La geometria a Egipte by Lluís Botella

Marina Pellín Aznar Matemàtiques 1r BATX D I.E.S. Figueras Pacheco C: 2008- 2009

ÍNDEX

pag

1. INTRODUCCIÓ -------------------------------------------------------------------------4

2. SUPERFÍCIES ---------------------------------------------------------------------------- 5

2.1.CAMPS DE LÍMITS RECTILINIS------------------------------------------------- 6 2.1.1.Representació dels camps. -----------------------------------------------2.1.2. Àrea del rectangle. --------------------------------------------------------2.1.3. Àrea del triangle. ----------------------------------------------------------2.1.4. Àrea del trapezi-------------------------------------------------------------

6 7 7 8

2.2. CAMPS DE LÍMITS CURVILINIS-------------------------------------------------9 2.2.1. Relació entre cercle i octògon. -------------------------------------------9 2.2.2. Àrea del cercle. --------------------------------------------------------------10 2.2.3. Explicacions alternatives àrea cercle. -------------------------------------11 2.3. PROBLEMES---------------------------------------------------------------------------12 2.3.1. Problema 6 Papir Moscou. ----------------------------------------------12 2.3.2. Problema 7 Papir Moscou. -------------------------------------------------13

3. VOLUMS----------------------------------------------------------------------------------14

3.1. LES PIRÀMIDES---------------------------------------------------------------------15 3.1.1. Càlcul pendent de la piràmide. -------------------------------------------16 3.1.2. Càlcul volum de la piràmide. ---------------------------------------------18 3.1.3. Càlcul volum del tronc de piràmide. --------------------------------------19 3.2. ELS GRANERS------------------------------------------------------------------------22 3.2.1. Formes dels graners. -------------------------------------------------------22 3.2.2. Càlcul volum d'un graner paral·lepíped. ---------------------------------23 3.2.3. Càlcul volum d'un graner cilíndric.----------------------------------------24 4. BIBLIOGRAFIA--------------------------------------------------------------------------25

1. INTRODUCCIÓ El curs passat vaig realitzar un treball sobre les matemàtiques en l'antic Egipte que tractava només dels números i les operacions. Al haver començat a estudiar geometria aquest trimestre em va semblar molt interessant investigar sobre com resolien en aquelles èpoques els problemes de geometria. D’aquesta manera, continue estudiant el que m'apassiona, el món i la cultura egipcis i, a més a més, coneixeré l'origen d'això que estem estudiant. Les dades que he trobat en els llibres i en internet no estructuren les matemàtiques dels egipcis com les entenem ara sinó que analitzen diferents papirs trobats on vénen els conceptes mesclats i expliquen tot el llistat de problemes que s'han descobert en els dits documents. De nou, una de les dificultades trobades ha sigut el poder seleccionar i estructurar la quantitat d'informació sobre el tema, que, en el cas de la geometria, em remetia als dos papirs principals: Rhind i Moscou havent-hi menys informació sobre geometria en el Rotllo de cuiro. Encara que ha sigut molt interessant, hi ha algunes qüestions, sobretot processos matemàtics i termes matemàtics que no he entès completament. De vegades m'ha costat comprendre el raonament del problema, i alguns conceptes matemàtics egipcis, entre altres raons, per la utilització de noms antics per a les unitats de mesura i els seus els múltiples i la seva conversió a unitats actuals. Encara que coneixia moltes dades de la cultura egípcia, no em podia imaginar que ja en aquella època conegueren i utilitzaren tants conceptes geomètrics i realitzaren càlculs tan complicats. El que sí m'ha fet veure l'elaboració del treball és com les matemàtiques no són quelcom que s’estudia perquè sí, independentment de la vida quotidiana. Tots els estudis de geometria egípcia que he pogut conèixer són resultat d'una necessitat del dia a dia, calcular distàncies, mesurar i repartir terrenys o espais, construir monuments, graners, etc. La paraula geometria al·ludeix a "mesurar la terra". A Egipte, any rere any, el Nil inundava els camps, destruint amb el seu llim les divisions abans traçades. Quan les aigües tornaven al seu llit, els agrimensors havien de traçar de nou els límits de les propietats de cada propietari. Els agrimensors i constructors de piràmides traçaven línies perpendiculars sobre el terreny, utilitzant una corda de dotze nusos equidistants. Amb aquest mètode dibuixaven en el sòl triangles rectangles de costats 3, 4 i 5. Per a la construcció de les impressionants piràmides, els egipcis obtenen fórmules que apliquen segons les seves necessitats. Encara que no es pot parlar d'una trigonometria en un àmbit general de la matemàtica egípcia, es coneix la utilització del que podria denominar-se una trigonometria rudimentària i una xicoteta teoria de triangles semblants que apareix en el papir Rhind.

2. SUPERFÍCIES El problema 50 de l'important papir Rhind mostra el càlcul d'un camp on es multipliquen els costats d'un quadrat de longitud 8 'khet' per a obtenir 64 'setat' de terra. Entenent que el 'khet' era un múltiple del colze equivalent a 1 khet = 100 colzes reals. Tot això indica que •

El 'setat' és la unitat fonamental de superfície equivalent a un quadrat d'un 'khet' de costat.

•

Donada l'equivalència del 'khet' de longitud, resulta que 1 setat = 10.000 colzes quadrats.

