggggggggggggggggggggggggg) ´ P−P Z= σ ´p 1. np ≥ 5 2. n(1-p) ≥ 5

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) ones

Aplicaci

1. Se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño 100, de una población con P = 0.40 a) ¿Cuál es el valor esperado de iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

´ P ?

E( P )=P

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

E ( P ) = 0,40 ´ P ?

b) ¿Cuál es la desviación estándar de

´= σP

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

√

´ = 0.40(1−0.40) lllllllllllllllllllllllllllllllllll) σ P 100 c) Describa la distribución muestral de

√

P (1− p) n

= 0.049

´ P

´ mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) N (P; σ P )

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

N (0.40; 0.049)

2. La proporción de una población es de 40%. Se tomara una muestra aleatoria simple de tamaño 200 y se usará la proporción de la muestra para estimar la de la población. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté a ± 0.03 de la proporción poblacional? ooooooooooooooooooooooooooooooooooo)

Datos:

ppppppppppppppppppppppppppppppppppp)

n = 200

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

p = 0.40

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

σρ=

√

σρ=

sssssssssssssssssssssssssssssssssss) ttttttttttttttttttttttttttttttttttt) ´ P−P Z 1= σ P´ 0.86

0.43−o .40 Z 1= 0.035

p (1− p) n

√

0.40(1−0.40) 200

0.035

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) P1= 0.305 =

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

Z 2=

´ P−P σ P´

Z 2=

0.37−0.40 0.035

= - 0.86

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) P2 = 0.3051 3. Suponga que la proporción poblacional es de 0.55. determine el error estándar de la proporción ( ), para tamaño de muestra de 100, 200, 500 y 1000. ¿Cuál es el análisis acerca del error estándar de la proporción al aumentar el tamaño de la proporción? yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

σρ=

√

0.55(1−0.55) 100

σρ(100)=

√

p (1− p) n

= 0.050

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

σρ(200)=

√

p (1− p) n

σρ=

= 0.035 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

σρ=

√

0.55(1−0.55) 500

√

0.55(1−0.55) 1000

√

p (1− p) n

= 0.022

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

σρ=

σρ(500)=

= 0.016

σρ(1000)=

√

p (1− p) n

√

0.55(1−0.55) 200

4. La proporción poblacional es de 0.30 ¿Cuál es la probabilidad de que una proporción muestral este a ± 0.04 de la proporción poblacional, para los siguientes tamaños de muestra? a) n=100 cccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

± 0.04 0.046

= 0.87

dddddddddddddddddddddddddddddddddddd) P = 0.3078 (x2) = 0.6156 b) n=200 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) ffffffffffffffffffffffffffffffffffff)

± 0.04 0.032

= 1.25

P= 0.3944 (x2) = 0.7888

c) n=500 gggggggggggggggggggggggggggggggggggg)

± 0.04 0.021

= 1.90

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) P= 0.4713 (x2) = 0.9426 d) n=1000 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

± 0.04 0.015

= 2.67

P= 0.4962 (x2) = 0.9924

5. El presidente de distribuidores Díaz, cree que el 30% de los pedidos a su empresa provienen de clientes nuevos. Se va a usar una muestra aleatoria simple de 100 pedidos para estimar la proporción de clientes nuevos. a) Suponga que el presidente está en lo correcto y P = 0.30 ¿Cuál es la distribución muestral de

´ P para este estudio? kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

np ≥ 0.5

n ( 1− p ) ≥ 0.5

llllllllllllllllllllllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

100 (1−0.30 ) ≥ 0.5

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) Z=

´ P−P ´ σP

oooooooooooooooooooooooooooooooooooo) Z=

0.05 0.046

= ±1.09

pppppppppppppppppppppppppppppppppppp) P= 0.3621 (x2) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Pt = 0.7242 rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) ssssssssssssssssssssssssssssssssssss)

Ejercicios consultados

1. Suponga que tenemos una población con una proporción P= 0.40 y una muestra aleatoria de tamaño n= 100 extraída de la población. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea superior a 0.45? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea inferior a 0.29? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté comprendida entre 0.35 y 0.51?10 tttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

σρ=

√

p (1− p) n

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

σρ=

√

0.40(1−0.40) 200

10 Autor: Mario F. Triola Edición: 11 Año: 2013 Estadística pg:328 doi: https://www.biblionline.pearson.com/Pages/BookRead.aspx

0.035

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) Z 1=

´ P−P σ P´

Z 1=

0.43−o .40 0.035

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

Z 2=

´ P−P σ P´

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) 0.86 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) 0.37−0.40 Z 2= P1= 0.305 = - 0.86 0.035 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) P2 = 0.3051 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) 2. Suponga que tenemos una población con una proporción P= 0.25 y una muestra aleatoria de tamaño n= 200 extraída de la población. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea superior a 0.31? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea inferior a 0.14? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral este comprendida entre 0.24 y 0.40? bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

σρ=

ccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

σρ=

ddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) Z 1=

´ P−P σ P´

Z 1=

0.43−o .40 0.035

0.85 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) P1= 0.3154

√ √

p (1− p) n 0.40(1−0.40) 200

0.039

fffffffffffffffffffffffffffffffffffff)

Z 2=

´ P−P σ P´

ggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) Z 2=

0.37−0.40 0.035

= - 0.85

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) P2 = 0.3154 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

3. Suponga que tenemos una población con una proporción P= 0.60 y una muestra aleatoria de tamaño n= 100 extraída de la población. a) ¿Cuál es la probabilidad de la proporción muestral sea superior a 0.52? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea inferior a 0.46? c) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral este comprendida entre 0.47 y 0.53?11 p (1− p) d) σρ= n

√ √

σρ=

Z 1=

0.40(1−0.40) 100

´ P−P σ P´

Z 1=

0.035

0.43−o .40 0.035

= 0.86 g) P1= 0.3051

Z 2=

´ P−P σ P´

Z 2=

0.37−0.40 0.035

= - 0.86

j) P2 = 0.3051 4. Un gerente de un gran grupo de hospitales cree que el 30% de todos los pacientes genera facturas que se cobran con 2 meses de retraso como mínimo. Se toma una muestra aleatoria de 300 pacientes. a) ¿Cuál es el error típico de la proporción muestral que generará facturas que se cobrarían con 2 meses de retraso mínimo? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral sea inferior a 0.25? p (1− p) c) σρ= n

√ √

σρ=

Z 1=

0.30(1−0.30) 300

´ P−P σ P´

Z 1=

0.043

0.43−o .40 0.035

= 0.25 f) P1= 0.2456

Z 2=

´ P−P σ P´

Z 2=

0.37−0.40 0.035

= - 0.25

i) P2 = 0.2456 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) 11 Newbold. P, Carlson W, Thorne B; Pearson, Sexta edición, Estadística para Administración y Economía, pg. 276

5. Una empresa está considerando la posibilidad de sacar una nueva emisión de bonos convertibles. La dirección cree que los términos de la oferta serán atractivos para el 20% de todos sus accionistas actuales. Suponga que está en lo cierto. Se toma una muestra aleatoria de 130 accionistas actuales a) ¿Cuál es el error típico de la proporción muestral que piensa que esta oferta es atractiva? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral este comprendida entre 0.18 y 0.22? p (1− p) c) σρ= n

√ √

σρ=

Z 1=

0.20(1−0.20) 130

´ P−P σ P´

= 0.86 f) P1= 0.305

Z 1=

0.035

0.43−o .40 0.035

Z 2=

´ P−P σ P´

Z 2=

0.37−0.40 0.035

i) P2 = 0.3051

= - 0.86

11. Estimación por intervalos kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) lllllllllllllllllllllllllllllllllllll)

Parámetro: [g.l ; N.c]

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) ppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) N.

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) sssssssssssssssssssssssssssssssssssss) ttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) N.

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) ´x =∓ Z ∝2

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

σ √n

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) APLICACIONES 1. Una muestra aleatoria simple de 40 elementos, dio como resultado una media muestral de 25, la desviación estándar de la población es S xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Datos: yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) n= 40 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

x= 25

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

σ= 5

a) ¿Cuál es el error estándar de la media?

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

σ ´x =

σ √n

= 0.7906

b) Con 95% de probabilidad o nivel de confianza, ¿Cuál es el margen de error? cccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

N.C = 95%

dddddddddddddddddddddddddddddddddddddd)

´x =∓ Z ∝2

σ √n

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

´x =∓1.96

5 √ 40

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) [23.45; 26.55]

= ± 1.55

2. Una muestra aleatoria simple de 50 artículos originó una media de muestra de 32 y una desviación estándar de 6. gggggggggggggggggggggggggggggggggggggg)

Datos:

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

n= 50

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

 = 32

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

=6

a) Determine un intervalo de confianza del 90% para la media de la población kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

llllllllllllllllllllllllllllllllllllll)

X´ ∓1.645

6 √ 50

( )

32∓ 1.396

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

[30.60

4; 33.396] b) Calcule un intervalo de confianza del 95% para la media de la población 6 X´ ∓1.96 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) √ 50

( )

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) pppppppppppppppppppppppppppppppppppppp)

32∓1.663

[30.337; 33.663]

c) Determine un intervalo de confianza del 99% para la media poblacional 6 X´ ∓2.575 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) √ 50

( )

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) 32∓ 2.185 ssssssssssssssssssssssssssssssssssssss)

[29.815; 34.185]

3. Una muestra de 60 artículos tuvo una media de 80 y una desviación estándar de 15.

tttttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

Datos:

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

n= 60

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

 = 80

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)  = 15 a) Determine el intervalo de confianza a un 95% xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

15 X´ ∓ 1.96 √ 60

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

80 ∓ 3.796

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

( )

[76.204; 83.796]

b) Suponga que la media y la desviación estándar se obtuvieron de una muestra de 120 artículos. Determinar el intervalo de confianza del 95% 15 X´ ∓ 1.96 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) √ 120

(

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

)

80 ∓ 2.684

[77.316; 82.684]

c) ¿Cuál es el efecto de mayor tamaño de la muestra sobre la estimación del intervalo de una media de la población? ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd)

Si la muestra es más grande,

el intervalo de la media de la población es más cercana. 4. Se informa que el intervalo de confianza es del 95% para una media de población es de [122 a 130]. Si la media de la muestra es 126 y la desviación estándar de la muestra es de 16.07 ¿Qué tamaño de muestra se utilizó en la determinación? eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

Datos:

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) Z = 1.96 ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg)

 = 126

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

 = 16.07

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

1.96

σ =4 √n

Z ∝2

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

16.07 =4 √n

(31.4972)2 = (4

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) lllllllllllllllllllllllllllllllllllllll)

31.4972 =4 √n ͢

√ n )2

992.073 = 16(n)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) 992.073 =n 16

n= 62

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) Valores referenciales de Z ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) 9 1.6 rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) sssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) 9 1.9

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww 9 2.5

5. Los ingresos semanales promedio de las personas que trabajan en varias industrias aparecieron en cierta revista. Esos ingresos para quienes trabajan en ciertos servicios fueron de 369$ Suponga que este resultado, se basó en una muestra de 250 personas y que la desviación estándar = 50$. Calcular el intervalo de confianza de 95% para la población de ingresos semanales promedio de personas que trabajan en los servicios. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

Datos:

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

N= 250

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

S= 50

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

Z= 1.96

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

 = 369

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

S X´ ∓Z ∝2 √n

dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd)

369 ∓1.96

50 √ 250

369 ±

6.198 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

[363.790; 374.208]

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) EJERCICIOS CONSULTADOS 1. Se pide a 814 adultos que contestaron un cuestionario acerca de sus ideas sobre el estado general de la USA a esta pregunta contestaron SI 562 adultos. gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg)

Datos:

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

N= 814

a) ¿Cuál es la estimación puntual de la proporción poblacional que contestaron dicha encuesta? iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

´ =h P n

= 0.69

b) ¿Cuál es el margen de error a un 92% de NC? jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

√

´ ´ ´ ∓ Z α 2 P (1− P) P n

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) 0.69 ∓1.75

√

0.69(1−0.69) 814

llllllllllllllllllllllllllllllllllllllll)

0.69 ∓0.028

c) ¿Cuál es el margen de error a un 88%? mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

√

´ ´ ´ ∓ Z α 2 P (1− P) P n

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) 0.69 ∓1.555

√

0.69(1−0.69) 814

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)

0.69 ∓0.025

2. En una encuesta del Instituto de investigaciones se analizó las razones por los que los pequeños empleadores ofrecen un plan de retiro para sus empleados 33 veces se revisa la razón en ventaja competitiva en reclutamiento y retención. pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp)

Datos:

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

Z= 2.17

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

P = 0.33

ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) E = 0.03 a) ¿Qué tamaño de muestra se recomienda si un objetivo de la encuesta es estimar la proporción de pequeños empleadores con diseño con un margen de error 3% y un 97% de nivel de confianza? tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

2 ( Z α2 ) P (1− p)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

( 2.17 )2 (0.33)(1−0.33) (0.03)2

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

1.04 0.0009

= 1.156

b) Inciso A con N.C 98% wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww)

2 ( Z α2 ) P (1− p)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

( 2.33 )2 (0.33)(1−0.33) (0.03)2 n=

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

1.04 0.0009

= 1.334

3. En una encuesta de ventas al detalle que realizo American Exprés se encontró que el 16% de los consumidores utilizan internet para comprar regalos durante la temporada vacacional en la encuesta participaron 1285 clientes. ¿Cuál es el margen de error y cuál es la estimación del intervalo a un N.c del 92%? zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

Datos:

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) P = 0.16 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

n= 1285

ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) 92% = 1.75

√

´ ´ ´ ∓ Z α 2 P (1− P) P n

ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

0.16 ∓1.75

√

0.16(1−0.16) 1285

0.16 ± 0.018 fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff)

(0.142; 0.178)

4. El tiempo de traslado al trabajo, para residentes de las 15 ciudades más grandes de los EEUU según una encuestadora. Se emplea una muestra aleatoria de San Francisco y se determina que 6.25 minutos es el valor de la planeación de la desviación poblacional. ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg)

Datos:

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

E=2

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

NC = 99% -> 2.576

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

N= 15

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

 = 6.25

a) Se desea estimar la media de la población, con 2 minutos de margen de error, ¿Qué tamaño de la muestra se debe usar a un nivel de confianza del 99%? lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll)

2 2 ( Z α2 ) ( σ )

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

( 2.576 )2 ( 6.25 )2 22

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

n=64.80 ≅ 65

5. La cantidad de horas que duermen los tungurahuenses cada noche varía mucho desde 12% de la población que duerme menos de 6 horas hasta 6% que duerme más de 8 horas. Se coge una muestra con respecto a las horas de sueño por noche.

ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) 6 0.00 1 6 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) 7 0.54 7 6 sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) 6 0.12 9 6 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) 6 0.43 5 6 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) 5 2.43 3 6 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 7 0.88 3 6 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

0.01 9 6 cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) 5 1.84 9 6 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) 7 0.54 7 6 gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) 6 0.02 5 6 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) 7 0.19 3 6 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) 6 0.06 7 6 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) 7 0.05 7 6 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) 6 0.00 1 6 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) 6 0.73 9 6 ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) 6 0.00 3 6 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) 6 0.12 9 6 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) 7 0.11 5 6 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 5 1.12 3 6 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) 8 3.02 7

6 ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) 7 0.54 7 6 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) 7 0.05 7 6 ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) 6 0.73 9 6 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) 7 0.11 5 6 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) 7 0.70 5 6

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) a) ¿Cuál es el estimador puntual de la media poblacional? nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

Σn X´ = n

X´ =6.86

b) Determine el intervalo de confianza al 95% ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) S = 0.78 ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp)

S X´ ∓Z α 2 √n

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) 6.86 ∓ 2.064 6.86 ∓ 0.322 rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

(6.538; 7.182)

12. CONTRASTE DE HIPOTESIS sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) 

¿Qué es una hipótesis?

Suposición posible o imposible de algo para sacar una consecuencia

( 0.78 √ 25 )



Proposición no demostrada que se admite para orientar investigaciones y

 

experimentos Explicación no basada en pruebas, es decir, sin ser suficientemente demostrada Conjetura de la cual se parte para poder explicar racionalmente la causa real de un hecho

ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

Hipótesis Estadística

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) Es una conjetura o una suposición que se realiza respecto a una población, concretamente, con respecto a un parámetro de la población el cual cuantifica una característica de ella. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

Hipótesis Estadística

Hipótesis Nula (Ho )

Hipótesis Alternativa (H1 )

Supone que no hay diferencia entre el estadístico y el parámetro

Supone que existe diferencia entre el estadístico y el parámetro

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) 12.1. Hipótesis Nula xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Es una aseveración en el sentido de que un parámetro poblacional tiene un valor específico. Es el punto

de partida de la investigación. Generalmente en su interpretación se utiliza la frase “no existe diferencia”. Se denota (Ho) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Por ejemplo, se realiza una investigación sobre el costo de los desayunos en el cafetín de la ULA – Táchira. Alguien puede llegar a afirmar que los estudiantes invierten un promedio de 12 bolívares. zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

Hipótesis nula: El gasto

promedio es de 12 Bs. aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

Ho: µ = 12 Bs.

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) 12.2. Hipótesis

Alternativa cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

Es cualquier hipótesis que

difiera de la hipótesis nula dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd)

Si se toma el ejemplo

anterior, se podría afirmar tres alternativas: 1) Que los estudiantes invierten en sus desayunos en la ULA-Táchira un promedio diferente a 12 Bs. 2) Que la inversión de los estudiantes en promedio es menor a 12 Bs. 3) Que los estudiantes invierten en promedio más de 12 Bs en sus desayunos en el cafetín de la ULA-Táchira eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) i. ii. iii.

Hipótesis Alternativas:

El gasto promedio es diferente de 12 Bs. (µ ≠ 12 Bs.) El gasto promedio es menor de 12 Bs. (µ ˂ 12 Bs.) El gasto promedio es mayor de 12 Bs. (µ > 12 Bs.) ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff)

Las hipótesis Nula y Alternativa

 Una hipótesis nula siempre asegura que no hay diferencia entre el estadístico y el parámetro.  Aunque solo se cuente con la información que proporciona la muestra, la hipótesis nula se escribe en términos del parámetro de la población.  Si una hipótesis nula es considerada falsa, algo debe ser cierto, es cuando se considera la hipótesis alternativa.

 La metodología de las pruebas de hipótesis está diseñada para analizar la aceptación o rechazo de hipótesis nulas, sin embargo, no rechazar una hipótesis nula, no es prueba de que sea cierta.  Nunca se puede probar que una hipótesis nula sea correcta, porque la decisión se basa solo en la información que aporta la muestra, y no en la información de toda la población.  La hipótesis nula Ho es la hipótesis que se prueba siempre  La hipótesis alternativa H1 se formula opuesta a la hipótesis nula, y es la conclusión de apoyo si se rechaza la hipótesis nula.

12.3. Valor crítico del estadístico de prueba. Regiones gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg)

valor

del

estadístico de prueba en su correspondiente distribución en el muestreo (Z, t, x 2, F) y que divide a dicha distribución en dos regiones: una de aceptación de la hipótesis nula y otras(s) de rechazo de la hipótesis nula. hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) Posibles riesgos en la toma de decisiones jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) El hecho de utilizar estadísticos muestrales para tomar decisiones sobre parámetros poblacionales, incide en el hecho de correr riesgos al establecer conclusiones incorrectas. Dichas decisiones incorrectas reciben el nombre de error tipo I y error tipo II

 Un error tipo I ocurre si la hipótesis nula H0 es rechazada cuando realmente es cierta y no debe rechazarse. La probabilidad de que ocurra un error tipo I se denota por α kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) P(Error tipo I) = P(Rechazar H0 / H0 es verdadera) = α  Un error tipo II ocurre si la hipótesis nula H0 no se rechaza cuando realmente es falsa y debe rechazarse. La probabilidad de que ocurra un error tipo II se denota por

llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) P(Error tipo II) = P(No rechazar H 0 / H0

xxxx)

es falsa) =

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

12.4. Coeficiente/ Nivel de Significancia: nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

Se define como la

probabilidad de cometer un error tipo I en una prueba estadística. Se denota por la letra griega α . Se debe especificar antes de realizar la prueba de hipótesis y queda bajo control directo de quien investiga o realiza la prueba. Por lo general se asumen los valores de 0.05 y 0.01. En si es la probabilidad de rechazo y no rechazo de la hipótesis nula. Cuando se multiplica por 100 se habla de nivel de confianza y los valores más usados son 5% y 1% oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)

Coeficiente

confianza: pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp)

Se define como la

probabilidad de que la hipótesis nula H0 no sea rechazada cuando realmente es cierta y no se debe rechazar. Es el complemento de la probabilidad de cometer un error tipo I, por lo tanto se denota por (1 –

). Al multiplicarse por 100 se

obtiene el nivel de confianza. qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Riesgo �:

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

Se define como la probabilidad de cometer

un error tipo II. Se le llama también nivel de riesgo del consumidor. Depende de la diferencia entre el valor hipotético y el valor real del parámetro poblacional. ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss)

Potencia de una prueba:

tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) Se define como la probabilidad de rechazar la hipótesis nula H0 cuando realmente es falsa y debe rechazarse. Es el complemento (1 – β) de la probabilidad de un error tipo II. También se le llama poder de una prueba estadística.