El 'setat' (que la influència grega traduiria tardanament com 'arura') equivalia aproximadament a un quadrat de terra d'uns 52 metres de costat. Esta és una extensió considerable, particularment en l'Imperi Nou que va conèixer una important fragmentació del terreny. S'utilitzaven subunitats del 'setat' en forma de fraccions (1/2 , 1/4 , 1/8 les més freqüents) que responien a noms propis. No obstant això, una alternativa a estes fraccions de 'setat' la constituïa el 'colze de terra', equivalent a una franja del 'setat' d'1 'khet' de llarg (100 colzes) per un colze d'ample, és a dir, 100 colzes quadrats.

Unitats de superfície Nom

equivalència

superfície

setat (arura)

10.000 colzes quadrats

2.735,29 m²

stȝ.t

setat

1.367,65 m²

rmn

remen

683,82 m²

ḥsb

hebes

remen hebes

1/2 setat 5.000 colzes quadrats 1/4 setat 2.500 colzes quadrats

jeroglífic

translit. trancrip.

1/8 setat 1.250 colzes quadrats

341,91 m²

sȝ

1/10 setat 1.000 colzes quadrats

273,53 m²

ḫȝ

1/100 setat 100 colzes quadrats

27,35 m²

mḥ

mej

10 setat100.000 colzes quadrats

27.352,9 m²

ḫȝt

jat

100 setat 273.529 m² 1.000.000 colzes quadrats.

ḫȝtȝ

jata

mej o colze de terra múltiples jat jata1

2.1. CAMPS DE LÍMITS RECTILINIS 2.1.1. Representació dels camps

Els camps no sols eren rectangulars sinó que presentaven altres formes. En general corresponia a quadrilàters però de dimensions irregulars el que, possiblement, conduïa a calcular àrees triangulars com a parts d'una d'estes formes irregulars. En tot cas, s'ha sabut d'estes formes distintes gràcies a l'existència, en diversos papirs administratius, de descripcions numèriques dels camps per mitjà de quatre números situats en creu. B A

C D

Estos números s'acompanyen del càlcul de les seves superfícies els resultats del qual coincideixen amb l'aplicació d'una fórmula explícitament coneguda pels romans, consistent a multiplicar la semi suma dels costats oposats, és a dir, trobar (a +c) / 2 X (b +d) / 2 Esta fórmula aproximativa bastava en molts casos per a arribar a una expressió prou pròxima de la superfície del camp, a partir de la qual i segons la qualitat de la terra, poder calcular la seva futura producció en sacs de cereal i, consegüentment, les taxes que haurien d'exigir-se al llaurador. Les dades numèriques de les dimensions, a més, han permès tenir una idea com cal de les formes dels camps quadrilàters que són registrats en papirs administratius com el Reinhardt o el Wilbour, entre les que sobreïxen rectangles de distintes dimensions i una variada classe de trapezis i trapezoides.

2.1.2. Àrea del rectangle. El rectangle era la forma bàsica dels camps egipcis, encara que no l'única. Solien estar alineats un junt amb un altre amb un dels costats més curts en contacte amb el canal de rec, a fi de beneficiar-se de l'aigua ocupant el menor lloc possible.

A més de les consideracions sobre la unitat bàsica de superfície, fora el colze quadrat o el “setat”, la veritat és que els escribes de l'època pareixen haver comprés perfectament el fet que la superfície d'un camp rectangular s'obté multiplicant les dimensions lineals dels seus costats. De manera que la unitat original de superfície és el quadrat i els resulta fàcil inferir que hi haurà tants quadrats inscrits en un rectangle com resulta de la multiplicació del llarg per l'ample.

2.1.3. Àrea del triangle. El problema 51 del papir de Rhind diu: Exemple de produir (l'àrea de) un triangle de terra. Si et diuen quina és l'àrea d'un triangle de 10 khet de myrt (altura) i 4 khet de base.

La resolució consisteix a prendre la meitat de la base per a, segons afirma el papir, 'completar el rectangle' de manera que al multiplicar per l'altura mencionada s'obté el resultat. La figura que es presenta en el papir és la d'un triangle rectangle on l'altura coincideix amb la longitud d'un dels catets. Això ha fet proposar la possibilitat de que el càlcul, en compte del correcte que hem apuntat, fora erroni pel fet que prendrien per altura un dels costats de forma general. En favor d'esta hipòtesi està el fet de que la dimensió de l'altura es col·loca fora de la figura triangular, sent l'altura, no obstant això, un segment fonamentalment interior. D'altra banda, també s'afirma que el terme myrt no és l'usual per a descriure l'altura, ja que quan es calcula el volum d'un graner l'altura rep el nom de k3w. No obstant això, esta enginyosa hipòtesi pareix improbable pel fet que, com s'ha

comprovat en altres papirs, l'escriba egipci reservava l'interior de les figures únicament per a expressar la seva superfície amb el que no cabria col·locar ací el valor de l'altura. D'altra banda, l'altura k3w d'un graner té un sentit físic del que manca l'altura myrt d'una figura plana, per la qual cosa té sentit que l'escriba les diferenciés per escrit.

Des del punt de vista matemàtic, és més interessant ressaltar el fet que el procediment per al càlcul de la superfície d'un triangle es recolza en el més bàsic de l'àrea del rectangle, 'transformant' el triangle en un rectangle. Açò cal fer-ho de dos formes en un triangle no rectangle: Bé conservant la mateixa base i altura (amb el que el rectangle resultant és d'àrea doble que el triangle), bé construint el rectangle de la mateixa altura sobre la meitat de la base. Aquest segon és un procediment més senzill ja que utilitza la superfície que hi ha (la que lleva d'un costat ho posa en l'altre) en compte de construir una superfície auxiliar que després cal partir per la meitat. A més, l'expressió 'completar el rectangle' a partir de la meitat de la base, com realitza el problema, apunta en la mateixa direcció.