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

12.5. TIPOS DE ERROR vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) : Nivel de significancia que indica la probabilidad máxima con la que se puede

∝

cometer un error del tipo I xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

β:

Nivel

significancia que indica la probabilidad máxima con la que se puede cometer un error del tipo II

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

Pruebas estadísticas

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

1) Escala de intervalo o razón 2) Se ajusta a la curva normal

Paramétricas

3) Varianzas iguales Pruebas

1) Escala ordinal o por rangos No paramétricas

2) Su distribución es libre 3) Menos supuestos para cumplr

12.2. PRUEBAS PARAMETRICAS – MUESTRAS GRANDES bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) Ensayo aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

dos colas ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

Se aplica cuando se está

interesado en los valores extremos a ambos lados del parámetro, es decir, en las dos colas de la distribución ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) nivel de significancia del 5%, se tiene:

Por ejemplo para un

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) Ensayo de una cola, extremo derecho ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg)

Se aplica cuando se

estรก interesado en los valores extremos a un solo lado del parรกmetro, es decir, en una cola, extremo derecho de la distribuciรณn. hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

Por ejemplo para un

nivel de significancia del 5%, se tiene: iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) Ensayo de una cola, extremo izquierdo

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

Se aplica cuando se

está interesado en los valores extremos a un solo lado del parámetro, es decir, en una cola, extremo izquierdo de la distribución. lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) Por ejemplo para un nivel de significancia del 5%, se tiene: mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm)

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

VALORES

CRITICOS DE “Z” DE MAYOR USO

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) 1% 5% 10 ∝ % ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) Zc ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) Prueba + + + uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) 2 1 1 de . . . vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) 3 6 2 una cola 3 4 8 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) 5 dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) ó aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) ó yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) ó eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) 2 1 . 1 . 3 . 2 3 6 8 4 5 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) Prueba + + + gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) 2 1 1 de . . . hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) 5 9 6 Dos 8 6 4 cola jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 5 s ó ó pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ó

2 . 5 8

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) 1 . 6 4 5

1 . 9 6

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) Procedimiento para probar hipótesis (Enfoque tradicional) tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

1. Plantear la Hipótesis

Formular H1

Formular Ho

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) 2. Seleccionar un nivel de Tipo de prueba

significancia (∝)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

¿Varianza? Ecuación

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 3. Calcular el estadístico de aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) prueba

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) 4. Establecer una regla de decisión ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd)

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff)

5. Tomar una decisión

ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) Rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa H1

Aceptar la hipótesis nula Ho

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll)

Aplicaciones

1. El gerente del Hotel Relax afirma que la media de las cuentas de los huéspedes, en un fin de semana, es de $600 dólares o menos. Un empleado del departamento de contabilidad del hotel notó que recientemente los cargos totales en las cuentas de huéspedes han aumentado. EI contador usara una muestra de cuentas de fin de semana para probar la afirmación del gerente. a) ¿Cuál de las siguientes formas de hipótesis se debe usar para probar la afirmación del gerente? mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) Ho : μ ≤ 600

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

H 1 : μ>600

b) ¿Qué conclusión es la adecuada cuando no se pueda rechazar Ho? ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)

El gerente tiene la

razón de que los huéspedes tienen en sus cuentas ≤ 600 c) ¿Qué conclusión es la adecuada cuando sí se puede rechazar Ho? ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp)

El contador demostró

que tenía la razón, por lo tanto los huéspedes tienen más de 600 en sus cuentas.

2. EI gerente de una agencia automotriz desea implantar un nuevo plan de bono con objeto de aumentar el volumen de ventas. En la actualidad, la media del volumen de ventas es de 14 automóviles vendidos por mes. El gerente desea llevar a cabo una investigación para ver si el nuevo plan de bono aumenta el volumen de ventas. Para reunir datos acerca del plan, se permitió que un grupo de vendedores trabajen con él durante un periodo de un mes. a) Formule las hipótesis nula y alternativa que sean más adecuadas para este caso. qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) H 1 : μ>14

Ho: μ ≤ 14

b) Comente la conclusión a que se llegaría cuando no se pueda rechazar Ho sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) El gerente seguirá vendiendo menos de 14 automóviles por mes.

c) Comente la conclusión a la que se llegaría cuando si se pueda rechazar Ho ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

El plan de bonos se lleva a cabo por lo que

incrementarán sus ventas.

Una operación en una línea de producción debe Llenar cajas con detergente hasta un peso promedio de 32 onzas. Periódicamente se selecciona una muestra de cajas llenas, que se pesan para determinar si están faltas 0 sobradas de Llenado. Si los datos de la muestra llevan a la conclusión de que les falta 0 sobra detergente, se debe parar la línea de producción, y hacer los ajustes necesarios

para que el llenado sea correcto. Formule las hipótesis nula y alternativa que ayuden a decidir si es

conveniente parar y ajustar la línea de producción 0 no. Ho: μ=32 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) H 1 : μ ≠32 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

b) Comente la conclusión y la decisión cuando no se puede rechazar Ho. wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) La línea de producción no se pararía ya que el llenado de detergente es el adecuado

Comente la conclusión y la decisión cuando sí se puede rechazar Ho.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

Las

cajas

con

detergente no se llenan correctamente y la línea de producción necesita ajustes.

4. En una encuesta Nielsen se obtuvo la estimación de que la media del número de horas de ver la TV por familia es de 7.25 horas diarias. Suponga que en esta encuesta participaron 200 familias. Hace 10 años, la media de ver la TV era de 6.70 y los datos tuvieron una desviación estándar de 2.5 horas. Si considera que los datos se distribuyen normalmente y si emplea un alfa de 0.01, podría aseverar que el promedio de horas de ver la TV ha aumentado en los últimos 10 años. a) Formule las hipótesis con un nivel de significancia de 1% 1) Plantear la hipótesis Ho: μ ≤ 6.7 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) H 1 : μ>6.7 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) b) ¿Cuál es el valor crítico del estadístico de prueba y cuál es la regla de rechazo?

2) Nivel de significancia aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

∝=0.01

c) Calcule el valor del estadístico de prueba 3) Calcular el estadístico de prueba Z=

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

´ X−μ S √n

7.25−6.7 2.5 √ 200

= 3.11

4) Establecer la regla de decisión dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd)

Z > Z ∝ Rechazo

Ho y se acepta H1 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) 3.11 > 2.33 (Verdadero) d) ¿Cuál es su conclusión? 5) Toma de decisión

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) Se acepta H1 en consecuencia el promedio de familias que ve televisión es mayor a 6.7 horas diarias. 5. La empresa ABC, vigiló a los usuarios de internet en 7 países: Australia, Gran Bretaña, Canadá, Francia, Alemania, Japón y EEUU. Según las cifras de medición recientes los usuarios estadounidenses ocupan el 1° lugar en el uso de

internet con un promedio de 13 horas por mes. Suponga que un estudio e seguimiento en el que participan 145 usuarios de internet Canadienses la media muestral fue de 10.8 horas por mes y la desviación estándar muestral fue de 9.2 horas. a) Formular la hipótesis si la muestra sustenta la conclusión de que los usuarios de internet canadienses tienen una media poblacional menor que el promedio estadounidense de 13 horas por mes con un nivel de confianza del 99% ¿Cuál es la conclusión? 1) Plantear la hipótesis gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) 2) Nivel de significancia iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

Ho: μ ≥ 13

H 1 : μ<6.7

∝=0.05

3) Calcular el estadístico de prueba

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

´ X−μ S √n

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

10.8−13 9.2 √ 145

-2.88 4) Establecer la regla de decisión llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll)

Z <−Z ∝ Rechazo Ho y se acepta H1

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) -2.88 < -1.645 (Verdadero) 5) Toma de decisión

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) Rechaza Ho y se acepta H1 que dice que el promedio de número de horas utilizadas de internet es menor a 13 horas diarias.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) Ejercicios consultados: 1. El consejo universitario informa que el número promedio de estudiantes de nuevo ingreso en las universidades es de 6000. En un periodo reciente de inscripciones. Se tomó una muestra de 32 universidades con una media muestral de los estudiantes de nuevo ingreso de 5812 y una desviación estándar muestral de 1140.¿Estos datos indican un cambio en el número medio de estudiantes de nuevo ingreso? a) Formule las hipótesis pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) Ho: µ=6000 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) H1: µ≠6000 rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) b) ¿Cuáles son los valores críticos de la prueba? ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) α=0.05 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) G.l= n-1 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) G.l=28 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) tα=Ttabla(α=0.025; G.l=28)= 2.048 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) c) Calcular el valor estadístico de la prueba zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

5812−6000 1140 √ 29

t =

x´ −µ s √n

hubo

ningún

= -0.89

d) ¿Cuál es su conclusión? bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) No

cambio es decir el número de estudiantes que ingresan a las universidades. Acepto Ho: e) Que puede decir acerca del valor P Es decir no tuvo ningun cambio con el ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) nuevo grupo de estudiantes que ingreso a ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) la universidad P ≤ α/2 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) 2P ≤ α fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) (0.855; 1.313) ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) 2(0.20; 0.10) ≤ 0.05

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

(0.40; 0.20) ≤

0.05 (falso) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

Employment

and

Training

Administration informa que la prestación media del seguro de desempleo es de $245/semana. Un investigador del estado de Virginia anticipo que datos muéstrales indicaran que la prestación media semanal del seguro de desempleo en el estado de Virginia es menor que la media de todo el país. a) De las hipótesis adecuadas de manera que el rechazo de Ho favorezca la afirmación del investigador. jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

Ho:

μ ≥ 245

μ<¿ 245 lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) H1: mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) b) En una muestra de 29 individuos la media muestral encontrada fue de $231 y la desviación estándar muestral fue $80. ¿Cuál es el valor p? nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) α=0.05 ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) G.l= n-1 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) G.l=28 rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) tα=Ttabla(α=0.05; G.l=28)= -1.701 x´ −µ s sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) t = t = √n

231−245 80 √ 29

= -0.94

ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) P≤α uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

(0.855; 1.313) (0.20; 0.10) ≤

Se acepta Ho 0.05 (falso) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) c) Si α=0.05 ¿Cuál es su conclusión? En el estado de Virginia la prestación semanal

del seguro de desempleados es mayor que al de todo el país. xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) 3. El consumo anual per cápita de leche es de 21.6 galones. Usted cree que en el oeste medio el

consumo de leche es mayor y desea fundamentar su opinión. En una muestra de 16 personas de Webster city, pueblo del oeste medio , la media muestral del consumo anual fue de 24.1 galones y la desviación estándar es s=4.8. a) Elabore una prueba de hipótesis que se pueda usar para determinar si el consumo medio anual en Webster city es mayor que la media nacional yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Ho: µ ≤ 21.6 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) H1: µ ¿ 21.6 Datos aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) μ=21.6 b) Con α=0.05 cuales son los valores críticos de prueba. x =24.1 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) α=0.05 s=¿ 48 dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) G.l= n-1 α =0.05 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) G.l=15 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) tα=Ttabla(α=0.05; G.l=15)= -1.753 gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) t ≥ tα se rechaza iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) c) Calcule el valor estadístico de prueba jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

24.1−21.6 48 √ 16

t =

x´ −µ s √n

= 0.21

llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) d) Cuál es su conclusión mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) En el oeste el 4.

consumo de leche es menor a 21.6 galones 12 Una muestra de 25 observaciones tiene una media de 42.0 y una desviación de 8. Trabajando con un nivel de significancia del 1%. ¿Existe razón para rechazar la hipótesis de la media de la población es de 46.0?1

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)

12 Martinez, C. (2012). Estadistica y muestreo. Bogota: ECOE.

Datos:

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) ´x =42

n=25

s=8

µ=46

f) Formule las hipótesis qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) Ho: µ≠46 ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) g) ¿Cuáles son los valores críticos de la prueba? tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

Ho: µ=46

α=

0.01 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

G.l

= n-1 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) G.l=24 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

tα=Ttabla(α=0

.01; G.l=24)= 2.492 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) h) Calcular el valor estadístico de la prueba zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

42−46 8 √ 25

x´ −µ s √n

= -2.5

i) ¿Cuál es su conclusión? aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

Se rechaza Ho y se

acepta H1 es decir que la media de la población de observadores no es 46 5. Un fabricante desea hacer público, a fin de aumentar sus ventas, que el contenido de nicotina de sus cigarrillos tienen un promedio inferior a los 22mg. Una oficina gubernamental de salud y del medio ambiente realiza un análisis de 10 cigarillos y obtiene los contenidos de nicotina para cada uno, siendo de: bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) 24

21 16

ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

12.96

5.76

19.36

2.56

6.76

0.16

x x−´¿ ¿ ¿ ¿ ∑¿

0.16

0.36

12.96

19.36

ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) a) Calcular la hipótesis eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) Ho: μ<22 fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) H1:

μ =22

ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) b) Con α=0.05. ¿Cuáles son los valores críticos para el estadístico de prueba? hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) α=0.05 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) G.l= n-1 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) G.l=9 lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) tα=Ttabla(α=0.05; G.l=9)= -1.833 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) c) Calcule la media muestral nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ´x =

204 =20.4 10

ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) d) Calcule la desviación muestral ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

√

∑ (x− x´ )2 n−1

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

√

80.4 10−1

s=2.99 sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) e) Calcule el valor del estadístico de prueba uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

20.4−22 2.99 √ 10

t =

x´ −µ s √n

= -1.69

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) f) Conclusión: El contenido de nicotina en el tabaco es diferente es decir que el investigador no está en lo cierto 13. VALOR P xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

Un valor P es

una probabilidad que aporta una medida de una evidencia suministrada por la muestra contra la hipótesis nula. Valores P pequeños indican una evidencia mayor contra la hipótesis nula yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

Valor P Es la

probabilidad de que se obtenga un valor del estadístico del contraste que sea al menos tan extremo (≤ o ≥) como el observado, suponiendo que Ho sea cierta.13 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

Regla

para

rechazo utilizando valor P aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

Rechazo Ho

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

P≤ ∝

1. El nuevo palo de golf ERC de aleación de titanio de Callaway Golf Company fue calificado como “ilegal” porque promete tiros de salida que superan el estándar de la USGA, Golf Digest comparo las distancias actuales de tiros de salida con el palo ERC y un palo aprobado por la USGA con una distancia promedio poblacional de 280 yardas para el tiro de salida. Usando nueve palos de prueba, la distancia promedio del tiro inicial con el palo ERC fue de 286.9 yardas. Conteste las preguntas siguientes suponiendo una desviación estándar muestral de 10 yardas para la distancia de tiro de salida.