2.1.4. Àrea del trapezi. El problema 52 del papir Rhind presenta el cas d'un 'triangle truncat', expressió amb què l'antic escriba egipci designava al trapezi. Si s'afegeix a aquest fet el que, en el dit papir, estos problemes es presenten immediatament després dels corresponents a superfícies de triangles, es podrà comprendre que el mètode utilitzat és semblant i consisteix, de nou, en 'completar el rectangle'.

Així, el problema afirma: Si et diuen Quina és l'àrea d'un triangle truncat de terra de 20 khet en la seva altura, 6 khet en la seva base, 4 khet en la seva línia truncada?. La forma de càlcul coincideix plenament amb l'actual: Afegir la seva base a la seva línia truncada, fa 10. Prendre la meitat de 10, és a dir, 5 per a (un costat de) el seu rectangle. Multiplicar 20 vegades 5, fa 100. Aquesta és l'àrea.

De nou, com en el cas del triangle, és necessari plantejar-se quina és la transformació realitzada per l'escriba per a passar d'un trapezi al rectangle d'àrea equivalent. Una possibilitat consistiria a afegir al trapezi original un igual però invertit, de manera que la figura resultant fora un romboide que tingués la mateixa altura i com a base la suma de les bases del trapezi. Òbviament, la seva àrea seria el doble pel que caldria dividir-la entre dos. Per tot això, la hipòtesi més probable sobre l'origen de la fórmula de càlcul del trapezi consistiria en prendre el rectangle que té per dimensions l'altura del trapezi i la seva base menor (la truncada en terminologia egípcia). Les parts restants són triangles que, tractats de la forma vista en un apartat anterior, resultarien equivalents a rectangles de la mateixa altura i base la meitat de la del triangle corresponent. Per un càlcul aritmètic resultaria que la base general del rectangle equivalent és la meitat de la suma de les dos bases del trapezi.

2.2. CAMPS DE LÍMITS CURVILINIS 2.2.1. Relació entre cercle i octògon. L'existència de camps circulars no està documentada en papirs administratius. Encara que són fàcils de traçar (basta una estaca central i una corda lligada a ella), no encaixen bé amb els límits d'altres camps i això repercutiria en la distribució de la terra i la recepció d'aigua dels canals per a reg. Per tant, tot pareix indicar que el càlcul de superfícies circulars podia ser útil, sobretot, per a un altre tipus de problemes, en concret el càlcul necessari de la base en el volum d'un graner cilíndric.

Foren camps o bases de cilindres, la veritat és que la forma aproximativa de trobar la superfície circular pareix haver-se realitzat per mitjà d'un octògon. En el problema 48 del papir Rhind es presenta una figura del que pareix un octògon inscrit en un quadrat.

A això s'acompanyen les superfícies comparades de l'octògon i el quadrat quan varien les seues dimensions: 8 setat 16 setat 32 setat 64 setat

9 setat 18 setat 36 setat 72 setat Total: 81 setat

Donada l'absència d'explicacions en el problema

i l'ambigüitat en el traçat de les figures per l'escriba, s'ha suggerit que la figura tancada en el quadrat és un cercle directament i no un octògon o que el dibuix de cercles a mà alçada per l'escriba autor del papir és distinta, com s'aprecia en els dibuixos dels problemes 41 i 50.

2.2.2. Àrea del cercle. El problema 50 del papir Rhind sí que parla de camps rodons mostrant un senzill procediment per al càlcul de la seva superfície: Exemple d'un camp rodó de diàmetre 9 khet. Quina és l'àrea? Prendre 1/9 del diàmetre, la resta és 8.

Multiplicar 8 vegades 8, són 64. Per tant, conté 64 setat de terra. En 1929 Vogel va trobar una explicació al mètode de l'escriba. Consisteix en considerar un quadrat de 9 khet de costat en el qual, donades les seves dimensions, el cercle buscat estaria inscrit. Doncs bé, es divideix cada costat del quadrat en tres parts iguals Presentant-se el quadrat dividit en 9 quadrats xicotets, cada un de 3 x 3 = 9 setat de superfície. Per a obtenir l'octògon inscrit (que servirà d'aproximació al cercle) dividim els quadrats dels cantons en dos triangles iguals, cada un dels quals tindrà 4 1/2 setat. Si el quadrat té de superfície 9 x 9 = 81 setat, l'octògon tindrà 81 - 4 x 4 1/2 = 81 - 18 = 63 setat. Aquest valor és difícil de tractar numèricament en relació al quadrat, per la qual cosa es pot aproximar a 64 setat, que correspon a 8 x 8 khet.

Ara és quan l'escriba fa la taula de resultats mostrada en la pregunta anterior. Esta consisteix finalment en els valors de la superfície del quadrat , acabant en el valor del problema 50 ( 81 setat ) i l'aproximació considerada de la de l'octògon. És una comprovació de la regla que podria expressar-se així: Si ens donen el diàmetre ( 9 khet ) del cercle, l'àrea del quadrat circumscrit serà el seu quadrat ( 9 x 9 = 81 setat ) i la de l'octògon, que es pren aproximadament com la del cercle, s'aconsegueix restant 1/9 del diàmetre ( 9 - 1/9 . 9 = 9 - 1 = 8 khet ) i elevant el resultat al quadrat ( 8 x 8 = 64 setat ).

2.2.3. Explicacions alternatives a l'àrea del cercle. Considerem un quadrat de costat 8 khet. Es divideix cada un dels seus costats en quatre parts iguals de 2 khet cada una. A continuació es considera un cercle intermedi entre l'inscrit i el circumscrit de manera que, tenint el mateix centre que el quadrat, la seva circumferència passarà per les dos divisions extremes de cada costat del quadrat. Podria entendre's que les superfícies d'ambdós figures foren aproximadament equivalents basant-se en que les parts sobrants de cada una respecte de l'altra s'entendrien 'compensades'.

Ara bé, quin és el diàmetre d'aquest cercle equivalent?. Considerant el triangle rectangle de catets 8 i 4 khet i amb la hipotenusa coincident amb el diàmetre, s'obtindria pel teorema de Pitàgores que el dit diàmetre D val: Com D2 = 82 + 42 = 80, el valor de D és 8,944 aproximadament igual a 9. Esta explicació alternativa consisteix, per tant, a establir la relació 9 a 8 a partir de superfícies quadrada i circular que es consideren equivalents aproximadament. D'esta manera, si el diàmetre és de 9 khet el quadrat de costat 8 khet tindria una superfície semblant. No obstant això, esta explicació fa dos supòsits poc convincents per a l'època. El primer és la consideració d'un cercle intermedi entre l'inscrit i el circumscrit com a aproximació a l'àrea del quadrat inicial. La primera idea en aquest sentit de què es té constància sorgeix molt després a Grècia i el seu autor és Brison d'Atenes. En la matemàtica egípcia no hi ha una altra constància de tal procediment. D'altra banda, sí que hi ha indicis suficients per a afirmar que els escribes egipcis coneixien les triades pitagòriques (no una demostració general de les relacions en un triangle rectangle), encara que no s’han trobat evidències directes. Per això, cal admetre que es prengués en compte, encara que resulta dubtós que es fera amb el grau de generalitat que suposa esta hipòtesi.

2.3. PROBLEMES

El papir de Moscou, actualment en el Museu de Belles Arts d'esta ciutat, és el segon document en importància dins dels pocs existents sobre la matemàtica egípcia. És un papir de considerable longitud (més de cinc metres) però molt estret (de l'orde de set centímetres d'ample) i s'ha datat en la dinastia XII (sobre 1890 a C.), sent probablement una còpia d'un papir original de l'Imperi Mitjà, igual que el papir Rhind. Presenta una col·lecció de 25 problemes resolts sobre activitats matemàtiques quotidianes, destacant entre tots ells el problema 14 que mostra el càlcul del volum d'una piràmide truncada, que després analitzaré.

2.3.1. Problema 6 Papir de Moscou. Este problema tracta del càlcul de l'àrea d'un rectangle i el seu text és el següent: Un rectangle de 12 setat (d'àrea, té) una amplària d'1/2 1/4 de la seva longitud. (Calcular les seves dimensions). En termes actuals podríem afirmar que si L és la longitud del rectangle i A la seva amplària, la qual cosa sosté el problema és que A = (1/2 + 1/4) L de manera que, a l' aparèixer com a dada l'àrea del rectangle es plantejarà una equació de segon grau: 12 = L x A = L x (1/2 + 1/4) L = (1/2 + 1/4) L2 A partir d'aquest fet és fàcil veure, sempre des de l'enfocament algebraic actual, que 12 / (1/2 + 1/4) = L2 de manera que el valor de la longitud L vindrà dau finalment per l'arrel quadrada de 12 / (1/2 + 1/4). A la llum d'esta deducció examinem el procediment que exposa l'escriba egipci: En primer lloc, calcular amb 1/2 1/4 fins a 1, és a dir, trobar l'invers 1 / (1/2 + 1/4) que dóna com resultat 1 1/3: 1 1/2 1/4 1/3 1/6 1/12 = 1/4 1 1/3 1/2 1/4 1/4 = 1 Aquest pas correspondria a col·locar el terme (1/2 + 1/4) en el membre de l'esquerra de la igualtat. A continuació, es multiplica 12 x 1 1/3, resultant finalment en 16 i corresponent a l'operació completa del membre de l'esquerra 12 / (1/2 + 1/4): 1 12 1/3 4 1 1/3 16 Amb això es troba el que ells denominen l'angle (o arrel quadrada) de 16 (L2)que, sent 4 dóna el valor de la longitud L. L'amplària serà 1/2 1/4 de 4, que són 3. S= 12

L=4

A=3

2.3.2. Problema 7 Papir de Moscou. El dit problema es refereix a un triangle i afirma: Exemple de càlcul d'un triangle. Si et diuen que un triangle amb àrea de 20 setat i idb de 2 1/2 (Calcular les dimensions del triangle) Cal tindre en compte que el terme “idb” pareix indicar la relació entre l'altura i la base del triangle. Doncs bé, els

Passos en què l'escriba divideix el procediment poden interpretar-se de la mateixa manera en què s'ha fet amb el problema anterior: Inicialment, es duplica l'àrea del triangle T ( 2 x 20 = 40 setat), la qual cosa obeeix a formar el rectangle R que té per dimensions la base i l'altura del triangle i presenten, per tant, la mateixa relació de 2 1/2. A continuació es multiplica l'àrea d'aquest rectangle R per 2 1/2 obtenint-se: 40 x 2 1/2 = 100 setat Amb açò es manté la mateixa relació Altura a Base del rectangle com les àrees del quadrat C de costat l'altura a la superfície del dit rectangle. Per això, al multiplicar l'àrea d'este rectangle per 2 1/2 el resultat expressa l'àrea del quadrat que té per costat A l'altura. Conseqüentment, el següent pas, calcular l'arrel quadrada d'esta superfície quadrada equival a trobar la longitud de l'altura del triangle, és a dir, 10 khet.