13 Newbold, P. “Estadística para administración y economía” I Capítulo 9 (9.1-9.5)

a) Formula la hipótesis nula y alternativa que permita determinar si el nuevo palo de golf ERC tiene una distancia promedio poblacional del tiro de salida mayor que 280 yardas b) En promedio ¿cuantas yardas más viajo la pelota de golf con el palo ERC? c) Con α =0.05 ¿Cuál es el valor crítico para la prueba y cuál es la regla de d) e) f) a)

rechazo? Calcule el valor del estadístico de prueba ¿Cuál es su conclusión? ¿Qué puede decir acerca del valor de p? cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) μ Ho= ≤280 Datos dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) H1= u=280 μ>280 x =286.9 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) S=10 t = x−μ α=0.05 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) t=286.9 – 280 = 6.9 n=9 gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) α =0.05 hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) G.L=

n-1 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) d) Calcular el valor estadístico de la prueba

G.L =9-1 = 8 t α =t tabla=1.86

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

x −μ s √n

286.9−280 =2.07 10 √9

t ≥ tα Se rechaza Ho

llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll)

2,07 ≥1,86 (verdadero )

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm) Se rechaza Ho y se acepta H1 que dice que el palo de golf no va a recorrer ¿ 280 yaradas f) Está en el intervalo (1.860; 2,306) entonces el valor de P esta entre 0,05 y 0,025

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

2. Las

ganancias promedio poblacionales por acción para corporaciones de servicios financieros, como American Express fueron de $3. En 2001, para una muestra de 10 corporaciones de servicios se obtuvieron los datos siguientes de ganancias por acción:

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv wwwwwwwwwwwwwww xxxxxxxxxxxxxxxx 1.9

2.1

3,6

3.1

4.0

3.1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) a) Formula las hipótesis nula y alternativa que permitan determinar si las ganancias promedio poblacionales por acción en 2001 difieren de los tres dólares informados en el 2000 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

Ho= μ=3

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) b) Con

α =0.05

H1= μ ≠3

¿Cuáles son los valores críticos para la estadística de prueba,

¿ y cuál es la regla de rechazo? Datos α =0.05 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) μ=3 ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

G.L = n-1 x =2.8 ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) G.L =10-1 s=0.70 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

G.L =9 α =0.05

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) α t 2 =t tabla=1.833 hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) rechazo iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

t≤t

α α t ≥t 2 2

Se rechaza Ho

Regla de

c) Calcule la media muestral jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

x =

∑ xi

x =

28 =2.8 10 d) Encuentre la desviación estándar muestral kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

x xi−¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ s= √ ¿

√

4,32 =0,70 9

lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) e) Calcule el valor del estadístico de prueba mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

x −μ s √n

2.8−3 0.70 √10

= -0.90

f) ¿cuáles s su conclusión? nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

Que se acepta

Ho no hay diferencia porque -0.90 cae en la zona de aceptación g) ¿qué puede decir acerca del valor de P? ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) P(0,20 ; 0.10)

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) 2 P( 0.40 ; 0.20)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

( 0.40 ; 0,20 ) ≤0.05 (falso) h) Calcular el intervalo de confianza y dar su conclusión rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

x±t

α s 2 √n

sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) 2.8 ±2.262

0.70 √ 10

ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) 2.8 ± 0.50 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

(

2.30; 3.30) vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

METODO

DEL INTERVALO DE CONFIANZA PARA PROBAR UNA HIPOTESIS BILATERAL 

Paso 1: seleccionar de la población una muestra aleatoria simple y emplear el valor de la media muestral () para obtener un intervalo de confianza para la



media poblacional (µ) Paso 2: si el intervalo de confianza contiene el valor hipotético µ o, NO SE RECHAZA Ho. Caso contrario se rechaza Ho.

14. PRUEBA DE HIPOTESIS CUANDO NO SE CONOCE LA DESVIACION POBLACIONAL (Muestras Pequeñas) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)

And08 \l 12298 ]. Como

En palabras de [CITATION

es desconocida corresponde a la situación en que

no se tiene una estimación de la desviación estándar poblacional antes de tomar la muestra, la muestra se usa para obtener una estimación tanto de µ como de σ.

Por tanto para realizar una prueba para la media poblacional en el caso en

que no se conoce σ

la media muestral

´x

se usa como estimación de µ y la

desviación estándar muestral S se usa como estimación de µ. yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

Se utiliza las

mismas fórmulas de z con la diferencia que ahora el estimador es t (student) y se cambia la desviación poblacional por s. para prueba bilateral también se usa el intervalo con el estimador (t). Para cálculos de las proporciones en esta prueba t de student o este estimador (t), los valores P no se pueden calcular, con exactitud

en consecuencia se va a trabajar con un intervalo para aplicar la regla del P valor. Cuando sea una prueba bilateral el valor de P se multiplica por 2. zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

Para calcular el valor

de P se sigue los siguientes pasos: aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) PASO 1: Se ubica en la fila correspondiente los grados de libertad bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) PASO 2: el valor calculado de P se trata de ubicar dentro de un intervalo en dicha fila cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) PASO 3: se observa la probabilidad en la parte superior y se da valor de P aproximado

dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd Aplicaciones 1. El nuevo palo de golf ERC de aleación de titanio de Callaway Golf Company fue calificado como “ilegal” porque promete tiros de salida que superan el estándar de la USGA, Golf Digest comparo las distancias actuales de tiros de salida con el palo ERC y un palo aprobado por la USGA con una distancia promedio poblacional de 280 yardas para el tiro de salida. Usando nueve palos de prueba, la distancia promedio del tiro inicial con el palo ERC fue de 286.9 yardas. Conteste las preguntas siguientes suponiendo una desviación estándar muestral de 10 yardas para la distancia de tiro de salida. a) Formula la hipótesis nula y alternativa que permita determinar si el nuevo palo de golf ERC tiene una distancia promedio poblacional del tiro de salida mayor que 280 yardas b) En promedio ¿cuantas yardas más viajo la pelota de golf con el palo ERC? c) Con α =0.05 ¿Cuál es el valor crítico para la prueba y cuál es la regla de rechazo? d) Calcule el valor del estadístico de prueba e) ¿Cuál es su conclusión? f) ¿Qué puede decir acerca del valor de p? eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) a) Ho= μ ≤280 Datos ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) H1= μ>280 u=280 gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) x =286.9 x−μ b) t = S=10 α =0.05 n=9

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

=286.9 – 280 = 6.9 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) α =0.05 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) G.L= n-1 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

.L =9-1 = 8 llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) d) Calcular el valor estadístico de la prueba

t α =t tabla=1.86

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

x −μ s √n

¿ t

286.9−280 =2.07 10 √9

t ≥ tα Se rechaza Ho

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) 2,07 ≥1,86 (verdadero )

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)

rechaza Ho y se acepta H1 que dice que el palo de golf no va a recorrer ¿ 280 yaradas f) Está en el intervalo (1.860; 2,306) entonces el valor de P esta entre 0,05 y 0,025 pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) 2. Las ganancias promedio poblacionales por acción para corporaciones de servicios financieros, como American Express fueron de $3. En 2001, para una muestra de 10 corporaciones de servicios se obtuvieron los datos siguientes de ganancias por acción:

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy zzzzzzzzzzzzzzzzzz 1.9

2.1

3,6

3.1

4.0

3.1

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

a) Formula las hipótesis nula y alternativa que permitan determinar si las ganancias promedio poblacionales por acción en 2001 difieren de los tres dólares informados en el 2000 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) Ho= μ=3 ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) H1= μ ≠3 α =0.05

b) Con

¿Cuáles son los valores críticos para la estadística de prueba,

¿ y cuál es la regla de rechazo? Datos α =0.05 ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) μ=3 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

x =2.8

G.L = n-1 fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff)

G.L =10-1

s=0.70

α=0.05 ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) G.L =9 hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

α =t tabla=1.833 2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj)

Regla de rechazo

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) t≤t

α α t ≥t 2 2

Se rechaza Ho

c) Calcule la media muestral lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll)

28 =2.8 10 d) Encuentre la desviación estándar muestral

x =

∑ xi n

x =

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

x xi−¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ s= √ ¿

√

4,32 =0,70 9

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) e) Calcule el valor del estadístico de prueba ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)

x −μ s √n

2.8−3 0.70 √10

= -0.90

f) ¿cuáles s su conclusión? ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) Que se acepta Ho no hay diferencia porque -0.90 cae en la zona de aceptación g) ¿qué puede decir acerca del valor de P? qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) P(0,20 ; 0.10)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

2 P( 0.40 ; 0.20)

sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss)

( 0.40 ; 0,20 ) ≤0.05 (falso)

h) Calcular el intervalo de confianza y dar su conclusión ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

x±t

α s 2 √n

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) 2.8 ±2.262

0.70 √ 10

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

.8 ± 0.50 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww (2.30; 3.30)

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) EJERCICIOS CONSULTADOS yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) 14 Ejemplo 1. El consejo universitario informa que el número promedio de estudiantes de nuevo ingreso en las universidades es de 6000. En un periodo reciente de inscripciones. Se tomo una muestra de 32 universidades con una media muestral de los estudiantes de nuevo ingreso de 5812 y una desviación estándar muestral de 1140.¿Estos datos indican un cambio en el número medio de estudiantes de Datos μ=6000 nuevo ingreso? x =5812 a) Formule las hipótesis s=¿ Ho: zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 1140µ=6000 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) H1: µ≠6000 α=0.05 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) b) ¿Cuáles son los valores críticos de la prueba? cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) α=0.05 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) G.l= n-1 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) G.l=28 gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) tα=Tta bla(α=0.025; G.l=28)= 2.048 hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) c) Calcular el valor estadístico de la prueba jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

x´ −µ s √n

5812−6000 1140 √ 29

= -0.89

d) ¿Cuál es su conclusión? llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) No hubo ningún cambio es decir el número de estudiantes que ingresan a las universidades.