3. VOLUMS

Alguns problemes matemàtics del papir Rhind es refereixen al càlcul del volum i la capacitat subsegüent d'un graner. Per a això es calcula el dit volum multiplicant la superfície de la base per l'altura de manera que, al donar-se estes mesures en colzes, el resultat s'expressa en colzes cúbics. Però a l'escriba egipci no li importava tant el volum com la capacitat expressable per la quantitat de gra que era possible emmagatzemar. Esta capacitat s'expressava en 'khar', la unitat fonamental més gran. Així, doncs, convé precisar en primer lloc la relació del 'khar' amb els colzes cúbics i l'existència i relacions de subunitats del 'khar' dins de les més xicotetes. Un 'khar' equivalia a 2/3 de colze cúbic, la qual cosa es correspon amb el fet que un colze cúbic fora igual a un khar i mig, establint-se una de les correspondències més interessants des del punt de vista aritmètic entre dos fraccions recíproques: 1 1/2 i 2/3. A pesar de la introducció d'una altra subunitat de l'heqat ( l'het, una desena part de l'heqat ), encara es consideraven fraccions més xicotetes, necessàries per a la determinació del que corresponia a un treballador per dia per exemple. No obstant això, no es pot abandonar esta pregunta sense referir-se breument a una fracció encara més xicoteta de l'heqat, en concret la corresponent a 1/320 d'heqat que, expressat com 'ro', equival a la quantitat de gra que un home pot emportar-se a la boca i el símbol de la qual serà l'utilitzat preferentment al representar les distintes fraccions. La unitat de capacitat heqats’utilitzava per a mesurar el blat i l'ordi; (4,8 litres).,l'henu o het habitualment s'utilitzava per a líquids com la cervesa, el vi, la llet o l'aigua( 0,48 litres).

Unitats de volum Nom

equivalència

volum

jeroglífic

translit. trancrip.

heqat

10 het

4,8 litres

hqȝ.t

heqat

henu o hin

1/10 heqat

0,48 litres

hnu

henu

ra múltiplos

1/320 heqat

0,060 litres

rȝ

doble-heqat

2 heqat=20 het

9,6 litres

ḥqȝ.ty

dobleheqat

ipet o quáduple-heqat

4 heqat=40 het

19,22 litres

ip.t

ipet

khar

heqatquádruple= 20 heqat=200 het

96,1 litres

k.hr

kar

Jar (Imperi Antic)

10 heqat

48,50 litres

ḫr

jar

3.1. LES PIRÀMIDES

Darrere del traçat de la base quadrada d'una piràmide els escribes s'enfrontaven a les qüestions del volum a través d'un primer problema: Determinar el pendent que han de tenir les parets laterals i mantenir la dita pendent al llarg de tota la construcció. Fins a arribar a la monumental piràmide de Keops els arquitectes egipcis van haver de construir altres piràmides que denoten canvis de plans i diferents criteris empleats. Les tres piràmides de l'antecessor de Keops, el rei Esnofru (2625 - 2585), són el millor exemple de la diversitat d'intents produïts. La primera, alçada en Meidum té un elevat pendent de 51º 50' que va provocar posteriorment el seu àfonament parcial. El propi Esnofru va començar a alçar una altra en Dashur de 54º27' de pendent, encara més vertical la qual cosa va conduir

, donades les seves majors dimensions de base, a que el volum de pedra corbés l'estructura interna de la piràmide. És per això que, en un intent d'acabar-la a tota costa, el pendent disminueix abruptament a una certa altura transformant-se en una altra més suau de 43º 22' que permet la seva conclusió a una altura menor que l' originàriament prevista. Finalment, la tercera piràmide d'Esnofru s'alça en la pròpia plana de Dashur i, sent la definitiva, resulta amb un pendent igual a aquella amb què es va acabar la piràmide anterior (43º 22') el que fa que no pateixca cap problema de sobrecàrrega (de fet es continua conservant en bon estat) i l'estructura interna (en particular, els sostres que sempre comporten una certa inestabilitat) no es veja afectada. No obstant això, resulta quelcom aplanada respecte al prototip de piràmide, la del seu fill Keops, que torna a un pendent de 51º 50' i que encara serà superada per la del successor, Kefrén (53º 7'). El volum de pedra que això comporta obligarà a realitzar unes estructures de sosteniment de les cambres funeràries de gran envergadura. En línies generals els pendents en les piràmides de l'Imperi Antic oscil·laran entre estos valors extrems amb l'excepció dels 56º 18' aconseguits per la piràmide d'Unes (2371 - 2350).