Acepto Ho:

e) Que puede decir acerca del valor P Es decir no tuvo ningún cambio con el mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm nuevo grupo de estudiantes que ingreso a nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) P ≤ α/2 la universidad oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) 2P ≤ α 14

Anderson, D., Sweeney, D., & Williams, T. (2008). Estadistica para administracion y economia (10a. ed.). Mexico: CENAGE Learning.

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp)

(0.855;

1.313) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

2(0.20;

0.10) ≤ 0.05 rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss)

(0.40; 0.20) ≤ 0.05 (falso) Ejercicio

Employment and Training Administration informa que la prestación media del seguro de desempleo es de $245/semana. Un investigador del estado de Virginia anticipo que datos muéstrales indicaran que la prestación media semanal del seguro de desempleo en el estado de Virginia es menor que la media de todo el país. a) De las hipótesis adecuadas de manera que el rechazo de Ho favorezca la afirmación del investigador. tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) μ ≥ 245 Ho: vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

μ<¿ 245 H1: wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww) b) En una muestra de 29 individuos la media muestral encontrada fue de $231 y la desviación estándar muestral fue $80. ¿Cuál es el valor p? xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) α=0.05 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) G.l= n-1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) G.l=28 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) tα=Tta bla(α=0.05; G.l=28)= -1.701 ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

231−245 80 √ 29

t =

x´ −µ s √n

= -0.94

ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) P≤α eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) (0.855; 1.313) fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) (0.20; 0.10) ≤ 0.05 (falso) ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) Se acepta Ho

c) Si α=0.05 ¿Cuál es su conclusión? En el estado de Virginia la prestación semanal del seguro de desempleados es mayor que al de todo el país. hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

Ejerci

cio 3. El consumo anual per cápita de leche es de 21.6 galones. Usted cree que en el oeste medio el consumo de leche es mayor y desea fundamentar su opinión. En una muestra de 16 personas de Webster city, pueblo del oeste medio , la media muestral del consumo anual fue de 24.1 galones y la desviación estándar es s=4.8. a) Elabore una prueba de hipótesis que se pueda usar para determinar si el consumo

medio anual en Webster city es mayor que la media nacional iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) Ho: µ ≤ 21.6 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) H1: µ ¿ 21.6 Datos kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) μ=21.6 b) Con α=0.05 cuales son los valores críticos de prueba. x =24.1 lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm s=¿ 48 α=0.05 α =0.05 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) G.l= n1 ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp)

G.l=15 tα=Tta

bla(α=0.05; G.l=15)= -1.753 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) t ≥ tα se rechaza sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) c) Calcule el valor estadístico de prueba ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

x´ −µ s √n

24.1−21.6 48 √ 16

= 0.21

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) d) Cuál es su conclusión wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) En el oeste el consumo de leche es menor a 21.6 galones

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy)

Ejerc

icio 4: Una muestra de 25 observaciones tiene una media de 42.0 y una desviación de 8. Trabajando con un nivel de significancia del 1%. ¿Existe razón para rechazar la hipótesis de la media de la población es de 46.0?1 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

Datos:

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

n=25

´x =42

s=8

µ=46

f) Formule las hipótesis bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

Ho:

µ=46 cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) Ho: µ≠46 dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) g) ¿Cuáles son los valores críticos de la prueba? eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) α=0.01 gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg)

G.l

= n-1 hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) G.l=24 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) tα=Ttabla(α=0.01; G.l=24)= 2.492 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) h) Calcular el valor estadístico de la prueba kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

x´ −µ s √n

42−46 8 √ 25

= -2.5

i) ¿Cuál es su conclusión? Se rechaza Ho y se acepta H1 es decir que la media de la población de observadores no es 46 llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll)

Ejercicio 5: Un fabricante desea

hacer público, a fin de aumentar sus ventas, que el contenido de nicotina de sus cigarrillos tienen un promedio inferior a los 22mg. Una oficina gubernamental de salud y del medio ambiente realiza un análisis de 10 cigarrillos y obtiene los contenidos de nicotina para cada uno, siendo de: 15 Martinez, C. (2012). Estadistica y muestreo. Bogota: ECOE.

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 21

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

x x−´¿ ¿ ¿ ¿ ∑¿

0.36

12.96

5.76

19.36

2.56

6.76

0.16

19.36

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) a) Calcular la hipótesis pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp)

Ho:

μ =22 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

H1:

μ<22 rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) b) Con α=0.05. ¿Cuáles son los valores críticos para el estadístico de prueba? ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) α=0.05 uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) G.l= n-

1 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) G.l=9 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww tα=Ttabla(α=0.05; G.l=9)= -1.833 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) c) Calcule la media muestral yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) ´x =

204 =20.4 10

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) d) Calcule la desviación muestral aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

√

∑ (x− x´ )2 n−1

ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

√

80.4 10−1

ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) s=2.99 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) e) Calcule el valor del estadístico de prueba fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) t x´ −µ s √n

20.4−22 2.99 √ 10

= -1.69

f) Conclusión: El contenido de nicotina en el tabaco es diferente es decir que el investigador no está en lo cierto hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) g) Que puede decir acerca del valor P. iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) P≤ α jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) (1.383; 1.833) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

(0.10;

0.05) ≤ 0.05 (FALSO) lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm Se acepta Ho es decir que el nivel del cigarrillo es diferente a 22

15. ESTADISTICO DE PRUEBA EN LA PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA PROPORCION POBLACIONAL nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)

Según

[CITATION And08 \l 12298 ] ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp)

En esta

sección se muestra como realizar la prueba de hipótesis para la proporción poblacional p. mediante Po se denota la proporción poblacional las tres formas de una prueba de hipótesis para la proporción poblacional son las siguientes16: qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Cola derecha Cola izquierda rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) P≥ Po Ho: Ho: P≤ Po H1: P< Po H1: P> Po 16 [CITATION And08 \l 12298 ]

Bilateral Ho: P=Po H1: P≠ Po

sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu Aplicaciones: 1. El centro NN para el desarrollo de la fuerza de trabajo encontró que 40% de los usuarios de internet recibieron más de 10 mensajes de correo electrónico por día en el año 2000, en el 2001 se repitió un estudio similar acerca del uso del correo electrónico. El propósito del estudio fue ver si aumento el uso de email. a) Formule H0 y H1 para determinar si ocurrió un incremento en la proporción de usuarios de internet vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

Ho: P≤0.40 wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww Ho: P ¿ 0.40 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) b) Con α= 0,05 cuál es el valor crítico y cuál es el valor de rechazo yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) Z ≥ Zα Se rechaza Ho aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) c) Si en una muestra de 420 usuarios se encontró que 188 reciben más de 10 mensajes bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) ṗ=

h n

DATOS P= 0,40

n = 420 cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

ṗ=

h = 188 dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd)

ṗ=0,4476

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

188 420

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff)

ṗ−P

√

P (1−P) n

gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg)

0,4476−0,40

√

0,40(1−0,40) 420

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) Z =1.99 2. Un estudio realizado por Consumer Reports indica que 64% de los clientes de los supermercados piensa que los productos de las marcas de los supermercados son tan buenos como las marcas nacionales. Para investigar si estos resultados aplican a sus propios productos, un fabricante de salsa de tomate de una marca nacional, preguntó a los integrantes de una muestra si consideraban a las salsas de tomate de las marcas de los supermercados tan buenas como la marca nacional a) Formule las hipótesis para determinar si el porcentaje de clientes de los supermercados que considera a las salsas de tomate de las marcas de los supermercados tan buenas como la marca nacional difiere de 64%. iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) Ho: P ≥ 0.64 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) H1: P ¿ 0.64

b) Si en una muestra de 100 clientes 52 opinan que las marcas de los supermercados son

tan buenas como las marcas nacionales, ¿cuál es el valor-p? llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm DATOS P= 0,64 n = 1000 h = 52

Z ≤ Zα Se rechaza Ho nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)

c) Con α = 0.05, ¿cuál es la conclusión? oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) ṗ=

h n

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) ṗ=

52 100

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) ṗ=0,52

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

√

ṗ−P P ( 1−P ) n ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss)

0.52−0.64

√

0.64(1−0.64) 100

= 2.5

d) ¿Le dará gusto esta conclusión al fabricante de la marca nacional de salsa de tomate? Explique. tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

P= 0.5-P(z=-2.5)

Se rechaza Ho: P≤α uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) 0.0062 ≤ 0.05

= 0.5- 0.4938

vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) P = 0.0062

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww Se rechaza H0 en consecuencia la salsa de tomate de supermercado con la salsa de tomate nacional son diferentes en sus porcentajes. 3. Drugstore.com fue la primera compañía en ofrecer ventas al menudeo de medicamentos por internet. A los clientes de Drugstore.com se dio la oportunidad de comprar productos para su salud, belleza, cuidado personal, bienestar y reabastecimiento farmacéutico vía internet. Al final de 10 meses de operación, la compañía informo que 44% de las órdenes fueron de clientes que ya habían comprado antes. Suponga que Drugstore.com utilizara una muestra de órdenes de clientes cada trimestre para determinar si la proporción de órdenes de clientes repetidos cambio desde P= 0,44 inicial. a) Formule la hipótesis nula y alternativa xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Ho: P=0.44 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

H1:

P≠ 0.44 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) b) Durante el primer trimestre se observaron 205 clientes repetidos en una muestra de 500 órdenes ¿Cuál es el valor ṗ? ¿Cuál es su conclusión con α= 0,05? bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

ṗ=

h n

ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) ṗ=

205 500

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

ṗ=0,41

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) ṗ−P Z= hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) P (1−P) n iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

√

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) 0,41−0,44 z= 0,44 (1−0,44) 500

√

Z =1,35

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll)

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp)

qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) EJERCICIOS CONSULTADOS rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

1. Considere

la prueba de hipótesis siguiente: sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

H 0: p ≤ 0,75

H 1 : p>0,75

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) Se seleccionó una muestra de 300 elementos. Calcule el valor-p y establezca su conclusión para cada uno de los resultados muéstrales siguientes. Use α = 0.05. vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

√

ṗ−P P(1−P) n

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

√

0,68−0,75 0,75(1−0,75) 300

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Z =−2,8

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) Se rechaza H0 y se acepta H1 Z= b.

√

ṗ−P P (1−P) n

17 [ CITATION MarcadorDePosición1 \l 12298 ]

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz)

√

0,72−0,75 0,75(1−0,75) 300

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) Z =−1,20 bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) e acepta H0 y se rechaza H1 Z= c.

√

ṗ−P P (1−P) n

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

√

0,70−0,75 0,75(1−0,75) 300

dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) Z =−2,00

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) Se rechaza H0 y se acepta H1 Z= d.

√

ṗ−P P (1−P) n Z=

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff)

0,77−0,75

√

0,75(1−0,75) 300

gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) Z =0,80

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh)

e acepta H0 y se rechaza H1 iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii)

estudio

realizado

por

Consumer Reports indica que 64% de los clientes de los supermercados piensa que los productos de las marcas de los supermercados son tan buenos como las marcas nacionales. Para investigar si estos resultados aplican a sus propios productos, un fabricante de salsa de tomate de una marca nacional, preguntó a los integrantes de una muestra si consideraban a las salsas de tomate de las marcas de los supermercados tan buenas como la marca nacional a) Formule las hipótesis para determinar si el porcentaje de clientes de los supermercados que considera a las salsas de tomate de las marcas de los supermercados tan buenas como la marca nacional difiere de 64%. jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) H 0: p=0,64

llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) H 1 : p ≠0,64 b) Si en una muestra de 100 clientes 52 opinan que las marcas de los supermercados son tan buenas como las marcas nacionales, ¿cuál es el valor-p?