3.1.1. Càlcul pendent de la piràmide.

Un dels problemes bàsics dels constructors de piràmides consistia a mantenir el pendent en les quatre cares simultàniament , vist que una variació provocada per pedres mal tallades comportaria que les quatre cares no arribaren a convergir en el vèrtex. Per tant, el pendent havia de mantenir-se no sols en la base de les quatre cares sinó en tots els punts de dites cares laterals. El procediment podria basar-se en conservar constant l'angle suplementari fins als 180º marcats per l'horitzontal. Per a això, un aparell d'estructura triangular i amb un angle que, si el pendent desitjat fora de 51º, resultaria de 129º, es col·locaria tant en la base de la piràmide (i l'horitzontal quedaria garantida pel sòl) com en qualsevol altre punt de la paret lateral (i llavors l'horitzontal hauria de garantir-se amb un nivell d'aigua, per exemple). El pendent de la piràmide no estava en aquell temps mesura en graus ni minuts, herència de l'astronomia mesopotàmica que ens han deixat els grecs. Els antics egipcis utilitzaven el ‘seked' : nombre de pams horitzontals que corresponen en la base de la piràmide a 1 colze vertical en la seva altura. A partir d'esta definició poden plantejar-se almenys dos problemes: Coneixent la base i l'altura, calcular el seked de la piràmide. Coneixent la base i el seked, esbrinar l'altura que aconseguirà la piràmide. Així, el problema 56 del papir Rhind planteja el primer cas en estos termes: Exemple de calcular una piràmide el costat de de la qual la base és 360 [colzes] i l'altura de la qual és 250 [colzes]. Vull conèixer el seu seked El seqt és el que hui coneixem per pendent d'una superfície plana inclinada. En mesures verticals s'utilitzava com a unitat de mesura el colze i en horitzontals la mà o pam, que equivalia a 1/7 del colze.

El procediment és senzill i es va a repetir en diversos problemes més del papir: Dividir el costat de la base per la meitat, 1/2 de 360 són 180 colzes a fi de formar un triangle rectangle. Dividir 180 entre l'altura 250, donant en aquest cas 1/2 1/5 1/50 , que resulta la longitud horitzontal que correspon a la unitat vertical en la unitat que fora i tot això dins d'un triangle rectangle semblant a l'anterior. La quantitat 1/2 1/5 1/50 són també els pams horitzontals que corresponen a un pam vertical. Com un colze vertical són els 7 pams que caracteritzen el component vertical del seked, caldrà multiplicar per 7 la quantitat anterior per a obtenir el seked: 7 x 1/2 1/5 1/50 = 5 1/25 La segona qüestió és presentada de la manera següent en el problema 59b del mateix papir: Si construïm una piràmide el costat de la qual la base és 12 [colzes] i amb un seked de 5 pams 1 dit, quina és l'altura? El caràcter d'exercici escolar en aquest problema s'observa en la irreal dimensió de la base (12 colzes). No obstant això, es pot assegurar que aquest havia de ser un dels problemes més sovint plantejats en el començament de la construcció, ja que les dimensions de la base eren una de les primeres accions de l'arquitecte així com la determinació del pendent, per la qual cosa l'altura final relacionada amb les dades anteriors era, en aquest moment inicial, quelcom imprecís però calculable com es pot apreciar pel procediment de l'escriba: Multiplica per dos el seked amb l'objecte de considerar la base sencera en lloc de la seva meitat com inclou la definició del seked: 2 x 5 1/4 = 10 1/2 sabent que un pam equival a quatre dits. Dividir 7 entre 10 1/2 per a reduir el resultat a la relació entre les mateixes unitats, és a dir, 7 : 10 1/2 = b Esta és la quantitat que es multiplica pel costat sencer de la base: b x 12 = 8 colzes

3.1.2. Càlcul del volum de la piràmide.

El problema geomètric més complex abordat pels egipcis i del que ha quedat constància és el càlcul del volum del tronc de piràmide o “piràmide truncada”. La seva necessitat està evidentment relacionada amb el coneixement del volum de pedra necessari fins determinada altura de la piràmide. El papir Moscou inclou el dit càlcul exposant una sèrie de regles successives que coincideixen bàsicament amb les realitzades actualment, gens elementals per a aquella època. Dins d'elles una qüestió prèvia que va cridar l'atenció des del principi va ser l'aparició del terme 1/3 en la relació dels volums i que, donada la correcció amb què s'aplica durant el procediment, només pot estar motivada pel coneixement previ de què el volum d'una piràmide és la tercera part del volum del paral·lepíped de la mateixa base i altura que la piràmide. Sobre aquest particular s'han suggerit procediments extremadament empírics com són el de construir models en fusta i comparar el pes o recipients plens d'arena el contingut dels quals es pesaria amb el mateix objectiu. Observant la complexitat que podien aconseguir distints càlculs entre els escribes egipcis podem afirmar que estes possibilitats són improbables. Ací s'exposarà un mètode per a trobar la relació d'1/3 entre ambdós volums basat en la descomposició del paral·lepíped en diversos prismes (políedres limitats per dos polígons iguals i per diversos paral·lelograms).

V= (Ab x h)/3 La descomposició proposada consisteix en traçar la piràmide interior al paral·lepíped distingint entre la dita piràmide i la resta del paral·lepíped. Si aquest es divideix en quatre prismes triangulars iguals traçant les diagonals de les seves cares superior i inferior es podrà diferenciar cada un d'estos prismes que, al seu torn, compren una quarta part de la piràmide original en forma d'un tetràedre recte. Si la resta del prisma triangular es divideix en dos tetràedres iguals per mitjà de la subdivisió per la diagonal de la seva cara rectangular un d'ells és clarament igual (per tenir la mateixa base i la mateixa altura) que el tetràedre part de la piràmide original. En conseqüència, la part de la piràmide resulta ser d'un volum meitat que la resta del prisma triangular o, en altres paraules, la tercera part del volum total corresponent al prisma recte. Com esta relació es repeteix en cada un dels quatre prismes triangulars en què s'ha descompost el paral·lepíped la relació global es mantindrà: El volum de la piràmide és la tercera part del paral·lepíped de la mateixa base i idèntica altura.