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm ṗ=

h n

nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ṗ=

52 100

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) ṗ=0,52

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) c) Con α = 0.05, ¿cuál es la conclusión? qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) Se rechaza H0 en consecuencia la salsa de tomate de supermercado con la salsa de tomate nacional son diferentes en sus porcentajes.

ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss)

tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) 3: Antes del Super Bowl de 2003, la ABC pronosticó que 22% de la audiencia por televisión expresaría interés por ver uno de sus próximos programas: 8 Simple Rules, Are You Hot? y Dragnet. Durante el Super Bowl, la ABC pasó comerciales sobre estos programas de televisión. Al día siguiente del Super Bowl, una empresa de publicidad tomó una muestra de 1 532 espectadores que los vieron, de los cuales 414 afirmaron que verían alguna de las series promovidas por la ABC. a) ¿Cuál es la estimación puntual de la proporción de espectadores que después de ver

los comerciales sobre los programas de televisión dijeron que los verían? vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww Ho: P = 0.22 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) 1:

P ≥ 0.22

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) b) Con α α = 0.05, determine si la intención de ver los programas de la ABC aumentó significantemente después de ver los comerciales. zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) ṗ=

h n

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) ṗ=

414 1532 ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) ṗ=0,27

ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd)

√

ṗ−P P (1−P) n

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee)

√

0,27−0,22 0,22(1−0,22) 1532

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff)

Z =4,72

c) ¿Por qué tales estudios son valiosos para las empresas y los negocios de publicidad? ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg)

e rechaza Ho en consecuencia los programas de la ABC aumentaron significativamente después de ver los comerciales. hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) 4: De acuerdo con un estudio realizado por el Census Bureau´s American Housing Survey, cuando una persona se muda de casa, el factor principal en la elección de su nuevo domicilio es que esté cerca de su trabajo (USA Today, 24 de diciembre de 2002). Según datos de 1990 de la Census Bureau, se sabe que 24% de la población de personas que se muda de casa da una “ubicación cercana a su trabajo” como el factor principal en la selección de su nuevo domicilio. Considere que en una muestra de 300 personas que se mudaron de casa en 2003, 93 lo hicieron para estar más cerca de su trabajo.

a) Formule la hipótesis: iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) Ho: P ≤ 0.24 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk)

H1: P ¿ 0.24 lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) b) ¿Cuál es la conclusión de la investigación? Use α = 0.05. mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) ṗ=

h n

ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) ṗ=

93 300

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) ṗ=0,31 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss)

√

ṗ−P P (1−P) n

Se rechaza H0 en consecuencia hay más personas que buscan un domicilio cercano a su trabajo Z=

ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

0,31−0,24

√

0,24(1−0,24) 300

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) Z =2,84 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) 5. Por estadísticas que se tienen, se ha podido establecer que por lo menos el 18

Martinez, C. (2012). Estadistica y muestreo. Bogota: ECOE.

40% de los jóvenes toman regularmente Coca-Cola, cuando tienen sed. Una muestra aleatoria de 450 jóvenes reveló que 200 de ellos solían tomar dicha bebida, cuando tenían sed. ¿Cuál podría ser su conclusión al nivel de 1% acerca de lo que muestran las estadísticas?

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww p=

200 =0,44=44 450

n=450

H 0 : P=0,40

250 =0,56 450 Z=

p−P pq n

√

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) H 1 : P ≠ 0,40 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) 2) ∝¿ 0,01 ∝ =0,005 3) 3) S p= √ pq 2 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 0,44−0,40 Z= =1,71 ( ) 0,44 0,56 4) 450

√

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) Z= Se ubica en la zona de aceptación, luego al nivel de 5% la conclusión a la que se llega es la de aceptar el 40% que arrojan las estadísticas; por lo tanto, no hay razón para rechazarlas. cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

6: Un

gerente de una compañía afirma que el porcentaje de atrasos en las horas de llegada al trabajo cobija al 25% de sus empleados. Solicita al jefe de personal la revisión de 40 tarjetas marcadas con las horas de llegada, en la quincena y encuentra que 8 han llegado tarde. Al nivel del 5% ¿hay razón para concluir que el gerente está exagerando? 19 [ CITATION MarcadorDePosición1 \l 12298 ]

dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) p=

8 =0,20 40

n=40

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff)

H 0 : P=0,25

gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) H 1 : P<0.25 1)

∝=0,05

S p= √ 0,2(0,8)=0,40 Z=

0,20−0,25

√

0,2(0,8) 40

=−0,79

4) Se ubica Z=-0,79 en la zona de aceptación; por lo tanto podemos concluir que a nivel de 5% el gerente no exagera hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) 7: Una empresa al seleccionar su personal lo somete a un concurso de entrenamiento. Por experiencia el 76% de los aspirantes aprueban el curso. Se efectúan ciertos cambios en el programa para el cual se inscriben 40 y 24 lo aprueban. ¿Podría afirmarse que los cambios introducidos reducen la selección? (∝=1 )

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) P= 1)

24 =0,60 40 H o :u p=0,76

jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) 2) ∝=0,01 3)

S ´p=

√

pq n

H 1 :u p < 0,76

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) Z=

p−U p

√

pq n

Como -2,07 cae en la región de aceptación, la 0,60−0,76 z= selección no se reduce con los cambios ( 0,6 introducidos, al nivel de 1% ) ( 0,4 ) llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) 40

√

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) Z= -2.7 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) 8. Se dice con frecuencia que la población de funcionarios públicos que tienen el hábito de fumar en horas de trabajo, es de 42%. La oficina gubernamental de salud desea realizar una campaña a fin de disminuir este porcentaje, para ello debe comprobarlo; así que decide realizar una investigación de muestreo a 25 funcionarios, encontrando que 13 de ellos fuman. ¿A nivel del 1% la oficina puede aceptar el porcentaje del 42% como indicador? qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) u p=P=42

13 =0,52 25

n=25

H 0 :u p=0,42

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) 2) ∝=0,01 3)

H 1 :u p ≠ 0,42

S p= √ pq t=

v =n−1=24

0,52−0,42 0,52 ( 0,48 ) 25−1

√

t=0.98 ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss) 5) Conclusión: Si hay razón para aceptar el 42% como indicador de fumadores en horas de trabajo al nivel del 1%

tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt) 9. El distribuidor de una máquina afirma, que el máximo de elementos defectuosos por hora que presenta su funcionamiento es del 3%. En una determinada hora se toma como muestra 20 artículos producidos, los que a su vez son sometidos a control, encontrando un artículo defectuoso. ¿Al nivel del 5%, se podrá decir que el porcentaje de defectuosos es superior al señalado por el distribuidor? uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu)

atos: vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) p=

P=3

n=20

1 =0,05=5 20 ∝=0,05

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww H 0 : P=0,03 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) H 1 : P>0,03 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) 1) S p= √ pq t= 2)

0,05−0,03 0,05 ( 0,95 ) 20−1

√

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) t=0.4 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) 3) Conclusión : Con este resultado no se puede concluir, que el porcentaje de defectuosos sea superior al señalado por el distribuidor, al nivel del 5% bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd DISTRIBUCION DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES (X1; X2) CONOCIENDO σ 1Y σ 2

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff)

Esta prueba está indicada

en aquellos casos cuando se quiere establecer si la diferencia entre dos medidas muestrales, extraídas de dos poblaciones independientes, es significativas o si una media es mayor o menor que otra. ggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) Son ejemplos, cuando se quiere probar ¿si la accidentalidad vehicular es mayor en hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) la población femenina que en la masculina? ¿Si hay alguna diferencia en los hábitos de fumar de los hombres y mujeres? ¿Si la duración de un producto de la iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) marca A es diferente a la de la marca B? Como se observa, estos interrogantes jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) encierran en la comparación entre dos poblaciones kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk) lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll)

Mediante varios ejemplos,

indicaremos el proceso a seguir en la realización de pruebas de diferencias cuando dos muestras son grandes (mayores a 30) o cuando se dan las desviaciones típicas poblacionales, en este último caso no nos interesa los tamaños muestrales, pues los procesos son iguales, solo que las varianzas poblacionales son sustituidas por las varianzas muéstrales.

mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm x´1− x´2 ´x − ´y ´x − ´y Z= Z= Z = nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) σ 2x σ 2y s2x s 2y S 21 S 22 ó + + + n 1 n2 n1 n2 n1 n2 ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo)

√

ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq)

rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr) Aplicaciones 1. Supongamos que la empresa desarrollo un curso de entrenamiento para sus técnicos, formando dos grupos y aplicando métodos distintos de entrenamiento.

Los dos grupos se consideran homogéneos en capacidad. El primer grupo lo componen 36 técnicos que obtuvieron un puntaje de 6 (en una escala de 0 a 10 puntos) y una desviación típica de 4 puntos y el segundo grupo de 40 técnicos cuyo promedio fue 8,2 y desviación típica de 4,3 puntos. ¿Se puede concluir que el método aplicado al segundo grupo al primero? Nivel 1% sssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss)

Paso

Formular la hipótesis ttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

H 0 : μ ≤ 15

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) H 1 : μ>15 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv)

aso 2: Análisis punto critico

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww Regla xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) Z < Zα Rechazar H 0 yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) = 0,01 zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) 3: aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)

x´1− x´2

√

S 21 S 22 + n1 n2

Paso

bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb)

6−8,2

√

4 2 4,32 + 36 40

cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc)

-2,43 dddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) C onclusión: Como el valor calculado cae en la zona de aceptación se acepta Ho no existe diferencia significativa que el método B sea superior al método A

eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee DISTRIBUCION DE DIFERENCIAS ENTRE DOS PROPORCIONES MUESTRALES (P1; P2) ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg) S e ha dicho en repetidas ocasiones, que las proporciones son utilizadas como medidas aplicadas a características cualitativas (atributos). La prueba de hipótesis, como en los casos anteriores, implica el uso de la distribución normal, que nos permite establecer si hay o no alguna diferencia entre dos proporciones, obtenidas en dos poblaciones independientes, o si un grupo tuvo una proporción mayor que el otro. hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh) p 1−p 2 z= p1 q 1 p 2 q 2 p1 q1 p2 q2 S p´ − p´ = + iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii) n1 n2 + n1 n2 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj) 1

√

kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk Aplicaciones 1. En una encuesta se preguntó sobre los hábitos de lectura, utilizando una muestra aleatoria de 350 señoras que trabajan y otra muestra independiente de 325 que no lo hacen. En el primer caso, 105 manifestaron que estaban suscritas a cierto tipo revista. En el segundo, la respuesta fue de 130 que no estaban suscritas ni mostraban interés por ninguna revista, argumentando la falta de tiempo. ¿Al

nivel del 1% se podrá afirmar que las señoras que trabajan leen menos que las señoras que trabajan?

llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll) h ´p= n mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 105 p´ 1= =0,3231 350 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn) H 0 : p 1= p 2

130 =0,40 325 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo) H 1 : p 1< p 2

p´ 2=

pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp) qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq) Regla rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr)

Z < Zα Rechazar H 0

α=0.01 ssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssssss)

p 1−p 2

√

p1 q1 p2 q2 + n1 n2

tttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt)

0,3231−0,40

√

0,3231(0,6769) 0,40( 0,60) + 350 325

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu) z = -2,73 vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv) C onclusión: Como cae en la zona de rechazo Ho ha afirmado que las madres que trabajan leen menos.

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww EJERCICIOS CONSULTADOS xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx) E jemplo 1: Durante el 2003 los precios de la gasolina alcanzaron record de precios altos en 16 estados de Estados Unidos (The Wall Street Journal, 7 de marzo de 2003). Dos de los estados afectados fueron California y Florida. La American Automobile Association encontró como precio medio muestral por galón $2.04 en California y $1.72 por galón en Florida. Use 40 como tamaño de la muestra de California y 35 como tamaño de la muestra en Florida. Suponga que estudios anteriores indican que la desviación estándar poblacional en California es 0.10 y en Florida 0.08. a) ¿Cuál es la estimación puntual de la diferencia entre los precios medios poblacionales por galón en California y Florida? yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy) X =ẋ 1−ẋ 2

DATOS ẋ = 2,04 n = 40 ʃ = 0,10

DATOS ẋ = 1,72 n = 35 ʃ = 0,8

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz) X =2,04−1,72

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa) X =0,32 b) ¿Cuál es el margen de error con un 95% de confianza? bbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb) ccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc) NC=95

ddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddddd) α =5 eeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee) Z =1,96

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff) c) ¿Cuál es la estimación por intervalo de 95% de confianza para la diferencia entre los precios medios poblacionales por galón en California y en Florida?

√

S 22 S 22 + n2 n2

ẋ 1−ẋ 2± Z α

0,102 0,82 2,04−1,72± 1,96 + 40 35

0,32 ±0,27

(0,05 ; 0,59)

√

f. g. Ejemplo 2: Arnold Palmer y Tiger Woods son dos de los mejores golfistas de todos los tiempos. Para comparar a estos dos golfistas en los datos muestrales siguientes se proporcionan los resultados de puntuaciones del hoyo 18 durante un torneo de la PGA. Las puntuaciones de Palmer son de la temporada de 1960 y las de Woods son de la temporada de 1999 (Golf Magazine, febrero de 2000). Palmer,1960

h. Woods, 1999

n1=112 n 2=84

´x 1=69.95 ´x2=69.56 j. Use los resultados muestrales para probar la hipótesis de que entre los dos jugadores no hay diferencia en las medias poblacionales de las puntuaciones del hoyo 18. a) Con una desviación estándar poblacional de 2.5 para ambos golfistas, ¿cuál es el valor del estadístico de prueba? ẋ 1−ẋ 2 Z= S 12 S 22 k. + n1 n 2

√

l. Z= m.

69,95−69,56

√

2,52 2,52 + 112 84

n. o. Z =1,08 p. b) ¿Cuál es el valor-p? α q. P≤ 2

DATOS ẋ = 69,95 n = 112 ʃ = 2,5

DATOS ẋ = 69,56 n = 84 ʃ = 2,5

2P≤α

2(O ,5−0,3599)≤ 0,01

0,2802≤ 0,01

u. c) Si α = 0.01, ¿cuál es su conclusión? v.

w. x.

Se acepta H0 en consecuencia no existe una diferencia entre los dos golfistas

y. Ejemplo 3: En una encuesta de BusinessWeek/Harris se pidió a los ejecutivos de empresas grandes su opinión acerca de sus perspectivas económicas para el futuro. Una de las preguntas era: ¿Piensa usted que en los próximos 12 meses aumentará en su empresa el número de empleados de tiempo completo? En esa encuesta 220 de 400 ejecutivos contestaron sí, mientras que en la encuesta realizada el año anterior, 192 de 400 respondieron sí. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para estimar la diferencia entre las proporciones en estas dos encuestas. Dé su interpretación de la estimación por intervalo. H 0: P 1=P 2

z. DATOS n = 200 h = 220

H 1 : P 1≠ P 2

aa.

DATOS n = 400 h = 192

bb. cc. h dd. ṗ= n 220 400

ee.

ṗ=

ff.

ṗ=0,55

ṗ=

h n

ṗ=

192 400

ṗ=0,48

gg. Z= hh.

√

ṗ 1− ṗ 2 P 1 Q1 P 2 Q2 + n1 n2 ii.

jj.

kk.

0,55−0,48

√

0,2475 0,2496 + 400 400

= 1.99

α =0,05

ll.

Se rechaza H0 en consecuencia no hay diferencias en las perspectivas de la empresa mm. nn. Ejemplo 4: En un estudio de la American Automobile Association se estudió si era más probable que conductores hombres o mujeres se detuvieran para solicitar indicaciones sobre cómo llegar a una dirección (AAA, enero de 2006). En el estudio se preguntaba: “Si usted y su cónyuge van en su automóvil y se pierden, ¿se detiene para preguntar por la dirección que busca?” En una muestra representativa se encontró que 300 de 811 mujeres dijeron que sí se detenían para preguntar y 255 de 750 hombres dijeron que sí se detenían para preguntar. a) La hipótesis de investigación afirmaba que era más probable que las mujeres se detuvieran para preguntar por la dirección. Formule la hipótesis nula y alternativa para este estudio. oo.

H 0: P 1=P 2

pp. H 1 : P 1> P 2 qq. b) ¿Cuál es el porcentaje de mujeres que dijeron detenerse para preguntar por la dirección? rr.

ṗ=

ss.

ṗ=

h n 300 811

DATOS n = 811 h = 300

tt. ṗ=0,37=37 uu. c) ¿Cuál es el porcentaje de hombres que dijeron detenerse para preguntar por la dirección? vv. DATOS n = 750 h = 255

ṗ=

a. ww.

h n ṗ=

255 750

xx. ṗ=0,34=34 yy. d) Pruebe la hipótesis usando α = 0.05. ¿Cuál es el valor-p y cuál es la conclusión a la que esperaría usted que llegara la asociación? zz. Z= aaa. Z=

√

ṗ 1− ṗ 2 P 1 Q1 P 2 Q2 + n1 n2 0,37−0,34

bbb.

√

ccc.

Z =1,24

0,37(1−0,37) 0,34(1−0,34) + 811 750

ddd. eee.

P≤ α

fff.

(O ,5−0,3925)≤ 0,05

ggg.

0,1075 ≤0,05

hhh.

Se acepta H0 en consecuencia las mujeres se detienen más que los hombres

Ejemplo 5: El Bureau of Transportation de Estados Unidos vigila la

puntualidad de la llegada de los vuelos de las 10 principales aerolíneas de ese país (The Wall Street Journal, 4 de marzo de 2003). Los vuelos que llegan con no más de 15 minutos de retraso se consideran a tiempo. Los siguientes son datos estadísticos del Bureau pertenecientes a enero de 2001 y a enero de 2002. iii. Enero 2001 En una muestra de 924 vuelos, 742 llegaron a tiempo. jjj. Enero 2002 En una muestra de 842 vuelos, 714 llegaron a tiempo.

a) Dé una estimación puntual de la proporción de vuelos que llegaron a tiempo en 2001. kkk. lll.

ṗ=

mmm.

h n DATOS

742 ṗ= 924

n = 924

ṗ=0,803 h = 742 nnn. ooo. b) Suministre una estimación puntual de la proporción de vuelos que llegaron a tiempo en

2002. ppp. qqq.

ṗ=

DATOS

h n

n = 842 h = 714

714 rrr. ṗ= 842

sss. ṗ=0,848 ttt. c) Sea p la proporción poblacional de los vuelos que llegaron a tiempo en 2001 y p2 la proporción poblacional de los vuelos que llegaron a tiempo en 2002. Plantee las hipótesis a probar para determinar si la puntualidad de las principales líneas aéreas mejoró en este periodo de un año. uuu.

H 0: P 1=P 2

vvv.

H 1 : P 1> P 2

d) Si α = 0.01, ¿cuál es su conclusión? Z=

www.

ṗ 1− ṗ 2

√

P 1 Q1 P 2 Q2 + n1 n2

0,803−0,848

xxx.

√

yyy. zzz.

Z =−2,48

aaaa.

0,803(1−0,803) 0,848 (1−0,848) + 924 842

Se rechaza Ho en consecuencia no mejoro la puntualidad de las aerolíneas

bbbb. DISTRIBUCION DE DIFERENCIAS ENTRE DOS MEDIAS MUESTRALES CON DATOS MENORES A 30 “t” cccc. dddd.

De acuerdo con el teorema de

Limite Central, cuando ambas variables presentan tamaños muestrales (n1 y n2) superiores a 30, tendrán un comportamiento similar a la distribución normal, por lo tanto aplicamos Z. En el caso, que ambos tamaños muestrales sean menores o iguales a 30, se aplicara la distribución “t” de Student, utilizando diferentes fórmulas de acuerdo a la forma en la que se dé la información. eeee.

Cuando

ejercicio

suministra información para cada una de las observaciones muestrales, es preferible calcular una varianza común para las dos muestras, siendo:

ffff.

gggg.

1−¿ ´x x¿ ¿ 1−¿ ´y y¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ∑¿ S 2=¿ Con el resultado obtenido al

aplicar la formula anterior, nos permite calcular el error estándar para la diferencia entre las medias muestrales

t= hhhh.

√

x´ − ´y s ² s² + n1 n2

iiii.

Aplicaciones

jjjj.

1: Un fabricante de cigarrillos analiza el tabaco de dos marcas diferentes,

para determinar el contenido en nicotina y obtiene los resultados siguientes (en miligramos): kkkk.

llll. 24

Marca

mmmm.

nnnn.

oooo.

pppp.

A: qqqq.

rrrr.

ssss.

tttt.

uuuu.

vvvv.

Marca

B: wwww. xxxx.

¿Los resultados anteriores,

señalan que existe una diferencia en el contenido medio de nicotina en ambas marcas? Siendo yyyy.

zzzz.

1−¿ ´x x¿ ¿ ¿ ¿ ∑¿

1−¿ ´y y¿ ¿ ¿2 ¿ ¿ ∑¿

aaaaa.

S 2=

bbbbb.

10+ 10 20 = =2,5 5+5−2 8

ccccc. ´x − ´y =¿

ddddd.

√

2,5 2,5 + =√ 1=1 5 5 s¿

eeeee. H 0 : μ x =μ y

1. fffff.

H 1: μx ≠ μy

2. α= 0,05 ggggg. hhhhh. iiiii. jjjjj. kkkkk. lllll.

mmmmm.

nnnnn. 5+5-2=8

´x − ´y =¿ 1 s¿

4. t=

(24−27) −3 = =−3 1 1

µ= n1 +n2−2

µ=

ooooo.

ppppp. ENSAYO DE HIPOTESIS EJEMPLO DE HIPOTESIS CON TRES VARIABLES qqqqq. rrrrr.

aplican

tres

métodos

diferentes de enseñanza a estudiantes de primer año de universidad en tres paralelos, Luego de haber recibido la misma materia se aplica un test de conocimiento a todos los alumnos, se procede a extraer muestras en cinco alumnos de cada paralelo. Probar la hipótesis de que el rendimiento medio de los tres grupos de alumnos es el mismo, es decir no hay diferencia en el rendimiento de los alumnos con respecto al método de enseñanza, con un nivel de significación de 1%. sssss.

Cuadro De Resultados

ttttt.

uuuuu.

MÉTOD OA

vvvvv. MÉTOD

(Xa− X´ a)²

zzzzz. 6 ffffff. 6 llllll. 2 rrrrrr. 7

xxxxx.