3.1.3. Càlcul del volum del tronc de la piràmide. El problema de calcular el volum del tronc de piràmide, tal com enuncien els propis egipcis, es planteja de la manera següent en el problema 14 del papir de Moscou:

Exemple de calcular una piràmide truncada. Si et diuen: ‘Una piràmide de 6 d'altura per 4 de base [el quadrat inferior] per 2 de dalt [el quadrat superior]' que és resolt per mitjà d'una sèrie de passos successius: Fas el quadrat d'aquest 4; el resultat és 16. És el doble de 4 [multiplicar 4 per 2]; el resultat és 8. Fas el quadrat d'aquest 2; el resultat és 4. Sumes el 16 i el 8 i el 4; el resultat és 28. Prens de 6; el resultat és 2. Prens 28 dos vegades; el resultat és 56. Fixa't, [el volum] és 56. Trobes [que açò és] correcte. Considerant que el tronc de piràmide té una base inferior quadrada de costat a i una superior de costat b i sent l'altura h, els passos de l'escriba suposen fer el següent: a

axb b

2 2

a +axb+b

1/3 x h 2

V = 1/3 x h x (a + a x b + b ) Que és exactament l'expressió actual per a aconseguir aquest volum. S'han estudiat dos possibilitats de naturalesa distinta: Mentre la primera es recolza de nou en la descomposició del tronc de piràmide en distints sòlids relativament senzills de manipular, la segona possibilitat part d'una idea més immediata (la diferència entre la piràmide a construir i la piràmide que queda per alçar) però justifica de forma més imprecisa a l' aconseguir finalment el conjunt de regles de l'escriba.

Considerem una visió des de dalt de la piràmide truncada de manera que suposem els talls que apareixen en la figura. Estos talls provocaran l'aparició d'un paral·lepíped central, quatre prismes triangulars i quatre piràmides rectes en els cantons. El paral·lepíped central 2 tindrà de volum V1 = b x h Mentre que els prismes triangulars tenen per cara inferior un rectangle de dimensions b per 1/2 (a - b) sent el seu volum fàcil de calcular. De totes les maneres, com són quatre d'estos prismes es poden afegir els uns als altres fins a formar un paral·lepíped que té una base rectangular de dimensions b i (a - b), resultant en total de volum 2 V2 = b x (a - b) x h = (a x b - b ) x h Podent-se unir al paral·lepíped de volum V1 trobant-se que el resultant tindria per volum: V1 + V2 = b x (a - b + b) x h = a x b x h

Coneixent el volum d'una piràmide es podrà deduir el corresponent a les piràmides dels cantons, cada una de les quals té per base un quadrat de costat 1/2 (a - b) i altura h. Tenint en compte que hi ha un total de quatre el volum total d'estes piràmides suposarà: 2 2 2 V3 = 4 x 1/3 x [ 1/2 (a - b)] x h = 1/3 x (a + b - 2 a b) x h Aconseguint-se finalment un volum final del tronc de piràmide de 2 2 2 2 Vf = h/3 x (3 a b + a + b - 2 a b) = h/3 x (a + b + a b) De totes maneres, la manera que pareix més immediata per a calcular aquest volum consisteix a partir del corresponent a la piràmide total i restar-li el volum de la piràmide que s'alça sobre el tall superior del tronc. No obstant això, el dit càlcul no és elemental. Esta diferència seria: 2 2 2 2 2 2 2 V = 1/3 a k - 1/3 b m = 1/3 a (h + m) - 1/3 b m = 1/3 a h + 1/3 a m - 1/3 b m

Arribant a la mateixa expressió del tronc de piràmide. L'aproximació a la fórmula general pot haver sigut un procés basat en la consideració de casos particulars especialment senzills. Si es considerés que la piràmide es trunca en la meitat de l'altura total, h = m, l'expressió general anterior donaria lloc a: 2

V = h/3 (a + a - b ) 2 2 Considerant els dos últims termes dels tres tancats entre parèntesis, és a dir, a - b , resulta ser la diferència entre les dos àrees de les bases quadrades. Si es talla de la gran la xicoteta, el resultat serà a2 - b2 = a b + b2 de manera que substituint en l'última expressió queda la fórmula del volum del tronc de piràmide 2 2 V = h/3 ( a + a b + b ) Si la piràmide, en qualsevol altre cas, es trunca a una altura de 2/3 de la seua altura total, l'altura de la piràmide xicoteta és la meitat del tronc de piràmide, és a dir, M = 1/2 h. Per la resta de les dos piràmides es tindrà que: 2 2 2 2 2 2 V = 1/3 a h + 1/3 a 1/2 h - 1/3 b 1/2 h = h/3 ( a + 1/2 (a - b ) ) Es pot examinar el segon sumant tancat entre parèntesis d'una forma semblant a l'anterior, 2 2 2 2 2 2 es trobaria que a - b = 2 a b + 2 b de manera que 1/2 (a - b ) = a b + b Arribant-se a la mateixa expressió del tronc de piràmide.