( Xb− X´ b)²

aaaaaa.

bbbbbb.

1,14 gggggg.

8 hhhhhh.

1,44 mmmmmm.

7 nnnnnn.

7,84 ssssss.

tttttt.

xxxxxx.

zzzzzz.

3 ddddddd.

3,24 eeeeeee.

fffffff.

TOTAL:2

18,8

6 TOTAL

cccccc.

dddddd. 4

iiiiii. 1 oooooo.

eeeeee.

5 jjjjjj.

1 kkkkkk.

8 pppppp.

16 qqqqqq.

0 wwwwww.

uuuuuu.

vvvvvv.

1 aaaaaaa.

2 bbbbbbb.

ccccccc.

0 ggggggg.

1 hhhhhhh.

iiiiiii.

TOTAL:

:30

4 9 30

kkkkkkk.

Xa= 4,8 6

( Xc− X´ c ) ²

4 5

yyyyy.

MÉTOD

4,84 yyyyyy.

4 jjjjjjj.

wwwww.

Xc= 4

Xb=

X´ g=4,92

lllllll. mmmmmmm.

Proceso

nnnnnnn.

Con tres variables el estimador

a utilizarse es el ANALISIS DE VARIANZA O RAZON “b” 1. PLANTEO DE HIPÓTESIS 1.1 Modelo lógico: ooooooo.

Ho: El rendimiento medio de

los alumnos en los tres grupos es el mismo cualquier sea el método de enseñanza que se aplique. ppppppp. qqqqqqq.

H1: El rendimiento medio de

los tres grupos difiere significativamente con relación al método de enseñanza rrrrrrr. 1.2 Modelo Matemático: sssssss.

Ho:

X´ a= X´ b= X´ c → Xa− Xb− Xc=0 ttttttt.

H1:

´ c → Xa− Xb−Xc=0 X´ a ≠ X´ b ≠ X

1.3 Estimador estadístico uuuuuuu. vvvvvvv. S 2=

´ g )² na ( X´ a− X´ g ) ²+nb ( X´ b− X´ g ) ²+ nc ( X´ c− X n−1

wwwwwww. S 2=

∑ ( Xa− X´ a ) ²+∑ ( Xb− X´ b ) ² +∑ ( Xc− X´ c ) ² n 1−n 2−n 3−3

s² s²

xxxxxxx.

∑ X´ = n

yyyyyyy.

∑ ( X 1+ X 2+ X 3) X´ g= n 1+n 2+n 3

2. NIVEL DE SIGNIFICACIÓN zzzzzzz. aaaaaaaa.

α= 0,01 F1= D1/D2 (Ft= Valor de f

obtenido de la tabla) bbbbbbbb.

D1= Grados de libertad entre

clases n-1------ 3-1=2 cccccccc.

D2= Grados de libertad dentro

de clases: n1-n2-n3-3-------5-5+5-3=12 dddddddd.

Ft=2/12= 6,93

eeeeeeee. 3. REGLA DE DECISIÓN: ffffffff.

Se acepta la hipótesis nula si

el valor de la razón “F” al calcularse es igual o menor a 6,93 caso contrario se acepta la hipótesis alternativa de la investigación 4. CÁLCULO DE LA RAZON “F” gggggggg.

s² s²

hhhhhhhh. S 2=

5 ( 4.8−4.93 )2 +5 ( 6−4.93 )2 +5(4−4.93) 3−1

iiiiiiii.

jjjjjjjj.

kkkkkkkk.

S 2=10.13 S 2=

18,8−10+30 5+5+ 5+3

S =4,9

llllllll. mmmmmmmm.

10,13 4,9

F=2,07

5. CONCLUSIÓN FINAL nnnnnnnn.

Ft= 6,93 >Fc=2,07 y de

acuerdo con lo establecido en la regla de decisión, se acepta la hipótesis nula, es decir, no hay diferencia significativa en el rendimiento medio de los estudiantes frente a los métodos de enseñanza cualquier diferencia es producto de muestreo oooooooo.

MODELO ESTADSTICO PARA COMPROBAR LA HIPOTESIS

pppppppp.

Para

resolución

problemas

planteados y de conformidad con la hipótesis estadística estipulada, es necesario trabajar con frecuencias observadas, que se les obtiene con la investigación en que se detecta que el mecanismo

predominante de explotación por parte de los parientes es el castigo con el cual obligan a la actividad mendicante de los niños.

qqqqqqqq.

Proceso Planteo de hipótesis

Estimador estadístico

Ho: el castigo y la recompensa son mecanismos que por igual emplean los parientes con los niños mendicantes H1: el castigo es el mecanismo predominante de explotación que los parientes emplean para obligar a los niños a la actividad mendicante, en el parque x de la ciudad y

Se dispone de información obtenida como producto de la investigación realizada a toda la población que se encontraba en el momento de aplicar la encuesta, (población flotante para la prueba de hipótesis que se tiene frecuencias, es recomendable utilizar la prueba de Chi-cuadrado () que permite determinar si el conjunto de frecuencias observadas ajustan a un conjunto de frecuencias esperadas o teóricas y se aplica la formula

1. Nivel de significancia y regla de decisión: rrrrrrrr. α= 0.05 ssssssss. G.l: (c-1) (f-1) → (2-1) (3-1) = 2 tttttttt.

uuuuuuuu. vvvvvvvv. Se acepta la hipótesis nula si el valor a calcularse de valor de

es menos al

X 2 tabular = 5.99; caso contrario se rechazo

wwwwwwww. xxxxxxxx. Prueba de hipótesis Chi cuadrado X2 yyyyyyyy. Esta prueba puede utilizarse incluso con datos medibles en una escala nominal. La hipótesis nula de la prueba Chi-cuadrado postula una distribución de probabilidad totalmente especificada como el modelo matemático de la población que ha generado la muestra. zzzzzzzz. Para realizar este contraste se disponen los datos en una tabla de frecuencias. Para cada valor o intervalo de valores se indica la frecuencia absoluta observada o empírica (Oi). A continuación, y suponiendo que la hipótesis nula es cierta, se calculan para cada valor o intervalo de valores la frecuencia absoluta que cabría esperar o frecuencia esperada (Ei=n·pi , donde n es el tamaño de la muestra y pi la probabilidad del i-ésimo valor o intervalo de valores según la hipótesis nula). El estadístico de prueba se basa en las diferencias entre la Oi y Ei y se define como: k

aaaaaaaaa.

bbbbbbbbb.

X =∑ 2

( F o−F e ) Fe

Este estadístico tiene una distribución Chi-cuadrado con k-1 grados

de libertad si n es suficientemente grande, es decir, si todas las frecuencias

esperadas son mayores que 5. En la práctica se tolera un máximo del 20% de frecuencias inferiores a 5. 2. Calculo de “Chi - cuadrado” ccccccccc.

X 2 datos obtenidos de la investigación

ddddddddd. CASTIGO

ggggggggg.

hhhhhhhhh.

Mañana: 10 – 12

28 (28.54)

kkkkkkkkk.

lllllllll.

Tarde: 14 - 17

eeeeeeeee. RECO

fffffffff. L

TOTA

MPENSA iiiiiiiii. 10 (9.46)

jjjjjjjjj.

mmmmmmmmm.

nnnnnnnnn.

35 (25.9)

104

ooooooooo.

ppppppppp.

qqqqqqqqq.

Noche: 18 - 22 sssssssss. TOTA L

93 (83.36)

18 (27.64)

rrrrrrrrr. 111

(78.1)

ttttttttt.

190

uuuuuuuuu.

vvvvvvvvv.

253

wwwwwwwww. xxxxxxxxx.

Los valores que se encuentran en paréntesis (

) son las

frecuencias esperadas; se calcula multiplicando los totales marginales y dividido para el gran total. Ejemplo: (190) (38) /253 = 28.54 1. Tabla de frecuencias observadas (O) y esperadas (E) yyyyyyyyy. zzzzzzzzz. O

aaaaaaaaaa.

Frecuencias observadas

cccccccccc.

ffffffffff. 69 iiiiiiiiii. 93 llllllllll. 10 oooooooooo. rrrrrrrrrr. uuuuuuuuuu.

dddddddddd. 4

bbbbbbbbbb. 2 (O−E) E

28.5

eeeeeeeeee.

0.01

hhhhhhhhhh. kkkkkkkkkk. nnnnnnnnnn.

1.06 1.11 0.03

gggggggggg. 78.1 jjjjjjjjjj. 83.36 mmmmmmmmmm. 9.46 35 18

pppppppppp. 25.9 ssssssssss. 27.64 vvvvvvvvvv.

xxxxxxxxxx. yyyyyyyyyy.

Frecuencias esperadas

6. CONCLUSION

qqqqqqqqqq. 3.2 tttttttttt. 3.26 wwwwwwwwww. X 2 c=8.77

zzzzzzzzzz.

El valor de

X c=8.77> X t=5.99

y de conformidad a lo

establecido en la regla de decisión se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alterna, es decir, se confirma que el castigo como mecanismo de explotación que los parientes ejercen sobre los niños mendicantes. aaaaaaaaaaa.

No normales

Tipos de datos

Independientes

U de MannWithney

Dependientes

Wilcoxon

bbbbbbbbbbb. ccccccccccc.

PRUEBA DE HIPOTESIS CHI CUADRADO

ddddddddddd. eeeeeeeeeee.

fffffffffff. Pe

ggggggggggg.

hhhhhhhhhhh.

Igual

Mejor

jjjjjjjjjjj. 7

kkkkkkkkkkk.

lllllllllll.

iiiiiiiiiii.

Tr atamient o1

mmmmmmmmmmm. nnnnnnnnnnn.

ooooooooooo.

ppppppppppp.

Tratamiento 2

qqqqqqqqqqq.

rrrrrrrrrrr.

sssssssssss.

Tratamiento 3

ttttttttttt. 90

uuuuuuuuuuu.

vvvvvvvvvvv.

wwwwwwwwwww.xxxxxxxxxxx.

Tratamiento 4

115

yyyyyyyyyyy. zzzzzzzzzzz.

La prueba chi ve si hay independencia o relación entre las variables

aaaaaaaaaaaa. bbbbbbbbbbbb. Nivel de Educación

cccccccccccc.

dddddddddddd. eeeeeeeeeeee. Primaria

Secundaria

gggggggggggg. hhhhhhhhhhhh. iiiiiiiiiiii. 5 Solteros 14 kkkkkkkkkkkk. llllllllllll. 1

ffffffffffff. U niversi dad jjjjjjjjjjjj. 6

4 5 mmmmmmmmmmmm. nnnnnnnnnnnn.

Casados 5 34 45 oooooooooooo. pppppppppppp. qqqqqqqqqqqq. rrrrrrrrrrrr. Viudos ssssssssssss.

tttttttttttt. uuuuuuuuuuuu. vvvvvvvvvvvv. wwwwwwwwwwww. xxxxxxxxxxxx. yyyyyyyyyyyy. zzzzzzzzzzzz. aaaaaaaaaaaaa. bbbbbbbbbbbbb. ccccccccccccc. ddddddddddddd. eeeeeeeeeeeee. fffffffffffff. ggggggggggggg. hhhhhhhhhhhhh. iiiiiiiiiiiii. jjjjjjjjjjjjj. kkkkkkkkkkkkk. lllllllllllll. mmmmmmmmmmmmm. nnnnnnnnnnnnn. ooooooooooooo. ppppppppppppp. qqqqqqqqqqqqq.

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