3.2. ELS GRANERS 3.2.1. Formes dels graners.

Dins del model de redistribució de l'economia egípcia, una de les tasques fonamentals de l'administració faraònica consistia en l'acumulació de reserves de gra als graners, tant per a la seva distribució en els temps de fam canina com per a centralitzar i controlar la seva posterior distribució a temples i fundacions. No ha quedat a penes rastre d’aquestos graners, tan sols magatzems com els del Ramesseum indiquen quin tipus d'edificacions és van arribar a alçar per a cobrir estigues necessitats. No obstant això, els graners normals no tenien la forma estos magatzems de tan considerable grandària. La seva forma i estructura és pot deduir a partir d'alguns dibuixos i gravats sobre pedra que han persistit en els tombes de diversos nobles de l'època. Durant l'Imperi Antic hi ha bàsicament dos formes d’emmagatzemar el gra: la mes important és la sitja, un cilindre acabat en una xicoteta cúpula. És pot apreciar que la seva altura duplicava i fins triplicava el diàmetre de la base, al mateix temps que s'alçaven sobre una plataforma que protegia de la humitat i dels animals, podent aconseguir la tercera part de l'altura total de la sitja. La segona forma d'emmagatzament consistia en una sèrie de sitges unides (de tres a vint) cobertes tots elles amb voltes planes.

És difícil estimar l'altura que realment van aconseguir ja que només pot deduir-se al comparar-la amb els figures d’homes que apareixen junt amb ells, però resulta dubtós que el pintor de l'època voldria mantenir els figures proporcionals. Per això, l'altura que s'ha donat (3 colzes) pot ser incerta encara que és indubtable que, en l'Imperi Mitjà, la seva altura va créixer quasi el doble fins a arribar a quintuplicar el diàmetre de la base. No obstant això, també s'han trobat graners en sèrie protegits per un mur, amb escales per a accedir dels uns als altres, i mostren una altura semblant a la dels homes que és dibuixen al seu costat. Això indica que havien d'existir graners de baixa altura, mes ajustats als necessitats un poble xicotet amb pocs habitants. Estos fets tenen un cert interès per a interpretar adequadament les dades que presenta el papir Rhind en el càlcul del volum de graners. Primer, per a indicar que la forma dels graners està ajustada als problemes presentats (de base quadrada i circular) i que les altures no són completament irreals, encara que sí que és cert que les dades numèriques estan preparades per a facilitar els càlculs posteriors.

3.2.2. Càlcul volum d'un graner paral·lepíped

Aquest problema resultava molt senzill per a l'escriba que només havia de multiplicar entre si les tres dimensions del paral·lepíped. L'única complicació residia en el canvi d'unitats des de les de volum a les de capacitat. Per exemple, el problema 44 del papir Rhind afirma: Exemple de calcular (la capacitat de) un graner rectangular, sent la seva longitud 10, la seva amplària 10 i la seva altura 10. Quina és la quantitat de gra que cap en ell? L'operació bàsica consisteix a multiplicar els tres dimensions: 10 x 10 x 10 = 1000 colzes cúbics. La qüestió llavors és reduir a transformar aquestes unitats en khar de capacitat per mitjà de l'equivalència 1 colze cúbic = 1 1/2 khar De manera que 1000 x 1 1/2 = 1500 khar Cap també fer el problema invers, és a dir, coneixent la quantitat de gra que es desitja emmagatzemar i la superfície de la base, desitjant-se saber quina altura ha d'aconseguir el graner. Aquest és el cas del problema 46: Un graner (rectangular) en el que caben 2500 heqats quàdruples de gra (i de base 10 x 10 colzes). Quines seran els seves dimensions? La consideració d’aquest múltiple de l'heqat obliga a recordar que 1 khar = 5 heqat quàdruple = 20 heqat I en aquest cas 2500 heqats quàdruples = 500 khar 500 khar x 2/3 = 333 1/3 colzes cúbics Sabent que la base del graner és de 10 x 10 = 100 colzes quadrats, la divisió d'ambdós donarà l'altura que abastaria el gra: 333 1/3 : 100 = 3 1/3 colzes.

3.2.3. Càlcul volum d'un graner cilíndric. El fet que el graner fora cilíndric no aporta major novetat que la d'obrir pas al càlcul de superfícies circulars. Les dades numèriques novament estan preparades per a facilitar el càlcul, tal com apareix en el problema 41:

Exemple de fer un graner rodó(cilíndric) de (diàmetre) 9 i (altura) 10 La superfície circular de la base es troba per mitjà de passos ja coneguts que ací és repeteixen: Es calcula 1/9 del diàmetre: 1/9 x 9 = 1 colze Se li resta al propi diàmetre: 9 - 1 = 8 colzes La resta es multiplica per si mateix: 8 x 8 = 64 colzes quadrats. L'àrea de la base és multiplica per l'altura:64 x 10 = 640 colzes cúbics Que novament és transformen en mesures de capacitat: 640 colzes cúbics X 1 1/2 = 960 khar 960 khar x 5 = 4800 heqats quàdruples

4. BIBLIOGRAFIA -DÍAZ VELAZQUEZ, MARIÀ “Diccionari Bàsic de Matemàtiques” ED. ANAYA, MADRID, 1979. -ENCICLOPÈDIA ESCOLAR ENCARTA - Microsoft® Encarta® 2007. © 1993-2006 Microsoft Corporation. -EQUIP TRAMA “Gran Enciclopèdia del Saber” TOM X. Matemàtiques. ED. PASSA, MADRID, 2002. -ENCICLOPÈDIA WIKIPEDIA, 2008. Wikimedia Foundation, SA -GARCÍA, ANTONIA "La ciència de l'Antic Egipte" Quaderns d'Història 16 ED.INFORMACIÓ I REVISTES, S.A. - MAÇA, C. “Matemàtica de l'antiguitat: Egipte” ED. UNIVERSITAT SEVILLA, 2000

-PUTNAM, JAMES “Egiptologia” ED. ÒPTIMA, BARCELONA, 1997